Apostila - Matemática Básica e Financeira

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Matemática Básica 
e Financeira
MÓDULO BÁSICO
Matemática Básica e 
Financeira
Curso Técnico EaD SENAR
Formação Técnica
SENAR - Brasília, 2020
S474m
 SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural.
	 	 Matemática	básica	e	financeira:	módulo	básico	/	Serviço	Nacional	
de	Aprendizagem	Rural.	–	Brasília,	DF:	SENAR,	2020.
	 105	p.	:	il.	–	(Formação	Técnica)
	 	 Inclui	bibliografia
	 	 ISBN	978-65-86344-38-7
	 	 1.	Agroindústria	–	Estudo	e	ensino.	2.	Matemática.	3.	Finanças.	
I.Título.
CDU	336
Elaborado por Maurício Amormino Júnior – CRB6/2422
Sumário
Introdução à Unidade Curricular  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
Tema 1: Matemática Básica  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 9
Tópico 1: Conjuntos numéricos  �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 11
Tópico 2: Operações fundamentais ����������������������������������������������������������������������������������������������������� 14
Tópico 3: Frações ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 31
Tópico 4: Proporcionalidade �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  37
Tópico 5: Potências  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 44
Tópico 6: Medidas agrárias  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 50
Encerramento do tema  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 52
Tema 2: Matemática Financeira  �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  53
Tópico 1: Juros simples  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 56
Tópico 2: Desconto simples  �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 64
Tópico 3: Juros compostos  �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  71
Tópico 4: Desconto composto  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 76
Encerramento do tema   ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 81
Tema 3: Estatística e probabilidade  ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 82
Tópico 1: Noções de estatística  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 84
Tópico 2: Noções de probabilidade  ���������������������������������������������������������������������������������������������������  94
Encerramento do tema  ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  101
Encerramento da unidade curricular  ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 102
Referências   ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  103
Gabarito  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 104
Introdução à Unidade 
Curricular
Curso Técnico EaD SENAR
6
Introdução à Unidade Curricular
Conhecimentos básicos de matemática são essenciais, principalmente nos momentos em que 
é necessário tomar decisões em um negócio rural. 
Nesta unidade curricular de Matemática Básica e Financeira, você estudará diferentes 
assuntos, entre eles os apresentados no quadro a seguir.
Matemática 
básica
Hoje os computadores, os softwares específicos e as calculadoras nos 
ajudam muito nos cálculos, porém é muito importante saber interpretar 
e julgar se os dados correspondem à realidade. Por isso, o objetivo de 
estudar a matemática básica é ter uma boa base de somas, produtos, 
divisões, frações e operações com potências.
Razão e proporção
Este conceito é importante para regra de três simples, que é 
comumente usada em diversas situações do cotidiano de um 
profissional que atua no meio rural, por exemplo, para calcular a 
proporção adequada de insumo.
Matemática 
financeira
É importante saber verificar todos os dados apresentados pelo 
gerente de um banco, por exemplo, para acompanhar e opinar 
ativamente em todo o processo de um financiamento. Por isso, 
é indispensável saber calcular juros simples, juros compostos e 
descontos.
Estatística básica
Conceitos de estatística são vitais para profissionais que oferecem 
consultoria, vendem insumos, pesquisam plantas e novas estratégias 
de agricultura ou administram uma empresa rural.
Noções de 
probabilidade
Sabendo calcular a probabilidade, podemos determinar as chances de 
uma ação apresentar o resultado esperado ou não de acordo com um 
grau de aceitabilidade pré-estabelecido ou, ainda, analisar resultados 
de pesquisas de forma mais eficiente.
Matemática Básica e Financeira
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Espera-se que você possa utilizar esses conhecimentos de matemática básica e financeira 
para solucionar questões relacionadas ao seu cotidiano profissional. Nesse sentido, lembre-
se de assistir às videoaulas, acessar o AVA e consultar os materiais complementares e os 
exercícios resolvidos disponíveis na biblioteca do AVA.
a
Competências para desenvolver na UC
Ao final desta unidade curricular, você deverá ser capaz de:
• revisar os conceitos fundamentais da matemática básica;
• aplicar os conhecimentos matemáticos em situações concretas da 
administração rural;
• desenvolver o raciocínio lógico;
• conhecer as definições básicas e os principais elementos da estatística.
Antes de começar, saiba que, mesmo sozinho, você pode aprender matemática básica rápido 
e com facilidade. Para isso, confira algumas dicas que podem otimizar os seus estudos:
Crie uma rotina de estudos. Mesmo que 
não disponha de muito tempo, se esforce 
para dedicar um mínimo de trinta minutos 
por dia, desta forma o conteúdo estará 
sempre “fresco” em sua memória.
Tire suas dúvidas! Procure a 
ajuda de colegas de classe e 
dos tutores da unidade, evite 
acumular dúvidas, pois isto 
gera insegurança e prejudica 
seu desempenho. No AVA 
você pode compartilhar 
dúvidas e buscar auxílio.
Escolha um local tranquilo, venti-
lado e bem iluminado, sem 
interferência de aparelhos de 
televisão ou outros elementos 
que possam tirar a sua atenção.
Leia atentamente o material de 
maneira crítica e interrogativa 
antes de praticar os exercícios. 
Refaça os exercícios resolvidos e 
elabore um resumo com suas 
anotações.
Tente resolver o maior número 
de exercícios possíveis. Somente 
assim você colocará em prática 
os conceitos estudados e conse-
guirá compreendê-los da melhor 
forma.
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Ao resolver os exercícios, primeiramente entenda o enunciado da questão e saiba qual é 
o seu objetivo. O português e a interpretação de textos também são muito importantes. 
Sempre se pergunte: o que o exercício quer? Se possível, leia o enunciado em voz alta, pois 
assim você pode perceber melhor o sentido do exercício. Antes de partir para a solução, 
resgate os seus conhecimentos matemáticos para identificar qual deles será mais efetivo 
na resolução do problema. Divida a resolução em várias etapas e resolvacada uma em 
separado e com total atenção.
 
Não tenha medo de errar. Quando erramos e tentamos compreender 
o motivo, exercitamos mais do que quando chegamos ao resultado 
correto rapidamente.
'
Dica
Você já ouvir falar no “teste da folha em branco”? Essa estratégia é útil quando 
nos aproximamos das avaliações. É bem simples, basta pegar uma folha em 
branco e escrever tudo o que você sabe do conteúdo, sem consulta e sem auxílio. 
Depois compare com o material da apostila e refaça até você estar seguro sobre 
sua compreensão do conteúdo.
Que esta unidade sobre matemática básica e financeira se torne prazerosa e que você possa 
tirar dela o maior proveito possível, levando os conceitos não só para seu dia a dia como 
profissional, mas também para sua vida pessoal.
Bons estudos!
01
Matemática Básica
Curso Técnico EaD SENAR
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Tema 1: Matemática Básica
Esse tema inicial serve como introdução aos conceitos matemáticos. Nele você verá 
conteúdos fundamentais da matemática, tais como: conjuntos numéricos, operações entre 
números, regra de sinais, frações, razões e proporções, potências e unidades de medidas 
agrárias mais utilizadas. 
O objetivo é relembrar matérias do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, fortalecendo os 
fundamentos matemáticos para os próximos temas.
a
Competências
Ao final deste primeiro tema, você deverá ter competência para:
• conhecer os conjuntos numéricos e as operações numéricas com números 
inteiros e decimais, entendendo as regras de sinais;
• diferenciar as operações fundamentais com frações, encontrando o m.m.c. e 
o m.d.c;
• compreender razões e usar regras de três direta e inversamente 
proporcionais;
• conhecer as medidas agrárias mais utilizadas.
Fonte: Shutterstock
Matemática Básica e Financeira
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Tópico 1: Conjuntos numéricos
Quando ouvimos falar sobre matemática ou nos recordamos de nossas aulas do Ensino 
Fundamental ou Médio, a primeira lembrança que nos vem à cabeça são os números. 
Um dos conceitos mais básicos que temos é o de número. A construção dos conjuntos nu-
méricos se inicia com os números naturais, usados apenas para contar, e chega até os núme-
ros complexos, que possuem aplicação nas engenharias elétricas, nas produções químicas, 
entre outras áreas.
 Conjuntos numéricos
Compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números ou elementos com 
características semelhantes. Assim, os conjuntos numéricos são os conjuntos dos números que 
possuem características semelhantes.
Existem os seguintes conjuntos numéricos: 
• Conjunto dos números naturais (ℕ) – números positivos.
• Conjunto dos números inteiros (ℤ) – números positivos e negativos.
• Conjunto dos números racionais (ℚ) � frações irredutíveis e dízimas periódicas.
• Conjunto dos números irracionais (𝕀) – todos os números que não podem ser escritos 
da forma
 p
q
 
em que p e q são inteiros, ou seja, todos os números que não são racionais. 
Esses números, representados na forma decimal, possuem infinitas casas decimais que 
não se repetem.
• Conjunto dos números reais (ℝ) � reunião de todos os conjuntos anteriores.
Esses conjuntos respeitam uma hierarquia, como mostrado na imagem abaixo.
ℝℚℤℕ
𝕀𝕀
 
Isso representa que o conjunto dos números reais é formado pela união de todos os conjuntos 
anteriores. Veja, a seguir, cada um desses conjuntos em detalhes.
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1. Números naturais
Os números naturais são os números positivos que utilizamos para contagem e mais o número 
zero. Podemos escrever o conjunto dos naturais da seguinte forma:
ℕ = {0, 1, 2, 3,...}
As reticências indicam que nunca paramos de contar, isto é, o conjunto dos números naturais 
é formado por uma infinidade de números positivos e o número zero.
2. Números inteiros 
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e seus opostos 
negativos. Temos então:
ℤ = {...,-2, -1, 0, 1, 2,...}
Usamos os números inteiros para indicar dívidas, por exemplo, ou quando queremos subtrair 
valores.
3. Números racionais e irracionais
Os conjuntos de números naturais e inteiros são formados apenas por números “redondos”, 
isto é, sem vírgulas ou casas decimais. Entretanto, existem situações em que precisamos de 
números compreendidos entre outros. Por exemplo, podemos comprar um litro de água ou 
podemos comprar um litro e meio. Perceba que um litro e meio é uma quantidade compreen-
dida entre um litro e dois litros.
Essa noção de números com vírgulas ou frações define o conjunto dos números racionais. 
Esse conjunto é formado por todos os números naturais, todos os números inteiros e todos 
os números na forma decimal exata ou periódica na forma de frações. 
Para compreender forma decimal exata ou periódica na forma de frações, veja os seguintes 
exemplos:
2,5
5
2
=
3,333...
10
3
=
No segundo exemplo, queremos dividir o número 10 em três parcelas 
iguais, entretanto esse valor não é exato. Obtemos como resultado 
três parcelas iguais de valor 3,333..., em que as reticências indicam que 
devemos repetir o número 3 sem parar nunca. Esse número é uma 
dízima periódica. Outros exemplos de dízimas: 0,777..., 1,234234234... 
etc. Dízimas periódicas são números que, em sua representação decimal, 
apresentam uma repetição infinita de termos.
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O conjunto dos números racionais pode ser representado por:
ℚ = {todo número do tipo , em que a e b são números inteiros e b não pode ser zero}
Além das formas decimais exatas e das dízimas, temos números como:
π=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510… 
Esse número é chamado de pi e possui infinitas casas decimais sem repetição. Dessa forma 
ele não se enquadra no conjunto dos números racionais.
g
O número pi representa a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma 
circunferência. Acesse o AVA e veja uma animação que explica esse número.
O conjunto que agrupa os números que, na forma decimal, possuem infinitas casas decimais 
que não se repetem é chamado de conjunto dos números irracionais, geralmente representado 
pela letra 𝕀. Outro exemplo de número irracional é a raiz quadrada de 2. Veja:
√2= 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694…
Observe que o conjunto dos números irracionais é formado apenas por números que não 
podem ser escritos como frações exatas ou como dízimas periódicas.
,√3 ,√7 e π.
6
-√2
4. Números reais
O conjunto dos números reais é formado pela reunião de todos os conjuntos de números 
anteriormente citados. Desse modo, o conjunto dos números reais é constituído pela reunião 
de todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais
ℝ = {todos os números dos conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀}
Atividade 1: Conjuntos numéricos
Considerando os conjuntos estudados nos itens anteriores, indique, para cada número, a 
quais conjuntos numéricos ele pertence.
a) 0
a
b
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b) 
,√3 ,√7 e π.
6
-√2
c) 
d) 
e) -π
f) 
g) 
h) 
i) 0,47474747…
j) ,√3 ,√7 e π.
6
-√2
Tópico 2: Operações fundamentais
Você viu no tópico anterior que o conjunto dos números reais é formado pelos números 
naturais, inteiros, racionais e irracionais. A partir de agora, você estudará a adição, subtração, 
multiplicação e divisão entre números reais, assim como verá as expressões e regras de 
sinais. Neste tópico trataremos apenas os casos de números com casas decimais exatas. As 
operações para frações serão estudas em outro tópico.
1. Adição, subtração, multiplicação e divisão
1.1. Adição
A adição combina dois números, chamados parcelas, em um único número, a soma ou total, 
isto é:
parcela + parcela = soma ou total
• Quando uma das parcelas da soma é o número zero, o total será o 
valor da outra parcela.
• Na soma não importa a ordem das parcelas.
6
1
3
10
1
3
1000
27
7
2
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15
Exemplos:
1) 0 + 15 = 15
2) 29 + 0 = 29
3) 1 + 4 = 5
4) Por exemplo, para efetuarmos a soma 573 + 238, podemos separar cada número em suas 
unidades, dezenas e centenas,ou seja:
573 = 500 + 70 + 3 e 238 = 200 + 30 + 8
Logo:
573 + 238 = 500 + 70 + 3 + 200 + 30 + 8 =
573 + 238 = (500 + 200) + (70 + 30) + (3 + 8)
= (500 + 200) + (70 + 30) + 11
= (500 + 200) + (70 + 30) + 10 + 1
= (500 + 200) + (70 + 30 + 10) + 1
= (500 + 200) + 110 + 1
= (500 + 200) + 100 + 10 + 1
= (500 + 200 + 100) + 10 + 1
= 800 + 10 + 1 = 811
Ou equivalentemente:
811
 ¹5¹73
+ 238
Note que, quando somamos 3 com 8, obtemos 11, logo “vai 1” para ser somado às dezenas 
(no caso, o 7). Isso ocorre novamente quando somamos as dezenas e “vai 1” para as 
centenas.
5) 3,12 + 6,637 = 9,757
Para resolver esse exemplo com casas decimais, montamos a conta da seguinte forma:
 9,757
 3,120
+ 6,637
Devemos alinhar as parcelas pelas vírgulas, não importa quantas parcelas estivermos 
somando. Para facilitar, completamos com o número zero as casas decimais “vazias”.
6) 4,12 + 3,1 + 2,358 = 9,578
 4,120
9,578
 3,100
+ 2,358
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1.2. Subtração 
Na operação de subtração, de um valor numérico (minuendo) é removido outro valor 
(subtraendo). O resultado dessa operação é chamado diferença. Temos, assim: 
minuendo – subtraendo = diferença
Na subtração devemos respeitar a ordem em que fazemos a operação.
Exemplos:
1) 7 – 2 = 5
2) 2 – 7 = -5
Observe nos exemplos 1 e 2 como a inversão na ordem da operação de subtração alterou 
o resultado. No exemplo 2, como o subtraendo é um número maior que o minuendo, a 
diferença será um número negativo.
Assim como na soma, caso um dos termos seja o número zero, a diferença será o outro 
número (respeitando o sinal).
3) 0 – 15 = -15
4) 29 – 0 = 29
5) Para efetuarmos 531 – 245, podemos separar cada número em suas unidades, dezenas e 
centenas, assim como feito na soma, isto é:
531 – 245 = 500 + 30 + 1 – (200 + 40 + 5) =
= 500 + 30 + 1 – 200 – 40 – 5 =
= (500 – 200) + (30 – 40) + (1 - 5) =
= (500 - 200) + (20 + 10 - 40) + (1 - 5) =
= (500 - 200) + (20 - 40) + (10 + 1 - 5) =
= (500 - 200) + (20 - 40) + (11 - 5) =
= (500 - 200) + (20 - 40) + 6 =
= (400 + 100 - 200) + (20 - 40) + 6 =
= (400 - 200) + (100 + 20 - 40) + 6 =
= (400 - 200) + (120 - 40) + 6 =
= (400 - 200) + 80 + 6
= 200 + 80 + 6 = 286
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Podemos também realizar a mesma conta da seguinte forma
2 8 6
 45²3¹1
- 2 4 5
Observe que não podemos subtrair 5 do número 1. Dessa forma “pedimos 1 emprestado” 
para a casa das dezenas, logo o 1 se torna 11 e podemos subtrair 5. O 3 (a dezena) que 
“emprestou 1” vira 2. Por um raciocínio parecido, “pedimos 1 emprestado” da centena.
6) 6,637 - 3,12 = 3,517
Assim como na soma, para montar a conta de subtração com casas decimais devemos 
alinhar os números por suas vírgulas e é muito importante respeitar a ordem dos 
números. Assim, temos:
3,517
 6,637
- 3,120
7) 4,12 - 3,1 - 1 = 0,02
Quando houver mais de dois termos na subtração, para evitar erros de sinais, a melhor 
estratégia de resolução é fazer a conta em etapas, ou seja, faremos duas contas respeitando 
a ordem. São elas:
a) 4,12 - 3,1 = resultado parcial
b) resultado parcial - 1 = diferença
Temos então:
1,02
 4,12
- 3,10
Assim, vemos que o resultado parcial é 1,02. Vamos realizar agora a última etapa da 
operação, isto é, faremos 1,02 - 1.
0,02
 1,02
- 1,00
1.3. Multiplicação 
Os números numa multiplicação são chamados de fatores; e o resultado da operação, de 
produto. Temos então que:
fator x fator = produto
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18
• Quando um dos fatores é o número 0, o produto será 0. Isso significa 
que qualquer número multiplicado por 0 fornece como resultado 0. 
Por exemplo: 17 * 0 = 0 e 0 * 17 = 0.
• Caso um dos fatores seja o número 1, o produto será o outro fator. 
Isso quer dizer que qualquer produto de um número vezes 1 resulta no 
próprio número. Por exemplo: 47 * 1 = 47.
• Podemos representar a operação de multiplicação por três símbolos 
diferentes: x, * ou apenas um ponto entre os números. Por exemplo: 
3 * 2 = 6, ou 3 x 2 = 6, ou 3 · 2 = 6.
• Na multiplicação não importa a ordem dos números. Por exemplo: 
3 * 2 = 2 * 3 = 6.
d
Comentário do Autor
Se os números possuírem casas decimais, somamos a quantidade de casas 
decimais após a multiplicação, no sentido da direita para a esquerda. Você 
entenderá melhor essa lógica quando realizar as contas utilizando frações. Como 
veremos a seguir, e , logo as duas contas seguintes são 
iguais:
0,1*0,1=0,01 e * =10
1
10
1
100
1
Mais adiante você verá expressões numéricas que envolvem parênteses. Quando multiplica-
mos um número de fora dos parênteses pelos que estão dentro, cada número deve ser mul-
tiplicado. Por exemplo: 2 * (2 + 3) = 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10.
Para entender melhor esse assunto, confira alguns exemplos. Lembre-se de que para a 
multiplicação você deve saber a tabuada de todos os números.
Exemplos:
1) 6,637 * 3,12 = 20,70744
Uma forma de realizar essa conta é separando um dos números em unidades, dezenas e 
centenas. Escolhendo o número 3,12 para decompor, temos que:
6,637 * 3,12 = 6,637 * (3 + 0,1+ 0,02) =
 =6,637 * 3 + 6,637 * 0,1 + 6,637 * 0,02 =
 = 6,637 * 3 + 6,637 * 0,1+ 6,637 * 0,02 =
 = 19,911 + 0,6637 + 0,13274 = 20,70744
10
1 0,1=
100
1 0,01=
Matemática Básica e Financeira
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Outra forma de realizar a mesma conta é a seguinte. (Observe que a maneira apresentada 
aqui é apenas mais rápida, mas chega no mesmo resultado.)
13274
 6,637
x 3,12
20,70744
 6637+
19911++
Efetuamos a multiplicação como se não houvesse vírgulas. Ao final do processo, somamos 
cada parcela referente às multiplicações por dois, um e três e acrescentamos a vírgula.
2) 149 * 1,3 * 3 = 581,1
Quando multiplicamos mais de dois números, fazemos cada multiplicação em separado. 
Dessa forma, faremos:
a) 149 * 1,3 = resultado parcial
b) resultado parcial * 3 = produto
Efetuando cada conta, temos:
 149 +
447
 149
x 1,3
193,7
Assim, o resultado parcial é 193,7. Por fim efetuamos a segunda multiplicação:
581,1
193,7
x 3
1.4. Divisão 
Na divisão, o número que está sendo dividido é chamado dividendo e o número que divide é 
o divisor. O resultado da divisão é denominado quociente. Assim temos:
dividendo ÷ divisor = quociente
Por exemplo, 6 ÷ 2 = 3. Nesse caso 6 é o dividendo, 2 o divisor e 3 o quociente.
Embora a divisão seja um processo para conseguir grupos iguais, nem todos os números são 
divididos uniformemente. Damos o nome de resto ao número que sobra depois de dividir 
um número não divisível exatamente. Por exemplo, suponha que queremos dividir uma pizza 
com 12 fatias entre 5 pessoas. Quantas fatias inteiras cada pessoa recebe? Note que essa 
Curso Técnico EaD SENAR
20
operação corresponde a 12 ÷ 5. Para resolvermos essa divisão, buscamos na tabuada de 5 o 
valor que mais se aproxima de 12, no caso o número 2 (pois 5 * 2 = 10). E a diferença entre 
esses dois números é 12 - 10 = 2. Como 2 é um número menor que 5, não podemos dividi-lo 
mais sem obtermos um número com vírgula. Então, como queremos apenas fatias inteiras da 
pizza, concluímos que cada uma das 5 pessoas receberá 2 fatias e restarão 2 fatias.
• O dividendo pode ser o número 0, resultando em 0 como quociente.
• O divisor nunca poderá ser o número 0, isto é, não podemos dividir 
nenhum número por 0.
• Caso o divisor seja o número 1, o resultado será o dividendo.
• A ordem em que a operação é feita é importante, pois, se trocarmos o 
dividendo pelo divisor, obteremos outro resultado.
• A divisão pode ser denotada pelo símbolo ÷, pela barra (/) e também 
por dois-pontos (:).
Para entender melhor esses casos, observe os exemplos. Novamente, é preciso lembrar as 
tabuadas para efetuarmos divisões.
Exemplos:
1) 10 ÷ 5 = 2, ou podemos escrever , ou ainda 10 : 2 = 5.
2) Observe que 10 ÷ 5 = 2, mas 5 ÷ 10 = 0,5.
3) 0 ÷ 5 = 0
4) Não existe a operação 5 ÷ 0 ou qualquer outro número dividido por 0.
5) 31 ÷ 1 = 31
Agora, vamos resolver algumas divisões cujos resultados serão números comvírgulas e 
algumas divisões entre números com vírgulas:
6) 225 ÷ 50
5
10 = 2
Matemática Básica e Financeira
21
Se multiplicarmos 4 por 50, obteremos 200 e, assim, a divisão terá resto 25. Não existe 
um número natural que multiplicado por 50 resulte em 25, então qualquer valor que 
acrescentarmos ao quociente será menor do que 1. Portanto, para prosseguirmos, 
teremos de acrescentar uma vírgula ao quociente e um zero ao resto. Procuramos 
agora um número que multiplicado por 50 resulte em 250. Esse número é o 5. Portanto, 
225 ÷ 50 = 4,5.
225
200
25
_-
__ 50
4 ___
225
200_-
__ 50
4,5
250
250
0
_
É interessante observar que se um “0” é acrescido, o resultado da divisão irá para a casa 
do décimo. Agora, se é necessário acrescentar outro “0”, o resultado irá para a casa do 
centésimo, e assim por diante.
7) 30 ÷ 2,5
Para realizar essa divisão, vamos escrever o número 30 na forma 30,0. Agora que tanto 
o dividendo quanto o divisor têm um número após a vírgula, podemos desconsiderar as 
vírgulas e realizar a divisão entre 300 e 25, obtendo como resultado o quociente 12, como 
mostra a figura a seguir.
30
-
__ 2,5__ _
300
25_-
__ 25
12
50
50
0
_
30,0 __ 2,5
300 __ 25
__ _
___
_
-
Curso Técnico EaD SENAR
22
8) 31,775 ÷ 15,5
Nesse caso, precisamos acrescentar dois zeros ao divisor para que ambos tenham três 
algarismos após a vírgula. Feito isso, nós desconsideramos as vírgulas e realizamos a 
divisão de 31775 por 15500, obtendo como quociente o número 2,05. É importante ter 
em mente que 10 ÷ 50 é a mesma coisa que 100 ÷ 500. Desse modo, podemos multiplicar 
quantas vezes desejarmos o divisor e o dividendo sem interferir na conta. Ora, se queremos 
operar “sem vírgulas”, vamos multiplicar quantas vezes forem necessárias para as vírgulas 
“sumirem”. Como temos até três casas após a vírgula, precisaremos multiplicar ambos os 
números por mil. Veja a seguir o passo a passo dessa divisão:
31,775
-
__ 15,5__ _ _-
7750
0_31,775
__15,500
31775 __15500
__ _
___
_
-
31775
31000
__15500
2,05
77500
77500
0
_-
2. Soma algébrica, regra de sinais e expressões numéricas 
Agora que você relembrou como realizar as operações de soma, subtração, multiplicação e 
divisão para números reais, incluindo números decimais (com vírgulas), vamos estudar as 
somas com números que possuem sinais diferentes. Você verá também as regras de sinais e, 
por fim, juntaremos esses conceitos em expressões numéricas.
2.1 Soma algébrica
Considere a seguinte situação comum em nosso dia a dia. Digamos que você tem um crédito 
na vendinha da esquina. Quanto mais comprar, menor ficará o crédito e, se esgotar o crédito 
e ainda continuar comprando, terá uma dívida ao invés de um crédito, certo? Se mesmo em 
débito continuar comprando, a dívida só irá aumentar. Por outro lado, se começar a pagar 
essa dívida, ela irá diminuir até um ponto em que voltará a ter crédito. 
Matemática Básica e Financeira
23
Por exemplo, se você tem 
crédito de R$ 100,00 e realiza 
uma compra de R$ 75,00, 
então seu saldo passará a 
ser 100 – 75 = 25. Agora, se 
efetuar mais uma compra de 
R$ 50,00, seu saldo passará a 
ser 25 – 50 = –25. Caso faça 
outra compra de R$ 25,00, o 
saldo ficará –25 – 25 = –50. 
Agora, supondo que você 
efetue um pagamento de R$ 
30,00, terá um saldo de –50 + 
30 = –20. E, por fim, fazendo 
um pagamento de R$ 40,00, 
passará a ter um saldo de 
–20 + 40 = 20.
Nome: José da Silva
Crédito
Compra
Saldo
100,00
75,00
25,00
_
_
Compra
Saldo
50,00
25,00
_
Compra
Saldo
25,00
50,00
_
Crédito
Saldo
30,00
20,00
_
Crédito
Saldo
40,00
20,00
_
-
-
-
Esse caso prático ilustra as operações de soma de números com sinais diferentes, em que 
devemos proceder da seguinte forma:
• Sinais iguais � somamos os valores e repetimos o sinal.
• Sinais diferentes – subtraímos os números e damos o sinal do maior número.
Exemplos:
1) 2 + 6 = 8
2) 19 + 3 = 22
3) - 3 - 15 = -18
4) -8 - 9 = -17
5) 15 - 3 = 12
6) -25 + 10 = -15
Curso Técnico EaD SENAR
24
2.2. Regra de sinais
Considere o seguinte exemplo: possuo duas dívidas de R$ 1.000, logo posso representar o 
valor total da dívida por 2 * (-1.000). Assim, ao final terei uma dívida de R$ 2.000, ou seja, 
–R$ 2.000. Analogamente, se temos um crédito de R$ 5.000 e ele triplica, representamos como 
3 * 5.000, logo nosso crédito passa a ser de R$ 15.000.
Quando queremos multiplicar ou dividir números com sinais diferentes, devemos aplicar a 
seguinte regra de sinais:
• Sinais iguais � resultado positivo.
• Sinais diferentes � resultado negativo. 
Isto é:
(+) * (+) = + ou (+) ÷ (+) = +
(-) * (-) = + ou (-) ÷ (-) = +
(+) * (-) = - ou (-) ÷ (+) = -
(-) * (+) = - ou (-) ÷ (+) = -
Se um número não possuir sinal, significa que é positivo. Por exemplo, 
3 = + 3.
Exemplos:
1) 3 * 5 = 15
2) (- 3) * (- 5) = 15
3) 3 * (- 5) = - 15
4) (- 3) * 5 = - 15
5) 6 ÷ (- 2) = -3 
6) (- 6) ÷ 2 = - 3 
7) (- 6) ÷ (- 2) = 3 
Matemática Básica e Financeira
25
 
d
Comentário do Autor
Note que, nas multiplicações - 2 * 2 = - 4, - 2 * 1 = - 2 e - 2 * 0 = 0, quando 
multiplicamos um número negativo por outro número, conforme diminuímos 
a segunda parcela, o resultado aumenta ao invés de diminuir. Logo, se 
continuarmos diminuindo as parcelas, teremos: - 2 * - 1 = 2 e - 2 * - 2 = 4.
2.3. Expressões numéricas
Juntamos agora as somas algébricas com as regras de sinais e, ainda, operações de multiplicação 
e divisão. Para organizar melhor, usamos parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }.
Para resolver expressões numéricas, você deve realizar primeiro as 
operações de multiplicação e divisão e depois somas e subtrações. 
Quando aparecerem parênteses, colchetes ou chaves, efetue as operações 
primeiro dos parênteses, depois dos colchetes e por último das chaves. 
Fique atento às regras de sinais também!
Exemplos:
1) 2 + [2 – 5 * (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 * 5 – 1] =
2 + [2 – 25 - 1] = 2 + [- 24] = 2 - 24 = - 22 
2) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 2 + {3 – [ 1 + 1 ] + 8}
 = 2 + {3 – 2 + 8 } = 2 + 9 = 11 
3) {2 – [3 * 4 ÷ 2 – 2 (3 – 1)]} + 1 = {2 – [12 ÷ 2 � 2 * 2]} + 1 
= {2 � [6 – 4]} + 1 = {2 - 2} + 1 = 0 + 1 = 1
3. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) e máximo divisor comum (m.d.c.)
Os cálculos que envolvem mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum são relaciona-
dos com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por múltiplo o produto 
gerado pela multiplicação entre dois números. Assim, podemos dizer que 30 é múltiplo de 5, 
pois 5 * 6 = 30, isto é, existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30, que é 
o número 6. Indicamos os múltiplos pelo símbolo M( ). Veja mais alguns números e seus múl-
tiplos a seguir.
Curso Técnico EaD SENAR
26
Exemplos: 
 M(3) = 0,3,6,9,12,15,18,21,…
 M(4) = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,…
 M(8) = 0,8,16,24,32,40,48,56,…
Observe que os múltiplos de um número formam um conjunto de infinitos elementos.
 
• Todo número inteiro múltiplo de 2 é chamado de par. Exemplos: 
6 = 2 * 3 e 30 = 2 * 15.
• Todo número inteiro que não é múltiplo de 2 é denominado 
ímpar. Exemplos: 15 = 3 * 5 e 21 = 3 * 7.
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a 
zero. Indicamos os divisores de um número pela notação D( ). Observe alguns números e seus 
divisores. 
Exemplos:
1) D(3) = 1,3
2) D(9) = 1,3,9
3) D(10) = 1,2,5,10
4) D(11) = 1,11
5) D(20) = 1,2,4,5,10,20
6) D(25) = 1,5,25
`
Atenção
Números que são divisíveis apenas pelo número 1 e por eles próprios são 
chamados de números primos. No exemplo anterior podemos verificar que 3 e 
11 são números primos.
Matemática Básica e Financeira
27
3.1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O m.m.c. entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos 
múltiplos dos números. Denotamos o mínimo múltiplo comum pela notação m.m.c. ( , ).
Exemplo:
1) Vamos encontrar m.m.c.(4,8). Para isso precisamos encontrar os múltiplos de4 e os 
múltiplos de 8 e o menor número que aparece em ambas as listas, ou seja:
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,…
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…
Portanto, m.m.c.(4,8)=8.
Podemos calcular de outra forma. Para isso decompomos os números simultaneamente 
por números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... Vamos refazer o exemplo anterior desta forma:
4 - 8 | 2
2 - 4 | 2
1 - 2 | 2
 1 - 1 | /
Logo:
m.m.c. (4,8) = 2 * 2 * 2 = 8
2) Calcule o m.m.c. (12, 16, 45)
12 - 16 - 45 | 2
 6 - 8 - 45 | 2
 3 - 4 - 45 | 2
 3 - 2 - 45 | 2
 3 - 1 - 45 | 3
 1 - 1 - 15 | 3 
 1 - 1 - 5 | 5 
 1 - 1 - 1 | / 
Dessa forma:
m.m.c. (12, 16, 45) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 720
O m.m.c. é útil para resolver problemas práticos. Acompanhe!
Exemplos:
1) Três tratores numa colheita percorrem um mesmo trajeto saindo todos ao mesmo tempo, 
do mesmo ponto e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 minutos, o 
segundo em 36 minutos e o terceiro em 30 minutos. Gostaríamos de saber em quanto 
tempo os tratores voltam a se encontrar.
Curso Técnico EaD SENAR
28
Para resolver essa questão, precisamos calcular o m.m.c. entre os tempos dos tratores, 
pois esse será o menor múltiplo do tempo entre eles, ou seja, o momento em que se 
encontrarão novamente. Vamos calcular o m.m.c.:
30 - 36 - 40 | 2
15 - 18 - 20 | 2
 15 - 9 - 10 | 2
 15 - 9 - 5 | 3
 5 - 3 - 5 | 3
 5 - 1 - 5 | 5
 1 - 1 - 1 | /
Logo:
m.m.c. (30, 36, 40) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 360 minutos = 6 horas
Portanto o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida é 
após 6 horas do início da colheita.
2) Um médico veterinário, ao prescrever uma receita para um bovino, determina que três 
medicamentos sejam ingeridos pelo animal de acordo com a seguinte escala de horários: 
remédio A, de 2 em 2 horas; remédio B, de 3 em 3 horas; e remédio C, de 6 em 6 horas. 
Caso o paciente utilize os três remédios às 8 h da manhã, então o próximo horário em que 
ele tomará os três medicamentos simultaneamente de novo será o valor do m.m.c. (2, 3, 6) 
+ 8 h.
Calculando o m.m.c., temos:
2 - 3 - 6 | 2
1 - 3 - 3 | 3
1 - 1 - 1 | /
Assim, o m.m.c. (2, 3, 6) = 6. Portanto o bovino deverá tomar os três remédios novamente 
às 14 h.
Para entender melhor, veja a representação do m.m.c. no esquema a seguir.
Medicamento 1
Medicamento 2
Medicamento 3
Matemática Básica e Financeira
29
3.2. Máximo divisor comum (m.d.c.)
O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum 
pertencente aos divisores dos números, representado por m.d.c.( ,).
Exemplo:
Vamos calcular o m.d.c. (20, 30). Precisamos primeiro encontrar os divisores de 20 e 30 e 
depois o maior valor comum aos dois, isto é:
D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
 D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Logo, podemos ver que o m.d.c. (20, 30) = 10.
Também podemos encontrar o m.d.c. utilizando um método por decomposição simultânea 
em fatores primos, ficando:
20 - 30 | 2
10 - 15 | 2
 5 - 15 | 3
 5 - 5 | 5
 1 - 1 |/
Para calcular o mdc multiplicamos apenas os fatores primos que dividiram ambos os 
números, neste caso 2 e 5 (em destaque). Portanto:
m.c.d. (20, 30) = 2 * 5 = 10.
Assim como o m.m.c., o m.d.c. pode ser utilizado em exemplos práticos, confira.
Exemplos:
1) Uma indústria fabrica rolos de arames de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes 
necessários, verificou-se que duas bobinas restantes tinham as seguintes medidas: 156 
metros e 234 metros. Gostaríamos de cortar as sobras em partes iguais com o maior 
comprimento possível.
Para encontrarmos esse valor, precisamos calcular o m.d.c. (156, 234). Utilizando o método 
que você aprendeu, temos:
156 - 234 | 2
 78 - 117 | 2
 39 - 117 | 3
 13 - 39 | 3
 13 - 13 | 13
 1 - 1 | /
Logo, o m.d.c. (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78. Portanto devemos cortar os pedaços de arame 
em tamanhos iguais de 78 metros.
Curso Técnico EaD SENAR
30
2) Uma empresa é composta de três áreas. A área administrativa tem 30 funcionários, a 
operacional 48 funcionários e a de vendas 36 funcionários. Se quisermos formar grupos de 
funcionários com o mesmo número de integrantes, devemos calcular o m.d.c. (30, 36, 48). 
Assim:
30 - 36 - 48 | 2
15 - 18 - 24 | 2
 15 - 9 - 12 | 2
 15 - 9 - 6 | 2
 15 - 9 - 3 | 3
 5 - 3 - 1 | 3
 5 - 1 - 1 | 5
 1 - 1 - 1 | /
Portanto o m.d.c. (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6. Assim as equipes devem conter 6 funcionários cada.
Atividade 2: Operações fundamentais
Calcule:
a) 2 + 3 � 1
b) – 2 – 5 + 8
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5
d) 2 * (- 3)
e) (- 2) * (- 5)
f) (- 10) * (- 1)
g) (- 1) * (- 1) * (- 2)
h) 4 : - 2
i) - 8 : 4
Matemática Básica e Financeira
31
j) - 20 / - 10
k) [( 4) * ( 1)] 2
l) [( - 1 + 3 - 5) * (2 - 7)]: -1
m) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1
n) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 (- 5)}
o) 0,5 * (0,4 : 0,2)
p) (4 : 16 ) * 0,5
q) m.m.c. (36, 60), m.m.c. (18, 20, 30)
r) m.d.c. (18, 36), m.d.c. (20, 60)
Tópico 3: Frações 
Uma fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números 
inteiros, ou seja, uma fração é uma divisão. O dividendo é chamado numerador, e o divisor 
recebe o nome de denominador.
fração
numerador
denominador
=
Veja como representar frações em desenhos por meio de pedaços de pizza ou lotes de um 
terreno:
Curso Técnico EaD SENAR
32
1
2
__
4
6
(quatro sextos)__
1
4
__ 1
8
__
5
12
(cinco doze avos)___
18
24
(dezoito vinte e quatro avos)___
22
48
(vinte e dois quarenta e oito avos)___
1. Multiplicação de frações
O conceito de multiplicação é muito usado para calcular percentuais: multiplicar um valor por 
 é o mesmo que multiplicar por 0,5 ou calcular 50% desse valor. 
Para efetuar a multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores entre si e os 
denominadores. Obtemos, assim, uma nova fração.
Exemplos:
1) 
2) 
Note que, nas duas últimas parcelas do exemplo 2, fizemos simplificações, isto é, dividimos 
ambas as parcelas por um número em comum, 2 e 3 respectivamente.
1
2
1 1
2 2
3 33
7 7 14
= =* **
15
2
4 30
9 9
60
18
= = 10
3
=*
Matemática Básica e Financeira
33
2. Soma e subtração de frações
Para somar ou subtrair duas frações, precisamos ficar atentos aos seus denominadores:
• Frações com denominadores iguais – repetimos o denominador e somamos/subtraímos 
o numerador. Por exemplo, imagine que um terreno é dividido em quatro lotes iguais e 
efetuamos duas compras de lotes: primeiro compramos e depois . A soma dessas 
frações nos fornece quantos lotes do terreno possuímos, isto é, do terreno. Veja a 
ilustração seguinte, que exemplifica essa operação
+
1
4
__
=
2
4
__ 3
4
1
4
2
4
__ = __ + __
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
• Frações com denominadores diferentes � quando os denominadores são diferentes, 
precisamos transformar essas frações em frações de mesmo denominador. Isso quer 
dizer que precisamos de frações equivalentes às que tínhamos, mas com o mesmo 
denominador. O mesmo processo deve ser realizado nas subtrações.
Observe, por meio da ilustração a seguir, como procedemos na soma das frações 
1
4
2
43
4
3 3
5 5
6 96
5 5
= =+ +
15 15
7 7
18 3518 2
7 7
7
7= = = = =+
2
7+
+ 5 5 5 = 517
7* * *+
- 1 1
4
3
4
-2
4
-1
2
-1
2
2
2= = = = =
-1
2=-
1 - 3
4 12 2*
2* * *
1
5
2
3
e
Curso Técnico EaD SENAR
34
1
5
__
3
15
10
15
13
15
___ + ___ = ___
2
3
__
1
5
2
3
__ + __
1
5
3
15
__ = ___ 2
3
10
15
__ = ___
1
5
2
3
13
15
___ + ___ = ___
A técnica usada para transformar essas frações em frações de mesmo 
denominador se resume a encontrar o m.m.c. entre os denominadores, 
depois dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador de cada fração e 
multiplicar pelo seu numerador, respectivamente, para cada fração. Por 
fim, é feita a soma ou subtração entre os novos numeradores.
Exemplos: 
1) 
Primeiro devemos calcular o m.m.c.(2, 3) = 6. Em seguida, para encontrar as novas frações, 
dividimos o m.m.c. pelo denominador e multiplicamos pelo numerador de cada fração. Veja 
como fazer:
1
2
1
3
+
Matemática Básica e Financeira
35
1
2
1
3
1 1
2+
1
3
13 3
33
2
2+
1
3
3
6
2
6
5
6+ + +* *1* * **
= 1
2 2
1 2
3
*
*2
= = 3 + 2
6
= ==
2) 
Nesse exemplo, vamos aplicar a técnica diretamente, de forma mais prática.
1
2
5
6
2
3+ -
Assim como fizemos no exemplo anterior, primeiro calculamos o 
m.m.c. (2, 6, 3) = 6.
1 3 1
6
5 2 2+* * *-
Agora devemos reescrever as frações. Como 6 é o novo denominador, 
dividimos 6 pelos denominadores antigos e multiplicamos o resultado 
pelo numerador. Nesse caso, 6 ÷ 2 = 3, então fazemos 
1 * 3. Em seguida, calculamos 6 ÷ 6 = 1 e então escrevemos 5 * 1. Por 
fim, realizamos 6 ÷ 3 = 2, logo o último numerador fica 2 * 2.
3 + 5 - 4
6 6
4= 3
2= Observe que 6 = 2 * 3 e que 4 = 2 * 2. Dessa forma, 
1 5
2 6
+
3
2-
3
2=
3. Divisão de frações
Quando dividimos duas frações, operamos da seguinte forma:
1
3
5
7
9
3
5
7
9
* *
*
*
=
3
5
7
9
9
7
9
7
9
7
9
7
=
27
35
63
63
=
27
35 27
351
1
= =
3
5
7
9
=
Note que
 
e que, 
 
porque, pela regra de multiplicação, teremos 7
9
9
7 1=* 
e deixaremos de trabalhar com a divisão de frações para trabalhar com o produto, com o qual 
já sabemos como proceder.
Uma maneira mais prática de efetuarmos divisão de frações é “repetindo a fração de cima 
e multiplicado pelo inverso da fração de baixo (invertendo numerador por denominador e 
vice-versa)”.
3
5
7
9
*
*
= 97
27
35==
3
5*
9
7
3
5
1
2
5
6
2
3+ -
6
4
3
2=
3/5
7/9
3/5
7/9 1*= 1=
9/7
9/7
Curso Técnico EaD SENAR
36
Exemplos:
1) 
2) 
Atividade 3: Frações
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
1
2
1/2
5/3
3
5
3
10
1 3
2
== =* * 5*
3
7
3/7
2/5
5
2
15
14
3 5
7
== =* * 2*
1
10
1
5
+
4
3
2
3
-
1
3
1
2
- 1
6
+
2
5
1
3 *
1
3
3
7
+ 2
5
+
1
6 *-
2
5
-
1/3
1/2
2
3 :
1
5
-
Matemática Básica e Financeira
37
i) 
j) 
k) 
Tópico 4: Proporcionalidade
Suponha que você precisa comprar determinado produto químico para o controle de uma 
praga. Tal produto apresenta uma recomendação de dose na proporção de dois litros para 
um hectare de lavoura. Considerando que a propriedade possui quatro hectares plantados, 
como encontramos a quantidade ideal a ser aplicada? 
O conceito matemático que nos auxilia na resolução desse problema é chamado de regra 
de três. Para compreender essa regra, primeiro devemos entender os conceitos de razão e 
proporção e o que significam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
1. Razão
Dados dois números quaisquer, por exemplo, 2 e 3, a razão entre esses números é represen-
tada por: 
2 ou 2/3 ou 2:3
3
De forma genérica, se os números são a e b, denominamos razão entre a e b o quociente a/b. 
É importante lembrar que b nunca poderá ser o número 0. Veja alguns exemplos práticos que 
envolvem razões.
Exemplos: 
1) Suponha que em determinado ano as vendas de frutas de uma fazenda tenham sido de 300 
mil reais e que as vendas do ano seguinte sejam de 450 mil reais. Poderíamos comparar 
esses dois valores dizendo que sua diferença é de 150 mil reais. Porém, a diferença dos 
valores não nos fornece uma ideia do crescimento de vendas entre os dois anos. Para 
avaliarmos esse crescimento, calculamos a razão entre as vendas, isto é:
1,5
450
300 =
Concluímos, assim, que as vendas de frutas do segundo ano são uma vez e meia maiores 
que a do primeiro ano, o que representa um aumento de receitas de 50%.
1
4: *
2
3
1
2
1
2+ :
2
4
1
3
1 + 1/3
3
Curso Técnico EaD SENAR
38
2) Ao compararmos mapas de propriedades, representamos as distâncias em escala menor 
que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:
escala
medida no mapa
medida real=
Por exemplo, a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 m foi 
representado por um segmento de 3 cm é:
3 cm
6.000 cm
1
1 ∶ 2.000
2.000
= =
 
Então nossa escala está na razão de 1 cm para 2.000 cm, ou seja, 1 cm no mapa significa 
2.000 cm no terreno.
3) Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso:
velocidade média
distância percorrida
tempo total de percurso=
A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo é de, aproximadamente, 400 
km. Um carro levou cinco horas para percorrer esse trajeto. Dessa forma:
400 km
5 h
80 km/h=velocidade média =
2. Proporção
Para compreender melhor o conceito de proporção, vamos nos aprofundar no exemplo 
anterior, da venda de frutas. Você viu que no primeiro ano as vendas de frutas da fazenda 
somaram 300 mil reais e no segundo ano, 450 mil reais. Suponha que as vendas no terceiro 
ano sejam de 600 mil reais e as do quarto ano, 900 mil reais. Dessa forma a razão das vendas 
do quarto ano para as vendas do terceiro ano pode ser calculada pelo quociente: 
1,5
900
600 =
Observe que:
1,5
450
300
900
600= =
Logo, a razão entre as vendas do primeiro e do segundo ano são proporcionais à razão das 
vendas entre o terceiro e o quarto ano.
Matemática Básica e Financeira
39
Conforme vimos, dadas duas razões (b e d não podem ser o número zero), a proporção 
entre elas é a igualdade .
Lemos essa expressão da seguinte forma: “a está para b assim como c está para d”. Toda 
proporção satisfaz a seguinte propriedade:
a
b
c
d
⟹ a d = b c= * *
 
Resumidamente, em toda proporção os produtos cruzados são iguais.
Exemplos:
1) Em virtude da demanda crescente de economia de água, há equipamentos e utensílios, 
como as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez 
dos 15 litros usados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação 
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por 
meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por 
dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí:
⟹ 15 x = 60 6 ⟹ x = = 2415
60
6
x
360
15
= * *
 
O resultado mostra que a bacia ecológica gasta 34 litros, enquanto a não ecológica gasta 
60 litros. Assim a economia será de: 
60 - 24 = 36 litros
3. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Definimos como grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, por exemplo, o tempo, 
a velocidade, o comprimento, o preço, a idade, a temperatura, entre outros. As grandezas são 
classificadas em diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
3.1. Grandezas diretamente proporcionais
São aquelas grandezas em que a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma 
razão. Se uma dobra, a outra dobra. Se uma triplica, a outra triplica. Se uma é dividida em 
duas partes iguais, a outra também é dividida à metade.
Exemplos:
1) Se três rastelos custam R$ 80,00, o preço de seis rastelos será R$ 160,00. Observe que, se 
dobramos o número de rastelos, também dobramos o valor final deles.
a
b
c
d
e
a
b
c
d
=
Curso Técnico EaD SENAR
40
2) Para percorrer 30 km, um trator gastou 30 litros de diesel. Nas mesmas condições, o trator 
percorrerá 60 km com 60 litros de diesel. E com 120 litros percorrerá 120 km.
A distância percorrida e o consumo de combustível são diretamente proporcionais: se uma aumenta, a outra também aumenta.
Fonte: Shutterstock
3.2. Grandezas inversamente proporcionais
Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas 
grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas, temos de dividir a outra por dois. 
Se triplicamos uma delas, devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. 
Exemplos:
1) Para encher um bebedouro de bovinos, são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada 
uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, será preciso 60 vasilhas para encher o 
mesmo bebedouro. Observe que as grandezas“quantidades de vasilhas” e “capacidade 
das vasilhas” são inversamente proporcionais, pois, ao diminuirmos a capacidade de cada 
vasilha, precisamos de um número maior de vasilhas para encher o mesmo bebedouro.
2) O agricultor Pedro deseja realizar em sua fazenda uma festa junina em comemoração 
à boa colheita que teve. Para isso irá comprar 30 latas de refrigerante com capacidade 
de 200 mL cada uma. Caso ele compre latas de 600 mL, deverá comprar dez latas para 
ter a mesma quantidade de refrigerante. Note que as grandezas “quantidade de latas” e 
“capacidade de cada lata em mL” são inversamente proporcionais, pois, ao comprar latas 
com maior capacidade, Pedro precisou de um número menor de latas para obter a mesma 
quantidade de antes.
Grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, o que fazemos com frequência, 
às vezes sem perceber. Nos casos que envolvem proporcionalidade direta e inversa, é de 
extrema importância conhecer a regra de três para a obtenção dos resultados.
Matemática Básica e Financeira
41
4. Regra de três (simples)
Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que envolvem grandezas propor-
cionais.
Exemplos:
1) Uma colheitadeira se desloca com velocidade constante, percorrendo 4 km em 1 hora. 
Qual o tempo gasto para percorrer 10 km?
As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, pois, quanto maior a distância, 
maior o tempo necessário. Teremos então uma regra de três simples e direta. Dispomos 
os dados do problema colocando frente à frente aqueles que se correspondem. Marcamos 
x no local do valor procurado, da seguinte forma:
distância
4 km
10 km
1 h
x h
tempo
As setas para baixo nos auxiliam a perceber que ambas as grandezas são proporcionais. 
Sendo a regra de três simples e direta, as grandezas são dispostas na mesma ordem de 
correspondência, desta forma:
⟹ 4 x = 10 1 ⟹ x = ⟹ x = 2,54
10
10
4
1
x
= * *
Portanto o tempo gasto para percorrer 10 km é de 2,5 horas.
2) Dois trabalhadores juntos conseguem capinar certo terreno em 6 horas de trabalho. Se, em 
vez de dois, fossem três trabalhadores, em quantas horas o terreno poderia ser capinado?
Nesse caso, as grandezas são inversamente proporcionais, pois, quanto mais trabalhadores 
tivermos, menos horas serão necessárias para terminar o serviço. Assim, teremos uma 
regra de três simples e inversa. Dispondo os dados do problema com as setas para nos 
ajudar, temos:
horas
6 h
x h
2 trabalhadores
3 trabalhadores
trabalhador
 
Como as grandezas são inversas, invertemos um dos lados para montar a nossa equação, 
Curso Técnico EaD SENAR
42
ficando assim:
⟹ 3 x =2 6 ⟹ x = = 4 ⟹ x = 4
x
6
12
3
2
3
= *
Portanto seriam necessárias 4 horas de 3 trabalhadores para capinar o mesmo terreno.
d
Comentário do autor
Como estão seus estudos até aqui? Lembre-se de que você pode assistir às 
videoaulas e acessar o AVA para se aprofundar. Além disso, conte sempre com 
apoio da Tutoria a distância! Resolva todas as suas dúvidas, pois assim você fica 
mais seguro para estudar os tópicos seguintes.
5. Porcentagem
A porcentagem tem inúmeras aplicações no dia a dia. No mercado financeiro, por exemplo, 
é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e 
deflacionários, descontos, aumentos e taxas de juros. 
Os números percentuais possuem representações na forma de fração com denominador 
igual a 100 e, quando escritos de maneira formal, devem aparecer na presença do símbolo 
de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Veja três 
representações de porcentagem de um mesmo valor:
1%
1
100
____ 0,01
O símbolo “%” é lido como “por cento” e significa centésimos. Por isso, “5%” lemos “5 por cento”.
Para calcularmos uma porcentagem, é importante lembrarmos o produto de frações, pois 
procedemos da seguinte forma:
x % de y = y
x
100 *
Exemplos:
1) 
2) 
Para transformar frações em porcentagem, realizamos a divisão, depois multiplicamos por 
100 e colocamos o símbolo de porcentagem à sua direita.
5% de um terreno de 80 m2 = 80 = 0,05 80 = 4 m²
5
100 **
4% de 32 litros de leite = 32 = 0,04 32 = 1,28% litro de leite
4
100 **
Matemática Básica e Financeira
43
Exemplos:
1) Se um produtor rural perder da safra de determinado período, podemos dizer que ele 
perdeu 20% da safra, pois:
= 0,2 ⟹ 0,2 100 = 20%
3
15
*
Desse modo, para transformarmos em porcentagem, fazemos a divisão, depois multiplica-
mos por 100 e colocamos o símbolo “%”.
2) Procedendo da mesma maneira que no exemplo anterior, 
18
45 em fração equivale a 40%, 
pois:
18
*= 0,4 ⟹ 0,4 100 = 40%45
Atividade 4: Proporcionalidade
a) Uma bomba eleva 272 litros de água de um poço em 16 minutos. Quantos litros elevará 
em 1 hora e 20 minutos?
b) Doze operários levaram 25 dias para executar determinada obra num celeiro. Quantos 
dias levarão dez operários para executar a mesma obra?
c) Num armazém existem 200 pilhas de caixas com 30 caixas em cada pilha. Se houvesse 25 
caixas em cada pilha, quantas pilhas teríamos no armazém?
d) Metade de uma obra em um silo foi feita por dez operários em 13 dias. Quantos tempo 
levaria para terminar essa obra com três operários a mais?
e) Converta as frações a seguir para porcentagem: 
f) Calcule as porcentagens a seguir: 15% de 180, 18% de 150, 35% de 126, 100% de 715, 115% 
de 60 e 200% de 48.
3
15
3
15
3 , , ,
4
8
50
45
18
14
42
Curso Técnico EaD SENAR
44
Tópico 5: Potências 
A operação realizada na potenciação é uma multiplicação por um mesmo número repetidas 
vezes e é representada da seguinte forma: 
Um número base a (que será multiplicado) elevado a um expoente n 
(quantidade de vezes que ele será multiplicado):
 a
n 
= “multiplicar a * a por n repetidas vezes”
Exemplos:
1) 23 = 2 * 2 * 2 = 8
2) (-1)2 = (-1) * (-1) = 1
3) 
d
Comentário do autor
Este conceito será muito útil no próximo tema, sobre matemática financeira, 
pois as fórmulas que veremos utilizam potências. Por isso, fique atento às 
propriedades a seguir e à forma como realizamos as operações fundamentais 
para potências.
1. Regras de potencialização
Devemos ficar atentos às seguintes propriedades das potências:
a) Quando o número não possuir expoente, sua potência será 1, isto é, a = a1.
b) Se o expoente for o número 1, o resultado será a própria base: a1 = a.
• 31 = 3 
• 171 = 17
c) Toda potência de 1 é igual a 1 : 1n = 1.
• 17 = 1
• 199 = 1
1
2
21
2
1
2
1
4
1 1
2 2 === *
*
*
Matemática Básica e Financeira
45
d) Toda potência de 0 é 0: 0n = 0.
e) Qualquer número, exceto 0, elevado a 0 é igual a 1 : a0 = 1.
• 190 = 1
• 00 não faz sentido, ou seja, não podemos fazer essa conta.
f) Se o expoente for negativo, exceto 0, devemos fazer o inverso do número, isto é: 
• 
• 
g) Em potência de frações, devemos elevar o numerador e o denominador ao mesmo 
expoente:
 
• 
• 
h) Potência de base dez – efetuamos as potências de 10 escrevendo à direita do número 1 
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
• 103 = 1.000
• 102 = 100 
i) Expoentes pares – uma potência com expoente par será sempre um número positivo.
• (-3)2 = (-3) * (-3) = 9
• 54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625
j) Expoentes ímpares – uma potência com expoente ímpar terá o sinal do número base.
• (-3)3 = -27
• (-2)5 = -32
a-n 1
an
=
2-1 1
2
=
3-2 1
32
= 1
9
=
an
bn
na
b
=
13
33
31
3
= = 1
27
(- 1)5
25
51
2
= =- 1
32
-
Curso Técnico EaD SENAR
46
2. Multiplicação de potências
Ao multiplicar potências, devemos ficar atentos às bases destas. Temos dois casos: potências 
de mesma base e potências de bases diferentes. Por exemplo: 23 e 24 são potências de mesma 
base, enquanto 32 e 72 são de bases diferentes.
Multiplicação de potências de mesma base
Observe o que acontece quando multiplicamos duas potências de mesma base:
22 * 23 = (2* 2) * (2 * 2 * 2) = 4 * 8 = 32
Note que essa operação éigual a:
22 + 3 = 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
Logo, quando multiplicamos potências de mesma base, mantemos a base e somamos os 
expoentes:
an * am = an + m
Exemplos:
1) 23 * 25 = 23 + 5 = 28
2) 45 * 41 = 45 + 1 = 46
Multiplicação de potências de bases diferentes e mesmo expoente
Veja agora o que acontece quando multiplicamos duas potências de bases diferentes e com os 
expoentes iguais:
22 * 32 = (2 * 2) * (3 * 3) = 4 * 9 =36
Isso é o mesmo que fazer:
(2 * 3)2 = 62 = 6 * 6 = 36
Dessa forma, quando multiplicamos potências com bases diferentes e expoentes iguais, nós 
multiplicamos os números base e conservamos o expoente:
an * bn = (a * b)n
Exemplos:
1) 32 * 52 = (3 * 5)2 = 152
2) 33 * 73 = (3 * 7)3 = 213
Matemática Básica e Financeira
47
3. Divisão de potências
Na divisão de potências, procedemos como na multiplicação, isto é, temos dois casos.
Divisão de potências de mesma base
Considere a seguinte divisão entre potências de mesma base: 
24
22
16
4
42 2 2 2
2 2
= = =* * *
*
Observe que essa operação é equivalente a:
24 - 2 = 22 = 4
Assim, quando dividimos potências de mesma base, devemos manter a base e subtrair os 
expoentes (“o de cima menos o de baixo”):
an
am
an-m=
Exemplos:
1) 
2) 
Divisão de potências de bases diferentes e mesmo expoente
Veja o que acontece quando dividimos potências de base diferentes e mesmo expoente:
22
32
4
9
2 2
3 3
= =*
*
Agora, utilizando produto de frações, observe que:
2
3
22
3
2
3
4
9
2 2
3 3
== =** *
Logo, para dividir potências de bases diferentes e mesmo expoente, dividimos os números da 
base e conservamos o expoente:
na
b
an
bn
=
Exemplos:
1) 
2) 
45
42
45 - 2 = 43=
32
3
32 - 1 = 31 = 3=
27
3
72
32
=
38
3
83
33
=
Curso Técnico EaD SENAR
48
4. Potência de potências
Agora vejamos outra operação entre potências. Observe o exemplo a seguir, em que 
calculamos a potência de uma potência:
(22)3 = (22) * (22) * (22) = 4 * 4 * 4 = 64
Por outro lado, também podemos dizer que:
22*3 = 26 =2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64
Dessa forma, para calcularmos potência de potências, devemos multiplicar os expoentes e 
repetir a base:
(an)m = an * m
Exemplos:
1) (72)4 = 72 * 4 =78
2) (157)2 = 157 * 2 = 1514
'
Dica
Todo número natural pode ser escrito como produto de potências de 
números primos. Esse fato é conhecido como decomposição em fatores 
primos, assim como procedemos para calcular m.m.c. e m.d.c. Ele é muito 
útil para simplificarmos expressões matemáticas.
Exemplos:
1) 4 = 2 * 2 = 22
2) 12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3 = 22 * 3
3) 30 = 2 * 15 = 2 * 3 * 5 
Atividade 5: Potenciação
a) 13
b) 04
c) (-2)3
Matemática Básica e Financeira
49
d) (-4)3
e) 23 * 25
f) 3 * 32 * 34
g) 
h) 
i) (-3)5 * 55
j) 153 : 33
k) (24)2
l) [(52)3]5
m) 
n) 
o) (23 * 53)0
p) 4-2
q) 2 * 3-1
35
34
34 32
35
*
5
3
2
2
32
3
Curso Técnico EaD SENAR
50
Tópico 6: Medidas agrárias
Para encerrarmos este primeiro tema sobre matemática básica, vamos estudar as medidas 
agrárias utilizadas para medir áreas rurais.
Fonte: Shutterstock
As medidas de áreas rurais são diferentes das medidas urbanas: metro, centímetro, decâmetro, 
hectômetro etc., mas elas se relacionam entre si. Por isso, primeiro vamos relembrar as 
medidas de comprimento mais usadas e, em seguida, veremos as medidas agrárias.
1. Unidades de medidas 
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI), o metro (m) é considerado a unidade 
principal de medida de comprimento. Os múltiplos do metro são o quilômetro (km), o 
hectômetro (hm) e o decâmetro (dam) e os submúltiplos são o decímetro (dm), o centímetro 
(cm) e o milímetro (mm). 
Para converter uma unidade em outra, procedemos como no esquema a seguir.
x 10
: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10
x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
Quilômetro
km
Hectômetro
hm
Decâmetro
dam
Metro
m
Decímetro
dm
Centímetro
cm
Milímetro
mm
Matemática Básica e Financeira
51
Da esquerda para a direita – devemos multiplicar pelo número 10 o número de vezes de 
casas que devemos andar.
• 15 km correspondem a 150 hm (andamos apenas uma casa, dessa forma multiplicamos 
por 10) ou equivalem a 15.000 m (3 casas = multiplicar por 10 três vezes, ou seja, por 1.000).
• 1 dm equivale a 100 mm (andamos duas casas e, por isso, multiplicamos por 10 duas 
vezes, isto é, por 100).
Da direita para a esquerda – devemos dividir pelo número 10 o número de casas que 
tivermos de andar.
• 7 cm corresponde a 0,07 m, pois tivemos de andar duas casas para a esquerda e, dessa 
forma, dividimos por 10 duas vezes.
'
Dica
Você pode usar a mesma tabela para conversão de áreas, mas ao invés 
de 10, deve multiplicar ou dividir por 100. Você também pode usar para 
conversão de volumes, mas nesse caso, multiplique ou divida por 1000.
2. Unidades de medidas agrárias
As unidades de medidas agrárias se relacionam com as unidades de medidas de superfície da 
seguinte forma: 
• 1 are (a) = 100 m²
• 1 a * 100 = 1 hectare (ha) = 100 a = 10.000 m²
• = 1 centiare (ca) = 1 centésimo de are = 1 m²
No Brasil, a medida oficial de terras é esse sistema decimal, e o 
hectare é a medida mais usada.
Outra medida de superfície comumente utilizada no Brasil é o alqueire, que tem como 
principais variações regionais:
• 1 alqueire do norte = 27.225 m² = 2,72 ha
• 1 alqueire mineiro = 48.400 m² = 4,84 ha
• 1 alqueire paulista = 24.200 m² = 2,42 ha
• 1 alqueire baiano = 96.800 m² = 9,68 ha
1 a
100
Curso Técnico EaD SENAR
52
Exemplos:
1) Uma propriedade com 11 hectares é equivalente a uma propriedade com 110.000 m², pois: 
1 ha = 10.000 m2 ⇒ 11 ha = 11 * 10.000 m2 = 110.000 m2
2) Um terreno com 2,42 hectares é equivalente a um terreno com 242 a, visto que:
2,42 * 100 = 242 a
3) Um lote de 5,5 alqueires paulistas é equivalente a um lote com 133.100 m², porque: 
 5,5 * 24.200 m2 = 133.100 m²
Encerramento do tema
Ao longo deste tema você estudou e praticou os conceitos fundamentais da matemática básica. 
Aprendeu os diferentes conjuntos de números e como realizar operações entre números com 
vírgulas ou frações. Conheceu proporcionalidade, regras de três e potências. Fechamos o 
tema com as principais unidades de medidas agrárias.
No próximo tema, você estudará a matemática financeira. Para isso, certifique-se de ter 
compreendido bem os conceitos que viu até aqui, pois eles auxiliarão no entendimento das 
fórmulas e na resolução dos cálculos que virão.
02
Matemática 
Financeira
Curso Técnico EaD SENAR
54
Tema 2: Matemática Financeira
A matemática financeira é muito importante dentro de uma empresa, pois ela fornece os 
instrumentos necessários para avaliar os recursos mais viáveis em termos de custo e os 
investimentos que podem ser mais rentáveis a curto ou longo prazo. Em outras palavras, a 
matemática financeira é essencial para que uma organização possa minimizar os custos e 
maximizar os resultados.
Contudo, sua aplicação não se restringe apenas às empresas. A matemática financeira é uma 
importante aliada para cálculos pessoais, como a melhor forma de efetuar o pagamento de 
uma casa, de um carro ou até mesmo de eletrodomésticos e das compras do mês.
Fonte: Shutterstock
Matemática Básica e Financeira
55
De modo geral, há momentos em que precisamos guardar e capitalizar o dinheiro e momentos 
nos quais necessitamos gastar com bens e serviços. Quando nosso objetivo é formar um capital 
em uma data futura, temos um processo de capitalização (que pode ser simples ou composto).
a
Competências
Ao longo deste tema, você estudará diferentes conceitos de modo que 
desenvolva competências para:
• compreender e calcular juros simples e montante, juros exatos e comerciais;
• diferenciar os tipos de descontos simples;
• calcular a taxa média e o prazo médio em operações de desconto;
• realizar cálculos de montantes e taxas equivalentes;
• compreender os tipos de desconto composto.
d
Comentário do Autor
No decorrer deste tema você verá muitos exemplos resolvidos, mas nem todos 
os cálculos estão detalhados.O objetivo é que você compreenda os passos da 
resolução, e por isso algumas etapas apresentam números aproximados. Desse 
modo, mesmo sendo um exemplo resolvido, procure refazer as contas sem 
arredondar os números, pois eles podem mudar o resultado final. Ao término 
você pode considerar aproximações de números com vírgulas, escrevendo o 
sinal igualdade (≈), que deve ser lido como “aproximadamente”.
Antes de prosseguir, considere que a maioria das fórmulas presentes neste tema utiliza 
potências e que, em alguns casos, será preciso calcular raízes. Para isso, você necessitará de 
uma calculadora científica, dos modelos mais simples. Com ela você poderá calcular potências 
e raízes de quaisquer números.
c
Leitura complementar
Para fortalecer seus estudos e lembrar como são é realizado o cálculo de raízes, 
acesse a biblioteca do AVA e confira o conteúdo complementar sobre radiciação. 
Lá, você também encontrará um tutorial de como calcular raízes e potências com 
a calculadora do Windows. 
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Tópico 1: Juros simples
O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma 
relação entre o dinheiro e o tempo.
Juros é o “aluguel” que pagamos pelo tempo em que determinada quan-
tia de dinheiro fica emprestada a nós. Também é o pagamento que rece-
bemos quando emprestamos dinheiro a alguém.
O regime de juros simples, ou capitalização simples, consiste em somar os juros mensais ao 
capital no fim do prazo da operação financeira. Contudo, vale salientar que, atualmente, o 
sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Você verá esse 
assunto no Tópico 3.
1. Conceitos 
Antes de partir para os cálculos e exemplos, veja alguns conceitos importantes do universo 
financeiro:
Juros (j)
Juros é o valor cobrado pelo detentor do dinheiro para cedê-lo a quem 
o necessite. Em outras palavras, é um tipo de aluguel cobrado pela 
pessoa ou instituição que possui o dinheiro da pessoa ou instituição 
que precisa do dinheiro.
Capital (P)
Capital é a importância ou o dinheiro disponível para emprestarmos 
a quem dele necessite (do ponto de vista de um investidor) ou que 
necessitamos (do ponto de vista de quem toma emprestado).
Período (n)
Período é o intervalo de tempo em que o capital estará disponível 
para aplicação ou empréstimo.
Montante (F)
Montante é o valor resultante, ao final do período, da soma do capital 
(ou da aplicação financeira), com os juros recebidos (ou pagos), isto é:
montante = capital + juros
Usando as letras F para montante, P para capital e j para juros, 
podemos escrever a fórmula do montante do seguinte modo:
F = P + j
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Taxa de juros (i)
Taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o capital 
empregado, ou seja:
i
juros
capital
= j
P
=
As taxas de juros podem ser escritas de duas formas:
• Taxa percentual – utilizando a porcentagem, como 12% ao 
ano, ou 12% a.a.
• Taxa unitária – usando uma representação decimal, como 
0,12 ao ano, ou 0,12 a.a.
`
Atenção
lembre-se da forma de transformação que você estudou sobre porcentagem. A 
conversão entre taxa percentual e unitária é feita da seguinte maneira:
• Taxa percentual em taxa unitária – dividimos a taxa por 100 e tiramos o 
símbolo %. Por exemplo: uma taxa percentual de 1,25% equivale a taxa unitária 
de 0,0125, pois:
0,0125
1,25
100
=
• Taxa unitária em taxa percentual – multiplicamos a taxa unitária por 100 e 
colocamos o símbolo %. Por exemplo, uma taxa 1,53 unitária equivale a 153%, 
visto que:
Nas fórmulas, todos os cálculos são efetuados utilizando a taxa unitária 
de juros e tanto o prazo da operação quanto a taxa de juros devem 
estar na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se a taxa for anual, 
o prazo (n) também deve estar em anos, mantendo-se, assim, o mesmo 
parâmetro de tempo. Usaremos sempre o ano comercial com 360 dias e 
o mês comercial com 30 dias.
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Para entender melhor, acompanhe este exemplo: qual a taxa de juros cobrada em um 
empréstimo de insumos agrícolas no valor de R$ 1.000 resgatado por R$ 1.200 ao final de 
um ano?
O enunciado nos fornece os seguintes dados:
• Capital inicial: P = 1.000
• Juros: j = 1.200 – 1.000 = 200
Portanto a taxa de juros ( i ) é dada por:
i = = 0,20 a.a., ou 20% a.a.
200
1.000
2. Cálculo de juros simples e do montante
2.1. Cálculo de juros simples
No critério de juros simples, em cada período os juros são calculados sobre o capital inicial, 
sendo diretamente proporcionais ao valor e ao tempo de aplicação. O valor dos juros simples 
é obtido pela fórmula:
juros simples = (capital) * (taxa de juros) * (período)
Utilizando j para juros, P para capital, i para a taxa juros e n para período, podemos reescrever 
a fórmula anterior assim:
j = P * i * n 
Exemplos:
1) Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo para a compra de um trator 
de R$ 12.500 pelo prazo de 18 meses à taxa de 1,5% ao mês (por abreviação, a.m.).
Vejamos os dados que o problema nos fornece:
• Capital: P = 12.500
• Período: n = 18 meses
• Taxa de juros: i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
• Juros: j = ?
Note que o período e a taxa de juros estão na mesma unidade de tempo, ou seja, em 
meses. Aplicando diretamente a fórmula anterior, calcularemos os juros simples:
j = 12.500 * 18 * 0,015 = 3.375
Portanto, o valor dos juros é R$ 3.375. 
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2) Calcular o valor de um empréstimo para a reforma de um celeiro, à taxa de 36% ao ano e 
pelo prazo de 8 meses, sendo pagos R$ 12.000 de juros.
Dados do problema:
• Taxa de juros: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. 
• Período: n = 8 meses
• Juros: j = 12.000
• Capital: é o valor do empréstimo que desejamos calcular, isto é, P = ?
Antes de aplicarmos a fórmula e encontrarmos P, precisamos fazer uma conversão na taxa 
de juros, pois o período é dado em meses e a taxa ao ano. Como em um ano temos 12 
meses, para encontrar a taxa de juros ao mês devemos dividir o valor que temos por 12:
i = 36% a.a. = = 3% a.m. = 0,03 a.m.
36% a.a.
12
Vamos utilizar os dados na fórmula e isolar P:
12.000 = P * 0,03 * 8 ⟹ P = = 50.000
12.000
0,24
 
Portanto o valor do empréstimo, ou seja, do capital, é R$ 50.000.
3) Uma aplicação numa letra de crédito do agronegócio (LCA) de R$ 19.000, pelo prazo de 
120 dias, obteve um rendimento de R$ 1.825. Qual a taxa anual de juros simples dessa 
aplicação?
Dados:
• Capital: P = 19.000
• Período: n = 120 dias
• Juros: aqui indicado pela palavra “rendimento”, j = 1.825
• Taxa de juros: queremos calcular a taxa ao ano, i = ? a.a.
Vamos utilizar a fórmula dos juros simples isolando o termo i:
1.825 = 19.000 * i * 120 ⟹ i = = 0,0008
1.825
2.280.000
Portanto encontramos uma taxa de juros de aproximadamente 0,008% ao dia, já que 
nosso período foi dado em dias. Mas precisamos da taxa anual. Como em um ano temos 
360 dias, basta multiplicar a taxa diária que encontramos por 360. Dessa forma:
i = 0,008 * 360 = 28,8
Portanto a taxa de juros é de 28,8% ao ano.
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2.2. Cálculo do montante
O montante é o valor resultante, ao final do período, da soma do empréstimo (ou da aplicação 
financeira) com os juros pagos no período, isto é: 
montante = capital + juros
Usando a fórmula dos juros simples e considerando F para montante, P para capital, i para 
taxa de juros e n para período, o montante é calculado por:
F = P * (1 + i * n)
Note que a fórmula de juros simples e esta são iguais. Dependendo dos dados que tivermos 
em mãos, podemos usar uma ou outra.
Exemplos:
1) Um fazendeiro aplicou R$ 2.700 em uma LCA a uma taxa de juros simples de 2,8% ao mês 
pelo prazo de 3 meses. Quanto resgatou?
Temos os seguintes dados:
• Capital: P = 2.700
• Taxa de juros: i = 2,8% a.m. = 0,028 a.m.
• Período: n = 3 meses
• Montante: será o valor resgatado, logo F = ?
Note que o período e a taxa de juros são indexados em meses.Assim basta aplicar direta-
mente a fórmula anterior:
F = 2.700 * (1 + 0,028 * 3) = 2.700 * 1.084 = 2.926,80
Portanto o fazendeiro resgatou R$ 2.926,80.
2) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 7.500 aplicado a uma taxa de 
juros simples de 20% a.a., por 220 dias.
Dados:
• Capital: P = 7.500
• Taxa de juros: i = 20% a.a. = 0,2 a.a.
• Período: n = 220 dias
• Juros: j = ?
• Montante: será o valor resgatado, logo F = ?
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Note que o período é dado em dias e a taxa de juros ao ano, logo precisamos fazer uma 
conversão. Como em um ano temos 360 dias, dividimos a taxa anual por 360, isto é:
i = 20% a.a. = = 0,0005 a.d.
0,2 a.a.
360
Nesse exemplo é mais fácil usarmos a primeira fórmula para o montante, que é: 
F = P + j
Porém ainda não sabemos os juros. Utilizando a fórmula dos juros simples, temos:
j = 7.500 * 0,0005 * 220 = 825
Dessa forma o valor dos juros é R$ 825. Por fim, vamos calcular o montante:
F = 7.500 + 825 = 8.325
Portanto o valor dos juros é R$ 825 e o do montante R$ 8.325.
3. Juros exato e comercial
Juros exato (JE)
São calculados quando o período n está expresso em dias. Utilizamos 
o ano civil com 365 dias, e a taxa é expressa ao ano:
JE = P * i * a.a.
n
365
Juros comercial 
(JC)
São calculados quando o período n está expresso em dias. Usamos o 
ano comercial com 360 dias, e a taxa é expressa ao ano:
JC = P * i * a.a.
n
360
Exemplos:
1) Calcular o juro exato e o juro comercial de um capital de R$ 5.000 aplicado pelo prazo 40 
dias à taxa de 36% a.a. por um fazendeiro que espera a entressafra.
Dados do problema:
• Capital: P = 5.000
• Período: n = 40 dias
• Taxa de juros: i = 36% a.a. = 0,36 a.a.
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Aplicando agora as fórmulas do JE e JC, temos que:
JE = = = 197
72.000
365
5.000 * 0,36 * 40
365
JC = = = 200
72.000
360
5.000 * 0,36 * 40
360
2) Calcular o juro exato e o juro comercial de um capital de R$ 4.000 aplicado em 16/04/2001 
e resgatado em 23/07/2001 à taxa de 48% a.a. 
Dados:
• Capital: P = 4.000
• Taxa de juros: i = 48% a.a. = 0,48 a.a.
• Período: n = ?
• Juros: JE = ? e JC = ?
Primeiro devemos encontrar o período, isto é, o número de dias entre as duas datas. Para 
isso, devemos usar a tabela de contagem de dias, que pode ser encontrada na biblioteca 
do AVA. Consultando a tabela, vemos que:
• até 23/07 temos 204 dias; 
• até 16/04 temos 106 dias.
Logo:
n = 204 - 106 = 98 dias
Por fim basta aplicar as fórmulas de juros exato e comercial:
JE = = = 515,51
188.160
365
4.000 * 0,48 * 98
365
JC = = = 522,67
188.160
360
4.000 * 0,48 * 98
360
3) Um fazendeiro realizou um empréstimo de R$ 4.500 em 20/07/2001 e foi pago decorridos 
148 dias. Sabendo que a taxa encontrada é de 45% a.a., calcule:
a) a data de vencimento do empréstimo;
b) o valor pago pelo juro exato;
c) o valor pago pelo juro comercial.
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Inicialmente vamos anotar os dados do problema:
• Capital: P = 4.500
• Taxa de juros: i = 45% a.a. = 0,45 a.a.
• Período: n = 148 dias
Vamos resolver cada item em separado agora.
a) Utilizando a tabela de contagem de dias que se encontra na biblioteca do AVA, temos que 
até 20/07 são 201 dias. Dessa forma:
data de vencimento = 201 + 148 = 349 dias
Novamente pela tabela, temos que o vencimento do empréstimo é 15/12/2001.
b) Pela fórmula do montante, o valor pago pelo empréstimo considerando o juro exato é:
F = 4.500 * (1 + * 148) = 4.500 * (1 + 0,1824) = 5.321,10
0,45
365
c) Pela fórmula do montante, o valor pago pelo empréstimo considerando juro comercial é:
F = 4.500 * (1 + * 148) = 4.500 * (1 + 0,1850) = 5.332,50
0,45
360
Atividade 1: Juros simples
a) Quanto obterei ao final de um ano, três meses e quinze dias se aplicar um capital de R$ 
2.500 a juros simples de 18% a.a.?
b) Um agricultor aplicou R$ 4.500 à taxa de 10% a.a., gerando um montante de R$ 9.000. 
Calcule o prazo da aplicação.
c) Determine o capital necessário para gerar um montante de R$ 7.950 ao final de 1 ano e 9 
meses a uma taxa de 4,5% ao trimestre.
d) O capital de R$ 3.500 aplicado pelo período de 1 ano e 6 meses formou um montante de 
R$ 4.200,00. Calcule a taxa semestral de juros.
e) Um empréstimo de R$ 8.000 foi realizado por um produtor rural em 27/02/2001 e foi pago 
em 03/08/2003. Sabendo que a taxa contratada é 38% a.a., determine:
• o valor pago em 03/08/2003 pelo juro exato;
• o valor pago em 03/08/2003 pelo juro comercial.
f) Determine o montante gerado pela aplicação de um capital no valor de R$ 3.500 aplicado 
no período de 18/05/2001 até 07/03/2003 e com taxa de juros comercial de 36% a.a.
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Tópico 2: Desconto simples
No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas empresas e 
pessoas. Essas operações geram ao credor um título de crédito, que é a garantia da dívida. 
Como exemplos de títulos, podemos citar:
Duplicata
Papel emitido por pessoas jurídicas contra clientes físicos ou jurídicos 
especificando vendas de mercadorias com prazo ou prestação de 
serviços a serem pagos mediante contrato firmado entre as partes.
Nota promissória
Título que comprova uma aplicação com vencimento determinado. 
Este produto é muito utilizado entre duas pessoas físicas e ou entre 
pessoas físicas e instituições financeiras credenciadas.
Letra de câmbio
Como a promissória, é um título que comprova uma aplicação com 
estabelecimento prévio do vencimento. No caso da letra, o título 
ao portador somente é emitido por uma instituição financeira 
credenciada.
Letra de Crédito 
do Agronegócio
A LCA é um título de crédito de livre negociação e com promessa 
de pagamento em dinheiro que pode ser emitido por instituições 
financeiras públicas e privadas. Em geral, é um título de renda fixa 
oferecido por agentes financeiros e isento de IOF e imposto de renda 
(IR) para os investidores.
Cédula de 
Produtor Rural
A CPR, criada em 1994 pela Lei no 8.929, é um título de crédito 
lastreado em garantia real que pode ser emitido tanto pelo produtor 
rural como por uma cooperativa de crédito. Esse é um título para uma 
venda a termo, ou seja, uma venda que será concluída no futuro.
Em outras palavras, podemos dizer que o título é “conta a ser paga” ou “boleto de pagamento”. 
Esses títulos possuem datas de vencimento predeterminadas, mas o devedor tem o direito de 
antecipar o pagamento. Caso isso aconteça, um abatimento chamado de desconto é efetuado. 
O desconto pode ser:
• Comercial – calculado sobre o valor nominal.
• Racional – calculado sobre o valor atual.
1. Valor nominal (N) e atual (V) de um título
Antes de iniciarmos os descontos simples, é preciso entendermos a diferença entre valor 
nominal e valor atual.
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Data atual Data
do vencimento
Valor nominal de 
um título (N): É o 
valor do título na
 data do seu
 vencimento.
Valor atual de 
um título (V):
É o valor que um
título tem em
uma data que
antecede ao
seu vencimento.
Para calcular o valor nominal ou o valor atual de um título, utilizamos a seguinte fórmula:
N = V * (1 + i * n)
Em que N é o valor nominal, V o valor atual, i a taxa de juros e n o período.
Exemplos:
1) Calcular o valor nominal de um título de R$ 5.000 assinado hoje, com vencimento daqui a 
9 meses, com taxa de juros de 36% a.a.
Dados do problema:
• Valor atual: V = 5.000
• Período: 9 meses
• Taxa de juros: i = 36% a.a. = 0,36 a.a.
• Valor nominal: N = ?
Antes de aplicarmos a fórmula, devemos mudar a taxa de juros para “ao mês”, pois o 
período é dado em meses. Nossa taxa é ao ano, e em um ano há 12 meses. Logo, para 
encontrar a taxa mensal, temos de dividir a taxa anual por 12, isto é:
i == 3% a.m. = 0,03 a.m.
36% a.a.
12
Agora basta aplicar os dados na fórmula:
N = 5.000 * (1 + 0,03 * 9) = 5.000 * 1,27 = 6.350
Portanto o valor nominal do título é R$ 6.350.
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2) O valor nominal de um título é R$ 8.000, e o devedor quer quitar esse título cinco meses 
antes de seu vencimento. Qual o valor atual se a taxa de juros é de 24% a.a.?
Dados:
• Valor nominal: N = 8.000
• Período: n = 5 meses
• Taxa de juros: i = 24% a.a. = 0,24 a.a.
• Valor atual: V = ?
Primeiramente devemos converter a taxa de juros para meses, pois o período está em 
meses. Logo, como em um ano há 12 meses e a nossa taxa de juros é anual, devemos 
dividi-la por 12, isto é:
i = = 2% a.m. = 0,02 a.m.
24% a.a.
12
Agora isolamos V na fórmula para encontrar o valor atual:
8.000 = V * (1 + 0,02 * 5) ⟹ V = = 7.272,72
8.000
1.1
Portanto o valor atual do título, cinco meses antes do seu vencimento, é R$ 7.272,72.
O desconto é a diferença entre o valor nominal (N) de um título na data 
do seu vencimento e o seu valor atual (V) na data em que é efetuado o 
pagamento. 
desconto = valor nominal - valor atual
Os descontos podem ser simples ou com-
postos dependendo do regime de juros (se 
simples ou composto). Os descontos (sim-
ples ou compostos) podem ser divididos em: 
desconto comercial e desconto racional.
BOL
ETO
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2. Desconto comercial simples (DC)
Em operações bancárias é usado o desconto comercial simples (DC). Ele consiste em negociar 
o título com uma instituição financeira visando antecipar o recebimento de parte dele. É obtido 
pelo cálculo de juros simples sobre o valor nominal (N) do compromisso saldado n períodos 
antes do vencimento:
desconto comercial = (valor nominal) * (taxa de juros) * (período)
Ao reescrevermos utilizando as letras e sendo DC o desconto comercial simples, i a taxa de 
juros e n o período, temos:
DC = N * i * n
O valor líquido recebido ou valor atual comercial (VC) é dado pela seguinte fórmula:
VC = N * (1 - i * n)
Exemplos:
1) Uma nota promissória referente a uma compra de fertilizantes, no valor de R$ 15.000 em 
seu vencimento, foi descontada três meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa 
de desconto comercial é 60% a.a., calcular o valor do desconto e o valor atual. 
Dados do problema:
• Valor nominal: N = 15.000
• Período: n = 3 meses
• Taxa de juros: 60% a.a. = 0,6 a.a.
• Desconto: DC = ?
• Valor atual: VC = ?
Primeiramente devemos converter a taxa de juros para mensal. Como nossa taxa é anual 
e em um ano há 12 meses, temos de dividi-la por 12:
i = = 5% a.m. = 0,05 a.m.
60% a.a.
12
Agora basta aplicar os dados nas fórmulas:
DC = 15.000 * 0,05 * 3 = 2.250
VC = 15.000 * (1 - 0,05 * 3) = 15.000 - 2.250 = 12.750
Portanto, pagando a nota promissória três meses antes do vencimento, o devedor receberá 
um desconto de R$ 2.250, pagando ao todo R$ 12.750.
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68
2) O desconto comercial simples de um título referente à compra de uma colheitadeira foi de 
R$ 90.000; e a taxa de desconto, de 80% a.a. Quanto tempo faltaria para o vencimento do 
título se seu valor nominal fosse de R$ 150.000?
Dados do problema:
• Desconto simples: DC = 90.000
• Taxa de juros: 80% a.a. = 0,8 a.a.
• Valor atual: VC = 150.000
• Período: n = ?
Para encontrarmos o período, utilizamos a fórmula do desconto comercial simples com o 
valor atual e isolamos a variável n, isto é:
90.000 = 150.000 * 0,8 * n ⟹ n = = 0,75
90.000
120.000
Portanto, encontramos um período de 0,75 de 1 ano, ou seja, 75% do ano. Para achar o 
valor em meses, devemos primeiro encontrar o equivalente em dias e depois em meses. 
Para o equivalente em dias, multiplicamos por 360:
n = 360 * 0,75 = 270 dias
Como cada mês (comercial) possui 30 dias, basta dividirmos o número de dias por 30:
n = = 9 meses
270
30
Portanto faltariam 9 meses.
d
Comentário do Autor
Como estão seus estudos até aqui? Ao analisar os exemplos fornecidos em 
cada um dos tópicos, verifique se você conseguiu entender cada um dos passos 
apresentados. Compreender o porquê de cada etapa na resolução é essencial 
para que você possa resolver os exercícios com autonomia.
3. Desconto racional (DR)
O desconto racional (DR) é obtido pelo produto do juro simples ( i ) pelo valor atual ( V ) do 
compromisso, pelo período n antes de seu vencimento por meio seguinte fórmula:
DR = V * i * n
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69
Usando a fórmula do valor atual e nominal, temos que V = 
(1 + i * n)
N . Assim podemos reescrever 
a fórmula anterior como:
DR =
N * i * n
1 + i * n
O valor atual racional (VR) é dado pela fórmula:
VR =
N 
1 + i * n
Observe a diferença: o desconto comercial é calculado sobre o valor 
nominal e o desconto racional, sobre o valor atual, conforme podemos 
conferir ao comparar suas fórmulas:
DC = N * i * n DR = V * i * n
Acompanhe o exemplo seguinte, que exibe as diferenças entre o desconto comercial e o 
desconto racional. Suponha que temos uma conta de R$ 100 para pagar daqui a 60 dias. 
Sabendo que ela foi calculada com juros de 10% a.m., qual o valor “certo” para pagá-la já? 
Nosso credor informa que calcula usando o “desconto racional” e propõe R$ 83,33. Devemos 
aceitar ou não? Podemos raciocinar das seguintes formas:
• 10% de 100 é 10, em dois meses seriam 20, logo deveríamos pagar R$ 80,00.
• Qual o valor que, tomado hoje à taxa de 10% a.m., daria 100 daqui a 60 dias? Para isso, 
devemos calcular o valor que, com 20% de juros, dá 100. Fazendo 100÷1,20, encontramos 
exatamente os R$ 83,33.
O primeiro raciocínio emprega o desconto comercial; e o segundo, o desconto racional. Na prá-
tica os dois modos de calcular são usados. O “certo” será o “negociado” e aceito pelas partes. 
Veja mais alguns exemplos:
1) Um agricultor pretende saldar um título de R$ 4.600 referente a compras de sementes 
em quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto racional de 30% a.a. 
Determine o valor do desconto racional e o valor descontado.
Dados: 
• Valor nominal: N = 4.600
• Período: n = 4 meses
• Taxa de juros: i = 30% a.a. = 0,3 a.a.
• Desconto racional: DR = ?
• Valor atual racional: VR = ?
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70
Primeiro devemos converter a taxa de juros para mensal:
i = = 2,5% a.m = 0,025 a.m.
30% a.a 
12
Agora basta aplicar as fórmulas do desconto racional e do valor atual racional:
DR = = = = = 418,182
N * i * n 
1 + i * n
4.600 * 0,025 * 4 
1 + 0,025 * 4
4.600 * 0,1 
1 + 0,1
460 
1,1
4.600 
0,025 * 4
Portanto o desconto racional é de R$ 418,18 e o valor atual racional, de R$ 4.181,81.
2) O desconto racional de um título referente à venda de um bezerro, vencendo em 247 dias, 
é igual a R$ 1.687,25. Calcular o valor nominal se a taxa de desconto é de 30% a.a.
Temos os seguintes dados:
• Desconto racional: DR = 1.687,25
• Período: 247 dias
• Taxa de juros: i = 30% a.a. = 0,3 a.a.
• Valor nominal: N = ?
Primeiro devemos converter a taxa de juros anual para diária:
i = = 0,083 % a.d. = 0,00083 a.d.
30% a.a. 
360
Para encontrarmos o valor nominal, isolamos N na fórmula do desconto racional:
1.687,25 = ⟹ N = = 9.917,34
N * 0,00083 * 247
1 + 0,00083 * 247
1.687,25 * 1,20501
0,20501
Portanto o valor nominal do título é R$ 9.917,34.
Atividade 2: Desconto simples
a) Calcule a taxa de desconto comercial simples mensal de um título referente à compra de 
arame farpado negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o seu valor de resgate 
igual a R$ 2.600 e seu valor atual na data de desconto igual a R$ 2.260,87.
Matemática Básica e Financeira
71
b) Determine o valor do desconto simples de um título referente à compra de pesticida no 
valor nominal de R$ 5.400 descontado95 dias antes de seu vencimento à taxa de desconto 
de 6,5% a.m. Calcule também o valor atual do título.
c) Um título de valor nominal de R$ 7.500 referente à compra de biocidas, com vencimento 
em oito meses, foi comprado por R$ 6.950. Determine a taxa de desconto racional anual.
d) Uma produtora rural pretende saldar um título de valor nominal R$ 5.000 quatro meses 
antes de seu vencimento a uma taxa de desconto racional de 48% a.a. Calcule o valor do 
desconto racional e o valor atual racional.
Tópico 3: Juros compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil 
para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao 
principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
1. Cálculo dos montantes e de juros compostos
1.1. Cálculo do montante (F)
O montante F, resultante de uma aplicação do capital P a uma taxa de juros compostos i (por 
período de capitalização) durante n períodos de capitalização, é dado por:
F = P * (1 + i) n
Como nos juros compostos a taxa incide sobre o valor acumulado, e não sobre o capital inicial, 
a taxa (i) é somada a 1 e elevada ao período (n). Conseguiu perceber essa diferença em relação 
aos juros simples, que você estudou antes? Lembre-se de que o período de tempo e a taxa de 
juros devem estar na mesma unidade de tempo.
Curso Técnico EaD SENAR
72
Para entender melhor a diferença entre os juros simples e os compostos, acompanhe a 
comparação a seguir.
Juros compostos
Problema: calcular o valor de resgate de uma aplicação em um fundo agrícola de R$ 1.200,00 
pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 3,5% a.m.
Temos os seguintes dados:
• Capital: P = 1.200
• Período: n = 8 meses
• Taxa de juros: i = 3.5% a.m = 0,035 a.m.
• Montante: F = ?
Como o período e a taxa são indexadas pelo mês, basta aplicar a fórmula do montante para 
juros compostos:
F = 1.200 * (1 + 0,035) 8 = 1.200 * 1,31 = 1.571
Portanto o valor do resgate será R$ 1.571.
Juros simples
Agora, usando os mesmos dados do exemplo anterior, vamos calcular o valor de resgate usando 
os juros simples com a fórmula F = P * (1 + i * n). Assim temos:
F = 1.200 * (1+ 0,035 * 8) = 1.536
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do 
capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo 
de novos juros nos períodos seguintes, assim o valor do resgate é R$ 1.536. Diferentemente 
da capitalização simples, na capitalização composta ou nos juros compostos há a incidência de 
juros sobre juros. Dessa forma, como você pôde perceber, o valor do resgate com os mesmos 
dados, porém utilizando juros compostos, é R$ 1.571.
c
Leitura complementar
O cálculo de juros pode exigir o conhecimento para calcular raízes. Acesse 
a biblioteca do AVA para fazer a leitura do material complementar sobre 
radiciação. 
Matemática Básica e Financeira
73
Veja mais alguns exemplos de juros compostos:
1) Qual é a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação em um fundo agrícola de R$ 
4.000 que produz um montante de R$ 4.862,03 ao final de 4 meses?
Dados:
• Capital: P = 4.000
• Montante: F = 4.862,03
• Período: n = 4 meses
• Taxa de juros: i = ?a.m.
Basta aplicarmos a fórmula do montante e isolar i, lembrando que, para isso, devemos 
usar a operação inversa da potenciação, que é a operação de raiz:
4.863,03 = 4.000 * (1+i)4 ⟹ = = (1 + i)4
4.862,03
4.000
⟹ i = -1 =4.862,03
4.000
4 
4√1,22 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05
Portanto a taxa de juros mensal é 0,05, ou 5%.
O
Informação extra
Cálculo de juros compostos (J)
Até agora calculamos o montante nos juros compostos. Para calcular os juros, 
utilizamos a seguinte fórmula:
J = P * [ (1+i ) n -1 ]
Em que P é o capital, i a taxa de juros compostos e n o período.
2) Calcular o juro de um empréstimo de R$ 8.000,00 para compra de produtos fitossanitários 
pelo prazo de 5 meses à taxa de juros compostos de 5,5% ao mês.
Dados do enunciado:
• Capital: P = 8.000
• Período: n = 5 meses
• Taxa de juros: i = 5,5% a.m. =0,055 a.m.
• Juros compostos: J = ?
Basta aplicarmos a fórmula, já que o período e a taxa de juros estão em meses. Logo:
J = 8.000 * [(1+0,055)5 -1] = 2.455,68
Portanto os juros do empréstimo são de R$ 2.455,68.
Curso Técnico EaD SENAR
74
3) Só para compararmos, vamos calcular agora os juros simples com os dados do exemplo 
anterior utilizando a fórmula j=P*i*n. Temos então:
j = 8.000 * 0,055 * 5 = 2.220
Note que, no regime de capitalização simples, os juros são calculados utilizando como 
base o capital inicial e geram o valor de R$ 2.220. Já no regime de capitalização composta, 
as taxas de juros são aplicadas sobre o capital acumulado dos juros, gerando o valor de 
R$ 2.455,68.
2. Equivalência de taxas 
O conceito de taxas equivalentes é bastante utilizado no mercado financeiro. Dizemos que 
duas taxas são equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital e durante o mesmo 
prazo de aplicação, se elas produzirem montantes iguais.
Por exemplo, as taxas 0,025 a.m. e 0,34488882 a.a. são equivalentes, pois, se aplicadas ao 
mesmo capital de R$ 1.500,00 pelo prazo de 2 anos (ou 24 meses), produzem montantes 
iguais. De fato:
F = 1.500 * (1+0,025)24 = 1.500 * 1.8087 = 2.713,09
F = 1.500 * (1+0,34488882)2 = 1.500 * 1.8087 = 2.713,09
O cálculo da taxa equivalente é dado pela seguinte fórmula:
ieq = (1 + i) -1 
nd
nc
Em que i é a taxa conhecida, nd o período da taxa desconhecida e nc o período da taxa 
conhecida. 
Os períodos nd e nc devem estar na mesma unidade de tempo. Então se 
estivermos comparando trimestres e semestres, por exemplo, precisamos 
considerar que 1 semestre = 2 trimestres, e assim por diante, igualando as 
unidades de tempo.
Exemplos:
1) Calcule a taxa anual equivalente a 2% a.m.
Dados do problema:
• Taxa: i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
• Período da taxa conhecida: nc = 1 mês
• Período da taxa desconhecida: nd =1 ano = 12 meses
Matemática Básica e Financeira
75
Aplicando a fórmula, temos:
ieq = (1 +0,2) -1 = ( 1,02)12 -1 = 0,268241
12
1
Portanto a taxa anual equivalente à taxa de 2% a.m. é 0,268241 a.a., ou aproximadamente 
27% a.a.
2) Calcule a taxa semestral equivalente a 4,5% ao trimestre.
Dados:
• Taxa: i = 4,5% a.t. = 0,045 a.t.
• Período conhecido: nc = 1 trimestre (3 meses)
• Período desconhecido: nd = 1 semestre (6 meses) = 2 trimestres
Aplicando a fórmula, temos:
ieq = (1 +0,045) -1 = ( 1,045)2 -1 = 0,0920
2
1
Portanto a taxa equivalente semestral é de 9,20%.
d
Comentário do Autor
É importante que você observe aqui que a conversão de uma taxa anual em 
mensal, por exemplo, no regime de juros compostos é diferente do cálculo que 
fizemos nos juros simples. Enquanto nos juros simples 12% a.a. = 1% a.m. (pois 
basta dividir 1 ano por 12 meses), nos juros compostos 12% a.a. = 0,948%, pois é 
preciso fazer a equivalência de taxas.
Atividade 3: Juros compostos
a) Se um agricultor de pequeno porte quiser comprar um trator usado no valor de R$ 18.000, 
quanto ele deve aplicar hoje para que daqui a dois anos possua tal valor a uma taxa de 
aplicação de 24% a.a.?
b) Consideremos uma aplicação num fundo rural de R$ 10.000 a uma taxa de juros compostos 
de 10% a.a. pelo prazo de 4 anos. Determine o montante.
c) Calcule o juro de um empréstimo de R$ 6.000 para a compra de sementes pelo prazo de 
12 meses à taxa de juros compostos de 2.5% a.m.
d) Determine a taxa equivalente a 38% a.a. pelo prazo de 57 dias.
e) Calcule a taxa para 214 dias equivalente a 18% ao semestre.
Curso Técnico EaD SENAR
76
Tópico 4: Desconto composto
Você viu no tópico anterior que o mecanismo atualmente utilizado nas operações no sistema 
financeiro é o juro composto, também conhecido como juros sobre juros.
Uma operação bastante utilizada no meio financeiro são os descontos, que se referem ao 
abatimento que recebemos no pagamento de um título antes do vencimento estabelecido.Assim como temos os juros simples e os descontos simples, os descontos podem também ser 
simples ou compostos. Existem os descontos compostos comerciais e os racionais.
1. Valor nominal (N) e atual (V) de um título 
Para o desconto composto, os conceitos de valor nominal e valor atual são os mesmos. 
Data atual Data
do vencimento
Valor nominal de 
um título (N): É o 
valor do título na
 data do seu
 vencimento.
Valor atual de 
um título (V):
É o valor que um
título tem em
uma data que
antecede ao
seu vencimento.
Contudo, no desconto composto o valor nominal ou o valor atual de um título são calculados 
pela taxa de juros compostos. Por isso, utilizamos a seguinte fórmula:
N = V * (1+i)n
Em que N é o valor nominal, V o valor atual, i a taxa de juros compostos e n o período.
Exemplos:
1) Quanto vale hoje um título que vence só daqui a 5 meses, de valor nominal R$ 4.690, se a 
taxa de juros é de 1,75% a.m.?
Temos os seguintes dados:
• Período: n = 5 meses
• Valor nominal: N = 4.690
• Taxa de juros: i = 1,75% a.m. = 0,0175 a.m.
Matemática Básica e Financeira
77
Note que o período e a taxa de juros estão indexados em meses; logo, para calcular o valor 
nominal, basta aplicar a fórmula anterior isolando V:
4.690 = V * (1 + 0,0175)5 ⇒ V =
4.690
(1,0175)5
= = 4.300,31
4.690
1,09062
Portanto o valor atual do título é R$ 4.300,31.
2) Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$ 8.000 faltando 2 meses para o seu 
vencimento. Determine o valor atual sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês.
Dados do problema:
• Valor nominal: N = 8.000
• Período: n = 2 meses
• Taxa de juros: i = 3% a.m. = 0,03 a.m.
Valor atual: V = ?
Novamente, basta aplicarmos os dados na fórmula:
8.000 = V * (1 + 0,03)2 ⇒ V =
8.000
(1,03)2
= = 7.540,77
8.000
1,0609
Portanto o valor atual do título será R$ 7.540,80.
2. Desconto comercial (dc)
O valor atual comercial (Vc) é dado pela fórmula:
Vc = N * (1-i)n
Na qual N representa o valor nominal, a taxa de juros compostos e n o período.
Portanto, o cálculo do desconto comercial composto é dado por:
dc = N * [1 - (1-i)n ]
Exemplos:
1) Certo cliente descontou um título, de valor nominal R$ 6.700, 7 meses antes de seu 
vencimento a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. Calcular o valor do desconto 
comercial e o valor recebido pelo cliente.
Dados do exemplo:
• Valor nominal: N=6.700
• Período: n=7 meses
Curso Técnico EaD SENAR
78
• Taxa de juros: i = 3,5% a.m.= 0,035 a.m.
• Desconto comercial: dc = ?
• Valor atual: Vc = ?
Basta aplicarmos os dados que temos nas duas fórmulas:
dc = 6.700*[1-(1-0,035)7 ] = 6.700 * [1-0,77928] = 1.478,85
Vc = 6.700 * (1-0,035)7 = 6.700 * 0,77928 = 5.221,17
Portanto, o valor do desconto é R$ 1.478,85 e o valor recebido pelo cliente é R$ 5.221,17.
c
Leitura complementar
Lembre-se de que na biblioteca do AVA você encontra um material para 
relembrar o cálculo de raízes e também um passo a passo que facilita o cálculo 
de raízes e potências com a calculadora do Windows. 
2) Um título de valor nominal R$ 6.500 foi descontado 8 meses antes de seu vencimento, e o 
valor líquido recebido pelo seu portador é R$ 4.980. Determinar a taxa mensal de desconto 
comercial.
Dados do problema:
• Valor nominal: N = 6.500
• Período: n = 8 meses
• Valor atual: Vc = 4.980
• Taxa de juros: i = ?a.m.
Vamos utilizar a fórmula do valor atual e isolar a incógnita i, lembrando que a operação 
inversa da potência é a raiz:
4.980 = 6.500 * (1 - i)8 ⟹
4.980
6.500
= (1-i)8
4.980
6.500
= 1-i = 1- 0,967 = 0,0327i = 1-⟹ ⟹
8
4.980
6.500
8
Portanto a taxa de desconto comercial é de 0,0327 a.m., ou 3,27% a.m.
3. Desconto racional (dr)
O valor atual racional (Vr) é dado pela fórmula:
Vr =
N
(1 + i)n
Matemática Básica e Financeira
79
Na qual N representa o valor nominal, i a taxa de juros compostos e n o período.
O desconto racional (dr) é a diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (Vr) de um título 
descontado n períodos antes de seu vencimento, ou seja:
dr = N - Vr
Portanto o desconto racional composto será:
dr = N *
1
1 -[ [(1 + i)n
'
Dica
Para não confundir os descontos, lembre-se:
• desconto comercial é calculado sobre o valor nominal;
• desconto racional é calculado sobre o valor atual.
A utilização de um ou outro sistema de juros depende do acordo entre as partes.
Exemplos:
1) Calcular o desconto racional de um título de valor nominal R$ 5.480 descontado 5 meses 
antes de seu vencimento à taxa de 4,75% a.m. 
Temos os seguintes dados:
• Valor nominal: 5.480
• Período: n = 5 meses
• Taxa de juros: i = 4,75% a.m. = 0,0475 a.m.
• Desconto racional: dr = ?
Basta aplicar na fórmula do desconto racional:
dr = 5.480 * = 5.480 * = 1.134,79
1
1 -[ [(1 + 0,0475)5 11 -[ [1,26116
Portanto o desconto racional composto do título é de R$ 1.134,79. Agora, se quisermos 
descobrir seu valor atual racional, basta usar a fórmula do valor atual:
Vr = = 4.345,21
5.480
(1 + 0,0475)5
Curso Técnico EaD SENAR
80
2) Determinar o desconto racional de um título de valor nominal R$ 7.500, resgatado 8 tri-
mestres antes de seu vencimento, à taxa de 25% a.a.
Dados:
• Valor nominal: N = 7.500
• Período: n = 8 trimestres
• Taxa de juros: i = 25% a.a. = 0,25 a.a.
• Desconto racional: dr= ?
Primeiramente devemos perceber que a taxa de juros é anual e nosso período é trimestral. 
Dessa forma precisamos encontrar a taxa de juros trimestral equivalente à taxa anual 
dada. Para isso utilizamos a fórmula de equivalência de taxas:
ieq = (1+i) - 1
nd
nc
Em que nd = 1 trimestre (período desconhecido) e nc = 4 trimestres (período conhecido), 
pois cada ano é formado por 4 trimestres. Logo:
ieq = (1+0,25) - 1 = (1,25) - 1 = 4√1,25 - 1 = 0,05737126344
1
4
1
4
Agora, basta aplicarmos a fórmula do desconto racional usando i = 0,05737126344 a.t.
dr = 7.500 * = 2.699,99
1
1 -[ [(1 + 0,05737126344)8
Portanto o valor do desconto racional é R$ 2.699,99.
Atividade 4: Desconto composto
a) O valor nominal de um título referente à compra de maquinário é de R$ 190.000. Seu 
portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcular o valor de 
resgate sabendo que a taxa de desconto composto é de 28% a.a.
b) Determinar o valor nominal de um título referente à compra de agroquímicos com 
vencimento daqui a 2 anos sabendo que seu valor atual é R$ 5.900 e a taxa é de 26% a.a.
c) Calcular o valor atual de um título referente à compra de desinfetantes de valor nominal 
igual a R$ 7.500, com 150 dias a vencer, sabendo que a taxa de desconto racional é de 
5,75% a.m.
d) Determinar a taxa trimestral de desconto racional adotada no resgate de um título de 
compra de praguicidas de valor nominal igual a R$ 8.000 com desconto de R$ 1.450 e 
antecipação de 1 ano.
Matemática Básica e Financeira
81
Encerramento do tema 
A matemática financeira é essencial para analisar os custos e os investimentos que são 
mais adequados, a curto ou longo prazo, dependendo da estratégia adotada pela empresa. 
Também é uma importante aliada para cálculos corriqueiros, como ao comprar uma casa, 
um carro ou até mesmo eletrodomésticos e a compra do mês. Por isso, neste tema você 
aprendeu a calcular juros e descontos simples e compostos.
03
Estatística e probabilidade
Matemática Básica e Financeira
83
Tema 3: Estatística e probabilidade
Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, 
de óbitos, faziam estimativas das riquezas individuais e social, distribuíam terras ou cobravam 
impostos. Os métodos usados para coleta e análise desses dados foram denominados 
estatística. 
De forma sucinta, a estatística é 
um conjunto de métodos que 
possibilita a tomada de decisões e 
a análise de dados coletados. 
Fonte: Shutterstock.
Veremos a seguir alguns conceitos básicos de estatística, medidas de tendência central 
(média, mediana e moda) e medidas de dispersão (amplitude, desvio médio, desvio-padrão 
e variância). 
a
Competências
Ao final destetema, espera-se que você possa:
• identificar os conceitos básicos de estatística e alguns modelos de 
tendência centrais;
• compreender os conceitos básicos de probabilidade.
Curso Técnico EaD SENAR
84
Tópico 1: Noções de estatística
Conjuntos de dados desorganizados são inúteis. Para que os dados se transformem em 
informação útil, é necessário que estejam organizados e escritos de forma resumida em uma 
boa apresentação. A estatística que lida com a organização, o resumo e a apresentação de 
dados numéricos é denominada estatística descritiva. 
O resumo de conjuntos de dados é feito por meio das medidas, já a organização e apresentação 
são feitas pelas distribuições de frequências e dos gráficos ou diagramas.
d
Comentário do autor
É comum que os dados de interesse sejam muitos. Dessa forma, mesmo com 
toda tecnologia de que dispomos nos dias atuais, é inviável estudar todo o 
conjunto de dados. Essa restrição é geralmente imposta pelo custo excessivo de 
uma análise completa e minuciosa de muitos elementos. Nesse caso, estudamos 
uma parte do conjunto.
O conjunto de todos os elementos que desejamos estudar é denominado de população e 
também universo. Note que “população”, para nosso estudo, possui um sentido mais amplo: 
para nós população significa uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas 
de interesse. Por exemplo:
• o conjunto de alunos do curso técnico do Senar; 
• o conjunto de todas as notas do Enem 2016.
Fonte: IBGE.
Matemática Básica e Financeira
85
Um levantamento efetuado sobre toda uma população é dito levantamento censitário, ou 
simplesmente censo. Fazer levantamentos, estudos, pesquisas, sobre toda uma população 
(censo) é, em geral, muito difícil e custoso, demandando um tempo considerável a ser realizado. 
Assim, normalmente se trabalha com partes da população, denominadas de amostras. Uma 
amostra pode ser caracterizada com uma porção ou parte de uma população de interesse.
Veja alguns exemplos de situações em que são colhidas amostras:
• antes e durante as eleições, diversos órgãos de pesquisa e imprensa, como o IBGE, 
questionam um conjunto selecionado de eleitores para ter uma ideia do desempenho dos 
vários candidatos nas futuras eleições;
• o IBGE faz levantamentos periódicos sobre emprego, desemprego e inflação usando 
amostras;
• redes de rádio e tevê se utilizam constantemente dos índices de popularidade dos 
programas para fixar valores de propaganda, por meio de amostragem, ou então modificar 
ou eliminar programas com audiência insatisfatória.
Como não se trabalha com toda a população, e sim com uma parte, é importante salientar 
que o processo de amostragem envolve riscos. Para fornecer uma ideia do risco envolvido, 
pode ser utilizada a teoria da probabilidade, ou seja, do erro que se pode cometer ao utilizar 
uma amostra em vez de toda a população. A coleção de métodos e técnicas empregados 
para estudar uma população com base em amostras probabilísticas dessa mesma população 
recebe o nome de estatística indutiva.
Fonte: Shutterstock.
Um conjunto de dados, de qualquer tamanho, pode ser resumido de acordo com as medi-
das de tendência central ou as medidas de dispersão, entre outras. Veja agora mais detalhes 
dessas formas de medidas.
1. Medidas de tendência central
A estatística é a ciência que analisa vários tipos de fenômenos. A maioria dos dados apresenta 
uma tendência diferente de se agrupar ou se concentrar em torno de um ponto central. Dessa 
forma, para um conjunto de dados em particular, geralmente podemos selecionar um valor 
típico ou médio para descrever todo o conjunto. 
Curso Técnico EaD SENAR
86
Chamamos de medidas de tendência central os valores que tendem a se localizar em pontos 
centrais num conjunto de dados ou que ocupam uma posição específica dentro de uma 
distribuição. As principais medidas de tendência central são as médias aritméticas (simples e 
ponderada), a mediana e a moda.
1.1. Média aritmética simples
A média é uma das principais e mais usadas medidas de posição. Ela pode ser classifica em 
simples ou ponderada.
Nos cálculos que envolvem média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente 
a mesma importância ou o mesmo peso. Para calcularmos a média aritmética simples de 
um conjunto de dados, devemos somar todos os valores e dividirmos pela quantidade deles. 
Assim, dados n valores representados por x1 , x2 , …, xn , a média aritmética simples será:
x1+x2+...+xn
n
Exemplos:
1) A média aritmética simples dos números 4, 7, 6, 8 e 10 será:
= =4 + 7 + 6 + 8 + 10
5
35
5
7
2) Um fazendeiro trabalha durante uma semana 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 horas. Podemos 
calcular a média de horas trabalhadas na semana, isto é, em 7 dias. De fato:
= =10 + 14 + 13 + 15 + 16 +18 +12 98
77
14
Portanto, ele trabalhou uma média de 14 horas por dia na semana analisada.
1.2. Média aritmética ponderada
Diferentemente da média aritmética simples, existem situações em que as ocorrências têm 
importância relativa diferente. Nesses casos, o cálculo da média deve levar em conta essa 
importância ou o peso de cada ocorrência. Esse tipo de média recebe o nome de média 
aritmética ponderada. 
No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu “peso”, isto 
é, sua importância relativa, e dividimos pela soma dos pesos. Dados n valores x1 , x2 ,…, xn e 
pesos p1 , p2 ,…, pn , temos a média aritmética ponderada, calculada por:
Matemática Básica e Financeira
87
p1 * x1 + p2 * x2 +...+ pn* xn
p1 + p2 +... pn
Exemplos:
1) Um aluno participou do Enem, em que foram realizadas provas de Português, Matemática, 
Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2 respectivamente. Sabemos que ele 
tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História. Podemos 
calcular sua média ponderada da seguinte forma:
= =3 * 8 + 3 * 7,5 + 2 * 5 + 2 * 4 64,5
103 + 3 + 2 + 2
6,45
Portanto a média desse aluno no Enem é 6,45.
2) Uma empresa é constituída de 40 funcionários, e os seus salários são distribuídos da 
seguinte forma: 20 funcionários com salário de R$ 465,00, 15 com salário de R$ 930,00 
e 5 com salário de R$ 1.395,00. Para calcularmos o salário médio dos funcionários dessa 
empresa, usamos a média aritmética ponderada. Fazemos então:
= =20 * 465 + 15 * 930 + 5 * 1.395 9.300 + 13.950 + 6.975
4020 + 15 + 5
755,62
Portanto a média salarial é de R$ 755,62.
1.3. Mediana
Mediana é o valor que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos de mesmo tamanho. 
De uma forma mais simples, é o valor que divide o conjunto de dados ao meio. 
Para calcular a mediana de um conjunto de dados, primeiro devemos colocar todos os dados em 
ordem crescente, isto é, ordenar do menor para o maior. Depois precisamos ficar atentos para 
o número de elementos, pois, se for ímpar, procedemos de uma forma e, se for par, de outra. 
Número ímpar de 
elementos
Quando o número de elementos for ímpar, a mediana será o elemento 
do meio.
Número par de 
elementos
No caso de o número de elementos ser par, devemos colocá-los em 
ordem e fazer a média aritmética simples dos dois elementos centrais.
Exemplo:
1) Considere o conjunto de dados a seguir, referentes ao salário médio dos funcionários de 
uma fazenda em reais: 1.500, 1.300, 1.200, 1.250, 1.600, 1.100, 1.450, 1.210, 1.980.
Curso Técnico EaD SENAR
88
Para calcularmos a mediana desses dados, o primeiro passo é colocá-los em ordem 
crescente e observar o número de elementos. Dispondo-os em ordem, temos 9 elementos 
assim ordenados:
1.100, 1.200, 1.210, 1.250, 1.300, 1.450, 1.500, 1.600, 1.980
Observe que temos um número ímpar de dados (9). Desse modo a mediana é o elemento 
do meio, no caso o número 1.300. Portanto a mediana desse conjunto é 1.300. 
2) Considere o conjunto de dados seguinte, referente ao salário médio dos funcionários da 
mesma fazenda com o acréscimo de um dado funcionário. Temos então:
1.500, 1.300, 1.200, 1.250, 1.600, 1.100, 1.450, 1.210, 1.980, 1.420
Note quetemos 10 valores. Colocando-os em ordem, obtemos a lista:
1.100, 1.200, 1.210, 1.250, 1.300, 1.420, 1.450, 1.500, 1.600, 1.980
Nesse conjunto existem 10 elementos. No caso a mediana será a média aritmética simples 
dos dois valores centrais, isto é, entre os valores 1.300 e 1.420:
= =1.300 + 1.420 2.720
22
1.360
Portanto o valor da mediana é 1.360.
1.4. Moda
Quando analisamos um conjunto de dados e um valor aparece com mais frequência, isto é, 
mais vezes, esse valor é chamado de moda.
Um conjunto de dados pode apresentar mais de um valor que se 
repete várias vezes ou pode não ter nenhum valor se repetindo.
Exemplos:
1) A seguir está uma lista com as idades de 20 crianças de um projeto social rural:
12, 11, 12, 13, 12, 11, 13, 12, 12, 11, 14, 13, 13, 12, 11, 12, 13, 14, 11, 14
Para calcularmos a moda desse conjunto, devemos contar o número de repetições de 
cada elemento. Vejamos:
12 aparece 7 vezes, 11 aparece 5 vezes, 13 aparece 5 vezes e 14 aparece 3 vezes.
Como a moda é o elemento que se repete o maior número de vezes, nesse caso a moda 
do conjunto de idades é o número 12.
Matemática Básica e Financeira
89
2) Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 
52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 
minutos.
3) Se determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 
2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.
4) Temos a seguir as alturas de um grupo de pessoas: 1,82 m, 1,75 m, 1,65 m, 1,58 m e 1,70 m. 
Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.
Legenda: A média, a mediana e a moda são úteis quando se quer analisar os pesos dos bovinos de determinado rebanho, por 
exemplo.
Fonte: Shutterstock
2. Medidas de dispersão
Você acabou de estudar as medidas de tendência central média, mediana e moda. Elas descrevem 
apenas uma das características dos valores numéricos de um conjunto de observações: o da 
tendência central, como o próprio nome diz. Porém, nenhuma delas informa sobre o grau 
de variação ou dispersão dos valores observados. Por exemplo, os dois conjuntos a seguir 
possuem variações distintas, mas suas médias aritméticas simples são iguais:
• Grupo A: 7, 7, 7, 7 
• Grupo B: 0, 5, 10, 10, 10. 
Calculando suas médias, temos:
=
7 + 7 + 7 + 7
média A=
4
7 =0 + 5 + 10 + 10 + 10média B=
5
7
Curso Técnico EaD SENAR
90
As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados 
são semelhantes, descrevendo, então, o quanto os dados distam 
do valor central. Desse jeito, as medidas de dispersão servem 
também para avaliar qual o grau de representação da média. 
As principais medidas de dispersão são: amplitude, desvio médio, desvio-padrão e variância.
2.1. Amplitude
A mais simples das medidas de dispersão é a amplitude, definida como a diferença entre os 
valores extremos do conjunto – ou seja, subtraímos o primeiro termo do último.
Por exemplo, se listarmos as idades de funcionários de uma lavoura e obtermos 42, 34, 32, 
27, 39, 29, 45, para calcularmos a amplitude dessas idades, devemos primeiro colocá-las em 
ordem. Teremos então: 27, 29, 32, 34, 39, 42, 45. Para saber a amplitude, basta calcularmos o 
último menos o primeiro: 45 - 27= 18.
d
Comentário do autor
Note que, pelo valor da amplitude, você pode observar se a diferença entre o 
primeiro e o último termo é muito grande. 
2.2. Desvio médio (absoluto)
Desvio médio é a média dos valores, desconsiderando o sinal, dos desvios da distribuição 
em relação à média ou mediana. Esses desvios da distribuição são calculados pela subtração 
de cada termo do conjunto de dados da média ou mediana e nos ajudam a entender o quão 
“espalhado” é um conjunto de dados. 
De forma mais geral, se temos n valores x1 , x2 ,…, xn e a média aritmética simples desses valores 
é m, então os desvios são calculados da seguinte forma:
d1 = x1 - m; d2 = x2 -m; …; dn = xn -m
Dessa forma, o desvio médio é a média aritmética simples dos desvios sem seus sinais, que 
podemos representar como:
 l d1 l + l d2 l + ... + l dnl
n
 As barras | | significam que devemos desconsiderar o sinal de cada d, ou seja, colocar o sinal 
+ todos.
Matemática Básica e Financeira
91
O desvio médio é a medida associada a toda a amostra. Assim 
esse valor nos apresenta uma taxa de como os elementos se 
afastam da média aritmética simples tanto para cima como para 
baixo. Quanto menor o desvio médio, menor a variação entre os 
elementos e a média.
Exemplos:
1) Sabemos que um técnico trabalha, durante uma semana (7 dias), 7, 8, 9, 8, 7, 9 e 8 horas. 
Logo sua média aritmética simples de horas trabalhadas nessa semana foi de: 
= =7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 9 + 8 56
77
8 horas
Vamos calcular agora o desvio em relação à média 8 horas. Observe que os dados das horas 
não estão muito distantes da média calculada. Dessa forma é de se esperar que o desvio 
médio seja um valor “pequeno”. Para isso devemos subtrair da média cada valor de horas:
7 - 8 = - 1
8 - 8 = 0
9 - 8 = 1
8 - 8 = 0
7 - 8 = -1
9 - 8 = 1
 8 - 8 = 0
Por fim, para calcular o desvio médio, temos de fazer a média aritmética simples dos 
desvios, desconsiderando seus sinais. Desse modo, temos:
= =1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 4
77
0,57 
Portanto o desvio médio é 0,57. Isso nos diz que cada elemento varia 0,57 da média 
aritmética, tanto para mais quanto para menos.
2) Considerando o conjunto de dados 2, 5, 8, 15, 20, a média aritmética simples é:
= =2 + 5 + 8 + 15 + 20 50
55
10 
Curso Técnico EaD SENAR
92
Note que alguns dos dados que temos estão muito distantes da média. Assim é de se esperar 
que o desvio médio seja um número “grande”. O próximo passo é calcular os desvios: 
2 - 10 = -8
5 - 10 = -5
8 - 10 = -2
 15 - 10 = 5 
 20 - 10 = 10 
Por fim calculamos a média aritmética simples dos desvios, sem os sinais, e obtemos o desvio 
médio:
= =8 + 5 + 2 + 5 + 10 30
55
6 
2.3. Variância
A variância é a média aritmética ao quadrado dos desvios. Então, se temos n valores x1 , x2 ,…, xn 
e a média deles é m, para calcularmos a variância, fazemos:
( x1 - m)
2 + ( x2 - m)
2 + ...+ ( xn - m)
2
n
Podemos escrever a mesma fórmula calculando em separado os desvios d. Utilizando esses 
d, a fórmula fica assim:
( d1 )
2 + ( d2 )
2 + ...+ ( dn )
2
n
A variância nos mostra o quão longe da média está o conjunto de dados. Veja a análise no 
exemplo a seguir.
Em uma semana, um agricultor vende sacas de café nas seguintes quantidades: 10, 9, 11, 12 e 
8. Vamos calcular a média aritmética simples de sacas vendidas nessa semana:
10 + 9 + 11 + 12 + 8 50
10
5 5
==
Então a venda média é de 10 sacas por dia. Note que nem todos os dias foram vendidas 10 
sacas. Podemos verificar essa diferença da média calculando a variância, por meio da fórmula:
(10 -10)2+ (9 -10)2+ (11 -10)2+ (12 -10)2+ (8 -10)2 10
2
5 5
==
Matemática Básica e Financeira
93
Portanto, por dia, esse agricultor esteve em média 2 sacas de café longe da média de 10 sacas 
vendidas diariamente. Observe que esse valor realmente confere com as vendas diárias. 
2.4. Desvio-padrão 
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Logo, se temos n variáveis x1 , x2 ,…, xn e sua 
média aritmética simples é m, então o desvio-padrão é calculado pela seguinte fórmula:
n
(x1 - m )
2 + (x2 - m )
2 +...+ (xn - m)
2
2 
Podemos calcular os desvios em separado, obtendo a mesma fórmula em função dos desvios d:
n
(d1 )
2 + (d2 )
2 +...+ (dn )
2
2 
O desvio-padrão, assim como o desvio médio absoluto, é uma 
medida associada toda a amostra, e não a cada elemento 
individualmente. O desvio-padrão, do mesmo modo que o desvio 
médio absoluto, mede o quanto os elementos estão próximos ou 
afastados da média. Na prática, então, o desvio-padrão indica 
qual é o “erro” se quiséssemos substituir um dos valores coletados 
pelo valor da média. 
Veja na prática partindo do exemplo utilizado anteriormente:
Um agricultor vende sacas de café da seguinte forma:10, 9, 11, 12 e 8. Calculamos a variância 
de suas vendas nessa semana e concluímos que ela foi de 2 sacas. Agora, para calcularmos o 
desvio-padrão, tomamos a raiz quadrada desse valor:
2 = 1,4
2 
Portanto o desvio-padrão, ou seja, o afastamento entre os dados e a média das vendas de sacas 
de café durante a semana, foi de aproximadamente 1,4 saca. 
Atividades 1: Noções de estatística
a) Levantou-se que os alunos de um curso técnico do Senar têm ao todo 11 filhos, cujas 
idades são iguais a: 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 15, 16. A moda e a mediana desses 11 
valores correspondem a que números?
Curso Técnico EaD SENAR
94
b) Numa empresa rural, 20 engenheiros agrícolas têm salário de 4.000 mensais; 10 técnicos, 
de 3.000 mensais; e 30 operários, de 2.000 mensais. Qual é o salário médio dos funcionários 
dessa empresa?
c) A média das idades de cinco colaboradores de uma fazenda é 23,2 anos. Se um membro 
dessa equipe, que possui 27 anos, for substituído por outro colaborador externo de 20 
anos e os demais colaboradores forem mantidos, então qual passará a ser a média de 
idade dessa equipe, em anos?
d) Considere um grupo formado por cinco filhos de fazendeiros com idade de 13, 13, 14, 14 
e 15 anos. O que acontece com a média de idade desse grupo se um sexto amigo com 16 
anos se juntar ao grupo?
e) O fazendeiro João vendeu 3 sacas de café a mais que Paulo, que vendeu 6 sacas a mais 
que o cafeicultor Luiz. A média aritmética entre os três foi de 6 sacas. Quantas sacas Paulo 
vendeu?
f) Sete bezerros foram pesados, e os resultados em quilogramas foram: 57; 62,9; 63,5; 64,1; 66,1; 
67,1; 73,6. Calcule a média, a variância e o desvio-padrão.
Tópico 2: Noções de probabilidade
No começo deste tema você viu que a análise de dados permite ter uma boa ideia da 
distribuição desse conjunto. Em particular, a distribuição de frequências é uma ferramenta 
útil para avaliarmos determinado fenômeno. A partir dessas frequências, podemos calcular a 
média, a mediana ou, por exemplo, o desvio-padrão. 
Essas frequências e medidas calculadas são estimativas de quantidades desconhecidas, 
associadas em geral a populações das quais os dados foram extraídos em forma de amostras. 
Em particular, as frequências são estimativas de probabilidades de ocorrência de certos 
eventos. Por exemplo, se você descobre que o peso médio de um grupo de novilhos é 210 kg 
e que o desvio-padrão é pequeno, podemos dizer que há grandes chances de que, se você 
escolher qualquer um dos novilhos, ele tenha praticamente esse peso. 
Com suposições adequadas, podemos criar um modelo teórico que reproduza a distribuição 
de frequências. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos, e veremos algumas de 
suas noções neste tópico.
1. Conceitos básicos
A probabilidade é um número que varia de 0 a 1 e que mede a chance de ocorrência de 
determinado resultado. Quanto mais próxima de zero for a probabilidade, menores serão as 
chances de ocorrer o resultado; e, quanto mais próxima de um for a probabilidade, maiores 
serão as chances.
As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, 
inclusive em decimais, frações e porcentagens. Por exemplo, a 
chance de ocorrência de certo evento pode ser expressa como 1%; 
1 em 100; 0,01 ou 1/100.
Matemática Básica e Financeira
95
Legenda: A probabilidade de se ganhar na Mega-Sena, por exemplo, é de 1 em 50.063.860 (cinquenta milhões, sessenta e três 
mil oitocentos e sessenta).
Fonte: Shutterstock
1.1. Experimento aleatório
Experimento é qualquer atividade realizada que pode apresentar diferentes resultados. Um 
experimento é dito aleatório quando não conseguimos afirmar o resultado que será obtido 
antes de realizar o experimento. Um experimento é chamado de equiprovável se todos os 
possíveis resultados possuem a mesma chance de ocorrer.
Resumidamente, um evento aleatório é quan-
do sabemos os possíveis resultados, mas não 
podemos afirmar qual acontecerá. Sempre 
que nosso objeto de estudo não for adultera-
do, por exemplo, uma moeda com caras em 
ambos os lados, nosso evento será equiprová-
vel. Vejamos alguns exemplos de eventos alea-
tórios equiprováveis:
Fonte: Shutterstock
• Lançamento de uma moeda (honesta) – poderá ser cara ou coroa.
• Lançamento de um dado (honesto) – um número de 1 a 6.
Curso Técnico EaD SENAR
96
1.2. Espaço amostral e evento
Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos 
considerar:
Espaço amostral
É o conjunto cujos elementos são todos os possíveis resultados que 
podem ser obtidos na realização de um experimento. Ainda utilizando 
os exemplos da moeda e do dado:
• Espaço amostral da moeda – será o conjunto formado pelos 
elementos cara e coroa, isto é, {cara, coroa}.
• Espaço amostral do dado – é o conjunto formado por todos os 
possíveis números do dado, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento
É qualquer subconjunto, ou uma parte, de um espaço amostral. Por 
exemplo:
• Um evento num lançamento seria “sair um número par”. Note que 
esse evento pode ser reescrito como {2, 4, 6} e essa é uma parte do 
conjunto do espaço amostral.
• No caso da moeda, um evento poderia ser sair cara, isto é, {cara}.
2. Cálculo de probabilidades
A partir de agora você verá como calcular probabilidades de eventos únicos, dependentes 
ou independentes e da união de dois eventos. A forma de realizar esses cálculos é muito 
parecida, mas existem detalhes que precisam ser ressaltados. Então, fique atento! 
Considerando um evento de um espaço amostral referente a um experimento aleatório e 
equiprovável, a probabilidade de se obter o evento é dada pelo quociente:
probabilidade = número de elementos do evento
número de elementos do espaço amostral
Todos os casos que trabalharemos serão aleatórios e equiprováveis. Veja na prática: 
1) Vamos calcular a probabilidade de sair o número 3 no lançamento de um dado. Temos os 
seguintes dados: 
• Espaço amostral: conjunto dos possíveis resultados, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Evento: apenas o número 3, isto é, {3}.
• Cálculo da probabilidade: conforme a fórmula que acabamos de ver, devemos dividir o 
número de eventos (um evento) pela quantidade de possibilidades (seis possíveis casos), 
ou seja: 
≈ 0,161
6
Matemática Básica e Financeira
97
Portanto a probabilidade de sair o número 3 num lançamento de um dado é de aproximada-
mente 16% (para chegar à porcentagem apenas multiplicamos o resultado da probabilidade 
por 100).
2) Qual seria a probabilidade de sair um número par no lançamento de um dado? 
Procedemos de forma parecida com a do exemplo anterior. 
• Espaço amostral: o conjunto das possibilidades, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Evento: apenas os números pares entre 1 e 6, isto é, {2, 4, 6}.
• Cálculo da probabilidade: dividimos o número de eventos, que é 3 (ou seja, 2, 4 e 6) pelo 
número total de possibilidades, nesse caso 6. Dessa forma a probabilidade será:
= =3
6
1 0,5
2
Portanto temos 50% de chance de obter um número par num lançamento de um dado. 
Note que, intuitivamente, faz sentido o resultado que obtivemos, pois, num dado com 
números de 1 a 6, metade dos números são pares e a outra metade são ímpares. Logo 
temos 50% de chance para cada uma dessas possibilidades.
3) Um fazendeiro enumera seus 50 funcionários para que um sorteio de bonificação seja feito. 
Se ele sortear ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 4?
Vamos analisar cada conceito e depois calcular a probabilidade.
• Espaço amostral: o conjunto dos números de 1 a 50, isto é, {1, 2, 3, 4…, 50}.
• Eventos: todos os múltiplos do número 4 entre 1 e 50, ou seja, {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 
36, 40, 44, 48}.
• Cálculo da probabilidade: devemos dividir o número de elementos dos eventos pela 
quantidade total de número do espaço amostral. Logo:
= =12
50
6 0,24
25
Conclusão, temos 24% de chance de sortear um múltiplo do número 4 entre os números 
1 e 50.
4) Uma produtora de bovinos de corte possui um rebanho de 100 cabeçasde gado. Cada um 
dos seus animais é enumerado com um número entre 1 e 100 sem repetições. Suponhamos 
que ela queira fazer uma pesquisa e sorteie honestamente alguns dos animais ao acaso. 
Qual é a probabilidade de o número do animal sorteado ser:
Curso Técnico EaD SENAR
98
a) 15?
• Espaço amostral: conjunto de números entre 1 e 100, isto é, {1, 2,…, 100}.
• Eventos: o número 15, ou seja, {15}.
• Probabilidade: 1
100
= 0,01, ou 1% de chance.
b) Maior que 85?
• Espaço amostral: conjunto de números entre 1 e 100, ou seja, {1, 2, …, 100}.
• Eventos: os números maiores que 85 até 100, isto é, {86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 
96, 97, 98, 99, 100}.
• Probabilidade: 15
100
 = 0,15 ou 15% de chance.
c) Formado por um algarismo? 
• Espaço amostral: conjunto de números entre 1 e 100, ou seja, {1, 2, …, 100}.
• Eventos: entre os números 1 e 100, os únicos formados apenas por um algarismo são {1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
• Probabilidade: 9
100
 = 0,09, ou 9% de chance.
3. Cálculo de probabilidades simultâneas
O cálculo da probabilidade de eventos simultâneos determina a chance de dois ou mais 
eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente. 
Para realizar o cálculo dessas probabilidades, devemos verificar se os eventos são indepen-
dentes ou dependentes. Vejamos estes dois casos e como procedemos.
Eventos 
independentes
Dizemos que dois eventos são independentes quando o fato de 
um ocorrer não influenciar na probabilidade do outro acontecer. 
Calculamos a probabilidade independente de dois eventos da seguinte 
forma:
(probabilidade evento 1)*(probabilidade evento 2)
Eventos 
dependentes
Dois eventos são dependentes quando uma probabilidade interfere 
na outra. Para calcularmos essa probabilidade, devemos multiplicar a 
probabilidade de um evento pela probabilidade do outro, mas excluir o 
primeiro evento dessa probabilidade, isto é:
(probabilidade evento 1)*(probabilidade evento 2 excluindo evento 1)
Matemática Básica e Financeira
99
Exemplos:
1) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de ocorrer 
coroa e número par?
Vejamos primeiro as possibilidades que existem para esses lançamentos formados por 
uma posição da moeda e um número do dado: (cara, 1), (cara, 2), ..., (cara, 6), (coroa, 1), 
(coroa, 2), ... ou (coroa, 6). São possíveis 12 resultados diferentes, dos quais apenas (coroa, 
2), (coroa, 4) e (coroa, 6) nos interessa, isto é, apenas 3 em 12 (25%). 
Note que os eventos “lançar uma moeda” e “lançar um dado” são independentes, pois 
um não influencia no outro. Então, para calcular essa probabilidade simultânea, devemos 
determinar cada probabilidade em separado e depois multiplicá-las. Analisando os dados 
do problema, podemos ver:
• Espaço amostral da moeda: todas as possibilidades de escolhas são {cara, coroa}.
• Evento da moeda: queremos saber a chance de obtermos apenas {coroa}.
• Probabilidade da moeda: 1
2
 = 0,5, ou 50% de chance de sair coroa.
• Espaço amostral do dado: todos os possíveis números são {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Eventos do dado: como queremos apenas os pares, temos o conjunto {2, 4, 6}. 
• Probabilidade do dado: 3
6
 = 1
2
 = 0,5, ou 50% de chance de tirarmos um número par.
• Probabilidade simultânea: como os eventos não se interferem, a probabilidade simultânea 
será a multiplicação das probabilidades de cada evento, isto é, 1
2
 * 1
2
= 1
4
 = 0,25.
Portanto temos 25% de chance de tirarmos uma coroa na moeda e um número par no 
dado quando jogados ao mesmo tempo.
2) Numa urna há 30 bolinhas enumeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, 
ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 
na primeira e um número ímpar na segunda?
Note que os eventos “tirar um múltiplo de 10” e “tirar um número ímpar” são dependentes, 
pois, quando retiramos a primeira bolinha, não a devolvemos antes de retirar a segunda. 
Dessa forma, quando tiramos a primeira bolinha interferimos na probabilidade da segunda. 
Vamos analisar cada caso:
• Espaço amostral múltiplo de 10: todas as possibilidades entre 1 e 30, ou seja, {1, 2,…, 30}.
• Eventos múltiplos de 10: todos os múltiplos de 10 entre 1 e 30, isto é, {10, 20, 30}.
• Probabilidade dos múltiplos de 10: 3
10
= 1
10
 = 0,1, ou 10%.
• Espaço amostral do número ímpar: como já retiramos uma bolinha, agora temos apenas 
29 possibilidades, logo nosso espaço amostral é {1, 2, …, 29}.
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100
• Eventos de número ímpar: entre 1 e 30 temos os números ímpares {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 
17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}.
• Probabilidade de número ímpar: 15
29
≈ 0,52, ou 52% de chance.
Agora que sabemos a probabilidade de tirarmos um múltiplo de 10 e a probabilidade de 
tirarmos um número ímpar, lembrando que não recolocamos a bolinha que foi sorteada 
primeiro, basta multiplicá-las e saberemos a probabilidade simultânea:
1
10
15
29
15
290
3
58*
= = ≈ 0,05
Portanto a probabilidade de ambos os eventos acontecerem é de aproximadamente 5%.
4. Probabilidade da união de dois eventos
Outro cálculo de probabilidade é o da união de dois eventos. Por exemplo, podemos querer 
saber a probabilidade de um dado ser jogado para cima com um número múltiplo de 2 ou de 3. 
Nesse tipo de probabilidade, utilizamos a fórmula:
(probabilidade evento 1) + (probabilidade evento 2) - (probabilidade eventos 1 e 2 simultaneamente)
Existem casos em que os eventos 1 e 2 não podem ocorrer 
simultaneamente. Desse modo: 
(probabilidade eventos 1 e 2 simultaneamente)=0
Acompanhe o seguinte caso para entender melhor. No lançamento de um dado, qual a 
probabilidade de o número obtido ser múltiplo de 2 ou 3?
Vamos calcular separadamente a probabilidade de ser um múltiplo de 2, depois de ser um 
múltiplo de 3 e, por último, de ser um múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo. Note que entre 1 e 
6 temos um múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo, a saber, o número 6.
• Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Eventos dos múltiplos de 2: {2, 4, 6}
• Probabilidade dos múltiplos de 2: 3
6
= 1
2
 = 0,5, ou 50% de chance
• Eventos dos múltiplos de 3: {3, 6}
• Probabilidade dos múltiplos de 3: 2
6
= 1
3
 ≈ 0,33, ou 33% de chance
• Eventos dos múltiplos de 2 e 3: {6}
• Probabilidade dos múltiplos de 2 e 3: 1
6
≈ 0,16, ou 16% de chance
Matemática Básica e Financeira
101
Portanto, a probabilidade de, num lançamento (honesto) de um dado, obtermos um múltiplo 
de 2 ou 3 é, conforme a fórmula anterior, a soma de cada probabilidade menos a probabilidade 
do evento simultâneo
3
6
2
6 6 6
1 4+ - = 2
3
= ≈ 0,66 ou 66%
Atividades 2: Noções de probabilidade
a) Uma bola será retirada de uma sacola que contém 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual 
a probabilidade de essa bola ser verde?
b) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três caírem com 
a mesma face para cima?
c) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade de a mulher 
engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade de ela vir a engravidar somente no quarto 
mês de tentativas?
d) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma 
única ficha, qual a probabilidade de ela ser verde ou amarela?
Encerramento do tema
Desenvolvemos, ao longo deste tema, os conceitos básicos de estatística e da teoria de 
probabilidades. Os casos aqui apresentados podem ser transpostos para o seu cotidiano 
profissional. Os métodos apresentados podem ser utilizados em diversas situações e 
fornecer dados que possam ajudar na tomada de decisões importantes em que deve se 
lidar com certo risco.
Curso Técnico EaD SENAR
102
Encerramento da unidade curricular
A matemática sempre foi e sempre será muito importante em qualquer atividade. Por 
exemplo, como o papel de um gestor, independentemente da área em que atua, é gerir os 
recursos (financeiro, material, humano etc.), a matemática sempre estará presente, pois será 
por meio de contas e valores que podemos fornecer os dados para tomar a melhordecisão ou 
maximizar os lucros. Já no caso de um técnico que atua em campo, a matemática é essencial 
para diversos momentos: desde o cálculo de áreas e insumos a serem utilizados até para 
apoiar a gestão financeira da propriedade.
Dentro das cadeias produtivas do agronegócio estão as propriedades rurais, com suas múltiplas 
atividades, os bancos que fornecem créditos, a indústria de insumos agrícolas, a indústria de 
tratores e peças, as lojas agropecuárias e os laboratórios. O profissional desta área sempre 
terá de lidar com números e contas que estão ligados a esses segmentos, como quantidade, 
valor de produtos a serem comprados ou vendidos, valor de remuneração salarial, valor de 
maquinários, entre outros.
Fonte: Shutterstock
Grande parte da matemática é baseada em deduções lógicas, dependentes umas das outras. 
Devemos ser capazes de partir um problema em etapas lógicas e resolvê-lo passo a passo, 
usando técnicas que muitas vezes são o resultado de anos de aprendizagem. O raciocínio 
que temos de desenvolver para a resolução dos problemas matemáticos pode, e deve ser 
empregado em muitas outras áreas do conhecimento. 
Estude este material sempre que for necessário, visto que são conteúdos que aparecerão 
novamente em outras unidades curriculares.
Sucesso!
Matemática Básica e Financeira
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Referências 
BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2002.
FERREIRA, R. S. Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Viçosa/
MG: UFV, 1999.
QUILELLI, P. Raciocínio lógico matemático. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009.
Curso Técnico EaD SENAR
104
Gabarito
Tema 1: Matemática básica
Atividades | Tópico 1: Conjuntos numéricos
a) N, ℤ, Q e R b) I e R c) Q e R d) Q e R e) I e R 
f) N, ℤ, Q e R g) Q e R h) Q e R i) Q e R j) I e R
 
Atividades | Tópico 2: Operações fundamentais
a) 4 b) 1 c) -15 d) -6 e) 10 f) 10 g) -2
h) -2 i) -2 j) 2 k) 8 l) -15 m) 21 n) 18
o) 1 p) 0,125 q) 180 e 180 r) 18 e 20
Atividades | Tópico 3: Frações
a) 3
10
 b) 2
3
- c) 1
3
 d) 2
15
 e) 122
105
f) 1
15
 
g) 2
3
 h) 10-
3
i) 3
16
 j) 5
3
 k) 4
9
 
Atividades | Tópico 4: Proporcionalidade
a) 1.360 b) 30 c) 240
d) 10 e) 75%, 16%, 250%, 33,33% f) 27, 27, 44,1, 715, 69, 96
Atividades | Tópico 5: Potências 
a) 1 b) 0 c) -8 d) -64 e) 256 f) 2.187 g) 3
h) 3 i) -155 j) 125 k) 256 l) 530 m) 25
9
 n) 8
729
o) 1 p) 1
16
 q) 2
3
Tema 2: Matemática financeira
Atividades | Tópico 1: Juros simples
a) R$ 3.081,25 b) 10 anos c) R$ 6.045,62
d) i 6,67% e) JE = R$ 15.387,61 e JC = R$ 15.405,77 f) R$ 5.803,00
Matemática Básica e Financeira
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Atividades | Tópico 2: Desconto simples
a) i = 6,52% a.m. b) DC = 1.077,30 e VC = 4.288,50
c) i =11,98% a.a. d) R$ 689,65 e R$ 4.310,34
Atividades | Tópico 3: Juros compostos
a) R$ 11.706,55 b) 14.641 c) R$ 2.069,33 d) 5,23% a.d. e) 21,74% a.d.
Atividades | Tópico 4: Desconto composto
a) R$ 139.553,63 b) R$ 9.366,83 c) R$ 5.675,79 d) 5,12% a.t. 
Tema 3: Estatística e probabilidade
Atividades | Tópico 1: Noções de estatística
a) 13, 13 b) 2.833,33 c) 21,8
d) aumento de 0,3 e) 7 sacas f) 64,90, 21,57, 4,64
Atividades | Tópico 2: Noções de probabilidade
a) 41% b) 25% c) 10,24% d) 6
SGAN 601 MÓDULO K - EDIFÍCIO ANTÔNIO
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