IMPA - Introdução à geometria analítica complexa by Marcos Sebastiani

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marcos sebastiani 
 
introdução à 
geometria analítica 
complexa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sebastiani, Marcos 
 Introdução à geometria analítica complexa / Marcos 
Sebastiani. 1 ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014 
 
 265 p.; (Projeto Euclides) 
 
 e-ISBN 978-85-244-0369-9 
 
1. Geometria complexa. I. Título. II. Série 
 
CDD-515.9 
 
 
marcos sebastiani 
 
introdução à 
geometria analítica 
complexa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright  2014 by Marcos Sebastiani 
 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 
Capa: Noni Geiger e Sérgio R. Vaz 
 
Projeto Euclides 
Comissão Editorial: 
 Elon Lages Lima 
 S. Collier Coutinho 
 Paulo Sad 
 
Títulos Publicados: 
• Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima 
• Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez 
• Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hönig 
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima 
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo 
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo 
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves 
• Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, 
Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski 
• Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho 
• Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo 
• Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor 
• Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James 
• Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima 
• Teoria Ergódica - Ricardo Mañé 
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler 
• Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer 
• Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael Iório Jr. e Valéria Iório 
• Álgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain 
• Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima 
• Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto 
• Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain 
• Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani 
• Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior 
• Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard 
• Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e 
Antonio Leitão 
• Homologia Básica - Elon Lages Lima 
• Teoria dos Números: um Passeio com Primos e outros Números Familiares pelo Mundo Inteiro - 
Fabio Brochero Martinez, Carlos Gustavo Moreira, Nicolau Saldanha e Eduardo Tengan 
• Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira 
 
Distribuição: 
 IMPA 
 Estrada Dona Castorina, 110 
 22460-320 Rio de Janeiro, RJ 
 e-mail: ddic@impa.br 
 http://www.impa.br 
Conteúdo
I Preliminares e Conceitos Básicos 7
I.1 Aplicações holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2 Primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.3 O teorema da aplicação inversa . . . . . . . . . . . 16
I.4 Variedades anaĺıticas complexas . . . . . . . . . . . 17
I.5 Germes de funções holomorfas . . . . . . . . . . . . 21
I.6 Recobrimentos anaĺıticos . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.7 Funções meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.8 Complementos topológicos . . . . . . . . . . . . . . 27
II Extensão de Funções Anaĺıticas 30
II.1 Extensão de funções limitadas . . . . . . . . . . . . 31
II.2 Extensão de funções quaisquer . . . . . . . . . . . . 34
II.3 Domı́nios de holomorfia . . . . . . . . . . . . . . . . 37
IIITeorema de Preparação e Aplicações 40
III.1 Conjuntos definidos por uma equação . . . . . . . . 41
III.2 O teorema de preparação . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.3 O teorema de divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III.4 Conjuntos anaĺıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
III.5 Parametrização local de conjuntos anaĺıticos . . . . 83
IV Propriedades Locais dos Conjuntos Anaĺıticos 94
IV.1 Germes redut́ıveis e irredut́ıveis . . . . . . . . . . . 94
IV.2 Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
IV.3 Anéis locais. Pontos singulares e regulares . . . . . 112
1
2 CONTEÚDO
V Aplicações Anaĺıticas 125
V.1 Aplicações anaĺıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
V.2 Prinćıpio do máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
V.3 Extensão de funções anaĺıticas . . . . . . . . . . . . 135
V.4 Imagens próprias dos conjuntos anaĺıticos . . . . . . 136
V.5 Aplicações anaĺıticas de tipo finito . . . . . . . . . . 155
V.6 Multiplicidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
V.7 Intersecções completas . . . . . . . . . . . . . . . . 184
VI Singularidades Essenciais 190
VI.1 Decomposição global de conjuntos anaĺıticos . . . . 190
VI.2 Prolongamento no caso de dimensão diferentes . . . 195
VI.3 Conjuntos algébricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
VI.4 Prolongamento no caso de dimensões iguais . . . . . 210
Apêndice 1: Complementos de Álgebra 224
1 Anéis noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2 Radicais de ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3 Extensões inteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4 Elementos primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5 Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Apêndice 2: Imagens Próprias de Conjuntos Anaĺıticos. Aplicações238
1 Imagens próprias de conjuntos anaĺıticos . . . . . . 238
2 Cone tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Indicações para Resolução dos Exerćıcios 249
Bibliografia 265
Índice Anaĺıtico 267
Introdução
Na Geometria Algébrica estudam-se os subconjuntos de Cn ou Pn(C)
definidos por equações polinomiais: variedades lineares, cônicas, quá-
dricas, cúbicas, etc. Em Geometria Anaĺıtica Complexa, os objetos
primeiros de estudo são os subconjuntos do Cn ou Pn(C) definidos lo-
calmente por equações anaĺıticas. Como todo polinômio é uma função
anaĺıtica, estes objetos são mais gerais que aqueles estudados em Ge-
ometria Algébrica. Além disso, a descrição local por equações anaĺıticas
permite um estudo mais aprofundado da geometria das singularidades
destes objetos.
Este livro foi concebido para interessar a estudantes graduados, nesta
tanto fascinante quanto de importância fundamental área da Matemática.
Esforço máximo foi feito para apresentar os diversos temas de maneira
mais elementar e auto-contida posśıvel. A exposição é detalhada, ten-
dendo a facilitar o trabalho dos autodidatas. A teoria e os conceitos são
ilustrados com numerosos exemplos e exerćıcios. Soluções aos exerćıcios
são apresentadas ao final do livro.
Os prerequisitos para a leitura deste livro são:
a) Familiaridade com a teoria de funções de uma variável complexa;
b) Análise em Rn e rudimentos de variedades diferenciáveis;
c) Noções básicas de Álgebra. (No apêndice I apresentamos alguns
fatos básicos de Álgebra Comutativa para tornar o livro mais auto-
contido).
(Vide referências [1], [2], [3], [4] e [5] da Bibliografia).
Os temas tratados neste livro são agora clássicos e utilizamos livre-
mente a bibliografia dispońıvel sem indicar a fonte original de cada re-
2 CONTEÚDO
sultado. Tomamos cuidado em utilizar os métodos mais elementares
posśıveis. Para um estudo mais avançado e aprofundado dos assuntos
aqui abordados recomendamos aos estudantes as referências [6], [7], [8]
e [10] da Bibliografia.
No Caṕıtulo I é definida a noção de função anaĺıtica de várias variáveis
complexas e são dadas algumas propriedades básicas; em particular, o
teorema da aplicação inversa e suas conseqüências. A seguir, são intro-
duzidas as variedades anaĺıticas complexas e os recobrimentos anaĺıticos
(não ramificados).
No Caṕıtulo II são apresentados os teoremas fundamentais de ex-
tensão de funçõesanaĺıticas e noções de domı́nios de holomorfia.
O estudo dos conjuntos anaĺıticos é abordado no Caṕıtulo III onde
são desenvolvidos os teoremas de preparação, de divisão e o teorema dos
zeros de Hilbert. Para facilitar a compreensão são estudados primeiro os
conjuntos definidos por uma única equação. No caso do conjunto estar
em C2 mostra-se no Exerćıcio III.1.2, que uma “desingularização” vem
dada por uma superf́ıcie de Riemann.
Neste mesmo Caṕıtulo são definidos os anéis locais em Cn e é provado
que eles são anéis noetherianos de factorização única. Nos exerćıcios
damos um exemplo que mostra que o conjunto dos pontos onde o germe
de uma função anaĺıtica é irredut́ıvel não é, em geral, aberto (Exerćıcio
III.3.2). Finalmente, são introduzidos os conjuntos anaĺıticos quaisquer.
O Exemplo III.4.4 mostra que, em geral, um conjunto anaĺıtico não
pode ser definido por equações globais. A noção de germe de con-
junto anaĺıtico é definida e é estudada a relação entre germes de con-
junto anaĺıtico e ideais do anel local. Acaba este Caṕıtulo com o teo-
rema de parametrização local. Como auxiliar, provamos um critério de
analiticidade (Teorema III.5.1). No Exerćıcio III.5.3 mostra-se que toda
aplicação anaĺıtica e injetora de um aberto de Cn em Cn tem imagem
aberta e inversa anaĺıtica.
Os germes de conjuntos anaĺıticos são estudados no Caṕıtulo IV. A
decomposição em germes irredut́ıveis é usada para provar que todo con-
junto anaĺıtico é localmente conexo. A dimensão é definida geometrica-
mente e é demonstrado o teorema da seção por hipersuperf́ıcie. Os anéis
locais dos germes anaĺıticos são definidos e é provado que a dimensão
CONTEÚDO 3
do germe é a mesma que a dimensão do anel local correspondente. No
Exemplo IV.2.5 constroem-se germes anaĺıticos irredut́ıveis α, β, γ tais
que α ∪ β ⊂ γ e:
dimα ∩ β < dim α + dimβ − dim γ.
No Exerćıcio IV.2.6, mostra-se que todo conjunto anaĺıtico de dimensão
1 que seja localmente irredut́ıvel em cada um de seus pontos é uma
variedade topológica, mas que isto é geralmente falso se a dimensão é
> 1.
Os germes regulares e singulares são definidos geometricamente e é
provado que que a regularidade de um germe equivale à regularidade do
seu anel local. Mostra-se que as componentes irredut́ıveis de um germe
são representadas localmente pelos fechos das componentes conexas do
conjunto dos pontos regulares e que os pontos singulares estão contidos
em um subconjunto anaĺıtico próprio. No Exemplo IV.3.7 constrói-se
um germe anaĺıtico irredut́ıvel γ em Cn (n ≥ 2) tal que dim γ = 1 e tal
que o ideal maximal do seu anel local não admite menos de n geradores.
Como aplicação da estratificação dos conjuntos anaĺıticos prova-se o
teorema de que toda função anaĺıtica em U−X estende-se a U quando U
é um domı́nio de Cn e X é um subconjunto anaĺıtico de U de dimensão
≤ n − 2.
No exerćıcio IV.3.4 é dada a interpretação geométrica do mı́nimo
número de geradores do ideal maximal do anel local de um germe anaĺıtico
γ. Mostra-se que ele coincide com a mı́nima dimensão dos germes reg-
ulares que contém γ. Em outro exerćıcio estuda-se o problema de saber
quando todo sub-germe de codimensão 1 de um germe anaĺıtico pode
ser definido por uma única equação (Exerćıcio IV.3.5).
No Caṕıtulo V estudam-se as aplicações anaĺıticas entre conjuntos
anaĺıticos. O teorema principal é que a imagem de um conjunto anaĺıtico
por uma aplicação anaĺıtica e própria é um conjunto anaĺıtico. Depois
são estudados os recobrimentos anaĺıticos finitos ramificados. As noções
de grau local e global são definidas e demonstrado que a soma dos graus
locais em uma fibra é o grau global (Teorema V.5.7). O polinômio carac-
teŕıstico é considerado no Teorema V.5.8. Finalmente, a multiplicidade
de um germe é definida e prova-se que ela é invariante por isomorfismos
4 CONTEÚDO
anaĺıticos e que ela coincide com o número local de intersecções com
uma variedade linear genérica de dimensão complementar.
Na continuação definem-se os germes de intersecção completa. Uma
prova simples, usando o teorema de Baire, é dada do fato que todo germe
de dimensão pura pode ser mergulhado em um germe de intersecção
completa da mesma dimensão.
As singularidades essenciais são tradadas no Caṕıtulo VI. A decom-
posição global de conjuntos anaĺıticos em componentes irredut́ıveis é
considerada neste caṕıtulo porque é a primeira vez que aparecem estas
considerações globais. Prova-se que todo conjunto anaĺıtico irredut́ıvel
é conexo.
Consideramos depois um aberto conexo U de Cn, um subconjunto
anaĺıtico Y de U e um subconjunto anaĺıtico X de U − Y de dimensão
pura k e mostramos, com diversos exemplos que, em geral, o fecho Z de
X em U não é um subconjunto anaĺıtico de U (nem mesmo Z ∩ Y ). Se
dimY < k, é provado o teorema fundamental que assegura que, neste
caso, Z é subconjunto anaĺıtico de U . No caso que dim Y = k provamos
que Z ∩ Y é um subconjunto anaĺıtico de Y . Em particular, se Y é
irredut́ıvel, então Y ⊂ Z ou Z é um subconjunto anaĺıtico de U .
Os conjuntos algébricos (afins e projetivos) são introduzidos e prova-
se que todo subconjunto anaĺıtico do espaço projetivo é algébrico. No
Exerćıcio VI.3.3 a noção de algebricamente irredut́ıvel é definida e é
provado que ela equivale à noção de analiticamente irredut́ıvel para os
conjuntos algébricos. Em particular, todo conjunto algébrico algebri-
camente irredut́ıvel é conexo. No Exerćıcio VI.4.5, mostra-se que toda
função inteira f cujo conjunto de zeros é um conjunto algébrico é da
forma f = egp onde g é inteira e p um polinômio.
As noções de cone tangente e explosão são consideradas no Apêndice
II.
O autor agradece a ajuda, comentários, cŕıticas e correções de Elis-
abeth F. da C. Gomes, Luis Gustavo Mendes e Paulo Sad e o trabalho
de digitação e editoração eletrônica de Rogerio D. Trindade.
Uma primeira versão de parte deste livro foi exposta no Colóquio da
SBM de 1979.
Notações
1. C corpo dos números complexos.
R corpo dos números reais.
Z anel dos inteiros.
R+ = {x ∈ R : x > 0}.
2. Se a ∈ Kn(K = C,R ou Z) a1, . . . , an são as coordenadas de
a.
3. ||z||2 =∑nj=1 |zj|2 para todo z ∈ Cn.
||r||2 =∑nj=1 |rj|2 para todo r ∈ Rn.
4. Se a ∈ Cn, r ∈ (R+)n o polidisco de centro a e multirraio r é:
∆(a; r) = ∆(a; r1, . . . , rn)
= {z ∈ Cn : |zj − aj| < rj, 1 ≤ j ≤ n}
∆(a; r) = ∆(a1; r1) × · · · × ∆(an; rn)
Se a ∈ Cn e r ∈ Rn:
∆(a; r) = {z ∈ Cn : |zj − aj| ≤ rj, 1 ≤ j ≤ n}.
5. Oa(X) (pg. 113), I(α) (pg. 68), V (I) (pg. 68).
Chamaremos domı́nios aos conjuntos abertos e conexos de
um espaço Cn.
6 CONTEÚDO
Se C é um subconjunto de um espaço topológico E notaremos
por ∂C a fronteira de C.
O termo função será reservado geralmente para as aplicações
com valores em C.
Caṕıtulo I
Preliminares e Conceitos
Básicos
Neste caṕıtulo vamos introduzir a noção de função anaĺıtica em
várias variáveis complexas e estudar as suas propriedades básicas,
algumas das quais são generalizações imediatas de propriedades
similares em uma variável. Daremos a forma complexa do teorema
da aplicação inversa e suas aplicações. Definiremos as variedades
anaĺıticas complexas por analogia com as variedades diferenciáveis.
I.1 Aplicações holomorfas
A noção de função (ou aplicação) diferenciável de várias variáveis
complexas é análoga à correspondente noção para funções de variá-
veis reais, como acontece no caso de uma variável complexa.
Definição I.1.1. Seja U ⊂ Cn um aberto, seja f : U → Cm uma
aplicação e seja a ∈ U . Dizemos que f é diferenciável em a (no
sentido complexo) se existe uma aplicação C-linear L : Cn → Cm
tal que
f(z) = f(a) + L(z − a) + ρ(z)
onde limz→a ρ(z)/||z − a|| = 0.
Como no caso real, L é única e é chamada a diferencial de f em
a e notada L = df(a).
8 [CAP. I: PRELIMINARESE CONCEITOS BÁSICOS
Teorema I.1.1. (equações de Cauchy-Riemann). Seja U ⊂ Cn
um aberto, seja a ∈ U e seja f : U → Cm uma aplicação. Então,
f é diferenciável em a se e somente se ela é diferenciável como
aplicação de um aberto de R2n em R2m e sua diferencial real L:
R2n → R2m em a é C-linear como aplicação L : Cn → Cm (com a
identificação usual Cq = R2q).
Prova. Conseqüência direta das definições, como no caso de uma
variável.
Definição I.1.2. Dizemos que uma aplicação é holomorfa em a ∈
Cn se ela é diferenciável em todo ponto de uma vizinhança de a.
Dizemos que f : U → Cm, U aberto de Cn, é holomorfa se ela é
holomorfa em todo ponto de U .
Definição I.1.3. Uma série de potências em a ∈ Cn com coefi-
cientes em Cm é uma série de forma:
∞
∑
ν1=0,...,νn=0
Aν1,...,νn(z1 − a1)ν1 · · · (zn − an)νn
onde Aν1,...,νn ∈ Cm. Dizemos que a série é convergente se existe
um polidisco ∆ = ∆(a; r) ⊂ Cn tal que a série converge em cada
ponto de ∆.
De maneira inteiramente análoga ao caso das séries de potências
de uma variável, prova-se que, neste caso, a série converge absoluta
e uniformemente em cada compacto de ∆. Em particular, a soma
da série é uma função cont́ınua em ∆, e independe da ordem dos
termos da série.
Definição I.1.4. Seja f uma aplicação definida em uma vizinhan-
ça de a ∈ Cn e a valores em Cm. Dizemos que f é anaĺıtica em
a se existe uma série de potências em a com coeficientes em Cm,
convergente em um polidisco ∆(a; r) ⊂ Cn e tal que sua soma
coincide com f na vizinhança de a. A série de potências com esta
propriedade é única e é chamada de série de Taylor de f em a.
A prova da unicidade é por indução em n, para reduzir ao caso
de uma variável, observando que se fazemos a substituição zn = α
[SEC. I.1: APLICAÇÕES HOLOMORFAS 9
(α ∈ C, |α| < rn) na série, obtemos uma série em n − 1 variáveis
que converge a f(z1, z2, . . . , α).
Se U é um aberto de Cn dizemos que f : U → Cm é anaĺıtica se
ela é anaĺıtica em todo ponto de U .
Lema I.1.2. Se f é anaĺıtica em a ∈ Cn, então f é anaĺıtica em
uma vizinhança de a.
Prova. Suponhamos que
f(z) =
∑
Aν1,...,νn(z1 − a1)ν1 · · · (zn − an)νn
em um polidisco ∆ = ∆(a; r) ⊂ Cn, onde Aν1,...,νn ∈ Cm. Seja
b ∈ ∆ e vamos provar que f é anaĺıtica em b. Seja sj > 0 tal que
sj + |bj − aj| < rj (1 ≤ j ≤ n).
Então
(a1 + s1 + |b1 − a1|, . . . , an + sn + |bn − an|) ∈ ∆(a; r).
Logo, a série converge absolutamente neste ponto, ou seja:
∑
||Aν1,...,νn|| · (s1 + |b1 − a1|)ν1 · · · (sn + |bn − an|)νn
é convergente. Desenvolvendo as potências dos binômios decorre
dáı que a série:
∞
∑
ν1=0,...,νn=0
∑
0≤α1≤ν1,...,0≤αn≤νn
||Aν1,...,νn||
(
ν1
α1
)(
ν2
α2
)
· · ·
· · ·
(
νn
αn
)
|b1 − a1|ν1−α1 · · · |bn − an|νn−αnsα11 · · · sαnn
é convergente. Seja z ∈ ∆(b; s). Então a série:
∞
∑
ν1=0,...,νn=0
∑
0≤α1≤ν1,...,0≤αn≤νn
Aν1,...,νn
(
ν1
α1
)
· · ·
(
νn
αn
)
(b1 − a1)ν1−α1 · · ·
· · · (bn − an)νn−αn(z1 − b1)α1 · · · (zn − bn)αn
10 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
converge absolutamente. Se a somamos primeiro nos α1, . . . , αn
e depois nos ν1, . . . , νn obtemos f(z). Se somamos primeiro nos
ν1, . . . , νn e depois nos α1, . . . , αn, obtemos uma série de potências
em b. Então f é anaĺıtica em b.
Se f é anaĺıtica em a, então f é diferenciável em a: a diferencial
L = df(a) é dada por:
L(u) = A1,0,...,0u1 + · · · + a0,0,...,1un, u ∈ Cn
onde Aν1,...,νn são os coeficientes da série de Taylor de f em a.
Temos, portanto, o seguinte:
Corolário I.1.3. Se f é uma aplicação anaĺıtica em a ∈ Cn então
f é holomorfa em a. Se U ⊂ Cn é aberto e f : U → Cm é anaĺıtica,
então f é holomorfa.
Do Teorema I.1.4 abaixo vai resultar que a rećıproca do Corolário
I.1.3 é verdadeira e poderemos usar “holomorfa” e “anaĺıtica” como
sinônimos.
Definição I.1.5. Seja U ⊂ Cn um aberto, seja f : U → Cm uma
aplicação e seja a ∈ U . Dizemos que f é derivável na variável zj
no ponto a se a função de uma variável:
f(a1, . . . , zj, . . . , an)
é derivável no ponto zj = aj. Sua derivada é notada
∂f
∂zj
(a). Dize-
mos que f é derivável na variável zj se ela é derivável em zj em
todo ponto de U .
Teorema I.1.4. (Osgood). Seja U um aberto de Cn e seja f : U →
Cm uma aplicação cont́ınua. Suponhamos f derivável em cada
variável por separado. Então f é anaĺıtica em U .
Prova. Seja a ∈ U . Vamos provamos que f é anaĺıtica em a. Por
uma simples mudança de variáveis podemos reduzir ao caso a = 0,
para simplicidade da notação.
Seja r > 0 bastante pequeno para que:
∆(0; r, n. . ., r) ⊂ U.
[SEC. I.1: APLICAÇÕES HOLOMORFAS 11
Como f é holomorfa em cada variável deixando as outras cons-
tantes, podemos aplicar n vezes a fórmula de Cauchy para funções
de uma variável e obtemos:
f(z) =
(
1
2πi
)n ∫
|ξn|=r
dξn
ξn − zn
∫
|ξn−1|=r
dξn−1
ξn−1 − zn−1
· · ·
· · ·
∫
|ξ1|=r
f(ξ1, . . . , ξn)
ξ1 − z1
dξ1
para todo z ∈ ∆(0, r, . . . , r). Seja
ξj = re
2πitj 0 ≤ tj ≤ 1, 1 ≤ j ≤ n.
Então, como f é cont́ınua, a integral iterada se reduz à:
f(z) = rn
∫
[0,1]n
e2πi(t1+···+tn)f (re2πit1 , . . . , re2πitn)
(re2πit1 − z1) · · · (re2πitn − zn)
dt1 · · · dtn
=
∫
[0,1]n
f (re2πit1 , . . . , re2πitn)
(
1 − z1
re2πit1
)
· · ·
(
1 − zn
re2πitn
) dt1 · · · dtn.
Como |zj| < r temos:
1
1 − zj
re2πitj
= 1 +
zj
re2πitj
+
z2j
(re2πitj)2
+ . . .
e a série é absoluta e uniformemente convergente se 0 ≤ tj ≤
1. Fazendo o produto das séries, substituindo na integral e inte-
grando termo a termo, obtemos o desenvolvimento de f em série
de potências convergente em ∆(0; r, . . . , r). Logo, f é anaĺıtica em
0.
Observação I.1.1. A hipótese de continuidade da f não é necessá-
ria para a validez do Teorema I.1.4 mas a prova deste teorema sem
aquela hipótese é muito mais dif́ıcil (Teorema de Hartogs). (Vide
[8] Ch. II Teorema 2.2.8).
Corolário I.1.5. Seja U ⊂ Cn um aberto e seja f : U → Cm uma
aplicação. Então f é holomorfa se e somente se f é anaĺıtica.
12 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
Prova. Se f é anaĺıtica, f é holomorfa pelo Corolário I.1.3. Se f
é holomorfa, então f é cont́ınua e derivável em cada variável por
separado. Logo, pelo Teorema I.1.4, f é anaĺıtica.
Exemplo I.1.1. A composição de aplicações anaĺıticas é anaĺıtica.
Toda combinação de funções elementares é anaĺıtica onde ela está
definida. Mais geralmente, a soma, o produto, o quociente (onde
está definido) de funções anaĺıticas é uma função anaĺıtica.
I.2 Primeiras propriedades
A seguir temos algumas propriedades das funções anaĺıticas de
várias variáveis que decorrem diretamente das correspondentes pro-
priedades para funções de uma variável.
Teorema I.2.1. Seja f uma função (i.e., aplicação com valores
em C) anaĺıtica em um domı́nio U de Cn. Suponhamos que |f | tem
máximo em U . Então f é constante.
Prova. Seja a ∈ U tal que
|f(a)| = max
z∈U
|f(z)|.
Seja
S = {z ∈ U : f(z) = f(a)}.
Então S é fechado em U e a ∈ S. Vamos provar que S é aberto em
U e, então, teremos S = U ; ou seja, f é constante.
Seja u ∈ S. Seja r > 0 tal que
∆ = ∆(u; r, n. . ., r) ⊂ U.
Seja v ∈ ∆. Consideremos a função em uma variável z1:
f(z1, u2, . . . , un)
anaĺıtica se |z1−u1| < r. Seu módulo é máximo para z1 = u1. Logo,
ela é constante; pelo teorema em uma variável. Em particular,
f(v1, u2, . . . , un) = f(a).
[SEC. I.2: PRIMEIRAS PROPRIEDADES 13
Consideremos agora a função em uma variável z2:
f(v1, z2, u3, . . . , un)
anaĺıtica se |z2 − u2| < r. Seu módulo é máximo para z2 = u2.
Logo, ela é constante. Em particular,
f(v1, v2, u3, . . . , un) = f(a), etc.
Desta maneira chagaremos a que f(v) = f(a). Logo, ∆ ⊂ S; o que
prova que S é aberto.
É claro que os zeros de uma função anaĺıtica não nula de várias
variáveis complexas em um domı́nio não tem porque formar um
conjunto discreto (exemplo: os zeros de z21 − z22 emC2). Porém,
vale o seguinte:
Teorema I.2.2. Seja U um domı́nio em Cn e seja f : U → Cm
uma aplicação anaĺıtica não identicamente nula. Então, f−1(0)
tem interior vazio.
Prova. Por indução em n. Para n = 1 é um teorema conhecido
de funções de uma variável complexa. Seja n > 1 e suponhamos o
teorema válido para funções de n− 1 variáveis.
Seja
S = {z ∈ U : existe vizinhança Vz ⊂ U de z tal que f |Vz = 0}.
Devemos provar que S = ∅. Como S 6= U porque f 6≡ 0 e como S
é aberto, bastará provar que S é fechado em U .
Seja a ∈ U , a ∈ S. Seja r > 0 tal que
∆ = ∆(a; r, n. . ., r) ⊂ U.
Então existe b ∈ ∆ ∩ S. Como b ∈ S, existe vizinhança Vb ⊂ ∆ de
b tal que f |Vb = 0 (veja figura). Seja s > 0 tal que
∆′ = ∆(b; s, n. . ., s) ⊂ Vb.
14 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
Fixemos zn ∈ C tal que |zn − bn| < s e consideremos:
g(z1, . . . , zn−1) = f(z1, . . . , zn)
como função das n− 1 primeiras variáveis, anaĺıtica em
∆((a1, . . . , an−1); r, n−1. . . , r).
Como f |∆′ = 0 temos que
g|∆((b1, . . . , bn−1); s, n−1. . . , s) = 0.
Pela hipótese de indução, g ≡ 0. Quer dizer que
f(z1, . . . , zn) = 0 se |zj − aj| < r (1 ≤ j ≤ n− 1) e |zn − bn| < s
(área indicada na figura).
Fixemos agora z1, . . . , zn−1 tais que |zj −aj| < r (1 ≤ j ≤ n−1)
e consideremos:
h(zn) = f(z1, . . . , zn)
como função de zn, anaĺıtica em ∆(an; r) ⊂ C. Pelo que provamos,
h|∆(bn; s) = 0. Logo, pelo teorema em uma variável, h ≡ 0. Quer
dizer que
f(z) = 0 para todo z ∈ ∆.
Então a ∈ S, o que prova que S é fechado em U .
[SEC. I.2: PRIMEIRAS PROPRIEDADES 15
Corolário I.2.3. Seja U um domı́nio em Cn. Então o conjunto
das funções anaĺıticas em U é uma C-algebra H(U) sem divisores
de zero.
Prova. A não existência de divisores de zero segue do Teorema
I.2.2 como no caso de uma variável.
Vamos terminar este parágrafo com um lema que vai ser útil
depois.
Lema I.2.4. Sejam U ⊂ Cn+1 e V ⊂ Cn conjuntos abertos. Seja
γ : [a, b] → C um caminho continuamente diferenciável tal que
(z, γ(t)) ∈ U para todo z ∈ V, a ≤ t ≤ b.
Seja g : U → Cm uma aplicação anaĺıtica. Para cada z ∈ V seja:
h(z) =
∫
γ
g(z, ξ) dξ.
Então h : V → Cm é anaĺıtica e:
∂h
∂zj
(z) =
∫
γ
∂g
∂zj
(z, ξ) dξ, 1 ≤ j ≤ n
para todo z ∈ V .
Prova. A aplicação h é cont́ınua. Calculando o quociente incre-
mental, prova-se que h é derivável respeito de cada variável zj e
obtém-se a fórmula para a derivada. O lema decorre, então, do
Teorema I.1.4.
Teorema I.2.5. Sejam U ⊂ Cn um aberto e Gm : U → Ck aplica-
ções anaĺıticas, m = 1, 2, 3, . . . . Suponhamos que existe F : U → Ck
tal que Gm → F uniformemente em cada compacto de U . Então F
é holomorfa e dGm → dF uniformemente em cada compacto de U .
Prova. Este resultado é conhecido para n = 1. Pelo Teorema I.1.4,
resulta que F é holomorfa. O resto se prova como no Caso n = 1,
usando a fórmula de Cauchy (vide a prova do Teorema I.1.4).
16 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
I.3 O teorema da aplicação inversa
Vamos agora considerar o teorema da aplicação inversa e suas con-
seqüências para funções anaĺıticas de várias variáveis complexas.
Teorema I.3.1. Sejam: U um aberto de Cn, f : U → Cn uma
aplicação anaĺıtica e a ∈ U . Suponhamos que df(a) é inverśıvel
como aplicação linear Cn → Cn. Então existem vizinhanças abertas
Va ⊂ U de a e Vb de b = f(a) e existe uma aplicação anaĺıtica
g : Vb → Va tais que:
f(Va) = Vb, g ◦ f = IdVa e f ◦ g = IdVb .
Prova. Consideremos f como aplicação C∞ de um aberto de R2n
em R2n. Pelo teorema da aplicação inversa para aplicações reais,
existem vizinhanças abertas Va ⊂ U de a e Vb de b = f(a) e uma
aplicação C∞, g : Vb → Va tais que
f(Va) = Vb, g ◦ f = IdVa e f ◦ g = IdVb .
Decorre dáı que
(dg)(f(z)) = (df(z))−1 para todo z ∈ Va.
Logo, dg(w) é C-linear para todo w ∈ Vb. Então, pelo Teorema
I.1.1, g é anaĺıtica complexa.
A partir daqui os teoremas das formas locais de imersões e sub-
mersões, o teorema das funções impĺıcitas, etc, seguem por inteira
analogia ao caso real. Em particular temos:
Teorema I.3.2. Seja U um aberto de Cn, seja f : U → Cm uma
aplicação anaĺıtica e seja a ∈ U . Suponhamos que existe uma vi-
zinhança aberta Va ⊂ U de a tal que posto df(z) é constante para
z ∈ Va. Então f é localmente equivalente (em a) à uma aplicação
linear; isto é, existem vizinhanças abertas Wa ⊂ Va de a e Wb de
b = f(a), existem vizinhanças abertas A de 0 em Cn e B de 0 em
Cm, e existem aplicações g : Wa → A e h : Wb → B tais que:
[SEC. I.4: VARIEDADES ANAĹITICAS COMPLEXAS 17
a) g, h são bijetivas, anaĺıticas e g−1, h−1 são anaĺıticas;
b) f(Wa) ⊂ Wb e L(A) ⊂ B onde L = df(a);
c) f |Wa = (h−1 ◦ L ◦ g)|Wa.
I.4 Variedades anaĺıticas complexas
O teorema da aplicação inversa e suas conseqüências permite desen-
volver a teoria básica de variedades anaĺıticas complexas de maneira
paralela à teoria de variedades diferenciáveis. A teoria avançada,
porém, é inteiramente diferente, essencialmente pelo fato de exis-
tirem “poucas” funções anaĺıticas (vide Corolário I.4.1 abaixo).
Definição I.4.1. Uma variedade anaĺıtica complexa é um espaço
topológico separado X com base enumerável de abertos, no qual
está dada, para cada aberto U , uma C-álgebra de funções cont́ınuas
H(U) (chamadas as funções anaĺıticas ou holomorfas em U) de
maneira que:
a) A restrição de uma função anaĺıtica no aberto U ao aberto
V ⊂ U é anaĺıtica;
b) Se U = Ui∈IUi, Ui abertos, e se f : U → C é uma função,
então:
f ∈ H(U) se e somente se f |Ui ∈ H(Ui)
para todo i;
c) Para todo a ∈ X existe uma vizinhança aberta U de a e um
homeomorfismo h : U → V , V aberto de Cn, tal que para
todo W ⊂ V aberto e toda função f : W → C temos: f é
holomorfa em W , no sentido do Caṕıtulo 1, §1, se e somente
se f ◦ h ∈ H(h−1(W )).
18 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
Os pares (U, h) chamam-se as cartas locais da estrutura de va-
riedade anaĺıtica complexa.
Como no caso real, o número n que aparece na definição é cons-
tante em cada componente conexa de X e chama-se dimensão.
Definição I.4.2. Sejam M,N variedades anaĺıticas complexas. Se-
ja f : M → N uma aplicação cont́ınua. Dizemos que f é anaĺıtica
(ou holomorfa) se para todo V ⊂ N aberto e toda g ∈ H(V ) temos
g ◦ f ∈ H(f−1(V )).
Definição I.4.3. Sejam M,N variedades anaĺıticas complexas. Se-
ja f : M → N uma aplicação anaĺıtica e bijetora tal que f−1
também é anaĺıtica. Então f é chamada de isomorfismo e M e
N são chamadas de isomorfas .
Da mesma maneira que para variedades diferenciáveis, as pro-
priedades locais das variedades anaĺıticas complexas são as mesmas
que as dos espaços Cn, porque elas são cobertas por abertos iso-
morfos e abertos de Cn. Em particular, os Teoremas I.2.1 e I.2.2
e o Corolário I.2.3 são verdadeiros quando tomamos como U uma
variedade anaĺıtica complexa conexa. Temos também:
Corolário I.4.1. Seja M uma variedade anaĺıtica complexa conexa
e compacta. Então, toda função anaĺıtica em M é constante.
Prova. Com efeito, se f : M → C é anaĺıtica, |f | é uma função
cont́ınua em M . Portanto, |f | tem máximo em M e f é constante.
Exemplo I.4.1. Da mesma maneira que Pn(R) (espaço projetivo
real de dimensão n) tem uma estrutura natural de variedade diferen-
ciável, Pn(C) (espaço projetivo complexo de dimensão n) tem uma
estrutura natural de variedade anaĺıtica complexa. Lembramos que
Pn(C) é o conjunto dos subespaços vetoriais de dimensão 1 de Cn+1.
Cada ponto ξ ∈ Pn(C) é determinado pelas suas coordenadas ho-
mogêneas ξ = (z0, z1, . . . , zn) que não são todas nulas e representam
um vetor não nulo de ξ ⊂ Cn+1. Um sistema de cartas locais que
cobrem Pn(C) é dado por (Ui, hi) (0 ≤ i ≤ n) onde:
Ui = {ξ ∈ Pn(ξ) : ξ = (z0, . . . , zn) e zi 6= 0}
[SEC. I.4: VARIEDADES ANAĹITICAS COMPLEXAS 19
e
hi(ξ) = (z0/zi, . . . , zi−1/zi, zi+1/zi, . . . , zn) ∈ Cn.
Como hi identifica Ui com Cn, osUi são chamados de abertos afins
de Pn(C).
A aplicação canônica π : Cn+1 − {0} → Pn(C) que a cada z ∈
Cn+1, z 6= 0, associa o subespaço gerado por z, é anaĺıtica.
Como espaço topológico Pn(C), da mesma maneira que Pn(R),
é compacto.
Exemplo I.4.2. As superf́ıcies de Riemann são as variedades ana-
ĺıticas complexas conexas de dimensão 1.
As variedades anaĺıticas complexas tem uma estrutura subja-
cente de variedade diferenciável C∞. Com efeito, como Cn = R2n,
as cartas locais da estrutura anaĺıtica complexa definem uma estru-
tura diferenciável. A dimensão como variedade diferenciável é duas
vezes a dimensão como variedade anaĺıtica complexa.
Seja M uma variedade anaĺıtica complexa e seja p ∈M . Como
M é variedade diferenciável, o espaço tangente Tp(M) a M em p
está bem definido como R-espaço vetorial. Como toda carta local
é um difeomorfismo, usando uma carta local cujo domı́nio contém
p obtemos um isomorfismo Tp(M) ≃ Cn. Isto permite introduzir
uma estrutura de C-espaço vetorial em Tp(M) que independente da
carta local escolhida.
Sejam M,N variedades anaĺıticas complexas e seja f : M → N
aplicação anaĺıtica. Como f é diferenciável a respeito das estruturas
diferenciáveis subjacentes de M e N , está bem definida
df(p) : Tp(M) → Tp(N)
para todo p ∈ M e q = f(p), como aplicação R-linear. Verifica-
se imediatamente, escolhendo cartas locais, que df(p) é C-linear.
Reciprocamente, se f é diferenciável e df(p) é C-linear para todo
p ∈M , então f é anaĺıtica (vide Teorema I.1.1).
Exemplo I.4.3. Seja u1, . . . , u2n uma R-base de Cn = R2n. Seja
H = {z ∈ Cn : z = m1u1 + · · · +m2nu2n, mj ∈ Z}.
20 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
Então H é um subgrupo aditivo de Cn. Seja T = Cn/H. Se
tomamos em T a topologia quociente, T é um espaço topológico com
base enumerável de abertos. Consideremos a aplicação canônica
p : Cn → T.
Se U é um aberto de Cn, então
V =
⋃
z∈H
(U + z)
também é aberto. Decorre dáı que p é uma aplicação aberta.
Como H é um subconjunto discreto de Cn, p é localmente inje-
tora. Logo, p é um homeomorfismo local.
Como H é um subconjunto fechado de Cn, T é separado. Seja
K = {z ∈ Cn : z = α1u1 + · · · + α2nu2n, αj ∈ R, 0 ≤ αj ≤ 1}.
Então K é compacto e p(K) = T . Logo T é compacto. Para
cada aberto U ⊂ T dizemos que f : U → C é anaĺıtica se f ◦
p : p−1(U) → C é anaĺıtica. Com esta definição, T é uma variedade
anaĺıtica complexa compacta de dimensão n (a condição (c) da
definição decorre de que p é um homeomorfismo local), chamada
toro complexo. Observemos que, T é homeomorfa a S1 × 2n. . .× S1.
Uma pergunta interessante é: quais são os toros complexos que
podem ser mergulhados em um espaço projetivo complexo de di-
mensão bastante grande? A resposta é: todos, se n = 1 (são as
chamadas curvas eĺıpticas).
Se n > 1 existem toros complexos que não podem ser mergu-
lhados em nenhum espaço projetivo e é posśıvel caracterizar estes
toros. (Vide [9], Chap. I, §3.)
Exemplo I.4.4. A diferencial de π : Cn+1−{0} → Pn em z ∈ Cn+1,
z 6= 0 (vide Exemplo I.4.1) identifica Cn+1/ξ a Tξ(Pn) onde ξ = C·z.
Uma vez definida a diferencial, estende-se a variedades anaĺıticas
complexas as noções de imersão, submersão e mergulho.
[SEC. I.5: GERMES DE FUNÇÕES HOLOMORFAS 21
Teorema I.4.2. Seja U uma variedade anaĺıtica complexa. Seja X
um subconjunto de U tal que para todo a ∈ X existe uma vizinhan-
ça aberta Va de a em U e uma aplicação anaĺıtica f : Va → Cm tal
que df(a) é sobrejetiva e
X ∩ Va = f−1(0).
Então X tem uma estrutura natural de variedade anaĺıtica complexa
tal que a inclusão X → U é um mergulho.
Prova. O teorema decorre da forma local das submersões, inteira-
mente como para as variedades diferenciáveis.
Definição I.4.4. Se X satisfaz as condições do Teorema I.4.2 e é
fechado em U , dizemos que X é uma subvariedade de U .
Exemplo I.4.5. Sejam a, b,∈ C e suponhamos que a equação X3+
aX + b = 0 não tem ráızes múltiplas. Então, se z1, z2, z3 são as
coordenadas homogêneas em Pn(C), a equação:
z22z3 = z
3
1 + az1z
2
3 + bz
3
3
representa uma subvariedade de Pn(C) de dimensão 1. Na teoria
de curvas eĺıpticas prova-se que esta variedade é isomorfa a um toro
complexo e que todo toro complexo de dimensão 1 é isomorfo a uma
variedade desta forma. (Vide [2] Chap. VI, §5).
I.5 Germes de funções holomorfas
Definição I.5.1. Seja M um espaço topológico, seja N um con-
junto e seja a ∈M . Consideremos a famı́lia de todas as aplicações
definidas em alguma vizinhança de a e com valores em N . Nesta
famı́lia definimos uma relação de equivalência. Dizemos que duas
aplicações são equivalentes se elas coincidem em alguma vizinhança
de a. As classes de equivalência são chamadas germes de aplicação
em a (com valores emN). Chamamos germe em a de uma aplicação
f à classe de equivalência que contém f .
22 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
Duas aplicações têm o mesmo germe se e somente se elas coinci-
dem em alguma vizinhança de a. Em particular, elas têm o mesmo
valor em a.
Definição I.5.2. O valor comum (em a) de todas as aplicações que
pertencem a um mesmo germe é chamado de valor do germe.
Definição I.5.3. Seja X uma variedade anaĺıtica complexa e seja
a ∈ X. O conjunto dos germes em a de funções anaĺıticas na
vizinhança de a é notado Oa(X) e é chamado o anel local de X
em a.
Teorema I.5.1. Oa(X) é uma C-álgebra comutativa, com unidade,
sem divisores de 0 e que tem um único ideal maximal.
Prova. Provaremos as duas últimas afirmações. Sejam f, g funções
anaĺıticas em uma vizinhança aberta U de a em X e suponhamos
que o produto dos germes de f e g em a é 0. Então, existe uma
vizinhança V ⊂ U aberta de a tal que
fg|V = 0.
Tomando V mais pequena, podemos supor V conexa. Então, f |V =
0 ou g|V = 0. Então, ou o germe de f ou o germe de g em a é nulo.
Logo, Oa(X) não tem divisores de 0.
Se a cada germe de função anaĺıtica em a associamos o valor do
germe em a, obtemos um epimorfismo:
Oa(X) → C.
Seu núcleo Ma(X) é um ideal maximal. Seja f anaĺıtica em a tal
que seu germe em a não pertence à Ma(X). Então, f(a) 6= 0. Logo,
o germe de f em a é inverśıvel em Oa(X). Então, todo elemento
de Oa(X) que não pertence à Ma(X) é inverśıvel. Decorre dáı que
Ma(X) é o único ideal maximal.
Exemplo I.5.1. Seja C[z1, . . . , zn] o anel de polinômios em
z1, . . . , zn. Então,
C[z1, . . . , zn] ⊂ O0(Cn),
porque todo polinômio está bem determinado pelo seu germe em 0.
[SEC. I.6: RECOBRIMENTOS ANAĹITICOS 23
I.6 Recobrimentos anaĺıticos
Definição I.6.1. Sejam M,N espaços topológicos separados e seja
f : M → N uma aplicação cont́ınua. Dizemos que f é um recobri-
mento se existe um espaço discreto enumerável S tal que, para todo
y ∈ N , existe uma vizinhança U de y e existe um homeomorfismo
h : f−1(U) → U × S
tal que o diagrama:
f−1(U)
h−→ U × S
f ց ւ p1
U
seja comutativo, onde p1(a, b) = a, (a, b) ∈ U × S.
Quer dizer que, acima de U , a aplicação f identifica-se com a
projeção p1 : U×S → U (p1 é, essencialmente, a identidade U → U
repetida tantas vezes quantos elementos tem S).
Definição I.6.2. Na definição precedente, se S é finito dizemos
que o recobrimento é finito e chamamos ordem do recobrimento ao
cardinal de S. Se M e N são variedades anaĺıticas complexas, se
f é anaĺıtica e se h é isomorfismo (U × S é evidentemente uma
variedade anaĺıtica) dizemos que o recobrimento é anaĺıtico.
Observação I.6.1. Se f : M → N é um recobrimento anaĺıtico
finito de ordem m, decorre da definição que para cada y ∈ N exis-
te vizinhança aberta U de y em N e existem m funções anaĺıticas
ϕ1, . . . , ϕm : U →M tais que
f−1(u) = {ϕ1(u), . . . , ϕm(u)}
para u ∈ U .
24 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
Exemplo I.6.1. Seja M o conjunto dos números complexos que
tem parte real negativa e seja N = ∆(0; 1). Então f(z) = ez éum recobrimento f : M → N − {0} que não é finito. A aplicação
g(z) = zn é um recobrimento finito de ordem n, g : N ′ → N ′,
N ′ = N − {0}.
Teorema I.6.1. Sejam M,N variedades anaĺıticas complexas, N
conexa. Seja f : M → N uma aplicação anaĺıtica, própria, e tal que
df(z) é bijetiva em todo ponto z ∈M . Então f é um recobrimento
anaĺıtico finito.
Prova. Seja y ∈ N . Como f é própria, f−1(y) é compacto. Como
df(z) é bijetiva em todo ponto, f é um homeomorfismo local
(Teorema I.3.1). Logo, f−1(y) é discreto. Então, f−1(y) é finito:
f−1(y) = {x1, . . . , xk}.
Como df(xj) é bijetiva (1 ≤ j ≤ k) existem vizinhanças aber-
tas dois a dois disjuntas U1, . . . , Uk de x1, . . . , xk respectivamente e
vizinhanças abertas V1, . . . , Vk de y tais que
f(Uj) = Vj e f : Uj → Vj é um isomorfismo,
para todo j (Teorema I.3.1).
Existe uma vizinhança aberta W de y tal que
W ⊂ V1 ∩ · · · ∩ Vk e f−1(W ) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk.
Porque, se não existir, existiria uma seqüência {xn} ⊂ M , tal que
f(xn) → y e xn /∈
⋃k
j=1 Uj para todo n.
Como f é própria e N localmente compacto, existe subseqüência
convergente {xni}. Seja a = limxni . Então, a /∈
⋃k
j=1 Uj. Mas,
f(a) = lim f(xni) = y.
Então a ∈ f−1(y) e a /∈ ⋃kj=1 Uj, o que é absurdo.
Seja
Wj = f
−1(W ) ∩ Uj, 1 ≤ j ≤ k.
[SEC. I.6: RECOBRIMENTOS ANAĹITICOS 25
Então os Wj são disjuntos dois a dois, xj ∈Wj,
f−1(W ) ⊂ W1 ∪ · · · ∪Wk
e f : Wj → W é um isomorfismo para j = 1, . . . , k. Em particular,
f−1(W ) tem exatamente k elementos para todo w ∈ W . Decorre
dáı que o cardinal de f−1(y) é localmente constante para y ∈ N .
Como N é conexa, o cardinal de f−1(y) para y ∈ N é uma
constante k.
Seja S = {1, 2, . . . , k}. Seja
h : f−1(W ) → W × S
onde h(x) = (f(x), j) se x ∈ Wj.
Então h é um isomorfismo e o diagrama:
f−1(W )
h−→ W × S
f ց ւ p1
W
é comutativo, o que acaba a prova.
Teorema I.6.2. Sejam M,N espaços topológicos separados e seja
f : M → N um recobrimento. Seja γ : [a, b] → N aplicação cont́ınua
e seja x ∈ M tal que f(x) = γ(a). Então existe δ : [a, b] → M
cont́ınua tal que δ(a) = x e δ ◦ f = γ.
Prova. Para cada t ∈ [a, b] escolhamos uma vizinhança Uy de y =
γ(t) que satisfaz as condições da Definição I.6.1. Como γ é cont́ınua,
existe vizinhança Ut de t em [a, b] tal que γ(Ut) ⊂ Uy. Decorre dáı
e do fato que [a, b] é compacto que existe uma partição
a = t0 < t1 < · · · < tn = b
tal que, para todo j, existe y tal que γ([tj−1, tj]) ⊂ Uy.
Pela propriedade dos abertos Uy é evidente que existe δ1 : [a, t1] →
M tal que δ1(a) = x e f ◦ δ1 = γ|[a, t1]. Pelo mesmo existe
δ2 : [t1, t2] → M tal que δ2(t1) = δ1(t1) e f ◦ δ2 = |[t1, t2], etc.
Então δ = δ1 ∪ · · · ∪ δn.
26 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
I.7 Funções meromorfas
Como no caso de funções de uma variável, uma função meromorfa
em várias variáveis complexas é um objeto que, localmente, é o
quociente de duas funções holomorfas. Não é posśıvel, porém, as-
sociar de maneira simples uma aplicação à uma função meromorfa
em mais de uma variável. Consideremos, por exemplo, f(z1, z2) =
z1z2/z
2
1 + z
2
2 em C
2. Temos:
lim
t→0
f(t, t) =
1
2
lim
t→0
f(t2, t) = 0, etc.
Logo, não é posśıvel associar a f nenhum valor (finito ou in-
finito) no ponto 0. Devemos então proceder diretamente para definir
o conceito de função meromorfa em várias variáveis complexas.
Seja U um variedade anaĺıtica complexa. Para dar uma função
meromorfa F em U devemos dar, para cada a ∈ U , uma vizinhança
aberta e conexa Va de a e um par fa, ga de funções anaĺıticas em
Va, ga 6≡ 0, de maneira que:
fa(z)gb(z) = ga(z)fb(z) para todo z ∈ Va ∩ Vb,
quaisquer que sejam os pontos a e b de U . (Quer dizer que F é
representada por fa/ga em Va. A condição precedente quer dizer,
essencialmente, que:
fa
ga
=
fb
gb
em Va ∩ Vb).
Se temos outro sistema de vizinhanças V ′a de cada a ∈ U e de
funções anaĺıticas f ′a, g
′
a em V
′
a satisfazendo as mesmas condições,
dizemos que representa a mesma função meromorfa F se
fa(z)g
′
a(z) = ga(z)f
′
a(z) para todo z ∈ Va ∩ V ′a,
quaisquer que seja a ∈ U .
Se na vizinhança de um ponto a ∈ U existem funções anaĺıticas
u, v tais que uga = vfa e:
[SEC. I.8: COMPLEMENTOS TOPOLÓGICOS 27
i) tais que v(a) 6= 0, então dizemos que F é anaĺıtica em a;
ii) tais que v(a) 6= 0 e u(a) = 0, então dizemos que a é um zero
de F ;
iii) tais que v(a) = 0 e u(a) 6= 0, então dizemos que a é um polo
de F .
Se a ∈ U não é ponto de analiticidade nem polo de F , então
dizemos que a é um ponto de indeterminação de F .
Exemplo I.7.1. Seja F = z1z2/z
2
1 + z
2
2 em C
2. F é anaĺıtica no
complementar das retas z1 + iz2 = 0, z1 − iz2 = 0. O conjunto de
polos é o conjunto de pontos das duas retas menos 0. O conjunto de
zeros é o conjunto dos pontos dos eixos 0z1, 0z2 menos 0. O único
ponto de indeterminação é 0.
Se U é conexa, o conjunto das funções meromorfas em U é um
corpo M(U) que contém H(U) como subanel (deixamos os detalhes
como exerćıcio ao leitor).
Mesmo se U é um domı́nio de Cn (n ≥ 2) não é, em geral,
verdadeiro que M(U) seja o corpo de frações de H(U) (isto é, que
toda função meromorfa em U seja o quociente de duas funções
anaĺıticas em U), mas não vamos entrar aqui neste problema.
I.8 Complementos topológicos
Vamos acabar o caṕıtulo com algumas pequenas coisas de topologia
geral que vão ser úteis depois.
Lema I.8.1. Sejam X,Y espaços topológicos localmente compactos.
Seja f : X → Y uma aplicação cont́ınua. Sejam a ∈ X, b = f(a) ∈
Y . Suponhamos que existe uma vizinhança aberta relativamente
compacta Ua de a tal que b /∈ f(∂Ua). Seja Vb uma vizinhança
aberta de b tal que
Vb ∩ f(∂Ua) = ∅
(que existe porque, como ∂ua é compacto, f(∂Ua) é também com-
pacto). Seja Wa = f
−1(Vb)∩Ua. Então Wa é uma vizinhança aberta
de a e f : Wa → Vb é uma aplicação própria.
28 [CAP. I: PRELIMINARES E CONCEITOS BÁSICOS
Prova. Seja K ⊂ Vb compacto. Devemos provar que
L = f−1(K) ∩Wa
é compacto. Como L ⊂ Ua, basta provar que L é fechado em X.
Seja x ∈ L, x /∈ L.
De x ∈ L decorre f(x) ∈ K = K ⊂ Vb. Em particular, x ∈
f−1(Vb). Como L é fechado em Wa, temos x /∈ Wa. Logo, x /∈ Ua.
Por outro lado, de x ∈ L decorre x ∈ Ua. Logo, x ∈ ∂Ua. Então
f(x) ∈ f(∂Ua) ∩ Vb, o que é uma contradição.
Corolário I.8.2. Sejam X,Y espaços localmente compactos e seja
f : X → Y uma aplicação cont́ınua. Sejam a ∈ X e b = f(a) ∈ Y .
Suponhamos que a é um ponto isolado em f−1(b). Seja Ua uma
vizinhança aberta de a relativamente compacta e tal que:
Ua ∩ f−1(b) = {a}.
Então, para toda vizinhança bastante pequena Wb de b, a aplicação
f : Wa → Wb é própria, onde Wa = Ua ∩ f−1(Wb).
Prova. Como f−1(b) ∩ ∂Ua = ∅ temos que b /∈ f(∂Ua). Então,
pelo Lema I.8.1, basta tomar Wb tal que Wb ∩ f(∂Ua) = ∅, o que é
posśıvel porque ∂Ua é compacto.
Corolário I.8.3. Sejam X,Y espaços métricos localmente com-
pactos e seja f : X → Y uma aplicação cont́ınua. Sejam U ⊂ X e
V ⊂ Y abertos densos. Suponhamos:
a) U = f−1(V ) e f : U → V é uma aplicação aberta;
b) para todo y ∈ Y existe uma famı́lia fundamental de vizinhan-
ças abertas Wy tais que V ∩Wy é conexo;
c) f−1(y) é enumerável para todo y ∈ Y .
Então, f é uma aplicação aberta.
[SEC. I.8: COMPLEMENTOS TOPOLÓGICOS 29
Prova. Seja a ∈ X e seja b = f(a) ∈ Y . Seja Va uma vizinhan-
ça de a. Vamos provar que f(Va) é uma vizinhança de b. Como
f−1(b) e enumerável, existe uma bola Ua ⊂ Va de centro a tal que
∂Ua ∩ f−1(b) é vazio. Logo, pela hipótese e pelo Lema I.8.1, existe
vizinhanças abertas Wa,Wb de a, b respectivamente tais que:
Wa ⊂ Va, f(Wa) ⊂ Wb, f : Wa → Wb é propria e Wb∩V é conexo,
Como U = f−1(V ) temos que:
f : Wa ∩ U → Wb ∩ V
é própria. Logo, f(Wa∩U) é fechado emWb∩V . Como f : U → V é
aberta, f(Wa∩U) é um aberto. Como U é denso em X, Wa∩U 6= ∅.
Decorre dáı que
f(Wa ∩ U) = Wb ∩ V
porque Wb ∩ V é conexo. Então,
f(Wa) ⊃ Wb ∩ V.
Mas f(Wa)é fechado em Wb, porque f é própria. Como V é denso
em Y , decorre dáı que f(Wa) = Wb. Logo,
f(Va) ⊃ f(Wa) = Wb,
o que desejávamos provar.
Caṕıtulo II
Extensão de Funções
Anaĺıticas
Seja U ⊂ C um domı́nio, seja a ∈ U e seja f uma função anaĺıtica
em U −{a}. Por um teorema clássico de funções anaĺıticas de uma
variável complexa, sabemos que se f é limitada, então é posśıvel
definir f em a de maneira que a função estendida seja anaĺıtica
também em a. Neste caṕıtulo vamos estudar duas generalizações
deste teorema em várias variáveis.
Em primeiro lugar, vamos provar que se U ⊂ Cn é um domı́nio,
se S ⊂ U é um subconjunto “fino” de U e se f é anaĺıtica e limitada
em U − S, então é posśıvel estender analiticamente f à u. Por
conjuntos ”finos”entendemos aqueles conjuntos que estão contidos
no conjunto de zeros de uma função anaĺıtica não identicamente
nula (ou que satisfazem localmente esta propriedade).
Em segundo lugar, vamos mostrar que o teorema citado acima
de funções de uma variável, é válido em duas ou mais variáveis, sem
necessidade da hipótese de que a função seja limitada. Quer dizer
que se U ⊂ Cn (n ≥ 2) é um domı́nio, a ∈ U e f é anaĺıtica em
U − {a}, então é sempre posśıvel definir f em a de maneira que a
função estendida seja anaĺıtica.
Observemos que decorre dáı que em Cn (n ≥ 2) existem pares
de domı́nios não vazios U, V tais que V ⊂ U , V 6= U e toda função
anaĺıtica em V estende-se à uma função anaĺıtica em U . Isto não
[SEC. II.1: EXTENSÃO DE FUNÇÕES LIMITADAS 31
acontece se n = 1 (com efeito, se z0 ∈ (frV ) ∩ U , então (z − z0)−1
é anaĺıtica em V mas não pode ser estendida à U). O estudo deste
fenômeno, que só acontece em duas ou mais variáveis, conduz à
teoria dos domı́nios de holomorfia.
II.1 Extensão de funções limitadas
Definição II.1.1. Seja U um domı́nio de Cn. Seja S ⊂ U . Dizemos
que S é um subconjunto fino de U se para todo a ∈ U existe um
domı́nio Ua, onde a ∈ Ua ⊂ U , e uma função fa anaĺıtica e não
identicamente nula em Ua, tais que fa(z) = 0 para todo z ∈ S∩Ua.
Proposição II.1.1. Seja U um domı́nio de Cn. O fecho em U de
um subconjunto fino de U é um subconjunto fino de U . A união
de um número finito de subconjuntos finos de U é um subconjunto
fino de U . O fecho em U de um subconjunto fino de U tem interior
vazio.
Prova. A primeira afirmação decorre de que toda função anaĺıtica
é cont́ınua. A segunda resulta de que o conjunto de zeros de um
produto de funções é a união dos conjuntos de zeros dos fatores e
do Corolário I.2.3. A terceira decorre da primeira e do Teorema
I.2.2.
Exemplo II.1.1. Se n = 1, os subconjuntos finos de U são os
subconjuntos discretos e fechados em U .
Exemplo II.1.2. Todo subespaço afim de Cn de dimensão menor
que n é um subconjunto fino de Cn. Mais geralmente, todo conjunto
contido no conjunto de zeros de um polinômio não identicamente
nulo é um subconjunto fino de Cn. Se U é um domı́nio de Cn,
toda subvariedade anaĺıtica de U , de dimensão menor que n, é um
subconjunto fino de U .
Exemplo II.1.3. O conjunto S = {1, 1
2
, 1
3
, . . . } não é um subcon-
junto fino de C. Com efeito, toda função f anaĺıtica em um domı́nio
que contém 0 tal que f(1/n) = 0 para todo n bastante grande é
32 [CAP. II: EXTENSÃO DE FUNÇÕES ANAĹITICAS
identicamente nula. Porém, S é subconjunto fino de U = C − {0}.
Este exemplo mostra que a noção de conjunto fino é relativa ao
aberto considerado, que contém S.
Teorema II.1.2. Seja U um domı́nio de Cn e seja S um subcon-
junto fechado fino de U . Suponhamos que f : U−S → C é anaĺıtica
e limitada. Então existe uma única F : U → C anaĺıtica tal que
F |(U − S) = f .
Prova. Suponhamos que n = 1. Então S é um subconjunto dis-
creto e fechado em U . Neste caso o Teorema II.1.2 decorre ime-
diatamente de um resultado clássico da teoria de funções em uma
variável.
Seja então n ≥ 2. A unicidade é evidente, porque F dever ser
cont́ınua e U − S é denso em U (Proposição II.1.1).
Vamos provar a existência de F . Fixemos a ∈ S. Seja P um
polidisco de centro a, contido em U e tal que existe g : P → C
anaĺıtica não identicamente nula com a propriedade que g(z) = 0
para todo z ∈ P ∩ S. Seja b ∈ P , b 6= a, tal que g(b) 6= 0. Seja
L a reta ab. Então L ∩ P é um aberto conexo de L e g|L ∩ P não
é identicamente nula. Como L pode ser identificado à C, decorre
dáı que existe r > 0 tal que o disco fechado de centro a e raio r
(em L) está contido em L ∩ P e g não tem zeros no bordo deste
disco (porque os zeros de uma função de uma variável formam um
conjunto discreto, a menos que a função seja 0).
Por uma mudança de coordenadas, podemos supor que a = 0 é
a origem e que L é o eixo 0zn. Então
g(0, . . . , 0, zn) 6= 0 se |zn| = r.
Portanto, existe s > 0 tal que
g(z1, . . . , zn−1, zn) 6= 0 se |zj| ≤ s (j = 1, . . . , n− 1) e |zn| = r,
porque g é cont́ınua (vide figura).
Seja ∆ = ∆(0; s, . . . , s, r). Tomando s bastante pequeno,
∆ ⊂ U . Para cada z ∈ ∆ defina-se:
h(z) =
1
2πi
∫
|t|=r
f(z1, . . . , zn−1, t)
t− zn
dt.
[SEC. II.1: EXTENSÃO DE FUNÇÕES LIMITADAS 33
Por construção, f(z1, . . . , zn−1, t) é, como função de t, anaĺıtica
e limitada em um aberto que contém o disco |t| ≤ r menos nos
zeros de g, nenhum dos quais pertence ao ćırculo |t| = r. Então
h : ∆ → C está bem definida e é anaĺıtica pelo Lema I.2.4.
Além disso, pelo Teorema II.1.2 em uma variável,
f(z1, . . . , zn−1, t) como função de t, pode ser estendida analitica-
mente a um aberto que contém o disco |t| ≤ r. Então, pela fórmula
de Cauchy em uma variável,
h(z) = f(z) para todo z ∈ ∆ tal que g(z) 6= 0.
Em resumo, fica provado que existe h anaĺıtica em ∆ tal que
h|(∆−S) = f |(∆−S). Fica, assim, provado que a extensão existe
localmente, isto é, que para todo a ∈ S existe um polidisco ∆a ⊂ U ,
de centro a, e uma função ha anaĺıtica em ∆a tal que:
ha|(∆a − S) = f |(∆a − S).
Como S é fechado, a mesma coisa é verdadeira para a ∈ U − S.
Pela unicidade da extensão
ha|(∆a ∩ ∆b) = hb|(∆a ∩ ∆b)
para todo a, b ∈ U . Logo, existe uma única F : U → C tal que
F |∆a = ha para todo a ∈ U . Esta função F é anaĺıtica e F |U−S =
f .
34 [CAP. II: EXTENSÃO DE FUNÇÕES ANAĹITICAS
Corolário II.1.3. Seja U um domı́nio de Cn e seja S um subcon-
junto fechado fino de U . Seja f : U → C cont́ınua tal que f |(U−S)
seja anaĺıtica. Então f é anaĺıtica.
Corolário II.1.4. Seja U um domı́nio de Cn e seja S um subcon-
junto fino de U . Então U − S é conexo.
Prova. Seja T o fecho de S em U . Pela Proposição II.1.1, U − T
é denso em U − S. Basta, então, provar que U − T é conexo.
Suponhamos U −T = A∪B, A e B abertos disjuntos. Seja f : U −
T → C definida por:
f |A ≡ 0 e f |B ≡ 1.
Então f é anaĺıtica e limitada em U − T . Como T é fechado e
fino em U (Proposição II.1.1), existe F : U → C anaĺıtica tal que
F |(U − T ) = f . Se A não é vazio, então F ≡ 0 pelo Teorema I.2.2.
Pela mesma razão, se B não é vazio, F ≡ 1. Logo, ou A ou B têm
que ser vazios. Então U − T é conexo.
Exerćıcio II.1.1. Seja g um polinômio homogêneo em n + 1 va-
riáveis, não identicamente nulo. Seja S ⊂ Pn(C) o conjunto dos
pontos cujas coordenadas homogêneas anulam g. Seja f cont́ınua
em Pn(C) e anaĺıtica no complementar de S. Então f é constante.
Exerćıcio II.1.2. Definir subconjunto fino de uma variedade ana-
ĺıtica conexa U e provar os análogos da Proposição II.1.1, Teorema
II.1.2 e os corolários.
Exerćıcio II.1.3. Seja f anaĺıtica no domı́nio ∆ − S onde ∆ =
∆(0; r) ⊂ Cn e S é o subespaço z1 = 0 de Cn. Suponhamos que
para cada a ∈ ∆(0; r2, . . . , rn) ⊂ Cn−1, a função f(t, a2, . . . , an) é
limitada no domı́nio 0 < |t| < r1. Então, f possui uma extensão
anaĺıtica a ∆.
II.2 Extensão de funções quaisquer
Vamos agora provar que toda singularidade isolada de uma função
anaĺıtica em duas ou mais variáveis é remov́ıvel. Isto decorreime-
diatamente do seguinte:
[SEC. II.2: EXTENSÃO DE FUNÇÕES QUAISQUER 35
Teorema II.2.1. Sejam os polidiscos de Cn:
∆ = ∆(a; r1, . . . , rn) ∆
′ = ∆(a; s1, . . . , sn)
onde 0 < sj < rj (j = 1, . . . , n) e n ≥ 2. Seja f : ∆−∆′ → C uma
função anaĺıtica. Então existe uma única função anaĺıtica F : ∆ →
C tal que F |(∆ − ∆′) = f .
Prova. A unicidade decorre do Teorema I.2.2.
Para provar a existência basta provar que para ∆1 =
∆(a; q1, . . . , qn), onde sj < qj < rj (j = 1, . . . , n), existe F anaĺıtica
em ∆1 tal que F |(∆1 − ∆′) = f |(∆1 − ∆′).
Fazendo uma translação, podemos supor a = 0, para simplificar
as notações.
Defina-se, para z ∈ ∆1:
F (z) =
1
(2πi)2
∫
|u|=q1
du
u− z1
∫
|v|=q2
f(u, v, z3, . . . , zn)
v − z2
dv
Pelo Lema I.2.4, F é anaĺıtica em ∆1.
Se s1 < |u| < r1, |z3| < r3, . . . , |zn| < rn, então a função
f(u, v, z3, . . . , zn) é anaĺıtica, como função de v, no disco |v| < r2.
Pela fórmula de Cauchy em uma variável:
∫
|v|=q2
f(u, v, z3, . . . , zn)
v − z2
= 2πif(u, z2, . . . , zn)
para s1 < |u| < r1 |z2| < q2, |z3| < r3, . . . , |zn| < rn. Decorre dáı
que
F (z) =
1
2πi
∫
|u|=q1
f(u, z2, . . . , zn)
u− z1
du para todo z ∈ ∆1.
Se s2 < |z2| < q2, |z3| < r3, . . . , |zn| < rn, então f(u, z2, . . . , zn) é
anaĺıtica, como função de u, no disco |u| < r1. Pela fórmula de
Cauchy em uma variável:
∫
|u|=q1
f(u, z2, z3, . . . , zn)
u− z1
du = 2πif(z1, z2, . . . , zn)
se |z1| < q1, s2 < |z2| < q2, |z3| < r3, . . . , |zn| < rn. Decorre dáı que
F (z) = f(z) para todo z ∈ ∆1 − ∆′ porque ∆1 − ∆′ é conexo.
36 [CAP. II: EXTENSÃO DE FUNÇÕES ANAĹITICAS
Exemplo II.2.1. Uma função anaĺıtica em duas ou mais variáveis
não pode ter zeros isolados porque a inversa teria singularidades
isoladas.
Exemplo II.2.2. Seja ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn onde n ≥ 2. Suponha-
mos que f é uma função anaĺıtica no aberto U = ∆ − S, onde S é
o subespaço de Cn definido por z1 = z2 = 0. Então f possui uma
única extensão anaĺıtica a ∆.
A unicidade é evidente. Para provar a existência, vamos provar
que f é limitada em ∆′−S para todo ∆′ = ∆(0; s) onde 0 < sj < rj
(j = 1, . . . , n). Então a existência da extensão decorre do Teorema
II.1.2.
Sejam c3, . . . , cn constantes tais que |cj| ≤ sj e seccionemos ∆
com o subespaço z3 = c3, . . . , zn = cn. A seção ∆c é um polidisco
de C2 e
f |∆c = f(z1, z2, c3, . . . , cn)
é anaĺıtica em ∆c − {0}. Pelo Teorema II.2.1, f |∆c possui uma
extensão anaĺıtica a ∆c. Seja ∆
′
c a correspondente seção de ∆
′.
Pelo prinćıpio do máximo (Teorema I.2.1):
|f(z)| ≤ max
t∈fr∆′c
|f(t)| para todo z ∈ ∆′c − {0},
onde fr∆′c é a fronteira de ∆
′
c em ∆c. Seja
K = ∪{fr∆′c : |cj| ≤ sj, 3 ≤ j ≤ n}.
Então,
|f(z)| ≤ sup
t∈K
|f(t)| para todo z ∈ ∆′ − S.
Como K é compacto e K ⊂ ∆−S = U , f é limitada em K. Decorre
dáı que f é limitada em ∆′ − S.
Exerćıcio II.2.1. Se ∆ é um polidisco de Cn (n ≥ 2) e K ⊂ ∆ é
um compacto tal que ∆−K é conexo, então toda função anaĺıtica
em ∆ −K possui extensão anaĺıtica a ∆. Este resultado é falso se
∆ −K não é conexo.
[SEC. II.3: DOMÍNIOS DE HOLOMORFIA 37
Exerćıcio II.2.2. Seja ∆ um polidisco de Cn (n ≥ 2) e seja K ⊂ ∆
um subconjunto compacto tal que ∆ −K é conexo. Seja f função
anaĺıtica em ∆ tal que f(z) 6= 0 para todo z ∈ ∆ − K. Então
f(z) 6= 0 para todo z ∈ ∆.
Exerćıcio II.2.3. Construção de um domı́nio não vazio U de Cn
(n ≥ 2) e de um subconjunto S discreto e fechado de U , tais que
se f é uma função anaĺıtica em U e se f |S = 0 então f = 0.
Seja ∆ um polidisco de centro 0 em Cn e seja U = ∆ − {0}.
Seja z1, z2, z3, . . . um conjunto enumerável denso em ∆−{0}. Para
cada zk consideremos a reta Lk que une z
k a 0. Construa-se S da
maneira seguinte: S = {s1, s2, s3, . . . } ⊂ U onde,
s1 ∈ L1 ∩ ∆ e 0 < ‖s1‖ < 1;
s2 ∈ L1 ∩ ∆, s3 ∈ L2 ∩ ∆ e 0 < ‖si‖ <
1
2
(i = 2, 3);
s4 ∈ L1 ∩ ∆, s5 ∈ L2 ∩ ∆, s6 ∈ L3 ∩ ∆ e
0 < ‖si‖ < 1
3
(i = 4, 5, 6); etc.
Exerćıcio II.2.4. Seja f : Cn −{0} → Cn −{0} (n ≥ 2) anaĺıtica,
injetora tal que se x, y ∈ Cn, x 6= 0, y 6= 0, e 0, x, y estão na mesma
reta (complexa) então 0, f(x), f(y) estão na mesma reta. Então f
é a restrição de uma aplicação linear bijetora Cn → Cn.
II.3 Domı́nios de holomorfia
No que precede mostramos a existência em Cn (n ≥ 2) de pares de
domı́nios U, V tais que U ⊂ V , U 6= V e toda função anaĺıtica em
U pode ser estendida analiticamente a V . Por outro lado, existem
domı́nios U tais que se V é outro domı́nio e U ⊂ V , U 6= V então
existe uma função anaĺıtica em U que não possui extensão anaĺıtica
a V .
Exemplo II.3.1. Seja ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn (n ≥ 2). Suponhamos
que V é um domı́nio tal que ∆ ⊂ V , ∆ 6= V . Então existe a ∈
38 [CAP. II: EXTENSÃO DE FUNÇÕES ANAĹITICAS
(fr∆) ∩ V . Portanto, |aj| = rj para algum j e |ai| ≤ ri para todo
i. Seja
f(z) =
1
zj − aj
, z ∈ ∆.
Então f é anaĺıtica em ∆ mas não possui extensão anaĺıtica (nem
mesmo cont́ınua) a V .
Definição II.3.1. Seja U domı́nio de Cn. Dizemos que U é um
domı́nio de holomorfia se dados um domı́nio V e um aberto não
vazio W tais que W ⊂ V ∩ U e que para toda função f anaĺıtica
em U , f |W pode ser estendida analiticamente a V , então V ⊂ U .
De certa maneira, isto quer dizer que para todo ponto fronteira
de U existe uma função anaĺıtica em U que não pode ser analitica-
mente estendida além deste ponto.
Exemplo II.3.2. Todo domı́nio de C é um domı́nio de holomorfia.
Todo polidisco de Cn é um domı́nio de holomorfia (mesmo racioćınio
que no Exemplo II.3.1). Para todo n ≥ 2 existe em Cn um domı́nio
que não é domı́nio de holomorfia.
Definição II.3.2. Seja U um domı́nio não vazio de Cn. Suponha-
mos que existe outro domı́nio U tal que:
a) U ⊂ U ,
b) toda função anaĺıtica em U estende-se a uma função anaĺıtica
em U ,
c) U é domı́nio de holomorfia. Então dizemos que U é a en-
voltória de holomorfia de U .
Lema II.3.1. A envoltória de holomorfia, se existir, é única.
Prova. Suponhamos que, nas notações da Definição II.3.2, existe
outro domı́nio U ′ que satisfaz as mesmas condições que U . Seja f
uma função anaĺıtica em U . Então U ⊂ U ∩ U ′ e f |U possui uma
extensão anaĺıtica a U ′. Como U é domı́nio de holomorfia, U ′ ⊂ U
(Definição II.3.1). Por analogia, U ⊂ U ′. Então, U = U ′.
[SEC. II.3: DOMÍNIOS DE HOLOMORFIA 39
Exemplo II.3.3. Seja ∆ um polidisco de Cn, n ≥ 2. Então a
envoltória de holomorfia de ∆ − {0} é ∆.
Não vamos entrar aqui no problema da existência da envoltória
de holomorfia. Este problema conduz a considerar domı́nios não
mergulhados em Cn, que são generalizações das superf́ıcies de Rie-
mann de funções de uma variável. Este assunto é tratado no livro
de Gunning e Rossi: [7] Chap. I-G.
Exerćıcio II.3.1. Seja r1, r2, s1, s2 reais tais que
0 < s1 < r1 e 0 < s2 < r2.
Seja ∆ = ∆(0; r1, r2) ⊂ C2 e seja:
U = {z ∈ ∆ : s1 < |z1| < r1 ou |z2| < s2} ⊂ ∆.
Então a envoltória de holomorfia de U é ∆.
Caṕıtulo III
Teorema de Preparação e
Aplicações
Seja f uma função anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈ Cn. Estamos
interessados no estudo local do conjunto X definido pela equação
f = 0. Vamos ver no §1 que é posśıvel obter resultados interessantes
sobre a estrutura de X quando ele veio dado por uma equação do
tipo:
zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1) = 0
onde as a1, . . . , ak são anaĺıticas na vizinhança de 0 ∈ Cn−1 e nulas
em 0.
No §2 vamos provar que toda equação f = 0 pode-se reduzir a
uma do tipo particular acima por meio de uma mudança de coorde-
nadas. Isto resulta do teorema de preparação (”Vorbereitungsatz”)
de Weierstrass.
Nos parágrafos seguintes, aplicaremos o teorema de Weierstrass
ao estudo local dos conjuntos definidos por sistemas de equações
anaĺıticas, ao estudo dos anéis locais de funções anaĺıticas e ao es-
tudo das relações entre as duas coisas (”Nullstellensatz”de Hilbert).
[SEC. III.1: CONJUNTOS DEFINIDOS PORUMA EQUAÇÃO 41
III.1 Conjuntos definidos por uma e-
quação
Vamos antes de tudo lembrar o teorema de dependência cont́ınua
das ráızes de uma equação algébrica como funções dos coeficientes,
que se prova facilmente aplicando o teorema de Rouché para funções
de uma variável complexa.
Teorema III.1.1. Suponhamos que a equação
zm + a1z
m−1 + · · · + am = 0 (m ≥ 1, aj ∈ C)
tem as ráızes α1, . . . , αk com as multiplicidades m1, . . . ,mk
(
∑k
i=1mi = m
)
respectivamente. Sejam D1, . . . , Dk discos disjun-
tos de centros α1, . . . , αk respectivamente. Então existe ρ > 0 tal
que se
bj ∈ C e |bj − aj| < ρ (1 ≤ j ≤ m)
então a equação
zm + b1z
m−1 + · · · + bm = 0
tem exatamente mi ráızes (contadas com suas multiplicidades) no
disco Di (i = 1, . . . , k).
Consideremos agora uma função f anaĺıtica no polidisco U =
∆(0; r1, . . . , rn) da forma:
f(z) = zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + | · · · + ak(z1, . . . , zn−1),
onde k ≥ 1 e as aj são anaĺıticas em ∆ = ∆(0; r1, . . . , rn−1) e
aj(0) = 0 para todo j.
Como a equação zkn = 0 tem a única raiz zn = 0 com mul-
tiplicidade k, decorre do Teorema III.1.1 que, tomando eventual-
mente r1, . . . , rn−1 mais pequenos, podemos supor que se |zj| < rj
(j = 1, . . . , n−1) então todas as ráızes de f = 0 (como equação em
zn) têm módulo < rn.
42 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Seja A o anel das funções anaĺıticas em ∆. Pelo Corolário I.2.3,
sabemos que A é um anel de integridade. Seja K o corpo de frações
de A. Então podemos considerar f como polinômio em zn com
coeficientes em K.
No que segue, vamos supor que f é irreduźıvel como polinômio
em zn com coeficientes em K.
Seja D ∈ A discriminante deste polinômio: Então D 6= 0.
Seja T o subconjunto de ∆ definido pela equação D = 0. Então
T é um subconjunto fechado fino de ∆ (Definição II.1.1).
Seja S o subconjunto de U definido pela equação f = 0. Con-
sideremos a aplicação:
q : U → ∆, q(z) = (z1, . . . , zn−1), z ∈ U.
Teorema III.1.2. a) A aplicação:
p = q|X : X → ∆
é cont́ınua, sobrejetiva, própria e aberta.
b) Para todo ζ ∈ ∆, o conjunto p−1(ζ) tem ao mais k pontos. O
conjunto p−1(ζ) tem exatamente k pontos se e somente se ζ ∈ ∆−T .
c) Seja S = p−1(T ). Então X − S é denso em X, X − S é
uma subvariedade anaĺıtica de U − S e p : X − S → ∆ − T é um
recobrimento anaĺıtico de ordem k.
Prova. (a) É óbvio que p é cont́ınua. Ela é sobrejetiva pelo teorema
fundamental da Álgebra. Para provar que é própria basta provar
que se {zm} ⊂ X é uma seqüência tal que p(zm) converge a um
ponto de ∆, então {zm} possui uma subseqüência convergente a um
ponto de X. Como X é limitado podemos supor que zm → u ∈ Cn.
Então limm→∞ p(z
m) = (u1, . . . , un−1). Logo (u1, . . . , un−1) ∈ ∆.
Como f(zm) = 0 para todo m, passando ao limite temos:
ukn + a1(u1, . . . , un−1)u
k−1
n + · · · + ak(u1, . . . , un−1) = 0.
Logo, de |uj| < rj (j = 1, . . . , n − 1) decorre |un| < rn. Então
u ∈ U . Como f(u) = 0, u ∈ X.
[SEC. III.1: CONJUNTOS DEFINIDOS POR UMA EQUAÇÃO 43
Vamos agora provar que p é aberta. Seja u ∈ X e seja
∆(u; s1, . . . , sn) um polidisco contido em U . Como a equação
em zn:
zkn + a1(u1, . . . , un−1)z
k−1
n + · · · + ak(u1, . . . , un−1) = 0
tem a solução zn = un, decorre do Teorema III.1.1 que existe δ > 0
tal que se |zj − uj| < δ (j = 1, . . . , n− 1), então a equação:
zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1) = 0
tem pelo menos uma raiz zn tal que |zn − un| < sn. Seja
∆(p(u); s, n−1. . . , s) ⊂ ∆
um polidisco, onde 0 < s < Inf(δ, sj), (1 ≤ j ≤ n− 1). Então
p(∆(u; s1, . . . , sn) ∩X) ⊃ ∆(p(u); s, n−1. . . , s).
Fica provado que p é aberta.
b) O cardinal de p−1(ζ) é o número de ráızes distintas da equação:
zk + a1(ζ1, . . . , ζn−1)z
k−1 + · · · + ak(ζ2, . . . , ζn−1) = 0.
Então p−1(ζ) tem no máximo k elementos e tem exatamente k se e
somente se D(ζ) 6= 0.
c) Vamos primeiro provar que X −S é denso em X. Seja u ∈ S
e seja ∆′ = ∆(u; s1, . . . , sn) ⊂ U . Pela parte (a) existe ∆′′ =
∆(p(u); t1, . . . , tn−1) ⊂ ∆ tal que p(∆′ ∩ X) ⊃ ∆′′. Como T é um
subconjunto fino de ∆, existe ζ ∈ ∆′′ ∩ (∆ − T ). Seja z ∈ ∆′ ∩X
tal que p(z) = ζ. Então, z ∈ X−S. Logo, u ∈ X − S. Decorre dáı
que X − S é denso em X.
Observemos agora queX−S é um subconjunto fechado de U−S
e que ∂f
∂zn
6= 0 em cada ponto de X −S, porque se z ∈ X −S então
zn é raiz simples da equação:
zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1) = 0
44 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Então, como X−S é o subconjunto de U−S definido pela equação
f = 0, temos que X − S é uma subvariedade anaĺıtica de U − S de
dimensão n− 1 (Teorema I.4.2). Além disso:
p : X − S → ∆ − T
é anaĺıtica e própria.
Consideremos agora a aplicação q : U → ∆(q(z1, . . . , zn) =
(z1, . . . , zn−1)). É óbvio que o núcleo de dq(u) = q é o subespaço
gerado por en = (0, 0, . . . , 1) para todo u ∈ U . Por outro lado,
o espaço tangente a X − S em u ∈ X − S é Ker df(u). Como
∂f
∂zn
(u) 6= 0, temos que en /∈ Ker df(u). Logo,
dq(u)|Ker df(u) = d(q|(X − S))(u) = dp(u)
é injetora. Portanto, dp(u) é bijetora em todo ponto u ∈ X−S (por
razões de dimensão). Logo, p : X − S → ∆ − T é um revestimento
anaĺıtico (Teorema I.6.1), porque ∆−T é conexo (Corolário II.1.4).
Exemplo III.1.1. O exemplo a seguir mostrará que pode aconte-
cer que X seja uma variedade anaĺıtica também na vizinhança de
pontos de S.
Seja n = 3, f = z21 +z
3
2 +z
2
3 . Com as mesmas notações de antes,
suponhamos que f seja reduźıvel como polinômio em z3 no corpo
K. Então teŕıamos h, g ∈ A tais que g2/h2 = z21 + z32 . Ou seja,
g2 = (z21 + z
3
2)h
2.
Tomemos a série de Taylor em 0 de g e h (que convergem em ∆).
Dividindo a igualdade acima pela máxima potência de z1 que divide
g e h podemos supor que g(0, z2) 6= 0 ou h(0, z2) 6= 0. Fazendo
z1 = 0 na igualdade acima, temos
g(0, z2)
2 = z32h(0, z2)
2.
Sejam k, ℓ as máximas potências de z2 que dividem g(0, z2) e h(0, z2)
respectivamente. Então 2k = 3 + 2ℓ, o que é absurdo. Então, f é
irreduźıvel.
[SEC. III.1: CONJUNTOS DEFINIDOS POR UMA EQUAÇÃO 45
D = −4(z21 + z32). T é definido pela equação z21 + z32 = 0.
p : X − S → ∆ − T é um revestimento de ordem 2.
p−1(ζ) é um conjunto unitário para todo ζ ∈ T .
Como df 6= 0 em todo ponto 6= 0, X − {0} é uma variedade
anaĺıtica.
Proposição III.1.3. X − S é conexo.
Prova. Seja X − S = A ∪B onde A e B são não vazios, disjuntos
e abertos em X − S. Então as aplicações
p|A : A→ ∆ − T e p|B : B → ∆ − T
são anaĺıticas, próprias e têm diferencial bijetora em cada ponto.
Então, elas são recobrimentos (Teorema I.6.1) de ordens r, s ≥ 1
respectivamente (r + s = k).
Observemos, por outro lado, que os coeficientes do polinômio
em zn:
zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1)
são as funções simétricas elementares das n-ésimas coordenadas dos
pontos de conjunto p−1(ζ), onde ζ = (z1, . . . , zn−1) ∈ ∆ − T .
Para cada ζ = (z1, . . . , zn−1) ∈ ∆ − T , seja bj(z1, . . . , zn−1)
a j-ésima função simétrica elementar das n-ésimas coordenadas
dos pontos de (p|A)−1(ζ); e seja ci(z1, . . . , zn−1) a i-ésima função
simétrica elementar das n-ésimas coordenadas dos pontos de
(p|B)−1(ζ) (1 ≤ j ≤ r; 1 ≤ i ≤ s). Observemos que as funções
bj : ∆ − T → C, ci : ∆ − T → C
estão bem definidas.
Seja v ∈ ∆ − T . Como p|A é um revestimento, existe um po-
lidisco de centro v : ∆v ⊂ ∆ − T e r funções anaĺıticas:
ϕ1, . . . , ϕr : ∆v → A
tais que:
p−1(ζ) = {ϕ1(ζ), . . . , ϕr(ζ)} para todo ζ ∈ ∆v.
46 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Seja ϕj(ζ)n a n-ésima coordenada de ϕj(ζ). Então
ζ → ϕj(ζ)n
é uma função anaĺıtica em ∆v para j = 1, . . . , r. Para todo ζ ∈ ∆v,
bj(ζ) é a j-ésima função simétrica elementar de:
ϕ1(ζ)n, . . . , ϕr(ζ)n.
Decorre dáı que bj é anaĺıtica em ∆v para j = 1, . . . , r. Logo, bj éanaĺıtica. Da mesma maneira, ci é anaĺıtica. É óbvio que as bj e
as ci são limitadas. então elas podem ser estendidas analiticamente
a ∆ (Teorema II.1.2); e designamos as funções estendidas com as
mesmas letas.
Consideremos as funções anaĺıticas em U :
g(z) = zrn + b1(z1, . . . , zn−1)z
r−1
n + · · · + br(z1, . . . , zn−1)
e
h(z) = zsn + c1(z1, . . . , zn−1)z
s−1
n + · · · + cs(z1, . . . , zn−1).
Tanto g como h são polinômios em zn com coeficientes em K. Para
cada ζ = (z1, . . . , zn−1) ∈ ∆−T , as ráızes de g = 0 são as n-ésimas
coordenadas dos pontos de (p|A)−1(ζ). Analogamente, as ráızes de
h = 0 são as n-ésimas coordenadas dos pontos de (p|B)−1(ζ). Logo,
as ráızes de gh = 0 são as n-ésimas coordenadas (todas distintas)
de
p−1(ζ) = [(p|A)−1(ζ)] ∪ [(p|B)−1(ζ)].
Decorre dáı que f = 0 e gh = 0 têm as mesmas ráızes. Logo
f(z) = g(z)h(z) para todo z ∈ U tal que q(z) ∈ ∆ − T . Por
continuidade, f = gh; o que contradiz o fato de f ser irreduźıvel.
Isto prova a Proposição III.1.3.
Corolário III.1.4. X é conexo.
Prova. Com efeito, X − S é dendo em X (Teorema III.1.2c).
[SEC. III.1: CONJUNTOS DEFINIDOS POR UMA EQUAÇÃO 47
Exemplo III.1.2. Neste exemplo o conjuntoX vai ser homeomorfo
a um disco porém X não será uma variedade anaĺıtica.
Seja n = 2, f = −z21 + z32 . Se f for reduźıvel como polinômio
em z3, então f teria um fator linear. quer dizer que existiriam
g, h ∈ A tais que (g/h)3 = z21 ; ou seja g3 = z21h3. Se r, s são as
multiplicidades de g e h em 0 respectivamente teŕıamos 3r = 2+3s,
o que é absurdo.
Sejam r1 = r2 = 1. Então ∆ é o disco de centro 0 e raio 1 e
T é seu centro; S = {0} e X − S é um revestimento de ordem 3
de ∆ − {0}. Em X − S existe um ramo uniforme de z2/31 porque
z2 = z
2/3
1 em X. Então X − S identifica-se à parte da superf́ıcie de
Riemann de z
2/3
1 acima de ∆ − {0}.
Equivalentemente, podemos considerar a parametrização z1 =
t3, z2 = t
2 de X, que define um homeomorfismo ϕ : ∆ → X que é
bianaĺıtico como aplicação de ∆ − {0} sobre X − S.
SeX for uma subvariedade anaĺıtica de U , a aplicação ϕ−1 : X →
∆ seria anaĺıtica (Teorema II.1.2), Em particular, dϕ(0) seria inje-
tiva. Isto é absurdo porque, pela definição de ϕ, dϕ(0) = 0.
Exerćıcio III.1.1. Seja n = 3, f = z23 + z1z2z3 + z
3
2 . Então f é
irredut́ıvel em K como polinômio em z3 e p : X −S → ∆− T é um
revestimento de ordem 2. Estude os conjunto S, T e a aplicação
p : S → T .
Exerćıcio III.1.2. Seja n = 2. Seja Σ a superf́ıcie de Riemann
(acima de ∆) da função algébrica definida pela equação:
wk + a1(z1)w
k−1 + · · · + ak(z1) = 0.
Suponhamos f irredut́ıvel como polinômio em w com coeficientes
no anel de séries de potências em z1. Se o raio de ∆ é bastante
pequeno, existe um homeomorfismo ϕ : Σ → X que é bianaĺıtico de
Σ − {ξ} sobre X − {0} onde ξ é o único ponto de Σ acima de 0.
48 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
III.2 O teorema de preparação
Definição III.2.1. Seja f função anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈
Cn. Dizemos que f é regular em zn se f(0) = 0 mas f(0, 0, . . . , 0, zn)
não é identicamente nula na vizinhança de 0.
Proposição III.2.1. Suponhamos que f1, . . . , fr são funções ana-
ĺıticas em ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn tais que, para todo j, fj(0) = 0 mas fj
não é identicamente nula. Então existe uma mudança linear não
singular de coordenadas em Cn, tal que fj é regular na última das
novas variáveis para j = 1, . . . , r.
Prova. Seja g o produto das f1, . . . , fr. Seja z ∈ ∆, z 6= 0 tal que
g(z) 6= 0 (Corolário I.2.3). Seja S a reta 0z. Então S ∩ ∆ é um
conjunto convexo e aberto em S. Como S pode identificar-se a C
e f |S ∩ ∆ é anaĺıtica como função de uma variável, de fj(z) 6= 0
decorre que fj não é identicamente nula em nenhuma vizinhança
de 0 em S, para j = 1, . . . , r.
Fazemos uma mudança linear não singular de coordenadas de
maneira que, nas novas coordenadas ζ1, . . . , ζn, as equações de S
sejam ζ1 = ζ2 = · · · = ζn−1 = 0. Então fj é regular em ζn para
todo j.
Lembremos, a seguir, um resultado elementar de Álgebra.
Lema III.2.2. Seja Q o corpo dos racionais. Seja f(X1, . . . , Xk)
um polinômio simétrico com coeficientes em Q. Então existe outro
polinômio g(Y1, . . . , Yk) com coeficientes em Q tal que
f(X1, . . . , Xk) = g
(
k
∑
j=1
Xj,
k
∑
j=1
X2j , . . . ,
k
∑
j=1
Xkj
)
.
Lema III.2.3. Seja f uma função anaĺıtica em um domı́nio de C
que contém o disco |z| ≤ r. Suponhamos que f não tem zeros em
|z| = r e sejam a1, . . . , ak seus zeros em |z| < r (cada um repetido
tantas vezes como sua multiplicidade). Então, para todo número
[SEC. III.2: O TEOREMA DE PREPARAÇÃO 49
natural q vale:
k
∑
j=1
a
q
j =
1
2πi
∫
|z|=r
zqf ′(dz)
f(z)
dz.
Prova. Basta aplicar o teorema de reśıduos à função
g(z) = zqf ′(z)/f(z) no domı́nio |z| ≤ r. Se |a| < r e f anula-
se em a uma multiplicidade µ, então:
Resag = a
qµ.
Teorema III.2.4. (Teorema de preparação de Weierstrass). Seja
f uma função anaĺıtica na vizinhaça U de 0 ∈ Cn. Suponhamos f
regular em zn. Então existe um polidisco ∆ = ∆(0; r1, . . . , rn) ⊂ U
e funções u e g tais que:
a) u e g são anaĺıticas em ∆
b) f = ug em ∆
c) u(z) 6= 0 para todo z ∈ ∆
d) g(z) = zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1)
onde k ≥ 1, as aj são anaĺıticas em ∆′ = ∆(0; r1, . . . , rn−1) e nulas
em 0 para todo j.
Prova. A prova é baseada na observação que, para cada ζ =
(z1, . . . , zn−1) ∈ ∆′, as ráızes de g como polinômio em zn são os ze-
ros de f como função de zn (com as mesmas multiplicidades) pela
condição (b) (pelo menos, se r1, . . . , rn−1 são bastante pequenos;
vide Teorema III.1.1). A construção de g vai se reduzir, então, a
construir um polinômio a partir de suas ráızes.
Tomemos rn > 0 bastante pequeno para que zn = 0 seja o único
zero de f(0, . . . , 0, zn) no disco |zn| ≤ rn e para que o disco:
|z1| = · · · = |zn−1| = 0, |zn| ≤ rn
50 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
esteja contido em U . Como f(0, . . . , 0, zn) 6= 0 se |zn| = rn, pela
continuidade de f podemos escolher r1, . . . , rn−1 > 0 tais que
∆(0; r1, . . . , rn) ⊂ U
e que f(z1, . . . , zn) 6= 0 se
|z1| ≤ r1, . . . , |zn−1| ≤ rn−1 e |zn| = rn (Veja figura)
Para cada ζ = (z1, . . . , zn−1) ∈ ∆′ fixado, consideremos f como
função de zn.
O número de ráızes de f = 0 (contadas com suas multiplici-
dades) em |zn| < rn sera notado k(z1, . . . , zn−1). Ele é dado, por um
resultado bem conhecido de funções de uma variável, pela fórmula:
k(z1, . . . , zn−1) =
1
2πi
∫
|zn|=rn
∂f(z1, . . . , zn)/∂zn
f(z1, . . . , zn)
dzn
[SEC. III.2: O TEOREMA DE PREPARAÇÃO 51
(esta fórmula é o Lema III.2.3 no caso q = 0). Decorre dáı e do
Lema I.2.4 que k é uma função cont́ınua em ∆′. Como k só toma
valores inteiros, k(z1, . . . , zn−1) = k é constante.
Sejam agora
a1(z1, . . . , zn−1), . . . , ak(z1, . . . , zn−1)
as ráızes de f = 0 em |zn| < rn (repetidas tantas vezes como sua
multiplicidade indica) ordenadas de maneira arbitrária para cada
ζ. Então temos definidas k funções:
aj : ∆
′ → C, 1 ≤ j ≤ k
(que não são nem sequer cont́ınuas). Definimos, então,
aj : ∆
′ → C (1 ≤ j ≤ k)
como a j-ésima função simétrica elementar de a1, . . . , ak. Como
aj(0) = 0 para todo j, temos aj(0) = 0 para todo j.
Definimos
g(z) = zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + an(z1, . . . , zn−1).
Para provar (d) só falta provar que as aj são anaĺıticas em ∆
′.
Pelo Lema III.2.3, para todo q natural:
k
∑
j=1
aj(z1, . . . , zn−1)
q =
1
2πi
∫
|zn|=rn
zqn · ∂f(z1, . . . , zn)/∂zn
f(z1, . . . , zn)
dzn.
Decorre dáı e do Lema I.2.4 que
∑k
j=1 aj(z1, . . . , zn−1)
q é anaĺıtica
em ∆′ para todo q. Pelo Lema III.2.2, resulta que as aj são anaĺıticas.
Em particular, g é anaĺıtica em ∆.
Seja S o subconjunto fino de ∆ definido pela equação g = 0.
Seja:
u = f/g : ∆ − S → C.
Então u é anaĺıtica. Vamos provar que ela possuiuma extensão
anaĺıtica a ∆. Pelo Teorema II.1.2, bastará provar o seguinte:
52 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
sejam s1, . . . , sn−1 tais que 0 < sj < rj; então u é limitada em
∆(0; s1, . . . , sn−1, rn) − S.
Observemos que as ráızes de g = 0 como equação em zn são:
a1(z1, . . . , zn−1), . . . , ak(z1, . . . , zn−1)
para todo (z1, . . . , zn−1) ∈ ∆′. Lembremos que
|aj(z1, . . . , zn−1)| < rn (1 ≤ j ≤ k).
Se fixamos (z1, . . . , zn−1) ∈ ∆′ e consideramos f e g como funções
em zn, temos que f e g têm os mesmos zeros com as mesmas
multiplicidades no disco |zn| < rn. Logo, u = f/g (considerada
também como função só de zn) possui uma extensão anaĺıtica ao
disco |zn| < rn (e esta extensão é 6= 0 em cada ponto). Além disso,
como g, por definição, é anaĺıtica no aberto de Cn:
|z1| < r1, . . . , |zn−1| < rn−1
e não pode anular-se se |zn| = rn, temos que u possui também uma
extensão cont́ınua, como função de zn, ao disco fechado |zn| ≤ rn.
Seja M o máximo de |f | e m o mı́nimo de |g| no compacto:
|z1| ≤ s1, . . . , |zn−1| ≤ sn−1, |zn| = rn.
Como g não pode anular-se neste conjunto, m > 0. Aplicando
à extensão de u ao disco |zn| ≤ rn o prinćıpio do máximo para
funções de uma variável, decorre dáı que:
|u(z)| ≤M/m se z ∈ ∆(0; s1, . . . , sn−1, rn) − S.
Fica, então, provado que u possui uma extensão anaĺıtica a ∆, que
chamaremos ainda u.
Finalmente, observamos acima que a extensão de u é 6= 0 em
cada ponto. Como f = gu em ∆− S, por continuidade resulta que
f = gu em ∆. Isto completa a prova.
[SEC. III.2: O TEOREMA DE PREPARAÇÃO 53
Exemplo III.2.1. Sejam
n = 3 f(z) = z31 − z31z2z3 − z23 + z2z33 .
A equação em z3 : f = 0 tem a raiz z3 = 1/z2. As outras ”ráızes”
são z3 = ±
√
z31 . A primeira raiz está longe de 0. Logo,
g(z) = (z3 −
√
z31)(z3 +
√
z31) = z
2
3 − z31 .
Com efeito:
f(z) = (z2z3 − 1)(z23 − z31)
e u = z2z3 − 1 é 6= 0 na vizinhança de 0.
A unicidade local da função g do Teorema III.2.4 é dada pela:
Proposição III.2.5. Sejam
g(z) = zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1)
e
h(z) = zqn + b1(z1, . . . , zn−1)z
q−1
n + · · · + bq(z1, . . . , zn−1)
onde as ai e as bj são funções anaĺıticas em ∆(0; r1, . . . , rn−1) nulas
em 0 e k ≥ 1, q ≥ 1. Suponhamos que, em uma vizinhança de
0 ∈ Cn, existe u anaĺıtica e nunca nula tal que h = ug. Então
k = q e ai = bi (1 ≤ i ≤ k).
Prova. Sejam s1, . . . , sn tais que 0 < sj < rj (1 ≤ j ≤ n − 1)
e que no polidisco ∆(0; s1, . . . , sn) existe u anaĺıtica e nunca nula
tal que h = ug. Tomando eventualmente s1, . . . , sn−1 ainda mais
pequenos podemos supor que se |zj| < sj (1 ≤ j ≤ n − 1) então
todas as ráızes de h = 0 e g = 0 (como equações em zn) têm módulo
< sn (Teorema III.1.1). Por hipótese, para cada (z1, . . . , zn−1) ∈
∆(0; s1, . . . , sn−1), as equações g = 0 e h = 0 têm as mesmas ráızes
com as mesmas multiplicidades no disco |zn| < sn. Como neste
disco estão todas as ráızes, temos que g = h. Então k = q e ai = bi
em ∆(0; s1, . . . , sn−1), o que completa a prova.
54 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Exerćıcio III.2.1. O grau k do polinômio g no Teorema III.2.4 é
a multiplicidade de 0 como raiz de f(0, . . . , 0, zn) = 0.
Exerćıcio III.2.2. Seja X o conjunto definido pela equação
z2z
3
3 + z1z
2
2z3 − z23 − z1z2 = 0
no polidisco ∆(0; 1, 1, 1). Prove que X é conexo.
Observação III.2.1. Voltando ao Teorema III.2.4, observemos que
as equações f = 0 e g = 0 são equivalentes na vizinhança de 0.
Então, levando em conta a Proposição III.2.1, temos que a equação
f = 0 pode ser reduzida, na vizinhança de 0, a uma equação do
tipo considerado no § 1, a menos da irredutibilidade do polinômio
em zn. Sobre este último problema voltaremos depois.
III.3 O teorema de divisão
No Caṕıtulo I, § 5, definimos o anel local O dos germes em 0 ∈ Cn
de funções anaĺıticas (n ≥ 1). Se f é anaĺıtica na vizinhança de 0 em
Cn, representamos com f seu germe em 0. Vamos agora continuar
o estudo das propriedades algébricas deste anel. Chamaremos O′
ao anel dos germes de funções anaĺıticas em 0 ∈ Cn−1 considerado
como subanel de O.
Definição III.3.1. Seja γ ∈ O. Dizemos que γ é regular em zn se
γ é representado por uma função regular em zn.
Definição III.3.2. Um polinômio de Weierstrass em zn é um ele-
mento γ de O da forma:
γ = zkn + a1zn
k−1 + · · · + ak
onde k ≥ 1, aj ∈ O′ e aj(0) = 0 (j = 1, . . . , k).
Decorre da Proposição III.2.5, que γ determina univocamente
os aj. Verifica-se imediatamente que o produto de dois polinômios
de Weierstrass em zn é um polinômio de Weierstrass em zn. O
[SEC. III.3: O TEOREMA DE DIVISÃO 55
teorema de preparação (Teorema III.2.4) implica que todo germe
a ∈ O regular em zn é da forma a = uγ onde u, γ ∈ O, u(0) 6= 0
e γ é um polinômio de Weierstrass em zn. Isto vai permitir fazer
racioćınios por indução na dimensão n, passando de O a O′[zn]
(anel de polinômios em zn com coeficientes em O′) e de O′[zn] a O′.
Observemos que um elemento u ∈ O é inverśıvel se e somente
se u(0) 6= 0.
Lema III.3.1. Seja γ ∈ O um polinômio de Weierstrass em zn.
Então γ é irredut́ıvel no anel O se e somente se γ é irredut́ıvel no
anel O′[zn] ⊂ O.
Prova. Seja γ = zkn + a1zn
k−1 + · · · + ak onde aj ∈ O′ e aj(0) = 0
para todo j (k ≥ 1). Suponhamos γ redut́ıvel em O′[zn]. Então
(∗) γ = (zrn + b1znr−1 + · · · + br)(zsn + c1zns−1 + · · · + cs)
onde r ≥ 1, s ≥ 1, bi, cj ∈ O′, r + s = k. No que segue vamos
escrever, por definição, a0 = c0 = b0 = 1.
Suponhamos br(0) 6= 0.
Seja cm o último dos cj tais que cj(0) 6= 0. Quer dizer que
cm(0) 6= 0 e cj(0) = 0 se m < j ≤ s. Igualando em (*) os coefi-
cientes dos termos de grau s−m temos:
ak−s+m = brcm + br−1cm+1 + br−2cm+2 + . . .
Como brcm(0) 6= 0 e cm+1(0) = 0, cm+2(0) = 0, etc., decorre dáı que
ak−s+m(0) 6= 0. Então, k − s + m = 0. Mas s < k e m ≥ 0. Esta
contradição mostra que br(0) = 0. Por analogia, cs(0) = 0. Logo,
γ é redut́ıvel em O.
Reciprocamente, suponhamos γ redut́ıvel em O. Então γ = αβ
onde α, β ∈ O, α(0) = β(0) = 0. É óbvio que α e β são regulares
em zn, porque γ é regular em zn. Logo, α = uα̃ e β = vβ̃ onde α̃, β̃
são polinômios de Weierstrass em zn, e u(0) 6= 0, v(0) 6= 0. Então,
γ = (uv)α̃ · β̃.
Como γ e α̃β̃ são polinômios de Weierstrass em zn e uv(0) 6= 0,
decorre da Proposição III.2.5, que γ = α̃β̃. Logo, γ é redut́ıvel em
O′[zn].
56 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Teorema III.3.2. O é um anel de fatorização única.
Prova. Lembremos que se A é um anel de fatorização única então
o anel de polinômios A[X] também é um anel de fatorização única.
Vamos provar o Teorema III.3.2 por indução em n, a dimensão.
Se n = 1 o teorema é trivial: todo germe γ 6= 0 escreve-se de
maneira única γ = u · zk1 onde u(0) 6= 0 e z1 é irredut́ıvel.
Seja n > 1 e suponhamos o teorema válido em dimensão n− 1.
Então O′ é um anel de fatorização única. Portanto, O′[zn] é um
anel de fatorização única.
Seja γ ∈ O, γ 6= 0, γ(0) = 0. Pela Proposição III.2.1, podemos
supor que γ é regular em zn. Logo, γ = uα onde u(0) 6= 0 e α é um
polinômio de Weierstrass em zn (pelo teorema de preparação). Em
particular, α ∈ O′[zn]. Então,
α = α1 · · · · · αm
onde os αj são elementos irredut́ıveis do anel O′[zn]. Suponhamos,
por exemplo,
α1(0) 6= 0, . . . , αr(0) 6= 0 e αr+1(0) = · · · = αm(0) = 0.
Então,
γ = v · αr+1αr+2 . . . αm,
onde v(0) 6= 0.
Como α é regular em zn, cada αj (r + 1 ≤ j ≤ m) é regular em
zn. Então,
αj = ujβj r + 1 ≤ j ≤ m,
onde uj(0) 6= 0 e βj é um polinômio de Weierstrass em zn. Logo,
γ = w βr+1 · · · · · βm e w(0) 6= 0.
Em particular, pela Proposição III.2.5:
α = βr+1 · · · · · βm
porque o produto de polinômios de Weierstrass é polinômio de
Weierstrass. Suponhamos que algum dos βr+1, . . . , βm, por exemplo
[SEC. III.3: O TEOREMA DE DIVISÃO 57
βr+1, não seja irredut́ıvel em O. Entãoβr+1 = β′β′′, e β′, β′′ ∈ O,
β′(0) = 0, β′′(0) = 0. Como βr+1 é regular e zn, β
′, β′′ também.
Logo, β′ = u′γ′, β′′ = u′′γ′′ onde u′(0) 6= 0, u′′(0) 6= 0 e γ′, γ′′ são
polinômios de W. em zn. Então βr+1 = u
′u′′γ′γ′′. Pela Proposição
III.2.5 βr+1 = γ
′γ′′. Logo α = γ′γ′′βr+2 . . . βm, e
γ′(0) = γ′′(0) = βr+2(0) = · · · = βm(0) = 0.
Isto contradiz o fato que na decomposição de α em fatores irre-
dut́ıveis só aparece m− r fatores que tem valor 0 (a decomposição
em fatores irredut́ıveis é única no anel O′[zn]).
Logo, cada βj é irredut́ıvel em O. Então, fica provada a exis-
tência da decomposição em fatores irredut́ıveis no anel O.
Para provar a unicidade, suponhamos em O:
γ = α1 . . . αr = β1 . . . βs
onde α1(0) = · · · = αr(0) = β1(0) = · · · = βs(0) = 0 e os αi e βj
são irredut́ıveis em O. Pela Proposição III.2.1, podemos supor que
todos os αi e βj são regulares em zn. Logo,
αi = uiα
′
i e βj = vjβ
′
j
onde ui(0) 6= 0, vj(0) 6= 0 e α′i, β′j são polinômios de Weierstrass em
zn. Pelo Lemma III.3.1, os α
′
i, β
′
j são todos irredut́ıveis em O′[zn].
Substituindo:
α′1 · · · · · α′r = w β′1 · · · · · β′s
onde w(0) 6= 0. Como α′1 · · · · · α′r e β′1 · · · · · β′s são polinômios de
Weierstrass em zn, decorre da Proposição III.2.5 que:
α′1 · · · · · α′r = β′1 · · · · · β′s.
Para completar a prova, basta aplicar a unicidade da decomposição
em fatores irredut́ıveis no anel O′[zn].
Teorema III.3.3. O é um anel noetheriano (Apêndice I §1).
58 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Prova. Novamente, a prova é por indução na dimensão n. Se
n = 1, O é um anel de ideais principais. Com efeito, seja I 6= 0
um ideal de O. Todo γ ∈ I, γ 6= 0 escreve-se de maneira única:
γ = uzk1 onde u(0) 6= 0. Seja k0 o mı́nimo dos expoentes k para
γ ∈ I, γ 6= 0. Então, zk01 genera I.
Seja n > 1 e suponhamos o teorema verdadeiro na dimensão
n−1. Então, O′ é noetheriano. Logo O′[zn] é Noetheriano (Apêndice
I, 1.4).
Seja I ⊂ O um ideal 6= 0. Se existe γ ∈ I tal que γ(0) 6= 0,
então γ é inverśıvel e I é generado por γ.
Suponhamos agora que γ(0) = 0 para todo γ ∈ I. Pela Pro-
posição III.2.1 podemos supor que existe γ ∈ I regular em zn.
Seja α ∈ I. Se α não é regular em zn, então α− γ é regular em zn.
Decorre dáı que se F ⊂ I é um ideal que contém todos os elementos
de I que são regulares em zn, então F = I (porque α = (α−γ)+γ).
Seja β1, . . . , βk um sistema de geradores de
I ∩ O′[zn]
como ideal do anel O′[zn]. Seja F ⊂ I o ideal generado por
β1, . . . , βk em O. Seja β ∈ I regular em zn. Então β = uα onde
u(0) 6= 0 e α é um polinômio de Weierstrass em zn, pelo teorema
de preparação. Então, como u é inverśıvel, α ∈ I ∩ O′[zn]. Logo,
α ∈ F . Então, β ∈ F . Portanto, F contém todos os elementos de
I que são regulares em zn. Decorre dáı que F = I. Então I possui
um sistema finito de geradores.
Observação III.3.1. Seja f anaĺıtica e não identicamente nula em
∆(0; r) ⊂ Cn com f(0) = 0. Seja
f = αν11 · · · · · ανmm
a decomposição do germe de f em fatores irredut́ıveis. Tomando
‖r‖ bastante pequeno, podemos supor que cada αj possui um repre-
sentante fj anaĺıtico em ∆(0; r). Seja X o conjunto definido pela
equação f = 0 e seja Xj o conjunto definido pela equação fj = 0
(j = 1, . . . ,m). Então,
X = X1 ∪ · · · ∪Xm.
[SEC. III.3: O TEOREMA DE DIVISÃO 59
Como estamos interessados no estudo local de X na vizinhança
de 0, podemos supor f regular em zn. Então, cada fj é regular
em zn. Portanto, se ‖r‖ é bastante pequena, podemos escrever
fj = ujgj onde uj, gj são anaĺıticas em ∆(0, r), uj(z) 6= 0 para todo
z ∈ ∆(0; r) e o germe de gj em 0 é um polinômio de Weierstrass
em zn que é irredut́ıvel como elemento de O′[zn] (Lemma III.3.1).
Mas então, ele é irredut́ıvel cdomo elemento de O′0[zn] onde O′0 é o
corpo de frações de O′ (Apêndice I, 3.8 e I, 3.9). Decorre dáı que
cada Xj é definido por uma equação gj = 0 do tipo estudado no § 1
deste caṕıtulo.
É claro que, para estudar a estrutura de X a partir dos Xj
é necessário estudar também as intersecção Xi ∩ Xj. Sobre este
problema voltaremos depois.
Exemplo III.3.1. É fácil provar que o polinômio z22 + z1z2 + z
3
1
é irredut́ıvel em C[z1, z2] (ele é irredut́ıvel como polinômio em z2).
Porém, seu germe em 0 não é irredut́ıvel como elemento de O.
Com efeito, resolvendo z22 + z1z2 + z
3
1 = 0 como equação em z2
temos:
z2 =
−z1 + z1
√
1 − 4z1
2
.
Quer dizer que se α(z1) é o ramo de
√
1 − 4z1 na vizinhança de
z1 = 0 determinado por α(0) = 1 temos:
z22 + z1z2 + z
3
1 =
(
z2 + z1
1 + α(z1)
2
)(
z2 + z1
1 − α(z1)
2
)
,
na vizinhança de 0 ∈ C2. Na vizinhança de 0, o conjuntoX definido
pela equação z22 + z1z2 + z
3
1 = 0 escreve-se como
X = X1 ∪X2, X1 ∩X2 = {0}
onde X1, X2 são definidos respectivamente pelas equações:
z2 + z1(1 + α(z1))/2 = 0 e z2 + z1(1 − α(z1))/2 = 0.
X1, X2 são subvariedades anaĺıticas em uma vizinhaça de 0 que
cortam-se transversalmente em 0. Temos assim uma descrição com-
pleta do conjunto X na vizinhança de 0.
60 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Exemplo III.3.2. Seja A uma matriz p × q de funções anaĺıticas
em ∆(0; r) ⊂ Cn. Em cada polidisco ∆(0; s) ⊂ ∆(0; r) podemos
considerar o sistema linear de equações:
AX = 0
onde X é um q-vetor de funções anaĺıticas em ∆(0; s). Então,
existe um polidisco ∆′ ⊂ ∆(0; r) de centro 0 e um número finito
de soluções X1, . . . , Xm do sistema em ∆
′, tal que toda solução
do sistema em um ∆(0, s) é combinação linear com coeficientes
anaĺıticos das X1, . . . , Xm em alguma vizinhaça de 0.
Para provar isto, observemos que A induz um homomorfismo
A : Oq → Op de O-módulos. Pelo Teorema III.3.3 e Apêndice I,
1.3, o núcleo de A é do tipo finito como O-módulo. Os X1, . . . , Xm
são os representantes de um sistema finito de geradores do núcleo
de A.
Acabaremos este parágrafo com o teorema de divisão de Weier-
stras que, junto com o teorema de preparação, são muito úteis em
racionćınios por indução no número de variáveis. Primeiro provare-
mos um lema para funções de uma variável.
Lema III.3.4. Seja g(z) (z ∈ C) um polinômio de grau k ≥ 1.
Seja r > 0. Seja p uma função anaĺıtica em um domı́nio de C que
contém ∆(0; r). Suponhamos que g = 0 não tem ráızes no ćırculo
|z| = r e que
∫
|ζ|=r
p(ζ)
(ζ − z)g(ζ) dζ = 0
para todo z ∈ ∆(0; r). Então p é um polinômio de grau < k.
Prova. Seja U = {z ∈ ∆(0; r) : g(z) 6= 0}, aberto não vazio.
Fixemos z ∈ U . Pelo teorema de reśıduos (ζ variável):
(∗) Σ|a|<r Resa
p(ζ)
(ζ − z)g(ζ) = 0 para cada z ∈ ∆(0; r).
Vamos calcular o reśıduo correspondente a uma raiz a ∈ ∆(0; r) de
multiplicidade ν de g(ζ) = 0.
[SEC. III.3: O TEOREMA DE DIVISÃO 61
Seja
p(ζ)/g(ζ) = Σm≥−νcm(ζ − a)m
a série de Laurent de p(ζ)/g(ζ) em a.
Por outro lado,
1
ζ − z =
1
(ζ − a) − (z − a) = −
1
z − a ·
1
1 − ζ−a
z−a
=
∞
∑
n=0
− 1
(z − a)n+1 (ζ − a)
n
na vizinhança de a.
Então, o coeficiente do termo de grau −1 na série de Laurent
de p(ζ)/(ζ − z)g(ζ) é:
Resa(p(ζ)/(ζ − z)g(ζ))
= −c−ν
1
(z − a)ν − c−ν+1
1
(z − a)ν−1 − · · · − c−1
1
z − a.
Decorre dáı que g(z) Resa(p(ζ)/(ζ− z)g(ζ)) é igual a um polinômio
em z de grau < k no aberto U .
Finalmente, como estamos supondo que g(z) 6= 0,
Resz(p(ζ)/(ζ − z)g(ζ)) =
p(z)
g(z)
.
Logo, pela igualdade (*):
p(z)
g(z)
= −
∑
a∈S
Resa(p(ζ)/(ζ − z)g(ζ))
onde S = {a ∈ ∆(0; r) : g(a) = 0}.
Então, multiplicando por g(z), temos que p(z) é igual, em U ,
a um polinômio de grau < k. Então, p(z) é um polinômio de
grau < k.
Teorema III.3.5. (Teorema de divisão de Weierstrass). Seja α ∈
O e seja γ ∈ O um polinômio de Weierstrass em zn de grau k.
Então existem e são únicos β, ω ∈ O tais que:
62 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
a) α = βγ + ω
b) ω é um polinômio em zn (com coeficientes em O′) de grau
< k.
Prova. Seja ∆(0; r) ⊂ Cn tal que α e γ possuem representantes
f, g anaĺıticosem ∆(0; r) onde
g(z) = zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1)
com as aj anaĺıticas em ∆(0; r1, . . . , rn−1) e nulas em 0.
Vamos primeiro provar a unicidade de maneira a calcular β e ω,
o que servirá, depois, para provar a existência. Suponhamos que
β, ω ∈ O satisfazem as condições (a) e (b). tomando ‖r‖ bastante
pequena, podemos supor que β, ω têm representantes q, p respecti-
vamente, anaĺıticas em ∆(0; r) e que p é um polinômio em zn de
grau < k e coeficientes funções anaĺıticas em ∆(0; r1, . . . , rn−1).
Sejam s1, . . . , sn tais que 0 < sj < rj (j = 1, . . . , n). Como a
única raiz de g = 0 como equação em zn quando z1 = · · · = zn−1 = 0
é 0, podemos tomar s1, . . . , sn−1 bastante pequenas para que se:
|z1| ≤ s1, . . . , |zn−1| ≤ sn−1,
então todas as ráızes de g = 0 tem módulo < sn. (Teorema III.1.1).
Fixemos z ∈ ∆(0; s) ⊂ Cn e consideremos a função racional de
uma variável ζ:
h(ζ) =
p(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
.
Todos os zeros de denominador estão no disco ∆(0; sn). Além
disso, como o grau do denominador é, pelo menos, o grau do nu-
merador mais dois, h não tem polo em ∞. Sabemos, da teoria de
funções em uma variável, que a soma dos reśıduos de uma função
racional (incluindo o reśıduo no ∞) é 0. Decorre dáı e do que
precede que:
∑
a∈∆(0,sn)
Resa h = 0.
[SEC. III.3: O TEOREMA DE DIVISÃO 63
Pelo teorema de reśıduos em uma variável:
∫
|ζ|=sn
h(ζ) dζ = 0.
Por outro lado, como f = qg + p, temos p
g
= f
g
− q em ∆(0; r); ou
seja,
h(ζ) =
f(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
− q(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)
se |ζ| < rn.
Integrando:
0 =
∫
|ζ|=sn
f(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
dζ − 2πiq(z1, . . . , zn−1, zn)
pela fórmula de Cauchy em uma variável. Então,
q(z1, . . . , zn) =
1
2πi
∫
|ζ|=sn
f(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
dζ.
Isto mostra que β, o germe de q, está univocamente determinado a
partir de f e g. Então, ω = α−βγ também está bem determinado.
Vamos agora provar a existência de β e ω. Como antes, existem
s1, . . . , sn tais que 0 < sj < rj (j = 1, . . . , n) e que todas as ráızes
de g = 0 como equação em zn tem módulo menor que sn se:
|z1| ≤ s1, . . . , |zn−1| ≤ sn−1.
(Teorema III.1.1). Seja sn < σ < rn. Definimos:
q(z) =
1
2πi
∫
|ζ|=σ
f(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
dζ,
z ∈ ∆(0; s1, . . . , sn−1, σ), e
p(z) = f(z) − q(z)g(z), z ∈ ∆(0; s1, . . . , sn−1, σ).
Então p e q são anaĺıticas pelo Lema I.2.4.
64 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Suponhamos agora z ∈ ∆(0, s). Como, pela construção, g = 0
não tem ráızes na coroa sn ≤ zn ≤ σ temos:
q(z) =
1
2πi
∫
|ζ|=sn
f(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
dζ.
Logo,
∫
|ζ|=sn
(p(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
dζ
=
∫
|ζ|=sn
f(z1, . . . , zn−1, ζ) − g(z1, . . . , zn−1, ζ)q(z1, . . . , zn−1, ζ)
(ζ − zn)g(z1, . . . , zn−1, ζ)
dζ
= 2πiq(z) −
∫
|ζ|=sn
q(z1, . . . , zn−1, ζ)
ζ − zn
dζ = 0
pela definição de q e a fórmula de Cauchy em uma variável. Então,
para cada (z1, . . . , zn−1) ∈ ∆(0; s1, . . . , sn−1) podemos aplicar o
Lema III.3.4 à função de ζ : p(z1, . . . , zn−1, ζ) e obtemos que ela
é um polinômio em ζ de grau < k. Portanto, a série de Taylor de
p em 0 é um polinômio em zn de grau < k. Chamando β ao germe
de q e ω ao germe de p, fica provada a existência.
Exemplo III.3.3. Se α é um polinômio em zn com coeficientes
em O′ então β e ω são o quociente e o resto da divisão usual de
polinômios em uma variável.
Exemplo III.3.4. Se n = 1 e γ = z1 então ω é α(0).
Exerćıcio III.3.1. No Exemplo III.3.1, existem domı́nios U, V em
C2 e uma aplicação f : U → V bijetiva, bianaĺıtica, tais que 0 ∈ U ,
0 ∈ V , f(0) = 0 e f(X ∩ U) é o conjunto definido pela equação
z1z2 = 0.
Exerćıcio III.3.2. Exemplo de função f anaĺıtica na vizinhança
de 0 ∈ C3 tal que o germe de f em 0 é irredut́ıvel no anel O mas
que em toda vizinhança de 0 existe z tal que o germe de f em z é
redut́ıvel no anel local de C3 em z.
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 65
Seja f(z) = z23 + z1z2z3 + z
3
2 . O germe de f em O é irredut́ıvel
(vide Exerćıcio III.1.1). Seja S a reta z2 = z3 = 0. O conjunto
X definido pela equação f = 0 em C3 contém S e X − S é uma
subvariedade anaĺıtica de C3 − S. O germe de f em (a, 0, 0) é
redut́ıvel no anel local correspondente se a 6= 0.
Exerćıcio III.3.3. Se n = 1, f é anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈ C
e f(0) = 0 então f O é irredut́ıvel se e somente se f ′(0) 6= 0.
III.4 Conjuntos anaĺıticos
Nos parágrados precedentes consideramos os conjuntos definidos
por uma equação anaĺıtica. Agora vamos tratar dos conjuntos
definidos (localmente) por um sistema de equações anaĺıticas.
Como no parágrafo precedente, notaremos O o anel local de Cn
em 0 e O′ o anel local de Cn−1 em 0 considerado como subanel de
O. Como antes de f é uma função definida em uma vizinhança de
0 ∈ Cn, notaremos f seu germe em 0.
Definição III.4.1. Seja U um aberto de Cn e seja X um subcon-
junto de U . Dizemos que S é um subconjunto anaĺıtico de U se para
todo a ∈ U , existem um domı́nio V tal que a ∈ V ⊂ U e funções
f1, . . . , fr anaĺıticas em V tais que:
X ∩ V = {z ∈ V : f1(z) = · · · = fr(z) = 0}.
Dizemos que X ⊂ Cn é um conjunto anaĺıtico se X é subcon-
junto anaĺıtico de um aberto de Cn. Dizemos que X ⊂ Cn é um
conjunto anaĺıtico em z ∈ Cn se existe um domı́nio U ⊂ Cn tal que
z ∈ U e que X ∩ U é um subconjunto anaĺıtico de U . Observemos
que X é um conjunto anaĺıtico se ele é um conjunto anaĺıtico em
cada ponto z ∈ X.
Exemplo III.4.1. Todo subespaço linear é um subconjunto anaĺı-
tico de Cn. Mais geralmente, chama-se variedade algébrica (afim)
em Cn a um conjunto definido por um sistema de equações:
f1 = 0, . . . , fm = 0
66 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
onde cada fj é um polinômio em z1, . . . , zn. Então toda variedade
algébrica é um conjunto anaĺıtico.
Exemplo III.4.2. O conjunto:
X =
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .
}
⊂ C
é um subconjunto anaĺıtico de C − {0} mas não é um subconjunto
anaĺıtico de C.
Exemplo III.4.3. Todo subconjunto discreto e fechado de um do-
mı́nio U ⊂ Cn é um subconjunto anaĺıtico de U .
Exemplo III.4.4. Exemplo de um subconjunto anaĺıtico X de um
domı́nio U que não pode ser definido por equações globais (i.e., por
equações anaĺıticas em U).
Basta tomar como U e X = S o domı́nio e o conjunto definidos
no Exerćıcio II.2.3.
Exemplo III.4.5. Seja U um domı́nio de C. Então os subconjun-
tos anaĺıticos de U são U e os subconjuntos discretos e fechados
de U . Em particular, por um teorema clássico de funções de uma
variável, todo subconjunto anaĺıtico de U pode ser definido por uma
única equação global.
Exemplo III.4.6. Toda subvariedade anaĺıtica de um domı́nio U
de Cn é um subconjunto anaĺıtico de U . No Exemplo III.1.2 vimos
que um conjunto anaĺıtico pode não ser uma variedade mesmo que
seja localmente homeomorfo a um aberto de um espaço afim.
Proposição III.4.1. Se X e Y são subconjuntos anaĺıticos do
aberto U ⊂ Cn, então X ∪ Y e X ∩ Y são subconjuntos anaĺıticos
de U .
Prova. Seja a ∈ U . Pela definição, existe um domı́nio V e funções
f1, . . . , fr, g1, . . . , gs anaĺıticas em V tais que a ∈ V ⊂ U e que
X ∩ V é definido pelas equações f1 = · · · = fr = 0
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 67
e
Y ∩ V é definido pelas equações g1 = · · · = gs = 0.
Então (X ∪ Y ) ∩ V é definido pelas equações:
figj = 0 (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s)
e (X ∩ Y ) ∩ V é definido pelas equações:
f1 = · · · = fr = g1 = · · · = gs = 0.
Proposição III.4.2. Sejam U um domı́nio de Cn e X um subcon-
junto anaĺıtico de U . Então: a) X é um subconjunto fechado de
U ; b) se U 6= X, então X é um subconjunto fino de U (Definição
II.1.1).
Prova. (a) decorre imediatamente da definição.(b) Suponhamos que X não é um subconjunto fino de U . Então,
pelas definições, existe a ∈ U tal que X é definido, na vizinhança
de a, por equações identicamente nulas. Quer dizer que X contém
uma vizinhança de a.
Por definição, para cada z ∈ U existe um domı́nio Vz tal que
z ∈ Vz ⊂ U e que X ∩ Vz é definido por um sistema de equações
anaĺıticas em Vz.
Seja b ∈ U . Como
U =
⋃
z∈V
Vz
e como U é conexo, existem Vz1 , . . . , Vzm tais que:
a ∈ Vz1 , b ∈ Vzm e Vzi ∩ Vzi+1 6= ∅ (i = 1, . . . ,m− 1).
Se f1 = · · · = fr = 0 são as equações de X∩Vz1 , então f1, . . . , fr
anulam-se em uma vizinhança de a. Logo, f1, . . . , fr são identica-
mente nulas. Então, Vz1 ⊂ X.
Se g1 = · · · = gs = 0 são as equações de X∩Vz2 , então g1, . . . , gs
anulam-se em Vz1 ∩Vz2 , que é um aberto não vazio. Logo, g1, . . . , gs
são identicamente nulas. Então, Vz2 ⊂ X, etc. Chagaremos final-
mente a que Vzm ⊂ X. Então b ∈ X. Decorre dáı que X = U .
68 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Vamos agora introduzir uma linguagem adaptada ao estudo das
propriedades locais dos conjuntos. O ”germe”de um conjunto em
um ponto é o conjunto restringido a uma vizinhança arbitraria-
mente pequena do ponto.
Definição III.4.2. Seja a ∈ Cn. Dizemos que dois subconjuntos
S, T ⊂ Cn têm o mesmo germe em a se existe uma vizinhança U
de a tal que S∩U = T ∩U . Isto define uma relação de equivalência
entre conjuntos. As classes de equivalência são chamadas germes de
conjunto em a. O germe de um conjunto é a classe de equivalência
que contém o conjunto.
Da maneira evidente definem-se a relação de inclusão entre ger-
mes e as operações de união e intersecção. Por exemplo, dizemos
que α ⊃ β (α, β germes de conjunto em a) se α, β podem ser repre-
sentados por conjuntos A,B respectivamente tais que A ⊃ B.
Se f é uma função definida na vizinhança de a, dizemos que f
anula-se sobre o germe de conjunto α se α pode ser representado por
um conjunto A tal que f |A = 0. Evidentemente, isto só depende
do germe de f em a. Logo, tem sentido dizer que um germe de
função (em a) anula-se sobre o germe de conjunto (em a).
Definição III.4.3. Seja α um germe de conjunto em 0 ∈ Cn. O
conjunto:
I(α) = {γ ∈ O : anula-se sobre α}
é um ideal de O e chama-se ideal de α.
Seja agora I um ideal de O. Seja γ1, . . . , γr um sistema finito de
geradores de I (Teorema III.3.3). Seja U uma vizinhança de 0 tal
que γj possui um representante anaĺıtico fj em U (1 ≤ j ≤ r). Seja
S o subconjunto de U definido pelas equações f1 = · · · = fr = 0.
Por definição, o germe V (I) dos zeros de I é o germe em 0 do
conjunto S.
Lema III.4.3. V (I) é o maior dos germes de conjunto α (em 0 ∈
Cn) tais que γ anula-se sobre α para todo γ ∈ I. (Em particular,
V (I) depende só de I).
Prova. Segue imediatamente da definição de V (I).
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 69
Exemplo III.4.7. Seka α o germe em 0 do eixo 0zn. Então I(α)
é o ideal gerado por z1, . . . , zn−1 em O.
Exemplo III.4.8. Se α é o germe do conjunto vazio, I(α) = O.
Se α é o germe de Cn, I(α) = 0.
Exemplo III.4.9. Seja I o ideal maximal de O. Então V (I) é o
germe de {0}.
Exemplo III.4.10. Para todo ideal I de O, V (I) = V (Im) (m =
1, 2, 3, . . . ).
Proposição III.4.4. Se α, β são germes de conjuntos em 0 ∈ Cn:
a) De α ⊂ β decorre I(α) ⊃ I(β)
b) I(α ∪ β) = I(α) ∩ I(β).
Se I,F são ideais de O:
c) De I ⊂ F decorre V (I) ⊃ V (F)
d) V (I + F) = V (I) ∩ V (F)
e) V (I ∩ F) = V (I · F) = V (I) ∪ V (F).
Prova. (a), (b) são evidentes.
(c) Decorre do Lema III.4.3.
(d) Lembrar que se I é gerado por γ1, . . . , γr e F é gerado por
δ1, . . . , δs então I + F é gerado por:
γ1, . . . , γr, δ1, . . . , δs
(Vide prova da Proposição III.4.1).
(e) Lembrar que I · F é gerado por
γiδj (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s)
e que (I ∩ F)2 ⊂ I · F ⊂ I ∩ F .
Aplicar (a) e Exemplo III.4.10.
70 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Exemplo III.4.11. Em geral, não é verdadeiro que
I(α ∩ β) = I(α) + I(β).
Por exemplo, seja α o germe do eixo 0z1 em 0 ∈ C2 e seja β o germe
da parábola z2 = z
2
1 em 0 ∈ C2. Então I(α) é o ideal gerado por
z2, I(β) é o ideal gerado por z2 − z21 (porque ζ1 = z1, ζ2 = z2 − z21 é
uma mudança não singular de variáveis) e I(α∩β) é o ideal gerado
por z1, z2. Porém,
z1 /∈ I(α) + I(β).
Observemos que o eixo 0z1 e a parábola z2 = z
2
1 são tangentes
em 0. Em certo sentido, isto quer dizer que a interseção da reta e a
parábola não é apenas o ponto 0, mas o ponto 0 com multiplicidade
2. Este fato geométrico está ligado ao fato algébrico que
I(α ∩ β) 6= I(α) + I(β)
neste caso. Estas considerações levam à teoria de interseções que
não podemos introduzir aqui.
Definição III.4.4. Dizemos que um germe de conjunto α em 0 ∈
Cn é um germe anaĺıtico se existe um ideal I ⊂ O tal que α = V (I).
Dizemos que um ideal I ⊂ O é um ideal anaĺıtico se existe um
germe de conjunto α em 0 ∈ Cn tal que I = I(α).
Observemos que se X ⊂ Cn é anaĺıtico em 0, então seu germe
α em 0 é anaĺıtico. Com efeito, na vizinhança de 0 o conjunto X é
definido pelas equações anaĺıticas:
g1 = · · · = gr = 0.
Seja I ⊂ O o ideal gerado por g1, . . . , gr. Então α = V (I).
Reciprocamente, todo o germe anaĺıtico é o germe de um con-
junto anaĺıtico em 0.
Proposição III.4.5. Seja α um germe de conjunto em 0 ∈ Cn e
seja I ⊂ O um ideal.
a) α ⊂ V (I(α)) e α = V (I(α)) se e somente se α é anaĺıtico.
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 71
b) I ⊂ I(V (I)).
Prova. A primeira firmação de (a) decorre imediatamente do Lema
III.4.3. Se α = V (I(α)), então α é anaĺıtico por definição.
Suponhamos α anaĺıtico. Então, α = V (F), onde F ⊂ O é um
ideal. Logo, I(α) ⊃ F . Então,
V (I(α)) ⊂ V (F) = α
pela Proposição III.4.4(c).
A parte (b) é imediata.
Exemplo III.4.12. Seja S o subconjunto de C2 definido no Exer-
ćıcio II.2.3. Seja α o germe de S em 0. Então I(α) = 0 e V (I(α))
é o germe de C2 em 0.
Exemplo III.4.13. Seja I o ideal de O gerado por:
z21 , . . . , z
2
n.
Então V (I) é o germe de {0} e I(V (I)) é o ideal de O gerado por:
z1, . . . , zn.
É natural perguntar se I = I(V (I)) quando I é um ideal
anaĺıtico. A resposta é afirmativa mas a prova não é trivial e de-
pende da caracterização dos ideais anaĺıticos.
É óbvio que se I é um ideal anaĺıtico, então I =
√
I (Apêndice
I, 2.1). Por um teorema de Hilbert (a ”Nullstellensatz”) a rećıproca
é verdadeira, o que proporciona uma caracterização puramente al-
gébrica dos ideais anaĺıticos. Ainda mais, I(V (I)) =
√
I para todo
ideal I ⊂ O. Vamos, a seguir, considerar um caso particular deste
teorema. Depois provaremos o teorema em toda generalidade.
Proposição III.4.6. Seja γ ∈ O irredut́ıvel e tal que γ(0) = 0.
Seja I o ideal gerado por γ. Então, I(V (I)) = I.
72 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Prova. Pela Proposição III.2.1 podemos supor γ regular em zn e
pelo Teorema de preparação III.2.4, γ = uδ onde u(0) 6= 0 e δ é
um polinômio de Weierstrass em zn. Então I é gerado por δ. Pelo
Lema III.3.1, δ é irredut́ıvel em O′[zn].
Seja ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn um polidisco tal que δ admite um repre-
sentante f anaĺıtico em ∆ da forma:
f(z) = zkn + a1(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + ak(z1, . . . , zn−1)
onde as aj são anaĺıticas em ∆(0; r1, . . . , rn−1) e nulas em 0. Logo,
f está nas condições do § 1. Em particular, se X é subconjunto
anaĺıtico de ∆ definido pela equação f = 0, então X satisfaz o
Teorema III.1.2 (tomando ‖r‖ bastante pequena).
Seja α o germe de X em 0. Então V (I) = α. Seja η ∈ O e
suponhamos que η anula-se sobre α. Desejamos provar que η ∈ I.
Pelo Teorema de divisão III.3.5,
η = βδ + ω
onde β ∈ O e ω ∈ O′[zn] é de grau < k em zn. em particular, ω
anula-se sobre α. Logo, se ‖r‖ é bastante pequena, ω possui um
representante g anaĺıtico em ∆ tal que g|X = 0 e que:
g(z) = b0(z1, . . . , zn−1)z
k−1
n + · · · + bk−1(z1, . . . , zn−1)onde as bj são anaĺıticas em ∆(0; r1, . . . , rn−1). Pelo Teoorema
III.1.2, existe um subconjunto fino de T de ∆(0; r1, . . . , rn−1), tal
que, para todo
(z1, . . . , zn−1) ∈ ∆(0; r1, . . . , rn−1) − T
existem k números distintos c1, . . . , ck tais que:
(z1, . . . , zn−1, cj) ∈ X (j = 1, . . . , k).
Logo, g = 0 considerada como equação em zn tem k ráızes
distintas. Como ela é de grau < K, decorre dáı que todos os seus
coeficientes são nulos. Então, b0, . . . , bk−1 são nulas em
∆(0; r1, . . . , rn−1) − T.
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 73
Logo, b0 = · · · = bk−1 = 0 (Proposição II.1.1). Então, η = βδ.
Logo, η ∈ I; o que acaba a prova.
Passamos agora ao caso geral de Hilbert.
Teorema III.4.7. (Teorema dos zeros de Hilbert). Seja I um ideal
de O. Então I(V (I)) =
√
I, o radical de I (Apêndice I, 2.1).
Corolário III.4.8. Seja I ⊂ O um ideal. Então I é um ideal
anaĺıtico se e somente se I é um ideal radical (i.e., I =
√
I).
Prova. Se I é radical,
I =
√
I = I(V (I))
pelo Teorema III.4.7. Então, I é anaĺıtico.
Se I é anaĺıtico, existe um germe de conjunto α em 0 ∈ Cn tal
que I = I(α). Mas, pela definição de I(α), é óbvio que se γ ∈ O e
γm ∈ I(α), então γ ∈ I(α). Logo, I(α) = I é um ideal radical.
Corolário III.4.9. Seja I ⊂ O um ideal. Então I = I(V (I)) se
e somente se I é anaĺıtico.
Prova. Com efeito, pelo Teorema III.4.7, I = I(V (I)) se e somente
se I é radical; ou seja, pelo Corolário III.4.8, se e somente se I é
anaĺıtico.
Para provar o Teorema III.4.7 vamos primeiro reduźı-lo ao caso
particualr onde I é um ideal primo. Quer dizer que suporemos
provado que P = I(V (P)) para todo ideal primo P de O e vamos
deduzir o Teorema III.4.7.
A inclusão
√
I ⊂ I(V (I)) decorre imediatamente das definições.
Pelo Apêndice I, 2.2, sabemos que
√
I é a interseção de todos
os ideais primos que contém I. Então, para provar que
√
I ⊃ I(V (I)),
basta provar que se P ⊂ O é um ideal primo e P ⊃ I, então
P ⊃ I(V (I)). E, com efeito, de P ⊃ I decorre V (P) ⊂ V (I);
logo,
P = I(V (P)) ⊃ I(V (I)).
74 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
No que segue vamos dar a prova do Teorema III.4.7 no caso par-
ticular onde I é um ideal primo. Ao mesmo tempo, vamos fazer
uma construção semelhante à do § 1 para os conjuntos de zeros de
ideais primos de O.
Seja P ⊂ O um ideal primo. Seja A = O/P e seja π : O → A a
projeção canônica.
Lema III.4.10. Por uma mudança linear não-singular de coorde-
nadas em Cn é posśıvel obter um sistema de coordenadas z1, . . . , zn
tal que, para um inteiro k (1 ≤ k ≤ n) vale:
a) H∩P = 0 onde H é o anel local de Ck em 0 considerado como
subanel de O. (Germes de funções anaĺıticas em z1, . . . , zk).
Em particular, identificando H com π(H), podemos conside-
rar H como subanel de A. (Como sempre Ck é o subespaço
de Cn definido por zk+1 = · · · = zn = 0).
b) A = H[tk+1, . . . , tn] onde tj = π(zj) (1 ≤ j ≤ n).
(Quer dizer que todo elemento de A é um polinômio em
tk+1, . . . , tn com coeficientes em H).
c) A é inteiro sobre H (Apêndice I, 3.1).
d) Seja K o corpo de frações de A e L o corpo de frações de H.
Então K = L[tk+1] (definimos tn+1 = 0).
Prova. Vamos proceder por indução em n. Se n = 0 então O = C,
P = 0, A = C, k = 0 e tudo é trivial.
Seja n > 0 e suponhamos o lema verdadeiro em dimensão n−1.
Se P = 0, então A = O, k = n, H = O e tudo é trivial.
Suponhamos P 6= 0. Pela Proposição III.2.1 podemos supor
que existe γ̃ ∈ P regular em zn. (Geometricamente quer dizer que
a interseção de V (P) com o germe em 0 do eixo 0zn é o germe
de {0}). Logo, pelo Teorema de preparação III.2.4, γ̃ = uω onde
u(0) 6= 0 e ω é um polinômio de Weierstrass em zn. Então ω ∈ P.
Seja P ′ = P ∩ O′. (Geometricamente corresponde a projetar
V (P) em Cn−1). Então A′ = O′/P ′ é um subanel de A. Pela
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 75
hipótese de indução podemos supor (depois de uma mudança linear
de coordenadas) que existe k (0 ≤ k ≤ n− 1) tal que:
a) H ∩ P ′ = 0 onde H é o anel local de Ck em 0 considerado
como subanel de O′.
b) A′ = H[tk+1, . . . , tn−1]
c) A′ é inteiro sobre H.
Como H ⊂ O′, H ∩ P = 0; o que prova (a) do lema.
Seja α ∈ O. Pelo Teorema de divisão III.3.5,
α = βω + λ
onde β ∈ O e λ ∈ O′[zn]. Então π(α) = π(λ) ∈ A′[tn]. Logo,
A = A′[tn]. Decorre dáı e de A
′ = H[tk+1, . . . , tn−1] que
A = H[tk+1, . . . , tn],
o que prova (b) do lema.
Seja
ω = zmn + α1z
m−1
n + · · · + αm
onde αj ∈ O′, αj(0) = 0 para todo j. Então,
0 = π(ω) = tmn + π(α1)t
m−1
n + · · · + π(αm)
e π(αj) ∈ A′ (1 ≤ j ≤ m). Logo tn é inteiro sobre A′. Logo,
A = A′[tn] é inteiro sobre A
′ (Apêndice I, 3.3). Como A′ é inteiro
sobre H, temos que A é inteiro sobre H (Apêndice I, 3.4), o que
prova (c) do lema.
Para provar (d) observemos que, como A é inteiro sobre H, K/L
é uma extensão algébrica e que, como A = H[tk+1, . . . , tn], K/L é
uma extensão finita: K = L[tk+1, . . . , tn]. Se K = L não temos
nada a provar. Suponhamos K 6= L. Pelo teorema do elemento
primitivo, existem
c1, . . . , cn−k ∈ C
76 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
tais que K = L[t], onde
t = c1tk+1 + · · · + cn−ktn.
Como K 6= L, os c1, . . . , cn−k não são todos nulos. Logo, por uma
mudança linear não singular das últimas n−k coordenadas podemos
obter um sistema de coordenadas:
z1, . . . , zk, z
′
k+1, . . . , z
′
n
tal que
z′k+1 = c1zk+1 + · · · + cn−kzn.
Estas coordenadas satisfazem as condições (a), (b), (c), (d) do lema.
Daqui por diante suporemos fixado um sistema de coordenadas
z1, . . . , zn em Cn que verifica as condições do Lema III.4.10. Seja
pk+1(Z) = Z
m + b1Z
m−1 + · · · + bm
o polinômio minimal de tk+1 sobre L. Como H é integralmente
fechado (Apêndice I, 3.9 e Teorema III.3.2) os bj pertencem a H.
(Apêndice I, 3.7). Decorre dáı que:
δ = pk+1(zk+1) ∈ O′′
onde O′′ é o anel local de Ck+1 em 0 considerado como subanel de
O. Temos que:
O′′ ⊂ O.
Em particular δ, como elemento de O′′, é regular em zk+1. Pelo
Teorema de preparação III.2.4 (em O′′), δ = uµ onde u(0) 6= 0 e
µ = zqk+1 + c1z
q−1
k+1 + · · · + cq, cj ∈ H, cj(0) = 0 (1 ≤ j ≤ q).
Se na série de Taylor de µ fazemos zj = 0 para j = 1, . . . , k obtemos
uma série divisíıvel por zqk+1. A mesma propriedade vale, então para
a série de δ. Logo, q ≤ m.
Como pk+1(tk+1) = 0 temos que δ ∈ P. Logo, µ ∈ P. Então,
tqk+1 + c1t
q−1
k+1 + · · · + cq = 0.
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 77
Como pk+1(Z) é o polinômio minimal de tk+1 sobre L, decorre dáı
que q = m e cj = bj (j = 1, . . . ,m). Fica provado, então, que δ é
um polinômio de Weierstrass em zk+1 (no anel O′′).
Por analogia prova-se que o polinômio minimal pj(Z) de tj so-
bre L é um polinômio com coeficientes em H e que pj(zj) é um
polinômio de Weierstrass em zj para j = k + 2, . . . , n.
Voltando a δ observemos que, pela irredutibilidade do polinômio
minimal, δ é irredut́ıvel em H[zk+1]. Logo, pelo Lema III.3.1, δ é
irredut́ıvel em O′′. Seja P ′′ o ideal primo de O′′ gerado por δ.
Vamos provar que:
P ′′ = O′′ ∩ P.
Como δ ∈ P, P ′′ ⊂ O′′ ∩ P. Seja α ∈ O′′ ∩ P. Pelo Teorema de
divisão III.3.5,
α = βδ + ω
onde ω ∈ H[zk+1] é de grau < m. Então,
ω = α− βδ ∈ P.
Então, π(ω) = 0. Seja
ω = a0z
m−1
k+1 + · · · + am−1, aj ∈ H.
Resulta,
0 = π(ω) = a0t
m−1
k+1 + · · · + am−1.
Logo,
a0 = a1 = · · · = am−1 = 0
porque o polinômio minimal pk+1 tem grau m. Então, ω = 0. Ou
seja, α = βδ ∈ P ′′. Fica provado que P ′′ = O′′ ∩ P.
Seja D o discriminante de pk+1(Z). (Ver Apêndice I). Então
D ∈ H e D 6= 0. Decorre das condições (c) e (d) do Lema III.4.10 e
do Apêndice I, 3.10 que existem polinômios qj(Z) ∈ H[Z] tais que:
tj =
qj(tk+1)
D
(j = k + 2, . . . , n).
78 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Seja ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn um polidisco tal que existem f1, . . . , fr
anaĺıticas em ∆ tais que f1, . . . , fr geram P . Além disso, suponha-
mos que em Λ = ∆(0; r1, . . . , rk) existem rerpesentantesanaĺıticos
dos coeficientes dos p
j
(Z) e dos q
j
(Z) e representante anaĺıtico D
de D. Vamos chamar pj(Z) e qj(Z) os respectivos polinômios com
coeficientes anaĺıticos em Λ (substituindo o germe pelo represen-
tante). Também, tomando r1, . . . , rk bastante pequenos, podemos
supor que todas as ráızes da equação pj(Z) = 0 têm módulo menor
do que rj (j = k+ 1, . . . , n). Finalmente, se r1, . . . , rk são bastante
pequenos, podemos supor que o conjunto Y definido pela equação
pk+1(zk+1) = 0 em Γ = ∆(0, r1, . . . , rk+1) satisfaz o Teorema III.1.2.
Seja X o subconjunto anaĺıtico de ∆ definido pelas equações:
f1 = · · · = fr = 0.
O germe de X em 0 é V (P).
Seja X̃ o subconjunto anaĺıtico de ∆ definido pelas equações:
pk+1(zk+1) = 0, Dzj − qj(zk+1) = 0 j = k + 2, . . . , n.
Vamos provar que, se ‖r‖ é bastante pequena, então
X − Σ = X̃ − Σ
onde
Σ = {z ∈ ∆ : D(z) = 0}.
Com efeito, de
pk+1(tk+1) = 0 e Dtj = qj(tk+1), k + 2 ≤ j ≤ n
decorre que
pk+1(zk+1) ∈ P e Dzj − qj(zk+1) ∈ P, k + 2 ≤ j ≤ n.
Então, na vizinhança de 0, as equações de X̃ são combinações line-
ares (com coeficientes anaĺıticos) das equações de X. Logo X ⊂ X̃
se ‖r‖ é bastante pequena. Então, X − Σ ⊂ X̃ − Σ.
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 79
Para provar a inclusão inversa vamos primeiro provar que as
pj(zj) (j = k + 2, . . . , n) anulam-se sobre X̃ − Σ. Por definição,
pj(qj(tk+1)/D) = 0.
Logo,
Dspj(qj(tk+1)/D) = 0
onde s é um inteiro positivo bastante grande para eliminar os de-
nominadores. Decorre dáı que:
Dspj(qj(zk+1)/D) ∈ P ∩ O′′ = P ′′
Logo, δ divideDspj(qj(zk+1)/D) em O. Então, se ‖r‖ é bastante
pequena, pk+1(zk+1) divide D
spj(qj(zk+1)/D) no anel das funções
anaĺıticas em Γ. Segue-se que Dspj(qj(zk+1)/D) anula-se sobre X̃.
Seja a ∈ X̃ − Σ. Então, como D(a1, . . . , ak) 6= 0, temos:
pj(qj(ak+1)/D(a1, . . . , ak)) = 0.
Mas aj = qj(ak+1)/D(a1, . . . , ak), porque a ∈ X̃. Logo, pj(aj) =
0. Então, pj(zj) anula-se sobre X̃ − Σ.
Para provar que X̃ − Σ ⊂ X − Σ o único que resta é que as fi
anulam-se em todo ponto de X̃ − Σ.
Pelo Teorema de divisão III.3.5,
fi = α1pk+1(zk+1) + β1
onde α1 ∈ O e β1 ∈ O é um polinômio em zk+1 com coeficientes
germes de funções anaĺıticas nas zh com h 6= k + 1.
Dividindo-se agora cada coeficiente de β1 por pk+2(zk+2):
fi = α1pk+1(zk+1) + α2pk+2(zk+2) + β2,
onde α2 ∈ O e β2 ∈ O é um polinômio em zk+1, zk+2 com coefi-
cientes germes de funções anaĺıticas nas zh com h 6= k + 1, k + 2.
Continuando o processo chegaremos a:
fi = α1pk+1(zk+1) + α2pk+2(zk+2) + · · · + αn−kpn(zn) + β
80 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
onde β é um polinômio em zk+1, . . . , zn com coeficientes em H.
Decorre dáı que, para s inteiro positivo bastante grande:
Dsfi = D
sα1pk+1(zk+1) + · · · +Dsαn−kpn(zn) + γ
onde γ é um polinômio em:
Dzk+1, Dzk+2, . . . , Dzn
com coeficientes em H. Substitutindo em γ:
Dzj por Dzj − qj(zk+1) + qj(zk+1) = Dzj
(j = k + 2, . . . , n) temos:
Dsfi = D
sα1pk+1(zk+1) + · · · +Dsαn−kpn(zn)
+ βk+2(Dzk+2 − qk+2(zk+1)) + · · · + βn(Dzn − qn(zk+1)) + γ̃
onde βk+2 . . . , βn ∈ O e γ̃ ∈ H[zk+1].
Pelas definições, todos os termos menos γ̃ pertencem a P . Logo,
γ̃ ∈ P. Seja:
γ̃ = µ0z
q
k+1 + · · · + µq, µh ∈ H.
Então,
0 = π(γ̃) = µ0t
q
k+1 + · · · + µq.
Logo, µ0Z
q + · · · + µq é diviśıvel por pk+1(Z). Então,
γ̃ = µ · pk+1(zk+1), µ ∈ O.
Pela expressão de Dsfi acima e pelo fato que os pj(zj) anulam-se
sobre X̃ − Σ, decorre dáı que Dsfi anula-se sobre X̃ − Σ, se ‖r‖
é bastante pequeno. Logo, fi anula-se sobre X̃ − Σ, pela definição
de Σ.
Fica então provado que X̃ − Σ = X − Σ.
Vamos agora provar o Teorema III.4.7 para o ideal primo I = P .
Seja Π: ∆ → Γ a projeção:
Π(z) = (z1, . . . , zk+1), z ∈ ∆.
[SEC. III.4: CONJUNTOS ANAĹITICOS 81
Então Π: X̃ − Σ → Y − S é sobrejetiva, onde S é o conjunto de
zeros de D em Y , pela definição de X̃. Logo,
Π: X − Σ → Y − S
é sobrejetiva.
Seja f anaĺıtica em Γ e tal que f ◦ Π é nula sobre X. Então
f é nula sobre Y − S. Logo, f é nula sobre Y (Teorema III.1.2c).
Então, pela Proposição III.4.6, f ∈ P ′′. Decorre dáı que
I(V (P)) ∩ O′′ = P ′′.
Como
P ∩ O′′ = P ′′
temos que H ⊂ O′′/P ′′ ⊂ O/P = A. Então π(I(V (P)))∩(O′′/P ′′) =
0, porque P ⊂ I(V (P)).
Logo,
π(I(V (P))) ∩H = 0.
Como A é inteiro sobre H, decorre do Apêndice I, 3.11 que
π(I(V (P))) = 0. Logo,
I(V (P)) ⊂ P.
Exerćıcio III.4.1. a) Se K = L então X é uma variedade anaĺıtica
na vizinhança de 0. b) Se A = H[zk+1] então existe (se ‖r‖ é
bastante pequena) uma bijeção f : X → Y tal que f e f−1 são
restrições de aplicações anaĺıticas.
Exerćıcio III.4.2. Sejam f1, . . . , fr, g funções anaĺıticas na vizi-
nhança de 0 ∈ Cn. Suponhamos que, em uma vizinhança de 0,
toda solução do sistema f1,= · · · = fr = 0 é também solução da
equação g = 0. Então existe um inteiro k > 0, uma vizinhança U
de 0 e funções anaĺıticas h1, . . . , hr em U tais que f1, . . . , fr, g são
anaĺıticas em U e:
gk = h1f1 + · · · + hrfr em U.
82 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Exerćıcio III.4.3. Seja U ⊂ Cn um domı́nio limitado e seja f uma
função meromorfa em U . Suponhamos que existe g anaĺıtica em U
e não identicamente nula tal que f é anaĺıtica em U − g−1(0). Seja
V outro domı́nio tal que V ⊂ U . Então existe inteiro k > 0 tal que
gkf é anaĺıtica em V .
Exerćıcio III.4.4. Sejam α, β germes anaĺıticos de conjunto em
0 ∈ Cn. Então
I(α ∩ β) =
√
I(α) + I(β).
Exerćıcio III.4.5. Seja f : C2 → C anaĺıtica tal que df(z) 6= 0
para todo z ∈ C2. Seja X ⊂ C2 o conjunto das soluções da equação
f = 0. Então X é uma variedade anaĺıtica de dimensão um.
Suponhamos que X não contém retas. Para cada z ∈ X seja
Tz(X) a reta tangente em z à X. Seja Lz = 0 a equação de Tz(X).
Então existe inteiro positivo k(z) tal que m
k(z)
z está contido no ideal
de Oz(C2) gerado por Lz e f , onde mz é o ideal maximal de Oz(C2).
A função z → k(z) é semicont́ınua inferiormente em X.
Exerćıcio III.4.6. Seja U uma variedade anaĺıtica complexa. De-
finir a noção de subconjunto anaĺıtico de U e provar as generaliza-
ções correspondentes as Proposições III.4.1 e III.4.2 (vide Exerćıcio
II.1.2). Observar que todas as propriedades locais são as mesmas.
Dar exemplos de subconjuntos anaĺıticos de U × Pn definidos por
f(z1, . . . , zn, ζ1, . . . , ζm) = 0.
Exerćıcio III.4.7. Sejam U ⊂ Cn domı́nio, F : U → Cm e h =
max.posto dF . Prove que S = {z ∈ U : ponto dF (z) < h} é
subconjunto anaĺıtico de U . Em U − S, a aplicação é localmente
equivalente à aplicação linear.
Exerćıcio III.4.8. Seja X ⊂ Cn um conjunto anaĺıtico. Seja
Y ⊂ X.
a) Y é um conjunto anaĺıtico se e somente se, para todo a ∈ Y ,
existem um aberto U de X e uma função f : U → Cm tais
que:
a ∈ U, U ∩ Y = {x ∈ U ; f(x) = 0}
[SEC. III.5: PARAMETRIZAÇÃO LOCAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 83
e f é a restrição a U de uma função anaĺıtica em um aberto
de Cn.
b) Y é um conjunto anaĺıtico fechado em X se e somente se a
condição (a) verifica-se para todo a ∈ X.
III.5 Parametrização local de conjun-
tos anaĺıticos
Vamos agora continuar a discussão do § 4, com idênticas notações,
para obter um teorema de parametrização local de conjuntos anaĺı-
ticos, similar ao Teorema III.1.2 e à Proposição III.1.3. Utilizaremos
o seguinte teorema que provaremos depois.
Teorema III.5.1. Sejam U, V abertos limitados U ⊂ Cn e V ⊂
Ck), X um subconjunto fechado de U e g : U → V uma aplicação
anaĺıtica. Suponhamos:
a) Existe um inteiro Ñ > 0 tal que g−1(v) ∩X têm no máximo
Ñ elementos, para todo v ∈ V .
b) Existe um subconjunto fechado fino T de V tal que
g : X − S → V − T
é um recobrimento, onde S = g−1(T ).
c) X − S é uma subvariedade anaĺıtica de U − S
d) X − S é denso em X
e) g : X → V é uma aplicação própria.
Então, X é um subconjunto anaĺıtico de U .
Admitimos, no momento, este teorema, e retomamos a discussãodo § 4. SejaX ′ o fecho em ∆ do conjuntoX−Σ = X̃−Σ. Desejamos
provar agora que, para ∆ conveniente: A) X ′ é um subconjunto
anaĺıtico de ∆; B) X ′ = X.
84 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
(A) Consideremos a projeção:
P : X ′ → Λ, P (z) = (z1, . . . , zk).
A aplicação P é própria. Com efeito, seja M um subconjunto
compacto de Λ. Então P−1(M) é um subconjunto limitado de
Cn. Falta somente provar que P−1(M) é fechado em Cn. Seja
{zq} ⊂ P−1(M) uma seqüência convergente em Cn a um ponto u.
Como M é compacto,
v = limP (zq) ∈M ⊂ Λ.
Então, como uj = vj (j = 1, . . . , k), temos |uj| < rj (j = 1, . . . , k).
Vimos antes que os pj(zj) anulam-se sobre X̃−Σ = X−Σ. Logo, os
pj(zj) anulam-se sobre X
′. Logo, pj(z
q
j ) = 0 para todo q. Passando
ao limite para q → ∞ temos que uj é a raiz da equação pj(Z) = 0
tomada no ponto v, se j = k + 1, . . . , n. Mas os r1, . . . , rk foram
escolhidos para que todas as ráızes de pj(Z) = 0 tenham módulo
< rj. Logo, |uj| < rj (j = k + 1, . . . , n). Então, u ∈ ∆. Como X ′
é fechado em ∆, u ∈ X ′. Logo, u ∈ P−1(M). Então, P−1(M) é
fechado.
O mesmo racioćınio mostra que P−1(v) tem no máximo N ele-
mentos para todo v ∈ Λ, onde N é o produto dos graus dos pj(Z).
Pela definição de X̃,
Π: X̃ − Σ → Y − S
é um homeomorfismo. Decorre dáı e do Teorema III.1.2c) que
P : X ′ − Σ = X̃ − Σ → Λ − T
é um revestimento, onde T é o subconjunto de Λ definido pela
equação D = 0.
Da definição de X̃ e do Teorema I.4.2 resulta imediatamente
que X̃ − Σ = X ′ − Σ é uma subvariedade anaĺıtica de ∆ − Σ.
Aplicando o Teorema III.5.1 fica provado (A)
(B) Como X é fechado em ∆, X ′ ⊂ X. É óbvio que
X ⊂ X ′ ∪ Σ.
[SEC. III.5: PARAMETRIZAÇÃO LOCAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 85
Tomando ∆ ainda mais pequeno, se for necessário, podemos
supor X ′ definido por um sistema:
g1 = 0, . . . , gn = 0
de equações anaĺıticas em ∆. Então, Dgj ∈ P. Como D /∈ P,
gj ∈ P. Logo, se ∆ é convenientemente pequeno, as equações de
X ′ são combinações lineares das equações de X. Então, X ⊂ X ′, o
que prova (B).
Decorre de (B) que X − Σ é denso em X.
Vamos reunir os resultados obtidos no seguinte (levando em
conta o Teorema III.1.2 e a Proposição III.1.3):
Teorema III.5.2. Seja P um ideal primo de O diferente de 0 e
seja δ > 0. Então, depois de uma mudança linear não singular
de coordenadas, existem: um polidisco ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn (com
‖r‖ < δ), um inteiro k (0 ≤ k < n), uma função ρ anaĺıtica em Γ =
∆(0; r1, . . . , rk+1) e uma função D 6= 0 anaĺıtica em
Λ = ∆(0; r1, . . . , rk) tais que:
a) Existe um subconjunto anaĺıtico X de ∆ que representa V (P).
b) Seja Y o subconjunto anaĺıtico de Γ definido pela equação
ρ = 0. Então,
Π: X → Y (Π(z) = (z1, . . . , zk+1), z ∈ X)
é uma aplicação própria, sobrejetora e tal que Π−1(y) é finito
para todo y ∈ Y e a ordem de Π−1(y) fica limitada quando y
percorre Y .
c) Seja Σ o subconjunto de ∆ definido pela equação D = 0 e seja
S o subconjunto de Γ definido pelas equações D = 0, ρ = 0.
Então X−Σ é uma subvariedade anaĺıtica de ∆−Σ, conexa e
densa em X, e Y −S é uma subvariedade anaĺıtica de Γ−S,
conexa e densa em Y .
d) Π: X − Σ → Y − S é um homeomorfismo bianaĺıtico.
86 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
e) A aplicação
P : X → Λ (P (z) = (z1, . . . , zk), z ∈ X)
é sobrejetora, aberta e própria. O conjunto P−1(w) é finito
para todo w ∈ Λ e sua ordem fica limitada quando w percorre
Λ.
f) Seja T o subconjunto de Λ definido pela equação D = 0.
Então P : X − Σ → Λ − T é um recobrimento de ordem m
onde m é a máxima ordem de P−1(w) para w ∈ Λ.
Prova. Π: X − Σ → Y − S é homeomorfismo bianaĺıtico entre
variedades pela definição de X̃ e porque X − Σ = X̃ − Σ. O resto
de (c) e (d) resulta do provado antes e da Proposição III.1.3 e do
Teorema III.1.2.
P : X → Λ é própria porque X = X ′ e P : X ′ → Λ é própria.
Decorre dáı que Π é própria. Então, Π(X) é fechado em Y . Como
Π(X) ⊃ Π(X−Σ) = Y −S e que Y −S é denso em Y , Π(X) = Y .
O resto de (b) foi provado antes. Também provamos que P−1(w) é
finito de ordem limitado para w ∈ Λ. Então, como Λ − T é denso
em Λ, X − Σ é denso em X e P : Λ − T → X − Σ é aberta (pela
parte (d) e o Teorema III.1.2), o fato que P : X → Λ seja aberta
resulta do Corolário I.8.3 e do Corolário II.1.4.
Como P é própria, P (X) é fechado em Λ. Como P é aberta,
P (X) é aberto em Λ. Logo, P (X) = Λ. Isto prova (e).
Finalmente, P : X − Σ → Λ − T é um revestimento pela parte
(d) e o Teorema III.1.2. Se existir w ∈ Λ tal que o cardinal de
P−1(w) for maior que m, P não poderia ser aberta.
Devemos agora provar o Teorema III.5.1. A prova está baseada
no seguinte:
Lema III.5.3. Sejam n,N inteiros positivos e seja M = Nn. En-
tão existem M funções lineares:
f1, . . . , fM : Cn → C
[SEC. III.5: PARAMETRIZAÇÃO LOCAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 87
tais que se a1, . . . , ak, b ∈ Cn, se k ≤ N e se b 6= aj para todo
j = 1, . . . , k, então existe i, 1 ≤ i ≤M , tal que
fi(b) 6= fi(aj) para todo j = 1, . . . , k.
Prova. Basta tomar f1, . . . , fM tais que n quaisquer delas são li-
nearmente independentes. Se para todo i existe j tal que fi(aj) =
fi(b), como nk ≤ nN = M , existirá pelo menos um j tal que
fi(aj) = fi(b) para, pelo menos n funções fi. Então, fi(aj − b) = 0
para, pelo menos n funções fi. Ou seja, aj −b = 0; o que é absurdo.
Prova do Teorema III.5.1. Seja N a ordem do revestimento:
g : X − S → V − T.
Sejam f1, . . . , fM funções lineares em Cn que satisfazem o estabe-
lecido no Lema III.5.3 para Ñ . A continuação vamos fazer, para
cada fi, uma construção semelhante à construção feita na prova do
teorema de preparação.
Para cada v ∈ V − T sejam u1(v), . . . , uN(v) os N pontos de
g−1(v)∩X ordenados de maneira arbitrária. Então as uj são funções
de V − T em Cn (que não são nem sequer cont́ınuas). Seja
aj : V − T → C (j = 1, . . . , N)
a j-ésima função simétrica elementar de fi(u1), . . . , fi(uN). Vamos
provar que as aj são anaĺıticas. Seja v0 ∈ V −T . Pela condição (b),
existe vizinhança aberta W ⊂ V − T de v0 e existem aplicações:
ϕ1, . . . , ϕN : W → X − S
anaĺıticas tais que, para todo v ∈ W , {u1, (v), . . . , uN(v)} é uma
permutação de {ϕ1(v), . . . , ϕN(v)}. Decorre dáı que, em W , aj é
a j-ésima função simétrica elementar de fi(ϕ1(v)), . . . , fi(ϕN(v)).
Logo, aj|W é anaĺıtica. Portanto, aj é anaĺıtica em V − T . Como
U é limitado, as aj são limitadas. Logo, pelo Teorema II.1.2, existe
uma extensão anaĺıtica de aj a V , que continuaremos chamando aj.
Seja:
pi(v,X) = X
N + a1(v)X
N−1 + · · · + aN(v), v ∈ V.
88 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Então,
pi(v,X) = (X − fi(u1(v)) . . . (X − fi(uN(v)) se v ∈ V − T.
Quer dizer que as N ráızes de pi(v,X) = 0 como equação em X,
são:
fi(u1(v)), . . . , fi(uN(v)),
para todo v ∈ V − T .
Seja,
hi(z) = pi(g(z), fi(x)), z ∈ U.
Então, hi : U → C é anaĺıtica. Vamos provar queX é o subconjunto
de U definido pelas equações:
h1 = h2 = · · · = hM = 0,
o que acabará a prova do teorema.
Seja z ∈ X − S. Seja v = g(z). Então, z = uj(v) para algum
j. Portanto, fi(z) é raiz de pi(v,X) = 0. Logo, pi(v, fi(z)) = 0.
Decorre dáı que
hi(z) = pi(g(z), fi(z)) = pi(v, fi(z)) = 0.
Quer dizer que hi|X−S = 0. Pela condição (d), hi|X = 0. O único
que resta provar é que se a ∈ U −X, então hi(a) 6= 0 para algum i.
Com efeito, seja b = g(a). Então a /∈ g−1(b) ∩X e g−1(b) ∩X tem
no máximo Ñ pontos. Logo, existe fi tal que
fi(a) 6= fi(z) para todo z ∈ g−1(b) ∩X.
Ou seja,
fi(a) /∈ fi(g−1(b) ∩ S).
Então existe abertos W1,W2 em C tais que
W1 ∩W2 = ∅, fi(a) ∈ W1, fi(g−1(b) ∩X) ⊂ W2.
Sejam
W ′ = f−1i (W1) ∩ U
W ′′ = f−1i (W2) ∩ U
W = W ′′ ∩X
(Vide figura).
[SEC. III.5: PARAMETRIZAÇÃO LOCAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 89
Então,
a ∈W ′, g−1(b) ∩X ⊂ W
e W ′ é aberto em U e W é aberto em X.
Pela condição (e), g(X −W ) é fechado em V . Como b /∈g(X −
W ), existe uma vizinhança Ub de b contida em V − g(X − W ).
Então,
g−1(Ub) ∩X ⊂ W.
Decorre dáı que, para todo v ∈ Ub − T , todas as ráızes de
pi(v,X) = 0 pertencem a fi(W ) ⊂ W2. Pela condição (b), Ub − T
é denso em Ub. Decorre dáı e do Teorema III.1.1 que para todo
v ∈ Ub, todas as ráızes de pi(v,X) = 0 pertencem a W 2. Como
W1 ∩W2 = ∅, temos fi(a) /∈W 2. Logo, pi(b, fi(a)) 6= 0. Então
hi(a) = pi(g(a), fi(a)) = pi(b, fi(a)) 6= 0;
o que desejávamos provar.
90 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Exemplo III.5.1. Seja ξ o germe em 0 ∈ C3 do conjunt anaĺıtico
definido pelas equações:
z22 − z1z3 = 0 z23 − z21z3 − z31 = 0. (1)
Seja P = I(ξ). Lembremos que ξ = V (P), pela Proposição
III.4.5a).
Vamos provar que P é um ideal primo. Se fazemos z1 = t4 e
resolvemos as equações (1) temos:
z1 = t
4 z3 = t
6 t
2 ±
√
t4 + 4
2
z2 = ±
√
t2 ±
√
t4 + 4
2
t5 (2)
(Atenção: são quatro soluções).
Por convenção,
√
t4 + 4 é o ramos definido na vizinhança de
0 determinando pela condição de valor 2 para t = 0. Também,
√
t2+
√
t4+4
2
denotará o ramo que vale 1 para t = 0. Então, as
equações:
z1 = t
4 z2 = t
5
√
t2 +
√
t4 + 4
2
z3 = t
6 t
2 +
√
t4 + 4
2
(3)
definem uma aplicação anaĺıtica de uma vizinhança de 0 ∈ C em C3
que leva 0 em 0, que parametriza o conjunto definido pelas equações
(1). Esta aplicação induz um homomorfismo O → A onde A é o
anel local de C em 0 (funções anaĺıticas em t). O ideal P é o núcleo
deste homorfismo, porque trocando em (3) t por t,−t, it,−it obte-
mos as quatro soluções de (2) (i.e., a parametrização é localmente
sobrejetora em 0). Como A não tem divisores de 0, P é primo.
O sistema de coordenadas z1, z2, z3 satisfaz as condições do Lema
III.4.10, com k = 1. Com efeito, H ∩ P = 0 decorre de que P é o
núcleo de O → A. Se α ∈ O, dividindo α por z22 − z1z3 (polinômio
de Weierstrass em z2) e logo dividindo cada coeficiente do resto por
z23 − z21z3 − z31 (polinômio de Weierstrass em z3 de O′) obtemos que
α = β mod P
[SEC. III.5: PARAMETRIZAÇÃO LOCAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 91
onde β é um polinômio em z2, z3 com coeficientes em H. Decorre
dáı que A = H[t2, t3].
Como
t23 − t21t3 − t31 = 0 e t22 − t1t3 = 0, (4)
temos que t3 é inteiro sobre H e que t2 é inteiro sobre H[t3]. Logo,
A é inteiro sobre H (Apêndice I, 3.3 e I, 3.4).
Como t3 = t
2
2/t1, K = L[t2].
A primeira equação de (4) (em t3) é irredut́ıvel em L, porque
z1 não tem raiz quadrada em L. Logo, [L[t3] : L] = 2. Por outro
lado, um cálculo simples mostra que t1t3 não tem raiz quadrada
em L[t3]. Logo, a segunda equação de (4) (em t2) é irredut́ıvel em
L[t3]. Então:
[K : L] = [L[t2] : L] = [L[t2, t3] : L]
= [L[t2, t3] : L[t3]] · [L[t3] : L] = 2 · 2 = 4
Das equações (4) deduzimos a equação de gau 4:
t42 − t31t22 − t51 = 0 (5)
para t2 sobre L. Então, esta é a equação minimal de t2 sobre L.
Então, X é definido em ∆ pelas equações (1), Y é definido em
Γ pela equação:
z42 − z31z22 − z51 = 0
e D = z61 +4z
5
1 . O conjunto T é {0}, o conjunto S é {0} e o conjunto
Σ ∩X é {0}.
A aplicação Π: X → Y é um homeomorfismo e a aplicação
P : X → Λ é um revestimento de ordem 4 conexo sobre Λ − {0} e
P−1(0) = {0}. As equações (3) definem uma aplicação
V → X
onde V é uma vizinhança de 0 ∈ C (parametrização) que é bijetiva
(homeomorfismo) e que é bianaĺıtica de V − {0} sobre X − {0}.
Exerćıcio III.5.1. Fazer o estudo local em 0 semelhante ao Exem-
plo III.5.1 para o conjunto definido em C4 pelas equações:
z1z2 + 2(z2z4 + z3) = 0 z
2
1 − 4(z2 + z24) = 0.
92 [CAP. III: TEOREMA DE PREPARAÇÃO E APLICAÇÕES
Observar que Π: X → Y não é injetiva. Neste caso m = 2
e existem pontos w ∈ T tais que P−1(W ) tem dois elementos.
(Comparar com Exerćıcios III.1.1 e III.3.2).
Exerćıcio III.5.2. Seja P um ideal primo de O e seja α ∈ O,
α /∈ P. Então existem um polidisco ∆(0; r) ⊂ Cn, uma função
anaĺıtica em ∆(0; r) que representa α e um subconjunto anaĺıtico
X de ∆(0; r) que representa V (P), tais que f−1(0)∩X tem interior
vazio em X.
Exerćıcio III.5.3. Seja U ⊂ Cn um domı́nio e seja f : U → Cn
anaĺıtica e injetiva. Então V = f(U) é um aberto e f−1 é anaĺıtica
em V .
Roteiro: a) Se a ∈ U é um ponto onde o posto de df é máximo,
então J(a) 6= 0, onde J = det df é o Jacobiano.
b) Seja S o conjunto definido por J = 0 em U . Suponhamos
S 6= ∅. Então existe domı́nio V ⊂ U tal que V ∩ S = T é uma
subvariedade anaĺıtica não vazia de dimensão n− 1 de V .
c) Seja u ∈ T um ponto onde o posto de d(f |T ) é máximo em
T . Então:
posto(d(f |T ))(u) = n− 1
d) Tomando em lugar de V um domı́nio mais pequeno que con-
tenha u, existe W vizinhança de f(u) em Cn e sistema de coorde-
nadas w1, . . . , wn em W tais que wj(f(u)) = 0 (1 ≤ j ≤ n) e que
f(S ∩ V ) é o subconjunto de W definido por w1 = 0.
e) Existe um sistema de coordenadas z1, . . . , zn em V tais que
z2 = w2 ◦ f, . . . , zn = wn ◦ f
e que z1 = 0 define o conjunto T = S ∩ V .
f) As equações de f nos sistemas de coordenadas z1, . . . , zn e
w1, . . . , wn são:
w1 = ϕ(z1, . . . , zn), w2 = z2, . . . , wn = zn,
onde ϕ(0, z2, . . . , zn) = 0.
[SEC. III.5: PARAMETRIZAÇÃO LOCAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 93
g) Se ϕ = a1(z2, . . . , zn)z1 + a2(z2, . . . , zn)z
2
1 + . . . então
a1(0, . . . , 0) 6= 0.
h) J(u) 6= 0, o que é absurdo. De S = ∅ decorre que V = f(U)
é aberto e que f é isomorfismo local. Por hipótese, f é injetora.
Decorre dáı que f−1 é anaĺıtica em V .
Caṕıtulo IV
Propriedades Locais dos
Conjuntos Anaĺıticos
Neste caṕıtulo vamos aproveitar os resultados do Caṕıtulo III para
estudar as propriedades locais dos conjuntos anaĺıticos: irredutibi-
lidade local, pontos regulares e pontos singulares, dimensão, etc.
Como no Caṕıtulo III vamos trabalhar na vizinhança de 0 ∈ Cn
e O denotará o anel local de Cn em 0. Se f é uma função definida
na vizinhança de 0, f denota seu germe em 0. É óbvio que, em
lugar de 0, pode-se tomar qualquer ponto de Cn.
IV.1 Germes redut́ıveis e irredut́ıveis
Definição IV.1.1. Seja α um germe de conjunto anaĺıtico em 0 ∈
Cn. Dizemos que α é irredut́ıvel se de α = β ∪ γ, β e γ germes
anaĺıticos, decorre α = β ou α = γ. No caso contrário dizemos que
α é redut́ıvel .
Proposição IV.1.1. Seja α um germe anaĺıtico com 0 ∈ Cn.
Então α é irredut́ıvel se e somente se I(α) é um ideal primo.
Prova. Seuponhamos α = β ∪ γ, α 6= β, α 6= γ, β e γ anaĺıticos.
Então, pela Proposição III.4.5a), I(α) 6= I(β) e I(α) 6= I(γ) e,
[SEC. IV.1: GERMES REDUT́IVEIS E IRREDUT́IVEIS 95
pela Proposição III.4.4b),
I(α) = I(β) ∩ I(γ) ⊃ I(β) · I(γ).
Logo, I(α) não é primo.
Reciprocamente, suponhamos que existem ideais I1, I2 tais que
I(α) ⊂ I1 ∩ I2, I(α) ⊃ I1 · I2, I(α) 6= I1, I(α) 6= I2.
Sejam β = V (I1), γ = V (I2). Então,
α = V (I(α)) ⊃ V (I1 ∩ I2) = V (I1) ∪ V (I2) = β ∪ γ
e
α = V (I(α)) ⊂ V (I1 · I2) = V (I1) ∪ V (I2) = β ∪ γ
pela Proposição III.4.4e). Logo, α = β ∪ γ. Se α = β, então
I(α) = I(β) ⊃ I1. Como I(α) ⊂ I1, temos I(α) = I1; o que é
absurdo. Então, α 6= β. Por analogia, α 6= γ. Então, α é redut́ıvel.
Corolário IV.1.2. Seja I um ideal de O, diferente de O. Então,
V (I) é irredut́ıvel se e somente se
√
I é ideal primo.
Prova. Aplicar o Teorema dos zeros III.4.7.
Teorema IV.1.3. Seja α um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn. Então
α escreve-se de maneira única, a menos da ordem dos γj, como:
α = γ1 ∪ · · · ∪ γr
onde cada γj é iredut́ıvel não vazio e γi 6⊂ γj se i 6= j.
Definição IV.1.2. Os γj são chamados de componentes irredut́ı-
veis de α.
Prova. Seja I = I(α). Como O é um anel noetheriano
(Teorema III.3.3 e como I =
√
I temos que (Apêndice I, 2.4):
(∗) I = P1 ∩ · · · ∩ Pr
96 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
onde os Pj são ideais primos e Pi 6⊂ Pj se i 6= j. Logo,
α = V (I) = γ1 ∪ · · · ∪ γr
onde γj = V (Pj) é irredut́ıvel pelo Corolário IV.1.2. Se γi ⊂ γj
então,
Pi = I(γi)⊃ I(γj) = Pj
pelo Teorema dos zeros III.4.7.
Seja agora
α = γ′1 ∪ · · · ∪ γ′s
onde os γ′j são anaĺıticos irredut́ıveis e γ
′
i 6⊂ γ′j se i 6= j. Então,
I(α) = P ′1 ∩ · · · ∩ P ′s
onde cada P ′j = I(γ′j) é um ideal primo. Se P ′i ⊂ P ′j então
γ′i = V (P ′i) ⊃ (P ′j) = γ′j.
Pela unicidade da decomposição (*) (Apêndice I, 2.4), os P ′i são os
mesmos que os Pj a menos da ordem. Logo, os γ′i são os mesmos
que os γj a menos da ordem.
No Caṕıtulo III estudamos a estrutura dos germes V (P) onde
P é primo. De certa maneira, o teorema precedente reduz o estudo
de todo germe anaĺıtico a este caso particular.
Corolário IV.1.4. Todo conjunto anaĺıtico é localmente conexo.
Prova. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn. Suponhamos que
0 ∈ X e vamos mostrar que 0 possui uma vizinhança conexa em X.
Pelo Teorema IV.1.3, existe uma vizinhança U de 0 tal que:
X ∩ U = X1 ∪ · · · ∪Xr
onde cada Xj é um subconjunto anaĺıtico de U e seu germe em 0 é
irredut́ıvel e não vazio. Então 0 ∈ Xj, para todo j, e 0 possui uma
vizinhança conexa Vj em Xj, pelo Teorema III.5.2. Então, como
0 ∈ Vj para todo j,
V = V1 ∪ · · · ∪ Vr
é uma vizinhança conexa de 0 em X.
[SEC. IV.1: GERMES REDUT́IVEIS E IRREDUT́IVEIS 97
Exemplo IV.1.1. Se α é o germe em 0 de uma subvariedade ana-
ĺıtica de uma vizinhança de 0, então α é irredut́ıvel.
Exemplo IV.1.2. O germe α em 0 do conjunto definido em C2
pela equação z1z2 = 0 é redut́ıvel. A decomposição de α em germes
irredut́ıveis é: α = β ∪ γ onde β é o germe de 0z1 e γ o germe de
0z2.
Exemplo IV.1.3. Seja α o germe em 0 do conjunto definido pela
equação f = 0 onde f é anaĺıtica em uma vizinhança de 0. Supo-
nhamos f 6= 0. Então, pelo Teorema III.3.2:
f = gr1
1
. . . grk
k
onde os g
j
são elementos irredut́ıveis de O, não associados dois a
dois. Decorre dáı que:
α = V (f) = V (g
1
) ∪ · · · ∪ V (g
k
),
onde, por definição, V (u) é o germe do ideal gerado por u, para
todo u ∈ O. Então, cada V (g
j
) é irredut́ıvel. Se V (g
i
) ⊂ V (g
j
),
temos:
g
j
∈ I(V (g
j
)) ⊂ I(V (g
i
)) = Og
i
porque Og
i
é ideal primo. Então g
i
e g
j
são irredut́ıveis associados.
Decorre dáı que
V (g
i
) 6⊂ V (g
j
) se i 6= j.
Ou seja, as V (g
i
) são as componentes irredut́ıveis de α.
Em particular, V (f) é irredut́ıvel se e somente se f é potência
de irredut́ıvel.
Exerćıcio IV.1.1. Seja γ um germe anaĺıtico em 0 ∈ C2. Seja
γ = µ1∪· · ·∪µr a sua decomposição em germes irredut́ıveis. Então,
µi ∩ µj = {0} se i 6= j.
Exerćıcio IV.1.2. a) Sejam α, β, γ germes anaĺıticos em 0 ∈ Cn.
Suponhamos α ⊂ β ∪ γ e α irredut́ıvel. Então α ⊂ β ou α ⊂ γ.
b) As componentes irredut́ıveis de um germe anaĺıtico são os
germes irredut́ıveis maximais contidos nele.
98 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Exerćıcio IV.1.3. O conjunto de pontos z de um conjunto anaĺıtico
X tais que o germe de X em z é redut́ıvel pode não ser fechado em
X. Exemplo: o conjunto definido em C3 pela equação:
z23 + z1z2z3 + z
3
2 = 0
(vide Exerćıcio III.3.2).
Exerćıcio IV.1.4. Seja n ≥ 2 e seja S um subconjunto discreto e
fechado de U = ∆(0; r1, . . . , rn) − {0}. Então S é um subconjunto
anaĺıtico de U e se existirem f1, . . . , fk : U → C anaĺıticas tais que
S = {z ∈ U : f1(z) = · · · = fk(z) = 0} então 0 não é ponto de
acumulação de S.
Exerćıcio IV.1.5. a) Seja X um conjunto anaĺıtico, seja a ∈ X e
seja α o germe de X em a. Então existe uma vizinhança U de a tal
que se f é anaĺıtica em U e seu germe em a pertence a I(α), então
f |(X ∩ U) = 0.
b) Seja X um subconjunto anaĺıtico conexo de um domı́nio U
tal que o germe de X em a é irredut́ıvel para todo a ∈ X. Seja
f anaĺıtica em U . Então, f−1(0) ∩ X tem interior vazio em X, a
menos que f seja identicamente nula em X.
IV.2 Dimensão
Definição IV.2.1. Seja γ um germe (não vazio), anaĺıtico irre-
dut́ıvel em 0 ∈ Cn. Pelo Teorema III.5.2c), é posśıvel representar γ
por um conjunto anaĺıtico X que contém uma variedade anaĺıtica
X0, conexa aberta e densa em X. Define-se dimensão de γ por:
dim γ = dimX0.
Se γ é um germe anaĺıtico qualquer, a dimensão de γ é a maior
das dimensão de suas componentes irredut́ıveis. Se todas as com-
ponentes irredut́ıveis tem a mesma dimensão k, dizemos que γ é de
dimensão pura k.
[SEC. IV.2: DIMENSÃO 99
Se Y é um conjunto anaĺıtico e a ∈ Y , a dimensão de Y em a é
a dimensão do germe de Y em a (notação: dima Y ). O supremo de
dima Y para a ∈ Y é chamado de dimensão de Y . Se dima Y = k
para todo a ∈ Y , dizemos que Y é de dimensão pura k (No Exerćıcio
IV.2.7 veremos a relação entre estes conceitos).
É óbvio que dim γ depende só de γ e não do X escolhido para
representar γ. Por definição, se γ não é vazio, 0 ≤ dim γ ≤ n. Se γ
é vazio definimos dim γ = −1.
Exemplo IV.2.1. Se γ é o germe em 0 de uma subvariedade ana-
ĺıtica X de dimensão k de uma vizinhança de 0, e se 0 ∈ X, então
dim γ = k.
Exemplo IV.2.2. O germe ξ definido no Exemplo III.5.1 é irre-
dut́ıvel em dim ξ = 1.
Exemplo IV.2.3. Seja f anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈ Cn, f 6≡
0. Então o germe do conjunto definido pela equação f = 0 tem
dimensão pura n− 1 se f(0) = 0 e dimensão −1 se f(0) 6= 0.
Isto decorre do Exemplo IV.1.3, do Caṕıtulo III, § 1 e da ob-
servação que segue ao Teorema III.3.3.
Lema IV.2.1. Sejam γ $ δ germes anaĺıticos irredut́ıveis em 0 ∈
Cn. Então dim γ < dim δ.
Prova. Se γ é vazio, o lema é trivial. Suponhamos γ não vazio.
Seja ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn um polidisco que satisfaz as condições do
Teorema III.5.2 para P = I(δ). Podemos também supor que γ
é representado por um subconjunto anaĺıtico Y de ∆ que contém
uma variedade anaĺıtica Y0 de dimensão pura dim γ, aberta e densa
em Y , e que existem g1, . . . , gs, funções anaĺıticas em ∆, tais que
g1, . . . , gs geram I(γ) e Y é definido pelas equações g1 = · · · = gs =
0. Finalmente, podemos supor Y ⊂ X onde X é o representante
de δ dado pelo Teorema III.5.2.
Se Y0 6⊂ Σ (retomamos as notações do Teorema III.5.2), então
Y0 ∩ (X−Σ) não é vazio. Logo, como Y0 ∩ (X−Σ) é aberto em Y0:
dim γ = dimY0 ≤ dim(X − Σ) = dim δ = k.
100 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Se dim γ = dim δ, então Y0 ∩ (X − Σ) é aberto em X − Σ. Neste
caso, como gi|Y0 = 0, temos que gi|(X − Σ) = 0, para i = 1, . . . , s.
Então gi|X = 0. Logo, X ⊂ Y , ou seja, X = Y . Decorre dáı que
γ = δ, o que contradiz a hipótese. Resulta então dim γ < dim δ.
Suponhamos agora Y0 ⊂ Σ. Seja u ∈ Y0 um ponto onde d(P |Y0)
tem posto máximo. Então, d(P |Y0) tem posto constante na vizi-
nhança de u0 em Y0. Logo, pelo Teorema I.3.2, na vizinhança de u
em Y0 a aplicação P |Y0 é equivalente à uma aplicação linear. Pela
condição (e) do Teorema III.5.2, decorre dáı que d(P |Y0)(u) tem
posto h e que h ≤ k (onde h = dimY0 = dim γ). Logo,
dim γ = h ≤ k = dim δ.
Se h = k, P (Y0) contém um aberto não vazio de Λ. Como
P (Y0) ⊂ P (Σ) = T
temos que T contém um aberto não vazio de Λ. Então D = 0 o que
é uma contradição como o Teorema III.5.2. Logo, h < k; ou seja,
dim γ < dim δ.
Lema IV.2.2. Seja X um subconjunto anaĺıtico de ∆(0; r) ⊂ Cn.
Seja α o germe de X em 0. Suponhamos que α é irredut́ıvel e que
dimα = k. Então, se ‖s‖ ≤ ‖r‖ é bastante pequena, o conjunto
X ∩ ∆(0; s) é de dimensão pura k.
Prova. Seja ‖s‖ bastante pequena para que X ∩ ∆(0; s) contenha
uma variedade anaĺıtica X0 conexa, aberta e densa em X ∩∆(0; s).
Temos: dimX0 = k.
Seja a ∈ X ∩ ∆(0; s). Seja β o germe de X em a e seja
β = γ1 ∪ · · · ∪ γq
sua decomposição em germes irredut́ıveis. Então, existe uma vizi-
nhança U de a tal que
U ⊂ ∆(0; s) e X ∩ U = Z1 ∪ · · · ∪ Zq
[SEC. IV.2: DIMENSÃO 101
onde cada Zj é um subconjunto anaĺıtico de U que contém uma
variedade anaĺıtica Z0j de dimensão pura dimZj aberta e densa em
Zj; não vazia. Se
Z0j ⊂
⋃
i6=j
Zi,
então
Zj ⊂
⋃
i6=j
Zi;
ou seja, γj ⊂
⋃
i6=j γi; o que é absurdo (vide ExerćıcioIV.1.2a)).
Logo, existe u ∈ Z0j tal que u /∈ Zi para i 6= j. Como cada Zi
é fechado em U , existe vizinhança V ⊂ U de u em Cn tal que
V ∩ Zi = ∅ se
i 6= j (ver figura). Como Z0j é aberto em Zj podemos tomar V de
maneira que V ∩Z0j = V ∩Zj. Então, V ∩Z0j é aberto e não vazio
em Z0j e em X. Logo, V ∩ Z0j ∩ X0 é aberto e não vazio em Z0j e
em X0. Decorre dáı que:
dim γj = dimZ
0
j = dimX0 = k,
o que desejávamos provar.
Exemplo IV.2.4. Seja X um conjunto anaĺıtico de dimensão pura
k. Então, para todo a ∈ X, todas as componentes irredut́ıveis de
X em a tem dimensão k.
102 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Com efeito, existe, pelo Lema IV.2.2, um polidisco ∆ de centro
a tal que
X ∩ ∆ = X1 ∪ · · · ∪Xr
onde os Xj são subconjuntos anaĺıticos de ∆ que representam as
componentes irredut́ıveis de X em a e cada Xj é de dimensão pura
kj = dimaXj. Como Xj 6⊂
⋃
i6=j Xi (Exerćıcio IV.1.2a)) existe
u ∈ Xj tal que u /∈ Xi se i 6= j.
Então, como os Xi são fechados em ∆, o germe de X em u é
idêntico ao germe de Xj em u. Portanto,
kj = dimaXj = dimuXj = dimuX = k.
Logo, kj = k para todo j.
Em continuação, vamos lembrar um resultado clássico de Análise
Real.
Lema IV.2.3. Sejam V,W variedades diferenciáveis C∞ e seja
f : V → W uma aplicação de classe C∞. Suponhamos:
a) V têm base enumerável de abertos, b) dimV < dimW , c)
W é conexa. Então f(V ) tem interior vazio em W .
Teorema IV.2.4. Seja γ um germe anaĺıtico irredut́ıvel em 0 ∈ Cn
de dimensão k. Seja f ∈ O tal que:
f /∈ I(γ), f(0) = 0.
Seja:
α = γ ∩ V (f),
onde V (f) = V (O · f). Então cada componente irredut́ıvel de α
tem dimensão k − 1.
Vamos primeiro provar o teorema no caso particular onde α é
um germe de variedade.
Lema IV.2.5. Suponhamos, além das outras hipóteses do Teorema
IV.2.4, que α é o germe em 0 de uma subvariedade anaĺıtica de uma
vizinhança de 0. Então, dimα = k − 1.
[SEC. IV.2: DIMENSÃO 103
Prova. Seja ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn um polidisco que satisfaz, para
P = I(γ), as condições do Teorema III.5.2, do qual retomamos as
notações. Podemos ainda supor que f é anaĺıtica e limitada em
∆ e que o subconjunto dos pontos de X que satisfazem a equação
f = 0 é uma subvariedade anaĺıtica Y de ∆ de dimensão pura
h. Devemos provar h = k − 1. Pelo Lema IV.2.1, h ≤ k − 1.
Suponhamos h < k − 1.
Para cada w ∈ Λ − T sejam u1(w), . . . , um(w) os pontos de
P−1(w) em ordem arbitrário. Consideremos o produto
g(w) = f(u1(w)) · · · · · f(um(w)), g : Λ − T → C.
Vamos mostrar que g é anaĺıtica. Pela condição (f) do Teorema
III.5.2, para cada a ∈ Λ − T existem uma vizinhança aberta Ua ⊂
Λ − T de a e funções anaĺıticas:
ϕ1, . . . , ϕm : Ua → X − Σ
tais que, para todo w ∈ Ua,
P−1(w) = {ϕ1(w), . . . , ϕm(w)}.
Então, os u1(w), . . . , um(w) são os ϕ1(w), . . . , ϕm(w) a menos da
ordem. Logo,
g(w) = f(ϕ1(w) · · · · · f(ϕm(w)), w ∈ Ua.
Decorre dáı que g é anaĺıtica em a. Então, g é anaĺıtica em Λ− T .
É óbvio que g é limitada. Então, g possui uma extensão anaĺıtica
a Λ, que ainda notaremos g (Teorema II.1.2). Seja a ∈ Λ. Seja
{wq} ⊂ Λ−T uma seqüência que converge a a. Como P é própria,
passando a subseqüência, podemos supor {uj(wq)} convergente em
X, para todo j. Como wq → a, temos que:
lim
q→∞
uj(wq) ∈ P−1(a).
Decorre dáı que se f(u) 6= 0 para todo u ∈ P−1(a), então g(a) 6= 0.
Com efeito:
g(a) = lim g(wq) = lim[f(u1(wq)) · · · · · f(um(wq))].
104 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Pelo contrário, se existe u ∈ P−1(a) tal que f(u) = 0, tomando
uma seqüência {tq} ⊂ X − Σ tal que tq → u temos que, para todo
q, uj(P (tq)) = tq para algum j. Então
f(uj(P (tq))) = f(tq) → 0
e decorre dáı que g(a) = g(P (u)) = lim g(P (tq)) = lim f(u1(P (tq)))·
. . . f(um(P (tq))) = 0 porque f é limitada.
Quer dizer que:
P (Y ) = Z
onde Z é o subconjunto de Λ definido pela equação g = 0. Dos
Teorema IV.1.3 e III.5.2 e do Exemplo IV.2.3 decorre que Z contém
uma variedade anaĺıtica não vazia V de dimensão ≥ k − 1 aberta
em Z. Então
P : P−1(V ) ∩ Y → V
é uma aplicação anaĺıtica própria e sobrejetiva de uma variedade
anaĺıtica de dimensão h < k − 1 em uma variedade anaĺıtica de
dimensão ≥ k− 1, o qu contradiz o Lema IV.2.3, acabando a prova
do Lema IV.2.5.
Prova do Teorema IV.2.4: Seja δ uma componente irredut́ıvel
de α e seja h = dim δ. Temos que δ ⊂ γ. Se δ = γ, então V (f) ⊃ γ.
Logo,
f ∈ I(V (f)) ⊂ I(γ); contradição.
Portanto, δ 6= γ. Pelo Lema IV.2.1, h ≤ k − 1. Suponhamos
que h < k − 1. Seja ∆ = ∆(0; r) um polidisco que satisfaz para
P = I(γ), as condições do Teorema III.5.2 (do qual retomamos
as notações). Suponhamos ainda que: a) f tem um representante
anaĺıtico f em ∆; b) o conjunto Z dos pontos de X que verificam
a equação f = 0 é da forma:
Z = Y ∪ Z1 ∪ · · · ∪ Zq onde Y, Z1, . . . , Zq
são subconjuntos anaĺıticos de ∆ que representam as componentes
irredut́ıveis de α (Y representa δ); c) Y contém uma variedade
[SEC. IV.2: DIMENSÃO 105
anaĺıtica Y0 de dimensão pura h, aberta e densa em Y ; d) X é de
dimensão pura k (Lema IV.2.2).
Se Y ⊂ ⋃qi=1 Zi, então δ está contido na união das outras com-
ponentes irredut́ıveis de α, o que é absurdo. Logo,
Y 6⊂
q
⋃
i=1
Zi.
Como Y0 é denso em Y e os Zi são fechados em ∆,
Y0 6⊂
q
⋃
i=1
Zi.
Seja u ∈ Y0, u /∈ Zi (i = 1, . . . , q). O germe ν de Y0 em u é
um germe de subvariedade anaĺıtica de dimensão pura h de uma
vizinhança de u; em particular, ν é irredut́ıvel. Seja ξ o germe de
X em u. Como Z ⊂ X por definição, temos que Y0 ⊂ X. Logo,
ν ⊂ ξ. Seja µ a componente irredut́ıvel de ξ que contém ν (cf.
Exerćıcio IV.1.2). Se Vu(f) denota o germe dos zeros do ideal de
Ou(Cn) gerado pelo germe de f em u (ou seja, o germe em u do
conjunto definido em ∆ pela equação f = 0) temos:
Vu(f) ∩ µ = ν.
Com efeito, como u /∈ Zi (i = 1, . . . , q) e os Zi são fechados, o germe
de Z em u é ν. Logo,
ν = Vu(f) ∩ ξ ⊃ Vu(f) ∩ µ ⊃ ν.
Em resumo, µ é um germe anaĺıtico irredut́ıvel em u de dimensão
k (pela condição (d), e o Exemplo IV.2.4), f(u) = 0 e
ν = Vu(f) ∩ µ
é o germe em u de uma subvariedade anaĺıtica de dimensão pura
h < k − 1 de uma vizinhança de u. Esta contradição com o Lema
IV.2.5 mostra que o Teorema IV.2.4 é verdadeiro.
106 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Proposição IV.2.6. Seja α um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn e seja
β um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cm. Então,
γ = α× β
(germe em 0 ∈ Cn × Cm = Cn+m) é um germe anaĺıtico. Se α é
irredut́ıvel de dimensão p e β é irredut́ıvel de dimensão q, então γ
é irredut́ıvel de dimensão p+ q.
Prova. Seja f1 = · · · = fr = 0 as equações anaĺıticas que definem
um representante X de α sejam g1 = · · · = gs as equações anaĺıticas
que definem um representante Y de β. Então,
f1(z1, . . . , zn) = · · · = fr(z1, . . . , zn) = g1(zn+1, . . . , zn+m)
= · · · = gs(zn+1, . . . , zn+m) = 0
definem um representante Z = X × Y de γ. Logo, γ é anaĺıtico.
Seja P = I(γ). Vamos provar que, se α e β são irredut́ıveis, P
é primo.
Sejam f, g ∈ Oo(Cn+m), tais que f · g ∈ P.
Sejam f, g representantes de f, g respectivamente, anaĺıticas em
∆(0; r, s) ⊂ Cn+m (r ∈ Rn, s ∈ Rm).
Tomando r, s convenientemente, podemos (a menos de mudanças
lineares de coordenadas) supor ainda que α, β são representados res-
pectivamente pelos subconjuntos anaĺıticos X,Y de ∆(0; r), ∆(0; s)
e que X,Y contém respectivamente variedades anaĺıticas X0, Y0
conexas, abertas e densas em X,Y com dimX0 = p, dimY0 = q.
Podemos supor também que fg anula-se sobre Z = X × Y .
Para cada w ∈ Y consideremos f(z, w) e g(z, w) como funções
anaĺıticas em z ∈ ∆(0; r). Seja A ⊂ O0(Cn) o ideal gerado pelos
germes f(z, w) para todo w ∈ Y e seja B ⊂ O0(Cn) o ideal gerado
pelos germes g(z, w) para todo w ∈ Y . Vamos mostrar que AB ⊂
I(α).
Com efeito, suponhamos que existem w,w′ ∈ Y tais que
f(z, w) · g(z, w′) /∈ I(α).
[SEC. IV.2: DIMENSÃO 107
Então, existe v ∈ X tal que
f(v,w) · g(v, w′) 6= 0.
Decorre dáı que f(v, w) 6= 0. Então, se consideramos f(v, z) como
função de z ∈ ∆(0; s) ela não é identicamente nula em Y . Então,
f(v, z) /∈ I(β) (porque se f(v, z) ∈ I(β), f(v, z) anula-se em um
aberto não vazio de Y0; logo, anula-se identicamente em Y ). Por
outro lado,
f(v, z) · g(v, z) ∈ I(β),
porque fg anula-se sobre Z. Como I(β) é primo por hipótese,
decorre dáı que g(v, z) ∈ I(β). Então, como antes, g(v, z) anula-se
identicamente em Y , o que contradiz g(v, w′) 6= 0.
De AB ⊂ I(α), como I(α) é primo por hipótese, decorre que,
por exemplo, A ⊂ I(α). Quer dizer que:
f(z, w) ∈ I(α) para todo w ∈ Y.
Ou seja, como antes, que f(z, w) é identicamente nula em X, para
todo w ∈ Y . Logo f |Z = 0. Então f ∈ P; o que completa a prova
de que P é primo.
Como P é primo, γ é irredut́ıvel. Como X0 × Y0 é aberto e
denso em Z, e é uma variedade anaĺıtica conexa de dimensão p+ q,
temos dim γ = p+ q.
Teorema IV.2.7. Sejam α, β germes anaĺıticos irredut́ıveis em 0 ∈
Cn, de dimensões k1, k2 respectivamente. Então, cada componente
irredut́ıvel de γ = α ∩ β tem dimensão ≥ k1 + k2 − n.
Prova. Pela Proposição IV.2.6, α × β é um germe anaĺıtico irre-
dut́ıvel de dimensão k1 + k2 em 0 ∈ Cn × Cn = C2n.
Seja µ o germe em 0 da diagonal de Cn × Cn:
{(z, z) : z ∈ Cn}.
É evidente que γ identifica-se a (α×β)∩µ. Como µ é definido pela
interseção dos hiperplanos de C2n:
z1 − zn+1 = 0, z2 − zn+2 = 0, . . . , zn − z2n = 0,
108 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
basta aplicar sucessivamente n vezes o Teorema IV.2.4 para obter
o Teorema IV.2.7.
Exemplo IV.2.5. O germe γ em 0 ∈ C4 do conjunto X definido
pela equação:
z21 − z22 + z23 − z24 = 0
é irredut́ıvel e de dimensão 3 (considerá-lo como polinômio de
Weierstrass em z4 e aplicar o Lema III.3.1). Sejam α e β os germes
em 0 dos planos de equações:
z1 + z2 = z3 + z4 = 0 e z1 − z2 = z3 − z4 = 0
respectivamente. Então α e β são irredut́ıveis, contidos em γ e
dimα = dim β = 2. Porém,
dim(α ∩ β) = 0 < 1 = dimα+ dim β − dim γ.
Definição IV.2.2. Seja γ um germe anaĺıtico não vazio em 0 ∈
Cn. Dizemos que γ é um germe de hipersuperf́ıcie se todas as
componentes irredut́ıveis de γ têm dimensão n− 1.
Teorema IV.2.8. Seja γ um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn, não
vazio. a) Se γ = V (I) onde I é um ideal principal não nulo de O,
então γ é um germe de hipersuperf́ıcie. b) Se γ é um germe de
hipersuperf́ıcie então I = I(γ) é principal e não nulo.
Prova. a) Suponhamos γ = V (I) onde I é gerado por f ∈ O,
f 6= 0. Seja µ o germe de Cn em 0. Então, f /∈ I(µ). Logo, pelo
Teorema IV.2.4, cada componente de V (f)∩µ tem dimensão n−1.
Por outro lado,
γ = V (I) = V (f) = V (f) ∩ µ,
o que prova (a).
b) Suponhamos agora que as componentes γ1, . . . , γr de γ tem
todas dimensão n − 1.Seja Pj = I(γj). Então, Pj 6= 0. Logo,
existe f
j
∈ Pj, f j 6= 0. Como Pj é primo e como f j é produto
[SEC. IV.2: DIMENSÃO 109
de irredut́ıveis (Teorema III.3.2), decorres de f
j
∈ Pj que existe
g
j
∈ Pj, gj irredut́ıvel como elemento de O.
Temos:
γj ⊂ V (gj)
onde V (g
j
) é irredut́ıvel e dimV (g
j
) = n−1 pela parte (a). Decorre
dáı, pelo Lema IV.2.1, que:
γj = V (gj) (j = 1, . . . , r).
Logo,
γ = γ1 ∪ · · · ∪ γr = V (g1 · · · · · gr).
Como γi 6⊂ γj se i 6= j, os irredut́ıveis gi são dois a dois não associ-
ados. Decorre dáı que o radical do ideal Ĩ gerado por g1 · · · · · gr é
o próprio Ĩ. Logo,
I = I(γ) =
√
Ĩ = Ĩ
é principal e não nulo.
Exemplo IV.2.6. Se n = 2, o ideal I gerado por z21 e z1z2 não é
principal. Porém, V (I) é irredut́ıvel de dimensão 1.
Corolário IV.2.9. Um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn é um germe
de hipersuperf́ıcie se e somente se ele é o germe de um conjunto
anaĺıtico definido por uma única equação anaĺıtica na vizinhança
de 0: f = 0, onde f(0) = 0 e f 6= 0.
Teorema IV.2.10. Sejam α, β germes anaĺıticos irredut́ıveis em
0 ∈ Cn. Suponhamos:
α ⊂ β e dim β > dimα+ 1.
Então existe um germe anaĺıtico irredut́ıvel γ tal que:
α $ γ $ β.
110 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Prova. Como α $ β, temos: I(α) % I(β). Seja
f ∈ I(α), f /∈ I(β).
Como
α ⊂ V (f) ∩ β,
existe uma componente irredut́ıvel γ de V (f) ∩ β tal que α ⊂ γ (a
menos que V (f) ∩ β seja vazio; mas neste caso α é vazio e basta
tomar como γ o germe de {0}). Pelo Teorema IV.2.4, dim γ =
dim β − 1. Então, α $ γ $ β.
Corolário IV.2.11. Seja α um germe irredut́ıvel de dimensão k
em 0 ∈ Cn. Então,
a) existe uma cadeia de germes irredut́ıveis:
{0} = γ0 $ γ1 $ · · · $ γk = α
b) toda cadeia maximal de germes irredut́ıveis de {0} a α é de
longitude k.
Corolário IV.2.12. O anel O tem dimensão n. (Apêndice I, 2.6).
Prova. Aplicar a correspondência entre ideais primos e germes ir-
redut́ıveis e o corolário precedente.
Exerćıcio IV.2.1. Sejam f1, . . . , fm funções anaĺıticas em uma
vizinhança U de 0, nulas em 0. Se m < n, então o sistema de
equações:
f1 = 0, . . . , fm = 0
tem infinitas soluções em U . Mais precisamente, o germe em 0 do
conjunto definido por essas equações tem dim ≥ n−m.
Exerćıcio IV.2.2. O germe em 0 ∈ C3 do conjunto definido pelas
equações:
(z2 + z3)(z
2
1 + z
2
2 + z
2
3) = 0 (z2 + z3)(z
2
1 + z
2
2 − z23) = 0
tem uma componente de dimensão 2 (germe de planos) e duas com-
ponentes de dimensão 1 (germes de retas).
[SEC. IV.2: DIMENSÃO 111
Exerćıcio IV.2.3. Seja γ um germe irredut́ıvel de dimensão k em
0 ∈ Cn. Então existe uma cadeia de germes irredut́ıveis:
γ0 ⊂ γ1 ⊂ · · · ⊂ γn
onde dim γj = j e γk = γ.
Exerćıcio IV.2.4. Seja U um domı́nio em Cn. Os subconjun-
tos anaĺıticos de dimensão 0 de U são os subconjuntos discretos e
fechados de U .
Exerćıcio IV.2.5. Cada componente do germe em 0 ∈ C4 do con-
junto definido pelas equações:
z23 + z1z2 + z
5
4 = 0 z
2
1z
2
3 + z
3
2 + z
4
4 = 0
tem dimensão 2.
Exerćıcio IV.2.6. a) SejaX um conjunto anaĺıtico tal que o germe
de X em a é irredut́ıvel e de dimensão 1 para todo a ∈ X, então X
é uma variedade topológica.
b) SejaX um subconjunto anaĺıtico de C3 definido pela equação:
z21 + z
2
2 + z
2
3 = 0.
Então, o germe de X em a é irredut́ıvel e de dimensão 2 para todo
a ∈ X; e X não é uma variedade topológica. (Roteiro: considere a
aplicação C2 → X dada pelas equações:
z1 = 2iu1u2 z2 = i(u
2
1 − u22) z3 = u21 + u22;
ela induz um recobrimento de ordem 2: C2 − {0} → X − {0}; X é
contrat́ıvel a 0).
Exerćıcio IV.2.7. Se X é conjunto anaĺıtico de dimensão pura k,
seu germe em a ∈ X é de dimensão pura k.
112 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
IV.3 Anéis locais. Pontos singulares e
regulares
Definição IV.3.1. Seja γ um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn. Chama-
se anel local de γ ao anel quociente:
O(γ) = O/I(γ).
Exemplo IV.3.1. Se γ é o germe de Cn, O(γ) = O. Se γ é o germe
do conjunto vazio, O(γ) = 0. Se γ é o germe de {0}, O(γ) = C.
Vide também o Exemplo III.5.1, onde A = O(ξ).
Exemplo IV.3.2. Se γ é o germe de uma subvariedade anaĺıtica V
de uma vizinhança de 0 e se dim0 V = k, O(γ) é isomorfo a O0(Ck).
A interpretação geométrica de O(γ) é dada pelo seguinte:
Lema IV.3.1. Seja γ um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn e seja X
um representante de γ. Seja A o anel dos germes em 0 de funções
definidas na vizinhança de 0 em X e que são restrições de funções
anaĺıticas na vizinhança de 0 em Cn. Então A = O(γ) canonica-
mente.
Prova. A restrição a X de funções anaĺıticas na vizinhança de 0
em Cn induz um homomorfismo:
O → A.
Por definição, este homomorfismo é sobrejetor e seu núcleo é I(γ).
Logo,
A = O/I(γ) = O(γ).
Proposição IV.3.2. Seja γ um germe anaĺıtico não vazio em 0 ∈
Cn e seja A = O(γ). Então,
a) A é um anel comutativo, com unidade, que tem um único ideal
maximal M e A/M = C;
b) A é noetheriano;
[SEC. IV.3: ANÉIS LOCAIS. PONTOS SINGULARES E REGULARES 113
c) A não tem divisores de zeros se e somente se γ é irredut́ıvel.
Prova.(a) e (b) decorrem das propriedades análogas de O por
passagem ao quociente (Teorema III.3.3). (c) resulta da Proposição
IV.1.1.
Exemplo IV.3.3. Mesmo se γ é irredut́ıvel, em geral A não é anel
de fatorização única. Pode mesmo nem ser integralmente fechado
(Apêndice I, 3.6 e 3.9), como mostraremos a seguir.
Seja γ o germe em 0 ∈ C2 do conjunto definido pela equação
z21 − z32 = 0. É fácil ver que γ é irredut́ıvel (usando Lema III.3.1 e
a Proposição IV.1.1).
Sejam t1, t2 as classes de z1, z2 em A = O(γ) = O/I(γ).
Então t21 − t32 = 0 e t2 6= 0. Logo,
(t1/t2)
2 − t2 = 0.
Então t1/t2 é inteiro sobre A. Suponhamos t1/t2 ∈ A. Então existe
a ∈ A tal que t1 = at2. Isto quer dizer que existem f, g anaĺıticas
na vizinhança de 0 em C2 tais que
z1 = fz2 + g(z
2
1 − z32).
Pondo z2 = 0 temos:
z1 = g(z1, 0)z
2
1 ,
o que é absurdo. Logo, t1/t2 /∈ A o que prova que A não é integral-
mente fechado.
Definição IV.3.2. Seja X um conjunto anaĺıtico e seja γ o germe
de X em a ∈ X. Chama-se anel local de X em a ao anel Oa(X) =
O(γ).
Exemplo IV.3.4. Seja X o subconjunto anaĺıtico de C2 definido
pela equação:
z21 − z32 = 0.
Então Oa(X) é isomorfo a O0(C) se a 6= 0 mas O0(X) é um anel
que não é integralmente fechado (Exemplos IV.3.2 e IV.3.3).
114 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Definição IV.3.3. Seja γ um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn. Para
cada germe δ ⊂ γ define-se o ideal de δ em O(γ) por:
Iγ(δ) = I(δ)/I(γ) ⊂ O(γ).
Para cada ideal de I de O(γ) define-se o germe dos zeros de I por:
Vγ(I) = V (Ĩ) ⊂ γ
onde Ĩ é a imagem rećıproca de I pela aplicação canônica O →
O/I(γ) = O(γ).
A correspondência entre ideais de O(γ) e germes contidos em γ
têm propriedades similares às estudadas no Caṕıtulo III, § 4, para
germes arbitrários e ideais de O.
Deixamos como exerćıcio ao leitor, enunciar e provar (por sim-
ples passagem ao quociente módulo I(γ)) estas propriedades.
Teorema IV.3.3. Seja γ um germe anaĺıtico irredut́ıvel em 0 ∈ Cn
de dimensão k. Então O(γ) é um anel de dimensão k.
Prova. Lembremos que, se A é um anel comutativo com unidade,
dizemos que A é de dimensão k se existe uma cadeia de ideais
primos:
p0 $ p1 $ · · · $ pk
de longitude k e toda cadeia de ideais primos tem logitude ≤ k.
Pelo explicado acima, o Teorema IV.3.3 decorred do Corolário
IV.2.11.
Definição IV.3.4. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn. Seja
a ∈ X. Dizemos que a é um pont regular de X se existe uma
vizinhança aberta U de a em Cn tal que X ∩U é uma subvariedade
anaĺıtica de U (Caṕıtulo I, § 4). Se a ∈ X não é regular dizemos
que é singular .
Observação IV.3.1. O fato que a seja regular ou singular depende
só do germe de X em A. Se a é regular o germe de X em a é
irredut́ıvel.
[SEC. IV.3: ANÉIS LOCAIS. PONTOS SINGULARES E REGULARES 115
Exemplo IV.3.5. Se X é o subconjunto anaĺıtico de C2 definido
pela equação
z21 − z32 = 0,
então todo a ∈ X, a 6= 0 é ponto regular de X e 0 é ponto singular
de X (vide Exemplos IV.3.2 e IV.3.3 e Teorema III.3.2).
Lema IV.3.4. Seja X um conjunto anaĺıtico. Então o conjunto
R(X) dos pontos regulares de X é aberto e denso em X.
Prova. R(X) é aberto por definição.
Seja a ∈ X. Então, pela decomposição do germe de X em a em
germes irredut́ıveis e pelo Teorema III.5.2, existe uma vizinhança
aberta e conexa U de a tal que:
X ∩ U = X1 ∪ · · · ∪Xr
onde cada Xj é um subconjunto anaĺıtico de U que contém uma
variedade anaĺıtica X0j , conexa aberta e densa em Xj. Além disso,
Xj 6⊂
⋃
i6=j Xi. Decorre dáı que X
0
1 ∩
(
⋃
j 6=1Xj
)
tem interior vazio
em X01 . Porque se tiver interior não vazio, como é um subconjunto
anaĺıtico de X01 e X
0
1 é conexa, teŕıamos
X01 = X
0
1 ∩
(
⋃
j 6=1
Xj
)
(Proposição III.4.2).
Mas então teŕıamos X01 ⊂
⋃
j 6=1Xj e, portanto, X1 ⊂
⋃
j 6=1Xj; o
que é uma contradição.
Temos então que X01 −
(
⋃
j 6=1Xj
)
é denso em X01 e, portanto,
também em X1. Em particular, seu fecho contém a.
Observemos agora que, para todo z ∈ X01 −
(
⋃
j 6=1Xj
)
, o germe
de X em z é idêntico ao germe de X01 em z. Logo,
X01 −
(
⋃
j 6=1
Xj
)
⊂ R(X).
116 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Então,
a ∈ X01 −
⋃
j 6=1
Xj ⊂ R(X)
o que prova que R(X) é denso em X.
Teorema IV.3.5. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn e seja T o
conjunto dos pontos regulares de X. Seja a ∈ X. Então existe um
sistema fundamental de vizinhanças abertas e conexas U de a em
Cn tais que, se T1, . . . , Tr são as componentes conexas de T ∩ U ,
temos:
X ∩ U = X1 ∪ · · · ∪Xr
onde:
a) Xj é o fecho de Tj em U (j = 1, . . . , r);
b) Xj é um subconjunto anaĺıtico de U ;
c) se γ é o germe de X em a e γ1, . . . , γr são os germes de
X1, . . . , Xr em a,
γ = γ1 ∪ · · · ∪ γr
é a decomposição de γ em germes irredut́ıveis (em particular,
r é finito).
Prova. Pelos Teoremas IV.1.3 e III.5.2, existe vizinhança aberta e
conexa U de a em Cn (arbitrariamente pequena) tal que:
U ∩X = X1 ∪ · · · ∪Xr
onde os Xj são subconjuntos anaĺıticos de U , cada Xj contém uma
variedade anaĺıtica X0j conexa, aberta e densa em Xj e
γ = γ1 ∪ · · · ∪ γr
e a decomposição de γ em germes irredut́ıveis (γ é o germe de X e
γj o germe de Xj em a). Podemos também supor que Xj é definido
pelo sistema de equações anaĺıticas em U :
g1,j = g2,j = · · · = gm,j = 0.
[SEC. IV.3: ANÉIS LOCAIS. PONTOS SINGULARES E REGULARES 117
Seja b ∈ Xi∩Xj (i 6= j). Se o germe α de X em b for irredut́ıvel,
então existiria Xh tal que seu germe em b contém α. Então os
germes deXi eXj estão contidos no germe deXh. Suponhamos, por
exemplo, i 6= h. Então, g1,h, . . . , gm,h anulam-se sobre um aberto
não vazio de X0i . Logo, anulam-se sobre X
0
i e, portanto, sobre
Xi. Então Xi ⊂ Xh o que é absurdo. Logo, o germe de X em b
não pode ser irredut́ıvel. Em particular, b /∈ T . Decorre dáı que
T ∩Xj ⊂ Xj −
⋃
i6=j Xi. Seja
Tj = T ∩Xj = T ∩
(
Xj −
⋃
i6=j
Xi
)
= (T ∩ U) ∩
(
Xj −
⋃
i6=j
Xi
)
.
Então
U ∩ T = T1 ∪ · · · ∪ Tr
e os Tj são aberto em T ∩ U e disjuntos dois a dois.
Por outro lado, observemos que:
Tj ⊃ X0j −
⋃
i6=j
Xi,
porque o germe de X em b ∈ X0j −
⋃
i6=j Xi é idêntico ao germe de
X0j .
Como
⋃
i6=j Xi 6⊃ Xj, temos que
⋃
i6=j Xi 6⊃ X0j . Como X0j é
conexa e
(
⋃
i6=j Xi
)
∩X0j é um subconjunto anaĺıtico de X0j decorre
dáı que
(
⋃
i6=j Xi
)
∩ X0j tem interior vazio em X0j (Proposição
III.4.2). Logo X0j −
⋃
i6=j Xi é denso em X
0
j e, portanto, também
em Xj. Logo, X
0
j −
⋃
i6=j Xi é denso em Tj. Pela Proposição III.4.2
e o Corolário II.1.4, X0j −
⋃
i6=j Xi é conexo (vide Exerćıcio II.1.2).
Logo, Tj é conexo e denso em Xj.
Decorre dáı que T1, . . . , Tr são as componentes conexas de T ∩U
e que Xj é o fecho de Tj, o que acaba a prova do teorema.
Corolário IV.3.6. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn e seja
a ∈ X. Então o germe de X em a é irredut́ıvel se e somente se
existe um sistema fundamental de vizinhança abertas e conexas U
118 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
de a em Cn tais que o conjunto de pontos regulares de X ∩ U é
conexo.
Exemplo IV.3.6. No Exemplo III.1.2, 0 possui um sistema funda-
mental de vizinhança U abertas e conexas em Cn tais que o conjunto
de pontos regulares de X ∩ U é homeomorfo a ∆(0; 1) − {0}.
Teorema IV.3.7. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn e seja
a ∈ X. Suponhamos que o germe de X em a é de dimensão k.
Então o ideal maximal Ma(X) de Oa(X) não pode ter menos de k
geradores e ele tem k geradores se e somente se a é ponto regular
de X.
Prova. Podemos supor que a = 0. Observemos que M0(X) tem
um sistema de n geradores: as classes de z1, . . . , zn. Sejam
f
1
, . . . , f
r
∈ O (r ≤ n) tais que suas classes módulo I(γ) (onde
γ é o germe de X em 0) geram M0(X). Então, em um polidisco
∆ = ∆(0, r) ⊂ Cn bastante pequeno tem-se:
zj =
r
∑
i=1
aijfi + gj, 1 ≤ j ≤ n,
onde aij, fi, gj são anaĺıticas em ∆ e gj|X ∩ ∆ = 0 (j = 1, . .. , n).
Derivando com relação a zh obtemos em 0:
(∗) δjh =
r
∑
i=1
aij(0)
∂fi
∂zh
(0) +
∂gj
∂zh
(0) 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ h ≤ n.
Sejam:
A = ((aij)), B =
((
∂fi
∂zh
))
, C =
((
∂gj
∂zh
))
matrizes r × n, r × n e n × n respectivamente, anaĺıticas em ∆.
Então, podemos escrever (*) da maneira seguinte:
I = At(0) ·B(0) + C(0)
[SEC. IV.3: ANÉIS LOCAIS. PONTOS SINGULARES E REGULARES 119
onde I é a matriz identidade n × n. Como B(0) tem posto ≤ r,
At(0) · B(0) tem posto ≤ r. Decorre dáı que o posto de C(0) é
≥ n− r. Suponhamos, por exemplo:
det
((
∂gj
∂zh
(0)
))
1≤j≤n−r
1≤h≤n−r
6= 0.
Por continuidade, tomando ∆ bastante pequeno:
det
((
∂gj
∂zh
(z)
))
1≤j≤n−r
1≤h≤n−r
6= 0, para todo z ∈ ∆.
Seja Y o subconjunto de ∆ definido pelas equações:
g1,= · · · = gn−r = 0.
Então (Teorema I.4.2), Y é uma variedade anaĺıtica de dimensão r.
Como X ⊂ Y , temos que k ≤ r; o que prova a primeira afirmação
do teorema.
Se 0 é ponto regular deX, O0(X) ≃ O0(Ck) e, portanto, M0(X)
tem k geradores.
Reciprocamente, se M0(X) tem k geradores, podemos supor
r = k. Seja δ uma componente irredut́ıvel de γ de dimensão k e
seja ω o germe de Y em 0. Então, δ ⊂ ω e
dim δ = k = r = dimω.
Logo, δ = ω pelo Lema IV.2.1. Portanto, como γ é o germe de X
em 0:
δ ⊂ γ ⊂ ω = δ.
Decorre dáı que γ = ω e, portanto, que 0 é ponto regular de X.
Observação IV.3.2. Na Álgebra comutativa, um anel local (i.e.,
um anel com um único ideal maximal e noetheriano) de dimensão
k e tal que seu ideal maximal tem k geradores é chamado de anel
local regular . O teorema precedente diz, então, que Oa(X) é um
anel regular se e somente se a é um ponto regular de X.
120 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Exemplo IV.3.7. Exemplo de um germe anaĺıtico irredut́ıvel γ
em 0 ∈ Cn (n ≥ 2) tal que dim γ = 1 e que o ideal maximal de
O(γ) não tem menos de n geradores.
Seja X o subconjunto anaĺıtico de Cn (n ≥ 2) definido pelas
equações:
z21 − zp22 = 0, . . . , z21 − zpnn = 0
onde p2, . . . , pn são números primos dados, ı́mpares e distintos dois
a dois.
X − {0} é uma variedade anaĺıtica de dimensão 1 (Teorema
I.4.2). Em particular, dim γ = 1, onde γ é o germe de X em 0.
Seja r1 > 0. Sejam:
r2 = r
2/p2
1 , . . . , rn = r
2/pn
1 .
Seja X ′ = X ∩ ∆(0; r1, . . . , rn). Consideremos:
π : X ′ → ∆(0; r1), π(z) = z1.
Então,
π : X ′ − {0} → ∆(0; r1) − {0}
é um recobrimento de ordem p2 · · · · · pn. Para provar que X ′ −{0}
é conexo, basta, então, provar que é posśıvel ligar
(a, b2, . . . , bn) ∈ X ′ − {0} com (a, c2, . . . , cn) ∈ X ′ − {0}
por uma curva contida em X ′ − {0} (Teorema I.6.2).
Se o ponto z1 = a dá k voltas em torno de 0 em ∆(0; r1),
levantodo em curva conseguimos ligar
(a, b2, . . . , bn) com (a, ζ
k
2 b2, . . . , ζ
k
nbn)
para todo k inteiro, onde ζj = e
4πi/pj .
Como c
pj
j = b
pj
j temos que cj = γjbj onde γj é uma raiz pj
de 1. O único que falta provar é que existe k tal que γj = ζ
k
j
(j = 2, . . . , n), o que resulta do teorema dos restos chineses.
Como X ′ − {0} é conexo, γ é irredut́ıvel (Corolário IV.3.6).
[SEC. IV.3: ANÉIS LOCAIS. PONTOS SINGULARES E REGULARES 121
Seja g anaĺıtica em ∆(0; r1, . . . , rn) tal que g|X ′ = 0. Suponha-
mos ∂g
∂zj
(0) 6= 0 para um j. então, a aplicação
(z1, . . . , zn) → (z1, . . . , zj−1, zj+1, . . . , zn)
é injetiva em uma vizinhança de 0 no conjunto definido pela equação
g = 0. Logo, ela é injetiva em uma vizinhança de 0 em X, o que é
absurdo. Decorre dáı que:
∂g
∂z1
(0) =
∂g
∂z2
(0) = · · · = ∂g
∂zn
(0) = 0.
Apliquemos agora a X o racioćınio da prova do Teorema IV.3.7.
Temos, pelo que acabamos de mostrar, que C(0) = 0. Então, I =
At(0) ·B(0). Logo, r = n; o que prova que M0(X) (ideal maximal
de O(γ)) não tem menos de n geradores.
Proposição IV.3.8. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn. Seja
a ∈ X e seja k = dimaX. Então existe uma vizinhança aberta e
conexa U de a em Cn e um subconjunto anaĺıtico Y de U , Y ⊂ X,
de dimensão < k tal que todo ponto de X ∩ U − Y é ponto regular
de X.
Prova. Decorre dos Teoremas III.5.2 e IV.1.3 que existe uma vizi-
nhança aberta e conexa U de a em Cn tal que:
U ∩X = X1 ∪ · · · ∪Xr
onde os Xj são subconjuntos anaĺıticos de U de dimensão pura ≤ k,
o germe de
⋃
i6=j Xi em a não contém o germe deXj, cadaXj contém
um subconjunto anaĺıtico Yj de U tal que Xj − Yj é uma variedade
anaĺıtica conexa, aberta e densa em Xj e dimYj < dimXj.
Em particular, Xj ∩
(
⋃
i6=j Xi
)
é um subconjunto anaĺıtico de U
de dimensão < dimXj. Porque se Xj ∩
(
⋃
i6=j Xi
)
for de dimensão
igual a dimXj em algum ponto, então
⋃
i6=j Xi conteria um aberto
não vazio de Xj − Yj (Lema IV.2.1). Como (Xj − Yj) ∩
(
⋃
i6=j Xi
)
122 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
é um subconjunto anaĺıtico da variedade conexa Xj − Yj teŕıamos:
Xj − Yj = (Xj − Yj) ∩
(
⋃
i6=j
Xi
)
. (Proposição III.4.2)
Decorreria dáı que Xj ⊂
⋃
i6=j Xi, o que é falso.
Para provar o teorema basta agora definir:
Y = Y1 ∪ · · · ∪ Yr ∪
(
X1 ∩
(
⋃
j 6=1
Xj
))
∪ · · · ∪
(
Xr ∩
(
⋃
j 6=r
Xj
))
.
Como aplicação, vamos dar um teorema de extensão de funções
anaĺıticas (ver Caṕıtulo II, § 2).
Teorema IV.3.9. Seja U um domı́nio de Cn e seja X um sub-
conjunto anaĺıtico de U de dimensão ≤ n− 2. Então, toda função
anaĺıtica f : U −X → C possui uma única extensão anaĺıtica a U .
Prova. A unicidade é óbvia (Proposição III.4.2).
Vamos provar a existência. Consideremos primeiro o caso par-
ticular em queX é uma variedade anaĺıtica. Para todo a ∈ X existe
uma vizinhança aberta Va ⊂ U de a e um difeomorfismo bianaĺıtico
de Va com um polidisco ∆(0; r) ⊂ Cn que transforma X ∩ Va em
S ∩ ∆(0; r) onde S é o subespaço definido por zk+1 = · · · = zn = 0
(se k ≤ n− 2 é a dimensão de X). Pelo Exemplo II.2.2, existe uma
extensão anaĺıtica fa : Va → C de f |(Va −X).
Decorre dáı que para todo a ∈ U existe uma vizinhança Va ⊂ U
aberta de a e uma função anaĺıtica fa : Va → C tal que:
fa|(Va −X) = f |(Va −X).
Se a, b ∈ U então
W = (Va −X) ∩ (Vb −X)
é denso em Va ∩ Vb. Logo,
fa|(Va ∩ Vb) = fb|(Va ∩ Vb).
[SEC. IV.3: ANÉIS LOCAIS. PONTOS SINGULARES E REGULARES 123
Portanto, existe F : U → C tal que F |Va = fa para todo a ∈ U .
Esta F é a extensão anaĺıtica de f a U .
Para tratar o caso geral vamos fazer indução na dimensão de X.
Se dimX = −1 não temos nada a demonstrar. Seja k = dimX ≤
n − 2 e suponhamos o teorema provado em dimensão k − 1. Seja
a ∈ X. Pela Proposição IV.3.8, existe uma vizinhança aberta Va ⊂
U de a e um subconjunto anaĺıtico Ya de Va tal que dimYa ≤ k−1,
Ya ⊂ X∩Va e (Va∩X)−Ya é uma subvariedade anaĺıtica de Va−Ya
de dimensão k ≤ n−2. Pelo caso particular, f |(Va−X) possui uma
extensão anaĺıtica fa : Va−Ya → C (Va−X = (Va−Ya)−(X−Ya)).
Pela hipótese de indução, fa possui uma extensão anaĺıtica a Va. A
partir daqui, a prova se completa como no caso particular.
Exerćıcio IV.3.1. SejaX um conjunto anaĺıtico. Para todo inteiro
k o conjunto
Xk = {z ∈ X : dimz X ≤ k}
é um conjunto anaĺıtico.
Exerćıcio IV.3.2. Seja X o conjunto anaĺıtico de dimensão 1 de-
finido no Exemplo IV.3.7. Sejam ∆(0; r) ⊂ Cn um polidisco e V
uma subvariedade anaĺıtica de ∆(0; r) tais que
V ⊃ (X ∩ ∆(0; r)).
Então V = ∆(0; r).
Exerćıcio IV.3.3. Seja γ um germe de hipersuperf́ıcie em 0 ∈ Cn.
Seja f um gerador de I(γ). Então existem ∆ = ∆(0; r) ⊂ Cn e
representantes anaĺıticos f,X de f, γ em ∆ tais que a ∈ X é regular
se e somente se df(a) 6= 0.
Exerćıcio IV.3.4. Seja γ um germe anaĺıtico em 0 ∈ Cn. Seja m
o mı́nimo número de geradores do ideal maximal de O(γ). Seja p
o mı́nimo das dimensões dos germes δ de subvariedade anaĺıtica de
vizinhanças de 0 tais que δ ⊃ γ. Então, p = m.
124 [CAP. IV: PROPRIEDADES LOCAIS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS
Exerćıcio IV.3.5. a) Seja U ⊂ Cn um aberto que contém 0. Seja
X um subconjunto anaĺıtico de U definido por um sistema de k
equaçõesanaĺıticas em U :
g1 = 0, . . . , gk = 0.
Suponhamos que dim0X = q e que O0(X) é um domı́nio de fa-
torização única. Seja Y um subconjunto anaĺıtico de U tal que
Y ⊂ X, o germe de Y em 0 é irredut́ıvel e que dim0 Y = q − 1.
Então, em uma vizinhança de V ⊂ U de 0 bastante pequena, existe
uma função anaĺıtica f , tal que Y ∩ V é definido pelo sistema:
g1 = 0, . . . , gk = 0, f = 0.
b) Seja X o subconjunto anaĺıtico de C4 definido pela equação:
z21 − z22 + z23 − z24 = 0.
Seja Y o subconjunto de X dos pontos que verificam:
z1 − z2 = z3 − z4 = 0.
Então em nenhuma vizinhança V de 0 existe f anaĺıtica tal que
Y ∩ V seja definido pelo sistema z21 − z22 + z23 − z24 = 0, f = 0.
Exerćıcio IV.3.6. Sejam A,B subconjuntos anaĺıticos de U .
Então o fecho em U de A−B é um subconjunto anaĺıtico de U .
Exerćıcio IV.3.7. A subconjunto anaĺıtico U ⊂ Cr, B subcon-
junto anaĺıtico de V ⊂ Cm ⇒ A × B subconjunto anaĺıtico de
U × V ⊂ Cr+m e dimA + dimB = dim(A × B) (vide Proposição
IV.2.6).
Exerćıcio IV.3.8. Seja Y ⊂ X subconjuntos anaĺıticos de U domı́-
nio de Cn. Suponhamos que X − Y é denso em X. Então dimY <
dimX.
Exerćıcio IV.3.9. Sejam Y ⊂ X subconjuntos anaĺıticos de U
aberto em Cn. Suponhamos que X é de dimensão pura k e dimY <
k. Então X − Y é denso em X.
Caṕıtulo V
Aplicações Anaĺıticas
Se X é um conjunto anaĺıtico, define-se função (ou aplicação)
anaĺıtica em X pela propriedade de ser, localmente, a restrição
a X de uma função anaĺıtica em um aberto do espaço ambiente.
No que segue vamos primeiro mostrar as relações entre aplicações
anaĺıticas e homomorfismos dos anéis locais. Depois mostraremos
que o prinćıpio do máximo é válido para funções anaĺıticas em con-
juntos anaĺıticos. Finalmente, provaremos que a imagem de um
conjunto anaĺıtico por uma aplicação anaĺıtica e própria, é um con-
junto anaĺıtico.
Se f é uma função definida em uma vizinhança de 0 em Cn, f
denotará seu germe em 0, como nos caṕıtulos anteriores.
V.1 Aplicações anaĺıticas
Definição V.1.1. Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos em Cn,Cm res-
pectivamente. Seja f : X → Y uma aplicação. Dizemos que f é
anaĺıtica em a ∈ X se existe uma vizinhança aberta U de a em Cn e
uma aplicação anaĺıtica F : U → Cm tal que F |(U∩X) = f |(U∩X).
Dizemos que f é anaĺıtica se f é anaĺıtica em todo a ∈ X. Se f é
bijetora e f e f−1 são anaĺıticas dizemos que f é um isomorfismo
(de X sobre Y ). Se existe um isomorfismo de X sobre Y dizemos
que X e Y são isomorfos .
126 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
(Quando Y = C falamos, como sempre, de função em lugar de
aplicação).
Exemplo V.1.1. Se X e Y são variedades anaĺıticas e f : X → Y
é bijetora e anaĺıtica, então f é um isomorfismo (vide Exerćıcio
III.5.3).
Exemplo V.1.2. Se X é um conjunto anaĺıtico e a ∈ X, então
Oa(X) é o anel de germes em a de funções anaĺıticas na vizinhança
de a em X (Lema IV.3.1).
Exemplo V.1.3. Seja X = C e seja Y ⊂ C2 definido pela equação
z21 − z32 = 0. Seja f : X → Y a aplicação:
f(t) = (t3, t2).
Então f é uma aplicação anaĺıtica e é um homeomorfismo de X
sobre Y . Porém, f não é isomorfismo. Porque se f−1 for anaĺıtica
em 0 ∈ Y , existiria g função anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈ C2 tal
que g ◦ f seria a identidade na vizinhança de 0 ∈ C. Decorreria
dáı que f , considerada como aplicação C → C2, teria diferencial
injetiva no ponto 0; o que é falso.
Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos em Cn,Cm respectivamente.
Seja f : X → Y anaĺıtica e sejam:
a ∈ X, b = f(a) ∈ Y.
Por definição, existe vizinhança aberta U de a em Cn e aplicação
anaĺıtica F : U → Cm tal que F |(X ∩ U) = f |(X ∩ U). Seja g
uma função anaĺıtica na vizinhança de b em Cm. Então, g ◦ F
é uma função anaĺıtica na vizinhança de a em Cn. Se o germe
de g em b anula-se sobre o germe de Y em b, então o germe de
g ◦ F em a anula-se sobre o germe de X em a. Logo, se fazemos
corresponder o germe de g ◦ F em a ao germe de g em b, obtemos
uma aplicação Ob(Cm) → Oa(Cn) que passa ao quociente e induz
um homomorfismo de C-álgebras:
f∗,a : Oa(X) → Ob(Y )
[SEC. V.1: APLICAÇÕES ANAĹITICAS 127
Este homomorfismo esta bem definido (independe da escolha de F ).
Se interpretamos os elementos de Oa(X) como germes de funções
anaĺıticas na vizinhança de a em X (e analogamente para Ob(Y )),
então f∗,a é simplesmente a composição com f .
Definição V.1.2. O homomorfismo f∗,a é chamado de homomor-
fismo induzido nos anéis locais, no ponto a.
Exemplo V.1.4. No Exemplo V.1.3, f∗,0 é injetor e sua imagem é
o subanel de O0(C) dos germes de funções que tem derivada nula
em 0.
Proposição V.1.1. Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos em Cn,Cm
respectivamente. Sejam a ∈ X, b ∈ Y e seja:
ϕ : Ob(Y ) → Oa(X)
um homomorfismo de C-Álgebras. Então, existe uma vizinhança
aberta de U de a em X e uma aplicação anaĺıtica f : U → Y tal
que:
f(a) = b e f∗,a = ϕ.
Prova. Sem perda de generalidade, podemos supor a = 0 e b = 0.
Vamos primeiro provar que:
ϕ(M0(Y )) ⊂ M0(X)
onde M0(X),M0(Y ) são os ideais maximais dos respectivos anéis
locais. Com efeito, se α ∈ M0(Y ), então α+c é inverśıvel em O0(Y )
para todo c ∈ C − {0}. Logo, ϕ(α + c) = ϕ(α) + c é inverśıvel em
Oa(X) para todo c ∈ C − {0}. Então ϕ(α) ∈ M0(X).
Sejam w1, . . . , wm as coordenadas em Cm e sejam α1, . . . , αm as
classes de w1, . . . , wm em O0(Y ). Seja:
βj = ϕ(αj), 1 ≤ j ≤ m.
Cada βj é a classe em O0(X) do germe em 0 de uma função anaĺıtica
fj definida em uma vizinhança U de 0 em Cn. Seja U = U ∩ X.
Seja:
F : U → Cm, F = (f1, . . . , fm)
128 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
e seja f = F |U .
Como α1, . . . , αm ∈ M0(Y ), temos
β1, . . . , βm ∈ Mo(X).
Logo, fj(0) = 0 (1 ≤ j ≤ m). Então F (0) = 0 (e, em particular,
f(0) = 0).
Tomando U ainda mais pequeno se for necessário, podemos su-
por que F (U) ⊂ V , onde V é uma vizinhança aberta de 0 em Cm
tal que Y ∩ V é definido pelo sistema de equações anaĺıticas em V :
g1 = · · · = gr = 0.
Desejamos provar que f(U) ⊂ Y . Para fazer isto vamos agora
mostrar que se g é uma função anaĺıtica em V tal que g|(V ∩Y ) = 0
então g ◦ F anula-se sobre uma vizinhança de 0 em X. Para fazer
isto, observemos que, para todo p = 1, 2, 3, . . . , na vizinhança de 0:
g(w1, . . . , wm) = pp(w1, . . . , wm) + hp(w1, . . . , wm)
onde pp é um polinômio de grau ≤ p e hp ∈ M0(Cm)p+1.
Tomando germes em 0, passando ao quociente em O0(Y ) e apli-
cando ϕ obtemos:
0 = pp(β1, . . . , βm) + h̃p, h̃p ∈ M0(X)p+1.
Por outro lado,
g ◦ F = pp(f1, . . . , fm) + hp ◦ F, hp ◦ F ∈ M0(Cn)p+1.
Tomando classes em O0(X) obtemos:
α = pp(β1, . . . , βm) +
˜̃hp,
˜̃hp ∈ M0(X)p+1,
onde α é a classe de g ◦ F em O0(X).
Decorre das igualdades precedentes que:
α ∈ M0(X)p+1, p = 1, 2, 3, . . . .
[SEC. V.1: APLICAÇÕES ANAĹITICAS 129
Logo, α = 0 (Apêndice I, 1.7). Decorre dáı que g ◦F anula-se sobre
uma vizinhança de 0 em X.
Em particular, existe uma vizinhança W ⊂ U de 0 em X tal
que gj ◦ F |W = 0 (1 ≤ j ≤ m); ou seja F (W ) ⊂ Y . Logo, se U é
bastante pequeno, F (U) ⊂ Y . Então, f : U → Y é uma aplicação
anaĺıtica e f(0) = 0.
Só resta provar que se h é anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈ Cm e
se γ é a classe de h em O0(Y ), então ϕ(γ) é representada por h◦F .
Para p = 1, 2, 3, . . . seja:
h(w1, . . . , wm) = pp(w1, . . . , wm) + gp
onde pp é um polinômio de grau ≤ p e gp ∈ M0(Cm)p+1. Então,
ϕ(γ) = pp(β1, . . . , βm) + g̃p, g̃p ∈ M0(X)p+1.
Por outro lado,
h ◦ F = pp(f1, . . . , fm) + gp ◦ F, gp ◦ F ∈ M0(Cn)p+1.
Logo, se α é a classe de h ◦ F em O0(X),
α = pp(β1, . . . , βm) + ˜̃gp, ˜̃gp ∈ M0(X)p+1.
Decorre dáı que:
α− ϕ(γ) ∈ M0(X)p+1
para todo p = 1, 2, 3, . . . . Pelo Apêndice I, 1.7, α = ϕ(γ), o que
acaba a prova.
Definição V.1.3. Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos, seja f : X →
Y uma aplicação anaĺıtica e seja a ∈ X. Dizemos que f é um
isomorfismo local em a se existem vizinhanças abertas U de a em
X e V def(a) em Y tais que f : U → V é um isomorfismo.
Definição V.1.4. Sejam α, β germes anaĺıticos em a ∈ Cn, b ∈ Cm
respectivamente. Dizemos que α e β são isomorfos se eles podem
ser representados por conjuntos anaĺıticos X,Y respectivamente,
tais que existe um isomorfismo f : X → Y com f(a) = b.
Evidentemente, se f : X → Y é um isomorfismo local em a ∈ X
então os germes de X em a e de Y em f(a) são isomorfos.
130 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Corolário V.1.2. Dois germes anaĺıticos são isomorfos se e so-
mente se seus anéis locais são isomorfos (como C-álgebras).
Prova. É óbvio que germes isomorfos têm anéis locais isomorfos.
Sejam γ, δ germes anaĺıticos em 0 ∈ Cn e seja ϕ : O(γ) → O(δ)
um isomorfismo de C-álgebras. Então, pela Proposição V.1.1, pode-
mos representar γ e δ por conjuntos anaĺıticos X,Y respectiva-
mente, de maneira que existe uma aplicação anaĺıtica f : X → Y
tal que f(0) = 0 e f∗,0 = ϕ. Pelo mesmo aplicada a ϕ
−1, existe
vizinhança aberta V de 0 em Y e aplicação anaĺıtica g : V → X tal
que g(0) = 0 e g∗,0 = ϕ
−1.
Decorre dáı que, se U = f−1(V ), então
(g ◦ f |U)∗,0 = Identidade.
Então, para cada função h anaĺıtica na vizinhança de 0 em Cn temos
que h ◦ g ◦ f = h em uma vizinhança de 0 em X.
Aplicando isto às funções coordenadas: h = z1, z2, . . . , zn, obte-
mos que g ◦ f é a identidade em uma vizinhança de 0 em X. Pelas
mesmas razões, f ◦ g é a identidade em uma vizinhança de 0 em Y .
Decorre dáı que γ e δ são isomorfos.
Exemplo V.1.5. Se X é um conjunto anaĺıtico e a ∈ X então a
é regular em X se e somente se Oa(X) é isomorfo a O0(Ck) para
algum k. (Vide também os Teoremas IV.3.3 e IV.3.7).
Exerćıcio V.1.1. Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos e a um ponto
de X. a) Se f, g : X → Y são aplicações anaĺıticas e f(a) = g(a) e
f∗,a = g∗,a, então f e g tem o mesmo germe em a. b) Se f : X → Y
é uma aplicação anaĺıtica e f∗,a é um isomorfismo, então f é um
isomorfismo local em a.
Exerćıcio V.1.2. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn tal que
0 ∈ X. Seja f : X → Cn a inclusão. Então f∗,0 : O0(Cn) → O0(X)
é a projeção canônica.
Exerćıcio V.1.3. a) Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos, seja a ∈ X
e seja f : X → Y uma aplicação anaĺıtica. Suponhamos que f é
[SEC. V.1: APLICAÇÕES ANAĹITICAS 131
aberta em a (isto é, se U é uma vizinhança de a, então f(U) é uma
vizinhança de b = f(a)). Então,
f∗,a : Ob(Y ) → Oa(X)
é injetora.
b) A aplicação f : C2 → C3 definida pelas equações
z1 = u z2 = ue
v z3 = ue
αv
(onde α é real, irracional e 0 < α < 1) é anaĺıtica, f(0) = 0, não é
aberta em 0 e f∗,0 : O0(C3) → O0(C2) é injetora.
Exerćıcio V.1.4. Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos, f : X → Y
aplicação anaĺıtica e a ∈ X, b = f(a) ∈ Y . Suponhamos X irre-
dut́ıvel em a e Y irredut́ıvel em b. Dizemos que f é biracional em
a se f∗,a : Ob(Y ) → Oa(X) é injetiva e induz um isomorfismo nos
corpos de frações.
a) Se f−1(y) é finito para todo y ∈ Y , se f é biracional em a e se
Y é irredut́ıvel em todo ponto de uma vizinhança de b então
f é um homeomorfismo local em a.
b) No Exemplo V.3.1 as hipóteses de (a) são satisfeitas em a = 0
mas f não é isomorfismo local em a.
c) Sejam X,Y os conjuntos anaĺıticos definidos em C3,C4 pelas
equações:
z23 + z1z2z3 + z
3
2 = 0 e
{
z1z2 + 2(z2z4 + z3) = 0
z21 − 4(z2 + z24) = 0
respectivamente. Então 0 ∈ X, 0 ∈ Y , X é irredut́ıvel em
0 ∈ C3 e Y é irredut́ıvel em 0 ∈ C4. Seja f(z1, z2, z3, z4) =
(z1, z2, z3),
f : X → Y.
Então f é anaĺıtica, f−1(y) é finito para todo y ∈ Y , f(0) = 0,
f é biracional em 0 mas f não é um homeomorfismo local em
0. (Vide Exerćıcio III.5.1).
132 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Exerćıcio V.1.5. a) Seja X um conjunto anaĺıtico e seja f uma
função anaĺıtica em X. Seja X0 o conjunto dos pontos regulares
de X. Então X0 é uma variedade anaĺıtica, f é cont́ınua e f |X0 é
anaĺıtica no sentido usual.
b) Seja X o subconjunto anaĺıtico de C2 definido pela equação
z21 − z32 = 0. Seja f : X → C definida por:
f(z) = z1/z2 se z 6= 0 e
f(0) = 0.
Então f é cont́ınua, f |X0 é anaĺıtica mas f não é anaĺıtica
(Exemplo IV.3.3).
Exerćıcio V.1.6. Sejam a1, . . . , an primos ı́mpares todos diferen-
tes.
a) O germe γ em 0 ∈ Cn : Xaji −Xaij = 0 1 ≤ i, j ≤ n é irredut́ıvel;
b) γ não é isomorfo a nenhum germe contido em Cn−1 (vide Exem-
plo IV.3.7).
V.2 Prinćıpio do máximo
Teorema V.2.1. Seja f uma função anaĺıtica no conjunto anaĺı-
tico conexo X. Suponhamos que |f | tem máximo em X. Então f
é constante.
Prova. Seja a um valor de f em X tal que:
|a| = M = max
z∈X
|f(z)|.
Seja
L = {z ∈ X : f(z) = a}.
Então L é fechado em X e não vazio. Vamos provar que L é aberto
em X. Então teremos L = X e o teorema ficará provado.
Seja z0 ∈ L. Para provar que z0 pertence ao interior de L em X
devemos provar que f é constante em uma vizinhança de z0 em X.
[SEC. V.2: PRINĆIPIO DO MÁXIMO 133
Fazendo uma translação podemos supor z0 = 0. Como o problema
é local, pelo Teorema IV.1.3 podemos supor que o germe γ de X
em 0 é irredut́ıvel.
Vamos aplicar o Teorema III.5.2 (do qual retomamos as notações)
ao ideal P de γ. Tomando ‖r‖ bastante pequeno podemos supor
que existe F : ∆ → C anaĺıtica tal que F |X = f . Também, pela
condição (e) do Teorema III.5.2, tomando ‖r‖ bastante pequeno
teremos P−1(0) = {0}.
Para cada w ∈ Λ − T , sejam z1(w), . . . , zm(w) os m elementos
de P−1(w), em ordenação arbitrária. Seja aj(w) a j-ésima (1 ≤ j ≤
m) função simétrica elementar de f(z1(w)), . . . , f(zm(w)). Vamos
mostrar que aj : Λ − T → C é anaĺıtica. Se b ∈ Λ − T , existe
vizinhança aberta Vb ⊂ Λ − T de b e funções anaĺıticas:
ϕ1, . . . , ϕm : Vb → X − Σ
tais que
P−1(w) = {ϕ1(w), . . . , ϕm(w)} para todo w ∈ Vb.
Então os ϕ1(w), . . . , ϕm(w) são os z
1(w), . . . , zm(w) a menos da
ordenação. Logo, aj(w) é também a j-ésima função simétrica ele-
mentar dos
f(ϕ1(w)), . . . , f(ϕm(w))
para todo w ∈ Vb. Portanto, aj é anaĺıtica em Vb.
Como |f | ≤ M , aj é limitada. Logo, aj possui uma extensão
anaĺıtica a Λ que chamaremos ainda aj.
Pela construção, f(z) é raiz da equação:
Zm + a1(P (z))Z
m−1 + · · · + am(P (z)) = 0 (*)
para todo z ∈ X − Σ.
Seja {wq} uma seqüência contida em Λ − T tal que limwq = 0.
Como P é própria, passando à subseqüência podemos supor que,
para cada j (1 ≤ j ≤ m), a seqüência {zj(wq)} converge em X
quando q → ∞. Como P−1(0) = {0} temos que
lim
q→∞
zj(wq) = 0, 1 ≤ j ≤ m.
134 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Logo,
lim
q→∞
f(zj(wq)) = f(0) = a, 1 ≤ j ≤ m.
Então,
aj(0) = lim aj(w
q) =
(
m
j
)
aj, 1 ≤ j ≤ m.
Por outro lado, para todo w ∈ Λ − T , como
|f(zj(w))| ≤M, 1 ≤ j ≤ m,
temos
|aj(w)| ≤
(
m
j
)
M j = |
(
m
j
)
aj|.
Logo,
|aj(w)| ≤ |aj(0)|, w ∈ Λ − T, 1 ≤ j ≤ m.
Como Λ − T é denso em Λ, decorre dáı que |aj| tem máximo
|aj(0)| em Λ. Logo, pelo Teorema I.2.1, aj é constante em Λ (1 ≤
j ≤ m). A equação (*) tem um número finito de ráızes. Então,
f só pode tomar um número finito de valores em X − Σ (que é
conexo). Logo, f |X − Σ é constante. Como X − Σ é denso em X,
f é constante; o que desejávamos provar.
Corolário V.2.2. Todo conjunto anaĺıtico compacto é finito.
Prova. Seja X um conjunto anaĺıtico compacto. Seja Y uma com-
ponente conexa de X. Pelo Corolário IV.1.4, Y é aberto e fechado
em X. Logo, Y é um conjunto anaĺıtico compacto e conexo. Vamos
provar que Y é um ponto. Decorrerá dáı que X é discreto e, por
ser compacto, é finito.
Consideremos a função fj(z) = zj. Ela é anaĺıtica em Y . Como
Y é compacto, |fj| tem máximo em Y . Pelo Teorema V.2.1, fj é
constante em Y , para j = 1, . . . ,m. Logo, Y não pode conter mais
de um ponto.
Exerćıcio V.2.1. Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos e seja f : X →
Y uma aplicação anaĺıtica. Suponhamos que para um ponto b ∈ Y ,
o conjunto f−1(b) possui um único elemento a. Então, existem
[SEC. V.3: EXTENSÃO DEFUNÇÕES ANAĹITICAS 135
vizinhanças abertas U, V de a, b em X,Y respectivamente, tais que
f(U) ⊂ V e f−1(w) ∩ U é um conjunto finito para todo w ∈ V .
(Vide Lema I.8.1).
V.3 Extensão de funções anaĺıticas
Neste parágrafo vamos dar uma generalização do Teorema III.5.1
necessária para aplicação no § 4 e também um teorema sobre a
dimensão das singularidades de uma função anaĺıtica.
Definição V.3.1. Seja U um aberto de Cn. Dizemos que um sub-
conjunto X de U é um subconjunto evitável de U se X é fechado
em U , U − X é denso em U e toda função anaĺıtica limitada em
U −X possui uma extensão anaĺıtica a U .
Proposição V.3.1. Todo subconjunto fechado fino de um domı́nio
U de Cn é um subconjunto evitável de U .
Prova. Vide o Teorema II.1.2 e a Proposição II.1.1.
Os conjuntos evitáveis são uma generalização dos conjuntos
fechados finos. A propriedade seguinte, que não é válida para con-
juntos fechados finos, faz mais flex́ıvel o uso dos conjuntos evitáveis
que o dos conjuntos fechados finos.
Proposição V.3.2. Seja U um aberto de Cn, seja X um subcon-
junto evitável de U e seja Y um subconjunto evitável de U − X.
Então, X ∪ Y é um subconjunto evitável de U .
Prova. É óbvio que U − (X ∪ Y ) é aberto e denso em U . Se
f : U−(X∪Y ) → C é anaĺıtica e limitada, ela possui uma extensão
anaĺıtica g : U −X → C porque:
U − (X ∪ Y ) = (U −X) − Y.
Como U − (X ∪Y ) é denso em U −X, g é limitada. Logo, g possui
uma extensão anaĺıtica a U , o que acaba a prova.
136 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Exemplo V.3.1. Seja U = ∆(0; 1) ⊂ C e sejam:
X = {0} Y =
{
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .
}
.
Então X é fechado fino em U e Y é fechado fino em U −X. Logo,
pelas Proposições V.3.1 e V.3.2, X ∪ Y é um subconjunto evitável
de U . Porém, X ∪ Y não é um subconjunto fino de U .
Teorema V.3.3. O Teorema III.5.1 é ainda verdadeiro se trocar-
mos na condição (b): “subconjunto fechado fino T de V ” por “sub-
conjunto evitável T de V ”.
Prova. Com efeito, a única propriedade de T que foi utilizada na
prova do Teorema III.5.1 foi a de ser um subconjunto evitável de
V .
Exerćıcio V.3.1. Seja U um domı́nio de Cn e seja X um subcon-
junto evitável de U . Então U −X é conexo.
V.4 Imagens próprias dos conjuntos a-
naĺıticos
Em geral, a imagem de um conjunto anaĺıtico por uma aplicação
anaĺıtica não é um conjunto anaĺıtico, como mostra o exemplo
seguinte:
Exemplo V.4.1. Consideremos o subconjunto anaĺıtico X de C2
definido pelas equações:
z1(z1z2 − 1) = 0 e2πiz2 − 1 = 0.
Da segunda equação decorre z2 ∈ Z e da primeira que z1 = 0 ou
z1 = 1/z2. Ou seja que X é o conjunto dos pontos (1/n, n), para
todo n ∈ Z, n 6= 0, e dos pontos (0, n), para todo n ∈ Z. Seja:
f : X → C, f(z1, z2) = z1.
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 137
Então,
Y = f(X) = {0} ∪ {1/n : n ∈ Z, n 6= 0}.
Logo, Y não é um conjunto anaĺıtico em 0 ∈ Y .
Observemos que no exemplo precedente, a falta de analiticidade
em 0 vem de que os pontos (1/n, n) vão para o infinito. O teorema
seguinte mostra que se a aplicação satisfaz uma condição que evita
que os pontos escapem para infinito, então a imagem de um con-
junto anaĺıtico é um conjunto anaĺıtico.
Teorema V.4.1. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn, seja D um
domı́nio de Cm e seja f : X → D uma aplicação anaĺıtica e própria.
Então, Y = f(X) é um subconjunto anaĺıtico de D e
dimw Y = sup
z∈f−1(w)
dimz X
para todo w ∈ Y .
Antes de demonstrar o teorema vamos provar alguns lemas.
Lema V.4.2. Sejam X um conjunto anaĺıtico em Cn de dimensão
pura k, D um domı́nio de Ck, f : X → D uma aplicação anaĺıtica
própria, a um ponto de X. Então existe uma vizinhança aberta e
conexa U de a em Cn e um subconjunto anaĺıtico S ⊂ X de U de
dimensão ≤ k− 1 tal que todo ponto de X ∩U − S é ponto regular
de X e
posto d(f |(X ∩ U − S))(z) = k
para todo z ∈ X ∩ U − S.
Prova. Vamos primeiro considerar o caso onde o germe γ de X em
a é irredut́ıvel. Sem perda de generalidade podemos supor a = 0.
Seja P = I(γ). Por uma mudança de coordenadas, podemos
supor que as coordenadas z1, . . . , zn em Cn satisfazem as condições
do Lema III.4.10 para o ideal P . Então são válidas as conclusões
do Teorema III.5.2. Retomamos as notações do Lema III.4.10 e
do Teorema III.5.2 (observando que k = dim γ e A = O(γ), e
chamando X a X∩∆) e seja p
j
(Z) o polinômio minimal de tj sobre
138 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
L (j = k+1, . . . , n). Pelo Apêndice I, 3.7, p
j
(Z) ∈ H[Z]. Podemos
supor que os coeficientes de p
j
(Z) são germes de funções anaĺıticas
em ∆ e chamamos pj(Z) ao polinômio que tem estas funções como
coeficientes. Finalmente, podemos supor que f é restrição de uma
aplicação anaĺıtica f : ∆ → Ck.
Seja Dj o discriminante de pj(Z). Então Dj é anaĺıtico e não
identicamente nulo em Λ.
Seja
V = {z ∈ ∆ : D ·Dk+1 · · · · ·Dn(z) 6= 0}.
Então, V é um aberto denso de ∆ e Σ ⊂ ∆ − V . Em particular,
X ∩ V é uma subvariedade anaĺıtica de dimensão k de V .
Por outro lado, pelo Teorema I.4.2, temos que as equações:
Pk+1(zk+1) = 0, . . . , Pn(zn) = 0 (*)
definem uma subvariedade anaĺıtica de dimensão k de V . Com
efeito, a matriz jacobiana do sistema é da forma:
J =





a11 · · · a1k ∂pk+1∂zk+1 · · · 0
a21 · · · a2k 0 ∂pk+2∂zk+2 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
an−k,1 · · · an−k,n 0 0 · · · ∂pn∂zn





o menor principal formado pelas últimas n− k colunas tem deter-
minante:
µ(z) =
∂pk+1
∂zk+1
(zk+1) · · · · ·
∂pn
∂zn
(zn) 6= 0
para todo z ∈ V que seja solução de (*), porque os discriminantes
são não nulos em z.
Por definição, as funções pj(zj) anulam-se em uma vizinhança
de 0 em X. Logo, como X contém uma variedade anaĺıtica conexa e
densa em X, as pj(zj) anulam-se identicamente em X. Decorre dáı
que X ∩ V é um aberto na variedade definina em V pelas equações
(*), porque X é de dimensão pura k.
Seja
vj = (0, . . . , µ, . . . , 0,−µ1a1j, . . . ,−µn−kan−k,j), 1 ≤ j ≤ k
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 139
onde µ ocupa o j-ésimo lugar e
µi(z) = µ(z)
/∂pk+i
∂zk+i
(zk+i), z ∈ ∆
é uma função anaĺıtica em ∆, para i = 1, . . . , n− k.
Cada vj : ∆ → Cn é anaĺıtica e v1(z), . . . , vk(z) é uma base do
núcleo de J em todo ponto z tal que µ(z) 6= 0.
Decorre do que precede que:
a) Na vizinhança de cada ponto z ∈ X ∩V a variedade anaĺıtica
X ∩ V é definida pelas equações (*).
b) v1(z), . . . , vk(z) é uma base do espaço tangente a X ∩ V em
z ∈ X ∩ V .
Consideremos agora a aplicação f : ∆ → Ck. Sejam
f1, . . . , fk : ∆ → C
as suas componentes. Seja:
E = det((dfi(v
j)))1≤i≤k1≤j≤k.
Então E : ∆ → C é anaĺıtica. Podemos agora definir S como o
subconjunto de X determinado pela equação:
E ·D ·Dk+1 · · · · ·Dn = 0.
Seja z ∈ X−S. Então, z ∈ X∩V e E(z) 6= 0. Logo, z é regular
em X e:
posto d(f |X − S)(z) = posto((dfi(vj)))(z) = k,
pela propriedade (b) acima.
O único que falta ainda provar é dimS ≤ k−1. Se for dimz S =
k, S conteria uma vizinhança de z em X (Lema IV.2.1). Então,
como X contém uma variedade anaĺıtica conexa e densa em X, a
equação que define S anular-se-ia sobreX e, então, teŕıamos S = X.
140 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Decorre dáı que o único que devemos provar é que S 6= X. Como
Dk+1, . . . , Dn, D são funções de z1, . . . , zk não identicamente nulas
em Λ e como P : X → Λ é sobrejetivo (Teorema III.5.2), temos que
X ∩ V 6= ∅. Seja b ∈ X ∩ V um ponto onde o posto de d(f |X ∩ V )
seja máximo. Então, na vizinhança de b em X ∩V , a aplicação f é
analiticamente equivalente a uma aplicação linear (Teorema I.3.2),
porque seu posto é constante na vizinhança de b. Mas, observemos
que, como f : X → D é própria, a imagem rećıproca de cada ponto
de D é um conjunto finito, pelo Corolário V.2.2. Logo, f é injetiva
na vizinhança de b em X ∩ V . Como uma aplicação linear injetiva
temposto máximo, decorre dáı que
posto d(f |X ∩ V )(b) = k.
Então, E(b) 6= 0. Logo, b ∈ X−S (porque b ∈ V ∩X) e S 6= X.
Isto completa a prova do Lema V.4.2 no caso em que X é irredut́ıvel
no ponto a.
No caso geral, seja U uma vizinhança aberta e conexa de a em
Cn tal que:
X ∩ U = X1 ∪ · · · ∪Xr
onde os Xj são subconjuntos anaĺıticos de U , irredut́ıveis em a, de
dimensão pura k e tais que dim(Xi ∩ Xj) ≤ k − 1 se i 6= j. Se
U é bastante pequeno, pelo caso particular que consideramos antes
existe Sj ⊂ Xj subconjunto anaĺıtico de U tal que dimSj ≤ k − 1
e tal que todo ponto z ∈ Xj − Sj é regular em Xj e
posto d(f |(Xj − Sj))(z) = k.
Então definimos:
S = S1 ∪ · · · ∪ Sr ∪
(
X1 ∩
(
⋃
j 6=1
Xj
))
∪ · · · ∪
(
Xr ∩
(
⋃
j 6=r
Xj
))
este conjunto S satisfaz o lema.
Lema V.4.3. Sejam E,F espaços métricos localmente compactos e
seja f : E → F uma aplicação cont́ınua e própria. Seja y ∈ F e seja
U uma vizinhança de f−1(y) em E. Então existe uma vizinhança
V de y em F tal que f−1(V ) ⊂ U .
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 141
Prova. Exerćıcio de Topologia geral que deixamos ao leitor.
Lema V.4.4. Seja A um conjunto anaĺıtico em Cn de dimensão
pura k, seja D um domı́nio em Ck e seja f : A→ D uma aplicação
anaĺıtica própria. Se o Teorema V.4.1 é verdadeiro para todo con-
junto anaĺıtico X de dimensão ≤ k−1, então o cardinal de f−1(w)
é uma função localmente limitada para w ∈ D.
Prova. Como f é anaĺıtica própria, f−1(w) é finito para todo w ∈
D, pelo Corolário V.2.2.
Seja b ∈ D e seja
f−1(b) = {a1, . . . , aq}.
Pelo Lema V.4.2, existe Uj, vizinhança aberta e conexa de aj em
Cn, (1 ≤ j ≤ q) e subconjunto anaĺıtico Sj ⊂ A de Uj de dimensão
≤ k − 1, tais que todo z ∈ A ∩ Uj − Sj é um ponto regular de A e
posto d(f |(A ∩ Uj − Sj))(z) = k.
Podemos supor os Uj disjuntos dois a dois.
Pelo Lema V.4.3, existe uma vizinhança aberta e conexa W de
b em D tal que:
f−1(W ) ⊂ (U1 ∪ · · · ∪ Uq) ∩ A.
Seja
Vj = Uj ∩ f−1(W ), 1 ≤ j ≤ q.
Então Vj é uma vizinhança aberta de aj em A e
f : Vj → W
é anaĺıtica e própria (porque, como os V1, . . . , Vq são disjuntos dois
a dois, Vj é fechado em
⋃
i
Vi = f
−1(W )). Logo, pela hipótese,
Tj = f(Sj∩Vj) é um subconjuto anaĺıtico deW de dimensão ≤ k−1.
Portanto, T =
q
⋃
j=1
Tj é um subconjunto anaĺıtico de W de dimensão
≤ k − 1 (vide figura).
142 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Como Vj − Sj é uma variedade anaĺıtica não vazia (porque
dimSj ≤ k − 1)) de dimensão k e df tem posto k em cada ponto
dela, temos que f(Vj − Sj) é um aberto não vazio de W . Logo,
f(Vj − Sj) 6⊂ T (1 ≤ j ≤ q).
Então,
Vj 6⊂ S = f−1(T ) (j = 1, . . . , q).
Além disso, como df tem posto k em cada ponto de
Vj − S ⊂ Vj − Sj
temos que f(Vj − S) é um aberto não vazio de W − T . Por outro
lado,
f : Vj − S → W − T
é própria. Logo, f(Vj − S) é fechado em W − T . Como W − T é
conexo (Corolário II.1.4) temos que:
f(Vj − S) = W − T (1 ≤ j ≤ q).
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 143
Ainda mais: pelo Teorema I.6.1,
f : Vj − S → W − T
é um recobrimento anaĺıtico. Seja mj ≥ 1 a sua ordem. Então,
cardinal de f−1(w) =
q
∑
j=1
mj ≥ q
para todo w ∈W − T .
Fica provado, então, que para todo b ∈ D existe uma vizinhança
aberta e conexa W de b em D e um subconjunto anaĺıtico T de W
de dimensão ≤ k− 1, tais que o cardinal m de f−1(W ) é constante
em W −T e maior ou igual ao cardinal de f−1(b). Seja c ∈W . Pelo
mesmo, existe vizinhança aberta W1 de c e subconjunto anaĺıtico
T1 de W1 tais que dimT1 ≤ k − 1 e que o cardinal p de f−1(w) é
constante em W1−T1 e maior ou igual ao cardinal de f−1(c). Como
W − T é aberto e denso em W e W1 − T1 é aberto e denso em W1
temos que
(W ∩ T ) ∩ (W1 − T1) 6= ∅.
Logo, m = p. Decorre dáı que
cardinal de f−1(c) ≤ m para todo c ∈W,
o que desejávamos provar.
Lema V.4.5. Sejam X um conjunto anaĺıtico em Cn e f : X → Cm
uma aplicação anaĺıtica. Suponhamos que 0 ∈ X, f(0) = 0 e 0 é um
ponto isolado em f−1(0). Seja k = dim0X. Então, se k ≥ 1, existe
um automorfismo linear T : Cm → Cm tal que 0 é ponto isolado de
h−1(0) e o conjunto anaĺıtico h−11 (0) ⊂ X tem dimensão ≤ k − 1
no ponto 0, onde
h = T ◦ f : X → Cm
e h1 : X → C é a primeira componente de h.
144 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
(Quer dizer que o hiperplano de Cm definido pela anulação da
primeira coordenada não contém h(W ), qualquer que seja a vi-
zinhança W de 0 em X).
Prova. Seja U uma vizinhança de 0 em Cn tal que
X ∩ U = X1 ∪ · · · ∪Xr
ondeXj é um subconjunto anaĺıtico de U que contém uma variedade
anaĺıtica conexa, aberta e densa em Xj (j = 1, . . . , r) e os germes
dos Xj em 0 representam as componentes irredut́ıveis do germe de
X em 0. Além disso, como 0 é isolado em f−1(0), podemos supor
que:
U ∩ f−1(0) = {0}.
Como k ≥ 1, existe zi ∈ Xi, zi 6= 0 (i = 1, . . . , r). Então, se
f1, . . . , fm são as componentes da f , para cada i existe j tal que
fj(z
i) 6= 0. Decorre dáı que existem coeficientes c1, . . . , cm ∈ C tais
que:
m
∑
j=1
cjfj(z
i) 6= 0 para todo i = 1, . . . , r.
Em particular, algum dos cj deve ser 6= 0. Seja cq 6= 0. Então
definimos T1 : Cm → Cm por
T1(w) = w
′
onde w′j = wj se j 6= q e
w′q =
m
∑
j=1
cjwj.
T1 é um automorfismo linear de Cm.
Seja T2 : Cm → Cm a transformação que intercambia entre si a
primeira e a q-ésima coordenadas. Seja:
T = T2 ◦ T1.
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 145
Então T é um automorfismo linear de Cm. Decorre dáı que, se
h = T ◦ f , então
h−1(0) = f−1(T−1(0)) = f−1(0).
Logo, 0 é ponto isolado de h−1(0). Se h1 é a primeira componente
de h, então o conjunto h−11 (0) é o subconjunto de X definido pela
equação:
m
∑
j=1
cjfj = 0.
Como nenhum dos z1, . . . , zr satisfaz esta equação, o conjunto h−11 (0)
tem dimensão ≤ k − 1 em 0 (Lema IV.2.1).
Lema V.4.6. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn e seja f : X →
Cm uma aplicação anaĺıtica. Suponhamos 0 ∈ X, f(0) = 0 e 0
é um ponto isolado em f−1(0). Seja k = dim0X. Então existe
uma aplicação linear g : Cm → Ck tal que 0 é um ponto isolado em
(g ◦ f)−1(0).
Prova. Se for m ≤ k bastaria tomar g uma inclusão linear. Su-
poremos, então, m > k. Vamos proceder por indução em k. Se
k = 0 o lema é trivial. Seja k ≥ 1 e suponhamos o lema verdadeiro
no caso de dim0X ≤ k − 1.
Pelo Lema V.4.5, existe um automorfismo linear T de Cm tal
que dim0 Y ≤ k−1 se Y = h−11 (0), onde h1 é a primeira componente
de h = T ◦ f ; e 0 é um ponto isolado em h−1(0). Como m > k ≥ 1,
podemos considerar:
f̃ : Y → Cm, f̃(z) = (0, h2(z), . . . , hm(z)), z ∈ Y,
onde h2, . . . , hm são as outras componentes de h.
Então f̃ é anaĺıtica, 0 ∈ Y , f̃(0) = 0 e 0 é um ponto isolado em
f̃−1(0). Pela hipótese de indução, existe g̃ : Cm → Ck−1 linear tal
que 0 é um ponto isolado em (g̃ ◦ f̃)−1(0). Seja:
g(w) = (T1(w), g̃(T (w))) ∈ C × Ck−1 = Ck, w ∈ Cm,
146 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
onde T1 é a primeira componente de T .
Então, para todo z ∈ X, vale:
(g ◦ f)(z) = 0 ⇔ T1(f(z)) = 0 e g̃(T (f(z))) = 0 ⇔ h1(z) = 0 e
g̃(h(z)) = 0 ⇔ h1(z) = 0 e g̃(0, h2(z), . . . , hm(z)) = 0
⇔ z ∈ Y e g̃(f̃(z)) = 0.
Logo, 0 é um ponto isolado em (g ◦ f)−1(0).
Lema V.4.7. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn, de dimensão
pura k e seja f : X → D uma aplicação anaĺıtica e própria, onde D
é um domı́nio de Cm. Seja a ∈ X e seja b = f(a). Então existem
uma aplicação anaĺıtica g : D → Ck tal que g(b) = 0 e um sistema
fundamental de vizinhanças abertas U de a em Cn tais que, para
cada U , existe uma vizinhança aberta e conexa W de 0 em Ck tal
que g(f(U ∩X)) ⊂ W e
g ◦ f : X ∩ U → W
é própria.
Prova. Sem perda de generalidade podemos supor a = b = 0.
Como f é anaĺıtica e própria, f−1(0) é finito. Logo, 0 é um ponto
isolado de f−1(0). Seja g̃ : Cm → Ck uma aplicação linear tal que
0 é um ponto isolado de (g̃ ◦ f)−1(0) (Lema V.4.6). Então g = g̃|D
satisfaz o Lema V.4.7 (Lema I.8.1 e CorolárioI.8.2).
Lema V.4.8. Seja X uma variedade anaĺıtica em Cn de dimensão
pura k. Seja D um domı́nio de Cm e seja
f : X → D
uma aplicação anaĺıtica e própria tal que df(z) é injetora para todo
z ∈ X (i.e., f é uma imersão). Então Y = f(X) é um subconjunto
anaĺıtico de D de dimensão pura k e o conjunto dos pontos singu-
lares de Y é um subconjunto anaĺıtico de D de dimensão ≤ k − 1.
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 147
Prova. Seja b ∈ D. Como f é anaĺıtica e própria, f−1(b) é finito.
Seja
f−1(b) = {a1, . . . , ar}.
Como f é uma imersão em cada ponto aj, existe uma vizinhança
aberta V de b em D e vizinhanças U1, . . . , Ur abertas de a1, . . . , ar
em X respectivamente, tais que f(Uj) é uma subvariedade anaĺıtica
de V de dimensão k para j = 1, . . . , r, (Caṕıtulo I, § 3). Podemos
ainda supor os Uj disjuntos dois a dois. Pelo Lema V.4.3, existe
uma vizinhança aberta W ⊂ V de b tal que:
f−1(W ) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Ur.
Então Yj = f(Uj) ∩ W é uma subvariedade anaĺıtica de W de
dimensão k e
Y ∩W = Y1 ∪ · · · ∪ Yr.
Decorre dáı, em primeiro lugar, que Y ∩W é um subconjunto
anaĺıtico de W . Em segundo lugar, como o germe de cada Yj em
cada ponto é irredut́ıvel, temos que Y ∩W é de dimensão pura k.
Para cada j, seja Ỹj a componente conexa de Yj que contém b.
Seja W ′ ⊂ W uma vizinhança aberta de b tal que
W ′ ∩ Yj = W ′ ∩ Ỹj, 1 ≤ j ≤ r.
Seja S o conjunto dos pontos singulares de Y . Então
S ∩W ′ = [∪{Ỹi ∩ Ỹj : Ỹi 6= Ỹj}] ∩W ′. (*)
Com efeito, como:
Y ∩W ′ = (Ỹ1 ∪ · · · ∪ Ỹr) ∩W ′ (**)
temos que
S ∩W ′ ⊂ [∪{Ỹi ∩ Ỹj : Ỹi 6= Ỹj}] ∩W ′.
Reciprocamente, se z ∈ Ỹi ∩ Ỹj ∩W ′ e Ỹi 6= Ỹj, os germes de Ỹi, Ỹj
em z são diferentes (porque Ỹi∩Ỹj é um subconjunto anaĺıtico de Ỹi
148 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
e de Ỹj que são variedades anaĺıticas conexas). Como estes germes
são de dimens ão k, decorre dáı e de (**) que o germe de Y em z é
redut́ıvel. Logo, z ∈ S ∩W ′.
De (*) decorre que S ∩W ′ é um subconjunto anaĺıtico de W ′.
Novamente, se z ∈ Ỹi ∩ Ỹj e Ỹi 6= Ỹj, então os germes de Ỹi e Ỹj em
z são diferentes. Logo,
dimz(Ỹi ∩ Ỹj) ≤ k − 1.
Decorre dáı que dimz S ≤ k − 1, por (*), o que acaba a prova.
Prova do Teorema V.4.1: A prova é por indução na dimensão
de X. Seja k = dimX e suponhamos o teorema provado para os
conjuntos X de dimensão ≤ k − 1.
Asserção: Para cada a ∈ X existe uma vizinhança aberta U de
a em Cn e uma vizinhança aberta W de b = f(a) em D tais que
f(U ∩ X) é um subconjunto anaĺıtico de W , f : U ∩ X → W é
própria e
dimb f(U ∩X) = dimaX.
Vamos primeiro mostrar que o teorema decorre da asserção. Seja
b ∈ Y . Como f é anaĺıtica e própria, f−1(b) é finito:
f−1(b) = {a1, . . . , aq}.
Sejam Uj,Wj vizinhanças abertas de aj, b em Cn, D respecti-
vamente, tais que f(Uj ∩ X) é um subconjunto anaĺıtico de Wj,
f : Uj ∩X → Wj é própria e
dimb f(Uj ∩X) = dimaj X.
Seja ∆ um polidisco de centro b em Cm, ∆ ⊂ D, tal que
∆ ⊂ W1 ∩ · · · ∩Wq e f−1(∆) ⊂ (U1 ∪ · · · ∪ Uq) ∩X
(Lema V.4.3). Então,
Y ∩ ∆ =
q
⋃
j=1
(f(X ∩ Uj) ∩ ∆).
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 149
Decorre dáı que Y ∩ ∆ é um subconjunto anaĺıtico de ∆ e
dimb Y = sup
j
dimb f(X ∩ Uj) = sup
j
dimaj X.
Observando que Y é fechado em D porque f é própria, acaba a
prova do Teorema V.4.1.
Vamos agora provar a asserção. Pelo Teorema IV.3.5, existe
uma vizinhança aberta Ũ de a em Cn tal que:
X ∩ Ũ = X ′ ∪X ′′
onde X ′ é um subconjunto anaĺıtico de Ũ de dimensão pura k e
X ′′ é um subconjunto anaĺıtico de Ũ de dimensão ≤ k − 1. Se
dimaX < k então X
′ = ∅. Como f é anaĺıtica e própria, f−1(b)
é finito. Logo a é isolado em f−1(b). Pelo corolário I.8.2 podemos
supor (tomando Ũ mais pequeno) que existe vizinhança aberta W̃
de b em D tal que f(Ũ ∩X) ⊂ W̃ , f−1(b) ∩ Ũ ∩X = {a} e
f : Ũ ∩X → W̃
é própria. Então, pela hipótese de indução, f(Ũ ∩ X) = f(X ′′) é
um subconjunto anaĺıtico de W̃ e
dimb f(Ũ ∩X) = dimb f(X ′′) = dimaX ′′ = dimaX.
Suponhamos agora que dimaX = k. Então, a ∈ X ′. Nova-
mente, tomando Ũ ainda mais pequeno se for necessário, pode-
mos supor que existe vizinhança aberta W̃ de v em D tal que
f(Ũ ∩ X) ⊂ W̃ e f : Ũ ∩ X → W̃ é própria. Em particular,
f : X ′ → W̃ é própria, porque X ′ é fechado em Ũ . Pelo Lema V.4.7,
existe uma vizinhança aberta U de a em Cn tal que U ⊂ Ũ e existem
uma aplicação g : W̃ → Ck anaĺıtica tal que g(b) = 0 e uma vizi-
nhança V de 0 em Ck tais que g◦f(X ′∩U) ⊂ V e g◦f : U∩X ′ → V
é própria. Sejam W = g−1(V ) ⊂ W̃ e Z = f(U ∩X ′) ⊂ W . Então,
f : U ∩X ′ → W e g : Z → V
150 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
são aplicações cont́ınuas e próprias. Em particular, Z é fechado em
W .
Vamos provar que Z é um subconjunto anaĺıtico de W , apli-
cando o Teorema V.3.3 aos abertos W,V , ao conjunto Z ⊂ W e à
aplicação g : W → V .
A condição (a) do Teorema V.3.3 decorre da hipótese de indução
e do Lema V.4.4 (tomando A = X ′ ∩ U , D = V ) se V é bastante
pequeno. A condição (e) foi provada acima (vide figura).
Tomando eventualmente U, V ainda mais pequenos, pelo Lema
V.4.2 existe um subconjunto anaĺıtico S ⊂ X ′ de U de dimensão
≤ k − 1 tal que todo ponto z ∈ X ′ ∩ U − S é regular em X ′ e
posto d(g ◦ f |(X ′ ∩ U − S))(z) = k.
Em particular, d(f |(X ′ ∩ U − S))(z) é injetiva para todo z ∈ X ′ ∩
U −S. Seja T = g ◦f(S). Então, pela hipótese de indução, T é um
subconjunto anaĺıtico de V de dimensão ≤ k − 1. Sejam:
R = g−1(T )∩Z e S̃ = U ∩X ′∩f−1(R) = U ∩X ′∩(g◦f)−1(T ).
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 151
Então S̃ é um subconjunto anaĺıtico de U e
X ′ ∩ U ⊃ S̃ ⊃ S.
Além disso, dim S̃ ≤ k − 1. Com efeito, se existir z ∈ S̃ tal que
dimz S̃ = k, então o germe de X
′ em z é idêntico ao germe de S̃ em
z. Portanto, existe vizinhança aberta V de z em X ′∩S contida em
S̃. Como X ′ é de dimensão pura k, X ′ ∩ U − S é um aberto denso
em X ′ ∩ U . Seja U = V ∩ (X ′ ∩ U − S). Então U 6= ∅, U ⊂ S̃, U
aberto em X ′∩U−S. Como g ◦f é uma imersão em cada ponto de
U , g◦f(U) é um aberto em V . Mas de U ⊂ S̃ decorre g◦f(U) ⊂ T ,
o que é absurdo.
Apliquemos a hipótese de indução ao subconjunto anaĺıtico S̃
de dimensão ≤ k − 1 de U e à aplicação f : S̃ → W . Temos que
R = f(S̃) é um subconjunto anaĺıtico de dimensão ≤ k − 1 de W .
A aplicação:
f : X ′ ∩ U − S̃ → W −R
é própria e é uma imersão da variedade anaĺıtica X ′ ∩ U − S̃. Pelo
Lema V.4.8, existe um subconjunto anaĺıtico Ω ⊂ Z de W − R de
dimensão ≤ k − 1 tal que
Z − (Ω ∪R) = f(X ′ ∩ U − S̃) − Ω
é uma subvariedade anaĺıtica de dimensão pura k de W −R.
Como
g : Z −R → V − T
é própria, temos que
g : Ω → V − T
é anaĺıtica e própria. Logo, pela hipótese de indução, g(Ω) é um
subconjunto anaĺıtico de V − T , de dimensão ≤ k − 1.
Logo, g(Ω) ∪ T é um subconjunto evitável de V (Proposição
V.3.2).
Pelo que precede e pelo Teorema I.6.1 temos que
g : Z − g−1(g(Ω) ∪ T ) → V − (g(Ω) ∪ T )
152 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
é um recobrimento e que z − g−1(g(Ω) ∪ T ) é uma subvariedade
anaĺıtica de W − g−1(g(Ω)∪T ), o que prova as conedições (c) e (b)
do Teorema V.3.3.
Como dim S̃ ≤ k−1, X ′∩U− S̃ é denso em X ′∩U . Decorre dáı
que Z − R é denso em Z. Para provar a condição (d) do Teorema
V.3.3; isto é, para provar que
Z − g−1(g(Ω) ∪ T ) = (Z −R) − g−1(g(Ω))
é denso em Z, basta, portanto, provar que
Λ = (Z −R) − g−1(g(Ω))
é denso em Z −R. Como, pelo Lema V.4.8,
Z −R = f(X ′ ∩ U − S̃)
é um conjunto anaĺıtico de dimensão pura k, para provar que Λ é
denso em Z −R basta provar que
dim(g−1(g(Ω)) ∩ (Z −R)) ≤ k − 1.
Suponhamos que existe z ∈ g−1(g(Ω)), z ∈ Z tal que:
dimz g
−1(g(Ω)) ∩ (Z −R) = k.
Então z ∈ Z −R e o germe de Z −R em z é idêntico ao germe
de g−1(g(Ω))∩Z em z. Como dim Ω ≤ k−1, Z−R−Ω é denso em
Z −R. Decorre dáı que existe U 6= ∅, U ⊂ g−1(g(Ω)), U aberto em
Z −R−Ω. Como d(g|Z − (R∪Ω))tem posto k em todo ponto de
Z − (R ∪ Ω), g(U) é aberto em V . Mas de U ⊂ g−1(g(Ω)) decorre
g(U) ⊂ g(Ω); o que é absurdo, porque dim g(Ω) ≤ k − 1.
Fica completa a verificação das hipóteses do Teorema V.3.3.
Logo, Z é um subconjunto anaĺıtico de W . Além disso, como Z −
(R ∪ Ω) é denso em Z, temos que dimb Z = k.
Voltando ao ińıcio,
X ∩ U = (X ′ ∩ U) ∪ (X ′′ ∪ U).
[SEC. V.4: IMAGENS PRÓPRIAS DOS CONJUNTOS ANAĹITICOS 153
Tomando U,W mais pequenos se for necessário, teremos que f : U∩
X → W é própria (Corolário I.8.2). Pelo antes provado, f(U ∩X ′)
e um subconjunto anaĺıtico de W de dimensão k no ponto b. Pela
hipótese de indução, f(U ∩X ′′) é um subconjunto anaĺıtico de W
de dimensão ≤ k − 1. Logo, f(U ∩X) é um subconjunto anaĺıtico
de W e
dimb f(U ∩X) = k,
o que prova a asserção.
Corolário V.4.9. Seja X um conjunto anaĺıtico de dimensão pura
k em Cn e seja f : X → D uma aplicação anaĺıtica e própria, onde
D é um domı́nio de Ck. Sejam a ∈ X, b = f(a). Então exis-
tem uma vizinhança aberta U de a em X, uma vizinhança aberta
e conexa W de b em D e um subconjunto anaĺıtico T de W de
dimensão ≤ k − 1 tais que f(U) ⊂ W e
f : U − S → W − T
é um recobrimento finito (não vazio), onde S = f−1(T ) ∩ U .
Prova. Como f é analitica e própria, f−1(b) é finito.
Seja
f−1(b) = {a1, . . . , ar}, a1 = a.
Sejam U1, . . . , Ur vizinhanças aberta de a1, . . . , ar em X respec-
tivamente, disjuntas dois a dois.
Pelo Lema V.4.2 existe uma vizinhança V de a em Cn e um
subconjunto anaĺıtico S ⊂ X de V tal que dimS ≤ k − 1 e que
todo ponto z de V ∩X − S é regular em X e
posto d(f |V ∩X − S)(z) = k.
Podemos ainda supor que
Ũ = V ∩X ⊂ U1.
Seja W uma vizinhança aberta e conexa de b em D tal que:
f−1(W ) ⊂ Ũ ∪ U2 ∪ · · · ∪ Ur
154 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
(Lema V.4.3). Seja U = Ũ ∩ f−1(W ). Como Ũ , U2, . . . , Ur são
disjuntos dois a dois,
f : U → W
é própria. Seja T = f(S∩U). Então, T é um subconjunto anaĺıtico
de W de dimensão ≤ k − 1 (Teorema V.4.1).
Seja
S = f−1(T ) ∩ U ⊃ S.
Então
f : U − S → W − T
é um revestimento, pelo Teorema I.6.1.
Pelo Teorema V.4.1, f(U) é um subconjunto anaĺıtico de di-
mensão k de W . Logo, f(U) = W . Então, U − S 6= ∅.
Exerćıcio V.4.1. Classificar os germes γ de conjunto anaĺıtico em
0 ∈ C2 tais que γ = α∪ β onde α e β são germes não singulares de
dimensão 1.
Exerćıcio V.4.2. Nas hipóteses do Corolário V.4.9 suponhamos
ainda que X é irredut́ıvel em a. Então X − S é conexo.
Exerćıcio V.4.3. Seja ∆ = ∆(0; r) ⊂ C e seja f : ∆ → C2 anaĺı-
tica e tal que f(0) = 0. Então f∗ : O0(C2) → O0(C) não é injetora.
(Compare Exerćıcio V.1.3b).
Exerćıcio V.4.4. Seja ∆ = ∆(0, r) ⊂ C, seja f : ∆ → C2 anaĺıtica
tal que f(0) = 0 e não constante. Sejan, para 0 ≤ s ≤ r,
Σs = {z ∈ ∆(0, s) : existe z′ ∈ ∆(0, s), z′ 6= z e f(z′) = f(z)}.
Então, para todo s bastante pequeno temos que ou bem Σs é vazio,
ou bem o fecho de Σs em ∆(0, s) contém 0 em seu interior.
Exerćıcio V.4.5. a) Seja X espaço topológico metrizável e seja
U ⊂ X aberto. Seja f : U → C cont́ınua e limitada e seja a ∈ fron-
teira (U). Suponhamos que o conjunto de valores limites de f(x)
para x ∈ U , x → a é finito e que existe uma famı́lia fundamental
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO 155
{Vi}i∈I de vizinhança de a tal que Vi ∩ U é conexo para todo i.
Então existe lim
x→a
f(x).
b) Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn localmente irredut́ıvel em
cada um de seus pontos e de dimensão pura k. Seja Y um sub-
conjunto anaĺıtico de X tal que dimY < k. Seja f : X − Y → C
anaĺıtica e limitada. Seja a ∈ Y . Então o conjunto de valores li-
mites de f(x) para x ∈ X − Y , x → a é finito (Sugestão: usar
o teorema de parametrização local para provar que f satisfaz uma
equação fm + gm−11 + · · · + fm = 0 onde as gj são anaĺıticas na
vizinhança a).
c) Nas hipótese de (b), existe g : X → C cont́ınua tal que g|X−Y =
f . (Sugestão: usar o fato que (X − Y ) ∩ (X − S(X)) (S(X) =
conjunto dos pontos singulares de X) é aberto e denso e o Corolário
IV.3.6).
V.5 Aplicações anaĺıticas de tipo finito
Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de dimensão pura k, seja
F : X → Ck anaĺıtica, seja p ∈ X e suponhamos que p é um ponto
isolado na sua fibra F−1(F (p)).
Fixadas estas condições, vamos fazer um estudo local de F na
vizinhança de p. Isto vai nos permitir generalizar o Teorema III.5.2.
Para simplificar as notações podemos supor que p = 0 e que
F (p) = 0.
Lema V.5.1. Nestas condições, eciste uma vizinhança aberta U de
0 em X e uma vizinhança aberta V de 0 em Ck tais que:
a) F (U) = V , F : U → V é própria e F−1(0) ∩ U = {0};
b) F : U → V é aberta;
c) se {Vi} (i ∈ I) é uma famı́lia fundamental de vizinhanças de 0
em V então {(F |U)−1(Vi)} (i ∈ I) é uma famı́lia fundamental
de vizinhanças de 0 em U ;
156 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
d) (F |U)−1(w) é um conjunto finito para todo w ∈ V .
Prova. Pelo Corolário I.8.2 existem vizinhanças abertas U, V de 0
emX e de 0 em Ck respectivamente, V conexa, tais que: F (U) ⊂ V ,
F : U → V é própria e F−1(0) ∩ U = {0}.
Como F : U → V anaĺıtica e própria, F (U) é um subconjunto
anaĺıtico de V de dimensão k, pelo Teorema V.4.1. Logo, F (U) é
aberto e fechado em V . Então F (U) = V , o que prova (a).
A afirmação (c) resulta do Lema V.4.3.
SejaB ⊂ V uma bola aberta de centro 0. SejaB′ = (F |U)−1(B).
Então F : B′ → B é anaĺıtica e própria. Logo, pelo mesmo racioćınio
de antes, F (B′) = B. Decorre dáı e de c) que F é aberta em 0.
Se w ∈ V , (F |U)−1(w) é um subconjunto anaĺıtico compacto de
U . Então (d) decorre do Corolário V.2.2.
Decorre dáı que todo z ∈ U é isolado na sua fibra F−1(F (z)).
Logo, o que provamos antes para 0 ∈ U vale também para todo
z ∈ U . Em particular, F é aberta em cada ponto de U , o que prova
(b).
Observação V.5.1. A propriedade (d) da F justifica dizer que F
é de tipo finito na vizinhança de 0 em X (ver Definição V.5.3).
Teorema V.5.2. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de dimen-
são pura k. Seja F : X → Ck anaĺıtica. Suponhamos que 0 ∈ X,
que F (0) = 0 e que 0 é um ponto isolado em F−1(0). Sejam W1,W2
vizinhanças de 0 em X e de 0 em Ck respectivamente. Então exis-
tem: uma vizinhança aberta U ⊂ W1 de 0 em X e um polidisco
∆ ⊂ W2 de centro 0 em Ck tais que:
a) F (U) = ∆, F : U → ∆ é própria e aberta e F−1(0)∩U = {0}.
b) existe um subconjunto anaĺıtico próprio T de ∆ tal que todo
ponto de U − F−1(T ) é não singular em X e
F : U − F−1(T ) → ∆ − T
é um recobrimento anaĺıtico finito;
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO 157
c) (F |U)−1(w) é um conjunto finito para todo w ∈ ∆, de cardinal
≤ m, onde m é a ordem do recobrimento da parte (b).
Prova. Pelo Lema V.5.1 (partes (a) e (b)) existem U,∆ como re-
queridos que verificam (a).
Pelo Lema V.4.2, podemos supor que existe um subconjunto
anaĺıtico S de U de dimensão ≤ k− 1 tal que todo z ∈ U −S é não
singular em X e que a diferencial de F em cada ponto de U − S
tem posto k.
Seja T = F (S). Pelo Teorema V.4.1, levando em conta que S
é fechado em U , temos que T é um subconjunto anaĺıtico de ∆ de
dimensão ≤ k − 1.
Pelo corolário II.1.4 e o Teorema I.6.1, e como U − S ⊃ U −
F−1(T ),
F : U − F−1(T ) → ∆ − T
é um recobrimento anaĺıtico finito, o que prova (b).
Suponhamos que existe w ∈ ∆ tal que F−1(w)∩U contém, pelo
menos, m+ 1 pontos distintos z0, . . . , zm.
Sejam U0, . . . , Um ⊂ U vizinhanças dois a dois disjuntas de
z0, . . . , zm respectivamente. Seja W uma vizinhança de w tal que
W ⊂ ⋂
j
F (Uj), que existe porque F é aberta. Seja u ∈W ∩(∆−T ).
Então existe para cada j = 0, . . . ,m, um vj ∈ Uj tal que F (vj) = u.
Então, todos os vj são distintos. Logo, (F |U)−1(u) contém m + 1
pontos distintos, o que contradiz o fato que o recobrimento acima
tem ordem m.
Isto prova (c) e completa a prova do teorema.
Exemplo V.5.1. Seja X ⊂ C2 definido por z21 − z32 = 0. Seja
F : X→ C, f(z1, z2) = z1. F é própria e aberta. F : X − {0} →
C − {0} é um recobrimento de ordem 3.
Exemplo V.5.2. Vide Exemplo III.5.1.
Exemplo V.5.3. Sejam n = k e X = Ck e F (z) = w onde:
z ∈ Ck, wj = σj(z1, . . . , zk), 1 ≤ j ≤ k.
158 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
(σj é o j-ésimo polinômio simétrico elementar).
Então, para todo w ∈ Ck, F−1(w) é formado por todos os pontos
z = (z1, . . . , zk) tais que z1, . . . , zk são as k ráızes de
Zk − w1Zk−1 + · · · + (−1)kwk = 0. (*)
Ou seja, se fazemos todas as permutações das coordenadas de z,
obtemos todos os pontos da sua fibra.
Em particular, F−1(0) = {0}.
SejaD(w) = D(w1, . . . , wk) o discriminante de (*) (vide apêndice
I.5). D é um polinômio não identicamente nulo. Seja T = {D =
0} ⊂ Ck. Então, dimT = k − 1 (Teorema IV.2.8).
F : X → Ck é própria e aberta. É própria porque se os coefi-
cientes de (*) ficam em uma região limitada, as suas ráızes também.
É aberta pelo Teorema III.1.1.
Se w /∈ T , o cardinal de F−1(w) é k!. Se w ∈ T , o cardinal de
F−1(w) é menor que k!.
Decorre dáı e do fato que F é aberta, que F é localmente injetora
na vizinhança de cada ponto de Ck − F−1(T ). Então:
F : Ck − F−1(T ) → Ck − T
é um recobrimento anaĺıtico de ordem k! (Exerćıcio III.5.3, Teorema
I.6.1 e Corolário II.1.4).
O que precede significa que se a = (a1, . . . , ak) ∈ Ck e D(a) 6= 0
se b1, . . . , bk são as ráızes de:
Zk − a1Zk−1 + · · · + (−1)kak = 0,
então existem k funções anaĺıticas ϕ1, . . . , ϕk na vizinhança de a
tais que:
ϕ1(a) = b1, . . . , ϕk(a) = bk e
Zk − w1Zk−1 + · · · + (−1)kwk = (Z − ϕ1(w)) . . . (Z − ϕk(w))
para todo w na vizinhança de a. (Observação I.6.1).
Estas funções exprimem, na vizinhança de a, as ráızes de (*)
como funções anaĺıticas dos coeficientes.
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO 159
Decorre também do que precede que se o grupo simétrico Sk age
sobre Ck por permutação das coordenadas, então Ck/Sk é homeo-
morfo a Ck.
Corolário V.5.3. Nas mesmas hipóteses e notações do Teorema
V.5.2, suponhamos ainda que o germe de X em 0 é irredut́ıvel.
Então:
a) F∗,0 : O0(Ck) → O0(X) (Definição V.1.2) é injetor;
b) sejam B = F∗,0(O0(Ck)), A = O0(X) e sejam L,K os corpos
de frações de B,A respectivamente (Proposição IV.3.2(c)).
Então K/L é uma extensão algébrica finita de grau [K : L] ≤
m;
c) A é inteiro sobre B (Apêndice I, 3.1).
Prova. A parte (a) decorre do Teorema V.5.2(a).
Para provar (b) basta provar que todo elemento de A satisfaz
uma equação não trivial com coeficientes em L de grau ≤ m, como
mostra uma simples aplicação do teorema do elemento primitivo.
Seja f ∈ A e seja f : W → C anaĺıtica, W vizinhança aberta de
0 em X, que representa f .
Sejam U vizinhança aberta de 0 em X e ∆ polidisco de cen-
tro 0 em Ck que satisfazem as condições (a), (b), (c) do Teorema
V.5.2. Podemos supor W ⊂ U . Podemos mesmo supor, pelo Lema
V.5.1(c), que W = (F |U)−1(W ′) onde W ′ ⊂ ∆ é uma vizinhança
aberta de 0. Então, W ′ = F (W ).
Seja W ′0 = W
′ − T (T do Teorema V.5.2). Para cada w ∈ W ′0
definimos:
aj(w) = (−1)jσj(f(z1), . . . , f(zm)), 1 ≤ j ≤ m
onde σj é o j-ésimo polinômio simétrico elementar e
{z1, . . . , zm} = F−1(w) ∩ U ⊂ W.
Como o valor de σj independe da ordem dos z1, . . . , zm ficam bem
definidas as funções aj : W
′
0 → C (1 ≤ j ≤ m).
160 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Vamos provar que elas são anaĺıticas. Seja w0 ∈ W ′0. Como,
pelo Teorema V.5.2, F : U − F−1(T ) → ∆ − T é um recobrimento
de ordem m, existem ϕ1, . . . , ϕm, funções anaĺıticas na vizinhança
de w0 tais que
(F |U)−1(w) = U ∩ F−1(w) = {ϕ1(w), . . . , ϕm(w)}
para todo w vizinho de w0 (Observação I.6.1). Logo,
aj(w) = (−1)jσj(f(ϕ1(w)), . . . , f(ϕm(w))),
o que prova que aj é anaĺıtica na vizinhança de w0.
Como F : U → ∆ é própria, as aj são locamente limitadas em
W ′. Logo, elas estendem-se de maneira única a funções anaĺıticas
em W ′, que notaremos ainda aj.
Seja u ∈ W − F−1(T ) e seja v = F (u) ∈W ′0. Seja:
F−1(v) = {u = z1, . . . , zm}.
Então, pela definição das aj, as m ráızes da equação:
Xm + a1(v)X
m−1 + · · · + am(v) = 0
são f(z1), . . . , f(zm). Em particular,
f(u)m + a1(v)f(u)
m−1 + · · · + am(v) = 0.
Logo,
f(u)m + (a01F )(u)f(u)
m−1 + · · · + (a0mF )(u) = 0,
para todo u ∈ W − F−1(T ). Como W − F−1(T ) é denso em W ,
esta identidade é válida em W .
Seja αj ∈ O0(Ck) o germe de aj em 0. Então:
fm + F∗(α1)f
m−1 + · · · + F∗(αm) = 0.
Por definição, F∗(αj) ∈ B (1 ≤ j ≤ m).
Isto completa a prova de (b). Também pelo 3.1 do Apêndice I,
fica provado (c).
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO 161
Teorema V.5.4. Mesmas hipóteses e notações que Teorema V.5.2
e Corolário V.5.3. Então, [K : L] = m.
Prova. Basta provar que existe g ∈ A cuja equação minimal sobre
L é de grau ≥ m.
Sejam U vizinhança de 0 em X e ∆ polidisco de centro 0 em Ck
que verificam (a), (b), (c) do Teorema V.5.2.
Seja {wq}q=1,2,... uma seqüência de pontos de Ck tal que wq → 0
e F−1(wq) ∩ U tem cardinal m para todo q (Teorema V.5.2(b) e
(c)).
Seja E ∼= Cn o dual de Cn. Seja Eq ⊂ E o conjunto das funções
lineares λ : Cn → C tais que λ|(F−1(wq)∩U) é injetora. Pelo Lema
V.5.5 em baixo, Eq é aberto e denso em E. Pelo teorema de Baire,
existe g ∈ ∩{Eq : q = 1, 2, 2 . . . }.
Seja g ∈ O0(X) = A o germe em 0 de g|X.
Seja
gr + β1g
r−1 + · · · + βr = 0 (r ≥ 1)
a equação minimal de g sobre L.
Vamos mostrar que r ≥ m, o que acabará a prova.
Pelo Apêndice I, 3.9 e os Teoremas III.3.2 e III.3.3, B é integral-
mente fechado. Então, βj ∈ B (1 ≤ j ≤ r) pelo Corolário V.5.3(c)
e o Apêndice I, 3.7. Logo, existem funções anaĺıticas bj : W
′ → C
(W ′ ⊂ ∆ vizinhança aberta de 0 em Ck) tais que βj = F∗(bj), onde
bj ∈ O0(Ck) é o germe de bj. Seja W = (F |U)−1(W ′). Então, pelo
Lema V.5.1(c), podemos tomar W ′ bastante pequeno para que:
g(z)r + (b01F )(z)g(z)
r−1 + · · · + (b0rF )(z) = 0
para todo z ∈ W . Decorre dáı que, para todo w ∈ W ′ e para todo
z ∈ (F |U)−1(w) ⊂ W temos:
g(z)r + b1(w)g(z)
r−1 + · · · + br(w) = 0.
Tomando w = wq, para um q bastante grande para que wq ∈ W ′
temos que a equação
Xr + b1(wq)X
r−1 + · · · + br(wq) = 0
162 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
possui m ráızes distintas: os m valores distintos de g sobre
(F |U)−1(wq); o que é imposśıvel se r < m.
Definição V.5.1. Nas hipóteses e notações do Teorema V.5.2 e
Corolário V.5.3, definimos o grau local de F em 0 como o inteiro
≥ 1:
gr0(F ) = [K : L]
Lema V.5.5. Seja S ⊂ Cn um conjunto finito. Seja E o dual de
Cn e seja ES ⊂ E o conjunto das funções lineares λ : Cn → C tais
que λ|S é injetora. Então, ES é aberto e denso em E.
Prova. Sejam p, q ∈ S, p 6= q. Então, o conjunto Ep,q ⊂ E das
funções lineares λ : Cn → C tais que λ(p) 6= λ(q) é o complementar
de um subespaço linear próprio. Logo, Ep,q é aberto e denso em E.
Logo,
ES = ∩{Ep,q : p, q ∈ S, p 6= q}
é aberto e denso em E.
Observação V.5.2. O grau local depende só dos valores de F na
vizinhança de 0. Pelos resultados precedentes, podemos interpretar
o grau local da maneira seguinte. Consideramos, para cada w ∈ Ck
perto de 0 a equação F (z) = w. Quando w → 0 esta equação tem
”genericamente” (isto é, fora de um subconjunto anaĺıtico próprio)
m = grau0 F ráızes distintas que tendem a 0. Para w arbitrário,
quando w → 0, a equação tem pelo menos uma e no máximo m
ráızes que tendem a 0. O Teorema V.5.6 vai completar estes resul-
tados.
Exemplo V.5.4. A aplicação P do Exemplo III.5.1 tem grau local
4 em 0. A aplicação F do Exemplo V.5.3 tem grau local k! em 0.
Definição V.5.2. Nas hipóteses e notações do Teorema V.5.2, de-
finimos o grau local de F em 0 como o inteiro ≥ 1:
gr0(F ) = gr0(F |X1) + · · · + gr0(F |Xr)
onde X1, . . . , Xr são representantes anaĺıticos das componentes ir-
redut́ıveis do germe de X em 0 (vide Definição V.5.1).
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO163
É claro que o grau local de F em 0 está bem definido (Ob-
servação V.5.2).
Teorema V.5.6. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de dimensão
pura k. Seja F : X → Ck uma aplicação anaĺıtica. Suponhamos que
0 ∈ X, F (0) = 0 e 0 é ponto isolado de F−1(0). Seja m = gr0(F ).
Sejam W1,W2 vizinhanças de 0 em X e de 0 em Ck respectivamente.
Então existem: uma vizinhança aberta U ⊂ W1 de 0 em X e
um polidisco ∆ ⊂ W2 de centro 0 em Ck, tais que:
a) F (U) = ∆, F−1(0)∩U = {0} e F : U → ∆ é aberta e própria;
b) existe um subconjunto anaĺıtico próprio T de ∆ tal que todo
ponto de U − F−1(T ) é regular em X e que:
F : U − F−1(T ) → ∆ − T
é um recobrimento anaĺıtico de ordem m;
c) para todo w ∈ ∆ vale:
Σ
z ∈ F−1(w)∩ U
grz(F ) = m.
Prova. Sejam X1, . . . , Xr representantes anaĺıticos das componen-
tes irredut́ıveis do germe de X em 0. Aplicando os resultados an-
teriores a cada F |Xj e tomando um polidisco P ⊂ W2 bastante
pequeno de centro 0 em Ck, teremos que existe vizinhança aberta
Uj ⊂ W1 de 0 em Xj tal que F (Uj) = P , F−1(0) ∩ Uj = {0}
e F : Uj → P é aberta e própria, e que existe um subconjunto
anaĺıtico próprio Tj de P tal que cada ponto de Uj − F−1(Tj) é
regular em Xj e
F : Uj − F−1(Tj) → P − Tj
é um recobrimento anaĺıtico de ordemmj = gr0(F |Xj) (j = 1, . . . , r).
Como cada Uj é uma vizinhança de 0 em Xj, a união
⋃
j
Uj é
uma vizinhança de 0 em X. Seja V uma vizinhança aberta de 0 em
164 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
X tal que V ⊂ ⋃
j
Uj. Seja W = F (V ) ⊂ P . Como
W = F (V ) =
⋃
j
F (Uj ∩ V ) =
⋃
j
(F |Uj)(Uj ∩ V )
temos que W é aberto, porque cada F |Uj é aberta.
Seja ∆ ⊂ W um polidisco de centro 0 bastante pequeno para
que
(F |Uj)−1(∆) ⊂ Uj ∩ V, 1 ≤ j ≤ r
(Lema V.4.3). Seja U = F−1(∆) ∩ V .
Então U,∆ satisfazem a condição (a) do teorema.
Para cada j seja Yj = Uj ∩
(
⋃
j 6=i
Xi
)
. Se os Uj foram escolhidos
bastante pequenos, cada Yj é um subconjunto anaĺıtico de Uj e
dim(Yj) ≤ k − 1. Logo, pelo Teorema V.4.1, F (Yj) = (F |Uj)(Yj)
é um subconjunto anaĺıtico de P de dimensão ≤ k − 1. Decorre
dáı que Z = ∆ ∩
(
⋃
j
F (Yj)
)
é um subconjunto anaĺıtico de ∆ e
dim(Z) ≤ k − 1.
Seja T = Z∪
(
⋃
j
(Tj ∩ ∆)
)
. Então T é um subconjunto anaĺıtico
próprio de ∆.
Com esta definição de T , a propriedade (b) do teorema é satis-
feita porque:
U − F−1(T ) =
⋃
j
((F |Uj)−1(∆) − F−1(T ))
=
⋃
j
(F |(Uj − F−1(Tj)))−1(∆ − T )
e os termos desta união são disjuntos dois a dois e abertos em
U − F−1(T ).
Vamos verificar a parte (c). Seja w ∈ ∆. Como F |U é própria,
F−1(w)∩U é um conjunto finito (Corolário V.2.2). Em particular,
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO 165
cada z ∈ F−1(w)∩U é isolado em F−1(w). Logo, grz(F ) está bem
definido e a somatória da parte (c) é finita. Seja
U ∩ F−1(w) = {z1, . . . , zq}.
Seja pj = grzj(F ). Pelas partes (a) e (b), já provadas, aplicadas
a cada ponto zj (em lugar de 0), sabemos que existem vizinhanças
abertas Uj ⊂ U de cada zj em X e vizinhanças abertas Wj ⊂ ∆ de
w em Ck tais que F (Uj) = Wj e que F−1(v) ∩ Uj tem cardinal pj
para todo v de um aberto denso de Wj.
Tomamos os Uj disjuntos dois a dois.
Pelo Lema V.4.3 existe uma vizinhança aberta W ⊂
q
⋂
j=1
Wj de
w em Ck tal que
F−1(W ) ∩ U ⊂
q
⋃
j=1
Uj.
Então, existe um aberto denso W̃ em W tal que:
card(F−1(v) ∩ U) =
q
∑
j=1
card(F−1(v) ∩ Uj) =
q
∑
j=1
pj (*)
para todo v ∈ W̃ .
Como W̃ é aberto e não vazio, W̃ ∩ (∆ − T ) é não vazio. Seja
v ∈ W̃ ∩ (∆ − T ). Então m = card(F−1(v) ∩ U). Decorre dáı e de
(*) que
q
∑
j=1
pj = m, o que prova a parte (c).
Fica completa, assim, a prova do Teorema V.5.6.
Definição V.5.3. Sejam X,Y conjuntos anaĺıticos. Seja F : X →
Y anaĺıtica e seja x ∈ X. Dizemos que F é de tipo finito em x se
x é ponto isolado em F−1(F (x)).
No que precede estudamos a situação local. Vamos agora estu-
dar o seguinte caso global: X é um conjunto anaĺıtico não vazio
de dimensão pura k, V ⊂ Ck é um domı́nio e F : X → V é
166 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
uma aplicação anaĺıtica própria. Decorre do Teorema V.4.1 que
F (X) = V . Para todo y ∈ V , F−1(y) é um conjunto anaĺıtico
compacto. Logo, pelo Corolário V.2.2, F−1(y) é um conjunto finito
para todo y ∈ V . Em particular, para todo x ∈ X, F é de tipo
finito em x e está bem definido o grau local grxF de F em x. Nestas
condições temos:
Teorema V.5.7. A aplicação F é aberta e existem um inteiro m ≥
1 e um subconjunto fechado fino T de V (Definição II.1.1) tais que:
a) todo ponto de X − F−1(T ) é regular em X e
F : X − F−1(T ) → V − T
é um recobrimento anaĺıtico de ordem m;
b) para todo w ∈ V vale:
Σz∈F−1(w)grz(F ) = m;
c) X − F−1(T ) é denso em X.
Definição V.5.4. O número m é chamado de grau de F e notado
m = gr F .
Prova. F é aberta pelo Lema V.5.1.
Para cada x ∈ X existem vizinhança Ux de x em X, polidisco
∆y ⊂ V de centro y = F (x) e subconjunto anaĺıtico Ty de ∆y
que satisfazem as condições do Teorema V.5.6. Dado y ∈ V , como
F−1(y) é um conjunto finito, podemos supor que os Ux, para x ∈
F−1(y), são disjuntos dois a dois, e que os ∆y e Ty são os mesmos
para todos os x ∈ F−1(y) (tomando a intersecção dos polidiscos e a
reunião dos subconjuntos anaĺıticos). Como F é própria, existe um
polidisco Γy ⊂ ∆y, de centro y, tal que F−1(Γy) ⊂ ∪{Ux : F (x) =
y} (Lema V.4.3). Trocando ∆y por Γy e Ux por Ux∩F−1(Γy) vemos
que podemos supor também que F−1(∆y) = ∪{Ux : F (x) = y}.
Seja ∆′y um outro polidisco de centro y tal que ∆
′
y ⊂ ∆y. Então
Ty ∩ ∆′y é um subconjunto fino de V (Definição II.1.1).
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO 167
Consideremos o cobrimento {∆′y : y ∈ V } de V . Seja {Wi : i ∈
I} um refinamento localmente finito. Para cada i ∈ I escolhemos
∆′yi tal que Wi ⊂ ∆′yi e seja Ti = Tyi ⊂ Wi. Então Ti é um
subconjunto fino de V e, portanto, T = ∪{Ti : i ∈ I}∩V é também
um subconjunto fino de V , pela Proposição II.1.1 e porque a famı́lia
{Ti : i ∈ I} é localmente finita.
Seja w ∈ V − T . Então existe y ∈ V tal que w ∈ ∆y − Ty.
Decorre dáı que, para todo z ∈ F−1(w), z é regular em X e dF (z)
é bijetora, porque F−1(w) ⊂ ∪{Ux : F (x) = y} e pela condição
(b) do Teorema V.5.6. Como V − T é conexo pelo Corolário II.1.4,
temos que:
F : X − F−1(T ) → V − T
é um recobrimento anaĺıtico finito (Teorema I.6.1). Seja m a sua
ordem.
Seja w ∈ V . Seja F−1(w) = {z1, . . . , zr}. Para todo
y ∈ ∆w −Tw temos que F−1(y) é reunião disjunta dos F−1(y)∩Uzj
e que o cardinal de F−1(y) ∩ Uzj é grzj(F ), pela condição (b) do
Teorema V.5.6. Como V − T é denso em V (Proposição II.1.1),
podemos tomar y ∈ V − T e y ∈ ∆w − Tw. Então,
m = card F−1(y) =
r
∑
j=1
card(F−1(y) ∩ Uzj) =
r
∑
j=1
grzj(F ).
c) decorre do fato que F é aberta e da Proposição II.1.1.
Teorema V.5.8. Seja f : X → C anaĺıtica. Para y ∈ V seja
F−1(y) = {x1, . . . , xr}. Consideramos o polinômio em L:
Pf (y, L) = (L− f(x1))k1 . . . (L− f(xr))kr , y ∈ V,
Onde kj = grxj(F ), (1 ≤ j ≤ r.
Os coeficientes de Pf (y, L) são funções anaĺıticas de y em V e
seu grau é o grau de F .
Prova. A última afirmação é o Teorema V.5.7b). Como Pf (y, L)
não depende da ordem dos fatores é claro que os seus coeficientes
são funções bem definidas de y em V .
168 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Seja:
Pf (y, L) = L
m + a1(y)L
m−1 + · · · + am(y), y ∈ V
onde
m = k1 + · · · + kr (Teorema V.5.7).
Para cada y0 ∈ V − T (vide Teorema V.5.7) existem uma vizi-
nhança aberta W ⊂ V −T de y0 e m funções anaĺıticas ϕj : W0 → C
(1 ≤ j ≤ m} tais que:
F−1(y) = {ϕ1(y), . . . , ϕm(y)}, y ∈ W0
(Teorema V.5.7a) e Observação I.6.1). Então,
Pf (y, L) = (L− f(ϕ1(y))) . . . (L− f(ϕm(y))), y ∈ Wo.
Logo, aj|W0 é anaĺıtica (1 ≤ j ≤ m). Então, aj|(V − T ) é anaĺıtica
para todo j = 1, . . . ,m.
Como F é própria, as aj são localmente limitadas em V . Decorre
dáı que aj|(V − T ) estende-se a uma função anaĺıtica ãj : V → C
(1 ≤ j ≤ m)(Teorema II.1.2).
Resta só mostrar que ãj(y) = aj(y) para todo y ∈ T e j =
1, . . . ,m. Como ãj é cont́ınua bastará provar que:
lim
z∈V −T,z→y
aj(z) = aj(y). (*)
Seja F−1(y) = {x1, . . . , xr}. Como grxF = 1 se F (x) /∈ T ,
decorre do Teorema V.5.6c) que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal
que se z ∈ V − T e ‖z − y‖ < δ então existem
xj1, . . . , x
j
kj
∈ ∆(xj; ε, . . . , ε), 1 ≤ j ≤ r,
todos distintos, tais que F (xji ) = z para todo i e todo j (onde
kj = grxjF ). Tomemos ε bastante pequeno para que os polidiscos
∆(xj; ε, . . . , ε) sejam disjuntos dois a dois. Como k1 + · · ·+kr = m,
temos que:
F−1(z) = {x11, . . . , x1k1 ;x21, . . . , x2k2 ; . . . ;xr1, . . . , xrkr}
[SEC. V.5: APLICAÇÕES ANAĹITICAS DE TIPO FINITO 169
se z ∈ V − T e ‖z − y‖ < δ (Teorema V.5.7). Em conseqüência, os
coeficientes de
Pf (z, L) = (L−f(x11))·· · ··(L−f(x1k1)·· · ··(L−f(xr1))·· · ··(L−f(xrkr))
tendem para os coeficientes de:
Pf (y, L) = (L− f(x1))k1 · · · · · (L− f(xr))kr
quando ε→ 0. isto prova (*) e completa a prova do Teorema V.5.8.
Definição V.5.5. O polinômio Pf (y, L) é chamado de polinômio
caracteŕıstico de f .
Proposição V.5.9. Pf (F (x), f(x)) = 0 para todo x ∈ X.
Prova. Imediato pela construção de Pf .
Exerćıcio V.5.1. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de di-
mensão pura k. Seja F : X → Ck anaĺıtica e suponhamos que 0 ∈
X, F (0) = 0 e que 0 é ponto isolado de F−1(0). Então gr0(F ) = 1
se e somente se F é um isomorfismo local em 0 (Definição V.1.3).
Exerćıcio V.5.2. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn e seja
F : X → Ck anaĺıtica. Suponhamos que F−1(w) é um subconjunto
discreto de X para todo w ∈ Ck. Então dimX ≤ k.
170 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Exerćıcio V.5.3. Seja U ⊂ Ck, seja F : U → Ck anaĺıtica.
a) Suponhamos satisfeitas as duas condições:
i) F−1(w) é um subconjunto discreto de U para todo w ∈
Ck;
ii) existe um aberto W ⊂ U , W denso em U , tal que F |W
é injetora.
Então F é injetora, V − F (U) é aberto e F−1 : V → U é
anaĺıtica (vide Exerćıcio III.5.3).
b) Dar um contraexemplo a parte (a) quando (i) não é satisfeita.
Exerćıcio V.5.4. Seja X o subconjunto anaĺıtico de C4 definido
pelas equações:
(1) (2z3−z1)2−z32 = 0; (2) z2z4+(2z3−z1)z3 = 0; (3) z2z23−z24 = 0
a) O germe de (1) em 0 é irredut́ıvel. Decorre dáı que cada compo-
nente irredut́ıvel em 0 do conjunto Z definido pelas equações (1) e
(2) tem dimensão 2.
b) Seja H o hiperplano z2 = 0. Cada componente irredut́ıvel de Z
em 0 não contida no germe de H em 0 está contida no germe de X
em 0.
c) Todo ponto de X ∩H é limite de uma seqüência de pontos de Z
que não pertencem a H.
d) Resulta de (b) e (c) que o germe de X em 0 é a reunião das
componentes irredut́ıveis de Z em 0 não contidas no germe de H
em 0.
e) Consideremos F : X → C2, F (z1, z2, z3, z4) = (z1, z2). Então
F−1(0) = {0} e gr0(F ) = 2.
f)X é irredut́ıvel em 0. (Indicação: raciocinar por absurdo e aplicar
Exerćıcio V.5.1).
[SEC. V.6: MULTIPLICIDADES 171
Exerćıcio V.5.5. Todo subconjunto anaĺıtico de um aberto de
U ⊂ Cn que seja uma subvariedade diferenciável é uma subvarie-
dade anaĺıtica complexa.
Exerćıcio V.5.6. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de di-
mensão pura k, seja Y um subconjunto anaĺıtico deX com dimY <
k que contém todos os pontos singulares de X e seja f : X−Y → C
anaĺıtica e limitada. a) Se X é irredut́ıvel em cada um de seus
pontos, então f possui uma extensão cont́ınua a X. b) A con-
clusão da parte (a) é falsa, em geral, se X não é irredut́ıvel em cada
um dos seus pontos.
V.6 Multiplicidades
Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de dimensão pura k. Seja
x ∈ X. Seja F : X → Ck, F (x) = 0, uma aplicação anaĺıtica
de tipo finito em x. Podemos pensar o inteiro m = grxF como
uma ”multiplicidade de interseção”em x de X com o conjunto Y
de zeros de F . Com efeito, para um y ∈ Ck ”genérico”perto de 0,
F−1(y) é uma variedade anaĺıtica complexa na vizinhança de x em
Cn que corta X em m pontos distintos. Pode-se dizer que, por uma
pequena deformação de Y , o ponto x ∈ X ∩Y deu nascimento a m
pontos de intersecção que não podem se desenvolver, por sua vez,
em mais pontos de intersecção.
Definição V.6.1. seja X um conjunto anaĺıtico de dimensão pura
k. A multiplicidade de X em x ∈ X é o mı́nimo dos graus grxF
para todas as F : U → Ck anaĺıticas em uma vizinhança aberta
U de x em X e do tipo finito em x. A multipliciade de X em x é
notada mx(X). Como, evidentemente, mx(X) depende só do germe
de X em x, fica também definida a multiplicidade m(γ) de γ, onde
γ é um germe anaĺıtico em x ∈ Cn de dimensão pura k.
Observemos que sempre existe alguma F com as propriedades
acima. Com efeito, temos:
172 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Lema V.6.1. seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de dimensão ≤
k e suponhamos 0 ∈ X. Então existe L : Cn → Ck linear sobrejetora
tal que L|X é do tipo finito em 0.
Prova. Se k = 0 o lema é trivial. Supomos, então, k > 0 e pro-
cedemos por indução em n. Se n = 0 nada temos que provar.
Seja n > 0 e suponhamos o lema verdadeiro para conjuntos
anaĺıticos em Cn−1. Seja H um hiperplano de Cn pela origem que
não contém nenhuma componente irredut́ıvel de X em 0. A exis-
tência de um tal hiperplano é obtida aplicando a X o Teorema
IV.3.5 no ponto a = 0, tomando um ponto ui 6= 0 em cada Ti e
tomando como H um hiperplano que não contém nenhum dos ui.
Seja g : Cn → C linear tal que ker g = H.
Na vizinhança de 0, o conjunto X ∩ H é de dimensão ≤ k −
1 (Teorema IV.2.4). Como H ∼= Cn−1, existe, pela hipótese de
recorrência, uma aplicação linear f : H → Ck−1 sobrejetora tal que
f |(X ∩H) é de tipo finito em 0.
Seja p : Cn → H uma projeção linear. Definimos L : Cn → Ck
por:
L(u) = (f(p(u)), g(u)) ∈ Ck−1 × C = Ck.
Então kerL = ker f . Decorre dáı que L é sobrejetora e L|X é
de tipo finito em 0.
Decorre imediatamente da definição a seguinte:
Proposição V.6.2. Se γ e δ são germes anaĺıticos isomorfos,
então m(γ) = m(δ).
Exemplo V.6.1. Suponhamos x ponto regular de X. Então, se U
é uma vizinhança de x em X e F : U → Ck é anaĺıtica e ker dF (x) =
0, então F é de tipo finito em x e grxF = 1 (Teorema I.3.1). Decorre
dáı quemx(X) = 1. Naturalmente, existem outras aplicações F tais
que grxF > 1, mesmo se x é regular. Por exemplo, se x = 0 ∈ C2 e
X ⊂ C2 é definido por z21 + z2 = 0, então temos que grxF = 2 para
F (z1, z2) = z2.
Reciprocamente, se mx(X) = 1 então x é regular em X (Exer-
ćıcio V.5.1).
[SEC. V.6: MULTIPLICIDADES 173
Exemplo V.6.2. SejaX ⊂ C2 definido por z21−z32 = 0. Seja x = 0.
Como x é singular, decorre do exemplo anterior que mx(X) > 1.
Por outro lado, F (z1, z2) = z2 é de tipo finito em x e grxF = 2.
Logo, mx(X) = 2. Vide também o conjunto X do Exerćıcio V.5.4.
A partir de agora suporemos dado um conjunto anaĺıtico X em
Cn de dimensão pura k e suporemos que x = 0 ∈ X.
Seja S o conjunto de todas as aplicações lineares Cn → Ck sobre-
jetoras. O conjunto S identifica-se a um subconjunto do conjunto
de todas as matrizes k × n. Logo, S ⊂ Ckn, e podemos considerar
S como espaço topológico. Nosso objetivo é provar que existe um
aberto denso U em S tal que para toda L ∈ U , temos que L|X é
de tipo finito em 0 e gr0(L|X) = m0(X). Quer dizer que a multi-
plicidade de X em 0 é a ”multiplicidade de interseção”em 0 de X
com um sub-espaço vetorial ”genérico”de Cn de dimensão n− k (o
núcleo de L).
Mas vejamos primeiro como se comporta o grau local baixo
aproximações.
Proposição V.6.3. Seja F : X → Ck anaĺıtica, F (0) = 0 e F de
tipo finito em 0. Sejam Gm : X → Ck (m = 1, 2, 3, . . . ) anaĺıticas,
Gm(0) = 0. Suponhamos que Gm → F uniformemente em X.
Então existem um número natural N e uma vizinhança V aberta e
conexa de 0 em Ck tais que:
a) para todo m > N existe uma vizinhança aberta Um de 0 em X
tal que Gm|Um : Um → V e é própria;
b) Gm é de tipo finito em 0 e gr0Gm ≤ gr0F para todo m > N .
Prova. Para F podemos conseguirU e ∆ que satisfazem as condi-
ções do Teorema V.5.6 e U ⊂ X. SejaK = F (∂U). Tomando, even-
tualmente, U menor, podemos supor que 0 /∈ K. Pela convergência
uniforme, existem um número natural N e uma vizinhança, aberta
e conexa, V de 0 em Ck tais que
V ⊂ ∆ e V ∩Gm(∂U) = ∅ se m > N.
Então (a) decorre do Lema I.8.1. Temos, também, Um ⊂ U .
174 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
A primeira afirmação de (b) decorre de (a) e do Corolário V.2.2.
Sejam: q = gr0F , qm = gr0Gm. Se a segunda afirmação de (b)
é falsa, podemos supor, passando a subseqüência, que qm > q para
todo m. Então, pelo Teorema V.5.7, temos que para cada m > N
existe um aberto denso Λm em V tal que:
card(G−1m (y) ∩ Um) > q se y ∈ Λm.
Pelo teorema de Baire, existe w ∈ ⋂
m
Λm, w /∈ T , onde T é o
subconjunto de ∆ dado pelo Teorema V.5.6. Como Um ⊂ U temos
card(G−1m (w) ∩ U) > q se m > N. (*)
Além disso, pelo Teorema V.5.6,
F−1(w) ∩ U = {z1, . . . , zq}
e existe uma vizinhança aberta Vw ⊂ V de w tal que
F−1(Vw) ∩ U = U1 ∪ · · · ∪ Uq, Ui ∩ Uj = ∅ se i 6= j,
cada Uj é uma vizinhança aberta de zj e F : Uj → Vw é bijetora.
Tomando Vw bastante pequena, podemos supor que U j ⊂ Ũj onde
Ũj é o domı́nio de uma carta local de X−F−1(T ) e F |Ũj é injetora
(Lema V.4.3).
Pelo Lema V.6.4 em baixo, aplicado a cada Ũj, temos que Gm|Uj
é injetora para todo m > N e 1 ≤ j ≤ q.
Por outro lado, como F (U −⋃
j
Uj)∩Vw = ∅ temos que Gm(U −
⋃
j
Uj) 6∋ w para m > N , pela convergência uniforme. Logo,
G−1m (w) ∩ U ⊂
⋃
j
Uj se m > N.
Decorre dáı e do fato que Gm|Uj é injetora, que
card(G−1m (w) ∩ U) ≤ q se m > N,
o que contradiz (*). Isto completa a prova da Proposição V.6.3.
[SEC. V.6: MULTIPLICIDADES 175
Lema V.6.4. Seja U ⊂ Ck um aberto e seja F : U → Ck anaĺıtica
e injetora. Seja Gm : U → Ck anaĺıticas (m = 1, 2, 3, . . . ). Su-
ponhamos que Gm → F uniformemente em U . Seja V um outro
aberto tal que V ⊂ U e V é compacto. Então existe um número
natural N tal que Gm|V é injetora para todo m > N .
Prova. Vamos primeiro provar que Gm é injetora na vizinhança de
cada ponto de V para m bastante grande.
Seja W um aberto tal que W é compacto e V ⊂ W ⊂ W ⊂ U .
Sejam Lm = dGm e L = dF . Então (Teorema I.2.5) Lm → L
uniformente em W . Como F é injetora, L(x) é injetora para todo
x ∈ U (Exerćıcio III.5.3). Logo, existe ε > 0 tal que ‖L(x)(u)‖ > ε
se x ∈ W e ‖u‖ = 1. Decorre dáı que existe um inteiro positivo N
tal que
‖Lm(x)(u)‖ >
ε
2
se x ∈W, ‖u‖ = 1 e m > N.
Seja, por outro lado,
Gm(z) −Gm(y) = Lm(y)(z − y) +Rm(y, z)
F (z) − F (y) = L(y)(z − y) +R(y, z), y, z ∈ U.
Como
‖Lm(y)(z − y) − L(y)(z − y)‖ ≤ ‖Lm(y) − L(y)‖ · ‖z − y‖
e como W é limitado, temos que
Lm(y)(z − y) → L(y)(z − y)
uniformemente em W ×W . Decorre dáı que Rm → R uniforme-
mente em W ×W .
Seja x ∈ V . Seja Bx uma bola de centro x tal que Bx ⊂
W . Como dR(x, x) = 0 (pode-se, por exemplo, calcular todas as
derivadas parciais de cada componente de R e constatar que são
nulas se y = z), podemos tomar Bx bastante pequenas para que
‖dR(y, z)‖ < ε
4
se y, z ∈ Bx.
176 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Pela convergência uniforme, ‖dRm(y, z)‖ < ε3 se y, z ∈ Bx para
m > N(x) > N , porque dRm → dR uniformemente em Bx × Bx
(Teorema I.2.5). Decorre dáı, pela desigualdade do valor médio
apalicada à função diferenciável real, Rm : U × U → R2k, que:
‖Rm(y, z)‖ = ‖Rm(y, z) −Rm(z, z)‖
≤ ε
3
‖y − z‖ se y, z ∈ Bx e m > N(x).
Então, se y 6= z, y, z ∈ Bx e m > N(x), temos:
‖Gm(z) −Gm(y)‖ ≥ ‖Lm(y)
(
y − z
‖y − z‖
)
‖ ‖y − z‖ − ‖Rm(y, z)‖
>
ε
2
‖y − z‖ − ε
3
‖y − z‖ > 0.
Em definitivo, acabamos de provar que para cada x ∈ V existe uma
bola Bx ⊂ U de centro x e um inteiro positivo N(x) tal que Gm|Bx
é injetora se m > N(x).
Suponhamos agora que o Lema V.6.4 não seja verdadeiro. Pas-
sando a uma subseqüência, podemos supor que Gm|V não é in-
jetora para nenhum m. Sejam am, bm ∈ V , am 6= bm tais que
Gm(am) = Gm(bm). Passando à subseqüência, podemos supor
que am → x ∈ V e bm → y ∈ V . Então Gm(am) → F (x) e
Gm(bm) → F (y) pela convergência uniforme. Logo, F (x) = F (y).
Então, y = x. Seja m > N(x) tal que am, bm ∈ Bx. Teŕıamos que
Gm|Bx não é Injetora, o que é uma contradição.
Definição V.6.2. Em Cn uma reta complexa S por 0 (i.e., um
subespaço de dim 1), é chamada de tangente a X em 0 se existe uma
seqüência {xn} ⊂ X − {0} tal que xn → 0, existe u = limxn/‖xn‖
e u ∈ S.
Definição V.6.3. Uma aplicação linear L : Cn → Ck sobrejetora
é chamada de transversa a X em 0 se o núcleo de L não contém
nenhuma reta tangente a X em 0.
Exemplo V.6.3. Se 0 é regular em X as aplicações lineares L
transversas a X em 0 são aquelas tais que d(L|X)(0) é injetora, ou
seja, kerL tem intersecção nula com o espaço tangente a X em 0.
[SEC. V.6: MULTIPLICIDADES 177
Exemplo V.6.4. A única tangente em 0 ao conjunto X ⊂ C2
definido por z21 + z
3
2 = 0 é a reta z1 = 0. Com efeito, se xn =
(an, bn) → 0, xn ∈ X, xn 6= 0, temos (an/bn)2 = −bn. Logo,
an/bn → 0. Decorre dáı que se xn/‖xn‖ → u, então u = (0, u2).
Neste exemplo L(z1, z2) = z2 é transversa e X em 0.
Exemplo V.6.5. Seja X = Y ∪Z, onde Y, Z são conjuntos anaĺıti-
cos em Cn e 0 ∈ Y ∩Z. Seja S uma reta por 0. Então S é tangente
a X em 0 se, e somente se S é tangente a Y ou a Z em 0.
Proposição V.6.5. Seja F : X → Ck anaĺıtica e tal que F (0) =
0. Suponhamos que existe um aberto U em Cn e uma aplicação
anaĺıtica H : U → Ck tais que X ⊂ U , H|X = F e L = dH(0) é
transversa a X em 0. Então:
a) F é de tipo finito em 0;
b) se Gm : U → Ck são aplicações anaĺıticas (m = 1, 2, 3, . . . )
tais que Gm(0) = 0 e Gm → H uniformemente em U , então
existe um número natural N tal que gr0F = gr0(Gm|X) se
m > N (vide Proposição V.6.3).
Prova. a) Se F não é de tipo finito em 0, existe {xn} ⊂ F−1(0) tal
que xn 6= 0 e xn → 0. Temos:
0 = F (xn) = H(xn) = Lxn +R(xn) e
R(xn)
‖xn‖
→ 0.
Logo,
L(xn/‖xn‖) = −R(xn)/‖xn‖ → 0.
Passando à subseqüência podemos supor que xn/‖xn‖ → u;
então, L(u) = 0. Decorre dáı que L não é transversa a X em 0, o
que contradiz a hipótese.
b) Vamos primeiro provar que existe uma vizinhança aberta U de
0 em X tal que G−1m (0) ∩ U = {0} para todo m bastante grande.
Se esta afirmação for falsa podemos supor, passando à sub-
seqüência, que existe {xm} ⊂ X−{0} tal que xm → 0, Gm, (xm) = 0
178 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
e xm/‖xm‖ → u. Em particular, S = Cu é reta tangente a X em 0.
Por hipótese, L|S 6= 0. Logo, existe uma componente, seja H1, de
H, tal que a derivada de H1|S, (S ∼= C), em 0 é não nula. Então,
existe ε > 0 tal que Bε ⊂ U e H1|(Bε ∩ S) é injetora, onde Bε é
a bola de centro 0 e raio ε em Cn. Decorre dáı e do prinćıpio do
argumento que o ı́ndice da curva H1(∂Bε ∩ S) em 0 é 1.
Seja Sm = Cxm. Então, pela convergência uniforme, a curva
G1m(∂Bε ∩ Sm) converge uniformemente a H1(∂Bε ∩ S), onde G1m
é a primeira componente de Gm. Logo, o ı́ndice de G
1
m(∂Bε ∩ Sm)
em 0 é 1 para todo m bastante grande. Decorre dáı, pelo prinćıpio
do argumento, que o único zero de G1m|(Bε ∩ Sm) é 0 para todo m
bastante grande. Porém, ‖xm‖ < ε a partir de um m em diante.
Para um tal m, temos xm ∈ Bε ∩ Sm, xm 6= 0 e G1m(xm) = 0,
contradição. Isto prova a afirmação do ińıcio.
Pelo Teorema V.5.6 e a Proposição V.6.3 e a convergência uni-
forme, existem vizinhanças abertas U,U1, U2, U3, . . . de 0 em X,
vizinhança aberta e conexa V de 0 em Ck e um número natural N
tais que:
a) F : U → V é própria e F−1(0) ∩ U = {0};
b) Um ⊂ U para todo m e Gm : Um → V é própria se m > N ;
c) G−1m (0) ∩ U = {0} se m > N .
Vamos demonstrar que
⋂
m
Um é uma vizinhança de 0 emX. Mais
precisamente, seja A uma vizinhança aberta e conexa de 0 em X
tal que A ⊂ U (Corolário IV.1.4). Vamos provar que Um ⊃ A para
todo m bastante grande.
Como F (A) ⊂ V temos que Gm(A) ⊂ V para todo m bastante
grande, pela convergência uniforme. Se Um 6⊃ A, existe x ∈ ∂Um ∩
A. Seja {aj} ⊂ Um, aj → x.Então, Gm(aj) → Gm(x) ∈ V . Então
{aj} é uma seqüência de pontos de Um tal que {Gm(aj)}j=1,2,3,...
converge em V mas {aj} não possui subseqüência convergente em
Um. Isto contradiz o fato de que Gm : Um → V é própria, quando
m é bastante grande.
[SEC. V.6: MULTIPLICIDADES 179
Pelo que precede, existe vizinhança aberta W de 0 em X tal
que W ⊂ Um para todo m. Apliquemos o Teorema V.5.7 a cada
Gm : Um → V , m > N . Como G−1m (0) ∩ Um = {0}, temos que
gr0(Gm|X) é o máximo do cardinal deG−1m (y)∩Um para y ∈ V . Pela
Proposição V.6.3b), o que devemos provar é gr0(Gm|X) ≥ gr0(F )
para todo m bastante grande. Seja q = gr0(F ). Vamos demonstrar
que existe y ∈ V tal que G−1m (y)∩W tem cardinal pelo menos q para
todo m bastante grande, o que completará a prova da proposição.
Pelo Lema V.5.1c) e o Teorema V.5.6 existe y ∈ V tal que
F−1(y) ⊂ W , e F−1(y) = {z1, . . . , zq} e existem vizinhanças abertas
W1, . . . ,Wq de z1, . . . , zq respectivamente, contidas em W , disjuntas
duas a duas e tais que F |Wj é aberta e injetora. Pelo Teorema
V.5.7 cada Gm|Wj é aberta para todo m bastante grande. Então,
aplicando o Lema V.6.6 embaixo com M = Wj, N = Ck, temos que
y ∈ Gm(Wj) para todo m bastante grande e j = 1, . . . , q. Então
G−1m (y) ∩W tem cardinal pelo menos q.
Lema V.6.6. Sejam M,N espaços métricos, M localmente com-
pacto e N localmente conexo. Sejam F,Gm : M → N aplicações
cont́ınuas e abertas, F injetora. Suponhamos que Gm → F uni-
formemente em M . Seja y ∈ F (M). Então y ∈ Gm(M) para todo
m bastante grande.
Prova. Seja x ∈ M tal que F (x) = y. Seja Bx uma bola rela-
tivamente compacta de centro x. Como F (Bx) é aberto, existe
vizinhança aberta e conexa Vy de y tal que V y ⊂ F (Bx). Como
F é injetora, V y e F (∂Bx) são compactos disjuntos em N . Pela
convergência uniforme, V y e Gm(∂Bx) são disjuntos para todo m
bastante grande. Se m é bastante grande, Gm(x) ∈ Vy.
Se y /∈ Gm(M) teŕıamos que y /∈ Gm(Bx). Como este último
conjunto é aberto e Vy é conexo, Vy∩∂(Gm(Bx)) não pode ser vazio.
Mas, como Gm é aberta e Bx compacto,
∂(Gm(Bx)) ⊂ Gm(∂Bx)
chegamos a uma contradição como o fato de V y e Gm(∂Bx) serem
disjuntos.
180 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Corolário V.6.7. Nas mesmas hipóteses da Proposição V.6.5,
gr0F = gr0(L|X).
Prova. Decorre da Proposição V.6.5 que tanto F como L|X são
de tipo finito em 0. Logo, os graus acima estão bem definidos.
Seja R = H − L. Então, dR(0) = 0. Sejam:
Ht = L+ tR, Ft = Ht|X, 0 ≤ t ≤ 1.
Como dHt(0) = L, temos que cada Ft satisfaz as hipóteses da
Proposição V.6.5. Então, fica bem definida a função
g : [0, 1] → Z+, g(t) = gr0Ft.
Por outro lado, é óbvio que podemos supor U compacto e H limi-
tada. Decorre dáı que R é limitada. Então, de tm → t decorre
Htm → Ht uniformemente em U . Então, pela Proposição V.6.5,
g(tm) → g(t). Logo, g é cont́ınua. Então, g é constante. Como
F0 = L e F1 = F , fica provado o corolário.
Chegamos agora ao objetivo proposto.
Teorema V.6.8. a) O conjunto das aplicações lineares Cn → Ck
transversas a X em 0 é um aberto conexo denso no conjunto de
todas as aplicações lineares sobrejetoras Cn → Ck.
b) Se L : Cn → Ck é uma aplicação linear transversa a X em 0,
então gr0L = m0(X).
Prova. A parte (a) é provada no Apêndice II (Teorema 2.4). Para
provar a parte (b) devemos provar que se F : X → Ck é anaĺıtica e
de tipo finito em 0 e L : Cn → Ck é linear e transversa a X em 0,
então gr0F ≥ gr0(L|X).
Podemos supor que existem um aberto relativamente compacto
U ⊂ Cn tal que X ⊂ U e uma aplicação anaĺıtica G : U → Ck tal
que G|X = F . Seja M = dG(0). Como o conjunto das aplicações
lineares sobrejetoras é denso no conjunto de todas as aplicações
[SEC. V.6: MULTIPLICIDADES 181
lineares, decorre de (a) que existe uma seqüência (Lm) de aplicações
lineares Cn → Ck transversas a X em 0 tal que Lm →M . Seja:
Gm = F + (Lm −M)|X = (G+ Lm −M)|X.
Como d(G + Lm −M)(0) = Lm, decorre do Corolário V.6.7 que
gr0Gm = gr0(Lm|X). Como U é compacto, Gm → F uniforme-
mente em X. Pela Proposição V.6.3, gr0Gm ≤ gr0F para todo m
bastante grande. Então gr0(Lm|X) ≤ gr0F para todo m bastante
grande.
Por outro lado, para cada m existe uma famı́lia cont́ınua
Lt : Cn → Ck (0 ≤ t ≤ 1) de aplicações lineares transversas a
X em 0 tal que L0 = Lm e L1 = L. Pela Proposição V.6.5
gr0(Lt|X) é uma função cont́ınua e, portanto, constante, de t. Logo,
gr0(Lm|X) = gr0(L|X). Decorre dáı que gr0(L|X) ≤ gr0F .
Exemplo V.6.6. Sejam γ1, . . . , γr as componentes irredut́ıveis de
um germe anaĺıtico γ de dimensão pura k. Então m(γ) = m(γ1) +
· · · +m(γr).
Com efeito, se γ é o germe de X em 0, e se L é uma aplicação
linear transversa a X em 0, então L é transversa aos representantes
de cada γj em 0. Logo, basta aplicar a Definição V.5.2 e o Teorema
V.6.8.
Exemplo V.6.7. Os germes em 0 ∈ C2 dos conjuntos de zeros de
z21 + z
2
2 e de z
2
1 + z
3
2 têm multiplicidade 2. Eles não são isomorfos
porque o primeiro é redut́ıvel e o segundo é irredut́ıvel.
Corolário V.6.9. Seja F : X → Ck anaĺıtica tal que existe um
aberto U em Cn e uma aplicação anaĺıtica G : U → Ck tais que
a) X ⊂ U ;
b) F = G|X;
c) dG(0) é transversa a X em 0. Então F é de tipo finito em 0
e gr0(F ) = m0(X).
182 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Prova. Decorre da Proposição V.6.5 e do Corolário V.6.7 e do
Teorema V.6.8b).
Exemplo V.6.8. Suponhamos k = n − 1 (hipersuperf́ıcie). pelo
Corolário IV.2.9 podemos supor X definido por uma única equação
não trivial f = 0. Podemos supor também que na decomposição
prima do germe de f em 0 todos os fatores primos que aparecem
têm expoente 1.
Nestas condições m0(X) é o mı́nimo dos graus dos monômios
com coeficiente não nulo no desenvolvimento de Taylor de f em 0.
Para provar esta afirmação podemos supor que o germe de f em
0 é irredut́ıvel.
Seja m esse mı́nimo grau e seja p o polinômio formado pelos
monômios de grau m da série de Taylor de f em 0. Aplicando a
Proposição III.2.1 a p temos que podemos supor que zmn aparece
com coeficiente não nulo na série. Pelo Teorema III.2.4 f = ug na
vizinhança de 0, onde u é anaĺıtica na vizinhança de 0 e u(0) 6= 0 e
g = zmn + a1(z1, . . . , zn−1)z
m−1
n + · · · + am(z1, . . . , zn−1)
onde as aj são anaĺıticas na vizinhança de 0 ∈ Cn−1 e aj(0) = 0.
(O fato que o grau de g como polinômio em zn é m decorre de
f(0, . . . , 0, zn) = u(0, . . . , 0, zn) · g(0, . . . , 0, zn).)
Seja P : Cn → Cn−1, P (z1, . . . , zn) = (z1, . . . , zn−1). Vamos
verificar que P é transversa a X em 0. Em caso contrário, existiria
{Z(k)} ⊂ X − {0} tal que:
Z(k) → 0 e lim Z
(k)
‖Z(k)‖ = (0, . . . , 0, u), |u| = 1.
Para k bastante grande, g(Z(k)) = 0. Então,
(
Z
(k)
n
‖Z(k)‖
)m
+
a1(Z
(k)
1 , . . . , Z
(k)
n−1)
‖Z(k)‖ ·
(
Z
(k)
n
‖Z(k)‖
)m−1
+ · · · + am(Z
(k)
1 , . . . , Z
(k)
n−1)
‖Z(k)‖m = 0 (*)
[SEC. V.6: MULTIPLICIDADES 183
Como u(0) 6= 0, todos os termos da série de Taylor de g têm grau
≥ m. Decorre dáı que podemos supor que os termos da série de
Taylor de aj são de grau ≥ j. Como Z
(k)
i
‖Z(k)‖ → 0 se 1 ≤ i ≤ n − 1,
temos que
aj(Z
(k)
1 , . . . , Z
(k)
n−1)
‖Z(k)‖j → 0 quando k → +∞.
Fazendo k → +∞ em (*), obtemos:
um = 0
o que é absurdo.
Finalmente temos, pelo Corolário V.6.9, que F = P |X é de tipo
finito em 0 e gr0(F ) = m0(X).
Observemos, por outro lado, que g é irredut́ıvel como polinômio
em zn (Lema III.3.1, Teorema III.3.2 e Apêndice I, 3.8 e 3.9).
Decorre imediatamente dáı que gr0(F ) = m, porque g = 0 também
define X (Teorema III.1.2). Logo, m0(X) = m.
Exerćıcio V.6.1. Consideremos o subconjunto anaĺıtico de C4 de-
finido pelas equações
(z1z4)
2 = z2z3, z1z3 = z2z4
Determinar as retas tangentes e as multiplicidades das componentes
irredut́ıveis deste conjunto em 0. (Sugestão: pôr z1 = t
2, z4 = u
2.)
Exerćıcio V.6.2. Calcular a multiplicidade do germe definido no
Exerćıcio V.1.6.
Exerćıcio V.6.3. Seja X umconjunto anaĺıtico em Cn de di-
mensão pura k > 1 e 0 ∈ X. Então existe um hiperplano H
tal que H ∩ X é de dimensão pura k − 1 na vizinhança de 0 e
m0(X ∩H) = m0(X).
Exerćıcio V.6.4. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn de di-
mensão pura k. Para cada inteiro positivo q seja
Fq = {x ∈ X : mx(X) ≥ q}.
184 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Então {Fq}q=1,2,3,... é uma seqüência decrescente de conjuntos fecha-
dos com intersecção vazia.
Exerćıcio V.6.5. Seja p(z) uma função anaĺıtica em C−{0}, não
identicamente nula, tal que p(z) tem um zero de ordem m em 1/m
(tal função existe pelo teorema de Weierstrass de funções de uma
variável).
Seja X o subconjunto anaĺıtico em C2 definido por
p(z1) − p(z2) = 0. Então mur(X) = r (r = 1, 2, 3, . . . ), onde
ur =
(
1
r
, 1
r
)
.
V.7 Intersecções completas
Seja γ um germe anaĺıtico em a ∈ Cn. Sejam f1, . . . , fr funções
anaĺıticas na vizinhança de a cujos germes geram o ideal de γ (Cap.
III, § 4). Então, as equações f1 = · · · = fr = 0 definem um conjunto
anaĺıtico cujo germe em a é γ. Pelo Exerćıcio IV.2.1, temos que
dim γ ≥ n− r, ou seja, r ≥ n− dim γ.
Definição V.7.1. dizemos que γ é intersecção completa se o seu
ideal possui um sistema de n− dimγ geradores.
Exemplo V.7.1. Se γ é regular, então γ é intersecção completa.
De fato, neste caso existe um sistema de coordenadas anaĺıticas
ζ1, . . . , ζn na vizinhança de a em Cn tal que ζk+1 = · · · = ζn = 0
representa γ, onde k = dim γ. Então o ideal de γ é gerado por
ζk+1, . . . , ζn. Com efeito, toda f anaĺıtica na vizinhança de a pode
ser desenvolvida em série de Taylor de ζ1, . . . , ζn. Dizer que o germe
de f está no ideal de γ quer dizer que todos os termos de série
contém algum fator ζj com k + 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo V.7.2. Se γ é de dimensão pura n− 1, então γ é inter-
secção completa (Teorema IV.2.8).
[SEC. V.7: INTERSECÇÕES COMPLETAS 185
Exemplo V.7.3. Seja γ o germe em 0 ∈ C4 da reunião dos planos
z1 = z2 = 0 e z3 = z4 = 0, isto é, γ é definido pelas equações:
z1z3 = z1z4 = z2z3 = z2z4 = 0.
Então γ não é intersecção completa.
Suponhamos, por absurdo, que existem f, g anaĺıticas na vizi-
nhança de 0 cujos germes geram o ideal de γ. Em particular,
f(z1, z2, 0, 0) = f(0, 0, z3, z4) = g(z1, z2, 0, 0) = g(0, 0, z3, z4) = 0.
Tomando as componentes homogêneas grau 1 nas séries de Tay-
lor de f e g nas igualdades anteriores, vemos que estas séries de
Taylor só têm termos de grau ≥ 2. Os germes dos polinômios
z1z3, z2z4, z1z4, z2z3, devem estar no ideal gerado pelos germes de
f, g. Então, estes polinômios estão no C-espaço vetorial gerado
pelas componentes homogêneas de grau 2 das séries de f e g, o que
é absurdo porque eles são linearmente independentes.
Proposição V.7.1. Seja γ germe anaĺıtico em a ∈ Cn com dim γ =
k. Suponhamos γ intersecção compelta. Então γ é de dimensão
pura k.
Prova. γ é representado por um conjunto X definido por n − k
equações. Como vimos antes, decorre dáı que dimxX ≥ k para
todo x ∈ X. Pelo Teorema IV.3.5 todas as componentes irredut́ıveis
de γ têm dimensão ≥ k. Logo, como dim γ ≤ k, todas elas têm
dimensão k.
O Exemplo V.7.3 mostra que a rećıproca da Proposição V.7.1 é
falsa. Temos, porém, que todo germe anaĺıtico de dimensão pura k
é reunião de componentes irredut́ıveis de um germe de intersecção
completa, como resulta do seguinte:
186 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Teorema V.7.2. Seja γ um germe anaĺıtico de dimensão pura k
em 0 ∈ Cn. Então existe um germe anaĺıtico δ em 0 ∈ Cn tal que:
i) dim δ = k;
ii) δ é intersecção completa;
iii) γ ⊂ δ.
Antes de provar este teorema daremos dois lemas:
Lema V.7.3. Sejam p(z1, . . . , zn) um polinômio com coeficientes
complexos e m um inteiro positivo. Suponhamos que o grau de p em
cada variável por separado é menor que m e que existem conjuntos
S1, . . . , Sn ⊂ C, cada um deles com cardinal m, tais que
p|(S1 × · · · × Sn) = 0.
Então p = 0.
Prova. Por indução em n. Se n = 1 é trivial. Seja n > 1. Então,
p =
∑
aj1,...,jn−1(zn)z
j1
1 . . . z
jn−1
n−1
Pela hipótese de indução, aj1,...,jn−1(u) = 0 se u ∈ Sn. Então
aj1,...,jn−1 = 0 pelo caso n = 1. Logo, p = 0.
Lema V.7.4. Existe uma seqüência {wj} ⊂ Ck −{0} tal que wj →
0 e que se f é anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈ Ck e f(wj) = 0 para
todo j bastante grande, então o germe de f em 0 é nulo.
Prova. Vide Exerćıcio II.2.3.
Prova do Teorema V.7.2. Existe um conjunto anaĺıtico X de
dimensão pura k em Cn que representa γ e uma aplicação linear
sobrejetora L : Cn → Ck tal que L−1(0) ∩ X = {0}, L(X) = U é
aberto conexo e L : X → U é própria. Para ver isto, basta tomar L
transversa em 0 a um conjunto que represente γ (Definição V.6.3)
e aplicar Proposição V.6.5 e Teorema V.5.2.
[SEC. V.7: INTERSECÇÕES COMPLETAS 187
Seja q = grau(L|X) Definição V.5.4). Por meio de uma mu-
dança linear de coordenadas podemos supor que:
L(z) = (z1, . . . , zk), z ∈ Cn.
Seja {wj} ⊂ U − {0} uma seqüência com as propriedades do Lema
V.7.4. Para cada j o conjunto L−1(wj) ∩ X é finito. Seja Tj o
conjunto das funções lineares f : Cn → C tais que f |(L−1(wj)∩X)
é injetora. Tj é aberto e denso no dual de Cn porque é o com-
plementar da reunião de um número finito de hiperplanos. Logo,
T =
∞
⋂
j=1
Tj é denso no dual de Cn. Escolhendo ζr ∈ T bastante
perto de zr para k + 1 ≤ r ≤ n teremos que z1, . . . , zk, ζk+1, . . . , ζn
é um sistema linear de coordenadas em Cn.
Em resumo, por meio de uma mudança linear das últimas n−k
coordenadas (quer dizer, sem mudar L), podemos supor que, para
cada r = k + 1, . . . , n e para cada j = 1, 2, 3, . . . , os pontos do
conjunto L−1(wj)∩X têm as r-ésimas coordenadas todas diferentes.
Para cada r = k + 1, . . . , n seja pr(z1, . . . , zk;x) o polinômio
caracteŕıstico de zr|X (Definição V.5.5). Então
pr(z1, . . . , zk;x) = z
q + a1(z1, . . . , zk)x
q−1 + · · ·+ aq(z1, . . . , zk) (*)
onde as ai são anaĺıticas em U e nulas em 0, pela definição e porque
L−1(0) ∩X = {0} (Teorema V.5.8). Também pela definição e pelo
visto acima o discriminante ∆r(z1, . . . , zk) de pr não é identicamente
nulo. Com efeito, devem existir infinitos wj tais que L
−1(wj) ∩X
têm q elementos (Teorema V.5.7). Quando tomamos (z1, . . . , zk) =
wj, para um destes wj o polinômio pr tem q ráızes diferentes.
Seja Y o conjunto anaĺıtico em Cn definido por:
pk+1(z1, . . . , zk; zk+1) = pk+2(z1, . . . , zk; zk+2)
= · · · = pn(z1, . . . , zk; zn) = 0
É claro que, pela definição dos pr′ X ⊂ Y (Proposição V.5.9).
188 [CAP. V: APLICAÇÕES ANAĹITICAS
Seja δ o germe de Y em 0. Então δ é um germe anaĺıtico e
γ ⊂ δ. Como δ é definido por n− k equações, dim δ ≥ k (Exerćıcio
IV.2.1).
Da definição de Y decorre que L−1(w) ∩ Y é finito para todo
w ∈ U . Então dimY ≤ k (Exerćıcio V.5.2). Logo, dim δ = k.
Só falta provar que δ é intersecção completa. Para tal basta
provar que os germes dos pr(z1, . . . , zk; zr) em 0 ∈ Cn geram o ideal
de δ(r = k + 1, . . . , n).
Seja f anaĺıtica na vizinhança de 0 ∈ Cn cujo germe em 0 per-
tence ao ideal de δ. Devemos provar que o germe de f está no ideal
gerado pelos germes dos pr. Por (*) cada pr(z1, . . . , zk; zr) define
um polinômio de Weierstrass (Definição III.3.2) e podemos dividir
f por pn(z1, . . . , zk; zn) (Teorema III.3.5). Basta então considerar
o caso em que f é um polinômio de grau < q em zn. Dividindo
cada coeficiente deste polinômio por pn−1(z1, . . . , zk; zn−1) vemos
que podemos supor que f é um polinômio em zn−1, zn de grau < q
em cada uma destas variáveis. Continuando, chegamos a que pode-
mos supor que f é um polinômio em zk+1, . . . , zn de grau < q em
cada uma destas variáveis.
Por outro lado, se ∆r(wj) 6= 0 para todo r = k+1, . . . , n, temos
que
L−1(wj) ∩ Y = {wj} × Sk+1 × · · · × Sn
onde cada Sr ⊂ C tem cardinal q. Logo, pelo Lema V.7.3, os
coeficientes de f anulam-se neste wj (se j bastantegrande). Então,
pelo Lema V.7.4, ∆k+1 . . .∆n ·f é identicamente nulo na vizinhança
de 0 ∈ Ck. Decorre dáı que o germe de f em 0 é nulo, o que conclui
a prova.
Exemplo V.7.4. Se γ é o germe do Exemplo V.7.3, podemos tomar
como δ o germe definido por z1z3 = z2z4 = 0, reunião dos quatro
planos: z1 = z2 = 0, z3 = z2 = 0, z1 = z4 = 0, z3 = z4 = 0.
O germe δ é intersecção completa porque o seu ideal é gerado
pelos germes de z1z3 e z2z4. Com efeito, seja f anaĺıtica na vizi-
nhança de 0, cujo germe pertence ao ideal de δ. Então, todos os
termos da série de Taylor de f contém z1 ou z2, z3 ou z2, z1 ou z4, z3
ou z4.Logo, todos eles contém z1z3 ou z2z4.
[SEC. V.7: INTERSECÇÕES COMPLETAS 189
Exerćıcio V.7.1. Seja γ um germe de intersecção completa cujo
anel local é um domı́nio de factorização única. Seja δ ⊂ γ um germe
anaĺıtico de dimensão pura igual a dim γ − 1. Então δ é germe de
intersecão completa.
Exerćıcio V.7.2. Exemplo de um germe irredut́ıvel γ de dimensão
1 em 0 ∈ C3 que não é intersecção completa.
O germe γ em 0 ∈ C3 é definido por:
z41 − z32 = 0, z51 − z33 = 0, z52 − z43 = 0.
Exerćıcio V.7.3. As duas equações
x4 + y3 − 2xyz = 0 z2 − x2y = 0
definem um subconjunto anaĺıtico de C3, cujo germe em 0 é o germe
γ do exerćıcio precedente.
Caṕıtulo VI
Singularidades Essenciais
O problema que vamos tratar neste caṕıtulo pode ser considerado
no seguinte contexto geral: X é um subconjunto anaĺıtico de um
aberto V de Cn e V está contido e é denso em outro aberto U .
Em que condições podemos afirmar que o fecho de X em U é um
subconjunto anaĺıtico de U? O caso que vamos considerar é aquele
em que V = U − Y , onde Y é um subconjunto anaĺıtico próprio de
U . A resposta depende da relação entre as dimensões de X e Y .
Antes de abordar o estudo deste problema vamos fazer algumas
considerações globais sobre conjuntos anaĺıticos.
VI.1 Decomposição global de conjuntos
anaĺıticos
No §1 do Caṕıtulo IV estudamos a decomposição de um germe
anaĺıtico em germes irredut́ıveis. Vamos agora estudar a decom-
posição global de conjuntos anaĺıticos em conjuntos irredut́ıveis.
Definição VI.1.1. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn. Dize-
mos que X é irredut́ıvel se de X = Y ∪ Z, onde Y, Z são conjun-
tos anaĺıticos fechados em X, decorre Y = X ou Z = X. Caso
contrário, dizemos que X é redut́ıvel .
[SEC. VI.1: DECOMPOSIÇÃO GLOBAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 191
Exemplo VI.1.1. Suponhamos que X é uma variedade anaĺıtica
complexa mergulhada em Cn. Então X é irredut́ıvel se, e somente
se X é conexa.
Com efeito, se X não é conexa, X = Y ∪ Z, onde Y, Z são
abertos em X, disjuntos, e Y 6= X e Z 6= X. Então Y, Z são
conjuntos anaĺıticos fechados em X e X é redut́ıvel.
Suponhamos X conexa e dimX = k. Seja X = Y ∪Z onde Y, Z
são conjuntos anaĺıticos fechados em X. Se dimY < k e dimZ < k,
então X − Y e X − Z são abertos densos em X. Logo,(X − Y ) ∩
(X − Z) é não vazio, o que é absurdo.
Suponhamos dimY = k. Então Y é aberto emX (Lema IV.2.1).
Logo, Y = X.
Exemplo VI.1.2. O subconjunto de C2 definido por z1z2 = 0 é
conexo mas não irredut́ıvel.
Pelo contrário, podemos afirmar que todo conjunto anaĺıtico ir-
redut́ıvel é conexo (mesmo racioćınio que no Exemplo VI.1.1, apli-
cando o Corolário IV.1.4).
Definição VI.1.2. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn. Seja
Y ⊂ X um conjunto anaĺıtico, fechado em X e irredut́ıvel. Dizemos
que Y é uma componente irredut́ıvel de X se não existe conjunto
anaĺıtico irredut́ıvel Z ⊂ X, Z fechado em X, tal que Y ⊂ Z e
Y 6= Z.
Exemplo VI.1.3. Os conjuntos Y1, Y2 definidos por z1 = 0, z2 = 0
respectivamente, são as únicas componentes irredut́ıveis do subcon-
junto anaĺıtico X de C2 definido por z1z2 = 0.
Com efeito, para todo conjunto anaĺıtico S ⊂ X temos
S = {S ∩ Y1} ∪ {S ∩ Y2}
e S ∩ Y1, S ∩ Y2 são anaĺıticos.
Teorema VI.1.1. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn. Seja R ⊂
X o conjuntodos seus pontos regulares.
a) As componentes irredut́ıveis de X são os fechos em X das
componentes conexas de R.
192 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
b) X é a reunião das suas componentes irredut́ıveis.
c) A famı́lia de todas as componentes irredut́ıveis de X é uma
famı́lia enumerável e localmente finita em cada ponto de X
(esta última condição significa: cada ponto de x ∈ X possui
uma vizinhança Ux em Cn tal que só um número finito de
componentes irredut́ıveis de X tem intersecção não vazia com
Ux).
d) Todo subconjunto anaĺıtico irredut́ıvel de X está contido em
uma componente irredut́ıvel de X.
Prova. Seja S uma componente conexa de R. Seja Y = S seu fecho
em X. Em primeiro lugar, devemos provar que Y é um conjunto
anaĺıtico.
Seja a ∈ X. Apliquemos o Teorema IV.3.5 na vizinhança de a
em X. Temos que existe uma vizinhança aberta U de a em Cn tal
que:
S ∩ U = T1 ∪ · · · ∪ Tj
e o fecho Xi = T i de cada Ti em U é um subconjunto anaĺıtico de
U . Como X ∩ U é fechado em U ,
Y ∩ U = X1 ∪ · · · ∪Xj.
Logo, Y ∩ U é um subconjunto anaĺıtico de U . Decorre dáı que Y
é um conjunto anaĺıtico.
Vejamos agora que Y é irredut́ıvel. Seja Y = A ∪ B, A e B
conjuntos anaĺıticos, fechados em Y . Em particular,
S = {S ∩ A} ∪ {S ∩B}.
Como S é irredut́ıvel (Exemplo VI.1.1) temos, por exemplo, S =
A ∩ S. Logo, A ⊃ S. Então A = Y porque S é denso em Y . Logo,
Y é irredut́ıvel.
Usando, como no que precede, o Teorema IV.3.5, vemos que a
famı́lia {Si}i∈I das componentes conexas de R é localmente finita
em cada ponto a ∈ X. Decorre dáı que, tomando fechos em X:
R =
⋃
i∈I
Si.
[SEC. VI.1: DECOMPOSIÇÃO GLOBAL DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 193
Pelo Lema IV.3.4, X = R. Como cada Si é um conjunto anaĺıtico
irredut́ıvel, temos que (b) decorre de (d).
Ainda, a famı́lia {Si}i∈I também é localmente finita em cada
ponto a ∈ X, porque a {Si}i∈I o é.
Vamos agora mostrar que todo conjunto anaĺıtico irredut́ıvel
contido em X está contido em algum Si. Decorre dáı que as Si são
as componentes irredut́ıveis de X, o que prova (d), (b) e (a). Como
a famı́lia {Si}i∈I é enumerável (porque é a famı́lia das componentes
conexas de um espaço localmente conexo de base enumerável: a
variedade anaĺıtica complexa R mergulhada em Cn), também fica
provada (c).
Seja, então, Z ⊂ X, Z conjunto anaĺıtico irredut́ıvel. Seja p ∈
Z. Seja {Si}i∈J a famı́lia dos Si que contém p e {Sj}j∈K a famı́lia
dos Sj que não contém p. J é finito, J = {i1, . . . , ik}, porque
{Si}i∈I é localmente finita em p. Então,
Z =
(
Z ∩
(
⋃
i∈J
Si
))
∪
(
Z ∩
(
⋃
j∈K
Sj
))
é uma decomposição de Z em conjuntos anaĺıticos fechados em Z,
porque {Si} é localmente finita em cada ponto de X. Como
p /∈
⋃
j∈K
Sj,
a irredutibilidade de Z implica:
Z = Z ∩
(
⋃
i∈J
Si
)
= (Z ∩ Si1) ∪ · · · ∪ (Z ∩ Sik).
Novamente porque Z é irredut́ıvel, devemos ter
Z = Z ∩ Sir
para algum r, o que conclui a prova.
Corolário VI.1.2. Todo conjunto anaĺıtico irredut́ıvel é conexo e
de dimensão pura.
194 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Exerćıcio VI.1.1. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn e seja
{Zi}i∈I uma famı́lia de conjuntos anaĺıticos irredut́ıveis tal que X =
⋃
i∈I
Zi, cada Zi é fechado em X, a famı́lia é localmente finita em cada
ponto de X e Zi 6⊂ Zj se i 6= j. Então {Zi}i∈I é a famı́lia de todas
as componentes irredut́ıveis de X.
Exerćıcio VI.1.2. Consideremos um polinômio p(z1, z2) ∈ C[z1, z2]
da forma:
p(z1, z2) = z
m
2 + a1(z1)z
m−1
2 + · · · + am(z1) (m ≥ 1).
Seja X o subconjunto anaĺıtico de C2 definido pela equação
p(z1, z2) = 0. Então, se p(z1, z2) é um polinômio irredut́ıvel, X
é um conjunto anaĺıtico irredut́ıvel.
Roteiro:
a) Existem constantes reais positivas K,A e um inteiro positivo N
tais que
|z2| ≤ K|z1|N + A
para todo (z1, z2) ∈ X.
b) Seja f : X → C, f(z1, z2) = z1. Então f é anaĺıtica e própria.
c) Seja S ⊂ X um subconjunto anaĺıtico de C2 de dimensão pura
1. Existem um subconjunto discreto fechado D em C e funções
anaĺıticas bj: C−D → C, 1 ≤ j ≤ k tais que para todo z1 ∈ C−D
as ráızes de
zk2 + b1(z1)z
k−1
2 + · · · + bk(z1) = 0
(como equação em z2) são as segundas coordenadas dos pontos de
(f |S)−1(z1) (usar Teorema V.5.7 aplicado a f |S : S → C).
d) As bj(z1) são polinômios de z1. Seja
qS(z1, z2) = z
k
2 + b1(z1)z
k−1
2 + · · · + bk(z1).
e) as componentes irredut́ıveis de X são em número finito e todas
de dimensão pura 1 (aplicar Teorema V.5.7 a f : X → C).
[SEC. VI.2: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÃO DIFERENTES 195
f) Se o discriminante ∆(z1) de p(z1, z2) não é identicamente nulo,
então
p(z1, z2) = qS1(z1, z2) · · · · · qSr(z1, z2)
onde S1, . . . , Sr são as componentes irredut́ıveis de X.
g) Se p(z1, z2) é um polinômio irredut́ıvel, ∆(z1) não é identicamente
nulo (Apêndice I, 3.8 e 3.9).
Exerćıcio VI.1.3. Seja p(z1, z2) um polinômio irredut́ıvel não
constante. Seja X o subconjunto anaĺıtico de C2 definido por
p(z1, z2) = 0.
Então X é analiticamente irredut́ıvel (vide Exerćıcio VI.1.2).
Exerćıcio VI.1.4. Sejam Y ⊂ X subconjuntos anaĺıticos de um
aberto U de Cn.
a) Se X é irredut́ıvel e dimY = dimX, então X = Y .
b) Se X é irredut́ıvel então X − Y é irredut́ıvel.
VI.2 Prolongamento no caso de dimen-
são diferentes
Seja U um domı́nio de Cn, seja Y um subconjunto anaĺıtico próprio
de U e seja V = U − Y . Seja X um subconjunto anaĺıtico de
V . Em geral, não é verdade que o fecho X de X em U seja um
subconjunto anaĺıtico de U . Por exemplo, se U = C, Y = {0} e
X = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . }. Neste caso X é redut́ıvel. Mas também
isto pode acontecer se X é irredut́ıvel.
Exemplo VI.2.1. Sejam U = C2, Y definido por z1 = 0 e X
definido por z2 = e
1/z1 . X é irredut́ıvel e não singular porque é
isomorfo a C − {0}.
Por outro lado, Y ⊂ X. Com efeito, se (0, a) ∈ Y e a 6= 0,
existe b tal que eb = a. Então,
X ∋ (1/(b+ 2nπi), a) → (0, a)
196 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
quando n→ +∞. Como X é fechado, X ⊃ Y .
Suponhamos queX fosse um subconjunto anaĺıtico de U . Então,
pelo Exerćıcio IV.3.8, dimY < dimX. Logo, dimX = 2. Ou seja,
X = C2, o que é absurdo.
Neste exemplo X não é conjunto anaĺıtico, mas X ∩ Y = Y é
um conjunto anaĺıtico. Naturalmente, se X é conjunto anaĺıtico,
X ∩ Y também é. Mas pode acontecer que nem mesmo X ∩ Y seja
um conjunto anaĺıtico.
Exemplo VI.2.2. Seja α real, positivo e irracional. Sejam U = C3,
Y definido por z1 = 0 e X definido por z2 = e
1/z1 , z3 = e
α/z1 , X é
não singular e irredut́ıvel porque é isomorfo a C− {0}. Afirmamos
que:
X ∩ Y = {(0, z2, z3) : |z3| = |z2|α}.
É claro, então, que X∩Y não é anaĺıtico (porque a intersecção com
z2 = constante não é).
Para provar a afirmação observemos primeiro que a relação
|z3| = |z2|α é válida em cada ponto de X. Por continuidade, ela é
válida em cada ponto de X.
Seja, agora, |z3| = |z2|α. Se z2 = 0, z3 = 0. Temos que, para
tn = −1/n:
X ∋ (tn, e1/tn , eα/tn) → (0, 0, 0).
Logo, (0, 0, 0) ∈ X ∩ Y .
Seja |z3| = |z2|α com z2 6= 0. Fixemos um ramo do argumento
em C − {0} por:
0 ≤ arg u < 2π u ∈ C, u 6= 0.
Seja
tα = eα log t log t = log |t| + i arg t, t ∈ C − {0}.
Então, de |z3| = |z2|α decorre z3 = zα2 · eiβ, β ∈ R. Como α
é irracional, as potências de e2πiα formam um conjunto denso no
ćırculo unidade. Logo, existe {kn} ⊂ Z, kn → +∞ tal que
e2πiknα → eiβ.
[SEC. VI.2: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÃO DIFERENTES 197
Seja
tn = 1/(log |z2| + i arg z2 + 2πikn).
Então,
X ∋ (tn, e1/tn , eα/tn) → (0, z2, zα2 · ziβ) = (0, z2, z3).
Logo, (0, z2, z3) ∈ X ∩ Y .
Nos exemplos que precedem temos sempre dimY ≥ dimX. De
fato, vale o seguinte:
Teorema VI.2.1. Se dimY < dimxX para todo x ∈ X, então X
é um subconjunto anaĺıtico de U .
Prova. Como para cada ponto regular x deX vale dimY < dimxX,
temos que:
dimY < dimxXj, j = 1, 2, 3, . . .
onde X1, X2, X3, . . . são as componentes irredut́ıveis de X (Teo-
rema VI.1.1(a)). Por outro lado, a reunião Zk das componentes irre-
dut́ıveis de dimensão k (k = 0, 1, 3, . . . ) é um subconjunto anaĺıtico
de V e:
X = Z1 ∪ Z2 ∪ Z3 ∪ · · · ∪ Zn( fechos em U).
(Observemos que união localmente finita de subconjuntos ana-
ĺıticos é subconjunto anaĺıtico). (Teorema VI.1.1(b) (c)).)
Então basta provar o teroema para cada Zk em lugar de X.
Decorre dáı que podemos supor que X é de dimensão pura k >
dimY .
Para provar o teorema vamos aplicar os Teoremas III.5.1 e V.3.3.
Fixemos a ∈ Y ∩X. Vamos mostrar que existem uma vizinhança
aberta Ua ⊂ U de a, um aberto W ⊂ Ck e uma aplicação anaĺıtica
g : Ua → W que satisfaz as hipóteses do Teorema V.3.3 para o
subconjunto X ∩ Ua de Ua.
Seja E o C-espaço vetorial gerado pelas funções:
z1 − a1, z2 − a2, . . . , zn − an.
198 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Escolhamos um ponto em cada componente irredut́ıvel de X e um
ponto distinto de a em cada componente irredut́ıvel de Y menos
em {a} se {a} for uma componente irredut́ıvel de Y . Como o con-
junto assim obtido é enumerável (Teorema VI.1.1(c)), uma simples
aplicação do teorema de Baire ao espaço E mostra que existe g1 ∈ E
que não se anula em nenhum dos pontos escolhidos. Sejam
X1 = X ∩ g−11 (0), Y1 = Y ∩ g−11 (0).
Decorre do Teorema VI.1.1(d) e do Exerćıcio VI.1.4 que:
dimX1 < dimX e dimY1 < dimY
a menos que X seja vazio ou que dimY = 0 respectivamente.
Repetindo o processo com X1, Y1 em lugar de X,Y obtemos
g2 ∈ E tal que se X2 = X1 ∩ g−12 (0), Y2 = Y1 ∩ g−12 (0), então:
dimX2 < dimX1 e dimY2 < dimY1
a menos que X1 seja vazio ou dimY1 = 0 respectivamente. Iterando
k-vezes o procedimento obtemos g = (g1, . . . , gk), onde gj ∈ E,
1 ≤ j ≤ k tal que:
dimX ∩ g−1(0) ≤ 0 e dimY ∩ g−1(0) = 0.
Em particular, temos que
(X ∪ Y ) ∩ g−1(0)
é um conjunto enumerável.
Seja ∆a um polidisco de centro a cujo fecho está contido em U
e tal que
∂∆a ∩ (X ∪ Y ) ∩ g−1(0)
é vazio. Pelo Lema I.8.1 existem uma vizinhança aberta Ua ⊂ ∆a
de a e um aberto conexo W ∋ 0 em Ck tais que:
g : Ua ∩ (X ∪ Y ) → W
[SEC. VI.2: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÃO DIFERENTES 199
é própria. Podemos modificar Ua sem mudar Ua ∩ (X ∪ Y ) de
maneira que g(Ua) ⊂ W .
Sejam X ′ = X ∩ Ua, Y ′ = Y ∩ Ua.
Vale, então, o seguinte:
dimX ′ ∩ g−1(y) ≤ 0 e dimY ′ ∩ g−1(y) ≤ 0
para todo y ∈ W . Com efeito, Ly = Y ′ ∩ g−1(y) é finito porque é
compacto (Corolário V.2.2), levando em conta que Y ′ é fechado em
X ′ ∪ Y ′.
Suponhamos que existe uma componente irredut́ıvel My de X
′∩
g−1(y) que contém mais de um ponto. Sejam p, q ∈My com p 6= q.
Existe h função anaĺıtica em Cn tal que h(p) = 1, h(q) = 2 e
h|Ly = 0 (aplicar o Lema V.5.5 para reduzir ao caso n = 1). Como
My ∪ Ly é compacto, porque g : X ′ ∪ Y ′ → W é própria, |h| possui
máximo em My ∪ Ly. Evidentemente ela toma o seu máximo em
My. Logo, h|My é constante (Corolário VI.1.2 e Teorema V.2.1), o
que é absurdo. Logo, as componentes irredut́ıveis de X ′ ∩ g−1(y)
são pontos e X ′ ∩ g−1(y) é enumerável (Teorema VI.1.1(c)).
Em particular, g−1(y)∩X ′ é enumerável para todo y ∈ W onde
X
′
= X ∩ Ua é o fecho do X ′ em Ua.
Com estes preliminares, vamos agora aplicar os Teoremas III.5.1
e V.3.3 à aplicação g : Ua → W e ao conjunto X ′ de Ua. Como X ′
é fechado em X ′ ∪ Y ′, fica verificada a hipótese (e) do Teorema
III.5.1: g : X
′ → W é própria.
Seja Q = q(Y ′). Então Q é um subconjunto anaĺıtico de W e
dimQ < k (Teorema V.4.1). Seja
P = g−1(Q) ∩ (X ′ ∪ Y ′) = (g−1(Q) ∩X ′) ∪ Y ′
Então P∩X ′ é um conjunto anaĺıtico. Vimos antes que dimX ′∩
g−1(y) ≤ 0 para todo y ∈ W . Decorre dáı e do Lema VI.2.3 embaixo
que se dimP ∩X ′ = k então g(P ∩X ′) tem interior não vazio em
Ck. Mas como g(P ∩X ′) ⊂ Q e dimQ < k isto é absurdo. Logo,
dimP ∩X ′ < k. Decorre dáı que Z = X ′−P é denso em X ′. Logo,
Z é denso em X
′
.
200 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Por outro lado, Z é um aberto em X ′. Então Z é um con-
junto anaĺıtico de dimensão pura k. Além disso, Z = X
′ − g−1(Q).
Logo, g : Z → W − Q é própria. Pelo TeoremaV.5.7, existe um
subconjunto fechado fino R de W −Q tal que:
g : Z − g−1(R) → W − (Q ∪R)
é um recobrimento anaĺıtico finito e Z − g−1(R) é denso em Z.
Seja T = Q ∪ R. Então T é um subconjunto evitável de W
(Proposição V.3.2). Além disso,
Z − g−1(R) = X ′ − g−1(T ).
Logo,
g : X
′ − S → W − T, S = g−1(T )
é um recobrimento anaĺıtico finito e X
′ − S é denso em X ′. Isto
prova as condições (b), (c), (d) dos Teorema III.5.1 e V.3.3.
Resta provar a condição (a). Vimos antes que g−1(y) ∩ X ′ é
enumerável para todo y ∈ W . Como W − T é um aberto denso em
W e X
′ − S é um aberto denso em X ′, temos que g : X ′ → W é
aberta pelos Corolários I.8.3 e II.1.4.
Então a condição (a) decorre do Lema VI.2.2 embaixo.
Isto completa a verificação das hipóteses dos Teoremas III.5.1
V.3.3. Decorre dáı que X
′
= X ∩Ua é um subconjunto anaĺıtico de
Ua. Logo, X é um conjunto anaĺıtico na vizinhança de cada ponto
a ∈ X ∩ Y . Decorre dáı que X é um subconjunto anaĺıtico de U , o
que acaba a prova do Teorema VI.2.1.
Lema VI.2.2. Seja g : E → F uma aplicação cont́ınua e aberta
de espaços métricos. Seja V ⊂ F um aberto denso. Suponhamos
que existe um número natural N tal que card g−1(y) ≤ N para todo
y ∈ V . Então card g−1(y) ≤ N para todo y ∈ F .
Prova. Suponhamos que existe b ∈ F tal que
g−1(b) ∋ a1, a2, . . . , am
todos distintos, com m > N ,
[SEC. VI.2: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÃO DIFERENTES 201
Sejam B1, . . . , Bm bolas abertas dois a dois disjuntas de centros
a1, . . . , am respectivamente. Como g é aberta e V é denso em F ,
existe
y ∈ g(B1) ∩ · · · ∩ g(Bm) ∩ V.
Seja xj ∈ Bj tal que y = g(xj), 1 ≤ j ≤ m. Então
g−1(y) ∋ x1, . . . , xm
todos distintos. Logo,
card g−1(y) ≥ m > N,
o que contradiz a hipótese.
Lema VI.2.3. Seja K um conjunto anaĺıtico em Cn. Seja dimK =
k e seja g : K → Ck uma aplicação anaĺıtica tal que dim g−1(y) ≤ 0
para todo y ∈ Ck. Então g(K) tem interior não vazio em Ck.
Prova. Por hipótese, existe a ∈ K tal que existe uma vizinhança
aberta Ua de a em Cn tal que K ∩ Ua é uma variedade anaĺıtica
complexa de dimensão k. Seja b ∈ K ∩ Ua um ponto onde o posto
da diferencial de g|(K ∩ Ua) é máximo. Então, o posto de
d((g|(K ∩ Ua))
é constante na vizinhança de b em K∩Ua. Pelo Teorema I.3.2 e pela
hipótese, este posto não pode ser menor que k. Logo, d(g|(K∩Ua))
tem posto k em b. Pelo Teorema I.3.2, g(K ∩ Ua) contém uma
vizinhança de g(b). Logo, g(K) ⊃ g(K ∩ Ua) tem interior não
vazio.
O leitor terá observado alguma analogia entre o Teorema VI.2.1
e o Teorema IV.3.9. De fato, supondo U conexo, o caso dimX = n
é trivial, porque X = V e X = U neste caso (Corolário II.1.4 e
Proposição III.4.2). Se dimX < n, a hipótese do Teorema VI.2.1
acarreta que dimY ≤ n−2. Se X é definido por equações anaĺıticas
globais em V :
f1 = 0, . . . , fr = 0
202 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
estas mesmas funções extendem-se a funções anaĺıticas em U , pelo
Teorema IV.3.9, e definem um subconjunto anaĺıtico Z de U tal
que Z ∩ V = X. Então X = Z − Y . Aplicando o Exerćıcio IV.3.6,
temos que X é um subconjunto anaĺıtico de U .
O problema é que nem sempre é posśıvel definir X por equações
globais em V (vide Exemplo III.4.4).
Definição VI.2.1. Seja x ∈ Y . Dizemos que X é anaĺıtico na
fronteira em x se existem uma vizinhança aberta Ux ⊂ U de x e
funções anaĺıticas
fj : Ux − Y → C, j = 1, . . . , r
tais que
X ∩ Ux = {z ∈ Ux − Y : fj(z) = 0, 1 ≤ j ≤ r}.
Observação VI.2.1. É claro que se X é anaĺıtico em x (no sentido
da Definição III.4.1) então X é anaĺıtico na fronteira em x. A
rećıproca, porém, é falsa.
Exemplo VI.2.3. No Exemplo VI.2.2 X não é anaĺıtico em 0,
porém X é anaĺıtico na fronteira em 0.
Vale, no entanto, o seguinte:
Teorema VI.2.4. Se dimY ≤ n−2 e se x ∈ Y então X é anaĺıtico
na fronteira em x se, e somente se X á anaĺıtico em x.
Prova. Já observamos que seX é anaĺıtico em x entãoX é anaĺıtico
na fronteira em x.
A rećıproca prova-se apenas repetindo o racioćınio feito antes
da Definição VI.2.1, só que em uma vizinhança Ux de x em lugar
de U .
Exemplo VI.2.4. Sejam: U = C4, Y o plano z1 = z4 = 0 e X
definido por z2 = e
1/z1 , z3 = e
α/z1 , z4 = 0 em V = U − Y , onde
α ∈ R é um irracional positivo. Decorre do Exemplo VI.2.2 que X
não é anaĺıtico em 0. Como dimY = 2, o Teorema VI.2.4 implica
que X não é anaĺıtico na fronteira em 0.
[SEC. VI.3: CONJUNTOS ALGÉBRICOS 203
Exerćıcio VI.2.1. Sejam ∆ um polidisco de centro 0 em Cn (n ≥ 2
e X um subconjunto anaĺıtico de dimensão pura n− 1 de ∆−{0}.
Então existem um polidisco ∆1 ⊂ ∆ de centro 0 e uma função f
anaĺıtica em ∆1 tais que X ∩ ∆1 − {0} é o conjunto dos zeros de
f |(∆1 − {0}).
Exerćıcio VI.2.2. Seja X um conjunto anaĺıtico em Cn tal que X
é compacto e X −X é finito. Provar que dimX = 0 ou X é vazio.
VI.3 Conjuntos algébricos
Um conjunto algébrico é o conjunto de soluções de um sistema
polinomial de equações. Mais precisamente:
Definição VI.3.1. Um subconjunto X ⊂ Cn é chamado de
subconjunto algébrico de Cn se existem polinômios p1, . . . , pm ∈
C[Z1, . . . , Zn] tais que:
X = {z ∈ Cn : p1(z1, . . . , zn) = · · · = pm(z1, . . . , zn) = 0}.
X é chamado também de conjunto algébrico afim.
Exemplo VI.3.1. Os subconjuntos algébricos de C são C e os
subconjuntos finitos de C.
Exemplo VI.3.2. Todo subconjunto algébrico de Cn é obviamente
um subconjunto anaĺıtico de Cn. O exemplo anterior mostra que
a rećıproca é falsa. Vamos dar mesmo um exemplo de que um
subconjunto anaĺıtico irredut́ıvel de C2 que não é algébrico e que,
porém, é isomorfo a um subconjunto algébrico de C2.
Seja X o conjunto definido em C2 pela equação
z2 − ez1 = 0.
Ele é isomorfo a C.
Para provar que X não é algébrico vamos mostrar que se
p ∈ C[Z1, Z2] e p|X = 0
204 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
então p = 0. Seja
p = am(Z2)Z
m
1 + am−1(Z2)Z
m−1
1 + · · · + a0(Z2).
Como p|X = 0 temos p(z, ez) = 0 para todo z ∈ C. Logo,
p(z + 2kπi, ez) = p(z + 2kπi, ez+2kπi) = 0
para todo z ∈ C e todo k ∈ Z. Decorre dáı que, para cada z ∈ C, o
polinômio p(Z, ez) tem infinitas ráızes. Logo, aj(e
z) = 0 para todo
z ∈ C, 0 ≤ j ≤ m. Então, aj = 0 para todo j e, portanto, p = 0.
Exemplo VI.3.3. As curvas e superf́ıcies da Geometria elementar
complexa afim (retas, cônicas, quádricas) são subconjuntos algébri-
cos de C2 e C3.
Já no caso da Geometria elementar, é óbvio que para o estudo
das cônicas e quádricas é conveniente passar ao espaço projetivo.
Definição VI.3.2. Um subconjunto X ⊂ Pn(C) (Exemplo I.4.1) é
chamado de subconjunto algébrico se existem polinômios homogê-
neos
p1, . . . , pm ∈ C[Z0, Z1, . . . , Zn] tais que:
X = {z ∈ Pn(C) : p1(z0, z1, . . . , zn) = · · · = pm(z0, . . . , zn) = 0}
(onde (z0, . . . , zn) são as coordenadas homogêneas de z).
X é chamado também de conjunto algébrico projetivo.
(As coordenadas homogêneas não são únicas para cada ponto, mas
isto é irrelevante porque os polinômios pj são homogêneos.)
Exemplo VI.3.4. Os subconjuntos algébricos de P1(C) são P1(C)
e os subconjuntos finitos. As cônicas são subconjuntos algébricos
de P2(C) e as quádricas de P3(C).
Decorre imediatamente das definições que todo subconjunto al-
gébrico de Pn(C) é um subconjunto anaĺıtico (Exerćıcio III.4.6). O
resultado central deste parágrafo é que a rećıproca é verdadeira no
espaço projetivo: todo subconjunto anaĺıtico de Pn(C) é algébrico
(o que não acontece no espaço afim Cn).
[SEC. VI.3: CONJUNTOS ALGÉBRICOS 205
Consideraremos agora Cn ⊂ Pn(C) identificando cada ponto
z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn ao ponto
z = (1, z1, . . . , zn) ∈ Pn(C).
Desta maneira, Cn é um aberto em Pn(C). Pelas definições, se Y é
um subconjunto algébrico de Pn(C), então Y ∩Cn é um subconjunto
algébrico de Cn.
Lema VI.3.1. Seja X um subconjunto algébrico de Cn. Então seu
fecho X em Pn(C) é um subconjunto anaĺıticode Pn(C).
Prova. Seja H = Pn(C) − Cn (o hiperplano no infinito), subcon-
junto algébrico de Pn(C) definido pela equação z0 = 0.
Suponhamos X definido pelas equações:
p1(z1, . . . , zn) = · · · = pm(z1, . . . , zn) = 0.
Escolhemos um inteiro N > grau pj (1 ≤ j ≤ m).
Seja Y o subconjunto algébrico de Pn(C) definido por:
zN0 p1(z1/z0, . . . , zn/z0) = · · · = zN0 pm(z1/z0, . . . , zn/z0) = 0
(observemos que cada polinômio ZN0 pj(Z1/Z0, . . . , Zn/Z0)
é homogêneo).
Temos que: Y ∩ Cn = X. Logo, X = Y − H. Então, pelo
Exerćıcio IV.3.6, X é um subconjunto anaĺıtico de Pn(C).
Definição VI.3.3. Se X é um subconjunto fechado de Cn, o fecho
X de X em Pn(C) é chamado de completamente projetivo de X. Os
elementos de X −X são chamados de pontos impróprios ou pontos
no infinito de X.
Exemplo VI.3.5. O completamente projetivo de Cn é Pn(C). Os
únicos subconjuntos anaĺıticos de Cn que coincidem com o seu com-
pletamente projetivo são os conjuntos finitos (Corolário V.2.2).
Exemplo VI.3.6. Os pontos no infinito da hipérbole z1z2 = 1 são
os pontos impróprios dos eixos coordenados.
206 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Lema VI.3.2. Seja X um subconjunto algébrico de Cn. Então o
conjunto I dos seus pontos no infinito é um subconjunto anaĺıtico
de Pn(C) e dim I < dimX.
Prova. I é anaĺıtico porque é a intersecção de X, fecho de X em
Pn(C), com o hiperplano H de equação z0 = 0 (Lema VI.3.1).
O fato que dim I < dimX decorre do Exerćıcio IV.3.8.
Teorema VI.3.3. Todo subconjunto anaĺıtico de Pn(C) é um sub-
conjunto algébrico de Pn(C).
Prova. Seja X um subconjunto anaĺıtico de Pn(C). Por definição,
cada ζ ∈ X é uma reta pela origem em Cn+1. Seja CX ⊂ Cn+1
(o “cone deX”) a reunião de todas estas retas (conjunto de todas as
coordenadas homogêneas de todos os pontos de X, mais a origem
de Cn+1). Então Y = CX − {0} é a imagem inversa de X pela
aplicação canônica:
Cn+1 − {0} → Pn(C)
que é anaĺıtica (Caṕıtulo I, §4). Logo, Y é um subconjunto anaĺıtico
de Cn+1 −{0}. Para cada x ∈ Y , a reta que une x a 0 está contida
em CX. Logo, dimx Y ≥ 1. Decorre dáı e do Teorema VI.2.1 que
CX é um subconjunto anaĺıtico de Cn+1, porque CX é o fecho de
Y em Cn+1.
Sejam f1, . . . , fr funções anaĺıticas em um polidisco ∆ de centro
0 tais que ∆ ∩ CX é definido pelas equações:
f1 = f2 = · · · = fr = 0.
Seja pij o polinômio homogêneo de grau j formado pelos termos de
grau j do desenvolvimento de Taylor de fi na origem (1 ≤ i ≤ r,
0 ≤ j < +∞). Então,
fi(z) =
+∞
∑
j=0
pij(z), z ∈ ∆.
[SEC. VI.3: CONJUNTOS ALGÉBRICOS 207
Decorre dáı que
fi(tz) =
+∞
∑
j=0
tjpij(z), z ∈ ∆, t ∈ C, |t| < 1.
Sejam z ∈ CX ∩ ∆ e t ∈ C, |t| < 1. Então tz ∈ CX ∩ ∆. Logo,
0 = fi(tz) =
+∞
∑
j=0
pij(z)t
j.
Então, o terceiro membro é uma série de potências que têm soma
0 no disco unidade. Decorre dáı que
pij(z) = 0 se z ∈ CX ∩ ∆, 1 ≤ i ≤ r, 0 ≤ j < +∞.
Reciprocamente, se z ∈ ∆ e pij(z) = 0 para todo i, j então
fi(z) = 0, 1 ≤ i ≤ r. Logo, z ∈ CX ∩ ∆.
Seja I o ideal gerado pelos polinômios pij em
C[z0, z1, . . . , zn].
Por (I.5) e (I.2) do Apêndice I, podemos extrair de {pij} um subcon-
junto finito q1, . . . , qs de geradores de I. Em particular, q1, . . . , qs
são homogêneas.
Seja z ∈ CX. Então existe t 6= 0, t ∈ C tal que tz ∈ CX ∩
∆. Logo, pij(tz) = 0 para todos i, j, pelo que vimos antes. Em
particular, qk(tz) = 0. Como qk é homogêneo e t 6= 0, qk(z) = 0,
1 ≤ k ≤ s.
Reciprocamente, suponhamos qk(z) = 0, 1 ≤ k ≤ s. Então,
pij(z) = 0 para todos i, j. Seja t ∈ C, t 6= 0 tal que tz ∈ ∆. Como
os pij são homogêneos, pij(tz) = 0. Logo, tz ∈ CX ∩ ∆, pelo que
vimos antes.
Como t 6= 0, decorre dáı que z ∈ CX.
Em resumo, CX é o subconjunto de Cn+1 definido pelas equa-
ções:
q1 = q2 = q2 = · · · = qs = 0.
208 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Por definição, isto significa que X é o subconjunto de Cn+1 definido
pelas mesmas equações. Então, X é um subconjunto algébrico de
Pn(C).
O corolário seguinte mostra que os subconjuntos algébricos de
Cn são os subconjuntos anaĺıticos bem comportados no infinito.
Corolário VI.3.4. Seja X um subconjunto anaĺıtico de Cn de di-
mensão pura k. Então X é um subconjunto algébrico de Cn se,
e somente se existe um subconjunto anaĺıtico Y de Pn(C) com
dimY < k que contém todos os pontos no infinito de X.
Prova. Se X é um subconjunto algébrico de Cn, definimos Y como
o conjunto de todos os pontos no infinito de X. Basta, então,
aplicar o Lema VI.3.2.
Reciprocamente, suponhamos que existe Y com as propriedade
acima. Temos que o fecho X de X em Pn(C) está contido em
Cn ∪ Y . Aplicando o Teorema VI.2.1 localmente na vizinhança de
cada ponto de Y , deduzimos que X é um subconjunto anaĺıtico de
Pn(C). Então, pelo Teorema VI.3.3, X é um subconjunto algébrico
de Pn(C). Logo, X é um subconjunto algébrico de Cn.
Exemplo VI.3.7. Seja X um subconjunto anaĺıtico próprio irre-
dut́ıvel de C2. Então X é algébrico se, e somente se o conjunto dos
seus pontos no infinito é um conjunto finito.
Exemplo VI.3.8. Seja X ⊂ C2 o conjunto definido no Exemplo
VI.3.2, anaĺıtico de dimensão pura 1. O conjunto dos pontos no
infinito de X é toda a reta projetiva H = P2(C) − C2.
Com efeito, basta ver que este conjunto é denso em H. Sabemos
que a função ez/z tem uma singularidade essencial em ∞. Logo,
existe um subconjunto S denso de C tal que para todo a ∈ S existe
seqüência {tk} ⊂ C com tk → ∞ e etk/tk → a. O ponto de P2(C)
de coordenadas homogêneas (1, tk, e
tk) pertence a X. Logo,
X ∋ (1, tk, etk) = (1/tk, 1, etk/tk) → (0, 1, a).
Logo, o conjunto dos pontos no infinito de X contém
{(0, 1, a) : a ∈ S}.
Decorre dáı que ele é denso em H, como desejávamos provar.
[SEC. VI.3: CONJUNTOS ALGÉBRICOS 209
Exerćıcio VI.3.1. As uniões finitas e as intersecções quaisquer de
conjuntos algébricos (afins ou projetivos) são conjuntos algébricos.
Exerćıcio VI.3.2. Estender a noção de conjunto anaĺıtico irre-
dut́ıvel e de componente irredut́ıvel (Definições VI.1.1 e VI.1.2) ao
caso em que temos uma variedade anaĺıtica complexa em lugar de
Cn. O Teorema VI.1.1 e o Corolário VI.1.2 são válidos neste caso
mais geral. O Exerćıcio VI.1.4 é válido quando U é uma variedade
anaĺıtica complexa.
Exerćıcio VI.3.3. Seja X um subconjunto algébrico de Cn ou
Pn(C). Dizemos queX é algebricamente irredut́ıvel se deX = Y ∪Z
onde Y, Z são subconjuntos algébricos de Cn ou Pn(C) respectiva-
mente, decorre Y = X ou Z = X.
a) SeX é um conjunto algébrico irredut́ıvel como conjunto anaĺıtico,
então X é algebricamente irredut́ıvel (vide Exerćıcio VI.3.2).
b) Se X é um conjunto algébrico projetivo, algebricamente irre-
dut́ıvel, então X é irredut́ıvel como conjunto anaĺıtico (e, em par-
ticular, é conexo).
c) Se X é um conjunto algébrico afim, algebricamente irredut́ıvel,
então X é irredut́ıvel como conjunto anaĺıtico (e, em particular, é
conexo).
Exerćıcio VI.3.4. a) A correspondência
((x0, x1, . . . , xn), (y0, . . . , ym))
→ (x0y0, x0y1, . . . , x0ym, x1y0, . . . , xnym)
define um mergulho Pn(C)×Pm(C) → PN(C) ondeN = mn+m+n.
b) Sejam X ⊂ Pn(C) e Y ⊂ Pm(C) subconjuntos algébricos e seja
f : X → Y anaĺıtica. Então, existem polinômios
pj(X0, . . . , Xn, . . . , Y0, . . . , Ym) (1 ≤ j ≤ r)
homogêneos em X0, . . . , Xn e homogêneos também em Y0, . . . , Ym
tais que se x ∈ Pn(C) e y ∈ Pm(C), então
p1(x0, . . . , xn, y0, . . . , ym) = · · · = pr(x0, . . . , xn, y0, . . . , ym) = 0
se, e somente se x ∈ X, y ∈ Y e y = f(x).
210 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
VI.4 Prolongamento no caso de dimen-
sões iguais
Retomamos a situação do ińıcio do §2: U é um domı́nio de Cn,
Y um subconjunto anaĺıtico de U , X um subconjunto anaĺıtico de
U −Y . Vimos no §2 que, em geral, o fecho X de X em U não é um
subconjunto anaĺıtico de U mas que X é subconjunto anaĺıtico de
U se dimxX > dimY para todo x ∈ X. Vamos, neste parágrafo,
estudar o caso dimxX = dimYpara todo x ∈ X.
Lema VI.4.1. Suponhamos: i) 0 ∈ U ; ii) Y é intersecção com U
de um subespaço vetorial de Cn de dimensão k > 0; iii) X é de
dimensão pura k. Então, depois de fazer uma conveniente mudança
linear de coordenadas em Cn, temos que:
Y = {z : zk+1 = · · · = zn = 0} ∩ U
e que existe um polidisco ∆ ⊂ U de centro 0 tal que
π : ∆ ∩ (X ∪ U) → ∆ ∩ Y
é própria, onde π(z) = (z1, z2, . . . , zk, 0, . . . , 0), z ∈ Cn.
Prova. Se k = n nada temos a demonstrar. suporemos 0 < k < n.
Seja E conjunto de todas as funções lineares φ : Cn → C tais que
Y 6⊂ kerφ. E é um aberto denso no dual de Cn.
Seja {x1, x2, . . . , xr, . . . } ⊂ X uma seqüência que contém um
ponto de cada componente irredut́ıvel de X (Teorema VI.1.1(c).
Seja Er o conjunto das funções lineares φ : Cn → C tais que φ(xr) 6=
0. Como 0 ∈ Y temos que 0 /∈ X. Logo, xr 6= 0. Então Er é um
aberto denso no dual de Cn. Pelo teorema de Baire, existe
φ1 ∈ E ∩ E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ . . . .
Então X1 = X ∩ ker φ1 tem dimensão ≤ k − 1 (Exerćıcio VI.1.4) e
Y1 = Y ∩ kerφ1 tem dimensão k − 1. Repetindo o processo, existe
φ2 : Cn → C linear tal que X1 ∩ kerφ2 tem dimensão ≤ k − 2 e
[SEC. VI.4: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÕES IGUAIS 211
Y2 = Y1 ∩ kerφ2 tem dimensão k − 2. Continuando, constrúımos
φ1, φ2, . . . , φk : Cn → C lineares tais que:
dim(X ∩ kerφ1 ∩ · · · ∩ kerφk) ≤ 0 e
dim(Y ∩ kerφ1 ∩ · · · ∩ kerφk) = 0.
Por esta última condição, existe uma mudança linear de coorde-
nadas pela qual conseguimos:
z1 = φ1, . . . , zk = φk e
Y = {z : zk+1 = · · · = zn = 0} ∩ U.
Como o problema é local, podemos supor agora que U é um po-
lidisco de centro 0.
A outra condição acarreta que:
S = X ∩ kerφ1 ∩ · · · ∩ ∩ kerφk = X ∩ π−1(0)
é um conjunto enumerável.
Portanto, existe um polidisco D de centro 0 com D ⊂ U e tal
que a fronteira ∂D de D não contém nenhum ponto de S (vide
figura).
Consideramos a aplicação π : X ∪ Y → Y com π(0) = 0. Como a
fronteira F de D∩(X∪Y ) em X∪Y está contida em ∂D∩(X∪Y ),
temos que F ∩ π−1(0) é vazio. Logo, 0 /∈ π(F ).
Seja ∆1 ⊂ Y ∩D um polidisco de centro 0 tal que ∆1 ∩ π(F ) é
vazio (como F ⊂ D∩ (X∪Y ), F é compacto). Seja ∆ = π−1(∆1)∩
D. Então, pelo Lema I.8.1, π : ∆ ∩ (X ∪ Y ) → ∆1 = ∆ ∩ Y é
própria, o que acaba a prova do Lema VI.4.1.
Nas condições do Lema VI.4.1 observemos que se o fecho de
X ∩ ∆ em ∆ é um conjunto anaĺıtico, então, pelo Teorema V.4.1
(aplicando ao fecho de X ∩ ∆ em ∆ e à aplicação π) teŕıamos que
π(X∩∆) é denso em Y . Vamos ver agora que isto acontece, mesmo
se o fecho de X ∩ ∆ em ∆ não é um conjunto anaĺıtico.
212 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Lema VI.4.2. Suponhamos: a) U é um polidisco de centro 0;
b) Y = {z ∈ U : zk+1 = · · · = zn = 0} (0 < k < n); c) X
é não vazio e de dimensão pura k; d) π : X ∪ Y → Y , π(z) =
(z1, . . . , zk, 0, . . . , 0), z ∈ U é própria. Então π(X) é denso em Y .
Prova. 1o¯ Caso - k = 1, n = 2. Seja U = ∆(0; r1, r2). Supo-
nhamos, por absurdo, que π(X) 6= Y (a barra indica fecho em Y ).
Decorre dáı, e do fato que X 6= ∅, que existe r, 0 < r < r1, tal que
X ∩ ∆(0; r, r2) 6= ∅, mas existe
(a, 0) ∈ ∆(0; r, r2) e (a, 0) /∈ π(X).
Podemos ainda supor que a distância de (a, 0) a π(X) é menor que
r − |a|. Isto significa que existe (x1, x2) ∈ X tal que
|x1| < r e |x1 − a| < r − |a| (*)
Nestas condições, vamos provar que existe um polinômio de forma:
(z1 − a)p + cz2, c 6= 0
[SEC. VI.4: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÕES IGUAIS 213
que anula-se sobre uma componente irredut́ıvel Z deX. O conjunto
Z̃ definido por:
(z1 − a)p + cz2 = 0, (z1, z2) ∈ U − Y
é isomorfo a
{z ∈ C : 0 < |z − a| < p
√
|c|r2} ∩ {z ∈ C : |z| < r1}
(pela projeção (z1z2) → z1). Logo, Z̃ é irredut́ıvel. Portanto, Z =
Z̃ (Exerćıcio VI.1.4). Mas,
(a, 0) ∈ π(Z̃) = π(z) ⊂ π(X),
contradição.
Para construir um tal polinômio consideramos a função holo-
morfa em U − Y :
f(z1, z2) = (z1 − a)p/z2
e vamos determinar p para que |f ||(X ∩∆(0; r, r2)) possua mı́nimo.
Como f 6= 0 em X, decorrerá dáı que f = c constante em uma
214 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
componente irredut́ıvel de X (Teorema V.2.1 e Corolário VI.1.2
aplicados a 1/f , e Teorema VI.1.1a). O polinômio requerido é
z2(f(z1, z2) − c).
Seja
∆ = {(z1, z2) ∈ U : |z1| ≤ r} = U ∩ π−1(Y ∩ ∆(0; r, r2)).
Por hipótese, ∆ ∩ (X ∪ Y ) é compacto. Seja M o máximo de |z2|
em ∆ ∩ (X ∪ Y ). Escolhemos p de maneira que:
( |x1 − a|
r − |a|
)p
<
( |x2|
M
)
(vide (*)).
Segue dáı que
|f(x1, x2)| <
(r − |a|)p
M
.
Seja ℓ = inf(|f ||(X ∩ ∆(0; r, r2)). Então
ℓ <
(r − |a|)p
M
. (**)
Seja {(um, vm)} ⊂ X ∩ ∆(0; r, r2) tal que
|f(um, vm)| → ℓ.
Podemos supor que (um, vm) → (u, v) ∈ ∆ ∩ (X ∪ Y ).
Se v = 0 teŕıamos |f(um, vm)| → +∞, porque (a, 0) /∈ π(X), o que
é absurdo. Logo, v 6= 0. Então (u, v) ∈ X ∩ ∆ e ℓ = |f(u, v)|.
Se |u| = r, então teŕıamos
ℓ =
∣
∣
∣
∣
|u− a|p
v
∣
∣
∣
∣
=
|u− a|p
|v| ≥
(r − |a|)p
M
> ℓ
contradição com (**). Logo, |u| < r. Então,
(u, v) ∈ X ∩ ∆(0; r, r2)
[SEC. VI.4: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÕES IGUAIS 215
e |f ||(X∩∆(0; r, r2)) toma seu mı́nimo em (u, v), o que desejávamos
provar.
2o¯ Caso - k = 1, n > 2. Por indução em n. Sejam:
U ′ = {z ∈ U : zn = 0},
π′ : U → U ′, π′(z) = (z1, . . . , zn−1, 0).
Observemos que π = π ◦ π′. Seja X̃ = X − π′−1(y). Se X̃ é vazio,
X ⊂ π′−1(Y ).
Como π
′−1(Y ) é um polidisco de centro 0 em C2, basta aplicar o
caso 1o¯ para concluir.
Suponhamos, então, que X̃ é não vazio. Vamos demonstrar as
duas afirmações seguintes:
a) π′ : X̃ → U ′ − Y é própria;
b) π : X ′ ∪ Y → Y é própria, Onde X ′ = π′(X̃).
De (a) decorre que X ′ é um subconjunto anaĺıtico de U ′ − Y
de dimensão pura 1 (Teorema V.4.1). Por (b) e pela hipótese de
indução temos que π(X ′) é denso em Y . Como
π(X) = π(π′(X)) ⊃ π(π′(X̃)) = π(X ′),
resulta que π(X) é denso em Y . Resta demonstrar (a) e (b).
SejaK ⊂ U ′−Y compacto. Então π(K) ⊂ Y é compacto. Logo,
π−1(π(K)) ∩ (X ∪ Y ) é compacto por hipótese. Como π = π ◦ π′,
temos:
π
′−1(K) ∩ (X ∪ Y ) ⊂ π−1(π(K)) ∩ (X ∪ Y );
resulta que π
′−1(K) ∩ (X ∪ Y ) é compacto. Mas,
π
′−1(K) ∩ (X ∪ Y ) = π′−1(K) ∩ X̃.
Logo, π
′−1(K) ∩ X̃ é compacto, o que prova (a).
Seja K ⊂ Y compacto. Então, π−1(K) ∩ (X ∪ Y ) é compacto
por hipótese. Mas
π−1(K) ∩ (X ′ ∪ Y ) ⊂ π′(π−1(K) ∩ (X ∪ Y )).
216 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
À direita temos um compacto contido em U ′ e à esquerda um sub-
conjunto fechado de U ′. Logo, π−1(K) ∩ (X ′ ∪ Y ) é compacto, o
que prova (b).
3o¯ Caso - Caso geral. Se k = 1, basta aplicar os 1o¯ e 2o¯
casos. Suponhamos k > 1. Por absurdo, suponhamos que π(X)
não é denso em Y . Como X é não vazio, existe u ∈ π(X). Seja
v /∈ π(X), v ∈ Y.
Existe uma poligonal de Y de lados paralelos aos eixos que une u
a v. Considerando o primeiro lado da poligonal que contém algum
ponto de Y −π(X) vemos que existe uma reta L paralela a um eixo
coordenado, contida em {zk+1 = · · · = zn = 0}, tal que
L ∩ π(X) 6= ∅ e L ∩ (Y − π(X)) 6= ∅.
Toda reta M (M ⊂ {zk+1 = · · · = zn = 0}) paralela a L bastante
próxima de L satisfaz M∩(Y −π(X)) 6= ∅. Se toda reta M paralela
a L, contida em {zk+1 = · · · = zn = 0}, e bastante próxima a L
verificasse M ∩ π(X) = ∅, existiria uma vizinhança de L∩ Y em Y
que não corta π(X), o que contradiz L∩π(X) 6= ∅. Logo, existe M
paralela a um eixo coordenado, contida em {zk+1 = · · · = zn = 0},
tal que M ∩ π(X) 6= ∅ e M ∩ (Y − π(X)) 6= ∅.
Seja ∆ = π−1(M ∩ Y ). Então ∆ é um polidisco de dimensão
n − k + 1 e ∆ ∩ Y = M ∩ Y . Seja X ′ = X ∩ ∆. Então X ′ é um
subconjunto anaĺıtico de ∆ − Z (Z = M ∩ Y ) e dimxX ′ ≥ 1 para
todo x ∈ X ′ (Teorema IV.2.7).
Se dimX ′ ≤ 1, então X ′ é de dimensão pura 1. Como π : X ′ ∪
Z → Z é própria por hipótese, π(X ′) é denso em Z pelo 2o¯ caso.
Se dimX ′ > 1, existe uma componente irredut́ıvel X ′0 de X
′ com
dimX ′0 ≥ 2. Decorre da hipótese que π : X ′0 ∪ Z → Z é própria.
Logo, X
′
0 (fecho em ∆) é um subconjunto anaĺıticode ∆ de di-
mensão 2 (Teorema VI.2.1). Mas isto é imposśıvel porque π : X
′
0 →
Z é própria (Teorema V.4.1).
Em conclusão, π(X ′) é denso em Z = M ∩ Y , o que contradiz
M ∩ (Y − π(X)) 6= ∅.
Isto completa a prova do Lema VI.4.2.
[SEC. VI.4: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÕES IGUAIS 217
Lema VI.4.3. Seja U ⊂ Cn um aberto e seja f : U → C cont́ınua.
Seja V = U − f−1(0) e suponhamos que f |V é anaĺıtica. Então f
é anaĺıtica.
Prova. Pelo Teorema I.1.4, basta considerar o caso n = 1. Pode-
mos supor que U é conexo. Neste caso, basta provar que f−1(0) é
discreto ou f ≡ 0.
Seja D um disco aberto tal que D ⊂ U . Vamos provar que
D ∩ f−1(0) é discreto ou f ≡ 0 em D, o que acabará a prova do
Lema VI.4.3.
Seja u : D → R cont́ınua tal que u|D é harmônica e u = Ref em
D−D. Seja α ∈ R, α > 0 e consideremos φα = u−Ref +α log |f |.
Então φα é harmônica em D ∩ V = W . Seja z0 ∈ fronteira de W .
Se z0 /∈ V , lim
z→z0
φα(z) = −∞. Se z0 ∈ V , então z0 ∈ D − D e
lim
z→z0
φα(z) = α log |f(z0)|.
Como f é cont́ınua, existe M > 0 tal que |f(z)| ≤ eM para
todo z ∈ D. Então, α log |f(z0)| ≤ αM . Pelo prinćıpio do máximo,
φα(z) ≤ αM para todo z ∈ W . Por outro lado, α log |f(z)| ≤ αM
para todo z ∈ D. Logo, u − Ref ≤ 2αM em W . Como α é
arbitrário, u − Ref ≤ 0 em W . Aplicando o mesmo racioćınio a
ψα = Ref− u+α log |f |, conclúımos que Ref− u ≤ 0 em W . Logo,
u = Ref em W .
Seja g anaĺıtica em D tal que Reg = u em D. Seja W0 uma
componente conexa de W . Então f − g é constante em W0. Como
f é nula em D −W , conclúımos que g é constante na fronteira de
W0 em D. Logo, a fronteira de W0 em D é um conjunto discreto,
a menos que g seja constante. Se g é constante, f é constante e
f−1(0) é vazio ou f ≡ 0. Se g não é constante, D −W0 é discreto
proque a fronteira de W0 em D é um conjunto discreto.
Como f−1(0) = D −W ⊂ D −W0, a prova está completa.
Lema VI.4.4. Nas mesmas hipóteses do Lema VI.4.2, temos que
ou X ∩ Y = Y ou X é um subconjunto anaĺıtico de U .
218 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Prova. Suponhamos X ∩ Y 6= Y . Vamos provar que X é subcon-
junto anaĺıtico de U .
Escolhamos um ponto em cada componente irredut́ıvel de X
e obtemos uma seqüência {a1, a2, a3, . . . } (Teorema VI.1.1c). Seja
E o espaço de todas as funções lineares Cn → C que se anulam
sobre Y . E é um espaço vetorial de dimensão n− k. Pelo teorema
de Baire, existe g ∈ E tal que g(aj) 6= 0 para todo j = 1, 2, . . . .
Em particular, dimX ∩ g−1(0) < k (Teorema VI.1.1d) e Exercicio
VI.1.4a).
Dividindo g por uma constante, podemos supor |g(z)| < 1 para
todo z ∈ U . Seja Z = Y − X. Z é um aberto não vazio de Y .
Logo, pelo Lema VI.4.2, Z ∩ π(X) 6= ∅. Seja
X ′ = X ∩ π−1(Z).
Então X ′ é um conjunto anaĺıtico não vazio, de dimensão pura k
(aberto em X) e π : X ′ → Z é própria.
Seja f o termo constante do polinômio caracteŕıstico de g|X ′
(respeito de π - Definição V.5.5). (Se Z não é conexo o definimos
em cada componente conexa de Z). Como dimX ′ ∩ g−1(0) < k
temos que π(X ′ ∩ g−1(0)) é subconjunto anaĺıtico de Z e:
dim π(X ′ ∩ g−1(0)) < k (Teorema V.4.1).
Pela definição de f , decorre dáı que f não é identicamente nula em
nenhuma componente conexa de Z. Pelo Teorema V.5.8, f é uma
função anaĺıtica em Z.
Vamos provar que podemos extender f a uma função cont́ınua
f : Y → C pondo f(z) = 0 para z ∈ Y − Z.
Seja a ∈ Y − Z, a ∈ Z. Então, a ∈ X. Como π−1(a) ∩ (X ∪ Y )
é compacto,
(π−1(a) ∩X) ∪ {a}
é compacto. Pelo Exerćıcio VI.2.2, dimπ−1(a) ∩ X ≤ 0.
Logo, π−1(a) ∩ X é enumerável. Então, existe um polidisco
∆a = ∆(a; ε, . . . , ε) tal que:
∆(a; ε, . . . , ε) ⊂ U e ∂∆a ∩ π−1(a) ∩X = ∅.
[SEC. VI.4: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÕES IGUAIS 219
Pelo Lema I.8.1 vemos que é posśıvel modificar convenientemente
o polidisco ∆a de maneira que:
π : ∆a ∩ (X ∪ Y ) → ∆a ∩ Y
seja própria. Como a ∈ X, ∆a ∩X 6= ∅. Aplicando o Lema VI.4.2
ao polidisco ∆a temos que π(X ∩ ∆a) é denso em ∆a ∩ Y . Logo,
π(X ∩ ∆a) ∩ Z é denso em ∆a ∩ Z.
Se z ∈ π(X∩∆a)∩Z então |f(z)| <
√
nε‖g‖. Com efeito, basta
aplicar a definição de f , o fato que |g| < 1 em U e que
|g(x)| = |g(x− a) + g(z)| = |g(x− a)| ≤ ‖g‖ · ‖x− a‖ ≤ √nε‖g‖
se x ∈ ∆a.
Como π(X∩∆a)∩Z é denso em ∆a∩Z, temos |f(z)| ≤
√
nε‖g‖
para todo z ∈ ∆a∩Z. Decorre dáı que lim
z∈Z,z→a
f(z) = 0, o que prova
que a extensão f : Y → C é cont́ınua.
Pelo Lema VI.4.3, f : Y → C é anaĺıtica.
Como f 6≡ 0, dimF < k onde F = f−1(0). Por definição,
F ⊃ Y − Z = X ∩ Y . Logo, X é um subconjunto anaĺıtico de
U − F . Pelo Teorema VI.2.1, X é um subconjunto anaĺıtico de U ,
o que acaba a prova.
Definição VI.4.1. Seja y ∈ Y . Dizemos que y é singularidade
essencial para X se não existe vizinhança aberta Vy de y em U tal
que X ∩ Vy seja subconjunto anaĺıtico de Vy.
Observação VI.4.1. O conjunto das singularidades essenciais é
um subconjunto fechado de Y contido em Y ∩X.
Lema VI.4.5. Suponhamos que X é de dimensão pura k e que
dimY = k. Seja Σ o conjunto das singularidades essenciais para
X. Seja Z uma componente conexa do conjunto dos pontos regu-
lares de Y . Então:
a) Se dimZ < k, Σ ∩ Z = ∅;
b) Se dimZ = k, Σ ∩ Z = Z ou Σ ∩ Z = ∅.
220 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Prova. Se k = n, X = ∅. Se k = 0, Z é um conjunto com um
único ponto. Nos dois caso o lema é trivial.
Suponhamos 0 < k < n.
Seja dimZ < k. Seja a ∈ Z. Então existe vizinhança aberta
Va ⊂ U de a tal que Y ∩ Va = Z ∩ Va. Logo, dimY ∩ Va < k.
Decorre dáı e do Teorema VI.2.1 que a /∈ Σ. Logo, Z ∩ Σ = ∅, o
que prova (a).
Seja dimZ = k. Seja a ∈ Z ∩ Σ. Como a ∈ Σ, a ∈ X. Esco-
lhendo convenientemente coordenadas anaĺıticas na vizinhança de
a, podemos supor a = 0 e que existe um polidisco ∆ de centro 0
tal que
Y ∩ ∆ = Z ∩ ∆ = {z ∈ ∆ : zk+1 = . . . zn = 0}.
Pelos lemas VI.4.1 e VI.4.4 temos que o fecho de X ∩ ∆ em ∆ é
Y ∩∆ = Z∩∆. Decorre dáı que Z∩∆ ⊂ Σ (vide Exerćıcio IV.3.8).
Então, Z ∩ Σ é aberto em Z. Como ele é também fechado em Z,
temos Z ∩ Σ = ∅ ou Z ∩ Σ = Z, o que prova (b).
Lema VI.4.6. Com as mesmas hipóteses e notações do Lema
VI.4.5, temos que
Σ = Σ ∩ Y0
onde a barra indica fecho em U e Y0 é o conjunto dos pontos regu-
lares de Y .
Prova. Como Σ é fechado em Y e Σ∩Y0 ⊂ Σ¡ temos que Σ ∩ Y0 ⊂
Σ.
Suponhamos que a /∈ Σ ∩ Y0, a ∈ Y . Então existe vizinhança
aberta Va de a em U tal que Va ∩Σ∩Y0 = ∅. Tomando Va suficien-
temente pequena, existe um subconjunto anaĺıtico
Sa ⊂ Y de Va
tal que dimSa < k e que Y ∩ Va − Sa ⊂ Y0 (Proposição IV.3.8).
Decorre dáı que Σ∩Va ⊂ Sa. Logo, o fecho de X ∩Va em Va −Sa é
um subconjunto anaĺıtico de Va − Sa. Pelo Teorema VI.2.1, a /∈ Σ.
Logo, Σ ∩ Y0 ⊃ Σ.
[SEC. VI.4: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÕES IGUAIS 221
Teorema VI.4.7. Se X é de dimensão pura k e dimY = k, então
o conjunto das singularidades essenciais para X é um subconjunto
anaĺıtico de U , contido em Y , de dimensão pura k (eventualmente
vazio).
Prova. Seja Y0 o conjunto dos pontos regulares de Y e seja {zi}i∈I
a famı́lia das suas componentes conexa.
Seja Σ o conjunto das singularidades essenciais para X. Então,
Σ = Σ ∩ Y0 = Σ ∩
⋃
i∈I
Zi
=
⋃
i∈I
(Σ ∩ Zi)
pelo Lema VI.4.6 e pelo Teorema VI.1.1c).
Pelo Lema VI.4.5 e o Teorema VI.1.1a), Σ ∩ Zi é vazio ou é uma
componente irredut́ıvel de Y de dimensão k. O teorema decorre
dáı e do Teorema VI.1.1c), porque a união localmente finita de
subconjuntos anaĺıticos de U é um subconjunto anaĺıtico de U .
Corolário VI.4.8. Suponhamos X de dimensão pura k e dimY =
k. Se Y é irredut́ıvel e Y 6⊂ X então X é um subconjunto anaĺıtico
de U .
Prova. Decorre do Teorema VI.4.7 e do Exerćıcio VI.1.4a), porque
como Σ ⊂ X temos que Σ 6= Y .
Corolário VI.4.9. Suponhamos X de dimensão pura k e Y irre-
dut́ıvel de dimensão k. Então X ∩Y é um subconjunto anaĺıtico de
U e dimX ∩ Y < k se, e somente se X é um subconjunto anaĺıtico
de U .
Prova. Com efeito, X∩Y = Y ou X é subconjunto anaĺıtico de U ,
pelo Corolário VI.4.8. No segundo caso,X ∩ Y é um subconjunto
anaĺıtico de U de dimensão < k (Exerćıcio IV.3.8).
Exemplo VI.4.1. O Exemplo VI.2.1 mostra que, nas hipóteses
do Corolário VI.4.8 pode acontecer que X ⊃ Y . O Exemplo VI.2.2
mostra que a conclusão do Corolário VI.4.9 pode ser falsa se
dimY > k.
222 [CAP. VI: SINGULARIDADES ESSENCIAIS
Exemplo VI.4.2. Vamos mostrar que o Corolário VI.4.9 é falso
sem a hipótese “Y irredut́ıvel”.
Seja U = C2 (n = 2), seja
Y = {z ∈ C2 : z1 = 0} ∪ {z ∈ C2 : z2 = 1}
e seja
X = {z ∈ U − Y : z2 = e1/z1}.
Pelo Exemplo VI.2.1, temos que
X ∩ Y = {z ∈ C2 : z1 = 0} ∪ {(1/(2kπi), 1) : k ∈ Z},
que não é um subconjunto anaĺıtico de U .
Exerćıcio VI.4.1. a) Se X é de dimensão pura k, dimY = k e Y
irredut́ıvel, então X ∩ Y é o conjunto das singularidades essenciais
para X ou X é subconjunto anaĺıtico de U . b) Dar exemplo que
mostre que a condição Y irredut́ıvel é indispensável em (a).
Exerćıcio VI.4.2. Seja Y irredut́ıvel, dimY = n − 1 e suponha-
mos que f : U − Y → C é anaĺıtica e X = f−1(0). Suponhamos
que X não é subconjunto anaĺıtico de U . Então para todo a ∈ Y e
todo b ∈ C existe uma seqüência {z(m)} ⊂ U − Y tal que z(m) → a
e f(z(m)) → b.
Exerćıcio VI.4.3. Seja X um subconjunto anaĺıtico de Cn de di-
mensão pura n− 1 (hipersuperf́ıcie). Suponhamos que X não é um
conjunto algébrico afim. Então o conjunto dos pontos no infinito
de X é todo Pn − Cn e reciprocamente (vide § 3).
Exerćıcio VI.4.4. Seja p(z1, . . . , zn) um polinômio irredut́ıvel não
constante e seja X ⊂ Cn definido por p = 0.
a) Por meio de uma mudança linear não-singular de coordenadas
podemos supor p da forma:
p(z1, . . . , zn) = z
m
n + q1(z1, . . . , zn−1)z
m−1
n + · · · + qm(z1, . . . , zn−1)
onde m ≥ 1.
[SEC. VI.4: PROLONGAMENTO NO CASO DE DIMENSÕES IGUAIS 223
b) Se ∆(z1, . . . , zn−1) é o discriminante de p considerado como
polinômio em zn, então ∆ 6= 0 (vide Apêndice I).
c) Seja f : Cn → C anaĺıtica tal que f |X = 0. Então existe g : Cn →
C anaĺıtica tal que f = pg.
d) Seja φ(z1, . . . , zn) um polinômio tal que φ|X = 0. Então existe
um polinômio q(z1, . . . , zn) tal que φ = pq.
e) X é um subconjunto anaĺıtico irredut́ıvel de Cn (vide Exerćıcio
VI.3.3).
Exerćıcio VI.4.5. Seja f : Cn → C anaĺıtica tal que f = 0 define
um subconjunto algébrico de Cn. Então f = egp onde g : Cn → C
é anaĺıtica e p é um polinômio de n variáveis.
Apêndice 1: Complementos
de Álgebra
1 Anéis noetherianos
Todos os anéis considerados são anéis comutativos com elemento
neutro.
Definição 1.1. Um anel noetheriano é um anel A tal que todo
ideal de A é finitamente gerado.
Teorema 1.2. Um anel A é noetheriano se, e somente se toda
cadeia ascendente de ideais de A:
A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ . . .
é estacionária (isto é, existe n tal que
An = An+1 = . . . ).
Prova. Se A é noetheriano, o ideal
A =
∞
⋃
k=1
Ak
tem um sistema finito de geradores a1, . . . , ar. Seja n bastante
grande para que:
aj ∈ An, 1 ≤ j ≤ r.
[SEC. 1: ANÉIS NOETHERIANOS 225
Então, para todo m ≥ n:
A ⊂ An ⊂ Am ⊂ A.
Ou seja,
An = Am
para todo m ≥ n.
Reciprocamente, suponhamos que toda cadeia ascendente de
ideais de A é estacionária. Seja A ⊂ A um ideal. Seja a1 ∈ A e
seja A1 = A · a1. Se A = A1, está conclúıda a prova. Se A1 6= A,
seja a2 ∈ A, a2 /∈ A1. Seja
A2 = Aa1 + Aa2.
Se A2 = A, está conclúıdo. Se A2 6= A seja a3 ∈ A, a3 /∈ A2. Seja:
A3 = Aa1 + Aa2 + Aa3, etc.
Como
A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . .
o processo termina em um número finito de etapas. Logo, A é
finitamente gerado.
Observemos que, por analogia, prova-se que de toda famı́lia enu-
merável de geradores de um ideal em um anel noetheriano, pode-se
extrair um número finito de geradores.
Teorema 1.3. Seja A um anel noetheriano e seja M um A-módulo
de tipo finito. Então todo submódulo N de M é de tipo finito.
Prova. Suponhamos que M é gerado por n elementos. A prova é
por indução em n. Se n = 0 não temos nada que provar. Se n = 1,
então existe um epimorfismo φ : A→M . Seja C = φ−1(N). Então,
pela definição de anel noetheriano, C é finitamente gerado. Logo,
N = φ(C) é finitamente gerado.
Suponhamos o teorema válido no caso onde M tem n− 1 gera-
dores e vamos provar no caso onde M tem n geradores: a1, . . . , an.
226 APÊNDICE 1: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA
Seja M ′ o submódulo de M gerado por a1, . . . , an−1. Então,
N ′ = N ∩M ′ é finitamente gerado.
Por outro lado, M/M ′ é gerado pela classe de an. Como já
provamos o teorema para n = 1, temos que
N/N ′ ⊂M/M ′
é finitamente gerado. Logo, N é finitamente gerado.
Corolário 1.4. Se A é um anel noetheriano e A é um ideal de A,
então o anel B = A/A é noetheriano.
Prova. B é um A-módulo finitamente gerado e os ideais de B são
sub-A-módulos de B.
Teorema 1.5. (da base, de Hilbert) – Se A é um anel noetheriano,
o anel de polinômios em uma indeterminada A[X] sobre A é um
anel noetheriano.
Prova. Seja B ⊂ A[X] um ideal. Seja A ⊂ A o ideal gerado pelos
coeficientes dos termos de grau máximo de cada polinômio de B.
Como A é noetheriano,
A = Aa1 + · · · + Aar.
Por definição, existe fj ∈ B tal que:
fj = ajX
mj + (termos de grau < mj)
para todo j = 1, . . . , r. Seja m = sup
1≤j≤r
mj. Seja B′ ⊂ B o ideal
gerado por f1, . . . , fr. Então
B ⊂ B′ + A+ A ·X + · · · + A ·Xm−1.
Logo, B/B′ está contido no sub-A-módulo de A[X]/B′ gerado pelas
classes de
1, X, . . . , Xm−1.
Então, por 1.3, B/B′ é um A-módulo de tipo finito. Logo, B/B′
é um A[X]-módulo de tipo finito. Como B′ é finitamente gerado,
decorre dáı que B é finitamente gerado como ideal de A[X].
[SEC. 1: ANÉIS NOETHERIANOS 227
Corolário. O anel dos polinômios sobre um corpo em n-variáveis
é noetheriano.
Prova. Por indução no número de variáveis.
Definição 1.6. Um anel local é um anel noetheriano que possui
um único ideal maximal.
Teorema 1.7. Seja A um anel local e seja M o único ideal maximal
de A. Então,
∞
⋂
n=1
Mn = {0}.
Prova. Seja A =
∞
⋂
n=1
Mn ideal de A. Consideremos o anel
R = A⊕M⊕M2 ⊕ . . .
onde o produto do elemento (xn)n=0,1,2,...(xj ∈ Mj) com o elemento
(yn)n=0,1,2,...(yj ∈ Mj) é o elemento (zn)n=0,1,2,... definido por
zn = x0yn + x1yn−1 + · · · + xny0 n = 0, 1, 2, . . .
(No que precede M0 = A.)
Observemos que se M é gerado por m1, . . . ,mr, então existe um
epimorfismo
A[X1, . . . , Xr] → R
que leva Xj em mj. Pela hipótese e por 1.5 e 1.4, temos que R é
um anel noetheriano.
Consideremos os ideais de R:
Mn = A⊕ n. . .⊕A⊕MA⊕M2A⊕ . . . ,
que formam uma cadeia ascendente. Como R é noetheriano, a
cadeia é estacionária. Decorre dáı que M ·A = A.
Seja agora x1, . . . , xq um sistema de geradores de A. Então
xj =
q
∑
i=1
ajixi, 1 ≤ j ≤ q
228 APÊNDICE 1: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA
onde aji ∈ M para todo j, i.
Seja à = ((aji))1≤j≤q
1≤i≤q
. Então,
(I − Ã) ·X = 0
onde X =



x1
...
xq



.
Por outro lado, como os elementos de à pertencem a M, temos
que det(I−Ã) /∈ M. Logo, det(I−Ã) não está contido em nenhum
ideal maximal. Portanto, det(I − Ã) é inverśıvel em A. Então,
X = 0. Ou seja, x1 = · · · = xq = 0. Decorre dáı que A = 0.
2 Radicais de ideais
Definição 2.1. Seja A um anel e seja A um ideal de A. Chama-se
radical de A ao ideal
√
A gerado pelos x ∈ A tais que xn ∈ A para
algum n = 1, 2, 3, . . . ,.
Lema 2.2. Seja A um anel e seja A 6= A um ideal de A. Então√
A é a intersecção de todos os ideais primos que contém A.
Prova. Suponhamos xn ∈ A para algum n = 1, 2, . . . . Se p ⊃ A é
primo, xn ∈ p e, portanto, x ∈ p.
Suponhamos agora que x /∈
√
A. Seja
S = {1, x, x3, . . . } ⊂ A.
Pelo Lema de Zorn existe um ideal p de A tal que p ∩ S = ∅ e
tal que se C é outro ideal de A, p ⊂ C e C ∩ S = ∅, então p = C.
Em particular, x /∈ p. Vamos provar que p é primo, o que
completará a prova.
Sejam u, v ∈ A, uv ∈ p. Se u /∈ p e v /∈ p então
(p + Au) ∩ S 6= ∅ e (p + Av) ∩ S 6= ∅.
[SEC. 2: RADICAIS DE IDEAIS 229
Quer dizer que existem n,m ≥ 0 tais que:
xn ∈ p +Au, xm ∈ p + Av.
Decorre dáı que
xn+m = xn · xm ∈ p,
o que é uma contradição.
Lema 2.3. Seja A um anel noetheriano e seja A um ideal de A.
Então, √
A = √p1 · · · · · pk
onde os pj são ideais primos.
Prova. Se A = A, k = 0 e está provado. Se A é primo, também
está provado. Se A não é primo, A = A1 · A2, onde A $ A2 e
A $ A2. Se A1,A2 são primos, está provado. Se A1 não é primo.
A1 = A11 · A12
onde A1 $ A11, A1 $ A12, etc. Por 1.2 o processo deve terminar
em um número finito de etapas.
Teorema 2.4. Seja A um anel noetheriano e seja A um ideal de
A. Então, √
A = p1 ∩ · · · ∩ pr
onde os pj são ideais primos tais que
pi 6⊃ pj se i 6= j
e os pj são únicos a menos da ordem.
Prova. Por 2.3: √
A = φ1 · · · · · φk
onde os φi são primos.
Seja p ⊃ A um ideal primo. Então, por 2.2, p ⊃
√
A. Logo,
existe j tal que p ⊃ φj.
230 APÊNDICE 1: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA
Decorre dáı que
φ1 ∩ · · · ∩ φk ⊂ ∩{p : ideal primo e p ⊃ A}.
Por 2.2 temos, então,
√
A = φ1 · · · · · φk ⊂ φ1 ∩ · · · ∩ φk ⊂
√
A.
Logo,
√
A = φ1 ∩ · · · ∩ φk.
Eliminando sucessivamente os φi que contém algum φk, k 6= i,
obtemos a decomposição desejada.
Suponhamos agora que
p1 ∩ · · · ∩ pr = p′1 ∩ · · · ∩ p′s
onde os pi, p
′
j são primos e
pi 6⊃ pk se i 6= k; p′j 6⊃ p′h se j 6= h.
Como
pi ⊃ p′1 ∩ · · · ∩ p′s ⊃ p′1 · · · · · p′s
temos que
pi ⊃ p′j
para algum j. Pelo mesmo, p′j ⊃ pk para algum k. Então:
pi ⊃ p′j ⊃ pk.
Decorre dáı que i = k e pi = p
′
j.
Temos, portanto, que para todo i, 1 ≤ i ≤ r, existe um único
j, 1 ≤ j ≤ s, tal que pi = p′j; e reciprocamente. Isto prova a
unicidade.
Definição 2.5. Se A é um ideal do anel A, dizemos que A é um
ideal radical se A =
√
A.
Definição 2.6. Seja A um anel. A dimensão de A é o supremo
dos n ≥ 0 tais que existe uma cadeia de ideais primos:
p0 $ p1 $ · · · $ pn.
[SEC. 3: EXTENSÕES INTEIRAS 231
3 Extensões inteiras
Sejam 3.1. B um domı́nio (isto é, um anel sem divisores de zero)
e A um subanel de B. Seja x ∈ B. Dizemos que x é inteiro sobre
A se existem a1, . . . , an ∈ A tais que
xn + a1x
n−1 + · · · + an = 0 (n ≥ 1).
Dizemos que B é inteiro sobre A se todo x ∈ B é inteiro sobre A.
Lema 3.2. Sejam B um domı́nio, A um subanel de B e x ∈ B.
Então x é inteiro sobre A se, e somente se A[x] é um A-módulo de
tipo finito.
Prova. Se xn + a1x
n−1 + · · · + an = 0, aj ∈ A, n ≥ 1, então
xn, xn+1, xn+2, . . . ,∈ A+ Ax+ · · · + Axn−1.
Logo,
A[x] = A+ Ax+ · · · + Axn−1.
Reciprocamente, suponhamos
A[x] = Aλ1 + · · · + Aλk, λj ∈ A[x].
Como xλj ∈ A[x], temos:
xλj =
k
∑
i=1
ajiλi, 1 ≤ j ≤ k.
Sejam
M = ((aji))1≤j≤k1≤i≤k U =



λ1
...
λk



.
Então,
(xI −M) · U = 0.
Como U 6= 0 (porque A[x] ⊃ A), temos det(xI −M) = 0.
Desenvolvendo o determinante obtemos que x é inteiro sobre A.
232 APÊNDICE 1: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA
Corolário 3.3. Sejam B um domı́nio, A um subanel noetheriano
de B. Então, o conjunto dos elementos de B inteiros sobre A é um
subanel de B chamado fecho inteiro de A em B.
Prova. Sejam x, y ∈ B inteiros sobre A. Então, pelo lema, A[x]
é um A-módulo de tipo finito. Como y é inteiro sobre A[x], pelo
lema A[x, y] é um A[x]-módulo de tipo finito. Logo, A[x, y] é um
A-módulo de tipo finito. Em particular, x ± y e xy são inteiros
sobre A, porque A[x ± y] e A[xy] são sub-A-módulos de A[x, y] e
por 1.3
Proposição 3.4. Sejam C um domı́nio e A ⊂ B subanéis noethe-
rianos de C. Se C é inteiro sobre B e B é inteiro sobre A, então
C é inteiro sobre A.
Prova. Seja x ∈ C. Se C é inteiro sobre B:
xn + b1x
n−1 + · · · + bn = 0, n ≥ 1, bj ∈ B.
Seja
R = A[b1, . . . , bn].
Se B é inteiro sobre A, decorre do Lema 3.5 a seguir que R é um
A-módulo de tipo finito. Como x é inteiro sobre R, R[x] é um
R-módulo de tipo finito. Logo, R[x] é um A-módulo de tipo finito.
Por 1.3, A[x] é um A-módulo de tipo finito.
Lema 3.5. Sejam B um domı́nio e A um subanel de B. Suponha-
mos que B é finitamente gerado como A-álgebra e que B é inteiro
sobre A. Então, B é um A-módulo de tipo finito.
Prova. Seja B = A[x1, . . . , xn]. Como x1 é inteiro sobre A, A[x1] é
um A-módulo de tipo finito. Como x2 é inteiro sobre a[x1], a[x1, x2]
é um A[x1]-módulo de tipo finito, etc.
Definição 3.6. Sejam A um domı́nio, K o corpo de frações de A.
Dizemos que A é integralmente fechado se o fecho inteiro de A em
K é o próprio A.
[SEC. 3: EXTENSÕES INTEIRAS 233
Teorema 3.7. Seja A um anel noetheriano integralmente fechado
e seja K seu corpo de frações. Seja L uma extensão algébrica de
K e seja t ∈ L inteiro sobre A. Então, o polinômio minimal de t
sobre K tem seus coeficientes em A.
Prova. Seja P (T ) = T n + a1T
n−1 + · · · + an, aj ∈ K o polinômio
minimal de t sobre K. Por definição, existe
Q(T ) = Tm + b1T
m−1 + · · · + bm, bj ∈ A, m ≥ 1
tal que Q(t) = 0. Então, P (T ) divide Q(T ). Logo, toda raiz de
P (T ) = 0, em qualquer extensão de K, é raiz de Q(T ) e, portanto,
é inteira sobre A. Como os aj são polinômios simétricos das ráızes
de P (T ) = 0, os aj são inteiros sobre A (3.2). Como aj ∈ K e A é
integralmente fechado, temos aj ∈ A (1 ≤ j ≤ n).
Corolário 3.8. Seja A um anel noetheriano integralmente fechado.
Seja
f(X) = Xn + a1x
n−1 + · · · + an, aj ∈ A
um elementos irredut́ıvel de A[X]. Então f(X) é um elemento ir-
redut́ıvel de K[X], onde K é o corpo de frações de A.
Prova. Seja p(X) = Xm + b1X
m−1 + · · · + bm, m ≥ 1, bj ∈ K,
um fator irredut́ıvel de f(X) em K[X]. Então, p(X) é o polinômio
minimal de um elemento t de uma extensão algébrica de K. Como
p(X) divide f(X), temos f(t) = 0. Logo, t é inteiro sobre A.
Então, bj ∈ A, 1 ≤ j ≤ m. Logo, p(X) ∈ A[X] divide f(X) em
A[X]. Logo, f(X) = p(X), o que conclui a prova.
Teorema 3.9. Se A é um domı́nio de fatorização única, A é inte-
gralmente fechado.
Prova. Seja K o corpo de frações de A e seja x ∈ K inteiro sobre
A. Seja x = u/v uma expressão irredut́ıvel de x.
Por definição, existem n ≥ 1 e a1, . . . , an ∈ A tais que xn +
a1x
n−1 + · · ·+ an = 0. Então un + a1un−1v+ · · ·+ anvn = 0. Logo,
v divide a un. Como m.c.d. (u, v) = 1, decorre dáı que v é um
inverśıvel de A. Logo, x ∈ A.
234 APÊNDICE 1: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA
Teorema 3.10. Seja A um anel noetheriano integralmente fechado,
seja K o corpo de frações de A e seja L uma extensão algébrica
de K da forma L = K[θ] onde θ é inteiro sobre A. Seja D o
discriminante do polinômio minimal de θ sobre K. Então D ∈ A e
Dx ∈ A[θ] para todo x ∈ L inteiro sobre A (vide § 5).
Prova. que D ∈ A decorre de 3.7.
Seja T : L → K, T (u) = trL/K(u), u ∈ L. Então, é bem conhe-
cido que se n = [L : K[, então
D = det(aij))0≤i≤n−10≤j≤n−1 onde aij = T (θ
i+j) (vide § 5).
Seja x ∈ L inteiro sobre A. Então,
x =
n−1
∑
j=0
cjθ
j, cj ∈ K.
Logo, T (x · θi) = ΣcjT (θi+j) = Σaijcj ∈ K.
Como x e θ são inteiros sobre A, xθi é inteiro sobre A. Logo,
os conjugados de xθi sobre K são inteiros sobre A. Então T (xθi)
é inteiro sobre A. Como A é integralmente fechado, T (xθi) ∈ A.
Então,
((aij))0≤i≤n−10≤j≤n−1 · ((cj))0≤j≤n−1 ∈ An.
Pela regra de Cramer, Dcj ∈ A para todo j. Então, Dx ∈ A[θ].
Teorema 3.11. Sejam B um domı́nio, A um subanel de B, p um
ideal de B. Suponhamos que B é inteiro sobre A e que p ∩ A = 0.
Então, p = 0.
Prova. Seja x ∈ p. Seja xm + a1xm−1 + · · · + am = 0, m ≥ 1,
aj ∈ A. Então,
am ∈ p ∩ A.
Logo, am = 0. Então, ou x = 0 ou x
m−1 +a1x
m−2 + · · ·+am−1 = 0.
Neste último caso, am−1 ∈ p ∩ A. Logo, am−1 = 0, etc.
[SEC. 4: ELEMENTOS PRIMITIVOS 235
4 Elementos primitivos
Sejam B um domı́nio, A ⊂ B um subanel. Sejam K ⊂ L os corpos
de frações de A,B respectivamente.
Definição 4.1. Um elemento primitivo é um θ ∈ B tal que θ é
algébrico sobre K e L = K[θ].
O seguinte é um teorema clássico de teoria de corpos.
Teorema 4.2. Se a caracteŕıstica dos corpos é 0 e se L|K é uma
extensão algébrica finita, então existe elemento primitivo.
Teorema 4.3. Suponhamos que a caracteŕıstica doscorpos é 0 e
que existe um número natural m tal que [K(x) : K] ≤ m para todo
x ∈ B. Então L|K é extensão algébrica finita de grau ≤ m.
Prova. Se [L : K] > m, existem b0, b1, . . . , bm ∈ B linearmente
independentes sobre K.
Seja M o corpo de frações de A[b0, . . . , bm]. M é o corpo gera-
do sobre K por b0, . . . , bm. Logo, pela hipótese, M |K é extensão
algébrica finita. Pelo Teorema 4.2,
M = K[θ], θ ∈ A[b0, . . . , bm] ⊂ B.
Logo, pela hipótese, [M : K] ≤ m, o que é absurdo porque
b0, . . . , bm ∈M.
5 Discriminante
Consideremos o polinômio a coeficientes inteiros:
V (X1, . . . , Xn) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 · · · 1
X1 X2 Xn
· · · · · · · · · · · ·
Xn−11 X
n−1
2 X
n−1
n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
(determinante de Vandermonde ao quadrado).
236 APÊNDICE 1: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA
É óbvio que V é um polinômio simétrico. Então, existe outro
polinômio ∆ ∈ Z[T1, . . . , Tn] tal que:
V (X1, . . . , Xn) = ∆(Σ1, . . . ,Σn),
onde Σ1, . . . ,Σn são as funções simétricas elementares deX1, . . . , Xn.
Definição 5.1. Seja K um corpo e seja
p(X) = a0X
n + a1X
n−1 + · · · + an, a0 6= 0
um polinômio com coeficientes em K. Então,
∆p = ∆
(
−a1
a0
,
a2
a0
, . . . , (−1)nan
a0
)
é chamado de discriminante do polinômio p(X).
Teorema 5.2. A condição necessária e suficiente para que todas
as ráızes de p(X) sejam simples é que ∆p 6= 0.
Prova. Sejam x1, . . . , xn as ráızes de p(X) em alguma extensão de
K, i.e.,
p(X) = a0(X − x1) . . . (X − xn).
Pelo determinante de Vandermonde, as ráızes são todas simples se,
e somente se:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xn
· · · · · · · · · · · ·
xn−11 x
n−1
2 x
n−1
n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6= 0; ou seja, V (x1, . . . , xn) 6= 0.
Pela relação de coeficientes a ráızes, isto equivale a ∆p 6= 0.
Corolário 5.3. Se a caracteŕıstica de K é 0 e se p(X) é irredut́ıvel
sobre K, então ∆p 6= 0.
Prova. Se p(X) tem ráızes múltiplas, o máximo divisor comum
d(X) de p(X) e p′(X) tem grau positivo. Como a caracteŕıstica é
0, p′(X) 6= 0. Logo,
0 < grau d(X) ≤ n− 1.
Como d(X) divide p(X), resulta que p(X) não é irredut́ıvel.
[SEC. 5: DISCRIMINANTE 237
Proposição 5.4. Suponhamos p(X) irredut́ıvel e seja L = K[θ] o
corpo obtido adjuntado uma raiz θ de p(X) a K. Seja
aij = TrL/K(θ
i+j), 0 ≤ i, j ≤ n− 1.
Então,
∆p = det((aij)).
Prova. Sejam θ = x1, . . . , xn as ráızes de p(X) em alguma extensão
de K. Então,
TrL/K(θ
i+j) = xi+j1 + · · · + xi+jn .
Logo,
∆p =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 · · · 1
x1 . . . xn
· · ·
xn−11 . . . x
n−1
n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 x1 · · ·xn−11
...
...
1 xn · · ·xn−1n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= det((aij)).
Apêndice 2: Imagens
Próprias de Conjuntos
Anaĺıticos. Aplicações
1 Imagens próprias de conjuntos anaĺı-
ticos
Sejam M,N variedades anaĺıticas complexas e seja f : M → N uma
aplicação anaĺıtica. Seja X ⊂M um subconjunto.
Teorema 1.1. Suponhamos que: a) X é um subconjunto anaĺıtico
de M (vide Exerćıcio III.4.6); b) f é própria; c) N é conexa;
d) dimX < dimN . Então N − f(X) é conexo, aberto e denso em
N .
Vamos provar este teorema sob uma forma um pouco mais geral.
Para poder enunciar o teorema nesta forma mais geral, daremos
primeiro uma definição.
Definição 1.2. Dizemos que X é k-fino (onde k ≥ 0 é inteiro) se
para todo x ∈ M existem uma vizinhança aberta Ux de x em M e
um subconjunto anaĺıtico Tx de Ux tais que:
dimTx ≤ k e X ∩ Ux ⊂ Tx.
Lema 1.3. O fecho de um subconjunto k-fino é k-fino. A união de
uma famı́lia localmente finita de conjuntos k-finos é k-fina.
[SEC. 1: IMAGENS PRÓPRIAS DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 239
A prova é imediata.
Observação 1.4. Se X é um subconjunto anaĺıtico de dimensão
k de M então X é um subconjunto fechado k-fino de M . Por esta
razão, o teorema seguinte implica imediatamente o Teorema 1.1.
Teorema 1.5. Suponhamos que: a) X é um subconjunto fechado
k-fino de M ; b) f é própria; c) N é conexa; d) k < dimN .
Então N − f(X) é conexo, aberto e denso em N .
Prova. f(X) é subconjunto fechado de N porque f é própria.
Resta provar que N − f(X) é conexo e denso em N .
A prova é por indução em k. Se k = 0, X é um subconjunto
discreto de M . Como f é própria, f(X) é um subconjunto discreto
de N . Dado que dimN > k = 0, N é uma variedade diferenciável
de dimensão pelo menos 2. Logo, N − f(X) é conexo e denso em
N .
Vamos demonstrar o teorema no caso em que X é um sub-
conjunto fechado k-fino de M (k ≥ 1), supondo que o teorema é
verdadeiro quando X é fechado (k − 1)-fino em M .
A) Redução a um caso particular. Sejam Ux, Tx como na
Definição 1.2. Tomando Ux bastante pequeno podemos supor que
existe um subconjunto anaĺıtico Sx ⊂ Tx de Ux tal que dimSx <
k e todo ponto de Tx − Sx é ponto regular de Tx (Proposição
IV.3.8). Seja {Vi}i∈I um refinamento localmente finito do cobri-
mento {Ux}x∈M de M . Para cada i ∈ I existe x(i) ∈ M tal que
Vi ⊂ Ux(i). Sejam: Ti = Tx(i) ∩ Vi, Si = Sx(i) ∩ Vi.
Seja {Wi}i∈I um cobrimento aberto de M tal que W i ⊂ Vi para
todo i ∈ I. Sejam:
T ′i = Ti ∩Wi, S ′i = Si ∩Wi.
Então T ′i − S ′i é uma variedade anaĺıtica de dimensão ≤ k e S ′i é
um subconjunto (k− 1)-fino de M . Além disso, X ∩Wi ⊂ T ′i . Seja
S =
⋃
i∈I
S ′i. Então (X − S) ∩Wi ⊂ T ′i − S ′i para todo i ∈ I. Pelo
240 APÊNDICE 2: IMAGENS PRÓPRIAS DE CONJUNTOS ANAĹITICOS. APLICAÇÕES
Lema 1.3 S é um subconjunto fechado (k − 1)-fino de M . Pela
hipótese de indução, L = N −f(S) é conexo, aberto e denso em N .
Seja K = M − f−1(f(S)). Então f : K → L é anaĺıtica e própria e
X ∩K é um subconjunto fechado k-fino de K.
Suponhamos provado o Teorema 1.5 para K,L,X ∩K, f : K →
L em lugar de M,N,X, f : M → N respectivamente. Então tere-
mos que
L− f(X ∩K)
é conexo e denso em L. Como L é denso em N , L − f(X ∩ K) é
denso em N . Como
L− f(X ∩K) ⊂ N − f(X) ⊂ N
teremos que N − f(X) é conexo e denso em N .
Como X ∩K ⊂M − S, vemos que¡ para provar o Teorema 1.5,
podemos supor o seguinte:
Para cada x ∈ M existe uma vizinhança Ux aberta de x em M
e uma subvariedade anaĺıtica (fechada) Tx de Ux tais que
dimTx ≤ k e X ∩ Ux ⊂ Tx.
B) Redução a um caso ainda mais particular. Sejam Ux, Tx
como no caso A). Consideremos o conjunto Sx dos pontos z ∈ Tx
tais que o posto de d(f |Tx)(z) seja inferior ao máximo do posto da
d(f |Tx) na componente conexa de Tx que contém z. Então Sx é
um subconjunto anaĺıtico de Tx, dimSx < k e d(f |(Tx − Sx)) tem
posto constante em cada componente conexa de Tx −Sx (Exerćıcio
III.4.7).
Seja {Vi} um refinamento localmente finito do cobrimento
{Ux}x∈M de M . Para cada i ∈ I existe x(i) ∈M tal que Vi ⊂ Ux(i).
Sejam Ti = Tx(i) ∩ Vi, Xi = Sx(i) ∩ Vi. Seja {Wi}i∈I um cobrimento
aberto de M tal que W i ⊂ Vi para todo i ∈ I. Sejam
T ′i = Ti ∩Wi, S ′i = Si ∩Wi.
EntãoX∩Wi ⊂ T ′i , T ′i−S ′i é uma variedade anaĺıtica e d(f |(T ′i−S ′i))
tem posto constante em cada uma das suas componentes conexas.
[SEC. 1: IMAGENS PRÓPRIAS DE CONJUNTOS ANAĹITICOS 241
Cada S ′i é um subconjunto (k − 1)-fino de M . Logo, S =
⋃
i∈I
S ′i
é um subconjunto fechado (k − 1)-fino de M , pelo Lema 1.3. Ob-
servemos que (X − S) ∩Wi ⊂ T ′i − S ′i para todo i ∈ I.
Pela hipótese de indução, L = N−f(S) é conexo, aberto e denso
em N . Seja K = M − f−1(f(S)). Então f : K → L é anaĺıtica e
própria e X ∩K é um subconjunto fechado k-fino de K.
Pelo mesmo racioćınio do final da parte A) conclúımos que basta
provar o teorema paraK,L,X∩K e f : K → L em lugar deM,N,X
e f : M → N . Portanto temos que, para provar o Teorema 1.5,
podemos supor o seguinte: para cada x ∈M existe uma vizinhança
aberta Ux de x em M e uma subvariedade anaĺıtica (fechada) Tx de
Ux tais que:
dimTx ≤ k, X ∩ Ux ⊂ Tx e d(f |Tx) tem posto constante
em cada componente conexa de Tx.
C) Prova do teorema no caso particular B). Sejam Ux, Tx
como no caso B). Tomando Ux ainda bastante pequeno, pode-
mos supor que f(Tx) é uma subvariedade anaĺıtica(fechada) de
dimensão ≤ k de uma vizinhança aberta Vy(x) de y = f(x) em N .
Isto decorre do Teorema I.3.2
Seja y ∈ N . Seja My = f−1(y). Como My é compacto,
My ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Um
onde cada Uj é um aberto de M que contém um subconjunto Tj tal
que X ∩Uj ⊂ Tj e f(Tj) é uma subvariedade anaĺıtica (fechada) de
uma vizinhança aberta Vj de y em N , com dim f(Tj) ≤ k. Seja Vy
vizinhança aberta e conexa de y em N tal que
Vy ⊂
m
⋂
j=1
Vj e f
−1(Vy) ⊂
m
⋃
j=1
Uj (Lema V.4.3).
Logo, Rj = f(Tj) ∩ Vy é uma subvariedade anaĺıtica (fechada) de
Vy de dimensão ≤ k.
242 APÊNDICE 2: IMAGENS PRÓPRIAS DE CONJUNTOS ANAĹITICOS. APLICAÇÕES
Temos que:
f(X) ∩ Vy = f
(
X ∩
m
⋃
j=1
Uj
)
∩ Vy ⊂
m
⋃
j=1
(f(Tj) ∩ Vy) =
m
⋃
j=1
Rj.
Pelo Lema 1.7 abaixo, Vy −
m
⋃
j=1
Rj é conexo e denso em Vy, porque
k < dimN por hipótese. Como
Vy −
m
⋃
j=1
Rj ⊂ Vy − f(X) ⊂ Vy,
Vy−f(X) é conexo e denso em Vy. Pelo Lema 1.6 abaixo, N−f(X)
é conexo e denso em N .
Lema 1.6. Seja R um subconjunto fechado de uma variedade dife-
renciável conexa V . Suponhamos que existe um cobrimento aberto
{Vi}i∈I de V tal que Vi −R é conexo e denso em Vi para todo i ∈ I.
Então, V −R é conexo e denso em V .
Prova. Se V −R = A∪B, A,B abertos disjuntos não vazios, temos
que Vi−R ⊂ A ou Vi−R ⊂ B. Isto permite classificar os Vi em duas
classes. Como V é conexa, devem existir Vi, Vj tais que Vi−R ⊂ A,
Vj −R ⊂ B e Vi ∩Vj 6= ∅. Mas, então, (Vi −R)∩ (Vj −R) 6= ∅ pela
densidade de Vi −R em Vi, o que é absurdo.
Lema 1.7. Seja V uma variedade diferenciável conexa de dimensão
n. Sejam R1, . . . , Rm subvariedades diferenciáveis fechadas de V .
Suponhamos dimRj ≤ n − 2 (j = 1, . . . ,m). Então V −
m
⋃
j=1
Rj é
conexo e denso em V .
Prova. Como V −
m
⋃
j=1
Rj =
(
V −⋃m−1j=1 Rj
)
− Rm vemos, por
indução, que basta considerar o caso m = 1. Seja, então, R uma
subvariedade diferenciável de V , fechada, com dimR ≤ n − 2.
Então, cada y ∈ V possui uma vizinhança aberta Vy tal que Vy∩R =
∅ ou existe um difeomorfismo de Vy com Rr × Rs (r + s = n) tal
que s ≥ 2 e a imagem de Vy ∩R é Rr ×{0}. Então, Vy −R é conexo
e denso em Vy para todo y ∈ V . Logo, o Lema 1.7 decorre de 1.6.
[SEC. 2: CONE TANGENTE 243
2 Cone tangente
Seja X um subconjunto anaĺıtico de dimensão pura k, de um do-
mı́nio U ⊂ Cn. Fixemos um ponto de X que suporemos ser 0 a
origem do sistema de coordenadas. O cone tangente a X em 0 é
o subconjunto de Cn formado por todas as retas tangentes em 0 a
X (Definição V.6.2). Cada uma destas retas representa um ponto
de Pn−1(C) (Exemplo I.4.1). Notaremos C ⊂ Pn−1(C) o conjunto
dos pontos de Pn−1(C) que representam retas tangentes em 0 a X.
Vamos provar que C é um subconjunto anaĺıtico de Pn−1(C), o que
nos permitirá, junto com o Teorema 1.1, demonstrar a parte (a) do
Teorema V.6.8.
Lema 2.1. Sejam f0, . . . , fm : U → C funções anaĺıticas. Seja
F = {x ∈ X : f0(x) = · · · = fm(x) = 0}.
Seja X1 ⊂ U × Pm(C) definido por:
X1 = {(x, u) : x ∈ X − F e u = (f0(x), . . . , fm(x))}
(vide Exemplo I.4.1). Então, o fecho Y de X1 em U ×Pm(C) é um
subconjunto anaĺıtico de U × Pm(C).
Observação: Cada ponto de Pm é uma reta pela origem em Cm+1.
Se (x, u) ∈ X1, u é a reta que passa pelo ponto
(f0(x), . . . , fm(x)) ∈ Cm+1.
Então, o que estamos agregando a X1 para ter Y são os pares (y, v)
onde y ∈ F e v ∈ Pm é uma posição limite, quando x→ y, da reta
pela origem em Cm+1 que passa pelo ponto (f0(x), . . . , fm(x)). A
projeção p : U × Rm(C) → U induz uma aplicação X1 → X − F e
Y −X1 ⊂ p−1(F ).
Prova. Seja Z o subconjunto anaĺıtico de U×Pm(C) definido pelas
equações
ζifj(z1, . . . , zn) − ζjfi(z1, . . . , zn) = 0 0 ≤ i, j ≤ m
244 APÊNDICE 2: IMAGENS PRÓPRIAS DE CONJUNTOS ANAĹITICOS. APLICAÇÕES
onde ζ0, . . . , ζm são as coordenadas homogêneas em Pm e z1, . . . , zn
as coordenadas afins em Cn (Exerćıcio III.4.6). Então,
Z ∩ (X × Pm) = X1 ∪ (F × Pm).
Com efeito, as equações acima implicam que se algum
fj(z1, . . . , zm) 6= 0 então as coordenadas (ζ0, . . . , ζm) são propor-
cionais às
(f0(z1, . . . , zn), . . . , fm(z0, . . . , zn)).
Como X1 ∩ (F × Pm) é vazio, decorre dáı que:
Y = X1 = [X1 ∪ (F × Pm)] − (F × Pm)
= [Z ∩ (X × Pm)] − (F × Pm)
(onde o fecho é tomado em U × Pm).
Para completar a prova do Lema 2.1 basta, então, aplicar os
Exerćıcios IV.3.7 e IV.3.6 (que são ainda válidos em variedades,
por tratar-se de propriedades locais).
Teorema 2.2. C é um subconjunto anaĺıtico de Pn−1(C) e
dimC < k.
Prova. Aplicamos o Lema 2.1 com f0 = z1, f1 = z2, . . . , fm = zn.
Neste caso m = n− 1 e F = {0}. Vamos verificar que:
{0} × C = Y ∩ ({0} × Pm). (*)
Seja ζ ∈ C. Então ζ é uma reta por 0 em Cn e existe uma
seqüência {xr} ⊂ X−{0} tal que limxr = 0 e limxr/‖xr‖ = u ∈ ζ.
Seja ζr ∈ Pm a reta que une 0 a xr. Considerando a aplicação
canônica Cn − {0} → Pm (que é cont́ınua), vemos que lim ζr = ζ.
Por outro lado, por definição das coordenadas homogêneas, ζr =
(f0(xr), . . . , fm(xr)). Logo, (xr, ζr) ∈ X1. Então (0, ζ) ∈ Y . Isto
prova que:
{0} × C ⊂ Y ∩ ({0} × Pm).
Seja (0, ζ) ∈ Y . Então, existe {(xr, ζr)} ⊂ X1 tal que
lim(xr, ζr) = (0, ζ). Logo, {xr} ⊂ X − {0}, xr → 0 e ζr é a reta
[SEC. 2: CONE TANGENTE 245
que une 0 a xr. Passando à subseqüência podemos supor que existe
lim xr/‖xr‖ = u. Seja ζ ′ a reta que une 0 a u. Então, lim ζr = ζ ′.
Logo, ζ ′ = ζ. Então, u ∈ ζ. Portanto, ζ ∈ C. Isto prova que:
Y ∩ ({0} × Pm) ⊂ {0} × C
e completa a prova de (*).
Decorre de (*) e do Lema 2.1 que C é um subconjunto anaĺıtico
de Pm.
Seja Σ o conjunto dos pontos regulares de X − {0}. Então, Σ
é uma variedade anaĺıtica complexa de dimensão k (a menos que
k = 0; mas neste caso C é vazio e dimC = −1 < 0), aberta e densa
em X − {0} (Lema IV.3.4). Seja
Σ̃ = {(x, u) : x ∈ Σ, u = (f0(x), . . . , fm(x))} ⊂ X1.
Seja Π: U × Pm → U , Π(x, u) = x. Então Π: X1 → X − {0} é um
homeomorfismo; a inversa é:
Λ: X − {0} → X1, Λ(x) = (x, (f0(x), . . . , fm(x))).
Logo, Σ̃ = Λ(Σ) é aberto denso em X1, e Λ: Σ → Σ̃ é homeomor-
fismo.
Por outro lado, (Π0Λ)|Σ é a identidade. Logo,
Λ: Σ → U × Pm
é um mergulho. Então, Σ̃ é uma variedade anaĺıtica complexa de
dimensão k, aberta e densa em X1. Pela construção de Y , Y =
X1∪C, união disjunta. Logo, X1 é aberto em Y . Então Σ̃ é aberta
e densa em Y . Decorre dáı que dimY = k (Lema IV.3.4). Então,
dimC < k (Exerćıcio IV.3.8), porque Y − C = X1 é denso em Y .
Vamos agora provar a parte (a) do Teorema V.6.8. Primeiro
demonstraremos um lema.
Lema 2.3. Seja E = Cnk o espaço de todas as aplicações lineares
Cn → Ck. Seja
M = {(ζ, L) ∈ Pn−1(C) × E : ζ ⊂ kerL}.
246 APÊNDICE 2: IMAGENS PRÓPRIAS DE CONJUNTOS ANAĹITICOS. APLICAÇÕES
Então M é uma subvariedade anaĺıtica complexa (fechada) de
Pn−1(C) × E
de dimensão (n− 1)(k + 1) e
Π: M → Pn−1(C), π(ζ, L) = ζ
é uma submersão (i.e., sua diferencial é sobrejetora em cada ponto).
Prova. Seja m = n − 1. Sejam (ζ0, ζ1, . . . , ζm) as coordenadas
homogêneas em Pm. Então Pm é coberto por abertos Ui definidos
por ζi 6= 0 (i = 0, 1, . . . ,m). Cada Ui identifica-se com Cm pela
aplicação (ζ0, . . . , ζm) → (ζ0/ζi, i. . ., ζm/ζi).
Temos uma aplicação
Λi : Ui × E → Ck
(para cada i = 0, 1, . . . ,m) definida por:
Λi((ζ0, . . . , ζm), L) = L(ζ0/ζi, . . . , ζm/ζi),
tal que M ∩ (Ui × E) = Λ−1i (0) (0 ≤ i ≤ m).
Λi é uma aplicação afim (composição de linear com translação)
quando identificamos Ui × E ∼= Cm × E = Cnk+m. Logo,
M ∩ (Ui × E)
identifica-se a um subespaço afim. Além disso, como
M ∩ (Ui × E) ⊃ Ui × {0}
temos que a projeção Ui×E → Ui é sobrejetora quando restringida
a M ∩ (Ui × E). Decorre dáı que M é subvariedade anaĺıtica de
Pm × E e que Π é submersão.
Além disso, como Λ−1i (0) é não vazio,
dim Λ−1i (0) = dim(Ui × E) − dim Ck = (n− 1)(k + 1).
Logo, dimM = (n− 1) × (k + 1).
[SEC. 2: CONE TANGENTE 247
Teorema 2.4. O conjunto T de todas as aplicações lineares Cn →
Ck transversas a X em 0 éum conjunto conexo, aberto e denso
no espaço S de todas as aplicações lineares sobrejetoras Cn → Ck
(vide § 6 do Caṕıtulo V).
Prova. Como S é aberto e denso no espaço E = Cnk de todas as
aplicações lineares Cn → Ck, basta provar que T é conexo, aberto
e denso em E. Seja
Z = M ∩ (C × E)
onde M é o definido no Lema 2.3 Z é um subconjunto anaĺıtico
de Pm × E pelo Teorema 2.2, Lema 2.3 e Exerćıcio IV.3.7. Vamos
provar que dimZ < nk. Se provarmos isto então, para completar a
prova do Teorema 2.4 basta aplicar o Teorema 1.1 à aplicação
Pm × E → E, (ζ, L) → L,
(que é própria porque Pm é compacto) e ao conjunto Z. Com efeito,
T é o complementar da imagem de Z por esta aplicação. Só resta,
então, provar que dimZ < nk.
Observemos que Z = Π−1(C), onde Π é a do Lema 2.3. Como
dimC < k pelo Teorema 2.2, existe uma variedade anaĺıticaD ⊂ C,
aberta e densa em C, com dimD < k (Lema IV.3.4 e Definição
IV.2.1). Então Π−1(D) é aberto e denso em Π−1(C) = Z, porque Π
é aberto porque é submersão pelo Lema 2.3 (vide Teorema I.3.2).
pelo mesmo Teorema I.3.2, Π−1(D) é uma variedade anaĺıtica e
dim Π−1(D) = dimD + dimM − dim Pm < nk
pelo Lema 2.3. Decorre dáı que dimZ < nk (Lema IV.3.4 e
Definição IV.2.1).
Indicações para Resolução
dos Exerćıcios
II.1.1 Aplicando localmente o Teorema II.1.2, f é anaĺıtica. Pelo
prinćıpio do máximo ela é constante.
II.1.2 Proceder por cartas locais.
II.1.3 f(t, a2, . . . , an) extende-se a 0. Pela fórmula de Cauchy, se
0 < sj < rj (1 ≤ j ≤ n):
f(z) =
1
2πi
∫
|ζ|=s1
f(ζ, z2, . . . , zn)
ζ − z1
dζ, z ∈ ∆(0, s) − S.
Decorre dáı que f é limitada em ∆(0, s) − S.
II.2.1 Existe ∆′ tal que K ⊂ ∆′ ⊂ ∆′ ⊂ ∆, etc.
Se ∆ −K não é conexo, basta tomar 0 numa componente e 1 nas
outras.
II.2.2 Considerar 1/f e aplicar Exerćıcio II.2.1.
II.2.3 Como sn → 0, S é discreto e fechado em U .
Seja f : U → C anaĺıtica, f |S = 0. Pelo Teorema II.2.1, f prolonga-
se analiticamente a ∆. f |Lk anula-se sobre uma seqüência que tende
a 0. Então f |Lk = 0. Logo, f(zk) = 0. Então f = 0.
II.2.4 Pelo Teorema II.2.1, f anaĺıtica em Cn. Restringindo às retas
pela origem: f(λz) = λf(z), λ ∈ C.
250 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
II.3.1 f : U → C anaĺıtica, s1 < σ1 < r1, s2 < σ2 < r2.
g(z) =
1
2πi
∫
|ζ|=σ1
f(ζ, z2)
ζ − z1
dζ, z ∈ ∆(0;σ).
Se |z2| < σ2, então g(z) = f(z).
III.1.1 z21z
2
2 − 4z32 = z22(z21 − 4z2) não é um quadrado no anel local
de C3 em 0.
T = A′ ∪B′, S = A ∪B onde:
A′ = {z2 = 0}, B′ = {z2 = z21/4}, A = {z2 = z3 = 0},
B = {z2 = z21/4 e z3 = −z1z2/2}
p : A → A′ identidade, B variedade anaĺıtica, p : B → B′ isomor-
fismo.
III.1.2 A função algébrica tem um ramo uniforme em X − {0}.
III.2.1 f(0, 0, . . . , zn) = uz
k
n onde u(0) 6= 0.
III.2.2 z3 = 1/z2 é raiz. Então
z2z
3
3 + z1z
2
2z3 − z23 − z1z2 = (z2z3 − 1)(z23 + z1z2)
X é dado por z23 + z1z2 = 0. Aplicar Corolário III.1.4.
III.3.1 X1 é dado por φ = 0, onde dφ 6= 0 e X2 por ψ = 0, onde
dψ 6= 0 e dφ e dψ são independentes. f = (φ, ψ).
III.3.2 z23 + z1z2z3 + z
3
2 = 0 z2z3 = 0 z1z3 + 3z
2
2 = 0 2z3 + z1z2 = 0
z2z3 = 0
{
z2 = 0 → z3 = 0
z3 = 0 → z2 = 0
→ X − S é subvariedade de C3 − S
z3 = z2(−z1 ±
√
z1 − 4z2)/2
z = (a, 0, 0) com a 6= 0 → z1 − 4z2 = a 6= 0. A raiz possui duas
determinações que dão os dois fatores como no Exemplo III.3.1.
251
III.3.3 f = uzk1 , u(0) 6= 0 e k = 1 ⇔ f ′(0) 6= 0.
III.4.1 a) K = L implica A = H integralmente fechado e A é inteiro
sobre H. Então tj ∈ H para todo j : X̃ é definido, neste caso, por:
zk+1 − tk+1 = 0, . . . , zn − tn = 0.
Logo, X̃ é variedade anaĺıtica. Como Σ = ∅, X = X̃.
b) Neste caso X̃ vem definido por:
pk+1(zk+1) = 0 e zj − rj(zk+1) = 0
onde rj(Z) ∈ H[Z]. Como Y −S é denso em Y , X̃ −Σ é denso em
X̃. Então X = X̃. Logo, f = π.
III.4.2 Aplicar o Teorema III.4.7 ao ideal gerado por f
1
, . . . , f
r
.
III.4.3 Seja a ∈ U . Tomamos germes em a. f = γ/δ onde γ e δ são
primos entre si. Então,
V (δ) ⊂ V (g) ∪ V (γ).
Logo,
J (V (δ)) ⊃ J (V (g)) ∩ J (V (γ)) ⊃ J (V (g)) · J (V (γ))
J (V (δ)) é a intersecão dos ideais gerados pelos fatores primos de
δ. Como γ e δ são primos entre si, decorre dáı que
J (V (δ)) ⊃ J (V (g)).
Então, todo fator primo de δ divide g. Logo, f · gm ∈ Oa. Depois
aplicar que V é compacto.
III.4.4 V (J (α) + J (β)) = V (J (α)) ∩ V (J (β)) = α ∩ β e aplicar
Teorema III.4.7.
III.4.5 Se u é um campo constante em C2 não paralelo a Tz(X)
então k(z) é a ordem da primeira derivada ∂kf/∂uk não nula no
ponto z: basta tomar eixos paralelos a u e a Tz(X).
252 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
III.4.7 S é definido pela anulação dos determinantes de todos os
menores h× h extráıdos da matriz jacobiana de F .
Aplicar Teorema I.3.2.
III.5.1 X é variedade anaĺıtica. Então P é primo. z1, z2, z3, z4
verificam o Lema III.4.10 com k = 2. P ∩ H = 0 porque dados
a1, a2 perto de 0, existem a3, a4 perto de 0 tais que a ∈ X.
A = H[t3, t4]
como no Exemplo III.5.1 (por divisão). A é inteiro sobre H como
no Exemplo III.5.1.
t4 = −(t1t2 + 2t3)/(2t2) → L[t3] = K.
Multiplicando a segunda por z22 e substituindo (z2z4) por seu valor
tirado da primeira, temos:
z32 + z
2
3 + z1z2z3 = 0.
Logo,
t23 + t1t2t3 + t
3
2 = 0
é a equação minimal de t3 sobre L. Logo, Y é definido por:
z23 + z1z2z3 + z
3
2 = 0.
Discriminante: D = z22(z
2
1 − 4z2). T é formado pela reta z2 = 0 e
a parábola z21 − 4z2 = 0 (vide Exerćıcio III.3.2). m = 2. p−1(a, 0)
tem dois elementos se a 6= 0, etc. Σ ∩ X contém as retas z2 = 0,
z3 = 0, z1 = ±2z4. π identifica as duas retas na reta z2 = z3 = 0
de C3 → π não é injetiva, etc.
III.5.2 Em um polidisco conveniente, X possui um subconjunto
denso X0 que é uma variedade anaĺıtica conexa. Então, f
−1(0)∩X0
tem interior vazio em X0. Logo, f
−1(0) ∩X tem interior vazio em
X.
III.5.3 a) f é equivalente à aplicação linear (injetiva) na vizinhança
de a. b) Supomos 0 ∈ S, γ fator irredut́ıvel de J , X representante
253
de V (γ), X0 variedade anaĺıtica densa em X de dimensão n − 1.
Existe b ∈ X0 tal que δ(b) 6= 0 para todo fator irredut́ıvel δ de
J , δ 6= γ. V = vizinhança de b. c) Como (a). d) Forma
local das imersões. e) z1 é qualquer função nula sobre T tal que
dz1(u) 6= 0. f) (0, z2, . . . , zn) ∈ T → (w1, . . . , wn) ∈ f(T ) → w1 =
0. g) Porque φ(z1, 0, . . . , 0) é injetora na vizinhança de 0. h)
J (u) = a1(0, 0, . . . , 0).
IV.1.1 Vamos mostrar µ1 ∩ µ2 = {0}. Seja k o número dado pelo
Teorema III.5.2 para µ1. Se k = 0, µ1 = {0}. Se k = 2, µ1 = γ =
germe de C2. Seja k = 1. Então µ1 é representado por um conjunto
S tal que S − {0} é variedade anaĺıtica complexa de dimensão 1.
Seja T que representa µ2. L = T ∩ (S − {0}) é conjunto anaĺıtico.
Então L é discreto. Se L tem 0 como ponto limite, T ∩ S não é
localmente conexo em 0. Então, 0 é isolado em T ∩ S.
IV.1.2 a) α = (α∩ β)∪ (α∩ γ). b) α = µ1 ∪ · · · ∪µr decomposição
em germes irredut́ıveis. µ1 ⊂ ν ⊂ α, ν irredut́ıvel → ν ⊂ µj para
um j → µ1 ⊂ µj → j = 1 → ν = µ1. Seja ν ⊂ α, ν irredut́ıvel
maximal → ν ⊂ µj para um j → ν = µj.
IV.1.3 O germe em 0 é irredut́ıvel pelo Exerćıcio III.3.2. Neste
Exerćıcio vimos que em (a, 0, 0) (a 6= 0) o germe se decompõe nos
germes definidos por:
z3 = z2(−z1 ±
√
z1 − 4z2)/2.
Se os dois fatores de z23 + z1z2z3 + z
3
2 (em (a, 0, 0)) que decorrem
dáı foram associados, os dois anulariam-se sobre o germe de X em
(a, 0, 0). Logo, a soma também. Então z1z2 = 0 na vizinhança de
(a, 0, 0) em X. Como z1 6= 0, z2 = 0.
Então z2 = z3 = 0 na vizinhança de (a, 0, 0) em X, o que é absurdo.
IV.1.4 Aplicar Teorema II.2.1 e o Corolário IV.1.4.
IV.1.5 a) U tal que U ∩X = X1 ∪ · · · ∪Xr, Xj contém variedade
anaĺıtica, conexa e densa em Xj. b) W = {a ∈ X : existe Ua ⊂
X, f |Ua = 0}. W aberto e fechado em X.
254 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
IV.2.1 Pela Proposição IV.2.6 o conjunto f1 = · · · = fm = 0 é de
dimensão ≥ 1.
IV.2.2 z2 + z3 = 0 z1+ iz2 = 0, z3 = 0, z1 − iz2 = 0, z3 = 0.
IV.2.3 Como no Corolário IV.2.11.
IV.2.4 Todo ponto do conjunto é isolado, pela definição.
IV.2.5 Seja γ uma componente, dim γ ≥ 2. Seja δ o germe de
z1 = z2 = 0. Então dim γ ∩ δ = dim{0} = 0. Logo, dim γ ≤ 2.
IV.2.6 a) Existe Ua em X tal que existe φ : Ua → D (D disco de C),
φ : Ua −{a} → D−{0} recobrimento finito, φ−1(0) = {a}, etc. b)
X é contrat́ıvel porque é um cone: se γ é curva fechada de X−{0},
γ é homotópica à curva de U0 − {0} (U0 vizinhança de 0 em X).
Se U0 é homeomorfo a R4, γ é contrat́ıvel a um ponto em U0 −{0}.
Então X − {0} seria simplesmente conexo.
IV.2.7 Suponhamos existe a ∈ X e componente γ de X em a tal
que dim γ < k. X ∩Ua = X1 ∪ · · · ∪Xr onde os Xj representam as
componentes de X em a. Seja X1 que representa γ. Seja b ∈ X1,
b /∈ X2 ∪ · · · ∪Xr. Então X ∩ Ub = X1 ∩ Ub. Ou seja, dimbX < k.
IV.3.1 Pelo Teorema IV.1.3 e o Lema IV.2.2, existe para todo a ∈
X, Ua tal que Ua ∩X = X1 ∪ · · · ∪Xr onde cada Xj é de dimensão
pura.
IV.3.2 Se V 6= ∆, existe g anaĺıtica numa vizinhança U de 0 tal
que dg(0) 6= 0 e g(V ∩ U) = 0. Mas então g(X ∩ U) = 0, o que
contradiz o que foi provado no Exemplo IV.3.7.
IV.3.3 0 é regular se, e somente se df(0) 6= 0. Basta então provar
que o germe f
a
de f em a ∈ X gera o ideal do germe de X em a,
para todo a ∈ ∆. Temos que provar que se f é livre de quadrados,
então f
a
é livre de quadrados numa vizinhança de 0. Podemos
supor que f é irredut́ıvel (porque X ∩ Y não contém germe de
hipersuperf́ıcie numa vizinhança de 0 se os germes de X e Y em
0 são irredut́ıveis e diferentes). Seja X definido por f = 0 em ∆
tal que X ⊃ X0 variedade anaĺıtica aberta, conexa e densa em X.
255
Se f
a
é diviśıvel por um quadrado, df anula-se em um aberto não
vazio de X0 (Teorema IV.3.5). Logo, df anula-se em cada ponto de
X. Tomando como f um polinômio de Weierstrass em zn teŕıamos
que f divide ∂f/∂zn, o que é absurdo.
IV.3.4 m ≤ p trivial porque O(γ) é quociente de O(δ). Temos
que provar que se o ideal maximal de O(γ) tem r ≤ n geradores (as
classes de f
1
, . . . , f
r
) então existe germe de variedade δ de dimensão
r tal que γ ⊂ δ. Isto foi feito na prova do Teorema IV.3.7.
IV.3.5 a) O ideal de Y é um ideal primo minimal em O0(X). Então,
este ideal é principal.
b) Por absurdo:
(z1 − z2)N = Af +B(z21 − z22 + z23 − z24)
(z3 − z4)N = Cf +D(z21 − z22 + z23 − z24).
Pondo z2 = −z1, z4 = −z3:
2NzN1 = Af(z1,−z1, z3,−z3), 2NzN3 = Cf(z1,−z1, z3,−z3).
Decorre dáı que f(0) 6= 0, o que é absurdo.
IV.3.6 Como A−B = A− (A ∩B) (fechos em U), podemos supor
B ⊂ A. O problema é local em cada ponto x ∈ B. Se B =
B1 ∪B2, B1, B2 subconjuntos anaĺıticos de U , então
A−B = A−B1 − b2
porque B1, B2 fechados em U . Decorre dáı que podemos supor
B irredut́ıvel em x. Então o germe de B em x está contido em
uma componente irredut́ıvel de A em x. Decorre dáı que podemos
também supor A irredut́ıvel em x.
Se dimxA = dimxB, A − B é vazio na vizinhança de x. Supo-
nhamos dimxB < dimxA. Então podemos representar localmente
A,B como fechos de variedades anaĺıticas abertas densas. Se uma
variedade é de dimensão menor que outra, a primeira não pode ser
um aberto da segunda.
256 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
IV.3.7 Vide Proposição IV.2.6.
IV.3.8 suponhamos dimY = dimX. Então existe x ∈ X tal que
dimx Y = dimxX = k.
Aplicar Teorema IV.3.5 em x.
IV.3.9 Se Y contiver um aberto de X teŕıamos dimY = k.
V.1.1 a) Se w1, . . . , wn são as coordenadas no espaço ambiente de
Y , wj(g) = wj(f) na vizinhança de 0 em X. b) φ = f
−1
∗,a é
induzida por g : Vb → X tal que g(b) = a (b = f(a)). Como gf
e fg induzem a identidade, por (a) são a identidade perto de a, b
respectivamente.
V.1.2 Interpretando O0(X) como germes de funções na vizinhança
de 0 em X.
V.1.3 a) Se γ ∈ Ob(Y ) é o germe de h, anaĺıtica na vizinhança de b
em Y , então de f∗,a(γ) = 0 decorre que h◦f se anula na vizinhança
de a em X. Como f é aberta em a, decorre dáı que γ = 0.
b) Observemos que, na imagem de f , |z3| = |z2|α|z1|1−α. Decorre
dáı que f não é aberta em 0. Seja h anaĺıtica na vizinhança de 0
em C3 tal que h◦f anula-se na vizinhança de 0 em C2. Observemos
que f−1(∆(0; r, r, r)) é definido por:
|u| < r, Re(v) < log(r/|u|), Re(v) < α−1 log(r/|u|)
e que a segunda condição implica a terceira. Por representação
gráfica (C2 = R4) temos que f−1(∆(0; r, r, r)) é conexo.
Tomando r bastante pequeno, h é anaĺıtica em
∆(0; r, r, r) = ∆.
Então h ◦ f anula-se em f−1(∆). Logo, h|(f(C2) ∩ ∆) = 0.
Para todo n ∈ Z, tomando v = 2πni+ a (a real < 0) temos que
(u, eau, eaαue2πnαi) ∈ f(C2) se |u| < r.
257
Logo, h(u, eau, ueaαe2πnαi) = 0 para todo u ∈ C, |u| < r, e todo
n ∈ Z. Como α é irracional e h é cont́ınua,
h(u, eau, ueaαesi) = 0, u ∈ C, |u| < r, s ∈ R.
Logo
h(u, eau, uw) = 0, u, w ∈ C, |u| < r, |w| < eaα.
Decorre dáı que o germe de h se anula sobre o germe de cada plano
z3 = e
az1 para todo a < 0. Então, h ≡ 0.
V.1.4 a) f é aberta fora de um subconjunto anaĺıtico S = f−1(T ),
onde T é um subconjunto anaĺıtico próprio de Y (localmente).
Aplicar Corolário I.8.3 b) Se h(t) é anaĺıtica, t2h(t) ∈ Imf∗,0 e
t2 ∈ Imf∗,0. c) Se h(z1, z2, z3, z4) é anaĺıtica em 0 então h = h′z4+h′′
onde h′, h′′ são funções de z1, z2, z3, z
2
4 . Módulo J0(Y ), h′, h′′ são
funções de z1, z2, z3 e, então, representam elementos de Imf∗,0. Além
disso, z2z4 = −(1/2)(z1z2 + 2z3) mod J0(Y ).
V.1.5 a) segue das definições. b) f é cont́ınua porque (z1/z2)
2 = z2
em X − {0}. Se f for anaĺıtica, t1/t2 ∈ O0(X) nas notações do
Exemplo IV.3.3.
V.2.1 Pelo Lema I.8.1, existem U, V tais que f(U) ⊂ V e f : U → V
é própria. Então, f−1(w) ∩ U é compacto para todo w ∈ V .
V.3.1 Como no Corolário II.1.4.
V.4.1 γ é equivalente a um e só um dos seguintes:
i) germe de z2 = 0,
ii) germe de z1z2 = 0,
iii) germe de z2(z2 − zm1 ) = 0, m = 1, 2, 3, . . . .
V.4.2 Porque dimS ≤ k − 1.
V.4.3 Se f é constante, é óbvio. Se f não é constante, f−1(0) é um
subconjunto anaĺıtico de ∆ de dimensão 0. Logo, 0 é isolado em
f−1(0). Logo, f é própria como aplicação ∆ → V para r bastante
pequeno e V vizinhança de 0 em C2. Pelo Teorema V.4.1 f(∆) é um
258 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
subconjunto anaĺıtico de V de dimensão 1. Logo, existe γ ∈ O0(C2),
γ 6= 0, que é nulo sobre o germe de f(∆). Então, γ ∈ ker f∗.
V.4.4 Se s é pequeno, f−1(0)∩∆(0, s) = {0} e df(z) 6= 0 para todo
z ∈ ∆(0, s) − {0}. Então existem U ⊂ ∆(0, s) vizinhança de 0 e
V ⊂ C2 vizinhança de 0 tais que f : U → V é própria. Logo, f(U)
é subconjunto anaĺıtico de V . Podemos supor que 0 é o único ponto
singular de f(U). Então, Σs ∩ (U − {0}) é aberto. Como também
é fechado, Σs ∩ (U − {0}) = U − {0}.
V.5.1 Aplicar Corolário V.5.3c), Teorema III.3.2 e Apêndice I.3.9.
V.5.2 Aplicar corolário I.8.2 e Teorema V.4.1.
V.5.3 a) grz(F ) = 1 para todo z ∈ U e aplicar Exerćıcio V.5.1.
b) C2 → C2, w1 = z1z2, w2 = z2.
V.5.4 a) Porque (1) não divide (2). b) Porque se z2 6= 0, (3) é
conseqüência de (1) e (2). c) X ∩ H = {z2 = z4 = 2z3 − z1 =
0}. Seja p = (2a, 0, a, 0) ∈ H ∩ X. Sejam: an → a, an 6= a,
cn = (2an − 2a)2/3 (escolhemos). Então, cn 6= 0, cn → 0, dn =
−(2an − 2a)an/cn → 0 e:
pn = (2a, cn, an, dn) ∈ Z −H → p.
e) z2 6= 0 implica fibra de F com dois elementos.
f) Se não é, então F : Y → C2 é isomorfismo local em 0, onde Y é
uma das componentes. Aplicando o isomorfismo induzido nos anéis
locais, temos que o germe de z2 em O0(Y ) é primo e que O0(Y ) é
domı́nio de factorização única. Por (3) temos que z3 = z4 = 0 sobre
Y . Por (1) decorre que z21 − z32 = 0 sobre Y . Então dimY ≤ 1, o
que é absurdo.
V.5.5 Aplicar Exerćıcio V.5.1 a uma projeção transversa a Tx(X)
para provar que x ∈ X é não singular.
V.5.6 a) ComoX−Y é denso em X, o problema é local. Seja y ∈ Y .
Seja U uma vizinhança de y em X tal que existe aplicação anaĺıtica
própriag : U → V onde V é vizinhança de 0 em Ck (Teorema
III.5.2). Então Z = g(U ∩Y ) é subconjunto anaĺıtico próprio de V .
259
Além disso, g : U − F−1(Z) → V − Z é anaĺıtica e própria. Os co-
eficientes do polinômio caracteŕıstico de f respeito de g (Definição
V.5.5) são funções anaĺıticas e limitadas em V − Z. Logo, elas se
extendem a V . Decorre dáı que f(x) só tem um número finito de
valores limites quando x ∈ U − F−1(Z) e x→ w ∈ F−1(Z). Como
dimF−1(Z) < k e X é irredut́ıvel em w, existe uma famı́lia funda-
mental de vizinhanças Uw de w tais que Uw − F−1(Z) é conexo e
denso em Uw. Então existe lim
x→w
f(x) se x ∈ U−F−1(Z). (Corolário
IV.3.6).
V.6.1 As componentes em 0 são os germes dos planos z1 = z3 = 0
e z2 = z4 = 0 e um germe de superf́ıcie parametrizado por z1 = t
2,
z2 = tu
3, z3 = t
3u, z4 = u
2. Se z(k) → 0 nesta última:
z
(k)
2 /z
(k)
4 → 0 e z(k)3 /z(k)1 → 0.
Logo, o conjunto das retas tangentes em 0 é o plano z2 = z3 = 0.
Decorre dáı que L(z) = (z1, z4) é transversa a esta superf́ıcie. Logo,
o grau de L em 0 é 2 e a multiplicidade em 0 é 2.
V.6.2 Suponhamos a1 > a2 > · · · > an. Verifica-se que se Cu é reta
tangente e se ui = 0 então ui+1 = 0, porque z
ai
1 − zai+1i+1 = 0. Então,
m0 = gr0(F ) onde F (z) = z1. Logo, m0 = a2 . . . an.
V.6.3 Seja L : Cn → Ck transversa em 0 a X. Seja H ′ ⊂ Ck um
hiperplano cujo germe em 0 não está contido no germe de T , onde
T é tal que L|X é um revestimento fora de T . Seja H = L−1(H ′).
Suponhamos que H contém γ componente irredut́ıvel de X em 0.
kerL ⊂ H, γ ⊂ H, dim kerL = n− k, dim γ = k
dimH = n−1 → dim(γ∩kerL) ≥ 1 → kerL contém reta tangente
a γ, absurdo.
Decorre dáı que H∩X é de dimensão pura k−1 na vizinhança de 0.
L|H : H → H ′ é transversa a H ∩X em 0 (H ∼= Cn−1, H ′ ∼= Ck−1),
porque kerL|H = (kerL) ∩H = kerL.
L−1(w) ∩X = L−1(w) ∩ (X ∩H) se w ∈ H ′.
260 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
Como H ′ − T é denso em H ′, existe w ∈ H ′ perto de 0 tal que
card(L−1(w)∩X) = m0(X) e Card(L−1(w)∩(X∩H)) = m0(X∩H),
tomando X bastante pequeno.
V.6.5 Devemos provar que f(z1, z2) = p(z1)−p(z2) é livre de quadra-
dos em cada ponto ur (Exemplo V.6.8). Mas isto decorre do fato
que os zeros de df são isolados.
V.7.1 J (δ) ⊂ O(γ). Existe p ∈ J (δ), p 6= 0. q1, . . . , qr fatores
primos de p. δ ⊂ {q1 = 0} ∪ · · · ∪ {qr = 0} (em γ).
J ({qj = 0}) = (qj) (em O(γ)). Então O({qj = 0}) = O(γ)|(qj).
Logo, {qj = 0} irredut́ıvel. Pelas dimensões:
δ = {q1 = 0} ∪ · · · ∪ {qs = 0},
por exemplo. Então, J (δ) = (q1 · · · · · qs) em O(γ).
V.7.2 t→ (t3, t4, t5) mostra que dim γ = 1 e γ irredut́ıvel (Teorema
V.4.1).
Suponhamos J (γ) gerado pelos germes f, g. Se o germe de h per-
tence a J (γ), temos h(t3, t4, t5) = 0. Se h = Σhm é a série de
Taylor em 0 de h (hm polinômio homogêneo de grau m) temos:
h0 + h1(t
3, t4, t5) + · · · = 0.
Todos os termos de h2(t
3, t4, t5)+ . . . são de grau ≥ 6 enquanto que
h0 + h1(t
3, t4, t5) é de grau ≤ 5. Decorre dáı que h0 = h1 = 0. Em
particular, f0 = f1 = g0 = g1 = 0. Por outro lado,
z1z3 − z22 , z2z3 − z31 , z23 − z21z2 ∈ J (γ).
Então, z1z3 − z22 , z2z3 e z23 , que são linearmente independentes, são
combinações lineares com coeficientes constantes de f2 e g2, o que
é absurdo.
V.7.3 Se xyz = 0 e (x, y, z) verifica as equações, temos x = y =
z = 0. Suponhamos xyz 6= 0 e que (x, y, z) verifica as equações.
261
Isolando y na segunda e substituindo na primeira, temos x5 = z3.
Logo, existe t tal que x = t3, z = t5. Então, y = z2/x2 = t4.
VI.1.1 Seja Z ⊂ X subconjunto fechado, anaĺıtico, irredut́ıvel e
seja p ∈ Z. Sejam {Zi}i∈J os que contém p e {Zj}j∈K os que não
contém p.
Z =
(
Z ∩
⋃
i∈J
Zi
)
∪
(
Z ∩
⋃
j∈K
Zj
)
.
Então Z ⊂ ⋃
i∈J
Zi e J é finito. Então Z ⊂ Zj para algum j.
VI.1.2 a) |aj| ≤ R|z1|N + S para todo j. Então (z1, z2) ∈ X ⇒
|z2|m = |a1(z1)zm−12 + · · · + am(z1)|
≤ (R|z1|N + S)(|z2|m−1 + · · · + 1).
Portanto,
|z2| ≤ (R|z1|N + S)
(
1 +
1
|z2|
+ · · · + 1|z2|m−1
)
.
b) Segue de (a). c) D é o T do Teorema V.5.7.
z1 ∈ C −D, (f |S)−1(z1) = {(z1, u1), . . . , (z1, uk)},
bj(z1) = (−1)jσj(u1, . . . , uk)
d) As bj são inteiras e |bj(z1)| ≤ c(K|z1|N + A)j pela parte (a).
Logo, bj é polinômio.
e) As componentes conexas do conjunto de pontos regulares de X
são em número finito.
f) Para z1 fora de um subconjunto discreto de C, f−1(z1) tem m
elementos cujas segundas coordenadas são as m ráızes distintas de
p(z1, z2) = 0. Estas ráızes se distribuem em pacotes disjuntos cor-
respondentes a S1, . . . , Sr.
262 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
VI.1.3 Seja m ≥ 1 o grau de p(z1, z2). Seja
m
∑
i=0
ciz
i
1z
m−i
2 a parte
homogênea de grau m de p(z1, z2). Seja λ ∈ C, λ 6= 0 tal que
m
∑
i=0
ciλ
i 6= 0.
Fazer a transformação: z1 = λw1, z2 = w1 + w2.
VI.1.4 a) Seja X0 o conjunto dos pontos regulares de X. Então
Y ∩X0 é um subconjunto anaĺıtico de X0 e dimY = dimX0. Como
X0 é conexo, Y ∩X0 = X0. Se Y ∩X0 = ∅, dimY < dimX0.
b) X0 − Y ∩X0 é conexo e denso no conjunto de pontos regulares
de X − Y , se Y 6= X.
VI.2.1 Se 0 /∈ X tudo é trivial. Se 0 ∈ X então X ∪ {0} é um
subconjunto anaĺıtico de ∆ de dimensão pura n − 1 e aplica-se o
Teorema IV.2.8.
VI.2.2 X = A∪B onde A é a reunião das componentes irredut́ıveis
de dimensão 0 de X e B a reunião das outras. Então A,B são
conjuntos anaĺıticos, dimA ≤ 0, dimz B ≥ 1 para todo z ∈ B, e A
e B são fechados em X (Teorema VI.1.1).
B ⊂ X, B −B ⊂ X −X ⇒ B compacto e B −B finito
⇒ B anaĺıtico (Teorema VI.2.1) ⇒ B finito (Corolário V.2.2)
⇒ B vazio ⇒ B vazio ⇒ dimX ≤ 0.
VI.3.1 X definido por {pi = 0}, Y definido por {gj = 0} ⇒ X ∪ Y
definido por {piqj = 0}.
Xi definido por {pij = 0}j ⇒
⋂
i
Xi definido por {pij = 0}i,j
Aplicar o Apêndice I.1.5.
VI.3.2 Porque tudo é essencialmente local.
VI.3.3 a) Trivial. b) Aplicar Teorema VI.3.3. c) X algebrica-
mente irredut́ıvel ⇒ X (completamente projetivo) algebricamente
irredut́ıvel ⇒ X analiticamente irredut́ıvel ⇒ X = X − (X − X)
analiticamente irredut́ıvel (vide Exerćıcio VI.3.2).
263
VI.3.4 b) Seja ⌈f o gráfico de f . Então ⌈f ⊂ X × Y ⊂ Pn × Pm →֒
PN ⇒ ⌈f é subconjunto algébrico de PN (Teorema VI.3.3). Sejam
qj(z0, . . . , zN) = 0 as equações de ⌈f . Os polinômios pj são definidos
por
pj(X0, . . . , Xn, Y0, . . . , Ym) = qj(X0Y0, X0Y1, . . . , XnYm).
VI.4.1 a) X ∩ Y = Y = Σ se X não é subconjunto anaĺıtico de U .
b) Vide Exemplo VI.4.2.
VI.4.2 Suponhamos que existem a ∈ Y , b ∈ C para os quais não
existe {z(m)}. Então g(z) = 1/(f(z)− b) prolonga-se a uma função
anaĺıtica na vizinhança Va de a em U .
X ∩ Va = {g = −1/b} − (Y ∩ Va).
Sabemos que X ∩ Y = Y . Logo, g = −1/b sobre Y ∩ Va. Seja
A = {g = −1/b}. Então A ⊃ (Y ∩ Va) e A− (Y ∩ Va) = X ∩ Va é
denso em A. Aplicar Exerćıcio IV.3.8. Ou então, como f = b+1/g,
temos que f é cont́ınua em Va, etc.
VI.4.3 Aplicando localmente o Corolário VI.4.8 temos X ⊃ Pn−Cn
ou X é subconjunto anaĺıtico de Pn (o conjunto dos pontos x ∈
Pn−Cn tais que X é conjunto anaĺıtico na vizinhança de x é aberto
e fechado em Pn − Cn). Aplicar Teorema VI.3.3.
VI.4.4 a) Sejam ≥ 1 o grau de p e seja pm a componente homogênea
de grau m de p. Mediante permutação podemos supor que existem
λ1, . . . , λn−1 tais que pm(λ1, . . . , λn−1, 1) 6= 0.
b) Apêndice I.3.8. c) f/p é anaĺıtica em Cn − X. Se a ∈ X e
∆(a) 6= 0, temos ∂p/∂zn(a) 6= 0. Logo, p pode ser tomado como
coordenada local. Então, f/p é anaĺıtica em a.
Se π(z) = (z1, . . . , zn−1), π|X é anaĺıtica e própria. Como dimπ(X∩
{∆ = 0}) ≤ n − 2, temos dim(X ∩ {∆ = 0}) ≤ n − 2 (Teorema
V.4.1). Então f/p é anaĺıtica em Cn (Teorema IV.3.9).
d) Por (c) existe q : Cn → C anaĺıtica tal que φ = pq. Para cada
λ ∈ Cn tal que p(λ) 6= 0 temos que φ(tλ) = p(tλ)g(tλ) e então
q é anaĺıtica para t ∈ C e racional. Decorre dáı que q(tλ) é um
264 [CAP. : INDICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DOS EXERĆICIOS
polinômio de grau ≤ grauφ = k em t. Seja qm a partehomogênea
de grau m da série de Taylor de q em 0. Então q(tλ) = Σtmqm(λ).
Logo, qm(λ) = 0 se m > k, para todo λ /∈ X. Então qm = 0 se
m > k.
e) X é algebricamente irredut́ıvel porque se X = A ∪ B, A 6⊂ B,
B 6⊂ A, A,B conjuntos algébricos, existem polinômios φ, ψ tais
que φ|A = 0, φ|B 6= 0, ψ|A 6= 0, ψ|B = 0. Então φψ|X = 0.
φψ|X = 0 → p|φψ → p|φ ou p|ψ → φ|X = 0 ou ψ|X = 0, absurdo.
Pelo Exerćıcio VI.3.3, X é conjunto anaĺıtico irredut́ıvel.
VI.4.5 Se f = 0 é Cn tomamos p = 0. Se f = 0 é vazio, f = eg,
g anaĺıtica em Cn, por prolongamento anaĺıtico. No caso restante,
existe polinômio q não constante tal que:
{f = 0} ⊂ {q = 0} = Y 6= Cn.
Sejam p1, . . . , pr os fatores primos de q. Pelos Exerćıcios VI.4.4
e VI.1.1, Yj = {pj = 0} são as componentes irredut́ıveis do con-
junto anaĺıtico Y . Seja N1 o maior inteiro tal que f1 = f/p
N1
1 seja
anaĺıtica em Cn (existe: basta tomar germes em um ponto onde p1
vale 0 e aplicar Teorema III.3.2). Pelo Exerćıcio VI.4.4, f1|Y1 6= 0.
Iterando, chegamos a
f = pN11 · · · · · pN1r · h
onde h|Yj 6= 0 para todo j.
{h = 0} ⊂ Y é de dimensão pura n − 1 (Teorema IV.2.4). Então
{h = 0} é vazio e estamos no segundo caso acima.
Bibliografia
[1] L.V. Ahlfors. “Complex Analysis”. McGraw-Hill, 1953.
[2] H. Cartan. “Théorie élémentaire des fonctions analytiques
d’une ou plusieurs variables complexes”. Hermann, 1961.
[3] A. Lins Neto. “Funções de uma variável complexa”. IMPA
(Rio de Janeiro), 1993.
[4] Elon L. Lima. “Curso de Análise” vols. I–II. IMPA (Rio de
Janeiro), 1976.
[5] M. Spivak. “Calculus on manifolds”. W.A. Benjamin, 1965.
[6] S. Abhyankar. “Local analytic Geometry”. Academic Press,
1964.
[7] R.C. Gunning – H. Rossi. “Analytic functions of several com-
plex variables”. Prentice–Hall, 1965.
[8] L. Hörmander. “An introduction to complex analysis in
several variables”. Van Nostrand, 1966.
[9] D. Mumford. “Abelian varieties”. Oxford University Press,
1974.
[10] R.C. Gunning. “Introduction to holomorphic functions of
several variables” vols. I–II–III. Wadsworth & Brooks / Cole,
1990.
265
Índice Anaĺıtico
Anel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 112
aplicação anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8, 125
aplicação de tipo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
Componente irredut́ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95, 191
cone tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
conjunto algébrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203, 204
conjunto anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
conjunto anaĺıtico irredut́ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
Dimensão de conjunto anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
dimensão de germe anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
domı́nio de holomorfia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Envoltória de holomorfia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Função anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
função holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
função meromorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
função regular em zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Germe anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
germe de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
germe de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
germe irredut́ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
germe regular em zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162, 166
Ideal de um germe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
interseção completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
267
268 ÍNDICE ANAĹITICO
isomorfismo de germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Multiplicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Polinômio caracteŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
polinômio de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
Recobrimento anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Singularidade essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219
subconjunto evitável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
subconjunto fechado fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Variedade anaĺıtica complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
	Capa
	Preliminares e Conceitos Básicos
	Aplicações holomorfas
	Primeiras propriedades
	O teorema da aplicação inversa
	Variedades analíticas complexas
	Germes de funções holomorfas
	Recobrimentos analíticos
	Funções meromorfas
	Complementos topológicos
	Extensão de Funções Analíticas
	Extensão de funções limitadas
	Extensão de funções quaisquer
	Domínios de holomorfia
	Teorema de Preparação e Aplicações
	Conjuntos definidos por uma equação
	O teorema de preparação
	O teorema de divisão
	Conjuntos analíticos
	Parametrização local de conjuntos analíticos
	Propriedades Locais dos Conjuntos Analíticos
	Germes redutíveis e irredutíveis
	Dimensão
	Anéis locais. Pontos singulares e regulares
	Aplicações Analíticas
	Aplicações analíticas
	Princípio do máximo
	Extensão de funções analíticas
	Imagens próprias dos conjuntos analíticos
	 Aplicações analíticas de tipo finito
	Multiplicidades
	Intersecções completas
	Singularidades Essenciais
	Decomposição global de conjuntos analíticos
	Prolongamento no caso de dimensão diferentes
	Conjuntos algébricos
	Prolongamento no caso de dimensões iguais
	Apêndice 1: Complementos de Álgebra
	Anéis noetherianos
	Radicais de ideais
	Extensões inteiras
	Elementos primitivos
	Discriminante
	Apêndice 2: Imagens Próprias de Conjuntos Analíticos. Aplicações
	Imagens próprias de conjuntos analíticos
	Cone tangente
	Indicações para Resolução dos Exercícios
	Bibliografia
	Índice Analítico
	Contra-capa