Curvas Verticais em Estradas

Prévia do material em texto

1
CURVAS 
VERTICAIS
PROFESSOR: HAMIFRANCY MENESES
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PIAUÍ – CEFET/PI
CURSO TÉCNICO DE ESTRADAS
2
TÓPICOS ABORDADOS
• INTRODUÇÃO
• COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
• CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
Curvas convexas; Curvas côncavas;
Curvas empregadas na concordância de greides retos;
Tipos de curvas: côncava e convexa;
• CARACTERIZAÇÃO DE CURVAS VERTICAIS
Procedimento simplificado de determinação de Lmin;
Cálculo de Rv
Cálculo de flechas da parábola composta;
Cálculo de ordenadas, flechas e vértice da parábola simples;
• EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
Determinação de cotas da plataforma da rodovia;
Procedimento para cálculo de curva vertical
• RECOMENDAÇÕES PARA LANÇAMENTO DE GREIDE
3
INTRODUÇÃO
● O projeto do perfil longitudinal de uma rodovia é composto de greides
retos (rampas acendestes e descendentes) e greides curvos (curvas 
verticais), empregados para conferir conforto e segurança de tráfego à
plataforma de uma rodovia.
Definição
● Tipos de greides retos: ● Tipos de greides curvos:
Rampas ascendentes: i>0 (+)
Rampas descendentes: i<0 (-) Curvas verticais cônvexas
Curvas verticais côncavas
● Variação da declividade dos greides retos (g):
21 iig −=
Greide reto (rampa) 
ou greide curvo.
Prolongamento do 
greide reto (rampa).
Terreno natural.
Curva
cônvexas
Curva
concava
4
CARACTERIZAÇÃO DE CURVAS VERTICAIS
● Tipos de curvas de concordância: curva circular, elipse, parábola de 2º grau.
Curvas empregadas na concordância de greides retos;
● Caracterização da Parábola de 2º grau:
Coeficiente de curvatura - K
O valor de K representa o 
comprimento da curva vertical 
no plano horizontal (m) para 
cada 1% de variação na 
declividade longitudinal da 
rodovia.
g
Lk = em “m”.
em “%”.
K em “m/%”.
1k
2k
21 kk >
● Função das curvas verticais: promover a concordância ou passagem 
suave entre greides retos (rampas) sucessivos, com conforto e segurança.
Parábola Simples 
ou Simétrica 
(L1=L2)
Parábola Composta 
ou Assimétrica 
(L1 dif. L2)
L1= L2=
5
CARACTERIZAÇÃO DE CURVAS VERTICAIS
)(0 +>g
Tipos de curvas: côncava e convexa;
)(0 −<g
6
Cálculo de Rv – Raio da circunferência que se aproximação da 
parábola simples em uma curva vertical.
COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
gkL *minmin =
VRLisen /)( 22 =−
21 LLL +=
Procedimento simplificado de determinação de Lmin
Lmin: projeção horizontal do comprimento mínimo da curva 
vertical (m)
Kmin: coeficiente de curvatura da curva vertical (adimensional). 
(Consultar Tabelas do Anexo 3 do Livro do Prof. Gláuco Filho.)
g: variação da declividade dos greides retos (%).
i1 i2
RvRv
i1 i2
i1 i2
PCV PTV
PIV
L1 L2
VRLisen /)( 11 =
11 )( iisen =
VRiL *11 = VRiL *22 −=
22 )( iisen −=−
Para ângulos pequenos
VV RiRiL ** 21 −=
)(* 21 iiRL V −=
gRL V *=
7
COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
Comprimento mínimo de curvas convexas (Lcx_min );
Caso I – A distância de vis. parada (S) é <= que o comprimento da curva vertical (L) 
gDL P *
412
2
=
● Determinação analítica de L:
L: comprimento da curva vertical (m);
DP: distância de visibilidade de parada (m);
g: variação da declividade dos greides retos (%).
Onde:
Lcx_min é função da 
distância de 
visibilidade de 
parada mínima 
necessária para que 
o condutor possa 
parar o veículo com 
segurança ao 
avistar um obstáculo 
físico parado.
Caso I – A distância de vis. parada (S) é <= que o comprimento da curva vertical (L) 
H = 1,1 m
h = 0,15 m
8
COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
Comprimento mínimo de curvas convexas (Lcx_min );
Caso I – A distância de vis. parada (S) é <= que o comprimento da curva vertical (L) 
● Determinação gráfica de L:
(A=g)
Para K>=43, deve-se ter dar maior ênfase no projeto de 
drenagem, tendo em vista a maior suavidade da curva vertical.
9
COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
Comprimento mínimo de curvas convexas (Lcc_min );
Caso II – A distância de visibilidade (S) é > que o comprimento da curva vertical (L) 
g
DL P
412*2 −=
● Determinação analítica de L:
L: comprimento horizontal da curva vertical (m);
DP: distância de visibilidade de parada (m);
g: variação da declividade dos greides retos (%).
10
COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
Comprimento mínimo de curvas côncavas (Lcc_min );
Caso I – A distância de vis. parada (S) é <= que o comprimento da curva vertical (L) 
Lcx_min é função da distância de visibilidade de parada mínima necessária para que o 
condutor possa para o veículo com segurança ao avistar um obstáculo físico parado.
● Determinação analítica de L:
L: comprimento horizontal da curva vertical (m);
DP: distância de visibilidade de parada (m);
g: variação da declividade dos greides retos (%).
g
D
DL
P
P *
*5,3122
2
+
=
11
COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
Comprimento mínimo de curvas côncavas (Lcc_min );
Caso I – A distância de vis. parada (S) é <= que o comprimento da curva vertical (L) 
● Determinação gráfica de L:
(A=g)
Para K>=43, deve-se ter dar maior ênfase no projeto de drenagem, 
tendo em vista a maior suavidade da curva vertical.
12
COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
Comprimento mínimo de curvas côncavas (Lcc_min );
Caso II – A distância de visibilidade (S) é > que o comprimento da curva vertical (L) 
g
DDL PP
*5,3112*2 +−=
● Determinação analítica de L:
L: comprimento horizontal da curva vertical (m);
DP: distância de visibilidade de parada (m);
g: variação da declividade dos greides retos (%).
13
CÁLCULO DE ORDENADAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
xix
L
gy **
2 1
2 +
−
=
2*
2
x
L
gf =
8
* LgF =
● Determinação da ordenada y
Cálculo das cotas e flechas - Parábola simples (Simétrica)
● Determinação da flecha f
)(**
2
)( 1
2 PCVCotaxix
L
gPCota ++−=
F, flecha máxima (m);
L, comprimento horizontal 
da curva vertical (m);
f: flecha da parábola num 
ponto genérico P (m).
g: variação da declividade 
dos greides retos (%).
x: abscissa da curva 
vertical (m).
14
CÁLCULO DE VÉRTICE DA PARÁBOLA SIMPLES
xix
L
gy **
2 1
2 +
−
=
1* ixL
g
dx
dy
+
−
=
g
LiL *10 =
Cálculo do ponto de ordenada máxima ou mínima do Vértice (L0,y0);
Ponto de Mínimo (C.V. Côncava)
Ponto de Máximo (C.V. Convexa)
Derivada de y = 0 x= L0 e y = y0E
10*0 iLL
g
+
−
=
● Dedução matemática
10
2
0
0 *2
* iL
L
Lgy +−=
1
1
2
1
0 *
***
2
i
g
Li
g
Li
L
gy ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
=
g
Li
g
Li
L
gy ***
2
2
1
2
22
1
0
g
Li
g
Liy *
2
* 21
2
1
0 +
−
=
g
LiLiy
2
**2* 21
2
1
0
+−
=
g
Liy
2
*21
0 =
IMPORTANTE: 
As coordenadas do 
vértice só coincidem 
com as coordenadas 
de flecha máxima 
quando a curva 
vertical é simétrica 
e i1 = i2.
15
CÁLCULO DE FLECHAS DA PARÁBOLA COMPOSTA
Cálculo das cotas e flechas - Parábola composta (Assimétrica)
● Determinação da flecha máxima F
F, flecha máxima (m);
L1: comprimento horizontal do 
1º ramo da parábola (m);
g: variação da declividade 
dos greides retos (%).
x1: abscissa da curva vertical 
no 1º ramo da parábola (m).
f1: flecha da parábola num ponto 
genérico no 1º ramo da parábola.
1º ramo 
(PCV-PIV)
2º ramo 
(PIV-PTV)
● Determinação da flecha f
L2: comprimento horizontal do 
2º ramo da parábola (m);
L: comprimento horizontal 
total da curva vertical (m);
f1: flecha da parábola num ponto genérico no 1º ramo da parábola.
x2: abscissa da curva vertical no 21 ramo da parábola (m).
16
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
:)( NECota
:)( 1−NECota
:1i
● Formulação matemática:
Determinação de cotas da plataforma da rodovia;
:),( 1−NN EEd
),(11 1
*)()(
−
+= − NN EENN diECotaECota
cota do greide reto da rodovia na estaca N (m);
cota do greide reto da rodovia na estaca N-1 (m);
inclinação da rampa onde se encontra a estaca N (absoluto)
(-) greide de descida e (+) greide de subida;
distância horizontal plana entre das estacas N e N-1 (m);
Onde:
17
3º Etapa: Determinar L, verificando atendimentode Lmin;
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
21 iig −=
gKL *minmin =
2º Etapa: Determinar g;
Procedimento para cálculo de curva vertical
4º Etapa: Definição do caráter simétrico ou não da curva vertical;
5º Etapa: Determinação das cotas do terreno natural em cada uma das 
estacas que define o alinhamento horizontal da rodovia (via programa);
1º Etapa: Determinar a distância de visibilidade de parada - Dp;
)(*255
*7,0
1
2
if
V
VDP +
+=
18
7º Etapa: Determinação da flecha vertical (f) que separa o greide reto do greide 
curvo em cada uma das estacas que define o alinhamento horizontal da rodovia. 
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
2*
2
x
L
gf =
Procedimento para cálculo de curva vertical
6º Etapa: Determinação da cota do greide reto em cada uma das estacas que 
define o alinhamento horizontal da rodovia;
8º Etapa: Determinação da cota do greide de projeto da plataforma rodoviária em 
cada uma das estacas que define o alinhamento horizontal da rodovia. Esta cota 
é obtida pela soma dos resultados obtidos nas etapas 6 e 7.
),(11 1
*)()(
−
+= − NN EENN diECotaECota
Parábola Simétrica Parábola Assimétrica
8
* LgF =
9º Etapa: Determinação as coordenadas (Lo, Yo) do vértice da parábola.
g
LiL *10 =g
Liy
2
*21
0 =
19
Exemplo 1: Para o trecho rodoviário a seguir: projetar a curva vertical simétrica e 
elaborar sua respectiva planilha básica de terraplenagem. Considere o projeto de 
uma rodovia classe III, em terreno planos, com velocidade diretriz de 70 km/h 
(Vd=70km/h), fator de atrito transversal iguala 0,14 (f=0,14). Estacas de 20 em 20 m.
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
21 iig −= )5(2 −−=g %7+=g
PIV
PTV
i1 = + 2%
i2 = - 5%PCV = 80 + 0,00 m
E = 78 + 0,00 m
Cota = 820 m
1º Etapa: Determinar g:
2º Etapa: Determinar L (curva convexa):
mgDL P 5,2057*
412
110
*
412
22
===
● Cálculo analítico ● Cálculo gráfico
mL 150=
Caso I (S<L)
Solução:
m
if
V
VDP 21,1072,5849)02,031,0(*255
70
70*7,0
)(*255
*7,0
2
1
2
=+=
+
+=
+
+=
Etapa Pré-liminar: Cálculo de Dp:
mDP 110=
mL 200=
(Recomendado)
(Excepcional)
20
Exemplo: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
m
g
DL P 1,1617
412110*2412*2 =−=−=
mgKL 2037*29*minmin ===
2º Etapa: Determinar L (curva convexa):
● Cálculo analítico
Caso II (S>L)
Verificação de Lmin
L adotado: mL 200=
3º Etapa: Adotar curva vertical simétrica 
(L1 = 100m – PCV PIV;. L2 = 100m – PIV PTV)
4º Etapa: As cotas do terreno natural deste exemplo são ilustrativas e 
apresentadas na 8º etapa.
21
Exemplo: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
),(11 1
*)()(
−
+= − NN EENN diECotaECota
mECotaECota 4,8204,082020*02,0)()( 7879 =+=+=
mECotaECota 0,8224,06,82120*02,0)()( 8283 =+=+=
5º Etapa: Determinar cotas de greide reto:
Trecho em tangente
mmECota 8200*02,0820)( 78 =+= (trecho rodoviário começa na estaca 78)
mECotaECota 8,8204,04,82020*02,0)()( 7980 =+=+=
Trecho em curva vertical (PCV ao PIV)
mECotaECota 2,8214,08,82020*02,0)()( 8081 =+=+=
mECotaECota 4,8224,00,82220*02,0)()( 8384 =+=+=
mECotaECota 6,8214,02,82120*02,0)()( 8182 =+=+=
mECotaECota 8,8228,04,82220*02,0)()( 8485 =+=+=
22
Exemplo: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
222 *000175,0*
200*2
07,0*
2
xxx
L
gf ===
mECotaECota 8,81918,82020*05,0)()( 8788 =−=−=
mECotaECota 8,81718,81820*05,0)()( 8990 =−=−=
5º Etapa: Determinar cotas de greide reto:
Trecho em curva vertical (PIV ao PTV)
mECotaECota 8,82118,82220*05,0)()( 8586 =−=−=
mECotaECota 8,81818,81920*05,0)()( 8889 =−=−=
mECotaECota 8,82018,82120*05,0)()( 8687 =−=−=
6º Etapa: Determinação da flecha vertical (f):
2*000175,0 xf −=
Trecho em tangente:
mfff 00,0807978 ===
( - devido curva convexa)
23
Exemplo: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
6º Etapa: Determinação da flecha vertical (f):
Trecho em curva vertical 
(PCV ao PIV e do PIV ao PTV /devido simetria de L1=L2)
mff 070,0)20(*000175,0 28981 −=−==
mff 280,0)40(*000175,0 28882 −=−==
mff 630,0)60(*000175,0 28783 −=−==
mfPIV 750,1)100(*000175,0 285 −=−==
mff 120,1)80(*000175,0 28684 −=−=
24
Exemplo: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
7º e 8º Etapa: Determinação da cota do greide de projeto da plataforma 
rodoviária e das cotas de corte e de aterro.
Vo - Vértice da curva vertical - Estaca com máxima cota de plataforma. 
PIV - Estaca com máxima flecha da parábola.
25
Exemplo: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
Visão gratifica da curva vertical projetada.
PCV
PIV
PTV
mgLRV 857.207,0/200/ ===
26
Exemplo 2: Projetar a curva vertical da curva assimétrica da figura abaixo.
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
Solução:
Est. 5 
Cota 101,25 m
Est. 6
Est. 7 -PCV
),(11 1
*)()(
−
+= − NN EENN diECotaECota
mECotaECota 95,10120*035,0)()( 56 =+=
1º Etapa: Determinar cotas de greide reto:
Trecho em tangente de entrada (i1)
Trecho em curva vertical (PCV ao PIV)
mECotaECota 95,10120*035,0)()( 56 =+=
mECotaECota 65,10220*035,0)()( 67 =+=
mECotaECota 35,10320*035,0)()( 78 =+=
27
Exemplo: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
1º Etapa: Determinar cotas de greide reto:
Trecho em curva vertical (PCV ao PIV)
mECotaECota 75,10420*035,0)()( 910 =+=
mECotaECota 05,10420*035,0)()( 89 =+=
mECotaECota 45,10520*035,0)()( 1011 =+=
mECotaECota 15,10620*035,0)()( 1112 =+=
mECotaECota 85,10620*035,0)()( 1213 =+=
Trecho em curva vertical (PIV ao PTV)
mECotaECota 85,10520*025,0)()( 1415 =−=
mECotaECota 35,10620*025,0)()( 1314 =−=
mECotaECota 35,10520*025,0)()( 1516 =−=
mECotaECota 85,10420*025,0)()( 1617 =−=
mECotaECota 35,10420*025,0)()( 1718 =−=
mECotaECota 35,10320*025,0)()( 1920 =−=
mECotaECota 85,10320*025,0)()( 1819 =−=
mECotaECota 85,10220*025,0)()( 2021 =−=
mECotaECota 60,10210*025,0)()( 211021 =−=+
Trecho em tangente de saída (i2)
mECotaECota 85,10120*025,0)()( 2223 =−=
mECotaECota 35,10210*025,0)()( 102122 =−= + mECotaECota 35,10120*025,0)()( 2324 =−=
28
Exemplo 2: Continuação...
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
Cálculo da flecha máxima F:
Cálculo de flechas f:
1º Ramo da Parábola 
(PCV-PIV)
11,2120*
120
11,2 2
2120 ==f
2º Etapa: Determinar as flechas da parábola:
29
COTA 
(G. Reto)
Exemplo 2: Continuação – Planilha de projeto da curva vertical
EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
Cálculo de flechas f:
2º Ramo da Parábola 
(PCV-PIV)
Vo - Vértice da curva vertical.
PIV - Flecha máxima flecha da parábola.
30
RECOMENDAÇÕES PARA LANÇAMENTO DE GREIDE
Práticas recomendadas para lançamento de greide
● Procurar usar rampas contínuas, com declividade mínimas, acompanhado o 
relevo, sem, no entanto, extrapolar os valores máximos de rampa permitidos. 
* Aplicado somente a rampas com máximo comprimento igual a 300 m Fonte: DNER (1999).
● Buscar inserir as curvas verticais de modo a coincidirem ou estarem próximas 
das curvas horizontais, garantindo melhor visibilidade ao condutor.
31
RECOMENDAÇÕES PARA LANÇAMENTO DE GREIDE
Práticas recomendadas para lançamento de greide
● Em trecho longos de 
rampas ascendentes é
conveniente dispor as 
rampas mais íngremes 
na parte inferior da 
trecho e as rampas 
mais suaves na parte 
superior, intercaladas 
por uma rampa suave 
intermediária.
(Preferível)
(Não recomendado)
4%
 -50
0 m
● Evitar o uso de greides retos ascendentes e descentes curtos e sucessivos 
(“greide colado”), principalmente em trecho de tangente horizontal, pois a sucessão 
de vales e cumes das curvas verticais pode afetar a visibilidade do tráfego.
32
RECOMENDAÇÕES PARA LANÇAMENTO DE GREIDE
Práticas recomendadas para lançamento de greide
● Em trecho com curvas verticais pequenas e médias sucessivas, no mesmo tipo, 
é preferível usar uma só curva vertical mais longa, melhorando a fluência ótica.
● Em trecho com sucessivas curvas verticais curtas e médias, em sentidos opostos, 
que apresentam quebras freqüentes, é preferível o projeto de uma curva verticalúnica, com rampas maiores e de declividade intermediária, em relação as declividades 
das rampas menores.
	CURVAS �VERTICAIS
	TÓPICOS ABORDADOS
	INTRODUÇÃO
	CARACTERIZAÇÃO DE CURVAS VERTICAIS
	CARACTERIZAÇÃO DE CURVAS VERTICAIS
	COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
	COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
	COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
	COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
	COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
	COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
	COMPRIMENTO MÍNIMO DAS CURVAS VERTICAIS
	CÁLCULO DE ORDENADAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
	CÁLCULO DE VÉRTICE DA PARÁBOLA SIMPLES
	CÁLCULO DE FLECHAS DA PARÁBOLA COMPOSTA
	CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
	CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
	CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA VERTICAL
	RECOMENDAÇÕES PARA LANÇAMENTO DE GREIDE
	RECOMENDAÇÕES PARA LANÇAMENTO DE GREIDE
	RECOMENDAÇÕES PARA LANÇAMENTO DE GREIDE