Calculo 2

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Disciplina:
Cálculo diferencial e integral 2
Curso:
Engenharia de produção
Setembro/2021
Questões e Respostas: 
1ª Questão: 
A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da 
latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido 
em horas a partir do princípio de janeiro.
a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t? 
∂T/∂x - É a taxa de variação da temperatura quando somente a longitude 
muda. A latitude e o tempo são constantes. 
∂T/∂y - É a taxa de variação da temperatura quando a latitude muda. A longitude e o 
tempo são constantes. 
∂T/∂t - É a taxa de variação da temperatura quando o tempo muda. A latitude e a 
longitude permanecem constantes. 
b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 2 1º N. Suponha que às 
9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente,
de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar 
esteja frio. Você esperaria f x(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) 
serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato de as 
longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo 
positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 
Longitude = fx(158,21,9) > 0 
Latitude = fy(158,21,9) < 0 Tempo = ft(158,21,9) > 0
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V 
seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧.
a) Qual o domínio da função V?
b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do 
vetor 𝒊+ ̂ 𝒋+̂ 𝒌.̂
c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
V varia mais rápido na direção do vetor ∆V(P) = (38; 6; 12)
Funções de várias variáveis: algumas aplicações
Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de 
várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções 
e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do 
conhecimento.
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da 
longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O 
tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.
(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t?
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 
1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a 
sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), 
fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o 
fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para 
leste (E) e negativas para oeste (W)).
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V 
seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧.
(a) Qual o domínio da função V?
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊+ ̂ 𝒋+̂ 𝒌.̂
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. 
Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de 
papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, 
logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular).