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Exerćıcios de Equação do Calor
1. (a) Encontre a temperatura u(x, t) em uma barra de metal com 40 cm de comprimento,
isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20◦C,
supondo que α = 1 e que suas extremidades são mantidas a temperatura de 0◦C.
(b) Determine o tempo necessário para que o centro da barra esfrie a temperatura de
10◦C.
2. Encontre a temperatura u(x, t) em uma barra de metal com 40 cm de comprimento, iso-
lada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20◦C, supondo que
α = 1 e que suas extremidades são mantidas a temperatura de 0◦ C e 60◦ C respectiva-
mente. Qual a temperatura estacionária?
3. Considere uma barra com 40 cm de comprimento , α = 1, isolada dos lados e que está
inicialmente a temperatura dada por u(x, 0) = 3x
2
, 0 < x < 40 e que as extremidades estão
isoladas.
(a) Determine u(x, t).
(b) Qual a temperatura estacionária?
4. Mostre que o problema de valores de contorno
X ′′(x) − λX(x) = 0, X(0) = 0, X ′(L) = 0
tem solução não trivial somente se λ = − (2n+1)
2π2
4L2
, para n = 0, 1, 2, 3, . . ..
5. Mostre que o problema de valores de contorno
X ′′(x) − λX(x) = 0, X ′(0) = 0, X(L) = 0
tem solução não trivial somente se λ = − (2n+1)
2π2
4L2
, para n = 0, 1, 2, 3, . . ..
6. Resolva o seguinte problema de valor inicial e de fronteira que corresponde ao problema do
calor em uma barra de comprimento L que do lado esquerdo está mantida a temperatura
zero e do lado direito é mantida isolada.
ut = α
2uxx
u(x,0) = f(x), 0 < x < L
u(0,t) = 0, ux(L,t) = 0
7. Resolva o seguinte problema de valor inicial e de fronteira que corresponde ao problema do
calor em uma barra de comprimento L que do lado esquerdo está mantida a temperatura
fixa T1 e do lado direito é mantida isolada.
ut = α
2uxx
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L
u(0, t) = T1, ux(L,t) = 0
8. Resolva o problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de
variáveis. 
ut = uxx + 2ux
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0
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