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PROJETO APROVAÇÃO – POLÍCIA FEDERAL – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Prof. Ronilton Loyola 
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PROJETO APROVAÇÃO – ESTATÍSTICA – PROF. RONILTON LOYOLA 
 
PROJETO APROVAÇÃO – POLÍCIA FEDERAL – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
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1. Conceito de Estatística 
É uma técnica científica, uma metodologia adotada para se trabalhar com dados, com 
elementos de pesquisa. Um processo estatístico constitui-se nas seguintes fases: 
coleta dos dados, organização, apresentação, análise e tomada de decisão. 
 
2. Classificação 
 
A Estatística é dividida em dois grandes blocos. 
 
● Estatística Descritiva ou Dedutiva: encarregada dos primeiros passos do processo 
estatístico, quais sejam, a coleta, a organização e a descrição (ou apresentação) dos 
dados. Dizemos que a Estatística Descritiva é responsável pela síntese dos dados. 
 
● Estatística Indutiva ou Inferencial: é a parte que trata das etapas finais do processo 
estatístico, quais sejam: a análise dos dados e a tomada de decisões. 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 01 
 
(CESPE/TC-DF) Julgue o item seguinte. 
 
▪ Por Estatística Descritiva entende-se um conjunto de ferramentas, tais como gráficos 
e tabelas, cujo objetivo é apresentar, de forma resumida, um conjunto de 
observações. ( ) 
 
3. População 
 
É o conjunto do qual desejamos extrair a informação. Importante lembrar que todos os 
elementos desse conjunto devem ter pelo menos uma característica comum. A 
População também pode ser chamada de Conjunto Universo. 
 
Observação: O conceito estatístico de população difere do conceito geográfico. Em 
Estatística, todos os elementos da população devem ser objeto de pesquisa, e devem 
ter pelo menos uma característica em comum. Por exemplo, se a população for o 
conjunto de alunos de uma sala, onde pesquisamos, por exemplo, a média de idade da 
turma, a característica comum é serem alunos da mesma turma. 
 
4. Censo 
 
É o tipo de estudo estatístico que abrange todos os elementos da população. 
 
5. Amostragem 
 
É um tipo de estudo estatístico que se contrapõe ao censo. Na amostragem se utiliza 
uma amostra, uma parte da população (um subconjunto) que representa o todo. 
CAPÍTULO I: CONCEITOS INICIAIS 
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Vejamos algumas razões para a adoção da amostragem: 
 
● Quando a população é muito grande. 
 
● O resultado da pesquisa deve ser em curto espaço de tempo. 
 
● Redução do custo financeiro. 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 02 
 
(CESPE/PF) Acerca de conhecimentos de Estatística, jugue os itens seguintes. 
 
▪ Um censo consiste no estudo de todos os indivíduos da população considerada. ( ) 
 
▪ Como a realização de um censo tipicamente é muito onerosa e/ou demorada, muitas 
vezes é conveniente estudar um subconjunto próprio da população, denominado 
amostra. ( ) 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 03 
 
(CESPE/TCU) Assinale a alternativa que está de acordo com os conceitos 
relacionados à Estatística. 
 
(A) Estatística Inferencial corresponde a um conjunto de técnicas destinadas à síntese 
de dados numéricos. 
 
(B) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de uma 
dada população recebe o nome de censo. 
 
(C) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas 
decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra. 
 
(D) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus 
componentes. 
 
(E) A Estatística Indutiva trabalha com a síntese dos dados. 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 04 
 
(CESPE/DEPEN) O diretor de um sistema penitenciário, com o propósito de 
estimar o percentual de detentos que possuem filhos, entregou a um analista 
um cadastro com os nomes de 500 detentos da instituição para que esse 
profissional realizasse entrevistas com os indivíduos selecionados. A partir 
dessa situação hipotética e dos múltiplos aspectos a ela relacionados, julgue 
o item, referente a técnicas de amostragem. 
 
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▪ A diferença entre um censo e uma amostra consiste no fato de esta última exigir a 
realização de um número maior de entrevistas. ( ) 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 05 
 
(CESPE/FTE/SEFAZ–AL) Julgue o seguinte item. 
 
▪ Um censo consiste no estudo de todos os indivíduos da população considerada. ( ) 
 
6. Experimentos Aleatórios 
 
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, 
produzem resultados que não podem ser previstos com certeza. Mesmo não sabendo 
qual resultado vai ocorrer num experimento aleatório, podemos mostrar o conjunto de 
todos os resultados possíveis. Alguns exemplos de experimentos aleatórios: 
 
a) A observação do resultado no lançamento de um dado não-tendencioso. 
 
b) Lançar uma moeda e observar a face de cima. 
 
c) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas. 
 
7. Espaço Amostral 
 
Chamamos de espaço amostral ao conjunto de resultados possíveis de um 
experimento aleatório. 
 
Vamos representar esse conjunto por S. Assim, nos exemplos do item anterior, temos 
os seguintes espaços amostrais: 
 
a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
b) S = {K, C}, onde K representa cara e C representa coroa. 
 
c) S = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} 
 
Vejamos outros exemplos. Dê o espaço amostral de cada experimento seguinte: 
 
a) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE. 
 
O espaço amostral é dado por S = {P, R, O, B, A, I, L, D, E}. 
 
b) Uma urna contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma 
bola é retirada e observada a sua cor. 
 
O espaço amostral é S = {V, B, A}. 
 
c) Uma urna tem 50 bolinhas numeradas de 1 até 50. Uma bolinha é extraída e 
observado o seu número. 
 
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O espaço amostral é S = {1, 2, 3,..., 49, 50}. 
 
e) Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a sequência de sexos dos 3 filhos. 
 
O espaço amostral é S = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M), (F, M, 
F), (F, F, M), (F, F, F)}. 
 
8. Evento 
 
Consideremos um experimento aleatório. Chamaremos de evento, simbolizado por E, a 
qualquer subconjunto do espaço amostral S. 
 
Por exemplo, lançamos um dado e observamos o número da face de cima. O espaço 
amostral é dado por S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Eis algunseventos: 
 
● Ocorrência de um número ímpar: E = { 1, 3, 5 }. 
 
● Ocorrência de um número múltiplo de 2: E = { 2, 4, 6 }. 
 
● ocorrência de um número entre 3 e 6: E = { 4, 5 }. 
 
Outro exemplo é quando uma moeda é lançada 3 vezes e observa-se a sequência de 
caras (K) e coroas (C). O espaço amostral é S = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (K, C, 
C), (C, K, K), (C K, C), (C, C, K), (C, C, C)}. Eis alguns eventos: 
 
● Ocorrência de exatamente uma coroa: E = {(K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}. 
 
● Ocorrência de pelo menos duas caras: E = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (C, K, 
K)}; 
 
● Ocorrência de três coroas: E = { (C, C, C) }. 
 
Observações: 
 
a) Cabe saber os seguintes nomes: 
 
● Evento Certo: possui os mesmos elementos do espaço amostral. 
 
● Evento Impossível: é igual ao conjunto vazio. 
 
b) Se o número de elementos do espaço amostral é igual a n, então o espaço 
amostral terá 2n subconjuntos e, portanto, 2n eventos. 
 
Por exemplo, se o espaço amostral é o conjunto S = {a,b}, onde n = 2 elementos, o 
conjunto dos eventos tem 2² = 4 elementos, quais sejam: {{a}, {b}, {a,b}, Ø}. 
Repare que, entre esses elementos, sempre teremos o vento certo {a,b} (mesmos 
elementos do espaço amostral) e o evento impossível Ø (conjunto vazio). 
 
9. Variável 
 
É o objeto da pesquisa, exatamente aquilo que estamos investigando. Por exemplo, se 
perguntamos as idades de um grupo de pessoas, a variável é a idade. 
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10. Classificação das Variáveis 
 
As variáveis estatísticas podem ser de dois tipos: quantitativas ou qualitativas. 
 
● Variáveis Quantitativas: são aquelas onde se atribui um valor numérico, ou seja, a 
resposta fornecida à pesquisa é expressa por um número. 
Exemplo: Quando o objeto da pesquisa (a variável) é a idade das pessoas. 
 
● Variáveis Qualitativas: são aquelas onde não se atribui um valor numérico. 
 
Exemplo: Quando o objeto da pesquisa é a cor preferida por um grupo de pessoas. 
Ainda podemos classificar as variáveis da seguinte forma: 
 
● Variáveis Quantitativas Descontínuas (ou Discretas): não podem assumir qualquer 
valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. 
 
Exemplo: Se o objeto da pesquisa for o número de membros de uma família, jamais 
poderão existir resultados como “2,3”, “2,9”, etc. 
 
Outros exemplos: número de carros nas garagens dos brasileiros, número de livros em 
uma estante, número de óbitos em uma cidade, etc. 
 
As respostas não podem assumir todos os valores de um intervalo de resultados 
possíveis. Dizemos que as respostas possíveis são descontínuas, existindo um vácuo, 
uma descontinuidade entre uma resposta possível e outra. 
 
● Variáveis Quantitativas Contínuas: é aquela que pode assumir qualquer valor dentro 
de um intervalo de resultados possíveis. 
 
Exemplo: Se o objeto da pesquisa é massa de um grupo de pessoas, podem aparecer 
valores como “45,34 kg”, “87,46 kg”, etc. Outros exemplos: altura, tempo, 
temperatura, etc. 
 
Observação: Podemos dizer que as variáveis discretas (descontínuas) nós contamos, 
e que as variáveis contínuas nós medimos. 
 
● Variáveis Qualitativas Ordinais: são aquelas onde podemos estabelecer uma ordem, 
uma hierarquia entre as respostas obtidas. 
 
Exemplo: quando o objeto da pesquisa é o nível de escolaridade das pessoas de uma 
cidade. 
 
● Variáveis Qualitativas Nominal: é quando não podemos verificar uma ordem, uma 
hierarquia. 
 
Exemplo: quando o objeto de pesquisa é a religião de um grupo de pessoas. 
 
Mais exemplos: 
 
Nos itens que se seguem, indique se a variável é Quantitativa Discreta (D), 
Quantitativa Contínua (C), Qualitativa Nominal (N) ou Qualitativa Ordinal (O). 
 
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. O número de carros em determinado estacionamento. ( ) 
 
. O tipo de sangue de uma pessoa. ( ) 
 
. As temperaturas registradas em uma cidade. ( ) 
 
. O número de nascimentos em um país. ( ) 
 
. Estado civil de um grupo de pessoas. ( ) 
 
. Altura das pessoa de uma cidade. ( ) 
 
. Religião de um povo. ( ) 
 
. Notas obtidas por uma turma de alunas. ( ) 
 
. Tempo de duração de um fenômeno. ( ) 
 
. Classe social. ( ) 
 
. CEP de uma residência. ( ) 
 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 06 
 
(CESPE/TCE–PB) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da 
variável x, que representa o número diário de denúncias registradas na 
ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa 
tabela, julgue o item seguinte. 
 
▪ A variável X é do tipo qualitativo nominal. ( ) 
 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 07 
 
(CESPE/TELEBRAS) 
Número diário de denúncias 
registradas (X) 
Frequência relativa 
0 
1 
2 
3 
4 
0,3 
0,1 
0,2 
0,1 
0,3 
total 1,0 
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Uma empresa coletou e armazenou em um banco de dados diversas 
informações sobre seus clientes, entre as quais estavam o valor da última 
fatura vencida e o pagamento ou não dessa fatura. Analisando essas 
informações, a empresa concluiu que 15% de seus clientes estavam 
inadimplentes. A empresa recolheu ainda dados como a unidade da Federação 
(UF) e o CEP da localidade em que estão os clientes. Do conjunto de todos os 
clientes, uma amostra aleatória simples constituída por 2.175 indivíduos 
prestou também informações sobre sua renda domiciliar mensal, o que gerou 
o histograma apresentado. Com base nessas informações e no histograma, 
julgue o item a seguir. 
 
▪ O CEP da localidade dos clientes e o valor da última fatura vencida são variáveis 
quantitativas. ( ) 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 08 
 
(CESPE/TRE-ES) 
 
 
 
A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de 
eleitores que não votaram no segundo turno da eleição para Presidente da 
República, bem como os números de municípios em que essas quantidades 
ocorreram. Com base nessa tabela, julgue o item seguinte, relativo à análise 
exploratória de dados. 
 
▪ Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a 
variável em questão é contínua. ( ) 
 
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11. Dados Brutos e Rol 
 
Dados brutos são aqueles obtidos diretamente da pesquisa, desordenados. Rol é uma 
forma de organizar os dados brutos em ordem crescente ou decrescente. 
 
12. Séries Estatísticas 
 
São tabelas que representam o resultado de um estudo estatístico. Nessas tabelas 
devemos identificar três elementos: o objeto do estudo, o local e a época da pesquisa. 
Dependendo dos elementos que permanecem constantes ou sofrem variação, podemos 
classificar as séries estatísticas em: Históricas, Geográficas, Específicas ou Distribuição 
de Frequências. 
 
● Séries Históricas: é quando o elemento que sofre variação é a época, permanecendo 
constantes o local e a descrição do fato (o objeto de pesquisa). 
 
Exemplo: 
 
PRODUÇÃO DE MILHO (BRASIL) 
 Anos Quantidade (ton.) 
2010 13.543 
2011 18.984 
2012 10.678 
 
Observação: As Séries Históricas também são chamadas de Séries Cronológicas, 
Temporais ou de Marcha. 
 
● Séries Geográficas: o elemento que sofre variação é o local, permanecendo 
constantes o objeto de pesquisa e o tempo. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: As Séries Geográficas são também chamadas de Séries Espaciais, 
Territoriais ou de Localização. 
 
● Séries Específicas: é quando o objeto de pesquisa sofre variação, permanecendo 
constantes o local e o tempo. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
DENSIDADE DEMOGRÁFICA/2010 
 Municípios Hab/km² 
Avental 12 
Paissandu 11 
Vila Real 17 
NÚMERO DE ALUNOS 
COLÉGIO SÃO PEDRO – 2012 
 Séries Total de alunos 
1º ano 300 
2º ano 400 
3º ano 600 
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Observação: As Séries Específicas também são chamadas de Séries Especificativas ou 
Categóricas. 
 
● Distribuição de Frequências: quando os dados são ordenados em classes ou 
intervalos, permanecendo constantes o objeto de pesquisa, o local e o tempo. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Séries Conjugadas, Mistas ou Compostas: é a combinação de pelo menos duas das 
séries vistas anteriormente. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 09 
 
(CESPE/TCDF) Considerando a tabela seguinte, concluímos que seus dados 
mostram uma série: 
 
 Produto Quant. (ton.) 
 
soja 400.000 
arroz 250.000 
milho 230.000 
 
(A) Específica ou Especificativa; 
 
(B) Geográfica; 
 
(C) Temporal; 
 
(D) Distribuição de Frequência. 
 
 
ALTURA DOS EMPREGADOS 
 EMPRESA LOYOLA LTDA - 2010 
 Alturas (m) Nº de empregados 
1,50 1,60 200 
1,60 1,70 167 
1,70 1,80 50 
1,80 1,90 28 
GASTOS DA EMPRESA LOYOLA 
 Anos Gastos (R$) 
 Material Pessoal 
 2010 400.000 40.000 
 2011 200.000 42.000 
 2012 600.000 41.000 
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MEU COMPUTADOR
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MEU COMPUTADOR
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QUESTÃO 10 
 
(CESPE/TCDF) Assinale a opção correta. 
 
(A) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas. 
 
(B) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo. 
 
(C) Um experimento aleatório tem resultados previsíveis. 
 
(D) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo. 
 
(E) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo. 
 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 11 
 
(CESPE/AUFC) Uma agência de desenvolvimento urbano divulgou os dados 
apresentados na tabela a seguir, acerca dos números de imóveis ofertados 
(X) e vendidos (Y) em determinado município, nos anos de 2005 a 2007. 
 
 
Considerando as informações do texto, julgue o item seguinte. 
 
▪ A variável X forma uma série estatística denominada série temporal. ( ) 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 12 
 
(CESPE/ANTAQ) 
 
Ano 
Granel 
sólido 
 
Granel líquido 
(excluindo petróleo) 
 
Carga geral total 
1955 65.713 
 
250.713 316.426 
1960 59.998 
 
198.848 258.846 
1965 56.156 
 
125.486 181.642 
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1970 45.549 
 
76.484 122.033 
1975 101.721 
 
66.571 168.292 
1980 691.720 55.925 84.312 831.957 
1985 1.010.296 122.254 230.449 1.362.999 
1990 1.428.223 48.035 437.014 1.913.272 
1995 1.522.166 166.018 1.022.822 2.711.006 
2000 2.535.087 77.841 1.936.638 4.549.566 
2006 3.895.891 204.059 2.406.347 6.506.297 
 
Brasil. IBGE, administração do porto de São Francisco. 
 
Considerando a tabela acima, que apresenta a movimentação anual de cargas 
no porto de São Francisco do Sul, em toneladas/ano, julgue o item seguinte. 
 
▪ As séries estatísticas apresentadas na tabela não são séries temporais, porque há 
lacunas referentes a vários anos, como, por exemplo, os anos de 2001 a 2005. ( ) 
 
13. Conceito de Tabela 
 
É um quadro que sintetiza um conjunto de informações uniformizadas e racionalizadas. 
A tabela deve fornecer o máximo de informações com o mínimo de espaço possível. 
 
14. Elementos Fundamentais de uma Tabela 
 
São os seguintes: 
 
● Título: é a indicação contida na parte superior da tabela, onde deve estar definido o 
fato observado. 
 
● Corpo: é constituído por linhas e colunas, que fornecem o conteúdo das informações. 
 
● Cabeçalho: é a parte que apresenta o conteúdo das colunas. 
 
● Coluna Indicadora: determina o que contém as linhas. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
15. Elementos Complementares de uma Tabela 
 
São os seguintes: 
 
● Fonte: designa a entidade que forneceu os dados estatísticos. 
 
● Notas: quaisquer esclarecimentos. 
 
DENSIDADE DEMOGRÁFICA - 2010 
Municípios Hab/km² 
Avental 12 
Paissandu 11 
Vila Real 17 
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● Chamadas: esclarecimentos específicos. 
 
Observação: Preferencialmente as notas e chamadas devem ser colocadas no rodapé 
da tabela. 
 
16. Aspecto Formal de uma Tabela 
 
São as seguintes as recomendações acerca da construção de uma tabela estatística: 
 
● A tabela não deverá ser fechada lateralmente. 
 
● As Células não deverão ficar em branco, apresentando sempre um número ou sinal 
convencional. 
 
17. Sinais Convencionais de uma Tabela 
 
Quanto ao aspecto formal de uma tabela,também adotamos os sinais convencionais a 
seguir. 
 
● Três pontos (...): quando o dado existe, mas não o conhecemos, não dispomos dele. 
 
● Ponto de interrogação (?): quando há dúvida na exatidão de determinado dado. 
 
● Traço horizontal (-): quando o valor é zero. 
 
● O número zero (0): quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade 
adotada. 
 
● A letra “Z”: quando o valor for rigorosamente zero. 
 
18. Tipos de Tabela 
 
A seguir os tipos de tabela: 
 
● Tabela Simples ou Unidimensional: é aquela que apresenta dados ou informações 
relativas a uma única variável. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Tabela de Dupla Entrada, Cruzada ou Bidimensional: apresenta dados ou 
informações relativas a mais de uma variável. 
 
Exemplo: 
 
DENSIDADE DEMOGRÁFICA - 2010 
Municípios Hab/km² 
Avental 12 
Paissandu 11 
Vila Real 17 
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COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 13 
 
Acerca de conhecimentos de Estatística, julgue os itens que se seguem em 
certo (C) ou errado (E) 
 
▪ Estatística Inferencial ou Indutiva trata da descrição ou apresentação dos dados. ( ) 
 
▪ Censo é o nome dado ao processo estatístico onde se abrange todos os elementos da 
população. ( ) 
 
▪ Faz-se um levantamento estatístico por amostragem quando se pesquisa parte da 
população, e essa parte representa o todo. ( ) 
 
▪ A decisão entre os tipos de levantamento a serem realizados, censo ou amostragem, 
depende de prazo para a realização da pesquisa e recursos financeiros disponíveis, 
entre outras variáveis que possam implicar em vantagens ou desvantagens do censo e 
da amostragem. ( ) 
 
▪ Num experimento aleatório podem ocorrer resultados distintos, mesmo que o 
experimento seja repetido em condições idênticas. ( ) 
 
▪ Espaço amostral é o conjunto que reúne todos os elementos de um experimento 
aleatório. ( ) 
 
▪ Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral, podendo coincidir com o 
próprio espaço amostral ou mesmo ser um conjunto vazio. ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GASTOS DA EMPRESA LOYOLA 
 Anos Gastos (R$) 
 Material Pessoal 
 2010 400.000 40.000 
 2011 200.000 42.000 
 2012 600.000 41.000 
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CAPÍTULO II: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
1. Introdução 
 
Vimos que, na Distribuição de Frequências, os dados são ordenados em intervalos 
(classes), permanecendo fixos o objeto da pesquisa (variável), o local e a época. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A maioria das questões de provas traz apenas a tabela com as classes e 
frequências, não especificando local nem data. Então, basta identificarmos que os 
dados estão agrupados em classes, para saber que se trata de uma Distribuição de 
Frequências. 
 
2. Elementos de uma Distribuição de Frequências 
 
São os seguintes os elementos envolvidos em uma Distribuição de Frequências: 
 
● Classes: são os intervalos, definidos por dois limites, o inferior e o superior. No 
exemplo do item anterior, temos quatro classes. 
 
● Intervalo de Classe: é qualquer um dos elementos de classe. O pequeno traço 
vertical indica intervalo fechado; a ausência dele indica intervalo aberto. 
 
Exemplo: 
 
No intervalo 1,70 l— 1,80 do exemplo anterior, fechado à esquerda e aberto à direita, 
podemos afirmar que um aluno de 1,70 m pertence à terceira classe, um aluno de 
1,73 m pertence à terceira classe, um aluno de 1,79 m também pertence a essa 
terceira classe, e assim por diante. Já um aluno de 1,80 m pertence à classe seguinte 
(quarta classe). 
 
● Limites de uma Classe: são os seus extremos, chamados de limite inferior e limite 
superior. 
 
No exemplo anterior, o limite inferior é 1,70 m e o limite superior é 1,80 m. 
 
● Ponto Médio de um Intervalo de Classe (PM): é o elemento que está no meio do 
intervalo, dividindo-o em duas partes iguais. 
 
 ALTURA DOS ALUNOS 
TURMA B DO COLÉGIO RIO - 2013 
Alturas (m) Frequências 
1,50 l— 1,60 8 
1,60 l— 1,70 5 
1,70 l— 1,80 4 
1,80 l— 1,90 3 
Total: 20 
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MEU COMPUTADOR
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É calculado somando o Limite Inferior com o Limite Superior e dividindo essa soma por 
2: 
 
PM = (Linferior + Lsuperior)/2 
 
Por exemplo, o ponto médio do intervalo 1,70 l— 1,80 é dado por: 
 
PM = (1,70 + 1,80)/2 = 1,75. 
 
● Amplitude (h): é a diferença entre o limite Superior e o limite Inferior, ou seja: 
 
 
h = Lsuperior – Linferior 
 
Por exemplo, a amplitude do intervalo 1,70 l—1,80 é h = 1,80 – 1,70 = 0,10. 
 
Observações: 
 
a) Para qualquer distribuição de frequências, cujos intervalos de classe tenham a 
mesma amplitude, a diferença entre dois pontos médios consecutivos será sempre 
igual à amplitude. 
 
b) Não é obrigatório que todos os intervalos tenham a mesma amplitude. 
 
c) As duas partes iguais que o ponto médio divide o intervalo são exatamente h/2. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 14 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Acerca de conhecimentos de Estatística Básica, julgue o 
item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Se os pontos médios de uma distribuição de frequências dos pesos dos estudantes de 
uma classe são: 64, 70, 76, 82, 88 e 94, então os limites da quarta classe são 79 e 85, 
considerando que as classes possuem a mesma amplitude. ( ) 
 
3. Colunas de Frequência 
 
Veremos aqui os diferentes tipos de frequência: Frequência Absoluta Simples (f), 
Frequência Relativa Simples (f’), Frequência Absoluta Acumulada (F) e Frequência 
Relativa Acumulada (F’). 
 
● Frequência Absoluta Simples (f): indica o número de elementos que faz parte da 
classe correspondente. 
 
Observação: A frequência absoluta simples é a mais importante das frequências. 
Precisamos conhecer seus valores para resolver quase todas as questões de uma 
prova. 
 
● Frequência Relativa Simples (f’): indica o percentual de elementos. 
 
MEU COMPUTADOR
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MEU COMPUTADOR
HighLight
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HighLight
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MEU COMPUTADOR
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● Frequência Absoluta Acumulada(F): indica o número de elementos do conjunto que 
tem valor abaixo do limite superior da própria classe. 
 
● Frequência Relativa Acumulada (F’): indica o percentual de elementos do conjunto 
que tem valor abaixo do limite superior da própria classe. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 15 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Considere a distribuição de frequências a seguir, onde f 
representa a frequência absoluta simples, f’ representa a frequência relativa 
simples, F representa a frequência absoluta acumulada e F’ a frequência 
relativa acumulada, e julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). 
 
Pesos (em kg) f F f’ F’ 
40 – 50 8 
50 – 60 7 
60 – 70 5 
70 – 80 5 
 
▪ O limite superior da segunda classe 60 kg. ( ) 
 
▪ O limite inferior da terceira classe é 60 kg. ( ) 
 
▪ A amplitude das classes é maior que 10 kg. ( ) 
 
▪ O ponto médio da segunda classe é 45 kg. ( ) 
 
▪ A amplitude total é 10 kg. ( ) 
 
▪ O número de pessoas que possuem massa entre 50 kg e 60 kg é 18. ( ) 
 
▪ O número de pessoas que possuem massa entre 60 kg e 80 kg é 10. ( ) 
 
▪ O número de pessoas com massa inferior a 60 kg é 15. ( ) 
 
▪ O número de pessoas que têm massa até 70 kg é 5. ( ) 
 
▪ O número de pessoas que têm massa acima de 50 kg é 18. ( ) 
 
▪ A porcentagem de pessoas com massa até 60 kg é 30%. ( ) 
 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 16 
 
(ESAF/AFRF/Adaptado) Considere a tabela abaixo, e julgue os itens 
seguintes. 
 
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
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Classes de Salário Frequências Acumuladas 
(3 ; 6] 12 
(6 ; 9] 30 
(9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 
▪ Mais de 18 pessoas estão no intervalo de salário entre (9 ; 12]. ( ) 
 
▪ O número de pessoas envolvidas na pesquisa foi 68. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 17 
 
(ESAF/AFRF/Adaptado) Considere a tabela abaixo, onde 200 objetos foram 
examinados, e julgue os itens seguintes. 
 
Classes P (%) 
70 – 90 5% 
90 – 110 15% 
110 – 130 40% 
130 – 150 70% 
150 – 170 85% 
170 – 190 95% 
190 – 210 100% 
 
▪ 40% do total está no intervalo até 130. ( ) 
 
▪ A frequência absoluta simples correspondente ao intervalo 150 – 170 é maior que 10. 
( ) 
 
CAIU NA PROVA! 
 
QUESTÃO 18 
 
(CESPE/EBC) 
 
 
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Com base nos dados do quadro acima, em que se demonstra a distribuição de 
frequências das receitas de todas as empresas de uma cidade, julgue o item a 
seguir. 
 
● A frequência acumulada relativa das empresas que estão nas classes de 1 a 3 é de 
85%. ( ) 
 
4. Simetria em Distribuição de Frequências 
 
● Distribuição com um número ímpar de classes: 
 
Classes Frequências 
70 – 90 7 
90 – 110 12 
110 – 130 3 
130 – 150 9 – classe intermediária 
150 – 170 3 
170 – 190 12 
190 – 210 7 
 
● Distribuição com um número par de classes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Histograma 
 
É a representação gráfica de uma distribuição de frequências. No eixo das abscissas 
(horizontal) ficam dispostos os elementos do conjunto, agrupados em classe. No eixo 
das ordenadas (vertical) ficam as frequências absolutas (ou relativas) simples. As 
classes são representadas por retângulos, onde a base é determinada pelos limites do 
intervalo de classe, e altura determinada pela frequência. 
 
Exemplos: 
 
Classes Frequências 
70 – 90 7 
90 – 110 12 
110 – 130 9 – classe intermediária 
130 – 150 9 – classe intermediária 
150 – 170 12 
170 – 190 7 
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(Distribuição de Frequências Simétrica) 
 
(Distribuição de Frequências Assimétrica) 
 
6. Interpolação Linear da Ogiva 
 
Utilizamos quando queremos estimar valores. Vamos esclarecer esse método através 
dos seguintes exemplos: 
 
a) Na distribuição de frequências a seguir, determine a estimativa de elementos do 
conjunto apresentam massa abaixo de 12 quilos, utilizando a interpolação linear da 
ogiva. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Considerando a distribuição de frequências a seguir, determine a estimativa da 
porcentagem de elementos do conjunto que apresentam peso acima de 28 kg, usando 
a interpolação linear da ogiva. 
 
Massa (kg) Frequência 
 0 – 10 3 
10 – 20 6 
20 – 30 7 
30 – 40 4 
 
 
c) Considerando a distribuição de frequências a seguir, determine qual o valor da 
variável X (massa) que não é superado por cerca de 70% das observações. 
Massa (kg) Frequência 
 0 – 10 3 
10 – 20 6 
20 – 30 7 
30 – 40 4 
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COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 19 
 
(ESAF/AFRF/Adaptado) Utilize a tabela que se segue. 
 
Freq. Acum. de Salários Anuais 
em Milhares de Reais da Cia. Alfa 
 Classes Freq. Acum. 
(3 ; 6] 12 
(6 ; 9] 30 
(9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Supondo que a tabela de frequências acumuladas tenha sido construída a 
partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa, julgue o item 
seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Utilizando interpolação linear da ogiva, estima-se que a frequência populacional de 
salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia alfa é 160. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 20 
 
(ESAF/AFRF/Adaptado) Em um ensaio pra o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do 
balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências 
abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a 
coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P(%) 
70 – 90 5 
90 – 110 15 
110 – 130 40 
130 – 150 70 
150 – 170 85 
170 – 190 95 
190 – 210 100 
 
Massa (kg) Frequência 
 0 – 10 3 
10 – 20 6 
20 – 30 7 
30 – 40 4 
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Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E) 
 
▪ A estimativa da frequência relativa de observaçõesde X menores ou iguais a 145 é 
maior que 60%. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 21 
 
(ESAF/AFRF/Adaptado) O atributo do tipo contínuo X, observado como um 
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 
indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte: 
 
Classes Frequência (f) 
29,5 – 39,5 4 
39,5 – 49,5 8 
49,5 – 59,5 14 
59,5 – 69,5 20 
69,5 – 79,5 26 
79,5 – 89,5 18 
89,5 – 99,5 10 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E) 
 
▪ A estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X 
menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5 é maior que 800. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 22 
 
(ESAF/AFRF/Adaptado) Considere a tabela de frequências correspondente a 
uma amostra da variável x. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Classes Freq. Acum. 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E) 
 
▪ A estimativa do valor da distribuição amostral de x que não é superado por cerca de 
80% das observações é superior a 10.000. ( ) 
 
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QUESTÃO 23 
 
(ESAF/AFRF/Adaptado) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Freq. Acum. 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E). 
 
▪ A estimativa, via interpolação da ogiva, do número de observações menores ou iguais 
ao valor 164 é maior que 30. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 24 
 
(ESAF/FTE-PA/Adaptado) A tabela abaixo representa frequências acumuladas 
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de 
economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. 
Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes 
salariais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E). 
 
▪ O valor obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% 
das realizações de Y é 83,9. ( ) 
 
 
 
 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
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QUESTÃO 25 
 
(ESAF/FTE-PI/Adaptado) A tabela abaixo mostra a distribuição de frequência 
obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. 
As frequências são do tipo acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E). 
 
▪ A estimativa, via interpolação da ogiva, do nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população é R$ 11.500,00. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 26 
 
(ESAF/TJ–CE) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do 
atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma 
amostra de 200 funcionários da empresa x. Note que a coluna Classes refere-
se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P 
refere-se ao percentual da frequência acumulada relativo ao total da amostra. 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
Assinale a opção que corresponde à aproximação de frequência relativa de 
observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários 
mínimos. 
 
(A) 65% (B) 50% (C) 80% (D) 60% (E) 70% 
 
 
 
 
 
 
Classes Frequências 
5.000 – 6.500 12 
6.500 – 8.000 28 
8.000 – 9.500 52 
9.500 – 11.000 74 
11.000 – 12.500 89 
12.500 – 14.000 97 
14.000 – 15.500 100 
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QUESTÃO 27 
 
(ESAF/Aud. Tes. Mun. Recife) O quadro seguinte apresenta a distribuição de 
frequências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 
apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa do valor x tal que a frequência relativa de 
observações de X menores ou iguais a x seja 80%. 
 
Classes (R$) Frequências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
(A) 530 (B) 560 (C) 590 (D) 578 (E) 575 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 28 
 
(FCC/IPEA) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências relativas 
da variável tempo, em segundos, requerido para completar uma operação de 
montagem. 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que nessa tabela todas as classes têm mesma amplitude e que 22 
segundos é o tempo que é exercido por 75% das montagens, julgue o item 
seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ O valor do limite inferior “a” é 16. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 29 
 
(FCC/ANS) O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos 
pacientes atendidos no ano de 2000 em uma clínica infantil, expressa em 
anos. 
Tempo (seg.) Frequência Relativa 
 a – b 0,25 
 b – c 0,25 
 c – d 0,25 
 d – 40 0,25 
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 40% 
 
 25% 
 
 
 18% 
 17% 
 
 
 2 4 6 8 10 
 
A idade que separa os 30% mais jovens é: 
 
(A) 3,5 (B) 4,2 (C) 4,4 (D) 4,6 (E) 5,0 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 30 
 
(FCC/MPU) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com 
seus empregados, e realizou um levantamento por um período de 36 meses. 
As informações apuradas estão na tabela a seguir: 
 
Nº de emp. acid. Nº de meses1 1 
 2 2 
 3 4 
 4 5 
 5 7 
 6 6 
 7 5 
 8 3 
 9 2 
 10 1 
 
A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados 
é de aproximadamente: 
 
(A) 50% (B) 45% (C) 35% (D) 33% (E) 30% 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 31 
 
(FCC/IPEA) O histograma seguinte representa a distribuição dos salários (X) 
dos 500 funcionários da firma A, no mês de agosto de 2004, expressos em 
números de salários mínimos (SM). 
 
 
 
 
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 40% 
 
 
 
 
 25% 
 
 
 18% 
 17% 
 
 
 
 
 
 1 3 5 7 9 
 
O valor de X que separa os 35% dos funcionários que ganham menos é: 
 
(A) 3,5 SM (B) 4,0 SM (C) 4,2 SM (D) 4,5 SM (E) 4,8 SM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO III: MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
1. Introdução 
 
As medidas de posição são as medidas de tendência central (média, moda, mediana) e 
as medidas separatrizes (mediana, quartis, decis, centis). Vejamos, a seguir, cada 
delas, começando pelas medidas de tendência central: média aritmética, moda e 
mediana. 
 
2. Média Aritmética (X) 
 
Primeiramente, é bom saber que quando falarmos simplesmente em “Média”, 
estaremos nos referindo à Média Aritmética, já que existem outras espécies de 
“Média”, que estudaremos oportunamente. 
 
2.1. Média Aritmética Simples de um Rol 
 
É a soma de todos os elementos do conjunto, dividido pelo número de elementos 
desse conjunto. Em símbolos, temos: 
 
 X = ∑x/n 
 
X: média aritmética simples; 
 
∑x: é o somatório de todos os elementos do conjunto; 
 
n: é o número de elementos do conjunto. 
 
Exemplo: 
 
● Um candidato obteve as seguintes notas num concurso: 8 em Português, 6 em 
Matemática, 3 em Informática e 7 em Direito. Qual a média desse candidato no 
concurso? 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 32 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Acerca do cálculo de médias, julgue o itens seguintes em 
certo (C) ou errado (E). 
 
▪ A média aritmética de 4 números é igual a 7. Sabendo que três desses números são 
2, 8 e 10, conclui-se o 4º número é igual a 8. ( ) 
 
▪ A média aritmética de 11 números é 12. Retirando-se um dos 11 números, a média 
aritmética dos 10 números restantes é 12,4. O número retirado foi o 8. ( ) 
 
▪ O salário médio de 4 pessoas é de R$ 108.000,00. Se incluirmos uma 5ª pessoa que 
ganha um salário de R$ 88.000, a nova média salarial será R$ 104.000,00. ( ) 
 
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
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2.2. Média Aritmética Ponderada 
 
Considere uma sequência de números x1, x2, x3,..., xn cujos pesos são p1, p2, p3, ..., 
pn, respectivamente. A média aritmética ponderada é definida por: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
● No exemplo anterior, se considerarmos que Português, Matemática, Informática e 
Direito tem pesos, respectivamente, iguais a 4, 3, 2 e 1, qual a média aritmética 
ponderada do candidato no concurso? 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 33 
 
(ESAF/Fiscal de Tributos-MG) Um candidato obteve, nas diversas provas de 
um concurso, as seguintes notas com os respectivos pesos: 
 
Matéria Nota Peso 
Português 66 3 
Contabilidade 63 3 
Estatística x 2 
Direito 79 2 
 
A média aritmética ponderada, obtida pelo candidato, foi 69,3. A nota que o 
candidato obteve em Estatística foi: 
 
(A) 66 (B) 68 (C) 70 (D) 72 (E) 74 
 
 
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QUESTÃO 34 
 
(UFSC/FTE-SC) Uma empresa possui dois técnicos em Informática recebendo 
salários mensais de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 
4.500,00 cada um por mês, um diretor de RH com salário mensal de R$ 
7.000,00, e três outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por mês. 
A média mensal desses salários é: 
 
(A) R$ 5.830,00 (B) R$ 6.830,00 (C) R$ 2.830,00 (D) R$ 3.830,00 (E) R$ 4.830,00 
 
2.3. Média Aritmética de Dados Tabulados 
 
A fórmula para se calcular a média aritmética de um conjunto apresentado na forma 
de dados tabulados é a seguinte: 
 
 
 
 X = ∑px /∑p 
X = ∑fx/n 
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
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Onde f é a frequência absoluta simples de cada elemento do conjunto. 
 
Exemplo: 
 
● Dado o rol {1, 1, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 10}, apresente esse conjunto em forma de tabela 
(dados tabulados) e determine a média aritmética. 
 
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QUESTÃO 35 
 
(CESGRANRIO/BNDES/Adaptado) A tabela a seguir mostra o número de gols 
marcados pela equipe X nas partidas do último torneio que disputou. 
 
Gols marcados Nº de partidas 
 0 3 
 1 5 
 2 2 
 3 2 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E). 
 
▪ O número médio de gols, por partida, marcados por essa equipe foi 1,50. ( ) 
 
2.4. Média Aritmética de uma Distribuição de Frequências 
 
Para uma distribuição de frequências, a média aritmética é dada por: 
 
X = ∑f.PM/n 
, 
Onde PM é o ponto médio do intervalo da classe. 
 
Exemplos: 
 
● A distribuição de frequências a seguir representa as massas de um grupo de 
alunos. Qual o peso médio desse conjunto? 
 
(kg) f 
 0 – 10 2 
10 – 20 3 
20 – 30 8 
30 – 40 6 
40 – 50 1 
 
2.5. Propriedades da Média Aritmética 
 
Vejamos as propriedades relacionadas à média aritmética: 
 
MEU COMPUTADOR
HighLight
MEU COMPUTADOR
HighLight
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● Propriedade da Adição e Subtração: Adicionando-se (ou subtraindo-se) todos os 
elementos do conjunto a uma constante, a média do novo conjunto será igual à média 
do conjunto original somada (ou subtraída) com a mesma constante. 
 
● Propriedade da Multiplicação e Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada 
elemento de um conjunto original por uma constante, a nova média será igual à média 
anterior multiplicada (ou dividida) pela mesma constante. 
 
Observação: Resumindo, podemos afirmar que a Média é influenciada pela quatro 
operações. 
 
● A soma de todos os desvios em torno da média aritmética de um conjunto numérico 
qualquer é sempre zero. 
 
● A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é um 
valor mínimo. 
 
● Sempre que a distribuição de frequênciasfor simétrica, a média aritmética será igual 
à média dos limites extremos do conjunto. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 36 
 
Acerca das propriedades das médias, julgue os itens seguintes em certo (C) 
ou errado (E). 
 
▪ Em uma empresa, o salário médio era de R$ 9.000,00. Todos os salários receberam 
um aumento de 10%. O salário médio passou a ser R$ 9.900,00. ( ) 
 
▪ Considerando a equação ∑n i=1 (xi – a) = 0 sempre verdadeira, podemos afirmar que 
o valor de “a” é a média dos valores de x. ( ) 
2.6. Método da Variável Transformada 
 
Constitui um método alternativo para se determinar a média aritmética de uma 
distribuição de frequências, quando todos os intervalos de classe têm mesma 
amplitude. 
 
Exemplos: 
 
● Na distribuição de frequências a seguir, determine a média aritmética pelo método 
da variável transformada. 
(kg) f 
0 – 10 2 
10 – 20 3 
20 – 30 8 
30 – 40 6 
40 – 50 1 
 
● Calcule a média da distribuição de frequências abaixo, pelo método da variável 
transformada. 
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Classes f 
29,5 – 39,5 4 
39,5 – 49,5 8 
49,5 – 59,5 14 
59,5 – 69,5 20 
69,5 – 79,5 26 
79,5 – 89,5 18 
89,5 – 99,5 10 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 37 
 
(FCC/Aud.Fisc.–BA/Adaptado) Uma administradora de alocação de imóveis, 
com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes 
operações: 
 
I. Multiplicou por 2 os valores de todos os aluguéis de sua carteira. 
 
II. Subtraiu 1.200 de cada valor encontrado no item I. 
 
III. Dividiu por 1.000 cada valor encontrado no item II. 
 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
▪ Se o valor encontrado no item IV foi 3/10, então a média aritmética dos valores dos 
aluguéis, em reais, é 750. ( ) 
 
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QUESTÃO 38 
 
(ESAF/AFTN/Adaptado) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do 
balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências 
abaixo. A coluna das classes representa intervalos de valores de X em reais, e 
a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes F(%) 
 70 – 90 5 
 90 – 110 15 
 110 – 130 40 
 130 – 150 70 
 150 – 170 85 
 170 – 190 95 
 190 – 210 100 
 
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Com base nessas informações julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E). 
 
▪ O valor médio amostral de X é 138. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 39 
 
(ESAF/AFTN/Adaptado) Considere os dados da tabela de distribuição de 
frequências, e julgue os itens subsequentes em certo (C) ou errado (E). 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA 
EMPRESA ALFA, EM 1º/01/2000 
 Anos f PM y=(PM–37)/5 f.y 
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 
24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 
34,5 – 39,5 29 37 0 0 
39,5 – 44,5 18 42 1 18 
44,5 – 49,5 12 47 2 24 
49,5 – 54,5 7 52 3 21 
 
▪ A média das idades dos funcionários em 1º/01/2000 foi 37,8 anos. ( ) 
 
▪ A média das idades dos funcionários em 1º/01/2006 foi 43,8 anos. ( ) 
 
2.7. Cálculo da Média das Médias 
 
Considere um conjunto A com nA elementos de média XA, e um conjunto B com nB 
elementos de média XB. A média do conjunto maior, formada pela reunião de todos os 
elementos dos conjuntos menores A e B, é dada por: 
 
 
 X = (nA.XA + nB.XB)/(nA + nB) 
 
 
Exemplo: 
 
● Em uma empresa, com 200 funcionários, o salário médio das 90 mulheres é R$ 
800,00, e o salário médio dos 110 homens é R$1.200,00. Determine o salário médio 
dos funcionários dessa empresa. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 40 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Acerca do cálculo de médias, julgue os itens seguintes 
em certo (C) ou errado (E). 
 
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▪ Se as médias aritméticas de dois conjuntos de números, o primeiro com 30 
elementos e o segundo com 20 elementos, forem 4 e 5, respectivamente, então a 
média aritmética do conjunto de todos os números será 4,3. ( ) 
 
▪ A estatura média dos sócios de um clube é 165 cm, sendo a dos homens 172 cm, e a 
das mulheres 162 cm. Daí, é verdade que a porcentagem de mulheres no clube é 
70 %. ( ) 
 
▪ Num departamento existem 24 pessoas. Uma delas é dispensada e é substituída por 
outra de 20 anos. Com essa alteração, a média aritmética das idades dessas pessoas 
diminui de 2 anos. A idade da pessoa que foi dispensada corresponde a 68 anos. ( ) 
 
3. Moda (Mo) 
 
É a nossa segunda medida de tendência central. É o elemento que mais vezes aparece 
no conjunto, ou seja, é aquele de maior frequência. 
 
3.1. Moda para o Rol 
 
Para se determinar a moda em um conjunto expresso sob a forma de um rol, basta 
verificar o elemento que mais se repete. 
 
Exemplos: 
 
● Qual a moda nos conjuntos seguintes: 
 
a) {1, 1, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6}; 
 
b) {1, 6, 7, 9, 11}; 
 
c) {2, 2, 2, 5, 6, 7, 7, 7} 
 
d) {4, 4, 4, 5, 5, 5, 9, 9, 10, 12, 12, 12}. 
 
Observe que um conjunto pode ser amodal, unimodal, bimodal ou multimodal. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 41 
 
(ESAF/Fiscal de Tributos-MG/Adaptado) Dados os conjuntos de valores: 
 
A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10} 
 
B = {6, 7, 8, 9, 10,11, 12} 
 
C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9,10} 
 
Em relação à moda, julgue os itens seguintes. 
 
▪ A é unimodal e a moda é 8. ( ) 
 
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▪ B é unimodal e a moda é 9. ( ) 
 
▪ C é bimodal e as modas são 4 e 9. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 42 
 
(ESAF/AFTN) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram 
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços de ações, tomada numa bolsa 
de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
 
{4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 
23} 
 
Com base nesses dados, julgue o item seguinte. 
 
▪ O preço modal é 8. ( ) 
 
3.2. Moda para Dados Tabulados 
 
Basta verificar o elemento de maior frequência absoluta simples, aquele que mais 
aparece. 
 
Exemplo: 
 
● Dado o rol {1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 10}, apresente esse conjunto em 
forma de tabela (dados tabulados) e determine a moda. 
 
3.3. Moda para Distribuição de Frequências 
 
Vamos determinar através de dois métodos: Método de Czuber e Método de King. Se a 
questão não especificar qual das fórmulas devemos usar, devemos trabalhar com a 
fórmula de Czuber. Só empregamos a fórmula de King se for solicitado expressamente 
pelo enunciado. 
 
Vejamos as fórmulas: 
 
● Moda pelo Métodode Czuber: é dada pela fórmula a seguir. 
 
 
Onde: 
 
Linferior = limite inferior da classe modal; 
 
∆a=diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a frequência 
absoluta simples da classe anterior a ela; 
 
∆p=diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a frequência 
absoluta simples da classe posterior a ela; 
 
Mo = Linferior + [∆a/(∆a + ∆p)].h 
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h = amplitude da classe modal. 
 
Exemplo: 
 
● Determine a moda da distribuição de frequências a seguir, pelo método de Czuber. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 43 
 
(ESAF/TJ-CE/Adaptado) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 
frequências do atributo salário mensal medido em quantidades de salários 
mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a 
coluna “classes” refere-se a classes salariais em quantidades de salários 
mínimos, e que a coluna P refere-se ao percentual da frequência acumulada 
relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
▪ O salário modal no conceito de Czuber é 10. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 44 
 
(ESAF/ANEEL/Adaptado) Considere a distribuição de frequências a seguir 
associada ao atributo de interesse X. Não existem observações que coincidam 
com os extremos das classes. 
 
Classes Freq. Simples 
 0 – 10 120 
10 – 20 90 
20 – 30 70 
30 – 40 40 
40 – 50 20 
 
Classes f 
 0 – 10 9 
10 – 20 15 
20 – 30 28 
30 – 40 17 
40 – 50 11 
Classes P 
 4 – 8 20 
 8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
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Com bases nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
▪ A moda no conceito de Czuber é 8. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 45 
 
(ESAF/FTE-PA/Adaptado) A tabela abaixo apresenta as frequências 
acumuladas correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários 
anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização 
da Cia X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das 
classes salariais. 
 
 Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
▪ O salário modal anual estimado para o departamento de fiscalização da Cia X, no 
conceito de Czuber é 73,78. ( ) 
 
● Moda pelo Método de King: é dada pela fórmula a seguir. 
 
 
 
Onde: 
 
Linferior = limite inferior da classe modal; 
 
fpost = frequência absoluta simples da classe posterior à classe modal; 
 
fant = frequência absoluta simples da classe anterior à classe modal; 
 
h = amplitude da classe modal. 
 
Exemplo: 
 
● Determine a moda da distribuição de frequências a seguir, pelo método de King. 
 
Classes f 
0 – 10 9 
10 – 20 15 
20 – 30 28 
30 – 40 17 
40 – 50 11 
Mo = Linferior + [fpost/(fpost+fant)].h 
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Observação: Numa distribuição de frequências simétrica, o valor da moda pelo 
método de Czuber é exatamente igual ao valor da moda pelo método de King, que 
também é igual ao valor da média aritmética. Nesse caso, a média aritmética é igual à 
média dos limites extremos do conjunto. 
 
Exemplo: 
 
● Na distribuição a seguir, determine a moda pelo método de Czuber e pelo método de 
King, determine a média, e depois compare os resultados. 
 
Classes f 
 30 – 40 1 
 40 – 50 3 
 50 – 60 7 
 60 – 70 11 
 70 – 80 14 
 80 – 90 11 
 90 – 100 7 
100 – 110 3 
110 – 120 1 
 
3.4. Propriedades da Moda 
 
Vejamos as propriedades relacionadas à moda: 
 
● Propriedade da Adição e Subtração: Somando-se (ou subtraindo-se) todos os 
elementos do conjunto a uma mesma constante, a nova moda será a anterior somada 
(ou diminuída) àquela constante. 
 
● Propriedade do Multiplicação e Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada 
elemento de um conjunto original por uma constante, a nova moda será igual à moda 
anterior multiplicada (ou dividida) pela mesma constante. 
 
Observação: Resumindo, podemos afirmar que a Moda, assim como a Média, também 
é influenciada pela quatro operações. Também é importante observar que, 
diferentemente da Média, a Moda não é influenciada por valores extremos. 
 
Exemplos: 
 
a) No conjunto {1, 2, 2, 3} a moda é 2. Se multiplicarmos todos os elementos por 10, 
o conjunto passa a ser {10, 20, 20, 30}. Veja que a moda agora é 20, ou seja, 
também ficou multiplicada por 10. 
 
● No rol {1, 2, 2, 3} veja que a moda é 2. Se trocarmos o elemento 3 por 400, 
teremos o conjunto {1, 2, 2, 400} e a moda continuará sendo 2, não sendo, portanto, 
influenciada por valores extremos, diferentemente da média. 
 
Observação: Se a frequência anterior for maior que a frequência posterior, a moda 
estará à esquerda do ponto médio da classe modal. Se a frequência posterior for maior 
que a frequência anterior, a moda estará à direita do ponto médio da classe modal. Se 
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a frequência anterior for igual à frequência posterior, a moda será igual ao ponto 
médio da classe modal. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 46 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Considerando a tabela de Distribuição de Frequências, 
julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
Classes f 
 0 – 10 3 
10 – 20 5 
20 – 30 8 
30 – 40 4 
40 – 50 2 
 
▪ A moda da distribuição de frequências é menor que 25. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 47 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Sobre a moda de uma variável, julgue os itens 
seguintes: 
 
▪ Para toda variável existe uma e apenas uma moda. ( ) 
 
▪ A moda é uma medida de dispersão relativa. ( ) 
 
▪ A moda é uma medida não afetada por valores extremos. ( ) 
 
▪ O valor da moda encontra-se entre o valor da média e o da mediana. ( ) 
 
▪ A moda sempre existe em um rol. ( ) 
 
4. Mediana (Md) 
 
É o elemento que separa o conjunto em duas partes iguais, em duas metades. Por isso 
também é considerada uma medida separatriz., além de uma medida de tendência 
central. 
 
Exemplos: 
 
● No conjunto {1, 2, 3, 7, 10}, a mediana é Md = 3. 
 
4.1. Mediana para o Rol 
 
Para determinar a mediana de um rol, devemos identificar o elemento que ocupa a 
posição central do conjunto. 
 
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Exemplos: 
 
● No conjunto {2, 7, 8, 9, 22, 65, 89} a mediana é Md = 9. 
 
● No conjunto {4, 7, 9, 6, 8, 10} a mediana é Md = (9 + 6)/2 = 7,5. 
 
Resumindo, temos: 
 
Se o número de elementos (n) do conjunto é ímpar, só existe uma posição central, 
dada pela fórmula: (n+1)/2. Por exemplo, se conjunto tem 19 elementos, a posição 
central é a (19+1)/2= 10ª posição. 
 
Se n é par, existem duas posições centrais. A primeira delas é determinada pela 
fórmula: n/2; a segunda posição central é a que sucede essa primeira. Por exemplo, 
se o conjunto tem n = 20 elementos, a primeira posição central é a 20/2 = 10ª 
posição, e a segunda posição central é a 11ª. 
 
Achando a posição central para n ímpar, a mediana será o elemento que ocupa essa 
posição central. Para n par, a mediana será a média aritmética dos dois elementos que 
ocupam a posições centrais. 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 48 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Em uma fila, oito pessoas esperam, em minutos, os seguintes tempos para serem 
atendidas: 8, 11, 5, 14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, é 
14. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 49 
 
(ESAF/SEFAZ-CE) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova 
é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e 
mediana deste conjunto são, respectivamente: 
 
(A) 3, 6 e 5 (B) 3, 4 e 5 (C) 10, 6 e 5 (D) 5, 4 e 3 (E) 3, 6 e 10 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 50 
 
(FCC/TRF-2ªR) Assinale a alternativa correta, considerando a série 8, 5, 14, 
10, 8 e 15. 
 
(A) A média aritmética é 10 e a mediana é 12. 
 
(B) A amplitude total é 7 e a moda é 8. 
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(C) A mediana é 9 e a amplitude total é 10. 
 
(D) A média aritmética é 10 e a amplitude total é 7. 
 
(E) A mediana é 12 e amplitude total é 7. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 51 
 
(FCC-BACEN) Calcular a mediana da seguinte série: 46, 49, 54, 47, 58, 55, 65, 
62, 46, 65. 
 
(A) 54,7 (B) 54,5 (C) 54 (D) 56,5 (E) 58 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 52 
 
(ESAF/AFRFB) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram 
obtidos de uma amostra aleatória de 50 preços de ações, tomadas numa bolsa 
de valores internacional. A unidade é o dólar americano. 
 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. 
 
Assinale a opção que corresponde à mediana. 
 
(A) 9,0 (B) 9,5 (C) 8,5 (D) 8,0 (E) 10,0 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 53 
 
A pontuação obtida na carteira de motorista de um grupo de 12 motoristas 
infratores de trânsito fornece o seguinte conjunto de dados: 
 
{2, 10, 7, 9, 11, 7, 8, 3, 3, 8, 7, 5}. 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E). 
 
▪ média < mediana = moda. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 54 
 
(ESAF/AFRFB) Considere a seguinte amostra aleatória das idades, em anos 
completos, dos alunos de um curso preparatório: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 
31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 
26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
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Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
 
(A) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
 
(B) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
 
(C) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
 
(D) A média das idades é 27 e o desvio padrão é 1,074. 
 
(E) a moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 55 
 
(ESAF/IRB) O diagrama de ramos e folhas apresentado abaixo corresponde à 
sequência de observações amostrais (34, 38, ..., 97) de um atributo X. 
Assinale a opção que dá a mediana amostral de X. 
 
3 4 
3 8 
5 124 
5 7889 
6 013 
4 22 
4 57 
6 5567899 
7 0112334 
7 556679 
8 1123344 
8 57 
9 0133 
9 7 
 
(A) 69,5 (B) 71 (C) 70,5 (D) 72 (E) 74 
 
4.2. Mediana para Dados Tabulados 
 
Quando os elementos do conjunto vierem apresentados sob a forma de dados 
tabulados, a mediana é encontrada seguindo os seguintes passos: 
 
1º) Descobrir o número de elementos (n) do conjunto, identificando se “n” é par ou 
ímpar. 
 
2º) Achar a posição central, conforme fizemos para o rol. 
 
3º) A mediana será o elemento que ocupa a posição central, se n for ímpar; e será a 
média aritmética dos dois elementos que ocupam as posições centrais, se n for par. 
 
Exemplos: 
 
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a) Determinar a mediana na tabela seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Na tabela a seguir, determine o valor da mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determine o valor da mediana, na tabela seguinte. 
 
 
 x f 
 2 5 
 4 10 
 6 8 
 8 7 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 56 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Considere a tabela seguinte e julgue o item em certo (C) 
ou errado (E). 
 
x Feq. Acum 
1 2 
2 6 
3 12 
4 20 
 
▪ A mediana do conjunto é maior que 3. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 57 
 
(FUMARC/CEASA/Adaptado) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado 
(E). 
 x f 
 2 5 
 4 10 
 6 15 
 8 11 
10 6 
12 3 
 x f 
 2 5 
 4 10 
 6 15 
 8 11 
10 6 
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▪ Uma universidade pagou a cada um de seus instrutores um salário mensal de R$ 
1.500,00; a cada um de seus 67 assistentes, R$ 2.000,00; a cada um dos 58 adjuntos, 
R$ 2.600,00, e a cada um de seus 32 titulares, R$ 3.100,00. O salário mediano dos 
202 docentes dessa universidade é R$ 2.400,00. ( ) 
 
4.3. Mediana para uma Distribuição de Frequências 
 
Para determinarmos a mediana em uma distribuição de frequências, devemos seguir 
os seguintes passos: 
 
1º) Descobrir a classe mediana. 
 
2º) Aplicar a fórmula seguinte. 
 
 
 
 
 
Linf: limite inferior da classe mediana; 
 
n: número de elementos do conjunto; 
 
F: frequência absoluta acumulada da classe anterior à classe mediana; 
 
f: frequência absoluta simples da classe mediana; 
 
h: amplitude da classe mediana. 
 
Exemplos: 
 
a) Determine a mediana na distribuição de frequências a seguir. 
 
Classes f 
10 – 20 3 
20 – 30 5 
30 – 40 7 
40 – 50 4 
50 – 60 1 
 
b) Determine a mediana na distribuição de frequências a seguir. 
 
Classes f 
 0 – 15 8 
15 – 30 12 
30 – 45 7 
45 – 60 4 
60 – 75 2 
 
Observação: Quando n/2 for igual à frequência absoluta acumulada da classe 
mediana, então a mediana será o limite superior dessa classe mediana. 
 
Md = Linf + [(n/2 - Fant)/f].h 
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Exemplo: 
 
● Determine a mediana na distribuição de frequências a seguir. 
 
Classes f 
0 – 20 5 
20 – 40 8 
40 – 60 11 
60 – 80 2 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 58 
 
(ESAF/Fiscal de Tributos–MG) As distâncias, em milhares de quilômetros, 
percorridas em 1 ano pelos 20 táxis de uma empresa, estão representadas no 
quadro seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
▪ A mediana dessa distribuição,em milhares de quilômetros, é 65. ( ) 
 
Observação: Quando a distribuição de frequências é simétrica, a mediana, a média e 
a moda são iguais. Nesse caso, são dadas pela média aritmética entre o limite inferior 
da primeira classe e o limite superior da última classe. 
 
Exemplo: 
 
● Qual a mediana, a média e a moda na distribuição de frequências a seguir? 
 
Classes f 
9,5 – 19,5 4 
19,5 – 29,5 6 
29,5 – 39,5 7 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 4 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 59 
 
Distâncias Nº de táxis 
 45 – 55 3 
 55 – 65 7 
 65 – 75 4 
 75 – 85 5 
 85 – 95 1 
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(QUESTÃO INÉDITA) Considere a tabela seguinte e julgue o item em certo (C) 
ou errado (E). 
 
Classes Frequências 
 0 – 10 3 
10 – 20 5 
20 – 30 8 
30 – 40 4 
40 – 50 2 
 
▪ A mediana da distribuição de frequências é maior que 21. ( ) 
 
4.4. Método da Interpolação 
 
Vejamos agora um método que nos permite determinar a mediana de uma distribuição 
de frequências, sem a aplicação da fórmula. 
 
Exemplos: 
 
● Encontre a mediana na distribuição de frequências a seguir. 
 
Classes f 
10 – 20 3 
20 – 30 5 
30 – 40 7 
40 – 50 4 
50 – 60 1 
 
● Determine a mediana na distribuição de frequências a seguir. 
 
Classes f 
0 – 15 8 
15 – 30 12 
30 – 45 7 
45 – 60 4 
60 – 75 2 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 60 
 
(ESAF/AFRFB/Adaptado) O atributo do tipo contínuo X, observado como um 
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1.000 
indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte: 
 
Classes Frequência (f) 
29,5 – 39,5 4 
39,5 – 49,5 8 
49,5 – 59,5 14 
59,5 – 69,5 20 
69,5 – 79,5 26 
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79,5 – 89,5 18 
89,5 – 99,5 10 
 
▪ Com base nessas informações, podemos afirmar que a estimativa da mediana 
amostral do atributo X é 71,04. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 61 
 
(ESAF/AFRFB/Adaptado) Considere a distribuição de frequências abaixo, e 
julgue o item em certo (C) ou errado (E). 
 
 Classes f 
 2 – 4 7 
 4 – 6 9 
 6 – 8 18 
 8 – 10 10 
 10 – 12 6 
 
▪ A mediana e a moda têm valores superiores ao da média aritmética. ( ) 
 
4.5. Propriedades da Mediana 
 
Assim como a média e a moda, a mediana está sujeita às propriedades da adição 
(subtração) e multiplicação (divisão). 
 
● Propriedade da Adição e Subtração: Somando-se (ou subtraindo-se) todos os 
elementos do conjunto a uma mesma constante, a nova mediana será a anterior 
somada (ou diminuída) àquela constante. 
 
● Propriedade do Multiplicação e Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada 
elemento de um conjunto original por uma constante, a nova mediana será igual à 
mediana anterior multiplicada (ou dividida) pela mesma constante. 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 62 
 
(ESAF/AFRFB/Adaptado) Considere os dados da tabela de distribuição de 
frequências, e julgue os itens seguintes. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS 
DA EMPRESA ALFA, EM 1º/01/2000 
 Anos f PM y=(PM–37)/5 f.y 
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 
24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 
34,5 – 39,5 29 37 0 0 
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39,5 – 44,5 18 42 1 18 
44,5 – 49,5 12 47 2 24 
49,5 – 54,5 7 52 3 21 
 
▪ A mediana das idades dos funcionários em 1º/01/2000 é 37,26 anos. ( ) 
 
▪ A mediana das idades dos funcionários em 1º/01/2006 43,26 anos. ( ) 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 63 
 
(FCC/IPEA) O histograma representa a distribuição dos salários (x) dos 500 
funcionários de uma firma A, no mês de agosto, expressos em números de 
salários mínimos (SM). 
 
 40% 
 
 
 
 
 
 
 25% 
 
 18% 
 17% 
 
 
 
 
 
 1 3 5 7 9 
 
Em setembro do mesmo ano, todos os salários receberam um aumento de 4% 
sobre os de agosto. A mediana de x em setembro passou a ser: 
 
(A) 4,25 SM (B) 4,42 SM (C) 4,50 SM (D) 4,65 SM (E) 4,82 SM 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 64 
 
(ESAF/AFRFB/Adaptado) Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. 
Alfa. Considere a tabela seguinte, e julgue o item em certo (C) ou errado (E). 
 
 
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▪ O valor aproximado dessa estatística, com base na distribuição de frequências é 9,6. 
( ) 
 
4.6. Relações entre Média, Moda e Mediana 
 
Quando uma distribuição de frequências é simétrica, vimos que as três medidas de 
tendência central (média, moda e mediana) têm o mesmo valor, o qual será calculado 
pela média dos limites extremos da distribuição. Graficamente, a curva de frequências 
tem o seguinte aspecto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Média = Moda = Mediana 
 
Quando a distribuição de frequências não for simétrica (assimétrica), teremos as 
seguintes curvas de frequências: 
 
 
● Distribuição Assimétrica à Direita (ou Assimetria Positiva): 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALÁRIOS ANUAIS 
EM MILHARES 
DE REAIS DA CIA ALFA 
Classes de Salários Freq. Acum. 
 3 ; 6 12 
 6 ; 9 30 
 9 ; 12 50 
 12 ; 15 60 
 15 ; 18 65 
 18 ; 21 68 
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 Moda Mediana Média 
 
 
● Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou Assimetria Negativa): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Média Mediana Moda 
 
 
Observemos, nas curvas, que: 
 
- A seta “puxa” a média, pois a média é sempre influenciada por valores extremos. 
 
- A moda está no topo (ponto mais elevado da curva), pois é o elemento de maior 
frequência. 
 
- A mediana está sempre no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais.COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 65 
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(ESAF/IRB) Sendo a moda menor que a mediana e, essa, menor que a média, 
pode-se afirmar que se trata de uma curva: 
 
(A) simétrica; 
 
(B) assimétrica, com frequências desviadas para a direita; 
 
(C) assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda; 
 
(D) simétrica, com frequências desviadas para a direita; 
 
(E) simétrica, com frequências desviadas para a esquerda. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 66 
 
(ESAF/MPOG) Em uma distribuição positivamente assimétrica, tem-se que: 
 
(A) a média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana; 
 
(B) a moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média; 
 
(C) a moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana; 
 
(D) a mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que a média; 
 
(E) a média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 67 
 
(ESAF/Téc. da Receita Federal) No gráfico abaixo, as colunas representam as 
frequências do número de aparelhos de rádio por domicílio em uma certa área 
da cidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
 
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O exame da forma de distribuição das frequências relativas permite concluir 
corretamente que, nesse caso, e para essa variável: 
 
(A) a moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média; 
 
(B) a média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana; 
 
(C) a média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda; 
 
(D) a moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana; 
 
(E) a mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que a média. 
 
5. Medidas Separatrizes 
 
As medidas separatrizes também são medidas de posição, assim como as medidas de 
tendência central (média, moda e mediana). As medidas separatrizes são aquelas que 
separam o conjunto em um certo número de partes iguais. A mediana classifica-se 
tanto como medida de tendência central como medida separatriz. Vimos que a 
mediana divide o conjunto em duas metades. Agora vejamos as outras medidas 
separatrizes. 
 
5.1. Quartil 
 
Essa medida divide o conjunto em quatro partes iguais. Portanto, existem três quartis 
que designaremos por Q1 (primeiro quartil), Q2 (segundo quartil) e Q3 (terceiro 
quartil). 
 
 Q1 Q2 Q3 
-----------------▪---------------------▪----------------------▪--------------------------- 
5.2. Determinação do Primeiro Quartil (Q1) 
 
Para determinar o primeiro quartil, devemos proceder da seguinte maneira: 
 
1º) Determinar a classe do primeiro quartil, aplicando a expressão n/4. 
 
2º) Aplicar a fórmula: 
 
Q1 = Linf + [(n/4 - Fant)/f].h 
 
Linf: limite inferior da classe de Q1; 
 
n: número de elementos do conjunto; 
 
F: frequência absoluta acumulada da classe anterior à classe de Q1; 
 
f: frequência absoluta simples da classe de Q1; 
 
h: amplitude da classe de Q1. 
 
Exemplo: 
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● Para a distribuição a seguir, determine o valor do primeiro quartil, utilizando a 
fórmula e o método da interpolação. 
 
Classes f 
 0 – 10 2 
10 – 20 5 
20 – 30 8 
30 – 40 6 
40 – 50 3 
 
5.3. Determinação do Segundo Quartil (Q2) e do Terceiro Quartil 
(Q3) 
 
A determinação do Q2 e do Q3 é semelhante à do Q1, com uma pequena diferença: o 
que irá ser alterado na determinação do cálculo dessas medidas (Q2 e Q3) é 
exatamente a fração que aparece no numerador da fórmula. Vejamos: 
 
● Fórmula para o segundo quartil: 
 
Q2 = Linf + [(n/2 - Fant)/f].h 
 
Notemos que o segundo quartil é a própria mediana. 
 
● Fórmula para o terceiro quartil: 
 
Q3 = Linf + [(3n/4 - Fant)/f].h 
 
Exemplo: 
 
● Para a distribuição seguinte, determine o valor do terceiro quartil pela fórmula e pelo 
método da interpolação. 
 
 
 
 
 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 68 
 
(FCC/MPU/Adaptado) Considere o histograma da variável x a seguir, e julgue 
o item em certo (C) ou errado: 
 
 
 
 
 
Classes f 
 0 – 10 2 
10 – 20 5 
20 – 30 8 
30 – 40 6 
40 – 50 3 
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 25 
 
 
 
 
 15 
 
 
 8 
 7 
 
 
 5 
 
 
 
 
 20 25 30 35 40 45 
 
▪ O valor do terceiro quartil de x é 35. ( ) 
 
5.4. Determinação do Primeiro Decil (D10) 
 
O decil dividi o conjunto em dez partes iguais. Daí, a fração que constará no 
numerador da fórmula do primeiro decil (D1) é justamente n/10. 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
--------.--------.--------.--------.--------.--------.--------.--------.--------.-------- 
 
Para calcularmos D1 devemos proceder da seguinte maneira: 
 
1º) Determinar a classe do primeiro decil, aplicando a expressão n/10. 
 
2º) Aplicar a fórmula: 
 
D1 = Linf + [(n/10 - Fant)/f].h 
 
Linf: limite inferior da classe de D1; 
 
n: número de elementos do conjunto; 
 
F: frequência absoluta acumulada da classe anterior à classe de D1; 
 
f: frequência absoluta simples da classe de D1; 
h: amplitude da classe de D1. 
 
Exemplo: 
 
● Para a distribuição a seguir, determine o valor do primeiro decil pela fórmula e pelo 
método da interpolação. 
 
 
 
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Classes f 
0 – 10 2 
10 – 20 5 
20 – 30 8 
30 – 40 6 
40 – 50 3 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 68 
 
(FCC/BACEN/Adaptado) Considere a distribuição de frequências abaixo, e 
julgue o item seguinte. 
 
Salários (R$) Frequências 
1.000 – 2.000 2 
2.000 – 3.000 8 
3.000 – 4.000 16 
4.000 – 5.000 10 
5.000 – 6.000 4 
 
▪ A amplitude do intervalo entre o primeiro decil e o terceiro quartil, encontrados pelo 
método da interpolação linear, é, em reais, igual a 2.150. ( ) 
 
 
5.5. Determinação dos outros Decis (D2 a D9) 
 
O que irá mudar nas fórmulas dos nove decis será apenas a fração do numerador. 
 
Vejamos: 
 
● Fração do D1: n/10. 
 
● Fração do D2: 2n/10. 
 
● Fração do D3: 3n/10. 
 
● Fração do D4: 4n/10. 
 
● Fração do D5: 5n/10. 
 
● Fração do D6: 6n/10. 
 
● Fração do D7: 7n/10. 
 
● Fração do D8: 8n/10. 
 
● Fração do D9: 9n/10. 
 
Observação: o quinto decil (D5) é igual ao segundo quartil (Q2), que é igual à 
mediana (Md). 
 
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Exemplo: 
 
● Para a distribuição a seguir, determine D9 pela fórmula e pelo método da 
interpolação. 
 
Classes f 
0 – 10 2 
10 – 20 5 
20 – 30 8 
30 – 40 6 
40 – 50 3 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA!QUESTÃO 70 
 
(ESAF/AFRFB) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço 
de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências a seguir. A 
coluna “classes” representa intervalos de valores de X em reais, e a coluna F 
representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde 
à estimativa do quinto decil da distribuição de X. 
 
Classes F’(%) 
70 – 90 5 
90 – 110 15 
110 – 130 40 
130 – 150 70 
150 – 170 85 
170 – 190 95 
190 – 210 100 
 
(A) 138,00 (B) 140,00 (C) 136,67 (D) 139,01 (E) 140,66 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 71 
 
(ESAF/IRB/Adaptado) Considere a distribuição de frequências abaixo, e 
julgue o item seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classe Freq. Acum. 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
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▪ O oitavo decil é 183,9. ( ) 
 
5.6. Determinação dos Centis (ou Percentis) 
 
Lembremos que os centis (ou percentis) dividem o conjunto em 100 partes iguais. Por 
analogia, já podemos concluir que a fração do numerador da fórmula do primeiro centil 
(C1) será n/100. E para os demais centis, teremos: 
 
● Fração do C2: 2n/100. 
 
● Fração do C3: 3n/100. 
 
● Fração do C4: 4n/100. 
 
● Fração do C5: 5n/100. 
 
E assim por diante. 
 
Observação: O quinquagésimo centil (C50) é igual ao quinto decil (D5), que é igual 
ao segundo quartil (Q2), que é igual à mediana (Md). 
 
Exemplo: 
 
● Para a distribuição a seguir, determine C24 pela fórmula e pelo método da 
interpolação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 72 
 
(ESAF/IPEA/Adaptado) considere a distribuição de frequências, e julgue o 
item seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ O nonagésimo quinto percentil é aproximadamente 13.333. ( ) 
Classes f 
 0 – 10 2 
10 – 20 5 
20 – 30 8 
30 – 40 6 
40 – 50 3 
Classes Frequências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 32 
12.000 – 14.000 60 
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5.7. Determinação do Quartil em um Rol 
 
Para o cálculo do quartil em um rol vamos utilizar dois métodos. 
 
1º Método: o das “três medianas”. Esse método é o seguinte: 
 
● Q2 é a mediana do conjunto; 
 
● Q1 é a mediana do conjunto formado pelos elementos que estão à esquerda de Q2. 
 
● Q3 é a mediana dos elementos que estão à direita de Q2. 
 
Exemplos: 
 
● Calcule Q1, Q2 e Q3 no conjunto {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9}. 
 
● Calcule Q1, Q2 e Q3 no conjunto {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9}. 
 
2º Método: Vejamos através dos exemplos a seguir. 
 
Exemplos: 
 
● Calcule o primeiro quartil (Q1) do conjunto {18, 20, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 26, 10, 
15, 10}. 
 
● Calcule o terceiro quartil (Q3) do conjunto {2, 2, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 9}. 
 
Observação: Usamos, de preferência, o primeiro método. Passamos para o segundo, 
caso seja exigência da questão. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 73 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Um órgão financiador de projetos recebeu nos últimos 
doze meses as seguintes quantidades mensais de propostas de projetos: 22, 
10, 8, 16, 20, 26, 30, 40, 42, 36, 28, 24. Assinale a alternativa que representa 
o 1º quartil desse conjunto. 
 
(A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 24 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 74 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Considere a série: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 11, 11, 12, 
13, 13, 13, 13, 15. Os valores do 1º e do 3º quartil são, respectivamente: 
 
(A) 2 e 15 (B) 5 e 15 (C) (D) 4 e 13 (D) 4 e 12 (E) 6 e 13 
 
 
 
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5.8. Determinação dos Quartis em Dados Tabulados 
 
Vejamos através dos exemplos seguintes. 
 
Exemplos: 
 
● Na tabela a seguir, determine o terceiro quartil (Q3). 
 
x f 
3 4 
4 6 
6 8 
8 5 
9 2 
 
5.9. Determinação dos Decis e Centis em Dados Tabulados 
 
Usamos um procedimento semelhante ao cálculo dos quartis. Vejamos o exemplo: 
 
● Calcule o quarto decil (D4) na tabela a seguir. 
 
x f 
3 8 
4 12 
6 16 
8 10 
9 4 
 
6. Média Geométrica (Xg) e Média Harmônica (Xh) 
 
Além da média aritmética, existem a média geométrica e a média harmônica. Vejamos 
como calcular essas médias. 
 
6.1. Média Geométrica (Xg) 
 
Média geométrica de um conjunto de “n” valores é a raiz “enésima” (raiz de índice n) 
do produto de todos eles. 
 
Exemplo: 
 
● Calcule a média geométrica de {2, 4, 8}. 
 
Para dados tabulados, devemos utilizar as frequências com que os elementos 
aparecem na distribuição. 
 
Exemplo: 
 
● Calcule a média geométrica na tabela a seguir. 
 
 
 
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Para uma distribuição de frequências, substituímos “x” pelo ponto médio da classe 
respectiva. 
 
Exemplo: 
 
● Determine a média geométrica da distribuição de frequências a seguir. 
 
Classes f 
0 – 10 3 
10 – 20 1 
20 – 30 2 
 
 
6.2. Média Harmônica (Xh) 
 
Vejamos como se determina a média harmônica para rol, dados tabulados e 
distribuição de frequências. 
 
1º) Para Rol 
 
A média harmônica de um conjunto de “n” valores é o inverso da média aritmética dos 
inversos. 
 
Exemplo: 
 
● Determine a média harmônica do conjunto {1, 4, 9}. 
 
2º) Para Dados Tabulados 
 
Nesse caso, devem ser usadas as frequências com que os elementos aparecem na 
distribuição. 
 
Exemplo: 
 
● Calcule a média harmônica na tabela seguinte. 
 
x f 
1 2 
3 4 
5 3 
7 1 
 
3º) Para uma Distribuição de Frequências 
 
Para uma distribuição de frequências, substituímos “x” pelo ponto médio da classe 
respectiva. 
x f 
4 1 
9 3 
32 2 
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Exemplo: 
 
● Determine a média harmônica da distribuição de frequências a seguir. 
 
Classes f 
0 – 10 3 
10 – 20 1 
20 – 30 2 
 
 
6.3. Relação entre a Média Aritmética, Média Geométrica e Média 
Harmônica 
 
A média aritmética de uma sequência de números positivos é maior ou igual à média 
geométrica, e essa é maior ou igual à média harmônica: 
 
 X ≥ Xg≥ Xh. 
 
A igualdade das médias somente ocorrerá quando os elementos do conjunto forem 
todos iguais. 
 
20 (C) 22 (D) 24 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 75 
 
(ESAF/SEFAZ-CE) Indicando por: 
 
X: a média aritmética de uma amostra; 
 
Mg: a média geométrica da mesma amostra; 
 
Mh: a média harmônica também da mesma amostra. 
 
E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, 
é verdadeiro afirmar que a relação das médias é: 
 
(A) X <Mg < Mh; 
 
(B) X > Mg > Mh; 
 
(C) Mg < X < Mh; 
 
(D) X < Mg = Mh; 
 
(E) X = Mg = Mh. 
 
 
 
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CAPÍTULO IV: MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
1. Introdução 
 
Iniciamos aqui o estudo de um outro grupo de medidas estatísticas: as medidas de 
dispersão ou medidas de variabilidade. Essas medidas irão nos auxiliar e nos favorecer 
uma melhor “descrição” do conjunto em análise. 
 
2. Amplitude Total (AT) 
 
É a medida de dispersão mais simples de todas. A palavra “amplitude” pode ser 
entendida como “tamanho”. Amplitude total é a diferença entre o maior e o menor 
elemento do conjunto. 
 
2.1. Amplitude Total para um Rol 
 
Vejamos como se determina a amplitude total para um rol. 
 
Exemplo: 
 
● Dado o conjunto {3, 14, 25, 46, 70}, determine sua amplitude total. 
 
2.2. Amplitude Total para Dados Tabulados 
 
Para dados tabulados, a amplitude total é determinada conforme o exemplo a seguir: 
 
● Determine a amplitude total do conjunto de dados tabulados. 
 
x f 
6 4 
8 3 
4 1 
10 4 
 
2.3. Amplitude Total para Distribuição de Frequências 
 
Vejamos agora para uma distribuição de frequências. 
 
Exemplo: 
 
● Determine a amplitude total da distribuição de frequências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x f 
10 – 20 2 
20 – 30 4 
30 – 40 3 
40 – 50 1 
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3. Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-Interquatílica (Dq) 
 
A fórmula para calcular essa medida de dispersão é a seguinte: 
 
Dq = (Q3 – Q1)/2, onde: 
 
Q1 = terceiro quartil; 
 
Q3 = primeiro quartil. 
 
4. Desvio Absoluto Médio (DAM) 
 
Vejamos as fórmulas para se calcular essa medida. 
 
4.1. DAM para o Rol 
 
Para o rol o desvio absoluto médio é dado pela fórmula: 
 
 
DAM = ∑ |x – X|/n 
 
 
Vejamos um exemplo de aplicação dessa fórmula: 
 
● Calcule o desvio absoluto médio do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 76 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ No conjunto de dados A = {3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é 2,4. ( ) 
 
4.2. DAM para Dados Tabulados 
 
Para dados tabulados o desvio absoluto médio é dado pela fórmula: 
 
 
DAM = ∑ f.|x – X|/n 
 
Exemplo: 
 
● Na tabela a seguir, determine o desvio absoluto médio. 
 
x f 
2 1 
3 2 
4 4 
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2 3 
 
4.3. DAM para Distribuição de Frequências 
 
Para uma distribuição de frequências a fórmula do desvio absoluto médio é: 
 
 
DAM = ∑f.| PM – X |/n. 
 
 
Exemplo: 
 
● Determine o desvio absoluto médio na distribuição de frequências seguinte. 
 
Classes Frequências 
10 – 20 1 
20 – 30 2 
30 – 40 3 
 
5. Desvio Padrão (S) ou Dispersão absoluta 
 
Também conhecida por dispersão absoluta, é, assim como a variância, a medida de 
dispersão mais importante em provas. 
 
5. 1. Desvio Padrão para Rol 
 
 Para um rol, o desvio padrão é dado por: 
 
 
S² = ∑(x – X)² 
 n 
 
 
Observações: 
 
1) Quanto menor o desvio padrão, menor vai ser o afastamento, (distanciamento, 
dispersão) em relação à média, já que se trata de uma medida de dispersão. 
 
2) Dizemos que o desvio padrão é uma medida de dispersão absoluta, assim como a 
variância, que conceituaremos mais à frente. 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 77 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ O desvio padrão do conjunto de dados A = {2, 4, 6, 8, 10} é maior que 3. ( ) 
 
 
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COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 78 
 
(FJG/ICMS-RJ) O desvio padrão populacional dos valores 30, 40 e 50 é, 
aproximadamente, igual a: 
 
(A) 8 (B) 8,16 (C) 10 (D) 10,16 
 
5. 2. Desvio Padrão para Dados Tabulados 
 
Para dados tabulados um rol, o desvio padrão é dado por: 
 
 
 
S² = ∑ f.(x – X)² 
 n 
 
5. 3. Desvio Padrão para Distribuição de Frequências 
 
Para uma distribuição de frequências, o desvio padrão é dado por: 
 
 
 
S² = ∑ f.(PM– X )² 
 n 
 
As fórmulas vistas anteriormente são para o cálculo do desvio padrão de uma 
população. Em se tratando de amostra, devemos acrescentar o Fator de Bessel, e as 
fórmulas ficam da seguinte maneira: 
 
● Desvio Padrão amostral para Rol: 
 
 
 S² = ∑(x – X)² 
 n - 1 
 
 
● Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: 
 
 
 
 
S² = ∑ f.(x – X)² 
 n -1 
 
 
 
 
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● Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Frequências: 
 
 
 
S² = ∑ f.(PM– X )² 
 n-1 
 
Podemos ter, ainda, as fórmulas desenvolvidas para o cálculo do desvio padrão: 
 
● Para Rol: 
 
 
 
 
 
 
● Para dados tabulados: 
 
 
 
 
S² = [1/(n-1)].[∑fx² – (∑fx)²/n] (amostra) 
 
 
● Para distribuição de frequências 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 79 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi 
retirada uma amostra de dez indivíduos. Os números que representam as 
ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 
0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. 
 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
▪ O valor do desvio padrão dessa amostra é √10. ( ) 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 80 
S² = (1/n).[∑x² – (∑x)²/n] (população) 
S² = [1/(n-1)].[∑x² – (∑x)²/n] (amostra) 
S² = (1/n).[∑fx² – (∑fx)²/n] (população) 
S² = (1/n).[∑f.PM² – (∑f.PM)²/n] (população) 
S² = [1/(n-1)].[∑f.PM² – (∑f.PM)²/n] (amostra) 
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(FEPESE/AFRE-SC) Considere a tabela agrupada em classes mostrada a 
seguir, referente a um conjunto com as notas de 100 alunos, considerados 
como a população da pesquisa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A média e o desvio padrão das notas dos alunos são, respectivamente: 
 
(A) 58 e 25,91 
(B) 61 e 28 
(C) 72 e 27 
(D) 75 e 26 
(E) 76 e 28 
 
5.4. Propriedades do Desvio Padrão 
 
Vejamos agora as propriedades do desvio padrão. 
 
● 1º Propriedade: O desvio padrão NÃO é influenciado por operações de adição ou 
subtração. 
 
2º Propriedade: O desvio padrão somente é influenciado por operações de 
multiplicação ou divisão. 
 
Exemplos: 
 
a) O desvio padrão do conjunto {101, 102, 103, 104, 105} é o mesmo do conjunto {1, 
2, 3, 4, 5}. 
 
b) Considere a seguinte transformação: (x – 2)/3. Se o desvio padrão da variável 
transformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original? 
 
 
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QUESTÃO 81 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Em certa empresa, o salário médio era de R$ 9.000,00 e o desvio padrão dos salários 
era de R$ 1.000,00. Todos os salários receberam aumento de 10%. O desvio padrão 
dos salários passou a ser R$ 1.100,00. ( ) 
 
 
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Classes Freq. Acum. 
 15 – 35 30 
 35– 55 40 
 55 – 75 60 
 75 – 95 90 
 95 – 115 100 
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QUESTÃO 82 
 
(ESAF/AFC) Seja x uma variável aleatória com média aritmética X = 10 e 
desvio padrão S = 3. Considere as variáveis: y = 2x + 1 e z = 2x. A única 
afirmação errada é: 
 
(A) As variáveis y e z têm a mesma média aritmética. 
 
(B) O desvio padrão de y é 6. 
 
(C) As variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão. 
 
(D) A média de y é 21. 
 
(E) As variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação. 
 
6. Teorema de Tchebychey 
 
Vamos mostrar esse teorema através do exemplo seguinte: 
 
● Suponhamos que, para um dado conjunto, o valor da média é 100 e o desvio padrão 
é 10. Consideremos também, em torno da média, o intervalo 70 a 30. Qual a 
proporção máxima dos elementos do conjunto fora do intervalo 70 a 130? Qual a 
proporção mínima dos elementos do conjunto dentro do intervalo? 
 
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QUESTÃO 83 
 
(ESAF/AFRF) As realizações anuais dos salários anuais de uma firma com N 
empregados produziram as estatísticas: X = R$ 14.300,00 e S = R$ 1.200,00. 
Se P é a proporção de empregados com salários fora do intervalo 
[R$12.500,00 ; R$16.100,00], então: 
 
(A) P é no máximo 1/2; 
 
(B) P é no máximo 1/1,5; 
 
(C) P é no mínimo 1/2; 
 
(D) P é no máximo 1/2,25; 
 
(E) P é no máximo 1/20. 
 
 
7. Variância (S²) 
 
É, conceitualmente, o quadrado do desvio padrão. Logo, as fórmulas da variância são 
aquelas do desvio padrão, mas sem a raiz quadrada. 
 
 
 
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Observação: 
 
 
 
Exemplo: 
 
● Determine a variância dos valores 30, 40 e 50. 
 
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QUESTÃO 84 
 
(ESAF/AFC/Adaptado) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada uma delas no 
último mês (em 1.000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias, respectivamente. O valor 
da variância dessa população é 11,6. ( ) 
 
 
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QUESTÃO 85 
 
(FJG/Contr. de Arrec.- RJ) Os valores de uma amostra de cinco elementos 
são: 4, 3, 3, 5 e 5. A variância dessa amostra é de: 
 
(A) 4,00 (B) 3,00 (C) 2,33 (D) 1,00 
 
 
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QUESTÃO 86 
 
(ESAF/AFPS) Dada a sequência de valores 4, 4, 2, 7 e 3, assinale a opção que 
dá o valor da variância. Use o denominador 4 nos cálculos. 
 
(A) 5,5 (B) 4,5 (C) 3,5 (D) 6,0 (E) 16,0 
 
 
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QUESTÃO 87 
 
(ESAF/AFRFB) Os dados seguintes ordenados do menor para o maior, foram 
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (x) de ações, tomada numa 
bolsa de valores internacional. A unidade mometária é o dólar americano. 
 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. 
 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
 
Variância = média dos quadrados menos o quadrado de média 
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Sx = 490 e ∑x² - (∑x)²/50 = 668. 
 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, 
respectivamente. 
 
(A) 9,0 e 13,6 (B) 9,5 e 14,0 (C) 8,0 e 15,0 (D) 8,0 e 13,6 (E) 9,0 e 14,0 
 
 
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QUESTÃO 88 
 
(ESAF/Anal. da Receita Federal) Obtenha o valor mais próximo da variância 
amostral da seguinte distribuição de frequências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 1,429 (B) 1,225 (C) 1,5 (D) 1,39 (E) 1,4 
 
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QUESTÃO 89 
 
(ESAF/AFRFB) Considere a tabela de frequências seguinte da população de 
uma variável x. 
 
 Classes Freq. Acum 
 2.000 – 4.000 5 
 4.000 – 6.000 15 
 6.000 – 8.000 30 
 8.000 – 10.000 70 
10.000 – 12.000 90 
12.000 – 14.000 100 
 
O valor da média e da variância são, respectivamente: 
 
(A) 8.800 e 6.360.000 
 
(B) 7.900 e 4.570.000 
 
(C) 4.789 e 5.456.000 
 
(D) 4.730 e 4.678.000 
 
(E) 4.567 e 6.789.000 
 
X f 
 5 2 
 6 6 
 7 6 
 8 4 
 9 3 
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7.1. Variância Combinada (S²G) 
 
É usada na situação em que temos dois conjuntos menores A e B, juntamos todos os 
elementos desses conjuntos, e a questão pede a variância do conjunto global. 
 
As fórmulas para determinarmos a variância combinada são as seguintes: 
 
● Os dois conjuntos são populações: 
 
S²G = (S²A nA + S²B nB)/(nA + nB) 
 
● Os dois conjuntos são amostras: 
 
S²G=[S²A (nA - 1)+S²B(nB - 1)]/[(nA – 1) + (nB - 1)] 
 
Observação: Essas fórmulas são válidas quando as médias dos conjuntos A e B são 
iguais. 
 
Exemplos: 
 
a) Considere uma população de 40 pessoas de peso médio 60 kg, e desvio padrão 2 
kg. Essa população é juntada a uma outra população de 60 pessoas de mesmo peso 
médio, mas desvio padrão igual a 3 kg. Qual a variância do conjuntos das 100 
pessoas? 
 
b) Em uma escola, um grupo de 20 rapazes e 30 moças foi selecionado 
aleatoriamente. Sabe-se que o peso médio do grupo de rapazes e do grupo de moças é 
o mesmo. O desvio padrão correspondente encontrado para o grupo de rapazes é 2 kg, 
e para o grupo de moças é 4 kg. Qual a variância dos pesos das pessoas dos dois 
grupos reunidos? 
 
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QUESTÃO 90 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Sabe-se que a altura média dos 5.000 habitantes de uma cidade X é igual à altura 
média de uma outra cidade Y com 10.000 habitantes, ou seja, igual a 1,70m. O desvio 
padrão correspondente encontrado para a população da cidade X é 2 cm, e para a 
população da cidade Y é 5 cm. Então, a variância das alturas da população das duas 
cidades reunidas é menor que 16. ( ) 
 
7.2. Propriedades da Variância 
 
1º) Soma e Subtração: a variância NÃO é influenciada por operações de soma ou 
subtração. 
 
2º) Produto e Divisão: quando todos os elementos de um conjunto são multiplicados ( 
ou divididos) por uma constante, a variância fica multiplicada (ou dividida) pelo 
quadrado dessa constante. 
 
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Exemplos: 
 
a) Calcule e compare as variâncias de 30, 40, 50 e 3, 4, 5. 
 
b) Considere a seguinte transformação: (x-2)/3. Se a variância da variável 
transformada é igual a 5, qual a variância da variável original x? 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 91 
 
(QUESTÃO INÉDITA) julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ A média e a variância dos salários pagos por uma empresa eram R$ 285.000 e 
1,1627.1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o 
corte de três zeros na moeda é 1,1627 . 104. ( ) 
 
8. Coeficiente de Variação (CV) ou Dispersão Relativa 
 
Também conhecido por dispersão relativa, é a razão entre o desvio padrão e a média: 
 
 
CV = S/ X 
 
Observações: 
 
a) O coeficiente de variação é uma grandeza adimensional. 
 
b) Quanto menor o coeficiente de variação, mais homogêneo é o conjunto de valores.Dizemos que o coeficiente de variação mede o grau de homogeneidade de um conjunto 
de valores. 
 
Exemplo: 
 
● Considere a seguinte transformação: (X – 2)/3. Sabendo que, para a variável 
transformada, a média é igual a 8 e o desvio padrão é igual a 4, qual o coeficiente de 
variação da variável original? 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 92 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego 
de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes 
resultados para as médias XA e XB e desvios padrões SA e SB. 
 
Grupo A: XA = 120 meses e SA = 24 meses. 
 
Grupo B: XB = 60 meses e SB = 15 meses. 
 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
 
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▪ A dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo B. ( ) 
 
▪ A média do grupo B é 5/8 da média do grupo A. ( ) 
 
▪ A dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B. ( ) 
 
▪ A dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B. ( ) 
 
▪ A média entre os dois grupos é de 180 meses. ( ) 
 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 93 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Um certo atributo w, medido em unidades apropriadas, tem média amostral 5 e 
desvio padrão unitário. O coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo 
Y = 5 + 5w é 16,7%. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 94 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ O atributo z = (x – 2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Logo, o 
coeficiente de variação amostral de x é 7,7%. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 95 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas 
genericamente por x, foram determinadas a média amostral X = 100 e o desvio padrão 
S = 13 da variável transformada (x – 200)/5. Logo, o coeficiente de variação amostral 
de x é 9,3%. ( ) 
 
9. Variância Relativa (Vr) 
 
É simplesmente o quadrado do coeficiente de variação, ou seja: 
 
 
Vr = (CV)² = (S/ X )2 
 
 
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QUESTÃO 96 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ A soma dos valores de todos os 50 elementos de uma população X é igual a 2.750. O 
coeficiente de variação para essa população apresenta o valor de 20%. Então, o valor 
da soma dos quadrados de todos os elementos de X é 157.300. ( ) 
 
▪ Em um jardim de infância, a média aritmética das alturas dos 60 meninos é de x 
centímetros com uma variância de S² centímetros quadrados (S>0). A média 
aritmética das alturas das 40 meninas é de (x-4) centímetros com um desvio padrão 
igual a 35S/36 centímetros. Se os coeficientes de variação dos dois grupos são iguais, 
podemos concluir que a média aritmética das alturas de todas as crianças é igual a 
142,4 cm. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 97 
 
(QUESTÃO INÉDITA) A distribuição orçamentária em um órgão composto de 
80 setores, apresenta média aritmética de R$ 50.000,00 e uma dispersão 
relativa de 10% em torno da média. Suponha que haja uma redução de 30% 
no orçamento de todos os setores e julgue os itens seguintes. 
 
▪ O orçamento médio por setor assumirá o valor de R$ 32.500,00. ( ) 
 
▪ Em face da redução, a nova variância será igual a R$ 12.250.000,00. ( ) 
 
▪ O desvio padrão permanecerá inalterado. ( ) 
 
▪ A dispersão relativa em torno da média permanecerá inalterada. ( ) 
 
▪ Após a redução de 30% no orçamento dos 80 setores, será necessário um aumento 
de 30% para que o orçamento médio, por setor, apresente valor de R$ 50.000,00. ( ) 
 
COMO O TEMA PODERIA SER COBRADO EM PROVA! 
 
QUESTÃO 98 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Seja x uma variável aleatória com média aritmética 10 e 
desvio padrão S = 3. Considere as variáveis y = 2x + 1 e z = 2x. A única 
afirmação errada é: 
 
(A) As variáveis y e z têm a mesma média aritmética. 
 
(B) O desvio padrão de y é igual a 6. 
 
(C) As variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão. 
 
(D) A média de Y é 21. 
 
(E)As variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação. 
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QUESTÃO 99 
 
(QUESTÃO INÉDITA) Julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). 
 
▪ Os dados a seguir são as quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 
6, 5, 8, 5, 6. A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é 1,2. 
( )