Prévia do material em texto
R a z o n a m i e n t o
M a t e m á t i o o
é £
Salvador Timoteo V.
Editorial
• Teoría explicada
• Fórmulas y propiedades
• Más de 10 000 problemas
tipo admisión
• Más de 150 test
• Claves de respuestas
■ ■
R a z o n a m i e n t o m a t e m á t ic o
S ig lo XXI
H a b il íd a d m a t e m á t ic a
C u r s o in t e g r a l
SALVADOR TIMOTEO VALENTÍN
HABILIDAD MATEMÁTICA
CURSO INTEGRAL
M a n
m
i r
B ]
í\Sha
m ¡K
a
W
( §
SIGLO XXI
Segunda edición: 2010
Salvador Timoteo Valentín
Editorial San Marcos EIRL
RUC 20260100808
J r Dávalos Lisson 135, Lima
Telefax: 331-1522
E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
Reg, Ns 2008-00551
ISBN 978-9972-38-430-1
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra
sin previa autorización escrita del autor y el editor
Impreso en Perú / ’Printed in Peru
Pedidos:
Av. Garcilaso de la Vega 974 Lima, telefax: 424-6563
E-mail, ventás@editorialsanmarcos.com
Composición, diagramación e impresión:
Aníbal Paredes Galván
Av. Las Lomas 1600 - S.J.L.
RUC 10090984344
mailto:informes@editorialsanmarcos.com
mailto:s@editorialsanmarcos.com
A : Kait^
que con su tierna sonrisa nos impulsa
a luchar día a día.
A : Alvaro y 'Edy son,
que con su amor infinito nutren
mi existencia.
índice general
TE M A S T IPO AD M IS IO N
Presentación................................................................................
Situaciones lógicas..............................................................
Sucesiones............................................................................
Series.....................................................................................
Sumatorias............................................................................
Inducción - deducción.........................................................
Conteo de figuras................................................................
Analogías y distribuciones.................................................
Planteo de ecuaciones .......................................................
Edades .................................................................................
Móviles .................................................................................
Cronometría..........................................................................
Operadores matemáticos ..................................................
Notación polinómica ...........................................................
Cortes, estacas, pastillas...................................................
Introducción a la topología ................................................
Orden de información .........................................................
Certezas ...............................................................................
Parentescos.........................................................................
Máximos y m ínim os............................................................
Cuatro operaciones ............................................................
Progresiones .......................................................................
Razones y proporciones....................................................
Promedios ...........................................................................
Magnitudes proporcionales ...............................................
Teoría de conjuntos ............................................................
M ezclas.................................................................................
Criptoarítmética....................... ............................................
Métodos aritméticos............................................................
Elementos de numeración, conteo de números y cifras .
Regla de tres ........................................................................
Tanto por c ie n to .....................................................
9
11
43
69
99
113
137
171
195
221
245
273
293
325
337
351
369
391
401
409
425
451
469
483
501
521
541
563
583
595
611
627
Propiedades de los números.................................................................................... 653
Fraccione^.................................................................................................................. 675
Reducción a la unidad .............................................................................................. 707
Números decim ales.................................................................................................. 721
Estadística ................................................................... 731
Factoriales ................................................................................................................. 749
Análisis combinatorio................................................................................................ 761
Probabilidades........................................................................................................... 791
Exponentes - Productos notables .......................................................................... 811
Resolución de ecuaciones ...................................................................................... 833
Desigualdades e inecuaciones............................................................................... 851
Relaciones y funciones ........................................................................................... 867
Operando logaritmos ....................................................... 883
Ruedas, poleas, engranajes.................................................................................... 899
Suficiencia de datos ................................................................................................. 915
Introducción a la Lógica ........................................................................................... 935
Psicotécnico .............................................................................................................. 961
Triángulo rectángulo............................................................................................ 989
Áreas de regiones sombreadas ........................................................................ 999
Perím etros............................................................................................................. ' 1031
Geometría analítica ................................................................................................. 1047
Habilidad lógica ........................................................................................................ 1067
Habilidad aritmética ....................................................................... 1091
Habilidad algebraica................................................................................................ 1107
Habilidad geométrica............................................................................................... 1123
Prácticas tipo admisión............................................................................................ 1145
“Solo el esfuerzo constante y sostenido nos
conduce por el camino del éxito y la supe
ración permanente”.
-Salvador Timoteo V.-
Presentación
R azonam iento m atcm áticn -S ig lo X X I, H ab ilidad m atem ática - C urso in tegra l, sale
a la lu-:̂ , respaldada por una ffneración de projeslonales exitosos que hr>raron ingresar a l centro
de estudios deseado, gracias a c¡ue tomaron como guia los plaiiteamiC'iius que en este libro se
plasman.
R azonam ien to m atem ático es un curso que trata de los procesos que rigen el pensamiento
matemàtico en general )' no de ninguna rama concreta de la matemática.
Nuestro objetivo es tnostrar cómo acometer cualquier f>rohlema. es decir cómo atacarlo de una
manera ejica-:(j íómo ir aprendiendo de la expenencia. Todo el tiempo y el espuer-o que gastes
estudiando estos procesos de investigación constituyenuna inversión inteligente, porque el ijacerlo
asi te permitirá acercarte cada / í'~ n/as al pleno desarrollo de tu capacidad para el pensamiento
matemático.
Este curso te ayudará eficazmente a incrementar tus capacidades mentales en lo que se refiere a la
deducción, inducción, estrategia )‘ el pensamiento creativo, laminen te enseriará otras muchas
habilidades como tomar decisiones, prever lo que va a sucedcr. plantear pnondades, aceptar
riesgos, hacer predicciones, tener paciencia )’ reaccionar velozmente.
Te darás cuenta de que, al desarrollar tus facultades mentales, obtendrás otros beneficios: aumen
tará tu confian-:zfl * mismo, perderás el miedo a pensar, desarrollarás tu personalidad y te
conocerás mejor.
I Jneamientos básicos:
• Tú mismo puedes pensar matemáticamente.
• lílpensamiento matemático puede mejorarse por la práctica y la repiexión.
* F J rat^pnamiento matemático nene mntvado por una situación en la que .rf mezclan contra
dicción, tensión y sorpresa.
* t J ra-:zonamienlo matemático se mueve en una atmósfera cuyos ingredientes principales son:
¡pregunta, reto y reflexión!
* E'J razonamiento de tipo matemático te ayudará a entenderte mejor a ti mismo y a l mundo
que te rodea.
• Ì J f abonamiento matemático es una guia ú til para emprender nueias acciones positivas.
R azonam iento m atem ático -Siglo X X I, H ab ilidad m atem ática - Curso in tegral, nació con
la ided dt dotar a los alumnos de los meccinnmos iógico-matcmáticos c¡¡:e io impnlsen a afrontar con
éxito su vida académica \ potr ende desarrollarse en su entorno social. E n esta nuera rdiciém, se han
incluido teoría ejeinplificada )' más ejercicios tipo admisión: asi njismo se i>a dado énfasis en las resolu
ciones. enfocándoldspor diversos métodos lo cjite hará c¡ue su capaadad de discerramier¡to tenga capaci
dad de afrontar con éxito cualcjuier contingeru'ia nueva.
Este liiirv !ja sido posible granas a la contnbución de destacados docentes) las valiosas sugerencias de
ex alumnos, ijoy convertidos en exitosos profesionales.
“L m instmcaón es al espíritu
lo que el aseo es a l cuerpo
l.Jc. Salvador Timoteo Valentín
SITUACIONES
LÓGICAS
En este capítulo encontrarás interesantes ejerci
cios en donde tendrás que poner en práctica tu ha
bilidad e ingenio. En algunos de ellos, utilizarás co
nocimientos elementales de aritmética y geometría:
en otros, reflexión y un modo de pensar lógico.
Cada situación contiene en sí mismo los datos ne
cesarios para ser resuelta; tal vez las preguntas
formulantes al afrontar cada ejercicio deban ser: ¿qué
es lo que estoy observando?, ¿qué alcances me dan
los datos y qué puedo deducir de ellos?, ¿qué estra
tegia a seguir me sugieren dichos datos?
El propósito al proceder así es empezar a ejercitar
y desarrollar aún más nuestras capacidades inte
lectuales y llegar a la respuesta de cada ejercicio
de una manera lógica, deducida a través de los
datos mencionados.
PASOS A SEGUIR
Lee y observa cuidadosamente, según sea el
caso, la situación descrita, y esfuérzate en in
terpretar las preguntas que se plantean.
- Los datos necesarios para resolver los ejerci
cios se encuentran en ellos mismos. A partir
de éstos, observa, deduce y razona. No pre
tendas adivinar ni sacar conclusiones apresu
radas.
- Aún cuando te sientas desorientado, cálmate
y empieza de nuevo, intenta plantear nuevas
hipótesis y otras posibilidades.
En ocasiones te sen/irá despojarte del pensamiento
convencional y emplear un enfoque creativo y nue
vo.
El pensamiento lateral. Los procedimientos que
aconseja el pensamiento lateral son:
- No atascarse en caminos sin salida.
- No dejarse llevar por ideas preconcebidas y
cambiar constantemente el punto de vista o
enfoque del problema.
Los problemas se distribuyen en:
* Ejercicios con cerillas
' Situaciones diversas.
’ Problemas sobre parentesco.
' Problemas sobre relación de tiempos.
Ejemplo:
En la figura mostrada se tiene 12
cerillas. Si 4 de ellas son movidas,
¿cuál es la mayor cantidad de cua
drados que se puede formar? E
Resolución:
Para formar la mayor cantidad de cuadrados, los
cuadrados deben ser divididos en la mayor canti
dad posible de éstos.
í í
.-. La máxima cant. es:
15 cuadrados
Ejem plos:
1. Si el peso que puede llevar una canoa no ex
cede los 100 kg, ¿por lo menos cuántos viajes
debe hacerse para que esta canoa logre lle
var. de una orilla a otra de un río, a 2 mujeres
que pesan 50 kg cada una y a un hombre que
pesa 70 kg?
Resolución:
En cada viaje debe viajar la mayor cantidad de
personas, y al regresar debe hacerlo la perso
na de menor peso (alguien debe regresar con
duciendo la canoa).
Luego;
* 1,“ viaje: las 2 mujeres llegan a la otra orilla.
" 2.“ viaje: regresa una de las mujeres.
’ 3.° viaje: debe ir el hombre.
' 4.‘ viaje: regresa la otra mujer.
* 5.° viaje: viajan las dos mujeres.
Son suficientes 5 viajes.
El tío del tiijo del padre de Edy es mi pnmo
hermano. Si Edy es hijo único, ¿qué parentes
co tengo con el padre del tío de Edy?
Resolución:
Al personaje que habla en el ejercicio no po
demos identificar si es un fiombre o es una
mujer, lo llamaremos "yo". El padre de Edy y el
tío de Edy podrían ser hermanos o primos.
Hombre
La relación familiar que tengo es de:
Sobrino(a) - tío
3. Siendo viernes el mañana del mañana de hace
5 días, ¿qué día será el anteayer del anteayer
de dentro de 4 días?
Resolución:
Nota:
Se considera ta regla práctica:
: Passtío
Avsr Hoy Msñána
- 2 - 1 0 + 1 + 2
— I— I—
Con los datos del problema:
Viernes < > + 1 + 1 - 5
Viernes <> - 3
Nos piden: - 2 - 2 + 4 = 0 < > hoy
-3 -2 -1
Hoy es lunes
Lunes
Las figuras (I) y (II) están formadas por fichas
circulares iguales. ¿Por lo menos cuántas fi
chas de I deben ser cambiadas de posición
para formar la figura II?
w
(il)
Resolución:
Moviendo adecuadamente:
Es suficiente cambiar de posición 4 fi
chas como mínimo.
5. Usando los números enteros del 1 al 6 de ma
nera que ninguno se repita, y efectuando las
operaciones usuales de adición, sustracción,
multiplicación y división, en ese orden, una sola
vez cada una, ¿cuál es el máximo resultado
que se puede obtener?
Resolución:
Debemos llenar las casillas en blanco con cin
co números diferentes del conjunto {1: 2; 3: 4;
5; 6), de modo que el resultado de la opera
ción (de izquierda a derecha) sea el máximo
posible.
B D
- Se deduce que en los casilleros D y E de
ben estar el 6 y 1, respectivamente.
- Luego, en el casillero C debe ir el 2.
- De los restantes, los dos mayores (4 y 5)
deben ocupar los casilleros A y B .
Luego se tendrá:
= 42
¡máximo posible!
6.i Si: A, B. C, y D son números positivos de una
cifra, todos diferentes, ¿cuál es el menor valor
de “P",
P = ({A + B ) - C ) x D
Resolución:
Busquemos valores adecuados para A, B, C y
D; se tienen dos casos:
I,") P = {(1 + 2 ) - 8 ) x 9
P = -45
2°) P = ((1 + 2) - 9) X 8
P = -4 8
El valor mínimo de “P” es -48
7, Sabiendo que el anteayer del ayer del mañana
de hace 5 días es sábado, ¿qué día será el
mañana dei inmediato ayer del anterior al an
terior del subsiguiente dia al pasado mañana
del día de hoy?
Resolución:
Reemplazamos cada palabra por su equiva
lente numérico:
- 2 - 1 + 1 - 5 = sábado
-7 = sábado
Equivale a decir que hace 7 días fue sábado
Hoy es sábado.
Nos piden: + 1 - 1 - 1 - 1 + 2 + 2 de hoy
+ '2 de hoy
Equivale a pasado mañana de sábado (lunes)
I Lunes I
Nota:
Anteayer < > - 2
Ayer <> - 1
Hoy < > O
Mañana < > + 1
Pasado mañana < > + 2 .
Belsy ve en la vereda a un señor y dice: "El
único hermano de ese hombre es el padre de
la suegra de mi esposo".
¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hom
bre con Betsy?
Resolución:
Busquemos identificar a cada persona desde
el fina!,
“El único hermano de ese hombre es
el padre de la suegra de mi esposo”
mi madre
mi abuelo
Luego Betsy dice:
“El único hermano de ese hombre es mi abuelo".
Es su abuela
9. Se tiene 6 cajas con huevos quecontienen: 5;
6; 12: 14; 23 y 29 huevos respectivamente cada
caja. Sí quitamos una caja, nos quedará el do
ble de huevos de pato que de codorniz. ¿Cuál
es esta caja?
Resolución:
89 huevos
5 6 12 14 23 |29
Se debe asegurar que al quitar una caja el tota!
O
que quede debe ser 3 (para dividir en la relación 2
a 1); luego hay 4 posibles cajas a quitar: 5; 14; 23
ó 29; pero de ellos, la que cumple es la que tiene
29 huevos.
El doble
h 1 12 23 6 14 r «
>
40 huevos 20 huevos
89 huevos
La caja de 29
EJEMPLOS
1. Sabiendo que el anteayer de ayer del mañana
de hace 5 días es sábado, ¿qué día será el
mañana del inmediato ayer del anterior al an
terior del subsiguiente día al pasado mañana
del día de hoy?
A) Viernes B) Lunes C) Domingo
D) Martes E) Sábado
Resolución:
Reemplazando cada palabra por su equivalente
numérico, tenemos;
- 2 - 1 + 1 - 5 = sábado
- 7 = sábado
< > hace 7 días fue sábado
Hoy es sábado.
Piden; + 1 - 1 - 1 - 1 + 2 + 2 de hoy
<> + 2 de hoy
< > pasado mañana de sábado
< > lunes
B
2. El señor Timoteo invitó a cenar al tío de su
esposa, al suegro del otro hijo de su padre, al
suegro de su hermano, al hermano de su sue
gro y al padre de su cuñada. ¿Cuántos invita
dos tuvo como mínimo?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución:
Como mínimo invitó a una sola persona, por
que todos se refieren al hermano de su sue
gro. veamos el esquema;
invitado
suqgro
-, suegro
Timoteo
3, Si m, n, p y q son números positivos de una
cifra, todos diferentes, ¿cuál es el menor valor
de S?
S = ((m + n) - p) X q
A) -45 B) -32 C) -64 D) -48 E) -56
Resolución:
Buscando valores adecuados para m, n, p y q,
se tienen dos posibilidades;
S = ((1 + 2 )~ 8 ) x 9 = -45
S = ((1 + 2 ) - 9 ) x 8 = -48
Luego el valor mínimo de S es -48.
4. Se tiene fichas numeradas del 1 al 21. ¿Cuál
es la menor cantidad de fichas que se deben
extraer, al azar y como mínimo, para tener la
certeza de que la suma de los números de to
das las fichas extraídas sea par?
A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14
Resolución:
Dei enunciado; ( 3 ) ( ¿ X 1 ) ( 5 ( D ' ( f j )
10 fichas pares
11 fichas impares
Analizando el peor de los casos;
Hace que la suma
total sea par
Extraer; © © © © ... © + © ^
Todos los pares (10)
Suma total; par
I; impar
P; par
Luego en el peor de los casos, deben salir 12
fichas para estar seguros de que la suma total
es par.
• 0
5. ¿Cuántos palitos deben mover, como mínimo,
para que la igualdad se verifique?
5+ 5+ 5- 55D
A) 1 B )2 C )3 D )4 E )5
Resolución:
Es suficiente mover 1 palito.
s i T - q + s ,™
Es decir, 545 + 5 = 550
. - . 0
6. ¿Cuántas personas como mínimo liay en 12
filas de 3 personas cada una?
A) 36 B )8 C )9 D)18 E) 13
Resolución:
Graficando convenientemente se tiene:
7. Juan dice: “Hoy he visitado al hijo del padre de
la madre del hermano dei hijo del suegro de la
mujer de mi hermano”, entonces Juan visitó a
su:
A) cuñado B) abuelo C) tío
D) padre E) tío abuelo
Resolución:
Identificando a cada persona desde el final:
a ¡o del _ I p, mi tío © padre de lia madre delmi abuelo (^ m i madre
I hermano ĉ el | hijo del ̂ | suegro de ja
© y o o mi ( j ) mi hermano (J ) mi padre
hermano o yo
I mujer de mi hermanp
Q mi cuñada
Juan visitó a su tío.
8, En el gráfico, las letras representan dígitos di
ferentes entre sí y diferentes de 8. Si se cum
ple que:
M x 'E x N = T x A x L
calcule M + E + N + T + A -f L.
A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26
Resolución:
Los números a ubicar salen de: 0 ,1 ,2 , 3, 4, 5,
6, 7 y 9.
.Además como: M x E x N = T x A x L,
ningún número podría ser O ya que ei produc
to daría cero, tampoco 5 porque tendríamos
como resultado un múltiplo de 5 en un lado y
no se podría conseguir otro múltiplo de 5 en
el otro lado. Luego, los 6 números a ubicar
salen de:
1, 2, 3, 4, 6, 7 y 9
Además se observa que:
2 x 3 x 6 = 1 x 4 x 9
36
Entonces:
Piden:
M-t-E + N 4 T + A + L= 1+ 4-t-9 + 2+ 3 + 6 = 25
9. Hoy sábado es cumpleaños de Ana y ei año
pasado fue jueves. Si anteayer fue cumplea
ños de Roxy, y el año pasado fue miércoles,
¿qué día es el cumpleaños de Roxy?
A) 1 de marzo B) 2 de marzo
C) 27 de febrero D) 28 de febrero
E) 29 de febrero
Resolución:
Este día el año pasado . 8
Ana /
no apareció (29 de febrero) ,
•
ñoxy
8
/C \
Sábado Viernes Jueves este año , 8
Jueves © Miercoles •año pasado , 8•
hoy ayer anteayer
Roxy cumple años el 28 de febrero.
£ .
10. En una caja se tiene 8 dados blancos, 8 dados
negros, 8 esferas negras. ¿Cuál es el menor
número de objetos que se debe extraer, al azar
y como mínimo, para tener la segundad de que
entre los extraídos haya un par de dados y un
par de esferas, todos del mismo color?
A) 17 B) 19 C)25 D)18 E) 13
Resolución:
Analizando el peor de los casos, sería: que sal
gan puros dados (o puras esferas) y luego es
feras (o dados) de distinto color.
Al extraer:
+ 8 | ^ ] + 1 @ - t - 1 (Ñ) + 1
16 dados
Este será blanco o negro, pero
completa el par de esferas del
mismo color.
Total de objetos extraídos: 19
• . 0
EJERCICIOS EXPLICADOS
¿Qué parentesco tiene Juan con la hija de la
esposa del único vástago de su nnadre?
A) Padre - tiija B) Hermano - tiermana
C) Hijo - nnadre D) Primo - prima
E) N A.
Resolución:
La madre de Juan tiene un hijo único que no
es otro que Juan.
La esposa del único vástago (hijo) de su ma
dre, es la esposa de Juan.
Con estos datos podemos elaborar el cuadro
adjunto:
El parentesco entre Juan y la hija mencionada
es: Padre - hija
• ■ 0
2. Se deben de realizar cinco actividades A, B, C,
D y E, una por día, desde el lunes hasta el
viernes: si:
- 8 se realiza después de D;
- C se realiza dos días después de A:
- B se realiza jueves o viernes;
¿qué actividad realiza el martes?
A) Actividad E B) Actividad D
C) Actividad B D) Actividad C
E) Actividad A
Resolución:
“ D no se puede realizar el viernes, porque B se
realiza después, entonces:
Lu Ma Mi Jv Vi
D B
D se realiza el jueves, entonces B, el viernes,
entonces;
Lu Ma Mi Jv Vi
A C 1 D B
- Si C se realiza dos días después que A, este
día debe ser ei miércoles y A el lunes.
- Finalmente solo queda el martes para; E....0
3. Ricardo, César, Percy y Manuel, tienen dife
rente ocupación:
a) Ricardo y el carpintero están enojados con
Manuel.
b) César es amigo del electricista.
c) El comerciante es familiar de Manuel.
d) El sastre es muy amigo de Percy y del elec
tricista.
e) Ricardo desde muy joven se dedica a ven
der abarrotes.
¿Quién es el electricista?
A) Percy B) Manuel C) César
D) Ricardo E) Ninguno
Resolución:
Car Elee Com Sas
Ri X •
Ce X
Pe X
Ma X • X X
- De (2) y (4), ni César ni Percy son el elec
tricista
~ Por (5) Ricardo tampoco, pues es comer
ciante.
Manuel es el electricista.
• [ B ]
4. En una urna hay tres bolas blancas, tres ne
gras y dos rojas. Si se extraen tres bolas al
azar y dos de ellas son rojas, ¿de qué color
puede ser la tercera?
A) Solamente blanca
B) Solamente negra D) Negra o roja
C) Blanca o negra E) Solamente roja
Resolución:
5.
6 .
De las tres bolas extraídas, dos son rojas, que
son todas las rojas que contenía la una.
La tercera sólo puede ser de uno de los otros
dos colores:
Blanca o negra.
.'.[C ]
Las figuras (I) y (II) están formadas por ficfias
cuadradas iguales. ¿Por io menos cuántas de
ias fichas en la figura (I) deben ser cambiadas
de posición para formar la figura (II)?
T T I I
U i t T T T I
Fig. (I) Fig. (II)
A) 7 B) 8 C) 6 D) 4 E) 5
Resolución:
Es suficiente mover 5 fichas
En la figura colocar en cada círculo los núme
ros 1,3, 4, 5,6, 8 y 10 sin repetición, de mane
ra que la suma de tres números unidos po
una linea recta sea la misma y además la mi
nima posible. Dé como respuesta dicha suma
A) 16
B) 14
C)12 O
D) 15
E) 13
Resolución: •
Para que la suma sea la mínima posible, el
número común (el central) deberá ser el me
nor posible, además se observa que:
Central 1
1 3 0 5 _6
Suma 11
Suma 11
8 10
Suma 1
Ordenando tendremos:
Cinco estudiantes:Juan, Luiú, Tina, Mateo y
Orlando se ubican alrededor de una mesa cir
cular. Juan se sienta junto a Lulú; Mateo no se
sienta junto a Tina. Podemos afirmar que son
verdaderas:
(I) Mateo se sienta junto a Juan.
(II) Orlando se sienta junto a Tina.
(III) Lulú se sienta junto a Mateo.
A) Sólo I B) Sólo II C)
D) I y III E) Sólo III
Resolución:
i y II
Sólo podemos afirmar que Orlando se sien
ta junto a Tina.
B
Cari Friedrech Gauss, matemático alemán co
nocido por sus diversas contribuciones al cam
po de la Matemática y la Física, nació en
Braunschweing, el 30 de abril de 1777. Si el 30
de abril de 2004 fue viernea, ¿qué día de la
semana nació Gauss?
A) Lunes B) Martes C) Miércoles
D)Jueves E) Sábado
Resolución:
Haciendo un esquema:
30 de abril de
1777
2004
2000
1996
30 de abril de
2004
1780
Años bisiestos
2004-1780 ,
# anos: ------------------+1
4
= 57
Pero los años 1900 y 1800 no son bisiestos.
Entonces:
# años bisiestos = 57 - 2 = 55
227 + 55 = 2 ^
o r
= 7 + 2 > Viernes
30 de abril de 30 de abril de
1777 2004
Gauss nació un día miércoles.
... [C ]
9. Para que la igualdad sea correcta, hay que
mover:
A) 5 palitos
B) 4 palitos \ /
C) 3 pajitos
D) 2 palitos
Eí 1 palito
Resolución:
\ / I - l
Raíz cuadrada de 1 es igual a 1.
Hay que mover 1 palito.
10. ¿Qué es mi hijo, respecto al hijo del hijo de mi
padre?
A) Tío B) Sobrino C) Primo
D) Hermano E) N.A.
Resolución:
Padre
Hijo del padre: mi hermano '
Hijo del hijo del padre mi hijo
11. En una caja hay 30 conejos blancos; 4 cone
jas blancas, 4 conejos marrones. 3 conejas ma
rrones. ¿Cuál es el mínimo número de anima
les que se deben extraer para tener necesaria
mente un conejo y una coneja del mismo co
lor?
,A )6 8 )7 C )8 D )9 E) 10
Resolución:
Asumiendo la peor situación:
4 conejas blancas + 4 conejos marrones + 1 =
9 animales.
12. En el país de los triángulos, la gente escribe
14 como en la figura A; 253 como en la figura
8. ¿Qué número representa la figura C?
Resolución:
Observe que:
Cada triángulo inferior multiplica a su respecti
vo número por 10 y luego suma así:
Fig, A; 1 . 10 + 4 = 14
Fig, B: 2 . 10 . 10 5 , 10 + 3 = 253
Luego para la fig. "C":
1 . 10 . 10 . 10 + 6 . 10 . 10 + 4 = 1604
•••E]
13. Mueva “x palitos, de tal manera que la igual
dad sea correcta. Hallar el valor de x.
+ LC )3 —
D)5
E)6
Resolución:
Hay que mover 2 palitos.
14. Siendo viernes el mañana dei mañana de hace
5 días, ¿qué día será el anteayer del anteayer
de dentro de 4 días?
A) Lunes B) Jueves C) Viernes
D) Martes E) Sábado
Resolución:
Dato: viernes < > + 1 + 1 - 5
viernes < > - 3
Piden: - 2 - 2 + 4 = 0 hoy
Graficando:
Avanzaniio adelante ^
Viernes Sábado Domingo Lun«5
T — r
-H
-1
Hoy es lunes
15. Construyendo tu árbol genealógico: ¿cuántos
bisabuelos tuvieron tus bisabuelos?
A) 32 B) 64 C) 256 D) 1024 E) 16
Resolución;
Cualquier persona tendrá:
2 padres < > 4 <> 8 <> 16
i i i
abuelos bisabuelos tatarabuelos
Tus bisabuelos son 8, pero cada uno de ellos
tuvo 8 bisabuelos, luego los bisabuelos de tus
bisabuelos serán:
8 X 8 = 64
16. La madre del padre de la hermana de mi ma
dre es mi:
A) madre 8) tía C) abuela
D) tía abuela E) bisabuela
Resolución:
Piden:
“La madre del padre de mi madre”
Mi bisabuela mi abuelo
17. ¿Cuántas pastillas tomará un enfermo duran
te 4 días que está hospitalizado, si la enferme
ra le da una pastilla cada 3 horas (si empezó a
tomarlas a penas empezó su reposo hasta que
culminó)?
A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36
Resolución:
l . ’ past.
I---------- 3h
2.' past.
Intervalo
de tiempo
4 días <> 4 X 24
Por regla de tres: x - 1 =32
X = 33 (# pastillas)
Las cifras de 1 al 7 hay que distribuirlas en la
figura que se muestra (una en cada círculo),
de manera que las tres cifras de cada una de
las filas sumen siempre 12. ¿Qué cifra debe ir
en el círculo central'?
A) 6
B) 4
0 5
D) 2
E)3
O
o
Resolución:
Sea “x" el número central, luego:
1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 3 (1 2 )-2 x
28 = 36 - 2x
X = 4
19. Un mes después de su cumpleaños, Paola ob
serva un calendario de bolsillo y se percata de
que si suma la fecha del último miércoles del
mes anterior con la fecha del primer sábado
del próximo mes, obtendría 38.
¿En qué mes cumple años Paola?
A) Febrero B) Mayo C) Julio
D) Agosto E) Noviembre
Resolución:
ijitimo ^ Primer
miércoles sábado = 38 ...(I)
Ten en cuenta que el primer sábado de un mes
cualquiera debe ser un número del 1 al 7; lue
go la única posibilidad consistente con (I) es:
31 + 7 = 38
Bosquejemos un calendario:
Mes anterior
D L M M J V S
t
31
Mes actual
D L M M J V S
1
8
15
22 t
29 3 0 ?
31
Próximo mes
D L M M J V
1 2 3 4 5 6
Para que los dias encajen coherentemente,
debe ocurrir que: ? = 31 ; entonces tanto el mes
anterior como el mes actual tienen 31 días, y
eso solo ocurre dentro de un mismo año cuan
do se trata de julio y agosto.
Paola cumple años en julio.
• [£ ]
20. ¿Cuál es la negación lógica de la proposición:
"Ningún matemático es distraído”?
A) Al menos un matemático no es distraído.
B) Al menos un matemático es distraído.
C) Todos los matemáticos son distraídos.
D) Todos los matemáticos no son distraídos.
E) Ninguna de las anteriores.
Resolución:
La negación de la proposición categórica:
"Ningún P es Q", es:
“Algunos P son Q”, y dado que “Algunos” sig
nifica “al menos uno", también puede quedar
así:
“Al menos un P es Q”.
. . Fb!
21. El siguiente cuadro muestra la distancia en ki
lómetros, entre cuatro pueblos situados a lo
largo de una carretera. ¿Cuál de las alternati
vas podría representar el orden correcto de es
tos pueblos a lo largo de la carretera?
A B C D
A 0 5 1 2
b 5 0 6 3
C 1 6 0 3
D 2 3 3 0
A ) A - C - D - B B ) A - D - B - C
C ) B - A - D - C D ) C - A - D - B
E ) C - A - B - D
Resolución:
Si leemos la primera fila del cuadro, obtendre
mos las siguientes distancias: AB = 5, AC = 1 y
AD = 2; tomando como referencia a “A“, ubica
mos los dos primeros datos:
5 / 5 X
H h-
C _ A
- i i -
A C
1
Pero luego de ubicar A y B , ¿dónde ubicar a
C?
Para poder decidir, necesitamos la distancia
de B a C, la cual, según ei cuadro, es: BC = 6;
por lo tanto, la primera opción fue la correcta.
D se ubica fácilmente, observando que AD = 2
y BD = 3:
5
B
Ei orden de los pueblos será: C - A - D - B o
bien: B - D - A - C.
D
22. Tres parejas se sientan alrededor de una mesa
c ircu la r con 6 asientos d istribu idos
simétricamente. Se sabe que:
- A la derecha de la novia de Antón io se sien
ta Gabriel.
- Maritza, que está sentada a la derecha de
dora, está al frente de su propio novio.
- Antonio está a la izquierda de Mario.
- Esperanza está al frente de la novia de
Gabriel.
¿Quién es el novio de Dora?
A) Gabriel B) Antonio C) Mario
D) Felipe E) No se puede determinar
Resolución:
Empecemos con el último dato, ya que nos brin
da una sola posibilidad:
Novia de Gabriel
El lugar señalado con ? debe ser ocupado por
una dama, pero por el 2.° dato, Maritza está al
frente de su propio novio; luego “?” no puede
ser Maritza.
Evidentemente, “?” tampoco puede ser Espe
ranza.
Entonces la única posibilidad es que la novia
de Gabriel sea Dora.
El novio de Dora es Gabriel.
23. Dos personajes del cuento “Alicia en el pais
de las maravillas”, el León y el Unicornio, tie
nen una rara característica: uno de ellos mien
te lunes, miércoles y viernes, y dice la verdad
los otros días; mientras que el otro miente mar
tes, jueves y sábado, y dice la verdad los otros
dias. Cuando Alicia les pregunta qué día era,
le respondieron;
~ León: “Hoy es domingo"
- Unicornio: “Ayer fue domingo”
- León: “Estamos en primavera”
Alicia pudo deducir correctamente que:
A) Es un domingo de primavera.
B) Es un lunes de primavera.
C) Es un lunes pero no de primavera.
D) Es un domingo pero no de primavera.
E) Es un lunes de verano.
Resolución:
- De los datos podemos observar que el do
mingo. tanto el León como el Unicornio di
cen la verdad, mientras que los otros díascuando uno miente, el otro dice la verdad.
- Dado que el León y el Unicornio se contra
dicen, hoy no puede ser domingo; enton
ces el León está mintiendo y el Unicornio
está diciendo la verdad.
Si ayer fue domingo, entonces hoy es lunes
pero no de primavera.
■.(£]
24. En cierto año ocurrió que el primer día de un
determinado mes fue lunes, mientras que el
último dia de dicho mes también fue lunes.
¿Qué fecha cayó el último jueves del mes pos
terior?
A) 30 B) 25 0) 27 D) 31 E) 24
Resolución:
Bosquejemos un calendario:
D 0 M M J V S
1
15 Ultimo día
22
¡Febrero!
Ten en cuenta que el siguiente mes, marzo,
tiene 31 días.
D L M M J V S
1 2 3
10
17
24
31 /
.-.[D]
25. Tres aviones vuelan en formación de manera
que:
- El Mig-21 vuela más alto y a ia derecha
que el F-17.
El F-17 vuela más alto y más a la izquier
da que el fVlirage y más atrás que el Mig-
21.
- El Mirage vuela más a la izquierda que el
Mig-21 y más atrás que el F-17.
Entonces el Mirage vuela:
A) más adelante y más arriba que el Mig-21.
B) más adelante y más abajo que el F-17.
C) más a la izquierda y más abajo que el Mig-21
D) más a la derecha y más abajo que el Mig-21.
E) más atrás y más a la izquierda que el F-17.
Resolución;
- Debido a que tenemos que ordenar los da
tos en 3 dimensiones, bosquejaremos las
vistas superior y frontal.
izquierda
•4------
derecha
detrás
delante
i
Min
FI 7
\
■
age
Mig 21
it
1t
Fi 7
Mir
Mig 21
ige
íarriba
^abajo
Izquierda Derecha
C
26. Para reconocer una palabra palindrómica, esta
se debe leer igual de izquierda a derecha, que
de derecha a izquierda, como por ejemplo en
la palabra “somos” . Encontrar una palabra
palindrómica en español, que tenga 9 letras y
dar como respuesta la letra central.
A) N B) R C) M D) S E) O
Resolución;
- No es necesario ponerse a pensar en todo
el diccionario.
- La segunda palabra del texto del problema
te dará la respuesta: reconocer.
27. En una carrera participaron tres parejas de
esposos: los Arévalo, los Castillo y los
Gutiérrez. Se sabe que:
- Los esposos llegaron antes que sus res
pectivas esposas.
- La Sra. Gutiérrez llegó antes que el Sr.
Arévalo.
- El Sr. Castillo no llegó primero y fue supe
rado por una dama.
- La Sra. Arévalo ilegc^uinta, justo después
que su esposo.
¿En qué lugares llegaron el Sr. y la Sra. Casti
llo respectivamente?
A) 4 .° -6 .° 8) 3.“ - 6 . “ C )1 .° -3 .°
D )3 .° -4 .° E )2.” -6 .°
Resolución:
Empecemos ubicando el último dato:
1.° 2.° 3.° 4.° 5.” 6.°
Sr
A
Sra.
A
Del tercer dato, si el S r Castillo no fue prime
ro, dicho lugar debe corresponder al Sr.
Gutiérrez; además si el Sr. Castillo fue supera
do por una dama, tampoco puede llegar 2.°,
por lo cual su puesto es el 3.“ .
1.° 2." 3.“ 4° 5.= 6.°
Sr Sr Sr Sra.
G C A A
Teniendo en cuenta que cada esposo supera
a su esposa, completamos las ubicaciones res
tantes;
1.° 2.“ 3.“ 4.'’ 5.° 6.°
Sr. Sra. Sr Sr Sra. Sra.
G G C A A C
28. Tres amigos: Hugo, Paco y Luis tienen la si
guiente conversación:
- Hugo: “Yo soy menor de edad”
- Paco; “Hugo miente'
- Luis: “Paco es mayor de edad"
Si se sabe que solo uno miente y que solo uno
es mayor de edad, ¿quién miente y quién es
mayor de edad, respectivamente?
A) Paco - Paco B) Hugo - Paco
C) Paco - Luis D) Paco - Hugo
E) Luis - Paco
Resolución:
Está claro que Hugo y Paco se contradicen;
luego uno de los dos está mintiendo, y como
por condición del problema, hay un solo men
tiroso, entonces Luis (el que sobra) debe estar
diciendo la verdad.
Paco es el único mayor de edad.
Hugo dice la verdad y Paco está mintiendo.
29, lylpN se lee: “M" es preferido a “N”.
(MpL) y (NpM) =5 (NpL)
Si: -A pB
-X p Y
-B p Y
■-YpC
entor),_ -̂s, de las siguientes alternativas, ¿cuán
tas son correctas?
(l)ApX (11) XpC (!ll)ApY (IV) BpC
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) O
Resolución:
Ordenemos los datos verticalmente colocan
do arriba a los que tienen mayor grado de pre
ferencia:
(I) No se puede determinar.
(II) Correcto
(III) Correcto
(IV) Correcto
Hay 3 alternativas correctas.
30. Un individuo miente siempre los martes, jue
ves y sátjados, y es completamente veraz los
demás días. Cierto dia mantiene el siguiente
diálogo con una dama:
Pregunta la dama: ¿qué día es hoy?
- Responde el individuo: sábado.
- Pregunta la dama: ¿qué día será maña
na?
- Responde el individuo: miércoles.
¿De qué día de la semana se trata?
A) Martes B) Miércoles C) Jueves
D) Viernes E) Domingo
Resolución:
Como el individuo se contradice (no puede ser
hoy sábado y mañana miércoles), entonces es
uno de los días que le toca mentir.
Si fuera martes, su segunda respuesta sería
verdad y no mentira.
Si fuera sábado, su primera respuesta sería
verdad y no mentira.
Hoy solo puede ser jueves.
■■•[£]
31. Cuatro hackers son sospechosos de haber in
troducido un ultravirus en la Internet, y, al ser
interrogados por la policía, contestaron:
- Felipe: “Hernán participó”
- Hernán: “Víctor participó''
- Víctor: “Hernán miente"
" Jesús: “Yo no participé"
Si ei único inocente es ei único que dice la ver
dad. ¿quién es?
A) Felipe B) Hernán C) Víctor
D) Jesús E) No se puede determinar
Resolución:
- Observa que Hernán y Víctor se contradi
cen, por lo cual solo uno de ellos estará
diciendo la verdad.
- Ahora bien, por dato del problema, solo hay
uno que dice la verdad; entonces Felipe y
Jesús deben estar mintiendo.
- Ya que Felipe miente, es falso que “Hernán
participó'.
Hernán es inocente.
••[B]
32. Claudio es más alto que César. Pablo es más
bajo que Vicente. Alfredo es más alto que Raúl.
Claudio es menos alto que Pablo. Alfredo no
llega a ser tan alto como César. ¿Cuál de las
siguientes alternativas es falsa?
A) Pablo es más alto que César.
B) Claudio es más bajo que Vicente.
C) Alfredo es menos alto que Claudio.
D) Raúl es más bajo que Pablo.
E) Raúl es menos bajo que César.
Resolución:
- Grafiquemos el 1.° dato
í Cl
\ C é
- Ahora busca un dato que se relacione con
Claudio o con César (4.“ y 5.');
‘ Pa
I 01
j Cé
1 Al
- Con los otros datos se completa el orde
namiento;
Vi
Pa
Cl
Cé
Al
Ra
La alternativa “e" indica que; “Raúl es me
nos bajo que César", que equivale a decir;
“Raúl más alto que César”, lo cual según
el grafico, es falso.
33. Tres amigos. Raúl, Félix y Ricardo, deciden po
nerse a trabajar para afrontar sus gastos, Raúl
gana menos que Félix y éste menos que Ri
cardo. Raúl gasta más que Félix y éste más
que Ricardo, ¿Cuál de las siguientes afirma
ciones es necesariamente verdadera?
(!) Si Ricardo gasta todo su dinero, Raúl que
da endeudado.
(II) Si Ricardo ahorra, Raúl ahorra.
(III) Si Raúl y Félix ahorran, Félix tendrá más
dinero que Raúl.
A) Solo I B) Soio 11 C) Solo III
D ) l y l l E ) l y l l l
Resolución:
- Ganan;
Ricardo
Félix
Raúl
- Gastan;
Raúl
Félix
Ricardo
Analicemos las alternativas;
(I) Si Ricardo gasta todo su dinero, Raúl debe
gastar aún más, pero como Raúl gana me
nos, entonces quedaría endeudado.
(V)
(II) Si Ricardo ahorra gastaría menos de lo que
gana, pero no se podría determinar si con
Raúl sucede lo mismo. (?)
(III) Si Raúl y Félix ahorran, depende del mon
to del ahorro de cada uno, para determi
nar quien tendrá más dinero. (?)
34. Determine la cantidad de círculos no som
breados en la posición 20;
& 03D CCOD
Posición 1 Posición 2 Posición 3
A) 211 8)210 C)201 D) 190 E) 189
Resolución:
- Cada triángulo posee 1 círculo en la 1.°
fila, 2 círculos en la 2,° fila, 3 en la 3.°, etc.
Luego, el total de círculo, de la posición 20
estará dado por;
1 -h2 + 3 + ... -f21 = =231
2
- De este total hay que restar el número de
círculos pintados en la posición 20;
231 - 2 0 = 211
35. Complete las casillas en blanco con números
de un dígito, de manera que al sumar los valo
res de cada fila o columna, resulte 34. Luego
responda: ¿cuántas veces aparece el dígito 9
en ambas diagonales?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Resolución:
- Empecemos por la tercera fila desde arriba;
para que la sumade los términos de dicha fila
sea 34, los dos casilleros en blanco deben su
mar: 34 - {8 8) = 18, y esto solo es posible
cuando sumamos 9 y 9,
- Lo mismo se aplica para la primera co
lumna; luego el cuadro se completa fácil
mente.
9 8 8 9
8 9 8 9
8 9 9-^ 8
9 '^ 8 9 8
Ambas diagonales contienen en total 6 nue
ves.
36. Tres misioneros y tres caníbales se hallan en
la orilla de un río y para cruzarlo solo disponen
de una barca con capacidad para dos hom
bres. Si en ningún momento deben haber más
caníbales que misioneros porque sino se los
comen, ¿en cuántos viajes como mínimo po
drán cruzar todos el río?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) ,33
Resolución:
- Llamemos M,, y a los misioneros y
C,, Cj y C, a los caníbales.
- 1 viaje: se van C, y Cj
- 2.° viaje: regresa C,
- 3,° viaje: se van C, y C^
- 4.° viaje; regresa C,
- 5.“ viaje: se van N/1, y
- 6.° viaje: regresan y Ĉ
- 7,° viaje: se van y
8.' viaje: regresa C,
9.' viaje: se van C, y C^
10.° viaje: regresa Ĉ
11.“ viaje: se van C ̂y C
11 viajes £ ]
37. Si el ayer de pasado mañana es martes, ¿qué
día será el ayer, del mañana de anteayer?
A) Sábado B) Domingo C) Lunes
D) Miércoles E) Viernes
Resolución:
- Se ecomienda empezar ubicando el “hoy’',
luego hace correr el tiempo hacia atrás o
hacia delante según la premisa y se ubica
el dia señalado en el esquema.
hoy Pasado mañanaO o o o
Ayer de pasado mañana
- Luego se completan los demás di'as de la
semana y finalmente se hace correr el tiem
po según la pregunta.
anteayer
el ayer, del
mañana de
anteayer
el mañana
de
anteayer
PRACTICAND01
1. En una reunión se encuentran Luis, Carlos,
Benjamín y Esteban, quienes a su vez son pi
loto, atleta, empleado y abogado, no necesa
riamente en ese orden. El atleta que es primo
de Luís, es el más joven y siempre va al teatro
con Carlos. Benjamín es el mayor de todos,
entonces Esteban es;
A) abogado B) piloto C) empleado
D) ingeniero E) atleta
«
2. Cuatro hermanos viven en un mismo edificio
de cuatro pisos, uno en cada piso. Abel vive
en el primer piso. Jacinto vive más abajo que
Simón, y Antonio vive en el piso inmediatamente
superior a Jacinto. ¿En qué piso vive Antonio?
A) Primer piso B) Segundo piso
. C) Tercer piso D) Cuarto piso
E) No se puede determinar
3. Carmen mide 5 cm menos que Felipe. Carlos
es más alto que Jorge. Armando y Carmen son
del mismo tamaño, Carlos es más bajo que
Felipe.
De las siguientes afirmaciones, señala las co
rrectas:
(I) Jorge es más bajo que Felipe.
(II) Carmen es del mismo tamaño que Carlos.
(III) Armando es más bajo que Felipe.
A) Sólo I B) Sólo 11 C) Sólo III
D j i y l l l E) II y III
4. Raúl, César, Carlos y Jorge trabajan en un
edifico de cinco pisos, cada uno en un piso
diferente. Si se sabe que; Carlos trabaja en el
piso inmediato superior a César, Raúl trabaja
más arriba que César, Jorge trabaja en el cuarto
piso, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
(I) El tercer piso está vacío.
(II) Jorge trabaja más abajo que Raúl.
(III) No es cierto que Carlos no trabaja en el
segundo piso.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) II y 111 E) Ninguno
5. Pedro es concuriadc de José porque su única
hermana se ha casado con el único hermano
6 .
de éste. Si los hijos de Pedro y José son ahija
dos de Carmen -hermana de Pedro- pero no
de Juan -hermano de José-, entonces los hi
jos, en relación con Juan, resultan ser:
A) o bien ahijados, o bien hijos.-
B) ambos, sus sobnnos naturales.
C) uno su sobrino natural, el otro su ahijado.
D) uno su sobrino político, el otro su ahijado.
E) uno su sobrino natural, el otro su sobrino
político.
Distribuir los números consecutivos del 3 al 14
en los doce casilleros, uno en cada casillero,
de modo que la suma de los números en cada
lado sea 30. Dar como respuesta la suma de
los números que se deben colocar en los vér
tices.
A) 18
B) 15
C) 16
D) 17
E) 21
En la figura most.-ada, se debe distribuir los
números pares del 2 al 24, uno en cada círcu
lo, de modo que en cada lado del triángulo la
suma de los números sea la misma y la máxi
ma posible. Hallar dicha suma.
A) 56
B) 64
C) 60
D) 48
E) 58
En un almuerzo estaban presentes padre,
madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino,
sobrina y dos primos, ¿Cuál es el menor nú
mero de personas presentes?
A) 5 B) 6 C) 4 DI 7 E) 3
En un determinado mes existen 5 viernes, B
sábados y 5 domingos, ¿qué día de la semana
caerá el 26 de dic'-o mes?
A) Lunes Eí !'/1ar1eG C) Mierccies
Dt Jueves Ei Viernes
10. En este año 2003, el cumpleaños de Lorena
es el 24 de agosto y caerá día domingo. ¿Qué
día de la semana nació Lorena si este año cum
plirá 18 años?
A) Martes B) Jueves C) Lunes
D) Domingo E) Sábado
11. El año pasado (2202), el 8 de enero fue día
martes; ¿qué día de la semana caerá la mis
ma fecha en el año 2015?
A) Viernes B) Martes C) Lunes
D)Jueves E) Sábado
12. Si el ayer del anteayer del mañana del día pos
terior a hoy fue miércoles, ¿qué día de ia se
mana será el pasado mañana del ayer del
mañana de hace 2 días?
A) Lunes 8) Martes C) Miércoles
D) Jueves E) Viernes
13. Cuatro amigos se sientan alrededor de una
mesa rectangular; estos son; Aníbal, Alfonso,
David y Marcos. SI Aníbal no está frente a
David, a la izquierda de Marcos está Alfonso y
David está frente a Alfonso, entonces es cierto
que;
A) Alfonso está frente a Aníbal.
B) David está frente a Marcos.
C) Marcos está a la izquierda de Aníbal.
D) Alfonso está a la derecha de Aníbal.
E) David está a la derecha de Aníbal.
14. En una bodega se recibe tres cajas. Uno con
tiene “N” chocolates, otro “N” caramelos y el
tercero ‘'N/2” chocolates y “N/2” caramelos. Por
error las 3 etiquetas, “chocolates”, “caramelos”
y “surtidos” , de las cajas están cambiadas.
¿Cuál es el menor número de golosinas que
se debe extraer para saber el contenido de cada
caja?
A) 1 B) 2 C) 3 D) N/2 E) N
PRACTICANDO 2
1. Saúl, Aníbal y Marco son médicos. Dos de ellos
son cardiólogos y uno es pediatra. Aníbal y
Marco afirman que uno de ellos es cardiólogo
y et otro pediatra, por lo que podemós deducir
que:
A) Aníbal y Marco son pediatras.
B) Aníbal y Marco son cardiólogos.
C) Saúl es cardiólogo.
D) Saúl es pediatra.
E) Aníbal es cardiólogo y pediatra.
2. Juan recorrió varias librerías, encontrando 5
libros que eran importantes. Como no tenía
dinero para comprar todos, decidió comprar
uno. Juan tomó la decisión después de;
A) eliminar uno de ellos.
B) controlar y eliminar el 90% de posibilida
des.
C) Evaluar y eliminar el 80% de posibilidades.
D) Aceptar el 25% de posibilidades.
E) Sopesar y desechar el 99% de posibilida
des.
3. Se asume que medio tono es el menor inter
valo de notas.
- La nota T es medio tono mayor de la nota V
- La nota W es medio tono menor que la
nota X.
- La nota X es un tono menor que la nota T.
- La nota Y es un tono menor que la nota W.
¿Cuál de los siguientes representa el orden re
lativo de las notas de menor a mayor?
A) XYWVT B) YWXVT C) WVTYX
D) YWVTX E) YXWVT
4. En una mesa hexagonal se ubican 6 perso
nas; Monica y Patricia son las únicas herma
nas, la dama sentada junto a la dama sentada
frente a Monica, quedó ubicada frente a la her
mana de Monica. Rosa se sentó en el lado
opuesto a Graciela, que está ubicada al lado
de la persona que se sentó al lado de la dama
ubicada frente a Monica, Susana al lado de
Graciela que no es hermana de Monica, Isabel
está sentada frente a la dama ubicada junto a
la dama que se ubicó al lado de quien está
frente a la hermana de Monica. ¿Quiénes es
tán junto a Isabel?
A) Susana, Graciela
B) Graciela, Patricia
C) Susana, Rosa
D) Rosa, Patricia
E) Monica, Rosa
5. Mauro, Alberto y Jorge se encuentran en un
gimnasio. Dos de ellos están disputando una
pelea de box. Deducir con la siguiente Infor
mación, la persona que no participa en la pe
lea, sabiendo además que Jorge no es más
alto que Alberto.
- Entre Mauro y Alberto, el más bajo es el
de mayor edad de los boxeadores.
- Entre Alberto y Jorge el másjoven es el
más bajo de los boxeadores.
- Entre Mauro y Jorge el más alto es el más
joven de los boxeadores.
A) Mauro B) Alberto
C) Jorge D) Todas
E) No se puede determinar
6. Seis cfiicas escalan una montaña. Luz se en
cuentra más arriba que Patty y ésta entre Ro
cío y Fabiola. Chela, está más abajo que Jua
na y ésta un lugar más abajo que Luz. Fabiola
está más arriba que Chela, pero un lugar más
abajo que Patty y ésta más abajo que Rocío
que se encuentra entre Juana y Patty. ¿Cuál
de las chicas se encuentra en el tercer lugar?
A) Luz B) Rocío C) Juana
D) Chela E) Patty
7. Pablo, Gabriel y Antonio son primos. Uno es sol
tero, otro es casado y otro es viudo (aunque no
necesariameníe en ese orden). Si se sabe que;
- Antonio no es casado y debe 10 soles al
mecánico.
- Ei viudo y Pablo sólo deben al grifero.
Entonces:
A) Pablo es viudo.
B) Pablo es soltero.
C) Antonio es casado.
D) Antonio es viudo.
E) Gabriel es viudo,
8. Rosa, Ana y Laura estudian en las siguientes
universidades: Garcilazo, San Marcos y
Villarreal, aunque no necesariamente en ese
orden. Rosa no está en Garcilazo; Ana no está
en San Marcos. La que estudia en la Garcilazo
no estudia Economía, la que estudia Periodis
mo está en la San Marcos. Ana no estudia
Contabilidad. ¿Dónde y qué estudia Laura?
A) Villarreal-Contabili^ad
B) Garcílazo-ContabilidacT
C) San Marcos-Contabilidad
D) Garcilazo-Periodismo
E) San Marcos-Periodismo
9. Seis amigas se ubican alrededor de una mesa
circular. Mónica no está sentada al lado de
Rosa ni de María. Rosa no está al lado de Elisa
ni de Paola. Dina está junto a Rosa a su dere
cha. Paola no está sentada al lado de Elisa ni
de María. ¿Quién está sentada a la izquierda
de la persona que está a la izquierda de Paola?
A) Mónica B) María C) Dina
D) Rosa E) Elisa
10. Mi nombre es Pepe, ¿qué parentesco tiene
conmigo el tío del hijo de ia única hermana de
mi padre?
A) Mi hermano B) Mi primo
C) Mi padre D) Mi tío
E) Mi sobrino
11. Yo tengo un hermano únicamente. ¿Quién es
el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer
del hijo de mi padre que, sin embargo, no es
mi hermano?
A) Mi hermano B) Mi primo
C) Mi padre D) Mi tío
E) Yo
12. X es el niño más alto del aula; en la misma
aula, Y es más alto que Z y más bajo que W.
¿Cuáles afirmaciones son correctas?
(I) Y, Z y W son más bajos que X.
(II) X es más alto que W y más bajo que Z.
(III) Z es el más bajo que todos.
A) Sólo I B) Sólo II C) I y II
D) I y III E) II y III
13. Seis amigas están escalando una montaña,
Carla está más abajo que Juana, quien se en
cuentra un lugar más abajo que María. Daniela
está más arriba que Carla, pero un lugar más
abajo que Tania, quien está más abajo que
Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania.
¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso?
A) María 8) Juana C) Carla
D) Tania E) Daniela
14. Cinco amigos están sentados en una banca
en el cine, ubicados uno a continuación de otro.
Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacen
te. Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan.
Zenaida está en un extremo. Si Silvia y Ma
nuel están peleados, ¿quién se sienta al lado
de Siivia?
2 .
A) Zenaida
D) Manuel
B) Pedro
E) José
C)Juan
PRACTICANDO 3
1. En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor nú
mero de cerilla{s) que se debe(n) cambiar de
lugar para obtener una igualdad correcta?
I!
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Se tienen “2 copas". Se pide cambiar de posi
ción “x" cerillas para que resulte “una casa” .
Calcular x,
(Obs.: “x” es la menor cantidad de cerillas)
A) 4
8 )5
C) 3
D) 6
E)7
3. Mueve “x" cerillas para obtener 5 cuadrados
¿Qué representa para Miguel el único nieto del
abuelo del padre de Miguel?
A) Él mismo B) El nieto C) Su hijo
D) Su papá E) Su abuelo
La mamá de Luisa es la hermana de mi padre.
¿Qué representa para mí el abuelo del mellizo
de Luisa?
A) Mí hermano B) Mi sobrino
C) Mi tío D) Mi abuelo
E) Mi hijo
Una familia consta de dos padres, dos madres,
cuatro hijos, dos hermanos, una hermana, un
abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos
esposos, una nuera. ¿Cuántas personas como
mínimo conforman dicha familia?
A) 6 8 )7 C )8 D)9 E) 10
7, Si el engranaje “A” se mueve como índica la
flecha, ¿cuantos engranajes giran en sentido
antihorario?
Si el engranaje V se mueve en sentido
antihorario, hacia dónde giran los engranajes
XVI y XXIII respectivamente:
A) No gira todo el sistema
B) Antihorario - horario
C) Horario - horario
D) Horario - antihorario
E) Antihorario - horario
9. En el siguiente sistema hay 90 engranajes,
¿cuánto es la diferencia entre el número de
engranajes que giran en sentido horario con
los que giran en sentido antihorario?
^ ó < n x ; D < m
A ) 1
D ) o
B) 2 C) 3
E) No se puede determinar
10. Si ayer del anteayer de mañana es lunes, ¿qué
día será el pasado mañana de anteayer?
A) Lunes 8) Sábado C) Miércoles
D) Jueves E) Domingo
11. Si el día de mañana fuese como pasado ma
ñana, entonces faltarían 2 días a partir de hoy
para ser domingo. ¿Qué día de la semana será
ei niañana del ayer de hoy?
A) Sábado B) Viernes C) Domingo
D) Jueves E) Miércoles
12. X es el niño más alto del aula; en la misma
aula, Y es más alto que Z y más bajo que W.
¿Cuáles afirmaciones son correctas?
(I) Y, Z y W son más bajos que X.
(II) X es más alto que W y más tiajo que Z.
(III) Z es el más bajo que todos.
A) Sólo I B) Sólo II C) I y II
D) I y lil E) II y lil
13. Seis amigas están escalando una montaña,
Carla está más abajo que Juana, quien se en
cuentra un lugar más abajo que María. Daniela
está más arriba que Carla, pero un lugar más
abajo que Tania, quien está más abajo que
Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania,
¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso?
A) María B) Juana C) Carla
D) Tania E) Daniela
14. Cuatro amigos se sientan alrededor de una
mesa c ircu la r con 4 s illas d is tribu idas
simétricamente. Si se sabe que:
- Gerson se sienta junto y a la derecha de
Manolo.
- Abelardo no se sienta junto a Manolo.
- Gerardo les contentó lo entretenido que
está la reunión.
Podemos afirmar:
A) Gerardo y Gerson se sientan juntos.
B) Manolo y Gerardo no se sientan juntos.
C) No es cierto que Gerardo y Gerson no se
sientan juntos.
D) Abelardo se sienta junto y a la derecha de
Gerardo.
E) Gerson se sienta junto y a la izquierda de
Abelardo.
15. Tres varones A, B y C y tres damas; D, E y F
se sientan alrededor de una mesa circular con
seis sillas distribuidas simétricamente, de modo
que dos personas del mismo sexo no se sien
ten juntas. ¿Cuál de las siguientes proposicio
nes son verdaderas?
(I) A no se sienta frente a E.
(II) C no se sienta frente a B.
(III) F no se sienta frente a D.
A) 1 B) II C) 11 y III
D) I y II E) Ninguna
16. Cuatro hermanos: Leo, iván, Cynthia y Gellmy
se sientan arededor de una mesa circular, alre
dedor de la cual se distribuyen simétricamente
seis sillas; se sabe que entre dos personas de
un mismo sexo hay un asiento adyacente sin
ocupar y que Gellmy está junto a Leo. Pode
mos afirmar que son verdaderas;
(I) Cynthia se sienta frente a Leo.
(II) Iván se sienta frente a Gellmy,
(III) Iván se sienta junto a Cynthia.
A) I B) II C) I y II
D) I y Iii E) Todas
17. Un estudiante, un médico y un abogado co
mentan que cada uno de ellos ahorra en un
banco diferente:
- Yo ahorro en interbanc, dice el médico a
Jacinto.
- Tito comenta: “El banco que más intere
ses paga es el Latino”.
- El abogado dice: “Mi secretaria lleva mi di
nero al Banco de Lima” .
- El tercer personaje se llama José.
¿Cómo se llama el estudiante?
A) José B) Jacinto C) Tito
D) Pedro E) Alex
18. Juana tiene un amigo en cada una de las ciu
dades siguientes: Lima, Cuzco e Iquitos; pero
cada uno tiene caracteres diferentes: tímido,
agresivo y liberal;
- Marcos no está en Lima.
Luis no está en el Cuzco.
- El que está en Lima no es tímido.
- Luis no es liberal, ni tímido.
Se quiere saber: en qué ciudad vive Víctor, que
es uno de los amigos y qué carácter tiene.
Además se sabe que quien viveen Iquitos es
agresivo.
A) Lima; liberal 8) Lima; agresivo
C) Cuzco; tímido D) Cuzco; liberal
D) Iquitos; agresivo
19. Están en una sala de conferencia: un ingenie
ro, un contador, un abogado y un médico. Los
hombres, aunque no necesariamente en este
orden, de los profesionales, son Pedro, Diego,
Juan y Luis. Si se sabe que:
1. Pedro y ei contador no se llevan bien.
2. Juan se lleva bien con el médico.
3. Diego es pariente del abogado y éste es
amigo de Luis.
4. El ingeniero es muy amigo de Luis y del
médico.
¿Quién es ei médico?
A) Pedro B) Diego C) Juan
D) Luis E) Pablo
PRACTICANDO 4
Cambia la posición de “x" cerillas de tal modo
que resulten tres cuadrados, cada cerilla debe
ser parte de algJn cuadrado.
(Obs.: V es la menor cantidad par de cerillas)
A) 9
B)7
C) 5
D) 3
E) 1
Si anteayer Jaimito tuvo un año y el próximo
año cumplirá 4 años, entonces ¿en qué fecha
nació Jaimito?
A) 2 de enero B) 1 de enero
C) 29 de diciembre D) 30 de diciembre
E) 31 de diciembre
Si el anteayer del pasado mañana de anteayer
es viernes, ¿qué dia será el ayer del pasado
mañana de ayer?
A) Domingo B) Lunes C) Martes
D)Jueves E) Sábado
2 .
3.
x>
30
Giran en sentido horario:
(I) La rueda 2.
(II) La rueda 15.
(III) La rueda 23.
A) I B) II
D) I y 11 E) 11 y III
C)
5. ¿Cuántas personas como mínimo forman una
familia que consta de 1 abuelo, 1 abuela, 2
padres, 2 madres, 2 sobrinos, 1 tío, 1 tía, 1
nieta, 2 nietos, 1 nuera, 1 suegra, 1 suegro?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
6. Tres caníbales y tres cazadores se encuentran
en la orilla de un río, y desean trasladarse a la
orilla B, para lo cual, tienen un bote, en donde
pueden ir dos personas. Sabiendo que 2 ó 3
caníbales, no pueden quedarse con un caza
dor porque se lo comen. ¿Cuántos viajes, como
mínimo, serán necesarios para que pasen los
6 intactos?
A) 7 B )8 C )9 D )6 E) 11
7. Se tiene 6 monedas dispuestas como mues
tran la figura, ¿cuántas monedas como míni
mo se deben mover para formar 2 fiias que
tengan 4 monedas cada una?
B) 2
E) No se puede
Cinco profesores: Miranda, Escalante, Merca
do, Vera y Rabines están sentados en fila.
Escalante estaba en el extremo de la fila y Mer
cado en el otro extremo. Vera estaba al lado
de Escalante y Miranda al lado de Mercado.
¿Quién estaba en el medio?
A) Escalante B) Rabines
C) Miranda D) Mercado
E) Vera
Se colocan en un estante seis libros ds Razo
namiento Matemático, Aritmética, Álgebra, Fí
sica, Historia y Geometría. Si:
- El libro de Aritmética está junto y a la iz
quierda del de Álgebra.
- El libro de Física está a la derecha del de
aritmética y a la izquierda del de Historia.
- El libro de Historia está junto y a la izquier
da del de Geometría,
- El libro de Razonamiento Matemático está
a la izquierda del de Álgebra.
De derecha a izquierda, el cuarto libro es de;
A) Raz. Matemático B) Física
C) Álgebra D) Aritmética
E) Geometría
1C. El señor “X" invita a almorzar a sus amigos P,
D, F. G, J y N, El señor “X" está en buenas
relaciones con los seis, pero;
(I) "P” y “F' no se hablan desde niños.
(II', “G", "P" y “D" son hinchas de equipos riva
les.
(III) “J” le debe dinero a “N".
(IV)“G” le quito la novia a “F".
(V) “J” y “F” son de diferentes tendencias polí
ticas.
(VI) “N” y “G” han reñido por asuntos laborales.
El señor “X” quiere sentarse con sus amigos
alrededor de una mesa circular tal que cada
comensal tenga a ambos lados personas con
las que esté en buenas relaciones y además
el señor ‘'X" quiere tener a su lado a D y sentar
juntos a J y a P. ¿De qué manera los ubica?
(Indicar quién está entre F y P)
A) X B) G C) J D) D E) N
11, Tres parejas van a almorzar y se ubican en
una mesa hexagonal de.acuerdo a la siguiente
disposición;
- A la derecha de la novia de Alberto se sienta
Hernán.
- Milagros, que se ha sentado a la derecha de
Doris, resulta estar frente a su propio novio.
- Liz está al frente de la novia de Hernán
¿Quién es el novio de Milagros?
A) Hernán B) Manuel
C) Alberto D) Hernán o Manuel
E) Manuel o Alberto
12. Cinco amigos: A, B, C, D y E se sientan alre
dedor de una mesa circular. Si se sabe que:
- A se sienta junto B.
D no se sienta junto a C.
Podemos afirmar corno verdaderas:
I) D se sienta junto a A.
II) E se sienta junto a C,
II!) B se sienta junto a D,
A) Sólo I
D) I y III
B) Sólo II
E) Todas
C) I y II
13. En un club se encuentran cuatro deportistas
cuyos nombres son Juan, Mario, Luis y Jorge.
Los deportes que practican son natación,
básket, fútbol y tenis. Cada uno juega solo un
deporte. El nadador, que es primo de Juan, es
cuñado de Mario y además es el más joven
del grupo. Luis que es el de más edad, es ve
cino del basquetbolista quien a su vez es un
mujeriego empedernido; Juan que es suma
mente tímido con las mujeres es 10 años me
nor que el tenista, ¿Quién practica basket?
A) Juan B) Mario C) Luís
D) Jorge E) Ninguno
14. En una sala de conferencias está reunidos un
ingeniero, un contador, un abogado y un médi
co, los nombres, aunque no necesariamente
en ese orden, son Pedro, Daniel, Juan y Luis.
Si se sabe que Pedro y el contador no se lle
van bien. Juan es amigo de! médico, Daniel es
primo del abogado y éste amigo de Luis; el
ingeniero es muy amigo de Luis y del médico,
¿Quién es el abogado?
A) Pedro B) Juan C) Daniel
D) Luis E) César
15. Ariel, Beto, Carlos y Donato tienen diferentes
oficios: pintor gasfitero, mecánico y jardinero:
y usan uniforme crema, rojo, azul y anaranja
do, se sabe que:
- El pintor derroto a Beto en ajedrez.
- Carlos y el mecánico juegan fútbol con el
de rojo y con el de azul.
- Ariel y el gasfitero no se llevan bien con el
de azul.
- El gasfitero usa uniforme crema.
¿Qué oficio tiene Carlos?
A) Gasfitero B) Mecánico
C) Carpintero D) Pintor
E) Profesor de RM
16. En una reunión se encuentran cuatro amigos:
Carlos. Miguel, Jorge y Richard, que a su s/ez
son: basquetbolista, futbolista, obrero e inge
niero, aunque no necesariamente en ese or
den. El basquetbolista que es primo de Miguel
es el más joven de todos y siempre va al cine
con Carlos; Jorge es el mayor de todos y es
vecino del futbolista, guien es millonario. Mi
guel que es pobre tiene 5 anos menos que ql
ingeniero. ¿Cuál de las relaciones es correcta?
A) Jorge - Futbolista
B) Richard - Obrero
C) Jorge - Basquetbolista
D) Carlos - Ingeniero
E) Miguel - Obrero
17. En la cocina de Martín ha desaparecido un cho
colate, Martín le pregunta a sus hijos y ellos
responden:
An¡: “Yo no ful".
Lady: “La que se comió el chocolate fue
Cinthia”.
Cinthia: “Lady miente”
Se sabe que sólo uno de ellos dice la verdad y
hubo un soio culpable, ¿quién dice la verdad y
quién fue el culpable"
A) Am - Cinthia
B) Lady - Ani
C) Lady - Cinthia
D) Cinthia - Ani
E) Ani - Lady
18. Sonia, Raquel, Iris, Pamela y Maribel han com
petido en la gran maratón “Los Andes” . Al
preguntárseles quién fue la ganadora, ellas res
pondieron:
- Sonia: “Ganó Raquel”
- Raquel: “Ganó Iris”
- Iris: “Ganó Maribel”
- Pamela: “Yo no gané”
- Maribel: “Iris mintió cuando dijo que yo gané”.
Si una de ellas es la ganadora y solamente es
cierta una de las afirmaciones, ¿quién ganó la
competencia?
A) Sonia B) Raquel C) Ihs
D) Pamela E) Maribel
19. En un aula de la academia, 8 alumnas son sos
pechosas de haber tirado la mota al profesor.
En el interrogatorio, a cada una de ellas, se
descubrió la culpable a partir de lo que dijeron,
pues tres de ellas siempre mentían:
- Susana: “Fue Paty la que lo hizo".
- Sali: “No fui yo”,
- Pili: “No fue Paty".
- Paty; “Pili miente”.
- Romi: “La CLiipable solo puede ser Sali. Yoli
o Pili”.
- Moli: “Fue Sali".
- Yoli: “No fuimos ni Sali ni yo” .
- Nati: “Yoli dice la verdad y no fue Paty”.
Averigüe usted quién fue la responsable.
A) Paty B) Sali C) Pili
D) Yoli E) Romi
20. De A. B y C se sabe que dos de ellas tienen
ojos verdes y la otra, ojos azules. Si las perso
nas que tienen ojos verdes mienten y las que
tienen ojos azules dicen la verdad y sabiendoque A dijo: “B tiene ojos azules”, ¿cuáles de
las siguientes afirmaciones son verdaderas?
(i) A y B tienen ojos verdes,
(II) A y C tienen ojos verdes.
(III) A dijo la verdad.
(IV) A miente.
V) B V C, tienen ojos verdes.
,4) 11 y ’iii B) I y lli C) II y iV
Dj :v V V Eí I V iV
PRACTICANDO 5
1. M y N juegan a las cartas. Al inicio M tiene $ 600
y N tiene $ 1000; cuando han jugado 20 parti
das, M tiene el triple de lo que tiene N. Si en
cada partida cada uno apuesta S 50, ¿cuántos
partidos perdió N si no hubo ningún empate?
A) 18 8)14 C)12 D)4 E) 16
2, Después de haber comprado 18 diccionarios
al mismo precio, sobran $ 7 y falta $ 9 para
poder comprar otro. ¿Cuánto tenía?
A) $ 290 B) $ 274 C) $ 325
D)$185 E )$295
.3. Pepo se encuentra después de tiempo con dos
hermanos gemelos y les pregunta sus nom
bres, a lo cual responden: “Yo soy Pipo”; si lo
que él dice es verdad, yo soy Popi”. Si solo
uno de ellos miente, ¿quién dijo la verdad y si
habló primero o segundo?
A) Pipo, 1.“ B) Popi, 1.° C) Pipo, 2°
D) Popi, 2.° E) N o se sabe
4. Dos viajeros tienen 5 y 3 panes respectivamen
te. justo cuando van a comerlos aparece un
tercer viajero, por lo que deciden repartir los
panes en partes iguales para comerlos juntos.
Al retirarse el tercer viajero, les deja S/. 8.
¿Cuánto dinero les tocó a cada uno de ellos?
A) S/. 5 y S/. 3
C) S/. 1 y S/. 7
E) S/. 3 y S/. 5
B) S/. 4 y S/. 4
D) S/. 6 y S/. 2
5. La Universidad Nacional de San Marcos se in
auguró el 2 de enero de 1553 en el convento
de Santo Domingo. Su primer rector fue Fray
Juan Bautista de la Roca y sus primeras facul
tades fueron las de Artes y Teología. El papa
San Pío V, por la bula Exponi Nobis. la deno
minó además Pontificia. Si el 2 de enero de
1999 fue sábado, ¿qué dia se inaugura ia Uni
versidad?
A) Domingo B) Jueves C) Miércoles
D) Martes E) Lunes
6 .
7.
En una urna tiay 8 fictias numeradas con los
dígitos del 5 al 12. ¿Cuál es el mínimo número
de fichas que se debe extraer al azar para te
ner la certeza de habe- extraído entre ellas 2
fichas cuyos números sumen 17?
A) 7 B) 8 C) 6 D) 4 E) 5
El ilustre c ien tífico m atem ático Nicolai
Ivanovich Lobachevski. creador de la Geome
tría no Euclldeana, nació el 20 de noviembre
de 1792. Si el 20 de noviembre del año actual
será sábado, ¿qué día de la semana nació
Lobachevski?
A) Martes B) Lunes C) Miércoles
D) Jueves E) Viernes
De la figura, hallar la suma de los números que
representan a los cuadros pequeños que tie
nen lados comunes con otros tres cuadrados
pequeños exactamente.
1 2 3 5 7
11 13 17 19 23
29 31 37 41 43
47 51 53 57 59
A) 297
D) 158
B) 401
E) 267
C) 277
9. 4 hombres y 2 muchachos tienen que cruzar
un río en una canoa, en cada viaje pueden ir un
hombre o los dos muchachos, pero no un hom
bre y un muchacho a la vez. ¿Cuántas veces la
canoa cruzará el río para que pasen todos?
A) 4 B) 10 C) 16 D) 17 E) 18
10. En una cena hay 3 hermanos, 3 padres, 3 hi
jos, 3 tíos, 3 sobrinos, 3 primos. ¿Cuál es el
mínimo número de personas reunidas?
A) 3 B) 6 0 )1 5 D )9 E) 12
11. Se tienen 31 colillas de cigarros. Si con 7 coli
llas hacemos un nuevo cigarrillo y fumamos al
máximo número de cigarrillos, ¿cuántas coli
llas sobran?
A) O B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
12. Un individuo sube hasta el quinto piso de un
edificio, luego baja el segundo piso y vuelve a
subir al cuarto. Si entre piso y piso las escale
ras tienen 15 peldaños, ¿cuántos peldaños ha
subido?
A) 15 B )90 C)45 D) 60 E) 75
13. En el circo romano salen a luchar 8 gladiadores
en parejas. El emperador dispone, al final, que
se diera muerte a igual número de gladiadores
que los ganadores, ¿Cuántos gladiadores
murieron?.
A) O B) 2 C) 4
D) 6 E) Todos
14. En un determinado mes existen 5 viernes, 5
sábados y 5 domingos, ¿Qué es 23 en dicho
mes y cuántos días trae éste?
A) Lunes, 30 B) Miércoles, 28
C) Sábado, 3.° D) Jueves, 29
E) Domingo, 30
15. Supongamos que todos los años tuvieran 365
días; José Luis nació un día domingo. El cum
pleaños de José Luis, entonces:
A) siempre es el mismo día,
B) siempre corre dos días cada año.
C) siempre corre un día en cada año.
D) retrocede un día por año.
E) retrocede un día los bisiestos.
16. De un conjunto de 100 soldados que sufren un
accidente. 30 quedan ilesos, 40 resultan heri
dos en la cabeza y 40 resultan con heridas en
ios brazos. El número de soldados que resul
taron heridos en la cabeza y los brazos es:
A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40
17. ¿Cuál es el día que está ubicado antes del
sábado en la misma medida que está después
del martes?
A) Jueves B) Miércoles C) Viernes
D) Martes E) Domingo
18. El 12 de enero de 1960 fue martes. ¿Qué día
fue el 18 de mayo de ese mismo año?
A) Lunes B) Martes C) Miércoles
D) Jueves E) Viernes
19. El 8 de abril de 1996 fue sábado, el 24 de octu
bre de ese mismo año fue...
A) Lunes B) Martes C) Miércoles
D) Jueves E) Viernes
20. Si el 19 de febrero de 1992 fue viernes, el 15
de marzo de 1997 fue...
A) Lunes B) Martes C) Miércoles
D) Jueves E) Viernes
21. El 1 de enero fue lunes, el 25 de enero de ese
mismo ano fue...
A) Lunes B) Miércoles O) Viernes
D) Jueves E) Sábado
22. El 8 de enero de 1926 fue lunes, el 15 de mar
zo de 1975 fue...
A) Lunes B) Martes C) Miércoles
D) Viernes E) Domingo
23. El 14 de febrero de 1948 fue lunes, entonces
el 25 de agosto de ese mismo año fue...
A) Martes B) Miércoles C) Jueves
D) Viernes E) Sábado
24. El 14 de febrero de 1942 fue sábado, el19 de
agosto de ese mismo año será:
A) Martes B) Jueves C) Viernes
D) Sábado E) Domingo
25. El 5 de mayo de 1970 fue lunes, el 5 de agosto
de 1999 será:
A) Lunes B) Miércoles C) Viernes
D) Sábado E) Domingo
26. El 7 de enero de 1972 fue viernes, el 16 de
abril de ese mismo año fue:
A) Viernes B) Sábado C) Domingo
D) Lunes E) Martes
PRACTICANDO
1. Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, César y Ro
berto, practican cada uno un deporte diferente.
Gustavo quisiera jugar tenis en lugar de fútbol,
Alberto le pide prestada las paletas de frontón
a Roberto, César nunca fue buen nadador
¿Qué deporte practica César?
A) Frontón B) Tenis C) Natación
D) Fútbol E) Cualquier deporte
2. Sabiendo que:
Teresa es mayor que Susana.
Silvia es menor que Julia, quien es menor que
Teresa.
Susana es menor que Silvia.
¿Quién es la mayor?
A) Susana B) Silvia C) Julia
D) Teresa E) Cualquiera
3. Tres amigos con nombres diferentes, tiene
cada uno un animal diferente. Se sabe que:
El perro y el gato peleaban.
Jorge le dice al dueño del gato que el otro amigo
tiene un canario.
Julio le dice al dueño del gato que éste quiso
comerse al canario.
¿Qué animal tiene Luis?
A) Perro B) Gato C) Canario
D) Perro o gato E) Canario o gato
4. Tres estudiantes: de Historia, Economía e In
geniería viven en Chiclayo, Lima y Arequipa
(no es ese orden necesariamente).
El primero no vive en Lima, ni estudia Ingenie
ría.
El segundo no vive en Ctiiclayo y estudia Eco
nomía,
El historiador vive en Arequipa,
¿Qué estudia el tercero y donde vive?
A) Economía - Arequipa
B) Historia - Chiclayo
C) Ingeniería - Lima
D) Historia - Lima
E) Ingeniería - Chiclayo
5. Tres amigas, Sandra. Blanca y Vanesa esco
gieron un distrito diferente para vivir y se moví-
lizan usando un medio de transporte distinto.
Los distritos son: Lince, Jesús María y Rímac;
los medios de transporte: bicicleta, moto y mi
crobús.
Cuando Blanca tenga dinero se comprará una
moto y se mudará al Rímac.
Desde que Vanesa vive en Jesús ya no tiene
bicicleta.
La que vive en Lima toma dos micros.
¿En qué distrito vive Blanca y en qué se movi
liza?
A) Rímac - bicicleta
8) Jesús María - moto
C) Lima - moto
D) Lima - microbús
E) Rímac - microbús
6. Los amigos Abel, Pedro, Juan y Samuel se
sientan alrededor de una mesa circular. Pedro
está a la derecha de Juan, y los amigos cuyos
nombres tienen la misma cantidad de letras
no están juntos. ¿Quién está frente a Samuel?
A) Abel B) Pedro C) Juan
D) Samuel E) No se sabe quién.
7. Un caracol asciende 8 metros en un díay res
bala 6 en la noche. ¿Al cabo de cuántos días
llegaría a la parte superior de una pared de 50
metros de altura?
A) 25 B) 48 C) 22 D) 23 E) 42
8. En un determinado mes el primer dia cayó
martes y el último también. ¿Qué día cayó el
20 de mayo de dicho ano?
A) martes B) jueves C) viernes
D) sábado E) domingo
9. En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos
que María; Laura menos puntos que Lucía;
Noemí el mismo puntaje que Sara.
Rosa más puntaje que Sofía; Laura el mismo
que María y Noemí más que Lucía. ¿Quién
obtuvo el menor puntaje?
A) Rosa B) Noemí C) Sofía
D) Laura E) Sara
10. Carlos es mayor que Luis.
Pedro y Luis tienen la misma edad.
Luis y Juan son hermanos mellizos.
Julio es mayor que Carlos, pero menor que José,
La conclusión que se deduce necesariamen
te es:
(I) Pedro y Juan no son mayores que Carlos,
(II) José no es mayor que Carlos,
(III) José no es menor que Juan y Pedro,
A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III
D) 1,11, III E) Sólo III
11. El engranaje “B” se mueve en el sentido de la
flecha. Indicar cuáles se mueven hacia la de
recha.
«— 1
A) A y C
D) A, C, y E
B ) B y E
E) A y D
C ) C y E
12. Luis y su esposa tuvieron cuatro hijos. Cada
uno de los hijos se casó y tuvieron 4 niños.
Nadie en las tres generaciones falleció, ¿Cuán
tos miembros tiene la familia?
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
13. Si tengo una caja azul con 6 cajas rojas dentro
y 2 cajas verdes dentro de cada una de las
rojas, el total de caja es;
A) 23 B)15 C)22 D) 43 E) 19
14. ¿Quién es ese hombre que es el padre de la
hija de la esposa del único vástago de mi ma
dre?
A) Mi padre B) Mi hijo C) Mi abuelo
D) Mi nieto E) Yo mismo soy
15. Seis amigos; A, B, C, D, E y F se sientan alre
dedor de una mesa circular con 6 asientos dis
tribuidos simétricamente. Si se sabe que;
A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.
D no se sienta junto a B.
E no se sienta junto a C.
¿Dónde se sienta F?
A) entre C y E B) frente a D C) entre B yC
D) frente a B E) frente a A
16. Una urna contiene 13 bolas negras, 12 rojas y
7 blancas. La menor cantidad de bolas que se
debe sacar para obtener al menos una de cada
color es:
A) 20 B) 25 C) 26 D) 21 E) 5
17. Un kilo de manzanas contiene de 8 a 12 uni
dades. ¿Cuál es el mayor peso que pueden
tener 6 docenas de manzanas?
A) 6 B) 7 C )8 D )9 E) 10
18. Un campesino compró algunas cabras por
1 200 soles y las vendió por 1 500, ganando
50 soles en cada cabra. ¿Cuántas cabras com
pró?
A) 12 B) 8 C) 6 D) 9 E) 5
19. En una reunión familiar se encuentran dos pa
dres, dos hijos y un nieto, ¿Cuántas personas
como mínimc, .... encuentran en dicha reunión?
A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
20. En una familia, mamá y papá tienen 4 hijas y
cada hija tiene un hermano, ¿Cuántas perso
nas conforman por lo menos dicha familia?
A) 10 B )8 C )7 D )9 E) 6
21. ¿Cuántos cortes se deben dar a un alambre
recto de 77 metros de largo para obtener cinco
partes ¡guales?
A) 7 8 )6 C )3 D )4 E) 5
22. Se tiene una circunferencia de 180 metros.
¿Cuántos cortes se deben dar para trozarla por
completo en partes de 18 metros?
A) 11 B) 10 C )9 D )8 E) 7
23. Una enfermera da una pastilla cada 36 minu
tos a un paciente durante 9 horas, tanto al co
mienzo como al final. ¿Cuántas pastillas to
mará el paciente?
A) 14 8)15 C)16 D) 17 E)18
24. Si: el nogal es más bajo que el álamo,
el cedro es más alto que el nogal;
el pino es más bajo que el nogal;
Luego:
A) el álamo es el más alto.
B) el álamo es más alto que el cedro.
C) el cedro es tan alto como el álamo.
D) el cedro es más alto que el álamo.
E) el pino es el más bajo.
PRACTICANDO 7
1. Un fusil automático puede disparar 8 balas por
segundo. ¿Cuántas balas disparará en 1 mi
nuto?
A) 419 8)420 C) 421 D) 320 E) 321
2. Un taxi lleva 3 ó 4 ó 5 sacos de papa en un
viaje, cada saco de papa pesa no menos de
100 kg y no más de 180 kg. ¿Cuál es el peso
mínimo de los bultos en un solo viaje?
A) 300 kg 8) 360 kg C) 540 kg
D) 720 kg E) 400 kg
3. Tengo una caja azul con 8 cajas rojas dentro y
3 cajas verdes dentro de cada una de las ro
jas, el total .cfeSieajas es;
A) 33 B )23 C)43 D) 19 E) 30
4. En un determinado mes existen 5 jueves, 5 vier
nes y ^ tá s liÉ í^ tH a lla r el día de la semana
que cae 2S tie dicho mes?
A) jueves B) Lunes C) Domingo
D) Viernes E) Martes
5. Entre 5 a '8 manzanas pesan un kilogramo.
¿Cuánto pesarán como mínimo 8 docenas de
manzanas?
A) 10 kg 8) 12 kg C) 13 kg
D) 8 kg E) 9 kg
6. Un fumador para satisfacer sus deseos de fu
mar, recogía colillas y con cada 4 de éstas
hacía un cigarrillo. Un día cualquiera sólo pudo
conseguir 25 colillas. ¿Cuál es la máxima can
tidad de cigarrillos que pudo fumar ese día?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 1 E) 3
7. ¿Cuántas ventanas hay en un edificio de 5 pi
sos, si en cada piso hay 15 ventanas hacia
cada una de las 4 calles?
A) 150 8)300 C) 243 D) 345 E) 298
8. En una caja hay 30 bolas cuyos pesos son:
1 g, 2 g, 3 g, .. ., 30 g. Cuando se extraen cierto
número de bolas, el peso total de las bolas de
la caja disminuye en 399 g, ¿cuántas bolas
quedan en la caja como máximo?
A) 13 B)16 C)11 0)12 E)15
9. ¿Cuántas tiojas de papel de “a”cm por “b" cm
pueden obtenerse de una hoja de “3a” cm por
“8b” cm?
A) 15 B)12 C )4 a V D) 24 E) a W 4
10. Los alumnos de la profesora Patricia le pre
guntan por su cumpleaños, y ella responde:
“El mañana del pasado mañana de ayer". En
tonces el cumpleaños de la profesora:
A) es hoy B) será mañana
C) fue ayer D) será pasado mañana
E) fue anteayer
11. Una persona sube una escalera con el curioso
método de subir 5 escaleras y bajar 3. Si en
total subió 40 escalones, ¿cuántos escalones
tiene la escalera?
A) 14 8 )12 C )20 D )8 E) 19
12. Cuatro ovejas tardarán en saltar una cerca en
4 minutos. Si las ovejas están igualmente es
paciadas, ¿cuántas ovejas saltarán en una
D) 50 E) 55
hora?
A) 60 8) 45 C) 46
13, Las fachadas de los edificios, en una calle, tie
nen 8 ventanas y 2 puertas. Si en la calle hay 8
edificios en cada acera, ¿cuántas ventanas
más que puertas hay?
A) 128 8 )72 C)24 D) 48 E) 96
14, Una bacteria se duplica en cada minuto. Se
coloca una bacteria en un frasco a las 0:00
horas, y a las 12:00 el frasco está totalmente
lleno, ¿A qué hora el frasco estuvo lleno hasta
la mitad? Si se coloca una bacteria a las 0,00
horas en un frasco de doble capacidad que el
anterior, ¿a qué hora se llena?
A) 6: 6:10 B) 11:59; 12:01
C) 11:59; 12:00 D) 11:58; 12:01
E) 11:58; 12:00
15, Se tienen cuatro monedas de 10 céntimos, 3
monedas de 20 céntimos y 2 monedas de 50
céntimos. ¿De cuántas maneras se podrá pa
gar una cuenta de 1,20 soles?
A) 5 B) 3 C) 4 D) 6 E) 2
16. Se tiene una balanza de 2 platillos y tres pe
sas de 1k, 3k y 9k. ¿Cuántos objetos de dife
rente peso se podrán pesar?
A) 14 B) 12 C)13 D)11 E)10
17. Dos niños con su padre quieren cruzar un río,
cada niño pesa 40 kilos y el padre 80 kilos. Si
el bote solo puede llevar 80 kilos, ¿cuántos via
jes como mínimo harán de una orilla a la otra?
A) 2 8) 1 C) 4 D) 5 E) 3
18. Una persona sube hasta et sexto piso de un
edifico, luego baja al tercer piso y vuelve a su
bir al quinto piso. Si entre piso y piso las esca
leras tienen 18 peldaños. , 'uántos peldaños
subió en su recorrido?
A) 72 8)108 C)90 D) 126 E) 198
19. Hernán es el niño más alto de su clase. En
esa misma clase, fvliguel es más alto que
Rubén y más bajo que Peter, luego:
(I) tvliguel, Rubén y Peter son más bajos que
Hernán.
(II) Hernán es más alto que Peter y más bajo
que Rubén.
(III) Peter es más bajo que todos.
Sólo son verdaderos:
A) I y 1/ Bj Sólo I C ) l ly III
D) I y III E) Todas
20. Manuel decide escribir los números telefóni
cos (7 cifras) y las edades de sus amigas, si
éstas están comprendidas entre los 18 y 90
años. En total ha utilizado 240 cifras y los nú
meros escritos fueron 80. ¿Cuántas amigas
tiene Manuel?
. A) 16 B)80 C)64 D) 56 E) 74
21. Seis hombres mayores y dos adolescentes tie
nen que cruzar un río en’ una canoa; en cada
viaje puedeir a lo más dos personas, uno de
los hombres mayores o uno de los adolescen
tes o los dos adolescentes, pero no un hom.-
bre mayor y un adolescente a la vez. ¿Cuál es
el número de veces que la canoa tiene que
cruzar el río, en cualquier sentido, para que se
pase a todos?
A) 24 B) 25 O) 26 D) 23 E) 22
2-
4,
5.
PRACTICANDO 8
Cuatro inquilinos viven en un edificio de 4 pi
sos. Pablo vive en el 1 piso; César vive más
abajo que José y Percy vive en el piso inme
diatamente superior a César. ¿En qué piso vive
Percy?
A)1. “ B)2.= C)3.'’
D) 4.° E) Faltan datos
Se tienen 9 bolas de billar del mismo color y
tamaño, pero una de ellas es un poco más
pesada que las otras. Si se dispone de una
balanza de dos platillos, ¿cuál es el menor
número de pesadas a efectuar para encontrar
la más pesada?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
¿Cuál es la mínima cantidad de bolitas que se
debe "^over en la figura para que esté en sen
tido c^.itrano?
A) 2
B) 3
C )4
D)5
E)1
O
O O A
O O O i f
O O O O ^
Si el ayer del pasado mañana del dia en que
celebré mi cumpleaños fue el mañana del an
teayer del día jueves, ¿qué día fue mi cum
pleaños?
A) Jueves 8) Viernes C) Martes
D) Miércoles E) Domingo
La estrella que se muestra está formada por 5
rectas que se intersectan en 10 puntos.
¿Cuántos segmentos cuyos extremos sean
estos puntos se pueden observar?
A) 10
B) 15
C) 30
D) 45
E) 60
Cinco autos enumerados del 1 al 5 participan
en una carrera. Si se sabe;
El auto 1 llega en tercer lugar.
La diferencia en la numeración de los dos últi
mos autos en llegar fue igual a 2,
La numeración del auto no coincidió con su
orden de llegada.
Podemos afirmar;
(I) No es cierto que el auto 2 llegó en último
lugar.
(II) El auto 3 ganó la carrera.
(III) El auto 4 llegó después del auto 2.
A) Sólo I B) I y II C) I y III
D) II y III E) Todas
7. Lucy nació un domingo soleado en Hong Kong
y cumplió siete años en un domingo gris y llu
vioso en Macao. ¿Cuántos años cumplió en
1996'’
A) 60 años B) 70 años C) 90 años
D) 100 años E) Falta información
8. ¿Cuántos palitos como mínimo fiay que mo
ver para que la casa que está orientada tiacia
el Oeste, esté orientada fiada el Este?
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
9. Yo poseo 20 pavos. Hoy en la mañana se mu
rieron 5 pavos. ¿Cuántos pavos tuve en la ma
ñana poco después de ver a los que se murie
ron?
A) 15 B )5 C)10 D)20 E) 25
10. Si Pedro va a una reunión y observa 4 hijos 3
nietos, un abuelo y una abuela, 2 padres, dos
madres, una nuera, un suegro, una suegra, 8
hermanos, ¿cuántas personas como mínimo
hay en dicha reunión?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
11. “X”es mayor que "Y” y “Y ’ es mayor que ‘’Z',
que a su vez es mayor gue ‘'W", quien a su vez
es menor que "A" quien a su vez es menor que
"C", quien a su vez es menor que “B”.
¿Quién es el menor de todos?
A) B B) C C) A y B D) X E) W
12. Caños es más alto que Luis pero más bajo que
Pedro. Juan es más alto que Luis. Luis es más
bajo que Sofía, pero más alto que Raquel.
¿Quién es más bajo?
A) Carlos B) Juan
D) Raquel E) Sofía
C) L uis
13. En el siguiente gráfico se deben ubicar los nú
meros del 1 a l12 (uno en cada casillero) de
modo que cada lado del cuadrado sume la mis
ma cantidad y ésta sea la máxima posible.
B) 41 X 1 Y
C) 42
D) 43
E) 45 w 1 Z
Calcular: (x + y + z -t- w).
14. Ordenar las cifras de 1 al 9 en la rueda adjun
ta, de tal manera que las tres cifras de cada
una de las filas sumen siempre 15. ¿Qué cifra
estará en el centro?
A) 6
B) 7
0 5
D) 4
E)3
15. Con “X” cerillas formar una figura geométrica
que tenga 4 triángulos. Si “x” es el menor posi
ble, ¿cuánto vale?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
16. En la figura:
0< TD < JIX1Z> 0
1 2 3 4 5 6 50
si el engranaje de lugar 27 gira en sentido tio-
rario, ¿cuáles giran en sentido antihorario?
(I) 3 (II) 50 (III) 29
A) I B) II C) III D) I y II E) Todos
17. Hace 2 días se cumplía que el anteayer del
ayer de mañana era martes.
¿Qué día de la semana será, cuando a partir
de hoy transcurran tantos días como los días
que pasan desde el ayer de anteayer hasta el
día de hoy?
A) sábado B) lunes C) martes
D) jueves E) domingo
18. La señorita Janeth, al mirar el retrato de un
hombre le dijo a su padre (es hijo único). “La
madre de ese hombre era la suegra de mi
madre". ¿Qué parentesco hay entre la señori
ta Janeth y el hombre del cuadro?
A) sobrina - tío B) hija - padre
C) prima - primo D) nieta - abuelo
E) suegra - yerno
19. Cinco autos compiten en una carrera, éstos
estaban numerados del 1 al 5: si se sabe que:
el auto 1 llegó en tercer lugar. La diferencia en
la numeración de los dos últimos es 2.
La numeración del auto no coincide con su or
den de ¡legada.
Podemos afirmar como verdadero:
(I) No es cierto que el auto 2 llegó en último
lugar.
(II) El auto 3 ganó la carrera.
(III) El auto 4 llegó después del auto 2
A) i 8)1 y III C) II y III
D) I y II E) Todas
20. Se juega un triangular de fútbol entre los equi
pos A, B, y C, quedando la siguiente tabla de
goles a favor y en contra.
Equipo G.F. G.C
B 3 6
A 5 1
C 3 4
¿Cuántos goles se anotaron en el partido A
vs. C?
A) 1 B) 2 C) 3 D )4 E )5
CLAVE DE RESPUESTAS
Practicando 1
1. E 5, E 9. B 13.D
2. C 6. A 10.C 14.A
3. D 7. C 11 .D
4. E 8, C 12.D
Practicando 2
1. C 5. C 9. D
2, C 6, B 10 ,C
3 B 7, E 11, E
4. C 8. B 12,0
13.D
14.C
Practicando 3
1, A 6. 8 1 1 .D 16,E
2, D 7. 0 12 .D 17,C
3, B 8. D 13,D 18,A
4, D 9. D 14,E 19.A
5, D 10.D 15,C
Practicando 4 Practicando 5
1, C 6. C 11.A 16.E 1, E 6, E 11 ,8 16.A
2, E 7. E 12.C 17 ,0 2, E 7 B 12.B 17.A
3. A 8. B 13.8 18,0 3, C 8, C 13.E 18,C
4. A 9. C 14.B 19.A 4, C 9, D 14.C 19.A
5. C 10.E 15.A 20, E 5, E 10.B 15.C 20.A
22, B
23 .0
24 ,8
Practicando 6
1. B 6. B 11,0 16.C 2 1 .0
2, D 7. C 12.C 17.D 22 .B
3. C 8, D 13.E 18.C 23. B
4. E 9, C 14.E 19.B 24. E
5. 0 10,8 15 .C 20.C
Practicando 7
1. C 6. C 1 1 ,E 15,C 19,8
2. A 7, B 12.C 16,C 20.C
3. A 8, C 13,E 17.D 2 1 ,8
4. C 9, D 1 4 ,B 18,D
5. B 1 0 ,0
Practicando 8
1. C 6. C 11,E 16,C
2. B 7, 0 12,D 17,A
3. 8 8, A 13,C 18 ,8
4. A 9, D 14,C 19.8
5. C 10 ,A 15,E 2 0 .0
“Los Jóvenes requieren ser
estimuíadbs más que aconse
jados por fracasos de otros ”,
SUCESIONES
SUCESIONES BÁSICAS
Una sucesión es un conjunto de números, letras,
cuyos elementos están ordenados de acuerdo a
una cierta relación llamada “ley de formación o de
recurrencia". Los elementos de este conjunto se
llaman “términos de la sucesión".
Las sucesiones pueden ser:
SUCESIONES
1. SUCESIONES NUMÉRICAS
2. SUCESIONES ALFABÉTICAS
3. SUCESIONES ALFANUMÉRICAS
1. SUCESIONES NUMERICAS
Es una sucesión formada exclusivamente por
números cuyos elementos guardan entre si una
determinada relación llamada “ley de forma
ción".
Sucesión aritmética
Son aquellas cuya ley de formación consiste
en sumar o restar.
Ejemplos;
1. Qué número sigue en la sucesión:
1; 5; 9; 13; 17; x
Resblución:
1; 5; 9; 13; 17; x
\ / \ / \ / \ / \ /
+4 -I-4 -HÍ +4 -1-4
El npmero que sigue será; x = 17 + 4 = ¡211
2. Hal^r el número que sigue:
8; 4; 0; -4 ; -8; x
Re^ílución;
8; 4; 0; -4 ; -8; x
- 4 - 4 - 4 - 4 - 4
=> ¡x = - 8 - 4 = |-12
3. Halbr: x
4; 9; 15; 22; 30; x
Resolución:
4.
4; 9; 15; 22; 30; x
+5 +6 +7 +8 +9
Es fácil ver que el término que sigue es “9".
X = 30 + 9 = f3 9 l
Hallar el número que sigue en la sucesión:
5; 9; 14; 21; 31; x
Resolución;
5; 9; 14; 21; 31; x
\ / \ / \ / \ / \ /
( I ) ^ +4 +5 +7 -t-10 y
(II) 4-1 +2 -t-3
Se observa que fiay dos sucesiones; en la (II)
la ley de formación es simple y es fácil deducir
que el término que sigue es “4".
Luego;
=> y = 10 -f 4 = 14
=> x = 31 + y = 31 + 14= [45 '
5. Hallar el número que sigue en la sucesión;
65; 47; 33; 23; 17; x
Resolución;
65; 47; 33; 23; 17; x
-18 -14 -10 -6 -y
\ / \ / \ y \ /
-1-4 -t-4 4-4 w
Se tiene que w = 4.
=5 -y = - 6 + w = - 6 - f 4 = -2
x = 1 7 - y = 1 7 - 2
|x = 15 I
Sucesiones geonfiétricas
Son aquellas cuya ley de formación consisten en
multiplicar o dividir.
Ejemplos;
1. Hallar ei númeroque sigue en la sucesión:
3; 6; 12; 24; x
Resolución;
3; 6; 12; 24; x
\ / \ / \ / \ /
x2 x2 x2
Luego X = 24 X 2 = 48
2. Hallar el número que sigue en la sucesión;
4; 1; 1; 4: 64; X
Resolución:
4; 1; 1; 4; 64; y
\ / \ / \ /
(I) x1/4 x1 x4 x16 y
V / \ / \ y
(II) x4 x4 x4 n
Luego: n = 4
=> y = 1 6 x n = 1 6 x 4 = 64
=> X = 64 x y = 64 X 64
X = 4 096
Ejemplos:
1. Hallar el número que sigue en la sucesión:
4; 5; 10; 12; 24; 27: x
Resolución: se tiene
4; 5; 10; 12; 24; 27; x
+1 x2 +2 x2 +3
Se deduce que x = 27 x 2 = j 5 4 1
2. Qué número sigue de la sucesión;
3; 24: 96; 192; 192; x
Resolución: se tiene:
3; 24; 96; 192; 192; x
x8 x4 x2 x1 xy
\ / \ /
+2 h-2 +2 n
Luego n = 2
=> y = 1 + n = 1 x - “ -
2 2
X = 192 x - =96
3. Qué número sigue la sucesión:
2; 7; ~3; 17; ...
Resolución: se tiene:
2; 7; -3: 17; x
\ / \ /
+5 -10 +20 y
\ / \ / \ /
x{-2) x(-2) m
Luego; m = -2
y = 20m = 20(-2) = -40
x = 17 + y= 1 7 - 4 0 = -23
4. Qué número sigue en la sucesión:
19; 38; 36; 72; 70; 140; x
Resolución:
19; 38: 36; 72; 70; 140; x
\ / \ / \ / \ ^
x2 -2 x2 -2 x2
ciclo 1 ciclo 2 ciclo 3
Se observa que existe dos ciclos completos y
el tercer ciclo incompleto y para completar le
falta el "-2".
Luego el término que sigue será: x = 140 - 2
x = 138
Sucesiones alternadas o intercaladas
Son aquellas estructuradas con dos o más suce
siones en su Interior.
Ejemplos:
1. Hallar X + y;
2: 1; 3; 1; 6; 2; 11; 6; x; y
Resolución:
2. Cuál es el producto de los dos términos siguien
tes an la sucesión:
1; 8; 5; 4; 9; 0; 13;
Resolución:
1; 8; 5, 4: 9; 0; 13; x; y
Se observa que hay dos sucesiones intercala
das.
La1. “ : 1 , 5, 9, 13, j = > y = 13 + 4 = 171. 5, 9, 13, y
+4 +4 +4
La 2.=: 8, 4, O, x =>x = 0 - 4 = -4
\ / \ / \ /
-4 -4
Luego ei producto de ios dos términos que si
guen es;
= xy = -4(17) = | -6 8 |
3. Qué número sigue en la sucesión:
1; 1; 1; 2; 4; 8; 3; 9; x
Resolución;
1; 1; 1; 2; 4; 8; 3; 9; x
Se observa que hay tres sucesiones como
muestran:
1; 1; 1; 2; 2 ;̂ 2’ 3; 3^' x
1.“ sucesión 2." sucesión 3.“ sucesión
Donde el 1 elemento de cada sucesión ha sido
elevado sucesivamente al cuadrado y al cubo.
Luego el término que falta en la 3.“ sucesión
es: x= 3 ̂= 27.
4. Calcular el término que continúa:
X - 1 y 2 ; y 4 . ) ( 2 y l 6 . ^ 3 y 3 2 -
Resolución;
x -iy2 p^4 ; xy8; x^y'^^r^y^^: x.y ...
Se observa:
Que el exponente de x crece de uno en uno,
entonces el último será x'*.
El exponente de y crece el doble del anterior,
entonces el último será y®̂____
El término que sigue es:
2. SUCESIONES ALFABETICAS O LITERALES
Son conjuntos cuyos términos son letras que
guardan una determinada ley de formación, ba
sada generalmente en el número de orden que
corresponde a cada letra en la sucesión fun
damental del alfabeto.
Así tenemos ia tabla donde el abecedario ha
sido enumerado.
l í C D t r a H i i i i N i i í i t P e i i s i i i v w i i T :
Resolución;
x ’̂yC "x^“ ; xy®; x^y^^TxV^^; x.y ...
Se observa:
Que el exponente de x crece de uno en uno.
En la tabla anterior no se considera la 'CH' ni
‘LL por tratarse de letras compuestas, pero si
aparecen en la sucesión se deben considerar
ambas.
Ejemplos;
1. Qué letra sigue en la sucesión:
A, D, G, J, ...
Resolución;
1.“ Resolución:
Reemplazando a cada letra con el número de
orden que le hemos asignado, así:
A. D, G, J,
i i i i
1 4 7 10
Luego tenemos la sucesión numérica
1; 4; 7: 10; .....
V \ /
-t-3 +3 -f-3
Entonces el número que sigue es; 10 -i- 3 = 13
La letra que le corresponde es: M (ver tabla),
2.* Resolución:
A, D, G, J,
\ / \ / \ / \ /
BC EF HI
La ley de formación de la sucesión es que cada
letra ha saltado dos letras.
La letra que sigue será saltando 'KL, o sea M.
2. Cuál es el término que sigue a la sucesión:
OQ; MS; JU; ....
Resolución:
Se observa que hay dos sucesiones;
La 1.® sucesión:
O; M; J;
X i i 4
(I) 16 13 10
\ / \ / \ /
(II) -3 --3 □
En (11) ei número que sigue es: -3
En (I) el núm ero que sigue es: 1 0 - 3 = 7
BC EF HI r n
La ley de formación de la sucesión es que cada
letra ha saltado dos letras.
La letra que sigue será saltando 'KL, o sea M.
La 2.‘ sucesión:
Q; S: U;
i i i
(1) 18 20 22
\ / \ /
(II) +2 +2 t í
En (I) el número que sigue es: 2
En (I) el número que sigue es: 22 + 2 = 24
La letra que le corresponde es: W (ver tabla)
Luego el término que sigue es: |GW|
3. Qué letra continúa en la sucesión:
B: K; E; O; H; S: K; ?
Resolución:
Se observa que hay 2 sucesiones:
LMÑ PQR TUV
Luego la letra que sigue es: W
4. Determinar los dos términos que continúan en
la sucesión:
B; Y: F; T; J; 0 ; Q n
Resolución:
Se observa que hay 2 sucesiones:
CDE GHI KLM
B: Y; F: T; J: O
-XWVU -SRQP -ÑNML
Se tiene:
Para el 1.“ cuadrado le corresponde: N
Para el 2.° cuadrado le corresponde: K
3. SUCESIONES ALFANUMÉRICAS
Es una sucesión formada por una sucesión nu
mérica y otra alfabética, cuyas relaciones de
formación se pueden dar de diferentes formas.
Ejemplos:
1. Hallar los dos términos que siguen en la
siguiente sucesión:
A: 1; C; 2; F: 3; J; 4; ?; ?
Resolución:
B DE GHI KLtvIN
A; 1; C; 2, ?: ?
-1-1 + 1 + 1 -1-1
En la sucesión alfabética, los términos se sal
tan y van aumentando d e l en 1.
Entonces la letra que sigue es: Ñ.
En la sucesión numérica van aumentando de
uno en uno. Entonces el número que sigue
es: 5.
Luego los dos términos que siguen son: Ñ, s|
2. ¿Qué número sigue?
D: 3: G: 5; J: 15; M; 17; O; 51; R; ...
Resolución:
EF HI KM ÑN PQ
D r ”3 r ^ r " 5 r ^ i t T o ^ ?.
-h2 x3 +2 x3 4-2
En la sucesión alfabética los términos se sal
tean de dos en dos.
En la sucesión numérica el término que sigue
es: 51 -H 2 = [53]
Ejemplos:
1. ¿Qué término continúa?
18; 3; 15; 19; ...
Resolución:
1
+6 x5 +4 -3
x = 16
2. Hallar “x”;
2; 4; 17; 3; 3; 28; 2; 5; x
Resolución:
Cumple que:
2 ^ + ) = M
3 ̂+ t =2ñ
Luego: 2 ̂+ 1 =33
.-. Ix = 33|
Recuerde;
Una sucesión es un conjunto ordenado de elemen
tos (que pueden ser números, letras o figuras) ta
les que cada uno ocupa un lugar establecido de
modo que se puede distinguir el primer elemento,
el segundo, el tercero y así sucesivamente. En toda
sucesión debe existir una ley de formación que
permita determinar el elemento que continúa. A los
elementos de la sucesión se les denomina térm i
nos.
Ejemplos;
1. 1, 3, 5, 7, 9, ...
=> números impares.
2. 1 ,4,9 ,16,25, . . .
números cuadrados.
3. E, F, M, A, fifl, ...
=> iniciales de meses del año.
4. A, C, E, G, I,
==> el alfabeto, obviando una letra.
5.
=> el círculo se desplaza en sentido horario.
SUCESIÓN REAL
Una sucesión numérica es una función cuyo domi
nio es el conjunto de los números enteros positi
vos y cuyo rango es el conjunto de los números
reales.
Es decir una sucesión es: f; K*
Ejemplo;
Dominio: 1.’ 2.° 3.“ 4." 5,° n.°
l i i i i i
Rango: 2; 5; 10; 17; 26; ...; (n='-t- 1
La ley de formación para esta sucesión es:
Observación;
t„ = término enésimo o ley de formación,
n = ubicación o lugar del término.
1. SUCESIÓN DE PRIMER ORDEN
También se le conoce como sucesión lineal o
progresión aritmética (P.A )
Su término enésimo tiene la forma:
t. = r.n -t-1„
donde: r = razón y t̂ = anterior al primero
Ejemplo;
Hallar el término enésimo y el número de tér
minos de cada P.A.:
a) 12; 17; 22; 27; ...; 57
b) 3; 7; 11; 15; ,..; 59
c) 86; 83; 80; 77; ...; 29
Resolución;
a ) p 2 )
tj, -1-5 -f5 -1-5 -> r = 5
t„ = 5n -h 7
Para hallar el número de términos, igualamos
el t ̂al úllimo término, así:
5n + 7 = 57 => n = 10
Hay 10 términos.
Nota;
En una P.A. el número de términos también se
puede calcular así; : ’
# térm inos en u n a RA. =?•
último ténmíno,
t̂ : anterior a l primefO.
r: razón
Ejemplo; .
n : = t o k
b)
Hay 10 términos,
3; 7; 11; 15; ... ; 59
-1-4 -h4 -̂ 4 r = 4
t = 4n -1- 1
Luego igualamos t,̂ al último:
4n - 1 = 59 n = 15
=5 Hay 15 términos.
c) (89): 86; 83; 80; 77; 29
-3 -3 -3 r = -3
t = 3n + 89
Luego igualamos al último:
-3n + 89= 29 ^ n = 20
Hay 20 términos
2. SUCESIÓN CUADRATICA O DE SEGUNDO
ORDEN
Su término enésimo es de la forma:
t = an-^+ bn + c
donde a, b y c son valores constantes, los cua
les podemos determinar mediante la siguiente
regla práctica:
(2.'’ orden)
r
® “ 2
b = m, - a C=*o
Ejemplo:
Hallar el término enésimo y el número de tér
minos.
6; 11; 18; 27; 38; ...; 402
Resolución;
3: 6: 11; 18: 27; 38; ...;402
a = - = 1 ; b = 3 - 1 = 2
2
c = 3
t., = 1 .n=’ 2n -r 3
Luego, para hallar el número de términos, igua
lamos t,, con el último término de la sucesión,
así:
n- + 2n -f 3 = 402
n̂ -h 2n - 399 = O
n
n X
-19 => n = 19
- 1-21 n = -21
|Hay 10 términos.I
Ejemplo:
Hallar el término t̂ ,̂ de la siguiente sucesión:
4; 10; 20; 34; 52; ...
Resolución; Primero hallemos t,̂ :
2 \ 4; 10; 20; 34; 52; ...
2 \ e 10 14 18
4 4
A = 2 = 2 ; b = 2 - 2 = 0 ; c = 2
t. = 2n^ -f On -I- 2
l = 2.n^ + 2
Luego nos piden:
t,„ = 2(20)^ + 2 U = 802
3. SUCESIÓN GEOMÉTRICA
También se le conoce como progresión
geométrica (P.G ).
Su término enésimo es de la forma:
t, = t, . q'
Donde: t, = primer término
q = razón geométrica
Ejemplo:
Hallar el término enésimo en cada sucesión:
a) 5; 10; 20; 40; ...
5 5
b) 40; 10; 2 ’ s
Resolución:
a) 5; 10; 20; 40; ...
x2 x2 x2 ^ q = 2
t. = 5 x 2 ’'-
La razón “q”, se calcula dividiendo dos térmi
nos consecutivos asi;
10 20q = — = 2 o q = ™ = 2
5 ^ 1 0
b) 40; 10
1
^ = 4
Recuerda que la razón “q" se calcula dividien
do dos términos consecutivos, asi:
10 1 . 5 /8 1Q _ - -- - = - o q = — =
^ 40 4 5 /2 4
Nota:
i) Si q > 1 entonces la R6. es creciente
ii) Si q < 1 entonces la P.G. es decreciente,
PROPIEDADES
1 En una P.A, el término central (t_,) es igual a la
semisuma de sus términos extremos, equidis
tantes o adyacentes a él.
Es decir: t. =
( suma de términos
equidistantes
Ejemplo: sea la PA.: 8; 11:(5^: 17; 20
t = 14 T ^
Entonces se cumple;
8 - 2 0 _ 11 + 171 4 = ---------y 14= -
2 ̂ 2
2̂ ' En una P.G, el término central (tJ es igual a la
raíz cuadrada del producto de sus términos
extremos, equidistantes o adyacentes a él.
Es decir;
t =
Producto de términos
equidistantes j
(tJ2 = (Producto de términos equidistantes)
Ejemplo: sea la P.G,: 6 ; ( l á ; 24 ; 48
T T
Entonces se cumple:
12= => 12 ̂= 6 x 2 4
y 12 = V3x48 => 12 ̂= 3 X 48
“(Domina tus impulsos,
álzate soSre tus deSiMaáes.
puedes construir tus metas
dtaadía.
Tms sueños están a tu aCcance”.
EJEMPLOS
1. En la sucesión 2 x 18; 2 x 19; 2 x 20; 2 x
600, ¿cuántos términos son cuadrados perfec
tos?
A) 19 B) 14 C) 17 D)16 E) 15
Resolución:
2 x 18; 2 X 19; ...; 2 x n; ... ; 2 x 600
Cuad. perfecto; ^/2~2i? = 2k=i>n = 2k^
18 < 2k=’ <600
9 < < 300
3 < k < 17,...
k s {3; 4; 5; ...; 17} [U 15 términos
2. ¿Cuántas parejas de números enteros positi
vos de 3 cifras existen cuya diferencia es 333?
A) 569 B) 566 C) 568 D) 567 E) 570
Resolución:
a - b =333
i 4.
4 3 3 -1 0 0
4 3 4 - 101
567 parejas
■ ■ 0999 - 666
3. En la siguiente sucesión, hallar el ténnino 40.
2 2
A) 540 B) 420 C) 720
Resolución;
a, ^2 ^3 34
1
2 ' 2 ; 9/2 ; 8;
4. 4. i 4.
2" 3^ 4=
2 2 2 2
D) 600 E) 800
40^
■ =» = - — = 800
4. En la siguiente sucesión, hallar x.
3; 5; 9; 15; 24; 38; x; ...
A) 58 B) 72 C) 60 D) 64 E) 56
Resolución:
3; 5; 9; 15; 24; 38; x;
V / \ / \ / \ / \ /
2 4 6 9 14 22
\ / \ / \ / \ / V /
2 2 3 5 8
0 1 2 3
=> X = 38 22
x = 60
■■■ 0
5. En la siguiente sucesión, hallar el vigésimo
término.
-6 ; 0; 8; 18; 30; ...
A) 260 B) 480 C) 450 D) 294 E) 980
Resolución:
C = -10 -6, O, 8, 18, 30
\ / \ / \ / \ /
a + b = 4 6 8 10 12
\ / \ / \ / \ /
2a = 2 2 2 2 2
a = 1
b = 3
c = -10
.-. a
= an^ -t- bn + o
a. = n2-h3n- 10
■20 =20^+ 3 (2 0 )-1 0
= 450
6. Hallar la suma de las cifras del trigésimo tér
mino de la sucesión;
9; 12; 17; 24; ...
siendo 9 el primer término.
Resolución:
c = 8;\ 9; 12; 17; 24 83̂ = 30^ + 8 = 908
a + b = 1 ' 3 5 7
\ / \ / \ /
2a = 2 ' 2 2
a = 1;b = 0;c = 8
a = + 8
7. En la sucesión:
19; 37; 61; 91; ...
.'. Xcifras = 17
¿cuántas cifras se emplearán en escribir to
dos los términos de cuatro dígitos?
Resolución:
c = 7 ; \ l 9 : 37; 61; 91;,..
a + b = 1 2 \ l8 24 30
2a = 6 \ 6 6
* 2a = 6 —> a = 3
* a-t-b = 12 b = 9
* c = 7
luego; t„ = an^ + bn + c
t„ = 3n ̂ 9n -h 7
ahora los términos de 4 cifras serán los que se
encuentran entre 999 y 10 000
=> 999<3n=-f-9n + 7< 10 000
16 X 19<n(n-H3) < 5 7 x 6 0
si; n = 17; 18; 19; ...; 56
cantidad de valores =
entonces, hay 40 términos de 4 cifras,
n,° cifras usadas en los términos de 4 ci
fras es 40(4) = fieo '
8. Calcular la suma de los 20 primeros términos
de la sucesión:
10; 26; 56; 100; 158; ...
Resolución:
c = 8; 10; 26; 56; 100; 158;
a + b = 2 16 30 44 58
2a = ' t 4 ^
* 2a = 14
* a -I- b = 2
* c = 8
a = 7
b = -5
t ̂= an^ + bn c
t„ = 7n ̂- 5n + 8
Piden:
20
Sgj = S (7n^ - 5n -t- 8)
5 ® - ^ ^ 1 = 4 0
•
• S = 7
'20(21)(41)‘ - 5 '20(21)'
1 -̂̂20• 6 j 2
+ 8(20)
S, = lá 20020
“La razón cíeCesfuerzo conti
nuo reside en tu espíritu, soío
tú eres capaz de alzarte soSre
tus proBíemas”.
EJERCICIOS EXPLICADOS
1. Halle el valor de (x + y - z) en la siguiente su
cesión:
2’ + 5: 8 ̂+ 11; + 17; 20’» -h 23; a‘® -i- b;
X* + z
A) 98 B)493 C)310 D) 129* E) 110
Resolución;
De la sucesión:
#.1»2 ^2x3 #.3x4 #.4x5 #.30<31
[ I 2 I 2
2 ' + 5; 8 '"+ 11; 14‘ + 17; 20'® + 23; ...; a*®" + b; x>’ + z
y = = 496
Hallando x:
1.° 2.=' 3.' 4.° 30.° 31.°
2 ^ 8 ^ 4 ^ o ;... : 0 ; 0
+6 4-6 -f6
^ t, = 6n - 4
x = 6 (31 ) -4 = 182
Hallando z:
1.° 2.° 3.° 4.° 30.° 31.”
5 ^ ^ 1 ^ 7 ^ 3 ; ... ; ( b ) ; (¿ )
-h6 +6 +6
^ t„ = 6n - 1
z = 6 (31 )- 1 = 185
.-. X + y - z = 182 + 4 9 6 - 185 = 493
2. Calcular la suma de términos de la fila anterior
al consecutivo posterior de la fila siguiente al
anterior de la fila duodécima del triángulo nu
mérico.
Fila 1 ^ 2
Fila 2 ^ 2 2
Fila 3 ^ 2 4 2
Fila 4 2 6 6
A )2048
D )4096
Resolución;
Recordando que:
- 1
anterior
8) 1024
E) 8192
2
C) 512
posterior
siguiente
Entonces:
Fila anterior al consecutivo posterior de la fila
siguiente al anterior de la fila duodécima < >
- 1 + 1 + 1 - 1 de la fila duodécima < > fila
duodécima.
En el triángulo numérico:
2 fila 1 =5. 2 = 2'
2 2 fila 2 => 4 = 2̂
2 4 2 - » fila 3 => 8 = 2^
2 6 6 2 - ^ f i l a 4 = i 1 6 = 2''
2 8 12 8 2 fila 5 => 32 = 2̂
fila 12 = suma 2’2 = 4 096 D
3. Si en la sucesión cuya forma general es:
t
" 3H4-2
se eliminan los términos de posición par, la
nueva sucesión tendrá como forma general:
A)
D)
2n
6 n -1
n
B)
E)
2 n -1
6n-f3
2n
3n-1
C)-
2n + 1
5n
2n-i-1
Resolución:
Como se eliminan los términos de posición par,
debemos considerar sólo los términos impares:
n -I-1
t. =
t, =
3n4-2
W 1 2
3(1) + 2 ^ 5
3 + 1 _ 4
3(3) + 2 “ l1
5 + 1 6
3 (5 )+2 ^'17
La nueva sucesión es:
1.° 2,° 3.=- n.°
2 4 6
5 Ti 17
U ü u 11
2(1) 2(2) 2(3) 2(n)
6(1)-1 0(2) ̂ -1 0(3)-1 6(n)-l
La forma general de la nueva sucesión
2n
6n-1
4. ¿Cuántos términos comunes existen en am
bas sucesiones?
12; 19; 26; 33; 40; (101 términos)
515; 512; 509; 506; ... (202 términos)
A) 24 B)23 C)22 D) 25 E) 18
Resolución:
Hallando el término “enésimo” de cada suce
sión;
1.°
12 ;
2.'
19;
3.°
26;
4.°
33;
5.°
40;
n°
t
+7 +7 +7 -t-7
t = 7n + 5
m.
t„
-3 -3
-3m 518
Para encontrar los términos comunes:
V, =
7n -I- 5 = -3m -t- 518
7n + 3m
i i
3 164
6 157
9 150
72 3
7 2 - 3# términos: --------- + 1 = 24
Existen 24 términos comunes.
. ■ . 0
5. Hallar el término que sigue en la siguiente su
cesión: 5; 8; 21; 44; 77; ...
A) 110
D) 140
B) 130
E) 160
C) 120
Resolución:
5; 8; 21 ; 44; 77; “y" => y = 77 h- x
/. y = 120
+3 +13 +23 +33 +x
+10 +10 +10 +10 33 + 10 = x
x = 43
El término que sigue en la sucesión es; 120
Qué número sigue en la siguiente sucesión:
4; 10; 18: ...?
A) 20 B) 26 C) 28 D) 24 E) 32
Resolución:
4; 10; 18; “y” => 18 + x = y
V 18+ 10 = y
+6 +8 +x 28 = y
+2 +2 => 8 + 2 =X
10 = X . ' . 0
La siguiente sucesión está bien escrita desde el
2 sucesivamente hasta el número 13, después
de este hay un término mal escrito. ¿Cuál es?
2; 6; 10; 15; 13; 78; 77; 82; 86; 90
A) 77 8)78 C) 82 D) 13 E) 86
Resolución:
Al sumar los términos extremos, nos debe dar
un mismo número (constante), veamos:
: 10 ; 15 ; 1
I = 91
; n : 82,; 86 ; 90
1 = 92
1 = 92
; = 92
Como se podrá obsen^^ar, el error está en la
suma de: 13 + 78 = 91, que debe ser 92; esto
quiere decir que en lugar de 78 debe ir 79. O
sea: 13 + 79 = 92.
El término mal escrito es el 78, pues debe ser 79.
r i i
¿Cuál es el número que sigue en la sucesión:
18; 21; 12; 24; 27; 72; 30; 33; ...?
A) 36 B) 39 C) 41 D) 33 E) 52
Resolución:
+6 +6
^ 3 \
( í ^ ; ^ : 12 ;(2 |; 2Z : 72 :(M ; 33 : _ ; Q
^ T _ T ^ L _ r ^ T_J ^
cifras
invertidas
cifras
invertidas
cifras
invertidas
El número que sigue en la sucesión es; 33.[H
9. Cuál es el número que completa correctamen
te la sucesión?
12; 15; 21; 33; ...; 105
A) 52 8) 57 C)60 D) 72 E) 83
Resolución;
Si hallamos la diferencia por cada dos térmi
nos consecutivos, observamos que la razón se
va duplicando: veamos:
1 5 - 1 2 = 3 )
21 - 1 5 = 6
3 3 - 2 1 = 12-<)
x - 3 3 = 24
X 2
x 2
^ X = 24 + 33 = 57
x = 57
1 0 5 - x = 48 1 0 5 - 5 7 = 48
El número que completa correctamente la su
cesión es el 57.
r e í
10, Dadas las siguientes sucesiones: 5; 8; 11; 14;...
166; 162; 158; 154,
¿cuál será el término común a ambas, sabien
do que ocupan el mismo lugar?
A) 72 B) 73 C) 74 D) 75 E) 76
Resolución;
Sea “n” el lugar que ocupa el término común a
ambas sucesiones.
1.° 2.° 3.“ 4.° n.°
5 ; 8 ; 11 ; 14; ... ; (3n + 2)
+3 -í-3 +3 +3
1.» 2.» 3.= 4.»
( l ^ , 166 ; 162 ; 158 ; 154; ...; ( - 4 n 170)
-4 -4 -4 _4
Entonces; 3n + 2 = -4n + 1703n + 2 = -4n
n = 24
= 3(24) + 2 = 74
Ei término común es 74.
11. Cuántos términos tiene la siguiente sucesión
aritmética:
a i: ... (2a^; 54; ba
A) 5 B) 7 C) 9 0) 6 E) 8
Resolución;
Como se trata de una sucesión aritmética:
aa; ...; (2a)b; 54; ba
Por propiedad: 2(54) = (2a)b + to
I08 = (20a4-b)+(10b + a)
108 = 21a,+ 11¿
2 6 (tanteando)
Entonces la sucesión es:
(Í4); 22; ...; 46 ; 54 ; 62
"í-8 -h8 +8
, . . 6 2 -1 4 „
.-. # términos = -------- = 6
[U
12. Sean: a, b, c, d números naturales en P.A. cre
ciente.
Si: a b c -t- d = 26 y abcd = 880,
halle: + b ̂-I- c ̂ -t- d^
A) 214 B)225 C) 314 D) 244 E) 245
Resolución:
Como a. b, c y d son números naturales y:
a x b x c x d = 880 = 5 x 11 x 2 x 2 x 2 x 2
= 2 X 5 X 8 X 11
-f-3 +3 +3
Entonces: a = 2 ;b = 5 ;c = 8 y d = 11
Note que: a + b-i -c + d = 26
.-. â + b== + c ̂-h d ̂= 2= + 5 ̂ -H 8 ̂ + 11̂ = 214
13. En la siguiente progresión aritmética, calcular
el valor de (2x -t- 3y):
Vx , 14, y 1, 24
A) 99 B) 577 0 )216 0 )210 E) 321
Resolución:
Como se trata de una progresión aritmética:
v'x ; 14; (y + 1); 24
por propiedad; 2(y + 1) = 14 + 24
y = 18
Entonces:
+5 +5 +5
^ v/x = 9
x = 81
piden: 2x + 3y = 2(81) + 3(18) = 216
14. En la sucesión, halle el valor del término 21:
O, 2, 3 ,12 .
2 ' 5 ’ 5 ' 17
A)
210
B);
211
C)
42
89217 '221
Resolución:
Dando forma a los términos:
D)
42
221 E)
210
221
r 2° ■ 3° ,., 21°
0 2 6 12 420
2 ’ 5 ' 10 ' 17 ’ " ■ ' 442
11 Ü II 11 íí
0x1 1x2 2x3 3x4 20x21
1̂ +1 2̂ +1 3^+1 4® + 1 " 21̂ +1
El término 21 es:
420
442
210
221
[H
15. El primer y quinto término de una progresión
geométrica es 12 y 972 respectivamente. Si la
progresión consta de 21 términos, calcular la
suma de las cifras del tercer término.
A) 6 B )7 C )8 D )9 E) 10
Resolución:
Del enunciado:
X q̂
1.“: — . 3.' 5." 21.
P.G. . . . Q
X 81
q" = 81
q = 3
Luego : t , = 12 x q - = 12 x 3*'
t,' = 108 piden . 1 + O + 8 = 9
suma ds ciíras
16. En una P.G. con razón “q” , se tiene:
k . Í L . k =512
2̂ U 6̂
Halle el valor de E:
k + l i i + ! iL + k i
D) 16 E) 32A) 48 8) 30 C) 24
Resolución:
Sabemos que en una P.G,: = q \
Entonces. í ^ x í ix í 2 . _ 512
h *4 te
q = 2
h U
Luego;
2̂ *12 *̂14 *16
E = 23 + 2 ̂+ 2 + 2'* = 30fil
17. Se tiene la siguiente sucesión;
{1}; {3, 5}; {7, 9, 11); (13, 15, 17, 19}; ...
Halle la suma de los 2 últimos números del
término 25.
A) 1295 B) 1296 C ) 1297
D)1298 E)1299
Resolución;
Sumando los dos últimos números de cada tér
mino tenemos;
!í ’ 'í
(3-1-5); (9-t-ll); (17+19); (27-h29); ...
^ i i i i
\ o ; \ 8; 20; 36; 56; ...
12 16 20
' \ 4 \ 4 4
, = an̂ + bn + c = 2n̂ + 6n
4. i i
o
= = 2{24)^'+ 6(24) = 1296
■■ d]
18. Halle el vigésimo término de;
1; 5; 19; 49; 101; ...
A) 7600 B) 8001
D) 4421 E) 7281
Resolución:
Hallemos el t„;
1.° 2.° 3.“ 4.°
© ; 5 ; 19 ; 49 ;
C) 7601
X 4 + i i X 10
1x2
̂ (n -1 ) (n -2 ) ( r i- 3 ) .^g
1x2x3
+ X 4 +
f 19x18
19x18x17
1x2
x 6
xIO
1x2 x3
t^ = 7601 . - . [ 3
19. Calcule el número de términos de la siguiente
sucesión:
4; 9; 10; 11; 16; 13; 22; 15; 310
A) 104 B)103 C)105 D) 107 E) 109
Resolución:
Se observa que los términos de posición im
par son números impares y avanzan de 2 en 2:
1.° 2.° 3.“ 4.° n.”
4 ;(§); 10 16 ;@);22 310;
+6 -1-6 -1-6
6(52)-26(1)-2 6{2)-2 6(3)-2 6(4)-2
Del esquema: n = 52
Entonces; # términos: 2(52) - 1 =103
ü ]
20. ¿Qué lugares ocupan los 2 términos consecu
tivos de la siguiente sucesión cuya diferencia
de cuadrados es 909?
3; 6; 9; 12; ...
A) 31 y 32
D )72 y 73
Resolución:
B) 49 y 50
E) 91 y 92
r-3n
C )50 y 51
r 3(n + 1)
3 ;
i
3(1)
6
i
3(2)
9 ;
i
3(3) 2 términos
consecutivos
Según condición;
( t „ ^ , ) ^ - ( t / = 909
(3(n -I- 1))^-(3n)" = 909
9(n4-1)2-9n2 =909
(n-h l ) ^ -n^ =101
n ̂+ 2 n - f 1 - n ^ =101
n =50
n -I- 1 =51
[ c ]
21. Dada la siguiente sucesión:
2 ;̂ 3“ . n ;̂ 5 '“ . n®; 7«. n'^; 11» . n»; . n» ;
calcular; H = (x - y)=̂ - z
A) 11 8 )0 0 - 3 D) 17 E)24
Resolución:
Considerando primero las bases numéricas se
tendrán;
2; 3; 5; 7; 11; y; ...
Número pnmos y = 13
Ahora los exponentes de estos números pri
mos;
7; 10; 14; 19; 25;
+3 +4 -f-5 -f-6 +7
i
Se deduce
=> z = 32
Luego los exponentes de “n”;
2 ; 6 ; 12 ; X ; 30
4. 4 i
1x2 1x3 3x4
4.
5x6
— ^ X = 4 X 5
x = 20
Piden; H = (20 - 13)=̂ - 32 = 17
E l
22. Dada la sucesión:
5.7. 9, 21 .
3 ’ 6 ’ 9 ’ 12 ' '
¿a partir de qué lugar los términos son meno
res que 0,75?
A) 15.° B) 13.“ C) 14,“
D)17.“ E)31.°
Resolución:
Hallando el enésimo:
5 , 7 . 9 , 5 + (n -1 )2
3(1) ’ 3(2) ’ 3(3) ■■■■’ " “ 3n
Ahora veamos para qué valores de “n”, t„ es
menor que:
75 3
Es decir: t < —n 4
12-(-8n<9n
3n 4
12 < n
=> n e {13: 14; 15; .,.)
primer valor que hace que;
3
t > -
B
23 Sí: x; x ;̂ 3x;
formar una sucesión aritmética.
Indicar el valor de “x".
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
Resolución:
En una sucesión aritmética, se cumple:
X ; x̂ ; 3x ; ...
+r +r ■ razón aritmética
24. Si:
(la diferencia es constante)
x ^ - x = 3x - x ̂= r
2x^ ^4x
x=” =2x
x® - 2x = 0
x ( x -2 ) = 0 -> x = 0 ó x - 2 = 0
El
a, = 2002
= a,,_, 2(n - 1);
alcülar:
A ) 1001
D ) 2002
Resolución:
Tabulando:
Bj = a, -I- 2 . 1
a ̂= a ̂ -f- 2 . 2
a. = a, 2 . 3
B) 2001
E) 2003
C) 1
sumando miembro
a miembro
2̂002 ■*■20 + 2 + 3 + ... + 2001)
3.00. = 2002 +2
2001x2002
a ,„ , = 2002 (1 + 2001) = 2002^
Piden TaüoT = ^2002^ = 2002
■■■ [£]
25. Indique la alternativa que completa la secuen
cia:
1; 1; 1; 3; 5; 9; 17; 31; [ ~
A) 32 8) 57 C) 41 D) 86 E) 58
Resolución:
Observa que a partir del cuarto, cada término
se obtiene sumando los tres términos anterio
res:
1 -I- 1 1 = 3; 1 + 1 -K 3 = 5; 1 3 4- 5 = 9;
9 -F 17 + 31 = 5 7
í b I
26. ¿Qué número completa la sucesión?
7; 9; 11; 15; 27;
A) 125 B) 75 C) 50 D) 69 E) 83
Resolución:
7 ; 9 ; 11 ; 15 ; 27 ; x
+2 +2 +4 +12 +y
x1 x2 x3 x4
y = 1 2 x 4 = 48
X = 27 + 48 75 CU
E)9
27, 4620: 2310; 770; 154; 22; ?
El valor de la incógnita es:
A) 3 B)5 C) 10 D)2
Resolución:
4620; 2310; 770; 154; 22
+2 +3 +5 -7 +y
Observa que: 2, 3, 5 y 7 son números primos.
=> y = 11 x = 22 + 11 = 2
■■•[a
28. En lasiguiente sucesión, calcuiar (x + y):
-10; -9 ; -y; -4 ; 0; x; 11
Resolución:
-10; -9 ; -y; -4 ; 0; x; 11
+1 [+2] +3 +4 [Tg] [+g]
Para lograr una sucesión coherente, los
recuadros deben completar la sucesión de los
primeros enteros positivos.
-y = -9 + 2 = -7 y = 7
x = 0 + 5 = 5 - ) x = 5
x + y = 5 + 7 = [TFI
29. En la sucesión mostrada, hallar el término que
ocupa el lugar 100:
1 , 3 . 3 5 5 . 7 .
2 ’ 2 ’ 4 ' 4 ’ 6 ' 6 ' ■■■
Resolución:
Como nos piden un término de lugar par (100),
vamos a analizar solo estos términos:
3 5
4 ' 4
N
D
2.° 4.° 6.“ 100.“
Observa que ei denominador de cada término
coincide con su posición => D = 100; mientras
que el numerador es una unidad mayor que el
denominador => N = 101.
- 101
- ,,QQ
30. Indique la alternativa que completa la secuen
cia:
1; 1; 4; 9; 25; 64; 169;
A) 625 B) 576 C) 484 D) 441 E) 256
Resolución:
1; 1; 4; 9; 25; 64; 169;
i i i i i i
1= 1̂ 2" 3 ̂ 5=’ 8^
iJ,
13 ̂ X'
Observa que las bases de los cuadrados for
man la sucesión de Fibonacci, donde cada tér
mino a partir del tercero, se obtiene sumando
los dos anteriores:
1 -1-1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 3 = 5; ...
=> x = 84-13 = 21 ,-, x ̂= 21^ = | 44 l |
31, Qué número completa la sucesión:
4; 7; 12; 21; 38; I I
Resolución;
4; 7; 12; 21; 38; [ F |
-(-3 -1-5 -1-9 +17 +y
+2 +4 +8 +16
y = 17+ 16= 33
x = 38 + 33 =¡7T]
32, 2310; 210; 30; 6; 2; ?
El valor de la incógnita es:
Resolución;
2310: 210; 30; 6;
+11 +7 +5 +3 - y
Observa que: 11, 7, 5 y 3 son números primos
=> y = 2 x = 2 + 2= (T ]
33, En la siguiente sucesión, calcular (x + y):
1; 3; 6; y; 2; 4, 8; 6 3; x
Resolución;
8; 6; 3; x1; 3; 6; y; 2; 4;
x2 ~2 ~2 ^
|y = 6 - 2 = 4 ,-, x + y = S + 4 = ^
[x = 3 + 2 = 5
34, En la sucesión mostrada, hallar el término que
ocupa el lugar 50;
2 2 4 4 6 6.
1 ’ 3 ' 3 ' 5 ' 5 ■ 7 ’ ■■■
Resolución:
Debido a que nos piden un término de lugar
par (50), vamos a analizar solo estos térmi
nos;
2 2 4 4 6 6 , N
r 3 ’ 3 ' 5 ' 5 ’ 7 ’ D
2.° 4.“ 6.“ 50.°
Observa que el denominador de cada término
coincide con su posición => N = 50; mientras
que el denominador es una unidad mayor que
el numerador =í D = 51.
50
51
35. Indique la alternativa que pertenece a ia suce
sión:
1 3
^ • . 2 ; 5 ;13 ;30 ;?
A) 55 B) 65 C) 67 D) 78 E) 81
Resolución:
Toda la sucesión por 4;
5 14 32 68 < í ^
9 18 36
x2 x2 x2
X = 120 + 140 = 260
260
Luego; ? = = |65
36. Qué término continúa:
2; 5; 17; 71; ...
Resolución:
2 X (2) + 1 = 5
5 X (3) + 2 =17
17 X (4) + 3 =71
71 X (5) + 4 = |359|
37, Qué número continúa en la siguiente sucesión:
4; 8; 15; 30; 37; 74;
Resolución;
4; 8; 15; 30; 37; 74; [T |
x2 +7 x2 +7 x2 +7
x = 74+ 7 =1871
38. Qué número continúa en la siguiente secuen
cia:
1;6; 40; 277; 1935:1 I
Resolución
1; 6; 40; 277; 1935; x
x 7 -1 x 7 - 2 x 7 - 3 x 7 - 4 x 7 - 5
x = 1935 X 7 - 5 = |13 5401
39. Qué número continúa en la siguiente sucesión;
19; 23; 29; 31; 37; 41;| I
Resolución:
La sucesión muestra los números prim os a
partir del 19.
40. Indique el término que continúa en la siguiente
sucesión:
-x-^ - 2>r3; - 1 ; 5 H- 2y=; 13x^ + 7y«; [
Resolución;
Coefic ientes:-!; 1 ; 5 ; 13;
/ +2 +4 +8 4-16
Para “x”
^ Exponentes: -4 ; -2 ; O ; 2 ; 4
+2 4-2 4-2 4-2
, Coeficientes: -2 ; -1 ; 2 ; 7 ; 14
4-1 4-3 4-5 4-7
Exponentes: -3 ; O ; 3 ; 6 ; 9
4-3 -1-3 4-3 -̂ 3
Para “y”
29X-4- 14y"
41, Qué número continúa en la siguiente sucesión:
12; 6; 6; 9; 18; | ¡
Resolución:
12: 6; 6; 9;
k J k J k J
x0,5 x1 x1 ,5 x 2 x2 ,5
+ 0,5 +0,5 +0,5 +0,5
x= 1 8 x 2 , 5 = ^
42. En un examen las respuestas a las cinco pri
meras preguntas son: A, B, C, D, E: para las
siguientes 10 son: A; A; B, B, C, C; D, D. E, E;
las siguientes 15 tienen por respuestas: A, A,
A, B, B, B, C, C, C y así sucesivamente.
La respuesta de la pregunta 140 es:
A) C B) A C) E D) B E) D
Resolución:
A, B, C, D, E -> 5 preguntas
AA. BB, CC, DD, EE, -+10 preguntas
AAA, BBB, ... ^ 1 5 preguntas
AA...A, BB...B, ... —> 5 X preguntas
“x" veces “x"veces
=> 5 -r 10 + 15 + 2 0 + ... + 5x < 140
XÍX'+1)
=> 1 + 2 + 3 + 4+ . , . + x <28=5 — ^<28
Para: X = 7 se cumple la igualdad, y por lo tan-
son los cuadrados de los números primos.
x = 169
44. En la siguiente sucesión:
x + 1 ; x + 4; x + 27; x + 256; ...
hallar el valor del sexto término cuando:
X = (-36)^
Resolución:
La sucesión se puede escribir así;
X + 1'; X + 2 ;̂ X + 31; X + 4'; X + 5^ x + 6‘
.'. El sexto término será:
(-36)=' + 6® = -(6=)3 + 6- = [o l
45. Calcular el término que ocupa el lugar 30 en la
siguiente sucesión:
V 1 1
3 ’ 3 ’ 27 ' 8 1 ’
Resolución:
Escribiendo convenientemente la sucesión:
J _ , _2 . _3_. _4_,
T T T T T
30 10
46. En la siguiente distribución numérica, hallar el
valor de X - y + z:
1 X 4 7
8 16 32 y
0 64 2. 192
=> x = 2
to las 7 últimas claves hasta la pregunta 140, 8 ; 16 ; 32 ; y => 64
son: E, E, E, E, E, E, E.
x2 x2 x2
Qué número continúa en la siguiente sucesión;
0 ; 64 ; z : 192; => z = 128
4; 9; 25; 49; 121; 1 |
k J k J k J
Resolución: +64 +64 +64
4; 9; 25; 49; 121 ; | x l .-. 2 - 64 + 128=|B6|
i -i- i i i 4-
2- 3^ 52 72 11̂ 132 47. ¿Qué letra completa coherentemente la
M, V, T, M, J, S, U, N , Q
Resolución:
La sucesión literal representa las iniciales de
los planetas de nuestro sistema solar. Mercu
rio, Venus, Tierra, Marte, ...
48. Qué término continúa en la siguiente sucesión:
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 25; | |
Resoiticlón:
Hasta el cuarto térm ino se cum ple que:
= 1, pero luego: = 1 +24
Entonces: = 1 + ' ^ _ >, pero ese “algo”
que se debe adicionar, debe ser nulo para
ne {1;2; 3; 4)
=5. t„ = 1 + (n - 1){n - 2)(n - 3)(n - 4), de
manera que;
t j= 1 + 4 x 3 x 2 x 1 = 1 + 2 4 = 25
tg = 1+ 5 x 4 x 3 x 2 = |121|
49. Qué número continúa en la siguiente sucesión:
1; 1; 1; 1; 2; 24; I |
Resolución;
1; 1; 1; 1; 2; 24;
O ' V - /
x1 x l x l x2 x12 |x 2 8 8 |
k J ^ k J k J
x l x l x2 x6 1x24I
x1 x2 x3
X = 24 x 288 =
x4
6912
50. Qué término continúa en la siguiente sucesión:
1; 2; 3; 4; 29; ”
Resolución:
Hasta el cuarto término se cumple que:
t̂ = n, pero luego: t̂ = 5 + 24
Entonces: t̂ = n +i ^ , pero ese "algo" que
se debe adicionar, SeBe ser nulo para
n e {1; 2; 3; 4}
=í. = n + (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4), de
manera que:
15 = 5 + 4 x 3 x 2 x 1 = 5 +24 = 29
Si no se confirmaba el t̂ , debíamos probar con:
t̂ = n + l<(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)
En nuestro caso: k = 1
t, = 6 + 5 x 4 x 3 x 2 = 0 2 6 ]
51. En la siguiente sucesión fiailar el valor de
(x + y):
2'; 3=‘; 5’ ; 7"; 11«; 13'^; x'
Resolución:
Las bases son números primos; x = 17
Los exponeníes pertenecen a la sucesión de
Fibonacci:
y = 8 + 13 = 21
.-. x + y = 17 + 21 = [38]
“Lucha con tus propias armas por
Cograr tus sueños
‘Eres capaz de [evantarte soSre to
das ias críticas deC mundo
PRACTICANDO 1
1. Calcular el número que sigue en:
2 ; 4 : 24: 432; ...
A) 32 823 8)864 C) 1728
D) 8721 E) 23 328
2. En la siguiente sucesión geométrica;
m; (n + 14); 9m; ...
calcular la suma de cifras del 5.° término.
A) 14 B)23 C )9 D)18 E) 11
3. Hallar ei t,,^„ en:
4 , 3 , 8 ,
̂ ' 3 ’ 2 ’ 5 " "
A) 2
1200
D) 1203
2400
1203
E)3
C)
2400
1201
4. En la siguiente sucesión aritmética:
a(a +1); 35; (a + 27)7; ...
calcular el sexto término.
A) 83 B) 74 C) 52 D) 63 E) 94
5. Calcular el número de términos de ia sucesión:
2; 5; 8; 11; ...; 95
A) 90 B) 64 C) 32 D) 30 E) 20
6. Hallar el término que continúa en la sucesión:
1; 1; 1; 1; 2; 24; ...
A) 6912 B) 6514 C) 5064
D) 3024 E) 6084
7. Hallar el siguiente término en:
3x - 2y5; -2x^ + 3 / ; -7x^ + Sy ;̂ ...
A)10x^ + 12y" B)-12X‘ +Í3y=’
C )2x"+10y" ■ D)-9x< + 13y
E )9 x^ -1 3 y
8. Qué término sigue en;
3; 18; 34; 52; 74
A) 75 B) 123 C)47 D) 104 E) 261
9. Hallar ei número que sigue en:
6; 7; 19; 142; ...
A) 1376 B) 284
D) 1457 E)482
C) 143
10. A los tres primeros términos de una P.A. de
razón 6 se le aumentan 4; 7 y 10 respectiva
mente, formando los resultadosobtenidos una
P.G. Hallar el t,„ en la P.A.
A) 65 B) 43 C) 48 D) 73 E) 59
Qué término continúa:
A )X /^ B ) V ^
D )"Æ E )7 Í8
Indique la alternativa que completa en:
- l ; - " ; - '® ; - 2 l ; . . .
5 5 5
A) -140
D) -56
B) 80
E) -110
C) -130
calcular
mética:
“a + b” en la siguiente sucesióii arit-
ab ; ....... ; 77 ; ....... ; te
A) 14
“m” términos “m" términos
B) 15 C)16 D) 17 E) 18
14. ¿Qué letra sigue?
A; C; F; K ; ......
A) R B) T C) S D) U E) Y
15. Si la siguiente sucesión posee 49 términos,
¿cuántos términos tiabrá entre los términos “7x
y 7y” de dicha sucesión?
x; (X + 1); (X + 2); ....; ( y - 1): y
A) 730 8)335 C) 330 D) 140 E) 84
16. Calcular el valor de “m” en la sucesión:
( x 4 -2 ) 3 ; (x - t-6 )'; (x + 10)=’ ; ( x - H 4 ) « ; (x + 9 8 ) "
A) 68 B) 75 C) 84 D) 35 E) 44
17. Qué número sigue en la sucesión:
3; 7; 15; 31; ...
A) 36 B)93 C )63 D) 55 E) 129
18. Calcular "x + y” en:
(1; 5); (4; 10); (7; 17); (10; 26); (x; y)
A) 48 B) 54 C) 50 D) 52 E) 46
19. Dada la siguiente sucesión, ¿cuántos de sus
términos tendrán 3 cifras?
7; 11; 15; ...
A) 112 8)224 0 )448 0)242 E) 211
20. Qué letra sigue en;
A; A; A; B; E; K;...
A) P B) Q C) S D) T E) U
21. Calcular “x” en:
2; 2; 2; 2; 4; 48; “x”...; ...
A) 13 824 8 )2 048 C) 96
D) 1 152 E) 144
22. Qué número sigue en:
9; 8; 7; 13; 12; 11; 17; 16; 15; ...
A) 15 B)16 C )19 D)20 E) 21^
23. Dadas las sucesiones;
{1; 5; 15; 31; ...)
{4; 15; 32; 55; ...}
calcular la d ife rencia de sus térm inos
enésimos.
A) 4 - 7n B) 6 - 3n C) n ̂- 2n
D) 2n - n ̂ E) 6 ~ 5n
24. Hallar el valor de “x” en la siguiente sucesión
aritmética:
5; (2 0 -2 a ); ... (2a + 40); 11x
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 D) 9
25. Qué número sigue en:
4; 11; 30; 85; ...
A) 97 B) 95 C) 100 D) 248 E) 87
26. Qué número sigue en:
15; 19; 28; 44; ...
A) 45 B) 80 C) 69 D) 52 E) 70
27. Qué término sigue en:
1; 2; 6; 30: 210:...
A) 1230
D )2180
B) 2310
E) 314
28. Indique el número que completa la sucesión:
A) -79
D )-120
1 -1
3 ; y ; - 3 ; - 1 5 ; . . .
B) -91
E) -139
C) -57
29. ¿Qué término continúa?
A) 7/39
D) 21/43
, 3 2 5 3
1 ; - ; - ; — ; — ; x
5 5 17 13
B) 21/115
E) 21/88
O) 7/37
30. Halle el témiino que sigue en:
1; 2; 3; 6; 6; 12; 10; ...
A) 15 B) 17 C)20 0 )2 4 E) 36
PRACTICANDO 2
1. ¿Cuál es ei término que continúa a la siguien
te sucesión?
1; 8, 27; ...
A) 62 B) 64 C)120 D) 169 E) N.A.
2. ¿Cuál es el término 80 de la sucesión mostra
da a continuación?
-1; 4; 9; 14; 19; ...
A) 396 B) 394 C) 392 D) 390 E) 360
3. ¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión?
2; 7; 12; 17; ... ; 197
A) 20 B) 30 C) 35 0) 40 E) 45
4. ¿Cuál es el término enésimo de la siguiente
sucesión?
4; 11; 18; 25; ...
A) 7n + 3 B) 7n - 2 C) 7n - 3
D) 2n 4- 7 E) 2n - 7
5. ¿Qué letra continúa en cada uno de los ca
sos?
a; c; e; g; ...
A) ti B) i C) j D) k E) I
6. d: h; I: ...
A) O B) p C) q D) r E) s
7. Calcular ei término 40 de la sucesión:
4; 7; 12; 19; 28; ...
A) 37 B)1500 C)1408
D )1604 E) 1603
8. Hallar “x":
180; 90; 100; 50; 60; 30; x
A) 32 B) 36 C) 20 D) 10 E) 40
9. Hallar el término 20 de la sucesión dada:
2 ; 6 ; 12 ; 2 0 ; ...
A) 400 b) 320 C) 420 D) 360 E) 180
10. Qué número sigue la siguiente sucesión:
3; 7; 11; 15; m; n; ...
A) 27 B) 25 C) 28 D) 36 E) p
11. ¿Cuál será el término del lugar 25 en la siguien
te sucesión?
4; 9; 14; 19; ...
A) 120 8)124 C) 114 D )1 3 6 E )4 8
12. ¿Cuántos términos tiene la sucesión siguiente?
1; 3; 5; 7; 9; ... ; 39
A) 20 8 )1 9 C)30 D)26 E) 18
13. Hallar el último término de una sucesión que
tiene 40 términos y tiene su “ley de formación",
igual a (3n^ + 5).
A )4 800 B )4 805 C )4 705
D) 5 785 E) N.A.
14. ¿Cuál es el término que sigue?
a“; a-’ ; a=; a«; ...
A) af- B) a'» C) a« D) a-» E) N.A.
15. ¿Cuántos términos tiene la sucesión siguien
te?
3; 6; 11; 18; ; 1 602
A) 30 B) 32 C) 38 D) 40 E) 42
16. En: -7; -5; -3 ; -1; ...
¿Cuál será el último término si existen 46 tér
minos?
A) 72 B) 80 C) 81 D) 82 E) 83
17. ¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión?
9; 13; 17; 21; ... ; 205
A) 60 B) 55 C) 50 D) 40 E) 30
18. Las sucesiones:
4; 7; 10; 13; ...; a
8; 13; 18; 23; ...; r
tienen igual número de términos. Si la suma
de “a" y “b” es 364, hallar “b - a”.
A) 90 B) 91 C) 92 D) 76 E) 80
19. Hallar su “ley de formación de:
8; 20; 36; 56; ...
A) 2n -I- 6 B) 2n2 + 6 C) 2n - 6
D) 2n^ -h 6n . E) 3n" - 6n
20. ¿Cuántos términos hay en la sucesión mos
trada?
6; 9; 14; 21; ...; 630
A) 25 B)20 C)23 D) 21 E) 18
21. ¿Qué número sigue en la siguiente sucesión?
-5 ; -10; 20; 40; -80; ...
A) 120 B) 160 C )-160 D) 180 E )-180
22. Hallar “x -i- y” en;
3; 7; x; 8: 7: 9; y; 10
A) 12 8 )13 C)14 D)15 E) N.A.
23. ¿Cuál es el término que continúa en la siguiente
sucesión?
1; 1; 1; 3; 5; 9; 17; ...
A) 21 B) 33 C) 23 D) 31 E) 39
24. Hallar los términos que continúan en:
P; S; T; C; Q; ...
A) R; U B) S; V C) T; W
D) S; S E) S, O
25. De la sucesión anterior, cuál es el término vi
gésimo.
A) 400 8)410 0 420 D) 380 E) 402
26. Diga Ud. cuántos términos tiene la siguiente
sucesión:
2; 4; 6; 8; 10; ...; 20
A) 12 8 )10 C) 16 D)20 E) N.A,
6. Hallar E = [0,022(a + b)]“'̂27. ¿Cuál será el término que ocupa ia posición
30, en la siguiente sucesión?
3; 7; 11; 15; 19; ...
A) 120 B) 118 C) 119 D) 117 E) N.A.
28. Hallar el término enésimo de ía sucesión si
guiente:
3; 10; 17; 24; ...
A) 7n B) 7n -H 2 C) 7n - 4
D )7 n + 4 E)7n + 7
29. Sabiendo que el último término de una suce
sión es 45 y su "fórmula de recurrencia” o “ ley
de formación' es (2n + 9), tiallar el número de
términos de dicha sucesión:
A) 16 B)17 C)18 D)19 E) 20
30. Hallar 'x";
2; 3; 10; 3; 3; 29; 4; 1; x
A) 9 8)12 C) 13 D) 11 E)6
PRACTICANDO 3
1. Hallar el término enésimo:
11; 18; 25; 32; ...
A) Bn -I- 3 B) 7n - 4
D) 7n + 4 E) 5n + 6
2. Hallar el término enésimo;
2 . 3 , 2 . 5 . 6 .
3 ’ 7 ' 2 ' 9 ’ 10 '
C) 6n -K 5
A)
D)
n
n4-2
n --1
n + 5
B)
2n
n + 5
E) n^/3
C)
n + 1
n + 5
3. Qué lugar ocupa el número 590 en;
-4; 2; 8; 14; ...
A) 99 B)101 C)110 D )1 0 0 E )9 6
4. Completar:
2; 11; ...; 50; 80; ...
A) 38: 117 8)26:116 C)27;127
D) 26; 117 E) 27; 117
5. Hallar "n" en la sucesión:
{X + 3), (X + 7)’ ; (x + 11)''; ...; (x + 1 1 8 -n ) '‘
A) 46 B) 40 C) 39 D) 38 E) 26
1 2 5 13 b
1 3 8 a
A) 22 8) 2,2 C) 1,1 D)11 E) 0,11
7. Hallar a + b en la sucesión;
x“-; 4x~'; lOx^; 22x®; ax“ ; ...
A) 60 B) 58 C) 55 D) 56 E) 57
8. Hallar;
A) 1
9. Hallar;
E = (x + 2)“'"
17; 26; 52; 116; x
8) 7 C) 5 D) 4 E) 3
A) O
E = 20a - 22b
10; 11; 14; 14; 18; 17; a; b
B) 1 C) 84 D) -84 E) 90
10. Hallar el número que falta.
136 (24) 482
124 (20) 652
529 (...) 713
A) 33 B) 31 C) 29 D) 27 E) 25
11. Hallar a + b:
a; 2; 0; -1 ; 0; 4; b
A) 16 8 )8 C) - 8 D)12 E) 10
12. Hallar x:
7; 7; 9; 3; -1 ; -5; x
A) 1 B) -1 C) 3 D) -9 E) -7
13. Hallar la letra que falta.
W; U; R; Ñ; ...
A) K B) G C) I D) J E) H
14. Hallar la letra que falta.
C; E; H; J; M; ...
A) O B) P C) Q D) R E) Ñ
15. Hallar x + y:
8; 16; 17; 34; 35; x; y
A) 140 8)141 C) 139 D) 151 E) 142
16. Hallar x:
1; 2, 6; 24; x
A) 98 B)110 0 150 D) 240 E) 120
17. Hallar (x + y)/x;
23; 4-.; 66; 8"; x>
A) 2,4 B)2,3 C)2,5 D) 2.6 E) 3,3
18. Hallar (a + b)/12:
a, 6, 9, 18, 21, 42, b, ...
A) 3,5 B) 4,5 C) 5,5 D) 6,6 E) 4
19. Completar;
B; E; 1; N; ...
A) P B) Q C) S D) R E) T
20. Completar;
A; C; G; M; ...
A) R B) V C) U D) T E) S
21. Hallar (5b - a)/44;
2; 2; 6; 7; 18; 13; 54; 20; a; b
A) 0,5 B) -0 ,5 C) 1 D) 2,2 E) 3,3 F, 1
-> 3 5
Hallar "x”: F3 —» 7 9 11
1; 1; 7; 25; 61; x F. 13 15 17 19
A) 121 8)120 C)126 D) 110 E) 116 F. 21 23 25 27
23. Hallar “x”;
4; 12; 6; 18; 9; x; ...
A) 27 B) 28 C) 30 D) 26 E) 36
24. Hallar “x”;
1; 2; 5; 20; 25; x; ...
A) 100 B) 125 C) 120 D) 144 E) 150
25. Hallar “x”;
2; 3; 6; 2; -2; 3; x
A) 18 8 )20 C)22 D) 21 E) 23
26. Indicar el término que continua en cada caso;
2; 5; 7; 11; 13; 17; ...
A) 19 B )23 C)29 D) 31 E) 37
27. 3; 4; 10; 33; ...
A) 134 B)135 0 136 D) 137 E)138
28. %/2; V6 ; 2^3; 2^/5; V 3 0 ;.„
A) V i i B) v'42
D) 2-v'TT E) 3Vs
C )V ^ ‘
29. 1; 2; 4; 7; 28; ...
A) 35 B) 34 C) 37 D) 38 E) 33
30. 14; 15; 30; 10; 6; 11; ...
A) 50 B) 55 C) 60 D) 66 E) 70
31. Calcular el vigésimo término en cada sucesión
y dar como respuesta la suma de sus cifras:
9; 13; 19; 27; 37; 49; ...
A) 10 B) 11 C)55 D)13 E) 14
32. 8; 14; 22; 32; 44; ...
A) 12 8 )13 C)15 D) 16 E) 14
PRACTICANDO 4
1. En el siguiente arreglo numérico, tiallar la suma
del primero y el último término de la fila 30.
A) 930
D) 1 860
B) 1 800
E) 1 680
C) 1 798
2. Un campeonato de ajedrez va a durar 42 días.
Si cada día se jugarán 5 partidas, ¿cuántos
jugadores participan, sabiendo que todos jue
gan contra todos?
A) 20 8 )8 C)21 D)12 E) 22
3. La suma de los “n” términos de una sucesión
está dada por la siguiente expresión;
S„ = n(n + 3)
Calcular el término de lugar 38 en dicfia suce
sión;
A) 1 558 B) 80 C) 1 630
D) 78 E) 76
4. Ornar compra un libro, al revisarlo se da cuen
ta que en las 22 últimas páginas se emplearon
la misma cantidad de tipos de imprenta que se
emplearon en las primeras 48 páginas. ¿Cuán
tas páginas tiene el libro?
A) 1 013 B) 1 021 0 ) 1 012
D) 1 020 E) 1 011
5. Hallar la cantidad de términos de la siguiente
sucesión;
3; 7; 13; 21; 9 901
A) 96 B)97 C)98 D) 99 E) 100
6. En la sucesión:
1 7 13 19 a
A) 80 B) 82 C) 85 D) 87 E) 90
7. Hallar el término que sigue en la sucesión;
2; 7; 32; 169; ...
A) 532 B) 620 C) 814 D) 962 E) 1 032
8. Hallar la letra que sigue en la sucesión:
F; V; M; O; A; I; M; P; ...
A) A B) I C) S D) D E) N
9. Hallar el término que sigue en la siguiente su
cesión;
4; 6; 10; 14; 22; 26; ...
A) 30 8) 34 C) 38 D) 40 E) 44
10. Hallar el undécimo término de la sucesión:
1; 1; 2; 3; 5; 8; ...
A) 34 8 )55 C )89 D) 120 E) 156
11. Hallar “x";
6; 16; 28; 42; 58; X
A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12
12. 5; 40; 135; 320; x
A) 3 B) 4 C) 2
13, 6; 25; 60; 111; 178; x
A) 7 B) 6 C) 6
D) 5 E) 6
D) 4 E) 4
14. Calcular el vigésimo término en cada sucesión
y dar como respuesta la suma de sus cifras:
25; 30; 35; 40; ...
A) 2 B) 5 C) 7 D) 8 E) 3
15. 48: 51; 54: 57; ...
A) 5 B) 6 0 7
16. 150; 145; 140; 135; ...
A) 3 B) 4 O 5
D) 8 E) 9
D)10 E) 7
17. -127; -120; 113; 106; ...
A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 6
18. ¿Qué letra continúa en cada caso?
B; C; E; G; K ;'.„
A) M B) N C) O D) P E) Q
19. A; B; C; E; H; M; ...
A) R 8) S C) T
20. A; C; F; J; Ñ; ...
A) P B) Q C) M
D) U E) W
D) N E)T
21. El término 21 en la sucesión es:
5; 10; 17; 26; ...
A) 485 B)484 C) 491 D) 499 E) 506
22. Hallar el término enésimo de:
6; 51; 246; 171; ...
A)3n»-i-1 B)3(n^-i-1) C )3 n - -3
D) n- -t- 3 E) n ̂ -I- 2n - 1
23. ¿Qué número sigue?
2; 4; 12; 48; 240; ....
A) 1 000 8) 1 210 C) 1 440
D) 1 695 E) 3 050
24. ¿Qué número sigue?
1; 3; 7; 15; 31; ...
A) 63 B) 61 C) 64 D) 67 E) 70
25. Hallar "x”:
3; 4; 7; 15; 34; 76; x
A) 165 B) 160 C) 156 D) 144 E) 170
26. ¿Qué número sigue?
1: 2; 6; 30; 240; ...
A) 2 880
D) 1 056
B) 2 640
E) 996
C) 2 210
27. Hallar el siguiente término:
2 5 5 9
5 10 5 . 2 .
3 ' ' 9 ' ' 6 ' 3 ' ■
A ) 1 - ^ O 1
„ 5 5
0 ) 3 - - E ) 4 - 9
1 - •
28. Calcular el término que continúa en la suce
sión:
A; 4C^; 9E.=; 16G®;...
A) 25H'® B) 251" C) 251'^
D) 321'»* E) 4I'6
29. Hallar el valor de “n” en la siguiente sucesión:
( x + 2); (X + 4) ̂ ( x -I- S)-*; . . . ; ( x -i- 90 - n)
A) 22 B)35 0 28 D) 16 E) 26
30. Hallar el término de lugar 39 de la sucesión:
2; 7: 14; 23; ...
A) 1679 8)1519 C) 1598
D)1600 E)1521
CLAVE DE RESPUESTAS
Practicando 1
1, E 6. A 11.B 16.C 2 1 ,A 2 6 ,0
2. D 7. B 12.C 17 ,0 22. E 2 7 B
3. C 8. B 13.A 18 .0 23. A 28.A
4. A 9- A 14 ,0 19,8 24.A 2 9 .0
5. 0 lO .E 15 .8 2 0 .D 25 D 30 .0
Practicando 2
1. B 6. A 11.B 16.E 2 1 .E 26. B
2. B 7. E 1 2 A 17.G 2 2 .0 27 .C
3. D 8. E 13.B 18.E 23.D 2 8 .0
4. 0 9. 0 14.B 19.D 24. D 2 9 .0
5. B lO.A 15.D 20.A 25. E 30. E
Practicando 3 Practicando 4
1. D 7. E 13.D 19.0 25 .A 31.D 1. B 6, 0 11,A 16.D 21.A 26. A
2. C 8, E 14.E 20. D 26 .A 32, E i 2. C 7, E 12.B 17.E 22. B 27. A
3. D 9. A 15 .B 21 .8 27 .0 3. D 8, 8 13.A 18.A 23 .0 2 8 .B
4. E 10.D 16 .E 22,A 28. B 4, D 9. A 14.E 19 .0 2 4 .A 29. E
5. 0 11 .A 17.B 23 ,A 29. E 5. D 10 ,0 15.8 20. E 25 .A 3 0 .0
6. 0 12.A IB .E 24. E 30, D
"íEfásgío es como un deCicioso
manjar que Hay q disfrutar
en pequeñas dosis
SERIES
SERIE NUMERICA
S e d e n o m i n a s e r l e n u m é r i c a a ia a d i c i ó n i n d i
c a d a d e lo s t é r m i n o s d e u n a s u c e s i ó n .
E j e m p l o s :
{2 ; 5 ; 8: 11; 14 ) ; s u c e s i ó n
2 + 5 + 8 + 1 1 - 1 - 1 4 = ^
s e r i e v a l o r d e ia s e n e
t, ; p r i m e r t é r m i n o
t^: ú l t i m o t é r m i n o
n : n ú m e r o d e t é r m i n o s
t „ - 1,
Nota: n . " t é r m i n o s = n = ----------- + 1
C u a n d o h a y t é r m i n o c e n t r a l :
: si n e s im p a r .S = t. X n
SERIE GEOMETRICA
S = t + t, + t.. + t. + ... + t
xq xq xq
S =
q -1
...........................................................— • ' — ■ •
S = t, + t j + t j + t^ + ... + t „ • “ n ” s u m a n d o s
+ r + r + r •
S = n ( n + 1)
S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + ( 2 n - 1 ) = n 2S = s u m a p a r e a s X n ú m e r o p a r e j a s ó * .
. ( f , + ‘ n ) n
•
•
•
" n ” s u m a n d o s
S = 2 S =
q = r a z ó n d e la s e r i e
S e r i e g e o m é t r i c a d e c r e c i e n t e d e i n f i n i t o s t é r
m i n o s (O < q < 1)
S =
1 - q
t,: p r i m e r t é r m i n o
q: r a z ó n d e la s e n e
PRINCIPALES SERIES Y SUMAS NOTABLES
n ( n + 1)
■ S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = •
“ n " s u m a n d o s
S =
n ( n + 1 )
n ( n + 1 ) ( 2 n + 1)
S = 12 + 2 ̂+ 3 ̂+ 4'í + ...+n^= - i X ^
“ n " s u m a n d o s
S =
n ( n + 1 ) ( 2 n + 1)
S = 1" + 2 ’ + 3^ + 43 + ... + n^ =
•‘n ’’ s u m a n d o s
n ( n + 1 ) ~j
2 J
S =
n ( n + 1 )
S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + .,. + n ( n * 1 ) =
“ n ” s u m a n d o s
n(n + 1)(n + 2)
S =
n ( n ^ 1 ) ( n + 2 )
1x2 2x3 3x4 ni'n-l) n(nf1)(n + 2)
S =~2 ^ + ^ ^
( s u m a d e lo s n ú m e r o s t r i a n g u l a r e s ) ■L 7
n ( n + 1 ) ( n + 2 )
Nota:
* S — 2 + 4 + 6 + 8 + ... + p
s=£ 'P+1Ì2 2 ]
rí+1^2
S = '2"
S = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + ...
n(n + l)(n + 2)(n + 3)
+ n (n + 1 ) (n + 2) = -
S =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
1x2 2 x 3 3 x 4 n(n + 1) n + 1
S =
n + 1
Suma conociendo el término enésimo:
t,̂ = + 3n + 1
t„ = 5n" + 7
n(n + 1)
+ 7xn
t„ = 3n^ - 5n
' n (n + 1)(2n +1)
_ 5 ' n(n + 1) '
6 2
. S = 3
Recuerde:
Tipos de series:
A) Serie polinomial o aritmética
A.1 Serie aritmética lineal o de primer orden:
S „= t, + t̂ + tj + ... t,_, + t.,
^ _ ^ V___^
r r r
t = t, + r
t ̂= tj + r = t, + 2r
t,, = tj + r = t, + 3r
|t„ = t, + (n --1 )r
r t ,+ t „ 'i
Además: S = J-----ü- n
2 )
r: razón aritmética
t,: primer término
t,̂ : término n-ésimo
n: número de términos
Observación:
Si una serie aritmética tiene un número impar de
términos, entonces existe un único término central
( t j, tal que:
_ *1 _ <2 _ *3 + *n-2 _
S = t + tn ' n S = t n
2 c
Nota:
S = f i l i n i
2
S = [2 t i + (n -1 ) r ],5
A.2 Serie aritmética de orden superior:
+ bjCj'’ + ... + rCp'
B) Serie geométrica
S = t,+ t ,+ t3 + . . . t , ,
S = t , + t , q + t , q ' + ... + t , q ”“ '
' q" - 1 ■'
s = t, q -1 , , q?^1
Donde; t, primer término
q: razón geométrica
t̂ ; término n-ésimo
n; número de términos
S; suma de la serie
Suma límite:
Suma de todos los términos de una progre
sión geométrica (P.G.) decreciente infinita.
S = t, + t
xq
-t- t, t, +
S = t,
1 -q
xq
|q|< 1
xq
Ejemplos:
1. Efectuar;
_ I I
^ " 2 6 ^ 1 2 20 "^30
20 21
A ):;t B); 0 ) -21
41
" 420
21 20
D) 22 E) 2321 ' 20
Resolución:
Cada uno de los quebrados, se pueden escri
bir como:
S =
' ' i 1 ^ ^1 1 ^ 1 'i1 + - — —H--- + _ —+ ~
1,2 3 , ^4 5^
f j L _ !
20 ^2 1
Hacemos cambio de signo a los términos cu
yos paréntesis estén precedido de signo ne
gativo.
, , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1S = 1t------------ 4---^----------- + - + -----...+---- + —
2 2 3 3 4 4 5 5 6 20 21
3 = 1-1- —
21
.•.S = ?^
21
2. Hallar el valor de la siguiente serie:
8 = 3 4- 10 + 17 4- ... 4- 164 -I- 171
A )2071
Dt 1875
25 términos
B) 1975
E ) 1675
Resolución:
Invirtiendo el orden de la serie y sumando
miembro a miembro, obtenemos;
S = 3-e 1 0 + 1 7 + 1 6 4 -I-171
S = 171 + 164 + ... + 19 + 3
1 ....... 2 8 = 1 7 4 + 174 + ... + 1 7 4 + 174
25 términos
28 = 174 X 25
174x25
2
S = 2 175
3. Hallar el valor de "E”:
E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... +20
A) 199 B)210 C)220 D) 240 E) 250
Resolución:
E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+ 2 0
n = 20 términos
n(n +1)
Aplicando la fórmula:
20(20 + 1)
obtenemos: E = — — - = 10 (21)
E = 210
4. Hallar el valor de “E”;
E =
1 1 1+ + + . 1
19x201x2 2 x 3 3 x 4
A) 21/20 B) 20/19 C) 19/20
D) 21/20 E) N. A.
Resolución:
La expresión dada se puede escribir como:
2 3 J , 3 4 J (1 9 20 j
Quitándole los paréntesis, obtenemos:
(2 2
^ 1 1 1 1 1 1E — i---------- 1----------
1 2 2 3 3 4
1 1
19 20
1 1 ^ 20 -1 19 =>E = --------= —1 20 20 20
19
^ " 2 0
5. Efectuar:
S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ... + 20x21
A )2608 B )2606 C )3880
D) 3008 E) 3080
Resolución:
La expresión dada se puede escribir como:
S = 1 x ( 1 + 1 ) + 2 x ( 2 + 1) + 3 x (3 + 1)
+ 4 x (4 + 1) + ...+ 2 0 x (2 0 + 1)
S = 1̂ + 1 + 22 + 2 + 32 + 3 + 42 + 4+ .., + 202+ 20
Agrupando términos, obtenemos:
3 = 12 + 22 + 32 + 42 + .,.+ 202
S =
/
n(n + 1)(2n + 1)
6
20(21)(41) 20(21)
+ 1 + 2 + 3 + 4+ ...+ 20
n(n +1)
3 = 2870 + 210
8 = 3080
iRecuerde!
* S = 1 + 2 + 3 + ... + n
n(n + 1)
S = 1 + 3 + 5 + ... + I
S =
n + 1
’ S = 2 + 4 + 6 + . . . + P
s = - P + 1 2
S = 1̂ +2^ +3^ + .,. + n̂
n(n + 1)(2n + 1)S _ _ .
S:= l " + 2 ^ + 3 " + ... ^n=
S = !
fn(n + 1)
EJERCICIOS EXPLICADOS
1, En el siguiente arreglo triangular, calcular la
suma de los términos de
F, -------> 1
-> 4 9
-4 16 25 36
49 64 81 100
B) 806 470 C) 807 460
E) 806 740
A) 804 670
D) 874 060
Resolución:
Del arreglo numérico tenemos que:
F, fi";''
1x 2
2
F. 2 ̂ (3V ,
2x3
2
F3 -------> 4^ 52 ;'6'y ------->
3 x 4
2
8" 9" nq)^ —^
4x5
2
.....
......................... -
9x20
2
.....
Luego:
..........................
20x21
2
Suma pedida (1® + 2̂ + 3® + ...+ 210^)
- {1 2 + 2^+ 3 ̂+ ... + 1900
/'210x211x42r i'190x191x381
= 804 670
2. La suma de 81 números pares consecutivos
es igual a 171 veces el primer número. Hallar
la suma de tas cifras del término central.
A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5
Resolución:
Sean los términos pares:
1." 2.° 3.° 81.'’
(x + 2) + (x + 4) + (x r 6) + ... + {x + 162) = 171 [x + 2)
I ■ 81 números pares • J
' {x + 2}-' fx + 162)''.
X 81 = 171 (x + 2)
(x + 82) x81 = 171 (x + 2)
8 1 x+ 6 642 = 171x + 342
x = 70
El término central ocupa la posición:
81 + 1 = 41
=> t̂ = t ,̂ = X + 82 = 70 + 82 = 152
suma de cifras: 1 +5 + 2 = 8
3. Calcule: S = 98" - 97 ̂+ 96" - 95" + ...
30 términos
A) 2055 B) 2505 C) 3505
D) 2455 E) 2605
Resolución:
Agrupando de 2 en 2, tenemos:
S = * -
S = (98 + 97) (98 - 97) + (96 + 95) (96 - 95)
______________ + (94 + 93) (94 - 93) + ...
15 términos
S = 195 + 191 + 187 + ... (15 términos)
^ ------
-4 -4
Hallando el t. ̂ (último término):
como: = -4n + 199
t,^ = -4(15) + 199 = 139
Hallando S:S =
S =
in
2 j
195+139
x15
S = 2 505
4. Sedefine: (x -1 )* = 2x^ + 1
Halle el valor de:
S = r + 2 ’ + 3 ' + . . .+20'
A) 6460 B) 6540
D )6740 E )6840
Resolución;
De la definición: (X - 1)’ = 2x^ + 1
— nz í
+1
Entonces:
r = 2 (2)2 + 1
2* = 2 (3)^ + 1
3* = 2 (4)2 + 1
4 ' = 2 (5)2 + 1
20 * = 2 ( 21)2 + 1
S = 2 (22 + 32 + 42 + 52 + ... + 212)
+ (1 + 1 + 1 + ... + 1)
20 veces
S = 2
21x22x43 2̂ + 20
S = 6 640
5. Calcular:
E = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7 + ... + 2,9
A) 22,5 B) 8,41 C) 25,2 D) 29 E) 29,5
Resolución:
Dando forma a los sumandos, tendremos:
E = 0,1 + 0 ,3 + 0,5+ 0,7+ ... + 2,9
^ 1 3 5 7 ^ 29E —-----1- —— 4- ----1- —— + ... H-----
10 10 10 10 10
E = ~ [1 + 3 + 5 + 7 + ... + 29]
Suma de tos "x” primeros impares
^ 1+29 , ^Donde: x = -------- = 15
E = 22,5
6. Calcular “S ’:
S = 1 x 5 - 2 x 6 + 3 x 7 ~ 4 x 8 + 5 x 9 - . . .
20 sumandos
A) 250 B) -240 C) -250
D) -260 E) -350
Resolución:
Completando los dos últimos sumandos:
5 = 1 x 5 - 2 x 6 + 3 x 7 - 4 x 8 + 5 x 9 - 6 x 1 0
+ ... + 19 x 2 3 -2 0 x24
S = (-7 )+ (-11 )+ (-15) + ... + (-45)
Serie aritmética de 10 términos'^
(-7 - 43)
.-. S = ^— r — - X 10 =: -250|
7, Los números x; x + 4: x + 16; ... son los tres
primeros términos consecutivos de una progre
sión geométrica. Hallar la suma de sus 10 pri
meros términos.
A) 59 049 B) 59 048 C) 56 048
D) 57 046 E) 59 047
Resolución:
Del enunciado tenemos:
P.G. =í> x; ( x + 4); (x + 16); ...
(x + 4)2 = x(x + 16)
x=̂ + 8x + 1 6 = x2 + 16x
X = 2
Reemplazando: P.G. => 2
O
6 ; 1í
x3 x3-^ q = 3
Luego la suma de los 10 primeros términos es:
t,.(V “ - l ) 2(3’» -1 )
S = — ¿ = 3 '“ - 1
q -1
S = 59 048
3 -1
8. Calcular la suma de los infinitos ténninos dados:
1 2 1 2 1 2
A) 1/4 B) 3/49 C) 7/61 D) 5/16 E) 3/16
Resolución:
De la serie dada:
S = -
2 1 2
- + — H 7
1 2
7'
s =
9 / 7" 9/7"
1-1 /7^ 48/7^
S = - ^ 16
9. Hallar la suma de los 15 primeros términos de
la serie:
S = 1 + 7 + 17 + 31 + ...
A) 2455 B) 2365 C) 2563
D )2465 E) 2500
Resolución:
Analizando la razón de la serie:
5 = 0 + 7 + 1 7 + 3 1 + :.. (15 términos)
10 14
© 4
Utilizando números combinatorios:
S = 1C¡^+6C^"+4C;=
S = 1(15) + 6
.-. S = 2 465
p 5 x 1 4 ' + 4 r i5 x 1 4 x 1 3 ^
V 2x1 , 3 x2 x1 J
.■ .[H
10. Sii S„ =̂ 1 + 2 + 3 - f4 + ... + n;
hallar et valor de;
s = s , „ - s „ + s , 3 - s „ + s „ - . . . + s , - s ,
A) 110 B) 100 C)120 D )1 3 0 E )9 0
Resolución:
Se observa que:
S„ = r + Z + 3 '+ X + ... + (t3̂ ) + n
S„_, = r + Z + ^ + >í'+... + ( r> ^ )
S„ - S„_, = n
Entonces:
S = "■
s = + "~ i¥ ^ + ...
S = 2 + 4 + 6 + ... + 16 + 18 + 20
S = 2(1 + 2 + 3 + ...+ 8 + 9 + 10)
■ 'lO x ir
S = 2
S = 110
= 110
11. Calcule: S = 1 + 1 + 1 + 1 + 121 + 601 + ...
A) 3 627 430
D) 5 100 504
Resolución;
Se observa que:
24 términos
8 )5 363 210 C) 3 674 351
E) 7 627 426
S = Q ^ 1 + 1 + 1 + 121 +601 + .,. (24 términos)
( J ) O O 120 480
@ ^ ^ 0 ^ 0 360
® 120 240
120 120
Aplicando números combinatorios;
S = 1 X C ‘- + O X C /" + O X Cj^" + O X C;
120 X
3 = 1 X 2 4 + 0 + 0 + 0 + 120 X •'24 x 2 3 x 2 2 x 2 1 x 2 0 ^
5 x 4 x 3 x 2 x 1 j
S =24 + 5 100 480
S = 5 100 504
12. Halle la suma de todos los números de 4 cifras
que comiencen y terminen en 4.
A) 899 895 8) 449 900 C) 224 950
0)112 475 E) 38 470
Resolución:
Nos piden: 100 sumandos
S = 4 004 + 4 014 + 4 024 + 4 034 + ... + 4 994
+10 +10 +10
Aplicando:
3 =
8 =
t, + t„
4004 + 4994 i
X 100
3 = 449 900
1 2 3 4
13. Calcule: S = + ^ + ^ +
A) 1/7 0)2/21 C)3/21 O) 5/63 E) 2/63
Resolución:
Multiplicando a la expresión original por 8, ten
dremos:
8 8‘ ' 8^ 8“*
9S = 1
serie geométrica infinita
9S= 9S= 1 - 7 = 1
1 -1 /8 7 7
S = 2/21
14. Calcule la suma de los 20 primeros términos de:
-1 ; 0; 0; 0; 1; 4; ...
A) 3874 B) 3875 C) 3870
D) 3880 E) 3975
Resolución:
Analizando la serie dada:
S + ... (20 sumandos)
O O O 1 3
0 0 1 2
© 1 1
S = -1 X C f + 1 X C f - 1 X C f + 1 X C f
/2 0 x 1 9 '
S = -1 X (20) + 1 X
2x1
- 1xi
S = 3875
('20x19x18
3x2 x1
+ 1x 20x19x18x17
4x 3x 2 x 1
15. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos de 5. • í a, + u '' ^ -1 2 -1 5 6 '
A) 2500 8)1955 C) 2325 * S = 2
n =
2
D)1940 E)2150
Resolución:
Piden:
5 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 5 x 4 + , . .+ 5 x 3 0
= 5(1 + 2 + 3 + ... +30)
= 5
'30x31 '' = 5 x 15 x 31 = 2325
16. ”3'' si’
S = 22 +23 + 24 + 25 + 26 + 27 +^.
100 sum.andos
A) 8345 8)7250 C) 817
D) 8475 E) 8320
Resolución:
Estamosfrente a la suma de los términos de
una sucesión aritmética, luego debemos apli
car:
3 =í̂’a, + û 2 n yV /
u = a, + (n - 1) r
Luego:
S = 22 + 23 + 24 + ... u
I— 100 térm inos------ 1
r= 1 n = 100
a, = 22 u = 22+ 99(1) = 121
Entonces: S =
r 22 + 121'
100 = 7250
18. Hallar la suma de los 20 primeros términos:
3 = 1 x 3 - 3 x 5 + 5 x 7 - 7 x 9 + . . .
A) -820 B) -700 C) 820
D) -840 E) O
Resolución:
20 términos
3 = 3 - 15+ 3 5 -6 3 + 9 9 - 143 + ...
3 = -1 2 - 28 - 44 - ...
^ V___
-16 -16
10 términos
u = a, + (n - 1 )r = -12 + 9(-16) = -156
■10 =-840
D
18. Se tiene un triángulo cualquiera cuya área es
“S”: se toma sus puntos medios de sus lados y
al unirlos se forma un triángulo; en este trián
gulo a su vez se toman los puntos medios de
sus lados y se vuelven a unir y así repetimos
la operación infinitas veces. Calcular la suma
de todas las áreas así formadas.
3S 4S
A) 2S B) 4S C) 3S D) E) —
H O
Resolución;
Sea:
Nos piden:
1/4 de 1/4 de
s + + + ...4 16
x1/4 <1/4
Aplicando suma limite
S S _ 4 „
~T=3= 3®
̂ 4 4
. - . 0
19. Hallar la suma límite de:
_ 2 26 242
S = 1 + —r-^— r H íTr + ...$2 36 3I0
A) 10/80 B) 31/81
D) 101/79 E) 101/81
Resolución;
Dando una fórmula adecuada:
C) 100/80
S = 1
Desdobládo:
8 = 1 +
3^ -1 Í3 ^ -1
1 3’“
/ J 1 'i
3 ̂ 3’'
S = i + í i + - l . l + . . . .
13 3̂ 3̂^
o ] - ' l 1 - 1
° 1 3̂ ^ 3' ̂ " 3’°
' 1 '' ' 1 '
3 9
1 11 1-----l 9 / V 81 J
, 3 9 101
S 1“*-------------------
6 80 80
20. Hallar la suma de todos los elementos del si
guiente arreglo triangular.
Fila 1 > 5 .
Fila 2 > 5 5
Fila 3 --------------- > 5 5 5
Fila 4 -----------> 5 5 5
Fila 20— > 5
Resolución:
Fila 1 --------------
Fila 2 ---------------
Fila 3 --------------- !
Fila 4 --------- > 5
Fila 20 — >5
5
5 5
Suma total: 5 + 2(5) + 3(5) + ... + 20(5)
:5{1 + 2 + 3 + ...+20)
(2 0 )(2 1 ) I----------1
• 5 = 1 050
21. ¿Cuántos círculos hay en la figura 23?
^ X X J ^ x o • CO 'O X í ’OOuO’
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
Resolución:
# círculos
Fig. 1: 1
Fig. 2: 1 + 2
Fig. 3: 1 + 2 + 3
Fig. 4: 1 + 2 + 3 + 4
23(24) I-----
Fig. 23: 1 + 2 + 3 + ... + 23 = — ^
22. Hallar
6 10 .14 18o — i + ---------- (- —
3 9 27 81
Resolución:
10 14 18
6 10 14 18^ — — H------ 1 t- — ■ + .,.
3 9 27 81
4 4 4
Restando: 2S = 6 + - + - + — + ■■• 3 9 27
2S = 6 + 4/3
1 -1 /3
2S = 6 + 2
[1 = 3
23. Hallar la suma de las cifras del noveno término
de la.sucesión:
7; 13; 21; 31; 43;...
Resolución;
7 = 2 ̂+ 3
13 = 3^+ 4
21 = 4̂ + 5
31 = 5= + 6
43 = 6" + 7
83 = 102 + 11
a ,= 111
Z cifras de = 1 + 1 + 1 = ^
24. Si S = 2 + 16 + 54 + 128 + ... + 2000, hallar S.
Resolución:
S = 2 + 16 + 54 + 128 + ... + 2000
S = 2 . 1̂ + 2 . 3^ + 2 . 2’ + 2 . 43 + ... + 2 . 10^
/ I 0 . 1 l f
S = 2 6 050
25. La suma de los “n" primeros números pares
positivos es un número de la forma aOO. Hallar
el valor de “a” (O es cero).
Resolución:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = áOÜ
n (n + 1) = 100 . a
n (n + 1) = (4a) (25)
4a = 24
26. La suma de 600 números enteros consecuti
vos es 1 199 veces el menor de ellos. Hallar ei
promedio de todos los números.
Resolución:
Sea n el primer número:
n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 599) = 1 199n
599(600)
600n + ------^ ^ = 1 199n n = 300
1199(300) ;---------1
Prom. = = [ 1 ^
27. De un libro se saca las hojas cuya numeración
termina en 6. Si en la numeración de estas
hojas arrancadas se ha empleado 673 cifras y
se sabe que cada hoja está numerada por una
sola cara, siendo la antepenúltima hoja la últi
ma en ser arrancada, ¿cuál es el número de
hojas del libro?
Resolución:
6; 16; ...; 96; 106; ...; 996
i ------------ . --------
1 + 18 + 270 = 289
Falta usar; x = 1956384 _ X - 926
4 “ 10 '
último # hojas: |1958|
28. En la siguiente secuencia, se tiene cubos for
mados por cubitos iguales. Si se pinta un cubi
to de la figura 1, dos cubitos de la figura 2, tres
cubito de la figura 3 y así sucesivamente,
¿cuántos cubitos en toda la secuencia queda
rán sin pintar hasta la figura 10?
: - i
Fig. 3Fig. 1 Fig. 2
Resolución:
Número de cubitos sin pintar =
= (1 ^ -1 )+ (2 3 -2 )+ (3 ° -3 )+ ... + (10^-10)
1 0 ( 11 )
2
2970
29. Hallar el valor de “M”;
M = i j i - i u í i - i V ü - i - i
! 2 3 j S4 6 ; ( 8 1 2 ;
A) 3 B) 2 C) 5/8 D) 2/3 E) 4/3
Resolución;
Separando los términos positivos de ios negati
vos, denominamos S, y respectivamente.
Entonces o . 1 1 1 1S. = 1 + — I i 1----^ ...
’ 2 4 8 16
S -
* 3 6 1 2 2 4 ■
Calculo de S,;
Se observa que S, es una serie geométrica
decreciente infinita donde la razón: q = 1/2 y el
primer término es: t, = 1.
Entonces: S, = 1 = 2
Cálculo de S,;
Se observa que S, es una serie geométrica
decreciente Infinita donde la razón es: q = 1/2
y el primer término es: -1/3.
Entonces:
1
S - 3 - - 2
Como: I^ = S, + 82 => M = 2 - - =
30. Calcular la suma de la serie:
. 1 1 3 1 5S — — -f i 1-------1-------- -
4 8 - 6 4 64 1024
4 •
Í1 - 1 ^
2 j
'1 1 ■' '1 1 ' ^1 r
E =
•
+
2 3V y
+
3 4^
+
^4 5 ^
A) B )428
Resolución;
C);
4
E ) -
„ 1 1 3 1 5S = —+ —+ -----1-----H--------- +...
4 8 64 64 1024
^ 1 1 3 1 5
Multiplicando a ambos miembros por “4", se
tiene:
4 4'" 4"
'2 1 '
^4 4 ^
5 4 "
4 ^ " ' 4'' .
1 1
V
4^
Serie geométrica decreciente infinita, la razón
es 1/4.
.3 8 =
1 - 1
4
38 =-
31. Hallar el valor de E:
^ 1 1 1 1 1E = - + —+ — + — + ... + -----
2 6 12 20 420
21 20
Resolución:
1 1
C) l i99 12 21^>17
E = -
(1){2) (2 )(3) (3 )(4) (4 )(5 ) ' (20)(21)
descomponiendo:
Í J _____
20 21
E _ 1 - 1 = 20
21 21
E = 2̂1
32. Hallar el valor de “M”:
M = 1 . 1 1+ + -
1
30x33
C) 30/33
3 x 6 6 x 9 9x12
A) 10/99 B) 29/30
D) 31/38 E) 7/97
Resolución:
Transformando en forma conveniente, multipli
camos a ambos miembros de la serie por “3”;
3 3 3 3
3M = ------ + ------- + -3 x 6 6 x 9 9x12 30x33
1 ■,
13 6
1 1
’ - I Ì Q - - L Ì
6 9 / ^ 9 12
J ___
30 33
10
33. Hallar el valor de “S”:
S = 1+ 3 + 2 + 2 + 6 + 4 - i-3 + 9 + 6 + ...
100 términos
A) 5200 B )4300 C )3466
D) 3366 E) 3400
Resolución:
Agrupando de 3 en 3, en forma conveniente:
S = (1 + 3 + 2) + (2 + 6 + 4) + (3 + 9 + 6) + ...
+ (33 + 99 + 66) + 34
100 términos
S = 6 + 12 + 18 + ... + 198 + 34
S = 6[1 +2 + 3 + ...+33]+ 34 = 6 X -----------+34
S = 3 400
34. Calcular:
R = 3 + 10 + 29 + 66 + ... + 1 333
A) 4575 8) 4376 C) 4374
D )4300 E )4378
Resolución:
Descomponiendo:
R = 3 + 10 + 29 + 66 + ... + 1333
\ \ \ \ \
R = (13+ 2) + {2>+ 2) + (33+ 2) + (43+ 2) +... + (113+ 2)
R = 13 + 22 + 33 + 43 + ... + 113 + 2 + 2 + 2 +... + 2
R =
11 términos
,2f l l(1 1 + 1)'
2
11 veces
+ 11 X 2 = 4356 + 22 = 4378
|R = 4 378|
35. Hallar el vaior de E
E = 1̂ - 2=̂ + 32 - 42 + ...-20^
A ) -200 B )-190 0 - 2 2 0
D )-180 E )-210
Resolución:
E = 1 "-2= + 3 ^ -4 ^ + ... + 19^-20"
20 términos
Agrupando de 2 en 2:
E = (1" - 22) + (32 - 42) + ... + (19^ - 20^)
10 términos
E = - 3 + (-7 )+ (-11) + ... + (-39)
10 términos
Ahora se observa que E es una serie aritméti
ca de razón ‘‘-4 ”.
Luego E =
f ( -3 ) + (-39 )^
X 10 = -210
36. Hallar el valor de “M”: .-. [ f ]
M = 23+ 43+ 63 + 83 + ...+ 403
A) 352 800 B) 345 600 C) 350 400
D) 358 200 E) 34 528
Resolución:
M = 2 3 + 4 3 + 63 + 83 + ... + 403
Descomponiendo en forma conveniente se tiene:
M = 23 (13) + 23 (23) + 23 (33) + 23 (43) + . . . + 23 (20^)
M = 23 [13 + 23 + 33 + 43 + ... + (203)]
20 términos
M = 23
20(20 + 1)
= 23 X (210)2= 352 800
PRACTICANDO 1
1. Hallar:
3 = 20 + 21 +22 + ...+ 60
A) 1520 B)1590 C)1710
D)1640 E)1720
2. Calcular;
3 = 1 + 4 + 9 + ... + 400
A) 2660 B )2690 C) 2870
D) 2970 E) 2390
3. Hallar “n":
1 + 3 + 5 + ... + n = 100
A) 20 8 )17 C)21 D)23 E) 19
4. Hallar:
S = 10=' + 11=̂ + 12 ̂+ ...+ 102
A ) 1315 8)1345 C ) 1215
D )1218 E ) 1325
5. Calcular:
8 = 1 + 2 + 3 + ... +86
A) 3741 B) 3681 C) 8631
D) 3962 E) 3571
6. Hallar:
8 = (1^ + 1 2 ) + ( 2 3 + 1 2 ) + (3 3 + 1 2 ) + ... + (9 = + 12)
A ) 2 3 1 2 8 ) 2 4 1 5 C )2 1 3 3
D ) 2 4 1 6 E ) 2 8 1 5
7. Calcular:
3 = 133 + 143 + 153 + ... +223
A) 56 265 8) 57 925 C) 58 215
0 )5 4 151 E) 21 431
8. Hallar “x":
12 + 2 ̂+ 3-̂ + ...+ x ̂= 285
A) 9 B)10 C )8 0)11 E) 12
9. Hallar “x":
13 + 23 + 33 + ... + x3 = 8281
A) 12 B)15 C)16 0 )1 3 E) 17
10. Calcular:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 25.26
A) 5660 B )5790 C) 5850
0)5780 E)6172
11. Hallar:
8 =
1 1 1 1
5x10 10x15 15x20
A) 420 B) 410 C) 400 E)
200x205
9
205 ' 430
12. Hallar “x”:
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + 2x = 360
A) 14 B)16 C) 15 0 )1 8 E) 19
13. Calcular:
M =^^^(1 + 3 + 5 + ...+ 3 9 f - ° '= '“ ' ^ - ' "
A) 10 8 )2 0 C)30 0) 40 E) 24
14. Hallar:
8 =
1 11
6.9 9.12 12.15
1
30.33
">43
15. Hallar a + b, si:
ib + 2b + 3b + ... + ább = 12 691
A) 10 8)11 C) 12 0 )1 3 E) 14
16. Hallar a + b, si S, - = 4
8̂ = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + a
8^ = 40 + 38 + 36 + ... + b
A) 49 B) 48 C) 46 O) 47 E) 52
17. Oe un libro se arrancan 61 hojas de la parte
final. Si se sabe que en la numeración de és
tas (hojas arrancadas) se han usado 365 ti
pos, hallar la cantidad total de hojas de dicho
libro.
A) 120 B)110 0 210 0 )240 E) 180
18. Halle -‘8 ”:
9 U
S = -
36 72
20 80 320 1280
A) 1/19 B)5/16 0 3 /1 9 0)7 /19 E) 9/19
19. Hallar:
S = 1 - 4 + 9 - 1 6 + 2 5 - . . .
A) -930 B) -740
D)-910 E)-790
20. Hallar: x + a + b + c
C )-820
xTx + x2x + x3x + ... + x9x = abc3
A) 20 8) 21 C) 24 D) 25 E) 22
21. Calcular:
S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 18.19.29
A) 35 410 8 )35 910 C) 34 210
D) 36 219 E) 35 915
22. Hallar el resultado de efectuar la serie:
5 = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12+ 11 + 15 + ...,
sabiendo que tiene 100 sumandos.
A) 6675 B) 6645 C )6892
D)6915 E) 6924
23. Hallar “n” si:
A = 3 + 12+27 + ...+ n
B = 2 + 4 + 6 + ... + 112
C = 1 + 3 + 5 + ... + 71
Además: B + C = A
A) 764 B) 768 C) 469 D) 361 E) 969
24. Efectuar:
s = 1- + 2 Í + 3 — + .
2 6 12
-20 -
420
A) 208,7
D) 210,9
B) 207,8
E) 207,4
C) 209,4
25, Hallar “n”, si la suma de ios términos de la su
cesión:
4; 10: 18; 28; ...; n
es igual a: 79 300.
A) 3940 i B) 3120 C)3195
D)3910 E)3780
26. Hallar “x", si:
M = 5 + 10 + 15 + ... + X
N = 1 + 4 + 9 + ... 1600
P = 1 + 8 + 27 + ... + 3375
Q = 2 + 4 + 6 + ... + (x + 10)
Además: N = M + P + Q + 1950
A) 10 B)25 0 28 D)30 Ej 20
PRACTICANDO 2
1. S i:S , = 1 + 2 + 3 + . . .+ {x + 1);
calcular: S = S, + Sj, + S3 + ... Ŝ ,
A) 1770 B) 1810
D)1910 E)1960
2.
C ) 1790
La suma de la última fila del arreglo es 2380,
¿cuántas filas se tienen?
1
2 + 3
3 + 4 + 5
4 + 5 + 6 + 7
3.
4.
5.
6.
7.
A) 39 B) 42 C) 40 D) 46 E) 48
La suma de 23 números impares consecuti
vos es un número que está comprendido entre
760 y 850. Entonces el término central es un
número:
A) (vlayor que 50 B) Menor que 30 C) Primo
D) fviúltiplo de 5 E) Múltiplo de 3
La suma de los "n” primeros números natura
les consecutivos, pares consecutivos, impares
consecutivos es 6(5n + 1) + n. Hallar “n”.
A) 6 B) 8 C)10 D)12 E) 15
Sabiendo que la suma de 30 números enteros
consecutivos es 1865. hallar la suma de los 30
números enteros consecutivos siguientes.
A) 2 500 B) 2 550 C) 2 565
D )2 650 E )2 700
Las últimas cifras de la suma de 53 números
enteros consecutivos es 58, Entonces la últi
ma cifra del cuarto número consecutivo es:
A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) O
En una especie marina, con “2n” miembros,
se observa lo siguiente: los nacimientos son
producto del azar y lo curioso fue que la 1.“
pareja tuvo 1 cría, la 2. ̂pareja tuvo 2 crías, la
3.® pareja tuvo 3 crías, y así sucesivamente,
resultando con una población total de '‘40n'’
miembros. Si abortó una hembra muriendo to
das sus crías y disminuye así la población en
1/150, ¿cuántas crías murieron? (Considerar
n parejas)
A) 12 B) 18 C)30 D) 24 E) 20
8. Si:
a + ba + aba + baba + ababa + ... = ...92;
13 sumandos
calcular la suma de valores que puede tomar
"b”.
A) 8 B )9 C) 10 D) 11 E)12
9. Halle:
S = 3 + 33 + 333 + 3333 + ... 333...3
“n" sumandos
A)-
C)
E)
1 0 " - 1
10"-' - 9 n -1 0
27
10""’ + 9 n -1 0
B)
D)
10"-' -9n
27
10” -9 n
27
10. Hallar el valor de “S”:
S = 3 + 6 + 12 + ...+207
A) 4810 B)4820 C) 4830
D )4840 E) 4850
11. Hallar el valor de “S", si tiene 12 sumandos.
8 = 2 + 4 + 8 + 16 + ...
A) 2198 B)8192 C) 4581
D) 1982 E)9184
12. Hallar el valor de “8”:
S = 100 + 20 + 4 + - + ...
5
A) 121 B) 122 C) 123 D) 124 E) 125
13. Hallar el valor de “W :
W :
1 ' M 1 '■ ''1 1 '
3^ , i ” 6 ,l2
A) 1/3 B) 1/4 C) 2/3 D) 4/3 E) 5/3
14. Calcule la suma de los 100 primeros términos
de la siguiente sucesión:
1; 3, 5: -7: 9: 11: 13; -15; 17; 19; 21; -23; ...
A) 4950 B> 3750 C) 2950
D) 3850 E) 4850
15. Calcular el valor de “8” :
8 = 1? - 3 ̂ + 5" - 7 ̂ + ... (20 términos)
A) -800
D) 440
16. Sumar:
B) -420
E) -560
C )-1 680
+ 4 + 5 + .. . +20
+ 4 + 5 + .. . +20
+ 4 + 5 + .. . +20
4 + 5 + .. . +20
5 + .. . +20
+ 20
A) 2850
D) 2900
B) 2870
E) 2920
C ) 1350
17. La suma de los 5 primeros términos de una
P.A. creciente de 17 términos es 35 y de los 5
últimos términos es 215. Calcular el noveno
término.
A) 30 8) 25 C) 40 D) 35 E) 55
18. El segundo término de una P.A. es 7 y el séti
mo término es 22. Calcular la suma de los 10
primeros términos.
A) 170 B)210 C) 145
D)175 E) 185
19. Dada la siguiente serie aritmética, determinar
su valor:
8 = t + t, + ... + 24 + ... + t.c
7 términos 7 términos
A) 130 8) 360 C) 400 D) 600 E) 240
20. Si se cumple;
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) es igual a abab el
mayor valor de (a + b + n) es;
A) 103 B) 100 C) 107
D)105 E)156
21. Calcular la suma de la serie:
^ 1 1 , 3 1 5S — — j-----i -̂------ (--------
4 8 64 64 1024
+ ...
A) 2/3
D) 9/2
B) 2/9
E) 3/2
PRACTICANDO 3
1. Hallar la suma de;
3 + 5 + 6 + 10 + 9 + 15+ 12 + ...
37 términos
A) 875 B)795 C) 597 D) 697 E) 1425
2. Se sabe que;
S = a, + a, + a, + ... a„
donde: a =
Calcular:
A) 2700
D )2400
5; si: “n” es impar
5n; si “n” es par
B) 2600
E) 2200
C )2100
3. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la figura
10?
&
(1) (2) (3)
A) 175 B) 165 C) 150 D) 205 E) 140
4. Una pelota de jebe es dejada caer de 24 m de
altura, y cada vez que rebota se eleva la mitad
de la altura anterior. ¿Cuántos metros recorrió
la pelota hasta quedar teóricamente estática?
A) 48 m B) 72 m C) 64 m
D) 56 m E) 80 m
5. Determine el valor de “n” en:
19 + 22 + 25 + , . .+ n = 1566
A) 87 8)79 C)117 D) 97 E) 109
6. Calcular: Vi + 2 + 5 + 7 +...+ 39
A) 40 B)20 C )5 D) 16 E) 8
7. ¿Cuántas bolitas sin pintar hay en la figura 20?
(1) (2) (3)
A) 221 B)211 C)231 D) 220 E) 213
8. Hallar la suma total si el arreglo tiene 10 filas.
5
5 5
5 5 5
5 5 5 5
A) 215 8)250 C)285 D) 275 E) 225
9. Hallar la suma total;
1 + 2 + 3 + 4 + ...+10
2 + 3 + 4 + ... + 10
3 + 4 + ... + 10
4 + ... 10
10
A) 375 B)315 C) 385 D) 425 E) 365
10. Determinar el valor de la siguiente suma;
E = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ... + 18,81
A) 90,18 B) 92,85 C) 98,15
D) 91,30 E) 99,37
11. Halar la suma total:
S = 2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 323
A) 2115 B)2119 C)2209
D)211 E)2109
12. Hallar la suma total:
S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 20x21
A) 3080 B) 1540 C) 3410
D) 3020 E) 3000
13. Hallar la suma de todos los términos de la fila
17.
Fila 1 -
Fila 2 -
Fila 3 -
Fila 4 -
A) 1178
D )1032
10
B ) 1089
E) 1019
C) 1144
14. Por motivos de una fiesta infantil se repartie
ron un total de 1 600 juguetes entre 25 niños,
dándole a cada uno 2 juguetes más que al an
terior. ¿Cuántos juguetes les dieron a los 15
primeros?
A) 800 8)900 C)910
0)1010 E)810
15. Sabiendo que el arreglo tiene 8 filas, hallar la
suma total.
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
A) 647 B) 646 C) 676 D) 784 E) 666
16. Hallar el número de fichas en la figura 20.
&
(1)
A) 3331
D) 221
(2)
B) 231
E) 243
C) 233
17. Calcular:
S = 23 + 43 + 6 ̂+ ... + 40°
Dar como respuesta la suma de las cifras.
A) 12 8) 11 C) 13 D) 14 E) 18
18. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos de 5.
A) 2500 B) 2325 C)2150
D) 1955 E)1840
19. Calcular;
S =
2 + 6 + 10 + 14 + ...+ 38
3 + 9 + 15 + 21 + ... + 93
A) 24/13 8)25/96 C) 25/54
D) 23/17 E) 24/58
20. Hallar la suma de los 20 primeros términos de
la serie;
S = 1 + (3 + 5)+ (7+ 9 + 11) +(13 + 15+17 +
19) + ...
A) 40 000 b) 44 100 C) 11 664
D) 10 804 E) 20 800
21, Calcular “a + n" si;
1 + 2 + 3 + 4 + . . .— aaa
"n" sumandos
A) 42 B)40 0 )8 D) 9 E) N.A.
22. Un profesor compra el dia de hoy 21 cajas de
tizas y ordena que cada día que transcurra se
compre una caja más que el dia anterior.
¿Cuántas cajas compró en total, si el penúlti
mo día se compraron 39 cajas?
A) 810 8)430 C)560
D) 740 E) 570
23. Una pareja de enamorados deciden leer la mis
ma novela de 3 000 páginas. Él cada día lee
100 pág. y ella lee 10 pág. el primer día, 20
pág. el segundo dia, 30 pág. el tercer día, y así
sucesivamente. Si ambos comienzan el 14 de
febrero de un año bisiesto, ¿en qué fecha co
incidirán en leer la misma página?
A) 3 de marzo B) 4 de marzo
C) 2 de marzo D) 5 de marzo
E) 8 de marzo
24. Luis ahorró su dinero del siguiente modo: el
primer día 3 monedas de 50 céntimos; el se
gundo día 3 soles más que el primer día; el
tercer día 5 soles más que el segundo día; el
cuarto día 7 soles más que el tercer día y así
sucesivamente hasta que el último día ahorró
801 monedas de cincuenta céntimos. ¿A cuán
to asciende sus ahorros?
A) 175 000 8) 643 000 C) 256 000
D) 73 200 E) 288 000
25. Una persona debe vaciar un balde de agua a
cada uno de los 20 árboles que están sembra
dos en fila y separados uno del otro 8 m; si la
persona en cada viaje sólo puede llevar un
balde con agua y el pozo de donde saca el
agua está a 10 m del primer árbol, ¿qué dis
tancia habrá recorrido después de haber ter
minado con su tarea y haber vuelto el balde al
pozo?
A) 334 8) 668 C) 765 D) 434 E) 682
PRACTICANDO 4
1. Hallar el término que continúa;
7; 8; 16; 4; 12: ?
A) 44 B) 36 C) 64 D) 100 E) 192
2. 1/2; 1; 3; 6; 8; ...
A) 10 B) 12 C) 16 0 )20 E) 18
3. 1; 1; 1; 3; 5; 9; ...
A) 10 B)12 C) 17 D)20 E) 15
4. 1; 2; 3; 3; 6; 5; 10; 7; 15; ...
A) 8 B )9 C) 10 D) 11 E)13
Hallar el valor del término número 20 en cada caso;
5. 2; 7; 12; 17; ...
A) 82 B)77 C)92 D) 97 E) 102
6. 10; 14; 18; 22; ...
A) 74 B) 78 C) 82 D) 86 E) 104
7. 6; 2; -2 ; -6 ; ...
A ) -20 B )-70 C )-80 D )-98 E )-100
8. 1 ; -2 ; -5 ;-8 ; ...
A ) -56 B )-60 C )-48 D )-66 E )-81
Hallar el término enésimo en cada caso;
9. 6; 14; 22; 30; ...
A) 8n + 2 B) 8n - 1 C) 8n - 5
D) 8n - 2 E) 8n + 3
2 5 8 11
3 ’ 7 ■ Í i ’ l5 ’
A)
D)
3 n -1
3n + 2
3n -1-1
4n-1
B)
3n-1
3n-Hl C)
3n-i-2
4n -1
E)
3n-1
4n-1
10 . 21 . ^ .
3 ’ 8 ’ 13 ’ 18 '
A)5n(2n) B)(8n + 1)2n
C)5n(3n-H l) D) (4n-i-2) (n - 1)
E)
11n-1
5n4-2
12. 6 X 12; 10 X 17; 14 x 22; 18 x 27; ...
A) (4n + 2)3 B) (5n + 7)5
C )8 n -3 n D) (3n + 3) (2n -i-1)
E) (4n + 2) (5n -i- 7)
13. Hallar el último número de la fila número 20.
F, ^
F. 13
1
3 5
9 11
15 17 19
F,
A) 311 B)401 C)372 D) 419 E) 504
14. Hallar el primer número de la fila 20.
• F, 1
2 3
4 5 6
F¡ ^ 7 8 9 10
F ̂ -> 11 12 13 14 15
A) 180 B) 181 C)191 D)201 E)'l73
15. ¿Cuántos números están comprendidos entre
a y b si forman parte de la sucesión de los en
teros positivos consecutivos?
1; 2; 3; a; ... b; ...
b - a ,
A) a - b B) b - a C) - y - +1
D ) b - a - H l E ) b - a - 1
16. Calcular el 1.“ término negativo de la siguiente
sucesión;
200; 197; 194; 191; ...
A )-1 B )-2 C )-3 D )-10 E)-11
17. Hallar “X";
2’ ; 5'=; 8^^ a>
20 términos
A) 100 B)97 C)177 D) 178 E) 201
18. El primer y quinto término de una progresión
geométrica son 12 y 972 respectivamente. Si
la progresión consta de 21 términos, calcular
la suma de las cifras del tercer término.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9
19. El quinto término de una sucesión lineal es tanto
como la razón multiplicado por el primer térmi
no. Si el tercer término resulta al sumar los
dos anteriores, tiallar la suma de cifras del dé
cimo término.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
20. En una sucesión lineal, el cuarto término vale
8 y el séptimo término es 14. Hallar el término
del lugar 20.
A) 71 B) 72 C) 73 D) 76 E) 80
21. Hallar: “M + I - A ”
M = 7 7 - I -7 5 - I -73 + 71 - I - . . . + 23
I = 6 8 - I -6 5 - I -62 + 5 9 . . . - I -11
A = - 2 3 - 2 0 - 1 7 - 14 ...
25 sumandos
A ) 1865 B ) 1650
D )2000 E) 2050
C )1950
22. Hallar “S":
S = 1"-22-^3^-4^-^5"-6 "-^7^-^...-^392-40"
A) -4 4 4 B) -6 6 0 C) -6 6 6 D) 860 E) -8 2 0
23. Hallar “S”:
S = 144 -I- 48 -t- 16 -t- 5 ,3 + 1,7 -I- . . .oo
A) 216 B )2 8 8 C) 360 D) 720 E) N. A
24. Obtener la suma del siguiente arreglo triangu
lar;
15"
14" 15"
13" 14" 15"
12" 13" 14" 15"
1" 2" 3"
Dar la suma de cifras.
A) 1 B )9 C)11
15"
D) 10 E) 12
25. Obtener la suma límite de;
162 - I -9 6 -H 54 + 48 + 1 8 - I -24
A) 486 B) 960 C) 1 620 D) 480 E) 435
26. Hallar la suma de:
S = 3 -I- 6 -I- 12 + 24 + 48 ... + 6144 y dar la
suma de cifras.
A) 14 B) 15 C)18 D)20 E) N. A
27. Hallar la suma de todos los términos hasta la
fila 10.
3
6 6
9 9 9
12 12 12 12
A ) 1024
D )1625
B) 1025
E) 1155
C ) 1145
28. La suma de los 20 términos de una sucesión
lineal creciente es 650. Si el producto de los
términos extremos es 244, hallar la razón.
A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 2
29. En una sucesión lineal la suma de todos los
términos en función del número de término es;
^ 3n^ 13n
2 2
Hallar el término 400.
A) 2410 B)2360
D) 1205 E) 590
C) 1180
30. Calcular la suma de los infinitos términos da
dos;
1 2 1 2 1 2
A) 3/8
D) 3/16
B) 5/12
E) 3/24
C) 5/16
31. Calcular el valor de S;
8 = 1 -i-(1 -t-4) + (1 +4-l-7) + (1 -i-4 + 7-t-10)-t-...
A) 4 200
D) 760
19 paréntesis
B) 860
E) 599
C) 761
32. Hallar el valor de “8”;
1 1 1 1
S = --- !------+ --- + + .. .co
9 27 81 243
A) 1/3 B) 2/3 C) 1/6 D) 5/9 E) 2/9
33. Hallar la suma de los 15 primeros términos de
la serie;
8 = 1 -H 7 + 17 + 31 -I- ...
A) 2048
D )1024
B) 4096
E) 2425
C) 2465
34. C a lcu la r el va lo r de “S":
8 = 9 + 12 + 17 + 24 + ... + 177
C) 1 024A) 960
D) 963
8) 923
E) 819
PRACTICANDO 5
1. Se escriben los números impares en el orden
mostrado:
f i la i: 1
fila 2: 3; 5
fila 3: 7:9:11
fila 4: 13; 15; 17; 19
¿Cuál es la suma de todos los números hasta
la fila 20?
A) 44 100 B) 22 400 C) 2600
D)6 050 E) 12 100
Determinar la suma de las áreas de los infini
tos cuadrados formados como muestra la fi
gura (el lado del cuadrado es la mitad del lado
dei cuadrado anterior?
A) 4a^3
2.
B) 16a%
C) 50l
D) 64a2/3
E) a%
0
0’
4a
3. Efectuar;
1¿ + 2- ̂ + 3 ^ - h 4 í - K 5 = ^ - t - . . . - i - I O ^ +
2 ^ -I-3= h- 4¡^-h52-F ... + 10^
3 2 + 4 ^ - I - 5 ^ - I - .. . + 1 0 ^
10"
A ) 1000
D )10000
B )3025
E) 27500
C) 2750
4. Hallar la suma de la siguiente serie:
S = 1.2.3, + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 20.21.22
A) 62 000 8) 7345 C) 81 245
D) 63 457 E) 53 130
5. La repartición de viveras para ciertas tiendas
se efectuó de la siguiente manera: en la pn
mera tienda, “a” botellas de aceite, en la se
gunda tienda “a 4-1" botellas, en la tercera tien
da, “a -f 2” botellas, y así sucesivamente. Si la
última tienda recibe 40 botellas, ¿cuántas bo
tellas se dejaron en la primera, si en total se
han repartido 765 botellas?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
Dos hermanas: Lucía e Irene compran cada
una el mismo álbum de figuritas. Lucía pega
en el suyo 1 figurita el primer día, 2 en el se
gundo día, 3 en el tercero, y así sucesivamen
te, mientras que Irene pega en el suyo 1 figuri
ta el pnmer día, 3 el segundo, 5 el tercero, etc.
Si ambas compraron su álbum e Irene lo llena
el día 16, ¿cuántas figuritas le faltarán a Lucía
ese día para completar el suyo?
A) 80 B) 96 C)120 D) 136 E) 156
A) 1 + 2 ^ 2
D) 1 - V 2
B) 2 - v5
E)
C )3 -V 2
8. Si a la suma de los “n” primeros números na
turales, se le agrega la suma de los “n” prime
ros números pares, se obtiene, 2460, Calcular
el valor de "n”.
A) 40 B) 42 C) 41 D) 44 E) 45
9. Hallar la suma total de:
E = 0,01 -t-0,02 -I- 0,03 -I- .. . -I- 4
A) 801 B) 802 C) 803 D)401 E) 701
10. Hallar M -N , si:
M = 2 + 4 + B + 8 + ...
52 términos
N = 1-I-3 + 5 + 7 + ...
50 términos
A) 250 B) 265 C) 256 D) 331 E) 337
11, Determinar la suma de los perímetros de los
infinitos triángulos equiláteros como se mues
tra en la figura (los vértices son los puntos me
dios de los lados del triángulo anterior).
A) 6a
B) 9a
C) 12a
D) 18a
E) 20a
12. Calcular.
M = 1 + 2 + 5 + 3 + 4 + 5 + 5 + 7 + 4 + í 5 + 4+,..
300 términos
B) 20 600 C) 10 300
E) 21 500
A) 10 800
D) 18 600
13. Calcular:
1
1 .2 2 .3 3 .4 19 .20
A) 19/18
D) 19/20
B) 18/21
E) 21/29
C) 17/19
14. Determinar el valor de “S”:
S =
1
10 10^ 10°
A) 1/9 B) 10/9
D) 10/81 E) 11/81
C) 1/81
15. Un tendero compra, el día de hoy. 21 cajas de
tomates, y ordena que cada día que transcu
rra se compre una caja más que el día ante
rior. ¿Cuántas cajas compró en total si el pe
núltimo día se compraron 39 cajas?
A) 720 B)640 C) 610 D) 580 E) 496
16. Dado que:
(1 + 2 + 3 + ... + n) (2 + 4 + 6 + ... 2n) = 6050,
determinar;
A) 109 B) 131 C)126 D) 136 E) 139
17. Efectuar;
S = 1 + ( 1 + 2 ) + ( 1 + 2 + 3 ) + ( 1 + 2 + 3 +4) +
... + (1 + 2 + 3 + ... + 80)
A) 88 560 B) 88 660 C) 88 760
D) 88 360 E) 88 460
18. Calcular la suma de todos los números pares
comprendidos entre 24 y 96,
A) 2220 B)2100 C) 4200
D) 4440 E)2010
19. Se sabe que:
1.3 + 2.4 + 3.5 + 4,6 + ... + n (n + 2)
n(n + 1)(2n + k)
El valor que debe tomar “k" es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
20. Leticia debe leer un libro en un número deter
minado de días y se da cuenta que si lee 13
páginas cada día logrará su cometido; pero si
lee una página el primer día, tres el segundo,
cinco el tercero, etc., le faltarían aún 12 pági
nas por leer, ¿Cuántas páginas tiene dicho li
bro?
A) 144 8)156 C) 169 D) 182 E) 157
21. Hallar el valor de “A" si;
A = 3 + 24 + 81 + 192 + ... 5184
A) 18 252 B) 19 456 C) 14 754
D) 19 172 E) 18 254
22. Si n es un número entero positivo, el valor de
la suma:
3 + 33 + 333 + ... + 3 ... 3 es:
rTcífras
A)-
E)
10" - 9n - 1 0
27
10"~’ - 9 n -1 0
27
10"^' + 9 n -1 0
27
8)
D)
10"-' +9n + 10
27
10"^’ + 9 n -1 0
27
23. Calcular M + N si;
1 + 2 + 3 + 4 + ... + M = 190
2 + 4 + 6 + 8 + ... + N = 930
A) 29 B) 39 C) 49 D) 59 E) 79
24. Dos hermanas, Juana y María, iniciaron ante
la proximidad del verano un régimen de dieta.
Juana la lleva a cabo comiendo 13 duraznos
cada día. mientras que María la lleva a cabo
comiendo 1 durazno el primer día, 2 en el se
gundo, 3 en el tercero, y así sucesivamente, la
dieta terminó cuando ambas habían comido la
misma cantidad de duraznos. Si la dieta se ini
ció ei 15 de noviembre, ¿qué dia terminó?
A) 7 de diciembre B) 8 de diciembre
C) 9 de diciembre D) 10 de diciembre
E) 11 de diciembre
25. ¿Cuál es la relación correcta entre los núme
ros:
x = 1995(1 - I -2 -I-3 -f 4 -t-... 1996)
y = 1996(1 -1-2+ 3-h4-H...H-1995)
A )y = x■ ̂ 1996 B )x = y -f 1995 C) x < y
D) X > y E) X = y
26. Hallar "x" si:
X -I- (X -I- 4) -f (X -H 8) -I- (X -I- 12) -H ... -I- 5x = 720
A) 14 B)15 C)16 D)17 E) 18
27. Calcular:
S =
1 1 1- + - 1
A) 10/99
D) 37/39
3 .6 6 .9 9 .12
8) 39/33
E) 38/49
30 .33
C) 33/43
28. Hallar p -i- q:
P = 25 -f5 -i- 1 + ^ + ^ + -
, 7 7 7 7q = 7 -^ --^ — — + . . .
2 4 8 16
A) 181/4
D) 172/6
B) 184/5
E) 184/3
C) 105/4
29. Durante el mes de agosto, las llamadas telefó
nicas de (viaria variaron de la siguiente mane
ra: una llamada el 1 tres el 2.°, cinco el 3.°, y
así sucesivamente fiasta el día 15 inclusive,
pero a partir del 16 las llamadas fueron: dos el
16; cuatro el 17, seis el18, y así hasta fin de
mes. ¿Cuántas llamadas hizo María durante
todo el mes?
A) 465 B) 480 C) 487 D) 497 E) 496
30. Hallar A -i- B, sí:
111 1 J _ J _ _ _
3 '^3 .5 '^5 .7 '^ '^ a .b "2 3
A) 42 8 )3 6 C)52 0 )4 8 E) 44
31. Hallar el valor de M en la siguiente sumatoria:
M = 7.02 + 9.04 -I- 11,06 -I- ... + 29,24
A) 217,56 B) 216,56 C) 216,16
0)217,16 E) 217, 46
32. Calcular “x":
1 1 1
- -I- — + --------------1-.. . -I- - 1
3.7 5.9 7.11 x(x + 4) 27
A) 23 B) 24 C) 25 0) 45 E) 75
33. Si “n” es un número entero positivo, el valor de
la suma:
3 -f" 33 -f' 333 -f ... -f- 33 ... 333 es:
"n" cifras
A) (10" - 9n - 10)/27
B) (10'” ' +9n + 10)/27
C) (10 ''-'-9 n -1 0 ) /2 7
D) (10'’- ' + 9 n -1 0 )/2 7
E) (10"*’ -i-9n-10)/27
34. El guardián del pozo de una hacienda ha plan
tado a partir del pozo, cada 5 metros y en la
dirección norte, un total de 30 árboles, y pue
de sacar agua del pozo cada vez para el riego
de un solo árbol. ¿Cuántos metros camina dia
riamente hasta regar el último árbol?
A) 4350 B) 4670 C) 4650
O) 4500 E) 4760
35. Hallar fvl + N:
IVI = 27 '
1 1 1 1
N = - + - + — + — + . . .
4 8 16 32
A) 1,5 8)1,17 C )2 D)2,25 E) 2,1Í
PRACTICANDO
1. Calcular la suma de la fila 50;
1
3 -e 5
7-1-9 + 11
A) 9750
D) 75 200
fila; 1
fila: 2
fila: 3
B) 12 500
E) 125 000
C) 25 000
2, Ricardo está apilando las canicas que tiene for
mando una pirámide tetraèdrica. ¿Cuántas
canicas tiene Ricardo como máximo sabiendo
que solamente le es posible obtener una pirá
mide de 20 niveles?
A ) 1460 B) 1540
D )1650 E) 1645
3. Efectuar:
8 = 1 ̂+ 23 + 33-1- 434- . . . +p3
C ) 1560
A) (p + 1)̂ B)
'p + 1
fp + iY
,2 ■p(p + 1)'
C) p
l 3 J-
D) 2
E) (P -1)
4. Hallar “P":
P = (a + 1) +(a + 3) + (a +5) +... (“n” sumandos),
si: n - a = 2
n(n +1)
C)2nA) n(n - 1)
D) 2(n^ - n) E) 2(n3 -1
5. Reducir el valor ae
" - 3
3
^ 1 3 5 7E = - + —̂ + -— - - - r -
3 3" 3= 3 '
. A) 12/36
D) 13/19
B) 15/32
E) 36/41
C) 17/36
6. Cuántos sumandos presenta la siguiente se
rie:
S = 7 + 9 + 11 + 13 + ... + 405
A) 100 B) 120 C) 140 D) 200 E) 280
7. Hallar:
^ 1 5 19 65S — + — + ----- + --------- 1-.. ,
6 36 216 1296
A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D)1/8 E )~
8. Calcular:
M = 4 + 5 + 7 + 3 + 6 + 5 + 9 + 3 + ...
130 sumandos
A )2500
D )2800
B )2655
E )2665
9. Calcular el valor de x, si:
1 1 - + -
1 19
5.7 7.9 9:11 x(x + 2) 215
A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 El 48
10. Hallar R.x, si:
1 + 2 + 3 + ... + R = XXX
A) 35 B) 37 C) 38 D) 216 E) 108
11. Efectuar:
8 = 1 + 3 + 5-
A) 23 801
D )23 401
/ + ... + 301
B )23 701
E) 22 108
C) 22 801
12. Hallar la suma de:
1 1 1 1 1
2 " e '^ Í 2 ^ ' ^ ’^'■■'^380
A) 9/20
D) 1 7/38
B) 19/20
E) 1
13. Calcular:
2 ̂+ 43 + f)3 8-’ + ... + 303
A) 4ó':iO B) 4890
D )4730 E) 49S0
C) 1/20
C) 4960
14. HaDar “ñ ” sn
R = 4 + 16 + 3 6 + .. .+ 1 024 + 1 156
A;714G B)7410 C) 6980
D) 7420 E) 9240
15. Efectuar:
T = 2(3) + 6(4) + 12(5) + ... + 272(18)
A) 23 356 8) 23 256 C) 23 756
C) 23 352 E) 23 842
16. Hallar el valor de:
(1 +2 + 3 + ... +99+ 100) +(100 + 99+ ...+2 + 1)
A) 10 000 B) 10 200 O) 10 3'J-O
D) 10 100 E) 2C 201
17. Se quiere cercar con ro.^as ur¡ jardín, cuya for
ma es la de un polígono de n lados, colocán
dose en e! primer lado 2 rosas, en el siguiente
lado 3 rosas, hasta completar el n-ésimo lado
con n-i-1 rosas. ¿Cuántas rosas hay en total?
A)nM n-i-1) B) (n-H 1) (n-i-2)/2
C) n (n + 3)/2 D) (n -h 1) (n - 2)12
E)
18. Halle la suma de los términos de la siguiente
serie:
2; 6: 13; 23; 36; 52; ... (25 términos)
A) 8 150 B )8 250 C) 11 050
D) 4 225 E) 11 700
19. Calcular;
S = 2 0 2 2 + 2 4 -I-... + 100
A) 2300 8)1240 C) 2460
D)1860 E)1740
20. Hallar el valor de la suma de la siguiente serie:
S = 1 + 2 + 6 -H 2 + . . .+420
A) 3080 8)3081 C)3180
D)3181 E)3810
21. Reducir:
S = 1 - 4 + 9 - 1 6 + ...+225
A) 120 B) 150 C)240 D) 300 E) 250
22. Hallar “x" si:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 15625
A) 125 B) 135 C) 145 D) 115 E) 249
23. Calcular:
S = 23 + 4® + 63 + . . .+ 403
Dar como respuesta la suma de las cifras.
A) 12 B) 11 C) 13 D) 14 E) 18
24. Hallar el valor de “J” si:
J = 1.2 + 2.4 + 3.6 + ... 15.30
A) 3475 8)2680 C)3125
D) 2480 E) 2470
25. Hallar el va lor de “Q ” si:
Q = 2 + 8 + 18 + 32 + ... + 1 250
A) 12 060 8)11 050 C) 16 767
0 )1 5 769 E) 14 679
26. Hallar la suma de la siguiente serie:
S = 1 + 2 + 7 + 7 + 13 + 12 + .. +42
A) 423 B) 432 0 ) 342 D) 433 E)422
27. Calcular la suma de la fila 40 y dar como res
puesta la suma de las cifras de esta suma.
1
2 + 3
3 + 4 + 5
4 + 5 + 6 + 7
A) 13 B)10 C)15 0 )1 7 E) 18
28. Hallar P:
P = 13 + 14 + 15 + ... + 24
A) 300 B) 78 C) 209 D) 96 E) 222
29. Determinar el valor de la siguiente suma;
0 . 1 1 1S — 1 -i 1-----)-----h...
2 4 8
A) 1
D) 4
8 )2 C )3
E) Faltan datos
30. Hallar R:
R = 1 + 3 + 5 + 7 + ...+21
A) 121 B)210 C)231 D) 143 E) 184
31. Efectuar:
S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 20x21
A) 2608 8) 2606 C) 3880
O) 3080 E) 3008
32. Hallar la suma de los 10 primeros múltiplos de 5:
A) 300 B) 275 0) 265 D) 305 E) 250
PRACTICANDO 7
1. Hallar el valor de:
1 1 1 1
A = - + — + — + ------+ ...
9 27 81 243
A) 1 B) 1/2 C) 1/3 O) 1/5 E) 1/6
2. H a lla r la sum a de los 15 prim eros térm inos de
la serie:
L= 1 + 7 + 17 + 31 + ...
A) 1 250 B) 940 C) 3500
D) 2 360 E) 435
3. Calcular la suma de los 20 primeros sumandos:
N = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + ...
A) 15 400
D )3540
B) 24 350
E) 44 320
C) 17 200
4. Se suelta una pelota desde una altura “H” y
cada rebote se eleva una altura igual a 3/4 de
la altura anterior. Calcular “H” si se sabe que,
hasta que se detuvo, recorrió un total de 140
metros.
A) 15 m B) 18 m C) 20 m
D) 25 m E) 30 m
5. Halle el valor de:
, 1 1 1L = ------+ ------- + ----------+ ... + - 1
3 x 6 6x9 9x12 30x33
10 29 30
99 30 33
31 7
98 97
6. Calcular el valor de “A”, si se sabe que tiene
15 sumandos:
A = 4x7 7x10 10x13
A)
15 75 75
196 ®^98 '"^196
45 25
196 196
7. Hallar el valor de “N”.
N = 2(2) + 4(3) + 6(4) + ... + 40(21)
A) 6000 8)6160 C)6140
D) 6810 E) 6325
8. Una pelota cae de una altura de 18 metros y
cada vez que rebota pierde 1/3 de la altura
desde la cual cae. Calcule la distancia recorri
da por la pelota hasta quedar teóricamente en
reposo.
A) 72 m B) 81 m C) 90 m
D) 84 m E) 96 m
9. Si: 3 + 5 + 7 + 9 + ... = abab,
“n" sumandos
calcular: a + b + n.
A) 117 B) 119 C) 118 D) 120 E) 121
10. Sumar:
S =
1 1 1 1
1 x 3 x 5 3 x 5 x 7 S x 7 x 9 1 1 x 1 3 x 1 5
12 16
B) C)
64 8 16
D) E ):165 '2 0 5 195 '1 9 5 '195
11. Si se cumple:
ISíM, + la ,.3; + = 132
¡14-a) sumandos
A) 11 8 )9 0 )5 D )6 E)7
12. Hallar la suma de los 78 términos de la siguien
te serie aritmética.
Iba -H Iba - h a b l
A) 40 911 B) 40 901 C) 90 411
D) 90 041 E) 90 400
13. Un camión repartidor de leche salió de la
envasadora con 1924 botellas de leche, y en
una primera bodega dejó algunas, en la siguien
te bodega dejó una botella más que en la an
terior, y así sucesivamente, hasta que ias últi
mas 70 botellas de leche que quedaban en el
camión fueron dejados en una panadería. ¿En
cuántas bodegas dejó leche el camión?
A) 36 B) 37 G) 31 D) 38 E) 34
14. Hallar el valor de:
1 1 3 1 5 3
A = -r + :r + x7 + — + -4 8 64 64 1024 2048
^>3
4
^>9
2 7
^^>9 ^>9
15. Sumar:
L = 1̂ X 2 0 - I -2 ̂X 19 - I - 3= x 18 -f . . . -f 202 X 1
A) 18 100 B) 17 800 0 )1 6 170
D) 16 710 E) 19 210
16. Se desea formar dos pirámides con naranjas,
una de base triangular y otra de base cuadra
da. Si las caras laterales deben tener 210 na
ranjas, ¿cuántas se emplearían?
A) 4450 8)4410 0)2870
D) 4370 E) 1540
17. En ¡a siguiente progresión aritmética:
bi4, baa, (b -r 1} (o - 4) 4, a ib
calcule la suma de sus términos.
A) 60 144
D) 65 144
B) 70 144
E) 62 144
C )75 144
18. Desde cierta altura se deja caer un cuerpo y se
observa que en el primer rebote alcanza una
altura igual a los 3/4 de la altura de donde fue
soltada. En el segundo rebote pierde 1/3 de la
altura alcanzada en ei primer rebote. En el ter
cer rebote alcanza 2¡l ̂de la altura anterior. En
el cuarto rebote alcanza los 2./3 de la altura
anterior. En el quinto rebote alcanza 3/4 de !a
altura anterior, y así sucesivamente. Si hiasta
el momento de detenerse ha hecho un recorri
do total de 120 m, ¿de qué altura se dejó caer?
A) 25 m B) 24 m C) 23 m
D) 20 m E) 30 m
19. Benito, al ganar el premio mayor de un sorteo,
lo reparte entre sus amigos de !a siguiente for
ma: al primero le da S/. 100, al segundo le da
S/. 200, al tercero le da S/. 300, y así sucesi
vamente en progresión aritmética, teniendo en
cuenta que cuando ya no pueda continuar con
los que siguen, se continuará repartiendo de la
manera anterior y así sucesivamente hasta ago
tar el pre,mió mayor que asciende a S/. 22 900.
¿Cuántos amigos se beneficiaron?
A) 20 8 )1 9 C)17 D)28 E) 21
20. Para completar su biblioteca, Carlos compró
por valor de S/. 1008 vanos libros cuyos pre
cios están en progresión aritmética de razón
2; si hubiera pagado S/. 50 menos por cada
libro, hubiera podido comprar “m " libros más
con la misma suma. ¿Cuántos libros compró
en total, si ' m” es igual a la cantidad inicial de
libros que hubiera comprado.
A) 7 8 )1 4 0 21 D)28 E) 35
PRACTICANDO 8
Dos hermanas, Lucía e Irene, compran cada
una el mismo album de figuritas. Lucía pega
en el suyo 1 figurita el primer día. 2 en el se
gundo día, 3 en el tercero y así sucesivamente
mientas que Irene pega en el suyo 1 figurita el
primer día, 3 el segundo, 5 el tercero, etc. Si
ambas compraron su álbum e Irene lo llena el
dia 16, ¿cuántas figuritas le fallarán a Lucia
ese día para completar el suyo?
A) 80 8 )9 6 C) 120 D) 136 E) 156
2. La repartición de víveres para ciertas tiendas
se efectúo de la siguiente manera: en la pri
mera tienda, "a" botellas de aceite,en la se
gunda tienda, “a+1" botellas, en la tercera tien
da, ■‘a+2'' botellas, y así sucesivamente. Si la
última tienda recibe 40 botellas, ¿cuántas bo
tellas se dejaron en la primera, si en total se
han repartido 765 botellas?
A) 9 8)10 C)11 D)12 E) 13
3. Se quiere cercar con rosas un jardín, cuya for
ma es ía de un polígono de n lados, colocán
dose en ei primer lado 2 rosas, en el siguiente
lado 3 rosas hasta completar el n-ésimo lado
con n+1 rosas. ¿Cuántas rosas hay en total?
A)n"(n+1) B) {n+1)(n+2)/2
C) n(n+3)/2 D) (n+1)(n-2)/2
E) n-"
4. Hallar M+N:
M = 1 H H-->--------1- ...
3 9 27
„ , 1 1 1 1[Sj - — -------- 1---------- 1--------. -
4 8 16 32
A) 1,5
D) 2,25
8) 1.17
E) 2,18
C) 2
5. Hallar la suma de:
1 1 1 1 1— 1- — 1------ 1 +... + -----
2 6 12 20 380
A) 9/20
D) 17/38
B) 19/20
E) 1
C) 1/20
6. Determinar el valor de “S"
S =
10 10
A) 1/9
D) 10/81
10-’
B) 10/9
E) 11/81
C) 1/81
7. Reducir el valor de E:
E - - + — ' — + —
" 3 3 '''^3^ 3 ' '
A) 12/36 B) 15/32
D) 13/19 E) 36/41
8. Calcular:
1 1 1 1
® " 3,6 6.9 9.12 30.33
A) 10/99 B) 39/33 C) 33/43
D) 37/39 E) 38/49
9. Hallar:
1 5 19 65
Q — -f. ------- 4- ---------- -j-------------------_
6 36 216 1296
A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/8 E) c»
10. Calcular:
M = 1+2+5+344+5+5+7+4+8+8+4+...
300 términos
A) 10 800 8 )2 0 600 C) 10 300
D) 18 600 E) 21 500
11. Se sabe que:
1.3+2.4+3.5+4.6+,..+n(n+2)=
n(n + 1)(2n + k)
El vaior que debe tomar “k" es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
12. Hallar el vaior de “J” si:
J = 1.2+ 2.4+ 3.6+ .,.+ 15.30
A) 3475 B) 2680 C) 3125
D) 2480 E) 2470
13. Efectuar:
S = 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4)
+ ... + (1+2+3+.. .+80)
A) 88 560 B) 88 660 C) 88 760
D) 88 360 E) 88 460
14. Si AB = BC = 1, c
hallar: BD + DE + EF + FG + ...
A) 1 + 2^2
D) 1~v'2
B) 2 -V 2
E) 1 + ^ ^
15. Ha lla ra+ b: ___
1+ 2 + 3 + 4 -f... + a — bbb
A) 42 B)43 C)44 D) 41 E) 47
PRACTICANDO
1. Si cada serie tiene 50 términos, hallar a + b + c
M = 1 + 2 + 3 + ... + a
N = 2 + 4 + 6 + ... + b
P = 1 + 3 + 5 + . . .+ c
A) 150 B) 250 C) 200 D) 249 E) 149
2. Hallar el valor de x:
4 + 7 + 10 + . . . + X = 175
A) 26 B) 31 C) 30 D) 29 E) 28
3. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos
positivos de 3, más los 20 primeros múltiplos
positivos de 5
A) 2 445 B) 1 395 C) 1 050
D) 2 454 E) 2 654
4. En una caja coloco 2 caramelos,en otra, cua
tro, en otra, seis y así sucesivamente, ¿cuán
tas cajas tengo en total, si solo tengo 380 ca
ramelos?
A) 16 B) 17 0 )1 8 D)20 E)19
5. Hallar E = A + B:
A = 3 + 1 + 1/3+1/9 + ...
8 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...
A) 8 B) 8,5 C) 9 D) 6,5E) 7,5
6. Hallar -‘n":
n + ... + 75 + 77 + 79 = 700
A) 59 B) 61 C) 63 D) 30 E) 31
7. Hallar Va + n +"7 ;
1 + 2 + 3 + ... + n = aaa
A) 8 B) 10 C )9 D )4 E) 7
8. Efectuar:
^ 1 2 3 4
S = + H -----T"^"-
10 10^ 10 ̂ 10‘‘
A) 10/81 B) 7/81 C)81/7
D) 8,1 E) 1/8
9. Efectuar:
P = 2 ^+ 4 ^+ 6 ^+ ... + (2 m f
A) 4m^(m + l f B) 4 m ® (m -lf
C) 4m ^(m -1) D) 4m^(m + l /
E) 4m
10. ¿Cuántos sumandos son, si la suma de ellos
es 2 275?
2n + (2n + 3) + (2n + 6) + ... + 5n
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
11. Calcular:
^ 3 7 15 31S - —5- + —j-H g f —̂ + ...
22 2“ 2® 2®
A) 2 B) - C )3 D)1,5 E) -
12. Diana camina entre dos puntos A y B de la si
guiente manera: avanza 3 m y retrocede 1 m,
avanza 5 m, 7 m, 9 m, y asi sucesivamente,
retrocede 1 m cada vez que avanza. Si la últi
ma vez que caminó hacia delante avanzó 41 m,
hallar AB si luego de su último avance no re
trocedió.
A) 380 6)411 C)421 D) 391 E) 420
13. En la progresión aritmética que sigue: a:
aaa, la suma de todos sus términos es 43 512
y el primer término vale igual que la razón.
Hallar el valor de “a".
A) 5 B) 6 0 9 D) 8 E) 7
14. La suma de 30 números naturales consecuti
vos es k. Hallar la suma de los 30 números
siguientes:
A) k -H 900 • B ) 2 k + 900 C) 2k + 930
D) k -I- 930 E) 0,5k 900
15, ¿Cuánto suman tos números pares contenidos
en los “n” primeros números naturales, siendo
“n” Impar?
A) (n^ - f l) /4
C) n(n^ -t-l)/2
E) (n^ - l )/6
B) ( n ^ - l) /4
D) n^(n-t-1)/6
16. Se suman tantos números pares consecutivos
desde el 20, como núme’os naturales conse
cutivos desde el 40. Si las sumas son iguales,
¿cuántos números pares se consideraron?
A) 50 B) 41 C) 42 D) 30 E) 28
17. Hallar el valor de “E":
1 1E =
(1){2) (2)(3) (3)(41
1
A) 15/17
D) 20/21
B) 18/19
E) 17/15
18. Hallar el valor de "M”:
M = 1
1 1
(20)(21)
C) 16/15
1
3 x 6 6 x 9 9x12
A) 10/99 B) 9/10
D) 99/10 E) 1/99
30x33
C) 10/9
19. En un torneo de fútbol de dos ruedas, partici
paron 14 equipos. Al final del mismo se obser
vó que cada equipo tenia un punto menos que
el que le antecedía en la tabla de puntuaciones,
excepto con el último que hizo cero puntos.
¿Cuántos puntos hizo el campeón, si la pun
tuación por partido ganado es de 2 puntos?
A) 72 B) 28 C) 34 D) 57 E) 43
20. Si: O < x < 1, calcular:
S = 1 -f 3x + 5x^ 7x^ 9x- ...
A)
1 -x
D)
B)
E)
1 + X
1+ X
C)
(1 + x)
1 - X
21 Calcular el término “n-ésirr. j" y además la suma
hasta dicho término en:
2; 6; 12; 20: 30; 42; „.
A) 2n;
. (n + 1)(n + 2)
B) 2n;
n(n + 1)(n + 2'i
C) n(n + 1);
n(n + 1)(n + 2)
D)
2 n n(n + 1)
n + —i -
2 2
n(n + 2)
E) — + n; -
' 2 6
22. En un camino hay 21 piedritas equidistantes
cada 10 m y en línea recta; una persona tras
lada todas las piedras hacia la piedra central y
cada vez puede cargar solamente una Diedra
y empieza por uno de los extremos. ¿Cuántos
metros recorre en totaH
A) 1800 m B)2100m C)2000m
D) 1200 m E) 2400 m
23. Calcular el valor de S;
S = 1 . O! + 4 . II + 9 .2! + 6 . 3! + ... + 400 , 19!
A) 21! 8 )2 0 1 -1 C )2 1 !-1
D)22! + 1 E) 211 + 1
24. Calcular et valor de la serie:
^ 1 2 3 4 5 6 7 8S = H 1-----+ — + — + H —
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!
B)
9 M
9! C) 9!
E) 9!
25. Se contrata a un obrero para cavar en busca
de fósiles prometiéndole pagar una suma por
el primer fósil que encuentre y que luego se le
irá duplicándo dicha suma por cada nuevo fó
sil encontrado.
Si encuentra 12 fósiles y recibe 12 285 soles,
¿cuánto le pagaron por el octavo fósil que en
contró?
A) 380 B) 384 C) 360 D) 400 E) 420
26, Sumar:
101
2 25 242
S = 1 + - y + -~T 'I p r + ...32 36 31.
12 4o y D) - 3 n6 '
27. Indique el valor de la suma de todos los térmi
nos del siguiente arreglo:
1 3 5 7 . 25
3 5 7 9 . . 27
5 7 9 11 . . 29
7 9 11 13 . .. 27
25 27 29 31 ., . 49
A )4225
D) 4850
B) 4280
E) 4950
C)4b00
28. Calcular el valor de la siguiente serie:
S = 3 + 8 + 13 + 18 + ... +503
C )24 586A) 24 558
D) 25 553
B) 23 475
E) 26 780
CLAVE DE RESPUESTAS
Practicando t
1. D 6. C 11 .D
2. C 7. B 12.C
3. E 8. A 13.B
4 E 9. A 14.A
5. A 10.C 15.C
16.A 2 1 .B 2 6 ,E
1 7 B 22.A
18.E 23.B
19.C 2 4 .D
20. E 25. E
Practicando 2
1. A 5, C 9, C 13.D 17,8
2. C 6, A 10.C 14 ,8 18,D
3. D 7, E 11,8 15 ,8 19.A
4. D 8, B 12.E 16 ,8 20, C
21,C
Practicando 3 Practicando 4
1. E 6. 8 11 .E 16.8 2 1 .A
2, E 7. 8 12.A 17.E 22. E
3. B 8. D 13.B 18.B 23. A
4. B 9. C 14.E 19 .B 24. E
5. D 10,8 15.E 20. B 25. B
1. E 7. 8 13.D 19.E 25. E 31 .A
2. C 8. A 14.C 2 0 .8 26. C 32. C
3. c 9, D 15.E 2 1 .A 27, E 33. C
4. D 10.E 16.8 22. E 28.A 34. B
5. D 11,E 17.D 23. A 29. D
6. D 12.E 18.E 24. B 30. D
Practicando 5 Practicando 6
1. A 7, E 13.D 19.E 25.D 31 ,A
2. B 8, A 14.D 20. B 2 6 .8 32, A
3. B 9. 8 15.C 21 .A 27.A 33,C
4. E 10,C 16.A 22. C 28 .A 3 4 ,0
5. B 11 .A 1 7 A 23. E 29.D 35. C
6, C 12 .8 18 .8 24.C 30. E
1. E 7. B 13.C 19.C 2 5 .8
2. B 8. E 14.A 20. B 26.A
3. D 9. 8 15.A 2 1 .A 27.A
4. D 10.D 16.D 22. E 28. E
5. 8 11 .A 17.C 23. E 29. B
6. D 12 .8 18.A 24. D 30.A
3 1 .D
32, B
Practicando 7
1. 8 5, A 9, A 13.A 17.C
2. E 6, C 10,E 14.C 18.D
3. C 7, B 11.D 15.C 19 .D
4. C 8, C 12.A 16.8 2 0 .8
Practicando 8
1. C 5, B 9, B 13,A
2. B 6, D 10,8 14 ,E
3. C 7. B 11 .E 15,A
4, C 8, A 12,D
Practicando 9
1, D 6, B 11 ,E 16,8 2 1 .C 26 ,A
2, B 7, E 12.C 17.D 2 2 .8 27.A
3, A 8, A 13.E 18 ,A 23. C 2 8 ,0
4, E 9, A 14.A 19.C 2 4 ,0
5, B 10.C 15.8 2 0 .8 25 8
SUMATORIAS
SUMATORIAS
Si queremos representar la serie numérica en for
ma abreviada, usaremos el operador matemático
sumatoria I (S es la letra sigma del alfabeto griego)
t, -t-tj -H t, -h ... t„ = X *k
i<=i
Se lee:
n
S *!' : sumatoria de los términos de la forma t,
k=1 "
desde k = 1, hasta “n”.
Una serie puede ser o infinita, dependiendo si el
número de términos de ésta es limitado o ilimitado.
Ejemplo:
Sea la siguiente sucesión numérica:
2, 4, 6. 8, 10, 12
donde: t„ = 2n
Entonces la serie respectiva es:
2-t-4-i-6 + 8 -h 1 0 -h 1 2 = 42
sene
En forma abreviada:
valor de la serie
6
2 -(-4 -h 6 + 8-1-10-1-12= Z (2 n )
n=1
Ejemplo:
Sea la sucesión:
2, 5, 10, 17, 26, .... 401 donde: t„ = + 1
Entonces la serie respectiva es:
2 -h 5 + 1 0 -H 17+ 26 + 401
En forma abreviada:
20
2 + 5 + 1 0 + 1 7 + ...+ 401
n=1
PROPIEDADES
1. Número de términos de la sumatoria:
# términos = m - n + 1
Ejemplo:
Halle el número de términos de la siguiente
sumatoria:
80
l a ,
i=23
# términos = 8 0 -2 3 + 1 =58
2. SI k es un valor constante:
£ k . a ¡ = k £ a |
i=n
9 9
Ejemplo:
i=n i=4
3. ai, bl son términos que dependen de la va
riable “I”:
m m
X (a ,± bO = £ a ,± X b ¡
Ejemplo:
¡=n MI fc1
4. Sumatoria de una constante k = cte.:
= k (# términos) = k (m - n + 1)
i=n
Ejemplo:
a
^ 1 0 =10 ( 8 - 4 + 1) =50
5. Desdoblando la sumatoria:
i = n; n + 1 ; n + 2; n + 3;...; n + p; n + p + 1 ;... m
X a i = ¿ a i+ X a i
Nota:
Suma de términos de una serie polinomial, co
nociendo su término enésíttío.
Ejeinplo:
Calcule la suma de los 20 primeros términos
de
S í= 4 + 1 1 + 2 2 + 37 + 5 6 + .. .
Jución:
S = 4 + 11 + 22 + .37 + 56 + ...
\ / S s /
7 11 15 19
\ / \ y : \ /
4 4 4
=> = 2n= + n + 1
Luego:
S = Z (2 n 2 + n + 1)
S = + +
02=1 n=:1
' ía , 20 20
S = '2 X i + £ n + £ l
' - n-1 rt=t n=:rt
20x21x41 20x21
S = 2 x --------T--------+ — - — + 1 x 2 0
|S := 5970
FORMULAS:
1. S = 1 + 2 +, 3 + ... + n
;x=1
2. S = V + 2 ^ + 32+ .. + n^
S = Í x ^ =
. X=̂1 . ■■ ■■"
n{n + 1)(2n + 1)
6
S = 13+2^ + 33 + . , .+ n̂
S = Í x ^ =
I i i
n(n + 1)'
2
2.
4. S = 1.2 + 2,3 + 3,4 + . „ + n(n + 1)
s . ¿ > ( x t i ) . í í í ü ) 6 i i a
1=1 3
'1 ^ sumatoria de todos tus es
fuerzos da como resultado tu éxi
to personal”
—A.ngelo Castillo-
EJEMPLOS
1. Calcular: E = ^ 8 + ^ 1 0
x=3 x=4
Resolución;
Por propiedad:
E = (1 7 -9 + 1) ,8 + { 1 6 - 4 + 1) . 10
E = 72 + 130
E = 202
>1*.
2. Calcular: E (2 x + 4)
X = 1
Resolución;
Se cumple que:
+ n + 4n
= 5n
10
3. Calcular: X (2x^ - 3x^)
x̂-1
Resolución:
10 10
I2 x ^ - X 3 x ^
X=1 X=1
10 10
2 . I x = - 3 . X x ^
2 . ‘ 10(10 + 1)^
2
- 3
2
10(10 + 1)(2.10 + 1)
6
2 . 3025 - 3 . 385
7 230
EJERCICIOS EXPLICADOS
1. Calcular: S (3i + 2)
A )3525
D )3825
Resolución:
B) 3625
E) 3925
. C) 3725
50 50 60
X (3 i + 2 ) = 3 £ i + X 2 = 3.
i=i i=i i=i
50 -51
+ 50 . 2
= 3925
2. Caicular:
i=1
A) 1 084 860 B) 1 084 660 C) 1 084 680
D) 1 084 880 E) 1 084 780
Resolución:
X (7 i) = 4 9 ^ 1 ^ = 4 9 . 40 . 41 . 81
= 1 084 860
a
3. Expresar como sumatoria, la suma de todos
los números de tres cifras.
Resolución:
Serie = 100 + 101 + 102 + ... + 999
999
= I '
i=100
4, Expresar como sumatoria:
1 2 1 2
Resolución:
La serie dada se puede escribir como:
1 1 1 1- + - ^ + - r + . . . - r — ^2
5 5 ̂ 5= 5
50 50
= X 5 - ^ - + 2 X s - ^ '
5. Calcular:
I I 1 ( 0 "
i = 11 i = 10 ! = 1
A) 695 B) 685 C) 675 D) 665 E) 645
Resolución:
^,..^-1 . 1 1 1 1 137> (i =1 + - + - + —+ - = --------------
t t 2 3 4 5 60
lit) 60 ̂ 60 6
£ H I = ( 4 0 - 1 0 ) ,H Í = 685
¡„11 6 6
B
6. Expresar como sumatoria:
A) 1 + 2 + 3 + 3 + ,„ + 20
8) 3 + 6 + 9 + .,. + 30
C) 1,8 + 2.9 + 3.10 + ... 10.17
D) 2̂ + 43 + 63 + + 403
Resolución:
A) 1 + 2 + 3 + „. + 20= ^ i
. = 1
B) 3(1) + 3(2) + 3(3) + „. + 3(10) =
X = 1
10
C) 1.8 + 2.9 + 3.10 + ... + 10.17 = y X (X + 7)
+7 +7
20
D) 2 ̂+ 43 + 63 + ...+ 40^= ^ ( 2 x f
¡Resuelva Ud!
1. Calcular:
^ 4 0 40
.k=1 k=6
A) 230 B) 310 C) 180 D) 225 £) 360
2. Simplificar:
IDO 100
X 5 k - £ 3 k
k=6 K=6
¿-,6
A) 2/3
D) 32/9
10D 100
I 8 k - f 5k
k=6 K=6
B) 16/27
E) 8/27
C)4/9
3. Calcular: S (x + + x )̂
■ A) 47 210 B) 47 180
D) 47 310 E) 46 320
4, Hallar el valor de “ñ":
C) 42 130
;¿ 2 x =342
• X=1 . '
A) 24 8)21 C )20 D) 18 E) 19
5. Hallar: ^ 2 k - - i
k=i
' A )392 B) 432 C )278 D )361 E) 400
6. Hallar “n” en:
3n . ’
2 ’ k = 1 640
k&n
A) 18 8) 20 C )22 D) 26 E) 31
7, Calcular: ^ k { k + 3)
A )3420
D) 3310
B )3182
E) 3276
C)3210
8. Calcular
a=1 x=t
A )4960
D) 4970
B) 4230
E) 4860
O) 4980
7. Calcular:
Resolución:
19
^ ( 4 x ^ - 4 x + l)
x=1 '
10 109
8. Hallar “n”:
¿ 2'' = 255
k=0
Resolución:
2° + 2' + 2=̂ + 23 + ... + 2" = 255
2“ (2"^' -1 )
(2“ ' - 1) = 255
2'"' = 256 = 2°
= 255
■■■ [ñü]
9. Determinar (a + b), si:
= bbb
k=1
Resolución:
Desarrollando:
1 + 2 + 3 + ... + a = 100b + 10b + b
a ̂ a +1)
= 111b
a(a + 1) = 222b
a(a + 1) = 6b (37)
4.
6
a (a + 1) = 36 (37)
I__________I
luego: a = 36 a b = 6
|a + b = 42|
10. Hallar: P = Vñ+Toa - 3b ,
si: 1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 +
Resolución:
Como: = a, + (n - 1) r
a„ = 1 +
= 7n - 6 ) Para: n = 12
a„ = 78
n
Luego: 1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 = + b)
£ ( 7 x - 6 )= X(a>< + b)
X=1 X=1
comparando: n = 12;a = 7 ;b = -6
P = ^12 + 1 0 (7 ) -3 (-6 ) = v/ÍTO
|P = ^0
11. Expresar como sumatoria el siguiente arreglo
numérico, si en tota! tiene 10 filas.
3 + 3
3 + 2 + 3
3 + 2 + 2 + 3
3 + 2 + 2 + 2 + 3
Resolución:
3 + 3 S, = 6= 2(1)+ 4
3 + 2 + 3 -^8 2 = 8 = 2(2) + 4
3 + 2 + 2 + 3 -^8 3 = 10 = 2(3) + 4
3 + 2 + 2 + 2 + 3 = 12 = 2(4) + 4
2 (10)+ 4
£ (2 k + 4)
12. Calcular X 3)
k= 3
A) 212 B)206 0)218 D) 234 E) 224
Resolución:
1.° método: aplicando propiedades y fórmula
de X,
10s
k = 3
TU - "'O TU
X W k-3 )= I ( k " - 3 k ) = I k 2 - 3 = 3 X k
K=3
10
Pero:
J = 2 k= - 5 = - 5 = 380
k = 3 k = 3 ®
10 10 HA Hi
X k = X k - 3 = ' ° , J ^ - 3 = 52
k=r1 lt=1 ^
. £ k ( k - 3 ) = 3 8 0 -3 (5 2 ) =
k=3
224
2° método;
10
5 ^ k ( k - 3 ) = 3,0 + 4.1 + 5 .2 + 6,3+ 7.4
k = 3
+ 8.5 + 9.6 + 10,7
= 0 + 4 + 10 + 18 + 2 8 + 40+ 54+ 70
= 224
. - . m
5 10
13. Calcular: X
X̂1
Resolución:
1 (10x 2)
X = 1
^ 2 0 = 5 x 2 0 = riÓÓ]
14. Calcular: S = 1(7) + 2(8) + 3(9) + 10(16)
Resolución:
10
“S” tendrá fa forma -> S ~ X ^
10
S = X ( x ^ + 6 x ) = X x ^ + 6 , X x
X=1 X=1 X=1
o _ + 6 2 ^ )
6 2
S = 385 + 330 => |S = 715
15. H allar el va lor de:
3 5 2 0
£ a + X ( 5 h - 4 )
k = l5 h=1
Resolución;
(3 5 -1 5 + 1). 8 + 5
20(21)'
- 20 (4)
168 + 1 0 5 0 -8 0
1 138
16. Calcular; £ ( 2 ^ - 4 k + 3)
Resolución:
(2' + 2=̂ + 2 ̂+...+2'") - 4 (1+2+3+...+10) + 10(3)
2 '(2 ’“ - l )
2 -1
- 4 [10(11) + 30 E = 1296
2\ / •
2046 - 220 + 30
1856
17. Calcular; E =
Resolución:
40 40
S k - I k
_k=1 k= 9
S -
E =
140(41) ''40(41) 8(8 + 1 ) ' l l '^ ' ’^ ''io
E = [8^6 - 8 ^ + 36}=
NOTAS
b
1. £<= = ( b - a + l ) - c
2 . =
X=1
n - n
3. E ( a x + b , ) = X a x + X b x
4. Í x = -
n{n + 1)
PRACTICANDO 1
1. Sumar;
E = 13 + 18 + 23 + 28+ 3 3 + . „ + 128
A ) 1320
D )3200
2. X (S f’ ) = A ;
n=1
Hallar (A + B).
A )5100
D) 11 574
B) 1805
E) 4600
= B
n=l
8 ) 11 745
E) 12 575
C )1692
C) 11 475
3. Hallar el resultado de;
2020 20
E= £ ( 3 x + 5 )+ I ( 3 x - 5 ) - X ( 6 ^ )
X=1 X=1 X=1
A) 100 0)200 C )0 D) 1 E) 210
4. Sumar: E = 14 + 20 + 26 + 32 + ... + 158
A) 4300 8)2150
D )4250 E) 3200
5. Si: S, = 1 + 2 + 3 + ... + 40
Sj = 2 + 4 + 6 + ... + 40
S ,= 1 + 3 + 5 + . ,.+ 3 9 ;
S = 3S, - Sj - S3
C) 2250
calcular:
A) 1 275
D) 1 600
B) 2550
E) 1200
C )1640
6. Calcular el resultado de “S":
100 términos
S =
2 + 4 + 6 + 8 + 10+ ... +
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...
100 términos
A) 100/99
D) 100/101
B) 101/100
E) 102/101
C) 99/100
7. Un hombre ahorra S/. 1,00 el primer día, el se
gundo día S/. 4,00, el tercer día. S/. 9,00, el cuar
to, S/, 16,00, y así sucesivamente. Si en total aho
rró 285,00, ¿cuántos días estuvo ahorrando?
A) 15 B) 12 C) 11 D) 9 E) 8
8. Suma: S = 3 + 12 + 27 + 48 + 75 + „. + 768
A) 8976 B) 62 88 C) 4488
D)2244 E)1122
9. Calcular ‘S”:
S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... -1 0 0
A) 25 B) 50 C) -25 D) -50 E) -60
10. Calcular la suma de los elementos de la fila 25.
1
1, 3
' 1, 3, 5
1, 3, 5, 7
A) 500
D )1225
fila 1
fila 2
fila 3
fila 4
B) 625
E) 400
C )4025
11, Calcular ’‘S ":
S = 2 + 10 + 30 + 68 + ,.. + 1010
A )3080 B )3090 C) 3050
D) 6000 E) 6080
12, Efectuar:
S = 9 + 12 + 17 + 24 + 33 + ...
12 témlnos
A) 746 B) 228 C) 270 D) 684 E) N.A.
13, Determinar el valor de '‘a’’ para que:
¿ (2 n + 1) =224
a=i
A) 14 8)15 C)16 D)17 E) 18
10 10
14, ^ a , = 50, entonces el valor de ̂ + 3,)'
1=1 p:
es:
A) 100 B) 60 C) 61 D)70 E) 80
15, El valor de S = 10 + 14 + 18 + .... es:
31 sumandos
A )2170
D )2050
B )2140
E )2040
16. El valor de: 1(20) + 2(19) + 3(18) + ...
+ 19(2), es:
A) 900 B) 2 220 C) 800 D) 600 E) 1 520
17. En qué cifra termina: (2 + 3 + 4 + ... + 19)^
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) O
20
18. Hallar el valor de: S = >
k=1
donde a = ÍM k + 1 ) .s ik < 16
[O, s ik > 1 6
A ) 1460
D) 2098
B) 3080
E) 1240
C ) 1360
19. Una empresa desea distribuir S/. 5 000 en bo
nos a los 5 mejores vendedores. El quinto ven
dedor de la lista recibirá S/. 800, y la diferencia
entre los premios debe ser una cantidad cons
tante. El primer vendedor recibió... en bonos.
A ) 1000 B) 1200 C ) 1400
D ) 1600 E) 1300
20. Si de una progresión aritmética, se sabe que el
término de lugar 51 es 173 y el término de lu
gar 87 es 281, tiallar el valor del término de
lugar 52.
A) 362 B) 181 C)264 D) 88 E) 176
21. En la serie; 29, 36, 43, 50, 57, ... el vigésimo
tercer término es:
A) 162 B) 169 C)176 D) 183 E) 190
22. Si “n” es un número entero mayor que 6, indi
car cuántos números enteros están compren
didos entre 5 y “n” .
A ) n - 3 B ) n - 4 C ) n - 6
D) n - 5 E) n 4
23. Si; E = 1 ...... 1 -t- 2..........2 + .........+ 9 ........ 9
500 cifras 500 cifras 500 cifras
entonces la suma de las cifras de “E” es;
A) 3595 B) 3596 C) 4500
D) 4496 E) 3600
24. Efectuar; E = +
A--2
21 21
A - 2 A - 2
A) 2780
D) 3780
B) 2870
E) 1120
C )3870
25. Determinar el valor de:
E = 3 -f8 -i-1 5 -F 2 4 ... + 30 x 32
A) 9235
D) 8973
B) 11 085
E) 10 385
C )7024
26. Hallar; 3 = ¿ (k^ -F 2 k -H )
A )2870
D) 3311
B) 2109
E) 2970
C )2470
27. Hallar; S = 2 ̂ -h 4 ̂ 6 ̂+ ... + 38^
A) 28 880
D) 27 800
B) 284 400
E) 287 000
C) 288 800
28. A cuánto es igual la suma;
1 1 1 1
S= 4 -----1------+ —~ + -— • • ■
4 12 36 108
A) 4,5 B) 4,75
D) 35/8 E) 8/35
C) 37/8
PRACTICANDO 2
1. Katy llega al colegio con cierto retraso diaria
mente. El primer dia llegó 1 minuto tarde, el
segundo día 2 minutos tarde, el tercer día, 3
minutos tarde, y así sucesivamente; al cabo
de 20 días de asistencia, ¿cuánto tiempo ha
perdido por las tardanzas?
A) 2,5 h B) 8 h C) 5 h D) 1 h E) 3,5 h
2. La suma de los “n” primeros términos de una
serie geométrica, en donde los términos son
números enteros es 31. Luego de calcular el
primer término y “n” dar el número de solucio-
n G s .
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. La suma de 81 números pares consecutivos es
igual a 171 veces el primer número. Hallar la
suma de las cifras del término central.
A) 5 B) 4 C) 9 D) 7 E) 8
4. La suma en el limite de los términos de una
progresión geométrica decreciente de infinitos
términos es “m” veces la suma de sus “n" pri
meros términos. Hallar la razón de la P.G,
A)
m -1
V m .
m
m -1
m + 1
Hallar la suma total del siguiente arreglo nu- 2 monedas, y sobre cada una de ellas una más,
merico: en la tercera fila tres monedas y sobre cada
12 + 22 + 32-1-42 + 5=̂ + ,„ + 20= una de ellas 2 monedas más, y así sucesiva
2* + 32 + 42 + 5=̂ + .„ + 20^ mente, Si pudo formar 20 filas en total, ¿cuán
32 + 42 + 52 + ,„ + 2Q2 tas monedas tenía?
42 + 52 + ,,. + 20= A )2970 B )2870 C )2360
D )3620 E )5205
202
12, Calcular en cada caso el valor de la sumatoria.
A) 44 100 B) 42 400 C) 44 400 eo 80
D) 4300 E )4540
6. Efectuar:
S = ^(l^ + 2 ̂+ 3 ̂+ ,„ + ) + ^(1 + 2 + 3 +.., + n f
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7, Calcular la suma de los números de la forma
(4k + 3).
Donde: k = 1; 2; 3; ...: n
A) 3n" + 5 B) 3n^ + 2n C) 2n^ + 5n
D) 2n’ + 3 E) 3n^ + 4n
8. Calcular
ía
P = X ( 2 k " + 6 ) - X ( 2 k ^ + 4 ) + Í ( 2 k - 9 )
k=1
A) 2870 B) 2869 C) 2871
D)2900 E)2915
9. Hallar ei valor de la expresión:
100 100
6 X (3 m ‘ - 2 ) - 3 2 (6m = -4 )
m-l m=20
A) 44 232 B) 40 202 C) 44 032
D). 44 432 E) 44 230
10, Calcular:
I ( 2 k + 1)
_k~l________
| ( 5 k - 3 ) - X ( 5 k + 27)
k=1
A) 50 B) 32 C) 41 D) 40 E) 30
11, Rosa con todas las monedas que tiene, forma
un arreglo triangular de la siguiente manera:
en la primera fila 1 moneda, en la segunda fila
k=2 k-̂ 5
A) 353 B) 278 C) 272 D) 270 E) 274
13. S
a= 3 a - 2
18 20 22 24 21
A ) ~ B ) - - C ) v D )--- E ) ~
270
14, -a.,)
k=!
Donde: = 1 + 3k
A) 800 8)805 C)810 D) 820 E) 825
15. Hallar el valor de;
10
X ( 2 ^ - 4 k - 3 )
1
A) 2046
D )1023
B) 2200
E) 480
C ) 1856
16. Calcular: £ [ 5 + k (-1 )']
A) 120 B) 100 C) 105 D) 110 E) 117
20
17. Calcular: + 3^" + 2k)
k=1
A) 53 120
D) 53 250
X
18. Calcular: ^
5
B) 53 130
E) 53 400
C) 53 240
2*' +3''
A )' D )2 E ) -
PRACTICANDO 3
1. Calcular el vaior de “E".
1
E =
1 --
1 + 2 + 3 + ... + n
1 1 2 - 2
A) n" 8) ; ^ C) ~ D) n" E) ^
2. Se tiene la siguiente sucesión:
1, 5, 15. 34, 65, 111, ...
Hallar:
a) El término de número ordinal 20.
b) La suma de los 20 primeros términos.
A) 4010: 22 155 B) 2050; 21 215
C) 315; 1510 D) 7050; 180
E) 3290; 35 710
3. Si:
lab + 2ab + 3ab + ... + 9ab = 4cd7; a 3; b
n in + n2n + n3n + ... + nSn = xyz4;
calcula: c + d + a + b + x + y + z
A) 29 8) 73 C) 45 D) 38 E) 41
4. Calcular la suma de todos los términos unidos
por línea demarcada hasta la fila 20.
1
1 1
2 1
1 ‘ ^ 3 3 1
4 ^ — 6 4 1
5 l O ' ^ I O 5 1
15 2 0 ^ 1 5 6
21 35 35«^ 21 7
A ) 1320
D) 4270
5. Calcular:
8)3150
E) 7250
C )5985
30
M = 4 + ■*)]'
k= 4
12 23 26
8 ) - O -31
6. Calcular:
27 25
31 31
s = Z
k^ + (k + 1) -2R + 20
k^ + k
A) 240 B)220 C) 230 D) 210 E) 250
7. Expresar en sumatoria el siguiente arreglo nu
mérico, si en total se tiene 10 filas.
3 + 3
3 + 2 + 3
3 + 2 + 2 + 3
3 + 2 + 2 + 2 + 3
A ) f ( k + 5) B )X (7 + k) C ) Í ( 2 7 + 4)
k=i k=l
10
D )X (2 k + 4) E )X (5 k + 1)
k=i
8. Hallar la suma total si hay 20 filas;
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5 5
A )2870
D) 2872
B) 2780
E) 2880
C) 2875
9. Se arreglan números en forma de “diamante",
como se muestra en el diagrama.
1
1 2 2
1 2 2 3 3 3
1 2 2 3 3 3 4 4 4 4
1 2 2 3 3 3
1 2 2
1
¿Cuántas figuritas le faltarán a Karen ese día
para completar el suyo?
A) 18 B)24 C)20 D) 36 E) 56
10. La masa de un péndulo recorre 32 cm en la
primera oscilación. En cada una de las siguien
tes, la masa recorre 3/4 de la distancia recorri
da en la oscilación anterior. Calcule el recorri
do total de la masa hasta que se detenga.
A) 230 cm B) 250 cm C) 124 cm
D)224cm E)120cm
11. Calcule la suma de los 20 primeros términos
de la serie:
S = 0 + 1 + 3 + 7 + 15 -f-31 -h ...
A)22' + 1 B )2 2 '-1 C )2»-21
D) 20^» - 21 E) 2^' - 21
12. Un comerciante advierte que la demanda de
su producto va en aumento por lo que decide
comprar cada día 5 unidades más respecto al
día anterior y de esa manera satisfacer a los
clientes; si empezó comprando 19 unidades y
el penúltimo día compró 169 unidades, ¿cuán
tas unidades compró en total?
A) 3005 B) 3088 C) 3006
D)3107 E)3012
£ ( k ^ - l ) - X ( 2 t < ^ ^ 2 )
13. Resolver:
A) -3 B) -2 C) -1 D) -4 E) -5
14. Calcular: > ------------
k(k + 1)
A)
D)-
100
101
10200
101
B )'
10099
Toí~ c)-
51500
101
10300
E ) - ^
15. Calcular:
v'k +1 - vk
k-i Vk + k
A) 0,9 B) 1 0 )0 .9 9 D)1,1 E) 2,99
16, Lolo y Celia lee una novela de 3 000 páginas.
Lolo lee 100 páginas diarias y Celia lee 10 pá
ginas el 1 día, 20 el 2.'’ día, 30 el tercero y así
sucesivamente. Si ambos comienzan el 22 de
febrero de un año bisiesto, ¿en qué fecha co
incidirán en leer la misma página por primera
vez, y cuántas páginas habrán leído hasta ese
día?
A) 10 de febrero; 1 800
8) 12 de febrero; 1 600
C) 11 de febrero; 1 600
D) 10 de febrero; 1 900
E) 11 de febrero; 1 900
17. Calcular el valor de E;
E =
A) 1236
D) 1242
I x - I k
k=1 k= 9
B ) 1296
E) 1316
C ) 1342
PRACTICANDO 4
1. Calcular el valor de la siguiente suma:
n ^ 2 0 n -3 Q n=12
a) 3820
D )3249
B) 3120
E) N.A
C )3581
2. Calcular el valor de la siguiente suma:
n = 2 0 n= 4 0
X k = - X 2 k = +
k = l k=1 kí^ l
A) 6240 B) 9480
D) 9320 E) N.A.
C) 3820
3. Calcular el valor de la siguiente suma:
R=?0 n=80
X k(k + 2 ) - X 10
k=1 k=1
A) 2820 B) 2490 0)3150
D)2130 E) N.A
4 Compare los resultados de cada columna:
Columna A Columna B
¿ (3 k + 1 )
A) A = B B) |No utilice esta opción!
C) Falta mayor información
D) A > B F) A < B
5. Calcular E = a + b + n en:
n
1 + 8 + 15 + 22 + ...+ 78 = Z (a x + b)
X = 1
Para resolver el problema, es necesario:
(I) n =20
(II)a + b= 1
A) I ó II B) I y II C) Ninguno
D) Solo I E) Solo II
6. Calcular el valor de la siguiente suma:
n= 4 5 n=50
A) 77 415
D) 70 225
I 3 k ^ - X s k
k= 2 0 k= 15
B) 72 839
E) N.A.
C) 75 520
7. Siendo: ¿ ( k ' '+ l ) = 35,
k=1 '
calcular n.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. Calcule: E = a + b + n en:
1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 = ! (■ ax + b l
Para resolver el problema, es necesario:
(I) n = 20 (II) a + b = 1
A) I ó II B) I y II C) Ninguno
D) Solo I E) Solo II
9. Calcular: ^ Í 2 l ^ - i + 2)
A) 735 B) 725 C) 715 D) 742 E) 764
4
10. Calcular: ^ (2 a )
a=t
A) 10 8 )20 C) 30 D)40 E) 80
30
11. Hallar: 2^(2x + 3)
X = 1
A) 580 B) 720 C) 1 020 D) 950 E) N.A.
12. Calcular: X
k = 2 k = 5
A) 353 B) 278 C) 272 D) 270 E) 274
13. Calcular: ^
a=3
18 20
a - 2
22
D)*
24 21
270
14. Calcular:
k=1
donde: = 1 + 3k
A) 800 B)805 C)810 D) 820 E) 825
22
15. Calcular: X [ 5 + k(-1)‘ ]
k= 2
A) 120 B)100 C)105 D) 110 E) 117
20
16. Calcular: + Sk ̂+ 2k)
k=1
A) 53 120
D) 53 250
17. Calcular: ¿
B) 53 130
E) 53 400
C) 53 240
2'' +3 ’'
5
A) 4
5
D )^ E ) -
18. Calcular:
19
k=1
P = X (2 k "+ 6 ) -X (2 k = ^ -4 ) + £ ( 2 k - 9 )
k = l k=1
C )287Ì
19
k=1
A) 2870
D )2900
B) 2869
E) 2915
19. Hallar el valor de la expresión:
100 100
s | ; ( 3 m 2 - 2 ) - 3 X (6m 2 -4 )
A) 44 232
D) 44 432
B) 40 202
E) 44 230
CLAVEL DE^RESPUESTAS
Practicando 1
1. C 6. B 11. A 16, E 21. D 26 .C
2. C 7. D 12,A 17.D22. B 2?.A
3. C 8. C 13 A 18.C 23. C 28 .D
4. B 9 E 14.E 19.B 24. A
5. C lO .B 15.A 20, E 25. E
Practicando 2
1, E 6. A- 11.8 16.E
2. A 7. C 12.E 17.B
3. D 8, B 13.B 18.D
4, A 9. A 14.C
5, A 10.D 15.C
Practicando 3
1. B 6 C 11, C
2. A 7. D 12,8
3. D 8, A 13.C
4, C 9 B 14,D
5. D 10,D 15,A
16.E
Practicando 4
1, C 6, A 11. C 16.8
2, B 7. C 12. E 17 .0
3, B 8, C 13.8 18.8
4, E 9, A 14.C 19.A
5 E 10.B 15.E
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Es un proceso discursivo o de argumentación, en
el que a partir de ciertos casos particulares
(premisas) se llega a una generalización (conclu
sión).
Ejemplo:
Aifaro es liermano de Tony, y es noble
Edy es hermano de Tony, y es noble
Luis es hermano de Tony, y es noble
Carlos es hermano de Tony y es noble.
Casos particulares
(premisas)
1 Generalización
Todos los hermanos de Tony son ( ¡(.QfK-iyjíQpj
Ejemplo básico:
12=1 ------- > I Cifras =1="
11? = 121 --------> £ cifras = 4 = 2-- !■ Casos particulares
2 I
W = 12 321 --------- > Z cifras = 9 = 3̂ 1
I
£ cifras = n̂
Conclusión
Obs.: solo válido
j para n < 10
El grado de veracidad que encierra la inducción es
generalmente probable. Aristóteles atribuye a
Sócrates el haber descubierto "el razonamiento
inductivo”.
Nota:
En el tipo de hipótesis a descubrir, influyen de
cisivamente las circunstancias psicológicas, in
dividuales y sociales; por muchas manzanas
que hubieran caído sobre la cabeza de un hom
bre de Cromagnon, difícilmente habría éste ima
ginado la ley de la gravedad, y la mayor parte
de los mortales, puestos en la situación de
Fleming habrían optado por tirar a la basura los
cultivos enmohecidos.
Las hipótesis científicas no ae proponen en el
vacío, pero la imaginación no puede sujetarse
a reglas ni métodos.
INDUCCION-
D E D U C C IO N
Ejemplo:
¿Cuántos puntos
de contacto hay
en la siguiente
gráfica de circun
ferencias?
1 2 3„ , . . . 484950
Resolucpon:
Vamos a proceder a contar, aplicando el método
inductivo.
Total de puntos de contacto
\
Q 3 = 3(1) = 3 X
1 2 .
~T=__
9 = 3(3) = 3 X
1 2 3
18 = 3(6) = 3 x
2x3" l
3 x 4 'i
1 2 3 4
De acuerdo a lo
observado en los
3 casos particula
res, podemos con
cluir que: o o r o
1 2 3 ...........
Total de puntos de contacto
. ' 49 . 50 1
■ c f f i )
48 49 50
= 3 = |3 675|
Ejemplo:
Hallar la suma de cifras del producto siguiente:
P = 777 ... 777 X 999 ... 999
50 cifras
Resolución:
Suma de cifras
7 , X 9 f 63 —
l'eira l'Sfra
I____________
50 cifras
= 9 = 9 (1 )
t
J l X 7 623 ■
2 cilras 2 cifras
\ __________
= 18 = 9(2)
/
777 X 999 = 776 223 -
3 cifras 3 cilras
. \ _________________________
• = 27 = 9 (3)
t
De acuerdo a lo observado en los 3 casos particu
lares podemos concluir que:
777 ... 77 X 999 ... 99 = 77 ... 77 622 ... 223
50 cifras 50 cifras ____
Suma de cifras = 9(50) = |450|
Ejemplo:
Calcular la suma de cifras del resultado de “A”:
E = (777 ...777 + 222 ...2225)^
“n” cifras “n - r cifras
Resolución:
El valor de “n” puede ser un valor grande como
también un valor pequeño. Para tiacerlo más sen
cillo, vamos a analizar este problema para valores
pequeños de “n” (2; 3 y 4) y al final, después de
observar lo que sucede, sacaremos una conclu
sión general.
Para: n = 2
(77 + = (82)^ = 6724
So.as=19
Para: n = 3
(777 + 25)" = (802)" = 643 204
U
Para: n = 4
(7 777 + 225)2 _ g4 032 004
J1
Sc.„ = 19
De acuerdo a lo observado en los 3 casos particu
lares, podemos concluir que:
Para cualquier valor de “n”:
E = (77 ... 77 + 22 ... 225)^ = 6,400... 003200 ... 004
“n cifras” “n-1 cifras”
S » . = 19
Ejemplo:
Calcular el total de “ho-
jltas sombreadas” que
hay en la siguiente fi
gura:
1 2 3 .............. 49 50 51
Resolución:
1 2
# hojitas = 2 = 1 x 2
r
# hojitas = 6 = 2 x 3
/
1 2 3 4
# hojitas = 12 = 3 x 4
/
De acuerdo a lo observado en los 3 casos particu
lares, podemos concluir que:
1 2 3
# total de hojitas = 50 x 51 = 12550 |
Ejemplo-.
Calcular el resultado de la siguiente operación:
^997 . 998 . 999 .1000
Resolución;
s/1.2.3.4 + 1 = s/25 = 5 = 1 . 4 + 1
J 2 .3 .4.5 + 1 = V121 = 11= 2 .5 + 1
73 .4 .5.6 + 1 = J36 Ï =19 = 3 .6 + 1
~ ' ___
Luego:
V997.998.999.1000 = 997 . 1 000 + 1 = |997 001
Ejemplo: —
Para construir el si-
guiante castillo, se uti- J iy iS i—
lizaron palitos de fós- I X I X IX I
foro. ¿Cuántos se em- I X I X I X I X I
plearon en total?
jx ix i ...... ixjxjL
I X I X I ............... IX IX I
1 2 3 ................... 49 50 51
Resolución:
IX I
1 2
Total de palitos
^ 5 = 3 + 2
i i
2^-1 2.1
J X i
I X IX I = ^ 1 4 = 8 + 6
1 2 3 i i
3^-1 3.2
J X L
J X J X L
IX IX IX I
1 2 3 4
Podemos observar que el total de palitos se ha
dividido en 2 sumandos (para un mejor análisis)
con el siguiente criterio: el primer sumando corres
ponde a los palitos horizontales y verticales, y el
segundo sumando corresponde a los palitos cru
zados.
Luego:
J X I .
IX IX IX IX I
jxLxi ...... ixjxi_
IX IX I .............. ixixi
1 2 3 ..................... 49 50 51
Total de palitos = 51 ̂ - 1 + 51.50 = 5150
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Es un proceso de argumentación, en el que a par
tir de un caso general se desprenden casos parti
culares.
Ejemplo:
{Todos los hermanos de Miguel son nobles}
Caso General
{Pedro es hermano de Miguel, por lo tanto es noble]
Caso Particular
* Una deducción válida viene a ser aquel razo
namiento, tal que a parlir de la verdad de sus
premisas se deriva lógicamente la conclusión.
También se puede decir que la deducción es
una inferencia fundada en leyes lógicas.
Este método es el que mejor se adapta a la
ciencia formal tales como la matemática, lógi
ca, física, teórica, etc.
Ej.:
- Todos los peruanos son americanos (V)
- Todos los limeños son peruanos________ (V)
- Todos los limeños son americanos (V)
Ej.:
- Todos los hijos de Pedro Rojas son valientes (V)
- Miguel es hijo de Pedro Rojas___________ (V)
Miguel es valiente (V)
El razonamiento deductivo en muchos casos
es desarrollado como “silogismo” y cada vez
que oímos la palabra "silogismo” recordamos
la frase: “Todos los hombres son mortales,
Sócrates es hombre, por lo tanto Sócrates es
mortal".
Los silogismos son estructuras lógicas que tie
nen dos premisas y una conclusión:
El método deductivo con las condiciones ya apun
tadas garantiza la verdad de sus conclusiones, y
de esta forma constituye una herramienta indis
pensable para obtener verdades a partir de otra.
La deducción es, pues, como una gran industria
montada para producir proposiciones verdaderas.
¿Pero qué sucede si esta industria tiene escasez
de materia prima?, ¿o si el producto que fabrican
ya se encuentra saturado en el mercado?, ¿o si le
es muy costoso producir?
Frente a esta situación hay dos caminos, se detie
ne la producción o se hecha andar la imaginación
para adaptar las máquinas a nuevos cambios.
Parecido a esto, ocurre en las ciencias empíricas,
donde a menudo es imposible conseguir todas las
premisas necesarias para obtener deductivamente
las ansiadas proposiciones generales.
El razonamiento deductivo se ve entonces traba
do, y en su afán por producir una clase de resulta
dos, el investigador opta por arriesgarse y explo
rar. Así es como surge la necesidad de utilizar el
razonamiento inductivo.
Ejemplo:
Si; A^ = i - i r + 1
S„ = A , + A , + A3 ... + A „ ,
hallar: S „ -
Resolución:
Calculando primero Ŝ ,, y obtenemos;
S , , -S , „ = A,, = ( - i r + 1 = - 1 + 1 = 0
S „ - S ^ = 0
Ejemplo:
Calcular; A
A = 10 000"-9999"
Resolución:
Recordando;
a" - b" = (a + b) (a - b) |
19 999 1
P = 10 000" - 9999" = (10 000 + 9999) (10 000 - 9999)
P = 19 999
Ejemplo:
Calcular: “x”
(x + 1)'«'” " = 27^
Resolución:
(X + = (33)3 ^ 332
T I ___________J
x + 1 = 3
Ejemplo:___ ___ ___
Calcular: abe + bca + cab
sabiendo que:
(a + b + c) VsT =
Resolución:
(a + b + c) .0 =
81
(a + b + c)
9
a + b + c
(a + b + c)" = 9 = 3 "
a + b + c = 3
áBc +
5c i
cab
333 333
Nota:
Lógica inductiva
(Inducción)
Esun modo de razonar en el que, a partir de ob
servación de casos particulares, nos coríduce al
descubrimiento de leyes generales, con la particu-
laridad deque la validez de las últimas,se deduce
de (a validez de las primeras.
■ C
f o \ a
a a s
s s 0
i —> 0 —» 3
r 2
: Casos particulares , .
Razonamiento inductivo . .
El método del Razonamiento inductivo es un mé
todo especial de demostración matomática que
permite, en base a observaciones particulares, juz
gar lastegularidades generales correspondientes.
Lógica deductiva
(Deducción)
Es un modo de razonar mediante el cuál, a partir
de informaciones, casos d criterios generales, se
obtiene una conclusión particuíaK
Caso 1 1
Caso 2 1
Caso 3 1
Caso 4 1
Casos
particulares
Razonamiento deductivo
Ejemplo:
* Todos los hi
jos de la seño
ra Rosa son
valientes.
* Pedro es hijo
de ta señora
Rosa.
Por lo tanto:
Pedro es valiente
Informaptón
general , ,,
C onc lus ión
paríicutar
RazonamieníD
deductivo
EJERCICIOS EXPLICADOS
1. Se tiene un tablero dividido en “n + 1’’ colum
nas y “n” filas, todos ellos del mismo ancho: si
en dicho tablero se dibuja una de las diagonales
principales, ¿a cuántos casilleros cortará di
cha diagonal?
A) 2n + 2 B) 2n C) n + 2
D)3n + 1 E )n (n -H )
Resolución:
Dibujemos los tableros cuando n = 1, n = 2 y
n = 3:
^ ----- ------------casilleros
n =(TJ’{2OTlumnas, 1 fila) ^ " ' ' ‘̂ s^rtados
L A n =» 2 = 2(1)1 fila
n = @ (3 cc4ofnnas!'^las)
2 filas. . 4 = 2(2)
n = (3 )(4 columnas, 3 filas)
3 filas' . 6 = 2(3)
En general un tablero de (n + 1) columnas y
"n" filas tendrá 2(n) casilleros cortados.
reí
2. ¿Cuántos triángulos se podrán contar en total al
trazar la diagonal principal de un tablero de aje
drez?
A) 36 B)18 C)72 D) 54 E) 45
Resolución:
Sabemos que un tablero de ajedrez es de 8 x 8
casillas, pero contar los triángulos que se ge
neran al trazar una de sus diagonales princi
pales sería un proceso engorroso... mejor utili
cemos el méttido inductivo.
Tablero
2 = © x 2
Tablero 2 x
3 x
/
6 = © x 3
1 2 = ( Í ) x 4
En el tablero de ajedrez;
3. ¿Cuántos puntos de corte hay en F^?
A) 400 8) 200 C) 480 D) 800 E) 420
Resolución;
■ ia ''© .
C
4. Calcule la suma de los números ubicados en
las bolitas sombreadas de la figura 85.
A )7255
B) 82 500
C) 28 900
D) 85 000 '
E) 1700
Resolución:
Debemos sumar los cuatro números que es
tán ubicados en ias esquinas para la figura F,,
el número 1 lo debemos considerar 4 veces
así:
Suma: 4 16 36
a xZ g x2 ¡ i x2 @ ^ = 28 900
#
5. Calcular el total de
palitos de la figura:
Resolución:
N.° palitos = 3 = 3
c m ....
1 2 3 4 199 200
1.2"
1 2
N.° palitos = 9 = 3
2
2 . 3
^ N.° palitos = 18 = 3 3 .4
{ 3 1 1 1 ) • 1
2 3 4
Generalizando (para la figura total):
'199 .200"
N.° palitos =-3 .
|N.° palitos = 59 7001
6. ¿Cuántos cuadraditos sombreados hay en to
tal?
196 197198199
Resolución
2 3
# c.somb. = 1 = (1) ̂
3 — :-------> =» 1
1 2 3 4 5 6 7
Luego:
# c.somb. = 4 = (2Y
"I 7 ------------ > => 2
199 50
# 0. somb. = (50)‘’ = (2 500|
7. ¿Cuántos palitos se pueden contar en la figura?
A
XXX
A/V\ A A
1 2 3 4 118 119 120
Resolución;
A
1 2
n.° palitos = 2 = 1 .2
A
xxxi
1 2 d ) ©
Generalizando: n.° palitos = 119 . 120 = |l4280
N.° palitos = 6 = 2 .3
N.° palitos = 12 = 3 .4
8. Calcular el número total de palitos de la torre:
/ S .
I m m
1 2 3 4
Resolución
38 39 40n1 2 n.® palitos = 3 = © 2 - 1
n.° palitos = 8 = ® 2 _ i
n.° palitos = 15 = @ ^ _
1 2 3 4
Generalizando:
N.° palitos = @ 2 _ 1 = 1 eOO - 1 = |l599|
9. Hallar la suma de todos los elementos de la
siguiente matriz:
1 2 3 4 9 10
2 3 4 5 .. . 10 11
3 4 5 6 ,. 11 12
4 5 6 7 . 12 13
9 10 11 12 .. . 17 Í8
10 11 12 13 .. 18 19
Resolución:
Sumar los 100 elementos que conforman la
matriz va a ser demasiado operativo; aplican
do inducción, tendremos:
[ © ] => suma = 1 ={ ^y
•—►# fila
’ 1 d ) suma = 8 = (2)3
2 3_ U . # fila
' i 2
2 3 4 suma = 27 = (3 f
_3 4 5 _ !-►# fila
1 2 © 1
2 3 11
3 4 12 suma = (10)3 = 1000
U -# filas
10 11 19
.-. Isuma = 1 0001
Si: A„ == H ) " + i
s„ == A, +AJ + A3+ . . .+ A„,
hallar: S ,̂ -
Resolución;
Calculando primero y Ŝ ,,, obtenemos;
= A, + A, + + ... + A,3 + Aj„ + Aj,, ,
s.„ = A , + A,, + A, + ...+ A,5 + Aj„ y
s, -- S . = A „ = (--1)2' + 1 = - 1 + 1
Sp„ = o
11. Un tendero compra el día de hoy 21 cajas de
tomates y ordena que cada día que transcurre
se compre una caja más que el día anterior. Si
el penúltimo día se compran 39 cajas, ¿cuán
tas compró en total?
Resolución:
Por dato:
Compra: 21 22 23
i i i
Días: O © ®
39
i
penúltimo el último
dia dia
Entonces comprará la suma:
S = 21 -f 22 + 23 + 24-F. . .+40
s =
40 (4 0 -1 ) 20(20 + 1)
2 2
Efectuando;
S = 20(41) - 10(21)
|S = 610|
12, Un recolector de botellas recibe el primer día
420 botellas, a! día siguiente, 430, al siguiente
día, 440, y así sucesivamente. Sí el trabajo lo
hace en 70 días, ¿cuántas botellas tiene en
total?
Resolución:
Sea 'T ' el total;
T = 420 + 430 + 440 + ...
I— 70 té rm in o s----------------- 1
Factorizando;
T = 10 [42 + 43 + 44 + ...]
I 70 té rm in o s 1
También;
T = 10 [(1 + 2 + 3 ...)-(1 + 2 + 3... 41)]
^ ^ 4 1 41 '
Número de términos será;
70 + 41 =111 términos
Aplicando la fórmula de la suma;
‘ 111(112) 41(42)
T = 10
Efectuando:
T = 10[111 (56 )-41 (21)] = 10[6 216 -861 ]
7 = 10(5 355) => |T = 53 550|
13. Hallar la suma en base 10 de 42,,., + 1~1,„, +
110,̂ , . . .+330,„,
Resolución:
Del dato la razón es la misma:
101 .̂, - 4 2 , = iTo,„, - t'cñ,.,,
n̂ + 1 - 4n - 2 = + n - n ̂- 1
Agrupando:
n“! - 5n = O -> n = 5
Pasando a base 10:
42,„, Í 0Í,_, TT0,_, 3^^.,,
4 (5) + 2 5 ̂+ 1 5 ̂+ 5 3(5)2 3(5)
5 = 22 + 26 + 30 + ... + 90
S = 2(11 + 13 + 15 + . . .+:.'45)
8 = 2 [(1 + 3 + 5 ... + 45) - (1 + 3 ... + 9)]
n = 23 n = 5
2n - 1 = 4 ^ 2n - 1
2n = 46 j 2n = 10 j
n = 23 y n = 5 y
S = 2(232 - 52] = 2 (529 - 25)
S = 2(504) = |i OOB|
14. Hallar la suma de:
69 + 105 + 149 + 196 + ... + 905
Resolución:
Del dato se tiene:
69+ 86 + 105 + 126 + ... + 905
32 + 5 + 9-’ + 5 + 102 + 5 + 112 + 5 ... +302 + 5
Número de términos:
30 - 7 = 23
finalmente la suma será:
S = 23(5) + (82 + 92 + 1Q2 + ... + 302)
8 = 115 + (12 + 22 ... + 302) _ (12 + 22 ... + 92)
3 = 115 + 1/6 (30) (30 + 1) (60 + 1)
- 1/6 (7) (7 + 1) (14 + 1)
S = 115 + 9 4 5 5 - 140
|S = 9 430|
15. ¿Cuántos palitos habrá en la figura 20?
A) 930 B)810 C) 840 D) 900 E) 820
Resolución:
Contemos el número de palitos en cada figu
ra;
I i M i l
M I M I
M I I
2 < ^ 21) = E
16. Si: ÑEY X 999™° = 567,
halle: N + E + Y.
A) 8 B)18 C)17 D)18 E) 21
Resolución:
o o
Sabemos que: (N - 1) = N + (-1)"; n e Z*
Como: ÑEY x 999̂ °»» = ... 567
O
NEY X (1000- 1)™» = ...567
ÑEY X (1000+ (-1)2*°) = ...567
... 000 + ÑEV = ... 567
NEY = 567
Entonces; N + E + Y = 5 + 6 + 6 = 18
D) 2 E) 3 333
17. Si: a ̂+ 1 = -a ,
halle: a^“ ^
A) - 1 B) 1 C) O
Resolución:
Sabemos que: (a ̂+ a + 1) (a - 1) = - 1
Por dato del problema: a ̂+ 1 = -a
a ̂+ a + 1 = 0
Multiplicando por (a -1 ):
(a ̂+ a + 1 ) (a - 1 ) = 0(a - 1)
= 0 .-. = 1
Piden; = (a^)"" = (1)’" ’ = 1
■■■ E
18. Calcule el valor de R:
R =
n s u m a n d o s
n + 1x3 + 3 x 5 + 5 x7 + ...
f+ 2 ^ + 3 ^ + . . . + n^
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) n
Resolución;
Hallemos el valor de R, cuando n = 1, n = 2 y
n = 3.
1 + 1x3
= 2
2 + 1 x 3 + 3 x 5 =2
EZH R = . I3T ix 3 + 3 x 5 + 5x 7 Í56— = 2 14f + 2^+3^
Se observa que sin importar qué valor tome “n".
el resultado siempre es el mismo (2).
R = n + 1x3 + 3 x 5 + 5 x 7 + ... _ 2
f+ 2 '^ + 3 ' ‘ + ... + n'̂
B
19. Calcule la suma de los números de la fila 20 en:
F,
F,
F,
F.
A) 8 020
D) 8 000
Resolución:
B) 4 040
E) 8000
C) 16 020
( )"+l
2 ^ 2
Fq ^= > 10^ x 5
Fq =* 30 = @x10
F q ^ ^ 68 = @ X 17
F (g ^ 20 X 401 = 8 020
( )̂ + 1
20. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total, en
la siguiente figura?
c m
eoo ■ ■ • OCXD '0 0 bolitas
Resolución:2 bolitas 4 = 2=
3 bolitas
4 bolitas
Luego:
100 bolitas ^ 1 0 0 ^ =
9 = 32
10 000
21. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
la palabra "ESTUDIO", uniendo círculos con-
1 2 = 2 formas => 2'
2.°
1 3 4 2 = 4 formas => 2'
—> 20
2'
2̂
2̂
2-
2^
2" =(64
22. Cuántos puntos de corte se generan hasta la
posición 15.
A) 790 B) 868 C) 820 D) 826 E) 890
Resolución:
O
2.°
=> 0 = 4 x 1= -[2 (1 ) + 2]
=> 10 = 4 X 2 ^ - [2(2) + 2]
28 = 4 X 32 - [2(3) + 2]
54 = 4x42-[2(4) + 2]
15.“ ^ # cortes: 4 X 15 ̂- [2(15) + 2]
I # cortes = 8^1 [b]
23. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
la palabra “ENFERMO"?
E
N N N
F F F F F
E E E E E E E
R R R R R R R R R
M M M M M M M M M M M
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A) 729 B) 243 C) 540 D) 81 E) 77
Resolución:
1 Fila
2. ̂ Fila
3. ̂ Fila
1 1 1
1 =3»
^ 3 = 3’
-4 9 = 3^
1 1 1 1
Como la distribución consta de 7 filas, el
número de palabras “ENFERMO” es igual
a 3^-’ = 3 ̂= [729]
24. Hallar: (a + b) - (c - d),
si: (333...333) (777...77) = ab..cd
n ñ
A) -1 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3
Resolución:
1° (3)(7) = 21
2° (33)(77) =
3° (333)(///) = 258741
4° (3333) (7777) = 25920741
n° (33...33)(77...77) = 25...£180
(a + b ) - ( c - fd ) = l | .-.[b ]
25. ¿Cuántos triángulos, cuyos vértices se encuen
tren sobre la circunferencia, se pueden contar
C, C, C3 C,
A) 4495 B) 4060 C) 4960
D) 5984 E) 5456
Resolución:
Contando solo tos triángulos cuyos vértices
están sobre la circunferencia:
E n C ^ = .Cl) 6
r- ^ . @ x 3 x 4E n C Q = , 4 =
(g )x 4 x 5
En C@=i 10 = g
En C 20 =
© x 5 x 6
En C,
6
1x31x32
= 4960
26. Se genera el siguiente arreglo de números:
í ' ?■ í - í - ■■ í '
1 1 1 1 . . . 1
2 2 2 . .. 2
3 3 ... 3
4 ... 4
Se suman, independientemente, todos los tér
minos de y luego se elevan al cua
drado dichas sumas, finalmente se restan las
potencias obtenidas. ¿Cuál es la suma de ci
fras de la diferencia resultante?
A) 3 B) 16 C )9 D)8 E) 12
Resolución:
Sumando los términos de cada columna, se
tiene:
í ’ í - í- í -
1 3 6 10 15 ...
Luego efectuamos las operaciones pedidas,
pero con términos menores:
C | - C f= 3 " - 1̂ = 8 2̂
C ^ -C | = 6 '- 3 ^ = 27 ^ 3 ^
C ^-C ^ = 10"-6=’ = 64 ^ 4 3
■■■ Cfooi - Cfooo = 10013 = 1 003 003 001
=> Suma de cifras = 1 + 3 + 3-H1 = 8
■■■ E l
27. En qué cifra termina “M":
M = 2«'»' g*“'
A) 1 B) 2 C) 3 D) O E) 4
Resolución;
M = 2'"'’*’ 4- 9"*
M = ...2 + 9"
(I) ... 1 = ... 2 -H = ... 1 -^(cumple)
... 1 = ...2 + 9 = ... 1
(II) ... 2 = ... 2 4-9«' = ...
... 2 = ... 2 . . . 1 = ... 3 ^ (no cumple)
M termina en 1 .-. [X |
28. Calcular et número total de palitos en la siguien
te torre:
A) 860
B) 850
C) 370
D) 940
E) 130
Resolución:
« X I
ixlxlxl
Jxlxl ... ixixl
= 5 => 1 (2 + 3) = 5
= 14 => 2(3 + 4) = 14
= 27 => 3(4 + 5) = 27
# palitos 20(21 + 22) =860
29. ¿Cuántos palitos se tiene que cambiar como
mínimo para que la siguiente igualdad se cum
pla?
I I I I I
_ I I I _ l I
A) 1 B) 2
Resolución:
4 . U 4 .I. '1
j ~ i i n _ 11 ii_ i
_ l I i I U - I U _ I U
C )3
I _ l
D )4 E) 5
l i I I I U
I I L “ 1 U J U
30. Sea X, = 97 y para n > 1 se tiene: =
Hallar el producto de x, x x, x ... x̂ .
A) 348 B) 397 C) 388 ‘ o) 384 E) 386
R e s o l u c i ó n :
Para: Como: x̂ x x ̂ ̂ = n
n = 2 X X , = 2
n - 4 -+ x ^ x x j = 4
n = 6 ^ x ¡ , x x j . = 6
n = B x „x x . = 8
.-. [ l8 4 ]
C )4040
31. En la siguiente escalera numérica, determinar
la suma de los elementos de la fila 20.
F, = 1
Fj = 2 + 3
F3 = 4 + 5 + 6
F̂ = 7 + 8 + 9 +10
A) 4010 B) 4020
D)8020 E)8010
Resolución:
El desarrollo por inducción:
j - _ .j _ 2 1 x 2 1 x ( l ^ + 1)
1 - - 2 ~ ~ ~ ^
F - 1 5 = 30 _ 3 x 1 0 _ 3 (3^ + 1)
3 - " 2 ~ 2 “ 2
F = 3 4 = 68 _ 4 x 1 7 _ +1)
4 - - 2 “ 2 ^ 2
nin + 1I
32. El coeficiente de x * en la expansión polinómica
de:
(X - 1) (X - 2) (X - 3) (X - 4) ... (x - 99) (x - 100)
es:
A ) -1010 B)-4950 C)-5005
D )-5050 E ) -4851
Resolución:
x - 1 . . . el coeficiente de x" es... -1
( x - 1 ) ( x - 2 ) = x ^ '-3 x + 2
el coeficiente de x' es ... -1 2
(X - 1 )(x - 2)(x - 3) = X" - ex" + 12x - 9
el coeficiente de x^ es... - 1 - 2 - 3
.'. Eí coeficiente de
es => - 1 - 2 - 3 ... - S 9 - 100 =[5050
PRACTICANDO 1
1. Calcular el vaior M y dar como respuesta la
suma dé sus cifras:
M = (666666666666)='
A) 102 B) 140 C) 108 D) 110 E) 111
2. ¿Con cuántos “palitos" se formó la siguiente
figura?
<XXX> -KXXX)
C) 10 200A) 11 000
D) 10100
B) 10 010
E) 10 101
3. Calcule el total de intersecciones entre circun
ferencia y recta que presentará la figura 20.
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
A) 760 B) 800 C) 840 D) 420 E) 400
4. ¿Cuántas “cerillas" conforman la torre mostra
da?
/ \
/ \ / \
/ \ / \ / \
A A / X A
/ \ A / \ A / \
A A / V \ / \ A A
/ \ A A A / \ A / \ / \
1 2 3 4 . . . 19 20 21
A) 20 B)21 0 )2 1 0 D) 200 E) 420
5. Si:
A = (333...333)" B = (666...666)̂
61 cifras 31 cifras
calcular la diferencia entre la suma de cifras
del resultado de A y la suma de cifras del re
sultado de B.
A) 279 B) 549 C) 270 D) 828 E) 720
6. Calcule: a -h b
1_ r i ^ 1- 22^ = ...ab
2 0 Cifras 10 c ifras
A) 3 B) 7 C) 6 D) 8 E) 10
7, Efectuar la siguiente suma y hallar m -h n + p + q
7 -h 77 -I- 777 + 7777 + ... 777 ... 77 = ... mnpq
36 sumandos
A) 7 B) 5 C) 6 D) 12 E) 14
8. Halle el número total de cuadrados som
breados.
1 2 3 4 76 77 78 79
A) 441 B) 440 C) 320 D) 896 E) 625
9. En el siguiente triángulo, ¿cuántas bolitas
sombreadas hay?
C T D
e r o - -
1 2 3 98 99 100
C )2470A) 2550 B) 2460
D) 2580 E) 2670
10. Si: M(1) = 4 x 1 + 1
M(2) = 8 x 4 + 8
M{3) = 1 2 x 9 + 27;
calcuiar el valor de x, si M(x) = 4x10^.
A) 20 B)21 C)22 D) 23 E) 26
11. Calcule el valor de “S¡.,”;
S, = 2 X 2 + 1
82 = 4 - 6 x 4
83 = 6 + 1 2 -9
8 = 8 X 20 + 16
85 = 1 0 -3 0 x 2 5
A )8800
D) 180
B) 60
E) 140
C) 120
12. Calcule el número de rombos con un cuadra
do pequeño interior que se forman al unir los
centros de todos los cuadrados de la figura.
A) 64 8)81 C)91 D)100 E) 110
13. Calcule el número total de rombos simples no
sombreados que presenta la figura.
^ X 2 X x a y xé-iy Y 2f
A) 462 8) 420 C) 570 D) 630 E) 693
14. ¿Cuántos palitos se utilizaron?
I X l
Ixlixllxl
ixlxll
A) 20 500
D) 20 625
B) 30 625
E) 20 300
gxixi
99 100 101
C) 20 150
15. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?
_ 0 _
l / l / l / l
l / l / l / l ... I / I / I / I
1 2 3 ■ . ■ 17 18 19
A) 310 B) 420 C)530 D) 640 E) 750
16. Calcular la suma de todos los términos en la
pirámide;
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 filas
A) 2222
D) 1640
B) 2000
E) 1578
C )1820
17. Hallar el producto de las cifras significativas
del resultado de;
(999 .. 99)3
20 cifras
A) 14 X 9^0
D) 14 X 9*®
18. Hallar el valor de;
“n” términos
S =
(1.3 + 3,5 + 5,7 + ...)+n
1̂ + 2 ̂+3^ + . . .
"n" términos
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
19. Si dos rectas secantes originan un punto de
corte, ¿cuántos puntos de corte existen como
máximo en 10 rectas secantes?
A) 45 B) 55 C) 65 D) 75 E) 85
20. Calcular el valor de “x’’ en ia siguiente opera
ción;
^x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = x^+R
A)
R -1
R“" -1
B) R + 1
E)0
c)-R + 1
21. Calcular el valor de “E", si;
E = 7111110888889 . y dar como respuesta
la suma de las cifras del resultado.
A) 12 6)16 C)18 D)20 E) 24
22. Si se cumple que:
P(1) = 2 + 1 - 1
P(2) = 6 - 3 x 2
P(3) = 1 2 x 6 + 3
P(4) = 20 + 10 + 4
P(5) = 30 + 1 5 -5 ;
calcular P(20) = ?
A) 580 8) 610 C) 690 D) 710 E) 730
23. Calcular la suma de las cifras del resultado en
la siguiente operación:
E = (333...34)^
20 cifras
A) 121 B) 132 C) 145 D) 157 E) 169
24. Calcular el resultado de la siguiente suma:
^ ■ 1 1 1 1
S = — + — + -----+... I --------
1.2 2.3 3.4 n(n + 1
A)
D)
2n
n +1
n + 1
E)
n" +1
n + 2
C) n + 1
n -1 n - 3
25. Calcular el resultado de U + N + F + V en;
UNFVx 9999 = ...5679
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
26. Dada la siguiente sucesión, fiallar el valor de
R(22).
R(1) = 1 x 2R(2) = 2 + 3
R(3) = 3 x 4
R(4) = 4 + 5
A) 9506 8) 478 C) 302
0)216 E)45
27. Hallar la última cifra al operar:
R = (2006^“ ' + 2Y
A) 4 B) 7 C) 6 D) 9 E) O
28. Calcule la suma de todos los números del si
guiente arreglo.
1 2 3 4 .. . 15
2 3 4 5 .. . 16
3 4 5 6 .. . 18
_ 15 16 17 18 .. . 29
A) 3300
0)3725
29. Simplificar:
E =
8) 3375
E) 3475
C )3625
1111111088888889
/123456787654322-1
A) 3 B) 11 C )7 0 )8 E)2
30. Hallar la suma de cifras del resultado de la si
guiente expresión:
(666 ... 666)2
A )4004
D) 808
"2006 cifras”
8 ) 18 054
E) 2003
PRACTICANDO 2
1. Hallar el total de puntos de contacto en:
A) 290
B) 870
C) 420
D )1305
E) 2875
1 2 3 28 29 30
2. Calcular el número total de bolitas sombreadas
en:
A) 900
B) 2 500
C) 1 275
D) 420
E) 950
( ? )
(X O C O
1 2 3 4 5
ooco
47 48 49 50
3. ¿Cuántas bolitas se contará en la figura 20?
O h .
A ) 1200
D) 1160
4. Calcular:
B) 960
E) 820
C) 800
72000x2001x2002x2003 + 1
A) 80 001 B) 80 601 C) 4 006 001
D) 3 480 001 E) 2 888 001
5. ¿Cuántos palitos se cuentan en total en la fi
gura?
A) 800
B) 779
C) 400
D) 120
E) 2020
ixlxl
Ixlxl ixjxl
6. Calcular la suma de todos los elementos de la
matriz:
1 3 5 7 . . 99
3 5 7 9 . 101
5 7 9 11 . . 103
99 101
A) 2 542
D) 328 350
B) 247 500
E) 284 200
C) 328 400
7. Calcular el número de palitos usados en la
construcción del castillo.
A ) 1395
B) 1488
C ) 1495
D )1388
E) N.A.
Ù Ù Ù
ñ . ú ú ñ . ñ
1 2 30 31
En la figura se muestran “n" filas y “n” colum
nas de rombos, si el número total de puntos
de intersección es 288, hallar “n".
A) 10
B) 8
C) 9
D) 12
E )1 1
1 2 3 4 ... n
9. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total en
la siguiente figura? _
A)2540 ' '
B) 2600
C )2500
D)2780
E) 2840 ' ' ^ 8 ' "
50 bolitas-------
10. Hallar el total de puntos de contacto en:
A) 290
B) 870
C) 420
D) 1305
E) 2875
1 2 3 28 29 30
11, Calcular el número de palitos usados en la
construcción del castillo.
A ) 1395
B) 1488
C )1495
D )1388
E) N.A. Ù Ù Ù
Ù . . Ù Ù Ù . . Ù
30 31
12. Cuántos cuadraditos pequeños se puede con
tar en:
A) 1225
B )3500
C )1750
D )1725
E) 355
n
i x i
.[x r n ..
ITT7TI
/ y
" W
u .
13. Hallar el total de segmentos:
1 20
A) 496 B)620 C) 512 D) 514 E) 480
14. Hallar el valor de "a” en:
g (5200(^ -r,,. _ g g . | _ —
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) O
15. ¿Cuántos corazones hay en total en el arreglo
triangular?
F, -> T V
F. ^ r ▼ ▼ V
F3 ^ V ▼ V ¥ V V
..V y y V V V ...V
A ) 1460 B) 1640 C )1560
D )1450 E) 1320
16. Un cuadrado, muestra dentro de sí regiones
cuadradas sombreadas, de acuerdo a la posi
ción que ocupa en la sucesión.
Determine la cantidad de cuadrados sombrea
dos en la posición 25.
□ , E
Posición 1 Posición 2 Posición 3
A) 500 B)560 C) 580 D) 600 E) 610
17. Si el camino que se muestra en el diagrama
debe continuar de la misma manera,
O
2
f
1
6
À"
T..
4
I
T
10
9 12
entonces, ¿cuáles no son correctas?
118
108
(1) , . ( II) ’
11G 117 107
239 240
(ili)
238 241
A) Solo III
D) Sólo I
B) I y II
E) Solo I
C) II y III
18. Calcular el valor S ^. 10“®, si “S” es la suma de
todos los términos del siguiente arreglo:
1 2 3 4 . . 20
2 3 4 5 . . 21
3 4 5 6 . . 22
4 5 6 7 . . 23
20 21 22 23 . , 39
A) 80
D) 64
B) 16
E5 100
C) 36
19. COLUMNA A:
Hallar la última cifra al desarrollar:
(2 + 1) (2" + 1) (2 ̂+ 1)... (2™ + 1)
COLUMNA B:
Hallar la cifra terminal al desarrollar:
( 3 - 1 ) (3 ^ -1 ) (3 ^ -1 ) (3 -1 ).,. (3 ™ - 1)
Luego:
A )A > 8 B ) B > A C)A = B
D) No usar esta opción.
E) Falta información.
20. Hallar la suma de las cifras del resultado:
A = (ioooo)(iono i)(iooo2 )(iooo3 ) + i
A) 3 . B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
21. En el siguiente arreglo, calcule Fĝ .
F, ^ 3
Fj -> 3 + 5
F, -> 3 + 5 + 7
F, 3 + S + 7 + 9
A) 3900
D) 7900
22. Indicar el nr\áxlmo número de maneras en que
se puede leer la palabra “LÓGICO”.
i
0 G
1
1 C 0
L 0 G 1 c 0
0 G
1
1 c 0i
A) 17 0 )58 C)54 D)60 E) 24
PRACTICANDO 3
1. Calcular el total de patitos que se han utilizado
en la construcción del siguiente castillo:
m
M x M
iKixixlxM41=3 I
ixixixixlxIxSxl
ixixixixixl
1 2 3 4 5 6
A )2525
D )2730
B) 2425
E) 2130
Ixixixixl
jxlxixixM
45 46 47 48 49 50
C )2430
2. ¿Cuántos rombitos de la forma y tamaño de
hay en ia siguiente figura:
A) 571 ^
B) 560
0) 590
D) 570
E) 561
3. Calcular la diferencia entre el número de trián
gulos sombreados y el rvúmero de triánguios
no sombreados.
A) 80
B) 90
C) 100
D) 120
E) 128
4, Calcular el número total de puntos de contacto
en el siguiente gráfico:
A) 620
B) 610
C) 640
D) 630
E) 608
/ / / \ \
/ / / \ \ \
( íx á ¿ > <í9)éx^
5. En el siguiente triángulo, ¿cuántas bolitas
sombreadas fiay?
A )2250
B) 2140
C )2160
D )2030
E) 2260
1 2 3 98 99 100
6. Hallar el número de triángulos sombreados en
la siguiente figura:
A) 5040
B) 5050
C) 5060
D) 4060
E) 6030
7. Cuántos palitos de fósforo son necesarios para
formar la figura de la posición 10, siguiendo la
secuencia mostrada:
□
A) 220 B) 230 C) 240 D) 300 E) 320
8. Calcule la suma de cifras del resultado de A:
A = (333 ... 333)2 (999 999)2
51 cifras 51 cifras
A) 459 B)460 C) 472 D) 463 E) 551
9. Calcular:
1999(1025x1023 + 1)
]¡ (32)‘' x 3 7
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
10. Si:
1,023 x 10̂ = Q,000...001023 ,
(n + 1) cifras
calcular: 2x - 6.
A) 2 B) -2 C) 3 D) 1 E) O
11. Calcular:
E = (333...334)2
200 cifras
Dar como respuesta la suma de cifras del re
sultado.
A) 201 B) 600 C) 1201
D) 2400 E) 960
12. Hallar el total de círculos en la figura (12):
o5o. o9o9o.
x r
f(1) f(2) f(3)
A) 144 B)100 C)169 D) 196 E) 225
Vi 111088889 3
13. Reducir: ----- — — -------+ -
44444 4
A) 1/4 B) 1/2 C) 3/2 D) 3/4 E) 1
14. ¿Cuántas palabras “ÁLGEBRA” se pueden leer
en total, uniendo letras vecinas?
A
L L
G G G
E E E E
B B B B B
R R R R R R
A A A A A A A
A) 63 B)64 C)128 D) 32 E) 256
15. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer
la palabra “DULCE” en el siguiente arreglo?
D
D U D
D U L U D
D U L C L U D
D U L C E C L U D
A) 63 B)64 C) 128 D) 32 E) 256
16. En el siguiente triángulo numérico hallar la suma
del primer y último término de la fila 25.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
A) 625
D )1250
B) 325
E) 3000
C) 650
17. Calcular el número total de cuadraditos exis
tentes, menos el número de cuadraditos pinta
dos de la fila (20).
<- Fila (1)
Fila (2)
<- Fila (3)
□
Fila (4)
□ <- Fila (20)
A) 22° - 1
D) 2=’3
B) 2"' - 1
E) 2« - 1
C) 2=2-1
18. Calcular el número de triángulos en:
19. Si: ^n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = + n
calcular “k".
A) 1 B) -1 C) n - 1 D) n E) n + 1
20. Calcular la suma de las 20 primeras filas en el
triángulo numérico siguiente:
A) 800
D) 1 141
1
3 3
5 2 5
7 2 2 7
9 2 2 2 9
B) 841
E) 2809
C) 1221
21. Hallar el número de puntos de intersección en
la figura 21:
O . C ) . ^
A) 80 8 )63 0 )4 2 D) 84 E) 105
22. ¿Qué fracción del rectángulo ABCD está
sombreada en la figura 12?
A)
12
1024
2048
B)
E)
1
1024
4
2048
C) 4096
23. ¿Cuántos palitos se usarán en total hasta la
fila (18)?
/ \ Fila(1)
^ / \ Fila (2)
Fila (3)
/ \ / \ / \ / \
A) 560
B) 533
C) 520
D)513
E) 510
24. Calcular el valor de la siguiente expresión:
12 sumandos
1,3+ 3,5+ 5,7+ ... + 12
1 ̂+ 1 ̂+ 32 + ...
12 sumandos
A) 2 8)22 c )9 D) 1 E) 16
25. ¿Cuál es la diferencia de cuadraditos pintados
y los de blanco en la figura (20)?
(1)
A) 330
D) 359
(2) (3)
B) 400
E) 225
(4)
C) 360
26. ¿En qué figura se cumple que la suma del nú
mero de equis y palitos de fósforo es 49?
X X X X X
11 1 11 1
f(1) f(2) f(3)
X X X X X X X X
A) 12 B)14 C) 16 D)18 E) 15
27. Hallar el total de puntos de contacto.
A) 36
B) 27
C) 28
D)32
E) 30
28. ¿Cuántos palitos tiene el siguiente castillo?
I
A) 800 M
B) 820
C)630
D) 900
E) 780
1 2 3 4 18 19 20
29. Hallar el total de palabras “ÁLGEBRA".
L
A
L
G G G
E E E
B B B
R R
B) 18
A
C) 22
30. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
E = 999 ... 999 + 888 ... 88
A) 360
D) 16931. Calcular:
100 cifras 50 cifras
B) 10 000
, E) 400
C) 2500
E = 2 2 » ,/^ 5 .1 7 ... .2 0 fa c t.) + 1
A) 20 B) 202 C) 401 D) 2 E) 1
32. Hallar el valor de; ^36 . 37 . 38. 39 +1
C ) 1400A ) 1404
D )1036
CLAVE DE RESPUESTAS
Practicando 1
1. C 7. E 13.D 19.A 2 5 .B
2. D 8. B 14.E 20 .A 26. E
3. C 9. A 15.A 2 1 .C 27 .A
4. E 10.A 16.D 22 .A 2 8 .8
5. C 11 .B 17.D 23. A 29 .A
6. C 12.8 18.D 24.C 30. B
Practicando 2
1. D 7. A 13.D 19 .A
2. E 8, C 14.D 20. C
3. D 9. C 15.B 2 1 .E
4. C 10.D 16.D 2 2 .8
5. B 11.A 17.C
6, B 12.A 18.D
Practicando 3
1. A 7. A 13.C 19.E 25. D 3 1 .0
2. D 8. A 14 .8 20. D 26 .C 3 2 .8
3, C 9. C 15.B 2 1 .D 27. E
4. D 10.B 16.D 22. C 28. E
5, A 11.C 17.A 23. D 29. D
6. B 12.C 18.C 2 4 .8 30. E
CONTEO DE FIGURAS
Es el proceso de encontrar la máxima cantidad de
figuras de un determinado tipo, como:
Segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, cua
drados, pentágonos, cubos, etc. Se puede efec
tuar del modo siguiente:
POR ASIGNACIÓN DE CARACTERES
Se procede a asignar a cada una de las figuras
interiores un carácter, mediante dígitos y/o letras.
Luego se realiza el conteo indicando la figura pedi
da que tenga un carácter, dos caracteres, y así
sucesivamente.
Ejemplo:
Determinar la máxima ^
cantidad de cuadriláteros. \
Resolución:
i T j - i ?
/ / 1
4 \
5
Cuadriláteros:
De 1 cifra: 4, 5. 6, 7 = 4
De 2 cifras: 12=1
De 4 cifras: 1234 = 1
# total de cuadriláteros = I 6 I
Ejemplo:
Determinar la máxima
cantidad de triángulos.
Resolución:
Triángulos:
De 1 cifra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7 = 7
De 2 cifras: 12, 23, 14 = 3
De 4 cifras: 1234 = 1
.'. # total de triángulos =|
CONTEO DE
FIGURAS
Ejemplo:
Determine el total
de triángulos:
Resolución:
Triángulos:
De 1 cifra: 1, 2, 3. 4, 5, 6 = 6
De 2 cifras: 16, 23.45 = 3
De 3 cifras: 123, 234. 345, 165, 216, 456 = 6
De 6 cifras: 123456 = 1
# total de triángulos = 116 |
Ejemplo: »
Hallar el total de
cuadriláteros.
Resolución:
1
2
3 4 5 6
De 1 citra: 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6
De 2 cifras: 12, 23, 34, 45, 56 = 5
De 3 cifras: 123, 345, 456 = 3
De 4 cifras: 3456 = 1
.-. # total de cuadriláteros = |15 |
POR INDUCCION MATEMÁTICA
Consiste en encontrar una forma general para cierto
tipo de problemas.
Conteo de segmentos
Se procede a generalizar el número total de seg
mentos:
1 segmento = 1
1
3 segmentos = 1 -h2 = 2(2 + 1)
- ) 6 segmentos
3(3 + 1)
= 1 + 2 + 3 = - ^ — - ^
1 2 3 4 ... n
-> # segmentos = 1+ 2 + 3 + í> + ... + n
# máximo de segmentos =
n(n + 1)
Anátogamente se cumple para los siguientes tipos;
# máximo de figuras geométricas =
n(n + l)
Esta fórmula práctica lo podemos emplear para los
siguientes casos:
Angulos Triángulos Sector circulares:
Octágonos
Ejemplo: determinar el número total de segmen
tos en la figura adjunta.
Resolución:
2(2 + 1) 4 (4 + 1)
N.° segmentos: — - — + — ^—
; 3 + 10=[T3l
Ejemplo: hallar la máxima
cantidad de ángulos agu
dos en la figura dada.
Resolución:
Ejem plo: determinar la
máxima cantidad de trián
gulos en la figura adjunta.
Resolución:
Total =
3(3 + 1) 4(4 + 1) 5(5 + 1) 3(3 + 1)
2 2 2 2
# total de triángulos = 6 + 10 + 15 + 6 ^ Í37l
Otros casos
1. Conteo de triángulos:
Donde: m es el número de líneas transversales
2, Conteo de cuadriláteros:
Procedemos a generalizar el número total de
cuadriláteros:
1
1 T
2(2 + 1) (1 + 1)
■ 3 cuadriláteros = — r — x —r — = 3 x 1 = 3
2
1 2 3
3(3 + 1) 2(2 + 1)
-> 18 cuadriláteros = — ^— x — ^— = 6 x 3 = 18
3
2
1 2 3 4
■ 4(4+1) 3(3 + 1)
>60cuadrilátenos = — r — x — r — = 10x 6 = 60
Generalizando:
y
321 2 3 X
n° cuadriláteros =
x(x + l) _ y (y + 1)
N.° triángulos = |l65 l
4. Conteo de triángulos:
/ 2
/ 3
/ 4
/ 5
2 3 4 5 ,6
N.° triángulos = n(n + 1)
= 6(6 + 1 )= [4 Í ]
Ejemplo: ¿cuántos cuadriláteros hay?
Resolución:
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
8 x 9 4 x 5
# cuadriláteros = x-
2 2
= 3 6 x 1 0 = [3 6 ^
Conteo de cuadrados
Procedemos del siguiente modo:
Q } 1 cuadrado = 1̂ = 1
2
1
í 5 cuadrados = 2 x 2 + 1 x l = 2 ̂+ 12
14 cuadrados = 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x1
= 32 + 22 + 12
Para n cuadrados:
n
1 2 3
N.° total de cuadrados = 12 + 2 ̂+ 3 ' + ... +
1
=• - n ( n + 1)(2n + 1)
Ejemplo; hallar el nú
mero total de cuadra
dos que tiene la figura
adjunta.
Resolución:
1 2 3 4 5
=> N." total de cuadrados
= 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 52 = [ 5 5 ]
Conteo de semicírculos
Procederemos del siguiente modo:
Si trazamos un diámetro al círculo:
# semicírculos = 2 = 2(1)
Si trazamos 2 diámetros al círculo:
# semicírculos = 4 = 2(2)
Si trazamos 3 diámetros al círculo:
# semicírculos = 6 = 2(3)
SI trazamos N diámetros al círculo:
# total de semicírculos = 2N
Ejemplo: hallar el n.° total de semicírculos si tra
zamos 198 diámetros.
Resolución:
# total de semicírculos = 2 (198) = ¡3961
POR COMBINACIÓN DE LOS CASOS ANTERIORES
Ejemplo: determi
nar la máxima
cantidad de trián
gulos en la figura
adjunta.
Resolución:
5(5 + 1) 4(4 + 1) I---- 1
N.“ triángulos = r -1 - r + 2 = | 27|
Ejemplo: hallar el núme
ro total de cuadrados que
contiene la figura adjunta.
Resolución:
1 forma:
4
3
2
1 2 3 4 5
# de cuadrados = ^ x 4 + ^ x j3 + 3 x 2 + 2 > ^ = 40
De De De (De
1x1 2x2 3x3 4x4
2.“ forma:
1 . N." cuadrados = f -̂2̂ +3^ + 4̂ =[30]
2. A partir de la parte sombreada el n.° cuadrados;
4
3
2
1
De 1 cifra; 1, 2. 3, 4 = 4
De 2 cifras; 12,23, 34, = 3
De 3 cifras; 123, 234 = 2
De 4 cifras; 1234 = 1 H
N.° cuadrados = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 0
N." total de cuadrados = 30 + 10 = f40|
Ejemplo; determinar
la máxima cantidad de
triángulos en la figura
adjunta.
1.' Solución;
Primero dividimos la figura en 2 partes, luego en la
siguiente figura notamos que los espacios si se
encuentran alineados, y entonces procedemos a
contar la figura pedida.
Triángulos:
1 cifra
2 cifras
3 cifras
4 cifras
5 cifras
6 cifras
1,2, 3, 4, 5, 6 = 6
12 ,23 ,34 ,45 ,56 = 5
123, 234, 345, 456 =4
1234,2345,3456 = 3
12345,23456 =2
123456 =1
.-. totai de triángulos = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = [|T)
En seguida las rectas horizontales de la figura, y
observamos que por cada recta que agregamos
se va a tener otros 21 triángulos más, entonces;
# total de triángulos = 2 1 + 2 1 + 21+21
= 1 84 triángulos)
2.* solución; (Por recurrencia)
6(7)
4 = í
Ejemplo:
¿Cuántos triángulos
tienen por lo menos un
asterisco en su inte
rior?
Resolución:
N .‘ triángulos que tienen
al menos un asterisco
N.° total de N.° de triángulos
triángulos que no tienen
= 3 .
Ejemplo:
Hallar el total de diago
nales que se pueden tra
zar en total en los cuadri
láteros mostrados.
2(2 + 1)
- 1
3
2
1 2 3 4 5 6
Resolución:
Como: en cada cuadrilátero se trazan 2
diagonales, luego para hallar el total de diagonales,
hallaremos el total de cuadriláteros, y esto lo mul
tiplicamos por 2 .
N.“ diagonales = 2
= 2
3(3 + 1) 6(6 + 1)
2
'6 ■ 21]
= 252
Conteo de cubos
Consiste en hallar el número total de cubos de una
figura, encontrar cuántos cubos están en contacto
con otros y cuántos tienen sus caras pintadas y
otras relaciones entre sus elementos.
Denominaremos cubo compacto aquel cubo for
mado por cubitos de menor dimensión e iguales
entre sí, en estas condiciones el número de cubi
tos está dado por:
# de cubitos = n̂ ,
donde n número de cubitos por arista.
1. Cubos que se tocan o están en contacto con
otros
Ejemplo:
En la figura se tiene una suce
sión de cubos. ¿Cuántas ca
ras del cubo 4 están en con
tacto con los demás cubos?
Resolución:
En este caso, el cubo ya
está enumerado o de lo
contrario está señalado el
cubo al cual se le hace re
ferencia.
Se obsen/a que el cubo 4 está debajo ü- cubo
2, además, se encuentra en contacto los
cubos 3, 7 y 5, por lo tanto son 4 las ca ̂.is que
están en contacto.
2. Número de cubos que hay en la fiaiju , i ;on
todos iguales
Ejemplo:
En la siguiente figura:
a) ¿Cuántos cubitos hay?
b) ¿Cuántos cubos hay?
Resolución:
a) Primero se debe enumerar tod,
ñas de la figura dada.
Luego se procede acontar en forma ade
cuada los cubos que
hay en cada columna.
En la figura existen 9
columnas entonces:
# de columna # de
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total: Q S l
b) Total de cubitos = 15
Los que se forman juntando 8 cubitos = 2
.-. n.~ total de cubos = I l7 1
Ejemplo:
¿Cuántos cubos existen
en la siguiente figura?
Resolución;
Se enumeran las columnas, luego:
# columna # cubos columna
1 3
2 2
3 1
4 2
5 1
6 1
Total: fió ]
2.“ columna
3 .” co lum -
Ejemplo
¿Cuántos cubitos se deberán agregar en la figura
(I) para que tenga la forma de la figura (II)?
(II)
(!) Tiene 16 cubitos.
(II) Tiene 27 cubitos.
.'. Para tener (II) se deberán agregar 11 cubitos a (I).
Ejemplo:
En la figura, ¿cuántos
cubitos faltan como
minimo para formar un
cubo sólido compac
to?
Resolución:
En la figura hay 7 cubitos.
El menor cubo sólido compacto tendrá 3 cubos por
arista,
=> V = 3^ = 27 cubitos
Faltan = 27 - 7 = |20 cubitos
Ejemplo; •
¿Cuántos cubitos se deberán agregar en la figura ,
(1) para que tenga la forma de la figura II? ,
/1V r*** /1 1 \ m
Fig- (1) Fig (ll) *
y / '& y y 'y v C m . V
Resolución:
1
Total de cubitos en la figura (II): 4 x 3 x 3 = 36
Luego deberá ser agregado 36 - 3 = ¡331
Ejemplo:
Hallar el total de cubos
de la siguiente figura:
Resolución; P
■
m
■
- w
Primero hallamos el
total de cubitos, como
hay 12 columnas y 2
cubitos por cada co
lumna.
=> Hay 24 cubitos.
Luego se adiciona los cubos formados por 8 cubi
tos en total 6, entonces:
total de cubos = 24 + 6 = |30|
Generalizando:
N.° de cubitos = 6 = (3).
(2 ) (1)
3,2,1 hacen referencia
al número de cubitos
por cada arista.
m
N.° de cubitos
J 2_
(3) (2)
N.° de cubos que
tienen 2 cubitos de arista
(2 ) (1) (1 ) = 14
N.° de cubitos , N.° de cubos que tienen
2 cubitos de arista
1 2 x 2 = 24 + 6 = 30
\
(4) (3) (2) (3)(2)(1) = 30
Nota;
p=#de
cubitos /y y A - À-
Q=#de
cubitos
R = # de cubitos
P > Q > R
P. Q, R, = # de cubitos por cada arista
Total de cubitos cubos de 2 cubitos de arista
(PHQHR) -h ( ^ 1) ( Q - 1H R - 1) + . l
+ (P ~ K )(Q -K )(1 )
En el ejemplo anterior
# total de cubos = 4 (3) (2) + 3 (2) (1) = 30
3. Si se pinta toda la figura, contar cubos con
caras pintadas
Ejemplo;
Si un cubo de 2 cm de arista se pinta por todas
sus caras y luego se corta en cubos de 1 cm
de arista, ¿cuántos cubos se obtienen y cuán
tas caras tendrán pintada cada uno de ellos?
Resolución;
Sea el cubo de 2 cm Cubo que se obtiene al
de arista pintar las caras
2 cm 2 cm
Luego, e! cubo que está pintado se corta en
cubos de 1 cm de arista, veamos;
Como se observará en
esta última figura, el
cubo de 2 cm de aris
ta ha quedado dividi
do en 8 cubos de 1 cm
de arista , además
cada cubito tiene 3
caras pintadas.
Ejemplo:
Se colocan 27 cubitos como se muestra en la figu
ra y se pinta cada cara del cubo grande. El número
de cubos tiene 1, 2 y 3 caras pintadas en cada
caso.
Pintamos cada cara del cuboSean los 27 cubos
Resolución:
- Los cubos que tienen
3 caras pintadas son
los que le muestran en
la sigu iente figura,
como se observan son
8 los cubos que tienen
3 caras pintadas.
Se puede decir que en todos los cubos forma
dos de esta manera el máximo número de cu
bos pintados en sus tres caras es 8.
Los cubos que tienen
2 caras pintadas son
los que se muestran
en la siguiente figura.
Si analizamos en una de sus aristas vemos un
cubo pintado en sus dos caras, como el cubo
tiene 12 aristas, entonces tendrá;
12 X 1 = 12 cubos
Nota:
Generalizando: si el cubo tiene ‘ x ' cubitos en
su arista, entonces tendrá - 2) cuiaitos pinta
dos en sus dos caras en 1 arista, y en total ten
drá (x - 2) (12) = Total de cubitos pintados en
sus dos caras.
Los cutxis que tiene 1 cara pintada, son los que
se muestran en la siguiente figura.
Como se observará en
cada cara del cubo grande
hay 1 cubo con una cara
pintada, como el cubo (ma
yor) tiene 6 caras, el total
de cubos con una cara pin
tada será; 6x1=6 .
Nota: se puede generali
zar diciendo que para un
cubo que tiene x cubitos
de arista el # de cubitos
con una cara pintada es;
(x - 2) (x - 2) (6) = Total de cubitos pintados en 1 cara
Ejemplo
Al pintar toda la parte ex
terior de este conjunto de
cuatro cubos, ¿cuántas
caras quedan pintadas?
Resolución:
1. El cubito 1 presenta:
5 caras pintadas
2. El cubito 2 presenta:
5 caras pintadas
3. El cubito 3 presenta:
3 caras pintadas
4. El cubito 4 presenta:
5 caras pintadas
\ \
\ \ 2
\
- = 3 \ \
\
ií
\./OliUO pii
# total de caras; 5 + 5-(-3 + 5 = |18 pintadas]
Ejemplo;
S i se pinta todo el sólido
que se muestra, hallar la
suma del número de cubi
tos que tienen 4 y 3 de sus
caras pintadas.
Resolución:
Un está oculto en la base.
■. representa los cubos con 3 caras pintadas
# total = 12
: representa los cubos con 4 caras pintadas
# total = 2
.-. La suma = 12 + 2 = fT^n
Ejemplo:
Hallar el total de
paralelepípedos.
Resolución:
N.° de paralelepípedos =
4 3 2 J>1•1
3(3 + 1) 4(4 + 1) 5(5+1)
2 2
= 6 . 10 . 5
Ejemplo:
Hallar el total de cubos.
y
5 i 3 2 1
1 .
2
1 3
4
5
Resolución:
N.° de cubos = + 2 ̂+ 3 ̂+ 4 ̂ + 5̂
r5 (5 + i ) '
2
2
225
Ejemplo: ^ ^
Hallar el total de cubos. ^
Resolución:
N.° cubos =1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 + 3 . 4 . 5
= 6 + 24 + 60
= [ | 3
Ejemplo:
Hallar el total de pirámides de base cuadrangular
que hay en el sólido mostrado.
5 3 2 1
2
3
4
Resolución:
Total de pirámides = 8
4(4 + 1) 4(4 + 1)
2 ■ 2
= [8^
EJEMPLOS DE APLICACION
1. Halle la cantidad de ángulos agudos que se
cuentan en total en la figura:
A) 325
B) 250
C) 300
D) 360
E) 400
Resolución:
Contando el número
de ángulos simples:
24x25
Total de ángulos agudos = — r — = 300
2, En la figura, el número de sectores circulares
es:
A) 100
B) 60
C) 126
D) 130
E) 120
Resolución;
Total de sectores = 6(20) = 120
. - . [ U
3. ¿Cuántos trapecios circulares hay en total en
la siguiente figura?
A) 2980
B) 2140
C) 3720
D) 2970
E )3410
Resolución:
Cambiando la numeración dada:
# de trapecios circu lares=
® x 10 @̂ x 12
2 l 2 = 2970
.-.[D ]
4, ¿Cuál es el menor recorrido que debe realizar
la persona, de tal modo que recorra todas las
calles?
A) 58 km
D) 50 km
8 ) 56 km
E) 52 km
C) 54 km
Resolución:
Para hacer el menor recorrido, no debe repetir
muchas calles:
# de puntos impares = 4
4 - 2# de líneas a repetir = ■ = r
Menor recorrido = 48 + 6 = 54 km
Suma d e lin e a s ^ longitud repetida
5. ¿Cuál es el tiempo mínimo que utilizará un niño
para recorrer todos los lados y las 2 diagonales
de un parque rectangular, de 40 m de largo por
30 m de ancho, a una rapidez de 12 m/min?
A) 20 min B) 25 min C) 24 min
D) 22,5 min E) 20,5 min
Resolución;
Para que el tiempo sea mínimo, deberá reco
rrer todos los lados del parque sin repetir mu
chos lados.
# de puntos impares = 4
4 - 2
# de líneas a repetir = = 1
Recorrido mínimo = 240 m + 30 m = 270 m
recorrido 270 mTiempo mínimo =
rapidez 12 m/min
= 22,5 min
6. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar como
máximo en la siguiente figura?
A) 15
B) 14
C) 18
D) 12
E) 10
Resolución:
Usando el método combinatorio:
D
C
6
De 1 región: E, C ^ 2
De 2 regiones; BC, CF, AE, EH, EC —> 5
De 3 regiones: BCD, CDF, BCF, AEG,
EGH, AEH -> 6
De 8 regiones: 1
Total = 2 + 5 + 6 + 1 = 14 cuadriláteros
7. En la figura se muestran 6 puntos. Calcular la
menor longitud que debe recorrer la punta de
un lápiz sin levantarla del papel, para poder
dibujar todos ios triángulos rectángulos que tie
nen dichos puntos como vértices.
4cm 4cm
•3..................» .................
2 cm 2 cm
A) 4(5 + 3 V 2 + 2 V 2 ) c m
B) 8(2 + 2 V5 + 2 V2 ) cm
C) 4(5 + 2 75 ) cm
D) 5(4 + 2 V5 + 2 ) cm
E) 4(5 + 2 ^/2 + 2 x/5 ) cm
Resolución:
Dibujando todos los triángulos rectángulos;
2 - 2# de líneas a repetir = —- — = o
Menor longitud = 5(4) + 4(2 Vs ) + 2(4 \/2 )
Suma de líneas
= 4(5 + 2^/2 + 2 7 5 ) cm
Hallar la menor longitud que debe recorrer la
punta del lápiz, sin separarse dei papel, paradibujar la siguiente figura formada por 16
cuadraditos cuyos lados miden 2 cm.
A) 80 cm
B) 82 cm
C) 84 cm
D) 86 cm
E) 88 cm
Resolución:
Examinando los puntos impares:
I I
# de puntos impares = 8
# de líneas a repetir =
í - 2
Menor longitud = 41 (2) + (2 + 2 + 2) = 88 cm
Suma de líneas Longitud repetida
¿Cuál es la menor longitud que recorre la pun
ta de un lápiz, sin separarla del papel, para di
bujar la siguiente figura? (las medidas indica
das están en centímetros).
A) 139 cm
B) 155 cm
C) 149 cm
D) 151 cm
E) 153 cm
Resolución:
Se observa que la figura presenta 6 puntos im
pares:
6 2=> # de líneas a repetir = = 2
Las líneas que se van a repetir deben ser de
menor longitud y deben estar entre dos puntos
impares.
.'. Menor longitud = J[33 + (3+ 15) = 151 cm
Suma de líneas Líneas repetidas
.-.[D ]
10. En el siguiente gráfico, ¿cuántos cuadrados
tienen trazada la diagonal?
A) 200
8 ) 220
C) 210
D) 310
E) 400
Resolución:
#cuadrados
codiagonales
1 3 6
i i i
1x2 2x3 3x4
2 ' T " total = =210
EJERCICIOS EXPLICADOS
1. ¿Cuántos arcos de circunferencia hay en la si
guiente figura?
A) 810
B) 840
C) 930
D) 1020
E) 784 }£ ^ :z = r : :T lX !^ ,120
Resolución;
Identificando los arcos simples;
# total de arcos = 210 x 4 = 840
■ [ B ]
2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
■ A) 40
B) 49
C) 45
D) 44
E) 36
Resolución:
Cortando el número de triángulos por separa-
=> total de triángulos = 6 + 15 + 15 + 8 = 44
.-.[D ]
3. Calcular el número total de cuadriláteros en el
siguiente gráfico;
A)
B)
n(n + 7)
n(n + 1)
C) 3n
n{n + 3)
2
n(n + 7)
Resolución;
Contando los cuadriláteros por separado;
\ - / 3 1
\ / ^ 3 2
\ / 3
\ / - 3 i n
total = 3n total =
n(n-*-1)
Total de cuadriláteros:
n(n + 1) _ n(n + 7)
— 3n + -
2
4. Halle el nùmero de triángulos que se puede
contar corno máximo en la siguiente figura:
A) 1000 ^
B ) 1225
C ) 1240
D ) 1300
E) 1350
Resolución;
Razonando inductivamente tenemos:
# de triángulos = 1 ̂ + 2 ̂+ 3 ̂+ ... + 15^
5. Cuántos hexágonos hay en:
A) 1
B) 2
C) 12
D) Ninguno
E)6
Resolución:
Los hexágonos serán:
134; 456; 124; 234;
1245; 2346.
■ Se puede apreciar
6 hexágonos.
6. En la figura, ¿cuántos triángulos isósceles exis
ten?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E)9
Resolución:
Los triángulos isósceles
serán:
3; 12; 45; 123; 345; 678;
2347; 12678; 45678; es
decir; 9
.■•[H
7. ¿Cuántos triángulos hay?
A) 7
B) 8
C) 16
D) 15
E) 10
Resolución:
Los triángulos son:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
1b6; 1b7; 2a4; 2a5; 3a5
3a6; 4a6; 7b2; 24a6b
Se pueden contabilizar
16 triángulos de
todo tamaño.
8. Cuántos pentágonos se pueden contar en:
A) 10
B) 7
C) 12
D) 15
E) 17
Resolución:
Los pentágonos serán:
17; 2 /; 37; 47; 57;
1274; 1275; 2375;
2376; 3471; 3476;
4572; 4571; 5673;
5672; 6173; 6174;
* Se pueden contabilizar 17 pentágonos en total.
9. ¿Cuántos cuadriláteros hay?
A) 12
B) 14
C) 10
D) 13
E)15
Resolución:
Los cuadriláteros son: 1; 2; 3; 1a; Ib;
2c; 3c; lab; 2c3; 12ac; 1bc3; 123abc
' Se pueden contar en total 12 cuadriláteros de
toda forma y tamaño
10. Cuántos triángulos hay en:
A) 30
B) 40
C) 20
D) 50
E) 18
Resolución:
= 10
4x5 = 10
Número total de triángulos = (3 )x 10 = 30
.-. 0
11. Determinar la cantidad total de triángulos que
se pueden contar en la siguiente figura:
i x i x i x i 1^
1 2 3 4 31
A) 64 8)124
D) 308 E)318
32
C) 208
Resolución:
Por inducción:
»10-12
j+10
«10-12 18
IXCXIXl * 10-12 > 102 3 4
Luego para el problema:
# de triángulos: 32{10) - 12 = 308
m
12. ¿De cuántas formas se puede leer la palabra
“AMAR”?
A M A R
M A R A
A R A M
R A M A
A) 15 B) 16 C)20 D)32 E) 64
Resolución;
Por el “triángulo de Pascal" en ambos lados de
la diagonal:
8(2)= 16
ü
# de arreglos por ambos
lados de la diagonal.
1 1
. y
1
y
^1
y
1
0 . 1 1
Total; 16 formas,
. - [ 1
13. Hallar el número total de cuadriláteros en la
figura adjunta:
A) 1740
B )1830
C )1810
D) 1780
E) 1870
Resolución:
Hay dos tipos de cuadriláteros
1.° 2/'
Forma:
Cantidad: 4
i
('29x30
i
3(30)
Luego el total de cuadriláteros será:
58 X 30 + 3 X 30 = 61 X 30 = 1830
[ I]
14. ¿Cuántas semicircunferencias fiay en la figu
ra?
A) 10
B) 20
C)4
D)8
E ) 1 2
Resolución:
Por simple inspección hay:
Grandes Pequeñas
+ T ( 4 r = 20
[ H
Ejercite su habilidad
1. Hallar el total de triángulos en cada caso:
1. A 2.
Rpta: Rpta:
3. 4.
Rpta: Rpta:
Rpta: Rpta;
Rpta; Rpta:
2. Hallar el total de cuadriláteros en cada caso:
1, 2.
Rpta:
3. 4.
Rpta;
15 . ¿ C u á n t o s t r iá n g u lo s
h a y e n la s ig u ie n te f i
g u ra ?
Resolución:
C o n 1 z o n a :
1 0 t r iá n g u lo s .
C o n 2 z o n a s :
1 0 t r iá n g u lo s .
C o n 3 z o n a s :
1 0 t r iá n g u lo s .
C o n 5 z o n a s : 5 t r iá n g u lo s
.-. t o ta l = 3 5 t r iá n g u lo s
Rpta:
Rpta;
Rpta:
3 5 A ,
16 , ¿ C u á n to s c u a d r i lá te r o s h a y e n la s ig u ie n te f i
g u ra "?
Resolución:
Con 1 zona: 9 cuadriláteros.
Con 2 zonas: 10 cuadriláteros.
Con 3 zonas: 5 cuadriláteros.
Con 4 zonas: 4 cuadriláteros.
Con 5 zonas: 1 cuadrilátero.
Con 6 zonas: 1 cuadrilátero.
a
b c d
6 f 9 h i
iTotal = 30 cuadriláteros!
17. ¿Cuántos cuadriláte
ros tiay en la siguien
te figura?
Resolución:
De 1 zona: {d}
- í 1 cuadrilátero
De 2 zonas: {bd, de)
2 cuadriláteros
De 3 zonas: {cdf}
—> 1 cuadrilátero
De 4 zonas: {abcd, defg, bdef, bcde)
-» 4 cuadriláteros__________________________
# total de cuadriláteros =1 + 2 + 1 -h4 = 8
18, ¿Cuántos cuadriláteros hay en un tablero de
ajedrez?
Resolución:
Se puede demostrar que:
# de cuadriláteros =
n (n + 1)
En un tablero de 8 x 8:
# cuadriláteros verticales = ■ - = 36
8. <9
# cuadriláteros horizontales = ------- = 36
,-, # Total de cuadriláteros = 36 x 36 = 1296
19. ¿Cuántos cuadrados hay en total en un tablero
de ajedrez?
A) 65 B) 100 C) 125 D) 150 E) 204
Resolución:
Un tablero de ajedrez posee: 8 x 8 = 64 esca
ques de forma cuadrada; contemos algunos
de los cuadrados de diversos tamaños;
8 X 8 = 8 ̂cuadrados
7 X 7 = 72 cuadrados
6 X 6 = 6 ̂cuadrados
Total de cuadrados - + 2 ̂+ 3 ̂+ ... + 8^
8x 9 x 1 7
- = 204
20. En un tablero cuadriculado de 6 x 6 casilleros,
¿cuántos cuadriláteros que no son cuadrados
se pueden contar?
A) 300 8)315 C)330 D) 350 E) 375
Resolución:
# cuadrados = 1 -1- 2-’ -h 3 ̂ + 4“̂ -1- 5̂ -t- 6 ̂= 91
# cuadriláteros = f 6 x7 6 x 7 = 441
441 - 91 = 350
[D ]
21. ¿Cuántos cuadriláte
ros existen en la si
guiente figura?
Resolución:
Contamos cuadriláteros de:
* Una parte (los señalamos con un punto,
• ) : 5
* Dos partes (lo señalamos con una rayita,
) : 6
' Tres partes (lo señalamos con una línea curva,
( : 1
* Cuatro partes (lo señalamos con una bolita,
C » 2
y además tenemos el cuadrilátero total.
: 1
1 5 cuadril.
15q
22. ¿Cuántos triángulos
hay en la figura mos
trada?
Resolución:
Con 1 zona: 6 triángulos.
Con 2 zonas: 4 triángulos.
Con 3 zonas: 2 triángulos.
Con 6 zonas: 1 triángulo.
Total: 6 + 4 -I- 2 -»■ 1 =
Resolución:
10(10 + 1)
* N.= de cuadriláteros = ------------- ̂ = 55
' El número de cuadriláteros en es 4,
pero recuerde que el cuadrilátero central ya fue
contado en el anterior paso; luego considera
mos solo 3 cuadriláteros.
N.° de cuadriláteros : 55 + 3 (10) = | 85 |
24. Hallar el total de cuadrados.
Resotución;
Notemos con cuidado que:
25 cuadraditos de este tipo
12 cuadrados de este tipo
4 cuadrados de este tipo
Total de cuadrados: 2 5 + 1 2 + 4 = | 411
'TDedícate con ahinco a Uis deberes aca
démicos.
Todo momento es bueno para replan
tear tu futuro.
T l̂anifica tu tiempo y dedícate con ale
gría a luchar p o r tus sueños”.
PRACTICANDO 1
1. ¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros
hay en la figura?
A) 1 0 - 6
B) 1 2 - 1 0
C) 1 2 - 1 2
D) 1 0 - 1 0
E) 1 2 - 6
2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
A) 46
B) 47
C) 48
D) 49
E) 50
3. ¿Cuántos segmentos se pueden contar como
máximo en la figura adjunta?
A) 72B) 88
C)96
D) 100
E) 114
4. ¿Cuántos segmentos se cuentan en total en la
figura mostrada?
A) 18 996
B) 16 472
C) 19 796
D ) 20 672
E) 22 527
5, Calcular el número total de cuadriláteros en la
figura adjunta.
6. Indicar la máxima cantidad de triángulos en ia
figura mostrada:
A) 210 8)240 0 )250 D) 320 E) 160
7. ¿Cuántos semicírculos se cuentan como máxi
mo en la figura mostrada?
A) 2(m + n)
B) 2(m - n)
C) 2mn
m -i-n
D)
E) (m -t- 1)(n -H 1)
8. Calcular el total de triángulos del siguiente es
quema:
A) 11 000
8) 11 060
C) 5000
D )5530
E) 3720
20
9. Determine el máximo número de triángulos en:
A) 70
B) 71
C) 58
D) 60
E) 64
10, En ia siguiente figura:
a) ¿Cuántos cuadnl
b) ¿Cuántos cuadran
c) ¿Cuántos cuadriláteros qu« hl son cua
drados se pueden observar?
A) 190; 10: 120 B) 195; 20; 130
C) 200
E) 210
30; 140
50; 160
D) 205; 40; 150
11. ¿Cuántos cuadrados se cuentan en total en la
figura mostrada?
A) 70
B) 72
C) 75
D) 80
E) 82
12. En la figura adjunta, ¿cuántas figuras tienen 4
lados?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 11
E) 12
• B) 20
C) 19
I D) 18
E) 16
•
•
13. Calcular el número máximo de triángulos en la
figura.
A) 15
B) 14
C) 12
D) 16
E) 20
14. El # máximo de cuadriláteros que existen en la
figura es:
A) 10
B) 16
C) 13
D) 12
E) 14
15. ¿Cuántos exágonos hay ea total en la ligura?
A) 15
B) 20
C) 18
D) 16
E) 14
16. Hallar el total de ángulos en la figura:
A) 40
B ! 6 0
Cj 70
D) 16
E) 90
17. Hallar el total de ángulos en la figura.
A) 30
B) 25
C) 24
D) 22
E) 18
18. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 15
19. En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos hay?En las
A) 46
B) 56
C) 78
D) 21
E) 36
20. En la figura, ¿cuántos cuadriláteros que no son
cuadrados hay en total?
A) 70
B) 225
C) 170
D) 180
E) 36
21. ¿Cuántos triángulos se podrán contar en total
al trazar una diagonal a un tablero de ajedrez?
A) 64 B) 8 G) 56 D) 72 E) 80
22. ¿Cuántos triángulos hay en total en la siguien
te figura?
A) 1760
B) 440
C) 2310
D) 235
E) 3140
23, ¿Cuál es el total de
triángulos que se
muestra a continua
ción?
A)
C)
E)
n(n + 1i(n + 2j n (n -1 )(5n + 2)
n(n + 1)(5n + 1) nfn + 2)(n + 3)
D)-
12
n ( n - 1) ( n - 2)
24. En una hoja cuadrada y cuadriculada con “n"
cuadraditos por lado, se traza una de las
diagonales. ¿Cuántos triángulos se forman
como consecuencia de este trazado?
A) n B)n(n + 1) C ) n ( n - I )
D)-
n ( n - í )
E)
n ( n * 1)
PRACTICANDO 2
1. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
A) 60
B) 68
C) 74
Di 70
E) N inguna
2. ¿Cuántos cuadriláteros que por lo menos ten
gan un asterisco hay en la figura?
A) 320
B) 132
C) 121
D) 152
E) 201
3. ¿Cuántos triángulas se cuentan en total?
A) 96
B) 120
C) 102
D) 122
E) 112
\
\ \ \
\ \ \
N
\ N
4. Cuántos triángulos
hay en:
A) 420
8 ) 343
C) 512
D) 421
E) 481
5. Hallar el número total de cuadriláteros.
6 . Un papelelepipedo de madera es pintado to
talmente, luego se corta en cubitos pequeños
como muestra la figura. Si se retiran los cubi
tos con sólo dos caras pintadas, ¿cuántos cu
bitos quedarán?
A) 48
B) 60
C) 52
D) 64
E) 80
7. ¿Cuántos cuadriláteros no t;uadrados hay en
la siguiente figura?
A) 150
B) 166
C) 156
D) 160
E) 182
8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura adjunta?
A) 332 228
B) 338 350
C) 333 350
D) 358 850
E) 338 850
Llamamos números pentagonales a aquellos
que pueden ser representados por puntos en
un arreglo pentagonal.
Para la posición 20.“, ¿cuántos puntos se ten
drá?
1.° 2.° 3.° 4.“ .
A) 120 B)210 C)305 D) 590 E) 180
10. fHallar el total de triángulos:
A) 20
B) 23
C) 22
D) 26
E) 28
11. ¿Cuántas pirámides de
base cuadrangular hay en
el sólido mostrado?
12. ¿Cuántos puntos de corte hay?
A) 100
D )1100
B) 1000
E) 991
13. ¿Cuántos segmentos se pueden contar como
máximo en la figura adjunta?
A) 72
B) 88
C) 96
D) 100
E) 114
14. ¿Cuántos segmentos hay en total?
A) 11 111
B) 12 121
C) 11 112
D) 21 212
E) 22 221
trado?
A) 151
B) 161
C) 138
D) 169
E) 159
16. ¿Cuántos triángulos existirán en cuyo interior
se encuentre por lo menos un asterisco?
A) 40
B) 39
C)41
D) 42
E) 43
17. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 121
B) 120
C) 119
D) 210
E) 60
18. ¿Cuántos hexágonos hay en la siguiente figu
ra?
A) 378
B) 435
C) 421
D) 406
E) 465
30 29 28 27 4 3 2
19. Hallar el número total de cuadriláteros en la
figura adjunta.
A ) 1740
B )1830
C) 1810
D) 1780
E) 1870
20. ¿Cuántos cuadrados existen en la figura mos
trada?
A) 73
B) 75
C) 70
D) 78
E) 81 10
21. ¿Cuántos sectores circulares existen en la fi
gura mostrada?
A) 80
B) 92
C) 82
D) 93
E) 94
22. Determinar el número tolal de pirámides de
base cuadrada que se pueden contar.
A) 45
B) 60
C) 65
D) 70
E) 50
23. ¿Cuántos semicírculos hay en total?
A) 64
B) 32
C) 48
D) 72
E) 60
24. ¿Cuánios cuadriláteros se distingue en la figu
ra?
A) 9
B) 10
O) 11
D) 12
E) 13
PRACTICANDO 3
2.
3.
¿Cuántos triángulos como máximo se cuen
tan en la figura?
A) 30
B) 26
C) 21
D) 15
E) 14
¿Cuántos triángulos como máximo se cuen
tan en la figura?
A) 21
8 ) 42
C) 63
D) 168
E) 200
¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar como
máximo en la siguiente figura?
A) 16
B) 20
C) 32
D) 36
E) 38
4. ¿Cuántos segmentos hay en total en la figura
A) 21 685
D) 23 485
B) 21 785
E) 31 685
C) 22 885
Hallar el número total de octógonos en la figu
ra mostrada.
A) 5
B) 8
C) 15
D) 12
E) 10
¿Cuántas letras “L” tiay en la figura?
A) 4
B) 10
C) 15
D) 20
E) 12
7. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la
siguiente figura?
A) 7
B) 9
C) 12
D) 16
E) 18
Determinar cuántos trapecios hay en la siguien
te figura.
A) 21
B) 28
C) 30
D) 36
E) 37
9. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden observar
como máximo en esta figura?
A) 5
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
10. ¿Cuántos triángulos fiay en la figura?
A) 30
B) 36
C) 40
D) 44
E) 48
11. ¿Cuántos cuadrados se pueden observar en
esta figura?
A) 40
B) 50
C) 55
D) 60
E) 44
12. ¿Cuántos rectángulos como máximo se forman
en la figura?
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
13. Calcular el número de triángulos equiláteros
en:
' A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
14. Hallar el número total de puntos de corte entre
triángulo y circunferencia.
1
A) 194
D) 164
t 5
3
B) 184
E) 154
29 30
C) 174
15. Encontrar el número total de triángulos sim
ples en: F(n),
F (1 ) F (2 )
A) 4n? B) 2n^ C) 2n^ E) 2n
16. Hallar el menor número total de circunferen
cias que se debe trazar para obtener 294 pun
tos de corte (las circunferencias pueden
intersectarse como máximo 2 a 2).
A) 37 B) 35 C) 33 D) 31 E) 29
17. En la figura existen “m” triángulos y “n" cuadri
láteros, tiallar m x n:
A) 9
B) 8
C)7
D) 6
E)5
18. Calcular el máximo número de segmentos:
2 5 10 17 . . . 962
Dé corno respuesta la suma de sus cifras.
A) 10 B) 12 0) 13 D) 14 E) 15
19. Halle el máximo número de triángulo.
A) 35
8 ) 39
C) 45
D) 49
E) 55
20. Halle el máximo número de triángulos.
A) 120
B) 125
0 ) 130
D) 135
E) 140
21. ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados
se puede observar?
A) 197
B) 190
C) 791
D) 917
E) 179
22. ¿Cuántos triángulos como máximo se puede
observar en la figura?
A) 201
B) 202
C) 203
D) 204
E) 205
23. Halla el número de triángulos.
A) 16
B) 9
C) 12
D) 14
E) 18
PRACTICANDO 4
1. ¿Cuántos rectángulos fiay en la siguiente figura?
A) 26
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
2.
3.
4.
5.
6.
7.
E1 número de pentágonos en la figura es:
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
¿Cuál es el máximo de triángulos que se ob
tienen al hacer dos trazos en un triángulo?
A) 9 B) 6 C) 8 D) 5 E) 4
Determ inar la suma del número total de
pentágonos y el número total de segmentos
en la siguiente figura.
A) 111
B) 96
C) 105
D) 100
E) 99
¿Cuántos cuadriláteros hay?
A) 38
B) 39
C) 40
D) 41
E) 42
Determinar el número total de triángulos que
hay en la siguiente figura:
A) 28
B) 23
C) 33
D) 26
E) 30
Decir cuántos cuadriláteros hay en la siguien
te figura.
A) 32
8) 36
C) 42
D) 48
E) 50
Decir cuántos sectores circulares hay en la si
guiente figura:
9.
A) 24
B) 25
C) 28
0)33
E) 35
¿Cuántos triángulos existen en la figura?
A)12
B) 13
C) 14
D) 16
E) 20
X X XX X X]
10. Hallar el número de triángulos en la figura.
A) 7
B) 10
11. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 21
8) 15
C) 16
D) 18
E) 19
12. En la figura decir si es V o F.
A) Hay 10 triángulos,
B) Hay 4 cuadriláteros,
C) Hay 4 pentágonos.
A) VVF B) VFF C) VFV D) FFV E) FFF
13. En la figura, ¿cuántos ángulos hay?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 22
E) 23
14. ¿Cuántos pentágonos hay en la siguiente figu
ra?
A) 4
B ) 5
C) 6
D)7
E)8
15. ¿Cuántos triángulos hay?
A) 6
B) 10
C)7
D) 8
E ) 9
16. Hallar el número total de triángulos de ia figura
adjunta.
A) 7
B) 8
C )9
D) 10
E) 12
17. Hallar el número de rectángulos que se deter
minan con “n” segmentos.
"n" segmento:
3
2
1 segmento
A) n̂
B) (n + 1)(n + 2 ) / 2
C) n(n -I- 1) /2
D) n
E) n-hl
18. Hallar el número de triángulos en la siguiente
figura:
A) 2 (n + 2)
B) 2n + 2
C) 2n - 1
D) 2n -h 3
E ) 3 n + 3
“n" segmentos
̂ segmento
19. El número total de paralelepípedos en la-figura
es: ■
A) 16
B) 18
C) 24
D) 36
E)54
20. La suma de los triángulos de las figuras (I) y
(II) es:
(O (II)
A) 24
D) 25 E) Más de 26
21. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figu
ra?
A) 64
B) 62
C) 54
D) 58
E) 53
22. La diferencia entre el número de segmentos
de la figura B y el número de triángulos de ia
figura A es:
PRACTICANDO 5
1. En la figura determinar la cantidad de.cubos
pintados.
A) 10 000 1
B) 10 100 2
C) 10 900 3
D) 11 000 4
E) 11 100
200
2. Si se pinta por completo el sólido mostrado,
¿cuántos cubos tienen cuatro caras pintadas?
A) 8
B) 6
C )4
D)5
E)3
/ /
/ /
/
/
4.
¿Cuántos cubos hay en la figura?
A) 20
B) 19
C) 18
D) 17
E) 15
Los 5 cubitos mostrados poseen goma en to
das sus caras; para formar un cubo mínimo se
pegan algunos cubitos más. ¿Cuántos de ellos
necesitarían goma adicional?
A) 4
8 )5
C)8
D) 10
E) 12
Con los cubitos de esta singular torre, se de
sea construir otra rectangular cuya base sea
cuadrada y posea un número par de cubitos
¿Cuál es el máximo número de cubitos que
tendrá la altura?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
6. Se tiene un cubo compacto, que se divide en 8
cubitos iguales, 1 de estos cubitos es dividido
de la misma forma, y en uno de los nuevos
cubitos se realiza la misma operación. ¿Cuál
es el máximo número de cubitos que se pue
den formar con todas las piezas obtenidas, lue
go de la enésima operación?
A) 8n B) 8n - 1 C) 8n + 1
D) 8n 3 E) 8n - 2
7. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para
completar un cubo sólido compacto?
A) 27
B) 22
C) 57
D) 19
E) 20
8. Al pintar toda la parte exterior de este conjunto
de 20 cubos, (ver figura), ¿cuántas caras que
dan pintadas?
A) 61
B) 65
C) 60
D) 58
E) 62
9. En las figuras mostradas, ¿cuántos cubos hay
en cada bloque?
A) 45; 31
D) 57; 35
B) 45; 30
E) 59; 36
C) 58; 35
10. ¿Cuántos cuadriláteros hay?
A) 9
B) 12
C) 8
D) 10
E) 11
11. ¿Cuántos triángulos hay?
A) 8
B) 10
C) 14
D) 16
E) 18
12. ¿Cuántos cuadriláteros hay?
A) 24
8 ) 21
C) 22
D) 23
E) 20
13. ¿Cuántos triángulos hay?
A) 20
B) 25 ,
C) 30 ,
D.)35
E) Más de 35 .
14. En las figuras rwostradas, determine la canti
dad de segmentos de recta:
La suma de segmentos en (A) y (B) será:
(A) (B)
15. Contar, el # de trángujos en cada una de las
figuras que se indican;
AX.5 -
; B) 6 -
C )7
P )8
e) 9
16: Hallar el número de triángulos.
A) 13
B) 12
C) 11
D) 14
■£) 17 ' ' ■
17. Hallar el número íle triángulos.
-A)12-
B) 11
C) IO
DI Vb
E) ik--
18. En la figura, la cantidad de segmentos como
’ máximo que se pueden corttar es.
A) 12
B).1.Q„
C) 24
D)'15,,
E)í21
19, En.la,figura, considere: , -r . •
A = número de paralelepípedos;
B = numera de ctfbos. ;
Señate el vaíof de:,A ” B"; / " '/
A) 182 ̂ ' '
B) 180
C) 25fer; : ..............
D) 238
, , E ) i9 a ,■.,
z y y /
/ /
/
/
/
X/ /
‘Z'
20, Hallar el n ú m Á total de triángulos err la.figu-
ra. ■ ;
A) 20
B) 24
C) 18 ^
D) 16
E) N.A.
PRACTICANDO
1. Calciular'el rl'üm^ó a^cúá^rlláfteros dtfiá figu
ra. !" ,í:i
A) 10 i
B)11
C) 12
D) 13
3.
4.
La figura muestra un rectángulo dividido en
cuadraditos iguales. Determinar el máximo
número de cuadriláteros que no son cuadra
dos, que se forman en la figura.
A) 280
B) 220
C) 60
D) 180
E) 120
Hallar la diferencia entre el número de cuadri
láteros y triángulos.
A) 13
B) 15
C) 17
D) 19
E) 20
\
•
•
•
* Q/ •
Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura:
A) 19
8) 25
C) 18
D) 29
E) 26
Cuántos cuadriláteros más qué triángulos hay
en la siguiente figura:
A) 320
B) 190
C) 195
D) 210
E) 205
6. Hallar el máximo número de segmentos en la
figura:
A) 21
B) 28
C) 42
s o
cj
T
o l
Hallar el máximo número de cuadriláteros que
no contienen asteriscos en la siguiente figura;
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
¿Cuántos segmentos hay en la figura;
A) 30 ^
B) 31
C) 32
D) 33
E) 34
¿Cuántos sectores circulares hay?
A) 40
B) 41
C) 42
0)43
E) 44
10. Hallar la suma del número de cuadriláteros y el
número de pentágonos de la siguiente figura;
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 24
11. En la figura mostrada, cada punto representa
una persona y un segmento que une dos pun
tos indican que dos personas son amigos. Tres
personas tienen un amigo y una persona tiene
tres amigos está representado en las figuras:
A
(I)
A) I y II
D) II y III
(II) (III)
B) I y III
E) 111 y IV
(IV)
C) II y IV
12. En los siguientes gráficos, cada nudo repre
senta un amigo y cada segmento que los une
es el saludo entre dos amigos. ¿Cuál de los
gráficos significa: “Cada amigo saluda a otros
dos”.
A) Sólo III
C) Sólol
E) Sólo II y III
B) Sólo I y II
D) Sólo I y III
13. ¿Cuántos cuadrados existen en la figura mos
trada?
REA) 73
B) 75
C) 70
D) 78
E) 81
14. A pa r t i r d e l g rá f ico :
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10|
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calcular el número de cuadrados.
A) 95 B) 125 C)92 D) 110 E) 90
15. Se pide calcular de la gráfica mostrada:
(I) El número total de paralelepípedos.
(II) El número total de cubos.
A) 540 - 280
B) 540 - 290
C) 560 - 290
D) 560 - 300
E) 560 - 280
zz zz
16. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en la
figura adjunta?
A) 42 925
B) 42 825
C) 41 635
D) 41 645
E) 43 325
17. ¿Cuántos cuadrados se cuentan en total en la
figura mostrada?
A) 98
B) 102
C) 112
D) 69
E) 96
18. ¿Cuántos triángulos se cuentan en la figura
19. ¿Cuántas pirámides de base cuadrada se pue
den contar en el sólido mostrado?
A) 68
B) 88
C) 98
D) 112
E) 196
20. En la figura mostrada, indicar el máximo nú
mero de cuadriláteros.
A) 1126
B ) 1236
C )1347
D )1456
E) 1577
PRACTICANDO 7
1, ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
A) 35
B) 34
C) 33
D) 31
E) 32
2.
4.
3.
¿Cuántos trapecios circulares y cuántos sec
tores circulares hay en la figura en total?
A) 60 y 36
B) 60 y 40
C) 50 y 50
D ) 40 y 60
E) 35 y 65
En la figura mostrada la suma del número de
cuadriláteros y el número de triángulos es:
A) ó
B) 35
C) 36
D) 37
E) 38
En la figura mostrada el cuadrado de la dife
rencia entre el número de cuadriláteros y el
número de triángulos es:
A) 4
B) 9
C) 25
D) 36
E) 49
¿Cuántos triángulos existen en la siguiente fi
gura?
A) 2m
B) 2m - 1
C) 3m
D) m3
E) m" - 1
6, ¿Cuántos cuadriláteros que contengan un ’
existen en la siguiente figura?
A) 7
8) 8
C) 9
D) 10
E)11
7. El papá de Benito ofreció a éste una cierta can
tidad de dinero por cada segmento encontra
do en la siguiente figura:
E S T U D I A R
Si Benito recibe S/. 140, y encontró todos los
segmentos, ¿cuánto le ofreció el padre por
cada segmento?
A) S/. 2 B) S/. 7 C) S/, 5
D) S/. 6 E) S/. 9
8. ¿Cuántos pentágonos hay en la siguiente figu
ra?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
9. El número de pentágonos más el número de
exágonos de la siguiente figura es:
A) 21
8) 13
C) 15
D) 17
E) 18
10. En la figura que se muestra, el máximo núme
ro de triángulos es 272. Hallar "n '.
A) 24
B) 14
C) 13
D) 17
E) 21
11. En la figura se tiene “n'' cuadrados dispuestos
como se muestra, si el máximo número de trián
gulos que se determinan en 490. Hallar -‘n” .
A) 122
B) 88
C)212
D) 123
E)121
12, En el gráfico mostrado se tienen “n" filas y "n"
columnas de circunferencias. Hallar ei núme
ro total de puntos de intersección.
A) n(n - 1)
B) 2n {n -1 )
C) 4n (n -1 )
D) 3 n (n - 1)
E) 6n ( n - 1)
13. Se tienen 100 circunferencias y 100 cuadrilá
teros como se muestra en la figura. Hallar el
número total de puntos de intersección.
A) 796
8) 794
C) 798
D) 792
E) 800
14. En la figura que se muestra, el máximo núme
ro de triángulos es 378. Hallar “m".
A) 38
B) 48
C) 54
D)40
E) 52
\
15. En la siguiente figura existen “a” triángulos y
"b" cuadriláteros. Hallar “a + 2b”.
A) 14
B) 16
C) 15
D) 18
E) 21
16. En la figura, dar el valor de verdad (V o F) de
las siguientes afirmaciones:
(I) Hay 2 rombos.
(II) Hay 6 trapecios isósceles.
(III) Hay 8 triángulos equiláteros.
A) W V
8 ) VFF
C) FVV
D) FFV
E) FVF
17. De la figura, hallar la suma del número de trián
gulos y cuadriláteros.
A) 32
B) 44
C) 52
D) 50
E) 48
18. En la figura, hallar la diferencia del número de
cuadrados y triángulos.
A) 5
B) 10
C) 15
D) 12
E) 17
/
/
/
/
19. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
A) 44
B) 43
C) 39
D) 45
E) 42
20. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 67
B) 68
C) 66
D) 69
E) 70
21, ¿Cuántos triángulos hay en la figura adjunta?
A) fvlás de 50
B) 44
C) 46
D) 50
E) 36
CLAVE DE RESPUESTAS
Practicando 1
1. C
2. B
3. E
4. E
5. B
6 . 8
7. C
8. D
9. B
10.E
1 1 . B
12.E
13.D
14.E
15 .B
15.E
17.B
18.C
19 .B
20 .C
2 1 .D
22. A
23 .A
24.B
Practicando 2
1. E 7. B 13.E 19.B
2. C 8. B 14.C 20. E
3. E 9. D 15 .B 21.A
4. A 10.C 16.C 22.D
5, C 11. C 17.B 23 .A
6. C 12.C 1 8 .D 2 4 .C
Practicando 3
1. C 7. 0 13.B 19.D
2. C 8. 8 14.E 20 .A
3. D 9. C 15.A 21.C
4. A 10.D 16.A 22. D
5. E 11. C 17.A 23.A
6. B 12. E 18 .E
Practicando 4
1. E 7. D 13.C 19 .E
2. D 8. D 14 .C 20.C
3. C 9. D 15 ,B 21.A
4. E 10.C 16.A 22 .A
5. B 11, A 17.C
6. A 12.A 18.E
Practicando 5
1. B 7. E 13.E 19.B
2. C 8. C 14.C 20. A
3. D 9. C 15.B
4. A 10. E 16.A
5. A 11. C 17.A
6, C 12. B 18.E
Practicando 6
1. D 7. D 13.E 19.D
2. 8 8. C 14.8 20.8
3. D 9. C 15.B
4. A 10.E 16 .A
5. D 11. C 17 .A
5. C 12.C 18.B
Practicando 7
1. D 7. C 13.B 19.B
2. B 8. C 14.C 20.A
3. C 9. D 15.D 21.A
4. C 10.D 16.D
5. C 11. D 17.D
6. C 12.B 18.B
A N A L O G I A S Y
DISTRIBUCIONES
ANALOGIAS NUMÉRICAS
Una analogía numérica es un grupo de números
distribuidos en tres o más filas tales que cada fila
está formado por tres elementos, dos extremos y
un medio. Los medios están encerrados entre pa
réntesis y uno de ellos al menos es la incógnita.
Todos los elementos de dos filas por lo menos se
conocen, así como también los extremos de la fila
con la incógnita. Las operaciones entre los extre
mos deben dar como resultado a sus respectivos
medios.
Presentamos a continuación una estructura gene
ral de las analogías numéricas de 3 filas.
Extremos
1.^Fila
2.“ Fila
3.=“ Fila
Resolución;
Cumple que:
82-1-18
40-^20
= 50
= 30
luego:
? = 90 4-30
CRITERIO DE SOLUCIÓN
No existe en realidad un criterio general para re
solver analogías numéricas, porque a veces se
puede encontrar más de una relación entre sus
extremos y sus medios. Por tal motivo, damos a
continuación algunas sugerencias para enfrentar
con éxito la solución de los problemas con analo
gías numéricas.
Buscar relaciones operacionales entre los ex
tremos y los medios de las filas con datos nu
méricos conocidos, las cuales deben cumplir
ciertas regias aritméticas y lógicas, sin ambi
güedad.
Las relaciones operacionales a buscarse en
tre los extremos y los medios deben ser ope
raciones aritméticas entre ellos o entre sus ci
fras.
La relación operacional encontrada debe apli
carse a la fila en el cual se encuentra la incóg
nita y ésta debe satisfacer una de las alternati
vas del problema.
Ejemplo; determinar el valor de “x" en la siguiente
analogía”.
1 (7) 3
3 (9) 2
O (x) 5
R e so lu c ió n ; iniciam os a buscar relaciones
operacionales en los extremos tal que nos den
como resultado los medios. Obtenemos la siguiente
relación operacional entre ellos mismos:
1.» Fila: 2(1 -i-3) - 1 = 7
2.“ Fila: 2(3 + 2) - 1 = 9
Ahora, aplicamos esta relación operacional para
la fila de la incógnita, tenemos:
3.‘ Fila: 2(0 + 5) - 1 = x=> x = 9
Esta respuesta aparece en las alternativas del pro
blema, entonces ésta es la solución.
.■ .m
Ejemplo; hallar el valor de “x" en la analogía si
guiente.
23 ( 1 ) 51
14 (12) 89
35 ( X ) 67
Resolución; nuevamente buscamos relaciones
operacionales en los extremos, de tal modo que
nos den por resultado los medios. Buscando, con
seguimos la siguiente relación operacional entre
sus cifras:
1.'“ Fila: ( 5 -h1) - (2- i - 3) = 1
2.» Fila: ( 8 9 ) - (1 + 4) = 12
Esta relación es buena, aplicamos a la fila de la
incógnita. Tenemos:
3.“ Fila: (6 7) - (3 -t- 5) = X =» x = 5
Este resultado aparece en las alternativas del pro
blema, esto es la solución.
. - . [T
DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS
Una distribución numérica es un grupo formado de
por lo menos seis números distribuidos en dos o
más filas tales que cada fila tiene el mismo núme
ro de elementos, y estas filas pueden estar forma
dos por dos o más elementos. Por io menos un
elemento de una fila es la incógnita. Una distribu
ción forma columnas de elementos. Todos ios ele
mentos de por lo menos dos filas o dos columnae
se conocen.
ESTRUCTURA. Presentamos a continuación una
estructura general de las distribuciones numéricas
de 3 filas por 4 columnas.
1.“ columna 3.'’ columna
1.^Fila
2." Fila -
3.“ Fila
Cumple que:
Luego:
2.'' columna
8 2 5
10 10 7
14 6 9
8 + 2 + 5 4 1 5 = 30
10 + 10 + 7 + 3 = 30
14 + 6 + 9 + ? = 30
4.“ columna
-l
15
3
9
■ [ E
CRITERIO DE SOLUCION. No existe un criterio
general para resolver distribuciones numéricas,
como en las analogías numéricas. Las relaciones
operacionales entre los elementos de una distribu
ción numérica se pueden presentar de diversas
formas. Estas podrían ser relaciones entre los ele
mentos de las filas, de las columnas y de otros
tipos. Para tener éxito en la solución de problemas
con distribuciones numéricas se debe buscar rela
ciones operacionales adecuadas y lógicas entre
los elementos de las filas o de las columnas o de
otra naturaleza.
Ejemplo: determinar el valor de ‘x” en la siguiente
distribución.
2 3 4
6 5 2
10 13 X
R esolución; tenemos que buscar relaciones
operacionales entre las dos primeras filas o entre
las dos primeras columnas. Obtenemos la siguiente
relación operacional entre las columnas:
1.“ columna: 2 x 6 - 2 = 1 0
2.'- columna: 3 x 5 - 2 = 13
La que hemos encontrado, es una buena relación,
aplicamos esta relación para la tercera columna.
Tenemos;
3.“ columna; 4 x 2 - 2 = x => | x = 6 |
Ejemplo: hallar el valor de “x’’ que toma en la si
guiente distribución.
1 2 0 1
2 1 3 X
4 7 12 17
Resolución: buscamos como en el ejemplo ante
rior relaciones operacionales entre los elementos
conocidos de la distribución. Obtenemos las rela
ciones operacionales entre las columnas;
1 columna: (1 + 2) + 1' = 4
2 .“ columna: (2 + 1 )+ 2^ = 7
3.“ columna; (O + 3) + 3̂ = 12
Tenemos una buena relación, aplicamos a la cuar
ta columna. Obtenemos:
4.*" columna: (1 + x) + 4 ̂= 17 =>|x = 01
DISTRIBUCIONES GRÁFICAS
NUMÉRICAS
Una distribución gráfica numérica es un grupo de
números distribuidos en una o más figuras tal que
al menos un elemento es la incógnita. Existe una
relación operacional entre los elementos del grupo
y éstas pueden ser.independientes de las formas
de las figuras o pueden depender de ellas.
ESTRUCTURA. En realidad existen diferentes ti
pos y formas de distribución gráfica numérica. Pre
sentamos a continuación dos estructuras de distri
buciones con una y con tres figuras, respectiva
mente.
CRITERIO DE S01.UCIÓN. La resolución de dis
tribuciones gráficas numéricas se aborda en for
ma semejante a las distribuciones numéricas, bus
cando relaciones y operaciones adecuadas y lógi
cas entre los elementos de la distribución,y en
algunos casos pueden darse con las formas de las
figuras.
Ejemplos:
1. Determinar el valor de “x” en la siguiente distri
bución:
Buscamos relaciones operacionales entre los
elementos de las dos primeras figuras. Obte
nemos la siguiente relación entre los elemen
tos de las figuras:
1.'“ Figura; (14-3 + 5 ) - 2 = 7
2." Figura; (2 + 4 + 6) - 2 = 10
Esta, la que fiemos encontrado es una buena
relación, aplicamos a la tercera figura y tene
mos:
3.“ Figura: (0 + 3 + x ) - 2 = 6 = i [ 7 ^
2. Hallar el valor de “x” de la figura mostrada;
0
Resolución:
Buscando relaciones operacionales, encontra
mos la relación entre los números y las formas
de las figuras. Estas relaciones son el número
de segmentos verticales y el número de cua
driláteros formados.
1 Figura: # de segmentos verticales = 6
# de cuadriláteros = 3
2.® Figura; # de segmentos verticales = 9
# de cuadriláteros = 9
3.“ Figura: # de segmentos verticales = 3
# de cuadriláteros = 3
Aplicando esta relación operacional a la cuar
ta figura, obtenemos;
4.“ Figura; # de segmentos verticales = 12
# de cuadriláteros = x => | x = 6 |
CUADRADOS MÁGICOS
Un cuadrado mágico es un casillero cuadrado en
el cual están inscritos números elegidos y dispues
tos de manera tal que su suma es la misma, ya se
los sume por fila, ya se los sume por columna o
siguiendo las diagonales. La suma común se lla
ma número mágico.
Ejemplos:
Determinar el valor de “x - y - z” del siguiente
cuadro mágico:
1.
2 9 x
z 5 3
6 1 v
Resolución:
Oe la 2.“’ columna deducimos que el número
mágico de la distribución es 15. Por ser cua
drado mágico, obtenemos las ecuaciones;
2 + 9 + x = 15
z + 5 + 3 = 15
6 + 1 + y = 15
De donde; x = 4. y = 8, z = 7.
Luego x - y - z = -11
2. En el siguiente cuadrado mágico, determinar
el valor de “w + 2x - 3y - z”.
2 15 5 16
9 w x 11
14 y z 4
13 8 10 7
Resolución: el número mágico de la distribu
ción es 38. Por ser cuadrado mágico, obtene
mos las siguientes ecuaciones:
13 + y + x + 16 = 38
14 + y + z + 4 = 5 + x + z + 10
2 + w + z + 7 = 38
14 + y + z + 4 = 15 + w + y + 8
Resolviendo las dos primeras ecuaciones, se
tienen x = 6, y = 3; y resolviendo las dos últi
mas, tenemos; w = 12, z = 17. Luego: ___
w + 2x - 3y - z = 12 -F 2(6) - 3(3) - 17 = [ ^
Nota:
Los cuadrados mágicos son muy antiguos pues
to que ya los conocían los chinos y ios indios
antes de nuestra era. Los árabes los tomaron de
los indios y los llevaron a Occidente donde un
monje griego, Moschopdulos, los revefóa los cris
tianos en el siglo XIV. En todo momento fueron
atribuidos propiedades mágicas a estos "seres
matemáticos” y esto explica su nombre; y tal
creencia supersticiosa no desapareció en nues
tra época puesto que, iiace algunos años, ias
mujeres camboyanas trazaban cuadrados de este
género en los . pañuelos con que se cúljrían la
cabeza para protegerse de los bomíjardeos.
Notas:
DISTRIBUCIÓN NUMÉRICA
En estos casos se establecen grupos de números
que están distribuidos en filas y columnas, pudien
do establecerse analogías entre filas o entre co
lumnas, sin que la incógnita sea necesariamente
el número central.
Ejemplos:
1. ¿Qué número falta?
15 26 31
12 21 X
12 20 36
Resolución:
1.̂ columna => (15 -12 ) . 4 = 12
2 " columna (26 -21 ) . 4 = 20
3.“ columna => (31 - X) . 4 = 36
'. 1 X = 22 1
,Qué número falta?
459 153 9
675 225 9
321 107 X
Resolución:
1 ^ fila =:> 459 : 3 = 153;
además: 1 + 5 + 3
2.“ fila 675 : 3 = 225;
S.“ fila
además: 2 + 2 + 5 = 9
321 ; 3 = 107;
además: 1 +04 -7 = 8
Falta el !
DISTRIBUCIÓN GRÁFICA
Se fundamenta en distribuir los números que se
van a relacionar, dentro de una o varias figuras.
De esta manera, la figura constituye un elemento
adicional que se debe analizar para resolver el ejer
cicio propuesto.
Ejemplos:
1. Hallar el valor de “x + y".
5 / 4 \ 1 12 /7 21 .13
4916
Resolución:
1.° triángulo:
2.° triángulo: 1 2 - 5 = 7
3.“ triángulo: 21 - 13 = 8
5 - 1 = 4
72
4 ̂= 16
72 = 49
^ 8 ̂= 64
X = 8
y = 64
X + y = 72
2. Indicar qué figura
falta en:
Resolución:
i
S
3. Hallar “x" en;
En la figura hay tres tipos
de vestimenta, pies y po
sición de los brazos.
5 5 24
15 3 40
12 4 X
1.“ fila: 5 . 5 = 25: también 5 :5 = 1;
luego 25 - 1 = 24
2.'' fila: 15 . 3 = 45; también 1 5 : 3 = 5;
luego 45 - 5 = 40
3." fila: 12 .' 4 = 48; también 12 :4 = 3
luego X = 48 - 3 = [45]
EJERCICIOS EXPLICADOS
1. ¿Qué número debe ir en el triángulo vacio?
8 4 8 8
6 \ / 5 \ / 9
1‘----------^1 3^----------------- '3 6 '---------- ‘ 4
Resolución:
(8-2).1=6; (4-3).5 = 5; (8-5).3 =9; (8 - 6) .4 = x
|x = 8 I
2. ¿Qué número debe ir en el triángulo vacío?
5 6 7 7
4 5
7 \ / 5
4̂ =---------^2 4-̂ -̂--------^56
Resolución:
5 6
5 + 4 - 2 = 7; 6 + 4 - 5 = 5; 7 + 6- 4 = 9; 7 + 5 - 8 = x
I X = 4 I
3. Hallar el valor de “x” que completa correcta
mente la siguiente distribución numérica:
Resolución;
33 = (7 + 4)(7 - 4) 27 = (6 +■ 3)(6 - 3)
.'. X = (5 + 1) (5 - 1) = [ 2^
4. Elija la alternativa que complete correctamen
te la siguiente distribución:
A) pq
B) op
C) pr
D) po
E) ño
Resolución:
Observa que en e
lado de la incógnita, el
orden de las letras
está invertido.
’ = po
5. ¿Qué número completa correctamente el es
quema mostrado?
0 1 2 3
1 2 3 4
1 2 9 ?
Resolución:
1» 2 ' 32 43
1 2 9 ?
6, Hallar el valor de “x" que completa correcta
mente la siguiente distribución numérica:
2 ; ( 5 ; ( 7 ) ( 5
( 3 ; (.2 ; u
Resolución:
•5 " = 25 => 2+-5 = 7
* 35 = 243 =» 2 + 4 +• 3 = 9
* 2 ' = 128 => 1 4-2+-8 = 11
*4==1024 =i 1+-0-i -2 + 4 = x
. ■ . E H I
7. En la siguiente distribución numérica, calcular
a-t-b + c + d + e .
7 d e ]
6 c6
5 b5
4 a6
Resolución:
4 ̂= 16 => a = 1
5= = 25 => b = 2
6 ̂= 36 => c = 3
7 ̂= 49 =>d = 4 A 6 = 9
|a + b + c + d + e = f9 ]
8. Elija la alternativa qua complete correctamen
te la siguiente distribución:
A) ov
aa fi ?
ce jo
B) ñv
C) 0U
D) ps
E) ñu
Resolución:
Con la primera letra de cada casillero:
a , c , f , j ,
b de ghi kimn
Con la segunda letra de cada casillero:
a , e , i , o , I u [
¡vocales!
? = ñu
; Qué número falta?
Resolución:
2 4 - 1 6 = 23
=> 64 =
52 - 25 = 33 ; - 22 = x3
X = 4
10. ¿Cuántas esferas habrá en la décima figura?
0 , 0 0 ,c2 ) , ( ® ) . (
Resolución:
Si cuentas la cantidad de esferas en cada fi
gura, obtendrás la sucesión de Fibonacci, en
la cual cada término-es igual a la suma de los
dos precedentes:
1 : 2 : 3 ; 5 ^ 8 ^ : 21 : 3 4 ; 5 5 : [ p
r
10'
11. ¿Qué valor le corresponde a “n" en la siguiente
secuencia gráfica?
36 12 1 n
Resolución:
De la cuarta figura:
X = 1
De la tercera figura:
y 14Í^ y + 1= 4 = > y = 3
De la segunda figura:
=> z - f 3 = 1 2 = > z = 9
z 3
De la primera figura:
=> w -h 9 = 3 6 = > w = 27
w 9
^^ 3 6
n = 27 + 3 -^1 =31
12. ¿Qué número falta?
Resolución:
4 . 4 . 8 . 32 = 163
27 . 13 . 13 . 13 = 393
17 . 1 7 . 17 .8 = ?3
? = 34
13. Hallar el número que falta:
20 30
12 28
14 66
C) 16 D) 18
50 : 5 = 10
R e s o l u c i ó n :
20 + 30 = 50
1 2 -f-28 = 40 A 4 0 - 5 = 8
14 + 66 = 80 80 : 5 = 16 # buscado
■ [£ !
14. Hallar el número que falta:
2 6
120 24
11 33
132
A) 220 B) 330 C) 660 D) 264 E) 396
Resolución;
2 12
120 48
11 33
132
# buscado: 660
15. ¿Qué número falta?
A) 2
B) 4
C)5
D) 6
E)3
Resolución:
(3 + 7) : 5 = 2
(4 + 8) : 6 = 2
{10 + x) : 7 = 2 # buscado:4
16. ¿Qué número no corresponde?
A) 4
B) 0.3
C) 3
D) 1
E ) - 2 ( 4 ;
Resolución:
^ Suma de cifras: 1 + 3 = 4
13 Diferencia de cifras: 1 - 3 = -2
^ Producto de cifras: 1 .3 = 3
1
Cociente de cifra: - = 0,3O
No corresponde: 1
. • . 0
17. Determinar “x" en:
5 4 8 1 10 9
3 7
© ©
te 5
D) 57 E) 65A) 18 B)36 C)45
Resolución;
(5 + 4){6 - 3) = 27
(8 + 1 ) (7-6) = 9
(10 + 9)(5 - 2) = é ^ # buscado
18. En la siguiente distribución numérica, fiallar el
valor de y - X.
81
Resolución:
En cada figura se cumple que;
• 11 - 2 = 9 a 9’ = 81
• 12 - 5 = 7 a 7̂ = 49• 13 — x = 6A0® = y => x = 7 A y = 36
■■■ I v - x = 29|
19. Hallar el valor de “x” en la siguiente distribu
ción numérica:
25826
15
J 7
48 147
1357
369
Resolución:
Las cifras del mismo orden (unidades, dece
nas, etc.) van aumentando de uno en uno:
+1 +-1
1 357 2 468
+1 +1
X = 2468
20. Hallar el número que mejor completa la figura
Resolución:
• 21 ; 31 ; 62 ; 72
+10 x2 +10
* V 1 3 ^^
+10 x2 +10
? + 10= 154 =* |? = 144
21. Indique el
nùmero fallante:
Resolución:
Relacionando los sectores opuestos:
2 6
4 12
8 >'3 ̂ 7
16 '3 . 48
? = 8 X 3 = H g
22. Hallar el valor de "x" que corapleta correcta
mente la siguiente distribución numérica:
\ 25 /
18 7 12
/ 17 \
ResoJución:
16 + 8 ^
En la primera figura: — — ^ = 3
En la segunda figura:
En la tercera figura:
25 + 17
18-12
19 + 5
= 7
3 7 - 2 5
23. Los números consignados en los tres cuadros
cumplen una misma relación. Determine el
valor de: N + — .
U
1 3 2
4 2 12
2 4 10
1 5 4
3 U 15
7 N 1
Resolución;
• 1 x 2 = 2
• 4 x 3 = 12
• 3 x N = 15 =? N = 5
• 7 X U = I
• 2 x 5 = 10
• 1 x 4 = 4
24. Hallar (x+y).
11 5
6 9
7 1
6 10
X 4
y 13
Resolución:
1. 9 - 6 = 3
1 0 - 6 = 4
8 - 3 = 5
1 3 - y = 6 - ^ y = 7
2. 6 + 5 = 11
6 + 1 = 7
3 + 5 = 8
y + 4 = x - * x = 11
^^7
| x - y = 1t
25. Hallar “x".
\ 19 y
•
* / v v \ / \ ̂/ \
37 X 25 ' 1 2 \ / 4 \ 1' 3 \ / 3 \ ( 5 \ / 3 \
/ 5 S , Resolución:
Cumple que: 2" + 1 = 17
3 ̂+ 1 = 23
luego: 5-’ + 1 = x |'x 126|
26. Determinar el valor de ' x ' en la antología si
guiente:
3
5
7
A) 17 B)21
Resolución:
1 Fila; 3 X
2.* Fila. 5 X 2 T 7 = 16
(13) 7
(16) 6
(X) 5
C) 24 D) 18
+ 7 = 13
A) 8
Resolución:
1.“ Fila
2.“ Fila
3.“ Fila
7 x 2 + 5 = x X = 19 • 3 ( 5 ) 12
. - . [E ]
•
• 6 (11) 24
• 1 (X ) 49
i valor de “x” en la siguiente distribución: • A) 9 B)7 C)5 D) 8
23 4 81 • Resolución:
14 7 48 I 1." Fila: V3x12 - 1 = 5
12 X 94 •
B) 9 C) 11 D)10 E)12 * 2.= Fila: v '6 X 24 - 1 = 11
( 8 + 1 ) - ( 2 + 3) = 4
(4 + 8) - (1 + 4) = 7
(9 + 4 ) - ( 1 +2) = x => |x = 10|
28. Hallar el valor de “x” que toma en la figura:
A) 1 B) 2 C) 3
Resolución:
1.“ Figura: (8 + 2)^= 16
2.» Figura: (6 + 3)" = 4
S.» Figura: (6 + x)^ = 9 x = 2
B I
29. Hallar la suma de las cifras del valor de “x" de
la figura siguiente:
A) 10
B) 9
C) 8
D) 11
E) 12
Resolución:
Relación operacional en el sentido antihorario
empezando del número 2, obtenemos:
1 ̂+ 1 = 2
2" + 1 = 5
3 ̂+ 1 = 10
4" + 1 = 17
5"= + 1 = 26
6" + 1 = X
=> X = 37 =5 suma de cifras de x = 10
30- En ia analogía siguiente, ¿cuál es el valor de
"x"?
E)6
3.=> Fila V l x 49 - 1 = X x = 6
31. En la figura siguiente, hallar el valor de “x”,
4 ___6 . 15 X
A) 24 B) 28 C) 21 D) 25 E) 30
Resolución:
Para las relaciones operacionales se toma pri
mero el número de divisiones de cada figura,
tal como sigue:
1 / Figura: 2 x 2 = 4
2.'’ Figura: 2 x 3 = 6
3.“ Figura: 3 x 4 = 1 2
4.® Figura: 3 x 5 = 1 5
5.“ Figura: 4 x 6 = x => x = 24
32. Determinar el valor de “x + y”, en la distribución
siguiente:
E )7
1 3 5 X
2 4 y 3
3 23 24 11
A) 5 8) 4 C) 3 D) 6
Resolución
1.“ Columna 1̂ + 2 ^ - 2 = 3
2.“ Columna 32 + 4= - 2 = 23
3.= Columna 5’ + y" - 2 = 24
4.® Columna x=’ + 3 ^ - 2 = 11
= > X = 2, y == 1 => X + y = 3
■ 0
33. Hallar el valor de “x" en la siguiente mostrada:
A) 13
B) 18
C )4
D) 34
E) 38
Resolución:
Analizando, la relación operacional es diame
tralmente opuesta, tal como sigue:
1̂ + 2 = 3
5 ̂+ 2 = 27
3 ̂+ 2 = 11
62-f2 = x => x = 38
34. Hallar el valor de “x - y" en la siguiente distri
bución:
10 5 6
3 7 11
8 9 4
8 3 10
x 7 5
4 Z y
C) 2 D) 5 E) 6A )4 B) 3
Resolución:
Analizando los dos cuadrados, deducimos que
son cuadrados mágicos, y el número mágico
es 21. Luego, tenemos:
8-hx-h4 = 21 =5 x = 9
3-h7- i -z = 21 =5. z = 11
10 + 5-hy = 21=> y = 6
De aquí, resulta x - y = 3.
35. Determinar el valor de “x” en la figura mostrada:
7 2 9
8 6 14
3 10 X
A) 8 8 )5 C)13 D)6 E) 12
Resolución;
La distribución no es un cuadrado mágico. La
relación que se cumple;
x = 13
Fila; 7 + 2 = 9
Fila; 8 + 6 = 14
Fila; 3 + 10 = x
| c
<
'^Toma tiempo para reflexionar
sobre tu camino y a andado, ello te
hará recorrer tu camino
futuro con optimismo”.
PRACTICANDO 1
hallar xy.
A) 102 B) 105 C) 110 D) 120 E) 135
2._ Hallar el v^ior de "x" en:
4 5 9
9 o 36
16 X 25
A) 9 B) C) 13 D) 15 E) 18
3. En cada caso siguiente, determinar el número
que falta.
© -------- © ------ ©
0 — ® -------- ©
© — O — ©
B) 5 C) 30 D) 7 E) 91
A A A
D) 8 E) 4
A) 1
4. 1.1
A) 1 B)2 C )7
5.
A) 13 8 )17 C)21 D)12 E) 22
© 0
© — -----©
0 — A s -------@
A) 17 B) 16 C) 101 D) 25 E) 33
3 7 - ^ 7 ^ > 1 2
73 < ^ 1 0 ^ ; ^ 2 7
16 ^ > ? 9
A) 1 B) 5 C) 8 D) 7 E) 12
8 4 6
5 1 3 5 l ì 5 4 ? 8
n 9 7
A) 8 8 )9 C)101 D) 10 E) 12
9. El número que falta es:
A) 140
B) 109
C) 106
D) n o
E) 135
11 . 7 9 6 11
7 10 9 8
7 8 11 14
7 11 4 ?
A) 0 B) 14 C) 5 D) 8 E) 6
123 3 20
432 8 21
563 10 36
245 41
A) 2 B)4 0 )6
15 26
4 y V 3 2 y A) p q DPíj! B) q q DPtl) C)| p pnp(Ji
B)27 C)24 D)16 E) 49 D) q qDq<}i E) q P aq>{i
14. El número que taita que:
12 * 21 =36
13 ’ 31 =52
17 * 20 = 34
áb ‘ 32 = 80
Hallar: a + b.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
16.
es a como sB) -.A c) A
D) A A
- e -
A)
O O
D) E)
/ ° o °
O o /
18 . > > 1 < o es a como | p p -q | O es a
19. ¿Qué figura completa la serie?
A)
D) zn
B)
E)
C)
20. Señale la figura que corresponde:
A)
D)
u B) o C) Û
o E)
2 1 . O
A)
D) E)
22. Hallar "x".
2 (18) 4
3 ( 5 ) 1
1 ( X ) 6
A) 20 B) 21 C')22 D) 23 E)19
PRACTICANDO 2
1. Encontrar el término que falta:
© © ©
A) 13 B)1D C)15 D)20 E) 15
2. Hallar '‘x" en:
^ 3 \ A / 3
( i)
m
A) 6 B) 9 C) 3 D) 2 E) 4
3. Hallar el valor de “x + y” .
4. Hallar “x" en:
5. Hallar el término faitante en:
A) 7 B )5 C )3 D )4 E) 10
6. Encontrar el valor que relia:
A) 21 0 )2 0 C )23 D) 18 E) 19
7. Hallar'x" en:
2 4 3 ' 6 1
A) 4 B) 10 Cl 11 D) 12 E) C
8. ¿.Que figura continúa la secuencia?
9. Señalo qué figura corresponde a la incógnita.
10. ¿Que figura continúa?
A) Bi
E)
- C)
-
11. Hallar “x":
18 ( 3 ) 12
9 ( 4 ) 1
24 ( X ) 4
A) 9 8) 10 C) 12
1 (5 ) 2
3 (13) 2
4 U ) , 1
12.-Ha:.’ x"
A) 17 B )9 C)18 D)19 E) 22
13. Haiiar el término que sigue:
P :,S :T :C :,,,
. A) M B) E C) N. D)Q E; R
14. Hallar el numero siguiente:
1; 8 : 63: 624:,
■ A) 7 777 B) 7 765
D) 7 766 E) 7 776
Cí 7 775
15. ¿Qué letra sigue?
T: S; N; O; O: ...
A) M B) R Q D D) O E) S
16. Indique e! número que sigue:
12:26,61 :328 ,..,
'A) 1 645 B) 1 640 C) 1 554
D) 1 312 E) 984
17. Hallar el término que sigue:
■ 4: 6: 9; 14: 21; ...
A) 27 B) 29 . C) 30 D t 31 fc) 32
18. Hallar que letra continúa: UCND
A) O B) S C) N D) T E) V
19. ¿Qué cantidad sigue?
1; 3/2; 2/3; 11/12; ...
A) 5/8 B) 7/8 C) S-ZS D) 9/16 Ei 1/2
20. Hallar el número aue falta;
i J L l J J l ± J j
A) 18 B)20 C)22 D) 24 E) 30
21. Hallar el número que falta:
T
18 30 8 4 7 1
8
3
A) 18 8 )12 C) 15 D) 10 El 9
22. Haüar el número que faita;
8 3 5
5 3
C}8 D;10
23, Indique el número fallante;
A) 18
Bj 20
C) 24
D) ^6
E) 12
24. Determine el número aue falta:
17
7 8
2Ü0
18
8 0 10
A ) 2 0 3 0 n 0 9 C ; 2 2 0 D ) 3 5 6 t i - ü :/
2 5 . H a lla r : A + B + C .
A 4 5 \
2 2 6
A 10 A
10 8 10
/ s
9 A
! 8 4
/« B A
A 12
A ) 16 B ) 2 2 C ) 1 2 D ) 3 2 E ) 2 4
2 6 . E l v a lo r d e x e n :
2 4 3 0 3 6
1 8 11 4
3 7 X 6 5
A ) 1 3 8 ) 3 0 C ) 11 D ) 5 1
PRA^PBCAIIDO 3
1. ¿ Q u é n ú m e r o fa lta ?
3 3 2 7
l U I L i J
A ) 12 B ) 9 C ) 2 4 0 ) 4 0 E ) 18
2 . H a lla r e l n ú m e ro q u e fa lta .
2 8
2 9 5 3
1 0 6 9
4 o
11 4 3
3 3 21
6 2
1 3 13
11 0
A ) 11 B ) 1 5 C ) 2 6 D ) 2 2 E ) 3 0
3 . D e te r m in a r e l v a io r d e 'x + y".
1 0 5 5 1 0 0
1 3 9 1 1 6 9
11
1t
X
B) 1 4 3 C ) 1 5 9 Di IBG
4 C a lc u la r : y - x .
2
20
/ \
3 f 1 S .............. ......... ^4
A ; 1 0 8 ) 15 C ) 2 0 D ) 2 5 E ) 3 0
5 . H a lla r e l v a lo r d e “ x ":
A ) 7
8 ) 8
C ) 6
D ) 11
E ) 14
6. H a lla r x - y
1 2 / X
/ 8 \ / 18 '
\ * \ 1 j
2
e 3
3
L u
12 4 X y
!
̂ 1
59
i
1
o 1 4
A ) 4 0 B ) 12 C ) 14 D i 16 E ) 18
7. H a lla r x e n :
(22
r
1 5
5
10
165
SS)
A ) 2 4 ■ 8 ) 9 4 C j 2 9 4 D ) 6 1 4 E ) 2 4 7
8. H a lla r x.
A ) 2 7
B ) 8
C ) 13
D ) 21
E ) 2 9
9. In d ic a r c u á l d e la s a l te r n a i iv a s e s la c o m b in a
c ió n c o r re c ta . ■.
0' 1■J
1
15
4 2
i 9 1
8 0
1 3
A)
D)
5
624
25
B)
1295 49
2400
36 6 7
4 16
fc)
999
10
255 100
10. Hallar x - y en:
A) 10 B) 6
11. Hallar x + y.
C )4 D) 3 E) 9
2/3 2
40 6
1/2 1 1/2
y X
A) 30 B) 40 C) 48 D) 36 E) 50
12. ¿Qué número falta?
19 - 5 4 - 2 8 - 6 7 - x - 8
A) 35 B) 45 C) 55 D) 50 E) 70
13. Hallar "x” en la siguiente distribución gráfica:
A A5 2
(29) 0
B) 88 C) 39
0
D) 56 E) 119
A) 369
B) 358
C) 1
D) O
E) 379
I \ / 3 \
\ 85/ \ 7 /
\ / 3 9 1 7 ^ y
15. Determine la suma de las cifras de tos núme
ros a, b y c.
A) 4 B) 5
16. Hallar 'x ' en:
C)7 D) 6 E) 3
12 2 9 3 4 5
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14
’ . Calcular el valor de x:
/ 2^ / cj \
/ 1 5 3 \ / 6 3 \ / 3 x \
A) 1 B) 11 C) 7 D) 2 E) -7
18. Hallar “a”.
2 2 4 12 a
A) 46 B) 18 C) 48 D) 36 E¡ 52
19. Hallar “x".
A) 22
B) 21
C) 24
D) 23
E) 25
20, Hallar -'x",
A) 60
B) 20
C) 80
D) 35
Ei 70
6
x 12
3
40 5
18 X.
PRACTICANDO 4
1. ¿Qué término no corresponde a la sucesión?
1; 8: 27: 36: 64
A) 1 B) 8 C) 27 D) 36 E) 64
2. El número que continúa en la sucesión numé
rica es:
3: 4; 4: 6; 12: 15; ...
A) 15 B) 35 C)45 D) 48 E) 52
3. En la sucesión: 5; 10; 17; ..., el numero que
sigue es:
A) 22 B) 26 C) 27 D) 32 E) 31
4. En la siguiente sucesión: C, D, F. I, M la
letra que continúa es;
A) Q B) R C) S D) T E) U
5. Dada la secuencia; 2; 11; 19; 24; 32; 33; x; y;
A) 71 B) 73 C) 75 D) 76 E) 79 m 16 (44) 3
m
m 8 (52) 7
6. Dadas las distribuciones:
w
• 7 ( ) 9
7 (12) 1 25 (23) 21 * A) 59 B) 60 C) 54 0 ) 38 E) 28
10 (14) 3 60 (44) 28 •
40 (X ) 23 93 ( y ) 47
• 14. Hallar
«
el número que sigue en la serie;
el valor de y + X es: • 4; Et; 16; 25; ,
A) 80 B) 98 C) 102 D) 104 E) 112
•
• . A) 50
•
B) 49 C) 31 D) 64 E) 36
7. Hallar " X " :
X
7 4 4
4
A) 6 B) 5 D) 8 E) 9
8. ¿Cuáles son las letras que siguen a la siguien
te serie?
1, H. G: M. L, K, P. O. Ñ, ...
A) TSR B) POR C) TRU
D) RSU E) UVX
9. Dada lu serie. 1: 2; 4: 8: 10: 20: 22: x: y:
hallar X + y,
A) 45 D; 75 Cl 85 D) 87 E) 90
10. En la sucesión: £ ■ £ ■ - iZ ; se tiene que
3 5 7 9
el término del lugar 15 es;
A) 14/23
D) 61/31
B) 81/41
E) 30/31
Cj 63/31
11. Hallar el número que falta;
© O © (2>-© ©“ © G)--©
A . A ,
A) 16 B) 14 C)30 D) 12 E) 21
12. En la siguiente serie, hallar el número que si
gue en: 8; 16; 27; 41; ...
A) 54 8) 55 C) 56 D) 58 E) 60
13. Hallar el número que falta en:
15. Hallar “x" en:
6 ( 7 ) 8
15 ( 9 ) 3
7 (15) X
A) 20 B) 39 C)23 D) 15 E) 12
16. ¿Qué letra debe seguir en la serie; X, W, ü, R,
. . . ?
A} T B) Ñ 0) O D) A E) S
17. Hallar el número que falta:
4 ( 3 3 ) 1 3
1 2 ( X ) 1
A i 6 0 B . 01 G ) G 2 D ) 5 9 E ) 6 3
18. Hallar “x ".
/ 2 t \
60 44
A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E> 52
19. Hallar “x”.
2 3 ( 1 5 ) 2 0 1
1 0 2 ( 1 2 ) 2 0 2
3 8 (>■) 2 3
A) 54 B) 56 C) 55 D) 58 E) 60
20. Hallar “x".
2 2 .1
:42)\ / 0 \
7 9-̂ ---------- ‘3
A) 24 B) 21 C}'28 D) 32 E) 36
PRACTICANDO 5
1. Hallar “x”.
A) 12
B) 13
C) 9
Di 14
Ei 11
Hallar V .
A) 2 4 0 / \
B) 3 Í 5 \ / S \
C) 4 I 8 /
D) 5 \ < ^ 0 2X /
E) 10
3. ¿Qué número falta?
A) 20
B) 21
Ci 16
Dl 36
El 52
.3 \
y y
y 42
40 y \ 6
4. ¿Qué número falta?
A) 16
B) 17
C) 15
D) 18
E) 20
5. / Qué número falta?
\ 7
4 0 ^
•0
/ 51
47 y \ 4 1 2
7 \
A) 64 8 )1 8 0) 68 D) 52 E) 56
6. ¿Qué número falta?
6 3 2 5 5 5 6 4 8 5 13 3
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
7, Hallar x.
8 5 4
9 4
13 4 20
6 4
20 3 30
6 X
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8
Hallar x.
9. Hallar "x".
® - K i ) ( £ h - © Q h “ ©
4 I
A) 0 Bi 1 0) 2 D) 3 E) 6
16, Hallar “x ”.10. Hallar x + y,
20
10 60 21 10
10
20
1 2 1 3 1 X
A) 50 B) 70 C) 40 D) 30 E) 60
11. Hallar “a”.
Ì K 86V A) 6 B) 7 C) 8 -D )9 E)10
X
3 2 / ^ ̂ 17. ¿Qué número falta?
A) 22 B) 21 C) 23 D) 24 E) 20
12. Hallar “x”.
24 10 8 70 15 10
1,6 4
90 6 30
X
A) 8 B) 5 C) 7
13. ¿Qué número falta?
D)20 E)10
7 1 10
V V V
A) 50 B) 60 C) 43 D) 42 E) 44
14 ¿Qué letras faltan?
A) O; P
B) S; O
C) S; R
D) R; P \ / b 1 y • 24 (48) 80
E) 0; G ^ . 34 (42) 33
21• (X ) 44
15. ¿Qué letra falta? ¡ A) 26 B) 24 C) 21 D) 32
A) M: A
B) N: B
C) E: N
D) S; P
E) S: O
0 y
/ r
A /
/z
\ s
■ 14
10 50 40 30 60 20
18. ¿Qué número falta?
B. 5 2
6 2
A) 1 B) 2
19. Hallar X.
C) 4 D) 6 E) 8
20, Hallar "a".
24
81
78
(610) 46
(97) 16
í a ) 41
.A'; 116 B) 86 C) 131 D) 148 E) 199
PRACTICANDO 6 | 7. Hallar x + y, si:
3 (34) 6 3 (26) 7
Hallar “x + y + z". 5 (28) 3 5 (32) 6
2; 3; 4; 6 ; 12; 10; 48: 15: x; y 8 ( X ) 2 7 (y) 5
0; 2; 4; 8: 20; z
A) 316 8)324 C) 329 D) 318 E) 332 A) 59 B) 69 C) 67
D) 64 E) 68
Si: 8 , Hallar (a + b ) ,:si:
3; 7; 12; x: 25; 33; y 123 (21) 456 875 ( 8 ) 642
70; 15; 66; a: b; 58; 15; 245 (32) 678 536 (11) 111
calcular: 204 ( a ) 319 235 ( b ) 53
M = y X + y + 4 + Va + b + 27
A) 18 B)23 C) 21 D) 26 E) 27
A) 16 8 )18 C) 19 D)13 E) 12
9. Hallar (x + y), si se cumple que:
Dadas las sucesiones:
314 (40) 125 126 (11) 236
1; 8; 16: 25; 35; a 122 (34) 215 105 (7 ) 208
7; 10; 30; 33; 99: 102; b 305 ( x ) 204 312 ( y ) 104
6: 22; 54; 118; 246: c
2; 3; 5; 10: 21: 42; d; A) 40 B) 44 C) 43 D) 45 E) 47
hallar la suma de cifras de: a + b + c + d. 10. Hallar (m + n). si:
A) 14 B)15 C)16 D)17 E)18
9 5 2 3 9 11
Hallar la suma del mayor y menor número de 6 7 m 8 13 20
la quinta fila. 1 4 11 2 7 n
1
2 5 A) 13 B) 12 C) 9 D) 11 E) 10
3 9 24
4 13 40 112
A) 516 B)524 C)531 D) 532 E)517
5, Hallar “x" en la sucesión:
(a + 3)'; (a + 11)-̂ ; (a + 19)=': ...: (a + 334 - x)>
A) 67 B) 65 C) 63 D) 69 E) 71
6. Hallar (A + B + C + D), si:
a": Sa’“
7: 4
7: 11
4a'^ 8a'®; Aa®
12: 9; 27; 24; C
16: 22; 26: 31: D
A) 168 6 )166 C) 164 D) 158 E) 153
11-Hallar (P + Q). si:
6 4 11
8 3 10
10 2 P
A) 18 B) 17
12. Hallar "x" en:
10 6 2
8 4 0
12 8 0
C) 19 D)10 E)13
3
15
17
10
A i 6 B) 8 C ) 7 D) 9
X
E) 12
13. Hallar "x" en:
65
30
45
35
15 23
25
16
14
18 29
32
35
A) 17 21 C) 19 D)24 E)16
14. Hallar: x + y -i- z.
2: 6 : 18: 54; x
16; 128: 512; 1024; 1024, y
2: 3; 6; 15; 42; z
A) 797 8)764 C)812 D) 813 E) 612
15. Hallar: a + b + c.
2; 5; 8; 11: 14; a
■ 18: 10; 2 ;-6 ;-1 4 ; b
I 2; 3: 8; 17; 30; c
A) 36 B) 40 C) 42 D) 48 E) 38
16. Hallar: m + n + p.
f 4; 9; 15; 23; 34; m
<; 10; 15: 23; 35; 53: 80; n
i 1:2: 12: 36: 80: 151: p
A) 418 B) 431 C) 432 D) 416 E) 426
17. ¿Qué número falta?
A) 1. 2 B) 4, 5 C) 3. 5 D) 5, 2 E) 5. 5
18. Hallar “x" en:
A) 52 B) 45 C) 38 D) 40 E) 46
19. Hallar (a + b), si:
1
14 6 8
1
15 5 10
b
a 7 2
A) 16 8 ) 15 C) 17 D) 18 E) 14
20. ¿Qué número falta?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
21. ¿Qué número falta?
A) 5
B) 4
C)7
D) 8
E) 3
23. Hallar "x".
A) 3
B) 4
C)7
D) 8
E) 6
/ \ 7 9 y A
( ^ \ / X \
\ 1 / \ 8 1
6 J y
\ 7
6 \
S
3
/ I O
5
X
24. Hallar (x + y + z), si:
1 2 4 7 11 16 x
40 39 37 34 30 25 y
70 68 64 58 50 40 2
A) 63 B) 64 C) 70 D) 72 E) 84
25. Hallar: a + b.
447 (366) 264 718 (26) 582
891 ( a ) 521 474 ( b ) 226
A) 681 B) 781 C) 7.32 D) 754 E¡ 726
26. Hallar x + y.
7 36 5
8 49 6
3 X 13
242 1 124 320
97 y 182
A) 623 B) 622 C) 558 D) 559 E) 572
27. ¿Qué número falta?
28. ¿Qué número falta?
29. Hallar “x".
88 97 76 •
126 133 84
•
•
107 115 7
•
! 34.
i) 70 C) 80 D) 50 E) 40 •
•
•
3 4 9 •
•
2 8 13 •
*
2 4 7 •
•
8 2 X . 35.
• r-
A) 6 8 ) 7 C) 8
30. ¿Qué número falta?
D) 9 E) 10
60 80 20 7
87 73 8 20
194 176 5 7
A) 74 B) 76 C) 75 D) 72 E) 73
/ \ 2 A
i \
3 6 / \
/ 4 2 \
l ® /
6 j y
A) 48 B) 46 C) 72 D) 76 E) 7832. ¿Qué número falta?
A) 17 8 )16 C) 15 D)14 E) 18
33. Hallar “x".
0 ® (2 > [ i3 © © @ - 0 ® 0 (§ K
A) 25 B) 26 C) 28 D) 22 E)18
15
7
60
20
10 70
10
X
30
28
y
A) 26 B) 28 C) 36 D) 42 E) 45
36, ¿Qué número falta?
CLAVE DE RESPUESTAS
Practicando 1 Practicando 2
1. B 7. B 13.C 19.C
2. A 8. D 14.C 20. E
3. C 9, C 15.E 21.A
4. D 10.A 16.D 22. D
5. B 11.C 17.B 23. A
6. D 12.D 13.8
1 A 7. C 13.D 19.E
2, E 8. B 14.C 20. D
3. D 9. C 15.C 21.D
4. E 10.E 16.A 22.8
5. C 11.B 17.E 23.C
S. E 12.A 18.E 24. A
25. E
26. D
Practicando 3
1. c 6. D 11.D 16.C
2 c 7. C 12.D 17.A
3. E 8. E 13.D 18.C
4 E 9. 0 14.A 19.A
5. C 10.D 15.C 20 C
PracUcándü 4
1. D 6. D 11.B 16.D
2 /“>O 7. A 12.D 17.B
3 Q 8. A 13.A 18. A
4. A 9. E 14.E 19.C
5. c 10 0 15.C 20. A
Practicando S Praáicai^e
1. p 6. B 11. A 16.C 1. c: 7. z 13.C 19.A 25.D 31.B
2. D 7. A 12.E 17.B 2. B 8 C 14. A 20. D 26.8 32.A
3 B 8. E 13 B 18.C 3. D 9. C 15.C 21.E 27. B 33. D
4. C 9. B 14.E 19.B 4 E 10.D 15 E 22. A 28.C 34.C
0. D 10.E 15.C 20. E 5 A 11.E 17.B 23.D 29.E 35. D
6
L_
B 12.B 8̂.D 24. C 30. A 36. B
PLANTEO DE
ECUACIONES
PLANTEO DE ECUACIONES
Plantear una ecuación es traducir un problema del
lenguaje escrito u oral al lenguaje matemático
(ecuaciones).
MÉTODO BÁSICO PARA PLANTEAR UNA ECUA
CIÓN
1 Leer detenidamente comprendiendo el enun
ciado.
2.“ Extraer datos.
3.'' Ubicar la incógnita y representarla.
4.‘ Relacionar los datos construyendo una igual
dad lógica.
5.° Una vez planteada ia ecuación, resoJverla,
F o r m a e s c r i t a ( v e r b a l)
* L a e d a d d e T im o
’ E l n ú m e r o d e l ib ro s
* E l d in e r o d e G la d y s
■ E l p r e c io d e u n lá p iz
■ E l d o b le d e u n n u m e r o
* E l c u á d r u p lo d e tu e d a d
’ L a m ita d d e u n n ú m e r o
* L o s 3 / 4 d e tu d in e r o
* E l c u a d r a d o d e u n n ú m e r o
■* « a » v e c e s tu e d a d
* L a in v e rs a d e un n ú m e r o
* E i t r ip le d e l r e c ip r o c o d e A
' M i e d a d d is m in u id a e n 12
' 6 x a u m e n ta d o e n 7
* U n n ú m e ro d is m in u id o e n 5
’ L a s u m a d e d o s n ú m e r o s
■ E l p r o d u c to d e d o s n ú m e r o s
* E l t r ip le d e la m ita d d e u n n , '
* U n n ú m e r o e s a 4
' 8 e s a X c o m o 5 e s a 7
■ E l 20 p o r 7 d e un n u m e ro e s 3
■ L o s 3 / 5 d e u n n ú m e r o e s 6
Forma simbólica
X
a
y
X
2.x
4.b
n/2
3/4.a
a.x
1 .'X
3.1/A
X - 12
6x + 7
X - 5
X + y
X . y
3 , x/2
x'4
8/x ^ 5/7
20/7 . X = 3
3/5x = 6
A es dos veces b A = 2 . b
A es tres veces más que B A = B + 3B
El triple de un número disminuido en 6 3x - 6
8 - x
10 - x
X - 10
2x + y
y - 2x
P = 3M
A 8 le resto un número
Se resta un número a 10
Se resta un número 10
El doble de un número más otro
El doble de un número restado
de otro
El número de manzanas excede
al de plátanos en 8
Cuatro menos tres veces un número
cualquiera 4 - 3x
El producto de dos números pares
consecutivos x . (x + 2)
La suma de tres números conse
cutivos x + (x + 1) + (x + 2)
El exceso A sobre B
Un número excede en 7 a otro
número
Un número es mayor en 8, con
respecto a otro
Un número es menor en 12 con
respecto aotro y - x =12
El cuadrado de la diferencia de dos
números (x - y'f
El cuadrado de un número, disminuido en 7
x2 - 7
Un número excede a 18 x - 18
fvli edad dentro de 6 años x + 6
Mi edad hace 4 años x - 4
La inversa do la suma de las
A - B
X - 7 = X
A - 8 = B
1
inversas de a y b 1 1 h —
a b
■ El doble, de un numero disminuido en
6 unidades 2(x - 6)
R e c u e r d e
• Ecuación
Es una igualdao de dos expresiones alge-
braica.s que se verifica para algun(os) valor(es)
de la variable (incógnita), Ejentplos-
2x + 5 = 3x - 7, es una ecuación de primer
grado con una sola variable, tiene como in
cógnita a la variable «x» y se verifica para un
solo valor, x = 12.
x ̂-H 5x - 6 = O, es una ecuación de segundo
grado con una sola variable, tiene como in
cógnita a la variable «x>> y se verifica para dos
valores, x = 6 y x = 1.
x + y = 10
X - y = 6, es un sistema de ecuaciones de
primer grado con dos variables, tiene como
incógnitas a las variables «x» e «y>> y se verifi
ca para x = 8 e y = 2.
Problema
Es aquel enunciado (situación de la vida real),
que se trata de resolver por medio de procedi
mientos matemáticos (aritméticos, algebraicos,
etc.).
En este capítulo dicfios enunciados serán ex
presados matemáticamente por medio de
ecuaciones, las cuales al ser resueltas nos
darán los valores de las incógnitas, quienes a
su vez deben verificarse con el enunciado del
problema.
Planteo de ecuaciones
Plantear una ecuación, consiste en traducir un
enunciado (una situación de la vida real) al
simbolismo matemático (una ecuación).
A continuación se dan unas sugerencias para
plantear una ecuación:
1 ° Leer detenidamente el problema y estudiar
lo fiasta que quede perfectamente clara la
situación que se plantea.
2.° Identificar las cantidades (5, 7, $120, ...) y
elem entos (frutas, personas, dinero,
etc.,...) que se encuentran en el problema,
de manera que se pueda determinar el (los)
dato(s) y la(s) incógnita(s).
3.° Relacionarel(los) dato(s) y la(s) incógnita(s),
de acuerdo al enunciado del problema, por
medio de una o más ecuaciones.
4.“ Solución de la ecuación o ecuaciones plan
teadas.
5.° Verificar los valores obtenidos para ver si
cumplen con las condiciones del proble
ma.
'^Sonríe siempre y mira con alegría tu
destinO) todo reside en tu mente, la
cual ordena a tu corazón las decisio
nes que debes emprender’'.
EJEMPLOS
[^alle un número primo, cuyo cuadrado, suma
do con los cuadrados de los dos números im
pares siguientes resulte un número de 4 cifras
iguales.
A) 43 B) 41 C) 37 D) 45 E) 53
Resolución:
Sabemos que todos los números primos son im
pares, salvo el primero que es 2; pero no es el
número que buscamos por ser muy pequeño.
# buscado
Sea: x - 2
Número impar
Planteando: (x - 2)’ + (x)-’ -i- (x -f 2 f = aaaa
impares n ü rr í^ de
siguientes 4 cifras iguales
Operando: 3x^-i- 8 = 1111a
i i
43 5
Número buscado: 43 - 2 = 41
2. Al contar «x» bolitas de colores, algunas blan
cas y algunas negras, se encontró que 29 de
las primeras 30 eran blancas; de afii en ade
lante 7 de cada 10 contadas eran blancas. Si
en total 4 de cada 5 bolas contadas eran blan
cas, fialle “ X’>.
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E )1 2 0
Resolución:
blancas total
inicio: 29 30
7 lOi
7 lOj
n veces , 7 10 y , veces
7 lo i
El problema indica: ■<... en total y de cada 5
bolas contadas eran blancas».
total blancas 29-i-7n
Planteando: tototal de bolas 30 + 10n
Resolviendo: n = 5
# de bolitas: x = 30+ 10(5) = 80
. .
3. Si la altura <<h»,de un triángulo se aumenta en
una longitud -m«, ¿en cuánto debe disminuir
se la base «b" del triángulo original, de modo
que el área del nuevo triángulo sea la mitad
del área del triángulo original?
A);
bm ^ b (2m + h)
B )2(h+ m ) m + ÍT '
D)
b(m +fn)
2m + il E)
b (2m + h)
2 (ti + m)
Resolución:
la longitud en que debe disminuir la
La mitad
(b -x ) (h + m) 1 ''bh '
Despejando x: b (2m + ii)
2 (h + m)
4. «Regocijándose los monos, divididos en dos
bandos, su octava parte al cuadrado en el bos
que se solaza, doce con alegres gritos atronando
el cam^po están». ¿Cuántos monos fiay en la
manada en total, si son más do veinte?
A) 16 B) 40 C) 42 D) 48 E) 50
Resolución;
Sea «x« el número de monos: '
í x f
U j
12
aírcnando
Planteando: x = 4-12
Resolviendo: x = 16 ó x = 48
Como el número de monos es mayor de 20,
tomamos: x = 48
Hay 48 monos.
Un hombre puede viajar diariamente por tren o
por ómnibus. Si va a trabajar por tren en la
mañana, él regresa a casa con ómnibus por la
tarde: y si regresa a casa por la tarde en tren,
él toma el ómnibus en la mañana. Durante «x»
días el hombre empleó 9 veces el tren y el
ómnibus lo empleó 8 veces en la mañana y 15
veces en la tarde.Halle <-x».
A) 8 B) 9 C) 14 D) 15 E) 16
Resolución;
Sean -n» las veces que empleó el tren por la
mañana, entonces:
mañana tarde
tren n (9 - n)
ómnibus 8 15
como el total de mañanas debe ser igual al
total de tardes:
n + 8 = (9 -n ) + 15
Resolviendo: n = 8
Total de días = tota! de mañanas = 8 + 8 = 16
Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y al
vender 15 regalo 1. ¿Cuántas debo comprar
para ganar 24 manzanas?
A) 192 B) 120 C)180 D) 280 E) 620
Resolución:
Del enunciado:
Q.Q.01BIO
2 ^ 1 0 manzanas
y 5 manzanas
J 5 manzanasX 3l
me regalan
2 manzanas ^
1 manzana
3 manzanas X 3
Cuando compro 15 manzanas me regalan 3,
pero si vendo estas 15 que compré, solo rega
lo 1: entonces me quedan 2 que representan
mi ganancia:
x 12
compro I gano
V i i
X 12
Para ganar 24 manzanas debo comprar 180,
■ ■ 0
Sean «a» y «b» números de dos dígitos donde
b > a, además a + b, menos que 100, el pro
ducto de los números tiene 4 cifras y empieza
con 1. Si se borra el 1, lo que queda es a + b,
¿Cuánto vale a? Dé como respuesta la suma
de sus cifras.
A) 14 B) 15 C) 10 D) 13 E) 5
Resolución:
Como el producto tiene cuatro cifras y empie
za con 1 : borrarle el uno equivale 1000. luego:
a X b - 1000 = a + b
a x b - a - b = 1000
Sumando 1 a ambos miembros:
a x b - a - b + 1 =1001
Factorizando: a (b - 1) - (b - 1) = 1001
( a - 1) ( b - 1) = 1001
(a - 1) (b - 1) = 13 X 77
Como b > a: a - 1 = 1 3 y b - 1 = 7 7
a = 14
Piden: suma de cifras de 1
b = 78
-4 = 5
Si por S/, 200 dieran 6 pelotas más de las que
dan, la docena costaría S/, 90 menos, ¿Cuán
to vale cada pelota?
A)S,/, 10 B) S/, 20 C) S/, 30
D) S,'', 50 E) S/. 60
Resolución;
Sea -n» el número de pelotas que dan por 200
soles:
dan dieran
# pelotas n n + 6
precio de
una pelota
s / ""O“
n
s /,200
n + 6
Según e! problema en el caso supuesto, la
docena costana 90 soles menos, entonces:
12 ' ^
i n
n + 6
Cada pelota vale:
= 3
n = 10
200
10
= 20 soles
9. María compra 30 libros de medicina a 70 soles
cada uno: en un descuido le robaron unos cuán
tos y al vender cada uno de ios restantes au
mentó tantas veces 2,8 soles como libros le
habían robado, resultando que no hubo pérdi
da, ni ganancia, ¿Cuántos libros le robaron?
A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6
Resolución:
Sea «x» el número de libros que le robaron.
Como compró 30 libros en total, ahora le que
dan (30 - x) libros que venderá a (70 + 2,8x)
soles, ¿
Aumentó x veces 2,8 soles
Como no hay ganancia ni pérdida, la recauda
ción al vender ios libros restantes deberá ser
igual ai costo de los 30 libros.
Planteando: recaudación costo
(30 - x) (70 + 2,8x) = 30x (70)
Multiplicando: 2 8 4 x -7 0 x -2 ,8 x = 2)PC5
X = 5
Le robaron 5 libros
10, El conductor de un ómnibus observa que a S/,1
el pasaje podía esperar unos 60 pasajeros, y
que cada rebaja de 10 céntimos en el pasaje
hacía subir 19 pasajeros adicionales, ¿Cuánto
debería costar el pasaje para que pueda obte
ner la máxima recaudación?
A) S/. 0,60 B) S/. 0,80 C) S/. 0,85
D) S/. 0,70 E) S/. 0,90
Resolución:
Sea -x» el número de veces que tiene que re
bajar 10 céntimos el pasaje, para obtener la
máxima recaudación.
Pasaje # pasajero
/ S/. 1
baja
0,10x V (1 - 0,10x)
60 \
! aumenta
(60 + 10x)>í en 10x
Recaudación = (1 - 0,10x) (60 + lOx)
= (10 - x ) (6 + x)
suma : 16
para que la recaudación
sea máxima: 10 - x = 6 + x
x = 2
debe bajar 2 veces 10 céntimos, es decir 20
céntimos.
Pasaje: S/. 1 - S/. 0,20 = S/. 0,80
■■■ fB !
11
E) 45
Se divide un mismo número entre 2 números
consecutivos, obteniéndose en ambos casos
45 de cociente. Si los 2 residuos suman 73,
uno de ellos es:
A) 12 B) 14 C)24 D)28
Resolución
Del problema se tiene que:
N = q(45) + r, =(q + 1)45 + r,
45q + r, = 45q + 45 + r̂
= 4 5 ... (1)
Además:
r, + r, = 73 ... (2)
De (1) y (2) se tiene que: 2r, = 118
=5 r, = 59
Luego r̂ = 14
m
12. Cuando compro cuadernos, por cada decena
me regalan dos, y cuando vendo, por cada
docena regalo uno. ¿Cuántos cuadernos debo
comprar para vender 432 de los mismos, si no
me quedo con ninguno?
A) 780 B) 360 C) 390 D) 420 E) 720
Resolución:
# decenas: x
# docenas: y
Compro Regalo Recibo
lOx 2x 12x
Vendo Regalo Entrego
12y y 13y
Recibo = Entrego
12x = 13y ... (1)
Vendo = 12y = 432 . = i y = 36
En (1): 12x--= 13(36) x = 39
Compro: lOx = 390
EJERCICIOS EXPLICADOS
Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido
en 119 es igual a 10 veces el exceso del nú
mero con respecto a 8.
A) 10 B) 9 ' C) 7 D) 12 E) 13
Resolución:
Sea; el número pedido = x
el cuadrado del número = x‘
Luego, planteamos la siguiente ecuación, se
gún el enunciado del problema. Veamos;
X-’ - 119 = 10 [x - 8 j
x " - 119 = lO x -8 0
x " - 1 0 x - 3 9 = 0
x - ^ - 1 3
x - ^ " ^ -hS
De donde;
I) x - 1 3 = 0 ó x + 3 = 0
X = 13 ó x = -3
enunciado pedido es 13.
2. Se compra cierto número de relojes por S/, 5625,
sabiendo que el número de relojes comprados
es igual al precio de un reloj en soles, ¿cuán
tos relojes se han comprado?
A) 75 B) 76 C) 77 D) 78 E) 80
Resolución:
Sea; x = # de relojes
=> X = precio de cada relo] en soles
Siendo, el costo total de los relojes = x . x =
Por dato; y? = 5625
X = ±v'5625 => X = ±75
De donde solo se acepta; x = 75
Se han comprado 75 relojes.
3. Encontrar un número tal que, dividiéndolo por
10 y a este cociente dividiéndolo por 10 y a
este cociente dividiéndolo por 3, la suma de
estos cocientes es 600.
A) 4600 B) 4500
D) 4700 E) 4550
Resolución
Sea; x = el número pedido
Del enunciado:
C) 4400
Número dividido por 10 (cociente).
‘ *) Ai cociente lo dividimos por 3:
10 _ JL (nuevo cociente)
3 30
” *) Suma de los cocientes es 600:
X X
— + — = 600: damos común denomina
lo 30
dor en el primer miembro,
3x -r X
30
= 600 4x = 600 , 30
X = 4500
.-.[I]
Si al numerador de la fracción 3/5 se le suma
un número y al denominador se le resta el mis
mo número, se obtiene otra fracción equiva
lente a la recíproca de la fracción dada. Calcu
lar el número.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Resolución:
Sea el número = x
Fracción inicial = 3/5
Recíproca de la fracción = 5/3
Del enunciado del problema, obtenemos:
3 + x 5
" 3 • donde: 3(3 x) = 5(5 - x)
8x = 16 X = 2
D
Un deportista apuesta tirar al blanco con la con
dición de que por cada tiro que acierte recibirá
■<a'> soles y pagará >'b» soles por cada uno de
los que falie. Después de ■m» tiros ha recibido
«C” soles, ¿Cuántos tiros dio en el blanco?
Resolución;
Sea; x = # de tiros que dio en el blanco (acierla)
n - X = # de tiros que falló
S/, a = lo que recibe por cada acierto,
S/, b = lo que pagara por cada fallada.
Ahora, planteamos la siguiente ecuación;
S /. ax - S /. b(n - x) = S /. c
ax - bn + bx = c
ax -i- bx = c + bn
x(a + b) = c 4- bn
c + bn
a + b
6. Dos números consecutivos son tales que la ter
cera parte del mayor excede en 15 a la quinta
parte del menor El número mayor es:
A) 110 B)109 C)55 D) 111 E) 54
Resolución:
# menor: x : # mayor: (x + 1 )
Ecuación: (aplicando el criterio de «exceso»)
^ . ( x + 1 ) - ¿ . x = 15
=5 X = 110
# mayor: 111.
D
7. La cabeza de un pescado mide 40 cm. ia cola
mide tanto como la cabeza más un tercio del
cuerpo y el cgerpo mide tanto como la cabeza
y la cola juntos. ¿Cuál es la longitud del pes
cado?
A) 180 cm B) 200 cm C) 240 cm
D) 250 cm E) Más de 300 cm
Resolución:
Ayudémonos con un grático:
cabeza cuerpo cola
I ^ H
40
X
40+3
Ecuación: (aplicando equivalencia con las me
didas del cuerpo).
X = 40 + 40 + -
3
X = 120 cm
Longitud del pescado: 240 cm
Si subo una escalera de 2 en 2: doy 10 pasos
más que subiendo de 3 en 3. ¿Cuántos esca
lones tiene la escalera?
A) 45 8)48 C)55 D) 90 E) 120
9.
Resolución:
# de escalones: x
# de pasos, subiendo de 2 en 2: -
# de pasos, subiendo de 3 en 3: -
Ecuación: (aplicando equivalencia con ei total
de alumnos).
4x + 7 = 5 ( x - 1 ) x = 12
# de alumnos: 4 . 12 + 7 = 55
[ g
La suma de los cuadrados de dos números
consecutivos es 5305. Hallar la suma de dígitos
del número menor.A) 9 B) 8 0 7 D) 6 E) 5
Resolución:
r #: x 2“#: (x + 1)
Por dato: x̂ + (x + 1 )̂ = 5350
Operando: x̂ + x = 2 652
Utilizando factores:2(_ 1) = 2 .2 .3 .1 3 .1 7
51 . 52“ ^
Suma de dígitos del # manor: 5 + 1 =6
.-. [5 1
10. La suma de dos números es 100 y la diferen
cia de sus cuadrados, 600. Hallar el número
mayor.
B) 52
E) Más de 54
A) 51
D) 54
Resolución:
Por dato:
C) 53
a + b = 100
a ^ - t f =600
(a + b) (a - b) = 600
a - b = 6
a + b = 100
a = 53
# mavcr: 53
11 Hallar un número que excede a 23, en jante
como es excedido por 39.
A) 30 8) 31 C) 32 D) 29 E) 28
Resolución:
Sea « X » el número, luego imaginemos lo si
guiente:
Del enunciado:
“ X - 23" tanto como «39 - x»
=5 X - 23 = 39 - X
2x = 62
X =31
. • . [H
12. ¿Cuál es el número que al aumentarle el doble
de «a + b» nos da el quíntuplo de «a - 2b»?
Resolución:
Sea el número: x
que al aumentarle: x +
El doble de «a + b»: x + 2(a + b)
nos da: x + 2(a + b) =
el quíntuplo de «a - 2b«: x + 2(a + b) = 5(a - 2b)
Despejando: |x = 3a - 12b |
13. Si ganara $ 300, tendría el triple de lo que me
quedaría si hubiera perdido $ 300. ¿Cuánto ten
go?
Resolución:
Tengo: x
Si ganara S 300 tendría: x + 300
Si tendría $ 300 me quedaría: x - 300
Tengo: x
Si ganara: x + 300
Tendría: x -i- 300 =
el triple de lo que me quedaría sí hubiera per
dido: x + 300 = 3(x - 300)
Despejando: I x = 6001
14. Salvador juega el «tiro al blanco», con la con
dición de que por cada tiro que acierte recibirá
8/. 5 y pagará S/. 2 por cada uno de los que
falle. Después de 18 tiros ha recibido S/. 55.
¿Cuántos tiros acertó?
A) 5 B) 12 C) 13 D) 7 E) 9
Resolución:
Efectúa 18 (iros
Acierta Falla
» X» tiros ■■18- X » tiros
De S¡. 5 cada uno De Si. 2 cada uno
Como recibe al final S/. 55 se deduce que lo
que él gana por los aciertos es mayor de lo
que él paga por los que falla; luego ia diferen
cia es lo que recibe:
5 x -2 (1 8 -x ) = 55
5x - 36 -(■ 2x = 55
7x = 91
X = 13
15. ¿Cuánto tengo de dinero, si cuando me rega
lan 10000 soles, poseo los 9/7 de lo que tenía
inicialmente?
Resolución:
¿Cuánto tengo de dinero = x
Si cuando me regalan 1000 = x -h 10 000
poseo = x + 10000
Los 9/7 de lo que tenía inicial = x + 10 000 =
Q y
Despejando: 10 000= y
9x
|x 14 000|
16. Karina recibió 4 soles, y tuvo entonces 4 ve
ces lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/.2
¿cuánto tenía al principio?
A) 6 B)8 C )4 D )10 E) 12
Resolución:
Tenía: x
Recibió S/.4: x + 4
(tuvo)
Perdió S/.2 : x - 2
(hubiera tenido)
4 veces
Luego:
X + 4 = 4 (x -2 )
X + 4 = 4x - 8
8 + 4 = 4x - X
12 = 3x
4 = X (tenía)
17. La hierba crece en el prado con igual rapidez y
espesura, se sabe que 60 vacas se la come
rían en 25 días y 40, en 45 días. ¿Cuántas va
cas se comerían toda la hierba en 75 días?
A) 28 B) 35 C) 36 D) 40 E) 30
Resolución:
# de vacas # de días # total de hierba
60 25 I + 25C
40 45 I -I- 45C
X 75 I + 75C
I: hierba inicial;
C: crecimiento diario
Hierba consumida en 1 día por una vaca:
1 + 25C 1 -F 45C 1 + 75C
60x25 40x45 75x
I = 75C
Reemplazando x = 30
18. Edy no sabe si comprar 56 tajadores o por el
mismo costo, 8 lápices y 8 lapiceros. Si deci
dió comprar el mismo número de artículos de
cada tipo, ¿cuántos compró en total?
A) 19 B)20 C) 21 D) 18 E) 24
Resolución:
Tajador Lápiz Lapicero
Costo de c/u X y z
Sea «n>’ el número de artículos de cada tipo
que se compró.
Luego según enunciado:
56x = 8y -h 8z = n(x -I- y + z)
Resolviendo:
n = 7; pero se compró en total:
3n = 21 artículos
19. Si a un número de tres cifras que comienzan
en 9 se le suprime esta cifra, queda 1/21 del.
número. Dar la suma de las decenas y unida
des del número.
A) 3 B )7 0 )1 0 0 )9 E)6
Resolución:
Sea el número: 9ab del enunciado
-t:Tendríamos:- ab = ■ 21ab = 9ab
Descomponiendo el segundo miembro:
21 ib = 900-(-ab => 20ab = 900
Simplificando tendríamos que:
ab = 45
Nos piden: a -t- b = 9
20. tvli enamorado es 22 arlos menor que yo, dice
cierta dama solterona, y-el producto de nues
tras edades excede en 662 a la suma de las
edades. ¿Qué edad tiene mi enamorado?
A) 19 años 8 )15 años 0 )1 8 años
D) 16 años E) 20 años
Resolución;
De la dama Enamorado
Edad X 4 - 2 2 X
Según enunciado:
x(x-t-22) - ( X + X 22) =662
x2 + 20x - 684 = O
( x - 1Í (x 38) = O
X = 18
, [ C ]
21. Un ferretero quiere vender una bolsa de 0,6 kg
de peso de tornillos entre chicos y grandes.
Sabiendo que el precio de éstos por kilo es de
1,2 y 2 soles respectivamente, ¿qué cantidad
de tornlllas grandes deberá tener cada paque
te para que cada uno cueste 1 sol?
A) 3/4 B) 9/4t) C) 2/3 ' D) 7?20 E) 4A/
Resolución;
Sea: x: cantidad de tornillos chicos
y: cantidad do tornillos grandes
1,2X 4- 2y =1 . . . ( 1)
X4-4---0.fi ...(2)
D e {4 )x 5 -> 6x -t- 10y = 5
D e ( 2 ) ^ x l 0 - + 1 0 x 4 - 1 0 y = 6 Í -
4x = 1-+x = ”
En (1): y = 20
D
22. En una recta numérica se tienen tres puntos
consecutivos: a, b y c, tales que a «b» y a -c»
le corresponden v 2 y \/3 respectivamente. Si
la distancia de «a» a -b» es el doble de la dis
tancia de «b» a «c», hallar el valor del punto
«a».
Resolución:
—̂ 2x ■ I X 1
a b e
■ c = V3b = v'2 :
De la recta:
b - a = 2(c - b)
v'2 - a = 2 (V3 - V2 )
v'2 - a = 2v3 - 2yÍ2
Despejando -a»:
.'. a = 3v'2 - 2J 3
23. De un juego de 32 cartas se saca primero “x"
cartas y tres más, luego se saca la mitad de lo
que resta: si todavía le quedan 10 cartas,
¿cuántas cartas sacó la primera vez?
Resolución:
primero se extraen: x + 3
Quedan: 32 - (x + 3) = 29 - x
Luego se sacan:
2 9 - X
Quedan:
Por dato:
2 9 - X
•2
2 9 - X
= 10 ^ x = 9
9 + 3 = 12
24. Cuando se pregunta a Juanita cuántos herma
nos tiene, responde así; “Tengo el mismo nú
mero de hermanas y de hermanos".
Cuando se le pregunta a María cuántos her
manos tiene responde así;
•'Tengo la mitad de hermanas que de herma
nos, a lo que es lo mismo tengo el doble nú
mero de hermanos que de hermanas", sabien
do que Juanito es hermano de María, diga a
Ud. cuántos hermanos hay de cada sexo.
A) 3 hombres, 2 mujeres
B) 4 hombres, 3 mujeres
C) 5 hombres, 4 mujeres
D) 6 hombres, 5 mujeres
E) Ninguno
Resolución;
h = # de hermanos
m = # de hermanas
Juanito comentó: h - 1 = m ...(1)
(Juanito no se debe contar)
María comentó;
Luego;
m -1
m = - + 1 ...(2)
De(1) = (2 ) ;h -1 = - +1
Resolviendo: h = 4 en (1): m = 3
En total son 4 hombres y 3 mujeres.
.■.fBl
25. Martina compró cierto número de correas por
S/. 240. Si hubiera comprado 3 correas más
con el mismo dinero, cada correa le habría cos
tado S/. 4 menos. ¿Cuánto le costó cada co
rrea?
Resolución:
x = # correas que compra
x + 3 [x (x + 3 )^
12.15 = x(x + 3)
X = 12
240 I -
Costo c/correa; = |20 |
26. Para su bar, Víctor compró 37 botellas de
vino y 41 botellas de pisco, pagando por todo
8/. 1158. Si hubiera comprado 43 botellas de
vino y 35 de pisco, pagaría por todo SI. 1194.
¿Cuánto mas cuesta cada botella de vino que
cada botella de pisco?
Resolución;
Precio de cada botella de vino: v
Precio de cada botella de pisco: p
37v + 41p = 1 158»^-
43v + 35p = 1 194 /
6v - 6p = 36
v - p = 6
27. Si por S/. 2 dieran 6 nísperos más de los que
dan, la docena costaría 90 céntimos menos.
¿Cuánto vale cada níspero?
Resolución:
Llamemos: «x» al n.° nísperos
••y» al costo de cada níspero
2
y = -
X
' y =
( 1 )
L + 0 .9 0 , „ ,2 )
- 6 12
Igualando (1) y (2): - -
X
Al resolver: x = 10
90
x +6 1200
E n (1 ):y = — I y = S/. 0,2
28. De los S/. 80 que tenia, sino hubiera comprado
un chocolate que me costó S/. 10, tan solo
hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera
gastado, ¿Cuánto gasté?
Resolución:
Si no compro el chocolate de S/, 10
Por dato:
G = 5 (80 - G)
5G = 240 - 3G
G = 30
Gasto total: 30 + 10 = I s / . 10
29. En un vuelo de aves se observan tantas alas
de gorriones como cabezas de gaviotas. Una
vez posadas se observan 90 patas, ¿Cuántas
aves quedan al volar nuevamente 2 docenas
de aves?
Resolución:N,' gorriones = x
N.’ gaviotas = y
■ 2x + 2y = 90 X + y = 45 (total de aves)
luego quedan: 45 - 2(12) = | 21 |
30. A Lolo le ofrecen 1 000 soles más un reloj por
un año de trabajo, luego de 4 meses se retira
con S/, 320 más el reloj. ¿Cuánto vale el reloj?
Resolución:
1000 + R 320+ R
Por un mes: — — - — - —
1 000 + R = 3(320 + R)
.-. R = |S/, 201
. Nueve cuadernos del mismo precio cuestan
tantos soles como cuadernos dan por S/, 36
¿Cuánto cuesta la docena de cuadernos"?
A) S /,20 B) S/, 24 C)S/. 18
D)S/, 12 E) S/, 36
Resolución;
Precio de cada cuaderno: S/, x
36Luego: 9x= — = > x ^ = 4 = . x = 2
X
Costo'de una docena de cuadernos = S/, 12x
= S/, 12(2)
= S/. 24¡
31
32. En una reunión el número de hombres es el
triple del número de mujeres. Se retiran 8 pa
rejas, y el número de hombres que aún que
dan es 5 veces el de mujeres que quedan,
¿Cuántas personas asistieron a la reunión?
Resolución:
Inicialmente: número de hombres = 3x: núme
ro de mujeres = x
Cuando se retiran 8 parejas, quedan:
# de hombres: 3x - 8: # de mujeres: x - 8
3x - 8 = 5(x - 8)
3x - 8 = 5x - 40
x= 16
Por dato:
Resolviendo:
Asistieron: 3x + X = 4x = 64
33, Si al cuadr¿ido de 1a cantidad que íengo lo
disminuyo el doble de la misma, me queda
ría S/, 120, ¿Cuánto tengo"^
Resolución;
Sea X la cantidad de dinero que tengo, enton
ces, según los datos;
Si al cuadrado de lo que tengo:
Le disminuyo el doble de lo mismo: - 2x
Me quedaría S/. 120: x ̂- 2x = 120
Transponiendo: x ^ -2 x -1 2 0 = 0
Factorizando, se tiene: (x + 10) (x - 12) = O
Obtenemos 2 soluciones: x, = -10 ; x ̂= 12
Elegimos la solución positiva: | x = 12
34. Un comerciante tenía cierta suma de dinero. El
primer año gastó 100 soles: durante el segun
do año aumentó su capital en un tercio de lo
que le quedó y luego gastó 100 soles, quedán
dole al final el doble de la suma inicial. Si la
cantidad inicial es x, ¿cuál de los siguientes
planteamientos del problema es correcto?
x -100
A) — 5— = 2x + 100
B ) x - 100 + 3 = 2x
x - 1 0 0
C) x - 200 + — T— = 2x
x -100
D )x -1 0 0 + — r— =2xO
E) Ninguno es correcto
Resolución:
Primer año: x -1 0 0
x -100
Segundo año: x - 100 + — r — - 100O
Le quedó el doble de x:
x -100
X - 100 + — r — - 100 = 2x
ó
Ordenando, se obtiene una expresión como: C
.- .[C ]
35. Un turista repartió 20 dólares entre 20 niños,
de modo que el que tenía 3 años recibió 3 dó
lares, el que tenía 2 años, 2 dólares y el que
tenía medio año, 0,5 dólares. Entonces, el va
lor absoluto de la diferencia entre el número
de niños de 3 años y el número de niños de
dos años es:
Resolución:
Sean x; y; z respectivamente el número de ni
ños de 3 años, 2 años y 1/2 año. Luego:
X + y + z = 20 ... (1)
3x + 2 y + ^ z = 20 ...(2)
De(1) y (2 ):5x+ 3y = 20 ... {*)
Resolvemos ("), considerando que tanto "x”
como “y” deben ser enteros: x = 1; y = 5
Entonces: x - y = 1 - 5 = [4 ~ |
36. Compré el cuádruple de camisas que de pan
talones; si hubiera comprado 5 pantalones más
y 5 camisas más, tendría triple número de ca
misas que de pantalones. ¿Cuántos pantalo
nes y camisas compré?
A) 10 B) 25 C) 40 D) 50 E) 45
Resolución
Compré si hubiera...
Camisas 4x 4x + 5
Pantalones x x + 5
4x + 5 = 3(x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
tK U E
Compré:camisas 4(10) = 40 +
pantalones => 10
total => 50
[d]
37. Un grupo de niños está formado de modo que
hay tantos niños por columnas como filas. Para
formar con un niño más por columna y un niño
más por fila, harían falta 13 niños; ¿cuántos
son los niños?
A) 9 B)16 C)25 D)36 E) 49
Resolución:
Sea >' X» el número de niños por fila como por
columna, luego, el número de niños es x̂ .
Para que haya (x + 1)- hacen falta 13, enton
ces:
(x+ 1)2-X-! = 13
x" + 2x + 1 - x2 = 13
2x + 1 = 13
X =6 x? = 36
38. El mago extrajo una cinta de tres colores muy
larga -comentó Mary-, cuahdo sacó la parte
de color verde faltaba salir los 3/5 de la cinta y
comenzó a salir la parte azul, terminando este
color ya había extraído 66 m de cinta y empe
zó el tramo rojo que tenia 8 m más que la par
te azul.
¿Será posible calcular la longitud de la cinta?
En caso de que sí, indicarlo.
A) 90 m
D) 98 m
Resolución:
verde
X
B) 85 m
E) 100 m
azul
C) 95 m
rojo
y+S'
I r
66 m
De la figura:
’ X + y = 6 6
y + (y + 8 )
... (2 )3x = 4y -1- 16
(1 )x 4 -h (2 ) :
7x + 4y = 6 6 x 4 -h 4 y + 16
7x = 280 => X = 40
y = 26
X 4- 2y -h 8 = 40 + 2(26) + í = |100 I
39. Un exportador compró café por 8 400 soles y
té por 7 200 soles, habiendo comprado 60 k
más de té que de cafe.
¿Cuánto pagó por el k de café, si un kilogramo
de café importó 8 soles más que un kilogramo
de té?
A) 20 soles B) 28 soles C) 36 soles
D) 24 soles E) 26 soles
Resolución;
# de k importe precio por k
cafe X 8 400 8 400/x
té x + 60 7 200 7 20Q/(x + 60)
-Un k de café costó 8 soles más que un k de
té»:
8 400 T; 200
X x + 60
1_050 _
X x i- 60
1 050(x + 60) -90 0x = x(x + 60)
1 050x60 = x (x -9 0 )= i 300 X 210 = x (x -9 0 )
X = 300
.'. precio de 1 k de café:
1 400 : 300 = 28 soles
40. Un comprador va tomar un lote de terreno con
la frente a una calle, ei lote va ser rectangular,
y el triple de su frente sumado al doble de su
fondo va ser 96 metros, ¿Cuál es el número
máximo de metros cuadrados que puede to
mar?
Dar como respuesta la suma de cifras?
A) 14 8 )15 C)16 D)13 E) 12
Resolución:
’ 3x -!- 2y = 96
2y = 96 - 3x
3
2
Area = xy
y = 2 O 2 - X ) ( 1 )
Área = x - ( 3 2 - x ) l = ~(32x
Area = - [256 - 256 + 32x - x̂ ;
Area = ~ [256 - (16 - x) ¡̂
Para que el área sea máximo:
1 6 -x = 0 = jx = 16
3
■ En (1): Area = - (256) = |384 m=
PRACTICANDO 1
1. La diferencia de dos números es 36. Si el ma
yor se disminuye en 12, se tiene ei cuádruplo
del menor. Hallar el producto de los números
dados.
A) 352 B) 328 C) 334 D) 224 E) 330
2. La suma de 3 números es 72. El segundo es
un quinto del tercero y el primero excede al
tercero en 6. Hallar el menor número.
A) 16 B) 12 C)8 D) 6 E) 10
3. Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50; des
pués que cada una de ellas gastó la misma
cantidad de dinero, a la primera le queda el
triple de lo que a la segunda, ¿Cuánto les que
da en conjunto a ambas personas?
A) 140 B) 120 C) 100 D) 150 E) 240
4. Una pieza de tela tiene 20 metros de longitud.
En una segunda compra que se hizo, se ad
quirió los 2/3 del resto que había quedado des
pués de la primera. Sabiendo que las dos com
pras son iguales, ¿cuántos metros se compra
ron la primera vez?
A) 7 B )9 C)15 D) 13 E) 8
5. En un terreno de forma rectangular, el largo
excede en 6 metros al ancho; si el ancho se
duplica y el largo disminuye en 8 metros, el
área del terreno no varía. ¿Cuál es el períme
tro del terreno original?
A) 26 8 ) 52 C) 48 D) 32 E) 36
6. ¿Qué hora es? Si la mitad del tiempo transcu
rrido desde las 9.00 horas es igual a la tercera
parte del tiempo que falta transcurrir para ser
las 19.00 horas,
A) 12.00 h B) 13.00 h C) 14.00 h
D) 13.20 h E) 12,30 h
7. Un ómnibus llegó a su paradero final con 53
pasajeros, además se observó durante el tra
yecto que en cada paradero por cada pasaje
ro que bajaba subían 3; si cada pasaje cuesta
S/. 0,60 y se recaudó un total de S/. 39, ¿con
cuántos pasajeros partió del paradero inicial?
A) 24 8 ) 29 C) ?1 D) 33 E) 36
8. Se ha comprado cierto número de lapiceros
por Sí. 100. Si el precio por unidad hubiese
sido Sí. 2 menos, se tendrían 5 lapiceros más
por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros se
compró?
A) 15 B)18 C)10 D)20 E) 16
9. En un corral hay liebres y gallinas. Si compa
ramos el doble del número de cabezas con el
número de patas, éste excede a aquel en 16.
¿Cuántas liebres son?
A) 3 B)16 C) 8 D)6 E) 7
10. Un padre va con sus hijos al cine y al sacar
entradas de a 3 soles observa que le falta di
nero para tres de ellos, y tiene que sacarlas de
a Sí. 1,50, asi entran todos y le sobra S/. 3.
¿Cuántos eran los hijos?
A) 6 B) 7 0 5 D) 8 E) 9
11. Yo tengo el cuádruple de lo quetú tienes. Si
tuvieras 5 soles más de lo que tienes, yo ten
dría dos veces más de lo que tú tendrías. ¿En
cuánto se diferencian nuestras cantidades?
A) 40 B) 45 C) 30 D) 35 E) 50
12 Se toma un numero impar, se le suma los 3
números pares que le preceden y el cuádruplo
del número impar que le sigue, obteniéndose
199. ¿Cuál es el menor sumando?
A) 15 8)20 C)33 D) 26 E) 17
13. En un salón de clase, el número de varones es
tanto como el cuádruple del número de muje
res. Un dia faltaron 4 parejas, y ese día el nú
mero de varones era 6 veces el número de
mujeres. ¿Cuantos alumnos posee normal
mente el salón?
A) 80 B) 70 C) 45 D) 60 E) 50
14. Varios gorriones se posan en unos postes Si
sobre cada poste hay un solo gorrión, quedan
3 gorriones volando y si sobre cada poste hay
3 gorriones quedan 3 postes libres. ¿Cuántos
postes hay?
A) 3 B) 5 0 )6 D) 9 E)12
15. Cierto número de alumnos va con 2 profesores
de paseo. Si pagan a 6 soles cada uno por
pasaje, gastan menos de 32 soles, pero si pa
gan 1 sol más, entonces gastan más de 32
soles. ¿Cuántos fueron los alumnos^
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6
16. Se reparten 400 caramelos en partes iguales a
un grupo de niños. Si hubiese 5 niños más,
entonces a cada niño le tocaría 4 caramelos
menos, ¿cuántos niños son?
A) 12 B) 15 C)28 D)18 E) 20
17. Tú tienes la mitad de lo que tenías y después
del negocio que hagas tendrás el triple de lo
que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y
tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es S/. 81
más de lo que tú tendrás. ¿Cuántos soles te
nemos entre los dos?
A) S/. 144 B)S/. 159 C)S/. 216
B)S/. 189 E)S/, 169
18. Un comerciante compra carteras al precio de
75 soles cada una y además le regalan 4 por
cada 19 que compra, recibiendo en total 391
carteras, ¿Cuál fue la inversión del comercian
te?
A) 2 242 B) 24 522 C) 24 225
D) 42 225 E) 24 422
19. Con 3 125 soles en billetes de 5 soles se pue
den hacer tantos fajos iguales de estos bille
tes, como billetes tiene cada fajo. ¿Cuál es el
valor de cada fajo?
A) S/. 75 8 ) 8/. 100 C)S/, 115
D) S/, 125 E)S/. 175
20. Con SI. 1 296 se han comprado latas de sardi
na y cierto número de cajas, cada una de las
cuales contiene un número de latas triple del
número de cajas. Cada lata de sardina cuesta
un número de soles doble del número de ca
jas, ¿Cuántas latas de sardina se compraron?
A) 100 B) 108 C)110 D )1 4 4 E )3 6
21. Sobre un estante se pueden colocar 15 libros
de ciencias y 3 libros de letras ó 9 libros de
letras y 6 libros de ciencias, ¿Cuántos libros
de ciencia únicamente caben en el estante?
A) 15 8 ) 2 0 0 2 4 D) 3 0 E ) 1 8
22. Se sabe que una naranja y una manzana cues
tan 80 céntimos de sol entre los dos. Sabien
do que 6 naranjas cuestan tanto como 4 man
zanas, ¿cuánto cuestan 15 manzanas?
A) S/, 6 B) S/, 6,4 C)S/, 17
D) S/, 7,20 E) S/, 8,4
23. A cierto número par se le suma los dos núme
ros pares que le preceden y los dos impares
que lo siguen, obteniéndose en total 968 uni
dades, El producto de los dígitos dei número
par en referencia es:
A) 162 8)120 0 )36 D) 150 E) 63
24. Una persona quiere comprar 450 pelotas o por
el mismo dinero 50 polos y 50 short. Si al final
compró el mismo número de objetos de cada
clase, hallar el número de short y polos com
prados al final.
A) 80 8 )6 0 C)100 D)90 E) 120
25. Un comerciante gastó S/. 171 en igual número
de cuadernos y borradores. Si cada borrador
costó un sol y cada cuaderno SJ. 2, entonces
el total de artículos comprados es:
A) 100 8)114 C)86 D) 104 E) 120
26. Una cantidad de S 1 350 se ha pagado con
billetes de 100 y 50 dólares. ¿Cuántos billetes
de 100 dólares se han dado, si los billetes de
50 dólares son 6 más que los de 100 dólares?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
27. A una reunión asistieron 200 personas. María
bailó con 7 muchachos, Olga con ocho, Anita
con nueve y así sucesivamente hasta llegar
Carola que bailó con todos ellos. ¿Cuántos mu
chachos habían en dicha reunión?
A) 113 B) 115 C)105 D )1 0 3 E )9 3
28. Un empresario decide entregar a cada uno de
sus trabajadores S/. 250. Uno de ellos es des
pedido, y el total es repartido entre los demás,
recibiendo cada uno SI. 300. ¿Cuántos eran
los trabajadores inicialmente?
A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 4
29. La diferencia de 2 números más 60 unidades
es igual al cuádruple del número menor m,e-
nos 50 unidades. Hallar la suma de los núme- •
ros si el mayor es el triple del menor
A) 120 8)180 0)220 D l2 1 0 E )1 6 0
PRACTICANDO 2
1. Dos decenas de libros cuestan tantos soles
como libros dan por SI. 2 880. ¿Cuánto cues
tan 4 libros?
A) S/. 40 B) S/. 36 C) S/, 41
D) S/. 48 E) S/. 39
2. Un ómnibus parte de Piura a Lima con cierto
número de pasajeros y se detiene en Trujillo,
si bajaron la cuarta parte continuarían viajan
do menos de 19 personas, en cambio si baja
ron la sexta parte, continuarían viajando más
de 17 personas. ¿Cuántos pasajeros partieron
de Piura?
A) 22 B) 26 C) 23 D) 25 E) 24
3. La suma de las cifras de un número de 2 cifras
es 9. Cuando se Invierte el orden de las cifras
se obtiene un número que excede en 9 al cuá
druplo del primero. ¿Cuál es el número? Dé
como respuesta la suma de sus cifras.
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 8
4. Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta
al final que él tiene el triple de lo que yo tenía,
cuando él tenía el doble de lo que yo tengo, si
junto lo que el tenía y lo que tengo, obtengo
S/.60. ¿Cuánto tenemos entre los dos?
A) 150 B) IDO C) 140 D) 50 E) 120
5. En un corral hay solamente gallinas y cuyes;
se observa que el número de ojos es 28 me
nos que el número de patas (extremidades).
Halle el número de cuyes que hay en el corral.
A) 7 8 )10 C)12 D)14 E) 28
6. Juan dice: «Al contar mi dinero, he contado
mal porque me confundí contando por 1 sol
las monedas que son de 5 soles, así que al
final tuve que agregar a ese conteo 240 so
les», ¿Cuántas monedas fueron las que conté
mal?
A) 200 B) 120 C) 48 D) 60 E) 240
7. Los ahorros de un niño constan de (n + 1), (3p -
5) y (p -I- 3) monedas de 5, 10 y 20 soles res
pectivamente. ¿A cuánto asciende sus ahorros.
SI al cambiarlo en monedas de 25 soles, el nú
mero de monedas obtenidas es el doble del
número de monedas de 5 soles?
A) 900 soles B) 455 soles C) 345 soles
0) 400 soles E) 360 soles
8. La suma, la diferencia y el producto de dos
números enteros positivos están en relación
de 9, 3 y 62 respectivamente. Hallar la suma
de estos dos números.
A) 42 B) 63 C) 36 D) 32 E) 48
9. El número de canicas que hay en una caja es
tal que su duplo disminuido en 86 es mayor
que 200. De la caja se sacan 17 canicas y que
dan menos que la diferencia entre 200 y la
mitad de las canicas que habían inicialmente.
¿Cuántas canicas había al inicio?
A) 146 B) 142 C) 145 D) 144 E) 143
10. La suma del número de caramelos que tiene
Pedro y el doble de los que tiene Joaquín es
menor que 51. La diferencia entre el triple de
los caramelos de Pedro con los de Joaquín es
mayor que 67. Si el número de caramelos de
Pedro excede en uno al triple de los de Joa
quín, ¿cuántos caramelos tiene Joaquín?
A) 12 8)11 C) 8 D)10 E)9
11. Cuando se hizo la conducción de agua a cierto
pueblo, correspondía a cada habitante 60 li
tros por día. Hoy ha aumentado el pueblo en
40 habitantes y corresponde a cada uno dos
litros menos por dia. ¿Cuántos habitantes tie
ne actualmente dicho pueblo?
A) 1160 B) 1200 C) 1220
D )2200 E )3220
12. En un zoológico por cada mono hay 3 tigres y
por cada tigre hay 4 leones. Si en total se han
contado 320 extremidades de animales, ¿cuán
tos monos hay?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6
13. Una blusa cuesta 19 sucres, el comprador sólo
posee billetes de 3 sucres: la cajera, sólo de 5
sucres. ¿Con cuántos billetes de 3 sucres como
mínimo se puede efectuar el pago?
A) 8 8 )3 C)10 D)19 E) 14
14. Aldo cuenta sus pollos y dice: <'Si al número
de poSlos que tengo los elevo al cuadrado y
luego le sumo tres veces la cantidad de pollos
que tengo, siempre me resulta mayor que54».
¿Cuántos pollos como mínimo tiene Aldo?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
15. Renzo debe preparar ron con cierta gaseosa
en la proporción de 7 a 4 respectivamente, por
error se mezclan ron y gaseosa en la propor
ción de 5 a 3, obteniéndose 96 litros de mez
cla. ¿Cuántos litros de ron se debe agregar,
para obtener la proporción deseada?
A) 3 B) 2 C) 1 DI 6 E) 4
16. Un ganadero vendió 60 cabezas de ganado
entre vacas y terneros, recibiendo S/. 216 000
Pero como necesitaba SI. 25 000 tuvo que
hacer una venta adicional a los mismos com
pradores, y razona así: “Si vendo 8 vacas me
sobran S/. 2 000, pero si vendo 20 terneros
me faltarían S/. 4 000", ¿Cuántas vacas se ven
dió al principio?
A) 18 B)32 C)36 D) 24 E) 42
17. Dentro de 5 años la suma de las edades de
dos hermanos será «n» años. Si hace 5 años
la edad del mayor era el triple de la edad del
menor, halle la edad actual del mayor.
n
A) 4
n
B)o CÌ
3n - 32
D)-
3n - 40
E)-
3n - 48
18. Un peón ahorra 40 soles a la semana, cuando
no trabaja tiene que retirar de sus ahorros 20
soles. Si durante 10 semanas logra ahorrar
S/, 220, ¿cuántos días dejó de trabajar'?’ (Ob
servación: trabaja de lunes a domingo),
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
19, Una frutera compro 90 manzanas a SI. 0,45 el
par y tas vendió unas a SI. 0,30 y otras a S,', 0,20
cada una, perdiendo S,' 1,25 con respecto al
precio de costo total, ¿Cuántas manzanas ven
dió a mayor precio?
A) 10 8 )8 0 C) 15 0 )2 0 E) 75
20, Jorge piensa: 'Si compio ■‘r¡» lapiceros, me
sobrarían «S» soles, peio st compro «S-» lapi
ceros, necesito «A» soies ;nas ¿Oue canti
dad de dinero tiene Jorge?
A) S - n
D)-
(nA - S" I
ÍS -n )
inA - S‘ i
3 i ----------- :
5 - n
Ei S
, (A S -S i
n
2 1 , Julio le dice a Lolo: «Si m,e das SI. 5, tendre
mos la misma cantidad de dinero, pero si te
doy S/ 4 tendrás menos que el triple de lo que
me quedaría", ¿Cuánto dinero, como mínimo,
tiene Lolo si sólo posee monedas de S/.1?
A) 23 B) 24 C) 25 D) 22 E) 26
22, Rocío es una muchacha que le gusta cocina,
diariamente consume la misma cantidad de
aceite de una botella. Después de 16 días ob
serva que ha consumido los 2,'B partes de la
botella, 15 días más tarde se observa que le
quedan 33 cm~ de aceite, ¿Cuantos cm’ de
aceite consume diariamente?
A) 1 B) 2 Ci 3 D¡ 4 E) 5
23, Samir y Rubén tomaban limonada en una
apuesta de bebedores. El primero había toma
do ya 10 vasos cuando recién empezó el se
gundo y además Samir tomaba 7 vasos cuan
do Rubén tomaba 3 Samir era el triple de re
sistente que Rubén Si ai final ya no podían
más. ¿cuántos vasos bebió Samir?
A) 50 B) 30 C) 28 D) 45 E) 23
24, N alumnos dieron un examen, despues de la
calificación, se observo que la nota promedio
de aprobacfos fue A y de los desap,''obados D.
Si la nota promedio de los N alumnos fue P.
¿cuántos aprobaron el cuiso?
A)
N (P -D ) NP t-iíA -P Ì
C-!
P -A
t i NA - PD
25, Un padre reparte su herencia entre sus hijos
de la siguiente manera- al primero ie da 3,', A
más la enésima parte del resto, al segundo le
da S/- 2A más la enésima parte del resto, al
•.ercero S.', 3A más la enésima parte de! resto,
y así sucesivamente, Al final se obser,/ó que
cada tiijo recibió la misma cantidad. ¿A cuánto
ascenoió la herencia?
A) A(n - 1)-’
D) A(n - 2 r
B) An='
E) Ain ■
C) A{n
2P
26. Un alu'Tino ha obtenido 420 puntos. Si se le
aumentan 7 puntos más por cada pregunta
contestada, tendría que hacer 2 preguntas me
nos para obtener el mismo puntaje. ¿Cuál es
el número de preguntas que contestó?
A) 15 B)12 C)10 D)13 E¡ 14
27. Un grupo de campesinos debían segar dos pra
dos, uno de doole de superficie que el otro.
Durante medio d'a trabajó todo el personal en
prado grande: después de la comida, la mitad
de la gente se quedó en el prado grande, y ía
otra mitad trabaje en el pequeño. Durante esa
tarde fueron terminados ios dos prados, pero
quedó un reducido sector del prado pequeño
cuya siega ocupo el dia siguiente completo a
un soio campesino. ¿Cuántos eran los cam
pesinos en total?
A) 8 B) 16 C) ’ 2 D110 E) 6
28. Andrea tiene vales do S/. 3 y comipra en una
tienda donde el pago se realiza con estos va
les y cuando no se puede hacer el pago exac
to, la tienda da como vuelto vales de S/. 5. ¿Con
cuántos vales como minir-io se hace la nego
ciación de la compra de una blusa de S;'. 19?
A) 9 B) 8 0 17
D) 18 E) Varias respuestas
PRACTICANDO 3
1. Si reparto tantos caramelos a cada niño como
nitíos tengo, me falta 2 caramelos: pero si doy
un caramelo a cada niño, me sobran 70 cara
melos. ¿Cuántos niños tengo?
A) 6 Bj 8 0 9 D) 12 E) 4
2. Tengo S56 en monedas de S10 y S2, si el núme
ro de monedas de SI O excede en 2 al numero
de monedas de 32. hallar la cantidad de mo
nedas que tengo,
A) 8 B) 9 C ;10 D) 11 E) 12
3. Un alumno siempre escribe la tercera parte de
las hojas en bianco que tiene en su cuaderno,
más 2 hojas. Si después de 3 días consecuti
vos 'e quedan aún dos hojas en blanco, ¿cuan
tas hojas tiene el cuaderno?
A) 16 B}32 0 24 D) 19 E) 21
4. Cada vez que Ricardo se cruza con Boby, este
último !e duplica a Ricardo el dinero que éste
lleva en ese momento; en retribución Ricardo
le entrega S,', 10, Si se han cruzado 3 veces
luego de los cuales Ricardo tiene S/. 250,
¿cuánto tenia Ricardo inicialmente?
A) S./. 40 B) S./. 80 , C) S,/. 90
D)S/. 100 E)S/. 120
5. Jaimito ha pagado una deuda con monedas
de 5 soles y de 2 soles. Se sabe que el nume
ro de monedas de 5 soies excede on 15 a las
de 2 soles. Además la cantidao de dinero que
pagó con monedas de 5 soies es dos veces
más que la cantidad que pagó con monedas
de 2 soles. Halla- cuanto fue la deuaa pagada.
A} S/. 320 B) S/. 400 O S/. 600
D) S/. 560 E) S/. 420
6. En una reunión habían 20 mujeres más que
hombres y cuando ¡legaron 12 parejas a la
reunión, el número de hombres resultó los 3/S
de los reunidos. ¿Cuántos hombres había ini
cialmente?
A) 12 8 )8 0 16 D)24 E)1B
7. Luis tiene S.'. 932 y José tiene S''. 338. Des
pués Que Luis gasta el doble de lo que gasta
José, a Luis ie queda el cuádrupio de lo que le
-.Tueda a José. ¿Cuánto gastó Luis?
A)S,'. 210 B) S./. 420 C)S,/. 200
D) S./, 400 E) S./. 320
8. Al celebrar Mary su decimoquinto cumpleaños
rotó que el número de sus amigos fue el doble
del número de sus amigas, A las 11 p.m. se
retiraron 8 amigos y 3 amigas, quedando en la
reunión 2 varones más quo mujeres. ¿Cuán
tos invitados estuvieron en la fiesta?
A; 21 B) 20 O 23 D) 22 E; 24
9 Tú tienes la miiad de lo -que tenias y tendrá,'; el
tnple de lo que tienes S tuvieras lo que tie
nes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo ten
go, que es 9 soles más de lo que tú tendrás,
¿Cuántos soles suman entre los dos?
A)S/, 14 B) S/, 28 C)S,', 24
D)S/, 18 E) S/, 21
10, Si compro 2 revistas gastaría 2 soles más que
si comprara 3 periódicos, Pero si comprara 5
periódicos gastaría 2 soles más que si com
prara 2 revistas. ¿Cuánto cuesta cada periódi
co?
A) S/, 4 B) S/. 3 C) S/, 5
D)S/. 1.5 E) S/. 2
11, Un caminante ha recorrido 1 000 metros, unas
veces avanzando, otras retrocediendo. Si se
encuentra a 350 metros del punto de oartida,
¿cuántos metros recornó retrocediendo?
A) 300 m B) 425 m C¡ 325 m
D) 280 m E) 345 m
12, En una granja, porcada gallina hay tres pavos
y por cada pavo hay 4 patos. Si en total se han
contado 160 patas de animales, ¿cuántos pa
vos hay?
A) 14 8 )10 C)15 D)8 E) 20
13, A cierto número par se le suma los dos núme
ros pares que le preceden y los dos impares
que le siguen, obteniéndose en total 968 uni
dades, El producto de los dígitos del número
par en referencia es:
A) 162 B) 120 C) 36 D) 150 E) 63
14, Compré cierto número de libros a 4 por 2 soles
y un número de libros igual a los 3/4 del núme
ro de libros anteriores a 10 por 7 soles. Ven
diéndolos todos a 2 por 3 soles gané S/, 64
soles, ¿Cuántos libros compré?
A) 60 B) 70 C) 63 D) 62 E) 65
15, En un partido U vs Alianza Lima, 8 000 perso
nas hacen apuestas sobre cuál sería el ganador, Al comenzar las apuestas favorecen al
Alianza Lima en la proporción de 3:2: quedan
do al final favorable a ia U en la proporción 4:1,
Diga cuánto más son los que apostaron por
Alianza y cambiaron a la U, que los de la U a
Alianza,
A) 700 B) 1 800 C) 500
D) 3 200 t ) 2 600
16. Un grupo de abejas cuyo número era igual a la
raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre
se posó sobre un jazmín, habiendo dejado atrás
a 8/9 de todo su enjambre; solo una abeja del
mismo enjambre revoloteaba en torno a un loto,
atraída por el zumbido de una de sus amigas
que cayó imprudentemente en la trampa de la
flor, ¿Cuántas abejas habían en el grupo ini
cial?
A) 64 B) 36 C) 6 D) 72 E) 8
17. Un maestro y su ayudante trabajan juntos. El
primero gana 25 soles por día más que el se
gundo, Si después de trabajar cada uno el mis
mo número de días, el primero recibe 1 050
soles y el segundo, 875 soles. ¿Cuál es el jor
nal del ayudante?
A)S/. 120 B)S./. 115 C)S/. 152
D)S/, 125 E)S/, 130
18. María va a! cine con sus primas y al querer
comprar entradas de 30 soles observa que le
falta dinero para 3 de ellas. Por tal motivo tie
ne que comprar entradas de 15 soles, entran
do todas al cine y sobrándole aún 30 soles para
las gaseosas. ¿Cuántas primas fueron al cine
con María?
A) 6 B) 7 Cj 8 D)9 E) 10
19. En el tercer día da su viaje, una nave del pla
neta ALFA llega al planeta BETA, Al bajar a la
superficie uno de sus tripulantes le dice a su
compañero. «Los habitantes de este planeta,
aunque tienen 20 dedos en tota! como noso
tros, tienen una extremidad menos y un dedo
más en cada extremidad». ¿Cuántas extremi
dades tienen los habitantes del planeta BETA?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 10
20. Con billetes de 100 soles y de 50 soles se pagó
una deuda de 2 800 soles. El numero de bille
tes de 50 soles exceden en 8 al número de
billetes de 100 soles. Si los billetes que tene
mos de 100 soles, los contáramos como bille
tes de 50 soles y viceversa, ¿qué cantidad de
dinero tendríamos?
A) S/, 4 500 B) S/ 2 900 C) S/. 3 200
D) S/, 3 800 E) S/, 4 200
21. El número 70 excede a otro número, tanto como
este otro número excede a su propia tercera
parte. Inaique eí tnple dei numero.
A) 126 Bl 129 C) 42 D) 120 E) 117
22 Dividir el número 584 en dos partes tales que
su cociente sea 7 y el resto de la división sea
40. Dar como respuesta la diterencia entre las
dos partes
A) 527 B) 128 C)328 D) 425 E) 235
23. El largo de un terreno rectangular es el doble
del ancho, -Si el largo se aumentara en 40 m y
ei ancho en 6 el area se duplicarla. Calcule
la diferencia de las dimensiones del terreno.
A) 15 m B) 30 m C) 20 m
D) 40 m E) 24 m
24. La cifra de las decenas de un número de dos
dígitos excede al de las unidades en 3 y la di
ferencia entre los cuadrados de estas cifras es
15. ¿Cuál es el numero?
.A) 41 B) 42 C)63 D)74 E) 85
25. Una pared de 40 m de largo ha sido pintada de
dos colores, los primeros «n<- metros de verde
y lo ,-estante de azul, gastando exactamente
S/. 2 240 por el costo de la pintura. Si la pintu
ra verde necesaria para un metro de pared
cuesta S/. 60 y la pintura azul S/. 50. ¿cuál es
el valor de
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
26 Una persona divide la cantidad de dinero que
tiene en su bolsillo entre 100 resultando un
número entero m. Si da m monedas de 10 so
les a un mendigo aún le quedan 2 160 soles.
¿Cuánto tema en el bolsilio?
A) 2 000 B)2 160 C) 2 400
D) 2 450 E) 2 500
27 Miguel trabaja en una compañía en la cual por
cada dia de trabajo le pagan S/. 30 y por cada
inasistencia a sus labores le descuentan S/. 10
de su sueldo. ¿Cuántos días habrá trabajado
iVIiguel. SI luego de 40 días, él adeuda a la
empresa la suma de S/, 200?
A) 3 8 )5 0 7 D )9 E)11
28. Un hombre compró un reloj y una cadena a
igual precio. Pasado algún tiempo volvió a com
prar otro reloj cadena: ésta S.'. 90 más barata
que la primera y aquel S/. 60 más caro que el
primero, resultando el precio del reloj el doble
que el de la cadena. ¿Cuánto costó ia segun
da cadena?
A)S./. 120 B)S./. 150 C)S./. 180
D) S/. 200 E) S/. 240
29. Un terreno cuadrado se vende en dos lotes, el
primero en un rectángulo uno de cuyos lados
mide 30 m y “ del lado del cuadrado, y el
segundo lote se vende en 12 400 soles a ra
zón de S/.2.5 el metro cuadrado. Hallar el lado
del terreno cuadrado.
A) 70 8) 80 C) 60 D) 85 E) 45
PRACTICANDO 4
Un cazador le preguntó a una paloma: “¿Cuán
tas son ustedes?" Este contestó: “Somos no
sotras, más nosotras más nosotras más la
mitad de nosotras, más la cuarta parte de no
sotras más los tres octavos de nosotras más
usted somos 100". Son:
A) 26 B) 24 C) 30 D) 28 E) 25
Tres cestos contienen 575 manzanas, el pri
mer cesto tiene 10 manzanas más que el se
gundo y 15 más que el tiempo. ¿Cuántas
manzans hay en el primer cesto?
A) 185 B) 190 C) 195 D) 200 E) 205
El número de patos excede en 8 al número de
las gallinas. Si se agregan 17 patos y se reti
ran 7 gallinas, entonces la relación de gallinas
a patos es 1 a 5. ¿Cuántos patos había al ini
cio?
A) 15 B)20 C)23 D) 35 E) 13
La cabeza de un pescado mide 9 cm, la cola
mide tanto como la mitad del cuerpo menos la
cabeza, el pescado entero mide 60 cm: enton
ces la cola mide;
A) 21 cm B) 11 cm 0) 15 cm
D) 12 cm E) 18 cm
5. Lo que gasta y ahorra diariamente una perso
na están en ia relación de 6 a 7. Si diariamente
4.
gana S/.260. ¿en cuánto tiene que disminuir
su gasto diario para que la relación cambie de
4 a 9?
A) 40 B) 80 C) 120 D) 100 E) 60
En una reunión hay “m" mujeres más que hom
bres y cuando llegan “n" parejas a la reunión
resulta que el número de los hombres consti
tuyen los 3/8 de la reunión. ¿Cuántos hombres
habían inicialmente?
3m -I- 2n
C)
D)
m +n 3m - 2n
E) — —
7. Daniel tiene 5 veces más que José. Si Daniel
pierde S/.50 y José gana S/.30. entonces José
tendría 3 veces más de !o que queda a Daniel
¿Cuánto tiene José?
A) 15 B)18 C) 10 D)60 E) 43
8. Carlos dice; "Yo tengo tantas hermanas como
hermanos, pero mi hermana tiene la mitad de
hermanas que de hermanos. ¿Cuántos so
mos?"
A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9. Entre cierto número de personas compran un
auto que vale S/. 1200, el dinero que paga cada
persona excede en 194 al número de perso
nas. ¿Cuántas personas compraran el auto?
A) 4 8)12 0 9 D) 6 E) 8
10. La diferencia de los cuadrados de dos núme
ros enteros consecutivos es 31. Hallar el pro
ducto de dicho número.
A) 300 B) 280 C)210 D) 240 E) 200
11. Hallar el mayor de tres números consecutivos
enteros y positivos cuyo producto es igual a 15
veces el segundo.
A) 8 B) 6 C) 12 D) 10 E) 5
12. Compré cierto número de relojes por S/.192.
Si el precio de cada reloj es los 3/4 del numero
de relojes, ¿cuántos relojes compró?
A) 16 B)12 C) 10 D)14 E)18
13. Del dinero que tengo gasto la mitad de lo que
no gasto, de lo que no gasto pierdo el doble de
lo que no pierdo, si entre lo que gasto y pierdo
equivale a 2 800, ¿cuánto más perdí que gas
té?
A) 800 B) 1600 C) 1200 D) 400 E) 600
14. Mi hermano mayor decía;
■‘La mitad de mis hermanos usan anteojos; en
cambio, yo solo veo que la 1/3 parte de mis
hermanos usan anteojos. ¿Cuántos hermanos
somos?
A) 3 8 )7 C)13 0 )9 E)4
15. Un trozo de alambre de 15 cm se corta en 2
partes de tai modo que el cuadrado que se for
ma doblando una parte tiene 4 veces el área
del cuadrado que se forma doblando la otra
parte. La longitud de la parte más larga es;
A) 5 cm B) 10 C) 5/3 D) 10/3 E) 4
16. Un granjero amarra su vaca en la esquina de
su casa. Éi observa que si la cuerda fuera
alargada en 10 m, ella podría abarcar cuatro
veces el área original. Entonces la longitud ori
ginal de la cuerda es:
A) 10 V'2 cm
D) 20
B) 5
E) 10
C) 15
17. En una reunión hay 5 hombres más que muje
res, luego llegaron un grupo de personas cuyo
número es igual al de los hombres inicialmen
te presentes, de modo que en la reunión todos
están en parejas y hay 50 hombres en total.
Hallar el número de mujeres inicialmente pre
sentes.A) 20 B) 25 C) 30 D) 32 E) 35
18. En una huerta se observa que el número de
petos excede en 8 al número de pavos, ade
más si incluimos 12 pavos y quitamos 10 pa
tos, entonces el número de pavos sena el tri
ple del número de patos, ¿cuál es el número
de patos?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
19. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera 3 m
más de largo y 4 m más de ancho, sería 192 m'̂
rriás grande; si tuviera 4 m monos de largo y 3 m
menos de ancho, seria 158 m-’ más pequeño.
Las dimensiones del patio son:
A) 10 m y 20 m B) 30 m y 40 m
C) 20 m y 30 m D) 10 m y 30 m
E) 10 m y 40 m
20. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas;
pero tanto en las sillas como en las mesas,
obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió si
las mesas cuestan S/.360 más que las sillas y
recaudó S./. 9 600 en total?
A) 8 B¡ 6 C) 5 D) 12 E) 13
21. Con 480 soles se compraron cierta cantidad
de polos, pero si con la misma cantidad se hu
bieran comprado 10 polos más, cada polo hu
biera costado S/,8 menos. ¿Cuántos polos se
compraron?
A) 24 8 ) 10 C) 15 D) 20 E) 18
22. Yo tengo el cuádruple de lo que tú tienes. Si tú
tuvieras S/.5 más de lo que tienes, yo tendría
2 veces más de lo que tú tendrías. ¿En cuánto
se diíerencian nuestras cantidades?
A) 40 B) 45 C) 50 D ) 3 5 ‘ E)33
23. En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si
las habitaciones del segundo piso son la mitad
de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay
en el segundo piso?
A) 12 8 )24 C)32 D) 16 E)18
24. La suma de dos números es 106 y el mayor
excede al menor en 8. Hallar su producto.
A) 2793 B)2790 C) 1 780
D) 2580 E) 2785
25. En una fiesta habia 37 personas. Las damas
se retiran una por una de la siguiente manera:
la primera se despide de todas las damas y de
tres caballeros: la segunda de todas las otras
damas y de cinco caballeros: la tercera se des
pide de las damas y de cinco caballeros: la
tercera se despide de las damas que quedan y
de 7 caballeros, y así sucesivamente, hasta
que la última se despidió de todos los caballe
ros. ¿Cuántas damas había inicialmente?
A) 10 Bt 11 0 )1 2 D) 13 E) 14
26. Un ganadero compró 30 caballos más que va
cas y tantos cerdos como vacas y caballos jun
tos. pagando por las vacas el doble que por
los caballos: además por 2 vacas pagó tanto
como por 7 cerdos y gastó lo mismo en la com
pra de vacas y caballos. ¿Cuántos animales
compró^
A) 240 B) 180 C)140 D) 120 E) 200
27. Una suma de S/. 120 se reparte por partes igua
les entre cierto número de personas. Si el nú
mero de personas hubiera sido 1/5 más de las
que había, cada persona hubiera recibido S/.2
menos. ¿Entre cuántas personas repartió el
dinero?
A) 10 B) 12 C )9 D) 15 E) 13
28. Hace muchos años podían comprarse pavos
a S/.10, patos a S/,5 y pollos a S/.0,50, Si pu
dieron comprarse 100 animales con S/. 100
entre pavos, patos y pollos, ¿cuántos fueron
los pollos?
A) 70 B) 65 C) 90 D) 80 E) 75
29. En una reunión 1/5 de los asistentes son los
hombres, luego llegan un número de perso
nas igual al de mujeres presentes, incremen
tándose el numero de hombres en 30, y hay
entonces un número de mujeres que excede
al de los hombres en un número igual al de
mujeres inicialmente presentes. Hallar el nú
mero de personas actualmente presentes.
A) 20 B)180 C)200
D)220 E)170
30. Un edificio tiene 4 pisos, el número de habita
ciones de cada piso son numero consecutivos
crecientes y cada habitación del edificio tiene
tantas ventanas como habitaciones hay en el
respectivo piso. Si ei número de ventanas del
último piso y el número de habitaciones del
primer piso suman 69, ¿cuantas habitaciones
hay en el último piso?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
PRACTICANDO 5
1. En una sala donde el largo mide el doble del
ancho, si el largo se disminuye en 6 m y el
ancho se aumenta en 4 m, la superficie de la
sala no varía. Hallar la superficie de la sala.
A )144m ‘ C) 244
D) 288 E) 298 m̂^
2. Determinar la edad de un profesor de aptitud
matemática, sabiendo que hace 6 años era el
triple de la raíz cuadrada de la edad que ten
drá dentro de 12 años.
A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36
3. La suma de 3 números es 127; si a la mitad
5.
del menor se añade ~ del mediano y g del
mayor, la suma es 39. El mayor excede en 4 a
la mitad de la suma del mediano y del menor.
Hallar la suma de las cifras del mediano.
A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 9
La mitad del total de pasajeros (sentados y pa
rados) de un micro, más los 2/3 de los que van
sentados es 80. Si la mitad de los que van sen
tados se paran y todos los que están parados
se sentaran, sobrarían 10 asientos, ¿cuántos
viajan parados?
A) 40 B)30 0 20 Dj 10 E) 15
Trescientos cuarenta y cinco vecinos del Ca
llao, deben pagar un impuesto de S/. 20 700.
pero algunos de eilos son insolventes; enton
ces los solventes tuvieron que pagar S/. 15 más
que su cuota inicial, para cubrir el íntegro del
impuesto, ¿cuántos son los insolventes?
A) 72 B) 67 C.) 76 D) 66 E) 69
Una planta crece a razón de 2,5 cm por año.
durante los 7 primeros años y en adelante 4
cm por año. La fórmula que determina la altu
ra de la planta para x > 7 años es:
A) h = 2 , 5 -I- 4 ( X - 7,1 B) h = 2 . 5 x + 4
C) h = { 2 . 5 ) 7 + 4x D ) h = 2 . 5 ( x - 7 )
E) h = 2.5i7) -1- 4(x - 7)
7 Una compañía fabricara un totai de 10 000 uni
dades de un producto en las fábricas A y B
resultando que: en la fábrica A ei costo unitario
por cada producto es de S/, 5 y el costo de
material es de S/. 30 000; mientras que en la
fábrica B son S/, 5.50 y 35 000 respectivamen
te. La compañía ha decidido asignar entre las
dos plantas no más de S/. 117 000 para los
gastos, ¿cuá! es el máximo número de unida
des que se deben fabricar en la planta indus-
tnal B?
A) 4000 B )2000 C) 6000
D) 3500 El 7000
8. Un diccionario tiene 2 573 páginas. Para la nu
meración de las últimas páginas se emplea
ron 6 653 tipos de imprenta, ¿cuál fue la pri
mera pagina que ha sido numerada?
A) 720 B) 880 C) 781 D) 881 E) 780
9. Cierto número de personas, alquila un ómni
bus en $ 400. En el nionnento de la salida fal
tan 2 personas: y por eso los demás tienen
que pagar cada uno S 10 más, ¿cuántas per
sonas había al contratar el ómnibus?
A) 8 B )9 C)10 D) 11 E)12
10. Beto y Toño comienzan a jugar con igual suma
de dinero, cuando Toño ha perdido los 3/4 dei
dinero con que empezó a jugar lo que ha ga
nado «Beto» es 24 soles más que la tercera
parte de los que le queda a Toño, ¿con cuánto
empezaron a jugar'?’
A) S/. 36 B) S/. 21 C) S/. 23
D) S/. 20 E) S/. 38
11. Si la tercera parte del tiempo que ha pasado
desde las 4 de la mañana, es una quinta parte
del tiempo que falta para el mediodía, ¿qué
hora es?
A) 5 h B) 8 h O 7 h D) 9 h E) 6 h
12. Una liebre lleva 32 saltos de ventaja a un galgo
que le persigue fvlientras el galgo da 6 saltos,
la liebre da 10: pero 8 saltos del galgo equiva
len a 14 de la liebre, ¿cuántos saltos dará el
galgo para alcanzar a la liebre?
A) 248 B) 834 O 640 D) 384 E) 940
13. En 1932 tenía yo tantos años como expresan
las dos últimas cifras dei ano de mi nacimien
to. Al poner en conocimienio de mi abuelo esta
coincidencia, él dijo que, con su edad ocurria
lo misnno. ¿Cuántos años tenia cada uno de
nosotros?
A )1 2 y 6 8 B )1 2 y 6 0 C )18y75
D) 16 y 66 E) 16 y 80
1
14, En una reunión - de los asistentes son hom
bres, luego llegaron un número de personas igual
al de las mujeres presentes, incrementándose el
número de hombres en 30, y hay entonces un
número de mujeres que excede al de los hom
bres en un número igual al de las mujeres ini
cialmente presentes, hallar el número de per
sonas actualmente presentes.
A) 20 B) 180 C)200
D)-220 E) 240
15. En una competencia participaron hombres y
mujeres. Ocho mujeres salieron de la compe
tencia, quedando 2 hombres por cada mujer.
Luego se retiraron 20 hombres, quedando 3
mujeres por cada hombre, ¿Con cuántas per
sonas se inició la competencia?
A) 44 B) 18 C)36 D) 27 E) 42
16, Una señora compró cierto número de naranjas
porS/, 120, Al día siguiente le dieron 15 na
ranjas más por la misma cantidad de dinero, lo
cual ie hubiera resultado S/. 2,/3 más barato
cada naranja. ¿Cuántas naranjas compró el
primer día?
A) 45 B) 60 0 30 D) 15 E) 20
17. Luis tiene «t» soles. Sale a pasear con su no
via, ella le pide que le compre cigarros y chi
cles, cada cigarro cuesta «n» soles y cada
chicle, «m» soles. Si comprara <>s» chicles,
¿cuántos cigarros puede comprar si gasta los
=-t>- soles?
t - n
A )'
t ~ ms
D )--------n
B) t - m - s
t - m
E) s
C)-
t-JTS
m
18. En una pastelería, cuya especialidad es la venta
de piononos se vende en cada hora los 3/4 de
lo que tenía en esa hora más medio pionono.
Si se acabó luego de 4 horas, ¿cuántos
piononos tenía inicialmente?
A) 170 B) 75 C) 80
D) 160 E) 175
19. Un sastre tiene 20 botones, unos rojos y otros
blancos. Si pierde 4 botones de cada color,
entonces el triple del número de botones blan
cos equivaldría al número de botones rojos,
¿cuántos botones rojos tenía?
A) 9 B) 14 C)12 D)13 E) 11
20. Una persona al morir deja a cada uno de sus
hijos 8/, 84 000. Pero como muere uno de ellos,
la herencia de éste se reparte entre los vivos,
tocándoles a cada uno de ellos S/. 112 000 en
total. ¿Cuántos eran los hijos?
A) 3 B) 2 C) 4 D) 6 E) 5
21. En una caja vacía que pesa 50 gramos, depo
sitamos 10 esferas anaranjadas, 5 esferas
blancas y 2 esferas amarillas. Se sabe que una
esfera blanca pesa 2 gramos más que una
anaranjada; una esfera amarilla, 4 gramos más
que una anaranjada y una esfera blanca tiene
un peso igual a los 4/5 del peso de una amari
lla. Las esferas del mismo color tienen igual
peso. Hallar el peso total, en gramos, de la caja
con las esferas en su interior.
A) 174 B)124 C)155 D) 170 E) 185
22. Un comerciante empleó 2 750 soles en com
prar pantalones a 40 soles y camisas a 25 so
les. Si el número de pantalones y el número
de camisas que se compró es 80, ¿cuántos
pantalones compró^
A) 50 B) 30 C) 45 D) 60 E) 20
23. Entre dos personas tienen «x» soles. Si una de
ellas diera «a» soles a la otra las dos tendrían
iguales cantidades. ¿Cuánto tiene la persona
que posee más?
x X + a
C)
x + 2a
24. Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50. des
pués que cada una de ellas gastó la misma
cantidad de dinero, a la primera le queda el
triple de lo que le queda a la segunda. ¿Cuán
to les queda en conjunto a ambas personas?
A) 140 B) 120 C) 100 D) 150 E) 240
25. Los costos de una función de teatro se cubren
con las entradas de 20 adultos y 30 niños o
con 10 adultos y 50 niños. Si entran puros ni
ños, ¿con cuántos se cubren los costos de la
función de teatro?
A) 50 B) 70 C) 60 D) 80 E) 65
26. En un salón de 50 alumnos, se observa que la
séptima parte de las mujeres son rubias y ia
onceava parte de los hombres usan lentes,
¿Cuántos hombres no usan lentes?
A) 22 B) 28 C) 2 D) 20 E) 4
27. En una asamblea, todos deben votar a favor o
en contra de una moción. En una primera rue
da, los que votaron en contra ganaron por 20
votos; en una segunda vuelta se aprobó la
moción por una diferencia de 10 votos, ¿Cuán
tos asambleístas cambiaron de opinión?
A) 15 8)10 C) 5 D)20 E) 25
28. Se compran 3 panetones y 12 chocolates por
69 soles, pero si se invierten los pedidos se
pagaría 39/23 más, ¿Cuánto cuesta cada pan
teón?
A) 18 soles
C) 21 soles
E) 15 soles
B) 24 soles
D) 12 soles
29, Un anciano deja una herencia de 2 mm soles a
un cierto número de parientes en forma equi
tativa, pero «m» de éstos renuncian a su parte
y entonces los restantes quedan beneficiados
en «n» soles más, ¿Cuántos son los parien
tes?
A) m -(- n 8 ) m ̂+ m - n
C) 4- n D) 2m
E) m^4- mn + n
30, Dei dinero que tengo, gasto la mitad de lo que
no gasto y luego pierdo el doble de lo que no
pierdo. Si sumara io que gasto y pierdo obten
dría S 1 400, ¿Cuánto más perdí que gasté?
A) S 800 B) S 600 C) $ 200
D)S400 E)S1800
31, En una reunión habían tantas chicas por cada
chico, como chicos habían. Si en total hay 420
personas entre chicas y chicos, ¿cuántas chi
cas quedaron luego que cada uno de la mitad
de chicos se retiraron acompañados de 4 chi
cas?
A) 260 B) 360 C) 320
D) 300 • E) 240
CLAVE DE RESPUESTAS
Practicando 1 Practicando 2
] A 6. B n . B 16 .E 2 1 .B 26. A 1, D 6, D 11. B 1 6 ,E 2 1 .B 26.B
2. D 7, B 12 .B 17.D 22, D 27, D 2 E 7, D 12.A 17.D 22. A 27. A
3 A 8. D 13.E 18.C 23.C 2 8 .8 3, A 8. C 13.A 18 .E 2 3 .0 2 8 .A
4. E 9. C 14.C 19.D 24. D 29. C 4, D 9, D 14 .C 19 .A 24.A
5. B 10.B 15.C 20.B 2 5 .B 5, D 10.E 15.A 2 0 ,D 25. A
Practicando 3 Practicando 4
1, C 6. E 11 .C 16 0 2 1 .A 26 C 1, B 6, E 1 1 .E 16.E 2 1 .D 26.A
2. A 7. 8 12.C 17.D 22, C 27, B 2, D 7, C 12.A 17.C 22. B 27. A
3 E 8. A 13.C 18.B 23 .6 28, B 3, C 8, A 13.D 18 .C 23.D 2 8 .C
4. A 9. E 14.B 19.B 24.A 29 B 4, B 9. D 14 ,B 19 .C 2 4 .A 29. B
5. C 10.E 15.D 20. C 25. E 5, A 10.D 15,8 20 .E 2 5 .C
Practicando 5
1. D 6. E 1 1 .C 16.A 2 1 ,D
2. A 7. A 12.0 17.D 2 2 ,A
3, C 8. D 13.D 18.C 23, C
4. C 9. C 14.B 19.D 2 4 .A
5, E 10.A 15.A 20. C 2 5 .B
2 6 .D
27.A
28. E
2 9 .D
30. C
3 1 .B
EDADES
¿Qué es la edad?
La edad es el tiempo que una persona ha vivido
contando desde que nació: aunque en general nos
referimos a la edad de un sujeto u objeto a su tiem
po de vida contando desde que empezó a existir.
Propiedades:
1. Cuando una persona ya cumplió años, se cumple:
Año de nacimiento + edad ácttiái = año actual
2. Cuando una persona aún no cumple años, se
cumple:
Año de nacimiento + edad aetuaJ = año aclua! - 1
EDADES
Sujetos
Son los protagonistas del problema, a quienes corres
ponden las edades y que intervienen en el problema.
Ejemplo:
Katy es 6 años menos que Mauro, pero 2 años
mayor que Edy.
Tiempos
Es uno de los elementos más importantes, ya que
las condiciones del problema ocurren en tiempos
diferentes (pasado, presente o futuro) y todo de
pende de su correcta interpretación. Como hemos
mencionado, los tiempos pueden ser: pasado, pre
sente y futuro. Es decir:
. Tiempos Eü̂ iresiones
Presente: • Tengo...
En un problema existe un • Tienes,,,
solo presente. • Tenemos,..
Se le identifica por las si • Hoy ia edad...
guientes expresiones: • La suma de nuestras
edades es
• Etc.
• Hace,,.
Pasado: • Tenía, tuve...
En un problema pueden • Teníamos,,,
darse uno o más pasa ' Tenías, tuviste,..
dos. • Tuvimos,,,
Se le identifica por las si • La suma de nuestras
guientes expresiones: edades fue.,,
• Etc.
;.;:T3értipos : /.
Futuro:
En un problema
pueden darse uno o
más futuros.
Se ie identifica por
las siguientes ex
presiones:
Expresiones
Dentro de,,.
Tendremos,.,
Tendré...
Tendrás...
La suma de nuestras
edades será...
Etc.
Para un mejor estudio de los métodos para resol
ver este tipo de problemas, los dividiremos en:
A) Con un solo sujeto.
B) Con más de un sujeto:
- Tiempo especificado.
- Tiempo no especificado.
A) Con un solo sujeto
(Cuando interviene la edad de un solo sujeto)
Esquema:
Si mi edad actual es “N" años, entonces, den
tro de “a” años y hace "b" años, mi edad se
expresará así:
Hoy tengo
Hace “b" años Dentro de “a” años
Futuro
Cuando en el texto de un problema nos men
cionan: '‘Hace..." o "dentro de.,.” , se debe to
mar como punto de referencia el tiempo pre
sente, a partir de allí se cuenta el tiempo trans
currido (hace...) o el tiempo a transcurrir (den
tro de..,)
Ejemplo:
Dentro de 12 años, Marco tendrá 3 veces más
la edad que tuvo hace 6 arios. ¿Qué edad tie
ne Marco?
Resolución:
Sea la edad actual de Marco: "x" años.
Luego:
r
Xt 12 = 4(x-6)
t ______
- La edad que tuvo hace 6 años
> x = 12
-T resve ces más
• La edad que tendrá dentro de 12 años
La edad de Marco es 12 anos.
Ejemplo:
Katy tenía, en el año 1969, tantos años como
el doble del número formado por las dos últi
mas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuán
tos años tendrá Katy el año 2000?
Para dar la resolución a este problema, pre
viamente conozcamos dos ecuaciones gene
rales:
ANO DE NACIMIENTO + EDAD = ANO ACTUALSi la persona aún ya no cumplió años.
AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1
Si la persona aún no cumplió años.
Resolución;
A. nacimiento -h edad = A. actual
fSab_+2(aB) = 1969
1900 -i-ab - 2 ^ = 1969
3ab = 69
ab = 23
Luego:
Edad = A. actual A. nacimiento
Edad = 2000 - 1923 = 77 años
Ejemplo;
Si al doble de tu edad se le quita 28 años, se
obtiene lo que te falta para tener 50 años. ¿Qué
edad tendrías actualmente si hubieras nacido
15 años ^ntes?
Resolución;
Sea X la edad actual.
Por dato:
2x -28 = 50 - X
3x = 78 X = 26
Si hubieras nacido 15 años antes, tendrías 15
años más, es decir:
26 + 15 = 41 años
B) Con varios sujetos
(Cuando intervienen las edades de dos o más
sujetos)
Para este tipo de problemas, se recomienda
utilizar un cuadro de doble entrada, como el
que apreciaremos a continuación.
Sujetos
(Yoi
¡Tu)
(El)
i Pasado Presente Fuluro
A
B
C
Tiempos
Edades y
condiciones
Edades y condiciones
Aquí hay que tener en cuenta dos observacio
nes importantes, las cuales se apreciarán en
el siguiente cuadro:
Hace 3 años Dentro de 8 años
Pasado Presente Futuro
Tú - 28
Yo 2 3 - ^ ■ * ' 2 6 ' ' ^ :^ 3 4
La diferencia de edades de dos personas per
manece constante en el tiempo (es la misma
en el pasado, presente y futuro).
En el pasado En el presente En el futuro
2 3 -1 7 = 2 6 -2 0 = 34 - 28 = 6
a)
Las sumas en aspa de valores colocados
simétricamente son iguales.
17 + 26 = 23 + 20
20 + 34 = 26 + 28
17 + 34 = 23 + 28
A partir de estas dos consideraciones se plan
tean dos clases de problemas:
Tiempos específicos; cuando especifican
cuántos años antes o después, (hace dos años,
hace 5 años, dentro de 11 años; etc). Se reco
mienda resolver ei problema “planteando
ecuaciones”, como se verá a continuación en
los ejemplos aplicativos.
Ejemplo:
Luis tiene el cuádruplo de los años que tiene
Lito. Hace 5 años la suma de sus edades era
30 años. ¿Qué edad tendrá Lito dentro de dos
años?
Resolución:
Como se observa, en el problema existe la pre
sencia de dos sujetos (Luis y Lito); pero ade
más especifican el tiempo (hace 5 años).
Luego:
Luis: 4x
Lito: X
además: 4 x - 5 - ^ x - 5 = 30
5x = 30
x = 8
La edad de Lito dentro de dos años será:
10 años__________
b) Tiempos no específicos: cuando no especifi
can cuántos años antes o después, en un pro
blema en el cual intervienen dos, tres o más
sujetos. Se recomienda el uso de una “tabla
de doble entrada”.
Observaciones:
Hace 7 años Edad actual Dentro de 3 años
Tú ^ 20
Yo 29 - 3 6 ^ ^ 39
Las sumas en "aspas " son iguales:
10 + 36 = 29 -(• 17
17 + 39 = 36 20
10 + 39 = 29 + 20
Las diferencias de edades es cte,
Cte.: 36 - 17 = 29 - 10 = 39 - 20 = .„ = 19
Ejemplo:
Lolo le dijo a Elvira: “Yo tengo 3 veces la edad
que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú
tienes y cuando tengas la edad que tengo, la
suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál
es la edad de Elvira?
Resolución:
Pasado Presente Futuro
Lolo ^ 3 x ' / 3 5 - 3 x
Elvira X " . y ' 3x
' 2y = 4x
y = 2x... (I)
* y + 35 - 35 = 6x
y = 9 x - 3 £ . „ (11)
Luego: (I) = (II)
2x = 9 x -3 5 ^ x = 5
~ años
^ ,
“!Nb te cCesanimes nunca de intentar
escafar fas cumSres def éjQ.to, ef
esfuerzo de intentaría es disfrutar ya
de fa fiazaña def fograrfo ”
EJERCICIOS EXPLICADOS
1, Si al cuádruple de la edad que tendré dentro
de 8 años, le restamos el doble de la edad que
tenía tiace 5 años, resultaría 19 años más el
triple de mi edad. ¿Qué edad tengo?
A) 18 años B) 31 C) 23
D)41 E.)16
Resolución:
Hace S afios
x - 5
.Yo iengo
X
Dentro (te 8 años
X + 8
Según enunciado:
4 (x + 8) - 2 ( x -5 ) =19 + 3x
4x + 32 - 2x + 10 = 19 + 3x
23 = x
2. Nuestras edades suman 47 años; sin embargo,
cuando tenías 15 años yo tenía la edad que
tendrás dentro de 2 años. ¿Qué edad tienes?
A) 30 B)20 C)10 D)15 E) 18
Resolución:
:P á ^ t fo . Hoy Futuro
Yo x + 2 4 7 -X
Tú 15 X x + 2
suma en aspa: f , suma 47
x + 2 + x = 4 7 - x + 15
3x =60
X = 20
En 1918, la edad de un padre era 9 veces la
edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue
el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad
del padre en 1940?
A) 66 b) 72 C) 67 D) 70 E) 57
Resolución
1918 1923 1940
padre 9x 9x + 5 9X + 22
hijo X x + 5
Según enunciado:
9x + 5 = 5ÍX + 5)
9x + 5 = 5x t 25
X =5
9x + 22 = 9(5) + 22 = 67
La edad de Mima es la mitad de la edad de
Marcos, pero hace 20 años la edad de Marcos
era el triple de la edad Mima, ¿Qué edad tiene
Mima';’
A) 20 B) 80 C) 40 D) 60 E) 70
Resolución;
Hace 20 años Hoy
Mima x - 2 0 X
Marcos 2X - 2 0 2x
Según enunciado:
2 x -2 0 = 3 (x -2 0 )
x = 40
Un individuo nació el 3 de abril de 1903 y otro
el 7 de mayo de 1991, ¿En qué fecha la edad
del 1 fue el triple que la del 2 .'?
A) 19 de mayo de 1914
B) 23 de mayo de 1915
C) 22 de mayo de 1915
D) 24 de mayo de 1915
E) 25 de mayo de 1915
Resolución;
La diferencia de las edades será:
8 años, 1 mes, 4 días
Luego: 3x - x = 8 años, 1 mes, 4 días
i
Edad del 2."
^ X = 4 años, 17 días
Entonces lo que piden será:
7 de mayo de 1911 + 4 años, 17 días
= 24 de mayo de 1915
.', [ d I
Si al triple de la edad que tengo, se quita mi
edad aumentado en 8 años, tendría 36 años.
¿Qué edad tengo?
A) 20 años B) 22 años C) 23 años
D) 24 años E) 14 años
Resolución;
Sea; x = edad que tengo
• Triple de la edad que tengo = 3x
• Mi edad aumentado en 8 = (x + 8)
Del enunciado del problema, obtenemos:
3x - ( X + 8 ) = 36
3x - X - 8 =36
2x =44
X =22
.-.[I]
Memo tiene 5 años menos que Dora. Hace cua
tro años la suma de sus edades era 21 años.
¿Qué edad tiene Dora?
A) 15 años B) 17 años C) 21 años
D) 18 años E) N. A.
Resolución:
Pasado Presóme
Hace 4 anos Actual
Edad de Memo (x-5) - 4 = (x-9) ( x - 5 )
Edad de Dora ( x - 4 ) X
Del enunciado;
(suma de sus edades hace 4 años) 21 años
( X - 9) + (x - 4) = 21
2x =34
X =17 años (edad de Dora)
.■.[ bI
Un padre tiene “x” años y su hijo “y" años. ¿Den
tro de cuántos años tendrá el padre el cuádru
ple de la edad de su hijo?
A)
D)
4y - X
3
x - 3 y
B)
4 y - y
3
E) N. A.
C)
X - 4y
Resolución;
Presente
Actual
Futuro
Dentro de “n" años
Edad del padre X — ( x 4- n)
Edad del hijo y (y + n)
Del enunciado
( Edad del padre
i dentro de “n" años
= cuádruple
' Edad del hijo '
dentro de “n" añosV /
(x -I- n) = 4(y -H n) =? x + n = 4y -i- 4n
x - 4 y
X - 4y = 3n =5 — -— = n
O
• ■ [ I ]
9. Hace 4 años Evelyn tenía “m” años. ¿Cuántos
años tendrá después de 9 años?
A) m - 5
D) m -I- 9
Resolución;
B)m-H5
E) m -H 13
C )m -1 3
Presente
ActualHace 4 años
Edad de Evelyn (x - 4)j
Del enunciado;
(Edad de Evelyn hace 4 años) = m años
X - 4 = m
X = (m + 4) ... (I)
Incógnita;
Edad después de 9 años = (x n- 9) ... (II)
Reemplazando (I) en (II):
x-i-9 = (m-(-4)-i-9
x + 9 = m - I - 13
10. Determinar la edad que cumplirá una persona
en ei 2005, sabiendo que en 1996 su edad era
igual a la suma de las cifras de su año de naci
miento.
Resolución:
Sea el año de nacimiento de la persona = 19ab
Edad en 1986 = 1986 - 19áb
Del enunciado, obtenemos que:
1986- 19ab = (1 + 9 -h a b )
1986- 1 9 0 0 -áE= 10 + a-i-b
76 = ab 4- a -I- b
76 = 1 0a -(-b+ a -t-b
76= 11a + 2b:
i i
6 5
Por tanteo, “a” y “b" toman los valores de:
a = 6 y b = 5.
Luego, calculamos la edad que cumplirá en
2005. ____
2005 - 19ab = 2005 - 1965
Edad en 2005 = 40 años
11. “Yo tengo el doble de tu edad; pero él tiene el
triple de la mía, si dentro de 6 años tu edad
sumada a la mía será 18 años menos que la
edad de él, ¿qué edad tengo?"
A) 12 años B) 14 años C) 18 años
D) 25 años E) 16 años
Resolución:
Tu edad mi edad edad de éi
Sea 2x 6x
el doble el triple
Entonces, dentro de 6 años;
Tu edad mi edad edad de él
x + 6 2x + 6 6x + 6
Del problema; “Tu edad sumada a la mía será
18 años menos que la de él”.
(x + 6) + (2x + 6) = (6x + 6 ) -1 8
x = 8
Tengo: 2(8) = 16 años
12. Una persona nacida en la segunda mitad del
siglo XX, tendrá “a" años en el año a^
¿Cuántosaños tenia dicha persona en 1995?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 14
Resolución:
Año del nacimiento: 19mn; m > 5 (segunda mi
tad del siglo XX)
Edad en el año a ̂ ; “a” años.
Recuerde: Año de nacimiento + edad = año actual
Entonces: 19mn + a = â
19mn = a(a - 1)
tanteando: 1892 ^44
1980 45
X
2070 46
Dicha persona nació en 1980,yen 1995 tenía:
1995 - 1980 = 15 años
13. Cuando tú naciste yo tenía la edad que tú te
nías cuando yo tenía la edad que tú tienes: si
a la suma de nuestras.edades, cuando yo te
nía lo que tú tienes, le añades la suma de nues
tras edades actuales, obtendrás 80 años, ¿Qué
edad tienes actualmente?
A) 15 años B) 20 años 0) 30 años
D) 10 años E) 40 años
Resolución:
Relacionando los datos en una tabla de doble
entrada:
Pasflrio Presente
Tú / © N ^ . .............
Yo ^ 2X-' ^ 3x
Como la suma de nuestras edades cuando yo
tenía lo que tú tienes y la suma de nuestras
edades actuales es 80:
(x -H 2x) -h (2x -I- 3x) = 80
X = 10
actualmente tienes; 2(10) = 20 años
■ .[U
14, Las edades de los padres de Dudú son entre sí
como 8 es a 7. Cuando su madre tenga la edad
que tiene su padre éste tendrá el doble de la
edad que tenia su madre hace 20 años, ¿Cuál
es la suma de las edades de sus padres, si el
padre de Pudú es mayor que su madre?
A) 90 años
D) 102 años
Resolución;
De los datos:
B) 100 años
E) 120 años
C) 86 años
20
Pasado Ppeænte Futuro
Padre 8 k 9k
Madre 7l<-20 7k ^ ^ Bk
se completó por
suma en aspa
- El doble
Planteando: 9k = 2(7k - 20)
k = 8
El padre tiene: 8(8) = 64 años y la madre:
7(8) = 56 años
Piden: 64 -f 56 = 120 años
15. Las edades de don Demetrio y doña Margot
suman 91 años; don Demetrio es el doble de
viejo de lo que era doña Margot, cuando don
Demetrio tenía la edad que ahora tiene doña
Margot. ¿Cuántos años tendría actualmente
don Demetrio, s¡ hubiera nacido 10 años an
tes?
A) 53 años B) 62 años C) 34 años
D) 55 años E) 47 años
Resolución
De los datos del problema tenemos:
Don Demetrio
Doña Margot
Pasado
2x-
Presente
4x
Suma: 91
planteando: 4x -i- 3x = 91
x = 13
Don Demetrio tiene: 4 (13) = 52 años, y si hu
biera nacido 10 años antes tendría 10 años
más. Es decir 62 años.
r e í
16. Elida le dice a Gisela. “La suma de nuestras
edades es 46 años y tu edad es el triple de la
edad que tenías cuando yo tenía el triple de la
edad que tuviste cuando yo nací”. ¿Qué edad
tiene Gisela?
A) 21 años B) 24 años C) 26 años
D) 18 años E) 48 años
Resolución:
Del problema tenemo:
Tuviste Tenías Tienes
Elida (yo) ^ 3y + 2x
Gisela (tú) \ X / N ax
,se com pleta
por suma en
aspa
/ Suma: 46
cuando yo nací
Aplicando la suma en aspa:0 + x = y + 3 y
X = 4y
planteando: (3y 2x) -h 3x = 46
3y 4- 5x = 46
Reemplazando: 3y + 5{4y) = 46
y = 2
X = 8
Gisela tiene 3(8) = 24 años
. - . m
7. Hace tantos años como los que faltan, para
que tengas la edad que tenía entonces, la re
lación de fu edad en ese entonces y mi edad
actual es de 2 a 5. ¿En qué relación estarán
nuestras edades cuando haya transcurrido el
doble de los años que tengo?
15
^>TT
5
">2 C);
15
E)-
17
5 “ '1 3 “ '11
Resolución:
Sea “x" los años que te faltan para que tengas
lo que tenía:
X 10a
Pasado Presente Futuro
Yo 5a - X 5a 15a
Tú 2a 2a -1- x
Luego: x = (5a - x) - (2a -h x)
Operando: x = a
Reemplazando en la tabla:
Pasado Presente Futuro
Yo 4a , 15a
Tú 2a 3a 13a
Nuestras edades estarán en la relación de 15 a 13.
■■.rDi
18. Las edades de Carlos, Rocío, Ada y Roger es
tán dadas por cuatro nijmeros enteros. Carlos
es mayor que Rocío y ésta mayor que Ada, mien
tras que Ada es mayor que Roger La suma de
las edades de Rocío, Ada, Carlos y Roger es 54
años. Cuando Roger nació, Carlos tenía 12
años; cuando Ada nació, Rocío tenía la cuarta
parte de la edad que tiene Roger ¿Qué edad
tiene Waller si nació cuando Rocío tenía 5 años?
A) 8 años B) 12 años C) 9 años
D) 3 años E) 10 años
Resolución:
Ordenando de mayor a menor:
suma: 54
dif: 12
Planteando: (4x + 121 -i- (a x) + a -i- 4x = 54
9x + 2a = 42
1
2 1 2 /
4 3 X (descartado porque a > ^x)
Rocío tiene 12 + 2 = 14 años y Walter. que
nació cuando Rocío tenía 5 años, tiene 1 4 -5
= 9 años.
. - . [ c ]
19. Salvador reflexionaba así. “Si cambiara el ca
lendado de 1994 por el nuevo 1995, en mi últi
mo cumpleaños, mi edad sería igual a la cuar
ta parte del número que forman las dos últi
mas cifras del año de mi nacimiento". Deter
mine qué edad cumplirá Salvador en su próxi
mo cumpleaños.
A) 17 años B) 18 años C) 19 anos
D) 20 años E) 21 años
Resolución:
Del problema se deduce que: si estuviéramos
en 1995, mi edad sería igual a la cuarta parte
del número que forman las dos últimas cifras
del año de mi nacimiento: entonces sea el año
de nacimiento: 19ab
1 9 a b
año .nac. edad año actual
ab
1900 + ab + — = 1995
4
- ab = 95 4
ab = 76
Entonces edad en 1995 será: 76/4 = 19 años,
Como actualmente es 1994, el próximo año,
1995, cumplirá 19 años.
20. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, ten
drás lo que él tenía cuando tenías la tercera
parte de lo que tienes y, yo tenía la tercera parte
de lo que él tiene, que es 5 años más de lo que
tendré, cuando tengas lo que ya te dije y él
tenga lo que tú y yo tenemos. ¿Cuántos años
tengo?
Resolución:
De los datos del problema:
Pasado Presente! Futuro
Yo y \ , 3 y - 5
Tú
^ )
> 2 y
Él 2 y / \ 3 y > ^ ■-2X + 3X ■>lo que tú y yo tenemos
Por suma en aspa:
2y + 2y = 3x + (3y - 5)
y = 3x - 5
3x + (2y + 3x) = 3y + 2y
y = 2x
Igualando (I) y (II):
3 x - 5 = 2x
X =5
y = 10
...(I)
Yo tengo 2(10) = 20 años
21. Rosario tiene aa años y dentro de (a + b) años
tendrá bb años. ¿Hace cuántos años tuvo
(a . b) años?
A) 5 años B) 10 años C ) 15 años
D) 20 años E) 25 años
Resolución:
De los datos: áa + (a + b) = bb
=> 11a + a + b = 11b
Operando: 6a = 5b
de donde: a = 5; b = 6
años pedidos: 55 - 30 = 25 años
•■[1 ]
22. La edad de José es el doble de la edad de
Carlos, pero hace 16 años era el triple. ¿Qué
edad tiene José?
A) 72 años B) 36
D) 45 E) N.A
Resolución:
Hace 18 años
I " ...... I
C) 90
Pasado Presente
José 2x - 18 2x
Carlos X - 18 X
Por d a to :2 x -1 8 = 3 (x -1 8 )
de donde: x = 36
edad de José = 72 años
23. Elcira le dice a Yolanda: “Yo tengo 40 años, mi
edad es los 4/5 de la que tendrás cuando yo
tenga la edad que tú tienes. ¿Qué edad tiene
Yolanda?
A) 36 años B) 40 años C) 45 años
D) 48 años E) 60 años
Resolución:
Presente Futuro
Elcira 40 X
Yolanda X 50
: = 90 X = 45 años
edad de Yolanda: 45 años
24. Tengo el triple de la edad que tú tienes cuando
yo tenía la mitad de ia edad que tienes; y cuan
do tengas la edad que tengo, yo tendré el do
ble de la edad que tenías hace 12 años. ¿Cuán
tos años tengo?
A) 24 años B) 30 años C) 36 años
D) 40 años E) 48 años
Resolución:
Yo
Tú
Pasado Presente Futuro
3x
2y
De(1):3y = 4x
De (2): 6x = 6y - 24
Resolviendo: x = 12 años
Tengo: 36 años
(2 )
> y = 16 años
25. Si al doble de la edad de Antonio se resta 17
años, resulta menor que 35; pero si a la mitad
de su edad se suma 3 años, resulta mayor que
15. Hallar la edad de Andrés que nació 11 años
antes que Antonio.
A) 36 años B) 25 años C) 14 años
D) 30 años E) 24 años
Resolución:
2 x -1 7 < 5 3 => x< 26 ; - - i - 3 > 15
Luego: x = 25 años
Andrés: 25 + 11 = 36 años
x > 2 4
26. Hace tantos años como los que faltan para que
tengas la edad que tenía entonces, la relación
de tu edad en ese entonces y mi edad actual
es de 2 a 5. ¿En qué relación estarán nuestras
edades cuando haya tianscurrido el doble de
los años que tengo?
A) 15/11 B)5/2 C) 7/5
D) 15/13 E) 17/11
Resolución:
Sea “x" los años que te faltan para que tengas
lo que tenía:
X 10a
Pasado Presente Futuro
Yo 5 a -X 5a 15a
Tú 2a 2a + x
Luego: x = (5a - x) - (2a + x)
Operando: x = a
Reemplazando en la tabla:
Pasado Presente Futuro
Yo 4a 5a . ^ 15a
Tú 2a 3a ^ 13a
Nuestras edades estarán en la relación de 15
a 13.
27. Julio, que todavía no llega a ser un cincuentón,
tiene una familia.Mais conteúdos dessa disciplina
Mapa mental Brainstorm psicologia moderno empresarial- Atividades de Português e Matemática
- Atividades de Português e Matemática
- Planner Anual do Educador
- Loro jose com tabuadinhas
- Atividade de Espanhol 1
- jogo libras alfabeto gr
- test-de-vocabulario-miembros-de-la-familia
- quais são as atrizes chineses q fazem mini dramas
- Questão 4/10 - Ambidestralidade R.B.V Ler em voz alta A gestão do conhecimento e da aprendizagem organizacional é um dos assuntos mais recentes na com
- como descobrir quais canais são mebro s do yutub
- quais as 3 guianas mais famosas do mundo
- A feminização educativa significa: Pergunta 9Selecione uma opção: a. A superação completa das diferenças de gênero. b. Que as mulheres superam em rend
- quais são as dimensões de um closet
- quais são as dimenções de um closet
- Em relação ao atendimento a pessoas com Deficiência Visual, é incorreto afirmar: Sempre que se afastar, avise a pessoa, pois ela pode não perceber a s
- O que não devemos fazer quando estamos dirigindo? Dirigir apenas com uma das mãos ao volante. Dirigir com as duas mãos ao volante. Conversar com a pes
- Qual das descrições abaixo, não é um tipo de violência contra mulheres? Escolha uma opção: a. Dar uma cantada. b. No meio do sexo, tirar a camisinha s
- quais são as divsões no pro clubs
- Nome do povo que não formou Estado e hoje é predominante na República do Sudão do Sul. a. Fur b. Shilluk c. Dinka d. Luos
- quais sao as chapinhas profissionais taiff
- PROVA ESPANHOL5
- Avaliação de Espanhol
