1 Lista de Exercicios - Patrick Marcello

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1ª. Lista de Exercícios 
Princípios de Comunicações II 
 
Alunos: 
Patrick da Silva Assunção 
Marcello Ricardo Queiroz 
 
1. Considere as seguintes funções: 
 
 
 
Manaus, agosto de 2018 
 
 
 
 
 
 
a) Mostre que as três funções são ortogonais duas a duas no intervalo [-2; 2]; 
 
b) Determine o valor da constante A que torna as funções em funções-base de 
um espaço ortonormalizado; 
0 
 
c) Expresse a seguinte forma de onda, x(t), em função do conjunto 
ortonormalizado que obteve: 
 
d) Exprima x(t) como um vetor no espaço ortonormalizado. 
 
 
2. Considere os sinais apresentados e as seguintes definições : 
 
• A correlação entre dois sinais é dada por < 𝑠1, 𝑠2 > = ∫
𝑇 
𝑠1(𝑡)𝑠2 (𝑡)𝑑𝑡 
• O coeficiente de correlação é 𝜌 = <𝑠1,𝑠2> 
 
√𝐸1 √𝐸2 
 
Determine: 
a) A energia de cada sinal; 
 
b) A correlação entre os sinais dois a dois; e, 
 
 
c) O coeficiente de correlação entre os sinais dois a dois. Quais são os valores 
máximos e mínimos possíveis para o coeficiente de correlação? Justifique. 
 
 
3. A distância euclidiana quadrática entre dois pontos é dada por: 
 
Isto significa que a energia da diferença de dois sinais é igual à distância 
quadrática entre os correspondentes pontos do espaço ortonormalizado. 
Considere os sinais do Exercício 1: 
a) Obtenha as distâncias euclidianas entre os sinais dois a dois. 
 
b) Calcule as distâncias euclidianas entre o sinal dado na letra c, x(t) e cada 
sinal. Adote A = ½ para os sinais dados no Exercício 1. 
 
 
4. Considere um conjunto de três sinais s1(t), s2(t) e s3(t), apresentados na 
figura a seguir. Se as funções-base forem φ1(t) e φ2(t): 
 
 
a) Expresse cada sinal em função do espaço de sinais cujas funções-base são 
φ1(t) e φ2(t). 
 
b) Exprima cada sinal como um vetor no espaço ortonormalizado por φ1(t) e 
φ2(t). 
 
c) Obtenha as distâncias euclidianas entre os sinais s1(t), s2(t) e s3(t) dois a dois. 
 
d) Plote os vetores obtidos no item b: s1, s2 e s3 (somente as pontas) no plano 
formado por φ1(t) e φ2(t). Este diagrama recebe o nome de constelação do 
sistema de transmissão. 
 
e) Suponha que quando se deseja enviar o bit 0, transmite-se s1(t) e que 
quando é necessário enviar o bit 1, transmite-se s2(t). Se na recepção está 
presente o sinal: 
 
𝑟(𝑡) = { 
1 
, 0 ≤ 𝑡 < 1 
2 
1 
, 1 ≤ 𝑡 < 2 
4 
Qual foi provavelmente o bit enviado? Utilize o conceito de coeficiente de 
correlação e de distância euclidiana entre os sinais (ou os vetores que os 
representam) para justificar sua resposta. 
 
 
5. Quatro formas de onda são representadas num espaço de sinal pelos vetores 
𝑠1 = [2 − 1 − 1 1]𝑇 , 𝑠2 = [2 1 1 0]𝑇, 𝑠3 = [1 − 1 1 − 1]𝑇 e 
𝑠4 = [1 − 2 − 2 2]𝑇 . As funções-base são as da figura seguinte: 
 
a) Esboce as formas de onda s1(t), s2(t), s3(t) e s4(t); 
 
b) Calcule a distância euclidiana entre os vectores s1 e s2 ; e, 
 
c) Determine o coeficiente de correlação entre as formas de onda s1(t) e s3(t). 
 
 
𝑇 
6. As quatro formas de onda da figura seguinte poderão se usadas para 
transmitir informação através de um determinado canal. Suponha que 𝑏 = √6 . 
a) Obtenha as energias dos sinais s1(t) e s2(t). 
Agora, adote T = 1s e faça o que se pede: 
 
b) Desenhe um conjunto de funções-base que defina um espaço de sinal 
ortonormalizado adequado a este conjunto de formas de onda; 
 
c) Mostre que as funções-base que desenhou são ortogonais; 
 
d) Expresse cada forma de onda em função do conjunto ortonormalizado que 
obteve. 
 
e) Exprima cada forma de onda como um vetor no espaço ortonormalizado. 
 
f) Obtenha a energia dos vetores 1 e 2. Compare com os valores obtidos no 
item a. 
 
José Nilson Cordeiro de Oliveira