1ª Avaliação Algebra 1

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Gabarito da 1ª Avaliação Presencial 
Questão 1 (10 pontos) 
Considere ℤ com a seguinte operação 
 
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 3 para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. 
 
a) (5 pontos) A operação acima tem elemento neutro em ℤ? Prove. 
 
Sim. Tome 𝑒 = −3 (2 pontos). Para qualquer 𝑎 ∈ ℤ, 
 
𝑎 ∗ (−3) = 𝑎 + (−3) + 3 = 𝑎 
e 
(−3) ∗ 𝑎 = (−3) + 𝑎 + 3 = 𝑎 (3 pontos). 
 
Logo, 𝑒 = −3 é elemento neutro da operação acima. 
 
b) (5 pontos) A operação acima é associativa? Prove. 
 
Sim. De fato, 
 
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 3) ∗ 𝑐 (1,5 ponto) = (𝑎 + 𝑏 + 3) + 𝑐 + 3 
 
= 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 + 3) + 3 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 + 3) = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) (3,5 pontos). 
 
Questão 2 (10 pontos) 
Considere os conjuntos 6ℤ = {6. 𝑎 ; 𝑎 ∈ ℤ} e 2ℤ = {2. 𝑏 ; 𝑏 ∈ ℤ} com a adição e multiplicação 
usuais em ℤ. 
a) Prove que 6ℤ é subanel de 2ℤ. 
Com efeito, note que 6ℤ ⊂ 2ℤ, pois cada 𝑧 elemento de 6ℤ é tal que 𝑧 = 6𝑎 =
2(3𝑎) ∈ 2ℤ, 𝑎 ∈ ℤ. 
i) 0 = 6 . 0 ∈ 6ℤ (2 pontos) 
Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 6ℤ. Então, 𝑥 = 6𝑏, 𝑦 = 6𝑐 com 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ. 
ii) 𝑥 − 𝑦 = 6𝑏 − 6𝑐 = 6(𝑏 − 𝑐) ∈ 6ℤ (1,5 pontos) 
iii) 𝑥𝑦 = 6𝑏 . 6𝑐 = 6(𝑏. 6𝑐) ∈ 6ℤ (1,5 pontos) 
Logo, 6ℤ é subanel de 2ℤ. 
 
b) Prove que 6ℤ é um ideal de 2ℤ. 
Sejam 𝑥 = 6𝑎 ∈ 6ℤ e 𝑦 = 2𝑏 ∈ 2ℤ. Então, 
𝑥𝑦 = 6𝑎. 2𝑏 = 6(𝑎2𝑏) ∈ 6ℤ (2,5 pontos) 
𝑦𝑥 = 2𝑏. 6𝑎 = 6(𝑎2𝑏) ∈ 6ℤ (2,5 pontos) 
Logo, 6ℤ é um ideal de 2ℤ. 
Questão 3 (10 pontos) 
Determine o anel quociente 2ℤ/6ℤ. 
Temos 2ℤ = {… − 4, −2,0,2,4, … }, 𝐼 = 6ℤ = {6𝑎; 𝑎 ∈ ℤ}. Assim, os elementos de 2ℤ/6ℤ são da 
forma 𝐼 + 𝑎 com 𝑎 ∈ 2ℤ (5 pontos): 
... 
𝐼 + (−4) = {6𝑎 + (−4); 𝑎 ∈ ℤ} = −4̅̅ ̅̅ = 2̅ em ℤ6 
𝐼 + (−2) = {6𝑎 + (−2); 𝑎 ∈ ℤ} = −2̅̅ ̅̅ = 4̅ em ℤ6 
𝐼 + (0) = {6𝑎; 𝑎 ∈ ℤ} = 0̅ em ℤ6 
𝐼 + 2 = {6𝑎 + 2; 𝑎 ∈ ℤ} = 2̅ em ℤ6 
𝐼 + 4 = {6𝑎 + 4; 𝑎 ∈ ℤ} = 4̅ em ℤ6 
𝐼 + 6 = {6𝑎 + 6; 𝑎 ∈ ℤ} = 6̅ = 0̅ em ℤ6 
e assim sucessivamente (4 pontos). 
Logo, 
2ℤ
6ℤ
= {0̅, 2̅, 4̅} ⊂ ℤ6 (1 ponto). 
 
Questão 4 (10 pontos) 
Determine o quociente 𝑞(𝑥) e o resto 𝑟(𝑥) em ℤ5[𝑋] da divisão de 𝑓(𝑥) = 𝑥
5 − 𝑥3 + 3̅𝑥 − 5̅ por 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2̅. Apresente os cálculos. 
 
𝑥5 − 𝑥3 + 3̅𝑥 − 5̅ | 𝑥2 + 2̅ 
−𝑥5 − 2̅𝑥3 𝑥3 + 2̅𝑥 
−3̅𝑥3 + 3̅𝑥 − 5̅ 
−2̅𝑥3 − 4̅𝑥 
−𝑥 − 5̅ 
𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 2̅𝑥 e 𝑟(𝑥) = −𝑥 − 5̅ = 4𝑥 
 
Questão Extra (10 pontos) 
Seja 𝑓: ℤ → ℤ , 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 com 𝑘 ∈ ℤ fixo. Determine os possíveis valores de 𝑘 para os quais 𝑓 é 
um homomorfismo de anéis. 
Como 𝑓 é um homomorfismo, 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), e portanto, 𝑘𝑥𝑦 = (𝑘𝑥)(𝑘𝑦) para quaisquer 
inteiros 𝑥, 𝑦. Tomando 𝑥 = 𝑦 = 1, temos 𝑘 = 𝑘2. Daí, 𝑘 = 0 ou 𝑘 = 1. Já que 𝑓(𝑥) = 0 ∀𝑥 e 𝑓(𝑥) =
𝑥 ∀𝑥 são homomorfismos, então 𝑘 = 0 ou 𝑘 = 1.