Unidade 1

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Econometria
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Bruno Leonardo Silva Tardelli
Revisão Textual:
Prof. Ms. Luciano Vieira Francisco
Probabilidade
• Introdução
• Probabilidade
• Conjunto Contínuo
• Conjunto Discreto
• Probabilidade: União e Intersecção
• Considerações Finais
 · Introduzir o estudo de probabilidade a partir dos conceitos básicos 
que cercam a teoria básica de conjuntos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Probabilidade
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Probabilidade
Contextualização
Leia a reportagem a qual relata estudo científico que aponta a possibilidade de a 
ejaculação frequente reduzir a probabilidade de risco de câncer de próstata. 
Disponível em: https://goo.gl/XnAnFP
Ex
pl
or
8
9
Introdução
O estudo de Econometria pressupõe um bom entendimento de estatística. Por 
tal motivo, dedicar-nos-emos a explorar alguns aspectos ligados à probabilidade. 
Assim, esta Unidade está dividida em três seções, além desta Introdução e 
das Considerações finais. A primeira seção trata do conceito de probabilidade; 
a segunda seção apresenta a distinção entre um conjunto discreto e um conjunto 
contínuo; por fim, a terceira seção insere a teoria dos conjuntos com a união e 
intersecção na temática de probabilidade.
Probabilidade
A probabilidade é simplesmente uma medida relacionada à proporção em que 
determinados eventos ocorrem. Por exemplo, em um dado não viciado e com seis 
lados, a probabilidade de cada evento é de 
1
6
 em uma jogada; ou seja, cada evento 
possível ocorre de forma única em um total de 6 eventos possíveis. 
Por outro lado, se a pergunta fosse: qual a probabilidade de encontrar um 
número par em um dado não viciado de seis lados, o evento “número par” ocorre 
3 vezes – número 2, 4 ou 6 – em um total de 6 eventos. Assim, a probabilidade é 
de 3 em 6, ou seja, 
3
6
, que pode ser simplificada para 
1
2
.
Generalizando, dado um evento A qualquer, em que P A( ) é a probabilidade de 
A ocorrer, pode ser definido como:
P A númerodevezes que Aocorre
númerodevezes quetod
( ) = � � � � �
� � � �
� �
oososeventosocorrem� � � � �
No caso da probabilidade de o número 1 ser selecionado em um dado 
comum, teríamos:
P cair número de vezes no qual ocorre
número de vezes
 
 
1 1( ) =
qque todos os eventos ocorrem 
=
1
6
No caso da probabilidade de encontrar um número par em um dado 
comum, teríamos:
P cair par número de vezes no qual par ocorre
número de ve
 
 
( ) =
zzes que todos os eventos ocorrem 
= =
3
6
1
2
Uma distinção importante é analisarmos um conjunto contínuo e um 
conjunto discreto.
9
UNIDADE Probabilidade
Conjunto Contínuo
Imagine um conjunto de números X entre os números reais de 0 e 10, ou seja, 
o conjunto X x R x= ∈ < <{ | 0 10} . Qual probabilidade de encontrar o número 3 
em um sorteio em que valem todos os números desse intervalo?
Note que se estivermos considerando o conjunto X dos números reais, teríamos 
infinitos números existentes entre 0 e 10. Por exemplo, qualquer um dos seguintes 
números poderia ser sorteado:
 · 1,0000000000001;
 · 2,48375;
 · 3;
 · 4,948599230989859304894387598398347937584594;
 · 9,57392839;
 · 5,89;
 · 6,3298.
Assim, como existem infinitos números reais entre 0 e 10, a probabilidade de 
encontrar exatamente o número 3 será considerada muito próxima de zero. Ou 
seja, será um evento entre infinitos possíveis. Uma analogia é imaginar a chance 
de sortear determinado grão de areia em uma praia.
Formalmente, dizemos que, no limite, quando o número de todos os eventos 
possíveis tende ao infinito, a probabilidade de selecionar determinado evento tende 
a zero. Assim, a partir do exemplo acima, a probabilidade de sortear o número 3 
será dada por:
P x
nn
=( ) = =
∞
=
→∞
3 1 1 0lim �
Importante!
Sempre que estivermos trabalhando com um conjunto contínuo, a lógica anterior 
poderá ser aplicada!
Importante!
Ou seja, esse raciocínio ocorre quando trabalhamos com um conjunto contínuo.
Entretanto, mesmo em um conjunto contínuo é possível modificarmos a 
pergunta e encontrarmos um resultado diferente de zero. Imagine que dentro do 
conjunto de números reais de 0 a 10, ou seja, X x R x= ∈ < <{ | 0 10} , queremos 
10
11
achar a probabilidade de encontrar um número entre 2 e 6, ou seja, P x2 6≤ ≤( ).
Uma forma de entender isto é analisar a Figura 1:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 1 – Conjunto X x R x= ∈ < <{ | 0 10}
Fonte: Elaborada pelo professor conteudista
Entre 0 e 10 é como se tivéssemos 10 partes iguais. Se for assim, entre 2 e 6 
teríamos 4 dessas 10 partes. Observe os blocos marcados em vermelho! Assim, a 
resolução da pergunta anterior seria:
P x2 6 4
10
0 40≤ ≤( ) = = ,
Dito de outra forma, temos 40% de chances de sortear um número qualquer 
entre 2 e 6 dentro do conjunto X x R x= ∈ < <{ | 0 10} .
Importante!
Será que existe diferença entre P x2 6≤ ≤( ) e P x2 6< <( ) ?
No primeiro caso, o intervalo é fechado, ou seja, inclui tanto o número 2 como o número 6. 
Por outro lado, no segundo caso, o intervalo é aberto, de modo que os números 2 e 6 estão 
excluídos. A questão é que considerando os números reais entre 2 e 6, temos infi nitos 
números. Então incluir ou excluir o 2 e o 6 não altera a probabilidade. 
A conclusão é que a inclusão ou exclusão dos números dos extremos do intervalo não 
altera, de fato, a probabilidade do evento, ou seja:
P x2 6≤ ≤( ) = P x P x2 6 2 6< <( ) = < ≤( ) = P x2 6< ≤( ) .
Importante!
Conjunto Discreto
Um conjunto discreto é aquele que possui alguns “saltos” entre os números. 
Por exemplo, em um dado convencional existem 6 números em intervalos de 1 
em 1 (1, 2, 3, 4, 5 e 6). Isso é um conjunto discreto. Assim, um conjunto discreto 
normalmente é visto como aquele que possui finitos números, ao contrário de um 
conjunto contínuo, o qual possui, normalmente, infinitos números. Dito de outra 
forma, em um conjunto contínuo entre 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, 4 e 5, 5 e 6 existem 
infinitos números reais.
11
UNIDADE Probabilidade
Exercícios Resolvidos de Probabilidade Envolvendo Conjuntos 
Contínuos e Discretos
Exercício 1
Calcule a probabilidade de, em sorteio de um número, obter o número 5 em 
cada um dos conjuntosa seguir:
a) X x Z x= ∈ ≤ ≤{ | 1 6}.
Resolução:
Como o conjunto é o dos inteiros ( Z ) e possui intervalo fechado, os números 
do conjunto são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O número 5 representa um dos eventos e o total 
de eventos, ou seja, todos os números do conjunto são 6.
Assim:
P x =( ) =5 1
6
b) X x Z x= ∈ < <{ | 1 6}.
Resolução:
Como o conjunto é o dos inteiros ( Z ) e possui intervalo aberto, os números 
do conjunto são 2, 3, 4 e 5. O número 5 representa um dos eventos e o total de 
eventos, ou seja, todos os números do conjunto são 4.
Assim:
P x =( ) =5 1
4
c) X x R x= ∈ ≤ ≤{ | 1 6} .
Resolução:
Como o conjunto é o dos reais ( R ), os números do conjunto são todos os 
compreendidos entre 1 e 6 no mundo dos reais, ou seja, um total de infinitos 
números. O número 5 representa um dos eventos dentro desse universo infinito. 
Assim:
P x
nn
=( ) = = =
→∞
5 1 1 0lim �
∞
12
13
Exercício 2
Considere o conjunto X x Z x= ∈ ≤ ≤{ | 4 12}.
Imaginando um sorteio de um número do conjunto X , encontre o valor de:
a) P x7 9≤ ≤( ).
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observando as parcelas acima, temos que:
P x ou seja7 9 2
8
1
4
0 25 25≤ ≤( ) = = =( ) , , %
b) P x4 12≤ ≤( ).
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observando as parcelas acima, temos que:
P x ou seja4 12 8
8
1 100≤ ≤( ) = = ( ) , %
c) P x1 8≤ ≤( ).
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Como somente é considerado o conjunto X , os valores entre 1 e 4 (exclusive) 
não participam do cálculo. Observando as parcelas acima, temos que:
P x P x ou seja1 8 4 8 4
8
1
2
0 50 50≤ ≤( ) = ≤ ≤( ) = = =( ) , , %
13
UNIDADE Probabilidade
Probabilidade: União e Intersecção
Considerando um exemplo no qual todos os números possíveis são representados 
por S , e S = { }1 2 3 4 5, , , , , este é chamado de espaço amostral. Normalmente, a 
literatura define o espaço amostral como S . Particularmente, no exemplo exposto, 
é representado pelos números 1, 2, 3, 4 e 5. 
Aproveitando o espaço amostral apresentado, qual a probabilidade de, em 
um sorteio de um número, selecionarmos um número ímpar? Ao invés de 
respondermos de forma direta, observe a Figura 2. Nesta você pode conferir tais 
números ao longo do espaço amostral ( S ). Além disto, você pode encontrar um 
conjunto dentro do espaço amostral. Trata-se do conjunto A, que possui os números 
ímpares inteiros entre 1 e 5, ou seja, os números 1, 3 e 5.
A
S
[2]
[3] [4]
[1]
[5]
Figura 2 – Conjunto A e o espaço amostral
 Fonte: Elaborada pelo professor conteudista
A pergunta anterior, portanto, pode ser reescrita como: qual a probabilidade 
de, em um sorteio de um número, selecionarmos um elemento de A? Existem 3 
eventos em A, dentro de um total de eventos igual a 5. Portanto:
P A( ) = 3
5
Outra pergunta poderia ser: qual a probabilidade de, em um sorteio de um 
número, selecionarmos um elemento que não esteja em A, ou seja, não A? 
Formalmente seria o mesmo que perguntar: qual é a probabilidade de 
A-complementar ( A )?
14
15
O conjunto A é o dos elementos que não pertencem a A. Portanto, trata-se dos 
números pares 2 e 4. Assim:
P A( ) = 2
5
Importante!
Note que a soma de P A( ) + P A( ) = 3
5
 + 
2
5
 = 1. Mas qual a razão disto?
Uma observação importante é que o espaço amostral – que representa no conjunto ( S ) 
todos os eventos possíveis – possui probabilidade de 100% de ocorrer. Por exemplo, como 
o espaço amostral ( S ) é formado pelos números 1, 2, 3, 4 e 5, a probabilidade de sair 
algum número destes em uma jogada é de 100
100
100
1% = = . Ou seja, a probabilidade 
de sair um elemento do espaço amostral é igual a 1. Assim, P S( ) =1.
Importante!
Portanto, algumas relações sempre poderão ser utilizadas quando pensarmos 
em um conjunto A inserido no espaço amostral, quais sejam:
P A P A P S( ) + ( ) = ( ) =1
Ou:
P A P S P A( ) = ( ) − ( ) = − ( )1 P A �
Ou:
P P S P AA( ) = ( ) − ( ) = − ( )1 P A �
União
A soma das probabilidades de ocorrerem os conjuntos A e A resultou em todas 
as probabilidades possíveis, de modo a termos 100% de acontecer o evento A ou 
A . O símbolo ∪ representa a “união” de conjuntos – A ∪ A – mais precisamente, 
a probabilidade de A ou A ocorrerem. Formalmente, temos isso expresso 
por P A A( � �∪ ).
15
UNIDADE Probabilidade
Na jogada de um dado, por exemplo, se o evento do conjunto A for o 
número 1 de um dado e A , os demais números, então P A( ) = 1
6
 e P A( ) = 56 . 
Assim, P A A P A P A∪( ) = ( ) + ( ) = + =1
6
5
6
1.
Entretanto, o cálculo de união das probabilidades de um evento ou outro ocorrer 
somente está tão simples de calcular em função dos eventos serem mutualmente 
exclusivos – ou disjuntos. Na próxima seção você entenderá melhor este conceito.
Eventos Mutuamente Exclusivos – ou Disjuntos
Exemplos clássicos no estudo de probabilidade são aqueles que envolvem dados, 
cara e coroa e bolas de diversas cores. Em todos esses casos, os eventos são 
denominados mutuamente exclusivos – ou disjuntos. Quer dizer que a ocorrência de 
um evento implica a não ocorrência do outro. Por exemplo, se em uma jogada de um 
dado sair o número 5, isto implicou que os números 1, 2, 3, 4 e 6 não saíram. No 
caso de cara e coroa, se em uma jogada sair cara, isto significa que não saiu coroa. 
Em um sorteio de bolas coloridas envolvendo esferas azuis, vermelhas e brancas, se 
no sorteio de uma bola, a selecionada for azul, então isto significa que não houve 
o sorteio de uma bola vermelha ou branca. Ou seja, a conclusão é que em eventos 
mutuamente exclusivos não existe intersecção de eventos. A Figura 3 ilustra eventos 
mutuamente exclusivos, nos quais os conjuntos A e B não se cruzam.
A B
S
Figura 3 – Diagrama de Venn de eventos mutuamente exclusivos
Fonte: Elaborada pelo professor conteudista
Exemplos envolvendo eventos mutuamente exclusivos
1) Considere uma urna na qual foram inseridas: 8 bolas vermelhas, 9 bolas 
brancas e 3 bolas azuis. Levando em consideração as seguintes siglas: 
V = bola Vermelha.
B = bola Branca.
A = bola Azul.
determine a probabilidade de, ao retirar uma bola ao acaso:
16
17
a) a bola seja vermelha.
P V bolas vermelhas
total de bolas
( ) = = = 
 
8
20
2
5
b) a bola seja branca.
P B bolas brancas
total de bolas
( ) = = 
 
9
20
c) a bola seja azul.
P A bolas azuis
total de bolas
( ) = = 
 
3
20
d) a bola seja vermelha ou azul.
P V A bolas vermelhas bolas azuis
total de bolas
∪( ) = + = 
 
11
20
e) a bola seja branca ou vermelha.
P B V bolas brancas bolas vermelhas
total de bolas
∪( ) = + = 
 
17
20
�
f) a bola não seja vermelha.
P Não V P B A bolas brancas bolas azuis
total de bolas
−( ) = ∪( ) = + = 
 
12
220
3
5
=
2) Qual a probabilidade de, ao jogar um dado não viciado, obter-se:
a) um número menor que 3.
P menor que P 3 1 2 2
6
1
3
( ) = ∪( ) = =
b) um número maior que 5.
P N maior que P 5 6 1
6
( ) = ( ) =
17
UNIDADE Probabilidade
c) um número maior ou igual a 2.
P maior ou igual a P 2 2 3 4 5 6 5
6
( ) = ∪ ∪ ∪ ∪( ) =
Dado não viciado: é aquele no qual as probabilidades de cada número são as mesmas, ou 
seja, em uma jogada, 1/6 de chance para cada número.Ex
pl
or
Apesar da exposição anterior sobre eventos mutualmente exclusivos, existem 
situações nas quais os eventos não precisam possuir essa característica. Para tais 
casos, surge a ideia da intersecção, a qual é objetivo de estudo na sequência.
Intersecção
A intersecção expressa os eventos que ocorrem em dois ou mais conjuntos 
distintos, de modo que eventos podem ocorrer de forma simultânea. 
Vamos a um exemplo relacionado a gostos de cores. Acompanhe o seguinte 
raciocínio: dada uma situação em que diversas pessoas respondam à seguinte 
enquete: você gosta da cor azul, da cor rosa, de ambas ou de nenhuma das duas?
O resultado da pesquisa está apresentado no diagrama de Venn (Figura 4) e 
mostra que entre os entrevistados:
 · 25 gostavam somente da cor Azul (A);
 · 40 gostavam somente da cor Rosa (R);
 · 35 gostavam de ambas;
 · 20 não gostavam de ambas.
Portanto, 120 pessoasforam entrevistadas nessa pesquisa.
A
25
20
35 40
R
S
Figura 4 – Gosto por cores: azul, rosa ou ambas?
Fonte: Elaborada pelo professor conteudista
18
19
A partir disto, se sortearmos ao acaso uma pessoa que participou da pesquisa:
a) qual a probabilidade de que este indivíduo goste da cor azul?
P A( ) = + = =25 35
120
60
120
1
2
b) qual a probabilidade de que este indivíduo goste somente de azul?
P somente A ( ) = =25
120
5
24
c) qual a probabilidade de que este indivíduo goste da cor rosa?
P R( ) = + = =40 35
120
75
120
5
8
d) qual a probabilidade de que este indivíduo goste somente de rosa?
P somente R ( ) = =40
120
1
3
e) qual a probabilidade de que este indivíduo goste de ambas as cores?
P A R∩( ) = =35
120
7
24
f) qual a probabilidade de que este indivíduo goste de rosa ou de azul?
Observe que nem todos gostam de rosa ou azul. Entre os 120, apenas 100 
gostam de uma cor ou outra. Assim, a resposta é 
100
120
 (que pode ser simplificada 
para 
5
6
). Entretanto, o objetivo aqui é entender como calcular este ou. Ao dizermos 
rosa ou azul, significa que tanto faz se a pessoa goste de uma ou outra cor – entre 
as duas opções. Assim, unimos o grupo de pessoas que gosta de, pelo menos, uma 
das duas cores. Para tanto, não se pode somar a probabilidade de selecionar alguém 
que goste de azul à probabilidade de alguém que goste de rosa, pois: 
P A P R( ) + ( ) = + =60
120
75
120
135
120
que é diferente de 
100
120
 (ou 5
6
).
19
UNIDADE Probabilidade
Onde está o problema? 
A questão é que ao somar as probabilidades de A e R , a interseção é somada 
duas vezes, dado que o grupo de 35 pessoas apreciadoras de ambas as cores está 
inserido nos dois conjuntos. Assim, precisamos retirar uma vez a probabilidade 
da intersecção!
Veja como funciona:
P A R P A P R∪( ) = +( ) −) ( P A R∩( )
P A R∪( ) = + −60
120
75
120
35
120
P A R∪( ) = =100
120
5
6
Importante!
Dado dois eventos X e Y:
Se X e Y são mutuamente exclusivos: P X Y P X P Y∪( ) = +( )) ( .
Se X e Y não são mutuamente exclusivos: P X Y P X P Y∪( ) = +( ) −) ( P X Y∩( ).
Importante!
Exemplo envolvendo intersecção
Uma pesquisa perguntou às pessoas se gostavam somente de carros do tipo 
Sedan (S), somente do tipo Hatch (H), se gostavam de ambos ou de nenhum 
desses dois tipos. A pesquisa revelou que a probabilidade de sortear uma pessoa 
entrevistada que goste de carros sedan é de 0,70; a probabilidade de sortear uma 
pessoa entrevistada que goste de carros hatch é de 0,60; e a probabilidade de 
sortear uma pessoa entrevistada que goste de ambos é de 0,50.
Considerando as siglas:
P S probabilidadedeencontrar alguémque goste somented( ) = � � � � � � � eecarro sedan� � .
P H probabilidade de encontrar alguém que goste somente d( ) = ee carro hatch .
20
21
Antes de responder a algumas perguntas, observe que é possível dividir as 
probabilidades da seguinte forma:
S
0,20
0,20
0,50 0,10
H
S
Figura 5
Fonte: Elaborada pelo professor conteudista
Como isso foi feito? O primeiro passo é sempre inserir a probabilidade de estar 
em ambos os conjuntos, que no caso é 0,50. Então, como a probabilidade de 
sortear alguém que goste de carros sedan é de 0,70 – índice representado 
pelo conjunto azul – e de gostar de sedan e hatch, ao mesmo tempo, é de 
0,50, então somente sobram 0,20 de probabilidade para sortear alguém que 
goste somente de carros do tipo sedan. De forma análoga, a probabilidade de 
sortear alguém que goste de carros hatch é de 0,60 – índice representado pelo 
conjunto rosa. Como a probabilidade da intersecção é de 0,50, então o restante, 
que representa a probabilidade de sortear alguém que goste somente de carros 
hatch é de 0,10. Por fim, ao somar as probabilidades de gostar de pelo menos um 
dos tipos de carros, encontramos 0,80, de modo que existe a probabilidade de 
0,20 para selecionarmos alguém que não goste de qualquer um dos dois 
modelos automotivos.
A partir das informações do enunciado, responda:
a) Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que goste de carros sedan 
ou hatch?
Como:
P S H P S P H P S H∪( ) = ( ) + ( ) − ∩( )
Então:
P S H∪( ) = + −0 70 0 60 0 50, , ,
P S H∪( ) = 0 80,
21
UNIDADE Probabilidade
b) Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que goste somente de 
carros hatch?
A probabilidade de gostar somente de hatch é dada pela probabilidade de gostar 
de hatch menos a probabilidade de gostar de hatch e sedan, ou seja:
P somenteH P H P S H�( ) = ( ) − ∩( )
P somente H ( ) = −0 60 0 50, ,
P somente H ( ) = 0 10,
c) Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que goste somente de 
carros sedan?
Analogamente ao caso do item anterior:
P somenteS P S P S H�( ) = ( ) − ∩( )
P somente S ( ) = −0 70 0 50, ,
P somente S ( ) = 0 20,
d) Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que não goste de qualquer 
um dos dois tipos automotivos?. 
Como P S H∪( ) = 0 80, , não o gostar de qualquer um dos dois tipos automotivos 
significa o complemento a gostar de hatch ou sedan. Assim:
P Nenhum dos dois tipos P S H ( ) = − ∪( )1
P(Nenhum dos dois tipos)=1- 0,80
P Nenhum dos dois tipos ( ) = 0 20,
Considerações Finais
De forma resumida, nesta Unidade foi possível compreender como é possível 
unir o estudo da probabilidade à teoria dos conjuntos, de modo a se poder manipular 
os cálculos de probabilidade a partir dessa teoria.
22
23
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Estatística Aplicada
LARSON, R; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.
Probabilidade: Aplicações e Estatística
MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações e estatística. 2 ed. São Paulo: LTC, 1997.
Estatística Básica: Inferência
MORETTIN, L. G. Estatística Básica: Inferência. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 2005.
Estatística e Introdução a Econometria
SARTORIS, A. Estatística e Introdução a Econometria. São Paulo: Saraiva, 2003.
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UNIDADE Probabilidade
Referências
MORETTIN, L. G. Estatística básica: inferência. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 2005.
SARTORIS, A. Estatística e introdução à econometria. São Paulo: Saraiva, 2003.
24