Cap 3 - Estática dos Fluidos

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Estática dos Fluidos – Cap. 3
Estática dos Fluidos
• Estudo dos fluidos em repouso
• Também conhecida como Hidrostática
• Apenas a tensão normal está presente
Aplicações da Estática dos Fluidos
• Calcular forças sobre objetos submersos
• Desenvolver instrumentos para medir 
pressões e deduzir propriedades da atmosfera 
e dos oceanos
• Determinar as forças desenvolvidas por 
sistemas hidráulicos em aplicações como 
prensas industriais ou freios de automóveis
A Equação básica da Estática dos 
Fluidos
• Aplicamos a 2ª Lei de Newton a um elemento 
de fluido diferencial de massa , com 
lados dx, dy, dz. 
• O elemento de fluido está em repouso em 
relação ao sistema inercial de coordenadas 
retangulares
dVdm =
Elemento diferencial de fluido e forças 
de pressão na direção y
Forças de campo
• Forças de campo (de ação a distância), para 
este caso a única força de campo aplicada é a 
gravidade.
• é o vetor gravidade local
•  é a massa específica
• é o volume do elemento
• Em coordenadas cartesianas 
g

dV
dzdydxdV ..=
Força de Superfície
• Não há tensão de cisalhamento num fluido 
estático
• A única força de superfície é a pressão, a pressão 
varia com a posição dentro do fluido
𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧)
• Seja p a pressão no centro O do elemento. Para 
determinar a pressão em cada uma das seis faces 
do elemento, utilizamos um desenvolvimento de 
série de Taylor da pressão em torno do ponto O. 
Série de Taylor
( )
( )
( )

=
−=
0 !n
n
n
ax
n
af
xf ( )
( )ax
af
afxf −+=
!1
)()(
'
Fórmula Geral
Primeiros dois termos da série, onde a = ponto o e f = p
Então:
( ) ( ) ( )oL yy
y
p
opop −


+=
Equação da Estática dos Fluidos
• A pressão na face esquerda do elemento 
diferencial é
Equação da Estática dos Fluidos
• Força superficial líquida ou resultante 
agindo sobre o elemento
• 𝑑𝐹𝑠 = 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦𝑑𝑧 Ƹ𝑖 + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦𝑑𝑧 − Ƹ𝑖
• + 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
𝑑𝑥𝑑𝑧 Ƹ𝑗 + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
𝑑𝑥𝑑𝑧 − Ƹ𝑗
• + 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
𝑑𝑥𝑑𝑦 ෠𝑘 + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
𝑑𝑥𝑑𝑦 −෠𝑘
Equação da Estática dos Fluidos
• O termo entre parênteses é denominado 
gradiente da pressão e pode ser escrito grad p 
ou p.
• Em coordenadas retangulares
• 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 ≡ 𝛻𝑝 ≡ Ƹ𝑖 𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ Ƹ𝑗
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ ෠𝑘
𝜕𝑝
𝜕𝑧
≡ Ƹ𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ Ƹ𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ ෠𝑘
𝜕
𝜕𝑧
𝑝
Operador del, representado pelo símbolo nabla
Equação da Estática dos Fluidos
• Usando a designação de gradiente
• 𝑑 Ԧ𝐹𝑠 = −grad p 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −𝛻𝑝 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
• Combinando as formulações desenvolvidas 
para as forças de superfície e de campo, de 
modo a obter a força total sobre um elemento 
fluido
Equação da Estática dos Fluidos
• Por unidade de volume
• Para uma partícula fluida, a 2ª Lei de Newton 
fornece 𝑑 Ԧ𝐹 = Ԧ𝑎𝑑𝑚 = Ԧ𝑎𝜌𝑑∀
Para um fluido estático Ԧ𝑎 = 0
• Então 
Equação da Estática dos Fluidos
• Substituindo 
𝑑 Ԧ𝐹
𝑑∀
, obtém-se
• O significado físico de cada termo
Equação da Estática dos Fluidos
• Essa equação é vetorial, o que significa que é 
equivalente a três componentes que devem 
ser satisfeitas individualmente.
Equação da Estática dos Fluidos
• Com um sistema de coordenadas escolhido 
como o eixo z apontando verticalmente para 
cima, então 
• Significa que a pressão é independente das 
coordenadas x e y
Equação da Estática dos Fluidos
• Como p é uma função de uma só variável, a 
derivada total pode ser usada no lugar da 
derivada parcial
• Restrições: fluido estático, a gravidade é a 
única força de campo e o eixo z é vertical 
voltado para cima
Pressão absoluta e manométrica
Pressão manométrica e absoluta
• A maioria dos medidores de pressão indica uma 
diferença de pressão – a diferença da pressão 
medida e aquela do ambiente (usualmente a 
pressão atmoférica).
• Exemplo: pman=207 kPa, a pabs= 308 kPa
• Pressões absolutas devem ser empregadas em 
todos os cálculos com a equação de gás ideal ou 
com outras equações de estado.
Variação da pressão num fluido 
estático
• Variação da pressão num fluido qualquer em 
repouso
• Líquidos incompressíveis – manômetros
Variação da pressão num fluido 
estático
• Com h medido positivo pra baixo
Atmosfera padrão
Análise de manômetro de tubo 
inclinado
Análise de manômetro de tubo 
inclinado ( )2121 hhgppp +==− L
d
h
D
44
2
1
2 
=
2
1 





=
D
d
Lh
Pois o volume deslocado no reser-
vatório é o mesmo que sobe na 
Coluna de fluido Lsenh =2 













+=














+=
22
D
d
sengL
D
d
LLsengp ll 














+

=
2
D
d
seng
p
L
l 
Sensibilidade do manômetro
• Deve-se comparar a deflexão L com a deflexão 
h de um manômetro comum de tubo em U, 
usando água (massa específica ρ), e que é 
dada 
• A sensibilidade é
g
p
h


=














+
==
2
1
D
d
senSG
h
L
s
l 
OH
l
l densidadeSG
2


==
Líquido manométrico
• menor densidade relativa possível de modo a 
aumentar a sensibilidade do aparelho,
• deve ser seguro (não tóxico e não inflamável), 
• ser imiscível com o fluido cuja pressão se deseja 
medir,
• sofrer perda mínima por evaporação e 
desenvolver um menisco satisfatório. Portanto, o 
líquido manométrico deve apresentar tensão 
superficial relativamente baixa
• aceitar coloração para melhorar sua visibilidade
Exemplo 3.3
• Água escoa no interior dos tubos A e B. Óleo 
lubrificante está na parte superior do tubo em 
U invertido. Mercúrio está na parte inferior 
dos dois tubos em U. Determine a diferença 
de pressão, pa- pb nas unidades kPa
.
101,6 mm