Lista Extra_ Álgebra e Complexos

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Lista complementar 2 
 
 
Prof. Cicero 
1 
1. Reduzindo a expressão 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2⋅ + ⋅ + + ⋅ − + ao numeral mais 
simples, temos: 
 
a) 2. b) 2. c) 2 2.− 
d) 6. e) 2 2.+ 
 
2. O valor da expressão 
2 2 2 2
1 1 2 2
x y x y xy
,
x y x y
− −
− −
   − +
⋅      + −   
 em que x e y ∗∈� 
e x y≠ e x y,≠ − é 
a) 1− b) 2− c) 1 d) 2 
 
3. Em relação ao número 48N 2 1,= − pode-se afirmar que: 
a) ele é primo 
b) ele é par 
c) ele é múltiplo de 7 
d) ele não é múltiplo de 242 1+ 
e) ele não é divisível por 9 
 
4. Analise a veracidade das afirmações seguintes, sobre propriedades 
aritméticas dos números: 
( ) Se n é um número natural, então, o número ( )( )n n 1 2n 1+ + é um 
natural par. 
( ) Se a e b são números reais, e a – b 0,> então, 4 4a – b 0.> 
( ) O produto de dois números irracionais é sempre irracional. 
( ) Se n é um número natural, então, 2n n 11+ + é um natural primo. 
( ) A soma de um número racional com um irracional é sempre um 
número irracional. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Notações 
 
� : Conjunto dos números naturais; 
� : Conjunto dos números reais; 
+
� : Conjunto dos números reais não negativos; 
i: unidade imaginária; 2i 1= − ; 
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A; 
n(A) : número de elementos do conjunto finito A; 
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B; 
arg z : argumento do número complexo z; 
[ ] { }
{ }
a,b x : a x b
A \ B x : x A e x B
= ∈ ≤ ≤
= ∈ ∉
�
 
cA : complementar do conjunto A; 
n
k 2 n
k 0 1 2 n
k 0
a x a a x a x ... a x ,n
=
= + + + + ∈∑ � . 
 
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são 
cartesianos retangulares. 
 
 
 
 
5. Sejam 1r , 2r e 3r números reais tais que 1 2r r− e 1 2 3r r r+ + 
são racionais. Das afirmações: 
I. Se 1r é racional ou 2r é racional, então 3r é racional; 
II. Se 3r é racional, então 1 2r r+ é racional; 
III. Se 3r é racional, então 1r e 2r são racionais, é (são) sempre 
verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) I, II e III. 
 
6. No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que 'a' é primo com 'b' 
quando mdc(a, b) = 1. 
Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir. 
I. A fatoração em números primos é única. 
II. Existem 8 números primos com 24 e menores que 24. 
III. Se (a + b)2 = (a + c)2 então b = c 
IV. Se a < b, então a.c < b.c 
 
Quantas das afirmativas acima são verdadeiras? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
7. Sejam 1Z e 2Z números complexos tais que 2Z é imaginário 
puro e 1 2 2| Z Z | | Z | .− = Para quaisquer valores de 1Z e 2Z que 
atendam a essas condições tem-se que: 
a) 2Im(Z ) 0> 
b) 2Im(Z ) 0≤ 
c) 1 2| Z | 2 | Z |≤ 
d) 1Re(Z ) 0≥ 
e) 1 2Re(Z ) Im(Z )≤ 
 
8. Considere as afirmações a seguir: 
 
I. Se z e w são números complexos tais que z iw 1 2i− = − e 
w z 2 3i,− = + então 2 2z w 3 6i.+ = − + 
II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 
2 22 | z | z 4 2i+ = + é igual a zero. 
III. Se z 1 i,= − então 59 29z 2 ( 1 i).= − + 
 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
 
 
 
 
 
 
 2
9. Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos 
z x yi,= + onde i 1= − e cujos afixos são os pontos 
2P(x , y) ∈� 
Dada a equação 4(z 1 i) 1,− + = sobre os elementos que compõem 
seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que 
a) apenas um deles é imaginário puro. 
b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. 
c) o conjugado do que possui maior argumento é 1 2i+ 
d) nem todos são números imaginários. 
 
10. Sejam A, B e C os subconjuntos de � definidos por 
A {z : z 2 3i 19},= ∈ + − <� B {z : z i 7 / 2}= ∈ + <� e 
2C {z : z 6z 10 0}.= ∈ + + =� Então, (A \ B) C∩ é o conjunto 
a) { 1 3i, 1 3i}.− − − + 
b) { 3 i, 3 i}.− − − + 
c) { 3 i}.− + 
d) { 3 i}.− − 
e) { 1 3i}.− + 
 
11. Seja M ⊂ � dado por 2M {| z az 1|: z e | z | 1},= + − ∈ =� 
com a .∈� Determine o maior elemento de M em função de a. 
 
12. Se z é o conjugado do número complexo z, então o número de 
soluções da equação 2z z= é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
13. Se z ,∈� então ( )46 2 2 6z 3 z z z z− − − é igual a 
a) ( )
3
2 2z z .− 
b) 6 6z z .− 
c) ( )
2
3 3z z .− 
d) ( )
6
z z .− 
e) ( ) ( )2 4 4z z z z .− − 
 
14. Os números complexos z e w são representados no plano xy 
pelos pontos A e B, respectivamente. Se z 2w 5wi= + e w 0,≠ 
então o cosseno do ângulo AOB, onde O é a origem, é igual a 
a) 
26
26
 
b) 
26
13
 
c) 
2 29
29
 
d) 
29
29
 
e) 
3 26
26
 
 15. A reta 
3
s : y x 4
3
= − + intercepta as retas 1s : y 3x 3= + , 
2s : y 3= nos pontos distintos que representam os afixos de dois 
números complexos, z1 e z2, respectivamente. Nesse caso, a tangente 
do argumento do complexo z = z1 + z2 é igual a 
a) 
5 3
27
. 
b) 
9 3
5
. 
c) 
3
5
. 
d) 9 3 . 
e) 5 3 . 
 
16. Seja o número complexo Z a bi,= + com a e b ∈� (real) e 
i 1.= − Determine o módulo de Z sabendo que 
( )
( )
3 2
3 2
a 3 1 ab
.
b 3 a b 1
 = +

 = −
 
 
17. O valor de n tal que ( )
n
j
j 1
1+i = 31+ i,
=
∑ sendo i a unidade 
imaginaria, é 
a) par menor que 10 
b) primo maior que 8 
c) ímpar menor que 7 
d) múltiplo de 9