Apostila + exercicios resolvidos -adensamento

Prévia do material em texto

PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 60 
 
2. TEORIA DO ADENSAMENTO PRIMÁRIO 
 
2.1 Introdução 
 
Adensamento é a gradual redução de volume de um solo saturado de baixa 
permeabilidade devido à drenagem da água de seus vazios, com o processo 
hidráulico-mecânico continuando até que o excesso de poropressão gerado por 
um incremento de tensão total tenha sido completamente dissipado. O 
adensamento envolve os seguintes fenômenos interconectados: aumento da 
tensão efetiva, decréscimo da poropressão, decréscimo do teor de umidade, 
decréscimo do volume do solo e rearranjamento das partículas sólidas. 
 
Se o excesso de poropressão for negativo, com o solo aumentando de volume 
no tempo, o processo é chamado de expansão. 
 
A maior parte deste capítulo é reservada para estudo da teoria do 
adensamento unidimensional (deformações verticais apenas) proposta por 
Terzaghi (1923), incluindo os métodos experimentais para avaliação de 
parâmetros geotécnicos, soluções aproximadas (algébricas e gráficas), 
formulações para cálculo do recalque de adensamento primário e de 
compressão secundária, técnicas para aceleração da dissipação dos excessos 
de poropressão (drenos verticais), imposição de pré-carregamentos para 
aceleração de recalques, entre outros tópicos. 
 
2.2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL GOVERNANTE DO FLUXO DE ÁGUA EM MEIOS 
POROSOS 
 
A Fig. 2.1 mostra o movimento da água ao longo de trajetórias curvas, 
chamadas de linhas de fluxo, no solo de fundação de uma barragem de 
concreto de grande comprimento perpendicular ao plano do papel, com cortina 
impermeável à montante, caracterizando um problema de fluxo 2D. 
 
Considere as condições de fluxo no ponto P, representado em escala majorada 
pelo prisma de arestas infinitesimais dx, dy, dz na mesma figura. A velocidade 
no ponto P é tangente à linha de fluxo e pode ser representada por suas 
componentes horizontal vx e vertical vy, lembrando que vz = 0 neste problema 
2D. 
 
Assumindo que a água é incompressível, a vazão infinitesimal no elemento, 
definida como a diferença entre a vazão de entrada entdQ e a vazão de saída 
saidQ pode ser escrita como, 
 
saient dQdQdQ  (2.1) 
 
zxyzyx
ent ddvddvdQ  (2.2) 
 
zxy
y
yzyx
x
x
sai ddd
y
v
vddd
x
v
vdQ 

















 
(2.3) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 61 
 
 
zyx
yx ddd
y
v
x
v
dQ 












 
(2.4) 
 
(a) 
 
 
(b) 
Figura 2.1 - (a) Fluxo 2D no solo de fundação de barragem impermeável de concreto; (b) 
componentes de velocidade no elemento infinitesimal que representa o ponto P. 
 
A vazão no elemento de volume dV = dxdydz pode também ser expressa em 
função da variação com o tempo do volume de água dVw presente nos vazios 
dVw = SdVv onde S é o grau de saturação e dVv o volume infinitesimal de 
vazios. 
 
 
   
e
ddd
t
Se
t
e
edV
S
t
SdV
dV
t
dQ
zyxv
w



















1
1
 
(2.5) 
 
observando que dxdydz/(1+e) = dVs é o valor constante do volume de sólidos, 
independente do tempo. 
 
Como as Eqs. (2.4) e (2.5) são equivalentes, 
 
 
e
ddd
t
Se
ddd
y
v
x
v zyx
zyx
yx
















1
 
 (2.6) 
dx
x
v
v xx



 
xv 
yv 
dy
y
v
v
y
y



 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 62 
 
 
Considerando a lei de Darcy para regime de fluxo laminar xhkv xx  e 
yhkv yy  resulta 
 
































t
S
e
t
e
S
ey
h
k
yx
h
k
x
yx
1
1
 
(2.7) 
 
onde kx e ky são os coeficientes de permeabilidade principais. 
 
Hipótese 1: solo é homogêneo 0 ykxk yx 
 


















t
S
e
t
e
S
ey
h
k
x
h
k yx
1
1
2
2
2
2
 
(2.8) 
 
Hipótese 2: solo é homogêneo e isotrópico kkk yx  
 


















t
S
e
t
e
S
ey
h
k
x
h
k
1
1
2
2
2
2
 
(2.9) 
 
Hipótese 3: na equação (2.9) o índice de vazios varia com o tempo 0 te 
mas grau de saturação S=1 permanece constante 0 tS . 
 
t
e
ey
h
k
x
h
k









1
1
2
2
2
2
 
(2.10) 
 
A Eq. 2.10 governa o adensamento 2D onde o solo permanece saturado mas o 
volume de vazios diminui (adensamento) ou aumenta (expansão) com o tempo. 
 
Hipótese 4: na equação (2.9) o índice de vazios permanece constante 0 te 
e grau de saturação permanece constante 0 tS . 
 
000 2
2
2
2
2
2
2
2
2












h
y
h
x
h
y
h
k
x
h
k 
 
(2.11) 
 
A Eq. 2.11 governa o fluxo permanente 2D onde o solo permanece com volume 
e grau de saturação (S =1) constantes, assunto já tratado em disciplina 
anterior. Esta equação diferencial parcial linear é conhecida como equação de 
Laplace. 
 
2.3 TEORIA DO ADENSAMENTO PRIMÁRIO DE TERZAGHI 
 
A teoria do adensamento de Terzaghi estuda a variação das poropressões com 
o tempo, sendo a deformação do esqueleto sólido determinada de forma 
independente com base na equivalência assumida entre a porcentagem média 
de dissipação dos excessos de proropressão Uv e o recalque de adensamento 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 63 
 
primário no instante t. A teoria de Terzaghi é bastante utilizada na prática da 
engenharia geotécnica apesar de algumas limitações introduzidas por suas 
hipóteses básicas: a) solo isotrópico, completamente saturado; b) grãos 
minerais e a água são incompressíveis; c) validade da lei de Darcy; d) o 
coeficiente de adensamento cv permanece constante durante o adensamento; 
e) há uma única relação linear entre índice de vazios e tensão vertical efetiva 
que permanece constante durante o adensamento; f) as deformações que 
ocorrem no solo são infinitesimais. 
 
As maiores limitações1 dizem respeito às hipóteses d) e e). Evidências 
experimentais em solos mostram que o coeficiente de adensamento decresce 
rapidamente quando a tensão vertical efetiva atinge a pressão de pré-
adensamento e o comportamento tensão x deformação é tampouco linear ou 
elástico. Ressalte-se, neste ponto, que a não linearidade da curva tensão x 
deformação pode ser incorporada na obtenção do recalque final de 
adensamento primário mas não na solução da equação do adensamento 
primária desenvolvida por Terzaghi. 
 
Considere a equação diferencial governante para o adensamento 2D (Eq. 2.10) 
 
t
e
ey
h
k
x
h
k









1
1
2
2
2
2
 
(2.10) 
 
Para a situação 1D, admitindo z como eixo vertical 
 
t
e
ez
h
k z






1
1
2
2
 onde 
(2.12) 
 
 












ess
w
e uuh
zz
h

1
2
2
2
2
 
(2.13) 
 
Como a carga de elevação he varia linearmente com a coordenada vertical z, 
resulta na Eq. (2.13) que 0zh 2e
2  . Como na condição permanente a 
poropressãouss
2
 varia linearmente com a profundidade
3, então 0zu 2ss
2  e 
a Eq. 2.13 pode ser reescrita como: 
 
t
e
e1
1
z
uk
2
e
2
w
z







 
(2.14) 
 
 
1
 “Considerando que a teoria de Terzaghi produz resultados aceitáveis em muitos casos de campo, alguns 
engenheiros sentem que se todas as hipóteses realistas fossem consideradas simultaneamente certos 
efeitos poderiam se cancelar mutuamente” - Mesri & Rokhsar, 1974. 
2
 O índice ss (steady state) denota a condição permanente em t 
3
 Relembrar que para fluxo 1D em regime permanente o gradiente hidráulico é constante. 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 64 
 
Considerando uma relação tensão x deformação linear para o esqueleto sólido, 
define-se como coeficiente de compressibilidade 4 'vv ddea  (Fig. 2.2). 
Assim, pela regra da cadeia do cálculo diferencial e em conjunto com o 
princípio das tensões efetivas de Terzaghi para solos saturados, é possível 
escrever 
 
 
  essv2
e
2
vw
z
'
v
'
v
2
e
2
w
z uu
tz
u
a
e1k
t
e
e1
1
z
uk



















 
(2.15) 
 
 
Figura 2.2 – Relação linear assumida entre a variação do índice de vazios ( e ) e a variação da 
tensão vertical efetiva (
'
v ) - Craig (2004). 
 
Como na condição permanente 0tuss  , obtém-se então a equação de 
adensamento de Terzaghi cuja “dedução marca o início da moderna mecânica 
dos solos” (Lambe e Whitman, 1969). Desenvolvida na década de 1920, “é 
ainda ensinada para todo estudante de engenharia geotécnica, ainda usada 
por todo engenheiro geotécnico, mesmo quando métodos mais avançados são 
também ensinados ou eventualmente empregados” (Duncan,1993). 
 
 
vw
z
v
vee
v
a
ek
c
tt
u
z
u
c

 








 1
2
2
 
(2.16) 
 
onde cv é denominado coeficiente de adensamento com unidades L
2 T-1. 
 
Se a tensão total permanecer constante  0tv  a Eq. 2.16 se transforma 
em um caso particular da equação de difusão (Eq. 2.17). Note que pelo fato da 
tensão total ser considerada constante, a ocorrência de deformações do 
esqueleto sólido é totalmente devida ao acréscimo das tensões efetivas 
decorrente da gradual dissipação dos excessos de poropressão. 
 
 
4
 O sinal negativo se justifica porque há uma diminuição do índice de vazios com o aumento da tensão 
vertical efetiva e o parâmetro de deformabilidade av é definido como quantidade positiva. 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 65 
 
t
u
z
u
c e
2
e
2
v





 
(2.17) 
 
A equação diferencial parcial Eq. 2.17 é linear, isto é o excesso de poropressão 
ue e suas derivadas aparecem somente na primeira potência e também não há 
produtos entre a variável ue e suas derivadas. A superposição de soluções é 
válida e a linearidade da equação governante torna conveniente a utilização de 
parâmetros normalizados com o objetivo de expressar a Eq. 2.17 de forma 
adimensional e assim obter uma solução matemática geral que facilite a 
apresentação de resultados sob a forma de gráficos e tabelas. 
 
Define-se os parâmetros adimensionais por, 
 
2
v
v
H
tc
Te
H
z
Z 
 
(2.18) 
onde z representa a profundidade de um ponto a partir do topo da camada de 
solo saturado, Z a profundidade adimensional, Tv o fator tempo, H a espessura 
de drenagem da camada, igual à sua espessura real dividida pelo número de 
faces de drenagem (2 para drenagem no topo e base; 1 para drenagem no 
topo ou na base). 
 
Logo, a Eq. 2.17 pode ser transformada em 
 
v
e
2
e
2
v
e
v
22
e
2
2
v
T
u
Z
u
T
u
c
H
1
Z
u
H
c











 
 
(2.19) 
A solução da equação diferencial parcial (Eq. 2.19) naturalmente vai depender 
ainda das condições de contorno específicas do problema e de uma condição 
inicial, conforme algumas soluções típicas abordadas na seção seguinte. 
 
2.4 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO 
 
2.4.1 – Caso 1 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 excesso de poropressão u0 uniforme 
ao longo da espessura b da camada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 nos 
contornos em z = 0 (Z = 0) e em z = b (Z = 2), admitindo-se duas faces de 
drenagem (b = 2H). 
 
Antes de prosseguir, pergunta-se que tipo de carregamento produziria um 
excesso inicial de poropressão u0 uniforme com a profundidade e deformações 
laterais nulas? Considere a fundação circular perfeitamente flexível de raio R, 
uniformemente carregada (q), na superfície de um semi-espaço linearmente 
elástico, homogêneo e isotrópico. Como já estudado no capítulo 1, a 
distribuição dos acréscimos das tensões principais causado pelo carregamento 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 66 
 
da fundação pode ser determinada analítica (Poulos e Davis, 1974) ou 
graficamente, conforme Fig. 2.3. 
 
Nesta figura observe que as deformações horizontais são nulas em x/R = 0 
devido à simetria do problema em relação ao eixo z/R. Admitindo que o raio da 
fundação circular aumente infinitamente tal que, para qualquer ponto do maciço 
de solo P(x,z), resulte nos valores normalizados 0R/x  e 0R/z  , então o 
acréscimo de tensão vertical tende a tornar-se constante com a profundidade e 
igual ao valor do carregamento aplicado q. Observe também que as 
deformações horizontais seriam também nulas porque qualquer eixo vertical 
para uma fundação de raio infinito pode ser admitido como eixo de simetria (
0R/x  ). A designação 1D para o adensamento significa, portanto, 
unidimensional em termos de deformações, i.e. acontecem somente 
deformações verticais. Em campo, as condições para geração de deformações 
1D implica portanto na aplicação de um carregamento (aterro, radier) de 
grandes dimensões e, em laboratório, no confinamento lateral das amostras de 
solo ensaiadas. 
 
Figura 2.3 – Distribuição dos acréscimos das tensões principais em um semi-espaço linearmente 
elástico, isotrópico e homogêneo gerados pelo carregamento uniforme ∆q em uma fundação 
circular perfeitamente flexível de raio R. Distribuição dos acréscimos 3 para ν = 0.45 (Lambe e 
Whitman, 1969). 
 
A solução analítica da equação diferencial 2.19 é dada pela série de Fourier 
(Taylor, 1948) 
 
   1m2
2
McomesenMZ
M
u2
u v
2TM
0m
0
e 





 
 
(2.20) 
 
graficamente representada na Fig. 2.4 onde Uz é a porcentagem (ou grau) de 
dissipação dos excessos de poropressão na profundidade normalizada Z para 
o fator tempo Tv. Define-se Uz como 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 67 
 
 
   1m2
2
MesenMZ
M
2
1U
u
u
1
u
uu
U
v
2TM
0m
z
0
e
0
e0
z









com
 
 
 
(2.21) 
 
O progresso do adensamento no tempo é visualizado através da série de 
curvasda Fig. 2.4, chamadas de isócronas. A inclinação da isócrona em 
relação ao eixo vertical, para quaisquer valores de Z e Tv, é proporcional ao 
valor do gradiente hidráulico que gera o fluxo vertical transiente da água. 
 
 
Figura 2.4 – Porcentagem de dissipação do excesso de poropressão Uz em função da 
profundidade normalizada Z e do fator tempo Tv para excesso uniforme de poropressão inicial 
u0 (Lambe e Whitman, 1969). 
 
Entre os pontos A e B da Fig. 2.5 o fluxo transiente, vertical e ascendente, no 
fator tempo Tv, ocorre devido à seguinte diferença de carga hidráulica 
 





 





 

w
B
e
B
ssB
e
w
A
e
A
ssA
e
BA uuh
uu
hhhh

 
 
(2.22) 
 
      BzAz
W
0B
ss
A
ss
w
B
e
A
e
w
B
ssB
e
w
A
ssA
e U1U1
u
hh
uuu
h
u
hh 





















 
 
 
2.23 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 68 
 
Admitindo-se em princípio que na condição permanente não há fluxo, então a 
diferença de carga total hss é nula
5 em t  , 
 
0hhh Bss
A
ssss  
 
 
W
z0
W
A
z
B
z0 UuUUuh



 

 
 
(2.24) 
 
 
Figura 2.5 – Diferença de carga hidráulica h entre os pontos A e B no fator tempo Tv. 
 
No limite, quando os pontos A e B coincidirem ( 0 ZHz ), o gradiente 
hidráulico no tempo Tv, considerando a Eq. 2.24, pode ser calculado por 
 
Z
U
H
u
Z
U
lim
H
u
z
h
limi z
W
0z
0Z
W
0
0z 


 




 
 
(2.25) 
A interpretação geométrica da derivada 
Z
Uz

 é a inclinação que a tangente à 
isócrona Tv, traçada pelo ponto na profundidade normalizada Z = z/H, forma 
com o eixo vertical Z. 
 
Estas considerações sobre a interpretação do gradiente hidráulico permitem 
fazer as seguintes observações em relação às isócronas da Fig. 2.4: 
 
a) imediatamente após a aplicação do carregamento surgem grandes 
gradientes hidráulicos nas proximidades do topo e da base da camada, 
indicando que há uma rápida variação do volume de solo nestas regiões. Em 
 
5
 se na condição permanente ocorrer diferença de carga total, uma solução do problema de fluxo 
permanente 1D deve ser adicionada à solução do problema de fluxo transiente (adensamento 1D). 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 69 
 
contrapartida, no meio da camada (Z =1), deformações significativas começam 
a ocorrer somente para valores de Tv > 0.05; 
 
b) o gradiente hidráulico em Z = 1 é sempre nulo (tangente vertical), logo não 
há fluxo d’água através do plano médio da camada de solo; 
 
c) para Tv > 0.3 as isócronas são quase que curvas senoidais perfeitas, i.e. 
apenas o primeiro termo da série da Eq. 2.20 (m = 0 com M = /2) torna-se 
importante para definição da isócrona. 
 
3.0TparaeZ
2
sen
u4
u v
T
40
e
v
2











 (2.26) 
Em termos de engenharia geotécnica, é mais conveniente conhecer, para certo 
valor do fator tempo Tv, a porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv em toda a espessura da camada de solo saturado e não 
apenas em pontos isolados na profundidade normalizada Z. 
 
0
e
0
e0
v
u
u
1
u
uu
U 

 
 
(2.27) 
 
onde eu é o excesso médio de poropressão na camada de solo saturado para 
determinado valor de Tv. 
 
O valor de eu pode ser calculado com base na equivalência das áreas da Fig. 
2.6, uma compreendida entre a isócrona genérica Tv e o eixo vertical Tv   
(quando Uz = 100%) e outra área de forma retangular, com mesma espessura 
normalizada (Z=2), e largura igual ao valor médio do excesso de poropressão 
eu no mesmo fator tempo Tv. 
 
Figura 2.6 – Equivalência de áreas para determinação do excesso médio de poropressão eu no 
fator tempo Tv. 
 
   1m2
2
McomdZeMZsen
M
u2
2
1
udZuu2 v
2TM
2
0 0m
0
2
0
eee 





 
 
 
 (2.28) 
ūe 
2 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 70 
 
       







0m
TM
2
0
e
0m
2
0
TM
2
0
e 0cosM2cose
M
u
uMZcose
M
u
u v
2
v
2
 
 
com cos(0) =1 e cos(2M) = -1. Logo, 
 
 
 





0m
TM
2
0
e
v
2
e
M
u2
u 
 
(2.29) 
 1m2
2
Mcome
M
2
1
u
u
1)T(U
0m
TM
2
0
e
vv
v
2
 


 
 
 
(2.30) 
 
A Eq. (2.30) também pode ser aproximada, com boa precisão, pelas seguintes 
expressões algébricas propostas por Fox (1948): 
60.0Upara085.0)U1log(933.0T
60.0UparaU
4
T
v
2
vv



 
 
(2.31) 
 
ou, alternativamente, ser estimada por meio da solução gráfica representada 
na Fig. 2.7 pela curva (1). Uma comparação dos valores obtidos pelas 
equações (2.30) e (2.31) é mostrada na Tabela 2.1. 
 
Tabela 2.1 – Comparação entre valores da porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv. 
 
Tv Uv (%) 
Eq. 2.30 
Uv (%) 
Eq. 2.31 
0.001 03.57 03.57 
0.010 11.28 11.28 
0.020 15.96 15.96 
0.030 19.54 19.54 
0.040 22.57 22.57 
0.050 25.23 25.23 
0.060 27.64 27.64 
0.070 29.85 29.85 
0.080 31.92 31.92 
0.090 33.85 33.85 
0.100 35.68 35.68 
0.200 50.41 50.46 
0.300 61.32 61.33 
0.400 69.79 69.79 
0.500 76.40 76.40 
0.600 81.56 81.56 
0.700 85.59 85.59 
0.800 88.74 88.74 
0.900 91.20 91.20 
1.000 93.13 93.13 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 71 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 – Relação entre porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv 
e fator tempo Tv (Craig, 2004). 
 
Teoricamente o adensamento primário se prolonga infinitamente no tempo (
t ) mas, para fins de engenharia, poderia ser escolhido um valor do fator 
tempo Tv que indicasse, na prática, o final do adensamento primário? Com 
base nos valores da porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv da Tabela 2.2, geralmente se considera para propósito de 
engenharia o final do adensamento primário quando Tv = 1 (Lambe e Whitman, 
1969). 
 
 
curva 1 curva 1 curva 1 
curva 1 curva 2 curva 3 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 72 
 
Tabela 2.2 - Porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão para alguns 
valores do fator tempo Tv. 
 
Tv Uv (%) Tv Uv (%) Tv Uv (%) 
1 93.13% 2 99.42 3 99.95 
 
 
Para consolidar os conceitos introduzidos até este ponto será resolvido em sala 
de aula o exercício proposto 1. 
 
2.4.2 – Caso 2 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 excesso de poropressão u0 uniforme 
ao longo da espessura b dacamada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 no 
contorno em z = 0 (Z = 0) e velocidade de fluxo nula ( 0 zuzhi e ) no 
contorno impermeável em z = b (Z = 1), admitindo-se única face de drenagem 
(b = H). Alternativamente, com condições de contorno intercambiadas entre os 
contornos em Z = 0 e Z = 1. 
 
Neste caso as soluções obtidas no caso 1 para porcentagem de dissipação dos 
excessos de poropressão Uz na profundidade normalizada Z, no fator tempo Tv 
(Eq. 2.21 e Fig. 2.4), bem como para porcentagem média de dissipação dos 
excessos de poropressão Uv no fator tempo Tv (Eqs. 2.30 e 2.31, Fig. 2.7, 
Tabela 2.1) continuam válidas, porém restritas ao intervalo 0 ≤ Z ≤ 1. 
 
Note que se no caso 1 (dupla drenagem) uma camada de solo de espessura b 
atingir determinado valor de Uv no tempo t1, então a mesma camada, porém 
com drenagem simples (caso 2), atingirá a mesma porcentagem média de 
dissipação dos excessos de poropressão Uv no tempo t2 = 4t1. 
 
    1222v21v
2
v
1
v
2
vv
1
vv t4t
b
tc
2
b
tc
TTTUTU 






 
(2.32) 
 
2.4.3 – Caso 3 
 
Quando a distribuição inicial do excesso de poropressão for uma função da 
profundidade u0 = u0(z) então a solução da equação da difusão (Eq. 2.19) é 
dada por 





















  ...2,1ncomeH2
zn
sendz
H2
zn
sen)z(u
H
1
u 4
Tn
1n
H2
0
0e
v
22

 
(2.33)
 
 
Uma das únicas soluções de interesse prático na engenharia é a variação 
linear (triangular, trapezoidal) dos excessos iniciais de poropressão. Uma 
distribuição triangular pode ser gerada em campo pela redução da poropressão 
em aquífero granular por bombeamento (extração d’água da camada de areia 
inferior na Fig. 2.8a) ou pela variação do nível do lençol freático na camada 
permeável superior da Fig. 2.8b. Outros exemplos são o adensamento de 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 73 
 
aterros hidráulicos devido ao peso próprio (Fig. 2.8c) ou o carregamento de 
fundações superficiais (Fig. 2.8d) onde a distribuição dos acréscimos iniciais de 
poropressão ao longo do eixo pode ser aproximada por uma distribuição 
trapezoidal (aproximação da distribuição dos acréscimos de tensão vertical 
obtida da solução pela teoria da elasticidade linear do capitulo 1). 
 
Figura 2.8a - Uma camada de argila, inicialmente sujeita ao fluxo permanente 1D gerado na 
camada de areia inferior (aquífero granular artesiano). Na figura a carga de pressão do aquífero 
é reduzida para o valor da carga de pressão hidrostática por meio de bombeamento. 
 
Figura 2.8b - A carga hidráulica da camada de argila está inicialmente em equilíbrio com o nível 
do lençol freático 1, que é elevado para o nível 2 devido ao enchimento do reservatório de uma 
barragem situado nas proximidades, por exemplo. Admite-se que carga hidráulica da camada 
de areia inferior não seja modificada. Note a ocorrência combinada na camada de argila de 
fluxo transiente (ascendente e descendente) e fluxo permanente (descendente, da camada de 
areia superior para a camada de areia inferior). 
 
 
Figura 2.8c – Distribuição triangular do excesso inicial de poropressão causada pelo peso 
próprio do material lançado (Jumikis, 1962). 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 74 
 
 
Figura 2.8d – Distribuição trapezoidal aproximada dos excessos iniciais de poropressão 
causada pelo carregamento de fundação superficial. A linha tracejada corresponde à 
distribuição dos acréscimos de tensão vertical pela teoria da elasticidade linear (Jumikis, 1962) 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 distribuição triangular do excesso de 
poropressão u0 ao longo da espessura b da camada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 nos 
contornos em z = 0 (Z = 0) e em z = b (Z = 2), admitindo-se duas faces de 
drenagem (b = 2H). 
 
A solução analítica da equação diferencial Eq. 2.19 neste caso é dada por 
 
  





 




...2,1
2
1
2
4
221
1
0 ncome
Zn
sen
n
u
u
vTnn
n
b
e



 
 
(2.34) 
 
onde Z é medido a partir do vértice da distribuição triangular e b0u representa o 
excesso de poropressão inicial na base desta distribuição. 
 
A porcentagem de dissipação do excesso de poropressão Uz na profundidade 
normalizada Z no fator tempo Tv é obtida pela Eq. 2.35 ou dos gráficos das 
isócronas da Fig. 2.9. 
 
  





 





...2,1
2
1
2
1
1
4
22
1
1
00
0
ncome
Zn
sen
n
U
u
u
u
uu
U
vTnn
n
z
b
e
b
e
b
z


 
(2.35) 
 
A porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv = Uv(Tv) 
é determinada pela equivalências das áreas da Fig. 2.10, em relação ao 
excesso de poropressão equivalente �̅�𝑏 na base da distribuição triangular. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 75 
 
 
Figura 2.9 – Porcentagem de dissipação do excesso de poropressão Uz na profundidade 
normalizada Z, no fator tempo Tv, para distribuição triangular inicial de u0. 
 
 
Figura 2.10 – Equivalência de áreas de distribuição dos excessos de poropressão 
para determinado fator tempo Tv. 
    





 
 



,...2,1
2
1
2
2
2 2
0 1
4
22
10
2
0
ndZe
Zn
sen
n
u
udZu
u
n
vTn
n
b
b
e
b 

 
 
 
 
    











,...2,1)0cos()cos(
2
1
2
1
4
22
10 nn
n
e
n
u
u
n
vTn
n
b
b 


 
uma série que apresenta termos positivos não nulos apenas para valores 
ímpares de n. 
 











...,5,3,1
842
1
4
22
22
0
1
4
22
0 ne
n
u
n
e
n
u
u
n
vTnb
n
vTnb
b


 
Logo, a porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão, em 
relação ao excesso de poropressão inicial bu0 na base da distribuição triangular, 
é determinada por 
 
 
�̅�𝑏 
𝑍 = 2 
 
𝑍 = 0 
 
𝑢𝑒 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 76 
 
 



,...,5,3,1ncome
n
8
1
u
u
1)T(U
1n
4
Tn
22b
0
b
vv
v
22

 (2.36) 
Comparando as Eqs. 2.30 e 2.36, com nmM
2
)12(
2

 , verifica-se que a 
porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv = Uv(Tv) 
para a distribuição triangular com dupla face de drenagem (Eq. 2.36) é 
exatamente igual ao do caso 1 (Eq. 2.30). As soluções algébricas aproximadas 
(Eq. 2.31), bem como a solução gráfica da curva (1) da Fig. 2.7, podem então 
ser aplicadas no caso 3. Valores de Uv = Uv(Tv) permanecem os mesmos 
também para uma distribuição trapezoidal dos excessos iniciais de 
poropressão, conforme Tabela 2.1. 
 
Para consolidar os conceitos introduzidos até este ponto será resolvido em sala 
de aula o exercício proposto2. 
2.4.4 – Caso 4 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 distribuição triangular do excesso de 
poropressão u0 ao longo da espessura b da camada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 no 
contorno em z = 0 (Z = 0) e velocidade de fluxo nula ( 0 zuzhi e ) no 
contorno impermeável em z = b (Z = 1), admitindo-se única face de drenagem 
(b = H). Alternativamente, com condições de contorno intercambiadas entre os 
contornos em Z = 0 e Z = 1. 
 
A distribuição dos excessos de poropressão com a profundidade para t > 0 
deve ser obtida através de solução numérica aproximada da Eq. 2.19, visto que 
no decorrer do adensamento há uma reversão do sentido de fluxo transiente 
(Fig. 2.11). Até determinado valor do fator tempo Tv a drenagem ocorre em 
ambos os sentidos, delimitados pelo ponto da isócrona com tangente vertical. A 
partir deste valor de Tv a drenagem passa a acontecer apenas do contorno 
impermeável para o contorno permeável. 
 
Em relação à porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão 
Uv = Uv(Tv) as soluções gráficas estão mostradas na Fig. 2.7 nas curvas (2) e 
(3), dependendo da posição da face impermeável em relação à distribuição 
triangular inicial de u0. A Tabela 2.3 mostra a relação entre Tv e Uv para ambos 
os casos de distribuição inicial dos excessos de poropressão: 𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 2 quando a 
base da distribuição triangular está junto à superfície impermeável e 𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 3 
quando o vértice da distribuição triangular está junto à superfície impermeável. 
Note que 
 
𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 1 = 
𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 2+𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 3 
2
 (2.37) 
Para uma distribuição trapezoidal (𝑈𝑉
𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙
) utilizar a equação de Frohlich 
 
𝑈𝑉
𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 = 
2𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 1+ 𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 2(𝜂−1)
𝜂+1
 (2.38) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 77 
 
onde η é a razão entre os excessos de poropressão inicial na base e no topo 
da distribuição trapezoidal (𝑢0
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑢0
𝑡𝑜𝑝𝑜⁄ ). 
 
Figura 2.11 - Isócronas para distribuição triangular inicial dos excessos de poropressão com 
única face de drenagem, com reversão do sentido de fluxo no decorrer do adensamento 
(Craig, 2004). 
 
Tabela 2.3 - Porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv para 
distribuição triangular inicial dos excessos de poropressão e única face de drenagem (Jumikis, 
1962). 
 
Tv Uv (%) 
Curva 2 da Fig. 2.7 
Uv (%) 
Curva 3 da Fig. 2.7 
0.004 0.85 15.05 
0.008 1.62 19.14 
0.012 2.41 22.55 
0.020 4.00 27.96 
0.028 5.60 32.18 
0.036 7.20 35.62 
0.048 9.50 39.78 
0.060 11.98 43.30 
0.072 14.36 46.20 
0.083 16.46 48.20 
0.100 19.76 51.48 
0.125 24.42 55.36 
0.150 28.86 58.54 
0.167 31.74 60.46 
0.175 33.06 61.30 
0.200 37.04 63.78 
0.250 44.32 68.12 
0.300 50.78 71.86 
0.350 56.49 75.15 
0.400 61.54 77.92 
0.500 69.94 82.86 
0.600 76.52 86.60 
0.700 81.65 89.53 
0.800 85.66 91.82 
0.900 88.80 93.58 
1 91.25 95.01 
2 99.30 99.60 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 78 
 
2.5 CARREGAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO 
 
As soluções apresentadas na seção anterior foram obtidas com a hipótese de 
carregamento instantâneo, sem variação da tensão total com o tempo. A Eq. 
2.31 permite uma estimativa do tempo de construção para que um 
carregamento possa ser admitido como instantâneo. Para 1% de dissipação 
média dos excessos de poropressão (Uv = 0,01) o tempo correspondente pode 
ser aproximado por: 
 
𝑡1% = 
𝜋𝐻2
4𝑐𝑣
× 10−4 ≈ 
𝐻2
𝑐𝑣
× 10−4 (2.38a) 
 
Logo, um carregamento aplicado em tempo inferior a t1% pode ser 
considerado como instantâneo. Há situações, no entanto, onde o tempo de 
construção não pode ser ignorado nos cálculos como, por exemplo, na 
construção de aterros que podem demorar semanas ou meses para serem 
completados. Em tais casos, a prática usual é subdividir o diagrama 
carregamento versus tempo (q x t) em um número adequado de carregamentos 
parciais e considerá-los aplicados instantaneamente no centro dos diferentes 
intervalos de tempo conforme Fig. 2.12. A curva recalque x tempo de cada 
carregamento parcial é obtida e todas são somadas para produzir uma curva 
final aproximada recalque x tempo considerando o carregamento dependente 
do tempo. 
 
 
 
Figura 2.12 - Subdivisão do carregamento dependente do tempo em carregamentos 
instantâneos parciais. 
 
Outro procedimento foi sugerido por Olson (1977) para carregamentos que 
crescem linearmente no tempo, atingindo um valor constante qc no tempo final 
de construção tc (Fig. 2.13). 
 
Para o caso de camada com dupla drenagem, o excesso infinitesimal de 
poropressão inicial du0, constante com a profundidade, gerado pela aplicação 
do incremento infinitesimal de carregamento dq no instante ti é expresso por 
i
c
c dt
t
q
dqdu 0 
 
(2.39) 
q q 
t 
qc 
q2 
q1 
qc 
q2 
q1 
t1 t2 tc 
 
t 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 79 
 
No tempo t – ti , na profundidade normalizada Z, o excesso infinitesimal de 
poropressão vem da Eq. 2.20, 
 
  





 



2
2
0
)(
exp
2
H
ttcM
MZsendt
t
q
M
du iv
m
i
c
c
e 
 
 
(2.40) 
 
 
 
Figura 2.13 - Função carregamento versus tempo, linear para t ≤ tc e constante para t > tc 
 (Olson, 1989). 
 
A Eq. 2.40 deve então ser integrada considerando os períodos de 
carregamento crescente (t < tc) e de carregamento constante (t > tc). 
 
Para t < tc resulta, 
 
  





 



t
i
iv
m c
c
u
e dt
H
ttcM
MZsen
t
q
M
du
e
0
2
2
00
)(
exp
2
 
 
(2.41) 
 
    v
m c
c
e TMMZsen
TM
q
u 2
0
3
exp1
2



 
 
(2.42) 
 
com  
22
12
2 H
tc
T
H
tc
TmM vv
cv
c 

 
 
A porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv é 
definida como 
c
e
c
c
v
q
dZu
t
t
q
U
2
2
2
0

 
 
(2.43) 
 
Substituindo a Eq. 2.42 na Eq. 2.43 resulta 
 
  






 

0
2
4
exp1
12
1
m
v
vc
v
v TM
MTT
T
U 
 
(2.44) 
 
 
Para t > tc uma análise similar leva às seguintes equações, 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 80 
 
 
       v
m
c
c
c
e TMMZsenTM
TM
q
u 2
0
2
3
exp1exp
2



 
 
(2.45) 
 
    v
m
c
c
v TMTM
MT
U 2
0
2
4
exp1exp
12
1  


 
 
(2.46) 
 
Os gráficos da Fig. 2.14 mostram a evolução da porcentagem média de 
dissipação dos excessos de poropressão Uv para vários valores do fator tempo 
de construção Tc . 
 
 
 
Figura 2.14 – Porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv = Uv(Tv) para 
vários valores do fator tempo de construção Tc (números no interior dos círculos) considerando 
carregamento linearmentecrescente. (Olson, 1977). 
 
 
2.6 DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DO SOLO EM LABORATÓRIO 
 
A determinação experimental dos parâmetros geotécnicos necessários para 
estimativa da velocidade de adensamento (coeficiente de adensamento) bem 
como para cálculo do recalque de adensamento primário (parâmetros de 
compressibilidade) é feita normalmente em um equipamento desenvolvido por 
Terzaghi (1923), aperfeiçoado por Casagrande (1936), denominado edômetro 
(Fig. 2.15). É basicamente constituído por um sistema de aplicação de 
carregamento vertical (prensa de adensamento), uma célula de adensamento 
que contém a amostra de solo, um anel de confinamento, pedras porosas e 
uma placa rígida de transmissão do carregamento. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 81 
 
A deformação lateral da amostra de solo é impedida pelo anel, ocorrendo 
portanto somente deformações verticais durante o ensaio. Drenagem é 
permitida através das pedras porosas colocadas no topo e na base da amostra, 
de modo que a água expulsa dos poros durante o adensamento deve fluir na 
direção vertical. 
 
Quando um incremento de carregamento é aplicado na amostra de solo, há um 
aumento instantâneo da poropressão igual ao valor do acréscimo de tensão 
vertical total. À medida que a drenagem ocorre, os excessos de poropressão se 
dissipam e as tensões efetivas crescem com o tempo, transferindo o 
carregamento para o esqueleto sólito que se deforma gradualmente, 
produzindo um deslocamento vertical (recalque) medido por um extensômetro 
durante o ensaio. 
 
O procedimento de ensaio consiste em aplicar carregamentos incrementais na 
célula de adensamento (20kPa, 40kPa, 80kPa, 160kPa, 320kPa, 640kPa) por 
meio de um sistema de pesos e alavancas, duplicando a intensidade do 
carregamento anteriormente aplicado, mantendo-os constantes por até 24 
horas, dependendo do tipo de solo. Para cada um dos estágios de 
carregamento, a variação com o tempo da espessura da amostra é registrada 
por meio de leituras feitas no extensômetro na sequência de tempos 1/8, 1/4, 
1/2, 1, 2, 4, 8, 15, 30 minutos e 1, 2, 4, 8, 24 horas. Se for necessário conhecer 
o comportamento de expansão da amostra de solo, retiram-se as cargas na 
sequência inversa, registrando-se novamente as leituras do extensômetro com 
o tempo na fase de descarregamento. 
 
Para cada estágio de carregamento, as leituras são utilizadas para 
determinação do coeficiente de adensamento cv, normalmente feita com dois 
métodos de interpretação: a) método de Taylor ou t ; b) método de 
Casagrande ou log t. 
 
2.6.1 Coeficiente de adensamento cv 
 
a) Método de Taylor (1948) 
 
a.1) Justificativa teórica 
 
Considerando que a determinação da porcentagem média de dissipação dos 
excessos de poropressão para Uv ≤ 0.60 é aproximada pela Eq. 2.31, então em 
um gráfico Uv versus VT aquela equação é representada por uma linha reta 
com inclinação 
2
 em relação ao eixo vertical (Fig. 2.16). Uma nova reta 
traçada pela origem (Uv = 0), com inclinação 15% superior, intercepta a curva 
teórica em Uv = 90%, correspondente ao fator tempo 𝑇𝑣
90 = 0.848. 
 
Em laboratório, são plotadas as leituras do extensômetro versus a raiz 
quadrada dos tempos de medição e uma curva experimental é então traçada 
através destes pontos. Como o recalque de adensamento da amostra de solo e 
a drenagem acontecem na direção vertical (1D), então existe uma 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 82 
 
proporcionalidade direta entre evolução das leituras do extensômetro (curva 
experimental) e da porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv (curva teórica). Similarmente, como o coeficiente de 
adensamento é considerado constante durante o estágio de carregamento, 
também existe proporcionalidade entre o fator tempo vT e o tempo t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 – Célula de adensamento, pedras porosas e papel filtro (acima), esquema da célula 
de adensamento com amostra de solo e execução do ensaio na prensa de adensamento do 
Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio (abaixo). 
 
a.2) Determinação do coeficiente de adensamento cv 
 
i) Para cada incremento de carregamento, construir a curva de adensamento 
marcando-se no eixo das ordenadas as leituras do extensômetro (variação da 
espessura da amostra de solo) e no eixo das abscissas os correspondentes 
valores da raiz quadrada do tempo desde o início do ensaio; 
 
ii) determinar o ponto da leitura inicial corrigida do extensômetro ds prolongando 
a reta definida pelos pontos iniciais do ensaio; 
 
iii) a partir do ponto ds, traçar uma nova reta com inclinação em relação ao eixo 
vertical 1,15 vezes maior do que a inclinação da reta do trecho inicial, 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 83 
 
prolongando-a até interceptar a curva de laboratório no ponto com 
coordenadas ( 90t , d90); 
iv) o coeficiente de adensamento é calculado como 
90
2848.0
t
H
cv

 
v) no método de Taylor o final do adensamento também pode ser estimado 
calculando-se o valor da leitura  90100
9
10
dddd ss  . 
 
 
 
Figura 2.16 – Curvas teórica e experimental no método de Taylor para determinação do 
coeficiente de adensamento. 
 
b) Método de Casagrande (1940) 
 
b.1) Justificativa teórica 
 
A curva teórica Uv = Uv(Tv) é plotada em escala logarítmica para os valores do 
fator tempo Tv. A curva é composta por um trecho parabólico para Uv ≤ 0.60, 
seguido de um trecho intermediário linear e uma curva final para a qual o eixo 
das abscissas é uma assíntota horizontal (Fig. 2.17). O valor correspondente a 
Uv = 0 é obtido selecionando-se dois valores de fator tempo no trecho 
parabólico inicial (Tv1 e Tv2) tal que Tv2/Tv1 = 4. Logo, 
 
2
U
U
1
4
U
4
U
4
T
T
1v
2v
2
1v
2
2v
1v
2v 


 
 
(2.47) 
e a posição do ponto inicial pode ser marcado conforme indicado na Fig. 2.17. 
 
Teoricamente o adensamento termina (Uv = 100%) para um tempo t  . 
Todavia, uma aproximação finita pode ser feita para 𝑇𝑣
100 considerando a 
interseção da assíntota (eixos das abscissas) com o prolongamento do trecho 
linear intermediário da curva. O método de Casagrande é baseado no valor do 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 84 
 
fator tempo correspondente a 50% de dissipação média dos excessos de 
poropressão, calculada como 𝑈𝑣
50 = (𝑈𝑣
0 + 𝑈𝑣
100)/2. Para 𝑈𝑣
50 o valor teórico 
correspondente do fator tempo é 𝑇𝑣
50 = 0.197. 
 
 
Figura 2.17 - Curva teórica Uv = Uv(Tv) plotada com fator tempo em escala logarítmica. 
 
 
b.2) Determinação do coeficiente de adensamento cv 
 
i) Para cada incremento de carregamento, construir a curva de adensamento 
marcando-se no eixo das ordenadas as leituras do extensômetro (variação da 
espessura da amostra de solo) e no eixo das abscissas, em escala logarítimica, 
os correspondentes valores de tempo; 
 
ii) determinaro ponto correspondente à leitura inicial corrigida do extensômetro 
ds selecionando-se, no trecho parabólico inicial do ensaio, dois pontos 
separados pela razão t2/t1 = 4. Medir a diferença entre as leituras do 
extensômetro nestes tempos e transportá-la acima da leitura de t1 para assim 
estabelecer o valor de ds; 
 
iii) determinar o ponto d100, correspondente a Uv = 100%, na interseção entre a 
reta do trecho intermediário da curva de adensamento e a tangente ao seu 
trecho final (Fig. 2.18). Devido à possibilidade de ocorrência de compressão 
secundária na amostra de solo, esta tangente pode não ser horizontal, como 
previsto pela teoria de adensamento primário de Terzaghi; 
 
iv) considerando a leitura média do extensômetro (ds + d100)/2 determinar o 
tempo t50 correspondente a 50% de adensamento; 
v) o coeficiente de adensamento é calculado como 
50
2
v
t
H197.0
c

 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 85 
 
 
 
Figura 2.18 – Curvas teórica e experimental do método de Casagrande para determinação do 
coeficiente de adensamento. 
 
Uma das dificuldades na estimativa do coeficiente de adensamento, tanto pelo 
método de Taylor quanto de Casagrande, é que o valor da espessura de 
drenagem H, elevada ao quadrado, influencia o resultado final. Pode haver 
grande diferença entre valores de cv calculados com a espessura inicial da 
amostra e com algum outro valor de espessura reduzida, como as 
correspondentes para as leituras do extensômetro d100 ou d50, por exemplo. 
Duncan (1993) recomenda utilizar o valor da espessura de drenagem inicial da 
amostra mas usualmente as interpretações de ensaios de laboratório 
consideram a espessura de drenagem média H = (d100 - ds)/2. 
 
Ambos os métodos (Taylor e Casagrande) utilizam a mesma equação (Eq. 
2.31) para estabelecer o valor da leitura inicial corrigida ds mas diferem em 
relação ao método pelo qual estimam a leitura d100 correspondente ao final do 
adensamento primário. Em termos gerais, o método de Taylor é mais afetado 
pela compressão inicial da amostra, cujo efeito é aumentar o valor de cv, 
enquanto que o método de Casagrande é mais afetado pela ocorrência de 
compressão secundária, produzindo valores de cv usualmente mais baixos. 
Ambos os métodos são teoricamente válidos e deveriam produzir o mesmo 
valor para o coeficiente de adensamento se a curva teórica Uv versus Tv fosse 
fielmente reproduzida pelos resultados de laboratório. Duncan (1993), com 
base na constatação de que na maioria dos casos as velocidades de recalque 
estimadas pela teoria convencional do adensamento são inferiores às medidas 
em campo, sugere a utilização do método de Taylor que, por utilizar maiores 
valores de cv, tenderia a diminuir a diferença entre velocidades de recalque 
previstas e observadas. 
 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 86 
 
2.6.2 Parâmetros de compressibilidade 
 
Gráficos típicos de valores de índice de vazios (e) pós-adensamento versus 
tensão vertical efetiva  'v são mostrados na Fig. 2.19, exibindo uma 
compressão inicial, seguida por um ciclo de expansão e de recompressão. A 
forma destas curvas depende da história de tensões do solo, sendo 
aproximadamente linear para argilas normalmente adensadas (NA) e 
possuindo trecho inicial curvo para argilas pré-adensadas (PA). 
 
No descarregamento, observa-se também que o solo não segue a mesma 
trajetória de tensão da fase de carregamento, indicando que deformações 
plásticas irrecuperáveis ocorreram. 
 
A compressibilidade do solo, com base no comportamento dos gráficos da Fig. 
2.19, pode ser representada pelos seguintes parâmetros: 
 
 
Figura 2.19 – Gráficos de índice de vazios versus tensão vertical efetiva (Craig, 2004). 
 
a) Índice de compressão Cc e índice de recompressão Cr 
 
Os resultados do ensaio edométrico são normalmente apresentados em um 
gráfico semi-log (Fig. 2.19, à direita) onde no eixo das ordenadas, em escala 
aritmética, são plotados os valores do índice de vazios no final do estágio de 
carregamento e no eixo das abscissas, em escala logarítmica, os 
correspondentes valores de tensão vertical efetiva. 
 
Para valores baixos de tensão efetiva, a taxa de decréscimo do índice de 
vazios é normalmente pequena, evidenciando que se trata da recompressão de 
um solo pré-adensado. De fato, ao se retirar uma amostra indeformada do 
interior do maciço de solo há um alívio de tensões e a amostra se comportará 
como pré-adensada enquanto o valor da máxima tensão a que já esteve 
submetida em campo (chamada de pressão de pré-adensamento 'vm ) não for 
ultrapassada pela tensão vertical efetiva induzida pelo carregamento do ensaio. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 87 
 
O índice de recompressão Cr pode ser definido no trecho de pré-adensamento 
ou, similarmente, em um ciclo de expansão e recompressão. Em geral 
recomenda-se a determinação de Cr no ciclo de expansão e recompressão 
porque no trecho inicial a amostra pode ainda exibir efeitos de perturbação 
sofridos durante a etapa de preparação da amostra. Leonards (1976) sugere 
que este ciclo seja executado próximo ao valor da pressão de pré-
adensamento e que uma mesma inclinação média seja adotada para identificar 
as trajetórias de recompressão e expansão. 
 
'log v
r
e
C


 
 
(2.48) 
 
Para tensão vertical efetiva superior à pressão de pré-adensamento, define-se 
no trecho linear (chamado de reta virgem) o índice de compressão Cc 
 
'log v
C
e
C


 
 
(2.49) 
 
Valores típicos de Cc em argilas saturadas variam de 0.1 - 0.5, aumentando 
com o índice de plasticidade do solo. Em turfas e solos orgânicos o índice de 
compressão pode atingir até 3, ainda que em alguns casos (argila da cidade do 
México, como exemplo) possa ser tão alto quanto 10 (Mesri et al., 1975). Ladd 
(1971) sugeriu o intervalo 0.1  Cr/Cc  0.2 enquanto que para Leonards (1976) 
valores típicos se situam entre 0.015  Cc  0.035, decrescendo com a 
diminuição do índice de plasticidade (IP) do solo. 
 
A pressão de pré-adensamento 'vm , definida como a máxima tensão vertical 
efetiva que a amostra de solo já esteve submetida em sua história, pode ser 
determinada por vários métodos propostos na literatura, dentre os quais o 
método de Casagrande (1936) e o método Pacheco Silva (ABNT, 1990), este 
último normalizado no Brasil pelo documento MB-3336 da Associação 
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
 
Conhecida a pressão de pré-adensamento, é possível então determinar a 
razão de pré-adensamento do solo OCR6 definida como a razão entre a tensão 
vertical efetiva máxima 'vm e a tensão vertical efetiva atual 
'
v . 
 
a.1) Pressão de pré-adensamento: método de Casagrande (1936) 
 
Em relação à Fig. 2.20 o processo de determinação da pressão de pré-
adensamento segue os seguintes passos: 
i) marcar na curva o ponto A de máxima curvatura (ou de raio mínimo); 
ii) por este ponto, traçar uma horizontal e uma tangente à curva, formando 
entre elas o ângulo; 
iii) a interseção da bissetriz do ângulo  com o prolongamento da reta virgem 
determina então a pressão de pré-adensamento 'vm .6
 da terminologia inglesa overconsolidation ratio 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 88 
 
 
 
 
Figura 2.20 - Método de Casagrande para determinação da pressão de pré-adensamento 
'
vm 
 
a.2) Pressão de pré-adensamento: método de Pacheco Silva (1990) 
 
Em relação à Fig. 2.21 o processo de determinação da pressão de pré-
adensamento segue os seguintes passos: 
i) Pelo índice de vazios inicial e0 traçar uma horizontal e determinar seu ponto 
de interseção com o prolongamento da reta virgem; 
ii) por este ponto, traçar uma vertical até cruzar com a curva de ensaio e, em 
seguida, a partir deste ponto de interseção traçar uma horizontal até encontrar 
o prolongamento da reta virgem, determinando-se assim a pressão de pré-
adensamento 'vm . 
 
 
Figura 2.21 - Método de Pacheco Silva para determinação da pressão de pré-adensamento 
'
v (escala log) 
 (escala log) 
ín
d
ic
e 
d
e 
v
az
io
s 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 89 
 
 
b) Coeficiente de compressibilidade av 
 
Definido anteriormente na Fig. 2.2 como 
'
v
v
e
a


 . Na realidade, trata-se de 
uma relação tensão vs deformação pois 
 
   
 
'
v
v
0'
v
0
0
'
v
0
0
'
v
s
v
'
v
v e1
AL
LA
e1
V
V
e1
V
V
e
a














 
 
 
(2.50) 
 
onde A é a área da seção transversal da amostra, L= L - L0 a variação da 
espessura da amostra no estágio de carregamento sendo L0 e L as espessuras 
inicial e final, respectivamente, e0 o índice de vazios inicial. Como L < L0 o 
resultado final da Eq. 2.50 é positivo. 
 
c) Coeficiente de variação volumétrica mv 
 
Por definição, 
 
''
0
'
0
v
v
vv
v
AL
LA
V
V
m


 







 
 
(2.51) 
 
Conclui-se portando das Eqs. 2.50 e 2.51 que 
01 e
a
m vv

 
 
(2.52) 
 
d) Módulo de compressão confinada M 
 
Também chamado de módulo de deformação 1D ou módulo edométrico, tem a 
seguinte definição, já introduzida no capítulo 1 pela Eq. 1.9 
v
vM





'
 
 
(2.53) 
 
Das Eqs. 2.51, 2.52 e 2.53 
 
vv a
e
m
M 0
11 
 
 
(2.54) 
 
A relação entre o módulo de compressão confinada M (estado 1D de 
deformação) e o módulo de Young E (estado 3D de deformação) também foi 
estabelecida anteriormente no capítulo 1 (Eq. 1.9). 
 
 
  




121
1E
M 
(1.9) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 90 
 
 
Observação 1 - Note que se v = vu = 0.5 (condição não drenada) o valor de 
M e 0z  , i.e. o solo não apresenta recalque não drenado (também 
chamado imediato ou elástico) quando carregado. Observe também que à 
medida que o adensamento ocorre, os valores do coeficiente de Poisson vu = 
0.5 e do módulo de elasticidade não drenado Eu mudam gradualmente para os 
valores dos parâmetros elásticos do esqueleto sólido ' e 'E (condição 
drenada). Admitindo o comportamento do solo como elástico linear, existe a 
seguinte relação entre os parâmetros nas condições drenada e não drenada 
 
     '''
'
12
3
1212  





E
EEE
G u
u
u 
 
(2.55) 
 
onde G é o módulo de cisalhamento. Lambe e Whitman (1969) reportam que 
em solos a razão Eu/ E' é superior ao valor elástico teórico, não sendo incomum 
encontrar-se valores de 3 a 4 superiores no caso de argilas NA. 
 
Observação 2 - A Tabela 2.4 lista as relações existentes entre os diversos 
parâmetros de compressibilidade utilizados para cálculo de recalques na teoria 
unidimensional. 
 
Tabela 2.4 - Relação entre os parâmetros de compressibilidade no estado 1D de deformação 
(Lambe e Whitman, 1969) 
 
 M mv av Cc 
M 
v
vM





'
 
vm
M
1
 
va
e
M 0
1
 
 
C
v
C
e
M
435.0
1 '0  
mv 
M
mv
1
 
'
v
v
vm




 
01 e
a
m vv

 
  '01
435.0
v
C
v
e
C
m

 
av 
M
e
av
01 
  vv mea 01 
'
v
v
e
a


 
'
435.0
v
C
v
C
a

 
Cc  
M
e
C vC
435.0
1 '0  
 
435.0
1 '0 vv
C
me
C

 
435.0
'
vv
C
a
C

 'log v
C
e
C


 
onde 
'
v representa a tensão vertical efetiva média no intervalo. 
 
As relações entre os parâmetros M, mv e av foram estabelecidas a partir de 
suas definições. Entretanto, não são evidentes as relações entre estes 
parâmetros e o índice de compressão Cc mostradas na Tabela 2.4. 
 
Para compreender a relação entre Cc e av, por exemplo, considere a definição 
do índice de compressão em termos infinitesimais, 
 
   
'''
'
'
''
'
435.0
30.2
30.2
ln
30.2
log
log
v
c
v
C
v
v
v
vC
v
C
vC
v
C
CC
d
de
a
dC
d
C
dCde
d
de
C







 
 
 
(2.56) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 91 
 
No caso de incrementos de tensão finitos, considerar 'v igual ao valor médio 
da tensão vertical efetiva no intervalo ( 'v =
'
v ). 
 
 
2.7 RECALQUE NÃO DRENADO, DE ADENSAMENTO PRIMÁRIO E DE 
COMPRESSÃO SECUNDÁRIA 
 
Como já mencionado, o recalque total  de uma camada de solo pode ser 
decomposto em três parcelas, calculadas por formulações distintas: a) o 
recalque não drenado e ou recalque elástico ou recalque imediato, avaliado 
por formulação da teoria da elasticidade linear, que ocorre imediatamente após 
a aplicação do carregamento; b) recalque de adensamento primário c cuja 
evolução no tempo, na hipótese 1D de deformação, pode ser prevista com 
base na dissipação média dos excessos de poropressão Uv calculados pela 
teoria de adensamento de Terzaghi; c) recalque de compressão secundária 𝜌𝑠 
que pode ser significativo em turfas e solos altamente orgânicos. 
 
 
2.7.1 Recalque não drenado 
 
Parcela do recalque  e que ocorre imediatamente após o carregamento, sem 
qualquer mudança de volume do solo saturado. Normalmente calculada pela 
formulação da teoria da elasticidade linear considerando os parâmetros Eu 
(módulo de Young não drenado) e u = 0.5 de um meio elástico, isotrópico e 
homogêneo. Para o estado 1D de deformações, o recalque não-drenado é nulo 
pois, como já mencionado, M e 0z  . 
 
2.7.2 Recalque final de adensamento primário - método direto 
 
Considere uma camada de solo homogêneo saturado de espessura inicial b0 
sujeita a um carregamento infinito de intensidade q que provoca um recalque 
final de adensamento 
c
  t . Este deslocamento, considerado positivo na 
mecânica dos solos quando indica encurtamento da espessura da camada de 
solo (recalque), é definido como 
 
10
bb
c
 (2.57) 
 
onde b1 representa o valor da espessura final da camada. 
 
Definindo agora o acréscimo de deformação vertical de compressão como 
 
0
b
1
b
0
b
v

 
(2.58) 
obtém-se da Eq. 2.57 
 
v0
b
c
  (2.59) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânicados Solos 
C. Romanel 92 
 
 
Considerando que no caso 1D de deformações a variação de volume 
(compressão) é expressa como 
0
0
0 V
VV
V
V 


 
0
e1
e
0
b
0
V
V
0
b
v0
b
c 


 (2.60) 
com eee 0  a diferença entre os valores do índice de vazios inicial e final, 
respectivamente. 
 
Em termos do parâmetro 'vvvm   o recalque final de adensamento 
primário pode ser expresso da Eq. 2.59 como 
 
'
vv
m
0
b
v0
b
c
  (2.61) 
 
Em termos do parâmetro M = 1/mv resulta diretamente da Eq. 2.61 
M
'
v
0
b
c

  
(2.62) 
 
e em termos do parâmetro  01 ema vv  
'
v
0
e1
v
a
0
b
c


 
(2.63) 
 
Considerando os parâmetros Cc e Cr três situações devem ser examinadas: 
 
a) Solo pré-adensado com tensão vertical final '' vmvf   . 
Considerando na Eq. 2.60 que '
v
log
r
Ce
0
ee   resulta 
'
0v
'
v
'
0vlog
0
e1
r
C
0
b'
0v
log'
vf
log
0
e1
r
C
0
b
c










 

 
 
(2.64) 
b) Solo normalmente adensado com tensão vertical inicial '' 0 vmv   . 
'
0v
'
v
'
0v
0
C
0c log
e1
C
b





 
 
(2.65) 
c) Solo pré-adensado com ''' 0 vfvmv   













'
vm
'
vf
log
C
C
'
0v
'
vmlog
r
C
0
e1
0
b
c




 
 
(2.66) 
 
Observação 1 - Note da Eq. 2.66 que o recalque é calculado por meio de um 
modelo bilinear de comportamento mecânico do solo com índices Cr e Cc. 
 
Observação 2 - As Eqs. 2.61 a 2.66 se referem ao cálculo do recalque final de 
adensamento primário  t . Na prática da engenharia, é necessário 
também conhecer a evolução do recalque com o tempo. Como na teoria de 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 93 
 
Terzaghi as deformações e a drenagem associada à dissipação dos excessos 
de poropressão ocorrem ambas na direção vertical, então o recalque de 
adensamento primário no tempo t é diretamente proporcional à porcentagem 
média de dissipação dos excessos de poropressão Uv neste mesmo tempo. 
 
  cv
t
c tU   (2.67) 
 
2.7.3 Recalque de adensamento primário - método indireto 
 
O recalque final de adensamento primário pode ser calculado pelo método 
indireto subdividindo-se a camada de solo em um número adequado de sub-
camadas, conforme explicado no capítulo 1, seção 1.7.1.2, utilizando valores 
dos parâmetros do estado 1D de deformação: M, av, mv, CC e Cr. 
 
 
2.7.4 Recalque de adensamento primário – carregamento não instantâneo 
 
Uma solução aproximada (Taylor, 1948) pode ser aplicada para a previsão de 
recalque de adensamento no caso de carregamento linearmente crescente 
com o tempo até t = tc (tempo de construção) e em seguida constante (Δq = qc). 
O recalque de adensamento no instante t para um carregamento não 
instantâneo )t(nic pode ser determinado em função do recalque de 
adensamento para carregamento instantâneo )t(ic por: 
 
a) no período de construção (0 < t  tc) 
 
recalque carregamento = recalque carregamento x fração do carregamento 
 não instantâneo em t instantâneo em 0.5t aplicada em t 
 
 
   
c
i
c
ni
c
q
q
t5.0t


  
 
(2.68) 
b) após o período de construção ( t > tc) 
 
recalque carregamento = recalque carregamento 
 não instantâneo em t instantâneo em (t - 0.5tc) 
 
 
 c
i
c
ni
c t5.0t)t(  (2.69) 
 
Um fato comum na prática da engenharia é a ocorrência de carregamentos 
descontínuos, isto é, uma obra (por exemplo, aterro) é construída durante certo 
tempo, em seguida interrompida e finalmente, depois de algum período, 
retomada com a continuidade da aplicação do carregamento, assumido como 
linearmente crescente até atingir o valor final qc no tempo tc. Nesta situação, as 
soluções para cada estágio de carregamento podem ser obtidas de forma 
independente, aplicando-se as equações ou método gráfico para cada 
carregamento separadamente, e os resultados somados para obtenção da 
curva final recalque x tempo. 
 
 
2.7.5 Recalque de compressão secundária 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 94 
 
 
Compressão secundária é geralmente interpretada como aquela que ocorre 
após o término do adensamento primário (Fig. 2.22). Esta definição é bastante 
simplificada pois sugere que a compressão secundária somente inicia quanto 
toda a camada de solo completou o processo de adensamento. Se assim o 
fosse, elementos de solo junto aos contornos de drenagem não deveriam 
experimentar nenhum efeito de compressão secundária até que ocorresse o 
final do adensamento nos elementos de solo situados na região central da 
camada. 
 
A compressão secundária provavelmente resulta da ação de diferentes 
mecanismos, ainda não completamente compreendidos, dentre os quais: 
 
a) solos têm vazios de diferentes tamanhos, e água pode drenar dos vazios 
maiores de acordo com a teoria do adensamento primário e ser expulsa mais 
lentamente dos vazios menores, produzindo efeitos de compressão secundária. 
 
b) em solos orgânicos contendo restos vegetais, a água pode drenar dos 
vazios do solo de acordo com a teoria do adensamento primário e ser expulsa 
lentamente dos vegetais através das paredes das células, produzindo efeitos 
de compressão secundária; 
 
c) em alguns solos orgânicos, a condutividade hidráulica decresce mais do que 
uma ordem de magnitude durante o adensamento. O adensamento primário é 
naturalmente mais rápido na fase inicial do processo, diminuindo gradualmente 
com a redução da condutividade hidráulica do solo e produzindo efeitos 
aparentes de compressão secundária; 
 
d) curvas tensão x deformação altamente não lineares podem produzir um 
comportamento carga x recalque semelhante ao observado nas curvas 
experimentais envolvendo adensamento primário e compressão secundária. 
 
Como mencionado, não é completamente conhecido se, e em que grau de 
importância, qualquer um dos (ou outros) mecanismos acima controla os 
efeitos de compressão secundária e que podem variar para diferentes tipos de 
solo. 
 
Sob tais circunstâncias, embora exista na literatura formulação matemática 
para modelagem da compressão secundária (o modelo apresentado por 
Gibson e Lo (1961) é o mais conhecido) é pouco comum a sua aplicação na 
análise de problemas de recalque. A maioria dos métodos práticos é ainda 
baseada na proposição de Buisman (1936) que constatou em ensaios de 
laboratório uma relação linear entre a compressão secundária e o logaritmo do 
tempo, com inclinação representada através do coeficiente de compressão 
secundária C 
 
t
e
C
log

 
 
(2.71) 
A caracterização da compressão secundária por meio de curvas lineares é 
criticada por vários autores que afirmam que a curva recalque versus tempo 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 95 
 
(escala log) tende a se tornar gradualmente horizontal e que uma 
representação da compressão secundária por segmento de reta éjustificada 
apenas porque o período de tempo da realização do ensaio de laboratório não 
foi suficientemente longo. Por outro lado, ensaios de longo prazo também são 
difíceis de serem executados e interpretados, pois questões surgem sobre a 
influência do crescimento de matéria orgânica devido à presença de oxigênio, a 
oxidação de minerais de ferro presentes na amostra, a influência de pequenas 
trepidações no ambiente do laboratório, etc. 
 
 
Figura 2.22 - Ocorrência de compressão secundária no método de Casagrande para 
determinação do coeficiente de adensamento. 
 
Mesri et al. (1994) sugerem que C seja relacionado com o índice de 
compressão Cc conforme Tabela 2.5. 
 
Tabela 2.5 - Valores de CCC para solos
7
 (Mesri et al., 1994). 
 
Solo 
CCC 
Argila e silte inorgânico 0.04 ± 0.01 
Argila e silte orgânico 0.05 ± 0.01 
Turfa 0.06 ± 0.01 
 
Sob ponto de vista prático, restaria ainda saber a partir de que tempo t* o 
recalque devido à compressão secundária deveria ser adicionado ao valor do 
recalque de adensamento primário. A maneira mais simples e utilizada (ainda 
que arbitrária) é considerar que a compressão secundária inicia a partir do final 
do adensamento primário (Fig. 2.22). 
 
 
7
 No caso de solos PA os valores da Tabela 2.5 se referem à relação rCC , indicando que a 
compressão secundária em solos pré-adensados é menos significativa do que para solos NA. 
L
ei
tu
ra
 d
o
 e
x
te
n
sô
m
et
r
o
 (
m
m
) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 96 
 
Considerando a Eq. 2.60, o recalque de compressão secundária s pode ser 
obtido como 
 
p
s
t
t
og
e
C
b
e
e
b 
0
0
0
0
11 



   
 
(2.72) 
 
onde e0 é o índice de vazios inicial, tp o tempo para final do adensamento 
primário e t o tempo onde se deseja avaliar a parcela de recalque s. 
 
De modo geral, pode-se dizer que dentre os aspectos relacionados com a 
estimativa de recalques na engenharia geotécnica, o tema da compressão 
secundária ainda foi pouco desenvolvido, tanto no sentido de compreender 
seus mecanismos como quantificar a influência e importância de cada um dos 
seus possíveis agentes. Na ausência de uma abordagem plenamente aceita, o 
método de Buisman (1936) é ainda o mais utilizado para fornecer estimativas 
da parcela de recalque causada por compressão secundária. 
 
2.8) DRENOS VERTICAIS 
 
A maioria dos depósitos de argila são anisotrópicos, formados por deposição 
de camadas horizontais (ou quase horizontais) com coeficiente de 
permeabilidade na direção horizontal kh superior ao valor do coeficiente de 
permeabilidade na direção vertical kv. Logo, se drenagem com fluxo na direção 
horizontal ocorrer, então a porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão, a evolução com o tempo do recalque de adensamento primário, o 
acréscimo de tensões efetivas e o aumento da resistência ao cisalhamento do 
solo aconteceriam sob velocidades maiores do que as estimativas previstas 
pela teoria do adensamento 1D. 
 
Uma técnica para acelerar a dissipação dos excessos de poropressão consiste 
na instalação de drenos verticais, com a execução de furos na camada de 
argila e posterior preenchimento utilizando areia bem graduada, que permita 
um fluxo eficiente da água (função de dreno) mas que também impeça a 
migração de partículas finas do solo através de seus vazios (função de filtro). 
 
Atualmente drenos pré-fabricados (Figs 2.23 e 2.24) são empregados, 
inseridos em furos previamente abertos ou no interior de tubos cravados 
através do maciço de solo até profundidades superiores a 60m. Para 
determinação do raio do dreno equivalente rd no caso de drenos pré-fabricados 
de forma retangular axb, várias sugestões existem na literatura, mas para 
aplicações práticas a seguinte expressão parece ser a mais recomendada 
(Atkinson e Eldred, 1981; Jansen e den Hoedt, 1983; Rixner et al. 1986): 
 
𝑟𝑑 = 
𝑎+𝑏
4
 (2.73) 
 
Drenos são normalmente instalados em configurações quadrada ou triangular 
(Fig. 2.25) e a definição do espaçamento entre eles, normalmente entre 1 a 4m, 
é o objetivo principal do projeto. O espaçamento deve ser, naturalmente, menor 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 97 
 
do que a espessura da camada, não sendo vantajoso, portanto, a utilização de 
drenos em camadas relativamente finas. 
 
O raio de drenagem R é determinado pela equivalência de áreas entre um 
círculo e um quadrado (configuração quadrada) ou entre um círculo e um 
hexágono (configuração triangular). 
 
Para configuração quadrada, 
 
SSRSR 564.022   (2.74) 
 
onde S é a distância entre os drenos verticais. 
 
Para a configuração triangular 
 
SSR
S
R 525.0
2
3
34
6
42
2 

 
 
(2.75) 
 
A razão entre os coeficientes de adensamento na direção horizontal ch e na 
direção vertical cv situa-se normalmente no intervalo 21  vh cc , sendo o 
dreno mais eficiente quanto maior for esta relação. Ambos os coeficientes de 
adensamento na região de solo imediatamente vizinho à periferia do furo 
podem ser significativamente reduzidos devido ao amolgamento provocado 
pela instalação do dreno, fenômeno conhecido como efeito smear. Na 
formulação do adensamento radial, o efeito smear pode ser incorporado 
diminuindo-se o valor do coeficiente de adensamento horizontal ch ou 
reduzindo-se o valor do raio do dreno. Outra complicação que poderia ocorrer é 
a tendência do dreno de areia atuar como uma coluna, reduzindo o acréscimo 
de tensão vertical na camada de argila, no que pode resultar em baixos valores 
de poropressão não totalmente dissipados e recalques de adensamento 
primário não totalmente acontecidos. Este efeito é mínimo no caso de drenos 
pré-fabricados devido à grande flexibilidade dos geossintéticos (Fig. 2.26). 
 
Observações: 
 
i) Drenos verticais podem ser ineficientes em argilas pré-adensadas se o 
acréscimo de tensão vertical efetiva não for suficiente para ultrapassar o valor 
da pressão de pré-adensamento. De acordo com Bjerrum (1972) a utilização de 
drenos verticais em argilas PA é recomendada quando 
 
𝑙𝑜𝑔
𝜎𝑣𝑓
′
𝜎𝑣𝑚
′
𝑙𝑜𝑔
𝜎𝑣𝑓
′
𝜎𝑣0
′
> 0,6 (2.76) 
 
ii) O amolgamento de argilas pré-adensadas devido ao processo de instalação 
dos drenos pode majorar os valores de recalque de adensamento. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 98 
 
iii) Drenos verticais não podem controlar a ocorrência de recalque de 
compressão secundária de camadas de argila. 
 
iv) Parte ou toda a água coletada pelo sistema de drenos irá fluir para o tapete 
de drenagem na superfície (Fig. 2.23). Como a permeabilidade da areia é 
consideravelmente mais alta do que a da argila, é usualmente considerado no 
projeto que não haverá o desenvolvimento de resistência hidráulica no tapete, 
especificando-se uma camada suficientemente espessa (mais do que 0,5m) de 
areia limpa (porcentagem de finos inferior a 5%). 
 
 
 
Figura 2.23- Drenos verticais diminuem o comprimento de drenagem e aceleram a dissipação 
dos excessos de poropressão gerados pelo carregamento. 
 
 
 
 
Figura 2.24 - Drenos verticais pré-fabricados em polipropileno, com canais para drenagem da 
água em ambos os lados, envolvido por um filtro de geossintético de alta permeabilidade, 
flexibilidade e resistência. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 99 
 
 
Figura 2.25 - Padrões de configuração (quadrada e triangular) e raio de influência R dos drenos 
separados entre si da distância S. 
 
 
 
Figura 2.26 - Deformação de drenos pré-fabricados durante adensamento. 
 
2.8.1) Adensamento primário com drenagem radial 
 
A obtenção da equação diferencial governante do adensamento 1D na direção 
radial r foi obtida por Rendulic (1935), 
 
















2
2
1
r
u
r
u
r
c
t
u ee
h
e 
 
 (2.77) 
 
onde o coeficiente de adensamento na direção horizontal é definido por 
  vwrh aekc  1 , sendo kr o coeficiente de permeabilidade radial e admitindo 
a tensão vertical total v constante. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 100 
 
Barron (1948) obteve a solução da Eq. 2.77 considerando a lei de Darcy válida, 
que a zona de influência do dreno é circular e que a permeabilidade do dreno é 
infinita em comparação com a do solo. 
 
O excesso de poropressão ue no tempo t na distância radial Rrrd  é 
expresso pela seguinte equação, onde n = R/rd é o raio de drenagem R 
normalizado em relação ao raio do dreno rd. 
 










































2
2
2
2
2
exp1
2
1
),(
R
tc
Fr
r
r
r
nn
Fn
q
tru h
nddn
e  
 
 (2.78) 
 
variando do valor ue = 0 em r = rd até um valor máximo em r = R. 
 
A porcentagem média de dissipação radial dos excessos de poropressão Ur no 
fator tempo 2hr RtcT  é calculada por 








 r
n
rr T
F
TU
2
exp1)( ou 
 
 (2.79) 
 
  0U1nFT2 rnr   onde 
 
2
2
2
2
4
13
1 n
n
nn
n
n
Fn



  
 
(2.80) 
 
(2.81) 
 
 
Uma expressão aproximada foi sugerida por Hansbo (1981), 
 
  75.0nnFn   (2.82) 
 
Para alguns valores de n a Eq. 2.79 está representada nos gráficos da Fig. 
2.27. 
 
2.8.2) Drenos verticais com efeito smear 
 
A instalação de drenos no campo, por cravação ou carregamento estático, 
perturba o solo na região vizinha aos furos. O grau de perturbação depende do 
tipo de solo, varia com a distância à parede do furo e possivelmente com a 
profundidade do furo, influenciando a porcentagem média de dissipação dos 
excessos de poropressão na direção radial Ur. 
 
Barron (1944, 1948) assumiu que a zona de solo amolgado pode ser 
representada por uma casca cilíndrica ao redor do dreno. O modelo consiste 
portanto de um dreno cilíndrico de raio rd, em contato com uma casca cilíndrica 
de solo amolgado, saturado, de raio externo rs e coeficiente de permeabilidade 
ks, seguido por outra casca cilíndrica de solo homogêneo intacto com raio 
externo R e coeficiente de permeabilidade radial kr. 
 
A seguinte solução foi apresentada por Moran et al. (1958) para a porcentagem 
média de dissipação dos excessos de poropressão Ur 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 101 
 






 rrr TTU

2
exp1)( ou 
 
 
 (2.83) 
  0U1nT2 rr   onde (2.84) 
 
 sn
n
sn
k
k
n
s
s
n
n
sn
n
s
r 
2
22
2
2
22
2
4
75.0








 com ds rrs  
 
 
 (2.85) 
 
 
Uma expressão aproximada foi sugerida por Hansbo (1981), 
 sn
k
k
75.0
s
n
n
s
r  





 com ds rrs  (2.86) 
 
 
Figura 2.27 - Relação Ur = Ur(Tr) para adensamento radial (Barron, 1948). 
 
Análises mostram que um decréscimo significativo do coeficiente de 
permeabilidade na zona amolgada produz um drástico aumento no tempo 
necessário para atingir determinado valor da porcentagem média Ur exceto na 
óbvia situação em que 1 ds rrs e a Eq. 2.83 se reduz para a Eq. 2.79. 
 
A razão entre os coeficientes de permeabilidade rs kk depende da realização de 
ensaios especiais, raramente executados. De acordo com Hansbo (1986, 1987) 
e Hird e Moseley (2000) esta razão varia entre 0.1 a 0.33, enquanto Bergado et 
al. (1991) sugerem valores entre 0.5 e 0.66. Na falta de informações Hansbo 
(1981) sugere usar rvrs k/kkk  que, no caso de argilas moles brasileiras, 
corresponde a valores entre 0.5 a 0.66 (Almeida, 1996). 
 
Vários pesquisadores (Hansbo, 1997; Jamiolkowski et al., 1983; Bergardo et 
al., 1993; Holtz e Holm, 1973; Sathananthan e Indraratna, 2006) indicam que o 
raio da zona de solo amolgado varia de 2 a 3 vezes o raio equivalente do 
mandril utilizado para instalação do dreno. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 102 
 
2.8.4) Adensamento primário 1D com drenagem vertical e radial 
 
Considerando a drenagem combinada pelo fluxo simultâneo nas direções 
vertical e radial, a equação diferencial governante do adensamento primário 
pode ser expressa por 
 



















2
2
2
2 1
r
u
r
u
r
c
z
u
c
t
u ee
h
e
v
e 
 
 (2.87) 
 
Carrillo (1942) obteve a solução desta equação como 
 
    rv UUU  111 (2.88) 
 
onde U é a porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão 
considerando fluxo nas direções vertical e radial, Uv a porcentagem média de 
dissipação dos excessos de poropressão devido ao fluxo na direção vertical 
(Eqs. 2.30, 2.31) e Ur a porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão devido ao fluxo na direção radial (Eqs. 2.79 ou 2.83). 
 
2.9) PRÉ-CARREGAMENTO COM ATERRO 
 
Pré-carregamento consiste na aplicação de uma sobrecarga temporária sq 
em uma camada de solo antes da construção da estrutura permanente. A 
intensidade do pré-carregamento deve ser suficiente para eliminar grande parte 
do recalque final de adensamento primário. Em solos pré-adensados, para que 
a técnica seja eficiente, é necessário ultrapassar o valor da pressão de pré-
adensamento. Removido o carregamento temporário, com o solo na condição 
PA, pode-se estimar que os eventuais recalques de compressão secundária 
devam ser inferiores aos que aconteceriam com a camada de solo na condição 
NA. 
 
Como vantagens principais do pré-carregamento podem ser citadas: 
 
a) para sua construção, apenas equipamentos convencionais de movimento de 
terra são necessários; 
b) existe um longo histórico de casos de sucesso com a utilização desta 
técnica; 
c) podem apresentar uma relação custo-benefício bastantefavorável no caso 
de obras que gerem pequenos carregamentos (rodovias, pisos de 
estabelecimentos comerciais como supermercados, etc.) desde que o material 
de aterro seja facilmente disponível. 
 
Como desvantagens mencionam-se: 
 
a) aterros devem estender-se horizontalmente além do perímetro planejado de 
construção, o que pode não ser possível em locais confinados; 
b) podem necessitar do transporte de grandes quantidades de solo; 
c) o período de permanência da sobrecarga pode atrasar o cronograma da 
construção. Pré-carregamentos são geralmente projetados para durarem de 3 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 103 
 
a 9 meses e, no caso de depósitos de solo de grande espessura, este tempo 
pode ser reduzido com a instalação simultânea de drenos verticais. 
 
O princípio da técnica de pré-carregamento está ilustrado na Fig. 2.28, onde o 
carregamento temporário ( sq ) que excede o carregamento da construção 
permanente ( fq ) é aplicado durante determinado tempo ts.. Considerando 
dupla drenagem, observa-se que quando o carregamento temporário é 
removido, a região central da camada de argila terá adensado menos do que 
as regiões próximas aos contornos. Se a porcentagem média de dissipação 
dos excessos de poropressão Uv for usada como critério para remoção de qs 
então a região central da camada continuará a adensar após a retirada do 
carregamento temporário enquanto que as regiões das bordas irão expandir. 
Embora estes efeitos tendam a se contrabalançar, o recalque excederá a 
expansão visto que o índice de compressão Cc é superior ao índice de 
recompressão Cr. 
 
Johnson (1970) recomenda utilizar a porcentagem de dissipação do excesso 
de poropressão no centro da camada Uz=1 como critério de remoção do 
carregamento temporário e não o valor médio Uv para toda a espessura da 
camada. 
 
 
Figura 2.28 - Esquema de pré-carregamento para acelerar recalques de adensamento. 
 
Admitindo no centro de uma camada de argila NA a existência de uma 
subcamada de espessura unitária (b0 = 1), com plano médio coincidente com Z 
= 1, então: 
 
a) recalque final de adensamento da subcamada de espessura unitária devido 
aos carregamentos temporário e permanente sq + fq 
'
0v
fs
'
0v
C
0
v0
fs
c
qq
logC
e1
1
1b





 
 
 (2.89) 
 
ts 
qs 
qf 
 
 
q 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 104 
 
b) recalque final de adensamento da subcamada de espessura unitária devido 
ao carregamento permanente fq 
'
0v
f
'
0v
C
0
v0
f
c
q
logC
e1
1
1b





 
 
 (2.90) 
 onde ' 0v é a tensão vertical efetiva inicial no centro da camada (Z = 1). 
 
No tempo ts o recalque devido ao carregamento sq + fq iguala o recalque 
final devido ao carregamento fq (Fig. 2.29), podendo-se definir a 
porcentagem de dissipação do excesso de poropressão no centro da camada 
de espessura unitária por 
 
  fc
fs
c
fs
Z
f
cs
fs
c Utt  



1 (2.91) 
 


















































f
s
'
0v
f
'
0v
f
f
s
'
0v
f
c
'
0v
f
c
fs
1Z
q
q
1
q
1log
q
1log
q
q
1
q
1logC1
q
1logC1
U












 
 
 
 (2.92) 
 
 
 
 
Observe que Eq. 2.92 representa na realidade a razão entre deformações 
verticais no centro da camada de argila visto que a espessura da subcamada 
foi admitida unitária. 
 
Com relação à utilização da Eq. 2.928, duas situações podem ocorrer: 
 
i) o valor da sobrecarga sq é conhecido e pede-se calcular o tempo ts de 
aplicação da mesma. Neste caso, avaliar fs 1ZU

 como estimativa da 
porcentagem de dissipação do excesso de poropressão em Z = 1, determinar 
em seguida o valor de Tv correspondente ao centro da camada com auxílio das 
isócronas da Fig. 2.4 e calcular o tempo ts considerando a definição usual do 
fator tempo. 
 
ii) o valor do tempo ts é conhecido e pede-se calcular o valor da sobrecarga 
sq . Neste caso, calcular o valor do fator tempo Tv e, em seguida, a 
porcentagem de dissipação do excesso de poropressão em Z = 1, por meio das 
isócronas da Fig. 2.4. Resolver em seguida a Eq. 2.92 para fs qq  (portanto 
sq ) considerando 
'
0v a tensão vertical efetiva inicial no plano médio da 
camada. 
 
2.10 RECALQUES ADMISSÍVEIS 
 
 
8
 Observe que a Eq. 2.92 poderia ter sido obtida expressando-se o recalque final de adensamento primário 
em função de outro parâmetro de compressibilidade como, por exemplo, mv . 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 105 
 
O carregamento de maciços de solo com uma estrutura sempre produz 
deslocamentos. Se os movimentos forem significativos, a estrutura deixa de 
funcionar de maneira adequada, atingindo um estado limite que pode provocar 
desde danos em sua aparência (trincas, inclinação de paredes, ...), passando 
pela perda de sua utilidade (portas emperradas, desalinhamentos de 
equipamentos, ruptura de tubulações devido a recalques diferenciais, ...) 
podendo mesmo atingir o colapso estrutural (inclinação de fundações levando 
a rupturas de pilares, ruptura do solo de fundação, perda de sustentação 
devido a deslizamentos, ...). 
 
O cálculo dos deslocamentos de estruturas é uma tarefa difícil e complicada, e 
a experiência demonstra que as previsões são geralmente insatisfatórias. 
Algumas das razões da dificuldade desta tarefa são as seguintes: a maioria das 
estruturas é muito complicada para ser modelada detalhadamente, as 
propriedades dos materiais envolvidos são conhecidas apenas 
aproximadamente, análises são feitas como se as estruturas fossem 
construídas exatamente como projetadas, efeitos de longo prazo são 
geralmente ignorados, etc. 
 
Movimentos de edificações podem ser classificados em: (a) recalque de corpo 
rígido; (b) rotação de corpo rígido; (c) distorção. 
 
O recalque de corpo rígido não é usualmente um problema, ainda que possa 
trazer danos a tubulações e infraestrutura externa conectada à edificação 
(passarelas, por exemplo). Rotação de bloco rígido pode ser um problema para 
edifícios altos, a qual se torna perceptível quando a inclinação ultrapassar 
1/250. 
 
A distorção implica na deformação de uma estrutura e este fato causa a 
ocorrência de fissuras e outros danos a edificações. Bjerrum (1963) apresentou 
critérios para limites máximos de distorção angular em função do tipo de 
dano, conforme mostra a Tabela 2.6. Nesta investigação algumas estruturas 
aparentemente experimentaram maiores distorções sem a ocorrência de 
danos, mas nenhuma delas danificou sob valores menores de 
indicadosDeve ser ressaltado que estes dados se aplicam a estruturas 
tradicionais (anteriores à década de 1960) e que para estruturas modernas, 
mais flexíveis, os valores listados na Tabela 2.6 podem ser encarados como 
conservativos. 
 
Na prática, os valores limites de distorção não são utilizados pelo engenheiro 
geotécnico porque os projetos normalmente prevêem distorção zero, mas 
distorções podemocorrer devido à falta de uniformidade das condições do solo 
de fundação. 
 
Correlações foram então obtidas entre a distorção e o recalque total máximo 
max , expresso em polegadas, de acordo com as equações seguintes: 
 
Para fundações isoladas, 
maxmax
1200
1
  em argilas 
 
 (2.93) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 106 
 
 
maxmax
600
1
  em areias 
 
 (2.94) 
 
Como exemplo, considerando 3001max  em ambas as equações resultam os 
valores mm1004"max  para argilas e mm502
"
max  para areias. 
 
 
Tabela 2.6 - Distorção angular máxima para diversos tipos de dano em edificações
9
 (Bjerrum, 
1963). 
 
 
 
 
9
 H/L na Tabela 2.6 se refere à razão altura/comprimento de uma parede de alvenaria. 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 107 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas (1990) - Ensaio de adensamento 
unidimensional, MB 3336, Rio de Janeiro, 15p. 
 
Almeida, M.S. (1996) - Aterros sobre sobre moles: da concepção à avaliação do desempenho, 
editora UFRJ, 215p. 
 
Atkinson, M.S. e Eldred, P.J.L. (1981) – Consolidation of soils using vertical drains, 
Géotechnique, v. 31, n. 1, pp. 33-43. 
 
Barron, R. A. (1944) - The Influence of Drain Wells on the Consolidation of Fine-Grained Soils, 
U.S.Army Crops of Engrs. Dist., Providence. 
 
Barron, R. A. (1948) - Consolidation of Fine-Grained Soils by Drain Wells, Trans., ASCE, vol. 
113, pp. 718-754. 
 
Bergado, D.T., Mukherjee, K; Alfaro, M.C. e Balasubramaniam, A.S. (1993) – Prediction of 
vertical-band-drain performance by the finite element method, Geotextiles and 
Geomembranes, v.12, n.6, pp. 567-586. 
 
Bjerrum, L. (1963) - Allowable settlement of structures. Proc. European Conf. on Soil Mech. and 
Found. Eng., Wiesbaden, Alemanha, v. 3, 135-137. 
 
Bjerrum, L. (1972) – Embankments on soft ground. Specialty Conference on Performance of 
Earth and Earth Supported Structures, v. 2, pp. 1-54. 
 
Booker, J.R. (1974) - The Consolidation of a Finite Layer Subject to Surface Loading. lnt. J. 
Solids and Structures., vol. n10, pp. 1053-1065. 
 
Bolton, M.D. (1979) - A Guide to Soil Mechanics, Palgrave Macmillan, 456 p. 
 
Burland. J.B., Broms, B.B. e de Mello, V.F.B. (1977), Behaviour of Foundations and Structures, 
Proc. 9 ICSMFE, Tokyo, vol. 2, pp. 495-546. 
 
Buisman A.S. (1936) - Results of long duration settlement tests, Proc. 1st ICSMFE, Cambridge, 
Mass., vol.1, pp. 103-106. 
 
Butterfield, R. (1979) – A Natural Compression Law for Soils (an advance over e – ln p’), 
Géotechnique 29 (4), pp. 469-480. 
 
Carrillo, N. (1942) - Simple Two- and Three-Dimensional Cases in the Theory of Consolidation 
of Soils, Jour. of Math. and Physics, vol. 21, n. 1, pp. 1-5 
 
Casagrande, A. (1936) - The determination of preconsolidation load and its practical 
significance, Proc. 1st Int. Conf. Soil Mech. and Found. Eng., Harvard, vol. 3, pp. 60—64. 
 
Casagrande, A. e Fadum, R.E. (1940) - Notes on soil testing for engineering purposes, Harvard 
University Graduate School Publications, 268, 74 pp. 
 
Cray, R.F. (2004) – Craig’s Soil Mechanics, seventh edition, SPON Press, 447 p. 
 
Duncan, J.M. (1993) – Limitations of conventional analysis of consolidation settlement, Journal 
of Geotechnical Engineering, ASCE, vol. 119, nº 9, pp. 1333-1359. 
 
Fox, E.N. (1948) - The mathematical solution for the early stages of consolidation. Proc. 2nd Int. 
Conf. Soil Mech. Found. Engng., Rotterdam, vol.1, pp. 41-42. 
 
Gibson, R.E. e Lumb, P. (1953) - Numerical solution of some problems in the consolidation of 
clay, Proc. Institution of Civil Engineers, 2, part 1, 182-198. 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 108 
 
 
Gibson, R.E. e Lo, K. Y. (1961) - A theory of consolidation for soils exhibiting secondary 
consolidation, Acta Polytech. Scand., 296 p. 
 
Gray, H. (1945) - Simultaneous Consolidation of Contiguous Layers of Unlike Compressible 
Soils, Transactions ASCE, vol. 110, pp. 1327-1344. 
 
Hansbo, S. (1981) - Consolidation of fine grained soils by prefabricated drains, 10th 
International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Estocolmo, vol.3, 
pp. 677-682. 
 
Hansbo, S. (1986) – Preconsolidation of soft compressible subsoil by the use of prefabricated 
vertical drains, Annales des Travaux Publics de Belgique, v.6, pp. 553-563. 
 
Hansbo, S. (1987) – Design aspects of vertical drains and lime column installations, 9
th
 
Southest Asian Geotechnology Conference, Bangkok, pp. 1-12. 
 
Hansbo, S. (1997) – Aspects of vertical drain design: Darcian or non-Darcian flow, 
Géotechnique, v.47, n.5, pp. 983-992. 
 
Hird, C.C. e Moseley, V.J. (2000) – Model study of seepage in smear zones around vertical 
drains in layered soil. Géotechnique 50, n.1, pp. 89-97. 
 
Holtz, R.D. e Holm, B.D. (1973) – Excavation and sampling around some sand drains at Ska-
Eddeby, Sweden, Sixth Scandinavian Geotechnical Meeting, Trondhein, Norwegian 
Technical Institute, pp. 75-79. 
 
Jamiolkowski, M., Lancelotta, R. e Wolski, W. (1983) - Precompression and speeding up 
consolidation, 8th European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, v. 
3, pp. 1201 – 1226. 
 
Jansen, H.L. e den Hoedt, G. (1983) – Vertical drains: in situ and laboratory performance and 
design consideration in fine soils, 8th European Conference on Soil Mechanics and 
Foundation Engineering, v.2, pp. 647-651. 
 
Johnson, S.J. (1970) - Precompression for improving foundation soils, J. Soil Mech. and Found. 
Eng., Amer. Soc. of Civ. Engrs. vol. 96, SM1, pp. 110-144. 
 
Jumikis, A.R. (1962) – Soil Mechanics, Van Nostrand Company, 791 p. 
 
Ladd, C.C. (1971) – Settlement analysis of cohesive soils, Soil Publication 272, Massachussetts 
Institute of Technology, Department of Civil Engineering, Cambridge, Mass., 92 pp. 
 
Lambe, T.W. e Whitman, R.V. (1969) – Soil Mechanics, John Wiley & Sons, 553 p. 
 
Leonards, G. A. (1976) - Estimating consolidation settlements of shallow foundations on 
overconsolidated clays, Special Report 163, Transportation Research Board, pp. 13-16. 
 
Mesri, G. e Rokhsar, A. (1974) – Theory of consolidation for clays. Journal of Geotechnical 
Division ASCE, vol. 100, nº GT8, 889-904. 
 
Mesri. G; Rokhsar, A. e Bohor, B.F. (1975) - Composition and compressibility of typical samples 
of Mexico City clay, Géotechnique 25, pp. 527-554. 
 
Mesri, G., Lo, D.O.K. e Feng, T-W. (1994), Settlement of embankments on soft clays. Geot. 
Spec. Pub. 40, ASCE. 1,pp. 8-56. 
 
Moran, Proctor, Meuser e Rutledge (1958) - Study of Deep Soil Stabilization by Vertical Sand 
Drains, Publ. PB151692, U.S.Dept. of Commerce. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 109 
 
Newmark, N.M. (1942) – Influence charts for computation of stresses in elastic foundations, 
University of Illinois Bulletinnº 338. 
 
Olson, R. E. (1977) - Consolidation under time dependent loading, Journal of Geotechnical 
Engineering, ASCE, vol. 103, n.1, pp. 55-60. 
 
Olson, R.E. (1989) - Advanced Soil Mechanics (class notes), Chaoyang University of 
Technology, Department of Construction Engineering. 
 
Poulos, H.G. e Davis, E.H. (1974) – Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, John Wiley 
& Sons, 411 p. 
 
Rendulic, L. (1935) - Der hydrodynamische spannungsausgleich in zentral entwasserten 
tanzylindern, Wasser-wirtschaft, 2, pp. 250-253. 
 
Rendulic, L. (1936) - Porenziffer und Porenwasserdruck in Tonen, Der Bauingenieur, vol.17, n º 
51/53, pp 559-564. 
 
Rixner, J.J., Kraemer, S.R. e Smith A.D. (1986) – Prefabricated vertical drains, Federal Highway 
Admiistration, Washington DC, Report n
o
 HWA-RD-86/169. 
 
Sathananthan, I. e Indraratna, B. (2006) – Laboratory evaluation of smear zone and correlation 
between permeability and moisture content, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental 
Engineering, ASCE, v. 132, n.7, pp. 942-945. 
 
Schmertmann, J.H. (1955) – The undisturbed consolidation of clay, Transactions, ASCE, v. 120, 
pp. 1201 – 1233. 
 
Schmertmann, J.H. (1955) – The Undisturbed Consolidation of Clay, Transactions ASCE, vol. 
120, pp. 1201 – 1233. 
 
Tavenas, F.; Des Rosiers, J.P.; Leroueil, S; La Rochelle, P; Roy, M. (1979) – The use of Strain 
Energy as a Yield and Creep Criterion for Lightly Overconsolidated Clays, Géotechnique 29 
(3), pp. 285-303. 
 
Terzaghi, K. (1923) - Dir Berechnung der Durchlassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlaug der 
Hydro-dynamischen Spannungserscheinungen, Sitzungberichte, Akademie der 
Wissenschaften, Vienna, part I, 132 (3/4), pp. 125—138. 
 
Terzaghi, K. (1925) – Erdbaumechanik auf Bodenphysikalischer Grundlage, Leipzig, Alemanha. 
 
Taylor, D.W. (1948) – Fundamentals of Soil Mechanics, John Wiley & Sons, New York, 700p. 
 
Terzaghi, K. e Fröhlich, O.K. (1936) – Theorie der setzung von Tonschchten, Viena, Áustria. 
 
University of Sidney (1997) - CIVL 3401 Soil Mechanics A, Senior Year Examination 
 
U.S. Navy (1962) - Design Manual - Soil Mechanics, Foundations and Earth Structures, 
NAVDOCKS DM-7. 
 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 110 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Um ensaio de adensamento com dupla drenagem foi feito com uma amostra 
de argila com espessura inicial de 2 cm. Os valores listados abaixo se referem 
aos resultados medidos em 2 estágios de carregamento. Pede-se determinar a 
espessura da amostra quando a leitura do extensômetro é 0.696 cm. 
 
Carregamento 
(kPa) 
Leitura do extensômetro 
(cm) 
Índice de vazios 
e 
0 --- --- 
200 0.769 0.815 
400 0.665 0.710 
 
O índice de vazios inicial e0 e a leitura inicial do extensômetro ℓ0 podem ser 
estimados a partir da Eq. 2.60 do cálculo do recalque final de adensamento. 
Para o estágio de carregamento ∆q = 200 kPa 
0
0
0
0
0c
e1
815.0e
2769.0
e1
e
b




 

 
(A1) 
e para o estágio de carregamento ∆q = 400 kPa 
0
0
0
0
0c
e1
710.0e
2665.0
e1
e
b




 

 
(A2) 
Resolvendo as Eqs. A1 e A2 vem 
 
cm971.002.1e 00   
 
A espessura b1 da amostra quando a leitura do extensômetro é 0.696 cm é 
obtida como 
 
   cm725.1696.0971.02b696.0971.0bb 110  
 
2) Um aterro granular de 6m de largura e de grande comprimento foi construído 
sobre uma camada de argila de 3m de espessura sobrejacente a uma rocha 
impermeável. O nível d’água situa-se a 0.5m abaixo da superfície do terreno. 
Se o aterro aplica uma sobrecarga de 75 kPa na superfície do terreno, e a 
argila encontra-se saturada acima do nível d’água, pede-se calcular, 
considerando o peso específico da água w = 10kN/m
3, o recalque final de 
adensamento primário da camada de argila pela teoria 1D. A argila tem a 
seguintes propriedades: 
Índice de vazios no centro da camada 0.8 
Densidade dos grãos Gs 2.6 
Razão de pré-adensamento OCR 4 
Índice de compressão Cc 0.21 
Índice de recompressão CR 0.035 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 111 
 
Peso específico saturado da argila 
 
3
w
s
sat m/kN9.1810
8.01
8.016.2
e1
SeG






  
 
Tensão vertical efetiva inicial no centro da camada de argila 
kPa35.180.15.1 wsat
'
0v   
 
Pressão de pré-adensamento 
kPa4.7335.1844OCR 'vm'
0v
'
vm  


 
Tensão vertical efetiva final após carregamento 
 
Considerando a Eq. 1.38 ou gráficos da Fig. 1.8 vem 
 
∆𝜎𝑣
′ = 
𝑝
𝜋
[𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛼] com  = 2.214 (1.39) 
∆𝜎𝑣
′ = 71.96 𝑘𝑃𝑎 
kPa31.9096.7135.18'v
'
0v
'
v   
 
Como 'v > 
'
vm então o recalque deverá ser calculado como a soma das 
seguintes parcelas: 
m067.0
4.73
31.90
log21.0
35.18
4.73
log035.0
8.01
3
logClogC
e1
b
c
'
vm
'
v
C'
0v
'
vm
r
0
0
c















































 
 
3) Pretende-se construir um edifício em um local onde passa um duto enterrado 
contendo cabos de grande sensibilidade. O projeto prevê uma fundação 
retangular (Fig. ER1) que transmite um carregamento uniforme de 220 kPa na 
superfície do solo. Uma planta baixa da edificação e da posição do cabo pode 
ser vista na figura. 
 
O solo consiste de 2m de areia sobre um depósito de argila de 5m de espessura 
sobrejacente a rocha sã. O duto está enterrado no meio da camada de argila, 
conforme mostra o corte vertical da Fig. ER2. O nível d´água coincide com o 
topo da camada de argila. A areia está seca com d = 15 kN/m
3 e a argila 
possui sat = 18 kN/m
3. Para ambos os tipos de solo Gs = 2.6 e a razão de pré-
adensamento OCR = 3 em toda a camada de argila. A areia pode ser assumida 
incompressível e para a argila considere Cr = 0.1, Cc = 0.5. 
 
Pede-se determinar, considerando peso específico da água w = 10kN/m
3: 
 
a) o recalque final de adensamento primário nos pontos A, B e C do duto 
através da teoria 1D. 
 
Índice de vazios inicial na camada de argila 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 112 
 
 
1e10
e1
e16.2
18
e1
SeG
w
s
sat 





  
 
Observar que o recalque do duto será produzido pelas deformações verticais 
da subcamada de argila entre as profundidades 4.5m < z < 7m 
 
Tensão vertical efetiva inicial na profundidade média z = 5.75m desta 
subcamada, 
 
kPa6075.38215' 0v  kPa180360OCR
'
0v
'
vm  
 
i) Acréscimo de tensão vertical sob o ponto A (Fig. ER3) 
 
3.1
75.5
5.7
5.77.0
75.5
4
4  nnzmmz (m e n são intercam-
biáveis). 
 
Do gráfico de Fadum (Fig. ER5)10 ou Tabela ER1 vem f(m,n) = 0.16 
 
kPanmfqv 8.14016.02204),(4
'  
 
kPavvv 8.2008.14060
''
0
'   
 
Como 'v > 
'
vm então o recalque deverá ser calculado como a soma das 
seguintes parcelas: 
 
m09.0
180
8.200
log5.0
60
180
log1.0
11
5.2
logClogC
e1
b
'
vm
'
v
C'
0v
'
vm
r
0
0
c 











































 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER1 – Planta da fundação superficial retangular 
 
 
10
 embora o perfil apresente duas camadas de diferentes solos a solução elástica aproximada utilizada na 
solução deste problema considera um maciço de solo homogêneo. 
4m 
4m 
15m 
7.5m 4m 
A B C 
Linha do duto 
enterrado 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 113 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER2 - Corte do perfil de solo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER3 – Localização do ponto A no canto de 4 subáreas retangulares (7.5m x 4m). 
 
ii) Acréscimo de tensão vertical sob o ponto B (Fig. ER4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER4 – Localização do ponto B no canto de 2 subáreas retangulares (15m x 4m). 
 
NA 
4m 
4m 
7.5m 
Linha do duto 
enterrado 
A 
Rocha 
Duto 
Areia 
Argila 
Argila 2.5m 
2m 
220 kPa 
2.5m 
4m 
15m 
B 
Linha do duto 
enterrado 
4m 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 114 
 
 
Figura ER5 – Gráficos do fator de influência f(m,n) para cálculo do acréscimo de tensão vertical 
na profundidade z abaixo do canto de uma área retangular uniformemente carregada sobre 
material elástico, homogêneo e isotrópico. (b) No ponto A obtém-se q)n,m(fv  - 
(Newmark, 1942) 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 115 
 
Tabela ER1 – Fator de influência f(m,n) para cálculo do acréscimo de tensão vertical na 
profundidade z abaixo do canto de uma área retangular uniformemente carregada sobre material 
elástico, homogêneo e isotrópico. 
 
 
 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 116 
 
6.2
75.5
15
n15nz7.0
75.5
4
m4mz  
 
Do gráfico de Fadum (Fig. ER5) ou Tabela ER1 vem f(m,n) = 0.17 
 
kPa8.7417.02202)n,m(fq2'v   
kPa8.1348.7460'v
'
0v
'
v   
 
Como 'v < 
'
vm então o recalque deverá ser calculado como 
 
m04.0
60
8.134
log1.0
11
5.2
logC
e1
b
'
0v
'
v
r
0
0
c 

















 
 
iii) Acréscimo de tensão vertical sob o ponto C (Fig. ER6) 
 
Considerando área retangular estendida até o ponto C 
3.3
75.5
19
n19nz7.0
75.5
4
m4mz  
Do gráfico de Fadum (Fig. ER5) ou Tabela ER1 vem f1 (m,n) = 0.17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER6 – Localização do ponto C no canto de 2 subáreas retangulares (19m x 4m). 
 
Considerando área retangular 4 x 4 m2 que passa pelo ponto C (Fig. ER7) 
7.0
75.5
4
n4nz7.0
75.5
4
m4mz  
 
Do gráfico de Fadum (Fig. ER5) ou Tabela ER1 vem f2(m,n) = 0.13 
 
  kPa6.1704.02202)n,m(f)n,m(fq2 21
'
v   
kPa6.776.1760'v
'
0v
'
v   
 
Como 'v < 
'
vm então o recalque deverá ser calculado por 
m01.0
60
6.77
log1.0
11
5.2
logC
e1
b
'
0v
'
v
r
0
0
c 

















 
4m 
15m 4m 
A C 
Linha do duto 
enterrado 
19m 
4m 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER7 – Localização do ponto C no canto de 2 subáreas retangulares (4m x 4m). 
 
b) Estes recalques poderiam causar algum dano ao duto enterrado admitindo-
se que a máxima distorção angular do duto não deve ultrapassar 0.005? 
 
Distorção angular entre os pontos A e B 
0067.0
5,7
04,009,0
tan 

 > 0.005 - potencial de dano ao duto enterrado 
Distorção angular entre os pontos B e C 
 
0075.0
4
01,004,0
tan 

 > 0.005 - potencial de dano ao duto enterrado 
 
4 - No perfil de solo da Fig. ER8, no instante t = 0 um bombeamento é executado 
na camada de areia 3 causando uma redução instantânea da carga de pressão 
hp = 2m em todos os seus pontos. No tempo t = 30 dias, uma camada 
superficial de areia (γt = 20 kN/m
3), de grande extensão e espessura de 2m, é 
removida da superfície do terreno. Considerando o peso específico da água 
3/10 mkNw  pede-se determinar o diagrama de poropressões em: (a) t < 0; (b) t 
= 0; (c) t = 30 dias; (d) t = 90 dias; (e) t 
 
Preencha também a tabela de poropressões (Tabela ER2). 
 
Tempo para adensamento das camadas de argila 2 e 3 
 
dias9,57s105t
100
t102
1
H
tc
T 6
2
3
2
v
v 



 
 
Tempo para adensamento da camada de argila 1 
 
dias29s105,2t
100
t104
1
H
tc
T 6
2
3
2
v
v 



 
 
As distribuições de poropresssão nos tempos solicitados estão mostradas nas 
Figs. ER9 a ER12. 
 
4m 
B C 
Linha do duto 
enterrado 
4m 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 118 
 
 
Figura ER8 - Perfil de solo com camadas alternadas de argila e areia. 
 
 
a) t < 0 (Fig. ER9) 
 
 
Figura ER9 – Perfil de distribuição de poropressões com a profundidade em t < 0. 
 
 
 
 
0 
 
4m 
6m 
8m 
9m 
11m 
12m 
NA 
Areia 1 
Areia 3 
Areia 4 
argila 1 
argila 2 
cv = 4 x 10
-3cm2/s 
 
cv = 2 x 10
-3cm2/s 
k = 2 x 10-7cm/s 
k = 1 x 10-8cm/s 
Areia 2 
argila 3 
k = 1 x 10-8cm/s 
cv = 2 x 10
-3cm2/s 
14m 
 20 kN/m3 
0 
 
4m 
6m 
8m 
9m 
11m 
12m 
NA 
areia 1 
areia 3 
areia 4 
argila 1 
argila 2 
 
areia 2 
argila 3 
14m 
piezômetros 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 119 
 
b) t = 0 (Fig. ER10) 
 
 
 
Figura ER10 – Perfil de distribuição de poropressões com a profundidade em t=0. 
 
 
c) t = 30 dias (Fig. ER11) 
 
 
Figura ER11 – Perfil de distribuição de poropressões com a profundidade em t=30 dias. 
0 
 
4m 
6m 
8m 
9m 
11m 
12m 
NA 
areia 1 
areia 3 
areia 4 
argila 1 
argila 2 
 
areia 2 
argila 3 
14m 
us 
2m 
 
4m 
6m 
8m 
9m 
11m 
12m 
NA 
areia 1 
areia 3 
areia 4 
argila 1 
argila 2 
 
areia 2 
argila 3 
14m 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel120 
 
 
 
d) t = 90 dias e t → ∞ (Fig. ER12) 
 
 
Figura ER12 – Perfil de distribuição de poropressões com a profundidade em t=90 dias e 
t . 
 
 
Tabela ER2 - Poropressões (kPa) no perfil de solo em diversos tempos. 
 
profundidade t < 0 t = 0 t = 30 dias t = 90 dias t 
4m 0 0 0 0 0 
6m 20 20 20 / -20 20 20 
8m 40 40 0 / 40 40 40 
9m 50 50 50 / 10 50 50 
11m 110 110 / 90 50 / 90 90 90 
12m 120 100 / 120 100 / 60 100 100 
14m 100 100 60 / 100 100 100 
 
5 - Um grande aterro rodoviário (Δqf = 60 kPa) será construído sobre uma camada de 
argila de 6m de espessura sobrejacente a um estrato de areia profunda. Para minimizar 
a ocorrência de recalque após aplicação do revestimento asfáltico, um pré-
carregamento (Δqs) instantâneo é aplicado sobre a camada de argila durante um 
período de 1 ano, conforme Fig. ER13. O material do aterro é altamente permeável e as 
propriedades da argila são cv = 4,5 m
2/ano e mv = 0,001 m
2/kN. Pede-se calcular: (a) o 
recalque final de adensamento primário; (b) o valor do pré-carregamento Δqs se o 
projeto especifica que o pavimento não deve experimentar recalque de adensamento 
primário no início da execução do revestimento asfáltico em t = 1 ano; (c) repetir 
pergunta anterior considerando que o início do revestimento asfáltico acontece em t = 
1,5 anos. 
2m 
4m 
6m 
8m 
9m 
11m 
12m 
NA 
areia 1 
areia 3 
areia 4 
argila 1 
argila 2 
 
areia 2 
argila 3 
14m 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 121 
 
 
 
Figura ER13 – Aplicação de pré-carregamento pelo período de 1 ano antes do início da 
construção do pavimento. 
 
a) Recalque final de adensamento 
 
Observe que a função do pré-carregamento é acelerar o recalque mas não 
modificar o seu valor final. Assim sendo, 
 
mmb cvvc 36,060001,06
'
0   
 
b) Considerando um pré-carregamento de intensidade Δqs pelo período de 1 
ano, a proporção entre os recalques finais de adensamento primário causados 
pelo carregamento permanente (Δqf = 60 kPa) e pelo carregamento total (Δqs + 
Δqf ) é escrita como 
 
  60
60
0
0
1





sfsv
fvfs
Z
qqqmb
qmb
U com 5,0
3
15,4
T
H
tc
T
2v2
v
v 



 
 
Na Fig. 5.3, para Z = 1 e Tv = 0,5 determina-se 63,0U
fs
1Z 

 . Logo, 
 
kPa,q
q
, s
s
235
60
60
630 

 
 
c) Neste caso entre t = 1 ano e t = 1,5 anos o recalque progride devido ao 
carregamento permanente Δqf = 60 kPa, calculando-se o acréscimo 
51
1
,t
t

 . 
Para t = 1,5 anos 750
3
5154
22
,
,,
T
H
tc
T v
v
v 



 
  c,
,,
,
,,
,t
tc
t
V
,t
V
,t
t UU  


































93320
085050
93320
0850750
51
1
15151
1 101101 
  m,,,,,tt 03903607639087260
51
1 

 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 122 
 
A proporção entre os recalques de adensamento primário em t = 1 ano 
causados pelo carregamento permanente (Δqf = 60 kPa) e pelo carregamento 
total (Δqt = Δqs + Δqf) é escrita como 
 
630
51
1
1 ,U
sf
f
qq
,t
t
q
fs
Z 










 da Fig. 5.3 com Z = 1 e Tv = 0,5 
 
  kPa,q
,
,
qmb,
,,
ssv
qq
qq
sf
sf
924
630
3210
60630
0390360
0 
 



 
6 - Um aterro será construído sobre uma camada de argila de 10m de 
espessura sobrejacente a rocha sã. A construção aumentará a tensão vertical 
total na argila em 65 kPA. O projeto especifica a porcentagem média de 
dissipação dos excessos de poropressão U = 0.85 após 6 meses do 
carregamento instantâneo. Determine em uma malha quadrada o espaçamento 
necessário de drenos verticais (diâmetro de 400mm) que permita atender às 
condições de projeto. Considerar para a argila smcv /105.1
27 e 
smch /105.2
27 . 
 
a) Determinação de Uv após 6 meses 
 
0233.0
10
606024306105.1
H
tc
T
2
7
2
v
v 



 
 
 
Da Eq. 2.31 
 
60.017.0
0233.04
4
2 




vvv UUT 
 
 
Da Eq. 2.88 
 
         
82.0
117.0185.01111


r
rrv
U
UUUU
 
 
 
Espaçamento entre os drenos verticais 
 
222
7
2
2.97
2.0
606024306105.2
nnR
tc
T hr 




 
 
 
a) Solução numérica rigorosa 
 
Das Eqs. 2.80 e 2.81 vem 
 
    082.01n
n4
1n3
nn
1n
n
n
2.972
2
2
2
2
2





 




 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 123 
 
 
que resolvida numericamente com auxílio do programa MatLab resulta em n = 
8.8 
 
b) Solução numérica aproximada 
 
Das Eqs. 2.80 e 2.82 vem 
 
     082.01n75.0nn
n
2.972
2


 
que resolvida numericamente com o programa MatLab resulta em n = 8.8 
 
c) Solução gráfica (Fig. ER14) 
 
n 
Fig. 2.27 
 Tr 
Fig. 2.27 
 n* = rT2.97 
5 0.8 11.0 
 
7 
 
1.1 9.4 
 
10 
 
1.5 
 
8.0 
 
O valor procurado é obtido pela interseção da curva interpolada com os 3 
pontos da terceira coluna e a reta n* = n desenhada pela origem dos eixos, com 
inclinação de 45, conforme mostra a Fig. ER14, determinando o valor 
aproximado n = 8,5. O raio de drenagem é calculado como R = nrd = 8.8(0.2) = 
1.76m e, finalmente, para uma malha quadrada de drenos verticais o 
espaçamento é determinado como m1.3RS   . Observe que para a 
obtenção desta interseção, os 3 valores escolhidos de n devem delimitar o 
resultado final, o que é indicado pelo comportamento do sinal da diferença 
entre n e n*. No caso, n – n* = (-6.0, -2.4, 2), o que permite inferir que o 
resultado final deve estar compreendido entre 7 < n < 10. 
 
 
Figura ER14 – Solução gráfica aproximada para obtenção de n = R/rd. 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 124 
 
 
7 - Um aterro com peso específico natural 20kN/m3 foi construído sobre o perfil 
de solo indicado na Fig. ER15. No dia 2 de maio de 2010 a cota do nível d’água 
no interior do piezômetro foi de +5.5m, em relação ao nível do terreno (NT), e 
no dia 2 de maio de 2011 foi de +4.0m. Calcular a data da construção do 
aterro, admitindo carregamento instantâneo e peso específico da água w = 10 
kN/m3 . 
 
 
Figura ER15 – Medição da carga de pressão no plano médio da camada de argila. 
 
Coordenada normalizada do plano médio da camada de argila 
5.0
6
3
H
z
Z  
 
Excesso de poropressão no dia 2 de maio de 2010 
 
    kPa650.45.1010hhu ssp1pw1e   
 
Excesso de poropressão no dia 2 de maio de 2011 
 
    kPa500.40.910hhu ssp2pw2e   
 
Porcentagem de dissipação do excesso de poropressão em Z = 0.5 no dia 02 
de maio de 2010 
 
2
v
1v
0
1e
1Z
6
tc
075.0T4.2.Fig1875.0
204
65
1
u
u
1U 

 
 
(A3) 
 
Porcentagem de adensamento em Z = 0.5 no dia 02 de maio de 2011 
 
 
2
v
2v
0
2e
2Z
6
1tc
15.0T4.2.Fig375.0
204
50
1
u
u
1U



 
 
(A4) 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia CivilENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 125 
 
Logo, das Eqs. (A3) e (A4) resulta 
 
anot
tt
cv 1
1
15.0075.0
62


 
 
Logo, início da construção em 02/05/2009 
 
 
 
8 - O cronograma de obra prevê que 90% do recalque final de adensamento 
primário causado pelo aterro rodoviário (t = 20 kN/m
3 , h = 3m) da Fig. ER16 
deverá ocorrer em até 150 dias. Considerando instantânea a aplicação do 
carregamento, pede-se verificar: 
 
a) se a condição de projeto vai ser atendida; 
 
b) caso negativo, uma das opções do engenheiro é utilizar um pré-
carregamento com o mesmo material do aterro definitivo, também admitido 
aplicado instantaneamente. Por questões de estabilidade, a altura da 
sobrecarga não pode ultrapassar 2,5m. Verificar se esta alternativa atende à 
condição de projeto. 
 
Figura ER16 – Aterro rodoviário sobre maciço de solo contendo camada de argila. 
 
a) Coeficiente de variação volumétrica da argila mv 
kN/m10
10610
106
c
k
m 23
8
10
vw
v








 
 
 
 
Recalque final de adensamento primário devido ao aterro rodoviário 
 
mmb vv
aterro
c 24,0320104
3'
0 
 
 
Critério de projeto: recalque em t = 150 dias deve ser no mínimo igual a 90% do 
recalque final de adensamento primário causado pelo aterro. 
 
aterro rodoviário 3m 
areia 
areia 
argila 
areia 
 
 
 
0 
3m 
5m 
9m 
NA 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 126 
 
mprojetodt 216,090,024,0150  
 
Recalque de adensamento em t = 150 dias para carregamento instantâneo 
 
600490
19044
190
2
606024150106
2
8
2
,,
,T
U
,
H
tc
T
v
v
v
v








 
 
 
 
mUv
aterro
c
aterro
dt 118,049,024,0150   
 
Portanto, o critério de projeto não é satisfeito considerando dissipação dos 
excessos de poropressão somente por drenagem vertical. 
 
b) Verificação do recalque provocado por pré-carregamento de altura h = 2,5m. 
 
     mqqmb fsvpreaterroc 44,035,220104 30   
 
Na Fig. 5.3, considerando Z = 1 e Tv = 0,19 determina-se 2201 ,U
fs
Z 

 . Logo, 
 
mU fsZ
preaterro
c
preaterro
dt 097,022,044,01150 



  
 
Portanto, o critério de projeto não é atendido considerando a aplicação do 
aterro e do pré-carregamento; uma possível alternativa seria combinar o pré-
carregamento com drenos verticais. 
 
9 – (Prova P1 – 2014.2) Para o depósito de solo da Fig. ER17 pede-se traçar 
os diagramas de poropressão nos instantes t < 0, t = 0, t   e completar as 
tabelas ER3, ER4 e ER5. Considerar isoladamente os seguintes eventos 
instantâneos: i) rebaixamento do nível do lençol freático de NA1 para NA2, 
incluindo variação do peso específico da camada de areia 2; ii) bombeamento 
na camada intermediária de areia 2 (aquífero artesiano) com decréscimo da 
carga de pressão hp = 2m em todos os pontos da camada; iii) remoção da 
camada superficial de areia de 2m de espessura. 
 
Desconsiderar efeitos de capilaridade. Notar que para os eventos isolados i), ii) 
e iii) os diagramas de poropressão em t < 0 são iguais. 
 
Propriedades dos solos 
 
solo peso específico (kN/m
3
 ) cv (m
2
/ano) k (m/ano) 
areia 1 17 ----- ----- 
areia 2 20 ----- ----- 
argila 16 1,25 0,02 
 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER17 – Perfil de solo com indicação de cargas de pressão por piezômetros. 
 
Figura ER18 – Distribuição de poropressão com a profundidade em t < 0 
para os eventos i), ii) e iii). 
areia 2 
areia 2 
areia 2 
argila 
areia 2 
argila 
areia 2 
areia 1 
0 
2m 
4m 
5m 
7m 
9m 
13m 
15m 
NA1 
NA2 
piezômetros 
Aquífero artesiano 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 128 
 
 
Figura ER19 – Distribuição de poropressão (rebaixamento + variação do peso específico) com 
a profundidade em t = 0 no evento i) 
 
 
Figura ER20 – Distribuição de poropressão com a profunidade no instante t → ∞ 
 para o evento i 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 129 
 
 
Figura ER21 – Distribuição de poropressão com a profundidade no instante t = 0 
para o evento ii 
 
 
Figura ER22 – Distribuição de poropressão com a profundidade no instante t → ∞ 
 para o evento ii 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 130 
 
 
Figura ER23 – Distribuição de poropressão com a profundidade no instante t = 0 
para o evento iii 
 
 
Figura ER24 – Distribuição de poropressão com a profundidade no instante t → ∞ 
para o evento iii 
 
 
 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 131 
 
Tabela ER3 - Valores de poropressão (kPa) - evento i 
 
z (m) t < 0 t = 0 t   
2 0 0 0 
4 20 0 0 
5 30 10 / 24 10 
7 70 64 / 70 70 
9 90 90 / 84 90 
13 110 104 / 110 110 
15 130 130 130 
 
Tabela ER4 - Valores de poropressão (kPa) - evento ii 
 
z (m) t < 0 t = 0 t   
2 0 0 0 
4 20 20 20 
5 30 30 30 
7 70 70 / 50 50 
9 90 70 / 90 70 
13 110 110 110 
15 130 130 130 
 
Tabela ER5 - Valores de poropressão (kPa) - evento iii 
 
z (m) t < 0 t = 0 t   
2 0 0 0 
4 20 20 20 
5 30 30 / -4 30 
7 70 36 / 70 70 
9 90 90 / 56 90 
13 110 76 / 110 110 
15 130 130 130 
 
 
10 – (Prova P4 – 2015.1) No perfil de solo da Fig. ER25, no instante t = 0 é 
executado um rebaixamento de 3m no nível do lençol d'água de NA1 para NA2. 
No final do adensamento primário devido ao rebaixamento, em termos de 
engenharia, executou-se um bombeamento na camada de areia 2 (aquífero 
artesiano) com o rebaixamento da carga de pressão de 5m em todos os pontos 
da camada de areia. Considerando peso específico da água 
3/10 mkNw  , 
peso específico saturado das argilas 
3arg /16 mkNilasat  , peso específico saturado 
da areia 
3/20 mkNareiasat  e peso específico total da areia acima do NA 
3/18 mkNareiat  , pede-se determinar, desconsiderando a influência da variação 
do peso específico da camada superior de areia, a distribuição de poropressões 
em: 
 
(a) t < 0; (b) t = 0; (c) em t = 13 dias; (d) no instante do final do adensamento 
primário (em termos de engenharia)devido ao rebaixamento do NA; qual é o 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 132 
 
valor deste tempo? (e) no instante do bombeamento com rebaixamento da carga 
de pressão em todos os pontos da camada de areia 2; (f) t ; (g) as 
velocidades de fluxo no tempo t = 13 dias nas profundidades z = 7m e z = 12m 
a partir da superfície do terreno; (h) o recalque final na superfície do terreno 
devido ao adensamento das camadas de argila. 
 
Preencher os valores de poropressão da tabela ER6. 
Tabela ER6 - Poropressões (kPa) no perfil de solo em diversos tempos com diagramas de 
poropressão correspondentes apresentados nas Figs ER26 a ER32 
 
 
 
Profundidade 
(m) 
 
 
t < 0 
 
 
t = 0 
 
 
t = 13 
dias 
t 
final do 
adensamento 
devido ao 
rebaixamento 
t 
instante do 
bombeamento na 
camada de areia 
2 
 
 
t 
3 0 0 0 0 0 0 
6 30 0/30 0 0 0 0 
7 56,67 56,67 47,47 36,67 36,67 20 
8 83,33 83,33 82,33 73,33 73,33 40 
9 110 110 110 110 110/60 60 
11 130 130 130 130 80/130 80 
12 115 115 115 115 115 90 
13 100 100 100 100 100 100 
16 130 130 130 130 130 130 
 
 
 
Figura ER25 – Perfil de solo 
 
a) Final do adensamento da camada de argila 1 em termos de engenharia: 
 
Para 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣 𝑡
𝐻2
= 1 ⟹ 𝑡 = 
1.52
4𝑥10−3𝑥10−4
= 65.1 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
b) Análise para t = 13 dias 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 133 
 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣 𝑡
𝐻2
= 
4𝑥10−3𝑥10−4𝑥13𝑥24𝑥60𝑥60
1.52
 ⟹ 𝑇𝑣 = 0.2 
 
b.1) Porcentagem de adensamento 𝑈𝑧 em z = 7m ⟹ z* = 1m (a partir do topo da 
camada de argila) 
 
𝑍 = 
𝑧∗
𝐻
= 
1
1.5
= 0.667 
 
Do gráfico das isócronas da Fig. 2.9 (distribuição triangular inicial dos excessos de 
poropressão) 
 
𝑇𝑣 = 0.2 𝑍 = 0.667 𝑈𝑧 = 0.64 
 
Poropressão na condição permanente 𝑢𝑠𝑠
𝑁𝐴 = 36.67𝑘𝑃𝑎 
 
Poropressão em t = 13 dias 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠
𝑁𝐴 + 𝑢𝑒
𝑁𝐴 = 36.67 + (1 − 0.64)𝑥30 ⟹ 𝑢 = 47.47𝑘𝑃𝑎 
 
b.2) Porcentagem de adensamento 𝑈𝑧 em z = 8m ⟹ z* = 2m (a partir do topo da 
camada de argila) 
 
𝑍 = 
𝑧∗
𝐻
= 
2
1.5
= 1.333 
 
Do gráfico das isócronas da Fig. 2.9, 
 
𝑇𝑣 = 0.2 𝑍 = 1.333 𝑈𝑧 = 0.70 
 
Poropressão na condição permanente 𝑢𝑠𝑠
𝑁𝐴 = 73.33𝑘𝑃𝑎 
 
Poropressão em t = 13 dias 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠
𝑁𝐴 + 𝑢𝑒
𝑁𝐴 = 73.33 + (1 − 0.70)𝑥30 ⟹ 𝑢 = 82.33𝑘𝑃𝑎 
 
b.3) Velocidade de fluxo em z = 7m 
𝑣𝑡 = 𝑘𝑖 = 𝑘 × 
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤𝐻
 × 
Z
U z

 ⟹ 𝑣𝑡 = 2𝑥10
−7 × 
30
10𝑥1.5
 × 
0.15
0.667
= 0.9 × 10−7 𝑐𝑚/𝑠 (↑) 
 𝑣𝑠𝑠 = 𝑘𝑖 = 𝑘 𝑥 
𝛥ℎ
𝐿
 ⟹ 𝑣𝑠𝑠 = 2𝑥10
−7 × 
8
3
= 5.33 × 10−7𝑐𝑚/𝑠 (↑) 
 
𝑣 = 𝑣𝑡 + 𝑣𝑠𝑠 = 0.9 × 10
−7 + 5.33 × 10−7 = 6.23 × 10−7 𝑐𝑚/𝑠 (↑) 
 
 
b.4) Velocidade de fluxo em z = 12m 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘𝑖 = 𝑘 × 
𝛥ℎ
𝐿
 ⟹ 𝑣𝑠𝑠 = 2𝑥10
−7 × 
5
2
= 5 × 10−7𝑐𝑚/𝑠 (↓) 
 
c) Recalque da superfície do terreno 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 134 
 
𝑚𝑣 = 
𝑘
𝛾𝑤𝑐𝑣
= 
2𝑥10−7×10−2
4𝑥10−3×10−4
= 0.5 × 10−3 
𝑚2
𝑘𝑁
 
 
c.1) Recalque da camada superior de argila devido ao rebaixamento do NA, 
considerando o ponto médio z = 7.5m 
𝜌𝑐
𝑁𝐴 = 𝑏0 𝑚𝑣 𝛥𝜎𝑣
′ = 3 × 0.5 × 10−3𝑥15 ⟹ 𝜌𝑐
𝑁𝐴 = 22.5 × 10−3 𝑚 
Observe que o valor 𝛥𝜎𝑣
′ = 15 𝑘𝑃𝑎 correspondente ao ponto médio faz com que a área 
triangular dos acréscimos de tensão vertical efetiva seja calculada exatamente 
( 𝑏0∆𝜎′𝑣
𝑏 2 =⁄ 𝑏0𝛥𝜎𝑣
′). O mesmo raciocínio se aplica aos casos de bombeamento dos itens c.2 
e c.3. 
 
c.2) Recalque da camada superior de argila devido ao bombeamento da camada de 
areia considerando o ponto médio z = 7,5m 
𝜌𝑐
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 𝑏0 𝑚𝑣 𝛥𝜎𝑣
′ = 3 × 0,5 × 10−3 × 25 ⟹ 𝜌𝑐
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 37,5 × 10−3 𝑚 
 
c.3) Recalque da camada inferior de argila devido ao bombeamento da camada de areia 
considerando o ponto médio z = 12m 
𝜌𝑐
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 𝑏0 𝑚𝑣 𝛥𝜎𝑣
′ = 2 × 0,5 × 10−3 × 25 ⟹ 𝜌𝑐
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 25 × 10−3 𝑚 
 
c.4) Recalque total da superfície de terreno: 
𝜌𝑐 = (22,5 + 37,5 + 25) × 10
−3 = 85 × 10−3 𝑚 
 
Figura ER26 – Distribuição de poropressão em t < 0 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 135 
 
 
 
Figura ER27 – Distribuição de poropressão em t = 0 
 
 
 
Figura ER28 – Distribuição de poropressão em t = 13 dias 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 136 
 
 
Figura ER29 – Distribuição de poropressão no final do adensamento primário (t = 65.1 dias) 
devido ao rebaixamento do lençol freático 
 
 
Figura ER30 – Distribuição de poropressão no bombeamento na camada de areia 2 noinstante t 
= 65.1 dias 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 137 
 
 
Figura ER31 – Distribuição de poropressão em t →∞ 
 
 
11 – (Prova P1 – 2015.1) No perfil de solo da Fig. ER33 foi feito um rebaixamento 
instantâneo do nível do lençol freático de NA1 para NA2. Admitindo peso específico da 
água w = 10 kN/m
3 e considerando os efeitos do rebaixamento na variação do peso 
específico da areia, pede-se: 
 
a ) Os diagramas de distribuição de poropressão com a profundidade nos instantes t = 0, 
t = 46,3 dias e t → ∞ . Preencher a tabela ER7 com os valores calculados de 
poropressão nas profundidades indicadas. 
 
b) Nas profundidades z = 5m e z = 11m, a partir da superfície do terreno, os valores da 
tensão vertical efetiva no tempo t = 46,3 dias. 
 
c ) Nas profundidades z = 5m e z = 11m, a partir da superfície do solo, os valores e os 
sentidos da velocidade de fluxo da água no tempo t = 46,3 dias. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 138 
 
 
 
 
Figura ER32- Diagramas de poropressão em diversos tempos. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 139 
 
 
 
 
Figura ER33 – Perfil de solo 
 
Tabela ER7 – Valores de poropressão (kPa)devido ao rebaixamento do lençol freático e variação do 
peso específico da areia em diversos tempos e profundidades. 
 
z 
(m) 
 
t < 0 
t = 0 
rebaixamento + variação do 
peso específico 
u = uss + 
𝑢0
𝑟𝑒𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑢0
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜
 
 
t = 46,3 dias 
 
 
t →∞ 
uss 
1 0 0 0 0 
3 20 0 0 0 
4 30 10/24 10 10 
5 40 34 25 + 6,4 – 3,3 = 28,1 25 
6 50 44 40+7,6 - 4,6 = 43,0 40 
7 60 54 55 + 4,8 – 3,3 = 56,5 55 
8 70 64/70 70 70 
9 80 80/74 80 80 
10 90 84 90 – 3,3 = 86,7 90 
11 100 94 100 – 4,6 = 95,4 100 
12 110 104 110 – 3,3 = 106,7 110 
13 120 114 / 120 120 120 
15 140 140 140 140 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 140 
 
 
 
Figura ER34 – Distribuição de poropressões em t = 0 (rebaixamento e variação do peso específico 
da areia) e t → ∞ 
 
 
a) Em t = 0 devido à variação do peso específico da areia 
 
𝑢0
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜
= −3 × 2 = −6 𝑘𝑃𝑎 
 
b) Em t = 46,3 dias 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
2 × 10−7 × 46,3 × 24 × 60 × 60
22
= 0,2 
 
z (m) Z* 𝑈𝑧
𝑟𝑒𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
Z 𝑈𝑧
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜
 
 
4 0 1 0 1 
5 0,5 0,68 0,5 0,45 
6 1,0 0,62 1,0 0,23 
7 1,5 0,76 1,5 0,45 
8 2 1 2,0 1 
 
9 ------ 0 1 
10 ------ 0,5 0,45 
11 ------ 1,0 0,23 
12 ------ 1,5 0,45 
13 ------ 2,0 1 
 
* medido a partir da base da distribuição triangular inicial de excessos de poropressão 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 141 
 
 
z (m) uss 
(kPa) 
(1 − 𝑈𝑧
𝑟𝑒𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)𝑢0
𝑏 (1 − 𝑈𝑧
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜
)𝑢0
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜
 
4 10 0 0 
5 25 (1-0,68)x 20 = 6,4 (1-0,45)x(-6) = -3,3 
6 40 (1-0,62)x20 = 7,6 (1-0,23)x(-6) = -4,6 
7 55 (1-0,76)x20 = 4,8 (1-0,45)x(-6) = -3,3 
8 70 0 0 
 
9 80 ------ 0 
10 90 ------ (1-0,45)x(-6) = -3,3 
11 100 ------ (1-0,23)x(-6) = -4,6 
12 110 ------ (1-0,45)x(-6) = -3,3 
13 120 ------ 0 
 
𝑢0
𝑏 se refere ao valor na base da distribuição triangular inicial de excessos de poropressão 
 
c) Valores de tensão efetiva em t = 46,3 dias 
 
z (m) u 
(kPa) 
𝜎𝑣0 
(kPa) 
𝜎𝑣0
′ = 𝜎𝑣0 − 𝑢 
 (kPa) 
5 28,1 17 x 3 + 20 x 1 + 1x16 = 87 58,9 
11 95,4 17 x 3 + 20 x 1 + 4 x 16 + 20 x 1 +2 x 
16 = 187 
91,6 
 
 
d) Valores e sentidos da velocidade de fluxo em t = 46,3 dias. 
 
d.1) Em z = 5m 
 
Velocidade devido ao rebaixamento com base na Fig. 2.9. 
 







  scm
Z
U
H
u
kkiv z
W
/1076,0
5,0
68,087,0
210
20
102 770

 
 
Velocidade devido à variação do peso específico com base na Fig. 2.4. 
 
scm
Z
U
H
u
kkiv z
W
/1048,0
5,0
45,085,0
210
6
102 770  









 
  scmv /1048,0 7 
 
Velocidade devido ao fluxo permanente 
 


  scm
h
kkiv /10
4
2
102 77

 
d.2) Em z = 11m 
 
Velocidade devido à variação do peso específico com base na Fig. 2.4. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 142 
 
0
5,0
0
210
6
102 70 





 
Z
U
H
u
kkiv z
W
 
 
Observe que em Z =1 (correspondente a z = 11m) as inclinações das tangentes com a 
vertical nas isócronas da Fig. 2.4 são nulas. 
 
z (m) vrebaixamento 
(cm/s) 
vpeso específico 
(cm/s) 
vpermenente 
(cm/s) 
vtotal 
(cm/s) 
5  71076,0  71048,0 710  71028,1 
11 0 0 0 0 
 
 
12 – (Prova P1 – 2015.2) No perfil de solo da Fig. ER35 é executado um rebaixamento 
instantâneo do lençol freático de NA1 para NA2. Quando a porcentagem média de 
dissipação dos excessos de poropressão atingiu o valor de 65%, um carregamento de 
intensidade q = 100 kPa, de grande extensão, é aplicado na superfície do depósito de 
solo. Considerando que após o rebaixamento do nível d’água a areia permanece 
saturada por capilaridade na região 1m < z < 3m, pede-se: 
 
a) os gráficos de distribuição de poropressão nos tempos t = 0, no tempo t 
correspondente a 65% da porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão devido ao rebaixamento, no tempo imediatamente após a aplicação do 
carregamento superficial q = 100 kPa e no tempo t →∞. 
b) velocidade de fluxo no instante de aplicação do carregamento superficial no ponto 
situado na profundidade z = 5m. Qual o valor deste tempo ? 
c) preencher a tabela ER8 com os valores de poropressão nos tempos solicitados. 
d) os valores de recalque imediato, recalque de adensamento primário e recalque de 
compressão secundária no tempo t = 10 anos relativos à superfície do terreno. Não 
considerar a compressibilidade da areia. 
 
Figura ER35 – Perfil do depósito de solo 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 143 
 
Tabela ER8 – Valores de poropressão (kPa) devido ao rebaixamento do lençol freático e ao 
carregamento superficial em diversos tempos e profundidades. 
 
 
z 
(m) 
 
t = 0 
t correspondente 
a Uv = 65% 
(rebaixamento) 
t correspondente aplicação 
do carregamento 
superficial 
 
 
t →∞ 
1 0 0 0 0 
3 0 0 0 0 
4 10/30 10 10/110 10 
5 40 25+4 = 29,0 129,0 25 
6 50 40+5,4 = 45,4 145,4 40 
7 60 55+4,4 = 59,4 159,4 55 
8 70 70 170/70 70 
9 80 80 80/180 80 
10 90 90 190 90 
11 100 100 200 100 
12 110 110 210 110 
13 120 120 220 120 
15 140 140 240/140 140 
16 150 150 150 150 
17 160 160 160 160 
 
12.1 Tempo t correspondente a 65% da porcentagem média de dissipação dos 
excessos de poropressão devido ao rebaixamento 
 
𝑇𝑣 = −0,933 log10(1 − 𝑈𝑣) − 0,085 para Uv > 0,60 
 
𝑇𝑣 = −0,933 log10(1 − 0,65) − 0,085 = 0,34 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 → 𝑡 =
0,34 × 22
4,3 × 10−3
= 316,3 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
12.2) Excessos de poropressão na camada superior de argila quando Uv = 65% 
 
Do gráfico das isócronas da Fig. 2.9, com Tv = 0,34, resulta 
 
Z UZ 𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧)𝑢0
𝑏
 (kPa) 
0,5 0,80 0,20 x 20 = 4,0 
1,0 0,73 0,27 x 20 = 5,4 
1,5 0,83 0,17 x 20 = 3,4 
 Z medido a partir da base da distribuição triangular inicial de excessos de poropressão 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 144 
 
 
 Figura ER36 – Distribuição de poropressão em t = 0 
 
 
 
 
Figura ER37 – Distribuição de poropressão em t - = 316,3 dias 
(imediatamente antes da aplicação do carregamento superficial q = 100 kPa) 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 145 
 
 
Figura ER38 – Distribuição de poropressão em t+ = 316,3 dias 
(imediatamente apósa aplicação do carregamento superficial q = 100 kPa) 
 
 
 
 
Figura ER39 – Distribuição de poropressão em t   
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 146 
 
12.3) Velocidade de fluxo no instante de aplicação do carregamento superficial no ponto 
situado na profundidade z = 5m. Qual o valor deste tempo ? 
 
𝑣𝑡𝑟 = 𝑘𝑖 = 𝑘
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤𝐻
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
= 0,02 ×
20
10 × 2
×
0,15
0,5
= 6 × 10−3
𝑚
𝑎𝑛𝑜
 ↑ 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘𝑖 = 0,02 𝑥 (
2
4
) = 10 𝑥 10−3
𝑚
𝑎𝑛𝑜
 ↑ 
𝑣𝑡 = 16 𝑥 10
−3 
𝑚
𝑎𝑛𝑜
 ↑ 
 
onde 
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
=
0,15
0,5
 foi estimado da Fig. 2.9 como a inclinação, medida a partir da 
vertical, da tangente traçada à isócrona Tv = 0,34 (interpolada) em Z = 0,5. 
 
Valor do tempo calculado anteriormente t = 316,3 dias 
 
12.4) Valores de recalque imediato, recalque de adensamento primário e recalque de 
compressão secundária no tempo t = 10 anos relativos à superfície do terreno. Não 
considerar a compressibilidade da areia. 
 
12.4.1) Recalque imediato ou não drenado no adensamento 1D é nulo (seção 2.7.1 
das notas de aula). 
 
12.4.2) Recalque total de adensamento primário na superfície do depósito de solo 
 
𝜌𝑐
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌𝑐
𝑟𝑒𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝜌𝑐
𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
 
a ) Recalque de adensamento primário devido ao rebaixamento 
 
O rebaixamento somente afeta a camada de argila superior. Considerando o ponto 
médio desta camada em z = 6m, os valores da tensão vertical inicial e final são, 
 
𝜎′𝑣0
𝑟𝑒𝑏 = 𝜎′𝑣0 = 17 × 1 + 20 × 3 + 16 × 2 − 50 = 59 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣𝑓
𝑟𝑒𝑏 = 𝜎′𝑣0
𝑟𝑒𝑏 + ∆𝜎′𝑣
𝑟𝑒𝑏 = 59 + 10 = 69𝑘𝑃𝑎 < 𝜎′𝑣𝑚 = 1,5 × 59 = 88,5 𝑘𝑃𝑎 
 
com ∆𝜎′𝑣
𝑟𝑒𝑏 = 10 𝑘𝑃𝑎 
 
30
0
0
' ' 0,03 69
log 4 log 4,2 10
1 ' 1 0,95 59
reb reb
rebaixamento v vR
c reb
vo
C
b m
e
 


     
 
 
 
b ) Recalque de adensamento primário devido ao carregamento superficial 
 
O carregamento superficial afeta ambas as camadas de argila. Para o ponto médio 
da camada de argila superior em z = 6m, 
 
𝜎′𝑣0
𝑐𝑎𝑟
= 𝜎′𝑣0
𝑟𝑒𝑏
+ (𝑢0 − 𝑢𝑒)316,3𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑟𝑒𝑏 = 59 + (50 − 45,4) = 63,6 𝑘𝑃𝑎 
 
onde (𝑢0 − 𝑢𝑒)316,3𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑟𝑒𝑏 = 50 − 45,4 = 4,6 𝑘𝑃𝑎 vem da Tab. ER8. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 147 
 
Para o ponto médio da camada de argila inferior em z = 12m, 
 
𝜎′𝑣0
𝑐𝑎𝑟
= 𝜎′𝑣0 = 17 × 1 + 20 × 3 + 16 × 4 + 20 × 1 + 16 × 3 − 110 = 99 𝑘𝑃𝑎 
 
camada ponto (m) 𝜎′𝑣0 (kPa) ∆𝜎′𝑣 (𝑘𝑃𝑎) 𝜎′𝑣𝑓 (kPa) 𝜎′𝑣𝑚 (kPa) 
argila superior 6 63,6 100 163,6 88,5 
argila inferior 12 99 100 199 148,5 
 
''
arg sup 0
' '
0 0
4 88,5 163,6
log log 0,03 log 0,21 log
1 1 0,95 63,6 88,5
vfila erior vm
c R C
v vm
b
C C
e


 
   
             
 
arg sup 3123,8 10ila eriorc m
  




















5148
199
210
99
5148
030
9501
6
1 00
0
,
log,
,
log,
,
logClogC
e
b
'
vm
'
vf
C'
v
'
vm
R
eriorinfilaarg
c





m,eriorinfilaargc
310498  
 
Logo, 𝜌𝑐
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (4,2 + 123,8 + 98,4) × 10−3 = 226,4 × 10−3 𝑚 
 
Tempo para que ocorra o final do adensamento primário (Tv = 1) 
 
Camada de argila superior 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 → 𝑡 =
1×22
4,3×10−3
= 930,2 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
Camada de argila inferior 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 → 𝑡 =
1×32
4,3×10−3
= 2093 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
Como o carregamento q = 100 kPa foi aplicado em t = 316,3 dias então o 
adensamento primário, em relação ao instante do rebaixamento t0 = 0, termina em: 
 
Camada de argila superior 𝑡𝑝 = 930,2 + 316,3 = 1246,5 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
Camada de argila inferior 𝑡𝑝 = 2093 + 316,3 = 2409,3 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
12.4.3) Recalque de compressão secundária em t = 10 anos 
 
Camada de argila superior 
 
m,
,
log
,
,,
t
t
og
e
C
b
p
eriorsup
s
3
0
0 10010
51246
3650
9501
210050
4
1





  
Camada de argila inferior 
 
m,
,
log
,
,,
t
t
og
e
C
b
p
eriorinf
s
3
0
0 1085
32409
3650
9501
210050
6
1





  
Recalque total de compressão secundária em t = 10 anos 
 
  m,,,eriorinfs
eriorsup
ss
33 108151085010    
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 148 
 
13 – (Prova P4 2015.2) Com relação ao perfil de solo da Fig. ER40 e Tabela ER9, 
admitido como material elástico linear, os seguintes eventos aconteceram 
sequencialmente: 
 
a) rebaixamento instantâneo do lençol freático de NA1 para NA2 no instante t0 = 0; 
 
b) remoção instantânea da camada superficial de areia seca de 2m de espessura 
no instante t1 correspondente ao final do adensamento primário causado pelo 
rebaixamento do lençol freático; 
 
c) construção instantânea na nova superfície do terreno escavado de uma 
fundação circular, perfeitamente flexível, de raio R = 6m com carregamento 
uniformemente distribuído ∆q = 100 kPa no instante correspondente ao final do 
adensamento primário t2 causado pela remoção da camada superficial de areia; 
 
Pede-se determinar, considerando peso específico da água w = 10 kN/m
3 e 
desprezando os efeitos de capilaridade e da variação da tensão vertical total devido 
à mudança do peso específico da areia na região 2m < z < 4m: 
 
i) a distribuição de poropressões com a profundidade nos instantes 𝑡0
− 
(imediatamente antes) e 𝑡0
+ (imediatamente após) o rebaixamento instantâneo do 
lençol freático de NA1 para NA2 . 
 
ii) a distribuição de poropressões com a profundidade no instante 𝑡1
− 
(imediatamente antes) e 𝑡1
+ (imediatamente após) a remoção da camada superficial 
de areia. Qual o valor deste tempo t1 ? 
 
iii) a distribuição de poropressões com a profundidade no instante 𝑡2
− 
(imediatamente antes) e 𝑡2
+ (imediatamente após) o carregamento da fundação 
circular. Qual o valor deste tempo t2 ? 
 
iv) a distribuição de poropressões com a profundidade no instante 𝑡3
− 
correspondente ao final do adensamento primário causado pelo carregamento da 
fundação circular. Qual o valor deste tempo t3 ? 
 
v) após o término do adensamento primário causado pelo carregamento da 
fundação circular (instante 𝑡3
−) foi feito o reaterro da camada original de areia e em 
seguida a elevação do lençol freático de NA2 para NA1. No tempo t → ∞ qual a 
estimativa do recalque final de adensamento primário do centro da fundação 
circular perfeitamente flexível ? 
 
Além dos gráficos de distribuição das poropressões com a profundidade dos itens 
i), ii), iii) e iv) preencha a Tabela ER10. 
 
Tabela ER9 – Propriedades dos solos 
 
camada de 
solo 
peso específico 
(kN/m
3
)
 
cv 
m
2
 / s 
mv 
m
2
/ kN 
coeficiente de 
Poisson v 
areia 
seca 
 
18 
 
----- 
 
------- 
 
--------- 
areia 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 149 
 
saturada 20 ------- ------- ---------- 
argila 
saturada 
 
18 
 
4x 10
-7 
 
3 x 10
-4
 
 
0,3 
 
 
Tabela ER10 – Valores de poropressão no perfil de solo (kPa) 
 
prof.(m) 𝑡0
−
 𝑡0
+
 𝑡1
− 𝑡1
+ 𝑡2
− 𝑡2
+ 𝑡3
− 
2 0 0 0 0 0 0 0 
4 20 0/20 0 0/-36 0 0/96,83 0 
5 30 30 16,67 -19,33 16,67 107,72 16,67 
6 40 40 33,33 -2,67 33,33 116,26 33,33 
7 50 50 50 14/50 50 123,76 / 50 50 
8 60 60 60 60/24 60 60 / 124,64 60 
9 70 70 70 34 70 126,23 70 
10 80 80 80 44 80 128,80 80 
11 90 90 90 54 90 132,40 90 
12 100 100 100 64/100 100 136,95 / 100 100 
15 130 130 130 130 130 130 130 
 
 
 
 
Figura ER40 – Perfil do depósito de solo 
 
i) a distribuição de poropressões com a profundidade nos instantes 𝑡0
− e 𝑡0
+ do 
rebaixamento instantâneo do lençol freático de NA1 para NA2. 
 
 
Figura ER41 - Poropressões com a profundidade nos instantes 𝑡0
− e 𝑡0
+ 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 150 
 
 
ii) a distribuição de poropressões com a profundidade nos instantes 𝑡1
− e 𝑡1
+ da 
remoção da camada superficial de areia. Qual o valor deste tempo? 
 
Determinação do tempo t1 considerando que o adensamento, em termos de 
engenharia, termina em Tv = 1 então 
 
 𝑡1 = 
𝑇𝑣𝐻
2
𝑐𝑣
= 
1×1,52
4×10−7
→ 𝑡1 = 65,1 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
Não há necessidade de examinar a camada de argila 2 que não é afetada pelo 
rebaixamento do nível d’água. 
 
iii) a distribuição de poropressões com a profundidade no instante t2 do 
carregamento da fundação circular. Qual o valor deste tempo? 
 
Determinação do tempo t2 considerando a camada de maior espessura de 
drenagem (argila inferior) 
 
𝑡2 = 𝑡1 + (
𝑇𝑣𝐻
2
𝑐𝑣
)
𝑟𝑒𝑚𝑜çã𝑜
= 𝑡1 +
1×22
4×10−7
→ 𝑡2 = 65,1 + 115,7 = 180,8 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
 
Figura ER42 - Poropressões com a profundidade nos instantes 𝑡1
− e 𝑡1
+ 
 
 
Figura ER43 - Poropressões com a profundidade nos instantes 𝑡2
− e 𝑡2
+ ao longo do eixo da 
fundação circular 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 151 
 
iv) a distribuição de poropressões com a profundidade no instante no instante 𝑡3
− 
correspondente ao final do adensamento primário causado pelo carregamento da 
fundação circular. Qual o valor deste tempo t3 ? 
 
 
Determinação do tempo t3 considerando a camada de maior espessura de 
drenagem (argila inferior) 
 
𝑡3 = 𝑡2 + (
𝑇𝑣𝐻
2
𝑐𝑣
)
𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎çã𝑜
= 𝑡2 +
1×22
4×10−7
 → 𝑡2 = 180,8 + 115,7 = 296,5 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
Figura ER44 - Poropressões com a profundidade nos instantes 𝑡3
− (mesma distribuição em 𝑡2
−) 
 
 
v) Com a hipótese de elasticidade do solo os processos de rebaixamento / 
levantamento do lençol freático e remoção / reaterro da camada de areia são 
mutuamente excludentes e não causam recalque de adensamento primário em t → 
∞. Assim, o recalque final é provocado apenas pelo carregamento da própria 
fundação circular, cujos acréscimos de tensão vertical efetiva nas argilas superior e 
inferior foram determinados pela Eq. 1.55 nos planos médios das subcamadas de 
espessura b0 = 1m, conforme Tabela ER11. A profundidade z* foi medida a partir 
da base da fundação circular. 
 
 prof. (m) b0 (m) ∆𝜎′𝑣 (kPa) mv (m2/kN) ∆𝜌 (m) 
 
z* = 2.5 1 94,31 3 × 10−4 0,028293 
 
Camada de argila 
superior 
z* = 3.5 1 87,21 3 × 10−4 0,026163 
 
 z* = 4.5 1 78,40 3 × 10−4 0,023520 
 
 
 
0,077976 
 
 
 
 
z* = 6.5 1 60,33 3 × 10−4 0,018099 
 
 
z* = 7.5 1 52,39 3 × 10−4 0,015717 
 
Camada de argila 
inferior 
z* = 8.5 1 45,47 3 × 10−4 0,013641 
 
 z* = 9.5 1 39,56 3 × 10−4 0,011868 
 
 
 
0,059325 
 
 
 
Recalque 
total 
0,137301 m 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 152 
 
14 – (Prova P1 2016.1) Uma fundação circular perfeitamente flexível de raio R = 
20m é uniformemente carregada (q = 100 kPa) na superfície do maciço de solo 
mostrado na Fig. ER45. 
 
Pede-se calcular o recalque final de adensamento primário da camada de argila 
pelos seguintes métodos: 
a) estado de deformação 1D considerando acréscimos de tensão vertical gerados 
pelo carregamento de uma fundação circular de raio infinito; 
b) estado de deformação 1D considerando acréscimos de tensão vertical gerados 
pelo carregamento da fundação circular de raio R = 20m (teoria da elasticidade 
linear); 
 
Para fins de cálculo indireto do recalque, admitir a camada de argila subdividida em 5 subcamadas 
de 8m de espessura. Os acréscimos normalizados de tensão vertical ao longo do eixo z que passa 
pelo centro da fundação circular são: 
 
z/R 0,3 0,7 1,1 1,5 1,9 
∆𝜎𝑧𝑧 ∆𝑞⁄ 0,98 0,81 0,59 0,42 0,31 
c) estado de deformação 1D considerando acréscimos de tensão vertical gerados 
pelo carregamento da fundação circular de raio R = 20m (método da distribuição 
das tensões 2:1). 
 
Figura ER45 – Fundação superficial sobre depósito de solo. 
 
 
𝑀 = 
𝐸(1 − 𝑣)
(1 − 2𝑣)(1 + 𝑣)
= 
3 × 103 × (1 − 0,25)
(1 − 0,50)(1 + 0,25)
= 3600 𝑘𝑃𝑎 
 
a) Recalque final de adensamento primário considerando carregamento de uma 
fundação circular com raio infinito (∆𝜎𝑣
′ = ∆𝑞) 
𝜌𝑐 = 𝑏0
∆𝜎𝑣
′
𝑀
= 40 ×
100
3600
= 1,1𝑚 
 
b) Recalque final de adensamento primário considerando acréscimos de tensão 
vertical induzidos pelo carregamento da fundação circular de raio R = 20m no plano 
médio de 5 subcamadas de 8m de espessura. Acréscimos de tensão determinados 
pela teoria da elasticidade linear. 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 153 
 
 
z (m) – plano médio z/R ∆𝜎𝑣
′/∆𝑞 ∆𝜎𝑣
′ (kPa) 
6 0,3 0,98 98 
14 0,7 0,81 81 
22 1,1 0,59 59 
30 1,5 0,42 42 
38 1,9 0,31 31 
 
𝜌𝑐 = ∑ 𝑏0𝑖
∆𝜎𝑣𝑖
′
𝑀𝑖
5
𝑖=1 =
8
3600
(98 + 81 + 59 + 42 + 31) = 0,69𝑚 
 
c) Recalque final de adensamento primário considerando acréscimos de tensão 
vertical induzidos pelo carregamento da fundação circular de raio R = 20m no plano 
médio de 5 subcamadas de 8m de espessura. Acréscimos de tensão determinados 
pelo método aproximado de distribuição de tensão vertical 2:1 (Fig. ER46). 
 
z (m) – plano médio Rz (m) ∆𝜎𝑣
′ = ∆𝑞(𝑅/𝑅𝑧)
2 
6 23 75,61 
14 27 54,87 
22 31 41,62 
30 35 32,65 
38 39 26,30 
 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = ∆𝑞(𝜋𝑅2) = ∆𝜎𝑣
′(𝜋𝑅𝑧
2) ∆𝜎𝑣
′ = ∆𝑞 × (𝑅/𝑅𝑧)
2 
 
𝜌𝑐 = ∑ 𝑏0𝑖
∆𝜎𝑣𝑖
′
𝑀𝑖
5
𝑖=1 =
8
3600
(75,61 + 54,87 + 41,62 + 32,65 + 26,30) = 0,51𝑚 
 
 
Figura ER46 - Distribuição aproximada dos acréscimos de tensão vertical na proporção 2(V): 1(H) 
 
15 – (Prova P4 2016.1) No perfil de solo da Fig. ER47 foi feito um bombeamento 
instantâneo em t = 0 na camada de areia entre 8m ≤ z ≤ 9m com redução da carga de 
pressão hp= 3m em todos os seus pontos. 
 
No tempo t = 263 - dias pede-se determinar considerando peso específico da água w = 10 
kN/m3: 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos SolosC. Romanel 154 
 
a) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t < 0, t = 0 e t = 263- 
dias, preenchendo os valores da Tabela ER12. 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 263
22
= 0,283 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 263
32
= 0,126 
 
Em z = 6m, do gráfico das isócronas para distribuição triangular inicial dos excessos de 
poropressão (Fig. 2.9) devido ao bombeamento considerando Z =1 e Tv = 0,283 estima-se 
Uz = 0,68. 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧) × 𝑢0
𝑏 = (1 − 0,68) × 30 = 9,6 𝑘𝑃𝑎 
 
Em z = 12m, do gráfico das isócronas para distribuição triangular inicial dos excessos de 
poropressão (Fig. 2.9) devido ao bombeamento considerando Z =1 e Tv = 0,126 estima-se 
Uz = 0,54. 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧) × 𝑢0
𝑏 = (1 − 0,54) × 30 = 13,8 
 
 
Figura ER47 – Perfil geotécnico de maciço de solo 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 155 
 
Tabela ER12 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 263
-
 dias 
1 0 0 0 
3 20 20 20 
4 30 30 30 
6 65 65 50+9,6 = 59,6 
8 100 100/70 70 
9 110 80/110 80 
12 125 125 110+13,8=123,8 
15 140 140 140 
17 160 160 160 
 
 
Em seguida, no tempo t = 263+ dias foi executado um rebaixamento instantâneo do nível do 
lençol freático de NA1 para NA2 com variação do peso específico da camada de areia 
entre 1m ≤ z ≤ 3m. 
 
Pede-se determinar: 
 
b) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t = 263+ dias, t = 526 
dias e t → ∞, preenchendo os valores na Tabela ER13. 
 
 
Camada de argila superior (bombeamento) 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 526
22
= 0,566 
 
Camada de argila inferior (bombeamento) 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 526
32
= 0,252 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 156 
 
 
Devido ao rebaixamento e variação do peso específico da areia em t = 526 dias com início 
no instante t0 = 263 dias 
 
Camada de argila superior (rebaixamento e variação do peso específico) 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 263
22
= 0,283 
 
Camada de argila inferior (somente variação do peso específico) 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 263
32
= 0,126 
 
Em z = 6m, a poropressão resulta em: 
 
𝑢𝑒 = 40 + (1 − 𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏) × 𝑢0
𝑏1 + (1 − 𝑈𝑧
𝑟𝑒𝑏) × 𝑢0
𝑏2 + (1 − 𝑈𝑧
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝
) × 𝑢0
3 
 
𝑢𝑒 = 40 + (1 − 0,84) × 30 + (1 − 0,68) × 20 + (1 − 0,37) × (−6) 
 
𝑢𝑒 = 40 + 4,8 + 6,4 − 3,78 = 47,42 𝑘𝑃𝑎 
 
onde 𝑢0
𝑏1 = 30 𝑘𝑃𝑎 𝑢0
𝑏2 = 20 𝑘𝑃𝑎 𝑢0
3 = −6 𝑘𝑃𝑎 
 
𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 0,84 para Z =1 e Tv = 0,566 da Fig. 2.9; 
 
𝑈𝑧
𝑟𝑒𝑏 = 0,68 para Z =1 e Tv = 0,283 da Fig. 2.9; 
 
𝑈𝑧
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝
= 0,37 para Z = 1 e Tv = 0,283 da Fig. 2.4 
 
Em z = 12m, a poropressão resulta em: 
 
𝑢𝑒 = 110 + (1 − 𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏) × 𝑢0
𝑏1 + (1 − 𝑈𝑧
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝
) × 𝑢0
3 
 
𝑢𝑒 = 110 + (1 − 0,65) × 30 + (1 − 0,11) × (−6) = 110 + 10,50 − 5,34 = 115,16 𝑘𝑃𝑎 
 
onde 𝑢0
𝑏1 = 30 𝑘𝑃𝑎 𝑢0
3 = −6 𝑘𝑃𝑎 
 
𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 0,65 para Z =1 e Tv = 0,252 da Fig. 2.9; 
 
𝑈𝑧
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝
= 0,11 para Z = 1 e Tv = 0,126 da Fig. 2.4 
 
Tabela ER13 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t = 263
+
 dias t = 526 dias t → ∞ 
1 0 0 0 
3 0 0 0 
4 10/30 – 6 = 24 10 10 
6 59,6 – 6 = 53,6 40+4,8+6,4-3,78 = 47,42 40 
8 70-6 = 64/70 70 70 
9 80/ 80 -6 = 74 80 80 
12 123,8 -6 = 117,8 110+ 10,50-5,34=115,16 110 
15 140 -6 = 134/140 140 140 
17 160 160 160 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 157 
 
 
c) o valor do recalque final de adensamento primário na superfície do terreno. Efetue os 
cálculos com base nos parâmetros CC ou Cr 
 
c.1) Camada de argila superior 
 
Recalque final de adensamento primário considerando as tensões no plano médio da 
camada 
 
c.1.1) Devido ao bombeamento em t = 0 
 
 
 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 = 𝜎′𝑣0 = 17 × 1 + 20 × 3 + 16 × 2 − 65 = 44 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣𝑚 = 𝜎
′
𝑣0 × 𝑂𝐶𝑅 = 44 × 1,25 = 55 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣𝑓
𝑏𝑜𝑚 = 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 + ∆𝜎′𝑣
𝑏𝑜𝑚 = 44 + 15 = 59 𝑘𝑃𝑎 
 
c.1.2) Devido ao rebaixamento / variação do peso específico em t = 263 dias 
 
𝜎′𝑣0
𝑟𝑒𝑏/𝛾
= 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 + (𝑢0 − 𝑢𝑒)263 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑏𝑜𝑚 = 44 + (65 − 59,6) = 49,4 𝑘𝑃𝑎 
 
onde (65 − 59,6) = 5,4 𝑘𝑃𝑎 vem da Tab. ER12 para z = 6m. 
 
𝜎′𝑣𝑓
𝑟𝑒𝑏/𝛾
= 𝜎′𝑣0
𝑟𝑒𝑏/𝛾
+ ∆𝜎′𝑣
𝑟𝑒𝑏 + ∆𝜎′𝑣
𝛾
= 49,4 + 10 − 2 × 3 = 53,4 𝑘𝑃𝑎 
 
observando que o rebaixamento do nível dágua e a variação do peso específico da 
camada superior de areia são eventos simultâneos. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 158 
 
/
sup 0 0
/
0 0 0 0
' ''
log log log
1 ' ' 1 '
bom reb
vf vferior vm
C r C rbom reb
v vm v
b b
C C C
e e


 

  
 
      
 
 
sup 4 55 59 4 53,40,10 log 0,21 log 0,10 log
1 0,95 44 55 1 0,95 49,4
erior
C
 
       
  
 
 
sup 0,040eriorC m  
 
c.2) Camada de argila inferior 
 
Recalque final de adensamento primário considerando as tensões no plano médio da 
camada em z = 12m 
 
c.2.1) Devido ao bombeamento em t = 0 
 
𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 = 𝜎′𝑣0 = 17 × 1 + 20 × 3 + 16 × 4 + 20 + 3 × 16 − 125 = 84 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣𝑚 = 𝜎
′
𝑣0 × 𝑂𝐶𝑅 = 84 × 1,25 = 105 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣𝑓
𝑏𝑜𝑚 = 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 + ∆𝜎′𝑣
𝑏𝑜𝑚 = 84 + 15 = 99 𝑘𝑃𝑎 
 
c.2.2) Devido à variação do peso específico em t = 263 dias 
 
𝜎′𝑣0
𝛾
= 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 + (𝑢0 − 𝑢𝑒)263 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑏𝑜𝑚 = 84 + (125 − 123,8) = 85,2 𝑘𝑃𝑎 
 
onde (125 − 123,8) = 1,2 𝑘𝑃𝑎 vem da Tab. ER12 para z = 12m 
 
𝜎′𝑣𝑓
𝛾
= 𝜎′𝑣0
𝛾
+ ∆𝜎′𝑣
𝛾
= 85,2 − 2 × 3 = 79,2 𝑘𝑃𝑎 
 
inf 0 0
0 0 0 0
' '
log log
1 ' 1 '
bom
vf vferior
C r rbom
v v
b b
C C
e e


 

 
   
           
 
 
inf 6 99 6 79,20,10 log 0,10 log 0,012
1 0,95 84 1 0,95 85,2
erior
C m
  
       
    
 
 
c.3) Recalque final de adensamento primário na superfície do terreno 
 
 sup inf 0,040 0,012 0,052erior eriorC C C m       
 
16 – (Prova P1 2016.2) No perfil de solo da Fig. ER48 foi feito um bombeamento 
instantâneo em t = 0 na camada de areia entre 8m ≤ z ≤ 9m com redução de 3m 
da carga de pressão em todos os seus pontos. Considerando o peso específico da 
água w = 10 kN/m
3 pede-se determinar: 
 
a) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t < 0, t = 0 e t = 
263 dias, preenchendo os valores da Tabela ER14. 
 
a.1) Na camada de argila superior em t = 263 dias 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel159 
 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 263
22
= 0,283 
 
Em z = 6m, do gráfico das isócronas para distribuição triangular inicial dos excessos de 
poropressão devido ao bombeamento considerando Z =1 e Tv = 0,283 estima-se Uz = 0,68. 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧) × 𝑢0
𝑏 = (1 − 0,68) × 30 = 9,6 𝑘𝑃𝑎 
 
 
Figura ER48 – Perfil de solo 
 
a.2) Na camada de argila inferior em t = 263 dias 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 263
32
= 0,126 
 
Em z = 12m, do gráfico das isócronas para distribuição triangular inicial dos excessos de 
poropressão devido ao bombeamento considerando Z =1 e Tv = 0,126 estima-se U = 0,54. 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧) × 𝑢0
𝑏 = (1 − 0,54) × 30 = 13,8 𝑘𝑃𝑎 
 
Tabela ER14 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 263- dias 
1 0 0 0 
3 20 20 20 
4 30 30 30 
6 65 65 50+9,6 = 59,6 
8 100 100/70 70 
9 110 80/110 80 
12 125 125 110+13,8=123,8 
15 140 140 140 
17 160 160 160 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 160 
 
 
b) determinar as velocidades de fluxo no plano médio das camadas de argila, no 
tempo t = 263 dias, indicando respectivos sentidos na Tabela ER15. 
 
Observe que a redução da carga de pressão hp= 3m entre 8m ≤ z ≤ 9m tornou hidrostática 
a distribuição de poropressão na camada de areia. Logo, não há diferença de carga 
hidráulica entre o topo e a base das camadas de argila e, portanto, a velocidade de fluxo 
permanente em ambas as camadas é nulo. 
 
b.1) Velocidade de fluxo transiente na camada de argila superior 
 
𝑣 = 𝑘𝑖 → 𝑣 = 𝑘 ×
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤𝐻
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
|
𝑍=1
= 0,02 ×
30
10 × 2
× 0,06 = 1,8 × 10−3𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↑ 
 
com 
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
|
𝑍=1
= 0,06 determinado do gráfico das isócronas para distribuição triangular inicial 
dos excessos de poropressão considerando Z =1 e Tv = 0,283. 
 
b.2) Velocidade de fluxo transiente na camada de argila inferior 
 
𝑣 = 𝑘𝑖 → 𝑣 = 𝑘 ×
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤𝐻
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
|
𝑍=1
= 0,02 ×
30
10 × 3
× 0,28 = 5,6 × 10−3𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↓ 
 
com 
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
|
𝑍=1
= 0,28 determinado do gráfico das isócronas para distribuição triangular inicial 
dos excessos de poropressão considerando Z =1 e Tv = 0,126. 
 
Tabela ER15 - Velocidades de fluxo em t = 263 dias 
 
z (m) v (m/s) 
6 1,8 × 10−3𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↑ 
12 5,6 × 10−3𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↓ 
 
Em seguida, no tempo t = 263+ dias foi executado um rebaixamento instantâneo do 
nível do lençol freático de NA1 para NA2 com a areia permanecendo saturada por 
capilaridade entre 1m ≤ z ≤ 3m. Pede-se determinar: 
 
c) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t = 263+ dias, t = 
526 dias e t → ∞, preenchendo os valores da Tabela ER16. 
 
c.1) Devido ao bombeamento em t = 526 dias 
 
Camada de argila superior 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 526
22
= 0,566 𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 0,84 𝑍 = 1 
 
Camada de argila inferior 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 526
32
= 0,252 𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 0,65 𝑍 = 1 
 
c.2) Devido ao rebaixamento em t = 526 dias com início no instante t0 = 263 dias 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 161 
 
 
Camada de argila superior 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 263
22
= 0,283 𝑈𝑧
𝑟𝑒𝑏 = 0,68 𝑍 = 1 
 
Camada de argila inferior – não sofre influência do rebaixamento 
 
c.3) Em z = 6m, a poropressão resulta em: 
 
𝑢𝑒 = 40 + (1 − 𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏) × 𝑢0
𝑏1 + (1 − 𝑈𝑧
𝑟𝑒𝑏) × 𝑢0
𝑏2 
 
𝑢𝑒 = 40 + (1 − 0,84) × 30 + (1 − 0,68) × 20 
 
𝑢𝑒 = 40 + 4,8 + 6,4 = 51,2 𝑘𝑃𝑎 
 
onde 𝑢0
𝑏1 = 30 𝑘𝑃𝑎 𝑢0
𝑏2 = 20 𝑘𝑃𝑎 
 
c.4) Em z = 12m, a poropressão resulta em: 
 
𝑢𝑒 = 110 + (1 − 𝑈𝑧
𝑏𝑜𝑚𝑏) × 𝑢0
𝑏1 
 
𝑢𝑒 = 110 + (1 − 0,65) × 30 = 110 + 10,50 = 120,5 𝑘𝑃𝑎 onde 𝑢0
𝑏1 = 30 𝑘𝑃𝑎 
 
Tabela ER16 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t = 263+ dias t = 526 dias t → ∞ 
1 0 0 0 
3 0 0 0 
4 10 / 30 10 10 
6 59,6 40+4,8+6,4 = 51,2 40 
8 70 70 70 
9 80 80 80 
12 123,8 110+ 10,50=120,5 110 
15 140 140 140 
17 160 160 160 
 
d) determinar o valor do recalque final de adensamento primário na superfície do 
terreno. 
 
d.1) Camada de argila superior 
 
Recalque final de adensamento primário considerando as tensões no plano médio da 
camada 
 
d.1.1) devido ao bombeamento em t = 0 
 
𝜎𝑣0 = 17 × 1 + 20 × 3 + 16 × 2 = 109 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣0 = 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 = 𝜎𝑣0 − 𝑢0 = 109 − 65 = 44 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣𝑚 = 𝜎
′
𝑣0 × 𝑂𝐶𝑅 = 44 × 1,25 = 55 𝑘𝑃𝑎 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 162 
 
∆𝜎′𝑣
𝑏𝑜𝑚 = 15 𝑘𝑃𝑎 em z = 6m 
 
d.1.2) devido ao rebaixamento em t = 263 dias 
 
𝜎′𝑣0
𝑟𝑒𝑏 = 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 + (∆𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚)
263 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑏𝑜𝑚
= 44 + (65 − 59,6) = 49,4 𝑘𝑃𝑎 
 
onde (65 − 59,6) vem da Tab. ER14 
 
∆𝜎′𝑣
𝑟𝑒𝑏 = 10 𝑘𝑃𝑎 em z = 6m 
 
sup 0 0
0 0 0 0
' '' '
log log log log
1 ' ' 1 ' '
bom reb
vf vferior vm vm
C r C r Cbom reb
v vm v vm
b b
C C C C
e e
  

   
   
             
 
sup 4 55 59 4 55 59,40,03 log 0,21 log 0,03 log 0,21 log 0,036
1 0,95 44 55 1 0,95 49,4 55
erior
C m
  
           
    
 
d.2) Camada de argila inferior 
 
Recalque final de adensamento primário considerando as tensões no plano médio da 
camada em z = 12m 
 
𝜎𝑣0 = 17 × 1 + 20 × 3 + 16 × 4 + 20 × 1 + 16 × 3 = 209 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣0 = 𝜎′𝑣0
𝑏𝑜𝑚 = 𝜎𝑣0 − 𝑢0 = 209 − 125 = 84 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎′𝑣𝑚 = 𝜎
′
𝑣0 × 𝑂𝐶𝑅 = 84 × 1,25 = 105 𝑘𝑃𝑎 
 
∆𝜎′𝑣
𝑏𝑜𝑚 = 15 𝑘𝑃𝑎 em z = 12m 
 
inf 0
0 0
' 6 84 15
log 0,03 log 0,007
1 ' 1 0,95 84
bom
vferior
C r bom
v
b
C m
e



   
           
 
 
d.3) Recalque final de adensamento primário na superfície do terreno 
 
 sup inf 0,036 0,007 0,043erior eriorC C C m       
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 163 
 
 
Figura ER49 - Distribuição de poropressões em t < 0 
 
 
 
Figura ER50 - Distribuição de poropressões em t = 0 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 164 
 
 
Figura ER51 - Distribuição de poropressões em t = 263 dias 
 
 
Figura ER52 - Distribuição de poropressões em t = 263
+
 dias 
 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel165 
 
 
Figura ER53 - Distribuição de poropressões em t = 526 dias 
 
 
Figura ER54 - Distribuição de poropressões em t → ∞ 
 
 
17 – (Prova P1 2016.2) Para construir um tanque para armazenamento de óleo 
com 30m de diâmetro uma camada de areia superficial de 5m de espessura será 
removida do perfil de solo da Fig. ER55. O tanque aplicará um carregamento q = 
200 kPa na superfície do solo escavado em z = 5m. A construção do tanque foi 
feita 5 anos após a remoção da camada de areia superficial. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 166 
 
Pede-se determinar, considerando o peso específico da água w = 10 kN/m
3, o 
recalque final de adensamento primário pelo método indireto, dividindo a camada 
de argila em 4 subcamadas de 5m de espessura. 
 
a) Alívio das tensões verticais no plano médio de cada subcamada devido à 
remoção da areia superficial (5m de espessura) 
 
(∆𝜎𝑣
′)𝑟𝑒𝑚𝑜çã𝑜 = 5 × 17 = − 85 𝑘𝑃𝑎 
 
b) Acréscimos das tensões verticais no plano médio de cada subcamada, ao 
longo do eixo vertical do tanque, determinados pela equação 
 
 
  

















2/3
2tan
/1
1
1'
zR
q
quev
 com q = 200 kPa, R = 15m 
 
c) Recalque final de adensamento primário em cada subcamada 
 
   
quevremoçãovvc
M
b
tan
0 '''   
 
profundidade 
(m) 
∆𝜎𝑣
′ 
(kPa) 
𝑏0∆𝜎𝑣
′/𝑀 
 
(𝜌𝐶)𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 
(m) 
12,5 97,11 5 × 97,11/3600 0,135 
17,5 62,53 5 × 62,53/3600 0,087 
22,5 27,46 5 × 27,46/3600 0,038 
27,5 -0,21 −5 × 0,21/3600 0 
 Recalque 
total 
0,260 
 
 
Figura ER55 - Perfil de solo onde será construído o tanque para armazenamento de óleo 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 167 
 
Porque o recalque final de adensamento primário foi calculado com o parâmetro 
linear M (e não com os parâmetros CR e CC) não é necessário determinar a 
tensão vertical efetiva inicial e suas atualizações no tempo, como nos exercícios 
12, 15 e 16. 
 
18 – (Prova P1 2017.1) No perfil de solo da Fig. ER56 é executado um 
rebaixamento instantâneo (t = 0) de 2m no nível do lençol d'água de NA1 para 
NA2. Posteriormente, no instante t = 61 dias é feita a remoção de parte da 
camada superficial de areia até a profundidade de 2m. Considerando peso 
específico da água 3/10 mkNw  , peso específico saturado da argila 
3arg /16 mkNilasat  , peso específico saturado da areia 
3/20 mkNareiasat  e peso 
específico total da areia acima do NA 3/17 mkNareiat  , pede-se determinar, 
incluindo nos cálculos os efeitos da variação do peso específico da areia causada 
pelo rebaixamento: 
 
a) os gráficos de distribuição de poropressão em: (a) t < 0; (b) t = 0; (c) t = 17,5 dias 
(d) t = 61 dias; (e) t . Preencha os valores das poropressões na Tabela ER17. 
 
b) velocidade total de fluxo nos planos médios das camadas de argila em: (a) t = 
17,5 dias; (b) t = 61 dias. Preencha os valores de velocidade na Tabela ER18. 
 
c) recalque final de adensamento primário da superfície do terreno. 
 
 
Figura ER56 - Perfil de solo 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 168 
 
Tabela ER17 – Poropressões (kPa) no perfil de dolo 
 
 
 
Profundidade 
(m) 
 
 
t < 0 
 
 
t = 0 
 
 
t =17,5 dias 
 
 
t =61 dias 
 
 
t 
2 0 - - - - 
4 20 0 0 0 0 
5 30 10/24 10 10/-24 10 
6 40 34 32,4 -4 30 
7 50 44/50 50 16/50 50 
8 60 60/54 60 60/26 60 
10 90 84 85,4 54,7 90 
12 120 114/120 120 86/120 120 
14 140 140 140 140 140 
 
Tabela ER18 – Velocidades (cm/s) no perfil de solo 
 
 
Profundidade 
(m) 
 
t = 17,5 dias 
 
 
t= 61 dias 
 
6 1,8 x 10
-7
 cm/s ↑ 2,0 x 10
-7
 cm/s ↑ 
10 2,6 x 10
-8
 cm/s ↑ 2,6 x 10
-8
 cm/s ↑ 
 
 
 
Figura ER57 - Poropressões (kPa) em t < 0 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 169 
 
 
 
Figura ER58a - Poropressões (kPa) em t = 0 considerando separadamente efeitos do rebaixamento 
(somente na camada de argila superior) e variação do peso específico da areia (ambas as 
camadas). 
 
 
 
Figura ER58b - Poropressões (kPa) em t = 0 considerando conjuntamente do rebaixamento 
(somente na camada de argila superior) e variação do peso específico da areia (ambas as 
camadas). 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 170 
 
 
 
Figura ER59 - Poropressões (kPa) em t = 17,5 dias 
 
 
Figura ER60 - Poropressões (kPa) em t = 61 dias 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 171 
 
 
 
Figura ER61 - Poropressões (kPa) em t → ∞ 
 
 
a)Tempo para camadas de argila atingirem o final do adensamento primário Tv =1 
 
a. 1) Camada de argila superior → 1 = 
𝑐𝑣𝑡𝑝
𝐻2
 → 𝑡𝑝 = 
1002
2×10−3×24×60×60
= 57,9 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
a. 2) Camada de argila inferior → 1 = 
𝑐𝑣𝑡𝑝
𝐻2
 → 𝑡𝑝 = 
2002
5,3×10−3×24×60×60
= 87,4 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
b) Valores dos excessos de poropressão no plano médio das camadas de argila (Z 
= 1) no tempo t = 17,5 dias 
 
b.1) Camada de argila superior 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 = 
2×10−3×17,5×24×60×60
1002
= 0,3 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição u0 constante com a profundidade 
(variação do peso específico da areia) é lido Uz = 0,40 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧)𝑢0 = (1 − 0,40)(−6) = −3,6𝑘𝑃𝑎 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição linear de u0 com a profundidade 
(rebaixamento do nível d’água) é lido Uz = 0,70 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧)𝑢0
𝑏 = (1 − 0,70)(20) = 6𝑘𝑃𝑎 
 
Logo 𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 30 + 6 − 3,6 = 32,4𝑘𝑃𝑎 
 
b.2) Camada de argila inferior 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 = 
5,3×10−3×17,5×24×60×60
2002
= 0,2 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 172 
 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição u0 constante com a profundidade 
(variação do peso específico da areia) é lido Uz = 0,23 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧)𝑢0 = (1 − 0,23)(−6) = −4,6𝑘𝑃𝑎 
 
Logo 𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 90 − 4,6 = 85,4𝑘𝑃𝑎 
 
c) Valores dos excessos de poropressão no plano médio das camadas de argila (Z 
= 1) no tempo t = 61 dias 
 
c.1) Camada de argila superior já adensoudevido aos efeitos do rebaixamento 
porque tp = 57,9 dias < 61 dias. O excesso de poropressão somente é devido à 
remoção instantânea da camada de areia superior de 2m de espessura. 
 
Logo 𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 30 − 2 × 17 = −4𝑘𝑃𝑎 
 
c.2) Camada de argila inferior 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 = 
5,3×10−3×61×24×60×60
2002
= 0,7 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição u0 constante com a profundidade 
(variação do peso específico da areia) é lido Uz = 0,78 
 
𝑢𝑒 = (1 − 𝑈𝑧)𝑢0 = (1 − 0,78)(−6) = −1,3𝑘𝑃𝑎 
 
Logo 𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 90 − 1,3 − 2 × 17 = 54,7𝑘𝑃𝑎 
 
d) Velocidade de fluxo no plano médio da camada de argila superior 
 
d.1) t = 17,dias 
 
d.1.1) Devido à variação do peso específico vt = 0 pois em Z =1 as tangentes às 
isócronas são verticais. 
 
d.1.2) Devido à variação do nível d’água, com base no gráfico das isócronas 
correspondente 
 
𝑣𝑡 = 𝑘 × 𝑖 = 𝑘 ×
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤 × 𝐻
×
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑍
]
𝑍=1
 = 2 × 10−7 ×
20
10 × 1
×
0,05
1
= 2 × 10−8𝑐𝑚/𝑠 ↓ 
 
d.1.3) Devido ao fluxo permanente em t → ∞ 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘 × 𝑖 = 𝑘 ×
∆ℎ
𝑏0
 = 2 × 10−7 ×
2
2
= 2 × 10−7𝑐𝑚/𝑠 ↑ 
 
d.1.4) Velocidade total de fluxo 
 
𝑣 = 𝑣𝑠𝑠 + 𝑣𝑡 = 2 × 10
−7 − 2 × 10−8 = 1,8 × 10−7 𝑐𝑚/𝑠 ↑ 
 
d.2) t = 61 dias 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 173 
 
 
O adensamento devido ao rebaixamento e variação do peso específico já terminou 
e no instante t = 61dias ainda não houve dissipação dos excessos de poropressão 
gerados pela remoção da camada de areia. Logo vt = 0 e somente ocorre 
velocidade de fluxo permanente 𝑣𝑠𝑠 = 2 × 10
−7𝑐𝑚/𝑠 ↑ 
 
e) Velocidade de fluxo no plano médio da camada de argila inferior 
 
e.1) t = 17dias 
 
e.1.1) Devido à variação do peso específico vt = 0 pois em Z =1 as tangentes às 
isócronas são verticais. Somente existe fluxo devido ao regime permanente 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘 × ∆ℎ ∆𝑧 ⁄ = 5,3 × 10
−8 × (2 4⁄ ) = 2,65 × 10−8 𝑐𝑚/𝑠 ↑ 
 
e.2) t = 61 dias 
 
e.2.1) Devido à variação do peso específico vt = 0 pois em Z = 1 as tangentes às 
isócronas são verticais. Ainda não houve dissipação dos excessos de poropressão 
gerados pela remoção da camada de areia. Somente ocorre velocidade de fluxo 
permanente 𝑣𝑠𝑠 = 2,65 × 10
−8 𝑐𝑚/𝑠 ↑ 
 
f ) Recalque de adensamento primário na superfície do maciço de solo 
 
f.1) Camada de argila superior 
 
kN/m
c
k
m
vw
v
23
43
27
10
1010210
10102 







 
 
No método de cálculo indireto com o parâmetro linear mv, considerando o plano 
médio da camada, 
 
  mmb remcc
reb
c
'
vvc
23
11101 10634610102
    
 
f.2) Camada de argila inferior 
 
kN/m
,
,
c
k
m
vw
v
24
43
28
10
10103510
101035 







 
 
No método de cálculo indireto com o parâmetro linear mv, considerando o plano 
médio da camada, 
 
  m,mb remcc
'
vvc
24
2202 1061346104
    
 
f.3) Recalque total da superfície do solo 
 
  cm,m,ccc 6710616
2
21 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 174 
 
19 – (Prova P4 2017.1) No perfil de solo da Fig. ER62 é feito no tempo t = 0 um 
bombeamento instantâneo na camada de areia situada na profundidade 8m ≤ z ≤ 
9m que provoca um alívio de pressão de 12,6 kPa em todos os pontos desta 
camada. Em seguida, no tempo t = 209 dias é feita a escavação instantânea de 
2m da camada superficial de areia. Pede-se: 
a) os gráficos de distribuição de poropressão nos tempos t < 0, t = 0, t = 209
-
dias 
(imediatamente antes da escavação), t = 209 dias (no instante da escavação), t = 
418 dias, t → ∞. Preencher os valores de poropressão na Tabela ER19; 
 
b) o recalque final de adensamento primário na superfície do terreno. 
 
 
Figura ER62 – Perfil do depósito de solo 
 
Tabela ER19 – Valores de poropressão (kPa) 
 
 
z 
(m) 
 
t < 0 
 
t = 0 
 
t = 209
- 
dias 
 
t = 209
 
dias 
 
t = 418 dias 
 
t →∞ 
3 0 0 0 0 0 0 
4 10 10 10 10 / -24 10 10 
6 45 45 43,2 9,2 16,53 38,7 
8 80 80 / 67,4 67,4 33,4 / 67,4 67,4 67,4 
9 90 77,4 / 90 77,4 77,4 / 43,4 77,4 77,4 
12 105 105 104,6 70,6 71,53 98.7 
15 120 120 120 86 / 120 120 120 
17 140 140 140 140 140 140 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 175 
 
a) valores de poropressão em t = 209– dias com base no gráfico das isócronas 
com distribuição inicial triangular do excesso de poropressão 
 
a.1) argila superior Z = 1, 6402250
2
2091034
2
3
2
,U,
,
H
tc
T Z
v
v 



 
a.2) argila inferior Z = 1, 53010
3
2091034
2
3
2
,U,
,
H
tc
T Z
v
v 



 
 
z (m) Uz ue = (1-Uz)12,6 (kPa) uss (kPa) u (kPa) 
6 0,64 4,54 38,7 43,24 
12 0,53 5,92 98,7 104,62 
 
b) valores de poropressão em t = 209 dias devido à escavação da camada 
superficial de areia de 2m de espessura. Todos os pontos das camadas de argila 
superior e inferior sofrem uma redução de poropressão u0 = - 2 x 17 = - 34 kPa 
 
c) valores de poropressão em t = 418 dias 
 
c.1) excessos de poropressão com base no gráfico das isócronas com distribuição 
inicial triangular (bombeamento) em t = 418 dias 
 
c.1.1) argila superior Z = 1, 790450
2
4181034
2
3
2
,U,
,
H
tc
T Z
v
v 



 
c.1.2) argila inferior Z = 1, 62020
3
4181034
2
3
2
,U,
,
H
tc
T Z
v
v 



 
 
z (m) Uz ue = (1-Uz)12,6 (kPa) 
6 0,79 2,65 
12 0,62 4,79 
 
c.2) excessos de poropressão com base no gráfico das isócronas com distribuição 
inicial constante (escavação) em t = 418 dias, correspondendo a t’ = t - 209 = 209 
dias. 
c.2.1) argila superior Z = 1, 2702250
2
2091034
2
3
2
,U,
,
H
tc
T Z
v
v 



 
c.2.2) argila inferior Z = 1, 06010
3
2091034
2
3
2
,U,
,
H
tc
T Z
v
v 



 
 
z (m) Uz ue = (1-Uz)(-34) (kPa) 
6 0,27 -24,82 
12 0,06 -31,96 
 
c.3) valores de poropressão em t = 418 dias considerando efeitos combinados do 
bombeamento e da escavação da camada superficial de areia 
 
z (m) ue kPa 
(bombeamento) 
ue kPa 
(escavação) 
uss (kPa) u (kPa) 
6 2,65 -24,82 38,7 16,53 
12 4,79 -31,96 98,7 71,53 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 176 
 
 
d) Recalque final de adensamento primário na superfície do terreno 
 
d.1) Argila superior considerando o ponto médio em z = 6m 
 
d.1.1) Coeficiente de deformação volumétrica mv 
 
kNm
c
k
m
vw
z
v /1032,0
103,410365
105 23
3
3








 
 
d.1.2) Variação da tensão vertical efetiva devido ao bombeamento em t → ∞ 
 
kPa,
,
u'
t
bom
t
bom
v 36
2
612
0
0 

 
 
d.1.3) Variação da tensão vertical efetiva devido à escavação em t → ∞ 
 
kPau
t
esc
t
esc
v 34'
0
0 

 
 
d.1.4) Recalque final de adensamento primário da camada superior de argila 
 
  mmb vvc 035,0343,61032,04'
3
0
sup   
 
d.2) Argila inferior considerando o ponto médio em z = 12md.2.1) Coeficiente de deformação volumétrica mv 
 
kNm
c
k
m
vw
z
v /1027,1
103,410365
02,0 23
3






 
 
d.2.2) Variação da tensão vertical efetiva devido ao bombeamento em t → ∞ 
 
kPa,
,
u'
t
bom
t
bom
v 36
2
612
0
0 

 
 
d.2.3) Variação da tensão vertical efetiva devido à escavação 
 
kPau'
t
esc
t
esc
v 34
0
0 

 
 
d.2.4) Recalque final de adensamento primário da camada inferior de argila 
 
  mmb vvc 053,0343,61032,06'
3
0
inf   
 
d.3) Recalque final de adensamento primário na superfície do terreno 
 
mcc 088,0053,0035,0
supsup   
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 177 
 
 
Figura ER63 – Distribuição de poropressão em t < 0 
 
 
Figura ER64 – Distribuição de poropressão em t = 0 
us 
t < 0 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 178 
 
 
Figura ER65 – Distribuição de poropressão em t = 209 
– 
dias (em preto) e t = 209 dias (em verde) 
 
Figura ER66 – Distribuição de poropressão em t = 418
 
dias (a distribuição real é a soma dos 
excessos de poropressão devidos ao bombeamento e escavação) – gráficos sem escala. 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 179 
 
 
Figura ER67 – Distribuição de poropressão em t → ∞ 
 
 
20 – (Prova P1 2017.2) Com relação ao perfil de solo da Fig. ER68 os seguintes 
eventos aconteceram: 
a) rebaixamento instantâneo do lençol freático de NA1 para NA2 em t0 = 0; 
b) remoção instantânea da camada superficial de areia seca de 2m de espessura 
ao final do adensamento primário causado pelo rebaixamento do lençol freático 
no instante t1; 
c) construção instantânea na nova superfície do terreno escavado de uma 
fundação circular, perfeitamente flexível, de raio R = 6m com carregamento 
uniformemente distribuído Δq = 100 kPa, no instante de tempo correspondente ao 
final do adensamento primário t2 causado pela remoção da camada superficial de 
areia. 
 
Pede-se determinar o recalque final de adensamento primário do depósito de solo 
considerando o acréscimo de distribuição vertical devido ao carregamento da 
fundação q determinado pela teoria da elasticidade linear. Considere a variação 
do peso específico provocado pelo rebaixamento do lençol freático. No cálculo 
indireto do recalque, para facilitar os cálculos, em cada estrato de argila considere 
apenas uma camada (i.e. não é necessário subdividir os estratos de argila em 
subcamadas). 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 180 
 
 
Figura ER68 – Perfil do depósito de solo 
 
a) Recalque final de adensamento primário 
 
Acréscimo de tensão vertical devido ao carregamento da função circular 
perfeitamente flexível é determinado por 
 




































23
2
1
1
1
*
fun
v
z
R
q' com z* = zmed - 2 
 
Espessura 
camada (m) 
Ponto 
médio 
zmed (m) 
 
0v' 
(kPa) 
 
vm' 
(kPa) 
 
reb
v' 
(kPa) 
 
 v' 
(kPa) 
 
esc
v' 
(kPa) 
 
fun
v' 
(kPa) 
3 5,5 63 94,5 10 - 6 -34 87,21 
4 10 94 141 0 - 6 -34 48,80 
 
a.1) Recalque devido ao rebaixamento do lençol freático e variação do peso 
específico (eventos simultâneos) 
 
Espessura 
camada (m) 
Ponto 
médio 
zmed (m) 
 
0v' 
(kPa) 
 
vm' 
(kPa) 
 
reb
v' 
(kPa) 
 
 v' 
(kPa) 
 
esc
v' 
(kPa) 
 
fun
v' 
(kPa) 
3 5,5 63 94,5 10 - 6 -34 87,21 
4 10 94 141 0 - 6 -34 48,80 
 
Espessura 
subcamada 
(m) 
 
Ponto médio 
zmed (m) 
 
0v' 
(kPa) 
 
vm' 
(kPa) 
 
 rebvf' (kPa) 
 
Parâmetro 
3 5,5 63 94,5 63+10- 6= 67 CR pois vm' >
 rebvf' 
4 10 94 141 94-6 = 88 CR pois vm' >
 rebvf' 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 181 
 
 
mrebc
3105,0
94
88
log03,0
95,01
4
63
67
log03,0
95,01
3  



 
 
a.2) Recalque devido à escavação da camada de areia superficial (evento 
sequencial) 
 
Espessura 
subcamada 
(m) 
 
Ponto médio 
zmed (m) 
 
 rebvf' 
(kPa) 
 
vm' 
(kPa) 
 
esc
vf' (kPa) 
 
Parâmetro 
3 5,5 67 94,5 67-34=33 CR pois vm' >
esc
vf' 
4 10 88 141 88-34=54 CR pois vm' >
esc
vf' 
 
m,log,
,
log,
,
esc
c
310227
88
54
030
9501
4
67
33
030
9501
3 



 
 
a.3) Recalque devido ao carregamento da fundação (evento sequencial) 
 
Espessura 
subcamada 
(m) 
 
Ponto médio 
zmed (m) 
 
esc
vf' 
(kPa) 
 
vm' 
(kPa) 
 
fun
vf' (kPa) 
 
Parâmetro 
3 5,5 33 94,5 33+87,21=120,21 CR e Cc pois 
esc
vf' < vm'
< 
fun
vf' 
4 10 54 141 54+48,80=102,80 CR pois vm' >
fun
vf' 
 
mfunc
3101,72
54
80,102
log03,0
95,01
4
5,94
21,120
log21,0
33
5,94
log03,0
95,01
3 










 
a.4) Recalque final de adensamento primário 
 
  mfunc
esc
c
reb
cC
33 104,44101,722,275,0     
 
21 – (Prova P4 2017.2) Considere uma camada de argila de espessura L adensando 
com dupla drenagem sob carregamento linearmente crescente até atingir o valor total q 
em t = tc. Após certo tempo t o recalque de adensamento primário observado foi t. Caso o 
carregamento total q tivesse sido aplicado instantaneamente em t = 0, então no tempo t o 
valor do recalque de adensamento primário observado teria sido: 
a) igual a t 
b) maior do que t 
c) menor do que t 
d) nenhuma das alternativas 
 
Considere uma camada de argila de espessura L adensando com dupla drenagem sob 
carregamento linearmente crescente até atingir o valor total q em t = tc. O recalque final 
de adensamento primário observado foi . Caso o carregamento total q tivesse sido 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 182 
 
aplicado instantaneamente em t = 0, então o valor do recalque final de adensamento 
primário observado teria sido: 
a) igual a  
b) maior do que  
c) menor do que  
d) nenhuma das alternativas 
 
22 – (Prova P4 2017.2) No depósito de solo da Fig. ER69 foi feito um 
bombeamento instantâneo em t = 0 na camada de areia entre 15m ≤ z ≤ 17m com 
redução de 3m da carga de pressão em todos os seus pontos. Considerando o 
peso específico da água w = 10 kN/m
3 pede-se determinar: 
 
a) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t < 0, t = 0 e t = 
2,3 anos, preenchendo os valores da Tabela ER20. 
 
 
Figura ER69 –Perfil do depósito de solo 
 
 
b) velocidades de fluxo no plano médio das camadas de argila, no tempo t = 2,3 
anos indicando respectivos sentidos na Tabela ER21. 
 
Em seguida, no tempo t = 2,3+ anos ocorreu um levantamento instantâneo do nível 
do lençol freático de NA1 para NA2 com a areia sendo saturada entre 1m ≤ z ≤ 3m. 
Considerando a variação do peso específico da areia, pede-se determinar: 
 
c) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t = 2,3+ anos, t = 
4 anos e t → ∞, preenchendo os valores da Tabela ER22. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 183 
 
d) velocidades de fluxo no plano médio das camadas de argila, no tempo t = 4 anos 
indicando respectivos sentidos na Tabela ER23. 
 
 
Tabela ER20 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 2,3 anos 
1 0 0 0 
3 0 0 0 
4 10 10 10 
6 30 30 30 
8 50 50 50 
9 60 60 60 
12 115 115 100+7,2 = 107,2 
15 170 170/140 140 
17 190 160 160 
 
Tabela ER21 – Velocidade de fluxo (m/ano) em t = 2,3 anos 
 
z (m) v (m/ano) 
6 0 
12 (6,7 + 0,4) × 10−3 = 7,1 × 10−3 ↑ 
 
Tabela ER22 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t = 2,3
+
 anos t = 4 anos t → ∞ 
1 0 0 0 
3 20 20 20 
4 30/16 30 30 
6 36 40+1,4-2,4=39 40 
8 56/50 50 50 
9 60/66 60 60 
12 113,2 100+3,6+3,3=106,9 100 
15 146/140 140 140 
17 160 160 160 
 
Tabela ER23 – Velocidade de fluxo (m/ano) em t = 4 anos 
 
z (m) v (m/ano) 
6 10−2 𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↓ 
12 6,7 × 10−3 𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↑ 
 
a) Valor do excesso de poropressão em z = 12m em t = 2,3 anos devido ao bombeamento 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣 × 𝑡
𝐻2
=
4,3 × 10−3 × 2,3 × 365
32
= 0,40 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição triangular dos excessos iniciais de poropressão 
(Fig. 2.9) considerando Z =1 e Tv = 0,4: 
 
𝑈𝑧 = 1 − 
𝑢𝑒
𝑢0
𝑏 = 0,76 → 𝑢𝑒 = (1 − 0,76) × 30 = 7,2 𝑘𝑃𝑎 
 
b) Valor do excesso de poropressão em z = 6m em t = 2,3 anos devido ao bombeamento 
 
Camada de argila superior não é afetada pelo bombeamento 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 184 
 
 
c) Velocidade de fluxo em z = 6m em t = 2,3 anos 
 
𝑣𝑠𝑠 = 0 𝑣𝑡 = 0 
 
d) Velocidade de fluxo em z = 12m em t = 2,3 anos devido ao bombeamento considerando 
NR em z = 15m 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘𝑖 = 𝑘
∆ℎ
ℓ
 = 𝑘 [
(0 + 14) − (6 + 6)
6
] = 0,02 × 
1
3
 = 6,7 × 10−3 𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↑ 
 
𝑣𝑡 = 𝑘𝑖 = 𝑘
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤𝐻
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑍
|
𝑍=1
 = 0,02 × [
30
10 × 3
] × 0,02 = 0,4 × 10−3 𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↑ 
 
e) Carregamento em t = 2,3+ anos devido ao aumento do peso específico na camada 
superior de areia em 1m ≤ z ≤ 3m (ambas as camadas de argila são afetadas) 
 
∆𝑞 = (20 − 17) × 2 = 6 𝑘𝑃𝑎 
 
f) Valor do excesso de poropressão em z = 6m em t = 4 anos devido ao aumento do peso 
específico da areia 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣 × 𝑡
𝐻2
=
4,3 × 10−3 × (4 − 2,3) × 365
22
= 0,67 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição uniforme dos excessos iniciais de poropressão 
(Fig. 2.4) considerando Z =1 e Tv = 0,67: 
 
𝑈𝑧 = 1 − 
𝑢𝑒
𝑢0
= 0,76 → 𝑢𝑒 = (1 − 0,76) × 6 = 1,4 𝑘𝑃𝑎 
 
g) Valor do excesso de poropressão em z = 6m em t = 4 anos devido à variação do nível 
d’água de NA1 para NA2 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição triangular dos excessos iniciais de poropressão 
(Fig. 2.9) considerando Z =1 e Tv = 0,67: 
 
𝑈𝑧 = 1 − 
𝑢𝑒
𝑢0
𝑏 = 0,88 → 𝑢𝑒 = (1 − 0,88) × (−20) = −2,4 𝑘𝑃𝑎 
 
h) Valor do excesso de poropressão em z = 12m em t = 4 anos devido à variação do peso 
específico da areia 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣 × 𝑡
𝐻2
=
4,3 × 10−3 × (4 − 2,3) × 365
32
= 0,3 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição uniforme dos excessos iniciais de poropressão 
(Fig. 2.4) considerando Z =1 e Tv = 0,3: 
 
𝑈𝑧 = 1 − 
𝑢𝑒
𝑢0
= 0,4 → 𝑢𝑒 = (1 − 0,4) × 6 = 3,6 𝑘𝑃𝑎 
 
i) Valor do excesso de poropressão em z = 12m em t = 4 anos devido ao bombeamento 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 185 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣 × 𝑡
𝐻2
=
4,3 × 10−3 × 4 × 365
32
= 0,7 
 
Do gráfico das isócronas com distribuição triangular dos excessos iniciais de poropressão 
(Fig. 2.9) considerando Z =1 e Tv = 0,7: 
 
𝑈𝑧 = 1 − 
𝑢𝑒
𝑢0
𝑏 = 0,89 → 𝑢𝑒 = (1 − 0,89) × (30) = 3,3 𝑘𝑃𝑎 
 
j) Velocidade de fluxo em z = 6m em t = 4 anos devido ao levantamento do NA 
considerando NR em z = 8m 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘𝑖 = 𝑘
∆ℎ
ℓ
 = 𝑘 [
(4 + 3) − (0 + 5)
4
] = 0,02 × 
2
4
 = 10−2 𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↓ 
 
Fluxo transiente devido ao levantamento do NA com Z = 1 e Tv = 0,67 resulta do gráfico da 
isócrona da Fig. 2.9 que 
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑍
|
𝑍=1
≅ 0. Logo, 𝑣𝑡
𝑁𝐴 = 0 
 
Fluxo transiente devido à variação do peso específico da areia em Z =1 resulta do gráfico 
da isócrona da Fig. 2.4 que 
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑍
|
𝑍=1
= 0. Logo, 𝑣𝑡
𝛾
= 0 
 
k) Velocidade de fluxo em z = 12m em t = 4 anos devido ao bombeamento considerando 
NR em z = 15m 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘𝑖 = 𝑘
∆ℎ
ℓ
 = 𝑘 [
(0 + 14) − (6 + 6)
6
] = 0,02 × 
1
3
 = 6,7 × 10−3 𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↑ 
 
Fluxo transiente devido ao bombeamento em Z =1 com 𝑇𝑣 = 0 ,7 resulta do gráfico da 
isócrona da Fig. 2.9 que 
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑍
|
𝑍=1
≅ 0. Logo, 𝑣𝑡
𝑏𝑜𝑚𝑏 = 0 
 
Fluxo transiente devido à variação do peso específico da areia em Z =1 resulta do gráfico 
da isócrona da Fig. 2.4 que 
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑍
|
𝑍=1
= 0. Logo, 𝑣𝑡
𝛾
= 0 
 
As Figs ER70 a ER75 apresentam os diagramas de poropressão com a profundidade. 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 186 
 
 
 
 
 
 
Figura ER70 – Distribuição de poropressões em t < 0 
desenho sem escala 
 
 
 
Figura ER71 – Distribuição de poropressões em t = 0 
desenho sem escala 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 187 
 
 
 
 
Figura ER72 – Distribuição de poropressões em t = 2,3 anos 
desenho sem escala 
 
 
 
 
Figura ER73 – Distribuição de poropressões em t = 2,3
+
 anos 
desenho sem escala 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 188 
 
 
 
Figura ER74 – Distribuição de poropressões em t = 4 anos 
desenho sem escala 
 
 
 
 
Figura ER75 – Distribuição de poropressões em t → ∞ 
desenho sem escala 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos SolosC. Romanel 189 
 
23 - (Prova P1 2018.1) No maciço de solo da Fig. ER76 ocorreu o rebaixamento 
instantâneo de 2m do nível d’água de NA1 para NA2. Dezoito dias após, foi feito o 
carregamento instantâneo (q = 100 kPa) de uma fundação circular de raio R = 5m, 
perfeitamente flexível, na superfície do terreno. Considerando o peso específico da 
água w = 10kN/m
3 e que o peso específico da camada de areia superior devido ao 
rebaixamento do NA varia de sat = 20 kN/m
3 para t = 17 kN/m
3, pede-se: 
 
a) desenhar os diagramas de poropressão com a profundidade nos tempos t = 0+, 
t = 18 - dias, t = 18+ dias, t → ∞. Preencher também os valores na tabela ER24; 
 
b) as velocidades de fluxo nas profundidades z = 3m e z = 9m, ao longo do eixo 
vertical que passa pelo centro da fundação, nos tempos t = 0 e t = 18+ dias, 
indicando respectivos sentidos de fluxo. Preencher também os valores na tabela 
ER25; 
 
c) recalque final de adensamento primário c pelo método indireto. Para determinar 
a parcela do recalque provocado pela fundação considere subcamadas de 2m de 
espessura; 
 
d) recalque de adensamento primário no tempo t = 54 dias. 
 
 
 
 
 
Figura ER76 – Perfil do depósito de solo 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 190 
 
 
Tabela ER24 – Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t = 0 t = 18
-
 dias t = 18
+
 dias t → ∞ 
1 0 0 0 0 
2 0/14 0 0/94,88 0 
3 26,5 17,5+6,6-3,4=20,7 20,7+86,38 =107,08 17,5 
6 64/70 70 (70+54,66 = 124,66)/ 70 70 
7 80/74 80 80/(80+46,12=126,12) 80 
9 95-6=89 95-4,6=90,4 90,4+33,20=123,60 95 
11 104/110 110 110+24,55 = 134,55/110 110 
12 120 120 120 120 
 
Tabela ER25 – Valores de velocidade de fluxo (m/s) 
 
z (m) t = 0
+
 t = 18
-
 dias 
3 0,94x 10
-9
 ↑ (0,94+0,50-0,30)x 10
-9 
= 
1,14x10
-9
 ↑ 
9 0,31x 10
-9
 ↓ 0,31x 10
-9
 ↓ 
 
 
 
 
 
Figura ER77 – Distribuição de poropressão em t = 0 (desenho sem escala) 
 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 191 
 
 
Figura ER78 – Distribuição de poropressão em t = 18
-
 dias (desenho sem escala) 
 
 
 
 
Figura ER79 – Distribuição de poropressão em t = 18
+
 dias (desenho sem escala) 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 192 
 
 
Figura ER80 – Distribuição de poropressão em t → ∞ 
 
a.1) Excesso de poropressão em z = 3m no tempo t = 18 dias devido ao 
rebaixamento do NA 
 
71 5 10 18 24 60 60
0,5 0,194
2 4
vZ e T
    
    
 
 1 0,67 20 6,6eu kPa    considerando Z = 0,5 medido da base do triângulo. 
 
a.2) Excesso de poropressão em z = 3m no tempo t = 18 dias devido à variação do 
peso específico 
 
   1 0,44 6 3,4eu kPa      
 
a.3) Excesso de poropressão em z = 9m no tempo t = 18 dias devido à variação do 
peso específico 
 
72 5 10 18 24 60 60
1 0,194
2 4
vZ e T
    
    
 
   1 0,23 6 4,6eu kPa      
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 193 
 
b.1) no tempo t = 0+ somente ocorre fluxo permanente em ambas as camadas de 
argila (fluxo ascendente em z = 3m e descendente em z = 9m) 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘𝑖 = 1,25 × 10
−9 ×
3
4
= 0,94 × 10−9 𝑚/𝑠 
 
b.2) no tempo t = 18- dias somente ocorre fluxo permanente descendente na 
camada de argila inferior enquanto em z = 3m ocorre também velocidade de fluxo 
transiente devido ao adensamento provocado pelo rebaixamento do NA e variação 
do peso específico: 
 
Em z = 3m 
b.2.1) 9 9
3
1,25 10 0,94 10 /
4
ssv ki m s
       
b.2.2) 9 9
20 0,88 0,68
1,25 10 0,50 10 /
10 2 0,5
reb
tv ki m s
        

 com auxílio do 
gráfico das isócronas (distribuição inicial triangular dos excessos de poropressão) 
 
b.2.3) 9 9
( 6) 0,84 0,44
1,25 10 0,30 10 /
10 2 0,5
tv ki m s
          

 com auxílio do 
gráfico das isócronas (distribuição inicial uniforme dos excessos de poropressão) 
 
c.1 ) Recalque final de adensamento devido ao rebaixamento do NA (afeta somente 
a camada de argila superior),variação do peso específico e carregamento da 
fundação 
 
z (m) ∆𝜎′𝑣
𝛾
 (kPa) ∆𝜎′𝑣
𝑟𝑒𝑏 (kPa) ∆𝜎′𝑣
𝑓𝑢𝑛𝑑
 (kPa) ∆𝜎′𝑣
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (kPa) 
3 -6 15 86,38 95,38 
5 -6 5 64,64 63,64 
8 -6 0 39,32 33,32 
10 -6 0 28,45 22,45 
 214,79 
 
9
3 2
7
1,25 10
0,25 10 /
10 5 10
v
w v
k
m m kN
c




   
 
 
 4 40 ' 2 2,5 10 95,38 63,64 33,32 22,45 2 2,5 10 214,79
i i
c v vb m 
              
0,107c m  
 
c.2) Recalque final de adensamento devido ao rebaixamento do NA (afeta somente 
a camada de argila superior) e a variação do peso específico 
 
       40 ' 2 2,5 10 6 15 6 5 6 6 0,002
reb i i
c v vb m m
                       
 
c.3) Recalque final de adensamento devido ao carregamento da fundação 
 
 40 ' 2 2,5 10 86,38 64,64 39,32 28,45 0,109
fund i i
c v vb m m 
          
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 194 
 
d.1 ) Recalque de adensamento devido ao rebaixamento do NA e a variação do 
peso específico em t = 54 dias 
 
7
2
5 10 54 24 60 60
0,583 0,81
4
v
v v
c t
T U
H
    
     
 
54 0,81 0,002 0,002
reb
t dias m
       
 
d.2 ) Recalque de adensamento devido ao carregamento da fundação em t = 54 
dias 
 
 7
2
5 10 54 18 24 60 60
0,388 0,69
4
v
v v
c t
T U
H
     
     
54 0,69 0,109 0,075
fund
t dias m     
 
d.3 ) Recalque total de adensamento primário em t = 54 dias 
 
54 0,002 0,075 0,073t dias m      
 
 
24 - (Prova P1 2018.1) O valor do recalque de adensamento primário de uma 
camada de argila saturada no tempo t, admitindo que o carregamento é aplicado 
linearmente no tempo até o final da construção no tempo tc > 0: 
 
(a) é igual ao recalque no tempo t considerando o carregamento aplicado 
instantaneamente; 
(b) é superior ao recalque no tempo t considerando o carregamento aplicado 
instantaneamente; 
(c) é inferior ao recalque no tempo t considerando o carregamento aplicado 
instantaneamente; 
(d) nada pode ser afirmado sem conhecer o tempo do final de construção tc > 
0 
 
Considere uma camada de argila saturada carregada instantaneamente em t = 0 
por um aterro de grandes dimensões. No tempo t → ∞ pode-se afirmar que os 
valores de poropressão são (valor = 0,5 pontos): 
(a) hidrostáticos 
(b) nulos 
(c) iguais aos valores em t < 0 
(d) correspondem aos valores de fluxo permanente 
 
. 
25 - (Prova P1 2018.2) Um aterro rodoviário, arenoso, de comprimento infinito eseção trapezoidal, deverá ser construído instantaneamente sobre uma camada de 
argila sobrejacente a uma camada de areia densa (Fig. ER81). No centro da 
camada de argila existe um duto que a atravessa transversalmente, perpendicular 
ao comprimento do aterro. O duto, projetado para uma vida útil de 30 anos, 
resiste a uma distorção angular máxima de 0.05°causada por um eventual 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 195 
 
recalque diferencial na camada de argila. Considerando o peso específico da 
água w = 10kN/m3, o peso específico do aterro aterro = 20kN/m
3 e admitindo uma 
distribuição elástica das tensões no solo, calcule o valor máximo do recalque 
diferencial entre os pontos A (na linha central do aterro) e B (extremidade do 
aterro), também considerando o recalque de compressão secundária. Verifique se 
haverá ou não ruptura do duto. 
 
 
 
Figura ER81 – Aterro rodoviário sobre camada de argila mole 
 
a) Recalque do ponto A 
 
O recalque é provocado pela compressão da subcamada entre as profundidades 
3m ≤ z ≤ 6m. O acréscimo de tensão vertical efetiva na profundidade média z = 
4,5m pode ser determinado com o cálculo do fator de influência I pelo gráfico de 
Osterberg (Fig. ER82), considerando: 
 
 
𝑎
𝑧
=
1,5
4,5
= 0,33 
𝑏
𝑧
=
3
4,5
= 0,66 vem 𝐼 → 𝑓 (
𝑎
𝑧
;
𝑏
𝑧
) = 0,37 
 
 
Para as duas partes simétricas do aterro 
 
𝐼1 = 𝐼2 = 0,37 
∆𝜎′𝑣 = 𝑝𝐼 (
𝑎
𝑧
;
𝑏
𝑧
) = 𝑝(𝐼1 + 𝐼2) = 2 × 20 × 2 × 0,37 = 29,60 𝑘𝑃𝑎 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 196 
 
 
Figura ER82 - Gráfico de Osterberg (1957) 
 
Estado inicial de tensões no ponto na profundidade z = 4,5m 
 
𝜎𝑣0 = 4,5 × 16 = 72𝑘𝑃𝑎 
𝑢0 = 4,5 × 10 = 45𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑣
′
0
= 72 − 45 = 27𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑣𝑚
′ = 27 × 𝑂𝐶𝑅 = 18 × 1,5 = 40,5𝑘𝑃𝑎 
 
Recalque final de adensamento primário no ponto A 
 
𝜌𝐴
𝐼 =
𝑏0
1 + 𝑒0
[𝐶𝑟 log (
𝜎𝑣𝑚
′
𝜎𝑣′ 0
) + 𝐶𝑐 log (
𝜎𝑣
′
0
+ 𝛥𝜎𝑣
′
𝜎𝑣𝑚′
)] 
𝜌𝐴
𝐼 =
3
1 + 1,8
[0,002 × log (
40,5
27
) + 0,025 × log (
27 + 29,6
40,5
)] 
𝜌𝐴
𝐼 = 0,00427𝑚 
 
Recalque de compressão secundária no ponto A 
 
Tempo tp para final do adensamento primário da camada de argila em Tv = 1 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 197 
 
𝑇𝑉 =
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
→ 𝑡 =
𝑇𝑉𝐻
2
𝑐𝑣
=
32
2 . 10−7
= 45000000𝑠 = 1,42 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 𝑡𝑝 
𝜌𝐴
𝐼𝐼 =
𝑏0
1 + 𝑒0
𝐶𝛼 log (
𝑡
𝑡𝑝
) 
𝜌𝐴
𝐼𝐼 =
3
1 + 1,8
× 0,02 × log (
30
1,42
) 
𝜌𝐴
𝐼𝐼 = 0,028𝑚 
 
Recalque total no ponto A em t = 30 anos 
𝜌𝐴
𝐼 + 𝜌𝐴
𝐼𝐼 = 0,00427 + 0,028 = 0,032𝑚 = 3,2𝑐𝑚 
 
 b) Recalque do ponto B distante 4,5m da linha central do aterro 
 
Do gráfico de Osterberg (Fig. ER82), 
 
𝐼1 → 𝑓 (
𝑎
𝑧
;
𝑏
𝑧
) = 𝑓 (
1,5
4,5
; 
7,5
4,5
) = 𝑓(0,33; 1,66) = 0,485 
𝐼2 → 𝑓 (
𝑎
𝑧
;
𝑏
𝑧
) = 𝑓 (
1,5
4,5
; 
0
4,5
) = 𝑓(0,33; 0) = 0,10 
 
Logo 
∆𝜎′𝑣 = 𝑝(𝐼1 − 𝐼2) = 2 × 20 × (0,485 − 0,10) = 15,40 𝑘𝑃𝑎 
 
Recalque final de adensamento primário no ponto B 
𝜌𝐵
𝐼 =
𝑏0
1 + 𝑒0
[𝐶𝑟 log (
𝜎𝑣𝑚
′
𝜎𝑣′ 0
) + 𝐶𝑐 log (
𝜎𝑣
′
0
+ 𝛥𝜎𝑣
′
𝜎𝑣𝑚′
)] 
𝜌𝐵
𝐼 =
3
1 + 1,8
[0,002 × log (
40,5
27
) + 0,025 × log (
27 + 15,4
40,5
)] 
𝜌𝐵
𝐼 = 0,0009𝑚 
 
Recalque de compressão secundária no ponto B 
𝜌𝐵
𝐼𝐼 = 𝜌𝐴
𝐼𝐼 = 0,028𝑚 
 
Recalque total no ponto B em t = 30 anos 
𝜌𝐵
𝐼 + 𝜌𝐵
𝐼𝐼 = 0,0009 + 0,028 = 0,029𝑚 = 2,9𝑐𝑚 
 
c) Verificação da ruptura do duto 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 198 
 
Recalque diferencial na profundidade de 4,5m para os dois pontos 
horizontalmente alinhados: 
 
 
𝜌𝑑𝑖𝑓 = 𝑡𝑔(𝛼) =
0,032 − 0,029
4,5
= 6,7 × 10−4 → 𝛼 = 0,0380 < 𝛼𝑚𝑎𝑥 = 0,05
0 
 
Logo, não haverá a ruptura do duto devido ao recalque diferencial entre os pontos 
A e B. 
 
26 - (Prova P4 2018.2) Marque as afirmativas seguintes com as quais você 
concorda. Pode haver mais de uma resposta correta. 
 
26.1) a velocidade de fluxo transiente causado por adensamento primário é: 
a) nula na profundidade média da camada de argila 
b) inferior à velocidade no topo e na base de uma camada de argila com duas 
faces de drenagem em 0 < t < ∞ 
c) no caso de camada de argila com única face de drenagem, a velocidade é 
quatro vezes maior na face drenante do que na face impermeável 
d) as componentes de velocidade permanente e transiente são ambas calculadas 
pela lei de Darcy 
 
26.2) Com relação à determinação do coeficiente de adensamento cv: 
a) no método de Taylor é necessário determinar o ponto correspondente à leitura 
inicial corrigida selecionando, no trecho parabólico inicial do ensaio, dois pontos 
separados de razão t2/t1 = 4 
b) o método de Casagrande é baseado no valor do fator tempo correspondente a 
50% de dissipação média dos excessos de poropressão 
c) o método de Taylor é baseado no valor do fator tempo correspondente a 90% 
de dissipação média dos excessos de poropressão 
d) o método de Taylor é baseado no valor do fator tempo Tv = 0,197 
 
26.3) No cálculo do recalque imediato de uma camada de argila saturada pela 
teoria 1D: 
a) o valor do coeficiente de variação volumétrica (mv) tende a zero 
b) o valor do coeficiente de variação volumétrica (mv) tende a infinito 
c) o valor do módulo de deformação 1D (M) tende a zero 
d) o valor do módulo de deformação 1D (M) tende a infinito 
 
26.4) O recalque final de adensamento primário considerando carregamento não 
instantâneo é: 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 199 
 
a) inferior ao recalque final de adensamento primário considerando carregamento 
instantâneo 
b)superior ao recalque final de adensamento primário considerando carregamento 
instantâneo 
c) igual ao recalque final de adensamento primário considerando carregamento 
instantâneo 
d) nada pode se afirmado porque depende da velocidade de carregamento 
 
 
27 - (Prova P4 2018.2) No perfil de solo da Fig. ER83 aconteceram os seguintes 
eventos: 
 
t = 0 bombeamento instantâneo na camada de areia entre 8m ≤ z ≤ 9m 
com redução da carga de pressão hp= 3m em todos os seus 
pontos 
t = 7 meses remoção da camada superficial de solo com espessura de 2m 
t = 14 meses Construção de fundação retangular (24 m x 12 m) uniformemente 
carregada com q = 50 kPa 
 
Considerando o peso específico da água w = 10 kN/m
3, pede-se: 
a) os diagramas de poropressão com a profundidade, ao longo do eixo que passa 
pelo centro da fundação, nos instantes t < 0, t = 0, t = 7+ meses, t = 14+ meses e t 
→ ∞ preenchendo os valores da Tab. ER26. 
b) as velocidades de fluxo em t = 14+ meses nospontos situados nas 
profundidades z = 6m e z = 12m, preenchendo os valores da Tab. ER27. 
c) o recalque final de adensamento primário das camadas de argila. Não há 
necessidade de dividi-las em subcamadas para cálculo do recalque pelo método 
indireto. 
d) o recalque de adensamento primário das camadas de argila em t = 21 meses 
 
a) Tempo para final de adensamento primário em cada evento (𝑇𝑣 = 1) 
 
a.1) Camada de argila superior 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 → 1 = 
4,3 × 10−3 × 𝑡
22
 → 𝑡 = 930 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 31 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
a.2) Camada de argila inferior 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
 → 1 = 
4,3 × 10−3 × 𝑡
32
 → 𝑡 = 2093 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 69,8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
Portanto, até t = 21 meses as camadas de argila ainda estão adensando. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 200 
 
 
Figura ER83 - Perfil geotécnico de maciço de solo 
 
 
b) Poropressão em t= 7+ meses = 210 dias 
 
b.1) Em z = 6m devido ao bombeamento 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 7 × 30
22
 = 0,226 
 
Do gráfico das isócronas para distribuição inicial triangular das poropressões (Fig. 2.9), ou 
da Eq. 2.35, com Z = 1 
 
𝑈𝑧 = 0,636 → 𝑢𝑒
𝑏𝑜𝑚 = (1 − 0,636) × 30 = 10,92 𝑘𝑃𝑎 
 
b.2) Em z = 6m devido à remoção da camada superficial de espessura 2m 
 
𝑢0
𝑟𝑒𝑚 = −2 × 17 = −34 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 40 + 10,92 − 34 = 16,92 𝑘𝑃𝑎 
 
b.3) Em z = 12m devido ao bombeamento 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 7 × 30
32
 = 0,10 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 201 
 
Do gráfico das isócronas para distribuição inicial triangular das poropressões (Fig. 2.9), ou 
da Eq. 2.35, com Z = 1 
 
𝑈𝑧 = 0,525 → 𝑢𝑒
𝑏𝑜𝑚 = (1 − 0,525) × 30 = 14,25 𝑘𝑃𝑎 
 
b.4) Em z = 12m devido à remoção da camada superficial de espessura 2m 
 
𝑢0
𝑟𝑒𝑚 = −2 × 17 = −34 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 100 + 14,25 − 34 = 80,25 𝑘𝑃𝑎 
 
c) Poropressão em t= 14+ meses = 420 dias 
 
c.1) Em z = 6m devido ao bombeamento 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 14 × 30
22
 = 0,452 
 
Do gráfico das isócronas para distribuição inicial triangular das poropressões (Fig. 2.9), ou 
da Eq. 2.35, com Z = 1 
 
𝑈𝑧 = 0,790 → 𝑢𝑒
𝑏𝑜𝑚 = (1 − 0,790) × 30 = 6,30 𝑘𝑃𝑎 
 
c.2) Em z = 6m devido à remoção da camada superficial de espessura 2m 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 7 × 30
22
 = 0,226 
 
Do gráfico das isócronas para distribuição inicial uniforme das poropressões (Fig. 2.4), ou 
da Eq. 2.21, com Z = 1 
 
𝑈𝑧 = 0,273 → 𝑢𝑒
𝑟𝑒𝑚 = (1 − 0,273) × (−34) = −24,72 𝑘𝑃𝑎 
 
c.3) Devido ao carregamento da fundação, ao longo do eixo central, na profundidade z* = 6 
– 2 = 4m após removida a camada superficial de espessura 2m. 
 
Subdividindo a fundação em 4 áreas (12m x 6m) considerando m = 12/4 = 3 e n = 6/4 = 1,5 
resulta da Tabela 1.2 o valor do fator de influência I = 0,228. 
 
𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 4𝐼∆𝜎𝑣 = 4 × 0,228 × 50 = 45,60 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 40 + 6,30 − 24,72 + 45,60 = 67,18 𝑘𝑃𝑎 
 
c.4) Em z = 12m devido ao bombeamento 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 14 × 30
32
 = 0,20 
 
Do gráfico das isócronas para distribuição inicial triangular das poropressões (Fig. 2.9), ou 
da Eq. 2.35, com Z = 1 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 202 
 
 
𝑈𝑧 = 0,614 → 𝑢𝑒
𝑏𝑜𝑚 = (1 − 0,614) × 30 = 11,58 𝑘𝑃𝑎 
 
c.5) Em z = 12m devido à remoção da camada superficial de espessura 2m 
 
𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 7 × 30
32
 = 0,10 
 
Do gráfico das isócronas para distribuição inicial uniforme das poropressões (Fig. 2.4), ou 
da Eq. 2.21, com Z = 1 
 
𝑈𝑧 = 0,05 → 𝑢𝑒
𝑟𝑒𝑚 = (1 − 0,05) × (−34) = −32,30 𝑘𝑃𝑎 
 
c.6) Devido ao carregamento da fundação, ao longo do eixo central, na profundidade z* = 
12 – 2 = 10m após removida a camada superficial de espessura 2m. 
 
Subdividindo a fundação em 4 áreas (12m x 6m) considerando m = 12/10 = 1,2 e n = 6/10 
= 0,6 resulta da Tabela 1.2 o valor do fator de influência I = 0,143. 
 
𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 4𝐼∆𝜎𝑣 = 4 × 0,143 × 50 = 28,60 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢𝑒 = 100 + 11,58 − 32,30 + 28,60 = 107,88 𝑘𝑃𝑎 
 
c.7) Devido ao carregamento da fundação, ao longo do eixo central, na profundidade z* = 4 
– 2 = 2m após removida a camada superficial de espessura 2m. 
 
Subdividindo a fundação em 4 áreas (12m x 6m) considerando m = 12/2 = 6 e n = 6/2 = 3 
resulta da Tabela 1.2 o valor do fator de influência I = 0,246. 
 
𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 4𝐼∆𝜎𝑣 = 4 × 0,246 × 50 = 49,20 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 10 + 49,20 = 59,20 𝑘𝑃𝑎 
 
c.8) Devido ao carregamento da fundação, ao longo do eixo central, na profundidade z* = 8 
– 2 = 6m após removida a camada superficial de espessura 2m. 
 
Considerando m = 12/6 = 2 e n = 6/6 = 1 resulta da Tabela 1.2 o valor do fator de influência 
I = 0,200. 
 
𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 4𝐼∆𝜎𝑣 = 4 × 0,200 × 50 = 40 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 70 + 40 = 110 𝑘𝑃𝑎 
 
c.9) Devido ao carregamento da fundação, ao longo do eixo central, na profundidade z* = 9 
– 2 = 7m após removida a camada superficial de espessura 2m. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 203 
 
Considerando m = 12/7 = 1,71 e n = 6/7 = 0,86 resulta da Tabela 1.2 o valor do fator de 
influência I = 0,185. 
 
𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 4𝐼∆𝜎𝑣 = 4 × 0,185 × 50 = 37 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 80 + 37 = 117 𝑘𝑃𝑎 
 
c.10) Devido ao carregamento da fundação, ao longo do eixo central, na profundidade z* = 
15 – 2 = 13m após removida a camada superficial de espessura 2m. 
 
Considerando m = 12/13 = 0,92 e n = 6/13 = 0,46 resulta da Tabela 1.2 o valor do fator de 
influência I = 0,110. 
 
𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 4𝐼∆𝜎𝑣 = 4 × 0,110 × 50 = 22 𝑘𝑃𝑎 
 
Logo, 
𝑢 = 𝑢𝑠𝑠 + 𝑢0
𝑓𝑢𝑛
= 120 + 22 = 142 𝑘𝑃𝑎 
 
Tabela ER26 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 7+ meses t = 14+ meses t → ∞ 
3 0 0 0 0 0 
4 10 10 10/-24 10/59,20 10 
6 55 55 16,92 67,18 40 
8 100 100/70 36/70 110/70 70 
9 110 80/110 46/80 117/80 80 
12 115 115 80,25 107,88 100 
15 120 120 86/120 142/100 120 
17 140 140 140 140 140 
 
 
d) Cálculo da velocidade em t = 14+ meses no ponto em z = 6m 
 
Observe que somente o bombeamento produz velocidade de fluxo transiente em z = 6m e 
z = 12m porque para distribuição inicial constante das poropressões (remoção da camada 
superficial) a velocidade é nula em Z = 1. 
 
d.1) Velocidade de fluxo permanente vss 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘
∆ℎ
𝐿
= 5 × 10−3 ×
2
4
 = 2,5 × 10−3 𝑚 𝑎𝑛𝑜 ↑⁄ 
 
d.2) Velocidade de fluxo transiente 
 
𝑣𝑡 = 𝑘
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤𝐻
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
⌋
𝑍=1
≅ 5 × 10−3 ×
30
10 × 2
× 0 = 0 
 
d.3) Velocidade de fluxo total 
 
𝑣 = 𝑣𝑠𝑠 + 𝑣𝑡 = 2,5 × 10
−3 + 0 = 2,5 × 10−3 𝑚 𝑎𝑛𝑜 ↑⁄PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 204 
 
 
e) Cálculo da velocidade em t = 14+ meses no ponto em z = 12m 
 
e.1) Velocidade de fluxo permanente vss 
 
𝑣𝑠𝑠 = 𝑘
∆ℎ
𝐿
= 5 × 10−3 ×
2
6
 = 1,67 × 10−3 𝑚 𝑎𝑛𝑜 ↓⁄ 
 
e.2) Velocidade de fluxo transiente 
 
𝑣𝑡 = 𝑘
𝑢0
𝑏
𝛾𝑤𝐻
𝜕𝑈𝑍
𝜕𝑍
⌋
𝑍=1
≅ 5 × 10−3 ×
30
10 × 3
× 0,14 = 0,7 × 10−3 ↓ 
 
e.3) Velocidade de fluxo total 
 
𝑣 = 𝑣𝑠𝑠 + 𝑣𝑡 = (1,67 + 0,7) × 10
−3 = 2,37 × 10−3 𝑚 𝑎𝑛𝑜 ↓⁄ 
 
Tabela ER27 – Velocidades de fluxo (m/ano) em t = 14+ meses 
 
z (m) velocidade sentido 
6 2,5 × 10−3 ↑ 
12 2,37 × 10−3 ↓ 
 
f) Recalque final de adensamento primário 
 
f.1) Camada de argila superior 
 
kNm
c
k
m
vw
z
v /1027,1
103,410365
02,0 23
3






 
 
f.1.1) Acréscimo de tensão vertical efetiva devido ao bombeamento no meio da camada 
 
∆𝜎′𝑣
𝑏𝑜𝑚 = 15 𝑘𝑃𝑎 
 
f.1.2) Acréscimo de tensão vertical efetiva devido à remoção da camada superficial 
 
∆𝜎′𝑣
𝑟𝑒𝑚 = −34 𝑘𝑃𝑎 
 
f.1.3) Acréscimo de tensão vertical efetiva devido ao carregamento da fundação retangular 
na nova superfície do terreno 
 
∆𝜎′𝑣
𝑓𝑢𝑛
= 45,60 𝑘𝑃𝑎 
 
f.1.4) Recalque final de adensamento primário da camada de argila superior 
 
𝜌𝑐
𝑠𝑢𝑝
= 𝑏0 × 𝑚𝑣 × ∆𝜎′𝑣 = 4 × 0,32 × 10
−3 × (15 − 34 + 45,60) = 0,034𝑚 
 
𝜌𝑐
𝑠𝑢𝑝
= 0,019 − 0,043 + 0,058 = 0,034𝑚 
 
 f.2) Camada de argila inferior 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 205 
 
kNm
c
k
m
vw
z
v /1027,1
103,410365
02,0 23
3






 
 
f.2.1) Devido ao bombeamento 
 
Tensão vertical inicial no ponto médio da camada (z = 12m) 
 
∆𝜎′𝑣
𝑏𝑜𝑚 = 15 𝑘𝑃𝑎 
 
f.2.2) Devido à remoção da camada superficial 
 
∆𝜎′𝑣
𝑟𝑒𝑚 = −34 𝑘𝑃𝑎 
 
f.2.3) Devido ao carregamento da fundação retangular na nova superfície do terreno 
 
∆𝜎′𝑣
𝑓𝑢𝑛
= 28,60 𝑘𝑃𝑎 
 
f.2.4) Recalque final de adensamento primário da camada de argila inferior 
 
𝜌𝑐
𝑖𝑛𝑓
= 𝑏0 × 𝑚𝑣 × ∆𝜎′𝑣 = 6 × 0,32 × 10
−3 × (15 − 34 + 28,60) = 0,018𝑚 
 
𝜌𝑐
𝑖𝑛𝑓
= 0,029 − 0,065 + 0,055 = 0,019𝑚 
 
 f.3) Recalque final de adensamento primário das camadas de argila 
 
𝜌𝑐 = 𝜌𝑐
𝑠𝑢𝑝
+ 𝜌𝑐
𝑖𝑛𝑓
= 0,034 + 0,018 = 0,052𝑚 
 
g) Recalque de adensamento primário no tempo t = 21 meses 
 
g.1) Porcentagem média de dissipação de poropressão devido ao bombeamento 
 
g.1.1) Camada de argila superior 
 
𝑇𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑏𝑜𝑚 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 21 × 30
22
 = 0,677 
 
𝑇𝑣𝑠𝑢𝑝 = −0,933 log(1 − 𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑏𝑜𝑚 ) − 0,085 → 𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑏𝑜𝑚 = 0,847 
 
g.1.2) Camada de argila inferior 
 
𝑇𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑏𝑜𝑚 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 21 × 30
32
 = 0,300 
 
𝑇𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑏𝑜𝑚 = −0,933 log(1 − 𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑏𝑜𝑚) − 0,085 → 𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑏𝑜𝑚 = 0,613 
 
g.2) Porcentagem média de dissipação de poropressão devido à remoção da camada 
superficial 
 
g.2.1) Camada de argila superior 
 
𝑇𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑒𝑚 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 14 × 30
22
 = 0,452 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 206 
 
 
𝑇𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑒𝑚 = −0,933 log(1 − 𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑒𝑚 ) − 0,085 → 𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑒𝑚 = 0,734 
 
g.2.2) Camada de argila inferior 
 
𝑇𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑒𝑚 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 14 × 30
32
 = 0,200 
 
𝑇𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑒𝑚 = 
𝜋
4
(𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑒𝑚)
2
 → 𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑒𝑚 = 0,505 
 
g.3) Porcentagem média de dissipação de poropressão devido ao carregamento da 
fundação 
 
g.3.1) Camada de argila superior 
 
𝑇𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑓𝑢𝑛
= 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 7 × 30
22
 = 0,226 
 
𝑇𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑓𝑢𝑛
= 
𝜋
4
(𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑓𝑢𝑛
)
2
 → 𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑓𝑢𝑛
= 0,536 
 
g.3.2) Camada de argila inferior 
 
𝑇𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑓𝑢𝑛
= 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3 × 10−3 × 7 × 30
32
 = 0,100 
 
𝑇𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑓𝑢𝑛
= 
𝜋
4
(𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑓𝑢𝑛
)
2
 → 𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑓𝑢𝑛
= 0,357 
 
g.4) Recalque de adensamento primário em t = 21 meses 
 
𝜌𝑡
21 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑏𝑜𝑚 × 𝜌𝑐𝑠𝑢𝑝
𝑏𝑜𝑚 + 𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑏𝑜𝑚 × 𝜌𝑐𝑖𝑛𝑓
𝑏𝑜𝑚 + 𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑒𝑚 × 𝜌𝑐𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑒𝑚 + 𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑒𝑚 × 𝜌𝑐𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑒𝑚 + 
 
𝑈𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑓𝑢𝑛
× 𝜌𝑐𝑠𝑢𝑝
𝑓𝑢𝑛
+ 𝑈𝑣𝑖𝑛𝑓
𝑓𝑢𝑛
× 𝜌𝑐𝑖𝑛𝑓
𝑓𝑢𝑛
 
 
𝜌𝑡
21 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 0,847 × 0,019 + 0,613 × 0,029 + 0,734 × (−0,043) + 0,505 × (−0,065)+ 
 
0,536 × 0,058 + 0,357 × 0,055 = 0,020 𝑚 
 
28 - (Prova P1 2019.1) No perfil de solo da Fig. ER84 aconteceram os seguintes 
eventos: 
 
a) no tempo t = 0, bombeamento instantâneo na camada de areia situada na 
profundidade 11m ≤ z ≤ 12m com redução de 4m da carga de pressão em todos 
os seus pontos. 
 
b) no tempo t = 150 dias, remoção instantânea de uma camada superficial de 
areia de 1m de espessura. 
 
Considerando o peso específico da água w = 10kN/m3, pede-se os gráficos de 
distribuição da poropressão com a profundidade nos tempos t < 0, t = 0, t = 150- 
dias (imediatamente antes da remoção da camada de areia), t = 150+ dias 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 207 
 
(imediatamente após a remoção), t = 250 dias e t → ∞. Preencher também os 
valores de poropressão na Tab. ER38. 
 
ii) velocidade de fluxo (m/s) no instante t < 0 dias e t = 250 dias nos pontos 
situados à profundidade z = 5 m e z = 9 m. Preencher as velocidades na Tab. 
ER29 e indicar o sentido das mesmas. 
 
Tabela ER28 – Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 150- dias t = 150+ dias t = 250 dias t →∞ 
1 0 0 0 0 0 0 
3 20 20 20 20/3 20 20 
5 45 45 35+8=43 43-17=26 35+4,8-9,4=30,4 35 
7 70 70 50+12,4=62,4 62,4-17=45,4 50+7,2-13,1=44,1 50 
9 95 95 65+9,2=74,2 74,2-17=57.2 65+4,8-9,4=60,4 65 
11 120 120/80 80 63/80 80 80 
12 130 90 90 90 90 90 
 
Tabela ER29 – Valores de velocidade de fluxo (m/s) 
 
z(m) t < 0 sentido t = 250 dias sentido 
5 
vss 1,25x10
-7
 ↑ 1,25x10
-7
 ↓ 
vt 0 1,3x10
-7
 ↓ 
9 
vss 1,25x10
-7
 ↑ 1,25x10
-7
 ↓ 
vt 0 1,3x10
-7
 ↑ 
 
i) Determinação da poropressão nas profundidades 5, 7 e 9 m 
 
i.a) Após 150 dias 
 
 
7
2 2
3,7 10 150 24 60 60
0,3
4
v
v
c t
T
H
    
   com H = b/2 = 8/2 = 4m 
 
Na profundidade 5 m correspondente a z = 2m (a partir do topo da camada de argila) 
com Z = 2/4 = 0,5 e Tv = 0,3 determina-se no gráfico das isócronas (distribuição triangular 
da poropressão inicial) Uz = 0,8 
 
   01 1 0,8 40 8kPa
35 8 43kPa
b
e z
ss e
u U u
u u u
      
    
 
 
Na profundidade 7 m correspondente a z = 4m (do topo da camada de argila) com Z = 4/4 
= 1 e Tv = 0,3 determina-se no gráfico das isócronas (distribuição triangular da 
poropressão inicial) Uz = 0,69 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos SolosC. Romanel 208 
 
 
Figura ER84 – Perfil do depósito de solo 
 
   01 1 0,69 40 12,4kPa
50 12,4 62,4kPa
b
e z
ss e
u U u
u u u
      
    
 
 
Similarmente, na profundidade 9m correspondente a z = 6m com Z = 6/4 = 1,5 e Tv = 0,3 
determina-se Uz = 0,77 
 
   01 1 0,77 40 9,2kPa
65 9,2 74,2kPa
b
e z
ss e
u U u
u u u
      
    
 
 
i.b) Após 250 dias 
 
Fator tempo devido ao bombeamento: 
 
 
7
2 2
3,7 10 250 24 60 60
0,5
4
v
v
c t
T
H
    
   
 
Fator tempo devido à remoção da camada superficial de areia: 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 209 
 
7
2 2
3,7 10 100 24 60 60
0,2
4
v
v
c t
T
H
    
   
 
Para a profundidade 5 m (z = 2m, Z = 2/4 = 0,5) determina-se: 
 
Bombeamento (Tv = 0,5) → gráfico das isócronas com distribuição triangular do excesso 
de poropressão inicial → Uz = 0,88 →  1 0,88 40 4,8kPa
bom
eu     
Remoção (Tv = 0,2) → gráfico das isócronas com distribuição constante do excesso de 
poropressão inicial → Uz = 0,45 →  1 0,45 ( 17) 9,4kPa
rem
eu       
35 4,8 9,4 30,4kPabom remss e eu u u u       
 
Para a profundidade 7 m (z = 4m, Z = 4/4 = 1) determina-se: 
 
Bombeamento (Tv = 0,5) → gráfico das isócronas com distribuição triangular do excesso 
de poropressão inicial → Uz = 0,82 →  1 0,82 40 7,2kPa
bom
eu     
Remoção (Tv = 0,2) → gráfico das isócronas com distribuição constante do excesso de 
poropressão inicial → Uz = 0,23 →  1 0,23 ( 17) 13,1kPa
rem
eu       
50 7,2 13,1 44,1kPabom remss e eu u u u       
 
Para a profundidade 9 m (z = 6m, Z = 6/4 = 1,5) determina-se: 
 
Bombeamento (Tv = 0,5) → gráfico das isócronas com distribuição triangular do excesso 
de poropressão inicial → Uz = 0,88 →  1 0,88 40 4,8kPa
bom
eu     
Remoção (Tv = 0,2) → gráfico das isócronas com distribuição constante do excesso de 
poropressão inicial → Uz = 0,45 →  1 0,45 ( 17) 9,4kPa
rem
eu       
65 4,8 9,4 60,4kPabom remss e eu u u u       
 
ii) Determinação das velocidades de fluxo 
 
ii.1) Em t < 0 dias 
 
Somente velocidade de fluxo permanente, constante em todos os pontos da camada de 
argila: 
 
7 725 10 1,25 10 m/s
8
ss ss
h
v ki k  

       

 
 
ii.2) Em t = 250 dias 
 
ii.2a) Velocidade de fluxo permanente em todos os pontos da camada de argila: 
 
7 725 10 1,25 10 m/s
8
ss ss
h
v ki k  

       

 
 
ii.2b) Velocidade de fluxo transiente: 
 
Profundidade 5 m (Z = 0,5): 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 210 
 
 
Parcela devido ao bombeamento (Tv = 0,5): 
 
7 70
0,5
40
5 10 0,2 1 10 m/s
10 4
b
z
Zw
u U
v ki v k
H Z
 


         
 
 
 
Parcela devido à remoção da camada superficial de areia (Tv = 0,2): 
 
 7 70
0,5
17
5 10 0,85 1,8 10 m/s
10 4
z
Zw
u U
v ki v k
H Z
 


         
 
 
Velocidade de fluxo transiente:    7 7 71 10 1,8 10 0,8 10 m/stv            
 
Profundidade z = 9 m (Z = 1,5): 
 
Parcela devido ao bombeamento (Tv = 0,5): 
 
7 70
1,5
40
5 10 0,2 1 10 m/s
10 4
b
z
Zw
u U
v ki v k
H Z
 


         
 
 
 
Parcela devido à remoção (Tv = 0,2): 
 
 7 70
1,5
17
5 10 0,85 1,8 10 m/s
10 4
z
Zw
u U
v ki v k
H Z
 


         
 
 
 
Velocidade de fluxo transiente:    7 7 71 10 1,8 10 0,8 10 m/stv            
 
29 - (Prova P1 2019.1) A planta baixa de uma edificação, que suporta um 
carregamento uniformemente distribuído q = 200 kPa, está mostrada na Fig. 
ER85. A edificação será construída na superfície do perfil de solo mostrado na 
Fig, ER86, que contem duas camadas de argila saturada. Pede-se calcular o 
recalque final na superfície do terreno (ponto X na Fig. ER85) considerando o 
método indireto para determinação do recalque de adensamento primário das 
duas camadas de argila. Não é necessário subdividir as camadas de argila em 
subcamadas. Observar a simetria da edificação. 
A geometria da edificação pode ser decomposta em três retângulos que compartilham o 
mesmo ponto sob o canto. Por simetria, tem-se: 
 
 
 
Em z = 6m considerando os gráficos da Fig. 1.18 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 211 
 
 
Figura ER85 - Dimensões da área carregada com q = 200 kPa (sem escala) 
 
 
Figura ER86 - Perfil do depósito de solo 
 
 1 1 110 / 6 13/ 6 , 0,22m n I f m n    
 
 2 2 210 / 6 3/ 6 , 0,13m n I f m n    
 
 3 3 31/ 6 3/ 6 , 0,025m n I f m n    
 
1 2 3 0,22 0,13 0,025 0,115totalI I I I       
 
' 4 4 0,115 200 92v totalI q kPa        
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 212 
 
Condições iniciais das tensões 
 
0 1 17 2 20 3 16 105v kPa        
0' 105 5 10 55v kPa     
0' ' 1,25 55 68,75vm vOCR kPa      
'
0' ' 55 92 147vf v v kPa       
 
Recalque de adensamento primário 
1
6 68,75 147
0,03 log 0,21 log 0,22
1 0,95 55 68,75
m
   
       
     
 
 
Em z = 12m considerando os gráficos da Fig. 1.18 
 
 1 1 110 /12 13/12 , 0,166m n I f m n    
 
 2 2 210 /12 3/12 , 0,062m n I f m n    
 
 3 3 31/12 3/12 , 0,083m n I f m n    
 
1 2 3 0,166 0,062 0,083 0,187totalI I I I       
 
' 4 4 0,187 200 94,4v totalI q kPa        
 
Condições iniciais das tensões 
 
0 1 17 2 20 6 16 1 20 2 16 205v kPa            
0' 205 11 10 95v kPa     
0' ' 1,25 95 118,75vm vOCR kPa      
'
0' ' 95 94,4 189,4vf v v kPa       
 
Recalque de adensamento primário 
 
2
4 118,75 189,4
0,03 log 0,21 log 0,093
1 0,95 95 118,75
m
   
       
     
 
 
Recalque total de adensamento primário 
 
1 2 0,22 0,093 0,313m     
 
30 - (Prova P4 2019.1) Marcar a resposta correta para as questões a) e b), que 
pode ser mais do que apenas uma. 
 
a) A dissipação dos excessos de poropressão em uma camada de argila saturada 
gerados por um carregamento linearmente crescente no tempo é: 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 213 
 
i) mais rápida do que no caso do mesmo carregamento aplicado 
instantaneamente 
ii) mais lenta do que no caso do mesmo carregamento aplicado instantaneamente 
iii) ocorre com a mesma taxa de dissipação do mesmo carregamento aplicado 
instantaneamenteiv) depende do valor do carregamento aplicado 
v) nada pode ser afirmado 
 
b) Considere uma camada de argila saturada carregada instantaneamente em t = 
0 por um aterro de grandes dimensões. No tempo t → ∞ pode-se afirmar que os 
valores de poropressão são: 
 
i) hidrostáticos 
ii) nulos 
iii) iguais aos valores em t < 0 
iv) correspondem aos valores de fluxo permanente 
v) dependem se existem um ou dois contornos de drenagem 
 
31 - (Prova P1 2019.2) No perfil de solo da Fig. ER87 aconteceram os seguintes 
eventos: 
a) no tempo t = 0, rebaixamento instantâneo do nível do lençol freático de NA1 
para NA2; 
b) no tempo t = 150 dias, rebaixamento instantâneo do nível do lençol freático de 
NA2 para NA3. 
Considerando o peso específico da água w = 10kN/m
3, e que o peso específico 
da camada de areia superior devido ao rebaixamento varia de γsat = 19kN/m
3 para 
t = 17kN/m
3, pede-se: 
i) os gráficos de distribuição da poropressão com a profundidade nos tempos t < 
0, t = 0, t = 150+ dias, t = 250 dias e t → ∞. Preencher também os valores de 
poropressão na Tab. ER30. 
ii) velocidade de fluxo (m/s) no instante t = 150+ dias e t = 250 dias nos pontos 
situados à profundidade z = 7 m e z = 12 m. Preencher as velocidades na Tab. 
ER31 e indicar o sentido das mesmas. 
 
Tabela ER30 – Valores de poropressão (kPa) 
 
z t < 0 t = 0 t = 150+ dias 
 
t = 250 dias t →∞ 
(m) 
 
 
3 30 0 0 0 0 
5 50 20/44 0 0 0 
7 60 54 
(35+10)+9,3-3,6-
4,0=46,7 
35+5,4-2,2+7,6-
3,1=42,7 
35 
9 70 64/70 70 70 70 
10 80 80/74 80 80 80 
12 110 104 110-3,6-4,0=102,4 110-2,2-3,1=104,7 110 
14 140 134/140 140 140 140 
15 150 150 150 150 150 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 214 
 
 
Tabela ER31 – Valores de velocidade de fluxo (m/s) 
 
z(m) t= 150+ dias sentido t=250 dias sentido 
7 
vss 1,25 x 10
-7 m/s 3,75 x 10-7 m/s 
 
vt 6,75 x 10
-8 m/s 
 
9,0 x 10-8 m/s 
 
12 
vss 2,50 x 10
-7 m/s 
 
2,50 x 10-7 m/s 
 
vt 0 0 
 
 
 
 
Figura ER87 – Perfil do depósito de solo 
 
i) Determinação das poropressões nas profundidades de 7 e 12 m. 
 
i.a) Poropressão em 150
+
 dias. 
 
 
8
2 2
9,3 10 150 24 60 60
0,3
2
v
v
c t
T
H
    
   H = b/2 = 4/2 = 2 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 215 
 
 Para a profundidade de 7 m: 
 
Reb NA1 para NA2 : Uz = 0,69    01 1 0,69 30 9,3kPae zu U u       
 
Δγ (NA1 para NA2) : Uz = 0,4    01 1 0,4 ( 6) 3,6kPae zu U u         
 
Δγ (NA2 para NA3) : Uz = 0    01 1 0,0 ( 4) 4,0kPae zu U u         
 
 
 Para a profundidade de 12 m: 
 
Δγ (NA1 para NA2) : Uz = 0,4    01 1 0,4 ( 6) 3,6kPae zu U u         
 
Δγ (NA2 para NA3) : Uz = 0    01 1 0,0 ( 4) 4,0kPae zu U u         
 
 
i.b) Poropressão em 250 dias 
 
 
8
2 2
9,3 10 250 24 60 60
0,5
2
v
v
c t
T
H
    
   , H = b/2 = 4/2 = 2 
8
2 2
9,3 10 100 24 60 60
0,2
2
v
v
c t
T
H
    
   , H = b/2 = 4/2 = 2 
 
 Para a profundidade de 7 m: 
 
 Tempo: 250 dias, Tv = 0,5 
 
Reb NA1 para NA2 : Uz = 0,82    01 1 0,82 30 5,4kPae zu U u       
 
Δγ (NA1 para NA2) : Uz = 0,63    01 1 0,63 ( 6) 2,2kPae zu U u         
 
 Tempo: 100 dias, Tv = 0,2 
 
Reb NA2 para NA3 : Uz = 0,62    01 1 0,62 20 7,6kPae zu U u       
 
Δγ (NA2 para NA3) : Uz = 0,23    01 1 0,23 ( 4) 3,1kPae zu U u         
 
 
 Para a profundidade de 12 m: 
 
 Tempo: 250 dias, Tv = 0,5 
 
Δγ (NA1 para NA2) : Uz = 0,63    01 1 0,63 ( 6) 2,2kPae zu U u         
 
 Tempo: 100 dias, Tv = 0,2 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 216 
 
Δγ (NA2 para NA3) : Uz = 0,23    01 1 0,23 ( 4) 3,1kPae zu U u         
 
 
ii) Determinação das velocidades de fluxo 
 
ii.1) Fluxo em t =150
+
 dias 
 
 Para a profundidade de 7 m: 
Velocidade permanente: 
7 715 10 1,25 10 m/s
4
ss ss
h
v ki k  

       

 
Velocidade transiente: 
7 80
1
30 0,09
5 10 6,75 10 m/s
10 2 1
b
z
t t
Zw
u U
v ki v k
H Z
 


         
 
 
 
 Para a profundidade de 12 m: 
 
Velocidade permanente: 
7 725 10 2,50 10 m/s
4
ss ss
h
v ki k  

       

 
 
Velocidade transiente: i = 0 , vt = 0 
 
ii.2) Fluxo em t = 250 dias 
 
 Para a profundidade de 7 m: 
Velocidade permanente: 
7 735 10 3,75 10 m/s
4
ss ss
h
v ki k  

       

 
 
Velocidade transiente (Tv=0,5): 
70
1
30
5 10 0 0m/s
10 2
b
z
t t
Zw
u U
v ki v k
H Z



       
 
 
 
Velocidade transiente (Tv=0,2): 
7 80
1
20 0,18
5 10 9 10 m/s 
10 2 1
b
z
t t
Zw
u U
v ki v k
H Z
 


         
 
 
 
 Para a profundidade de 12 m: 
 
Velocidade permanente: 
7 725 10 2,50 10 m/s
4
ss ss
h
v ki k  

       

 
 
Velocidade transiente: i = 0 , vt = 0 
 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 217 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1- Dado o perfil de solo da Fig. EP1 determine para a profundidade 6m abaixo da 
superfície do terreno, 4 meses após a aplicação do carregamento instantâneo: 
a) o excesso de poropressão ue ; b) a poropressão u; a tensão vertical efetiva ’v ; 
d) a velocidade de fluxo vt 
Considere peso específico da água w = 10 kN/m
3 e admita que a camada de 
areia superior permanece saturada acima do nível d’água (NA). 
 
Figura EP1 – Maciço de solo com carregamento q = 100 kPa 
 
Respostas: a) ue = 74 kPa; b) u = 124 kPa; c) ’v = 82 kPa; d) vt ≈ 96 × 10
-3
 m/ano ↑ com leitura 
em gráfico da Fig. 2.4 da tangente 
∆𝑈𝑧
∆𝑍
≅
0,74−0,26
0,5
= 0,96 
 
2 - Dado o perfil de solo da Fig. EP2 determine para a profundidade 6m abaixo da 
superfície do terreno, 4 meses após o rebaixamento instantâneo do nível do 
lençol freático de NA1 para NA2: 
a) o excesso de poropressão ue ; b) a poropressão u; a tensão vertical efetiva ’v ; 
d) a velocidade total de fluxo v (em regime transiente e permanente). 
Considere peso específico da água w = 10 kN/m
3 e admita que a camada de 
areia superior permanece saturada acima do nível d’água (NA), i.e. não há 
variação nas tensões totais devido ao rebaixamento do nível do lençol freático. 
 
Respostas: a) ue = 9,6 kPa; b) u = 44,6 kPa; c) ’v = 61,4 kPa; d) v ≈ 20,4 × 10
-3
 m/ano ↑ 
 
3 - Considere uma camada de argila de 6m de espessura, com dupla face de 
drenagem e a seguintes propriedades: cv = 9 x 10
-3 m2 /dia, ch = 45 x 10
-3 m2 /dia, 
mv variando linearmente de 12 x 10
-4 m2/kN (topo da camada) até 6 x 10-4 m2/kN 
(base da camada). Pede-se calcular: 
 
PUC-Rio, Departamento deEngenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 218 
 
 
a) o recalque de adensamento no tempo t = 8 meses considerando a aplicação 
instantânea de um carregamento infinito com intensidade ∆q = 40 kPa; 
 
b) o projeto de engenharia especifica que apenas 3cm do recalque total são 
admissíveis após t = 8 meses. Verifique como atender esta condição, utilizando 
drenos verticais (rd = 20cm) em uma malha quadrada; 
 
c) outra possível solução, sem considerar a utilização de drenos verticais, para 
atender às condições de projeto é aumentar a intensidade do carregamento com 
o objetivo de atingir o valor especificado de recalque no tempo t = 8 meses. 
Determinar o valor da sobrecarga ∆qs necessária, considerando que o 
carregamento total (40 + ∆qs) kPa é aplicado instantaneamente. 
 
Respostas: a) mtc 119.0 b) S ≈ 5 m c) ∆qs = 74,81 kPa 
 
4 - Um projeto de engenharia prevê que a estrutura existente apresentará um 
recalque final de adensamento igual a 10cm, devido ao carregamento circular (R 
= 300 cm) colocado nas proximidades, conforme mostra a Fig. EP3. Determine o 
valor do recalque de adensamento no centro da estrutura existente no tempo t = 
1.5 anos. 
 
Resposta: 𝜌𝑡=1.5𝑎𝑛𝑜𝑠 = 7.56 𝑐𝑚 
 
5 - Um reservatório cilíndrico (R = 6m, h= 3m) para armazenamento de óleo 
 3/8 mkNoleo  foi construído sobre uma camada de argila saturada de 24m de 
espessura, conforme Fig. EP4. Considerando w = 10 kN/m
3, pede-se determinar 
o recalque final de adensamento no centro do reservatório, admitido como 
fundação perfeitamente flexível, considerando a distribuição dos acréscimos de 
tensão vertical induzidos pelo carregamento. 
 
Resposta: Subdividindo a camada de argila em 4 subcamadas de 6m de espessura, 𝜌𝑐
1𝐷 = 6,3 𝑐𝑚 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 219 
 
 
 
Figura EP3 – Corte vertical e projeção horizontal de estrutura existente e carregamento circular 
nas proximidades. 
 
 
 
Figura EP4 – Reservatório cilíndrico para armazenamento de óleo sobre camada de argila 
 
6 - O cronograma de obra prevê que o recalque final de adensamento causado 
pelo aterro rodoviário  mhmkNt 2,/20 3  deverá ocorrer em até 30 dias após 
a sua construção, considerada instantânea (Fig. EP5). Desconsiderando efeitos 
de capilaridade, pede-se: 
 
a) verificar se o rebaixamento instantâneo do lençol freático de NA1 para NA2 (w 
= 10 kN/m3) pode ser um método para atingir esta condição de projeto, incluindo 
efeitos da variação do peso específico da camada de areia; 
 
 
600cm 
 
Projeção horizontal 
areia 
argila 
q 
cv = 80 cm
2
/dia 
Corte vertical 
300cm 
300cm 
estrutura 
existente 
estrutura 
existente 
rocha 
24m 
6m 
3m 
argila 
 
 
 
 
areia 
 
 
NA 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 220 
 
b) caso negativo, além do rebaixamento do lençol freático, determinar a altura 
adicional de aterro (pré-carregamento) para atingir a condição de projeto, 
considerando instantâneos ambos os eventos (rebaixamento do lençol freático e 
lançamento da sobrecarga). 
 
Respostas: a) 𝜌𝑡=30 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 6.1 𝑐𝑚 < 8 𝑐𝑚 b) h = 1,72m com 𝑈𝑍=1
𝑠+𝑓
= 0,51 
 
 
 
 
 
Figura EP5 – Adensamento provocado por aterro rodoviário e rebaixamento do nível do lençol 
freático. 
 
7 – (Prova P4 2014.1) A fundação de um grande edifício consiste de duas sapatas 
quadradas flexíveis, com 20m de lado, e uma separação de 10m entre elas. Uma 
projeção horizontal da fundação é mostrada na Fig. EP6. O edifício aplica um 
carregamento uniforme de 200 kPa na fundação. As sapatas são colocadas sobre a 
superfície de um depósito de solo formado por uma camada superior de areia 
densa com 9m de espessura, seguida por uma camada de argila de 2m de 
espessura e, finalmente, por uma camada espessa de pedregulho. O nível do 
lençol freático está 4m abaixo da superfície e a areia situada acima está seca. As 
propriedades da areia são d = 15 kN/m
3
, sat = 19 kN/m
3
 e as propriedades da argila 
estão listadas na Tabela EP1. 
 
Tabela EP1 - Propriedades da argila 
 
Peso específico saturado sat 16.5 kN/m
3
 
Densidade dos grãos Gs 2.6 
Coeficiente de Poisson v’ 0.3 
Índice de recompressão Cr 0.06 
Índice de compressão Cc 0.35 
Pressão de pré-adensamento ´vmax 175 kPa 
Coeficiente de adensamento cv 0.5 m
2
/ano 
5m 
3m 
0 
h 
NA2 
NA1 
aterro 
areia 
areia 
argila 
 
 
9m 
areia 
3/20 mkNsat  
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 221 
 
 
Desconsiderando os recalques das camadas de areia e pedregulho e admitindo 
que a construção das sapatas demorou um ano, com taxa de carregamento 
constante, pede-se: 
 
a) pela teoria 1D o recalque de adensamento primário no centro de uma das 
sapatas em t 
 
b) pela teoria do adensamento 1D, o recalque de adensamento primário no 
centro de uma das sapatas no tempo t = 2 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura EP6 - Projeção horizontal de duas sapatas de um grande edifício 
Respostas: a) m055.0c  b) m048.0)2(
ni
c  
8 - No perfil de solo da Fig. EP7 é executado um bombeamento instantâneo da 
camada de areia entre 8m < z < 9m no tempo t = 0 que diminuiu 2m da carga de 
pressão em todos os seus pontos. Pede-se: 
 
a) os gráficos de distribuição de poropressão nos tempos t < 0, no tempo t = 0, no 
tempo t = 209 dias, no tempo t →∞. 
 
b) velocidade de fluxo no tempo t = 209 dias nos pontos situados às 
profundidades z = 6m e z = 12m. 
 
c) preencher a Tabela EP2 com os valores de poropressão nos tempos 
solicitados. 
 
d) quais são os valores de recalque imediato, recalque final de adensamento 
primário e recalque de compressão secundária no tempo t = 10 anos relativos à 
superfície do terreno? Qual o tempo (em dias) para que ocorra o final do recalque 
de adensamento primário? 
20 m 
20 m 
10 m 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 222 
 
 
Figura EP7 – Perfil do depósito de solo 
Respostas: 
 
Tabela EP2 – Valores de poropressão (kPa) devido ao bombeamento na camada de areia situada 
entre 8m < z < 9m em diversos tempos e profundidades. 
 
z (m) 
t < 0 
 
t = 0 
 
t = 209 dias 
u = uss + ue 
 
t →∞ 
3 0 0 0 0 
4 10 10 10 10 
5 27,5 27,5 22,5 + 4,4 = 26,9 22,5 
6 45 45 35+7,2 = 42,2 35 
7 62,5 62,5 47,5 + 6,0 = 53,5 47,5 
8 80 80/60 60 60 
9 90 70/90 70 70 
10 95 95 78,3 + 7 = 85,3 78,3 
11 100 100 86,7 + 10,6 = 97,3 86,7 
12 105 105 95 + 9,4 = 104,4 95 
13 110 110 103,3 + 6,6 = 109,9 103,3 
15 120 120 120 120 
16 130 130 130 130 
17 140 140 140 140 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos SolosC. Romanel 223 
 
 
Figura EP8 – Distribuição de poropressão em t < 0 
 
 
Figura EP9 – Distribuição de poropressão em t = 0 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 224 
 
 
Figura EP10 – Distribuição de poropressão em t = 209 dias 
 
 
Figura EP11 – Distribuição de poropressão em t   
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 225 
 
 
 
Excessos de poropressão em t = 209 dias 
 
Camada de argila superior 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3×10−3×209
22
= 0,225 
 
profundidade z 
(m) 
Z = z/H 
(a partir do vértice) 
Uz 
Fig. 2.9 
ue = (1-Uz)x 20 
5 0,5 0,78 4,4 
6 1,0 0,64 7,2 
7 1,5 0,70 6,0 
 
Camada de argila inferior 𝑇𝑣 = 
𝑐𝑣𝑡
𝐻2
= 
4,3×10−3×209
32
= 0,10 
 
profundidade z 
(m) 
Z = z/H 
(a partir do base) 
Uz 
Fig. 2.9 
ue = (1-Uz)x 20 
10 1/3 0,65 7,0 
11 2/3 0,47 10,6 
12 1,0 0,53 9,4 
13 4/3 0,67 6,6 
14 5/3 0,83 3,4 
 
Velocidade de fluxo no tempo t = 209 dias nos pontos situados nas profundidades z = 6m e z = 
12m. 
 
a) para o ponto z = 6m Velocidade total 𝑣 = 𝑣𝑠𝑠 + 𝑣𝑡 = 0,005 + 0,004 = 0,009 𝑚/𝑎𝑛𝑜 ↑ 
b) para o ponto z = 12m Velocidade total  ano/m,,,vvv tss 007000400030 
 
Recalque imediato nulo; recalque de adensamento primário m,c 0570 ; recalque de 
compressão secundária m,s 0210 ; tempo para final do adensamento primário 𝑡∗ = 2093 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
9 – (Prova P4 2016.2) No maciço de solo da Fig. EP12 ocorreu o rebaixamento 
instantâneo de 2m do nível d’água NA. Dezoito dias após, foi feito o carregamento 
instantâneo (q = 100 kPa) de uma fundação circular de raio R = 5m na superfície 
do terreno. Considerando o peso específico da água w = 10kN/m
3 e que a camada 
de areia superior permanece sempre na condição saturada, pede-se: 
 
a) desenhar os diagramas de poropressão com a profundidade nos tempos t < 0, t 
= 0, t = 18+ dias, t → ∞. Preencher também os valores na Tabela EP3. 
 
b) determinar as velocidades de fluxo nas profundidades z = 3m e z = 9m nos 
tempos t = 0 e t = 18+ dias, indicando respectivos sentidos de fluxo. Preencher 
também os valores na Tabela EP4. 
 
c) calcular o recalque final de adensamento primário c pelo método indireto 
considerando subcamadas de 2m de espessura. 
 
d) no tempo t = 36 dias qual a porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv devido ao carregamento da fundação ? 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 226 
 
 
Figura EP12 – Perfil do maciço de solo. 
 
Respostas: 
Tabela EP3 – Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 18
+
 dias t → ∞ 
1 10 0 0 0 
2 20 0 / 20 0 / 94,88 0 
3 32,5 32,5 (6,6+86,38) 17,5 
6 70 70 (70+54,66) / 70 70 
7 80 80 80 / (80+46,12) 80 
9 95 95 (95+33,20) 95 
11 110 110 (110+24,55) / 110 110 
12 120 120 120 120 
 
Tabela EP4 – Valores de velocidade de fluxo (m/s) 
 
z (m) t = 0 t = 18 dias 
3 0,31 × 10−9 ↑ 0,31 × 10−9 +
0,50 × 10−9 ↑ 
9 0,31 × 10−9 ↓ 0,31 × 10−9 ↓ 
 
Recalque final de adensamento devido ao rebaixamento do NA, que afeta somente a camada de 
argila superior 
 
m,,mb 'vv
NA
c 010
2
20
10524 40 
 
 
Recalque final de adensamento devido ao carregamento da fundação, que afeta ambas as camadas 
de argila 
 
  m,,,,,,mb 'vv
fundação
c 1090442802396464388610522
4
0 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 227 
 
Recalque total de adensamento primário 
 
m,,,c 11001090010  
 
Porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv devido ao carregamento da 
fundação 
 
De acordo com a Fig. 2.8-d, a distribuição de Boussinesq dos acréscimos de tensão vertical total 
ao longo do eixo da fundação circular pode ser aproximada por uma distribuição trapezoidal. No 
caso de camada de argila com dupla drenagem e distribuição constante ou linear (triangular, 
trapezoidal) dos acréscimos iniciais (t = 0) de poropressão com a profundidade, o valor de Uv pode 
ser calculado para as duas camadas de argila (mesmos valores de cv e H) por 
 
 1940
2
60602418105
2
7
2
,
H
tc
T vv 



 
 
%%,UUT vvv 60749
4
2 

 
 
10 – (Prova P1 2017.1) Uma fundação retangular perfeitamente flexível de 
dimensões largura B = 16m e comprimento L = 20m é uniformemente carregada 
(q = 100 kPa) na superfície do maciço de solo mostrado na Fig. EP13. Calcular o 
recalque final de adensamento primário da camada de argila pelo método indireto 
considerando: 
 
a) acréscimos de tensão vertical zz induzidos pelo carregamento, sob o centro da 
fundação, determinados pela teoria da elasticidade linear conforme valores abaixo: 
 
Para fins de cálculo indireto do recalque, admitir a camada de argila subdividida em 4 subcamadas 
de 5m de espessura. Os acréscimos de tensão vertical ao longo do eixo z que passa pelo centro da 
fundação são: 
 
z (m) 4,5 9,5 14,5 19,5 
∆𝜎𝑧𝑧 (kPa) 92,0 65,2 44,0 29,2 
 
b) acréscimos de tensão vertical induzidos pelo método da distribuição das tensões 
2:1 
 
Respostas parciais: 
 
Tensões induzidas calculadas pela teoria da elasticidade linear 
 
subcamada z (m) 
plano médio 
’v 
(kPa) 
’v0 
 (kPa) 
’vf 
 (kPa) 
’vm = ’v0 x OCR 
 (kPa) 
1 4,5 92,0 49 141,0 73,5 
2 9,5 65,2 79 144,2 118,5 
3 14,5 44,0 109 153,0 163,5 
4 19,5 29,2 139 168,2 208,5 
 
Tensões induzidas calculadas pelo método aproximado 2:1 
 
subcamada z (m) 
plano médio 
’v 
(kPa) 
’v0 
 (kPa) 
’vf 
 (kPa) 
’vm = ’v0 x OCR 
 (kPa) 
1 4,5 63,7 49 112,7 73,5 
2 9,5 42,5 79 121,5 118,5 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 228 
 
3 14,5 30,4 109 139,4 163,5 
4 19,5 22,8 139 161,8 208,5 
 
Respostas finais: a) 𝜌 = 𝜌1 + 𝜌2 + 𝜌3 + 𝜌4 = 0,241𝑚 b) 𝜌 = 𝜌1 + 𝜌2 + 𝜌3 + 𝜌4 = 0,146𝑚 
 
 
 
Figura EP13 – Fundação retangular (16m x 20m) sobre depósito de solo. 
 
Respostas parciais: 
 
Tensões induzidas calculadas pela teoria da elasticidade linear 
 
subcamada z (m) 
plano médio 
’v 
(kPa) 
’v0 
 (kPa) 
’vf 
 (kPa) 
’vm = ’v0 x OCR 
 (kPa) 
1 4,5 92,0 49 141,0 73,5 
2 9,5 65,2 79 144,2 118,5 
3 14,5 44,0 109 153,0 163,5 
4 19,5 29,2 139 168,2 208,5 
 
Tensões induzidas calculadas pelo método aproximado 2:1 
 
subcamada z (m) 
plano médio 
’v 
(kPa) 
’v0 
 (kPa) 
’vf 
 (kPa) 
’vm = ’v0 x OCR 
 (kPa) 
1 4,5 63,7 49 112,7 73,5 
2 9,5 42,5 79 121,5 118,5 
3 14,5 30,4 109 139,4 163,5 
4 19,5 22,8 139 161,8 208,5 
 
Respostas finais: a) 𝜌 = 𝜌1 + 𝜌2 + 𝜌3 + 𝜌4 = 0,241𝑚 b) 𝜌 = 𝜌1+ 𝜌2 + 𝜌3 + 𝜌4 = 0,146𝑚 
 
 
11 – (Prova P4 2018.1) No depósito de solo da Fig. EP14 foi feito um 
bombeamento instantâneo em t = 0 na camada de areia entre 15m ≤ z ≤ 17m com 
redução da carga de pressão de 3m em todos os pontos. Considerando o peso 
específico da água w = 10 kN/m
3 pede-se determinar: 
 
a) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t = 0 e t = 
1,7- anos, preenchendo os valores da Tabela EP5. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 229 
 
Em seguida, foi feito um bombeamento instantâneo em t = 1,7+ anos na camada 
de areia entre 8m ≤ z ≤ 9m com redução da carga de pressão de 2m em todos os 
pontos. Pede-se determinar: 
 
b) os diagramas de poropressão com a profundidade nos instantes t = 1,7+ 
anos, t = 3 anos e t → ∞, preenchendo os valores da Tabela EP6; 
c) velocidades de fluxo em z = 7m e z = 13,5m no tempo t = 3 anos indicando 
respectivos valores e sentidos na Tabela EP7. 
 
Tabela EP5 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t = 0 t = 1,7
-
 anos 
3 0 0 
4 10 10 
6 55 55 
8 100 100 
9 110 110 
12 140 125+9,3=134,3 
15 170/140 140 
17 160 160 
 
 
Tabela EP6 - Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t = 1,7
+
 anos t = 3,0 anos t → ∞ 
3 0 0 0 
4 10 10 10 
6 55 45+3,3 = 48,3 45 
8 100/80 80 80 
9 90/110 90 90 
12 134,3 115+4,5+7,3 =126,8 115 
15 140 140 140 
17 160 160 160 
 
Tabela EP7 – Velocidade de fluxo (m/ano) em t = 3,0 anos 
 
z (m) v (m/ano) sentido 
7 0,015 - 0,004 = 0,011 ↑ 
13,5 -0,0033 – 0,040 – 0,005 = -0,048 ↓ 
 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 230 
 
 
Figura EP14 – Perfil do depósito de solo 
 
12 – (Prova P1 2018.2) No perfil de solo da Fig. EP15 aconteceram os seguintes 
eventos: 
 
a) no tempo t = 0, rebaixamento instantâneo de 2m do nível do lençol freático 
de NA1 para NA2, com variação do peso específico da areia de sat = 20 
kN/m3 para t = 17 kN/m
3; 
b) no tempo t = 0, bombeamento instantâneo na camada de areia situada na 
profundidade 8m ≤ z ≤ 9m com redução de 2m da carga de pressão em 
todos os seus pontos. 
c) no tempo t = 375 dias, remoção instantânea de uma camada superficial de 
areia de 2m de espessura. 
 
Considerando o peso específico da água w = 10kN/m
3, pede-se: 
i) os gráficos de distribuição da poropressão com a profundidade nos 
tempos t < 0, t = 0, t = 375
-
dias (imediatamente antes da remoção da 
camada de areia), t = 375+ dias (imediatamente após a remoção), t → ∞. 
Preencher também os valores de poropressão na Tabela EP8. 
ii) velocidade de fluxo (m/ano) no instante t = 375
-
dias e t = 375+ dias nos 
pontos situados à profundidade z = 6m e z = 12m. Preencher as 
velocidades na Tabela EP9 e indicar o sentido das mesmas. 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 231 
 
 
 
 Figura EP15 – Perfil do depósito de solo 
 
Respostas: 
Tabela EP8 – Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 375
-
 dias t = 375
+
 dias t → ∞ 
3 20 0 0 0 0 
4 30 10/24 10 10/-24 10 
6 65 59 45+6,72=51,72 51,72-34=17,72 45 
8 100 94/80 80 46/80 80 
9 110 90/104 90 90/56 90 
12 125 119 115+8-4,68=118,32 118,32-34=84,32 115 
15 140 134/140 140 106/140 140 
 
Tabela EP9 – Velocidades de fluxo (m/ano) 
 
z (m) t = 375
-
 dias t = 375
+
 dias 
6 15 × 10−3 ↑ 15 × 10−3 ↑ 
12 5,7 × 10−3 ↓ 5,7 × 10−3 ↓ 
 
13 – (Prova P4 2019.1) No perfil de solo da Fig. EP16 aconteceram os seguintes 
eventos: 
 
a) no tempo t = 0, bombeamento instantâneo na camada de areia situada na 
profundidade 11m ≤ z ≤ 12m com redução de 4m da carga de pressão em todos os 
seus pontos; 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 232 
 
b) no tempo t = 150 dias, levantamento instantâneo do nível do lençol freático de NA2 
para NA1; 
 
c) no tempo t = 250 dias, remoção instantânea de uma camada superficial de areia de 
1m de espessura. 
 
Considerando o peso específico da água w = 10kN/m
3
 e desprezando os efeitos da 
variação do NA no peso específico da areia, pede-se: 
 
i) os gráficos de distribuição da poropressão com a profundidade nos tempos t < 0, t = 
0, t = 150
+ 
dias (imediatamente após o levantamento do NA), t = 250
-
 dias 
(imediatamente antes da remoção da camada de areia), t = 250
+
 dias (imediatamente 
após a remoção da camada de areia), t → ∞. Preencha também os valores de 
poropressão na Tab. EP10; 
 
ii) velocidade de fluxo (m/s) em t = 150 dias e t = 250 dias nos pontos situados às 
profundidades z = 5 m e z = 9 m. Preencher as velocidades na Tab. EP11 e indicar os 
respectivos sentidos; 
 
Tabela EP10 – Valores de poropressão (kPa) 
 
z (m) t < 0 t = 0 t = 150 
+
 dias t = 250 
-
 dias t = 250 
+
 dias t → ∞ 
1 0 0 0 0 0 0 
3 0 0 20/0 20 20/0 20 
5 30 30 20+8 = 28 35+4,8-6,4=33,4 13,4 35 
7 60 60 40+12 = 52 50+7,2-7,6=49,6 29,6 50 
9 90 90 60+9,2=69,2 65+4,8-4,8 = 65 45 65 
11 120 120/80 80 80 60/80 80 
12 130 90 90 90 90 90 
 
 
Tabela EP11 – Valores de velocidade de fluxo (m/s) 
 
z(m) t = 150 dias sentido t = 250 dias sentido 
5 
vss 0 1,25 × 10
−7 ↓ 
vt 1,5 × 10
−7 ↑ 1 × 10−7 − 9,5 × 10−8 ≈ 0 
9 
vss 0 1,25 × 10
−7 ↓ 
vt 1,7 × 10
−7 ↓ 1,1 × 10−7 − 8,5 × 10−7 ≈ 2,5 × 10−8 ↓ 
 
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 233 
 
 
Figura EP16 – Perfil do depósito de solo