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Unidade II
5 Funções
5.1 Conceitos introdutórios
Neste tópico, alguns conceitos preliminares ao estudo de funções serão apresentados, tais como 
plano cartesiano e relações entre conjuntos.
5.1.1 Plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, denominadas eixo x e y. O ponto 
de cruzamento dessas retas é denominado origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos 
eixos x e y e tem o zero como marcador. 
Os eixos x e y dividem o plano em quatro áreas, os quadrantes, que são organizados no sentido 
anti‑horário e numerados em ordem crescente, com início em 1.
A ilustração a seguir apresenta o plano cartesiano e seus principais componentes:
 
y (eixo das ordenadas)
x (eixo das abscissas)
Ponto de origem
2º quadrante 1º quadrante
4º quadrante3º quadrante
0
Figura 33
 Observação
O eixo y também é chamado de eixo das ordenadas ou eixo vertical e 
o eixo x também é chamado de eixo das abscissas ou eixo horizontal.
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MateMática
5.1.2 Par ordenado
Um par ordenado (a;b) representa um único ponto no plano cartesiano e vice‑versa. O par ordenado 
pode ser representado matematicamente da seguinte forma:
 
y
b
0 a x
P=(a; b)
Figura 34
 Observação
A notação do ponto P pode ser P = (a;b), P (a;b) ou P ↔ (a;b).
Observe na ilustração a seguir alguns exemplos de pontos representados no plano cartesiano:
y
x
C
D
E
B
A
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2
Figura 35
A = (1;3) ou A (1;3) ou A ↔ (1;3).
B = (2;1) ou B (2;1) ou B ↔ (2;1).
C = (‑2;2) ou C (‑2;2) ou C ↔ (‑2;2).
D = (‑2;‑3) ou D (‑2;‑3) ou D ↔ (‑2;‑3).
E = (2;‑2) ou E (2;‑2) ou E ↔ (2;‑2).
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5.1.3 Produto cartesiano (AxB)
O produto cartesiano de AxB é o conjuntos de todos os pares ordenados (x;y), tal que x pertença ao 
conjunto A e y, ao B, sendo que A e B não podem ser dois conjuntos vazios.
A notação matemática que representa o produto cartesiano é: AxB = (x | x ∈ A e y ∈ B).
Existem diversas formas de representar o produto cartesiano, tais como a notação de conjuntos, o 
diagrama de flechas e o próprio plano cartesiano. Vejamos alguns exemplos:
Dados os conjuntos A = {‑2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos:
Exemplo 01: 
Produto cartesiano AxB 
AxB = {(‑2;0), (‑2;1), (‑2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}
O produto cartesiano AxB representado no diagrama de flechas:
 
AxB
A B
–2
3
3
1
0
Figura 36
O produto cartesiano AxB representado no plano cartesiano:
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 37
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MateMática
Exemplo 02: 
Produto cartesiano BxA
BxA = {(0;‑2), (0;3), (1;‑2), (1;3), (3;‑2), (3;3)}
O produto cartesiano BxA representado no diagrama de flechas:
 
BxA
B A
–2
3
3
1
0
Figura 38
O produto cartesiano BxA representado no plano cartesiano:
 
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 39
Exemplo 03: 
Produto cartesiano AxA
A2 = AxA = {(‑2;‑2), (‑2;3), (3;‑2), (3;3)}
O produto cartesiano AxA representado no diagrama de flechas:
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AxB
A B
–2
3
–2
3
Figura 40
O produto cartesiano AxA representado no plano cartesiano:
 
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 41
5.1.4 Relações
A relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB, sendo que A e B não podem 
ser dois conjuntos vazios. Uma relação R de A em B é denotada pelo símbolo R: A → B. Exemplo:
Dados os conjuntos A = {‑2;3} e B = {0;1;3}, temos AxB = {(‑2;0), (‑2;1), (‑2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}, 
sendo R1, R2 e R3, relações de A em B, descritas a seguir:
R1= {(‑2;0), (‑2;1), (‑2;3)}
R2= {(‑2;3), (3;0)}
R3= {(‑2;0), (‑2;1), (3;1), (3;3)}
Observe que R1, R2 e R3 são subconjuntos do produto cartesiano AxB.
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5.1.5 Domínio e imagem
Em uma relação R de A em B, um par ordenado (x;y) associa x a y, no qual y é denominado imagem 
de x em R.
Por exemplo, na relação ilustrada no diagrama a seguir, note que:
• o 1 do conjunto A está associado ao 0 do conjunto B;
• o 2 do conjunto A está associado ao 4 do conjunto B;
• o 4 do conjunto A está associado ao 6 e ao 8 do conjunto B.
 
R: A→B
A B
3
2
1
4
4
2
0
6
8
Figura 42
Assim, podemos dizer que:
• 0 é a imagem de 1;
• 4 é a imagem de 2;
• 6 e 8 são imagens de 4.
Note ainda que o elemento 3 do conjunto A não está associado a qualquer elemento de B e que o 2 
do conjunto B não é imagem de nenhum elemento do conjunto A.
Considerando uma relação R qualquer de A em B, denomina‑se domínio e imagem os seguintes 
conjuntos:
• domínio de R (ou D(R)) é o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo 
menos um elemento de B: D(R) = {1, 2, 4};
• imagem de R (ou Im(R)) é o conjunto de todos os elementos de B que são imagens de pelo menos 
um elemento de A: Im(R) = {0, 4, 6, 8}.
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5.2 Conceitos elementares de função
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B definida por uma regra de formação f na qual 
cada elemento de A é relacionado a apenas um elemento de B. A função é denotada pela notação 
f: A → B.
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 01:
 
R1: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 43
Ao adotar o conjunto A como o de partida das setas e o B como o conjunto de chegada das setas, 
temos que:
• o domínio de R1 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R1 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R1 é um subconjunto do contradomínio composto pelos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,3,4,5}.
Porém, observe que R1 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A não está 
associado a nenhum elemento de B, assim, R1 é apenas uma relação. 
Exemplo 02:
R2: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 44
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MateMática
Aqui, temos que:
• o domínio de R2 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R2 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R2 também é o conjunto de chegada (B).
Note ainda que R2 também não é uma função de A em B, uma vez que o elemento 4 do conjunto A 
está associado a dois elementos de B, o 4 e o 5, assim, R2 é apenas uma relação.
Exemplo 03:
R3: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 45
Nesse exemplo, temos que:
• o domínio de R3 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R3 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R3 é um subconjunto do contradomínio composto pelos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,2,3,4}.
Atente para o fato de que R3 é uma função de A em B, pois cada elemento do conjunto A está 
relacionado a um único elementodo conjunto B.
 Lembrete
Se uma relação é uma função de A em B, então A é o domínio da 
função, B é o contradomínio da função e o conjunto imagem da função 
é formado pelos elementos do contradomínio B que estão associados aos 
do domínio A.
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5.2.1 Domínio e imagem: análise gráfica
A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio. 
Essa variação também é chamada de variação de f. 
Imagem
Domínio
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–1,0
1,0 2,0–1,0–2,0–3,0–4,0–5,0–6,0
Figura 46
Teste da reta vertical
Uma curva no plano cartesiano só é um gráfico de uma função se nenhuma reta vertical cortar a 
curva mais de uma vez.
É curva de uma função
y
0
x
Não é curva de uma função
y
0
x
Figura 47
Definindo o domínio de uma função
O domínio é constituído por todos os valores reais de x para os quais seja possível o cálculo da 
imagem. Vejamos mais alguns exemplos:
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MateMática
Exemplo 01:
f x
x
( ) =
−
2
1
O domínio da função é D=R‑{1}, pois o valor x = 1 faz que o denominador seja zero.
Exemplo 02:
f x x( ) = −1
Aqui, D = [1, ∞], pois, para x < 1, o radicando é negativo e não existe raiz quadrada de número 
negativo.
Exemplo 03:
f(x) = x2 + 2x
Aqui, D = R, pois, nesse exemplo, x pode ser qualquer valor real.
5.3 Funções definidas por fórmulas matemáticas
Uma função f:A→B pode ser representada por uma lei, como y = f(x), que estabelece um critério na 
associação dos pares ordenados (x,y) ∈ AxB. Exemplificando:
Exemplo 01:
Dado os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 2; 4; 6; 8}, nos quais a relação de f:A→B é definida pela 
função f(x) = 2x (com x ∈ A e y ∈ B e também representada por y = 2x), temos:
Quadro 06
x y = f(x) = 2x Par ordenado (x;y)
1 y = f(1) = 2.1 = 2 (1,2)
2 y = f(2) = 2.2 = 4 (2,4)
3 y = f(3) = 2.3 = 6 (3,6)
• domínio: D(f) = {1; 2; 3};
• contradomínio: C(f) = {0; 2; 4; 6; 8};
• imagem: Im(f) = {2; 4; 6}.
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Confira a representação no diagrama de flechas:
 
f: A→B
A B
3
2
1
4
2
0
6
8
Figura 48
Verifique a representação no plano cartesiano:
y
x0 9
8
7
6
5
4
3
2
1
87654321
Figura 49
Exemplo 02:
Dado os conjuntos A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, nos quais a relação de f:A→B é 
definida pela função f(x) = 2x+1 (com x ∈ A e y ∈ B, e também representada por y=2x+1), temos:
Quadro 07
x y = f(x) = 2x + 1 Par ordenado (x,y)
0 y = f(0) = 2.0 + 1 = 0+1 = 1 (0,1)
1 y = f(1) = 2.1 + 1 = 2+1 = 3 (1,3)
2 y = f(2) = 2.2 + 1 = 4+1 = 5 (2,5)
3 y = f(3) = 2.3 + 1 = 6+1 = 7 (3,7)
4 y = f(4) = 2.4 + 1 = 8+1 = 9 (4,9)
5 y = f(5) = 2.5 + 1 = 10+1 = 11 (5,11)
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MateMática
• domínio: D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5};
• contradomínio: C(f) = {1; 3; 5; 7; 9; 11};
• imagem: Im(f) = {1; 3; 5; 7; 9; 11}.
Veja a representação no diagrama de flechas:
f: A→B
A B
5
3
1
7
9
11
2
1
0
3
4
5
Figura 50
Confira a representação no plano cartesiano:
y
x0
8
7
6
5
4
3
2
1
7654321
10
9
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Figura 51
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5.4 Função do 1º grau (função linear ou afim)
Uma função do 1o grau é toda função f:R→R definida pela regra y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R e 
sendo a e b constantes denominadas coeficientes da função.
As principais características da função do 1º grau são:
• o gráfico da função do 1º grau é sempre uma reta;
• quando a constante a for positiva (a > 0), a função é crescente, ou seja, quanto maior o valor de 
x, maior será o valor de y;
• quando a constante a for negativa (a < 0), a função é decrescente, ou seja, quanto maior o valor 
de x, menor será o valor de y;
• quando a constante a for nula (a = 0), a função é constante, ou seja, para qualquer valor de x, o 
valor de y é sempre o mesmo;
• quando a constante b for igual a zero, o gráfico sempre passará pela origem dos eixos;
• a constante b, denominada coeficiente linear da reta, é o intercepto do gráfico no eixo y;
• a constante a, denominada coeficiente angular da reta, representa a taxa de variação de y dada 
uma variação na variável independente x;
• o coeficiente angular é dado pela relação a
y
x
y y
x x
= =
−
−
∆
∆
0
0
, assim, a partir de dois pontos, é 
 
possível se encontrar o coeficiente angular da reta.
 saiba mais
Para o estudo gráfico de funções, um interessante programa é o iGraf, 
que permite traçar gráficos interativos. Ele é gratuito e pode ser baixado em 
<http://www.matematica.br/igraf/iGraf.jar/>. Em <http://www.matematica.
br/igraf/>, você pode obter o manual on‑line desse programa. As ilustrações 
dessa unidade, por exemplo, foram feitas usando o iGraf.
Comportamento da função do 1º grau
Quando a constante b da função é alterada, o gráfico da função é deslocado verticalmente na 
quantidade de unidades expressa em b. Observe o exemplo a seguir: a função y = x + 1 é a função y = x 
deslocada 1 unidade para cima e a função y = x – 2 é a função y = x deslocada 2 unidades para baixo:
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MateMática
–1,0–2,0–3,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
–1,0
–2,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
+1
–2
y = x+1
y = x 
y = x –2
Figura 52
Já a constante a afeta a inclinação da reta. Quanto maior for o valor de a, mais distante a reta ficará 
do eixo x, ou seja, o ângulo formado pelo eixo x e a reta aumenta. Observe:
–2,0
–1,0
1.0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0–1,0–2,0–3,0–4,0–5,0
y = 5x
y = 3x
y = 2x
y = x
y = 0,5x
y = 0,25x
Figura 53
Para construirmos gráficos da função do 1º grau, verifiquemos os exemplos a seguir:
Exemplo 01:
Dada a função y = f(x) = 2x+6, nota‑se que f é uma função crescente, já que a = 2 > 0.
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Instruções para desenhar o gráfico da função:
1o passo: calcular o valor de y para x = 0:
y = 2x + 6
y = 2.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2o passo: calcular o valor de x para y = 0 (raiz ou zero da função):
y = 2x + 6
0 = 2x + 6
–6 = 2x ⇒ 2x = –6
x = − = −
6
2
3
Como x = –3 e y = 0, temos P2 = (–3,0).
3o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 54
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MateMática
O gráfico da função intercepta o eixo x (ou horizontal) em ‑3 e intercepta o eixo y (ou vertical) em 6.
Perceba que, ao aumentar 1 unidade em x, a função aumenta 2 unidades em y:
f(x) = 2x + 6
f(–2) = 2.(–2) + 6 = –4 + 6 = 2
f(–1) = 2.(–1) + 6 = –2 + 6 = 4
Essa é a taxa de crescimento da função, fornecida por meio do coeficiente a. Nesse exemplo, a = 2, 
o que indica um aumento de 2 unidades em y a cada 1 unidade aumentada em x.Exemplo 02:
Dada a função y = f(x) = –2x + 6, observa‑se que f é uma função decrescente, já que a = ‑2 < 0.
Instruções para desenhar o gráfico da função:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0:
y = –2x + 6
y = –2.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2º passo: calcular o valor de x para y = 0 (raiz ou zero da função):
y = –2x + 6
0 = –2x + 6
–6 = –2x ⇒ –2x = –6
x = =
6
2
3
Como x = 3 e y = 0, temos P1 = (3,0).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
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7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 55
Observe que o gráfico da função intercepta o eixo x (ou horizontal) em 3 e o eixo y (ou vertical) em 6.
Note ainda que, ao aumentar 1 unidade em x, a função diminui 2 unidades em y:
f(x) = –2 + 6
f(1) = –2.(1) + 6 = –2 + 6 = 4
f(2) = –2.(2) + 6 = –4 + 6 = 2
Essa é a taxa de crescimento da função, fornecida por meio do coeficiente a.
Atente para o fato de que, nos exemplos, a = ‑2, o que indica um decréscimo de 2 unidades em y a 
cada 1 unidade aumentada em x.
Exemplo 03:
Dada a função y = f(x) = 6 = 0x + 6, observa‑se que f é uma função constante, já que a = 0.
Instruções para desenhar o gráfico da função:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0:
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MateMática
y = 0x + 6
y = 0.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2º passo: calcular o valor de y para x = 1:
y = 0x + 6
y = 0.1 + 6 = 0 + 6 = 6
Como x = 1 e y = 6, temos P2 = (1,6).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 56
O gráfico da função não intercepta o eixo x (ou horizontal) e intercepta o eixo y (ou vertical) em 6. 
Perceba que, ao aumentar 1 unidade em x, a função mantém‑se constante em y:
f(x) = 0x + 6
f(1) = 0.(1) + 6 = 6
f(2) = 0.(2) + 6 = 6
70
Unidade II
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o:
 S
im
on
e 
- 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
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- 
29
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1/
11
Nesses exemplos, a = 0, o que indica que não há aumento de unidades em y quando 1 unidade é 
aumentada em x.
Exemplo 04:
Dada a função y = f(x) = 2x, observa‑se que f é uma função crescente, já que a = 2 > 0.
Instruções para desenhar o gráfico da função:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0:
y = 2x
y = 2.0 = 0
Como x = 0 e y = 0, temos P1 = (0,0).
2º passo: calcular o valor de y para x = 1:
y = 2x
y = 2.1 = 2
Como x = 1 e y = 2, temos P2 = (1,2).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 57
71
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- 
Di
ag
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m
aç
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: M
ár
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- 
29
/1
1/
11
MateMática
Observe que o gráfico da função intercepta tanto o eixo horizontal como o eixo vertical no zero, 
ou seja, ele passa pela origem (0,0). Além disso, ao aumentarmos 1 unidade em x, a função diminuirá 2 
unidades em y:
f(x) = 2x
f(1) = 2.(1) = 2
f(2) = 2.(2) = 4
Nesses exemplos, a = 2, o que indica um crescimento de 2 unidades em y a cada 1 unidade aumentada 
em x.
5.4.1 Ponto de intersecção de duas retas
Determinando e representando o ponto de intersecção de duas retas num mesmo sistema de 
coordenadas, temos os exemplos expostos a seguir:
Exemplo 01:
Dado o seguinte sistema de equações:
y x
y x
= − +
= −

2 5
1
Tracemos os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas, apontando o ponto 
de intersecção entre elas:
1º passo: obter os pontos que a função y = –2x + 5 intercepta nos eixos x e y:
para x = 0, temos:
y = –2.0 + 5 = 5
Portanto, P1 = (0;5).
para y = 0, temos:
0 = –2x + 5
2x = 5
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
,⇒ = =x
5
2
2 5.
72
Unidade II
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1/
11
Portanto, P2 = (2,5;0).
2º passo: obter os pontos que a função y = x – 1 intercepta nos eixos x e y:
para x = 0, temos:
y = 0 –1 = –1
Portanto P1 = (0; –1).
para y = 0, temos:
0 = x –1
x = 1
Portanto, P2 = (1;0).
3º passo: obter o ponto de intersecção. Para isso, basta igualar as duas equações:
–2x + 5 = x –1
–2x – x = –1 – 5
–3x = –6
x =
−
−
=
6
3
2
4º passo: substituir x em uma das equações para achar y:
y = x –1
y = 2 –1 = 1
Portanto, o ponto de intersecção é (2;1).
5º passo: traçar as retas e o ponto de interseção em um mesmo sistema de coordenadas:
73
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1/
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MateMática
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Figura 58
5.5 Função do 2º grau (função quadrática)
Função do 2o grau é toda função f: R → R definida pela regra y = f(x) = ax2 + bx + c, com a e b ∈ R 
e a ≠ 0, sendo a, b e c denominados coeficientes da função.
As principais características da função do 2º grau são:
• o gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola;
• quando o coeficiente a for positivo (a > 0), o gráfico da função tem concavidade voltada para 
cima;
• quando o coeficiente a for negativo (a < 0); o gráfico da função tem concavidade voltada para 
baixo.
Ao estudar o comportamento da função quadrática, verificamos que a constante a da função do 2º 
grau está relacionada à abertura da parábola, ou seja, quanto maior o valor de a, mais fechada será a 
parábola, como mostra a ilustração a seguir:
‑1,0
74
Unidade II
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1/
11
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0–3,0–4,0–5,0
10x2
5x2
2x2
x2
0,5x2
0,25x2
0,1x2
Figura 59
A constante c da função do 2º grau, por sua vez, afeta o deslocamento vertical do gráfico. Veja:
–2,0–3,0 –1,0 1,0 2,0
–1,0
–2,0
1,0
2,0
3,0
4,0
x2+1
x2
x2‑2
+1
–2
Figura 60
75
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1/
11
MateMática
A seguir, apresentamos instruções para desenhar o gráfico da função quadrática.
1º passo: análise do coeficiente a:
• se a > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. 
a > 0 a < 0
Figura 61
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
Calcule ∆ = b2 – 4ac e analise o resultado: se ∆ > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, 
que podem ser obtidas pelas fórmulas:
x
b
a
’ =
− + ∆
2 
x
b
a
" =
− − ∆
2
Porém, se ∆>0, a parábola intercepta o eixo x (horizontal) em dois pontos diferentes (x’ e x”):
a > 0
x’ x”
a < 0
x’ x”
Figura 62
76
Unidade II
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1/
11
Se ∆ = 0, a função admite duas raízes reais e iguais que podem ser obtidas pela fórmula:
x x x
b
a
= = = −’ "
2
Além disso, se ∆ = 0, a parábola intercepta o eixo x (horizontal) em um único ponto (x’ = x”). 
Observe:
x’ = x”
a < 0a > 0
x’ = x”
Figura 63
Por fim, se ∆ < 0, a função não admite raízesreais e a parábola nunca interceptará o eixo x 
(horizontal).
a > 0 a < 0
Figura 64
3o passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
,
77
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1/
11
MateMática
4o passo: calcular o ponto que intercepta o eixo y (vertical). Para isso, calcule o valor de y para x = 0:
y = ax2 + bx + c, fazendo x = 0, temos que:
y = a.02 + b.0 + c
y = c
O ponto que intercepta o eixo y é (0, c).
Verifique a seguir alguns exemplos:
Exemplo 01:
Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 4x – 5:
a = 1 b = (–4) c = (–5)
1º passo: análise do coeficiente a:
Como a = 1 > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (–4)2 –4.1.(–5) = 16 + 20 = 36
Como ∆ = 36 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, calculadas a seguir:
x
b
a
’
.
=
− +
=
− −( ) +
=
+
= =
∆
2
4 36
2 1
4 6
2
10
2
5
x
b
a
"
.
=
− −
=
− −( ) −
=
−
=
−
= −
∆
2
4 36
2 1
4 6
2
2
2
1
Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos ‑1 e 5.
3º passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
, → 
x
y
V
v
v
= −
−
= =
= − = − = −




⇒ −( )
( )
.
.
,
4
2 1
4
2
2
36
4 1
36
4
9
2 9
78
Unidade II
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1/
11
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para x = 0. Assim:
O ponto que intercepta o eixo y é (0, –5)
5º passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–2,0 –1,0 3,0 4,0 5,01,0 2,0 6,0
–6,0
–7,0
–8,0
–9,0
Figura 65
Exemplo 02: 
Construa o gráfico da função f (x) = –x2 + 6x –9:
a = (–1) b = 6 c = (–9)
1º passo: análise do coeficiente a:
Como a = –1 < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
∆ = b2 – 4ac = (6)2 –4.(–1).(–9) = 36 –36 = 0
79
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1/
11
MateMática
Como ∆ = 0, a função admite duas raízes reais e iguais, calculadas a seguir:
x x x= = =
−
−( ) =
−
−
=’ "
.
6
2 1
6
2
3
Portanto, a parábola intercepta o eixo x no ponto 3.
3º passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
, → 
x
y
V
v
v
= −
−
=
−
−
=
= −
−
= −
−
=





⇒ ( )
6
2 1
6
2
3
0
4 1
0
4
0
3 0
.( )
.( )
,
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para x = 0. Assim:
O ponto que intercepta o eixo y é (0, –9)
5o passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–2,0 –1,0 3,0 4,0 5,01,0 2,0 6,0
–6,0
–7,0
–8,0
–9,0
Figura 66
80
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o:
 S
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29
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1/
11
Exemplo 03:
Construa o gráfico da função f(x) = x2 + 2x + 3:
a = 1 b = 2 c = 3
1º passo: análise do coeficiente a:
Como a = 1 > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (2)2 –4.1.(3) = 4 –12 = –8
Como ∆ = –8 < 0, a função não admite raízes reais, portanto, não intercepta nem toca o eixo x.
3º passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
, → 
x
y
V
v
v
= − = −
= −
−
=




⇒ −( )
2
2 1
1
8
4 1
2
12.
( )
.
,
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para 
x = 0. Assim:
O ponto que intercepta o eixo y é (0,3)
5º passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
81
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29
/1
1/
11
MateMática
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
8,0
Figura 67
5.5.1 Ponto de intersecção: reta e parábola
Ao determinar e representar um ponto de intersecção entre retas e parábolas num mesmo sistema 
de coordenadas, temos, por exemplo, o seguinte sistema de equações:
y x
y x x
= − +
= − + +

2 5
4 42
Façamos os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas e apontemos o ponto 
de intersecção entre elas.
1º passo: obter os pontos que a função y = ‑2x + 5 intercepta nos eixos x e y:
para x = 0, temos:
y = –2.0 + 5 = 5
Portanto, P1 = (0;5).
82
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29
/1
1/
11
para y = 0 temos:
0 = –2x + 5
2x = 5
⇒ = =x
5
2
2 5,
Portanto, P2 = (2,5;0).
2º passo: obter os pontos necessários para traçar o gráfico da função y = ‑x2 + 4x + 4:
a = (–1) b = 4 c = 4
Como a = –1 < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
Façamos o cálculo dos zeros ou raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (4)2 –4.(–1).4 = 16 + 16 = 32
Como ∆ = 32 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, calculadas a seguir:
x ’
.
, ,
,=
−( ) +
−( ) =
− +
−
=
−
= −
4 32
2 1
4 5 66
2
166
2
0 83
x "
.
, ,
,=
−( ) −
−( ) =
− −
−
=
−
−
= −
4 32
2 1
4 5 66
2
9 66
2
4 83
A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) em dois pontos diferentes: ‑0,83 e 4,83.
Calculemos o vértice da parábola:
 
V
b
a a
− −



 = −
−( ) − −( )



 = ( )2 4
4
2 1
32
4 1
2 8,
( )
.
,
.
,
∆
Logo, os pontos de interceptação no eixo y são: (0, c) = (0,4).
3º passo: obter o ponto de intersecção. Para isso, é preciso igualar as duas equações:
83
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29
/1
1/
11
MateMática
–x2 + 4x + 4 = –2x = 5
–x2 + 4x + 4 + 2x –5 = 0
–x2 + 6x –1 = 0
Calculemos as raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (6)2 –4.(–1).(–1) = 36 – 4 = 32
Como ∆ = 32 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes:
x ’
.
, ,
,
− +
−( ) =
− +
−
=
−
−
=
6 32
2 1
6 5 66
2
0 35
2
0 17x ’
.
, ,
,
− +
−( ) =
− +
−
=
−
−
=
6 32
2 1
6 5 66
2
0 35
2
0 17x "
.
, ,
,=
−( ) −
−( ) =
− −
−
=
−
−
= −
4 32
2 1
4 5 66
2
9 66
2
4 83
x "
.
, ,
,=
− −
−( ) =
− −
−
=
−
−
=
6 32
2 1
6 5 66
2
1166
2
5 83
Para achar o valor de y, é necessário substituir x em uma das equações:
y’ = 2x’ + 5
y’ = 2.(0,17) + 5 = 4,66
y” = – 2x” + 5
y” = –2(5,83) + 5 = 6,66
Portanto, os pontos de intersecção entre a reta e a parábola são (0,17;4,66) e (5,83;‑6,66).
4º passo: traçar a reta, a parábola e o ponto de interseção em um mesmo sistema de coordenadas:
84
Unidade II
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- 
29
/1
1/
11
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 3,0 4,0 5,0
8,0
2,0 6,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
‑7,0
Figura 68
5.6 equação exponencial
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente em pelo menos 
uma potência da expressão. Para resolver uma equação exponencial, é necessário reduzir 
ambos os lados da equação a potências de mesma base a (a > 0 e a ≠ 1) e aplicar a seguinte 
propriedade:
ax1 = ax2 → x1 = x2
85
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29
/1
1/
11
MateMática
Veja alguns exemplos:
Exemplo 01:
2x = 23
x = 3
S = {3}
Exemplo 02:
2x = 16
2x = 24
x = 4
S = {4}
Exemplo 03:
42x = 4x+1
2x = x + 1
2x – x = 1
x=1
S = {1}
Exemplo 04:
1
3
81

 =
x
(3–1)x = 34
3–x=34
x = –4
S = {–4}
86
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1/
11
Exemplo 05:
2 64( ) =x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
x
2
6=
x = 12
S = {12}
Exemplo 06:
(3x)x+1 = 729
3x2+ x = 36
x2 + x = 6
x2 + x – 6 = 0
Ao resolver a equação, obtemos as raízes: x = –3 ou x = 2, S = {2, –3}.
Exemplo 07:
22x+1.43x+1 = 8x–1
22x+1.(22)3x+1 = (23)x–1
22x+1.26x+2 = 23x–3
28x+3 = 23x–3
8x + 3 = 3x –3
x = −
6
5
S = −

6
5
.
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MateMática
5.7 Função exponencial
Uma função exponencial é toda função f de R em R dada pela regra f(x)=ax, onde a é um número 
real positivo e diferente de 1. 
Assim, as propriedades das funções exponenciais são:
1º caso: função exponencial com base maior que 1 (a > 1):
Observe o gráfico da função y = 2x, ilustrado a seguir:
 
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0
Figura 69
Verifique que:
• como y = ax > 0, ou seja, y > 0 para todo x, o gráfico de y = ax estará localizado no 1º e no 2º 
quadrantes;
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Unidade II
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• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = ax intercepta o eixo y no ponto (0;1);
• a função y = ax, para a > 1, é crescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 > ax2.
A seguir, é apresentado o gráfico da função y = 2‑x. Essa função é semelhante à função y = 2x. A 
diferença entre elas é o expoente negativo. 
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
12,0
13,0
Figura 70
Note que o gráfico da função y = 2‑x é obtido por meio do espelhamento no eixo y do gráfico da 
função y = 2x.
2º caso: função exponencial com base entre 0 e 1 (0 < a < 1):
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MateMática
Observe o gráfico da função y
x
=




1
2
, ilustrado a seguir:
 
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
Figura 71
Verifique que:
• como y = ax > 0, ou seja, y > 0 para todo x, o gráfico de y = ax está no 1º e no 2º quadrantes;
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x aumenta, y se aproxima de zero;
• a função y = ax intercepta o eixo y no ponto (0;1);
• a função y = ax, para 0 < a < 1, é decrescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 < ax2.
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Desse modo, podemos considerar algumas conclusões importantes:
• em ambos os casos, o eixo x é assíntota horizontal;
• o gráfico corta o eixo y no ponto (0;1);
• para a > 1, temos uma função exponencial crescente e, para 0 < a < 1, temos uma função 
exponencial decrescente.
Verifique outros exemplos:
Na ilustração a seguir, encontra‑se o gráfico da função y = ‑2x. O que ocorrerá se a função exponencial 
com base maior que 1 (a > 1) for multiplicada por um número negativo?
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
–7,0
–8,0
–1,0
–10,0
–11,0
–9,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
–12,0
1,0
–6,0
Figura 72
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MateMática
Verifique que:
• como y = ‑ax < 0, ou seja, y < 0 para todo x, então o gráfico de y = ‑ax está localizado no 3º e no 
4º quadrantes;
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = ‑ax intercepta o eixo y no ponto (0;‑1);
• a função y = ‑ax para a > 1 é decrescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 < ax2.
Na ilustração a seguir, encontra‑se o gráfico da função y
x
= −




1
2
. Observe o que acontece se a 
 
função exponencial com base entre 0 e 1 (0 < a < 1) for multiplicada por um número negativo. 
 
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
–7,0
–8,0
–1,0
–10,0
–11,0
–9,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
–12,0
1,0
–6,0 5,0 6,0
Figura 73
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Verifique que:
• como y = ‑ax < 0, ou seja, y < 0 para todo x, o gráfico de y = ‑ax se localizará no 3º e no 4º 
quadrantes;
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = ‑ax intercepta o eixo y no ponto (0;‑1);
• a função y = ‑ax, para 0 < a < 1, é crescente, uma vez que x1 > x2 → a
x
1 > ax2.
5.7.1 Crescimento exponencial
Se uma grandeza com valor inicial y0 crescer a uma taxa constante k, após um tempo x ela será 
expressa pela seguinte fórmula:
y = y0(1+k)
x
Para isso, é necessário que k e x sejam medidos na mesma unidade.
Por exemplo, daqui a 10 anos, qual será o número aproximado de habitantes de uma cidade que hoje 
tem 10.000 habitantes e cresce a uma taxa de 5% ao ano?
Para a resolução, adote: 
• y =? (número de habitantes daqui a 10 anos);
• yo = 10.000 (número de habitantes que a cidade tem hoje);
• k = 5% = 0,05 (taxa de crescimento anual);
• x = 10 (período em anos).
Ao substituir os dados na fórmula y = y0(1+k)
x, temos:
y = 10000 (1 + 0,05)10
y = 10000 (1,05)10
y = 10000.1,629
y = 16290
Assim, essa cidade terá aproximadamente 16.300 habitantes daqui a 10 anos.
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MateMática
5.8 Logaritmos
A expressão a seguir é chamada de logaritmo de b na base a:
loga b = x ⇔ a
x = b, a e b ∈ R+
No caso, a e b são números reais positivos, com a ≠ 1.
Assim, na expressão loga b = x, temos:
• a é base do logaritmo;
• b é o logaritmando;
• x é o logaritmo.
 Observação
A expressão loge x = lnx indica o logaritmo neperiano ou logaritmo 
natural, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 
2,718281828459045... (número de Euler).
Observe os exemplos a seguir:
log2 8 = 3, pois 2
3 = 8
log3 9 = 2, pois 3
2 = 9
log2
1
4
2= − , pois 2
1
4
2−
=
log5 5 = 1, pois 5
1 = 5
log4 1 = 0, pois 4
0 = 1
log3 3
1
2
= , pois 3 3
1
2
=
log1
2
8 3= −
, pois1
2
8
3


 =
−
log0,5 0,25 = 2 pois (0,5)
2 = 0,25
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As propriedades dos logaritmos são:
• o logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0: loga 1 = 0, pois a
0 = 1;
• o logaritmo da própria base, qualquer que seja ela, é igual a 1: loga a = 1, pois a
1 = a;
• a potência de base a e expoente loga b é igual a b: a b
ablog
= ;
• produto: loga (b . c) = loga b + loga c. Por exemplo:
log2 6 = log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3
log4 30 = log4 (2 . 3 . 5) = log4 2 + log4 3 + log4 5
• quociente: log log loga a a
b
c
b c= − . Por exemplo: 
log log log10 10 10
2
3
2 3= −
log log log log2 2 2 2
1
5
1 5 5= − = −
• potência: loga b
r = r . loga b. Por exemplo:
log5 2
3 = 3 . log5 2
log log .log10 10
1
2
102 2 2=
log log .log2 2
3
2
1
27
3 3 3= = −−
• mudança de base: log
log
loga
b
b
a
=
0
0
. Por exemplo:
• log
log
log
,
,
,2
10
10
3
3
2
0 4771
0 3010
159= = ≅
• log
log
log
,
,1000
10
10
7
7
1000
0 8451
3
0 28= ≅
Assim, a partir do exposto, vejamos a aplicação dos conceitos no exemplo a seguir:
Uma cidade tem 10.000 habitantes e cresce a uma taxa de 5% ao ano. Daqui a quantos anos aproximadamente 
essa cidade terá 20.000 habitantes, ou seja, o dobro do que tem hoje? (Dado: log1,05 2 ≅ 14,2067).
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Para a resolução, adote:
• y = 20.000 (número de habitantes daqui a 10 anos);
• yo = 10.000 (número de habitantes hoje);
• k = 5% = 0,05 (taxa de crescimento anual);
• x = ? (período em anos).
Ao substituir os dados na fórmula y=y0(1 + k)
x, temos:
20000 = 10000 (1 + 0,05)x
20000
10000
1 05= ( ), x
2=(1,05)x
Usando loga b = x ⇔ a
x = b, temos:
2 = (1,05)x ⇔ log1,05 2 = x
Usando a informação dada no enunciado, obtemos que x é aproximadamente 14,2.
Portanto, a cidade terá o dobro de habitantes daqui a aproximadamente 15 anos.
5.9 Função logarítmica
A função logarítmica de base a é uma função de R+
* em R dada pela regra f(x) = loga x, com a sendo 
um número real (0 < a ≠1). Exemplos: y = log2 x, y = log10 x, log0,5 x etc.
As características das funções logarítmicas são:
• domínio: conjunto dos números reais não negativos;
• interceptos: a intersecção com o eixo x é o ponto (1;0);
• não intercepta o eixo y.
Observe os gráficos das funções f x x f x x f x x e f x x1 2 2 1
2
3 2 4 1
2
( ) = ( ) = ( ) = − ( ) = −log , log , log log , 
ilustrados a seguir:
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2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
f1(x) = log2 x
Figura 74
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
f x x2 1
2
( ) = log
–4,0
Figura 75
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2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
–4,0
–5,0
14,0 15,0 16,0
5,0
f3(x) = –log2 x
Figura 76
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
–4,0
–5,0
14,0 15,0 16,0
5,0
f x x4 1
2
( ) = − log
Figura 77
A partir da função f(x) = b . loga x, onde b é um número real, as propriedades das funções logarítmicas, 
por sua vez, são:
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• se a > 1 e b > 0, a função logarítmica é crescente;
• se a > 1 e b < 0, a função logarítmica é decrescente;
• se 0 < a < 1 e b > 0, a função logarítmica é decrescente;
• se 0 < a < 1 e b < 0, a função logarítmica é crescente.
5.10 Outras funções
5.10.1 Função polinomial
Uma função de grau n é denominada função polinomial se f(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + an–1x
1 + an, 
em que a0, a1, a2, ... , an são todos números reais com a0 ≠ 0.
Alguns exemplos de funções polinomiais:
• f(x) = 5: função constante;
• f(x) = x + 3: função de 1º grau ou linear;
• f(x) = x2 –5x + 6: função de 2º grau ou quadrática;
• f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 7: função de 3º grau ou cúbica;
• f(x) = x4 + 3x2 –2x: função de 4º grau;
• f(x) = –7x5 + x3 – x + 4: função de 5º grau e assim por diante.
5.10.2 Função racional
Função racional é toda função expressa por um quociente de dois polinômios, com denominador 
não nulo. O domínio da função racional são todos os valores de x tais que Q(x) ≠ 0. Assim, com P(x) e 
Q(x) sendo polinômios e com Q(x) ≠ 0:
f x
P x
Q x
( ) = ( )( )
Veja alguns exemplos de funções racionais:
f x
x
x x
( ) = −( )
+ +
3
2 9
2
2
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MateMática
f x
x
x
( ) = −
+
2
2
f x
x
( ) =
−
1
3
Dentre as funções racionais, há um caso importante, que é a função hipérbole f x
x
( ) =


1 , ilustrada 
a seguir:
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,01,0–5,0 4,0
4,0
–6,0 5,0 6,0
–4,0
5,0
–5,0
6,0
–3,0–4,0 –1,0–2,0
Figura 78 – Função hipérbole
As propriedades da função hipérbole são:
• o domínio são os reais, exceto o zero;
• quando x se aproxima de zero f x
x
( ) =


1
, tende ao infinito.
6 sistema de equações
6.1 introdução
Chama‑se sistema de equações um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas. Para sua 
resolução, há diversos métodos, sendo o método de substituição e o de adição os mais comuns.
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6.2 identificando um sistema de equações
Todo sistema de equações do tipo 
a x b y z
a x b y w
1 1
2 2
+ =
+ =
 é denominado sistema linear de duas equações 
de m x n (lê‑se: m por n) com conjunto solução S de m equações e n incógnitas, onde m e n são números 
inteiros positivos. Veja alguns exemplos:
• x y
x y
+ =
− =

4 1
3 2
 é um sistema linear com duas equações e duas incógnitas;
• 
2 2 0
0
2 5 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =



 é um sistema linear com três equações e três incógnitas;
• 
2 4 1
3 2 7
x y z w
x y z w
+ + + =
− − + =

 é um sistema linear com duas equações e quatro incógnitas.
A solução de um sistema é expressa por uma sequência ordenada (x1, x2, ... xn). Por exemplo, a solução 
do sistema x y
x y
+ =
− =

5
3
 é o par ordenado (4;1), pois, ao substituir as incógnitas pelos valores em questão, 
 
as equações do sistema são verdadeiras. Assim, substituindo x = 4 e y = 1, temos:
x y
x y
+ =
− =
 ⇒
+ =
− =

5
3
4 1 5
4 1 3
Ou seja, o par ordenado (4;1) satisfaz as duas equações do sistema.
Já a solução do sistema 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− − =



10
4
0
 é a tripla ordenada (5;3;2) pois, substituindo x = 5, y = 3 e 
z = 2, temos:
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− − =



⇒
+ + =
− + =
− − =



10
4
0
5 3 2 10
5 3 2 4
5 3 2 0
Dessa forma, a tripla ordenada (5;3;2) satisfaz as trêsequações do sistema.
Quando dois sistemas possuem o mesmo conjunto solução, são denominados equivalentes. Exemplo:
x y
x y
e
x y
x y
+ =
− =

+ =
− = −

10
2
3 2 26
2 5 8
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O conjunto solução desses dois sistemas é o par ordenado (6;4), portanto, eles são sistemas 
equivalentes.
6.3 Classificação dos sistemas
A classificação de um sistema está relacionada ao número de soluções que ele possui.
Um sistema pode ser possível ou impossível, ou seja, se tiver solução, é possível, caso contrário, é 
impossível.
Se o sistema for possível e existir apenas uma solução, ele é determinado. Se ele for possível e existir 
mais de uma solução, é indeterminado. Veja a seguir:
Sistema
Possível
Impossível (SI: sistema 
impossível)
Conjunto solução vazio
Determinado (SPD: sistema possível e 
determinado)
Conjunto solução unitário
Indeterminado (SPI: sistema possível 
e indeterminado)
Conjunto solução infinito
Figura 79
Considere os exemplos a seguir para exemplificar o que foi ilustrado anteriormente:
1º: O par ordenado (1;6) é a única solução do sistema 
− + =
− = −

x y
x y
5
3 3
. Logo, ele é um sistema possível 
e determinado (SPD).
2º: O sistema 
5 5 5 10
2
x y z
x y z
− + =
− + =
 apresenta infinitas soluções, como, por exemplo: (1;1;2), (0;2;4), 
(1;0;1) etc. Consequentemente, ele é um sistema possível e indeterminado (SPI).
3º: O sistema 
x y
x y
− = −
− =

3
5
 não apresenta solução alguma, assim, ele é um sistema impossível (SI).
102
Unidade II
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6.4 solução do sistema
Como mencionamos, existem vários métodos utilizados para solucionar um sistema de equações. 
As equações a seguir formam um sistema de duas equações e duas incógnitas. Nosso objetivo é 
encontrar um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaça as duas equações simultaneamente.
10 11
5 3 2
x y
x y
+ =
− =

Iremos resolver esse sistema primeiramente pelo método da adição.
1º passo: multiplicar a segunda equação por (‑2). A ideia é gerar um termo que, ao ser somado com 
o correspondente da outra equação, resulte em zero:
10 11
5 3 2
2
10 11
10 6 4
x y
x y
x
x y
x y
+ =
− =
 −( )
+ =
− + = −
u ruuuuuuuu
2º passo: somar as duas equações:
10 11
10 6 4
7 7
x y
x y
y
+ =
− + = −

=
3º passo: resolver a equação obtida a partir da soma:
y = =
7
7
1
4º passo: retornar ao sistema original e substituir o valor de y por 1 em uma das equações, para 
encontrar x:
10x + y=11
10x + 1 = 11
10x = 11–1
x = =
10
10
1
A conclusão a que chegamos é que x = 1 e y = 1 e, portanto, a solução do sistema é o par 
ordenado (1;1).
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MateMática
Agora, iremos resolver o mesmo sistema de equação usando o método da substituição:
1° passo: escolher uma das equações do sistema e isolar o y ou o x. No exemplo, a equação escolhida 
foi a primeira e a incógnita isolada será o y:
10 11
10 6 4
x y
x y
+ =
− + = −

10x + y = 11
y = 11 –10x
2° passo: substituir o resultado na outra equação. No exemplo, o y será substituído na segunda 
equação:
–10x + 6y = –4
–10x + 6(11–10x) = –4
–10x + 66 – 60x = –4
–10x – 60x = –4 –66
–70x = – 70
70x = 70
x = =
70
70
1
3° passo: retornar à equação do 1° passo e substituir o valor encontrado no 2° passo:
y=11–10x
y=11–10.1=11–10=1
A conclusão a que chegamos é a mesma, ou seja, x = 1 e y = 1 e, portanto, a solução do sistema é o 
par ordenado (1;1).
Resolvendo sistemas usando a regra de Cramer
1° passo: calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que chamaremos de D:
D =
−
= ( ) − ( ) = − − = −10 1
5 3
10 3 1 5 30 5 35. .
2° passo: verificar se a regra de Cramer pode ser aplicada:
• se D ≠ 0, podemos prosseguir usando a regra de Cramer, pois o sistema é possível e determinado (SPD);
• se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.
104
Unidade II
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3° passo: aplicar a regra de Cramer:
Para cada incógnita que se quer determinar, calcula‑se um novo determinante, que é o da matriz 
obtida, substituindo‑se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser 
determinada pela coluna dos termos independentes. Veja:
D para er ar xx ( det min ) . .=
−
= −( ) − ( ) = − − = −11 1
2 3
11 3 1 2 33 2 35
D para er ar yy ( det min ) . .= = ( ) − ( )( ) = − = −10 115 2 10 2 11 5 20 55 35
O valor de cada incógnita é quociente (razão ou divisão) de cada um desses determinantes por D:
x
D
D
x
= =
−
−
=
35
35
1
y
D
D
y
= =
−
−
=
35
35
1
Assim, novamente, a solução do sistema é o par ordenado (1;1).
7 RegRa de tRês simpLes e COmpOsta
7.1 introdução
Grandeza é tudo que pode ser medido ou quantificado, como massa, volume, capacidade, velocidade, 
tempo etc. Uma grandeza está sempre relacionada com alguma unidade: metro, quilo, horas etc.
7.2 grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, ao dobrarmos uma delas, a outra 
também dobra; ao triplicamos uma delas, a outra também triplica e assim sucessivamente. Um exemplo:
Tabela 01
Quitanda do Sr. Manoel
Preço do abacaxi
em unidades em reais
1 2,50
2 5,00
3 7,50
10 25,00
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MateMática
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: quantidade e preço. Observe que:
• ao dobrar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago também dobra;
• ao triplicar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago também triplica.
Logo, as grandezas expostas na tabela de quantidade e preço são diretamente proporcionais.
Toda grandeza proporcional está associada a uma razão de proporcionalidade que se mantém 
constante em todas as relações das grandezas. Verifique os exemplos a seguir:
1
2
2 50
5 00
0 5
abacaxi
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
2
3
5 00
7 50
0 67
abacaxis
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
2
10
5 00
25 0
0 2
abacaxis
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
7.3 grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, ao dobrarmos uma delas, 
a outra se reduz pela metade; ao triplicamos uma delas, a outra se reduz a uma terça parte e assim 
sucessivamente. Um exemplo: todas as sextas‑feiras, Antonio, um homem muito caridoso, distribui pães 
aos moradores de rua do centro de São Paulo no início da noite. Ele sempre leva 120 pães para serem 
distribuídos. Ao chegar ao local, ele verifica o número de pessoas e divide os pães igualmente entre eles. 
Na tabela a seguir, podemos verificar a quantidade de pães que cada pessoa recebe:
Tabela 02
Quantidade 
de pessoas
Quantidade de 
pães por pessoa
10 12
20 6
30 4
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: pessoas e pães. Observe que:
• ao dobrar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães por pessoa cai pela metade;
• ao triplicar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães por pessoa cai para a terça parte.
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Portanto, as grandezas pessoas epães são inversamente proporcionais, veja o exemplo a seguir:
10
20
1
2
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
12
6
2
1
paes
paes
=
ã
ã
10
30
1
3
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
12
4
3
1
paes
paes
=
ã
ã
20
30
2
3
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
6
4
3
2
paes
paes
=
ã
ã
7.4 Regra de três simples
A regra de três simples possibilita relacionar duas grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais. A ideia principal dessa regra é, a partir de uma relação, obter um dos valores com base 
em três valores já conhecidos. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 01:
Na quitanda do Sr. Manoel, três quilos de batata custam R$ 5,00. Assim, quanto custaria 6,5 quilos 
de batata?
 
3,0 quilos ⇒ R$ 5,00
6,5 quilos ⇒ x
Note que as grandezas são diretamente proporcionais e, assim, ao transferir a relação para a notação 
de razão, temos que:
3
6 5
5
,
=
x
3x = 5.6,50
x =
32 5
3
,
x=10,83
Desse modo, 6,5 quilos de batatas na quitanda do Sr. Manoel custam R$ 10,83.
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MateMática
 Lembrete
As setas representam o sentido da proporcionalidade: setas de 
mesmo sentido indicam que as relações são diretamente proporcionais 
e setas de sentido contrário indicam que as relações são inversamente 
proporcionais.
Exemplo 02:
O professor Isaac ministra aulas de matemática e adora seus alunos. Para incentivá‑los, 
costuma distribuir de vez em quando bombons aos alunos que realizam as tarefas de casa. Em 
sua última aula, o professor levou 24 bombons para distribuir igualmente entre seus alunos. 
Ao chegar à sala de aula, ele constatou que apenas três alunos realizaram toda a tarefa de 
casa. 
Nesse caso, cada aluno receberia oito bombons, no entanto, o professor mudou de ideia e resolveu 
dividir os bombons também para os três alunos que fizeram a metade da tarefa. Assim, quantos bombons 
cada aluno receberá?
 
8 bombons ⇒ 3 alunos 
 x ⇒ 6 alunos
Note que as grandezas são inversamente proporcionais e, assim, ao transferir a relação para a notação 
de razão, temos que:
8 6
3
6 8 3
24
6
4
x
x
x
x
=
=
=
=
.
Logo, cada aluno receberá quatro bombons.
7.5 Regra de três composta
A regra de três composta possibilita relacionar mais do que duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. Vejamos alguns exemplos:
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Exemplo 01:
Na padaria onde o Sr. Antonio compra pães para doar nas noites de sexta‑feira, trabalham 8 homens 
que produzem 300 pães em 6 horas. Nos meses de julho de cada ano, 3 desses funcionários recebem 
férias, assim, trabalham apenas 5 homens na padaria. Dessa forma, quantos pães são produzidos em 10 
horas no mês de julho?
 
6 horas ⇒
10 horas ⇒
300 pães ⇒
 x ⇒
8 homens
5 homens
Observe:
• as grandezas horas e pães são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o número de horas, 
aumenta‑se o número de pães produzidos;
• as grandezas homens e pães também são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o 
número de homens, aumenta‑se o número de pães produzidos.
Como as grandezas são diretamente proporcionais, vamos transferir a relação para a notação de 
razão:
300 6
10
8
5
300 48
50
48 300 50
15000
48
312 5
x
x
x
x
=
=
=
= =
.
.
,
Portanto, no mês de julho, os cinco homens produzirão aproximadamente 313 pães em dez 
horas.
Exemplo 02:
Em uma certa marcenaria, sabe‑se que 3 marceneiros fabricam 2 mesas em 11 dias. Assim, quantos 
dias levarão para 5 marceneiros fabricarem 4 mesas?
 
2 mesas ⇒
4 mesas ⇒
11 dias ⇒
 x ⇒
3 marceneiros
5 marceneiros
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MateMática
Observe que:
• as grandezas mesas e dias são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o número de 
meses, leva‑se mais dias para fabricá‑las;
• as grandezas marceneiros e dias são inversamente proporcionais, já que, ao aumentar o número 
de marceneiros, diminui‑se o número de dias para fabricar as mesas.
Assim, temos uma mistura de grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Transferindo a 
relação para a notação de razão, temos:
11 2
4
5
3
11 10
12
10 11 12
132
10
13 2
x
x
x
x
=
=
=
= =
.
.
,
Assim, os 5 marceneiros levarão aproximadamente 13 dias para fabricar 4 mesas.
 saiba mais
Para saber mais sobre a regra de três simples e a regra de três composta, 
visite <http://www.portalmatematico.com/regradetres.shtml>.
8 pORCentagem
8.1 porcentagens ou taxas percentuais
Porcentagem ou percentagem é qualquer razão centesimal, ou seja, é uma fração cujo denominador é 100.
As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma de fração com denominador 100 
(percentual) ou na forma decimal. A ilustração a seguir representa a transformação da forma percentual 
para a unitária e vice‑versa.
Forma percentual Forma unitária
÷ 100
× 100
Figura 80
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 Observação
O símbolo % indica que o valor está sendo dividido por 100.
A passagem da forma percentual para a unitária (ou decimal) é feita como demonstrado a seguir:
• 30% = 30
100
= 0,30;
• 4% = 4
100
 = 0,04;
• 10% = 
1
100
 = 0,01;
• 115% =
15
100
= 1,15;
• 135% = 
135
100
= 1,35;
• 27,9 % = 
27 9
100
,
= 0,279.
A passagem da forma unitária para a percentual, por sua vez, é como segue:
• 0,30 x 100 = 30%;
• 0,04 x 100 = 4%;
• 0,01 x 100 =10%;
• 1,15 x 100 =115%;
• 1,35 x 100 =135%;
• 0,279 x 100 = 27,9%. 
Exemplo 01:
Quanto é 15,5% de R$ 2.500,00?
15,5% de R$ 2500,00 = 2500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
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MateMática
Resposta: 15,5% de R$ 2.500,00 é R$ 387,50.
Exemplo 02:
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um acréscimo de 15,5%. Qual é o valor final do 
produto?
15,5% de R$ 2500,00 = 2500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
Acrescentar 15,5% em R$ 2.500,00: 2.500 + 387,5 = R$ 2.887,50.
Resposta: o valor final do produto é R$ 2.887,50.
Exemplo 03:
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um desconto de 15,5%. Qual é o valor final do 
produto?
15,5% de R$ 2500,00 = 2500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
Descontar 15,5% em R$ 2.500,00: 2.500 – 387,5 = R$ 2.112,50.
Resposta: o valor final do produto é R$ 2.112,50.
Exemplo 04:
Num lote de 85 lâmpadas, 13 delas apresentaram defeito. A razão entre o número de lâmpadas 
defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:
13
87
0 1494 14 94
14 94
100
= = =, , %
,
O que significaria se o lote tivesse 100 lâmpadas e aproximadamente 15 delas estivessem com defeito?
O número 14 94
100
, é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas.
8.2 Fator multiplicativo
A fórmula geral do fator multiplicado é expressa por:
• fator multiplicativo de aumento: valor . (1 + p);
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• fator multiplicativo de desconto: valor . (1 – p).
Veja a aplicação do conceito no seguinte exemplo: se uma bolsa, inicialmente vendida a R$ 32,00, 
tiver seu preço aumentado em 20%, ela passaria a custarR$ 38,40, como nos mostra os cálculos:
• um aumento de 20% sobre 32 é igual a 0,2.32 = 6,4;
• assim, o novo preço passaria a ser de 32 + 6,4 = 38,4.
Frente ao exposto, poderíamos simplesmente fazer:
 32 + 0,2. 32 = 32.(1+0,2) = 32.1,2 = 38,40
preço 
inicial
aumento preço 
final
Perceba que o preço inicial foi multiplicado por 1,2. Esse é o fator multiplicativo de aumento.
Poderíamos ainda ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto:
Valor . (1 + p)
32 . (1+0,2)=32 . 1,2 = 38,4
Assim, se estivéssemos um aumento de:
• 30%: multiplicaríamos o preço original por 1,3;
• 16%: multiplicaríamos o preço original por 1,6;
• 5%: multiplicaríamos o preço original por 1,05.
Se, por outro lado, houvesse uma liquidação na qual fosse anunciado um desconto de 20% sobre o 
preço original da bolsa, o cálculo seria:
 32 – 0,2. 32 = 32.(1–0,2) = 32.0,8 = 25,60
preço 
inicial
desconto preço 
final
Note que o preço inicial foi multiplicado por 0,8. Esse é o fator multiplicativo de desconto.
Também poderíamos ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto. Veja:
Valor . (1 – p)
32 . (1 – 0,2)=32 . 0,8 = 25,6
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MateMática
Assim, se tivéssemos um desconto de:
• 30%: multiplicaríamos o preço original por 0,7;
• 16%: multiplicaríamos o preço original por 0,84;
• 5%: multiplicaríamos o preço original por 0,95.
8.3 taxa percentual de variação
A taxa percentual de variação entre dois valores pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
diferença de valores
valor antigo
Nela, a diferença de valores é a subtração do maior valor pelo menor divido pelo valor mais antigo 
no tempo. Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 01:
Um livro que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual de aumento?
Para efetuarmos esse cálculo:
diferença de valores
valor antigo =
−
= = =
30 24
24
6
24
0 24 24, %
Portanto, a taxa percentual de aumento foi de 24%.
Exemplo 02:
Após dois meses, o livro que estava custando R$ 30,00 voltou a ser vendido por R$ 24,00. Qual foi 
a taxa percentual de desconto?
Para realizarmos esse cálculo:
diferença de valores
valor antigo =
−
= = =
30 24
30
6
30
0 2 20, %
Desse modo, a taxa percentual de desconto foi de 20%.
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8.4 Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda
A diferença no lucro quando este é calculado sobre o preço de custo e sobre o preço de venda é um 
ponto importante a ser observado.
Mas, antes de observarmos essa diferença, vale destacar alguns conceitos preliminares:
• custo é o valor bruto do produto e/ou serviço, ou seja, é o valor do produto sem adicionar qualquer 
ganho;
• lucro é o valor adicionado ao valor bruto do produto e ele representa o ganho pela fabricação 
e/ou comercialização do produto;
• preço de venda é o valor final do produto a ser oferecido ao consumidor.
preço de venda = custo + lucro
O preço de venda pode ser calculado com um lucro sobre o custo ou sobre o valor de venda. Vejamos 
essa diferença a partir do seguinte exemplo: uma loja de equipamentos de informática comprou um 
notebook básico por R$ 1.500,00. Se o lucro for de 25% sobre o preço de custo desse equipamento, 
por quanto ele deverá ser vendido?
Para realizar esse cálculo, adote: V = C + L, onde V é o preço de venda, C é o preço de custo e L é o 
lucro.
Após substituir os valores dados, teremos:
V = C + 25% sobre o custo
V = 1500 + 0,25x1500
V = 1500 + 375 = 1875
Portanto, o preço de venda será de R$ 1.875,00, calculado com base no lucro sobre o custo.
Entretanto, se o lucro for sobre o preço de venda, por quanto o notebook deverá ser vendido?
Nesse caso, temos que o preço de venda será:
V = C + 25% sobre o preço de venda
V = C + 0,25.V
V – 0,25.V = C 
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MateMática
V (1‑ 0,25) = C 
V (0,75) = C 
V
C
=
0 75,
Após substituir os valores dados, teremos:
V = =
1500
0 75
2000
,
Portanto, se calculado com base no lucro sobre o preço de venda, este será de R$ 2.000,00.
Note que existe uma diferença de R$ 125 entre os lucros, já que 2000 – 1875 = 125.
Usando as fórmulas a seguir, é possível efetuar esses cálculos diretamente.
Quadro 08
Lucro sobre preço de custo Lucro sobre preço de venda
venda = custo (1 + p%)
(p% é a porcentagem de lucro)
venda
custo
p
=
−( %)1
(p% é a porcentagem de lucro)
 saiba mais
Para obter mais aplicações do conceito de porcentagem, consulte os livros:
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: 
Saraiva, 1998. 
SEITER, C. Matemática para o dia a dia. Rio de Janeiro: Campus, 2000.
 Resumo
Nesta unidade, foram apresentados os conceitos de plano cartesiano, 
de relações entre conjuntos e de funções.
Relembrando, o plano cartesiano é formado por duas retas reais 
perpendiculares, denominadas eixo x e eixo y. O ponto de cruzamento 
116
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dessas retas é denominado origem dos eixos, pois representa o 
início da contagem dos eixos x e y, tendo o número zero (0) como 
marcador.
Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões chamadas de 
quadrantes, organizadas no sentido anti‑horário e numeradas em ordem 
crescente (iniciando em 1).
O produto cartesiano de AxB, por sua vez, é o conjunto de todos os 
pares ordenados (x;y) tal que x pertença ao conjunto A e y pertença ao 
conjunto B, sendo A e B dois conjuntos não vazios.
Já a relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano 
AxB, sendo A e B dois conjuntos não vazios. Em uma relação R de A em B, 
um par ordenado (x;y) associa x a y, sendo que y será chamado de imagem 
de x em R.
O conceito de função é expresso por uma relação entre dois conjuntos 
A e B definida por uma regra de formação f na qual cada elemento de A é 
relacionado com apenas um elemento de B. 
Assim, função do 1o grau é toda função f: R → R definida pela regra 
y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R, sendo a e b constantes denominadas por 
coeficientes da função.
Já a função do 2o grau é toda função f: R → R definida pela regra y = 
f(x) = ax2 + bx + c, com a e b ∈ R e a ≠ 0, sendo a, b e c coeficientes da 
função.
Existem diversas outras relações do tipo função, como, por exemplo, 
a função exponencial, que é toda função f de R em R dada pela regra 
f(x) = ax, em que a é um número real positivo e diferente de 1.
Entretanto, um grupo de funções de grande uso são as funções 
polinomiais, denominadas pela notação: f(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + 
an–1x
1 + an, em que a0, a1, a2, ... , an são números reais com a0 ≠ 0.
Além disso, é importante saber que a função racional se origina das 
funções polinomiais. A função racional é toda função expressa por um 
quociente de dois polinômios com denominador não nulo. 
117
Re
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MateMática
 exercícios
Questão 01. No ano de 2005, uma empresa lançou um novo produto no mercado, com produção 
inicial de 2000 unidades. A quantidade P de unidades produzidas a partir de 2005 segue a função 
P(t) = 2000 . (0,95)t, sendo que t representa o tempo em anos. Considerando‑se que log(0,5) = –0,30 e 
log(0,95) = –0,02, após 2005, a produção será de 1000 unidades no ano de:
A) 2010.
B) 2015.
C) 2020.
D) 2025.
E) 2030.
Respostacorreta: alternativa C.
Análise das alternativas:
Considerando‑se que o ano de 2005 é t = 0, fazemos:
P(0) = 2000 (0,95)0 = 2000 . 1 = 2000
O P(0) representa a quantidade de unidades do produto produzida no ano de 2005.
Para sabermos em que ano a quantidade de unidades produzidas será de 1000, fazemos:
 P t
t t t( ) .( , ) .( , ) ( , ) , (= ⇒ = ⇒ = ⇒ =2000 0 95 1000 2000 0 95
1000
2000
0 95 0 5 00 95, )t
Podemos aplicar a definição de logaritmo em ambos os lados da equação (utilize a dica presente no 
enunciado). Logo,
0 5 0 95 0 5 0 95 0 5 0 95 0 30, ( , ) log( , ) log( , ) log( , ) .log( , ) ,= ⇒ = ⇒ = ⇒ −t t t == − ⇒
⇒ =
−
−
⇒ =
0 02
0 30
0 02
15
,
,
,
t
t t
Assim, em 15 anos, a quantidade de unidades produzidas será 1000. Como o ano inicial é 2005, 
fazemos: 2005 + 15 = 2020. Logo, a produção será de 1000 unidades no ano de 2020.
118
Unidade II
Re
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Dessa forma, de acordo com os cálculos, a única alternativa correta é a C. As demais alternativas se 
apresentam como incorretas.
Questão 02. (Fuvest, 2007) Uma fazenda estende‑se por dois municípios A e B. A parte da fazenda 
que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área 
desse município. Sabendo‑se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre 
a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a: 
A) 2
9
.
B) 3
9
.
C) 
4
9
.
D) 5
9
.
E) 7
9
.
Resolução desta questão na plataforma.
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Re
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MateMática
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Textuais
BELLOS, A. Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. São Paulo: 
Companhia das Letras, 2011.
BONORA Jr., D.; ALVES, J. B. Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, 
administração e economia. São Paulo: Ícone, 2000.
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2006.
IEZZI, G.; DOLCE, O. Matemática – ciência e aplicação. 4 ed. São Paulo: Atual, 2006.
MORETTIN, P.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. Introdução ao cálculo para administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009 
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: Saraiva, 1998. 
SEITER, C. Matemática para o dia a dia. Rio de Janeiro: Campus, 2000. 
SILVA, S. M. et al. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São 
Paulo: Saraiva, 2007.
SILVA, S. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
Exercícios
Unidade I
Questão 01
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame 
Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Caderno 5 – Amarelo. Questão 148. Disponível em: 
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. 
Acesso em: 06 out. 2011.
Questão 02
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame 
Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Caderno 5 – Amarelo. Questão 155. Disponível em: 
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. 
Acesso em: 06 out. 2011.
120
Unidade II
Questão 02
FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR (FUVEST). Fuvest 2007. Caderno V. Questão 31. 
Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2007/provas/p1f2007v.pdf>. Acesso em: 11 out. 2011.
Sites
<http://ecalculo.if.usp.br/> 
<http://www.matematica.br/igraf/> 
<http://www.matematica.br/igraf/iGraf.jar/>
<http://www.portalmatematico.com/regradetres.shtml>
<http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>
121
apêndiCe
 exercícios
Questão 01. Dado que x ∈ A e x ∉ B, assinale a alternativa correta:
A) x ∈ (A ∪ B).
B) x ∈ (A ∩ B).
C) x ∉ (A – B).
D) x ∈ (B – A).
E) x ∉ (B ∪ A).
Questão 02. Assinale a alternativa que contém a fração geratriz das dízimas periódicas 0,6666... e 
0,5222..., respectivamente:
A) 6/10 e 52/100.
B) 2/3 e 47/90.
C) 6/9 e 52/100.
D) 66/90 e 47/90.
E) 6/9 e 52/9.
Questão 03. Considere as seguintes proposições e aponte‑as como verdadeiras (V) ou 
falsas (F):
( ) I. –64 ∉ N.
( ) II. 4
5
∈Q .
( ) III. 0,333 ... ∈ Q.
( ) IV. 
− ∉
15
11
Q .
( ) V. 1 9, ∈Z .
122
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A) F, V, V, V e F.
B) F, V, V, F e V.
C) F, F, V, F e F.
D) F, V, V, F e F.
E) V, V, V, F e F.
Questão 04. Um levantamento efetuado entre 600 usuários de telefones celulares mostrou que 
muitos deles utilizam duas operadoras, A e B, conforme o quadro:
50 utilizam as duas operadoras
430 utilizam a operadora A
160 utilizam a operadora B
Qual é o número de usuários que não utiliza nenhuma das duas operadoras em questão?
A) 60 usuários.
B) 380 usuários.
C) 110 usuários.
D) 440 usuários.
E) Nenhum usuário.
Questão 05. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 jovens por três tipos de sanduíches 
— hambúrguer, hot dog e misto quente — mostrou que:
• 20 deles consumiam os três sanduíches;
• 30 deles consumiam hambúrguer e hot dog;
• 50 deles consumiam misto quente e hot dog;
• 60 deles consumiam misto quente e hambúrguer;
• 120 deles consumiam hambúrguer;
123
• 110 deles consumiam misto quente;
• 70 deles consumiam hot dog;
• 20 deles não preferem nenhum dos três tipos de sanduíches.
Assim, quantos jovens não preferem misto quente nem hambúrguer?
A) 10 jovens.
B) 20 jovens.
C) 30 jovens.
D) 50 jovens.
E) Nenhum jovem.
Questão 06. Ao fatorarmos a expressão a2 – 2ab + b2, obtém‑se:
A) (a + b)2.
B) (b + a)2.
C) (a – b)2.
D) (a – b) . (a + b).
E) 2ab (a – b).
Questão 07. O valor da expressão matemática 
4
5
7
3
1
2
4
5
2
3
− −



 + é:
A) 1,23.
B) ‑1,23.
C) 1,32.
D) ‑5,67.
E) ‑0,98.
Questão 08. Considere a equação em R: 2x2 – 2x + 1 = 4x – 3. Quais são os possíveis valores de x?
A) S = {–1, 2}.
124
B) S = {–2, 3}.
C) S = {2, 3}.
D) S = { }ou ∅.
E) S = {1, 2}.
Questão 09. Assinale a alternativa que apresenta dois números positivos com soma 14 e produto 48. 
A) 12 e 2.
B) 11 e 3.
C) 10 e 4.
D) 8 e 6.
E) 9 e 5.
Questão 10. O salário de Paulo foi acrescido de 30%, resultando em R$ 3.000,00. Qual era o valor 
do salário de Paulo antes do aumento?
A) R$ 2.250,00.
B) R$ 2.307,69.
C) R$ 2.277,23.
D) R$ 2.750,00.
E) R$ 2.412,45.
Questão 11. As funções de oferta e demanda das pizzas de mozarela produzidas pela pizzaria Que 
Delícia são definidas pelas seguintes fórmulas matemáticas p = 3x + 20 e p = 50 – x, representadas 
no gráfico a seguir:
125
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25
Va
lo
re
s (
em
 re
ai
s)
Função 1
Função 2
unidades produzidas e vendidas
A partir das informações fornecidas, o ponto de equilíbrio das funções de oferta e demanda, também 
chamado ponto de cruzamento das funções, é:
A) (7; 43).
B) (7,5; 42,5).
C) (7,5; 43).
D) (7; 42,5).
E) (‑7,5; 43).
Questão 12. (adaptado de IEZZI; DOLCE, 2006, p. 49) Uma pequena doçaria, instalada em uma 
galeria comercial, produz e comercializa brigadeiros. Para fabricá‑los, há um custo fixo mensal de R$ 
360,00, representado por Cf e que inclui aluguel, conta de luz, impostos etc. Além desse custo, há 
outro custo variável, representado por Cv e que depende da quantidade de brigadeiros preparados (x). 
Estima‑se que o custo de produção de um brigadeiro seja R$ 0,30.
Assim, o custo total mensal é dado pela soma do custofixo com o custo variável, definida pela 
seguinte fórmula:
C(x) = 360 + 0,3x
O preço de venda do brigadeiro unitário é R$ 1,20. Admitiremos, nesse momento, que o preço de 
venda independe de outros fatores.
126
Logo, o faturamento bruto (receita) dessa doçaria é dado pelo produto entre o preço unitário de 
venda e o número de unidades produzidas e vendidas (x), definido pela seguinte fórmula:
R(x) = 1,2x
Observemos, a seguir, os gráficos das funções de custo e receita.
1200
1000
800
600
400
200
0
0 200 400 600 800 1000
Va
lo
re
s (
em
 re
ai
s)
Receita
Custo
unidades produzidas e vendidas
I
II
P
Receita
Custo
O ponto P é chamado de ponto de nivelamento ou ponto crítico, pois em P a receita é suficiente para 
igualar o custo total, fazendo com que a loja deixe de ter prejuízos.
Baseando‑se nas informações anteriores, responda: quais são as coordenadas (x,y) do ponto de 
nivelamento?
A) P = (400;400).
B) P = (420;450).
C) P = (480;400).
D) P = (400;480).
E) P = (450;420).
127
Questão 13. A padaria do Sr. Joaquim produz um tipo de bolo que tem suas funções de oferta e 
demanda diárias definidas pelas fórmulas matemáticas representadas a seguir:
p = 10 + 0,2x e p = 30 – 1,8x
O ponto de intersecção (P) entre as curvas de demanda e oferta é denominado ponto de equilíbrio 
de mercado. Assim, temos um preço e uma quantidade de equilíbrio.
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
pr
eç
o 
(e
m
 re
ai
s)
Oferta
Demanda
quantidade
–5
Oferta
Demanda
P
Baseando‑se no que foi exposto, responda: as funções descritas no gráfico anterior se interceptam 
em que ponto:
A) (12; 10).
B) (10; 12).
C) (10; 15).
D) (10; 10).
E) (15; 10).
Questão 14. (adaptado de IEZZI; DOLCE, 2006, p. 69) Suponha que uma barraca de praia em Salvador 
venda acarajé. Ao longo de uma temporada de verão, constatou‑se que a quantidade diária de acarajé 
vendido (x) variava de acordo com o preço unitário de venda (p). A relação quantitativa entre essas 
variáveis era dada por: 
128
p x= − +
1
20
9
2
Observe, por exemplo, que x = 30 corresponde a p = 3 (30 acarajés são vendidos quando o preço 
unitário é R$ 3,00) e x = 50 corresponde a p = 2 (50 acarajés são vendidos quando o preço unitário é 
R$ 2,00) e assim por diante.
Já o faturamento bruto (receita) é dado pelo produto entre o preço unitário de venda (p) e o número 
de acarajés produzidos e vendidos (x) e é definido pela seguinte fórmula:
R(x) = p . x
R x x x( ) = − +


1
20
9
2
.
R x x x( ) = − +1
20
9
2
2
A receita é representada pelo seguinte gráfico:
–150 –100 –50 50 100 150 2000
150
100
50
0
–50
–100
–150
–200
–250
–300
y (Receitas em reais)
x (unidades)
A partir dos dados expostos, quantos acarajés precisam ser vendidos para maximizar a receita da barraca?
A) 81 unidades.
B) 90 unidades.
129
C) 50 unidades.
D) 101 unidades.
E) 45 unidades.
Questão 15. Encontre o ponto de equilíbrio (q;p) de mercado para as seguintes equações de 
demanda e de oferta:
Demanda: p = –3q + 36
Oferta: p = 4q + 1
A) (7;21).
B) (21;7).
C) (21;5).
D) (5;21).
E) (7;28).
Questão 16. Ana é vendedora em uma loja de roupas masculinas e hoje atendeu dois clientes, Pedro 
e João, que adquiriram os mesmos produtos em quantidades diferentes:
Clientes Produtos vendidos Total gasto
João 2 calças e 3 camisas R$ 290,00
Pedro 3 calças e 1 camisa R$ 225,00
Desse modo, quanto custou cada camisa? 
A) R$ 65,00.
B) R$ 55,00.
C) R$ 60,00.
D) R$ 35,00.
E) R$ 45,00.
130
Questão 17. Maria faz bolos e salgados para festas. Ela vende um bolo de 2,5 quilos por R$ 38,00. 
Se comprarmos um bolo de 15 quilos feito por Maria, quanto pagaremos?
A) R$ 148,00.
B) R$ 228,00.
C) R$ 163,00. 
D) R$ 157,00.
E) R$ 147,00.
Questão 18. Joaquim pagou R$ 1.550,00 em 96 m2 de piso para sua casa, mas ele precisará de mais 
35 m2. Quanto pagará por essa quantidade de m2 de piso?
A) R$ 665,10. 
B) R$ 475,10. 
C) R$ 575,10. 
D) R$ 565,10. 
E) R$ 455,10. 
Questão 19. Ana Paula comprou 210 balas para colocar em 30 saquinhos surpresa da festa de sua 
filha, Larissa. Durante a festa, Ana Paula percebeu que vieram 12 crianças a mais do que havia previsto 
e, por isso, teve de redistribuir as balas nos saquinhos. Quantas balas Ana Paula deve colocar em cada 
saquinho?
A) 5 balas.
B) 6 balas.
C) 3 balas.
D) 8 balas.
E) 4 balas.
Questão 20. Sabendo que quatro torneiras enchem três piscinas em 11 horas, quantas horas levarão 
dez torneiras para encher duas piscinas, aproximadamente?
131
A) 10 horas.
B) 8 horas.
C) 3 horas.
D) 7 horas.
E) 4 horas.
Questão 21. Trabalhando 9 horas por dia, 16 operários gastam 15 dias para construir um muro de 
225m. A partir disso, em quanto tempo 20 operários construirão um muro de 300m trabalhando 8 horas 
por dia?
A) 15 dias.
B) 12 dias.
C) 20 dias.
D) 10 dias.
E) 18 dias.
Questão 22. Numa fábrica de brinquedos, 2 homens montam 20 carrinhos em 10 dias. Quantos 
carrinhos serão montados por 4 homens em 3 dias?
A) 12 carrinhos.
B) 10 carrinhos.
C) 15 carrinhos.
D) 18 carrinhos.
E) 9 carrinhos.
Questão 23. Em um período de 35 dias, uma equipe composta de 20 homens extrai 6 toneladas 
de carvão de uma determinada mina. Se a equipe for diminuída para 15 homens, em quantos dias no 
mínimo os homens restantes conseguirão extrair 4 toneladas de carvão da mesma mina?
A) 20 dias.
B) 21 dias.
132
C) 22 dias.
D) 32 dias.
E) 19 dias.
Questão 24. Ao trabalhar 6 horas por dia, João leva 3 dias para digitar 50 páginas. Se João trabalhar 
4 horas por dia, quantos dias no mínimo levará para digitar 85 páginas?
A) 11 dias.
B) 9 dias.
C) 7 dias.
D) 10 dias.
E) 8 dias.
Questão 25. Priscila comprou um celular que custava R$ 600,00 com um desconto de 25%, pois 
resolveu pagá‑lo à vista. Quanto Priscila pagou no celular?
A) R$ 150,00.
B) R$ 750,00.
C) R$ 450,00.
D) R$ 250,00.
E) R$ 350,00.
 Questão 26. Um bem foi comprado por R$ 1.000,00. Se o vendedor quiser 20% de lucro sobre o 
preço de venda, deverá vendê‑lo por quanto?
A) R$ 1.350,00.
B) R$ 1.250,00.
C) R$ 1.200,00.
D) R$ 1.800,00.
E) R$ 1.150,00.
133
Questão 27. Uma loja está com uma promoção de 15% de desconto em todos os seus 
produtos. Assim, qual será o valor que pagaremos se comprarmos uma camisa de manga curta 
que inicialmente custava R$ 50,00, uma calça jeans que custava R$ 93,50 e dois vestidos que 
custavam R$ 67,00?
A) R$ 210,50.
B) R$ 278,38.
C) R$ 135,90.
D) R$ 178,95.
E) R$ 235,90.
Questão 28. Joaquim recebe R$ 1.500,00 como salário da empresa em que trabalha, R$ 700,00 do 
aluguel de uma casa e R$ 800,00 referente ao rendimento de uma aplicação financeira de renda fixa. 
Qual é a participação percentual de cada uma das fontes em seu salário total, respectivamente?
A) 23,33%; 26,67%; 50%.
B) 50%; 23,33%; 26,67%.
C) 30%; 23,33%; 50%.
D) 40%; 28,33%; 31,67%.
E) 30%; 50%; 26,67%.
Questão 29. Antônio trabalha como operador de telemarketing e, após um aumento de 13,5% 
em seu salário, passou a receber R$ 1.556,50. Assinale a alternativa que indique, respectivamente, 
o valor do antigo salário de Antônio e o valor de quanto ele receberia se o aumento tivesse sido 
de 17,5%:
A) R$ 1.341,37 e R$ 1.721,35.
B) R$ 1.611,35 e R$ 1.371,37.
C) R$ 1.721,35 e R$ 1.341,37.
D) R$ 1.371,37 e R$ 1.611,35.
E) R$ 1.557,67 e R$ 1.828,89.
134
Questão 30. João recebe um salário‑base de R$ 1.850,00 e um adicional por tempo de serviço de 
5% sobre esse salário. 
No último mês, ele se tornou supervisor da seção onde trabalha, o que fezcom que recebesse mais 
8% sobre seu salário‑base. 
Além disso, em relação à contribuição previdenciária, lhe é descontado 8,5% sobre seu salário total. 
Assim, qual é o salário líquido de João?
A) R$ 1.960,00.
B) R$ 1.912,81.
C) R$ 1.919,60.
D) R$ 1.933,33.
E) R$ 2.090,50.
Questão 31. (adaptado de FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS, 2003) Um cidadão pagou R$ 200,00 por 
500kWh de energia elétrica consumidos num determinado mês. Se no mês seguinte a tarifa aumentar 
15% e o consumo baixar 15%, esse cidadão pagará pelos kWh:
A) R$ 200,00.
B) R$ 195,50.
C) R$ 264,50.
D) R$ 170,00.
E) R$ 361,25.
Questão 32. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS, 2002) Uma empresa prometeu a seus funcionários um 
reajuste salarial total de 56% através de dois aumentos mensais sucessivos. Se no primeiro mês houve 
um reajuste de 20%, para se chegar ao reajuste prometido no segundo mês, deve‑se aumentar o salário 
em:
A) 30%.
B) 36%.
C) 32%.
135
D) 26%.
E) 20%.
Questão 33. Uma mercadoria vendida por R$ 152,00 passou a ser vendida por R$ 178,45 após um 
aumento. Qual foi a taxa percentual desse aumento?
A) 15,2%.
B) 19,4%.
C) 16,5%.
D) 17,4%.
E) 18,2%.
Questão 34. (adaptado de FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS, 1998) Antônio tem R$ 270,00, Bento 
tem R$ 450,00 e Carlos não tem nada. Antônio e Bento dão parte de seu dinheiro a Carlos, de tal 
maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Antonio representa, 
aproximadamente, quantos por cento do que ele possuía?
A) 11,1%.
B) 13,2%.
C) 15,2%.
D) 33,3%.
E) 35,5%.
Questão 35. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 17 mil. Sabendo que o número de 
habitantes dessa cidade cresce exponencialmente a uma taxa de 2,5% ao ano, qual será aproximadamente 
o número de habitantes daqui a 12 anos?
a) 22.000 habitantes.
b) 21.800 habitantes.
c) 23.500 habitantes.
d) 28.650 habitantes.
e) 22.900 habitantes.
136
Questão 36. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 40 mil. Essa população cresce 
exponencialmente a uma taxa k ao ano. Se daqui a 10 anos o número de habitantes for 80 mil, qual é a 
taxa de crescimento anual dessa população?
A) 8,1%.
B) 6,7%.
C) 7,1%.
D) 8,7%.
E) 7,8%.
Questão 37. O PIB (Produto Interno Bruto) é o valor total de bens e serviços finais produzidos dentro de 
um país. Suponha que o PIB este ano seja de 800 bilhões de dólares e venha crescendo exponencialmente a 
uma taxa de 4% ao ano. Qual será o valor aproximado do PIB daqui a 8 anos, em bilhões de dólares?
A) 1.000.
B) 1.095.
C) 1.225.
D) 2.295.
E) 1.045.
Questão 38. As vendas de uma empresa crescem 30% ao ano. Se este ano ela vendeu 10.000 
unidades de seu produto, quantas venderá daqui a 3 anos?
A) 21.970.
B) 22.300.
C) 19.890.
D) 18.760.
E) 25.650.
Questão 39. Se um imóvel que hoje vale R$ 250.000,00 sofrer uma desvalorização anual de 4%, 
quanto custará daqui a 10 anos?
137
A) R$ 176.209,00.
B) R$ 196.209,00.
C) R$ 209.000,00.
D) R$ 166.209,00.
E) R$ 186.429,00.
Questão 40. (ESCOLA SUPERIOR DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA, 1997) A população de uma 
cidade era de 10.000 habitantes em 1970, tendo crescido 20% na primeira década seguinte e 12% 
acumulativamente na década seguinte. Qual a população dessa cidade em 1990? 
A) 12.000.
B) 13.120.
C) 13.200.
D) 13.440.
E) 14.400.
Questão 41. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS, 2006) Considere que em certo mês 76% das ações 
distribuídas em uma vara trabalhista referiam‑se ao reconhecimento de vínculo empregatício e que, 
destas, 20% tinham origem na área de indústria, 25% na de comércio e as 209 ações restantes, na área 
de serviços. Nessas condições, o número de ações distribuídas e não referentes ao reconhecimento de 
vínculo empregatício era:
A) 240.
B) 216.
C) 186.
D) 120.
E) 108.
Questão 42. Quantos por cento é o resultado da raiz quadrada de 49%?
A) 70%.
138
B) 60%.
C) 7%.
D) 32%.
E) 12%.
Questão 43. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS, 2000) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 
25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, 
então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é:
A) 42.
B) 43.
C) 45.
D) 48.
E) 49.
Questão 44. (adaptado de CESPE, 2005) Considere que um empregado tenha recebido um aumento 
de 30% sobre seu salário‑base. Considere ainda que, após o aumento e depois de descontados os 20% 
do novo salário (a título de impostos e taxas), o empregado tenha depositado todo o seu primeiro salário 
líquido em uma aplicação financeira. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir 
como verdadeiros ou falsos: 
A) O valor descontado na forma de impostos e taxas do salário do empregado foi superior a 25% de 
seu salário‑base anterior ao aumento ( ).
B) Se o valor depositado na aplicação financeira foi de R$ 2.000,00, então o salário‑base do 
empregado antes do aumento era inferior a R$ 1.900,00 ( ).
Questão 45. (adaptado de LOCIKS, 2009, p. 13) O salário mensal de um vendedor é constituído de 
uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que excederem 
o valor de R$ 10.000,00. Calcula‑se que o percentual de descontos diversos que incidem sobre o salário 
bruto de um vendedor seja de 10%.
Em dois meses consecutivos, um vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e 
R$ 5.310,00. Com esses dados, pode‑se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às 
do primeiro mês em:
139
A) 18%.
B) 20%
C) 30%.
D) 33%.
E) 41%.
Questão 46. (adaptado de CESPE, 1997) A falta de informações dos micros e pequenos empresários 
ainda é o principal motivo para a baixa adesão ao Simples – o sistema simplificado de pagamento 
de impostos e contribuições federais. Segundo pesquisa realizada pelo Serviço Brasileiro de Apoio 
às Pequenas Empresas (Sebrae) junto a 1.312 empresas, entre 19 e 31 de julho, a adesão ao Simples 
apresentou o resultado mostrado no gráfico abaixo.
Vão aderir
19%
Ainda não 
decidiram
22%
Não podem 
aderir
17%
Não pretendem 
aderir
3%
Já aderiram
39%
Adesão ao Simples
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem como verdadeiros (V) ou falsos (F).
A) O número de empresas consultadas que ainda não decidiram aderir ao Simples é inferior a 
280. ( )
B) Mais de 260 empresas consultadas não podem ou não pretendem aderir ao Simples. ( )
C) Entre as empresas consultadas, a porcentagem das que já se decidiram em relação ao Simples é 
superior a 74%. ( )
D) Entre as empresas consultadas que podem aderir ao Simples, mais de 25% ainda não se 
decidiram. ( )
140
E) Se o número de empresas que já haviam aderido ao Simples à época da consulta era igual a 
900.000, então é correto estimar, com base na pesquisa, que o número total de empresas existentes 
no Brasil, naquele período, era superior a 2.400.000. ( )
Questão 47. (VUNESP, 2006) O jornal O Estado de S. Paulo publicou, em 16 de outubro de 2005, uma 
reportagem sobre a seca no Amazonas na qual consta o gráfico seguinte (adaptado):
Estiagem amazônica
Volume médio (entre 1961 e 1990) Volume este ano (2005)
Vo
lu
m
e 
de
 c
hu
va
junho julho agosto setembro
113,6%
67,5%
87,5%
30,8%
57,9%
29,0%
83,3%
79,3%
–40,6%
–64,8%
–49,9%
A partir desse gráfico, é possível concluir que, em relação ao volume médio de chuva entre 1961 e 
1990 no mês de setembro, o volume de chuva desse mesmo mês em 2005 decresceu, aproximadamente,
A) 4,0%.
B) 4,8%.
C) 5,0%.
D) 5,2%.
E) 5,7%.
Questão 48. (ESCOLA SUPERIOR DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA, 2002) Em um aquário, há peixes 
amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitospeixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou‑se que 60% dos 
peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo‑se que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, 
o percentual de peixes amarelos que morreram foi de:
141
A) 20%. 
B) 25%. 
C) 37,5%. 
D) 62,5%. 
E) 75%.
Questão 49. (ESCOLA SUPERIOR DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA, 1996) De todos os empregados 
de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Essa empresa tem sua 
matriz localizada na capital. Possui, também, duas filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. 
Na matriz, trabalham 45% dos empregados e, na filial de Ouro Preto, trabalham 20% dos empregados. 
Sabendo‑se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos 
empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de 
Montes Claros que não optaram pelo curso é igual a:
A) 60%. 
B) 40%. 
C) 35%. 
D) 21%. 
E) 14%.
Questão 50. Num grupo de 800 pessoas, 60% são do sexo masculino. Se, nesse grupo, 10% dos 
homens são casados e 20% das mulheres são casadas, qual é o número de pessoas casadas? 
A) 85.
B) 96.
C) 112.
D) 140.
E) 320.
Questão 51. Bernardo, Alberto e Carlos são funcionários de uma empresa. Alberto ganha 20% a 
mais que Bernardo e Carlos ganha 10% a menos que Alberto. A soma do salário dos três, neste mês, foi 
de R$ 9.840,00. Qual é a quantia que coube a Alberto?
142
A) R$ 3.400,00. 
B) R$ 3.000,00. 
C) R$ 3.600,00.
D) R$ 3.200,00.
E) R$ 3.240,00.
Resolução dos exercícios
Questão 01
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
Alternativa A: verdadeira, pois, como x pertence a A, também irá pertencer à união de A com B.
Alternativa B: falsa, pois, na intersecção de A e B, ficaram apenas os elementos comuns aos dois 
conjuntos. Como x não pertence ao conjunto B, certamente não fará parte da intersecção de A e B.
Alternativa C: falsa, pois, ao fazer a diferença entre A e B, os elementos de A que não pertencem a B 
permaneceram. Como o elemento x encontra‑se exatamente nessa situação, irá pertencer ao conjunto 
da diferença entre A e B.
Alternativa D: falsa, pois, ao fazer a diferença entre B e A, permaneceram apenas os elementos que 
pertencem ao conjunto B. Como o elemento x não pertence ao conjunto B, certamente ele não fará 
parte do conjunto da diferença entre B e A.
Alternativa E: falsa, pois, na intersecção de B e A, ficaram apenas os elementos comuns aos dois conjuntos. 
Como x não pertence ao conjunto B, certamente ele não fará parte dessa intersecção e, ao fazer a diferença de A 
pela intersecção de B e A, o elemento x permanecerá no conjunto, já que não faz parte da intersecção de B e A.
Questão 02
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa:
Ao escrever a fração geratriz da dízima periódica 0,6666..., temos que: 
x = 0, 6666.... 
143
Multiplique ambos os lados da equação por 10: 10x = 6,666... 
Subtraia as equações: 
10x = 6,666...
‑ x = 0, 6666...
 9x = 6...
Isole o x:
x = =
6
9
2
3
Logo, x = =0 666
2
3
, ... .
Ao escrever a fração geratriz da dízima periódica 0,5222..., temos que:
x = 0, 5222... 
Multiplique ambos os lados da equação por 10: 10x = 5,222.... 
Multiplique novamente ambos os lados da equação por 10: 100x = 52,222....
Subtraia as equações:
100x = 52,222...
‑ 10x = 5,2222...
 90x = 47
Isole o x:
x =
47
90
Logo, x = =0 52222
47
90
, ... .
Questão 03
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa:
I. –64 ∈ N: é verdadeira, pois ‑64 ∉ Ζ.
144
II. 4
5
∈Q : é verdadeira.
III. 0,333 ... ∈ é verdadeira, pois 0,333 ... = ∈
1
3
Q .
IV. − ∉
15
11
Q é falsa pos − ∈
15
11
Q .
V. 1 9, ∈ Z: é falsa, pois 1 9, não é um número inteiro.
Questão 04
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
Para resolver esse exercício, utilize a ideia das operações de conjuntos: represente as operadoras 
A e B por dois conjuntos, desenhe o diagrama de Venn e insira nele os dados fornecidos, conforme a 
ilustração a seguir:
160 – 50
A
50430 – 50
B
U
x
Na ilustração, x é o número de usuários que não utilizam nenhuma das duas operadoras.
Para realizar o cálculo: x = 600 – 380 – 50 – 110 = 60. Veja o resultado:
110
A
50380
B
U
60
145
Questão 05
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
Para resolver esse exercício, utilize a ideia das operações de conjuntos: adote H para hambúrguer, D 
para hot dog e M para misto quente, desenhe o diagrama de Venn e insira nele os dados fornecidos no 
exercício, seguindo a ilustração a seguir:
H
50
40
D
U
20
30
M
10
20
20
10
H
50
40
D
U
20
30
M
10
20
20
10
H
120 – 10 – 
20 – 40
40
D
U
20
30
M
70 – 10 – 
20 – 30
110 – 20 – 
40 – 30
20
10
H
30 – 20
60 – 20
D
U
20
50 – 20
M
20
Com o diagrama completo, basta somar as quantidades que não pertencem aos conjuntos misto 
quente e hambúrguer, ou seja, some a quantidade de jovens que preferem apenas hot dog (10) e os que 
não preferem nenhum dos três sanduíches (20), o que totaliza 30 jovens.
Questão 06
Resposta correta: alternativa C.
146
Justificativa:
a2–2ab+b2 = (a – b)2 = (a – b) . (a – b)
Questão 07
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
4
5
7
3
1
2
4
5
2
3
− −



 + =
4
5
7
3
1
2
2
5
2
3
− −



 + =
4
5
7
3
5 4
10
2
3
−
−


 + =
4
5
7
3
1
10
2
3
−



 + =
4
5
7
30
2
3
− + =
24 7 20
30
37
30
1233
− +
= = , ...
Questão 08
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa:
Para calcular as raízes da equação, é necessário reescrevê‑la na estrutura geral, ax2 + bx + c = 0, o 
que garante que os valores das raízes sejam calculados corretamente.
2x2 – 2x + 1 = 4x – 3
2x2 – 2x – 4x + 1 + 3 = 0
147
2x2 – 6x + 4 = 0
Calculemos, portanto, as raízes:
1º passo: identificar os coeficientes: a = 2, b = ‑6, c = 4.
2º passo: calcular ∆ = b2 – 4ac e analisar o resultado:
∆ = (–6)2 –4 . 2 . 4 = 36 – 32 = 4
Como ∆ > 0, a equação admite duas raízes reais e diferentes.
3º passo: calcular as raízes:
x
b
a
’
.
=
− +
=
− −( ) +
=
+
= =
∆
2
6 4
2 2
6 2
4
8
4
2
x
b
a
"
.
=
− −
=
−( ) −
=
−
= =
∆
2
6 4
2 2
6 2
4
4
4
1
S = {1, 2}
Logo, as raízes da equação são 1 e 2.
Questão 09
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
Sejam x e y os dois números positivos em questão, assim:
• dado que a soma é 14, então x + y = 14; 
• dado que o produto é 48, então x.y = 48.
Há diversas formas de resolver esse exercício, mas uma maneira simples e bastante comum é eleger 
uma das equações e isolar uma das incógnitas. Em seguida, substitui‑se o valor encontrado na outra 
equação e, assim, será possível encontrar a solução do problema. Observe:
• isolando o x da equação x + y = 14, temos: x = 14 – y;
• substituindo na equação x.y = 48, temos: (14 – y).y = 48;
148
• resolvendo (14 – y).y = 48, vamos obter o valor de y: (14 – y).y = 48
 14y – y2 = 48
 14y – y2 – 48 = 0
Perceba que chegamos a uma equação do 2º grau.
Resolvendo a equação 14y – y2 – 48 = 0, temos:
1º passo: identificar os coeficientes: a = ‑1, b = 14, c = ‑48
Nessa etapa, tome cuidado para não errar os coeficientes. Veja que é o coeficiente a que acompanha 
y2, b que acompanha y e c é o termo independente.
2º passo: calcular ∆ = b2 – 4ac e analisar o resultado:
∆ = 142 – 4 . (–1) . (–48) = 196 – 192 = 4
Como ∆ > 0, a equação admiteduas raízes reais e diferentes.
3º passo: calcular as raízes:
x
b
a
’
.
=
− +
=
− +
−( ) =
− +
−
=
−
−
=
∆
2
14 4
2 1
14 2
2
12
2
6
x
b
a
"
.
=
− −
=
− −
−( ) =
− −
−
=
−
−
=
∆
2
14 4
2 1
14 2
2
16
2
8
S = {6,8}
Consequentemente, as raízes da equação são 6 e 8 e, assim, os valores são encontrados, veja: 
6 + 8 = 14 e 6.8 = 48.
Questão 10
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa: 
Adote x para o salário antes do aumento, assim, o valor do aumento será expresso por: 
valor de acréscimo: 30% de x = 0,3x
Desse modo, o salário antes do aumento somado ao valor de acréscimo será expresso pela equação: 
x + 0,3x = 3.000.
149
Resolvendo a equação, temos que:
x + 0,3x = 3.000
1,3x = 3.000 
x = =
3000
13,
2307,69
Portanto, o salário de Paulo antes do aumento era de R$ 2.307,69. 
Questão 11
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa: 
Igualando as funções p = 3x + 20 e p = 50 – x:
3x + 20 = 50 – x
3x + x = 50 – 20
4x = 30
x =
30
4
x = =
30
4
7 5,
Substituindo x em uma das funções, temos:
p = 50 – x
p = 50 – 7,5 = 42,5
Portanto, o ponto de cruzamento das funções é (7,5; 42,5).
Questão 12
Resposta correta: alternativa D.
150
Justificativa: 
Igualando as funções C(x) = R(x), temos:
360 + 0,3x = 1,2x
0,3x – 1,2x = – 360
–0,9x = 360
0,9x = 360
x = =
360
0 9
400
,
Substituindo x em uma das funções, temos:
R(x) = 1,2x
R(400) = 1,2 . 400 = 480
Logo, o ponto de nivelamento é (400; 480).
Questão 13
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa: 
Igualando as funções p = 10 + 0,2x e p = 30 – 1,8x, temos:
10 + 0,2x = 30 – 1,8x
10 – 30 = –1,8x – 0,2x
–20 = –2x
2x = 20
x = =
20
2
10
Substituindo x em uma das funções, temos também:
p = 10 + 0,2x
151
p = 10 + 0,2 . 10
p = 10 + 2 = 12
Desse modo, o ponto de intersecção é (10; 12).
Questão 14
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa: 
Para calcular a quantidade de acarajés que maximizará a receita, basta calcular a coordenada x do 
ponto de vértice da função:
R x x x( ) = − +1
20
9
2
2
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
,
x
b
av
= − = −
−
 
= −
−
 
= − −



 =2
9
2
2
1
20
9
2
2
20
9
2
20
2
9 20
2
.
.
.22
180
4
45= =
Assim, a quantidade de acarajés que precisam ser vendidos para maximizar a receita da barraca é 45. 
Questão 15
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
Reescreva as equações em forma de um sistema de equação:
p q
p q
p q
p q
= − +
= +
 ⇒
+ =
− =

3 36
4 1
3 36
4 1
152
Resolvendo o sistema pelo método de adição, temos:
1° passo: multiplique a primeira equação por (‑1):
− − = −
− =

p q
p q
3 36
4 1
2° passo: some as duas equações: 
–7q = –35
7q = 35
q = =
35
7
5
3° passo: retorne ao sistema original e, para encontrar p, substitua o valor de q por 5 em uma das 
equações:
p = 4q + 1
p = 4 . 5 + 1 = 20 + 1 = 21
4° passo: conclusão: q = 5 e p = 21.
A solução do sistema é o par ordenado (5;21) e, portanto, o ponto de equilíbrio é (5;21).
Questão 16
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
Adotando x para representar as calças e y para representar as camisas, temos o seguinte sistema:
2 3 290
3 225
x y
x y
+ =
+ =

Resolvendo o sistema pelo método de adição, temos:
1° passo: multiplique a segunda equação por (‑3):
153
2 3 290
9 3 675
x y
x y
+ =
− − =

2° passo: some as duas equações: 
–7x = –385
7x = 385
x = =
385
7
55
3° passo: retorne ao sistema original e, para encontrar y, substitua o valor de x por 55 em uma das 
equações:
3x + y = 225
3 . 55 + y = 225
165 + y = 225
y = 225 – 165 = 60
4° passo: conclusão: x = 55 e y = 60
A solução do sistema é o par ordenado (55;60) e, portanto, cada calça custou R$ 55,00 e cada camisa 
custou R$ 60,00.
Questão 17
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa:
 
2,5 quilos ⇒ R$ 38,00
15 quilos ⇒ x
Note que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim, transferindo a relação para a notação 
de razão, temos:
154
2 5
15
38
2 5 15 38
570
2 5
228
,
, .
,
=
=
= =
x
x
x
Logo, pagaremos R$ 228,00 em um bolo de 15 quilos feito por Maria.
Questão 18
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
 
96 m2 ⇒ R$ 1550,00
35 m2 ⇒ x
As grandezas expostas são diretamente proporcionais, assim, transferindo a relação para a notação 
de razão, temos:
96
35
1550
96 35 1550
54259
96
565 1
=
=
= =
x
x
x
.
,
Dessa forma, Joaquim pagará R$ 565,10 nos 35 m2 de piso.
Questão 19
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
 
7 balas por saquinho ⇒ 30 saquinhos
 x ⇒ 42 saquinhos
Como as grandezas são inversamente proporcionais, ao transferir a relação para a notação de razão, 
temos:
155
7 42
30
42 30 7
210
42
5
x
x
x
=
=
= =
.
Portanto, Ana Paula deve colocar 5 balas em cada saquinho.
Questão 20
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
 
3 piscinas ⇒
2 piscinas ⇒
11 horas ⇒
x ⇒
4 torneiras 
10 torneiras
Ao aumentarmos o número de torneiras, diminuímos o número de horas, portanto, torneiras e horas 
são grandezas inversamente proporcionais.
Porém, ao aumentarmos o número de piscinas, aumentamos o número de horas, logo, piscinas e 
horas são grandezas diretamente proporcionais.
Assim, temos que:
11 3
2
10
4
11 30
8
30 11 8
88
30
8 8
x
x
x
x
x
= ⋅
=
=
=
=
.
,
Desse modo, levaremos aproximadamente 3 horas para encher duas piscinas.
Questão 21
Resposta correta: alternativa E.
156
Justificativa:
 
20 operários
16 operários
⇒ 8 horas
⇒ 9 horas
⇒ x dias
⇒ 15 dias 
⇒ 300 m
⇒ 225 m
Note que:
• ao aumentarmos o número de operários, diminuímos o número de dias, portanto, operários e dias 
são grandezas inversamente proporcionais;
• ao diminuirmos o número de horas, aumentamos o número de dias, portanto, horas e dias são 
grandezas inversamente proporcionais;
• ao diminuirmos o número de metros, diminuímos o número de dias, portanto, metros e dias são 
grandezas diretamente proporcionais.
Assim, temos:
x
15
300
225
16
20
9
8
= ⋅ ⋅
x
15
43200
36000
=
x = ⋅15
43200
36000
x =
648000
36000
x = 18
Assim, a construção do muro de 300m levará 18 dias.
Questão 22
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
 
2 homens ⇒
4 homens ⇒
20 carrinhos ⇒
 x ⇒
10 dias 
3 dias
157
Perceba que, ao aumentarmos o número de homens, aumentamos o número de carrinhos, assim, 
homens e carrinhos são grandezas diretamente proporcionais. 
Com o aumento do número de dias, o número de carrinhos também aumenta, o que indica que 
temos igualmente grandezas diretamente proporcionais.
Desse modo, temos:
20 2
4
10
3x
= ⋅
20 20
12x
=
20x = 12 . 20
x x= ⇒ =
240
20
12
Serão montados 12 carrinhos em 3 dias. 
Questão 23
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
 
6 carvão ⇒
4 carvão ⇒
35 dias ⇒
 x ⇒
20 homens 
15 homens
Observe:
• ao diminuirmos o número de homens, aumentamos o número de dias, portanto, homens e dias 
são inversamente proporcionais;
• ao aumentarmos a quantidade de carvão, aumentamos o número de dias, portanto, carvão e dias 
são diretamente proporcionais.158
Assim, temos:
35 6
4
15
20
35 90
80
90 35 80
2800
90
3111
x
x
x
x
x
= ⋅
=
=
=
=
.
,
Consequentemente, serão necessários no mínimo 32 dias para que a extração seja feita.
Questão 24
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa:
 
6 horas/dia ⇒
4 horas/dia ⇒
3 dias ⇒
 x ⇒
50 páginas 
85 páginas
Assim:
• ao aumentarmos o número de horas por dia, diminuímos o número de dias, portanto, horas/dia e 
dias são grandezas inversamente proporcionais;
• ao aumentarmos o número de páginas, aumentamos o número de dias, portanto, páginas e dias 
são grandezas diretamente proporcionais.
Dessa forma, temos:
3 4
6
50
85
3 200
510
200 1530
1530
200
7 65
x
x
x
x
x
= ⋅
=
=
=
= ,
159
João levará no mínimo 8 dias para digitar as 85 páginas.
Questão 25
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
25
25
100
0 25% ,= =
desconto = 600 x 0,25 = 150
valor com desconto = 600 – 150 = 450
Outra forma de solucionar o problema seria:
fator multiplicativo = 1 – 0,25 = 0,75
valor com desconto = 600 x 0,75 = 450
Questão 26
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa:
valor de custo + lucro = preço de venda
preço de custo = 1000
lucro = preço de venda x 0,20
1000 + preço de venda x 0,20 = preço de venda
Substituindo o preço de venda por p, temos:
1000 + p . 0,20 = p
1000 = p – p . 0,20
1000 = p(1 – 0,20)
160
1000 = p(0,8)
1000
0 8,
= p
p = 1250
Questão 27
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa:
Para calcular o valor final da camisa:
50,00 . (1 – 0,15) =
50,00 . (0,85) = 42,5
Para calcular o valor final da calça: 
93,50 . (1 – 0,15) =
93,50 . (0,85) = 79,475
Para calcular o valor final dos vestidos: 
67 . (1 – 0,15) =
67 . (0,85) = 56,95
2 . 56,95 = 113,9
Pagaremos, portanto, R$ 42,50 pela camisa, R$ 79,47 pela calça e R$ 113,90 pelos vestidos.
Questão 28
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa:
1500 + 700 + 800 = 3000
161
1500
3000
0 50 50
700
3000
0 233 23 33
800
3000
0 2667 26 67
= =
= =
= =
, %
, , %
, , %
Questão 29
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
Por meio da regra de três, podemos calcular o antigo salário de Antônio:
1556 50 113 5
100
, , %
%
→
→x
x =
⋅
=
1556 50 100
113 5
137137
,
,
,
Ou, podemos calculá‑lo ainda por meio do fator multiplicativo:
salário antigo . (1 + 0,135) = salário novo
salário antigo . (1,135) = 1556,5
salário antigo =
1556 5
1135
,
,
salário antigo = 1371,37
Logo, o antigo salário de Antônio era R$ 1.371,37.
Para calcularmos o novo salário se o aumento tivesse sido de 17,5%, temos:
salário novo = salário antigo . (1 + 0,175)
salário novo = 1371,37 . (1,175)
salário novo = 1611,35
Portanto, se o aumento fosse de 17,5%, o novo salário de Antônio seria R$ 1.611,35.
Questão 30
Resposta correta: alternativa B.
162
Justificativa:
Primeiramente, precisamos organizar as fórmulas para resolver o problema:
Salário total = salário base + 5% sobre o salário base + 8% sobre o salário base = salário base + 
13% sobre o salário base
Salário líquido = salário total – 8,5% sobre o salário total
Em seguida, substituímos os valores nas fórmulas:
Salário total = salário base + 13% sobre o salário base
Salário total = salário base + 0,13.salário base
Salário total = salário base.(1,13)
Salário total = 1850.(1,13)
Salário total = 2090,5
Salário líquido = salário total – 8,5% sobre o salário total
Salário líquido = salário total – 0,085.salário total
Salário líquido = salário total.(1 – 0,085)
Salário líquido = salário total.(0,915)
Salário líquido = 2090,5.(0,915) = 1912,81
Desse modo, o salário líquido de João é R$ 1.912,81.
Questão 31
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa:
Inicialmente, devemos obter o valor que o cidadão em questão paga por cada kWh. Para isso:
200
500
0 4= ,
Assim, o valor do kWh era R$ 0,40.
No entanto, esse valor sofreu um aumento de 15%:
0,40.(1+0,15) = 0,40.(1,15) = 0,46
Além disso, com a queda do consumo em 15%, temos que:
163
500(1 – 0,15) = 500(0,85) = 425
Logo, o cidadão pagará 0,46. 425 = R$ 195,50 pelo consumo.
Questão 32
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
Adotando x para representar o salário, temos:
Salário após aumento total → x + 0,56x = 1,56x
No primeiro mês, o salário foi reajustado em 20%, portanto, após esse aumento, o salário ficou:
x + 0,20x = 1,20x
Para sabermos qual deve ser a porcentagem que devemos aplicar em 1,20x para chegarmos a 1,56x, 
devemos usar o esquema de taxa percentual de variação:
diferenca de valores
valor antigo
x x
x
x
x
=
−
= =
156 12
12
0 36
12
0 3
, ,
,
,
,
, == 30%
ç
Desse modo, para se chegar ao reajuste prometido no segundo mês, deve‑se aumentar o salário 
em 30%.
Para que o raciocínio fique mais claro, resolveremos o problema também com a aplicação das 
porcentagens em valores.
Assim, adote o valor 1000 para o salário antes do aumento, assim, seu valor após o aumento total 
deverá ser: 1000 + 56% de 1000 = 1000(1,56) = 1560.
No entanto, esse aumento foi fracionado em duas partes, sendo 20% no primeiro mês e o 
restante no segundo mês, portanto, o valor do salário no primeiro mês foi de: 1000 + 20% de 1000 
= 1000(1,20) = 1200.
Logo, faltam 360 reais para o salário chegar ao valor combinado. Para isso, basta aplicar 30% sobre 
o salário do segundo mês: 1200 + 30% de 1200 = 1200(1,30) = 1560.
Questão 33
Resposta correta: alternativa D.
164
Justificativa:
diferenca de valores
valor antigo
=
−
= =
178 45 152
152
26 45
152
0 174
, ,
, == 17 4, %
ç
Questão 34
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
Adotando x para representar a quantia de cada um dos amigos após a divisão, temos a seguinte 
igualdade:
3x = 270 + 450
3x = 720
x = =
720
3
240
Assim, Antônio tinha R$ 270,00 antes de doar uma parte a Carlos. Após a doação, ele ficou com R$ 
240,00, logo, doou R$ 30,00.
Ao calcular a porcentagem doada por Antônio em relação ao valor que possuía, temos que:
30
270
0 1111 1111= =, , %
A conclusão a que chegamos é que Antônio doou aproximadamente 11,11% do dinheiro que possuía.
Questão 35
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa:
y = y0 (1 + k)
x
y = 17000 (1 + 0,025)12
y = 17000 (1,025)12
y = 17000 . 1,345
y = 22865
O número de habitantes da cidade em questão será de aproximadamente 22.900.
165
Questão 36
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
y = y0 (1 + k)
x
80000 = 4000 (1 + k)10
80000
40000
1 10= +( )k
2 = (1 + k)10
2 1
2 1
2 1
2 1
10 1010
10
10
10
= +( )
= +
− =
= −
k
k
k
k
k = 1,071 – 1
k = 0,071 = 7,1%
Portanto, a taxa de crescimento anual dessa população será de aproximadamente 7,1% ao ano.
Questão 37
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa:
y = y0 (1 + k)
x
y = 800 (1 + 0,04)8
y = 800 (1,04)8 = 1094,86
O PIB daqui a 8 anos será de aproximadamente 1.095 bilhões de dólares.
Questão 38
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
y = y0 (1 + k)
x
y = 10000 (1 + 0,3)3
y = 10000 (1,3)3
y = 10000 . 2,197 = 21970
166
A empresa venderá aproximadamente 21.970 unidades de seu produto daqui a 3 anos.
Questão 39
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
y = y0 (1 + k)
x
y = 250000 (1 – 0,04)10
y = 250000 (0,96)10
y = 166.208,16
Logo, daqui a 10 anos o imóvel custará aproximadamente R$ 166.209,00.
Questão 40
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
y = y0 (1 + k)
x
Para a primeira década,temos:
y = 10000 (1 + 0,2)1
y = 10000 (1,2)1 = 12000
Para a segunda década, temos:
y = 12000 (1 + 0,12)1
y = 12000 (1,12)1 = 13440
Outra resolução possível para a questão é:
População inicial = 10.000
Com crescimento de 20%: pop = 10000 + 20% de 10000 = 10000 + 2000 = 12000
Com crescimento de 12%: pop = 12000 + 12% de 12000 = 12000 + 012.12000 = 12000 + 1440 = 13440.
Ou ainda simplesmente fazer 10000.1,2.1,12 = 13440.
167
Desse modo, a cidade terá 13440 habitantes em 1990.
Questão 41
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
Digamos que são x ações ao todo, ou seja:
• 76% das ações referem‑se ao reconhecimento de vínculo empregatício, assim: 76% de x = 0,76.x;
• o restante das ações, ou seja, 24%, não são referentes ao reconhecimento de vínculo empregatício, 
logo = 24% de x = 0,24.x;
• 20% das ações trabalhistas têm origem na indústria, ou seja, 20% de 0,76.x = 0,2.0,76.x = 0,152.x;
• 25% das ações trabalhistas têm origem no comércio, ou seja, 25% de 0,76.x = 0,25.0,76.x = 0,19.x; 
• as ações restantes, ou seja, 100% – (20% + 25%) = 100% – 20% – 25% = 55%, têm origem na 
área de serviços, o que significa 55% de 0,76.x = 0,55.0,76.x = 0,418.x.
Como essas ações restantes são equivalentes a 209 ações, logo:
0,418.x = 209
x = =
209
0 418
500
,
Na questão, foi perguntado o número de ações que não se referem a vínculo empregatício, ou seja, 
0,24.x = 0,24.500 = 120.
Portanto, 120 ações não se referem a vínculo empregatício.
Questão 42
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
49
49
100
% = , logo:
49
49
100
49
100
7
10
0 7% ,= = = = ou 70%
168
Observe que a fração 7
10
 pode ser multiplicada por 10, resultando em:
7 10
10 10
70
100
70
⋅
⋅
= = %
.
Questão 43
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa:
• 80% dos homens não são fumantes → 80% de 40 = 0,8.40 = 32 homens não fumantes;
• o restante dos homens, ou seja, 40 – 32 = 8, é fumante;
• 12% das mulheres são fumantes → 12% de 25 = 0,12.25 = 3 mulheres fumantes;
• o restante das mulheres não é fumante, ou seja, 25 – 3 = 22 mulheres não fumantes;
• o número de homens ou fumantes é 40 + 3 = 43.
Note que a palavra ou do enunciado nos remete à união de conjuntos, isto é, A ou B em matemática 
equivale a A ∪ B. Sendo assim, devemos unir o conjunto dos homens com o conjunto dos fumantes. 
Como existem homens fumantes, devemos tomar cuidado para não somar esse número duas vezes, 
por isso que ao total de homens foi somado apenas o número de mulheres fumantes, pois os homens 
fumantes já estão inseridos no total de homens.
No diagrama de Venn, podemos visualizar melhor essa situação:
3
homens
832
fumantes
Questão 44
Resposta correta: a alternativa A é verdadeira e a alternativa B é falsa.
Justificativa:
Alternativa A: suponha que o salário antes do aumento era igual a 100:
169
• com um aumento de 30%, seu salário passa a ser de 100 + 30% de 100 = 100 + 0,3.100 = 100 + 30 = 130;
• foi descontado 20% desse novo salário a título de impostos e taxas, logo, 20% de 130 = 0,2.130 = 26.
O desconto (26) tem relação com o salário inicial (100) e corresponde a quantos por cento deste? 
Ora, 26 = 26% de 100, logo, o valor descontado é superior a 25% do salário‑base anterior ao aumento. 
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Alternativa B: vamos considerar que, antes do aumento, o salário inicial era igual a x.
Com o aumento, ele passa a ser de x + 30% de x = x + 0,3.x = 1,3.x.
Sobre esse salário, incidem 20% de impostos e taxas, ou seja, 20% de 1,3.x = 0,2.1,3.x = 0,26.x.
O salário líquido será, então, de 1,3.x – 0,26.x = 1,04.x.
Esse salário líquido é depositado na aplicação financeira. Como foi depositado 2.000, temos:
1,04 . x = 2000
x = =
2000
1 04
1 923 08
,
. ,
Dessa forma, a afirmação de que o salário base era inferior a R$ 1.900,00 é falsa.
Questão 45
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
Vamos construir uma expressão matemática para o salário bruto do vendedor:
Salário bruto = parte fixa + parte variável
SB = PF + PV
PF = 2.300
PV = 3% do total de vendas que exceder a 10000.
Vamos chamar o total de vendas de V:
PV = 3% de (V – 10000)
170
PV = 0,03.(V – 10000)
PV = 0,03.V – 0,03.10000
PV = 0,03.V – 300
Substituindo na expressão do salário bruto, temos:
SB = 2300 + 0,03.V – 300
SB = 2000 + 0,03.V
Descontos: d = 10% de SB = 0,1.SB
d = 0,1.(2000 + 0,03.V)
d = 200 + 0,003.V
O salário líquido (SL) é o salário bruto (SB) menos os descontos (d):
SL = SB – d
SL = 2000 + 0,03.V – (200 + 0,003.V)
SL = 2000 + 0,03.V – 200 – 0,003.V
SL = 1800 + 0,027.V
No primeiro mês o vendedor recebeu R$ 4.500,00, logo:
4500 = 1800 + 0,027.V
4500 – 1800 = 0,027.V
2700 = 0,027.V
V = =
2700
0 027
100 000
,
.
No segundo mês, o vendedor recebeu R$ 5.310,00, logo:
5310 = 1800 + 0,027.V
5310 – 1800 = 0,027.V
3510 = 0,027.V
V = =
3510
0 027
130 000
,
.
Sendo assim, o total de vendas no segundo mês foi R$ 30.000,00 superior ao do primeiro mês, ou 
seja, 30% superior, visto que 30.000 é 30% de 100.000.
Questão 46
Resposta correta: a alternativa A é falsa; a alternativa B é verdadeira; a alternativa C é verdadeira; a 
alternativa C é verdadeira e a alternativa E é falsa.
171
Justificativa:
Alternativa A: o número de empresas que não decidiram aderir ao Simples corresponde a 22% de 
1312 = 0,22.1312 ≅ 289. Logo, a afirmação é falsa.
Alternativa B: o total de empresas que não podem aderir ao sistema corresponde a 17% e as que 
não pretendem fazê‑lo corresponde a 3% → total = 20%. Assim, 20% de 1312 ≅ 262. Logo, a afirmação 
é verdadeira.
Alternativa C: entre as empresas consultadas, todas já se decidiram pela adesão, exceto as que ainda 
não se decidiram, ou seja, 100% – 22% = 78%. Logo, a afirmação é verdadeira.
Alternativa D: todas as empresas podem aderir ao Simples, exceto as que não podem, ou seja, 
100% – 17% = 83% e 83% de 1312 ≅ 1089 empresas.
Total de empresas que ainda não se decidiram = 289 empresas (resultado da alternativa A):
289 = x% de 1089
289
100
1089
x
.
289 . 100 = x . 1089
28900
1089
26 5= =x , % → a afirmação é verdadeira.
Alternativa E: empresas que já aderiram ao sistema = 39%:
39% de x = 900000
39
100
900000⋅ =x
39 . x = 900000 . 100
x = =
90000000
39
2 307 692. . → a afirmação é falsa.
Questão 47
Resposta correta: alternativa B.
172
Justificativa:
83,3 – 79,3 = 4
4 é quantos % de 83,3?
4 = x% de 83,3
4
100
83 3
4 100 83 3
400
83 3
4 8
= ⋅
=
= =
x
x
x
,
. . ,
,
, %
Logo, o volume de chuva decresceu 4,8% no mês em questão.
Questão 48
Resposta correta: alternativa D.
Justificativa:
População inicial do aquário = x
Peixes amarelos = 80% de x = 0,8.x
Peixes vermelhos = 20% de x = 0,2.x
Depois da misteriosa doença:
Peixes amarelos = 0,8.x – k 
Peixes vermelhos = 0,2.x (nenhum peixe vermelho morreu)
População total depois da doença = 0,8.x – k + 0,2.x = x – k 
60% dessa população são de peixes amarelos, logo:
60% de (x – k) = 0,8.x – k
173
0,6.(x – k) = 0,8.x – k
0,6.x – 0,6.k = 0,8.x – k 
k – 0,6.k = 0,8.x – 0,6.x
0,4.k = 0,2.x
k x= ⋅
0 2
0 4
,
,
k = 0,5 . x
Logo, k, que é o número de peixes amarelos que morreram, é igual a 0,5.x.
A população inicial de peixes amarelos era de 0,8.x.
0,5.x é quantos % de 0,8.x?
Em outras palavras, 0,5 é quantos % de 0,8?
0,5 = y% de 0,8
0 5
100
0 8, ,= ⋅
y
0,5 . 100 = y . 0,8
50
0 8
62 5
,
, %= =y
Portanto, o percentual de peixes amarelos que morreram foi de 62,5%.
Questão 49
Resposta correta: alternativa A.
Justificativa:
Como o problema só oferece números relativos (porcentagens),podemos atribuir um número 
conveniente para começar a resolução. Dessa forma, digamos que a empresa tem 100 empregados, 
logo, 30% dos empregados vão fazer o curso, ou seja, 30 pessoas.
174
Na matriz, trabalham 45% dos empregados, isto é, 45% de 100 = 45 pessoas.
Em Ouro Preto, trabalham 20% dos empregados, isto é 20% de 100 = 20 pessoas.
Um total de 20% dos empregados da capital vai fazer o curso, ou seja, 20% de 45 = 9 pessoas. 
Um outro total, de 35% dos empregados de Ouro Preto, também vai fazer o curso, ou seja, 35% de 
20 = 7 pessoas.
Se são 30 pessoas que vão fazer o curso, então 30 – 9 – 7 = 14.
Em Montes Claros, 14 pessoas vão fazer o curso e a cidade tem 100% – 45% – 20% = 35% dos 
empregados, ou seja, 35 pessoas.
Desses 35, 14 vão fazer o curso e o restante (35 – 14 = 21) não vai fazê‑lo.
Assim, 21 é quantos % de 35?
21 = x% de 35
21
100
35
21 100 35
2100
35
60
= ⋅
=
= =
x
x
x
. .
%
Portanto, 60% dos empregados da filial de Montes Claros não optaram pelo curso.
Questão 50
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
• 60% de 800 = 0,6.800 = 480 homens;
• 40% de 800 = 0,4.800 = 320 mulheres;
• 10% dos homens são casados, logo:
— 10% de 480 = 0,1.480 = 48 homens casados.
175
• 20% das mulheres são casadas, logo:
— 20% de 320 = 0,2.320 = 64 mulheres casadas.
Total de pessoas casadas = 48 + 64 = 112 pessoas.
Questão 51
Resposta correta: alternativa C.
Justificativa:
Digamos que o salário de Bernardo é B, o salário de Alberto é A e o salário de Carlos é C.
Alberto ganha 20% a mais que Bernardo, portanto:
A = B + 20% de B = B + 0,2.B = 1,2.B
Carlos ganha 10% a menos que Alberto, portanto:
C = A – 10% de A = A – 0,1.A = 0,9.A
Mas A = 1,2.B, logo:
C = 0,9.1,2.B = 1,08.B
A soma dos três salários é 9.840, logo:
B + A + C = 9840
B + 1,2.B + 1,08.B = 9840
3,28.B = 9840
B = =
9840
3 28
3 000 00
,
. ,
Foi perguntado o salário de Alberto, assim:
A = 1,2.B = 1,2.3000 = 3.600,00.
176
REFERÊNCIAS DO APÊNDICE
Questão 12
IEZZI, G.; DOLCE, O. . 4 ed. São Paulo: Atual, 2006, p. 49.
Questão 14
IEZZI, G.; DOLCE, O. . 4 ed. São Paulo: Atual, 2006, p. 69.
Questão 31
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS. Concurso público para provimento de cargos para a área administrativa 
do . Questão 56. Disponível em: <http://www.domtotal.com/direito/concursos/provas/prova.
php?proId=7>. Acesso em: 16 nov. 2011.
Questão 32
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS. Concurso público do . Questão 23. Disponível em: <http://www.lfg.com.
br/concursos/TRT_SC_Caderno_105.pdf>. Acesso em: 16 nov. 2011.
Questão 34
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS. . Questão 47. 
Questão 40 
ESCOLA SUPERIOR DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). 
Questão 41
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS. Concurso público do . Questão 17. Disponível em: <http://www.
questoesdeconcursos.com.br/prova/arquivo_prova/43/Prova‑AA‑Tipo‑001.pdf>. Acesso em: 16 nov. 
2011.
Questão 43
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS. . Questão 28. 
Questão 44
CENTRO DE SELEÇÃO E DE PROMOÇÃO DE EVENTOS (CESPE). Questões 136 e 137. 
177
Questão 45
LOCIKS, J. : Agência Nacional de Telecomunicações – Técnico Administrativo – Matemática. Brasília: 
Vestcom, 2009, p. 13. Disponível em: <http://concursos.ig.com.br/ft/4390.pdf>. Acesso em: 16 nov. 
2011.
Questão 46
CENTRO DE SELEÇÃO E DE PROMOÇÃO DE EVENTOS (CESPE). Questões 136 e 137. 
Questão 49
ESCOLA SUPERIOR DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Questão 53.
178
179
180
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000