2- CÁLCULO-I-e-II

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Cálculo I e II 
 
 02 
 
 
 
1. Números Reais e Funções 5 
O conjunto dos números reais 5 
Propriedades operatórias dos números reais 6 
Funções 7 
Função polinomial 12 
Polinômio nulo 13 
Função Racional 13 
Função trigonométrica 13 
Função Exponencial 16 
Gráfico da função exponencial 16 
Função logarítmica 18 
 
2. Limites e Continuidade 21 
Limites 21 
Noção intuitiva de limite 21 
Propriedades do limite 22 
Limites laterais 23 
Limites infinitos 23 
Limites trigonométricos 25 
Limites exponenciais 26 
Funções contínuas 27 
 
3. A derivada 31 
Reta tangente e velocidade instantânea 31 
Coeficientes da reta 31 
Velocidade média 34 
Velocidade instantânea 34 
Definição de derivada 35 
Derivadas laterais e continuidade 35 
Derivadas laterais 35 
Continuidade 37 
Regras de derivação 38 
Regra da cadeia 39 
Derivadas de funções 40 
 
 3 
 
 
 
Derivada da função inversa 40 
Derivadas polinomiais 41 
Derivada exponencial 42 
Derivada logarítimica 43 
Derivada trigonométrica 43 
Derivada das funções trigonométricas inversas 46 
Acréscimos 47 
Diferencial 48 
Derivação implícita 48 
O teorema do valor médio 49 
Derivadas de ordem superior 50 
Taxas relacionadas 51 
 
4. Aplicações da Derivada 55 
Funções crescentes 55 
Funções decrescentes 55 
Máximos e mínimos 56 
Antiderivadas 57 
 
5. Referência Bibliográfica Erro! 
Indicador não definido. 
 
 
 04 
 
 
 
 
 
 5 
Cálculo I e IIi e ii 
1. Números Reais e Funções 
 
 
Fonte: Brasil Escola 
 
 
O conjunto dos números 
Reais 
 conjunto dos números reais é 
composto pela junção do 
conjunto dos números racionais e 
irracionais. Existem inúmeras 
propriedades dos números reais, o 
qual são prolongamentos das 
propriedades dos números 
racionais. As propriedades dos 
números reais estão diretamente 
ligadas a ordem dos números e oe o 
estudo da matemática básica 
praticada nos componentes desse 
conjunto. 
A descrição dos números reais, 
dependem das definições dos 
conjuntos de números racionais e 
irracionais, o qual estes, dependem 
dos números inteiros. As 
propriedades mais importantes 
relacionadas ao conjunto dos 
números reais são: 
 O conjunto dos números reais 
é um conjunto completo: 
podemos relacionar os 
números reais a uma reta 
numérica, onde é possível 
O 
 
 
6 
Cálculo I e IIi e ii 
verificar que para cada 
número real existe apenas 
uma representação na reta, 
onde não é admitido 
apresentar um número que 
não represente número real, 
desta forma, pode-se dizer que 
o conjunto dos números reais 
é completo. 
 O conjunto dos números reais 
é um conjunto ordenado: 
relacionando com a mesma 
reta numérica, podemos dizer 
que os números reais são 
ordenados, pois aqueles que 
estiverem à direita da reta é 
maior do que aqueles que 
estiverem à esquerda, e se 
acontecer de estarem no 
mesmo ponto, serão iguais. 
(MOREIRA,2020). 
 
Propriedades operatórias dos 
números reais 
 
 Serão usados como exemplo 
os números reais “a”, “b” e “c”. 
 Associatividade: 
 
1) a·(b·c) = (a·b)·c 
 
2) a + (b + c) = (a + b) + c 
 
Exemplos com valores 
a = 2 / b= 3 / c = 4 
 
1) 2.(3.4)= 24 
 
(2.3).4 = 24 
 
2) 2+(3+4)= 9 
 (2+3)+4 = 9 
 
 Comutatividade: 
 
1) a·b = b·a 
 
2) a + b = b + a 
 
Exemplos com valores 
a = 4/ b= 3 
 
1) 4.3= 12 
3.4= 12 
 
2) 4+3 = 7 
3+4= 7 
 
 Elemento neutro único para a 
soma e para a multiplicação: 
 
1) a + 0 = a 
 
2) a·1 = a 
 
Exemplos com valores 
a= 5 
 
1) 5+0 = 5 
2) 5.1 = 5 
 
 Elemento inverso único para a 
soma e para a multiplicação: 
 
1) a + (– a) = 0 
 
 
7 
Cálculo I e IIi e ii 
 
2) 
 
Exemplos com valores 
a= 6 
 
1) 6 + (– 6) = 0 
 
2) 6.1 = 1 
 6 
 
 Distributividade: 
 
1) a · (b + c) = a·b + a·c 
 
Exemplo com valor 
 a = 3 / b= 7 / c = 9 
 
1) 3.(7+9)= 48 
 
3.7 + 3.9 = 48 
 
Funções 
 
De acordo com Stewart (2013), 
as funções são peças fundamentais 
do cálculo e podem ser 
representadas de diferentes 
maneiras, como tabelas, gráficos, 
equações ou ate mesmo por meio de 
palavras. Geralmente o gráfico é a 
melhor de forma de representar uma 
função, por causa da transmissão de 
muita informação em um relance. 
As funções aparecem quando 
uma quantidade depende da outra, 
por exemplo: 
1) A área A de um círculo 
depende do seu raio r. A 
regra que conecta r e A é 
dada pela equação . 
A cada número r positivo 
está associado um único 
valor de A e dizemos que A 
é uma função de r. 
2) A população do mundo P 
depende do tempo t. A 
tabela mostra as 
estimativas da população 
mundial P(t) no momento t 
em certos anos. 
 
 
Fonte: Stewart 
 
P(1980) 4.450.000.000 
 
Porém, para cada valor do 
tempo t, existe um valor 
correspondente de P, e 
 
 
8 
Cálculo I e IIi e ii 
dizemos que P é uma 
função de t. 
 
3) O custo x de enviar uma 
encomenda pelo correio 
depende de seu peso y. 
Embora não haja uma 
fórmula simples 
relacionando y e x, o correio 
tem uma fórmula que 
permite calcular x quando y 
é dado. 
 
“Uma função f é uma lei que 
associa, a cada elemento x em 
um conjunto D, exatamente 
um elemento, chamado f(x), em 
um conjunto E”. 
 
Geralmente, funções para as 
quais D e E são consideradas 
conjuntos de números reais, o 
conjunto D é denominado domínio 
da função. O número representado 
por f(x), significa o valor de f em x e 
é lido como “f de x”. A imagem de f é 
o conjunto de todos os valores 
possíveis de f (x) obtidos quando x 
varia por todo o domínio. O símbolo 
que representa um número 
arbitrário no domínio de uma 
função f é denominado uma variável 
independente. Um símbolo que 
representa um número na imagem 
de f é denominado uma variável 
dependente. No Exemplo 1, a 
variável r é independente, enquanto 
A é dependente. 
Podemos então, assimilar uma 
função a uma máquina, se x estiver 
no domínio da função f, quando x 
adentrar na máquina, ele será aceito 
como entrada, e a máquina 
fornecerá uma saída f (x) conforme a 
lei que estabelece a função. Assim, 
podemos compreender o domínio 
como o conjunto de todas as 
entradas, enquanto a imagem é o 
conjunto de todas as possíveis 
saídas. 
Exemplo de máquina para a função 
f 
 
Fonte: Stewart 
 
Outra maneira de representar 
a função é como um diagrama de 
flechas, como mostra na figura a 
seguir. Cada flecha conecta um 
elemento de D com um elemento de 
E. A flecha indica que f(x) está 
associado a x, f(a) está associado a 
“a” e assim por diante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Cálculo I e IIi e ii 
Diagrama de flechas para f 
 
Fonte: Stewart 
 
A função é a relação entre dois 
ou mais conjuntos, estabelecida por 
uma lei de formação, isto é, uma 
regra geral. Os elementos de um 
grupo devem ser relacionados com 
os elementos do outro grupo, 
através dessa lei. A lei de formação 
que intitula uma determinada 
função possui três características 
básicas: domínio, contradomínio e 
imagem. Essas características 
podem ser representadas por um 
diagrama de flechas, isso facilitará o 
entendimento por parte do 
estudante. 
 Observe: Dada a seguinte 
função f(x) = x + 1, e os conjuntos 
A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). 
Vamos construir o diagrama de 
flechas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe o quadro. Nessa 
situação, temos que: 
 
A B 
x f(x) 
1 2 
2 3 
3 4 
4 5 
5 6 
 
 Domínio: representado por 
todos os elementos do 
conjunto A. (1, 2, 3, 4, 5) 
 
 Contradomínio: representado 
por todos os elementos do 
conjunto B. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 
 
 Imagem: representada pelos 
elementos do contradomínio 
(conjunto B) que possuem 
correspondência com o 
domínio (conjunto A).(2, 3, 4, 
5, 6) 
 
 
 
10 
Cálculo I e IIi e ii 
O conjunto domínio possui 
algumas características especiais 
que definem ou não uma 
função.Todos os elementos do 
conjunto domíniodevem possuir 
representação no conjunto do 
contradomínio. Caso isso não 
ocorra, a lei de formação não pode 
ser uma função.Observe: 
 
Função 
 
 
 
Não é uma função 
 
 
Restam elementos no 
conjunto domínio, que não foram 
associados ao conjunto imagem. 
 
Não é função 
 
 
 
Um único elemento do 
domínio não deve possuir duas 
imagens. 
 
 Função 
 
 
 
 Dois elementos diferentes do 
domínio podem possuir a mesma 
imagem. 
Exemplo 
 
 Vamos considerar o conjunto 
A formado pelos seguintes 
elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão 
possuir representação no conjunto B 
de acordo com a seguinte lei de 
formação y = x². 
 
 
 
Aplicada a lei de formação, 
temos os seguintes pares ordenados: 
{(–3, 9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 
16)}. Essa relação também pode ser 
representada com a utilização de 
diagramas de flechas, relacionando 
cada elemento do conjunto A com os 
elementos do conjunto B. Observe: 
 
 
11 
Cálculo I e IIi e ii 
 
 
 
 
No diagrama é possível 
observar com mais clareza que todos 
os elementos de A, estão ligados, a 
um elemento de B, então podemos 
dizer que essa relação é uma função. 
Dessa forma o domínio é dado pelos 
elementos do conjunto A, e a 
imagem, pelos elementos do 
conjunto B. 
Geralmente o método mais 
utilizado para visualizar uma função 
é atraves de seu gráfico. Se “f” for 
uma função com domínio D, então 
seu gráfico será o conjunto de pares 
ordenados. 
 
 
O gráfico de “f” consiste de 
todos os pontos (x, y) no plano 
coordenado tais que y= f(x) e x está 
no domínio de f. O gráfico de uma 
função f nos fornece uma imagem 
útil do comportamento ou 
“histórico” da função. Uma vez que a 
coordenada y de qualquer ponto (x, 
y) sobre o gráfico é y= f(x), podemos 
ler o valor f(x) como a altura do 
ponto no gráfico acima de x. 
 
 
Fonte: Stewart 
 
O gráfico de f também nos 
permite visualizar o domínio de f 
sobre o eixo x e a imagem sobre o 
eixo y. 
 
Fonte: Stewart 
 
Exemplo: para o gráfico de 
uma função “f”a seguir. 
a) Encontre os valores de f(1) e f(5). 
b) Quais são o domínio e a imagem 
de f? 
 
 
12 
Cálculo I e IIi e ii 
 
 
Fonte: Stewart 
 
a) Vemos na Figura 6 que o 
ponto (1, 3) encontra-se no gráfico 
de f, então, o valor de f em 1 é f(1)=3 
. (Em outras palavras, o ponto no 
gráfico que se encontra acima de x = 
1 está 3 unidades acima do eixo x.) 
Quando x = 5, o ponto no gráfico que 
corresponde a esse valor está 0,7 
unidade abaixo do eixo x e 
estimamos que f(5) -0,7 . 
(b) Vemos que f(x) está 
definida quando , logo, o 
domínio de f é o intervalo fechado 
[0, 7]. Observe que os valores de f 
variam de -2 a 4, assim, a imagem de 
f é. 
 
 
Função polinomial 
 
Toda função na forma
 é considerada uma função 
polinomial, onde p(x) está em 
função do valor de x. A cada valor 
atribuído a x existe um valor em y, 
pois x: domínio da função e y: 
imagem. O grau de um polinômio é 
expresso através do maior expoente 
natural entre os monômios que o 
formam. Veja: 
g(x) = 4x³ + 10x² – 5x + 2: 
polinômio grau 3. 
 
f(x) = -9x² + 12x – 6: 
polinômio grau 2. 
 
h(x) = -3x+ 6: 
 polinômio grau 1. 
 
Em uma função polinomial, à 
medida que os valores de x são 
atribuídos descobrimos os 
respectivos valores em y [p(x)], vão 
construindo o par ordenado (x,y) 
usado nas representações gráficas 
no plano cartesiano. Observe: 
Dada a função polinomial p(x) 
= 2x³ + 2x² – 5x + 1. Determine os 
pares ordenados: 
 
 Quando x=0. 
 
p(x) = 2x³ + 2x² – 5x + 1 
p(0) = 2.0³ + 2.0² – 5.0 + 1 
p(0) = 0 + 0 – 0 + 1 
p(0) = 1 
par ordenado (0,1). 
 
 Quando x = 1 
 
p(1) = 2.1³ + 2.1² – 5.1 + 1 
 
 
13 
Cálculo I e IIi e ii 
p(1) = 2 + 2 – 5 + 1 
p(1) = 0 
par ordenado (1,0) 
 
 Quando x = 2 
 
p(2) = 2.2³ + 2.2² – 5.2 + 1 
p(2) = 2.8 + 2.4 – 10 + 1 
 p(2) = 16 + 8 – 10 + 1 
p(2) = 15 
par ordenado (2,15) 
 
Polinômio nulo 
 
Um polinômio é nulo quando todos 
os seus coeficientes forem iguais a 
zero. P(x) = 0. 
 
Função Racional 
 
Uma função racional f é a 
razão de dois polinômios: 
 
Onde P e Q são polinômios. O 
domínio consiste em todos os 
valores de x tais que . Um 
exemplo simples de uma função 
racional é a função f(x)= 1/x, cujo 
domínio é . 
 
Exemplos: 
 
E uma função racional, pois tem dois 
polinômios 
 
 
Não é uma função racional, pois a 
variável x está dentro de um radical. 
 
 
 
E uma função racional, pois tem dois 
polinômios e a variável x não está 
dentro do radical 
 
 
Não é uma função racional, pois não 
é dada pelo quociente de dois 
polinômios, a variável x está dentro 
de um radical. 
 
Função trigonométrica 
 
As funções podem ser 
periódicas, e são funções que 
possuem um comportamento 
periódico. Ou seja, que ocorrem em 
determinados intervalos de tempo. 
As funções trigonométricas são 
exemplos de funções periódicas 
visto que apresentam certos 
fenômenos periódicos. 
São também denominadas 
funções circulares, e tem relação 
com as voltas no ciclo 
trigonométrico. 
Em cálculo, convenciona-se 
dar a medida de ângulos em 
radianos (exceto quando 
 
 
14 
Cálculo I e IIi e ii 
explicitamente mencionado). Por 
exemplo, quando utilizamos a 
função f(x)= senx, entende-se que x 
seja o seno de um ângulo cuja 
medida em radianos é x. 
No círculo trigonométrico 
cada número real está associado a 
um ponto. 
 
Círculo trigonométrico e ângulos 
representados em graus e radianos 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
 
As principais funções 
trigonométricas são: 
 Função seno: É uma função 
f: R→R que associa a cada número 
real x o seu seno, então, f(x) = senx. 
O sinal da função f(x) = senx é 
positivo no 1º e 2º quadrante, e é 
negativo quando x pertence ao 3º e 
4º quadrante. 
 
 
 
 
 
 O domínio e o 
contradomínio da função seno são 
iguais a R. Ou seja, ela está definida 
para todos os valores reais: 
Dom(sen)=R. Já o conjunto da 
imagem da função seno corresponde 
ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 
1. 
 
 
 
Fonte: Matematica Basica 
 
Em relação à simetria, a 
função seno é uma função ímpar: 
sen(-x) = -sen(x). 
 
Exemplo: sabendo que 𝜋/6 = 
30º e seno de 30º= 
1
2
 então: 
sen (−
𝜋
6
)= - 
1
2
 = -sen
𝜋
6
 
 
 
 
15 
Cálculo I e IIi e ii 
Função cosseno: É uma 
função f: R → R que associa a cada 
número real x o seu cosseno, então 
f(x) = cosx. O sinal da função f(x) = 
cosx é positivo no 1º e 4º quadrante, 
e é negativo quando x pertence ao 2º 
e 3º quadrante. 
 
 
O domínio e o contradomínio 
da função cosseno são iguais a R. Ou 
seja, ela está definida para todos os 
valores reais: Dom(cos)=R. Já o 
conjunto da imagem da função 
cosseno corresponde ao intervalo 
real [-1, 1]: -1 < cos x < 1. 
 
Fonte: Matematica Basica 
 
Em relação à simetria, a 
função cosseno é uma função par: 
cos(-x) = cos(x). 
Exemplo: sabendo que π/6 = 
30º e cosseno de 30º= 
√3
2
 então: 
Cosseno (- 
𝜋 
6
 )= 
√3
2
 
 
Função tangente: É uma 
função f: R → R que associa a cada 
número real x a sua tangente, então 
f(x) = tgx. O sinal da função tangente 
é positivo quando x pertence ao 
primeiro e terceiro quadrantes. Já 
no segundo e quarto quadrantes, o 
sinal é negativo. 
 
 
O domínio da função tangente é: 
Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; 
K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se 
x = π/2 + kπ. Já o conjunto da 
imagem da função tangente 
corresponde a R, ou seja, o conjunto 
dos números reais. Em relação à 
simetria, a função tangente é uma 
função ímpar: tg(-x) = -tg(-x). 
Exemplo: sabendo que 
𝜋
3
 = 60° 
e que a tg 60º = √3 então: 
 
Tg(- 
𝜋
3
) = - √3 
 
 
16 
Cálculo I e IIi e ii 
 
Função Exponencial 
 
E aquela cujo a variável está no 
expoente e a base é sempre maior 
que 0 e ≠ de 1. Essas restrições sãonecessárias, pois 1 elevado a 
qualquer número resulta em 1. 
Dessa forma, em vez de exponencial, 
estaríamos diante de uma função 
constante. Além disso, a base não 
pode ser negativa, nem igual a 0, 
pois para alguns expoentes a função 
não estaria definida. 
Exemplo: a base igual a - 3 e o 
expoente igual a 1/2. Como no 
conjunto dos números reais não 
existe √ de número negativo, não 
existiria imagem da função para esse 
valor. 
A função f(x)=2𝑥 é chamada de 
função exponencial, pois a variável x 
é o expoente. Ela não pode ser 
confundida com a função potência 
g(x)=𝑥2 , na qual a variável é a base. 
Uma função exponencial é 
uma função do tipo f(x)=𝑏𝑥, onde b 
é a base. 
b>0 
b ≠1 
 
Exemplo: 
f(x) = 7𝑥 
f(x) =( 0,4)𝑥 
 
 
 
 
Gráfico da função 
exponencial 
 
Na função exponencial a base 
é sempre maior que zero, portanto, a 
função terá sempre imagem 
positiva. Assim sendo, não 
apresenta pontos nos quadrantes III 
e IV, que representa uma imagem 
negativa. A curva exponencial não 
toca no eixo x. 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
 A função exponencial pode 
ser crescente ou descrescente. 
 Crescente: quando a base for 
>1. 
Exemplo 
 Vamos atribuir valores para y 
= 2𝑥 e encontrar sua imagem. 
 
 
 
17 
Cálculo I e IIi e ii 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
Atribuído valores para x, nota-se 
que quando aumenta o valor a 
imagem também aumenta, então a 
função é crescente. Veja a 
representação no gráfico. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
 Decrescente: quando a base é 
0 < 𝑏 > 1. 
 
Exemplo: vamos atribuir 
valores a f(x) = (
1
2
)𝑥 e 
encontrar sua imagem. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
Atribuído valores para x, nota-
se que quando aumenta o 
valor a imagem reduz, então a 
função é decrescente. Veja a 
representação no gráfico. 
 
 
 Fonte: Toda Matéria 
 
 
 
18 
Cálculo I e IIi e ii 
 
Exercícios resolvidos 
A) 2𝑥= 32 
Sabendo que 32= 25 temos, 
 2𝑥=32 
 2𝑥= 25 
 X=5 
 
B) 2𝑥=1 
Sabendo que 1= 20 temos, 
 2𝑥=1 
 2𝑥= 20 
 X=0 
 
C) (
1
3
)𝑥=81 
Sabendo que 81= 34 temos, 
(
1
3
)𝑥 = 81 
 3−𝑥 = 34 
 -x = 4 (-1) 
 X=-4 
 
Função logarítmica 
 
Toda função definida pela lei 
de formação f(x) = log𝒶X, com a ≠ 1 
e a > 0 é denominada função 
logarítmica de base 𝒶. Nesse tipo de 
função o domínio é representado 
pelo conjunto dos números reais 
maiores que zero e o contradomínio, 
o conjunto dos reais. 
Exemplos de funções logarítmicas: 
f(x) = log2 𝑥 
f(x) = log3 𝑥 
f(x) = log10 𝑥 
f(x) = log1/3 𝑥 
 
A função logarítmica é a inversa da 
função exponencial. 
 
log𝑏 𝑎 =x ⇔ a= 𝑏
𝑥 
 
 Sendo o logaritmo de um 
número definido como o expoente 
ao qual se deve elevar a base a para 
obter o número x, ou seja, y = 
log𝜕 𝑥⇔ 𝜕
𝑦 = x. Assim, conhecendo 
o gráfico da função exponencial de 
mesma base, por simetria podemos 
construir o gráfico da função 
logarítmica. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
Analisando o gráfico, é 
possível perceber que a função 
exponencial cresce rapidamente, a 
função logarítmica cresce 
lentamente. 
 
Exercícios resolvidos 
A) log2 32 
Sabendo que 32=25 temos, 
 log2 32=x 
 
 
19 
Cálculo I e IIi e ii 
32= 2𝑥 
 25 = 2𝑥 
 5=x 
 X=5 
 
B) log3 81 
Sabendo que 81= 34 temos, 
 log3 81 = x 
 81=3𝑥 
 34 = 3𝑥 
 4=x 
 X=4 
 
C) log1/2 32 
Sabendo que 32= 25 temos, 
log1/2 32 = x 
32= 1/2𝑥 
25= 2−𝑥 
5=-x (-1) 
X=-5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
Cálculo I e II 
2. Limites e Continuidade 
 
 
 
 Fonte: freepik 
 
Limites 
 
 
 definição de limite é utilizada 
com objetivo de expor o 
comportamento de uma função nos 
momentos em que se aproxima de 
determinados valores. O limite de 
uma função possui grande 
importância no cálculo diferencial e 
em outros ramos da matemática. 
Dizemos que uma função f(x) 
tem um limite A quando x → a (→: 
ler-se tende). 
 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =A 
 
 
 
 
 
Noção intuitiva de limite 
 
Seja a função f(x)=2x+1. 
Vamos dar valores a x que se 
aproximem de 1, pela esquerda 
(valores menores que 1) e calcular o 
valor correspondente de y: 
 
 
A 
 
 22 
Cálculo I e II 
Pela sua direita (valores 
maiores que 1) e calcular o valor 
correspondente de y: 
 
 
 
Notamos que à medida que x 
se aproxima de 1, y se aproxima de 3, 
ou seja, quando x tende para 1, y 
tende para 3. O limite da função é 3. 
 
lim
𝑥→1
(2𝑥 + 1) = 3 
 
Outro exemplo de limite é 
quando x se aproxima de 3cm. A 
área ( 𝑥2) se aproxima de 9cm² 
como um limite. Então temos, 
 
 lim
𝑥→3
𝑥² = 9 
 
Onde a notação (x→ 3) indica 
que x tende a 3 e “lim” significa “o 
limite de”. 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do limite 
 
 O limite da soma é a soma dos 
limites. 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 O limite do produto de duas 
ou mais funções de mesma 
variável deve ser igual a 
multiplicação de seus limites. 
 
 
 
 Exemplo: 
lim
𝑥→𝜋
[3𝑥3. 𝑐𝑜𝑠𝑥] = 
 
lim
𝑥→𝜋
3𝑥3. Lim
𝑥→𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
 
3𝜋3.cosπ = 
 
 3𝜋3.(-1) = 
 
-3π³ 
 
 O limite do quociente é o 
quociente dos limites desde 
que o denominador não seja 
zero. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 23 
Cálculo I e II 
 O limite da raiz positiva de 
uma função é igual à mesma 
raiz do limite da função, 
lembrando que esta raiz 
precisa ser real. 
 
 
 Exemplo: 
 
 
Limites laterais 
 
Se x se aproxima de “a” através 
de valores maiores que “a’ ou pela 
sua direita, esse limite é chamado de 
limite lateral à direita de a. 
Escrevemos: 
 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)=b 
 
Se x se aproxima de “a” através 
de valores menores que “a” ou pela 
sua esquerda, esse limite é chamado 
de limite lateral à esquerda de a. 
Escrevemos: 
 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)=c 
 
Exercicios resolvidos 
 
A) Seja f(x)= 𝑥2-1 se x<2 
 x-1 se x>2 
 1 se x=2 
 
 Determine os limites. 
 𝐴) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥), 
 
 𝐵) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) 
 
C) lim
𝑥=2
𝑓(𝑥) 
 
Solução: 
 
A) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑥2 − 1 = 
 
22-1 = 3 
 
B) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑥 − 1 = 
 
 2-1 = 1 
 
C) lim
𝑥=2
𝑓(𝑥) = ∄ (não existe) 
 
Limites infinitos 
 
A expressão x→ +∞ (ler-se 
que x tende para o infinito) significa 
que x assume valores superiores a 
qualquer número real e x→ −∞ 
(ler-se que x tende para menos 
infinito), da mesma forma, indica 
que x assume valores menores que 
qualquer número real. 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
Cálculo I e II 
Vamos analisar o gráfico a 
seguir. 
 
 
 
a) lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0 ou seja, à medida 
que x aumenta, y tende 
para zero e o limite é zero. 
b) lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0 ou seja, à 
medida que x diminui, y 
tende para zero e o limite é 
zero. 
c) lim
𝑥→+0
1
𝑥
= ∞ ou seja, quando 
x se aproxima de zero pela 
direita de zero (x→ 0+) ou 
por valores maiores que 
zero, y tende para o infinito 
e o limite é infinito. 
d) lim
𝑥→−0
1
𝑥
= −∞ ou seja, 
quando x tende para zero 
pela esquerda (x→ 0 −) ou 
por valores menores que 
zero, y tende para menos 
infinito 
Se 𝜂 é um número inteiro 
positivo, então temos: 
lim
𝑥→±∞
1
𝑥
𝜂 = 0 
E sendo constante K, 
temos: 
lim
𝑥→±∞
𝑘 = 𝑘 
 
Exemplos: 
A) lim
𝑥→+∞
(3 +
1
𝑥
) = lim
𝑥→+∞
3 + 
 
lim
𝑥→+∞
1
𝑥
= 3+0 = 3 
 
B) lim
𝑥→−∞
(
𝜋√2
𝑥3
) = 
lim
𝑥→−∞
𝜋√2.
1
𝑥3
= 
lim
𝑥→−∞
𝜋√2 . lim
𝑥→−∞
1
𝑥3
= 
 
π√2 . 0 = 0 No Limite de uma função 
polinomial quando 𝑥 → ±∞ 
podemos dividir o numerador 
e o denominador, pela maior 
potência de x do 
denominador. 
 
Exemplos: 
A) Quando o numerador e 
denominador possuem o 
mesmo grau. 
 
 lim
𝑥→+∞
(
3𝑥2+5−3
2𝑥2+1
)
.
= 
 
 lim
𝑥→+∞
(
3+
5
𝑥
− 
𝑥
𝑥2
2+
1
𝑥2
) = . 
3+0−0
2+0
= 
3
2
 
 
Neste exemplo, divide todo o 
numerador e denominador por x². 
Observação: 
5𝑥
𝑥²
 = 
5𝑥 
𝑥.𝑥
 = 
5
𝑥
 
 
 25 
Cálculo I e II 
B) Quando o numerador possui 
grau menor que o 
denominador. 
 
 lim
𝑥→−∞
(
2𝑥+3
2𝑥3−2
)
.
 = 
 
 lim
𝑥→−∞
(
2
𝑥3
+
3
𝑥3
3−
2
𝑥3
)
.
 = 
0+0
3−0
 = 
0
3
 = 0 
 
Neste exemplo, divide todo o 
numerador e denominador por x³. 
 
C) Quando o numerador possui 
grau maior que o 
denominador. 
 
 lim
𝑥→−∞
(
2𝑥2+4𝑥−5
3𝑥+4
)
.
 = 
 lim
𝑥→−∞
(
2𝑥+4−
5
𝑥
3+
4
𝑥
)
.
=
−∞+4−0
3+0
= 
 
 
−∞
3
 = -∞ 
Neste exemplo, divide todo o 
numerador e denominador por x 
 
Observação: no cálculo de 
limites no infinito de funções 
polinomial, podemos considerar 
apenas o limite no infinito do 
quociente entre os termos de maior 
grau tanto do numerador como do 
denominador. 
Exemplo: 
lim
𝑥→+∞
(
3𝑥5−2𝑥2+5𝑥−1
2𝑥7+5𝑥³−2𝑥²
)
.
= 
 lim
𝑥→+∞
(
3𝑥5 
2𝑥7
)
.
= 
lim
𝑥→+∞
(
3
𝑥2
2
)
.
 = 
0
2
 = 0 
 
Exercícios resolvidos 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
Limites trigonométricos 
 
lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
)
.
= 1 
 
Obs: Usa x em radianos. Para 
demonstrar que o valor é =1 
analisaremos o gráfico. 
 
 
 Para x→ +0 , temos : 
sen x < x < tg x. 
 
 
 26 
Cálculo I e II 
 Dividindo a dupla 
desigualdade por sen x > 0, 
temos: 
sen x < x < tg x. 
 1 < 
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 < 
𝑡𝑔 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 = 
 
 1 <
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 < 
1
cos 𝑥
 
 
Obs : como sabemos tg x = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 
então 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 . 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 = 
1
cos 𝑥
 
 
 Invertendo temos: 
1> 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑥
 > cos x 
 
 Porém lim
𝑥→0
1 = lim
𝑥→0
cos = 1 
 
 Adotando as letras g, f e h. 
g(x) < f(x) < h(x) são funções 
contínuas. 
 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝑏. Como f(x) 
encontra-se entre g(x) e h(x) ou seja, 
entre 1 e 1 , então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏. 
Logo, lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
)
.
= 1 
 
Exercício resolvido 
 
1) Determine o limite 
lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
8𝑥
)
.
= 
 
 lim
 𝑥→0
(
3
8
 .𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3
8
 .8𝑥
)
.
= 
 
 lim
 𝑥→0
(
3
8
 .𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3.𝑥
)
.
= 
 
lim
𝑥→0
3
8
 . lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3𝑥
) .= 
3
8
 .1 = 
3
8
 
 
Limites exponenciais 
 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
 
 
Neste caso, “e” representa a 
base dos logaritmos naturais.Trata-
se do número irracional e cujo valor 
aproximado é 2,7182818. 
Veja a tabela com valores de x 
e de 
 
 
Notamos que à medida que 
 
 
Exemplo: 
Demonstre que lim
𝑥→+0
(1 + 𝑥)1/𝑥 = e 
 
Trocamos a variável x por x=
1
𝑡
 
X= 
1
𝑡
 {x → +0 
 { t → +∞ 
 
Então; 
lim
𝑡→+∞
(1 +
1
𝑡
)
1
1
𝑡
 
 = lim
𝑡→+∞
(1 +
1
𝑡
)
𝑡
= e 
 
 
 
 27 
Cálculo I e II 
Nota-se que o 
lim
𝑡→+∞
(1 +
1
𝑡
)
𝑡
 = lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
 
 
Desta forma os dois são iguais a “e’. 
 
Funções contínuas 
 
As funções contínuas estão 
vigorosamente vinculadas com os 
limites, pois quando se quer saber se 
uma função é contínua deve-se 
analisar também a existência do 
limite. 
Podemos afirmar, de maneira 
grosseira que uma função é contínua 
quando conseguimos desenhar seu 
gráfico sem tirar o lápis do papel, ou 
seja, de maneira interrupta. Ou 
ainda, quando o gráfico da função 
não possui quebras ou saltos em 
todo seu domínio. 
Para uma função f(x) ser 
contínua em x=a se as devidas 
condições forem satisfeitas. 
 f(a) está definida 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existir 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = f(a) 
 
Caso falhar qualquer uma 
destas condições, a função f(x) é dita 
descontínua em x = a . 
 
Exemplos 
A) Determine se f(x) é contínua 
em x = 1, onde: 
 
 
 
 
 
A função está definida f(1)=1 . 
Fazendo a análise do limite temos: 
 
lim
𝑥→1
(
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
)
.
= 
0
0
 
 
Desta forma, calculamos: 
 
lim
𝑥→1
(
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
)
.
= 
 
 lim
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 2 
 
Devemos então conferir se 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = f(a). 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2 ≠ 1 = f(1) então 
f(x) é descontínua em x=1. 
Podemos observar essa 
descontinuidade no gráfico a seguir. 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
 28 
Cálculo I e II 
 
 
B) Determine se f(x) é contínua 
em x= 1, onde: 
 
 
A função está definida em x= -1, pois 
f(-1) = (-1)²- (-1)-2 
f(-1) = 1+1-2 = 0 
 
Vamos calcular os limites laterais, 
pois são funções diferentes. 
 Pela direita 
 
lim
𝑥→1+
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
 
 Pela esquerda 
 
lim
𝑥→1−
𝑥 + 1 = 0 
 
O limite existe pois, os limites 
laterais são iguais. 
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 0 
 
Então, deve-se analisar se a função 
em x=-1 é igual ao limite neste 
mesmo ponto. 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1) = 0 
 
Conclui-se que f(x) é contínua em 
x=-1. Vamos observar essa 
continuidade no seguinte gráfico. 
 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Verifique se a seguinte função 
é contínua em x=1. 
 
 
Primeiramente temos: 
f (x)= 2-x 
f(1) = 2-1 = 1 
 
Calculando os limites laterais, se o 
limite existir e for igual a f(1) = 1, 
então f(x) será contínua em x = 1. 
 Pela direita 
 lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(
𝑥2+𝑥−2
𝑥−1
) = . 
 
lim
𝑥→1+
(
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
)
.
= 
 
lim
𝑥→1+
(𝑥 + 2) = 3 
 
 
 29 
Cálculo I e II 
 Pela esquerda 
 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(2 − 𝑥) = 1 
 
Neste exercício 1 podemos concluir 
que os limites laterais são diferentes, 
então f(x) não é contínua em x=1. 
 
2) Verifique se a seguinte função 
é contínua em x=1. 
 
 
Primeiramente temos: 
 
f (x)= x + 2 
f(1) = 1+2 = 3 
 
Calculando os limites laterais, se o 
limite existir e for igual a f(1) = 3, 
então f(x) será contínua em x = 1. 
 Pela direita 
 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(
𝑥2+𝑥−2
𝑥−1
) =. 
 
lim
𝑥→1+
(
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
)
.
= 
 
lim
𝑥→1+
(𝑥 + 2) = 3 
 
 Pela esquerda 
 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(𝑥 + 2) = 3 
 
 
 
Neste exercício 2 podemos 
concluir que os limites laterais são 
iguais, então f(x) é contínua em x=1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 Cálculo I e II 
3. A derivada 
 
 
Fonte: Perseus 
 
Reta tangente e 
velocidade instantânea 
 
método de encontrar a reta 
tangente a uma curva e o 
método de encontrar a velocidade de 
um objeto, implicam em determinar 
um tipo de limite. Este tipo especial 
de limite é chamado de derivada e 
veremos que ele pode ser 
interpretado como uma taxa de 
variação tanto nas ciências quanto 
na engenharia. Para entender o 
conceito de derivada, primeirame-
nte você precisa saber o que é uma 
reta tangente. 
 
 
 
 
Coeficientes da reta 
 
 Coeficiente angular: está 
diretamente relacionado com 
a inclinação de uma reta ou 
com a inclinação de um 
segmento de reta. 
 
Exemplo: 
 
Sejam A( X1, Y1) e B(X2,Y2) 
dois pontos distintos no plano 
cartesiano. Então o coeficiente 
angular 𝓂 do segmento de 
reta 𝐴𝐵 é dado por: 
 
𝓂 = 
𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
= 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= tg 𝜃 
 
 
O 
 
 32 
 Cálculo I e II 
 
Fonte: Brasil Escola 
 
Sendo o coeficiente angular a 
variação na vertical (eixo y) pela 
variação na horizontal (eixo x) dainclinação de uma reta ou de um 
segmento de reta, vamos verificar no 
gráfico a seguir. 
 
 
Fonte: Brasil Escola 
 
Completando o segmento de reta 
com um triângulo retângulo e 
colocando um ponto C para melhor 
visualização, temos na vertical 𝐵𝐶 a 
variação no eixo y do segmento de 
reta, sendo representada por ∆𝑦 e na 
horizontal 𝐴𝐶 a variação no eixo x, 
sendo representada por ∆𝑥 .Desta 
forma : 
 
∆𝑦 = Yb – Ya 
∆𝑥 = Xb – Xa 
 
 
Fonte: Brasil Escola 
 
Então: 
 
𝓂 =
∆𝑦
∆𝑥
= 
𝑌𝑏−𝑌𝑎
𝑋𝑏−𝑋𝑎 
 
 
No plano cartesiano uma reta pode 
surgir de varias formas, podendo ser 
crescente, decrescente, estar na 
horizontal ou na vertical. 
 Reta crescente: seu coeficiente 
angular será sempre um valor 
positivo, assim 𝓂 > 0. 
 Reta decrescente: seu 
coeficiente angular será um 
valor negativo, assim 𝓂 < 0. 
 Reta horizontal: seu 
coeficiente angular não é nem 
positivo e nem negativo, assim 
𝓂 = 0. 
 Reta na vertical: é igual a zero, 
então ele não existe. 
 
 
 33 
 Cálculo I e II 
Levando em consideração o 
triângulo BCA e que o coeficiente 
angular é igual à tangente do ângulo 
de inclinação, teremos 
 
𝓂 = tg 𝜃 
 
 tg𝛼 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
 tgα = 
∆𝑦
∆𝑥
 
 
Exemplo 
Determine o coeficiente angular da 
reta que passa pelos pontos A(-2,1) e 
B(3,4)? 
 
𝓂 =
∆𝑦
∆𝑥
= 
𝑦𝑏−𝑦𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎
 = 
4−1
3−(−2)
 = 
3
5
 
 
 Reta formada pelo seu ponto e 
coeficiente angular: A equação 
da reta que passa pelo ponto 
(X0 e Y0) e possui coeficiente 
angular 𝓂 é dada por 
 
Y- Y0 = 𝓂 (X-X0) 
 
Exemplo: 
Escreva a equação da reta que passa 
pelo ponto (3,2) com inclinação 
−3
2
 
 Y- Y0 = 𝓂 (X – X0) 
 Y- 2 = 
−3
2
 (x - 3) 
2Y-4 = -3X + 9 
2Y +3 – 13 = 0 
 
 
 
 Coeficiente angular da reta 
tangente 
Tendo uma curva y = f(x) e um ponto 
p(x1, y1) sobre ela. O coeficiente 
angular da reta tangente a curva no 
ponto p é dada por: 
 
𝓂 = lim
∆𝑥→0
(
𝑓(𝑋1 + ∆𝑥)
∆𝑋
)
.
− 𝑓(𝑋1) 
 
Exemplo 
Encontre o coeficiente angular da 
reta tangente a curva y=x²-6x+8 no 
ponto (x1,y1) 
 
f(x) = x²-6x+8 
f(x1) = x1²-6x1+8 
 
f(x1+∆𝑥) = (x1+∆𝑥)² - 6 (x1+∆𝑥)+8 
f(x1+∆𝑥) = x1²+2∆𝑥1∆𝑥+(∆𝑥)²-6x1-
6∆𝑥+8 
 
𝓂 = 
 
 
 
𝓂 =
 
 
𝓂 = lim
∆𝑥→0
(
2𝑥1∆𝑥1 + (∆𝑥)2 − 6∆𝑥
∆𝑥
)
.
 
 
 
𝓂 = lim
∆𝑥→0
(
∆𝑥(2𝑥1 + ∆𝑥 − 6)
∆𝑥
)
.
 
 
𝓂 = lim
∆𝑥→0
2𝑥1 + ∆𝑥 − 6 
 
 34 
 Cálculo I e II 
𝓂 = 2𝑥1 + 0 − 6 
 
𝓂 = 2𝑥1 − 6 
 
 
Velocidade média 
 
A velocidade é uma grandeza 
que resulta da variação de tempo e 
variação de espaço percorrido por 
um móvel, ela mede a variação da 
posição do móvel no tempo, e nos 
oferece um valor que representa o 
quanto o móvel está rápido ou 
devagar ao realizar um determinado 
trajeto. Quando estiver o termo 
velocidade escalar, refere-se a uma 
grandeza escalar, que tem apenas 
valor numérico, sem preocupar com 
as características de um vetor que 
são direção e sentido. 
A velocidade média esta ligada 
a um intervalo de tempo ∆t 
 
Exemplo: 
Um carro parte do repouso 
(velocidade inicial zero) e percorre 
200m em 10s. Qual a velocidade 
média deste móvel nos 10s de 
movimento? 
Temos que a variação de 
espaço representada por ∆𝑠 foi de 
200m, e a variação de tempo 
representada por ∆𝑡 foi de 10s, 
assim, a velocidade média é dada 
por: 
 
 
Vm = ∆S/∆t 
Vm = 200m / 10s 
Vm = 20m/s 
 
Embora a velocidade média 
ter sido dada por 20m/s, isto não 
significa que o carro estava sempre 
nessa velocidade de 20m/s, uma vez 
que ele partiu da velocidade inicial 
zero e aumentou ao longo do 
percurso. 
 
Velocidade instantânea 
 
A velocidade instantânea está ligada 
a um instante de tempo t, diferente 
da velocidade média que esta ligada 
a um intervalo de tempo ∆t. Para 
saber a velocidade instantânea do 
carro no instante 4s, sabendo que a 
aceleração do mesmo é de 2m/s, 
devemos utilizar a equação abaixo: 
 
V = V0 + a.t 
 
Onde : 
V: é a velocidade final do móvel. 
V0: é a velocidade inicial do móvel. 
a: é a aceleração do móvel. 
t: é o tempo. 
 
Esta é a função para encontrar a 
velocidade para o movimento 
uniformemente variado. Então para 
encontrar a velocidade instantânea 
do carro, é so substituir os valores da 
seguinte forma. 
 
 
 
 35 
 Cálculo I e II 
V = V0 + a.t 
V = 0 + 2 . 4 
V = 8 m/s 
 
Assim, a velocidade do móvel no 
instante 4s é igual a 8m/s e esta 
pode ser chamada de velocidade 
instantânea já que se refere ao 
instante 4s. 
 
Definição de derivada 
 
A derivada corresponde a taxa 
de variação de uma função y = f(x) 
em relação à x, dada pela relação ∆x 
/ ∆y. Considerando uma função y = 
f(x), a sua derivada no ponto x = x0 
corresponde à tangente do ângulo 
formado pela intersecção entre a 
reta e a curva da função y = f(x), isto 
é, o coeficiente angular da reta 
tangente à curva. Temos que: 
 
lim
∆𝑥→0
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
Se o limite existir. Temos que 
a taxa de variação instantânea de 
uma função y = f(x) em relação a x é 
dada pela expressão dy / dx. A 
derivada de uma função y = f(x), 
pode ser representada também 
pelos símbolos: 
 Dxf(x) 
 F’(x) 
 DxY 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
Exemplo: 
1) Dada a função f(x)= 3x²+2x-1 
encontre f ’(3). 
 
f ’(3)= lim
∆𝑥→0
(
𝑓(3+∆𝑥)−𝑓(3)
∆𝑥
)
.
= 
 
f ‘(3) = 3.3²+2.3-1 = 32 
 
 f(3+∆𝑥)=3.(3+∆𝑥)²+2(3+∆𝑥)-1= 
 
 
 f(3+∆𝑥)= 32+20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 
 
lim
∆𝑥→0
(
32 + 20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 − 32
∆𝑥
)
.
 
 
lim
∆𝑥→0
(
20∆𝑥 + 3(∆𝑥)²
𝑛
)
𝑛
 
 
lim
∆𝑥→0
∆𝑥 (
20 + 3∆𝑥
∆𝑥
) . 
 
lim
∆𝑥→0
20 + 3∆𝑥 
 
lim
∆𝑥→0
20 + 3.0 = 20 
 
Derivadas laterais e 
continuidade 
 
Derivadas laterais 
 
Caso o limite exista, as 
derivadas lateriais são definidas por: 
 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
 
 36 
 Cálculo I e II 
Quando esta tender a zero pela 
direita. 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
Quando esta tender a zero pela 
esquerda. 
 
Uma função será derivável em 
um ponto se existirem derivadas 
laterais e se essas derivadas forem 
iguais. 
Exemplos: 
1) Seja f a função definida por 
 
𝑓(𝑥) = {
5 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
4𝑥 − 13, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 
 
 
Encontre f ’+(3) e f ’-(3). 
 
Vamos fazer o cálculo pela direita. 
 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
f(3)= 4.3-13= 
f(3)= 12-13=-1 
 
f(3+∆𝑥) = 4(3+∆𝑥)-13 = 
f(3+∆𝑥) = 12+4∆𝑥 − 13 = 
f(3+∆𝑥) = 4∆𝑥 − 1 
 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0+
(
4∆𝑥 − 1 + 1
∆𝑥
)
.
= 4 
 
 
Agora o cálculo pela esquerda. 
 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
f(3+∆x) = 5-2(3+∆x) = 
f(3+∆x) = 5-6+2∆x = 
f(3+∆x) = -1-2∆x 
 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0−
(
−1 − 2∆𝑥 + 1
∆𝑥
)
.
= −2 
 
Podemos concluir que as derivadas 
existem, porém como são valores 
diferentes a função x=3 não será 
derivável, assim, consideramos que 
a derivada naquele ponto não existe. 
 
2) Seja f a função definida por 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 
 
Encontre f ’+(1) e f ’-(1). 
 
Cálculo pela direita 
 
f(1)= 2.1-1 = 
f(1)= 1 
 
f(1+∆x) = 2(1+∆x)-1 = 
f(1+∆x) = 2+2∆x-1= 
f(1+∆x)=1+2∆x 
 
 
 37 
 Cálculo I e II 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1)
∆𝑥
) =. 
 
lim
∆𝑥→0+
(
1 + 2∆𝑥 − 1
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0+
2 = 2 
 
Cálculo pela esquerda. 
 
f(1+∆x) = (1+∆x)² = 
f(1+∆x) = 1+2∆x+(∆𝑥)² 
 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0−
(
1 + 2∆𝑥(∆𝑥)2 − 1
∆𝑥
) =. 
 
lim
∆𝑥→0−
(
∆𝑥(2 + ∆𝑥)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0−
2 + ∆x = 2 + 0 = 2Podemos concluir que as 
derivadas existem, e tem valores 
iguais, então a função x=1 será 
derivável, assim, consideramos que 
a derivada naquele ponto existe. 
 
Continuidade 
 
Em relação a continuidade, se 
uma função f é derivável em um 
número x, ela será então contínua 
em x. isso se deve por uma razão em 
que uma função descontínua em um 
ponto, apresenta um salto, então 
não pode ser derivável nesse ponto. 
Porém, existem funções contínuas 
que não são deriváveis, por exemplo 
a função f(x) = [x]. Vejamos: 
 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
 
lim
∆𝑥→0
(
𝑓(0 + ∆𝑥) − 𝑓(0)
∆𝑥
)
.
= 
 
Cálculo pela direita 
 
lim
∆𝑥→0+
(
0 + ∆𝑥 − 0
∆𝑥
)
.
= 1 
 
Cálculo pela esquerda 
 
lim
∆𝑥→0−
(
−0 − ∆𝑥 − 0
∆𝑥
)
.
= −1 
 
Podemos concluir que não 
existem derivadas da função x=0, 
porém o gráfico é contínuo em x=0. 
Veja: 
 
Fonte: Stewart 
 
 
 
 38 
 Cálculo I e II 
Regras de derivação 
 
 Derivada de uma constante 
 
Se C é uma constante e f(x)= C 
para todo x, então f’(x)=0 
 
Exemplo: 
f(x) = 7 
f(x)=0 
 
 Derivada de uma potência 
 
Se 𝓃 é um número inteiro 
positivo e f(x)= 𝑥𝓃, então f(x) = 𝑥𝓃−1 
 
Exemplo: 
f(x) = 𝑥9 
f(x) = 9𝑥9−1 
f(x)= 9𝑥8 
 
 Derivada do produto de uma 
constante por uma função 
 
A derivada de uma constante 
multiplicando uma função, é a 
constante multiplicando a derivada 
da função. 
 
Exemplo: 
f(x)= 5x³ 
f(x)= 5.3x² 
f(x)= 15x² 
 
 
 
 
 
 
 Derivada da soma / subtração 
 
A derivada de uma soma é a 
soma das derivadas. 
 
Exemplo: 
f(x)= 2x³-4x+5 
f(x)= 2.3x²-1.4+0 
f(x)=6x²-4 
 
 Derivada do produto 
 
Sejam f e g funções e h a 
função definida por h(x)= f(x).g(x). 
se a derivada f ’(x) e g’(x) existem 
então: 
h’(x) = f(x). g’(x)+f ’(x).g(x) 
 
Exemplo: 
f(x)= 𝑥4. (5x³-2) 
f(x)= 𝑥4. (5.3x²-0)+4x³.(5x³-2) 
f(x)= 𝑥4.15x²+20𝑥6-8x³ 
f(x)= 15𝑥6+20𝑥6-8x³ 
f(x)= 35𝑥6-8x³ 
 
 Derivada do quociente 
 
Sejam f e g funções e h a 
função definida por h(x)= f(x)/g(x) 
no qual g(x)≠0. Se a derivada f ’(x) e 
g’(x) existem então: 
 
 
 h’(x)= 
𝑔(𝑥).𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]²
 
 
 
 
 
 
 39 
 Cálculo I e II 
 
Exemplo: 
f(x)= 
𝑥³
𝑥2+5
 = 
 
f(x)= 
(𝑥2+5).3𝑥2−𝑥3.2𝑥+0
(𝑥2+5)²
 = 
 
f(x)= 
3𝑥4+15𝑥2−2𝑥4 
𝑥4+10𝑥2+25
 = 
 
f(x)= 
𝑥4+15𝑥²
𝑥4+10𝑥2+25
 
 
Regra da cadeia 
 
É uma fórmula para a derivada 
da função composta de duas 
funções. Se y é uma função derivável 
de u e se u é uma função derivável de 
x, então y é uma função derivável de 
x. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 .
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
Exemplos: 
1) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 de y=(3x+1)³. 
 
Vamos calcular pelo método 
estudado até aqui, expandindo e 
derivando o polinômio resultante. 
 
y=(3x+1)³ 
y= (3x+1)².(3x+1)¹ 
y= (9x²+6x+1).(3x+1) 
y=27x³+18x²+3x+9x²+6x+1 
y= 27x³+27x²+9x+1 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 
Agora utilizando o método da 
regra da cadeia, usando u para 
representar (3x+1). Então temos: 
y=(3x+1)³ 
u= (3x+1) 
y= u³ 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑢2. 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3. (3𝑥 + 1)2. 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 
 
2) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 de y=(3x³-
2x)³. 
 
y= (3x³-2x)³ 
u = (3x³-2x) 
y= u³ 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑢2. (9𝑥2 − 2) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (27𝑥2 − 6)(3𝑥3 − 2𝑥)² 
 
 
 
 
 4
0 
 Cálculo I e II 
Derivadas de funções 
 
 Derivada da função inversa 
 
Dizemos que a função inversa 
de f representada por 𝑓−1 é uma 
função tal que para todo x no 
domínio de f temos: 
 
f(x)=y ⟺ 𝑓−1(y) = x. 
 
 Uma função 𝑓 
 
Sua inversa 𝑓−1 
 
Fonte: Info Escola 
 
Exemplo: 
 
1) Se y=f(x)=3x-6, determine a 
função inversa 𝑓−1(𝑥). 
Primeiro vamos trocar o x por 
y e isolar o y. 
 
y=3x-6 
x=3y-6 
3y=x+6 
y= 
𝑥
3
 + 2 
 
f(x)= 3x-6 ⟺ 𝑓−1(𝑥) = 
𝑥
3
 + 2 
 
Se atribuirmos um valor para 
x, como por exemplo x=4 
temos: 
f(4) = 3.4-6 
f(4) =6 
 
Verificando na função inversa. 
𝑓−1(𝑥) = 
6
3
 +2 
𝑓−1(𝑥) = 2 + 2 = 4 
 
Derivando a função f(x) e sua 
função inversa 𝑓−1(x). 
f(x) = 3x-6 
f(x) = 3 
 
𝑓−1(𝑥) = 
6
3
+ 2 
 
𝑓−1(𝑥) = 
1
3
 
 
 
 
 
 41 
 Cálculo I e II 
A existência de uma função 
inversa deve atender a duas 
propriedades: 
 
 Para quaisquer x1 e x2 no 
domínio de f, se x1 ≠ x2, então 
f(x1) ≠ f(x2). 
 Para qualquer y no contra-
domínio de f, existe algum x 
no domínio de f, tal que f(x)=y. 
 
Dessa forma, uma função que 
atenda a essas duas propriedades é 
chamada de bijetora. Na imagem a 
seguir é possível perceber que 
apenas a função em destaque é 
bijetora. 
 
Fonte: Aquino 
 
A derivada da função inversa, 
é o inverso da derivada, assim 
utilizamos: 
(𝑓−1(𝑥))’ = 
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 
 
Exemplo: 
Seja y = 27x³, determine a 
derivada de sua função inversa. 
 
y=27x³ 
x=27y³ 
y³= 
𝑥
27
 
 
y=√
𝑥
3
3
 
 
f ’(x)= 27x³ = 3.27x² = 81x² 
 
(𝑓−1(𝑥))’ = 
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 = 
 
(𝑓−1(𝑥))’ = 
1
81𝑥²
 = 
 
(𝑓−1(𝑥))′ = 
1
81(√𝑥/3 )
3 2
 = 
 
(𝑓−1(𝑥))′ = 
1
81. √
𝑥2
9
3
= 
 
(𝑓−1(𝑥))′ = 
1
9𝑥3
2 
 
 
Derivadas polinomiais 
 
Para calcular as derivadas 
polinomiais vamos utilizar as regras 
de potência e as regras básicas de 
derivação. 
Exemplos: 
 
Vamos calcular as derivadas. 
 
1) f(x)= 3x²-2x+1 
f’(x)= 2.3x-2+0 
f’(x)= 6x-2 
 
 
 
 
 
 
 42 
 Cálculo I e II 
 
 
 
2) f(x)= 𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥² 
f’(x)= 5𝑥4 + 3.2𝑥2 − 2𝑥 
f’(x)= 5𝑥4 + 6𝑥2 − 2𝑥 
 
3) f(x)= 𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥² 
f’(x)=4x³+3.3x²-2x 
f’(x)= 4x³+9x²-2x 
 
Derivada exponencial 
 
Para calcular a derivada 
exponencial utilizamos algumas 
proposições. 
 
1ª proposição: 
Se y=𝑎𝑥 (a>0 e a ≠ 1) utilizamos a 
expressão, onde ln é o logaritimo 
natural. 
 
 y’ = 𝑎𝑥. 𝑙𝑛𝑎 
 
Exemplo: 
 
Tendo y=2𝑥, determine a sua 
derivada no ponto de abscissa 3. 
a=2 
y’= 2𝑥. 𝑙𝑛² 
 
f’(3)= 2³.ln² 
f’(3)= 8.ln² 
 
2ª proposição: 
Utilizamos quando estiver uma 
função exponencial onde o expoente 
é uma função derivável em relação a 
variável x, se y=𝑎𝑢 (a>0 e a≠1). 
 
 
 A derivada dessa função é dada pela 
expressão. 
 
y’=𝑎𝑢.lna.u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=24𝑥³, determine a sua 
derivada. 
a=2 
u=4x³ 
u’= 3.4x²=12x² 
 
y’=24𝑥
3
. 𝑙𝑛2.12𝑥² 
 
3ª proposição 
A função exponencial é 
exatamente igual a sua derivada. Se 
y=𝑒𝑥então y’=𝑒𝑥. 
 
Exemplo: 
Seja y=4𝑒𝑥, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
y=𝑒𝑥 
y’= 4.𝑒𝑥 
 
4ª proposição 
Se o expoente for uma função 
derivável em relação ao expoente x, 
utlilizamos a expressão. 
 
y’=𝑒𝑢. 𝑢′ 
 
Exemplo: 
Sendo y=3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 u=senx 
 u’=cosx 
 
y’= 3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
 
 43 
 Cálculo I e II 
Derivada logarítimica 
 
Assim como as derivadas 
exponenciais para calcular a 
derivada logarítimica utilizamos 
algumas proposições. 
 
1ª proposição 
Se y=log𝑎 𝑥, (a>0 e a≠ 1) temos a 
expressão. 
 
 y’= 
1
𝑥
 log𝑎 𝑒 
 
Exemplo: 
Seja y=log4 𝑥, determine sua 
derivada. 
 
 y’=
1
𝑥
 log4 𝑒 
 
2ª proposição 
Se y=log𝑎 𝑢 e 𝓊 é uma função 
derivável de x com u>0, temos a 
expressão. 
 
 y’= 
1
𝑢
. log𝑎 𝑒. 𝓊′ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=log2 5𝑥³, determine 
f ’(x). 
a=2 
u=5x³ 
u’=3.5x² = 15x² 
 
y’= 
1
5𝑥³
. log2 𝑒. 15𝑥² 
 
 
 
 
3ª proposição 
Se y=lnx e x>0 temos a 
expressão. 
 
y’ = 
1
𝑥
 
 
Exemplo: 
Sendo y= ln8, determine a 
derivada da função 
y’ = 
1
8
 
 
4ª proposição 
Se y=lnu, e u é uma função derivável 
de x com u>0, então temos a 
expressão. 
 
y’=
1
𝑢
.u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=ln(9x³) determiney’. 
 
u=9x³ 
u’=3.9x² = 27x² 
 
y’=
1
9𝑥3
. 27𝑥2 
 
y’=3𝑥−1 
 
y’= 
3
𝑥
 
 
 Derivada trigonométrica 
 
As funções trigonométricas 
muitas vezes são usadas em modelos 
de fenômenos do mundo real. Em 
particular, as vibrações, ondas, 
movimentos elásticos, campo 
eletromagnético, ritmos cardíacos e 
 
 4
4 
 Cálculo I e II 
outras grandezas que variem de 
maneira periódica podem ser 
descritos utilizando-se as funções 
trigonométricas. 
 Derivada da função seno 
 
 Se y=sex, então y’=cosx 
 
 y=sen(x) → y’=cos(x) 
 
 Se y=sen(u) e u é uma função 
diferencial de x, então. 
 
 y’= cos(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=sen(4x³), determine y’. 
 
u=4x³ 
 
u’=3.4x² 
u’=12x² 
 
y’=cos(4x³).12x² 
 
 Derivada da função 
cosseno 
 
Se y=cosx, então y’=-senx 
 
 y=cos(x) → y’=-sen(x) 
 
Se y=cos(u) e u é uma função 
derivável de x, então. 
 
 y’=-sen(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=cos(
𝜋
2
− 𝑥) determi-
ne f’(x). 
 
 
u= 
𝜋
2
 – x 
 
u’=0-1x 
u’=-1 
 
f’(x)=-sen(
𝜋
2
− 𝑥). (-1) 
 
f’(x)= sen(
𝜋
2
− 𝑥) 
 
Lembrando que nesse cálculo 
π/2 é constante, então seu valor é 
zero. 
 
 Derivada da função 
tangente 
 
Se y=tg(u) e u é uma função 
derivável de x, então. 
 
 y’ = sec²u.u’ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=tg(7x³-10), determi-
ne f’(x). 
u=7x³-10 
 
u’= 3.7x²-10 
u’= 21x²-0 
u’= 21x² 
 
f’(x)= sec²(7x³-10).21x² 
 
 Derivada da função 
cotangente 
 
Se y=cotg(u) e u é uma função 
derivável de x, então. 
 
 y’= -cosec²u.u’ 
 
 
 45 
 Cálculo I e II 
Exemplo: 
Seja y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4, determi-
ne y’. 
y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4 
y=4(3+2.cotgx)³ 
 
u=(3+2cotgx) 
u’=(0+2.(-cosec²x)) 
 
y’=4(3+2cotgx)³.(-2.cosec²x) 
y’=-8(3+2cotgx)³.cosec²x 
 
 Derivada da função 
secante 
 
Se y= sec(u) e u é uma função 
derivável de x, então. 
 
 y’=sec(u).tg(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=x³.𝑠𝑒𝑐
5
3𝑥, determine y’. 
 
u=x³ 
u’=3x² 
 
v=𝑠𝑒𝑐
5
3 𝑥 → v=(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3 
 
v’ = 
5
3
 . (𝑠𝑒𝑐𝑥)
2
3 . 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 
 
y= u.v 
y’=u.v’+v.u’ 
y’= x³.
5
3
 (𝑠𝑒𝑐𝑥)
2
3 .secx.tgx+ 
(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3. 3x² 
 
 
 
y’ = 
5𝑥³
3
.(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3.tgx+3x²(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3 
 
y’= x².(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3.(
5
3
x.tgx+3 
 
Lembrando que para calcular 
5/3 -1 deve tirar o m.m.c. 
 
 Derivada da função 
cossecante 
 
Se y=cosec(u) e u é uma 
função derivável de x, então. 
 
 y’=-cosec(u).cotg(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=(
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑥2+1
), determine y’. 
u=cosecx 
 
u’=-cosecx.cotgx 
 
v=x²+1 
 
v’=2x+1 → v’=2x+0 = 2x 
 
y=
𝑢
𝑣
 
 
y’=
𝑣.𝑢′−𝑢.𝑣′
𝑣²
 
 
y’= 
(𝑥²+1).(−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥−(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).2𝑥
(𝑥2+1)²
 
 
y’=(-cosecx)[
(𝑥2+1).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥+2𝑥
(𝑥2+1)²
] 
 
 
 
 
 
 46 
 Cálculo I e II 
Derivada das funções 
trigonométricas inversas 
 
As derivadas trigonométricas 
inversas são seis, no qual u é uma 
função derivável de x. então, temos 
as seguintes fórmulas. 
 
Fonte: I.pinimg 
 
Exemplos: 
Calcule a derivada das funções: 
1) y=arc sen 3x 
 
u=3x 
u’=1.3 = 3 
 
y’=
𝑢′
√1−𝑢²
 
 
y’= 
3
√1−(3𝑥)²
 
 
y’= 
3
√1−9𝑥²
 
 
 
2) y=arc cos x³ 
 
u= x³ 
u’=3x² 
 
y’= 
−𝑢′
√1−𝑢²
 
 
y’=
−3𝑥²
√1−(𝑥³)²
 
 
y’= 
−3𝑥²
√1−𝑥6
 
 
3) y=arc tg 
𝑥
4
 
 
u=
𝑥
4
 
 
u’=
1
4
 
 
y’= 
𝑢′
1+𝑢²
 
 
y’=
1
4
1+(
𝑥
4
)²
 
 
y’= 
1/4
1+
𝑥2
16
 
 
y’= 
1/4
16+
𝑥2
16
 
 
y’= 
1
4
 . 
16
16+𝑥²
 
 
y’= 
4
16+𝑥²
 
 
4) y= arc cotg x² 
 
u= x² 
u’= 2x 
 
 
 
 47 
 Cálculo I e II 
y’= 
−𝑢′
1+𝑢²
 
 
y’= 
−2𝑥
1+(𝑥²)²
 
 
y’= 
−2𝑥
1+𝑥4
 
 
5) y=arc sec (3x-5) 
 
u=3x-5 
u’= 3 
 
y’= 
𝑢′
|𝑢|√𝑢2−1
 
 
y’= 
3
|3𝑥−5|√(3𝑥−5)2−1
 
 
y’=
3
|3𝑥−5|√(9𝑥2−30𝑥+25)−1
 
 
y’= 
3
|3𝑥−5|√9𝑥2−30𝑥+24
 
 
6) y= arc cosec 𝑥5 
 
u=𝑥5 
u’=5𝑥4 
 
y’= 
−𝑢′
|𝑢|√𝑢2−1
 
 
y’=
−5𝑥4
|𝑥5|√(𝑥5)2−1
 
 
y’= 
−5𝑥4
|𝑥5|√𝑥10−1
 
 
Acréscimos 
 
Sendo y = f (x) uma função. 
Se x varia de x1 a x2, definimos 
o acréscimo de x denotado por ∆𝑥 
como: 
∆𝑥 = 𝑋2 − 𝑋1 
 
A variação de x origina uma 
correspondente variação de y, 
denotada por ∆𝑦 dada por : 
 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
 
 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) 
 
 
Fonte: passo a passo 
 
Exemplo: 
 
Se y=4x²-5x+4 calcule ∆𝑦 para 
x=3 e ∆𝑥 =1,5 
 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑦 = 𝑓(3 + 1,5) − 𝑓(3) 
∆𝑦 = 𝑓(4,5) − 𝑓(3) 
∆𝑦 = 62,5 − 25 
∆𝑦 = 37,5 
 
𝑓(4,5) = 4(4,5)2 − 5(4,5) + 4 
𝑓(4,5) = 81 − 22,5 + 4 
𝑓(4,5) = 62,5 
 
𝑓(3) = 4(3)2 − 5.3 + 4 
𝑓(3) = 36 − 15 + 4 
𝑓(3) = 25 
 
 48 
 Cálculo I e II 
Diferencial 
 
Sejam y=f(x) uma função 
derivável e ∆𝑥 um acréscimo de x . 
Definimos: 
 A diferencial da variável 
independente x denotada por 
dx, como: 
𝑑𝑥 = ∆𝑥 
 
 A diferencial da variável 
independente y denotada por 
dy, como: 
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 
 
 
 
Fonte: passo a passo 
 
Exemplo: 
 
Sendo y=5x²-4x , ∆𝑥 = 2 e x=3 
encontre ∆𝑦 e dy. 
 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑦 = 𝑓(3 + 2) − 𝑓(3 ) 
∆𝑦 = 𝑓(5) − 𝑓(3) 
∆𝑦 = 105 − 33 
∆𝑦 = 72 
𝑓(5) = 5. (5)2 − 4.5 
𝑓(5) = 5.25 − 20 
 𝑓(5) = 125 − 20 
𝑓(5) = 105 
 
 𝑓(3) = 5. (3)2 − 4.3 
𝑓(3) = 5.9 − 12 
𝑓(3) = 45 − 12 
𝑓(3) = 33 
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 
 𝑑𝑦 = 2.5𝑥 − 4.2 
𝑑𝑦 = 10𝑥 − 8 
𝑑𝑦 = 10.3 − 8 
 𝑑𝑦 = 30 − 8 
𝑑𝑦 = 22 
 
Derivação implícita 
 
O método de derivação 
implícita é usado quando não 
conseguimos diferenciar as funções, 
isto é, quando não conseguimos 
isolar as variáveis da função. 
 
f(x,y)=0 É a forma implícita de 
uma função y=f(x). 
 
y=x²-1 É a forma explícita de 
uma função y=f(x). 
 
Para calcular a derivada de 
uma função implícita, fazemos a 
derivação de ambos os lados da 
equação em relação a x e, então, na 
resolução da equação isolando y’. É 
necessário utilizar a regra da cadeia. 
 
 
 
 49 
 Cálculo I e II 
Exemplo: 
A) x²+y²=4 
2x+2y.y’=0 
y’=- 
2𝑥
2𝑦
 
 
y’= 
𝑥
𝑦
 
 
Notamos que o y é uma função 
variável de x, desta forma sendo 
uma função composta, usamos a 
regra da cadeia. 
 
B) 2x²+y²=9 
2.2x+2y.y’=0 
4x+2y.y’=0 
y’= 
−4𝑥
2𝑦
 
 
y’= 
−2𝑥
𝑦
 
 
C) x³+y³=6xy 
3x²+3y².y’=6.y+6x.y’ 
y’(3y²-6x)=6y-3x² 
 
y’= 
6𝑦−3𝑥²
3𝑦2−6𝑥
 
 
y’=
2𝑦−𝑥²
𝑦2−2𝑥
 
 
Neste exemplo usamos a regra 
da cadeia, mais a regra do produto. 
 
O teorema do valor médio 
 
Seja f uma função contínua 
[a,b] e derivável em (a,b). então, 
existe um ponto C ∈ (a,b), tal que: 
 
f’(c)= 
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
 
 
Melhorando a expressão para 
tirar essa divisão, temos: 
 
f(b)-f(a)= f’(c).(b-a) 
 
Geometricamente falando, 
temos que existe um ponto no 
interior do intervalo, tal que a 
inclinação da reta tangente ao 
gráfico desse ponto é igual a 
inclinação da reta secante que passa 
pelo ponto (a,b). 
 
 Intervalos de crescimento e 
decrescimento 
 
Suponha que f’(x)>0 para todo 
o x em um intervalo I. Assim, a 
função f nesse intervalo é crescente. 
 
Suponha que f’(x)<0 para todo 
o x em um intervalo I. Assim, a 
função f nesse intervalo é 
decrescente. 
 
Suponha que f’(x)=0 para todo 
o x em um intervalo I. Assim, a 
função f nesse intervalo é constante. 
 
Suponha que duas funções 
satisfazem f’(x)= g’(x) para todo x. 
Assim, f(x)=g(x)+k e k ∈ ℝ. 
 
 
 
 
 50 
 Cálculo I e II 
Exemplos: 
 
A) f(x)= x³-2x, x ∈ [-2,2] 
 
f(x)= x³-2x 
f(-2)= (-2)³-2.(-2) 
f(-2)= -8+4 
f(-2)=-4 
 
f(x)= x³-2x 
f(2)= (2)³-2.2 
f(2)= 8-4 
f(2)=4 
 
f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) 
f(2)-f(-2)=f’(c).(2-(-2)) 
4-(-4)= f’(c).4 
 8=f’(c).4 
 f’(c)= 8/4 
 f’(c)=2 
 
B) f(x)= x²+2x-1, x ∈ [1,5] 
 
f(x)= x²+2x-1 
f(1)= 1²+2.1-1 
f(1)= 1+2-1 
f(1)=2 
 
f(x)= x²+2x-1 
f(5)= 5²+2.5-1 
f(5)= 25+10-1 
f(5)=34 
 
 
 
 
 
f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) 
f(5)-f(1)=f’(c).(5-1) 
34-2= f’(c).4 
 32=f’(c).4 
 f’(c)= 32/4 
 f’(c)= 8 
 
Derivadas de ordem 
superior 
 
Vimos até agora a derivada de 
uma função f, representada por f ’. 
Mas como f ’ também é uma função 
podemos encontrar a sua derivada. 
Assim, podemos calcular (f ’)’ 
encontrando f ”. Como f ” também é 
uma função, podemos calcular sua 
derivada e encontrar f ’”. Dizemos 
então, que f ’ é a derivada de 
primeira ordem de f, f ” é a derivada 
de segunda ordem e f ”’ a derivada de 
terceira ordem de f. 
De um modo geral, 𝑓(𝑛) 
representa a derivada de ordem n de 
f . A notação 𝑓(0) representa a 
própria função f. porém é 
importante destacar que não é toda 
função que possui derivada de 
qualquer ordem. 
Temos, segundo a notação de 
Leibniz as seguintes expressões. 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
 Cálculo I e II 
y’= 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
y’’= 
𝑑
𝑑𝑥
 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
 
 
y’’’= 
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
=
𝑑³𝑦
𝑑𝑥
 
 
𝑦𝑛 =
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
 
 
Exemplo: 
 
1) y=x³ 
y’= 3x² 
y”=6x 
y”’= 6 
 
2) y= - 𝑥5+x³-8 
y’= - 5𝑥4+3x² 
y”= - 20x³+6x 
y’”= - 60x²+6 
 
3) Calcule y’’ sendo y uma função 
implícita de x tal que x²+y³=1. 
 
2x+3y².y’=0 
 
 y’=- 
2𝑥
3𝑦²
 
 
Utilizando a regra do 
quociente, vamos encontrar y’’. 
 
y’’ =- 
(2𝑥)′(3𝑦2)−2𝑥(3𝑦²)′
(3𝑦²)²
 
 
 
 
y”=- 
2.(3𝑦2)−2𝑥(6𝑦𝑦′)
9𝑦4
 
 
y”= - 
6𝑦2−12𝑥𝑦𝑦′
9𝑦4
 
 
Podemos simplificar dividindo 
por 3y. 
 
y”= - 
2𝑦−4𝑥𝑦′
3𝑦³
 
 
Taxas relacionadas 
 
São expressões que 
relacionam quantidades que estão 
variando em relação as outras, cujas 
taxas de variação são conhecidas. 
 
Exemplos: 
1) Uma escada com 25 m de 
comprimento está apoiada a 
uma parede vertical. se o pé da 
escada for puxado 
horizontalmente, afastando da 
parede 3m/s, qual a 
velocidade com que a escada 
está deslizando, quando seu pé 
está a 15m de comprimento da 
parede? 
 
Fonte: Engenharia 
 
 52 
 Cálculo I e II 
t → tempo decorrido desde qua 
a escada começou a deslizar pela 
parede. 
y → distância do solo ao topo 
da escda. 
x → distância do pé da escada 
até a parede. 
 
Então temos: 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=? Para x=15 
 
Aplicando o teorema de Pitá-
goras temos a expressão: 
 
y²+x²=25² 
 y²= 625-x² 
 
Derivando a função em relação 
a t. 
 
y²=625-x² 
 
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 − 2𝑥 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 = - 
2𝑥
2𝑦
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
𝑥
𝑦
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
Substituindo os valores conhecidos 
na equação, devemos encontrar y 
para x=15. 
 
y²=625-x² 
y²=625-15² 
y²=625-225 
y²=400 
y=√400 
y=20 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
15
20
. 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2,25 
 
Sendo assim, o topo da escada está 
deslizando a 2,25m/s. já o sinal 
negativo quer dizer que y é 
decrescente. 
 
2) Uma aeronave está decolando 
a um angulo de 30° com a 
horizontal. Com que agilidade 
a aeronave estará ganhando 
altura se sua velocidade for de 
900 km/h? 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
Podemos relacionar a 
distância percorrida pela aeronave e 
a altura que ele se encontra do solo 
através das relações trigonomé-
tricas. 
 
 
 
 53 
 Cálculo I e II 
Sen(30º)= 
𝑦
ℎ
 
 
Sen(30º)= 
1
2
 
 
1
2
=
𝑦
ℎ
 
 
 h=2y 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 2 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
 900=2 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 450 
 
Assim, concluímos que a 
aeronave ganha altura a uma 
velocidade de 450 km/h. 
 
54 
 
 
 
 55 
Cálculo I e II 
4. Aplicações da Derivada 
 
 
Fonte: freepik 
 
Funções crescentes 
 
F contínua em [a,b] e derivável em 
(a,b). 
 
Fonte: Mapa da Prova 
 
Para todo f’(x)>0, x ∈ (a,b) f é 
crescente. 
 
X1< X2 ⟹ f(X1) < f(X2) 
 
 
Funções decrescentes 
 
F contínua em [a,b] e derivável em 
(a,b). 
 
Fonte: Mapa da Prova 
Para todo f’(x)<0, x ∈ (a,b) f é 
decrescente. 
 
X1> X2 ⟹ f(X1) > f(X2) 
 
Exemplo: 
Encontre os intervalos onde a 
função é crescente e decrescente e, 
 
 56 
Cálculo I e II 
se houver , os pontos críticos da 
função. 
 
f(x)=x³-3x+4 
 
f ’(x)=3x²-3 
 
f ’(x)=0 
3x²-3=0 
3x²=3 
 x²=3/3 
 x²=1 
x=ñ1 
 
Os pontos críticos são [1,-1] 
 
Para {
𝑥 < 1 − 2
−1 < 𝑥 < 1 0 
𝑥 > 1 2
 
 
 
f ’(x)= 3x²-3 
f ’(x)=3.(-2)²-3 
f ’(x)=3.4-3 
f ’(x)=9 
Para x<1, atribuindo x=2 a função é 
crescente. 
 
 
 
 
f ’(x)= 3x²-3 
f ’(x)=3.(0)²-3 
f ’(x)=3.0-3 
f ’(x)=-3 
Para -1<x<1, atribuindo x=0 a 
função é decrescente. 
 
f ’(x)= 3x²-3 
f ’(x)=3.(2)²-3 
f ’(x)=3.4-3 
f ’(x)= 9 
Para x>1, atribuindo x=2 a função é 
crescente. 
 
Máximos e mínimos 
 
Para facilitar o entendimento 
podemos dizer grosseiramente que 
os pontos de máximos e mínimos de 
uma função são os pontos de picos e 
de depressões da função. Vejamos o 
gráfico. 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
Como podemos observar no gráfico 
os pontos f(a) e f(b) são pontos de 
máximo local e f(0) é ponto de 
mínimo local. 
E ainda , podemos dizer que o 
ponto f(b) é um máximo absoluto e 
f(0) é ponto de mínimo absoluto, 
pois f(b) é o maior valor de f e f(0) é 
o menor valor de f : 
 
f(0) ≤ f(x) ≤ f(b) 
 
 
 57 
Cálculo I e II 
Devemos ficar atento pois, 
nem todo ponto de inflexão é um 
ponto de máximo ou mínimo, 
sempre faça o estudo do sinal da 
função antes e depois dos pontos 
encontrados, pois o sinal deve 
mudar. Veja o exemplo da função: 
 f(x)=x³ para o domínio 𝑥 ∈
 ℝ, na qual f'(x)=3x² e 3x²=0 onde 
encontramos x=0, porém esta 
função é monótona crescente 
(sempre crescente), não havendo 
troca de sinal em 0. Logo, não há 
pontos de máximos e de mínimos. 
Veja a representação gráfica dessa 
função. 
 
Fonte: Morgado 
 
É importante ressaltar que 
quando temos uma função f 
continua em um intervalo fechado, 
[a,b], então tem-se pontos de 
máximos ou mínimos locais em a e 
b, mas não necessariamente 
máximos ou mínimos absolutos. 
 
Exemplos: 
1) Encontre os pontos máximos e 
mínimos da função 
 
f(x)=x²-2x-3 com 𝑥 ∈ ℝ 
 
f ’(x)=2x-2 
 
f ’(x)=0 
2x-2=0 
 x=2/2 
 x=1 ponto crítico 
 
Calculando valores antes e 
depois do ponto crítico. 
f’(0)=2x-2 
f’(0)=2.0-2 
f’(0)=-2 
 
f’(2)=2x-2 
f’(2)=2.2-2 
f’(2)=2 
 
f(x)=x²-2x-3 
f(0)= 0²-2.0-3= -3 
f(1)= 1²-2.1-3= -4 
f(2)= 2²-2.2-3= -3 
 
Este é um ponto de mínimo 
absoluto, visto que ela é continua e 
não há outros pontos de inflexão. 
 
 
Antiderivadas 
 
O conceito de antiderivadas ou 
primitivas de funções é um 
precursor ao Teorema Fundamental 
 
 58 
Cálculo I e II 
do Cálculo e é aqui que começamos 
a integração. 
Seja f :D→ ℝ uma função. 
Uma primitiva de f é uma 
função F que satisfaz F’(x)=f(x) para 
todo 𝑥 ∈ 𝐷. 
Isso significa que seja uma 
função f : D → ℝ e a função F : D→ ℝ, 
então F é primitiva de f se a derivada 
de F for igual a f. 
Usamos a notação: 
 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
Se F(x) é uma primitiva de f, 
então F(x)+c também é uma 
primitiva de f. 
C= constante de integração. 
 
É importante lembrar que o 
uso da palavra “antiderivada”, que é 
a correspondente de “primitiva”, 
pode facilitar na memorização do 
conceito 
Exemplos: 
1) ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 
𝑥³
3
+ 𝑐 
 
2) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 
𝑥4
4
+c 
 
3) ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 
 
4) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑐 
 
5) ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 
 
6) ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| 
 
7) ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 
 
8) ∫ 𝑥𝑚 = 
𝑥𝑚+1
𝑚+1
+ 𝑐 
 
9) ∫ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑑𝑥 =
−cos (5𝑥)
5
+ 𝑐 
 
Exercícios resolvidosA) Seja f’’(x)=12x²+6x-4 
f(0)=4 e f(1)=1 encontre 
f(x). 
 
f’(x)=4x³+3x²-4x+c 
f(x)= 𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝐶𝑥 +
𝐶2 
 
f(0)=04 + 03 − 2.02 +
𝐶. 0 + 𝐶2 = 4 
 
 f(0)=C2=4 
 
 f(1)= 14 + 13 − 2.12 + 𝐶. 1 +
 4 = 1 
 
 f(1)=C=-3 
 
f(x)=𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 
 
 
 
 
 
 59 
Cálculo I e II 
 
 
 60 
Cálculo I e II 
 
5. Referências Bibliográficas 
 
 
GOUVEIA, R. Funções 
Trigonométricas. Mai/ 2019. 
Disponível em: 
https://www.todamateria.com.br/fu
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acesso: 20/07/2020. 
 
______. Função exponencial. Mai/ 
2019. Disponível em: 
https://www.todamateria.com.br/fu
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21/07/2020. 
 
JOULE, E. Velocidade média e 
Velocidade Instatânea. 2020. 
Disponóvel em: 
https://efeitojoule.com/2009/01/ve
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instantanea/. Data do acesso: 
27/07/2020. 
 
PAIS, Luiz Carlos. Didática da 
Matemática: uma Análise da 
Influência Francesa. 2. ed. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2002. Coleção 
Tendências em Educação 
Matemática. 
 
PROFESSOR A. Professor A: 
questionário. [dez. 2007]. Aplicado 
por: Sílvia Pereira dos Santos. 
Jequié, BA, 2007. [2 laudas] 
Questionário concedido para o 
trabalho de conclusão de curso (TCC 
sobre o ensino da disciplina Calculo I 
no curso de Licenciatura em 
Matemática com Enfoque em 
Informática da UESB/Jequié). 
 
SANTOS, Raimundo Morais; NETO, 
Hermínio Borges. Avaliação do 
Desempenho no Processo de Ensino-
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e Integral I: (O caso da UFC). Ceará, 
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Disponível em: < 
http://www.multimeios.ufc.br/arqu
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SILVA, Jayro Fonseca; NETO, 
Hermínio Borges. Questões Básicas 
no ensino de Cálculo. Ceará,
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"Limite de uma Função "; Brasil 
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Cálculo volume I . São Paulo. 
Disponível em: 
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