Equação Fundamental das Máquinas de Fluxo

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Prof. Edson Varela
edsonbvarela@gmail.com
2019/1
Equação Fundamental das Máquinas de Fluxo
Máquinas de Fluxo
Triângulo de Velocidades
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Rotor Radial – Máquina de fluxo geradora
Escoamento através de um rotor de uma bomba centrífuga
Bomba Centrífuga Radial
Plano meridianoPlano normal
Triângulo de Velocidades
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Plano meridiano Plano normal
Rotor Radial – Máquina de fluxo geradora
Escoamento através de um rotor de uma bomba centrífuga
Triângulo de Velocidades
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Em um ponto qualquer do rotor, denomina-se:
 𝒖: velocidade tangencial (velocidade do rotor).
 𝒄: velocidade absoluta da corrente fluida.
 𝒘: velocidade relativa da corrente fluida.
 𝜶: ângulo que formam os sentidos positivos de 𝒖 e 𝒄.
 𝜷: ângulo que forma o sentido positivo de 𝒘 com o negativo de 𝒖. Ângulo da pá.
 3: ponto na corrente de entrada não perturbada, situado imediatamente antes da entrada (inlet) 
do rotor.
 4: ponto situado imediatamente depois da entrada do rotor, portanto, já no espaço entre as pás 
giratórias.
 5: ponto situado imediatamente antes da saída (outlet) do rotor, portanto ainda no espaço entre as 
pás giratórias.
 6: ponto na corrente de saída não perturbada, situado imediatamente depois da saída do canal 
móvel.
Aos vetores e componentes, atribui-se os seguintes índices:
Triângulo de Velocidades
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Turbina Francis Vertical
Palheta guia
Palheta guia
Caixa espiral
Anel de operação
Dispositivo guia de água
Eixo principal
Entrada de água
Anel fixo
Tubo de aspiração
Rotor Radial – Máquina de fluxo motora
Escoamento através de um rotor de uma turbina
Triângulo de Velocidades
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Turbina Francis Horizontal
Rotor Radial – Máquina de fluxo motora
Escoamento através de um rotor de uma turbina
Triângulo de Velocidades
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Rotor Radial – Máquina de fluxo motora
Escoamento através de um rotor de uma turbina
Triângulo de Velocidades
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Rotor Radial com nº infinito de pás
 Escoamento Ideal (sem perdas energéticas)
 Pás com espessura infinitesimal separadas por canais infinitesimais.
 Fluxo unidimensional.
 Corrente fluida tangente às pás do rotor.
 As pás serão construídas de tal forma que não haja, na sua parte inicial, qualquer choque do 
fluido por mudança brusca de direção, com o consequente deslocamento da veia fluida e a 
formação de vórtices dissipadores de energia.
 Nº infinito de pás deve satisfazer:
Triângulo de Velocidades
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Triangulo de Velocidades Genérico
 : velocidade absoluta
 𝒖: componente tangencial da velocidade absoluta (relacionada com a energia específica 
intercambiada entre o rotor e o fluido)
 𝒎: componente meridional da velocidade absoluta (relacionada com a vazão da máquina)
Triângulo de Velocidades
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 Vazão Volumétrica
 : vazão volumétrica que passa pelo rotor, m³/s
 : área de passagem do fluido, m²
 velocidade meridiana, m/s
Grandezas Fundamentais
 Velocidade Tangencial e Rotação
 : velocidade tangencial, m/s
 : rotação, rpm 
 : diâmetro, m
Triângulo de Velocidades
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Área de passagem de corrente fluida através dos diversos tipos de rotores
 Máquina Radial
Componente meridiana 
da velocidade absoluta 
tem a direção radial.
 Máquina de Semi-Axial  Máquina Axial
Componente meridiana 
da velocidade absoluta 
tem a direção do eixo do 
rotor.
Componente meridiana da 
velocidade absoluta tem a 
direção intermediária entre 
radial e axial.
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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Grandezas Fundamentais
 Energia
 : trabalho específico (energia específica) realizado, ou recebido, pela máquina, J/kg.
 : altura de coluna de fluido, m.
 constante da gravidade, m/s²
 Potência
 : Potência, J/s ou W
 : massa específica do fluido, kg/m³.
 Q vazão volumétrica da máquina, m³/s.
 Y trabalho específico da máquina, J/kg.
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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Grandezas Fundamentais
 Torque
 : Torque no eixo, Nm.
 : potência, W.
 rotação, rpm
 Importante para seleção adequada do motor ou gerador acoplado à máquina.
Triângulo de Velocidades
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Influência da curvatura das pás no triângulo de velocidades
 A velocidade relativa (w) é sempre tangente à pá.
 A velocidade tangencial (u) é sempre tangente ao rotor.
 A velocidade absoluta (c) é a soma vetorial de w e u.
Triângulo de Velocidades
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Rotor Tangencial – Máquina de fluxo motora
Escoamento através de um rotor de uma turbina Pelton
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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Máquina Geradora (Bomba)
 Energia aumenta por:
 Energia de pressão
 Energia cinética
 Energia Potencial (altura)
 Vamos considerar a Energia Potencial desprezível.
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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Máquina Geradora (Bomba)
 Energia de Pressão Estática
 Devido à soma de dois termos:
Força centrífuga sobre as
partículas fluidas, provocada pela
diferença das velocidades
tangenciais de entrada e saída.
Transformação da energia de velocidade em
energia de pressão devido à diminuição da
velocidade relativa no interior
dos canais em forma de difusores
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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Máquina Geradora (Bomba)
 Energia de Pressão Dinâmica
 Energia sob forma de velocidade:
Transformação da energia em forma de velocidade
devido à diferença entre as velocidades absolutas
na entrada e na saída
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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Equação Fundamental para Máquinas de Fluxo Geradoras
 Energia Total
 Com esta equação e relações geométricas no triângulo de velocidades, encontra-se:
 á : salto energético ou trabalho específico fornecido pelas pás do rotor ao fluido, J/kg.
 Equação de Euler
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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 á : salto energético ou trabalho específico fornecido pelo fluido a um rotor com número 
infinito de pás, J/kg.
Equação Fundamental para Máquinas de Fluxo Motora
 Energia Total
Equação Fundamental para nº infinito de pás
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Casos particulares
 Turbina (motor)
 Evita turbulência na saída do rotor para reduzir perdas por atrito
 Saída radial:
 Bomba (gerador)
 Evita turbulência na entrada do rotor para reduzir perdas por atrito,
 Entrada radial:
Exercícios
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1) Uma bomba centrífuga apresenta escoamento com entrada radial. O diâmetro interno do
rotor é de 50 mm e o diâmetro externo do rotor é de 250 mm. A largura da pá na entrada
é igual a 10 mm e a largura da pá na saída é de 5 mm. O ângulo da pá na entrada é igual
a 20° e na saída é igual a 23°. Considere que a bomba gire a uma rotação de 1300 rpm.
Determine:
a) Os triângulos de velocidades completos na entrada e na saída das pás do rotor da
bomba centrífuga descrita, apresentando todos os valores e cálculos de suas
projeções.
b) A vazão teórica da bomba para número infinito de pás.
c) A altura teórica da bomba para número infinito de pás.
d) A potência teórica da bomba para número infinito de pás.
e) O torque teórico da bomba para número infinito de pás.
f) A parcela de energia cinética.
g) A parcela de energia de pressão.
Exercícios
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2) Cada uma das turbinas Francis da instalação hidrelétrica de Itaipu foi projetada para uma
rotação de 92,3 rpm, quando submetida a uma altura de queda de 118,4 m. O sistema
diretor fornece água com vazão 690 m³/s, velocidade absoluta 130 m/s e ângulo de
entrada de 78° Considerando número infinito de pás e rotor com saída radial, determine:
a) Os triângulos de velocidades na entrada e na saída das pás do rotor da turbina.
b) O diâmetro de entrada da turbina.
c) A potência teórica da turbina.