TCM - Lista de Exercícios Nusselt 1 - Gabarito

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1	
	
	
!"	
 
Transferência de Calor e Massa – TCM - Nusselt 
Exercícios - Gabarito 
 
Equação	do	Calor	
	
	
1. Uma	longa	barra	de	cobre	com	seção	reta	retangular,	cuja	largura	é	muito	maior	que	sua	espessura	
L,	encontra-se	com	a	sua	superfície	inferior	em	contato	com	um	sorvedouro	de	calor	de	tal	modo	
que	a	temperatura	ao	longo	de	toda	a	barra	é	aproximadamente	igual	à	do	sorvedouro,	Td	=	30°C.	
de	 repente,	 uma	 corrente	 elétrica	 é	 passada	 através	 da	 barra,	 e	 uma	 corrente	 de	 ar,	 com	
temperatura	T=	15°C	e	coeficiente	convectivo	h	=	10	W/m².K	é	soprada	por	sobre	a	sua	superfície	
superior.	A	superfície	inferior	continua	mantida	a	Td.	Obtenha	a	equação	diferencial	e	as	condições	
iniciais	de	contorno	que	poderiam	ser	usadas	para	determinar	a	temperatura	da	barra	em	função	
da	posição	e	do	tempo.	
Considerações	a	serem	feitas:	
• Como	W	>>	L,	os	efeitos	causados	pelas	superfícies	laterais	podem	ser	considerados	desprezíveis,	
e	a	transferência	de	calor	no	interior	da	barra	é	basicamente	unidimensional	na	direção	do	eixo	x.	
• A	taxa	volumétrica	de	geração	de	calor	(q)	é	uniforme.	
• As	propriedades	físicas	são	constantes.	
A	distribuição	de	temperatura	por	calor	num	sistema	cartesiano	é	dada	pela	equação:	
!	 !$	 !	 !$	 !	 !$	 %&	 !$	
!"	
((	
!"
)	+	
!+	
((	
!+
)	+	
!,	
((	
!,
)	+	
%-	
=	/01	
!2	
Como	será	considerado	unidimensional,	a	equação	acima	reduz-se	a:	
	
!²$	 %&	 !$	
(	
!"²	
+	
%-		
=	/01	
!2	
A	condição	de	contorno	para	a	superfície	inferior,	a	qual	é	mantida	a	um	valor	constante	em	relação	ao	
tempo	é:	
$(0,	-)	=	$%	=	30°8	
A	condição	de	contorno	em	relação	à	superfície	superior	da	barra	é:	
!$	
−(	 |	 =	ℎ[$(=,	-)	−	$∞]	
"==	
2	
	
	
2. A	distribuição	de	temperaturas	ao	longo	de	uma	parede	com	espessura	de	1	m,	em	determinado	
instante	de	tempo,	é	dada	por	
$(")	=	@	+	A"	+	/"²	
na	qual	T	está	em	graus	Celsius	e	x	em	metros,	enquanto	a	=	900°C,	b	=	−300°C/m,	e	c	=	−50°C/m².	Uma	
geração	de	calor	uniforme,	q	=	1000	W/m³,	está	presente	na	parede,	cuja	área	é	de	10	m2.	O	seu	material	
apresenta	as	seguintes	propriedades:	ρ	=	1600	kg/m3,	k	=	40	W/(m	·	K)	e	cp	=	4	kJ/(kg	·	K).	Determine	a	
taxa	de	transferência	de	calor	que	entra	na	parede	(x	=	0)	e	que	deixa	a	parede	(x	=	1	m).	
	
	
Solução	
	
É	um	sistema	homogêneo	unidimensional.	Então	pode-se	aplicar	a	Série	de	Fourier	simplificada.	
%$	
	
	
É	só	substituir:	
&BC-	=	&"(0)	=	−(D	
%"
	 	
"=0	
=	−(D(A	+	2/")"=0	=	−(DA	
8	 F	
&	 2	
	
Para	a	saída	
BC-	=	−	(−300°	
G
)	.	40	
GJ	
.	10	G	
	
%$	
=	120	(F	
	
	
Substituindo:	
&L@M	=	&"(=)	=	−(D	
%"
	 	
"==	
=	−(D(A	+	2/")"==	=	−(D(A	+	2/=)	
&	 =	−	
40F	
.	10G2.	(−300	
°8	
+	2.	(−	
50°8
)	.	1G)	=	160(F	
	 	 	
L@M	
GJ	 G	 G2	
3	
	
	
Escoamento	Exterior	Forçado	-	Número	de	Nusselt	
3. Ar	atmosférico	a	20	ºC	e	1	m/s	escoa-se	sobre	parede	quadrada	de	1	m	x	1	m.	A	temperatura	da	
parede	é	40	ºC.	Calcular	a	taxa	de	calor	transferido	da	parede	para	o	ar.	
Dados	extra:	das	tabelas	para	ar,	obtém-se:	
ρ	=1.164	kg/m3;	k	=	0.02588	W/m.K;	μ	=1.872×10−5	kg/m.s;	ν	=1.608×10−5	m2/s;	cp	=	1,0048	
kJ/kgoC	
A	fórmula	para	convecção	é:	
&	=	ℎ.	D.	($P		−	$∞)	
	
	
A	área	é	calculada	por:	
D	=	1"1	=	 1G²	
	
Já	se	tem	as	temperaturas.	Assim,	falta	o	h.	Primeiro	vamos	calcular	Re	e	Pr.	
1QR=	 1,164.1.1	
SB	=	 =	
	
=	0,622.105	
T	 1,872.10−5	
T/0	 W	 1,872.10−5.	1,0048.103	
Pr	=	
	
Então	usa-se	a	equação:	
(	
=	
Z	
=	
0,02588	
=	0,7268	
[\	=	0,664	SB1/2^_1/3	=	0,664	(0,622.105)1/2(0,7268)1/3	=	148,89	
	
	
ℎ=	 1	 F	
[\	=	
(	
→	148,89	=	ℎ.	
0,02588	
→	ℎ	=	3,85	
G2°8
	
	
Agora	substituo	na	fórmula	
&	=	ℎ.	D.	($P	−	$∞)	=	3,85.1.	(40	−	20)	=	77	F	
	
	
4. Testes	experimentais,	usando	ar	como	fluido	de	trabalho,	foram	realizados	em	uma	parte	da	pá	
da	 turbina	mostrada	na	 figura.	O	 fluxo	 térmico	para	a	pá	em	um	ponto	particular	 (x*)	 sobre	a	
superfície	 foi	medido,	 sendo	qʺ	=	95.000	W/m².	 Para	manter	uma	 temperatura	 superficial	 em	
regime	 estacionário	 de	 800°C,	 o	 calor	 transferido	 para	 a	 pá	 é	 removido	 por	 uma	 substância	
refrigerante	que	circula	pelo	seu	interior.	
4	
	
	
P1	 ∞	
	
	
	
a. Determine	o	fluxo	térmico	para	a	pá	em	x*	se	a	sua	temperatura	superficial	for	reduzida	para	Ts,1	
=	700°C	através	do	aumento	da	vazão	do	refrigerante.	
b. Determine	o	fluxo	térmico	no	mesmo	local	adimensional,	em	uma	pá	de	turbina	similar,	com	um	
comprimento	de	corda	de	L	=	80	mm,	quando	a	pá	operar	em	um	escoamento	de	ar	com	T∞	=	
1150°C	e	V	=	80	m/s,	com	Ts	=	800°C.	
	
	
O	fluxo	de	calor	é	calculado	por:	 	
&	=	ℎ.	D.	($P	−	$∞)	
	
Temos	duas	condições,	em	que	só	a	temperatura	da	superfície	é	alterada.	
Para	calcular	o	h,	pode-se	usar	o	Nu:	
	
	
Onde	Nu	é	calculado	em	função	de	Re	e	Pr	
[\	=	
ℎ=	
	
	
(	
	
SB	=	
1QR=	
	
	
T	
T/0	 W	
Pr	=	
(	
=	
Z	
Os	parâmetros	utilizados	dependem	apenas	da	temperatura	do	ar.	Se	formos	considerar	constantes,	uma	
vez	que	sua	temperatura	é	pouco	variada,	h	será	constante,	logo,	podemos	calcular	de	uma	forma	mais	
simples:	
Caso	inicial:	
ℎ	=	
D.	($	
&1	
−	$	)	
	
Substituindo	no	caso	pedido:	
P1	 ∞	
	
&2	=	ℎ.	D.	($P2	
	
−	$∞	
)	=	
&1
	
D.	($P1	−	$∞)	
D.	($P2	−	$∞)	
	
&2	
&1	
=	
($	 −	$	 )	
	
($P2	
	
−	$∞	
95000	
)	=	
800	−	1150	
F	
(700	−	1150)	=	122.142,8	
G2
	
5	
	
	
Para	letra	b,	houve	mudança	no	tamanho	da	pá,	além	de	mudar	a	velocidade	do	meio.	
	
	
Com	a	mudança	da	velocidade	e	da	geometria,	precisa	recalcular	Re	e	h.	
ℎ=	 (	
[\	=	
(	
→	ℎ1	=	[\1.	
=
	
	
SB1	=	
1QR1=1	
	
T	
1	(
QR1
)	2=	
1QR2=2	 2	 1	 1QR1	=1	
SB2	=	
T	
=	
T	
=	
T	
=	SB1	
	
Portanto,	Re	não	mudou,	e	assim,	Nu1=Nu2	
Mas	o	comprimento	mudou:	
(	 (	 ℎ1	 &1	
ℎ2	=	[\2.	
=
	 =	[\1.	
2=
	 =		
2		
=		
2.	D.	($	 −	$∞)	
	
	
	
&2	
	
=	ℎ2	.	D.	
($P2	
	
−	$∞	
)	=	
&1
	
2.	D.	($P1	−	$∞)	
D.	($P2	
	
−	$∞	
	
F	
122.142,8	
)	=	
2.	(1150	−	700)	
	
(1150	−	800)	
&2		=	47.500	
G2
	
	
	
5. Um	fluido	escoa	sobre	uma	placa	plana	isotérmica.	O	comprimento	da	placa	é	ajustado	de	forma	
que	 o	 número	 de	 Reynolds	 na	 extremidade	 final	 seja	 5000	 e	 a	 velocidade	 do	 fluido	 1,0	m/s.	
Determine	a	espessura	das	camadas	limites	hidrodinâmica	e	térmica	se	o	fluido	for:	
a. Ar	a	20°C	
b. Água	a	50°C	
c. Óleo	a	140°C	
Dados:	viscosidade	dinâmica	(v)	do	ar	1,51.10-5	m²/s,	da	água	5,54.	10-7	m²/s	e	óleo	1,06	10-5	m²/s.	
Difusividade	térmica	no	ar	2,118.10-5	m²/s,	na	água	1,552.	10-7	m²/s,	no	óleo	8,48.	10-8	m²/s	
1	
1	 P1	2	
6	
	
	
	
	
	
As	camadas	são	calculadas	por:	
!ℎ	 5	
=			
=	
√SB	
!ℎ			
=	1,026	^_1/3	
!$	
	
	
Vamos	começar	pela	hidrodinâmica:	
Precisa	do	Reynolds	(que	já	tenho)	e	do	comprimento.	Como	não	tenho	o	comprimento,	mas	tenho	a	
velocidade,	posso	achar	pelo	próprio	número	de	Reynolds.	
	
	
	
Portanto:	
	
SB	=	
1QR=	
T	
=	
	
WSB	
QR=	
	
	
W	
	
	
Para	o	ar:	
=	=	
	
	
QR	
	
	
	
Para	a	água:	
	
=	=	
1,51.10−5.	5000	
1	
=	0,0755	G	
	
	
	
Para	o	óleo:	
	
=	=	
5,54.10−7.	5000	
1	
=	0,00277	G	
	
1,06.10−5.	5000	
	
	
Agora	acho	as	alturas:	
=	=	
	
	
5	=	
1	
=	0,053	G	
	
5.0,0755	
!ℎ@_		=	 =	
√SB=	
=	0,0053	G	=	5,3	GG	
√5000	
5	=	
!ℎ@c\@	=	
√SB=	
5.0,00277	
=	 =	0,000196	G	=	0,196	 GG	
√5000	
5	=	
!ℎdeBd			=	
√SB
	
5.0,053	
=	 =	0,0037	G	=	3,7	GG	
√5000	
Para	determinar	a	altura	térmica,	precisa	do	número	de	Pr	
T/0	 W	 1,51.10−5	
Pr	=	
(	
=	
Z	
→	^_	=	
2,118.10−5	
=	0,713	
=	
=	
7	
	
	
T/0	 W	 5,54.10−7	
Pr	=	
(	
=	
Z	
→	^_	=	
1,552.10−7	
=	3,57	
	
	
T/0	 W	 1,06.10−5	
Pr	=	
(	
=	
Z	
→	^_	=	
8,48.10−8	
=	125	
	
	
Agora	acho	a	altura	térmica	
	
	
!ℎ	
=	1,026	^_1/3	
!$	
	
!$	=	
!ℎ	
	
	
 1	
1,026	^_3	
	
	
	
!$@_	=	
0,0053	 0,0053	
 1	=	
1,026	0,8934	
=	0,0058	G	=	5,8	GG	
1,026	0,7133	
0,000196	 0,000196	
!$@c\@	=	 1	=	
1,026	1,528	
=	0,000125	G	=	0,125	GG	
1,026	3,573	
	
!$deBd	=	
0,0037	 0,0037	
 1	=	
1,026	5	
=	0,00072	G	=	0,72	GG	
1,026	1253	
	
	
6. Água	na	 velocidade	de	5	m/s	escoa	 sobre	uma	placa	plana	 isotérmica	horizontalde	20	 cm	de	
comprimento.	A	temperatura	da	água	é	de	30°C	enquanto	que	a	da	superfície	é	de	60°C.	calcule	a	
taxa	de	transferência	de	calor	por	unidade	de	área	para	a	superfície	superior.	
Dados	da	água	nesta	temperatura:	cp	=	4180	J/kg°C;	densidade	=	995,7	kg/m³;	viscosidade	cinemática	=	
0,7978.10-3	m/s.kg;	viscosidade	dinâmica	=	0,8012.10-6	m²/s;	k	=	0,6150	W/m°C.	
O	calor	é	calculado	por:	
	
	
Para	calcular	o	h,	usa-se	usar	o	Nu:	
&	=	ℎ.	D.	($P	−	$∞)	
	
	
ℎ=	
	
	
Onde	Nu	é	calculado	em	função	de	Re	e	Pr	
[\	=	
(
	
1QR=	 995,7.5.0,2	
SB	=	 =	
	
=	1248057,16	=	1,25.106	−	-\_A\eBC-d	
T	 0,7978.10−3	
8	
	
	
2	
2	
T/0	 W	 0,7978.10−3.	4180	
Pr	=	
	
4	 1	
(	
=	
Z	
→	^_	=	
4	
	
	
0,615	
=	5,422	
1	
[\	=	0,037	SB5^_3	=	0,037	.	1,25.1065	5,4223	=	0,037	∗	75333,40	∗	1,759	=	4896,76	
[\	 0,6150.4896,76	 F	
ℎ		=	(		
=			
=	
0,2	
=	15057,55	
G2°8
	
(F	
&	=	ℎ.	D.	($P	−	$∞)		=	15057,55.1.	(60	−	30)	=	451,7	
G2
	
7. Um	aquecedor	de	cabelos	a	ar	é	composto	de	um	elemento	de	aquecimento	elétrico	contendo	
um	fio	de	0,5	mm	de	diâmetro.	O	ar	move-se	sobre	o	elemento	aquecido	a	uma	velocidade	de	35	
m/s.	Estime	o	coeficiente	de	transferência	de	calor	por	convecção	para	a	transferência	de	calor	
entre	o	fio	e	o	ar	em	W/m²K.	As	propriedade	do	ar	a	50°C	são:	cp	=	1007,4	J/kg°C;	densidade	=	
1,0924	 kg/m³;	 viscosidade	 cinemática	 =	 0,1957.10-4	 m/s.kg;	 viscosidade	 dinâmica	 =	 17,92.10-6	
m²/s;	k	=	0,02781	W/m°C.	
Para	calcular	o	h,	usa-se	usar	o	Nu:	
	
	
	
Onde	Nu	é	calculado	em	função	de	Re	e	Pr	
	
[\	=	
ℎg	
	
	
(	
	
SB	=	
1QR=	
T	
=	
1,0924.35.0,0005	
0,1957.10−4	
=	976,85	−	e@GMC@_	
T/0	 W	 17,92.10−6.	1007,4	
Pr	=	
(	
=	
Z	
→	^_	=	
0,02781	
=	0,649
	
4	
1	 	1	 5	 5	
[\	=	0,3	+	
0,62SB2Pr3	 SB	 8	
1	[1	+	(
28200
)	]	
4	
(1	+	(
	0,4
		))	
^_3	
	
4	
1	 1	 5	5	
	 	 	
0,62.	976,852.	0,6493	 976,85	8	[\	=	0,3	+	 [1	+	(	
	
	 	
19,3778.0,86579	
[1,12225]4/5
	
	
	
 1	
4	
(1	+	(
	0,4
	 ))	
0,6493	
16,7771	
28200
)	]
	
=	0,3	+	 1	
(1,5336)4	
	
	
Para	determinar	o	h:	
=	0,3	+	
1,11283	
1,0966	=	16,8324	
	
ℎg	
[\		=		
(
	
ℎ0,5.10−3	 F	
16,8324	=	
0,02781	
→	ℎ	=	936,27	
G2J