Livro - Sistemas de Acionamento Estático de Máquina Elétrica

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Sistemas de Acionamento Estático de Máquina
Elétrica
Cursino Brandão Jacobina
Campina Grande, PB, Brasil
c©Cursino Brandão Jacobina, Junho de 2005
Sistemas de Acionamento Estático de Máquina
Elétrica
Cursino Brandão Jacobina
Junho de 2005
Campina Grande, PB, Brasil, Junho de 2005
Conteúdo
1 Introdução geral 4
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 6
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Prinćıpio de funcionamento da máquina CC . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Modelo da máquina CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Representação no tempo do modelo dinâmico . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.4 Modelo de regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Análise no tempo e na frequência da máquina CC . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Partida do motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Controle de velocidade do motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Controlador de velocidade com ação direta na tensão . . . . . . . . 15
2.5.2 Controle em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Fonte de tensão de alimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Modelo da máquina de corrente alternada 27
3.1 Introdução geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Equações gerais das máquinas trifásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Convenções, hipóteses e notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Expressões dos fluxos, tensões, conjugado e potência . . . . . . . . . 28
3.3 Representação odq da máquina trifásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Definição da transformação odq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Expressões dos fluxos, tensões e conjugado em odq . . . . . . . . . . 32
3.3.3 Interpretação f́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.4 Representação bifásica dq da máquina ativa . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.5 Escolha da posição ou referencial para os eixos dq . . . . . . . . . . 37
3.4 Representação complexa ou vetorial dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Aplicação às máquinas asśıncrona e śıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 Máquina asśıncrona (indução) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.2 Máquina Śıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
CONTEÚDO 2
4 Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 44
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Caracteŕısticas de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Modelos dinâmicos da máquina asśıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1 Modelos dinâmicos cont́ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 Modelos dinâmicos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.3 Modelo mecânica de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Fonte de alimentação estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Sistema de aquisição e controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 54
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Estratégias de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Controle por escorregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1 Controle por escorregamento com o fluxo rotórico . . . . . . . . . . 56
5.3.2 Controle por escorregamento com fluxo estatórico . . . . . . . . . . 58
5.4 Controle em quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.1 Controle em quadratura com o fluxo rotórico . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.2 Controle em quadratura com o fluxo estatórico . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Controle de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 Projeto dos controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 Estimação do fluxo magnético da máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.8 Complexidade de implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.9 Resultados de simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.10 Resultados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Controle de corrente da máquina asśıncrona 73
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Modelo dinâmico para o controle de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Controle de corrente com histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Controle de corrente com histerese independente . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.5 Controle com histerese vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.6 Controladores de corrente linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.7 Controladores para sistemas monofásicas ou trifásicos desbalanceados . . . 79
6.8 Estudo dos controladores de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 86
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2 Prinćıpios do comando PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Modulação vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4 Modulação escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.5 Relação entre as modulações vetorial e escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 94
CONTEÚDO 3
8 Tópicos especiais 97
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.4 Detecção e compensação de falhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.5 Sistemas de acionamento com número reduzido de componentes . . . . . . 99
Caṕıtulo 1
Introdução geral
1.1 Introdução
A máquina de corrente cont́ınua (CC) apresenta caracteŕısticas dinâmicas e de operação
bastante favoráveis para a realização de acionamentos elétricos à velocidade variável. En-
tretando, devido algumas limitações construtivas, principalmente o comutador de corrente
mecânico, ela vem sendo substitúıda pelas máquinas de corrente alternada (CA), que dis-
pensam esse tipo de comutador por terem sistemas de alimentação estáticos. De qualquer
forma, existe um grande número destas máquinas já em operação e portanto é necessário
estudá-las. Também, em função de ser um processo f́ısico de fácil compreensão, modelo
bastante simples e de forte apelo intuitivo, a máquina CC é muito importante para o en-
tendimento dos sistemas de acionamentos com as máquinas CA, cujos modelos são muito
mais complexos.
A máquina asśıncrona é uma máquina de corrente alternada que apresenta carac-
teŕısticas bastante apreciadas para a realização de acionamentos estáticos a velocidade
variável: robustez, simplicidade de construção e baixo preço comparativo com as de-
mais máquinas. Entretanto, sua análise é complexa pois requer o estudo de um sis-
tema multivariável e não linear. Os primeiros esquemas deacionamentos com máquina
asśıncrona eram do tipo escalar e baseados em modelos de regime permanente, tal como
o Volts/Hertz, apresentando fraco desempenho dinâmico. No intuito de desenvolver sis-
temas de acionamento de alto desempenho, têm sido investigadas estratégias de controle
que assegurem o desacoplamento entre o controle do fluxo e do conjugado. Explorando
convenientemente o modelo da máquina, é posśıvel obter este desacoplamento utilizando
abordagens ditas vetoriais. Por exemplo, controlando o fluxo rotórico da máquina, pela
componente da corrente estatórica em fase com o fluxo, e o conjugado eletromagnético
por meio da componente da corrente estatórica ortogonal ou em quadratura com o fluxo,
denominado controle por orientação pelo campo. Neste texto os sistemas de acionamento
com máquina asśıncrona são apresentados baseando-se numa classifição genérica para as
estratégias de controle. Na classificação apresentada aqui, as estratégias de controle são
agrupadas em duas categorias denominadas: controle por escorregamento e controle em
quadratura. A formulação e a classificação adotadas são suficientemente genéricas e in-
cluem tanto as estratégias clássicas quanto as estratégias modernas do tipo vetorial. As
estratégias de controle apresentadas nesta classificação são estudadas e comparadas com
4
Caṕıtulo 1. Introdução geral 5
o controle por orientação pelo campo.
Nas estratégias de controle vetorial, particularmente aquelas em que o fluxo rotórico é
controlado, o controle das correntes estatóricas é de importância fundamental. Em geral,
os controladores de corrente são baseados num modelo dinâmico invariante de primeira
ordem (siso) relacionando a corrente estatórica com a tensão estatórica e uma variável
de perturbação.
A alimentação da máquina em tensão é normalmente realizada comandando o inver-
sor por modulação de largura de pulso (PWM). A alimentação da máquina por tensão
PWM introduz harmônicos na corrente e no conjugado e perdas no conversor estático
e na máquina. Estas distorções harmônicas e as perdas dependem do método de mod-
ulação empregado. Neste texto são apresentadas as técnicas de PWM digitais mais usuais,
classificadas em modulação escalar e vetorial, e feita a relação entre elas.
Este texto é dividido em sete caṕıtulos, denominados com se segue:
Caṕıtulo 1: Introdução geral
Caṕıtulo 2: Acionamento com máquina de corrente cont́ınua
Caṕıtulo 3: Modelo da máquina de corrente alternada
Caṕıtulo 4: Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona
Caṕıtulo 5: Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona
Caṕıtulo 6: Controle de corrente da máquina asśıncrona
Caṕıtulo 7: Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso
Caṕıtulo 8: Tópicos especiais
Os sistemas de acionamento com máquina de corrente cont́ınua são tratados no Caṕıtulo
2, enquanto os sistemas de acionamento com máquina asśıncrona são tratados nos Caṕıtulos
3 a 7. No Caṕıtulo 8 são apresentadas tópicos adicionais relativos a sistemas de aciona-
mento de alto desempenho.
Caṕıtulo 2
Acionamento com máquina de
corrente cont́ınua
2.1 Introdução
A máquina de corrente cont́ınua (CC) apresenta caracteŕısticas dinâmicas e de operação
bastante favoráveis para a realização de acionamentos elétricos à velocidade variável. En-
tretando, devido algumas limitações construtivas, principalmente o comutador mecânico
de corrente, ela vem sendo substitúıda pelas máquinas de corrente alternada (CA), que dis-
pensam esse tipo de comutador por terem sistemas de alimentação estático. De qualquer
forma, existe um grande número destas máquinas em operação e portanto é necessário
estudá-las. Também, em função de ser um processo f́ısico de fácil compreensão, modelo
bastante simples e de forte apelo intuitivo, a máquina CC é muito importante para o en-
tendimento dos sistemas de acionamentos com as máquinas CA, cujos modelos são muito
mais complexos.
O acionamento estático com máquina de corrente cont́ınua é constitúıdo por uma
máquina CC, uma fonte de tensão estática de alimentação controlada, sistema de controle
e medição. Neste caṕıtulo, serão apresentados o prinćıpio de funcionamento e o modelo
dinâmico do motor CC, o sistema de controle e a fonte de alimentação.
2.2 Prinćıpio de funcionamento da máquina CC
A máquina de corrente cont́ınua é constitúıda por dois circuitos magnéticos principais (cf.
Fig. 2.1):
i ) Um circuito magnético estacionário (estator) de excitação magnética, dito de campo
ou excitação, alimentado por uma fonte de tensão cont́ınua de potência despreśıvel.
ii) Um circuito magnético rotativo (rotor), dito de armadura, alimentado por uma
fonte de tensão cont́ınua, correspondente ao estágio de potência principal.
A bobina de campo, percorrida por uma corrente ie, cria um fluxo λe = leie, no sentido
indicado na Fig. 2.1. A bobina de armadura também cria um fluxo unidirecional λa = laia,
mesmo com a rotação do rotor. Isto é decorrente da ação do comutador mecânico que
comuta as correntes entre as espiras da bobina mantendo o eixo mágnético sempre na
mesma direção. Esta operação pode ser imaginada como se o rotor fosse composto de
6
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 7
λ
a
e
λ
ieve
va
ia ce
c m
ωr
carga
ca
+
_
+
_
θ
estator
rotor
Figura 2.1: Motor de corrente cont́ınua.
várias bobinas girantes e, a cada instante, apenas a bobina que se encontra na posição
vertical fosse percorrida pela corrente ia criando o fluxo λa.
Observe que os fluxos λe e λa só dependem das suas próprias correntes. Isto se deve a
uma caracteŕıstica das máquinas elétricas onde o valor do fluxo, a partir do eixo magnético
da bobina, segue uma distribuição senoidal. Assim, por exemplo, o fluxo a um ângulo
θ da bobina de campo é dado por λ′e(θ) = k
′
eie cos(θ), onde k
′
e é uma constante. Esta
formulação também é válida para a bobina de armadura. Como as bobinas de campo e
de armadura estão a π/2 rads (i.e., θ = π/2) elas não possuem fluxo mútuo.
Apesar do fluxo da bobina de campo que chega na bobina de armadura na sua posição
vertical ser nulo, suas espiras estão girando no campo λe e portanto elas vêem um campo
variável λ′e(t) = keλe cos(θ) (onde ke é uma constante de acoplamento), portanto uma
tensão ea é induzida nestas bobinas devido a rotação (força contra-eletromotriz de rotação,
fcem) que pode ser calculada pela lei de Faraday ou Lenz. A fcem ea é dada por
ea =
dλ′e(t)
dt
∣∣
θ=−π/2 = −keλesen(θ)dθ
dt
∣∣
θ=−π/2 = keλeωr (2.1)
onde ωr = dθ/dt é a velocidade do rotor.
O modelo elétrico para a bobina de armadura é então dado por
va = raia +
dλa
dt
+ ea = raia + la
dia
dt
+ ea (2.2)
onde raia é a queda de tensão ôhmica na resistência da bobina, λa = laia é o fluxo na
bobina e ladia/dt é a tensão induzida própria da bobina devido a variação de sua corrente.
Na bobina de campo não é induzida nenhuma tensão, porque a bobina de campo é fixa
e o campo criado pela armadura também é fixo na direção ortogonal. O modelo elétrico
para bobina de campo é dado por
ve = reie +
dλe
dt
= reie + le
die
dt
(2.3)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 8
v a
ia
ra la
ea v e
ie
re le
Figura 2.2: Circuito equivalente.
onde reie é a queda de tensão ôhmica na resistência da bobina, λe = leie é o fluxo na bobina
e ledie/dt é a tensão induzida própria da bobina devido a variação de sua corrente.
Baseado nas equações (2.2) e (2.3), pode-se deduzir diretamente os circuitos elétricos
equivalentes para a armadura e o campo da máquina CC, conforme ilustrado na Fig. 2.2.
A depender de sua aplicação uma máquina elétrica girante pode funcionar como ger-
ador ou como motor. A função de uma máquinaelétrica operando como motor é transfor-
mar energia elétrica em mecânica, a qual é fornecida à carga. Para que esta transformação
ocorra é necessário que um conjugado eletromagnético, ce, seja criado e aplicado no rotor,
onde uma carga mecância, ou uma fonte de energia mecânica, é acoplada, desenvolvendo
um conjugado mecânico resistente cm.
O conjugado eletromagnético é uma grandeza muito importante, pois a boa operação
da máquina depende, dentre outros fatores, diretamente dele. O conjugado eletromagnético,
nas máquinas elétricas, é criado pela tendência do fluxo rotórico se alinhar com o fluxo
estatórico. Genericamente, o conjugado eletromagnético é proporcional ao módulo do
produto vetorial entre o fluxo estatórico e o rotórico:
ce = k
′
c |λa × λe| = k′cλaλesen(θae) = k′cλaλe (2.4)
onde θae = π/2 é o ângulo entre λa e λe e k
′
c é uma constante. Substituindo λa = laia e
introduzindo uma nova constante kc = lak
′
c tem-se outra expressão para o conjugado:
ce = kcλeia (2.5)
Estas expressões para o conjugado permitem observar três aspectos importantes:
i) O máximo conjugado por fluxo é obtido na máquina CC, pois os fluxos são ortogonais
(sen(θae) = 1).
ii) Fica claro a necessidade do comutador mecânico, já que ele permite que o fluxo
criado no rotor seja unidirecional, apesar do rotor girar continuamente. Se não houvesse
comutador, a bobina rotórica se alinharia com a estatórica e o conjugado se anularia
(θae = 0).
iii) Por simplicidade considerou-se que o número de par de pólos da máquina (P ) é
uńıtário, caso contrário o conjugado passaria a ser expresso por ce = Pkcλeia
Observando os circuitos de excitação da Fig. 2.2 observa-se que toda a potência
fornecida pela fonte de alimentação de excitação, tensão ve, é dissipada na resistência re.
Já a potência fornecida (ou recebida) pela fonte de tensão va é parte dissipada em ra e
parte recebida (ou fornecida) pela fonte ea. A potência elétrica fornecida (ou recebida)
Nady
Pencil
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 9
pela armadura da máquina é dada por pe = eaia. Desprezando-se ainda as perdas eletro-
magnéticas internas da máquina, a potência elétrica é igual a potência mecânica no eixo
da máquina, i.e., pm = ceωr. As constantes ke e kc são aproximadamente iguais. De fato,
substituindo-se as expresões de ea e ce na igualdade pe = pm, obtém-se que ke = kc.
Uma vêz o modelo elétrico deduzido, resta a obtenção do modelo mecânico de movi-
mento. Este modelo é obtido aplicando-se a segunda lei de Newton no eixo da máquina,
i.e., a força resultante aplicada a um corpo é igual a sua massa vezes sua aceleração.
Observando a Fig. 2.1, pode-se escrever
ce − cm − Fmωr = Jm dωr
dt
(2.6)
onde Fmωr é o conjugado de atrito, ca, que se opõe ao movimento, nos mancais do
rotor (aproximadamente proporcional a velocidade) e no ar e Jm é o momento de inércia
da máquina. Como se trata de um movimento circular, aparecem na lei de Newton a
velocidade angular ωr e o momento de inércia Jm.
2.3 Modelo da máquina CC
Baseado na análise da seção anterior são apresentados em seguida os modelos da máquina
CC em suas várias apresentações.
2.3.1 Representação no tempo do modelo dinâmico
Baseado nas equações anteriores o modelo dinâmico da máquina pode ser apresentado
como se segue:
Equações elétricas:
va = raia + la
dia
dt
+ ea (2.7)
ve = reie + le
die
dt
(2.8)
Equação mecânica de movimento:
ce − cm − Fmωr = Jm dωr
dt
(2.9)
onde:
ce = keλeia
ea = keλeωr
λe = leie
As variáveis e parâmetros relacionados nas equações acima são:
ia: corrente de armadura [A], va: tensão de armadura [V ],
ea: força contra-eletromotriz [V ], ve: tensão de excitação [V ], λe: fluxo de excitação
[Wb]
ce: conjugado eletromagnético [Nm], cm: conjugado de carga [Nm]
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 10
ωr: velocidade angular do eixo [rad/s]
ra: resistência da armadura [Ω], re: resistência de excitação [Ω]
la: indutância de armadura [H ], le: indutância de excitação [H ]
ke: constante de máquina [MKS], Fm: coeficiente de atrito [MKS]
Jm: momento de inércia da máquina [MKS]
2.3.2 Modelo de estado
Quando se considera a tensão ve constante, a corrente ie e o fluxo λe se estabelecem e
permanecem constantes. O modelo dinâmico da máquina se simplifica, sendo representado
apenas pelas equações (2.7) e (2.9). Neste caso, a representação do modelo dinâmico da
máquina de corrente cont́ınua na forma de equações de estado (dx/dt=Ax+Bu) é dado
por:
dx
dt
=
[ −ra/la −keλe/la
keλe/Jm −Fm/Jm
]
x +
[
1/la 0
0 −1/Jm
]
u (2.10)
onde
x =
[
ia
ωr
]
e u =
[
va
cm
]
Quando a velocidade é a variável de sáıda a equação de sáıda (y =Cx+Du) se escreve:
ωr =
[
0 1
]
x (2.11)
Observe que os estados escolhidos neste modelo foram estados f́ısicos da máquina: a
corrente de armadura e a velocidade. A corrente de armadura e a velocidade informam
sobre a energia magnética armazenada na bobina de armadura (lai
2
a/2) e a energia cinética
armazenada no rotor (Jmω
2
r/2), respectivamente.
2.3.3 Função de transferência
Aplicando-se a transformada de Laplace no modelo de estado, obtém-se
sX (s) −
[ −ra/la −keλe/la
keλe/Jm −Fm/Jm
]
X (s) =
[
1/la 0
0 −1/Jm
]
U (s)
X (s) =
[
s + ra/la keλe/la
−keλe/Jm s + Fm/Jm
]−1 [
1/la 0
0 −1/Jm
]
U (s)
[
Ia(s)
Ωr(s)
]
=
[
Gia(s) Gim(s)
Ga(s) Gm(s)
] [
Va(s)
Cm(s)
]
onde
Ga(s) =
Ka
(T1s + 1) (T2s + 1)
(2.12)
Gm(s) = − Km (Tas + 1)
(T1s + 1) (T2s + 1)
(2.13)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 11
e T1 = −1/s1 e T2 = −1/s2 são as constantes de tempo do motor e os pólos são dados por
s1,2 =
(sa + sm) ±
√
(sa − sm)2 + 4k1k2
2
(2.14)
com
sa = −ra/la
sm = −Fm/Jm
k1 = keλe/la
k2 = −keλe/Jm
Ka =
keλe
k2eλ
2
e + raFm
Km =
ra
k2eλ
2
e + raFm
2.3.4 Modelo de regime permanente
Aplicando a condição de regime permanente no modelo de estado (termos em d/dt = 0),
obtém-se.
ia =
FmKm
ra
va + Kacm (2.15)
ωr = Kava − Kmcm (2.16)
Observa-se que a corrente ia aumenta com va e cm e ωr aumenta com va e diminui com
cm.
2.4 Análise no tempo e na frequência da máquina CC
A caracterização do motor CC é apresentada aqui no domı́nio do tempo, por meio da
resposta ao degrau, e no domı́nio da frequência, por meio do diagrama de Bode. Inicial-
mente, é determinada a evolução no tempo da corrente de armadura ia e da velocidade ωr
para degraus unitários de tensão e de conjugado mecânico. Em seguida, é determinada a
resposta em frequência do motor, visualizada por meio do diagrama de Bode.
2.4.1 Partida do motor
Nas figuras 2.3 e 2.4 são apresentadas as respostas da corrente e velocidade do motor
(expressos em pu), com pólos reais e complexos, para o seguinte padrão de entrada:
[0 < t < tmax/2 −→ va = 1; cm = 0 tmax/2 < t < tmax −→ va = 1; cm = 1]
Nady
Pencil
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
2
4
6
8
10
12
14
Corrente de armadura Ia
t [s]
ia
 [A
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Velocidade angular Wm
t [s]
w
m
 [r
ad
/s
]
Figura 2.3: Resposta no tempo. Corrente e velocidade na partida do motor - Pólos reais
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
−4
−2
0
2
4
6
8
Corrente de armadura Ia
t [s]
ia
 [A
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
1.5
2
Velocidade angular Wm
t [s]
w
m
 [r
ad
/s
]
Figura 2.4: Resposta no tempo. Corrente e velocidade na partida do motor - Pólos
complexos
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 13
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
Corrente Ia / Tensao Va − Modulo
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Velocidade Wm / Tensao Va − ModuloFigura 2.5: Resposta em frequência. Amplitude da corrente e velocidade do motor - Pólos
reais
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
Corrente Ia / Tensao Va − Modulo
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Velocidade Wm / Tensao Va − Modulo
Figura 2.6: Resposta em frequência. Amplitude da corrente e velocidade do motor - Pólos
complexos
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 14
Controlador
 Processo
 Dinâmico
(variável de entrada)
 sinal de
 referência
variável 
de saída
Controlador
 Processo
 Dinâmico
(variável de entrada)
variável 
de saída
 +
_
(a) Malha aberta
(b) Malha fechada
 sinal de
 referência
Σ
Figura 2.7: Controlador e processo a ser controlado: (a) controlador sem realimentação e
(b) controlador com realimentação.
2.4.2 Resposta em frequência
Nas figuras 2.5 e 2.6 são apresentadas os diagramas de Bode da amplitude da corrente
e da velocidade do motor, com pólos reais e complexos, para entrada senoidal de tensão
(cm = 0).
2.5 Controle de velocidade do motor CC
Um sistema de controle, ou simplesmente controlador, pode ser definido como um dis-
positivo que permite obter a resposta desejada da variável do processo a ser controlado
(variável de sáıda do processo). Em geral, pode-se considerar dois tipos de controladores:
com ou sem realimentação da variável de sáıda. O controlador sem realimentação, ou de
malha aberta (”feedforward controller”), controla a variável de sáıda do processo sem sua
medição (Fig. 2.7a). O controlador com realimentação, ou de malha fechada (”feedback
controller”), utiliza a medição da variável de sáıda que se deseja controlar (Fig. 2.7b).
A função do motor CC em acionamentos a velocidade variável é impor à uma carga
mecânica qualquer no eixo do motor, representada pelo conjugado mecânico cm, uma ve-
locidade desejada ω∗r , dita velocidade de referência. A tensão de alimentação va é a variável
de entrada de comando que permite alterar a velocidade, considerada na sáıda do pro-
cesso. Na figura 2.8 é apresentado um diagrama de blocos do sistema motor e controlador
com realimentação. A tensão de alimentação va também afeta a corrente de armadura ia.
Outras variáveis f́ısicas importantes do processo são o conjugado eletromagnético ce, pro-
porcional à corrente ia, e o conjugado mecânico cm, que pode ser considerado como uma
pertubação no controle de ωr. Tensão, corrente, velocidade e conjugados são grandezas
f́ısicas do motor que devem ser mantidas dentro de certos limites máximos em função da
capacidade da máquina.
Nesta seção são estudados controladores de velocidade para o motor CC: controlador
em malha aberta, controlador PID (sem malha interna de corrente/conjugado) e contro-
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 15
dx /dt = A x + B u
 y = C x
u = [va cm ]
x = [ia ω r ]
T
T
y = ω r
ω
Motor CC
r
va
cm
ωr*
Controlador
Carga
Mecânica
Fonte de
Tensão
cm = perturbação= comandova
ωr = saídaωr = saída de referência
*
Figura 2.8: Controle em malha fechada da máquina de corrente cont́ınua.
lador em cascata (com malha interna de corrente/conjugado).
O controle de velocidade discutido aqui assume que o fluxo de excitação da máquina é
imposto constante por meio da alimentação da bobina estatórica com tensão de excitação
ve constante.
A alimentação em tensão do motor CC é realizada por meio de fontes de tensão CC
controladas (cf. a seção 2.6). Uma fonte de tensão de armadura de potência define a tensão
va e uma fonte de excitação, de baixa potência, define a tensão ve. Em alguns casos, para
efeito do cálculo dos controladores, será considerado que as fontes de alimentação são
ideais, isto é, a fonte segue a referência desejada instantaneamente e com ganho unitário.
2.5.1 Controlador de velocidade com ação direta na tensão
Controlador de velocidade em malha aberta
O controlador em malha aberta é uma alternativa conceitualmente bastante simples, prin-
cipalmente se é utilizado apenas o modelo do processo na sua forma estática, i.e., de regime
permanente.
Assim, da expressão da velocidade em regime permanente do motor CC, termos d/dt
no modelo de estado iguais a zero, obtém-se:
v∗a =
1
Ka
ω∗r +
Km
Ka
cm (2.17)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 16
�
�r*
K
+
+
v
Motor
Fonte
+
cm
m
*a
Ka
1
Ka
�r*
Figura 2.9: Diagrama de blocos do motor CC com controle sem realimentação.
onde v∗a e ω
∗
r são a tensão e a velocidade de referência e
Ka =
keλe
k2eλ
2
e + raFm
Km =
ra
k2eλ
2
e + raFm
Utilizando-se esta expressão pode-se definir o controlador em malha aberta. Na figura
2.9 é apresentado o diagrama de blocos do sistema completo com o controlador, fonte e
motor CC. Note que nos controladores em geral a sua sáıda, aqui a tensão referência de
alimentação do motor v∗a, é limitada para proteger o processo que está sendo controlado.
O controlador em malha aberta necessita a medição do conjugado mecânico cm (per-
turbação) e supõe que o modelo do motor CC e seus parâmetros sejam exatamente aqueles
do motor CC real. Se estas condições não são sastisfeitas, existirá um erro de regime per-
manente eω = ω
∗
r - ωr. Em geral, devido a estas importantes limitações, a utilização
prática isolada deste tipo de controlador não é recomendada. No restante deste caṕıtulo
só serão discutidos os controladores com realimentação.
Controlador de velocidade PID
Para assegurar que o erro estacionário do sistema em malha fechada, com uma entrada do
tipo degrau, seja zero, é necessário que ao menos uma das partes da função de transferência
do controlador do diagrama da figura 2.10 possua um pólo em s = 0 (integrador).
O controlador do tipo PI com função de transferência D(s) = kp + ki/s tem um pólo
em s = 0, que assegura um erro estacionário nulo, e um zero em s = −ki/kp.
Para o dimensionamento das constantes kp e ki do controlador PI pode-se utilizar
uma técnica de projeto baseada no cancelamento do pólo dominante (mais lento) do
sistema e alocação dos pólos do sistema em malha fechada segundo o comportamento
dinâmico especificado. Este procedimento simplifica a dedução dos valores dos ganhos do
controlador.
Todavia, com o controlador PI não é posśıvel alocar os pólos de malha fechada de
modo a obter um sistema mais rápido do que o sistema em malha aberta ou independente
dos pólos do motor.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 17
Kp
_
+ Motor
c
ω rωv* a
m
Fonte
*
+Σ
r
Ki
Σ
++
d/dtKd
+
Figura 2.10: Sistema de controle com o controlador PID.
O controlador PID, apresentado na figura 2.10, é mais adequado para o controle de
velocidade do motor de corrente cont́ınua que o controlador PI. A motivação inicial da
introdução do termo derivativo deω/dt é fazer com que o controlador aja já na variação
do erro, permitindo assim a obtenção de um sistema em malha fechada mais rápido que
o PI. A função de transferência do controlador PID idealizado é dada por:
D(s) = kp +
ki
s
+ kds (2.18)
onde
Dp(s) = kp (2.19)
Di(s) =
ki
s
(2.20)
Dd(s) = kds (2.21)
O termo derivativo kds do diagrama de blocos da figura 2.10, por razões práticas, não
pode ser realizado de forma exata. Observe que um dispositivo f́ısico que implementasse
exatamente esse termo deveria responder com um impulso δ(t) quando a entrada fosse um
degrau unitário. Deste modo, considerações práticas determinam que a implementação
do termo derivativo seja feita, p. ex., pela seguinte função de transferência:
Da(s) = − kdpds
s − pd =
kds
sTd + 1
(2.22)
A expressão (2.22) representa uma aproximação para o derivador exato da expressão
(2.21). Isso pode ser verificado tomando o limite da expressão (2.22)quando pd tende
para menos infinito ou Td (Td = −1/pd) tende para zero:
lim
pd → −∞
Da(s) = Dd(s) (2.23)
O valor de pd é um parâmetro de projeto que determina a qualidade do derivador
implementado com a equação (2.22). O projetista deve arbitrar um valor de pd levando em
consideração as limitações f́ısicas do sistema controlado, e.g., tensão, corrente e aceleração
máximas do motor.
O diagrama de blocos deste controlador é apresentado na figura 2.11.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 18
Gm(s)
+
++
Ga(s)
ωr* ωr
cm
va
Σ Σ
_
Kp + Ki + sKd
sTd + 1s
Figura 2.11: Diagrama de blocos do controlador PID.
Função de transferência do controlador PID aproximado é dada por
D(s) = Kp +
Ki
s
+
Kds
sTd + 1
(2.24)
D(s) =
Ki{s2(TdKp + Kd)/Ki + s(TdKi + Kp)/Ki + 1}
s(Tds + 1)
(2.25)
A expressão (2.25) tem dois pólos, um em s = 0 e outro em s = pd = −1/Td, e dois
zeros. A localização dos zeros depende dos valores dos ganhos Kp, Ki, Kd.
Com a introdução do termo derivador real, o controlador PID tem ampliada sua con-
ceituação inicial (possibilitar uma resposta de controle rápida devido ao termo derivativo).
De fato, com esta formulação este controlador permite alocar os pólos de malha fechada
de modo a obter um sistema resultante em malha fechada com pólos independentes dos
pólos do motor.
Na técnica de projeto utilizada cancela-se os dois pólos do sistema e ajusta-se o valor
de Td para se alocar os pólos de malha fechada no valor desejado (independente dos pólos
do motor).
Função de transferência de malha aberta com PID Função de transferência de
malha aberta (3a ordem) é dada por
Ωr(s)
Eω(s)
= Go(s) =
Ka
T1T2s2 + (T1 + T2)s + 1
Ki{s2(TdKp + Kd)/Ki + s(TdKi + Kp)/Ki + 1}
s(Tds + 1)
Introduzindo as condições de cancelamento:
(TdKp + Kd)/Ki = T1T2 (2.26)
(TdKi + Kp)/Ki = (T1 + T2) (2.27)
A função de transferência de malha aberta com cancelamento (2a ordem) é dada por:
Ωr(s)
Eω(s)
= Go(s) = D(s)Ga(s) =
KiKa
s (Tds + 1)
(2.28)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 19
Gfm(s)
+
+
Gfa(s)
ωr* ωr
cm
Σ
Figura 2.12: Diagrama de blocos em malha fechada do motor com controlador PID.
Função de transferência de malha fechada com PID A função de transferência
de malha fechada (Fig. 2.12) é dada por:
Ωr(s)
Ω∗r(s)
= Gf(s) =
Go(s)
1 + Go(s)
=
KiKa
s (Tds + 1) + KiKa
(2.29)
Ωr(s)
Cm(s)
= Gfm(s) =
Gm(s)
1 + Go(s)
= − Kms (Tds + 1) (Tas + 1)
[s (Tds + 1) + KiKa] (T1s + 1) (T2s + 1)
(2.30)
O erro de regime permanente para degraus de entrada (Ω∗r(s) = Ω
∗
r/s e Cm(s) = Cm/s)
é nulo, calculado por:
Ωr = [lim
s→0
Gf (s)]Ω
∗
r + [lim
s→0
Gfm(s)]Cm = Ω
∗
r −→ erro nulo (2.31)
Cálculo final dos parâmetros do controlador PID Para obter pólos de malha
fechada reais idênticos (sf = −1/2Td), tem-se que
Tds
2 + s + KiKa = Td(s − sf )2 −→ Ki = 1
4KaTd
Considerando também as relações de cancelamento dos pólos do motor (2.26) e (2.27),
tem-se os parâmetros finais do controlador:
Td = −1/2sf (pólo de malha fechada sf)
Ki =
1
4KaTd
(condição pólos reais idênticos)
Kp = (T1 + T2 − Td)/4KaTd
Kd = [T1T2 − (T1 + T2 − Td)Td]/4KaTd
(condição de cancelamento)
Lugar das ráızes dos pólos de malha fechada com PID A figura 2.13 apresenta
o lugar das ráızes dos pólos de malha fechada do motor com o controlador PID.
A evolução dos pólos com Ki crescente tem a seguinte sequência: ’pólos de malha
aberta - pólos reais idênticos - pólos complexos’. Observe que é posśıvel alocar os pólos
de malha fechada independente dos pólos do motor.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 20
Im
Re
s1
Ki
0
Ki
s2 2Td-1/Td-1/
Figura 2.13: Lugar das ráızes de malha fechada do sistema controlador PID e motor CC.
Resposta no tempo - controlador PID A resposta do motor CC mais controlador
para variações da referência de velocidade (degrau, rampa, senoidal) e do conjugado
mecânico (degrau) é utilizada para caracterizar o funcionamento dinâmico do sistema
em malha fechada.
Nas figuras seguintes são apresentados os resultados de simulação do motor com con-
trolador PID em dois valores para Td: Td = T2/10 e Td = T2/50. O seguinte padrão de
entrada foi utilizado:
0 < t < tmax/2 −→ ω∗r = 1, cm = 0
tmax/2 < t < tmax −→ ω∗r = 1, cm = 1
2.5.2 Controle em cascata
Na seção anterior o controle da velocidade do motor CC foi realizado comandando-se di-
retamente a tensão va de armadura. Entretanto, é posśıvel controlar o conjugado eletro-
magnético ce e a partir deste controlar a velocidade. No caso desta máquina o conjugado
eletromagnético é proporcional à corrente de armadura ia. Portanto, controlando-se a cor-
rente controla-se o conjugado da máquina. O controle da corrente apresenta a vantagem
de permitir uma proteção de sobre-corrente mais efetiva da máquina.
Este método em que se controla uma variável interna e a partir desta a variável de
sáıda, objetivo final do controle, é denominado de controle em cascata. Para que isto
possa ser feito é necessário que a malha interna de controle seja mais rápida que a malha
externa. Isto é posśıvel porque em geral a constante de tempo mecânica (Tm = Jm/Fm)
é bem superior a constante de tempo elétrica (Ta = la/ra). Por exemplo, para a máquina
CC utilizada Tm ∼= 150s e Ta ∼= 30ms.
Além da proteção mais efetiva da máquina o controle em cascata permite o cálculo
dos controladores baseado em funções de transferência mais simples, já que o sistema é
subdividido.
Nesta seção será estudado o controle em cascata como apresentado no diagrama da
Figura 2.16. Este esquema possui um controlador de velocidade e um controlador interno
de corrente. Os controladores são do tipo PI (Controlador Proporcional Integral), cujas
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 21
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
20
40
60
80
Corrente de armadura Ia
t [s]
A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Velocidade angular Wm
t [s]
ra
d/
s
Figura 2.14: Resposta no tempo com o Controlador PID (Td = T2/10).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
100
200
300
400
Corrente de armadura Ia
t [s]
A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Velocidade angular Wm
t [s]
ra
d/
s
Figura 2.15: Resposta no tempo com o Controlador PID (Td = T2/50).
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 22
+
_
+
_
_
MOTOR CC
++_
mc
+
vG 1G 2G
+
ek e�piiG�piG
ar
i�
eG
* *
aê ae
r�
ai
� �� �
Figura 2.16: Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor CC com controle
interno de corrente.
_
_ ++
vG 1GpiiG +
eG
+
ae
ai *
� � �
av*av‘* av
‘ ai
aê
Figura 2.17: Diagrama de blocos do controle de corrente do motor CC.
entradas são: o erro entre a velocidade de referência (ω∗m) e a velocidade atual (ωm),
para o controlador de velocidade externo, e o erro entre a corrente de referência (i∗a) e
a corrente atual (ia), para o controlador de corrente interno. Observa-se que a sáıda
do controlador de velocidade é quem define a corrente de referência para o controle de
corrente. A limitação do valor máximo desta corrente de referência permite limitar a
corrente máxima na máquina, portanto protegendo-a.
Cálculo do controlador de corrente
A figura 2.17. apresenta o diagrama referente ao controle da corrente de armadura.
A equação elétrica do motor CC é dada por
va = raia + la
dia
dt
+ ea (2.32)
O termo de fcem ea = keλeωm depende da velocidade e será considerado como uma
perturbação para permitir um cálculo simples do controlador, ou seja, utilizando um
modelo de primeira ordem para o máquina. Isto é posśıvel porque a velocidade, e portanto
ea, evolui mais lentamente que a corrente. Definindo-se a tensão v
′
a = va − ea, pode-se
escrever a equação (2.32) como
v′a = raia + la
dia
dt
(2.33)
Aplicandoa Transformada de Laplace a equação (2.33), obtém-se a função de trans-
ferência de primeira ordem para o controle da corrente.
Ia(s) =
1/ra
Tas + 1
V ′a(s) = G1(s)V
′
a(s) (2.34)
No cálculo dos controladores da seção anterior se considerou que a fonte de tensão
que alimenta o motor era ideal. Entretanto na prática ela possui pelo menos um pequeno
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 23
atraso, traduzido por uma contante de tempo Tv. Um modelo simples para esta fonte é
dado por
Va(s) =
1
Tvs + 1
V ∗a (s) = Gv(s)V
∗
a (s) (2.35)
Como v′a = va − ea e de acordo com a figura 2.17, tem-se
V ′a(s) = V
∗
a (s)Gv(s) − Ea(s) (2.36)
Substituindo-se V ∗a (s) = V
′∗
a (s) + E
∗
a(s)Ge(s) (cf. figura 2.17) em (2.36) obtém–se:
V ′a(s) = V
′∗
a (s)Gv(s) + E
∗
a(s)Ge(s)Gv(s) − Ea(s) (2.37)
Para que a compensação de ea seja perfeita Ge(s) = 1/Gv(s) e E
∗
a(s) = Ea(s), neste
caso a equação (2.37) torna-se:
V ′a(s) = V
′∗
a (s)Gv(s) (2.38)
Substituindo-se V ′a(s), dado em (2.38), na equação (2.34), obtém-se a função de trans-
ferência corrente-tensão de referência:
Ia(s) =
1/ra
(Tas + 1)(Tvs + 1)
V ′∗a (s) = Gi(s)V
′∗
a (s) (2.39)
A constante de tempo Tv é muito pequena e não deve ser compensada. Assim, pode-se
utilizar preferencialmente um controlador PI.
A função de transferência que representa o controlador PI de corrente é dada por:
Gpii(s) = kpi +
kii
s
=
kii(skpi/kii + 1)
s
(2.40)
A função de transferência de malha aberta com o controlador PI é então:
Goi = Gpii(s)Gi(s) =
(kii/ra)(skpi/kii + 1)
s(Tas + 1)(Tvs + 1)
(2.41)
Cancelando-se o pólo do sistema elétrico do motor com o zero do PI (Ta = kpi/kii), a
função de transferência de malha aberta (FTMA) Goi se escreve:
Goi(s) =
kia
s(Tvs + 1)
(2.42)
onde kia = kii/ra.
Logo, a função de transferência de malha fechada (FTMF) Gfi é dada por:
Gfi(s) =
kia
s(Tvs + 1) + kia
=
kia
Tvs2 + s + kia
(2.43)
A exemplo do caso anterior, o ganho kii é escolhido de forma que a FTMF tenha pólos
reais idênticos em malha fechada, neste caso kii = ra/(4Tv). A função de malha fechada
da corrente resultante é dada então por:
Ia(s) = Gfi(s)I
∗
a(s) =
1
(2Tvs + 1)2
I∗a(s) (2.44)
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 24
+ +
_
_ 2
G�piG fiG
mc
r�
*
ai *
� �
ai r�
ek e�
Figura 2.18: Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor CC.
Para simplificar o cálculo do controlador de velocidade (cf. a seção seguinte), aproxima-
se a função de transferência (2.44), sistema de segunda ordem, por um sistema de primeira
ordem, e assim obtém-se:
Ia(s) = Gfi(s)I
∗
a(s)
∼= 1
T ′vs + 1
I∗a(s) (2.45)
onde T ′v = 4Tv
Observa-se que para que o sistema de controle seja totalmente consistente com o
procedimento de cálculo é necessário que a fcem ea seja compensada na sáıda do con-
trolador, por meio da sua medição (êa). Para a fonte de tensão modelada como um
atraso de primeira ordem não é posśıvel fazer Ge(s) = 1/Gv(s), teria-se que utilizar uma
aproximação. É comum na prática o sistema funcionar sem compensação, pois ea varia
lentamente. Neste caso é o próprio controlador que compensa ea. Quando a compensação
é feita diretamente pelo controlador, ele é calculado fazendo-se ea = 0 no modelo do pro-
cesso. Este procedimento, entretanto, não modifica os ganhos calculados anteriormente
para o controlador. Na próxima seção é apresentado o cálculo do controlador de veloci-
dade, onde a perturbação (conjugado mecânico) é anulada no cálculo do controlador.
Cálculo do controlador de velocidade
A figura 2.18 apresenta o diagrama referente ao controle de velocidade.
A equação mecânica de movimento do motor é dada por:
ce − cm = Jmdω
dt
+ Fmωm (2.46)
Para simplificar o cálculo do controlador, o conjugado mecânico é considerado uma
perturbação, assim tem-se:
c′e = ce − cm = Jm
dω
dt
+ Fmωm (2.47)
Aplicando-se a Transformada de Laplace
Ωm(s) =
(1/Fm)
Tms + 1
C ′e(s) = G2C
′
e(s) (2.48)
Assumindo que a compensação de cm seja realizada pelo próprio controlador, faz-se
Cm = 0 e C
′
e(s) = Ce(s) = keλeIa(s). Introduzindo-se em (2.48) a função de transferência
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 25
do controle de corrente, equação (2.45), obtém-se:
Ωm(s) =
keλe/Fm
(1 + sTm)(T ′vs + 1)
I∗a(s) = GωI
∗
a(s) (2.49)
A constante de tempo T ′v ainda é muito pequena e não deve ser compensada. Assim,
utiliza-se também um controlador PI na malha externa. A função de transferência do
controlador PI externo é dada por:
Gpiω(s) = kpω +
kiω
s
=
kiω(skpω/kiω + 1)
s
(2.50)
De acordo com o diagrama da figura 2.18, tem-se que a função de transferência de
malha aberta Goω(s) é dada por:
Goω(s) = Gpiω(s)Gω(s) =
kim(skpω/kiω + 1)
s(1 + sTm)(T ′vs + 1)
(2.51)
onde kim = kiωkeλe/Fm.
Cancelando o pólo do sub-sistema mecânico do motor com o zero do controlador de
velocidade (Tm = kpω/kiω), tem-se:
Goω(s) =
kim
s(T ′vs + 1)
(2.52)
Portanto a função de transferência de malha fechada Gfω é dada por:
Gfω(s) =
kim
s(T ′vs + 1) + kim
=
kim
T ′vs2 + s + kim
(2.53)
Fazendo kiω = Fm/(16keλeTv), a FTMF terá pólos reais idênticos em malha fechada,
dada por:
Ωm(s) = Gfω(s)Ω
∗
m(s) =
1
(2T ′vs + 1)2
Ω∗m(s) (2.54)
2.6 Fonte de tensão de alimentação
A alimentação em tensão do motor CC é realizada por meio de uma fonte de tensão CC
controlada. Nas figuras 2.19 e 2.20 são apresentados dois exemplos de fontes de tensão
para acionamento com motor CC: retificador trifásico e conversor fonte de tensão bifásico.
No caso do retificador, a tensão CC gerada, va(cc), e a sua parte CA, va(ac), possuem
as seguintes caracteŕısticas:
va(cc) = V cos(α); va(cc) ∈ [−V, V ]
va(ac) −→ 180Hz
onde α é o ângulo de gatilho do conversor. A corrente ia é sempre positiva.
No caso do conversor fonte de tensão a tensão CC gerada, va(cc), e a sua parte CA,
va(ac), possuem as seguintes caracteŕısticas:
va(cc) = (
τ
T
− 1
2
)E; va(cc) ∈ [−E/2, E/2]
va(ac) −→ 10kHz − 50kHz
onde τ é a largura de pulso do conversor. A corrente ia pode ser positiva ou negativa.
Caṕıtulo 2. Acionamento com máquina de corrente cont́ınua 26
Retificador a Tiristor
v
eg1 eg2 eg3
lg lg lg
+
_ _ _
+ +
vg1 vg2 vg3
ig1 ig2 ig3
Mt.CC
T1 T2 T3
T4 T5 T6
a
+
_
ia
Retificador
v eie
_
+
Sistema trifásico (3φ)
Figura 2.19: Retificador trifásico e máquina de corrente cont́ınua.
q
5
q
6
q
8
q
7
C
E
_
Conversor Chaveado
v Mt.CCa
+
_
ia
Retificador
v eie
_
+
Re
tif
ic
ad
or
3φ
C
+
Figura 2.20: Conversor bifásico fonte de tensão e máquina de corrente cont́ınua.
Caṕıtulo 3
Modelo da máquina de corrente
alternada
3.1 Introdução geral
A resolução anaĺıtica dos sistemas de equações referentes aos circuitos elétricos acoplados
magneticamente é penosa, mesmo se estas equações são a coeficientes constantes. Este
tipo de resolução torna-se impraticável se os coeficientes variam em função do tempo, o
que é o caso das máquinas girantes. Assim, são necessárias transformações de variáveis
que permitam obter relações entre as novas variáveis mais simples que aquelas existentes
entre as variáveis reais.
O objetivo deste caṕıtulo é apresentar representações dinâmicas que facilitem o estudo
de sistemas com máquinas de corrente alternada śıncrona e asśıncronas.
3.2 Equações gerais das máquinas trifásicas
3.2.1 Convenções, hipóteses e notações
A máquina trifásica estudada ao longo deste caṕıtulo (Fig. 3.1a) obedece as seguintes
considerações:
Convenções e hipóteses:
• Máquina simétrica trifásica composta por: três fases no estator idênticas de ı́ndices
s1, s2, e s3; três fases no rotor idênticas de ı́ndices r1, r2 e r3.
• Ângulos elétricos entre bobinas de estator ou rotor igual a 2π/3 radianos elétricos.
• Correntes ”positivas” criam fluxos positivos no sentidodo eixo (Fig.3.1b).
• Convenção receptor.
• Máquina bipolar: número de par de pólos P = 1, no caso multipolar θr = Pθm.
• Distribuição senoidal do fluxo magnético.
27
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 28
• Entreferro constante: comprimento do circuito magnético servindo para o cálculo
da indutância é independente do ângulo θm, ou seja, máquina a pólos lisos.
• Máquina não saturada (coenergia (W’) igual a energia (W)), podendo-se escrever
para o fluxo total e conjugado:
λt =
∑
λi (fluxo total igual a soma dos fluxos parciais) e
ce = dW/dθm.
v
s1
s2
s3
r1r2
r3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
vr
r
i r2
r
vr1
r
vr3
r
i r3
r
i r1
r
sn
sn
sn
rn
rn
rn
θr
δg
d
i k
g n
k
gv
+ -
λk
g
k
gv i g= krk
λgkd
dt
+
função das correntes 
e indutância 
λgk
(a)
(b)
ωr
c
ce
m
Figura 3.1: Máquina simétrica trifásica (a) e convenções utilizadas para as grandezas da
máquina em uma bobina (b).
Notações:
vss , v
r
r ; i
s
s, i
r
r e λ
s
s, λ
r
r: tensões, corrente e fluxos nas bobinas do estator e rotor, re-
spectivamente. O expoente s e r indica o referencial utilizado: s → estator e rotor r →
rotor.
Ls, Lr: indutância própria de uma bobina do estator e do rotor, respectivamente
(Ls1 = Ls2 = Ls3 = Ls e Lr1 = Lr2 = Lr3 = Lr).
Ms, Mr: indutância mútua entre duas bobinas do estator e entre duas bobinas do
rotor, respectivamente (Ms12 = Ms23 = Ms31 = Ms e Mr12 = Mr23 = Mr31 = Mr).
Msrcos(θi): indutância mútua entre uma bobina do estator e uma do rotor separadas
por um ângulo θi (repartição senoidal da indução electromagnética no entreferro).
Rs, Rr: resistências de uma bobina do estator e do rotor respectivamente. (Rs1 =
Rs2 = Rs3 = Rs e Rr1 = Rr2 = Rr3 = Rr).
3.2.2 Expressões dos fluxos, tensões, conjugado e potência
Expressões dos fluxos
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 29
Não havendo saturação, pode-se somar os fluxos parciais para obter o fluxo total em
uma bobina. Assim, tem-se para a armadura trifásica do estator:
λss1 = Lsi
s
s1 +Msi
s
s2 +Msi
s
s3 +Msrcos(θr)i
r
r1 +Msrcos(θr +2π/3)i
r
r2 +Msrcos(θr +4π/3)i
r
r3
(3.1)
λss2 = Msi
s
s1 +Lsi
s
s2 +Msi
s
s3 +Msrcos(θr +4π/3)i
r
r1 +Msrcos(θr)i
r
r2 +Msrcos(θr +2π/3)i
r
r3
(3.2)
λss3 = Msi
s
s1 +Msi
s
s2 +Lsi
s
s3 +Msrcos(θr +2π/3)i
r
r1 +Msrcos(θr +4π/3)i
r
r2 +Msrcos(θr)i
r
r3
(3.3)
Os fluxos do rotor λr1, λr2 e λr3 podem ser escritos de forma análoga.
Os fluxos por armadura podem ser escritos em forma matricial, obtendo-se a seguinte
representação:
λss123 = Lssi
s
s123 + Lsri
r
r123 (3.4)
λrr123 = Lrsi
s
s123 + Lrri
r
r123 (3.5)
onde:
iss123 =
⎡⎣ iss1iss2
iss3
⎤⎦ irr123 =
⎡⎣ irr1irr2
irr3
⎤⎦ λss123 =
⎡⎣ λss1λss2
λss3
⎤⎦ λrr123 =
⎡⎣ λrr1λrr2
λrr3
⎤⎦
Lss =
⎡⎣ Ls Ms MsMs Ls Ms
Ms Ms Ls
⎤⎦ Lrr =
⎡⎣ Lr Mr MrMr Lr Mr
Mr Mr Lr
⎤⎦
Lsr = Msr
⎡⎣ cos(θr) cos(θr + 2π/3) cos(θr + 4π/3)cos(θr + 4π/3) cos(θr) cos(θr + 2π/3)
cos(θr + 2π/3) cos(θr + 4π/3) cos(θr)
⎤⎦
Lrs = Msr
⎡⎣ cos(θr) cos(θr + 4π/3) cos(θr + 2π/3)cos(θr + 2π/3) cos(θr) cos(θr + 4π/3)
cos(θr + 4π/3) cos(θr + 2π/3) cos(θr)
⎤⎦
As matrizes indutâncias possuem as seguintes propriedades:
• Lss e Lrr são matrizes simétricas,
• Lsr e Lrs não são matrizes simétricas, mas circulantes, isto é, xi,j = xi+1,j+1,
• Lsr = L Trs , uma matriz é a transposta da outra.
O sistema (3.4)-(3.5) pode ser ainda escrito de forma mais compacta.
λ = L i (3.6)
onde
i =
[
is123 ir123
]T
λ =
[
λs123 λr123
]T
L =
[
Lss Lsr
Lrs Lrr
]
Expressões das tensões
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 30
As orientações das bobinas, por convenção, são de tal forma que uma corrente positiva
cria um fluxo positivo (sentido do eixo) (Fig.3.1b). Assim, pode-se escrever:
vi =
dλ
dt
onde vi é a tensão induzida nos terminais da bobina, antes da queda de tensão resistiva, (
vi = −efcem , onde efcem a f.c.e.m ) e λ é o fluxo na bobina. Visto a escolha da convenção
receptor:
v = Ri + vi = Ri +
dλ
dt
Assim, para a máquina trifásica pode-se escrever em termos das matrizes:
vss123 = Rsi
s
s123 +
dλss123
dt
(3.7)
vrr123 = Rri
r
r123 +
dλrr123
dt
(3.8)
onde:
vss123 =
[
vss1 v
s
s2 v
s
s3
]T
vrr123 =
[
vrr1 v
r
r2 v
r
r3
]T
A partir da equação matricial dos fluxos pode-se escrever as equações das tensões:
vss123 = Rsi
s
s123 + Lss
diss123
dt
+ Lsr
dirr123
dt
+ ωr
[
dLsr
dθr
]
irr123 (3.9)
vrr123 = Rri
r
r123 + Lrr
dirr123
dt
+ Lrs
diss123
dt
+ ωr
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.10)
onde: ωr = dθr/dt é a velocidade do rotor em rad.elétricos/s.
Ou ainda de forma mais geral
v = R i + L
di
dt
+ ωr
[
dL
dθr
]
i (3.11)
onde:
v =
[
vs
vr
]
Rs = RsI3 Rr = RrI3 R =
[
Rs 03
03 Rr
]
onde I3 e 03 são as matrizes identidade e zeros de ordem 3x3, respectivamente.
A soma dos termos diferenciais da corrente em (3.11) é a tensão induzida de trans-
formação e o termo em ωr é a tensão induzida de rotação.
Expressão do conjugado eletromagnético
A expressão geral para energia é dada por:
W =
1
2
i
T
L i (3.12)
O conjugado é obtido diferenciando-se esta expressão em relação ao ângulo mecânico
θm:
ce =
dW
dθm
(3.13)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 31
Substituindo em (3.13) a expressão da energia (3.12), tem-se:
ce =
1
2
i
T
[
dL
dθm
]
i =
P
2
i
T
[
dL
dθr
]
i (3.14)
Como as sub-matrizes Lss e Lrr de L são independentes do ângulo elétrico θr, escreve-se
então:
ce =
P
2
[
iss123
irr123
]T [
03 dLsr/dθr
dLrs/dθr 03
] [
iss123
irr123
]
(3.15)
ou
ce =
P
2
isTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123 +
P
2
irTr123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.16)
Como ce é um número c
T
e = ce e como para duas matrizes A e B quaisquer (ABC)
T =
CT BT AT , então:
P
2
isTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123 =
P
2
irTr123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.17)
Como Lsr = L
T
rs , obtém-se:
ce = Pi
sT
s123
[
dLsr
dθr
]
irr123 (3.18)
ce = Pi
rT
r123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (3.19)
Expressão da potência instantânea
A expressão da potência total instantânea é dada por:
p = i
T
v (3.20)
Substituindo-se o valor de v dado em (3.11), obtém-se:
p = i
T
R i + i
T
L
di
dt
+ ωri
T
[
dL
dθr
]
i (3.21)
O termo diferencial da corrente corresponde a potência de transformação e o termo
em ωr corresponde a potência de rotação.
3.3 Representação odq da máquina trifásica
3.3.1 Definição da transformação odq
Dado o modelo da máquina trifásica representado pelas equações de fluxo (3.4)-(3.5),
de tensão (3.7)-(3.8) e de conjugado (3.18), pode-se definir uma transformação para as
variáveis da máquina (fluxo, corrente ou tensão) de tal forma a representá-la por um
modelo mais simples que o trifásico primitivo.
Uma transformação de variáveis é definida pela operação:
x123 = Pxodq (3.22)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 32
onde x123 é a variável antiga a ser transformada e xodq é a variável nova. A matriz P é
denominada matriz de transformação e deve ser regular (P
−1
, sua inversa, existe).
Considerando-se uma matriz P s para o estator e outra P r para o rotor, pode-se escrever
para uma variável x qualquer (ou seja, os fluxos, as correntes ou as tensões do estator ou
do rotor):
xss123 = P sx
g
sodq (3.23)
xrr123 = P rx
g
rodq (3.24)
onde:
xgsodq =
[
xso x
g
sd x
g
sq
]T
xrodq =
[
xro x
g
rd x
g
rq
]T
O expoente g, introduzido agora, serve para indicar o referencial genérico dos eixos dq.
Este expoente mudará em função do referencial dq utilizado, exemplos: estator g → s,
rotor g → r, campo girante g → e.
Um conjunto de matrizes P s e P r adequadas para a obtenção de uma nova repre-
sentação mais simples que a representação trifásica primitiva pode ser obtida fazendo-se:
P s =
√
2
3
⎡⎣ 1/
√
2 cos(δg) −sen(δg)
1/
√
2 cos(δg − 2π/3) −sen(δg − 2π/3)
1/
√
2 cos(δg − 4π/3) −sen(δg − 4π/3)
⎤⎦ (3.25)
P r =
√
23
⎡⎣ 1/
√
2 cos(δg − θr) −sen(δg − θr)
1/
√
2 cos(δg − θr − 2π/3) −sen(δg − θr − 2π/3)
1/
√
2 cos(δg − θr − 4π/3) −sen(δg − θr − 4π/3)
⎤⎦ (3.26)
Nota-se que P
−1
s = P
T
s e P
−1
r = P
T
r , ou seja as matrizes de transformação são
ortogonais.
3.3.2 Expressões dos fluxos, tensões e conjugado em odq
Expressões dos fluxos em odq
Dada a expressão dos fluxos estatóricos (3.4) e as equações de transformação (3.23)-(3.24)
pode-se escrever:
P sλ
g
sodq = LssP si
g
sodq + LsrP ri
g
rodq (3.27)
multiplicando ambos os lados da igualdade por P
−1
s , tem-se:
λgsodq = P
−1
s LssP si
g
sodq + P
−1
s LsrP ri
g
rodq (3.28)
ou ainda
λgsodq = Lssodqi
g
sodq + Lsrodqi
g
rodq (3.29)
onde
Lssodq =
⎡⎣ lso 0 00 ls 0
0 0 ls
⎤⎦ Lsrodq =
⎡⎣ 0 0 00 lm 0
0 0 lm
⎤⎦
com lso = Ls + 2Ms, ls = Ls − Ms e lm = (3/2)Msr.
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 33
De forma análoga obtém-se das relações (3.5) e (3.23)-(3.24) a nova expressão para os
fluxos rotóricos
λgrodq = Lrrodqi
g
rodq + Lrsodqi
g
sodq (3.30)
onde
Lrrodq =
⎡⎣ lro 0 00 lr 0
0 0 lr
⎤⎦ Lrsodq = Lsrodq =
⎡⎣ 0 0 00 lm 0
0 0 lm
⎤⎦
com lro = Lr + 2Mr, lr = Lr − Mr.
Observa-se que todas as novas matrizes indutâncias são diagonais constantes indepen-
dentes dos ângulos θr e δg. As indutâncias ls, lso, lr, lro e lm são denominadas indutâncias
ćıclicas.
Expressões das tensões em odq
Segundo a expressão das tensões estatóricas em (3.7) e as equações de transformação
(3.23)-(3.24), pode-se escrever:
vgsodq = P
−1
s rsP si
g
sodq + P
−1
s
d
dt
[
P sλ
g
sodq
]
(3.31)
vgsodq = rsi
g
sodq +
dλgsodq
dt
+ ωgP
−1
s
[
dP s
dδ
]
λgsodq (3.32)
vgsodq = rsi
g
sodq +
dλgsodq
dt
+ ωg
⎡⎣ 0 0 00 0 −1
0 1 0
⎤⎦λgsodq (3.33)
onde rs = Rs e ωg = dδg/dt.
De forma análoga, obtém-se das relações (3.8) e (3.23)-(3.24) a nova expressão da
tensão rotórica
vgrodq = rri
g
rodq +
dλgrodq
dt
+ (ωg − ωr)
⎡⎣ 0 0 00 0 −1
0 1 0
⎤⎦λgrodq (3.34)
onde rr = Rr.
Evidentemente, as equações (3.33)-(3.34) podem ser escritas em função unicamente
das correntes substituindo-se as matrizes fluxos pelos seus valores em (3.29)-(3.30).
Expressões do conjugado em odq
Utilizando-se a expressões do conjugado eletromagnético (3.18) e as equações de trans-
formação (3.23)-(3.24) pode-se escrever:
ce = Pi
gT
sodqP
T
s
[
dLsr
dθr
]
P ri
g
rodq (3.35)
Desenvolvendo-se esta expressão, obtém-se a seguinte expressão para o conjugado:
ce = P lm(i
g
sqi
g
rd − igsdigrq) (3.36)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 34
Expressões da potência em odq
Pode-se observar que a potência instantânea é invariante no caso da transformação ortog-
onal. De fato, pela definição da potência instantânea escreve-se:
p = iT v = ps123 + pr123 = i
sT
s123v
s
s123 + i
rT
r123v
r
r123 (3.37)
Por exemplo, para o estator, como iss123 = Pi
g
sodq e v
s
s123 = Pv
g
sodq escreve-se de (3.37)
para a potência estatórica ps123:
ps123 = i
gT
sodqP
T
Pvgsodq (3.38)
Desde que psodq = i
gT
sodqv
g
sodq, psodq será igual a ps123 se P
T
P = I3, o que é assegurado se a
matriz de transformação P é ortogonal (P
−1
= P
T
).
Observa-se que as variáveis xo (́ındice o), denominadas de homopolares, são propor-
cionais a soma das grandezas trifásicas originais (xo = (1/
√
3)(x1 +x2 +x3), portanto se a
máquina estiver operando de forma equilibrada (carga ou fontes de alimentação trifásica
equilibrada) estes componentes são nulos. Neste caso, o estudo da máquina se reduz ao es-
tudo dos componentes xgd e x
g
q , reduzindo-se a máquina trifásica a uma máquina bifásica
dq (cf. ı́tem seguinte). Também, se uma das armaduras estiver ligada em ”estrela”
(”triângulo”) não interconectado, a soma das correntes (tensões) trifásicas na armadura
é zero e portanto as variáveis homopolares correspondentes nesta armadura são nulas.
Finalmente, nota-se que o conjugado não depende dos componentes homopolares.
3.3.3 Interpretação f́ısica
A transformação odq corresponde a representar cada armadura trifásica original do estator
e do rotor por uma armadura bifásica dq, mais uma bobina isolada de ı́ndice o (Figura
3.2).
Para que a armadura bifásica seja equivalente a armadura trifásica, uma condição se
impõe: a indução no entreferro (p. ex. no ponto m) criada por cada armadura devem ser
iguais (Figura 3.2). Assim, tem-se, por exemplo, para a armadura estatórica:
• a indução resultante criada pela armadura trifásica no ponto m é dada por:
B3m = K3n3[i
s
s1 cos(γ) + i
s
s2 cos(γ − 2π/3) + iss3 cos(γ − 4π/3)] (3.39)
ou ainda
B3m = K3n3[(i
s
s1 −
1
2
iss2 −
1
2
iss3) cos(γ) + (
√
3
2
iss2 −
√
3
2
iss3)sen(γ)] (3.40)
• a indução resultante criada em m pela armadura bifásica é dada por:
B2m = K2n2[i
g
sd cos(γ − δg) + igsqsen(γ − δg)] (3.41)
ou ainda
B2m = K2n2[(i
g
sd cos(δg) − igsqsen(δg)) cos(γ) + (igsdsen(δg) − igsq cos(δgg))sen(γ)]
(3.42)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 35
Onde n3 e n2 são o número de espiras das bobinas da armadura trifásica e bifásica,
respectivamente, e K3 e K2 são constantes que dependem da estrutura geométrica da
máquina e do meio magnético. Estas constantes podem ser feitas idênticas, isto é, K3 =
K2.
v
s1
s2
s3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
γ
m
(a)
o sq
vsd
g
m
(a)
o
i sd
g
vsq
g
sd
i sq
g
s1
δg
ωg
sP
-1
sP
γ
iso
sov
+ -
λsoso
Figura 3.2: Armaduras trifásica e bifásica equivalentes.
Igualando-se a indução no ponto m devido a cada armadura, isto é B2m = B3m para
um γ qualquer, tem-se:
n2(i
g
sd cos(δg) − igsqsen(δg)) = n3(iss1 −
1
2
iss2 −
1
2
iss3)
n2(i
g
sdsen(δg) − igsq cos(δg)) = n3(
√
3
2
iss2 −
√
3
2
iss3)
ou ainda
igsd =
n3
n2
[iss1 cos(δg) + i
s
s2 cos(δg − 2π/3) + iss3 cos(δg − 4π/3)] (3.43)
igsq = −
n3
n2
[iss1sen(δg) + i
s
s2sen(δg − 2π/3) + iss3sen(δg − 4π/3)] (3.44)
Para que a transformação seja biuńıvoca é necessário introduzir uma terceira corrente,
a corrente homopolar io que é proporcional a soma das correntes trifásicas. A corrente
homopolar, deve ser proporcional a soma das correntes trifásicas de forma a não criar
indução no entreferro da máquina, condição para não ter aparecido na equivalência de
indução acima.
Introduzindo-se o componente homopolar e usando a equação (3.43)-(3.44), obtém-se
em forma matricial:⎡⎣ isoigsd
igsq
⎤⎦ = n3
n2
⎡⎣ k k kcos(δg) cos(δg − 2π/3) cos(δg − 4π/3)
−sen(δg) −sen(δg − 2π/3) −sen(δg − 4π/3)
⎤⎦ ⎡⎣ iss1iss2
iss3
⎤⎦ (3.45)
As constantes k e a relação n3/n2 podem ser escolhidas arbitrariamente. Aqui elas
são escolhidas de tal forma que a matriz de transformação seja ortogonal. Nesse caso
k = 1/
√
2 e n3/n2 =
√
2/3 obtendo-se a matriz P s anterior dada em (3.25).
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 36
De forma semelhante, pode-se deduzir a matriz P r, equação (3.26), substituindo-se
simplesmente δg por δg−θr. Portanto, a representação odq da máquina trifásica completa
pode ser vista, do ponto de vista dos fluxos, como a substituição da máquina trifásica
(Fig.3.3a) por um par de bobinas de eixo d (sd e rd), um par de bobinas de eixo q (sq e
rq) e mais duas bobinas isoladas, ditas homopolares, ı́ndice o (so e ro) (Fig.3.3b).
v
s1
s2
s3
r1r2
r3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
vr
r
i r2
r vr1
r
vr3
r
i r3
r
i r1
r
sn
sn
sn
rn
rn
rn
θr
(a)
sq
vsd
g
(b)
i sd
g
vrq
g
d
s1
ωg
vrd
g
i rd
g
vsq
gi rq
g
sP
-1
sP
i sq
g
rP
-1 P
r
iso
sov
+ -
λso
iro
rov
+ -
λ ro
so
ro
δg
Figura 3.3: Representação esquemática da transformação trif ásica-odq.
3.3.4 Representação bifásica dq da máquina ativa
Como foi visto, as correntes homopolares não criam indução no entreferro da máquina e
assim não dão origem ao conjugado eletromagnético. Os componentes dq caracterizam
a máquina ativae os componentes homopolares traduzem os desequiĺıbrios de sequência
zero da máquina trifásica, criados pela alimentação desequilibrada.
Considerando-se apenas os componentes dq na representação odq, pode-se escrever, a
partir das equações (3.33)-(3.34) e (3.29)-(3.30) a representação da máquina bifásica dq:
vgsdq = rsi
g
sdq +
dλgsdq
dt
+ ωg
[
0 −1
1 0
]
λgsdq (3.46)
vgrdq = rri
g
rdq +
dλgrdq
dt
+ (ωg − ωr)
[
0 −1
1 0
]
λgrdq (3.47)
λgsdq = lsi
g
sdq + lmi
g
rdq (3.48)
λgrdq = lri
g
rdq + lmi
g
sdq (3.49)
ce = P lm(i
g
sqi
g
rd − igsdigrq) (3.50)
Onde as variáveis estatóricas são dadas por:
vgsdq =
[
vgsd
vgsq
]
igsdq =
[
isd
isq
]
λgsdq =
[
λgsd
λgsq
]
e as variáveis rotóricas são semelhantes, obtidas destas trocando-se o ı́ndice s por r.
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 37
3.3.5 Escolha da posição ou referencial para os eixos dq
Algumas possibilidades de interesse para localização do par de eixos dq são:
• No estator, com o eixo d ligado ao estator segundo a fase s1, fazendo-se δg = 0
(ωg = 0). Levando, em regime permanente, a variáveis dq senoidais de frequência
igual a das correntes estatóricas.
• No rotor, com o eixo d ligado ao rotor segundo a fase r1, fazendo-se δg = θr
(ωg = ωr). Implicando, em regime permanente, em variáveis dq senoidais com a
mesma frequência das correntes rotóricas (p. ex., ωrs = ωr − ωs, frequência de es-
corregamento, se for uma máquina asśıncrona e zero se for uma máquina śıncrona).
• No campo girante fazendo-se ωg = ωs, que implica, em regime permanente, em
variáveis dq cont́ınuas.
3.4 Representação complexa ou vetorial dq
As variáveis dq podem ser representadas como vetores no plano dq, onde as partes real
e imaginária corresponde a suas coordenadas cartesianas ”x = d” e ”y = q”, respectiva-
mente.
Neste caso, pode-se introduzir uma variável complexa xg para representar os vetores
fluxo, tensão, ou corrente do estator ou rotor no plano dq definida como
xg =
1√
2
(xgd + jx
g
q) (3.51)
A partir das equações (3.46) a (3.50) e utilizando a definição (3.51) obtém-se o modelo
complexo equivalente ao modelo bifásico dq:
vgs = rsi
g
s +
dλgs
dt
+ jωgλ
g
s (3.52)
vgr = rri
g
r +
dλgr
dt
+ j(ωg − ωr)λgr (3.53)
λgs = lsi
g
s + lmi
g
r (3.54)
λgr = lri
g
r + lmi
g
s (3.55)
ce = 2lm Im(i
g
si
g∗
r ) = −2lm Im(ig∗s igr) (3.56)
= Pisφssen(δi − δa) = P
lm
lr
isφrsen(δi − δb) (3.57)
As variáveis e parâmetros relacionados a este modelo são definidas como se segue:
j =
√−1
vgs = v
g
sd + jv
g
sq: vetor tensão estatórica num referencial arbitrário ”g”
vss = v
s
sd + jv
s
sq: vetor tensão estatórica no referencial estatórico ”s”
vas = v
a
sd + jv
a
sq: vetor tensão estatórica no referencial fluxo estatórico ”a”
igs = i
g
sd + ji
g
sq: vetor corrente estatórica num referencial arbitrário ”g”
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 38
iis = is + j0: corrente estatórica no referencial corrente estatórica ”i”
iss = i
s
sd + ji
s
sq: vetor corrente estatórica no referencial estatórico ”s”
irs = i
r
sd + ji
r
sq: vetor corrente estatórica no referencial rotórico ”r”
ias = i
a
sd + ji
a
sq: vetor corrente estatórica no referencial fluxo estatórico ”a”
ibs = i
b
sd + ji
b
sq: vetor corrente estatórica no referencial fluxo rotórico ”b”
λgs = λ
g
sd + jλ
g
sq: vetor fluxo estatórico num referencial arbitrário ”g”
λas = φs + j0: fluxo estatórico no referencial fluxo estatórico ”a”
λss = λ
s
sd + jλ
s
sq: vetor fluxo estatórico no referencial estatórico ”s”
λgr = λ
g
rd + jλ
g
rq: vetor fluxo rotórico num referencial arbitrário ”g”
λbr = λr + j0: fluxo rotórico no referencial fluxo rotórico ”b”
λsr = λ
s
rd + jλ
s
rq: vetor fluxo rotórico no referencial estatórico ”s”
λrr = λ
r
rd + jλ
r
rq: vetor fluxo rotórico no referencial rotórico ”r”
λar = λ
a
rd + jλ
a
rq: vetor fluxo rotórico no referencial fluxo estatórico ”a”
ωg: frequência de rotação do referencial arbitrário
ωr: frequência de rotação do rotor
ωv: frequência de rotação do vetor tensão estatórica
ωi: frequência de rotação do vetor corrente estatórica
ωa: frequência de rotação do vetor fluxo estatórico
ωb: frequência de rotação do vetor fluxo rotórico
ωar = ωa − ωr: frequência de escorregamento do vetor fluxo estatórico
ωbr = ωb − ωr: frequência de escorregamento do vetor fluxo rotórico
δg: posição angular do referencial arbitrário
δr: posição angular do eixo magnético do rotor
δv: posição angular do vetor tensão estatórica
δi: posição angular do vetor corrente estatórica
δa: posição angular do vetor fluxo estatórico
δb: posição angular do vetor fluxo rotórico
ce: conjugado eletromagnético
cm: conjugado mecânico
ls: indutância ćıclica estatórica
lr: indutância ćıclica rotórica
lm: indutância ćıclica mútua
rs: resistência ohmica estatórica
rr: resistência ohmica rotórica
J : momento de inércia
F : coeficiente de atrito
P : número de pares de pólos
No caso particular da máquina trifásica primitiva alimentada por um sistema trifásico
de tensão equilibrado, tem-se para as tensões:
vss1 = Vm cos(ωst); v
s
s2 = Vm cos(ωst − 2π/3); vss3 = Vm cos(ωst − 4π/3)
Se o eixo d coincide com o eixo da fase 1 (δg = 0 e ωg = 0) e utilizando-se a matriz de
transformação P s obtém-se:
vssd =
√
3
2
Vm cos(ωst); v
s
sq =
√
3
2
Vmsen(ωst)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 39
ωg
ωa
ωb
ωr
ωiωv
δv
δi
δg δa
δb
δr
v s
s i s
s
λrs
v i
r r1
s1
s
b
a
d
λss
Figura 3.4: Diagrama vetorial instantâneo da máquina.
Utilizando-se a matriz de transformação (3.51), obtém-se o vetor girante dado por:
vss =
√
3
2
Vme
jωst
A representação complexa corresponde a representar a máquina trifásica ativa pelos
vetores girantes resultantes associados a cada variável da máquina (tensão, fluxo e cor-
rente). Assim, trata-se da representação mais sumária posśıvel para a máquina. Ela
facilita sobremaneira o estudo das máquinas trifásicas simétricas. Ela será tratada na
seção seguinte.
Na figura 3.4 é apresentado o diagrama vetorial instantâneo dos vetores tensão es-
tatórica (vss), corrente estatórica (i
s
s), fluxo estatórico (λ
s
s) e fluxo rotórico (λ
s
r) da máquina,
vistos do referencial estatórico (fase s1). Também, neste diagrama são indicados o eixo
magnético rotórico (fase r1) e o eixo d.
3.5 Aplicação às máquinas asśıncrona e śıncrona
3.5.1 Máquina asśıncrona (indução)
Na Fig. 3.5 é apresentada a máquina de indução. Note que a máquina de indução é obtida
a partir de uma configuração da alimentação particular da máquina CA cujo modelo foi
deduzido nas seções anteriores.
As bobinas estatóricas são alimentadas por um sistema trifásico equilibrado. As
tensões na fases da máquina podem ser expressas por:
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 40
v
s2
s3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
is1s
i s3
s
sn
sn
sn
v2m
r
= 0 v3m
r
= 0v1m = 0
r
(a) Estator da máquina de Indução
(b) Rotor da Máquina de Indução
λs
s
λs1s
λs2
s
λs3s
ωs
v10
s
= Vcos(wst) v20
s
v30
= Vcos(wst-120)
= Vcos(wst+120)
s
n
0
s1 s1
r1
r2
r3
i r3r
i r1r
rn
rn
θr
ωr
c
ce
m
ir2
r
rn
λr3r
λr1rλr2
r
λrr
v r1rvr2r
vr3
r
ωs ωr
m
132λs
s λrx
sce = K
Conjugado
l
Figura 3.5: Representação da máquina de indução (asśıncrona) ligada em Y-Y.
vs1 = (2/
√
3)Vs cos(ωst + φv) + v0n (3.58)
vs2 = (2/
√
3)Vs cos(ωst + φv − 2π/3) + v0n (3.59)
vs3 = (2/
√
3)Vs cos(ωst + φv + 2π/3) + v0n (3.60)
onde φv é um ângulo inicial constante e v0n é a tensão entre o neutro da fonte e da
máquina.
Aplicando-se a matriz de transformação P s (3.25) obtém-se:
vgso = 0 (3.61)
vgsd =
√
2Vs cos(ωst − δg + φv) (3.62)
vgsq =
√
2Vssen(ωst − δg + φv) (3.63)
Seescolhermos o referencial dq que gira com frequência ωs (indicado pelo expoente e),
então δg = ωst + δo, onde δo é um condição inicial constante, e tem-se:
veso = 0
vesd =
√
2Vs cos(φv − δo) =
√
2Vs cos(φso)
vesq =
√
2Vssen(φv − δo) =
√
2Vssen(φso)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 41
A máquina de indução (Y no rotor) possui tensões rotóricas iguais vrr1 = v
r
r2 = v
r
r3.
Aplicando-se a matriz de transformação e considerando-se o modelo homopolar do rotor,
obtém-se que vero = 0 e então v
r
r1 = v
r
r2 = v
r
r3 = 0 e v
e
rd = v
e
rd = 0.
Introduzindo-se ves =
1√
2
(vesd + jv
e
sq) e v
e
r = 0, obtém-se o seguinte modelo vetorial:
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s +
dλes
dt
+ jωsλ
e
s (3.64)
0 = rri
e
r +
dλer
dt
+ j(ωs − ωr)λer (3.65)
λes = lsi
e
s + lmi
e
r (3.66)
λer = lri
e
r + lmi
e
s (3.67)
ce = 2lm Im(i
e
si
e∗
r ) (3.68)
Regime permanente
No caso particular de regime permanente, como a entrada do sistema é contante
dλes/dt = 0 e dλ
e
r/dt = 0 e assim o sistema se simplifica para
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s + jωs(lsi
e
s + lmi
e
r) (3.69)
0 =
rr
s
ier +
j(ωs − ωr)
s
(lri
e
r + lmi
e
s) (3.70)
Estas equações corresponde ao circuito equivalente da Fig. 3.6, onde s = (ωs −ωr)/ωs
é o escorregamento da máquina.
is
jωslm
rr/s
jωs(ls
e
v s
e
lm) (l lm )jωs rr s
Figura 3.6: Circuito equivalente da Máquina de Indução.
3.5.2 Máquina Śıncrona
Na Fig. 3.7 é apresentada a máquina śıncrona. O modelo da máquina śıncrona é obtido
utilizando-se (3.58)-(3.60) e com vrr1 = V
′
f + vml, v
r
r2 = v
r
r3 = −V ′f/2 + vml. Aplicando-se
as matrizes de transformação P s e P r obtém-se:
vso = 0
vgsd =
√
2Vs cos(ωst − δg + φv) (3.71)
vgsq =
√
2Vssen(ωst − δg + φv)
vro = 0
vgrd =
√
2Vf cos(θr − δ)
vgrq =
√
2Vfsen(θr − δ)
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 42
v
s1
s2
s3
s2
s
vs1s
vs3
s
is2
s
i s1s
is3
s
sn
sn
sn
λss
λs1
s
λs2
s
λs3
s
ωs
λs
s λrx
sce = K
Conjugado
s1
r1
r2
r3
i r3r
i r1r
rn
rn
θr
ωr
c
ce
m
ir2
r
rn
v2m
r v
3m
rv1m = V f
 V f
2
= 
-
 V f
2
= -
f
2
 V
 V f
2
(c) Rotor da Máquina Síncrona
 V f
λr3r
λr1rλr2
r
λrr
v r1rvr2r
vr3
r
ωs ωr
(a) Estator da Máquina Síncrona
v10
s
= Vcos(wst) v20
s
v30
= Vcos(wst-120)
= Vcos(wst+120)
s
0
n
m
12 3
-
-
l
Figura 3.7: Representação da máquina śıncrona ligada em Y-Y.
onde Vf =
√
3
2
V ′f . Note que as tensões, estatóricas são semelhantes aquelas da máquina
de indução.
Escolhendo-se o mesmo referencial dq que gira com frequência ωs, δg = ωst+δo, tem-se:
vesd =
√
2Vs cos(φv − δo) =
√
2Vs cos(φvo)
vesq =
√
2Vssen(φv − δo) =
√
2Vssen(φvo)
vgrd =
√
2Vf cos((ωr − ωs)t + θo − δo)
vgrq =
√
2Vfsen((ωr − ωs)t + θo − δo)
Introduzindo ves = Vse
jφso
s e ver = Vfe
j((ωr−ωs)t+θo−δo)
s obtém-se o seguinte modelo vetorial
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s +
dλes
dt
+ jωsλ
e
s (3.72)
ver = Vfe
j((ωr−ωs)t+θo−δo)
s = rri
e
r +
dλer
dt
+ j(ωs − ωr)λer (3.73)
λes = lsi
e
s + lmi
e
r (3.74)
λer = lri
e
r + lmi
e
s (3.75)
ce = 2lm Im(i
e
si
e∗
r ) (3.76)
Regime permanente
Em regime permanente ωs = ωr, as tensões dq são constantes e dλ
e
s/dt = 0 e dλ
e
r/dt =
0. Assim, obtém-se o seguinte modelo vetorial para o regime permanente
Caṕıtulo 3. Modelo da máquina de corrente alternada 43
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s + jωr(lsi
e
s + lmi
e
r) (3.77)
ver = Vfe
jθro
s = rri
e
r (3.78)
Para o caso particular do referencial rotórico δ = θ (portanto δo = θo) e v
e
r = Vfe
j((ωr−ωs)t+θo−δo)
s =
Vf . Assim, de (3.78) determina-se diretamente a corrente rotórica if = i
r
r = Vf/r e a
relação (3.77) torna-se:
vrs = Vse
jφso
s = rsi
r
s + jωr(lsi
r
s + lmif ) (3.79)
Esta equação corresponde ao circuito equivalente da Fig. 3.8, onde Ef = jωrlmif é a
f.e.m da máquina.
is
jωsls
r
v s
r
r s
E f
+
-
Figura 3.8: Circuito equivalente da Máquina Śıncrona.
Caṕıtulo 4
Introdução ao acionamento com
máquina asśıncrona
4.1 Introdução
Este caṕıtulo introduz os sistemas de acionamento estático com a máquina asśıncrona
através da discussão dos seus prinćıpios de funcionamento e caracteŕısticas. Também,
são definidos os modelos da máquina e o sistema de acionamento utilizados nos caṕıtulos
subsequentes.
Inicialmente, são tratados os prinćıpios e as caracteŕısticas de funcionamento da máquina
asśıncrona. Em seguida, são apresentados modelos dinâmicos da máquina asśıncrona, na
sua versão cont́ınua e discreta. Finalmente, são discutidos os subsistemas de alimentação
estática e de medição e controle, usualmente empregados nos acionamentos.
4.2 Caracteŕısticas de funcionamento
A máquina asśıncrona é uma máquina de corrente alternada que apresenta caracteŕısticas
bastante apreciadas para a realização de acionamentos estáticos a velocidade variável:
robustez, simplicidade de construção e baixo preço comparativo com as demais máquinas.
Existem dois tipos de máquinas asśıncronas: de rotor em gaiola e de rotor bobinado. A
versão a rotor bobinado, devido ao sistema de alimentação mecânico, é menos popular
que a de rotor em gaiola. Uma caracteŕıstica da máquina asśıncrona a rotor bobinado é
que ela permite simular uma máquina universal, com alimentação trifásica em ambas as
armaduras rotórica e estatórica.
A velocidade mecânica da máquina ωr pode ser expressa por:
ωr =
ωr
P
= ωs − ωsr (4.1)
onde ωr e ωsr são a velocidade elétrica e a frequência das correntes rotóricas, respectiva-
mente, e P é o número de pares de pólos da máquina.
Segundo (4.1) é posśıvel variar a velocidade mecânica alterando-se o número de pares
de pólos. Entretanto, esta não é a forma usual de se variar continuamente a velocidade
mecânica da máquina. Ainda segundo (4.1), a velocidade pode ser modificada variando-se
a frequência das correntes estatóricas ωs ou a frequência das correntes rotóricas ωsr.
44
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 45
R
S
T
Cf
M O T O R C A M O T O R C C
C A R G A
R0
t im er
vs1
is 1
A/D
PPI
microcomputado r
rδ
1q 2q 3q
s is1
s
vs3
is3
s
s
s
is2s
is3
s
4q 5q 6q
7q
Figura 4.1: Sistema de acionamento com máquina asśıncrona.
Com ωs constante, é posśıvel variar ωsr diretamente, alimentando o rotor bobinado
com uma fonte de tensão, ou indiretamente, por meio da variação da amplitude das tensões
estatóricas ou modificando-se a resistência rotórica, no caso da máquina a rotor bobinado.
Atualmente, a variação da velocidade da máquina, operando com ωs constante, através
da variação da frequência rotórica só é utilizada em acionamentos com baixo desempenho
ou em aplicações de alta potência. Os sistemas Kramer e Scherbius são exemplos deste
último caso. A grande maioria dos acionamentos modernos com máquina asśıncrona se
servem da variação da frequência estatórica para o controle da velocidade da máquina.
A relação (4.1) indica que a variação do valor de ωs produz uma variação de ωr.
Entretanto, esta expressão é insuficiente para caracterizar o processo dinâmico de evolução
de ωr. Para se definir um sistema de controle de velocidade da máquina asśıncrona é
necessário considerar o modelo dinâmico completo da máquina (4.4)-(4.9). Este modelo
é bastante complexo e não-linear. Até poucos anos atrás, as estratégias de controle da
máquina asśıncrona eram do tipo escalar e baseadas no modelo da máquina em regime
permanente. Entretanto, atualmente é posśıvel controlar a velocidade da máquina com
desempenho dinâmico excelente, comparável a dinâmica da máquina de corrente cont́ınua,
utilizando estratégias de controle denominadas vetoriais (cf. Caṕıtulo 5).
A implementação das estratégicas de controle vetorial, mesmo o controle vetorial in-
direto de implementação simples, é realizada empregando-se microcomputadores. Os
acionamentosutilizam também uma fonte trifásica de frequência e amplitude variáveis,
com caracteŕısticas mais próximas posśıveis de uma fonte trifásica senoidal. A estrutura
de fonte estatórica mais largamente utilizada nos acionamentos é dada por um inversor
trifásico comandado em PWM, denominado VSI (”voltage source inverter”).
Na figura 4.1 é apresentado o diagrama de blocos simplificado do sistema de aciona-
mento considerado neste trabalho. Trata-se de um sistema padrão para acionamento com
máquina de corrente alternada. A máquina asśıncrona é acoplada a uma máquina CC que
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 46
constitui, neste caso, a carga mecânica. A alimentação da máquina é fornecida por um
inversor trifásico, usando chaves com abertura e fechamento comandados (transistores
bipolares, igbts, gtos, etc). O sinal de comando para o inversor é gerado utilizando-se
uma técnica PWM. A aquisição das variáveis, o controle e o comando do sistema de
acionamento são realizados por um microcomputador dotado de placas dedicadas com
conversores A/D e temporizadores programáveis (”timers”).
Doravante, a velocidade da máquina será referida através da sua velocidade elétrica
ωr. Nas seções seguintes serão discutidos com mais detalhes o sistema de acionamento
com máquina asśıncrona.
4.3 Modelos dinâmicos da máquina asśıncrona
A máquina asśıncrona foi apresentada no caṕıtulo anterior. Ela é constitúıda de uma ar-
madura trifásica estatórica e uma armadura rotórica separadas por um ângulo δr (veja a
figura 4.2a). Cada armadura é composta por três bobinas idênticas com eixos magnéticos
defasados de 120o ”elétricos”. A armadura rotórica gira a velocidade elétrica ωr = dδr/dt.
Devido a construção particular das bobinas, o fluxo criado nelas possui distribuição
senoidal a partir do seu eixo magnético. O entreferro da máquina é uniforme, de modo
que o fluxo mútuo entre as bobinas de uma mesma armadura não depende do ângulo δr.
Entretanto, devido a distribuição senoidal de fluxo, o fluxo mútuo entre as bobinas de ar-
maduras distintas são função do cosseno de δr e varia continuamente. A variação do fluxo
mútuo estator-rotor com o cosseno de δr leva a um modelo elétrico da máquina trifásica
com parâmetros variáveis: as indutâncias mútuas estator-rotor função de cossenos de δr.
Devido a esta caracteŕıstica, o modelo trifásico não é utilizado para o estudo dinâmico da
máquina asśıncrona.
4.3.1 Modelos dinâmicos cont́ınuos
Conforme apresentado no caṕıtulo anterior o modelo odq utilizado para a caracterização
da máquina é derivado do modelo trifásico por meio de uma transformação de base
xs123 = P (δg)xsodq; xr123 = P (δg − δr)xrodq (4.2)
Em (4.2) xs123 representa genericamente as variáveis estatóricas trifásicas (corrente, tensão
ou fluxo) e xsodq representa as variáveis equivalentes na nova base odq. xr123 e xrodq são
as variáveis rotóricas equivalentes. P (δg) e P (δg − δr) são as matrizes de transformação
para o estator e rotor, respectivamente, e δg é um ângulo transformação genérico, função
da escolha particular da base odq.
Genericamente a matriz P (δp), na forma conservativa de potência, é dada por [1]
P (δp) =
√
2/3
⎡⎣ 1/
√
2 cos(δp) −sen(δp)
1/
√
2 cos(δp − 2π/3) −sen(δp − 2π/3)
1/
√
2 cos(δp + 2π/3) −sen(δp + 2π/3)
⎤⎦ (4.3)
onde δp é um ângulo de transformação genérico: δp = δg para as grandezas estatóricas e
δp = δg − δr para as grandezas rotóricas.
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 47
v
s1
s2
s3
r1r2
r3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
vr
r
i r2
r vr1
r
vr3
r
i r3
r
i r1
r
sn
sn
sn
rn
rn
rn
δr
(a)
q
vsd
g
(b)
i sd
g
vrq
g
d
s1
ωg
vrd
g
i rd
g
vsq
gi rq
g
sP
-1
sP
i sq
g
rP
-1 P
r
iso
sov
+ -
λso
iro
rov
+ -
λ ro
so
ro
δg
Figura 4.2: Diagrama representativo da máquina trifásica (a) e dq (b).
Utilizando-se a representação odq obtém-se um novo modelo com parâmetros elétricos
constantes. A parte do modelo envolvendo as variáveis de ı́ndice o, denominada homopo-
lar, é totalmente desacoplada da variáveis de ı́ndices dq. Ademais, ela representa apenas
a contribuição da parcela das variáveis trifásicas idênticas nas três fases. Se as bobinas
trifásicas da máquina são ligadas em estrela sem conexão do neutro, a soma das cor-
rentes das três fases da máquina é nula e a corrente homopolar, que é proporcional a
soma das correntes trifásicas, também é nula. Assumindo-se a máquina simétrica, o mod-
elo dinâmico homopolar é dado por uma bobina linear isolada, assim obtém-se também
tensões e fluxos homopolares nulos. Também, se a máquina simetrica é ligada em delta
então os componentes homopolares são nulos. Nestes casos, a máquina trifásica pode ser
representada apenas pelas variáveis dq.
No que concerne a relação fluxo-corrente, o modelo dq pode ser interpretado como
sendo uma máquina bifásica com dois eixos magnéticos solidários e ortogonais d e q (Fig.
4.2b). Em cada eixo localiza-se uma bobina estatórica e outra rotórica. A ortogonalidade
entre estes eixos e a distribuição senoidal de fluxo implica que os fluxos mútuos entre os
dois eixos são nulos. A transformação de base ou de referencial introduz uma mudança
na posição inicial de pelo menos uma das armaduras trifásicas, que originalmente em
trifásico possuiam velocidade relativa diferente de zero. Assim, apesar dos fluxos das
bobinas de eixos d e q serem completamente desacoplados, existe um acoplamento no
modelo de tensão em função das correntes e/ou dos fluxos. O fluxo ou a corrente de um
eixo contribui para a tensão de outro eixo. Este efeito é semelhante ao encontrado na
máquina de corrente cont́ınua, onde os fluxos de armadura e de excitação só dependem
das suas próprias correntes, mas o modelo de tensão para o circuito de armadura depende
da corrente de excitação (devido a fcem ea, que depende da excitação). A representação
dq realiza função semelhante a do comutador numa máquina de corrente cont́ınua.
É posśıvel ainda representar as variáveis dq em termo dos seus vetores resultantes.
Esta representação permite escrever um modelo extremamente resumido para a máquina
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 48
e visualizá-la através dos vetores resultantes. Assumindo-se que a máquina asśıncrona é
simétrica, livre de saturação e com distribuição senoidal de fluxo, ela pode ser representada
por um modelo vetorial em um referencial genérico, indicado pelo expoente ”g”, conforme
derivado no caṕıtulo anterior:
vgs = rsi
g
s +
dφgs
dt
+ jωgφ
g
s (4.4)
0 = rri
g
r +
dφgr
dt
+ j(ωg − ωr)φgr (4.5)
φgs = lsi
g
s + lmi
g
r (4.6)
φgr = lri
g
r + lmi
g
s (4.7)
P (ce − cm) = J dωr
dt
+ Fωr (4.8)
ce = Pisφssen(δi − δa) = P
lm
lr
isφrsen(δi − δb) (4.9)
As variáveis e parâmetros relacionados a este modelo são definidas como se segue:
j =
√−1
vgs = v
g
sd + jv
g
sq: vetor tensão estatórica num referencial arbitrário ”g”
vss = v
s
sd + jv
s
sq: vetor tensão estatórica no referencial estatórico ”s”
vas = v
a
sd + jv
a
sq: vetor tensão estatórica no referencial fluxo estatórico ”a”
igs = i
g
sd + ji
g
sq: vetor corrente estatórica num referencial arbitrário ”g”
iis = is + j0: corrente estatórica no referencial corrente estatórica ”i”
iss = i
s
sd + ji
s
sq: vetor corrente estatórica no referencial estatórico ”s”
irs = i
r
sd + ji
r
sq: vetor corrente estatórica no referencial rotórico ”r”
ias = i
a
sd + ji
a
sq: vetor corrente estatórica no referencial fluxo estatórico ”a”
ibs = i
b
sd + ji
b
sq: vetor corrente estatórica no referencial fluxo rotórico ”b”
φgs = φ
g
sd + jφ
g
sq: vetor fluxo estatórico num referencial arbitrário ”g”
φas = φs + j0: fluxo estatórico no referencialfluxo estatórico ”a”
φss = φ
s
sd + jφ
s
sq: vetor fluxo estatórico no referencial estatórico ”s”
φgr = φ
g
rd + jφ
g
rq: vetor fluxo rotórico num referencial arbitrário ”g”
φbr = φr + j0: fluxo rotórico no referencial fluxo rotórico ”b”
φsr = φ
s
rd + jφ
s
rq: vetor fluxo rotórico no referencial estatórico ”s”
φrr = φ
r
rd + jφ
r
rq: vetor fluxo rotórico no referencial rotórico ”r”
φar = φ
a
rd + jφ
a
rq: vetor fluxo rotórico no referencial fluxo estatórico ”a”
ωg: frequência de rotação do referencial arbitrário
ωr: frequência de rotação do rotor
ωv: frequência de rotação do vetor tensão estatórica
ωi: frequência de rotação do vetor corrente estatórica
ωa: frequência de rotação do vetor fluxo estatórico
ωb: frequência de rotação do vetor fluxo rotórico
ωar = ωa − ωr: frequência de escorregamento do vetor fluxo estatórico
ωbr = ωb − ωr: frequência de escorregamento do vetor fluxo rotórico
δg: posição angular do referencial arbitrário
δr: posição angular do eixo magnético do rotor
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 49
ωg
ωa
ωb
ωr
ωiωv
δv
δi
δg δa
δb
δr
v s
s i s
s
λrs
v i
r r1
s1
s
b
a
d
λss
Figura 4.3: Diagrama vetorial instantâneo da máquina.
δv: posição angular do vetor tensão estatórica
δi: posição angular do vetor corrente estatórica
δa: posição angular do vetor fluxo estatórico
δb: posição angular do vetor fluxo rotórico
ce: conjugado eletromagnético
cm: conjugado mecânico
ls: indutância ćıclica estatórica
lr: indutância ćıclica rotórica
lm: indutância ćıclica mútua
rs: resistência ohmica estatórica
rr: resistência ohmica rotórica
J : momento de inércia
F : coeficiente de atrito
P : número de pares de pólos
Na figura 4.3 é apresentado o diagrama vetorial instantâneo dos vetores tensão es-
tatórica (vss), corrente estatórica (i
s
s), fluxo estatórico (φ
s
s) e fluxo rotórico (φ
s
r) da máquina,
vistos do referencial estatórico (fase s1). Também, neste diagrama são indicados o eixo
magnético rotórico (fase r1) e o eixo d.
A divisão da máquina em partes elétrica, (4.4)-(4.7), e mecânica (4.8) é posśıvel, já
que a evolução dinâmica da velocidade é, em geral, bem mais lenta que a evolução das
variáveis elétricas. Este desacoplamento permite representar a máquina por meio de um
modelo elétrico linear variante no tempo, (4.4)-(4.7), onde a velocidade ωr comporta-se
como um parâmetro variável.
Do modelo elétrico (4.4)-(4.7), observa-se que existem quatro variáveis de estado e
apenas duas equações diferenciais, (4.4) e (4.5). A utilização das relações de ligação (4.6)
e (4.7) permite eliminar as duas variáveis de estado excedentes, obtendo-se um sistema
de estado determinado. Três exemplos de modelos particulares foram selecionados. O
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 50
primeiro modelo utiliza os fluxos como variáveis de estado, denominado modelo a. O se-
gundo modelo tem a corrente estatórica e o fluxo rotórico como variáveis de estado, modelo
b. O terceiro modelo utiliza a corrente estatórica e a corrente de magnetização rotórica
(igrm = φ
g
r/lm) como variáveis de estado, modelo c. Estes modelos são apresentados em
seguida:
Modelo a: fluxo estatórico - fluxo rotórico
Substituindo-se em (4.4) e (4.5) as corrente em função dos fluxos, obtidos de (4.6) e
(4.7), tem-se:
vgs =
rs
σls
φgs +
dφgs
dt
+ jωgφ
g
s −
lmrs
σlslr
φgr (4.10)
0 =
rr
σls
φgr +
dφgr
dt
+ j(ωg − ωr)φgr −
lm
σlsτ r
φgs (4.11)
ce = P
lm
σlslr
φsφrsen(δa − δb) (4.12)
Onde τ r = lr/rr e σ = 1 − l2m/(lslr) são as constante de tempo rotórica e o coeficiente de
dispersão da máquina, respectivamente.
Modelo b: corrente estatórica - fluxo rotórico
Substituindo-se em (4.10)-(4.12) o fluxo estatórico em função do fluxo rotórico e da
corrente estatórica, obtidos de (4.6) e (4.7), tem-se:
vgs = (rs +
rrl
2
m
l2r
)igs + σls
digs
dt
+ jωgσlsi
g
s + (jωr −
1
τ r
)
lm
lr
φgr (4.13)
0 =
1
τ r
φgr +
dφgr
dt
+ j(ωg − ωr)φgr −
lm
τ r
igs (4.14)
ce = P
lm
lr
isφrsen(δi − δb) (4.15)
Modelo c: corrente estatórica - corrente de magnetização rotórica
Este modelo é derivado diretamente de (4.13)-(4.15), substituindo-se o fluxo rotórico
pela corrente de magnetização rotórica igrm = φ
g
r/lm, e utilizando o conjunto de parâmetros
básicos rs, τ r, ls e σls. Ele é dado por
vgs = (rs +
ls − σls
τ r
)igs + σls
digs
dt
+ jωgσlsi
g
s + (jωr −
1
τ r
)(ls − σls)igrm (4.16)
0 =
1
τ r
igrm +
digrm
dt
+ j(ωg − ωr)igrm −
1
τ r
igs (4.17)
ce = P (ls − σls)isirmsen(δi − δb) (4.18)
Os modelos anteriores podem ser escritos genericamente na forma de estado, como se
segue:
dxg(t)
dt
= Agxg(t) + Bgvgs(t) (4.19)
onde xg é o vetor de estado e Ag e Bg são as matrizes de estado e de entrada no referencial
genérico.
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 51
4.3.2 Modelos dinâmicos discretos
Os modelos da máquina podem ser representados também na sua versão discreta. Aqui
utilizou-se modelos dinâmicos discretos com os operadores q, ”shift operador” [2] e δ [3].
Sendo h o peŕıodo de amostragem, define-se os operadores por:
qx(t) = x(t + h) (4.20)
δx(t) =
x(t + h) − x(t)
h
(4.21)
Observa-se que o operador δ pode ser visto como um derivador das variáveis discretas.
A partir de (4.20) e (4.21) escreve-se a relação entre os operadores δ e q:
δ =
q − 1
h
(4.22)
Os modelos discretos com o operador δ, para peŕıodos de amostragen pequenos, são
geralmente mais bem condicionado que os modelos com o operador q. Também, eles
convergem para os modelos cont́ınuos quando h tende para zero, o que não ocorre com os
modelos com o operador q.
Os modelos discretos são deduzidos assumindo-se que durante o intervalo de amostragem
h o vetor tensão estatórica e a velocidade angular da máquina ωr são mantidas constantes.
Estas considerações decorrem de dois fatos: a tensão é aplicada à máquina por meio de
um segurador de primeira ordem e a constante de tempo mecânica é muito superior as
constantes de tempo elétricas. Considerando-se o modelo de estado cont́ınuo em (4.19),
obtém-se os seguintes modelos de estado discretos:
Operador q:
qxg(t) = F gq x(t) + H
g
q v
g
s(t) (4.23)
com
F gq = I2 + A
gh +
Ag2h2
2!
+
Ag3h3
3!
+ .... (4.24)
Hgq = (I2 +
Agh
2!
+
Ag2h2
3!
+
Ag3h3
4!
+ ....)Bgh (4.25)
onde I2 é a matriz identidade de ordem 2.
Operador δ:
δxg(t) = F gδ x(t) + H
g
δ v
g
s(t) (4.26)
com
F gδ = A
g +
Ag2h
2!
+
Ag3h2
3!
+
Ag4h3
4!
+ .... (4.27)
Hgδ = (I2 +
Agh
2!
+
Ag2h2
3!
+
Ag3h3
4!
+ ....)Bg (4.28)
Utilizando-se (4.22), obtém-se que F gδ = (F
g
q − I2)/h e Hgδ = Hgq /h. Estas relações
permitem calcular as matrizes F gδ e H
g
δ a partir das respectivas matrizes em q. Entretanto,
calcular Fδ e Hδ desta forma é, em geral, mal condicionado numericamente.
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 52
4.3.3 Modelo mecânica de movimento
O movimento de rotação mecânico do rotor da máquina é expresso pela mesma equação
de movimento apresentada no caṕıtulo 2, ou seja,
ce − cm − Fmωr = Jm dωr
dt
(4.29)
4.4 Fonte de alimentação estática
A máquina asśıncrona em acionamentos com velocidade variável deve ser alimentada por
meio de uma fonte de tensão trifásica de frequência e amplitude variáveis. Esta fonte de
tensão é obtida por meio de conversores estáticos de potência. A partir de um sistema de
alimentação trifásico, existem duas topologias básicas para a realização da fonte estática:
alimentação direta e alimentação indireta com estágio intermediário. Os cicloconversores
constituem os exemplos mais clássicos de conversores direto. Os conversores indiretos são
os mais utilizados.
O estágio intermediário do conversor indireto pode ser decorrente ou tensão. O estágio
intermediário pode ser do tipo barramento pulsado, para possibiliotar a redução das per-
das de comutação. O conversor indireto mais amplamente utilizado em acionamentos
utiliza um estágio de tensão cont́ınua, mostrado na figura 4.1. Ele é composto por um
retificador, um filtro capacitivo, um chaveador (chaves q7 e resistência R0), para dissipação
da energia devolvida pela máquina nas desacelerações, e um inversor de tensão.
O inversor de tensão pode ser realizado ainda em outras versões. Por exemplo, uma
versão econômica com dois braços [4] e outra com um ńıveis de tensão suplementares,
inversor de multińıveis, que utiliza chaves semicondutoras e diodos suplementares [5].
O inversor da figura 4.1 gera seis vetores tensão não-nulos e dois nulos (cf. Caṕıtulo
7). O inversor a dois braços gera quatro vetores tensão não-nulos. Enquanto o inversor
de três ńıveis gera 16 vetores tensão não-nulos e três nulos. O conversor de três ńıveis
permite alimentar a máquina com distorção harmônica menor que o da figura 4.1, ao preço
de uma maior complexidade. Já o inversor a dois braços introduz distorção harmônica
maior que o inversor da figura 4.1, para baixos ı́ndices de modulação, mas possui uma
implementação mais econômica.
Conforme mencionado, qualquer dos inversores citados só permite gerar vetores tensão
discretos. Entretanto, o acionamento da máquina requer tensões trifásicas de alimentação,
ou vetores equivalentes, que variam continuamente em amplitude, frequência e posição.
Usualmente, utiliza-se uma técnica de modulação de largura de pulso (PWM) para obter,
em termos médios, a tensão de alimentação da máquina requerida. A modulação PWM
será discutida em detalhes no Caṕıtulo 7.
O inversor trifásico utilizado neste trabalho, figura 4.1, pode empregar transistores de
potência bipolares, Igbts, Gtos, etc. O isolamento dos ”drives” dos circuitos de base é
assegurado por meio de acopladores óticos de alta velocidade.
O retificador na entrada do sistema, responsável pela obtenção da tensão do barra-
mento CC, na figura 4.1 é realizado por meio de uma ponte a diodo, portanto a tensão CC
não é controlada. Entretanto, é posśıvel realizar a retificação utilizando uma estrutura de
Caṕıtulo 4. Introdução ao acionamento com máquina asśıncrona 53
conversor idêntica ao do inversor trifásico. Neste caso, pode-se impor correntes senoidais
e fator de potência unitário na entrada do sistema.
4.5 Sistema de aquisição e controle
Os sistemas modernos de acionamento são controlados utilizando um conjunto de medição,
processamento e comando composto de um sistema digital e sensores.
Os sensores usualmente utilizados são os de correntes estatórica e de velocidade ou
posição. Mais recentemente vêm sendo utilizados também sensores para a tensão es-
tatórica, importantes na realização de funções de estimação e controle que necessitam da
informação precisa da tensão. A tendência em acionamentos de alto desempenho é a uti-
lização apenas dos sensores de corrente e tensão e a eliminação dos sensores de grandezas
mecânicas.
A solução digital é imperativa para sistemas de acionamento com controle vetoriais de
alto desempenho. Mas, mesmo nos casos de sistemas de acionamento mais simples, ela
apresenta também vantagens sobre a alternativa analógica. As funções de aquisição, pro-
cessamento e comando são realizadas por um sistema digital utilizando um processador
digital com placa de aquisição e comando dos conversores estáticos. Os processadores digi-
tais mais empregados são os microprocessadores de propósito geral, os microcontroladores
e os processadores digital de sinal (DSP). A escolha do processador depende principal-
mente da complexidade do algoritmo de controle e estimação e do peŕıodo de amostragem
requeridos. A placa de aquisição e comando deve possuir conversores A/D (p. ex., para a
medição de corrente e tensão), portas paralelas, (p. ex., para a medição da posição ou ve-
locidade mecânica e comando do chaveador de dissipação) e temporizadores programáveis
(para a geração do padrão PWM de comando do inversor).
Nos resultados experimentais apresentados neste texto, a aquisição das variáveis, o
controle, a estimação e o comando do sistema de acionamento são assegurados por um
microcomputador Pentium, com placas dedicadas com conversores A/D e temporizadores
programáveis. Os sinais de corrente e tensão estatóricas são medidos por meio de sensores
a efeito Hall. Antes da conversão A/D, estes sinais são filtrados por meio de filtros
de ”antialiasing” analógicos. A velocidade é calculada a partir da medição da posição
mecânica, medida por meio de um captor de posição absoluto de 9bits ou 11bits.
Caṕıtulo 5
Controle de fluxo e conjugado da
máquina asśıncrona
5.1 Introdução
Os sistemas de acionamento estático que empregam máquinas asśıncronas são mecanica-
mente robustos, mas sua análise é complexa pois requer o estudo de um sistema multi-
variável e não linear. Os primeiros esquemas de acionamentos com máquina asśıncrona
eram do tipo escalar e baseados em modelos de regime permanente, tal como o Volts/Hertz
[6], apresentando fraco desempenho dinâmico. No intuito de desenvolver sistemas de
acionamento de alto desempenho, têm sido investigadas estratégias de controle que asse-
gurem o desacoplamento entre o controle do fluxo e do conjugado. A utilização de técnicas
genéricas de desacoplamento de sistemas, tal como proposta em Falb e Wolovich [7], ou
baseadas em modelos escalares, como proposto por Bose [8], levam em geral a soluções
pouco eficazes e eventualmente complexas.
Entretanto, é posśıvel obter este desacoplamento utilizando abordagens ditas vetoriais,
p. ex., controlando o fluxo rotórico da máquina pela componente da corrente estatórica
em fase com o fluxo e o conjugado eletromagnético por meio da componente da corrente
estatórica ortogonal ou em quadratura com o fluxo, denominado controle por orientação
pelo campo [9].
Outros exemplos de estratégias de controle da máquina asśıncrona de alto desempenho
dinâmico foram propostos por Takahashi [10], Rossi [11], Habetler e Divan [12] e Lima
[13] baseados no controle da amplitude e da frequência do fluxo estatórico.
A escolha das variáveis de estado, das variáveis de comando e da localização do sistema
de eixos de referência permite estabelecer uma classificação genérica para as estratégias de
controle da máquina asśıncrona. Na classificação utilizada aqui, as estratégias de controle
são agrupadas em duas categorias denominadas controle por escorregamento e controle
em quadratura.
Neste texto várias estratégias de controle da máquina asśıncrona são discutidas e
classificadas em uma destas categorias. Apesar de não se discutir todas as estratégias
posśıveis, a formulação e a classificação adotadas são suficientemente genéricas e incluem
tanto os controles clássicos, quanto os modernos de alto desempenho. Algumas estratégias
não discutidas explicitamente neste texto, como por exemplo as apresentadas em [10], [11],
54
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 55
[12], podem ser classificadas como do tipo controle por escorregamento.
As estratégias de controle apresentadas nesta classificação são estudadas e compara-
das com o controle por orientação pelo campo. A complexidade computacional da imple-
mentação delas por microcomputador é avaliada. Esta avaliação permite estimar o tempo
de processamento necessário à execução das tarefas de aquisição, controle e comando.
O diagrama de blocos simplificado do sistema de acionamento considerado neste
caṕıtulo é o mesmo apresentado previamente na figura 4.1.
5.2 Estratégias de controle
De modo genérico, asestratégias de controle de fluxo e conjugado podem ser classificadas
como estratégias escalares ou vetoriais. Nas estratégias escalares controlam-se simultanea-
mente a amplitude e a freqüência da grandeza. No caso das estratégias vetoriais o controle
é feito por meio dos valores da amplitude e da fase ou das componentes dq da grandeza.
As estratégias podem ser classificadas de acordo com o fluxo escolhido para a excitação
magnética da máquina e de acordo com o tipo de variável empregada no controle do con-
jugado eletromagnético. A excitação magnética pode ser feita através do fluxo estatórico,
do fluxo rotórico ou do fluxo de entreferro. O conjugado eletromagnético pode ser contro-
lado através da frequência de escorregamento da variável escolhida para excitar a máquina
(controle por escorregamento), ou pela componente de uma segunda variável, variável de
conjugado, em quadratura com a variável de excitação (controle em quadratura).
O conjugado eletromagnético de uma máquina asśıncrona pode ser expresso generica-
mente como:
ce = k1φ
2
1ω1r (5.1)
Na equação (5.1) k1 depende dos parâmetros da máquina, φ1 é a amplitude do fluxo
escolhida e ω1r = ω1 − ωr é a frequência de escorregamento do vetor fluxo escolhido.
Quando o fluxo utilizado é o fluxo rotórico, esta expressão é exata e vale também durante
os regimes transitórios da máquina. Quando o fluxo utilizado é o fluxo estatórico ou o de
entreferro, esta expressão é aproximada e é válida apenas em regime permanente [14]. O
controle por escorregamento é baseado na equação (5.1): controla-se a amplitude do fluxo
φ1, normalmente num valor constante (exceto nos casos de enfraquecimento de campo e
otimização da eficiência da máquina), e o escorregamento ω1r é utilizado para o controle
do conjugado.
O conjugado eletromagnético da máquina asśıncrona pode ainda ser expresso generi-
camente pelo módulo do produto vetorial de duas grandezas vetoriais de estado quaisquer
da máquina (xg1 e x
g
2):
ce = k12x1x2sen(δ21) (5.2)
Na equação (5.2) x1 e x2 são as amplitudes dos vetores x
g
1 e x
g
2, δ21 é o ângulo entre
os vetores e k12 é uma constante. As grandezas x
g
1 e x
g
2 podem ser escolhidas por exemplo
como fluxo-fluxo ou fluxo-corrente. O controle em quadratura é baseado na equação
(5.2). Supondo que xg1 é a variável de excitação magnética, x1 é controlada em um valor
normalmente constante, e o conjugado eletromagnético da máquina é controlado através
de x2sen(δ21), componente de x
g
2 em quadratura com x
g
1.
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 56
As estratégias de controle podem ser implementadas na forma direta ou indireta. No
controle direto, existe uma malha fechada de controle do fluxo. No controle indireto,
o fluxo é controlado sem realimentação (”feedforward”). O sinal de realimentação do
fluxo é obtido diretamente através de sensores de fluxo [15] ou estimado utilizando-se um
observador de estados em malha fechada [13], [16] ou ainda estimado em malha aberta
[17].
A estratégia de controle por quadratura é eminentemente do tipo vetorial. Já a es-
tratégia de controle por escorregamento pode ser implementada também na forma escalar,
pois é baseada no controle da amplitude e da frequência de escorregamento do fluxo.
A estratégia de controle em quadratura utiliza normalmente controladores no referen-
cial de fluxo a ser controlado. Entretanto, no controle por escorregamento o referencial
para implementação dos controladores pode ser qualquer.
Em seguida são apresentadas e classificadas algumas estratégias de controle da máquina
asśıncrona com os fluxos estatóricos e rotóricos.
5.3 Controle por escorregamento
5.3.1 Controle por escorregamento com o fluxo rotórico
Utilizando as equações (4.5) e (4.7) pode-se escrever a seguinte equação dinâmica, relacionando-
se o fluxo rotórico e a corrente estatórica:
lm
τ r
igs =
1
τ r
φgr +
dφgr
dt
+ j(ωg − ωr)φgr (5.3)
onde τ r = lr/rr é a constante de tempo rotórica. Considerando-se a equação (5.3) com o
eixo d alinhado com o vetor fluxo rotórico φbr (φ
b
rd = φr, φ
b
rq = 0 e ωg = ωb) e utilizando
a equação (4.9), obtém-se a seguinte expressão para o conjugado eletromagnético:
ce = P
φ2r
rr
ωbr (5.4)
A equação (5.4) mostra que o conjugado eletromagnético pode ser controlado através de
ωbr, com φr sendo controlado no ńıvel do fluxo desejado.
Controle vetorial direto
Este tipo de controle de fluxo e conjugado é obtido controlando-se diretamente o vetor
fluxo rotórico. Neste caso, o vetor fluxo de referência é dado por:
φs∗r = φ
∗
re
jδ∗b (5.5)
δ∗b =
∫ t
0
ω∗br(τ)dτ +
∫ t
0
ωr(τ)dτ (5.6)
O vetor fluxo rotórico na equação (5.5) tem como componentes: φs∗rd = φ
∗
r cos(δ
∗
b) e
φs∗rq = φ
∗
rsen(δ
∗
b). Ao longo de todo o texto será empregado o śımbolo
∗ em expoente para
indicar os valores de referência.
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 57
É posśıvel utilizar as tensões estatóricas vssd e v
s
sq para comandar diretamente a máquina
e controlar o fluxo rotórico. Entretanto, obtém-se modelos dinâmicos mais apropriados
para uma abordagem SISO utilizando a corrente como variável de comando. Isto implica
na necessidade de se utilizar uma malha interna de controle de corrente.
O modelo dinâmico de controle do fluxo rotórico, com a corrente estatórica como
variável de comando, é dado pela equação (5.3). Esta estratégia de controle pode ser
realizada num referencial qualquer. O referencial rotórico é escolhido porque neste caso
elimina-se o acoplamento entre os componentes dq do fluxo, simplificando o projeto dos
controladores. Assim, escolhendo-se o referencial rotórico (δg = δr, donde ωg = ωr) em
(5.3), obtém-se as equações dinâmicas fluxo-corrente em termos das componentes dq:
lm
τ r
irsd =
1
τ r
φrrd +
dφrrd
dt
(5.7)
lm
τ r
irsq =
1
τ r
φrrq +
dφrrq
dt
(5.8)
Utilizando as equações (5.7) e (5.8), o controle de fluxo pode ser realizado através
de dois controladores independentes, um para cada componente dq. Os sinais de sáıda
dos controladores de fluxo são as componentes da corrente de referência no referencial
rotórico. A corrente de referência no referencial estatórico (δg = 0, donde ωg = 0) é
obtida por meio de uma transformação de coordenadas.
O diagrama de blocos deste esquema de controle é mostrado na figura 5.1. Os blocos
indicados por φr∗r , R
r
φ e e
jδr representam o gerador de referência dos fluxos dq, os contro-
ladores do fluxo rotórico e o transformador de coordenadas (iss = i
r
se
jδr , ou as equações
(5.9) e (5.10) quando utiliza-se os componentes dq), respectivamente. O bloco estimador
de fluxo permite a obtenção do fluxo rotórico a partir da medição das variáveis terminais
da máquina. O controlador de corrente estatórica FC é o mesmo utilizado na figura 5.4,
ele será discutido na seção de controle de corrente. No bloco divisor o numerador é a
variável da seta horizontal e o denominador é a variável da seta vertical.
Os sinais de referência do fluxo rotórico (φr∗rd = φ
∗
r cos(δ
∗
br) e φ
r∗
rq = φ
∗
rsen(δ
∗
br) ) têm a
mesma amplitude φ∗r e frequência ω
∗
br = dδ
∗
br/dt. Observa-se que esta estratégia é do tipo
vetorial pois as componentes dq são individualmente controlados.
Controle indireto
É posśıvel definir estratégias de controle com o vetor fluxo em malha aberta. De fato,
assumindo condições de regime permanente, (dφrrd/dt = −ωbrφrrq e dφrrq/dt = ωbrφrrd),
pode-se controlar φrr gerando correntes de referência, em coordenadas estatóricas, como
se segue:
is∗sd = i
r∗
sd cos(δ
∗
r) − ir∗sqsen(δ∗r) (5.9)
is∗sq = i
r∗
sq cos(δ
∗
r) + i
r∗
sdsen(δ
∗
r) (5.10)
Onde tem-se:
ir∗sd =
φr∗rd
lm
− τ r
lm
ω∗brφ
r∗
rq (5.11)
ir∗sq =
φr∗rq
lm
+
τ r
lm
ω∗brφ
r∗
rd (5.12)
Caṕıtulo 5. Controle defluxo e conjugado da máquina asśıncrona 58
MA
FC
VSI
+
φ
φ*
sqi
*
sqi
*s
R φ
δ
r
δe j
r
de fluxo
Estimador
c e*
Σ
sdi
*
sdi
*s
i ss v
s
s
ωr
R φ
r
rr
P
+
Σ
φr
ωbr*
φ *r
r
rd
rq
φ *r
φ *r
rd
r
φ r
rq
r
r
r
r
2
+
Figura 5.1: Diagrama de blocos do esquema vetorial direto por escorregamento com o
fluxo rotórico no referencial rotórico.
φr∗rd = φ
∗
r cos(δ
∗
br) (5.13)
φr∗rq = φ
∗
rsen(δ
∗
br) (5.14)
δ∗br =
∫ t
0
ω∗br(τ )dτ (5.15)
Este controle é semelhante ao controle vetorial por orientação pelo campo rotórico
indireto deduzido mais a frente, dado pela equações (5.39)-(5.42).
É posśıvel ainda definir o controle escalar por escorregamento com o fluxo rotórico
[18]. Neste caso, é imposta à máquina uma corrente estatórica, no referencial estatórico,
de amplitude, obtida de (5.11) e (5.12), e frequência dadas por:
i∗s =
φ∗r
lm
√
1 + τ 2rω
∗2
br (5.16)
ω∗b = ω
∗
br + ωr (5.17)
5.3.2 Controle por escorregamento com fluxo estatórico
Em regime permanente o conjugado eletromagnético da máquina asśıncrona pode ser
calculado usando as equações (4.5),(4.6), (4.7) e (4.9), obtendo-se:
ce =
P l2m
rrl2s
ωar
1 + (ωarστ r)2
φ2s (5.18)
onde σ = 1 − l2m/(lslr) é o coeficiente de dispersão.
Para pequenos valores de escorregamento e abaixo do valor de ”pull-out” esta expressão
pode ser aproximada por:
ce =
P l2mωarφ
2
s
rrl2s
(5.19)
Mais informações sobre expressões em que se considera o regime dinâmico podem ser
encontradas em [13], [14], [10], [19].
Segundo a equação (5.19), nota-se que ce pode ser controlado através de ωar, desde
que φs seja mantido constante.
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 59
Controle vetorial direto
No caso da estratégia de malha fechada o controle do conjugado e do fluxo é obtido
diretamente através do vetor fluxo estatórico. O vetor fluxo estatórico de referência é
dado por:
φs∗s = φ
∗
se
jδ∗a (5.20)
δ∗a =
∫ t
0
ω∗ar(τ)dτ +
∫ t
0
ωr(τ)dτ (5.21)
O controle do vetor fluxo estatórico pode ser baseado diretamente na equação (4.4)
com o termo da queda de tensão resistiva tomado como perturbação a ser compensada.
Todavia, o modelo dinâmico utilizado aqui é obtido da equação (4.4) substituindo-se a
corrente estatórica em termo dos fluxos rotórico e estatórico, resultando o seguinte modelo:
vss =
rs
σls
φgs +
dφgs
dt
+ jωgφ
g
s −
lmrs
σlslr
φgr (5.22)
De acordo com a equação (5.22), a estratégia de controle do fluxo estatórico pode
ser implementada num referencial arbitrário. Neste estudo optou-se pelo referencial es-
tatórico, evitando-se o acoplamento entre as componentes dq. Neste caso, tem-se as
seguintes equações dinâmicas:
vssd =
rs
σls
φssd +
dφssd
dt
− lmrs
σlslr
φsrd (5.23)
vssq =
rs
σls
φssq +
dφssq
dt
− lmrs
σlslr
φsrq (5.24)
O diagrama de blocos deste esquema é mostrado na figura 5.2. Os blocos denominados
de Rsφ representam os controladores de fluxo estatórico. O bloco φ
s∗
s representa o gerador
de referência dos fluxos dq. Os termos essd = − lmrsσlslr φsrd e essq = − lmrsσlslr φsrq são perturbações a
serem compensadas (forças contra-eletromotrizes rotóricas). Os componentes dq do fluxo
no referencial estatórico (φs∗sd = φ
∗
s cos(δ
∗
a) e φ
s∗
sq = φ
∗
ssen(δ
∗
a) possuem a mesma amplitude
φ∗s e frequência ω
∗
a = dδ
∗
a/dt.
Na figura 5.3 é mostrado uma variação deste esquema que permite uma resposta de
conjugado mais rápida. Neste caso o conjugado é controlado em malha fechada por meio
do controlador Rce. Este esquema é conhecido na literatura com DTC (Direct Torque
Control) [12].
Controle indireto
A estratégia de malha aberta de fluxo pode ser obtida através da equação (4.4) considerando-
se condições de regime permanente: dφss/dt = jωaφ
s
s. Assim, obtém-se:
vs∗sd = rsi
s∗
sd − (ω∗ar + ωr)φ∗ssen(δ∗a) (5.25)
vs∗sq = rsi
s∗
sq + (ω
∗
ar + ωr)φ
∗
s cos(δ
∗
a) (5.26)
Com as correntes is∗sd e i
s∗
sq obtidas de:
is∗sd = i
a∗
sd cos(δ
∗
a) − ia∗sqsen(δ∗a) (5.27)
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 60
+
φ
φ *
de f luxo
Es t imador
c e*
Σ
i ss v
s
s
ωr
R φ
rr
P
+
Σ
φ
ω*
φ *
φ *
s
s
s
s
arl
2
s
l
2
m
s
s d
s d
s
φ ss q
s
R φ
s
Σ
Σ
s de
s qe
+
+
+
+
s
s
*sv
s d
*sv
s qφ *ss q
2
M A
V S I
+
ωr
Figura 5.2: Diagrama de controle vetorial direto por escorregamento com o fluxo estatórico
no referencial estatórico
+�*
c e*
�
i ss v
s
s
R �
+
�
�*
� *
s
a
s
sd s
�
�
s de
+
+
+
+
s
M A
VSI
+
s qe
s
s dv
s*
s qv
s*
R �
s
� *
s
s
� *ssq
� ssq
� ss d
�r
Rce
+
�
Estimador de
Fluxo e Conjugado
c e
Figura 5.3: Diagrama de controle vetorial direto do conjugado (DTC).
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 61
is∗sq = i
a∗
sq cos(δ
∗
a) + i
a∗
sdsen(δ
∗
a) (5.28)
Onde, das equações (4.5)-(4.7) tem-se:
ia∗sd =
(1 + στ 2rω
∗2
ar)
(1 + σ2τ 2rω
∗2
ar)
φ∗s
ls
(5.29)
ia∗sq =
(1 − σ)τ rω∗ar
(1 + σ2τ 2rω
∗2
ar)
φ∗s
ls
(5.30)
δ∗a =
∫ t
0
ω∗ar(τ)dτ +
∫ t
0
ωr(τ)dτ (5.31)
Se as quedas de tensão resistivas rsi
s
sd e rsi
s
sd forem desprezadas este esquema é sim-
plificado, obtendo-se o clássico esquema de controle escalar Volts/Hertz. Neste caso, é
imposta à máquina uma tensão estatórica, no referencial estatórico, de amplitude, obtida
das equações (5.25)-(5.28), e frequência dadas por:
v∗s = ω
∗
aφ
∗
s (5.32)
ω∗a = ω
∗
ar + ωr (5.33)
Pode-se ainda definir outro esquema de controle clássico escalar, denominado cont-
role escalar por escorregamento com o fluxo estatórico [20]. Nesta estratégia é imposta
à máquina uma corrente estatórica, no referencial estatórico, de amplitude, obtida das
equações (5.29) e (5.30), e frequência dadas por:
i∗s =
φ∗s
ls
√
1 + τ 2rω
∗2
ar
1 + σ2τ 2rω
∗2
ar
(5.34)
ω∗a = ω
∗
ar + ωr (5.35)
5.4 Controle em quadratura
5.4.1 Controle em quadratura com o fluxo rotórico
O modelo dinâmico que relaciona as correntes estatóricas e o fluxo rotórico no referencial
fluxo rotórico é obtido a partir da equação (5.3), fazendo-se φbrd = φr, φ
b
rq = 0 e ωg = ωb.
Este modelo é expresso pelas seguintes equações:
lm
τ r
ibsd =
φr
τ r
+
dφr
dt
(5.36)
lm
τ r
ibsq = ωbrφr (5.37)
Onde ibsd = is cos(δi − δb) e ibsq = issen(δi − δb).
Da equação (4.9) e introduzindo ibsq, escreve-se a seguinte expressão para o conjugado
eletromagnético:
ce =
P lm
lr
φri
b
sq (5.38)
A equação (5.38) mostra que o conjugado eletromagnético pode ser controlado através de
ibsq. Por sua vez, da equação (5.36), observa-se que o fluxo φr pode ser controlado através
de ibsd, independentemente de i
b
sq, o que caracteriza o desacoplamento perfeito no controle
do fluxo face ao controle do conjugado.
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 62
+
φr
φ*
sqi
*b
sqi
*s
R φ
δb
b
δbe j
r
de fluxo
Estimador
l r
P l m
c e*
Σ
sdi
*b
sdi
*s
i ss v
s
s
ωr
Σ
Σ
Σ
Σ
sqi
sdi sdu
sq
+
+
+
+
+
+
ss
s s
iR
s
iR
s
*sv
sd
*sv
sq
u
MA
VSI
+
Fonte de Corrente
Figura 5.4: Controle vetorial direto em quadratura com o fluxo rotórico
Controle vetorial direto
Baseado nas equações (5.36), (5.37) e (5.38) obtém-se o diagrama de blocos da figura 5.4
para o esquema de controle em malha fechada. Esta estratégia de controle é denominada
na literatura controle direto por orientação pelo campo rotórico [6]. Neste diagrama,
c∗e, φ
∗
r e i
b∗
sq são o conjugado, o fluxo rotórico e a corrente em quadratura de referências,
respectivamente. Os blocos marcados como Rbφ e e
jδ∗b representam o controlador de fluxo
e o transformador de coordenadas, respectivamente. O projeto da malha de controle de
corrente é discutida mais a frente, na seção controlede corrente.
Controle indireto
O controle de malha aberta, denominado na literatura de controle indireto por orientação
pelo campo rotórico [9], pode ser obtido da equação (5.36) considerando-se dφr/dt = 0
e usando-se a equação (5.37) para a determinação do escorregamento ω∗br. As correntes
estatóricas de referência são dadas por:
is∗sd =
φ∗r cos(δ
∗
b)
lm
− ib∗sqsen(δ∗b) (5.39)
is∗sq =
φ∗rsen(δ
∗
b)
lm
+ ib∗sq cos(δ
∗
b) (5.40)
ω∗br =
lm
τ r
ib∗sq
φ∗r
(5.41)
δ∗b =
∫ t
0
ω∗br(τ)dτ +
∫ t
0
ωr(τ)dτ (5.42)
Observa-se que estas equações são semelhantes àquelas obtidas para a estratégia de
malha aberta de controle vetorial por escorregamento com o fluxo rotórico (cf. equações
(5.9) a (5.15)).
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 63
5.4.2 Controle em quadratura com o fluxo estatórico
Da equação (4.9) obtém-se a expressão do conjugado eletromagnético em termos do fluxo
estatórico e da corrente estatórica:
ce = Pφsi
a
sq (5.43)
Onde iasq = issen(δi − δa) é a componente do vetor corrente iss em quadratura com o vetor
φss.
A partir das equações (4.5)-(4.7) pode-se escrever uma equação vetorial relacionando
o fluxo estatórico e a corrente estatórica:
ls
τ r
igs + σls
digs
dt
+ j(ωg − ωr)σlsigs =
1
τ r
φgs +
dφgs
dt
+ j(ωg − ωr)φgs (5.44)
A equação (5.44) no referencial fluxo estatórico, ou seja φasd = φs, φ
a
sq = 0 e ωg = ωa, se
escreve em termos das componentes dq:
ls
τ r
iasd + σls
diasd
dt
− ωarσlsiasq =
1
τ r
φs +
dφs
dt
(5.45)
ls
τ r
iasq + σls
diasq
dt
+ ωarσlsi
a
sd = ωarφs (5.46)
onde iasd = is cos(δi − δa).
Definindo-se o controle do fluxo estatórico por meio das correntes estatóricas, analoga-
mente ao deduzido para o controle com o fluxo rotórico, tem-se que o conjugado eletro-
magnético é controlado por meio de iasq, equação (5.43), e o fluxo φs é controlado através
de iasd, equação (5.45). Neste caso, entretanto, o fluxo estatórico não é criado apenas
pela componente de corrente iasd, em fase com ele. Observa-se da equação (5.45), que
a componente iasq interfere, por meio do termo de acoplamento ωarσlsi
a
sq, no controle do
fluxo estatórico. Isto caracteriza um acoplamento no controle de fluxo e conjugado. O
desacoplamento pode ser obtido compensando-se ωarσlsi
a
sq, com ωar calculado por meio
de (5.46). Em todo caso, para um fluxo estatórico constante, o conjugado máximo está
limitado ao valor de ”pull-out” (cf. a próxima seção).
Controle vetorial direto
Pode-se implementar esta estratégia utilizando-se uma cascata com controladores de cor-
rente, ou seja, trocando-se o fluxo rotórico pelo fluxo estatórico na figura 5.4 (amplitudes
e ângulo do referencial mudam de φr, φ
∗
r e δb para φs, φ
∗
s e δa, respectivamente), conforme
apresentado na figura 5.5.
Neste texto é apresentado também um esquema mais simples utilizando o comando
direto em tensão a partir de (4.4). A equação (4.4) no referencial de fluxo estatórico se
escreve:
vasd = rsi
a
sd +
dφs
dt
(5.47)
vasq = rsi
a
sq + ωaφs (5.48)
O diagrama de blocos desta estratégia de controle é apresentado na figura 5.6. Neste
diagrama, φ∗s e i
a∗
sq são o fluxo estatórico e a corrente em quadratura de referências. Os
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 64
+
c e*
�
i ss v
s
s
�a
R i
P
+
�
�
i *
s
s
s d s
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+
+
+
+
s
M A
VSI
+
s qe
s
s dv
s*
s qv
s*
R
s
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*s
s q
s
s q
s
s d
�r
R
Estimador
de Fluxo
+
�
*�
�s
i
i
i
e
j
i *as d
*a
s qi1
s
i
�
Figura 5.5: Controle vetorial direto em quadratura com o fluxo estatórico.
sqi
*
sq
δe j
c e*
Σ
Σ
Σ
ΣR
sqi
sdu
squ
sd
*sv
*sv
+
+
+
+
+
+
R φ
a
a
i
a
aa
a
δ
de fluxo
Estimador i
s
s
v ss
a
ωr
P
1
φ*s
φs
φs
a
sd
*v a
*v asq MA
VSI
+
Figura 5.6: Controle vetorial direto em quadratura simplificado com o fluxo estatórico.
blocos assinalados com Raφ e R
a
i , representam os controladores de fluxo e de corrente
estatórica, respectivamente. Os termos uasd = rsi
a
sd e u
a
sq = ωrφs são perturbações a serem
compensadas.
Controle indireto
O controle em malha aberta pode ser obtido, assumindo o regime permanente das equações
(5.47) e (5.48) e usando (4.5)-(4.7) para determinar ia∗sd e ωar. As equações resultantes são
as seguintes:
vs∗sd = v
a∗
sd cos(δ
∗
a) − va∗sq sen(δ∗a) (5.49)
vs∗sq = v
a∗
sq cos(δ
∗
a) + v
a∗
sdsen(δ
∗
a) (5.50)
va∗sd = rsi
a∗
sd (5.51)
Nady
Manuscrito
Nady
Manuscrito
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 65
va∗sq = rsi
a∗
sq + (ω
∗
ar + ωr)φ
∗
s (5.52)
onde ω∗ar, i
a∗
sd e δ
∗
a são obtidas de
ω∗ar =
1 − σ
2σ2τ rls
φ∗s
ia∗sq
±
√
(
1 − σ
2σ2τ rls
φ∗s
ia∗sq
)2 − 1
σ2τ 2r
(5.53)
ia∗sd =
φ∗s
ls
+ ω∗arστ ri
a∗
sq (5.54)
δ∗a =
∫ t
0
ω∗ar(τ)dτ +
∫ t
0
ωr(τ)dτ (5.55)
O termo em (5.53) é a solução da equação de segundo grau cujo valor particular (sinal
+/-) corresponde a um ponto de operação posśıvel da máquina asśıncrona. O conjugado
de ”pull-out”, para um dado fluxo estatórico, corresponde ao valor máximo de operação de
ωar, obtido quando o radicando é igual a zero. Este esquema é semelhante ao apresentado
nas equações (5.25)-(5.31).
5.5 Controle de corrente
As estratégias de controle com o fluxo rotórico e a estratégia escalar por escorregamento
com fluxo estatórico, tratadas neste artigo, requerem controladores de corrente. O controle
de corrente é discutido no caṕıtulo 6.
5.6 Projeto dos controladores
Os modelos dinâmicos para cada estratégia de controle apresentada são do tipo linear
invariante. Estes modelos são de primeira ordem onde assume-se que os termos de per-
turbação são constantes durante o intervalo de amostragem. Os controladores discretos
podem ser do tipo PI . Eles podem ser calculados de modo a obter-se em malha fechada
uma função de transferência de segunda ordem com coeficiente de amortecimento ótimo
[21] ou pólos reais idênticos. Observa-se que nos casos em que as variáveis a serem con-
troladas são alternadas, a utilização de controladores do tipo preditivo pode ser uma
melhor alternativa que o PI (cf. Caṕıtulo 6) [22]. Os controladores são calculados de
forma śıncrona com o comando da fonte de tensão PWM. A figura 5.7, mostra o dia-
grama de blocos t́ıpico de um dos controladores utilizados, neste caso, o de corrente.
O bloco delimitado por linhas pontilhadas, corresponde à função de transferência de
primeira ordem G(s) = K/(sτ + 1), onde os valores de K e τ são obtidos dos modelos
adequados (cf. Caṕıtulo 6). O elemento ZOH neste diagrama corresponde a um modelo
simplificado da fonte de tensão estática empregada na alimentação da máquina. Em to-
das as estratégias consideradas a fonte de tensão (inversor PWM-VSI) é implementada
utilizando-se a técnica de modulação vetorial [23] (cf. Caṕıtulo 7).
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 66
R(z) ZOH G(s)
Modelo corrente/tensão
+
*
Σ
s
Σ
sdu
s
sd
*sv sd
sv
Σ
sdu
s
sd
sitsd
si +
Figura 5.7: Sistema de controle t́ıpico.
5.7 Estimação do fluxo magnético da máquina
Conforme foi mencionado, nos casos das estratégias de controle do tipo direto é necessário
a realimentação dos fluxos estatóricos ou rotóricos da máquina asśıncrona. Nesta seção
se discute a estimação dos fluxos a partir da medição das correntes e tensões estatóricas,
grandezas facilmente mensuráveis, e da velocidade da máquina.
Considerou-se neste artigo duas estratégias de estimação: estimação em malha fechada
utilizando o filtro de Kalman, [13], [24] e [16], e a estimação em malha aberta, a partir
da equação de tensão (4.4) [17]. A estimação utilizando o filtro de Kalman é baseada
no modelo dinâmico discreto elétrico da máquina, com a velocidade assumida como um
parâmetro mensurável. Como se utiliza o modelo elétricocompleto da máquina, sua
implementação em tempo real demanda um tempo de processamento importante. No
segundo caso, o fluxo estatórico é estimado, em malha aberta, baseado na equação (4.4)
no referencial estatórico (ωg = 0) [17]:
φss =
∫ t
0
[vss(τ ) − rsiss(τ )]dτ (5.56)
Apesar dos problemas que podem ser causados ao integrador pelos ’off-sets’, este
modelo é interessante porque apresenta apenas uma dependência paramétrica com rs.
O fluxo rotórico pode ser obtido a partir do fluxo estatórico e da corrente estatórica
utilizando-se as equações (4.6) e (4.7):
φsr =
lr
lm
φss −
σlslr
lm
iss (5.57)
5.8 Complexidade de implementação
A carga computacional das estratégias propostas pode ser estimada através do número
de operações aritméticas (multiplicação/divisão, adição/subtração, seno/cosseno e raiz
quadrada) envolvidas no algoritmo de estimação do fluxo magnético e no cálculo dos con-
troladores. Na Tabela 5.1 é apresentado o número de operações aritméticas correspon-
dentes a cada uma das estratégias com controle direto e o tempo total de processamento
necessário para computá-las com o microcomputador 486-DX-66MHz. Observa-se que a
estratégia da figura 5.2 necessita do menor tempo de processamento. A estimação dos
fluxos da máquina com o filtro de Kalman, necessita um tempo de processamento, com
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 67
microcomputador 486-DX-66MHz, de 250µs. Quando se utiliza o estimador baseado nas
equações (5.56) e (5.57), com o mesmo microcomputador, o tempo de processamento
para estimação é 3,3µs para se estimar o fluxo estatórico e 5,3µs para se estimar o fluxo
rotórico. O tempo necessário para a aquisição das variáveis da máquina é 50µs.
Esquema Operações Matemáticas Total
mult/div adi/sub sen/cos raiz
Fig. 5.1 24 21 4 0 20,8µs
Fig. 5.2 9 10 2 0 8,8µs
Fig. 5.4 19 16 0 1 13,5µs
Fig. 5.6 17 11 0 1 11,5µs
Tabela 5.1: Comparação da complexidade computacional das estratégias de controle
5.9 Resultados de simulação
Os vários esquemas de controle foram estudados através de um programa de simulação
digital do sistema de acionamento. Em todos as estratégias o peŕıodo de amostragem dos
controladores de fluxo é de 1ms e o de corrente 200µs. As tensões de alimentação foram
obtidas com o comando PWM vetorial [23], com frequência de 5kHz.
A avaliação do desempenho dinâmico do sistema de acionamento com as estratégias
discutidas previamente, foi realizada por meio de um ensaio dinâmico de caracterização.
Ele foi definido por um regime transitório do conjugado de referência em degraus: c∗e =
0Nm t ∈ [0 0, 03s), c∗e = 7, 5Nm t ∈ [0, 03 0, 15s), e c∗e = −7, 5Nm t ∈ [0, 15 0, 3s].
A velocidade da máquina foi inicializada com dois valores diferentes: ωr = 0 e ωr =
360rad/s. No ensaio em baixa velocidade, a máquina é excitada, a partir de fluxos
iniciais nulos, segundo uma rampa de referências 0, 02s de duração. Após este instante,
a referência de fluxo é mantida constante em φr = 0, 8Wb ou φs = 0, 75Wb, conforme
o fluxo controlado. No ensaio em alta velocidade, considerou-se que a máquina já havia
sido previamente excitada com os mesmos valores de fluxos de regime do ensaio anterior.
Neste texto só são apresentados os resultados referentes as estratégias com controle direto.
As figuras 5.8 a 5.11 apresentam a evolução transitória da amplitude do fluxo (es-
tatórico ou rotórico), do conjugado eletromagnético e da velocidade da máquina com as
estratégias das figuras 5.1 a 5.6. A regulação do fluxo magnético e a resposta dinâmica
do conjugado, excetuando-se o conjugado na figura 5.9, são muito boas. Semelhantes as
respostas obtidas com o controle em quadratura com orientação pelo fluxo rotórico. A
resposta dinâmica do conjugado eletromagnético na figura 5.9, referente ao esquema de
controle por escorregamento com o fluxo estatórico, é mais lenta que as demais.
Os estudos das estratégias de controle indireto, mostraram que o controle vetorial in-
direto com fluxo rotórico, equações (5.9)-(5.15) e (5.39)-(5.42), tem desempenho dinâmico
bom (semelhante aos resultados do controle direto apresentado na figura 5.10). Os con-
troles escalares indiretos − equações (5.32)-(5.33), (5.34)-(5.35) e (5.16)-(5.17) − e os
controles vetoriais indiretos − equações (5.25)-(5.31), (5.49)-(5.55) apresentam compor-
tamento dinâmico ruim (presença de oscilações no conjugado eletromagnético e no fluxo
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 68
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
c e
(N
m
)
r
φ
(W
b)
ω
r(
ra
d/
s)
t(s)
t(s) t(s)
c e
(N
m
)
r
φ
(W
b)
ω
r(
ra
d/
s)
t(s)
t(s) t(s)
(a1) (a2)
(a3) (b1)
(b2) (b3)
Figura 5.8: Controle vetorial por escorregamento com o fluxo rotórico (a e b baixa e alta
velocidade, respectivamente)
durante os transitórios) ou implementação complexa.
5.10 Resultados experimentais
O sistema experimental utilizado é o apresentado na Figura 4.1. A máquina asśıncrona
utilizada é do tipo rotor bobinado e suas caracteŕısticas são apresentadas em anexo. O
inversor trifásico, a transistores bipolares, opera numa frequência de 10kHz. O sinal
de comando para o inversor, é gerado utilizando-se a técnica PWM vetorial [23]. A
aquisição das variáveis, o controle e o comando do sistema de acionamento é realizado
por um microcomputador 486-DX2-66MHz com placas dedicadas com conversores A/D e
temporizadores programáveis. Nas medições das corrente e tensões estatóricas da máquina
são utilizados sensores a efeito Hall. A velocidade é calculada a partir da medição da
posição mecânica, obtida por meio de um captor de posição absoluta de 9bits. O peŕıodo
de amostragem utilizado foi de 200µs. As variáveis experimentais apresentadas nas figuras
seguinte foram medidas utilizando o sistema digital.
Como exemplo de resultados experimentais foi selecionado o esquema de controle por
escorregamento com fluxo estatórico, apresentado na figura 5.2. O fluxo estatórico foi
estimado utilizando o estimador baseado na equação (5.56).
A estratégia de controle foi avaliada para um regime transitório, em degraus, do con-
jugado de referência, obtido pelo comando do escorregamento ω∗ar. A partir do regime
permanente com ω∗ar = 8rad/s, em t = 2s, ω
∗
ar é feito igual a −ω∗ar e em t = 4, 8s o sinal
de ω∗ar é novamente trocado, voltando ao ω
∗
ar inicial. A amplitude do fluxo estatórico de
referência é mantida constante em 0, 7Wb durante todo o ensaio.
Na figura 5.12 é apresentado o módulo do fluxo estatórico e a velocidade da máquina.
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 69
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
t(s)
c e
(N
m
)
φ
(W
b)
s
ω
r(
ra
d/
s)
(a1) (a2)
(a3) (b1)
t(s)
c e
(N
m
)
φ
(W
b)
s
ω
r(
ra
d/
s)
(b2) (b3)
t(s) t(s)
t(s)
t(s)
Figura 5.9: Controle vetorial por escorregamento com o fluxo estatórico (a e b baixa e
alta velocidade, respectivamente)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
t(s)
r
φ
(W
b)
ω
r(
ra
d/
s)
(a1) (a2)
t(s)
c e
(N
m
)
r
φ
(W
b)
ω
r(
ra
d/
s)
(a3) (b1)
t(s) t(s)
t(s)
t(s)
c e
(N
m
)
(b2) (b3)
Figura 5.10: Controle vetorial em quadratura com o fluxo rotórico (a e b baixa e alta
velocidade, respectivamente)
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 70
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
t(s)
c e
(N
m
)
φ
(W
b)
s
ω
r(
ra
d/
s)
(a1) (a2)
(a3)
c e
(N
m
)
φ
(W
b)
s
ω
r (
ra
d/
s)
(b1)
(b2) (b3)
t(s) t(s)
t(s)
t(s) t(s)
Figura 5.11: Controle vetorial em quadratura com o fluxo estatórico (a e b baixa e alta
velocidade, respectivamente)
Observa-se que o fluxo permanece controlado no seu valor de referência. A velocidade
evolui suavemente mesmo durante a passagem pela velocidade nula.
Na figura 5.13 é apresentado a evolução dos componentes dq, no referencial estatórico,
dos fluxos estatóricos de referência e real, superpostos, durante o intervalo de tempo [1, 8s
2, 4s]. Este intervalo de tempo se situa no primeiro transitório apresentado na figura 5.12.
Esta superposição mostra que não há diferença significativa entre os fluxos de referência
e o real. De fato, o erro entre estes fluxos é, no pior caso, inferior a 5%.
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 71
t(s)
t(s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-50
0
50
φ s
(W
b)
ω
r
(ra
d/
s)
Figura 5.12: Fluxo e velocidade experimentais obtidos com o controle por escorregamento
com o fluxo estatórico.
Parâmetros das máquinas usadas nos testes de simulação e experimentais
Máquina A (experimental)
1, 5kW ; 380V/220V ; 60Hz; F.P. 0, 86; P = 2
rs = 2, 0Ω; rr = 3, 0Ω; ls = 0, 128H ;
lr = 0, 128H ; lm = 0, 117H ; J/F = 1, 43s
Máquina B (simulação)
1, 1kW ; 380V/220V ; 50Hz; P = 2
rs = 5, 793Ω; rr = 3, 421Ω; ls = 0, 386H ; lr = 0, 386H ;
lm = 0.363H ; J = 0, 0267Nm/rad/s
2; J/F = 0, 899s
Caṕıtulo 5. Controle de fluxo e conjugado da máquina asśıncrona 72
1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4
-1
-0.5
0
0.5
1
1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4
-1
-0.5
0
0.5
1
φ
s
(W
b)
sd
φ
s sq
(W
b)
t(s)
t(s)
Figura 5.13: Superposição dos fluxos experimentais obtidos com o controle por escorrega-
mento com o fluxo estatórico.
Caṕıtulo 6
Controle de corrente da máquina
asśıncrona
6.1 Introdução
A utilização de máquinas asśıncronas em sistemas de acionamento estático que exigem
alto desempenho dinâmico passa pela utilização das estratégias de controle vetorial. Na
maioria destas estratégias, em particular naquelas em que o fluxo rotórico é controlado,
o controle das correntes estatóricas é de importância fundamental.
Em geral, os controladores de corrente são baseados num modelo dinâmico invariante
de primeira ordem (siso) relacionando a corrente estatórica com a tensão estatórica e uma
variável de perturbação [25], [22], [26], [27], [18],[28]. Quando se utiliza controladores a
parâmetros constantes baseados neste modelo, admite-se que a variável de perturbação é
constante durante o peŕıodo de amostragem e compensável à sáıda do controlador.
6.2 Modelo dinâmico para o controle de corrente
O modelo dinâmico para o controle de corrente pode ser obtido a partir do modelo (4.4)-
(4.9) e é dado por:
vgs = (rs +
(ls − σls)
τ r
)igs + σls
digs
dt
+ jωgσlsi
g
s + (jωr −
1
τ r
)
(ls − σls)
lm
φgr (6.1)
Para efeitos de uma abordagem siso este modelo (6.1) pode ser reescrito como:
vgs = rsri
g
s + σls
digs
dt
+ egs (6.2)
onde rsr = rs +
(ls−σls)
τr
e egs = jωgσlsi
g
s + (jωr − 1τr )
(ls−σls)
lm
φgr .
Na abordagem de controle siso, egs é uma fcem considerada como um termo de per-
turbação a ser compensado na sáıda do controlador. Doravante, este modelo será denom-
inado simplesmente modelo de primeira ordem.
O modelo de primeira ordem na sua forma discreta é obtido de (6.2) assumindo-se que
egs(t) pode ser considerada constante durante o peŕıodo de amostragem h, obtendo-se:
igs(t + h) = fii
g
s(t) + hv[v
g
s(t) − egs(t)] (6.3)
onde fi = e
−h/τs, hv = (1 − e−h/τs)/rsr e τ s = σls/rsr.
73
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 74
6.3 Controle de corrente com histerese
O controle com histerese pode ser visto como um controle do tipo modos deslizantes, já
que ele impõe que a variável corrente da máquina siga uma trajetória especificada.
O modelo (6.1) no referencial estatórico (ωg = 0), expoente s, pode ser escrito como
vss = rsri
s
s + σls
diss
dt
+ ess (6.4)
onde ess = (jωr − 1τr )
(ls−σls)
lm
φgr .
Definindo-se corrente de referência is∗s e o erro de controle ∆i
s
s = i
s∗
s − iss, obtém-se de
(6.4), desprezando-se rs∆i
s
s, a derivada do erro de corrente:
d∆iss
dt
=
1
σls
(ests − vss) (6.5)
Onde a variável, tipo fcem, ests é dada por
ests = σls
dis∗s
dt
+ rsi
s∗
s + e
s
s (6.6)
Nas seções seguintes, baseado em (6.5), serão discutidas as duas versões de controle
com histerese mais importantes: independente e vetorial.
6.4 Controle de corrente com histerese independente
Definido-se ests = e
s
tsd + je
s
tsq, obtém-se de (6.5) as seguintes relações em termo dos com-
ponentes dq:
d∆issd
dt
=
1
σls
(estsd − vssd) (6.7)
d∆issq
dt
=
1
σls
(estsq − vssq) (6.8)
Da matriz P (δp) em (4.3), com δp = 0 e os componentes homopolares nulos, tem-se
que as variáveis de fase s1 são proporcionais as variáveis de eixo d (xs1 =
√
2/3xd, onde
x representa uma variável qualquer). Assim, obtém-se de (6.7) a equação da derivada do
erro de corrente para fase s1:
d∆iss1
dt
=
1
σls
(ests1 − vss1) (6.9)
Segundo esta relação, se a tensão de fase vss1 é superior a e
s
ts1, é posśıvel escolher v
s
s1
de forma a impor à derivada do erro o sinal desejado (o que diminui o erro).
Quando se alimenta a máquina com um inversor de tensão, se a chave q1 está fechada
a tensão vss1 é positiva (igual a E/3, 2E/3) ou zero, dependendo do estado das chaves q2
e q3; se a chave q1 está aberta v
s
s1 é negativa (igual a −E/3 ou −2E/3) ou zero. Exceto
para vss1 = 0, no pior caso, desde que E/3 seja maior que |ests1|, pode-se impor à d∆iss1/dt
o sinal desejado.
Baseando-se nesta análise, o controle da corrente iss1 por histerese é dado por:
se ∆iss1 ≥ ∆h → q1 = ”on” se ∆iss1 ≤ −∆h → q1 = ”off ”
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 75
is1
s
is1
s* is1
s∆+
-
q1
Figura 6.1: Controlador com histerese independente para uma fase.
O termo ∆h define a largura da histese abaixo e acima de i
s∗
s1, onde a corrente i
s
s1
real deve ser controlada. Este procedimento é aplicado para as demais fases, obtendo-
se o controlador por histerese independente trifásico [28]. O diagrama de blocos deste
controlador é apresentado na figura 6.1.
Quando a tensão vss1 é nula, v
s
s2 e v
s
s3 também são nulas e a máquina esta em roda livre,
ou seja, em curto-circuito trifásico. Neste situação o sinal de d∆iss1/dt não é imposto, ele
depende de ests1. Pode-se mostrar que no controle por histerese trifásico, devido ao curto-
circuito trifásico, as corrente iss1, i
s
s2 e i
s
s3 podem ultrapassar o limite definido por ∆h.
Entretanto, em qualquer caso os errosde corrente ∆iss1, ∆i
s
s2 e ∆i
s
s3 não ultrapassam o
valor 2∆h.
O controle por histerese independente apresenta as seguintes vantagens:
• Implementação extremamente simples, necessita apenas da medição das correntes e
de alguns testes.
• Depende apenas qualitativamente do modelo da máquina. Os valores dos parâmetros
da máquina só são importantes para definir o valor de ∆h em função da frequência
máxima de operação do conversor.
O controle por histerese independente apresenta alguns inconvenientes ou limitações
devido a não utilização das rodas livres, (ou seja, da fcem de ests) criteriosamente:
• Como já foi mencionado, o erro de corrente pode ultrapassar em duas vezes o valor
da histerese.
• Para um valor de ∆h constante, há uma variação importante da frequência de
operação do inversor. Em baixas velocidades, quando a amplitude de ests é pequena,
a frequência de chaveamento é grande. Podendo inclusive originar ciclos limites de
alta frequência, onde a roda livre não é aplicada.
• O ı́ndice de distorção harmônica das correntes é superior aos obtidos com os demais
métodos discutidos neste caṕıtulo.
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 76
is
s* is
s∆+
-
Cálculo
de v
s
is
s
s
Cálculo
de e ts
s
*
vss *
i ss
VSI
vss
M A
Figura 6.2: Controlador por histerese vetorial.
6.5 Controle com histerese vetorial
Existem algumas alternativas para se utilizar a roda livre favoravelmente. Um exemplo
é apresentado em [29]. Neste caso, a roda livre é aplicada sistematicamente toda vez
que o erro de corrente em uma das fases ultrapassa ∆h. Ela é mantida até que o erro
em algumas das fases alcance 2∆h, quando o controle normal é assumido. Este método
permite baixar a frequência do conversor sem necessitar de informações adicionais.
Métodos mais eficientes na utilização da roda livre incorporam mais informações ao
controle por histerese. Nabae et alii [30] propuseram um método que controla direta-
mente o vetor corrente iss de uma máquina a imã permanente. Este método foi depois
generalizado para utilização no controle de corrente da máquina asśıncrona [25].
O método proposto por Nabae et alii [30] consiste em escolher o vetor vss em (6.5) de
forma que a derivada do vetor erro d∆iss/dt seja mı́nima em regime permanente (figura
6.2). Isto implica que a evolução da corrente será mais suave e a frequência do inversor
será menor que no controle independente.
Já para o controle da corrente em regime transitório, escolhe-se a máxima derivada, de
forma que o erro de corrente seja eliminado o mais rápido posśıvel. Em regime transitório,
se aplica apenas os vetores vss não nulos, contrários ao erro ∆i
s
s. Isto garante que o erro
seja eliminado rapidamente.
No controle em regime permanente, o valor de vss que minimiza d∆i
s
s/dt, pode ser
obtido através de uma tabela simples, função da posição de ests, em setores de π/3 [30].
O conhecimento da posição ests é essencial neste controle.
A obtenção da posição de ests é trivial quando se utiliza uma máquina a imã per-
manente. No caso de uma máquina asśıncrona, pode-se utilizar a própria relação (6.5),
obtendo-se ests em função de v
s
s e d∆i
s
s/dt. Entretanto, quando o conjugado da máquina é
controlado utilizando a estratégia de controle em quadratura com orientação pelo campo,
é posśıvel obter facilmente ests, conforme mostrado em [25].
Uma caracteŕıstica natural dos controladores por histerese é que a frequência de
operação do conversor é variável quando ∆h é constante. A operação a frequência con-
stante é obtida fazendo-se ∆h variável. Bose [31] propôs um procedimento que utiliza
uma expressão de regime permanente, função da velocidade da máquina, para calcular o
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 77
valor de ∆h, de forma a manter a frequência de operação do inversor constante. Nabae et
alii [30] propuseram outro método em que a frequência de operação do inversor é medida
e comparada com o valor de referência desejado. O erro desta comparação é integrado
para definir automaticamente o valor de ∆h.
Genericamente, os controladores por histerese apresentam como contrapartida a forte
independência do modelo da máquina, a necessidade da monitoração continua da cor-
rente. Isto interdita, em muitos casos, sua utilização em um controle discreto, onde
as corrente são medidas apenas em intervalos de tempo discretos de amostragem. Nas
seções seguintes serão discutidos outros controladores mais dependentes do conhecimento
do modelo dinâmico de corrente, mas que possibilitam o controle discreto da corrente
estatórica da máquina.
6.6 Controladores de corrente linear
O modelo (6.2) pode ser utilizado para a definição dos controladores de corrente em um
referencial genérico qualquer. Os dois referenciais de maior interesse são os referenciais
estatórico e o śıncrono. Por exemplo, segundo o vetor fluxo rotórico visto do estator.
Quando se utiliza o referencial estatórico (ωg = 0) não existe o acoplamento de cor-
rente de um eixo em outro, termo em jωgσlsi
g
s nulo. Isto é interessante porque pode-se
utilizar mais diretamente as técnicas de controle siso. Também, as correntes são con-
troladas no próprio referencial estatórico onde são medidas (evitando-se a transformação
de referencial). Entretanto, o vetor corrente iss a ser controlada varia continuamente em
regime permanente (iss = ise
jδi onde ωs = ωi = dδi/dt).
Quando se utiliza o referencial śıncrono (ωg = ωs), o vetor corrente i
s
s é constante em
regime permanente. Contudo, existe o acoplamento entre as correntes de eixos dq e é
necessário transformar a corrente do referencial de medição para o referencial de controle.
Qualquer que seja o referencial utilizado, é importante que a variável egs, em (6.2), seja
considerada. Para se utilizar as técnicas simples de controle siso considera-se egs como
uma perturbação (fcem a ser compensada).
A função de transferência obtida de (6.2) é dada por:
Igs (s) =
1/rsr
sτ s + 1
V ges(s) = Gs(s)V
g
es(s) (6.10)
onde a tensão sobre a parte LR da máquina é dada por V ges(s) = V
g
e (s) − Egs (s).
Os controladores siso podem ser obtidos desta função de transferência. Um contro-
lador simples de ser implementado é o controlador PI, de função de transferência cont́ınua
Gspi(s) = ki/s + kp. Por exemplo, ele pode ser calculado de Gs(s) compensando-se a con-
stante de tempo τ s e considerando-se uma malha fechada com pólos reais duplos em 4/h,
onde h é o peŕıodo de amostragem das correntes [21]. O controlador discreto Gzpi(z) é
obtido discretizando o controlador cont́ınuo Gspi(s), obtendo-se:
Gzpi(z) =
kpz + k1
z − 1 (6.11)
onde k1 = kih − kp.
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 78
i
Controlador
 PI - Estator
VSI
PWM M A(Eq. 6.12)
v ss *
v ssss
i ss *
Figura 6.3: Controlador PI no referencial estatórico.
* Controlador
 PI - Síncrono VSI
PWM M A
e δj
(Eq. 6.12)
i b
i b
s
s
v bs *
v ss
v ss *
v bs
i ss
b
δj be
Figura 6.4: Controlador PI no referencial śıncrono do fluxo rotórico.
No controle discreto assume-se que egs permanece constante durante o peŕıodo de
amostragem h. Assim, o controlador PI discreto, com a compensação de egs, é dado
pela seguinte equação discreta:
vg∗s (t) = v
g
s(t − h) + kp∆igs(t) + k1∆igs(t − h) + egs(t) (6.12)
onde ∆igs = i
g∗
s − igs .
O controlador discreto mais simples de ser implementado é o controlador PI no estator.
Onde as correntes em regime permanente são alternadas e ess(t) = (jωr− 1τr )
(ls−σls)
lm
φgr . No
caso do controlador PI no referencial śıncrono vetor fluxo rotórico, ωg = ωb e φ
g
r = φr, as
correntes em regime permanente são constante e ebs(t) = jωbσlsi
b
s + (jωr − 1τr )
(ls−σls)
lm
φgr .
Nas figura 6.3 e 6.4 são apresentados os diagramas de blocospara estes dois controladores.
O controlador PI śıncrono é o único que garante de fato erro zero em regime per-
manente. Já que o integrador só garante erro nulo em regime para sinal de referência
cont́ınuo. No controlador PI no estator, o erro de controle aumenta com a frequência. É
posśıvel definir um controlador PI no estator, equivalente ao controlador PI no campo.
Para isto é necessário introduzir alguns termos de compensação ao controlador PI no
estator [32].
Pode-se realizar o controle da corrente no referencial estatórico, mais rápido que o
controlador PI, utilizando o controle preditivo discreto de corrente, ilustrado na figura
6.5.
O controle preditivo baseado no modelo (6.3), [22], [27], é dado por :
vs∗s (t) = [i
s∗
s (t + h) − fiiss(t)]/hv + ess(t) (6.13)
Ou seja, dada a corrente de referência is∗s (t + h), na próxima amostragem, a corrente
medida iss(t) e a fcem e
s
s(t), no instante atual, determina-se por meio de (6.13) o valor da
tensão vs∗s (t) a ser aplicada no instante atual.
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 79
i ss
VSI
PWM M A
Controlador
 Preditivo
( E q . 6 . 1 3 )
v ss *
v ss
i ss *
Figura 6.5: Controlador preditivo no referencial estatórico.
Quando se opera a máquina com a estratégia de controle por orientação de campo
rotórico, a determinação de ess(t) é direta [22]. Entretanto, no caso geral, ela pode ser
determinada utilizando-se o próprio modelo discreto (6.3). De (6.3) escreve-se:
ess(t) = v
s
s(t) − [iss(t + h) − fiiss(t)]/hv (6.14)
Nesta expressão a determinação de ess(t) depende de variáveis no instante t, mas também
da corrente iss(t + h), no instante t + h. Ou seja, ela é determinada com um peŕıodo de
amostragem de atraso. Isto pode ser solucionado assumindo-se a aproximação ess(t) =
ess(t − h). Já que ess(t − h) é dispońıvel no instante t, obtido de (6.14), substituindo-se t
por t − h.
Uma aproximação mais precisa para ess(t) é dada por:
ess(t) = e
jδhess(t − h) (6.15)
onde δh = ωsh, deslocamento angular normalmente conhecido.
A expressão (6.15) foi obtida considerando-se que em regime permanente o vetor ess,
girando a uma frequência ωs, desloca-se em um peŕıodo de amostragem h de um ângulo
δh .
6.7 Controladores para sistemas monofásicas ou trifásicos
desbalanceados
Quando o sistema é monofásico ou trifásico desbalanceados, p.ex., máquina submetida a
uma falta, (composto de sequência positiva e negativa) não é posśıvel usar o controlador
śıncrono convencional [32] para garantir erro zero em regime permanente [33].
O modelo de estado do controlador PI para o controlador śıncrono de sequência pos-
itiva e negativa (‘Controlador A’) é dado por
ξ+ = e−jδeξs (6.16)
dx+
dt
= k+i ξ
+ (6.17)
u+∗ = x+ + k+p ξ
+ (6.18)
ξ− = ejδeξs (6.19)
dx−
dt
= k−i ξ
− (6.20)
u−∗ = x− + k−p ξ
− (6.21)
us∗ = ejδeu+∗ + e−jδeu−∗ (6.22)
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 80
onde ξs = is∗− is é o erro de corrente estacionário; x+ e x− são variáveis de estado associ-
adas as partes integrais de sequência positiva e negativa; u+∗, u−∗ and us∗ são as tensões
de referência de sequência positiva, negativa e estacionária, respectivamente; k+p , k
+
i , k
−
p ,
and k−i são os ganhos de sequência positiva e negativa do controlador, respectivamente.
As variáveis deste modelo são vetores complexos da forma y =yd + jyq, onde y indica o
vetor.
O controlador śıncrono de sequência positiva e negativa requer o uso de transformações
de coordenadas ejδe e e−jδe . O controlador pode ser emulado no referencial estationario.
Σ
e δ
j
+
−
e
i s*
R
+
e
δj e
R e
δj e
e
δj e
u s
u s
Σ
+
+ u s*
1 2 3
(a)
 
 
 3 - FASES
PWM - VSI - LOAD
si1
i s
si2
si3
s *u1
s *u2
s *u3
u + *
u -*
+
-
u u1 2 3 ii
ss s s
+
−i s*
RΣ
u s*
1 2 3
 
 
 3 - FASES
PWM - VSI - LOAD
si1
i s
si2
si3
u u1 2 3 ii
ss s s
s
(b)
ωe
 
 
s *u1
s *u2
s *u3
Figura 6.6: Diagrama de blocos dos controladores de corrente de sequência positiva e
negativa. (a) Controlador A (śıncrono). (b) Controladores B ou C (estacionário)
Introduzindo xs+ = e
jδex+, xs− = e
−jδex− e kp = k+p + k
−
p e usando as equações
(6.16)-(6.22), obtém-se o controlador estacionário (‘Controlador B’) dado por
dxs+
dt
= jωex
s
+ + k
+
i ξ
s (6.23)
dxs−
dt
= −jωexs− + k−i ξs (6.24)
us∗ = xs+ + x
s
− + kpξ
s (6.25)
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 81
O uso de mesmos ganhos k+i and k
−
i simplifica o modelo do controlador. A partir
de (6.23)-(6.25) para ki = k
+
i = k
−
i e introduzindo novas variaveis x
s
a = x
s
+ + x
s
− e
xsb = jωe(x
s
+−xs−) obtem-se as equações do controlador estacionario de sequência positiva
e negativa simplificado (‘Controlador C’)
dxsa
dt
= 2kiξ
s + xsb (6.26)
dxsb
dt
= −ω2exsa (6.27)
us∗ = xsa + kpξ
s (6.28)
Note que este controlador pode ser usado para sistemas monofásicos já que não existe
o termo em j nas equações. Ou seja, a componente real dos vetores não depemde da
componente complexa e vice-versa.
A versão discreta deste controlador é dada por
xsa (t) = cos (ωeh)x
s
a (t − h) +
1
ωe
sin (ωeh)x
s
b (t − h)
+2ki
1
ωe
sin (ωeh) ξ
s (t − h) (6.29)
xsb (t) = −ωe sin (ωeh)xsa (t − h) + cos (ωeh)xsb (t − h)
+2ki [cos (ωeh) − 1] ξs (t − h) (6.30)
us∗ (t) = xsa (t) + kpξ
s (t) (6.31)
A Figura 6.6(a) apresenta o digrama de bloco para o Controlador A aplicado ao
controle da corrente de um sistema trifásico desbalanceado (uma máquina de indução
desbalanceada). Os blocos e−jδe e ejδe realizam as transformações de coordenadas do
referencial estacionário para os śıncronos de sequência positiva e negativa e vice-versa,
respectivamente. Os blocos us/us123 e i
s
123/i
s representam as transformações de vetor
para componentes trifásicos e vice-versa, respectivamente. O bloco PWM+VSI+LOAD
representa o modulador de largura de pulso, o inversor e a carga. Os blocos R+ e R−
constituem o Controlador A dado pela versão discreta das equações (6.16)-(6.22). Os
Controladores B ou C são apresentados na Figura 6.6(b). O bloco Rs representa os
controladores correspondentes a versão discreta de (6.23)-(6.25) ou ao modelo discreto
(6.29)-(6.31).
6.8 Estudo dos controladores de corrente
A caracterização experimental dos controladores em regime transitório foi feita por meio
de dois ensaios, em alta e baixa velocidade, com o sistema de acionamento padrão (cf.
Fig. 4.1). A frequência da referência de corrente é mantida em 10Hz e 60Hz, definindo-
se o funcionamento da máquina em alta e baixa velocidades, respectivamente. Em baixa
velocidade a amplitude da corrente é inicializada em 1, 8A e em t = 0, 11s ela é chaveada
para 3, 5A. Em alta velocidade a amplitude da corrente é inicializada em 1, 3A e em
t = 0, 16s ela é chaveada para 2, 5A.
São apresentados resultados experimentais de três dos controladores discutidos anteri-
ormente: os controladores PI no referencial śıncrono de corrente e no referencial estatórico
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 82
e o controlador preditivo no referencial estatórico. O peŕıodo de amostragem utilizado
nos controladores foi de 200µs.
Na figura 6.7 é apresentada a superposição das correntes de eixo d de referência e
medida com o controlador PI śıncrono. O controlador foi calculado de forma a compensar
o pólo τ s. Não foi feita a compensação do termo de perturbação e
i
s(t). Observa-se que
o controlador funciona muito bem. Em baixa velocidade não se distingue os valores de
referência e real. Em alta velocidade o erro de regime médio é despreźıvel e o erro de
regime máximo é de 4%.
Na figura 6.8 são apresentados os resultados dos mesmos ensaios com o controlador
PI no estator. O controlador foi calculado compensando-se o pólo τ s, mas com pólos
de malha fechada duas vezes menores que o anterior, de formaa torná-lo mais rápido.
Também, não foi feita a compensação do termo de perturbação ess(t). Observa-se que o
controlador funciona bem apenas em baixa velocidade (erro de regime máximo de 3%).
Em alta velocidade, mesmo com o controlador mais rápido que o controlador śıncrono,
existe um viśıvel erro de corrente. A compensação de ess(t) deve permitir reduzir este erro,
mas não ao ńıvel do erro com o controlador no referencial śıncrono.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(b)
(a)
t(s)
i sds
(A
)
i sds
(A
)
t(s)
i sd
s *i sd
s
Figura 6.7: Resultados experimentais das correntes de referência e real com controlador
PI śıncrono em alta e baixa velocidade
Na figura 6.9 são apresentados os resultados dos ensaios com o controlador preditivo
no estator. O controlador foi implementado compensando-se o termo de perturbação
ess(t) por meio da expressão (6.14). Observa-se que o controlador funciona bem em ambas
as velocidades (erro de regime máximo de 4%). Ele segue bem a referência em alta
velocidade, mas apresenta um pouco de oscilação após o transitório.
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 83
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(a)
i sds
(A
)
i sds
(A
)
t(s)
t(s)
(b)
i sd
s
i sd
s *
Figura 6.8: Resultados experimentais das correntes de referência e real com controlador
PI estatórico em alta e baixa velocidade
A figura 6.10 mostra as correntes de referencia (is∗d e i
s∗
q ) e real (i
s
d e i
s
q) para uma
carga desbalanceada controlada pelo Controlador B ou pelo controlador śıncrono. A
figura 6.10(a), obtida com Controlador B, mostra que a corrente real segue bem a re-
ferência (erro de regime de cerca de 2%). A figura 6.10(b) mostra o teste equivalente
usando controlador śıncrono. Neste caso, pode ser notado que o resultado obtido não é
tão bom (erro de regime de cerca de 8%).
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 84
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
(a)
(b)
i sds
(A
)
i sds
(A
)
t(s)
t(s)
i sd
s i sd
s *
Figura 6.9: Resultados experimentais das correntes de referência e real com controlador
preditivo siso em alta e baixa velocidade
Caṕıtulo 6. Controle de corrente da máquina asśıncrona 85
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
time (s)
C
u
r
r
e
n
t
s
 
(
A
)
i
d
 s*
i
d
 s
i
q
 s*
i
q
 s
(a)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
time (s)
C
u
r
r
e
n
t
s
 
(
A
)
i
d
 s*i
d
 s
i
q
 s*
i
q
 s
(b)
Figura 6.10: Correntes experimentais para um sistema trifásico desbalanceado. (a) Con-
trolador B. (b) Controlador śıncrono.
Caṕıtulo 7
Controle do inversor de tensão com
modulação por largura de pulso
7.1 Introdução
O objetivo do comando do inversor por modulação de largura de pulso é alimentar a
máquina com tensões trifásicas variáveis a partir de um inversor trifásico de tensão (figura
7.1), que fornece apenas sete ńıveis de tensões diferentes. A interpretação emprestada das
ciências das comunicações explica este processo em duas fases: modulação do sinal de
tensão fundamental de referência segundo a alta frequência da portadora, obtida pelo
chaveamento do inversor de tensão; demodulação ou recuperação do sinal fundamental
de tensão através da corrente da máquina, resultado da filtragem passa-baixa da tensão
modulada. Quando se utiliza a implementação digital do PWM, o inversor gera tensões
instantâneas cujo valor médio, em um intervalo de tempo τ , é igual a tensão de referência
[34].
A alimentação da máquina por tensão PWM introduz harmônicos na corrente e no
conjugado e perdas no conversor estático e na máquina. Estas distorções harmônicas e as
perdas dependem do método de modulação empregado [35].
O comando PWM mais clássico, denominado de método seno-triângulo ou de sub-
oscilação, é obtido gerando-se o comando das chaves do inversor por meio da comparação
dos sinais trifásicos de tensão de referência (vs∗s1, v
s∗
s2 e v
s∗
s3) com uma portadora triangular
(vtr). Por exemplo, se v
s∗
s1 > vtr → fecha q1(abre q1) ou se vs∗s1 < vtr → abre q1 (fecha
q1) [6]. A frequência do conversor é igual a frequência da onda triangular, normalmente
constante. Este método é usualmente implementado analogicamente, sua implementação
digital, devido ao processo cont́ınuo de comparação, demanda um circuito (’hardware’)
dedicado. Uma deficiência importante deste método é o seu baixo ı́ndice de modulação.
Definindo-se o ı́ndice de modulação como a razão entre a máxima tensão fundamental
obtida com o método de modulação, na região linear, e a tensão fundamental do sinal
seis-steps, obtém-se um ı́ndice de modulação igual a 0,785 para este método. O ı́ndice
de modulação pode ser aumentado adicionando-se a cada fase de tensão de referência um
mesmo sinal de tensão (tensão homopolar). Pode-se adicionar um sinal de tensão qual-
quer, o mais comum é um sinal de frequência tripla da fundamental (terceiro harmônico).
Adicionando-se um sinal retangular de frequência tripla, obtém-se o ı́ndice de modulação
86
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 87
s
q
1
1
2
3
0
E/2
E/2
vs3
N
R
et
if
ic
a
d
o
r 1C
C
d
3f
s
vs2
s
vs1
q
1 1d
q
2 2d
q
2 2d
q
3 3d
3d
q
3
Figura 7.1: Fonte de alimentação (inversor fonte de tensão) e máquina asśıncrona.
máximo de 0,907 [35].
Os comandos PWM digitais mais amplamente utilizados operam com frequência do
inversor também constante, o que, por analogia, pode ser associada, a frequência da porta-
dora no método seno-triângulo. O espectro de frequência do sinal de tensão é concentrado
em torno da frequência da portadora. Métodos de modulação que operam com frequência
do inversor variável, mas frequência média constante, permitem obter uma distribuição de
frequência mais uniforme [36], [37]. Estes métodos podem diminuir a distorção harmônica
da tensão, reduzir o ńıvel de rúıdo aud́ıvel e as vibrações mecânicas da máquina.
Neste caṕıtulo são apresentadas as técnicas de PWM digitais mais usuais, classificadas
em modulação escalar e vetorial, e apresentada a relação entre elas.
7.2 Prinćıpios do comando PWM
As técnicas PWM digitais podem ser divididas em técnicas escalares e vetoriais. Na
abordagem escalar se opera com as tensões trifásicas por fase, enquanto na abordagem
vetorial emprega-se o vetor tensão associado as tensões trifásicas.
Na figura 7.1 é apresentado o sistema considerado, composto de uma fonte cont́ınua
de alimentação, um inversor de tensão trifásico e a máquina asśıncrona. A fonte de
tensão cont́ınua E é obtida pela retificação e filtragem do sistema trifásico de alimentação
(380V, 60Hz). Nesta fonte é definido um ponto intermediário ”0” que será utilizado com
um dos referenciais de tensão. O inversor de tensão trifásico é constitúıdo por seis chaves
q1, q2, q3, q1, q2 e q3 e os seus respectivos diodos. A máquina é ligada em Y com neutro
não interligado ”N ”. As chaves q4, q5 e q6 funcionam de forma complementar a q1, q2
e q3, respectivamente. Atribuindo-se valores binários as chaves, qk = 0 chave aberta ou
qk = 1 chave fechada, tem-se que q1 = 1 − q1 e q2 = 1 − q2 e q3 = 1 − q3.
As tensões aplicadas a carga dependem da configuração das chaves q1, q2 e q3. As
chaves podendo assumir valores binários 0 ou 1, existem oito combinações posśıveis:
[q1 = 1, q2 = 1, q3 = 1], [q1 = 1, q2 = 0, q3 = 1], [q1 = 1, q2 = 0, q3 = 0]
[q1 = 1, q2 = 1, q3 = 0], [q1 = 0, q2 = 1, q3 = 0], [q1 = 0, q2 = 1, q3 = 1]
Caṕıtulo 7. Controledo inversor de tensão com modulação por largura de pulso 88
[q1 = 0, q2 = 0, q3 = 1], [q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0].
As tensões de fase nos terminais da carga trifásica são dadas por:
vss1 = v
s
s10 + v0N (7.1)
vss2 = v
s
s20 + v0N (7.2)
vss3 = v
s
s30 + v0N . (7.3)
Onde v0N é a diferença de tensão do intermediário da fonte ”0” para o neutro da máquina
e as tensões de pólo são vss10, v
s
s20 e v
s
s30 são dadas por
vss10 = q1
E
2
− q4 E
2
= (2q1 − 1)E
2
(7.4)
vss20 = q2
E
2
− q5 E
2
= (2q2 − 1)E
2
(7.5)
vss30 = q3
E
2
− q6 E
2
= (2q3 − 1)E
2
. (7.6)
Substituindo–se as expressões de vss10, v
s
s20 e v
s
s30 em (7.1)-(7.3) obtém-se:
vss1 = q1
E
2
− q4E
2
+ v0N = (2q1 − 1)E
2
+ v0N (7.7)
vss2 = q2
E
2
− q5E
2
+ v0N = (2q2 − 1)E
2
+ v0N (7.8)
vss3 = q3
E
2
− q6 E
2
+ v0N = (2q3 − 1)E
2
+ v0N . (7.9)
7.3 Modulação vetorial
As tensões estatóricas vssd e v
s
sq, no referencial estatórico, são obtidas em função de v
s
s1,
vss2 e v
s
s3, utilizando-se a matriz de transformação P (δp)
−1 com δp = 0 (4.3):
vssd =
√
2
3
(vss1 −
vss2
2
− v
s
s3
2
) (7.10)
vssq =
√
2
3
(
√
3
2
vss2 −
√
3
2
vss3). (7.11)
Substituindo-se as expressões de vss1, v
s
s2 e v
s
s3, obtidas de (7.7), (7.8) e (7.9), tem-se:
vssd =
√
2
3
(q1 − q2
2
− q3
2
)E (7.12)
vssq =
1√
2
(q2 − q3)E. (7.13)
Observa-se que as tensões estatórica vssd e v
s
sq independem de v0N .
Para as oito combinações de q1, q2 e q3, obtém-se seis vetores não nulos e dois vetores
nulos do tipo V ssk = V
s
sd + jV
s
sq = Vsk�δsk, onde Vsk é o módulo do k-ésimo vetor e δsk é o
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 89
ângulo respectivo em relação ao eixo s1 [23]. Estes vetores, ilustrados na figura 7.2, são
dados por:
- q1 = 1, q2 = 0, q3 = 0 (vetor V
s
s1):
V ss1 =
√
2
3
E =
√
2
3
E�0 (7.14)
- q1 = 1, q2 = 1, q3 = 0 (vetor V
s
s2):
V ss2 =
E√
6
+ j
E√
2
=
√
2
3
E�π/3 (7.15)
- q1 = 0, q2 = 1, q3 = 0 (vetor V
s
s3):
V ss3 = −
E√
6
+ j
E√
2
=
√
2
3
E�2π/3 (7.16)
- q1 = 0, q2 = 1, q3 = 1 (vetor V
s
s4):
V ss4 = −
√
2
3
E =
√
2
3
E�π (7.17)
- q1 = 0, q2 = 0, q3 = 1 (vetor V
s
s5):
V ss5 = −
E√
6
− j E√
2
=
√
2
3
E�4π/3 (7.18)
- q1 = 1, q2 = 0, q3 = 1 (vetor V
s
s6):
V ss6 =
E√
6
− j E√
2
=
E√
2
�5π/3 (7.19)
- q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0 (vetor V
s
s0):
V ss0 = 0 (7.20)
- q1 = 1, q2 = 1, q3 = 1 (vetor V
s
s7):
V ss7 = 0. (7.21)
Os seis vetores não-nulos definem seis setores de 60o identificados por I, II, III, IV, V
e VI, mostrados na figura 7.2.
Um vetor tensão de referência no plano dq pode ser obtido em termos médios num
peŕıodo τ (intervalo de amostragem) utilizando-se um mı́nimo de dois, dentre os seis
vetores não-nulos posśıveis. Para minimizar a frequência de operação do conversor utiliza-
se os dois vetores adjacente ao vetor de referência vs∗s .
Genericamente, dado um vetor de referência vs∗s , constante no intervalo de tempo τ ,
e os dois vetores adjacentes V ssk e V
s
sl (k = 1, ..., 6; l = k + 1 se k ≤ 5 e l = 1 se k = 6),
pode-se escrever:
1
τ
∫ τ
0
vs∗s dt =
1
τ
∫ tk
0
V sskdt +
1
τ
∫ tl
0
V ssldt (7.22)
ou
vs∗s =
tk
τ
V ssk +
tl
τ
V ssl (7.23)
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 90
V ss2
d
q
1
2
3
I
I I
II I
I V
V
V I
θ
(1 0 0)
(1 1 0)(0 1 0)
(0 1 1)
(0 0 1) (1 0 1)
V ss1
V ss3
V ss4
Vs5
s
V ss6
v s *s 
Vs0
s
Vs7
s
t2 τV
s
s 2
V ss1t1 τ
Figura 7.2: Vetores e setores para a modulação vetorial.
onde tk e tl são os intervalos de tempo de aplicação dos vetores V
s
sk e V
s
sl, respectivamente.
Explicitando-se a equação vetorial em termo dos componentes dq, tem-se:
vs∗sd =
tk
τ
V ssdk +
tl
τ
V ssdl (7.24)
vs∗sq =
tk
τ
V ssqk +
tl
τ
V ssql. (7.25)
Resolvendo-se (7.24) e (7.25), obtém-se:
tk =
(V ssqlv
s∗
sd − V ssdlvs∗sq )τ
V ssdkV
s
sql − V ssdlV ssqk
(7.26)
tl =
(V ssdkv
s∗
sq − V ssqkvs∗sd)τ
V ssdkV
s
sql − V ssdlV ssqk
. (7.27)
Para que a frequência do conversor seja constante é necessário que a soma dos tempos
dos vetores aplicados seja igual a τ . Assim, aplica-se os vetores nulos, que não geram
tensão média, de forma que a condição de frequência constante seja observada. Note que
os vetores nulos são obtidos quando a máquina opera em curto-circuito (roda livre).
Se to é o intervalo de tempo de aplicação dos vetores nulos, tem-se:
to + tk + tl = τ . (7.28)
Nesta expressão, o intervalo de tempo to, pode ser distribuido no começo, toi, e no fim,
tof , do intervalo de amostragem τ como mostrado na Fig. 7.3. Com este procedimento é
posśıvel minimizar a distorção harmônica da corrente da máquina distribuindo os vetores
nulos no ińıcio (toi) ou no fim (tof ) do peŕıodo τ . Assim, pode-se escrever
to = toi + tof = τ − tk − tl. (7.29)
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 91
Introduzindo o fator de distribuição da roda livre inicial
µ = toi/(toi + tof) com 0 ≤ µ ≤ 1 (7.30)
escreve-se
toi = µto (7.31)
tof = (1 − µ)to. (7.32)
O procedimento para o utilização do PWM vetorial é resumido como se segue:
• Dadas as componentes vs∗sd e vs∗sq do vetor tensão de referência, determina-se, por
meio de testes de sinal, o setor de 60o em que o vetor vs∗s se localiza, obtendo-se k
e l.
• Calcula-se V ssdk, V ssqk, V ssdl e V ssql por meio de (7.14)-(7.19).
• Calcula-se tk e tl com (7.26) e (7.27) e calcula-se to com (7.28).
• Dado o µ escolhido para este ńıvel de tensão, calcula-se toi e tof com (7.31) e (7.32).
Em geral, é interessante inverter a sequência de aplicação dos dois vetores não-nulos
no ińıcio de cada peŕıodo τ [4].
Por exemplo, se os vetores V ss1, V
s
s2 e V
s
s0 ou V
s
s7 devem ser aplicados em dois peŕıodos
consecutivos de valor 2τ (t1, t2, toi e tof no primeiro τ e t
′
1, t
′
2, t
′
oi e t
′
of no segundo τ ),
então tem-se a seguinte sequência para os dois peŕıodos τ :
[V ss0{toi}, V ss1{t1}, V ss2{t2}, V ss7{tof}] − [V ss7{t′of}, V ss2{t′2}, V ss1{t′1}, Vs0{t′oi}] (7.33)
onde o termo entre chaves indica o intervalo de tempo em que o vetor é aplicado.
Na figura 7.3 é apresentado o diagrama de sinais equivalente para esta sequência.
7.4 Modulação escalar
É posśıvel operar diretamente com as tensões trifásicas nas fases da máquina para se de-
terminar os tempos de operação das chaves. Ou seja, de forma a impor uma tensão média
em cada fase, durante o peŕıodo de amostragem τ , igual as referências correspondentes.
Seja vs∗s1, v
s∗
s2 e v
s∗
s3 as tensões trifásicas de referência que se deseja impor à máquina,
pode-se utilizar tensões de referência de pólo vs∗s10, v
s∗
s20 e v
s∗
s30, para se calcular os tempos
da modulação escalar, dadas por
vs∗s10 = v
s∗
s1 + vh (7.34)
vs∗s20 = v
s∗
s2 + vh (7.35)
vs∗s30 = v
s∗
s3 + vh (7.36)
onde vh é uma parcela de tensão homopolar, comum à todas as fases.
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 92
t1 t2 t '1 t '2
v ss10
t
t
s
Vs1
s
Vs0
τ τ
s
Vs7
s
Vs2
s
Vs7
s
Vs2
s
Vs0
s
Vs1
E/2
-E/2
t
toi tof toi
'tof '
v
s
s20
E/2
-E/2
v ss30
E/2
-E/2
Figura 7.3: Tensões trifásicas para a modulação vetorial
Como a tensão vh é comum à todas as tensões, o vetor tensão resultante independe
dele, ou seja, depende apenas de vs∗s1, v
s∗
s2 e v
s∗
s3. De toda forma, mais a frente, será mostrado
que a tensão média imposta a máquina em cada fase independe de vh.
A exemplo da abordagem vetorial, os tempos de operação das chaves são calculados a
partir da igualdade entre as tensões vs∗s10, v
s∗
s20 e v
s∗
s30, consideradas constantes no intervalo
τ , e os valores médios para as tensões instantâneas de pólo correspondentes vss10, v
s
s20 e
vss30. Definindo-se os peŕıodos (larguras de pulso) τ 1, τ 2 e τ 3 (intervalo de tempo em
que as chaves q1, q2 e q3 estão fechadas, respectivamente)e os peŕıodos τ − τ 1, τ − τ 2 e
τ − τ 3 (intervalo de tempo em que as chaves q1, q2 e q3 estão abertas, respectivamente),
escreve-se as seguintes igualdades para os valores médios:
1
τ
∫ τ
0
vs∗s10dt = v
s∗
s10 =
1
τ
∫ τ
0
vss10dt = v
s
s10 = [
E
2
τ 1 − E
2
(τ − τ 1)]1
τ
(7.37)
1
τ
∫ τ
0
vs∗s20dt = v
s∗
s20 =
1
τ
∫ τ
0
vss20dt = v
s
s20 = [
E
2
τ 2 − E
2
(τ − τ 2)]1
τ
(7.38)
1
τ
∫ τ
0
vs∗s30dt = v
s∗
s30 =
1
τ
∫ τ
0
vss30dt = v
s
s30 = [
E
2
τ 3 − E
2
(τ − τ 3)]1
τ
(7.39)
onde as variáveis marcadas com uma barra corresponde aos seus respectivos valores
médios.
Das relações (7.37)-(7.39), obtém-se as relações para os tempos τ 1, τ 2 e τ 3:
τ 1 = (
vs∗s10
E
+
1
2
)τ (7.40)
τ 2 = (
vs∗s20
E
+
1
2
)τ (7.41)
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 93
τ 3 = (
vs∗s30
E
+
1
2
)τ . (7.42)
A tensão média obtida neste procedimento se refere ao ponto ”0”. Entretanto, pode-se
mostrar que, em termos médios, as tensões de pólo são iguais aos valores de referência
vs∗s1, v
s∗
s2 e v
s∗
s3. Calculando-se os valores médio de (7.1)-(7.3) tem-se:
vss1 = v
s
s10 + v0N (7.43)
vss2 = v
s
s20 + v0N (7.44)
vss3 = v
s
s30 + v0N . (7.45)
Substituindo vss10 = v
s∗
s10 = v
s∗
s1 + vh, v
s
s20 = v
s∗
s2 = v
s∗
s20 + vh e v
s
s30 = v
s∗
s30 = v
s∗
s3 + vh, tem-se:
vss1 = v
s∗
s1 + vh + v0N (7.46)
vss2 = v
s∗
s2 + vh + v0N (7.47)
vss3 = v
s∗
s3 + vh + v0N . (7.48)
Adicionando-se membro a membro as relações (7.46)-(7.48), tem-se:
vss1 + v
s
s2 + v
s
s3 = v
s∗
s1 + v
s∗
s2 + v
s∗
s3 + 3vh + 3v0N . (7.49)
A máquina é assumida ligada em ”Y ” não interligado, então a soma das correntes
de fase é nula (corrente homopolar nula). Como a máquina é simétrica, o somatório das
tensões de fase é nulo (tensão homopolar nula), isto é vss1 + v
s
s2 + v
s
s3 = 0. Também, como
as referências obedecem a vs∗s1 + v
s∗
s2 + v
s∗
s3 = 0, então obtém-se de (7.49) que 3v0N + 3vh =
0 → v0N = −vh. Consequentemente, conclui-se de (7.46)-(7.48) a igualdade procurada:
vss1 = v
s∗
s1; v
s
s2 = v
s∗
s2; v
s
s3 = v
s∗
s3. (7.50)
As relações (7.40)-(7.42) podem ser expressas também em função das tensões vs∗sd e v
s∗
sq .
Da matriz de transformação P (0) (4.3), tem-se que
vs∗s1 =
√
2
3
vs∗sd (7.51)
vs∗s2 = −
1√
6
(vs∗sd −
√
3vs∗sq ) (7.52)
vs∗s3 = −
1√
6
(vs∗sd +
√
3vs∗sq ). (7.53)
Substituindo (7.51)-(7.53) em (7.34)-(7.36) e depois em (7.40)-(7.42), escreve-se:
τ 1 = (
√
2
3
vs∗sd
E
+
1
2
)τ +
vh
E
τ (7.54)
τ 2 = (− 1√
6
vs∗sd −
√
3vs∗sq
E
+
1
2
)τ +
vh
E
τ (7.55)
τ 3 = (− 1√
6
vs∗sd +
√
3vs∗sq
E
+
1
2
)τ +
vh
E
τ. (7.56)
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 94
τ
t
τ1 τ1'
'
'
τ2
τ3
τ
2
τv
s
s10
E/2
-E/2
v ss20
E/2
-E/2
v ss30
E/2
-E/2
t
τ3
t
toi toi
t of
'
'tof
Figura 7.4: Tensões trifásicas para a modulação escalar.
Um procedimento mais simples para a obtenção dos tempos é calcular τ 1 e τ 2 por
meio de (7.54) e (7.55), respectivamente, e τ 3 empregando-se
τ 3 = 3
vh
E
τ +
3τ
2
− τ 1 − τ 2 (7.57)
obtido usando-se a soma de (7.54)-(7.56).
É posśıvel expressar a tensão vh em função do fator µ, definido na seção anterior. Esta
expressão é dada por:
vh = E(
1
2
− µ) − (1 − µ)vs∗sM − µvs∗sm (7.58)
onde vs∗sM e v
s∗
sm são os valores máximos e mı́nimos das tensões de fase de referência (v
s∗
s1,
vs∗s2 e v
s∗
s3), respectivamente.
A exemplo da modulação vetorial, também na versão escalar, a sequência de aplicações
das tensões que melhora a simetria é obtida por processo de inversão. Isto é realizado
intercalando-se a chave q1 e q4, q2 e q5 e q3 e q6 na inicialização de cada peŕıodo τ . Assim,
utilizando notação semelhante àquela utilizada para a modulação vetorial, tem-se:
- para a fase 1 → [q4{τ − τ 1}, q1{τ 1}] − [q1{τ ′1}, q4{τ − τ ′1}]
- para a fase 2 → [q5{τ − τ 2}, q2{τ 2}] − [q2{τ ′2}, q5{τ − τ ′2}]
- para a fase 3 → [q6{τ − τ 3}, q3{τ 3}] − [q3{τ ′3}, q6{τ − τ ′3}]
Na figura 7.4 é apresentado o diagrama de sinais correspondente.
7.5 Relação entre as modulações vetorial e escalar
Nas figuras 7.3 e 7.4, observa-se que os vetores aplicados são V ss1 e V
s
s2 (k = 1, l = 2). O
vetor V ss1 é aplicado no intervalo de tempo τ 1 − τ 2 e V ss2 é aplicado no intervalo de tempo
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 95
τ 2 − τ 3, ou seja
t1 = τ 1 − τ 2 (7.59)
t2 = τ 2 − τ 3 (7.60)
Calculando-se t1 e t2 com as expressões (7.26) e (7.27) para k = 1 e l = 2, tem-se:
t1 =
1√
2
τ
E
(
√
3vs∗sd − vs∗sq ) (7.61)
t2 =
√
2
τ
E
vs∗sq . (7.62)
Calculando-se t1 e t2 com as expressões (7.59) e (7.60), com os valores de τ 1 e τ 2 calcula-
dos com (7.54)-(7.56), obtém-se o mesmo resultado dado em (7.61) e (7.62), demonstrando
que os dois métodos são equivalentes em termo das tensões médias geradas.
Analisando-se um ciclo de frequência fundamental completo, as expressões (7.59) e
(7.60) podem ser generalizadas de forma a expressar os tempos tk e tl em função de τ 1,τ 2
e τ 3, obtendo-se
tk = τM − τ i (setor impar); tk = τ i − τm (setor par) (7.63)
tl = τ i − τm (setor impar); tl = τM − τ i (setor par) (7.64)
onde τM , τm e τ i são os valores máximo, mı́nimo e intermediário das larguras de pulso
τ 1, τ 2 e τ 3, respectivamente. Note que τM e τm são relacionadas diretamente a v
s∗
sM e v
s∗
sm,
definido na seção anterior, respectivamente.
Na figura 7.4 existe duas rodas livres no ińıcio e no fim do intervalo τ de duração
toi = τ − τ 1 e tof = τ 3. Função portanto do tempo máximo τM = τ 1 e do tempo mı́nimo
τm = τ 3. Genericamente, pode-se escrever as seguintes expressões para os tempos de roda
livre
toi = τ − τM (7.65)
tof = τm. (7.66)
Como to = toi + tof , obtém-se
to = τ − τM + τm. (7.67)
Na tabela 7.1 são apresentados testes que permitem determinar os setores da mod-
ulação vetorial em função das larguras de pulso τ 1, τ 2 e τ 3.
É posśıvel modificar as larguras de pulso (τ 1, τ 2 e τ 3) correspondentes a um µ para
novas larguras de pulso (τ ′1, τ
′
2 e τ
′
3) corresponderntes a um outro µ
′. Pode-se mostrar
utilizando-se, por exemplo, (7.58) e (7.67) as novas larguras de pulso τ ′1, τ
′
2 e τ
′
3 que são
dadas por
τ ′i = τ i + (µ − µ′)to para i = 1, 2, 3.
Caṕıtulo 7. Controle do inversor de tensão com modulação por largura de pulso 96
Modulação
Vetorial Escalar
Setor I - (V s1 − V s2 ) τ 1 > τ 2 > τ 3
Setor II - (V s2 − V s3 ) τ 2 > τ 1 > τ 3
Setor III - (V s3 − V s4 ) τ 2 > τ 3 > τ 1
Setor IV - (V s4 − V s5 ) τ 3 > τ 2 > τ 1
Setor V - (V s5 − V s6 ) τ 3 > τ 1 > τ 2
Setor VI - (V s6 − V s1 ) τ 1 > τ 3 > τ 2
Tabela 7.1: Testes para relacionar as modulações escalar e vetorial
Caṕıtulo 8
Tópicos especiais
8.1 Introdução
Sistemas estáticos de acionamento de máquinas alto desempenho são uma demanda cres-
cente em aplicações industrias e domésticas. A realização de tais sistemas de acionamento
demanda o desenvolvimento de técnicas espećıficas de estimação, controle, detecção e com-
pensação de falhas.
Em seguida são apresentados sucintamente alguns temas importantes na realização de
acionamento de alto desempenho.
8.2 Estimação
A estimação de parâmetros é uma das tarefas mais importantes nos sistemas de aciona-
mento estáticos de alto desempenho, pois nos seus resultados é baseado o cálculo dos
controladores de corrente, fluxo, conjugado, velocidade ou posição. Particularmente, a es-
timação de parâmetros é muito importante na sintonia dos controladores com orientação
pelo campo da máquina de indução (controle em quadratura). Também, a estimação da
velocidade possibilita a realização de acionamentos sem sensor mecânico de velocidade.
Normalmente, os parâmetros da máquina são obtidos utilizando procedimentos clássicos
de medição eletromecânicos, quesão de dif́ıcil automatização e pouco precisos. Estudos
têm tratado da determinação de parâmetros da máquina asśıncrona, com a modelagem
dq, utilizando técnicas de estimação paramétrica.
A estimação pode ser realizada baseada no modelo de regime permanente expresso
na forma de uma regressão não-linear [38]. Esta abordagem permite estimar todos os
parâmetros do motor, mas a sua convergência depende da condição inicial.
A estimação baseada no modelo dinâmico pode ser empregada de forma simples usando
condições particulares de operação da máquina. Um exemplo, é a estimação com rotor
bloqueado usando um sinal de excitação especial que não gera conjugado eletromagnético
[39].
A estimação pode ser realizada usando modelo de regressão linear considerando as
condições de operação [40] e usando sinal de alimentação senoidal PWM, sem nenhum
sinal especial de excitação [41]. Neste caso nem todos os parâmetros da máquina são
estimados, apenas os parâmetros do modelo de controle são estimados.
97
Caṕıtulo 8. Tópicos especiais 98
A estimação para aplicações em tempo real pode ser realizada utilizando vários mod-
elos em cascata associados com sinais de excitação de alta frequência, que não afeta de
forma importante conjugado da máquina [42].
Além da estimação de parâmetros baseada nos modelos dq, é posśıvel também utilizar
o modelo homopolar (o) da máquina para a obtenção de parâmetros importantes para a
caracterização da máquina. Em [43] o modelo homopolar da máquina é utilizado para
a determinação da indutância de dispersão e a resistência estatórica da máquina. Com
estes parâmetros e aqueles que podem ser obtidos com o modelo dq, todos os parâmetros
da máquina podem ser determinados. A exploração do modelo homopolar da máquina
para estimação é mais simples de ser feita quando utiliza-se máquina de quatro fases [44].
Neste caso não é necessário o acesso ao neutro da máquina.
8.3 Controle
Os sistemas de acionamento estático com máquina de corrente alternada de alto desem-
penho são realizados controlando-se de forma desacoplada o fluxo e o conjugado.
No caso do controle indireto por orientação pelo campo rotórico, é posśıvel definir
um procedimentos para sintonizar on-line a constante de tempo rotórica, parâmetro que
varia durante a operação da máquina e que é crit́ıco para a sintonia deste esquema de
controle. Um exemplo desta abordagem é a utilização da técnica de controle adaptativo
por modelo de referência (MRAC) [45]. Ela objetiva estimar o ganho de escorregamento
ou a velocidade do fluxo rotórico no controle indireto por orientação pelo campo.
Pode-se utilizar técnicas de controle vetorial também em acionamentos com motores
de indução monofásico, operando como motor bifásico desbalanceado. Em [46] e [47]
são apresentadas estratégias de controle vetorial para a motores de indução monofásico
(bifásico desbalanceado) que permite operar estes motores com alto desempenho dinâmico.
Conforme introduzido no caṕıtulo de controle de corrente, o controle de corrente em
máquinas bifasicas desbalanceadas, como no caso anterior, máquinas trifásicas operando
de forma desbalanceada devido a uma falta, ou, simplesmente, sistemas trifásicos desbal-
anceados, demandam controladores de corrente especiais. Em [33] [48] são discutidos em
detalhes os controladores śıncronos de sequência positiva e negativa para o controle de
sitemas trifásicos a três fios [33] e a quatro fios (com componente homopolar) [48].
O controle de corrente da máquina de indução pode ser também realizado utilizando
técnicas de randomização para reduzir alguns tipos de rúidos. Em [49] são apresentadas
estratégias de controle de corrente, associadas a metódos PWM randômico, para o controle
das correntes da máquina de indução.
8.4 Detecção e compensação de falhas
A confiabilidade do equipamento de acionamento estático é muito importante nas aplicações
industriais. O medo de faltas tem sido preventivo na exploração do potencial da eletrônica
de potência na produção industrial.
Vários aspectos devem ser desenvolvido para a realização eficiente da detecção e com-
pensação de falhas:
Caṕıtulo 8. Tópicos especiais 99
- deteção da falha.
- definição de modelos para caracterização e o controle da máquina asśıncrona desbal-
anceada devido a falhas.
- controle de sistemas desbalanceados, já que é usual que o sistema pós-falha seja
desbalanceado.
- controle de conversores estáticos com número reduzido de componentes, resultantes
do isolamento do componente defeituoso.
A deteção da falha é essencial para que a reconfiguração e a compensação da falha
sejam realizadas. Em [50] é apresentado um método de deteção da falha das chaves do
inversor de tensão. Este método é baseado na medição das tensões de pólo, ou de fase,
ou de linha ou msemo de neutro.
Em [51] e [52] são apresentados sistemas reconfiguráveis que permitem operar o motor
de forma balanceada após a perda de um dos braços do conversor.
Outro sistema reconfigurável, neste caso para a operação reverśıvel em potência, é
apresentado em [53]. Este sistema se reconfigura, passando de um conversor CA/CA de
seis a para cinco braços.
8.5 Sistemas de acionamento com número reduzido
de componentes
Em aplicações de baixa potência é posśıvel utilizar estruturas de acionamento de baixo
custo com a máquina de indução trifásica ou bifásica.
Em [54] são apresentados sistemas de acionamento com máquina trifásica e bifásica
com número reduzido de componente, mas mantendo alto desempenho dinâmico. O
conversor utilizado é composto de um retificador de um braço (meia onda) e um inversor
de dois braços.
Em [55] é apresentado um sistema de acionamento de máquina bifásica de três braços
(sem conecção do ponto médio do capacitor). O controle PWM vetorial apresentado
permite minimizar o THD das tensões da máquina.
Um sistema de acionamento reverśıvel para o acionamento de máquinas trifásicas e
bifásicas utilizando conversor de quatro braços é apresentado em [56]. Estes sistemas
apresentam caracteŕısticas intermediárias entre os sistemas equivalentes com três (meia
onda) e cinco braços (onda completa).
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