Aula 02 - 3ª Série - C06 Trigonometria no Triângulo Retângulo - Slides

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1. Triângulo Retângulo
Ângulo Reto 
(=90°)
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Ângulo Agudo 
(<90°)
Ângulo Agudo 
(<90°)
2. Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é 
igual ao quadrado da medida da hipotenusa
a2 = b2 + c2
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Altura do Triângulo Equilátero
h2 + ൗl 2
2
= l2
h2 = ൗ3l
2
4
h = ൗl 3 2 ↔ l = ൗ
2h 3
3
2.1. Aplicações
Diagonal do quadrado
d2 = l2 + l2
d2 = 2l2
d = l 2 ↔ l = d 2
2
3. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
• Seno:
O seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
sen (෡B) =
b
a
sen (෠C) =
c
a
Cateto oposto a ෡B
Cateto oposto a ෠C
3. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
• Cosseno:
O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
cos (෡B) =
c
a
cos (෠C) =
b
a
Cateto adjacente a ෠C
Cateto adjacente a ෡B
3. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
• Tangente:
A tangente de um ângulo agudo é a razão entre as medida
do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
tg (෡B) =
b
c
tg (෠C) =
c
b
Cateto oposto a ෡B
Cateto adjacente a ෠C
Cateto oposto a ෠C
Cateto adjacente a ෡B
3. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
sen
cos
tg
෡B ෠C
b
a
c
a
b
c
c
b
b
a
c
a
3.1. Tabela de Ângulos
30° 45° 60°
sen
cos
tg 3
1
1
1 2
2
2 2 2
2 2 2
3
3
3
3
Um, dois, três ;
Três, dois, um ;
Tudo sobre dois ;
A raiz vai no três e também 
no dois ;
A tangente é diferente, 
vamos aprender ;
Raiz de três sobre três ;
Um ;
Raiz de três .
4. Relações entre Seno, Cosseno e Tangente
tg α = 
sen α
cos α
Ex.: 
tg ෡B =
sen ෡B
cos ෡B
=
Τb a
Τc a
=
b
a
.
a
c
=
b
c
tg 60° =
sen 60°
cos 60° =
ൗ3 2
Τ1 2
=
3
2
.
2
1
= 3
sen2 α + cos2 α = 1
Ex.:
sen2 ෡B + cos2 ෡B =
b2
a2
+
c2
a2
=
b2+c2
a2
=
a2
a2
= 1
sen2 30° + cos2 30° =
1
4
+
3
4
=
1+3
4
=
4
4
= 1
Ângulos 
complementares
෡B + ෠C = 90°
sen ෡B = cos ෠C
cos ෡B = sen ෠C
tg ෡B = 
1
tg ෡C
Ex.:
sen 30° = cos 60° =
1
2
cos 30° = sen 60° =
3
2
Exemplos
Exercício de Aprendizagem 01.
(UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um
edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento
ótico para medir ângulos) a 100 metros do edifício e mediu um
ângulo de 30°, como indicado na figura abaixo. Sabendo que a
luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, determine a altura
do edifício, em metros.
Use os valores:
sen 30°= 0,5
cos 30°= 0,866
tg 30°= 0,577
Exemplos
Exercício de Aprendizagem 01.
Cateto oposto ao 30°: h1
Cateto adjacente ao 30°: 200
tg 30° =
h1
200
= 0,577 →
h1 = 200 . 0,577 →
h1 = 115,4 m
H = h1 + 1,5 →
H = 115,4 + 1,5 →
H = 116,9 m ≈ 117 m Item C
200 m
h1
1,5 m
H
Exemplos
Exercício de Aprendizagem 02.
(Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se um observador O, que vê o
topo de um prédio sob um ângulo de 45°. A partir desse ponto,
afastando-se do prédio 8 m, ele atinge o ponto A, de onde passa a
ver o topo do mesmo prédio sob um ângulo θ tal que tg θ = 6/7.
A altura do prédio em metros, é:
Exemplos
Exercício de Aprendizagem 02.
Cateto oposto ao 45°: x
Cateto adjacente ao 45°: y
tg 45° =
x
y
= 1 →
y = x
Cateto oposto ao θ: x
Cateto adjacente ao θ: x + 8
tg θ =
x
x+8
=
6
7
→
7x = 6x + 48 → Item C
x
y = x 8 m
x = 48 m
7x – 6x = 48 →
Exercícios para Casa
Volume 2 – Frente C – Módulo 06
• Exercícios de aprendizagem: pp 67 e 68
• Exercícios propostos: pp 68 a 70
• Seção Enem: p 70
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