água no solo

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DINÂMICA DE ÁGUA NO
SOLO-Libardi 2005
Engenharia Agrícola
Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE)
323 pag.
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DINÂMICA DA ÁGUA NO SOLO
Paulo Leonel Libardi
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SUMÁRIO
r. Tensão Superficial... 11
1. Introdução................... 11
2. Contratilidade da Superficie dos Líquidos 11
3. Definição da Tensão Superficial...................................................... 16
4. Ângulo de Contato 18
5. Fórmula de Laplace 21
6. Capilaridade 27
7. Exercícios........... 32
11. Estrutura da Água 35
1. Introdução 35
2. Estrutura do Vapor D'Água 35
3. Estrutura do Gelo Comum ou Gelo I............................................. 37
4. Estrutura da Água Líquida............................................................... 37
IH. Retenção e Cálculo da Água no Solo 41
1. Retenção da Água pelos Solos 41
2. Cálculo da Água no Solo 43
3. Exercícios 64
IV. Termodinâmica como Base para Estudos de Sistemas Biológicos 69
1. Introdução............... 69
2. Nomenclatura Termodinâmica 69
3. Primeira Lei da Termodinâmica 73
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8 • Sumário
4. Segunda Lei da Termodinâmica 78
5. Relação Fundamental da Termodinâmica ,.............. 82
6. Transformações de Legendre à Potenciais Termodinâmicos 83
7. Significado das Funções Entalpia, Energia Livre de Helmholtz e
Energia Livre de Gibbs 90
8. Potencial Químico de uma Substância 94
9. Influência do Campo Gravitacional Terrestre 96
10. Exercícios 98
V. Potenciais da Água no Solo 101
1. Introdução......................................................... 101
2. Potenciais da Solução no Solo 101
3. Potenciais do Componente Água no Solo 121
4. Unidades de Potencial...................................................................... 122
5. Exercícios........ 124
6. Apêndices........................... 124
VI. Medidas dos Potenciais da Água no Solo 129
1. Potencial Gravitacional...................................................................... 129
2. Potencial de Pressão 131
3. Potencial Mátrico 132
4. Potencial de Soluto.... 151
5. ExercÍ cios 153
VII. Movimento da Água no Solo 159
1. Introdução... 159
2. Equação de Darcy 159
3. Equação de Darcy-Buckingham.............................................. 162
4. Regra Prática para Designar o Sentido dos Movimentos
Horizontal e Vertical da Solução no Solo 168
5. Equações Fenomenológicas de Onsager 171
6. Eauacão da Continuidade para a Solução no Solo 176
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3. Equação de Green e Ampt 210
4. Equação de Kostiakov (1932) 213
5. Equação de Horton (1940) 214
6. Equações de Philip (1955 e 1957) 215
IX. Métodos de Medida da Condutividade Hidráulica dos Solos.......... 231
1. Introdução............ 231
2. Métodos de Laboratório 231
3. Métodos de Campo 239
4. Outros Métodos 249
5. Exercício Ilustrativo..... 250
X. Balanço Hídrico . 261
1. O Balanço........ 261
2. Exemplo Ilustrativo 265
3. Exercício - Cálculo da Evapotranspiração de uma Cultura
de Milho pela Equação do Balanço Híbrido no Solo 270
Apêndice I - Diferenciais Totais 275
Apêndice II - Análise Vetorial como Base para Estudo da Água no Solo 279
1. Introdução............ 279
2. Conceito de Vetor 279
3. Representação dos Vetores 279
4. Soma e Subtração de Vetores 280
5. Componentes Cartesianos de um Vetor......................................... 282
6. Produto de Vetores 284
7. Produto Misto 288
8. Duplo Produto Vetorial Triplo 289
9. Produto de Quatro Vetores 289
10. Derivada Vetorial 289
11. Derivada de Somas e Produtos 290
12. Componentes da Derivada de um Vetor 291
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10 • Sumário
13. Gradiente............. 291
14. Divergência....... 296
15. Outros Operadores 302
Apêndice III - Energia Potencial Gravitacional........................................ 303
Apêndice IV - Respostas dos Exercícios 307
Capítulo I............................................ 307
Capítulo III 308
Capítulo IV 310
Capítulo V................ 314
Capítulo VI... 314
Capítulo VII 314
BibliogTafia 323
Índice Remissivo.. 331
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I
TENSÃO SUPERFICIAL
1. INTRODUÇÃO
o estudo da tensão superficial é de fundamental importância para o completo entendimento
do fenômeno da retenção da água no solo. Este capítulo aborda a tensão superficial nos seus aspectos
básicos e, neste sentido, como referência complementar, sugerimos um bom livro de Física como,
por exemplo, o de Perucca (1953). A maioria dos livros de Física do Solo também trata do assunto,
mas o de Kirkham e Powers (1972), especificamente seu capítulo I, desenvolve-o detalhadamente.
2. CONTRATILIDADE DA SUPERFÍCIE DOS LÍQUIDOS
2.1 Evidências dofenômeno
Diversas são as experiências que podem comprovar a existência de uma "membrana contrátil"
na superficie dos líquidos.
Um exemplo cotidiano é a fonnação de gotículas quando se derrama água em uma superfície
encerada, mostrando que a água está como que envolta por uma membrana que a mantém nessa
fonna. Isto é também observado muito facilmente quando mercúrio é colocado numa superfície
limpa de madeira.
O exame de uma gota de água lentamente formada num conta-gotas ou na boca de uma
torneira também é um exemplo bastante corriqueiro. Nesse caso, a água se acumula (como se fosse
coletada numa membrana invisível) até um determinado tamanho, quando é, então, desprendida na
fonna de uma gota esférica.
Se salpicannos talco na superfície do mercúrio contido num recipiente suficientemente
profundo, e em seguida aprofundarmos cuidadosamente esta superficie com um bastão de vidro,
verifica-se que o talco desaparece no orificio feito pelo bastão de vidro, reaparecendo e retomando a
sua posição original quando o bastão é retirado. Esta experiência é uma evidência de que existe uma
certa resistência na superfície do mercúrio que impede a introdução das partículas de talco no seu
interior.
Demonstra-se também a contratilidade da superfície dos líquidos pela fornlação das
conhecidas bolhas de sabão, as quais podem ser expandidas ou contraidas conforme mais Oll menos
ar seja permitido entrar em seu interior.
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12 • Tensão Superficial
Se, na mesma água com sabão utilizada para fom1ar as bolhas, mergulham10s uma armação
fechada feita de arame bem fino, verifica-se, ao retirá-Ia cuidadosamente do líquido, a fonnação de
uma película deste no seu interior. Colocando-se nesta película um fio de seda de extremidades
unidas, este tomará uma fonna qualquer. Se, no entanto, furannos a película intema ao fio de seda,
este tomará uma fonna circular. Ora, para um perímetro constante, a figura de maior área é o CÍrculo.
Logo, esta experiência mostra que a película de líquido remanescente (palie extema ao fio) tende a
ocupar a área mínima, evidenciando claramente a contratilidade da película formada.
2.2 Explicação molecular
Imaginemos um detenninado líquido (água, por exemplo) em repouso dentro de um
recipiente. Cada molécula do líquido é atraída pelas moléculas que a rodeiam por forças conhecidas
como forças moleculares de London-van der Waals de atração coesiva, ou simplesmente forças
moleculares de coesão ou, ainda, apenas forças de coesão. Esta atração diminui rapidamente com a
distância e se toma nula a uma distância r, que recebe o nome deraio da esfera de ação molecular.
Este raio, portanto, é a distância limite para a qual a molécula consegue exercer forças de atração
sobre as outras, seu valor não excedendo 0,5 nm para a água.
Nestas condições, moléculas como MIou M2 (Figura 1.1), cujas esferas de ação molecular ou
de influência se encontram totalmente dentro do líquido, atraem e são atraídas simetricamente por
todas as moléculas vizinhas, isto é, as forças de coesão são equilibradas e sua resultante é nula.
Entretanto, para qualquer molécula cuja esfera de ação não esteja inteiramente no interior do
líquido, como M3 e M4, por exemplo (na Figura 1.1), as forças sobre ela não se equilibram porque a
calota inferior da sua esfera de ação (área hachurada, Figura 1.1) está cheia de moléculas que as
atraem, mas a calota correspondente superior cai fora do líquido e, não estando cheia de moléculas
como a inferior, a força de coesão resultante do hemisfério superior da esfera de ação molecular se
toma menor do que a resultante do hemisfério inferior. Como conseqüência, tal molécula é atraída
para o interior do líquido pela resultante dessas forças de coesão não equilibradas. Evidentemente
esta resultante é nula quando a distância entre a molécula e a superfície do líquido for maior ou igual
a r (molécula M2, Figura 1.1) e vai aumentando à medida que a molécula se aproxima da superfície
do líquido até um máximo, quando se encontra na interface (molécula M4, Figura 1.1).
--F2=O- -=- -=- -'- _ - - F3- ~- - ~ ~ - - -F4 - - - -
@-----
~~ ~ ~ ~ ~ - -~ -- - - - - -
---jJ- -
~ ~ ~ -=- M_L-:---=- -=- -=- -=- -=-
~~ ~ - - - -FI = O-=--=- -=- -=- -=- -=-
F.'gUrG i.i Forças nas moléculas de um líquido.
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Dinâmica da AguQ 110 Solo • 13
Esta camada superficial de espessura r é chamada de "camada ativa".
Portanto, pela ação destas forças nas moléculas da camada ativa, a superficie do líquido se
contrai, minimizando sua área e adquirindo uma energia potencial extra que se opõe a qualquer
tentativa de distendê-Ia, ou seja, ocorrendo uma distensão, a tendência da superficie é sempre voltar à
posição original. Em outras palavras, devido a essas forças, a superficie do líquido se toma conh·átil.
2.2.1 Pressão interna
Além de tomar a superficie dos líquidos contrátil, essas forças moleculares de coesão não
equilibradas da camada ativa causam, ao puxar todas as moléculas da camada ativa para o interior do
líquido, uma enonne pressão chamada pressão interna P '. Para a água, P' == 1700 MPa.
I-----
Z
f-
Pj):.(
P M
P
p
Figura 1.2 Pressão e.xercidapor um líquido.
Todos sabemos, por outro lado, que uma das hipóteses fundamentais da hidrostática elementar
é de que a pressão exercida por um líquido se deve a seu peso e à sua propriedade de transmitir
pressão em todas as direções. Assim, se considerannos a situação da Figura 1.2, na qual o líquido
possui uma densidade p e sobre sua superficie está atuando a pressão atmosférica (Pa1m), a pressão P
no ponto Mlocalizado na profundidade z do recipiente é dada por:
P=~IIIII + pgz, (1)
sendo g a aceleração da gravidade.
Entretanto, tendo em vista o exposto a respeito da pressão interna sob a superficie do líquido,
o valor correto da pressão P a uma distância z abaixo de uma superficie plana (Figura 1.2) não é, na
realidade, dado pela equação (1), mas sim pela equação (2) abaixo:
P = POIIII + p' + pgz. (2)
No entanto, esta pressão interna é cancelada nas medidas hidráulicas comuns, não
necessitando, portanto, ser considerada nessas medidas, daí a equação (1) ser suficiente.
2.2.2 Níveis de pressão
o fato de P' ser cancelada nas medidas hidrostáticas toma-se mais fácil de ser entendido com
a definição de termos importantes, como pressão absoluta, pressão barométrica (ou pressão
atmosférica local) e pressão manométrica (ou efetiva). Na realidade, tais telmos se referem a níveis
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14 • Tensão Supeljicial
de pressão. Assim, teríamos um nível de zero absoluto no qual haveria vácuo completo (inexistência
de pressão), de tal maneira que todas as medidas de pressão feitas em relação a este nível
representariam pressões absolutas. A pressão atmosférica local é uma medida de pressão absoluta do
ar atmosférico em qualquer elevação e, sendo medida por meio de barômetro, é também chamada de
pressão barométrica. Além do nível de zero absoluto, definiu-se, então, um outro nível, o da pressão
barométrica em relação ao qual se definem pressões manométricas, pelo fato de o "zero" dos
manômetros ser sempre a medida da pressão atmosférica do local onde a medida está sendo feita.
Deste modo, se chamannos de P a pressão absoluta e de Pallll a pressão barométrica, a pressão
manométrica, PI/I> é dada pela diferença entre P e Pallll, isto é,
P =P-Pm (11m· (3)
":;
'§
.D."
o
.~ I lei tura barométricaK local (pressão
absoluta)
pressão absoluta: P
Á
í
P > O(pressão)
mlI pressão atmosférica local: P atm
T
Pm< O(vácuo)
1 pressão absoluta: P
":;õ
Vl
.D"
o."
Vl
Vl~."
zero absoluto (vácuo completo)
Figura 1.3 Definição de pressão absoluta (P), pressão atmosférica ou barométrica (Pall/J e pressão
manométrica (PI/J.
Observe que a pressão manométrica ou efetiva é, na realidade, uma diferença de pressão. É
por isso que, quando P > Pallll, seu valor é positivo (PlII > O) e, quando P < Pali", negativo (PlII < O),
isto é, o medidor, o manômetro, está medindo um vácuo ou, mais conetamente, uma pressão menor
do que a pressão atmosférica local. O esquema da Figura 1.3 ilustra bem estas definições.
Exemplo llustrativo
A pressão de ar de um pneu de cano é medida, por meio de um manômetro, em um local A
em que a pressão barométrica é de 93 kPa. O resultado obtido é de 0,2 MPa. Este pneu é levado para
um outro local B, que se encontra à mesma temperatura que o local A, mas com uma pressão
barométrica de 80 kPa. Em B, a pressão de ar do pneu é novamente medida, por meio de um
manômetro local. De quanto será o valor da leitura do manômetro no local B?
Solução:
Pela equação (3), percebe-se facilmente que a pressão manométrica é influenciada pelo
ambiente do medidor de pressão ou manômetro.
Assim, pela mesma equação, a pressão absoluta em A vale:
P = p,,, +Po1m
ou
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Dinâmica da Agua no Solo • 15
P = 0,2 + 0,093 = 0,293 MPa,
uma vez que, no caso, em A, Pm = 0,2 MPa e Palm = 93 kPa = 0,093 MPa.
Em B, a pressão absoluta é, evidentemente, igual à de A, ou seja, nada aconteceu (variação de
temperatura, de volume ou de massa de ar) para que ela se modificasse. Portanto, a pressão ou leitura
manométrica, em B, vale:
Pm =P-Palm
ou
Pm = 0,293 - 0,080 = 0,213 MPa.
Ou seja, o manômetro do local B lê um valor (0,213 MPa) maior do que o valor (0,2 MPa)
lido pelo manômetro do local A, porque a pressão barométrica de B é menor do que a de A. Note,
portanto, que isto não quer dizer que o pneu em B está mais "cheio" do que em A. Quem comanda
este fato é a pressão absoluta, uma vez que as paredes do pneu são rígidas. Note ainda que, neste
caso, a diferença entre os valores de Pm é pequena (6%) entre os dois locais, porque, em relação a
pressão de ar do pneu, as pressões barométricas são muito pequenas. Isso nos leva a concluir que a
variação da pressão atmosférica entre os locais onde a medida foi feita não foi muito relevante,
apesar desta ter sido de, aproximadamente, 14%. À medida, entretanto, que os valores das pressões
absoluta e atmosférica forem se tomando mais próximos entre si, toma-se mais relevante esta
variação de Pall1l e, conseqüentemente, menos recomendável o uso da pressão manométrica para
comparar valores de pressão entre ambientes com Palm diferentes.
Para explicar o esquema da Figura 1.3, principalmenteno caso em que P < PaI"" e também
para comprovar que a pressão interna P' se cancela nas medidas hidrostáticas, considere os desenhos
da Figura IA.
reservatório de
_a~comprimido
:::::::;:~;f:~:~~
=:=:::=:::-:::=:::
::::::~::~~~~~~~ª
reservatório de
ar sob vácuo~~~
--
- - P
~>~
h rIm
:, 'f
I
P'
(b)
P,n= - pgh
Figura 1.4 Exemplo ilustrativo mostrando quando (a) Pm> O e (b) Pm < O (vácuo).
Esta figura mostra um tubo em "U" com água (manômetro de água); num caso, com um dos
ramos conectado a um reservatório com ar comprimido (Figura lAa), portanto com uma pressão
maior do que a atmosférica local Patim e no outro conectado ao mesmo reservatório, porém
parcialmente com vácuo (Figura lAb), portanto com pressão menor do que a atmosférica local Palm•
Note que a leitura h do manômetro dá diretamente o valor da pressão manométrica, isto é, P - P"lm,
sem ser necessário considerar P '.
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16 • Tensão Superficial
Este fato da pressão interna P' não necessitar ser considerada nas medidas de PII1, como
acabamos de ver, não ocorre quando se estudam fenômenos capilares (ascensão e depressão capilar),
os quais, pelo contrário, só podem ser explicados com base na existência desta pressão, mais
especificamente de seu incremento quando a interface líquido-gás se toma curva (ver item 5). Neste
caso, a equação (l) não é suficiente e a equação (2) tem que ser utilizada.
3. DEFINIÇÃO DA TENSÃO SUPERFICIAL
Como vimos no item anterior, a superficie dos líquidos é contrátil, isto é, ao ser distendida sua
tendência é sempre voltar à posição original, mostrando que se encontra num estado de constante
tensão. Uma película de uma solução de água e sabão ilustra bem este fenômeno e pennite definir
com clareza a tensão superficial de um líquido.
Consideremos, então, uma armação ABCD de fio de cobre fino, com seu lado AB, de
comprimento L, móvel. Mergulhemos esta armação numa solução de água com sabão e obtenhamos,
na sua retirada, uma película do líquido no seu interior, conforn1e mostra a Figura 1.5. Quando se
puxa AB com uma determinada força para baixo, a película responde a este estímulo e se distende e,
quando se libera a aplicação desta força, ela se contrai, mostrando, portanto, que a película é
contrátil. Uma conclusão importante é que esta contratilidade é completamente independente da
espessura da película, isto é, o trabalho a se fazer para aumentar a superficie é sempre o mesmo,
esteja a película muito ou pouco esticada, ou seja, seja ela fina ou espessa. Isto acontece porque este
trabalho consiste unicamente em trazer moléculas do interior para as superficies da película, contra a
força da pressão interna. Igualmente, quando a força de esticamento é liberada, a contração do filme
não é nada mais, nada menos do que uma manifestação da força da pressão interna em trazer de volta
as moléculas para o interior da película. Conseqüentemente, o trabalho feito pelo agente externo,
quando a superficie está aumentando, ou pela pressão interna, quando está diminuindo, é sempre
proporcional ao aumento ou decréscimo da superficie, independentemente do estado de esticamento
do filme.
Esta conclusão está em desacordo com a lei que governa o esticamento dos sólidos (uma tira
de câmara de pneu, por exemplo), para os quais a força de esticamento depende de seu estado de
esticamento, isto é, de sua espessura; no entanto, é completamente comprovada pela experiência.
Segue-se, destas considerações, que se AB for puxado para baixo com uma força F em uma
distância d (figura 5), o trabalho w realizado por esta força será:
w=F.d, (4)
e o aumento de área da superficie será 2Ld, uma vez que ambos os lados da película devem ser
considerados; observe que a força F atua por meio do fio AB na linha de comprimento 2L da película
(lL para cada lado desta).
Como este trabalho é proporcional ao aumento de superficie, seu valor, por unidade de área de
superficie distendida, é uma constante (j para cada líquido, numa detenninada temperatura. Por
expressar a magnitude do estado de tensão da superficie do líquido, tal constante recebeu o nome de
tensão superficial ou coeficiente de tensão superficial, isto é, para o arranjo da Figura 1.5:
~= 2;d ~ [,:2]
(5)
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L
·CD.
A i7'7S~777'h'7'777777"7'7<;~. B
://///////, ://////~ / Id
t
I
y-,
F
Figura 1.5 Medida da tensão superficial de um líquido.
Portanto, por definição, tensão superficial de um líquido é o trabalho por unidade de área
asto para distender a superficie desse líquido.
A substituição da equação (4) na equação (5) resulta para ao valor:
a = .!.- -7 [N], (6)2L m
S(Q é, a força necessária para deslocar AB de uma mesma distância d é proporcional ao comprimento
2L da linha da superficie na qual a força F é aplicada e a constante de proporcionalidade é 0".
Portanto, a tensão superficial, que representa um trabalho por unidade de área, é equivalente a
ma força por unidade de comprimento. Analisemos um pouco mais este fato. A partir da
uação (6), quando 2L = 1, obviamente:
a = F (numericamente) , (7)
onde se conclui que a tensão superficial a se manifesta na superficie de qualquer líquido como a
orça F contrátil, tangente à superficie e numericamente igual ao trabalho necessário para trazer do
interior para a superficie do líquido um número suficiente de moléculas para criar uma área
mitária de superficie nova.
Face a estas considerações, pode-se visualizar O" da seguinte maneira: se traçannos uma linha
arbitrária de comprimento .t sobre a superficie de qualquer líquido, pelo fato de a superficie se
encontrar num estado de constante tensão, a superficie de cada lado da linha puxa a superficie do
lado oposto com uma força igual ajperpendicular à linha e paralela à superficie (Figura 1.6), de tal
odo que O" =fi/. É evidente que se a linha sobre a superficie for diminuída de f'para 112 a força
passará dejparaj12, pois aé constante.
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• Tensão Superficial
Figura 1.6 Tensão numa superfieie de líquido.
o valor do coeficiente de tensão superficial depende não só do líquido, mas também do meio
circundante. Para nossos objetivos interessa apenas o caso em que o ar é o meio. Quando aqui o
meio circundante não é mencionado está implícito que seja o ar. Depende também da temperatura,
diminuindo à medida que esta aumenta. A seguir, apresentamos alguns valores de (J para a água, a
diversas temperaturas, tendo o ar como meio circundante.
Tabela 1.1 Coeficiente de tensão superficial para a água.
Temperatura
(K)
265
268
273
278
283
288
291
293
298
303
313
323
373
4. ÂNGULO DE CONTATO
Coeficiente de tensão
superficial (J (N/m)
0,07700
0,07640
0,07560
0,07490
0,07422
0,07349
0,07305
0,07275
0,07197
0,07118
0,06956
0,06791
0,05880
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Dinâmica da Agua no Solo • 19
tivesse qualquer força-componente paralela à superfície, as moléculas mover-se-iam em resposta a
esta força-componente e não haveria equilíbrio. Imaginemos, então, um líquido dentro de um
detenninado recipiente e analisemos as forças que atuam nas moléculas situadas na linha de contato,
isto é, na linha composta pelos pontos comuns às três fases: sólida (parede do recipiente), líquida
(líquido em estudo) e gasosa (o ar atmosférico, por exemplo). Em corte, a linha de contato é um
ponto conhecido como ponto de contato P, conforme mostra a Figura 1.7, no qual atuam as
seguintes forças:
a) A força da gravidade: devido ao tamanho extremamente pequeno da esfera de influência, o peso
das partículas contidas em seu interior é completamente desprezível em comparação com as
forças moleculares.b) A resultante F das forças moleculares de London-van der Waals de atração coesiva das moléculas
do líquido do quadrante PAB sobre a partícula P.
c) A resultante G das forças moleculares de London-van der Waals de atração adesiva do sólido
s9bre a partícula P; esta força pode ser dividida em duas partes: aquela devida à parte do sólido
acima da superfície do líquido (quadrante PCD), de intensidade G1 e aquela devida à parte do
sólido abaixo da superfície do líquido (quadrante PBC), de intensidade também G1; portanto, a
intensidade da resultante das forças G de adesão sobre a partícula P será igual à G I '1/2 (teorema do
paralelogramo) .
É por meio da relação entre as intensidades destas duas forças moleculares (a resultante das
forças de coesão do líquido e a resultante das forças de adesão entre o sólido e o líquido) que se
detennina se o ângulo formado no líquido entre o plano tangente à sua superfície no ponto de
contato e a parede do recipiente será reto (superfície plana), agudo (superfície côncava) ou obtuso
(superfície convexa), como veremos nos três casos a seguir. Este ângulo denomina-se ângulo de
contato.
sólido
G
gás
líquido
A o
Figura 1. 7 Angulo de contato a = 90 .
]O caso: quando F = 2G} ou F = GV2
Nesta situação, como se pode observar pela Figura 1.7, a resultante fínal R das forças
moleculares atuantes em P é paralela à parede do recipiente, isto é, perpendicular à superfície do
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20 • Tensão Superficial
líquido. Conseqüentemente, existe equilíbrio na condição assumida e o ângulo de contato a é igual a
90°.
rcaso: quando F < 2Gj ou F < GY2
Neste caso, a resultante final R cairá no quadrante PCB (Figura 1.8). Conseqüentemente, não
pode haver equilíbrio até que a superficie próxima de P se tome côncava, isto é, até que o ângulo a
se tome agudo e a resultante R fique perpendicular à superficie. Este é o caso dos líquidos que
molham a parede. Para substâncias como o querosene e o vidro, por exemplo, o equilíbrio é
alcançado somente quando a= 26°. Quando a= 0° (caso da água pura em vidro), dizemos que o
líquido molha perfeitamente a superficie sólida, isto é, um fino filme de líquido se espalha sobre a
face do sólido e a resultante final R será perpendicular à parede, o que indica que a resultante das
forças de coesão do líquido se toma desprezível face à grande intensidade da resultante das forças de
adesão entre o sólido e o líquido.
sólido
gás
líquido
-,
F
Figura 1.8 Ângulo de contato a < 90°.
30 caso: quando F > 2Gj ou F > GY2
Quando isto acontece, isto é, quando a coesão do líquido (F) for maior do que .,j2 vezes a
adesão (G) entre o sólido e o líquido, então a resultante final R cairá no quadrante PAB (Figura 1.9).
Conseqüentemente, só haverá equilíbrio quando a superficie de líquido próxima de P se tomar
convexa e, portanto, o ângulo de contato obtuso (a> 90°). Este é o caso dos líquidos que não
molham a parede. Para as substâncias mercúrio e vidro, por exemplo, o equilíbrio é alcançado
somente quando a= 148°.
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Dinâmica da Agua no Solo • 21
sólido
G
líquido
F
A o
Figura 1.9 Angulo de contato (X> 90 .
5. FÓRMULA DE LAPLACE
Uma conseqüência importante do fenômeno da tensão superficial é o fato de que se a
superficie de um detenninado líquido deixar de ser plana, surge uma nova pressão p que pode atuar
no mesmo sentido que a pressão P " que é o que ocorre numa superficie convexa, ou opostamente a
P " como numa superficie côncava. A fónnula de Laplace mostra como se pode calcular o valor
desta nova pressão p que aparece quando a superficie do líquido se toma curva. Vejamos sua
dedução.
Pelo fato de a pressão intema se manifestar como uma contratilidade na superficie dos
líquidos, deve ser possível obter, a partir desta contratilidade, a quantidade p. Consideremos, então,
uma pequena porção (infinitesimal) ou elemento retangular ABCD de uma superficie de líquido
convexa separando duas fases (X (gás) e f3 (líquido) (Figura 1.10).
Qualquer superficie curva pequena pode ser caracterizada por dois raios principais de
curvatura. No caso, aos arcos AB = DC (que são aproximadamente iguais à linha média EG) e aos
arcos AD = BC (aproximadamente iguais à linha média Hl) correspondem os raios RI e Rz,
respectivamente.
Lembrando da definição de tensão superficial (item 2), o restante da superficie, da qual a
pequena porção ABCD é parte, exerce uma tensão ao longo de todo o perímetro do elemento ABCD,
tangencial à superficie e perpendicular às arestas do elemento. Exemplificando, em cada um dos
arcos opostos AD e BC, de comprimento infinitesimal diz, atua uma força igual a (J diz e em cada um
dos arcos opostos AB e DC, de comprimento infinitesimal di" atua uma força igual a (J di" forças
estas tangentes à superficie e normais aos arcos correspondentes, portanto, quatro forças: duas (J dll e
duas (J diz (Figura 1.10). Por causa da curvatura da superficie, estas quatro forças têm uma resultante
infinitesimal dF na direção do eixo N, evidentemente perpendicular à superficie, como veremos a
segUir.
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22 • Tensão Superficial
~ (líquido)
B
a (gás)
c
crdlj
AB=DC=EG=dll
AD=BC=HT=dI2
Figura 1.1ORaios de curvatura de uma porção infinitesimal de uma superficie curva.
Vejamos inicialmente a resultante dF1 das duas forças (J dl2 que atuam nos arcos AD e BC.
Pela Figura 1.11, que é um corte da Figura 10 e que mostra no plano o arco de raio RI, é fácil
perceber que esta resultante é perpendicular à superfície do líquido e vale
dF1 = 2(Jd12 cos r = 2(Jd12 sen e I .
N
I
crd12
EG=dll
EO=OG=dll2
1°1
(8)
Figura 1.11Ilustração das forças que atuam sob uma inteiface líquido-gás devido à curvatura da
inteiface.
No entanto, como EG = dI] é uma distância infínitesimal, no limite, isto é, 81 tendendo para
zero, EJ tende a se tomar igual a EO e JOI tende a se tomar igual a 001, pelo que
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Dinâmica da Agua no Solo • 23
ou
dl/2
sen81=-I-,
RI
uma vez que EO = dl/2 e 00, = R, (Figura 1.11).
A substituição da equação (9) na equação (8) fornece:
dF = adl2dllI
RI
(9)
(10)
Seguindo o mesmo raciocínio, evidentemente, a resultante dFz das duas forças a d/l, que atuam nos
arcos AB e DC, valerá
dF = adlldl2(11)2 R 2Como
dF = dF; +dF2,
(12)
resulta, pela substituição das equações (10) e (11) na equação (12):
dF =a dI dI (~+_1 ).2 I RI R2
(13)
Ora, a pressão sob o elemento de superficie (convexa) ABCD, causada pela resultante dF é,
obviamente, igual à resultante dF dividida pela área d/!dlz do elemento, uma vez que, por definição,
pressão é força por unidade de área. Conseqüentemente, a pressão p devida à curvatura é:
_ d F _ adl2 dll (11RI +11 R2)p----------
d/l dl2 d/l dl2
ou
p=a(~+_l ).RI R2
(14)
A equação (14), como se pode notar, relaciona a tensão superficial e os raios de curvatura com
essa nova pressão p devida à curvatura da interface. É afórmula de Laplace.
A superficie da Figura 1.10, a qual tem ambos os raios de curvatura de um mesmo lado, é
chamada de supeiflcie sinclástica, e a pressão extra causada pela curvatura da superficie é, como
acabamos de demonstrar, dada pela equação (14). Note ainda que, pelo fato de a superficie ser
convexa, portanto com os dois raios no lado do líquido, a resultante dF, e conseqüentemente p, atua
no sentido da superficie para o interior do líquido, isto é, a favor da pressão P'. Com isso, podemos
dizer que a pressão interna que atua sob uma superficie convexa de um líquido é igual a P' +p.
Considerando a mesma superficie ABCD da Figura 1.10, mas que ao invés de convexa seja côncava,
a dedução da equaçãode Laplace leva ao mesmo resultado para p (equação 14), porque esta
superficie também é sinclástica; no entanto, neste caso, pelo fato de os dois raios ficarem do lado do
gás, verifica-se que a resultante dF e, conseqüentemente, p atua no sentido da superficie para fora do
líquido, isto é, contra a pressão P " pelo que a pressão interna sob uma superficie côncava de um
líquido será igual a P' -p. Resumindo, temos as três situações esquematizadas na Figura 1.12, ou
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24 • Tensão Superficial
seja, a pressão interna (a) sob uma superficie plana é igual a P', (b) sob uma superficie convexa é
igual a P'+ p e (c) sob uma superficie côncava é igual a P' -p. Note que, na realidade, p não
representa uma nova pressão mas sim um incremento na pressão interna de uma superficie plana que
se encurva.
Quando a superficie curva tem seus raios de curvatura em lados opostos, isto é, um
estendendo-se para o líquido e o outro para o gás, por raciocínio semelhante (exercício 7), chega-se à
fónnula
p=a(~ __1 ),RI Rz
(15)
na qual RI <Rz , e portanto dFj > dFz e o sentido da força dFj é o inverso do sentido da força dFz.
Esta superficie é conhecida pelo nome de supeifície anticlástica, e nela p pode atuar tanto contra
como a favor de P' ou mesmo até ser nula, dependendo das magnitudes de dFI e dFz.
Para uma superficie esférica, RI = Rz = R, e, como ela é obrigatoriamente sinclástica,
Para uma superficie plana:
P''i'
(a)
interfuce
plana
2a
P=R'
RI = Rz ~ 00 e p = O .
P'
Lp
(b)
interfuce
convexa
0=- -
].P'-pyP'
(c)
interfuce
côncava
(16)
Figura 1.12Pressão interna sob uma supeifície de líquido: (a) plana, (b) convexa e (c) côncava.
Exemplos llustrativos
1. Qual é o diâmetro de uma bolha de sabão quando a pressão manométrica no seu interior é 9 N/mz
e a tensão superficial da solução de sabão 0,027 N/m?
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Dinâmica da Agua 110 Solo • 25
Solução:
O esquema a seguir à esquerda mostra a bolha de sabão com as pressões externas atuantes em
sua película. O esquema à direita é uma pequena porção ampliada da película que mostra também as
pressões internas que nela atuam.
Pa11ll
-~f~~~~p~~~~_
-_.- -----, -P.'--,-~-- -.- .~ -- -', _.
p
Observe que a superfície da bolha voltada para o exterior é convexa, pelo que a pressão
interna que nela atua é igual à P' +p, enquanto que a superfície voltada para o seu interior é côncava
e, conseqüentemente, nela a pressão interna atuante é P' - p. Como estas pressões externas e intemas
que atuam na película estão em equilíbrio, então:
Paflll+ p'+ P =P+ P' - p
ou
P-Paflll=2p.
2a
Como PIIl=P-Pafllle p =-:
R
4a
P,I/=
R
Substituindo os dados do exercício:
R = 4xO,027 = 0,012m.
9
Como o diâmetro da bolhaD = 2R, então D = 0,024111 = 24 111111.
2. Um método comum de se medir a tensão superficial de um líquido consiste em borbulhá-Io com
um gás inerte, por meio de um pequeno tubo cilíndrico, logo abaixo de sua superfície, Prove que,
no processo de borbulhamento, a pressão do gás é máxima quando o raio da bolha em formação
for igual ao raio do pequeno tubo. Com base nisso, calcule a tensão superficial de um líquido com
densidade 1500 kg m-3, sabendo-se que o tubo de borbulhamento tem I llliTI de raio, que sua
extremidade aberta no interior do líquido está a 9 llliTI da superfície e que a pressão manométrica
de borbulhamento máxima obtida, sob estas condições, foi de 187 N/mz.
Solução:
O esquema, mostrado na figura a seguir, ilustra o procedimento experimental de medida do
coeficiente de tensão superficial apor este método. Neste esquema, R = raio de curvatura da bolha c
r = raio do tubo.
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26 • Tensão Superficial
///
P'-p
Analisando qualquer uma das situações da figura acima, é fácil verificar que:
P + P' - p = Pa1m + P' + pgz
ou
P - Pa1m =p + pgz .
Mas, como P/lI = P - Pa1m e p = 2 eJ/R, então:
2eJ
P =-+pgz.
m R
Ora, pela equação acima, para que Pm seja um máximo, R deve ser um mínimo e isso vai
acontecer quando R = r, pois, como pode ser visto na seqüência mostrada na figura, à medida que se
aumenta a pressão do gás, R só pode diminuir até o valor limite (mínimo) quando ele se toma igual a
r, porque qualquer aumento de pressão a partir desse ponto fará com que a bolha seja perdida, isto é,
ela se expandirá e se destacará do tubo.
Neste ponto, portanto, que pode ser visto no esquema mais à direita da figura,
P _ 2eJ ( )m(Max) - + pg I + r ,r
sendo I = comprimento do tubo dentro do líquido.
Explicitando eJ,
p
(J = m(Max)r
2
pg(Z + r)r
2
Substituindo os valores Pm(Max) = 187 N/mz, r = 1 mm = 10.3 m, p = 1500 kg m·3, 1=9
mm = 9.10.3 m eg= 9,8 m.s'z, resulta
(J = 187.10-3
2
1500 X 9,8(1O-Z )10-3 = 2,0.10-2 N/m.
2
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Dinâmica da Agua no Solo • 27
6. CAPILARIDADE
Sabemos da hidrostática que, quando se preenchem vários vasos comunicantes com um
detem1inado líquido, este sempre atinge a mesma altura em todos os ramos. Entretanto, para tubos de
pequeno diâmetro (= tubos capilares) esta afirmação não é verdadeira, devido aos fenômenos
relacionados com a tensão superficial do líquido em contato com uma parede sólida (ver item 3), os
quais são muito mais acentuados nos tubos capilares, originando os chamadosj€?nômenos capilares.
Assim, se tomarmos um tubo de vidro em U, no qual um dos ramos é capilar (diâmetro
intemo de, por exemplo, 0,2 mm) e outro não (diâmetro intemo de, por exemplo, 20 mm) e o
preenchem10s com água ou com mercúrio, obtém-se, depois do equilíbrio, contrariando as leis de
hidrostática, o que é visto nas figuras 1.13a e 1.13b, respectivamente.
(a) (b)
vidro -..". água
Figura 1.13 Ascensão capilar (a) e depressão capilar (b).
Observa-se, pela Figura 1.13, que a superficie livre dos líquidos nos tubos capilares f0I1113um
menisco côncavo quando o líquido molha (água) a parede do tubo e convexo quando não a molha
(mercúrio). No primeiro caso, resulta um desnível h entre as duas superficies livres, sendo o nível
mais alto no tubo capilar, enquanto que no segundo o nível no tubo é mais baixo. Isto é, quando o
líquido molha a parede, ocorre uma ascensão capilar h e quando o líquido não molha a parede, uma
depressão capilar h.
Estes fenômenos de capilaridade são explicados pela fÓ11nula de Laplace. Vejamos o caso da
ascensão capilar, que mais nos interessa; se quiséssemos estudar a depressão capilar, o raciocínio
, seria o mesmo (exercício 8). Para maior facilidade de explicação, em vez de utilizar o tubo em U da
Figura 1.13, imaginemos que o tubo capilar de vidro é colocado verticalmente dentro de uma cuba
com água (Figura 1.14). A ascensão capilar é iniciada pela atração das moléculas que compõem a
superfície do vidro, fazendo com que a água se curve para cima num menisco (ver item 3). Esta
curvatura para cima faz com que, de acordo com a fónnula de Laplace, a pressão intema sob o
menisco (côncavo) se tome menor que a pressão intema sob a superfície plana, isto é, o sinal de pé
negativo, como já esclarecemos no item anterior. Nestas condições, o valor correto da pressão a uma
distância z abaixo da superfície côncava no capilar (ponto A da Figura 1.14a) é, de acordo com a
equação (2) e o exposto no item 4:
P(l/m + (p' - p)+ pgz . (17)
Ora, como a pressão à mesma distância z, porém abaixo da superfície plana (ponto B da
figura 14a), vale
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28 • Tensão Superficial
Parll/+p' + pgz,
Patm- Pargh
I
p,_~~ItA-
h
P fP~patm
r r_I
-A I T
,1- P'.:. ,l''- - - - A
(a)
I"mí"m
lr=:l"
(b)
Figural.14 Ascensão da água num tubo capilar: (a)formação do menisco côncavo, (b) ascensão.
que é a equação (2) já explicada anterionnente, e tendo em conta a lei de Pascal da igualdade de
transmissão de pressão, não pode haver equilíbrio enquanto a pressão interna mais forte sob a
superficie plana na cuba empurre para cima o líquido no tubo capilar até a uma altura h
(Figura 1.14b), com a qual, em qualquer ponto no mesmo plano horizontal dentro da cúba, a pressão
total é a mesma. Assim, para os pontos A e B (Figura 1.14b),
Palll/+ p' + pgz = (Palll/ - Pargh) + (p' - p) + pgh + pgz
ou
p = (p - PaJgh
donde
P17=-----,
g(p - pJ
(18)
sendo Par = densidade média do ar entre o menisco no capilar e a superficie do líquido na cuba.
Observe que a pressão atmosférica, que atua no menisco na condição natural de equilíbrio da
Figura 1.14b, é igual a Palll1 - Pmgh, isto é, menos a quantidade p",gh em relação à pressão
atmosférica Pall1l que atua na superfície do líquido na cuba, devido à altura de ar h a mais que atua na
mesma superfície, quando se atinge o equilíbrio da Figura 1.14b.
No caso de a superfície côncava ser esférica e de raio R (Figura 1.15), resulta que p = 2cr/R
(equação 16), porquanto a expressão (18) se toma:
17= 2cr
(p - PaJg R'
(19)
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Dinâmica da Agua no Solo • 29
Por outro lado, da Figura 1.15:
rR=-- ,
cosa
sendo r = raio do capilar. Resulta, então, para h, a expressão:
h = 2cr cosa
(p- pJgr'
Figura 1.15 Detalhe da superficie do líquido no capilar com o ângulo de contato a.
(20)
Devido ao seu baixo valor em relação a p (no caso, aqui, da água), a densidade do ar par
nonnalmente não é considerada nas equações (18), (19) e (20); daí, numa primeira aproximação,
utilizar-se as expressões
e
h=L ,
pg
h=~
pgR
h = 2 cr cosa
pgr '
(21)
(22)
(23)
respectivamente, para o cálculo da altura da ascensão capilar do líquido. No caso, entretanto, de que,
em vez do ar, tenha-se um outro fluido, um líquido de densidade próxima à da água, por exemplo, a
utilização das equações (21), (22) ou (23) pode levar a obtenção de um valor h muito diferente do
real.
Exemplos Ilustrativos
1. Um tubo capilar de vidro de raio 0,1 mm é inserido numa cuba com água. Ocorre uma ascensão
capilar de 147 mm. Sendo o ângulo de contato igual a 0° e as densidades da água e do ar
1000 kg m'3 e 1,293 kg mo3,respectivamente, calcular a tensão superficial da água.
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30 • Tensão Superficial
Solução:
A partir da equação (20):
(5 = (p - Par )grh .
2. cos a
Substituindo os valores do exercício:
(1000-1,293)9,8 X 10--4X 147.10-3 = 0,07194N/m.
(5 = 2.cosO'
Se os cálculos acima forem refeitos sem considerar a densidade do ar, isto é, utilizando a equação
(23) em vez da equação (20), verifica-se que o resultado obtido é praticamente o mesmo, porque a
densidade do ar é muito pequena em relação à densidade da água (aproximadamente mil vezes
menor).
2. Consideremos a mesma situação do exemplo anterior, mas com substituição do ar por benzeno de
densidade 800 kg m-3, confonue a figura abaixo.
Nesta situação, a ascensão capilar do menisco água-benzeno
é 40 mm, e o ângulo de contato vidro-água-benzeno, 40°.
Qual o valor da tensão superficial da água, agora tendo
benzeno como meio circundante, isto é, qual é o valor da
tensão interfacial entre a água e o benzeno?
Solução:
Este é um exemplo típico em que a densidade do meio
circundante é relevante. Assim, neste caso, basta utilizar a
equação (23) substituindo a densidade do ar pela densidade
do benzeno. A propósito, a equação (23) pode ser
generalizada para
h = 2(5 cosa ,
(p - Pm )gr
em que Pm = densidade do meio circundante.
Portanto, no exemplo em questão, tem-se, a partir da equação acima, que:
(1000 - 800) 9,8x1 0--4x 40.1 0-3 = 0,0051N/m.
(5= 2cos40'
Evidentemente, a expressão (20) ou (23) pode também ser utilizada para os líquidos que não
molham o tubo, como o mercúrio em vidro, para os quais, ao invés de ascensão ocorre uma
depressão capilar. Neste caso, a> 90° e cosa < O, e demonstra-se facilmente que às expressões (20)
ou (23) há que se inserir um sinal negativo (ver exercício 8). Deve ser lembrado que na equação (20)
ou (23) entra em jogo o raio r do capilar no ponto onde se fonua o menisco, porquanto constrições
ou expansões abaixo deste ponto não interessam (Figura 1.16), daí o enunciado da lei de Jurin: "para
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Dinâmica da Agua 110 Solo • 31
um mesmo líquido, a uma mesma temperatura, a altura de ascensão ou depressão capilar é
inversamente proporcional ao diâmetro do tubo na região em que se fonna o menisco".
f1
h
A B c
Figura 1.16 Tubos capilares com diferentes volumes de água.
É evidente que, quando se submerge o tubo A (Figura 1.16) na água, o desnível h se fonna
naturalmente, como acabamos de demonstrar. No entanto, nos casos dos hlbos B e C, é necessário,
para a obtenção do desnível h, que a água seja antes forçada a subir pelas partes não capilares destes
hlbos e, então, ao encontrar sua porção capilar, manter a coluna de altura h como no caso do hlbo A.
6.1 Tensão da água
Como pudemos observar, os fenômenos de ascensão (ou depressão) capilar só aparecerão
quando houver a fonnação de menisco (superfície líquida curva). Nos casos em que a superfície
líquida for plana, nunca irão ocorrer tais fenômenos. Assim, à semelhança do que vimos no caso dos
níveis de pressão para os quais selecionamos a pressão barométrica como nível de referência, por ser
a condição reinante sempre existente, por que não considerar como nível de pressão, no caso dos
fenômenos capilares, a pressão sob a superfície plana do líquido, por ser a superfície de líquido mais
comum? Se assim fízennos, a pressão efetiva (Pe), neste caso, seria igual à diferença entre a pressão
imediatamente abaixo da superfície curva (Pc) e a pressão imediatamente abaixo da superfície plana
(Pp), isto é,
(24)
e, como já demonstramos, no caso da superfície curva ser côncava, Pc = P' - P - e sendo Pp = P "
então Pe = -p. Nesta situação em que a pressão efetiva é negativa (Pc < Pp), introduz-se um novo
tenno -r chamado tensão, de tal maneira que
'r= p, (25)
isto é, o líquido sendo a água, defíne-se tensão da água como a pressão que atua imediatamente
abaixo de sua superfície quando côncava em relação à pressão que atua imediatamente abaixo de sua
superfície quando plana (Pc - Pp), com o sinal trocado: o tenno tensão elimina o sinal negativo. Note,
portanto, que quanto maior for a concavidade da superfície da água, maior será p e,
conseqüentemente, maior a tensão da água 'r.
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32 • Tensão Superficial
7. EXERCÍCIOS
1. Se, ao se colocar um tubo capilar de vidro verticalmente dentro de uma vasilha com determinado
líquido, fonnar-se um menisco com ângulo de contato de 90°, o líquido subirá ou descerá no tubo
capilar? Qual será a forma da superfície do líquido no capilar?
2. No experimento de ascensão capilar da Figura 1.14, a que altura h água pura a 298 K subirá num
tubo capilar de vidro de 0,1 mm de diâmetro? Dados: p = 1000 kg/m3; a = O';
a = 71,97.10.3 N/m.
3. Se o tubo capilar cheio de água do problema anterior for quebrado, de tal modo que seu
comprimento acima da superfície livre da água se tome h/2, a água esguichará através da
extremidade superior do capilar? Por quê?
4. Se, em vez de água, utilizássemos mercúrio (a= 513.10.3 N/m, p= 13600 kg/m3 e a= 140°) no
exercício n. 2, de quanto seria a depressão capilar?
5. Um tubo capilar com 0,88 mm de diâmetro interno é mergulhado numa cuba com glicerina. A
glicerina sobe 23,3mm no tubo. Sendo sua densidade igual a 1260 kg/m3, qual é seu coeficiente
de tensão superficial? Assuma a= 0°.
6. Se no exercício n. 2, em vez de um tubo capilar de 0,1 mm de diâmetro, imergíssemos duas
placas de vidro verticais, distantes entre si de O,llmn, qual seria o valor de h? A fónnula da
ascensão capilar seria a mesma? (não considere qualquer tipo de bordadura).
7. Prove que para a superfície curva da figura seguinte, a equação (14), fónnula de Laplace, se toma
p =a(l- -..!-J.RI R2
líquido
8. Deduza a fórmula (20), considerando no processo de dedução um líquido que não molhe a
superfície sólida, isto é, um líquido em que a> 90° (ou seja, um líquido que sofre o fenômeno de
depressão capilar).
9. Um recipiente qualquer tem em seu fundo um orifício circular capilar de 0,04 mm de diâmetro.
Calcule qual a altura máxima de água com que esse recipiente pode ser preenchido sem que haja
gotejamento através do orifício.
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Dinâmica da Agua no Solo • 33
O.Se o experimento para demonstrar a ascensão capilar fosse feito na Lua, na qual a gravidade é
seis vezes menor do que na Terra, o resultado seria o mesmo? E se fosse feito na própria Terra,
mas no vácuo, qual seria o resultado? Demonstre ambos os casos, não considerando, em ambos, o
aspecto da evaporação do líquido.
li. os mesmos experimentos de demonstração da ascensão capilar, o que aconteceria, depois de a
água ter estabilizado a uma altura h, se uma parte dela fosse, por um processo qualquer
(evaporação, por exemplo), retirada do capilar? A altura h diminuiria? Explique. E se o processo
fosse o inverso, isto é, depois do equilíbrio ainda existisse capilar acima do menisco e fosse
possível colocar água (sem aprisionar ar) no capilar, a altura h aumentaria? Por quê?
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II
,
ESTRUTURA DA AGUA
1. INTRODUÇÃO
Em três pontos parece haver concordância entre os especialistas sobre a estrutura da água. O
primeiro é de que o vapor d'água consiste de moléculas simples discretas, isto é, há muito pouca
evidência de que estas moléculas na forma de vapor se associam, a não ser em casos muito raros,
quando moléculas que se colidem podem, ocasionalmente, combinar-se e fonnar dímeros (Dyke et
aI., 1977). O segundo é o da existência de uma estrutura do gelo comum (a estrutura em látices do
gelo - I), e, fInalmente, o terceiro ponto de concordância é o de a água líquida possuir uma estrutura
desmoronada do gelo - Icom ligações de hidrogênio mantendo moléculas juntas.
Este capítulo tratará, resumidamente, da exposição destes três pontos a respeito desta
substância que, embora em grande abundância na natureza, ainda não é completamente entendida.
2. ESTRUTURA DO VAPOR D' ÁGUA
Uma molécula isolada de água é composta de um átomo de oxigênio e dois de hidrogênio. O
átomo de hidrogênio possui um próton positivamente carregado (em seu núcleo) e um elétron
negativamente carregado movendo-se ao seu redor. O átomo de oxigênio tem oito prótons (em seu
núcleo) e oito elétrons movendo-se ao seu redor, seis dos quais na camada externa da eletrosfera.
Para alcançar um estado de gás nobre, o oxigênio precisa, portanto, de mais dois elétrons, enquanto o
átomo de hidrogênio de apenas mais um elétron. Por esse motivo, estes átomos têm afInidade entre si
e na molécula de água, conseqüentemente, um átomo de oxigênio compartilha dois elétrons de dois
átomos de hidrogênio para que a camada externa da eletrosfera do átomo de oxigênio fIque com oito
elétrons e a dos átomos de hidrogênio com dois elétrons. Portanto, na molécula de água, existem
duas ligações covalentes O-H A partir da difração de raios-X e outros estudos, hoje se sabe que uma
molécula de água individual tem uma fonna de V, na qual o ângulo formado pelas linhas que unem
os dois núcleos de hidrogênio ao do oxigênio foi estimado em 104°31', a distância entre os núcleos
de oxigênio e hidrogênio em 0,096 nm e a molécula toda em um diâmetro de 0,33 nm, com o raio
variando entre 0,12 nm e 0,14 nm, uma vez que ela não é uma esfera perfeita (Figura 2.1).
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36· Estrutura da Agua
j/
Figura 2.1 Molécula de vapor d'água (Camp, 1963).
Além disso, há duas regiões com excesso de carga positiva associadas a cada átomo de
hidrogênio e outras duas regiões com excesso de carga negativa associadas com os dois pares de
elétrons não compartilhados do átomo de oxigênio, dando à molécula de água uma distribuição de
carga líquida que se assemelha a uma figura geométrica de quatro lados. Se conectannos estes
prótons particulares e os pares de elétrons não compartilhados, obtém-se um tetraedro com dois
vértices positivos e dois negativos (Figura 2.2, Davis & De Wiest, 1960). Com esta distribuição de
cargas, o centro resultante da carga positiva não coincide com o centro resultante da carga negativa,
fazendo com que a molécula de água se tome um dipolo elétrico, possuindo, conseqüentemente, um
momento dipolar, o qual tem sido estimado em 6,14.10,30 cm. (Davis & Day, 1961).
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Figura 2.2 Arranjo da molécula de água, com o núcleo do átomo do oxigênio no centro do
tetraedro e a posição média dos dois núcleos de hidrogênio e cada um dos dois pares de
elétrons não compartilhados, nos seus ápices (Davis & De Wiest, 1960).
É por causa deste momento dipolar que uma molécula de água tem a capacidade de atrair
,outras moléculas de água, ou mesmo outras substâncias estranhas quando no estado líquido ou
sólido,
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Dinâmica da Agua no Solo • 37
3. ESTRUTURA DO GELO COMUM OU GELO-I
o gelo comum é chamado de "gelo-I" pelo fato de haver oito outras formas de gelo, gelo-lI a
gelo-IX, as quais têm interesse apenas acadêmico, pois não se fonnam naturalmente.
Quando duas moléculas de água se aproximam, elas se unem devido à uma atração elétrica
entre um vértice positivo de um tetraedro e um vértice negativo de um outro tetraedro. Nesta ligação
entre duas moléculas de água, um próton de hidrogênio é envolvido; daí esta ligação (de natureza
elétrica) se chamar ligação de hidrogênio.
Se olhannos para uma molécula particular de água numa estrutura de gelo comum, verifica-se
que ela tem quatro moléculas de água vizinhas, resultando em quatro ligações de hidrogênio num
alTanjamento tetraedral (Figura 2.3, Home, 1972).
Nota-se, pela Figura 2.3, que não se trata de um tetraedro de quatro esferas encostadas umas
às outras, mas sim um grupo bem aberto de cinco esferas, uma das quais está no centro do tetraedro
fonnado pelas outras quatro. .
A energia destas ligações de hidrogênio na estrutura do gelo comum foi estimada em
18,8 kJ/mol.
ligação cova lente (713,1 kJ/mol)
ligação H (18,8 kJ/mol)
Figura 2.3 Arranjamento tetraedral de quatro moléculas de água ao redor de uma quinta, no gelo
(Horne, 1972).
Estudos desenvolvidos por Frank (1970) têm mostrado que a distância entre dois oxigênios na
estrutura do gelo-I é 0,276 nm, e que a distância entre os núcleos de hidrogênio e oxigênio, numa
mesma molécula, é 0,099 nm, um pouco maior do que na molécula de vapor d'água (0,096 nm),
resultando um valor de 0,177 nm para a distância entre o núcleo de oxigênio de uma molécula e o
núcleo de hidrogênio da molécula vizinha.
4. ESTRUTURA DA ÁGUA LÍQUIDA
No caso da estrutura da água no estado líquido, a situação é mais complexa e ainda não bem
definida, havendo algumas especulações que passamos a descrever.
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https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark38· Estrutura da Agua
1. Se todas as ligações de hidrogênio na estrutura do gelo-I fossem quebradas no processo de fusão, a
água líquida deveria ter um arranjamento bem compacto, isto é, cada molécula de água seria
rodeada por muitas moléculas de água e não apenas por quatro. Se o raio molecular da água
líquida permanece em 0,14 nm (como na molécula de gelo ou do vapor d'água), então a densidade
da água líquida seria computada a 1840 kg.m-3, o que sabemos não ser verdade. Assim, esta
especulação não convence, pelo que então, aparentemente, nem todas as ligações de hidrogênio
são rompidas quando o gelo derrete.
2. Se assuminnos que as ligações de hidrogênio não são quebradas no processo de fusão e que a
densidade da água líquida a 273 K seja 1000 kg m-3, então o raio molecular do gelo na sua fusão
teria que aumentar de 0,14 para 0,172 nm. Mas os pioneiros no estudo da estrutura da água
afinnam que o raio da molécula na água líquida é aproximadamente o mesmo que na estrutura do
gelo-I ou no vapor d'água. Assim, em vez de mudar o raio da molécula de água, há que se pensar
em outras mudanças, como na estrutura.
3. A 273 K, a água líquida, assim como o gelo, tem quatro moléculas de água vizinhas, mas a
distância que separa os núcleos de oxigênio é 0,29 nm, em vez de 0,276 nm. Assim, nesta
interpretação, a água líquida teria uma estrutura muito similar à do gelo-I, mas não exatamente a
mesma. Por esta hipótese, isto é, se a estrutura da água líquida fosse idêntica à do gelo, este
pequeno aumento na distância entre os núcleos de oxigênio (de 0,276 para 0,29 nm) tomaria a
densidade da água aproximadamente igual a 780 kg m-3, em vez de 1000 kg m-3. Portanto, assumir
que a estrutura da água líquida é a mesma do gelo, apenas com um aumento na distância entre os
núcleos de oxigênio, também não satisfaz.
Estes pontos de controvérsia que ainda estão sendo decifrados continuavam até 1933, quando
Berual e Fowler publicaram seu trabalho pioneiro sobre a estrutura da água.
Antes de apresentarmos os modelos de estrutura da água líquida, consideremos algumas
relações de energia nas ligações de hidrogênio. A energia média das ligações de hidrogênio é de
18,8 kJ/mol, e o calor de fusão do gelo, 334,4 kJ/kg x 0,018 kg/mol = 6 kJ/mol. Assim, pelo fato de
o calor de fusão ser menor do que a energia da ligação de hidrogênio, ao se derreter o gelo, é muito
provável que apenas uma fração das ligações de hidrogênio se rompa. A literatura relata que somente
14 - 16% das ligações de hidrogênio são quebradas quando o gelo se funde a 273 K. Outros
pesquisadores afirmam que, na realidade, as ligações de hidrogênio são simplesmente distorcidas
porque o calor de fusão é demasiado pequeno em comparação à energia de ligação de hidrogênio.
Estudos sobre a estrutura da água a altas temperaturas (298 - 373 K) indicam que a porcentagem de
ligações de hidrogênio quebradas a 298 K varia de 20 a 50%, e a 373 K entre 50 e 75%. É por isso
que a água líquida tem uma estrutura desmoronada da estrutura do gelo-I.
4.1 Modelo de Bernal e Fowler (1933)
Este modelo considera que as ligações de hidrogênio na água líquida estão continuamente se
quebrando e se rearranjando. Assim, os autores defendem a hipótese de que cada molécula de água
tem somente um pouco mais que quatro moléculas de água vizinhas.
Quando a temperatura da água é aumentada a partir de 273 K, observa-se que entre 273 e
276,94 K sua densidade aumenta até um máximo de 1000 kg m-3, e a partir daí diminui. Este fato
incomum que ocorre com a água, de aumento da densidade com aumento de temperatura, é porque
ao se awnentar a temperatura de 273 para 276,94 K, mais e mais ligações de hidrogênio são
quebradas e, assim, ela se toma mais compacta. Mas, para valores de temperatura maiores do que
276,94 K, a agitação térmica é maior do que o rompimento das ligações de hidrogênio e a densidade
diminui. Assim, de acordo com Bernal e Fowler, o aumento da densidade da água quando se eleva a
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Dinâmica da Agua no Solo· 39
temperatura de 273 e 276,94 K é causado pelo colapso das ligações de hidrogênio e que, acima de
276,94 K, a agitação térmica predomina e a densidade se toma menor.
4.2 Modelo de Frank & Wen (1957)
Os autores deste modelo acreditam que a estrutura da água líquida consiste, na realidade, de
uma mistura de aglomerados de moléculas de água ligadas como no gelo-I, rodeados por um fluído
de moléculas de água não ligadas entre si (Figura 2.4). Dentro dos aglomerados, as moléculas de
água estão mais ou menos rígidas, como na estrutura do gelo-I, enquanto que, por fora dos
aglomerados, as moléculas de água são menos rígidas. Frank e Wen (1957) se referem a este modelo
dinâmico como um modelo de aglomerados oscilantes. Essencialmente, eles explicam que estes
aglomerados aparecem e desaparecem continuamente num intervalo de tempo de aproximadamente
10-10 segundos. Desta maneira, em nível microscópico, há alguns pontos frios e outros quentes no
volume global da água; o que nós medimos macroscopicamente usando um tennômetro ou um
telmistor é, na realidade, uma temperatura média da água como um todo. No entanto, estudo mais
recente desenvolvido por Stillinger (1980) parece rejeitar este modelo dinâmico, considerando a
água líquida como uma rede tridimensional de ligações de hidrogênio que mostram uma tendência
para a geometria tetraedral, mas contendo muitas ligações tensas ou quebradas.
aglomerado
aglomerado
Figura 2.4 Representação esquemática dos aglomerados de moléculas de água ligadas e não
ligadas na água líquida, de acordo com o modelo de Frank e Wen (Cavanau, 1964).
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III
RETENÇÃO E CÁLCULO DA ÁGUA NO SOLO
1. RETENÇÃO DA ÁGUA PELOS SOLOS
Para nossos propósitos, vamos considerar o solo como sendo, simplesmente, um material
natural, sólido e poroso. A parte sólida deste material poroso consiste principalmente de partículas
minerais e substâncias orgânicas de várias fonnas e tamanhos, e é chamada de esqueleto, sólidos ou
matriz do solo. A parte porosa, isto é, a parte não ocupada pela matriz, consiste de poros
interconectados e recebe o nome de espaço poroso ou poros do solo. Solos contendo, na camada
superficial de ° a 0,5 m de profundidade, mais de 85% de matéria mineral são chamados solos
minerais, e aqueles contendo mais de 15% de matéria orgânica nesta camada são chamados solos
orgânicos. Os poros do solo abrigam, em seu interior, quantidades variáveis a) de uma solução
aquosa de vários eletrólitos (Na+, K+, Ca2+,Mg2+,CI-, NO;, SO~- etc) e outros componentes,
denominada água ou solução no solo e b) de uma solução gasosa, composta principalmente de N2,
02' vapor d'água, CO2 e pequenas quantidades de outros gases, denominada ar no solo.
Imaginemos a situação em que o espaço poroso esteja totalmente cheio de água, isto é, solo
saturado. Quando a água em um solo nestas condições é drenada, ar deve entrar para substituí-Ia no
espaço poroso, resultando o solo não saturado. Portanto, um solo não saturado, também chamado
por alguns de solo agrícola, é aquele cujo espaço poroso é parcialmente cheio de água e
parcialmente cheio de ar. Esta saída de água do complexo espaço poroso do solo faz com que ocorra
a fonnação de interfaces ar-água, resultantes dos processos de retenção da água pela mah-iz do solo.
A Figura 3.1 mostra, de [onna esquemática, como a água é retida no arranjo poroso do solo após a
drenagem.
Dois processos explicam, basicamente, a retenção da água pelos solos.
No primeiro deles, a retenção ocorre nos microporos (ver definição na página 47) dos
agregados e pode ser ilustrada pelo fenômeno da capilaridade, o qual está sempre associado a uma
interface curva ar-água, como já estudamos no capítulo I. Entretanto, o solo não é um simples tubo
capilar, mas sim uma composiçãoirregular de poros e canais formados pelos seus sólidos. Isto,
evidentemente, complica a descrição do estado da água no solo.
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42 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
partícula
do solo
filme contínuo
de água
mlcroporo
interface curva
ar-água
agregado
ar no solo
(macroporo )
Figura 3.1 Retenção da água por agregados do solo após a drenagem.
No seglUldo processo, a retenção ocorre nas superfícies dos sólidos do solo como filmes
presos a ela, pelo chamado processo de adsorção. Três são os mecanismos principais propostos para
explicar esta adsorção da água sobre as superficies sólidas, os quais passamos a explicar,
resumidamente, a seguir.
1. A superficie dos minerais de argila é coberta com átomos de oxigênio e gmpos oxidrilas
negativamente carregados devido à subStitlÜção isomorfa de cátions. Desse modo, cria-se ao
redor das partículas desses minerais wn campo elétrico cuja intensidade deoresce com a distância
da superficie da partícula. Devido à natureza dipolar das moléculas de água (ver capítulo lI), elas
se orientam neste campo elétrico e experimentam uma força na direção da superficie da partícula,
a qual decresce graduahnente com a distância desta superfície, até se tomar nula lllun ponto em
que não há mais influência do campo.
2. Os pares de elétrons não compartilhados do átomo de oxigênio das moléculas de água podem ser
eletricamente atraídos a cátions trocáveis que podem estar adsorvidos sobre a superfície da argila,
ou seja, os cátions que são retidos à superfície negativamente carregada de argila (a concentração
iônica é crescente na direção da superfície sólida) ocasionam também a adsorção das moléculas
de água.
3. Finahllente, as moléculas de água podem ainda ser atraídas às superfícies sólidas pelas forças de
London-van der Waals que, como já vimos, são forças de curto alcance que decrescem
rapidamente com a distância da superfície, de modo que uma camada muito fina é adsorvida
desta maneira ao redor das partículas do solo.
É importante reforçar que, também no caso da adsorção, essa película de água adsorvida às
superfícies dos sólidos do solo possui, como resultado destas forças de adsorção, wna energia
potencial extra, wna vez que, se afastarmos uma detenllinada porção dessa película a uma distância
dentro do raio de ação destas forças e a abandonannos, ela volta à posição original realizando um
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2. CÁLCULO DA ÁGUA NO SOLO
Imaginemos uma dada porção de solo não saturado no campo. Imaginemos, ainda, que a
forma desta porção seja a de um paralelepípedo, com uma de suas faces coincidindo com a superfície
do solo, como mostra a Figura 3.2.
Chamando o volume dessa porção de volume do solo V = XYZ (Figura 3.2), o volume dos
sólidos dessa porção de volume dos sólidos do solo V" e o volume do espaço poroso dessa porção de
volume do espaço poroso ou poros do solo Vp, evidentemente
(1)
Como o espaço poroso está sempre preenchido por água e/ou ar, chamando de Va o volume de água
e de Varo volume de ar existentes no espaço poroso, num detem1inado momento, então,
(2)
z
x
sólidos
+
água
+
ar
Figura 3.2 Volume de solo no campo.
Num solo de estrutura rígida, Vp = constante e, portanto, quando Va aumenta (ou diminui), Var
diminui (ou aumenta) do mesmo valor.
Igualmente, chamando a massa dos sólidos da porção de massa dos sólidos do solo llIe. a
massa de água na porção, num dado instante, de massa de água no solo m , e a massa de a _2
porção, no mesmo instante, de massa de ar no solo mar então a massa da porçã~ de solo não saTh--a'0
ou massa do solo não saturado m, no referido instante, valerá:
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44 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
m=ms +ma + mar .
Evidentemente, se o solo estiver saturado, mar= O, e então, pela equação (3),
m=ms +ma·
(3)
(4)
Por outro lado, em comparação com a magnitude de ms + ma, mar toma-se desprezível, pelo que a
equação (4) pode ser utilizada também para solo não saturado.
Densidade dos Sólidos (p)
A palavra densidade refere-se à massa que o volume de um detenninado corpo possui, isto é,
densidade de um corpo é, por definição, o quociente da massa pelo volume desse corpo. Não
confundir com o tenno massa específica, que se refere à densidade de uma substância pura.
Exemplificando, uma esfera de ferro oca, com volume de 4.10'5 m3 e massa de 0,01 kg, possui uma
densidade igual a 250 kg m,3, ao passo que a massa específica do ferro (da substância pura ferro) é
7800 kg m,3.
Portanto, a densidade dos sólidos de uma amostra de solo é, por definição, a razão entre a
massa total e o volume total dos sólidos da amostra, isto é:
m
p s = --t (kg m'3) .
s
(5)
2500 - 2600 kg m,3
2700 - 3000 kg m,3
2500 - 2800 kg m,3
2200 - 2600 kg m,3
2650 kgm,3.
o cálculo de Ps de uma amostra de solo, por meio da equação (5), envolve, portanto, a medida
de ms e V,. Detalhes do procedimento e instnunental para a determinação de ps podem ser
encontrados, por exemplo, em Blake e Hartge (1986), Embrapa (1986) e Kiehl (1979).
Um aspecto impOliante a notar é que para os solos minerais comuns, a densidade dos sólidos
de uma amostra de solo é dada por
feldspato
111lCa
qualizo
minerais de argila
média
Portanto, para um solo mineral médio, pode-se, numa primeira aproximação, assumir ps como
sendo igual a 2650 kg m,3. Este valor aumenta quando o solo contém alta porcentagem de minerais
como dióxido de manganês e dióxido de titânio e diminui quando se aumenta o seu teor de matéria
orgânica. A densidade da matéria orgânica varia de 1300 a 1500 kg m·3.
A densidade dos sólidos é também conhecida pelos nomes densidade das partículas do solo e
densidade real do solo.
Exemplo Ilustrativo
Na detem1inação da densidade dos sólidos de uma amostra de solo pelo método do álcool,
foram utilizados um balão volumétrico e uma bureta de 50 x 10,6 m,3. Seguindo o procedimento do
método, o valor da massa de sólidos obtida foi de 5,4 x 10'3 kg e a leitura da bureta foi de 48 x 10,6
m3. Qual o valor da densidade dos sólidos dessa amostra?
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equação de definição de P", a equação (5), Há necessidade, portanto, da medida da m,l' e do V, do
solo. Para a medida da m,I', a amostra coletada deve, primeiramente, ser deixada secar ao ar no
laboratório e, a seguir, passada em peneira de malha 2 mm. Esta amostra assim peneirada é,
tradicionalmente, conhecida pelo nome de terra fina seca ao ar. Em seguida, uma alíquota desta
terra fina seca ao ar, que vai ser utilizada para detenninação da Ps> é colocada em estufa a 378 K
durante 24 horas para a retirada da água nela existente, e após este tempo pesada em balança de
precisão adequada; o valor da massa obtida será a ms da amostra. Esta amostra assim peneirada e
assim seca em estufa é, tradicionalmente, conhecida pelo nome de terra fina seca em estufa. Para a
medida do V", utiliza-se um conjunto de uma bureta e um balão volumétrico de capacidades
exatamente iguais, isto é, que quando cheios devem medir exatamente o mesmo volume (Vb),
confonne mostra a figura a seguir. Coloca-se, então, a amostra seca de massa ms no balão
volumétrico, enche-se a bureta com álcool e procede-se à transferência do álcool da bureta para o
balão, conforme mostra a figura, até o completo preenchimento deste. Tenninado o enchimento do
balão, como dentro dele tem-se a amostra de massa ms, evidentemente sobrará álcool nabureta,
porque esta tem exatamente o mesmo volume do balão Vb. Portanto, a leitura L da bureta neste
momento subtraída de Vh fornecerá o valor de V,.
Substituindo os dados do problema:
m, 5,4xlO-J
P" =v:= (50-48)10-6=2700kgm-J
+-0
Bureta cheia
- de álcool
+-Vb
+-Vb
Balão volumétrico
~ só com os sólidos
o
Bureta parcialmente
.4<- cheia de álcool
~Vb
Balão volumétrico com
~ os sólidos, cheio de
álcool
Sólidos
Densidade do Solo (p)
Na definição anterior da densidade dos sólidos, o espaço poroso entre os sólidos foi excluído.
Quando este espaço é considerado e em vez de se utilizar V" utiliza-se V, o volume do solo, a
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46 • Retenção e Cálculo da Àgua no Solo
densidade passa a chamar-se densidade do solo, uma vez que a massa do nosso corpo poroso, o solo,
é igual a ms e seu volume igual a V. Assim,
m 3
P =-' -7(kg m').
V
(6)
Em solos expansivos, isto é, aqueles em que V varia com a quantidade de água nos poros, o
valor da densidade do solo obtido deve vir acompanhado do valor do conteúdo de água no momento
da amostragem.
Basicamente, estão em uso mais corrente quatro métodos de detenninação de p : método do
anel volumétrico, método do torrão, método da escavação e método da radiação gama. Os três
primeiros (tradicionais) encontram-se descritos, com detaIbe, em BIake e Hartge (I986) e o quarto
(nuclear) em Vose (1980). Uma boa visão sobre oassunto pode também ser encontrada em Erbach
(1987).
Em tennos gerais, a densidade do solo de amostras de solo mineral natural varia de 700 a
2000 kg m'3. Sob condições de estrutura comparáveis, pode-se dizer que quanto mais argiloso o solo,
menor sua densidade. Alguns valores representativos são apresentados a seguir, para amostras de
solo da camada superficial.
solos arenosos: 1300 - 1800 kg m-3
solos argilosos: 1000 - 1400 kg m-3
solos orgânicos: 200 - 600 kg m'3
A densidade do solo é também conhecida pelo nome de densidade global (tradução do termo
inglês bulk density).
Exemplo !lustrativo
Coletou-se uma amostra de solo com estrutura indefonnada de uma dada profundidade, por
meio de amostrador, num anel volumétrico de diâmetro 7,5 . 10,2 m e altura de 7,5 . 10,2 m. Após a
coleta, a amostra de solo não saturado foi colocada numa estufa a 378 K e, após 24 horas, verificou-
se que a sua massa pennaneceu constante e igual a 0,458 kg. Qual o valor da densidade do solo?
Solução:
Esta é a maneira tradicional e direta de se determinar a densidade do solo em solos normais
livres de cascalhos e rochas. O amostrador referido no enunciado do problema é o conhecido
amostrador de Coile (1936) com as modificações feitas por Uhland (1949).
Pelos dados do problema, o volume da amostra vale
2 (2)2V = nd x h = 3,147,5.10- x 75.10-2
4 4 '
ou
V = 3,31.10-4m3.
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Poros idade do Solo (cx)
É um índice que quantifica a fração do volume do solo ocupada pelos poros, isto é, em
símbolos
v V + V V -V ( )a=f= a V ar -~-7 m3 m-3 , (7)
sendo, evidentemente, Vp = Va + Var = V - Vs = volume dos poros ou volume do espaço poroso. Em
porcentagem:
(8)
Uma expressão também muito utilizada para o cálculo da porosidade do solo é a equação (9) a
segUIr,
(9)
a qual pode ser facilmente deduzida a partir das equações (5), (6) e (8).
Como se pode notar por esta expressão (9), a porosidade do solo está inversamente
relacionada com a densidade do solo, isto é, quanto maior essa densidade, menor a poros idade.
Alguns valores representativos de p e a para as classes de textura argila, franco e areia são
apresentados a seguir.
classe textural
argila
franco
arem
p (kg m"3)
1000 - 1250
1250 - 1400
1400 - 1800
a(%)
61,5 - 52,8
52,8 - 47,2
47,2 - 32,1
Em Física do Solo, define-se tamanho de poro como o diâmetro da maior esfera inscrita no
interior do espaço ocupado pelo poro. É por esse motivo que os poros do solo são classificados em
tennos de diâmetro de poro. Assim, Koorevaar et aI. (1983) classificam, empiricamente, os poros do
solo em três grupos:
macroporos: poros com diâmetro maior que 100 ).lm. Sua principal função é de aeração da matriz
do solo e condução da água durante o processo de infiltração. Afetam, portanto, a
aeração e a drenagem.
mesoporos: poros com diâmetro entre 30 e 100 ).lm. Sua principal função é a condução da água
durante o processo de redistribuição, quando após a infiltração se esvaziam os
macroporos.
microporos: poros com diâmetro menor que 30 ).lm. São também chamados poros capilares e
atuam na armazenagem da água. Nestes poros, a água se move, mas muito
vagarosamente.
Muitos detalhes mostrando a importância da porosidade do solo no crescimento vegetal, suas
relações com a estrutura, aeração e manejo do solo, seus métodos de avaliação etc. podem ser
encontrados em Baver et aI. (1972) e Taylor e Ashcroft (1972).
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(10)
48 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
Razão de vazio (e)
É um índice que, à semelhança da porosidade, também quantifica o espaço poroso do solo,
sendo definido como a razão entre o volume dos poros Vp e o volume dos sólidos V;.da amostra:
V
e=-p.
Vs
Verifica-se facilmente a partir das equações (7) e (10) que
ea=--
l+e
e
ae=--.l-a
Porosidade de Aeração (aj
Este é um índice que revela quanto do volume da amostra é ocupado por ar, ou seja:
aa = VaI" -7 (m3m-3).
V
Em porcentagem:
aa(%)=(; )00.
(11)
(12)
(13)
(14)
A porosidade de aeração, também chamada porosidade livre de água, é muito utilizada em
estudos de drenagem de solos. Nestes estudos, é denominada de porosidade drenável e definida
como o volume de água que é drenado livremente por unidade de volume do solo, pelo
rebaixamento do lençol freático (Cruciani, 1980); a porosidade drenável é a porosidade de aeração
da camada de solo recém drenada.
Exemplo llustrativo
Qual o valor da porosidade e da razão de vazio de uma amostra de solo para a qual p = 1400
kg m,3 e ps = 2660 kg m'3?
Solução:
A partir da equação (9):
a% = (1- 1400)100 = 4737%.2660 '
A partir da equação (12):
0,4737 = 0,9.
e= 1-0,4737
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2.1 Conteúdo de água no solo
o conteúdo de água no solo é o índice mais básico quantificador da água numa dada amostra
de solo e, tradicionalmente, tem sido expresso de duas maneiras:
a) à base de massa (U)
Razão entre a massa de água existente numa amostra de solo num dado instante e a massa de
sólidos da amostra, isto é,
(15)
ou, em porcentagem:
(16)
b) à base de volume (8 )
Fração do volume de uma amostra de so)o ocupada pela água, num detenninado instante, ou
seja,
(17)
ou
sendo que pa representa a densidade da água ou solução no solo.
Em porcentagem, reescrevem-se as equações (17) e (18) como:
8% = (r;; )too,
ou
8%=(m-mSJI00.PaV
Comparando as expressões (7), (13) e (17), verifica-se facilmente que
(18)
(19)
(20)
(21)
isto é, a porosidade do solo a é a soma da porosidade de aeração e o conteúdo volumétrico de água
no solo. Por esta expressão vê-se claramente que a) quando 8 = O, a= aa (numericamente), solo
completamente seco, e b) quando CXa = O, a= 8., (numericamente), sendo 8., = conteúdo de água de
saturação.
De acordo com Gardner (1986), quando se diz, por exemplo, que o conteúdo de água no solo
é 25%, sem se referir à base de massa, ou de volume, assume-se que seja à base de massa porque,
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50 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
nonnalmente, a detenninação envolve inicialmente o valor à base de massa, o qual é, então,
posteriormente convertido à base de volume, como explicado a seguir.
Se dividinnos a equação (17) pela equação (15), verificamos facilmente que
9~(:}~P,U, (22)
em que a razão p/ Pa é tradicionalmente chamada de "densidade aparente" do solo. Consideramos,
porém,que o nome densidade relativa do solo (Pr) seja um tenno mais adequado. Portanto, para se
obter o valor do conteúdo de água volumétrico (8) a partir do valor do conteúdo de água
gravimétrico (U) de uma amostra, basta multiplicar o valor deste último pelo valor da densidade
relativa da amostra.
Expressando os valores da densidade em g cm,J e considerando, para nossos propósitos, que
p,,= 1 g cm'J, pela equação (22) 8= pU (numericamente), ou seja, em tennos práticos, para se obter
e a partir de Ubasta apenas multiplicar o valor de Upelo valor de p, expresso em g cm'3.
Um trabalho completo, mostrando os diversos métodos de medida da água no solo, suas
vantagens e desvantagens, é o de Gardner (1986), cuja leitura recomendamos àqueles
interessados no detalhamento deste assunto. Recomendamos, igualmente, o trabalho de Erbach
(1987) que também faz uma boa revisão sobre o tema. De qualquer modo, dos diversos métodos
existentes, podemos dizer que três se revestem de importância até a presente data: o método
gravimétrico, o método da moderação de nêutrons e o método da atenuação de raios gama. No
método gravimétrico, que é o mais básico, remove-se a amostra do campo e determinam-se ms e
ma. Para se obter o conteúdo de água à base de volume por este método, é necessário,
evidentemente, conhecer a densidade relativa da amostra. O método da moderação de nêutrons é
de campo e sua grande vantagem em relação ao gravimétrico é o fato de não ser destrutivo e medir
diretamente o conteúdo de água à base de volume. Entretanto, o equipamento de medida é caro,
possui partes eletrônicas delicadas, às vezes de difícil manutenção, necessita de um manuseio
mais cuidadoso, devido à fonte de nêutrons, e cada unidade tem que ser convenientemente
calibrada para cada camada de solo. O princípio de funcionamento do método é, resumidamente,
o seguinte: nêutrons rápidos (10 keV a 20 MeV) emitidos de uma fonte (nonnalmente amerício-
berílio) são tennalizados, isto é, desacelerados ou tomados nêutrons lentos (0,0 I a 0,3 eV) pelos
átomos de hidrogênio no solo, detectados (contador proporcional de BFJ, contador proporcional
de 3He, cristal de cintilação) no interior do solo e registrados num "scaler" à sua superfície.
POIianto, quanto mais átomos de hidrogênio (maior conteúdo de água no solo), maior a
contagem de nêutrons no registrador. Deste modo, com este equipamento, após a elaboração de
uma curva de calibração da contagem versus o conteúdo de água no solo, mede-se
instantaneamente esse conteúdo em qualquer profundidade no campo, de maneira não destrutiva.
Detalhes sobre a teoria, a prática, a calibração, a proteção radiológica etc. destes medidores de
conteúdo de água podem ser vistos em IAEA - Technical Report Series - n. 112 (1970) e no livro
editado por Greacen (1981). O método da atenuação da radiação gama para medida do conteúdo
de água no solo baseia-se na conhecida interação da radiação gama com a matéria. Assim, se um
feixe colimado de raios gama é colocado a atravessar um determinado material, alguns raios
passam sem sofrer qualquer interação, enquanto que outros interagem e são espalhados, isto é,
desviados de sua rota original. Como esta interação se dá com os elétrons orbitais dos átomo
(efeitos Compton e fotoelétrico), a quantidade que se espalha depende da densidade de elétrons
do material que, no caso do solo, é determinada pela sua densidade e o conteúdo de água; assim,
quanto maior a densidade do solo e quanto maior o conteúdo de água no solo, maior o
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Dinâmica da Agua no Solo • 51
numa configuração fonte gama-amostra-detector adequada, em condições de laboratório e
também de campo. A grande vantagem deste método é também a não destruição da amostra e a
possibilidade de medir o conteúdo de água no solo, bem como a densidade do solo ao longo de
m dado comprimento, a distâncias tão pequenas como 0,01 m. Maiores infonnações sobre esta
metodologia podem ser encontradas em Davidson et ai. (1963), Vose (1980) e Ferraz (1983),
entre outros.
2.2 Saturação relativa, conteúdo de água efetivo e saturação relativa efetiva.
Tomando como base o volume dos poros de uma amostra de solo, o índice que mede a fração
cheia de água deste volume recebe o nome de saturação relativa SI':
Em porcentagem:
81'(%)=( Va J100.V -Vs
(23)
(24)
(25)
(26)
Observe que, tendo em vista as definições (17) e (7) e lembrando que, numericamente, a = 8.,
= conteúdo de água de saturação, as equações (23) e (24) se tomam, respectivamente,
SI' =!!..- -7 (m3 m'3) ou Sr =.!!- -7 (numericamente)
a ~ .
e
S,(%) ~ (:, }oo
A vantagem de utilizar este índice é que sua amplitude de variação é de O a 100%, isto é, solo
saturado: SI' = 100%; solo completamente seco: SI' = 0%.
A saturação relativa é também conhecida pelo nome de grau de saturação.
O conteúdo de água numa amostra de solo muito seca (por exemplo, o conteúdo de água
numa amostra seca ao ar) é denominado de conteúdo de água residual er. Com base nisso, define-se
o conteúdo de água efetivo (ee) como sendo a diferença entre um dado conteúdo de água medido e o
conteúdo de água residual, isto é,
(27)
(29)
Conseqüentemente, a saturação relativa efetiva (Se) é definida como a razão entre o conteúdo de
água efetivo (e- er) e o conteúdo de água de saturação efetivo (es - er), ou seja,
S =e-er (28)
e e -e 's r
ou, em porcentagem,
8e % = ( 8 - 81' J 100 .8s -81'
Observe que o Índice Se, também chamado de grau de saturação efetiva ou simplesmente saturação
efetiva, também varia de O a 1 ou de 0% a 100% como o Sr' Note no entanto que, quando Se varia de
O aI, o conteúdo de água varia de er a es e não de O a es'
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52 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
Exemplos llustrativos
1. Coletou-se uma amostra de solo com um anel volumétrico de 2.10-4m3 a uma profundidade de
0,1 m. Obteve-se: m = 0,332 kg e ms = 0,281 kg. Após a coleta, fez-se um teste de compactação
do solo, passando sobre ele um rolo compressor. Nova amostra coletada com o mesmo anel e à
mesma profundidade apresentou m = 0,359 kg e ms = 0,304 kg. Sabendo-se que a densidade dos
sólidos é 2700 kg m3, detennine, antes e depois da compactação p, U e e. Ao fazer os cálculos,
você vai verificar que U é a mesma para os dois casos, mas que e aumenta com a compactação.
Por quê? E com relação à porosidade, o que aconteceu?
Solução:
A partir das equações (6), (15) e (18), isto é,
ms U m - ms Ll m - msp=-, =--- e 0=---
V ms pX
respectivamente, tem-se:
Antes da compactação
= 0,281 =1405 k m·J
p 00002 g,
U=0,332-0,281=0181k k,l
0281 ' g g,
e = 0,332-0,281
1000xO,0002 =0,255 mJ m'J
Depois da compactação
= 0,304 = 1520 k m'J
p 00002 g,
U = 0,359-0,304 =0,181 k k ,I
0304 g g,
e = 0,359-0,304 =0,275 mJ m'J.
1000xO,0002
Ao se coletar o mesmo volume de solo obtém-se, no caso do solo compactado, uma quantia maior de
sólidos. Como não se elimina água do sistema neste processo de compactação, obtém-se, na coleta,
também uma quantia proporcionalmente maior de água no solo compactado; daí U ser igual antes e
depois da compactação. Porém, como V é o mesmo e ma maior no solo compactado, então e é maior
depois da compactação.
Com relação à porosidade, tem-se, a partir das equações (6) e (9), que
a=(l- ms )100.PsV
Com relação à poros idade de aeração, tem-se, a partir da equação (21) que
aa = a-e.
Portanto:
Antes da compactação
a = (I - 0,281 ) 100 = 48%27000 x 0,0002
aa = 48,0 - 25,5 = 22,5%
Depois da compactação
a = (1- 0,304 )100 = 43,7%2700 x 0,0002
aa = 43,7 - 27,5 =16,2%
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S = 8-8,.
e 8s -8,.
Dinâmica da /Ígua no Solo • S3
Como ms é maior no solo compactado e Vo mesmo nos dois casos, é claro, pela equação acima, que
a tem queser menor no solo compactado. Ou seja, logo depois que se compacta um solo, aumenta-
se seu conteúdo de água volumétrico mas diminui-se sua porosidade e sua aeração, a aeração com
muito mais intensidade. No presente exemplo, a compactação diminuiu a porosidade em == 9% e a
porosidade de aeração em 28%.
2. Coletou-se uma amostra de solo não saturado com estrutura indeformada num anel volumétrico
de 5 x 10-2 m de diâmetro por 5 x 10-2 m de altura. Logo em seguida a amostra foi pesada e o
valor da sua massa foi de 0,148 kg. A seguir a amostra foi desestruturada e deixada secar à
sombra por alguns dias. Pesada novamente, forneceu o valor de 0,122 kg. Depois, foi levada a
uma estufa a 378 K por um período de 24 horas, após o que permaneceu com uma massa
constante de 0,120 kg. Qual o valor da saturação relativa, do conteúdo de água efetivo e da
saturação relativa efetiva desta amostra, sabendo-se que o valor da densidade dos seus sólidos é
de 2650 kg m-3 e a densidade da água 1000 kg m-3?
Solução:
A partir das equações (25), (27) e (28), tem-se que
8
S,.=-, 8e =8-8,. ea
Há necessidade, portanto, de para calcular estes Índices conhecer 8, a (ou 8.,)e ~ ..
A partir da equação (18):
0,148 - 0,120
1000x 3,14x(5.1O-2)2 x5.1O-2
4
e
A partir das equações (5) e (9):
a=l-....5:....=l- 0,120 5 -0,538m3m-3.
Ps V 2650 x 9,8.10-
Portanto:
S = 0,286 = °531 ou 53 1%
r 0,538' ,
8e = 0,286 - 0,02 = 0,266 m3 m-3
Se = 0,286 - 0,02 = 0,513 ou 51,3%.
0,538 -0,02
2.3 Armazenagem de água
Para bem entendermos o conceito de annazenagem de água, imaginemos que possamos retirar
toda a água existente no volume de solo V =XYZ (Figura 3.2) e colocá-Ia sobre sua face coincidente
com a superficie do solo, conforme a Figura 3.3.
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54 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
o volume de água retirado, Va, será:
Va = XY h,
sendo h a altura de água e XY a área da superficie de solo, que é idêntica à área da superficie de água
(Figura 3.3). Portanto:
h = Va
X Y (área de água \ -7 Vn de água)
ou
v [m 3 de água, Jh = (a ) -7 2 - m de agua, numericamenteXY área de solo m de solo
h
sólidos
+
z
ar
Figura 3.3 Separação da água existente em um volume de solo de dimensões X; Y,z.
Lembrando da definição de e (equação 17):
e _ Va _ XYh _ h------
V XYZ Z
e, portanto:
h = ez -7 [m3 de água Jm2 de solo .
(30)
Exemplo Ilustrativo
Que altura de água (Pa = 1000 kg m -3) contém um solo até a profmldidade de 1,8 m, se o valor do
conteúdo de água em todo o perfil é de 0,2 kglkg e os valores da densidade do solo das camadas
0- 0,9 III e 0,9 - 1,8 m são 1500 kg m-3 e 1300 kg m-3, respectivamente?
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Dinâmica da Agua 110 Solo • 55
Solução:
Substituindo a equação (22) na equação (30) obtém-se:
h=..E-uZ.
Pu
Portanto, na camada O - 0,9 m de profundidade,
1500
ho 09 = --xO,2xO,9 = 0,270m = 270mm
- , 1000
e, na camada 0,9 - 1,8 m de profundidade,
1300
ho 9-1 8 = --xO,2xO,9 = 0,234m = 234mm .
.. 1000
Conseqüentemente, na camada O - 1,8 m tem-se
hO_I,8 = hO-O•9 + hO,9-1,8 = 0,270 + 0,234 = 0,504 m = 504 mm .
Assim, esse perfil de solo no momento em que U = 0,2 kg kg'l desde a sua superficie até a
profundidade de 1,8 m contém 504 mm de água ou 5040 m3 ha'!, uma vez que 1 111111 = 10 m3 ha,l.
Isto é, se fosse possível retirar toda a água de 1 ha deste perfil de solo (O - 1,8 m), no momento em
que U = 20%, obteríamos um volume de ~040 m3 de água.
Para o cálculo da altura de água por meio da expressão (30), consideramos o conteúdo de
água no solo 8 constante com a profundidade; porém, em situações reais, isto normalmente não
acontece. Neste caso, simplesmente dividimos o perfil de solo em incrementos de profundidade e
detenninamos O conteúdo de água em cada incremento, de tal maneira que a altura de água existente
no perfil fica, então, sendo dada pelo somatório
ou
(31 )
em que 8i é o conteúdo de água existente na camada de solo "i", .12; a espessura da camada de solo
"i" e n o número de camadas de solo.
Como se pode notar, o somatório da equação (31) representa a área aproximada (daí o sinal ==
na equação) sob a curva 8em função de Z, conhecida como peifil de conteúdo de água (Figura 3.4).
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56 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
superfície do solo
~I
z,,=L ~lI~ e"
Z (m)
e (ni Ini )
Figura 3.4 Perfil de conteúdo de água.
Do cálculo integral, vê-se claramente que o limite do somatório da equação (31), quando
n -7 00 ou LlZi-7 O, será:
z
h=J8(Z)dZ,
z
}
(32)
sendo 8 (2) a função representativa do perfil de conteúdo de água (8 em função de 2) e dZ a
diferencial da variável independente Z; ~ e Zk são duas profundidades arbitrárias quaisquer, sendo Zk
sempre maior que ~.
Como esta altura de água (dada pela equação 32) representa a água que o solo está
annazenando numa detenninada camada, delimitada pelas profundidades ~ e Zk, é chamada também
de armazenagem de água na mesma camada. A annazenagem de água, portanto, representa
exatamente uma área sob a curva de um gráfico do conteúdo de água volumétrico em função da
profundidade do solo, a qual é igual à quantidade de água, expressa em tennos de uma altura de
água, existente em qualquer camada do perfil de solo.
Consideremos uma situação na qual ~ = O e Zk = L. A equação (32) toma-se, nestas
condições:
L
hL = f 8(Z)dZ,
o
(33)
sendo L, portanto, a profundidade de solo até onde se deseja calcular a armazenagem
(Figura 3.4). Assim, hL representa a armazenagem de água na camada O - L m, ou seja, no perfil
de profundidade L.
2.3.1 Cálculo da armazenagem de água no solo
Como acabamos de ver, o valor verdadeiro da annazenagem de água num perfil de solo até a
profundidade L foi definido pela equação (33) pela qual, portanto, precisamos conhecer a função
8 (2) para calcular hL analiticamente. Entretanto, na maioria das situações, não se consegue qualquer
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Dinâmica da JÍgua no Solo • 57
fonna analítica integrável de e (Z), porquanto estimativas de hL só podem ser obtidas por regras de
integração numérica, como as descritas a seguir:
a) Regra do trapézio
Neste processo, assume-se que, entre dois pontos consecutivos de medida, o conteúdo de água
varia linearmente com a profundidade do solo.
e e
e = a + bZ + cZ'
~+2-
(a) (b)
Figura 3.5 Regra do trapézio (a) e regra de Simpson (b) de integração numérica.
Assim, considerando a Figura 3.5a, que mostra dois pontos arbitrários e consecutivos de um
perfil de conteúdo de água ligados por uma linha reta (e = a + bZ), é fácil demonstrar que
(34)
sendo &= 2i+1 - 2i.
Para um perfil de conteúdo de água com n incrementos de profundidade, e n+ 1 pontos de
medida, temos que aplicar, evidentemente, n vezes a regra do trapézio. Se as n+ 1 medidas forem
feitas a intervalos igualmente espaçados de & desde a superficie (2 = O) até a profundidade de
interesse (2 = L) no perfil (Figura 3.6), obtém-se, imediatamente, a fónnula a seguir:
superticie do solo
Z,= nt.Z =
n=1
n=2
Z(m)
Figura 3.6 Armazenagem de água no solo para n incrementos iguais de profimdidade e n + 1
pontos de medida (regra do trapézio).
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58 • Retenção e Cálculo da Àgua no Solo
h, ~ t e(Z)dZ," [o,se (Zo)r ~e(z;)ro,se(z,,~óZ.
(35)
Evidentemente, cada situação prática de amostragem ou medida no campo eXige uma
adaptação correspondente da equação (35). Consideremos, por exemplo, o caso mostrado na
Figura 3.7a no qual medidas igualmente espaçadas de & foram feitas a partir de Z = Y2& e que,
portanto,como mostra a figura, ZI = Y2L1Z, Z2 = 312&, Z3 = 512&, ... , Z/1 = (n-Y2)&. Como o
interesse é a integração entre O e L m, a primeira e a última camadas de espessura 12& têm que ser
consideradas à parte, porque não há medida nem em Z = O e nem em Z = L. Se assuminnos, pela
proximidade, que em Z = O o conteúdo de água é o mesmo que em Z = Z1 e em Z = L o mesmo que
em Z = Z/1' deduz-se facilmente que:
~['i [~.:_=.:.~..:=...~.:=-:-~..;L-._._._._~.~.~.-
~ = (n-O,5)i1Z
"'-.[._._._._._.7'_.-.-._._._.-._._._._._.-_ · ·..·..· L n = TInL1Z-L .-.-._._-_.. _._-_.-'-'-'-'-'-'-'-'-'-'-
~,
~.
~,_ ...
::_:::"::1~~:::::.:::·: .._ .
n=n
Z (m)
(a)
Z (m)
(b)
Figura 3.7 Armazenagem de água no solo para n incrementos de profitndidade com n pontos de
medida igualmente espaçados de /:;Z a partir daprimeira medida feita em Z = 12 /:;Z: (a)
regra do trapézio normal, (b) curva em degrau.
L •
hL = f e(Z)dZ == I,e(z;)/:;Z,
o ;=1
(36)
sendo e (Z) as medidas feitas a intervalos igualmente espaçados de & desde ZI = Y2 & até
Z/1 = L - Y2&.
Observe que a área sob a curva da Figura 3.7a, que é uma estimativa de hL feita por esta
equação (36), é exatamente a mesma que aquela sob a curva em degrau da Figura 3.7b pela qual
assume-se que cada valor medido da função e (Z) representa o conteúdo de água unifonne de cada
camada de espessura & do perfil.
D\'J\<l\mlCl e m\l\\.\-P\\Can<lCl Cl '1>eg\.\n<lClmemtfCCl <la. eC\\la.çãCl (,36) "ÇlClI1'1 (Eg,\ll'à. 3 .l), temo':-,.
L !e(z;)
hL = f e (Z)dZ == ;=1 n/:;Z
o
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Dinâmica da /Ígua no Solo • 59
ou
L
hL = Je(Z)dZ:::8L,
°
(37)
sendo 8 o conteúdo de água médio do perfil O-L m, isto é, a média arihnética dos valores e(Z,),
e(Z2)' e (Z]), ... , e (Zn) medidos de acordo com o critério mostrado na Figura 3.7; se, por exemplo,
&= 0,1 m e L = 1 m, a aplicação da equação (37) exige que as amostragens ou medidas sejam feitas
às profundidades de 0,05; 0,15; 0,25; 0,35; ... ; 0,95 m.
Observe que ao fazennos da expressão (37) uma igualdade de fato, evidentemente,
L
Je(Z)dZ
8 =_0 _
L (38)
isto é, o valor verdadeiro do conteúdo de água médio de um peJjiI de conteúdo de água O - L 111 é
dado pela equação (38).
Uma outra situação, que podemos citar como exemplo de adaptação da equação (35), é a do
experimento de Haverkamp et aI. (1984) no qual as medidas de e, feitas com sonda de nêutrons,
foram igualmente espaçadas a partir de Z = & até Z = L, o interesse sendo o de estimar a
armazenagem de Z = O até Z = L' = L + 12&. Neste caso, seguindo o mesmo raciocínio da situação
anterior, isto é, que o conteúdo de água não registrado em Z = O seja igual àquele medido em Z = Z,'
e o não registrado em Z = L' igual ao medido em Z = L, transfonna-se a equação (35) em
b) Regra de Simpson
Neste método, assume-se que ao longo de três pontos consecutivos igualmente espaçados, o
conteúdo de água varia quadraticamente com Z de acordo com a equação e = a + bZ + cZ2
(Figura 3.5b).
Aplicando o mesmo raciocínio da regra do trapézio também pode-se demonstrar, a partir do
cálculo integral, que
Zj+2 2;+2
J e(Z)dZ::: J(a+bZ +cZ2)dZ = ~ [e(zJ+4e(Zi+J+e(Zi+2)]. (39)
21 z;
Para aplicannos, portanto, m vezes a regra de Simpson, o perfil de conteúdo de água deverá
ter 2m + 1 pontos de amostragem (Figura 3.8), isto é, o uso desta regra requer um número Ímpar de
pontos de medida. Aplicando, então, m vezes a fónnula de Simpson ao perfil da Figura 3.8, na qual
todos os pontos são igualmente espaçados de & desde Z = O até Z = L e o seu número é ímpar,
resulta a seguinte fÓlmula composta:
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60 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
L !:iZ
hL = f e(Z)dZ=-[e(Zo)+4e(Z,)+2e(Z2)+
o 3
+48(Z3)+ 28(Z4)+'" +28 (Z2111_2)+ 48 (Z2111_1 )+ 8 (Z2111)] (40)
suoerficie do solo
ZI! ~t;Z
~
Zi
Zi+1
Zn = nt;Z = L ' n=n
Z(m)
n=2
n=1
8(nf I..n1)
m=l
m=2
m=m
Figura 3.8 Armazenagem de água no solo para m aplicações da regra de Simpson, com número
impar depontos de amostragem igualmente espaçados de L1Z.
De modo idêntico à regra do trapézio, a equação (40) também pode ser adaptada em
confonnidade com a apresentação dos resultados de medida. Utilizando a mesma situação do
experimento de Haverkamp et aI. (1984) já comentada, na qual, (a) não há registro de 8 em 2 = O, (b)
as medidas são igualmente espaçadas a partir de Z = L1Z até Z = L, (c) deseja-se estimar a
annazenagem de Z = O até Z = L ' = L + Y2 L1Ze (d) o número de pontos de medida é par, como na
Figura 3.9, inicia-se a aplicação da regra a partir do valor de 8 medido em 2 = 2} = L1Z,e considera-
se separadamente o valor de 8 em Z = O como sendo igual a 8 (2}). Por outro lado, sendo par o
número de medidas, ao se aplicar a regra, a última medida (a mais profunda) fica sobrando e também
tem que ser considerada à parte. Assumindo, como fizeram Haverkamp et aI. (1984), que essa
medida seja representativa da camada entre 2 = 211_} e 2 = 211 + Y2 L1Z = L', verifica-se facilmente
que a equação (40) se modifica para
i 1
hL = f e(Z)dZ= {e(zo)+-[e(zJ+4e(Z2)+2e(ZJ+ ... +
o 3
+ 2e(Z2111_1)+ 4e(Z2111)+ e(Z2111+1)]+ 1,5 e (Z2/1/+2)}!:iZ.
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superficie do solo
~1-1
Z=n
Z" +lh~Z =L'
Z (m)
Dinâmica da Agua no Solo • 61
3 3
e(m 1m )
m=1
m=2
m=m
Figura 3.9 Armazenagem de água no solo pela regra de Simpson com número par de pontos de
medida, desde Z = ZI = ~ até Z = Z" + !!z &= L '.
Maiores detalhes sobre este assunto de integração numérica podem ser encontrados, por
exemplo, no livro de Camahan et ai. (1969). O trabalho de Haverkamp et aI. (1984), já citado
anterionnente, é também muito interessante e recomendamos sua consulta, principalmente àqueles
que trabalham com sonda de nêutrons, porque trata da quantificação das diferentes fontes de elTO
induzido na medida de e e no cálculo de hL> com o uso desse equipamento. No caso específico do
cálculo da armazenagem, os autores comparam as regras do trapézio e de Simpson e, pela
quantificação dos erros associados às determinações de e e daqueles associados à técnica numérica
de integração da função e (Z), eles concluíram que, no caso de perfis de conteúdo de água
heterogêneos, é melhor utilizar a regra de Simpson.
2.4 Variação da armazenagem de água no solo
A partir da equação (30), deriva-se uma importante relação, muito utilizada em ilTigação,para
o cálculo da quantidade de água que se deve adicionar a um solo para trazê-Io a um determinado
conteúdo de água de interesse. Imaginemos, então, que um solo de profundidade Z esteja com um
conteúdo de água inicial ei, constante ao longo de Z, e desejamos saber a quantidade de água que se
deve adicionar (M) para trazê-Io a um conteúdo de água final el, também constante ao longo de Z.
Assim:
e
Conseqüentemente:
Logo:
M = h{final)- h(inicial) . (41)
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62 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
Llh = z(ej -eJ (42)
Levando-se em conta a não constância de e com Z (que é o mais real), a equação coneta a ser
aplicada para o cálculo de h, como vimos, é a equação (32). Nestas circunstâncias, Ilh valerá:
M= Íejdz-Íe;dZ, (43)
Zj Zj
ou, no caso em que ~. = O e Zk = L, isto é, uma camada desde a superficie do solo até uma
profundidade L:
L L
ML = fejdz- fe;dz.
o o
(44)
Portanto, se num certo tempo (tD tem-se um determinado perfil de conteúdo de água e, num
tempo posterior (9, um outro perfil (Figura 3.10), a área compreendida entre estes àois perlis (área
hachurada da Figura 3.10) representa, evidentemente, a valiação da annazenagem dada pelas
equações (43) ou (44), isto é, armazenagem no tempo ti (1° termo do 2° membro das equações 43 e
44) menos aannazenagem no tempo ti (2° tenno do 2° membro das equações 43 e 44).
o
tr
L
Z(m)
3 3
e(m 1m )
Figura 3.10 Variação da armazenagem de água no solo.
Se quisermos incluir a variável tempo na fórmula de cálculo de Ilh, teríamos que escrever as
equações (43) e (44) como:
e
Z.1
M= J J ~~dtdZ
Zj I;
L '[ ae
LlhL = f f aidtdZ.
o 'i
(45)
(46)
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Dinâmica da Agua no Solo • 63
Se considerarmos a definição de 8 pela equação (38), evidentemente a equação (44) se
tomará:
(47)
em que (ff e e; são, portanto, o conteúdo de água médio verdadeiro na camada O - L m, nos tempos
Ire ti' respectivamente.
21/08
0,35
0,33
0,30
0,27
0,24
14/08
0,27
0,25
0,21
0,18
0,20
Profundidade
(m)
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
Exemplo 1lustrativo
A tabela a seguir apresenta os valores de 8 em função da profundidade, obtidos nos dias 14/08
e 21/08, num determinado solo no campo. Calcular a annazenagem de água de O a 0,5 m de
profundidade nos dois dias, pelas regras do trapézio e de Simpson e, a seguir, a variação da
annazenagem, na mesma camada, pelas duas regras.
8(nl m-3)
Data
Solução:
~ Pela regra do trapézio, temos que, de acordo com a equação (35), no dia 14/08:
(0,27 0,20) ° 00 8h01-05 = --+0,25+0,21+0,18+-- ,10=, 875m= 7,5mm." 2 2
Como não há medida na superfície do solo, vamos considerá-Ia como sendo igual àquela
medida a 0,10 m de profundidade, pelo que:
hO-O,1 =0,27xO,10= 0,027m = 27mm.
Portanto,
hO-O,5 = ho_o•1 + hO•I-O,5
ou
hO-O,5 = 27 + 87,5 = 114,5 mm.
Igualmente, no dia 21/08:
(0,35 ° 0,24) °hO-O,5 =0,35xO,10+ -2-+0,33+0,3 +0,27+-2- 0,1 =
= 0,1545 m = 154,5 mm.
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64 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
~ Pela regra de Simpson, assumindo também que o conteúdo de água em Z = O seja igual ao
conteúdo de água em Z= 0,10 m, temos, aplicando a equação (39), que, no dia 14108
hO-O•5 = 0,27xO,1 0+ O,~0(0,27 + 4 x 0,25 + 0,21) +
0,10 ( )+- 0,21+4xO,18+0,20 = 0,1140 m = 114,0 mm,
3
e, no dia 21/08
hO_O 5 = 0,35xO,10 + 0,10 (0,35 + 4 x 0,33 + 0,30) +
. 3
+ 0,10 (0,30 + 4 x 0,27 + 0,24) = 0,1547 m = 154,7 mm.
3
Finalmente, a variação da armazenagem valerá:
Regra do trapézio: Mo-oos = 154,5 -114,5 = 40,0 mm
Regra de Simpson: l:iho_o.s = 154,7 -114,0 = 40, 7 mm.
3. EXERCÍCIOS
1. Um cilindro de solo não-saturado de 0,1 m de diâmetro e 0,12 m de altura tem uma massa de 1,7
kg, dos quais 0,26 kg são água. Assumindo que o valor da densidade da água Pa = 1000 kg m-J e
o da densidade dos sólidos Ps = 2650 kg m-J, calcular:
a) conteúdo de água % massa e) porosidade
b) conteúdo de água % volume f) porosidade livre de água
c) altura da água g) saturação relativa
d) densidade do solo
2. Coletaram-se 220 kg de um solo não saturado. O valor do conteúdo de água nesta amostra foi de
0,18 kg kg"l. Calcular o valor da massa dos sólidos e o da massa de água.
3. Um solo de 0,8 m de profundidade tem um valor uniforme de 8= 0,13 mJ m"J. Calcular quanta
água deve ser adicionada a este solo para trazer o valor de 8 de 0,13 m3 m-J para 0,30 m3/m3.
4. O valor do conteúdo de água inicial em um solo é 0,10 mJ m"J. A que profundidade uma chuva
de 100 mm umedecerá o solo a um valor de conteúdo de água de 0,30 mJ m"J?
5. No mesmo solo do exerCÍcio anterior, quanta água é necessária para umedecer o solo até a
profundidade de 1,25 m?
6. O que você entende por capacidade de campo e ponto de murchamento pennanente?
7. O valor do conteúdo de água em um solo à capacidade de campo é 0,30 mJ m-J. Os valores do
conteúdo de água inicial no solo (à base de massa) e da densidade do solo variam com a
profundidade e são dados na tabela a seguir. Assumindo que o valor da densidade da água é 1000
kg m"3, calcular o valor da profundidade de penetração de uma chuva de 50 mm.
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conteúdo de água à base
de massa Ik
0,05
0,10
0,15
0,17
Dinâmica da JÍgua no Solo • 65
densidade do solo (kgIÍ1I3)
1200
1300
1400
1400
8. Uma amostra de solo não saturado com estrutura indefonnada tem um volume de 1,5.10,4 m3 e
uma massa de 0,24 kg. O valor da sua porosidade de aeração é 15%. Sendo o valor da densidade
dos sólidos 2650 kg/m3 e o da densidade da água 1000 kg m,3, calcular:
a) densidade do solo
b) conteúdo de água à base de massa
c) conteúdo de água à base de volume
d) porosidade
9. Um pesquisador necessita de exatamente 0,1 kg de um solo seco e dispõe de uma amostra de solo
não saturado com ()= 0,250 m3 m,3 e de p = 1200 kg m,3. Quanto de solo não saturado deve-se
pesar para obter a massa de solo seco desejada?
10. Dado um solo de 10 hectares de extensão, considerado homogêneo quanto à densidade do solo
(= 1700 kg m'3) da camada O - 0,3 m de profundidade e ao conteúdo de água (=0,2 kg kg") na
mesma camada, pergunta-se: a) quanto de solo seco existe, em toneladas, nesta camada? b)
quantos litros de água esta camada armazena?
11. Deduzir, a partir do cálculo integral, as fórmulas da regra do trapézio (equação 34) e da regra de
Simpson (equação 39).
12. Abriu-se uma trincheira de 1 m de profundidade para estudar o perfil de densidade do solo. As
amostragens foram feitas com anéis volumétricos e torrões e os dados encontram-se dispostos
nas duas tabelas a seguir:
Anéis volumétricos (altura = 35 mm; diâmetro = 47 mm)
massa (kg)
profundidade (m) tara
0,15 0,01101
0,30 0,01131
0,45 0,01059
0,60 0,01090
0,75 0,01071
0,90 0,01104
solo com água + anel
+ tara
0,13000
0,12361
0,13440
0,13059
0,11866
0,12730
solo seco + anel + tara
0,11510
0,10391
0,11220
0,10849
0,09951
0,10509
anel
0,01140
0,01083
0,01138
0,01153
0,01254
0,01163
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66 • Retenção e Cálculo da Agua no Solo
Torrões
peso (N)
profill1didade (in) I solo seco (solo seco +parajina*) no ar (solo seco +parajina) na água
0,2274
0,1176
0,1617
0,1813
0,1401
0,0843
0,5343
0,3618
0,4945
0,5266
0,4419
0,3151
0,15 0,5133
0,30 0,3299
0,45 0,4525
0,60 0,4900
0,75 0,4092
0,90 0,2842
* massa específica da parafina: 900 kg m-3
a) detenninar p, U e e para as amostras de anel volumétrico e p para as de torrão.
b) comparar os dados de p das amostras do anel volumétrico e do torrão, fazendo o gráfico de p
versus Z.
13. Com os dados das tabelas a seguir, calcular, levando-se em conta os erros envolvidos (considerar
a propagação de erros):
a) O valor médio do conteúdo de água à base de volume por camada.
b) O valor médio da armazenagem de água até a profundidade de 1,6 m. Aplicar a regra do
trapézio.
c) O valor médio da annazenagem de água nas camadas 0,20 - 0,60 e 0,80 a 1,40 m. Aplicar a
regra do trapézio.
d) O valor do volume (m3) de água existente em um hectare deste solo, até a profundidade de 1,6
m.
densidade do solo, p (kg/m3)
Camada
repetições
(in)
12345678910
0,00 - 0,20
1372136013131298135614011396137513231377
0,20 - 0,40
1356138514031421141014091368137413561333
0,40 - 0,60
1348139513861425140513991368138113811434
0,60-0,80
1402143513561388137614381421137114371419
0,80 - 1,00
1353135013211365138613211333134513491350
1,00-1,20
1298131113041315130613111291128812961300
1,20- i,40
1256125312601244123412561285122612771230
1,40 - 1,60
1129120312141177118011961201120212221207
conteúdo de água à base de massa U (kg/kg)
Camada
repetições
(m)
12345678910
0,00 - 0,20
0,2510,2680,2700,2410,2200,2530,2770,3010,2520,249
0,20-0,40
0,2860,2830,3010,2840,2560,2730,2410,2830,2790,304
0,40 - 0,60
0,3010,2940,2990,3110,3470,3040,2960,3130,3330,315
0,60-0,80
0,3410,3630,3150,3730,3450,3460,3480,3560,3730,341
0,80-1,00
0,3350,3320,3100,3160,3420,3280,3190,3180,3700,340
1,00 - 1,200,3200,3150,3350,3370,3480,3280,3110,3120,3310,334
1,20-1,40
0,3210,3010,2990,3160,3250,3300,3370,3170,3150,326
1,40 - 1,60
0,3010,3000,2880,2730,3160,3090,3160,3230,3340,344
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Dinâmica da Agua no Solo • 67
14. A solução nas camadas O - 0,20 m e 0,20 - 0,40 m do solo do problema anterior contém 15
ppm de nitrogênio mineral (N03- + NH4\ Quantos quilogramas de N mineral há no volume de
solo considerando uma área de 1 ha da camada O - 0,40 m? Dado: densidade da solução no solo
= 1000 kg m-3•
15. A você é dada a incumbência de fazer um ateno de 200 m3 com um solo no qual o conteúdo de
água medido é de 20% à base de massa. Dispondo de um caminhão que transporte uma carga
de, no máximo, 10 mil kg, qual é o número mínimo de viagens que você deverá fazer com esse
caminhão para que o solo neste ateno adquira uma densidade de 1400 kg m-3 ?
16. Os dados da tabela seguinte são valores médios de e obtidos num solo homogêneo em local
plano, com uma cultura de milho. Todas as leituras foram feitas às 8 horas, a perda de água do
perfil consistiu apenas de evapotranspiração e não houve ascensão capilar.
Profill1didade Conteúdo de Agua Volumétrico 8 (m3/m3)
(m)
Datas
28/05
31/0503/0606/06
0,00
0,2850,2480,2410,382
0,15
0,3310,3190,3010,405
0,30
0,3680,3510,3430,423
0,45
0,4100,3930,3790,431
0,60
0,4840,474 .0,4680,477
0,75
0,4390,4320,4280,426
0,90
0,4210,4180,4150,413
1,05
0,3960,3960,3950,396
1,20
0,3700,3710,3710,370
a) desenhar em um só gráfico os perfis de conteúdo de água de cada dia;
b) calcular o valor da annazenagem de água em cada dia até a profundidade de 1,2 m utilizando
as regras do trapézio e de Simpson;
c) calcular os valores da variação da annazenagem até a profundidade de 1,2 m entre cada dia
de leitura;
d) sabendo-se que houve apenas uma chuva após a leitura do dia 03/06, calcular o valor da
evapotranspiração da cultura em mm/dia para cada período e para o período de 28/05 a
03/06;
e) no período de 28 a 31/05 calcular a contribuição de cada camada de 0,15 m no valor da
evapotranspiração da cultura;
f) imaginando que o mesmo valor de taxa média de evapotranspiração oconido no período de
28/05 a 03/06 continue no período de 03/06 a 06/06, calcular quanta água foi recebida pelo
solo pela chuva do dia 03/06, que foi de muito curta duração.
17. A tabela a seguir apresenta os valores de e em função da profundidade Z obtidos às 9 horas dos
dias 22/01 e 30/01 num detenninado solo. Calcular a varíação de annazenagem de Z = O a
Z = 0,8 m entre estes dois dias, utilizando a regra de Simpson.
Profill1didade
(m)
0,00
0,10
22/01
0,35
0,33
8(m%/)
Datas
30/01
0,27
0,25
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j7to 9tO08'0
çto
8tOoL'o
j7to
9tO09'0
zto
çtoOç'O
oz'o
j7to017'0
81'0
LtO0['0
ItO
0['0oto
lO/O[
10m
SIJ]lJa
(UI)
(fUI/fUI) e
aplJp!pUlifO·~d
alaS ou vni?r vp 0ln:Jl'?:Ja op:5uala([ • 89
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IV
TERMODINÂMICA COMO BASE PARA ESTUDOS DE SISTEMAS
BIOLÓGICOS
1. INTRODUÇÃO
Para se entender com profundidade a dinâmica da água em sistemas biológicos e, como
veremos no próximo capítulo, a dinâmica da água no solo, é de extrema importância o
conhecimento do potencial químico de uma substância. Como a derivação desse potencial é feita a
pmtir dos conceitos e definições da tennodinâmica, vamos fazer, de fonna bastante objetiva, revisão
deste ramo da ciência que estuda a energia e as leis que govemam suas fonnas de transferência.
Infonnações mais detalhadas sobre o assunto podem ser encontradas em Callen (1960),
Moore (1962), Babcock (1963), Spanner (1964), Waser (1966), Prigogine (1967), Mahan (1970),
Sales Luiz (1980) e Stumm e Morgan (1981), dentre outros.
2. NOMENCLATURA TERMO DINÂMICA
2.1 Sistema e meio
Em tennodinâmica, é importante que se faça distinção entre sistema e meio (ou exterior).
Sistema é o objeto que está sendo estudado e meio é tudo o que circunda o sistema e que com ele
pode interagir. O sistema pode ser simples, como por exemplo um copo de água, um certo volume
de ar, ou complexo, como por exemplo uma amostra de solo não saturado, uma folha de árvore. O
contorno do sistema pode ser real, como as paredes de um frasco, ou imaginário.
Quando não há transferência de energia sob quaisquer fonnas, através do contorno (paredes)
do sistema, diz-se que o sistema está isolado; em outras palavras, qualquer mudança que ocorra em
um sistema isolado não produzirá qualquer mudança no meio. Por outro lado, sistemas não isolados
podem trocar energia com o meio de muitos modos, que são convenientemente agrupados em duas
categorias chamadas calor e trabalhos, conforme veremos mais adiante no item 3. Fala-se também
em sistema fechado e sistema aberto, o primeiro sendo aquele no qual não há qualquer transferência
de matéria através de suas paredes e o segundo aquele em que esta transferência ocorre.
Os sistemas consistem ainda de uma ou mais partes, chamadas fases. Fase é uma região
química e fisicamente homogênea e mecanicamente separável do sistema.
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70 • Termodinâmica
2.2 Estado, funções de estado e equação de estado
Descreve-se o estado de qualquer sistema tennodinâmico especificando os valores numéricos
de um certo número de variáveis pertinentes denominadas fitnções de estado, isto é, que dependem
apenas do estado do sistema e não do modo pelo qual ele é alcançado. Assim, se um sistema sofre
detenninada transfonnação passando de um estado inicial 1 para um estado final 2, a mudança de
estado do sistema depende somente dos valores inicial (1) e final (2) da função de estado que sofreu
a mudança, e não do caminho seguido pelo sistema durante a transfonnação. As funções, variáveis,
ou ainda propriedades de estado que dependem da quantidade de matéria ou extensão do sistema
são denominadas extensivas, e aquelas que independem da extensão do sistema recebem o nome de
intensivas. As primeiras são, portanto, aditivas, enquanto que as segundas não. Assim, temperatura,
concentração, densidade etc. são propriedades intensivas, enquanto massa, volume, energia, área
etc. são propriedades extensivas. Uma expressão matemática que relacione funções de estado é
chamada equação de estado. Um exemplo familiar de equação de estado é a equação dos gases
ideais (gases cujo comportamento é igual àquele de qualquer gás real a pressões muito baixas,
tendendo para zero):
P = P(V,T) ou PV = nRT .
Nesta equação: n = número de moles; R = constante universal dos gases (8,314 J morl K'I);
P = pressão (Pa); V = volume (m3); T= temperatura absoluta (K).
A tennodinâmica trata dos processos reversíveis ou estados de equilíbrio dos sistemas.
Estado de equilíbrio é aquele em que as funções de estado do sistema são bem definidas e não
variam com o tempo. Processo reversível é um conceito ideal cujo significado passamos a descrever
a segmr.
2.3 Processo reversível e processo irreversível
A fim de ilustrar esses conceitos, consideremos que nosso sistema seja um gás no interior de
um cilindro munido de um pistão móvel sem atrito, exercendo pressão sobre o gás (Figura 4.1).
Consideremos também, por facilidade, que no espaço acima do pistão seja feito vácuo, pelo que ele
é mantido em equilíbrio por uma pressão externa Pe resultante do seu próprio peso e do peso de um
certo número de pequenas esferas de massas iguais, no caso da Figura 4.1 a, e apenas do seu próprio
peso, no caso da Figura 4.1b. Nos esquemas da figura, portanto, são mostrados dois estados de
equilíbrio para esse nosso sistema: o estado 1 (Figura 4.1 a) caracterizado pela pressão PI = Pi = Pe,
pelo volume VI, pela temperaturaT e pelo número de moles n; e o estado 2 (Figura 4.1 b)
caracterizado pela pressão P2 = Pi = Pe, pelo volume V2, pela mesma temperatura T e pelo mesmo
número de moles n. Nesses dois esquemas, evidentemente, VI < V2, PI > P2 e Pi = pressão interna =
pressão do gás sobre o pistão.
Analisemos, agora, como podem ser conseguidas: a) a expansão do gás do estado 1 para o
estado 2, com Te n constantes, e b) a compressão do gás do estado 2, de volta para o estado 1, com
Te n constantes.
Assim, estando o sistema no estado de equilíbrio 1, ele pode atingir rapidamente o estado de
equilíbrio 2 se retirannos, de uma só vez, todas as bolinhas de sobre o pistão, ou seja, ao se retirar
todas as bolinhas de uma só vez, a pressão externa Pe = PI é drasticamente reduzida ao valor
Pe = P2, e a pressão interna Pi, tomando-se, instantaneamente, bem maior do que Pe, empun-a
rapidamente o pistão para cima expandindo o gás até que Pe e Pi se equilibrem novamente no valor
mais baixo de pressão P2 = Pe = Pi (estado de equilíbrio 2). Num diagrama P-v, esta expansão está
representada pela linha sólida da Figura 4.2a. Na compressão, o processo é exatamente o inverso:
estando o sistema no estado de equilíbrio 2, ele atinge rapidamente o estado de equilíbrio 1 pela
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Dinâmica da Agua no Solo· 71
~olo ação de uma só vez de todas as bolinhas que, aumentando drasticamente a pressão externa de
Pe = p] para o valor Pe = PI, comprimem rapidamente o gás ao estado de equilíbrio 1, confom1e a
linha tracejada do diagrama P-V da Figura 4.2a. Note que o caminho seguido pelo sistema nessa
expansão rápida (linha sólida da Figura 4.2a) é bem diferente do caminho por ele seguido no
processo inverso, isto é, na compressão rápida (linha tracejada da Figura 4.2a).
(a)
Estado de Equilíbrio
1
Esferas de
massas
iguais
(b)
Estado de Equilíbrio
2
Figura 4.1 Estados de equilíbrio de um sistema gasoso: a) estado de equilíbrio 1, caracterizado
por PI = Pe = Pi , VI, n e T, e b) estado de equilíbrio 2, caracterizado por
P2 = Pe = Pi, V2, n e T.
No entanto, esses mesmos processos de expansão e compressão podem ocorrer um
pouco mais lentamente se retirarmos (ou colocannos) não todas as bolinhas de uma só vez mas em
duas etapas, retirando (ou colocando) inicialmente metade das bolinhas e, após o equilíbrio
intennediário (P3 = Pe = P;), retirando (ou colocando) a outra metade e esperando o equilíbrio final.
Com esse procedimento, o diagrama P - V resultante é mostrado na Figura 4.2b. Note que os
caminhos da expansão e compressão com este procedimento de duas etapas (Figura 4.2b) se tomam
mais próximos entre si, em relação ao procedimento anterior de uma etapa única (Figura 4.2a).
Se em vez de duas etapas utilizannos três, retirando (ou colocando) um terço das
bolinhas na primeira, um terço na segunda e um terço na terceira, evidentemente, os processos vão
se tomar mais lentos ainda e as linhas de compressão e expansão mais próximas entre si (Figura
4.2c). Prosseguindo nesse raciocínio, isto é, aumentando o número de etapas, e retirando (ou
colocando), cada vez mais, menos bolinhas, os processos vão se tomando cada vez mais lentos e as
linhas de expansão e compressão cada vez mais próximas entre si (Figura 4.2d). Numa situação em
que o número de etapas tende para o infinito (grande número de bolinhas de massas infinitamente
pequenas retiradas ou colocadas uma a uma), as curvas de expansão e compressão praticamente se
coincidem e, no limite, isto é, num tempo infinito, Pi = Pe ao longo da transformação, ou seja, as
curvas se tomam, teoricamente, idênticas (Figura 4.2e). Somente sob tais circunstâncias é que a
expansão ou a compressão isoténnicas do gás são reversíveis. Portanto, para se aproximar de um
processo reversível, a transformação tem que se dar infinitamente devagar por meio de uma série de
estados de equilíbrio. Pelo exposto, um processo reversível é um conceito ideal que nunca pode ser
obtido na prática, pois levaria, teoricamente, um tempo infinito para ser executado; em tal processo
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72 • Termodinâmica
"o sistema permanece em equilíbrio ao longo da transformação". Além disso, seu caminho pode
ser seguido em qualquer direção, e em qualquer ponto a direção pode ser invertida por uma variação
infinitesimal em uma das variáveis do sistema. Portanto, qualquer processo real é irreversível,
como as curvas em degrau das figuras 4.2a a 4.2d.
V
b
V,
P, ~P = P
VI VJ
. ~
I ............ ~--
li-
-<-------1J ,,
1
P2=Pe=Pi~
,
P,
r
r
r
V
V,VI
PI I············· ....~~/-:~e-:-~;-------i
,,
,,
:
t
: a
,
P2 ~P ~ P :
) L' i~!•
P,
P,
P,
PI•····.
P,
Pe=Pj
Pe=P;
-""--;,
-+ p =
!,? e Pj-----~------l
,,
P('=Pi l'
--.,.,
c
Pc,
ri
r,
d
Pe=P;
VI V,
V
VI V,
V
ri
Expansão ou
Compressão
V- Rcvcrsivcl
e
------ Expansão
-------, Compressão
p, •........
VI V ·V,
Figura 4.2 Seqüência de situações mostrando gráficos P - V de expansão e compressão de um gás
ideal, desde o caso no qual o processo de transformação é extremamente rápido e
irreversivel (Figura 4.2a) até o caso ideal no qual o processo de traniformação é
infinitamente lento e reversível (Figura 4.2e), passando pelos estágios intermediários
irreversíveis (figuras 4.2b a 4.2d).
Pelo que acabamos de ver, as transformações tennodinâmicas, para se aproximarem dos
processos reversíveis, devem ocorrer infinitamente devagar. O inverso, entretanto, não é verdadeiro:
processos tennodinâmicos infinitamente lentos não se aproximam necessariamente de processos
reversíveis. Observe que estamos falando do sistema termo dinâmico e não do sistema mecânico,
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Dinâmica da Agua 110 Solo • 73
como um pêndulo, por exemplo. Processos infinitamente lentos são também chamados pro essos
quase estáticos.
De acordo com Spanner (1964), que discute com detalhe o assunto, existem duas maneiras de
reduzir a velocidade de um processo: ou reduzindo o valor da força propulsora dele causadora (no
exemplo, a diferença entre Pe e Pi), ou elevando as forças de oposição (as forças de atrito entre o
pistão e o cilindro). No entanto, um processo só se aproximará da condição reversível se a redução
de sua velocidade for feita pela primeira maneira. Um movimento muito lento, com atrito severo, é
definitivamente irreversível. Entretanto, a existência de atrito não quer dizer ausência de
aproximação à reversibilidade. O que a aproximação à reversibilidade requer não é a ausência de
atrito mas, sim, a ausência de qualquer força não equilibrada: é somente quando esta condição é
encontrada que um processo quase estático se aproxima de um processo reversível.
3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Todo sistema possui uma função de estado extensiva
chamada Energia, cuja variação, quando o sistema sofre
determinada transformação, pode ser medida pela soma
algébrica das diversas formas de transferência de
energia entre o sistema e o meio que causam a
transformação.
Dividindo, por conveniência, as diversas fonnas de transferência de energia entre o sistema e o
meio em duas categorias, calor e trabalho, pode-se expressar, matematicamente, a primeira lei como
111
/)'E = q +L Wn,
n=1
(1)
sendo E a energia do sistema, L1E a sua variação e q e l:wn o calor e os trabalhos envolvidos durante
a transfonnação, respectivamente.
Evidentemente, está implícita na equação (1) a convenção de que calor e trabalhos são
positivos quando fornecidos pelo meio ao sistema e negativos quando absorvidos pelo meio do
sistema (Figura 4.3). Note também que esta equação define apenas variações de energia e não a
energia absoluta do sistema, a qual não é definida na termodinâmica. De qualquer maneira é
importante ficar claro que essa energia E representatoda a energia do sistema num dado estado e
que, em tennodinâmica, é comum dividi-Ia em três fonnas principais: energia cinética, resultante do
movimento do sistema, energia potencial, resultante da posição do sistema, e energia interna, que
inclui todas as fonnas de energia associadas ao movimento e a posição das moléculas, átomos,
elétrons etc. de que se constitui a matéria do sistema.
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74 • Termodinâmica
+q
-q
-1:wn
n=l
melO
111
+L\Vn
Il=J
Figura 4.3 Convenção de sinal para calor e trabalho.
Escrevendo a equação (1) numa forma diferencial, isto é, numa forma aplicável a variações
infinitamente pequenas, tem-se
dE = 8q +f, OW",
11=1
(2)
em que 8q e Owll não são diferenciais de propriedades ou funções de estado do sistema, como o é
dE, como veremos a seguir.
Recomendamos, neste ponto, a leitura do apêndice I, sobre diferenciais totais, aos não
familiarizados com o assunto.
A energia E do sistema sendo uma função de estado, é uma propriedade que depende apenas
do estado atual do sistema, e não depende de sua história, ou seja, de como o sistema chegou a este
estado. Portanto, para encontrar t1E, não precisamos conhecer nada a respeito dos processos, a não
ser a energia do sistema no estado inicial E I e a energia do sistema no estado final E2'
Matematicamente:
E,
tiE= r dE=Ez -EI•
E,
(3)
Integrandos deste tipo (dE) são denominados diferenciais exatas.
O calor q e os trabalhos wll ' no entanto, são quantidades que dependem da história, isto é, não
é suficiente conhecer os estados inicial e final, senão o caminho exato seguido pelo sistema durante
a variação de estado. Por este motivo, são chamadas integrais de linha (ver equação 7) ou
diferenciais inexatas ou, ainda, diferenciais impeifeitas; por isso, possuem notação diferente
(equação 2).
O interessante a ser notado é que, pela primeira lei, o caminho influencia o calor e os
trabalhos de maneiras exatamente opostas, de tal modo que quando são somados, seus efeitos
desaparecem e o resultado dE é independente do caminho.
Existem muitos tipos de trabalho que podem ser incluídos no somatório da equação (1), tais
como trabalho mecânico ou trabalho pressão-volume, trabalho químico, trabalho elétrico, trabalho
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Dinâmica da .lÍgua no Solo • 75
de superfície etc. O caso mais simples de trabalho é a expansão ou contração de um gás, o trabalho
pressão-volume, que passaremos a discutir.
3.1 Trabalho de pressão - volume
Para obtennos a equação que expressa esse tipo de trabalho, consideremos o mesmo alTanjo
descrito no item 2.3: uma substância gasosa contida em um cilindro de secção transversal A, provido
de um pistão móvel e sem atrito, conforme mostra a Figura 4.4. Consideremos ainda, neste caso,
que o peso do pistão seja desprezível.
= A (área da
o transversal
do cilindro =
do pistão)
ylctx. - /'Y
~
-1-
plstao
Idx
""""
-"<-
~ Área
cilindro -.
Vsecçã
internaárea
Figura 4.4 Trabalho de expansão ou compressão de uma substância gasosa.
Novamente consideremos, como fízemos no item 2.3, que no espaço acima do pistão seja
feito vácuo, pelo que ele é mantido em equilíbrio por uma força extema Fe que pode consistir de
pesos colocados sobre sua face superior.
Em tennodinâmica, sempre que se fala em trabalho, está se referindo a uma variação
detectada no meio, isto é, quando se diz que o sistema executa um trabalho, é sobre o meio que ele
o faz; quando um trabalho é executado sobre o sistema, é o meio que sofre uma destruição de
trabalho.
É por isso, então, que, para o sistema gasoso da Figura 4.4, o trabalho mecânico WIl1 é definido
como o produto da força externa Fe que atua sobre o sistema, pela distância ao longo da qual o
pistão se move. Assim, se o pistão sofre um deslocamento dx (Figura 4.4), o trabalho executado
pelo sistema devido à elevação dos pesos colocados sobre o pistão (expansão), ou o trabalho
executado sobre o sistema devido ao abaixamento dos pesos (compressão) é expresso por
8W,,, =Fe dx. (4)
Assim, tanto na expansão como na compressão, o trabalho mecânico (de pressão-volume) é o
produto da força externa pelo deslocamento.
Dividindo e multiplicando o segundo membro da equação (4) pela área A da secção
transversal do pistão, obtém-se
F,
8W =-' Adx.
111 A
(5)
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76 • Termodinâmica
Lembrando que força por unidade de área é pressão, então a razão Fe IA que aparece na
equação (5) nada mais é do que a pressão externa Pe causada pela força Fe que atua sobre a face
extema do pistão. Por outro lado, o produto Adx é, como se pode perceber, simplesmente a variação
infinitesimal do volume ocupado pela gás na transformação (dV). Assim, reescrevemos a
equação (5) como
8w", =-p. dV, (6)
(8)
sendo que o sinal negativo foi colocado para justificar a convenção de sinais estabelecida para o
trabalho, porque dV é positiva na expansão e negativa na compressão.
No caso do processo ser reversível, como vimos no item 2.3, o sistema permanece em
equilíbrio ao longo da transformação e Pi = Pe = P.
Portanto, toda vez que se escrever a equação (6) utilizando-se P em vez de Pe, ou seja,
8w", = -PdV , (7)
está implícito que está se referindo a um processo reversível.
Quando a variação do volume na transformação for finita, então a cada valor de volume
corresponderá um valor definido de pressão e o trabalho executado quando o volume aumenta (ou
diminui) de um volume inicial VI a um volume final V2 será
v,
w'" =-f PdV
VI
na transfonnação (expansão ou compressão) reversível, e
V,
w'" =-f P. dV
v,
(9)
na transfomlação (expansão ou compressão) irreversível.
Observe, que, por esta expressão (9), o trabalho mecânico real (irreversível) depende da
pressão extema. A pressão do gás dentro do cilindro, pressão intema (P), pode variar, conforme o
volume varia, mas o trabalho executado é independente dessa variação.
No Cálculo Integral, este trabalho mecânico ou de pressão-volume representa, portanto, a
área sob a curva de um gráfico P - V (Figura 4.2).
Exemplo Ilustrativo
Um moi de um gás ideal, a 298 K e exercendo uma pressão de 250 kPa sobre um pistão,
expande-se irreversível e isotennicamente contra uma pressão extema constante de 100 kPa, até que
sua pressão se tome igual à pressão extema. Qual o valor do trabalho executado pelo gás nessa
expansão? E se essa mesma expansão (a temperatura constante) fosse reversível, qual seria o valor
do trabalho?
Solução:
Pela equação (9), o trabalho executado por um gás numa transformação irreversível é dado
por
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Dinâmica da JÍgua no Solo • 77
V,
W1ll =-f PedV.
v,
Como Pe= constante, então,
Observe que este é o caso representado pela Figura 4.2a. Por outro lado, como o gás é ideal, e segue
a equação PV = nRT, tem-se, no estado inicial:
V =nRT1 =lX8,314x298_9914.1O-3m3
I ~ 2,5.105 '
e no estado final:
V = nRT2 = 1x 8,314 x 298 = 2477.10-3 m3
2 P2 1,0.105 '
Portanto:
W1ll =-105(24,77-9,91)1O-3=-1483J.
Numa transformação reversível, no caso expansão reversível isoténnica de um gás ideal, a
pressão externa é sucessivamente reduzida de maneira que ela sempre se equilibra com a pressão
interna, e então
P =p =P= nRT
e, V '
e, portanto (equação 8):
V, v, ( )
w = -fPdV = -nRTf dV = -nRT ln V2 •
111 V ~
VI VI
Substituindo os dados do problema:
w," =-lx8 314x298xln 24,77.10-3 =-2270J.
, 9,91.10-3
3.2 Outros trabalhos que não o de pressão-volume
Analisando-se a expressão do trabalho mecânico reversível (equação 7), observa-se que ele é
produto de uma propriedade intensiva (P) pela variação de uma propriedade extensiva (dV). Este
fatoé de caráter geral e ocorre em todas as outras fonnas de trabalho que podem ser incluídas no
somatório da equação (1), como os trabalhos elétrico, de superficie, químico etc., descritos, a título
de exemplo, na Tabela 4.1, juntamente com o trabalho de pressão-volume.
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78 • Termodinâmica
fidn
ede
(JdA
PdV
expressão
matemática
propriedade variação
intensiva
extensiva
pressão, P
volume, dV
potencial
carga
elétrico, e
elétrica, de
tensão
área, dA
superficial, (J ---potencial
moles, dn
químico, fi
elétrico
químico
mecânico
de superficie
Tabela 4.1 Expressões para trabalho termodinâmico
Tipo
Face ao exposto, a equação do primeiro princípio (equação 2) pode ser escrita de uma fonna
mais detalhada, para processos reversíveis, como
I
dE = Oqrev- PdV +L AkdBk,
k~1
(10)
sendo Ak e Bk, respectivamente, as propriedades intensiva e extensiva envolvidas em cada um dos
outros trabalhos que não o de pressão-volume, e 1= m-l, o número destes outros trabalhos.
4. SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA
Do mesmo modo como fizemos para a primeira lei da tennodinâmica, também para a
segunda apresentaremos diretamente seu enunciado na fonna atual do conhecimento, sem nos
preocupannos com o seu desenvolvimento histórico. Basicamente, o que se pretende com essa lei é
fonnular um critério para a reversibilidade de um processo e, como essa reversibilidade está
relacionada com o equilíbrio, em última análise o que ela fornece é um critério para verificar se um
sistema tennodinâmico se encontra ou não em equilíbrio. Além disso, ela estabelece também em
que direção um processo irreversÍvel pode ocorrer. Isto foi possível postulando a existência de uma
função de estado chamada entropia, conforme o enunciado a seguir:
Todo sistema possui uma função de estado extensiva
chamada Entropia, a qual, quando o sistema sofre
determinada transformação, pode variar por dois únicos
motivos:
1º)fluxo de entropia entre o sistema e o meio (OS,), dado por
os -Oq
m -T' (ll)
sendo T a temperatura absoluta do sistema no momento em
que ocorre a transferência infinitesimal de calor (Oq);e
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Dinâmica da Agua no Solo • 79
212) produção de entropia no interior do próprio sistema (85),
a qual é igual a zero nas transformações reversíveis e
positiva nas irreversíveis
Portanto, simbolicamente, a segunda lei da tennodinâmica estabelece que
dS=8Sm +8S;(12)
ou dS= &j +8S.
(13)T "
e que
8Sj = O (processo reversível)
(14)
e
8Sj > O (processo irreversível).
(15)
Observe que tanto a produção como o fluxo de entropia não são funções de estado como o é a
entropia do sistema: a produção de entropia, sendo zero no processo reversível e positiva no
irreversível é dependente do caminho; o fluxo de entropia, sendo a razão entre o calor e a
temperatura absoluta também depende do caminho, porque o calor depende do caminho. Assim, se
um sistema sofre uma transfonnação finita, passando de um estado 1para um estado 2,
s,
r dS=M=S2 -SI'
S,
mas
e
2 2 &j
f 8Sm = f T = Sm .I I
Decorre imediatamente da segunda lei que, a partir das equações (13) e (14)
dS = &j (processo reversível),
T
e, a partir das equações (13) e (15)
dS > &j (processo irreversível).
T
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Para sistemas isolados (sem interações com o meio), evidentemente, 851/l = O. Portanto, para
tais sistemas:
dS = 8Sj (sistema isolado), (21)
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80 • Termodinâmica
e, a partir das equações (14) e (15)
dS = O(processos reversíveis, sistemas isolados)
e
dS > O(processos irreversíveis, sistemas isolados),
(22)
(23)
isto é, a entropia de sistemas isolados nunca pode decrescer.
É importante observar que, como em todo processo reversível o sistema pennanece em
equilíbrio ao longo da transfonnação, então, para qualquer sistema em equilíbrio, 8Si = O, e para
qualquer sistema em equilíbrio e isolado, dS=O.
Para melhor visualizar a segunda lei, imaginemos, à semelhança de Prigogine (1967), um
sistema constituído de duas fases fechadas A e B mantidas às temperaturas TA e TE' respectivamente
e inicialmente desconectadas uma da outra e do exterior. Conseqüentemente, por estarem em
equilíbrio, nenhum processo irreversível está ocorrendo no interior de cada uma delas:
e
OASj =0
OBSj =0.
(24)
(25)
Sendo a entropia uma função de estado extensiva, seu valor para o sistema inteiro valerá
S = SA + SB e, conseqüentemente:
dS = dS A + dS B , (26)
isto é, a variação da entropia do sistema é igual à soma da variação da entropia de cada uma de suas
partes (ou fases).
Ao se conectar as fases uma a outra e com o exterior, é claro que cada uma delas,
individualmente, pode receber (ceder) calor, tanto da (para a) outra fase como do (para o) meio
exterior, e podemos assim dividir o calor recebido (cedido) pela fase A (OAq) e pela fase B (OBq) em
duas partes:
Para a fase A,
e, para a fase B,
sendo:
oAq=OAqj+OAqlll'
S:B = S:B + s:Bu q U qj U qlll'
(27)
(28)
OAqi = calor recebido (cedido) pela fase A da (a)fase B
OAqm = calor recebido (cedido) pela fase A do (ao) meio
OBqi = calor recebido (cedido) pela fase B da (a) fase A
OEqm = calor recebido (cedido) pela fase B do (ao) meio.
De acordo com a equação (13), e tendo em conta as equações (24) e (25), que continuam
sendo válidas após o contato das fases entre si e com o meio porque, para cada fase
individualmente, a outra fase também é exterior, é claro que
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Dinâmica da Agua no Solo •
(29)
e
(30)
Substituindo-se as equações (29) e (30) na equação (26):
8A 8A 80 80
dS=~+~+~+~
TA TA To To
ou
(31)
(32)
(33)
Como
ou seja, internamente (daí o índice "r' para q) o calor ganho pela fase A é igual ao cedido pela fase
B, ou vice-versa, a equação (31) toma-se:
dS = 8Aqm + 8°qm +8Aq.(_1 __ 1 J.TA To I TA To
Como mostra essa equação, a vanaçao da entropia do sistema consiste, portanto,
concordando com a equação (12), de duas partes. A primeira,
8S = 8Aqm + 8°qm
'li T T'
A o
que é devida à troca de calor com o meio; e a segunda,
8S. = 8Aq.(_1 __ 1 J
I I T T 'A 8
(34)
que resulta do fluxo de calor irreversível dentro do sistema.
Esta equação (34) prova o conteúdo das equações (14) e (15), de que a produção de entropia
é sempre positiva ou, no mínimo, igual a zero. Para que 8Sina equação (34) seja positiva, existem
apenas duas possibilidades. Ou
ou
8Aq <O e (_1 __ 1 J<o
I T T '
A o
e é o que realmente acontece, porque:
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82 • Termodinâmica
a) Quando (lITA - 11Ts) > O, obrigatoriamente <J4qi > O, isto é, para que entre calor em A a partir
de B (84qi > O), Ts tem que ser maior que TA e, conseqüentemente (lITA - 11Ts) > O.
b) Quando (lITA -1ITs) < O, obrigatoriamente <J4qi < O, uma vez que a saída de calor de A para
B (<J4qi < O) implica em TA> Ts e, então, (lITA -1ITs) < O.
c) A produção de entropia somente pode ser nula quando equilíbrio é estabelecido entre as duas
fases, ou seja, quando
TA =TB•
Um exemplo simples e concreto desta visualização da segunda lei é o da fusão de 0,00 I kg de
gelo a 273 K. Para fundir o gelo, é preciso colocá-Io em contato com um "reservatório" de calor.
Neste caso, portanto, gelo + "reservatório" constitui nosso sistema fechado, sendo gelo = fase A e
"reservatório" = fase B. Sendo o calor de fusão do gelo a 273 K igual a 334 J/kg e estando as duas
fases à mesma temperatura (TA = Ts = 273 K), pela equação (34):
8 Si = O--7 fusão reversível.
No entanto, é obvio que só vai haver fusão do gelo se houveruma pequena diferença de
temperatura entre o gelo e o "reservatório": não se pode fundir um cubo de gelo mantendo-o em
contato com um grande bloco de gelo a mesma temperatura. Conseqüentemente, para que a ftlsão
ocorra, a temperatura do "reservatório" tem que ser maior que 273 K (digamos, 280 K). Se assim o
for, pela equação (34)
os; = 0,334(_1 1_)= 3,1.10-6 J K1273 280
ou seja
OSi > O --7 fusão irreversÍvel (real).
Evidentemente, se a temperatura do "reservatório" for menor que a temperatura do gelo, o
processo de fusão nunca vai ocorrer, apesar de OSi continuar sendo maior do que zero e, portanto,
ocorrendo um processo possível (irreversÍvel), qual seja o de o "reservatório" roubar calor do gelo.
5. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TERMODINÂMICA
De acordo com a primeira lei da termodinâmica, sabemos que, para processos reversíveis
I
dE = Oqrev - PdV +L AkdBk·
k=1
Sabemos também que, pela segunda lei (equação 19):
dS = Oqrev
T '
ou que
5\~ =TdS.l.Jf.1 rev
Substituindo, então, a equação (36) na equação (10), tem-se:
(10)
(35)
(36)
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I
dE = TdS -PdV +L AkdBk·
k=1
Dinâmica da Agua no Solo • 83
(37)
Esta equação é, portanto, a combinação da primeira e segunda leis para processos reversíveis,
e daí ser chamada de relação fimdamental da termodinâmica.
Um aspecto importante, ao qual deve ser dado ênfase no momento, é o de que um estado de
equilíbrio é um estado de repouso, em que as propriedades do sistema não variam com o tempo.
Conseqüentemente, de acordo com a equação (37), um sistema tennodinâmico está em completo
equilíbrio quando dE = dS = dV = dBk = O, ou seja, para que um sistema tennodinâmico esteja em
completo equilíbrio, nenhum tipo de transferência de energia (calor + trabalhos) pode OCOlTer
através das suas paredes.
Outro fato importante a ser esclarecido é o de que o valor de dE calculado pela equação (37)
é válido para qualquer caminho. Isto porque sendo E uma função de estado, todos os detalhes do
caminho do processo real (irreversÍvel) são irrelevantes no cálculo da sua variação entre dois
estados especificados. O que se faz para encontrar a variação de energia de um sistema que sofre
uma transfonnação é substituir o caminho irreversÍvel por um caminho reversível que conecte os
dois estados e que seja especificamente inventado (lembre-se que o processo reversível é ideal) para
a conveniente avaliação da variação de energia.
A equação (37), que é portanto a relação fundamental da tennodinâmica dos processos
reversíveis e com a qual se pode avaliar iJ.E para um caminho irreversÍvel, mostra que a energia é,
matematicamente, função da entropia, do volume e de outras variáveis Bk referentes a outros
trabalhos termodinâmicos que não o de pressão-volume, isto é,
E =E(S,v,B1,B2,B3, ••• ,B,),
ou, de uma maneira mais compacta, simplesmente
(38)
sendo k, que como já vimos varia de 1 a I, todos os outros trabalhos tennodinâmicos que não o de
pressão-volume.
6. TRANSFORMAÇÕES DE LEGENDRE À POTENCIAIS TERMODINÂMICOS
A função de estado característica da termodinâmica é a energia (E), a qual, de acordo
com a primeira e segunda leis para processos reversíveis, é função das variáveis fundamentais
entropia (S), ligada ao fluxo de calor, volume (i!), ligado à transferência de trabalho mecânico, e
outras variáveis (Bk), ligadas à transferência dos outros trabalhos termo dinâmicos (ver equação 37).
No entanto, outras funções de estado características podem ser definidas (a partir da energia) em
fimção de outras variáveis fundamentais que não a entropia S, o volume V e as outras variáveis B k '
por meio das chamadas transformações de Legendre. Com isso, obtém-se uma melhor
adequação entre o problema em estudo e a função de estado característica (Callen, 1960).
Por uma questão de simplicidade e clareza de entendimento, vejamos, inicialmente, como se
processa a transfonnação de Legendre de uma função de uma só variável. Assim, seja a função
cuja derivada
y= y(x),
a= dy
dx
(39)
(40)
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84 • Termodinâmica
é também função de x e representa os coeficientes angulares das retas-tangentes a um dado ponto da
curva y(x). Tais retas podem ser representadas pela equação
y=b+ax, (41)
na qual b é o ponto de intersecção das retas com o eixo-y, isto é, seus coeficientes lineares
(Figura 4.5).
y •
y(x)
~
b k::::""rQ.t@= .Qy[dx = a(x)
x
Figura 4.5 Representação da/unção y(x) pelo conjunto de pontos x,y.
o aspecto básico para o entendimento das transformações de Legendre é que um
determinado ponto de uma curva no plano, como a da Figura 4.5, pode ser descrito não só por dois
números x e y, mas também pelos coeficientes linear e angular da reta-tangente a este ponto. Dessa
fonna, toda curva no plano pode ser representada pelo conjunto de pontos que satisfazem a relação
y =y(x) (Figura 4.5), assim como por um conjunto de tangentes, conforme a Figura 4.6.
Portanto, qualquer equação que nos habilite a construir este conjunto de tangentes detelmina
a curva no plano, do mesmo modo que a relação y =y(x). Conseqüentemente, uma relação
y •
y(x)
~
x
Figura 4.6 Representação da/unção y(x) por um conjunto de tangentes.
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b =b(a)
Dinâmica da Agua no Solo • 85
(42)
é completamente equivalente à relação y =y(x), e é facilmente obtida eliminando-se x e y da
equação (41) a partir das equações (39) e (40).
Ao processo matemático de computar b = b(a) dado y = y(x) chamamos de transformação de
Legendre, e à função b = b(a) de transformada de Legendre de y. Em resumo:
eliminando-se x e y:
y= y(x)
a= dy =a(x)
dx
b=y-ax
b=b(a).
(39)
(40)
(41)
(42)
Para fixar idéias, consideremos o seguinte exemplo: dada a função y = x2, calcule sua
transfonnada de Legendre.
y = x2 --j y = y(x)
a = 2x --j a = dy / dx = a (x)
b = y - ax --j equação das retas- tangentes.
Eliminando-se x e y, isto é, como a = 2x, evidentemente x = a/2 e y = (a/2)2. Logo:
ou
a2
b = -- -7 b = b(a).
4
Portanto, b = -a2/4 é a transformada de Legendre de y = x2 e, por meio dela, podemos
também construir a curva y = x2 no plano x-y, traçando retas (tantas quantas necessárias) que passam
pelos pontos (b,O) e tenham inclinações iguais a a(x) em relação ao eixo-x.
Para uma função de duas variáveis
z=z(x,y) (43)
graficamente o que se obtém é uma superficie no espaço, a qual, à semelhança do caso anterior,
pode ser considerada como o conjunto de pontos que satisfazem a equação (43), ou como o
conjunto de planos-tangentes a esta superficie. Portanto, a obtenção de uma relação que nos pennita
construir tal conjunto de planos-tangentes determinará a superficie no espaço da mesma maneira
que a relação z = z(x,y).
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86 • Termodinâmica
Como vimos no caso de duas dimensões, as retas-tangentes são dadas pela equação da reta
(equação 41); conseqüentemente, no caso de três dimensões, os planos-tangentes devem ser dados
pela equação do plano (equação 44 abaixo):
z=b+aox+aly· (44)
Nesta equação, b são os valores de z para os quais os planos-tangentes interceptam o eixo-z,
ao os coeficientes angulares dos traços dos planos-tangentes no plano z-x, e aIos coeficientes
angulares dos traços dos planos-tangentes no plano z-y (Figura 4.7).
Assim,
e
az
ao = dx = ao (x, y)
az
ai = dy = ai (x,y) ,
(45a)
(45b)
que indicam a inclinação do plano-tangente num dado ponto da superficie, são também as derivadas
parciais da função z = z (x, y) (equação 43), uma vez que a sua diferencial total é, como sabemos
(ver apêndice I), dada por
az az
dz=-dx+-dy.
az dy
(46)
Desta maneira, eliminando-se x, y e z da equação(44) com base nas equações (43) e
(45a e b), obtém-se uma relação
b = b (ao,al),
que é completamente equivalente à relação z = z (x,y).
z.
b
(47)
traço ou corte do plano-
tangente no plano z-x
~
tg ~ = oz/ox = ao
Figura 4.7 Caracterização do plano-tangente.
traço ou corte do plano-
tangente no plano z-y
)
tg y= oz/Oy = ai
y:\-'- .,
y
\
traço ou corte do plano-
tangente no plano x-y
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Dinâmica da Agua no Solo • 87
Em resumo:
Eliminando-se x,y e z:
z = z (x,y) (43)
(45)
(48)
Para mais de três dimensões (mais de duas variáveis independentes) o mesmo raciocínio se
aplica, só que não é possível uma representação gráfica. Para quatro dimensões teríamos três
variáveis independentes e três coeficientes angulares, para cinco dimensões quatro variáveis
independentes e quatro coeficientes e assim sucessivamente.
Portanto, em resumo, para k + 1 dimensões:
U =u(xl,X2,x3,K,xJ (49)
(50)
M
k
b =u - L. ajxj.
j=1
Eliminando-se LI exl, x2' x3' ... , xk:
b = b(a"a2,a3,K,aJ.
(51)
(52)
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88 • Termodinâmica
Neste caso, a equação (49) é dita representar uma hipersuperfície, as equações (50) as
inclinações parciais desta hipersuperfície, a equação (51) a equação dos hiperplanos-tangentes, e b
as intersecções dos hiperplanos-tangentes. ~
Em conclusão, por meio da transformação de Legendre de uma determinada jUnção de
várias variáveis, obtém-se uma nova função, denominada "transformada de Legendre ", a qual
possui o mesmo conteúdo informativo da fimção original, mas cujas variáveis são as derivadas
parciais desta, isto é, para a obtenção da transformada de Legendre da função original, substituem-
se suas variáveis independentes pelas suas derivadas parciais. Entretanto, pode-se substituir uma,
duas, três, todas as variáveis independentes da função original e obter-se tantas transfonnadas de
Legendre quantas possíveis. No caso em que não são substituídas todas as variáveis independentes
da função original, diz-se que a transformada de Legendre é parcial. Exemplificando: se o interesse
for substituir somente x} da equação (49), as equações (50) tomam-se apenas a/=duIOx/, a
equação (51) toma-se b = u - a}x}, e a equação (52), após a eliminação de u e x/, toma-se b = b (a/,
x2' x3' x4, ... ,xk), sendo denominada transfonnada parcial de Legendre com substituição de x} por a}
como variável independente.
Voltando ao caso de três dimensões, em que graficamente a função z = z (x,y) representa uma
superfície no espaço, a transformada parcial de Legendre de z com substituição apenas de x por
ao = (J zl(J x resulta, portanto, na função b = b (ao, y), completamente equivalente à função original
z = z (x,y). Neste caso, no entanto, reconstrói-se z = z (x,y) não traçando planos tangentes à
superfície no espaço, mas sim linhas, cada uma delas caracterizada por um valor constante de y e
por retas-tangentes de inclinações ao e intersecções b com o eixo-z (Figura 4.8).
Reescrevamos nossa relação fundamental para processos reversíveis, termodinamicamente:
I
dE = TdS-PdV+ I. AkdBk' (37)
k=1
ou, matematicamente,
tg P = dz/dX = ao
plano y = constante
E=E(S,v,Bk)·
"Z
b
(38)
y
Figura 4.8 Representação da função z = z(x,y) pelo conjunto de pontos x,y,z, e pelo conjunto de
retas-tangentes para cada valor constante de y.
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Dinâmica da JÍgua no Solo • 89
Matematicamente, a diferencial total da função E (equação 38) vale
(dE) (dE ) ~( aE J
dE = - dS + - dV +L,; - dBk ,
dS V,B, dV S,B, k=1 aBk SoV,-B, .
(53)
sendo Bk, como já vimos, a forma compacta de expressar as variáveis BI, B2, BJ, B4,o.. ,B,o O
tem10 -Bk, por outro lado, é a fonna compacta de expressar essas variáveis, eliminando aquela que
está variando; por exemplo, para k = 3 ~ -BJ = BI, B2, B4, o •• , B/,
A comparação das equações (37) e (53) mostra que
T=(dE)dS V,B,'
_p=(dE) dV S,B,'
Ak =(~J. dBk S V-B., k
(54)
(55)
(56)
Das possíveis transformadas de Legendre da equação (38), três são de importância na
tennodinâmica macroscópica e denominadas genericamente de potenciais termodinâmicos,
Vejamo-Ios.
Energia Livre de Helmholtz (F)
É a transfonnada parcial de Legendre de E, na qual se substitui a entropia (S) pela
temperatura absoluta (T) como variável independente, isto é:
E = E(S, V,Bk),
dE
T = - = T(S,V,Bk),
dS
Eliminando-se E e S:
F=E-TS.
F =F(T,V,Bk).
(57)
(58)
Entalpia (H)
É a transformada parcial de Legendre de E com substituição do volume (V) pela pressão (P)
como variável independente. Portanto:
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90 • Termodinâmica
E = E(S, V,Bk),
- (JE = -p(S, V,Bk),
- P - (JV
Eliminando-se E e V:
H=E+PV.
H=H(S,P,BJ.
(59)
(60)
Energia Livre de Gibbs (G)
É a transfonnada parcial de Legendre de E com substituição simultânea de S por T e de V por
P como variáveis independentes. Neste caso:
E=E(S,v,BJ,
(JE
T= (JS =T(S,v,Bk),
- (JE =-P(S,V,BJ,
-P - (JV
Eliminado-se E, S e V:
G=E-TS+PV.
G=G(T,P,Bk)·
(61)
(62)
Visto os potenciais tennodinâmicos por meio das transfonnações de Legendre, passemos,
agora, a interpretá-Ios fisicamente.
7. SIGNIFICADO DAS FUNÇÕES ENTALPIA, ENERGIA LIVRE DE HELMHOLTZ E
ENERGIA LIVRE DE GIBBS
7.1 Entalpia (H)
Consideremos a equação do primeiro princípio na sua fonna diferenciada, explicitando o
trabalho mecânico ou de pressão-volume:
I
dE = 8q - PdV +L 8wk•
k=1
Como, conforme definido no item 5,
H=E+PV,
e então,
(63)
(59)
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dH = dE + PdV + VdP .
Resulta, substituindo (63) em (64), que:
I
dH=8q+VdP+ L oWk'
k=1
Dinâmica da Agua no Solo • 91
(64)
(65)
Se a transfonnação se der a pressão constante e com todos os outros trabalhos que não o de
I
pressão-volume iguais a zero (isto é, L dWk = O), então:
k=!
(66)
ou
(67)
sendo qp o calor envolvido à pressão constante P.
POltanto, t1H é o calor envolvido em um processo particular conduzido a pressão constante,
no qual existe apenas trabalho pressão-volume. Por esse motivo, H é uma função tennodinâmica
que recebeu o nome de entalpia, palavra de origem grega que significa "aquecer".
Note, no entanto, que a entalpia foi definida pela equação (59), a qual não requer imposições
de pressão, temperatura ou volume constantes, nem que oWk = O. A entalpia será, todavia,
considerada mais conveniente para os problemas nos quais a pressão é constante e oWk = O, pois,
neste caso, a sua variação é igual ao calor envolvido no processo. No caso de uma reação química,
por exemplo, t1H será o calor da reação ou, mais corretamente, a variação de entalpia da reação.
Assim, quando t1H for positiva, a reação será endotérmica (absorção de calor), e quando negativa,
será exotérmica (liberação de calor).
7.2 Energia Livre de Helmholtz (F)
Diferenciando-se a equação que define a energia livre de Helmholtz F,
F=E-TS,
obtém-se:
dF=dE-TdS-SdT.
Lembrando que
dE=8q+ I.OWII,
11=1
a equação do primeiro princípio, obtém-se, substituindo-se (2) em (68):
dF =8q+ I.Owll -:-TdS -SdT.
11=1
Se o processo for reversível (8q = TdS) e isotérmico (SdT = O), então, evidentemente:
(57)
(68)
(2)
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92 • Termodinâmica
dF= f, OWn•
11=1
(69)
A variação da energia livre de He1mholtz é então igual aos trabalhos envolvidos num processo
isoténnico ao longo de um caminho reversível. Note, no entanto, que a definição de F dada pela
equação (57) não exige que T seja mantida constantenem que o processo seja reversível, mas é
somente neste caso que i1F representa todos os trabalhos envolvidos.
7.3 Energia Livre de Gibbs (G)
A equação de definição da energia livre de Gibbs é, como sabemos,
G=E-TS+PV,
que, diferenciada, dá:
dG=dE-TdS-SdT+PdV + VdP.
Substituindo a equação (63) do primeiro princípio na equação (70):
/
dG =8q+ L oWk -TdS-SdT+ VdP .
k=!
(61)
(70)
Se o processo, além de reversível (8q = TdS) for também isoténnico (SdT= O) e isobárico
(VdP = O), então:
I
dG= L. oWk'
k=1
(71)
Portanto, para uma transformação reversível do sistema a pressão e temperatura constantes, a
variação da energia livre de Gibbs é uma medida dos trabalhos envolvidos menos o trabalho
pressão-volume.
Observe que a definição de G pela equação (61) não apresenta qualquer restrição para que P
e T sejam mantidas constantes nem que o processo seja reversível. O importante é notar que G
representa a energia cuja variação, no caso particular em que Pe T são mantidas constantes durante
uma transfonnação reversível, é convertida em trabalho, todos exceto o de pressão-volume.
Exemplo Ilustrativo
Dois moles de um gás ideal sofrem uma expansão reversível passando de uma pressão de 100
kPa para uma pressão de 10 kPa, a temperatura de 323 K, mantida constante. De quanto variou a --
energia, a entalpia, a entropia, a energia livre de Helrnholtz e a energia livre de Gibbs do gás nessa
transformação?
Solução:
Tennodinamicamente, define-se capacidade térmica a volume constante de uma substância
(C,J como a variação da energia dessa substância (dE) causada por uma variação em sua
temperatura (dT), sem variação em seu volume(V= constante). Em símbolos:
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Dinâmica da Agua no Solo • 93
C =dE
v dT'
pelo que,
Por esta equação percebe-se facilmente que, numa transfonnação isoténnica (dT= O), que é o
caso presente,
M=O.
A partir da equação (64), verifica-se que, como dE = O, então,
dH=PdV+VdP
e, sendo o gás ideal e T= constante, então, PV= nRT= constante, pelo que
d(PV) = PdV +VdP = d(m RT) = O.
Portanto:
M-I=O.
Para um gás ideal,
dE = TdS - PdV ,
e como, no caso, dE = O e T = constante,
P
dS=-dV'
T '
substituindo P por nRTIV na equação acima e integrando:
~ ~ ~ [J [J
nRT dV dV V2 P,
M= fdS= frv=nRfv=nRln v;- =nRln P2 •~ ~ ~
Portanto:
M = 2x8,314xln 100= 38,29J KJ•
10
A partir da equação (69), como só existe trabalho mecânico,
VJ p, 100M=wll1 =- PdV=-nRTln-1 =-2x8,314x323xln-=-12367J
lê P2 10I
e, a partir das equações (70) e (68)
f>.G= M = -12367 J;
visto que PdV+VdP = O.
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94 • Termodinâmica
8. POTENCIAL QUÍMICO DE UMA SUBSTÂNCIA
Voltando à equação fundamental para processos reversíveis:
I
dE=TdS-PdV+ L AkdBk
k;1
ou
E=E(S,v,BK),
(37)
(38)
vemos que, se quisermos levar em consideração a possibilidade de variação na composição do
sistema (sistema aberto), variáveis de composição têm que aparecer como variáveis independentes
na equação (38). Assim, se o sistema é composto de i substâncias (i = 1, 2, 3, .." p) podemos
reescrever a equação (38) como
E=E(S,V,m;,BJII)' (72)
(76)
em que mi é a massa de cada uma das substâncias i, 111 (o subscrito de B) = 1,2,3, ..., q e, é claro,
q = 1- p.
Assim, para um sistema aberto, a equação (37) toma-se
dE = TdS - PdV + '!)l;dl11j +I.AmdBm ' (73)
i=l 11I=1
com o aparecimento do termo L,fl,dl11ipara justificar a variação na energia E do sistema, devido à
variação de massa das substâncias i que o compõem. O somatório LAmdBm representa, agora, todas
as outras influências sobre a energia do sistema que não a do trabalho de pressão-volume e as da sua
composição química.
Calculando a diferencial total dE a partir da equação (72), obtém-se:
dE ~ ( : L"" dS +( ;~ ),""', dV + t(::,Lm". dm, +t(:;,1,,,,-,.dB", (74)
As quantidades -mj e -Bm têm o mesmo significado do -Bk da equação (53).
Tendo em vista este desmembramento do somatório da equação (37) para considerar sistemas
de composição variável, é evidente que as transfonnadas parciais de Legendre de E = E (S, V,mi,BII1)
para obtenção de F, H e G tomam-se, respectivamente:
F=F(T,V,I11"BJ, (75)
H = H(S,P,I11"BJ
e
G = G(T,P,I11"BJII)' (77)
A diferencial total da equação (75), isto é, do potencial tennodinâmico Energia Livre de
Helmholtz resulta em:
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dF ~ ( ~; L.,.dT +( : 1....,.dV +~ (:; t ....,.dm, +t(::.t....dB•. (78)
A diferencial total do potencial termodinâmico Entalpia (equação 76) fomece:
. (dH) (dH) !(aH J !(aH JdH = dS P,lI/j,B",dS + dP S,lI/j,B",dP + ;~l am; S,P,-lI/j,B",dm; + II/~I aBII/ S,P,II/j,-B",dBII/ (79)
Finalmente, a diferencial total do potencial tennodinâmÍCo Energia Livre de Gibbs (equação
77) resulta:
Por outro lado, diferenciando-se as equações de definição de F, H e G - equações (57), (59) e
(61), respectivamente - e substituindo em cada uma das equações resultantes desta diferenciação a
equação (73), obtém-se, respectivamente:
e
dF = -SdT - PdV + !f1;dm; + !AlI/dBII/ ,
i=1 11/=1
dH = TdS +VdP+ !f1;dm; + !AlI/dBII/
i=1 111:;::1
dG=-SdT+VdP+ !f1;dm; + !AlI/dBIII,
i=1 /1/=1
(81)
(82)
(83)
A comparação entre os pares de equação (73) e (74), (78) e (81), (79) e (82), (80) e (83)
mostra que
(dE) =(dH) =TdS V,lIIj,B", dS P,lIIj,B", '
(84)
(85)
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96 • Termodinâmica
(aF) =(aG) =-5aT V,III"8,,, aT P,III"8,,, '
(aH) =(aG) =vap S,lIIi,8", ap T,III"8,,, '
( aE J ( aF J (êJH J ( aG J
- = - = - = - =/l
a/11; S,V,-III"8,,, a/11i T,V,-III"8,,, êJn1; S,P,-III"8,,, a,ni T,P,-III,,8", ;'
(::.l,~..-,.~(:{L.,.~U:.L..".~un,..-..=A.
(86)
(87)
(88)
(89)
o coeficiente f.1i é chamado de potencial químico das substâncias i e representa, como se pode
ver pela equação (88), a energia trazida para dentro do sistema ou dele retirada pelas substâncias i
quando uma unidade de massa destas substâncias é transferida. Em outras palavras, f.1i representa a
variação da energia do sistema com a variação da massa das suas substâncias i.
Um aspecto importante, embora já esteja matematicamente implícito na definição do
potencial químico de uma substância (equação 88), é o fato de que as possíveis variáveis
independentes Em das funções E, F, H e G (equações 72, 75, 76 e 77), mantidas constantes nas
equações (84) a (89), não podem ser dependentes das outras variáveis independentes das equações
(72), (75), (76) e (77). Por exemplo, tomando a função E (S, V, mi, Em)' as Em não podem depender
de 5, V, e mio No caso de existirem outras influências sobre E, F, H ou G definidas por variáveis que
dependem das suas variáveis independentes, as derivadas parciais que aparecem na equação (88)
não mais representarão o potencial químico. O item a seguir esclarece essa situação.
9. INFLUÊNCIA DO CAMPO GRA VITACIONAL TERRESTRE
Todos sabemos da mecânica (ver apêndice IlI) que qualquer corpo, estando dentro do campo
gravitacional terrestre, possui uma energia potencial gravitacional Eg e que
M =mgh,g (90)
sendo m = massa do corpo, g = aceleração da gravidade, h = distância vertical do corpo à referência
gravitacional e L1Eg = diferença entre a energia potencial gravitacional do corpo a distância h da
referência gravitacional e a energia potencial gravitacional do corpo na referência gravitacional.
Nosso sistema, composto de p substâncias, evidentemente também possui essa energia e é
evidente também que, se a massa mi de qualquer uma delas variar, haverá uma variação
correspondente de L1Eg do sistema. Em outras palavras, estando o sistema num dado estado I a uma
distância h da referência gravitacional, portanto com energia EI, e para o qual M = m,gh, seg{
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Drildm/ca ela Agtra /70 Solo • 97
houver uma transferência de massa de uma ou mais de suas substâncias i, ele passará para um
estado II adquirindo uma energia Eu, e para o qual M = m 1/ gh . Dessa maneira,gll
ou
Como mil -ml = !fun; ,então,
i=l
Mg -M = ~ gh(fun),fi g, L I
;=1
ou, em tennos infinitesimais,
d(Mg)= !ghdm;.
i=1
(91)
o tenno pj que aparece na equação (73) é o potencial químico das substâncias i e, como
vimos (equação 88), representa a variação parcial da energia do sistema devido apenas a uma
variação de massa da substância i correspondente. Mas como, na presença do campo gravitacional,
essa variação de massa altera a energia E do sistema por meio da alteração da sua f1Eg, essa
influência da gravidade tem que ser considerada quando se varia a massa do sistema. POlianto,
assim como o tenno 2,pjdmj,o tenno Ighdmj também deve se tomar aparente na equação (73), na
presença do campo gravitacional, porque ambos causam variação na energia E do sistema por causa
da variação de massa de suas substâncias i.
Com isso, a equação (73) deve ser escrita, na presença do campo gravitacional, como:
dE = TdS-PdV +!(}1; +gh)dm; + I,AlI/dBII/'
i=1 m=1
(92)
Observe que essa influência da gravidade não pôde ser explicitada do somatório V1mdBm da
equação (73) porque as variáveis extensivas Bm dessa equação não podem ser dependentes das suas
outras variáveis extensivas (S, V e mD. É por isso que o subscrito m foi mantido inalterado na
equação (92).
Da equação (92) resulta imediatamente que
(93)
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98 • Termodinâmica
a energia parcial específica tj das substâncias i não sendo mais igual ao seu potencial químico
quando gh :;é O. À quantidade gh dá-se o nome de potencial gravitacional. Portanto, todas as
fónnulas desenvolvidas para /.li (equação 88) assim o foram desconsiderando a presença do campo
gravitacional e só serão válidas sob sua influência se gh = O, ou seja, sob a influência do campo,
(OE J '. - h-O)/.l, omi S,V,-m"B",(g-
(94)
desde que h = O
Com isso, reescrevemos a equação (92), tendo em conta a definição de ti pela equação (93),
como:
10. EXERCÍCIOS
dE = TdS - PdV + ~>idmi +IAmdBm .
i=1 m=l
(95)
1. Calcule a transfonnada de Legendre da função y = 4i3, mostrando em gráficos separados a
dependência entre x e y no sistema cartesiano x - y, pelo conjunto de pontos (x,y) e pelo conjunto
de tangentes (b,a). Considere valores de x variando de O a 5.
2. Se a energia E de um detenninado sistema é dada pela relação
E=k~
V'
na qual S e V são a entropia e o volume do sistema, respectivamente, e k uma constante, calcule
as funções entalpia, energia livre de Helmholtz e energia livre de Gibbs correspondentes.
3. Um sistema num estado 1, caracterizado por uma pressão PI = 4 MPa e um volume
VI = 1,25.10-3 m3, passa para um estado 2, caracterizado por P2 = 0,125 MPa e V2= 0,01 m3, de
tal maneira que, neste processo, a pressão decresce linearmente com o volume. Qual o valor do
trabalho executado pelo sistema e do fluxo de calor para o sistema nesta transfonnação, sabendo-
se que esta mesma mudança de estado conduzida adiabaticamente é regida pela
equação P = KV- 5/3, sendo K = constante?
4. Define-se capacidade térmica Cx como a razão entre o fluxo infinitesimal de calor transferido a
um corpo (Oq) e o conseqüente aumento de sua temperatura, isto é, CT = Oq / dT, sendo x o
caminho ao longo do qual a temperatura varia. Com base nisso e em outras definições
termodinâmicas, demonstre que, para um gás ideal,
a) Cv =dE/dT
b) Cp=dH/dT
c) Cp - Cv = nR
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T,
d) M = f (CJT)dT
T,
5. Um mal de um gás ideal num estado 1 (Pj, VI, TI) é expandido reversível e isotennicamente
(caminho A) para um estado 2 (P2, V2 = 2Vj, TI)' Um outro mal do mesmo gás, partindo do
mesmo estado 1, é aquecido reversível e isobaricamente para um estado 3 (PI, V2, T3 = 2TI) e,
logo a seguir, resfriado reversível e isovolumetricamente de volta à temperatura TI, para o
mesmo estado 2 do mal anterior (caminho B). Pede-se: a) calcular M do gás entre os estados 2 e
1, considerando o caminho B, e b) provar, a partir do resultado anterior, que no processo
isotérmico (caminho A), M = O.
6. Define-se capacidade térmica molar ou simplesmente calor molar de um corpo como a razão
entre a capacidade térmica e o número de moles desse corpo. O calor molar a pressão constante
do ar atmosférico é 29,0 J mar' K', e do gás propano (C3Hg) 67,3 J mar' K'. Um mal de ambos
os gases, ocupando, à pressão de 3,2.105 Pa, um volume de 8.10-3 m3 cada um, é expandido
adiabaticamente ao volume de 20.10-3 m3•
a) Calcular, para ambos os gases, o calor molar a volume constante e o valor do coeficiente y
(razão entre o calor molar a pressão constante e o calor molar a volume constante).
b) Qual é a temperatura inicial e final do processo de expansão para ambos os gases?
c) Representar o processo para cada gás no mesmo diagrama PV.
7. Um volume de ar seco é aquecido pela superfície da Terra, a uma altura de 550 m acima do nível
do mar, onde a pressão atmosférica vale 0,94.105 Pa, atingindo uma temperatura de 310 K. O
volume de ar começa então a subir, expandindo-se adiabaticamente, até chegar à altura de
1550 m acima do nível do mar, onde a pressão atmosférica é de 0,84.105 Pa. Calcular a
temperatura do ar ao chegar a essa altitude.
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v
POTENCIAIS DA ÁGUA NO SOLO
1. INTRODUÇÃO
Na linguagem comum da Física do Solo, o tenno água no solo refere-se sempre à solução no
solo e não ao componente água da solução aquosa no solo. Entretanto, como salientam Corey e
Klute (1985), quando o interesse for estudar aspectos relacionados à dinâmica, é muito importante e
necessário que haja uma distinção clara de estar se referindo à dinâmica da solução no solo ou à
dinâmica do componente água da solução no solo. É por este motivo que, neste capítulo, vamos
primeiro defInir os potenciais da solução no solo e, a seguir, os potenciais do componente água no
solo. Portanto, daqui para frente, sempre que usarmos o termo componente água, estaremos nos
referindo ao componente água da solução no solo, e sempre que usarmos o termo solução,
estaremos nos referindo à solução como um todo no solo. Numa situação de caráter mais geral,
quando se quer referir iridistintamente a qualquer uma das substâncias (solução ou componente
água) ou quando o contexto não exige que esta distinção seja feita, utilizaremos a palavra água
simplesmente, como vínhamos fazendo até agora.
2. POTENCIAIS DA SOLUÇÃO NO SOLO
As equações (95) e (93) do capítulo anterior são, como vimos, válidas para um sistema aberto
composto de "i" substâncias na presença do campo gravitacional telTestre. Essas duas equações,
como se pode notar, são gerais e devem, portanto, ser convenientemente adaptadas ao sistema
defmido para o ramo do conhecimento em que deverão ser aplicadas. No caso do estudo da solução
no solo, vamos defmir como sistema uma amostra de solo com seu espaço poroso abrigando
solução e/ou ar e denoilliná-lo de sistema sólidos-solução-ar. Para esse sistema, portanto, a equação
(95) do capítulo anterior se transforma na equação (1) abaixo:
(1)
na qual a) msol, ms e mar são as massas e b) ESDI,Es e êor as energias parciais específIcas da solução,
dos sólidos e do ar (substâncias "i") do sistema, respectivamente. As outras grandezas Bm não
aparecem na equação (1) por não serem relevantes ao sistema em estudo. Evidentemente, com base
também no que vimos no capítulo anterior (equação 93), Ewl = f.1,-o/ + gh, E,- = f.1s + gh e
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Laerte
Highlighthttps://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
(2)
102 • Potenciais da Agua no Solo
Eor = liar + gh, sendo liso!' lis e lior os potenciais químicos da solução, dos sólidos e do ar do
sistema, respectivamente, e gh o potencial gravitacional.
Entretanto, para que possamos definir os potenciais da solução no solo, por meio da teoria
termo dinâmica vista no capítulo IV, há necessidade de adequar um pouco mais nosso sistema,
considerando-o não como um sistema aberto, mas como um sistema isolado, composto de duas
fases abertas mantidas a mesma temperatura, uma delas sendo o sistema aberto recém definido e
denominada fase considerada ou fase sólidos-solução-ar, e a outra denominada fase padrão. A fase
padrão é definida como uma solução idêntica em composição e concentração à solução da fase
considerada, mas que em cuja superficie plana, coincidente com a referência gravitacional, atua a
pressão atmosférica local. Além disso, ambas as fases são confmadas por paredes rígidas, imóveis e
impermeáveis ao fluxo de matéria, com exceção de uma delas, também rígida e imóvel, mas que
deixa passar apenas solução quando as fases são postas em contato por meio dela.
As razões de se considerar a) a mesma temperatura nas duas fases, isto é, condição
isoténnica, e b) a pressão atmosférica local como a pressão externa na fase padrão, são explicadas, a
seguir, nos itens 2.l.la e 2.l.2b, respectivamente. A razão de a solução da fase padrão ser idêntica
em composição e concentração à da fase considerada, é de que, neste caso, a solução está sendo
analisada como um todo, sem qualquer consideração a respeito de seus solutos dissolvidos.
Defmido o sistema, precisamos, agora, saber quais são as condições de equilíbrio e de
movimento da solução. Isto se resume em responder a duas perguntas: Quando as fases
(considerada e padrão) são colocadas em contato, por meio da parede penneável à solução, quando
é que ocorre fluxo desta? Quando é que não ocorre, e há equilíbrio?
Para isso, precisamos explicitar dS da equação (1), que também se aplica ao nosso sistema
isolado com fases abertas, e tomar aparente, na equação resultante, as fases do nosso sistema
bifásico. Isso porque, pelo segundo princípio da tennodinâlnica, para um sistema isolado cujas fases
estão em equilíbrio, dS = O e, para um sistema isolado cujas fases não estão em equilíbrio, dS> o.
Explicitando, então, dS da equação (1),
I P E E E
dS=-dE+-dV --!!!!....dm ----.!....dm----'!!...-dm
T T T ,01 T ' T ar'
e tomando aparente na equação (2) as fases do nosso sistema, temos que
dS =[~dE +~dE J+[P" dV + ~ dV. J _[E~OI dmo + E~oldm' J-T ar. I T ar. I T sol T. solu 1 o I Q J
[EO 1 J [ o 1 J
' a E, 1 Ear o Ear I- -dm +-dm - -dm +-dm .
T ' r. ' T ar T. aro I o I
(3)
Nesta equação, as letras com o índice o referem-se à fase padrão e as letras com o índice 1 à fase
sólidos-solução-ar.
Imaginemos, então, que as fases, inicialmente desconectadas, sejam postas em contato via
parede permeável à solução. Como as paredes das fases são rígidas e a de conexão entre elas
permeável somente à solução, é claro que dV] = dVo = dm~= dm~ = dm~r= dm~r= O . Por outro
lado, pela condição de isolamento do sistema, é também claro que, havendo transformação com
transferência de solução, dEo = -dE] e dm~ol= -dm~ol. Conseqüentemente, por estas considerações,
reescrevemos a equação (3) como:
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Dinâmica da Agua no Solo • 103
Se as temperaturas Ti e To das fases forem iguais, Ti = To = T , que é o que já assumimos
nesse estudo, a equação acima se toma
[EO E1}
dS = sol - ,'01 m 1 •
T sol
(4)
Portanto, pela equação (4), para que dS> O, com fases assim em desequilíbrio, existem duas
possibilidades: a) dm:ol > O e e;ol - e:ol > O, -7 quando Esol da fase o é maior do que Esol da fase 1, a
solução se move da fase o para a fase 1 (entra na fase 1: dm:ol > O); e b) dm:ol < O e Esool - Es10I < O,
-7 quando EsQI da fase 1 é maior do que EsQI da fase o, a solução se move da fase 1 para a fase o (sai
da fase 1: dm:ol < O). Também, pela equação (4), dS = O, isto é, condição de equilíbrio para fluxo de
solução, somente quando E:ol = E:ol . Conclusão: quando as fases são postas em contato, a) a solução
do sistema tende a fluir da fase em que EsQI é alta para a fase em que Esol é mais baixa e b) se Esol
das fases forem iguais, não há movimento de solução entre as fases, havendo equilíbrio.
Feitos estes esclarecimentos, podemos então, passar ao estudo dos potenciais da solução no
solo.
2.1 O potencial total da solução, o potencial da solução e o potencial gravitacional
Acabamos de ver, e esse é o nosso interesse, que as condições para dizer se a solução está em
equilíbrio ou em movimento, em nosso sistema bifásico, são obtidas pela diferença E:ol - E:ol' a
diferença entre a energia parcial específica da solução da fase considerada e a energia parcial
específica da solução da fase padrão. Como, evidentemente,
EO =110 + h e E1 =111 + hsol fA' sol g o sol fA"'sol g l'
então,
(5)
sendo hl = distância vertical da fase considerada à referência gravitacional e ho = distância vertical
da fase padrão à referência gravitacional.
Mas, pela defmição da fase padrão, ho = O, porque a referência gravitacional coincide com a
superficie plana da solução da fase padrão. Conseqüentemente,
E1 _Eo = li! - 110 + hsol sol tA' sol t"" sol g I .
À quantidade f1:01 - f1:01 dá-se o nome de potencial da solução no solo c/J:
À quantidade gh], dá-se o nome, como já vimos, de potencial gravitacional c/Jg:
(6)
(7)
(8)
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104· Potenciais da Agua no Solo
À quantidade 8,101 - 8:0" por ser a soma dos potenciais anteriores, dá-se o nome de potencial
total da solução no solo cjJ,:
th = 81 _80'fI ~iol sul
Portanto, pelas equações (6), (7), (8) e (9):
cjJ{ =cjJ+cjJg .
(9)
(10)
o potencial gravitacional cjJg, como se pode notar, é independente da matéria e tem um valor
único para um dado h. O potencial da solução cjJ, no entanto, sendo a diferença entre o potencial
químico da solução da fase considerada e o potencial químico da solução da fase padrão, envolve
outros potenciais, como veremos a seguir.
2.1.1 Componentes do potencial da solução no solo
Quando estudamos os potenciais tennodinârnicos no capítulo anterior, esclarecemos que
todos são entre si equivalentes, mas que a utilização de um ou de outro iria depender do tipo de
problema em estudo. Assim, por exemplo, se no experimento que estamos conduzindo for mais
conveniente controlar a temperatura, a pressão externa, a composição do sistema etc., o potencial
que melhor se adapta a este problema é a energia livre de Gibbs G (equação 77 do capítulo IV, a
qual reescrevemos aqui como equação 11):
G = G(T,P,mi'Bm) • (11)
No caso específico do nosso sistema, reescrevemos a equação (11), à semelhança do que
fizemos para obter a equação (1), como
G = G(T,P,ms,msopmor) . (12)
Portanto, o potencial termo dinâmico G (energia livre de Gibbs) descreve nosso sistema pelo
controle das variáveis T, P, ms' mso/' e mar' já definidas. Também, o potencial de Groenevelt e
Parlange (1974), que definiremos a seguir, é, de acordo com Sposito (1981), uma alternativa útil
para estudar o comportamento da solução no solo.
O potencial de Groenevelt-Parlange, simbolizado por G*, é simplesmente a transfonnada
parcial de Legendre de G com substituição da massa de ar (mar) pelo potencial químico do ar (Par)
como variável independente.
Desta maneira, confonne foi bem visto no capítulo anterior:
G = G(T,P,ms,msol,moJ (12)
~- = [ a~,L...(,,~,= J.1ar(T, P, ms, Insopmar)' (13)
Eliminando-se G e mar:
G* = G - J.1armar.
G* = G*(T,P,ms,mso"J.1aJ.
(14)
(15)
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https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermarkDinâmica da Agua no Solo • 105
Portanto, O potencial G* é uma relação fundamental associada com o conjunto de variáveis
tennodinâmicas T, P, ms' mso' e flor'
Vejamos agora como o potencial químico da solução pode ser defmido em tennos de G*.
Lembrando que G = E - TS + PV (equação 61 do capítulo IV), é claro que sua substituição na
equação (14) acima resulta:
G* = E - TS + PV - flormar .
Diferenciando-se a equação (16), obtemos:
dG* = dE - TdS - SdT + PdV + VdP - flwdmar - mardflar .
(16)
(17)
No entanto, a relação fundamental da termodinâmica com epg = O, equação (73) do capítulo IV
(página 94),
dE = TdS - PdV +Í. fl;dm; +I. AmdBm '
i=l m=\
toma a seguinte fonna quando expressa para o nosso sistema:
(18)
Substituindo, então, a equação (18) na equação (17), resulta, para dG*:
Por outro lado, a diferencial total da equação (15) é
dG*=(dG*] dT+(dG*i dP+(dG*) dm +dr P.m,.mwl.J1~ dP Jr.m•.mwl.J1~ drns T.P.mso/.J1o,(gh=O) s
(dG*l (dG*l
+ am dmso' + a dflar .
sol ,P,m.f,J1ar (gh:O) 'J.1ur ,P,m.f,m.wl
A comparação das equações (19) e (20) mostra que, para o nosso sistema:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
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106· Potenciais da Agua no Solo
[ dG' JP,.ol = dmsol T,P,m •• p~(gh=O)
- m. = [ Z.: L" é·"
(24)
(25)
Portanto, à semelhança do que vimos no item 7 do capítulo N, o potencial quúnico da
solução no solo, expresso em tennos do potencial de Groenevelt-Parlange, é dado pela
equação (24).
Como esclarecemos anteriormente, nosso interesse é a diferença E:01 - E:ol' e portanto
também a diferença de potencial quúnico da solução entre as fases, pLI - P:ol' Por esse motivo,
mostramos, a seguir, como se obtém, matematicamente, essa diferença ou variação do potencial
quúnico da solução.
A definição do potencial quúnico da solução no solo, de acordo com a equação (24), mostra
por si só que ele é função de T, P, ms' mso/ e flar' pois, a) se T, P, ms e flar não forem mantidos
constantes, causarão variação em flso/' e b) para uma mesma variação de mso/' a variação de G* (e,
conseqüentemente, o valor de flso{) pode ser diferente de acordo com o valor de mso/ (um gráfico de
G* em função de mso/ pode ser não linear). Este fato pode também ser facihnente esclarecido em
tennos matemáticos. Vejamos.
Consideremos wna função qualquer, por exemplo:
z = 5x2 / ~ z = z(x,y) .
Chamando de u a derivada desta função com relação a x, seu valor é, como sabemos do
cálculo diferencial:
u=(: 1=lOx/ -7U=(X,y),
ou seja, u, a derivada, também é função das variáveis independentes x e y, da função prilnitiva z. É
evidente que, dependendo da função z (x,y), sua derivada em relação a x pode resultar nwna função
só de y. Por exemplo, para z = 5 xy3, u = 5y3, isto é, u = u(y). Mas este é wn caso particular: quando,
na equação que define u, se mantém y constante, u também é uma constante e não função só de x,
como é o caso geral.
Assim, atendo-se apenas à definição de flsof> em tennos do potencial de Groenevelt-Parlange
(para as outras defmições de J1,o/, em termos dos potenciais E, F, H e G, o raciocínio é o mesmo), é
claro que, face a estas considerações:
Psol = psol(T,P,ms,msOi'PaJ· (26)
(27)
Se quisennos, portanto, saber como flsol varia devido a variações de T, P, ms' mso/ e flar' basta
obtennos a diferencial total da equação (26):
dp = (dPsol ) dT + (dPs01 ) dP +sol dT P,m"m.",p" dP T,m,.m"",p~
+ [dPsol J dm + [dPso1 ] dm +(dPs01 J dll.dm . s dm ~ d ~S T,P,m.roJ,Jiur sol T,P,m$'pur 'Jlar T,P,nt$,ntMJi
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Dinâmica da /Ígua no Solo· 107
Esta variação total do potencial químico da solução no solo representa, pois, a soma das
variações parciais de flsol devidas a variações de fatores como a temperatura, a pressão externa e a
composição do sistema (tennos do segundo membro da equação 27)0
Por outro lado, tendo sido a equação (27) desenvolvida para estudar a solução no solo, é
conveniente introduzir o conteúdo de água (solução) no solo U (ver capítulo III) como variável de
composição, de tal maneira que:
d/l = (dfJ-,u/ ) dT + (dfJ-su/ ) dP + (dfJ-so/ ) dU + (df1w/ J d/l o (28)f""sol dT dP dU a f""ar ,P,Uo/l., T,Uo/l~ T,P,/l~ '/lar T,P,U
à semelhança de Sposito (1981), reunimos o terceiro e o quarto tennos do segundo membro da
equação (27) num único, ou seja:
(dfJ-sul ] dm + (dfJ-sol J dm = (dfJ-sol ) dU odmsul sol dms s dU T P Ir,P,m.~,J1ur T,P,m .•""J1ur ' ,fI"
(29)*
Além disso, o último termo do segundo membro da equação (28) também pode ser
transformado mais convenientemente, lembrando que flor é diretamente proporcional à pressão de ar
no solo (Par)' segundo a expressão:
1
dfJ-ar= -dPar ,
Par
(30)*
na qual Par é a densidade do aro Como flor difere de Par de um fator constante (= lIPar)' como bem
mostra a equação (30), então obviamente o último termo do segundo membro da equação (28) pode
ser escrito como:
(dfJ-sol J dll = (dfJ-sol J dP,
tA' ar 'P ar
dfJ-ar ToP,U a or T,P,U
Isto pennite, portanto, reescrever a equação (28) como:
(31)
dll =(dfJ-sol) dT+(dfJ-sol) dP+(dfJ-,ol) du+(dfJ-saIJ dP (32)
f""sul dT dP dU dP ar
P,U,P~ T,U,P~ T,P,P., ar T,P,U
Um aspecto que merece ser realçado é o de que a comparação das equações (27) e (32), tendo
em conta as igualdades (29) e (31), mostra que:
e
( dfJ-sol) _ (dfJ-,wl )dP T,lII •• lII,,,.,/l., dP T,U,P~
(33)
(34)
* Ver dedução no final deste capítulo.
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Dinâmica da Agua no Solo • 107
Esta variação total do potencial químico da solução no solo representa, pois, a soma das
variações parciais de f1so1 devidas a variações de fatores como a temperatura, a pressão externa e a
composição do sistema (tennos do segundo membro da equação 27).
Por outro lado, tendo sido a equação (27) desenvolvida para estudar a solução no solo, é
conveniente introduzir o conteúdo de água (solução) no solo U (ver capítulo III) como variável de
composição, de tal maneira que:
dll =(dflsOI) dT+(dfl.WI) dP+(dllsol) dU+(dllsOIJ dll' (28)
rsol dT dP dU a rar ,
P,U,IJ~ T,U,IJ~ T,P,IJ., 'Jlor T,P,U
à semelhança de Sposito (1981), reunimos o terceiro e o quarto tennos do segw1do membro da
equação (27) num único, ou seja:
(29)*
Além disso, o último termo do segundo membro da equação (28) também pode ser
transfOlmado mais convenientemente, lembrando que f1ar é diretamente proporcional à pressão de ar
no solo (Pa,.), segundo a expressão:
d =_l_dP/-lar ar ,
Par
(30)*
na qual Par é a densidade do ar. Como f1ar difere de Par de um fator constante (= lIPar)' como bem
mostra a equação (30), então obviamente o último tenno do segundo membro da equação (28) pode
ser escrito como:
(dllsol J dll =(dllsOI J dP.a ror dP arflor T,P,U ar T,P,U
Isto pennite, portanto, reescrever a equação (28) como:
(31)
dll = (dll,w1 ) dT+(dllsal) dP+ (dllwl) dU + (dllsol J dP (32)rsal dT dP dU dP arP,U,P~ T,U,P~ T,P,P~ ar T,P,U
Um aspecto que merece ser realçado é o de que a comparação das equações (27) e (32), tendo
em conta as igualdades (29) e (31), mostra que:
(33)
e
(34)
* Ver dedução no final deste capítulo.
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108 • Potenciais da A.gua no Solo
Finalmente, para que possa ser utilizada, é necessário colocar a equação (32) numa fonna
finita.
Aqui entram em jogo as fases padrão e considerada, visto que a integração da equação (32),
colocando como limites das integrais as características das duas fases, resulta, como é o nosso
interesse, em:
I 7j [a )
/1"
1 o _ J.1sol dT +
JdJ.1sOI= J.1sol- J.1s01- f aT
T. P,U,P~
J1.~", ~
+1(~t" d~+ l(~t,.d~+ 1(~LudP.,.
d
(35)
É importante, portanto, reforçannos que, do ponto de vista termodinâmico, está implícito na
equação(35) que o nosso sistema está sendo considerado como um sistema isolado composto de
duas fases: a fase sólidos-solução-ar e a fase padrão, tanto que J.1:ol= potencial químico da solução
da fase sólidos-solução-ar e j1°so1= potencial químico da solução da fase padrão; Ti = temperatura
absoluta da fase sólidos-solução-ar e To = temperatura absoluta da fase padrão; Pi = pressão
externa na fase sólidos-solução-ar e Po= pressão externa na fase padrão, e assim por diante.
Passemos, agora, a estudar os componentes do potencial da solução no solo, inicialmente
apenas em termos matemáticos e depois de uma maneira mais profunda, interpretando-os
fisicamente.
Como </J = J.1L,- J.1:ol' os componentes de </J são, evidentemente, os termos do segundo
membro da equação (35), que passamos a definir em seguida.
Termo (a) - Componente de temperatura ou potencial de temperatura = </J T
Variação parcial do potencial químico da solução, devido apenas à diferença entre a
temperatura da fase sólidos-solução-ar (fase considerada) e a temperatura da fase padrão, ou
</JT =T (/),J.1sol),
sendo iJ.jJ.soI= J.1:ol- j1°soI' A letra T colocada à esquerda e acima dos parênteses de iJ.j1so1é para
indicar que há apenas diferença de temperatura entre as fases.
Termo (b) - Componente de pressão ou potencial de pressão = </Jp
Variação parcial do potencial químico da solução, devido apenas à diferença entre a pressão
externa que atua na fase sólidos-solução-ar (fase considerada) e a pressão externa que atua na fase
padrão, ou
</J p =P (/),J.1sol).
Termo (c) - Componente mátrico ou potencial mátrico = </Jm
O nome mátrico é para representar os efeitos da matriz do solo, isto é, a porção sólida do solo
sobre o potencial da solução. Como estes efeitos dizem respeito aos fenômenos de retenção da
solução pela matriz do solo, dependem fundamentalmente do conteúdo de água nesta, como
evidencia o tenno (c) da equação (35). Portanto, à semelhança dos dois tennos anteriores, o
potencial mátrico representa a variação parcial do potencial químico da solução devido apenas à
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Dinâmica da Água no Solo • 109
diferença entre o conteúdo de água da fase sólidos-so1ução-ar (fase considerada) e o "conteúdo de
água" da fase padrão:
Termo (d) - Componente pneumático ou potencial pneumático = </Jn
Variação parcial do potencial químico da solução, devido apenas à diferença de pressão de
ar que atua na fase sólidos-solução-ar (fase considerada) e a pressão de ar que atua na fase padrão:
Nestas condições, podemos reescrever a equação (35) como:
j.11 _ o - 11 - T (11j.1 ) + P (11 ) + u (11j.1 ) + p., (11j.1 )sol f.1 sul - J.1 sol - sol J.1 sol sol sol , (36)
em que !Jf1so1 pode ser chamada de variação total do potencial químico da solução, uma vez que é
igual à soma de suas variações parciais.
Portanto:
(37)
Após esta visão global dos componentes do potencial da solução no solo, vejamos agora cada
um deles com mais detalhe.
2.1.1aPotencial de temperatura (</JTJ
A partir das equações (35) e (33), vemos que
1; ( )
</J = f aj.1wl dT .
T T" aT P,"',,"'wl'l'w
Como
(38)
(24)
resulta, substituindo a equação (24) na equação (38) e eliminando, por facilidade, as variáveis que
devem ser mantidas constantes:
q\ = f [:T(::' JildT= f [~. (~~'J~dT,T" ,01 ~ T"wl ~
Mas
de modo que:
(aG') S· d 'aT P,m,,"'.J'I'., = - , entropIa o sIstema,
1; a() 1;
n. =f ~dT=-f s dT"fr éJm sol ,
T" sol T"
(21)
(39)
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110 • Potenciais da A.gua no Solo
sendo ssol = oS/omsol a entropia específica parcial da solução no solo. Depreende-se também da
comparação entre as equações (38) e (39) que
(Ofiso, )- ssol = oT P.m,.m." •• f1.,
(40)
Portanto, de acordo com a equação (39), para conhecermos cjJT há necessidade de
conhecermos TI, To e a função ssol m. A função ssol (T), como diz a equação (40), pode ser obtida
por meio de medidas de fisol em função de T, mantendo-se constantes P, ms' msol' e fiar
Entretanto, conforme salientam Taylor e Ashcroft (1972), a temperatura tem uma influência
complicada no potencial da solução no solo, e quando se considera o potencial de temperatura no
potencial da solução, muitas equações nas quais o potencial da solução é utilizado não fornecem
resultados quantitativos corretos. Isso porque o critério da diferença EL, - E:01 = fi:o' - fi:o'
(ghJ = O), para indicar equilíbrio ou movimento de solução entre as fases, só é válido (ver equação
4) se TI = To. Portanto, o conceito de potencial é limitado a sistemas isotérmicos, ou
aproximadamente isoténnicos, nos quais a influência da temperatura possa ser desprezada. Com
isso, a fase padrão deve estar sempre à mesma temperatura que a fase considerada, com To = TI.
2.1.1bPotencial depressão (cjJpJ
O potencial de pressão, como já defmimos, é o tenno b da equação (35), o qual, tendo em
vista a equação (34), pode ser escrito como
P, (:l )
dfisol dP.cjJ= -
P f oP T.IiI •. IiI"".f1",
P,.
Substituindo a equação (24) na equação (41):
P,[ ('J~ P,[ (')~
cjJ = ~ oG dP= _0_ oG dP
P ~. oP êhnso' ~, omsol oP .
Como
(OG' )oP P.m •. IiI"".f1., = V, volume do sistema,
e defmindo
( oV 1Vso1 = amso1 ,P,ms.J1ur
como volume específico parcial da solução no solo, resulta:
P,
cjJp = f Vso( dP .
p.
(41)
(22)
(42)
(43)
Para que possamos utilizar corretamente a equação (43), temos que entender claramente as
quantidades Vso/, Po e PI que nela aparecem.
Analisemos, primeiramente, o Vso/, o volume específico parcial da solução no solo.
Iniciando pela comparação das equações (41) e (43), vê-se que:
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Dinâmica da .4gua no Solo • 111
(44)
assim Vso!, que por defmição (equação 42) é igual à tangente à curva Vem função de mso!, mantidos
T, P, ms e flar constantes, representa também a tangente à curva flso! em função de P, com as
variáveis T, ms, mso!> e flor mantidas constantes.
Além disso, a derivada da equação V = Vs + V,ol + Var com relação a mso/' mantendo-se T, P,
ms e flar constantes, resulta em
(~J =(~J +(av,ol J +( a~>rJdn7.so1 r,P,ms,Par êJJnsol T,P,m,I'.J1ar mnso! T,P,m"J.lUf dn7.so1 T,P,m.f,J1ur
O d . av ( - 4) av I 1 aV ( )u ten o em vIsta que - v equaçao 2, __ so_ = -- e __ s_ = O V = constante , então,, a;;;- - sol a a "sal m,,"1 Psol msal
1 av
V =_-+-_0_'
sol dn7.Psol sol
Com base na equação (45), verifica-se que (figuras 5.1 e 5.2):
a) No caso de solo saturado, como Var = O, evidentemente
Vso! =--.
Psol
(45)
(46)
Observe que a equação (46) é válida tanto para solos expansivos (expandem-se ou contraem-se
conforme o conteúdo de água (solução) aumenta ou diminui) como para solos não expansivos,
porque se trata de uma condição de saturação. Note, nas figuras 5. Ia e 5.1b, o paralelismo da reta
v,'o! em função de mso! com a reta tangente à curva no ponto (m;o!' V) para ambos os solos.
b) No caso de solo não saturado e não expansivo, sendo rígido seu esqueleto, isto é, VP' o volume
de poros, sendo invariável, evidentemente, quando solução é adicionada, o aumento de v.so/ é
compensado por uma diminuição de igual valor de Var' ou seja, dVso/ = - dVar, e Vp assim como
V pennanecem constantes. Portanto:
e, então, de acordo com a equação (45) ou (42):
Vso1 = O. (47)
Observe, na Figura 5.la, as retas Vm! e Var em função de mso! de inclinações iguais e smalS
opostos e as retas Vp = constante e V = constante para mso! < m;ol'
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112 • Potenciais da Agua no Solo
c) No caso de solo não saturado expansivo, em que, quando se adiciona água (solução), o solo se
expande, e quando se retira solução, há contração do volume de seus poros Vp e, por
conseqüência, doseu volume V, normalmente vso1 tende para zero, conforme msol se aproxima de
zero, e se toma igual a 1/Psol quando se atinge a condição de saturação. Assim, para solos que se
expandem ou se contraem em função de sua quantidade de solução
1
0:Svso1 <--,
Psol
(48)
isto é, como mostra a Figura 5.1b, para qualquer valor de mwl < m;ol' os valores das tangentes à
curva Vem função de mso/ ou vsu/ são sempre menores que o valor constante 1/ P.w/ .
v, VP' Vw/' VaI'
mso{m.wl
av.,,=~
dm.,,1 Pmf
v""
v _ av I
.\'111 - o/n"", =;:; ~, ,./
~\:/
-"
/'/ :
v/: -' ',/ :
/ 1
v = dV I i
.'"' dm <- :.m/ P.WJ/ ; ,,//
;ri//
v :
P I
v, ~" Vwl' VaI'
m.w!
//
V i'\ av _~
I"'" "".- P.
i ,./
; ,./
[,./
m,wl
Vso1
av =0
V•••/ = d,n•.J
o
(a) Solo não-expansivo (b) Solo expansivo
Figura 5.1 Gráficos da dependência dos volumes do solo (V), dos poros do solo (Vp) e de
solução (V.mJ e ar (Vad no solo com a massa de solução (msoJ: a) para solos não-
expansivos e b) para solos expansivos. m;al = massa de solução no solo saturado.
Observe ainda nas curvas das flguras 5.1 e 5.2 (esta última sendo uma união das figuras
5.1 a e 5.1 b numa única, mostrando a dependência apenas entre Ve msol) que o valor da abscissa
no qual o solo passa de não saturado para saturado (msol = m;ol) é maior no solo expansivo;
considerando, conforme essa flguras, o mesmo volume V e a mesma porosidade a quando
msol = O, para os dois tipos de solo (expansivo e não expansivo), há necessidade de mais água
para saturar o solo expansivo.
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Dinâmica da Agua no Solo • 113
v
Ponto de
Saturação
~
'" Solos não-expansivos
o
msol
Figura 5.2 Volume do solo V em função da massa de solução (msov que retém, para solo
expansivo e não expansivo, considerando o mesmo Ve a mesma porosidade para
ambos os solos quando msol = O.
Analisemos, agora, as pressões externas Po ePI que aparecem na equação (43).
Como já esclarecemos anteriormente (definição do termo b da equação 35), a pressão PI que
aparece na equação (43) representa a pressão externa aplicada à fase sólidos-solução-ar no ponto em
que se pretende medir 1Jp. Esta pressão PI pode ser devida a uma carga hidráulica atuando no ponto,
no caso de solo saturado ou à overburden ou sobrecarga do solo acima do ponto de medida, no caso
de solo não saturado e expansivo, ou seja, devido à pressão causada pelo material que constitui o
solo expansivo acima do ponto de medida no perfil, como resultado da expansão e contração.
Portanto, voltando a equação (43), temos:
a) No caso de solos saturados, como Vsol= l/psol (equação 46) tanto para os não expansivos como
para os expansivos, o potencial de pressão vale, substituindo a equação (46) na equação (43) e
considerando que Psol= constante:
1
1Jp =: -(~ - P,,) (energia / massa da solução).
Psol
(49)
A Figura 5.3 mostra um esquema do nosso sistema (com suas fases) para a defmição de C/Jp
em solo saturado. Nessa figura, como se pode notar, a única diferença entre as fases é a
existência da carga hidráulica hsolna fase considerada.
Como não existe ar no ponto de medida, a pressão atmosférica, como se pode ver na
Figura 5.3, é parte da pressão externa à fase sólidos-solução-ar, de modo que
(50)
isto é, a pressão PI é igual à soma das pressões de líquido (PD e atmosférica (Pa1m) que atuam no
ponto em questão. Conseqüentemente, a substituição da equação (50) na equação (49) resulta
para C/Jp, o potencial de pressão:
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114 • Potenciais da Agua no Solo
P,llm
ponto em
consideração (= fase
considerada)
z=o
fase padrão
Figura 5.3 Ilustração da definição do potencial de pressão em solo saturado.
1
ti>=_(P+P -p)lf p I alm ().
Pso/
(51)
(52)
Se fizermos, para facilitar os cálculos, Po = po/m, isto é, se assuminnos que a pressão na
fase padrão seja igual à pressão atmosférica local, segue imediatamente da equação (51) que
</Jp = JL (energia/massa),
P.w!
ou seja, o potencial de pressão num detenninado ponto de um solo saturado é igual à pressão de
líquido que atua nesse ponto dividida pela densidade da solução.
Essa escolha Po = Pa1m foi feita com base em dois fatos: 1) num determinado local, a
pressão atmosférica praticamente não varia ao longo do tempo e praticamente é a mesma em
pontos relativamente próximos entre si; 2) em cada local, o interesse é sempre em diferenças de
</Jp entre dois pontos e, ao se calcular essas diferenças, Po sendo constante e a mesma para os
dois pontos, sempre desaparece no cálculo, pelo que ela (Po) pode ter qualquer valor, desde que
seja constante.
Se numa detenmnada localidade, a pressão atmosférica em dois pontos ou fases
consideradas A e B por exemplo, for de fato diferente, então seu valor, em cada um desses
pontos, precisa ser conhecido para se calcular </J: - </J: ' independentemente do valor escolhido
para Po. Assim, a partir da equação (51),
e
ti> A =_I_(pA +pA _p)'f'p I alm o
Pso!
B 1 (B B )</Jp =-- ~ +Potm -Po ,
Pso!
(53)
(54)
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Dinâmica da .Água no Solo • 115
pelo que
(55)
b) No caso de solos não-saturados e não expansIvos, como Vsol = O (equação 47), temos, pela
equação (43), que
ti> =0'l'p ,
independente de qualquer sobrecarga PI.
c) Nos solos não saturados expansivos, como Vsol * O, isto é, Vsol < l/psol (equação 48), então, para
que c/Jp possa ser calculado pela equação (43), é necessário avaliar a relação de dependência entre
V,.ol e P.
A ilustração do potencial de pressão em solo não saturado expansivo é idêntica à da Figura
5.3, com a diferença de que a pressão externa no ponto em consideração é ~ = P * +Pa1m, sendo
P* a pressão causada pelo solo expansivo não saturado acima do ponto.
2.1.1 c Potencial mátrico (c/JmY
ReafIrmando o que já foi dito por ocasião da defmição matemática deste componente do
potencial da solução no solo (termo c da equação (35)), ele diz respeito às interações entre a matriz
do solo (daí o nome mátrico) e a solução nele retida, incluindo forças associadas com a adsorção e a
capilaridade, responsáveis pela retenção. Portanto, para remover a solução retida no solo por estas
forças e tomá-Ia livre da influência da matriz, é necessário despender energia e, como se sabe, tanto
maior é a energia despendida quanto menor for o conteúdo de água no solo, ou seja, c/Jm é função do
conteúdo de água no solo, c/Jm(U) e, conseqüentemente, a partir da equação (35):
u
c/JJu) = J( a:;;, ) dU = ]1~a' - ]1:01'
u.. T.P,P~
(56)
o conteúdo de água U numa detenninada aI~ostra de solo é, como sabemos, a razão entre a
massa de solução na amostra e a massa dos sólidos da amostra. Se partimos de uma amostra de solo
bem seca e formos gradativaInente colocando água (solução) nesta amostra, o potencial químico da
solução vai aumentando até atingir o ponto de saturação, no qual U = U,., conforme mostra a Figura
5.4a. A partir desse ponto, como também mostra a Figura 5.4a, à medida que formos adicionando
mais solução, U aumenta, mas ]1s01 só pode pennanecer o mesmo e igual ao valor máximo da
saturação. Isto porque, para U > U,., a matriz do solo não atua no processo e o awnento (ou
diminuição) da energia do sistema G * advém exclusivamente da adição (ou remoção) de solução.
Conseqüentemente, nesta situação (U> U,.), G* só pode variar linearmente com msol e, então, f.1soI=
éJG*/éJmsol = constante. Note que Uo corresponde ao valor da razão msolms com ms tendendo para
zero (ou msol tendendo para o infmito), isto é, Uo --7 00.
Voltando à equação (56) é fácil perceber, do cálculo integral, que
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116· Potenciais da Agua no Solo
Por outro lado, pela Figura5.4b, que mostra a curva diferencial da curva da Figura 5.4a,
percebe-se, imediatamente, que a área sob a curva entre V1 e Vo são as integrais que aparecem na
equação (57), e que
1( J~;I ) dV = f.1:01 - f.1:01 = O ,
U. T,P,P~
isto é, a área sob a curva diferencial para V> Vs é nula, porque f.1:01 = f.1:01 (Figura 5.4a).
(58)
J.1so1
)1:0/ = Jl;ol
J.1;o/
o
u} Us
II
.....----'--+-..u Uo
Figura 5.4a Curva do potencial quúnico da solução no solo em função do conteúdo de água
(solução) no solo.
(Jf.1S01 1Ju )-,p ,po.
o
UI
Figura 5.4b Cwva d(ferencial da curva da Figura 5.4a.
Us
Ur(dJ.1sol 1 dU =J dU lp'po.
UI 1
= J.1;01 - J.1sol
......~
---+uo U
Desta maneira, pode-se reescrever a equação (57) como
ti> (V) = UJ(Jf.1sol ) dV = 1/ 1 - f.1 o .'I'm ~ JV t" sol solu. T,P,?",
(59)
Observe, fInalmente que, como <Pm = f.1~01 - f.1:01 e f.1:01 = constante, a curva da Figura 5.4a
tem exatamente a mesma fonna da curva de retenção da solução no solo que relaciona <Pm com V,
mostrada na Figura 5.5, e também que, como f.1~01 :::; f.1:01' então, <Pm :::; O, isto é, o potencial mátrico é
sempre negativo ou, no máximo, igual a zero, no caso de solo sahlrado.
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Dinâmica da Agua no Solo • 117
</Jm
o
Figura 5.5 Curva de retenção da solução no solo.
A ilustração da defInição do potencial mátrico (as fases considerada e padrão) também é
idêntica à da Figura 5.3, com a diferença de que o solo se encontra não saturado e é subtraída
qualquer sobrecarga de cima do ponto de medida no caso de solo expansivo.
Como veremos no próximo capítulo, o potencial mátrico (conjuntamente com o potencial de
pressão no caso de solo expansivo) pode ser medido diretamente no campo com tensiômetros. No
laboratório, como também será estudado no próximo capítulo, utilizando equipamentos
denominados câmaras de pressão de placa porosa e fUnis de placa porosa, pode-se detenninar a
curva de retenção da solução no solo.
2.1.1d Potencial pneumático (cjJ,J
Quando a pressão de ar no solo no ponto de medida (fase considerada) for diferente da
pressão na fase padrão, origina-se o componente denominado potencial pneumático que, por isso,
representa o efeito das variações da pressão de ar no solo sobre o potencial da solução; de acordo
com a equação (35):
No entanto, a equação (31),
( dfl.<o1 ) dfl = ( dfl sol ) dP
a ar dP ar'
'J.1ar T.P,U ar T,P,U
tendo em vista a equação (24),
( dG' )
flsol = dm '
sol T,P,U(gh;O)
tem o coefIciente de dJ1ar transfonnado para
aflsol a (aG* J a (aG* Jaflar = aflar amsO' = amsOI aflar .
(60)
(31)
(24)
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118 • Potenciais da Agua no Solo
Como
[ JG* J = -mar'df.1ar T,P,U
então
Jflsol = _ amar
Jflor Jmsol
Por outro lado, a equação (45) (página 111) pode ser facilmente transfonnada para
1 1 [amar J
V =-+---
sol a'Psol Par msol
donde
amar ( 1 )
-a-= Por Vsol-- .msol Psol
Substituindo a equação (62) na equação (61), obtém-se:
~SOI =-Par(vsal __ 1_).'flor P sol
Como já deduzido,
1
dflar = -dPor
Par
(25)
(61)
(62)
(63)
(30)
Portanto, a substituição das equações (63) e (30) no primeiro membro da equação (31)
fornece imediatamente
[Jflsol J- [_1 - J
- Vso1 ,
JPor Psol
transformando, assim, a equação (60) em
JP1,[ 1 }
- --v 'P
c/Jn - sol ar .
P,. Pso(
Pela análise da equação (64), vê-se facilmente que:
a) para solo saturado
cfJn = O,
porque, na condição de saturação, como vimos,
1
Vso! =-P ,sal
(64)
(65)
(46)
o que faz com que o coeficiente de dPar na equação (64) se anule e, conseqüentemente, também
cfJn"
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Dinâmica da Agua no Solo • 119
b) para solo não saturado não expansivo
porque, para esse tipo de solo e na condição de não-saturação, também já vimos que
vso1 =0.
Quando P;,. = Parm, então rjJn = O,porque Po = Parm.
c) para solo não saturado expansivo
fP:'[ 1 }
- --v 'PtPn - sol ar'
1'" Psol
e, como
O~vsol <_1_,
Psol
(66)
(47)
(64)
(48)
resulta que o coeficiente de dP ar na equação (64) é sempre positivo.
Igualmente, nesse caso, se p.~= Parm então rjJn = O,porque Po = Parm, anulando a integral
da equação (64).
Portanto, praticamente, no campo, como a pressão de ar (ou pneumática) no solo (fase
considerada) é a pressão atmosférica local, considerada a pressão na fase padrão, o potencial
pneumático é sempre nulo.
Antes de completarmos este item 2.1.1 sobre os componentes do potencial da solução, é
conveniente fazermos um paralelo entre os potenciais de pressão e pneumático para as duas
condições de água no solo (solo saturado e solo não saturado) e os dois tipos de manifestação do
solo de acordo com seu conteúdo de água (solos não expansivos e solos expansivos). Isto é
apresentado na Tabela 5.1, com base nas equações desenvolvidas nos itens 2.l.lb e 2.1.1d.
Tabela 5.1 Potenciais de pressão e pneumático para solos expansivos e não expansivos, sob
condições de saturação e de não saturação.
rjJp
rjJn rjJp + rjJn
solo
I I
saturado
-(~-PJ
O
-(~ -PJ
P.wl
P.ml
solo não saturado
_I_(p' _ P)_I_(p! _P)não expansivo
O
ar a
ar a
P.w,' Ps()f
solo
f'
p~I p,p~1não saturado vwl dPf(- - vwl)dp.,r fvw1dP+ f(- - vwl )dParexpansivo
p.p.P.wl
p.
p.P.wl
Analisando-se a última coluna da Tabela 5.1, que mostra a soma destes dois potenciais,
observa-se que, se aplicarmos uma pressão de ar sobre uma amostra de solo e se esta for a única
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120 • Potenciais da Agua no Solo
causa da carga, isto é, PI = P,,~, então, independentemente da condição do solo, saturado ou não
saturado:
1 I
Al +Al =_(P -P)'f/p o/n ar o'
Psul
(67)
\:àn\.~1'''1:"à~'5 '5~\~'5nã~eÃ1'ãD.'51.,,~'5c,~m\) 'Pala aque\e'5 que '5e ei'..-panuem ou se con\:Iaem conl0nne
têm seu conteúdo de água variado (ver item 3.1 do capítulo VI).
Com base, portanto, no desenvolvimento apresentado para os componentes do potencial da
so(uçro no soro, IJodemos reescrever a ec..uação(35) sob condi..çãoi..sotérmíca\:1aratodas as salas,
independentemente de estarem saturados ou não saturados e, nesta última situação, se expansivas ou
não expansivos, como:
11 U'(o} P;'( rep = f.l:U1- f.l:al = ] vso,áF +] ;ç;' áCf +J _J_ - vsul 'Par'P" u" T,P,Pw P" Psul (68)
Após esse entendimento dos componentes do potencial da solução no solo cjJ, voltando a
equação (10) e nela substituindo a equação (68) acima (de definição de cjJ com seus componentes) e
a equação (8) (de defmição do potencial gravitacional cjJg), resulta a equação (69) a seguir para o
potencial total cjJ,.,
11 u, (J ) P;'cjJ{ = f vsu,dP + f :;;' dU + f (_1_ - vso1)dPur + ghl ,P" u" T,P,p,,,,(h=O) P" Psul
(69)
que é válida para todos os solos, sob condição isotérmica e com qualquer conteúdo de água,
independentemente de serem ou não expansivos.
2.2 Equilíbrio e movimento da solução no solo
Como vimos na defmição do potencial total, ele é igual à variação da energia parcial
específica da solução entre as fases sólidos-solução-ar e padrão, isto é,
Al -EJ _EU'fI - sol sol' (9)
Considerando, agora, duas fases sólidos-solução-ar A e B, representadas por dois pontos A e
B no perfil de um solo, e calculando, por meio da expressão (9), a diferença de potencial total entre
elas, obtemos
AlA _Al8 _ A _E8'rI 'fI - Esol sul' (70)
ou seja, pelo fato de a fase padrão ser única, E;o' desaparece quando se calcula a diferença de
potencial total entre A e B.
Dessa maneira, pela condição de equilíbrio, ou seja, de igualdade de energia parcial
específica da solução (Eso') entre fases, verifica-se imediatamente, pela equação (70), que, se
E:al = Es~" cjJ{A tem que ser igual a cjJ{8. Em situações de desequilíbrio, a) E:a, < Es~1 (movimento de
Apara B), pela equação (70), cjJ{A tem que ser maior do que cjJ{8, e b) E:a, > E:a, (movimento de B
para A), pela equação (70), cjJ{A tem que ser menor do que cjJ{8 .
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Dinâmica da .Água no Solo· 121
A conclusão geral, portanto, é a seguinte:
Considerando-se duas (dois) fases (pontos) A e B num
perfil de solo de tal maneira que em cada uma (um) delas
(deles) se meça o potencial total da solução, diz-se que,
sob condição isotérmica:
a) a solução se encontra em equilíbrio sempre que o seu
potencial total for igual em ambas (ambos) as (os) fases
(pontos); e
b) a tendência da solução é de sempre se mover da (do)
fase (ponto) em que o potencial total da solução é
maior, para a (o) fase (ponto) em que o potencial total
da solução é menor.
3. POTENCIAIS DO COMPONENTE ÁGUA NO SOLO
Se quisermos analisar o componente água da solução no solo, podemos utilizar o mesmo
raciocínio empregado no item anterior (item 2). A diferença fundamental é que agora os solutos
dissolvidos têm influência relevante. Por isso, teremos que transfonnar a equação (12) em
(71)
em que as substâncias "i" se tomaram: o componente água no solo de massa mag, os sólidos do solo
de massa mSl o ar no solo de massa mar e todos os solutos presentes na solução de massas m"
Portanto, mr = massa dos r solutos, sendo r = 1,2,3, ....,s.
Se seguirmos todos os passos desenvolvidos no item 2, chegaremos a uma
equação semelhante à equação (69) para o potencial total do componente água no solo, sob
condições isotérmicas, lfIt:
(72)
d
Agora, no entanto:
a) lfIt =IJI+ IJIg, sendo IJI= J1~g - j10ag o potencial do componente água no solo, ou seja, a diferença
entre o potencial químico do componente água da fase sólidos-solução-ar (fase considerada) e o
potencial químico do componente água da fase padrão e %= potencial gravitacional.
b) A defmição do sistema termodinâmico é a mesma, com a diferença de que a parede de contato
entre as fases considerada e padrão é permeável somente ao componente água e a fase padrão
consiste de água pura (m; = O). Portanto, igualmente ao caso da solução, no caso do
componente água, sob condição isoténnica, ~IJI, = O (equilíbrio) e ~IJI, 'I:- O (movimento),
desde que a parede de contato entre as fases seja permeável somente ao componente água.
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122· Potenciais da Agua no Solo
c) vag =a v/a mag= volume específico parcial do componente água no solo.
d) Pag = densidade do componente água no solo.
e) U' = mag / ms = razão entre a massa do componente água da solução no solo e a massa dos
sólidos do solo.
f) Os termos (a), (b), (c) e (d) da equação (72) são os componentes do potencial do componente
água, que chamaremos de potencial de pressão, potencial mátrico, potencial pneumático e
potencial de soluto do componente água no solo, respectivamente, com defmições semelhantes
às dadas para a solução (item 2.1.1).
g) O termo (e) da equação (72), o potencial gravitacional, é independente da matéria e tem a mesma
definição dada anteriormente. A mudança de símbolo de fjJg para ljIg foi feita apenas para indicar
que o estado se refere ao componente água.
h) O termo (d) é a grande diferença entre as equações (69) e (72). Ele representa a influência dos
solutos dissolvidos sobre o potencial do componente água no solo e, por isso, é chamado de
potencial de soluto do componente água no solo. Em palavras, este tenno é o somatório das
variações parciais do potencial químico do componente água devidas apenas à diferença entre a
massa de cada soluto da solução da fase sólidos-solução-ar (fase considerada) e a massa do
respectivo soluto da fase padrão, que é nula:
_~ m.(~ )ljI s - ""'"' )1ag ,
1'=1
sendo lfIs = potencial de soluto.
4. UNIDADES DE POTENCIAL
Os potenciais da água no solo, tendo sido defmidos a partir do conceito de energia parcial
específica de uma substância, têm como unidade energia por unidade de massa de água (Jlkg).
Entretanto, é muito útil expressá-los em tennos de energia por unidade de volume de água (J/m3),
bastando, para isso, multiplicar o valor expresso em energia/massa pelo valor (considerado
constante) da densidade da água Pa, visto que
Energia [ J J Massa de água (kg ) Energia ( J )Massa de água kg X Volume de água --;;;; = Volume de água --;;;; .
Assim, se chamamos quaisquer dos potenciais, quando expressos em energia/massa, de ([>M '
e quando expressos em energia/volume, de ([>v , então, evidentemente,
([>V = ([>MPa .
Por outro lado, dímensionalmente,
J Nm N-=-=-=Pa3 3 2 'm m m
(73)
isto é, a unidade de ([>v é também uma unidade de pressão, pelo que, quando se diz, por exemplo,
([>v = 105 Jm-3 , é o mesmo que dizer ([>v = 105 Pa .
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Dinâmica da Agua no Solo • L3
Além de se expressar em Pascal (Pa), é também muito comum e conveniente expressar
qualquer medida de pressão em altura de água ou carga hidráulica. Isso é feito considerando-se a
pressão medida como idêntica àquela de uma altura de água causada pelo campo gravitacional, isto é,
/P~T
Pressão medida Pressão de ha causada pelo
campo gravitacional
(74)
sendo g = aceleração da gravidade e ha = altura de uma coluna de água.
Desse modo, podemos considerar também que iPv seja idêntico à pressão de uma altura de
água causada pelo campo gravitacional, isto é,
(75)
e, pela comparação das equações (73) e (75),
Conseqüentemente, a partir das equações (75) e (76):
iPv = iPM ==.ha (altura de água).
Pag g
(76)
(77)
(52)
Em palavras, a expressão (77) diz que a divisão por Pu g de quaisquer dos potenciais, quando
expressos em energia/volume, e por g, quando expressos em energia/massa, terão como unidade
altura de água ou carga hidráulica.
É importante lembrar que o subíndice a, de água, que aparece em Pa e ha, está se referindo
tanto à solução como ao componente água no solo (ver introdução deste capítulo).
~~~~Jí)~j)'b ~'b 'b'bt:>Th~'b<>;b 'b~Pj,';;,~~'b ~'j)~l1'b':;:,"2>'wrà'b'br ~~Th )::>"6"2>"t'Y'U"2>}5:>1:>S'S"1;,1;J'15t
P .
iPM =cjJp =-'- (energia/massa),
Pso'
ou pelo que acabamos de ver (equação 73) e pela defmição de PI
iPv =cjJp =~ =Pso,ghso' (energia/volume), (78)
isto é, o potencial de pressão em energia/volume num dado ponto de um solo saturado é igual à
pressão de uma coluna real de liquido (solução) atuando no ponto, porquanto, pela equação (77)
cjJp = hsol ==. hsol (altura de solução).
Já no caso do potencial gravitacional, o qual, como vimos, vale
iP M = cjJg(ou lfIJ= gh, (energia/massa),
em que hj = distância do ponto considerado à referência gravitacional, pela equação (73)
iPv = cjJg(ou lfI g)= P agh, (energia/volume)
(79)
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124 • Potenciais da Agua no Solo
e, pela equação (77):
ifJg (ou IfIJ= h, =. h" (altura de água). (80)
Portanto, para se obter o potencial gravitacional na unidade altura de água, basta medir a
distância vertical do ponto considerado em relação à posição da fase padrão (referência
gravitacional), e a unidade do resultado obtido hl será altura de água (ver item 1 do próximo
capítulo).
5. EXERCÍCIOS
1. Sabendo que
E = E(S,V,mS,mSof,mar)'
calcule as transformadas parciais de Legendre de E:
a) com substituição de S
b) com substituição de V
c) com substituição de S e V
d) com substituição de S, Ve mar
2. Com a transfonnada de Legendre obtida na alínea c) acima calcule a transformada de
Legendre com substituição de mar> e compare o resultado com o da alínea d) acima.
6. APÊNDICES
6.1 Prova da veracidade da equação (29)
Vamos, agora, seguindo o procedimento apresentado por Sposito (1981), provar a validade
da equação (29).Se T, P e flar forem mantidos constantes, como exige o segundo membro da equação (29), a
equação (27) se reduz a
d = [OJ1sof J d + [OJ1sof J dJ1sof am ms am rnsa/'S T,P,m."ú,J1ur sol T,P'"'$,Pur
Comparando as equações (29) e (AI), toma-se evidente que:
d/I =(OJ1sa/) dU.
/""'0/ oU
T.P,!,.,
(AI)
(A2)
Portanto, se provannos que a equação (A2) é verdadeira, estaremos, automaticamente,
provando a validade da equação (29), porque duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre
si (basta comparar as equações 29, AI e A2). Por outro lado, matematicamente, a equação (A2) só
será válida se nela o coeficiente de dU, com a condição de que T,P e flar sejam mantidos constantes,
seja função só de U. Conseqüentemente, temos que provar esta dependência única com U do
coeficiente de dU da equação (A2).
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Dinâmica da Agua no Solo· 125
Com a mesma condição de manutenção de T, P e Jlal' constantes, também é evidente que, do
ponto de vista matemático, os coeficientes de dms e dmso/ das equações (29) e (Al) são ambos
função de ms e mso/.
Assim, chamando de As (ms' mso/) o coeficiente de dms' de Aso/ (ms' mso/) o coeficiente de
dmso/ e de A(U) o coeficiente de dU, podemos reescrever as equações (29) e (AI) como
(A3)
e
(A4)
respectivamente.
Um aspecto importante a respeito dos coeficientes As e Aso/ é o mostrado a seguir.
Pela equação (A4) é fácil verificar que
A = [éJllsol J e A = [éJllsol J
S dm sol dm
S m.",l sol 111.•
Conseqüentemente, a derivada parcial de Aso/ com relação a ms' mantendo-se mso/ constante, vale
(A5)
e a derivada parcial de As com relação a mso/' mantendo-se ms constante, vale
e, então,
(A6)
(A7)
porque a ordem de diferenciação não importa e as equações (A5) e (A6) são idênticas.
Agora, se A for verdadeiramente função só de U, isto é, A =A(U), e lembrando que
U = U(mso/' mJ, é claro que as diferenciais totais de A e de U são, respectivamente,
e
ou
éJU éJu
dU =--dmsol + dm dm, ..Jmsol s
Substituindo-se a equação (A9) na equação (A8):
dA [ éJu éJu J
dA = dU dm dmsof + dm dmssol s
dA = dA éJU dm + dA éJu dm
dU dm sol dU dm s ,sol s
(A8)
(A9)
(AIO)
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126 • Potenciais da Agua no Solo
donde, para ms = constante, dividindo-se ambos os membros da equação (AIO) por dmsol' resulta
(dA J dA dU
-- ----
dmsol m, dU dmsol
(AlI)
Igualmente, para msol = constante, a divisão de ambos os membros da equação (AIO) por dms
a reduz para:
Como
então, evidentemente,
e
(dA] _ dA dU
- ---
dms dU dms
m.w,
U = msol
m '
s
dU 1
dmsol ms
dU U----
dms ms
(A12)
(A 13)
(A14)
A substituição de (A13) em (All) e de (A14) em (A12) modifica as equações (All) e (A12),
respectivamente, para:
dA1 dA
(AIS)
--- ---
dmsol
m dUse dA
U dA
(A16)
-=----
dms
m dUs
Eliminando-se dA/dU das equações (AIS) e (A16):
dA 1 dA--:=:---
(J,nsol U dms
(A 17)
Portanto, se A for, de fato, função só de U, a equação (AI?) tem que ser verdadeira (pois ela
foi obtida considerando esse fato) e, conseqüentemente, também a equação (29). Demonstraremos,
então, a veracidade da equação (AI?).
Verifica-se, facilmente, a partir da equação (A3), que para ms = constante, tendo em conta a
equação (A13):
( dU J -~
-A - -
Aso' - dm ms
sol m,
e que, para msol = constante, tendo em conta a equação (14):
(A18)
A,=A(:L =
AU
ms
(A19)
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Dinâmica da Agua no Solo • 127
Por outro lado, a derivada de Asol da equação (A18), com relação a ms' mantendo-se msol
constante, e a derivada de As da equação (A19), com relação a msol> mantendo-se ms constante, se
tomam:
(A20)
e
ou, tendo em conta a equação (A13), isto é, substituindo éJU/amsol da equação acima por 1Ims:
éJAs =_ éJA ~_~
2 •
amso{ amsol ms ms
(A21)
Tendo em vista a equação (A7), o membro da direita da equação (A20) é igual ao membro da
direita da equação (A21):
1 éJA A éJA U A
ou
éJA 1 éJA
am,u! -- U am, '
(A 17)
o que comprova o que estávamos procurando, a veracidade da equação (A17). Conclusão: A
veracidade da equação (A17) implica que A = A(U) seja correta; esta dependência funcional entre A
e U implica que a equação (A2) seja correta; e a validade da equação (A2) implica que a
equação (29) seja correta.
6.2. Dedução da equação (30)
Para deduzir a equação (30), recorramos à equação (83) do capítulo anterior, a qual, para um
sistema gasoso (= ar) fechado, se simplifica para
(A22)
Para uma dada temperatura mantida constante, o primeiro tenno do segundo membro da
equação (A22) desaparece, e então:
(A23)
Assumindo que o ar no solo se comporta como um gás ideal, o que é uma boa aproximação, é
claro que, de acordo com a equação de estado de um gás ideal,
(A24)
sendo Mar = massa molecular média do ar.
A substituição da equação (A24) na equação (A23) mostra imediatamente que
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128 • Potenciais da Agua no Solo
dG= marRT dP;:;;-~ar Par
Integrando-se a equação (A25) entre dois estados 1 e 2, resulta:
fG2 P 2dG = mi:tRT I dPar
G, ar Pp ar~,
ou
G -G = marRT lnP _ marRT lnP .
2 I M ar2 M arlar ar
Portanto, genericamente, para um dado estado,
G = marRT ln Par
Mar
(A25)
(A26)
Se quisermos saber, agora, como G do sistema (= ar) varia conforme se varia sua massa
(mar)' basta derivarmos G com relação a mar' e então, a Te Par constantes,
( JG 1 = RT lnP =!!-Jm arar 'Par Mar mar (A2?)
Aqui um gIáflCO ue G em funyãl:> ue mar le':>u\'i:àlinum'à \mh'à l~\'à, '\:,\)ffi '\:,\)~f\ü~\\\~'à\\'6\\\'à~ \.'E,\\'à\ 'à
(RT ln Par) ( Mar'
Como, da termodinâmica,
( JG J = f.1ar,Jmar T,Po,
então:
RT
f.1ar= --lnP ,M arar
ou, matematicamente,
-~dPa,.,
df.1ar- Mar?"r
ou ainda, como procurávamos:
d _ldPJ.1ar - -- ar'
Par
uma vez que, da equação (A24), verifica-se facilmente que
(A28)
(A29)
(A30)
(30)
V-...!!.!--
mar
RT=
Par MarPar
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VI
MEDIDA DOS POTENCIAIS DA ÁGUA NO SOLO
1. POTENCIAL GRA VITACIONAL
Como está esclarecido no apêndice III, para qualquer corpo, em pontos relativamente
próximos entre si no campo gravitacional terrestre:
tiEg = Eg - Ego = mg(r - ro)= mgh ,
sendo m = massa do corpo, g = aceleração da gravidade, Eg = energia potencial gravitacional do
corpo no ponto de medida, a uma distância r do centro da Terra, E = energia potencialgu
gravitacional do corpo num ponto a uma distância arbitrária ro do centro da Terra, no qual se imagina
um plano horizontal denominado referência gravitacional (RO) e h = r - ro, ou seja, distância
vertical entre o ponto de medida e aRO.
Está também esclarecido no apêndice III, que a energia potencial gravitacional sempre
aumenta à medida que o corpo se distancia do centro da Terra e que, portanto, se o ponto de medida
estiver acima da RO, tiEg> O, porque r > ro, e o valor de h é positivo; se o ponto de medida estiver
abaixo da RO, tiEg < O, porque r < ro, e o valor de h é negativo; fmalmente, se o ponto de medida
coincidir com a RO, então, tiEg = O, porque r = ro, e o valor de h é nulo.
No capítulo anterior, considerando o nosso sistema bifásico composto pelas fases sólidos-
solução-ar e padrão, defmimos o potencial gravitacional pela equação
1Jg ou lfIg = ghl (energia/massa), (1)
na qual h] é a distância vertical da fase sólidos-solução-ar, representada por um ponto no perfil do
solo, à superficie plana e coincidente com a referência gravitacional da água da fase padrão.
Dividindo os membros da equação (1) pela aceleração da gravidade (ver equação 77 do
capítulo anterior), obtém-se o potencial gravitacional em altura de água:
1Jgou lfIg = hj (altura de água). (2)
Portanto, toma-se evidente que, para medirmos o potencial gravitacional num detenninado
ponto (ponto de medida) de um perfil de solo, basta medirmos a distância vertical h] deste ponto à
RO convenientemente escolhida: sempre que ele estiver acima (ponto A) da RO, o potencial
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130 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
gravitacional será positivo (+ h] m de água); sempre que ele estiver abaixo (ponto B) da RG, o
potencial gravitacional será negativo (-hl m de água); e sempre que ele coincidir (ponto C) com a
RG, o potencial gravitacional será nulo (O m de água) (Figura 6.1).
A
referência gravitacional
(posição da fase padrão)
(hl = I/Jg ou lfIg > O~ _ \C (hl - I/Jg ou lfIg - O).
(-h[ = I/Jg ou lfIg < O)
B.-
Figura 6.1 Medida do potencial gravitacional.
Exemplo llustrativo
Calcular o potencial gravitacional em dois pontos A e B de um perfil de solo, localizados às
profundidades de 0,2 m e 0,4 m, respectivamente. Considere a referência gravitacional em três
posições: superficie do solo, ponto A e ponto B.
Solução:
A figura a seguir mostra os dois pontos A e B com as três posições da referência gravitacional.
G
(c)
z=O
(b)
z=O
z=
RG
(a)
z =0,2 m
z=O
Pelos dados temos que:
Situação (a) : epg (A) = - 0,20 m água
epg (B) = - 0,40 m água
Situação (b) : epg (A) = 0,00 m água
epg (B) = - 0,20 m água
Situação (c) : epg (A) = 0,20 m água
epg (B) = 0,00 m água
Observe que a mudança da referência gravitacional muda o valor do potencial gravitacional
em cada ponto. Entretanto, se calcularmos a diferença de potencial gravitacional entre os dois
pontos, epg (A) - epg (B), verificaremos que, para as três situações, epg (A) - epg (B) = 0,20 m água. Ou
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Dinâmica da /Ígua no Solo • 131
seja, independentemente da posição escolhida para a referência gravitacional, o valor da diferença de
potencial gravitacional é sempre o mesmo. Como o interesse é a diferença de potencial, este fato
mostra, portanto, que a referência gravitacional pode, de fato, ser arbitrária e colocada na posição
que melhor nos convier.
2. POTENCIAL DE PRESSÃO
Referindo-se à Tabela 5.1 do capítulo anterior, observa-se que o potencial de pressão 1Jp
sempre ocorre no caso em que o solo esteja numa condição de saturação e que, no caso de solo não
saturado, ele só ocorre quando o solo for expansivo. Para esta última condição, sugerimos a leitura
do trabalho de Talsma (1977), que apresenta detalhes de três métodos de determinação da
"overburden" em solos expansivos e algumas limitações do seu uso, e dos trabalhos de Philip
(1969a, 1969b, 1970), nos quais o autor se aprofunda na teoria dos potenciais para solos expansivos.
Para a condição de saturação, como mostra a equação (78) do capítulo anterior, o potencial de
pressão 1Jp num ponto do perfil de solo é igual à pressão de líquido nele atuando. Para medir esta
pressão de líquido, basta inserir um manômetro ou, mais especificamente, um piezômetro dentro do
espaço poroso o qual, entrando em contato com a solução no solo, indicará seu valor. Em termos de
carga hidráulica, o potencial de pressão é a distância vertical do ponto em questão no solo à
superficie de solução em um piezômetro a ele conectado (Figura 6.2).
piezâmetro
/ superfície do solo/
Figura 6.2 Tubo piezométrico para medida do potencial de pressão.
Exemplo Ilustrativo
No esquema da Figura 6.2, estando o ponto em questão a uma profundidade de 1,6 m e sendo
de 0,7 m a distância da superficie do solo ao nível do lençol, qual o valor do potencial de pressão no
ponto? São dados pso! = 1000 kg m-3 e g = 9,8 m S·2.
Solução:
O potencial de pressão nesta condição de solo saturado é dado por
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132 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
C/J p = P - Pu (energia / volume).
No caso, a pressão P que atua no ponto em questão vale
P = PsoIgh + PUln/'
COlno Pa1m =Po, então,
C/Jp = Psulgh.
Portanto, como h = 1,6 - 0,7 = 0,9 m:
C/Jp = 1000x9,8xO,9 = 8820 Pa = 8,82 kPa.
3. POTENCIAL MÁTRICO
o potencial mátrico descreve a contribuição das forças de retenção da solução no solo
associadas com suas interfaces líquido-ar e sólido-líquido. Está, portanto, relacionado com o
conteúdo de água no solo, sendo tanto menor quanto mais seco ele estiver, isto é, se varia apenas o
conteúdo de água (T,P,Par são mantidos constantes), então a equação (69) do capítulo anterior se
simplifica para
UI(dJ.1sul) dU = C/Jn/ •C/JI = u" dU T.P,P",,(h=O)
(3)
Experimentalmente, pode-se dizer que há três maneiras diretas principais para medir esta
influência do conteúdo de água no solo sobre o potencial da solução, isto é, o potencial mátrico.
Todas as três utilizam wna placa porosa (cujos poros devem ser mantidos sempre cheios de solução,
para que ela se tome penneável somente à solução) separando uma amostra de solo (fase
considerada) de um recipiente contendo wna solução idêntica em composição e concentração à
solução nesta amostra de solo, e sujeita à pressão atmosférica local (fase padrão). A primeira maneira
utiliza wna câmara submetida a pressões controladas de ar, denominada câmara de pressão com
placa porosa ou câmara de pressão de Richards, que passamos a descrever.
3.1 Câmara de pressão com placa porosa
Este instrumento, também chamado câmara de pressão de Richards (Richards, 1941, 1947,
1949), é utilizado para a detenninação de curvas de retenção de solução no solo (conteúdo de água
em função do potencial mátrico) sob condições de laboratório. Consiste, basicamente, de wna
câmara construída para suportar alta pressão, com uma placa de cerâmica porosa no seu interior
(Figura 6.3).
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Dinâmica da Agua no Solo • 133
medidor de
pressão
----Palm+p
placa
porosa
referência gravitacional
amostra
de solo
câmara de pressão
diafragma de
borracha
tela de
náilon
suporte da
placa
tubo de saída
de solução \p.lm B
-t::TIf~~~~.. =2
Figura 6.3 Câmara de pressão de Richards. Palm =pressão atmosférica.
A placa de cerâmica, como se pode notar pela figura, tem sua face inferior coberta por um
diafragma de borracha, selado em sua borda. Entre a placa e o diafragma é colocada uma tela de
náilon para pennitir o fluxo de solução, impedindo que o tubo de saída de solução seja obstruído
quando da aplicação da pressão P.
Para utilizar o equipamento, uma ou mais amostras de solo são colocadas na superfície da
placa de cerâmica, as quais, juntamente com a placa, são saturadas com água, de preferência
destilada, por um período de 24 horas. Em seguida, o conjunto (tomando-se sempre o cuidado de
verificar o mais perfeito contato entre a amostra de solo e a placa porosa) é colocado no interior da
câmara e a pressão de ar P é aplicada. Isto faz com que a solução se mova do solo para o pequeno
reservatório sob a placa, gotejando no tubo de saída até que, depois de um certo tempo, pára,
atingindo, portanto, uma condição de equilíbrio. Nesta condição de equilíbrio, sabemos que o
potencial total da solução no solo é igual ao potencial total da solução no reservatório sob a placa, ou
seja, considerando dois pontos, um no lado da solução ou fase padrão (ponto A) e outro no lado do
solo não saturado ou fase considerada (ponto B):
(4)
sendo:
(5)
e
(6)
Lembre-se que se está considerando Po = Palm' Verifique também que Par no ponto B é igual a Potm +
P (reporte-se à equação 67 do capítulo V). Note ainda que <PI (ponto A) = Oporque o ponto A é a fase
padrão do nosso sistema, e para a fase padrão, evidentemente, <PI = Co -co =0. Igualando-se as
equações (5) e (6), com base naequação (4), e explicitando-se <Pm obtém-se:
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134 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
cjJ m = - _1_ P (energia / massa de solução)
Psol
ou
cjJm = -P (energia / volume de solução).
(7)
(8)
(9)
Deste modo, para medirmos o potencial mátrico da solução na amostra de solo com um dado
conteúdo de água (solução), por meio da câmara de pressão de Richards, basta esperarmos que o
equilíbrio da solução seja atingido após a aplicação da pressão P e, em seguida, retirarmos a amostra
da câmara para medida do conteúdo de solução nela existente. É evidente que, quanto maior o valor
da pressão P aplicada, mais seco se tomará o solo após o equilíbrio. Portanto, enquanto o tubo de
saída estiver gotejando, o valor de cjJm estará diminuindo, uma vez que o solo estará sendo
dessaturado. Quando parar de gotejar (equilíbrio), o valor de cjJm é tal que compensa a pressão
aplicadaP.
Observe que a placa porosa funciona como uma extensão da amostra de solo (daí a
necessidade do perfeito contato solo/placa) e que, na realidade, é nela que a pressão de ar é aplicada,
ou seja, ao se aplicar a pressão P, é a placa que evita que esta pressão se transfira para o lado da
solução; quando em funcionamento, o ar sob pressão no interior da câmara nunca fluirá através dos
poros da placa de cerâmica: a tensão superficial na interface líquido-gás em cada poro suportará a
pressão. O valor máximo de pressão que uma dada placa saturada pode suportar, sem que o ar passe
através de seus poros, é determinado pelo diâmetro do seu maior poro e será tanto maior quanto
menor for este poro. Vejamos.
Como vimos no capítulo I, o incremento de pressão interna numa interface líquido-gás num
tubo capilar, devido à curvatura esférica da interface, é dado por
2(} 2(}cosa
P---- -
R r
sendo:
p = incremento da pressão interna devido à curvatura (esférica) da superficie;
()= coeficiente de tensão superficial do líquido;
a= ângulo de contato;
r = raio do tubo capilar;
R = raio de curvatura da superficie esférica.
Imaginemos um poro (= tubo capilar) da placa de cerâmica e analisemos o que acontece com
a curvatura da interface líquido-ar à medida que a pressão de ar aumenta (Figura 6.4). A Figura 6.4a
representa a condição inicial logo após a saturação, quando R -700 ou a= 90° (superficie plana) e,
portanto,p = O, isto é, não há menisco e a pressão atuante é a atmosférica (Patm). Com a aplicação de
uma pressão adicional P, a interface se curva e o raio de curvatura será tanto menor quanto maior o
valor de P, o mesmo acontecendo com o ângulo de contato (figuras 6.4b, 6.4c, 6.4d), ou seja, a
decresce à medida que P aumenta, até se tomar igual a zero e R se tomar igual a r (Figura 6.4d).
Atingida esta condição, um aumento de pressão fará com que a interface perca contato com a·
superficie sólida e ar fluirá através da placa. O valor da pressão de ar no qual isto acontece, a pressão
que quebra o menisco, é chamado de "pressão de borbulhamento" ou "valor de entrada de ar" para
a placa porosa. Portanto, a câmara de pressão de Richards deve sempre ser operada com valores de
pressão de ar menores que a "pressão de borbulhamento" ou "valor de entrada de ar" da placa porosa
que está sendo utilizada.
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Dinâmica da Agua no Solo ·135
(a) (b) (c)
água no
poro
tela de
náilon
placa de
cerâmica
Figura 6.4 Raio de curvatura da interface ar-líquido no poro da placa porosa com a pressão de
ar atuante (Patm<P]<P2<P3)'
o tamanho do poro no qual ocorre o borbulhamento também pode ser facilmente calculado a
partir da equação (9). Vejamos.
Admitamos que a Figura 6.4d represente a situação na qual R = r. Nesta situação, se fizermos
o balanço das pressões atuantes no poro, especificamente no menisco, verifica-se que
p:, + p' - P = ~,tm + p' .
Como P3 = p+ Palm, então, evidentemente,
P + PUtlll + p' - p = ~,tm + p. ,
donde:
e daí, pela equação (9):
e conseqüentemente,
p=P,
P= 2C5 ,
r
(10)
(11)
2C5r=-
p.
Desta maneira, conhecidas a pressão P, medida pelo manômetro da câmara no momento do
borbulhamento, e a tensão superficial da solução, obtém-se facilmente, por meio da equação (11), o
valor do raio r do poro da placa que está permitindo a passagem de ar.
No comércio, encontram-se placas porosas com pressão de borbulhamento de 100, 300,
500 e 1500 kPa. Para valores de pressão de 10 a 400 kPa, utiliza-se uma câmara de pressão
também conhecida pelo nome popular de "panela de pressão", pela semelhança na fOTIna com a
panela de uso doméstico. Para valores de pressão de 500 a 2000 kPa, utiliza-se uma outra
câmara, de constituição mais robusta e fOTIna mais achatada para suportar estes altos valores de
pressão. Para valores maiores que 2000 kPa, utiliza-se uma outra câmara, mais robusta ainda (de
fOTIna ainda mais achatada), na qual se utiliza não uma placa porosa, mas uma membrana
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136 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
semelhante ao papel celofane, com uma pressão de borbulhamento bastante alta. Esta terceira
câmara não é utilizada para propósitos agrícolas. Para valores menores que 10 kPa, o sistema de
Richards não é suficientemente sensível. Nesta faixa de potencialmátrico (O a -10 kPa), utiliza-
se o funil de placa porosa.
Antes de passannos, entretanto, a descrever o funcionamento deste funil, um aspecto que
merece ser destacado é o da definição da tensão da solução (r), visto no capítulo r. Como lá vimos,
r =p; portanto, se considerarmos quaisquer das situações da Figura 6.4, é claro que, de modo
semelhante ao que acabamos de ver para a situação (d), p = P (equação 10), e daí que r =P, ou seja,
com a câmara de pressão de Richards mede-se um potencial mátrico de -P MPa ou uma tensão de P
MPa.
3.2 Funil de placa porosa
Antes de mostrarmos a utilização deste instrumento para a medida do potencial mátrico é
necessário reforçannos um aspecto muito importante da teoria da capilaridade visto no final do
capítulo r. De acordo com as fónnulas (20) ou (23) do capítulo I, "a altura da ascensão capilar é
inversamente proporcional ao raio do tubo na região onde se forma o menisco". Isto quer dizer que,
enquanto no tubo capilar A da Figura 6.5 o desnível h se fonna naturalmente, nos tubos B e C desta
figura isso não é possível por causa das suas partes não capilares. No entanto, se preenchennos as
partes não capilares destes tubos, elevando o nível da superficie do líquido na cuba até a altura h', até
que a porção capilar seja atingida, o menisco é formado e a coluna é mantida em h, sem a
necessidade de que o nível na cuba permaneça em h' o qual pode, então, ser rebaixado à posição
original, esgotando-se o líquido através da torneira T (Figura 6.5).
h'l IH
h
Placa porosa/
h
T
A _ 13 c - D
Figura 6.5 Seqüência de situações para explicar o funcionamento do funil de placa porosa.
Outro ponto que merece destaque é o seguinte; imagine que o nível da superficie do líquido na
cuba da Figura 6.5 seja mantido na altura h'. Pelas equações (19) ou (20) do capítulo I, o valor da
ascensão é h, mas, como há um comprimento de tubo igual a H-h', menor do que h acima da
superficie do líquido na cuba, evidentemente, o líquido sobe até o fim deste comprimento e adquire
um menisco mais plano, cujo raio de curvatura deve ser exatamente igual a h/(H-h') vezes aquele
que ele adquiriria normalmente, se houvesse um comprimento minimo h de capilar acima da
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Dinâmica da JÍgua no Solo' 137
superficie plana mantida na altura h'. Por exemplo, se H-h '= h/2, o valor do raio de curvatura do
menisco na extremidade do tubo A será o dobrodo valor nonnal (ver exercício 3 do capítulo I). Este
fato é depreendido facilmente da equação (19) do capítulo I pela qual, uma vez que 2 (J/(p - Par)g =
constante, o fator de diminuição de h é igual ao fator de aumento de R.
Analisando o tubo C da Figura 6.5, observa-se que há cinco pequenos tubos capilares. Em vez
de cinco, poderia haver dez, vinte, cem, ou muito mais. Uma maneira prática de obter o maior
número possível de capilares como no tubo C consiste em utilizar uma placa porosa (de cerâmica,
por exemplo) confonne o tubo D da mesma figura. Evidentemente, no caso da placa porosa os
diâmetros dos seus capilares não são todos iguais e nem unifom1es como no tubo C, mas sendo
pequena a espessura da placa (da ordem de 5 mm) pode-se considerar que os seus meniscos se
localizam, em média, no seu centro, pelo que se pode dizer que a altura da ascensão capilar do tubo
D é h, como mostra a Figura 6.5.
O tubo D pode ser confeccionado de tal maneira a se tomar um funil de haste prolongada e
flexível, por meio da qual se pode aumentar ou diminuir h pelo abaixamento ou elevação do nível do
líquido, mantido constante em sua extremidade por meio de um dispositivo simples (Figura 6.6).
fu,i1J r I Tl \ T.J pl.~ po=.
placa ~~ ~ _~ _)- _~ _~- ~ _~ __- __ •
porosa __ _ __ _ __ _ ___-- --- -
~ ~I
tubo
flexível
- dispositivo para
manter o nível de
(o) (b) água constante
Figura 6.6 Funil de placa porosa adaptado com uma haste flexível: a) placa porosa com a
superficie dos meniscos dos seus poros, plana, e b) placa porosa com a superficie dos
meniscos dos seus poros, côncava, com p = (p - POI) gh.
Por ser wn funil munido de uma placa porosa na parte inferior do seu corpo, recebe a
denominação defunil de placa porosa oufunil de Haines, por ter sido Haines (1930) o primeiro a
utilizar um instrumento desse tipo para fixar valores de potencial mátrico da solução no solo e medir
os conteúdos de água (solução) correspondentes.
Como já vimos, o aumento de h faz com que os raios de curvatura dos meniscos dos capilares
da placa porosa decresçam, isto é, suas interfaces sejam "puxadas" para baixo. Isto, entretanto,
acontece até o limite máximo, quando o raio de curvatura R do menisco do maior poro da placa se
toma igual ao raio r' deste poro. Portanto, a equação (19) do capítulo I se toma:
h = 2(J
max (pp),'- ar gr
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138 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
h =h,
-\
l
Pmm
placa porosa
A, _
-&" dispositivo para
manter o nível de
(b) água constante
tubo
flexível
Referência
gravitacional
(a)
funil de
placa
porosa
Um valor maior do que o hmox da placa resultará em rompimento do menisco e passagem de ar
através dela. Portanto, quanto menor r' maior hmox' Entretanto, praticamente, o valor máximo de h
que se consegue é == 8,5 m, mesmo que o valor de r' pennita um hmax maior, devido ao fenômeno da
cavitação (Baver et aI., 1972). Resumidamente, este fenômeno neste caso consiste no seguinte: à
medida que se aumenta a altura h, a pressão interna sob o menisco diminui (lembre-se que a pressão
interna sob o menisco é P' - p e p = (p - Pm) gh); esta diminuição da pressão interna faz com que ar e
vapor do líquido saiam do interior deste ou passem através das paredes da tubulação usada
quebrando a continuidade da coluna de líquido, que se rompe e se desprende da placa, normalmente
quando h == 8,5 m.
Vejamos, agora, como se mede o potencial mátrico por meio do funil de placa porosa. Para
tanto, coloca-se uma amostra de solo na superficie da placa porosa do funil, procede-se a sua
saturação com água, mantendo-se o nível do tubo flexível no topo da amostra por um período de 24
horas, para sua completa saturação, e, em seguida, abaixa-se este nível a uma altura h (Figura 6.7).
P,"m amostra P"m -Por gh
de solo I
Figura 6.7 Procedimento da medida de <p", com o funil de placa porosa: a) saturação do solo, b)
aplicação da tensão h.
Evidentemente, haverá drenagem da água retida nos poros do solo com diâmetro maior do
que o diâmetro correspondente à altura h aplicada, através da pequena saída do dispositivo que
mantém o nível da solução constante na extremidade do tubo flexível, até que, depois de um certo
tempo, atinge-se a condição de equilíbrio (pára o gotejamento através do orificio do dispositivo).
Atingida esta condição de equilíbrio, é claro que o potencial total da solução em qualquer ponto do
lado da solução (ponto A, por exemplo - Figura 6.7b) tem que ser igual ao potencial total da solução
em qualquer ponto da amostra de solo não saturado (ponto B, por exemplo - Figura 6.7b).
Observe que, propositadamente, consideramos o ponto A à mesma altura que o nível da
solução no dispositivo de manutenção do nível de solução (fase padrão), e o ponto B no centro
geométrico da amostra de solo (fase considerada).
Assim, no equilíbrio:
<p, (ponto A) = <P, (ponto B).
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Dinâmica da Agua no Solo' 139
Por outro lado, como P = Pa/memA, P = Palm -Pargh emB ePo = Pa/lm então
(12)
e
Observe aqui também que ifJ/ (ponto A) = O, por se tratar da fase padrão.
Conseqüentemente, igualando as equações (12) e (13) e explicitando-se ifJlI"obtém-se:
ifJm =-gh+ Par gh. (14)
P,-a/
Portanto:
ou
ifJm = -(1- Par }h == -gh (energia / massa de solução)Psol
ifJm = -(Psa/ - Pa,.)gh == -Psalgh (energia / volume de solução),
(15)
(16)
ou ainda, em termos de carga hidráulica, dividindo a equação (15) por g (aceleração da gravidade):
ifJm =_(Psa/ - Par} == -h (m de solução).Psol
(17)
O sinal de == que aparece nas equações (15), (16) e (17) deve se ao fato de, como normalmente
se considera Par desprezível em comparação com a magnitude de Psol, nos tennos em que ele (Par)
aparece nestas equações, entra com valor zero.
Desta maneira, selecionando-se vários valores de h e medindo o conteúdo de água (solução)
correspondente para cada valor selecionado depois de atingido o equilíbrio, elabora-se com
facilidade a curva de retenção (conteúdo de água na amostra de solo em função do potencial mátrico
da solução (água) na amostra). Portanto, o funil de Haines também é utilizado para a detenninação
da curva de retenção da solução no solo, típica para cada profundidade de solo. Assim, para valores
de ifJ na faixa de == -8,5 a O m de solução, repete-se, para diversos valores de h, o procedimentom
indicado na Figura 6.7, determinando-se, depois de atingido o equilíbrio com cada valor de h
selecionado, o valor do conteúdo de solução correspondente. Evidentemente, quanto maior h (ou
menor ifJm), menor o conteúdo de água no solo depois do equilíbrio.
Aqui também o aspecto da tensão da solução r = p (capítulo I) merece atenção. Como p, no
esquema da Figura 6.7 de medida de ifJmpelo funil de Haines, é igual a h e ifJm= -h, então, com este
funil mede-se um potencial mátrico de -h m de solução ou uma tensão de h m de solução.
3.3 Curva de retenção e distribuição dos poros
Nos dois itens anteriores (3.1 e 3.2) aprendemos como se detennina, de maneira direta, a
curva de retenção da solução no solo, no laboratório. Mostramos também que o potencial mátrico
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140 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
(1J",) ou tensão (-r) da solução relaciona-se à curvatura das interfaces ar-solução no solo não saturado
e que, assumindo que estas interfaces na amostra de solo se acomodam nwn capilar de secção
transversal circular de raio r, suportarão uma tensão de acordo com a equação da ascensão capilar:
ou
20" cosa .
-r = -1J", = --- = Pso,gh ~ [energIa / volume]
r
- 20" cos a = h ~ [altura de água],
-r =-1J", - P grsol
(18)
(19)
sendo O" a tensão superficial da solução; a o ângulo de contato entre a solução e o poro do solo: noscálculos, asswne-se a sempre igual a zero; g a aceleração da gravidade; gol a densidade da solução; e
h a distância vertical do ponto de medida ao nível de solução no manômetro do funil de placa porosa
(equivalente à pressão P no medidor de pressão da câmara de pressão). O solo, como sabemos, não é
um simples tubo capilar, mas uma composição irregular de poros e canais formados por seus sólidos.
Conseqüentemente, é claro que as interfaces não são iguais em todos os pontos do solo mas, como
vimos, as curvaturas estão todas com o mesmo valor de tensão h, no equilíbrio. Isso nos leva a
concluir que se quisennos obter o valor de r por meio da equação (18), o valor obtido só pode ser
considerado como um "raio equivalente", sem qualquer tentativa de quantificação do raio real do
poro (ver página 47).
A curva de retenção, como também salientamos anteriormente, relaciona a quantidade de
solução no solo em equilíbrio com a tensão aplicada. É oportuno mostrar, agora, que uma vez obtida
a curva de retenção, pode-se calcular a partir dela e da equação (18) ou (19) a distribuição do
tamanho dos poros do solo. Para facilitar a interpretação, é conveniente elaborar a curva diferencial
da curva de retenção (8 em função de "C), isto é, um gráfico de d8/d-r em função de -r. A Figura 6.8
mostra uma curva de retenção de um dado solo, e a Figura 6.9, a curva diferencial dela oriunda.
Pelo gráfico da Figura 6.9, percebe-se, imediatamente, que d8/dTé função de -r, isto é,
pelo que
_ d8 = 1(-r),
d-r
- d8 = 1(r )d-r.
(20)
(21)
·Integrando-se os dois membros da equação (21), entre 8, e 82 e, correspondentemente, entrer,
e r2 (ver gráfico da Figura 6.8) obtém-se:
ou
ou ainda
8, 't'')
- f d8 = f 1(r }ir
81 TI
r,
- (82 -(1) = f 1(-r }i-r
rI
r,
81 -82 = f 1(r}i-r.
rI
(22)
(23)
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Dinâmica da Agua no Solo • 141
Note que a integral entre os limites r2 e r, da equação (23) está representada pela área
hachurada da Figura 6.9 e é igual à diferença de conteúdo de água 8, - 82 da Figura 6.8.
~ e ----------------
, , I
E Il e - - - - - - - - - - - - - - - - -:- - - - -
ÇD II
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
't, 't2
rem de solução)
Figura 6.8 Curva de retenção da solução no solo.
r
)f(r)dr=81-82
"' (m de água)
Figura 6.9 Curva diferencial da curva de retenção da Figura 6.8.
Pela equação (18), à tensão r, corresponde o raio equivalente ri> e à tensão r], o raio
equivalente r2; observe que r2 > r" mas r2 < r,. Assim, pela curva de retenção, quando se aplica a
tensão ri> todos os poros de raio maior do que r, são esvaziados, e quando se aplica a tensão r], todos
os poros com raio maior do que r2 são esvaziados. Conseqüentemente, estando o solo à tensão r,
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142 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
(portanto, com todos os poros de raio maior do que rI esvaziados), ao se aplicar, subseqüentemente, a
tensão r], serão esvaziados todos os poros de raio menor do que rI e maior do que r2. Logo, o volume
de água liberado do solo ao se aumentar a tensão de rI para r], volume de água este medido pela
diferença de conteúdo de água ere2 (primeiro membro da equação 23), é igual ao volume dos poros
de raio menor do que rI e maior do que r2.
Com base nessas considerações, conclui-se que, para a mesma diferença rrrI, quanto maior
for ere], maior é o número de poros existentes no solo com raios entre os valores r2 e ri>ou seja,
pode-se, de fato, a partir da curva de retenção, detenninar a distribuição do tamanho dos poros no
solo.
A propósito, o pico da curva diferencial da Figura 6.9 nos diz que os poros de raio em
tomo do valor r = / (correspondente a tensão r*) são os mais freqüentes, neste solo. Para fixar
idéias, coloquemos números aos gráficos das figuras 6.8 e 6.9 e as transformemos nas figuras
6.10 e 6.11, respectivamente, substituindo e por 8/es no eixo das ordenadas, sendo es o conteúdo
de água de saturação no solo; calculemos também r por meio da equação (19), considerando (7=
0,072 N.m-I, a= 0°, Pa = 1000kg.m-1 e g = 9,8 m.s-2 e plotemos os valores obtidos também no
eixo das abscissas dessas figuras. Os gráficos das Figuras 6.11 e 6.10 são tradicionalmente
denominados de curva de freqüência e curva de distribuição de frequência do tamanho dos
poros do solo, respectivamente.
Pela Figura 6.10, quando 8/e, = 1, tem-se que e = e" indicando que todos os poros do solo
estão cheios de água, ou seja, que a frequência acumulada de poros cheios é 1,00 ou que 100% dos
poros estão cheios d'água; ao valor eles = e/e, = 0,95 corresponde o valor rI = 1000 IJm, indicando
que a frequência acumulada de poros cheios de água é 0,95 (95% dos poros estão cheios) e que estes
95% de poros cheios são todos menores do que 1000 f1m;ao valor eles = e/es = 0,78 corresponde o
valor r2 = 100 fllll, isto é, a frequência acumulada de poros cheios com r < r2 = 100 fllll é 0,78 ou
78%. Portanto a frequência de poros esvaziados, na faixa de tamanho r2 < r < rI, ou seja menor do
que 1000 fllll e maior do que 100 fllll é e/es-e2/es = 0,95-0,78 = 0,17; em outras palavras, 17% do
volume do espaço poroso deste solo corresponde ao volume dos poros de raios compreendidos na
faixa de 100 a 1000 f1m.Este valor (0,17) corresponde exatamente à área hachurada da Figura 6.11.
Seguindo este mesmo raciocínio, observe, fmalmente, que se considerarmos um valor
constante e relativamente pequeno Llr de intervalo de tamanho de raio de poro e analisannos a área
sob a curva da Figura 6.11 para este valor de Llr, ao longo de toda a curva, as maiores frequências
ocorrem para valores em tomo de 58,4 fllll de raio (o pico da curva) e decrescendo à medida que se
afasta deste valor para mais ou para menos.
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Dinâmica da Agua no Solo • 143
r (J.lm)
';( = 1~00
1,0
J
0,9
I
II
0,8
I
'"
J
..,
,---------
'"
I:; 0,7J§
,
J~ 0,6
,
'"
J
'13 =." 0,5" 8":::, 0,4'3:>" as 0.3
0,20.10.0
0,01
0.1
1 10
-rem de solução)
100
0.1I
1000
Figura 6.10 Curva de distribuição de jrequência do tamanho dos poros.
1000
( I
3,0
1~0 rio = 58,4I
r (IJm)
10
, 0.1
o
o;~ 2.5
I
2 I.5
,
5
J
Io- I
°G
2,0 I
C
~o,
." o
",,,,cr"," c"::2 1,5II " d~i~." 1~
1.0
~
à:i
2-
<;[2"7
0.5
0.0
[0 ~:
0.01
0.1 10
-rem de solução)
100 1000
Figura 6.11 Curva de .ft-equência do tmnanho dos poros.
3.4 Tensiômetro
Como acabamos de ver, a combinação de um manômetro com uma placa porosa possibilita
medir o potencial mátrico </J ou a tensão r da solução no solo. Assim, a câmara de pressão dem
Richards e o funil de Haines não deixam de ser um tensiômetro (= medidor de tensão). Este tenno,
entretanto, tomou-se consagrado para illn equipamento de campo de medida de tensão que veremos
a seguIr.
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144 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
o princípio de funcionamento do tensiômetro é muito semelhante ao do funil de Haines,
residindo a diferença fundamental no fato de que, no caso do tensiômetro, ao invés de se trazer a
amostra de solo para junto da placa porosa, leva-se a placa porosa para junto da amostra de solo, uma
vez que o objetivo principal do tensiômetro, ao contrário do funil, não é a detenninação da curva de
retenção, e sim a medida de l/J no local de interesse. Como o material poroso deve ser introduzidom
no solo, ele é confeccionado numa fonna cilíndrica, conhecida como cápsula porosa (Figura 6.12)."'---
±7cm
~t_
±2 cm
Figura 6.12 Cápsula porosa usada para a confecção do tensiômetro.
Esta cápsula deve ser construída para possuir uma pressão de borbulhamento mínima de 0,1
MPa, mas também não muito maior que 0,1 MPa, para não diminuir muito suacondutância, já que,
como veremos mais adiante, o tensiômetro também funciona até um máximo de tensão de
aproximadamente 8,5 m (= 0,085 MPa).
O procedimento do funil de Haines de se trazer o solo à saturação e depois colocá-Io à tensão
de interesse não se faz no caso do tensiômetro. O importante neste, é que o solo esteja o mais
próximo possível da saturação, quando da sua instalação, a fim de que haja o bom contato necessário
entre a cápsula porosa e o solo ou, em outras palavras, para que, através dos poros da parede da
cápsula, a solução do tensiômetro entre em contato hidráulico e se equilibre com a solução no solo.
Após b estabelecimento deste equilíbrio, atinge-se, teoricamente, a mesma situação da Figura 6.7b,
como se pode ver na Figura 6.13, que mostra um tensiômetro com manômetro de solução instalado
no campo, medindo a tensão T = h m de solução no ponto C adjacente à cápsula (note a semelhança
entre as figuras 6.7b e 6.13). Evidentemente, numa condição de saturação, com O nível de um lençol
de solução passando pelo ponto C, a solução no manômetro, coincidente com o nível do lençol,
localizar-se-á em A (Figura 6.13), pelo que h = O m, como na Figura 6.7a. Se o lençol subir para
cima do ponto C, o tensiômetro passará a funcionar como um piezômetro de modo que, como na
Figura 6.2, a altura de solução acima de A representará o potencial de pressão no ponto C.
Voltemos à condição de equilíbrio da Figura 6.13. Nesta condição, o potencial total em
qualquer ponto dentro do manômetro tem que ser igual ao potencial total da solução, em qualquer
ponto do solo próximo à cápsula porosa que esteja em equilíbrio com a solução do manômetro. Isto
é, considerando os pontos B (no manômetro, fase padrão) e C (no solo, fase considerada), é claro
que, no equilíbrio
l/JI (ponto B) = l/JI (ponto C) . (24)
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Dinâmica da Agua no Solo • 145
Mas, lembrando sempre que Po= Po1m e que Pa1m é considerada igual nos dois pontos B e c:
ep, (ponto B) = epp + eplll + epll + epg = O (25)
~ I....,,-' '-.-' '-,.-J
~o =0 =0 =0
e
P
ep, (ponto C) = f vvo{dP + eplll + ghl + epll .___ '-o-'
~ ~"=O
~"
Superficie do solo
(26)
A
( 1 h =h,
1
B -
Patm Z
1
\C
cápsula
porosa
referência gravitacional
água
Figura 6.13 Tensiômetro com manômetro de água instalado no campo.
Analogamente aos casos anteriores, ep, (ponto B) = O por se tratar da fase padrão
(A. _ /I _ o - O)\it', - E,m/ E,m/ - •
o tenno ep aparece na equação (26) porque, como estamos considerando condição de campo,p
o material sólido acima do ponto de medida no perfil pode causar uma sobrecarga ou pressão
"overburden", no caso de solos expansivos. Assim, a combinação das equações (24), (25) e (26)
resulta em
P
epm (energia / massa de solução) = -gh - f vm,dP
P"
'-----v---'
~"
ou
epm + epp = -gh (energia/massa de solução),
ou, em termos de carga hidráulica:
(27)
(28)
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146 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
cjJm +cjJp =-h(mdesolução). (29)
Portanto, por meio do tensiômetro, mede-se a soma dos potenciais mátrico e de pressão e não apenas
o potencial mátrico, no caso de solos expansivos.
No entanto, se o solo no qual o tensiômetro for instalado é não expansivo, então Vsol = O; neste
caso, cjJp que aparece nas equações (28) e (29) desaparecerá, independentemente do valor da pressão
P (ver equação 27). Portanto, para solos não expansivos, as equações (28) e (29) se reduzem,
respectivamente, a
e
cjJ m = - gh (energia / massa de solução)
cjJm = -h (m de solução).
(30)
(31)
Devido à impraticabi1idade de utilização do tensiômetro mostrado na Figura 6.13 no campo,
pelo fato de se ter que abrir uma trincheira para que a leitura possa ser feita, substitui-se o
manômetro de água por um manômetro de mercúrio, colocado acima da superficie do solo,
confonne mostra a Figura 6.14.
h
hB
c,
h,
! superficie do solo
""I
A
atm
(a)
z
lençol freático
h
Pall
(b)
z
PHg H
p,w!
Figura 6.14 Tensiômetro com manômetro de mercúrio instalado no campo: a) solo saturado
(h = O);b) solo não saturado (h > O).
Analisemos, primeiramente, a situação da Figura 6.14a, na qual h = O m de solução:
condição idêntica à da Figura 6.7a, isto é, solo saturado. Observe, entretanto, que, nesta
condição, o manômetro de mercúrio indica uma leitura H' e não zero; ele marcaria zero se a
cuba com mercúrio estivesse abaixo da superfície do solo e com o seu nível de mercúrio
coincidente com o centro da cápsula onde se encontra o lençol freático. Imaginemos esta
última situação, em que o nível de mercúrio na cuba esteja coincidindo com o centro da
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cápsula. Ao se elevar a cuba de mercúrio para cima da superfície do solo, hc + Z m acima do
centro da cápsula, cria-se um sifão o qual, ao tentar escoar a solução, "puxa" o mercúrio da
cuba até o reestabelecimento do equilíbrio com H'. Evidentemente, quanto maior hc + Z,
maior é H' porque maior se torna a diferença hA - hs que rege o funcionamento do sifão.
Portanto, a pressão causada pela coluna de mercúrio H' é igual à pressão causada pela coluna
de solução hA - hs = H' + hc + Z, porque a pressão líquida que atua sobre a solução no tubo
no sentido ABC é Pa1m - psolg hA, e no sentido CBA, Pa1m - (Psalg hS+PHgg H')*. Como o
sistema está em equilíbrio, então
P"lm - PsolghA = P"lm - (PsolghB + PHggH').
Rearranjando,
ou, (ver Figura 6.14a),
(32)
ou ainda
donde
H' = Psol (hc + Z).
PHg - Psol
(33)
(34)
Portanto, independentemente do conteúdo de água no solo, o tensiômetro com manômetro de
mercúrio apresenta uma leitura constante H' cuja magnitude é dada pela equação (34), a qual, como
se vê, é diretamente proporcional a h + Zc
A partir desse valor (H') o aumento da coluna de mercúrio é devido ao secamento do solo ou
aumento da temão h (Figura 6.14b). Portanto, na condição de equilíbrio da Figura 6.14b, que é
idêntica à da Figura 6.7b, tem-se, por raciocínio semelhante, que as pressões líquidas nos sentidos
ABC e CBA são iguais, isto é:
Pa1m-(Psolgh+ psolghJ=Pafm -(PHggH' + PHggH" + PsalghB)' (35)
\ v ' ~ v '
MA Me
e então,
ou (ver Figura 6.14b)
Explicitando Psof:
(36)
* As pressões internas que atuam no interior dos líquidos no tubo, sob as interfaces solução-ar, mercúrio-ar e
solução-mercúrio, cancelam-se.
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148 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
Como, de acordo com a equação (33), (PHg- ps) H' = pso/he + Z), resulta que:
h (PHK -Pso'f" (d
= ---- --7 m e solução).
Psol
(37)
Portanto, a partir desta equação (37) obtém-se o valor de h pela simples leitura H" do
tensiômetro feita a partir do topo de H'.
Por outro lado, chamando H' + H" de H, a leitura do tensiômetro feita a partir da superficie
do mercúrio na cuba, tem-se, a partir da equação (36) que
h=(PHK - Psol IR" -hc -2. (38)Psol r
-3 -3
Como, normalmente, se considera que PH = 13600 kg m e P / = 1000 kg m , então, ag so
substituição destes valores nas equações (37) e (38) transforma h (m de solução) em
h = 12,6H" (39)
e
h=12,6H -(hc +2), (40)
respectivamente, sendo:
h = membro da direita das equações (29) e (31), expresso em mde solução;
H" = leitura do tensiômetro feita a partir do topo de H', em m de mercúrio;
H = leitura do tensiômetro feita a partir da superficie do mercúrio na cuba, em m de mercúrio;
hc = distância vertical do nível de mercúrio na cuba à superficie do solo no momento da leitura, em
m de solução;
2= profundidade de instalação da cápsula, em m de solução.
Observe que depreende imediatamente da equação (38) que H + he + 2 + h = (PH!Psol) H
(Figura 6.l4b) ou, substituindo os valores de PHge pso/, que H + he + 2 + h = 13,6 H Observe
também que (he + Z) é a distância vertical que vai do nível de mercúrio na cuba ao centro da cápsula
porosa, no momento da leitura. Chamamos a atenção a esse fato porque, notadamente, quando se
trabalha com colunas de solo no laboratório, a cuba de mercúrio nem sempre fica acima da superficie
do solo como no campo. E é fácil perceber que a equação (40) é válida somente quando o nível de
mercúrio na cuba, no momento da leitura, se localizar acima da superficie do solo. Para não causar
confusão, chamemos essa distância vertical entre o nível de mercúrio na cuba e o centro da cápsula,
no momento da leitura, de X Com isso, é fácil demonstrar que, toda vez que o nível de mercúrio na
cuba, no momento da leitura, a) localizar-se acima do centro da cápsula, h = 12,6 H-X; b) localizar-
se abaixo do centro da cápsula, h = 12,6 H + X, e c) coincidir com o centro da cápsula, h = 12,6 H.
Tendo em conta as equações (29) e (31), obtém-se, respectivamente,
a) para solos expansivos
ou
ifJp + ifJm = ~12,6H'
ifJp +ifJm =-12,6H + hc + 2
(41)
(42)
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b) para solos não-expansivos
ou
ep", = -12,6H"
ep", =-12,6H +hc +Z.
(43)
(44)
Exemplo Ilustrativo
Considere um tensiômetro de manômetro de mercúrio em vidro, instalado no campo, a uma
determinada profundidade, apresentando uma leitura de 0,25 m Hg. Se em vez de mercúrio,
utilizássemos um outro líquido, de densidade 2500 kg m,3, de quanto seria a leitura do tensiômetro
em metros deste líquido? Em que situação este líquido (se existisse) apresentaria vantagem em
relação ao mercúrio?
Solução:
Pelas fónnulas (31) e (38) tem-se para o mercúrio que:
epm :::: _(_P_Hg_-_P_S_OI JH + hc + Z .Psol
Evidentemente, para um outro líquido de densidade PI, a fónnula seria:
r!l :::: _(PI - PsoI JH + h + Z
'rm I c .
Psol
Portanto igualando as duas equações, uma vez que epm tem que ser o mesmo, resulta:
Substituindo os valores:
(13600 -1000)
H,:::: ----- 0,25 ::::2,1m do líquido.
2500 -1000
Este líquido apresentaria vantagem em relação ao mercúrio numa situação em que a tensão da
água no solo fosse relativamente baixa e sua variação pequena ao longo do tempo, por exemplo
próximo de um lençol freático.
Quando se utiliza a fórmula (40) para o cálculo de h, é preciso lembrar que para cada leitura H
há um valor de hc correspondente. Isto porque, conforme H aumenta (ou diminui), hc diminui (ou
aumenta), uma vez que o volume de mercúrio utilizado para se obter H é retirado da cuba. Este fato
dificulta o manuseio do tensiômetro quando se utiliza esta fórmula, posto que além de H também hc
tem que ser medida toda vez que se faz a leitura. Entretanto, isto pode ser facilmente contornado da
seguinte maneira:
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150 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
a) Preenche-se a cuba com mercúrio e, antes de colocar o manômetro em funcionamento, faz-se
uma marca na cuba na posição em que se encontra a superfície do mercúrio, de tal maneira que
da superfície do solo a essa marca tem-se o valor constante h; (Figura 6.15a).
b) Chamando de D o diâmetro da cuba e de d o diâmetro do tubo de leitura tem-se, num
detenninado instante, após o acionamento do manômetro, o que mostra a Figura 6.15b, de tal
maneIra que
n~(H - H")- nd2 (H _ H")= nd2 H" .
4 4 4
(45)
o membro da esquerda da equação (45) representa o volume de mercúrio retirado da cuba e o da
direita o mesmo volume que deu origem à altura de mercúrio H*. Observe que a quantidade H*
representa a altura de mercúrio medida a partir da marca fíxa feita na cuba antes do acionamento
do manômetro.
superficie do solo
*
hc
H
hc
Figura 6.15 Manômetro de mercúrio do tensiômetro: a) com o tensiômetro desativado; b) com o
tensiômetro funcionando.
c) Por meio de manipulações algébricas simples a partir da equação (45), chega-se à seguinte
equação para H:
"'( d2 J"
H=H+ 2 2H.D -d
Como H - H* = h; - hc então, evidentemente,
h =h" _( d2 lu"c c D2 - d2;' .
(46)
(47)
d) Portanto, por meio destas equações (46) e (47) obtêm-se, em qualquer instante, a partir apenas da
leitura H*:
1. o valor de H, conhecidos os valores constantes de D e d;
2. o valor de hc, conhecidos os valores constantes de h:, D e d;
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que deverão ser substituídos na equação (40) para o cálculo de h.
Depreende-se facilmente das equações (46) e (47) que quanto maior for a diferença entre os
valores de D e d e quanto maior for o conteúdo de água no solo, isto é, quanto menor for H*, tanto
mais H* se aproxima de H e h: de hc e menos significante se toma o tenno de correção
2 2 2 H* * *[d /(D - d)] que deve ser somado a H e subtraído de hc. Uma outra maneira, portanto, de
contornar o problema da variação de he com a variação de H é construir o tensiômetro de tal modo
que a diferença entre D e d seja a maior possível, com o que, em termos práticos H* == H e h: == he.
Por exemplo, para D = 26 mm, d = 1 mm e um valor de H* = 700 mm, que pode ser considerado
máximo para o tensiômetro, resulta para o tenno de correção um valor máximo de aproximadamente
1 mm, que está dentro da faixa de erro de leitura do tensiômetro com manômetro de mercúrio.
Quando se utiliza a fónnula (39) para o cálculo de h, evidentemente, de acordo com a
magnitude relativa dos valores de D e d, é possível que H" precise ser corrigido, pelos mesmos
motivos apontados anteriormente; isto é, com a variação de H", há variação de hc com conseqüente
variação da posição do topo de H' (= zero do tensiômetro) que também varia. Essa correção pode ser
feita seguindo raciocinio semelhante ao apresentado para o caso da fórmula (40). Deixamos ao leitor,
como exercício, encontrar o tenno de correção para H" da fórmula (39).
Finalmente, é importante esclarecer que, de acordo com a equação (35), conforme a tensão h
aumenta, a pressão líquida (MA) que atua na água no solo no sentido de empurrá-Ia para dentro do
tensiômetro diminui, fazendo com que a pressão líquida Me atuando na superficie de mercúrio da
cuba no sentido de empurrar o mercúrio para dentro do tubo de leitura, tomando-se maior do que
MA, empurre o mercúrio da cuba para cima no tubo, com conseqüente aumento de H", diminuição
de hB e estabelecimento de novo equilíbrio. Evidentemente isso ocorre enquanto a quantidade
(PHggH' + PHggH" + psolg hB) for menor do que Patm porque quando ela se tomar igual a Patm, Me se
anula e não há mais possibilidade de aumento de H": um aumento de h a partir desse ponto faz com
que a coluna de líquido se rompa. Portanto, a menos que o fenômeno de cavitação explicado
anteriormente ocorra antes, o tensiômetro com manômetro de mercúrio como o da Figura 6.14
funciona até um máximo de leitura H = H'+ H" de (Hatm - hB) metros de mercúrio, sendo Hatm a
altura de mercúrio correspondente à pressão atmosférica. Por exemplo, num local onde a pressão
atmosférica equivale a 10m de solução, um tensiômetro com manômetro de mercúrio no qual
hc = 0,2 m, Z = 1 m e hA - Z = 1 m funciona até um máximo de H == 0,73 m de mercúrio,
correspondendo a um h == 8 m de solução.
4. POTENCIAL DE SOLUTO
Vimos, no capítulo anterior (equação 72), que o potencial de soluto lfIs é dado pela expressão
(48) a seguir:
s rnJ (df.1 J
lfIs = L ~ dmr ~ O .
r=! a Jmr '
m, T,P,U ,-m"Pa, (h=O)
(48)
o símbolo ~ significa que se não houver solutos na água no estado considerado, isto é,
mr = m/, então lf/s = O, uma vez que dmr=O. Se, por outro lado, houver solutos no estado
considerado, então mr > m/ e, conseqüentemente, dmr> O. No entanto, df1aldmr < O, uma vez que a
presença de solutos dissolvidos na água reduz o seu potencial químico e, conseqüentemente, lfIs < O.
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https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark152 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
Esta influência dos solutos sobre o potencial do componente água é, nonnalmente,
demonstrada separando um recipiente contendo uma solução (de sais, por exemplo) de um outro
contendo água pura por meio de uma membrana semipenneável ideal, confonne mostra a
Figura 6.16. Uma membrana semipenneável ideal é aquela que é penneável às moléculas de água
mas completamente impermeável a todo e qualquer soluto. A maioria das membranas
semipenneáveis, no entanto, não são ideais, sendo sempre um pouco permeáveis a solutos.
Numa situação como a da Figura 6.16, é fato experimental que moléculas de água se movem
através da membrana do recipiente com a água pura para o recipiente com a solução salina,
indicando que as moléculas de água na água pura têm uma atividade maior e, portanto, um potencial
maior do que as moléculas de água na solução.
+1tsolução
salina
água pura
'::I:-::
Patll1 --> f·:·:·.:·:·:·.:·:·:·.:~:~/:~::
}!:}
membrana
semi-permeável
ideal
Figura 6.16 Ilustração da medida da pressão osmótica; Pa1m = pressão atmosférica; n = pressão
osmótica.
Se quisennos evitar este movimento das moléculas de água através da membrana, uma
pressão n deve ser exercida no pistão do lado da solução salina para elevar o potencial total do
componente água desta solução e tomá-Io igual ao potencial total da água pura. Nesta condição de
equilíbrio, portanto:
lf/, (água pura) = lf/, (solução). (49)
Nesta situação, quando se considera Po = Po'm,
lf/, (água pura) = lfI p + lfI", + lfIll + lfI, + lf/ g = O
",,"--",,'-.,.-J'-v-I"-.r-J~
=0 =0 =0 =0 =0
(50)
por se tratar da fase padrão e, para a fase considerada,
lfI, (solução) = -.!!.- + lfI", + lfIlI + lfI" + lfI,
P ag ':õ' ':õ ':õ'-v---'
lfIp
(51)
Então, igualando as equações (50) e (51), obtém-se que
lfI, = -1 (n) (energia / massa do componente água)
Pag
(52)
ou
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lfIs = -7r (energia / volume do componente água). (53)
Este fenômeno da passagem de moléculas de água através de uma membrana semi-permeável
que separa água pura de uma solução é conhecido como osmose e a pressão 7r que deve ser aplicada
à solução para evitar a osmose do componente água para ela é chamada de pressão osmótica, daí
chamar-se lfIs também de potencial osmótico do componente água, pelo fato de ser igual à pressão
osmótica com o sinal trocado (equação 53).
Pode-se demonstrar que
RT7r=--lnN
ag'
vag
(54)
sendo R = constante universal dos gases, T = temperatura absoluta, vag = volume molar parcial da
água pura e Nag = fração molar da água pura, dada por:
em que nag = número de moles do componente água e nr = número de moles dos solutos r da solução
(r = 1,2,3, ...)
A equação (54) pode ser simplificada para soluções diluídas para
7r =RTC, (55)
sendo C = concentração molar dos solutos (número de moles dos solutos por unidade de volume de
solução).
Conseqüentemente, para soluções diluidas:
lfIs = -RTC , (56)
isto é, para medir o potencial de soluto de soluções diluídas (que é o que nonnalmente ocorre em
solos não salinos), é preciso conhecer a temperatura e a concentração dos solutos na solução.
5. EXERCÍCIOS
1. Quando se obtém o limite máximo de tensão no funil de Haines?
2. O que é curva de retenção da água no solo? Como pode ser detenninada no laboratório? E no
campo?
3. Por que o sistema de Richards pode medir tensões de 1500 kPa ou mais e o funil de Haines e o
tensiômetro até aproximadamente 85 kPa?
4. Qual o valor do potencial mátrico (em metros de solução) no ponto A do perfil de solo da figura a
seguir?
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154 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
superfície do solor
O,2m -
IIg - ~(-/- - - ~- _r,08m
5. Considerando a) macroporos = poros com diâmetro maior do que 100 11m,b) mesoporos = poros
com diâmetro na faixa 30 - 100 11m, c) microporos = poros com diâmetro menor do que 30 11m,
calcule a porcentagem do volume desses poros para dois solos A e B caracterizados pelas curvas
de retenção abaixo.
e(%)
50r---- ___
---- .•. ---
---
- -_s~lo B40
~
-
30 20~-
I
10- ,
,
O
0,20,40,60,81,01,21,41,6 . 'C (m)
6. Três tensiômetros são instalados num perfil de solo homogêneo, como mostra a figura a seguir.
Pergunta-se
a) Qual o valor do potencial mátrico em A, B e C?
b) Qual o valor do potencial total da solução em A, B e C?
c) Onde o conteúdo de água (solução) é menor: em A, B ou C?
d) Entre B e C, a solução está se movendo para cima ou para baixo?
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Dinâmica da Agua no Solo' 155
0,40m
0,30m
0,30 m
O,IOm
0,30 m
superficie do solo
nível de referência
7. Duas parcelas iguais de dois solos A e B, cujas curvas de retenção são mostradas a seguir, são
cultivadas com uma mesma cultura. Assumindo que: a) em ambas as parcelas a
evapotranspiração seja a mesma e constante com o tempo; b) em ambas as parcelas sempre se faz
irrigação quando o solo atinge um valor médio de </J", = -300 kPa, pede-se comparar o conteúdo
de água volumétrico e na camada irrigação dos solos das duas parcelas num mesmo gráfico de e
versus tempo, indicando os tempos de irrigação por flechas.
e (%).
30 - - --
20 -
10
....
.... ,\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
" solo A
\,,,,
............
---
o 0,1 0,2
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156 • Medida dos Potenciais da Solução no Solo
8. No esquema da figura abaixo, não está havendo movimento de solução entre os pontos A e B.
Qual é o valor de H se o medidor de vácuo está lendo 30 kPa? (obs.: se o inedidor de vácuo for
desconectado, sua leitura é OkPa)
r'l --)~ Ir:~medidor
- , - / de vácuo
I -1-
° 2 0,3 m,111
1 y superfície do solo..
0,5 m
----- -~-----~WB------
9. Os dados da tabela abaixo representam uma curva de retenção da água em um detenninado solo,
obtidos por meio de funis de placa porosa e câmaras de pressão com placa porosa.
Tensão (m) UmidadeTensão (m)Umidade
(m3.m-3)
(m3.m-3)
0,000
0,5501,0000,384
0,050
0,5482,0000,321
0,100
0,5443,0000,299
0,200
0,5285,0000,302
0,300
0,5078,0000,266
0,400
0,48410,0000,264
0,500
0,46230,0000,254
0,600
0,44150,0000,253
0,700
0,423150,0000,252
0,800
0,408
a) Plotar estes dados num papel semi-log (8 vs 1m) e ajustar os pontos numa curva.
b). Calcular as tangentes d8/dr e desenhar a curva da frequência de tamanho dos poros (Figura
6.11).
c) Interprete os resultados e elabore uma conclusão sucinta no que respeita à condução, à
redistribuição e à retenção de água neste solo.
10. Até que valor máximo de leitura H funciona o tensiômetro com manômetro de mercúrio instalado
no campo confonne a figura seguinte, sabendo-se que Pa1m = 105 Pa, hB + H + hc= 1,0 m, hc= 0,2
meZ=l,Om?
Dados: psol = 1000 kg m-3 e PHg = 13600 kg m-3
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Dinâmica da Agua no Solo • 157
z
. J
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VII
MOVIMENTO DA ÁGUA NO SOLO
1. INTRODUÇÃO
Antes de estudar este capítulo, recomendamos a leitura do apêndice II do livro àqueles não
familiarizados com a análise vetorial, principalmente a parte correspondente aos conceitos de
gradiente de um campo escalar e divergência de um campo vetoria!. Recomendamos também, neste
momento, a leitura do item 1 do apêndice deste capítulo que trata, resumidamente, de aspectos
fundamentais da hidrodinâmica.
Até agora, estudamos a água em equilíbrio e qual sua tendência ao movimento. Para
descrever como ela se movimenta no solo, precisamos utilizar uma equação que quantifiqueo
processo. Para tanto, para que toda e qualquer influência sobre o movimento possa ser considerada,
é necessária a utilização das chamadas equações jenomenológicas de Onsager, que têm origem na
terrnodinâmica dos processos irreversíveis. Mais tarde, vamos abordar um pouco este assunto.
Antes, porém, vamos descrever duas equações muito importantes que quantificam o movimento da
solução no solo sob condição isoténnica: a equação de Darcy, para solos saturados, e a equação de
Darcy - Buckingham, para solos saturados e não saturados.
2. EQUAÇÃO DE DARCY
No século XIX, no ano de 1856, o engenheiro hidráulico Henry Darcy -realizou uma
experiência sobre infiltração vertical de solução (= água comum) em filtros (colunas) de areia
homogênea sob condições de saturação. A Figura 7.1 mostra o diagrama esquemático do arranjo
experimental por ele utilizado.
Com esse arranjo experimental, após atingida a condição de equilíbrio dinâmico, quando o
valor da vazão Q não variava mais com o tempo, Darcy obteve as seguintes conclusões:
a) A vazão Q, isto é, o volume de solução que atravessa a coluna por unidade de tempo, é
proporcional à área A de sua secção transversal, em símbolos:
Q a A. (1)
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160 • Movimento da Agua no Solo
b) A vazão Q é proporcional à diferença entre as cargas piezométricas (h1 - h2) que ahlam nas
extremidades da coluna:
Q CX (h, - h2 ). (2)
c) A vazão Q é inversamente proporcional ao comprimento L do filtro de areia:
1
Qcx-.L
(3)
(4)
Ora, quando uma grandeza é simultaneamente proporcional a várias outras, é também proporcional
ao produto delas. Assim, a combinação das três conclusões de Darcy resulta em:
Qcx A hl -h2L
Substituindo, então, o símbolo de proporcionalidade a da equação (4) por uma constante de
proporcional idade K, obtém-se a famosa fónnula ou equação de Darcy, também chamada por
muitos autores de lei de Darcy:
Q=KA h, -h2L
(5)
z
~
ifiP1
ZIh-W ,
,
tela
a r
tiIoifi I : h I IL ej oI ifig, I 1fc I to,;,;""ifip 1 o graduado paraifil, ~ h! I a o medir a vazão Qtela
x
referência gravitacional
y
Figura 7.1 Diagrama do arranjo experimental utilizado por Darcy.
Pela equação (5), portanto, K é uma propriedade do meio poroso, que traduz a rapidez com
que determinado líquido atravessa esse meio. Por exemplo, se reproduzinnos a Figura 7.1 para duas
colunas (filtros) idênticas, mas uma com areia grossa e outra com areia bem fina, o valor de K da
primeira deve ser bem maior do que o da segunda, isto é, sob condição de saturação, a areia grossa
deve conduzir mais facilmente o líquido do que a fina. Como, no experimento de Darcy, o líquido
utilizado foi água, ele chamou esta constante de condutividade hidráulica.
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(6)
Dinâmica da Agua no Solo· 161
2.1 Generalização da equação de Darcy
Vejamos, agora, como se pode generalizar a equação obtida por Darcy em 1856, à luz dos
conhecimentos sobre os potenciais da solução e a análise vetoria!. Para facilitar o entendimento,
vamos subdividir a discussão em itens.
1. É fácil perceber que, para o arranjo experimental da Figura 7.1, a carga piezométrica hj é igual
ao que defmimos no capítulo V como potencial total da solução ep, (em tennos de altura deI
líquido) na extremidade superior do filtro de areia; h2' similannente, é igual ao potencial total da
solução <Pt2 na extremidade inferior do filtro. Como, sob condições de saturação e para a
situação da figura, <Pt =<Pp +<Pg, então, o termo
hl - h2 <P/I - <P'2 _ <P/I - <P/2
L L
pode ser interpretado como o gradiente do potencial total da solução na direção vertical,
variação do escalar <Pt com a distância vertical, que, em termos infinitesimais e pelo seu caráter
vetorial, deve ser escrito como (J<p;CJz) k. Fisicamente, este gradiente representa a força que
atua na unidade de massa (ou volume) de solução fazendo-a mover (ver item 3.2 adiante).
Observe também (Figura 7.1) que z representa a coordenada vertical de posição.
2. Se dividirmos ambos os membros da equação (5) por A, transfonnamos seu membro da esquerda
numa vazão por unidade de área, isto é, num volume de solução que passa verticalmente para
baixo (se hj > h2) ou para cima (se h2 > hj) pela unidade de área da secção transversal da
coluna, por unidade de tempo. Constitui-se, portanto, num vetar qz de módulo igual a Q/A, que
denominaremos de densidade defluxo.
3. De acordo com o conceito do vetar gradiente de um escalar (apêndice II), no presente caso em
que o escalar é <Pt, seu sentido é o dos <Pt crescentes; no caso da Figura 7.1, se ep'l > <P'2 ' seu
sentido é para cima, e se <Pt2 > <Ptl ' para baixo.
4. Pelas considerações dos itens (2) e (3), os vetores q z e (Jep;CJz) k são colineares (encontram-se
sobre uma mesma reta), mas de sentidos opostos.
5. Considere que o meio com relação a K seja isotrópico, ou seja, que K não dependa da direção
dentro do meio, sendo portanto um escalar.
6. Pelas considerações vistas até o momento, conclui-se que o vetor ij z possui o mesmo módulo, a
mesma direção, mas sentido oposto ao do vetor K (d<PICJz) k , porquanto
- =_K°<Pt k
qz oz'
o sinal negativo justificando, como sabemos, os sentidos opostos dos vetores qz e K (J<PICJz) k .
7. A equação (6), portanto, que é idêntica à equação (5) mas mais bem elaborada matematicamente,
é válida para a quantificação do movimento da solução através de um meio poroso isotrópico,
apenas para um arranjo experimental ou uma situação em que se tenha certeza que a
movimentação se dá na direção vertical (direção z), que é o caso do experimento de Darcy. No
caso mais geral, quando as três dimensões precisam ser consideradas, a equação (6), ainda para
meio isotrópico com relação a K, pode ser generalizada para
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162 • Movimento da Agua no Solo
q=-KV'" '1'1 , (7)
sendo que, agora, q é o vetor densidade de fluxo em qualquer direção no espaço e Ve/J, o vetor
resultante dos componentes cartesianos triortogonais do vetor grãd e/JI; de mesma direção e
sentido oposto que o vetor q .
8. Portanto, reenfatizando, para meios isotrópicos com relação a K, os vetores q e Ve/Jr são sempre
colineares, fazendo com que q seja sempre normal às superficies equipotenciais e/Jt = constante.
No caso do movimento na direção vertical, como acontece com o experimento de Darcy
(equação 6), a visualização desta perpendicularidade do vetor q com as superficies
equipotenciais é bastante clara, posto que a superficie da extremidade superior da coluna de areia
é a própria superficie equipotencial e/Jt} = constante, e a superficie da extremidade inferior da
coluna a própria superficie equipotencial e/Jt2 = constante.
9. A equação (7) pode ser generalizada mais ainda, e ser estendida para meios anisotrópicos (ou
aleotrópicos) com relação a K, meios nos quais K varia com a direção no seu interior. Para tais
meios, a direção de q não é normal às superficies equipotenciais. No entanto, este assunto de
anisotropia não será abordado neste livro. Aos mais interessados, recomendamos a leitura do
capítulo 9 e das notas 15 e 16 do livro de Childs (1969), dentre outros.
3. EQUAÇÃO DE DARCY-BUCKINGHAM
A equação de Darcy, como acabamos de ver, foi desenvolvida para quantificar o movimento
de um líquido que satura um meio poroso. A condição mais comum, entretanto, do meio poroso de
nosso interesse, o solo, não é aquela em que seus poros estejam sempre saturados.
O primeiro trabalho de que se tem notícia que apresenta uma equação que quantifica o
movimento da solução, em condição de solo não saturado, é o de Buckingham (1907). A despeito
das falhas e contradições, muito bem levantadas por Corey e Klute (1985) a respeito deste pioneiro
trabalho do início do século XX, seu autorteoriza uma equação a qual seria escrita, na linguagem de
hoje, como
q = -K(e)V e/Jm(e), (8)
em que q é a densidade de fluxo da solução; K( e ) a função condutividade hidráulica; e/Jm( fJ) a
função potencial mátrico, e e o conteúdo da água volumétrico no solo. Portanto, foi Buckingham
(1907) quem introduziu na ciência do solo as funções e/Jm = e/Jm (e) e K=K (e) que, na ocasião, ele
as chamou de "potencial capilar" e "condutividade capilar", respectivamente. A equação de
Buckingham (equação 8), porém, como se vê, é válida apenas para o movimento da solução no solo
na direção horizontal ou para o caso no qual o efeito da gravidade é desprezível.
Foi Richards (1928) quem defmiu um potencial total como sendo igual à soma do potencial
capilar de Buckingham e o potencial gravitacional e/Jg, e escreveu a equação do movimento da
solução como
q =-K(e)Ve/Jr' (9)
De acordo com este autor, portanto, e/Jr = e/Jm + e/Jg para solo não saturado. Sabemos, entretanto, hoje,
que e/JI= e/Jp + e/Jm + e/Jn + e/Jg e que, para solos não-expansíveis em condições normais de medida,
Ve/J,=Ve/Jm+Ve/Jg'
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Dinâmica da Agua no Solo· 163
À semelhança da equação (7), verifica-se facilmente que as equações (8) e (9) implicam na
isotropia do solo não saturado com relação a K( fJ). Além disso, a interpretação fisica dos parâmetros
e do sinal negativo destas equações é idêntica à dos parâmetros e do sinal negativo correspondentes
da equação de Darcy, com a diferença de que, agora, o solo é não saturado. A propósito, observe a
semelhança entre as equações (7) e (9). Na realidade, a equação (7) é um caso particular da
equação (9), visto que, quando o movimento da solução é sob condição saturada 8= 8s (conteúdo de
água de saturação), K( 8s) = Ko (condutividade hidráulica do solo saturado), cjJ, = cjJp + cjJg e a
equação (9) se toma idêntica à equação (7).
De acordo com Swartzendruber (1969), o próprio Richards que chegou à equação (9) sugeriu,
no VII Congresso Internacional de Ciência do Solo, realizado em Madison (Wisconsin, EUA) em
1960, que à equação (9) fosse dado o nome de equação de Buckingham, mas que ele,
Swartzendruber, embora concordasse com Richards, gostaria que figurasse também o nome de
Darcy no nome da equação, isto é, que ela fosse chamada de equação de Darcy-Buckingham,
porque com isso dar-se-ia o merecido crédito a Buckingham pela sua grande contribuição à
equação (9) e também refletir-se-ia a prática que se fazia (e ainda se faz) quando esta equação era
citada, com relação à sua analogia com a equação de Darcy. Entretanto, o próprio Swartzendruber
em 1977 pôde verificar (e ainda hoje se verifica) que a maioria dos fisicos do solo não usavam o
nome de Buckingham quando se referiam à equação para fluxo em solo não saturado, e preferiam
dizer apenas que estavam aplicando a equação de Darcy para a condição não saturada. Portanto,
pouco impacto parece ter causado na comunidade científica todo o esforço de Swartzendruber e
também de Richards em recomendar o uso do nome de Buckingham na referência à equação (9).
Este fato, segundo o próprio Swartzendruber (1977), parece ter ocorrido, curiosamente, para
punir Buckingham por não fazer menção alguma sobre qualquer relação entre sua equação (8) e a
lei de Darcy. De qualquer maneira, achamos razoável a ponderação de Swartzendruber pela
relevância indiscutível do trabalho de Buckingham (1907). Por isso, daqui para frente, sempre que
nos referirmos à equação de Darcy-Buckingham (equação 9), estamos considerando tanto a
condição saturada como as não saturadas.
Discutamos, agora, um pouco mais os termos da equação de Darcy-Buckingham.
3.1 Densidade defluxo: q
A densidade de fluxo, como já vimos, representa a vazão de solução por unidade de área de
secção transversal de solo. Dimensionalmente, verifica-se que sua unidade é de velocidade {L.T-l}.
No entanto, ela não representa a velocidade real com que a solução se move nos poros do solo, uma
vez que a secção transversal disponível para o fluxo é representada pela secção transversal de
líquido (Figura 7.2). Assim, enquanto o módulo da densidade defluxo q é dado por
(10)
volume de solução Vsal por unidade de área de solo A e de tempo !, o módulo da velocidade real
média v dentro do solo é dado por
v,u/v=--,
Aso"!
(11)
sendo Asal a área de líquido (parte hachurada mais escura da Figura 7.2). Observe que esta segunda
definição é mais real, wna vez que onde existe partícula sólida e ar não está havendo movimento de
solução. O adjetivo média, por sua vez, está sendo usado devido à heterogeneidade da geometria
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164 • Movimento da .4gua no Solo
dos poros que confere em cada ponto (em cada poro, do ponto de vista microscópico) dentro do solo
uma velocidade real diferente.
solo saturado
Figura 7.2 Poros idade e conteúdo de água de área.
I
sólido
solução
ar
\
solo não saturado
Outro fato importante a ser considerado é o de que enquanto a densidade de fluxo é
relativamente fácil de ser medida, o mesmo não acontece com a velocidade real média, devido à
dificuldade de se medir Asa/' Na busca de obter v a partir de q, dividamos a equação (10) pela
equação (11). O resultado é o que se segue:
v =----.!l.
A IA'
sol
(12)
sendo que Asa/A representa a fração da área de solo que é ocupada pelo líquido em movimento e
que chamaremos de porosidade de área para a situação de solo saturado, e de conteúdo de água de
área no caso em que o movimento se dá numa condição não saturada. Por outro lado, se
considerannos um cilindro de solo como o visto de topo na Figura 7.2, cuja área de secção
transversal seja A, mas o comprimento L seja suficientemente pequeno, de tal maneira que seja igual
ao comprimento do caminho seguido pela solução (LsoD, o que necessariamente implica em que Asa!
seja a mesma ao longo de L, então
Asol = VWI (numericamente)
A V '
(13)
ou seja, a) no caso de solo saturado, a porosidade de área é numericamente igual à porosidade
volumétrica a, e b) no caso de solo não saturado, o conteúdo de água de área é numericamente igual
ao conteúdo de água volumétrico 8, uma vez que, sob estas condições,
V"" _ A.ml.L.ml
V A.L
e, como Lso! = L, eles podem ser cancelados na equação (14), resultando a equação (13).
É por isso que se diz que, para fluxo em solo saturado
(14)
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li =!I (numericamente),a
enquanto que, para fluxo em solo não saturado
li =!l... (nwnericamente),e
Dinâmica da Agua no Solo· 165
(15)
(16)
numericamente porque a unidade correta de v é obtida a partir da equação (12).
3.2 Gradiente depotencial total da solução
Acreditamos que o gradiente de uma grandeza escalar será suficientemente explorado no
apêndice lI, de maneira que vamos, neste item, apenas analisá-lo do ponto de vista da sua análise
dimensional para o caso em que a grandeza escalar é o potencial total da solução 1Jr
Dimensionalmente, quando se expressa o potencial em termos de energia por unidade de
volwne:
d. energia I volumegra lente = -------
distância
força [N m-3],
volume
porque energia/distância = força.
Por outro lado, utilizando a unidade de energia por massa para potencial, resulta, para
gradiente, a unidade
d' energia I massa força [N k -1]gralente = - --- g.
distância massa
Por este motivo, sendo a unidade do gradiente de potencial total a de força/volume ou
força/massa e também porque o vetor q possui a mesma direção mas sentido oposto do vetor
~
grad 1J1' diz-se que
- ~
F = - grad 1Jt ,
isto é, a força que atua na unidade de massa (ou volwne) de solução fazendo-a mover é de mesmo
~
módulo, mesma direção, mas de sentido exatamente oposto ao do vetor grad 1Jr
Além disso, como vimos no item 4 do capítulo V, especificamentena equação (77), a divisão
da energia/massa pela aceleração da gravidade g resulta nwna altura de solução para 1J/, dando para
~
grad 1J/ e, evidentemente, também para F, um caráter adimensional:
d· energia I massa.g distância [ d' . 1]gra lente = ------- = ---- a rmenSlOna .
distância distância
3.3 Condulividade hidráulica
Para bem entender o parâmetro condutividade, achamos indispensável que se tenha alguma
noção a respeito da viscosidade de wn fluido. Isto pode ser obtido pela leitura do item 2 do apêndice
deste capítulo.
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166 • Movimento da Agua no Solo
Além disso, devemos esclarecer que, quando se diz condutividade hidráulica de um solo, está
implícito que se está considerando como meio poroso uma amostra de solo e como fluido que nela
se move uma solução aquosa (daí o adjetivo hidráulica). Caso contrário, ou de uma maneira
generalizada, devemos dizer condutividade de um meio poroso para um fluido newtoniano, ou
simplesmente condutividade.
Achamos também importante reafIrmar que a equação (9) pode ser escrita também como
ou
-1
q = -K(8 )grad qJ,
q = -K(8) dqJ, A
ds s,
(17)
(18)
sendo s o vetor unitário numa direção qualquer s do vetor gradiente no espaço. Observe que a
diferença entre as equações (9), (17) e (18) é apenas simbológica, uma vez que
-1
grad qJ,= V qJ, = (dqJ, / ds)s: quando se usa V qJ, está implícita a utilização de um sistema de
coordenadas cartesianas (ver o item 13 do apêndice 11).
Passando a discutir a condutividade, iniciemos por analisar o seu signifIcado fIsico. Para
tanto, se considerarmos na equação (18) que dqJ/ds = 1unidade de força/volume, então, q = K(8),
numericamente. Com isso, podemos dizer que a condutividade é igual (numericamente) ao volume
de um fluido que atravessa, por unidade de tempo, 1 unidade de área de uma amostra de um meio
poroso sob um gradiente de potencial total de 1 unidade de força/volume. Isto nos leva a concluir
que a condutividade é wn coefIciente que expressa a facilidade com que um fluido é transportado
através de um meio poroso e que depende, portanto, tanto das propriedades do meio como das
propriedades do fluido.
Como o meio poroso de nosso interesse é o solo, podemos citar como suas propriedades mais
importantes a distribuição de tamanho e forma de suas partículas, a tortuosidade, a superficie
específIca, a porosidade, enfIm, todas as propriedades que têm reflexo na geometria porosa do solo.
A propriedade relevante do fluido que afeta a condutividade é a viscosidade TJ, e a afeta de
maneira inversa, isto é, para uma mesma matriz porosa, quanto maior TJ, menor a condutividade.
Vejamos. Incluindo TJ na equação de Darcy-Buckingham como um fator separado, é claro que a
equação (9) seria reescrita como
_ k-
q =--\7'"
TJ '1', '
(19)
com TJ do fluido no denominador, para mostrar que quando ela aumenta, q deve diminuir para um
mesmo V qJ, , o mesmo acontecendo com a razão klTJ, que é igual a K( 8); ou seja, o aumento de TJ
faz com que K( 8) diminua. O azeite de oliva, por exemplo, à temperatura de 298 K, tem um valor
de TJ que é quase 70 vezes o valor de TJ da água à mesma temperatura, sendo assim é muito mais
viscoso do que a água. Se pusermos estes dois fluidos a moverem-se num solo sob um mesmo V qJ, ,
qual deles se movimenta mais rapidamente? A água, evidentemente, por ter uma viscosidade muito
menor que o azeite. Por outro lado, como a condutividade depende de propriedades do meio e do
fluido e sendo TJ a propriedade referente ao fluido, é evidente que k é a propriedade referente ao
meio. Assim, independentemente do fluido utilizado, a equação (19) mostra que, para um dado
meio, deve-se obter sempre o mesmo valor para k. Por ser uma propriedade inerente do meio, este
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Dinâmica da Agua no Solo· 167
fator k tem sido chamado de permeabilidade intrínseca e tem dimensão de área. Isto pode ser
facilmente verificado a partir da análise dimensional da equação (19): expressando cjJt em unidade de
energia por volume, resulta para V cjJ{ a unidade de força por volume [F L-3] e, sendo a dimensão de
fJ [F L-2 TJ e de q [L r-'], só pode resultar para k a dimensão [L2], para que os membros da
equação (19) tenham a mesma dimensão. Deve ser enfatizado, no entanto, que esta unidade de área
para k é, na realidade, [L4] de fluido por [L2], de meio poroso; por isso, se o meio poroso for um
solo e o fluido uma solução aquosa nele em movimento, a unidade de k no Sistema Internacional é
m4 solução/m2 solo. Vejamos o porquê.
m m3 solução
q ----7 - , mas na realidade -----
s (m2 solo)s
V cjJf ----7 ~ ' mas na realidade 3 N
m m solução
Ns l' N s
1J -7 -2 ' mas na rea Idade -----
m m2 solução
Fazendo, novamente, a análise dimensional da equação (19) usando estas "unidades mais
reais", verifica-se, então, que [L2] equivale a m4 solução/m2 solo. Portanto:
k m4 solução
----7 2m solo
ou
k 2 I - [m2 SOlUÇãO]
-7 m so uçao --2 ---m solo
Pela sua unidade, a grandeza k tem que ser, portanto, alguma função de
Ora, Aso' é função direta de 8 e AsolA é numericamente igual a 8 (ver equação 13).
Conseqüentemente, k é também função direta e não linear de 8. Nestas condições, para um mesmo
fluido com fJ constante, é claro que
K=K(8), (20)
estando implícito nesta relação funcional (20) que K é função direta de 8 : quanto maior 8, maior K.
Assim, quando 8= 8s (conteúdo de água de saturação = porosidade do solo), o fluxo é sob condição
saturada e o valor de K é o máximo. À medida que 8 diminui, K diminui de maneira acentuada,
normalmente de forma exponencial. Para fluxo em solo saturado, o valor de K é, portanto, uma
constante (valor máximo de K), simbolizada por Ko.
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168 • Movimento da ..4gua no Solo
4. REGRA PRÁTICA PARA DESIGNAR O SENTIDO DOS MOVIMENTOS
HORIZONTAL E VERTICAL DA SOLUÇÃO NO SOLO
Considerando um solo homogêneo de comprimento L, com uma diferença de potencial total
da solução /).if>r entre suas extremidades, pode-se escrever a equação (18) de uma maneira
simplificada (sem a notação vetorial) como
q=_K(e)/).if>r L .
Escrevendo a equação (21), para a direção horizontal, como
q =-K(e )if>,D -if>/- ,
(21)
(22)
sendo if>,D = potencial total da solução na extremidade direita do comprimento L e if>,E = potencial
total da solução na extremidade esquerda do comprimento L; e, para a direção vertical, como
q =_K(e)if>,c -if>/- , (23)
sendo if>rc = potencial total da solução na extremidade superior (cima) do comprimento L e if>/ =
potencial total da solução na extremidade inferior (baixo) do comprimento L, utilizaremos a
seguinte convenção de sinal para designannos o sentido do movimento da solução:
.. {sentida do movimento horizontal = para a direita
q POSItIVO
sentido do movimento vertical = para cima
. {sentida do movimento horizontal = para a esquerda
q negatIVO
sentido do movimento vertical = para baixo
isto é, (a) utilizando a equação (22) - movimento horizontal - se q for positivo, seu sentido será da
esquerda para a direita; se negativo, da direita para esquerda; e (b) utilizando a
equação (23) - movimento vertical- se q for positivo, seu sentido será de baixo para cima; se
negativo, de cima para baixo.
Exemplos Ilustrativos
1. Se o experimento de Darcy fosse desenvolvido posicionando as colunas de areia inclinadas, em
vez de na vertical, suas conclusões seriam diferentes?
Solução:
A figura a seguir é o mesmo diagrama do arranjo experimental de Darcy, porém com a
coluna inclinada. Para meios isotrópicos com relação a K, como vimos, q é sempre nonnal às
superficies equipotenciais if>r = constante. Na figura são mostrados dois piezômetros instalados
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nos pontos A e B da extremidade inferior da coluna, os quais mostram diferentes potenciais de
pressão (epPA e eppB), mas idênticos potenciais totais (ep'2 ). Isso ocorre, evidentemente, para todos
os pontos da superficie S2, ou seja, a superfície S2 é uma superfície equipotencial. É fácil
perceber, também, que o mesmo acontece na superfície SI da coluna, e em qualquer ponto dela,
ep, = constante. Portanto, a linha de fluxo só pode ser ao longo do comprimento L da coluna.I
Conseqüentemente, se Darcy tivesse desenvolvido seu experimento com suas colunas inclinadas,
teria chegado às mesmas conclusões, e obteria a mesma equação (5).
referência gravitacional Y
x
2. Qual o valor da condutividade hidráulica da amostra de solo homogeneamente acondicionada na
coluna a seguir, sabendo-se que a área interna da secção transversal da coluna é 0,005 m2 e que,
após atingida a condição de equilíbrio dinâmico, a vazão obtida foi de 2,5.10,7 m3 S,I?
Solução:
Em primeiro lugar, como é fácil perceber, o fluxo de água na coluna está se dando numa
condição de saturação. A figura à esquerda é a que mais se aproxima do arranjo experimental no
laboratório (condições reais), e a da direita o esquema mais comumente utilizado de
representação das condições reais. Em ambas as figuras, o pequeno triângulo com um de seus
vértices tocando a superfície do líquido indica que esta superfície está constantemente sendo
mantida na mesma posição durante o experimento.
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170 • Movimento da Agua no Solo
ou
__1 RO
i
0,4m
___L_
0,4 m
--r-
PrrF ..
V'"l
0,8 m
"-'1 JY:- --------
---r
0,4m
_L
•
I
Considerando, então, os potenciais nos dois pontos extremos da coluna, no ponto de cima C e
no ponto de baixo B, tem-se, pela figura:
Ponto C: <pg = 0,4 m; <pp = 0,4 m ~ <p, = 0,8 m;
Ponto B: <Pg = 0,0 m; <pp = 0,0 m ~ <p, = 0,0 m;
Seguindo a regra prática para designar o sentido do movimento (item 4), vemos que neste
caso, como <p, (C) > <p, (B), o fluxo é para baixo, pelo que
º=
q=-A
2,5.10-7
0,005 = -5 .10-5 fi S-I
A partir da equação (23)
_ 5.10-5 = -K 0,8 - 0,0o
0,4
ou
Ko = 2,5. ]0-5 m S-I ou 90 mm HI.
3. Uma amostra de solo é homogeneamente acondicionada numa coluna e montada no laboratório
confonne o esquema a seguir. Qual o valor da condutividade hidráulica se, depois de atingida a
condição de equilíbrio dinâmico, o valor da densidade de fluxo obtida foi de 5.10.6 m S-I?
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Dinâmica da Agua no Solo· 171
------r-- ~ - -- -----------------l---------------r---s F 0,2m
0,41m ~ 'V l --------J--- 0,4 m____ O ou 1
placa porosa
c
s
o -
L-r-
o 0,2 n
J
B t
0,2m
-r \l
Solução:
Também neste caso o esquema da direita está representando as condições reais (esquema da
esquerda). Observe que em ambas as extremidades da coluna está se aplicando uma tensão de
água via placa porosa (ver capítulo anterior), pelo que o fluxo de água nesta coluna está se dando
numa condição de não saturação. É importante lembrar também que, para a situação não
saturada ser atingida, a coluna precisa permitir a entrada de ar, precisa ser perfurada.
Pela figura:
Ponto C: <pg = 0,0 m; <Pm = - 0,2 m ::::}<p, = - 0,2 m;
Ponto B: <Pg = -0,4 m; <pm = - 0,2 m ::::}<p, = - 0,6 m;
Como o sentido do movimento é para baixo,
-5.1O-6=-K(ti> )-O,2-(-O,6) __ K(ti> )
'rm 04 'rm ',
ou, como <Pm = -0,2 m ao longo de toda a coluna,
K(-0,2) = 5 .10-6 m S-I ou 18 mm HI.
5. EQUAÇÕES FENOMENOLÓGICAS DE ONSAGER
Mostremos agora, como dissemos na introdução deste capítulo, o que são as equações
fenomenológicas de Onsager, e a seguir o seu caráter geral.
Para iniciarmos, comecemos com o caso mais simples do movimento da solução num solo
saturado. Sob esta condição, só é válido dizer que a equação de Darcy-Buckingham quantifica o
movimento da solução no solo, e que este movimento se dá em resposta apenas ao gradiente de
potencial total da solução, se a temperatura do sistema for constante. Entretanto, suponha que,
enquanto a solução esteja se movimentando sob seu gradiente de potencial total, se aplique um
gradiente de temperatura no sistema com conseqüente fluxo de calor. Pergunta-se: nesta situação, o
movimento da solução ainda pode ser descrito adequadamente pela equação de Darcy-
Buckingham? Isto é, pode-se considerar que o fluxo da solução em solo saturado é independente do
fluxo de calor? Embora comprovado pela experiência (por exemplo, Cary, 1966), podemos dizer
que, intuitivamente, a resposta a esta pergunta é não. Portanto, sob condições não isoténnicas em
solo saturado, a equação de Darcy-Buckingham deixa de ser adequada e algo mais geral é
necessário.
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172 • Movimento da Agua no Solo
Para tanto, utilizando a idéia de Onsager, um fisico norueguês que publicou seu trabalho já há
mais de setenta anos, especificamente em 1931, no caso específico do movimento da solução em
solo saturado sob a influência de wn gradiente de temperatura podemos generalizar a equação de
Darcy-Buckingham como
q =-KoVcjJt -K'VT, (24)
incorporando um novo coeficiente K' de um possívél efeito do gradiente de temperatura (VT) sobre
o fluxo da solução. Evidentemente, deve existir uma outra equação, similar à equação (24), para o
fluxo de calor:
qc =-K(T)VT-K~VcjJl' (25)
em que qc = densidade de fluxo de calor, K(T) = condutividade ténnica, função da temperatura T,
VT = gradiente de temperatura, e K~ = coeficiente de um possível efeito do gradiente de potencial
total da solução sobre o fluxo de calor.
Com o intuito de simplificar e racionalizar a notação, vamos utilizar, com subscritos, uma
única letra J para as densidades de fluxo, wna única letra X para os gradientes e uma única letra L
para os coeficientes de translnissão. Não vamos nos preocupar, também, com a notação vetoria1.
Assim, a equação (24) seria reescrita como a seguir:
J, =L'IX, +L,zXz, (26)
sendo Jj a densidade de fluxo de 1 (= solução); Xj' o gradiente de 1 que promove o movimento de
1;Lu, o coeficiente que descreve como o fluxo de 1 é influenciado pelo gradiente de 1; L12, o
coeficiente que descreve como o fluxo de 1 é influenciado pelo gradiente de 2 (= temperatura); X2,
o gradiente de temperatura.
Igualmente, com esta nova notação, a equação (25) se transforma em
Jz =LZIX1 + LnXz, (27)
sendo J2 = densidade fluxo de calor.
Se o movimento da solução for em solo não saturado, é possível agora que o fluxo da
solução seja influenciado pelo movimento do ar. Com isso, à equação (26) seria acrescido mais um
tenno, isto é,
JI =L'IX1 + L12Xz + L13X3, (28)
sendo L13 = coeficiente que descreve como o fluxo de solução (1) é influenciado pelo gradiente de
potencial total do ar no solo (3), e X3 = gradiente de potencial total do ar. De maneira idêntica, o
termo L23X3 seria acrescido à equação (27):
JZ =Lz,X, + LnXz + L23X3,
e a equação para o fluxo de ar seria
J3 =L31X1 +L3ZXZ +L33X3,
(29)
(30)
sendo J3 = densidade de fluxo de ar.
Os coeficientes L, com seus subscritos, é que são chamados coeficientes jenomenológicos de
Onsager. Observe que sempre o primeiro subscrito se refere ao componente que se move e o
segundo ao componente cujo gradiente está sendo considerado.
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Dinâmica da .Água no Solo· 173
Se o nosso interesse for, no entanto, estudar o movimento do componente água no solo sob
condição não saturada, mais termos serão necessários, pois é também intuitivo e também
demonstrável experimentalmente que, além do fluxo de calor, os fluxos dos outros componentes da
solução no solo que não a água também devem interferir no seu movimento. Assim, usandoo
mesmo raciocínio anterior, se forem considerados os fluxos do componente água (= componente 1)
e de mais outros dois solutos (componentes 2 e 3), além do fluxo de calor (componente 4) e do
fluxo de ar (componente 5), teríamos um sistema com cinco componentes, tal que a densidade de
fluxo J] do componente 1 seria dada por
(31)
em que:
gradiente de potencial total do componente água no solo (= componente 1)
gradiente de potencial total de um dos solutos (= componente 2)
gradiente de potencial total do outro soluto (= componente 3)
gradiente de temperatura (= componente 4)
gradiente de potencial total do ar no solo (= componente 5)
coeficiente que descreve como o fluxo do componente água (componente 1) é influenciado
pelo gradiente de potencial total do próprio componente água (X])
coeficiente que descreve como o fluxo do componente água (1) é influenciado pelo gradiente
de potencial total de um dos solutos (X2)
coeficiente que descreve como o fluxo do componente água (1) é influenciado pelo gradiente
de potencial total do outro soluto (X3)
coeficiente que descreve como o fluxo do componente água (1) é influenciado pelo gradiente
de temperatura (X4)
coeficiente que descreve como o fluxo do componente água (1) é influenciado pelo gradiente
de potencial total do ar (X5).
Igualmente, para os outros componentes:
(32)
Em termos gerais, portanto,
n
Ji = LLijXj,
j=1
(33)
sendo:
Ji = densidade de fluxo do componente i
Lij = coeficiente de Onsager, em que i refere-se ao fluxo (do componente i) e j = 1, 2, 3, ..., n ao
gradiente do componente que influi no fluxo de i
~ = gradiente de cada componente j
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174· Movimento da Agua no Solo
n = número total de componentes.
Onsager, em seu pioneiro trabalho de 1931, demonstrou, por meio de teoria estatística, que
LU =Lji (34)
recebendo, por este feito, o Prêmio Nobel de Física, em 1959 (Nielsen et al., 1972). Portanto, de
acordo com Onsager, o coeficiente que expressa a influência da força J0 sobre o fluxo de i é igual ao
coeficiente que expressa a influência da força X; sobre o fluxo de j. Por exemplo: no caso do
movimento da solução influenciado pelo gradiente de temperatura ou vice-versa (equações 24 e 25),
pelo teorema de Onsager K' = Ko '.
Não é nossa intenção nos aprofundannos nesta teoria da termo dinâmica dos processos
Írreversíveis. Demos estas pinceladas no assunto somente no que respeita às equações
fenomenológicas de Onsager porque, por meio deste formalismo, todos os possíveis parâmetros que
influenciam o fluxo de qualquer componente são corretamente considerados. De qualquer forma, o
assunto é de inegável relevância, porquanto recomendamos aos mais interessados a consulta de
livros, como o de Prigogine (1961), assim como de alguns artigos mais diretamente relacionados
com sistemas agrícolas, como por exemplo os trabalhos de Dainty (1963), Letey (1968), Groenevelt
e Bolt (1969) e o último item do capítulo 3 do livro editado por Nielsen et al. (1972).
Como nosso maior interesse é a dinâmica da solução no solo, o componente i da
equação (33) tem que ser esta solução e, se i =i = n = 1, a equação (33) reduz-se para
J] =L1]X], (35)
que é a própria equação de Darcy-Buckingham, na qual Lll é a condutividade hidráulica (solução
aquosa) do solo, X] é o gradiente de potencial total da solução e J] é a densidade de fluxo da
solução. Observe, portanto, que na equação de Darcy-Buckingham não se considera a influência do
fluxo de calor nem do fluxo de ar ou qualquer outro no fluxo da solução; ao se utilizar esta equação,
está implícito que só o gradiente de potencial total da solução é relevante.
No caso da dinâmica do componente água, mesmo sob condição isoténnica, com nenhuma
influência do movimento de ar, a situação é mais complexa devido ao grande número de
componentes da solução e pelo fato do movimento mais importante ser aquele em que o
componente água é transmitido através de uma membrana.
Basicamente, três situações precisam ser analisadas:
1. Ausência de qualquer tipo de membrana ou existência de uma membrana não-semipermeável,
isto é, totalmente permeável à solução.
Neste caso, defmimos a densidade de fluxo do componente água Fag, em relação a um
sistema de referência fixo à matriz sólida do solo, como a soma vetorial da sua densidade de fluxo
de difusão Jag e sua densidade de fluxo convectivo Cag q :
Fag = Jag + C ag q . (36)
Nesta equação: a) Cag é a concentração de água na solução (m3 água/m3 solução) e q a
densidade de fluxo da solução (dada pela equação de Darcy-Buckingham) em relação a um sistema
de referência também fixo à matriz sólida do solo; b) Jag é a densidade de fluxo do componente
água em relação a um sistema de referência fixo ao baricentro do volume de solução que se move.
Ela advém da equação (33), sendo, portanto, dada por
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n
Jag = LagagXag + 2,LagjXj,
j=2
Dinâmica da Agua no Solo' 175
(37)
em que Lag ag é a condutividade do solo para o componente água, Xag é o gradiente de potencial total
do componente água e Lagj são os coeficientes que descrevem como o fluxo do componente água é
influenciado pelos gradientes de potencial total~. de todos os outros componentes da solução que
não o componente água.
De acordo com a equação (36), se o componente água se move no mesmo sentido que a- - -... -
solução, Fag = J ag + Cag q, e se em sentido contrário, Fag = -J ag + Cag q . Evidentemente, se o
sentido e a intensidade dos movimentos do componente água e da solução forem idênticos, em
relação ao sistema de referência fixo à matriz do solo, então Jag = O e Fag = Cag q , que é o que, de
fato, ocorre na ausência de membrana semi-penneável.
2. Presença de uma membrana semipermeável ideal, impermeável aos solutos e permeável ao
componente água.
Neste caso, como somente o componente água passa através da membrana, é evidente que
Lagj = O e dentro dela q = O, o que transfonna a equação (36), tendo em conta a equação (37), em:
(38)
Assim, a densidade de fluxo do componente água através de uma membrana semipermeável ideal é
dada por uma equação semelhante à equação de Darcy-Buckingham para o componente água, ou
seja, o produto da condutividade da membrana para o componente água pelo gradiente de potencial
total do componente água entre os dois lados da membrana.
3. Presença de uma membrana semipermeável não-ideal, parcialmente permeável ao componente
água e parcialmente permeável à solução.
As membranas celulares das raízes das plantas estão dentro deste tipo de membranas. Neste
caso, a equação que quantifica o transporte isoténnico do componente água é a própria
equação (36), só que agora, à semelhança do caso anterior, não se trata de uma composição de
movimentos como descrito na primeira situação, mas sim de uma computação do transporte líquido
do componente água através da membrana, via mecanismos de convecção e de fluxo de difusão.
Observe que cada termo das equações (36), (37) e (38) tem dimensão de m3 água m-2 solo S-l.
Observe ainda que a igualdade do potencial total If/r do componente água indica uma condição de
equilíbrio, ou sua diferença wna condição de movimento deste componente de onde If/r é maior para
onde If/r é menor, somente quando o movimento se der através de uma membrana semipermeável
ideal, sob condição isotérrnica. Corey e Klute (1985) fazem uma análise crítica muito boa a respeito
da aplicação do conceito de potencial ao equilíbrio e transporte da água, mostrando as muitas
situações em que ele é utilizado erroneamente. Com relação ao transporte da água através de
membranas selnipermeáveis, recomendamos o livro de Nobel (1983).
Mas voltemos ao transporte global da solução no solo, que é nosso maior interesse neste
livro.
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6. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA A SOLUÇÃO NO SOLO
Até agora, falamos apenas de situações steady-state. A equação de Darcy-Buckingham é uma
equação para condições de steady-state. Em português, este termo é traduzido como regime
estacionário ou equilíbrio dinâmico. Um fluxo ou wna movimentação de um fluido sob condições
de regime estacionário significa que as características do fluxo não variam com o tempo, embora
possam variar com a posição. A maioria das situações na natureza, entretanto, são não estacionárias,
e para descrever uma situação não estacionária (ou transiente), temos que usar a equação da
continuidade. Matematicamente, a equação da continuidade estabelece que não pode haver nem
criação nem destruição de massa, sendo ela a equação de conservação de massa.
Se nos remetennos ao item 14 do apêndice II, no qual explicamos, com detalhe, o conceito de
divergência de um vetor, percebe-se facilmente que a divergência de uma grandeza vetorial ü é a
própria equação da continuidade. Verifiquemos isto para o caso do fluxo da solução através de um
meio: neste caso, o vetar será a densidade de fluxo q e a superficie fechada elementar da
Figura A2.18 do apêndice II um pequeno paralelepípedo de solo, representado a seguir pela
Figura 7.3.
A
qyJ
B
c
F
dz
q'y]
,
, •• _ .1 ••• __ H
A
" D
dy
Figura 7.3 Elemento de volume de solo, através do qual solução estájluindo.
Nestas condições, para a direção-y teríamos, de acordo com as equações (43) e (44) do
apêndice II, que o fluxo elementar do vetor densidade de fluxo que entra no elemento de volwne
seria dado por
dcjJentra,y=-qydx dz.
e o fluxo elementar do vetor que sai do elemento por
( dqy krdcjJsai,y= qy + oy dy r dz.
Conseqüentemente (ver equação 38 do apêndice II):
dcjJy= dcjJentra,y+ dcjJsai,y,
(39)
(40)
(41)
sendo dC/Jy= fluxo elementar total do vetor densidade de fluxo na direção-y que atravessa o elemento
de volume.
Substituindo as equações (39) (40) na equação (41), resulta a equação (42) a seguir
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dA> = aqy dV
'I'y ay ,
Dinâmica da Agua no Solo' 177
(42)
na qual dV = (dx)(dy)(dz) = volume do elemento de volume de solo.
Observe que o fluxo elementar do vetar que entra no elemento de volume representa a vazão
de solução (m3 S·l) de entrada no elemento, e o fluxo elementar do vetor que sai, a vazão de saída do
lemento. Logo, dc/J representa a taxa de acumulação ou perda de solução no elemento de volume de
solo; na direção-y, portanto:
(43)
(45)
sendo dv"ol,y o elemento de volume de solução (no elemento de volume de solo dV) proveniente da
densidade de fluxo na direção-y.
Comparando as equações (42) e (43):
a (dVso',y ) aq y---=--dV. (44)
at ay
Foi colocado o sinal negativo na equação (44), pelo fato de o (dv'ol,y)/ o t e o q/o y terem variações
opostas, isto é, quando o (dv'ol,y)/O t > O, oq/oy < O e, quando o (dv"ol,y)/CJt< O, oq/oy > O, ou seja:
a) quando o (dVso1,y)/ot > O, é indicação de que está havendo acúmulo de solução no elemento de
volume de solo com o tempo e, para que haja esse acúmulo, evidentemente, oq/oy< O; e
b) quando o (dVsol)/o t < O, está havendo perda de solução com o tempo, a qual só ocorre com
oq/oy>O.
Igualmente, para as outras direções, teríamos as taxas de acumulação ou perda de solução
êJ(dVso1,x)__ aq x dV
at ax
e
a(dVso1,z) =_ aqz dV.
at az
(46)
A taxa total de perda ou acumulação, portanto, será dada pela soma dos três termos (equações
44,45,46):
(47)
Como dVso1= 8dV, resulta:
(48)
ou
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178 • Movimento da Agua no Solo
de - _
-=-"V.q,
dt
(49)
que é chamada de equação da continuidade.
Observação: utilizou-se diferencial parcial de e com relação a t porque o elemento de volume, e
portanto as coordenadas x, y e z, pennanecem fixas no espaço, enquanto t varia.
Para melhor compreendermos a equação da continuidade para o movimento da solução,
consideremos que o movimento se dê em uma coluna de solo de comprimento S posicionada numa
direção qualquer s no espaço (Figura 7.4).
s
Figura 7.4 Coluna de solo de comprimento S subdividida em n/alias de comprimentos Lls1, Lls2, ... ,
Lls;, ... , LlsI1'
Nestas condições, a equação da continuidade (49) seria escrita como:
de dq
dt =- dS'
ou, de forma [mita, como:
l1e I1q-=--
I1t M
ou
l1eM = -l1q .
I1t
Para uma fatia i de solo (Figura 7.4), escreve-se, evidentemente, a equação (52) como:
(50)
(51)
(52)
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Dinâmica da Agua no Solo· 179
(53)
ou
(54)
sendo
L1hi variação de armazenagem de solução numa fatia i de solo de comprimento .18& durante
intervalo de tempo L1t
qi-l densidade de fluxo de solução que entra na fatia i durante o intervalo de tempo L1t
qi densidade de fluxo de solução que sai da fatia i durante o intervalo de tempo L1t.
Durante o intervalo de tempo L1t mas no comprimento de solo S, teríamos:
(55)
sendo L1h" portanto, a variação de armazenagem de solução no comprimento S de solo durante o
intervalo de tempo L1t.
Como
então
!,(qi -qi-J= qn-qo ,
i=!
(56)
(57)
sendo n, evidentemente, o número de fatias que somam o comprimento S de solo, qo a densidade de
fluxo de solução que entra no comprimento S de solo, durante o intervalo de tempo L1t, e qn a
densidade de fluxo de solução que sai do comprimento S, durante o mesmo intervalo de tempo L1t
(Figura 7.4).
Portanto, de maneira prática, podemos dizer que a equação da continuidade (57) diz que "a
variação da armazenagem de solução que ocorre durante um certo intervalo de tempo, num
determinado comprimento de solo, pode ser determinada pela diferença entre a densidade de fluxo
de solução que sai através de uma das extremidades deste comprimento e a densidade de fluxo de
solução que entra na outra extremidade no intervalo de tempo considerado" ou, de maneira inversa,
que "a diferença entre a densidade de fluxo de solução que sai através de uma das extremidades de
um determinado comprimento de solo e a densidade de fluxo de solução que entra na outra
extremidade, durante um certo intervalo de tempo, pode ser determinada pela variação de
armazenagem de solução neste comprimento de solo, durante o intervalo de tempo considerado".
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180 • Movimento da Agua no Solo
Exemplo Ilustrativo
Delimitou-se na superfície de um solo profwldo no campo, uma área circular de 5 m de
diâmetro por meio de folha-de-flandres. Instalou-se, no centro dessa área, um tubo de alumínio para
acesso de uma sonda de neutrons para medida do conteúdo de água no solo. NWll detenllinado dia,
inundou-se essa área até se conseguir os valores máximos de conteúdo de água na camada O - 1 m.
Logo depois que toda água acima da superfície do solo se infiltrou, cobriu-se essa superfície com
uma lona plástica a fim de que, deste momento em diante, o movimento da água se desse apenas por
redistribuição. Imediatamente foram feitas medidas de conteúdo de água com a sonda ao longo da
camada O - 1 m, as quais foram repetidas a cada dois dias durante o período de um mês. A tabela
seguinte apresenta os dados dos dias 3 e 5.
Profundidade
2(m)
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
Conteúdo de água à base de
volume e (nl m-3)
Dia] Dia 5
0,40 0,25
0,38 0,26
0,35 0,26
0,31 0,18
0,35 0,15
Pergwlta-se: quais os valores da densidade de fluxo nas profundidades 0,3 m, 0,5 m, 0,7 m,
0,9 m e 1,lm durante estes dois dias?
Solução:
A figura a seguir apresenta um esquema do perfil do solo com indicação das densidades de
fluxo nas diversas profwldidades durante o período, e os perfis de conteúdo de água dos dias 3 e 5.
Evidentemente em 2= O (superfície do solo) a densidade de fluxo qo é nula, porque nessa superfície
tem-se o plástico.
S(m3 m3)° 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,2
:-::-:1:-::-::-::-:
::::::::::::::::::::::::~
......... 'díà's ·::n:i;mr:~~! dia 3
° 41- \. ~:;:~,M:::i:. ), ~:<:~:~:L·~""'"
(.:-:.:-:.:-:.:
0,6 f- •..i:tl}~:.',","."',.
1:.:-:.:-:.:-:.:
0,8~""""" ~·::~m·~:~"·'
f.·.·.· .
.'.'~.'.'.','.'".tIjJ}Jt~;jmlt(t
n =5 1,0
n =1
z=o
'<::.::~;.:~:,:,}:
Z= 1,1m
Z = 0,3 n
Z(m)
De acordo com a equação (57) tem-se, para a situação presente:
I1h
I1tt =-(qll -qo)
e, então,
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Dinâmica da IÍgua no Solo· 181
M03 M ( )a)paraZ=0,3m(n=I): __ o =-' =-q,-qo =-ql =-q03m
I1t I1t .
I1ho 5 M + I1h ( )b)paraZ=0,5m(n=2): __ o =' 2 =_q)_q =_q) =_q
I1t I1t - o - 0.5m
Mo 7 M + I1h + I1h ( )c) para Z = O7 m (n = 3): __ o = I 2 3 = - q - q = _q =-q
, I1t I1t 3 o 3 0.7m
I1hO•9 I1h, + I1h2 + I1h3 + I1h4 ( )d) para Z= 0,9 m (n = 4): -- = -------- = - q4 - qo = -q4 = -qo 9m
~ ~ .
Mil I1hl +M2 +M3 +M4 +M- ( )e) para Z = 11m (n = 5): __ o = ) = - q - q = -q =-q
, I1t I1t 5 o 5 1,lm
Calculando as variações de armazenagem até as diversas profundidades, temos:
I1ho,3 = (0,25 - 0,40) 0,30 = -O 0225 m/dia
I1t 2 '
MO•5 = -O 0225 + (0,26 - 0,38) 0,20 = -O 0345 m/dia
I1t' 2 '
MO•7 =-00345+ (0,26-0,35)0,20 =-0 0435 m/dia
I1t' 2 '
I1hO•9 =-00435+ (0,18-0,31)0,20 =-0 0565 m/dia
I1t' 2 '
I1hl•1 = -O 0565 + (0,15 -0,35)0,20 = -O 0765 m/dia
I1t' 2 '
Portanto, os valores da densidade de fluxo são:
Z = 0,30 m ~ qO,3m = 22,5 mm/dia
Z = 0,50 m ~ qO,5m = 34,5 mm/dia
Z = 0,70 m ~ qO,7m = 43,5 mm/dia
Z = 0,90 m ~ QO,9m = 56,5 mm/dia
Z = 1,10 m ~ ql,l m = 76,5 mm/dia
7. EQUAÇÃO DIFERENCIAL GERAL DO MOVIMENTO DA SOLUÇÃO NO SOLO
A equação de Darcy-Buckingham (equação 9), substituída na equação da continuidade
(equação 49), fornece
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182 • Movimento da Agua no Solo
de = v.[K(e)v fjJ,].
dt
(58)
A expressão (58) é conhecida pelo nome de equação de Richards e é a equação diferencial
geral que rege o movimento da solução em solos isotrápicos com relação a K(e).
Desdobrando a expressão (58) em seus componentes cartesianos, obtém-se:
de [d d d] [ (dfjJr dfjJ, dfjJ,)~
- = -f+-j+-R . K(e) -f+-j+-R
dt dx dy dz dx dy dz
ou
de [d ~ d ~ d~] [ dei>, ~ dei>I ~ aep I ~]
-= -i +-j+-k . K(B)-i +K(B)-j+K(B)-k ,
at ax ay az ax ay az
e, conseqüentemente,
aB a [ a<p,] a [ a<p,] a [ a<P1]
-=- K(B)- +- K(B)- +- K(B)- .
at ax ax ay ay az az
Logicamente, portanto, somente em uma dimensão, a equação (59) reduz-se a:
a) direção-x (horizontal), idêntico para a direção-y:
de =~[K(e)dfjJl],dt dX dX
ou, para
aI) solo saturado
des=~[K dfjJp]=Odt dX o dX '
(59)
(60)
(61)
sendo es = conteúdo de água de saturação e Ko = condutividade hidráulica do solo saturado,
ambos constantes com o tempo.
az) solo não saturado não expansivo
de =~[K(e)dfjJm].dt dX dX
a3) solo não saturado expansivo
de =~[K(e)~(fjJm +fjJp+fjJJ].dt dX dX
(62)
(63)
É importante lembrar que o fjJgé sempre constante na horizontal, daí ele não aparecer nas
equações (61), (62) e (63).
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Dinâmica da Agua no Solo' 183
b) direção-z (vertical)
ou
ae =~[K(e)aCPt]at az az
(64)
(65)
Expressando os potenciais em termos de uma altura de liquido e lembrando que z é a
coordenada vertical de posição do ponto em questão, é fácil verificar que um gráfico de epg em nmção
de z resultará sempre numa linha reta com coeficiente angular (2epg/CJz) igual a + 1, independentemente
de onde se coloque a origem do sistema de coordenadas. Entretanto, recomenda-se, por conveniência,
que se coloque esta origem coincidente com a referência gravitacional. Portanto, expressando os
potenciais em tennos de uma altura de líquido tem-se, para:
bl) solo saturado
aes =~[Ko(acpp +lJ~=Oat az az ~
ou
b2) solo não saturado não expansivo
ae = ~[K(e) aCPm] + aK(e) .at az az az
b3) solo não saturado expansivo
7.1 Equação de Laplace
Se o fluxo for em solo saturado, a equação (58) se toma
aes =V(K Vth)
at . o ~t ,
(66)
(67)
(68)
(69)
sendo, com já vimos, es = conteúdo de água de saturação e Ko= condutividade hidráulica do solo
saturado, as quais são constantes com o tempo e, no caso de solo homogêneo, constantes também
com a distância.
Portanto, para solo saturado e homogêneo:
Ko(V.V}Pt =0,
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184 • Movimento da Agua no Solo
e, evidentemente,
V'2C/Jt=0, (70)
(71)
porque, em se tratando de um meio poroso, Ko nunca é igual a zero. Desdobrando-se em seus
componentes cartesianos, a equação (70) se toma:
a2C/Jt + a2C/Jt + a2C/Jt =0.
ax2 ay2 az2
A equação diferencial (70) ou (71) é a conhecida equação de Laplace para o fluxo da solução
no solo sob condição saturada.
8. DIFUSIVIDADE DA SOLUÇÃO NO SOLO
A equação de Darcy-Buckingham (equação 9) para fluxo de solução em solo não expansivo e
isotrópico com relação a K(e) pode ser escrita como
q = -K(e )[V C/Jm+ V C/Jg]' (72)
uma vez que VC/J, =VC/Jm +VC/Jg.
Por outro lado, já sabemos que C/Jm= C/Jm(e)(que é a curva de retenção da solução no solo) e
que e= e (x,y,z). Considerando um solo no qual a função C/Jm(8) é única, o termo VC/Jm da
equação (72) pode ser estendido pela regra da cadeia, como se segue:
dCPm ~ dCPm de ~-1=--1
dx de dx
dCPm ~ dCPm de ~
dy J = de dyJ
dCPm kA _ dCPm de kA- ---
dz de dz
uma vez que C/Jm é função de e, e e é função de x,y e z, ou seja:
a) se C/Jm= C/Jm(e)
dtfo = dC/Jmde.
'l'm de
b) se e = e(x,y,z)
ae ae ae
de =-dx+-dy+--dz.
ax ay az
c) então, substituindo a equação (75) na equação (74):
(73)
(74)
(75)
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Dinâmica da Agua no Solo· 185
dcjJ = dcjJ", (àe dx+ àe dy+ àe dZJ'" de àx ày àz
ou
(76)
Portanto:
dcjJ"'ldx y,z
= àcjJ", = dcjJ", àe
àx de àx' (77)
porque, se y e z são mantidos constantes, então dy = dz = O, e os dois últimos termos do segundo
membro da equação (76) desaparecem. Igualmente, pelo mesmo raciocínio:
e
àcjJ", = dcjJ", àe
ày de ày
àcjJ", _ dcjJ", àe
a;-- de a;'
(78)
(79)
(80)
com o que demonstramos, pela regra da cadeia, como se chegou ao conjunto de equações (73) ou
equações (77), (78) e (79).
Combinando-se a equação (73) com a (72):
ti =-[K(e)d~' ve +K(e)VcjJg].
Distingue-se o produto de K( e) por dcjJ,jde como um coeficiente de difusão ou difúsividade
da solução no solo D(e), isto é,
(81)
Há diversos métodos de obtenção da função D(e); um deles seria a partir das curvas de K em
função de e e cjJ",em função de e (curva de retenção), utilizando-se a equação (81).
9. EQUAÇÃO DE DARCY-BUCK.INGHAM E EQUAÇÃO DE RICHARDS USANDO
A DIFUSIVIDADE
Com a defmição da difusividade da solução no solo (equação 81), pode-se reescrever a
equação (80) como:
q = -[D(e )ve +K(e)V <Pg].
Expressando cjJgem tennos de altura de líquido, resulta que dcjJldz = 1 e, então:
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186 • Movimento da Agua no Solo
q = -[D(e)Ve +K(e )k], (82)
()cjJ ()cjJ
uma vez que --g = -g- = O.
()x ~
A equação (82) é a equação de Darcy-Buckingham, só válida para solos caracterizados por uma
única curva de retenção, isotrópicos com relação a K (e, conseqüentemente, também com relação a
D) e não-expansivos.
Na direção horizontal (direção-x), a equação (82) fica
e, na vertical, fica igual a
qx =_D(e)de ~
dX I,
qz =-[D(e)~~ +K(e)}.
(83)
(84)
Substituindo a equação de Darcy-Buckingham (82) na equação da continuidade (49), obtemos uma
outra equaçãodiferencial para descrever o movimento da solução no solo, que inclui D(e) e que só é
válida para solo, além de não expansivo (ver capítulo V), caracterizado por uma única função cjJm(e)
e isotrópico com relação a K(e):
de = v.[D(e)v e + K(e)f].
dt
Desdobrando-se a equação (85) em seus componentes cartesianos, obtém-se:
de =~[D(e)de]+~[D(e)de]+~[D(e)de]+ dK(e).dt dx dx dy dy dz dz dz
Somente em uma dimensão, teríamos:
a) direção-x (horizontal), idêntico para a direção y:
de =~[D(e)de].dt dX dX
b) direção-z (vertical):
de =~[D(e)de]+ dK(e).dt dZ dz dz
(85)
(86)
(87)
(88)
Observação: Deve ser salientado que, na elaboração da curva de retenção, pode ocorrer o fenômeno
de histerese, o qual pode ser explicado, resumidamente, como segue. A relação entre
cjJme e pode ser obtida de duas maneiras: (1) por secagem, iniciando-se com uma
amostra de solo saturado e secando-a gradualmente enquanto se tomam medidas
sucessivas de e e cjJm'e (2) por molhagem, umedecendo gradualmente uma amostra de
solo inicialmente seca e também tomando-se medidas sucessivas de e e cjJm'As curvas
obtidas por estes dois processos (secagem e molhagem) quase nunca são coincidentes,
e a esse fato dá-se o nome de histerese. Para um mesmo valor de cjJm'e é maior na
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Dinâmica da Agua no Solo' 187
curva obtida por secagem do que na curva obtida por molhagem. Portanto, em
havendo histerese, deve ficar bem claro que as equações (82) e (85) só podem ser
aplicadas isoladamente ou para um processo de molhagem (infiltração) ou para um
processo de secagem (evaporação, redish'ibuição), ou seja, para cada um destes
processos tem-se uma difusividade diferente, devido à diferença das curvas de
retenção (equação 81).
10. O FRASCO DE MARIOTTE*
Nos estudos sobre movimento da solução no solo, sob condições de laboratório, o frasco de
Mariotte é muito utilizado para a manutenção de uma carga constante de líquido. Ele consiste de um
tubo A imerso dentro do líquido contido em um frasco ou recipiente B, que possui uma saída S
próxima de sua base, munida de uma torneira T, confonne a Figura 7.5.
Mantendo-se a torneira T fechada e a rolha de borracha bem apertada na boca do recipiente
B, observa-se que o líquido dentro do tubo A permanece sempre no mesmo nível nn', bem próximo
da sua extremidade. É evidente que a pressão da coluna de líquido h, isto é, pgh, mais a pressão de
ar Par acima desta coluna no recipiente B, tendem a forçar a entrada de líquido em A, mas são
impedidas pela pressão ahnosférica Patl11' no tubo A, que equilibra estas pressões, Pa/m = pgh + Par'
Havendo um pequeno consumo de líquido, isto é, fazendo-se com que uma pequena gota de líquido
saia através de T, a altura h diminui e POli'" tomando-se maior do que pgh + Par, forçará a entrada de
uma pequena bolha de ar em B que, aumentando Par> compensa a diminuição de h e mantém o nível
do líquido nn' em A inalterado. Este efeito se repete continuamente, até que o nível do líquido em B
atinja a extremidade inferior do tubo A.
~tm
1
Rolha de borracha
n
Figura 7.5 O frasco de Mariotte.
* Não consideraremos na discussão deste item a pressão interna porque, como dissemos no capítulo I, nas
medidas hidráulicas em situações não capilares (como é o caso), ela é cancelada.
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188 • Movimento da /Ígua no Solo
Tendo em vista o que acabamos de expor, em qualquer ponto do nível nn " dentro do líquido
em equilíbrio (torneira T fechada) no recipiente B, é evidente que estará atuando também a pressão
atmosférica (Figma 7.5), ou não haveria equilíbrio.
Por meio de um tubo de borracha flexível (sifão), adaptemos agora a saída do recipiente B a
um outro recipiente C, cheio do mesmo líquido e munido de uma torneira T', como mostra a
Figma 7.6.
P,.tJ1l
:.
h
n .l'
1
Rolha de borracha
q
~
T
P,.tJ1l
m- -0- - -11- - -
~ ·n'
.f-h,
..•..• -m'
Recipiente C ~
o
o
o
Figura 7. 6 Manutenção de uma carga de líquido constante.
Com a torneira T aberta e a torneira T' fechada, estando os dois ramos do tubo flexível cheios
de líquido, as pressões exercidas nos pontos p, q e r são iguais, uma vez que estão no mesmo nível e
o líquido está em equilíbrio. Abramos, agora, wn pouco a torneira T', até que o nível do líquido no
recipiente C atinja a posição mm' e, então, fechemo-Ia novamente; imediatamente após o
fechamento da torneira T', com o nível do líquido em mm " a pressão líquida em r é menor do que a
pressão líquida em q de h " o que faz com que o líquido flua na direção de r, acarretando,
conseqüentemente, abaixamento do nível do líquido do recipiente B (princípio de funcionamento do
sifão). Isto faz com que bolhas de ar entrem em B, o nível de A fique sempre constante e o
reservatório C alimentado, até que o nível do líquido no seu interior retome à posição nn "
restabelecendo novamente o equilíbrio estático.
Diante desta explicação, não fica difici1 entender que, se mantivermos a torneira T'
gotejando, o nível do líquido no recipiente C permanecerá interminentemente sempre na posição
nn " com cada gota de líquido perdida através da torneira T' sendo substituída por uma bolha de ar
que entra em B através de A da maneira acima descrita. Se construirmos o frasco de Mariotte
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Dinâmica da Agua no Solo· 189
utilizando uma bureta (ou proveta) como o recipiente B, ele passa a chamar-se bureta (ou proveta)
de Mariotie (Figura 7.7).
(a) (b)
Recipiente B
(Bureta)
h
Recipiente B
(Proveta) ~_
Tubo A
h
Figura 7. 7. (a) bureta de Mariotte; (b) proveta de Mariotte.
l1.ASPECTOS IMPORTANTES A RESPEITO DO USO DA EQUAÇÃO DE DARCY-
BUCKlNGHAM
Consideremos o esquema da Figura 7.8 o qual mostra uma amostra de solo não expansivo
homogeneamente acondicionada em uma coluna, com água fluindo sob condições de não saturação
e em regime estacionário (densidade de fluxo q e potencial mátrico r/Jm constantes com o tempo).
_L.
y
frasco de
Mariotte
-L ------------------------
o
o
c
B
--Á-----------
L
h= -<1>",
Figura 7.8 Fluxo de água em regime estacionário em solo não saturado.
Como se pode notar pelas condições de contorno do esquema dessa figura, em z = O m
(superficie do solo), r/Jm = Om de água, e em z = -L m (profundidade L do solo), r/Jm = -h m de água,
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190 • Movimento da Agua no Solo
ou seja, confonne z diminui de O a -L m, cjJm diminui de O a -h m de água, havendo uma
dependência entre z e cjJmprevista pela equação de Darcy-Buckingham.
Essa equação, quando se considera apenas a direção vertical, pode ser escrita, praticamente,
como
q=_KdcjJ(
dz '
(89)
não considerando a notação vetorial, por facilidade, e usando, para o gradiente, a notação de
diferencial total por se considerar inexistentes fluxos nas direções horizontais.
Para o perfil do solo da Figura 7.8, cjJ(= cjJm+ cjJg.Por outro lado, expressando os potenciais
em termos de uma altura de água, sabemos que sempre dcjJldz = 1. Com isso, podemos reescrever a
equação (89) como
q = _K( d:;, + 1)-
Desenvolvamos um pouco mais a equação (90), começando por explicitar dz:
(90)
dz = d</Jm
q/K+l
(91)
dz=
Assumamos, agora, que a dependência funcional entre K e cjJmseja linear, isto é,
K=acjJm+Ko'
sendo a = constante e Ko = condutividade hidráulica do solo quando saturado (= constante)
Substituindo a equação (92) na equação (91):
dcjJm =_[ acjJm +Ko tcjJq+acjJm +Ko q+acjJm +Ko J m"
acjJm +Ko
Somando e subtraindo q no numerador do segundo membro da equação acima, obtemos:
( dcjJm ]dz=-dcjJm +q q+acjJm +Ko
(92)
(93)
A equação (93) acima está convenientemente preparada para ser escrita numa formafmita,
portanto, ser integrada. Assim fazendo e lembrando que q = constante, resulta:
z = -cjJm + 11n(q + acjJm + KJ + C,
a
sendo C = constante de integração.
* Lembrar que, do cálculo integral,
J dx 1A+Bx = B ln(A+Bx)+C.
(94)*
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Dinâmica da Agua no Solo· 191
Como ambos cfJm e z desaparecem juntos (quando z = O, também cfJm = O), como bem mostra a
Figura 7.8, então,
C=-11n(q+KJ.a
Conseqüentemente, com a substituição da equação (95) na equação (94):
z=-cfJm +~ln(q+acfJm +Ko J.a q+Ko
(95)
(96)
Para podennos utilizar a equação (96), precisamos conhecer os valores das constantes q, a e
Ko' Os valores de a e Kv deverão ser conhecidos ou assumidos para o solo em questão. O valor de q,
por outro lado, pode ser calculado pela própria equação (96), nela substituindo-se, além dos valores
de a e Ko, um valor de cfJm = -h m de água para um dado z = -L m (Figura 7.8). Com isso, a equação
(96) permite a obtenção de um gráfico de cfJm variando de ° a - h m de água e, correspondentemente,
z variando de ° a - L m.
Exemplo Ilustrativo
Assumindo, no arranjo experimental da Figura 7.8, que h = 1 m de água, L = 1 m e que, para
o solo em questão, a = 1,99 dia-1 e Ko = 2 m dia-I, desenhar, a partir da equação (96), a curva de z
em função de cfJme, no mesmo gráfico, as curvas de z em função de cfJre z em função de cfJg.
Solução:
Calculemos, primeiramente, o valor da densidade de fluxo q. Para tanto, substituindo os
valores de a = 1,99, Ko = 2, cfJm= -h = -1 e z = -L = -1 na equação (96), obtemos
_ 3,98 = ln(q + 0,01).q q+2
Por esta equação acima, é impossível explicitar q. Para resolver o problema, precisamos, então,
arranjar uma maneira de encontrar o valor de q para o qual os dois membros da equação dêem o
mesmo valor numérico. Para tanto, temos que "chutar" valores para q, até encontrarmos aquele para
o qual seja satisfeita a igualdade da equação. Observe ainda (Figura 7.8), que, como em z = Orno cfJr
é maior do que o cfJt em z = -m, o valor do gradiente de cfJr é positivo entre estes dois pontos e,
portanto, o valor da densidade de fluxo, em conformidade com a equação (89), tem que ser
negativo. A tabela a seguir mostra este procedimento de encontrar o valor correto de q.
q
3,98
In(q;~,~I)q-2,1
1,8953,040
-2,2
1,8092,393
-2,3
1,7302,032
-2,4
1,6581,788
-2,5
1,5921,605
-2,51
1,5851,589
-2,515
1,5821,582
-2,52
1,5791,574
-2,6
1,5311,462
-2,8
1,4211,249
-3,0
1,3271,095
-4,0
0,9950,691
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192 • Movimento da Agua no Solo
Podemos agora obter o gráfico de z em função de C/Jm, simplesmente substituindo na equação
(96) os valores de Ka = 2 m dia-I, a = 1,99 dia-1 e q = -2,515 m dia-I, com o que
z=-C/J _1264ln-0,SIS+I,99C/Jm
m' -0,515
Note que, no presente exemplo, os valores de C/Jm podem variar de um máximo de zero na
extremidade superior da coluna (z = O m) a um mínimo de -1 m de água na extremidade inferior
(z = -1 m). Aplicando, então, a equação acima dentro desse intervalo, obtém-se a curva de z em
função de C/Jm mostrada no gráfico da figura a seguir, juntamente com as curvas de z em função de C/JI
e z em função de C/Jg, considerando a referência gravitacional em z = O.
-2,00 -1,50
I/J,
z(m)
° 1/J,·l/Jm.l/Jg (m de água)
-0,25
-0,50
-0,75
-1,00
o potencial gravitacional C/Jg, quando expresso em termos de uma altura de água, varia lineannente
com z, sendo unitário o coeficiente angular da reta. Na curva z em função de C/J" em todos os pontos,
portanto, nas condições propostas, C/JI = C/Jm + C/Jg = C/Jm + Z
O aspecto importante que deve ser enfatizado é que, com este procedimento mostrado, podemos
elaborar um método de estimativa da função K(C/Jm)' Isto é, se munirmos a coluna da Figura 7.8 com
tensiômetros ao longo de todo o seu comprimento e, atingida a condição de regime estacionário,
medirmos q e C/Jm de todos os tensiômetros, podemos descobrir qual deve ser a função K( C/Jm) do solo
que, junto com a q medida, deve ser utilizada para a obtenção da equação (96) que se ajuste aos
dados experimentais.
12. EXERCÍCIOS SOBRE FLUXO DE SOLUÇÃO NO SOLO SOB CONDIÇÕES DE
EQUILÍBRIO DINÂMICO
Considere, também nestes exercícios, que sempre C/J, =C/Jp + C/Jg (solo saturado); C/J, = C/Jm +C/Jg (solo
não saturado); Po = Patm
1. Qual é o valor da condutividade hidráulica do solo na coluna a seguir, sendo dados:
A = 0,005 m2 = área da secção transversal de solo
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Dinâmica da Agua no Solo· 193
v= 10-5 m3= volume de solução que passa através da coluna durante um intervalo de
tempo de 3600 s.
0,20111
0,10111
SOLO
o
o
o
0,10111
x---
L40m
referência gravitacional
2. No arranjo a seguir, quanto vale a densidade de fluxo se o valor da condutividade hidráulica é
0,014 mm/s?
o
o
o
s
O
L
O
-,,--
_10,05 m
10,08 m-I---
0,30m
-y---------
referência gravitacional
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194 • Movimento da Agua no Solo
3. Quanto tempo é necessário para que 15.10-6 m3 de solução flua através da coluna de solo abaixo?
(dados: A = 0,01 m2; K=12 ~m/s).
refer~i!!..,.gravi (acional
o
o
0,85 m I o
s
O
L
O
0,45 m
-~
4. Faça os gráficos de z em função de </Jg, z em função de </Jp e z em função de </JI, numa só figure.
para o arranjo abaixo.
z
x
y
0,30 m
s
O
L
O
1m
referência gravitacional
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Dinâmica da Agua no Solo· 195
-=- ~ ('5 gráficos de z em função de <jJg, z em função de <jJp e z em função de <jJh numa só figura,
_.:=:. z situação que se segue.
ZA
x
y
0,50m
s
O
L
O
o
o
0,80m
referência gravitacional
- 5e:1do K=100 mm/h, pergunta-se: quanto tempo é necessário para se ter 200 mm de solução
::2.Ssando através da coluna abaixo?
s
O
L
O
1 I
o
o
"
1m
"
1,05 m
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196 • Movimento da Agua no Solo
7. Para o caso da coluna abaixo, pede-se elaborar os gráficos, numa só figura, de z em função de f/Jg,
z em função de f/Jp e z em função de f/J, nas seguintes condições: a) Hj = H2 < L; b) Hj = O e
H2 = L; c) Hj = O e H2 = 2L; d) Hj = L e H2 = O.
Dizer, em cada situação, qual é o sentido do fluxo.
x
z
y
L
HI
v
s
o
1
o
solução
referência gravitaciona!
H2
8. Qual o valor da densidade de fluxo da água no solo da coluna abaixo, se K(0,56 m) = 0,1 l1m.s-1
e K (0,65 m) = 0,08 l1m/s?
Obs.: Lembrar que K(0,56 m) é o valor da condutividade hidráulica quando o potencial mátrico
é -0,56 m de água e K(0,65 m) quando f/Jm = -0,65 m de água
0,75 lU
-x--
0,65i_'o
s
O
L
O
o
O
0,56m
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Dinâmica da Agua no Solo· 197
9. Elaborar, numa só figura, os gráficos de z em função de <jJg, z em função de <jJm (ou <jJp) e z em
função de <jJ, para as colunas abaixo. Que condições de campo elas simulam?
0,25111 s
o
o
0,50111
- - 'i7-
1111
s
o
I
o
0,50111
10. Demonstrar, de fonua analítica, a partir da equação de Darcy-Buckingham, que:
a) na coluna 1, a densidade de fluxo é nula
b) na coluna 2, o valor da densidade de fluxo é igual ao valor da condutividade hidráulica Ko.
c) na coluna 3, o valor da densidade de fluxo é o dobro do valor da condutividade hidráulica
para o conteúdo de água médio no solo da coluna.
(I) (2) (3)
s
o
I
o o o
__ \1__
- Á-
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11. Releia com atenção o item 11. Assumindo as mesmas condições de contorno da Figura 7.8,
mas com a relação K( <pm) do solo dada por K = Koeb~", , sendo Ko = 2 m/dia e b = 5,3 m-I,
obtenha a relação z( <Pm), para L = h = 1 fi. A partir desta relação, desenhe a curva de z em
função de <pm. A seguir, no mesmo gráfico, desenhe as curvas de z em função de <Pg e de z em
função de <Pr Compare o gráfico obtido com o da Figura 7.8.
12. O conjunto experimental esquematizado a seguir é montado em laboratório, e a água está se
movendo com densidade de fluxo constante através da collma composta das três camadas
unifonnes de solo. Sabendo-se que a condutividade hidráulica do solo B é o dobro da
condutividade hidráulica do solo A, pergunta-se:
a) quais os valores do potencial total nas interfaces entre os solos?
b) como seriam os gráficos de z em função de <pg, z em função de <pp( ou <Pm) e z em função de
<Pr entre a superfície e o fundo da coluna composta de solo?
z'"
o,i,;;r L S2
oJ I IwloA
0,3 m !- I ISOlO B0,3 m I
I Isolo A
-
-'
~ ~_ rejeré':cia gravitacional
y
O --
O
x
13. Considere uma esponja saturada de água de dimensões 50 mm x 100 nun x 200 mm (figura a
seguir). Imediatamente após sua saturação, ela é colocada sobre seu lado 100 nun x 200 mm
(posição A) para drenar sob a influência da gravidade até a parada completa do gotejamento
com o tempo. A seguir, se a esponja é girada e colocada sobre sua face 50 mm x 200 nun
(posição B), água fluirá novamente até que se estabeleça o equilíbrio hidrostático e, então, pare
o gotejamento. Finalmente, colocando-se a esponja sobre sua face menor 50 mm x 100 mm
(posição C), água gotejará novamente até o estabelecimento de um novo equilíbrio hidrostático.
Demonstre, fisicamente, porque ocorre gotejamento de água em cada uma das três posições.
100mm
50mm~
200 mmll
C.
100mm
100 mm
B
50mmll
A
O
O
O
O O
o O O\OO OOO O tela OO
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Dinâmica da Agua no Solo' 199
14. Prove que, quando se expressa cjJg em tennos de uma altura de líquido, seu gradiente é sempre
igual a +1.
15. Explique como e porque a compactação do solo alteraria os valores da condutividade
hidráulica.
16. Por que a condutividade hidráulica diminui com a diminuição do conteúdo de água no solo?
17. Analise as afIrmações abaixo; verifIque se são corretas ou falsas e diga o porquê.
a) A água sempre se move de regiões úmidas para regiões mais secas.
b) Steady-state signifIca que a água não está se movendo.
c) A equação da continuidade se aplica para condições transientes.
d) A água se move através de uma camada de solo sem aumentar o conteúdo de água desta
camada.
e) A água líquida se move através de um solo do menor para o maior potencial total.
13. APÊNDICES
13.1. Teorema de Bernoulli
Consideremos o arranjo experimental da Figura 7.9, que mostra um líquido incompressível
fluindo, sob regime estacionário, através de uma tubulação. Conseqüentemente, em qualquer secção
transversal da tubulação, a vazão Q deste líquido é constante ao longo do tempo, isto é,
dV
Q = - = constante.
dt
(AI)
Assim, o volume de líquido dV que flui através da tubulação durante o intervalo de tempo dt não
varia com o tempo. Por outro lado, se assumirmos que não haja atrito entre a parede da tubulação e
o líquido em movimento, transformamos a equação (AI), para uma dada secção transversal de área
A da tubulação, em
Q 1 dVv = - = -- = constante
A A dt '
(A2)
ou seja, à medida que o tempo passa, a velocidade v de qualquer partícula de líquido em qualquer
ponto de uma determinada secção transversal da tubulação não varia. No entanto, de uma secção
para outra, ela pode variar em função da área da secção, isto é, da equação (A2)
dV
vA = - = constante,
dt
(A3)
pelo que, considerando as secções C e B destacadas na Figura 7.9, de áreas AI e A2, respectivamente:
(A4)
quer dizer, a velocidade VI em C é menor do que a velocidade V2 em B, porque a área AI da secção C
é maior do que a área A2 da secção B.
Por outro lado, depreende-se, imediatamente, da equação (A4) que
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200 • Movimento da Agua no Solo
A]v]dt = A2 v2dt = dV = constante
ou
AI dI, = A2dl2 = dV = constante,
(AS)
(A6)
isto é, durante um intervalo de tempo dt, o líquido em C se move de uma distância dlI = vIdt e em B
de uma distância dI] = vJClt.
A Figura 7.9 mostra também um tubo piezométrico medindo a pressão de líquido ou
manométrica P no centro de uma detenllinada secção transversal da tubulação, sem perturbação do
movimento. Pelo fato de o líquido estar em movimento, é mais correto chamar a pressão P de
pressão dinâmica. Evidentemente, como, no presente caso, o líquido está se movimentando em
regime estacionário, a pressão dinâmica P é constante com o tempo em qualquer secção da coluna.
Assim, chamemos de PIa pressão dinâmica atuando no centro da secção C e de p] a pressão
dinâmica atuando no centro da secção B, ambas também mostradas da Figura 7.9.
-----------l--
P2
Z
Z]
v2
~ Referência gravitacional
y
x
Figura 7.9 Um arranjo experimental para o teOl-ema de Bernoulli.
Pelo princípio da conservação de energia, a energia total, ou seja, a soma da energia potencl''''
total com a energia cinética, do volume de líquido dV = AIdII= A]dl] = ... = Adl, (ver equação ..l,
fluindo pela tubulação, deve ser igual em qualquer secção dela. Ora, no caso presente, em que 115.:
há atrito entre a parede da tubulação e o líquido em movimento, a energia potencial total des:=
volmlle de líquido resulta, quando expressa por W1idadede massa ou volmlle do líquido, na so!:::.
dos nossos conhecidos potenciais de pressão e gravitacional (ver Figura 7.9). Portanto, p-'-
princípio da conservação de energia, tem-se, considerando as secções C e B que:
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= _ o;údentemente,
P. v2 P v2
---l..+gz+_1 =_2 +gz +_2
p 1 2 P 2 2'
P v2
- + gz +- = constante,
p 2
Dinâmica da Agua no Solo· 201
(A7)
(A8)
=~ o P/p = potencial de pressão (energia/massa); gz = potencial gravitacional (energia/massa);
- _= energia cinética por unidade de massa.
Se dividirmos os termos da equação (A 7) por g, o resultado da unidade desses tennos será,
:COiillO sabemos, o de uma altura de líquido:
:'':' ~ortanto,
P. 2 P 2_I +z +l=_2 +z +~
pg I 2g pg 2 2g
P v2
- +z +- = constante.
pg 2g
(A9)
(AIO)
As equações (A7), (A8), (A9) e (AIO) são conhecidas como equação de Bernoulli.
Um aspecto importante a respeito da equação de Bemoulli, para nossos propósitos, é o que se
segue.
Explicitando a diferença PI - P2 da equação (A9), obtém-se:
2 2
P. -p = p'o(z -z)+ pV2 _ pVJ
12 b2 122
ou
(AlI)
A partir da equação (A4)
ou
2 A2
V2 _ 1
-2 --2'
VI A2
Substituindo a equação (AI2) na equação (AlI), resulta
pv2 (A2 J
~ -P2 = pg(Z2 -ZI)+--J ~-l .
2 Ai
(AI2)
(A 13)
Observe que, se o líquido estiver em repouso (VI = O), a equação (A13) se transforma em
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202 • Movimento da Agua no Solo
11-P2 = pg(Z2 -ZI)'
ou, como ZI -Z2 = h (Figura 7.9),
p2-p] = pgh, (A14)
isto é, se o líquido da Figura 7.9 for impedido de fluir, seu nível no piezâmetro que mede a pressão
P2 se eleva e pára na mesma altura que o nível do líquido no piezâmetro que mede PI, de tal
maneira que P2 =PI + pgh, como na lei de Stevin da hidrostática.
Por outro lado, se o líquido estiver em movimento (v] -:F O)mas A]= A2= constante, a equação
(A13) também se transforma na equação de Stevin (equação A14).
Analisemos um pouco mais esta segunda situação. Para tanto, considere o esquema da Figura
7.10 que mostra um tubo longo de diâmetro constante com um pequeno orificiono seu fundo
através do qual o líquido está fluindo em regime estacionário, pelo que a altura H de líquido deve
permanecer constante.
Focalizemos, primeiramente, nossa atenção nos pontos 1 e 2 da coluna. A velocidade em 1,
onde a área da secção transversal do tubo é A], é v] e, em 2, onde a área da secção transversal do
tubo é A2, é V2. A figura também mostra uma linha de fluxo que se estende desde a superficie livre
(ponto 1) até o orificio de saída (ponto 2), ao longo da qual vamos aplicar a equação de Bemoulli
(equação A8).
Z
,
y
9
Z] 1------------- 00 I 'VU
x- -----
p
"'rl-'t"-~r.~ 1,
~ I ~
1
Z:2 _nnnn_n-1-nnnnnC. ~
2 t. V2
'i
4
/
x
Figura 7.10 Teorema de Torricelli e pressões dinâmicas em secções de coluna de mesma área.
A pressão absoluta tanto em 1 como em 2 é a pressão atmosférica, pelo que as pressões
manométricas (ou de líquido) tanto em 1 como em 2 são nulas, p] = P2 = O. Se A] »A2, então a
razão A2IA] pode ser considerada desprezível e, pela equação (A4), também v] pode ser
desconsiderado: se assumirmos que A/A] = O,então, pela equação (A4), v] = O. Conseqüentemente,
pela equação (A9) e Figura 7.10:
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Dinâmica da Agua no Solo· 203
e, então,
(AIS)
z'+dz
z+~z
A equação (AIS) é, como se pode ver, um caso particular da equação de Bemoulli, conhecida
pelo nome de equação de Torricelli.
Focalizando, agora, nossa atenção nos pontos 3 e 4 da coluna, como a secção transversal é
igual (A]= A4) tem-se que, a partir da equação (AI3),
P4 -~ = pg(Z3 -Z4)'
isto é, as pressões de líquido só podem ser aquelas mostradas nos tubos piezométricos da Figura
7.10, ou como na equação (AI4) (equação de Stevin),
P4 -P3 =pg(Z3 -z4)=pgh,
fato este que pode ser facilmente comprovado pela experiência.
13.2 Viscosidade de umjluido
A viscosidade de um fluido refere-se ao atrito entre suas moléculas quando em movimento.
Ela pode ser demonstrada considerando o fluido confinado entre duas placas paralelas de um
material sólido (Figura 7.11).
z
v
~'\1Rr'\"""~''W'~''?'''~\_-~~*'i~~---> F, , _ j~ .§&_'W!1.~~~"\."h·'1!iiW!!i!!$i!!i!i!L~_~ _ -,,,.
! /
! /
I v'
-- -- rd~ -- I v'-dv
z' - - - -', - - - ~----
z - - -
y
x
Figura 7.11 Demonstração da viscosidade de um líquido.
Façamos, então, com que a placa superior se mova com uma velocidade constante v pela
aplicação de uma força F, e a inferior seja mantida fixa. Se a distância h entre as placas for
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(A16)
204 • Movimento da Agua no Solo
suficientemente pequena a fim de que as partículas do fluido se movam em caminhos paralelos
(fluxo laminar), a experiência mostra que:
1. a velocidade do fluido é zero junto à placa inferior e igual a v junto à placa superior, devido à
adesão;
2. entre as placas, a velocidade do fluido aumenta lineannente com a distância a partir da placa
inferior; e
3. a força F por unidade de área da placa superior que deve ser aplicada para manter a velocidade v
é diretamente proporcional a v e inversamente proporcional à distância h entre as placas, isto é,
F v
-(X-
A h'
sendo A a área da placa superior, e a razão FIA denominada tensão de cizalhamento.
Portanto, a força F aplicada na placa superior mantém o movimento relativo entre as placas a
uma velocidade constante, sendo por isso exatamente igual à força de atrito entre as moléculas do
fluido que resiste ao movimento da placa superior, isto é,
F=Fa, (A17)
sendo Fa a força de atrito entre as moléculas do fluido.
Observe que, na verdade, a equação (A16), tendo em conta a equação (A17), pode também
ser escrita como
Fa ~v-(X-
A &' (A18)
(A19)
uma vez que, confonne pode ser visto na Figura 7.11, Llv = v - O = v e L1z = h.
Com isso, se considerannos o movimento relativo de dois planos paralelos quaisquer no
interior da camada de espessura L1z = h, distantes entre si de dz, conforme mostra a figura, é claro
que, tendo em vista os resultados da experiência para fluxo laminar,
Fa dv-(X-
A dz'
sendo A a área destes dois planos de fluido, idêntica, evidentemente, à área da placa superior.
A eliminação do simbolo de proporcionalidade da equação (A19), transforma-a em
Fa dv-=7]-
A dz
(A20)
com a constante de proporcionalidade 7] recebendo o nome de coeficiente de viscosidade ou,
simplesmente, viscosidade do fluido.
A análise dimensional da equação (A20) mostra que as dimensões de 7] são
{M.L-l.T-l} = {F.T.L-2}. Fisicamente, observe que para dv=uma unidade de diferença de
velocidade e dz = uma unidade de comprimento, 7] = FIA (numericamente), ou seja, a viscosidade é
numericamente igual à força por unidade de área necessária para manter uma unidade de
diferença de velocidade entre dois planos paralelos de fluido que distam entre si de uma unidade de
comprimento.
A equação (A20) é conhecida como lei de Newton da viscosidade, e os fluidos que a
obedecem (gases e a maioria dos líquidos) são chamados de fluidos newtonianos. Os fluidos que
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Dinâmica da Agua no Solo' 205
não se comportam de acordo com ela são chamados fluidos não newtonianos (sangue, borracha
fundida, piche etc.) que para nós não têm interesse e que são estudados num ramo específico da
ciência chamado reologia.
Um aspecto importante a respeito da viscosidade é que, enquanto para os gases ela aumenta
com a temperatura (a não ser para gases a altas pressões), para os líquidos observa-se o contrário, ou
seja, conforme a temperatura aumenta, a viscosidade diminui.
A Tabela 7.1, a seguir, retirada de Bear (1975), mostra valores típicos de viscosidade de
alguns líquidos.
Tabela 7.1 Viscosidade de alguns líquidos em kg m-1 S-1 (= N s m-2 = Pa s).
Substância Temperatura (K)
273
283293313343
Água
0,0017870,0013100,0010020,0006530,000407
Benzeno
0,0009020,0007590,0006490,0004920,000351
Clorofórmio
0,0007000,0006260,0005640,000465-
Álcool etílico
0,0017700,0014500,0011900,0008270,000504
Álcool metílico
0,0008130,0006860,0005910,000450
-
Éter
0,0002860,0002580,0002340,000197
-
Face a essas considerações a respeito da lei de Newton da viscosidade, é claro que o teorema
de Bemoulli (equação A8) não funciona para líquidos se movimentando em tubos de secções muito
pequenas. Na realidade, embora tenhamos dito, na dedução do teorema de Bemoulli, que a
velocidade do líquido podia ser considerada constante em todos os pontos de qualquer secção
transversal da tubulação, o que, de fato, tem-se é a situação mostrada na Figura 7.12a. Isto é, num
tubo cilíndrico como o da figura, o líquido situado junto à parede do tubo está, pela lei da
viscosidade de Newton, em repouso devido à adesão e, à medida que se afasta da parede em direção
ao centro do tubo, vão se obtendo superficies cilindricas concêntricas com velocidades crescentes
até o limite máximo v. Somente no caso em que a espessura L1x for pequena em relação ao diâmetro
do tubo é que o teorema de Bemoulli tem validade, e pode ser aplicado. Essa espessura L1x depende,
principalmente, do coeficiente de viscosidade do líquido, mas também de sua densidade e do
comprimento do tubo, como veremos, a seguir, no desenvolvimento da equação de Poiseuille para
fluxo, sob regime estacionário, em tubos capilares.
I
I
~x
I.--
(a)
~x
(b)
Figura 7.12 Distribuição da velocidade de um líquido numa secção transversal de um tubo
cilíndrico a) não-capilar e b) capilar.
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206 • Movimento da Agua no Solo
Inicialmente vamos mostrar como se pode calcular a distribuição de velocidade mostrada no
tubo da Figura 7.12b, e depois o cálculo da vazão pelo tubo.
Consideremos, então, um certo líquido fluindo através de um tubo capilarde raio R e
comprimento L sob uma diferença de potencial total tlc/J, = c/J, - c/J, constante (Figura 7.13).I 2
, , I,, ,, , I,
I
IIII
I I
~ll
I r I I
:( )!
I R
(a)
r
I I i I I
T
L
L
I 1efi"
, ,~:
! r!---, R
(b)
Figura 7.13 Esquema ilustrativo para a dedução da lei de Poiseuille: a) movimento de um cilindro
de líquido de raio r; b) movimento de um pequeno cilindro oco de líquido de parede
com espessura Llr.
Imaginemos, agora, a movimentação de um cilindro de líquido de raio r concêntrico ao tubo
capilar mostrado na Figura 7.l3a. Evidentemente, à medida que este cilindro se movimenta, sua
superficie curva de área igual a 2n:rL, assim como a superficie interna idêntica do cilindro externo
formado pelo líquido remanescente sofrem a ação da força de atrito Fa (equação A20). Sob
condições de regime estacionário, o cilindro se move a uma taxa constante, sem aceleração, pelo
que a força líquida sobre ele é zero. Para isso, a força Fg do gradiente de potencial total l1c/J/L deve
ser exatamente igual à força de atrito Fa, isto é,
Fg =Fa· (A21)
Analisemos, separadamente, as duas forças Fg e Fa para o caso em questão.
Como o volume do cilindro interno é n?L, a força total resultante que ele experimenta
quando sob a ação do gradiente l1c/J/L é o produto do gradiente pelo seu volume. Lembre-se de que o
gradiente de potencial representa a força experimentada por cada unidade de massa ou volume de
líquido (ver item 3.2). Portanto, expressando l1c/JIL em força / volume:
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Dinâmica da Agua no Solo· 207
ou
(A22)
Por outro lado, a força de atrito, neste caso em que a área é cilíndrica, deve ser, de acordo
com a equação (A20), dada por
(A23)
o sinal negativo que aparece na equação (A23) deve-se a dv/dr < O,uma vez que, como se pode ver
pela Figura 7.13 em conjunto com a Figura 7.12, conforme r aumenta, v diminui.
Portanto, substituindo as equações (A22) e (A23) na equação (A21):
ou
dv = _ (tiepl )r dr
2T]L '
sendo v a velocidade do líquido à distância r do centro do tubo capilar.
Integrando a equação (A24) entre v = O(em r = R) e v = v (em r = r), obtém-se
v !:J.ep r
f dv = __ I f rdr .
O 2TJL R
Conseqüentemente,
(A24)
(A25)
ou seja, a velocidade do líquido varia com a distância radial do centro do tubo capilar segundo uma
função do segundo grau, com um gráfico de v em função de r, desde r = Oa r = R, sendo assim uma
parábola.
Mostremos, agora, como calcular a vazão Q do tubo capilar, isto é, o volume total de líquido
que o atravessa por unidade de tempo, a partir da equação (A25). Para tanto, imaginemos um
pequeno cilíndro oco de líquido de parede com espessura L1r, concêntrico ao tubo capilar, de raio
médio r e fluindo a velocidade v (Figura 7.13b).Se nos reportarmos à equação (A3), é fácil verificar
que o volume de líquido que flui através da superficie de área (2nr)L1r, por unidade de tempo (L1Q),
é simplesmente o produto da velocidade pela área, isto é,
!:J.Q= 2nr(& )v .
Note que L1Q é a contribuição do pequeno cilindro oco à vazão total Q.
Substituindo a equação (A25) na equação (A26):
(A26)
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208 • Movimento da Agua no Solo
~Q = [n!1f/J1 ]r(R2 _ r2 ~r.217L
No limite, quando L1r se toma infrnitamente pequeno, a equação (A27) pode ser escrita como
dQ = [n!1f/J{ ]r(R2 - r2 }Ir,217L
(A27)
a qual pode ser integrada entre os dois valores limites de r, isto é, r = O e r = R, para os quais Q = O
e Q = Q, respectivamente:
J dQ = 7r~f/J{1r(R2 - r2}Ir
o 217L o
ou
Q= 7r~f/JIR4
817L
A equação (A28) é conhecida como equação ou lei de Poiseuille.
Observe que, como o fluxo é em regime estacionário,
Q= dV _ V
dt -t'
(A28)
ou seja, a vazão é simplesmente o quociente entre o volume do líquido e o tempo decorrido para sua
saída através da extremidade inferior do capilar.
Além disso, chamando de A = 7rR2, área da secção transversal do tubo capilar, podemos
reescrever a equação (A28) como:
R2 ~
Q=-A~
817 L'
(29)
a qual, como se pode ver, é muito semelhante à equação de Darcy.
Por meio da equação (A28) ou (A29), pode-se medir 17 conhecidos Q, t1f/JI, R e L. O
equipamento utilizado para isso chama-se viscosímetro, o qual consiste de um simples tubo de raio
R e comprimento L, adequadamente preparado para que se possa aplicar uma diferença de potencial
t1f/J1e medir Vem função de t.
Na detenninação da viscosidade por meio do viscosÍInetro é mais conveniente a medida da
razão entre a viscosidade 17 e a densidade p do fluido, T]/p, a qual tem dimensões de uma grandeza
puramente cinemática (eT1). Por esse motivo, é comum chamar essa razão de coeficiente de
viscosidade cinemática, ou viscosidade cinemática, e chamar 17, para diferenciar, de coeficiente de
viscosidade dinâmica, ou viscosidade dinâmica.
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VIII
INFILTRAÇÃO DA ÁGUA NO SOLO
Nossa intenção com este capítulo é fornecer; de forma resumida, os aspectos básicos e
tradicionais do processo de infiltração em tennos de uma aplicação da teoria do movimento da
água em solos vista no capítulo anterior. Nesse sentido, sugerimos como leitura complementar,
além dos trabalhos originais de Green e Ampt (1911), Kostiakov (1932), Horton (1940), Philip
(1955) e Philip (1957a,b), o trabalho muito bem elaborado de Swartzendruber (1969) e o
capítulo 13 do livro de Childs (1969). Aos interessados em infonnações mais recentes sobre o
assunto, recomendamos a consulta do livro "Advances in Infiltration" (ASAE, 1983), que é o
resumo da Conferência Nacional sobre Avanços em Infiltração realizada em Chicago (Illinois),
em dezembro de 1983. Outra referência também muito importante é o livro "Methods of Soil
Analysis", parte I, editado por Arnold KIute em 1986, especificamente os capítulos 32, escrito
por Bouwer, 33, escrito por Peterson e Bubenzer, e 34, escrito por Kincaid.
1. INTRODUÇÃO
De[me-se infiltração como a entrada de água no solo através de sua superfície, isto é, através
da interface solo-atmosfera. Assim, durante uma chuva, parte dela pode infiltrar e movimentar-se
para baixo e parte pode escorrer pela superficie do solo (se o terreno apresentar declividade).
Percebe-se, desta maneira, que a infiltração é um processo que separa quanto da precipitação (chuva
e/ou irrigação) flui sobre a superfície do solo e quanto flui abaixo da superfície, esta última tanto
vertical como horizontalmente, dependendo do tipo de solo.
O tenno taxa de infiltração refere-se à quantidade de água que atravessa a unidade de área da
superfície do solo por unidade de tempo. É fato experimental que, durante o processo de infiltração
num perfil de solo homogêneo inicialmente seco, a taxa de infiltração tende a decrescer com o
tempo, atingindo um valor [mal constante. Um gráfico relacionando a taxa de infiltração (eixo das
ordenadas), a partir de uma superfície inundada, com o tempo (eixo das abscissas) é chamado de lei
de infiltração, e o valor [mal constante da taxa de infiltração é conhecido pelo nome de capacidade
de infiltração.
São conhecidas diversas fórmulas (denominadas equações de infiltração) propostas para
expressar a lei da infiltração de água em solos. São equações desenvolvidas empiricamente ou a partir
de considerações fisicas e aplicam-se somente a solos homogêneos e que permanecem homogêneos
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210 • Infiltração da Àgua no Solo
durante o processo. Antes porém, de mostrarmos como estas equações foram desenvolvidas, vejamos
como se apresenta o perfil de conteúdo de água durante a infiltração em um solo homogêneo.
2. PERFIL DE CONTEÚDO DE ÁGUA TÍPICO
conteúdo de água saturação
zona de saturação
zonade transmissão
conteúdo de água no solo e
N
Q)
"O
<:<l
:g
"O
:::
c..:lo...o.
1
Ho~~~~
L
Num perfil de solo uniforme, a distribuição da água com a profundidade, quando se mantém
uma pequena carga hidráulica na superficie do solo, é, de acordo com Bodman e Coleman (1944),
como a mostrada, de maneira esquemática, na Figura 8.1. A zona de saturação, como o próprio
nome diz, é uma zona em que se presume estar o solo saturado. A seguir, vem a zona de transição,
que é uma região de rápido decréscimo do conteúdo de água. A zona de transmissão, que vem em
seguida, é uma porção do perfil através da qual a água é transmitida com variações muito pequenas
no conteúdo de água. Abaixo da zona de transmissão vem a zona de umedecimento, que é uma
região de variação relativamente rápida de conteúdo de água. Finalmente, a frente de molhamento
compreende uma pequena região na qual o gradiente de conteúdo de água sofre uma variação
bastante abrupta que representa o limite visível da penetração da água.
conteúdo de água
inicial
frente de
molhamento
zona de umedecimento
~ frente de molhamento
Figura 8.1 Perfil de conteúdo de água típico durante o processo de infiltração em um perfil de solo
uniforme de acordo com Bodman e Coleman (1944).
3. EQUAÇÃO DE GREEN E AMPT (1911)
Para o desenvolvimento de sua equação de fluxo, estes autores assumiram que, ocorrendo o
processo de infiltração, e mantendo-se uma carga hidráulica Ho constante na superficie do solo, a
frente de molhamento é bem nítida e precisamente definida, atrás da qual o solo se encontra
uniformemente saturado com condutividade hidráulica Ko; por sua vez, o potencial mátrico nesta
frente permanece sempre constante, independente do tempo e posição, e igual ao valor do potencial
mátrico do solo antes da infiltração. A Figura 8.2 ilustra bem estas hipóteses.
Verifica-se, pelas hipóteses adotadas, que o perfil de conteúdo de água apresenta uma curva
em forma de degrau, situação impossível na prática. No entanto, estas suposições simplificam a
equação de fluxo, tomando possível uma solução analítica.
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Dinâmica da Agua no Solo • 211
superficie do solo
8
frente de
molhamento
com epm= -Hfz
8
z
(a) (b)
Figura 8.2 (a) antes da infiltração: o solo tem um conteúdo de água inicial 8j constante; (b) durante
a infiltração, num certo tempo t: o potencial de pressão na superficie do solo é
constante e igual a Ho e o potencial mátrico na frente de molhamento é constante e
igual a - Hj.
Aplicando a equação de Darcy-Buckingham à coluna saturada de comprimento L, e
considerando o referencial gravitacionallocalizado na frente de molhamento, a densidade de fluxo
será a taxa de infiltração, a qual chamaremos, aqui, de i, ou seja:
. dI Ho+L+Hj
z=-=-Ko .
dt L
(1)
sendo I = infiltração acumulada = VAIA, definida logo adiante.
Rearranjado numa fonna conveniente:
dI Ko(Ho+ Hf)-=- Ko-------·
dt L
Chamando
- Ko=A (2)
e
(3)
resulta para a equação (1):
dI B-=A+-.
dt L
(4)
É fácil perceber que a equação (4) satisfaz plenamente os reqmsItos de que a taxa de
infiltração deve ser grande quando L é pequeno (início da infiltração) e decrescer com o tempo,
tendendo a um valor constante Ko depois de um longo tempo, quando L se toma maior.
Calculemos, agora, a infiltração acumulada I, isto é, a quantidade total de água que penetrou
no solo desde o início da infiltração até o tempo t, expressa em termos de uma altura de água,
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212· Infiltração da Àgua no Solo
volume de água infiltrado (VA) por unidade de área do solo (A). Isto é obtido pela integração da
equação (4). Vejamos.
Focalizemos nossa atenção na frente de molliamento. Estando ela no tempo t em Z = L,
depois de um intervalo de tempo infinitesimal dt estará em Z = L + dL e uma quantidade
infmitesimal de água dI infiltrou. Tendo em vista a hipótese do problema, é fácil verificar que
dI = ((),.- ();)dL ,
sendo (),.= conteúdo de água de saturação e ()i = conteúdo de água inicial no solo antes da
infiltração. Chamando (),.- ()i = L1(), evidentemente,
dI = ( jj. () ) dL
e
dI = ( jj.() ) dL .
dt dt
(5)
L1() representando a diferença constante de conteúdo de água no solo antes e depois da passagem da
frente de molhamento.
Comparando-se as equações (4) e (5):
jj.() dL = LA +B
dt L
ou
dt
dL
( jj.() )L
LA+B
(6)
donde
e
Façamos a integração da equação (6). Para tanto, chamemos
LA+B=x,
L=x-B
A
dL= dx
A'
Substituindo as equações (7), (8) e (9) na equação (6):
dt (jj.() )(x - B)
dx A2 X
Separando as variáveis e rearranjando convenientemente, resulta:
dt = jj.() (dx _ B dx ).
A2 X
(7)
(8)
(9)
(10)
Como, para t = O, L = O e, de acordo com a equação (7), x = B, a integração da equação (10)
de t = O a t = t (e, portanto de x =B a x = LA + B),
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f i18 (LA+B LA+B dx J
f dt = ---z f dx - B f -
o A B B X
nos leva a
ou
t~ ~+_~m(LA;B)]
A
Por outro lado, sabemos também que
I = (i18)L,
daí a equação (12) ser escrita como
t~ !-cm(1+f:J
A
sendo
c= (i18)B .
A
Dinâmica da /Ígua no Solo' 213
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
É fácil de perceber que a infiltração acwnulada I não pode ser resolvida explicitamente a
partir da equação (14). No entanto, detenninando-se os valores das constantes A e B a partir da
equação (4) por meio da regressão linear de i versus l/L e calculando-se ,18 por meio da
detenninação de 8, e de 8i, obtém-se o valor da constante C pela equação (15). Conhecidos os
valores de A e C, fica resolvido o problema de explicitar I da equação (14).
4. EQUAÇÃO DE KOSTIAKOV (1932)
Esta é uma equação inteiramente empírica, da seguinte fonna:
(16)
em que ii é a taxa de infiltração no início da infiltração, em t = O, e a é uma constante. Os valores
destes dois parâmetros podem ser detenninados a partir da regressão linear de log i versus log t.
Lembrando que
. dI1=-
dt
e que I (infiltração acwnulada) é igual a zero no tempo zero (início da infiltração) podemos integrar
a equação (16) como
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214· Infiltração da Àgua no Solo
f t
f dI = ii f ra dt ,
o o
donde
(l-a)t
1= ii 1- a . (17)
(18)
Analisemos um pouco as equações (16) e (17). A fIm de que i sempre dinllnua, a constante a
na equação (16) deve ter um valor positivo. Por outro lado, uma vez que I nunca pode ser negativo,
a quantidade (1 - a) - equação (17) - tem que ser positiva. Disto conclui-se que a deve ser um
número positivo menor que um.
Uma outra consideração é o fato de que, de acordo com a equação (16), i tende para zero
quando t tende para o infInito, o que, como já sabemos, não é verdade, uma vez que quando t -7 00, i
deve ser igual a um valor constante Ko. Podemos, no entanto, calcular quando isto acontece: esta
taxa [mal constante (= Ko) deve ser atingida nwn tempo T dado pela substituição de i por Ko na
equação (16):
Ko=iira
Explicitando T, resulta:
( . )I/a
TI.= -'
Ko
Pelo que acabamos de ver, deve-se esperar que a equação de Kostiakov seja válida apenas
nos estágios iniciais da infIltração para t < T. Esta equação (equação 16), embora empírica e de
aplicabilidade limitada, é útil em aplicações de irrigação, devido à sua simplicidade e ao fato de,
para curtos intervalos de tempo, ajustar-se razoavelmente bem para uma grande quantidade de
solos.
5. EQUAÇÃO DE HORTON (1940)
Na natureza, ocorrem muitos processos de decaimento que obedecem à lei de que a taxa de
variação de uma determinada grandeza que se aproxima de um valor [mal constante é proporcional
à diferença entre seu valor num determinado tempo e o valor fInal constante. No caso em questão, a
grandeza é a taxa de infiltraçãoi, cujo valor fInal constante vamos chamar de ir- Tendo em vista o
exposto, a taxa de variação da taxa de infiltração, segundo Horton (1940), seria dada por
di .
- = - C(I - iI) .dt
o sinal negativo na expressão acima indica que a taxa de infIltração está decrescendo ao
valor fInal constante.
Chamando de ii a taxa de infIltração no início do experimento, em t = O, podemos, após a
separação das variáveis, integrar a equação (18) como
. I
f'~=-fCdt. l-li o';
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Dinâmica da ..4gua no Solo • 215
ou
donde, após algumas passagens algébricas simples, obtém-se a equação (19):
i=ij+C-ij)e-Ct, (19)
conhecida como equação de Horton. A detenllinação dos três parâmetros U;, ir e C ) que aparecem
nesta equação pode ser feita pelo melhor ajuste estatístico dos dados experimentais (valores de i e t).
A aplicabilidade da equação de Horton é muito variada, pois não se baseia em nenhuma
teoria fisica adequada, apenas na intuição.
6. EQUAÇÕES DE PHILIP (1955 e 1957)
A grande vantagem das equações propostas por Philip (1955 e 1957b) para explicar a lei da
infiltração é o fato de ela ser baseada na teoria, e de suas constantes possuírem um significado
fisico. Como veremos, é uma equação deduzida a partir da equação do perfil de conteúdo de água.
Antes, porém, de procedermos ao desenvolvimento teórico de sua obtenção, duas relações
matemáticas envolvendo derivadas parciais precisam ser conhecidas. Vejamos.
6.1 Relações matemáticas
No processo de infJ.1tração, é fácil de perceber que há uma relação entre o conteúdo de água
no solo (8), a distância a partir da superficie inundada (z) e o tempo (t), quer dizer, existe uma
relação funcional entre 8, z e t. Podemos, então, expressar 8 em função de z e t:
8=8(z,t).
A diferencial total d8 será, portanto:
Por outro lado, podemos também expressar z em função de 8 e t:
z=z(8,t).
Conseqüentemente:
Substituindo a equação (23) na equação (21), resulta:
ou
(20)
(21)
(22)
(23)
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216 • Infiltração da Àgua no Solo
d8 ~(~~],( ~; ),d8+[( ~~],( ~; 1+(~)} (24)
Pelas equações (20) e (22) verifica-se facilmente que, das três variáveis, somente duas são
independentes. Vamos escolher e e t como tais (equação 22). Nestas condições, a equação (24) deve
ser verdadeira para todos os conjuntos de valores de de e dto Assim, se dt = O e de 7:- O, resulta:
(de) (dZ) =1dz ( de (
ou
(de) 1dz ( = (dz/de)( .
Se, no entanto, de = O e dt 7:- O, toma-se claro, a partir da equação (24) que
( de ) (d z J + (de J = Odz ( dt e dt z
ou
( ~), = - ( ~ J,( ~~).,
(25)
e, tendo em vista a equação (25):
(~~1
(dz/dt)e
(dz / de)(
(26)
As equações (25) e (26) são as relações matemáticas que nos referimos anteriormente e que
serão utilizadas a seguir.
6.2 Infiltração horizontal
Philip considerou dois tipos de infiltração, a horizontal e a vertical, para obter a equação do
perfil de conteúdo de água, e então a equação da lei de infiltração. Neste subitení, vamos tecer
considerações a respeito do primeiro deles (philip 1955), conforme Swartzendruber (1969).
Consideremos, então, o arranjo experimental da Figura 8.3, que ilustra a difusão horizontal da
água numa coluna de solo homogêneo semi-infmita, com um conteúdo de água uniforme 80.
O estado inicial, portanto, é aquele no qual, ao longo de toda a extensão da coluna, o
conteúdo de água é constante e igual a eo.
Num dado momento, considerado como tempo zero da infiltração (t = O), um conteúdo de
água maior e) é imposto e mantido numa das extremidades da coluna escolhida como x = O. Isto
pode ser feito colocando-se em contato com a superficie livre do solo, em t = O, uma placa porosa
conectada a uma bureta de Mariotte, como mostra a Figura 8.3. Obtém-se um conteúdo de água el
próximo à saturação em x = O, mantendo-se a entrada da pressão atmosférica da bureta de Mariotte
(entrada de ar) um pouco abaixo do centro da coluna. Evidentemente, valores menores de ej são
obtidos à medida que a entrada de ar é abaixada em relação ao centro da coluna.
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Dinâmica da Agua no Solo' _1
o pro6lema, nessas condIções, resume-se em obter em qualquer tempo subseqüellte o
.:onteúdo de água no solo da coluna com a distância a partir da superficie exposta (x = O).
bureta de Mariotte
J.~.-
- o
c o
placa porosa
x=O
solo homogêneo
x = 00
(27)
Figura 8.3 Esquema do arranjo experimental para medida da infiltração horizontal da água no
solo
A equação diferencial adequada, cuja solução fornece a informação necessana para este
problema de fluxo horizontal, é a equação de Richards (ver equação 87 do capítulo VII):
ae =~[D(e)ae],at ax ax
sujeita às condições:
t = O, x > O, e = eo }
t > O, x = O, e = eI .
t>o,x=oo,e=eo
A solução, portanto, da equação (27), sujeita às condições (28), será do tipo:
e =e(x,t).
Se, em vez da solução e = e (x,t), considerannos a solução
x = x(e,t),
(28)
(29)
(30)
(31 )
a equação (27) tem que ser, coerentemente, transformada. Para tanto, já sabemos que (ver item 6.1):
ae ax/ê)t-----
ar ax/ê)e
e
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218 • Infiltração da Agua no Solo
ae 1----
ax ax!de
Substituindo-se as equações (31) e (32) na equação (27), resulta:
ax a ( 1)-ai = ae D ax!de '
(32)
(33)
e, como sabemos, D é função de e.
O problema de valor de contorno se tomou, portanto, a equação (33), sujeita às
condições (28), cuja solução é do tipo da equação (30).
Vamos, então, obter a solução da equação (33) sujeita à condições (28) por meio da técnica
das variáveis separáveis, assumindo que esta solução possa ser escrita na forma do produto
x = À(e )s(t), (34)
no qual À é função só de e, e s é função só de t. Fazendo-se a derivação parcial da equação (34),
obtém-se:
e
ou
ax =À ds
at dt
ax dÀ-=s-.
ae de
Substituindo-se as equações (35) e (36) na equação (33), temos:
À ds _ a [D 1 ]dt ae s(dJVde)
ds ld(D)- À dt =--; de dJVde .
(35)
(36)
Separando as variáveis, isto é, colocando as funções de t no membro da esquerda e as funções
de e no da direita, resulta:
ds ld(D)s dt = - À de dJVde .
(37)
Ora, como o membro da esquerda é função só de t, o da direita só de e e um é igual ao outro,
não é dificil de imaginar que para isto ser possível cada um deles deverá ser igual a uma constante,
ou seja,
dss-=a
dt
e
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Dinâmica da Agua no Solo • 219
1 d ( D )- À de d)jde = a ,
sendo a a constante. Rearranjando:
s ds= adt
e
~ ( d:de )= - aÀ .
A equação diferencial (38) é fácil de ser resolvida. Integremo-Ia:
f ds =fdt.
a
Portanto:
1/
--=t+C)
a 2 '
donde
(38)
(39)
(40)
sendo C) a constante de integração.
Substituindo-se, então, a equação (40) na equação (34), que é solução de nosso problema,
resulta:
ou
x=À~ ~t+C).
Chamando
tem-se que
À~ =71(e),
x = 71(e )Jt+C; .
(41)
(42)
Sendo a equação (42) a solução de nosso problema, ela deve satisfazer às condições (28) do
problema de valor de contorno, isto é:
a) t > O; x = O; e = ej
Portanto:
donde, evidentemente:
(43)
b) t = O; x > O; e = eo
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220 • Infiltração da Agua no Solo
Portanto:
X=1](80}JO+Cl
ou
x
1](8J= fG'
(44)
Se C) for [mito e diferente de zero, resulta, pela equação acima, que 80 variaria com x, o
que viola a condição de que 8 = 80 para qualquer x> O no tempo t = O. Portanto, as únicas
escolhas para C] são 00 ou O. No entanto, C) ---700 resultaria, pela equação (44),1](80)