Função Inversa

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4. FUNÇÃO INVERSA 
Uma função f : A → B é uma relação entre os conjuntos A e B com propriedades especiais. f 
como relação é um subconjunto de 𝐴 × 𝐵 . 
Os pares ordenados (x, y) deste subconjunto são tais que y = f (x). 
Por exemplo, se A ={-1,1,2}, B ={-1,0,1,4} e f (x)= x2 . Enquanto relação, f se escreve 
como f ={(-1,1),(1,1),(2,4)}. Suponha que as coordenadas são trocadas para obter uma nova 
relação g : 
g ={(1,-1),(1,1),(4,2)} 
Em que condições podemos garantir que, após a inversão, g é ainda uma função (e não 
meramente uma relação?). 
 
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/592411, foto de: Brian Lary 
 
Se você pensar um pouquinho vai chegar à conclusão de que g é uma nova função apenas 
no caso em que a função f for bijectiva. Entre outras palavras, somente as funções bijectivas f 
possuem inversa f 
-1 .Entendeu? 
Vamos tentar te convencer da validade desta resposta através de diagramas. 
 
Caso (I): se f não é injectiva então não existe inversa. Veja um exemplo, representado no 
diagrama a seguir, onde 
A ={a,b,c} e B ={1,2} 
A função inversa não pode ser definida para o elemento 1, pois f (a)= f (b)=1 
Atenção 
Nos casos afirmativos g é chamada função inversa de f e geralmente 
denotada por -1 f . 
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Figura 8: f (a)= f (b) =1 
Caso (II): se f não é sobrejectiva então não existe inversa. Veja um exemplo, representado 
no diagrama abaixo, onde 
 
 
Portanto, uma função f : A → B , possui a função inversa 𝑓−1 se e somente se f é bijectiva. 
Seja f : A → B uma função bijectiva. Então a função inversa 𝑓−1 : B → A tem as seguintes 
propriedades: 
(i) 𝑓−1 é uma função bijectiva de B em A. 
(ii) D(𝑓−1)= Im (f )= B 
(iii) Im (𝑓−1)= D(f )= A. 
 
A relação entre os pares ordenados de f e 𝑓−1 pode ser expressa simbolicamente por 
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⟺ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑓−1 ou 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) 
{ } c b a A , , = e { } 4 , 3 , 2 , 1 = B 
Figura 9: A função inversa não pode ser definida em 4 ∈ B. 
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Agora que você já sabe quais são as características de uma função inversa, vamos avançar 
em nosso estudo para descobrir de que forma podemos determinar uma função inversa. Para isso, 
veja a sequência de exemplos a seguir. 
Exemplos. 
(i) Qual a função inversa da função bijectiva f : R → R definida por f (x)= 3x + 2? 
Solução: se y = f (x) então f -1(y)= x . 
Partindo de y =𝑓(𝑥), y=3x+2 , procuramos isolar x para encontra x = f -1(y) 
𝑦 = 3𝑥 + 2 ⟹ 3𝑥 + 2 = 𝑦 ⟹ 3𝑥 = 𝑦 − 2 ⟹ 𝑥 =
𝑦 − 2
3
 
 
Logo, 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 =
𝑦−2
3
 
 
Como a variável pode indiferentemente ser trocada também podemos escrever𝑓−1(𝑥) = 
𝑥−2
3
 
(ii) Qual é a função inversa da função bijectiva em f : R → R definida por f (x)= x3 ? 
Solução: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3, então 𝑦 = 𝑥3 ⟹ 𝑥3 = 𝑦 ⟹ 𝑥 = √𝑦
3
 
 Portanto: 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 = √𝑦
3 ou seja 𝑓−1(𝑥) = √𝑥
3
 
(iii) Um exemplo importante é o da função identidade. I : R → R , I(x)=𝑥 . Isto é, se 
escrevermos y = I(x), temos que y = x . A representação gráfica desta função resulta na 
bissectriz do primeiro quadrante. Veja a figura 10 a seguir . 
 
Figura 10: Função identidade 
É claro que 𝐼−1 = I. Isto é, a função identidade e sua inversa coincidem. 
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Observações importantes 
Um exame do gráfico a seguir nos leva à conclusão que os pontos (x,y) e (y,x) do plano, 
abaixo representados, são simétricos com relação a recta y = x. 
 
Lembrando a relação 
(x, y)∈ f ⇔ (y,x)∈ f -1 
Podemos concluir que, no plano, os pontos que representam uma função e sua inversa são 
simétricos em relação à recta y=x . Isto é os gráficos que representam f e 𝑓−1 são simétricos em 
relação a recta bissectriz do 1º e 4º quadrante. 
(ii) Sejam f : A → B e a função inversa 𝑓−1: B → A. Então 𝑓𝑜𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐵 e 𝑓−1𝑜𝑓: 𝐴 ⟶
𝐴 são funções identidade. de facto 
y = f (x) ⟺ x = f -1(y) 
Implica que 
fof -1(y)= f (x)= y 
E então f -1of = Id. 
Também 𝑓−1𝑜𝑓(𝑥) = 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 
E então 𝑓−1𝑜𝑓 = 𝐼𝑑 
 
Exemplo: 
Seja a função f em R definida por f (x)= 2x -3 , construir num mesmo plano cartesiano os 
gráficos de f e f -1 . 
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1. Sendo f a função real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8, para 
todos os valores 𝑥 > 3. Determine o valor de 𝑓−1(3). 
 
2. A função inversa da função bijetiva 𝑓: 𝑅\{−4} definida por 
𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
𝑥+4
 é: 
a) 𝑓−1(𝑥) =
𝑥+4
2𝑥−3
 
b) 𝑓−1(𝑥) =
𝑥−4
2𝑥−3
 
c) 𝑓−1(𝑥) =
4𝑥+3
2−𝑥
 
d) 𝑓−1(𝑥) =
4𝑥+3
𝑥−2
 
e) 𝑓−1(𝑥) =
4𝑥+3
𝑥+2
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
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3. Dada a função real de variável real f, definida por 
𝑓(𝑥) = 
𝑥+1
𝑥−1
, x≠1. 
 
a) determine (𝑓𝑜𝑓)(𝑥) 
b) escreva uma expressão para 𝑓−1