PESQ_Volume 2 - Teoria de linhas de transmissão 1

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. i
—
IIOBIA DAS
UNHAS DE
TRANSMBSAO -1
CURSO DE ENGENHARIA 
EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
- SÉRIE PTI -
RELAÇÃO DE VOLUMES E TRADUTORES
1 - Analise de Circuitos de Sistemas de Potência -
Arlindo R. Mayer
2 - Teoria das Linhas de Transmissão I - J.Wagner Kaéhler
3 - Teoria das Linhas de Transmissão II - Felix A. Farret
4 - Dinâmica das Maquinas Elétricas I - Somchai Ansuj,
Arlindo R.Mayer
5 ~ Dinâmica das Maquinas Elétricas II - Elvio Rabenschlag
6 - Dinâmica e Controle da Geração - Almoraci S. Algarve,
João M. Soares
7 - Proteção de Sistemas Elétricos de Potência -
Fritz Stemmer
8 - Coordenação de Isolamento - J. Wagner Kaehler
9 - Operação Econômica e Planejamento - Paulo R. Wilson
10 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos - M.Ivone Brenner
Coordenação Geral: Arlindo R. Mayer
CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
TEORIA DAS
1INHAS DE
D. E. HEDMAN
CURSO DE ENGENHARIA EM 
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
SÉRIE P. T. I.
SANTA MARIA - RS ■ 1979
Titulo do original: 
Transmission Line Theory - I
Direitos para o Brasil reservado à Centrais Elétricas 
Brasileiras S.A. - ELETROBRÂS
Av. Presidente Vargas, 624 - 109 andar 
Rio de Janeiro - RJ
1979
F I C H A C A T A L O G R Â F I C A
Hedman, D.E.
H455t Teoria das linhas dè transmissão I |por| D.E.
Hedman. Trad. |de| José .Wagner M. Kaehler. San­
ta Maria, Universidade Federal de Santa Maria, 
1979.
208p. ilust. 23cm (Curso de Engenharia 
em Sistemas Elétricos de Potência - Série PTI, 2)
Título original: "Transmission Line Theory I"
I. Kaehler, José >Wagner Maciel, 1948 - (trad.)
II. Título
CDD 621.319 2 
CDU 621.315 1
Obra publicada 
Com a colaboração
do Fundo de Desenvolvimento Tecnológico 
da CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A — ELETROBRÁS
em Convênio com a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA — UFSM
APRESENTAÇÃO
Hã cerca de 10 anos vem a ELETROBRÂS patrocinan­
do a realização de Cursos na área de Sistemas Elétricos 
de Potência, visando o aperfeiçoamento de engenheiros 
eletricistas das Empresas do Setor de Energia Elétrica. 
Assim, cerca de 200 profissionais, nesse período, recebe­
ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como 
no Brasil, em obediência a currículos estabelecidos pela 
ELETROBRÂS, tendo em vista as necessidades detectadas por 
seu pessoal especializado.
Como resultado da experiência de realização des­
ses e de outros Cursos, por vezes contando com a partici­
pação de professores estrangeiros especialmente contrata­
dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen­
do publicados livros especializados em regime de co- 
edição com Universidades, e â conta de Recursos do Fundo 
de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÂS.
É constante a preocupação desta Empresa em 
apoiar as Instituições de Ensino Superior, razão pela qual, 
entre outras ações, têm sido sistematicamente oferecidas 
vagas a docentes universitários, sempre que grupos de en­
genheiros são enviados ao exterior para freqüência a cur­
sos especiais ainda não oferecidos regularmente no Brasil. 
Isso tem propiciado mais rápida resposta das Universidades 
no atendimento de necessidades especiais no Setor de Ener­
gia Elétrica, inclusive pela imediata implantação de tais 
cursos no País, a mais baixo custo e possibilitando am­
pliar a faixa de atendimento de profissionais das Empre­
sas .
Em uma dessas ações, a ELETROBRÂS contratou com 
o Power Technologies, Inc. - P.T.I., de Schenectady - USA, 
a ministração de um curso especial em Sistemas Elétricos, 
e constante dos tópicos que se seguem:
1 - Análise de Sistemas Elétricos de Potência
2 - Teoria das Linhas de Transmissão
3 - Releamento - Características e Princípios
Fundamentais de Operação dos 
Reles
4 - Coordenação de Isolamento
5 - Operação Econômica e Planejamento
6 - Dinâmica e Controle da Geração
■7 - Dinâmica das Máquinas Elétricas
8 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos
9 - Economia das Empresas de Energia Elétrica
Esses tópicos, na forma como foram inicialmente 
ministrados pela equipe do P.T.I., e posteriormente re­
produzidos por outros docentes brasileiros em diversas 
oportunidades, constituem, a nosso ver, uma fonte de in­
formações capaz de proporcionar uma formação equilibrada 
de profissionais de alto nível que se destinam às Empresas 
de Energia Elétrica e que delas precisem ter inicialmente 
boa visão técnica de conjunto. Posteriormente tais profis­
sionais poderão aprofundar seus estudos em tópicos especí­
ficos, conforme necessário às suas áreas de atuação.
Foi, pois, com esta intenção que a ELETROBRÂS de­
cidiu adquirir ao P.T.I. os direitos de reprodução do Cur­
so, e contratou com a Universidade Federal de Santa Maria 
a tradução e edição do mesmo, visando sua distribuição às 
Empresas do Setor de Energia Elétrica e demais Institui­
ções de Ensino Superior que ministram cursos na área de 
Engenharia Elétrica. Estamos certos de que a divulgação 
desse material, agora em língua portuguesa,atingirá apre­
ciável número de profissionais e estudantes universitários 
proporcionando-lhes um nível de aperfeiçoamento mínimo ho­
je desejável naquelas Empresas, e ao mesmo tempo consti- 
tuindo-se em obra de referência para docentes especiali­
zados.
Arnaldo Rodrigues Barbalho 
Presidente da ELETROBRÂS
PREFACIO
Raros são os livros publicados em português so­
bre Sistemas Elétricos de Potência. Isso fez com que os 
professores do Departamento de Engenharia Elétrica e pro­
fessores que atuam no Curso de Pós-Graduação em Engenharia 
Elétrica da Universidade Federal de Santa Maria aceitas­
sem o desafio de realizar a estafante, porém atraente ta­
refa de tradução, revisão e acompanhamento na impressão do 
Curso organizado por Power Technologies, Inc. - PTI, e cu­
jos direitos de reprodução foram adquiridos pela EEETROBRSS.
Foi muito valiosa, para a realização desta ta­
refa, a união e o espírito de equipe de um conjunto de 
professores que, além de suas atividades docentes, admi­
nistrativas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a mais 
essa importante tarefa.
Ê nosso dever deixarmos assinalados os nossos a- 
gradecimentos a todos os que contribuiram para a elabora­
ção dessa obra. Destacamos a ajuda prestada pelo Diretor do 
Centro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benetti, pelo 
Diretor da Imprensa Universitária, Prof. José Antonio Ma­
chado, pelo Chefe do Departamento de Engenharia Elétrica, 
Prof. Wilson Antônio Barin, pelo Coordenador do convênio UFSM/ 
ELETROBRÂS, Prof. Arlindo Rodrigues Mayer, como também pelos 
Professores Waldemar Correia Fuentes, Nilton Fabbrine Nor- 
berto V. Oliveira.
Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica -CEEE - 
tiveram participação destacada, nesta realização, o Eng9 
Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , 
e os Engenheiros José Wagner Kaheler e Fritz Stemmer, to­
dos eles Professores visitantes do CPGEE da UFSM.
Nossos agradecimentds ã Professora Celina Fleiq 
Mayer e ã Jornalista Veronice Lovato Rossato, pelos seus 
vários serviços de revisão. E ã Professora June Magda Schãm- 
berg pelo seu auxílio na organização das fichas catalogrã- 
ficas dos vários volumes.
Nossos agradecimentos, também, ao datilografo U- 
byrajara Tajes e ao desenhista Dêlcio Bolzan.
Aos Professores Ademir Carnevalli Guimarães e 
Hélio Mokarzel, da Escola Federal de Engenharia de Itaju- 
bã, agradecemos a gentileza de nos terem enviado a tradu­
ção parcial de alguns dos volumes, os quais serviram como 
valiosas referências em nosso trabalho.
Finalmente, ê nosso dever deixar registrado 
nossos agradecimentos à Centrais Elétricas Brasileiras 
S.A. - ELETROBRÂS, por seu apoio e confiança em nós depo­
sitados.
Derblay Galvão 
Reitor
SUMÁRIO
Capítulo 1 - TEORIA FUNDAMENTAL DAS LINHAS DE
TRANSMISSÃO.................................. 1
I. Introdução.......................................... 1
II. Leis fundamentais da eletricidade................. 1
A. Condições Eletrostãticas.......................2
B. Condições Eletromagnéticas..................... 4
C. Campos variáveis no tempo...................... 7
D. Contribuição de Maxwell às leis fundamentais.. 8
E. Comentários conclusivos das leis fundamentais..10
III. Parâmetros das linhas de transmissão............ 11
A. Capacitância.................................... 11
B. Indutância............ *......................... 18
C. Perdas no condutor............................. 23
D. Parâmetros dependentes da freqüência e 
efeitos não lineares na linha de transmissão. . 25
IV. Equações da linha de transmissão................. 28
A. Interpretação das equações da linha de trans­
missão.......................................... 36
Problemas............... 38
Apêndice 1............................................... 60
Capítulo 2 - PERDAS NO CONDUTOR E EFEITOS MÜTUOS....... 65
I. Introdução......................................... 65
II. Conceitos adicionais de indutância e indutância
mútua............................................... 65
III. Efeitos mútuos resultantes do efeito de super­
fície....................... 73
. A. Fluxo da corrente nos condutores............... 74
B. Fluxo de corrente induzida num condutor gran­
de e plano....................................... 75
C. Fluxo de corrente induzida num condutor fei­
to por dois materiais diferentes............ 80
D. Correntes parasitas........................... 81
E. Efeito de proximidade........................ 82
IV. Efeitos da capacitância mutua..................... 83
V. Avaliação pratica das constantes de linha de
transmissão....................................... 85
VI. Raio medio geométrico e condutores equivalentes. 87
Apêndice 2-A........................................... 91
Problemas............................................... 93
Capítulo 3 - NOTAÇÃO MATRICIAL E CIRCUITOS EQUIVALEN­
TES......................................... 108
I.. Introdução........................................ 108
II. Apresentação de matrizes de linhas de trans­
missão............................................ 108
A. Interpretação da matriz Z .................... 112
B. Interpretação da matriz Y .................... 115
C. Consideração simultânea sobre a capacitância
da linha e a indutância em problemas polifã- 
sicos.......................................... 117
III. Representação do circuito equivalente das li­
nhas de transmissão.............................. 120
A. Circuito equivalente (Indutivo)............. 120
B. Circuito equiyalente (Capacitivo)........... 123
Problemas............................................... 124
Capítulo 4 - MATRIZ DA LINHA DE TRANSMISSÃO TRIFÃSICA... 139
I. Introdução....................................... 139
II. Circuitos trifãsicos - Conceitos básicos ma­
triciais.......................................... 139
III. Influência das transposições................... 142
IV. Influência de condutores aterrados............. 146
V. Termos de correção da terra........... 150
VI. Valores das componentes simétricas para linhas
de transmissão aéreas........ 154
A. Seqüência positiva............................ 157
B. Seqüência zero................................ 161
C. Impedância mutua entre os circuitos de uma
linha de circuito duplo...................... 163
Problemas........................................... 167
Capítulo 5 - APLICAÇÕES PRÁTICAS NOS SISTEMAS TRIFÃSICOS. 183
I. Introdução..................................... 183
II. Técnicas analíticas para enfeixamento de con­
dutor........................................... 183
III. Corrente e tensão de linha de transmissão de­
sequilibrada................................... 185
IV. Impedância mútua entre circuitos trifãsicos.... 188
A. Rede de impedância mutua de seqüência zero.. 189
B. Termos de impedância mútua para linhas de
níveis de tensão diferente................ 19 0
V. Matrizes de impedância de componentes de fase 
e simétricas para as linhas de transmissão tí­
picas........................................... 192
A. Índice dos casos........................... 192
B. Nomenclatura de descrição dos casos.... 192
C. Discussão dos casos 1 - 8................. 201
VI. Tensões acopladas ressonantes de circuito duplo.. 203
Referências bibliográficas........................... 208
CAPÍTULO
TEORIA FUNDAMENTAL DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
I. INTRODUÇÃO
As linhas de transmissão são os principais 
meios de transporte de energia elétrica em sistemas de po 
tência e, portanto, é importante compreender a sua nature 
za. Neste capítulo, os conceitos fundamentais na anali­
se dos problemas de linhas de transmissão serão desen­
volvidos a partir das equações de Maxwell. Embora possa 
parecer que esses conceitos, um tanto abstratos,sejam de£ 
necessários para elaborar os problemas , a experiência do 
autor deste trabalho mostrou que a análise dos problemas, 
nas suas partes fundamentais, conduz ã introspecção físi^ 
ca e, às vezes, simplifica a solução do problema. Esses 
aspectos físicos fundamentais serão salientados neste cur 
so.
Nas explanações teóricas será usado o sistema 
racional de unidades MKS, enquanto, na maioria dos proble 
mas práticos em discussão, serão usadas as unidades ingle 
sas.
II. LEIS FUNDAMENTAIS DA ELETRICIDADE
No fim do século XVIII e no início do século 
XIX, alguns pesquisadores estabeleceram as leis fundamen­
tais da eletricidade. Os nomes destes homens (Coulomb,Fa 
raday, Ampere) são familiares à maioria dos engenheiros e
letricistas. As leis da eletricidade, desenvolvidas por 
Faraday, Ampêre e outros, foram o resultado de experiên­
cias feitas com o objetivo de proporcionar uma compreen - 
são bãsica dos problemas elétricos. O trabalho desses ho 
mens foi estudado por Maxwell, que o levou a um fundamen­
to matemático consistente e, ainda, deduziu a presença de 
um parâmetro suplementar chamado "corrente de deslocamen­
to". Dal, postulou que a luz ê uma onda eletromagnética. 
As leis básicas da eletricidade serão brevemente expostas 
aqui e, quando necessário, mais adiante serão discutidas 
amplamente.
Estas leis fundamentais da eletricidade são 
aqui discutidas, porque elas fornecem os conceitos neces­
sários para a explanação de conceitos mais práticos, tais 
como a capacitância e a indutância da linha de transmis - 
são. Também são, do ponto de vista da Engenharia, as for 
mas mais fundamentais, isto e, estas leis devem ser subs­
tanciadas por testes, ou somente podem ser deduzidas das 
observações feitas nas experiências elétricas. Devido a 
sua representação matemática muito simples, estas leis 
representam uma forma ideal para a generalização de pro 
blemas e conceitos físicos mais complexos.
A. Condições eletrostáticas
Os conceitos eletrostáticos enquadram-se na 
lei de Coulomb:
q-, <3oF = — --(Newtons) (1.01)
K r
A lei de Coulomb - A força entre duas cargas puntuais obe 
dece a lei dó inverso dos quadrados.
r = distância (metros)
^1 e ^2 = car9as ( Coulomb )
K = 4ir e
e = 8,854 x 10~ ^ = ---- ----- q (farad/metro)
36 x 10
Se esta força for considerada como resultante 
das linhas da intensidade do campo elétrico que emana das 
cargas, pode-se depreender o conceito de uma Intensidade 
Elétrica E . A Intensidade Elétrica ê a força por carga 
unitária e, no caso duma carga puntual, ela ê dirigida,ra 
dialmente, para fora da carga. A intensidade elétrica ê 
uma quantidade vetorial.
Ê = ---- 3— u (volts/metro) ( 1.02 )
4u e r r
O campo elétrico ê uma função do material, no 
ponto de medida, em virtude da permissividade e. Um ve­
tor adicional, o Deslocamento Elétrico ou o Fluxo Elétri 
co D é definido como sendo independente do material.
- - 2D = e E (Coulomb/metro ) ( 1.03 )
0 acima exposto, junto com o princípio de su­
perposição, define o campo elétrico como uma função das 
cargas no sistema.
A segunda lei importante de eletrostãtica é a 
lei de Gauss:
A lei de Gauss - O deslocamento ou o fluxo elé­
trico total através de qualquer superfície fechada, que 
circunda uma carga, é igual acarga envolvida pela super- 
fície.
D . ds p dv
s V
( 1.04 )
A lei de Gauss pode se.r desenvolvida a partir 
das relações mais básicas, porem, ê aqui citada, por ser 
muito útil na explanação de conceitos de linha de trans­
missão.
A função potencial, ou a tensão ê definida como 
o trabalho aplicado a uma carga unitária, quando se move 
a carga contra um campo elétrico. Uma tensão positiva ê 
um aumento de trabalho armazenado, ou um aumento do poten 
ciai da carga.
Volt = V = Trabalho por carga unitária =
d£ ( Joule/Coulpmb ) (1.05)
Nota-se aqui que, movendo uma carga de prova, contrário à 
direção de um campo elétrico, o potencial da carga de pro 
va aumenta, visto ter sido feito trabàlho sobre carga de 
prova. Assim sendo, segundo esta interpretação, um gera­
dor ou uma bateria realiza trabalho sobre a carga, quando 
move a carga para a tensão de linha (+V), o que represen­
ta uma elevação de tensão. Uma carga movendo-se de um po 
tencial de linha á terra, digamos, através de um resistor 
resulta numa perda <Je potencial(-V), o que significa uma 
queda de tensão.
B . Condições eletromagnéticas
Todas as leis eletrostãticas tratam com cargas 
estacionárias. Uma corrente resulta do movimento de car­
gas .
= ÉSLdt (Ampère ) (1.06)
Ha uma relação entre a corrente e os campos elétricos prévia- 
mente discutidos.
i = a Ê ( 1.07 )
i = ampêre
o = condutividade (siemens/metro)
Ê = intensidade do campo (volts/metro)
Assim, se houver um campo elétrico num condutor, re­
sulta um fluxo de corrente.
Os conceitos de campo maqnêtico apoiam-se,basicamen 
te , na lei de Ampêre.
Os conceitos de campo elétrico foram estabelecidos 
baseados na observação experimental de que uma carga, tra­
zida para a proximidade de outras cargas, resulta numa for­
ça. Pode também ser determinado, por meio de experiências, 
que um pequeno laço de corrente sofre uma força, quando tra 
zida para a proximidade de um outro condutor conduzindo cor 
rente. A lei de Ampêre define o módulo da corrente, em tere­
mos de força entre dois condutores paralelos.
Lei de Força de Ampêre - G valor de ampêre se esta­
belece, através da lei experimental da força entre dois fios 
paralelos de igual comprimento no espaço livre.
■ n i 9F = --- 7T—5--- (newtons/metro) ( 1.08 )
Z T T d
= 4tt x 10 ̂ (henry/metro) 
i^ e i^ = corrente (ampêre)
* d = distância entre os condutores (metros)
Dessa forma, o ampêre ê definido como a corrente que 
percorre cada um dos dois condutores afastados 1 metro um 
do outro, o que produz uma força de 2x10 newtons/metro de 
comprimento. As equações fundamentais, que definem os
efeitos magnéticos, não podem ser elaboradas tão facilmen 
te pela lei de Ampêre, como foi o caso no problema de cam 
po elétrico, pois não hã fontes magnéticas puntiformes na 
natureza. Os campos magnéticos sempre resultam das li­
nhas auxiliares de correntes fechadas.(*)
A equação fundamental do campo magnético, que 
pode ser deduzida das experiências de Ampêre, ê a lei de 
Ampêre.
Lei de Ampêre (Lei de Biot e Savart) - A inte 
gral de linha de um campo magnético estático, tomado em 
volta de qualquer curso fechado, deve se igualar ã corren 
te cercada por aquele curso.
j) H . d£ = i (ampêre) (1.09)
H = intensidade do campo magnético
(ampêre/metro)
Enquanto esta afirmação da lei de Ampêre ê correta para 
os campos estáticos, ela não está certa para os campos va 
riãveis no tempo.
Em alguns pontos, a intensidade do campo mag­
nético assemelha-se com a intensidade do campo elétrico . 
Porém, enquanto a intensidade do campo elétrico tem uma 
direção radial de afastamento de uma carga, a intensidade 
do campo magnético ê uma grandeza vetorial, perpendicular 
à corrente que a produz.
No caso do campo magnético, uma densidade de
(*) Os magnetos permanentes não se originam nas fontes 
principais de campos magnéticos ,mas, preferivelmente, 
como bipolos dos campos magnéticos.
fluxo ê definida como:
B = y0 H (1.10)
B = densidade de fluxo (webers/irr)
C . Campos variáveis no tempo
Considerando os campos variáveis no tempo, há 
uma relação entre os campos elétricos e magnéticos. A lei 
de Faraday relaciona o fluxo magnético variável com uma 
tensão induzida.
Lei de Faraday - A força eletromotriz, ou a 
tensão induzida em redor de um curso fechado, V , e igual 
ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético em re­
lação ao tempo no percurso fechado.
V ãÇfdt (1.11)
0 = fluxo B. ds (webers) 
 ̂s
O fluxo total, 0 , através da integral de linha fechada,é 
igual á integral de superfície, da densidade do fluxo B 
sobre a superfície total s . Esta lei de indução pode 
ser demonstrada por experiências com pequenas bobinas do 
tadas de múltiplas espiras ligadas a galvanometros e man­
tidas nas proximidades de um campo magnético variável ori 
ginado de uma variação de corrente. A importância deste 
conceito de tensão induzida não pode ser exagerado. Ele 
constitui o trabalho básico para a compreensão dá ação do 
transformador, bem como as bases do conceito de máquinas 
rotativas, para o estudo de motores e geradores.
A equação fundamental
íJ £ E dl = 0 (1.12)
ê a base da lei de tensão de Kirchoff. Esta equação esta­
belece que a soma das tensões (veja a equação 1.11),em re­
dor de um curso fechado, ê igual a zero. Este ê o caso 
para os circuitos concentrados. Se a fonte de tensão numa 
malha for considerada como sendo a de um gerador ou trans­
formador, então , a tensão motriz resulta do termo de indu 
ção.
Efonte
dfl
dt
dB 
's dt
ds
Uma outra lei fundamental de eletricidade, que deve ser 
considerada nos problemas de campo variáveis no tempo,ê a 
conservação de carga.
Conservação de Carga - Qualquer carga, dentro 
de uma superfície fechada, deve originar-se de um fluxo 
de carga através da superfície.
Se uma corrente fosse definida como sendo o regime da va - 
riação de carga no tempo, então obteríamos:
ds = -
v
dp
dt
dV (1.13)
— - 2 J = densidade de corrente(ampere/m )
s = vetor da área de superfície(mz)
p = densidade de carga (coulomb/m^)
A lei das correntes de Kirchoff (Ei = 0) ê uma outra afirma­
ção de conservação de carga.
D. Contribuição de Maxwell âs leis fundamentais
O suplemento que Maxwell fez ao trabalho expe
rimental de Ampire e de Faraday não foi o resultado de 
testes experimentais, mas, antes de tudo, do exame dos re 
sultados anteriores dos trabalhos básicos em geral. Max - 
well deduziu que, em geral, deve-se considerar uma corren 
te adicional, chamada corrente de deslocamento. O con­
ceito duma corrente de deslocamento ê discutido em muitos 
textos, como sendo a corrente que percorre um capacitor . 
Não há transferência física da carga duma placa dum capa­
citor para a outra, ainda que passe uma corrente. Esta 
corrente, que percorre através do dielêtrico, ê a corren­
te de deslocamento.
CORRENTE
Uma corrente contínua de deslocamento não po­
de circular e, portanto, a mesma não ocorre nas equações 
estáticas de Ampère ; entretanto, no caso de um campo va­
riável no tempo, o termo da corrente de deslocamento ê 
adicionado à lei de Ampère.
dDCorrente de deslocamento = ----
dt
A lei de Ampère completa - A lei de Ampère da 
equação (1.09) mais a corrente de deslocamento.
E. Comentários conclusivos das leis fundamentais
Todos os princípios acima delineados relacio- 
nam-se ao conceito da "teoria de campo" dos fenômenos ele 
tricôs. Isto é, há um campo na proximidade de uma partí­
cula carregada, e este campo ê chamado de "campo elétricoV 
Também hã um campo na proximidade de um condutor que 
transporta a corrente e ê chamado de "campo magnético".E£ 
tes campos acumulam a energia da carga ou o fluxo de cor­
rente num condutor. Nas analises de muitos problemas ele 
tricôs e, mormente em analises dos fenômenos da linha de 
transmissão, esses conceitos de campo elétrico são dire­
tamente aplicados em vãrios problemas.
As leis fundamentais de eletricidade prece - 
dentes são suficientes para formar uma analise bastante 
elegante dos fenômenos eletromagnéticos. Todos os aspec­
tosda analise do circuito concentrado podem ser incluí - 
dos, bem como o desenvolvimento da propagação da onda ele 
tromagnêtica e os efeitos de radiação. Toda a teoria 
eletromagnética foi o tema de centenas de livros, e vãrios 
aspectos da teoria requerem cursos de estudos completos 
para serem conhecidos.
A finalidade da apresentação aqui, destas i- 
déias, ê a de fornecer uma base para o desenvolvimento de 
alguns dos conceitos fundamentais de capacitância e indu- 
tência da linha. Também, os termos aqui discutidos criam 
a base para os tópicos mais avançados, relativos â inter­
ferência na rãdio-recepção (ruídos) e às rupturas elétri­
cas de espaçamentos.
Uma extensão das leis fundamentais, isto ê, a 
forma de equação dessas leis de Maxwell pode ser usada pa 
ra examinar muitas questões interessantes que possam 
surgir aos mais dedicados estudantes da teoria eletromag-
nética. Por exemplo: Quais são os limites no uso do con- 
cèito de L e C duma linha de transmissão ? Quais os limi­
tes no uso dos termos de Carson para a correção de terra, 
na analise de linhas de transmissão ? Qual ê a energia 
irradiada duma linha de transmissão ?
III. PARÂMETROS DA LINHA DE TRANSMISSÃO
As linhas de transmissão são caracterizadas 
por sua habilidade de conduzir a energia eletromagnética, 
limitando esta energia â proximidade da própria linha de 
transmissão. Uma analise rigorosa deste problema exigi' - 
ria uma aplicação das equações de Maxwell nos problemas de 
campo. Entretanto, um exame das equações de Maxwell po- 
• de demonstrar que em certas condições pode ser usada uma 
aproximação muito mais simples. Especificamente, para um 
sistema feito de condutores que não estão sujeitos a per­
das, ou de perfeitos condutores, o campo elétrico e magne 
tico pode ser definido independentemente, permitindo a de 
finição de indutância e de capacitância como parâmetros in 
dependentes. Esta aproximação também vale para os siste­
mas com baixas perdas.
Os aspectos importantes da teoria de linhas 
de transmissão podem ser mostrados na indutância e capaci 
tância básicas duma linha de transmissão. Isto pode ser 
usado para mostrar que, num sentido de parâmetros distri­
buídos, a energia elétrica propaga-se â velocidade da luz.
A. Capacitância
A capacitância ê a medida da corrente de car 
ga a uma linha de transmissão e define-se como a carga por 
volt requerida para colocar a carga na linha.
C _ Q (farads) (1.15)
TABELA I
Sumario de termos definidos na Seção II
Símbolo Quantidade Unidade MKS
F Força Newtons
q Carga coulomb
?, 1, d Distância metros
e Permissividade(constan farad/metro
te dielêtrica)
Ê Intensidade do campo volts/metro
elétrico
5 Deslocamento elétrico coulombs/m^
(fluxo elétrico)
V Volt joule/coulomb
p Densidade de carga
3coulomb/m
s Ârea de superfície metro^
i Corrente ampère
t Tempo✓ segundo
o Condutibilidade siemens/metro
V Permeabilidade h^nry/metro
H Intensidade do campo ampêre/metro
magnético
B Densidade de fluxo weber/metro^
0 Fluxo webers
J Densidade de corrente ampêre/metro^
TABELA II
Sumario de leis fundamentais da eletricidade
Nome Formula Forma diferencial 
correspondente das 
equações de Maxwell
Lei de Coulomb E
4tt er
D = eE
Lei de Gauss D.ds = pdv
v
Div D = p 
V . D = p
V = - E.d£
i = dq/dt
i = oE
Lei de Ampêre O H.d£ = i +
B = yH
_3D
3t Rot H = 1 + 1231
V x H = i + 3 D 31
Lei de Faraday V =
Conservação de 
carga
+ O E . d £
h
- dt
0= B. ds
J . ds = ie. dv31
Rot E = - $=:3B3T
V X i = - | |
Div B = 0
V B = 0
Quando a tensão ê aplicada entre dois condu­
tores paralelos, fica estabelecido um campo elétrico en - 
tre os dois condutores e, para determinar a tensão entre 
os condutores, pode-se usar a carga que produz este cam­
po elétrico. A carga esta localizada na superfície dos 
condutores, como acontece com as placas de um capacitor 
carregado. O campo entre os dois condutores acha-se so - 
brepondo o campo de cada um dos condutores individuais.
Sendo conhecida a distribuição de carga,o cam 
po elétrico correspondente E, pode ser calculado e o po­
tencial pode ser achado por integração, permitindo , as - 
sim, o calculo de capacitância. A capacitância pode ser 
facilmente calculada se a distribuição de carga puder ser 
deduzida. Em muitos problemas clássicos, a simetria tor­
na conveniente deduzir uma distribuição de carga uniforme, 
resultando numa simples fórmula para a capacitância do 
sistema. Se nenhuma distribuição de carga simples puder 
ser deduzida ou suposta, então, torna-se seguidamente ne­
cessário supor uma distribuição de carga e, com ela, cal­
cular o potencial do sistema e depois modificar a distri­
buição de carga, num sentido iterativo, para mover o po­
tencial da condição de limite ao nível especificado. Es­
ta aproximação de campo mais complexa não serã usada nes­
te curso.
O campo elétrico, na proximidade duma linha 
longa carregada, pode ser achado usando-se a Lei de Gauss. 
A densidade total do fluxo D , através duma superfície fe 
chada, ê igual â carga total contida pela superfície. De 
vido à simetria, a superfície pode ser escolhida como sen 
do um cilindro, tendo como centro a linha de transmissão. 
Visto que , ao longo da linha, a carga é uniforme, a den­
sidade de fluxo elétrico ê simétrica e a superfície pode 
ser escolhida como um cilindro. Na superfície, a densida 
de de fluxo ê radial e uniforme e, pela extremidade do
cilindro, nao passa fluxo algum.
q = D . 2 i r
D 2 ir r
e o campo elétrico i
E ___3___2 ir e r (1.16)
Figura 1-1
Esse campo elétrico ê um fator importante nos con­
ceitos de linha de transmissão, pois o mesmo ê ,geralmente, 
o gradiente de tensão, usado nas análises dos efeitos co- 
rona e rãdio-interferincia.
O potencial necessário para mover uma carga do cilin 
dro ao condutor é obtido a partir da integral que define 
a tensão.
I
R
ro
— 32?rer dr
IR
^L_ m2tT£
R
ro
V ln r
V = - J E • d£
A capacitância ê obtida a partir da equaçao que 
define a niesraa.
C = TÍ = --- — Capacitância do cilindro e con-V ln R — 7 —r dutor coaxiais.o ----------------
(1.17)
Para o caso de dois condutores, a capacitância 
é obtida de uma maneira semelhante.
Figura 1-2
O potencial para cada campo e integrado a par­
tir de uma superficie de condutor à outra:
V = - í 0 Ê . dl 
' d-2ro
mas, para os condutores normalmente espaçados, o erro se­
ria pequeno se se integrassem ao centro do condutor.
d
o
dr = -3- ln —tt£ rO
A capacitância para dois condutores ê
C = — Capacitância fio-a-fio ( 1.18)
i dln---ro
Um exame do campo de dois condutores sugere que, 
devido â simetria, esse problema pode ser usado para reve­
lar a capacitância para a linha, sobre uma superfície per­
feita.
Figura 1.3
Num campo elétrico, qualquer linha eqüipoten 
ciai pode ser substituída por uma superfície condutora , 
sem modificar o campo. Se uma linha eqüipotencial hori - 
zontal for substituída por um plano condutor, que repre - 
sente a terra, o campo acima da terra será representado 
corretamente. Esta aproximação demonstra que o método de 
imagens pode ser usado para as linhas aéreas. Uma terra 
perfeita age como um espelho para o condutor, o que, num 
campo, o mesmo resultado ocorreria considerando um condu­
tor virtual com carga negativa sob a terra ( no subsolo).
O potencial do condutor, com relação à terra, 
será determinado pela equação de tensão. Porém, o resul­
tado será o mesmo, como no caso de dois condutores no es 
paço , onde o "d" ê substituído por 2 h e a tensão ê a 
metade daquela obtida pela integração sobre as distâncias 
"h", em vez de "d" ou "2h". Assim sendo, a capacitância 
é
q - 2 c Capacitância de um condutor so -
p 2h bre uma terra perfeita (1.19) 
r
Observe-se que a capacitância é somente uma função de geo 
metria , ou dimensões físicas do circuito e as proprieda­
des do espaço (permissividade - e), no espaço fora do con 
dutor.
B. Indutância
A indutância ê a medida de queda de tensão 
reativa, ao longo duma linha de transmissão e pode ser de 
finida como a queda de tensãopela taxa de variação de cor 
rente. (Esta não é a forma de definição mais apropriada, 
mas ê adequada para conceitos para a linha de transmissão).
L = (henry) 
dt
(1.20)
A indutância pode ser facilmente calculada quando se co - 
nhece a distribuição da corrente.
Quando uma corrente flui num condutor longo, então, no e£ 
paço entre o condutor e a terra que está abaixo do condu­
tor, estabelece-se um campo magnético. O fluxo magnético 
ê estabelecido pela corrente que flui no condutor e pela 
terra, sendo a queda de tensão reativa determinada pela 
avaliação da taxa de variação deste fluxo.
vi-se que a indutância pode ser calculada, pelo menos teo 
ricamente, quando a distribuição da corrente ê conhecida. 
Isto corresponde â possibilidade de calcular a capacitân- 
cia , quando a distribuição de carga ê conhecida. No ca­
so de linhas de transmissão compridas, como são apresenta 
das neste curso, a simetria permitirá a dedução do campo 
magnético e, com isso, resultará numa simples equação pa­
ra a indutância desses sistemas.
tor comprido e reto, pode ser achado usando-se a Lei de 
Ampère (Equação 1.14) e desconsiderando-se a corrente de 
deslocamento.
Desse esclarecimento muito curto do problema
O campo magnético , na proximidade dum condu-
H .dí. = I +
^ desconsidera-se este 
termo
Pela simetria, vê-se que as linhas do 
são constantes num raio constante do condutor.
fluxo
Fig. 1-4
Visto H ser uniforme em redor do condutor e tangencial ao 
dJl, o campo pode ser descrito como
2 tt r H = i 
ou
H = 1 (1.21)
2if r
Um campo, na proximidade de mais de um condutor, acha -se 
pela sobreposição. A relação entre o campo magnético e a 
queda de tensão reativa, que é a tensão induzida resultan 
te da variação do campo magnético, requer a aplicação da 
Lei de Indução de Faraday. (A queda de tensão, em redor 
de qualquer curso fechado , e^proporcional â taxa de va­
riação no tempo do fluxo através dessa malha). A densida 
de de fluxo (B) pode ser obtida, diretamente, da intensi­
dade do campo magnético (H), assim, para um condutor so - 
bre a terra, o campo pode ser obtido a partir de uma sim­
ples figura.
Usando o conceito da imagém de espelho, discu­
tido para o campo elétrico, o campo para um condutor so - 
bre a terra pode ser achado, considerando o campo como 
uma sobreposição de dois campos do condutor e de sua ima­
gem. Dentro do laço, a intensidade de fluxo B é
B = —Ü-- + üi— i2-2irr 2 (2h-r)
h— 1
I r
I
h -L r
-i
Figura 1-5
Então o fluxo total dentro do curso fechado, mos 
trado na figura, ê
rh a
0 ül2 ir r - - — i|_ r 2h-r Jdr d£
ro °
. ~ y il n 2h 0 = ln —
2 tt ro
(1. 22)
A queda de tensão, em redor do laço, acha-se en­
tão, diretamente aplicando-se a Lei de Faraday.
E . áZ = + V = - d0 _ _ yjt , 2h didt 2tt r dto
Desta forma, a indutância ê
-V
di
dt
£n — (henry/metro) Indutância 
2 tt r de um condu­
tor sobre uma 
terra perfei- 
ta (1.23)
Esta ê a indutância de um condutor sobre uma terra perfei 
ta. Por analogia com o problema de campo elétrico, pode 
ser obtida a indutância para dois condutores e para um con 
dutor coaxial.
L =
L =
y í,n —
2 77 ro
y - 2,n —7r r
xial (1.24)
(1.25)
Estes termos acima são devidos ao efeito indutivo resultan 
te do campo fora do condutor. A baixas freqüências, a 
corrente flui sobre toda a secção transversal do condutor, 
sendo que hã uma contribuição à indutância, por parte da 
corrente de dentro do condutor. Muitos textos calculam as 
indutâncias para um condutor, supondo que a corrente estã 
uniformemente distribuída sobre a secção transversal. A 
indutância interna é
interno"
y Indutância interna do condutor 
8 71 supondo-se que haja uma corren 
te uniforme sobre a secção trans 
versai do condutor. (1.26)
A indutância total, então, é a soma da queda de tensão in­
dutiva proveniente do fluxo de dentro do condutor e da que 
da de tensão indutiva proveniente do fluxo externo do con­
dutor .
total Lexterno + Linterno
O conceito de indutância ê difícil, por isso, uma curta- 
revisão dos itens acima referidos ê útil.
a) a indutância é referida como uma queda de 
tensão, resultante duma taxa de variação 
positiva da corrente.
b) A Lei de Faraday friza que um fluxo cres - 
cente produz uma tensão negativa em laços 
fechados.
c) A Lei de Ampère ê usada para demonstrar que 
uma corrente crescente produz um fluxo creŝ 
cente.
d) A interpretação inversa diz: uma corrente 
crescente produz um fluxo crescente. Um 
fluxo crescente produz uma tensão negativa. 
A tensão negativa ou a queda de tensão ê 
interpretada como uma queda de tensão indu 
tiva.
Observa-se aqui, como no caso da capacitância, que esta 
indutância ê somente uma função das dimensões físicas do 
circuito e das propriedades do ambiente (permeabilidade y) 
no espaço fora do condutor. Naturalmente, como foi mos - 
trada no (1.26), a permeabilidade do condutor influencia 
a indutância interna do condutor.
C. Perdas no Condutor
O conceito de capacitância e de indutância da 
linha e um tanto abstrato, pois estes termos resultam da 
natureza de campo do problema. Eles resultam da possibi­
lidade da linha acumular (armazenar) energia (energia ele 
trica no campo elétrico, que ê referida pela capacitância, 
e a corrente magnética no campo magnético, pela indutân - 
cia). Essa energia pode ser devolvida ao sistema,sob as 
condições de mudança de tensão e de corrente. A justifi­
cativa para o calculo independente da indutância e da ca-
pacitância ê para que o sistema esteja livre de perdas. 
Quando o sistema tem somente pequenas perdas, torna-se pos 
sível uma especificação independente de L e C, e as perdas 
do condutor podem ser consideradas como uma resistência em 
serie com a indutância previamente calculada. Correspon - 
dentemente, as perdas em derivação podem ser consideradas 
como uma admitância em paralelo com a capacitância em deri_ 
vação previamente obtida # Todos estes elementos podem 
ser demonstrados num simples circuito equivalente dum ele­
mento de linha.
R L
\ A A A A — nnnnnp
Fig. 1-6
A indutância produz uma queda de tensão reativa, proporcio 
nal â medida da variação da corrente
VL = L
di
dt
enquanto a resistência produz uma queda de tensão 
cional â corrente 
V = Ri
propor-
Se um fio com uma secção transversal circular tiver um
raio de "a" metros e for feito de material com condutivida 
de homogênea o (siemens/metro) a resistência , por compri­
mento unitário , ê
R^c = — - ̂ (ohm/metro) 
a 7T az
O termo resistivo produz um campo elétrico longitudinal ao
longo da linha , enquanto o campo elétrico, para o caso 
sem perdas, era totalmente radial. Para uma linha com pe 
quenas perdas, o campo radial ê deformado de maneira in - 
significante pelo campo longitudinal resultante da queda 
de tensão IR.
Nos termos em derivação em que fluem corren - 
tes da linha para a terra, o elemento capacitivo ê asso 
ciado com a carga no condutor e com a taxa de variação de 
carga no tempo, isto ê, a corrente.
q = CV
i = âa = c dv 
c dt dt
0 termo de condutancia determina a perda re - 
sultante do fluxo da corrente em fase â terra.
iç = GV
Na maioria dos problemas de transmissão de po 
tência, o termo de condutancia ê desconsiderãvel.
D. Parâmetros dependentes da freqflência e efeitos não
lineares na linha de transmissão.
Todos os termos parametricos do circuito (R , 
L,G,C), na discussão acima, foram tratados como fatores 
constantes. Esses coeficientes não são constantes em to­
das as condições. Algumas destas condições especiais são 
aqui discutidas.
Efeitos indutivos não lineares são os mais 
comuns nos transformadores com núcleos de aço. Nas linhas 
de transmissão hã muito poucas ocasiões onde os efeitos 
não lineares entram no jogo. A saturação dos condutores
de fios de aço torcidos , ou a saturação do núcleo de aço 
dos condutores ACSR podem introduzir nao-linearidades na 
resistência e na reatância do condutor. Os efeitos capa- 
citivos não lineares predominam mais no efeito corona,quan 
do o campo elétrico se rompe devidoao fato do campo elé­
trico , na proximidade do condutor, exceder ao isolamento 
do ar, o que resulta em cargas no espaço, que acontecem na 
proximidade dos condutores.
Parâmetros dependentes da freqüência são ge - 
ralmente mais importantes nos problemas de linha de
transmissão, especialmente quando estão sendo analisados 
os efeitos em alta freqüência. 0 efeito de superfície 
(skin) ê importante em muitas ocasiões e pode influenciar 
substancialmente a resistência do condutor. Este efeito, 
em geral, é de menor significado no cálculo de indutância, 
visto a maior parte da indutância resultar do campo exter 
no ao condutor. 0 efeito de superfície ocorre devido â 
influência indutiva entre os filamentos de corrente, den­
tro do condutor. A corrente tendera a fluir num curso 
que minimiza a impedância total. Uma análise deste pro - 
blema demonstra que a corrente serã forçada para a parte 
do condutor mais externa, em altas freqüências. Essa con 
centração de corrente na superfície do condutor aumenta a 
resistência comparada com o caso d-c, devido ao fato da 
corrente fluir através de uma secção transversal menor do 
condutor. Um fator relacionado ê o efeito de proximidade. 
O efeito de proximidade ê a distribuição irregular da cor 
rente, no sentido radial, em redor do condutor. Quando 
dois condutores estão próximos um do outro, ou em estrei­
ta vizinhança, hã influência indutiva entre os filamentos 
das correntes dentro dos condutores e eles mesmos produ - 
zem uma circulação de corrente irregular. Isto, por seu 
lado, aumenta a resistência dos condutores. Em geral, o 
efeito da proximidade não ê importante, a não ser nas a - 
plicações em cabos.
TABELA III
Sumario de equações de parâmetros da linha de transmissão
Capacitância farads
Capacitância de um 
cilindro coaxial C 2 iie
o
Capacitância 
fio-a-fio C
Capacitância de um con 
dutor sobre a terra C 2 7Te
£n 2hr
Indutância L -Vdi
dt
farad/metro
farad/metro
farad/metro
henry/metro
Indutância de um cî
lindro coaxial L = -j— in henry/metro
o
Indutância
fio-a-fio L = ~ In — henry/metro
o
Indutância de um con 
dutor sobre uma terra 
perfeita in 2hro
L henry/metro
O termo de condutância , geralmente, não tem 
significância nos circuitos de transmissão de potência.Os 
efeitos capacitativos nas linhas de transmissão aéreas são 
pouco influenciados pela freqüência,porque o campo no ar 
não ê influenciado pela freqüência. As perdas nos cabos 
podem ser influenciadas pela f reqíiência, pois um dos maio 
res fatos que influenciam as perdas num cabo ê a perda di 
elétrica. Esta ê causada por repetidas inversões de pola 
ridade dielétricas pelo campo elétrico C A , sendo, portan 
to, uma função de freqüência.
IV. EQUAÇÕES DA LINHA DE TRANSMISSÃO
Os conceitos da indutância e capacitância da 
linha de transmissão foram desenvolvidos a partir de equa 
ções básicas de campo, aqui relacionadas como leis funda­
mentais de eletricidade. As perdas, numa linha de trans­
missão, foram demonstradas no circuito equivalente de li-
i(X.t) l(x+AX.t)
---► ----- ►
Lax Rax
x
onde
L = henry/metro 
C = farads/metro 
R = ohms/metro
nha de transmissão. Este circuito equivalente pode ser u 
sado para desenvolver as equações de linha de transmissão 
gerais para uma freqílência constante. A linha serã repe­
tida em pequenos comprimentos elementares A x e as pro - 
priedades simultâneas de indutância e de capacitância,com 
as suas associadas perdas, são apresentadas para cada ele 
mento.
As equações de corrente e de tensão para este circuito são, 
então,
i (x + Ax,t) == i(x,t) - GAx v(x,t) - CAx 3V.(x,t)<31
(1.27)
v(x + Ax, t) = v(x,t) - LAx ”RAx i(x+Ax,t)
<31
A corrente e a primeira derivada parcial da corrente podem 
ser expandidas por series de expansão de Taylor como
i(x + Ax,t) ~ i(x,t) + Ax + ...
<3 X .
9i(x + Ax,t) - 
dt
: 3i(x,t) 32i(x,t) A„
dt 3x3t AX *'*
Substituindo-a (não levando em consideração os termos de 
ordem superior), na segunda equação de 1.27, resulta
v(x + Ax, t) -■ v(x,t) = - LAx - RAx i(x,t)
(1.28)
2 32i(x,t) _ A 2 3i(x,t) 
- L a x - R4X Sx
20 segundo termo da ordem Ax desaparecera no limite e, usan­
do a definição de uma derivada, tem-se
lim v(x + Ax,t) - v(x,t) _ 3v(x,t) 
x^ x1 x2 ~ x1 8x
obtendo-se 3v(x,t) 
3t
Ri(x,t) + L 3 i (X,, t) 
3t
Por um processo similar, pode-se demonstrar u- 
ma segunda equação parcial diferencial de primeira ordem, 
para elaborar este par de equações:
- = Ri + L (1.29)
3x 9t
3i
3x
Gv + C 3 v 
31
onde
v = v (x, t)
i = i(x,t)
Estas duas equações mostram , exatamente, que a taxa dife 
rencial da variação de tensão, ao longo da linha, resulta 
duma queda resistiva e indutiva de tensão ao longo da li­
nha e que a variação diferencial da corrente, ao longo da 
linha, resulta da corrente em derivação condutiva e da cor 
rente de carga capacitiva. Estas duas equações podem 
ser resolvidas simultaneamente, para obter as equações ge 
ralmente mencionadas como equações da linha de transmis - 
sao.
onde v = v (x,t) uma função de x e t 
i = i (x,t) uma função de x e t
A solução dessas equações diferenciais proporcionara uma 
função que descreve o comportamento de v e de i , ao longo 
da linha de transmissão. O fato de que tanto i como v de­
vem satisfazer a mesma equação diferencial, não quer dizer 
que a corrente e a tensão são a mesma função de x e de t, 
num problema pratico. A diferença resultará das condições 
de contorno. Por enquanto, somente serã desenvolvida a so­
lução de tensão. Essas equações são resolvidas no domínio 
da freqüencia, definindo a tensão e a corrente como faso- 
res.
v = V 
i = I
j 0)t 
Ve
ju)t
Ie
j 0) t 
e
j cot 
e
onde
V = V (x) ê uma função de xmag mag Y
I = I (x) ê uma função de xmag maa rmag
A equação de tensão e, então
2
— % = RG\7 + j(i) £ RC + LG JV -o)2LC V
dx
(1.31)
(1.32)
onde
d2V = 
dx2 
2Y = 
2Y = 
z =
y =
Y2v
RG + j 
zy
R + j (júL 
G + j oo C
jtô RC + LgJ- üj2LC
A solução da equação diferencial final ê achada supondo a 
solução da forma
= V emxv (1.33)
onde V ê um fasor e ê uma função do tempo. 
Substituindo em (1.32) e equacionando os coeficientes, ob- 
têm-se
2 2 + m = y ou m = - y
As duas soluções possíveis obtidas para cada um dos dois 
valores de m(+m, -m), cada uma delas pode ter uma constan­
te arbitraria diferente, a qual deve ser determinada pelas 
condições de contorno.
V (x , t) = V^e yx + \/^e+yx
I (x,t) = Ije YX + í2e+YX
(1.34)
De fato,para estas equações, podem ser especificados somen 
te dois coeficientes independentes, pois as duas equações 
originais eram de primeira ordem em x. As relações entre 
V's e í's podem ser achadas pela substituição para as 
equações diferenciais originais (1.29).
i t r yx -yx,(- yV^e + Yv e ;
= (R + j o)L) ~ Y X ~ “ Y Xrie + J2e
(1.35)
Equacionando os cosficientes obtêm-se
onde
YV1= (R + jwL) í
ou
-yv2= (R + j wL) I
V. Z I c .1
V = -Z I 2 c 2
(1.36)
Zc
/ R + j oo L 
V G + j qjL
Zc chama-se impedância carac
terística. A impedância carac
terística define-se numa fre-
qüencia w Z (,,) .^ c
As soluções de tensão e corrente podem ser es­
critas como:
V (x, t) = V^e -YX + (1.37)
I (x,t) = I^e -yx + l2e 1z
T~, +yx ' -yx 
vle " V2 e
Nestas equações o termo y ê a constante de propagação. 
te termo define, essencialmente, o caminho no qual a onda 
de tensão atenua, quando se propaga ao longo da linha. Em 
geral, o termo ê um numero complexo e freqüentemente es­
crito como
Y = a+ j3
A parte real,a , ê a constante de atenuação e define a ta 
xa na qual a magnitude de uma onda atenua, ou decresce em 
magnitude, quando o sinal estã em progresso ao longo da 
linha. 0 termo imaginário,3 , é o termo de deslocamento 
de fase e age como um deslocamento angular ou fasor.
e -yx = e - (a+j 0) x = e -ax e -jgx
0 termo 3x ê interpretado como um ângulo no diagrama faso 
rial. Para ser dimensionalmente válido, o termo 3 deve ter 
as dimensões
0 radianos por milha3 = --- ^
2”
Quando 3x = 2 tt , o deslocamento de fase ê 360° e a distân
cia x, que produz um deslocamentode fase de 360°, ê um 
comprimento de onda para a onda naquela freqüência.
O coeficiente de atenuação a dã-se em unida - 
des de nepers por milha. O neper, por si, não tem dimen­
são, exatamente como os radianos são adimensionais.
O termo Zc ,acima, geralmente ê chamado de im- 
pedância característica, definida numa freqüência oo, e 
"caracteriza" a relação entre a corrente e a tensão naque 
la freqüência . O termo Zc tem dimensões de ohms. A im 
pedância característica duma linha livre de perdas é 
Zc = V l /C . Este termo ê muitas vezes mencionado como a 
impedância de surto e tem um significado físico, porque 
esta ê a impedância verdadeira, pela qual o surto de ten­
são passa na linha. Isto serã explicado mais detalhada -
ii ~ timente em Teoria da Linha de Transmissão II.
As constantes e V 2 devem ser avaliadas pelas condições 
de contorno, isto ê, pelas condições de tensão e de cor - 
rente conhecidas nos terminais da linha. A linha de trans 
missão pode ser considerada como um circuito de dois ter­
minais .
VS
R
VR
Fig. 1-8
Estas condições terminais podem ser usadas co 
mo condições de contorno, para explicar Vg e Ig , em ter­
mos de VR e , ou vice-versa. Isto é, na equação(1.37), 
resolvida para a condição V = Vg , I = Ig para x = 0 e 
V = VR , l = i para x = l . Estas equações podem ser re
solvidas tanto em termos de Vg e Ig como de VR e IR ;am 
bas são mostradas abaixo.
ou
VS = VR cosh (yl) + Z IR senh (yl)
Ig = IR cosh (yl) + VR/ZC senh (yl)
VR = VS cosh (yl) - ZC Ig senh (yl)
Ir = Is cosh (yl) - Vg/Zc senh (yl)
(1.39a)
(1.39b)
Estas equações podem ser também escritas na 
forma constante do circuito generalizado (A,B,C,D).
VS = A VR + B Ir 
Ig = C VR + D IR 
ou
Vr = A Vg - B Is 
Ir = - C Vg + D IS
onde
A = cosh yl 
B = Zc senh yJl 
C = senh (yJl)/Zc 
D = A
(1.39c)
(1.39d)
A formulação A,B,C,D do problema está incluí­
da aqui, porque esta forma de equação ê amplamente trata 
da na literatura de Engenharia. Para avaliação destas cons­
tantes há diagramas disponíveis (Ref. Stevenson pag. 123- 
-125.)
A. Interpretação das equações da linha de transmissão
As equações de linha de transmissão , acima , 
foram desenvolvidas para um caso geral monofãsico, em uma 
freqüência constante. A forma das equações é tal que, se 
as condições terminais numa extremidade da linha forem 
conhecidas, as condições na outra extremidade poderiam 
ser calculadas. Embora isto não pareça suficiente para 
resolver os problemas de rede, podem ser aplicadas varias 
técnicas para usar essas equações para uso pratico. Isto 
pode ser feito com a maior facilidade, convertendo as e - 
quações numa forma de circuito equivalente. Esta conver­
são ê tratada nos compêndios (1) e, por isso, aqui serã da 
da somente a forma final do circuito equivalente.
Z*
onde
Z'
Y*
Zc senh y£ 
zZ senh y&
y£
2 tanh XL
2
(1.40)
t a n h l ^
2= ya
A
2
O circuito equivalente ê uma representação e~ 
xata da linha de transmissão numa freqüência constante . 
A forma das equações ê tal que elas podem ser usadas dire 
tamente, nos problemas do sistema de potência. Note - se 
que os termos Z ! e Y* compoêm-se de impedância e admitân- 
cia nominais (z£ e y£) modificados pelos termos de corre 
ção, conforme demonstrado no (1.40). Note-se que os ter­
mos nominais são, exatamente, a impedância e a admitância, 
que são obtidos multiplicando-se os valores por milha pe­
lo comprimento £.
Para as distâncias muito menores do que um 
quarto de comprimento da onda, o termo de correção serã a 
unidade (veja problema 1-10).
PROBLEMAS
INTERPRETAÇÃO GERAL
Problema 1.1 - Quando as equações físicas do capítulo 1 
se aplicam nos problemas práticos,toma-se 
necessário converter as unidades MKS em u 
nidades inglesas. Para fins de revisão, con 
verta a quantidade de 0,2 ohms por metro 
em ohms por milha.
Solução:
Geralmente, o fator de conversão pode ser 
achado num manual; mas num "aperto", poder-se-ia lembrar 
de alguma transformação, tal como 2,54 cm = 1 polegada e 
equivaler isto a um fator de conversão para metros em mi-
lhaS* (2,54 cm/pol) * (12 E2Í) x ( — i-JL_ ) *
pês 100 cm
* (5280 pês/milha) =[ ] metro
milha
2,54 * 12 * 5280 _ 1609 metro
100 milha
Portanto 0,2 * 1609 ?^tro = 321,8 ohms/milha
metro milha
Problema 1.2 - As equações, para as constantes da linha
de transmissão desenvolvidas neste capí­
tulo, usam os logaritmos naturais.Ãs ve­
zes, torna-se conveniente usar a forma 
de log^Q. Qual ê a conversão?
Solução:
MM = In N equivale a e = N
AA = log^^B equivale a 10 = B
0 fator de conversão pode ser achado to- 
mando-se por base log-^Q para a primeira
equação
log10 eM = log10 N 
M Iog10 e = log10 N
m = ------- iog-i n n
log10 e
Por isso, o log natural (í.n) de N pode 
ser achado, encontrando-se log^Q N e dividindo-se por
log10 e*
---- i----- = 2,30258509
log10 6
logi0 e = 0,43429448
Notar £n(G) = 2,302585509 * log1() (G)Comentário:
PROBLEMAS - CONSTANTES DA LINHA DE TRANSMISSÃO
Problema 1.3 - Converter as formulas de capacitância e de 
indutância em formas unitárias inglesas.
Solução:
As fórmulas básicas para um condutor sobre 
uma terra perfeita são:
L = tt- £n — henry/metro 2tt r 2
C = 2tt e
£n 2h
farad/metro
Tirar as constantes mediante a multiplicação e multiplicá- 
-las por 1609/ para converter metros em milhas.
K1 JL * i 609 = 471 * 1°_ 7* 1609 =2tt 2tt
. = 0/3218 x 10 3 henry/milha
K2
-122tte * 1609 = 2tt* 8/ 855 x 10 x 1609 
0,0895204 * 10 ̂ farads/milha
L £n 2hr
C
K2_
2h
i n —
Comentário: O procedimento do problema 1-2 pode ser usado, 
se forem usadas as tabelas com base 10.
Problema 1-4 - Calcular a indutância e a capacitância pa
ra uma linha de transmissão h = 40 pês e 
r = 1 polegada.
Solução;
O termo Zn — é necessário tanto para a indu r —
tância como para a capacitância .
O * Af)
ln ~ j l T = ln 2 * 40 * 12
= In 960
= 6,88
Usando o problema 1-3, a indutância e a capacitância são
L = 0,3218 x 10"3 x 6,88 = 2,21 mili henries
/milha
„ 0,08952 x 10"6 „ c j , .1UC = — ---- - ---- -- 0,013 y farads/milha6,oo
Problema 1-5 - Para o caso de uma linha de transmissão sem
perdas, do problema 1-4, achar a constante 
de propagação y.
Solução; Y* 2 = RG + jw [ RC + LG] - co2LC
mas para R = G = 0
2 2y = - w LC
Para um problema em 60 Hz w = 377, assim
Y2 = - (377)2 * 2,21 x 10-3 * 0,013 x 10 
= - 41 x IO-7
Então, a constante de propagação é
Y = y ~ 4,1 x 10 6 = + j 2,04 x 10 3 .
radianos/milha
Comentário; Para uma freqüência aplicada de 60 Hz, o_3deslocamento de fase e 2,04 x 10 radianos 
por milha; assim, um comprimento de onda po
Problema
Solução:
de ser achado:
---- — ---= 3060 milhas
2,04 x 10 *
Para esta linha com 60 Hz, o comprimento da 
onda é de 3060 milhas. Portanto, ve-se que a 
maioria das linhas de sistemas de potência 
são substancialmente menores do que o compr_i 
mento de uma onda.
O cálculo acima pode ser verificado, lembran 
do-se da velocidade da luz (1 8 6 , 0 0 0 milhas / 
segundo). Um comprimento de onda ê a distan­
cia que a onda percorre, ou onde ocorre um 
deslocamento de fase de um ciclo.
186.OOOmilhas/segundo 
60 ciclos/segundo 3100 milhas/ciclo
O proximo problema mostrará que um erro de 
deslocamento de régua de cálculo e a veloci­
dade aproximada da luz devem dar razão à djl 
ferença entre 3100 milhas/ciclo e 3060 mi­
lhas/ciclo.
-6 O problema anterior pode ser considerado duma 
maneira mais geral, se os termos básicos são 
mantidos. Repetir o trabalho duma maneira 
mais geral.
A constante de propagação, para uma linha livre 
de perdas^ e
y j 03 / LC 
L 2hr
c 2 tí
2h 
in — r
Por isso
r = J« / £ «n
Zn
:21T
2h
= jwV ye
.-7y = 4ir x 10 (henry/metro)
-12e = 8,855 x 10 (farad/metro)
= j« / I T f07 x 10 
-9
-18 ( radianos/metro)
= joj 3,33 x 10
Comentário: Quando, antes, o comprimento da onda foi re 
lacionado com a velocidade da onda, qual é 
a velocidade da luz neste caso?
2 TT— = Comprimento de onda
v /f = Comprimento da onda
v = velocidade dac nluz
_ v 2tt _ c
u /l C
2 tt = Z£
2-nf/LC f
= _1_ == 1______
Vc /LC / Ü 3,33 x 10"9
g
= 3 x 10 metros/segundo
Assim, a velocidadè da luz está implícita nos valores de 
permeabilidade e de capacidade indutiva especifica. Ou ,
pode-se dizer que, visto a velocidade da luz ser uma cons­
tante física, não ê possível especificar independentemente
y e e. No sistema MKS, a permeabilidade ê anotada de uma-7forma bastante bonita 4tt x 10 , enquanto a capacidade in-
—12dutiva especifica (permissividade) e = 8,855 x 10 tem
que perfazer a diferença na equação acima.
O resultado deste problema pode ser interpretado 
ainda mais longe. A velocidade da propagação ou o desloca­
mento da fase ê somente uma função do espaço, em redor do 
condutor e não esta relacionado à configuração geométrica 
dos condutores.
Problema 1-7 - Calcular o termo de impedância caracterís­
tica para uma linha livre de perdas, de um 
modo geral.
Solução;
A impedância característica pode ser reduzida 
â impedância de surto para
Z =n/ R + caso sem perdas R=G=0c V G + ZJcoC / C v
Os valores de L e C do problema 1-6 dão
(2h)
u n 2h
A £n T 1
2tt£ 2tt £n
As constantes para y e e resultam em
Z = 60 iln — ohms c r
Comentário: A impedância de surto, de modo diferente da
velocidade, ê uma função da orientação física 
dos condutores no sistema.
Problema 1-8 Achar a raiz quadrada de um numero comple­
xo .
Solução:
A raiz quadrada de um numero complexo A = a + jb 
ê obtida, de maneira mais fãcil, na sua forma po 
lar.
a = a /e
f ~ 2 lA = / A + b
-1 b 0 = tan -
A raiz quadrada de A iguala-se a um vetor cuja 
magnitude é igual à raiz quadrada do módulo de 
A e de um ângulo igual à metade do ângulo do Ã.
(A)2
1 
. 2 / e / 2
Comentário:
A raiz quadrada de um 
vetor, com um ângulo de 
quase 0° ou de 180° po­
de ser achada com uma 
exatidão satisfatória , 
lembrando-se que
tan 9 = 9 = — para d pequeno
Então, para 0 aproximadamente 0 
A = a + jb = A /0
A = a 0 = *a
Por isso
- i i / b(A)Z = a2 2a =
1 1 
2 ._b (a2)= /~â
2aa + j ~ (a->= V a + ̂ ^71
Para 0 de quase 180° pode ser usada a mesma têcnica,mas o 
ângulo serã de quase 180°.
à = - a + j b = a / 180 - A6
(Ã)2 = a1 / 90 - f- = + (a1 ) + j a2 = — *=- + j/i"
~ ' ! 2a 2 f~ã
Problema 1-9 - Determinar uma expressão simples para a 
constante de propagação para uma linha com 
pequenas perdas. Suponha-se G = O
Solução: 
ê
A constante de propagação elevada ao quadrado 
2y = (R + j o)L) (0 + j ü)C)
2
— — (jü LC + jooRC
Usar a aproximação do problema 1-8 para obter
2 ^a raiz quadrada do y . Note-se que o angulo e
de quase 180° e a aproximação pode ser usada se
o R for pequeno.
i W RC . . /—r“77y = + ------ + J(úv LC
2co/ LC
y
C 1 . /r,m a s ---= --- - = 1/Z
/LC /"T
c
' + j íjd / LC Nota: O termo Z, ou impe- 
dância de surto, e usado 
aqui para simplificar a 
nomenclatura.
Comentário :
Note-se que a definição de impedância de sur 
to, aqui usada, e aquela para terra perfeita.
PROBLEMAS - CIRCUITO EQUIVALENTE DA LINHA DE TRANSMISSÃO
Problema 1-10 - Para as constantes da linha, calculadas no 
problema 1-4, determinar qual seria o com­
primento da linha que resultará dum fator 
de correção de 2% no termo de impedância 
da linha.
Solução;
Usando a equação(1.40),o termo de correção ê
corr . = senh yí y£
onde Y = vzy
Z = R + j caL
y = G + j ü>C
Para este problema R = G = 0, portanto
_______ / 5 ___Y - / jíoLjuC = /- a) LC = jw/LC
corr = sen (jio^LC l) _ j sen (cú/LC £) 
jw/L£ jw/LC £
sen (ü)/LC £ ) 
w/LC- i
= /2,21 x 10 3*0,013x10 6=0 ,536x10 1
£ o)/LC £ w /LC £
Milhas Radianos Graus sen(cú/ LC £) Corr.
50 0,101 5,79 0,101 1 , 0
100 0,202 11,58 0,2002 0 , 9 9 3
150 0,303 17,35 0,298 0,985
200 0,404 23,15 0,396 0,98
250 0,505 28,9 0,484 0,960
300 0,606 34,7 0,57 0,941
Comentário:
Note-se que o fator de correção tem uma mag­
nitude de 2% em 200 milhas. Mas também ê im­
portante o fato que o fator de correção va 
ria mais rápido, além de 200 milhas e, por 
isso, a correção não ê linear.
Esse resultado pode ser interpretado de uma 
maneira raais geral, considerando o fator de 
correção como uma função do comprimento da 
onda. Os comprimentos, na tabela de solução, 
podem ser convertidos usando-se o comprimen­
to de onda obtido no problema 1-5. (compri - 
0
mento de onda = 3100 milhas).
Porcentagem de erro 
A Comprimento de_p_nda usando um ̂ nj0 cor
rigido
50 0,0161 0
100 0,0322 0,7
150 0,0481 1,5
200 0,0644 2,0
250 0,0805 4,0
300 0,0966 5,9
Problema 1-11 - Usar as equações gerais de linha de trans
missão, para achar a tensão na extremida 
de aberta da linha de transmissão. Usar 
as constantes do problema 1-10.
Solução :
Equações gerais de linha de transmissão (39) 
VS = VR cosh (yü) + ZC IR senh (yi)
Para uma linha com extremidade aberta IR= 0 
Vs = VR cosh (yZ)
Para o caso sem perdas R = G= 0 , isto reduz a 
Vs = VR cos (to /LC Z)
cos (ü)/lC £)
1
z tü/LC Z cos (u) / LC £) c o s (üo/LC £)
50 0,101 1,0 1,0
100 0,202 0,98 1,02
150 0,303 0,955 1,05
200 0,404 0,92 1,09
250 0,505 0,876 1,142
300 0,606 0,821 1,218
Comentário: A tensão da linha de extremidade aberta ê
9% maior do que a tensão da fonte para uma
linha de 200 milhas. Esta elevação da ten -
sao, ao longo da linha, ê geralmente chamada
de efeito Ferranti. Note-se que a elevação
Ferranti nao é perceptível abaixo de 100 mi­
lhas de comprimento de linha, mas ela pode
ser significativa para os comprimentos de li 
nha acima de 200 milhas. Há uma elevação de 
tensão de 22% ao longo duma linha de 300 mi­
lhas .
Problema 1-12 - Repetir o problema 1-11, para uma linha
de 200 milhas, usando um circuito equiva
lente sem incluir os termos de corre - 
ção.
So_lu.£ac
O circuito equivalente parada linha-ê
vs
lí2
X
T
2 í VR
iL2
A indutância e capacitância totais são:
L = 2,21 x IO- 3 h/m x 200 m = 0,.441 h
XL = j 166,6 ohms
C = 0,013 x 10- 6 f/m x 200 m = 2,6 x 10_6f
Xc = - j 1 0 2 0 ohms
Se a tensão de fonte for mantida a 1 pu de ten 
são, a tensão no receptor é de
+ j 166,6 I
—I----- i 2040/T\ J
. 1__________
+ j 166 - j 2040
_J__
1874
A tensão do lado receptor pode ser achada , subtraindo-se 
a queda de tensão através da linha, a partir da fonte.
VR = vs “ 1 XL = 1 , 0 - ( 1 8 74 ) (j 166,6)
= 1,0 + 1-6-^ =1,09 = V
1874 ----------
Comentário : A tensão aqui calculada é idêntica àquela
que foi obtida das equações exatas. As 
corre .̂ es, que teriam sido aplicadas, te- 
riam reduzido XL (conforme visto no pro - 
blema 1-10) e teriam aumentado C. A in - 
fluência das correções ê um tanto autocom
PROBLEMAS -
Problema 1-13
Solução:
pensadora neste calculo de linha de extre­
midade aberta.
Este problema não dever ser usado para 
justificar a negligência nos termos de cor 
reção em todos casos. Particularmente,nas 
condições de fluxo da carga, ou quando uma 
linha ê ligada a um sistema, nas duas ex - 
tremidades, pode-se notar uma influência 
maior dos termos de correção.
A interpretação física da elevação da ten­
são ao longo duma linha, ou a elevação Fer 
ranti pode ser compreendida claramente des 
te problema. A elevação da tensão, ao lon 
go da linha, resulta da corrente da carga 
que corre através da indutância. Este ti­
po de elevação de tensão pode ser importan 
te nos sistemas EAT, especialmente durante 
a energização duma extremidade onde as li­
nhas são relativamente longas.
ORDEM DE MAGNITUDE DAS QUANTIDADES
Em que potência trabalha um homem (em watts) 
quando ele move blocos a uma velocidade 
de 12 por minuto. Quantos killowatts de 
energia ele gasta num dia de 8 horas ?
Os blocos pesam 5 kg (aproximadamente 
1 1 libras) e são levantadas a 1 m(aproxi 
madamente 3 pês) .
metro-quilogramas x 2,724 x 10 watt-hora
12 x 60 x 8 x 1 x 5 = total de metros kg
---peso por bloco em kg^
------- distância por bloco em
metros
----------- número total de horas
---------- ----------blocos por hora
28800 = metro x quilograma 
watt hora = 2,724 x 10 ^x 28800 
= 78,5 wh total 
O regime de trabalho feito ê
UL lA = 9,83 watts 
8
Comentário : Levantar um tijolo de 5 kg a lm em 1 segun­
do equivale a realizar um trabalhonuma ra­
zão de 49,2 watts ou 5 vezes a capacidade de 
mover 1 2 por minuto.
(5kg x 1 metro/s) (2,724 x 10-^watt hr/metro 
kg) x 3600 s/hr = 49,2 watts 
Os 2 ou 3 watts, necessários para fazer fun 
cionar um relógio elétrico, convertidos em 
força humana , é grande.
Problema 1-14 - Quantos Coulombs de carga passam por uma
lâmpada elétrica de 100 volts, 25 watts, 
corrente contínua num segundo ?
Solução:
1 watt = 1 volt x ampère 
1 ampère = 1 coulomb/segundo
25 watts
Portanto, 
num segundo ê 
25 watts _ 
1 0 0 volts
a carga que passa por uma lâmpada de 
: 0,25 ampères
carga = ampêre x tempo = 0,25 A x s = 0,25
coulomb
Comentário - É interessante calcular a intensidade do 
campo elétrico na superfície duma esfera 
com o raio de 400 pés, se houver na super­
fície 0,25 coulombs, usando-se a equação 
(1.02)
Ê = °'25____________________
4ir x 8,854 x 10-12x (124)2
---4-Q.°-.£ê.s----- = 124 metros
3.218 pés/metro
= 1,45 x 10^ volts/metro
Um gradiente de tensão de aproximadamente 3 
kV/polegada causara que no ar surja o e- 
feito corona. Os 1,45 x 10^ volts/metro , 
acima , passarão a
145..kv/netro------- „ 3>65 kv/polegada
39,7 polegada/metro
Assim sendo, se este 1/4 de Coulomb, que 
flui através de uma lâmpada de 25 watts , 
fosse colocado numa esfera com o raio de 
400 pés, a superfície da esfera apresenta­
ria o efeito corona.
Problema 1-15 - Calcular a área de superfície necessária
para construir um capacitor de 0 , 1 micro 
farad.
Suponha-se que o dielêtrico fosse o pa - 
pel de 3 milésimos de polegadas e qbe es 
te papel tenha uma constante dielétrica 
relativa de 2 ,5 „
Solução;
nas e
A capacitância entre as duas superfícies pla-
c =
e e * r o A
A = c x d
£r o
0 , 1 x 1 0 6x 1,18 x 1 0 ~ 5
para c = 0 , 1 x
1 0 ̂ farad 
d=0/003 em
10~2_______
2,54 pol./metro
d= 1,18 x 1 0 - 5 
= 2,5
£q = 8,854 xlO -12
farad/metro
Desta forma, um capacitor pode ser feito de duas fitas de 
folha de 1 polegada (2,54 cm) de largura por 82,7 polega­
das ( 2 1 0 cm) de comprimento.
Comentário - Note-se que, se fosse usado um papel de 1 mi 
lêsimo de polegada, em vez de 3 milésimos,a ̂ oarea necessária seria de 1/3 dos 533 cm^ a- 
cima.
Problema 1-16 - Considerar dois condutores, cada um com
um raio de 1 / 2 polegada , separados por 
18 polegadas e ligados através duma ten­
são de 300 kV. Qual ê a força mecânica 
entre os condutores ?
Solução:
A carga, em cada condutor, pode ser achada u- 
sando-se a equação (1.18)
v = 2_ £n
tt e
tt e v
£n — 
ro
tt x 8,854 x 10 1 2 x -300 x 103
£n 181/2
_ 8= 2,33 x 1 0 coulomb/metro
Usando a equação (1-16) para o campo elétrico, 
a força pode ser achada como
F = qE = q -----
2tt eá
__________ (2,33 x 10 8) 2________________
2 tt 8,854 x 10" 1 2 x (18 x 2,54 x IO- 2 )
— 6Força = 2,14 x 10 newton /metro
Força = ^ ■ x 2,14 x 10 ̂libras/pé = 1,64 x 10 ^
libras/pé
Newton/metro = 1,305 x libras/pé
Newtons met£- x —̂ 7̂̂ =- = libras pe 1,305
Newtons x r̂e-̂ |Q- x 3,281 pé/metro ̂ = libras
Newtons x 2,56 = libras
Newtons/metro x 0- T^^ro^ = newtons/pé3,281 pe
Newtons/metro x ^ 2qi = newtons/pé
Newtons 3,281 X 1,305 libras
Newtons/metro 1 3,2813,281 x 1,305 libras/pê
Comentário : Note-se que a força do campo elétrico é uma
força muito fraca, quando forem consideradas
as quantidades normais de carga que podem
ser colocadas num sistema. Note-se que há
— 8somente 2,33 x 10 coulombs de carga em ca 
da condutor. A magnitude de carga nesse pro 
blema ê proporcional â tensão e, por isso , 
ter-se-ia um limite razoável na magnitude 
da carga que pode ser colocada no sistema.
Problema 1-17 - Considerar dois condutores separados por
18 polegadas. Qual ê a força existente 
entre estes condutores, se uma corrente 
de defeito de 20.000 ampéres flui em ca­
da condutor.
Solução:
Usando a equação (1-8)
-74 TT x 10 i-jl-
p - ------------------±— -----------------
2 ir (18 x 2,54 x IO-2)
-7 4 22 x 10 (2 x 10 )
0,457 = 175 newtons/metro
Força = 175
1,305
134 libras/pé
Comentário : Para as quantidades razoáveis de sistema, 
as forças magnéticas são muito maiores do 
que as forças de campo elétrico. Estas 
grandes forças magnéticas requerem condi­
ções mecânicas muito severas, não somente 
nos condutores de linha de transmissão sob 
as correntes intensas de curto circuito , 
mas também colocam forças mecânicas seve­
ras nos componentes do transformador e do 
gerador sob o curto circuito.
Problema 1-18 - Achar a ordem de magnitude relativa de
corrente de condução e a de dispersão , 
para vários meios homogêneos.
Solução;
Para fazer a avaliação , pode ser usada a e- 
quação (1-14)
H .áí i + 3D 31
te
Nos campos, hã freqüência senoidal e constan- 
T = aE
|f = juD = jueÊ
assim temos
H .d£ (a + ja)e) E
Ou a corrente através de qualquer caminho fe­
chado pode ser feita da corrente de condução e de corren­
te de dispersão, com a ordem relativa de magnitudes
a _ corrente de condução____
joo£ corrente de deslocamento
a) Num condutor de cobre o
e
75,8 x 10 siemens/metro 
8,854 x 10 "^farad/metro
proporção = 5,8 x 10
2Trf x 8,85 x 10 -12
0,104 x 10 
f
19
Comentário : Para um condutor de cobre pode-se desconsi­
derar a corrente de dispersão.
b) No ar, ou espaço livre a= 00; e
proporção = 00
8,854 x 10-12
farad/metro
Comentário No ar, ou espaço livre, pode-sé desconside­
rar a corrente de condução.
c) Numa terra, considerando perdas p= 100 ohms/metro(re- 
sistividade), a constante dielêtrica relativa deve ser 
de até 10.
0,01 1,8xl07proporção = ---------------------TTT- =--------2nf 10 x 8,85 x 10 f
f
60 Hz 
6.000 Hz 
600 kHz 
6 MHz
proporção
3 x 10 5 
3000 
30 
3
Comentário : Para uma terra com perdas , ê razoável des - 
considerar a corrente de dispersão em baixas 
freqüências, porem, lá pelos 600 kHz , a cor 
rente de dispersão pode ser importante na a- 
„ nálise de propagação.
APÊNDICE I
IDENTIDADES TRIGONOMfiTRICAS USUAIS
I. FUNÇÕES CIRCULARES DE ÂNGULOS PLANOS
Os valores das funções circulares são definidas 
pelas seguintes relações:
seno a = ^ = sen a r
xcosseno a = — = cos a 
tangente a = ^ = tg a
1. Funções da soma e da diferença de dois ângulos 
sen (a±S) = sena.cosg±cosa . sen$
cos (a±3) = cosa cosg ± sena . seng
Se x for pequeno, por exemplo 3o ou 4°, então, pode-se 
adotar as seguintes aproximações, em que x ê expresso 
em radianos (1° = 0,0175 radianos)
sen a - a , cos a = 1 , tan a - a
sen (a ± x) = sen a ± x cos a
cos (a ± x) « cos a sp x sen a
2. Produtos de funções
sen a. sen 3 = 1/2 (cos (a - 3) - cos (a + 3))
cos a.cos 3= 1/2 (cos (a-3) + cos (a + 3))
sen a.cos 3= 1/2 (sen (a-3) + sen (a + 3))
3. Relações entre ângulos e lados de triângulos planos
Sejam a, b, c = lados do triângulo e a, 3,Y = ân­
gulos opostos aos lados a, b, c, respectivamente.
(Lei dos senos)sen a sen 3 sen y 
2 2 2a = b +c -2bc cos a (Lei dos cos senos)
a + 3 + Y = 180°
a = b cos y + c cos 3
b = c cos a + a cos y
c = a cos 3 + b cos a
II - FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
As funções hiperbólicas são definidas por rela - 
ções semelhantes àquelas que definem as funções de angu - 
los circulares e recebem denominações análogas. Suas deno­
minações e abreviaturas são:
seno hiperbólico 0 .
cosseno hiperbólico 0
tangente hiperbólica 0
1. Valores equivalentes exponenciais - Os valores de fun­
ções hiperbólicas podem ser calculados a partir de seus 
equivalentes exponenciais.
e -0
senh e = e - e2
e , -0
cosh © - e + e 2
e -0
tgh e - e e e
- e
, -e
Se 0 for extremamente pequeno,
senh 0 - 0 
cosh 0 - 1 
tgh 0 ^ 0
Para grandes valores de 0,
senh 0 - cosh 0 
tgh 0 - cotgh 0 - 1
2. Identidades fundamentais
cosh^ 0 - senh^ 0 = 1
senh 0 = ̂ - = a
cosh 0 = — = a
tgh 0 = —
0cosh 0 + senh 0 = e
cosh 0 - senh 0 = e
senh (-0) = - senh 0 
cosh (-0) = cosh 0
senh (0]_±0 2) = senh 0^ cosh 0^ ± cosh 0^ senh 
cosh(0^±0 2) = cosh 0^ cosh 0^ ± senh 0^ senh 0^
III. FUNÇÕES DE ÂNGULOS IMAGINÃRIOS E COMPLEXOS
1. Relações entre funções circulares e hiperbólicas
Por comparação dos equivalentes de funções hiperbó­licas e circulares, são estabelecidas as seguintes 
identidades, sendo i = /-T :
sen a = -i senh ia 
cos a = cosh ia 
tg a = - i tg ia 
senh 3 = - i sen i3 . 
cosh 3 = cos i3 
tgh 3 = - i tg i3
2. Funções de um ângulo complexo 
Em notação complexa,
c = a + ib = |c|(cos 0 + i sen 0) = |c|. e 
onde: IcI = /a2 + b2
i0
i =
b
a
1 0Freqüentemente |c|e 
loge |c|e10 = loge |c| +
é escrito 
Í (0 + kTT) ,
c / 0 .
(possuindo infinitos 
valores)
Algumas identidades convenientes são:
logel = 0
log (-1) = ítt
log0i = i t t / 2
log ( - 1 ) = i 3 t t / 2
n(cos 0 ± i sen 0) = cos n0 ± i sen n0
/ n , . n 0 + 27Tk , . 0 + 27rkcos 0 ± í sen 0 = cos ------ ± í senn n
0 uso de ângulos complexos ocorre freqüentemente em problemas 
de circuitos elétricos onde é necessário, muitas vezes, 
expressar as funções dos mesmos como números complexos.
sen(a±iS) = sen a cosh B±i cosasenh g = /cosí?g--cosa.e+:*‘̂ 
cos(a±iB) = cos a cosh B± i sen a senh 3 = v̂ cosĥ B - sen^a . e±:̂
senh(a±ig) = senha .cosg± i cosh a.sen 3
cosh(a±ig) = cosh a.cos 3 ± i senh a.sen 3
CAPÍTULO 2
PERDAS NO CONDUTOR E EFEITOS MÚTUOS
I. INTRODUÇÃO
Os conceitos fundamentais da linha de transmissão , 
inclusive as fórmulas de indutância e de capacitância de­
senvolvidas no capítulo 1, podem ser usados para resolver
muitos problemas. Estes conceitos fundamentais serio ampli 
ados neste capítulo.
II. CONCEITOS ADICIONAIS DE INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MUTUA
O princípio mais fundamental de indutância,ou do con 
ceito físico que resulta na indutância, ê a lei de Faraday. 
A exposição matemática desta lei (equação 1-11) quando com 
pleta, pode ser objeto de discussões suplementares. Esta 
lei ê suficientemente geral para ser usada, não somente co 
mo a base para os conceitos de indutância nas linhas de 
transmissão, mas também, como a base fundamental para os 
conceitos de maquinas elétricas. Nos problemas mais gerais, 
a lei de indução ê exposta para incluir a lei de Neumann:
"uma força eletromotriz (fem) se estabelece num 
circuito quando o fluxo magnético, que enlaça o 
circuito, ê alterado de qualquer maneira, e a 
magnitude da fem ê proporcional â taxa de varia 
ção do fluxo, no tempo que o produz".
e ( 2 . 01 )
A = fluxo concatenado
Em adição ao acima exposto, podemos citar a lei 
de Lenz:
" a direção da fem induzida é tal, que qualquer 
corrente que a produz tem a tendência de opor- 
se a qualquer variação do fluxo que a produz".
Quando estes conceitos são usados em analise de maquinas,
as equações devem incluir a possibilidade do fluxo passar 
através de mais de uma espira da bobina. Para tal condição, 
a lei de Faraday pode ser escrita como
e dAdt (2 . 0 2 )
A = fluxo concatenado
Os conceitos de fluxo magnético concatenado são 
convenientes, vistos que eles podem ser achados para as 
correntes continuas e, depois, se a distribuição da corren 
te no circuito for a mesma para as condições da corrente 
alternada, a indutância ê obtida pela diferencial do fluxo 
concatenado. Ademais, nos problemas práticos, o sinal cor­
reto na tensão induzida pode ser verificado pelo uso da 
lei de Lenz.
fi interessante considerar um transformador sim­
ples, com núcleo de ar, para os propõsitos de discussão.
LINHAS DE FLUXO 
MAGNÉTICO
Neste transformador, hã um campo elétrico, ao 
longo das bobinas dos condutores, que resulta do fluxo mag 
nêtico variável dentro das bobinas. A polaridade da fonte 
de tensão (V ) resultará num fluxo de corrente (i), confor 
me mostrado. A corrente produzira um decréscimo do fluxo 
através das bobinas. Um voltímetro ligado através do segun­
do conjunto de bobinas medira uma tensão com a polaridade 
mostrada, porque esta tensão produz um fluxo de corrente 
que se opõe ao fluxo primário estabelecido pela corrente 
na bobina superior (Lei de Lenz). Particularmente, aqui , 
este fluxo em oposição ê o que tende a limitar o campo na 
proximidade dos condutores, e, de fato, aumenta a densida­
de do fluxo entre os pares de condutores. A tensão serã- 
proporcional â taxa de variação da corrente no tempo, po­
dendo ser considerada como um campo eletromagnético, E,con 
tinuamente induzido ao longo do condutor. A tensão total 
induzida é a integral de E.d& ao longo do condutor.
0 conceito acima pode ser usado nas linhas de 
transmissão. Considere-se os dois circuitos fechados da fi­
gura 2.01 como duas bobinas no ar contendo uma espira em 
cada bobina. Agora, estas serão deformadas e aparecerão co 
mo quatro condutores horizontais.
A situação aqui ê idêntica ao problema de trans­
formador com o núcleo de ar acima discutido, mas,neste caso,o 
sistema ê composto de uma bobina com uma espira única. Hã 
um fluxo estabelecido pelo fluxo de corrente da bobina 1, 
que induz um campo elétrico ao longo do condutor da bobina 
2. A integral de intensidade do campo, E, ao longo^do con­
dutor da bobina 2, determinara a tensão induzida total e
lida pelo voltlmetro, V .m
A magnitude da tensão induzida ê determinada pe­
las técnicas aludidas no capítulo 1. O campo, neste exem­
plo, presumindo que as linhas são longas e que efeitos fi­
nais possam ser desconsiderados, é determinado pela sobre­
posição do campo produzido por um condutor individual. Se 
a corrente em cada condutor for conhecida, poderia ser a- 
chado o fluxo e, usando a lei de Faraday, poderia ser achada 
a tensão induzida. 0 campo elétrico ao longo do condutor , 
que, quando integrado produz a tensão, pode ser discutido 
da mesma maneira como foi no caso do transformador acima.
A tensão induzida na bobina 1, para o caso de 
não haver corrente na bobina 2, ê exatamente aquela defini^ 
da pela indutância de uma linha de dois condutores (Equa­
ção 1.25).
V
(2.03)
A queda de tensão reativa na bobina 1 não ê in­
fluenciada pela segunda bobina, ou pelo condutor, visto 
não fluir corrente na bobina 2. Se não flui nenhuma corren 
te no condutor, ela não pode contribuir para o fluxo total 
que enlaça a bobina 1. Porém, hã uma tensão na bobina 2 
que iria produzir uma corrente se o curso fosse fechado , 
permitindo a corrente fluir. Esta tensão ê idêntica â ten­
são que aparece nos terminais secundários abertos de um 
transformador quando o primário for energizado. A tensão na 
bobina 2 ê determinada pelo fluxo total <3ue Passa através 
da bobina 2. O fluxo ê produzido pelos dois caminhos de cor­
rente (condutores) da bobina 1. Para este caso de dois 
condutores compridos e paralelos, da figura 2.02, a ten­
são total induzida na bobina 2 pode ser achada examinan- 
do-se a tensão induzida em cada um dos extremos, superior e 
inferior da bobina 2, devido às correntes nos extremos su 
perior e inferior da bobina 1. Isto pode ser feito para 
um comprimento unitário da linha.
Este problema tornar-se-á mais claro se for fe.i 
ta uma retrospectiva e revisado o cálculo da auto-indutân 
cia duma linha de 2 fios. A indutância efetiva para o si£ 
tema de dois condutores e dada na equação 2.03.
Deve-se lembrar que esta indutância ê uma medi­
da da queda de tensão, ao redor do circuito completo. Esta 
queda de tensão pode ser imaginada como se fosse distri­
buída uniformente ao longo de ambos os condutores, confor 
me mostrado a seguir.
Figura 2.03a
Se for agora considerado o caso em que a corrente no con­
dutor 1 volta através de algum outro condutor( desta vez 
não especificado), a queda de tensão, em redor do circui­
to completo, seria de somente 1/2 da queda de tensão que 
ocorreria para uma corrente igual e oposta em cada condu­
tor .
Agora, se for considerado o caso do retorno 
da corrente do condutor 1 pelo condutor 3, as quedas de
tensão correspondentes podem ser mostradas em cada condu­
tor.
V2-l ^ a tens^° 
duzida no condutor
2 para uma corren­
te no condutor 1
V2-3 ^ a tens^° no 
condutor 2 para
uma corrente no
condutor 3.
Figura 2.03 b
As quedas de tensão nos condutores 1 e 3 são dadas como:
d,
+ V = - j?.n í -1V. + V, - ü «n (— ü ) dt
A soma das quedas de tensão no condutor 2 ê dada como: 
V l + v2-3 = -h < - tn + 3Í
que pode ser escritocomo:
V. _ y (2.04)
1-2
As tensões nos condutores 2 e 4 devem ser somadas para formar a 
tensão total do circuito completo e, pela simetria, a ten­
são no 4 ê igual à tensão no 2. Assim obtém-se:
V 2 ♦ V4 - S 1-2
di
dt
Por isto, 
mo:
as indutâncias própria e mutua podem ser escritas co
L = ± ln
1 1 71 M f * ) 12 = üTI (2.05)1-2
A tensão nos condutores da bobina 2 tem por fim forçar uma 
corrente num sentido contrario, em redor do circuito com­
pleto da corrente, na bobina 1. Assim sendo, se uma corren
te fluir na bobina 2, na mesma direção da corrente na bobi. 
na 1, a queda de tensão reativa será estabelecida por dois 
componentes? um da corrente no condutor 2 e um da corrente 
no condutor 1.
Vtotal
Queda de tensão na bobina 
2, proveniente do fluxo de 
corrente na bobina 2.
ai.
(2-06)
Queda de tensão na bobina 
2, proveniente do fluxo 
de corrente na bobina 1.
Assim sendo, a tensão induzida no condutor 2, por um fluxo 
de corrente no condutor 1, é uma tensão induzida mútua e 
define a indutancia mútua.
Os termos de indutancia mútua, para dois conduto 
res sobre um plano condutor perfeito, também podem ser a- 
chados na figura 2.03b. A corrente nas partes superior e 
inferior da bobina 1, igual e oposta, e a corrente negati­
va no condutor inferior podem ser consideradas como uma 
imagem de espelho da corrente no condutor superior. Para 
esta condição hã um meio-caminho plano entre os condutores, 
onde a intensidade líquida do campo magnético ê tangencial 
a este plano, através da superfície inteira.
O campo magnético ê tanqencial à superfície, so­
bre a superfície total, e esta ê a condição total que re­
sultaria para um campo magnético perto de um condutor per 
feito que carrega a corrente. Este campo magnético,' bem 
perto da superficie condutora, ê diretamente relacionado à 
corrente que flui na superfície, na proximidade imediata 
do campo. Essa condição da analise eletromagnética ã cha­
mada de condição de contorno. Não serã feito, aqui,, nenhum 
comentário adicional, a não ser que o campo, que resulta 
duma corrente de superfície, seja o mesmo que o campo que 
resulta do condutor de imagem, se o plano for um condutor 
perfeito.
Como no capitulo 1, a indutância . (ou o termo que 
produz uma queda de tensão reativa), no condutor que carre 
ga a corrente( o membro superior da bobina 1), ê
dii
(2.07)p 9. n <§*o1 2 if
P £n (2hro11= 2tt
dt
Auto impedância de um condu­
tor sobre uma terra perfeita
onde h ê a metade da distância entre o condutor e sua ima­
gem.
A queda de tensão reativa no condutor 2 pode ser 
achada, examinando-se a tensão induzida no condutor 2, que 
resulta da corrente no condutor 1 e da imagem do condutor 
1. Isto foi achada na equação (2.04). No exemplo anterior, 
a queda de tensão total foi estabelecida da queda de ten­
são no condutor superior e inferior. Aqui, hã somente uma 
queda de tensão no condutor superior, visto não haver um 
condutor inferior. Portanto,
liCM> P• 2tt In (d12d12
L 12 =
p
2 TI £n
dÍ2
( 2 . 0 8 )
A impedância mutua entre 
dois condutores sobre uma
terra perfeita.
onde ^ a distância do condutor 1 â imagem do condutor
2 e d -^2 ® a distância do condutor 1 ao condutor 2.
As equações (2.07) e (2.08) sio os, assim chama­
dos, termos de indutância própria e mutua para um condutor 
sobre uma terra perfeita. Deve-se notar que os tremos mú­
tuos sio recíprocos; isto ê,
L12 “ L21
ou a queda de tensão reativa no condutor 2 resultante de 
uma corrente I, no condutor 1, ê a mesma que a queda de 
tensão reativa no condutor 1, que resulta da mesma corren­
te I no condutor 2.
III. EFEITOS MÚTUOS RESULTANTES DO EFEITO DE SUPERFÍCIE
A impedância mutua entre os condutores ê fisica - 
mente interpretada como a tensão induzida pela ação trans­
formadora. A discussão antecedente tem considerado so­
mente fios ou condutores que estão perto um do outro, po­
rem, os mesmos efeitos podem ser observados, em qualquer 
problema, onde hã um material condutor num campo magnético 
variável. Assim, se houver um condutor que carrega corren 
te ( corrente alternada ), perto duma superfície condutora, 
uma tensão serã induzida na superficie condutora que resul. 
ta num fluxo de corrente.. A natureza exata do fluxo de cor 
rente induzida não ê sempre fãcil de ser determinada, po­
rem, para esclarecer um pouco o problema, podem ser úteis 
alguns comentários gerais.
Como no capitulo 1, o problema mais 
freqüente é achar a distribuição da 
corrente. Uma vez estabelecida a dis 
tribuição de corrente, os efeitos mu 
tuos podem ser calculados ou aproxi­
mados.
A. Fluxo da Corrente nos Condutores
O fluxo da corrente num condutor requer um potenci^ 
al propulsor, ou tensão. Em geral, dentro do condutor, ê 
mais conveniente considerar a densidade da corrente, ou a 
corrente por área de secção transversal unitária, o que 
permite a análise de um problema com a corrente não unifor 
me sobre uma secção transversal. Em tal situação, a densi­
dade da corrente e o campo elétrico, que força o fluxo elê 
trico, são relacionados pela condutividade.
(2.09)
2corrente (amperes/m ) 
intensidade do campo elé - 
trico (volts/m) 
condutividade elétrica 
(siemens/m)
Figura 2.05
Assim, se existir um campo elétrico, seja num meio 
condutor ou sobre a superfície de um meio condutor, a cor­
rente fluirá na direção do campo elétrico. Realmente, a defini­
ção de um condutor é; um material que permite o fluxo li­
vre de eletrons, quando exposto a um campo elétrico. Este 
campo elétrico pode ser aplicado por alguns meios externos, 
tais como a fonte de tensão entre as extremidades dum con­
dutor, pela indução resultante dum campo magnético estabe­
lecido por um fluxo de corrente na proximidade do condutor, 
ou mesmo pela radiação eletromagnética de alguma antena a 
longa distância. O fluxo de corrente através do condutor 
resultará numa queda de tensão resistiva com alguma diss_i 
pação ou perda de energia. Não interessa como o fluxo de 
corrente foi estabelecido; a corrente, por si s5,estabele­
cerá um campo magnético que também resultará numa queda de 
tensão reativa.
Usando estes conceitos, pode-se achar a resistência 
de um condutor em que circule a corrente contínua .Para este 
caso, hã uma queda de tensão ao longo do condutor e, por­
tanto, hã um campo elétrico ao longo do condutor.
E
Figura 2.06
O fluxo de corrente e uniforme através da superfície do 
condutor e,por isso, a densidade da corrente pode ser a c h a 
da assim:
T - 1 = J LJ ~ Area 2 (2.10)Tra
Então, o campo elétrico ao longo do condutor ê:
E = Jo iroa (2 .11)
A queda de tensão ao longo do condutor, então, é obtida a- 
través da integral de E ao longo do condutor
V
e
1 i T_ Ed l = 1
- 0 J 0 oira'
a resistência efetiva ê
.Ifc
2ciTia
R VI
l
o 7ra
ohms ou 1 2DTra
ohms/metro (2 .12)
B. Fluxo de Corrente Induzida num Condutor Grande e Plano.
O problema de achar o fluxo de corrente, num condutor resul 
tante de um campo magnético, não ê fácil. O acesso â solução do proble 
ma do campo magnético, no capítulo 1, foi o de ccmeçar ccm a corrente 
e, destas correntes, calcular o campo para outros fins. Porem, quando 
entra no problana um fluxo de corrente não especificado, deve ser usa­
da uma técnica diferente. Geralmente, isto implica o uso de equações 
de Maxwell, mas isso é difícil, a não ser que exista no problema uma 
simetria considerável.
A análise da distribuição de corrente, num condutor
grande e plano, onde ocorre um campo elétrico na superfí­
cie do mesmo, é tratada em muitos temas e é chamada de anã 
lise do efeito de superfície. O problema pode começar com 
a especificação de uma intensidade do campo de superfície,Ez 
que resulta de um campo magnético (Lei de indução de Fara- 
day). Este campo elétrico induzido resultará num fluxo de 
corrente no condutor, numa direção que produzira um campo 
oposto ao campo propulsor (Lei de Lenz); isto ê, contrário 
â formação de um campo magnético dentro do condutor. De fa 
to, a análise ê executada para uma largura unitária e para 
um comprimentounitário; assim, as dimensões de extensão 
infinita não tornam o problema impossível. A análise deste 
efeito não será dada aqui, porém serão apresentados os efeitos 
significantes que resultam da análise. Este resultado está 
sendo discutido, pois, mesmo que a análise seja para um 
condutor infinito, os resultados são aplicáveis para os con­
dutores de dimensões menores e mesmo para superfícies cur 
vas nas mesmas condições.
z, na superfície, terá um fluxo de corrente na direção z 
(x normal à superfície) e nenhuma variação na direção y . A 
corrente, em qualquer ponto do condutor, ê:
Um condutor plano, com um campo elétrico na direção
(2.13)
onde 6ô = ..... ....(metros)
/tt f jj o
y = permeabilidade do plano 
o = condutividade do material
Aqui, a corrente a certa profundidade x na superfície con 
dutora, relaciona-se com a corrente de superfície,iQ ,pe­
los exponenciais da equação (2.13) . O termo ô tem as dimen­
sões de distância e ê geralmente chamado de profundidade 
de superfície. Note-se que a corrente ê definida por um 
termo controlador de fase da corrente.
x
i e termo controlador de magnitude
x (2-14)
e ̂ 6 termo controlador de fase
Note-se aqui, que a corrente embaixo da superfície do pia 
no diminue, exponencialmente, em magnitude e, linearmente 
em fase, relativas â corrente de superficie. Para aumen­
tar a perspectiva no problema, pode-se avaliar a magnitu­
de do termo de profundidade de superficie <5, para alguns 
números práticos.
Tabela I
Condutividade Permeabilidade Profundidade da
Siemens/metro Henry/metro penetração 6 metro
Prata 6,17 x 107 4TT X 10~7 0,0642//f
Cobre 5,80 x 107 4 TT X IO"7 0 ,0660//f
Alumínio 3,72 x 107 4 7r x ío-7 0,0826//f
Latão 1,57 x 107 4 TT X 10~7 0,127//f
Solda 0,706 x 107 4 TT X IO"7 0,185//f
A magnitude da corrente, em vários pontos dentro do condu 
tor, ê mostrada mais detalhadamente no problema 2-8, para 
um condutor de alumínio e uma corrente de 60 Hz. Podem 
ser feitas declarações sobre os fenômenos de efeito de su 
perfície.
1) Para um material de condutividade mais alta, a 
profundidade de penetração 6 ê menor.
2) O conceito aqui exposto aplica-se somente aos 
condutores planos sólidos, mas ele pode ser ex- 
tendido a outras formas, com a condição do va 
lor de 6 ser muito menor do que a curvatura da
3) A relação de fase da corrente varia com a pro 
fundidade dentro do condutor.
4) O fluxo irregular da corrente resulta dos efei­
tos magnéticos entre a corrente, em varias par­
tes do condutor. 0 efeito líquido é de limitar 
a formação de um campo magnético dentro do con 
dutor.
Este conceito do efeito de superfície parece ser um 
tanto abstrato, porque esta lâmina infinita não parece fa 
zer parte do circuito. Mas os resultados acima obtidos po 
dem ser usados para converter este resultado no conceito 
de circuito orientado. Ê possível considerar a lâmina co­
mo um elemento de circuito e, nestas condições, formular 
a pergunta: aual é a impedância efetiva desta lâmina? Sa­
be-se que, para achar a impedância de um elemento, ê ne 
cessãrio achar a corrente através do elemento,bem como a 
queda de tensão através do mesmo.
A corrente através da lâmina por largura unitária, pode 
ser obtida por:
superfície.
Z = y Lei de Ohm (2.15)
x
I
0 0
(2.16)
i <$o
1+j
Note-se que.a corrente total e exatamente, a corrente
que iria fluir se i fosse uniforme, através da secção 
igual â profundidade de superfície ô. Isto deveria ser es 
perado pela natureza exponencial do fluxo de corrente, co 
mo uma função de x.
0 próximo problema ê achar a queda de tensão ao lon 
go da lâmina. Em primeiro lugar, é importante compreender 
que a queda de tensão ao longo da lâmina ê a mesma que pa 
ra qualquer plano horizontal com a superfície. A queda de 
tensão é feita a partir da densidade da corrente vezes a resistivi- 
dade e, também, pela queda indutiva resultante da indução 
tipo Faraday.Porém, ao longo da superfície superior, pode 
mos achar o campo elétrico, o qual, para este problema , 
foi presumido como sendo a rorça impulsora para a corrente, 
a partir somente da densidade da corrente na superfície, i , e 
da condutividade o. Isto ê, não hã na superficie, tensão 
induzida magneticamente, que resulte do fluxo de corrente 
na lâmina:
i
E = — (2.17)zo a
Por isso, a impedância por comprimento unitário ê:
SL
ZO
[Total
_o
a
6/(l + j) a <5 (1 + j) (2.18)
Figura 2.08
A impedância do condutor ê uma impedância com um ângulo 
de 45o, ou melhor, que a resistência e a reatância sejam 
iguais.
Esta informação pode ser usada no cálculo da resis­
tência, de alta freqüência, de um condutor redondo.
A largura da faixa neste caso ê a circunferência do 
circulo e, por isso, a resistência de alta freqüência do 
condutor será:
C • Fluxo de Corrente Induzida num Condutor Feito por dois 
Materiais Diferentes.
Ocasionalmente, pode ser interessante estimar o flu 
xo de corrente num material em camadas. Esta analise para 
condutores planos ê dada para o sistema da figura 2.09.
ZHf 2 nr
Z
- — 2 - - (1 + j) (ohms/metro) (2.19)
z
y
d
x
Figura 2.09
A corrente dentro do condutor, para este sistema,ê:
r - d + j) 
i ô , (l+j) / TT fy]_a1
r2= (l+j) / tt f u 2 ° 2
B
senh(r^d) + (r2a^/r^a2) cosh r-̂ d
Também a impedânçia efetiva do sistema de duas camadas,de 
finido da mesma forma como para uma grande lâmina ( equa-
ção 2 . 2 2 ) , e :
ZTL SL
senh(r^d) + (r 2 ° i //rl ° 2 ^ cosh (r^d) 
cosh(r^d) + (r^a^/r-^a^) senh (r-̂ d)
( 2 . 20 )
Estas equações são üteis para estimar a eficácia de blin­
dagem do revestimento nos condutores e pode ser usado pa­
ra estimar as características de alta freqüência dos con 
dutores revestidos.
D . Correntes Parasitas
As perdas por correntes parasitas podem ser visuali_ 
zadas usando-se os conceitos expostos nas secções anteri­
ores. Um condutor, que carrega corrente na proximidade de 
uma placa, estabelecerá um campo magnético que, por sua 
vez, induz correntes na placa. Essas correntes, geralmen 
te, são chamadas de correntes parasitas. É difícil, senão 
impossível estimar com exatidão a distribuição da corren­
te, analiticamente, devido à complexidade das condições 
limites. Por isso, nos problemas práticos podem ser 
exigidas aproximações ou estimativas.
Estas correntes parasitas são importantes em muitas 
aplicações de corrente elevada. Blindagens de metal, na v.i 
zinhança destes condutores, sofrerão, varias vezes,muitas 
perdas resultantes das correntes parasitas, para serem 
significativas para a temperatura ambiente, dentro das 
blindagens de metal. Além do mais, os campos provenientes 
do reator em derivação com núcleo de ar resultaram no
aquecimento de cercas e de mecanismos de distribuição
blindados em metal, perto dos reatores e até causando da 
nos técnicos a fundamentos de concreto, que usam barras 
de reforço de aço no concreto(armado).
E. Efeito de Proximidade
0 efeito de proximidade e uma medida de fluxo de 
corrente irregular, no sentido radial em redor dum condu­
tor, Quando dois condutores são estreitamente espaçados , 
o fluxo de corrente num condutor produzira um campo, com 
a tendência de forçar a corrente no outro condutor , numa 
distribuição não radial. Se as correntes estiverem na mes 
ma direção,a corrente concentra-se na borda externa dos 
dois condutores. Se o fluxo da corrente for em direção 
contrária, a corrente concentrar-se-ã de encontro âs su­
perfícies adjacentes. Assim sendo, o efeito de aproxima­
ção e função da direção do fluxo de corrente, pelo me 
nos no extremo. Esse efeito de aglomeração pode ter uma 
influência menor sobre a resistência do curso, mas geral­
mente tem um efeito mínimo (desconsiderãvel) sobre a indu 
tância.
Geralmente, o efeito de proximidade tem maior significân- 
cia em altas freqüências.
Em tais casos, a proporção r/ô pode ser considerada 
como uma medida de efeito de superfície, onde r ê o raio 
condutor e <5 ê a profundidade de superfície, definidos na 
equação 2.13. Em altas freqüências, o aumento em resistên 
cia para r/6 >100 pode seraproximada por:
PHf
1
1/(S/2r)2
(2 .2 1 )
Os resultados desta fórmula mostram:
O 0
Tabela II
Para
Espaçamento _ S Fator de
Raio r Proximidade
S = 10" 10 1,021—1 II U 15 1,01
^ |
C0 II 1—1 O 20 1,01
Não hã efeito de proximidade para linhas aéreas 
normalmente espaçadas. Porém, no caso de cabos, onde tem 
mais de um condutor no mesmo duto, o efeito de proximida 
de devera ser considerado. Este efeito estã incluído em 
muitos manuais de cálculos de reatância nos cabos.
IV. EFEITOS DA CAPACITÃNCIA MÜTUA
No capítulo I a capacitância foi definida como 
a carga por volt, aplicada no meio do condutor ( ou Q=CV) 
É difícil usar esta definição diretamente para definir a 
capacitância mútua, conforme nota-se no exemplo de dois 
condutores, a e b, sobre a terra, com uma tensão aplicada 
no condutor a. Qual é a carga que flui no condutor b? Se 
o condutor b não for ligado a uma fonte de carga, não flu 
irá carga nenhuma no condutor b. Porém, se o condutor b 
for ligado à terra, fluirá uma carga no condutor b e, pa­
ra avaliar os efeitos mútuos, deve ser determinada a mag­
nitude desta carga.
É muito mais conveniente definir um coeficiente 
potencial, P, e o recíproco de C.
V = PQ onde P = 1/C (2.22)
Assim, para uma carga conhecida no condutor, P 
define a tensão no condutor. Correspondentemente, o 
coeficiente do potencial mútuo entre dois condutores pode 
ser definido como:
Vb =Pab Qa (2 .2 3 ;
Conhecida uma carga no condutor a, qual ê a tensão que re
sulta no condutor b? Relembrando o capítulo I, o coefici­
ente de potencial ê, realmente, o que se calcula(deriva - 
ção da equação 1.18). Dada uma carga nos condutores, cal̂ 
cular a tensão que resulta. A forma dos resultados, para 
um condutor sobre a terra, ê a mesma que para a indutân - 
cia e para os coeficientes potenciais, conforme nota-se 
na equação 2.24.
P 1
2 tt e
L (2.24)
Correspondentemente, os termos mútuos podem ser achados 
por serem da mesma forma.
As impedâncias
mútuas entre 2 d ' ^ ,
condutores so- L, ~= ij— in , P,0= Jln (2.25)
bre uma terra a12
perfeita
Usando estas definições, a tensão num condutor re - 
sultante da carga neste condutor, ou num outro condutor 
na vizinhança, ê dada por:
V1 = Pllql + P12 q2 (2.26)
A tensão num condutor é afetada por condutores carregados 
na vizinhança.
Note-se aqui que o coeficiente potencial, p, tem as 
dimensões de 1/farad. Se for usado este termo no problema 
de freqüincia constante, pode-se diferenciar a equação
(2.22), dando:
dV
3í áa =dt PI (2.27)
se V for um fasor V, obterlamos: 
jcoV = P I
ou
V
(2.28)
Neste caso,
£ = X' = reatância capacitiva 0)
V. AVALIAÇÃO PRÁTICA DAS CONSTANTES DE LINHA DE TRANSMISSÃO
O material apresentado nas seções anteriores a este capí­
tulo, tratou de vários fatores que influenciam a resistência, a rea- 
tância e a capacitancia das linhas de transmissão.Entretanto, geral­
mente não ê necessário calcular estas influências pelas fórmulas com 
plexas, especialmente para os problemas de 60 Hz. Os fabricantes de 
condutores fornecem curvas (gráficos) ou tabelas que contêm os dados 
referentes â resistência e à reatancia do condutor. Estes parâme - 
tros relacionados nas tabelas incluem a influência do efeito de su­
perfície, que pode ser significativa para alguns dos condutores maio­
res, mesmo para as condições de 60 Hz.
A reatancia duma linha sobre uma terra perfeita 
foi dada na equação 1.23 como 
X = o)K1 £n 2h/r
o que pode ser escrito como
X = o)K1 £n 2h + wK £n 1/r
Nesta apresentação, a reatancia dos dois termos pode ser 
considerada como um termo resultante do espaçamento
X = xd = ooK- £n 2hespaçamento 1
e um segundo termo relativo ao condutor
X , ̂ = Xa = a)K £n 1/rcondutor 1
Este termo de reatancia do condutor ê equivalente â reatancia do condu­
tor no centro de um cabo coaxial com o raio de um pé (ver equação 1.24)# 
Este termo de reatancia de condutor é referido cerno a reatancia ao es­
paçamento de 1 pé. Os itens apresentados pelos fabricantes , 
nas tabelas, ê a reatancia ao espaçamento de 1 pé. O termo 
de reatancia resultante do espaçamento pode, muitas vezes, 
ser visto em tabelas similares à tabela III que ê mostrada 
abaixo.
A reatancia capacitiva de uma linha de transmissão 
pode ser calculada de uma maneira parecida com aquela deli 
neada para a indutância. Os dados sobre o condutor são 
fornecidos pela maioria dos fornecedores de condutores na
forma tabular. Como no caso da indutância, isto geral­
mente ê dado como um valor para o espaçamento de 1 pé. A 
reatância e o resto do circuito, isto ê, a parte que re­
sulta do espaçamento do condutor pode ser calculada ou 
obtida da tabela do tipo que mostramos a seguir:
Tabela III 
Ohms por milha
Pés 0 1 2 3 4 5 6 7
Xd - 0 0,0841 0,1333 0,1612 0,1953 0,2174 o,2361
Pes 8 9 10 11 12 13 14
xd 0,2523 0,2666 0,2794 0,2910 0,3015 0,3112 0,3202
Pés 15 20 25 30 35 40
xd 0,3286 0,3635 0,3906 0,4127 0,4314 0,4476
X, = 27Tf £n(d) x Conversão
d Z 7T
= 377 x 0,3218 x 10-3 £n(d) d
Xd = 0,12132 £n(d) (2.29)
Tabela IV
Reatância Capacitiva em Derivação (Megohm Milhas)
Pês 0 1 2 3 4 5 6 7
X ’d - 0 0,0206 0,0326 0,0411 0,0478 0 ,0532 0,0577
Pês 8 9 10 11 12 13 14
X 'd 0,0617 0,0652 0,0683 0,0711 0,0737 0 ,0761 0,0783
Pês 15 16 17 18 19 20
x ’d 0,0803
X
0,0889 
, _ 1 d 2irf
0,0955 0,1009, 0,1055
— í,n(d) x Conversão
Z 7T e
0,1094
X , _ 1 d 377 -------------- ^ £n(d)ohm0,08952 x 10
milha (2.30)
X 'd = 0,0296 &n(d) megohm milha
VI. RAIO MÉDIO GEOMfiTRICO E CONDUTORES EQUIVALENTES
Muitas linhas de transmissão de alta tensão e EAT 
usam condutores enfeixados, isto ê, 2, 3 ou 4 condutores
ligados em paralelo para formar cada condutor de fase. Tor 
na-se necessário considerar os efeitos de impedância mu­
tua entre estes condutores, para avaliar a impedância efe­
tiva do feixe. Se for considerado um feixe de dois condu­
tores, torna-se necessário incluir as tensões induzidas 
dum condutor para outro, bem como a tensão induzida pela 
corrente de terra de retorno. Neste caso, para a suposi­
ção de uma terra perfeita, a corrente de terra de retorno 
ê tida por corrente de imagem.
11 12
Figura 2.11
A tensão induzida no condutor 1 pode ser facilmente 
achada quando é suposto que a distância
Se for presumido que as correntes em cada condutor sejam 
iguais e que a corrente total se iguale a i^ mais Í2 :
1 - 2 ' = 1 - 1 ' = 2 h
(2* 31)
diy____
2 TT dt
r 1
2 £n
2h x 2h x 
r x r x b
u2 TT in (■
2h di __ 2
dt (2.32)/“rb
A indutância ê definida como a queda de tensão por 
regime de tempo de variação da corrente, o que dã:
X = ^ ln -2h = #.n(— i-) + ^ « n ( ^ ) (2.33)
^ /rb, „2* ̂ 1 ,
reatância reatancia equ.i
equivalente valente devido
dos conduto ao espaçamento.
res enfeixa
dos .
Nesta equação, a forma normal do raio condutor foi substi­
tuída pelo termo / rb. Este termo ê chamado RMG ( Raio me 
dio geométrico) do condutor.
fi importante notar, aqui, que, desenvolvendo o con­
ceito do RMG, usa-se a suposição de que em cada condutor 
a corrente era igual. Acha-se o RMG dum jogo de conduto - 
res de mesmo raio, tirando a raiz enêsima do RMG do condu 
tor multiplicado pelas n-1 distâncias entre cada um dos 
demais condutores. A maioria das configurações de feixes 
e dos RMG associados ê mostrada na tabela V.
Tabela V
Condutores por feixe Diagrama RMG
2 ^---b — / br
3 2
4
b
b
/2 b
V r/2 b3
0 RMG de um grupo de condutores enfeixados pode ser
calculado, conforme acima descrito.n___ ____________------/ rmg (n-1 distancias)RMG
n = número de condutores 
rmg do condutor individual
As n-1 distâncias são as distâncias entre 
n condutores
Quando os condutores estão colocados numa ordem circular, 
pode ser grafada uma forma geral desta equação.
RMG = y rmg* dn 1 Krmg
n K „rmg
2 1
3 1
4 1,4142
5 2,61805
6 6,0
7 16,3937
8 51,999
9 187,754
10 760,132
11 3409,75
12 16783,9
As reatâncias do condutor, obtidas das tabelas, es­
tão delineadas na figura 2.12, como uma função da seção 
do condutor. Ademais, as influências do enfeixamento do 
condutor ê, também, demonstradonessa figura. Note-se que, 
quando os condutores estão enfeixados, as reatâncias efe­
tivas ao espaçamento de 1 pê não são influenciadas sign_i 
ficativamente pelo tamanho do condutor, especialmente 
tratando-se de condutores com acima de 1000 MCM.
Figura 2.12
Reatância ao espaçamento de 1 pé para condutores enfeixa-
dos
ÀPÊNDICE II-A
Altura efetiva duma linha de transmissão
As equações para as indutâncias e capacitâncias de 
uma linha de transmissão exigem a altura do condutor. A 
derivação das equações da linha supõe condutores parale­
los horizontais com a superfície da terra. Enquanto as li 
nhas de baixa tensão tem uma flexa insignificante, o espaça­
mento entre as torres de linhas de transmissão EAT, resul 
ta num vão apreciável. Seria extremamente difícil calcu­
lar o efeito não horizontal do condutor num sentido exato. 
Uma correção adequada ê obtida usando-se a altura média 
do condutor. Isto é satisfatório, pois a altura do condu­
tor entra no cálculo, como um argumento de um termo Ioga 
rítmico. Os erros mínimos no argumento de um termo logarí.t 
mico têm só um pequeno efeito sobre o logaritmo.
Um condutor sob tensão pende numa curva catenária . 
Para os vãos curtos, essa equação pode assemelhar-se a uma 
parábola. A altura média, sobre a altura do meio do vão,po 
de ser calculada usando-se o seguinte diagrama do vão:
A altura média sobre um vão D, com uma flexa S, pode 
ser achada, determinando-se a área média sob a parábola
MD
D
2
D
2
x dx = = 2
MD = 3 K2}
Entretanto, para o sistema acima definido, a flecha é defi^ 
nida pela fórmula da parábola, avaliada para
x = S e y = D/2.
Flexa = S = (̂ )
Portanto, a altura média ê ; •
v - Flexa MD “ 3
Problema II-A-1
Achar a altura média de um condutor para o sistema. 
Altura da torre = 70 pês 
Altura mínima do condutor = 40 pês 
Solução 1 :
A flexa é de 70 - 40 = 30 pês
A altura média do condutor ê a altura mínima do
condutor mais a altura média sobre o mínimo.
- 30 -Altura media do condutor = 40 + — = 50 pes
PROBLEMAS
Problema 2-1 - Calcular os termos de indutância própria
e mutua para dois condutores sobre uma 
terra perfeita. h = 40 pês, 
separação 30 pês e r = 1 polegada.
Solução:
A autoimpedância foi calculada no problema
1 - 4 .
L-^ = 2,21 milihenries/milha
A impedância mútua ê calculada usando o dia 
grama.
L-. 0 £n —12 2tt a
2tt ín
/3 0 2 + só2
4ir x 10 
2tt'
-7
30
tn 30
= j x 10 7 1,043
0,000419 milihenries/metro
12
u n Q * 0,000419 0,6721609 * — -- 2--- = ~~2— milihenries/milha
= 0,336 x 10 ̂ h/milha 
= 0,336 milihenries/milha
- Escrever uma série de equações que regem 
as relações da tensão e da corrente nas 
duas linhas condutoras do problema 2-1.
Problema 2-2
Solução;
A equação básica, que relaciona a tensão a 
través de uma indutância e a corrente por 
ela ê
V = L âi
dt
Isto pode ser expandido, para a indutância mútua, para ser
d±i dÍ2
VI = L11 ãt~ + L12 dt”
di]
V2 L12 dt
di.
+ L,22 dt
Para uma função de excitação senoidal, temos 
V = V e^wt
I = I ejwt
dl . T jtot . =
dt = 3“Ie = 3*1
V = jd)L T + (i)T| í1 11 1 Jwlji2 x2
V2= jcoL^ Í 1 + ja>L22 í2
Comentário: Note-se que esta série de equações pode ser
escrita na forma matricial
[v].= j U [l ] [í]
Note-se também, que nesta formulação do pro - 
blema, [í] é a corrente que passa pela indutância e [v] é 
a tensão através da indutância. Na maioria dos problemas 
de sistema de potência envolvendo as linhas de transmissão, 
ê conhecida à tensão fase-terra nas duas extremidades da 
linha.
Portanto,a equação pode ser escrita como
[V] = [va - Vb] = j10 [l ] [i]
Problema 2-3 - Dada a reatância do condutor, ao espaçamen 
to de 1 pê de 0,390 ohms/milha, achar a re 
atância equivalente ao espaçamento de 1 pê 
para um feixe de 2 .condutores com um espa­
çamento de 18".
Solução: * x
O RMG para o feixe de 2 condutores ê 
RMG - /rb
Isto pode ser usado para obter reatância equivalente ao
espaçamento de 1 pé, como:
X — u)K, £n / < a 1 v rb
que pode ser escrito como dois termos,tirando a raiz qua­
drada
X = wK [1/2 en 1/r + 1/2 Hn 1/b] a i
ou
K = 1/2 fco K, Vn 1/r + oo K, ín 1/bl a *- 1 l -1
porem xcon(^= ^K^£n(l/r) ê a reatância ao espaçamento de 1
pé para um condutor simples. O termo restante ê uma medi­
da de reatância, resultante do espaçamento do feixe.
x ̂ =ojK, ítn 1/b = 377*0,3218 x 10_3ín0,666espaçamento 1
= 377*0,3218 x 10-3 x (-0,405) 
= 377*0,130 x 10 ~3 
= -0,049 Ohms/milha
Portanto, a reatância total pode ser escrita como â soma 
destas duas reatâncias, dividido por 2,conforme nota-se 
na fórmula acima.
x = 1 / 2 rx , + X . 1a L cond espaçamentoj
onde
Xcond = ^eatância do condutor 
= wK1 in 1/r
X = reatância de espaçamentoespaçamento ^ v
= o)K1 in 1/b
Xa = [0,390 - 0,130 x ío-3 X 377]
= i [0,390 - 0,049]
= i [0,34l] = 0,171 ohms/milha
Comentário: O efeito de enfeixamento é para reduzir a re­
atância da fase. Se não houvesse efeitos mútuos, a reatân 
cia Xcond seria dividida por 2; porem, conforme está mos­
trado acima, o termo X , que resulta do efeitoespaçamento'
mútuo, modifica o termo xcon( ̂ Esta aproximação geral po­
de ser usada para avaliar os efeitos nos feixes de 2, 3 e 
4 condutores da mesma forma.
feixe de 2 condutores: X =ü)K ina 1
termo do termo do 
condutor espaçamento
-jz = if-V'1 ~^iln b]
/rb
feixe de 3 condutores: X =u)K to 1 1a 1 3
y rb'
(júK irt— ~ - u)K 2£n b 1 KVíG 1
feixe de 4 condutores: X =o)K.a ,enl------5= t U ,1 t e ^ - b 3 4L 1
to---- wK 3í,n/J’bRMG 1
= iL)K.,to— -oK [3 to b+-to2l 4 [ 1 RMG 1 l 2 JJ
Para um espaçamento de feixe de 18", b, o termo de corre­
ção de espaçamento pode ser calculado:
Anb = 0,405 An2 = 0,693
K ^ n b = 0,130 x 10~3 = 0,084
wK £nb = 0,049
Então, os termos de correção de espaçamento são:
Feixe de 2 condutores = wK^Anb = 0,049
feixe de 3 condutores = a)K^2£nb = 0,098
feixe de 4 condutores = a)K^(3Anb + 1/2 An2) = 0,1892
Problema 2-4 - Calcular o RMG de um condutor com raio r, 
presumindo o fluxo de corrente uniforme so­
bre a secção transversal do condutor.
Solução:
A indutância de uma linha de transmissão ê 
(ver equação 1.26)
L = L + L = Jt- ín & +1 interno 2tt r 8tt
(Ver equação 1.26) L = —interno 8ir
Esta equação pode ser separada em indutância resultante do 
fluxo externo ao espaçamento de 1 pé e a resultante do flu­
xo dentro do espaçamento de 1 pê.
L = f- A 2tt n
L
2h + —2 tt
___ / \___■v~externo ao 
espaçamento de 1 pê
O coeficiente do termo
[ ] ,
Vdentro do espaça­
mento de 1 pê
deve ser igual ao An que2tt ^ RMG'
o termo que define a reatância ao espaçamento de 1 pê.
An = An — + -j = An — + An 1,2 84 = An =RMG r 4 r r
£n RMG £n 0,779r
Por isso, o RMG de um condutor com raio r ê:RMG = 0,779r
PROBLEMA 2-5 - Para o circuito descrito no problema 2-1,
achar a tensão induzida no condutor 2,pa­
ra uma corrente de 10.000 A no condu - 
tor 1. Suponha-se que o condutor 2 esteja 
aberto.
Soluçãò:
A.tensão será achada diretamente da equa­
ção do problema 1-2 
V2 = j<oL12í1 + jwL22í2
Porem, se o condutor 2 estiver aberto, ^ = 0, assim serã:
V2 = jwL12 I1
OU
= j 377 * — ^72 x 10~3 x 10.000 volts por
. 0,2535= -j — L— _ x 10.000
milha
7 5^5= j — — volts/milha = j 1267,5 V/milha
Comentário: A tensão induzida no condutor 2 é de 1,27 kV 
por milha. Se a corrente de 10.000 A , no condutor l,fos 
se paralela ao condutor 2 por 10 milhas, a tensão induzida 
seria 12,7 kV.
PROBLEMA 2-6 - Calcular a tensão excitação por milha, no
condutor 1, para produzir os 10.000 A 
do problema anterior.
Solução:
A técnica ê praticamente a mesma que para o 
ultimo problema.
Vi = jo»Ln I 1
=.j 377 * 2,21 x 10-3 x 10.000 
= j 8,33 x 10.000 
= j 83.300 volts/milha
LU
LUcrcrOo
o
LUQ<QCO
o
PROFUNDIDADE, CM.
Comentário: Esta ê a tensão necessária para forçar uma cor 
rente de 10.000 A para a linha de transmissão.
Problema 2-7 - Dada uma tensão excitação de j 83,3 kv nu
ma linha de 1 milha de comprimento, qual 
ê a corrente, se o condutor 2 está ligado 
à terra em ambas as extremidades(V^ = 0)?
Solução;
As equações que descrevem o circuitosão:
a) V1 = jo)L11I1 + jcoL12I2
b) V2 = ja)L12I1 + jo)L22í2 
Resolvendo para I2 em b)
0 = jo)L12I1 + jü)L22í2
= 83,3 kV 
V2 = 0
X2 = '
J12
J22
Substituindo em a)
V1 = [ju>Li;L - jt 
„ 2
<L12)
L22
■^efetiva L̂ll
12
J22
)= (2,21 - (0,336)
A corrente, então, é:
V,
I1 jo)L
= 2,159 x 10 
_ j 83.300
2,21
-3
-)x 10 -3
efetiva j 377 x 2,159
= 10.250 A
Comentário: Quando o condutor 2 está ligado à terra,a cor­
rente no condutor 1 aumenta. Isto reflete-se no cálculo de 
indutância efetiva Lej/ que mostra que a ligação do condu­
tor 2 á terra diminui a indutância aparente do condutor 1. 
Problema 2-8 - Fazer um gráfico da corrente em várias
profundidades, numa superfície plana de alumínio.
Usar f = 60 Hz.
Solução: Usando a tabela I, a profundidade de super-
AN
GU
LO
 D
E F
ASE
 , Q
 , G
RA
US
PROFUNDIDADE, CM.
ficie <5 = 0,0826//f" e para f = 6o, <5 = 0,01068 metros ou
1,068 cm. Para uma densidade da corrente de superfície de 
íq/ pode ser calculada a densidade da corrente em varias 
profundidades.
X
cm x/ô
X
e" 5
. x
G = e 
Graus
0,5 0,468 0,626 -26,8
1,0 1,068 0,344 -61,2
1,5 1,405 0,245 -80,5
2,0 1,875 0,154 -107,5
3,0 2,81 0,060 -161,0
4,0 3,75 0,0235 -215,0
5,0 4 „ 6 8 0,0092 -269,0
Comentário: Note-se que a corrente de fato,inverte numa
profundidade de aproximadamente 3 cm para o caso de 60 Hz.
Naturalmente, se a freqüência tivesse sido mais alta, a in
versão teria ocorrido em menor profundidade.
Problema 2-9 - Avaliar a indutância de um cabo coaxial so
bre a terra. Desconsiderar a resistência dos condutores co 
axiais.
Solução:
Um diagrama do problema ê visto a seguir:
Uma tensão foi aplicada no condutor à terra, 
e a blindagem ê ligada à terra em ambas as 
extremidades. Por essa figura vê-se que uma 
parte da corrente retornara pela blindagem e 
uma parte pela terra. A impedância da corren 
te i pode ser calculada, determinando-se o 
fluxo externo ao centro do cilindro, r. Isso 
ê achado como reatâncias:
T y l 2h
1 2 tt r
A reatância devida à corrente acha-se considerando o 
fluxo externo ao cilindro R e ê:
T = Ü _ p n2 2tt R
Estes são os únicos termos de autoindutância e podem ser 
usados para calcular a autoimpedância efetiva de cada um 
dos cilindros
Quando a corrente flui no condutor externo (presumindo 1^
= 0), a tensão induzida, no centro do condutor, ê igual à 
tensão no condutor externo, ou:
L12 y2 TT £n
2h
R
Quando uma corrente 1^ flui(presumindo I2 = 0), a tensão 
resultante, ao longo do cilindro, e obtida da indutância do 
cilindro coaxial:
L21
O conjunto das equações
2h
R
simultâneas para este sistema, então,
V1 = ̂ ^ Lx I1 + j o) L12 I,
V2 = j “ L21 X1 + j “ L2 X2
sao
se a blindagem for ligada â terra em ambas as extremidades. 
= 0 e acha-se, resolvendo para da segunda equação a-
cima:
L, o
1z
Substituindo na primeira equaçao
V1 =[ j W L1 " jW L
21
L1 2 ] I1
Escrevendo a equação em termos dos in's desenvolvidos acima
2hu r „ 2h ■1 ln — -27 n 2h
y r„ 2h
in— 
„ 2h*j w 27Tí.n — - L r £n R-.
jüJ y2 7TO pj Ix
in éR 1 i R J 11
Vê -se que as indutâncias efetivas do condutor coaxial so­
bre uma terra perfeita são exatamente iguais âs indutâncias 
do condutor coaxial, desconsiderando a terra.
A corrente na superfície externa do condutor coaxial ê da­
da por:
Z2 = “ L
21 in
Z1 = “
2h
R
in2h Z1 = - Z1 R
Assim, conforme sugere a formula da indutância, o retorno 
da corrente para o condutor central é inteiramente na blin 
dagem.
Comentário:
O fato que um cilindro coaxial produz uma blinda 
gem magnética( nenhum campo magnético fora da blindagem) ê u 
sado, freqüentemente, para projetar um equipamento eletrô­
nico. Mas a maioria dos engenheiros de sistemas não iriam 
esperar haver corrente de 60 Hz num condutor coaxial, mes­
mo no caso dum protetor num dado tipo de cabo. Mas os re -
sultados acima parecem mostrar que a blindagem não ê uma 
função da frequência e que e perfeita em todos os casos.
O problema 2-8 mostra que, para produzir blinda­
gem em 60Hz, necessita-se de um material bem grosso. Isto 
relaciona-se, diretamente, com a condutividade do material, 
conforme esta demonstrado na fõrmula da profundidade de su 
perfície. Porem, se qualquer condutor fosse um condutor 
perfeito, a profundidade da superfície seria zero. Entre - 
tanto, ate mesmo o cobre e o alumínio estão longe de serem 
condutores perfeitos em 60Hz. Pode-se interpretar o proble 
ma do condutor coaxial mesmo mais detalhadamente. Quando a 
freqüencia ê alta, tal que a espessura de blindagem ê de 
varias espessuras de profundidades de superfície, então o 
condutor coaxial iria proporcionar blindagem magnética. As 
sim, a maioria de quaisquer condutores coaxiais iria pro - 
porcionar blindagem magnética em freqüencia de radio. 
Problema 2 - 1 0 - Incluir a resistência no condutor coa­
xial do problema 2-9 e avaliar o pro - 
blema da blindagem magnética.
Solução:
A resistência do condutor central . R , e a' c
resistência do condutor de blindagem podem 
ser incluídas, pelo menos de uma maneira a- 
proximada, quando tratamos cada indutância 
como uma impedância, Z=R+jX. Então, a equação 
correspondente ê:
Z1 R +c
2h
r R + jco [ ~ lnL2 TT ü
2h
R
+ P27 Zn — ] r J
= R +c
onde
X =c
+ jx.
reatância
jOJ Zn2 7T
reatância
externa
2h
R
coaxial
y „ R nco ■£— £n — J 2 tt r
Z~ = R + jcú í,n = R + jX 2 s J 2ir R s J e
Z12 = Z21 ■ 0 + 3“ 17 Ir * 0 + 2Xe
Portanto, a corrente na blindagem pode ser calculada como: 
Z.
X2 Z
12
-1! = - R
J X 1-- Ê-— I = - 1+ JX ^l Ri . s
1_DX"e
'1
Comentários sobre corrente na blindagem: Para esta equação 
vê-se que a corrente na blindagem é -1^, quando R^/X^ ê pe
quena. Em altas freqüências , isto seria o caso, visto ser 
0
proporcional â freqüencia.
A indutância efetiva total pode ser novamente calculada, u 
sando-se a formulação da impedância(Z) das quantidades.
Z12 ,V1 = CZ1 - Z2 21
] I, = Tr + jX +jX - D J 1 L c c J e R
(jxe)
+ jxs J e
ou
Z _ = R + jX + jX - jX (- ef c J c J e J e
1 + j X
Aqui vê-se novamente que, se X^ for grande, a reatância ex
terna éretirada,e a reatância total ê exatamente igual â 
reatância coaxial. Esta equação pode ser ainda mais simpli­
ficada para:
Zef Rc + jx + Rs
1
1 +
e
Vê-se que para X^ grande, a resistência de blindagem ê adi­
cionada à resistência do condutor, para formar a resistên­
cia efetiva total.
Comentário: Deste problema pode-se fazer uma boa idéia de 
como a blindagem ê influenciada por resistências de condu-
tor. Isto podia ser expandido, inclulndo-se o termo de re­
sistência da terra, R^, que poderia ter sido somado a ca­
da termo Z^, e zi2' clue ter:*-a um tanto complicado os
resultados. Pode-se ver, facilmente, porque o conceito de 
blindagem magnética ê mais pratica para os problemas de al 
ta freqüência e porque não se pode contar com a blindagem 
magnética nas freqüências de potência.
Ha mais outros aspectos deste problema que são 
importantes para os engenheiros de sistemas. Por exemplo: 
que problemas podem ocorrer nos cabos do sistema de contro 
le nas subestações de potência, ou na instrumentação para 
os testes de campo dos sistemas de potência, ou quanto efe 
tivas são as blindagens coaxiais nesta instrumentação? A 
interpretação deste problema serã discutido com referência 
à figura no problema 2-9.
Note-se que a blindagem efetiva do cabo foi re­
lacionada âs resistências da blindagem e à indutância externa, . 
Entretanto, a indutância externa ê uma função do circuito completo com 
a terra, ou ãrea de corte transversal entre o condutor coaxial e a 
terra.
Assim, vê-se que qualquer caminho paralelo, por 
perto,cuidara de reduzir e de permitir que flua mais cor­
rente para fora da blindagem. Também,especialmente durante 
a instrumentação de teste de campo, ê desejável minimizar o 
circuito completo da terra, tendo em vista que qualquer cor­
rente externa, tal como a corrente de falta ou corrente de 
surto (de sobretensão) numa linha adjacente, pode produzir 
uma alteração no fluxo nesta malha completa. Isto faria u- 
ma corrente de malha fluir.Enquanto esta corrente de ma­
lha não acoplar uma tensão induzida no condutor do centro 
do cabo coaxial, e a tensão IR cair ao longo da blindagem, 
estaria em série com a instrumentação e aviltaria os re­
sultados. Também, se a blindagem, por si mesma, se tornas­
se um caminho escoante de corrente para alguma corrente, 
qualquer queda de IR, ao longo da blindagem, estaria em sé­
rie com as leituras dos instrumentos.
CAPITULO
NOTAÇÃO MATRICIAL E CIRCUITOS EQUIVALENTES
I. INTRODUÇÃO
Na maioria dos problemas práticos de linha de 
transmissão, que envolve mais de uma fase, ê conveniente u 
sar as técnicas matriciais. O uso de matrizes ê de conve - 
niência particular quando forem usados computadores digi­
tais na solução dos problemas, mas, enquanto numericamente 
os métodos matriciais são proveitosos, não ê sempre obvio co­
mo efetuar alguns problemas físicos em termos de matrizes. 
Em tais situações ê, muitas vezes, conveniente usar uma a- 
proximação de circuito equivalente, pois os engenheiros e- 
letricistas estão acostumados a pensar em termos de circui 
to e, devido a este costume, a descrição matricial do pro­
blema pode ser desenvolvida a partir de circuitos equiva - 
lentes. Isto ê, se este problema puder ser efetuado num 
formato de circuito equivalente, deveria ser possível con­
verter a aproximação num formato matricial. Para fazê-lo , 
torna-se necessário compreender, claramente, a relação en­
tre as matrizes e os circuitos equivalentes. A ênfase, nes 
te capítulo, ê para mostrar a relação entre matrizes de li 
nha de transmissão e os circuitos equivalentes.
II. APRESENTAÇÃO DE MATRIZES DE LINHAS DE TRANSMISSÃO
As relações matriciais, fundamentais para a indutância 
de linha de transmissão, foram desenvolvidas no capítulo 2 (Problema 
2-2). Chegou-se a esta formulação matricial através da apresentação 
de equação simultânea de linhas de transmissão
di
vi = Ln ar
di.
+ L.12 dt (3.01)
IICN>
di. di2 
L21 dt + L22 dt
e na notação fasorial
^“Lll + -*wL12 ^2
(3.02)
ro II jU)L21 + jü)L22 X2
o que pode ser escrito, em notação matricial, como
[V] = j“ [ L ] [ í 2 (3.03)
onde
L11 L12
[L] =
_L21 L22_
[v] = ê uma matriz coluna 
dos f a sores de tensão
[I] = ê uma matriz coluna 
dos fasores de corrente
Deve ser, aqui, evidente que a formulação matricial não 
se restringe ao problema de dois condutores, mas pode ser 
usada para um sistema de N condutores. Alêm disso, e conve 
niente reduzir a formulação da indutância ainda mais.
[l] = Kx [a] (3.04)
onde Aii =
2h.
£n — — (Onde d. . é a 
ri ^
distância de i â imagem
de j )
d! .
A. . 13 £n
13d . . ‘ ij13
(d.. e a distân­
cia de i a j)
NOTA - O valor de K4 estâ avaliado no problema 1-3.
Portanto, a equação matricial de tensões pode 
ser escrita como
Essa forma matricial da equação de tensão relaciona a ten­
são com a corrente em uma linha de transmissão, onde foi 
considerada a indutância (presumiu-se que as perdas eram 
nulas). A resistência do condutor pode ser, aqui, incluída 
como uma matriz adicional,e a equação serã semelhante ao 
caso do condutor simples.
[v] = [R] [í] + j [XL] [I] = [z][i] (3.06)
onde
[z] = [r] + j [xL]
Para uma terra perfeita e uma única resistência de condu­
tor, a matriz [r] serã uma matriz diagonal.
(Para o caso de dois condutores) [R] =
Onde = resistência do condutor 1
C2 = resistência do condutor 2 
Mais tarde serã demonstrado que as perdas resultantes duma 
condutividade de terra não perfeita produzem longos termos 
diagonais na matriz [r] #- que são diferentes de zero.
As demais discussões sobre a equação de indutância 
seguirão mais tarde neste capítulo, mas, nesse ponto ê con 
veniente apresentar a forma matricial da capacitância, ou 
o coeficiente potencial para a linha de transmissão. Esta 
discussão refere-se à seção IV do capítulo 2. As equações 
simultâneas, para uma linha de dois condutores, podem ser 
escritas como na equação 2.26.
RC1 0
0 • R,C2
V-, = P11 12
(3.07)
V 2 21
Lembrar-se aqui
ql + P22 q2
, que V-̂ e são tensões de corrente con­
tínua, mas estas equações podem ser convertidas em equa­
ções de corrente alternada, diferenciando-as em relação ao 
tempo.
ãV1 dqx dql
dt P11 dt + P12 dt
dV2 . i—1
U1T3 dq (3
dt - p ------21 dt + P ---22 dt
o que, quando se equaciona ã corrente e usando anotação 
fasorial, dã:
V =--2- P í - 2 p J
1 w 1 1 1 to 12 2
V =-- P í - í P I V2 w 21 2 w 22 2
(3.09)
Esta equação pode, então, ser escrita na forma matricial ocmo:
- } W P ]
Onde (3.1o)
[V]
[p] =
coeficiente do potencial pode ser escrita como:
P11 P12
P21 22
equação 3.04
M = b M (3.11)
onde A.. . ln fü iii r .í
id. .
A . . = Zn 1
15 dü
Nota: o valor do foi calculado no problema 1-3.
Aqui pode-se ver a estreita relação entre as equações da 
indutância e da forma do coeficiente do potencial.(Ref. à 
equação 3.05)
K ’ - ^ M n - - j W F]
(3 .12)
A forma de capacitância da equaçao pode ser deduzida da e- 
quação monofãsica para capacitância
I = j 03 CV
Na forma matricial, pode-se obter esta forma multiplicando 
os dois lados pelo inverso do coeficiente de I
[I] = jwK2 [aJ_1 [Vj (3.13)
Por isso, pode-se ver que a matriz da capacitãncia ê
[c] = K2 [a ]-1 (3.14)
e uma observação importante ê que a matriz da capacitãncia 
ê a inversa da matriz [a] .
Geralmente, as perdas de admitância não são 
consideradas nas linhas de transmissão aérea, mas elas po­
dem ser incluídas na formulação da matriz, como a matriz[g]
[I] = fG] [Vj + jwK2 [AJ ~ 1 [v] = [Y] [V]
(3.15)
011(36 M = [6] + ju> [C]
A. Interpretação da Matriz Z
A matriz Z dã a relação entre a corrente circu 
lante e a tensão, através dos elementos indutivos de uma 
linha de transmissão. Isto pode ser traçado num esquema , 
conforme mostra a figura 3.01.
Aqui Figura 3.01
W - [Vb] - [*] p]
A caixa, rotulada com [zj, ê uma notação simbólica que de­
clara que hã uma relação de matrizes entre a corrente e as 
tensões. Se for considerado um caso de dois condutores, po
de-se esboçar o circuito mais graficamente.
Vb1 Vb2
Figura 3.02
Nesse caso, o termo de reatância mutua, M, ê considerado 
pelos termos fora da diagonal da matriz. Isto pode ser vis 
to mais facilmente, considerando o caso onde não se encon - 
tra presente um acoplamento mutuo, por exemplo, quando os 
dois condutores não são paralelos, ou melhor, vão em dire­
ções diferentes. Para esse caso; L.^ = 0 e
0
L22
ser resolvido como duas equações indepen - 
— j toL̂ ̂ 1^
V2 = jwL22 *2
o que é exatamente aquilo que seria determinado pela equa­
ção matricial (3.02).
Porem, quando os efeitos mútuos estão incluí­
dos, a corrente num condutor produz uma tensão longitudi - 
nal ao longo do outro. Conhecidas as correntes em cada con 
dutor, pode ser calculada a queda de tensão, através das 
indutâncias. Por exemplo, se ê sabido que a corrente 
flui no condutor 1 e que a corrente nula flui no condutor
O problema pode 
dentes
2, pode-se calcular a queda de tensão em cada um. Num caso 
pratico, isto seria a situação para uma falha no condutor 
1, com a corrente de uma carga no condutor 2. Poder-se-ia 
presumir que a corrente de carga fosse desconsiderãvel e 
colocá-la igual a zero.
V1
= jw
L11 L12 Z1
V2 i—1CN
^__1 L 22
0
Multiplicando as matrizes, obtêm-se:
Vx
V2 = j“L12 *1
Neste caso vê-se que a corrente no condutor 1 ê determina­
da somente pela tensão no condutor 1 e a impedância do con 
dutor 1. A tensão no condutor 2 ê determinada somente pelo 
termo de impedância mútua. Naturalmente, isto somente acon 
tece quando não flui corrente alguma no condutor 2. (Note- 
se que esses resultados da matriz são os mesmos que aque­
les obtidos nos problemas 2-5 e 2-6).
Conhecida a tensão através das indutâncias e se forem 
requeridas as correntes, torna-se necessário achar o inver 
so da matriz Z.
[V] = M [I ]
Pré-multiplicando ambos <ç>s lados por [z] -1
(3.17)
( Z inverso )
[i] -■ o r 1 !}] (3.18)
Geralmente, a inversa de uma matriz, especialmente para o 
caso de grandes matrizes, exige procedimentos numéricos e£ 
peciaisnos computadores digitais. A inversa de uma matriz 
2x2 ê apresentada no problema 3-1.
Os termos de impedância mutua, na matriz QzJ, foram 
fisicamente avaliados acima, considerando a impedância mü-
tua como uma medida da tensão no condutor 2, dada uma cor 
rente no condutor 1. A matriz inversa tem dimensões de 1 / 
ohms e âs vezes é chamada de matriz de admitância. Os ter 
mos de admitância fora da diagonal podem ser considerados 
como uma medida da corrente nos condutores adjacentes, li­
gados â terra, quando o condutor 1 tem uma tensão aplicada 
V^. Considere-se a inversa da matriz da impedância de 2 
condutores( usando o problema 3-1 ).
jaj (Ln L22 - l 12}
L22 L12
'L12 L11
(3.19)
Para uma tensão no condutor 1, com o condutor 2 ligado ã 
terra ( = 0 ), as correntes resultantes serão:
h =
22
:------------- — v1
j“ (Ln L22 ~ l12 ) (3.20)
— L12
1 2 = ----------------------- 2----- V1
j“ <LllL22 - L12 >
Note-se aqui que a impedância, vista no condutor 1, ê:
Z (L11L22
J22 (3.21)
Comparando os resultados do problema 2-7, torna-se eviden­
te que as duas aproximações ao problema dão o mesmo resul­
tado. Porem, no exemplo aqui apresentado, a corrente no 
condutor 2 é oposta àquela no condutor 1, o que estã de a- 
cordo com a lei de Lenz1s .
B. Interpretação da Matriz Y
A matriz de capacitância pode ser interpretada 
matemãticamente, da mesma maneira como a matriz de impedân 
cia, porque a matemática ê a mesma. Porém, alguns aspectos
físicos do problema podem ser brevemente revistos. Para os 
fins aqui propostos, a matriz de admitância serã:
-1
[y] = j<o[c] = juK2 [A]
[I] = M [V] (3.22)
0 termo de admitância tem as dimensões de 1/ohms e 
pode ser considerado como o caminho em paralelo à terra.
Figura 3.03
Conforme esta mostrado na equação (3.22), essa admitância 
poderia ser representada como uma rede de capacitorés liga 
da entre os condutores e a terra. Para o caso de dois con­
dutores, isto pode ser mostrado como:
Figura 3.04
Neste qitótiiÊÒ^físico pode set que* sefcdô ^c&jihecida a
tensão num condutor, a tensão num condutor adjacente pode 
ser achada pela divisão da tensão que ocorre na capacitân- 
cia entre condutores e capacitância fase-terra.
C . Consideração Simultânea sobre a Capacitância da Linha 
e a Indutância em Problemas Polifásicos
Em muitos problemas monofãsicos ê conveniente cons 
truir uma rede de impedâncias e depois resolver o problema 
usando conceitos de rede, antes de uma formulação matemãt:L 
ca completa do problema, usando somente fórmulas. Isso é 
um guia para a organização do problema, segundo um ponto 
de vista, e, portanto, é ütil. A mesma técnica pode ser u- 
sada nos problemas polifásicos, mas, neste caso, devem ser 
observadas as regras de manipulação de matrizes.
Por exemplo, considere-se o problema monofãsico de 
achar a tensão na extremidade aberta de uma linha de tran£ 
missão ( V1 ê dada, achar ).
Z
Figura 3.05
 solução pode ser achada pelas impedâncias? característi - 
cas, ou escrevendo ^a equação de tensão do circuito. O se 
gundo método será usado aqui.
V1 = < 2 + | > 1
e
i
(3.23)
A tensão através da capacitância ê
V 2
\T•']
ZY
2 + 1
IV1
Para o caso sem perdas
. . 2ZY = ]uL x DwC = - w LC
Por isso,temos
(3.24)
1 - ■■o2LC
V, (3.25)
Ademais, usando-se os conceitos gerais desenvolvidos no ca 
pítulo 3, esta equação pode ser reduzida para 1
V,
V.
1 1 2 o21 - Lú }) £ i (3.26)
onde l = comprimento em metro 
No problema matricial,a técnica ê parecida
Figura 3.06
A equação é escrita da mesma maneira |
M ■ H M + 2
[vi ] - < & ] ♦ * w S u
= 0
Resolvendo [i]
Ei] = [z] + 2 [y]
-1 -1
NOTA: AB 1 = N
B_1 = A 1N
= BA 1N
BA 1 = N _1
(3.27)
[b a _1]= N
A tensão ® achada da corrente e da admitância
[ v 2] - 2 M _ 1 [ i ] = 2 & ] " 1 M + 2 M " 1
(3.28)
Movendo o [yJ ̂ para dentro do parênteses, muda-se a ordem 
de multiplicação
DO + W -í [VJ (3.29)
onde [l] = matriz identidade 
Normalmente, no caso de matrizes, isto é exatamente tu­
do quanto se pode fazer para simplificar os resultados, po 
rêm, no caso de uma linha sem perdas sobre uma terra per­
feita, podem ser feitas outras simplificações, usando as e 
quações ( 3.04 e 3.14 ).
M M - - »2 M [c> - » \ k.2,2 M [ a ]'1»
[z] [y ] - ” ̂ K1K2̂ . (3.30)
onde £ = comprimento de linha em milhas 
K1K2 = y£ ̂ Ver Pr°t)lema 1"3 )
Por isso, a equação (3-29) torna-se
1 (3.31)
Aqui, a elevação da tensão em cada condutor é independente 
de todos os outros condutores, mas é igual em todos os con 
dutores. Isto não ê completamente surpreendente, porque o 
caso monofãsico mostrou que a elevação da tensão foi somen 
t ' uma função do espaço (ye), do comprimento (£) e da fre- 
qüência (co) . Não havia fator para a geometria.
um resultado similar. Isto ê, não hã influência da geome­
tria que ê o único fator que poderia definir a inexistên­
cia de múltiplas fases no problema. Em geral, o problema 
não pode ser muito simplificado, porque as perdas da terra 
providenciarão influência bastante para introduzir algum 
fator de "geometria" e, portanto, farã a elevação de ten­
são, em cada fase, um tanto diferente.
III. REPRESENTAÇÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE DAS LINHAS'-DE TRANSMISSÃO
cias pode ser feito dè uma linha de transmissão. Geralmen­
te, isto não ê difícil para uma linha bifãsica, mas, para 
mais de duas fases, em geral são exigidos transformadores. 
■Porém, para avaliar os conceitos, mesmo os circuitos sim­
ples, ou aproximadamente equivalente são proveitosos.
A. O Circuito Equivalente ( Indutivo )
Em caso de circuito polifãsico sem perdas, acha-se
Um circuito equivalente de indutâncias e capacitân-
Um circuito equivalente bifãsico, para a parte indutiva 
da linha, ê:
Lb
Figura 3.07
Os elementos deste circuito são normalmente chamados de
indutancia de linha (L , L ) e de indutância de neutro oua d
de terra (L ). O relacionamento entre esses valores e os n
valores da matriz correspondente pode ser achado pelas con 
dições forçantes, nas matrizes que produzem os resultados 
desejados. Primeiro, na figura 3.07 para V = - e Ia =
-1^, então In = 0 e
Va V, 2V = juj(L +L, )I = jw2L I. a a d a ac
Presumindo L = L, a b
(3.32)
j 0)1, = L
Usando as equações matriciais 
ma, obtêm-se:
(3.02) para as condições aci
~ V “a h i L12 jo>Ia
-Va L21 L22 — j 0) I J a (3.33)
'Va = - (L22 - L12>
Por isso
V
j 031 _ L11 L12
L11 " L12
(3.34)
Correspondentemente, aplicando somente uma 
tensão no condutor a, e mantendo, por isso, a corrente do 
condutor b a zero, o circuito equivalente dã:
L„ = L + L £-n a n
e da equação (3.02) obtêm-se:
V
V,
L11 L12
L21 L22
j 0)1.
(3.35)
:3.36)
Por isso
a J 11 a
V
= = T
‘ln jwl 11 (3.37)
Equacionando (3.35) e (3.37) e substituindo pelo 
uso da equação (3.34), obtêm-se:
ou
1—1 1—1 = La
■—1 1—1 li tr
1
i—j
L = L, ̂n 12
n
(3.38)
As equações (3.34) e (3.38) podem ser usadas para calcular 
os componentes do circuito equivalente, usando-se as equa­
ções desenvolvidas nos capítulos 1 e 2.
B. Circuito Equivalente (Capacitivo)
0 circuito equivalente, para a parte capacitiva 
do circuito, é deduzida de uma maneira semelhante. 0 cir­
cuito equivalente, usado neste caso, é mostrado na figura 
3.08.
Cl
Figura 3.08
Primeiro, para a tensão igual e oposta em cada condutor, 
circuito equivalente dá:
Ceq (3.39)
o
Da apresentaçao matricial
Ia caa Cab jo)V ~ J a
-Ia Cuba Cbb - j o)V- a-
[ = i a (Caa - jwVa
(3.40)
A capacitância efetiva é achada como :
I
I___ = i ir - r \ (3.41)eq a .= i (o - C ) . 2„ 2 1 aa at>ja) V.
Equacionando (3.39) e (3.41), obtém-se 
C .
cn + = 4 (C - C . )1 2 2 clcl clD
2C-. + C = C - C , 1 o aa ab
(3.42)
(3.43)
Para as tensões iguais nos dois condutores, a impe - 
dância efetiva à terra ê
C = 2C eq o (3.44)
As equações matriciais mostram
abI_ = (C + C J jwVa aa
e a capacitância efetiva ê
C = 2 (C + C , ) eq aa ab (3.45)
Equacionando as equações (3.44) e (3.45), obtêm-se 
C = C + C , aa ab (3.46)
Usando esta relação na equação (3.43), obtêm-se
+ C U = C - C , ab aa ab2C, + c1 aa
C, = - c1 ab (3.47)
Os resultados das equações (3.46) e (3.47) podem 
ser usados para calcular os valores das constantes do cir­
cuito, das equações desenvolvidas nos capítulos 1 e 2.
Problema 3-1 - Achar a inversa de uma matriz 2x2, por meios
algébricos.
Solução; Imaginar uma matriz de forma 
[v] = [m] [Ij V1 - aIl + bI2
V2 = olj ♦ dlj
Resolver a segunda equação para I.
i . Ia - £ i2 d d l
Substituindo na primeira equação
V n a I, bcT + §v01 d 1 d 2
b
V2
ad - bc T
d d xi
Resolvendo 1^, obtém-se
h - 5 d - ^ E 5 (dvl - bv2>
Por um procedimento similar, I2 pode ser achado 
1
*2 * ad - bc < V1 + a V2>
A forma matricial da solução ê,
[i] = [m] _1[v] I]-
então:
1
ad - bc 
1
ad - bc
(d V1 ~ b V 2) 
(- c V ^ aV2)
assim
M
4 -b
-c a
Comentário;
Desse exercício, torna-se evidente que o processo de 
inversão ê equivalente ao processo de usar a álgebra para 
resolver um jogo de equações. Para o caso de uma matriz de 
2x2, vê-se que a inversa ê, justamente, aquilo que teria
sido obtido da regra de Cramer, usando o co-fator sobre a 
determinante.
Determinante = A = ad - bc
Problema 3-2 - Considerar as equações exatas para um fei
xe de 2 condutores.
Usar as equações simultâneas, para desen­
volver a formula do condutor de feixe.
Solução: O conjunto de equações simultâneas, que
descrevem o problema, são
V1 = jü)L11I1 + jcoL12I2
V2 = ju>L12I1 + jwL22I2 
Para os condutores enfeixados
Vl = V 2 = V e I l = I2 = í e Ln = L22
Por isso, de qualquer das equações
T7 . ,Ln + l 12;tV = 3 üj (---- S---- )I
A indutância efetiva do feixe ê
Lb =
L11 + L12
Os termos de indutância podem ser escritos para dar
Lb &n
d
b
onde b ê o espaçamento condutor
Se d = 2h
T _ l,y ,0 (2h)L, - tt — ) £n----b 2 2tt' ra
2h
/ ra
Problema 3-3. Para dois condutores sobre a terra, determi 
nar qual ê a queda de tensão, que ocorre ao 
longo da terra, resultante de uma falha a 
terra num condutor.
Solução; Usar o circuito do condutor equivalente com 
uma fonte de 60Hz ligada numa extremidade. 
Presumir que o condutor aberto esta ligado 
ao neutro de um gerador.
La
Ccmd. 2
Cond. 1
CURTO À TERRA
A corrente i é
í = V V
ju(La+ V jü)(Lll " L12 + L12'
__V_
j coL11
A queda de tensão ao longo de Ln é
Vn -jwL i = T J n L
n V =
11
12
J11
V
Note-se que a tensão entre o condutor 2 e a falha ê V .^ n
Comentário:
Parece que a queda de tensão em relação a terra ê uma 
função dos espaçamentos dos condutores, mesmo quando um 
condutor não carrega corrente. De fato, este ê o caso por­
que, aqui, o condutor 2 ê usado como uma sonda de medida 
para medir a queda de tensão. Nesse caso, o método de medi 
ção influi na medida.
A queda indutiva na terra é importante nos problemas 
de sistemas trifãsicos de potência, porque este é, justa - 
mente, o efeito que produz a mudança do neutro durante as 
falhas de linha à terra. A mudança do neutro ê importante 
na aplicação de centelhadores atmosféricos.
Problema 3-4. Fazer uma projeção gráfica -da tensão no pro 
blema 3-3.
Solução: A tensão do condutor 2 â terra poderia ser 
medida experimentalmente. No gerador, a ten 
são seria zero porque o condutor está liga­
do ao neutro do gerador.
Quando se move mais para o gerador, a ten­
são ê maior por causa da queda de tensão 
por L^. Isto pode ser mostrado graficamen­
te .
Comentário:
Desse ponto de vista do circuito equivalente, a ten^ 
são resulta de uma queda de tensão â terra. Mas, de um pon 
to de vista de matriz, que ê o caso físico verdadeiro, hã 
uma queda de tensão no condutor 2, devido a uma corrente 
no condutor 1. E bom lembrar que o circuito equivalente 
foi suposto ( imaginado ) e não mostrado ser correto. Isto 
foi revelado como método útil para se obter respostas cor­
retas, fazendo simulação análoga de uma situação física.
Um modelo análogo proporciona um modo fácil de pen 
sar sobre muitos problemas, mas ê necessário lembrar-se 
que, se o modelo produz respostas diferentes das técnicas 
matriciais, estas são provavelmente corretas.
Problema 3-5.
Usar as técnicas de circuito equivalente, para compa 
rar a indutância para um sõ condutor sobre a terra, com 
dois condutores sobre a terra. Presumir que o par de condu 
tores estejam ambos da mesma altura que o condutor simples 
e que os raios dos dois condutores sejam iguais.
Solução:
A indutância de um simples condutor sobre a 
terra ê
L = £n — h/metro 
2 tt r
A matriz da indutância dos dois sistemas de 
condutores ê
L 11 L 12
L 12 i—1 rH
4
onde
T = ULil 2tt
y
L12 2tt
2h
r
d
£n 12
l12
Note-se que a indutância do condutor simples sobre 
a terra ê idêntica aos termos diagonais do sistema de dois 
condutores. O circuito equivalente do sistema de dois con­
dutores ê mostrado a seguir.
L11 “ l 12
-------------------- n n m n n n n -------------------- c o n d u t o r 2
L11 “ l 12
— — r^ n m m n p — ---------------- co nduto r 1
L 12
a in m n ríp .... — n e u t r o
O circuito equivalente de um condutor, com o retor*=t 
no da terra, é obtido diretamente do circuito equivalente:
L = L11 - L12 + L12 = L11
Isto ê justamente a indutância de um só condutor so 
bre a terra. Então, a solução do condutor simples serã pre 
cisamente a mesma que de um condutor do sistema de dois 
condutores, para a condição de não haver fluxo de corrente 
no condutor 2. Essa restrição ê aplicada no circuito equi­
valente, pelo fato de não ligar o condutor 2 ao sistema,em 
ponto algum, para que a corrente não possa fluir. Se fosse 
possível ligar um voltímetro de uma extermidade do condutor 
2 â outra, a tensão poderia ser medida.
Esta tensão seria igual a
V = j I üjL J 1 12
que ê a tensão induzida ou acoplada no condutor 2. Se este 
voltímetro fosse ligado ao circuito equivalente não se pode
CONDUTOR 2 
CONDUTOR 1
/ / / n / 1 / / / / / /
ria medir tensão alguma. Isso indica o erro no circuito 
equivalente. Essa tensão mutua esta efetivamente incluida 
como uma impedância de neutro no circuito equivalente. Assim 
sendo, se o circuito equivalente for usado com cuidado, po 
der-se-ia obter uma resposta correta. Os resultados dos 
problemas 3-3 e 3-4 são corretos e foram obtidos do circui 
to equivalente, primeiramente, porque uma extremidade do 
condutor 2 foi ligada no sistema e porque foi aplicada, no 
problema, a interpretação correta.
Comentário; * 1 2
Dois fatos importantes, que devem ser apreendi - 
dos deste problema são;
1 ) Pode haver uma queda, ou uma elevação de ten
são ao longo de um condutor, quando não hã 
corrente fluindo. Isto não ê verdade numa 
rede de impedância concentrada,mas pode ocor 
rer quando transformadores estiverem presentes 
no circuito.
2 ) Quando, num problema complexo que inclua im-
pedâncias mútuas, não ê evidente que o cir­
cuito equivalente possa ser obtido por ins­
peção ou por prévio conhecimento, é necessá­
rio testar a resposta utilizando as equações 
matriciais.
Problema 3 - 6 Determinar a indutância efetiva de dois 
condutores ligados em paralelo, entre a 
fonte de tensão e o curto de duas fases â 
terra. Usar o método do circuito equiva­
lente.
Solução; O circuito equivalente, para o problema
acima, ê:.
Para os condutores em paralelo, a indutância do circuito 
completo ê:
Leq + L12
+ L12
1
2
+ L12 )
Comentário:
Esta solução mostra que a impedância efetiva 
de dois condutores em paralelo não ê igual â 
metade da autoindutância de um condutor, mas 
queNê um pouco acrescida pela indutância mü-
X
tua entre os dois condutores.
A interpretação física deste aumento na impedân­
cia, devido aos efeitos mútuos, resulta do fato que uma 
corrente no condutor 1 produz uma queda de tensão no condu 
tor 2 e vice-versa. Esta queda de tensão produz um efeito 
idêntico a uma impedância nesse caso.
Problema 3 - 7
Repetir o problema 3-6, usando a aproximação 
da equação matricial.
Solução: A impedância equivalente dos dois condutores
em paralelo, que pode ser achada usando-se 
as equações de um sistema de dois condutores, 
a partir das equações (3.2), é:
- -
V L L , j Ia aa ab J a
vb L . * L_ ab aa H l_H
!__
_
As restrições no problema são que -V^
■̂ T - ~e I = 1 = — , onde V e a tensão a terra paa b 2 T✓
ra o par de condutores; IT é a corrente total 
e presume-se que Ia = 1^ e que a impedância 
seja:
Z = ^ eq IT
A impedância de entrada é a tensão dividida 
pela corrente total.
VT " jwLaa ~T + j“Lab T
VT ~ 3“Lab T + 3“Lbb T
Usando a primeira das equações acima
VT - (j»Lab + j-L^l T
7 - ^ 1
Jeq jü>IT 2 L̂aa + Lab^
Comentário:
A indutância obtida, usando a equação matri­
cial, ê idêntica àquela que usa o circuito e- 
quivalente no problema 3-6.
Problema 3-8.
Considerar um sistema de dois condutores com 
uma tensão aplicada num condutor. Achar a ten 
são num condutor adjacente que esta desaterrado.
Solução:
O circuito equivalente, com uma tensão no con 
dutor 1, ê mostrado a seguir.
A tensão no condutor 2 acha-se mais facilmen­
te imaginando-se os capacitores como impedâncias e calcu - 
lando-se a distribuição da tensão através de c^ e C .
Assim, a tensão no condutor 2 é,
X c_________ y — ___X , + X ' 1 1cl CO ___+ L - " 1
C1 Co
V, = c + c, vi 'o 1
Usando as equações (3.46) e (3.47), obtém-se:
- C
V. ab
- C
-c , + c + C 1_ /V1 c’ =
ab V,
"ab "aa ab aa
A expressão acima satisfaz quando a matriz de ca 
pacitância ê conhecida. Quando a matriz de capacitância ê 
desconhecida, ê desejável ter o resultado em termos da ma 
triz dos coeficientes de potencial. Esta matrizéo inver­
so da matriz de capacitância. O inverso da matriz 2x2 pode 
ser achado usando-se o problema 3-1.
Caa
Paa
A "ab
-Pab
A
Portanto
A aa P
2
ab
Portanto
- Cab -( -
abx
ab
aa aa aa
V 2 - ^ V]
aa
Comentário:
A tensão capacitiva acoplada num condutor não li­
gado â terra, que resulta de uma tensão no condutor 1, po­
de ser facilmente determinada da razão dos termos de coefi 
cientes de potencial. A proporção
P 
• P
ab
aa
Cf
é referida como coeficiente de acoplamento. Note-se aqui, 
que o coeficiente de acoplamento pode ser determinado pela 
relação dos termos logarítmicos
' ab
aa
1
2 ir e Jln
ab
1 Kab
£n ab
Jab
2 tt e £n
2h „ 2h £n —
Problema 3-9
Solução:
Para avaliar a capacitância do condutor 1, 
quando o condutor 2 estiver aberto, usar o 
método do circuito equivalente.
A capacitância de um condutor sobre a terra 
pode ser obtida do circuito equivalente
'eq.
----------- 1
— Co .C0
C, C
r = q + __i___2.eq o C, + C1 o
Usando as equações (3.46) e (3.47)
O 0 II c +aa C ,ab
C1 = Cab
IItJ10)
u C + aa C , + ab
= C + aa C , -ab
(- Cab) (Caa + Cab > 
Caa + Cab " Cab
Cab (Caa + Cab)
aa
Esta capacitância equivalente pode ser avaliada usando-se 
a forma de solução de coeficientes de potencial. Isto re­
quer que se tome o inverso da matriz de capacitância, para 
obter o P, ou a matriz dos coeficientes de potencial. O inver 
so ê obtido com o uso das equações do problema 3-2
aa
aa
"ab
ab
A = Paa - Pab
- Pab
ab A ab
Caa Paa
A
Paa
Ceq
Paa
A _ PabA aa
P2aa - pab 1
-P Aaa " Paa
aa abx
= Ceq
Comentário :
Ê significativo observar aqui que 1/P. ê justaaa •
mente igual â capacitância efetiva de um condutor isolado 
para a terra. No cálculo acima, apõs uma porção bem consi­
derável de álgebra, a capacitância equivalente â terra ê 
justamente igual à capacitância de um condutor sobre a ter 
ra, com outro condutor que não estã presente. Mas isto é 
justamente o que se deve esperar. Se nenhuma corrente ou 
carga pode fluir no condutor 2, este condutor não pode mo­
dificar a capacitância do condutor 1.
Ê importante, justamente, compreender como pode 
haver tensão no condutor 2, se não flui carga alguma no 
condutor 2. O fato do condutor 2 estar no campo elétrico 
produzido pelo condutor 1 é que resulta neste fenômeno. O 
campo elétrico ê um campo contínuo e qualquer condutor iso
lado neste campo assumira a tensão do campo elétrico. Se o 
condutor for ligado a alguma outra parte do sistema, a car 
ga iria fluir no condutor, modificando o campo e, assim mu 
dando a capacitância efetiva do condutor 1.
Problema 3-10. Repetir o problema 3-9, usando equações ma 
. triciais.
Solução; Das equações (3.11) e (3.14) acha-se
Va Paa Pab Qa caa Cab
-1
Qa
Pab Pab Qb C , ab Cbb _Qb
Se uma fonte de tensão estiver ligada ao
condutor "a", pode fluir uma corrente I noa
condutor "a", enquanto 1^ = 0. A corrente 
1^ = 0, porque não fluira corrente alguma 
no condutor "b", se não houver caminho li 
gado para esta corrente. Portanto
"jwva- ~P P "aa ab ~Ia
P P _ ab bb_ o _
i ü)V = P Ia aa a
=i“vb = Pab Ia
A capacitância efetiva para este caso ê
I
'ef jcjV„ aa
Comentário :
O resultado aqui é idêntico àquele achado 
problema 3-9.
no
Problema 3-11 Determinar a tensão no condutor 2, devido a
uma tensão no condutor 1, usando os cãlcu - 
los executados no problema 3-10. Note-se que 
ê semelhante ao problema 3-8.
Solução:
Note-se que no problema 3-10 acha-se
^ V2 = Pab h
Também se acha
jtuV, = P I.1 aa 1
Portanto
h
ou
V.
aa
ab
aa
joiV-,
V,
Comentário;
Note-se que a tensão no condutor 2 ê obtida do 
coeficiente de acoplamento, conforme definido no problema 
3-8.
CAPITULO *T
MATRIZ DA LINH A DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICA
I. INTRODUÇÃO
Todos os conceitos desenvolvidos nos capítulos 
anteriores podem ser aplicados diretamente nos problemas 
da linha de transmissão trifãsica.. Este trabalho envolvera 
a interpretação da matriz trifãsica, nos termos das técni­
cas de componentes simétricas, usadas nos problemas de sis 
tema de potência•
O desenvolvimento, nos capítulos anteriores, pro 
cede-se na base de uma terra sem perdas. Esta aproximação 
é satisfatória para um trabalho conceituai, mas, na maio­
ria de problemas práticos, especialmente em baixas freqílên 
cias, ê desejável incluir o efeito de perdas na terra. Nes> 
se capítulo serão apresentados e incorporados nos proble­
mas trifãsicos os termos de correção de terra de Carson.
II. CIRCUITOS TRIFÃSICOS - CONCEITOS BÃSICOS MATRICIAIS
A formulação matricial trifãsica nos problemas 
de linha de transmissão segue diretamente dos conceitos 
matriciais explanados no capítulo 3.
As equações de impedâncias são:
V,
V
Z Z , z aa ab ac
Z Z Z ba bb bc
Z Z , Z ca cb cc
quando
Z , = R . + j coL iD ij ij
e '
Z . = Z iD ji
para a terra sem perdas R. . = R
1 1 condutor
R. . = 0 i:
L .. = k A . . 2hii 1 n = k, £n —1 r
L = k M j - y n íil
1D
As equações de admitâncias são: 
[I] = [Y][V]
V ~Yaa Yab Y ~ac
Xb = Yba Ybb Ybc
Xc Yca Ycb Ycc
(4.02)
on<àe
Y. = juC 
1 1 ii
Y . = Y. . iD 31 jcoC. . 13
[C] = k2 M _1
onde os termos A . sao definidos da mesma for- iDma como nos termos da indutância acima.
As equações seriam de uma forma similar para uma li­
nha de circuito duplo, salvo que as matrizes [z] e [y] fos 
sem matrizes 6x6. Na apresentação matricial a ordem dos 
coeficientes matriciais, os quais são a, b, c nas equações 
4.01 e 4.02, podem estar em qualquer ordem. Mas, em todos 
os casos, a ordem dos termos nas matrizes [y] e [z] deve 
ser a mesma que a ordem dos termos de tensão e de corrente 
nas matrizes coluna [v] e [í] . No exemplo acima, usado nas 
equações 4.01 e 4C02, as equações foram escritas para cor­
responder ao arranjo físico ilustrado na figura 4.01. Isto 
ê, o primeiro termo diagonal ê para o condutor direito, o 
segundo termo diagonal ê para o condutor do centro e o ter 
ceiro termo diagonal é para o condutor esquerdo. A relação 
entre o arranjo físico dos condutores e a sua localização 
na matriz de impedância ou admitâneia pode ser um instru­
mento ütil na elaboração dos problemas. No exemplo acima, 
hã uma simetria na matriz resultante da simetria dos con­
dutores. Naturalmente, a matriz de impedância é simétrica 
porque Z = Z^a / mas, além disso, para uma linha plana, a 
impedância mutua entre os condutores a e b ê igual à impe­
dância mutua entre b e c.
Também, porque os condutores trifãsicos são da mesma altu­
ra e, quando eles tem o mesmo raio condutor, os termos dia 
gonais serão todos iguais
Z^ = z = Z ^ = Z D aa bb cc
Esta combinação dã uma matriz da forma
zD Zab zac ( Note-seque, para uma linha
horizontal trifâsica, somen
Zab !d Zab te 3 termos diferentes de-
z z Z vem ser calculados )ac ab D
III. INFLUÊNCIA DAS TRANSPOSIÇÕES
As equações matriciais podem ser usadas para for 
mular o problema de avaliação da impedância. de uma linha 
transposta num ponto. Se a linha mostrada na figura 
4.02 tiver o mesmo espaçamento plano da figura 4.01, em am 
bas as secções, a impedância direta, desconsiderando a ca- 
pacitância, pode ser achada arranjando-se as linhas e as 
colunas de uma matriz.
TRANSPOSIÇÃO
SECÇÃO SECÇÃO1 2
o 
b
b
Q
C C
Figura 4.02
Se a matriz de impedância for escrita com a or­
dem dos termos igual â da localização física, as duas ma­
trizes podem ser escritas como:
Para a secção da linha 1 Para a secção da linha 2
Zaa-1 Zab-1 z il ac-l Zbb-2 Zba-2 Zbc-2
Zba-1 i—1 1&&
tsi Z, , bc-1 e Zab-2 Zaa-2 Zac-2
Zca-1 Zcb-1 z ,cc-1 Zcb-2 Zac-2 Zcc-2
(4.03)
Porem, se for desejado achar a impedância total do sistema 
torna-se necessário reordenar a matriz. Isto se torna e- 
vidente, depois da verificação da equação da tensão do sis>
tema.
onde
M ' M M * M M
M ■ H ■ [']
(4.04/
[VTotax] -t[*J + M U 1] - P e J H
Para decompor em fatores o [i], como ê feito na equação
(4.04), será necessário ter ambos os termos [_%] e [i] há
mesma ordem. No exemplo seguinte, a ordem final será a, b,
c. Se for escrita a equação de tensão para a linha 1 e li­
nha 2, obtém-se:
"val
V _bl
f- < O
Jaa-1 ab-1 ac-1
Zba-1 Zbb-1 ^bc-l
V 2"
<7
Zbb-2 Zba - 2 Zbc-2
Va-2 = Zab-2 Z o aa-2 Zac-2
1
CN1ü> ,
CN1»QOtsi
________
j
Z o ca-2 Zcc-2
(4.05)
‘a-1
b-1
c—1
b-2
a-2
C-2
Deve-se notar aqui, que as equações não podem ser somadas 
porque as tensões não estão na devida ordem e não se pode 
isolar a corrente [i] , porque os I's não estão na mesma 
ordem. Como primeiro passo na solução deste problema, po- 
de-se trocar a ordem das duas correntes do topo da secção 
de linha 2, isto ê, Ib_2 e Ia-2* Mas' Para manter a valida­
de das equações, torna-se necessário trocar as duas primei­
ras colunas da matriz de impedância, produzindo:
V, ~ -b-2
Va-2 =
v ~c-2
Zba-2 Zbb-2 Zbc-2
Z o z u o z o aa-2 ab-2 ac-2
Zca-2 Zcb-2 Zcc-2
a-2
b-2
“c-2
(4.06]
Aqui, as equações são ainda validas, conforme pode ser con 
firmado pela multiplicação da matriz, mas a ordem dos ter 
mos de tensão não foi mudada e, por isso, ainda não pode 
ser somada como uma matriz, com a queda de tensão na linha 
1. para obter a queda de tensão certa, troca-se as duas 
primeiras linhas da matriz de impedância.
iCN1 Zaa-2 Zab-2
Vb-2 = Zba-2 Zbb-2
V o z Zc-2 ca-2 cb-2
a-2
'b-2
"c-2
(4.07)
Desta forma a queda de tensão para a linha 1, na 
equação (4.05) e a queda de tensão para a linha 2, na equa 
ção (4.07) pode ser somada diretamente e as correntes po­
dem ser isoladas, como na equação (4.04) , dando, como a so 
ma de duas matrizes de impedância, uma impedância equiva­
lente.
M
Zaa-1 Zab-1 z "ac-1 zaa-2 Zab-2 Zac-2
Zba-1 i—1 1AA
tS3 Z bc-1 + ^ba-2 Zbb-2 Zbc-2
Zca-1 i—1 1&0
(K) Zcc-1 Z ca-2 Zcb-2 Zcc-2
(4.08)
Nesta notação simbólica os termos aparecem os mes
mos, porque os subscritos são parecidos, porem, deve-se 
lembrar que as matrizes da equação (4.05 ) foram compostas 
conforme a localização física dos condutores e, por isso , 
se as linhas forem do mesmo comprimento, ter-se-ã termos 
diagonais iguais em cada condutor.
Z ~~ Zaa-1 Zbb-1 Zcc-1 Zaa-2 Zbb-2 Zcc-2
(4.09)
Também os termos mútuos do condutor adjacente são iguais 
(adjacente: a)
Z = Z _ . = Z, ,a ab-1 bc-1 (4.10)
e, por serem as linhas da mesma construção e do mesmo com­
primento, temos
Z = Z = Z i = z w~>a ab-1 bc-1 ab-2 Zca- 2 (4.11)
Correspondentemente, o acoplamento entre as fases externas 
são iguais nas duas secções de linha( na: não adjacente)
Z = Z = zwna ac-1 bc-2
Usando a relação das equações (4.09), (4.10) e (4.11), na
impedância equivalente ( equação (4.08), obtêm-se:
Zeq
2Z 2Z Z +Za na a
2Za 2Z Z +Z a na (4.12)
Z +Z na a Z +Z a na 2Z
Note-se aqui, que a matriz resultante ê ainda simétrica , 
mas tem uma relação geral entre os termos, diferente daque
la que se teria na matriz original, como para a linha 1. 
(A equação (4.05),para a linha 1, ê reescrita na nomenclatu 
ra da equação (4.12), na equação seguinte (4.13)).
Z Zna
Z Z Za a
Zna Za
(4.13)
Ou,se não houvesse transposição entre a linha 1 e a linha 
2, a impedância equivalente seria
2 Z 2 Za
2Z 2Za
2Z 2Zna a
2 Za
2Z
Z equivalente para o caso 
sem transposição. Comparar 
com a equação (4.12) para 
ver o efeito da transposi - 
ção.
(4.14)
O exercício acima proporcionou algum discernimen 
to, na forma mais fundamental de manipulação matricial, e- 
exigida para efetuar analises dos sistemas trifãsicos de 
forma matricial.
IV.. INFLUÊNCIA DE CONDUTORES ATERRADOS
A interpretação da matriz acima foi explanada pa 
ra uma linha de três condutores. As equações podem incluir 
o efeito de fios condutores â terra, incluindo uma linha e 
coluna complementar, quando formar a matriz Z. O melhor mê 
todo de demonstração de técnicas de usar equações nessa 
forma é de considerar o caso com um fio condutor â terra, 
conforme mostrado na figura 4.03.
0 ° b ° c ®
/77777777777777T77
Figura 4.03
A equação matricial, para esse sistema,ê:
V "a \ a Zab z I ac 1| Zag V
vb = Zba Zbb
1Zu , bc | Zbg xb
Vc zca Zcb z 1 cc
1.
Zcg Ic
Vg zga Zgb Z 'g o i
Zgg Ig
(4.15)
Esta equação matricial ê escrita de uma forma dividida, pa 
ra facilitar a manipulação, e nesta forma pode ser escrita 
de uma forma simbólica reduzida, como
onde
ê uma matriz 3x3
w e p j são matrizes coluna 3x1 
Multiplicando os termos da equação (4.16) dá
M " [z*i] P*J + [VgJ pg]
N ■ pgjpgj
Agora é possível pôr uma restrição no problema, 
so de um fio condutor ligado â terra, a tensão 
Então, ê possível a solução para , que é:
[ r g ] - ' [ zgg] _1 [ Zg - J W
Para o car-
N m °-
(4.18)
Substituindo na primeira das equações,em (4.17)
[VI = [VJ[V] “ [V-gJ[zgg] [zg V ] [ J J \
OU ' (4.19)
p] V [ V ] - [ V g J [ zgg]_1M M
Nesta equação pode-se ver que o efeito do fio condutor li­
gado â terra, i o de reduzir cada termo na matriz de impe- 
dância, na fase original p ^ J , como está indicado pelo ter­
mo de produto tríplice, na equação (4.19).
Da equação(4.15)e, relembrando que a matriz de im 
pedância é simétrica, pode ser computado o termo de corre­
ção da equação(4.19).
n(z j 2a-g Za-g ZK „b~g z za-g c-gzgg zgg Zgg
z, zb-g a-g Z rtb-g
2 z, zb-g c-g
Zgg zgg Z99 (4.20
z zc-g a-g zç-g z,b~g (z )2c-gZL gg zgg zgg J
Este procedimento ê usado para mais de um fio condutor â 
terra e para mais de um circuito. Se houver mais de um fio 
condutor â terra, a equação matricial (4.19) requerera uma 
inversão real da matriz de £Zggj • üm método alternativo 
consiste em reduzir, sucessivamente, os fios condutores à 
terra, um de cada vez, tratando os demais condutores como 
fios de fase.
No exemplo acima (equação(4.20)), ê interessante examinar 
os termos de correção para uma construção horizontal plana 
(figura 4.03). Para este sistema, deve-se notar que Z =
= Z . A simetria da matriz de correção pode ser mostrada 
como
(4.21)
Por isso, os termos diagonais para uma linha horizontal 
plana não serão, de maneira alguma, iguais, como foi o caso 
sem fios condutores à terra. Uma verificação de valores nu 
mêricos mostraria que os termos de correção da fase do cen 
tro são levemente maiores do que os outros dois termos de 
fase, resultando em uma autoimpedância da fase do centro, 
um pouco mais baixa.
V. TERMOS DE CORREÇÃO DA TERRA
As perdas na terra influenciam a distribuição 
da corrente na terra, que retorna sob uma linha de trans­
missão. O efeito, aqui, ê basicamente o mesmo'que o efeito 
de superfície, discutido no capítulo 2. O fato de que as 
perdas de terra influenciam a impedância vista pelas cor­
rentes de retorno de terra e, ainda, que elas influenciam 
a tensão induzida em circuitos adjacentes, tais como cir - 
cuitos de telefone, durante as falhas, foiconhecido no i- 
nício do século. Os antigos pesquisadores tentaram cali­
brar este efeito, determinando fatores de correção, por in 
termêdio de testes nos circuitos de transmissão existen­
tes. Em 1926, Carson, dos laboratórios da Bell Telephone , 
elaborou equações para a impedância própria e para a impe­
dância mutua dos condutores de retorno de terra. Estas e- 
quações são baseadas na terra de condutividade uniforme e 
de extensão semi-infinita.
Esses termos de correção de terra podem ser in 
corporados, diretamente, na formulação matricial do proble 
ma, somando-se um termo de correção de terra às duas matri^ 
zes, a de resistência e a de indutância.
[z] = [SRec] + [Rc] + 3“ [4Lec] + kl[A] ohms/milhas
(4.22)
Matriz diagonal da resistência do condutor
Termos de resistência da correção de terra. 
(Essa matriz não é diagonal e ê uma função 
da freqüência).
Termos de indutância da correção de terra. 
(Essa matriz não ê diagonal e ê uma função 
da freqüência).
A matriz A ê composta de
k 1
A. .li
CN | >-G
O*II
A. .
d'. .
= Zn d . .
0,32186 x 10
Esses termos de correção de terra não são simples - 
mente estabelecidos e, geralmente, a formulação de séries 
infinitas e convergentes do problema, ê mudada para os al­
cances diferentes da freqüência. Porém, a formulação geral 
do problema pode ser exposta como
1,6093 x 10 ̂ x 4u H + j M ohms/
/milha
(4.23)
As equações estão escritas em termos de P's e Q's, porque
são termos obtidos por Carson. Ele fez o seu trabalho no
sistema de unidades cgs, que considera o fator de conver “
-4sao como sendo 1,6093 x 10 
As equações para P e Q são:
2 2P = £ ---- 2— cos 0 + COS 20 ( 0,6728 + in ~ ) +
8 - 3/2" 16 Y
2
+ 16 0 Sin 20 (4.24)
Q = - 0,0386 + 4 £n (— ) + — -— cos 0 
2 Y 3/2“
para y <_ 0/25
Para os termos diagonais y = 1,713 x 10 J (h//^) /f~~
0 = 0
p = resistividade da terra,ohm me
h = altura do condutor em pés 
f = freqüência, Hz
Para os termos de fora da diagonal
d . . 1 __
1,713 x 10 ( - H — ) /f
2/P~
veja figura 4.04 
veja figura 4.04
resistividade da terra,ohms metro 
freqüência, Hz
JO
Figura 4.04
Destas equações pode-se ver que o termo "y" ê uma 
função tanto da altura do condutor como da freqüência. A 
fórmula para P e Q, na equação(4.24), ê valida até y=0,25. 
Alguns valores típicos do y podem ser facilmente calcula - 
dos, resultando:
Tabela 4.1
if h ou d . .il / 2
60 80
60 40
60 150
A equação para y
y = 1,713 x 10- 3 -íU = /f~ (4.25)/P
p. y
1 0 0 0,106 
5 0,238
10 0,63
pode ser reescrita para a condição;y ̂ 0,25, f = 60 Hz 
Então:
0,25 5; 1,713 x IO- 3 /6Õ
/p~
ou
h < 0,25______
/p ' 1,713 x 1 0 _3 /6Õ
18,82 (4.26)
Por isso, dentro do limite, as equações devem ser validas 
para a altura do condutor e para as resistividades de ter­
ra de
Mínimo Permissível
Para h em Pés p em ohm Metros
1 0 0,283
40 4,45
80 18,1
100 28,3
200 113,0
Se as condições do sistema não caírem dentro desses 
limites, terã que ser usada uma formulação mais exata dos 
termos P e Q de Carson. Isto iria envolver mais termos nas 
series, do que os mostrados na equação(4.24).
Tem-se dado as dimensões de ohm metros â resistivi- 
dade da terra p, usada néssas equações. Algumas referênci­
as usam as dimensões de ohm por metro cúbico. O entender , 
aqui, ê que a resistividade em ohms ê a resistência que se 
ria medida de um lado, ao lado oposto de um cubo de terra 
de 1 metro de cada lado. Os métodos de medição da resisti­
vidade de terra são discutidos nas referências 7 e 8 .
Os valores da resistividade de terra variam, ampla­
mente, de uma condição de solo para uma outra e até pode 
haver variações substanciais entre as condições úmidas e
secas do mesmo solo. Felizmente, a influência da resistivi 
dade da terra na indutância da linha não ê grande nos in­
tervalos típicos. Alguns valores típicos da resistividade 
de terra são dados na tabela 4.2.
TABELA 4.2
Tipo de terra Resistência em ohm metros obs.
Ãgua do mar i
Barro, Argila 10 Raro
Argila, Greda 30
Greda, Esquisto, Pedra Calcária 100
Esquisto, Pedra Cãlcárea 300 Comum
Pedra Calcãrea, Arenito 1000
Arenito, Ardósia 3000 Raro
Ardõsia, Granito 10000
Os valores na tabela 4.2 são diferentes, em al­
guns casos, para o mesmo material. Sunde (Ref.8) indica 
que isto ê uma função do tempo da formação na história geo 
lógica. Também tais influências, como camadas de material 
diferente, podem influenciar a resistividade efetiva numa 
área. Mais detalhes nesta área encontram-se na referência 8.
VI. VALORES DAS COMPONENTES SIMÉTRICAS PARA LINHAS DE 
TRANSMISSÃO AÉREAS
As grandezas das linhas de transmissão em forma 
matricial podem ser transformadas em quantidades de seqüên 
cia, usando a transformação matriz £aj
p s ] ■ p r w ] (4.27)
onde
i l l
II
3
i
2a a
_ i
2a a _
a = i' 2
A • S T j 120 = eJ
Zaa Zab , Zac"
m - Zba Zbb Zbc
Z
_ c a Zcb zcc_
Oo
lN
CSJ
o Z02
p j - Z10 zn Z12
OCN i—1CN
IS] Z22
Esse produto de matrizes foi transcrito detalhada­
mente na Analise de Sistemas de Potência I e essa obra se­
rá referida nesta explanação.
Os termos de seqüência positiva, negativa e zero 
(Z n , Z22 e W P0<̂ em ser estimados, para uma linha de
transmissão, de um ponto de vista físico, considerando uma 
linha com 2 transposições, de tal forma que os comprimen - 
tos de cada uma das três linhas são iguais. Um tal sistema 
ê mostrado na figura 4.05.
SECÇAO 1
0
SECÇAO 2 
c
SECÇAO 3 
b
b Q c
c b a
Figura 4.05
Conforme foi visto na Secção III, numa notação matricial, 
a transposição ê equivalente às linhas e colunas de alter- 
nação para cada transposição de linha. Deve ser considera-
da a primeira secção da linha, com o faseamento anotado
lado de fora da matriz, como:
a b C
a "zaa Zab Zac
Pi] = b Zba Zbb Z,bc (4.28)
c Zca Zcb Zcc
Usando a mesma notação para os elementos da matriz, a ma­
triz para a segunda e a terceira secção da linha pode ser 
escrita:
a b c
a \ b Z,bc Zba“
M - b Zcb Zcc Zca
c _Zab Zac zaa_
a b c
a Zcc Zca Z J cb
P.] - b Zac Zaa Zab
c Zbc Z,ba Zbb
Se, por exemplo, for considerado o comprimento 
total da linha como de uma milha e se for presumido que ca 
da um dos elementos da matriz fosse dado em ohms por mi­
lha, a impedância líquida por milha seria de 1/3 da soma. 
Somando os elementos da matriz termo por termo e relem 
brando que a matriz ê simétrica, obtêm-se:
rz z zD OD OD
z Z ZOD D OD
z Z ZL OD OD D _
(4.30)
Onde
= + Z3 aa bb + Z ) cc
D= 7 (Z; + z. + zOD j ab bc ca 
Ê importante notar que esse desenvolvimento sõ funciona 
dessa forma, quando a forma de transposição for completa, 
isto ê, quando cada condutor ocupa uma posição física na 
linha, à cada terço de distância da linha.
A. Seqüência Positiva
A impedância da seqüência positiva para esse circui. 
to pode, agora, ser achada aplicando-se uma corrente de se 
qüência positiva e achando-se a relação e 1^.
OD
ZOD
I + Z I, + Z a OD b OD
I + Z I + Z b OD a OD
I + Z I + Z c OD a OD
(4.31)
Mas, quando essas correntes formam uma série de correntes 
de seqüência positiva; isto ê, quando as correntes são 
iguais em magnitude e deslocadas a 1209 na fase, a corren 
te pode sef fatorada e escrita nos termos de cada corren 
te de fase.
Ib
2a Ia Ic a Ia
2a + a -1
D + ZOD Xb + ZOD ZD Z ) OD Ia
ZD Zb + Z0D Ta + Z0D Zc = (ZD ‘ Z0D> Zb
(4.32)
ZD Zc + Z0D Tb + Z0D Za ' <ZD * * Z0D> Xc
Por isso, a queda de tensão nas três fases são 
iguais e esta queda de tensão em cada fase resulta da impe 
dância de seqüência positiva.
V V
zi =
al
al (ZD Z0D)
(4.33)
Usando a equação(4.30), obtêm-se:
Z1
1
3 Z + aa Zcc Z u” 2, ab bc Zca )(4.34)
NOTA: A técnica, aqui, foi de modificar a matriz ao ponto,
onde a distribuição de corrente pode ser imaginada, de ser 
tão exata que possa ser usado um conceito de DMG para calc^, 
lar a indutância.
Note-se aqui, que a impedância de seqüência positiva, num
sentido matricial, ê de 1/3 da soma da diagonal menos 1/3
*
da soma dos termos fora da diagonal da apresentação da ma­
triz não transposta. Enquanto a suposição relativa da deri 
vação deimpedância de seqüência positiva parece ser restri 
tiva, a equação(4.34) é valida para qualquer configuração, 
seja com transposição ou não. Isto pode ser verificado, re 
multiplicando a equação(4.27).
Do acima exposto torna-se aparente que a aplicaçao 
de uma corrente de seqüência negativa resultaria numa ten­
são de seqüência negativa pura que produziria uma impedân­
cia de seqüência negativa igual â impedância de seqüência 
positiva.
A impedância de seqüência positiva, descrita na e- 
quação(4.34)pode ser ainda mais simplificada usando-se os 
termos da matriz Z, conforme descrito na equação(4.22).
Isto e
Z. = i(R +R, +R ) + jwk, iIA3 = +Auu+An^'A,K-AK^_Ã^a)1 3 a b c -L3 aa bo cc ab bc ca
+ i AR + i jcoAL 3 pos 3 J pos
(4.35)
onde
ARpos = correção de terra de seqílência positiva da e- 
quação(4.22)
= AR +AR, ,+AR -AR , -AR, -AR aa bb cc ab bc ca
ALpos = correção de terra de seqüência positiva da e- 
quação(4.22)
= AL +AL, ,+AL -AL , -AL, -ALaa bb cc ab bc ca
A soma dos termos A pode ser simplificada relembrando-se 
as definições na equação(4.01).
2h 2h, 2h
A +A, ,+A -A ,-A, -A = An— — + An— — + An— — aa bb cc ab bc ca y y, ya b c
d ' d. ' d . '
- An - An - An (4.36)d d, dab bc ca
, 2h 2h, , 2h
= An — ---- + An d d. d + An ■ a* , ?Cy y. y ab bc ca d ,1 dL 1 d' a 1 b c ~ab bc ca
Presumindo que os 3 condutores são da mesma construção,as­
sim que R = Rh = Rc = Rcondutor' e lembrando que o raio do a
condutor pode ser reposto pelo RMG, a impedância de seqüên­
cia positiva pode ser escrita
3
Z. = R + jco 1 con J k. An1 RMG k. An J d , d, d + ± V ab bc ca
+ k^ An
2h 2h. . 2h aa bb cc
dab dbc dcA
+ i AR + -i- jü)AL 3 pos 3 J pos
(4.37)
Geralmente, para as linhas de transmissão espaçadas normal^
mente, somente os primeiros 3 termos são de importância, o 
termo que contêm o RMG ê exatamente a reatância do espaça­
mento de 1 pé, encontrada nas tabelas dos fornecedores de 
condutores. Assim, a reatância da seqüência positiva e
Z1 Rcon + j X + j Xd J a J (4.38)
R = Resistência do condutor c
X = Reatância de condutor ao espaçamento de 1 
a Pé
X, = Reatância resultante do espaçamento do 
condutor ou DMG = ja-k^ün DMG
3_____________
DMG =J d , d, dV ab bc ca
Os valores de reatância, para o termo DMG,podem 
ser obtidos das tabelas, tais como aqueles na tabela 3, Se­
ção V, Capítulo 2.
Os valores de seqüência positiva não são, em ge 
ral, visivelmente sensitivos, nem âs perdas na terra, nem 
aos efeitos dos cabos de cobertura. Assim, as equações(4. 
38) podem ser usadas como uma apresentação exata da impe - 
dância de seqüência positiva, para a maioria dos casos prã 
ticos.
A reatância capacitiva da seqüência positiva po 
de ser obtida de maneira semelhante. Não hã termos de cor­
reção de terra para efeito capacitivo; assim, os termos de 
seqüência positiva são formados aproximadamente da reatân­
cia capacitiva, ao espaçamento de 1 pê7e a reatância capa­
citiva ê formada de um espaçamento de condutor ou DMG. As 
DMG, para os termos de reatância capacitiva, são os mesmos 
que para os termos de impedância.
i i ij = - j X^ - j X^ ohm milhas (4.39)
onde X
i
Reatância capacitiva ao espaçamento de 1 
Pé
Reatância capacitiva resultante de um espa'
çamento do condutor(Veja tabela 5, Se - 
ção VII, Capítulo 2)
x' = -4— £n DMGd cok2
3 ____________
DMG = / d , d, dV ab bc ca
B. Seqüência Zero
A impedância de seqüência zero da linha de 
transmissão completamente transposta pode ser obtida de ma 
neira semelhante àquela usada para os termos de seqüência 
positiva. Assim, num sentido matricial, deve-se aplicar u- 
ma corrente de seqüência zero e medir a tensão de seqüência 
zero. A proporção das duas dã a impedância de seqüência ze 
ro.
plN Z0D CS
)
o p 
1 IO Vo _(ZD + 2W To
Qo ZD Z0D Io = Vo = (ZD + 2Z0D> ■To
1
O D Z0D ZD Io Vo (ZD + 2zo d> To
Neste caso, as tensões são iguais nas três fases e, portan 
to, a relação de V com I, em qualquer fase, dara a impedân 
cia de seqüência zero.
V
I
0
0
VOa
Oa
= Z, ZD + 2 Z0D
Usando as equações(4.30) , acha-se
(4.41)
1 2±(Z + Z ^ + Z ) + ~(Z , + Z* + Z )3 aa bb cc 3 ab bc ca
(4.42)
Note-se aqui, que a impedância de seqüência zero ê igual à 
soma dos nove termos da matriz de impedância, dividida por
3. Como foi no caso da matriz de séqüência. positiva, esta
definição de impedância de seqüência zero ê valida mesmo 
para uma linha não transposta.
A impedância de seqüência zero, mostrada na equação(4.
42), pode ser ainda mais simplificada usando-se os termos 
da matriz Z , conforme descrito na e q u a ç ã o (4.2 2 ) . Isso resul 
ta:
Z 0 * l (V V Rc» + 3“k l è <Aaa+Abb+Acc+2Aab+2Abc+2Aca>
(4.43)
onde
+ 4 AR + \ jüiAL3 zero 3 J zero
ARzero= correção de terra de seqüência zero
= ARaa + 4Ebb + + ^ a b + 2âEbc + 2“ <ca
ALzero= correção de terra de seqüência zero
- “ aa + “ bb + “ cc + 2“ ab + 2ALbc + 21Loa
Também, como no caso dos termos de seqüência positiva,a so 
ma dos termos A pode ser simplificada, porque cada um ê um 
termo £n( ), conforme mostrado na equação(4.36). Nesse ca
so hã 2 coeficientes resultantes dos termos &n( ) elevados 
ao quadrado.
Ia = in
Ya Yb Yc
- £n
+ í,n
(d .d. d ) ab bc ca
2h 2h. . 2h aa bb ccI I I
(d , d, d ) ' ab bc ca
(4.44)
Usando as equações(4.44) em (4.43) e presumindo uma resis 
tência de condutor igual, obtêm-se: —
Z. = R + juK. 0 con J 1
1 2 In -4— +£n. DMG RMG + £n v --r
2h, , 2h aa bb cc
(d , d, d ) v ab bc ca
1 .+ t AR + — jo)kn AL (4.45)3 zero 3 1 zero
Esta forma pode ser usada para comparação com a forma simi­
lar, para a reatância de seqüência positiva na equação(4.37) 
Em caso de reatância de seqüência zero, todos os termos são 
importantes. Também, no caso da impedância de seqüência ze­
ro, a influência de cabos de cobertura condutores â terra,a 
resistência e a reatância são importantes. Em geral são usa 
dos programas computacionais para calcular a reatância de 
seqüência zero de uma linha de transmissão aérea.
C . Impedância Mutua entre os Circuitos de uma Linha de Cir­
cuito Duplo
A apresentação da matriz de uma linha de circuito 
duplo resulta numa matriz 6x6. Presumindo que as fases do 
circuito nÇ 1 são a, b, c e as fases do circuito n? 2 são 
d, e, f, a matriz pode ser escrita como
M =
zaa Zab zac iiii Zad
zae Zaf ~
Z,ba Zbb Zbc
*ii** Zbd
Z,be Zbf
Zca Zcb Zcc
ttiii
i
Zcd Zce Zcf
Z,da Zdb z , dc
iii■i Zdd
Z , de Zdf '
Zea Zeb Zec
fiiii Zed
Zee Zef
Zfa Zfb Zfc
iiiii Zfd
Z r-fe Zff
_
(4.46)
Com a matriz dividida, conforme acima demonstrado, ela po­
de ser escrita de uma forma mais compacta
onde Z ê a matriz completa para o Circuito n9 1AH
ZDD é a matriz completa para o Circuito nÇ 2
ZDp= Z ^ é a matriz de acoplamento entre os Circuitos
Para essa apresentação, as matrizes de tensão e da 
corrente são matrizes de 6 elementos em cada coluna.
[I] =
“i “ V ’a a
xb I* vbA
Ic* Vc*
= [v] =
Jd T vd
I D Ve e
_vf_
V.
V,.
(4.48)
onde e são a corrente e a tensão para o Circuito n9l
ID e VD são a corrente e a tensão para o Circuito n92
Essa matriz de 6 colunas foi de tal forma dividida, que as
correntes e as tensões de fase de cada um dos respectivos
circuitos podem ser facilmente identificadas e podem ser
escritas de maneira combinada. Nesse caso, a equação da ma✓triz de tensão total ê
'VA "ZAA ZAD JA
_VD Z0A ZE)D_ "d
As tensões e as correntes, em cada um dos circuitos, são 
transformadas, independentemente, em quantidades de seqüên 
cia. Isto ê, multiplica-se cada corrente de circuito e ca­
da tensão pela matriz [[a3 • Isto pode ser feito colocando-
se as matrizes [_a] na forma diagonal da matriz 6x6.
i 1 1 0 0 0
i 2a a 0 0 0
[ a 1 0 2i a a 0 0 0
Transformação = =
0 0 0 1 1 1
_ 0 M 0 0 0 1
2a a
0 0 0 1 a 2a
(4.50)
As transformações da corrente e da tensãc► podem ser
escritas como
r —* r "i r “i _ _ _ __
[a] 0
0 [a]
AS
DS D
[a] 0
0 [aj
VAS
VDS
V.
V,D
(4.51)
quando 1 ^ e são a corrente de seqüência e compo­
nentes de tensão para o circuito N9 1;
quando I c e V são a corrente de seqüência e compo- Dd DS
nentes de tensãopara o circuito N9 2.
Resolvendo a equação(4.51) para os termos componentes de 
fase e substituindo-os na equação(4.49), resulta:
VAS ’[a] - 1 o * ZAA ZAD '[a] 0 --
--
1
H > cn
__
__
_
1
ü _
__ 0 [a] _ZDA (S
I
D £_
__ 0 _ XDS_
(4.52)
-1
VAS ZAAS ZADS
-VDS_ ZDAS ZDDS
IAS
IDS
onde o subscrito S significa os termos componen­
tes da seqüência.
0 termo da equação(4.52) pode ser remultiplicado, resultan 
do:
[ ■ - ] - H ' 1 M W
[ ZDDs] = [a] [ZDd] [a] (4.53)
[ ZADS J = [ZDAs] = [a] [ZAd] [a]
Na equação(4.53) torna-se evidente que a impedância de se­
qüência de cada um dos circuitos são justamente as impedâncias 
de seqüência que poderiam ser achadas, se os outros circu 
itos não estivessem presentes. As impedâncias mutuas entre 
os circuitos são dadas pela ultima das três equações n a (4. 
53). Devido â forma da equação, pode-se usar os conceitos 
desenvolvidos para as impedâncias de seqüência positiva e 
zero, para achar as impedâncias de seqüência mutua entre 
os circuitos.
Em caso de termos de seqüência positiva mutua, se 
ria necessário levar a efeito o processo de transpor os 
circuitos e, então, ver que a matriz Z__ não seria simétri
ca em torno da diagonal, fato este que foi usado em análi­
se anterior. Por isso, neste caso, seria mais fãcil remul- 
tiplicar a equação em(4.53).
A impedância mutua de seqüência zero ê exatamente 
1/3 da soma dos termos na matriz Z ^ . Assim sendo, dada a
matriz de 6 fases, os termos mútuos da seqüência zero po - 
dem ser achados facilmente.
Problema 4 - 1. Calcular a matriz de indutância para uma
linha de transmissão trifãsica,horizontal 
típica. Usar
h = 30 pês, d = 60 pês e r = 1 polegada
Solução: As indutâncias para esta linha de transmissão
horizontal podem ser obtidas calculando-se 3 
termos.
Os 3 termos exigidos da matriz A são
(Note-se que Aafo = Abc e Aaa = Afcb = Acc e que a
matriz é simétrica)
Aaa In -
2 x 30 . _,ori 
1/12 in 720 = 6,58
liX)tf
<
= í,n 2,23 = 0,802
Aac An 6Õ = Zn 1,42 = 0,351
A matriz de indutância é, então
Aaa Aab Aac
[L] - ^ W = k a Aba Abb A,bc =
Aca Acb Acc
6,58 0,802 0,351
= 0,32186 X M O 1 U
)
0,802 6,58 0,802
_0,351 0,80 2
----------1
00LDVO
2,12 0,258 0,113
0,258 2,12 0,258 milihenries
_0,113 0,258 2,12 _
Problema 4-2. Calcular os termos de correção da indutân- 
cia para a linha de transmissão trifásica
do problema 4 
de 40 pês de 
dutor central, 
legada.
Solução: O diagrama da
g
2. Usar um cabo de cobertura 
ltura, posicionado sobre o con-
0 raio do mesmo ê de 1/2 po-
linha ê
a = A o 2 + 302 = 31
b = A o 2 + 302 = 75,5
c = 10
d = 70
Referindo-se ã equação (4.20) e à simetria, somente três 
termos precisam ser calculados.
(Note-se que A = A )^ ag cg
A = Ingg
2 x 40 
1 1 
2 12
= £n 1920 = 7,56 L = 2,43gg mH
A = £n ag
75,5
31 Jln 2,44 = 0,893 L = 0,288 ag mH
A, = ün bg
70
10 £n 7,0 = 1,95 L, = 0 , 6 27 bg mH
Os termos correspondentes àqueles da equaçao(4.20) podem 
ser agora escritos
"0,288 “
0,627
r "i r~ ~~1 0,288 0,627 0,2882,43 x 10 3H
0,288
Usando o produto transcrito na equação(4.20)
0,034 0,0745 0,034
0,0745 0,159 0,0745
_0,034 0,0745 0,034 _
Comentário
O resultado desse problema pode ser comparado com 
a matriz sem os cabos de cobertura. A impedância efetiva, 
conforme mostrada na equação(4.19), ê:
ISJ (D f-h II (M -1
2,12 0,258 0,113'
-9.) = ([Z1[Z=°J
"0,034 0,0745 0,034
0,258 2,12 0,258 - 0,0745 0,159 0,0745
0,113 0,258 2,12 _ _0,034 0,0745 0,034
"2,086 0,1835 0,079 ~
= 0,1835 1,96 0,1835
_0,0 7 9 0,1835 2,086 _
Para este caso de 1 cabo guarda para um sistema de conduto 
res sobre uma terra perfeita, a maior alteração porcentual 
nos termos diagonais ê de 7,5% (para a fase b neste caso) .A 
magnitude do termo de correção dos termos fora da diagonal 
é uma porcentagem maior.
Problema 4-3. Achar a indutância de seqüência positiva 
tanto do problema 4-1 como do 4-2, usando
as matrizes de indutância, conforme ca_l 
culado.
Solução: A equação(4.34) ê usada para calcular a 
impedância da seqüência positiva.
Z-, = -=-(Z + Z, , + Z - Z -1 3 aa bb cc ab Z, - Z ) bc ca
A indutância de seqüência positiva do circuito sem os cabos 
guarda ê:
L1= ^(2,12 + 2,12 + 2,12 - 0,258 - 0,258 - 0,113) x IO-3
2,12 - ±(0,629)] x 10
-3
‘]
0,21 x 10 3=1,91 x 
x 10_3H
A indutância de seqüência positiva do circuito com os fios 
condutores â terra pode ser achada avaliando-se a matriz 
totalC^eg] no problema 4-2. Como alternativa, a transforma­
ção de seqüência positiva pode ser executada emfz^je rzcorl
e, depois, subtraindo a correção.
L, = i ( 0 , 034+0,159+0,034-0,0745-0,0745-0,034) x IO-3 1 cor 3
= i x 0,044 X 10 3 = 0,0147 x 10 3
Então, a indutância de seqüência positiva, para o cir 
cuito com cabos guarda, é
z = z — z1 lsem cabo 1 corrigido
= 1,91 x 10~3 - 0,0147 x 10-3 H
= 1,895 x 10-3 H 
Comentário
O termo de correção da seqüência positiva resul 
tante de cabos guarda ê de menos de 1%.
Problema 4-4. Para a linha de transmissão do problema 4-1
calcular a indutância de seqüência positiva, u- 
sando o conceito de DMG.
Solução A indutância de seqüência positiva é
d , d, dab bc ca
RMG
3______________ 3______
/ 30 x 30 x 60 = / 54000 = 37,8
1^ = k-^n y /Íf = k1)ln 454 = 0,3218 x 10_3 x 6,12
= 1,97 x 10~3 H 
Comentário
O cálculo de L produz um valor de indutância de 
seqüência positiva que ê 3% maior do que o calculado no 
problema 4-3. A equação(4.36) mostra que essa diferença de 
ve proceder do termo
L, = k. £n SJ
L = k.£n cor 1
aa 2h, , 2h bb cc
d ' d, ' d •ab bc ca
Usando-se os valores obtidos no problema 4-1, o argumento 
do termo logarítmico ê
2x30 2x30 2x30
67 x 67 x 85
3/216000 
/ 382000
3______/ 0,565 0,886
Lcor = kl£n °'886 = 0,3218 x 10 3 (- 0,171)
= - 0,055 x 10~3 H
Por isso a indutância de seqüência positiva corrigí 
da é
L = Ln novo 1 - Lcor (1,97 - 0,055) x 10 
1,915 x 10-3 H
Assim, obtém-se uma comparação com o cálculo antes corrigi
do.
Problema 4-5. Calcular a indutância de seqüência zero para 
a linha de transmissão com e sem os fios con 
dutores à terra.
Solução A reatância da seqílência zero é calculada u- 
sando-se a equação(4.42)
Z- = i( Z + Z, , + Z + 2 (Z , +Z, +Z ))0 3 aa bb cc ab bc ca
A indutância para a linha sem cabos guarda é 
calculada usando-se a matriz revelada no pro 
blema 4-1.
Lq = |̂ 2,12 + |( 0,258 + 0,258 + 0,113)Jx 10~3 
= (2,12 + 0,419) x 10“3 
= 2,54 x 10-3 H
A indutância de seqüência zero, para a linha 
com cabos guarda pode ser obtida subtraíndo- 
se a indutância de seqüência zero da matriz 
de correção obtida no problema 4-2.
L = i( 0,034 + 0,159 + 0,034 + 2(0,0745o cor 3
'+ 0,0745 + 0,034)) x 10~3 
= ^(0,227 + 0,366) x 10-3 
= 0,198 x IO-3 H
A indutância de seqüência zero, para a linha 
com 1 fio condutor à terra, ê
L0 novo ~ L0 L0 cor
= (2,54 - 0,198) x 10"3
= 2,34 x 10"3 H
Comentário
Em muitos problemas dos sistemas de potência é interessante 
notar a proporção entre as reatâncias de seqüência positiva 
e de secrüência zero. Para os dois casos acima tem-se
^0
T
2,54 X 10-3
- 7 3 1,33 Sem cabo guardaL1 1,91 X 10 3
^0 2,34 X IO"3 _
_7 1,24 Para 1 cabo guardaL1 1,89 X 10 7
As proporções V L1' aqui, não são típicas da-
quelas encontradas nos sistemas de potência, porque os ter­
mos de correção de terra não foram incluídos. Os valores t.í 
picos variam entre 2,5 e 4,0. O ponto a ser observado, aqui 
e a influência do fio condutor â terra de baixar a propor - 
ção XQ/X1 ou Lq/I^.
Problema 4-6. Calcular os termos de correção de terra de 
Carson para a linha de transmissão, do probJe 
ma 4-1. Usar uma resistividade de terra de 
100 ohm metros.
Solução - O r deve ser calculado para cada condutor e 
termo mutuo. Como no problema 4-1, há 3 ter­
mos diferentes a serem calculados.
r = 1,713 x 10-3 — — t/~~6Õ = 0,0399
aa / T Õ Õ
rac
rab * 1'713 * 1 0 ' 3 ¥ 41 = °'0445
■ 1,713 x IO'3 |i = 0,0565 eac
ab tan
-1
26,6 0
a
2h
tan 2a2h 45
0
Para o cálculo de P foi usada a equação(4.24) e os respecti 
vos termos estão presentes nos cálculos seguintes:
P = ~ - —y" ■■ cos 0 + ^ cos 2 0(0,6728 +£n — ) + 0 sin 2 08 7~2 16 r 1°
P = 0,39 - °-A0399 1,0 + ---tv-~5-9 1,0 (0,6728 + 3,92) +a.a. ^ ^ Xb
, 0,00159 A n n n+ — ------- o ,0 x 0,0
= 0,39 - 0,0094 + 0,00045
P = 0,3811 aa '
Pab = °/39 " °-̂ 0445 0,895 + b^9-8- 0,60 (0,6728 + 3,80) +
+ 0^P_01.9.8 0,465 x 0,448
= 0,39 - 0,00936 + 0,000332 + 0,0000258
P , = 0,381ab '
P = 0,39 - 0,9565 0,707 + 0'00319
- r T 16ac x 0,0 (0,6728 + 3,57) + 
. 0,00319
16 x 1 .572 x 1,0
= 0,39 - 0,0094 + 0,0 + 0,000314
ac = 0,3809
Para os cálculos dos termos Q, também é usada a equação
(4.24) .
Q = - 0,0386 + ^tn(-) + —f— cos 02 r y~2
Qaa 0,0386 + ifcn * 22 0,0399
0,0399 1,0
= - 0,0386 + 1,96 + 0,0094
Qaa = 1 , 9 308
Qab 0,0386 + 2í,n(0,0445 ) + °10445 0,8957 T
= - 0,0386 + 1,9 + 0,00936
Q , = 1,8708ab
- ° ' 0386 + ¥ n 775565 + p p ° ' 707ac
= - 0,0386 + 1,785 + 0,0094
Q = 1,7558 yac '
Comentário
Note-se que os termos P, que influenciam o cal­
culo de resistência, são quase todos iguais. Isto sugere 
que esses termos produzirão pouca influência na reatância 
da seqüência positiva.
Z (z + z,, + z — Z , — Z, — Z )1 3 aa bb cc ab bc ca
Nesses cálculos parece que há maior influência dos termos
de reatância, porque os termos fora da diagonal da matriz
Q não são iguais aos termos diagonais. Isso pode ser obser
vado nas matrizes P e Q mostradas abaixo:
Cp]
0,3811 0,381 0,3809
0,381 0,3811 0,381
0,3809 0,381 0,3811_
[Qj
1/
= 1,
1,7558
1.8708 
1,9308
1.8708
1,7558
1,8708
1,9308
Num problema posterior, poder-se-á observar a influência 
real nas impedâncias de seqüência positiva e de seqüência
zero.
Nota: Os cálculos acima são apresentados detalha­
damente para mostrar a ordem de grandeza dos vários termos 
nas series. Tal cálculo mostra quais são os termos que po­
dem ser desconsiderados nos cálculos práticos.
Problema 4-7. Usar os termos P e Q do problema 4-6 e calcu 
lar a magnitude do efeito de resistência e de reatância dos 
elementos da matriz.
Solução: Usando a equação(4.23) pode-se achar os ter­
mos R e X para a matriz.
[AR] + j & n 1, 6093 X 1Cr 4 X '4o) |[&>]+ ji[Q]J .ohms/milha
ARaa 1,6093 X
loi—i X 4 X 377 X 0,3811 = 0,0925
AR , = ab 1,6093 X O
1
X 4 X 377 X 0,381 = 0,0924
ARac 1,6093 X 10 4 X 4 X 377 X 0,3809 = 0,0924
AXaa 1,6093 X
1oi—i X 4 X 377 X 1,9308 = 0,468
AX , = ab 1,6093 X 10 4 X 4 X 377 X 1,8708 = 0,454
AXac 1,6093 X io-4 X 4 X 377 X 1,7558 = 0,445
Comentário:
Note-se que a indutância em milihenry por milha_3pode ser achada do X dividindo X/w x 10 . Para o termo dia
gonal isto resulta:
AL = 1,6093 x 10-4 x 4 x 377 x Q/w x 10_3= 1,6093 x 4 x aa
x 10-1 x Q
= 0,16093 x 4 x 1,9308 = 1,18 mH/milha
Problema 4-8. Combinar o termo de correção de indutância 
da terra com o termo da matriz A e simplif_i 
car os resultados.
Solução: A reatância total da linha é
j [XL] = j co[[ALecl + K l [A]j
onde (ScJ = 1,609 x 10 ̂ x 4 x [Q] 
= 2 Kx [Q]
Por isso, os termos diagonais da matriz de indutância são 
(para uma construção horizontal, plana):
L = K, 2 Q + K, A aa 1 aa 1 aa
2h
r= K, 2 - 0,0386 + -̂An - +
r + K-, in :1 ' 2 r } 2 J 1
r = 1,713 x 10 3 / I HP
Rearranjando os termos para combinar os termos in
li —
1 
i n0,0772 + — £ 1,713 x: IO-3 y n h +aa 1 l ' 3 V p
2 5— + Jln
h 1,713
1O 1—1X V I
0
= K.J - 0,0772 + 0,809 x 10 3 h +
+ An ( 2 x 2 # -)
# 1,713 x 10 3 /!
y ~ ro j
= K, -3 /£ 2330- 0,0772 + 0,809 x 10 h J — +An (■ -- )
v p roy i .
O £n 2330 pode ser fatorado e combinado com o termo constan 
te An 2330 = 7,9
L = K, aa 1 7,8228 + 0,809 x 10 3 h / - + An — ----y p r /f"
0y/~V p
Se o termo r^ for substituído pelo RMG do condutor e for-
tratado como a reatância ao espaçamento de 1 pé, o termo in 
dutivo pode ser escrito como
aa = K,
Os termos fora da diagonal podem ser reduzidos de uma maneira se 
melhante. Deve-se relembrar que para os termos fora da dia­
gonal
_ rr á.\ d. .
r = 1,713 x 10 /— -i1 e A. . = ílnV p 2 ij d ,
ij
e a indutância pode ser escrita como
Lab = K1 - 0,0772 + 0,809 x 10 3h y ^ c o s 0
+ Zn(
d 'ab . x 3— )
1,713 x 10-3 R dai dabV p 2
= K-, 7,8228 + 0,809 x 10-3h cos 0 +ln — —
da b / 1 _
Mas, se a parte do termo resultante for separada do espaça
mento d , , então teremos ab
Jab = K-, 7,8228 + 0,809 x 10 3h — cos 0 + £nP
p
+ K-, £n
ab
(Indutância do 
espaçamento)
Comentário
Note-se nessa forma de equação, que a altura do con­
dutor não entra no logaritmo e, portanto, essas equações po 
dem ser usadas para calcular a indutância de um condutor de 
altura zero. Isto serã correto somente para as baixas fre- 
qüências ou para valores de r pequenos, pois os valores de 
correção para os valores maiores de r incluirão termos de 
correção adicionais, envolvendo h como argumento de um Ioga 
ritmo.
Problema 4-9. Calcular a indutância de seqüência positiva * 1
de uma linha sem cabos de cobertura. Incluir 
o efeito da terra, usando as equações de in 
dutâncias, reveladas no problema 4-8. Supo­
nha uma disposição de condutores horizontais.
Solução - A reatância de seqüência positiva ê achada 
usando-se a equação (4.34).
Z, = i(Z +Z, ,+Z - Z ,-Z, -Z )1 3 v aa bb cc ab bc ca
Usando os valores de indutância do problema 4-8 e notando
que os termos constantes são retirados, obtêm-se
L1 * K1 “ rSg + 31 x ° ’809 x 1 0 ~ 3 »/T [ 3 -
-2 cos 0ab - cos 0ac ] - *
K-^n
dab dbc dca
onde 0 ê o ângulo para o m e n dos con 
dutores( ver figura 4.04)
Lj = Kx in / ̂ ab ^bc ^^a . ^1 __ ,«-3,. /fRMG
K1 „ _ + yt x 0,809 x 10 h y j
- 2 cos 0 . - cos 0ab ac
1
3 -
Comentário : Note-se aqui, que a indutância de seqüência
positiva ê definida exatamente como foi na equação(4.36) ,
mas, agora, o termo de correção esta numa forma diferente.
Esta diferença na forma do termo de correção resulta porque
os termos de correção de terra, mostrados como 4 AL nav 3 pos
equação(4.36), estão incluídos na formulação do problema.
A indutância de uma linha sobre uma terra perfeita 
foi calculada no problema 4-4. O termo de correção nesse 
problema, foi igual a 3% do valor calculado, usando-se o 
calculo da DMG e RMG. Novamente usando a configuração des­
crita no problema 4-1, o termo de correção(presumindo p = 
100) ê
cos 0ab
30
/ 302 + 602
60
67 0,895
COS 0ac ££85 0 ,'706
3 - 2 cos 0 , - cos 0 = 3 - 1,79 - 0,706 = 0,504ab ac '
Lcor
T, 0,809 x 10 
K1 3
0,3218 x 10-3 x
/~6Õ
X 30 V IÕÕ x
3,15 x 10_3=
0,504 = I^x 3,15x 10 
1,01 x 10 ̂ H/milha
Torna-se aparente que o termo de correção, aqui, ê muito me 
nor do que aquele achado no problema 4-4 e pode ser descon­
siderado .
Ê justo esperar que o termo de correção seja menor 
para a linha de transmissão, incluíndo-se os termos de cor 
reção. Isso ê porque a influência da terra faz o caminho 
de retorno na terra, numa profundidade maior do que os con 
dutores de imagem especular usados para uma terra perfe^ 
ta. Conforme foi mostrado no Problema 4-4, o termo de cor­
reção ê influenciado pela profundidade do caminho de retor 
no efetivo.
Problema 4-10 Calcular a indutância de seqíiência zero da 
linha de transmissão sem cabos de cobertura, 
usando os valores de indutância, incluindo
os termos de correção da terra.
Solução; Usando a equação(4.42)para o calculo dos e- 
feitos de seqüência zero:
L = 4(L + L, , + L ) + -|(L , + L, + L )o 3 aa bb cc 3 ab bc ca
L = K, £n — ^ + Kn (7,8228+ 0,809x 10~3h./- + £n o 1 RMG 1 ' V p r— ~
+K 1 3 3 x 7,8228 + 0,809 x 10 3h J - 2 cos 0 , + cos 0 I +ab ac•]
+ 3 £n + K1 3 £n d , dw d ab bc ca
L0 Kl^n RMG + Klí'n + 3 (7, 8228+í.n ---) +(d , d, d̂ , ) /fab bc ca y —
+ K, 0,809 x 10 3h J - 1 V p
3 + 4 cos 0 , + 2 cos 0ab ac
Comentário:
Note-se que, aqui, a forma das equações são seme 
lhantes àquelas da equação(4.45), mas os termos são leve­
mente diferentes,porque os termos de correção de terra es­
tão incluídos de maneira diferente.
Usando a configuração do circuito do problema 4-1:
£n RMG = £n 12 = 2,48
&n
(d d d ) 2/3 ab bc ab
1430 = 7,27
3 x 7,8228 + 32.n = 23,4 + 3&n 3«,n i--
/ 60 
V 100
0,809 x 10-3h
= 0,809 x 10
23,4 +0,765 = 24,16
f 3 + 4 cos G , + 2 cos 0ab ac
x 30 x 0,774
3
3 + 4 x 0,895 + 2 x 0,706 
3
Lo
0,0498
= Kn 2,48 -
[l9,42j
= 6,25 x 10
7,27 + 24,16 + 0,0498
= 0,3218 x IO""3 x 19,42 
3 H/milha
Usando este valor de indutância de seqüência zero, a rela­
ção da indutância de seqüência zero para a indutância de 
seqüência positiva ê
Lo _ 6,25 x 10-3 _ 0 noT _ o — 3 , z O
1 1,91 X 10 J
CAPÍTULO
APLICAÇÕES PRÁTICAS NOS SISTEMAS TRIFÁSICOS
I. INTRODUÇÃO
As técnicas matriciais, desenvolvidas nos capítulos 
precedentes, podem ser aplicadas diretamente nos sistemas 
trifásicos. Da matriz trifãsica que expressa as quantida - 
des de fase, pode-se obter os termos das componentes simé­
tricas para usar na analise de componentes de seqüência , 
ou manejar diretamente a matriz trifãsica.
As matrizes de impedância de componentes trifãsi - 
cos e simétricas, para varias configurações de linha típi­
cas, são apresentadas na seção V deste capítulo. Os resul­
tados foram obtidos usando-se as técnicas descritas nos 
capítulos anteriores, incluindo-se a incorporação dos fa­
tores de correção de terra de Carson e o método para eli­
minação de cabos de cobertura. A maioria das configura - 
ções de linhas analisadas tem mais de um condutor por fase 
Uma técnica para reduzir a matriz de impedância para uma 
entrada por fase (enfeixamento)ê descrita na seção II a- 
baixo.
Para apreciar a significância dos elementos da ma­
triz de impedância de componentes simétricas, ó efeito de 
linhas de transmissão desequilibradas ê discutido na seção 
III e o acoplamento mútuo entre dois ou mais circuitos
trifásicos ê discutido na seção IV.
A solução para um problema^ de tensão ressonante de 
duplo circuito ê destacada na seçao V. Esse problema, um 
tanto fora do comum, porém importante, demonstra a versa­
tilidade das técnicas matriciais apresentadas neste curso.
II. TÉCNICAS ANALÍTICAS PARA ENFEIXAMENTO DE CONDUTOR
No capítulo 3 foi mostrado como o cabo guarda po- 
deria ser eliminado da matriz de impedância,baseado no fa­
to físico(ou suposição) que a tensão no mesmo é zero. Os 
condutores num feixe de condutores podem, de forma pareci­
da , serem representados por uma simples linha e coluna na ma 
triz Z, reconhecendo que todos os condutores num feixe têm 
o mesmo potencial. A técnica de enfeixamento ê facilmente - 
mostrada, se for considerada uma matriz quadrada de nove e 
lementos:
faa] falj [2a2J
V1 = [Zla] Z11 Z12 h
V 2 [Z2a] Z21 Z22 J2
(5.1)
Os elementos representam os condutores 1 e 2 que devem ser 
enfeixados(isto ê, deve ser igual a e todos os ou­
tros condutores(a).
Assim P«] ê a matriz de impedância para todos os outros 
condutores.
sao matrizes de coluna de impedâncias mutuas 
entre "todos os outros condutores" e os con­
dutores 1 e 2 respectivamente.
z11' z12 e Z22 S^° imPedancias Próprias e impedâncias mú­
tuas para os condutores 1 e 2.
Da teoria de equações simultâneas, ê conhecido que , 
sem perder informações relevantes, uma equação pode ser 
substituída por uma equação que ê uma soma linear de si 
mesma e de uma ou mais das outras. Utilizando esta propri­
edade, deve-se subtrair a equação = £ Z-^ 1^ da equação
V = ) Z^. i.. Na forma matricial (retirados os parênteses2 £ 2i i
da submatriz):
Va Z Z - aa al Za2 Ia
vi = i—i•—i 
N(13i—1
CS3 Z12 i—i 
H
0 _( Z 2a - Z l a > ( Z 21 " z l l ) (Z22 " Z12J_ l H
A ultima linha e coluna, na equação matricial, pode ser a- 
gora eliminada usando-se as equações desenvolvidas para a 
eliminação de cabos de cobertura.
Entretanto, em geral ê desejável tomar simétrica a matriz Z, 
antes da eliminação. A simetria ê atingida subtraindo-se a coluna , 
que multiplica I, da coluna que multiplica e ajustando 
a matriz [i], para manter a equivalência da equação:
Va zaa 1-1tf
CS3 (Za2 - Zal}
i—i 
> = zla i—1 i—1
CS3 (Z12 - i—1 i—1
tSJ
0 _<Z2a - Zla> <Z21 - Zll> (Z22 “ Z12 Z21 + Zll}_
Ia
x h + T2 (5.3)
I2
A eliminação da última linha e coluna produz uma equação matricial que 
indica que o feixe (condutores 1 e 2) ê agora representado pela tensão 
de fase e a corrente de fase ^
aa
la
—
Iaz Xcor I, +
_ _ 1 2__
(5.4)
III. CORRENTE E TENSÃO DE LINHA DE TRANSMISSÃO DESEQUILI- 
BRADA
Normalmente, os cálculos de fluxo de carga
são feitos usando-se uma representação de rede de impedân 
cia de seqüência positiva, de um sistema de potência. Para 
a suposição de que não hã desequilíbrios' de impedância de 
sistema, não hã conexão entre as redes de seqüências positi_ 
va e zero ou negativa. Por isso, quando o sistema ê excita­
do por uma fonte de tensão de seqüência positiva, flui so­
mente uma corrente de seqüência positiva. Diz-se que as cor 
rentes trifãsicas estão equilibradas, isto ê, as suas magn.i 
tudes são iguais e elas estão separadas a 120^. Em qualquer 
linha de transmissão e, especialmente, numa de transporte 
hã desequilíbrios de impedância suficiente para causar algu 
ma tensão e corrente de seqüências negativa e zero.
Considere-se o sistema trifãsico na figura 5.1, onde u 
ma fonte de seqüência positiva, com uma impedância de fonte 
equilibrada, estã ligada sobre uma linha de transmissão à u 
ma carga equilibrada.
FONTE DE SEQÜÊNCIA 
POSITIVA EQUILIBRAOA.
I „■ •j LINHA DE TRANSMISSÃO, j CARGA EQUILIBRADA.
I
II
N
vW—i
Figura 5.1
As matrizes de impedâncias, de tensão e de corrente são re 
presentações trifãsicas, tais como:
H + M + [zJ X (5.5)
a Ic
ou
“ -
I 1a -1
Jb = ■ J + H + H X a
2I ac
_ _
(5.6)
As componentes simétricas equivalentes â equação(5.6) sao:
- - - 1
Io OO
CS]
Z 0 1 Z 0 2
0
i—
i 
H II o 1—1 
IS] 1—
1 
1—
1 
CSI
Z 1 2
Ea
H
_______
1 _Z 2 0
1—
1 
CM
 
IS]
Z 2 2 _
---
1
o___
i
(5.7)
Se todos os elementos do sistema, inclusive a linha de 
transmissão, forem equilibrados, todos os termos fora da 
diagonal, na matriz de componentes simétricas de impedân - 
cias, £zcJ , serão 0. Consequentemente, todos os elementos 
fora da diagonal no Pc] também são zero e, da equaçao(5.7) 
fica aparente que Iq e tornam-se zero, isto ê, somente 
as correntes e tensões de seqüência positiva aparecem no 
sistema.
Uma linha de transmissão desequilibrada,entretanto , 
causara componentes de corrente de fase de seqüência zero 
e negativa que resultarão em componentes de seqüência zero 
e negativa, induzidas através de elementos em série equiljL 
brados, bem como desequilibrados.
Por exemplo, através da impedância de carga equilibra 
da Z^, as tensões de seqüência são:
VL0 ZL0 0 0 _
_1
VL1 = 0 i—1
CS] 0 X 1—1 
H
V12 0 0 ZL2 X2
- _
As tensões de seqüência na fonte são
o>
(ZT00 + ZL0) ZT01 ZT02
OH
VS1 = ZT10 <ZT11 + ZL1) \ 12
Vs2 ZT20 ZT21 (ZT22 + ZL2)
i
CN
H____
i
(5.9)
Referente à figura 5.1 torna-se claro que o desequilíbrio 
ê mais pronunciado quanto mais alta ê a impedância da linha 
de transmissão, comparada com a soma da fonte equilibrada e 
das impedâncias de carga. Isto ê, as componentes mais altas 
de seqüência zero e negativa serão experimentadas para uma 
longa linha que liga uma fonte inflexível a uma carga de 
baixa impedância ou, mais comum, uma linha longa de trans­
missão que liga aos grandes sistemas .
As correntes de seqüência negativa são importantes 
em alguns sistemas, porque as correntes de seqüência nega­
tiva, que fluem nos geradores, produzirão um aquecimento 
do rotor e com isso uma redução da capacidade normal da ma 
quina. As correntes excessivas de seqüência negativa podem 
ser reduzidas pela transposição na linha de transmissão.
IV. IMPEDÂNCIA MOTUA ENTRE CIRCUITOS TRIFÂSICOS
Nos estudos de correntes de fuga é geralmente neces 
sãrio incluir a impedância mutua de seqüência zero entre os 
circuitos numa linha de circuito duplo. Em alguns casos, a 
impedância de seqüência positiva mutua ê importante para os 
estudos de fluxo de carga. Os efeitos de acoplamento podem 
ser ilustrados considerando-se os equivalentes da rede de 
linhas de circuito duplo. Os próximos parágrafos tratam do 
acoplamento mutuo na rede de seqüência zero, mas o procedí 
mento ê válido também para asredes de seqüência positiva.
A. Rede de Impedância Mutua de Seqüência Zero
Se ê conhecida a impedância de seqüência zero de cada 
circuito e a impedância mutua entre os circuitos, o acopla 
mento entre os circuitos pode ser alcançado usando-se um 
transformador, conforme ilustrado na figura 5.2.
Z oo-1 o o - M
I— '■^JüüL'—
Z - Z o o - 2 o o - M
>--------— npnrsir*-------------------------- 1
0
-------------------o
o-2
CIRCUITO 1
CIRCUITO 2
O — -------------------------------------- — O
Zq0—i Impedância de seqüência zero para o circuito n9l
Zq o - 2 Impedância de seqüência zero para o circuito n92
Zq q —m Impedância mutua de seqüência zero
Equivalente de Seqüência Zero para a Linha de 
Transmissão de Circuito Duplo
Figura 5.2
Pela inspeção pode-se ver que o circuito satisfaz(como deve) 
as equações de acoplamento na forma matricial:
Vo-l
Vo-2
Z i oo-l
2oo-M
oo-M
Joo-2
o-l
o-2
(5.10)
onde e Vq _ 2 são quedas de tensão de seqüência zero pa
ra os circuitos 1 e 2 respectivamente.
O transformador proporcionara isolação assim que as cor 
rentes estiverem forçadas para as suas respectivas redes e 
a impedância através do transformador(zQO_M)produzir queda
de tensão própria no circuito adjacente. A mesma técnica 
pode ser usada para as configurações de circuito múltiplo.
A rede ê mais complexa e exige um transformador entre cada 
rede de seqüência.
Alguns programas computacionais usados no calculo de 
corrente de fuga não convergirão se os elementos de impe­
dância negativa forem usados na rede. Se tal programa for 
usado, o termo de impedância mútua não poderã ser maior do 
que o termo de impedância própria. Se assim for, serã ne­
cessário incluir alguma impedância de fora da linha de 
transmissão, como parte de reatância da linha de transmis­
são, para assim manter o termo de reatância positiva.
B. Termos de Impedância Mutua para Linhas de Níveis de 
Tensão Diferente
Quando uma linha de duplo circuito ê operada com ten­
sões diferentes em cada circuito (digamos de 345kV no circuito 1 e 
138kV no circuito 2)os efeitos mútuos são achados da mesma maneira 
como estã descrito acima. Este circuito equivalente ê ade­
quado, porque a corrente (em ampêres), em cada um dos cir­
cuitos, produzirá a tensão própria (em volts) no circuito 
adjacente.. Porém, quando o problema estã colocado numa 
base "por unidade", a aproximação não ê tão óbvia.
Num tal circuito, deseja-se manter as quantidades,por uni­
dade, para ambas as tensões e, por isso, a tensão acoplada 
deve ser relacionada, propriamente, com a base de " por u- 
nidade ". Isto se concretiza, calculando justamente a base 
de Impedância mútua em por unidade. A impedância por base unitária ê
Nota:
Base, Circuito 1
^ VCircuito 1̂ 
MVA
JBase, Circuito 2
^ VCircuito 2) 
MVA (5.11)
JBase, mútuo
kV^. . ̂ nkV0 . . . 0Circuito 1 Circuito 2
MVA
Derivação de ZMB
(1) Equação Geral: I. x Zw = V n1 M 2
(2) Equivalente por unidade: I. x Z = v„1 M 2
1(3) Volumes por unidade: I,= ■=— ;
1B
V,
V =
V2B'
z„ = MM ZMB
J1 ZM(4) Substituindo ( 3) em(2): -— x
V.
I1B ZMB V2B. 
V 2B(5) Rearranjando (4) : Z =(/St— ) x ■=—MB / V2 I1B
(6) Mas:
(Substituindo na equação(1)
MVA
V1B X I1B MVA °U I1B V1B
V1B V2B
MB(7) Assim: MVA
As quantidades unitárias, calculadas usando-se a equação 
(5.11), podem ser substituídas no circuito equivalente da 
figura 5.2.
V. MATRIZES DE IMPEDÃNCIA DE COMPONENTES DE FASE E SIMfi- 
TRICAS PARA AS LINHAS DE TRANSMISSÃO TlPICAS
Para mostrar a influência de vários parâmetros, as 
impedâncias de fase e de componentes para as linhas • de 
transmissão são apresentados nas páginas seguintes. Os re­
sultados foram obtidos por meio de programas computacionais 
que usa técnicas de matrizes descritas neste curso.
A. Índice dos Casos
do Caso Tensão
Condutores 
por Fase
Cabos de 
Cobertura
i 345 1 Alumoweld
2 345 2 ii
3 500 2 H
4 500 3 H
5 345 2 Nenhum
6 345 2 Aço
7 345 2 ACSR
8. Duplo Circuito 345 2 Alumoweld
B. Nomenclatura’de Descrição dos Casos
Todas as medidas nas figuras são em pês. As alturas 
dos condutores e dos cabos de cobertura são medidas ao lon­
go do vão.
D = Diâmetro total em polegadas.
R = Resistência por condutor em ohms/milhas.
X^= Reatância indutiva a um raio de 1 pê em ohms/milha.
A matriz de impedância trifãsica relaciona as tensões 
de fase com as correntes de fase:
Va Ia
Vb Z Ib
Vc
(5.12)
Visto esta matriz ser simétrica, ê mostrado somente o trian 
guio inferior. O valor superior em cada elemento ê a resis­
tência, enquanto o valor inferior ê a reatância; ambos estão 
em ohms por milha.
A matriz da impedância de componentes simétricas rela­
ciona as tensões componentes às correntes componentes. Para 
uma linha de circuito duplo:
V o ' V o '
vi- i [zn ] V ] h - l
Vl-2 I l-2
V2-0
!l
I2-0
V2-l
M M I2-l
V2-2 I2-2
, mas as submatrizes não são simétricas. 
Para uma linha de circuito simples,a matriz se reduz a
f i j - Devido ao seu uso freqüente, a proporção X^/X^ é
calculada e relacionada em cada caso.
Os fatores de correção de Carson estão incluídos nos 
cálculos, usando uma resistividade da terra de p = 100 ohm 
metro. Em todos estes casos,a freqüência é de 60 H^.
AqUÍ' [ Z12] = [ Z
Caso 1 - 345 kV
Condutor: ACSR dilatado 1414 MCM 
Cabo de cobertura: Alumoweld
1 O o
| a b c 7 # 8
f j * 28* ® 2 8 ’ ° Condutor Cabo guarda
44 ' D (pol) 1,75 3/8
R (Ohm/mi) 0,0728 2,44
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 7 7 7 7 7 Xa (Ohm/mi) 0,3336 0,749
Matriz de Impedância Trifãsica
a
0,24777
1,15599
b c
0,17831 0,25569
0,41325 1,14563
0,17292 0,17831 0,24777
0,33511 0,41325 1,15599
Matriz Das Componentes Simétricas Da Impedância
0 2
0,60346
1,92698
-0,02179
-0,00745
0,01735
-0,01514
0,07390
0,76536
-0,02178
-0,00745
-0,04763
0,02860
Xr
X,
0,01735 0,04859-0,01514 0,02694
0,07390
0,76536
2,53
Caso 2 - 345 kV
' 9,5' I 37'
T- I
70'
<3
50I
b c
OjO o o
28* | 28'
44'
Condutor: ACSR, 10 33,5. MCM 
("CURLEW")
ESPAÇAMENTO DO ENFEIXAMENTO= 18"
7T7TT77TTTT777TT7TTTT77T7TT7
Matriz de Impedância Trifásica
Cabo de cobertura : 7 # 8
Alumoweld
Condutor Cabo guarda
D 1,246 3/8
R 0,0979 2,44
Xa 0,3847 0,749
a b c
a 0,223930,99010
b 0,178300,41332
0,23184
0,97971
c 0,172900,33518
0,17830
0,41332
0,22393
0,99010
Matriz das Componentes Simétricas da Impedância
0 1 2
0 ” 0,57958 1,76123
0,01734
-0,01514
-0,02178
-0,00745 X0
1 -0,02178-0,00745
0,05006
0,59937
-0,04763
0,02861
X1
2 0,017340,01514
0,04860
0,02694
0,05006
0,59937
Caso 3 - 500kV
| 10, 25 '* |
72'
o|o
4 4 '1
55 ,5 '
o|o
l 38 '
ESPAÇAMENTO DO ENFEIXAMENTO = |8 ‘
77177777717777777777777777777
Condutor: ACSR 2167 MCM 
(" KIWI " )
Cabo de cobertura: Alumoweld 7^=7
Condutor 
D 1,737
0,0515
X 0,3474a
Cabo Cobertura 
7/16"
1,937
0,735
Matriz de Impedância Trifãsica
a b c
a “ 0,18890 0,95628
. b 0,164630,36188
' 0,19408 
0,94673
c 0,15899 0,28472
0,16463
0,36188
0,18890
0,95628
Matriz das Componentes Simétricas da Impedância
Õ 1 2
0 0,516131,62545
0,01771
-0,01439
-0,02132
-0,00814 fo
1 -0,02132-0,00814
0,02788
0,61695
-0,04630
0,02907 X1
2 0,01771-0,01439
0,04833
0,02556
0,02788
0,61695
Caso 4 - 500kv
10,25'
?I 555’
T V
72'
O O
-2§!__3
44,5'
ESPAÇAMENTO DO ENFEIXAMENTO
777777777/777777777777777
Condutor: ACSR, 954 MCM 
( "RAIL" )
'abo de Cobertura: Alumoweld
Condutor Cabo de Cobertura
J 1,165 7/16
R 0,1080 1,937
Xa 0,0898 0,735
Matriz de impedância Trifásica
a
0,19916
0,90611
b c
0,16463 0,20434
0,36183 0,89656
0,15899 0,16463 0,19916
0,28469 0,36183 0,90611
Matriz das Componentes Simétricas da Impedância
0 1 2
0,52641 0,01771 -0,02131
1,57520 -0,01439 -0,00814
-0,02131 0,03813 -0,04628
-0,00814 0,56682 0,02906
0,01771 0,04831 0,03813
-0,01439 0,02554 0,56682
2,77
Caso 5 - 345 kv - Sem Cabo de Cobertura
Configuração e Condutor são os mesmos que no caso
Matriz de Impedância Trifásica
a b c
a 0,143511,13365
b 0,094550,56172
0,14352
1,13362
c 0,09451 _ 0,47775
0,09455
0,56172
0,14351 
0,13365 _
Matriz das Componentes Simétricas da Impedância
0 1 2
0
1
0,332592,20115
-0,02424
-0,01397
0,02422
-0,01400
0,04898
0,59993
-0,02424
-0,01397
-0,04848
0,02802
xo
xr = 3'67xi
2 0,02422-0,01400
0,04850
0,02797
0,04898
0,59993
Caso 6 - 345 kv - Cabo de Cobertura de Aço
Configuração e Condutor, os mesmos que no Caso 2.
Cabo de Cobertura:: Aço EHS,D=3/8;R=3,5;X. = 0,8382
Matriz de Impedância trifásica
a b c
0,22265
1,03016
0,17693 0,23010
0,45482 1,02291
0,17210 0, Í769 3 0,22265
0,37482 0,45482 1,03016
Matriz das Componentes Simétricas da Impedância
0 1 2
0 “ 0,57578 1,88409
0,01895
-0,01567
-0,02305 ~ 
-0,00858 xo
1 -0,02305-0,00858
0,04981 
0,59961
-0,04791
0,02851
X1 "
2 0,01895-0,01567
0,04865
0,02724
0,04981
0,59961
Caso 7 - 345kV - Cabo de <Cobertura ACSR
Configuração e Condutor, os mesmos que no
Cabo de Cobertura : ACSR, 159 MCM ("GUINEA"); D
R = 0 ,630; X = 0,520 a
Matriz de Impedância Trifãsica
a b c
a 0,152380,87172
b 0,104190,29132
0,15557
0,85210
0,10045
0,22027
0,10419
0,29132
0,15238
0,87172
Matriz das Componentes Simétricas da Impedância
0 i 2
0 0,359341,40048
0,01369
-0,01057
-0,01600
-0,00657 xo
1 -0,01600-0,00657
0,05050
0,59756
-0,04596
0,02819
X1 "
2 0,01369-0,01057
0,04740
0,02571
0,05050
0,59756
= 3,14
2 .
576
Caso 8 - 345 kv
1
—r b q\q 28'
•«IO,
O O 0— II 0 ■9‘ °1°
ESPAÇAMENTO DO 
ENFEIXAMENTO = lí
ondutor:ACSR 1033, 5 MCM 
("CURLEW")
Cabo de Cobertura:
7 8 Alumoweld
Condutor Cabo de cobertura
D 1,246 3/8
R 0,0979 2,44
Xa 0,3847 0,749
Matriz
Circui­
to # 1
a
b
c
Circui­
to # 2
a
b
c
de Impedância Tnfásica
a b c a b c
0,19910
1,02030
0,15540 0,21016 L V 1 - í v 10,47166 1,00773 1
0,16684 0,17376 0,23760
0,38162 0,44319 0,97610
0,15003 0,15511 0,16632 0,19910
0,41135 0,36944 0,34587 1,02030
0,15511 0,16053 0,17252 0,15540 0,21016
0,36944 0,35207 0,34973 0,47166 1,00773
0,16632 0,17252 0,18635 0,16684 0,17376 0,23760
0,34587 0,34973 0,37474 0 , 38162 0,44319 0,97610
22 ” Z11Notar: Z devido â simetria da configuração.
Matriz das Componentes Simétricas da Impedância
Matriz z-11 Matriz Z-12
0 1 2 0 i 2
0 0,54630 0,02265 -0,04759 0,49495 -0,01148 -0 ,012001,86574 0,01517 -0,00728 1,08944 0,02932 0,00793
-0,04759 0,05029 -0,04268 -0,01200 0,00098 -0 ,02009
J L -0,00728 0,56924 0,02181 0,00793 0,02437 0,01169
9 0,02265 0,04302 0,05029 -0,01148 0,02022 0,00098Z 0,01517 0,01917 0,56924 0,02932 0,00971 0,02437
Matriz Z-22
N J - pid
Nota: Neste caso, devido 
â simetria, [Zll] = [Z22]
0,54630 0,02265 -0,04759
1,86574 0,01517 -0,00728
-0,04759 0,05029 -0,04268
-0,00728 0,56924 0,02181
0,02265 0,04302 0,05029
0,01517 0,01917 0,56924
X0— = 3,28 (Em ambos os circuitos) 
X1
C. Discussão dos Casos 1 - 8
Efeito de Enfeixamento. Uma comparação do caso 1 e 2 
mostra que o efeito de enfeixamento ê o de reduzir a rea- 
tância própria substancialmente. Neste caso obtém-se uma 
redução de 15%, apesar do uso de condutores menores no fei_ 
xe. As impedâncias mutuas não são sensíveis ao enfeixamen 
to. A reatância de seqüência positiva ê reduzida em 20% e 
transladada num limite de potência de condição de estabili^ 
dade uniforme para 20% mais alto numa linha de 2 conduto - 
res, por fase.
Perdas de Transmissão. No caso 1, a resistência do
condutor ê R = 0,0728 ohms/milha, porém, o componente real
de Z ê de 0,24777 ohms por milha. Esta diferença represen aa
ta as perdas na terra(conforme apresentado pelos fatores de 
correção de Carson)e no Cabo de Cobertura, para o caso onde 
a corrente flui somente na fase "a". A resistência de se- 
qüência positiva ê somente um pouco mais alta do que a re­
sistência do condutor, indicando que, durante as condições 
equilibradas, muito pouca corrente flui no fio condutor à 
terra ou mesmo na terra.
Acoplamento Mutuo entre os componentes. A matriz das 
componentes simétricas da impedância indica o grau de im- 
pedância desequilibrada. Uma apresentação apropriada da 
rede de acoplamento entre as redes de componentes é muitas 
vezes impossível, devido a 1) partes reais negativas nos 
termos mütuos e 2) falta de reciprocidade( a matriz não ê 
simétrica) . Entretanto, pode-se demonstrar que Z ^ = Ẑ -̂ e
Ẑ ]_ = Z ]_0 ( Analise do circuito de potência: Capítulo 5 ) .
Efeitos do Cabo de Cobertura: Os casos 2, 5, 6 e 7 so­
mente diferem no que diz respeito ao fio condutor ã terra.
A reatância de seqüência positiva (X^),que determina o flu
xo da potência durante as convenções equilibradas, pratica 
mente não fica afetada pela presença dos Cabos de Cobertu­
ra. Entretanto,Xq é bem sensível ã impedância do Cabo Guar 
da, dando a preferência aos Cabos de Cobertura, de impedân 
cia durante as condições desequilibradas; por exemplo, fa­
lhas mono ou bifãsicas. A tabela 5.1 mostra X^/X-^ como uma 
função da crescente impedância do fio condutor â terra pa­
ra a configuração de 345 kV jã investigada:
Tabela 5-1
Tipo de 
Cabo Guarda Caso R Xa X0/X
ACSR 7 0,630 0,520 2,32
Alumoweld 2 2,44 0,749 2,94
Aço 6 3,5 0,8382 3,14
Sem Cabo Guarda 5 («) - 3,67
Linha de Transmissão de Circuito Duplo: O caso 8 mos­
tra que a fase C tem a reatância própria mais baixa, como 
se poderia esperar, pois este condutor ê o mais próximo do 
cabo guarda. Torna-se aparente que o acoplamento de seqílên - 
cia zero, entre os dois circuitos, pode ser muito importan­
te para linhas longas, desde que Zq_q = 1,08944 ohms/milha.
Entretanto, o acoplamento de seqüência positiva ê raramen­
te perceptível para a seqüência de fase investigada.
VI. TENSÕES ACOPLADAS RESSONANTES DE CIRCUITO DUPLO
As técnicas desenvolvidas nos capítulos preceden­
tes são úteis tanto para os problemas normais como para os 
fora do comum. Um caso, um tanto fora do comum, serã aqui 
discutido para mostrar a aproximação geral em tais proble­
mas .
Normalmente, a tensão num circuito desenergizado, 
de uma linha de circuito duplo com o outro circuito energi- 
zado, ê somente uma pequena porcentagem do normal. Esta 
tensão resulta do acoplamento capacitivo entre os dois cir­
cuitos. Entretanto, as medições de campo em tal circuito , 
indicam uma tensão de quase 100% do normal. A característi­
ca extraordinária, aqui, foi que o circuito desenergizado 
tinha um reator em derivação, de alta tensão, ligado dire­
tamente à linha. Sobretensões ressonantes eram suspeitas e 
analises deste circuito confirmaram ser este o caso.
Um diagrama do circuito mostra o problema mais claramente.
CIRCUITO 1
Figura 5.3
Na figura 5.3, a tensão no circuito 1 é mantida em 
1,0 por unidade, por fontes de impedância relativamente 
baixa. Presumindo que a tensão no circuito n9l ê constante 
ao longo da linha, a situação pode ser analisada com refe­
rência â figura 5.4.
CIRCUITO 1 T T CIRCUITO 2
Ma -12a
Figura 5.4 j
A relação entre as correntes capacitivas e a tensão do con 
dutor ê dada pela equação ( 5.14 ):
1
1—
1
, 
H
r 1
C C 
^ 1 1 • ± 2
1------------
i—
1
* 2 _
II
LJ
.
8
c f c
2 1 » 2 2
L- | “ J
_V 2 _
( 5.14)
onde:
J = correntes trifãsicas que fluem no circuito n?l.
Esta corrente ê seguidamente chamada de corren 
te de "carga", porque ela ê controlada pela 
carga do condutor, necessária para manter a 
tensão.
JjE2 J = corrente" de carga " para o circuito 2 
J = tensão de fonte no circuito 1
J = Tensões de fase no circuito 2 a serem calcula 
das.
A matriz de admitância jco pode ser obtida, conforme o
descrito antes, pela inversão da matriz de reatância capa- 
citiva.
ju)[c] = j [Xj'1 (5.15)
Visto M fluir através dos reatores, tem-se
[V2 ] = " j [XL ] \ ^ 2 ] (5.16)
onde
ê uma matriz de 3 por 3, com os 
elementos iguais â reatância pró 
pria de cada reator individual.
(5.17)
Substituindo a equação(5.17) pela equação(5.14) resulta:
h j“ [c n ] i . - 1 . j“ [C 12]
'
i
1—
1
L>__1
0 jtüp 2 l J J > [ C 2 2] * Jj*!.]'1
X i---
'
CN
1 >. .
A segunda das equações dá
0 * j“ [C2l][Vl] + ( H c 22] ■ j [x l]'1) [va]
ou
[V2̂ = “ (̂ u [c22] ” ̂[XlJ ) X [C2l] [Vl] (5.19)
Dessa forma, as tensões P°dem ser calculadas pe­
la estimativa numérica da equação matricial. Uma analise 
detalhada desta equaçãotem mostrado que podem resultar 
tensões ressonantes. De fato, as tensões acopladas podem 
exceder 1,0 por unidade, para a combinação apropriada do 
comprimento da linha e do tamanho do reator.
O aspecto físico do problema é mais facilmente 
compreendido pela redução do problema em dois circuitos de 
fase simples e tirando diagramas do circuito equivalente( 
figura 5.5(a)).
h
(o)
Figura 5.5
Uma vez que é posto em paralelo por uma fonte de tensão,
este pode ser retirado do circuito, sendo que ê obtido um 
circuito equivalente mais simples (figura 5.5 (b) ). Resolven­
do este circuito para âã1
X2
X3 + X2
V,
X„ =
X. =
j(dC9 +
jcoC.
Í Xt
(5.20)
Esta visto que torna-se infinito quando ^ = 0 ;
isto ê, quando o circuito esta em ressonância serie.
Com um condutor por circuito, a equação geral(5.19) 
ê reduzida para:
- j oüC
= 21 V,
jcoC22 J XT
:s. 2i)
Agora,
C ~ - C^21 j
c = c + c
22 2
jwCv 2 = - - - - - - ^ - - - - - - - V
DwC2 - D + Da)C3 L
(5 .22)
Um pouco de álgebra mostrará que esta equação ê idêntica á 
equação . (5.20) .
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Stevenson; Elements of Power System Analysis.
2. Ramo & Whinnery; Fields and Waves in Modern Radio.
3. Jordan; Electromagnetic Waves and Radiating Systems.
4. Seely; Electric Transmission Lines.
5. Chipman; Transmission Lines; Shaum's Outline Series-1968.
6. Westinghouse;Transmission and Distribution Reference 
Book.
7. Clarke; Vol.I & Vol. II, Circuit Analysis of A-C Power 
Systems.
8. Sunde; Earth*Conduction Effects in Transmission Systems 
(Dover Publication).
9. EEI; EHV Transmission Line Reference Book.
CAPA-REINALDO PEDROSO