Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 1 e 2

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de 
I.I.
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy.
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Você acertou!
Solução:
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32.
Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59.
	
	C
	5252
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Observe o limaçon abaixo:
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a área da região cinza do limaçon r=1+2senθr=1+2senθ.
Nota: 10.0
	
	A
	4+32πu.a.4+32πu.a.
Você acertou!
Solução:
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.A=12∫0π[f(θ)]2dθ=12∫0π[1+2senθ]2dθA=12∫0π(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫0π[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫0π(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)|0πA=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.
livro-base: p. 33-36
	
	B
	3+12πu.a.3+12πu.a.
	
	C
	2+52πu.a.2+52πu.a.
	
	D
	1+72πu.a.1+72πu.a.
	
	E
	3+52πu.a.3+52πu.a.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Qual a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero?
Referência: Vídeoaula número 4 e Livro-Base, p. 101-102.
Nota: 0.0
	
	A
	an=2nan=2n
A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, ....
Como n começa em 2, pelo enunciado,
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2);
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4);
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2);
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares.
	
	B
	an=2n+1an=2n+1
	
	C
	an=n+1an=n+1
	
	D
	an=2n−1an=2n−1
	
	E
	an=n−1an=n−1
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é:
Nota: 10.0
	
	A
	16
	
	B
	25
	
	C
	30
Você acertou!
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base:  p. 75-76
	
	D
	36
	
	E
	40
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima.
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	1
	
	D
	2
	
	E
	
Você acertou!
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 10.0
	
	A
	-12
	
	B
	24
Você acertou!
Solução:
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.  p.153 a p.155
	
	C
	15
	
	D
	-20
	
	E
	30
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
Você acertou!
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
livro-base: p. 21-24
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em tornodo eixo das abscissas é dada por:
Nota: 10.0
	
	A
	16ππ
	
	B
	16ππ√1717 u.a.
Você acertou!
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	C
	√1717 u.a.
	
	D
	√17π17π u.a.
	
	E
	2√17217 u.a.
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
   
Nota: 10.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
Você acertou!
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As integrais podem ser classificadas de acordo com suas características em diversos grupos: Integrais Duplas, Integrais Triplas, Integrais de Contorno, Integrais de Funções Parametrizáveis, Integrais Vetoriais, entre outras.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Dadas as equações paramétricas
⎧⎨⎩x=ty=t2z=t3{x=ty=t2z=t3
Considerando as informações acima e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, indique a alternativa que calcula corretamente o valor da integral 
∫Cyzdx+xzdy+xydz∫Cyzdx+xzdy+xydz
Nota: 10.0
	
	A
	-1
	
	B
	0
Você acertou!
	
	C
	1
	
	D
	2
	
	E
	3
uestão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
De acordo com os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere RR a região delimitada pela cardióide r=2+2cosθ,r=2+2cosθ, conforme a figura abaixo:
A área da região RR mede? Assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	16π u.a.16π u.a.
	
	B
	12π u.a.12π u.a.
	
	C
	10πu.a.10πu.a.
	
	D
	8πu.a.8πu.a.
	
	E
	6πu.a.6πu.a.
A curva r=2+2cosθr=2+2cosθ é simétrica ao eixo polar (pois trocando θθ por −θ−θ, a equação r=2+2cosθr=2+2cosθ não se altera). Desse modo, calculamos a área da região acima do eixo polar e multiplicamos o resultado por 2, ou seja, 
Área(R)=2[12∫π0(2+2cosθ)2dθ]=∫π0(4+8cosθ+4cos2θ)dθ=∫π0[4+8cosθ+4(1+cos2θ2)]dθ=∫π0(6+8cosθ+2cos2θ)dθ=(6θ+8senθ+sen2θ)∣∣∣π0=6π+8senπ+sen2π=6π+0+0=6πu.a.Área(R)=2[12∫0π(2+2cosθ)2dθ]=∫0π(4+8cosθ+4cos2θ)dθ=∫0π[4+8cosθ+4(1+cos2θ2)]dθ=∫0π(6+8cosθ+2cos2θ)dθ=(6θ+8senθ+sen2θ)|0π=6π+8senπ+sen2π=6π+0+0=6πu.a.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla .
Nota: 10.0
	
	A
	8
	
	B
	16
	
	C
	30
	
	D
	57
Você acertou!
	
	E
	70
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, responda: Dada a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, a alternativa que corresponde corretamente ao valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5) é:
Nota: 0.0
	
	A
	132132
Solução:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
	
	B
	145145
	
	C
	133133
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero?
Nota: 10.0
	
	A
	an = 2n
	
	B
	an = 2n + 1
	
	C
	an = n + 1
	
	D
	an = 2n – 1
Você acertou!
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, ....
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0.
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares.
livro-base p. 101-102
	
	E
	an = n - 1
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a citação:
"Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76.
Considerando a citação e o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, responda: Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto x1, uma unidade do segundo produto x2 e quatro unidades do terceiro produto x3, calcule o custo.
Nota: 10.0
	
	A
	120
Você acertou!
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o comprimento da cardioide cujo raio é igual a r=1+cosθr=1+cosθ, no intervalo [0,π][0,π] e assinale a alternativa correta.
Fonte: Livro-Base, p. 30-33.
Nota: 10.0
	
	A
	4u.c.4u.c.
Você acertou!
Para obter o comprimento do arco, devemos calcular o valor considerando o intervalo [0,π][0,π]. Assim,
S=∫π0√(−senθ)2+(1+cosθ)2dθ=∫π0√sen2θ+1+2cosθ+cos2θdθ=∫π0√2(1+cosθ)dθ=∫π0√2⋅√2cos2(θ2)dθ=∫π02cos(θ2)dθ=2⋅2sen(θ2)∣∣∣π0=4u.c.S=∫0π(−senθ)2+(1+cosθ)2dθ=∫0πsen2θ+1+2cosθ+cos2θdθ=∫0π2(1+cosθ)dθ=∫0π2⋅2cos2(θ2)dθ=∫0π2cos(θ2)dθ=2⋅2sen(θ2)|0π=4u.c.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
	
	B
	8u.c.8u.c.
	
	C
	4πu.c.4πu.c.
	
	D
	8πu.c.8πu.c.
	
	E
	16u.c.16u.c.
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas curvas y=x2y=x2 e y=√xy=x, do gráfico a seguir, é
Nota: 10.0
	
	A
	13u.a.13u.a.
Você acertou!
Solução:
A=∫10∫√xx2dydx=∫10y∣∣∣√xx2dx=∫10(√x−x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59
	
	B
	23u.a.23u.a.
	
	C
	43u.a.43u.a.
	
	D
	53u.a.53u.a.
	
	E
	73u.a.73u.a.
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, seja A um conjunto definido no espaço quadridimensional R4 e, a função f(x, y, z, t) = x² + y² + z² + t² , que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. O valor de f(1,2,3,4) é:
Nota: 10.0
	
	A
	16
	
	B
	25
	
	C
	30
Você acertou!
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.). p. 75-76
	
	D
	36
	
	E
	40
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a.
Você acertou!
Um esboço desta região é apresentado abaixo:
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}.R={(x,y)∈R2;0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, 
A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a.            (livro-base p. 54-59)
	
	B
	A=∫40∫√y0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a.
	
	C
	A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a.
	
	D
	A=∫40∫√y0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a.
	
	E
	A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a.
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2]
Nota: 10.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
Você acertou!
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.