Teoria do Espalhamento

Prévia do material em texto

Física Quântica 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Bruno El-Bennich 
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Sandra Regina Fonseca Moreira
Teoria do Espalhamento
• Seção de Choque;
• Ondas Esféricas;
• Método de Ondas Parciais;
• A Aproximação de Born.
• Quase tudo o que sabemos sobre núcleos e partículas elementares foi descoberto em 
experimentos de espalhamento, começando pela descoberta de Ernest Rutherford, que 
os átomos têm sua massa e carga positiva concentrada em núcleos quase pontuais, até 
às descobertas das últimas décadas, que mostram, em uma escala de tamanho muito 
menor, que prótons e nêutrons são feitos de quarks, partículas aparentemente pontuais. 
Mais genericamente, os métodos que temos para sondar as propriedades dos sistemas 
de matéria condensada baseiam-se fundamentalmente na noção do espalhamento, que 
pode ser elástico ou inelástico. No caso elástico, uma partícula é espalhada por um alvo 
devido a uma interação, por exemplo, o potencial de Coulomb, e transfere um momento 
cinético e energia para o alvo. Porém, a partícula, bem como o alvo, permanecem intac-
tos. Se o espalhamento for inelástico, o alvo ou a partícula em si podem se transformar 
em outras partículas ou elementos químicos. Nesta unidade, fornecemos uma introdução 
aos conceitos e à metodologia da teoria do espalhamento.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Teoria do Espalhamento
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Teoria do Espalhamento
Seção de Choque
Começaremos com uma abordagem clássica ao espalhamento antes de tratar 
o caso quântico, a fim de revisar os conceitos fundamentais da teoria do espalha-
mento. Em um experimento clássico, consideremos partículas com energia cinética 
E mv=
1
2
2 incidente em um alvo com um parâmetro de impacto b . Este parâ-
metro é definido como a distância da linha que passa pela partícula incidente, na 
direção da sua velocidade incidente antes da interação com o alvo, com a linha pa-
ralela a esta que passa pela partícula que a espalhará (ou alvo). A pergunta principal 
no espalhamento clássico é: dado um parâmetro de impacto, qual é o ângulo 
de espalhamento? Em geral, quanto menor o parâmetro de impacto, maior é o 
ângulo de espalhamento.
Exemplo: Espalhamento da esfera dura — suponha que o alvo seja uma bola 
de bilhar de raio R e que a partícula incidente seja uma bolinha elástica. Encontre 
o ângulo de espalhamento em termos do parâmetro de impacto. 
a
b
a
a R
θ
Da geometria na Figura acima, vemos que o parâmetro de impacto é b R= sina , 
enquanto o ângulo de espalhamento é θ π α= 2- . Assim, temos a relação: 
b R R=
2 2
=
2
,sin cos
π θ θ
−












e a função inversa nos d·: 
q = {
2 ( / ) ,
0 > .
1− ≤cos b R b R
b R
se
se
Obviamente, se b R> , a bolinha não entra em choque com a bola de bilhar e 
continua o seu movimento linear. 
8
9
b
dσ
φ
dΩ
dθ
θ
Figura 1 
Espalhamento de uma partícula por um alvo, por exemplo, um núcleo atô-
mico, em que a seção de choque infinitesimal ds é proporcional à área cir-
cular dA bdbd= j .
Considere, agora, o alvo sendo uma partícula com potencial central V r( ) , por 
exemplo, o espalhamento de elétrons por um próton ou de prótons colidindo com 
um núcleo atômico. Se o potencial for repulsivo, a partícula será espalhada em um 
ângulo q, conforme ilustrado na Figura 1. As partículas incidentes dentro de um 
elemento infinitesimal de seção de choque ds irão se espalhar em um elemento 
infinitesimal de ângulo sólido d d dΩ = sin θ θ ϕ correspondente. Quanto maior a 
área, maior será o ângulo sólido. A seção de choque diferencial é definida como 
o fator de proporcionalidade: 
d
d
d
dσ
σ θ
=
( )
,
Ω
Ω
entre os elementos infinitesimais ds e dW , que é uma terminologia um pouco enga-
nosa, pois, na verdade, d dσ / Ω é um diferencial; d dσ / Ω é, no melhor dos casos, 
uma derivada, mas, sobretudo, um fator de proporcionalidade. Podemos notar que, 
neste caso, trata-se de um potencial central e o problema de espalhamento possui 
uma simetria cilíndrica, portanto, só depende de q . Em geral, a seção de choque 
diferencial d dσ θ ϕ( , ) / Ω pode também depender do ângulo azimutal j .
Podemos ainda expressar a seção de choque em termos do número de partículas 
dn espalhadas em um elemento do ângulo sólido devido a um fluxo 

j
i
 incidente 
de partículas (o número de partículas por unidade de tempo e por unidade de área). 
Obviamente, em uma dada direção, dn é também proporcional ao elemento de 
ângulo sólido além do fluxo de partículas: 
dn j
d
d
d j
d
d
d d
i i
=
( )
=
( )
.
σ θ σ θ
θ θ ϕ
Ω
Ω
Ω
sin (1)
A seção de choque diferencial, obviamente, possui uma dimensão de área e as 
seções de choque são comumente medidas em barns e submúltiplos de barns: 
9
UNIDADE Teoria do Espalhamento
1 = 10 .24 2barn cm- (2)
O elemento de seção de choque ds , bem como dn , dependem do parâmetro 
de impacto da seguinte forma (veja Figura 1): 
dn j bdbd= ,
i
j (3)
e se comparamos as equações (1) e (3), vemos que a seção de choque diferencial, 
escrita em termos de b, é 
d
d
b db
d
σ θ
θ θ
( )
= .
Ω sin
(4)
Usamos o valor absoluto devido ao fato que b, usualmente, é uma função que 
diminui com o ângulo, o que implica que a derivada é negativa. A seção de choque 
total é obtida integrando-se sobre o ângulo sólido: 
σ
σ θ
=
( )
,ò
d
d
d
Ω
Ω (5)
e representa a seção transversal efectiva das partículas do alvo onde interagem com 
um feixe de partículas incidentes.
No exemplo do espalhamento de uma partícula por uma esfera dura, mostramos 
a relação entre b e q : 
b R=
2
,cos
q




 (6)
da qual obtemos, após calcular a derivada, a equação (4): 
db
d
R d
d
R R
θ
θ σ θ θ
θ
θ
=
2 2
( )
=
( / 2) ( / 2)
2
−






⇒

sin
cos
sin
sin
Ω 




=
4
,
2R
(7)
em que usamos a identidade do seno do arco duplo: sin sin cosq q q= 2 ( / 2) ( / 2) . 
Este resultado é atípico, pois é independente do ângulo de espalhamento, mas se 
explica pela simplicidade e geometria do “potencial”. A seção de choque total de 
espalhamento é 
σ π=
4
= .
2
2R d Rò Ω (8)
Isto é o que esperamos em um espalhamento clássico:obtemos a área da seção 
transversal da bola de bilhar, isto é, um círculo de raio R . Uma bolinha incidente 
10
11
nesta área será espalhada e aquelas que incidirem fora da área irão errar o alvo 
completamente. A vantagem do formalismo é que ele se aplica também a casos 
como ao potencial de Coulomb, que não é uma “esfera dura”.
+2e
Ф
+Ze
r
θ
b
bPi
1
2 (π – θ)
1
2 (π – θ)
p
Pf
Figura 2
Espalhamento coulombiano de uma partícula, neste caso, uma partícula 
a composta de um núcleo de hélio com carga +2e , por um núcleo com 
carga Ze, em que Z é o número atómico. A mudança do momento linear 
no processo de espalhamento é D
  
p p p
f i
= - . O ângulo de espalhamento 
q pode ser relacionado à trajetória do elétron descrita pelas coordenadas 
polares r e f .
Consideremos, agora, o espalhamento coulombiano clássico por um potencial 
repulsivo do tipo V r
r
( ) =
k
, k > 0 . Da física clássica, sabemos que a partícula se-
guirá uma trajetória hiperbólica de equação: 
r
L
m e
=
( 1)
,
2
κ φcos -
(9)
em que a parametrização do caminho da partícula em relação ao alvo é dada por 

r r= ( , )f em coordenadas polares1, veja também Figura 2. O fator 
e EL m= 1 2 /2 2+ k é chamado excentricidade e E e L são, respectivamente, 
a energia cinética e o momento angular. No caso de um potencial central, o 
momento angular é uma constante do movimento e, portanto, podemos fixá-lo 
assintoticamente por L mvb= = constante. No início da trajetória da partícula, 
1 Observe que o ângulo polar f não corresponde ao ângulo azimutal j associado com o eixo de simetria do 
espalhamento na Figura 1.
11
UNIDADE Teoria do Espalhamento
temos r →∞ e f = 0, e no ponto da distância mínima entre as partículas é 
( , )
0 0
r f . Logo, a partícula é desviada de um ângulo igual, f
0
, e assim, temos a re-
lação φ φ θ π
0 0
=+ + ou φ π θ
0
=
1
2
−( ) .
Para obter o ângulo de espalhamento q, podemos usar a relação (9) para en-
contrar o ângulo limite cosf
0
= 1 / ,e que corresponde a r →∞ no estado final. 
Temos, então: 
tan cot
cos
sin
θ φ
φ
φ
κ κ
2 0
0
0
2
2
2
= = =
1
1
=
2
=
2
,( )
−e
m
EL Eb
(10)
o que nos dá: 
b
E
=
2
.
2
κ θcot( ) (11)
Com esta relação entre b e q, obtemos db d/ q e, inserindo na equação , che-
gamos à equação: 
d
d
b db
d E
σ
θ θ
κ
θ
θ
θΩ
= =
4
1
2
2
2
2
2
2
sin
cot
sin sin
( )
( ) (12)
e usando de novo a identidade sin sin cosq q q= 2 ( / 2) ( / 2), chegamos à formula 
de Rutherford: 
d
d E
σ κ
θΩ
=
16
1
( / 2)
.
2
2 4
sin
(13)
No caso do espalhamento coulombiano de uma partícula a (Z = 2 ) por um 
núcleo com número atómico Z temos κ πε= 2 / 42
0
Ze e a seção de choque dife-
rencial é: 
d
d
Ze
E
σ
πε θΩ
=
2
16
1
( / 2)
.
2
0
2
4





 sin
(14)
Vemos que, para q = 0 , a seção de choque diferencial diverge. Obviamente, 
isto é porque q é relacionado ao parâmetro de impacto pela equação (11) para um 
potencial coulombiano. Neste caso, não haverá espalhamento somente quando a 
interação é zero, que ocorre apenas no limite b →∞ . Mas, qual é a explicação 
física porquê d dσ / Ω é muito grande para ângulos de espalhamento pequenos? 
O fato é que a possibilidade da partícula a “errar o alvo” e continuar em uma linha 
reta é muito grande para b muito grande. O problema é que, no caso do potencial 
de Coulomb, “muito grande” significa dizer “infinito” e só para b →∞ o ângulo 
é zero! Em outras palavras, para qualquer distância, as partículas irão interagir e 
12
13
serão espalhadas. Este comportamento é caraterístico de potenciais de alcance 
infinito. Similarmente, obtemos q � 180� para b ® 0, situação em que a seção de 
choque diferencial possui um mínimo, porém este mínimo não é zero.
Como consequência, a seção de choque total é obtida integrando-se sobre 
d dσ / Ω : 
σ
πε θ
θ θ ϕ
π
=
2
16
1
( / 2)
,
2
0
2
0 4
Ze
E
d d





 ∫ sin
sin (15)
que não converge. Entendemos isto usando a aproximação para pequenos ângulos 
para a função seno, sin q q» , sin( / 2) / 2q q» , pois, neste limite, a integral se 
comporta como: 
σ
θ
θ
θ
ε
ε
 16
1
=
8
.
0 3 2 0∫ − →∞d (16)
O fato da seção de choque total ser infinita significa apenas que todas as par-
tículas carregadas passando pelo núcleo são espalhadas devido ao potencial de 
Coulomb. Em contraste, para interações de alcance finito, apenas uma fração das 
partículas incidentes são espalhadas. Porém, no contexto do espalhamento de áto-
mos em um laboratório, devemos considerar que o maior parâmetro de impacto é 
determinado pelo área do feixe de partículas ou da seção transversal do alvo (qual-
quer que seja o maior). Portanto, na prática, iremos medir uma seção de choque 
finita com um corte inferior q
0
 do ângulo de espalhamento.
Foi exatamente isto que Rutherford observou em 1909, quando usou um feixe 
de partículas a para bombardear uma folha de ouro fina: a maioria das partículas 
passaram através da película de ouro sem sofrer desvio; outras foram espalhadas 
por diversos ângulos e algumas inverteram o sentido do movimento. A partir destes 
resultados, Rutherford concluiu que a maioria das cargas positivas do núcleo estava 
concentrada numa região minúscula, rodeada por elétrons. O pequeno tamanho 
do núcleo explicou a pequena quantidade de partículas a que foram repelidas em 
ângulos maiores. Mas como Rutherford conseguiu determinar este tamanho, ou 
seja, o raio dos átomos de ouro? 
Exemplo: Para colisões frontais (com b = 0 ) entre partículas a e o núcleo, toda 
a energia cinética E mv=
1
2
2 da partícula a é transformada em energia potencial 
e a partícula está em repouso. A distância r
min
 entre o centro do a e o centro do 
núcleo neste momento é um valor máximo para o raio nuclear, R . Aplicando a 
energia potencial de Coulomb entre a carga 2a do a e a carga Z do núcleo, po-
demos escrever: 
1
2
=
1
4
2
=
1
4
4
.2
2 2
2
m v
Ze
r
r
Ze
m v
R
o o
α
πε πε αmin
min
Þ 
13
UNIDADE Teoria do Espalhamento
Usando ma = 6.7 10 27× − kg, Z = 79 para ouro, e = 1.6 10 19× − C e uma ener-
gia cinética que correspondia a v = 2 107´ m/s, para colisões frontais, Rutherford 
deduziu dos dados experimentais um raio máximo de R = 2.7 10 14× − m = 27 fm. 
O raio real do núcleo, R = 7.3 fm, não foi encontrado nesses experimentos porque 
as partículas a não tinham energia suficiente para penetrar a menos de 27 fm do 
centro nuclear. 
Ondas Esféricas
Até agora, tratamos o problema de espalhamento como um problema da física 
clássica. Vamos nos voltar para o problema da mecânica quântica de um feixe de 
partículas incidente sobre um alvo. O potencial do alvo V r( ) pode ser aquele ex-
perimentado por um elétron rápido atingindo um átomo, ou uma partícula a coli-
dindo com um núcleo. Como no problema clássico, a ideia é direcionar um fluxo de 
partículas, todas com a mesma energia, em um alvo e detectar quantas partículas 
são desviadas. Nos experimentos, isto é feito com vários tipos de detectores.
Em princípio, se assumirmos que todas as partículas incidentes são representa-
das por pacotes de onda com a mesma forma e tamanho, nosso desafio é resolver 
a equação de Schrödinger dependente do tempo para tal pacote de onda: 
− ∇ +








∂
∂
� � � � � �
2
2
2
( ) ( , ) = ( , ) ,
m
V r r t i
t
r tY Y (17)
e encontrar as amplitudes de probabilidade para as ondas refletidas em diferentes 
direções após o espalhamento. O pacote de onda é supostamente conhecido para 
tempos t →−∞ quando as partículas ainda são livres e não foram influenciadas 
pelo potencial V r( ) . Sabemos que a evolução temporal subsequente de Y( , )

r t 
pode ser expressa em termos de uma superposição de estados estacionários, que 
não é mais um estado estacionário, pois aqueles estados possuem autovalores dife-
rentes de energia. A média destes autovalores é o valor médio da energia do pacote 
de onda. Portanto, para facilitar o cálculo, se o feixe de partículasincidente atingir 
o alvo por períodos muito longos em comparação com o tempo que uma partícula 
levaria para atravessar a região de interação, iremos apenas considerar o problema 
de um estado estacionário. Além disso, se assumirmos que o pacote de ondas tem 
energia e momento bem definidos, o que implica que o seu comprimento é bem 
maior que muitos comprimentos da onda estacionária, podemos considerá-lo uma 
onda plana2.
Assim, podemos aplicar a separação de variável Y Y( , ) = ( ) /
� � �r t r e iEt- e busca-
mos soluções da equação de Schrödinger independente do tempo: 
2 Isto pode parecer uma aproximação exagerada, mas já usamos este procedimento quando tratamos os poços de 
potencial e consideramos que os estados estacionários representam correntes de probabilidade.
14
15
− ∇ +








� � � � �2 2
2
( ) ( ) = ( ) ,
m
V r r E rY Y (18)
sujeita à condição de contorno que a componente incidente da função de onda seja 
uma onda plana, com E p m k m= / 2 = / 22 2 2 sendo a energia das partículas 
que atingem o alvo. O fluxo das partículas é independente do tempo: 
� � � � �
�
J
im
k
m
=
2
( ) = ,Y Y Y Y∗ ∗∇ − ∇ (19)
Quando estudamos potenciais unidimensionais, vimos que o impacto de um po-
tencial em uma onda plana resulta em uma fração da onda sendo refletida e outra 
fração sendo transmitida através da região do potencial. Ambas as componentes 
da onda espalhada são ondas planas com vetor de onda ±

k , enquanto a influência 
do potencial é codificada na amplitude dos feixes refletidos e transmitidos e uma 
defasagem. Ambas as amplitudes e as defasagens são, então, determinadas resol-
vendo-se a equação de Schrödinger independente do tempo sujeito às condições de 
contorno que garantem a conservação da energia e do fluxo.
Nos problemas em três dimensões espaciais, a situação é parecida: temos uma 
função de onda plana incidente f( )

r e uma função de onda espalhada y( )

r , a 
solução da equação de Schrödinger (18) estacionária e a superposição: 
Ψ( ) = ( ) ( ) .
  
r r rφ ψ+ (20)
O que nos interessa é o comportamento assintótico de y( )

r para r grande 
e longe da região onde o potencial está localizado, pois a detecção de partículas 
ocorre longe da origem do potencial. A grandes distâncias, as partículas devem se 
comportar como partículas livres e, portanto, y( )

r deve ser uma solução da equa-
ção de Schrödinger para V r( ) 0

® . Isto sugere que a solução assintótica deve ter 
uma forma semelhante a uma onda plana.
Na região onde V r( ) = 0, buscamos a solução da equação de Helmholtz,


∇ +( )2 2 ( ) = 0 ,k ry (21)
com k
mE
=
2

. A equação de Helmholtz, escrita em coordenadas esféricas, tem 
soluções proporcionais ao produto de polinômios de Legendre, P
l
( )cosq , e de fun-
ções de Bessel, j kr
l
( ), que ainda iremos discutir mais adiante. Existe uma relação 
entre as soluções da forma esférica da equação (21), que descrevem ondas esféricas 
e a onda plana, porém que não iremos provar. Esta relação é a expansão da onda 
plana, também conhecida como expansão de Rayleigh: 
e e l i j kr Pikz ikr
l
l
l l
= = (2 1) ( ) ( ),
=0
cos cosq q
∞
∑ + (22)
15
UNIDADE Teoria do Espalhamento
em que definimos a direção do vetor de onda incidente ao longo do eixo z . A fun-
ção esférica de Bessel comporta-se assintoticamente como: 
j kr
ikr
e e
l
r i kr l i kr l( )
1
2
,( /2) ( /2)→∞ − − − → −( )p p (23)
o que corresponde a uma sobreposição de ondas esféricas emergente e incidente. 
Para uma onda espalhada, esperamos apenas a componente emergente e, por-
tanto, deduzimos que Y( ) /
�
r e krikr∼ para grandes distâncias. Assim, definimos a 
forma assintótica da onda espalhada por: 
ψ θ( ) ( , ) ,

r f k
e
r
r
ikr
→∞ → (24)
em que f k f( , ) ( )q qº é a amplitude de espalhamento, que, para alvos com sime-
tria azimutal, depende só de q . A expressão assintótica completa é 
Ψ( ) = ( ) ( ) ( ) ,
� � �
r r r A e f
e
r
ikz
ikr
φ ψ θ+ +








� (25)
em que A é uma normalização.
Ressaltemos que esta forma da onda assintótica só é válida para regiões longe 
de um “potencial localizado”, o que significa que o potencial é de alcance suficien-
temente curto. Este não é o caso do potencial de Coulomb! A função f ( )q 
codifica a amplitude relativa e a fase das componentes espalhadas da onda e para 
potenciais que não têm simetria azimutal, ela depende também do ângulo j , em 
que os ângulos ( , )θ ϕ denotam as direções em relação ao feixe incidente, conforme 
Figura 1.
Suponha, novamente, que o alvo tenha uma simetria azimutal e, assim, f ( )q 
não depende de j . O problema é determinar a amplitude de espalhamento, pois 
ela nos dá a probabilidade do espalhamento em uma determinada direção q e, 
portanto, está relacionada à seção de choque diferencial. A probabilidade de que a 
partícula incidente, com função de onda Aeik r


× , movendo-se à velocidade v , atra-
vesse o segmento infinitesimal de área ds no tempo dt é 
d dV A vdt d =| | =| | ( ) .2 2ψ σ
incidente (26)
Esta probabilidade deve ser igual àquela das partículas saindo pelo ângulo sólido 
dW ulteriormente, após serem espalhadas: 
d dV A
f
r
vdt r d =| | =| |
| ( ) |
( ) .2 2
2
2
2ψ
θ
espalhada
Ω (27)
16
17
Das duas equações acima determinamos d f dσ θ=| ( ) |2 Ω e comparando este 
com a equação (1), obtemos: 
d
d
f
σ
θ
Ω
=| ( ) | .2 (28)
Portanto, a seção de choque diferencial - a quantidade medida em experimentos 
- é igual ao valor absoluto ao quadrado da amplitude de espalhamento que obtemos 
como solução da equação de Schrödinger.
Método de Ondas Parciais
As soluções separáveis da equação de Schrödinger para um potencial cen-
tral V r( ) com simetria esférica foram deduzidas anteriormente e possuem a 
forma geral: 
ψ θ ϕ θ ϕ
lm l l
mr R r Y( , , ) = ( ) ( , ) , (29)
em que Y
l
m( , )θ ϕ são os harmônicos esféricos. Se o potencial é independente de 
j, chega-se a uma simplificação: 
ψ θ θ ϕ
π
θ
l l l l l
r R r Y R r
l
P( , ) = ( ) ( , ) = ( )
2 1
4
( ) .0
+
cos (30)
Precisamos encontrar uma superposição de ondas parciais y
l
, cujo comporta-
mento assintótico seja igual à forma (25): 
Ψ( , ) = ( , ) ( ) .r r e f
e
rl
l
r ikz
ikr
θ ψ θ θ∑ →∞ → + (31)
Para encontrar o comportamento radial assintótico é preciso estudar R r( ) no 
limite de r grande, fora da região localizada de V r( ) . A função de onda radial 
reescrita como u r rR r
l l
( ) = ( ) satisfaz à equação: 
− +
+
+








 
2 2
2
2
22
( ) ( 1)
2
( ) = ( ) ,
m
d u r
dr
l l
mr
V r Eu rl
l (33)
em que E
k
m
=
2
2 2

 é a energia das partículas incidentes e só consideramos o subs-
crito l porque não consideramos estados ligados com energias quantizadas. Para 
grande valores de r, o potencial e o termo centrífugo são desprezíveis e, neste 
limite, a equação radial é simplesmente: 
17
UNIDADE Teoria do Espalhamento
d u r
dr
k u rl
l
2
2
2( ) ( ) ,≈ − (33)
em que substituímos a energia. A solução geral é
u r u r Ce De
l
ikr ikr( ) ( ) = .≡ + − (34)
O primeiro termo representa uma onda esférica emergente, enquanto o segundo 
termo é uma onda esférica incidente. Obviamente, para uma onda espalhada, que-
remos apenas guardar a onda emergente; por consequência, escolhemos D = 0 . 
Assintoticamente, temos, então: 
R r
e
r
ikr
( ) , (35)
o que é válido para r grande ou, mais precisamente, para kr  1 , e justifica o 
segundo termo da equação (25).
Para regiões intermediárias, onde podemos ainda negligenciar o efeito do poten-
cial, mas não o termo centrífugo, a equação radial torna-se: 
d u r
dr
l l
r
u r k u rl
l l
2
2 2
2( ) ( 1) ( ) ( ) = 0.−
+
+ (36)
Ressaltemos que esta aproximação não é válida para o potencial de Coulomb, 
que cai com 1 / r , mais lentamente do que 1 / 2r . Em outras palavras, o potencial 
de Coulomb não é localizado. A solução geral da equação (36) é uma combinação 
linear de funções de Bessel esféricas: 
u r Ar j krBry kr
l l l
( ) = ( ) ( ) ,+ (37)
que podem ser escritas recursivamente como: 
j x x
x
d
dx
x
xl
l
l
( ) = ( )
1
,−






sin (38)
y x x
x
d
dx
x
xl
l
l
( ) = ( )
1
.−−






cos (39)
As primeiras funções esféricas de Bessel são visualizadas nos links a seguir para 
j x
l
( )
18
19
https://bit.ly/2luD2Gb 
Ex
pl
or
e aqui para y x
l
( ) .
https://bit.ly/2nw52tt
Ex
pl
or
No entanto, nem j kr
l
( ), que é parecida com uma função senoidal decrescente, 
nem y kr
l
( ) , que é uma espécie de função cosseno generalizada, representam uma 
onda esférica emergente.
O que precisamos são as combinações lineares análogas a eikr e e ikr- e estas são 
dadas pelas funções de Hankel esféricas de primeira espécie, h
l
(1) , e segunda 
espécie, h
l
(2) : 
h kr j kr iy kr h kr j kr iy kr
l l l l l l
(1) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .≡ + ≡ −e (40)
Para r grande, h kr
l
(1)( ) e h kr
l
(2)( ) comportam-se, respectivamente, como 
( ) / ( )1− +i e krl ikr e ( ) / ( )1i e krl ikr+ − . Claramente, precisamos da função de Hankel 
esférica de primeira espécie: 
R r h kr
l l
( ) ( ) .(1) (41)
Assim sendo, somando sobre todas as ondas parciais, a função de onda exata na 
região onde V r( ) = 0 é 
Ψ( , , ) = [ ( ) ( , )] ,
,
(1)r Ae c h kr Yikz
l m
lm l l
mθ ϕ θ ϕ+∑ (42)
para o caso mais geral, quando o espalhamento depende de j . Para potenciais 
V r( ) centrais, a expressão simplifica-se, assim como na equação (30), que não 
depende de j e só os termos com m = 0 é que contribuem: 
Ψ( , ) = [ ( )
2 1
4
( )] .
=0
(1)r Ae c h kr
l
Pikz
l
l l l
θ
π
θ+
+∞∑ cos (43)
Como vimos acima, para r grande, a função de Hankel é ( ) /1− +i e krl ikr e, 
comparando com equação (31), encontramos uma expressão para f ( )q : 
f
k
i
l
c P
l
l
l l
( ) =
1
( )
2 1
4
( ) .
=0
1θ
π
θ
∞
+∑ − + cos (44)
19
UNIDADE Teoria do Espalhamento
Esta é uma dedução mais rigorosa da forma da onda na equação (25). Com a 
expansão (22), podemos escrever a equação (43) na forma: 
Ψ( , ) = (2 1) ( )
2 1
4
( ) (
=0
(1)r A l i j kr
l
c h kr P
l
l
l l l l
θ
π
∞
∑ + + +










ccosθ) . (45)
Tudo o que resta é determinar as amplitudes de onda parcial c
l
 para o potencial 
em questão. Conseguimos isto resolvendo a equação de Schrödinger no interior da 
região na qual V r( ) é distintamente diferente de zero e insistindo na continuidade 
com a solução exterior. Com as amplitudes c
l
, podemos calcular f ( )q e com a 
equação (28), obtemos a seção de choque diferencial: 
d
d
f
k
i c c
l
P
l l'
l l'
l l' l
σ θ
θ
π
( )
=| ( ) | =
1
( )
2 1
4
2
2Ω ∑∑
− ∗ ∗+





(( ) ( ) .cos cosθ θP
l'
(46)
Usando a ortogonalidade dos harmônicos esféricos, a seção de choque total é 
σ
σ θ
=
( )
ò
d
d
d
Ω
Ω
=
1
( )
2 1
4
( ) ( ) =
1
2 2
,k
i c c
l
P P d
k
c
l l'
l l'
l l' l l'
l m
∑∑ ∫ ∑− ∗ ∗
+
π
θ θcos cos Ω
ll
2
.
(47)
Exemplo: Espalhamento da esfera dura — consideremos de novo a esfera 
dura de raio a , descrita na física quântica por um potencial, 
V r
r a
r a
( ) =
,
0 > .
∞ ≤




para
para
 Deduza a seção de choque total. 
A condição de contorno é, portanto, ψ θ( , ) = 0a , então temos (45): 
l
l
l l l l
l i j kr
l
c h kr P
=0
(1)(2 1) ( )
2 1
4
( ) ( ) = 0 .
∞
∑ + + +









π
θcos
Como os polinômios de Legendre são ortogonais, as expressões dentro dos col-
chetes devem ser zero para qualquer onda parcial e deduzimos: 
c i l
j ka
h kal
l
l
= 4 (2 1)
( )
( )
.
(1)
− +p
Com a equação (47) encontramos a seção de choque total: 
σ
π
=
4
(2 1)
( )
( )
.
2
=0
(1)
2
k
l
j ka
h kal
l
l
∞
∑ +
20
21
Vamos considerar o caso de espalhamento a baixas energias, que corresponde 
a ka  1 , ou seja, como k = 2 /π λ , isto é a  l . Verificando as expressões de 
j x
l
( ) e y x
l
( ) conferimos que y x j x
l l
( ) ( ) para z  1 e aproximamos: 
j z
h z
j z
j z iy z
i
j z
y z
i
l z l
l
l
l
l l
l
l
l l
( )
( )
=
( )
( ) ( )
( )
( )
2 ! / (2
(1) +
≈ − ≈ −
+ 11)!
(2 )! / 2 !
=
2 1
2 !
(2 )!
.
1
2
2 1
− +







− −
+
l z l
i
l
l
l
z
l l
l
Assim, a seção de choque é: 
σ
π
≈
+








∞
+∑4 12 1
2 !
(2 )!
( ) .
2
=0
4
4 2
k l
l
l
ka
l
l
l
Como assumimos ka  1 , potências maiores são insignificantes. Fisicamente, 
isto expressa o fato que a baixas energias, ou comprimentos de onda muito maiores 
que a escala do potencial, o espalhamento é dominado pela onda com l = 0 , cha-
mada de onda S . Como no caso clássico, s não depende do ângulo q e obtemos, 
σ π» 4 ,2a (48)
neste limite do espalhamento da esfera dura a baixas energias. Ou seja, s é a 
superfície total de uma esfera ou quatro vezes a sua área de seção transversal. Em 
outras palavras, as ondas da mecânica quântica sentem o efeito de toda a esfera 
enquanto a partícula na mecânica clássica apenas experimenta uma colisão frontal. 
Vamos, agora, deduzir os resultados acima sob outro ponto de vista, que é ba-
seado no conceito de defasagem da onda espalhada. O ponto de partida é de novo 
a onda plana incidente e sua expansão em ondas parciais (22). A componente ra-
dial R r
l
( ) é dada pelas funções esféricas de Bessel, que podem ser escritas como a 
soma de duas funções de Hankel (40): 
R r j kr h kr h kr
l l l l
( ) = ( ) =
1
2
( ) ( ) .(1) (2)+( ) (49)
Já sabemos que h kr
l
(1)( ) e h kr
l
(2)( ) comportam-se assintoticamente como ondas 
esféricas emergentes (19) e incidentes: a onda incidente não é afetada pelo espalha-
mento, enquanto a onda emergente é modificada. Para que o fluxo de partículas 
incidente seja o mesmo que o fluxo emergente e, portanto, conservado, esta mo-
dificação pode apenas ser uma fase relativa entre as duas ondas. A fase é introdu-
zida por um fator conhecido como o elemento de matriz de onda parcial S
l
: 
R r S h kr h kr
l
r
l l l
( )
1
2
( ) ( ) .(1) (2)→∞ → +( ) (50)
A fase relativa (ou defasagem) d
l
k( ) para a onda parcial l é definida como me-
tade da fase de S
l
: 
S k e
l
i
l
k
( ) = .
2 ( )d
(51)
21
UNIDADE Teoria do Espalhamento
Para que o fluxo seja conservado, é preciso que | |= 1S
l
 e, portanto, a defasa-
gem seja real. Este é usualmente o caso, a menos que o potencial descreva uma 
absorção, o que é frequentemente usado em modelos fenomenológicos para simu-
lar a perda devida a outros canais de reação ou a aniquilação de partículas. A onda 
completa Ψ( ) = ( ) ( )
  
r r rφ ψ+ assintótica é, então: 
Ψ( ) (2 1)
( ) ( ) ( )
2
( )
=0
(1) (2)

r l i
S k h kr h kr
Pr
l
l l l l
l
→∞
∞
 → +
+
∑ cosθ ,, (52)
e, subtraindo agora a onda plana incidente f( )

r , (22) obtemos a onda emergente: 
ψ θ( ) (2 1)
( ) 1
2
( ) ( ) .
=0
(1)r l i
S k
h kr Pr
l
l l
l l
→∞
∞
 → +
−
∑ cos (53)
Ainda temos de levar em conta que a função h
l
(1) comporta-se para r grande 
como r ( ) / ( )1− +i e krl ikr : 
ψ θ( ) (2 1)
( ) 1
2
( ) .
=0

r
e
r
l
S k
ik
Pr
ikr
l
l
l
→∞
∞
 → +
−
∑ cos (54)
Comparamos de novo com a expressão (31), que define a amplitude de espalhamento: 
f l
S k
ik
P l
e
l
l
l
l
i
l
k
l( ) = (2 1)
( ) 1
2
( ) = (2 1)
=0 =0
( )
θ θ
δ
δ∞ ∞
∑ ∑+
−
+cos
sin (( )
( ),
k
k
P
l
cosθ (55)
a qual podemos colocar na forma: 
f l f k P
l
l l
( ) = (2 1) ( ) ( ) .
=0
q q
∞
∑ + cos (56)
Os coeficientes f k
ik
S k
l l
( ) =
1
2
( ( ) 1)- são conhecidos como as amplitudes de 
ondas parciais de espalhamento.
A amplitude de espalhamento permite-nos calcular a seção de choque diferencial: 
d
d
f
k
l e P
l
i
l
l l
σ
θ δ θ
δ
Ω
=| ( ) | =
1
(2 1) ( ) .2
2
=0
2
∞
∑ + sin cos (57)
Usando a identidade de ortogonalidade: 
∫ +P P d ll l' ll'( ) ( ) =
4
2 1
,cos cosθ θ
π
δΩ (58)
a seção de choque é obtida por meio da integral σ σ= ( / )ò d d dΩ Ω : 
σ
π
δ=
4
(2 1) ( ) .
2
=0
2
k
l k
l
l
∞
∑ + sin (59)
22
23
O método de ondas parciais funciona para qualquer interação de curtoalcance. 
Para interações de longo alcance, como para o potencial de Coulomb, o somatório 
sobre l pode não convergir. A abordagem geral para tais problemas é tratar a in-
teração de Coulomb separadamente das interações de curto alcance. O problema 
do espalhamento em um potencial de Coulomb pode ser resolvido exatamente em 
termos de funções de Coulomb, que assumem o papel das funções de Hankel 
neste problema.
A baixas energias, para kr  1 , o espalhamento é dominado pela onda S (isto 
é, l = 0 ) e as contribuições de ondas l > 0 são insignificantes. Apenas a onda 
parcial f
0
( )q contribui à amplitude: 
f k
ik
e
k
a
i
0
2
0 0
0
( ) =
1
2
1 ,
d d
−( ) ≈ ≈ − (60)
em que o parâmetro a
0
 é o comprimento de espalhamento da onda S, que é 
geralmente definido por: 
k
l
l
k k
a→
−
0
( ) =
1
,lim cotd (61)
e possui, obviamente, a dimensão de comprimento. Pode-se mostrar que a defasa-
gem tem uma expansão, 
d
0 0
2( ) ( ) ,k ka O k≈ − + (62)
para pequenos valores de k . Por isso negligenciamos ordens maiores na expansão 
da exponencial em potências de d
0
( )k na equação (60). Com a equação (59), a 
seção de choque total é 
σ
π
δ π=
4
4 .
2
2
0 0
2
k
asin  (63)
Esta é uma observação importante, pois mostramos que, quando a energia (bem 
definida) das partículas é pequena, ou seja, o comprimento de onda das partículas 
é significativamente maior que o alcance do potencial, a seção de choque apro-
xima-se à de uma esfera dura impenetrável, cujo raio é igual ao comprimento 
de espalhamento. 
23
UNIDADE Teoria do Espalhamento
A Aproximação de Born
A equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear, que pode 
ser colocada na forma: 

 
∇ +( )2 2 ( ) = ( ) ,k r U rY (64)
com as definições: 
k
mE
U r
m
V r r=
2
( ) =
2
( ) ( ) .
2�
�
�
� �
e Y (65)
Isto se parece superficialmente com a equação de Helmholtz; no entanto, o ter-
mo não homogêneo U r( )

 depende de Y( )

r . Suponha que possamos encontrar 
uma função G r( )

 que resolva a equação de Helmholtz não homogênea com uma 
“fonte”de função delta: 

 
∇ +( )2 2 3( ) = ( ) .k G r rd (66)
Neste caso, poderíamos escrever a função de onda como uma integral: 
Y( ) = ( ) ,
0 0
3
0
   
r G r r U r d r∫ −( ) (67)
pois se a inserirmos na equação (64), vemos que: 

   
∇ +( ) ∇ + − ∫
2 2 2 2
0 0
3
0
( ) = ( ) ( ) ( )k r k G r r U r d rY
= ( ) ( ) = ( ) .3
0 0
3
0∫ −d
   
r r U r d r U r
(68)
G r( ) é chamada a função de Green para a equação de Helmholtz e, em geral, a 
função de Green para uma determinada equação diferencial representa a “resposta” 
a uma fonte de função de delta.
Ao invés de resolver uma equação diferencial, calculamos a transformada de 
Fourier: 
G r e g s d sis r( ) =
1
(2 )
( ) ,
3/2
3 
 
p ∫
⋅ (69)
que transforma a equação de Schrödinger em uma equação integral, como iremos 
ver. Primeiro, inserimos a transformada de Fourier na equação (66): 
24
25




 
∇ +( ) ∇ +( )

∫
⋅2 2
3/2
2 2 3( ) =
1
(2 )
( ) .k G r k e g s d sis r
p
(70)
Observando que a ação do laplaciano é 

   
∇ −⋅ ⋅2 2= ,e s eis r is r (71)
e a função de delta de Dirac pode ser expressa como uma integral: 
δ
π
3
3
3( ) =
1
(2 )
,

 
r e d sis r∫ ⋅ (72)
a equação (70) é 
1
(2 )
( ) =
1
(2 )
.
3/2
2 2 3
3
3
p p∫ ∫− +( )




⋅ ⋅s k e g s d s e d sis r is r
   

(73)
Comparando ambos os membros desta equação, concluímos que: 
g s
k s
( ) =
1
(2 )
1
,
3 2 2

p -
(74)
e, substituindo-a na expressão para G r( ),

 obtemos: 
G r e
k s
d sis r( ) =
1
(2 )
1
.
3 2 2
3
 
p ∫
⋅
−
(75)
Assim, o problema de se obter a função de onda como solução da equação de 
Schrödinger é traduzido na solução de uma equação integral, uma vez que obtemos 
G r( )

 e o inserimos na equação (67). Observe que 

r é fixo, usamos coordenadas 
esféricas e, na exponencial, temos 
 
s r sr× = cosq com d s sd d ds3 = cosθ ϕ . As in-
tegrais angulares são simples: 
0
2
1
1
1
1
= 2 =
4 ( )
,
π
θ
θ
θ ϕ π
π
∫ ∫−
+
−
+
e d d
e
isr
sr
sr
isr
isr
cos
cos
cos
sin (76)
e, agora, sobra a integral: 
G r
r
s sr
k s
ds
r
s sr
k s
ds( ) =
1
(2 )
2 ( )
=
1
4
( )
.
2 0 2 2 2 2 2

p p
∞
−∞
∞
∫ ∫− −
sin sin
(77)
O último passo é porque o integrando é simétrico em s e, portanto, o dobro 
da integral de 0 a +∞ é igual à integral de −∞ a +∞ . Esta última integral não 
é simples e apenas observamos que o denominador é k s s k s k2 2 = ( )( )− − − + e 
25
UNIDADE Teoria do Espalhamento
possui polos em s k= ± . A maneira de resolver a integral é com métodos da aná-
lise complexa, voltando para as expressões exponenciais da equação (76): 
G r
i
r
se
s k s k
ds
se
s k s k
ds
isr isr
( ) =
8 ( )( ) ( )( )2

p −∞
∞
−∞
∞ −
∫ ∫− + − − +








(78)
Na análise complexa, usa-se a fórmula da integral de Cauchy para calcular 
estas integrais: 
∫ −( )
f z
z z
dz if z
( )
= 2 ( ) ,
0
0
p (79)
em que f z( )
0
 é o resíduo de f z( ). Omitimos os detalhes do cálculo aqui e passa-
mos diretamente ao resultado: 
G r
e
r
ikr
( ) =
4
.

-
p
(80)
Esta é a função de Green para a equação de Helmholtz ou, mais exatamente, 
uma função de Green, pois podemos adicionar qualquer função G r
0
( )

 a G r( )

 que 
satisfaça à equação de Helmholtz homogênea: 


∇ +( )2 2 0( ) = 0 ,k G r (81)
e a soma será também uma solução da equação (66). Com isso, a solução da 
equação de Schrödinger na forma integral (67): 
Ψ Ψ( ) = ( )
2
( ) ( )
2
0
0
0 0
3
0
� �
� � �
� �
� �
r r
m e
r r
V r r d r
ik r r
φ
π
−
−∫
−
(82)
é também conhecida como equação de Lippmann-Schwinger. A função de onda 
f( )

r satisfaz à equação de Schrödinger para uma partícula livre: 
∇ +( )2 2 ( ) = 0 .k rf  (83)
Mas, podemos perguntar: temos agora a solução da equação de Schrödinger 
(64)? E a resposta é não, pois a função de onda aparece em ambos os lados da 
equação e, mais precisamente, no interior da integral. Ou seja, para calcular a 
integral, precisamos da própria solução! Na verdade, apenas encontramos uma for-
mulação equivalente à forma diferencial da equação da Schrödinger. Por outro lado, 
esta forma integral prova ser muito eficiente em várias aplicações com potencias 
conhecidos e para certas aproximações na integral porque pode ser resolvida por 
métodos de iteração. 
26
27
Seja um potencial V r( )

 localizado em torno de um ponto 

r
0
, caindo para zero 
fora de uma região finita, o que é comum em interações nucleares entre partículas, 
por exemplo. Queremos calcular Y( )

r em um ponto longe 
� �
r r�
0
 do centro de 
espalhamento. Neste caso, podemos aproximar o denominador da integral (82): 
| | = 2 1 2 |
0
2 2
0
2
0
2 0
2
� � � �
� �
� �
r r r r r r r
r r
r
r r− + − ⋅ −
⋅





⇒ −�
00 0
| ,� r r r− ⋅ˆ � (84)
no limite | | | |,
0
� �
r r� em que usamos 1 = 1 1
2
( )2− − +x x O x , retirando a raiz no 
último passo. Seja o vetor de onda 

k ao longo da direção 

r da onda plana inciden-
te (ou do feixe de partículas): 

k kr= ˆ . Neste caso, aproximamos a exponencial: 
e e e
ik r r ikr ik r
� � � �− − ⋅0 0 .� (85)
Juntando as expansões no numerador e no denominador, encontramos: 
e
r r
e
r
e
ik r r ikr
ik r
� �
� �
� �
−
− ⋅
−
0
0
0 ,� (86)
em que mantivemos apenas a ordem dominante na expansão de | |
0
 
r r- porque 
o segundo termo é proporcional a r r
0
 e os demais termos são suprimidos por 
potências r r
0
/ . No entanto, devemos cuidar do segundo termo na exponencial.
No caso do espalhamento, considerando um estado estacionário, a onda inci-
dente é livre e descrita pela onda plana f( ) =

r Aeikz e, para r grande, temos uma 
função de onda espalhada: 
Ψ Ψ( )
2
( ) ( )
2
0
0 0
3
0
�
�
� �� �
r Ae
m e
r
e V r r d rikz
ikr
ik r
� − ∫
− ⋅
π
(87)
A comparação com a equação assintótica (25) nos dá outra veza amplitude 
de espalhamento: 
f
m
A
e V r r d r
ik r
( , ) =
2
( ) ( ) ,
2
0
0 0
3
0
θ φ
π
− ∫
− ⋅
�
� �� �
Ψ (88)
em que f ( , )θ φ depende, em geral, do ângulo j no caso de o potencial não pos-
suir simetria azimutal. Para grandes distâncias r r
0
 da região do espalhamento 
com V r( )
0
, esta equação é exata, no sentido que a expansão que usamos é válida. 
Mesmo assim, sem conhecer Y( ),

r não há como calcular a integral.
Agora invocamos uma aproximação muito mais radical: suponha que a onda 
plana inicial não seja alterada substancialmente pelo potencial. Então, podemos 
supor que: 
Ψ( ) ( ) = = ,
0 0
0 0
 


r r Ae Ae
ikz ik' r
≈
⋅
φ (89)
27
UNIDADE Teoria do Espalhamento
em que 

k ' é, agora, o vetor em direção da onda emergente (ou do detector de par-
tículas) que podemos definir ao longo do eixo ẑ : 

k kz' º ˆ , com | |=| |=
 
k k k' . Por-
tanto, q é o ângulo entre 

k e 

k ' . No caso de V r( ) = 0,

 a função de onda exata 
seria, obviamente, f( )
0

r e podemos interpretar o método como uma aproximação 
de potencial fraco, mais conhecida como aproximação de Born: 
f
m
e V r d r
i k' k r
( , )
2
( ) .
2
( )
0 3
0
θ φ
π
� − ∫
− ⋅
�
�� � �
(90)
Em espalhamentos a baixas energias, quando os comprimentos de onda 
λ π= 2 / k são grandes comparados com o alcance do potencial, a exponencial é 
essencialmente constante e a aproximação de Born simplifica-se ainda mais: 
f
m
V r d r( , )
2
( ) .
2
3
0
θ φ
π
� − ∫�
�
(91)
Esta aproximação em questão é devida a Max Born, que já conhecemos por sua 
interpretação probabilística da mecânica quântica e pela regra de Born. Histori-
camente, foi este cálculo de espalhamento que o levou a reinterpretar a mecânica 
quântica, pois não podia interpretar a solução da equação de Schrödinger para 
uma partícula espalhada como uma verdadeira onda de matéria. Se esta onda 
emergente de forma esférica fosse uma onda de matéria, a partícula não iria se 
desintegrar e se espalhar em todas as direções? 
Exemplo: Espalhamento de esfera macia em baixa energia — não podemos 
aplicar a aproximação de Born ao espalhamento de esfera dura porque a integral 
(91) diverge. O problema que ocorre é que assumimos um potencial fraco que alte-
ra pouco, ou moderadamente, a função de onda na região de espalhamento. Mas 
uma esfera dura muda a função de onda radicalmente de Aeikz a zero! Portanto, 
consideramos a esfera macia, descrita por um potencial, 
V r
V r a
r a
( ) =
,
0 > .
0
para 
para 
≤




Qual é a seção de choque total? 
Integrando sobre o volume da esfera, a aproximação de Born simplificada (91) nos dá: 
f
m
V a( , )
2
4
3
,
2 0
3θ φ
π
π� −





�
uma amplitude de espalhamento independente de q e j . Obtemos a seção de 
choque diferencial, 
d
d
f
mV aσ
Ω
=| |
2
3
,2 0
3
2
2
�
�






e a seção de choque total é: 
σ π� 4
2
3
.0
3
2
2
mV a
�






28
29
k = kr
k’ = kz
q = k’ – k
θ
Figura 3
Relação entre os vetores de onda 

k (em direção da onda incidente), 

k ' (em 
direção da onda espalhada que coincide com o eixo ẑ ), e o vetor de momento 
transferido 

 
q k k'= - , com | |=| |=
 
k k k' .
Para um potencial esfericamente simétrico, V r V r( ) = ( )

, a aproximação de 
Born simplifica-se também e pode ser válida além do espalhamento a baixas ener-
gias, se o potencial for suficientemente fraco. Neste caso, a integral (90) é indepen-
dente do ângulo azimutal j e o produto na exponencial pode ser escrito como: 
( ) = = ,
0 0 0 0
 
  
k k r q r qr' − ⋅ ⋅ cosq (92)
em que definimos o eixo polar para a integração sobre r
0
 ao longo do vetor 

q 3. A 
amplitude de espalhamento (90) torna-se: 
f
m
e V r r dr d d
iqr
( )
2
( ) .
2
0 0
0 0
2
0 0 0 0
θ
π
θ θ φ
θ
� − ∫�
cos
sin (93)
A integração sobre j
0
 é trivial e já conhecemos a integral sobre q
0
 da equação 
(76). Suprimindo o subscripto de r
0
, o resultado é 
f
m
q
V r qr rdr( )
2
( ) ( ) .
2 0
q � −
∞
∫� sin (94)
Esta fórmula representa a aproximação de Born para a amplitude de espalha-
mento por um potencial esfericamente simétrico. Observe que a dependência do 
ângulo polar q de f ( )q está implícita na definição de q : 
q k k kk q k' '2 2 2 2= 2 (1 ) = 2 ( / 2) .+ − − ⇒cos sinq q (95)
Exemplo: Espalhamento de Rutherford — seja V r( ) o potencial de Coulomb. 
Deduza a seção de choque diferencial com a aproximação de Born. 
3 Cuidado, o ângulo q
0
 não é o mesmo que o ângulo q , veja Figura 3.
29
UNIDADE Teoria do Espalhamento
A seção de choque diferencial na aproximação de Born para um potencial com 
simetria esférica é: 
f
m
q
q q
r
qr rdr
mq q
q
( )
2
4
( ) =
2
4
.
2 0
1 2
0
1 2
0
2 2
θ
πε πε
� − −
∞
∫� �sin
Como a integral é imprópria e o limite de uma função oscilatória não existe, 
usamos a integral γ
µµ
µ
µ
0
0
0
0 2 2
( ) = ( ) =
∞
→
∞
−
→∫ ∫ +sin lim sin limqx dx e qx dx
q
q
x . Se 
νµ ¹ 0 , isto é equivalente ao potencial de Yukawa, ν µV r e rr( ) = /- , que fornece uma 
descrição simplificada da interação entre núcleons e das forças nucleares dentro dos 
núcleos. Reescrevemos f ( )q com k
mE
=
2

 e a relação entre q e k (95), 
f
q q
E
( )
16 ( / 2)
,1 2
0
2
θ
πε θ
 -
sin
e obtemos a seção de choque diferencial: 
d
d
q q
E
σ
πε θΩ
=
16
1
( / 2)
.1 2
0
2
4







 sin
(96)
Esta é nada mais que a fórmula de Rutherford para κ πε= 1/ 4
0
 deduzida em 
um contexto de física clássica. Este resultado é notável pois no limite de um estado 
estacionário, a aproximação de uma onda plana incidente pouco alterada por um 
potencial coulombiano (fraco) resulta em uma seção de choque diferencial igual 
àquela do espalhamento de uma partícula clássica. 
30
31
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Experimento de Rutherford
https://bit.ly/2lVQfrT
Equação de Helmholtz
https://bit.ly/2lTkMXf
Identidade do Produto
https://bit.ly/2lVZBnu
Harmônicos Esféricos
https://bit.ly/2m5lvob
Funções Esféricas de Bessel
https://bit.ly/2lnptIm
 Leitura
Palestra de Prêmio Nobel de Born (em inglês)
https://bit.ly/2mY5T6a
31
UNIDADE Teoria do Espalhamento
Referências
COHEN-TANNOUDJI, Claude; DIU, Bernard; LALOE, Frank. Quantum 
Mechanics. Wiley-VCH, 1991. 
GRIFFITHS, David. Mecânica Quântica. 2. Ed. São Paulo: Editora Pearson Edu-
cation, 2011.
PIZA, A. F. R. de Toledo. Mecânica Quântica. 2. Ed. São Paulo: EDUSP, 2009.
WEINBERG, Steven. Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge University 
Press, 2012.
32