MATEMATICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CAPÍTULO 1 - O que são e como
funcionam os juros?
Henrique Martins Rocha
INICIAR
Introdução
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Neste capítulo você estudará os juros: o que eles são, quais são os seus tipos, para
que servem, quais suas aplicações e como são calculados. No mundo atual é
inviável pensarmos em “não haver juros”. Mas, então, quando vemos um anúncio
que indica que a compra pode ser feita “sem juros” ou “com juros zero”, será que
isso é uma situação especial em que, de fato, não há juros? Vamos entender o que
acontece, na realidade. Você sabe quais são os fatores que atuam no valor dos
juros? Você estudará como são efetuados os cálculos dos juros e quais são os
fatores que influenciam tais cálculos. Há como pagarmos menos juros? Veremos
como podemos efetuar os cálculos e fazer escolhas entre alternativas. Como o
tempo altera o valor dos juros? Isso depende do tipo de juros utilizado e, por isso,
vamos estudar as diferenças entre os juros simples e compostos. Todas essas
perguntas poderão ser respondidas ao longo do estudo deste capítulo. Bons
estudos!
1.1 Conceitos iniciais da Matemática
Financeira   
É comum associarmos os cálculos financeiros a atividades extremamente
complexas, incompreensíveis para grande parte das pessoas. Mas, isso não é
verdade na maioria das vezes: na realidade, há conceitos lógicos muito
importantes que guiam toda a base da Matemática Financeira.
Esses conceitos fundamentam atividades que englobam empréstimos,
financiamentos, multas por atraso, antecipações de pagamentos, resgate de
títulos e tantas outras atividades de cunho financeiro. O conhecimento dos
mecanismos dessa dinâmica é importante para que pessoas, famílias e empresas
tomem decisões acertadas sobre suas finanças.
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E é isso que você vai estudar neste tópico: a lógica que relaciona valores
monetários com o tempo, o que serve de base para compreendermos o que são os
juros e como eles são calculados.  
1.1.1 Valor do dinheiro no tempo
Se você tivesse prestado um serviço e, por conta dele, tivesse direito a receber um
valor, por exemplo, R$1.000,00, e, lhe fosse dada a possibilidade de escolher entre
as alternativas:
receber os R$1.000,00 logo após a prestação do serviço; ou
receber os R$1.000,00 um ano após ter prestado o serviço.
O que você escolheria? Muito provavelmente sua resposta seria “escolho receber
os R$1.000,00 assim que prestar o serviço”, ao invés de escolher “receber os
R$1.000,00 um ano depois”. E sua resposta faria muito sentido! Mas, por que você
daria essa resposta? Vamos pensar em algumas possibilidades:
Figura 1 - Efeito do tempo sobre os juros e sobre o valor final de transações financeiras em qualquer
área. Fonte: Valery Evlakhov, Shutterstock, 2018.
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porque se escolhesse receber os R$1.000,00 um ano depois, a inflação iria
corroer o valor recebido;
porque o dinheiro (os R$1.000,00) já estaria contigo e você poderia fazer com
ele o que bem entendesse;
porque ao receber os R$1.000,00, você poderia pagar algumas dívidas;
porque poderia aplicar os R$1.000,00 e ganhar os rendimentos da aplicação;
etc.
Vamos analisar essas possíveis justificativas. Mas, antes disso, vamos discutir um
conceito muito relevante, que é a importância da disponibilidade de recursos, ou
seja, porque damos preferência a termos dinheiro disponível (seja na forma de
dinheiro vivo ou disponível no banco). Há quatro razões para essa preferência:
transações – precisamos de recursos para os gastos rotineiros, como, por
exemplo, um lanche, passagens de ônibus, pagamento do aluguel etc.;
precaução – precisamos de recursos para gastos eventuais, não planejados,
como, por exemplo, contratar um chaveiro para abrir uma fechadura que
travou ou consertar um pneu furado; 
certeza x incerteza – deixar de receber de imediato traz sempre a
possibilidade de alguma coisa acontecer e deixarmos de receber o que é
devido no futuro; e
especulação – boas oportunidades surgem sem aviso, como, por exemplo,
um desconto para a compra de um bem que desejamos. Mas, só
conseguimos obter os benefícios das oportunidades se tivermos recursos
disponíveis para fechar o negócio.
VOCÊ SABIA?
É comum vermos a palavra “especulação” com um significado pejorativo,
associado a aspectos antiéticos e mesmo ilegais. Mas em Finanças, o significado é
supor, imaginar. Por exemplo, imaginamos que o preço de um bem vai cair e, por
isso, postergamos a sua compra. Ou, podemos especular que o preço vai subir e,
por isso, compramos de imediato.
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Como você pôde perceber, ter os recursos disponíveis nos traz vantagens e, por
isso, sempre damos preferência a ter os recursos disponíveis, ao invés de
esperarmos por eles. E foi por isso que você preferiria receber os R$1.000,00 de
imediato e não um ano depois: seja para não perder valor, corroído pela inflação,
seja para fazer qualquer uso de imediato, isto é, pagar contas, adquirir alguma
coisa ou investir o dinheiro. 
A propósito, podemos tirar uma importante lição dessa análise: em Matemática
Financeira, não faz sentido falarmos de valores monetários se não os
relacionarmos ao tempo, isto é, informar quando esses valores ocorrem, sejam na
forma de pagamentos ou na de recebimentos. Afinal, se o tempo não fosse
relevante, a resposta à pergunta sobre preferir receber os R$1.000,00 de imediato
ou um ano depois seria “tanto faz, pois o valor é o mesmo”.
De fato, o valor (R$1.000,00) é o mesmo hoje ou no futuro. Chamamos isso de valor
nominal. Mas, se temos a clara preferência por receber de imediato, é porque
R$1.000,00 hoje valem mais do que R$1.000,00 daqui a um ano. Chamamos isso de
valor real.
  O valor real de R$1.000,00 hoje é maior do que daqui a um ano e, por isso,
preferimos receber hoje: recebemos um maior valor, percebe? Por outro lado, se
ao invés de recebermos, tivéssemos de efetuar um pagamento de R$1.000,00,
preferiríamos pagar mais tarde, pois, dessa forma, estaríamos pagando menos
(em termos reais).
Pode parecer estranha esta afirmação, mas ela é fácil de compreender se
tomarmos como exemplo a quarta possível razão para escolhermos receber os
R$1.000,00 de imediato, ou seja, “Porque eu poderia aplicar os R$1.000,00 e
ganhar os rendimentos da aplicação”. Imagine, por exemplo, que você recebesse
os R$1.000,00 e os investisse na Poupança e a mesma o remunerasse em 7% em
um ano: ao final do ano você teria ganhado R$70,00 (7% dos R$1.000,00 investido)
e, assim, teria então R$1.070,00.
A pergunta poderia, então, ter sido feita da seguinte forma: Você prefere receber
daqui a um ano R$1.000,00 ou R$1.070,00? A decisão se tornaria bem mais fácil e
óbvia: sempre vamos preferir receber mais, não é mesmo? E, dessa forma,
optaríamos por receber R$1.070,00 e não R$1.000,00. Mas, perceba que, nesse
caso, receber os R$1.070,00 em um ano seria a mesma coisa que receber
R$1.000,00 hoje.
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CASO
Já pensou em ser o dono da ilha de Manhattan, em Nova Iorque, um dos
metros quadrados mais caros do mundo? Mais do que isso, já pensou em
comprá-la por 24 dólares? Pois saiba que foi esse o valor aproximado (ou,
no máximo mil dólares, seguindo alguns historiadores) dado pelo
holandês Peter Minuit para os indígenas locais pela ilha em 1626, na forma
de objetos diversos (ALANO, 2015; JACOBS, 2000; SONIAK, 2012). Mas nãoconsidere que os índios foram enganados, pois, se o montante fosse
investido desde então, isso resultaria em um valor bastante elevado nos
dias de hoje. Ou seja, o fator tempo tem um peso bastante significativo
quando analisamos valores. Além disso, para os índios, era apenas mais
um pedaço de terra, dentre tantos disponíveis para eles.
Assim, valores e tempo são variáveis indissociáveis em Matemática Financeira, os
quais são considerados em todas as análises e cálculos, no contexto do preço do
dinheiro ao longo do tempo.  
1.1.2 O preço do dinheiro
Você já ouviu falar que tudo tem um preço? E isso faz sentido: se você quiser
comprar material escolar, terá de pagar um preço por ele. Se tiver de pegar um
táxi, terá de pagar pela corrida. Ou seja, todo produto tem seu preço, da mesma
forma que todo serviço. E, se tivermos de contratar alguém, como um pedreiro ou
uma diarista, fica claro que a mão de obra também tem seu preço.
O filme O mercador de Veneza (RADFORD, 2004) explora o aspecto dos juros cobrados por um agiota no
século XVI. No intrincado romance, o agiota impõe uma condição bastante severa caso o pagamento do
empréstimo que ele fez não seja cumprido dentro do prazo previsto: mutilação, o que levou o caso aos
tribunais, para que fosse julgado se a pena deveria ser aplicada ou não.
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Mas, e o dinheiro? Qual o preço do dinheiro?
Parece uma pergunta estranha e a tendência é responder que é o próprio valor
dele, afinal, por exemplo, R$10,00 são R$10,00 e nada diferente disso. Mas, não é
bem assim.
Repare que se você for sacar os R$10,00 de sua conta no banco, o valor será
mesmo de R$10,00, pois é o seu próprio dinheiro. Mas, se você não tiver saldo na
conta, o banco pode permitir que ainda assim você saque R$10,00. Mas, não será
seu dinheiro e, sim, dinheiro do banco e você terá de pagar um preço por ele. Ou
seja, você precisará, em algum momento futuro, devolver os R$10,00 ao banco e,
além disso, um valor adicional (por exemplo, mais R$1,00) como pagamento “pelo
dinheiro que recebeu”, ou seja, pagar o “preço do dinheiro”. Esse preço do dinheiro
é o que chamamos de juros.
Repare que nesse exemplo, ao pagar R$11,00 ao banco, estamos, na verdade
devolvendo os R$10,00 que tomamos para uso e mais R$1,00 como pagamento
pelo seu uso. Pense, por exemplo, como sendo o aluguel de um carro: ao final do
período, nós devolvemos o bem à locadora (ou seja, o carro que alugamos) e
pagamos pelo tempo em que usamos o veículo. No caso do dinheiro, o
devolvemos e pagamos pelo seu uso. Essa é a lógica dos juros. E, como o preço de
qualquer outra coisa, o dinheiro pode ser caro ou barato, isto é, os juros, que são o
preço do dinheiro, podem ser altos ou baixos, tornando o dinheiro mais caro ou
mais barato.
Há uma legislação específica, datada de 1933, que estabelece limites para impedir e reprimir excessos
praticados na cobrança de juros e prevê punição para os casos de abusos. Trata-se do Decreto n.
22.626, de 7 de abril de 1933, conhecido como “Lei da usura” (BRASIL, 1933). 
Vamos voltar ao exemplo dos R$1.000,00 que você tinha para receber e que
preferia, obviamente, recebê-los de imediato: será que se fosse para receber um
valor maior do que os R$1.000,00, você aceitaria receber um ano depois? Por
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exemplo, R$1.200,00?
Talvez isso fosse atrativo e você aceitasse. Ou seja, você aceitaria receber um valor
adicional (juros) como remuneração pelo seu dinheiro, isto é, por um valor que
você tinha direito de ter disponível (e nós já vimos as vantagens de termos
recursos disponíveis), mas que abriu mão visando um ganho, ou seja, receber
juros como pagamento pelo seu dinheiro.
A propósito, chamar juros de remuneração é algo bastante comum: Samanez
(2010, p. 1), Castanheira e Macedo (2012, p. 14) consideram os juros como sendo “a
remuneração do capital empregado”.
E quando vemos anúncios que indicam “sem juros” ou “juros zero”, qual a lógica
existente nesses casos?
Bem, nesses casos, o vendedor já incorporou os juros no valor final do bem e,
como forma de atrair clientes, anuncia que a venda será sem juros, ou seja, que o
valor à vista é o mesmo do valor parcelado.
Figura 2 - Cálculo de juros e de valores diversos, o que exige o uso de calculadoras científicas ou
financeiras. Fonte: Shutterstock, 2018.
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Mas como são, de fato, representados e calculados os juros e valores de bens e
serviços quando os juros são considerados? Vamos ver isso a seguir.  
1.1.3 Representação e cálculo dos juros
Por que o valor do dinheiro no futuro é superior ao valor atual? O que é adicionado
para aumentar o valor total? Vamos compreender essa dinâmica e fatores
envolvidos.
Supondo, então, que você aceitou receber R$1.200,00 um ano depois, ao invés de
R$1.000,00 agora, podemos separar as duas partes desse valor recebido:
R$1.000,00 sendo a devolução do dinheiro que você não recebeu no
momento atual, para receber um ano depois; e
R$200,00 que é a remuneração (juros) por ter aceitado tal condição.
Figura 3 - R$200,00 de juros, que é a remuneração referente ao tempo em que os recursos ficaram
indisponíveis para seu dono. Fonte: cifotart, Shutterstock, 2018.
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Vamos estabelecer, assim, uma simbologia e caracterização dos elementos
envolvidos nessa situação: você poderia ter recebido os R$1.000,00 de imediato,
ou seja, no primeiro momento que isso fosse possível. E nossa análise começará
por esse momento, o qual chamaremos de momento zero, momento atual ou
momento presente.
Assim, o valor de R$1.000,00, como seria o valor a ser recebido no momento
presente se chama valor presente, representado por VP. Desta forma:
VP = R$1.000,00
E, ao final de um ano, você recebeu os R$1.200,00. Como se trata de um valor
recebido no futuro, ou seja, algo após o momento presente, chamamos de
momento futuro e, consequentemente, o valor recebido é denominado valor
futuro, representado por VF. Assim:
VF = R$1.200,00
O VP de R$1.000,00 chegou aos R$1.200,00 (VF) devido à incidência dos juros, ou
simplesmente J. Consequentemente:
J = R$200,00
Com isso, podemos apresentar a equação básica da Matemática Financeira, qual
seja:
VF = VP + J
Reordenando a fórmula, podemos utilizá-la para calcular o valor dos juros, como
você pode ver a seguir:
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J = VF – VP
Alguns autores, como Samanez (2010) utilizam os mesmos conceitos, porém com
nomenclatura diferente: o valor investido, ou seja, aplicado durante determinado
tempo, é chamado de aplicação (P), o qual é remunerado (J), gerando um valor
(montante), representado por S, ao final do citado período. Desta forma, segundo
o autor: J = montante – aplicação; ou J = S – P.
Já Castanheira e Macedo (2012) representam o montante como M e o valor
investido, que eles denominam capital, como C. Nesse caso, segundo os autores:
J = M – C
E, ainda, Gimenes (2006) representa o VP como somente P e VF como F (ou Fn,
para representar o VF em um período n futuro) e, desta forma, para ele:
J = F – P
Voltaremos a usar tais nomenclaturas esporadicamente, para que você se
familiarize com a existência dela e não estranhe ver cálculos representados de
formas diferentes por diferentes autores. Mantendo a nomenclatura com a qual
iniciamos, para podermos estabelecer o valor dos juros como uma proporção de
VP, temos:
No nosso exemplo, temos:
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No entanto, como já discutimos antes, em Matemática Financeira é importante
que os valores estejam relacionados ao tempo. Dessa forma, pouco significado há
em falarmos de juros de 20%: isso é muito ou pouco?
Pense em extremos: 20% em um dia é muito, um percentual absurdamente alto,
ao passo que 20% em um século é algo irrisório. Por isso, é sempre importante
informarmos a ciclo de tempo de aplicação dos juros. 
No nosso exemplo, estamos falando de um intervalo de um ano entre o VP e o VF.
Assim, são 20% de juros ao ano. Ou simplesmente 20% a.a.
É usual que utilizemos as formas abreviadas para representar tais ciclos de
aplicação dos juros, como mostrado a seguir:
Ao ano – a.a.;
Ao semestre – a.s.;
Ao quadrimestre – a.q.;
Ao trimestre – a.t.;
Ao bimestre – a.b.;
Ao mês – a.m.; e
Ao dia – a.d.
1.2 Juros simples
A aplicação e a capitalização dos juros podem ocorrer de duas formas: juros
simples e juros compostos. A diferença entre tais regimes é a de que nos juros
simples o cálculo se aplica ao valor investido, ou seja, no VP, ao passo que nos
juros compostos, os juros auferidos são somados ao VP e, a partir daí, os juros são
calculados sobre este novo montante, gerando um valor ainda maior, sobre o qual
são calculados, novamente, os juros sobre o novo total e assim sucessivamente.
Castanheira e Macedo (2012) definem capitalização como sendo a incorporação
dos juros ao capital que o produziu. No próximo subtópico você vai aprender como
são calculados os juros no regime de capitalização pelos juros simples e como
funcionam as aplicações financeiras nesse regime.
1.2.1 Regimes de juros
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Vamos imaginar que você invista R$1.000,00 a uma taxa de 10% a.m. Ao final de
um mês, você terá ganhado R$100,00, ou seja, 10% do valor investido.
Mas, e se você deixar o dinheiro investido, o que acontecerá no próximo mês?
Bem, é aí que surge a diferença entre os dois regimes de juros existentes: juros
simples e juros compostos.
No regime denominado de juros simples, você continuará recebendo os 10%
sobre o valor investido, ou seja, continuará recebendo R$100,00 todo mês. Sendo
assim, ao final do primeiro mês você terá R$1.100,00 (os R$1.000,00 investidos
mais R$100,00 de juros); no final do segundo mês terá R$1.200,00 (ou seja, terá
recebido mais R$100,00 por mais um mês); R$1.300,00 no final do terceiro mês, e
assim sucessivamente.
Já no regime de juros compostos, os juros recebidos são incorporados à base de
cálculo do período seguinte. Ou seja, ao receber os R$100,00 no final do primeiro
mês, eles são incorporados aos R$1.000,00 investidos, totalizando R$1.100,00
(como no regime de juros simples), mas agora os juros de 10% são calculados
sobre este novo montante, isto é, sobre os R$1.100,00.
Ao final do segundo mês, então, serão recebidos R$110,00 (10% de R$1.100,00),
totalizando R$1.210,00 e; ao final do terceiro mês, receberá 10% sobre os
R$1.210,00, ou seja, mais R$121,00, totalizando R$1.331,00, e assim
sucessivamente.
Assim, o total que é indiferente entre os dois regimes quando consideramos
somente um período de investimento e juros recebidos, começa a se distanciar
conforme o tempo vai passando, como você pode ver na tabela a seguir:
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No gráfico a seguir, é possível visualizar as informações constantes na tabela que
vimos acima.
 Tabela 1 -
Juros acumulados ao longo do tempo (meses), considerando um investimento de R$1.000,00 e uma
taxa de juros de 10% a.m. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Repare que o crescimento dos juros é linear em relação ao tempo no regime de
juros simples. O mesmo acontecerá com o valor final (ou montante) (SAMANEZ,
2010). Já, no caso do regime de capitalização por juros compostos, o crescimento
dos juros é exponencial (GIMENES, 2006).
E qual regime é o melhor: simples ou compostos? Bem, depende de que lado
estamos: os juros compostos são os melhores para quem os recebe (por receber
mais, ao longo do tempo), mas são piores para quem tem de pagar por eles (por
pagar valores mais altos).
Mas, como podemos calcular os juros sem precisarmos montar a tabela e calcular
mês a mês? Bem, inicialmente vamos recordar a equação fundamental da
Matemática Financeira:
VF = VP + J
Tabela 2 - Juros acumulados ao longo do tempo (meses), considerando um investimento de
R$1.000,00 e uma taxa de juros de 10% a.m. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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No caso dos juros simples, vimos que os juros são calculados sobre o valor
investido, ou seja, sobre VP. Vimos, também, que os juros de cada mês (ou seja, os
R$100,00 no nosso exemplo) vão se acumulando a cada mês, ou seja, uma vez no
primeiro mês (1 x R$100,00 = R$100,00), duas vezes no segundo mês (2 x R$100,00
= R$200,00), e assim sucessivamente.
Podemos inferir, assim, que a forma de calcular os juros, no regime de juros
simples, é dado por:
J = VP x i x n
Sendo:
i = taxa de juros ao período (que deve ser utilizada na forma fracionária e
não na forma percentual. Ou seja, utilizar 0,1; 0,2, etc., ao invés de 10%, 20%
etc.); e
n = quantidade de períodos.
Fique atento: os fatores i e n devem ser compatíveis, ou seja, trabalharem na
mesma unidade de tempo. Ou seja, se n estiver em meses, i deve ser a.m. No caso
de estarem em unidades diferentes, será necessário convertê-los, para garantir
que os cálculos sejam efetuados corretamente.
Dessa forma, quando n = 1 (no nosso exemplo, 1 mês), temos J = 1.000 x 0,1 x 1 =
R$100,00; Para n = 2, temos J = 1.000 x 0,1 x 2 = R$200,00, e assim sucessivamente. 
1.2.2 Cálculos utilizando os juros simples
A partir da equação de cálculo dos juros simples, podemos inferir diversos outros
cálculos. Se: 
J = VP x i x n
E se:
VF = VP + J
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Então:
VF = VP + VP x i x n
Ou ainda:
VF =VP (1 + i x n)
Ou, utilizando a simbologia de Samanez (2010):
S = P (1 + i x n)
Ou ainda, utilizando a simbologia de Castanheira e Macedo (2012):
M = C (1+ i x n)
E, pela simbologia de Gimenes (2006):
F = P (1 + i x n)
Com essa fórmula, podemos calcular o VF que teremos em qualquer período. Ou
seja:
 Ao final do primeiro mês, teremos:
VF = 1.000 (1 + 1 x 0,1) = R$1.100,00
Ao final do segundo mês teremos:
VF = 1.000 (1 + 2 x 0,1) = R$1.200,00
Ao final de um ano teremos:
VF = 1.000 (1 + 12 x 0,1) = R$2.200,00
Além disso, podemos efetuar outros cálculos, simplesmente rearranjando as
fórmulas. Por exemplo, sabendo o VF ou J, podemos calcular o VP:
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Ou ainda, podemos calcular n ou i:
Em resumo, os cálculos no regime de juros simples consideram as variáveis VP, FV,
i e n (ou J substituindo uma delas), que estão inter-relacionadas. Assim, podemos
calcular qualquer uma delas, sabendo o valor das demais.
1.2.3 Aplicação dos juros simples no dia a dia
No dia a dia os valores para aquisição de qualquer bem ou serviço, bem como os
juros cobrados, são fatores importantes, sobre os quais é fundamental termos
pleno conhecimento, para tomar decisões acertadas. Vamos ver algumas
situações:
Exemplo 1 - Se você faz uma aplicação financeira de R$2.000,00 em um
investimento no regime de juros simples que rende2% a.m., quanto terá ao
final de 5 meses. Para isso, vamos utilizar a fórmula:
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VF = VP (1 + i x n)
Ou seja:
VF = 2.000 (1 + 0,02 x 5) = R$2.200,00.
Exemplo 2 -  Quanto você receberá de juros se investir R$3.000,00 durante 4
meses em uma aplicação no regime de juros simples que paga 2,5% a.m.?
Podemos calcular diretamente pela fórmula: 
J = VP x i x n
Ou seja:
J = 3.000x 0,025 x 4 = R$300,00.
Exemplo 3 - Quanto seria necessário investir hoje em uma aplicação no
regime de juros simples que remunera à taxa de 2% a.m., para que, após 10
meses de investimento, alcançasse um total de R$1.200,00? Para isso, o
melhor é utilizarmos a fórmula: 
Exemplo 4 -  Por quanto tempo você deve investir R$1.000,00 no regime de
juros simples, a uma taxa de 2% a.m. para atingir o total de R$1.300,00?
Podemos calcular diretamente pela fórmula: 
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Exemplo 5 - Para que seu investimento dobre de valor em 10 meses, qual
deveria ser a taxa de juros a que deveria ser feito o investimento,
considerando o regime de juros simples? Nesse caso, se considerarmos o
seu investimento como sendo de R$X, o dobro dele seria, obviamente, R$2X
e, dessa forma, poderíamos efetuar o cálculo pela seguinte fórmula: 
Exemplo 6 - Uma loja vende à vista uma geladeira por R$1.000,00.
Alternativamente, ela vende a mesma geladeira por R$1.100,00, sendo
metade do valor dado como entrada e o restante 30 dias depois. Qual o valor
dos juros cobrados e qual a taxa de juros aplicada?
Aqui temos um problema mais complexo, pois uma análise precipitada pode nos
levar a um erro, ao imaginarmos que, ao passar de R$1.000,00 para R$1.100,00
teríamos R$100,00 de juros e que, consequentemente, a taxa de juros seria de 10%
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a.m. Na realidade, como tanto no pagamento à vista como no parcelado há um
pagamento feito no momento da compra, esse valor não deve entrar no cálculo.
Ou seja, no pagamento à vista, o comprador pagará R$1.000,00, enquanto, se
optar por parcelar, ele pagará R$550,00 (metade de R$1.100,00), devendo pagar os
outros R$550,00 um mês depois.
Vamos supor que você dispusesse dos R$1.000,00 para comprar a geladeira à vista,
mas optasse por parcelá-la: dos R$1.000,00, você retiraria os R$550,00 para dar a
entrada, sobrando, portanto, R$450,00. Mas, observe que, um mês depois, você
não terá de pagar R$450,00, mas sim R$550,00. Assim, de fato, estamos falando de
R$100,00 de juros, mas a taxa NÃO é de 10%. Por que não? Porque os R$450,00 que
teríamos pagado adicionalmente se a compra fosse à vista representa o VP e, ao
pagarmos um mês depois (VF), pagamos R$550,00. Assim, utilizando a fórmula
que já vimos: 
Como você pode perceber, há inúmeras possibilidades de cálculos, análises e
tomadas de decisão que podem ser feitas mediante o domínio dos cálculos dos
juros.
1.3 Juros simples
Como vimos, para efetuar os cálculos envolvendo juros, é necessário que a taxa e
o período estejam na mesma unidade de tempo. Os exemplos mostrados até o
momento respeitaram essa regra, mas, na vida real, isso nem sempre acontecerá.
Assim, é importante sabermos lidar com situações em que a taxa de juros está
representada por uma unidade que não é compatível com o período analisado,
sendo necessário executar conversões. Vamos ver como essas conversões
funcionam neste tópico. 
1.3.1 Proporcionalidade de juros no sistema de juros simples
Como vimos anteriormente, as taxas de juros são informadas a.a., a.s., a.q., a.t.,
a.b., a.m e a.d. Pois bem, tais ciclos de tempo têm relações entre si, quais sejam:
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1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses =
360 dias. Por convenção, não é comum utilizarmos os cálculos de Matemática
Financeira o ano com 365 dias ou 366, no caso dos anos bissextos. Também não se
considera meses com 31 ou 28/29 dias. Em termos práticos, tais arredondamentos
simplificadores do que se denomina “ano comercial” não causam variações
significativas nos cálculos e são chamados por Castanheira e Macedo (2012) de
juro ordinário, em oposição ao denominado “juros exatos” quando são
considerados os números exatos de dias em qualquer período (o que ocorre, por
exemplo, em alguns cálculos de empréstimos e financiamentos).
Tais proporções servem de base para que façamos conversões das taxas de juros:
basta usar os valores de proporção para fazer as devidas conversões. Por exemplo,
como 1 ano = 2 semestres, para convertermos uma taxa de juros que está
informada como sendo a.a em a.s., basta multiplicá-la por ½.
Dessa forma, 10% a.a. = 5% a.s. Da mesma maneira, por exemplo, 15% a.a. = 5%
a.q.; 16% a.a. = 4% a.t. etc. Chamamos tais taxas de taxas equivalentes, visto que
os valores finais não se alteram se usarmos uma taxa ou sua equivalente.
Por exemplo, o valor dos juros de um investimento de R$1.000,00 aplicados por 2
anos, no regime de juros simples a uma taxa de 10% a.a. e o mesmo do aplicado
pelo mesmo período (lembrando que 2 anos = 4 semestres) a uma taxa de 5% a.s.
Vamos verificar:
J = VP x i x n
J10%a.a. = 1.000 x 0,1 x 2 = R$200,00; e
J5%a.a. = 1.000 x 0,05 x 4 = R$200,00.
A tabela a seguir mostra os valores que devemos utilizar para multiplicar taxas de
juros de determinado período para converter em taxas com períodos diferentes.
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Atenção: os cálculos e os valores de multiplicação para conversão mostrados na
Tabela 1 só se aplicam ao regime de juros simples, não podendo ser utilizados
como base para cálculos no regime de juros compostos. Para estes, o cálculo a ser
efetuado é diferente. 
Outro aspecto a ser destacado é quanto ao período de capitalização ou de
pagamento dos juros. Isso se refere à possibilidade de resgates e pagamentos em
períodos fracionários ou não. Por exemplo, vamos supor que você faça um
investimento de R$1.000,00 no regime de juros simples a uma taxa de 24% a.a.
Podemos calcular facilmente o valor final do investimento:
VF = 1.000 x 0,24 x 1 = R$240,00.
Mas, e se você mantiver o dinheiro aplicado por somente 6 meses? Consultando a
tabela 2, é possível perceber que a conversão de uma taxa a.a. para uma taxa a.s.
se faz multiplicando a mesma por ½ e, assim, a taxa seria 24% x ½ = 12% a.s. e,
desta forma, o valor ao final dos 6 meses seria de:
VF = 1.000 x 0,12 x 1 = R$120,00.
Tabela 3 - Fatores de multiplicação para conversão de taxas de juros com períodos diferentes. Fonte:
Elaborado pelo autor, 2018.
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Mas, isso só será verdadeiro se for previsto (em contrato ou pelo regimento do
fundo de investimentos etc.) que os juros possam ser pagos em período
fracionário. Caso contrário, os juros só seriam pagos quando o período de um ano
fosse concluído com o dinheiro mantido investido.
CASO
Você já deve ter ouvido falar ou mesmo já deve ter investido algum
dinheiro na Caderneta de Poupança. O rendimento mensal dela tem sido
ultimamente próximo a 0,6% a.m. Assim, se você investir R$1.000,00 nela,
ao final do mês deverá receber cerca de R$6,00 de juros, ficando, portanto,
com R$1.006,00. Mas, e se ao invés de manter os R$1.000,00 na Poupança
por um mês, você deixar o dinheiro lá porsomente 15 dias, vai receber
metade dos juros? A resposta é “não”: os juros só são recebidos no
fechamento do ciclo previsto do investimento. Se retirados antes do
“aniversário”, você só retirará o próprio dinheiro investido, ou seja, os
R$1.000,00, sem o acréscimo de qualquer valor de juros.
Na verdade, há uma convenção de mercado que nos ajuda a lidar com tais
situações: as denominadas taxas de juros nominais e taxas de juros efetivas.
Abreu (2015, p. 69-70) as define como:
Taxa nominal – é aquela em que a unidade de referência de tempo não
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa
nominal é quase sempre fornecida em termos anuais, enquanto os
períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais ou mensais.
Taxa efetiva – é aquela em que a unidade de referência de tempo coincide
com as unidades de tempo dos períodos de capitalização. Sendo assim: 3%
a.m., capitalizados mensalmente; 4% ao trimestre, capitalizados
trimestralmente; 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 10% a.a.,
capitalizados anualmente.
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Vimos diversas vezes a citação de Samanez. Trata-se do Professor Carlos Patricio Mercado Samanez,
falecido em fevereiro de 2016, autor de conhecidos livros da área financeira, dentre eles, Matemática
Financeira (2010).
Mas, como lidar simultaneamente com as variáveis de valor monetário e tempo,
representado em diferentes ciclos de capitalização de juros? Precisamos dominar
as regras de proporcionalidade e suas conversões.    
1.3.2 Aplicação da proporcionalidade no regime de juros simples
Uma vez compreendidos os conceitos de taxas nominais e efetivas, bem como os
mecanismos para conversão das unidades de tempo envolvendo as taxas de juros
e os períodos de aplicação, passa a ser possível resolvermos questões que
envolvam diferentes unidades de tempo entre taxas e juros.
VOCÊ O CONHECE?
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Vamos a alguns exemplos.
Exemplo 1 -  Você recorreu a uma financeira para auxiliá-lo na compra de
uma loja, para iniciar um novo empreendimento. Supondo que o
empréstimo de R$100.000,00 foi contratado pelo regime de juros simples a
uma taxa de juros de 3% a.m. e que você deverá saldar a sua dívida de uma
única vez daqui a três anos, quanto você deverá dispor para honrar o
compromisso naquela data? Sendo uma taxa de 3% a.m., sua conversão
para taxa anual se faz pela multiplicação por 12, ou seja 3% x 12 = 36% a.a.
Aplicamos, então, a fórmula para calcular o FV:
VF = 100.000 (1 + 0,36 x 3) = R$208.000,00
Exemplo 2 - O gerente de seu banco entrou em contato com você trazendo
uma oferta de investimento nas seguintes condições: uma taxa de juros de
2,5% a.b., pelo regime de juros simples. O investimento é taxado com
retenção de 20% na fonte pelo imposto de renda se houver saque em prazo
Figura 4 - Calculando os juros, o valor presente e o valor futuro no regime de capitalização de juros
simples. Fonte: Lisa S., Shutterstock, 2018.
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inferior a 5 anos. Quanto você acumulará de ganhos se aguardar os 5 anos
para evitar taxação sobre os juros? Convertemos os 2,5% a.b. multiplicando
a taxa por seis, ou seja, 2,5% x 6 = 15% a.a. e, em seguida, podemos calcular
os juros:
J = VP x 0,15 x 5 = 0,75 x VP. Ou seja, os juros são de 75% do valor investido.
Exemplo 3 - E se no exemplo anterior, o resgate acontecesse após 4 anos, de
quanto seriam os juros efetivamente recebidos? A princípio seria somente
uma questão de utilizarmos novamente a fórmula de cálculo dos juros:
J = VP x 0,15 x 4 = 0,60 x VP.
No entanto, com o saque ocorrendo antes de 5 anos, há retenção de 20% dos
ganhos na fonte, ou seja, 20% dos 60% de juros. Assim, 12% dos juros seriam
retidos (20% de 60% = 12%), restando, portanto, 48% (60% - 12% = 48%).
Exemplo 4 -  O quanto você deve investir, pelo regime de capitalização de
juros simples, para que, com uma taxa de 1,8% a.t., consiga acumular o total
de R$10.000,00 em 2 anos? 1,8% a.t. x 4 = 7,2% a.a. Usamos este valor na
fórmula: 
1.4 Juros compostos
No regime de capitalização por juros compostos, os juros auferidos em
determinado período de tempo são disponibilizados e, se não sacados, são
integralizados, isto é, são somados ao valor investido. Isso pode parecer uma
diferença sutil quando comparado ao regime de juros simples, mas o fato é de que
esses pequenos acréscimos fazem com que o valor que é reinvestido seja maior,
fazendo assim com que os juros sejam maiores.
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E os juros maiores são novamente acrescidos ao valor inicial, fazendo com que
eles cresçam ainda mais, gerando lucros ainda maiores, e assim sucessivamente.
Sendo assim, ainda que em curtos períodos de tempo a diferença dos juros entre o
sistema de juros simples e compostos não seja significativo (na realidade, são
rigorosamente iguais quando n = 1), ao longo do tempo eles se distanciam
bastante.
Vamos estudar como são calculados os juros no sistema e a capitalização por juros
compostos, como são aplicados no dia a dia, em diversas operações e transações e
vamos discutir a dinâmica das taxas nominais, efetivas e reais.
1.4.1 Cálculos financeiros de juros compostos
Nos juros compostos, as equações básicas de Matemática Financeira são as
mesmas dos juros simples, ou seja: 
A diferença está na forma como os juros são calculados a partir do valor investido,
pois este não permanece constante, isto é, a cada valor de juros que são gerados,
eles são adicionados ao valor investido.
VOCÊ SABIA?
É comum nas lojas ou concessionárias os vendedores fazerem os cálculos de
quanto seria o valor das prestações, na compra parcelada de bens. Mas eles não
utilizam diretamente as fórmulas da Matemática Financeira: eles trabalham com
tabelas, as quais já têm os juros embutidos. Assim, é só multiplicar o valor do bem
pelo valor informado na tabela e eles obtêm o valor das prestações.
Como vimos anteriormente, se você investe R$1.000,00 a uma taxa de 10% a.m.,
ao final do primeiro mês receberá R$100,00 de juros e, a partir deste ponto, surge a
diferença entre os dois regimes de capitalização: nos juros simples, os juros
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continuam a ser calculados sobre os R$1.000,00 investidos, mas, no regime de
juros compostos, os R$100,00 recebidos são somados ao valor investido.
O valor sobre o qual incidirão os juros no segundo mês, então, não permanecerá
R$1.000,00 nos juros compostos, mas sim R$1.100,00. E, assim, serão aplicados
10% sobre este montante, fazendo com que os juros gerados no final do segundo
mês sejam de R$110,00, os quais serão, também, incorporados ao valor a ser
investido no terceiro mês e assim sucessivamente.
Vamos compreender o que acontece: como os juros são dados por i x VP, temos
que:
VF = VP + i x VP
Podemos rearranjar a equação para:
VF = VP (1 + i)
E este será o VF ano final do período n =1. Para o período n = 2, temos que:
VF2 = VF1 + i x VF1 = VF1 (1 + i)
Mas como o VF1 = VP (1 + i), temos, então:
VF2 = VP (1 + i) (1 + i) = VP (1 + i)2
Ao calcularmos o VF no período 3, a lógica se repete, pois os juros seriam
calculado sobre o VF2 e, desta forma, inferimos que:
VF3 = VP (1 + i)2 (1 + i) = VP (1 + i)3
É fácil perceber, então, que o VF de um investimento feito sob o regime de juros
compostos ao longo de n períodos é dado por:
VF = VP (1 + i)n
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Esta é a fórmula básica para os cálculos do regime de juros compostos e, a partir
dela, podemos fazer diversos rearranjos, possibilitando identificar outros
elementos, como mostrado a seguir:
1.4.2 Aplicação do sistema de juros compostos no dia a dia
Vamos ver como a aplicação das fórmulas permite identificar os diversos
elementos nos cálculos do regime de juros compostos: a exemplo do que acontece
nos juros simples, as variáveis VP, VF, J, i e n se inter-relacionam e, a partir das
informações sobre as primeiras, podemos calcular as demais.
Exemplo 1 -  Se você investir R$1.000,00 a uma taxa de 1% a.m no regime de
juros compostos, quanto obterá ao final de um ano e de quanto serão os
juros auferidos?
VF = 1.000 (1 + 0,01)12 = R$1.126,38
J = 1.126,38 – 1000,00 = R$126,38
Exemplo 2 - Qual a taxa de juros mensal, que triplica o valor investido em um
ano, pelo regime de juros compostos? 
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Exemplo 3 - Quanto tempo você deveria manter aplicados R$2.500,00 para
conseguir acumular o total de R$3.000,00, considerando um investimento a
juros compostos na taxa de 1,2% a.m.? 
Observe que se investido por 15 meses, seriam obtidos somente  FV = 2.500 (1 +
0,012)15  = R$2.989,84 e, por esta razão, o investimento deverá ser mantido por
mais um mês:
FV = 2.500 (1 + 0,012)16 = R$3.025,72
1.4.3 Taxas reais de juros
Da mesma forma que acontece nos juros simples, devemos levar em consideração
as taxas nominais e efetivas nos juros compostos. E os cálculos são efetuados,
basicamente, da mesma forma. No entanto, diferentemente do que acontece com
os juros simples, no regime de capitalização pelos juros compostos, as diferenças
nos valores calculados são substanciais.
A razão para isso está justamente no acúmulo que existe dos juros (ou seja, sua
capitalização cumulativa) compostos ao longo dos períodos. Vamos verificar essa
dinâmica considerando um exemplo de um investimento de R$1.000,00 a uma
taxa nominal de 36% a.a., capitalizados mensalmente ao longo de um ano.
Em ambos os regimes, devemos calcular a taxa efetiva. Como a capitalização é
mensal, temos:
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Sendo a taxa efetiva, vamos utilizar a mesma para calcular o VF nos regimes de
juros simples e juros compostos, ou seja, respectivamente:
VF = 1000 (1 + 0,03 x 12) = R$1.360,00; e
VF = 1000 (1 + 0,3)12 = R$1.425,76
Outro aspecto relevante no que tange à tomada de decisão sobre investimentos é
a denominada taxa de juros reais, a qual leva em consideração as eventuais
perdas inflacionárias.
Por exemplo, o fato de determinado investimento remunerá-lo, por exemplo, a
uma taxa de 10% a.a. não significa que isso seja suficiente sequer para compensar
a perda inflacionária. Ou seja, em uma situação como essa, os ganhos auferidos
por meio dos juros podem representar, na verdade, uma perda.
Imagine, por exemplo, que no mesmo ano em que havia um valor de juros de 5%,
a inflação fosse no mesmo valor – o ganho “líquido” seria zero. Assim, é fácil
perceber que quando a taxa de juros é superior à taxa de inflação, há um ganho
real, ao passo que, na situação inversa, há uma perda, apesar dos juros. Quanto,
de fato, ganhamos ou perdemos nessas situações?
Para isso, é necessário calcularmos a denominada taxa de juros reais. A taxa de
juros reais, expressa por ir se inter-relaciona com a taxa nominal i (também
chamada de taxa aparente) e com a taxa de inflação I por meio da seguinte
equação:
(1 + i) = (1 + ir) x (1 + I)
E, por meio dela, podemos saber se há ganhos reais ou não. Por exemplo,
considerando a taxa de 5% a.a. que discutimos, caso a inflação anual fosse de 3%,
teríamos:
(1 + 0,05) = (1 + ir) x (1 + 0,03); ou seja:
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E assim, a taxa real (ir) é de somente 1,94% a.a.  Por outro lado, caso a inflação
anual fosse de 7%, teríamos:
(1 + 0,05) = (1 + ir) x (1 + 0,07); ou seja:
E, nesse caso, a taxa real (ir) nos mostraria um valor negativo. Ou seja, na verdade,
haveria uma perda de -1,87% a.a.
Saiba mais sobre taxa de juros nominal, efetiva e real no artigo "Taxa de juros: nominal, efetiva ou
real?" (VIEIRA SOBRINHO, 1981) de José Dutra Vieira Sobrinho, publicado na Revista de Administração
de Empresas. 
Como você pôde perceber, os diversos conceitos envolvidos na aplicação de juros
podem ser indecifráveis para quem não é exposto aos fundamentos que
acabamos de ver, o que torna a Matemática Financeira uma área de estudos
bastante útil a todos. 
VOCÊ QUER LER?
Síntese
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Você concluiu os estudos sobre o que são e como funcionam os juros. Agora, você
já conhece a lógica dos juros, ou seja, a razão de sua existência e suas aplicações,
bem como os regimes existentes.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
interpretar o conceito do valor do dinheiro no tempo;
reconhecer o conceito dos juros como sendo o preço do dinheiro;
resolver cálculos envolvendo juros;
distinguir entre os regimes de capitalização de juros simples e compostos;
avaliar a aplicação dos juros no dia a dia;
analisar situações em que são utilizadas taxas nominais, efetivas e reais de
juros.
Referências bibliográficas
ABREU, J. C. Matemática financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2015.
ALANO, G. O milagre dos juros compostos. ParMais, 16 set. 2015. Disponível em:
<https://www.parmais.com.br/blog/o-milagre-dos-juros-compostos-2/
(https://www.parmais.com.br/blog/o-milagre-dos-juros-compostos-2/)>. Acesso
em: 31/12/ 2017.
BRASIL. Decreto n. 22.626, de 7 de abril de 1933. Dispõe sobre os juros nos
contratos e da outras providências. Disponível em:
<http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/decreto/d22626.htm
(http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/decreto/d22626.htm)>. Acesso em:
10/01/2018.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira aplicada.  Curitiba:
Intersaberes, 2012.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com Hp 12c e Excel: uma abordagem
descomplicada. São Paulo: Person Prentice Hall, 2006.
JACOBS, A. A City whose Time Has Come Again; A�er Years of Deprivation, Jersey
City, an Old Industrial Powerhouse, Is Remaking Itself. The New York Times, 30
abr. 2000. Disponível em: <http://www.nytimes.com/2000/04/30/nyregion/city-
https://www.parmais.com.br/blog/o-milagre-dos-juros-compostos-2/
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/decreto/d22626.htm
http://www.nytimes.com/2000/04/30/nyregion/city-whose-time-has-come-again-after-years-deprivation-jersey-city-old.html
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https://unp.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 35/35
whose-time-has-come-again-a�er-years-deprivation-jersey-city-old.html
(http://www.nytimes.com/2000/04/30/nyregion/city-whose-time-has-come-again-
a�er-years-deprivation-jersey-city-old.html)>. Acesso em: 31/12/2017.
RADFORD, M. O Mercador de Veneza. Direção: Michael Radford. Produção: Cary
Brokaw, Michael Cowan, Barry Navidi e Jason Piette. United Kingdom, Italy,
Luxembourg, 2005.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2010.
SONIAK, M. Was Manhattan Really Bought for $24? Mental Floss, 02 out. 2012.
Disponível em: <http://mentalfloss.com/article/12657/was-manhattan-really-
bought-24 (http://mentalfloss.com/article/12657/was-manhattan-really-bought-
24)>. Acesso em: 31/12/2017.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Taxa de juros: nominal, efetiva ou real? Revista de
Administração de Empresas.  São Paulo, v. 21, n. 1, p. 77-82, Mar. 1981. Disponível
em:<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-
75901981000100008&lng=en&nrm=iso (http://www.scielo.br/scielo.php?
script=sci_arttext&pid=S0034-75901981000100008&lng=en&nrm=iso)>. Acesso em:
 03/01/2018.  
http://www.nytimes.com/2000/04/30/nyregion/city-whose-time-has-come-again-after-years-deprivation-jersey-city-old.html
http://mentalfloss.com/article/12657/was-manhattan-really-bought-24
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901981000100008&lng=en&nrm=iso
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CAPÍTULO 2 – COMO EFETUAR
CÁLCULOS COM JUROS?
Henrique Martins Rocha
INICIAR
Introdução
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Neste capítulo você estudará os juros compostos e os descontos: como são
calculados, quais suas nuances, aplicações e usos. Você sabe como calcular os
juros compostos? Ainda que seja o regime de capitalização mais comum, ele é um
mistério para muitas pessoas, por exigir cálculos mais complexos que no regime
de capitalização pelos juros simples, inviabilizando cálculos mentais e, por conta
disso, tornando-se menos intuitivo. E os descontos, como devem ser calculados?
Não se tratam de um simples sistema de barganha, pois respeitam a regra
fundamental da Matemática Financeira, que é o valor do dinheiro no tempo. Mas,
de quanto deve ser o desconto para uma transação que antecipe um pagamento
ou um recebimento? Como fazer um cálculo justo e correto para as partes
envolvidas, tendo como base o tempo? Esses são tópicos de grande relevância no
dia a dia e nas decisões pessoais e das empresas: ignorar as bases conceituais e as
aplicações práticas deles pode fazer com que tomemos decisões inadequadas,
comprometendo a possibilidade de fazer o melhor uso possível dos recursos
financeiros. Quais são as variáveis envolvidas e como selecionar as melhores
alternativas? Aqui serão apresentados os conceitos envolvidos nesses assuntos, de
forma que todas essas perguntas (e muitas outras) possam ser respondidas ao
longo do estudo deste capítulo. Bons estudos!
2.1 Juros compostos
Diferentemente do regime de capitalização de juros simples, em que os juros são
calculados sobre o valor inicialmente investido, no caso do regime de juros
compostos, a cada ciclo de capitalização, ou seja, a cada período em que o regime
prevê a capitalização monetária, os juros auferidos são adicionados ao valor
inicialmente investido, tornando-se maior a cada ciclo. Esse pequeno detalhe faz
com que a forma de calcular os juros compostos seja completamente diferente
dos cálculos executados no regime de juros simples.
Vamos ver como lidar com esses cálculos. E é isso que você vai estudar nesse
tópico: a lógica que relaciona as variáveis dos juros compostos.
2.1.1 Equivalência das taxas em juros compostos
Os cálculos pelo regime de juros compostos apresentam uma série de fórmulas
que nos permitem identificar seus valores, a partir do conhecimento dos demais.
Isso é justificado pelo fato de que os juros (J) são função do valor investido (VP), da
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taxa de juros (i) e do tempo em que o valor é investido (n), gerando ao final do
período um valor (VF) superior ao valor investido. Assim, mudanças em qualquer
uma dessas variáveis trazem alterações no J.
A seguir, você pode encontrar as fórmulas que correlacionam tais variáveis no
regime de juros compostos, iniciando pela fórmula geral da Matemática
Financeira.
Figura 1 - Crescimento dos juros, como função do crescimento da taxa de juros, do valor investido e
do tempo de investimento. Fonte: violetkaipa, Shutterstock, 2018.
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O professor Alexandre Assaf Neto é um dos maiores expoentes em Finanças no Brasil. Graduado em
Economia, Mestre em Administração pela EUTG/Espanha, Doutor em Administração e Livre-Docente
pela Universidade de São Paulo, foi autor de 22 livros e mais de 70 trabalhos científicos publicados em
Congressos e revistas nacionais e estrangeiras.
No entanto, essas fórmulas funcionam com a premissa que i e n estão na mesma
unidade de tempo, ou seja, que a taxa de juros informada se aplica ao ciclo do
regime de capitalização informado, os quais podem ser:
ao ano – a.a.;
ao semestre – a.s.;
ao quadrimestre – a.q.;
ao trimestre – a.t.;
ao bimestre – a.b.;
ao mês – a.m.; e
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ao dia – a.d.
Mas, isso nem sempre é verdadeiro, sendo necessário compatibilizar as unidades,
ou seja, convertê-las para que seja possível efetuar os devidos cálculos. Com a
capitalização cumulativa dos juros, diferentemente do regime de juros simples em
que o crescimento é linear e, consequentemente, podemos calcular os valores por
meio de uma “regra de três”, no regime de capitalização por juros compostos, o
crescimento é exponencial.
Assim, se a taxa de juros no bimestre é o dobro da taxa mensal nos juros simples, o
cálculo a ser efetuado nos juros compostos exige mais recursos, não podendo ser
uma mera multiplicação da taxa do período unitário pela quantidade de períodos.
Por exemplo, uma taxa mensal de juros de 10% representaria 20% de juros a.b.
Mas, no caso de juros compostos, teríamos:
J = VP [(1 + i)n - 1] = VP [(1 + 0,1)2 - 1] = VP x 0,21
Podemos rearranjar a fórmula J = VP [(1 + i)n - 1], para que tenhamos a proporção
de juros como uma taxa percentual:
J(%) = (1 + i)n – 1
Assim, ao dividirmos por VP, achamos 0,21. Ou seja, a taxa é de 21% a.b.
Dessa forma, a conversão das taxas de juros em suas taxas equivalentes requer a
execução de cálculos mais sofisticados do que no regime de juros simples. Para
tanto, é importante recordarmos que os ciclos de tempo têm relações entre si,
quais sejam: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres =
12 meses = 360 dias. 
Basta usar as relações para fazer as devidas conversões. Como no exemplo
anterior, como 1 bimestre = 2 meses, utilizamos a fórmula de cálculo de juros com
expoente “2”. Se fosse a.t., utilizaríamos o expoente “3”, no quadrimestre, “4”, no
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semestre, “6” e no ano, “12”. Da mesma forma, ao converter uma taxa a.b. para
a.s., utilizaríamos, também, o expoente “3”, visto que um semestre é composto por
três bimestres.
A mesma lógica deve ser utilizada ao convertermos para ciclos mais curtos, por
exemplo, ao converter uma taxa a.b. em a.m.: nesse caso, como um mês é
composto de meio bimestre (ou seja, ½ bimestre), o expoente deveria ser ½, o que
equivale à radiciação de base 2.
A tabela a seguir mostra os valores que devemos utilizar como expoente para
converter a taxa de juros de determinado período em taxas com períodos
diferentes, utilizando a fórmula:
J(%) = (1 + i)n – 1.
Por exemplo, juros de 6% a.m. representam (1 + 0,06)4 – 1 = 0,2625 = 26,25% a.q.,
ao passo que 28% a.a. representam:
Já 3,5% a.b. representam: 
 Tabela 1 -
Expoentes para conversão de taxas de juros com períodos diferentes, no regime de capitalização de
juros compostos. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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O filme O lobo de Wall Street (WINTER, 2014) conta a trajetória do jovem Jordan Belfort que, após um
período de estágio em uma corretora de Wall Street, começa a trabalhar em uma empresa que negocia
papéis de baixo valor,fora da bolsa de valores. Belfort monta uma empresa focada nesse tipo de
negócio e, junto aos colegas dos velhos tempos, enriquece rapidamente e leva uma vida de luxo.
Como você pode perceber, os cálculos com juros compostos são mais complexos
do que os com juros simples, basicamente pelo fato de que não dependemos
somente das quatro operações básicas, mas também da exponenciação e
radiciação.
Esses cálculos podem se tornar mais simples se utilizarmos calculadoras
financeiras, em especial, a mais comumente utilizada, a HP 12C.
2.1.2 Uso da calculadora HP 12C para fazer cálculos de juros
compostos
As calculadoras podem ser classificadas em quatro famílias:
básicas – contêm somente as quatro operações matemáticas fundamentais
(+, -, x e ÷);
científicas – utilizadas para a solução de cálculos matemáticos em geral;
contêm, além das quatro operações aritméticas, exponenciação e
radiciação. Além disso, podem conter funções estatísticas e outras;
financeiras – além de permitirem a solução de cálculos matemáticos em
geral, contêm fórmulas pré-programadas de Matemática Financeira (DAL
ZOT; CASTRO, 2015);
programáveis – permitem resolver cálculos e equações diversas por
inferências e processos iterativos diversos.
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Ainda que a maioria dos cálculos financeiros possam ser feitos com calculadoras
convencionais, as calculadoras financeiras têm como característica possuírem
comandos e funções específicas dessa área, não sendo necessário, portando,
conhecer as fórmulas e montar uma sequência de passos até se chegar ao
resultado de um problema financeiro.
Isso não significa, porém, que seu uso seja trivial: é importante conhecer seus
comandos e, mesmo, sequências a serem seguidas para efetuar corretamente os
cálculos, afinal, como qualquer outra calculadora, se entrarmos com valores ou
comandos errados, a calculadora não vai identificá-los (por mais completa que ela
seja, não tem capacidade crítica para identificar erros lógicos do usuário).
Consequentemente, salvo haja algum comando que viole a lógica operacional da
calculadora, os cálculos serão efetuados e será gerado um resultado que pode não
fazer qualquer sentido e, pior que isso, se não detectado, pode levar a decisões
errôneas sobre finanças e investimentos.
Vamos, assim, estudar a estrutura lógica e os comandos do modelo HP 12C, que
pode ser vista na figura a seguir.
 Figura 2 -
Calculadora HP 12C, a mais conhecida e utilizada para trabalho com imóveis, finanças, contabilidade,
economia e empresas. Fonte: Adaptado de HP (2004, p. 93).
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Mas, primeiramente, é importante saber que a HP 12C utiliza a chamada RPN (do
inglês Reverse Polish Notation – Notação Polonesa Inversa), que segue uma lógica
distinta das calculadoras convencionais, ao utilizar memórias de armazenagem
(chamadas de “pilhas”, por empilhar/armazenar dados) para a digitação dos
números e, só depois, indica-se qual operação deve ser feita com eles.
Tal notação foi “desenvolvida pelo matemático polonês Jan Luksievicz (1878-
1956), com o objetivo de reduzir o número de operações na solução de equações,
de larga aplicação em sistemas computacionais” (DAL ZOT; CASTRO, 2015, p. 137).
Por exemplo, em uma calculadora convencional, se quisermos calcular quanto é
“325 + 77”, basta digitar exatamente na sequência em que está escrito e clicarmos
no “=”, ou seja:
325
+
77
=
E aparecerá o resultado no visor, ou seja, “402”.
Na HP 12C, a mesma conta segue lógica e sequência completamente distintas, não
intuitiva como em outras calculadoras (SILVA, 2014):
325
ENTER
77
+
Pode parecer uma sequência estranha e até mesmo ilógica, mas a RPN apresenta
grandes vantagens em cálculos mais complexos, por reduzir a quantidade de
passos e, consequentemente, facilitar e agilizar cálculos diversos. 
VOCÊ QUER LER?
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Na dissertação de mestrado O estudo de tópicos de matemática financeira com tecnologias informáticas:
opiniões de professores participantes de um grupo de formação continuada, Caramori (2009) pesquisou as
opiniões de professores de um Grupo de Formação Continuada sobre o uso da Calculadora HP 12C e da
Planilha Excel para o ensino e aprendizagem de tópicos de Matemática Financeira, envolvendo
conceitos de porcentagem, juros simples e compostos. Apesar de os professores a considerarem um
recurso útil no estudo de porcentagens e de juros compostos, acreditam que seja de uso complexo,
além de não recomendarem para cálculos de juros simples.
Exemplo – vamos calcular o valor de:
Com uma calculadora convencional, teríamos de digitar:
5
+
9
=
/
2
=
E obteríamos o resultado “7”. Já com a HP 12C, os comandos seriam:
5
ENTER
9
+
2
/
Desliz
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E obteríamos, obviamente, o mesmo resultado. Repare que, se com a calculadora
convencional precisamos de sete passos para chegar ao resultado, com a HP 12C
conseguimos isso com somente seis. Na realidade, quanto mais complexo for o
cálculo, mais vantajosa é a utilização da RPN e, por essa razão, ela é utilizada para
efetuar seus cálculos financeiros.
A explicação é que “Apertando ENTER você indica à calculadora que terminou de
digitar o número, terminando a entrada de dígitos. Não é necessário apertar
ENTER depois de digitar o segundo número, pois as teclas +,-, x e ÷ também
terminam a entrada de dígitos” (HP, 2004, p. 19). Com isso a RPN permite, por
exemplo, dispensar o uso de parênteses, colchetes, chaves e mesmo do sinal de
igual, minimizando os erros e aumentando a velocidade de processamento.
Você pode estar ser perguntando: como vou fazer para praticar e me familiarizar com os comandos da
HP 12C se eu não tenho uma? Terei de comprar? Pedir emprestada? Sem ter a calculadora em mãos, é
muito difícil conseguir fixar os conceitos apresentados. Bem, para isso, há uma solução: um emulador
que você pode usar em seu computador (Web HP-12C emulator). Além de representar fielmente a
imagem da HP 12C (praticamente do mesmo tamanho da calculadora de verdade), contém todas as
funções necessárias ao uso. O texto que acompanha a calculadora está em inglês e português.
Outros aspectos relevantes sobre a HP 12C: seus botões apresentam múltipla
função: repare, por exemplo, no botão PV (observe a localização dele na figura a
seguir) – além da função PV, que discutiremos mais adiante, ele tem uma função
indicada na parte superior, na cor laranja (NPV) e outra função na parte inferior, na
cor azul (CFo).
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Assim, se pressionarmos o botão, selecionamos PV. Mas, se, antes disso, clicarmos
no botão laranja “f”, que fica na parte inferior da calculadora, selecionaremos a
função “NPV”. Da mesma forma, se antes de clicar no botão PV, você clicar no
botão azul “g” (também na parte inferior da calculadora), estará selecionando a
função “CFo”.
Outro botão importante é o “CLx”, que fica na parte central da HP 12C, e limpa o
mostrador. Se, antes de pressioná-lo, você clicar no botão laranja “f”, você “Apaga
os dados anteriores da memória da calculadora” (HP, 2004, p. 12).
Há ainda o botão “CHS”, que fica na parte central superior da HP 12C (veja a figura)
e serve para mudar o sinal de um valor, o que explica sua simbologia, do inglês
Change Signal (mudar sinal): se você digita, por exemplo, “20” e, em seguida,
“CHS”, o valor no visor e nos cálculos será alterado para “-20”. Se pressionado o
“CHS” novamente, ele voltará a “6”. Ou seja, não é um botão para“passar para o
negativo”, mas sim para mudar o sinal: o que for positivo passa a negativo, e vice-
versa.
Uma série de botões muito úteis aos cálculos no regime de capitalização de juros
compostos se encontra na linha superior da calculadora (abaixo do visor), a partir
da esquerda. Nesse tipo de cálculo, lidamos com as variáveis: valor investido (VP),
taxa de juros (i) e do tempo em que o valor é investido (n); gerando ao final do
período um valor (VF) superior ao valor investido.
Pois bem, essas funções são as executadas por tais botões, na sua versão em
inglês: n, i, PV (do inglês Present Value, ou valor presente – VP), PMT (que
discutiremos mais adiante) e FV (do inglês Future Value, ou valor futuro – VF).
 Figura 3 - Detalhe do botão PV na HP 12C, mostrando as múltiplas
funções do mesmo (cor branca no meio, cor laranja na parte de cima e cor azul na parte de baixo).
Fonte: Adaptado de HP (2004, p. 93).
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É importante recordar que, nos cálculos dos juros compostos tais variáveis se
inter-relacionam e, dessa forma, a dinâmica que utilizamos nas fórmulas é válida
para a HP 12C, ou seja, sabendo o valor das demais variáveis, podemos calcular o
valor da variável que desejamos identificar. Por exemplo, sabendo o valor de n, i e
PV, podemos calcular FV, da mesma forma que, sabendo o valor de i, PV e FV,
podemos calcular o valor de n etc.
Mas, há algumas particularidades nestes cálculos:
como calculadora financeira, ela assume que os valores informados para i já
são valores percentuais. Assim, se você clica 5 e depois i, a HP 12C interpreta
que i = 5%. Da mesma forma, se ela calcula i, o valor mostrado no visor é
percentual;
ela não interpreta a compatibilidade entre as unidades de i e n, assumindo
que elas estão na mesma base. Assim, se você clica 5 e i e depois 10 e n, ela
assume uma taxa de 5% ao período (que ela não sabe qual é, podendo ser
a.d., a.m., ou qualquer outra periodicidade) e que são 10 períodos
equivalentes à periodicidade de i, ou seja, 10 dias, 10 meses, ou qualquer
outra medida de tempo;
caso as unidades de i e n não sejam compatíveis, é necessário transformá-
las, para coincidir o período de capitalização com a taxa adequada;
a HP 12C efetua seus cálculos considerando o que é chamado de “soma
zero”, isto é, as entradas e saídas de dinheiro, ajustadas em função do
tempo, totalizarão zero. Assim, se há um investimento (VP) no valor de
R$100,00 durante o tempo n a uma taxa i, gerando um valor ao final desse
tempo (VF) de R$120,00, o valor mostrado no visor será de –R$120,00. Caso
tivéssemos considerado o VP como sendo de -R$100,00 (que, na realidade,
seria o correto, de acordo com a praxe em Matemática Financeira: dinheiro
saindo, são valores negativos, enquanto dinheiro entrando, valores
positivos), o VF seria de R$120,00.
 Figura 4 - Detalhe dos botões utilizados para
as variáveis dos cálculos do regime de juros compostos. Fonte: Adaptado de HP (2004, p. 93).
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Assim, se quisermos saber qual a taxa (i) nessa situação, considerando um n de 10,
a sequência de comandos seria:
f CLx
100
CHS
PV
120
FV
10
n
i
E será mostrado no visor o resultado 1,84. Ou seja, caso n represente meses (isto é,
10 meses), a taxa seria de 1,84% a.m. Se, porventura fossem 10 bimestres, a taxa
seria de 1,84 % a.b. e assim sucessivamente.
Ou seja, explicando o passo a passo dos comandos e a lógica utilizada na HP 12C:
após a limpeza dos registros (f + CLx), digitamos 100 e CHS, o que transforma o
valor 100 em -100. Mas, a calculadora não sabe o que é esse valor, ou seja, o que
fazer com ele. Ao clicarmos em PV, ela compreende que:
VP = -100
Em seguida, ao digitarmos 120 e FV, ela compreende que:
VF = 120
Ao digitarmos 10 e n, ela interpreta, então, que:
n = 10 (lembre-se de que ela não sabe se são 10 dias, 10 meses, ou qualquer outro
período de tempo, mas somente que são 10 unidades de tempo).
Pois bem, sabemos da correlação entre as variáveis, de tal forma que, sabendo o
valor delas, podemos calcular o valor que queremos saber. Assim, o que seria
calculado pela fórmula:
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Pode ser calculado agora simplesmente clicando em i, gerando o resultado de
1,84%.
A mesma lógica se aplica a qualquer outra variável que desejamos calcular: você
viu que, sabendo os valores de VP, VF e n, é possível calcular i. Mas, também,
sabendo os valor de VP, i e n, é possível calcular o VF etc., o que torna o uso da HP
12C bastante simples.
CASO
Lançada em 1981, a HP 12C é a calculadora financeira mais antiga da
história e, também, a de maior sucesso. Ainda que a empresa não divulgue
suas vendas, sabe-se que até 2003 foram vendidas cerca de três milhões de
unidades em todo o mundo (ISTO É DINHEIRO, 2016). Um grande sucesso,
sem dúvida, principalmente para um produto cujo design permanece
basicamente o mesmo desde o lançamento e que arregimenta inúmeros
fãs e seguidores, a ponto de existir um clube com sócios em todo o mundo
que reúne usuários de calculadoras financeiras, em especial as fabricadas
pela HP: o HPCC (Handheld and Portable Computer Club. De fato, a HP 12C é
um ícone entre executivos e analistas do mercado financeiro mundial e
poucos profissionais se arriscam a ter uma calculadora diferente (ISTO É
DINHEIRO, 2016), sendo um dos poucos modelos aceitos nos exames de
certificação de profissionais de finanças (CFP e CFA) (GREGO, 2011).
Você deve ter percebido, então, que a HP 12C tem inúmeras vantagens quando
lidamos com cálculos financeiros, o que é lógico, por ser uma calculadora
projetada justamente para esse uso.
VOCÊ SABIA?
Deslize
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A HP 12C não é o único recurso que facilita os cálculos financeiros: além de
inúmeros aplicativos existentes, o Excel tem um conjunto de funções financeiras
que se assemelham aos recursos da HP 12C, como as funções NPER (equivalente ao
n), TAXA (equivalente ao i), VP, VF e tantas outras mais.
Mas, um aspecto que precisa ser discutido quando tratamos dos cálculos
financeiros e, em especial, o conceito do valor do dinheiro no tempo é o fato de
que, além dos cálculos feitos “para frente”, ou seja, o acréscimo de juros que
transforma um VP em um VF, há situações em que devemos fazer cálculos “para
trás” – cálculos de valores referentes à antecipação de pagamentos ou
recebimentos, na forma de descontos.
2.2 Desconto simples
A lógica do valor do dinheiro no tempo nos ensina que o mesmo valor monetário
de hoje no futuro terá, de fato, um valor menor. Por isso, um valor tomado hoje
como empréstimo ou investido em determinada aplicação financeira, para ser
devolvido no futuro, precisará ser acrescido de um montante que compense a
perda. 
Ou seja, o dono do dinheiro precisará ser remunerado pelo tempo em que os
recursos ficaram indisponíveis, na forma de juros. Por isso, se investimos hoje
R$100,00, esperamos e exigimos receber no futuro os R$100,00 + uma
remuneração pelo valor investido (digamos, por exemplo, mais R$10,00).
Assim, se há determinado valor a ser recebido no futuro, seu total engloba o valor
que seria recebido hoje + a remuneração. Consequentemente, se por qualquer
razão, houver a antecipação no recebimento, essa remuneração deveria ser
retirada (ou reduzida). Observe, por exemplo, a análise, tomando por base a
equação fundamental da Matemática Financeira: se,
FV = VP + J,
 então:
VP = FV – J. 
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A essa diferença entre o valor a ser recebidono futuro e o valor a ser recebido em
uma data anterior (que não necessariamente precisa ser o VP, podendo ser, por
exemplo, um futuro mais próximo), dá-se o nome de desconto.
Ou seja, pela lógica do valor do dinheiro no tempo da Matemática Financeira, um
valor recebido “mais tarde” deve ser remunerado pelos juros, ao passo que um
valor recebido “mais cedo” apresenta desconto.
Os descontos, ainda que tenham suas peculiaridades e especificidades, seguem
basicamente a mesma lógica utilizada nos cálculos de juros, utilizando, também,
as mesmas variáveis. Vamos compreender a dinâmica dos cálculos envolvendo
descontos, lembrando que a aplicação e a capitalização dos juros podem ocorrer
de duas formas: juros simples e juros compostos, e a diferença entre esses regimes
é a de que nos juros simples o cálculo se aplica ao valor investido, ou seja, no VP,
ao passo que nos juros compostos, os juros auferidos são somados ao VP e, a
partir daí, os juros são calculados sobre esse novo montante, gerando um valor
ainda maior, sobre o qual são calculados, novamente, os juros sobre o novo total e
assim sucessivamente.
2.2.1 Valor do dinheiro no tempo aplicado a descontos
Vamos imaginar que você tenha R$1.000,00 a receber daqui a um ano, mas lhe é
oferecida a possibilidade de receber agora esse valor. Se você recebesse esse
montante agora, poderia aplicar em um investimento que lhe remunerasse a uma
taxa de, digamos, 7% a.a. e, consequentemente, um ano depois, teria R$1.070,00,
ao invés de R$1.000,00.
Essa lógica da remuneração pelo tempo nos leva a inferir que, o mais correto, em
termos de Matemática Financeira, fosse receber menos do que os R$1.000,00 (na
realidade, algo próximo a R$935,00). 
O cálculo do desconto, a exemplo dos regimes de capitalização dos juros, pode ser
por juros simples e juros compostos. Além disso, sua alíquota (i) pode ser aplicada
sobre o VP ou sobre o VF. Em termos práticos, no Brasil, a prática ampla e
generalizada é a do desconto em juros simples ser calculado sobre o VF (que
recebe o nome de desconto comercial, bancário, ordinário ou por fora) e, somente
em casos específicos, o desconto sobre o VP (recebendo o nome de desconto
racional, real ou por dentro) com juros compostos.
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Vamos compreender a dinâmica nesse tipo de transação: o portador de títulos
como notas promissórias, duplicatas e outros pode antecipar seu fluxo de caixa,
isto é, antecipar os valores a serem recebidos, ao ceder os títulos a vencer no
futuro, em troca do recebimento à vista de um valor inferior ao valor de face dos
títulos. Assim, por exemplo, a empresa pode descontar as duplicatas de venda de
produto ou de prestação de serviços que emitiu, antes da data de vencimento
(CEF, s.d.).
VOCÊ SABIA?
Qual a diferença entre duplicata e promissória?  “Quando uma empresa vende uma
mercadoria, ela emite uma nota fiscal. De acordo com a lei, essa nota fiscal tem de
ter algumas vias (cópias eletrônicas ou de papel)” (ABREU, 2015, p.25). Daí o nome
“duplicata”. Já a nota promissória, como o nome indica, é uma “promessa” de um
compromisso financeiro: “Uma promissória é um instrumento de confissão de
dívida. O emitente da promissória é aquele que a assina, reconhecendo que deve e
que vai pagar determinado valor em data fixada nesse mesmo documento”
(ABREU, 2015, p. 26).
Olhando pelo lado da instituição financeira, ela está fazendo um investimento:
adquire os direitos dos títulos no momento da transação por um VP e vai receber o
valor de face dos títulos em um momento futuro, sendo o valor de face o VF de tal
investimento.
E, olhando pelo lado da empresa que desconta os títulos, ela obtém o valor antes
do vencimento dos títulos (VP). Mas, ao invés de receber o valor integral VF, recebe
com um desconto. Ou seja,
VP = VF – d
Sendo d, o desconto na transação. 
Veja na figura a seguir um exemplo de duplicata.
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Silva e Porto (2012, p. 3) explicam como é esse trâmite:
os bancos comerciais recebem das empresas borderôs de desconto,
formados por duplicatas a receber; os bancos deduzem do valor nominal
do borderô o desconto (juros) e os encargos operacional (tarifas) e fiscal
(impostos); a diferença entre o valor nominal do borderô e o deságio total
divulga o valor efetivamente disponibilizado às empresas.
Eventualmente, cheques pré-datados podem, também, ser utilizados em
transações de descontos (GIMENES, 2006).
Figura 5 - Exemplo de uma duplicata, com valor de face de R$485,07, emitida em 03 de abril de 1999 e
com data de vencimento de 04 de maio do mesmo ano. Fonte: DTCOM, 2018.
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É importante salientar que, conforme determinação do Banco Central, o cheque é
uma ordem de pagamento à vista, válida para o dia de sua apresentação ao banco,
mesmo que nele esteja indicada uma data futura. Se houver fundos, o cheque pré-
datado é pago (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2014).
VOCÊ SABIA?
É comum os bancos oferecerem aos clientes pessoa física a “antecipação da
restituição do Imposto de Renda”, que segue uma lógica idêntica ao do desconto de
títulos: quando os clientes têm direito à restituição do IR, os bancos oferecem o
recebimento antecipado do valor. Para isso, as instituições disponibilizam ao
cliente um valor menor do que ele irá receber. Assinado o contrato, na data em que
a Receita Federal depositar a restituição do IR na conta bancária do contribuinte,
esse valor é imediatamente sacado pelo banco. Mas, é importante lembrar que isso
não deve ser considerado um investimento por parte do contribuinte, pois as taxas
cobradas pelos bancos são mais do que o dobro da remuneração que a devolução
recebe enquanto o Governo não devolve o dinheiro ao contribuinte (FONSECA,
2014).
 Pois bem, como o desconto de duplicatas e promissórias é calculado com base no
VF, ou seja, como os juros para desconto de títulos são calculados sobre o valor
futuro, com base em juros simples, temos então:
J = d = VF x i x n
 Figura 6 - Cheque,
quando emitido com data futura, caracteriza o que é denominado cheque pré-datado. Fonte:
Popartic, Shutterstock, 2018.
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Dessa forma:
VP = VF – VF x i x n
Ou ainda:
VP = VF (1 – i x n)
Essa é a fórmula geral para o cálculo do desconto de duplicatas e similares.
Como usual, podemos rearranjar a fórmula, caso desejemos calcular outros
elementos nas mesmas situações. Ou seja,
Essas fórmulas podem ser utilizadas, então, para efetuar uma série de cálculos,
importante para que possam ser feitas escolhas adequadas junto às instituições
financeiras.
2.2.2 Aplicação do sistema de desconto no dia a dia
Quando uma empresa necessita de fundos para, por exemplo, comprar matérias-
primas, ela pode recorrer a um empréstimo. Assim, recebe o dinheiro do
empréstimo, utiliza-o para comprar o material necessário as suas atividades,
fabrica os produtos ou executa os serviços, gerando uma receita pelo recebimento
por eles. E, com esse dinheiro recebido, paga o empréstimo.
No entanto, uma alternativa seria a de, ao invés de contrair um empréstimo,
analisar a possibilidade de descontar duplicatas, referentes a valores ainda a
receber. Por exemplo, a empresa pode consultar no site do Banco Central as taxas
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para Pessoa Jurídica – Desconto de Duplicata   e encontrar que a Caixa Econômica
Federal pratica a taxa de 3,43% a.m. (taxa informada em 13 de janeiro de 2018).
Assim, se aempresa necessita de R$1.000.000,00, ela poderia descontar duplicatas
que vencerão em seis meses no valor total de:
Ou seja, R$1.259.128,68 em duplicatas.
Mas, como saber se a transação é vantajosa, melhor do que recorrer a um
empréstimo? Consultando no mesmo site, podemos buscar a taxa para Pessoa
Jurídica – Capital de Giro com Prazo Até 365 Dias: considerando a mesma
instituição e mesma data, encontramos uma taxa de 3,28% a.m. Podemos, então,
fazer o cálculo de quanto seria o valor a ser pago com essa taxa:
VF = 1.000.000 (1 + 0,0328)6 = 1.213.660,94.
Observe que, nesse exemplo, o empréstimo seria melhor do que o desconto das
duplicatas, pois ao descontá-las, a empresa deixaria de receber R$1.259.128,68
daqui a seis meses, mas esse montante é superior ao valor que ela teria de pagar
pelo empréstimo (R$1.213.660,94).
Assim, seria melhor manter as duplicatas e recorrer ao empréstimo. Mas, isso não
é uma regra geral: na vida real, seria adequado verificar as taxas do dia,
considerando inclusive diferentes instituições, escolhendo a alternativa mais
vantajosa às necessidades da empresa. Além disso, devem ser verificadas
eventuais taxas de crédito, IOF etc., para fazer a escolha. Existe, também, a
possibilidade de negociação junto às instituições, visando obter condições mais
favoráveis.
Outro aspecto muito importante a ser analisado é a rentabilidade da instituição na
transação: o fato de a Caixa Econômica Federal (a instituição que escolhemos para
desenvolver o nosso exemplo do desconto de duplicatas) praticar a transação com
uma taxa de 3,43% a.m. não significa que essa a seja a remuneração dela na
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transação. Lembre-se de que tal taxa é aplicada sobre o VF (e não sobre o VP) e,
além disso, o cálculo do desconto de duplicatas é com base em juros simples (e
não em juros compostos). Assim, precisamos saber qual a taxa que a instituição
tem como rentabilidade, isto é a sua real remuneração.
Para isso, utilizamos, então, a fórmula: 
Isso explica o fato de que o empréstimo seria uma alternativa melhor do que o
desconto de duplicatas: enquanto a taxa praticada no empréstimo é de 3,28%
a.m., a taxa de rentabilidade no caso do desconto de duplicatas é superior: 3,92%
a.m.
Tais aspectos são, como indicado anteriormente, as condições reinantes de
desconto simples. Ainda que menos usual, podem ocorrem, também, situações
em que o cálculo dos juros não é aplicado sobre VF, mas sim sobre o VP: de acordo
com Samanez (2010, p.70), o desconto racional simples “não apresenta
praticamente nenhuma aplicação relevante nas operações bancárias ou
comerciais”. Assim, pode ocorrer, por exemplo, em transações entre particulares.
Sua base de cálculo é exatamente a mesma do cálculo de juros no regime de
capitalização simples. Assim, como:
VF = VP (1 + i x n)
e
d = VF – VP
temos que:
d = VP [(1 + i x n) – 1]
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Assim, por exemplo, em uma situação hipotética em que um empresário necessite
de R$1.000,00 e seja cobrada uma taxa de desconto racional simples de 3% a.m.,
em um período de cinco meses, o desconto será de 1.000 x [(1 + 0,03 x 5) – 1] =
R$150,00. Ou seja, o empresário deveria disponibilizar recursos (títulos, bens etc.)
com vencimento/disponibilização em cinco meses, no valor de R$1.150,00 para
receber os R$1.000,00 de que necessita.
Menos comum é também o uso de juros compostos em descontos. Mas eles
acontecem e você precisa saber suas características e como são calculados.
2.3 Desconto composto
No desconto composto, como o nome indica, são utilizados juros compostos como
base de cálculo. E, a exemplo dos juros simples, os descontos compostos podem
ser no regime comercial (ou bancário, ordinário, ou por fora) ou no regime racional
(ou real, ou por dentro) (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
Sobre este último, ainda que pouco usual, é apresentado por Dal Zot e Castro
(2015) como utilizado em operações com prazos superiores a 90 dias.
Pode parecer um contrassenso as instituições financeiras trabalharem com juros
simples, afinal, sabemos que o crescimento dos valores nos regimes de
capitalização de juros compostos é maior do que nos juros compostos e,
consequentemente, parece que as empresas financeiras estão abrindo mão de
maiores ganhos ao adotarem esse sistema no desconto de notas promissórias e
duplicatas.
Mas, isso não é verdade: na realidade, ao antecipar o valor de uma duplicata,
quanto menos a instituição financeira desembolsar por ela, maiores serão seus
ganhos. Essa é a forma de elas conseguirem majorar seus ganhos nos cálculos dos
descontos, por menos intuitivo e contraditório que isso possa parecer. 
Vamos compreender essa lógica com um exemplo numérico: suponhamos que
uma instituição financeira trabalhe com descontos em juros simples, sobre um VF
de R$1.000.000,00, a uma taxa de 3% a.m. Considerando uma antecipação de um
mês, isso representaria um desconto de 0,03 x 1.000.000 = R$30.000 e,
consequentemente, o valor a ser pago ao cliente seria de R$970.000,00. Se, ao
invés disso, a antecipação fosse de dois meses, o valor pago seria de R$940.000;
com três meses, R$910.000,00, e assim sucessivamente.
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Mas, se fossem juros compostos, teríamos uma situação completamente diferente:
lembre-se de que os juros compostos são incorporados ao valor principal. Mas, no
caso do desconto, estamos falando de antecipação, ou seja, o valor dos juros não é
acrescido ao valor, mas sim subtraído. Assim, os juros após o primeiro mês não
são mais calculados sobre R$1.000.000,00, mas sim sobre o que “restou” do valor,
ou seja, sobre R$970.000,00. Dessa forma, ao invés de R$30.000,00 (3% de
R$1.000.000,00), eles seriam de R$29.100,00 (3% de R$970.000,00). Antecipando
em mais um mês, o desconto seria de 3% sobre R$940.900,00 (970.000 – 29.100 =
940.900).
Repare como os descontos são cada vez menores e, consequentemente, o valor a
ser pago pelo banco é maior do que seria se o cálculo fosse sobre os juros simples.
O gráfico a seguir evidencia essa diferença.
Isso explica a lógica da utilização dos juros simples nos descontos: o ganho da
instituição financeira é maximizado pelo aumento do desconto e consequente
redução do valor a ser pago ao cliente.
Vamos entender como são efetuados os cálculos dos descontos compostos no
regime racional.
2.3.1 Descontos compostos no regime racional
 Figura 7 -
Valor a ser antecipado pela instituição financeira pelo desconto de títulos no valor de R$1.000.000,00,
considerando i = 3% a.m. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Também conhecido por regime real, ou “por dentro”, pode eventualmente ser
utilizado em transações bancárias e comerciais. Sua base de cálculo envolve a
lógica do regime de capitalização de juros compostos, em especial, o cálculo
desses juros sendo aplicado inicialmente sobre o VP: daí a nomenclatura “por
dentro”, por se referir ao cálculo aplicado por algo no momento presente, e não a
algo ainda por acontecer (VF).
Dessa forma, partindo da fórmula básica de cálculo dos juros compostos:
VF = VP (1 + i)n
E, sabendo que:
d = VF – VP
Temos:
d = VP (1 + i)n – VP
Rearranjando a fórmula, temos:
d = VP [(1 + i)n – 1]
Caso desejemos calcular o valor de d, tendo por base o VF (o que faz sentido, visto
que esse será o valor dos títulos oferecidos), é necessário fazer novo rearranjo na
equação:
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Exemplo: um lojistaprocurou seu banco para descontar uma duplicata a vencer
em um prazo de seis meses, com o valor de face de R$100.000,00. Sabendo que o
banco pratica uma taxa de desconto composto de 3% a.m., quanto ele receberia,
desconsiderando qualquer outra taxa ou impostos? 
Consequentemente, o lojista receberia:
100.000 – 16.251,57 = R$83.748,43
Vamos ver agora como funciona o sistema de descontos compostos no regime
comercial. 
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2.4 Desconto composto
O desconto composto no regime comercial (também conhecido como bancário ou
ordinário) tem o valor de desconto calculado sobre o VF, a exemplo da prática nos
descontos simples, sendo, por isso, chamado de desconto “por fora”, visto aplicar-
se a um valor ainda a ser recebido, em momento futuro (o próprio conceito de VF).
No entanto, é importante destacar que Dal Zot e Castro (2015, p. 48) enfatizam que
“Embora citado por alguns autores, não se tem conhecimento sobre a utilização
do desconto bancário composto”.  Então, a abordagem de tal regime é tratada
somente com finalidade didática.
Vamos estudar suas características e dinâmica dos cálculos.
2.4.1 Cálculos financeiros de juros compostos
O cálculo do VF nos juros compostos tem forte similaridade com o cálculo nos
juros simples, como pode ser visto ao compararmos as fórmulas a seguir:
VFjs = VP (1 + i x n); e
VFjc = VP (1 + i)n
O mesmo pode ser dito, consequentemente, no caso do cálculo dos juros:
Jjs = VP x i x n; e
Jjc = VP [(1 + i)n – 1]
A diferença entre elas está na natureza da capitalização: enquanto no regime de
capitalização simples o crescimento dos juros é linear e, sob essa lógica, os valores
calculados consideram a multiplicação da taxa i pela quantidade de períodos n, no
caso dos juros compostos, a incorporação dos juros ao valor a ser investido a cada
período faz com que haja a aplicação de “juros sobre juros”, de tal forma que o
crescimento seja exponencial.
Consequentemente, podemos inferir que a mesma lógica se aplica no caso do
cálculo dos descontos: se a redução do VF é linear, isto é, o desconto aumenta
linearmente em função do tempo de antecipação, como pode ser visto na fórmula
a seguir.
VP = VF (1 – i x n)
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Podemos concluir que a fórmula para desconto composto no regime comercial é:
VP = VF (1 – i)n
Por exemplo, vamos supor que um VF de R$1.000.000,00 é descontado sob esse
regime, a uma taxa de 3% a.m.: se n = 1, ou seja, se o prazo para o vencimento é de
um mês, o desconto seria de 0,03 x 1.000.000 = R$30.000,00, sendo pago
R$970.000,00.
Mas, se o vencimento for em dois meses (ou seja, se n = 2), haveria novo desconto
de 3%, aplicado sobre os R$970.000,00, ou seja, R$29.100,00, de forma que o valor
a ser pago seja de R$940.900,00, e assim sucessivamente.
Vamos observar esse comportamento por meio das fórmulas: a partir do tempo n,
no qual há o VF, temos:
VPn-1 = VF (1 – i)
Sendo VPn-1 o VP um mês antes de n, ou seja, caso o vencimento do título
ocorresse no prazo de um mês. Podemos entender, a partir de tal dedução que, se
o momento presente fosse um mês antes, ou seja, “n – 2”, teríamos VPn-2, o qual
seria calculado por:
VPn-2 = VPn-1 (1 – i)
Substituindo VPn-1, temos:
VPn-2 = VF (1 – i) (1 – i) = VF (1 – i)2
Pela mesma lógica, podemos entender que:
VPn-3 = VF (1 – i)3
Dessa forma, é possível generalizar a fórmula de cálculo do VP em descontos
compostos no regime comercial como sendo:
VP = VF (1 – i)n
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Podemos, também, rearranjar a fórmula, para identificar as demais variáveis,
como segue. 
Utilizando o mesmo exemplo do tópico anterior: o lojista desconta uma duplicata
a vencer em seis meses, com o valor de face de R$100.000,00, sendo a taxa de
desconto composto de 3% a.m., quanto ele receberia, desconsiderando qualquer
outra taxa ou impostos? 
d = 100.000 [1 - (1 – 0,03)6] = 16.702,80
Ele receberia:
100.000 – 16.702,80 = R$83.297,20
Como você pode perceber, a diferença entre os dois valores nos diferentes regimes
não é substancial: essa é uma característica dos descontos, devido ao fato que
usualmente os prazos não são longos.
Síntese
Você concluiu os estudos sobre as taxas equivalentes em juros compostos e dos
cálculos de descontos. Agora, você já conhece a lógica dos juros para o cálculo de
investimentos, bem como no desconto de títulos.
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Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
aplicar taxa equivalente nos cálculos com juros compostos;
empregar a HP 12C em problemas com juros compostos;
definir o conceito de descontos nos cálculos financeiros;
distinguir entre os diferentes regimes de descontos;
resolver problemas de descontos em cálculos financeiros.
Referências bibliográficas
ABREU, J. C. Matemática financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2015.
BANCO CENTRAL DO BRASIL. FAQ    – Cheques, 05/2014. Disponível em:
<http://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/servicos6.asp#5
(http://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/servicos6.asp#5)>. Acesso em:
14/01/2018.
CARAMORI, M. F. O estudo de tópicos de matemática financeira com tecnologias
informáticas: opiniões de professores participantes de um grupo de formação
continuada. 2009. 110 f. Dissertação (mestrado) – Centro Universitário
Franciscano, Santa Maria, 2009. Disponível em:
<http://www.pucrs.br/ciencias/viali/mestrado/literatura/dissertacoes/Caramori.p
df
(http://www.pucrs.br/ciencias/viali/mestrado/literatura/dissertacoes/Caramori.pd
f)>. Acesso em: 13/01/2018.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada.  Curitiba:
Intersaberes, 2012.
CEF. Desconto de Duplicatas. [s.d.] Disponível em:
<http://www.caixa.gov.br/empresa/credito-financiamento/antecipacao-de-
receitas/desconto-de-duplicatas/Paginas/default.aspx
(http://www.caixa.gov.br/empresa/credito-financiamento/antecipacao-de-
receitas/desconto-de-duplicatas/Paginas/default.aspx)>. Acesso em: 13/01/2018.
DAL ZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações.
Porto Alegre: Bookman, 2015.
http://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/servicos6.asp#5
http://www.pucrs.br/ciencias/viali/mestrado/literatura/dissertacoes/Caramori.pdf
http://www.caixa.gov.br/empresa/credito-financiamento/antecipacao-de-receitas/desconto-de-duplicatas/Paginas/default.aspx
11/09/2019 Matemática Financeira
https://unp.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 32/33
EPXX. Web HP-12C emulator. Disponível em: <https://epxx.co/ctb/hp12c.html
(https://epxx.co/ctb/hp12c.html)>. Acesso em: 12/01/2018.
FONSECA, M. Antecipar imposto de renda só vale a pena para pagar dívida cara.
Folha de São Paulo. 25/02/2014. Disponível em:
<http://www1.folha.uol.com.br/mercado/2017/03/1867966-antecipar-ir-so-vale-a-
pena-para-pagar-divida-cara.shtml
(http://www1.folha.uol.com.br/mercado/2017/03/1867966-antecipar-ir-so-vale-a-
pena-para-pagar-divida-cara.shtml)>. Acesso em: 13/01/2018.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com Hp 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada. São Paulo: Person Prentice Hall, 2006.
GREGO, M. Aos 30 anos, HP 12C ainda é queridinha de Wall Street. Exame.
Tecnologia, 04/05/2011. Disponível em:
<https://exame.abril.com.br/tecnologia/aos-30-anos-hp-12c-ainda-e-queridinha-
de-wall-street/ (https://exame.abril.com.br/tecnologia/aos-30-anos-hp-12c-ainda-
e-queridinha-de-wall-street/)>. Acesso em: 13/01/2018.
HP. HP 12C calculadora financeira – guia do usuário. 4. ed. San Diego: Hewlett–
Packard Company, 2004. Disponível em:
<http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf(http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf)>. Acesso em:
17/01/2018. 
HANDHELD AND PORTABLE COMPUTER CLUB. Welcome. Disponível em:
<http://www.hpcc.org/ (http://www.hpcc.org/)>. Acesso em: 16/01/2018.
ISTO É DINHEIRO. O maior sucesso da HP. Isto é Dinheiro. Mercado Digital.
02/12/2016. Disponível em: <https://www.istoedinheiro.com.br/noticias/mercado-
digital/20030319/maior-sucesso/19614
(https://www.istoedinheiro.com.br/noticias/mercado-digital/20030319/maior-
sucesso/19614)>. Acesso em: 13/01/2018.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2010.
SILVA, J. F. O uso das TICs no ensino superior e suas contribuições para a
educação estatística. 2014. 115 p. Dissertação (mestrado) – Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências, Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.
https://epxx.co/ctb/hp12c.html
http://www1.folha.uol.com.br/mercado/2017/03/1867966-antecipar-ir-so-vale-a-pena-para-pagar-divida-cara.shtml
https://exame.abril.com.br/tecnologia/aos-30-anos-hp-12c-ainda-e-queridinha-de-wall-street/
http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf
http://www.hpcc.org/
https://www.istoedinheiro.com.br/noticias/mercado-digital/20030319/maior-sucesso/19614
11/09/2019 Matemática Financeira
https://unp.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 33/33
SILVA, A. M. L.; PORTO, J. E. Mensuração do risco de contratação do desconto de
duplicatas nos bancos comerciais brasileiros segundo o modelo Fleuriet de análise
financeira – abordagens determinística e estocástica. In: XXXII Encontro Nacional
de Engenharia de Produção. Anais... Bento Gonçalves, RS, Brasil, 15 a 18 de
outubro de 2012. Disponível em:
<http://www.abepro.org.br/biblioteca/enegep2012_TN_STO_159_927_21141.pdf
(http://www.abepro.org.br/biblioteca/enegep2012_TN_STO_159_927_21141.pdf)>
. Acesso em: 13 Jan. 2018.
WINTER, T. O lobo de Wall Street. Direção: Martin Scorsese. Produção: Martin
Scorsese, Leonardo DiCaprio, Riza Aziz, Joey McFarland, Emma Tillinger Koskoff.
West Hollywood, 2014.
http://www.abepro.org.br/biblioteca/enegep2012_TN_STO_159_927_21141.pdf
11/09/2019 Matemática Financeira
https://unp.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 1/29
MATEMÁTICA FINANCEIRA
CAPÍTULO 3 – QUAIS OS CÁLCULOS
POSSÍVEIS COM FLUXOS DE CAIXA?
Henrique Martins Rocha
INICIAR
Introdução
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Neste capítulo você estudará os fluxos de caixa: o que são, quais os seus tipos e
classificações, para que servem, quais suas aplicações e como facilitam os
cálculos. A noção de fluxos de caixa auxilia as análises financeiras pela sua
representação gráfica e a possibilidade de visualizar diversas transações
financeiras ao longo do tempo. Mas, como isso é feito? De que forma é possível
visualizar diversas transações e, ao mesmo tempo, perceber detalhes relevantes
da cada uma delas? Como é possível ter uma visão simplificadora e,
simultaneamente, abrangente de transações financeiras? Vamos entender o que
acontece, de fato.
Você sabe quais são os elementos que compõem a representação gráfica de um
fluxo de caixa? Como diferenciar as especificidades de cada transação financeira
em um único fluxo de caixa? Você estudará como são representados os fluxos de
caixa e como são efetuados os cálculos levando em consideração juros e o valor do
dinheiro no tempo. Veremos como podemos efetuar os cálculos envolvendo as
diversas variáveis refletidas em fluxos de caixa. Como o tempo influencia os
cálculos? Como lidar com transações simultâneas que se sobrepõem?
Todas essas perguntas serão respondidas ao longo do estudo deste capítulo.
3.1 O que é o fluxo de caixa   
Ao falarmos sobre transações financeiras, é comum pensarmos em fórmulas e
equações diversas, mas também em planilhas e tabelas que registram os valores
envolvidos nas transações e cálculos. Mas, essa não é a única forma de representar
essas transações: elas podem ser representadas por meio dos fluxos de caixa, ou
seja, representações gráficas que indicam diversas operações ao longo do tempo,
o que facilita a visualização e, consequentemente, as análises e cálculos a serem
efetuados.
Os conceitos dos fluxos de caixa representam, junto ao conceito de juros; a base
fundamental de estudo da Matemática Financeira. Tais conceitos fundamentam
atividades que englobam análise de investimentos, empréstimos, financiamentos
e tantas outras atividades financeiras. O conhecimento dessa ferramenta auxilia
pessoas, famílias e empresas a analisar sua situação e a tomar as melhores
decisões sobre finanças. 
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  E é isso que você vai estudar neste tópico: a lógica que relaciona valores
monetários com o tempo, representados por meio dos fluxos de caixa, e os tipos
de análises e cálculos que podem ser feitos.  
3.1.1 Representação de um fluxo de caixa
Se você toma um empréstimo de R$1.000,00 e paga, um mês depois, R$1.030,00
(ou seja, o valor emprestado mais R$30,00 de juros ao longo de um mês), é
possível representar as duas transações (o recebimento dos R$1.000,00 e o
pagamento de R$1.030,00) em uma tabela (ou planilha). Mas, registrar somente os
valores de R$1.000,00 e R$1.030,00 não é suficiente para explicar de forma
completa o que, de fato, aconteceu.
É aí que surgem os padrões usuais para representar os fluxos de caixa, ou seja,
adicionar informações aos valores de forma que seja possível ter um panorama
completo do que aconteceu e o fenômeno que estamos estudando.
Figura 1 - Movimentações de dinheiro, na forma de transações financeiras, devem ser registradas e
analisadas. Fonte: isak55, Shutterstock, 2018.
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Por exemplo, como relacionar os dois valores, ou seja, indicar que há uma relação
entre eles, que um (o pagamento) ocorreu como consequência do outro (o
recebimento do valor emprestado)? Como saber que o primeiro é recebimento e o
outro um pagamento, e não o contrário? Também não é possível saber o intervalo
entre uma transação e outra.
Dessa forma, a planilha precisa indicar os valores, relacioná-los e indicar o tempo
em que ocorreram. Veja na figura a seguir a planilha somente com os valores (à
esquerda) e com a adição dos demais elementos informativos (à direita), que
representariam um fluxo de caixa.
Há algumas nuances que precisam ser destacadas quando analisamos as
informações contidas na planilha da direita. Repare, primeiramente, que a cada
valor foi associado um período, ou seja, uma medida n de tempo: a situação que
estudamos começou com o empréstimo de R$1.000,00 e, por isso, vinculamos com
o tempo inicial, isto é n = 0. E, consequentemente, como a outra transação ocorreu
um período após a primeira (no caso, um mês), ela estaria vinculada a uma
unidade de tempo após a primeira transação, ou seja, n =1.
Ao vincularmos as transações ao tempo em que elas ocorreram, estamos,
também, relacionando as duas, ou seja, informando que elas fazem parte da
mesma situação estudada e não de transações que não têm qualquer relação
entre si: repare que isso não acontece quando olhamos a planilha do lado
esquerdo da figura: lá, são somente dois valores, sobre os quais nada sabemos.
E se o pagamento de R$1.030,00 não ocorresse um mês depois do empréstimo,
mas sim dois meses depois? Nesse caso, a planilha deveria mostrar o valor em n =
1 em branco e o valor pago apareceria em n = 2, isto é, a planilha deveria conter
uma linha a mais, para mostrar o histórico do momento inicial (n = 0), o mês
seguinte (em que nada acontecia e, por isso, a célula com valores ficaria em
branco) e o seguindo mês (quando aconteceria o pagamento do empréstimo).
 Figura 2 - Representação de duas transaçõesrelacionadas: recebimento de R$1.000,00 e pagamento de R$1.300,00. Fonte: Elaborado pelo autor,
2018.
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Outro aspecto muito importante em termos de informações constantes na
planilha à direita na figura é o fato de que podemos indicar o que é um valor
recebido e o que é um valor pago. A lógica é a de que um valor recebido é um valor
a mais que temos e, assim, as transações desse tipo recebem valores positivos,
como foi o caso dos R$1.000,00 recebidos como empréstimo. Já o oposto, ou seja,
valores pagos, são valores que deixamos de ter conosco, ou seja, valores a menos
e, por essa razão, aparecem como valores negativos, como os R$1.030,00
mostrados na planilha.
VOCÊ SABIA?
Apesar de termos representado a sequência cronológica das transações na figura
vertical, isso não é obrigatório: elas podem ser apresentadas na horizontal. É
importante que o avanço cronológico das transações seja sempre para baixo (como
mostrado na planilha à direita) ou para a direita (como no sentido em que
escrevemos) e nunca em sentido inverso.
A vantagem de representarmos o fluxo de caixa na forma de planilha é a
possibilidade de resumir as diversas informações das transações estudadas, sem a
necessidade de um longo texto. Na verdade, quanto mais transações existirem,
maior a simplificação das informações ocorrerão na planilha.
VOCÊ SABIA?
Há duas outras formas de representar valores monetários negativos (ou seja,
pagamentos efetuados): a primeira é colocar o valor em vermelho, para se destacar
dos demais (positivos). E a outra dispensa a utilização do sinal de menos: basta
colocar o valor entre parêntesis. Assim, podemos representar –R$1.030,00 ou
(R$1.300,00). A vantagem do uso desse padrão é que ele é mais visível, reduzindo o
risco de não ser visto, como acontece com o sinal negativo.
Há ainda outra forma de representarmos fluxos de caixa: podemos utilizar uma
representação gráfica, ou seja, ao invés das informações sobre valores e tempos
serem apresentadas em uma planilha, simplesmente fazemos um gráfico que
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identifique tais informações.
Para tanto, devemos obrigatoriamente trabalhar com a escala de tempo na
horizontal, da esquerda para a direita, sobre uma flecha que representa o avanço
cronológico. E, para os valores, utilizamos setas perpendiculares à flecha: nesse
caso, a representação de transações de recebimentos ou pagamentos (ou seja,
valores positivos ou negativos, respectivamente) é indicada pelo sentido das
setas. Os recebimentos ( + ) são setas para cima, associados ao conceito de
aumentar, de termos mais dinheiro, ao passo que os pagamentos são
representados por setas para baixo, passando a ideia de diminuição do valor que
temos (HP, 2004; CASTANHEIRA; MACEDO, 2012). O sumário de tais informações
(sem a representação das setas) é mostrado na figura a seguir.
Nesse caso, não há a necessidade de utilizar sinais de menos, parêntesis, ou
alterar a cor dos valores negativos (pagamentos efetuados), pois o sentido das
setas fará a indicação. Também, a posição das setas indica o momento em que as
Figura 3 - Padronização do fluxo de caixa, com a escala de tempo na horizontal e os sentidos para
setas de valores positivos e negativos. Fonte: Perfect Gui, Shutterstock, 2018.
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transações ocorrem, pelo seu posicionamento sobre a escala de tempo (a alinha
de tempo horizontal). A situação que discutimos anteriormente, do recebimento
dos R$1.000,00 no momento inicial (n = 0) e o pagamento correspondente de
R$1.030,00 em n = 1 pode ser visto na figura a seguir.
Observe que a linha de tempo inicia em n = 0 e avança para a direita, chegando,
nesse exemplo, a n = 1. E, há a seta para cima com o valor de 1.000, o que
representa um recebimento (valor positivo) de R$1.000,00, no momento inicial, ao
passo que há a seta para baixo (valor negativo: dinheiro saindo, na forma de
pagamento) em n = 1. Se, como discutimos anteriormente, o pagamento ocorresse
somente em n = 2, a linha de tempo precisaria ser estendida até essa data; e a
marcação n = 1 existiria, mas sem qualquer seta, pois não haveria transação nessa
data.
Opcionalmente, podemos colocar no final da linha de tempo (ou seja, em seu
extremo direito) a sua unidade de medida. Ou seja, poderíamos, nesse exemplo,
digitar meses, para indicar claramente a escala de tempo utilizada nas transações.
 Figura 4 - Fluxo de caixa
representando o recebimento de R$1.000,00 e o pagamento de R$1.030,00. Fonte: Elaborado pelo
autor, 2018.
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Dias (2003) desenvolveu uma interessante dissertação de mestrado intitulada Modelo de site de
matemática financeira: um instrumento de orientação ao consumidor, na qual o autor buscou reduzir a
dependência dos clientes de instituições financeiras às informações e interpretações sobre juros, taxas
etc. que lhe são passadas no momento de escolherem serviços e investimentos, o que, muitas vezes,
beneficia a instituição, mas prejudica o cliente. 
Como você pôde perceber, a representação gráfica dos fluxos de caixa simplifica
bastante a apresentação das informações referentes às transações financeiras que
queremos analisar. Podemos, de forma rápida, identificar se há muitas ou poucas
transações, se há muitos recebimentos ou pagamentos e como eles estão
distribuídos ao longo do tempo, se o fenômeno estudado é de curto ou longo
prazo etc.
Na verdade, há múltiplas possibilidades de uso dessas representações e, por isso,
é importante estudarmos as classificações dos fluxos de caixa, o que faremos a
seguir.
3.1.2 Classificação dos fluxos de caixa
Ainda que os exemplos mostrados até o momento sejam muito simples, com um
recebimento e um pagamento (somente duas setas), é razoável imaginarmos que
essa situação não é muito comum. Observe, por exemplo, que mesmo em um
empréstimo, é mais comum que haja um recebimento (referente ao valor
emprestado), seguido de diversos pagamentos (referentes ao pagamento das
diversas parcelas do empréstimo), como mostrado na figura a seguir.
VOCÊ QUER LER?
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No gráfico apresentado, podemos perceber que houve um empréstimo, ao qual
chamamos de VP, ou seja, o valor presente, que representa a quantia emprestada
no início do período de transações que estamos analisando (n = 0). Esse
empréstimo é saldado com o pagamento de seis parcelas (como podemos ver na
escala da linha de tempo), ao longo de seis meses (repare que foi informada a
escala em meses), representadas por PMT1, PMT2, etc. Essa representação é usual
em Matemática Financeira, sendo oriunda da palavra pagamento em inglês
(payment).
Observe que o fluxo de caixa representa as transações sob a ótica do tomador do
empréstimo. Ou seja, ele recebe o valor emprestado (VP) em n = 0 e tem de pagar
as seis parcelas (PMT) nos seis meses subsequentes. Mas, e sob a ótica do banco
ou instituição financeira que empresta, como seria o fluxo de caixa? Exatamente o
oposto: haveria um pagamento em n = 0, que é o valor emprestado e, a partir daí, o
banco ou instituição receberia as parcelas pagas até o saldo da dívida existente.
Nesse caso, o fluxo de caixa seria basicamente o mesmo, porém com a inversão do
sentido das setas: se quem recebe o empréstimo tem uma seta para cima (valor
positivo), em n = 0, quem empresta terá o mesmo valor para baixo, ao passo que
enquanto quem toma emprestado tem as setas seguintes para baixo, por efetuarpagamentos, quem emprestou passa a receber esses valores (setas para cima).
Anda que não seja necessária uma grande precisão no desenho do gráfico, é
recomendável que sejam respeitadas as proporções das setas, em termos de
tamanho e de posição. Por exemplo, repare que o intervalo entre as setas é
 Figura 5
- Fluxo de caixa contemplando seis meses, representando um empréstimo e o pagamento de suas
parcelas. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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constante, pois visa representar intervalos iguais (ou seja, um pagamento a cada
mês). Da mesma forma, as setas referentes aos pagamentos têm o mesmo
comprimento: isso representa que os valores das parcelas pagas são iguais, ou
seja, PMT1 = PMT2 =... = PMT6. Já o comprimento da seta em n = 0 é maior do que
as demais (PMT), visto que o valor emprestado é sempre superior ao valor das
parcelas de seu pagamento.
A esse tipo de situação, com pagamentos (ou recebimentos) sucessivos e de igual
valor, damos o nome de série uniforme. O oposto, isto é, quando os valores não
são idênticos e/ou quando não são sucessivos (por exemplo, quando há uma
interrupção), dá-se o nome de série não uniforme. Essa classificação é
importante, pois, no caso das séries uniformes, é possível utilizar algumas
equações específicas que simplificam e agilizam diversos cálculos, como será visto
mais adiante.
Outra forma de classificação dos fluxos de caixa diz respeito às inversões de sinal
ao longo do próprio fluxo: no exemplo da figura temos uma transação com valor
positivo (ou seja, o recebimento VP em n = 0) e, após ela, há uma transação com
valor negativo (o primeiro pagamento, PMT1 em n = 1). As transações seguintes
(PMT2, PMT3 etc.) são também negativas e, assim, ao longo de toda a linha de
tempo houve uma única inversão de sinal. Aos fluxos de caixa com tal
característica é dado o nome de fluxo convencional.
Outro exemplo de fluxo convencional poderia ser o de um empresário que
contrata um fabricante de máquinas para construir um equipamento para produzir
as peças XYZ, dando 30% de entrada e o restante no momento da entrega do
objeto. Uma vez recebida a máquina, o empresário começa a produzir as peças e a
ganhar dinheiro com isso: ou seja, ele deu 30% de entrada (valor negativo) e o
restante posteriormente (novo valor negativo). Após isso, com os recebimentos
que ocorrem pela comercialização das peças XYZ, há a inversão de sinais e
começam a acontecer as transações com valor positivo.
Já um fluxo não convencional é aquele em que há mais de uma inversão de sinal.
Por exemplo, uma empresa de empreendimentos imobiliários compra uma loja
em um shopping (valor negativo), alugando-a e começando a receber aluguéis
(valores positivos, com a primeira inversão de sinal). Porém, tempos depois, há o
encerramento do contrato e consequente esvaziamento da loja. A empresa incorre
em gastos, para reforma do ponto comercial (ou seja, nova inversão de sinal, visto
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que são valores negativos), após o que é fechado novo contrato de aluguel, com
novos recebimentos, fazendo com que haja, novamente, mais uma inversão de
sinal.
VOCÊ SABIA?
A relevância de conhecermos a classificação dos fluxos convencionais e não
convencionais está na utilização do critério da taxa interna de retorno (TIR) na
análise de projetos de investimento. Esse critério pode ser aplicado sem problemas
em projetos de fluxos convencionais, porém apresenta sérias limitações quando
são fluxos não convencionais, podendo, inclusive levar a decisões erradas, por erro
de interpretação dos resultados.
Também a duração do fluxo de caixa implica diferentes classes: fluxos por tempo
determinado (como o do exemplo do empréstimo) e perpétuos. Nestes últimos,
como o próprio nome indica, o tempo considerado no fluxo de caixa é infinito. Tal
conceito pode parecer irreal, algo meramente teórico, mas isso não é verdade. Por
exemplo, no caso da loja adquirida pela empresa de empreendimentos
imobiliários: se a aquisição não foi prevista como mera transação de compra e
venda futura, mas sim em que a compra foi feita pensando em um investimento
que vai gerar ganhos subsequentes, como no caso dos aluguéis a serem recebidos,
é razoável que essa atividade continuará enquanto a empresa continuar ativa e/ou
os ganhos compensarem os investimentos feitos, ou ainda caso não seja recebida
uma proposta que leve a empresa a se desfazer da loja. Ou seja, podemos dizer
que, a princípio, o investimento feito na aquisição da loja gerará ganhos
perpétuos. Esse tipo de investimento será analisado em maior profundidade mais
adiante.
A última classificação dos fluxos de caixa diz respeito a quando os pagamentos (ou
recebimentos acontecerão, existindo os pagamentos (ou recebimentos)
postecipados e os antecipados, isto é, os que são pagos vencidos ou pagos
antecipadamente. Por exemplo, imagine que os aluguéis pagos pelo uso da loja
são pagos ao final do mês de uso, isto é, paga-se o aluguel do mês de janeiro no
final do mês de janeiro. Ao pagar-se ao final do período de uso ou usufruto, temos
os chamados pagamentos (ou recebimentos) postecipados.
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Por outro lado, se o pagamento do aluguel do mês de janeiro é pago no final de
dezembro, ou no início do mês de janeiro, o pagamento ocorre antes do usufruto,
sendo classificado, assim, como pagamento antecipado.
A definição dos pagamentos (ou recebimentos) serem postecipados ou
antecipados tem relevância pelo fato de que, de acordo com o conceito
fundamental da Matemática Financeira, do valor do dinheiro no tempo, o fato do
determinado valor ser pago no início ou no final do período (n) afeta o valor real
que é pago ou recebido. Esses aspectos e formas de cálculo são discutidos e
estudados a seguir.
3.1.3 Séries uniformes postecipadas
Apesar de os conceitos de pagamentos (ou recebimentos) postecipados e
antecipados não parecerem complexos, visto que nos primeiros os pagamentos
ocorrem no fim do período, enquanto os últimos são pagos no início dos períodos,
na prática a interpretação e o uso podem se tornar um pouco confusos.
Por isso, vamos analisar uma situação hipotética em que você compre no dia 1º do
mês uma televisão a ser paga em seis parcelas mensais de R$300,00. Como as
análises ocorrem a partir do momento da compra, ou seja, do momento em que
você começa a usufruir o bem, ele será o momento inicial, isto é, n = 0. 
Sendo uma venda em que as condições estabelecidas são de pagamento
postecipado, você só deveria pagar a primeira parcela de R$300,00 no dia 30 do
mês da compra (ou, eventualmente, no dia 1º do mês seguinte) e, a partir daí,
seriam pagas as parcelas seguintes a cada mês.
Por outro lado, se for por pagamento antecipado, a primeira parcela deveria ser
paga de imediato, coincidindo com a compra (ou seja, em n = 0), para, só a partir
daí, acontecer o usufruto do bem (a televisão), com as demais parcelas pagas
sucessivamente, após a primeira. Repare que, como o primeiro pagamento
coincidiria com a compra, ele seria equivalente a uma entrada.
Assim sendo, poderíamos dizer que as condições da venda da televisão com
pagamentos postecipados seriam: 6 x R$300,00 sem entrada, ao passo que, caso
fossem antecipados, as condições seriam: R$300,00 de entrada + 5 x R$300,00. Em
termos práticos, no caso de pagamentos antecipados, eles se iniciam um período
antes dos postecipados. Isso é relevante ao calcularmos o valor de prestações ou
parcelas de empréstimos visto que, por conta da diferença no tempo, o cálculo dos
juros leva a valores diferentes a partir do mesmo valor presente. 
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Eliseu Martins é um dos principais autores da área de Finanças e Contabilidade no Brasil, com um total
de 34 livros publicados e mais de uma centena de artigos publicados em periódicos e anais de eventos
científicos. Professor da Universidade de São Paulo, foi Diretor da Comissão de Valores Mobiliários; do
Instituto Brasileiro de Contadores – SP; da Associação Nacional dos Executivos de Finanças,
Administração e Contabilidade; e de Fiscalização do Banco Central.
Lembre-se de que, em Matemática Financeira, não faz sentido falarmos de valores
monetários se não os relacionarmos ao tempo, isto é, estabelecer quando eles
ocorrem, sejam na forma de pagamentos ou de recebimentos. 
CASO
A antecipação de pagamentos deve, de forma geral, ser motivo de redução
nos valores nominais a serem pagos, devido ao efeito do valor do dinheiro
no tempo e consequente redução no valor dos juros. No entanto,
eventualmente há dificuldades dos clientes conseguirem esse benefício,
como relatado por Oliveira (2014): a autora descreveu empecilhos
burocráticos, demora na análise ou mesmo negativa de algumas
instituições financeiras de que clientes fizessem o pagamento antecipado
de empréstimos, ou seja, o pagamento total ou parcial das dívidas antes
do prazo estabelecido inicialmente, o que levou ao registro de queixas
junto ao Banco Central e associação de consumidores.
Tanto no caso dos fluxos de caixa postecipados quanto nos antecipados, é possível
calcular os valores das parcelas de pagamentos ou recebimentos, considerando-se
o valor base (ou seja, o VP), a quantidade de parcelas, a taxa de juros utilizada para
o cálculo, bem como a própria classificação de pagamentos postecipados ou
antecipados. Tais cálculos, sua lógica, bem como fórmulas serão estudados a
seguir.
VOCÊ O CONHECE?
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3.2 Fluxo de caixa
Para analisarmos os fluxos de caixa, é necessário lembrar que valores e tempo são
variáveis indissociáveis em Matemática Financeira, sendo considerados em todas
as análises e cálculos, tendo por base o conceito do valor do dinheiro no tempo e,
consequentemente, do preço do dinheiro, que são os juros.  
Para compreendermos a lógica envolvida nas séries uniformes, é importante
conciliar os elementos acima sob a seguinte ótica: apesar de os valores nominais
das transações em uma série uniforme serem constantes, em função delas
ocorrerem em momentos distintos de tempo, seus valores reais são diferentes
(quanto mais tarde, menor o valor real).
Como consequência disso, todas as transações em uma série uniforme podem ser
somadas. A soma não pode ser uma simples soma aritmética, pois estaríamos
somando valores nominais em diferentes instantes de tempo, o que não tem
qualquer significado em Matemática Financeira, por desconsiderar o princípio
fundamental do valor do dinheiro no tempo. É necessário, portanto, que a soma
seja aplicada sobre os valores reais, o que resultaria em um único valor real de
toda a série uniforme.
Como podemos fazer isso? É o que veremos a seguir.
3.2.1 Valor presente de séries uniformes
Como você viu no início deste capítulo, em um empréstimo de R$1.000,00, o
pagamento aconteceu em momento futuro (um mês depois) no valor de
R$1.030,00. Podemos extrair desse exemplo alguns valores e relacioná-los a
variáveis de interesse, veja:
como a situação se inicia pelo empréstimo, esse é o momento do tempo em
que nossa análise é iniciada. Temos, assim, n = 0 e o valor emprestado
(R$1.000,00) representa o VP (valor presente);
como o pagamento do empréstimo ocorreu em momento futuro, o valor
R$1.030,00 é o VF (valor futuro) e, como ocorreu um período de um mês
após o início da análise, temos n =1;
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como VF = VP + J, temos que os juros pagos (J) são de 1.030 – 1.000 = R$30.
Esse valor representa 30/1.000 = 0,3 = 3% do valor do empréstimo;
considerando que o percentual incidiu sobre o valor do empréstimo após
um mês, temos, então, a taxa de juros (i) de 3% a.m.
Observe que lidamos com as variáveis usuais de Matemática Financeira: VP, VF, i, n
e J. E. Nesse sentido, o VF nada mais é que o VP transformado em função de n e de
i, ou seja, pela adição dos juros incorridos em função dessas duas variáveis. Veja
que estamos lidando com um fluxo de caixa com duas transações: uma de
recebimento e outra de pagamento. Em uma série uniforme, não temos um único
VF: na realidade, há uma série de VFs, que são os diversos pagamentos ou
recebimentos, os PMTs que vimos anteriormente. Cada PMT é um VF de uma parte
do VP. 
Assim, se quisermos saber o VP, precisamos considerar o n e a i para cada um dos
PMTs e, da mesma forma, para sabermos o valor de PMT, tomamos por base o VP e
sua distribuição pelos diversos n, considerando a i.
VOCÊ SABIA?
As séries uniformes são também chamadas de rendas certas (SAMANEZ, 2010),
rendas uniformes (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012), sequência de pagamentos
(GIMENES, 2006), séries de pagamentos, pagamentos uniformes, anuidades
(ABREU, 2012), séries discretas (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010). E
encontramos o PMT com as denominações de custo anual equivalente (MOTTA;
CALÔBA, 2002; TORRES, 2006), valor anual uniforme equivalente (CASAROTTO
FILHO; KOPITTKE, 2010), benefício uniforme periódico equivalente, custo uniforme
periódico equivalente (CÔRTES, 2012) e valor periódico líquido (GONÇALVES NETO;
CALÔBA; MOTTA, 2009).
Para calcularmos o VP, a partir do conhecimento do valor de PMT, utiliza-se a
seguinte fórmula:
Deslize sobre a imagem para
Z
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Alternativamente, pode ser utilizada a fórmula:
Essas fórmulas se aplicam a pagamentos postecipados. Assim, considerando o
exemplo anteriormente visto, da compra da televisão por meio do pagamento de
seis parcelas mensais de R$300,00, e assumindo que a taxa de juros utilizada pela
loja é de 4% a.m., poderíamos calcular o VP: 
Ou, utilizando a fórmula alternativa: 
Ou seja, poderíamos supor que o preço à vista da televisão, caso a taxa de juros
fosse de 4% a.m., seria de R$1.572,46.
Da mesma forma, é possível, calcular o valor de parcelas de pagamentos
postecipados, sabendo-se o VP. Por exemplo, se o empréstimo de R$1.000,00
discutido no início do capítulo fosse pago em quatro parcelas, considerando uma
taxa de juros de 3% a.m., para calcularmos o valor das parcelas, seria uma questão
de rearranjar a fórmula apresentada, ou seja:
Ou desta forma:
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Zoom
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Nesse caso, o empréstimo seria pago na forma de quatro parcelas mensais de
R$269,03.
E se ao invés de pagamentos postecipados, fossem pagamentos antecipados?
Bem, com a antecipação dos pagamentos, o valor real dos PMTs seria maior
(lembre-se do conceito do valor do dinheiro no tempo em que, quanto mais tarde,
menor o valor e, consequentemente, quanto mais cedo, maior o valor). O aumento
seria equivalente a um período (pois antecipamos o pagamento do final do
período para o início dele), ou seja, fazendo incidir sobre o VP de pagamentos
postecipados os juros equivalentes a um período.
Podemos deduzir, então, que a fórmula para calcular o VP no caso dos
pagamentos antecipados pode ser obtida mediante a multiplicação da fórmula do
VP para pagamentos postecipados por (1 + i), ou seja: 
Simplificando a equação, cortando o (1 + i), temos: 
Assim, o VP da televisão, na segunda forma de pagamento, ou seja, R$300,00 de
entrada + 5 x R$300,00, supondo novamente uma taxa de juros de 4% a.m., seria
de: 
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Z
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Repare que, como esperado, a antecipação dos pagamentos de R$300,00 faz com
que o VP seja superior ao que seria se eles fossem postecipados, pois o VP passou
de R$1.572,46 para R$1.635,55.
Rearranjando a equação do cálculo do VP, podemos calcular o valor do PMT a
partir do VP:
Como você pôde perceber, as fórmulas começam a ganhar um grau de
complexidade e, consequentemente, aumenta a chance de que algum erro seja
cometido na operação das calculadoras. No entanto, se utilizarmos o Excel ou a HP
12C, tais cálculos se tornam bastante simples, como veremos a seguir. 
3.2.2 Utilizando Excel e HP 12C para o cálculo de séries uniformes
O Excel tem uma série de funções financeiras e, dentre elas, as que nos permitem
efetuar cálculos com séries uniformes. O mesmo se aplica à HP 12C. Vamos
estudar quais funções e comandos nos permitem efetuar tais cálculos.
No conjunto de fórmulas do Excel, ao clicarmos nas funções financeiras
encontramos, dentre outras, as funções VP, PGTO, NPER e TAXA, o que nos permite
efetuar cálculos muito rapidamente de qualquer variável que desejamos, ou seja,
respectivamente, VP, PMT, n e i, a partir das informações das demais e definindo se
os pagamentos são antecipados ou postecipados.
Vamos utilizar como exemplo, para efetuarmos os cálculos, um bem cujo preço à
vista é de R$1.000.000,00 e foi vendido em 12 parcelas a uma taxa de juros mensal
de 5%. Vamos começar com o cálculo do valor das parcelas, ou seja, do PMT:
utilizamos, então, a função PGTO, como mostrado na figura a seguir.
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Vamos detalhar os argumentos da função: Observe que a taxa de juros i deve ser
utilizada na forma decimal e não percentual. Temos, em seguida, a quantidade de
períodos e, logo abaixo, o valor à vista. É importante lembrar que, se quisermos
que a resposta do PMT seja um valor positivo, é necessário carregar o VP como
negativo (como mostrado na figura), visto que o Excel vai efetuar um cálculo de
soma zero.
Deixamos o VF como zero, para que não haja qualquer valor residual (ou seja, para
que o VP seja integralmente saldado com os 12 valores do PMT e, em seguida,
determinamos o tipo de pagamento: se o campo Tipo for deixado em branco ou
preenchido com zero, o cálculo considerará que são pagamentos postecipados e,
ao clicar OK, obteremos o valor das 12 parcelas, ou seja, R$112.825,41.
Observe que no argumento Tipo, se clicarmos 1, o cálculo será efetuado
considerando os pagamentos antecipados e, nesse caso, o valor do PMT será
menor, visto que a antecipação faz com que o valor real seja maior e,
consequentemente, precisamos pagar menos para fazer frente ao mesmo VP:
nesse caso, 12 parcelas de R$107.452,77.
Figura 6 - Função PGTO (PMT) no Excel, considerando um i = 5%, n = 12, VP = R$1.000.000,00, com
pagamentos postecipados. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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As demais funções funcionam exatamente sob a mesma lógica: selecionamos a
função desejada e informamos as demais variáveis (lembrando que a taxa de juros
deve ser na forma decimal e que o cálculo é efetuado de forma a gerar uma soma
zero e que, consequentemente, VP e PMT devem ter sinais contrários) e se devem
ser considerados pagamentos postecipados ou antecipados.
Por exemplo, se selecionarmos a função VP e entrarmos com os argumentos 0,05;
12; e -112.825,41, deixando os demais em branco (sem valor futuro e com
pagamentos postecipados), encontraremos como resultado 1.000.000.
E, com a HP12C, a sequência de comandos é, também, bastante simples: ela
trabalha com pagamentos postecipados como default e, na fileira superior de
teclas, logo abaixo do visor, temos uma sequência de teclas, da esquerda para a
direita, que contém todos os elementos que precisamos para efetuar os cálculos,
ou seja, n; i; PV (que é a forma em inglês equivalente a VP); PMT; FV (que é a forma
em inglês de valor futuro – VF); e CHS. Utilizando o mesmo exemplo do Excel, ou
seja, o valor de R$1.000.000,00, bastaria alimentarmos os dados referentes a cada
um dos elementos e clicar nas teclas correspondentes. Por exemplo, para calcular
o PMT, bastaria clicarmos em sequência:
12 n (para informar que são 12 períodos);
5 i (para informar que a taxa é de 5%, lembrando que a HP 12C reconhece,
nesse caso o valor percentual);
1000000 CHS PV (ao clicarmos o CHS, há a inversão de sinal, com a
calculadora reconhecendo que o valor do VP deve ser -1.000.000);
PMT.
Como todos os valores necessários para o cálculo já foram carregados (não há a
necessidade de informar zero no VF: a calculadora assume que, se não informado,
seu valor é zero) e clicamos a tecla PMT, a calculadora entende que deve calcular
esse valor, apresentando como resposta 112.825,41, exatamente como calculamos
no Excel.
Para calcular os demais elementos, a lógica é a mesma: informamos os dados
disponíveis e as teclas correspondentes e clicamos na tecla do valor que queremos
que seja calculado. Para que a calculadora efetue os cálculos considerando
pagamentos antecipados, é necessário, antes de iniciar a sequência de comandos,
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clicar na tecla g (para selecionar as funções azuis) e a tecla 7 (para selecionar BEG,
referente ao estado BEGIN). A palavra BEGIN (início, em inglês) aparecerá no visor,
indicando que os valores são considerados no início do período, ou seja, são
antecipados. Após isso, seguindo a mesma sequência de comandos, encontramos
o valor 107.452,77 para o PMT no visor da calculadora.
Para retornar ao cálculo com pagamentos postecipados, basta clicar novamente
na tecla g e, depois, na tecla 8: a palavra BEGIN desaparecerá do visor e os cálculos
voltarão a ser efetuados com juros postecipados;
Com os exemplos apresentados, é possível perceber como o uso de recursos com
funções financeiras, seja na forma de planilha eletrônica, como o Excel, ou de
calculadoras financeiras, como a HP 12C, torna simples os cálculos de séries
uniformes.
Até o momento trabalhamos com séries com prazo determinado, ou seja, o n era
definido e a análise e cálculos feitos cobriam o que ocorria entre n = 0 e o n final.
Porém, há situações específicas em que isso não se aplica. É o que vamos ver em
seguida.
3.3 Séries perpétuas
Há situações específicas em que as análises de séries uniformes não ocorrem
considerando um tempo determinado e limitado. Ao contrário, as transações, ou
seja, os pagamentos e/ou recebimentos “[...] não acabam nunca. São pagamentos
periódicos que duram para sempre, que não têm prazo para terminar” (ABREU,
2012, p. 88).
Situações como essas exigem análises e cálculos completamente distintos dos
utilizados nas séries uniformes com tempo determinado e é fácil compreender a
razão: o tempo é elemento necessário a qualquer cálculo de Matemática
Financeira (lembre-se do conceito do valor do dinheiro no tempo) e, dessa forma,
se o tempo segue até o infinito, as fórmulas usuais não se aplicam.
VOCÊ QUER VER?
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O filme Capitalismo - uma história de amor (MOORE, 2009) faz uma análise de como o capitalismo afetou
de forma negativa os ideais de liberdade presentes na Constituição dos Estados Unidos. São abordados
os impactos da busca na geração de lucros cada vez maiores, como benefícios restritos a um pequeno
grupo da sociedade, em detrimento do restante das pessoas, e, simultaneamente, como essa dinâmica
faz com que a maioriasinta os efeitos, na forma de perda de diversos direitos. 
Como é possível ter um conjunto de pagamentos e/ou recebimentos que não
terminam nunca? Veja alguns exemplos:
um empreendedor que dê início a uma empresa: de uma forma geral, ele
não pensa nela como um empreendimento que funcione durante um tempo
e que, em determinado momento, cesse as atividades. Ao contrário, ele
pensa em uma forma de conquistar ganhos ao longo de sua vida e, se for um
empreendimento de sucesso, que permaneça mesmo quando ele se
aposentar ou falecer, continuando pela ação de seus herdeiros;
um shopping, quando construído, é um empreendimento que vai se manter
por muitos e muitos anos, inclusive com possibilidade de expansões etc.;
mesmo um investimento em ações pode ter tal característica: o investidor
pode pensar no longo prazo, ou seja, ao invés de visar ganhos rápidos pela
venda futura das ações, pode estar interessado no recebimento de
dividendos por toda a sua vida;
um imóvel é um investimento que, literalmente, dura por toda a vida:
mesmo que haja a mudança de proprietários, o bem ainda tem a capacidade
de atender necessidades e gerar benefícios.
Em resumo, ainda que esses exemplos não caracterizem uma obrigatoriedade de
perenidade (por exemplo, o empresário pode decidir se desfazer de sua empresa,
o shopping pode ser demolido para dar lugar a algum outro empreendimento
etc.), salvo decisão contrária, eles podem ser pensados como de duração infinita,
perpétua, e, daí surge a denominação das séries perpétuas, ou simplesmente
perpetuidades (ABREU, 2012).
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Há uma dissertação de mestrado elaborada por Teixeira (2015) intitulada Matemática Financeira:
conceitos e aplicações, que apresenta os principais conceitos de Matemática Financeira e, em especial,
juros, descontos, séries periódicas e sistemas de amortização. Nela, o autor busca relacionar a teoria
com acontecimentos cotidianos, mostrando as aplicações dos conceitos teóricos, o que auxilia na
compreensão dos diversos fenômenos envolvidos na disciplina Matemática Financeira. 
Como defende Samanez (2010), uma característica da perpetuidade é a de que a
aplicação feita permite que sejam feitas retiradas indefinidamente, isto é, sem
esgotar o valor investido. Esse conceito é importante, pois ele nos ajuda a
compreender uma série de implicações das perpetuidades.
Quando se faz um investimento em algo que tenha como característica a
perpetuidade, o valor investido após um período gerará ganhos, que podem ser
caracterizados como juros. Assim, investimos em n = 0 determinado valor VP.
Considerando a passagem do tempo, ou seja, um período (n = 1), os juros seriam
acrescidos, ou seja, haveria o ganho de VP x i. Mas, ao retirarmos esse ganho, o
valor investido volta a ser o mesmo de VP. Depois disso, avançando mais um
período (ou seja, chegando a n = 2), novamente haveria o recebimento dos juros (J
= VP x i), os quais seriam, novamente, retirados e, uma vez mais, o valor investido
retornaria ao patamar inicial (VP).
O ciclo se repetiria indefinidamente, ou seja, seria uma série uniforme perpétua
cujos recebimentos (PMT) seriam de VP x i.
Poderíamos calcular o VP da série perpétua de uma forma bastante simples:
bastaria dividir o PMT por i (observe que ao dividirmos VP x i por i encontramos
VP), sendo esta a fórmula de cálculo das perpetuidades:
VOCÊ QUER LER?
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Não há a necessidade de cálculos complexos, uso de planilhas eletrônicas ou de
uma calculadora financeira: a mera divisão indica o valor presente do
investimento. Por exemplo, podemos calcular quanto deveria ser investido em
determinada aplicação que rende 1% a.m., para que garantíssemos uma retirada
mensal de R$5.000,00:
Ou seja, ao investirmos R$500.000,00 em uma aplicação que garantisse juros de
1% a.m., seria possível obter ganhos perpétuos de R$5.000,00 mensais. Observe
que, ao investir os R$500.000,00, seriam recebidos após um mês R$5.000,00 (J =
500.000 x 0,01 = R$5.000,00), os quais seriam retirados. Assim, permaneceriam os
R$500.000,00 para render por mais um mês, gerando, novamente, R$5.000,00, que
também seriam sacados, e assim, contínua e ininterruptamente.
3.3.1 Aplicação de séries uniformes
Em um contexto mais amplo, o uso dos cálculos de perpetuidades é bastante útil
no ambiente de negócios. Podemos, por exemplo, pensar na situação em que um
investidor avalia a possibilidade de investir na compra das ações de uma empresa.
Ele faz um levantamento histórico e identifica que os dividendos anuais pagos aos
acionistas têm sido em média de R$1,00 por ação. Supondo que ele esteja
interessado em investir em alternativas que o remunerem a uma taxa de pelo
menos 15% a.a., quanto ele deveria aceitar pagar pelas ações?
Para respondermos devemos considerar o recebimento anual de R$1,00, ou seja,
esse seria o PMT. Assim, como ele deseja um ganho de 15% a.a., esse seria o i e,
consequentemente: 
Ou seja, o investimento só se justificaria se ele conseguisse adquirir as ações por,
no máximo, R$6,67: acima desse preço, ele não conseguiria alcançar os ganhos
desejados.
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Outro exemplo: alguém faz uma proposta de compra ao proprietário de uma
pequena empresa. O proponente ofereceu R$1.500.000,00 pela empresa e isso
animou o proprietário. Ele fez uma análise rápida e constatou que tinha ganhos
mensais líquidos com a empresa de R$10.000,00. Resolveu, então, fazer as contas:
assumiu que a taxa de juros estava por volta de 1% a.m., afinal, seria isso o que ele
ganharia se investisse seu dinheiro no mercado financeiro. Assim: 
Ou seja, o VP da empresa era de R$1.000.000,00 e, assim sendo, a oferta de
R$1.500.000,00 era bastante atrativa, justificando a venda da empresa.
Mais um exemplo: um empresário aposentado pensou em investir seus recursos
na aquisição de um apartamento, de forma a garantir uma renda mensal na forma
de aluguéis a serem recebidos. Identificou um apartamento que poderia ser
adquirido por R$200.000,00 e pesquisou o valor do aluguel: a média do mercado
na região era de R$1.000,00/mês. Rearranjou a fórmula de cálculo da
perpetuidade, para poder fazer uma análise mais apropriada. Como, 
Ou seja, 
Investir no apartamento geraria um ganho de somente 0,5% a.m., não sendo,
portanto, um investimento interessante, devendo ser descartado.
Como você pôde perceber, o cálculo de perpetuidades é bastante útil e têm
diversas aplicações práticas. A exemplo dos cálculos envolvendo as demais formas
de séries uniformes, a possibilidade de lidar simultaneamente com as variáveis de
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taxas de juros, pagamentos e recebimentos diversos, ao longo de diferentes
instantes de tempo, permite que sejam identificadas oportunidades de
investimento e análises de financiamentos diversos.
Na realidade, os fundamentos de cálculos de séries uniformes servem de base
para a definição das diferentes formas de amortização de empréstimos, que é o
próximo tema a ser estudado.
3.4 Conceitos iniciais de amortização
de empréstimos
Ao contrair um empréstimo a ser pago em parcelas, caso não existissem juros, o
somatório dos pagamentos das parcelas seria igual ao valor emprestado. No
entanto, como já vimos no conceito do valor do dinheiro no tempo, o intervalo
entre o desembolso de um valor e seu recebimento de volta deve ser remunerado
na forma de juros.
Assim sendo, às parcelas referentes ao pagamento de um empréstimo, devem ser
adicionados juros. Mas se a porção das parcelasque paga o valor emprestado
(antes da adição dos juros) pode ser igual em todas as parcelas, o mesmo não se
aplica aos juros. Isso acontece pelas seguintes razões:
o intervalo de tempo entre o empréstimo e o pagamento das parcelas varia
de parcela para parcela, ou seja, as últimas estão mais distantes e,
consequentemente, elas teriam uma maior carga de juros, visto que são
proporcionais ao tempo;
ao mesmo tempo, a cada pagamento efetuado, o valor devido é menor, o
que faria com que os juros fossem menores, visto que eles são proporcionais
ao valor sobre o qual são aplicados.
Dessa forma, a definição do valor das parcelas lida com variáveis contrárias:
enquanto o tempo induz o valor das últimas parcelas a ser maior, o valor devido
faz com que elas tendam a diminuir.
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Esse balanço de forças não é fixo, ou seja, não há um único critério que estabeleça
os valores das parcelas de pagamento de empréstimos e financiamentos. Ao
contrário, há diferentes sistemas que fazem com que o valor das parcelas caia ao
longo do tempo, isto é, a primeira parcela teria o valor mais alto, enquanto a
última teria o valor mais baixo.
Há também sistemas em que as parcelas são extremamente baixas inicialmente,
dando um salto significativo na última, de forma a saldar todo o valor emprestado
e os juros pertinentes. E há, ainda, um sistema de amortização que equilibra os
diversos elementos envolvidos, de tal forma que o valor das parcelas é exatamente
o mesmo ao longo do tempo: a maioria das compras em lojas, por exemplo, segue
tal lógica, devido à simplicidade para os dois lados envolvidos na negociação de
empréstimos e financiamentos.
Em todas as situações, a base de cálculo tem nas séries de pagamentos os seus
fundamentos: a sucessão de transações em que valores e tempo fundamentam os
cálculos de juros, sendo uma área específica de estudos da Matemática Financeira
que faz parte do dia a dia das pessoas, famílias e empresas. 
Síntese
Você concluiu os estudos sobre o que são os fluxos de caixa, de que forma são
classificados e como são calculados. Agora, você já conhece, também, os
fundamentos da amortização de empréstimos.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
reconhecer os conceitos básicos dos fluxos de caixa;
classificar os fluxos de caixa;
descrever séries uniformes;
distinguir entre séries uniformes postecipadas e antecipadas;
resolver cálculos com séries uniformes;
definir os conceitos iniciais de amortização de empréstimos.
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Referências bibliográficas
ABREU, J. C. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2012.
CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática
financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11ª.
ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira aplicada.  Curitiba:
Intersaberes, 2012.
CÔRTES, J. G. P. Introdução à economia da Engenharia: uma visão do processo
de gerenciamento de ativos de engenharia. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
DIAS, J. L. T. Modelo de site de matemática financeira: um instrumento de
orientação ao consumidor. 2003. 225f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de
Produção). Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico.
Florianópolis, 2003. Disponível em:
<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/85759/195482.pdf?
sequence=1&isAllowed=y
(https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/85759/195482.pdf?
sequence=1&isAllowed=y)>. Acesso em: 06/02/2018.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com Hp 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada. São Paulo: Person Prentice Hall, 2006.
GONÇALVES NETO, A. C.; CALÔBA, G. M.; MOTTA, R. R. Engenharia econômica. In:
GONÇALVES NETO, A. C. et al. Engenharia econômica e finanças. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2009.
HP. HP 12C calculadora financeira – guia do usuário. 4ª. ed. San Diego: Hewlett–
Packard Company, 2004.
MOORE, M. Capitalismo: uma história de amor. Direção: Michael Moore. Produção:
Kathleen Glynn e Michael Moore. Beverly Hills: Overture Films, 2009.
MOTTA, R. R.; CALÔBA, G. M. Análise de investimentos: tomada de decisão em
projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2002.
OLIVEIRA, K. Clientes acusam bancos de dificultar pagamento antecipado de
crédito. Empresa Brasil de Comunicação – EBC. 28/08/2014. Disponível em:
<http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2014-08/clientes-acusam-
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/85759/195482.pdf?sequence=1&isAllowed=y
http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2014-08/clientes-acusam-bancos-de-dificultar-pagamento-antecipado-de-credito
11/09/2019 Matemática Financeira
https://unp.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 29/29
bancos-de-dificultar-pagamento-antecipado-de-credito
(http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2014-08/clientes-acusam-
bancos-de-dificultar-pagamento-antecipado-de-credito)>. Acesso em: 04/02/2018.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5ª. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2010.
TEIXEIRA, A. R. Matemática Financeira: conceitos e aplicações. 2015. 103f.
Dissertação (Mestrado em Matemática). Universidade Federal de Goiás. Goiânia,
2015. Disponível em:
<https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/5448/5/Disserta%C3%A7%C3
%A3o%20-%20Adriano%20Rodrigues%20Teixeira%20-%202015.pdf
(https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/5448/5/Disserta%C3%A7%C3%
A3o%20-%20Adriano%20Rodrigues%20Teixeira%20-%202015.pdf)>. Acesso em:
05/02/2018.
TORRES, O. F. F. Fundamentos da engenharia econômica e da análise
econômica de projetos. São Paulo: Thomson, 2006.
http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2014-08/clientes-acusam-bancos-de-dificultar-pagamento-antecipado-de-credito
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/5448/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Adriano%20Rodrigues%20Teixeira%20-%202015.pdf
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CAPÍTULO 4 – COMO CALCULAR A
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS?
Henrique Martins Rocha
INICIAR
Introdução
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Neste capítulo você estudará os chamados sistemas de amortização de
empréstimos: o que eles são, quais são os seus tipos e classificações, para que
servem, quais suas aplicações e usos; pois não são limitados a empréstimos, mas
envolvem qualquer situação em que haja pagamentos parcelados. Por isso, são
mais conhecidos como sistemas de amortização, sendo instrumentos presentes
não somente no dia a dia de instituições financeiras, mas em organizações das
mais distintas áreas de atuação como indústrias, comércio e serviços. 
Como são calculados os componentes de um sistema de amortização? Quais são
as diferentes formas existentes para os cálculos, ou seja, quais são os diferentes
sistemas de amortização? Quais são as características, vantagens e desvantagens
dos diferentes sistemas? Há algum deles que seja melhor que os demais? Como
considerar simultaneamente o conceito do valor do dinheiro no tempo, saldo
devedor e juros sobre o valor na construção dos sistemas de amortização?
Todas essas perguntas serão respondidas ao longo do estudo deste capítulo.
Vamos entender o que são e como funcionam os sistemas de amortização.
Acompanhe com atenção e bons estudos! 
4.1 O que é um sistema de amortização
O conceito fundamental da Matemática Financeira é o do valor do dinheiro no
tempo e, como consequência deles, os juros, como sendo o preço do dinheiro.
Dessa forma, se há um empréstimo de R$10.000,00 a ser saldado em cinco
parcelas mensais, não faz sentido supor que o valor de cada uma delas seja de
R$2.000,00(ou seja, a simples divisão de R$10.00,00 por cinco), visto que essa
lógica ignoraria que o valor real do dinheiro se altera ao longo do tempo e que,
para compensar a variação, deveriam ser aplicados juros sobre as parcelas
mensais a serem pagas para amortização do empréstimo.
Sendo assim, é necessário calcular o valor das parcelas de forma que elas sejam
suficientes para pagar o valor emprestado e, também, os juros incorridos devido
ao tempo. Porém, o cálculo deve considerar que o tempo não é único: no exemplo,
são cinco pagamentos, os quais ocorrem em momentos diferentes do tempo. Além
disso, os juros devem incidir sobre o valor devido e, a cada pagamento de parcela,
o valor devido é reduzido.
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Por isso, os sistemas de amortização devem lidar com todas essas variáveis
simultaneamente, o que torna o tema interessante e desafiador.
4.1.1 Efeito do tempo nos sistemas de amortização
Sempre atentos ao conceito do valor do dinheiro no tempo, vamos supor que você
recorreu a um empréstimo de R$10.000,00, o qual será pago em um determinado
número de parcelas mensais de R$500,00, sendo que a primeira delas vence um
mês após o recebimento do empréstimo.
Vamos analisar o que acontece até o dia do pagamento da primeira parcela: como
um mês se passou desde o recebimento dos R$10.000,00, você não deve mais
somente esse valor. O tempo faz com que o valor seja maior, devido aos juros
incorridos. Ou, como mostra a fórmula do valor do dinheiro no tempo:
VF = VP + J
Vamos supor que, nesse exemplo, os juros de sejam de 2% a.m.: passado um mês,
os juros serão, então de 0,02 x 10.000 = R$200,00. Ou seja, até o pagamento da
primeira parcela, você deve R$10.200,00.
Após efetuar o pagamento da primeira parcela (R$500,00, como falamos), você
passa a dever somente R$9.700,00 (R$10.200,00 menos R$500,00). Mas, esse valor
não permanece estático, imutável, afinal, o tempo continua avançando e, com ele,
os efeitos sobre o valor do dinheiro e dos juros.
Assim, o valor devido de R$9.700,00 vai sendo acrescido de juros, de tal forma que,
até o dia do pagamento da segunda parcela de R$500,00, mais um mês terá se
passado e, consequentemente, 2% sobre o valor devido são adicionados. Ou seja:
J = 0,02 x 9.700 = R$194,00.
Assim, você deverá, na data do pagamento da segunda parcela, o total de 9.700 +
194 = R$9.894,00.
E esse ciclo se repetirá até o pagamento da última parcela, em que é saldada a
dívida referente ao valor emprestado e dos juros incorridos ao longo do tempo.
Mas, é importante perceber um fenômeno interessante e até mesmo contraditório:
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a cada pagamento efetuado você deve menos, o que resulta em uma tendência à
redução dos juros a serem pagos (lembre-se de que os juros são calculados sobre
o valor devido); por outro lado, como cada parcela é paga em um momento mais
distante no futuro, há uma tendência à elevação dos juros a serem pagos, uma vez
que os juros são função do tempo, isto é, quanto maior o tempo, maior os juros.
Nos sistemas de amortização, o tempo causa dois efeitos simultâneos: a redução
dos juros, pela redução do valor devido, e a sua elevação, devido ao tempo
crescente no processo de amortização.
VOCÊ SABIA?
Nas amortizações de dívidas de longo prazo, como, por exemplo, no financiamento
de imóveis, é comum ouvirmos queixas de mutuários de que, apesar de terem
efetuado uma série de pagamentos, o saldo devedor só aumenta, ou seja, eles
devem mais do que deviam antes. A explicação é que, como o valor inicial é muito
alto, os juros também o são e, consequentemente, as parcelas iniciais não são
suficientes para pagar o valor proporcional ao valor financiado e os juros
correspondentes, fenômeno que só se reverte anos mais tarde, com a redução do
saldo devedor até a amortização completa.
Esses efeitos são considerados nos diferentes sistemas de amortização. Na
realidade, a existência de diferentes sistemas de amortização se explica pelo fato
de que há diversas formas dos efeitos dos juros (por conta do valor do dinheiro no
tempo) a serem utilizados nos cálculos dos sistemas de amortização e, como
consequência, no cálculo do valor das parcelas.
Vamos ver quais são os diferentes sistemas existentes.
4.1.2 Tipos de sistemas de amortização
A forma como os juros são tratados na amortização faz com que possamos
encontrar diferentes sistemas de amortização. Abreu (2012) e Samanez (2010)
apontam a existência dos seguintes sistemas de amortização:
pagamento no final;
pagamento periódico;
sistema SAC;
sistema Francês (tabela Price);
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sistemas SAM e SACRE (sistemas de amortizações crescentes). 
Vamos discutir cada um deles, com maior ênfase nos sistemas SAC e sistema Price.
É importante destacar que, conforme apontado por Samanez (2010),
eventualmente os bancos e instituições financeiras criam sistemas de amortização
diferentes dos listados, adequados as suas necessidades e /ou às situações
específicas de mercado.
No filme O primeiro milhão (YOUNGER, 2000), o personagem Seth Davis é o filho de um juiz federal e tem
em seu histórico o fato de ter montado um cassino em seu apartamento. Davis consegue emprego em
uma corretora de valores em que os resultados são mais importantes que a ética e a honestidade.
Visando conseguir seu primeiro milhão e provar ao pai que pode ser alguém na vida, acaba tendo
problemas com o FBI, devido às negociatas.
No sistema de amortização com pagamento no final (também chamado de
pagamento balão) (CORTÊS, 2012), como o nome indica, o pagamento ocorre de
uma única vez, ao final do período previsto. Além do pagamento do valor
envolvido, o qual pode ser o valor de um bem adquirido, o valor emprestado, ou
similares, há o pagamento dos juros correspondentes, ou seja, os juros que
incidem sobre o valor desde o momento inicial até o efetivo pagamento.
Repare que, ao falarmos de valor inicial, estamos nos referindo ao valor presente
(VP). Por exemplo, o valor à vista de um bem, um valor monetário que é
emprestado. Como o pagamento ocorre de uma única vez em um momento
futuro, o valor a ser pago é o valor futuro (VF), que é o somatório do VP com os
juros (J) pagos. Ou seja:
VF = VP + J
VOCÊ QUER VER?
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Os juros são calculados em função da taxa de juros (i) estabelecida para a
transação e o tempo decorrido (n). Como regra geral, o regime utilizado é o de
juros compostos, ou seja, a capitalização dos juros ocorre a cada período em que
se aplica a taxa. Dessa forma, o pagamento do valor pode ser calculado pela
fórmula utilizada no regime de juros compostos:
VF = VP x (1 + i)n
Exemplo: Um empreendedor solicita, em condições bastante favoráveis, um
empréstimo de R$100.000,00 para aquisição de uma máquina. Fecha um contrato
com a instituição financeira para pagar o empréstimo de uma púnica vez, um ano
após o recebimento do valor, com uma taxa de 2,2% a.m. Quanto o empreendedor
deverá pagar?
Utilizando a fórmula, temos:
VF = 100.000 x (1 + 0,02)12 = R$129.840,67.
Casarotto Filho e Kopittke (2010), Samanez (2010) e Castanheira e Macedo (2012)
indicam que o sistema com o pagamento no final é também chamado de sistema
de amortização americano (SAA), utilizado, por exemplo, no pagamento dos
papéis de renda fixa e no financiamento industrial de capital de giro, destacando,
no entanto, que a modalidade mais comum desse sistema é a dos juros a serem
pagos periodicamente, como no caso de penhora de joias da Caixa Econômica
Federal e no pagamento da dívida externa brasileira. Esse sistema, de acordo com
Motta e Calôba (2002), é utilizado para empréstimos de curto prazo (até doisanos).
O sistema de amortização por pagamento periódico corresponde à situação em
que os pagamentos ocorrem em intervalos regulares e para valores idênticos, o
que caracteriza uma série uniforme. Mas, tais pagamentos não são suficientes para
saldar integralmente o VP: na realidade, após o pagamento da penúltima parcela,
o saldo devedor corresponde ao próprio VP.
Ou seja, tudo o que foi pago até aquele momento representa somente o valor dos
juros. Diferentemente do sistema de amortização com pagamento no final, em que
os juros vão sendo capitalizados e, consequentemente, acumulados, para serem
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pagos no fim do período, junto ao valor inicial, no sistema de amortização por
pagamento periódico os juros incorridos são pagos a cada período.
CASO
O financiamento de R$ 17,7 milhões liberado pelo Banco Nacional do
Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) para a compra do jato
modelo Phenom da Embraer pela empresa de um apresentador de
televisão foi notícia nos jornais (FOLHA DE SÃO PAULO, 2018), devido às
condições praticadas: 114 parcelas, com cinco meses de carência para o
início da amortização, e juros anuais de somente 3% ao ano (TEMÓTEO,
2018). Tais condições são vistas com estranheza pelo público em geral,
principalmente, pelo fato de os juros serem tão baixos (somente como
referência, 3% a.a. representam aproximadamente metade dos juros
pagos pela Poupança), quando é sabido que os juros praticados por
instituições financeiras, tanto para empréstimos quanto para
financiamento, são bastante superiores, o que gerou certo desconforto.
Tomando como exemplo a situação do empreendedor visto no sistema de
amortização anterior, como o empréstimo foi de R$100.000,00, com uma taxa de
juros de 2,2%, ao final do primeiro mês o saldo devedor é de R$102.200,00 (os
R$100.000,00 mais os juros de R$2.200,00). É feito, então, o pagamento da
primeira parcela, no valor de R$2.200,00, exatamente o valor dos juros.
Com o pagamento, o saldo devedor volta a ser o do VP, ou seja, R$100.000,00 e,
por conta disso, os juros do próximo período incidirão sobre ele: dessa forma, até
a data do pagamento da segunda parcela, o saldo devedor volta a ser de
R$102.200,00 e, novamente é paga a parcela no valor de R$2.200,00, reiniciando o
ciclo.
Com o pagamento da penúltima parcela, no entanto, ocorre que os juros incidirão,
novamente, sobre os R$100.000,00 (ou seja, totalizando R$102.200,00), mas não
será possível pagar somente os juros na última parcela, pois permaneceria o saldo
devedor de R$100.000,00. Assim, a última parcela a ser paga seria de
R$102.200,00, saldando o valor emprestado e os juros incorridos.
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Em resumo, as parcelas nesse tipo de amortização, no exemplo apresentado,
serão de:
parcelas 1 a 11: R$2.200,00; e
parcela 12: R$102.200,00.
VOCÊ SABIA?
Comparando os sistemas de amortização (pagamento no final e pagamentos
periódicos) vemos que o total pago é de R$129.840,67 e R$126.400,00 (11 x
R$2.200,00 + R$102.200), respectivamente. Então os pagamentos periódicos são
mais vantajosos que no final? Não. Ao somarmos as parcelas para comparação,
ignoramos o valor do dinheiro no tempo (lembre-se de que os pagamentos são
diferentes e também os tempos deles). Pagamos mais no final porque pagamos
mais tarde: não há vantagem entre sistemas de amortização com a mesma taxa de
juros e o mesmo período de tempo.
Os sistemas SAC e Price são mais complexos (junto ao SAM, que é uma
composição dos dois), ainda que sigam a mesma lógica básica dos demais
sistemas apresentados, ou seja, pagamentos que devem amortizar o valor inicial
(VP) e os juros incorridos ao longo do tempo, de tal forma que, na última parcela
extingue-se a dívida, não restando qualquer saldo devedor.
O SAC prevê a separação dos valores a serem amortizados e dos cálculos
envolvidos: o valor inicial (ou seja, o VP) é dividido igualmente entre as parcelas,
desconsiderando a existência de juros. Por exemplo, na situação do
empreendedor que utilizamos para analisar os sistemas e amortização por
pagamento no final e pagamentos periódicos, como o valor do empréstimo foi de
R$100.000,00, a ser saldado em 12 parcelas mensais, a porção das parcelas
referentes a esse valor (denominado de principal) é de R$8.333,33 (R$100.000,00 ÷
12).
Mas, esse não será o valor da parcela: faltam ainda os juros, os quais serão
adicionados ao valor de R$8.333,33. Os juros, diferentemente da amortização do
principal, não são constantes ao longo de todas as parcelas: ao incidirem sobre o
saldo devedor, com a redução desse saldo após o pagamento de cada parcela,
também diminuirão.
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Observe, por exemplo, que antes do pagamento da primeira parcela, o saldo
devedor será de R$102.200,00 (R$100.000,00 mais R$2.200,00 de juros), Assim a
parcela a ser paga deve ser composta dos R$8.333,33 e dos juros de R$2.200,00,
totalizando, portanto, R$10.533,33.
Acontece que, ao pagarmos R$10.533,33, o saldo devedor se reduz para
R$91.666,67 (R$102.200,00 menos R$10.533,33). Será sobre esse valor que
incidirão os próximos juros, ou seja, 0,022 x 91.667,67 = R$2.016,67 (há uma
pequena diferença nos centavos devido aos arredondamentos).
Com isso, o valor da segunda parcela será de R$8.333,33 + R$2.016,67 =
R$10.350,00. Repare que esse valor é inferior ao da primeira parcela: essa é uma
característica do sistema SAC: a redução das parcelas a serem pagas.
Vamos estudar o SAC em maior profundidade a seguir.
4.2 Sistema de amortização constante
(SAC)
O sistema de amortização constante ou amortizações constantes, sistema
hamburguês de amortização, ou ainda, simplesmente, SAC, apresenta
características e formas de cálculo completamente diferentes dos outros sistemas
vistos até o momento.
Esse sistema de amortização é definido por Abreu (2012, p. 105): “O sistema SAC é
utilizado em financiamentos imobiliários e financiamentos a empresas por parte
de entidades governamentais ou privadas. Esse financiamento é pago em
prestações decrescentes”.
De acordo com Gimenes (2006), esse sistema é amplamente utilizado no Brasil,
especialmente em financiamentos de longo prazo no setor produtivo. Torres
(2006, p. 16) destaca seu uso “pelo antigo Banco Nacional da Habitação pelo fato
de [...] a dívida na liquidação antecipada ser menor”, tendo sido instituído no
Sistema Financeiro de Habitação (SFH) em 1971 (FARO, 2013).
VOCÊ QUER LER?
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Leia o artigo “Uma nota sobre amortização de dívidas: juros compostos e anatocismo” (FARO, 2013),
que apresenta diferentes sistemas de amortização e os contextualiza historicamente ao discutir o
Sistema Financeiro da Habitação e o anatocismo (termo jurídico para a cobrança de juros sobre juros),
inclusive as implicações das eventuais prestações em atraso.
Vamos desenvolver uma planilha em Excel para calcular o valor das parcelas de
um financiamento pelo SAC. Para isso, utilizaremos o exemplo do empreendedor
que obteve um empréstimo de R$100.000,00 e vamos adicionar os valores e
cálculos já efetuados, ou seja, o valor da amortização do principal a cada período
(R$8.333,33).
As linhas da planilha foram identificadas (a, b, c, ...), de forma a facilitar as
discussões e as células foram formatadas para suprimir as casas decimais, de
forma a tornar mais fácil a visualização dos valores. Observe que o saldo inicial no
período n = 1 é de R$100.000,00, ao qual foram adicionados R$2.200,00 de juros,
totalizando, portanto, R$102.200,00 (linha “c”). Ou seja, esse é o valor devido ao
final do período n = 1.
VOCÊ QUER LER?
 Figura 1
- Cálculo dos lançamentos no sistema de amortizaçãoconstante, para um VP = R$100.000,00, i = 2,2%
e n = 12. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Calculamos, a seguir, o valor da parcela a ser paga nesse momento: os R$8.333,33,
que foram obtidos pela divisão do VP R$100.000,00 em 12 parcelas, mais os juros
do período que são de R$2.200,00 (2,2% de R$100.000,00).
Pois bem, como devemos R$102.000,00 e pagamos R$10.533,33 (2.200 + 8.333,33),
nosso saldo devedor passa a ser de R$91.666,67 (102.000,00 menos 10.533,33). Ou
seja, esse é o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela de
R$10.533,33. Com esse valor iniciamos o segundo período, sobre o qual incidirão
os juros de 2,2%. Os valores referentes a esse período são mostrados na figura a
seguir.
Observe que o valor na linha “d” permanece o mesmo: essa é a característica do
SAC: a amortização do principal permanece a mesma ao longo do tempo. Por
outro lado, o valor dos juros diminuiu, devido ao fato de que, se em n = 1, os 2,2%
foram aplicados sobre os R$100.000,00, em n = 2, eles foram aplicados somente
sobre R$93.683,33.
Os cálculos se repetem e chegamos a um saldo devedor de R$83.333,33. E a lógica
continua sendo aplicada até o final do período previsto (n = 12), como pode ser
observado na figura a seguir.
Figura 2 - Cálculo dos lançamentos no sistema de amortização constante, para um VP = R$100.000,00,
i = 2,2% e n = 12, mostrando n = 1 e n = 2. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Importante observar que, com o pagamento da última parcela (R$8.517), em n =
12, chegamos ao saldo devedor nulo, isto é, todo o valor emprestado (VP) e os
juros da transação foram integralmente pagos pelas 12 parcelas.  É perceptível,
também, a redução das parcelas, devido à redução dos juros pagos em cada
período, como pode ser observado na figura a seguir, visto que a porção referente
à amortização do principal não se altera.
Figura 3 - Cálculo dos lançamentos no sistema de amortização constante, para um VP = R$100.000,00,
i = 2,2% e n = 12. Planilha completa. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Figura 4 - Composição do valor das parcelas no sistema de amortização constante, para um VP =
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Gimenes (2006) apresenta uma fórmula que permite calcular o valor de qualquer
parcela do SAC, sem a necessidade de montar uma planilha completa:
Por exemplo, calculando o valor da primeira parcela, temos:
PMT1 = 8.333,33 + {[100.000 – (1 – 1) x 8.333,33] x 0,022} = R$10.533,33.
Para a segunda parcela:
PMT2 = 8.333,33 + {[100.000 – (2 – 1) x 8.333,33] x 0,022} = R$10.350,00.
A última (12ª) parcela:
PMT12 = 8.333,33 + {[100.000 – (12 – 1) x 8.333,33] x 0,022} = R$8.516,67.
Uma vez mais, é importante destacar que não existe sistema de amortização que
seja mais ou menos vantajoso do que outros. Ou seja, o fato do somatório das 12
parcelas do SAC ser de R$114.300,00, inferior, portanto, ao dos outros sistemas
vistos anteriormente, não faz dele melhor que os demais: lembre-se de que o
conceito do valor do dinheiro no tempo torna sem sentido somarmos os valores
das parcelas para efeito de comparação.
O SAC e o sistema de amortização francês são os sistemas mais comumente
utilizados nos diversos mercados. Se o SAC é utilizado para financiamentos no
ramo imobiliário e empreendimentos de grande porte, o sistema de amortização
R$100.000,00, i = 2,2% e n = 12. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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francês é o mais comum no dia a dia: nos financiamentos de bens de consumo e
feito por praticamente todas as lojas para os diversos clientes, bem como para os
automóveis vendidos nas concessionárias.
Vamos estudar, então, o funcionamento desse método tão comum nas nossas
rotinas.
4.3 Sistema de amortização francês
(SAF)
Mesmo que não saibamos, o SAF é o sistema de amortização mais comumente
utilizado e que temos contato no nosso dia a dia. O sistema de amortização
francês, que é mais conhecido pelo nome de Tabela Price em homenagem ao
economista inglês Richard Price, que publicou as tabelas financeiras no ano de
1771 (GIMENES, 2006; SAMANEZ, 2010), é o mais usual no nosso dia a dia. É o
sistema utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral, como na
compra de automóveis, eletrodomésticos, empréstimo pessoal.
A massificação do uso desse sistema tem como hipótese o fato de sua
previsibilidade e a constância nos pagamentos, visto que, diferentemente de
todos os demais sistemas de amortização, a tabela Price tem como característica o
valor constante das parcelas ao longo do tempo. Ou seja, é a situação em que os
clientes encontram como o mostrado no anúncio hipotético apresentado a seguir: 
Refrigerador Supergelo, modelo XYZ, inox, duplex, painel touch, com degelo
automático, linhas avançadas, puxador ergonômico 500l – branco – somente
12 parcelas mensais de R$229,99.
A facilidade de entendimento da forma de pagamento por parte dos consumidores
nesse sistema exige, em contrapartida, certo grau de refinamento dos cálculos,
visto que, para que as parcelas sejam iguais, elas devem garantir perfeito
equilíbrio entre dois fatores característicos aos sistemas de amortização, em razão
do conceito do valor do dinheiro no tempo:
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a cada pagamento efetuado, o saldo devedor é menor e,
consequentemente, os juros aplicados seriam menores a cada período;
quanto mais distante for a parcela paga, maior o tempo entre ela e o
momento inicial. Dessa forma, os juros seriam maiores, com o avanço das
parcelas.
Equilibrar essas forças não seria uma tarefa fácil, exigindo estudos matemáticos
bastante complexos. No entanto, uma análise mais próxima da situação nos
permite identificar um atalho para solucionar o problema.
Observe que o que o sistema francês prevê que, independentemente do que
acontece com os juros e com o tempo a cada parcela paga, o valor das parcelas
deve ser igual. Ou seja, é uma questão de se calcular um valor de pagamento
periódico (PMT) de uma série uniforme com n períodos, submetida ao regime de
juros compostos, com uma taxa de juros i, que considere um valor inicial
específico VP.
O artigo “Uma nota sobre amortização de dívidas e prestações constantes” (FARO, 2014) apresenta uma
discussão sobre os sistemas de amortização de dívidas, com especial atenção aos de prestações
constantes (Tabela Price), e a interpretação legal dada em algumas polêmicas decisões judiciais que
determinam a não utilização do regime de juros compostos.
Esse valor pode ser obtido pelas fórmulas tradicionais de Matemática Financeira
para séries uniformes: 
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No exemplo do empréstimo para o empreendedor, com VP = R$100.000,00, i =
2,2% a.m. e n = 12 meses, o valor das parcelas seria de: 
Observação: caso sejam séries uniformes antecipadas, com o pagamento
ocorrendo no início do período, a fórmula a ser utilizada será:
E, no caso de pagamentos antecipados, o valor das parcelas seria de:
Masakazu Hoji é um dos principais autores da área financeira no Brasil: mestre em Ciências Contáveis e
Atuariais, foi executivo financeiro por mais de 20 anos, em empresas como Toshiba, Yakult e Nec.
Professor e coordenador de pós-graduação em diversas instituiçõesde ensino superior, atua como
consultor em planejamento, perícia contábil e consultoria financeira (HOJI, 2004).
Esses cálculos são enormemente facilitados e agilizados se, ao invés de utilizar as
fórmulas mostradas, utilizarmos a calculadora HP 12C ou uma planilha Excel. No
caso da calculadora, basta utilizar as teclas n; i; PV; e CHS que estão na fileira
superior de teclas abaixo do visor (HP, 2004). Deveríamos clicar:
VOCÊ O CONHECE?
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12 n (para informar que são 12 períodos);
2,2 i (para informar a taxa de 2,2% ao período);
1000000 CHS PV (ou seja, um VP de -1.000.000);
tecla PMT (para calcular o valor da parcela).
Observação: no caso de pagamentos antecipados, é preciso inicialmente clicar na
tecla g (na linha inferior de teclas) e, depois dela, a tecla “7”.
A lógica para utilização do Excel é a mesma: utilizamos a função financeira PGTO,
que tem como argumentos a taxa de juros, a quantidade de períodos, o VP, o valor
futuro (que não se aplica no nosso exemplo) e a indicação de serem pagamentos
postecipados (default) ou antecipados. A solução de nosso exemplo do
empreendedor é mostrada na figura a seguir (observe que o resultado é mostrado
logo abaixo dos argumentos, mas sem a formatação monetária).
Mas, a dúvida que pode surgir no sistema de amortização pela tabela Price diz
respeito à parcela de amortização do principal e do pagamento de juros em cada
parcela. Ou seja, o valor das parcelas é constante, mas será que o valor dos juros
pagos também é? E a amortização do principal?
 Figura 5 - Função PGTO
(PMT) no Excel, com i = 2,2%, n = 12, VP = R$100.000,00 e pagamentos postecipados. Fonte: Elaborado
pelo autor, 2018.
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Bem, como já discutido anteriormente, como VP = R$100.000,00 e i = 2,2% a.m., o
saldo devedor antes do pagamento da primeira parcela é de R$102.200,00, ou seja,
já com R$2.200,00 de juros (2,22%) sobre o principal. Se o valor da parcela é de
R$9.572,49, isso significa que a porção referente à amortização do principal é de
R$7.372,49 (9.572,49 – 2.200).
Paga a parcela, o saldo devedor passa a ser de R$92.627,51 e sobre ele incidirão
juros novamente (2,2% de R$92.627,51 = R$2.037, 81), de forma que o saldo
devedor antes do pagamento da segunda parcela será de 94.665,32.  Uma vez paga
a segunda parcela de R$9.572,49, o saldo devedor cai para R$85.092,83 e o ciclo se
reinicia.
Como você pôde perceber, ainda que o valor da parcela paga permaneça
constante, a proporção entre a amortização do principal e os juros se altera:
enquanto os juros caíram de R$2.200,00 para R$2.037,81, da primeira para a
segunda parcela, a amortização do principal aumentou, passando de R$7.372,49
para R$7.534,68 (9.572,49 - 2.037,81).
Essa tendência pode ser observada no gráfico a seguir, utilizando os dados do
exemplo.
Figura 6 - Proporção entre amortização do principal e pagamento de juros nas parcelas pelo sistema
Price. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Repare que o valor total das parcelas permanece constante, mas isso ocorre pela
redução gradativa da proporção referente ao pagamento dos juros, enquanto a
proporção da amortização do principal se reduz. A propósito, quanto maior a taxa
de juros, maior é a proporção dos juros na composição do valor das parcelas.
Como não poderia deixar de ser, o saldo devedor vai sendo reduzido conforme há
o pagamento das parcelas, até que, com o pagamento da última parcela ele chaga
a zero, saldando integralmente o valor inicial e todos os juros incorridos ao longo
do tempo, como pode ser visto na tabela a seguir.
Há inúmeros aspectos que envolvem os sistemas de amortização, sendo que cada
sistema tem suas particularidades e formas de cálculo. Também, como citado, o
sistema francês (tabela Price) é o sistema mais comum. Vamos explorar um pouco
mais esse sistema, bem como estudar algumas de suas variantes.
Figura 7 - Planilha completa com cálculo dos lançamentos pela tabela Price, para um VP =
R$100.000,00, i = 2,2% e n = 12. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
4.4 Aplicações e variantes do sistema
de amortização francês (SAF)
O sistema de amortização francês é, como já falamos, o mais usual e está presente
no nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disso.
O sistema de amortização francês (Tabela Price) é também conhecido como
sistema de prestação constante (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010) e é essa
característica que o faz ser tão especial e tão comumente utilizado.
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Os valores fixos das parcelas facilita o planejamento orçamentário de pessoas e
empresas. Além disso, o fato de ser um valor constante facilita as comunicações,
visto que somente o valor da parcela de um financiamento precisa ser veiculado,
ao invés do valor distinto de cada uma delas. Para o comércio, isso se torna um
grande aliado, pois a mensagem que se busca passar aos consumidores é sucinta
e objetiva, sendo algo como “Produto X: 10 parcelas de R$XXX”.
Apesar dessa facilidade para comunicação e compreensão dos envolvidos, o
sistema da tabela Price é criticado por alguns autores: eles interpretam o valor
constante das parcelas como uma artificialidade, na qual o valor da amortização
do principal é reduzida no início somente para que a soma com os juros dê um
valor constante, o que faz com o valor do principal amortizado caia muito
lentamente e, por conta disso, os juros iniciais sejam muito altos.
Dessa forma, surgem outros sistemas que buscam compensar esse aspecto, bem
como sistemas que procuram lidar com o efeito inflacionário.
Vamos estudar esses sistemas a seguir.
4.4.1 Outros sistemas de amortização
É fácil perceber que o sistema de amortização pela tabela Price tem uma grande
vantagem sobre os demais devido ao fato de ter suas parcelas fixas, ao passo que
o sistema SAC parece ser o sistema com a lógica matemática mais coerente: o
valor do principal é dividido por igual entre as parcelas e o pagamento dos juros é
calculado em função do saldo devedor.
No entanto, essa correção matemática faz com que as parcelas iniciais sejam
muito mais altas que as finais (SAMANEZ, 2010), o que eventualmente é causa de
incapacidade de pagamento e inadimplência.
Uma alternativa é o sistema misto, ou sistema de amortização misto (ou,
simplesmente, SAM), o qual procura equilibrar os extremos que são os sistemas de
amortização constante e o sistema de amortização francês: o valor da prestação
no SAM é a média aritmética entre a parcela em condições equivalentes no SAC e
no SAF.
Utilizando ainda o exemplo do empreendedor com que estamos trabalhando, o
valor da primeira parcela pelo SAM seria de:
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Já a segunda parcela: 
E a última: 
Observação: caso desejemos saber o valor da prestação que corresponde à
amortização do principal e do pagamento dos juros, é preciso calcular a média
aritmética também desses componentes nos dois sistemas, visto que o valor da
parcela em si no SAM é definido como 50% de cada um deles.
O histórico inflacionário no Brasil fez com que os bancos e instituições financeiras
buscassem alternativas para reajuste do valor das parcelas, o que era
extremamente importante para os financiamentos de longo prazo.
VOCÊ SABIA?
Ainda que nos dias de hoje haja reclamação sobre a inflação no Brasil, a situação já
foi muitopior, tendo alcançado mais de 80% no mês e “após quase uma dezena de
planos econômicos fracassados, o Plano Real marcou o final do período de
instabilidade monetária e altas taxas de inflação, que chegaram a atingir 5.000% ao
ano, de julho de 1993 a junho de 1994” (ROSSI et al., [s/d]).
Surgiu, então, o sistema de amortização crescente (SACRE), o qual, conforme
Gimenes (2006) e Castanheira e Macedo (2012), era utilizado entre 1999 e 2005 nas
linhas crédito para aquisição da casa própria pelo Sistema Financeiro da
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Habitação: o cálculo da primeira parcela era feito de forma equivalente ao SAC e
permanecia inalterado ao longo de 12 meses, após os quais havia o reajuste das
prestações, permanecendo no mesmo valor por mais 12 meses, e assim
sucessivamente.
Observe que o SACRE, ao manter o valor da segunda parcela igual ao da primeira
(apesar do cálculo inicial pelo SAC), bem como das demais parcelas, não
apresenta a redução do valor das parcelas como no SAC e, consequentemente,
permite uma amortização mais intensa do que nele (GIMENES, 2006).
Faro (2013, p. 292) apresenta ainda o sistema misto de amortização com
prestações reais crescentes (SIMC), que se caracteriza por ter as primeiras 24
prestações mensais fixadas em 85% do valor pela tabela Price e, “a partir da 25ª
prestação, inclusive, as prestações mensais passavam a crescer segundo uma
progressão aritmética cuja razão era dada por uma fórmula pré-estabelecida”.
Concluímos, assim, o estudo dos sistemas de amortização. Como você pôde
perceber, ainda que existam inúmeros sistemas de amortização, todos eles
respeitam o conceito fundamental da Matemática Financeira, que é o do valor do
dinheiro no tempo e, consequentemente, a aplicação de juros sobre o tempo em
que o dinheiro não está disponível (por exemplo, investido, emprestado). Por essa
razão a escolha entre um ou outro sistema deve levar em consideração aspectos
práticos, como ter ou não maior disponibilidade inicial, de forma a reduzir as
parcelas finais (características do SAC e SAM); ter preferência por parcelas
constantes, para um melhor planejamento (como no caso da tabela Price); ou
ainda, só dispor de poucos recursos iniciais (razão para optar pelos pagamentos
periódicos); ou mesmo nenhum recurso até o final do período (o que levaria a
escolher o pagamento no final).
A escolha nunca deve ser baseada em uma falsa e ilusória vantagem financeira de
um sistema sobre os outros (como, por exemplo, somando o valor das parcelas),
pois todos os sistemas apresentados (exceto os que aplicam reajustes nas
parcelas) trabalham exatamente com a mesma lógica de só se pagar juros em
função do tempo e, por isso, não há um que seja mais ou menos vantajoso que
outro.
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Síntese
Você concluiu os estudos sobre o que são os sistemas de amortização, quais são
seus tipos e como são calculados. 
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
reconhecer os conceitos básicos dos sistemas de amortização;
descrever a influência do tempo e dos juros nos sistemas de amortização;
distinguir as diferenças e especificidades dos diferentes sistemas de
amortização;
descrever o sistema de amortização constante;
descrever o sistema de amortização francês;
resolver cálculos com sistemas de amortização.
Referências bibliográficas
ABREU, J. C. Matemática financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2012.
CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática
financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11.
ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada.  Curitiba:
Intersaberes, 2012.
CÔRTES, J. G. P. Introdução à economia da engenharia: uma visão do processo
de gerenciamento de ativos de engenharia. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
FARO, C. Uma nota sobre amortização de dívidas: juros compostos e anatocismo.
Revista Brasileira de Economia, Rio de Janeiro, v. 67, n. 3, p. 283-295, 09/2013. 
Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-
71402013000300002&lng=en&nrm=iso (http://www.scielo.br/scielo.php?
script=sci_arttext&pid=S0034-71402013000300002&lng=en&nrm=iso)>. Acesso em:
13/02/2018. 
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-71402013000300002&lng=en&nrm=iso
11/09/2019 Matemática Financeira
https://unp.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 24/25
______. Uma nota sobre amortização de dívidas e prestações constantes. Revista
Brasileira de Economia, Rio de Janeiro, v. 68, n. 3, p. 363-371, 09/2014. Disponível
em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-
71402014000300363&lng=en&nrm=iso (http://www.scielo.br/scielo.php?
script=sci_arttext&pid=S0034-71402014000300363&lng=en&nrm=iso)>. Acesso
em:  13/02/2018.  
FOLHA DE SÃO PAULO. Huck usou empréstimo de R$ 17,7 mi do BNDES para
comprar jatinho. Folha de São Paulo, 11/02/2018. Disponível em:
<https://www1.folha.uol.com.br/poder/2018/02/huck-usou-emprestimo-de-r-177-
mi-do-bndes-para-comprar-jatinho.shtml
(https://www1.folha.uol.com.br/poder/2018/02/huck-usou-emprestimo-de-r-177-
mi-do-bndes-para-comprar-jatinho.shtml)>. Acesso em: 12/02/2018.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com Hp 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada. São Paulo: Person Prentice Hall, 2006.
HOJI, M. Administração financeira: uma abordagem prática. Matemática
financeira aplicada, estratégicas financeiras, análise, planejamento e controle
financeiro. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2004.
HP. HP 12C calculadora financeira – guia do usuário. 4. ed. San Diego: Hewlett–
Packard Company, 2004.
MOTTA, R. R.; CALÔBA, G. M. Análise de investimentos: tomada de decisão em
projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2002.
ROSSI, P. et al. Como os governos controlam a inflação? G1. Globo [s/d]. Disponível
em: <http://g1.globo.com/economia/inflacao-como-os-governos-
controlam/platb/ (http://g1.globo.com/economia/inflacao-como-os-governos-
controlam/platb/)>. Acesso em: 13/02/2018.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2010.
TEMÓTEO, A. Luciano Huck comprou jatinho com juros subsidiados pelo BNDES.
Correio Braziliense, 11/02/2018. Disponível em:
<http://www.correiobraziliense.com.br/app/noticia/politica/2018/02/11/interna_p
olitica,659338/luciano-huck-comprou-jatinho-com-juros-subsidiados-pelo-
bndes.shtml
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-71402014000300363&lng=en&nrm=iso
https://www1.folha.uol.com.br/poder/2018/02/huck-usou-emprestimo-de-r-177-mi-do-bndes-para-comprar-jatinho.shtml
http://g1.globo.com/economia/inflacao-como-os-governos-controlam/platb/
http://www.correiobraziliense.com.br/app/noticia/politica/2018/02/11/interna_politica,659338/luciano-huck-comprou-jatinho-com-juros-subsidiados-pelo-bndes.shtml
11/09/2019 Matemática Financeira
https://unp.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 25/25
(http://www.correiobraziliense.com.br/app/noticia/politica/2018/02/11/interna_p
olitica,659338/luciano-huck-comprou-jatinho-com-juros-subsidiados-pelo-
bndes.shtml)>. Acesso em: 12/02/ 2018.
TORRES, O. F. F. Fundamentos da engenharia econômica e da análise
econômica de projetos. São Paulo: Thomson, 2006.
YOUNGER, B. O primeiro milhão. Direção: Ben Younger. Produção: TODD,
Jennifer; TODD, Suzanne. Nova Iorque: New Line Cinema, 2000.
http://www.correiobraziliense.com.br/app/noticia/politica/2018/02/11/interna_politica,659338/luciano-huck-comprou-jatinho-com-juros-subsidiados-pelo-bndes.shtml