56160939-Apostila-Matematica-Aplicada

Prévia do material em texto

0 
 
 
 
Matemática 
Aplicada 
 
Identificação: 
Curso: Administração de Empresas 
Semestre: 1º semestre de 2011 Turno: Noturno 
Professora Responsável: Magda Bortolini 
Carga Horária: 72 h/a Créditos: 04 
 
Missão da Faculdade da Serra Gaúcha 
 
Proporcionar formação humanística, técnica e científica, através de um ensino de 
qualidade, visando atender às expectativas do mercado e da sociedade. 
 
1 
 
PLANO DE ENSINO 
 
1) Objetivos da Disciplina 
Desenvolver o raciocínio lógico. 
Processar cognitivamente códigos matemáticos, identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre 
valores de variáveis representadas em tabelas, gráficos, expressões algébricas e modelos matemáticos, 
realizar previsões de tendências, sistematizar informações e criticar resultados. 
Fornecer subsídios que sirvam de suporte para disciplinas futuras. Relacionar os conhecimentos de 
matemática a contextos sócio-econômicos, a sua vida social e profissional. 
 
 
2) Ementa 
Estudo da matemática para desenvolver o raciocínio lógico na aplicação dos conceitos matemáticos 
algébricos com seus limites e variações, para auxiliar no processo decisório. 
 
 
3) Bibliografia Básica 
HOFFMANN, L. Cálculo um Curso Moderno e suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2ª edição, 1990. 
MUROLO, A. et. al.. Matemática Aplicada - Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2004. 
LEITE, Angela. Aplicações da Matemática: Administração Economia e Ciências Contábeis. São Paulo: 
CENGAGE Learning, 2008 
 
 
4) Bibliografia Complementar 
MORETTIN, Pedro A..et al Cálculo Funções de Uma e Várias Variáveis. edição 2003. 
SILVA, S. M. et al.. Matemática para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São 
Paulo: Atlas, 1999. 
GOLDSTEIN, L. J. et. al.. Matemática Aplicada - Economia, Administração Contabilidade. Porto Alegre: 
Bookman, 2000. 
LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra, 1988. 
 
 WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 2001. 
2 
 
5) METODOLOGIA DE ENSINO 
Considerando que a aprendizagem significativa ocorre quando o sujeito, através de seus esquemas 
assimiladores, estabelece relações entre os dados obtidos, a metodologia utilizada prioriza a construção 
e reconstrução de conhecimentos através de situações que conectem a teoria à prática. Os 
procedimentos utilizados centram-se em aulas serão expositivo-dialogadas com simulações de dados 
reais. Serão utilizados recursos audiovisuais como projetor multimídia, quadro negro, calculadoras. 
 
 
6) CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 
Serão realizadas duas provas e dois trabalhos parciais, com peso 8,0 (oito) e 2,0 (dois) respectivamente 
cada e a APS com peso total 10,0 (dez). O aluno que obtiver na média aritmética das avaliações, nota 
igual ou superior a 7,0 (sete) será dispensado do exame final. Caso contrário, prestará exame, com peso 
10,0 (dez), em data marcada. A média final para aprovação é 6,0 (seis) e será obtida fazendo-se a média 
aritmética entre a média anterior mencionada e a nota do exame. 
 
DIA 25/04 – para turma de 2ªf e DIA 26/04 – para turma de 3ªf 
� Primeira Prova (peso 8,0), 
� Recolhimento dos problemas propostos (peso 2,0) e 
� Recolhimento do projeto da APS (peso 2,0) via Portal Acadêmico. 
DIA 13/06 – para turma de 2ªf e DIA 14/06 – para turma de 3ªf 
� Segunda Prova (peso 10,0) e 
� Recolhimento do trabalho da APS (peso 6,0) impresso e via Portal Acadêmico. 
DIA 20/06 – para turma de 2ªf e DIA 21/06 – para turma de 3ªf 
� Apresentação do trabalho da APS (peso 2,0) via Portal Acadêmico. 
DIA 27/06 – para turma de 2ªf e DIA 28/06 – para turma de 3ªf 
� Exame Final (peso 10,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
CRONOGRAMA DE AULAS (podendo sofrer alterações) 
AULA 
DATAS 
ASSUNTO Turma de 
2ªf 
Turma de 
3ªf 
1 21/02 22/02 
Apresentação do plano de ensino, Porcentagem, Taxa de porcentagem, Valor Total, 
Acréscimo e decréscimo percentual e Variação percentual. 
2 28/02 29/02 Conceito de Função, Função Constante e Função Linear ou Função do 1º grau. 
3 07/03 08/03 Feriado. 
4 14/03 15/03 Coeficiente Angular. 
5 21/03 22/03 
Nomenclatura das Funções: Função Custo Total, Função Custo Médio, Função 
Receita e Função Lucro. 
6 28/03 29/03 Ponto de Equilíbrio ou Ponto de Nivelamento. 
7 04/04 05/04 Funções de Demanda e de Oferta. Equilíbrio de Mercado e Função Polinomial 
8 11/04 12/04 Função Quadrática ou Função do 2º grau 
9 18/04 19/04 Revisão dos conteúdos estudados 
10 25/04 26/04 1ª Avaliação. (Entrega do projeto da APS, impresso em folha A4 – valor 2,0 pontos) 
11 02/05 03/05 Noções de Limites, Função Exponencial e Logarítmica. 
12 09/05 10/05 Aplicações das Funções Exponenciais e Logarítmicas. 
13 16/05 17/05 Derivadas e Análise Marginal. 
14 23/05 24/05 Taxa de Variação Percentual. 
15 30/05 31/05 Jornada Científica. 
16 06/06 07/06 Revisão dos conteúdos estudados. 
17 13/06 14/06 
2ª Avaliação. (Entrega do trabalho da APS, em WORD, via Portal Acadêmico – valor 
6,0 pontos) 
18 20/06 21/06 
Apresentação da APS em POWERPOINT e postado via Portal Acadêmico – valor 2,0 
pontos. 
19 27/06 28/06 Exame Final. 
4 
 
Atividade Prática Supervisionada – APS 
 
1) Problematização 
 
O Profissional de Administração deve desenvolver projetos e propor soluções inovadoras, através 
de um pensamento crítico-reflexivo, identificar nos diferentes ambientes de atuação oportunidades 
através da postura investigativa e prospectiva. 
Os diferentes saberes são construídos com pesquisas e a própria prática, desenvolvendo com 
autonomia as capacidades, comportamentos e atitudes, mediante uma percepção do mundo. 
Neste perfil de ser Administrador, como aplicar os conhecimentos matemáticos na estruturação de 
uma micro empresa? 
 
2) Objetivos do Projeto 
2.1. Aplicar os conhecimentos matemáticos em situações reais. 
2.2. Usar a linguagem e estratégias matemática adequadas em diferentes situações que coletarem. 
2.3. Tomar decisões demonstrando as capacidades de liderar e tomar decisões. 
 
 
3) Operacionalização das ações: 
3.1. Em grupo de 3 componentes (alunos): 
3.1.1. Pesquisar um produto de simples produção. 
3.1.2. Descrever o histórico desse produto e a sua finalidade para o mercado de 
consumo. 
3.1.3. Elencar os custos fixos e os custos variáveis para a produção desse produto. 
3.1.4. Descrever a função custo total desse produto. 
3.1.5. Pesquisar ou elaborar o preço unitário de venda desse produto. 
3.1.6. Descrever a função receita desse produto. 
3.1.7. Demonstrar matematicamente a função lucro, com base na função receita e 
custo total. 
3.1.8. Encontrar o ponto de equilíbrio do produto (unidades produzidas-vendidas e 
preço de equilíbrio). 
3.1.9. Fazer análise gráfica, no Excel, da função receita e função custo total, 
identificando o ponto de equilíbrio. 
3.1.10. Concluir teoricamente a análise gráfica para a produção inferior e superior a do 
ponto de equilíbrio. 
3.1.11. Estruturação e entrega do trabalho de pesquisa, nas normas da ABNT. 
3.1.12. Apresentação do trabalho em PowerPoint. 
 
4) Avaliação: 
Os critérios de avaliação serão relativos ao: conteúdo pertinente ao que foi proposto, 
embasamento teórico, criatividade, organização do grupo, escolha adequada de estratégias de 
solução e transcrição dos cálculos necessários à resolução dos problemas. 
5 
 
SUMÁRIO 
 
1. Porcentagem 
2. Taxa de porcentagem 
3. Valor Total 
4. Acréscimo e decréscimo percentual 
5. Variação percentual 
6. Conceito de Função 
7. Função Constante 
8. Função Linear ou Função do 1º grau. 
9. Coeficiente Angular 
10. Nomenclatura das funções 
10.1. Função Custo Total 
10.2. Função Custo Médio 
10.3. Função Receita 
10.4. Função Lucro 
11. Ponto de Equilíbrio ou Ponto de Nivelamento 
12. Funções de Demanda e de Oferta 
13. Equilíbrio de Mercado 
14.Função Polinomial 
15. Função Quadrática ou Função do 2º grau 
16. Noções de Limites 
17. Função Exponencial e Logarítmica 
18. Aplicações das funções exponenciais e logarítmicas. 
19. Derivadas 
20. Análise Marginal 
21. Taxa de variação 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1. PORCENTAGEM 
 
Porcentagem é parte de um total de 100 partes. Assim, a porcentagem p pode ser calculada 
pela fórmula p = i . P, onde é taxa de porcentagem que incide sobre um valor chamado de 
total P. 
Por exemplo: Calcule sobre R$ 3 000,00. 
 
 
Lembrar que , onde: 
� é a taxa de porcentagem 
� é taxa unitária de porcentagem 
� R$ 3 000,00 é o valor total P 
� R$ 600,00 é a porcentagem , ou seja, parte do valor total. 
OBSERVAÇÃO: CALCULAR 10% DE UM VALOR É DIVIDIR ESSE VALOR POR 10. 
 
ATIVIDADES 
1) Calcule: 
 
a) de R$ 2 000,00. Resp. 240 reais 
 
 
b) 0,61% sobre R$ 15 000,00. Resp. 91,50 reais 
 
 
c) 42,3% de R$ 200 000,00. Resp. 84 600 reais 
 
2) Num galpão havia 4700 caixas, mas apenas 62% estavam cadastradas no computador. 
Quantas caixas não estavam cadastradas? Resp. 1786 caixas 
 
7 
 
2. TAXA DE PORCENTAGEM 
 
Através da fórmula p = i . P , podemos calcular a taxa de porcentagem , isolando-a da 
fórmula dada. Assim, a taxa de porcentagem é calculada por i = p . 
 P 
Por exemplo: Numa empresa de 3 000 funcionários, apenas 600 fizeram um curso de 
capacitação para operarem determinados equipamentos. Qual é a taxa de porcentagem (ou 
taxa percentual) de funcionários que foram capacitados? 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Numa turma de 40 alunos, 15 são homens e 25 são mulheres. Qual é a taxa percentual 
de homens e mulheres? Resp. 37,5% e 62,5% 
 
 
 
 
 
2) Na linha de produção verificou-se que das 600 peças produzidas, apenas 18 saíam com 
defeitos. Qual a taxa de porcentagem com defeito? Resp. 3% 
 
 
 
 
 
3) Numa pesquisa realizada, percebeu-se que três a cada cinco brasileiros gostam de 
pizza. Calcule o percentual de pessoas que não gostam de pizza. Resp. 40% 
 
 
 
8 
 
3. VALOR TOTAL 
 
Através da fórmula p = i . P , podemos calcular o valor total P, isolando-o da fórmula dada. 
Assim, o valor total é calculado por P = p . 
 i 
Por exemplo: Numa empresa, apenas 600 funcionários fizeram um curso de capacitação para 
operarem determinados equipamentos. Sabendo que esses 600 funcionários representam 20% 
do total de funcionários, pergunta-se: quantos funcionários há na empresa? 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Uma pessoa pagou determinado imposto para o governo sobre um bem que possui. Se ela 
pagou R$ 525,00 e que esse valor corresponde a 3,5% da taxa de imposto, qual é o valor 
total desse bem? Resp. 15 000 reais 
 
 
 
 
2) Um funcionário teve uma bonificação salarial de R$ 300,00 que corresponde a 12%. Qual é 
o valor total do salário desse funcionário? Resp. 2 500 reais 
 
 
 
 
3) Uma pessoa fez a venda de um imóvel e obteve 14 400 reais de comissão que equivale a 
6% do seu ganho. Qual o preço do imóvel? Resp. 240 000 reais 
 
 
 
 
4) Uma pessoa deixou rendendo certa quantia de dinheiro na poupança em um Banco. Se os 
juros rendidos na poupança foram de R$ 200,00 à taxa de 0,5% naquele mês, que quantia 
de dinheiro estava aplicada? Resp. 40 000 reais 
 
9 
 
4. ACRÉSCIMO E DECRÉSCIMO PERCENTUAL 
 
O acréscimo ou aumento percentual é uma taxa de porcentagem que incide sobre um valor 
inicial P. A soma entre o valor inicial e esse acréscimo resulta no valor final VF, ou seja, dada a 
taxa de porcentagem e o valor inicial P, calculamos o valor final VF da seguinte maneira: 
VF = P + i . P 
VF = P . ( 1 + i ) 
O decréscimo ou desconto percentual é uma taxa de porcentagem que incide sobre um valor 
inicial P. A diferença entre o va or inicial e esse decréscimo resulta no valor final VF, ou seja, 
dada a taxa de porcentagem e o valor inicial P, calculamos o valor final VF da seguinte 
maneira: 
VF = P - i . P 
VF = P . ( 1 - i ) 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Uma empresa produziu 2400 peças no mês de janeiro e a previsão para o mês de 
fevereiro será de 15% a mais em relação ao mês de janeiro. Calcule quantas peças 
serão produzidas no mês de fevereiro e no bimestre? Resp. 2760 peças e 5160 peças 
 
 
 
 
 
2) Um tênis custa R$ 520,00. É dado um desconto de 8% pagando-se à vista. Qual é o 
valor do preço à vista desse tênis? Resp. 478,40 reais 
 
 
 
10 
 
5. VARIAÇÃO PERCENTUAL 
 
Variação percentual é a diferença ou variação da taxa de porcentagem . Assim, sendo 
conhecidos os valores inicial P e final VF, calculamos a variação percentual , isolando-a da 
fórmula VF = P + i . P já conhecida, isto é: 
VF = P + i . P 
VF – P = i . P 
VF – P = i 
 P 
Esquematicamente, temos: 
 i 
 P -------> VF 
 
Sendo i = VF – P a fórmula que calcula a variação percentual. 
 P 
Vejamos dois exemplos a seguir para entender melhor a variação percentual. 
 
Exemplo 1: Um produto custava R$ 600,00 e passou a custar R$ 750,00. Quantos por cento 
houve de aumento ou qual a taxa de aumento concedida? 
 
 
Exemplo 2: Um produto custava R$ 750,00 e passou a custar R$ 600,00. Quantos por cento 
houve de desconto ou qual a taxa de desconto concedida? 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Numa empresa havia 2500 empregados e atualmente há 3300. Calcule a variação 
percentual. Resp. 32% 
 
 
2) Um produto que custava R$ 20,90 passou a custar R$ 18,90. Qual a taxa de desconto 
que foi oferecida? Resp. – 9,57% 
 
11 
 
6. CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
O conceito de função está relacionado com a ideia de uma variável depender de outra 
variável, ou seja, de uma variável estar em função de outra variável. 
 
Por exemplo: 
 
� O preço a ser pago no reabastecimento de combustível em um carro depende da 
quantidade de litros de combustível que se colocará no tanque desse carro, ou seja, o 
preço a ser pago está em função de litros de combustível. Dessa forma podemos 
escreve que , onde é a variável independente e é a variável 
dependente, pois depende da variável . 
 
 
� O preço da corrida de táxi depende do valor da bandeirada mais o quilômetro rodado, 
ou seja, o preço da corrida de táxi está em função da bandeirada no valor de R$ 5,00 
mais o valor de R$ 1,20 por quilômetro rodado. Assim podemos escrever que 
 , onde é a variável independente e é a variável dependente, pois 
depende da variável . 
 
 
� ... 
 
Assim, quando uma variável depende de outra variável , dizemos que está em função 
de , ou seja, Sempre lembrar que a variável é chamada de variável independente 
e a variável é chamada de variável dependente, pois depende de . 
 
Agora que entendemos o que é função, estaremos estudando os tipos de funções que existem. 
São elas: 
• FUNÇÃO CONSTANTE 
• FUNÇÃO DO LINEAR ou FUNÇÃO DO 1º GRAU 
• FUNÇÃO POLINOMIAL ou FUNÇÃO DE GRAU 
• FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO DO 2º GRAU 
• FUNÇÃO EXPONENCIAL 
• FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
12 
 
7. FUNÇÃO CONSTANTE 
 
A função constante é do tipo ou , para . 
 
Por exemplo: O valor do salário mínimo é constante ao longo de um ano, ou seja, 
reais. Graficamente, temos: 
 
 
 
Assim, a função é uma função constante. 
 
 
A função constante é sempre paralela ao eixo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
8. FUNÇÃO LINEAR ou FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
A função do 1º grau é do tipo ou , onde . 
 
Por exemplo: Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma 
parte fixa, no valor de R$ 600,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 
8% do total de vendas que ele fez durante o mês. 
a) Expresse a lei da função que representa seu salário mensal. 
b) Calcule o salário do vendedor, sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 50 000,00 
em produtos. 
c) Sabendo que o salário mensal do vendedor foi de R$ 5 800,00, qual foi o valor de 
venda dos seus produtos? 
d) Representegraficamente a situação do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Outro exemplo: Para o uso de telefonia em uma cidade, uma operadora cobra, em sua fatura, 
a chamada local de telefone de fixo para fixo da seguinte maneira: 
• Tarifa básica (assinatura) de R$ 40,72 para falar até 200 minutos 
ou 
• Tarifa básica de R$ 40,72 mais R$ 0,30 o minuto excedente para quem falar acima de 
200 minutos 
 
a) Expresse a função que descreve o problema. 
b) Qual o valor a ser pago na fatura a pessoa que usou 167 minutos para falar de fixo pra 
fixo local? 
c) Quanto a pessoa pagará se usou 245 minuto para falar de fixo para fixo em chamadas 
locais? 
d) Faça o gráfico da função do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
ATIVIDADES 
 
1) Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte forma: R$ 6,00 a bandeirada mais 
R$ 1,50 o quilômetro rodado. Pede-se: 
a) Expresse o valor a ser pago em função da distância percorrida. 
b) Calcule o preço de uma corrida de 11 km. Resp. 22,50 reais 
c) Qual é a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 31,50 pela corrida? 
Resp. 17 km 
d) Faça o gráfico da função 
 
 
2) Durante um mês, um representante ganha um salário fixo de R$ 1 200,00 mais R$ 200,00 
por unidade de produto vendido. 
a) Escreva o valor do salário desse representante em função de x unidades vendidas. 
b) Se o representante almeja um salário de R$ 9 400,00 por mês, quantas unidades desse 
produto ele precisará vender? Resp. 41 unidades 
c) Qual será o salário desse representante se ele vender 28 unidades? Resp. 6 800 reais 
d) Faça o gráfico da função. 
 
 
 
3) Uma função de custo simples para um negócio consiste em duas partes: os custos fixos, 
tais como aluguel, seguro e empréstimos, que precisam ser pagos independentemente de 
quantas unidades do produto sejam produzidas, e os custos variáveis, que dependem do 
número de produtos produzidos. Suponha que uma companhia de software para 
computadores produz e vende uma nova planilha a um custo de 25 dólares por cópia, e 
que a companhia tem um custo fixo de 10 000 dólares por mês. Pede-se: 
a) Expresse o total do custo mensal na variável como uma função do número de 
cópias vendidas. 
b) Calcule o custo quando são produzidas 500 cópias da planilha. Resp. 22 500 dólares 
c) Quantas planilhas foram vendidas se o custo total foi de 26 250 dólares? Resp. 650 
cópias 
d) Faça o gráfico da função que representa o problema. 
 
 
 
16 
 
4) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 800,00 por mês, mais uma comissão de 5% 
sobre as vendas que excederem a R$ 10 000,00. 
a) Denotando de o salário e os valores das vendas no mês, escreva a função do 
problema. 
b) Qual seria o salário do vendedor em um mês cujas vendas atingissem R$ 47 000,00 de 
vendas? Resp. 3150 reais 
c) Qual é o valor de vendas que o vendedor deve fazer para obter um salário mensal de 
R$ 6 800,00? Resp. 800 reais 
d) Construa o gráfico da função do problema. 
 
 
5) Abaixo está descrita a tabela progressiva para o cálculo anual do Imposto de Renda da 
pessoa física a partir do exercício 2011, ano-calendário de 2010. 
Base de cálculo anual em R$ Alíquota % Parcela a deduzir do imposto em R$ 
Até 17.989,80 - 0,00 
De 17.989,81 até 26.961,00 7,5 1.349,24 
De 26.961,01 até 35.948,40 15,0 3.371,31 
De 35.948,41 até 44.918,28 22,5 6.067,44 
Acima de 44.918,28 27,5 8.313,35 
 
a) Escreva a tabela acima em forma de função. 
b) Quanto de imposto uma pessoas física deve pagar ao governo, sabendo que sua renda 
anual foi de R$ 42 000,00? Resp. 3382,56 reais 
c) Faça o esboço da função em um gráfico de eixos e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
9. COEFICIENTE ANGULAR e EQUAÇÃO DA RETA 
 
Considere uma reta passando pelos pontos e num sistema de coordenadas 
de eixos e , conforme o gráfico abaixo. 
 
 
O coeficiente angular é calculado pela fórmula . 
 
 
A equação da reta é encontrada pela fórmula . 
 
Vejamos dois exemplos a seguir para compreendermos como se calcula o coeficiente angular 
através de dois pontos dados e como se encontra a equação da reta através do coeficiente 
angular e por um ponto dado. 
 
18 
 
Exemplo 1: Considere um imóvel que foi construído em um loteamento residencial novo. 
Sabendo que seu valor atual é de R$ 250 000,00, este imóvel começa a ser valorizado pelas 
benfeitorias feitas no bairro, como surgimento de supermercado, padarias, açougue, frutaria 
etc, conforme se vê na tabela abaixo. Calcule o coeficiente angular, encontre a equação da 
reta e trace a equação da reta no gráfico abaixo: 
x (anos) y (R$) 
0 250 000 
1 255 000 
2 260 000 
3 265 000 
4 270 000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o coeficiente angular for positivo dizemos que houve valorização e a 
equação da reta é uma função linearmente crescente. 
19 
 
Exemplo 2: Considere um carro novo no valor de R$ 40 000,00. Sua desvalorização é vista na 
tabela abaixo. Calcule o coeficiente angular e encontre a equação da reta e trace o gráfico 
através da tabela: 
x (anos) y (R$) 
0 40 000 
1 36 000 
2 32 000 
3 28 000 
4 24 000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o coeficiente angular for negativo dizemos que houve desvalorização e a 
equação da reta é uma função linearmente decrescente. 
 
20 
 
Considerando a equação da reta , as equações das retas encontradas nos dois 
exemplos anteriores foram e . 
 
Para , temos: 
• O coeficiente angular 
e 
• O coeficiente linear , que “corta” o eixo . 
 
O coeficiente angular é o que descreve a inclinação da reta, ou seja, 
é ele que mede a taxa de variação linear, isto é, a cada unidade que se aumenta em , há um 
acréscimo de 5000 unidades em . 
 
 
Assim, a variação linear é conhecida através do coeficiente angular, isto é: 
 
 
21 
 
QUANTO MAIOR O VALOR DO COEFICIENTE ANGULAR, MAIOR SERÁ A INCLINAÇÃO RETA. 
Para , temos: 
• O coeficiente angular 
e 
• O coeficiente linear , que “corta” o eixo . 
 
O coeficiente angular é o que descreve a inclinação da reta, ou seja, 
é ele que mede a taxa de variação linear, isto é, a cada unidade que se aumenta em , há um 
decréscimo de 4000 unidades em . 
 
 
 
Assim, a variação linear, neste caso, depreciação linear, é conhecida através do coeficiente 
angular, isto é: 
 
 
22 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Um produto é valorizado linearmente conforme se vê na tabela abaixo. Calcule o 
coeficiente angular e encontre a equação da reta que descreve o problema. 
 (unidades do produto) (R$) 
10 1020 
20 1040 
30 1060 
 
Resp. , 
 
 
2) Uma máquina de uma empresa é desvalorizada durante os anos de uso conforme se vê 
na tabela abaixo. 
 (anos) (valor da máquina em R$) 
0 500 000 
1 480 000 
2 460 000 
3 440 000 
 
Pede-se: 
a) Calcule o coeficiente angular e encontre a equação da reta que descreve o 
problema. Resp. , 
b) Qual é o valor da máquina com dois anos e meio de uso? Resp. 450 000 reais 
c) Quanto tempo demora para que a máquina fique totalmente desvalorizada? Resp. 
25 anos 
d) Qual será o valor da máquina com 30 anos de uso? Resp. – 100 000 reais 
e) Faça o gráfico do problema para igual a 0, 5, 10, 15, 20, 25 e 30 anos de uso. 
 
 
 
 
3) Quando uma quantidade de artigos que uma determinada empresa vende, 
aumentando de 200 para 300 unidades, o custo de produção diminui de 100 para 80 
reais. Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que 
passa por esses dois pontos. Resp. 
 
23 
 
 
 
 
4) Os custos envolvidos para a realização de um projeto são tais que: 
• Se a duração do mesmo for de 10 dias, em tempo acelerado, os custos serão de 
50 mil reais. 
• Se a duração do mesmo for de 20 dias, em tempo normal, os custos serão de 25 
mil reais. 
Admitindo comportamento linear, pede-se: 
a) Encontre a equação de custos em função da duração em dias.Resp. 
b) Se a duração for de 15 dias, calcule o valor dos custos. Resp. 37 500 reais 
c) Se os custos forem de 45 mil reais, calcule a duração de dias para a realização do 
projeto. Resp. 12 dias 
 
 
5) Um fabricante adquiriu uma máquina por R$ 20 000,00. Este valor sofre uma 
depreciação linear até o valor de R$ 1 000,00 em 10 anos. 
a) Defina a função depreciação do valor da máquina em relação ao tempo. 
Resp. 
b) Construa o gráfico para a função. 
c) Qual o valor da máquina após 6 anos? Resp. 8 600 reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
10. NOMENCLATURA DE ALGUMAS FUNÇÕES 
Considerando um negócio qualquer, seja ele um escritório, um comércio ou uma indústria, as 
funções podem ser chamadas de: 
 
10.1. FUNÇÃO CUSTO TOTAL 
A função custo total representada por é constituída de duas partes: custos fixos e custos 
variáveis. Os custos fixos são tais coisas como aluguel, seguro, empréstimos, taxas, folhas de 
pagamentos, os quais precisam ser pagos independentemente de quantas unidades do 
produto sejam produzidas. Os custos variáveis são os custos que dependem do número de 
produtos produzidos como a matéria prima, também o pagamento a terceiros e gastos 
promocionais. Assim, a função custo total pode ser escrita matematicamente da seguinte 
maneira: 
 
 
 
Onde é o custo total, é o custo fixo, é o preço do produto produzido e é a 
quantidade de produtos produzidos. 
Por exemplo: Considerem que uma empresa tenha um gasto de custo fixo de 10 000 dólares 
por mês para a produção de uma planilha de software mais 25 dólares por unidade copiada. 
Escreva matematicamente o custo total em função da quantidade de software produzido. 
 
 
10.2. FUNÇÃO CUSTO MÉDIO 
A função de custo médio representada por é a função que descreve o valor do custo 
total dividido pela quantidade produzida por um produto, ou seja, . Conforme o 
exemplo acima, podemos calcular o custo médio para a produção de 500 unidades de software 
produzido. Assim, o custo médio será de: 
Para unidades, temos: 
25 
 
 
 
10.3. FUNÇÃO RECEITA 
A função receita representada por é a função que descreve o faturamento de uma 
empresa, ou seja, a entrada de dinheiro nos cofres da empresa. Assim, a receita de uma 
empresa é calculada pelo preço de venda vezes a quantidade de unidades produzidas ou 
vendidas, isto é: 
 
 
Onde é a receita, é o preço de venda do produto e é a quantidade do produto a ser 
vendido. 
 
Por exemplo: Se a empresa vende um único produto por 75 dólares, a função receita 
pode ser escrita matematicamente por . 
 
 
 
10.4. FUNÇÃO LUCRO 
A função lucro representada por é a diferença entre a função receita e a função custo, ou 
seja, . 
 
Por exemplo: Conhecidas as funções receita e custo , a 
função lucro é encontrada por da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Para uma empresa, o custo total de fabricação de certo produto consiste de uma 
quantia fixa de 50 reais somada ao custo de produção que é de 10 reais por unidade. 
a) Expresse a função custo total. 
b) Qual será o valor do custo para a produção de 40 unidades desse produto? Resp. 
450 reais 
c) Quantas unidades foram produzidas se houve um custo total de 800 reais? Resp. 
75 unidades 
d) Calcule o custo da 40ª unidade desse produto. Resp. 10 reais 
e) Faça o gráfico dessa função custo total. 
 
2) Para a empresa do exercício anterior, ela vende o seu produto por 35 reais a unidade. 
a) Escreva a função receita dessa empresa. 
b) Qual será a receita da empresa se vender 54 unidades? Resp. 1890 reais 
c) Quantas unidades foram vendidas para uma receita de 1470 reais? Resp. 42 
unidades 
d) Faça o gráfico da função receita. 
 
3) Em relação aos dois exercícios anteriores: 
a) Encontre a função lucro. 
b) Qual será o lucro da empresa se produzir 80 unidades? Resp. 1950 reais 
c) Quantas unidades a empresa deverá vender para obter um lucro de 2500 reais? 
Resp. 98 unidades 
d) Faça o gráfico da função lucro. 
 
4) Suponha que a função represente o custo total de produção de 
determinado artigo, onde é o custo em reais e é o número de unidades 
produzidas. Determine: 
a) O custo total para fabricação de 20 unidades desse produto. Resp. 1 000 reais 
b) O custo médio para fabricação 20 unidades. Resp. 50 reais 
c) O custo da fabricação da 20ª unidade desse produto. Resp. 10 reais 
d) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de 3950 reais? 
Resp. 315 unidades 
27 
 
 
5) O gerente de uma loja compra um sapato por R$ 45,00 e o vende por R$ 75,00. 
Sabendo que a despesa com o frete é de R$ 70,00, quantos sapatos desse modelo a 
loja deverá vender para ter um lucro de R$ 9 200,00? Resp. 309 sapatos 
 
 
 
6) Na fabricação de um determinado artigo, verificou-se que o custo total foi obtido 
através de uma taxa de 4 000 reais, adicionada ao custo de produção, que é de 50 
reais por unidade. Determine: 
a) A função que representa o custo total em relação a quantidade produzida. 
b) O gráfico dessa função. 
c) O custo de fabricação de 15 unidades. Resp. 4750 reais 
d) O custo médio para a fabricação de 15 unidades. Resp. 316,67 reais 
e) O custo total para fabricação de 14 unidades. Resp. 4700 reais 
f) O Custo de fabricação da 15ª unidade. Resp. 50 reais 
 
 
 
7) Uma indústria produz e vende um único artigo. O custo de fábrica para esse artigo é de 
R$ 5,40 e o preço de venda é de R$ 10,20. Com as informações abaixo, para os últimos 
cinco meses, calcule os valores que não constam na tabela. 
MÊS Custo fixo Quantidade Custo variável Custo total Receita Lucro 
1 5 000,00 1 500 
2 5 000,00 7 020,00 
3 5 000,00 11 750,00 
4 5 000,00 24 480,00 
5 5 000,00 3 640,00 
 
a) Qual o lucro unitário no 2º mês? Resp. R$ 0,95 
b) Qual o lucro unitário no 3º mês? Resp. R$ 0,80 
c) Quanto por cento representa o custo fixo do custo total no 1º mês? Resp. 38,17% 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
11. PONTO DE EQUILÍBRIO – PONTO DE NIVELAMENTO 
Os gráficos de ponto de equilíbrio são frequentemente utilizados na Administração e na 
Economia para analisar as implicações de várias decisões de fixação de preços e de produção. 
Como exemplo de situação típica, pode-se citar a de um fabricante que deseja saber o número 
mínimo de unidades que deverão ser vendidas para que a receita total se iguale ao custo total 
de determinado produto. Seja o número de unidades produzidas e vendidas e sejam e 
, respectivamente, o custo e a receita totais. O gráfico abaixo ilustra as curvas (no caso, 
retas), de custo e receita correspondentes. 
 
No início, devido à existência de custos fixos, o custo é maior que a da receita total. Portanto, 
o fabricante sofre prejuízo quando a produção é pequena. Entretanto, se a produção for 
grande, a receita atinge valores maiores e o fabricante tem lucro. O ponto de intersecção das 
curvas denominado ponto de equilíbrio indica o número de unidades produzidas no qual o 
fabricante não tem lucro nem prejuízo, ou seja, a receita total iguala-se ao custo total. Os 
valores de para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de 
nivelamento. 
29 
 
 
Para melhor compreensão sobre o ponto de equilíbrio, vejamos o exemplo a seguir. 
 
Exemplo: Uma empresa vende por 75 dólares a unidade de um software. O custo total 
consiste em um custo fixo de 10 000 dólares por mês somado ao custo de produção de 25 
dólares por unidade. Pede-se: 
a) Escreva a função custo total, a função receita e a função lucro. 
b) Se forem vendidas 100 unidades, a empresa obterá lucro ou prejuízo? 
c) Se forem vendidas 300 unidades, a empresa obterá lucro ou prejuízo? 
d) Quantas unidades a empresa precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? 
e) Quantas unidades a empresa necessita vender para obter um lucro de 12 500 dólares? 
f) Faça um esboço do gráfico das funções receita e custo num mesmo sistemade eixos 
e . 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto maior o coeficiente angular maior é a inclinação da reta. 
 
ATIVIDADES 
 
1) Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$ 20,00. O custo total consiste 
em um custo fixo de R$ 3 200,00 somado ao custo de produção de R$ 12,00 por 
unidade. Pede-se: 
a) Escreva a função custo total, a função receita e a função lucro. 
b) Se forem vendidas 300 unidades, a empresa obterá lucro ou prejuízo? Resp. 
PREJUÍZO 
c) Se forem vendidas 500 unidades, a empresa obterá lucro ou prejuízo? Resp. 
LUCRO 
d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? 
Resp. 400 unidades 
e) Quantas unidades a empresa necessita vender para obter um lucro de 12 800 
reais? Resp. 2000 unidades 
f) Faça um esboço do gráfico das funções receita e custo num mesmo sistema de 
eixos e . 
 
2) Uma fábrica de móveis vende mesas por R$ 700,00 cada. O custo total de produção do 
fabricante consiste em uma sobretaxa de R$ 80 000,00 somada ao custo de produção 
de R$ 300,00 por mesa. 
a) Determine o número de mesas que o fabricante precisa vender para existir o 
nivelamento. Resp. 200 mesas 
31 
 
b) Determine o número de mesas que o fabricante precisa vender para obter um 
lucro de R$ 60 000,00. Resp. 350 mesas 
c) Calcule o lucro ou prejuízo do fabricante ao vender 150 mesas. Resp. – 20 000 
reais 
d) Construa o gráfico das funções receita e custo no mesmo sistema de eixos de 
coordenadas e . 
 
3) O preço de venda de um produto é de R$ 25,00. O custo de produção por unidade é 
dado por: 
• Matéria prima: R$ 6,00 por unidade. 
• Mão-de-obra direta: R$ 8,00 por unidade 
Sabendo-se que o custo fixo mensal é de R$ 2 585,00: 
a) Qual é o ponto crítico (ponto de nivelamento)? Resp. 235 unidades 
b) Qual a margem de contribuição por unidade (é a diferença entre o preço de venda 
e o custo de produção por unidade)? Resp. 11 reais 
c) Qual o lucro se a empresa produzir 1 000 unidades por mês? Resp. 8 415 reais 
 
12. FUNÇÕES DE DEMANDA E OFERTA 
 
CURVAS DE DEMANDA LINEAR 
A curva de demanda (ou de procura) está relacionada aos consumidores que procuram ou 
consomem algum tipo de produto ou mercadoria. Assim, em geral, a declividade de uma 
curva de demanda (de procura) é negativa, isto é, à medida que o preço de venda aumenta, a 
quantidade de procura diminui e, à medida que o preço de venda diminui, a quantidade de 
procura aumenta. 
 
Chamando de o preço e a quantidade de demanda ou de procura, dizemos que a 
quantidade de demanda está em função do preço, ou seja, . 
Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda (de procura) pode ser nula, isto é, a 
demanda (procura) é constante, independentemente do preço. 
32 
 
 
Em outros casos, a declividade de uma curva de demanda (de procura) pode ser indefinida. 
 
ATENÇÃO: a representação gráfica também poderia ter sido feita invertendo-se a posição dos 
eixos, isto é, fazendo o preço variar no eixo vertical e a demanda no eixo horizontal. Este 
procedimento equivale a representar graficamente o preço como função da demanda. 
Para melhor compreender a curva de demanda linear, vejamos o exemplo a seguir: 
 
Exemplo: Pesquisas de mercado revelam que a demanda mensal de um certo produto de 
limpeza, , em unidades, dependerá de seu preço unitário, , em reais, conforme o gráfico. 
 
a) Determine a função demanda em relação ao preço. 
b) Qual seria a demanda caso o preço de mercado ficasse em 4 reais? 
c) Qual o preço de mercado que assegurará um demanda de 49 000 unidades mensais? 
d) Qual é o preço máximo da demanda? 
e) Que quantidade poderá ser demanda (procurada) se o artigo for oferecido 
gratuitamente? 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVAS DE OFERTA LINEAR 
A curva de oferta está relacionada às indústrias ou empresas que oferecem algum tipo de 
produto ou mercadoria. Assim, em geral, a declividade de uma curva de oferta (de produção) 
é positiva, isto é, à medida que o preço de custo aumenta, a oferta (a produção) aumenta, e à 
medida que o preço custo diminui, a oferta (a produção) diminui. 
 
Chamando de o preço e a quantidade de oferta ou de produção, dizemos que a 
quantidade de oferta está em função do preço, ou seja, . 
 
Em certos casos, a declividade de uma curva de oferta (de produção) pode ser nula. Isto é, a 
oferta (produção) é constante, independentemente do preço. 
34 
 
 
 
Em outros casos, a declividade de uma curva de oferta (de produção) pode ser indefinida. 
 
 
ATENÇÃO: a representação gráfica também poderia ter sido feita invertendo-se a posição dos 
eixos, isto é, fazendo o preço variar no eixo vertical e a oferta variar no eixo horizontal. Este 
procedimento equivale a representar graficamente o preço como função de oferta. 
Para melhor compreender a curva de oferta linear, vejamos o exemplo a seguir: 
 
Exemplo: A oferta ou produção, , em unidades, de uma empresa do ramo de roupas 
femininas, e o preço de custo, , em reais, está relacionada na tabela abaixo. 
PREÇO DE CUSTO R$ 100,00 R$ 150,00 
OFERTA ou PRODUÇÃO 200 400 
 
a) Determine a função oferta, considerando linear. 
b) Faça o esboço do gráfico da função oferta. 
c) Qual será o preço de custo cobrado para uma oferta de 280 unidades? 
d) Calcule a quantidade ofertada para o preço de custo igual a R$ 200,00. 
e) Qual é o preço de custo mínimo de oferta? 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Uma companhia consegue vender 500 artigos de escritório quando o preço é de 800 
reais. Além disso, sabe-se que a cada redução de 50 reais no preço, a companhia 
vende mais 100 artigos. Supondo um comportamento linear, pede-se: 
a) Encontre a função demanda. Resp. 
b) Trace o gráfico da função demanda. 
c) Calcule o preço máximo da demanda. Resp. 1050 reais 
d) Que quantidade poderá ser demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? 
Resp. 2100 artigos 
 
2) Quando o preço é de R$ 80,00, há 10 000 lâmpadas de um certo tipo disponíveis no 
mercado. Para cada R$ 10,00 de aumento no preço, 8 000 lâmpadas a mais estarão 
disponíveis no mercado. Sabendo que a quantidade de lâmpadas está em função do 
preço no mercado: 
a) Encontre a função oferta e trace seu gráfico. Resp. 
b) Calcule o seu preço quando tiver 42 000 lâmpadas no mercado. Resp. 120 reais 
c) Qual é o preço do mercado quando a oferta for mínima? Resp. 67,50 reais 
36 
 
d) Quantas lâmpadas terão no mercado para o preço de R$ 150,00? Resp. 66 000 
lâmpadas 
 
3) Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês se o preço unitário for de 
R$ 5,00. A empresa acredita que reduzindo o preço em 20%, o número de unidades 
vendidas será de 50% maior. Obtenha a função demanda em função do preço, 
admitindo-a como função linear, trace seu gráfico e calcule o preço máximo da 
demanda. Resp. e reais 
 
4) Um produtor oferta 500 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é de 20 
reais. Para cada aumento de 1 real no preço, 60 unidades a mais são ofertadas. 
Supondo linear a equação de oferta, encontre-a e trace um esboço da curva de oferta. 
Calcule o preço mínimo da oferta. Resp. e reais 
 
5) Uma loja vende 20 000 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é de 14 
reais, e a loja determinou que pode vender 2 000 unidades a mais com uma redução 
de 2 reais no preço unitário. Ache a equação demanda, supondo-a linear, e trace a um 
esboço da curva de demanda. Qual é a quantidade máxima da demanda? 
Resp. e unidades 
 
6) Uma fábrica oferta 5 200 componentes eletrônicos pelo preço de 300 reais. Sabendo 
que há procura pelo produto, a fábrica oferta 7 600 componentes eletrônicos pelo 
preço de 420 reais. Sabendo que a oferta está em função do preço e é linear, encontre 
a equação oferta, trace o gráfico e calcule a quantidade de oferta para o preço de 500 
reais. Resp. e componente eletrônicos.13. EQUILÍBRIO DE MERCADO 
 
O equilíbrio de mercado é quando o preço da quantidade demandada (procurada ou preço de 
venda) é igual ao preço da quantidade ofertada (produzida ou preço de custo), ou seja, quando 
a função demanda é igual á função oferta, isto é, . O equilíbrio de mercado 
também é chamado de ponto de equilíbrio. Quando isso ocorre, o preço é chamado de preço 
de equilíbrio e a quantidade procurada e produzida é chamada de quantidade de equilíbrio. 
Assim, graficamente temos: 
37 
 
 
Para melhor compreensão, vejamos o exemplo abaixo: 
Exemplo: Considere a função de demanda e de oferta 
 por certa caixa de bombons, onde é o preço por caixa. Calcule o 
preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio da caixa de bombons. Faça um esboço do 
gráfico do problema. O que acontece com reais? E reais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) A quantidade ofertada de um produto é dada pela função e a 
quantidade demandada deste mesmo produto é dada pela função , 
onde é o preço. Calcule preço e a quantidade de equilíbrio e trace o esboço do 
gráfico do problema. Resp. p = 5 reais e q = 30 reais 
 
38 
 
2) As funções de oferta e demanda de uma mercadoria são definidas respectivamente 
por e . Calcule o preço de equilíbrio, o número 
de unidades correspondentes ao preço de equilíbrio. Resp. p = 4 reais e q = 216 
unidades 
 
 
 
3) Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é 
 . 
a) Qual é o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? Resp. 2 reais 
b) Quando o preço unitário for de 15 reais, qual é a oferta diária? Resp. 25 unidades 
c) Se a função de demanda diária por esses bolos for de , qual será o 
preço e a quantidade para haver nivelamento? Resp. p = 12 reais e q = 10 unidades 
 
 
4) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária 
e demanda diária são, respectivamente, e . 
a) Determine o ponto de equilíbrio. Resp. ( 7 reais , 82 unidades ) 
b) Faça o gráfico do problema. 
c) Para , haverá excesso de oferta ou de demanda? Resp. Excesso de 
demanda 
d) Para , haverá excesso de oferta ou de demanda? Resp. Excesso de 
oferta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
14. FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
A função polinomial de grau é do tipo , onde é a 
variável independente, e são constantes reais. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que uma função polinomial de grau 0 é uma função constante e uma função 
polinomial de grau 1 é uma função linear. 
 
40 
 
15. FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
A função quadrática ou do 2º grau é do tipo , com . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Esta curva é chamada de parábola. 
Quando , a parábola terá concavidade 
voltada para cima. 
Quando , q parábola terá concavidade 
para baixo. 
Os valores e são chamados de raízes ou zeros da função, ou seja, quando a função é 
igualada a zero , encontramos as raízes da função pela fórmula de Báscara: 
 
Os valores e são chamados de vértice da parábola e são calculados pelas fórmulas: 
 e 
O vértice da parábola será ponto mínimo, 
quando a parábola for de concavidade para 
cima. 
O vértice da parábola será ponto máximo 
quando a parábola for de concavidade para 
baixo. 
O coeficiente é chamado de coeficiente linear e ele intercepta o eixo . 
 
41 
 
O estudo da função do 2º grau é muito importante para a Economia, pois esta função está 
relacionado à problemas que envolvem estudos sobre custo mínimo e lucro ou receita máxima 
em uma empresa, e são calculados através do vértice da parábola. Vejamos os exemplos a 
seguir para melhor compreender os valores máximos ou mínimos da função quadrática. 
 
Exemplo 1: O lucro de uma empresa é expresso por , onde é a 
quantidade de produtos vendidos num mês. 
a) Determine a quantidade na qual o lucro é máximo. 
b) Qual é o valor máximo para o lucro? 
c) Ilustre a situação graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: O custo de produção de um produto é dado pela função 
, onde representa a quantidade de produtos 
produzidos. 
a) Calcule a quantidade de produtos que deve ser produzido para que o custo seja 
mínimo. 
b) Determine o valor do custo mínimo em reais. 
c) Ilustre graficamente o problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Exemplo 3: A quantidade de pizzas diárias vendidas está em função do preço . Com 
base nessas informações, escreva a função receita em função do preço e encontre o preço 
que dever ser cobrado para maximizar a receita diária. 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Um fabricante produz objetos por R$ 20,00 cada. Calcula-se que, se cada objeto for 
vendido por reais, os consumidores comprarão unidades por mês. Expresse o lucro 
mensal do fabricante como função do preço e calcule lucro ótimo de venda. 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) O lucro de uma empresa é expresso por , onde é a quantidade 
de produtos vendidos num mês. 
a) Determine a quantidade vendida na qual o lucro é máximo. Resp. 2 unidades 
b) Qual é o valor máximo para o lucro? Resp. 9 reais 
c) Haverá lucro ou prejuízo da empresa se forem vendidos 10 produtos num mês? 
Resp. prejuízo de 55 reais 
d) Faça o gráfico. 
 
2) O custo de uma empresa é expresso por . 
a) Determine a quantidade na qual o custo é mínimo. Resp. 3 unidades 
b) Qual é o valor mínimo para o custo? Resp. 1 real 
c) Faça o gráfico. 
 
43 
 
3) O custo da produção de unidades é e a função receita é 
, determine: 
a) a função lucro. Resp. 
b) o valor que maximize o lucro. Resp. 7 unidades 
c) O lucro máximo. Resp. 29 reais 
 
4) O consumo de energia elétrica para uma residência de veranistas em uma praia no 
decorrer dos meses é dado por . Ao tempo associa-se a 
janeiro, a fevereiro e assim por diante. 
a) Qual o consumo em janeiro? Resp. 210 kwh 
b) Em que mês o consumo é mínimo? Resp. Junho 
c) Qual o consumo mínimo em ? Resp. 185 kwh 
 
5) Os itens abaixo se referem às funções custo e faturamento, em dólares, representado 
no gráfico. 
 
a) Na produção e venda de 30 unidades do produto, qual o custo e o faturamento? 
b) Para que nível de produção o faturamento é de US$ 1 400,00? 
c) Para que nível de produção o custo é de US$ 1 400,00? 
d) Qual o lucro obtido com a produção e venda de 30 unidades do produto? 
 
6) O dono de uma loja adquire um determinado bem por R$ 30,00 e o revende por 
reais. Se ele vende uma quantidade , determine a função lucro em função do 
preço , o preço ótimo e o lucro ótimo. Resp. , 45 reais e 
225 reais 
 
7) Certo produto custa R$ 4,00 e é vendido por reais. Sabendo que serão vendidos 
 produtos, expresse o lucro em função do preço , calcule o preço e o lucro 
ótimos. Resp. , 10 reais e 108 reais 
44 
 
 
16. NOÇÕES DE LIMITES 
 
A ideia de limites será melhor compreendida conforme o exemplo abaixo. 
Exemplo: Com o auxílio de uma calculadora, calcule e complete a tabela a seguir. 
 
 
1 
10 
100 
1 000 
10 000 
100 000 
1 000 000 
 
Podemos escrever a tabela acima através da nomenclatura de limites, isto é: 
 
O limite da função quando tende a 1 é igual a 2. 
 
... 
 
O limite da função quando tende a 1 000 000 é igual a 2,718280469... . 
 
 
 
Assim, chamamos de o limite da função quando tende ao mais infinito , para . 
 
 
45 
 
O número foi escolhido em homenagem ao matemático Leornard Euler (1707-1783), 
sabendo que é um numero irracional. 
A nomenclatura de limites é importante para o uso em derivadas. 
 
17. FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
A função exponencial é do tipo , para e . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando , a função exponencial é dita 
função crescente. 
Quando , a função exponencial é 
dita função decrescente. 
 
ALGUMAS PROPRIEDADES IMPORTANTES DA POTÊNCIA 
46 
 
 
 
 
Um exemplo aplicativo de função exponencial é o sistema de juros compostos. 
Juro é a remuneração em dinheiro sobre um capital aplicadoou emprestado. 
Dizemos que um capital está empregado a juro composto se, ao final de cada período 
financeiro (previamente estabelecido), o juro é somado ao último capital. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
... 
 
ou 
 
 
Onde: 
 é o montante ou o valor do resgate 
 é o capital aplicado 
 é a taxa de juros 
 é o tempo da aplicação 
 
Vejamos um exemplo para ver a tabela e o gráfico de uma aplicação financeira à juros 
compostos. 
47 
 
EXEMPLO 
Considere um capital de R$ 1 000,00 aplicado no sistema de juros composto à taxa de 10% ao 
mês, durante 24 meses. Fazendo a tabela e o gráfico, temos: 
 
MESES MONTANTES 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 1.100,00 
2 R$ 1.210,00 
3 R$ 1.331,00 
4 R$ 1.464,10 
5 R$ 1.610,51 
6 R$ 1.771,56 
7 R$ 1.948,72 
8 R$ 2.143,59 
9 R$ 2.357,95 
10 R$ 2.593,74 
11 R$ 2.853,12 
12 R$ 3.138,43 
13 R$ 3.452,27 
14 R$ 3.797,50 
15 R$ 4.177,25 
16 R$ 4.594,97 
17 R$ 5.054,47 
18 R$ 5.559,92 
19 R$ 6.115,91 
20 R$ 6.727,50 
21 R$ 7.400,25 
22 R$ 8.140,27 
23 R$ 8.954,30 
24 R$ 9.849,73 
 
 
 
Cada montante foi calculado da seguinte maneira: 
 
 
 
 
... 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Calcule o montante de uma capital de 5 000 reais, aplicado à taxa de juros compostos 
de 1% a.m. durante 10 meses. Resp. 5 523,11 reais 
 
2) O valor de R$ 20 000,00 ficou aplicado num Banco durante 1 ano. Sabendo que a 
poupança rendeu em média 0,51% a.m. durante um ano, qual foi o valor do resgate? 
Resp. 21 258,92 reais 
48 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Existem problemas, como, por exemplo, de juros compostos, onde se quer saber por quanto 
tempo um capital de 15 000 reais ficou aplicado na poupança que rendeu 16 705,32 reais de 
resgate, sendo à taxa de juros de 0,6% ao mês. Para resolvermos o problema, equacionamos 
da seguinte maneira: 
 
 
Como resolver a equação acima? 
É chamada de equação exponencial a equação que apresentar a variável no expoente. A 
equação exponencial é do tipo , sendo e . 
 
Exemplos: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
Algumas propriedades são importantes para a resolução de equações exponenciais. São elas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Resolvendo cada equação exponencial dos exemplos dados anteriormente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando uma equação exponencial não possui a mesma base em ambos os membros, 
necessitamos aplicar o logaritmo (log) ou o logaritmo natural (ln) na equação. 
MAS O QUE É LOGARITMO? 
LOGARITMO DE UM NÚMERO é o expoente de desse número em uma determinada base, isto 
é, o logaritmo de na base é achar o expoente da base , ou seja: 
 
 
Exemplos: 
a) Calcule o 
 
 
b) Calcule o 
 
 
50 
 
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM LOGARITMO 
O logaritmo existe se, e somente se, e , 
onde: 
 
LOGARITMO DECIMAL 
LOGARITMO DECIMAL é todo logaritmo na base 10. Por exemplo, o pode ser escrito 
apenas . Quando não estiver escrita a base subentende-se que a base é 10. 
A maioria das calculadoras científicas trabalha com logaritmos na base 10. Assim podemos 
saber, através da calculadora, alguns logaritmos decimais com duas casas decimais. 
Por exemplo: 
 
 
... 
LOGARITMO NATURAL 
LOGARITMO NATURAL é todo logaritmo na base , isto é, , e é representado por . 
Nas calculadoras científicas podemos calcular os seguintes logaritmos naturais com duas casas 
decimais: 
 
 
... 
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS NATURAIS 
Logaritmo de um produto 
Logaritmo de um quociente 
 
Logaritmo de uma potência 
Logaritmo Natural de 
Logaritmo Natural de 1 
51 
 
 
Importante saber que e . 
Sendo conhecidas as propriedades dos logaritmos naturais, podemos resolver as duas 
equações e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
A função logarítmica é do tipo , com e . 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Quando , a função logarítmica é 
crescente. 
Quando , a função logarítmica é 
decrescente. 
 
 
18. APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E 
LOGARÍTMICAS 
Agora estaremos estudando as aplicações das funções exponenciais e logarítmicas, com suas 
propriedades, em problemas reais do nosso cotidiano. 
Algumas funções exponenciais são do tipo: 
 ou 
Onde: 
 é o valor final 
 é o valor inicial 
 é a taxa de crescimento 
 é o período 
VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS. 
 
Exemplo 1: Uma peixaria estoca em um laguinho trutas novas. O número de trutas originais 
que permanecem vivas depois de anos é dado por . 
a) Quantas trutas existiam originalmente no lago? 
b) Quantas trutas restavam após um ano? 
c) Quanto por cento representa a quantidade de trutas após 1 ano em relação a 
quantidade original? 
d) Quanto tempo se passará para ter 367 trutas no lago? 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Exemplo 2: Um laboratório ao lançar um novo produto de beleza estabelece uma função que 
dá a quantidade de pedidos do produto no mercado em função da quantidade de caixas 
com certa quantidade de amostras, que foram distribuídas entre donas de casa. A função 
estabelecida foi . 
a) Qual o número de pedidos do produto antes da distribuição das caixas com as 
amostras? 
b) Qual o número de pedidos do produto depois de 10 caixas distribuídas? 
c) Quantas caixas de amostras devem ser distribuídas para que a quantidade de pedidos 
seja 500? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Suponha que 20 000 sejam aplicados a uma taxa de juros anual de 6%. Calcule o 
saldo após 5 anos, se o juros forem capitalizados: 
a) Anualmente. 
b) Mensalmente. 
c) Diariamente. 
Use a fórmula para capitalizações nominais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
ATIVIDADES 
 
1) Um equipamento eletrônico sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor 
daqui anos será de reais. 
a) Qual o valor atual do equipamento? Resp. 5 200 reais 
b) Qual o seu valor após 4 anos de uso? Resp. 2 531,11 reais 
c) Após quanto tempo o seu valor será de 2 000 reais? Resp. 5 anos e 4 meses 
 
2) A população de um certo país em 2000 (ano zero – início da presente observação) era 
de, aproximadamente 150 milhões de habitantes. Sabendo-se que a taxa de 
crescimento populacional neste país é, em média 1,8% ao ano, a expressão do cálculo 
é , onde é o tempo em anos. Com base nestes dados, determine: 
a) Qual a estimativa de habitantes para 2008? Resp. 173,011 milhões 
b) Como fica a expressão para calcular o número de habitantes se a taxa de 
crescimento fosse de 2,1% ao ano? 
c) Em relação ao item b, em que ano a população desse país estará com 192,5 
milhões de habitantes? Resp. 2012 
 
3) O número de empresas de uma indústria é dado pela função , 
onde é o número de anos desde que a indústria começou. 
a) Quantas empresas existiam no começo? Resp. 3 empresas 
b) Quantas empresas existiam depois de 5 anos? Resp. 5 empresas 
 
 
 
4) Uma máquina é depreciada de tal forma que, após anos, seu valor é dado pela 
função . Após 20 anos, a máquina vale 8 986,58 reais. Calcule seu 
preço inicial. Resp. 20 000 reais 
55 
 
 
5) Uma pessoa investiu 5 000 reais à uma taxa de juros de 12,8% ao ano. Calcular o saldo 
após 2 anos, sabendo que os juros foram capitalizados: 
a) Anualmente. Resp. 6 361,92 reais 
b) Mensalmente. Resp. 6450,01 reais 
c) Diariamente. Resp. 6458,47 reais 
 
6) Daqui anos o valor da máquina será de milhares de reais. Daqui 
quanto tempo seu valor se reduzirá à metade? Resp. 3,11 anos 
 
7) Quanto se deve investir agora, de modo que sejam resgatados 20 000 reais daqui 5 
anos, sabendo que a taxa de juro composto cobrado é de 8% ao ano? Resp. 13 611,66 
reais 
 
 
8) Os custos de produção (em milhares de reais) de uma companhia são descritos pela 
equação , onde é o número de unidades de produção. 
a) Quais são os custos fixos da companhia, ou seja, quando ? Resp. 30 000 reais 
b) Quais são os custos de produção para 100 unidades produzidas? Resp. 90,5 mil 
reais 
c) Se forem gastos 86 mil reais nos custos de produção,quantas unidades deverão 
ser produzidas? Resp. 80 unidades 
 
9) Quando uma máquina tem anos de utilização, seu valor, em reais, de revenda é 
calculado pela fórmula . Determine: 
a) O preço da máquina nova. Resp. 5 200 reais 
b) O valor da máquina após 10 anos de uso. Resp. 1049,61 reais 
c) Por quanto tempo pode-se ficar com a máquina se deseja vendê-la por 1370 reais? 
Resp. 8 anos 
 
10) O crescimento da população mundial obedece à equação em que é o 
tempo em anos e é o número de habitantes. Em 1950, éramos 2,6 bilhões e, em 
1975, 3,9 bilhões de habitantes. A população da Terra no ano de 2012 será de quantos 
bilhões de habitantes? Resp. 7,1 bilhões de habitantes 
 
 
56 
 
19. DERIVADAS 
 
Suponha uma curva sendo uma função em um gráfico. Sabendo que uma função é 
formada por infinitos pontos, é possível obtermos a fórmula que fornece a inclinação da curva 
 em cada ponto. Esta fórmula para a inclinação é chamada de derivada de e é 
denotada por , sendo também lida como “f linha de x”. 
 
Por exemplo: Considere a função . A derivada da função é . 
 Graficamente, temos: 
 
A inclinação ou a derivada é encontrada pela aplicação do limite na função , ou seja, 
. 
 
Assim, para , temos a derivada: 
 
 
57 
 
Portanto, a derivada de uma função é a sua taxa de variação, isto é, . 
Para não recorrermos ao conceito de limites para a aplicação de derivadas nas funções, 
descrevemos algumas regras de derivação, conforme a tabela abaixo. 
 
Importante saber que as notações de derivadas de uma função podem ser: 
 
 
 
FUNÇÃO DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Vejamos algumas funções e suas respectivas derivadas: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
 
h) 
 
 
i) 
 
 
j) 
 
k) 
 
 
 
 
l) 
 
m) 
 
 
 
59 
 
Em Economia, as derivadas são frequentemente descritas pelo adjetivo “marginal”. Por 
exemplo, se é uma função custo (o custo para se produzir unidades de um bem), então 
da derivada é chamada de função custo marginal. Se é uma função receita, então a 
derivada é chamada de função receita marginal. Se é uma função lucro, então a 
derivada é chamada de função lucro marginal. Vermos todos esses conceitos em Análise 
Marginal. 
20. ANÁLISE MARGINAL 
 
Em Economia, a análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades 
econômicas. Assim, temos custo marginal, receita marginal e lucro marginal. Considere, por 
exemplo, uma operação de venda em que as quantidades a serem medidas são o número de 
itens vendidos, o custo de sua produção , a receita obtida com a venda e o lucro 
 resultante. Então as derivadas , e são chamadas, respectivamente, de 
custo marginal, receita marginal e lucro marginal. Em muitos casos, é um número grande e 
assim 1 é pequeno comparado a . Então, é aproximadamente , 
servindo analogamente para e . 
 
 
Vejamos o exemplo a seguir pra melhor compreensão. 
 
Seja reais o custo total de fabricação de brinquedos. 
a) Obtenha a função custo marginal. 
b) Use a análise marginal para estimar o custo para fabricar a 51º brinquedo. 
c) Calcule o custo real para fabricar a 51º brinquedo (calcule o custo extra se o nível de 
fabricação aumentar de 50 para 51 brinquedos). 
 
60 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Suponha que o custo total de produção de unidades é reais. 
a) Obtenha a função custo marginal. 
b) Use a análise marginal para estimar o custo para produzir a 41ª unidade. Resp. 241 
reais 
c) Calcule o custo real para produzir a 41ª unidade. Resp. 244 reais 
 
 
 
 
2) O custo de certo produto é reais, para 
unidades fabricadas. 
a) Obtenha a função custo marginal. 
b) Use a análise marginal para estimar o custo de fabricação da 5ª unidade. Resp. 
512,50 reais 
c) Calcule o custo real da 5ª unidade. Resp. 510,60 reais 
 
 
 
 
3) Em uma empresa de confecção têxtil, o custo, em reais, para produzir calças é dado 
por reais. 
a) Obtenha a função custo marginal. 
b) Obtenha o custo marginal aos níveis , e , explicando os 
seus resultados. Resp. 22 50 reais, 15 reais e 45 reais 
c) Calcule o valor real para produzir a 201ª calça e compare o resultado com o obtido 
no item anterior. Resp. 45,30 reais 
61 
 
 
 
 
 
4) A receita total mensal de um produtor é de reais, quando 
unidades são produzidas e vendidas durante um mês. Atualmente, ele produz 80 
unidades por mês e está planejando aumentar a produção mensal de uma unidade. 
a) Encontre a função receita marginal. 
b) Use a receita marginal para estimar a receita adicional que será gerada pela 
produção e venda da 81ª unidade. Resp. 248 reais 
c) Use a função receita para calcular a receita adicional real que será gerada pela 
produção e venda da 81ª unidade. Resp. 248,05 reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Se o custo de produção de unidades de um artigo é definida pela função custo 
 e é a função receita desse artigo, 
em reais. Determine: 
a) A função lucro. 
b) A função lucro marginal. 
c) O lucro real da 2001ª (lê-se 2001-enésima unidade). Resp. 219,98 reais. 
d) O lucro marginal da 2001ª unidade. Resp. 220 reais 
 
 
 
 
62 
 
 
21. TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL 
 
Em muitas situações práticas, a taxa de variação de uma quantidade não é tão significativa 
quanto à taxa de variação percentual. A TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL compara a taxa de 
variação de uma quantidade com o tamanho daquela quantidade, isto é: 
 
 
 
Ou seja: 
 
Se , a taxa de variação percentual de em relação a é dada pela fórmula: 
 
 
 
Por exemplo: 
O Produto Interno Bruto (PIB) de certo país é de bilhões de dólares, 
anos após 2000. 
a) A que taxa o PIB estava variando em relação ao tempo em 2008? 
b) A que taxa percentual o PIB estava variando em relação ao tempo de 2008? 
c) A que taxa real o PIB estava variando em relação ao tempo de 2008? 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
ATIVIDADES 
 
1) Estima-se que daqui a meses, a população de certa cidade será de 
 habitantes. 
a) Qual será a taxa de variação da população daqui 8 meses? Resp. 26 mil hab/mês 
b) Qual será a taxa percentual da população daqui 8 meses? Resp. 0,256% a.m. 
c) Qual será a variação real da população durante o 9º mês? Resp. 27 mil hab/mês 
 
 
 
 
2) O lucro anual de uma empresa é milhões de reais, onde 
representa o número de anos transcorridos desde a fundação da empresa em 1980. 
a) Qual foi a taxa de crescimento do lucro bruto em relação ao tempo em 1980? 
Resp. 10 milhões de reais/ano 
b) Qual foi a taxa percentual do lucro bruto em relação ao tempo de 1984? Resp. 
17,53% a.a. 
 
 
 
 
3) Estima-se que, anos a partir de agora, a circulação de um jornal local será dada por 
. 
a) Deduza uma expressão para taxa na qual a circulação estará variando em relação 
ao tempo anos a partir de agora. 
b) A que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de 
agora? A circulação estará aumentando ou diminuindo neste tempo? Resp. 1 400 
jornais/ano 
c) De quanto a circulação realmente variará durante o 6º anos? Resp. 1 500 jornais 
 
 
 
 
 
64 
 
 
4) Um estudo sobre a eficiência de produção do turno da manhã em uma fábrica indica 
que um operário, chegando ao trabalho às 8 horas, montará 
rádios, horas depois. 
a) Deduzir a expressão da taxa de montagem de rádios diários pelo operário. 
b) A que taxa o operário estará montando rádios às 9 horas? Resp. 24 rádios/hora 
c) Quantos rádios serão montados pelo operário entre 9 e 10 horas? Resp. 26 rádios 
 
 
 
 
 
 
5) Estima-se que, anos a partir de agora, a população de certa comunidade urbana será 
de mil habitantes. 
a) Deduza a fórmula para a taxa na qual a população está variando em relação ao 
tempo anos a partir de agora. 
b) A que taxa a população estará crescendo 1 ano a partir de agora? Resp. 1 500 por 
ano 
c) De quanto a população realmente aumentará duranteo 2º ano? Resp. 1 000 
d) A que taxa a população estará crescendo daqui 9 anos? Resp. 60 por ano 
e) O que acontecerá com a taxa de crescimento populacional em longo prazo? Resp. 
a taxa de crescimento populacional aproxima-se de zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65