Modelo de Cournot

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Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
TEORIA DOS JOGOS
Aula 05: Modelo de Cournot
Fonte
Fianni (2017)
Paulo C. Coimbra (FUCAPE, 2017)
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
Modelos de Oligopólio
•Existem três modelos de oligopólio dominantes
– Cournot
– Bertrand
– Stackelberg–líder-seguidor
Estes modelos de diferenciam pela variável de decisão 
que a firma escolhe e pelo tempo de decisão do jogo
•Todas possuem o conceito de equilíbrio de Nash
Modelos de oligopólio dominantes 
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Modelos de Oligopólio
Modelos de oligopólio dominantes 
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Modelos de Oligopólio
Modelos de oligopólio dominantes 
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• É como se elas se encontrassem no mercado, 
deixassem as quantidades, e o preço se ajustar 
pela demanda;
• Não parece muito razoável para a maioria dos 
mercados.
As firmas escolhem quantidade
O modelo de Cournot
Concorrência via quantidade
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Modelos de Oligopólio
Modelo Cournot
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As firmas fazem produtos idênticos (Cournot supôs 
água potável) 
•A demanda por este produto é
P = a - bQ Q = q1+q2
P = a - b(q1+ q2)
Onde, 
q1 é o produto da firma 1 e 
q2 é o produto da firma 2
O modelo de Cournot
Duolopólio
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•O custo marginal unitário de cada firma é constante
e igual a [ c ]
• Para descrever a demanda pelo produto de uma firma 
nós assumimos o produto da outra firma como 
constante
•Portanto para a firma 2, a demanda será
P = (a - bq
1
) - bq
2
O modelo de Cournot
Duolopólio
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RECEITA TOTAL
A receita total é dada pela expressão
Produção vendida x preço
Portanto RT
1
= p
1
x q
1 (para o produto 1)
Como P
1
= (a - bq
1
) - bq
2
RT1 = ((a - bq1) - bq2) x q1
RT1= aq1 -bq1
2
– bq1q2 analogamente,
RT
2
= aq
2
-bq
2
2
– bq
2
q
1
O modelo de Cournot
Duolopólio
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O modelo de Cournot
Duolopólio
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O modelo de Cournot
CONDIÇÃO DE OTIMIZAÇÃO Rmg = CMg
P = (a - bq1) - bq2
A receita marginal para a firma 2 é (a partir da
RT
2
= ( aq
2
-bq
2
2
– bq
2
q
1 
)
∴ RM
2
= (a – bq
1
) – 2bq
2
mas RM
2
= CMg (condição de otimização)
a – bq
1
– 2bq
2
= Cmg ∴ q*
2
= (a - Cmg) / 2b - q
1
/2
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O modelo de Cournot
FUNÇÃO DE MELHOR RESPOSTA
q*
2
= (a - Cmg) / 2b - q
1
/2
Esta é a função de melhor resposta para a firma 2
Isto nos dá a escolha de produto da firma 2 para qualquer nível 
de produto escolhido pela firma 1
Esta também é uma função melhor-resposta da firma 1
Exatamente pelo mesmo argumento ela pode ser escrita como
q*
1
= (a - Cmg) / 2b – q
2
/2
O equilíbrio 
Cournot-Nash requer que ambas as firmas usem suas funções de 
melhor-resposta.
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O modelo de Cournot
q*
2
= (a - Cmg) / 2b - q
e
1
/2 e q*
1
= (a - Cmg) / 2b – q
e
2
/2
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O modelo de Cournot
FUNÇÃO REAÇÃO DAS EMPRESAS 1 E 2
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Equilíbrio de Nash
Graficamente
b
ca
q
mon
2


b
ca
q
cp 
q1
b
ca
q
mon
2


q1(q2)
b
ca
q
cp 
q2(q1)
q2
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Equilíbrio de Nash
Graficamente
b
ca
q
mon
2


b
ca
q
mon
2


b
ca
q
cp 
q1
q1(q2)
b
ca
q
cp 
q2(q1)
b
ca
qcournot
3


q2
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Equilíbrio de Nash
22
22
*
1*
2
*
2*
1
q
b
ca
q
q
b
ca
q





  
b
ca
Q
b
ca
qq
3
2
3
**
1
*
1




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Equilíbrio de Cournot-Nash
• Algebricamente, o equilíbrio é um par de 
quantidades (q*1, q*2) tal que as duas condições de 
1ª ordem são satisfeitas. 
• Resolvendo a equação, teremos:
22
22
*
1*
2
*
2*
1
q
b
ca
q
q
b
ca
q





  
b
ca
Q
b
ca
qq
3
2
3
**
1
*
1




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22
22
*
1*
2
*
2*
1
q
b
ca
q
q
b
ca
q






q*
1
= (a - c
1
) /2b - q*
2 
/2
q*
2
= (a - c
2
) /2b - q*
1
/2 
(substituindo q*
1
na equação acima)
∴ q*
2 
= (A - c
2
) /2b - (a -c
1
) /4b + q*
2 
/4 
∴ 3q*
2 
/4 = (a - 2c
2 
+ c
1
) /4b 
∴ q*
2 
= (a - 2c
2 
+ c
1
) /3b 
∴ q*
1 
= (a - 2c
1 
+ c
2
) /3b
(quando c
1
e c
2
são iguais, teremos)
∴ q*
2 
= (a - c ) /3b e ∴ q*
1 
= (a - c ) /3b
Q = q
1
+ q
2
∴ Q* = 2 (a - c ) /3b
Resolução da equação
Equilíbrio de Cournot-Nash
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto ?
Ótimo de Pareto é um conceito desenvolvido pelo italiano 
Vilfredo Pareto, que define um estado de alocação de recursos 
em que torna-se impossível realocá-los de tal forma que a 
situação de qualquer participante possa ser melhorada, sem 
piorar a situação individual de outro participante
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto ?
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto ?
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto ?
C
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto ?
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O modelo de Cournot
Cournot-Nash e Ótimo de Pareto ?
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Propriedades do equilíbrio
cpcournotmon QQQ 
b
ca
2
  
 bN
caN
1

b
ca 
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Propriedades do equilíbrio
cpcournotmon  
 
b
ca
4
2
  
 2
2
1

Nb
ca
0
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Propriedades do equilíbrio
cpcournotmon PPP 
2
ca   
 1

N
Nca c
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Considere duas empresas 1 e 2. Calcule o 
equilíbrio de Cournot (quantidade, preço e lucro) 
para estas empresas em um mercado em que a 
função demanda é dada por 
p = 195 - 0,7(q1 + q2).
As funções custo das empresas 1 e 2 são, 
respectivamente,
C1 = 6q1 e
C2 = 6q2,
onde q1 é a quantidade produzida pela empresa 1 
e q2 a quantidade produzida pela empresa 2.
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SOLUÇÃO
Passo 1 - achar Preço de venda
1) aplicando o ponto de otimização 
q* = (A - c) / 3b em 
P = A – b (q1 + q2)
q* = (A - c) / 3b
q = (195 - 6) / (3 x 0,7) = 90
teremos: 
p = 195 - 0,7 (q1 + q2)
p = 195 - 0,7( 90 + 90)
p = 195 - 126 = $69,00
daí:
p = $69,00 <<<< logo: q= 90 <<<<<<
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Passo 2 - achar Receita Total
2) RT = p x q*
RT = $69 x 90 = $6.210
Ultimo passo - calcula Lucro
3) Lucro = Receita total - Custo Total
Custo Total no enunciado = 2q1 daí 
Custo Total = $6 x 90 = $540
Lucro = (RT-CT) = (6.210 - 2q1) 
Lucro = (6.210 - 540) = $ 5.670 <<<<
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Firmas competem pela quantidade. Cada empresa considera o nível de produção da 
empresa concorrente como fixa. A Função Demanda dada é: F(P) = 195 - 0.7 ( q1 + q2 )
Sendo duopólio, temos Q = q1 + q2. Temos também os custos marginais das duas empresas, 
iguais. Custo Marginal da Empresa1 igual a $6 e Custo Marginal da Empresa2 igual a $6
Custo Fixo das Empresas igual a 0. Para calcularmos as quantidades q1 e q2, partimos da 
função derecompensa de cada empresa (p x q). Tomamos a derivada de cada uma destas 
funções e igualamos a zero. Após a simplificação, teremos:
q1= (a - 2C1- c2 ) / 3b e q2= (a - 2C2- c1 ) / 3b 
Encontramos para q1 o valor de [90] e para q2 o valor de [90], 
Como passo seguinte, podemos deduzir o preço, através da função de demanda F(P) = 195 -
0.7 ( q1 + q2 ). Desta forma, o preço será igual a $69
Podemos agora calcular a função lucro (Receita menos o Custo) de cada firma, partindo 
inicialmente das receitas das empresas. Receita da Empresa1 será igual a (p x q1) = 6210 e a 
receita da Empresa2 será igual a (p x q2) = 6210. Finalizando, poderemos deduzir o lucro de 
cada empresa, retirando das receitas, os custos de cada empresa (custos variáveis x 
quantidade e , quando presente, o custo fixo) Lucro da Empresa1 será igual a $5670 e o 
resultado da Empresa2, igual a $5670 (fonte: Modelador-Alfa Prof Isnard Martins)
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Saiba mais
Teoria dos jogos
• Livro texto: FIANI, Ronaldo. Teoria dos 
jogos. Rio de Janeiro: Campus, s/d.
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
Oligopólio com várias empresas;
Convergência do equilíbrio de 
oligopólio.
AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO.