Matemática aplicada EAD II

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Prof. Luiz Felix
UNIDADE II
Matemática Aplicada
 É toda equação que pode ser reduzida à forma ax + b = 0, onde a e b são números 
reais com a ≠ 0.
Para a ≠ 0 e b ≠ 0 o conjunto-verdade ou conjunto-solução da equação é:
 V = {– b/a} ou S = {– b/a}
Equações do 1º grau 
 Exemplo: resolva a equação x + 5 = 10
Resolução 1: Resolução 2: 
x + 5 = 10 x + 5 = 10
x = 10 – 5 x + 5 – 10 = 0
x = 5 V = {5} x – 5 = 0 
Vamos lembrar que ax + b = 0 
Nossa equação é x – 5 = 0, 
onde a = 1 e b = – 5 
Sabemos que V = S = {– b/a} 
Então, – b/a = – (– 5) / 1 = 5 / 1 = 5
V = {5}
Equações do 1º grau 
 Exemplo: resolva a equação 4x – 2 = 6x + 8
4x – 2 = 6x + 8
4x – 6x = 8 + 2
– 2x = 10
x = 10 = – 5
– 2
V = {– 5}
Equações do 1º grau 
 É toda equação que pode ser reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, 
 onde a, b e c são números reais com a ≠ 0. 
 As equações do 2º grau completas são do tipo ax2 + bx + c = 0 com a, b e c 
diferentes de zero. 
 Exemplo:
 3x2 – 4x + 1= 0 a = 3 b = – 4 c = 1 (equação completa)
Equações do 2º grau 
 As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. São chamadas 
de incompletas se um dos coeficientes (b ou c) for nulo.
 Caso 1: b = 0
 x2 – 9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒ x = ± 3
 Caso 2: c = 0
 x2 – 9x = 0 
 Basta fatorar o fator comum x  x(x – 9)=0 ⇒ x = 0 ou x = 9
 Caso 3: b = c = 0
 2x2 = 0 ⇒ x = 0
Equações do 2º grau 
Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas 
pela fórmula de Bhaskara:
x = – b ±  b2 – 4ac ou x = – b ±  Δ Δ = b2 – 4ac 
2a 2a
Equações do 2º grau 
y
xx1 x2
α > 0
Δ > 0
 Resolver 3x2 – 7x + 2 = 0 Temos: a = 3, b = – 7 e c = 2
x = – b ±  b2 – 4ac
2a 
x = – (– 7) ±  (-7)2 – 4.3.2
2.3 
x = 7 ±  25 = 7 ± 5 Observe que Δ > 0 
6 6 7 + 5 = 12 = 2 
6 6
7 – 5 = 2 = 1
6 6 3 
Logo, V = { 1, 2 }
3
Equações do 2º grau 
Fonte: http://www.youmath.it/lezioni/algebra-
elementare/disequazioni/174-disequazioni-di-
secondo-grado-quadratiche.html
y
x
x1 = x2
α < 0
Δ < 0
 Resolver – x2 + 4x – 4 = 0 Temos: a = – 1, b = 4 e c = – 4
Δ = b2 – 4ac = 42 – (4) . (–1) . (– 4) = 16 – 16 = 0 
x = – b ±  Δ
2a 
x = – 4 ± 0 = – 4 = 2 V = {2}
2. (–1) – 2
 Observe que Δ = 0,
temos uma equação do 
2º grau com duas raízes 
reais e iguais.
Equações do 2º grau 
Fonte: http://www.youmath.it/lezioni/algebra-
elementare/disequazioni/174-disequazioni-di-
secondo-grado-quadratiche.html
y
x
α > 0
Δ < 0
 Resolver 5x2 – 6x + 5 = 0 Temos: a = 5, b = – 6 e c = 5
Δ = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 . 5 . 5 = 36 – 100 = – 64
x = – b ±  Δ
2a
 Note que Δ < 0 e que não existe raiz quadrada 
de um número negativo. 
 Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: V = ∅ (conjunto vazio).
Equações do 2º grau 
Fonte: http://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/disequazioni/174-
disequazioni-di-secondo-grado-quadratiche.html
 a > 0, concavidade voltada para cima.
 a < 0, concavidade voltada para baixo. 
Lembre-se: a é o coeficiente do x2: 
ax2 + bx + c
Gráfico da função
Fonte: 
http://educacao.glob
o.com/matematica/as
sunto/funcoes/funcao
-de-2-grau.html
 Ache as raízes da equação x2 – x – 20 = 0
a) V = { 1, 2 }
b) V = {– 4, 5}
c) V = {– 5, 4 }
d) V = {– 2, 1}
e) V = ∅
Interatividade
 Em matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares ordenados. 
Temos abaixo um exemplo de relação entre pares ordenados:
 {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}
 As funções são um tipo especial da relação.
Relações e Funções
Uma relação f: A → B é chamada de função se:
I. Não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem “sobrar” 
elementos de A).
II. Qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver 
elemento de A “associado” a mais de um elemento de B).
Funções
 Verifique se a relação f: A → B é uma função.
A B
 Sim, é uma função. Cumpre as duas condições. Não 
“sobram” elementos de A e não há elemento de A 
“associado” a mais de um elemento de B.
Funções
-2
-1
0
1
3 2
4
5
7
 Função sobrejetora: é aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.
Exemplo:
 Função injetora: é aquela na qual os elementos distintos do seu domínio possuem 
imagens distintas.
Exemplo:
Tipos de funções
 Função bijetora: é aquela que, ao mesmo tempo, é injetora e sobrejetora.
Exemplo:
Tipos de funções
 A função y = f(x) é par quando qualquer que seja x  D(f), f(–x) = f(x).
 Os gráficos das funções pares são curvas simétricas em relação ao eixo y.
 Exemplo: y = x2 – 1 é uma função par, pois f(–x) = f(x)
f(–1) = (–1)2 – 1 = 1 – 1 = 0
f(1) = 12 – 1 = 1 – 1 = 0 Então f(1) = 0; f(–1) = 0 
f(–2) = (–2)2 –1 = 4 – 1 = 3
f(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 Então f(2) = 3 e f(–2) = 3
Função par
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm
 A função y = f(x) é impar quando qualquer que seja x  D(f), f(–x) = – f(x).
 Os gráficos das funções pares são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0).
 Exemplo: y = 2x é uma função impar, pois f(–x) = – f(x)
 f(–2) = 2 * (–2) = – 4
f(2) = 2 * 2 = 4 Então f(–2) = – 4; f(2) = 4.
Função ímpar
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm
 É toda função f(x) = k, onde k é uma constante real. 
 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x. 
 Exemplo: f(x) = 5
f(-2) = 5
f(-1) = 5
f(1) = 5 
f(2) = 5
Função constante
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm
 Sendo A e B conjuntos de números reais e a ≠ 0, dizemos que uma função 
f: A → B, com f (x) = a . x é uma função linear.
 Exemplo: f(x) = 7x f(x) = – 3x 
a = 7 (a > 0) a = – 3 (a <0)
Função linear
Fonte: 
http://grupo2itec5.w
eebly.com/funccedil
atildeo-linear.html
a > 0 a < 0
 Uma função é chamada de função 1º grau ou função afim se sua sentença for 
dada por y = a . x + b, sendo a e b constantes reais com a ≠ 0
 Exemplo: y = 2x + 4
 Neste exemplo, a = 2 e b = 4
 a > 0 → função crescente 
 Exemplo: y = – 5x + 2
 Neste exemplo, a = – 5 e b = 2
 a < 0 → função decrescente
Função do 1º grau (ou função afim)
Fonte: https://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-constante-1-e-2-grau.html
y
x-b/a
b y = ax+b
a>0
y = ax+b
a<0b
y
x-b/a
O gráfico a seguir representa qual tipo de função?
a) Função constante.
b) Função do 1º grau.
c) Função do 2º grau com a < 0 e Δ < 0.
d) Função do 2º grau com a < 0 e Δ > 0.
e) Função do 2º grau com a > 0 e Δ > 0.
Interatividade
Fonte: https://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-constante-1-e-2-grau.html
y
x
c
yv
V
x1-b/2ax2
 A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que 
os consumidores pretendem adquirir.
 Chama-se função de demanda a relação entre p (preço) e x (quantidade 
demandada), indicada por p = f(x)
Qd = – a . P + b, em que:
 Qd é a quantidade de demanda e P é o preço do bem.
 Essa função do 1º grau é decrescente, pois a < 0.
Função demanda de mercado
 A oferta de um bem é a quantidade de produtos que os vendedores desejam 
e podem produzir para vender em diversos níveis de preço.
 Chamamos de função de oferta a relação entre o preço do bem (p) e a quantidade 
ofertada (x) e a indicamos por p = g(x).
 Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, a>0, 
pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada.
Função oferta de mercado
 É o ponto de interseção entre as curvas de demanda e oferta.
 Ocorre quando a demanda é igual à oferta: D(p) = S(p)
 Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais 
que: D(p) = 34– 5p e S(p) = – 8 + 2p. 
Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?
34 – 5p = – 8 + 2p
34 + 8 = 2p + 5p
42 = 7p
42 = p
7
p = 6 
Preço e quantidade de equilíbrio
Seja x a quantidade vendida de um produto, chamamos de função receita a 
multiplicação do preço de venda (P) pela quantidade vendida (x) e indicamos por R:
R(x) = P.x
Receita total
 Seja x a quantidade produzida de um produto, o custo total de produção depende 
de x e à relação entre eles chamamos de função custo total e a indicamos por C.
 Custos fixos (CF): aqueles que não dependem da quantidade produzida, tais como 
aluguel, seguros e outros. 
 Custos variáveis (CV): a parcela do custo que depende da quantidade 
produzida (x). 
 C(x) = CF + CV
 Para x variando dentro de certos valores normalmente não 
muito grandes, o custo variável é, geralmente, igual a uma 
constante multiplicada pela quantidade x.
Custo total
 O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x)
Exemplo: determine o ponto crítico, com:
Função receita: R(x) = 30.x 
Função custo: C(x) = 500 + 5.x
 Sendo R(x) = C(x), temos: 30x = 500 + 5x
30x – 5x = 500
25x = 500
x = 500/25
x = 20
Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento
 É definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. 
L(x) = R(x) – C(x)
Exemplo: determine a função lucro, com:
Função receita: R(x) = 30.x 
Função custo: C(x) = 500 + 5.x
Sendo L(x) = R(x) – C(x), temos: L(x) = 30x – (500 + 5x)
L(x) = 30x – 500 – 5x
L(x) = 25x – 500
Função lucro
Para a produção de um certo produto, a função custo é dada por C(x) = 100 + 10x. 
Sabendo que cada produto custa R$ 60,00, quantos produtos devem ser vendidos 
para que o lucro seja de R$ 700,00?
a) 5
b) 10
c) 16
d) 20
e) 23
Interatividade
 É um método que consiste em encontrar 
uma curva que se ajuste a uma série de 
pontos e que, possivelmente, cumpra 
uma série de parâmetros adicionais.
 Observamos que no gráfico não 
passa uma reta por todos os pontos.
Qual é a curva que se adapta para o conjunto de pontos, 
isto é, qual a função que melhor se ajusta para 
os pontos (x,y)?
Ajuste de curvas
Fonte: 
https://simple.wikipedia.org/wi
ki/Linear_regression
y = A.x + B
A = ∑x.y – n.x.y e B = y – Ax
∑x2 – n(x)2
n = número de pontos observados
∑x = soma dos valores de x
∑y = soma dos valores de y
∑x.y = soma dos produtos entre x e y
∑x2 = soma dos quadrados dos valores de x
x = ∑ x e y = ∑ y (médias de x e y)
n n
Regressão linear – equação da reta
Exemplo: uma empresa produz uma determinada quantidade de produtos (x) e tem 
seu custo (y) de acordo com a tabela abaixo. Qual a curva que se adapta melhor ao 
conjunto de pontos e qual a previsão de custo para 10 unidades do produto?
Regressão linear
x y
1 95
2 139
3 205
4 251
y = A.x + B
A = ∑x.y – n.x.y e B = y – Ax
∑x2 – n(x)2
Sendo ∑x = 10 e ∑y = 690, temos: x = 10 = 2,5 y = 690 = 172,5
4 4 
A = 1992 – 4.(2,5).172,5 = 1992 – 1725 = 53,4 
30 – 4.(2,5)2 30 – 25
B = 172,5 – 53,4 . 2,5 = 172,5 – 133,5 = 39 
y = 53,4.x + 39
Para 10 unidades, o custo será: y = 53,4 . 10 + 39 = 573
Regressão linear – equação da reta
x y x.y X2
1 95 95 1
2 139 278 4
3 205 615 9
4 251 1004 16
∑=10 ∑=690 ∑=1992 ∑=30
 Estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.
 Juro (J) é a remuneração gerada por um capital aplicado ou emprestado.
 Taxa de juros (i) é a forma de se estipular o valor percentual a ser pago pelo uso 
do capital emprestado durante um tempo determinado.
20% a.m. = 20 = 0,20 (forma unitária) 
100
3% a.a. = 3 = 0,03 (forma unitária) 
100
Matemática financeira
 Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre 
o capital inicial; não incide sobre os juros acumulados. 
 Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal 
acrescido dos juros acumulados até o período anterior. O montante de capital e 
juros se comporta como uma progressão geométrica.
 O prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar 
expressos, necessariamente, na mesma unidade 
de tempo.
Capitalização
J = C.i.n , em que:
J = juros C = principal (capital)
i = taxa de juros n = número de períodos
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante (M):
M = C + J 
M = C (1 + i.n)
Para juros simples, podemos observar que:
36% a.a. equivale a 3% ao mês (36/12 = 3) 
24% a.a. equivale a 4% ao bimestre (24/6 = 4)
Capitalização simples
Uma pessoa aplicou, a juros simples, R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 
5 meses. Quanto receberá de juros ao fim dessa aplicação? 
a) R$ 300,00
b) R$ 400,00
c) R$ 500,00
d) R$ 600,00
e) R$ 700,00
Interatividade
ATÉ A PRÓXIMA!