Gabarito de Cálculo I - UFPR

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UFPR - Universidade Federal do Paraná
Departamento de Matemática
CM041 - Cálculo I - Turma C (Eng. Mecânica)
Prof. José Carlos Eidam
GABARITO DA TERCEIRA PROVA - PROVA TIPO B - 23/05/2012
Questão 1 Calcule as integrais definidas abaixo (cada ítem vale 1 ponto):
(a) ∫ 3
−1
xp
1+x2
d x =
∫ 10
2
du
2
p
u
, fazendo u = 1+x2
= pu
∣∣∣10
2
= p10−
p
2
(b) ∫ π/2
0
cos3θdθ =
∫ π/2
0
cos2θcosθdθ
=
∫ π/2
0
(1− sen2θ)cosθdθ
=
∫ 1
0
(1−u2)du , fazendo u = senθ
= u − u
3
3
∣∣∣1
0
= 2
3
(c)
∫ 1
−1
x2 −1
x2 +2x +5d x
Primeiramente, dividimos os polinômios e completamos o quadrado, obtendo
x2 −1
x2 +2x +5 = 1−2
x +3
(x +1)2 +4 = 1−
1
2
x +3( x+1
2
)2 +1 ,
portanto,
∫ 1
−1
x2 −1
x2 +2x +5d x =
∫ 1
−1
d x − 1
2
∫ 1
−1
x +3( x+1
2
)2 +1d x
= 2−
∫ 1
0
2y +2
y2 +1 d y , fazendo y = (x +1)/2,
= 2−
∫ 1
0
2y
y2 +1d y −2
∫ 1
0
d y
y2 +1
= 2− ln(y2 +1)
∣∣∣1
0
−2arctan y
∣∣∣1
0
= 2− ln2− π
2
.
Questão 2 (2 pontos) Determine o volume do sólido obtido por rotação em torno do eixo x da região
R do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = 3
x
e x + y = 4.
Solução. As duas curvas se intersectam em x = 1 e x = 3 e a região delimitada por ambas é
esboçada abaixo:
O volume procurado é
π
∫ 3
1
{
(4−x)2 −
(
3
x
)2}
d x =π
[
16x −4x2 + x
3
3
+ 9
x
]3
1
= 8π
3
Questão 3 Calcule as primitivas abaixo (cada ítem vale 1,5 ponto):
(a) ∫
sen3x
cos4 x
d x =
∫
1−cos2 x
cos4 x
senxd x
=
∫ (
1
cos4 x
− 1
cos2 x
)
cos xd x
= 1
3cos3 x
− 1
cos x
+C
(b) ∫
d x
(1+ 3px)2 =
∫
3(u −1)2
u2
du , fazendo 1+ 3px = u, d x = 3(u −1)2du
= 3
∫ (
1− 2
u
+ 1
u2
)
du
= 3
(
u −2ln |u|− 1
u
)
+C
= 3
(
1+ 3px −2ln |1+ 3px|− 1
1+ 3px
)
+C
(c) ∫
x3 ln(1+x2)d x = x
4
4
ln(1+x2)−
∫
x4
4
2x
1+x2 d x , integrando por partes
= x
4
4
ln(1+x2)− 1
2
∫
x5
1+x2 d x
= x
4
4
ln(1+x2)− 1
2
∫ {
(x3 −x)+ x
1+x2
}
d x , dividindo os polinômios
= x
4
4
ln(1+x2)− 1
2
{(
x4
4
− x
2
2
)
+ 1
2
ln(1+x2)
}
(d) ∫
d x
x2
p
1+x2
=
∫
sec2θ
tan2θ secθ
dθ , fazendo x = tanθ, d x = sec2θ
=
∫
cosθ
sen2θ
dθ
=
∫
du
u2
, fazendo u = senθ
= − 1
u
+C
= −cosecθ+C
= −
√
1+cot2θ+C
= −
√
1+ 1
x2
+C =
√
1+x2
x2
+C
3