Trigonometria no triângulo retângulo

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Matemática 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Trigonometria no triângulo retângulo ................................................................................ 2 
1.1. Triângulo retângulo .......................................................................................................... 2 
1.2. Razões trigonométricas ................................................................................................... 5 
1.3. Ângulos notáveis .............................................................................................................. 6 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Na apostila anterior, aprendemos sobre a incrível Soma de Gauss, abordamos 
métodos de resolução baseados nesta técnica e como facilitou nosso dia a dia. 
Gauss realmente foi brilhante, e sem dúvida, contribuiu muito para otimizar os 
cálculos. 
Nesta apostila abordaremos o tema trigonometria, uma das vertentes mais 
antigas ligadas ao estudo da matemática. Está presente em nossa vida desde a 
antiguidade com o intuito de medir ângulos e distâncias, além da tentativa de 
localizar pontos na superfície terrestre. Atualmente após inúmeros estudos, a 
trigonometria também pode ser usada em diversas situações problema na 
matemática, além de dar suporte a outras matérias, tais como: estudo de fenômenos 
periódicos, ótica, eletricidade entre outros. 
Objetivo 
• Conceituar triângulos, triângulo retângulo e razões trigonométricas; 
• Identificar e reconhecer os ângulos notáveis. 
 
1. Trigonometria no triângulo retângulo 
1.1. Triângulo retângulo 
A trigonometria, cujo significado é trigono = triangular e metria = medida, 
teve sua origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de 
um triângulo e, de um modo mais particular, do triângulo retângulo. 
Para introduzir o conteúdo, vamos definir um triângulo como sendo um 
polígono formado por três segmentos ligados não colineares, ou seja, não estão 
contidos numa mesma reta, sendo que cada ponto de interseção é chamado de 
vértice. Os segmentos que formam um triângulo, são chamados de lado do 
triângulo. 
Os segmentos se encontram sempre dois a dois, não passando pelo mesmo 
ponto e formam três lados e três ângulos. 
Vamos considerar então um triângulo cujos vértices são A, B, C conforme 
vemos na figura abaixo, formam os ângulos em seus vértices CÂB, A^BC e BĈA, sendo 
denominados ângulos internos. 
Uma das propriedades dos triângulos, é que a soma dos ângulos internos será 
sempre 180º. 
 
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Figura que representa a uma das propriedades do triângulo 
 
Os triângulos são classificados conforme seus lados ou seus ângulos. A 
especificação dos triângulos baseada na quantidade de lados é nomeada por: 
triângulo isósceles, triângulo equilátero e triângulo escaleno. O triângulo isósceles 
tem como caraterística possuir dois lados congruentes, ou seja, iguais; o triângulo 
equilátero é atribuído à propriedade de seus três lados terem medidas iguais e por 
fim o triângulo escaleno possui a medida de seus três lados distintos, ou seja, 
diferentes. É importante destacar que todo triângulo equilátero também é isósceles, 
pois ter três lados iguais implica em ter também dois lados iguais. 
 
 
Agora, tomando como referência a medida dos ângulos do triângulo, estes 
podem ser classificados como: triângulo acutângulo, onde todos seus ângulos 
internos são agudos, ou seja, menores que 90°; triângulo obtusângulo que tem um 
de seus ângulos internos com medida maior que 90°, ou seja obtuso, e os outros dois 
são ângulos agudos e para finalizar o triângulo retângulo. 
Dois lados iguais
Isósceles Escaleno
Três lados iguais
Equilátero
Três lados diferentes
 
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O triângulo retângulo é composto por um ângulo de 90°, também conhecido 
por ângulo reto, e os outros ângulos são agudos, assim ambos são menores que 90°. 
Agora, na figura seguinte, vamos ressaltar todos os elementos que compõe o 
triângulo retângulo; 
Considere um triângulo retângulo ABC, retângulo em C, ou seja, o ângulo de 
90° localiza-se em C. 
 
Triângulo Retângulo ABC 
 
Como é possível observar o triângulo retângulo é composto por um lado 
denominado hipotenusa, e dois segmentos que formam o ângulo reto, são 
chamados de catetos, podendo de acordo com a posição do ângulo indicado serem 
também denominados cateto oposto e cateto adjacente. Estes componentes 
recebem estes nomes de acordo com a posição do ângulo agudo (menor que 90°) de 
referência, por isso estas posições não são fixas. 
Cateto oposto: é aquele que fica de frente para determinado ângulo agudo. 
Cateto adjacente: é aquele que fica ao lado de um determinado ângulo 
agudo; 
Hipotenusa: é o maior lado do triângulo retângulo, ficando sempre em frente 
ao ângulo reto (90°). 
 
Acutângulo Obtusângulo
A
Hipotenusa
C B
Cateto
Cateto
Hipotenusa
 
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Exemplo: Determine os lados que indicam a hipotenusa, cateto oposto e 
cateto adjacente no triângulo a seguir: 
 
a) Considerando o ângulo 𝛼: 
Vamos começar pela hipotenusa (H), que é o lado de frente ao ângulo reto: 
𝐻 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , o cateto oposto localiza-se de frente ao ângulo agudo 𝛼 determinado, logo 
cateto oposto= 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , e por fim o cateto adjacente =𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . 
b) Considerando o ângulo 𝛽 
Agora o ângulo de referência mudou, logo a hipotenusa é a mesma 𝐻 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 
o cateto oposto localiza-se de frente ao ângulo agudo 𝛽, logo 𝐶𝑂 = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , e por fim o 
cateto adjacente é: 𝐶𝐴 = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
1.2. Razões trigonométricas 
A trigonometria estuda as relações e propriedades associadas ao triângulo 
retângulo, relacionando as medidas de seus ângulos com as medidas de seus lados. 
Assim é possível encontrar seus lados e ângulos quando estes dados não são 
informados no problema. Neste contexto surgem as razões trigonométricas, que 
podem ser usadas apenas no triângulo retângulo e tem como objetivo, fornecer 
informações adicionais, de modo a facilitar a resolução. 
Existem seis razões trigonométricas que serão explicitadas com base em um 
ângulo agudo 𝛼. 
 
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• Seno de uma ângulo é a razão entre a medida do seu cateto oposto e a 
medida da hipotenusa, ou seja , 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
• Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida de seu cateto 
adjacente e a medida de sua hipotenusa, ou seja, 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
• Tangente de um ângulo é a razão entre a medida de seu cateto oposto 
e a medida de seu cateto adjacente, ou seja, 𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 As razões trigonométricas a seguir são caracterizadas por serem razões 
inversasao seno, cosseno e tangente. 
• Cotangente é a razão inversa da tangente e pode ser escrita de duas 
maneiras: 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
 ou 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
1
𝑡𝑔𝛼
. 
• Secante de um ângulo é a razão inversa do cosseno, ou seja, 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
. 
• Cossecante de um ângulo é a razão inversa do seno, ou seja, 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
. 
Para cada ângulo agudo possível em um triângulo retângulo é atribuído 
somente um valor para o seno, cosseno e tangente, assim é possível encontrar uma 
tabela que dispõe de todos esses valores. 
1.3. Ângulos notáveis 
Ângulo é a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem não 
colineares que se encontram em um ponto coincidente denominado vértice, assim 
existe um número que é associado ao tamanho desta abertura. 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
Alguns ângulos são denominados notáveis por aparecem com frequência em 
diversas situações cotidianas além de estarem presentes em problemas 
trigonométricos, são eles: 30°, 45° e 60°. Para as razões trigonométricas relacionadas 
a estes ângulos, é mais viável utilizar os valores que compõe a tabela seguinte. 
Teodolito é o nome do aparelho óptico de precisão 
que atualmente é utilizado por engenheiros e 
agrimensores para medir e assim determinar o valor de 
ângulos verticais e horizontais. 
 
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Ângulo 0 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
Seno 
(Sen) 
0 
1
2
 √
2
2
 
√3
2
 1 0 -1 0 
Cosseno 
(Cos) 
1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
Tangente 
(Tg) 
0 √3
3
 1 √3 ∄ 0 ∄ 0 
 
 
PRATIQUE! 
 
 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Explique e exemplifique sobre cateto oposto, cateto adjacente e 
hipotenusa. 
 
2. (Autor, 2019) Em cada item há medidas de lados de um triângulo retângulo, 
em que a representa a medida da hipotenusa, e b representa o cateto oposto 
e c indica o cateto adjacente, considere 𝛼 como o ângulo agudo de 
referência. Determine o seno, o cosseno e a tangente em cada caso: 
a) a = 5, b = 3 e c = 8 
b) a = 1, b = 7 e c = 2 
 
3. (ENEM-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a 
Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-
feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando 
agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, 
desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição 
do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o 
cumprimento do tempo previsto de medição. 
Geralmente os valores que compõe a tabela 
acima são usados nas situações que aparecem as 
razões trigonométricas relacionadas aos ângulos 
notáveis. A prática de exercícios facilita lembrar esses 
valores. 
 
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Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km 
da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 
km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, 
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º. 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 
a) 1,8km 
b) 1,9km 
c) 3,1 km 
d) 3,7 km 
e) 5,5 km 
Gabarito 
1. O triângulo retângulo é composto por um lado denominado hipotenusa, e 
dois segmentos que formam o ângulo reto, são chamados de catetos, 
podendo de acordo com a posição do ângulo indicado, serem também 
denominados cateto oposto e cateto adjacente. Estes componentes recebem 
estes nomes de acordo com a posição do ângulo agudo (menor que 90°) de 
referência, por isso estas posições não são fixas. 
Tem-se que o: 
• O cateto oposto é um lado que sempre deverá estar em frente ao ângulo 
agudo. 
• Cateto adjacente: lado que compõe um dos lados que forma um dos ângulos 
agudos; 
 
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• Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto (90°). 
 
 
2. Para encontrar as razões trigonométricas solicitadas basta substituir os 
valores informados: 
a) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶𝑂
𝐻
=
𝑏
𝑎
=
3
5
 cos 𝛼 =
𝐶𝐴
𝐻
=
𝑐
𝑎
=
8
5
 𝑡𝑔 𝛼 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
𝑏
𝑐
=
3
8
 
 
b) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶𝑂
𝐻
=
𝑏
𝑎
=
7
1
 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝐶𝐴
𝐻
=
𝑐
𝑎
=
2
1
 𝑡𝑔 𝛼 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
𝑏
𝑐
=
7
2
 
 
3. Para resolver este exercício é necessário interpretar as informações: 
 
• será denominado por x a medida da altura que no triângulo retângulo possui 
a característica de ser o cateto oposto, logo h = co = x, 
 
• o cateto adjacente possui medida equivalente a 1,8 km; agora basta 
relacionar estes valores a razão trigonométrica adequada; 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 60° =
𝑥
1,8
 
√3 =
𝑥
1,8
 
𝑥 = √3. 1,8 = 3,1𝑘𝑚 
 
Resumo 
O triângulo é um polígono constituído por três lados e três ângulos, de acordo 
com as medidas destes parâmetros os triângulos podem ser classificados. A 
trigonometria do triângulo retângulo aborda com mais detalhes as características e 
 
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propriedades deste tipo de triângulo; através dos cálculos entre a medida de seus 
lados e seus ângulos, encontramos as razões trigonométricas; são elas: seno, 
cosseno, tangente e as inversas destas, denominadas cossecante, secante e 
cotangente respectivamente. 
Por fim é necessário conhecer os ângulos de 30°, 45° e 60° considerados 
notáveis por serem constantemente utilizados em nossa realidade, bem como em 
problemas trigonométricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 201 
MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986.