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Transformação da Deformação
598 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
10.1 - PROBLEMAS
10.1. Prove que a soma das deformações normais nas direções perpendiculares é constante. 
 
 
 
 
10.2. As componentes do estado plano de deformação no ponto da aba da bequilha são x = 400(10-6), y = 860(10-6) 
e = 375(10-6). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações equivalentes no 
-horário em relação à posição original. Trace 
um esboço do elemento deformado devido a essas deformações dentro do plano x y. 
 
Figura 10.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação da Deformação
599 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
10.3. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a aba do pino são x = 200(10-6), y = 180(10-6) 
e = 300(10-6). Use as equações de transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no plano 
-horário em relação à posição original. Trace um 
esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano x-y. 
 
 Figura 10.3 
 = 
= 
 
 
*10.4. Resolva o Problema 10.3 para um elemento orientado a um ângulo em sentido horário. 
 
Figura 10.4 
= 
 
 
 
Transformação da Deformação
603 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
10.8. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem são x = 520(10-6), y = 
760(10-6) e = 750(10-6). Use as equações de transformação da deformação para determinar (a) as deformações 
principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, 
especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.
 
 Figura 10.8 
(a) As deformações principais no plano: 
= 120(10-6) 741,77(10-6) 
 e 
 = 0,586 
=
 (b) A deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média: 
 
= 120(10-6) 
 = 1,7067 
 
 
 
Transformação da Deformação
620 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*10.28. A roseta de deformação a 45° está montada sobre a superfície de uma chapa de alumínio. As seguintes leituras 
foram obtidas em cada extensômetro: a = 475(10-6), b = 250(10-6) e 360(10-6). Determine as deformações 
principais no plano. 
 
Figura 10.28 
 
 
 
 
 
Substituindo [1] e [3] em [2], obtem-se: 
 
= 57,5(10-6) (centro do círculo) 
= 459,74(10-6) 
 e 
 
Transformação da Deformação
622 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada: 
 
= 40(10-6) 
 
 
10.30. A roseta de deformação a 45º está montada próxima ao dente da ferramenta. As seguintes leituras foram obtidas 
em cada extensômetro: a = 800(10-6), b = 520(10-6), c = 450(10-6). Determine (a) as deformações principais no 
plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada. Em cada caso, 
mostre o elemento distorcido devido a essas deformações. 
 
Figura 10.30 
 
(a) As deformações principais: 
 
 
 
 
Continua... 
Transformação da Deformação
623 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
, resolvendo a matriz, obtem-se: 
= 175(10-6) (centro do círculo) 
= 713,9(10-6) 
 e 
 1,8116 
 
(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada: 
 
 = 175(10-6) 
 
 
 
 
 
Transformação da Deformação
624 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
10.31. A roseta de deformação a 60º está montada sobre uma viga. As seguintes leituras foram obtidas em cada 
extensômetro: a = 150(10-6), b = 330(10-6), c = 400(10-6). Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a 
deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, mostre o elemento 
distorcido devido a essas deformações. 
 
Figura 10.31 
 
(a) As deformações principais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
, resolvendo a matriz, obtem-se: 
 = 73,33(10-6) (centro do círculo) 
= 428,38(10-6) 
 
 0,8484 
Continua... 
Transformação da Deformação
625 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada: 
 
= 73,3(10-6) 
 
 
*10.32. A roseta de deformação a 45° está montada sobre um eixo de aço. As seguintes leituras foram obtidas em cada 
extensômetro: a = 800(10-6), b = 520(10-6), c = 450(10-6). Determine (a) as deformações principais no plano e suas 
orientações. 
 
Figura 10.32 
Continua...
Projeto de Vigas e Eixos
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 671
11.9. A viga simplesmente apoiada é composta por duas seções W310 33 montadas como mostra a figura. Determine 
se ela suportará com segurança uma carga w adm = 160 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível for = 100 MPa. 
 
Figura 11.9 
 
W310 33 (d = 313 mm, talma = 6,6 mm, A = 4,180 mm², Ix = 65 106 mm4) 
= 334.755.210 mm4 = 3,3475521 10-4 m4 
 
 M(x) (4)(30)(x) + (30)(x)(0,5x) = 0 M(x) = 120x 15x² kN.m 
= 120 30x kN 
 
 
|Mmáx| = 240 kN.m e |Vmáx| = 120 kN 
 = 224,4 MPa > 160 MPa 
 = 29,04 MPa < 100 MPa Ok! 
Falha por conta do critério da tensão de flexão. 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 672
11.10. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas de menor peso que suportará com segurança as cargas 
mostradas na figura, na qual w adm = 160 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível é = 100 MPa. 
 
 Figura 11.10 
 2,4R2 4,2 25 2,4 1,2 100 = 0 R2 = 163,75 kN 
 R1 + 163,75 25 2,4 100 = 0 R1 = 101,25 kN 
 
 
|Mmáx| = 50,8 kN.m e |Vmáx| = 138,75 kN 
= 3,175 10-4 m3 = 317,5 103 mm³ 
Selecionado: W310 33 (Sx = 415 103 mm3, d = 313 mm, talma = 6,60 mm) 
 = 67,04 MPa < 100 MPa Ok! 
11.11. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas de menor peso e menor altura que suportará com segurança 
as cargas mostradas na figura, na qual w = 0 e P adm = 168 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível é = 100 MPa. 
 
 Figura 11.11 
Continua... 
Projeto de Vigas e Eixos
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 677
11.17. A viga de aço em balanço foi montada com duas chapas como mostra a figura. Determine as cargas máximas P 
adm = 170 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível for = 95 MPa. 
 
Figura 11.17 
 
 
 M 2P 4P = 0 M = 6P 
 V P P = 0 V = 2P 
 = 116,25 mm (centroide da seção transversal) 
 = 1,1918 10-5 m4
 
 
|Mmáx| = 6P e |Vmáx| = 2P 
P = 2,90 kN 
= 3,294 MPa < Ok!