Semana 8 - FT-2019_3-Cap5_Conducao_dependente_do_tempo_Aulas-1_e_2

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Fenômenos de Transporte
Cap. 5 – Aula 12 e 13
Prof. Dr. Welber Gianini Quirino
wgquirino@fisica.ufjf.br
ICE / Departamento de Física
UFJF – Universidade Federal de Juiz de Fora
5.0 – Condução de calor em Regime Transitório
Vamos estudar 2 casos
Método da Capacidade térmica 
concentrada
(T é dependente do tempo, mas uniforme em todo o 
sistema)
Temperatura não é uniforme no 
sistema
Método da Capacidade Térmica Concentrada
Se gradientes de temperatura no interior do sólido podem ser desprezados,
(resistência interna desprezível), uma abordagem comparativamente mais
simples, conhecida por método da capacitância global, pode ser usada para
determinar a variação da temperatura com o tempo.
Sistemas com resistência interna desprezível
✓ Não existe na realidade materiais com k → .
✓ Mas problemas podem ser rapidamente solucionados com precisão
aceitável pela suposição de que a resistência condutiva interna do sistema
é tão pequena que a temperatura em seu interior é substancialmente
uniforme em qualquer instante.
✓ A situação é justificada quando a resistência térmica externa entre a
superfície do sistema e o meio ao seu redor é tão grande, quando
comparado à resistência térmica interna do sistema, que ela controla o
processo de transferência de calor.
ie RR 
s
c
e
i
k
Lh
R
R
Bi ==
iR eR
T
kq
S
Lc → Dimensão de comprimento significativo 
(corrigido), obtida pela divisão do volume do corpo 
por usa área superficial.
O erro em placas planas, ou com formatos que se aproximem de
cilindros ou esferas, será  5% quando Ri  10% da Re, isto é: 1,0
s
c
k
Lh
Sistemas com resistência interna desprezível
Desenvolvimento através de exemplo
Fig. - Resfriamento de um metal quente
Ao desprezar os gradientes de temperatura no interior do sólido a resposta
transiente da temperatura é determinada pela formulação de um balanço
global de energia no sólido.
Rcond pequena
Rconv grande
Aplicando a equação da Energia
Fazendo
Separando as variáveis e integrando a partir das condições 
iniciais t = 0  T(0)=Ti
gersaientacu EEEE +−=
( )−−= TThA
dt
dT
Vc s
)
dt
dT
dt
dθ
 ; cteT com ),T-(T (onde θ
dt
dθ
hA
ρVc
s
===−= 
 −=−
t
i
dt
0s
θ
dθ
hA
ρVc


onde
−= TTii
Efetuando as integrações
ou

i
s
ln
hA
ρVc
=t












−

 =
−
−
=
t
i
e
TT
TT ρVc
hA
i
s
θ

Temos o tempo, dado a dif. de 
temperatura
Temos a dif. de temperatura, 
dado o tempo












−
=
t
e
ρVc
hA
i
s
θ 
ou
Interpretando Vc/hAs como uma constante de tempo térmica:
onde Rt - Resistência a transferência de calor por convecção 
Ct - Capacitância térmica global do sólido 
( ) ttt CR=





== ρVc
hA
1
hA
ρVc
ss

• Qualquer aumento em Rt ou
Ct causará uma resposta mais
lenta do sólido a mudanças
em seu ambiente térmico.
• Esse comportamento é
análogo ao decaimento da
voltagem que ocorre quando
uma capacitor é descarregado
através de um resistor em um
circuito elétrico RC
























−

 =
−
−
=
t
i
e
TT
TT ρVc
hA
1
i
s
θ















−

 =
−
−
=
t
i
e
TT
TT
ttCR
1
i
θ















−

 =
−
−
=
t
i
e
TT
TT
t
1
i
θ 

Analogia entre o circuito térmico e elétrico
S
)(dtT
cVC =
q
sAh
R
1
=
T = E
ReCe
T ou E
Ti ou Ei
dt
dE
C
R
EE
i e
e
−=
−
= 














−

 =
−
− tRC
i
e
EE
EE
ee
1
dt
dT
C
R
TT
q −=
−
= 














−

 =
−
−
=
t
i
e
TT
TT
t
1
i
θ 

S
)(dtT
cVC =
q
sAh
R
1
=
T = E
ReCe
T ou E
Ti ou Ei


−
−
TT
TT
i
)(st0
1


−
−
EE
EE
i
)(st0
1
Analogia entre o circuito térmico e elétrico
Outra maneira de expressar a equação
Utilizando a relação
Bi.Fo
L
αt
k
hL
ρcL
tk
k
hL
ρcL
ht
ρVc
hA
2
cs
c
2
c
s
s
c
c
s ==











=





=
t












−

 =
−
−
=
t
i
e
TT
TT ρVc
hA
i
s
θ

Bi e Fo são números adimensionais, assim:
( )FoBi
i
e
TT
TT .
i
θ −

 =
−
−
=
Para determinar o total de energia transferida Q
Substituindo  na equação
integrando Obs.:
 ==
tt
dtqdtq
0
s
0
hA 
dteq
t t
Vc
hA
i
s













−
=
0
shA

( )








−=












− t
Vc
hA
i
s
eVcq
 1
t
att
at
a
e
dte
00
=












−
=
t
e
ρVc
hA
i
s
θ 
( )








−=






−
t1

t
i eVcq
Ou
q está relacionada com a variação de energia interna do sólido
( )








−−=






−
t1

t
iacu eVcE
acuEq −=
Assim
No processo de têmpera, Q é positivo e o sólido experimenta um 
decréscimo na energia interna.
Metódo da Capacitância Global Bi << 1
Metódo da Capacitância Global Bi << 1
(30 pontos) Uma salsicha de cachorro-quente é posta para
cozinhar em água fervente (100ºC). Ela está inicialmente a
uma temperatura uniforme de 0ºC, o coeficiente médio de
transferência de calor por convecção é de 40W/m2K e a
temperatura final no eixo central da salsicha é de 80ºC.
Considerando a salsicha como um cilindro de raio de 10 mm,
tendo como propriedades térmicas (ρ = 880 kg/m3,
cp = 3350 J/kgK e ks = 2,0W/mK), determine o tempo de
cozimento. Além disso, determine a transferência de calor
por unidade de comprimento durante esse período.
5.5 - Placa Plana com convecção
Problemas de calor transitório no qual a temperatura no interior do
sólido não é uniforme, Bi ~ 1 ou Bi > 1.
Se as temperaturas sobre as duas superfícies forem uniforme, o
problema será unidimensional e transitório e não havendo fontes de
calor:
Lx
x
T
t
T



=


0
1
2
2

Note que a difusividade térmica influencia a taxa temporal de
variação da temperatura. Como a Temperatura deve ser função do
tempo e da dimensão (neste caso – x), podemos supor uma solução do
tipo:
k
c

=
1
t
T1
q
k
1
T G
2



=+ 
)()(),( txXtxT =
Observe que:
2
2
2
2
x
X
Θ
x
T
 e 
t
Θ
X
t
T


=




=


Podemos agora separar as variáveis
2
2
xX
1
t
Θ
Θ
1


=



Como nenhum lado se altera com variações de t e x, os dois lados são
iguais a uma constante que chamaremos de .
X(x)
x
)(
Θ(t)
t
Θ(t)
2
2


=
=
d
xXd
d
d
A solução geral para a primeira é do tipo
2t-
1 - onde eCΘ(t)
2  ==
Como vimos antes, a solução da segunda (eq. De 2ª. ordem em x), é:
02
2
2
=+ X
dx
Xd
xsenCxCX  32 cos +=
A solução geral para a EDO em x é:
Portanto a solução geral T(x,t) é:
( )( )xsenCxCeCXT t  321 cos2 +== −
( )xBsenxAetxT t  += − cos),( 2
Onde A=C1C2 e B=C1C3 são constantes a determinar a partir das
condições de contorno do problema
( )( )
i
Lx
Lx
TT
T
L
T
TT 0t
kh
x
 x
0
x
 0x
s
==
−=







−=
=


=
=
=


=
=
1
cos),(
2
n
nn
t
xAetxT n 
A solução completa é formada como a soma das soluções
correspondentes a cada valor característicos:
Em t = 0,


=
==
1
cos)0,(
n
nni xATxT 
Sendo a ortogonalidade das funções caracterísiticas cosx (entre 0
e L, pode-se determinar An:
( )
LLsenL
LsenTT
A
nnn
ni
n 

cos
2
+
−
= 
Por fim, para expressar a temperatura na placa em termos de
módulos adimensionais convencionais, fazemos n=n/L. A forma
final da solução, obtidas pela substituição dos Ans é:
( ) ( )

=
−


+
=
−
−
1 cos
2
),( 22
n nnn
nLt
i sen
Lxsen
e
TT
TtxT
n 

( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, =
A taxa de variação da energia interna da placa por área unitária da
superfície, dQ/dt, é fornecida por
( ) ( )

=

+
−−=
1
2
2
0
cos
12
2
n nnnn
nFo
sen
sen
eLcTTQ n 
 
Lx
s
x
T
k
A
q
dt
dQ
=

−==
Que substituindo a solução T(x,t) e integrando entre t = 0 e t,
resulta:
Podemos escrever em 
termos de módulos 
adimensionais
Temperaturas adimensional
Coordenada espacial adimensional
Tempo adimensional
Fo
L
t
t ==
2
*



−
−
==
TT
TT
ii
*
L
x
x =*
Fox 

=

 *
*
*
2
2 
Equação Diferencial
( ) ! ! ! hα,k,L,,T,Tt,x,TT i =
Solução Exata adimensional
Parede Plana com Convecção
ou
onde


=
−=
1
*)cos(*
2
n
n
Fo
n xeC
n  
*)cos(* *0 xn =
)2(2
4
nn
n
n
sen
sen
C


+
=
Bitg nn =
2
cL
t
Fo

=
Como as condições convectivas nas
superfícies em x* = 1 são as mesmas, a
distribuição de temperaturas em qualquer
instante tem que ser simétrica em relação
ao plano central x*=0
),*,(* BiFoxf=
( ) ! ! ! hα,k,L,,T,Tt,x,TT i =
Soluções Aproximadas
Parede Plana com Convecção
ou
onde
Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série
*)cos(* 11
2
1 xeC
Fo  −=
*)cos(* 1
*
0 x =
oF
i
eC
TT
TT 1
2
1
0*
0
 =
−
−
=


Soluções Aproximadas
Parede Plana com Convecção
ou
onde
Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série
*)cos(* 11
2
1 xeC
Fo  −=
*)cos(* 1
*
0 x =
)2(2
4
11
1
1 

sen
sen
C
+
=
Bitg =11 
2
cL
t
Fo

=
Soluções Aproximadas
→ Coeficientes 1 e C1 para parede plana, cilindro e esfera
Soluções Aproximadas
→ Coeficientes 1 e C1 para parede plana, cilindro e esfera
Transferência total de energia
→ Em termos de calor
 )0()( EtEQ −−=
 
 −=−
−−
=

dV
VV
dV
TT
TtxT
Q
Q
i
i
i
*)1(
1),( 
acusaient EEE =−
→ Balanço de Energia
É interessante adimensionalizar o resultado em termos de Qi (energia
interna inicial)
   )0()(0 EtE
acu
Q
saient EEE
−=
=−
 
parededavol
i dVTtxTcQ
 .
),( −−= 
)( −= TTVcQ ipi 
*
1
1)(1 o
i
sen
Q
Q 


−=
Usando-se a forma aproximada da distribuição de temperaturas
para a parede plana obtemos:
→ Parede Plana
Transferência total de energia
*)cos(* 1
*
0 x =
( )( ) −= dVxVQ
Q
i
*
1
*
0 cos1
1 
onde
oF
i
eC
TT
TT 1
2
1
0*
0
 =
−
−
=


Têmpera é um processo no qual o material é reaquecido e, então, resfriado para
ficar menos quebradiço. Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que
se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme Ti é subitamente resfriada
pela redução da temperatura em ambas as superfícies para Ts. A lâmina tem uma
espessura de 20mm e o vidro possui uma difusividade térmica de 6x10-7 m2/s
a) Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina
atinja 50% da sua máxima redução de temperatura possível?
b) Se (Ti-Ts)=300ºC, qual é o máximo gradiente de temperara no vidro no
instante de tempo supracitado?
Exercício – 5.43 - Incropera
Dicas: T = Ts → <h> = , logo Bi = , logo – Método da Capacitância global não poderá ser
usado. A solução deve ser exata! Porém, antes veja se Fo > 0,2 → * pode ser aproximado pelo
1º termo da série
Solução
Fo > 0,2 → * pode ser aproximado pelo 1º termo da série. Fo = 0.379
T(x,t)
Bi<=0,1
Mcc
Bi > 0,1
Método Exato
Biot = (hL/k) - parede
Biot = (hr/k) - cilindro
Biot = (hr/k) - esfera
Somatório Infinito Fo > 0,2
Aproximação ao primeiro 
termo da série
Gráfico
Biot = (hL/k) - parede
Biot = (h(r/2)/k) - cilindro
Biot = (h(r/3)/k) - esfera
Resumo
Extra – Gráficos para a Condução Transitória de
Calor – Soluções Unidimensionais
Para condução transitória de calor em várias formas simples, sujeitas às
condições de contorno de importância prática, foram calculados a
distribuição de temperaturas e o fluxo de calor. Os resultados estão
disponíveis na forma de gráficos ou tabelas. Nesta seção mostraremos a
aplicação desses gráficos em problemas com Bi maior que 0,1.
Onde o subscrito s se refere às condições na superfície e n à coordenada na
direção normal à superfície.
Deve-se observar que o caso limite de Bi → corresponde a uma 
resistência térmica desprezível na superfície (hc →), de forma que 
a temperatura superficial é especificada como igual a T para t  0.
( )
s
sc
n
T
kTTh


−=− 
As três geometrias simples, para as quais foram preparados resultados
em gráficos são:
1 – Uma placa infinita de largura 2L
2 – Um cilindro infinitamente longo de raio r0
3 – Uma esfera de raio r0
As condições de contorno para as três situações são similares.
✓ O gradiente de temperatura no plano central da placa, no eixo do
cilindro e no centro da esfera seja igual a zero (ausência de fluxo de
calor nesses locais)
✓ O calor conduzido para (ou a partir de) uma superfície seja
transferido por convecção para (ou de ) um fluido à T por meio de
um coeficiente de transferência de calor por convecção médio e
constante <hc>, ou
Para cada geometria há três gráficos: os dois primeiros para as 
temperaturas e o terceiro para o fluxo de calor
- Os gráficos de temperaturas: dois gráficos inter-relacionados que
fornecem a temperatura adimensional no centro ou ponto médio,
como função do número de Fourier, ou seja, tempo adimensional
e com o inverso do número de Biot como o parâmetro constante,
que é definida como:
*
0
),0(),0( 


−
−

 t
TT
TtT
i
As condições iniciais para as três soluções gráficas exigem que o
sólido esteja inicialmente a uma temperatura Ti e que, ao iniciar a
condição transitória no tempo zero, a superfície do corpo esteja em
contato com um fluido a T .
As soluções para os três casos estão representadas graficamente
em termos de parâmetros adimensionais. A forma desses
parâmetros estão resumidas na tabela 2.3.
Figura 2.37 – Temperaturas transitórias e fluxo de calor adimensionais
em uma placa de largura 2L
Figura 2.37 – Temperaturas transitórias e fluxo de calor adimensionais
em uma placa infinita de largura 2LPara determinar a temperatura local em qualquer tempo t, forme o
produto:






−
−






−
−
=
−
−






TtT
TtxT
TT
TtT
TT
TtxT
ii ),0(
),(),0(),(
),0(
),(),0(),(
t
txt
TT
TtxT
ii 



=
−
−


A taxa instantânea de transferência de calor para ou a partir da superfície
do sólido pode ser calculada pela lei de Fourier, uma vez que a
distribuição de temperaturas é conhecida.
1º Gráfico 2º Gráfico
Figura 2.37 – Fluxo de calor
A variação na energia interna entre t = 0 e t = t pode ser obtida pela
integração das taxas instantâneas de transferência de calor. Indicado por Q(t)
a energia transferida ao fluido no tempo t (calor total) e por Qi a energia
inicial no sólido em t = 0 (tabela 2.3), as razões Q(t)/Qi são representeadas
graficamente em relação a (Bi)2Fo, para vários valores de Bi.
Q(t)  0
Calor flui
Superfície → Fluido
(resfriando)
Exemplo
Uma grande parede de concreto, com 50 cm de espessura, está
inicialmente a 60 ºC. Um lado da parede está isolado. O outro lado é
rapidamente exposto a gases quentes de combustão a 900 ºC, de
coeficiente de transferência de calor de 25 W/m2K. Determine:
(a) O tempo necessário para a superfície isolada atingir 600 ºC;
(b) A distribuição de temperaturas na parede naquele instante;
(c) O calor transferido durante o processo;
As propriedades físicas médias são:
ks = 1,25 W/mK
c = 837 J/KgK
 = 500 Kg/m3
 = 0,30 x 10-5 m2/s
L ------ 0 ----- L
Observe que a espessura da parede é igual a a L, pois a
superfície isolada corresponde ao plano central (x = 0) de
uma placa de espessura 2L.
Portanto, podemos usar a razão entre as temperaturas
para a superfície isolada, no tempo solicitado usando-se a
expressão para a parede 2L:
 357,0
90060
900600),0(
central linha para índice 0
=
−
−
=
−
−

→

TT
TtT
i

( )( )
10,0
5,025
25,11
2
===
mkmW
mKW
Lh
k
Bi c
s
Fo = 0,7
( )( )
hst
sm
m
t
L
t
Fo
2,16333.58
103,0
5,07,0
25
2
2
2
==

==
−

A partir da figura verificamos que para
as condições acima, o número de
Fourier = 0,70 no plano médio,
Portanto:
A distribuição de temperaturas na parede, 16 horas após o início da
situação transitória, pode ser obtida da Figura 2.37(b) para os vários
valores de x/L, como mostrado a seguir:
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
0,13 0,41 0,64 0,83 0,96
10,0
1
=
Bi
x (m) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
39 123 192 249 288 300
861 777 708 651 612 600
A partir dos dados adimensionais anteriores,
podemos obter a temperatura vs distância da
parede isolada:
O calor transferido para a parede por metro quadrado da área superficial
durante a situação transitória pode ser obtido a partir da figura 2.37(c).
Para Bi=10, Fo=0,7 implica em Bi2Fo = 70. Logo valor de na 2.37(c) é:
Q”(t)/Q”i = 0,7.
O calor transferido para a parede por metro quadrado da área superficial
durante a situação transitória pode ser obtido a partir da figura 2.37(c).
Para Bi=10, Fo=0,7 implica em Bi2Fo = 70. Logo valor de na 2.37(c) é:
Q”(t)/Q”i = 0,7.
1010,0
1
== Bi
Bi
( )
( ) ( )( )( )( )
28
3
10230,1)(
)7,0(8405,0500837)7,0()(
logo
,
70,0
)(
mJtQ
KmmkgkgKJTTLctQ
TTLcQ
Q
tQ
i
ii
i
−=
−=−=
−=
=






Dessa forma obtemos,
O sinal negativo indica que o calor foi transferido para a parede e 
a energia interna aumentou durante o processo.
Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com
espessura 100 mm, 1m largura e 1m de altura ( = 7830 kg/m3, c =
550 J/(kg.K), k = 48 W/(m.K)) que está inicialmente a uma
temperatura uniforme de Ti = 200°C e deve ser aquecido até que seu
centro atinja uma temperatura máxima de 550°C. O aquecimento é
efetuado em um forno de fogo direto, onde produtos de combustão a
T = 800°C mantêm um coeficiente de transferência de calor h = 250
W/(m2.K) em ambas as superfícies da placa.
a) Quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno para
que a condição acima seja satisfeita?
b) Qual a temperatura na superfície da chapa no instante de tempo
supracitado?
c) Qual a quantidade total de energia que foi transferida nestas
condições?
Exercício para fazer em sala
Considere um oleoduto de aço inoxidável AISI 1010 que possui 1m
de diâmetro e um espessura de parede de 40mm. O Oleoduto é muito
bem isolado pelo seu lado externo, e, antes do início do escoamento
do fluido, suas paredes se encontram a uma temperatura uniforme de
-20ºC. Com o início do escoamento, o óleo quente a 60ºC é
bombeado através do oleoduto, gerando na superfície interna do duto
condições convectivas correspondentes a um h = 500W/m2K.
1) Quais são os números de Bi e Fo apropriados 8 min após o início
do escoamento?
2) Em t=8min, qual é a temperatura na superfície externa do duto
coberta pelo isolamento (considere como placa plana)
3) Qual o fluxo térmico do óleo para o duto em t=8min?
4) Qual a quantidade total de energia, por metro linear do oleoduto,
que foi transferida do óleo após 8min.
Exercício