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Resistência dos Materiais I
Equilíbrio de Forças e Momentos
Momento de Uma Força
 Definição
 Momento de uma força em relação a um ponto qualquer de
referência, como sendo o produto entre a intensidade de
carga aplicada e a respectiva distância em relação ao ponto.
 É importante observar que a direção da força e a distância
estarão sempre defasadas 90°.
Momento de Uma Força
 Definição
 Na figura dada, o momento da força F em relação ao ponto A
será obtido através do produto F.c, da mesma forma que o
produto da carga P em relação a A será obtido através de P.b.
Para o nosso curso,
convencionaremos
positivo, o momento que
obedecer ao sentido
horário.
Momento de Uma Força
 Teorema de Varignom
 o momento da resultante de duas forças concorrentes em um
ponto E qualquer do seu plano em relação a um ponto A de
referência, é igual à soma algébrica dos momentos das
componentes da força resultante em relação a este ponto.
Para o caso da figura temos:
Rd = Hb + Vc
Momento de Uma Força
 Exemplo n° 01 
 Determinar as reações nos apoios das vigas a, b, c, d,
carregadas conforme mostram as figuras a seguir.
 a)Viga solicitada por carga perpendicular.
Momento de Uma Força
 b)Viga solicitada por carga inclinada.
Momento de Uma Força
 c)Viga solicitada por carga paralela ao suporte principal.
Momento de Uma Força
 d)Viga solicitada por torque.
Resistência dos Materiais I
Carga Distribuída
Momento de Uma Força
 Introdução
 Até agora estudamos somente a ação de cargas concentradas,
isto é, cargas que atuam em um determinado ponto, ou região
com área desprezível. No entanto, passaremos a nos
preocupar com a ação das cargas distribuídas, ou seja, cargas
que atuam ao longo de um trecho.
 Exemplos de Cargas Distribuídas
Momento de Uma Força
 a) O peso próprio de uma viga
Momento de Uma Força
 b) O peso de uma caixa d'água atuando sobre uma viga
Momento de Uma Força
 c) o peso de uma laje em uma viga
 Podemos ainda citar como exemplos, barragens,
comportas, tanques, hélices, etc.
Momento de Uma Força
 Vamos agora, genericamente, estudar o caso de uma carga
qualquer distribuída, como nos mostra a figura a seguir.
 q - intensidade de carga no ponto correspondente Adotamos
para o estudo, o infinitésimo de carga dQ que é determinado
pelo produto qdx.
Momento de Uma Força
 É fácil observar que a superfície da figura é composta por
infinitos qdx, que correspondem às forças elementares das
áreas elementares correspondentes. O somatório dessas
cargas elementares expressará a resultante Q, determinada
pela área total Om.n.A da figura.
Momento de Uma Força
 Linha de Ação da Resultante
 O momento de um infinitésimo de área em relação ao ponto
O será expresso através do produto xdQ, que podemos
escrever qxdx. O somatório de todos os momentos em
relação ao ponto O será expresso por:
 Denominamos XG, a abscissa que fixa o ponto de aplicação da
concentrada Q em relação ao ponto o. Portanto, podemos
escrever que:
Momento de Uma Força
 Linha de Ação da Resultante
 Podemos concluir que a resultante Q atuará sempre no centro
de gravidade da superfície que representa a carga distribuída.
Através desta superfície de carga, fica determinada a resultante
e o ponto de aplicação da carga distribuída.
Momento de Uma Força
 Exercícios
 Determinar as reações nos apoios, nas vigas solicitadas pela
ação das cargas distribuídas, conforme as figuras dadas.
 1.a)
 A resultante da carga distribuída de intensidade q e
comprimento l será ql, e atuará no ponto l /2 em relação a A
ou B.Teremos, então:
Momento de Uma Força
 Exercícios

Momento de Uma Força
Exercícios
1.b)
A carga distribuída, variando linearmente de O a q, possui
resultante com intensidade ql/2, que atuará a uma distância
l/3 de B (centro de gravidade do triângulo).
Momento de Uma Força
Exercícios
1.c)
1.d)
Resistência dos Materiais I
Tração e Compressão
Tração e Compressão
Os cálculos de resistência dos materiais permitem dimensionar
elementos de uma construção civil ou mecânica, sujeitos aos
mais variados tipos de carregamentos.
De uma maneira geral, os componentes a serem dimensionados
podem estar sujeitos aos esforços de tração (tende a alongar
a peça), compressão (tende a encurtar a peça), cisalhamento,
flexão e torção e, em alguns casos, dois ou mais tipos de
esforços ao mesmo tempo.
Através dos cálculos de estática é possível determinar as
forças externas atuantes sobre um determinado elemento, no
entanto, através dos cálculos de resistência dos materiais, é
possível estudar os efeitos internos que essas forças causam
sobre o elemento.
Tração e Compressão
De uma maneira geral, os elementos a serem
dimensionados nunca são considerados perfeitamente
rígidos, portanto, é de se prever que as forças externas, ou
os esforços aplicados criam na estrutura interna às forças e
às tensões internas que, por sua vez, promovem
deformação. Existem deformações críticas a partir da qual o
corpo está sujeito a romper-se, comprometendo o seu
funcionamento.
A resistência dos materiais visa, justamente,
dimensionar esse componente, e ou determinar os
tipos de materiais que devem ser construídos, para evitar
que ocorram deformações críticas e permitir que resistam
aos mais diversos tipos de carregamento que lhes são
impostos.
Forças Internas 
O primeiro e mais importante passo para solucionar um
problema de resistência dos materiais é identificar as forças
internas a partir do qual, o corpo ou componente em
questão está sujeito. Para tal, será utilizado o método de
seções transversais em qualquer elemento e o princípio de
que os esforços internos devem sempre resistir ao efeito
das forças externas.
Tensões
As tensões atuantes em cada seção de um componente
mecânico, sujeito a determinados esforços, podem ser
determinadas através da força interna existente e da
área da seção transversal.
Tensão nada mais é do que a força atuante na secção
transversal por unidade de área, ou seja:
Tensões
A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à
carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m²
Tensões
Os tipos de tensões podem ser divididos em: Tensão
Normal e TensãoTransversal.
Tensão Normal: Caso a força interna esteja atuando
perpendicularmente à seção transversal, chamamos de
normal (Fn). Esta força normal irá gerar uma tensão
também normal (σn) onde:
Tensões
Tensão Transversal (Cortante): Quando a força interna
estiver atuando paralelamente à seção, ou seja,
perpendicularmente ao eixo, chamamos de transversal
(Fq). A força cortante gera nessa seção uma tensão
também transversal (τq) onde:
Esforços Fundamentais
Esforços de Tração
Considere que uma peça qualquer
de seção constante e área igual a
“A”, seja solicitada por uma força
externa “F” de tração (que tende a
alongar a peça).
Pelo método de seções, isolando as
partes e aplicando as condições de
equilíbrio, verificamos que existe na
seção interna uma força “Fn”,
reagindo contra a força externa F.
Essa força “Fn” é suportada por
uma seção transversal com uma área
“A”, significando que cada unidade
de área irá suportar uma tensão de
tração.
Esforços de Tração
Dependendo do caso, a fórmula de tensão nos permite
calcular:
a) A área necessária para uma peça resistir ao esforço de
tração, se conhecer o material.
σt = Tensão admissível de tração (tabelada)
σ = Tensão Admissível de tração (tabelada)
Esforços de Tração
Dependendo do caso, a fórmula de tensão nos permite
calcular:
b) A tensão atuantena seção transversal da peça para
compará-la com a tensão admissível
Ensaio de Tração
O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de
prova a um esforço de tração progressivo sob a ação de
uma carga lenta e gradualmente crescente em uma máquina
de ensaios.
Durante o ensaio, mede-se continuamente a força de tração
aplicada (F) e a correspondente variação do seu
comprimento (ΔL) em um segmento “Lo” previamente
assinalado no corpo de prova.
Com a finalidade de padronizar os ensaios, existem
métodos elaborados pelas diversas entidades
normalizadoras (ABNT, ASTM, DIN) que especificam a
forma e as dimensões dos corpos de prova, conforme o
material que está sendo ensaiado.
Ensaio de Tração
Normalmente, a parte central do corpo de prova possui
uma seção transversal menor do que as extremidades, com
a finalidade de garantir que ocorra ruptura.
Gráfico Tensão x Deformação
Ao submetermos um corpo de prova a um esforço de
tração em uma máquina de ensaios, essa registra o
comportamento em um gráfico denominado “Carga x
Variação de Comprimento”. Nesse gráfico, pode-se
distinguir alguns pontos característicos que representam o
comportamento do material durante o ensaio, tais como:
Região Elástica – Região onde o material não sofre
nenhum dano estrutural, podendo parar o carregamento a
qualquer momento e voltar à estrutura inicial.
Região Plástica – Região onde o material começa a ter
danos estruturais, como podemos ver no gráfico, dentro
dele existe áreas distintas, quais sejam:
Gráfico Tensão x Deformação
Escoamento – É onde começa o rompimento das estruturas
internas no material.
Recuperação – É a área que não sofre mais o rompimento das
estruturas internas do material.
Gráfico Tensão x Deformação
Gráfico Tensão x Deformação
σp – Representa a região em que as tensões são diretamente
proporcionais às deformações sofridas (trecho reto da curva).
σe – Representa a tensão máxima onde o metal apresenta um
comportamento elástico, isto é, volta às dimensões originais após
a liberação da carga. Nesse caso, não ocorrem deformações
residuais ou permanentes no material. Para muitos materiais, a
tensão no limite de proporcionalidade e elasticidade são
praticamente iguais.
σs – Ponto a partir do qual aumentam as deformações sem que
se alterem praticamente as tensões. Quando se atinge o limite
de escoamento, dizemos que o material passa a escoar-se. Alguns
materiais apresentam deformações sob tensão constante. O
ponto inicial onde se indica o escoamento recebe o nome de
limite de escoamento superior e o final de limite de
escoamento inferior.
Gráfico Tensão x Deformação
σmax – É a tensão máxima que o material resiste ou a sua
resistência a tração.
σr – É a tensão no momento de ruptura do material. Em
materiais dúcteis verifica-se a ruptura com uma força
menor que a força máxima. Considerando o cálculo da
tensão, a redução de área que ocorre no corpo de prova,
no final do ensaio (estricção), verifica-se que a tensão de
ruptura é, no mínimo, igual à tensão máxima.
Lei de Hooke
Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert
Hooke, no ano de 1678,
constatou que uma série de materiais, quando submetidos à
ação de carga normal, sofre variação na sua dimensão linear
inicial, bem como na área da secção transversal inicial.
Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou
alongamento, constatando que:
quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da
peça, maior o alongamento, e que, quanto maior a área da secção
transversal e a rigidez do material, medido através do seu
módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando daí a
equação:
Lei de Hooke
Como 𝜎 =
F
A
podemos escrever a Lei de Hooke:
Lei de Hooke
O alongamento será positivo, quando a carga aplicada
tracionar a peça, e será negativo quando a carga aplicada
comprimir a peça.
É importante observar que a carga se distribui por toda área
da secção transversal da peça.
Lei de Hooke
A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a
deformação longitudinal (𝜀) e a deformação transversal (𝜀𝑡).
Deformação longitudinal (𝜀)
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de
comprimento (u.c) de uma peça submetida à ação de carga
axial.
Sendo definida através das relações:
Lei de Hooke
Deformação transversal (𝜀𝑡)
Determina-se através do produto entre a deformação
unitária (𝜀 ) e o coeficiente de Poisson Sendo definida
através das relações: (𝑣).
Lei de Hooke
Deformação transversal (𝜀𝑡)
Determina-se através do produto entre a deformação
unitária (𝜀 ) e o coeficiente de Poisson Sendo definida
através das relações: (𝑣).
Materiais Dúcteis e Frágeis
Os materiais, conforme as suas características, são
classificados como dúcteis ou frágeis.
Material Dúctil
O material é classificado como dúctil, quando submetido a
ensaio de tração, apresenta deformação plástica, precedida
por uma deformação elástica, para atingir o rompimento.
Ex.: Aço; alumínio, cobre, bronze, níquel, latão etc.
Materiais Dúcteis e Frágeis
Material Frágil
O material é classificado como frágil, quando submetido a
ensaio de tração não apresenta deformação plástica,
passando da deformação elástica para o rompimento.
Ex.: concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, cristal,
acrílico etc.
Diagrama tensão deformação do material frágil
Gráfico Tensão x Deformação
Estricção
No ensaio de tração, à medida que aumentamos a
intensidade de carga normal aplicada, observamos que a
peça apresenta alongamento na sua direção longitudinal e
uma redução na secção transversal.
Na fase de deformação plástica do material, essa redução da
secção transversal começa a se acentuar, apresentado
estrangulamento da secção na região de ruptura.
Essa propriedade mecânica é denominada estricção, sendo
determinada através da expressão:
Gráfico Tensão x Deformação
Estricção
Coeficiente de Segurança k
O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento
dos elementos de construção, visando assegurar o
equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo.
O projetista poderá obter o coeficiente em normas ou
determiná-la em função das circunstâncias apresentadas.
Os esforços são classificados em 3 tipos:
Carga Estática
A carga é aplicada na peça e permanece constante; como
exemplos, podemos citar:
Um parafuso prendendo uma luminária.
Uma corrente suportando um lustre.
Coeficiente de Segurança k
Carga Intermitente
Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça,
fazendo com que o seu esforço atinja o máximo, utilizando
para isso um determinado intervalo de tempo.
Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada
gradativamente no mesmo intervalo de tempo utilizado
para se atingir o máximo, fazendo com que a tensão atuante
volte a zero. E assim sucessivamente.
Ex.: o dente de uma engrenagem .
Coeficiente de Segurança k
Carga Alternada
Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de
máximo positivo para máximo negativo ou vice versa,
constituindo-se na pior situação para o material.
Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc.
Obs.: para cisalhamento substituir 𝜎 por 𝜏.
Coeficiente de Segurança k
Para determinar o coeficiente de segurança em função das
circunstâncias apresentadas, deverá ser utilizada a expressão
a seguir:
Coeficiente de Segurança k
Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 < k < 3
aplicado a 𝜎𝑒 (tensão de escoamento do material), para o
material dúctil e ou aplicado a 𝜎𝑟 (tensão de ruptura do
material) para o material frágil.
Para o caso de cargas intermitentes ou alternadas, o valor
de k cresce como nos mostra a equação para sua obtenção.Tensão Admissível 𝝈 ou 𝝈 adm
A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material
nas circunstâncias apresentadas.
Geralmente, essa tensão deverá ser mantida na região de
deformação elástica do material.
Porém, há casos em que a tensão admissível poderá estar
na região da deformação plástica do material, visando
principalmente a redução do peso de construção como
acontece no caso de aviões, foguetes, mísseis, etc.
Para o nosso estudo, restringiremos somente ao primeiro
caso (região elástica) que é o que frequentemente ocorre
na prática.
Tensão Admissível 𝝈 ou 𝝈 adm
A tensão admissível é determinada através da relação
𝜎𝑒(tensão de escoamento) coeficiente de segurança para os
materiais dúcteis, 𝜎𝑟 (tensão de ruptura) coeficiente de
segurança para os materiais frágeis.
Peso Próprio
Em projetos de porte, é necessário levar em conta, no
dimensionamento dos elementos de construção, o peso
próprio do material, que será determinado através do
produto entre o peso específico do material e o volume da
peça, conforme nos mostra o estudo a seguir.
Aço e sua Classificação
Aço é um produto siderúrgico que se obtém através de via
líquida, cujo teor de carbono não supere a 2%.
Dimensionamento de Peças
Peças de SecçãoTransversal Qualquer
Dimensionamento de Peças
Peças de SecçãoTransversal Circular
Diâmetro da Peças
Dimensionamento de Correntes
A carga axial na corrente se divide na metade para cada
secção transversal do elo.
Propriedades Mecânicas
Propriedades Mecânicas
Propriedades Mecânicas
Propriedades Mecânicas
Propriedades Mecânicas
Esta tabela foi adaptada através das normas da ABNT
NB-82; EB-126; EB-127; PEB-128; NB-11.
As tensões de ruptura das madeiras deverão ser
consideradas paralelas às fibras.
Exercícios
Exercício 1- A barra circular representada na figura. é de
aço, possui d = 20 mm e comprimento l =0,8m. Encontra-se
submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN.
Pede-se determinar para a barra:
a) Tensão normal atuante (𝜎)
b) O alongamento (∆𝑙)
c) A deformação longitudinal (𝜀)
d) A deformação transversal (𝜀𝑡)
Exercícios
Exercício 2 - Determinar o diâmetro da barra 1 da
construção representada na figura. O material da barra é o
ABNT 1010L com 𝜎𝑒 = 220 MPa, e o coeficiente de
segurança indicado para o caso é k = 2.
Exercícios
Exercício 3 - A figura dada, representa duas barras de aço
soldadas na secção BB.
Exercícios
Exercício 4 - Uma barra circular possui d = 32 mm, e
o seu comprimento l = 1,6 m. Ao ser tracionada por
uma carga axial de 4kN, apresenta um alongamento
∆𝑙 = 114
um. Qual o material da barra?