MICRO I (Aula 06 - Dualidade)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 06 
 
 
DUALIDADE NA TEORIA DO CONSUMIDOR 
 
Na Teoria do Consumidor, há dois problemas considerados “gêmeos”: 
• O Problema de Maximização da Utilidade (PMU) onde o consumidor, 
conhecendo os preços pagos pelos bens e a sua renda, busca maximizar a 
utilidade da cesta de consumo mais preferida, tendo o seu orçamento como 
restrição. 
• O Problema de Minimização do Dispêndio (PMD) onde o consumidor, 
conhecendo os preços pagos pelos bens e um determinado nível de 
utilidade, busca minimizar o dispêndio (ou gasto) com a cesta de consumo 
mais preferida, tendo o nível de utilidade como restrição. 
 
PMU - Problema de Maximização da 
Utilidade (Primal) 
𝑴𝒂𝒙 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏) 
sujeito a 𝒑𝟏𝒙𝟏 + 𝒑𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏𝒙𝒏 = 𝑴 
Solução pelo Método de Lagrange. 
Resultados: demandas Marshallianas 
(ou ordinárias) como função dos preços 
e da renda: 
𝒙𝒊(𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒏, 𝑴) , 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … 𝒏 
PMD - Problema de Minimização do 
Dispêndio (Dual) 
𝑴𝒊𝒏 𝒑𝟏𝒙𝟏 + 𝒑𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏𝒙𝒏 
sujeito a 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏) = �̅� 
Solução pelo Método de Lagrange. 
Resultados: demandas Hicksianas (ou 
compensadas) como função dos 
preços e da utilidade: 
𝒙𝒊
𝒉(𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒏, �̅�) 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … 𝒏 
 
Soluções Gráficas do PMU e do PMD para preferências definidas no 𝑿 = 𝑹+
 𝟐 
 
 
 
Observação: a demanda Hicksiana, também denominada de ‘compensada’, deve-se ao 
fato de que, na ocorrência de variações de preços, o consumidor gostaria de ser 
compensado com uma variação de renda para mantê-lo na mesma curva de indiferença, 
ou seja, com o mesmo nível de utilidade. 
 
 
Solução Algébrica do PMD no 𝑹+ 
𝟐 
 
(1) Função Lagrange 
𝐿(𝑥1, 𝑥2, 𝜑) = [𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2] + 𝜑[�̅� − 𝑈(𝑥1, 𝑥2)] 
(2) Condições de Primeira Ordem (CPO) 
𝜕𝐿(. )
𝜕𝑥1
=
𝜕𝐿(. )
𝜕𝑥2
=
𝜕𝐿(. )
𝜕𝜑
= 0 
(3) Trabalhando-se algebricamente as CPO resulta, 
𝑝1
𝑈𝑀𝑔1
=
𝑝2
𝑈𝑀𝑔2
 ⇒
𝑈𝑀𝑔1
𝑈𝑀𝑔2
=
𝑝1
𝑝2
 
(4) Substitutindo-se esta condição de equilíbrio na função de restrição resultam as 
quantidades ótimas, chamadas de demandas hicksianas ou compensadas, como 
funções dos preços e da utilidade, 
𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) Demanda Hicksiana pelo bem 1 
𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) Demanda Hicksiana pelo bem 2 
 
Condições de Segunda Ordem (CSO) 
 
|Ĥ| =
|
|
∂²L(. )
∂φ2
∂²L(. )
∂φ ∂x1
∂²L(. )
∂φ ∂x2
∂²L(. )
∂x1 ∂φ
∂²L(. )
∂x1
2
∂²L(. )
∂x1 ∂x2
∂²L(. )
∂x2 ∂φ
∂²L(. )
∂x2 ∂x1
∂²L(. )
∂x2
2
|
|
= |
0 −U1 −U2
−U1 −φU11 −φU12
−U2 −φU21 −φU22
| < 0 
 
 
Propriedades da Função Demanda Hicksiana 
(i) 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) é Homogênea de Grau Zero nos preços: 
𝑥1
ℎ(∝ 𝑝1, ∝ 𝑝2, 𝑈) = 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈), ∀𝛼 > 0, 
(ii) Não há excesso de utilidade: 
𝑈(𝑥1
ℎ , 𝑥2
ℎ) = �̅� 
 
Função Dispêndio Mínimo 𝒆(𝒑, 𝑼) 
Substituindo-se as demandas hicksianas 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) e 𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) na função objetivo 
(dispêndio ou gasto) do PMD, obtém-se a Função Dispêndio Mínimo. No caso de dois 
bens, tem-se, 
𝒆(𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝑼) = 𝒑𝟏𝒙𝟏
𝒉(𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝑼) + 𝒑𝟐𝒙𝟐
𝒉(𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝑼) 
 
Propriedades da Função Dispêndio Mínimo 
(i) 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) é Homogênea de Grau 1 nos preços: 
𝑒(∝ 𝑝1, ∝ 𝑝2, 𝑈) = ∝ 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈), ∝> 0 
(ii) 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) é estritamente crescente em U: 
Se U′ > U ⇒ e(𝑝1, 𝑝2, U
′) > e(𝑝1, 𝑝2, U) ou 
∂e(𝑝1, 𝑝2, U)
∂U
> 0 
(iii) 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) é não decrescente nos preços: 
Se p1
′ > 𝑝1 ⇒ e(p1
′ , 𝑝2, U) > e(𝑝1, 𝑝2, U) ou 
∂e(𝑝1, 𝑝2, U)
∂p1
≥ 0 
 
Lema de Shepard 
 
A demanda hicksiana pelo bem i é igual à derivada da função dispêndio mínimo em 
relação ao preço do bem i. 
𝑥𝑖
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) =
𝜕𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈)
𝜕𝑝𝑖
, 𝑖 = 1,2 
 
Relações Duais 
 
A Maximização da Utilidade implica em Minimização do Dispêndio e vice-versa. 
 
• Se (𝑥1
∗, 𝑥2
∗) é a solução do PMU e 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) = 𝑢(𝑥1
∗, 𝑥2
∗) é a utilidade indireta (máxima) 
alcançada, então (𝑥1
∗, 𝑥2
∗) é também a solução do PMD; 
• Se (𝑥1
ℎ, 𝑥2
ℎ) é a solução do PMD e 𝑀 = ∑ 𝑝𝑖
2
𝑖=1 . 𝑥𝑖
ℎ é o menor dispêndio possível, então 
(𝑥1
ℎ , 𝑥2
ℎ) é também a solução do PMU. 
 
Embora as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo sejam conceitualmente distintas, 
existe uma relação muito próxima entre elas. O mesmo pode ser dito em relação às 
demandas Marshalliana e Hicksiana 
 
Relações entre as Funções Demanda Marshalliana e Hicksiana 
No ponto de equilíbrio do consumidor, valem as seguintes relações: 
(1) A demanda marshalliana pelo bem i ao nível de renda M é igual à demanda hicksiana 
deste mesmo bem ao nível de utilidade máxima, 𝑣(𝑝, 𝑀). 
𝒙𝒊(𝒑, 𝑴) = 𝒙𝒊
𝒉(𝒑, 𝒗(𝒑, 𝑴)) 
(2) A demanda hicksiana pelo bem i ao nível de utilidade máxima é igual à demanda 
marshalliana ao nível de dispêndio mínimo. 
𝒙𝒊
𝒉(𝒑, 𝑼∗) = 𝒙𝒊(𝒑, 𝒆(𝒑, 𝑼
∗)) 
 
Relações entre as Funções Utilidade Indireta e Dispêndio Mínimo 
No ponto de equilíbrio do consumidor, valem as seguintes relações: 
(1) O dispêndio mínimo necessário para se alcançar o nível de utilidade máxima é igual à 
renda M. 
𝒆(𝒑, 𝒗(𝒑, 𝑴)) = 𝑴 
 
(2) A utilidade máxima alcançada com o dispêndio mínimo é igual a utilidade U. 
𝒗(𝒑, 𝒆(𝒑, 𝑼)) = 𝑼 
 
Literatura: 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 7, 8) 
JEHLE & RENY (2001) 
ANEXO 1 
Da função Utilidade Indireta para a função Utilidade Direta 
A função utilidade indireta, 𝑣(𝑝∗, 𝑀), gerada por 𝑈(𝑥∗), atinge um mínimo em 𝑝 ∈ 𝑅++
𝑛 . 
𝑼(𝒙) = 𝒎𝒊𝒏 𝒗[𝒑∗, (𝒑∗. 𝒙)] 
𝒑 ∈ 𝑹++
𝒏 
A homogeneidade de grau zero nos preços e na renda (𝑀 = 𝑝. 𝑥) da função utilidade 
indireta permite escrever que, 
𝑣(𝑝∗, 𝑀) = 𝑣[𝑝∗, (𝑝∗. 𝑥)] = 𝑣 (
𝑝∗
𝑝∗.𝑥
,
𝑝∗.𝑥
𝑝∗.𝑥
) = 𝑣 (
𝑝∗
𝑝∗.𝑥
, 1), para todo 𝑝. 𝑥 > 0 
Consequentemente, se 𝑥 ≫ 0 e 𝑝∗ ≫ 0 minimizam 𝑣(𝑝∗, 𝑝∗. 𝑥) para todo 𝑝 ∈ 𝑅++
𝑛 . 
Fazendo �̂� ≡
𝑝∗
𝑝∗∙𝑥
≫ 0, então, tem-se, 
𝑣(𝑝∗, 𝑝∗. 𝑥) = 𝑣(�̂�,1). 
Desta forma, o problema será: 
𝑼(𝒙) = 𝒎𝒊𝒏 𝒗(𝒑, 𝟏) 
𝒑 ∈ 𝑹++
𝒏 
𝒔𝒖𝒋𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒂 𝒑. 𝒙 = 𝟏 
 
Exemplo 1: 
Para uma função utilidade Cobb-Douglas 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎 . 𝑥𝑎
𝑏 , 𝑎, 𝑏 > 0, a solução do PMU 
gera uma função utilidade indireta dada por: 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑀(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)𝑝1
𝑎𝑝2
𝑏 
Faça 𝑀 = 1 e o termo 
𝑎𝑎𝑏𝑏
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
= 𝑘. Logo, 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 1) =
𝑘
𝑝1
𝑎𝑝2
𝑏 = 𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏 
A função utilidade direta será encontrada minimizando-se a função utilidade indireta nos 
preços, sujeito à restrição onde 𝑀 = 1. 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑚𝑖𝑛 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 1) = 𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏 
𝑝1 ≫ 0, 𝑝2 ≫ 0 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
Usando-se o método de Lagrange, 
ℒ(𝑝1, 𝑝2, 𝜆) = 𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏 + 𝜆(1 − 𝑝1. 𝑥1 − 𝑝2. 𝑥2) 
 
CPO - Condições de Primeira Ordem, 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝1
= 0 → −𝑎𝑘𝑝1
−𝑎−1𝑝2
−𝑏 = 𝜆𝑥1 (1) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝2
= 0 → −𝑏𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏−1 = 𝜆𝑥2 (2) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝜆
= 0 → 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 (3) 
De (1) e (2) resulta, 
𝑝2 = (
𝑏
𝑎
) (
𝑥1
𝑥2
) 𝑝1 (4) 
Substituindo-se (4) em (3) resulta, 
𝑝1
∗ =
𝑎
(𝑎+𝑏)𝑥1
 (5) 
Substituindo-se (5) em (4) resulta, 
𝑝2
∗ =
𝑏
(𝑎+𝑏)𝑥2
 (6) 
Substituindo-se (5) e (6) na função objetivo, 
=
𝑘
(
𝑎
(𝑎+𝑏)𝑥1
)
𝑎
(
𝑏
(𝑎+𝑏)𝑥2
)
𝑏 =
𝑘
𝑎𝑎𝑏𝑏
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)𝑥1
𝑎𝑥2𝑏
=
𝑘
𝑘
𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏
= 𝒙𝟏
𝒂𝒙𝟐
𝒃 = 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 
 
Exemplo 2: 
Para uma função utilidade CES dada por 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = {𝒙𝟏
𝒂 + 𝒙𝟐
𝒂}
𝟏
𝒂, a solução do PMU gera 
uma função utilidade indireta dada por 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) = 𝑀 (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
 
A função utilidade direta será encontrada minimizando-se a função utilidade indireta nos 
preços, sujeito à restrição onde 𝑀 = 1. 
𝑀𝑖𝑛 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 1) = (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
 
𝑝1 ≫ 0, 𝑝2 ≫ 0 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
 
ℒ(𝑝1, 𝑝2, 𝜆) = (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
+ 𝜆(1 − 𝑝1. 𝑥1 − 𝑝2. 𝑥2) 
Condições de Primeira Ordem, 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝1
= 0 → (
1−𝑎
𝑎
) (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
−1
(
𝑎
𝑎−1
)𝑝1
𝑎
𝑎−1
−1
= 𝜆𝑥1 (1) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝2
= 0 → (
1−𝑎
𝑎
) (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
−1
(
𝑎
𝑎−1
)𝑝2
𝑎
𝑎−1
−1
= 𝜆𝑥2 (2) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝜆
= 0 → 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 (3) 
De (1) e (2) resulta, 
𝑝1
1
𝑎−1
𝑥1
=
𝑝2
1
𝑎−1
𝑥2
 
Elevando-se os dois lados da equação a (𝑎 − 1), tem-se, 
𝑝1
𝑥1
𝑎−1 =
𝑝2
𝑥2
𝑎−1 → 𝑝1 = (
𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1) 𝑝2 (4) 
Substituindo-se (4) em (3) resulta, 
(
𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1) 𝑝2. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
∴
𝑝2. 𝑥1. 𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
∴ 𝑝2. 𝑥1
𝑎 + 𝑝2. 𝑥2
𝑎 = 𝑥2
𝑎−1 
∴ 𝒑𝟐
∗ =
𝒙𝟐
𝒂−𝟏
(𝒙𝟏
𝒂+𝒙𝟐
𝒂)
 (5) 
Substituindo-se (5) em (4) resulta, 
𝑝1
∗ = (
𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1) (
𝑥2
𝑎−1
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
) 
∴ 𝒑𝟏
∗ =
𝒙𝟏
𝒂−𝟏
(𝒙𝟏
𝒂+𝒙𝟐
𝒂)
 (6) 
Substituindo-se (5) e (6) na função objetivo, resulta, 
(𝑝1
∗
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
∗
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ ((
𝑥1
𝑎−1
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
)
𝑎
𝑎−1
+ (
𝑥2
𝑎−1
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
)
𝑎
𝑎−1
)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ (
𝑥1
𝑎
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
𝑎
𝑎−1
+
𝑥2
𝑎
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
𝑎
𝑎−1
)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ (
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
𝑎
𝑎−1
)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ ((𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)1−
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
 → ((𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
−1
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
= ((𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
1
1−𝑎)
1−𝑎
𝑎
 
∴ (𝒙𝟏
𝒂 + 𝒙𝟐
𝒂)
𝟏
𝒂 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Um consumidor encara uma função utilidade Cobb-Douglas dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏, com 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0, preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas hicksianas ótimas, 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) e 𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(c) A função dispêndio, 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(d) Prove as propriedades função dispêndio, 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(e) Prove o Lema de Shepard para a demanda pelo bem 1; 
(f) Prove as relações duais entre as demandas marshallianas e hicksianas pelo bem 1; 
(g) Prove as relações duais entre as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo; 
(h) Encontre a função utilidade direta a partir da função utilidade indireta. 
 
2. Um consumidor encara uma função utilidade CES dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = [𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎]1/𝑎, com 𝑎 ≠ 0, 𝑎 > 1, preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas hicksianas ótimas, 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) e 𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(c) A função dispêndio, 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(d) Prove as propriedades função dispêndio, 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(e) Prove o Lema de Shepard para a demanda pelo bem 1; 
(f) Prove as relações duais entre as demandas marshallianas e hicksianas pelo bem 1; 
(g) Prove as relações duais entre as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo; 
(h) Encontre a função utilidade direta a partir da função utilidade indireta. 
 
3. Um consumidor encara uma função utilidade Quase-Linear dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + √𝑥2, paga preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e possui renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas hicksianas ótimas, 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) e 𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(c) A função dispêndio, 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(d) Prove as propriedades função dispêndio, 𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈); 
(e) Prove o Lema de Shepard para a demanda pelo bem 1; 
(f) Prove as relações duais entre as demandas marshallianas e hicksianas pelo bem 1; 
(g) Prove as relações duais entre as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo; 
(h) Encontre a função utilidade direta a partir da função utilidade indireta. 
 
APÊNDICE 1 
Da função Utilidade Indireta para a função Utilidade Direta 
A função utilidade indireta, 𝑣(𝑝∗, 𝑀), gerada por 𝑈(𝑥∗), atinge um mínimo em 𝑝 ∈ 𝑅++
𝑛 . 
𝑼(𝒙) = 𝒎𝒊𝒏 𝒗[𝒑∗, (𝒑∗. 𝒙)] 
𝒑 ∈ 𝑹++
𝒏 
A homogeneidade de grau zero nos preços e na renda (𝑀 = 𝑝. 𝑥) da função utilidade 
indireta permite escrever que, 
𝑣(𝑝∗, 𝑀) = 𝑣[𝑝∗, (𝑝∗. 𝑥)] = 𝑣 (
𝑝∗
𝑝∗.𝑥
,
𝑝∗.𝑥
𝑝∗.𝑥
) = 𝑣 (
𝑝∗
𝑝∗.𝑥
, 1), para todo 𝑝. 𝑥 > 0 
Consequentemente, se 𝑥 ≫ 0 e 𝑝∗ ≫ 0 minimizam 𝑣(𝑝∗, 𝑝∗. 𝑥) para todo 𝑝 ∈ 𝑅++
𝑛 . 
Fazendo �̂� ≡
𝑝∗
𝑝∗∙𝑥
≫ 0, então, tem-se, 
𝑣(𝑝∗, 𝑝∗. 𝑥) = 𝑣(�̂�,1). 
Desta forma, o problema será: 
𝑼(𝒙) = 𝒎𝒊𝒏 𝒗(𝒑, 𝟏) 
𝒑 ∈ 𝑹++
𝒏 
𝒔𝒖𝒋𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒂 𝒑. 𝒙 = 𝟏 
 
 
Exemplo 1: 
Para uma função utilidade Cobb-Douglas 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎 . 𝑥𝑎
𝑏 , 𝑎, 𝑏 > 0, a solução do PMU 
gera uma função utilidade indireta dada por: 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑀(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)𝑝1
𝑎𝑝2
𝑏 
Faça 𝑀 = 1 e o termo 
𝑎𝑎𝑏𝑏
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
= 𝑘. Logo, 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 1) =
𝑘
𝑝1
𝑎𝑝2
𝑏 = 𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏 
A função utilidade direta será encontrada minimizando-se a função utilidade indireta nos 
preços, sujeito à restrição onde 𝑀 = 1. 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑚𝑖𝑛 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 1) = 𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏 
𝑝1 ≫ 0, 𝑝2 ≫ 0 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
Usando-se o método de Lagrange, 
ℒ(𝑝1, 𝑝2, 𝜆) = 𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏 + 𝜆(1 − 𝑝1. 𝑥1 − 𝑝2. 𝑥2) 
 
CPO - Condições de Primeira Ordem, 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝1
= 0 → −𝑎𝑘𝑝1
−𝑎−1𝑝2
−𝑏 = 𝜆𝑥1 (1) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝2
= 0 → −𝑏𝑘𝑝1
−𝑎𝑝2
−𝑏−1 = 𝜆𝑥2 (2) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝜆
= 0 → 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 (3) 
De (1) e (2) resulta, 
𝑝2 = (
𝑏
𝑎
) (
𝑥1
𝑥2
) 𝑝1 (4) 
Substituindo-se (4) em (3) resulta, 
𝑝1
∗ =
𝑎
(𝑎+𝑏)𝑥1
 (5) 
Substituindo-se (5) em (4) resulta, 
𝑝2
∗ =
𝑏
(𝑎+𝑏)𝑥2
 (6) 
Substituindo-se (5) e (6) na função objetivo, 
=
𝑘
(
𝑎
(𝑎+𝑏)𝑥1
)
𝑎
(
𝑏
(𝑎+𝑏)𝑥2
)
𝑏 =
𝑘
𝑎𝑎𝑏𝑏
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏
=
𝑘
𝑘
𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏
= 𝒙𝟏
𝒂𝒙𝟐
𝒃 = 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 
 
Exemplo 2: 
Para uma função utilidade CES dada por 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = {𝒙𝟏
𝒂 + 𝒙𝟐
𝒂}
𝟏
𝒂, a solução do PMU gera 
uma função utilidade indireta dada por 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) = 𝑀 (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
 
A função utilidade direta será encontrada minimizando-se a função utilidade indireta nos 
preços, sujeito à restrição onde 𝑀 = 1. 
𝑀𝑖𝑛 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 1) = (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
 
𝑝1 ≫ 0, 𝑝2 ≫ 0 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
 
ℒ(𝑝1, 𝑝2, 𝜆) = (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
+ 𝜆(1 − 𝑝1. 𝑥1 − 𝑝2. 𝑥2) 
Condições de Primeira Ordem, 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝1
= 0 → (
1−𝑎
𝑎
) (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
−1
(
𝑎
𝑎−1
)𝑝1
𝑎
𝑎−1
−1
= 𝜆𝑥1(1) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝑝2
= 0 → (
1−𝑎
𝑎
) (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
−1
(
𝑎
𝑎−1
)𝑝2
𝑎
𝑎−1
−1
= 𝜆𝑥2 (2) 
𝜕ℒ(.)
𝜕𝜆
= 0 → 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 (3) 
De (1) e (2) resulta, 
𝑝1
1
𝑎−1
𝑥1
=
𝑝2
1
𝑎−1
𝑥2
 
Elevando-se os dois lados da equação a (𝑎 − 1), tem-se, 
𝑝1
𝑥1
𝑎−1 =
𝑝2
𝑥2
𝑎−1 → 𝑝1 = (
𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1) 𝑝2 (4) 
Substituindo-se (4) em (3) resulta, 
(
𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1) 𝑝2. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
∴
𝑝2. 𝑥1. 𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1 + 𝑝2. 𝑥2 = 1 
∴ 𝑝2. 𝑥1
𝑎 + 𝑝2. 𝑥2
𝑎 = 𝑥2
𝑎−1 
∴ 𝒑𝟐
∗ =
𝒙𝟐
𝒂−𝟏
(𝒙𝟏
𝒂+𝒙𝟐
𝒂)
 (5) 
Substituindo-se (5) em (4) resulta, 
𝑝1
∗ = (
𝑥1
𝑎−1
𝑥2
𝑎−1) (
𝑥2
𝑎−1
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
) 
∴ 𝒑𝟏
∗ =
𝒙𝟏
𝒂−𝟏
(𝒙𝟏
𝒂+𝒙𝟐
𝒂)
 (6) 
Substituindo-se (5) e (6) na função objetivo, resulta, 
(𝑝1
∗
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
∗
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ ((
𝑥1
𝑎−1
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
)
𝑎
𝑎−1
+ (
𝑥2
𝑎−1
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
)
𝑎
𝑎−1
)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ (
𝑥1
𝑎
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
𝑎
𝑎−1
+
𝑥2
𝑎
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
𝑎
𝑎−1
)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ (
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
(𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
𝑎
𝑎−1
)
1−𝑎
𝑎
= 
∴ ((𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)1−
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
 → ((𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
−1
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
= ((𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎)
1
1−𝑎)
1−𝑎
𝑎
 
∴ (𝒙𝟏
𝒂 + 𝒙𝟐
𝒂)
𝟏
𝒂 
 
 
 
 
APÊNDICE 2 
RESULTADOS DO PMU E PMD 
(1) FUNÇÃO COBB-DOUGLAS 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = 𝒙𝟏
𝒂. 𝒙𝒂
𝒃, com a,b>0 
𝑥1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) = (
𝑎
𝑎+𝑏
)
𝑀
𝑝1
 ; função demanda marshalliana pelo bem 1 
𝑥2(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) = (
𝑏
𝑎+𝑏
)
𝑀
𝑝2
 ; função demanda marshalliana pelo bem 2 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑀(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)𝑝1
𝑎𝑝2
𝑏 ; função utilidade indireta 
𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = (
𝑏
𝑎
)
−𝑏
𝑎+𝑏 (
𝑝1
𝑝2
)
−𝑏
𝑎+𝑏 𝑈
1
𝑎+𝑏 ; função demanda hikcsiana pelo bem 1 
𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = (
𝑏
𝑎
)
𝑎
𝑎+𝑏 (
𝑝1
𝑝2
)
𝑎
𝑎+𝑏 𝑈
1
𝑎+𝑏
 
 ; função demanda hikcsiana pelo bem 2 
𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = [(
𝑏
𝑎
)
−𝑏
𝑎+𝑏 + (
𝑏
𝑎
)
𝑎
𝑎+𝑏] 𝑝1
𝑎
𝑎+𝑏𝑝2
𝑏
𝑎+𝑏𝑈
1
𝑎+𝑏
 
 ; função dispêndio mínimo 
(2) FUNÇÃO CES 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = {𝒙𝟏
𝒂 + 𝒙𝟐
𝒂}
𝟏
𝒂, a>0 
𝑥1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑝1
1
𝑎−1𝑀
(𝑝1
𝑎
𝑎−1+𝑝2
𝑎
𝑎−1)
 ; função demanda marshalliana pelo bem 1 
𝑥2(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑝2
1
𝑎−1𝑀
(𝑝1
𝑎
𝑎−1+𝑝2
𝑎
𝑎−1)
 ; função demanda marshalliana pelo bem 2 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) = 𝑀 (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1−𝑎
𝑎
 ; função utilidade indireta 
𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) =
𝑝1
1
𝑎−1 𝑈
(𝑝1
𝑎
𝑎−1+𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1
𝑎
 ; função demanda hicksiana pelo bem 1 
𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) =
𝑝2
1
𝑎−1 𝑈
(𝑝1
𝑎
𝑎−1+𝑝2
𝑎
𝑎−1)
1
𝑎
 ; função demanda hicksiana pelo bem 2 
𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = 𝑈 (𝑝1
𝑎
𝑎−1 + 𝑝2
𝑎
𝑎−1)
𝑎−1
𝑎
 ; função dispêndio mínimo 
(3) FUNÇÃO QUASE LINEAR 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = 𝒙𝟏 + √𝒙𝟐, 
𝑥1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
4𝑝2𝑀−𝑝1
2
4𝑝1𝑝2
 ; 
𝑥2(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑝1
2
4𝑝2
2 ; 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
4𝑝2𝑀+𝑝1
2
4𝑝1𝑝2
 ; 
𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = 𝑈 −
𝑝1
2𝑝2
 ; 
𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) =
𝑝1
2
4𝑝2
2 ; 
𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) =
4𝑝1𝑝2𝑈−𝑝1
2
4𝑝2
 
(4) FUNÇÃO QUASE LINEAR 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = √𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 
𝑥1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑝2
2
4𝑝1
2 
𝑥2(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
4𝑝1𝑀−𝑝2
2
4𝑝1𝑝2
 ; 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
4𝑝1𝑀+𝑝2
2
4𝑝1𝑝2
 ; 
𝑥1
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) =
𝑝2
2
4𝑝1
2 ; 
𝑥2
ℎ(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = 𝑈 −
𝑝2
2𝑝1
 ; 
𝑒(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) =
4𝑝1𝑝2𝑈 − 𝑝2
2
4𝑝1