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Instituto Federal Sul-Rio-Grandense de Educação, Ciência e Tecnologia 
Curso: Engenharia Elétrica 
Disciplina: Fenômenos de Transporte 
 
Prof. Régis da Silva Pereira 1 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
DE 
MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
 
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Curso: Engenharia Elétrica 
Disciplina: Fenômenos de Transporte 
 
Prof. Régis da Silva Pereira 2 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO AO TRANSPORTE DE FLUIDOS ............................................................................................. 4 
1.1. DEFINIÇÃO DE FLUIDO E ESCOAMENTO .................................................................................................. 4 
1.2. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS .................................................................................................................. 4 
1.3. CLASSIFICAÇÃO DOS FLUIDOS ................................................................................................................. 6 
1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS ..................................................................................................... 6 
2. HIDRÁULICA ....................................................................................................................................................... 7 
2.1. HIDRODINÂMICA ........................................................................................................................................... 7 
2.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE.................................................................................................................... 7 
2.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS.................................................................................................................... 11 
2.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI ........................................................................................................................ 13 
2.5. HIDROSTÁTICA ............................................................................................................................................ 14 
3. MEDIDORES DE PRESSÃO ............................................................................................................................. 17 
3.1. MÉTODOS A COLUNA LÍQUIDA ................................................................................................................. 17 
3.2. MÉTODOS A ELEMENTOS ELÁSTICOS .................................................................................................... 17 
3.3. MÉTODOS ELÉTRICOS ............................................................................................................................... 19 
4. MEDIDORES DE VAZÃO .................................................................................................................................. 21 
4.1. Medida por pressão ..................................................................................................................................... 21 
4.2. Rotâmetros ................................................................................................................................................... 23 
4.3. Pitot ............................................................................................................................................................... 23 
4.4. Fluxímetros de massa ................................................................................................................................. 24 
4.5. Vertedores .................................................................................................................................................... 24 
5. HIDRÁULICA APLICADA A TUBULAÇÕES ................................................................................................... 27 
5.1. CLASSIFICAÇÃO DOS TUBOS ................................................................................................................... 27 
5.1.1. Fabricação de Tubos sem costura ............................................................................................................ 28 
5.1.2. Fabricação de Tubos com costura ............................................................................................................ 31 
5.2. BITOLAS COMERCIAIS ............................................................................................................................... 32 
5.3. ESPESSURAS COMERCIAIS ...................................................................................................................... 32 
5.4. USOS DOS PRINCIPAIS TIPOS .................................................................................................................. 32 
5.5. PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES ..................................................................................................... 33 
 
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5.5.1. CÁLCULO DA PERDA DE CARGA ............................................................................................................. 34 
6. ACESSÓRIOS DE TUBULAÇÕES E VÁLVULAS ........................................................................................... 38 
6.1. ACESSÓRIOS DE TUBULAÇÕES ............................................................................................................... 38 
6.1.1. MEIOS DE LIGAÇÃO DE TUBOS ................................................................................................................ 40 
6.2. VÁLVULAS.................................................................................................................................................... 41 
6.2.1. PERDA DE CARGA LOCALIZADA ............................................................................................................. 51 
7. SISTEMAS DE BOMBEAMENTO ..................................................................................................................... 54 
7.1. COMPONENTES DE UM SISTEMA HIDRÁULICO ..................................................................................... 54 
7.2. BOMBAS HIDRAULICAS ............................................................................................................................. 54 
7.3. CLASSIFICAÇÃO DAS BOMBAS ............................................................................................................... 55 
7.3.1. BOMBA DE DESLOCAMENTO POSITIVO ................................................................................................. 55 
7.3.2. BOMBAS CENTRÍFUGAS (DESLOCAMENTO NÃO-POSITIVO) .............................................................. 59 
7.4. CAVITAÇÃO/NPSH ...................................................................................................................................... 61 
7.5. PROCEDIMENTOS DE ESCORVAMENTO ................................................................................................. 66 
7.6. INSTALAÇÃO TIPICA DE UMA BOMBA .................................................................................................... 66 
7.7. ALTURA DE PROJETO E CURVA CARACTERISTICA ............................................................................. 67 
7.8. ESCOLHA DA BOMBA ................................................................................................................................ 70 
7.9. POTÊNCIA DAS BOMBAS ........................................................................................................................... 70 
8. ANÁLISE DIFERENCIAL DOS ESCOAMENTOS ............................................................................................ 74 
8.1. Descrição Eulereana e Lagrangeana de um escoamento .......................................................................74 
8.2. Campo de velocidade .................................................................................................................................. 74 
8.3. Campo de aceleração .................................................................................................................................. 74 
8.4. Linhas de corrente ....................................................................................................................................... 76 
8.5. Equação da continuidade em formulação diferencial ............................................................................. 77 
8.6. Transporte da quantidade de movimento ................................................................................................. 78 
8.7. Equação de Euler e Bernoulli ..................................................................................................................... 78 
8.8. Equações de Navier-Stokes........................................................................................................................ 80 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO AO TRANSPORTE DE FLUIDOS 
 
1.1. DEFINIÇÃO DE FLUIDO E ESCOAMENTO 
 
Fluido: é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma força externa não 
importando o quão pequena possa ser essa força. Um subconjunto das fases da matéria, os fluidos incluem os 
líquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os sólidos plásticos. 
 
Escoamento: é o movimento do fluido ao longo de um conduto. 
 
1.2. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
 
Massa especifica ou densidade absoluta: é a relação entre a massa do fluido e o volume que ele ocupa 
 
V
m
=
 
 Exemplos: 
- mercúrio: Hg = 13.600 kg/m3 
- água: H2O = 1.000 kg/m3 
- gelo: gelo = 920 kg/m3 
 
Densidade relativa: É a relação entre a massa específica de um material e a massa específica de uma 
substância de referência. No caso dos líquidos, a substância de referência é a água. É uma quantidade 
adimensional (sem dimensão). 
o



=
 
Peso específico: é o produto da massa especifica pela aceleração da gravidade. 
 
 = .g 
para água: 
 = 1000 x 9,8 = 9.800 N/m3 
 
Tensão de Cisalhamento (): Dada a figura: 
 
 
Define-se tensão de cisalhamento como a 
relação entre a componente tangencial da 
força F e a área da superfície onde ela está 
aplicada. 
 
 
 
 
 
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 Ao se aplicar uma força tangencial constante à placa superior (figura acima) ela irá se deslocar e o volume de 
fluido ABCD se deformará continuamente, não alcançando uma nova posição de equilíbrio estático, supondo-se 
as placas de comprimento infinito. Outra observação que se pode fazer desta experiência é que os pontos do 
fluido em contato com a placa móvel têm a mesma velocidade da placa e os pontos do fluido em contato com a 
placa fixa ficarão parados junto desta. 
Analisando novamente as duas placas, o fluido junto à placa superior possui velocidade Vo e o fluido junto à 
placa inferior possui velocidade nula, pois a mesma é fixa. Os pontos de um fluido em contato com uma superfície 
sólida aderem à superfície, onde cada camada de fluido desliza sobre outra camada adjacente com uma 
velocidade relativa. Em outras palavras, há atrito entre as diversas camadas de fluido. 
 
O deslizamento entre camadas origina tensões de cisalhamento, que se multiplicadas pela área da placa dão 
origem a forças internas no fluido. Newton descobriu que em muitos fluidos a tensão de cisalhamento é 
proporcional à variação da velocidade com y. 
 
 
 
Viscosidade dinâmica (): Para espessuras de fluido, entre as placas, muito pequena, pode-se adotar a 
simplificação indicada na Figura abaixo. 
 
 
A constante de proporcionalidade referida por Newton foi chamada de Viscosidade dinâmica ou absoluta. 
Desta forma a lei de Newton fica: 
 
A viscosidade dinâmica do fluido é a propriedade que permite equilibrar as forças externas com as forças 
internas, mantendo a velocidade Vo constante. Em outras palavras a viscosidade é a propriedade que indica a 
maior ou menor dificuldade do fluido escoar. 
 
Viscosidade Cinemática: é a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido. 


 =
 
 
 
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Tensão superficial (): é a tendência que as moléculas do fluido possuem em se aglomerar e aglutinarem-se 
na superfície do fluido devido a diferença entre as força intermoleculares no fluido e no ar. Dessa forma, forma-se 
uma espécie de película de moléculas do fluido na superfície, permitindo que a superfície desse fluido resista a 
deformação devido a forças externas maiores. 
1.3. CLASSIFICAÇÃO DOS FLUIDOS 
 
➢ Quanto a viscosidade 
 
Newtoniano: são aqueles fluidos em que a viscosidade não varia com a temperatura ou pressão, dessa forma 
as características do escoamento destes fluidos não se alteram com estas variáveis. Exemplo: água. 
 
Não-Newtoniano: são aqueles fluidos em que a viscosidade varia com a temperatura ou pressão, dessa 
forma as características do escoamento destes fluidos se alteram com estas variáveis. Exemplo: Óleo, mel. 
 
➢ Quanto a massa específica 
 
Compressíveis: são aqueles fluidos em que a massa especifica varia com a temperatura ou pressão, dessa 
forma as características do escoamento destes fluidos também variam com estas variáveis. Exemplo: Ar 
 
Incompressíveis: são aqueles fluidos em que a massa especifica não varia com a temperatura ou pressão, 
dessa forma as características do escoamento destes fluidos não variam com estas variáveis. Exemplo: Água 
 
1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS 
 
➢ Quanto a pressão do conduto 
 
Escoamento livre: o escoamento ocorre sob condições atmosféricas, podendo ocorrer em condutos abertos. 
Exemplo: escoamento em rios. 
 
Escoamento forçado: o escoamento ocorre condições diferentes da atmosférica, podendo ocorrer somente 
em condutos fechados. Exemplo: escoamento em tubulações industriais. 
 
➢ Quanto a trajetória das partículas 
 
Escoamento Laminar: O escoamento ocorre em camadas bem definidas, não havendo perturbações ao 
longo do percurso. Exemplo: só corre em tubos com baixo atrito, fluidos de baixa viscosidade e velocidade 
controlada. 
 
Escoamento Turbulento: O escoamento ocorre de forma que suas camadas se misturam ao longo do 
caminho, não permitindo sua identificação, essa turbulência se deve principalmente ao atrito entre as camadas 
do fluido. Exemplo: a maioria dos escoamentos ocorre dessa forma como em rios e tubulações com grande 
atrito. 
 
➢ Quanto a variação no tempo 
 
Escoamento Permanente: é o escoamento que ocorre sem que sua velocidade ou outra característica de 
escoamento varie ao longo do tempo. Exemplo: escoamento sob a ação de bombas. 
 
Escoamento Transiente: é o escoamento que ocorre havendo variações de velocidade ou outra 
característica de escoamento ao longo do tempo. Exemplo: escoamento em rios. 
 
➢ Quanto ao número de dimensões envolvidas 
 
Escoamento Unidimensional: ocorre em apenas uma dimensão. Exemplo: Escoamento em tubulações. 
 
Escoamento Bidimensional: ocorre em duas dimensões. Exemplo: Um tanque de armazenagem ou um lago 
raso. 
Escoamento Tridimensional: ocorre nas três direções. Exemplo: escoamento numa praia ou do ar. 
 
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O estudo de transporte de fluidos que desenvolveremos no curso, se fará com Fluidos Newtonianos e 
Incompressíveis, além de escoamento forçados, turbulentos, permanentes e unidimensionais. 
 
2. HIDRÁULICA 
 
É a ciência baseada nas características físicas dos líquidos em repouso e em movimento, visando à 
transmissão de força e/ou movimento. 
 
Ciência que estuda os fluidos em movimento → Hidrodinâmica 
Ciência que estuda os fluidos em repouso → Hidrostática 
 
2.1. HIDRODINÂMICA 
 
A hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento. Vamos inicialmente analisar algumas propriedades dos 
fluidos em movimento. O movimento de um fluido real apresenta aspectos bastante complexos. Assim, 
formularemos três hipóteses simplificadoras que definem um fluido ideal. 
 
Hipótese 1: Vamos supor que o fluido não seja viscoso, ou seja, fluido Newtoniano 
Hipótese 2: Vamos supor que o fluido seja incompressível, isto é, que sua massa específica não varie ao 
longo do percurso. 
Hipótese 3: Vamos supor também que o movimento do fluido seja estacionário. Isso significa que a 
velocidade do fluido em um determinado ponto qualquer não variará com o tempo. 
 
2.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
 
Se dV = Avdt → dV/dt = Av, a razão dV/dt é denomidado de vazão volumétrica (Q). 
 
 
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Exercícios 
 
1. Um conduto possui 5 cm de diâmetro e vazão de 5cm³/s, ele conduz água que possui uma massa especifica 
de 1000 kg/m³, determine: 
a) o diâmetro em m; RTA: 0,050 m 
b) o diâmetro em ft; RTA: 0,164ft 
c) o diâmetro em pol; RTA: 1,968 pol 
d) a vazão em m³/s; RTA: 5x10-6 m³/s 
e) a vazão em l/h; RTA: 18 l/h 
f) a vazão em ml/s; RTA: 5 ml/s 
g) a velocidade em m/s; RTA: 2,54x10-3 m/s 
h) a velocidade em ft/h; RTA: 30,08 ft/h 
i) a velocidade em pol/s; RTA: 0,1 pol/s 
j) a massa especifica g/pol³; RTA: 16,38 g/pol³ 
k) a massa especifica em lb/ft³. RTA: 62,34 lb/ft³ 
 
 
 
2. Um conduto de 100 mm de diâmetro tem uma descarga de 6 l/s. Qual a velocidade de escoamento? RTA: 
0,764m/s 
 
3. Calcular o diâmetro de uma canalização para conduzir uma vazão de 100 l/s, com velocidade do líquido em 
seu interior de 2 m/s. RTA: 0,252 m 
 
4. Um conduto e constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25 e 0,20 m, como mostra a figura abaixo. 
Sabendo-se que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no conduto e a 
velocidade no ponto B. RTA: 0,029 m³/s; 0,9375 m/s 
 
 
 
5. Um tubo de 300 mm está ligado por meio de uma redução, a outro de 100 mm, como mostra a figura abaixo. 
Sendo a vazão no ponto 1 de 28,3 L/s, qual a velocidade no ponto 1 e 2. RTA: 0,4 m/s; 3,6 m/s 
 
 
6. Uma torneira despeja um líquido à uma vazão de 90 litros por minuto. Calcule a vazão dessa torneira em m³/s 
e cm³/s. RTA: 1,5x10-3 m³/s; 1,5x103 cm³/s 
 
7. Qual a área da torneira do exercicio anterior se a velocidade do escoamento é de 20 cm/s? RTA: 0,0075m² 
 
8. Sabendo que o diâmetro da seção transversal de uma tubulação possui 2 cm e que a velocidade de 
escoamento é de 5m/s, qual a vazão volumétrica? RTA: 0,00157 m3/s 
 
9. O sangue flui na aorta, de raio 9 mm, com uma velocidade aproximada de 30 cm/s. Considerando que todo o 
sangue flui para os capilares, que o raio médio de um capilar é 9.10-6 m e que a velocidade média de escoamento 
do sangue nos capilares é de 1,0 mm/s, determine o número necessário de capilares para receber o fluxo de 
sangue proveniente da aorta. RTA: 3x108 capilares 
 
10. A área da seção transversal da aorta (maior artéria que emerge do coração) de uma pessoa normal em 
repouso é 3 cm² e a velocidade v0 do sangue é 30 cm/s. Um capilar típico tem uma área de seção transversal A 
igual a 3 x 10-7 cm² e uma velocidade de escoamento de 0,05 cm/s. Quantos capilares essa pessoa possuí? RTA: 
6x109 capilares 
 
 
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11. Uma mangueira de jardim tem diâmetro de 1,8cm e esta ligada a um irrigador que consiste apenas de um 
recipiente com 24 furos, cada um tem diâmetro de 0,12cm. Se a velocidade da água na mangueira é de 
0,9m/s,qual sua velocidade ao sair dos orifícios? RTA: 8,43 m/s 
 
12. Uma mangueira tem diâmetro de 0,025m e esta ligada a um irrigador que consiste apenas de um recipiente 
com 50 furos, cada furo com 0,0001m².Se a velocidade do fluxo na mangueira é 0,9 m/s qual sua velocidade ao 
sair de cada “furinho”. RTA: 0,088 m/s 
 
13. Na figura abaixo representamos uma situação em que um fluido ideal escoa por um tubo disposto 
horizontalmente. O líquido passa pelo ponto A com velocidade vA = 2,0 m/s e pelo ponto B com velocidade vB = 
4,0 m/s. Sabendo que a vazão é de 10 l/s, qual o diâmetro da tubulação nos ponto A e B. RTA: 0,0798 m
 0,0564 m 
 
 
14. Uma mangueira é conectada em um tanque com capacidade de 10000 litros. O tempo gasto para encher 
totalmente o tanque é de 500 minutos. Calcule a vazão máxima da mangueira em L/s. RTA: 0,33 L/s 
 
 
15. Calcular a vazão de um fluido que escoa por uma tubulação com uma velocidade média de 1,4 m/min., 
sabendo-se que a área da seção da tubulação é igual a 42cm². RTA: 98cm³/s 
 
16. Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214,56 litros, sabendo-se que a velocidade de 
escoamento do líquido é de 35,21cm/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a 2 polegadas. RTA: 5 
minutos 
 
17. Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a uma velocidade de 
0,06m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 12000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 
segundos para enchê-lo totalmente. RTA: d = 10’’ 
 
18. Calcular o volume de um reservatório, sabendo-se que a vazão de escoamento de um líquido é igual a 5 l/s. 
Para encher o reservatório totalmente são necessárias 2 horas. 
RTA: 36m³ 
 
19. No entamboramento de um determinado produto são utilizados tambores de 214 litros. Para encher um 
tambor levam-se 20 min. Calcule: 
a) A vazão da tubulação utilizada para encher os tambores. RTA: 10,7 L/min 
b) O diâmetro da tubulação, em polegadas, sabendo-se que a velocidade de escoamento é de 528 mm/min. 
RTA: 6’’ 
c) A produção no final do dia, desconsiderando-se o tempo de deslocamento dos tambores. RTA: 72 tambores 
 
20. No tubo da figura a seguir, determine: 
a) a vazão em volume. RTA: 1L/s 
b) a velocidade de escoamento na seção (2). RTA: 200 cm/s 
 
 
 
21. Calcule a vazão em massa de um produto que escoa por uma tubulação de 12” de diâmetro, sendo que a 
velocidade de escoamento é igual a 900 mm/min. Dados: massa especifica = 1200 kg/m³ . RTA: 78,76kg/min 
 
22. Baseado no exercício anterior, calcule o tempo necessário para carregar o tanque de um caminhão com 25 
toneladas do produto. RTA: 5 horas, 17 minutos e 24 segundos 
 
 
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23. A vazão volumétrica de um determinado fluído é igual a 10 l/s. Determine a vazão mássica desse fluído, 
sabendo-se que a massa específica do fluído é 0,08 g/cm3. RTA: 800g/s 
 
24. O sistema de abastecimento de água de uma rua, 
que possui 10 casas, está ilustrado na figura abaixo. A 
vazão do tubo principal é de 0,01 m3/s. Supondo que 
cada casa possui uma caixa d'água de 1500 litros de 
capacidade e que estão todas inicialmente vazias,em 
quantos minutos todas as caixas-d'água estarão 
cheias? Suponha que durante o período de 
abastecimento nenhuma caixa estará fornecendo água 
para as suas respectivas casas. RTA: 25min 
 
25. A figura abaixo mostra dois riachos, A e B, que se 
unem para formar um rio. O riacho A tem largura de 2,0 
m, profundidade de 0,50 m e a agua flui com 
velocidade de 4,0 m/s. O riacho B tem largura de 3,0 
m, profundidade de 1,0 m e, nesse riacho, a agua flui a 
2,0 m/s. Determine a profundidade do rio, sabendo que 
sua largura e de 5,0 m e que a velocidade de suas 
aguas e de 2,5 m/s. RTA: 0,8m 
 
 
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2.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
Força - é definida como qualquer causa que tende a produzir ou modificar movimentos. Devido à inércia, um 
corpo em repouso tende a permanecer em repouso, e um corpo em movimento tende a permanecer em 
movimento, até ser atuado por uma força externa. A resistência à mudança de velocidade depende do peso do 
objeto e da fricção entre as superfícies de contato. Se quisermos movimentar um objeto, como a cabeça de uma 
máquina-ferramenta (torno), devemos aplicar-lhe uma força. A quantidade de força necessária dependerá da 
inércia do objeto. A força pode ser expressa em qualquer das unidades de medida de peso, mas comumente é 
expressa em quilos ou libras 
. 
Pressão – é uma quantidade de força aplicada numa unidade de área. P=F/A. Os sistemas hidráulicos e 
pneumáticos têm como medida de pressão o quilograma-força por centímetro quadrado (kgf/cm2), a libra-força por 
polegada quadrada (PSI = do inglês Pounds per Square Inch) e também bar (N/m2 x 1000) do sistema francês ou 
ainda pascal (Pa) que é igual a força de 1 Newton por metro quadrado. 
 
Pressão Atmosférica: é a pressão exercida pela atmosfera num determinado ponto. É a força por unidade de 
área, exercida pelo ar contra uma superfície. Se a força exercida pelo ar aumenta em um determinado ponto, 
consequentemente a pressão também aumentará. A pressão atmosférica é medida por meio de um equipamento 
conhecido como barômetro. 
 
 
 
Pressão Manométrica: é a medição da pressão em relação à pressão atmosférica existente no local, podendo 
ser positiva ou negativa. Quando se fala em uma pressão negativa, em relação a pressão atmosférica chamamos 
pressão de vácuo. 
 
Pressão Absoluta: é a pressão manométrica em relação ao zero absoluto (vácuo total). 
 
Dessa forma: 
absoluta atmosférica manométricaP P P= +
 
 
 
 
 
 
 
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Pressão Estática: A pressão estática é a pressão que age da mesma forma em todas as direções e 
que é inerente à seção do escoamento para uma dada vazão. 
 
Pressão Dinâmica: A pressão dinâmica é obtida convertendo-se a energia cinética em energia de 
pressão. 
 
Dessa forma: Pdisponível = Pestática + Pdinâmica 
 
 
 
Energia cinética - É a energia associada à velocidade (V) de um corpo (ou de um sistema) em relação à 
vizinhança. Usando SI, a energia cinética é calculada como: 
 
2 2
2
.
2
mV m
Ec Ec kg J
s
= → = =
 onde m = massa e V=velocidade 
 
Energia potencial - É a energia associada à força de atração exercida por um campo gravitacional sobre a 
massa m de um corpo (ou de um sistema), situada em um nível h em relação a um nível de referência. Usando o 
SI, a energia potencial fica: 
 
2
2
.
m
E mgh Ep kg J
s
= → = =
 onde m = massa, g = gravidade e h = altura 
 
Trabalho - é a energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento. 
 
. .W F d W Nm J= → = =
, onde F = força, d = deslocamento 
 
Exercícios 
 
1) Sabendo que a pressão manométrica é de 0,25 Kgf/cm2, determine a pressão absoluta nas seguintes 
unidades: 
a) Kgf/m2 → 1,28 
b) Pascal → 125918 
c) bar → 1,25 
d) atm → 1,24 g) mca → 12,4 
e) Psi → 18,26 
f) mm Hg → 944,47 
 
2) Sabe-se que a pressão absoluta num determinado local é de 5atm, determine a pressão manométrica em psi, 
kgf/cm², Pa, mmHg, mca? R: 58,78 – 4,13 – 405300 – 3040 - 40 
 
3) Se tivermos 25 psi de pressão absoluta qual a pressão manométrica em atm, psig, kgf/cm², Pa, mmHg, mca? R: 
0,7 – 10,30 – 0,723 – 70927 – 532 - 7 
 
 
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2.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
Esta equação descreve o comportamento de um fluido que se move ao longo de um tubo com relação as 
energias envolvidas no escoamento. Isto pode ser demonstrado através da figura abaixo. 
 
 
 
Seção 1 
 
Energia Cinética 
Ec1=mv²1/2 
 
Energia Potencial 
Ep1=mgh1 
 
Trabalho 
W=F1.Δx1 
 
Seção 2 
 
Energia Cinética 
Ec2=mv²2/2 
 
Energia Potencial 
Ep2=mgh2 
 
Trabalho 
W=F2.Δx2 
 
 
Pela Lei da conservação de Energia 
 
ET1 = ET2 → EC1+ EP1+ W1 = EC2+ EP2+ W2 
 
mv²1/2 + mgh1+ F1.Δx1 = mv²2/2 + mgh2+ F2.Δx2 
 
Passando massa para volume (m=.vol) 
 
.vol.v²1/2 + .vol.g.h1+ F1.Δx1 = .vol.v²2/2 + .vol.g.h2+ F2.Δx2 
 
Pressão não é F/A? Então, F=PA 
 
.vol.v²1/2 + .vol.g.h1+ P1.A1.Δx1 = .vol.v²2/2 + .vol.g.h2+ P2.A2.Δx2 
 
O produto da área pelo Δx??? 
 
 
 
Ou seja.... 
 
.vol.v²1/2 + .vol.g.h1+ P1.vol = .vol.v²2/2 + .vol.g.h2+ P2.vol 
 
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Dividindo tudo por .vol.g 
 
v²1/2g + h1+ P1/ .g = v²2/2g + h2+ P2 / .g 
 
Equação de Bernoulli 
 
P1
. g
+ 𝐻1 +
V1
2
2g
 =
P2
. g
+ 𝐻2 +
V2
2
2g
 
 
Esta equação indica que um fluido escoando em um estado de fluxo contínuo, então a pressão depende da 
velocidade do fluido. Quanto mais rápido o fluido estiver se movimentando, tanto menor será a pressão à mesma 
altura no fluido. 
 
2.5. HIDROSTÁTICA 
 
As equações que fundamentam a hidrostática nada mais são do que uma simplificação da equação de 
Bernoulli, onde as velocidades dos fluidos são nulas, portanto: 
 
2 2
2 1 2 1
2 1
(P - P ) (V - V )
 + (H -H ) + =0
.g 2.g 
 
NULO 
Tem-se: 
 
2 1
2 1 2 1 1 2
(P - P )
 + (H -H ) = 0 (P - P )= .g.(H -H )
.g
 →
 
 
MUITO IMPORTANTE!!! 
 
 Colocar o ponto 1 no início do 
escoamento; 
 Colocar nível de referência (NR) no ponto 
mais baixo. 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
Caso não seja especificado no problema, considere como fluido a ser transportado sempre a água (massa 
especifica = 1000kg/m³ e viscosidade = 0,001 kg/m.s) e aceleração da gravidade da gravidade igual a 9,8m/s². 
 
1. Num determinado ponto de uma tubulação de diâmetro 5cm a vazão da água é 7L/s. Em outro ponto, da 
mesma tubulação, o diâmetro é de 6cm e esta 5m acima do primeiro ponto. Calcular a diferença de pressão entre 
esses pontos. RTA: -45706Pa 
 
2. Na figura abaixo representamos uma situação em que um fluido ideal, de massa especifica = 8,0 . 102 kg/m3 
escoa por um tubo disposto horizontalmente. O líquido passa pelo ponto A com velocidade vA = 4,0 m/s e pelo 
ponto B com velocidade vB = 8,0 m/s. Sabendo que a pressão no ponto A é pA = 5,60 . 104 Pa, calcule a pressão 
noponto B. RTA: 36800Pa 
 
 
 
3. O nível de água contida numa caixa está 6m acima de uma torneira. Qual é a pressão absoluta sobre a 
torneira? RTA: 160125Pa 
 
4. De uma barragem parte uma tubulação de 300 mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, há uma 
redução para 150mm. Deste tubo de 150 mm a água jorra para a atmosfera a uma pressão de 201325Pa. A vazão 
foi aferida e é de 110l/s. a) Calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 300mm. b) Calcular a altura inicial 
de água na barragem. 
RTA: 219506Pa; 12,18m 
 
 
 
5. Num determinado ponto de uma tubulação de diâmetro 2” a vazão da água é 50m3/h. Em outro ponto do 
mesmo sistema elevado em 10m,o diâmetro é aumentado para 3”.Determine a diferença de pressão entre os dois 
pontos. Se o escoamento é do menor para o maior diâmetro. RTA: -79139Pa 
 
6. Um reservatório contém água até uma altura de 10 m. Determine a pressão no fundo do reservatório. RTA: 
199325Pa 
 
7. Sabe-se que a área da seção transversal de uma tubulação é 0,05m² em quanto que outra seção possui 
0,15m², se o escoamento é da seção menor para a maior e a diferença de pressão entre as duas seções (P2-P1) 
é de 0,5 atm, qual a diferença de nível entre os dois pontos, dado que a vazão é de 0,6m³/s e esquematize a 
tubulação. RTA: 11,7m. 
 
8. Um líquido de massa especifica 100 kg/m3 escoa por um tubo 
disposto horizontalmente, como indica a figura. Os medidores de 
pressão M1 e M2 assinalam: p1 = 6,0x104 Pa e p2 = 5,4x104 Pa. 
Sabendo que a velocidade no ponto 1 é 5,0 m/s, calcule a velocidade 
no ponto 2. RTA: 12,04m/s 
 
 
 
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9. Um mergulhador está a 5m de profundidade, num tanque de mergulho com água, calcule a pressão absoluta 
exercida no mergulhador. RTA: 150325Pa 
 
10. De uma pequena barragem, parte uma canalização de 
250 mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, 
havendo posteriormente uma redução para 125 mm. Do tubo 
de 125 mm, a água parte para a atmosfera em forma de jato a 
uma pressão de 300000Pa. A vazão foi medida, encontrando-
se o valor de 105 L/s. Desprezando-se as perdas, calcular a 
pressão na seção inicial da tubulação de 250 mm e a altura 
de água na barragem, da superfície ao eixo da canalização. 
RTA: 334355Pa; 24,01m 
 
11. De um reservatório uma canalização conduz uma vazão de 700 L/s que é descarregada na base do 
reservatório com uma pressão de 1,2kgf/cm². O diâmetro da canalização na extremidade de descarga é de 10pol. 
Calcular o nível do reservatório. RTA: 11,41 m 
 
12. Um orifício lateral de um grande tanque, como o 
da figura ao lado descarrega água a uma pressão 
de 1,28atm. Sua seção é circular, de 50 mm de 
diâmetro, sendo jato de igual dimensão. Mantêm-
se o nível d'água no reservatório 3,80 m acima do 
centro do jato. Calcular a vazão. RTA: 8,26 L/s 
 
 
13. A figura abaixo apresenta um reservatório com dois orifícios. O orifício mais 
alto possui 2pol de diâmetro enquanto que o outro possui 4pol. O reservatório é 
mantido com nível constate. A vazão do orifício mais estreito é de 20L/s 
enquanto que a vazão do outro é de 40 L/s. Se a pressão do orifício de menor 
vazão é de 2atm e a do outro é de 3atm. Qual a distância entre os dois orifícios 
(H)? RTA: 6,591m 
 
 
14. O tanque da figura tem 
grandes dimensões e descarrega 
água pelo tubo indicado. 
Determinar a vazão de água 
descarregada, se a seção do tubo 
é 10 cm² e as pressões de entrada 
e saída são iguais. RTA: 12,52 L/s 
 
 
15. A pressão da água numa torneira fechada 
(X) é de 2,28 kgf/cm². Calcular: a) o nível d´água 
da caixa (H); b) a pressão no ponto Y. RTA: 
10,48m, 253041Pa 
 
 
 
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3. MEDIDORES DE PRESSÃO 
Os dispositivos de medição de pressão podem ser divididos em três grupos: (1) os que são baseados na 
medida da altura de uma coluna Líquida, (2) Os que são baseados na medida da deformação de uma câmara 
elástica de pressão e (3) os dispositivos sensores elétricos. 
 
3.1. MÉTODOS A COLUNA LÍQUIDA 
 
São dispositivos que medem a pressão baseados no equilíbrio da pressão desconhecia contra uma pressão 
exercida por uma coluna líquida. A Figura 1.3 mostra um barômetro que mede a pressão atmosférica (patm) que 
está em equilíbrio com a pressão dentro do tubo que é devida ao peso da coluna de mercúrio e pode ser indicada 
por pHg. 
O aparelho esquematizado na Figura 1.4 é um manômetro, empregado para medir a pressão de uma amostra 
de gás contida em um recipiente fechado. Constrói-se o manômetro colocando-se um líquido na parte inferior de 
um tubo em U e a amostra do gás em um dos ramos do mesmo. Se o ramo do tubo, do lado direito, estiver aberto 
e em contato com a atmosfera, a pressão exercida sobre a superfície do liquido, neste ramo do tubo, é a pressão 
atmosférica patm. Ao mesmo nível do liquido, no outro ramo do tubo, a pressão deve ser igual, caso contrário 
haveria um fluxo de liquido de um ramo para o outro. No nível indicado pela linha tracejada nessa figura, a pres-
são no lado esquerdo é igual à pressão pgás devida ao gás aprisionado mais a pressão pliq exercida pela coluna 
de liquido situada acima da linha tracejada. Podemos, pois, escrever 
atm gas liqp p p= +
 
 
 
Figura 1.3 Barômetro (patm=pHg) Figura 1.4 Manômetro em U. 
3.2. MÉTODOS A ELEMENTOS ELÁSTICOS 
Os medidores de pressão a elemento elástico são aqueles em que a pressão a medir deforma um material 
elástico (usualmente de natureza metálica), de modo que a deformação é aproximadamente proporcional à 
deformação aplicada. Estes dispositivos podem ser classificados, com generalidade, em três tipos: tubo Bourdon 
(Figura 1.5), fole (Figura 1.6) e membrana ou diafragma (Figura 1.7). 
 
Elementos a tubo Bourdon. É um dos dispositivos mais utilizados para medir pressão. O tubo Bourdon em C é o 
elemento elástico, ilustrado na Figura 1.5. Os manômetros desse tipo existem numa grande variedade de 
domínios de emprego, de dimensões do mostrador e de materiais de construção. 
 
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Figura 1.5 Manômetro Bourdon típico, com tubo em C e articulação ao ponteiro de leitura. 
 
Foles ou sanfonas. É um cilindro com elasticidade axial, com dobras ou pregas profundas na superfície, Figura 
1.6 (a). Pode ser usada em combinação com uma mola que lhe restringe o movimento, Figura 1.6 (b). 
 
 
Figura 1.6 Elementos em sanfona: (a) simples, (b) com sanfona. 
 
Membrana ou diafragma. As membranas podem ser classificadas em dois tipos principais: as que utilizam as 
características elásticas do diafragma e as que são atuadas por uma mola ou outro elemento elástico separado. A 
Figura 1.7 mostra um típico manômetro de diafragma, em que o movimento do diafragma é obstado por uma mola 
que determina a deflexão para uma dada pressão. O diafragma é flexível ou frouxo, de borracha, couro, tecido 
impregnado de plástico ou inteiramente de plástico. Este tipo é utilizado para medir pequenas pressões. 
 
Figura 1.7 Membrana ou diafragma. 
 
 
 
 
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3.3. MÉTODOS ELÉTRICOS 
Os dispositivos com sensores elétricos de medição de pressão podem ser divididos em Transdutores 
pizoresistivos e pizelétricos. 
 
Piezoresistivo (Strain Gauge) 
 
Utiliza efeito piezoresistivoe uma ponte de Wheatstone. Entende-se piezoresistividade como sendo a geração 
de uma pequena tensão resultante da pressão sobre certos tipos de cristais. 
Baseia-se no princípio de variação da resistência de um fio, mudando-se as suas dimensões. 
Para variarmos a resistência de um condutor devemos analisar a equação geral da resistência: 
 
𝑅 =
𝜌𝑙
𝐴
 
 
Na equação acima, R é a resistência do condutor, 𝜌 a resistividade do material, 𝑙 o comprimento do condutor e 
A a área da seção transversal. 
Pela análise da equação acima podemos perceber que a resistência elétrica de um condutor é diretamente 
proporcional a resistividade e ao comprimento, mas inversamente proporcional a área da seção transversal. 
A maneira mais prática de alterarmos as dimensões de um condutor é tracionarmos o mesmo no sentido axial 
como mostrado a seguir: 
 
 
 
Seguindo esta linha de raciocínio, concluímos que para um comprimento L obtivemos L, então para um 
comprimento 10 x L teríamos 10 x L, ou seja, quanto maior o comprimento do fio , maior será a variação da 
resistência obtida e maior a sensibilidade do sensor para uma mesma pressão (força) aplicada . 
O sensor consiste de um fio firmemente colado sobre uma lâmina de base, dobrando-se tão compacto quanto 
possível. Esta montagem denomina-se tira extensiométrica como vemos na figura a seguir: 
 
 
 
Observa-se que o fio, apesar de solidamente ligado a lâmina de base, precisa estar eletricamente isolado da 
mesma. Uma das extremidades da lâmina é fixada em um ponto de apoio rígido enquanto a outra extremidade 
será o ponto de aplicação de força. 
 
 
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Da física tradicional sabemos que um material ao sofrer uma flexão, suas fibras internas serão submetidas a 
dois tipos de deformação: tração e compressão. As fibras mais externas sofrem um alongamento com a tração, 
pois pertencem ao perímetro de maior raio de curvatura, enquanto as fibras internas sofrem uma redução de 
comprimento (menor raio de curvatura). 
 
 
 
Como o fio solidário à lâmina, também sofrerá o alongamento, acompanhando a superfície externa, variando a 
resistência total. Visando aumentar a sensibilidade do sensor, usaremos um circuito sensível a variação de 
resistência e uma configuração conforme esquema a seguir : 
 
 
 
Notamos que a ligação ideal para um Strain Gauge com quatro tiras extensiométricas é o circuito em ponte de 
Wheatstone, como mostrado nas figuras a seguir, que tem a vantagem adicional de compensar as variações de 
temperatura ambiente, pois todos os elementos estão montados em um único bloco. 
 
 
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Quanto à ponte de Wheatstone, podemos dizer que esta é um circuito elétrico destinado à medição de 
resistências elétricas. Este circuito é constituído de uma fonte de tensão, um galvanômetro e quatro resistores 
(três cujas resistências são conhecidas e o outro cuja resistência se deseja determinar). Os quatro resistores são 
ligados na forma de um losango, sendo que os terminais da fonte são ligados a dois dos vértices opostos do 
losango e os terminais do galvanômetro são ligados aos outros dois, como podemos observar na figura acima. 
 
Piezoelétrico 
 
Os elementos piezoelétricos são cristais, como o quartzo, a turmalina e o titanato que acumulam cargas 
elétricas em certas áreas da estrutura cristalina, quando sofrem uma deformação física, por ação de uma pressão. 
São elementos pequenos e de construção robusta. Seu sinal de resposta é linear com a variação de pressão, são 
capazes de fornecer sinais de altíssimas freqüências de milhões de ciclos por segundo. 
O efeito piezoelétrico é um fenômeno reversível. Se for conectado a um potencial elétrico, resultará em uma 
correspondente alteração da forma cristalina. Este efeito é altamente estável e exato, por isso é utilizado em 
relógios de precisão. 
A carga devida à alteração da forma é gerada sem energia auxiliar, uma vez que o quartzo é um elemento 
transmissor ativo. Esta carga é conectada à entrada de um amplificador, sendo indicada ou convertida em um 
sinal de saída, para tratamento posterior. 
 
 
 
4. MEDIDORES DE VAZÃO 
As principais classes de instrumentos medidores de vazão usados nas indústrias são os medidores a pressão 
variável, medida pela velocidade variável, à área variável, a deslocamento positivo, à turbina, os fluxímetros de 
massa e os vertedores e calhas. 
4.1. Medida por pressão 
Quando, num conduto fechado em que há uma corrente de fluido, coloca-se uma redução, surge na região 
estrangulada um aumento de velocidade e, portanto, energia cinética. Pelo Teorema de Bernoulli (Apêndice A), 
deve-se obter uma diminuição correspondente de pressão. A vazão pode ser calculada conhecendo-se esta 
redução de pressão, a área disponível para o escoamento na seção estrangulada, a densidade do fluido e o 
coeficiente de descarga C. Este coeficiente é definido como a relação entre a descarga real e a descarga teórica e 
 
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leva em conta a contração do fluxo e os efeitos de atrito. Exemlos de medidores que funcionam com esse pricípio 
são: fluxímetro Venturi e placa de orifício. 
 
Fluxímetro Venturi. É um medidor por pressão que consiste em um pequeno trecho de tubo retilíneo ligado a 
tubulação por meio de seções cônicas (Figura 1.11). 
 
 
Figura 1.11 Fluxímetro Venturi 
 
Placa de orifício. Este dispositivo constitui-se por uma placa com um orifício de área (Ao) e diâmetro (d) que gera 
uma perda de carga na tubulação. Medindo-se a pressão nas regiões “1” e “2” é possível quantificar a vazão 
volumétrica no sistema. Para fluidos não compressíveis a vazão fica: 
 








−
−
=
2
1
2
2
21
2
1
)(2
A
A
PP
Cv v

 

)21(2 pp
ACQ v
−
=
 
 
Onde = coeficiente geométrico da placa; A= área do furo, m2; = massa específica do fluido em kg/m3; p1- p2= 
queda de pressão na placa. 
 
Exemplo: Ao medir a vazão de fluidos numa tubulação, pode ser usado manômetro diferencial (Figura 1.12) para 
a determinação da diferença de pressão numa placa de orifício. A vazão pode ser calibrada com a queda de 
pressão observada. Pergunta-se: (a) prove que p1- p2= (l -água).g.d; (b)Calcule a diferença de pressão em 
Pascal; (c) calcule a vazão considerando = 1 e diâmetro do orifício de 1 cm. 
 
 
Solução: 
(a) p1 + água.g.d1 = l.g.d + água.g.d2 + p2 
p1- p2= água.g.(d2-d1) + l.g.d 
sendo d2-d1=-d 
p1- p2= água.g.(-d) + l.g.d 
p1- p2= l.g.d - água.g.d 
p1- p2= (l -água).g.d 
 
(b) p1- p2= (1,1-1,0).103 kg/m3. 9,8 m/s2. 22mm. 1m/1000 mm 
p1- p2= 21,6 N/m2 ou Pa 
 
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(c) A= 7,854.10-5 m2 e Q= 0,06 m3 /h 
4.2. Rotâmetros 
É um tipo de medidor Areolar. Este dispositivo contém um flutuador colocado num tubo com área variável. O 
fluxo na direção vertical posiciona o flutuador numa certa altura de equilíbrio proporcional à vazão volumétrica 
(Figura 1.13). A escala ao longo do tubo pode ser ajustada dependendo da massa do flutuador. A vazão 
volumétrica para um rotâmetro pode ser expressa de forma simplificada assim: 
)( FT AAkQ −= 
Onde k = constante que dependedo coeficiente de descarga Af e At= áreas do flutuador e do tubo 
respectivamente. 
 
 
Figura 1.13 Fluxímetro Venturi 
4.3. Pitot 
É um tipo de medidor de vazão pela medida da velocidade. Este dispositivo possui orifícios nas paredes 
paralelos e perpendiculares à direção do fluxo e que fornece a velocidade deste pela diferença entre as pressões 
total ou de estagnação (pT), no ponto (b) e estática (pS), no ponto (a). Assim a velocidade (v) em (m/s) deste 
fluido esta dada por: 
 


)(2 ST ppv
−
=
 
Onde = coeficiente entre 0,98 e 0,99; = massa específica do fluido em kg/m3; pT- pS= diferença de pressão 
total e estática em Pascal (Pa). 
 
 
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Figura 1.14 Pitot 
4.4. Fluxímetros de massa 
Existem dois tipos principais: (1) o fluxímetro verdadeiro, que responde diretamente à vazão em massa, e (2) o 
fluxímetro em massa inferencial, que mede a vazão volumar e a densidade do líquido separadamente. 
4.5. Vertedores 
O fluxo de um líquido num canal aberto pode ser medido por meio de um vertedor, que consiste de uma 
barragem sobre a qual, ou um entalhe no qual, o líquido escoa. Os vertedores podem ser divididos em dois 
grupos: os retangulares (Figura 1.15 a) e triangulares (Figura 1.15 b). 
 
 
Figura 1.15 Fluxímetro Venturi (a) retangular; (b) triangular. 
 
Exercícios 
 
1) Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo 
que apresenta densidade (pÓleo = 900kg/m³). O fluido 
utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é 
mercúrio (pHg = 13600kg/m³). Se h1 = 914 mm, h2 = 152 
mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manômetro 
localizado no topo do tanque. R: 21119 Pa 
 
 
 
 
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2) Ao medir a vazão de fluidos numa 
tubulação, pode ser usado 
manômetro diferencial para a 
determinação da diferença de 
pressão numa placa de orifício. A 
vazão pode ser calibrada com a 
queda de pressão observada. 
Pergunta-se: (a) prove que p1- p2= 
(l -água).g.d; (b)Calcule a diferença 
de pressão em Pascal. R: 21.6 Pa 
 
 
 
 
3) Qual a pressão absoluta dentro de uma tubulação 
onde circula ar se o desnível de mercúrio observado no 
manômetro de coluna é de 4 mm? Considere: massa 
especifica do Mercúrio = ρhg = 13600 kg/m3 e aceleração 
gravitacional g = 9,81 m/s2. R: 101858 Pa 
 
 
 
4) Dadas as figuras A. B, e C, pede-se: 
 
a) Na figura A, determinar a pressão em "m" quando o fluido A for água (=1000kg/m³), o fluido B mercúrio 
(=13600kg/m³), Z = 380 mm e Y = 750 mm. R: 0,44kgf/cm² 
b) Na figura B, determinar o valor de Z, sabendo-se que o fluido A e óleo (=800kg/m³), o fluido B bromofórmio 
(=2870kg/m³), Y = 2,40 m e a pressão em "m" é 0,2795 Kgf/cm2. R:0,3m 
c) Na Fig. C, calcular a pressão em "m", quando o fluido A for água (=1000kg/m³), o fluido B tetracloreto de 
carbono (=1500kg/m³), Z = 559 mm e Y = 300 mm. R: 0,0538kgf/cm² 
 
 
 
 
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5) Calcular a diferença das pressões a montante e 
jusante do diafragma, de acordo com a indicação do 
manômetro diferencial do esquema abaixo. Líquido 
em escoamento (H2O) líquido manométrico 
mercúrio, (=13600kg/m³). R: 0,79atm 
 
 
 
 
6) Certo volume de água é colocado num tubo em U, aberto nas extremidades. Num dos ramos do tubo, adiciona-
se um líquido de densidade menor do que a da água, o qual não se mistura com ela. Após o equilíbrio, a posição 
dos dois líquidos no tubo está corretamente representada pela figura: 
 
7) Um venturímetro de 150 mm no estrangulamento, intercala-se numa canalização d'água de 450 mm. Na escala 
diferencial parcialmente cheia de Hg (estando o resto cheio d'água), e ligada à boca e à cintura do medidor, a 
coluna mercurial estabiliza-se com um desnível de 375 mm. Calcule a vazão. R: 169 L/s 
 
8) Um medidor Venturi foi instalado em dada canalização para medir vazão de água que ela conduzia. Sabendo-
se que os diâmetros maior e menor do Venturi eram 200 mm e 100 mm, respectivamente, e que a diferença entre 
as elevações dos níveis d'água nos piezômetros instalados imediatamente antes do Venturi e em sua seção 
estrangulada era igual a 1,5 m, qual a vazão teórica medida pelo Venturi? R: 41,9L/s 
 
 
9) Água (=1000kg/m³) escoa por um Tubo de Venturi no qual está inserido um manômetro de mercúrio 
(=13600kg/m³) em U. Determinar a vazão e a velocidade na seção 2. R: 1,09L/s 
 
 
 
 
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10) Em uma placa de orifício com as dimensões da figura está escoando, em regime turbulento, água a 
temperatura ambiente. O manômetro está marcando uma diferença de altura de 20 cm. Qual a vazão do fluido se: 
a) o fluído manométrico for Hg (13600kg/m³); b) o fluído manométrico for óleo (800kg/m³); c) o fluído manométrico 
for AsCl3 (2163kg/m³). R: a) 1,29 L/s; b) 0,16L/s; c) 0,39L/s 
 
 
 
5. HIDRÁULICA APLICADA A TUBULAÇÕES 
 
Tubulação é um conduto forçado, destinado ao transporte de fluidos. Uma tubulação é constituída de tubos 
de tamanhos padronizados colocados em série. Usam-se tubulações para o transporte de todos os fluidos, 
materiais fluidos com sólidos em suspensão e sólidos fluidizados. 
 
5.1. CLASSIFICAÇÃO DOS TUBOS 
 
Metálicos 
 
a) Ferrosos: 
- Aço-carbono 
- Aço-liga 
- Aço-inoxidavel 
- Ferro fundido 
- Ferro forjado 
b) Não Ferrosos: 
- Cobre 
- Alumínio 
- Chumbo 
- Níquel 
- Outros Metais 
- Ligas 
 
 
 
Não Metálicos 
 
- Cimento-amianto 
- Plástico 
- Vidro 
- Cerâmica 
- Barro Vidrificado 
- Borracha 
- Concreto 
- P V C 
 
 
Os tubos podem ter revestimentos (externos ou internos) de plástico, borracha, concreto etc., neste caso 
procura-se utilizar uma camada protetora contra a corrosão, em tubos metálicos; como exemplo, têm-se 
tubulações para água salgada, que são geralmente de aço-carbono revestidas internamente com concreto; 
consegue-se, assim, uma alta resistência mecânica, aliada a uma alta resistência à corrosão e baixo custo. 
 
Processo de Fabricação 
 
Há quatro grupos de processos industriais de fabricação de tubos: 
 
 
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5.1.1. Fabricação de Tubos sem costura 
 
Laminação 
 
Os processos de laminação são os mais importantes para a fabricação de tubos de aço sem costura; 
empregam-se para a fabricação de tubos de aços-carbono, aços-liga e aços inoxidáveis, desde 8 cm até 65 cm de 
diâmetro. 
Há vários processos de fabricação por laminação, o mais importante dos quais é o processo “Mannesmann”, 
que consiste resumidamente nas seguintes operações: 
1. Um lingote cilíndrico de aço, com o diâmetro externo aproximado do tubo que se vai fabricar, é aquecido a 
cerca de 1.200°C e levado ao denominado “laminador oblíquo”. 
 
 
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2. O laminador oblíquo tem rolos de cone duplo, cujos eixos fazem entre si um pequeno ângulo (Fig.1). O 
lingote é colocado entre osdois rolos, que o prensam fortemente, e lhe imprimem, ao mesmo tempo, um 
movimento helicoidal de rotação e translação. Em conseqüência do movimento de translação o lingote é 
pressionado contra uma ponteira cônica que se encontra entre os rolos. A ponteira abre um furo no centro 
do lingote, transformando-o em tubo, e alisa continuamente a superfície interna recém-formada. A ponteira, 
que é fixa, está colocada na extremidade de uma haste com um comprimento maior do que o tubo que 
resultará. 
3. O tubo formado nessa primeira operação tem paredes muito grossas. A ponteira é então retirada e o tubo, 
ainda bastante quente, é levado para um segundo laminador oblíquo, com uma ponteira de diâmetro um 
pouco maior, que afina as paredes do tubo, aumentando o comprimento e ajustando o diâmetro externo. 
4. Depois das duas passagens pelos laminadores oblíquos o tubo está bastante empenado. Passa então em 
uma ou duas máquinas desempenadoras de rolos. 
5. O tubo sofre, finalmente, uma série de operação de calibragem dos diâmetros externo e interno, e 
alisamento das superfícies externa e interna. Essas operações são feitas em várias passagens em 
laminadores com mandris e em laminadores calibradores. 
 
 
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Extrusão 
 
Na fabricação de tubos por extrusão, um tarugo maciço do material, em estado pastoso, é colocado em um 
recipiente de aço debaixo de uma poderosa prensa. Em uma única operação, que dura alguns segundos, dão-se 
as seguintes etapas: 
• O êmbolo prensa, cujo diâmetro é o mesmo do tarugo, encosta-se no tarugo; 
• O mandril, acionado pela prensa, fura completamente o centro do tarugo. 
• Em seguida, o êmbolo empurra o tarugo obrigando o material a passar pelo furo de uma matriz 
calibrada e por fora do mandril, formando o tubo. 
Para tubos de aço a temperatura de aquecimento é da ordem de 1.200°C; as prensas são sempre verticais 
e o esforço da prensa pode chegar a 1.500 t. Os tubos de aço saem dessa primeira operação curtos e grossos; 
são levados então, ainda quentes, a um laminador de rolos para redução do diâmetro. Vão finalmente para outros 
laminadores que desempenam e ajustam as medidas do diâmetro e da espessura das paredes. Fabricam-se por 
extrusão tubos de aço de pequenos diâmetros (abaixo de 8 cm) e também tubos de alumínio, cobre, latão, 
chumbo e outros metais não ferrosos, bem como de materiais plásticos. 
 
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Fundição 
 
Nestes processos o material do tubo, em estado líquido, é despejado em moldes especiais, onde solidifica-
se adquirindo a forma final. 
Fabricam-se por este processo, tubos de ferro fundido, de alguns aços especiais não-forjados, e da maioria 
dos materiais não metálicos, tais como: barro vibrado, concreto, cimento-amianto, borrachas, etc. 
Para os tubos de ferro fundido e de boa qualidade, usa-se a fundição por centrifugação, em que o material 
líquido é lançado em um molde com movimento rápido de rotação, sendo então centrifugado contra as paredes do 
molde. O tubo resultante da fundição centrifugada tem uma textura mais homogênea e compacta e também 
paredes de espessura mais uniforme. Os tubos de concreto armado são também vibrados durante a fabricação 
para o adensamento do concreto. 
 
5.1.2. Fabricação de Tubos com costura 
 
Soldagem 
 
Neste processo, a bobina de chapa depois de cortada na largura certa, e conformada inteiramente a frio, em 
uma máquina de fabricação contínua. Uma vez atingido o formato final do tubo, dá-se a solda pelo duplo efeito da 
passagem de uma corrente elétrica local e da forte compressão de um bordo contra o outro. 
Os tubos com costura são quase sempre de qualidade inferior aos sem costura, mas o seu uso é bastante 
generalizado por serem geralmente mais baratos. No passado foram muito usados, para diâmetros grandes, tubos 
de chapa de aço rebitada. Esses tubos, já há bastante tempo, estão completamente em desuso 
 
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5.2. BITOLAS COMERCIAIS 
 
Os tubos de aço são construídos com diâmetros desde 1/8” até 30”: os de aço inoxidável existem no 
mercado em diâmetros até 12”. 
A bitola do tubo coincide com o diâmetro externo para tubos acima de 14”; não coincide com nenhuma 
medida do tubo para diâmetros menores do que 12” (aproximam-se do diâmetro interno). 
Os diâmetros comerciais são: 1/8”, 1/4”, 3/8”, 1/2”, 3/4”, 1”, 1 1/4”, 1 1/2”, 2", 3", 4", 6", 8", 10", 12", ...30”. 
Os tubos acima de 30” são fabricados por encomenda e, norma1mente, pelos processos com costura. 
Os tubos de cobre, latão, bronze, alumínio e suas ligas existem em bitolas de 1/4” e 1/2”. 
Os tubos de chumbo existem em bitolas de 1/4” a 12”. 
Os tubos de PVC existem em bitolas de 1/4” a 8”. 
5.3. ESPESSURAS COMERCIAIS 
 
As paredes dos tubos de aço têm espessuras padronizadas. Para o mesmo diâmetro pode variar a 
espessura da parede, de acordo com o trabalho a que se destina a tubu1ação. 
A espessura é designada por meio dos números 10, 20, 30, 40, 60, 80, 120, 140, 160. Estes números são 
os “Schedule Number”, e quanto mais alto o Schedule, maior será a espessura da parede do tubo. 
Os tubos de metais não ferrosos e outros podem ter padronizações diferentes: exemplos são os tubos de 
cobre, bronze, alumínio etc., que podem ser encontrados nos padrões K, L, M; o tipo K é o mais pesado, ou seja, 
o de maior espessura nas paredes. 
 
5.4. USOS DOS PRINCIPAIS TIPOS 
 
Tubos de aço - carbono 
 
Representam a maior parte de todos os tubos fabricados; em uma refinaria constituem a maioria. Têm uso 
bastante generalizado, feita exceção para produtos corrosivos, altas temperaturas, baixas temperaturas etc. 
 
Tubos de aço-liga 
 
São usados para serviços especiais tais como altas ou baixas temperaturas, fluidos corrosivos etc. Os 
elementos de liga mais usados são: 
Cr, Mo - Para altas temperaturas 
Ni - para baixas temperaturas 
 
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Tubos de aço-inoxidável 
 
São usados para condições de corrosão ainda mais severas do que os de aço - liga. 
Também o Cr, Mo, Ni entram na composição do aço-inoxidáve1, além de outros. 
 
Tubos de ferro-fundido 
 
Os tubos de ferro fundido são usados para água doce e salgada, esgotos etc.; são usados para serviços de 
baixa pressão e onde não ocorram grandes esforços mecânicos. 
 
Tubos não metálicos, não ferrosos e ligas 
 
Fabricam-se tubos de uma grande variedade de ligas de cobre; temos então, tubos de cobre, latão (Cu-Zn), 
bronze (Cu-Sn), Monel (Ni-Cu), Admiralty (Cu-Zn-Sn) etc. São usados para “steam tracing”, ar comprimido, tubos 
de pequeno diâmetro, serviços de alta corrosividade etc. 
Os tubos de chumbo são utilizados para instalações auxiliares de água, esgotos, ácidos etc. 
Os tubos plásticos, flexíveis ou não, aplicam-se àqueles serviços em que se procura obter alta resistência à 
corrosão; apresentam como desvantagens: alto custo, baixa resistência mecânica, temperatura de trabalho baixa 
etc. 
5.5. PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES 
 
O escoamento de qualquer fluido em uma tubulação resulta sempre numa certa perda de energia, energia 
esta que é gasta para vencer as resistências que se opõem ao escoamento. Estas resistências são as internas e 
externas. A resistência internaé devido ao atrito entre as próprias moléculas do fluído, esta resistência é o que 
chamamos de VISCOSIDADE. Já a resistência externa se dá devido ao ATRITO do fluido com as paredes do 
tubo. Quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das asperezas, maior será a 
turbulência do escoamento e, logo, maior será a perda de carga. 
Essa perda de energia ao longo do escoamento é comumente chamada de PERDA DE CARGA 
É conveniente ressaltar que a perda de carga esta também relacionada com o tipo de escoamento: 
turbulento ou laminar. No escoamento laminar há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas, seguindo 
trajetórias regulares, sendo que as trajetórias de duas partículas vizinhas não se cruzam. Já no escoamento 
turbulento a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direção, com trajetórias irregulares, 
e podendo uma mesma partícula ora localizar-se próxima do eixo do tubo, ora próxima da parede do tubo. 
O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou laminar, é a utilização do número de Reynolds, 
dado pela seguinte equação: 
 
, onde; 
 
➢ v - velocidade média do fluído; 
➢ D -o diâmetro da tubulação; 
➢ μ - viscosidade dinâmica do fluído; 
➢ ρ – massa específica do fluído. 
 
Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds é interpretado conforme segue: 
Re > 4000, então o escoamento é turbulento. 
Re < 2000, então o escoamento é laminar. 
Entre estes dois valores há a zona de transição, onde não se pode determinar com precisão os elementos 
do dimensionamento. 
 
Exercício: Em uma tubulação escoa água a uma vazão de 0,01m³/s com diâmetro de 2 polegadas. Sabendo que 
a massa especifica é 1000kg/m³ e que a viscosidade da água é de 0,001kg/m.s. Determine o regime de 
escoamento desse sistema. 
 
 
Vale salientar que o comportamento do escoamento através de uma tubulação continua sendo dada pela 
equação de Bernoulli, porém com a adição do termo de perda de carga: 
 
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P1
. g
+ 𝐻1 +
V1
2
2g
=
P2
. g
+ 𝐻2 +
V2
2
2g
+ 𝐽 
 
onde J = perda de carga. 
5.5.1. CÁLCULO DA PERDA DE CARGA 
 
Já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas vêm sendo realizados, procurando estabelecer leis que 
possam reger as perdas de carga em condutos. Várias fórmulas empíricas foram estabelecidas no passado e 
algumas empregadas até com alguma confiança em diversas aplicações de engenharia, como as fórmulas de 
Hazen-Williams, de Manning e de Flamant. Mas, trabalhos de diversos investigadores têm mostrado que, em sua 
totalidade, são mais ou menos incorretas. A incorreção dessas fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o 
domínio de aplicação pretendido por seus autores. 
 
Fórmula de Flamant (1892) 
 
A fórmula de Flamant é utilizada para tubos de paredes lisas, tipo PVC, com limite de emprego de 10mm até 
1000 mm de diâmetro, para escoamento com água. 
 
 
 
 
Fórmula de Fair-Whipple-Siao (1930) 
 
As fórmulas de Fair - Whipple - Hsiao são usadas para tubos de pequenos diâmetros, ou seja, até 50 mm, 
conduzindo água. 
 
Q = 55,934.D2,71.j0,57 
 
Q é a vazão em m³/s; 
D é o diâmetro em m; 
J é a perda de carga unitária. 
 
Fórmula de Hazen-Willians (1930) 
 
A fórmula de Hazen - Willians é muito utilizada no meio industrial, sendo válida para diâmetros acima de 
50mme escoamento com água. 
 
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852,1
87,4
*
646,10






=
C
Q
D
J
 
 
Q = vazão ou descarga (m3/s); 
V = velocidade média do líquido no tubo (m/s); 
D = diâmetro do tubo (m); 
j = perda de carga unitária (mH2O/m linear de tubo); 
C = Coeficiente de rugosidade do tubo. 
 
Material do tubo Coeficiente C 
Plástico 
Diâmetro até 50mm 
Diâmetro entre 60 e 100 mm 
Diâmetro entre 125 e 300 mm 
 
125 
135 
140 
Ferro fundido (tubos novos) 130 
Ferro fundido (tubos com 15 a 20 anos) 100 
Manilhas de cerâmica 110 
Aço galvanizado (novos) 125 
Aço soldado (novos) 110 
 
Fórmula de Darcy-Weibasch 
 
Atualmente a expressão mais precisa e usada universalmente para análise de escoamento em tubos, que 
foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach: 
 
2
2
f L V
J
D g
 
=
 
, onde; 
*** A perda de carga equivale a uma 
queda de pressão em metros de coluna 
d´água (m.c.a.). 
J = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (m)***; 
f = fator de atrito (adimensional); 
L = comprimento do tubo (m); 
V = velocidade do líquido no interior do tubo (m/s); 
D = diâmetro interno do tubo (m); 
 
A equação de Darcy admite uma dedução racional, desde que se dê ao coeficiente f valores variáveis que 
serão função do número de Reynolds e do grau de rugosidade das paredes do tubo. Esse coeficiente F é 
chamada de coeficiente de atrito do fluido. O grau de rugosidade das paredes do tubo é uma relação entre a altura 
da maior rugosidade do tubo e o diâmetro desse tubo (/D). 
A determinação desse coeficiente f se dá pela aplicação de gráficos que correlaciona o Numero de Reynolds 
e o grau de rugosidade (/D). O mais conhecido entre estes gráficos é o de Moody (Figura 1), que mostra 
claramente as zonas de escoamento laminar e turbulento e a região critica de transição. Vê-se que para ambos os 
regimes f diminui quando como Re aumenta. 
 
Exemplos: Fluido a ser transportado a água (=1000kg/m³ e =0,001 kg/m.s) 
 
1. Determine o valor do fator de atrito para os seguintes casos: 
 
 Material Vazão (m³/s) Diâmetro (pol) Respostas 
Caso A Aço Comercial 0,08 3 f=0,018 
Caso B Aço Comercial 0,008 3 f=0,021 
Caso C Ferro Galvanizado 0,08 2 f=0,026 
Caso D Ferro Galvanizado 0,0008 2 f=0,031 
 
2. Determine a perda e carga numa tubulação de concreto com diâmetro de 30 pol e 10km de comprimento. 
Sabendo que a água escoa a uma velocidade de 1m/s. RTA: 13,391m 
 
3. Determine a variação da pressão numa tubulação de aço comercial com diâmetro de 10 pol e 1000m de 
comprimento toda no mesmo nível. Sabendo que a água escoa a uma velocidade de 0,2m/s. RTA: 1653Pa 
 
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Percebe que para utilização do gráfico abaixo é necessário o conhecimento do grau de rugosidade (/D), 
este por sua vez é função do tipo de material e do diâmetro da tubulação que pode ser encontrado pela tabela da 
figura abaixo. 
 
 
Exercícios - Considere como fluido a ser transportado sempre a água (massa especifica = 1000kg/m³ e 
viscosidade = 0,001 kg/m.s) 
 
1. Determine a perda e carga numa tubulação concreto com diâmetro de 15 pol e 10 km de comprimento. 
Sabendo que a água escoa a uma velocidade de 1m/s. RTA: 30,80m 
 
2. Determine a variação da pressão no final dos 10 km de tubulação do exercício anterior, sabendo que toda ela 
esta no mesmo nível. RTA: 301387Pa 
 
3. Determine a variação da pressão numa tubulação de aço comercial com diâmetro de 2 pol e 100m de 
comprimento. Sabendo que a água escoa a uma vazão de 0,01m³/s. Toda tubulação esta no mesmo nível. RTA: 
455631Pa 
 
4. Sabendo que a perda de carga (J) numa tubulação é de 200 m, determine o comprimento da tubulação se 
velocidade do escoamento é 2m/s e a vazão é 0,4m³/s. Sabendo que toda tubulação esta no mesmo nível e é de 
ferro galvanizado. RTA: 31km 
 
5. De acordo as figura abaixo: 
 
 
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Tubo de concreto 
Comprimento do tubo = 200m 
Diâmetro = 5 polegadas 
Velocidade de escoamento = 0,8 m/s 
Diferença de nível entre as extremidades do escoamento é igual a 15m 
P1 = 2atm 
Determine a P2 RTA: 38519Pa 
 
 
Tubo de concreto 
Comprimento do tubo = 200m 
Diâmetro = 5 polegadas 
Velocidade de escoamento = 0,8 m/s 
Diferença de nível entre as extremidades do escoamento é igual a 15m 
P1 = 2atm 
Determine a P2 RTA: 332519Pa 
 
6. De acordo com a figura abaixo: 
 
Tubo de aço comercial 
Comprimento do tubo de diâmetro 5pol= 700m 
Comprimento do tubo de diâmetro 10pol= 300m 
Vazão = 0,1m³/s P2-P1 = 50000Pa 
Determine a diferença de nível entre os pontos 2 e 1. RTA: 287m 
 
7. Considere a figura abaixo 
 
Tubo de aço comercial 
Comprimento do tubo de diâmetro 5pol= 700m 
Comprimento do tubo de diâmetro 10pol= 300m 
Vazão = 0,1m³/s 
Determine a diferença de pressão. RTA: -27,15atm 
 
8. Considere o sistema de transporte de água até o 
reservatório. Sabendo que a tubulação é de ferro 
galvanizado com diâmetro de 2 polegadas e que a 
vazão é de 0,002m³/s, determine a pressão da água ao 
chegar no ponto 2, se a pressão no ponto 1 é 1 atm. 
RTA: 92740 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. ACESSÓRIOS DE TUBULAÇÕES E VÁLVULAS 
 
6.1. ACESSÓRIOS DE TUBULAÇÕES 
 
Os acessórios de tubulações destinam-se às seguintes finalidades: 
 
a) Permitir mudanças de direção em tubos 
 
Curvas de raio longo de 45º, 90º e 180º. 
Curvas de raio curto de 45º, 90º e l80º 
 
 
 
- Joelhos de 45º e 90º 
 
 
 
 
Juntas de Expansão 
 
 
 
1- Quando o espaço disponível for nsuficiente para se ter um traçado da tubulação com flexibilidade. 
2- Em serviços de baixa responsabilidade (CONDENSADO, VAPOR DE BAIXA PRESSÃO, ÁGUA QUENTE 
ETC.), quando a junta representar uma alternativa mais econômica, em relação ao traçado não retilíneo da 
tubulação. 
3- Em tubulações de diâmetro grande (ACIMA DE 20”) ou de material caro, onde haja interesse econômico 
de se ter um trajeto mais curto 4- Em tubulações que por exigência de serviço precisam 
ter trajetos retilíneos. 
5- Em tubulações sujeitas a vibrações de grande amplitude, ou ligadas a equipamentos que não possam 
sofrer esforços transmitidos pela tubulação. 
 
 
b) Fazer derivações de tubos 
 
Tês normais, tês de 
45º, tês de redução 
 
 
Cruzetas 
 
Derivação com colar 
 
Derivação com 
sela 
 
Derivação com aneis de 
reforço 
 
 
 Alta resistência Mecânica, porém custo elevado 
 
 
 
 
 
 
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c) Permitir mudanças de diâmetro em tubos 
 
 
Reduções concêntricas 
 
Reduções excêntricas 
 
Buchas de redução 
 
 
 
d) Ligações de tubos entre si 
 
 
Luvas 
 
Uniões 
 
Niples 
 
 
Flanges 
 
 
 
e) Fechar extremidades de tubos 
 
 
Caps ou tampões 
 
 
Bujões 
 
Flanges Cegos 
 
 
 
f) Isolar trechos de tubulações e equipamentos 
 
 
Raquete 
 
 
Figura-Oito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.1.1. MEIOS DE LIGAÇÃO DE TUBOS 
 
Os diversos meios usados para conectar tubos, servem não só para ligá-los entre si, como também para 
ligar os tubos às válvulas, aos diversos acessórios e a outros equipamentos. 
 
Classificação dos sistemas de ligação de tubos 
 
a) Ligações rosqueadas. 
b) Ligações flangeadas 
c) Ligações soldadas 
d) Ligações de ponta e bolsa 
e) Ligações de compressão. 
 
A escolha do meio de ligação depende de muitos fatores, como sejam: material do tubo, pressão, 
temperatura, fluido que irá circular, diâmetro do tubo, segurança, custo, facilidade de desmontagem, localização 
etc. 
 
a) Ligações Rosqueadas: São os mais antigos meios de ligações usados para tubos. 
 
Vantagens: São de baixo custo, de fácil execução. 
Desvantagens: seu uso é limitado para pequenos diâmetros (até 3”), assim mesmo em instalações 
domiciliares ou serviços secundários em instalações industriais, devido á facilidade de vazamentos e a pequena 
resistência mecânica que apresentam. 
O rosqueamento enfraquece sempre as paredes dos tubos. Por essa razão, quando há ligações 
rosqueadas, usam-se sempre tubos de parede grossa, “schedule 80”. 
É conveniente o uso de materiais vedantes, para evitar vazamentos. 
Os principais vedantes são: Pasta de litargírio com óleo de linhaça ou glicerina, para vapor, óleos e água. 
Zarcão com estopa. Fita de teflon. 
 
 
b) Ligações soldadas: O uso das ligações soldadas cresce continuamente e é atua1mente muito usado. 
Vantagens do uso da solda: Boa aparência; Resistência mecânica boa (quase sempre equivalente a do 
tubo); Estanqueidade perfeita e permanente; Facilidade na aplicação do isolamento, quando necessário; Nenhuma 
necessidade de manutenção; Pequeno peso e consequente simplificação do sistema de suporte; Menor custo em 
relação aos flanges para linha de alta pressão. 
Desvantagens do uso da solda: Dificuldade de 
desmontagem; Perigo de utilização de solda com 
unidade funcionando: Dificuldade de equipamento para 
solda ou de um soldador habilitado. 
 
 
c) Ligações Flangeadas: As ligações f1angeadas são compostas de 2 flanges, um jogo de parafusos ou 
estojos com porcas e uma junta. 
São usadas, principalmente, para tubos de aço de qualquer classe e para quaisquer pressões e 
temperaturas.Empregam-se os flanges nas ligações dos tubos entre si, bem como as válvulas e equipamentos. 
Não se usa para tubos menores de 2”.As juntas utilizadas nas ligações flangeadas podem ser metálicas ou não-
metálicas e constituem um selo de vedação eficiente e barato. 
 
 
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Vantagens: Seu uso facilita a montagem e desmontagem da 
tubulação; Não há perigo de acidentes nas montagens; Podem ser 
recuperados para futuro uso. 
Desvantagens: Aumentam o peso da linha; Necessitam de 
espaço para colocação; Para alta pressão de vapor, quando há 
necessidade de uso de flanges de aço liga, o seu custo é maior do 
que o da solda; Custo de manutenção; Dificultam a aplicação do 
iso1amento. 
 
 
 
d) Ligações de Ponta e Bolsa: Muito usadas para tubos de ferro fundido 
e de concreto. Uma das extremidades do tubo ou do acessório, tem uma ponta 
lisa, que encaixa em uma expansão (bolsa) existente na outra extremidade do 
tubo ou do acessório. No interior da bolsa coloca-se um material de vedação que 
pode ser estopa embebida, chumbo derretido, argamassa, massas especiais etc. 
 
 
 
 
e) Ligação de Compressão: 
São muito usadas para tubos de 
parede fina, principalmente 
metálicos, não ferrosos, de pequeno 
diâmetro (até 2”). 
 
6.2. VÁLVULAS 
 
Válvulas são dispositivos usados para estabelecer, controlar e interromper a passagem de fluidos em 
tubulações. Dentro desse conceito global, as válvulas podem ter, no entanto, funções e características especificas 
que permitem uma classificaçãosegundo seu emprego. 
 
6.1 - Classificação e principais tipos de válvulas 
 
6.1.1 - Válvulas de bloqueio 
 
a) Válvula gaveta: é o tipo de válvula mais importante e de uso mais generalizado. Até há alguns anos 
atrás as vásvulas de gaveta dominavam largamente a maior parte a maior parte das válvulas de uso industrial, 
chegando a representar 75% do mercado. 
 O desenvolvimento de válvulas de bloqueio mais leves, baratas e rápidas (esfera e borboleta) fez diminuir 
muito a sua participação no mercado, entretanto se mantem em torno de 50% do total. 
As válvulas gaveta são válvulas de bloqueio de líquidos por excelência, empregadas em qualquer diâmetro, 
na maioria das tubulações de água, óleos e líquidos em geral, desde que não sejam muito corrosivos nem com 
muito sólidos em suspensão. 
Em qualquer um desses serviços, as válvulas de gaveta são usadas para qualquer pressão e temperatura e 
dificilmente dão fechamento estanque, pois tem o fechamento de metal contra metal, 
O fechamento dessas válvulas é feito pelo movimento de uma peça chamada de gaveta, em consequência 
da rotação do volante, assim a gaveta desloca-se paralelamente ao orifício da válvula e perpendicularmente ao 
sentido do escoamento do fluído, e assenta-se sobre as duas sedes. 
Quando totalmente abertas, a trajetória de circulação do fluido fica reta e inteiramente desimpedida, de 
forma que a perda de carga é muito pequena. Essas válvulas devem trabalhar completamente abertas ou 
completamente fechadas. Quando parcialmente abertas, causam perdas de cargas elevadas, cavitação, corrosão 
e erosão. 
As válvulas de gaveta são sempre de fechamento lento, e o tempo de fechamento aumento com o aumento 
do tamanho da válvula. É uma vantagem porque assim evitam-se os efeitos desastrosos, de golpes de aríete, 
consequência da parada repentina do escoamento do fluído. AS válvulas de gaveta dificilmente dão uma vedação 
perfeitamente estanque; entretanto na maioria das vezes, tal vedação não é necessária. 
Estas válvulas não são recomendadas para velocidades de escoamento muito altas nem para tubulações 
 
 
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sujeitas a fortes e constantes vibrações, pois podem fazer movimentar a gaveta. Também não são apropriadas 
para fluidos com muito sólidos ou sedimentos, que podem se depositar no sulco da sede da gaveta dificultando o 
fechamento. 
 
 
 
b) Válvula macho: É o tipo de válvula cujo obturador é um macho paralelo ou cônico que gira em torno da 
sua haste de modo a alinhar a sua abertura com as aberturas do corpo. 
Com apenas um quarto de volta se faz a abertura ou o fechamento da válvula e o fluxo é sempre suave e 
ininterrupto. A passagem pode ser integral ou reduzida e os machos podem ser lubrificados ou não e quando não 
lubrificados os machos podem incorporar dispositivos destinados a reduzir o atrito entre as partes móveis, com o 
macho revestido com teflon e pode ainda ser do tipo fire-safe. 
Nas válvulas com machos lubrificados o lubrificante deve ser não solúvel no fluido circulante e este tipo de 
válvula, com macho lubrificado, tem seu emprego destinado ao manuseio de óleos, produtos graxos muito densos, 
refino de petróleo sob altíssimas pressões, até 6000 psi e temperaturas entre -30 e 300 °C. 
Existem válvulas de macho com duas, três ou até quatro vias. As válvulas macho representam em média 
cerca de 10% de todas as válvulas usadas em tubulações industriais. 
 
 
Existem dois tipos gerais de Válvulas macho: válvulas com e sem lubrificação. Nas válvulas com lubrificação 
há um sistema de injeção de graxa lubrificante sob pressão através do macho para melhorar a vedação e evitar 
que o macho possa ficar preso; são as válvulas geralmente empregadas em serviços com gases. O lubrificante 
usado deve ser tal que não se dissolva nem contamine o fluido conduzido. O macho tem sempre rasgos para a 
distribuição do lubrificante por toda superfície de contato com as sedes. 
 
 
 
c) Válvula de esfera: são as válvulas de bloqueio que até pouco tempo representava a minoria das 
válvulas instaladas, mas que à partir do final da década de 80 passou a ganhar o espaço perdido pelas válvulas 
de gaveta, por serem mais eficientes e de menor custo. 
Sua principal característica é a mínima perda de carga para os modelos de passagem plena e a baixa perda 
de carga para os outros modelos devido à pequena obstrução do fluxo quando totalmente abertas. 
Podemos dizer que a válvula de esfera representa uma evolução da válvula de macho. As vantagens das 
válvulas de esfera sobre as de gaveta são o menor tamanho, peso e custo, melhor vedação, maior facilidade de 
operação e menor perda de carga. 
Essas válvulas são também melhores para fluidos que tendem a deixar depósitos sólidos, por arraste, 
polimerização, coagulação etc.: A superfície interna lisa da válvula dificulta a formação desses depósitos, 
enquanto que, para a válvula de gaveta, o depósito pode impedir o fechamento completo ou a própria 
movimentação da gaveta. 
Algumas válvulas de esfera são “à prova de fogo”, com dispositivos especiais de dupla sede garantindo 
perfeita vedação, mesmo no caso de destruição dos anéis retentores, estando a válvula envolvida por um 
incêndio. 
 
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6.1.2 - Válvulas de regulagem do fluxo 
 
a) Válvula globo: têm esse nome universalizado devido à forma globular concebida inicialmente no projeto 
de seu corpo. Também conhecida como registro de pressão, assim como a de agulha, presta-se a regular vazão e 
bloquear o fluxo de fluidos em uma tubulação. Existem desde as válvulas domésticas (a maioria das válvulas de 
lavatórios, chuveiros e pias são válvulas de globo, com a vedação sendo chamada de “carrapeta”), até válvulas 
com cerca de DN 300 (12”) ou até mesmo DN 400 (16”). 
Seu funcionamento para abrir ou fechar é feito manualmente por um volante fixo à extremidade da haste e 
quando girada, promoverá um movimento de translação em sentido ascendente ou descendente do obturador 
acoplado à outra extremidade da haste que atuará na sede localizada no corpo da válvula, abrindo, fechando ou 
regulando a passagem do fluxo. 
Existem quatro versões deste tipo de válvula, todas elas com características comuns quanto ao 
funcionamento, mas com projetos de disposição do corpo de forma tal que as diferenciam, proporcionando assim 
melhores opções aos projetistas e instaladores em montagens de tubulações. 
 
 
Como regra geral, as válvulas globo devem ser instaladas de forma que o fluido entre pela face inferior do 
tampão. As válvulas globo são usadas principalmente para serviços de regulagem e de fechamento estanque em 
linhas de água, óleos, líquidos em geral (não muito corrosivos), e para o bloqueio e regulagem em linhas de vapor 
e de gases. Para todos esses serviços as Válvulas globo são empregadas para quaisquer pressões e 
temperaturas, em diâmetros até 8”. Não é usual o emprego de Válvulas globo em diâmetros maiores porque 
seriam muito caras e dificilmente dariam uma boa vedação. 
 
 
 
b) Válvulas de agulha: Também conhecida simplesmente por “válvula de agulha”, ou ainda como “globo 
ponta de agulha” são as válvulas destinadas à regulagem precisa de vazão. A válvula de agulha é uma variação 
das válvulas globo, portanto, de funcionamento idêntico. 
Ela difere basicamente no seu elemento de vedação (obturador) que se caracteriza pelo seu formato cônico 
extremamente agudo, normalmente constituído na própria extremidade da haste que promove os movimentos de 
abertura, fechamento e principalmente regulagens.Este tipo de válvula tem o orifício de passagem bastante reduzido em relação à bitola da válvula para que 
se possa obter uma maior precisão nas regulagens de vazão. As válvulas de agulha são indicadas para serem 
utilizadas em aparelhos de instrumentação de ar comprimido, gases e líquidos homogêneos em geral com baixa 
viscosidade. 
 
 
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c) Válvula Borboleta: A válvula borboleta, uma das mais antigas, recebe esse nome em função da 
aparência se seu obturador tem por função a regulagem e o bloqueio do fluxo em uma tubulação e pode trabalhar 
em várias posições de fechamento parcial. O fechamento da válvula é feito pela rotação de uma peça circular, 
chamada disco, em torno de um eixo perpendicular à direção de escoamento do fluido. Quase todas as válvulas 
de borboleta têm anéis de sede em elastômeros, com quais se consegue uma excelente vedação. 
As válvulas de borboleta foram originalmente concebidas como válvulas de regulagem, mas devido ao 
aprimoramento da sede pode também trabalhar como válvulas de bloqueio. É utilizada principalmente em 
sistemas de adução e de distribuição de água bruta ou tratada, e em estações de tratamento de água e de 
esgotos e ainda é utilizada na indústria química, petroquímica, farmacêutica e alimentícia. 
Podem ser usadas em serviços de alta corrosão, pois existem válvulas com revestimento anticorrosivo tanto 
no corpo como na haste e no disco de fechamento. São utilizadas em tubulações contendo líquidos, gases, 
inclusive líquidos sujos ou contendo sólidos em suspensão, bem como para serviços corrosivos. 
As vantagens de uma válvula borboleta são muitas, como a facilidade de montagem, construção compacta, 
robusta e leve ocupando pequeno espaço, excelentes características de escoamento com alta capacidade de 
vazão, baixo custo e boa performance como válvula de regulagem e de controle. 
 
 
 
 
6.1.3 - Válvulas que permitem o fluxo em uma só direção (Válvulas de retenção): 
 
As válvulas de retenção caracterizam-se pela auto-operação proporcionada pelas diferenças de pressão 
entre montante e jusante exercidas pelo fluido em conseqüência do próprio fluxo, não havendo necessidade da 
atuação do operador. As válvulas de retenção são denominadas de “válvulas unidirecionais” e são instaladas com 
a finalidade de evitar a inversão no sentido do fluxo, o refluxo. 
Quando ocorre a interrupção no fornecimento de energia das bombas e, conseqüentemente ocorre a 
parada do escoamento, as válvulas de retenção se fecham impedindo o refluxo e retendo a coluna do fluido na 
tubulação. Como função secundária, são importantes para a manutenção da coluna de líquido durante a 
paralisação e fundamentais também para se evitar que a sobre-pressão causada por golpes de aríete resultantes 
da parada brusca do escoamento chegue às bombas. 
 
a) Válvula de retenção de portinhola: Tipo mais comum e usual para diâmetros de 2” ou maiores; o 
fechamento é feito por uma portinhola articulada que se assenta na sede da válvula. Existem modelos diferentes 
para instalação horizontal e vertical. As perdas de carga causadas, embora elevadas, são menores que as 
 
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causadas pelas de pistão, porque a trajetória do fluido é retilínea. São empregadas para serviços com líquido; Não 
devem ser usadas em tubulações sujeita a frequentes inversões do sentido de fluxo pois tendem a vibrar.. 
 
 
 
b) Válvula de pistão: o fechamento dessas válvulas é feito por meio de um tampão, semelhante ao das 
válvulas de globo, cuja haste desliza em uma guia interna. O tampão é mantido suspenso, afastado da sede, por 
efeito da pressão do fluido sobre a sua face interior. É facil de entender que haja tendencia à inversão do sentido 
do sentido de escoamento, a pressão do fluido sobre a face superior do tampão aperta-o contra a sede, 
interrompendo o escoamento. Existem também modelos diferentes para trabalhar em posição horizontal e em 
posição vertical. 
Todas essas válvulas causam perda de carga bastante elevada e por esse motivo são empregadas 
somente em pequenos diêmtros (até 2”), e fabricadas no máximo até 6” de diâmetro. 
As válvulas desse tipo são adequadas ao trabalho com gases e vapores. Não devem ser usadas para 
fluidos que deixem sedimentos ou depósitos sólidos. Essas válvulas podem ser empregadas para tubulações com 
fluxo pulsante ou sujeitas a vibrações. 
 
 
 
 
c) Válvula de retenção de diafragma: são válvulas sem uso de engaxetamento especialmente usadas 
para fluidos, corrosivos, tóxicos ou perigosos. 
O fechamento da válvula é feito pela deformação de um diafragma não metálico flexível, que é apertado 
contra sede, o mecanismo móvel fica completamente fora do contato com o fluído, não necessitando assim de 
material resistente a corrosão. Como consequência, não há rico de vazamento pela haste. 
As válvulas de diafragma são quase sempre válvulas pequenas (até 6”), frequentemente com o corpo de 
materiais não-metálicos (geralmente plástico), ou de metais com revestimento contra a corrosão. A temperatura 
limite de trabalho depende do material empregado no diafragma, que varia de acordo com o fluido conduzido 
(borrachas naturais ou sintéticas, neoprene, etc. 
 
 
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d) Válvula de retenção de esfera: são semelhantes as válvulas de retenção de pistão , sendo porém o 
tampão substituído por uma esfera. É o tipo de válvula de retenção cujo fechamento é mais rápido, são utilizadas 
para fluidos de alta viscosidade, em diâmetros de até 2”. 
 
 
 
e) Válvula de pé: São válvulas de retenção especiais para manter a escorva (linha com líquido) nas linhas 
de sucção de bombas; devem ser instaladas na extremidade livre da linha, ficando mergulhadas dentro do líquido 
no reservatório de sucção. Essas válvulas são semelhantes à válvulas de retenção de levantamento, tendo 
geralmente no tampão um disco de material resiliente (plásticos, borracha etc.), para melhorar a vedação. 
Possuem também uma grade externa de proteção. 
 
 
 
6.1.4 - Válvulas de controle de pressão 
 
Durante a operação de unidades de processo podem surgir pressões excessivas devidas a explosões, 
reação química, descarga de bombas ou compressores, fogo externo ao equipamento, etc., que podem provocar 
sérios problemas em equipamentos e pessoal. Para proteger as instalações são empregadas uma série de 
dispositivos que aliviam esses excessos de pressão. Os mais utilizados são os discos de ruptura e as válvulas de 
segurança. O disco de ruptura consiste num diafragma fino (metálico ou plástico) colocado entre flanges e 
projetado para romper a uma pressão pré-determinada; são utilizados no caso de descargas grandes e abruptas e 
também para fluidos corrosivos, com a desvantagem de não manter a vedação cessada a sobre-pressão. Em 
alguns casos são colocados antes das válvulas de segurança para protegê-las contra a corrosão. 
A válvula de segurança é um dispositivo automático de alívio de pressão, movimentado por mola ou peso, 
mais adequado para descargas não muito grandes e fluidos poucos corrosivos, e proporciona uma vedação 
perfeita cessada a sobre-pressão. 
O termo válvula de segurança é utilizado genericamente, englobando as classificações válvula de 
segurança, válvula de alívio, válvula de segurança e alívio. 
 
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Válvulas de alívio 
 
As válvulas de alívio são geralmente utilizadas para líquidos. Com o acúmulo da pressão no vaso, a mola é 
comprimida permitindo o disco elevar. Isto provoca uma área adicional que permite um aumento da vazão do 
fluido. A gradual elevação do disco com o aumento da pressão é uma característica que distingue as válvulas de 
alívio das válvulas de segurança, nas quais o disco atinge seu curso máximo com baixa sobre-pressão. As 
válvulas de alívio para líquidos atingem sua capacidade nominal com 25% de sobre-pressão. Para válvulas de 
alívio de alto curso, o curso é maior que um quarto do diâmetro do bocal, do que resulta uma área de passagem 
entre o bocal e o disco maior que a área do bocal. Algumas válvulas de alívio têm o disco com guias inferiores. 
Este arranjo é satisfatório para fluidos limpos, mas uma vez que as guias estão em contato com o fluido a ser 
aliviado, alguma corrosão ou depósitos podem causar um engripamento da guia, resultando um aumento de 
pressão de abertura completa falha de abertura quando requerida. 
 
Válvulas de segurança 
 
São dispositivos para gases que têm sido especificamente projetados para dar abertura total com pequenas 
sobre-pressão. Um bocal é geralmente usado na entrada da válvula. Uma carga estática desenvolvida pelo orifício 
secundário sobre uma área maior do disco e a energia cinética do gás são utilizadas para superar a força da mola 
atuando no disco quando este se eleva, resultando uma ação de disparo ou de estalo (“pop action”). Para uso em 
refinarias de petróleo as molas são usualmente externas ou cobertas com castelos para protegê-las da umidade e 
outros agentes corrosivos e para se ter uma forma de coletar possíveis vazamentos pela haste ou guias. 
 
Válvulas de segurança e alívio 
 
Podem operar tanto como válvulas de segurança como válvulas de alívio, dependendo da aplicação. A 
descarga da válvula pode ser feita para a atmosfera ou para um sistema que mantenha uma contrapressão 
variável ou constante, superior à pressão atmosférica. Dependendo do efeito da contrapressão no seu 
funcionamento, as válvulas de segurança e alívio são consideradas como convencionais ou balanceadas. 
A válvula de segurança é um dispositivo de alívio de pressão que existem desde 1682, quando na Inglaterra 
foi inventada por um físico francês chamado Denis Papin. O modelo inventado por Papin funcionava com um 
sistema de contrapeso, onde um peso ao ser movimentado ao longo de uma alavanca alterava sua pressão de 
ajuste. 
A válvula desenvolvida por Papin conseguia proteger um equipamento, cuja pressão alcançava 8,3 kgf/cm² 
A válvula de contrapeso devido a sua falta de precisão foi responsável por diversas explosões de caldeiras e 
vasos de pressão e conseqüentes perdas de vidas. 
O Código ASME Seção I e Seção VIII não permite que sejam instaladas válvulas de contrapeso em 
caldeiras e vasos de pressão, respectivamente. Somente a partir de 1869 é que foi inventada a válvula de 
segurança tipo mola sob carga (mola helicoidal) a partir do projeto de dois americanos, George Richardson e 
Edward H. Ashcroft. De acordo com os registros da época, sua válvula era muito utilizada na proteção de 
locomotivas a vapor 
 
a) Válvula de Contra-Peso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Válvula de Mola 
 
 
 
e) Válvulas que controlam a pressão a jusante: regulam, sem intervenção de qualquer ação externa, a 
pressão de jusante da válvula (são válvulas automáticas). 
 
Válvula de controle: é um nome genérico para designar uma grande variedade de válvulas utilizadas para 
controlar automaticamente variáveis como pressão, temperatura, vazão, nível etc. 
 
 
 
 
 
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4.2 – Simbologia utilizadas para acessórios de sistemas hidraulicos 
 
Cotovelo ou joelho 
 
Anel de reforço 
 
Curva 
 
Válvula Gaveta 
 
Curva em Gomos 
 
Válvula Macho 
 
Tê 
 
Válvula de três vias 
 
Cruzeta 
 
Válvula globo 
 
Junta de expansão 
 
Válvula agulha 
 
União 
 
Válvula borboleta 
 
Luva 
 
Válvula de diafragma 
 
Redução 
 
Válvula de controle 
 
Tampão 
 
Válvula de retenção 
 
Bujão 
 
Válvula de alívio ou 
segurança 
 
Sela 
 
 
 
 
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6.2.1. PERDA DE CARGA LOCALIZADA 
 
Acessórios assim como conexões e registros provocam perdas de carga localizadas. No cálculo, a perda 
localizada é representada pelo comprimento equivalente, isto é, o comprimento de tubulação da mesma bitola que 
produz a mesma perda de carga. 
 
 
 
No exemplo da Figura acima, o comprimento para efeito de cálculo da tubulação entre A e B é dado por: 
 
Ltotal = L1 + L2 + Lequiv_registro + Lequiv_curva. 
 
E a perda de carga total é dada conforme igualdade já vista J = f . Ltotal . V² / 2 . D . g 
Os comprimentos equivalentes são encontrados em tabelas ou gráficos como o abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) A figura abaixo representa um sistema que abastece o chuveiro de uma instalação predial feita de ferro 
galvanizado. Sabendo que o diâmetro da tubulação é de 2 polegadas e se a vazão for de 0,0015m³/s, determine: 
 
1 - T saída lateral 
2 – Cotovelo padrão 
3 – Válvula gaveta aberta 
4 – Cotovelo padrão 
5 - T padrão 
6 – Cotovelo padrão 
7 – Válvula borboleta aberta 
8 – Cotovelo padrão 
9 – Cotovelo padrão 
 
 
 
a) O comprimento equivalente de todos os acessórios; RTA: 24,11m 
b) A perda de carga da tubulação; RTA: 0,45m 
c) Sabendo que o reservatório possui um nível constante de 1 metro, encontre a pressão com que a água 
atinge o chuveiro. RTA: 114281Pa 
 
2) Determinar pressão na saída da tubulação no esquema da figura abaixo com as perdas localizadas. RTA: 
255617Pa 
 
Dados: Material = aço comercial 
Diâmetro = 0,254 m 
Vazão = 40 l/s 
Peças especiais: 
1 Bordo de entrada 
3 cotovelos padrões de raio longo 
2 cotovelos de 45º 
1 válvula gaveta aberta 
 
 
3) Uma tubulação como a da figura abaixo possui um diâmetro de 3pol e transporta 10L/s de água. Sabe-se que a 
perda de carga é equivalente a 1,55kgf/cm² e que toda tubulação é de ferro galvanizado. Se todos os tubos 
tiverem o mesmo comprimento, quantos são utilizados? (obs.: 10m.c.a → 1atm). RTA: 78 tubos 
 
 
 
 
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4) Considere o sistema de transporte de água até o 
reservatório abaixo. Sabendo que a tubulação é de 
ferro galvanizado com diâmetro de 2 polegadas e que a 
vazão é de 0,002m³/s, determine o nível do tanque de 
origem da água. Se a pressão no ponto 2 é 99095 Pa. 
Obs: Considere todas as mudanças de direção sendo 
feitas por cotovelos padrões. RTA: 1,347m 
 
 
 
5) Um sistema de abastecimento industrial deágua é 
constituído por: 
➢ 1 bordo de entrada; 
➢ 25 cotovelos de raio médio; 
➢ 3 válvulas de seguranças abertas; 
➢ 5 Ts padrões com saída lateral; 
➢ 2 válvulas borboletas abertas. 
Sabendo que este sistema possui um diâmetro de 2 
polegadas e é construído de ferro fundido, determine a 
comprimento da tubulação se a perda de carga total 
(acessórios + tubulação) é de 24 m. A velocidade do 
escoamento é de 60cm/s. RTA: 1993m. 
 
6) Observando de uma posição superior (figura ao 
lado), uma tubulação de concreto de 254 mm de 
diâmetro leva água de um reservatório 1 até o 
reservatório 2. Entre os dois reservatórios há 2km de 
tubulação dispostos como a figura abaixo. Sabe-se 
que a vazão é de 3000L/min. Determine a perda de 
carga total. R: 10,36m 
 
 
7) Sabendo que toda a tubulação esta num mesmo nível e que o reservatório 1 esta aberto e é mantido sempre 
com um nível de 30m, qual a pressão com que a água chega ao reservatório 2 do exercício anterior? R: 293309Pa 
 
8) A figura abaixo representa um sistema que abastece uma instalação industrial feita de ferro galvanizado. 
Sabendo que o diâmetro da tubulação é de 2 polegadas e que a vazão é de 0,0015m³/s, determine: 
a) O comprimento equivalente dos acessórios 
(VGA=Válvula Gaveta Aberta; VGL=Válvula Globo 
Aberta); RTA: 37,59m 
b) A perda de carga da tubulação; RTA: 2,258m 
c) Sabendo que o reservatório possui um nível 
constante, encontre a pressão com que a água 
atinge o ponto A. RTA: 196522Pa 
 
 
 
 
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7. SISTEMAS DE BOMBEAMENTO 
 
É um conjunto de componentes hidráulicos, dispostos segundo um determinado critério, destinado a 
produzir trabalho. 
 
7.1. COMPONENTES DE UM SISTEMA HIDRÁULICO 
 
Um sistema hidráulico padrão deverá ter, pelo menos, os seguintes componente 
 
1) Reservatório; 
2) Tubulações; 
3) Bomba; 
4) Atuadores; 
5) Válvulas. 
 
7.2. BOMBAS HIDRAULICAS 
 
Bombas são máquinas hidráulicas que fornecem energia ao liquido com a finalidade de transportá-lo de um 
ponto a outro. Normalmente recebem energia mecânica e a transformam em energia de pressão e cinética ou em 
ambas. 
 
a) PRINCÍPIOS DE FUNCIONAMENTO DAS BOMBAS 
 
Fundamentalmente, a função da bomba é empurrar o fluido hidráulico, criando o fluxo. A bomba converte a 
energia mecânica da fonte primária (motor) em energia de pressão no fluido. A energia de pressão É, então, 
usada para acionar um atuador frequentemente com movimentos muitos precisos. É uma prática comum referir-se 
a uma bomba como a fonte de pressão do sistema hidráulico. Entretanto, supor que qualquer perda de pressão 
seja sempre causada pela bomba não é, necessariamente, verdade. 
A bomba cria um movimento ao empurrar o fluido, o que resulta no fluxo. Porém, para se criar pressão é 
necessário haver uma resistência ao fluxo. Além disso, se a resistência for uma carga aplicada a um atuador, a 
pressão criada é apenas a necessária para dar conta da carga. A pressão pode ser perdida por qualquer caminho 
alternativo que ofereça menor resistência ao fluxo. Consequentemente, um vazamento em outro componente 
qualquer, como por exemplo, uma válvula, é provavelmente a causa da perda de pressão. Lembre-se de que a 
bomba existe apenas para causar o fluxo. Para onde este fluxo vai, depender· dos outros componentes do 
sistema. 
 
b) DE QUE SE CONSTITUI UMA BOMBA 
 
As partes essenciais de qualquer bomba hidráulica são: 
➢ Uma abertura de entrada (baixa pressão), pela qual a bomba é alimentada. 
➢ Uma abertura de saída (alta pressão), a qual se conecta a linha de pressão. 
➢ Câmara de bombeamento que leve o fluido da entrada a saída. 
➢ Um meio mecânico de ativar a câmara de bombeamento. 
 
 
 
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7.3. CLASSIFICAÇÃO DAS BOMBAS 
 
Bomba centrifuga, Hidrodinâmicas ou de Deslocamento Negativo: são máquinas nas quais a 
movimentação do liquido é desenvolvida por forças que se desenvolvem na massa liquida em conseqüência da 
rotação de uma peça interna (ou conjunto dessas peças) dotada de pás ou aletas chamada de rotor; 
Bombas Hidrostáticas ou de Deslocamento Positivo: são aquelas em que a movimentação do liquido é 
causada diretamente pela movimentação de um dispositivo mecânico da bomba, que induz ao liquido um 
movimento na direção do deslocamento do citado dispositivo, em quantidades intermitentes, de acordo com a 
capacidade de armazenamento da bomba, promovendo enchimentos e esvaziamentos sucessivos, provocando, 
assim, o deslocamento do liquido no sentido previsto. 
 
 
 
7.3.1. BOMBA DE DESLOCAMENTO POSITIVO 
 
É aquela onde a entrada e a saída é, hidraulicamente vedada, isto é, o fluido da câmara de saída não tem 
condição de voltar para a câmara de entrada, devido à vedação interna da bomba. Este tipo de bomba mantém 
uma pressão residual na saída e, necessita da proteção de uma válvula de segurança. 
 
ALTERNATIVAS 
 
Neste tipo de bomba o fluido entra na câmara onde a saída esta fechada. Quando o fluido preencheu a 
câmara a entrada se fecha e a saída se abre. Um mecanismo comprime este fluido na câmara expulsando o fluido 
pela saída. 
 
Bombas alternativas de pistão: o órgão que produz o movimento do líquido é um pistão que se desloca, 
com movimento alternativo, dentro de um cilindro. No curso de aspiração, o movimento do pistão tende a produzir 
vácuo. A pressão do líquido no lado da aspiração faz com que a válvula de admissão se abra e o cilindro se 
encha. No curso de recalque, o pistão força o líquido, empurrando-o para fora do cilindro através da válvula de 
recalque. O movimento do líquido é causado pelo movimento do pistão, sendo da mesma grandeza e do tipo de 
movimento deste. 
 
 
Alternativas 
Pistão
Diafragma
Rotativas 
Palheta
Lóbulo
Engrenagem
Bombas Centrífugas, 
Hidrodinâmicas ou de 
Deslocamento Negativo 
Bombas Hidrostáticas ou de 
Deslocamento Positivo 
Axial
Radial
Diagonal
 
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Bombas alternativas de êmbolo: seu princípio de funcionamento é idêntico ao das alternativas de pistão. 
A principal diferença entre elas está no aspecto construtivo do órgão que atua no líquido. Por serem 
recomendadas para serviços de pressões mais elevadas, exigem que o órgão de movimentação do líquido seja 
mais resistente, adotando-se assim, o êmbolo, sem modificar o projeto da máquina. Com isso, essas bombas 
podem ter dimensões pequenas. 
 
 
 
Bombas alternativas de diafragma: o órgão que fornece a energia do líquido é uma membrana acionada 
por uma haste com movimento alternativo. O movimento da membrana, em um sentido, diminui a pressão da 
câmara fazendo com que seja admitido um volume de líquido. Ao ser invertido o sentido do movimento da haste, 
esse volume é descarregado na linha de recalque. São usadas para serviços de dosagens de produtos já que, ao 
ser variado o curso da haste, varia-se o volume admitido. Um exemplo de aplicação dessa bomba é a que retira 
gasolina do tanque e manda para o carburador de um motor de combustão interna 
 
 
 
 
ROTATIVAS 
 
As Bombas Rotativas depende de um movimento de rotação que resulta em um escoamento continuo. O 
rotor da bomba provoca uma pressão reduzida no lado da entrada, o que possibilita a admissão do líquido à 
bomba, pelo efeito da pressão externa. À medida que o elemento gira, o líquido fica retido fica retido entre oscomponentes do rotor e a carcaça da bomba. 
 
 
 
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(1) BOMBAS ROTATIVAS DE PALHETAS 
 
Numa bomba de palhetas, um rotor com ranhuras acionado por um eixo, gira entre placas laterais, bem 
ajustadas e dentro de um anel circular ou elíptico. Palhetas polidas e temperadas deslizam para dentro e para fora 
das ranhuras, seguindo o contorno do anel devido à força centrifuga. As câmaras de bombeamento são formadas 
entre as palhetas consecutivas, levando o fluido da entrada para a saída. à medida que o espaço entre as 
palhetas cresce, cria-se um vácuo parcial na entrada. O fluido é expelido por compressão à medida que o 
tamanho da câmara de bombeamento diminui ao se aproximar da saída. 
Os pontos de uma bomba de palhetas que, normalmente, estão sujeitos a desgaste são as extremidades 
das palhetas e a superfície interna do anel, de modo que ambos são especialmente temperados e retificados. A 
bomba de palhetas é a única que tem a característica de compensação automática do desgaste incorporada em 
seu projeto. à medida que o desgaste ocorrer, as palhetas simplesmente se estendem mais para fora dos entalhes 
do rotor e continuam acompanhando o contorno do anel. Desta forma, o rendimento é mantido durante toda a vida 
útil da bomba. 
 
 
 
(2) BOMBA DE ENGRENAGEM INTERNA 
 
A bomba de engrenagem interna consiste de uma engrenagem chavetada ao eixo de acionamento, dentro 
de uma engrenagem com dentes internos, uma vedação em forma de meia lua e uma carcaça bem ajustada. As 
duas engrenagens não são concêntricas, de forma que, quando giram, as câmaras de bombeamento entre elas se 
abrem na entrada e se fecham na saída. Ambas as engrenagens levam fluido ao longo da meia-lua a qual provém 
vedação positiva entre elas. 
 
 
 
(3) BOMBA DE ENGRENAGENS EXTERNAS 
 
No lado da entrada, os dentes das engrenagens desengrenam, o fluido entra na bomba, sendo conduzido 
pelo espaço existente entre os dentes e a carcaça, para o lado da saída onde os dentes das engrenagens 
engrenam e forçam o fluido para fora do sistema. Uma vedação positiva neste tipo de bomba é realizada entre os 
dentes e a carcaça, e entre os próprios dentes de engrenamento. 
 
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(4) BOMBA DE LÓBULOS 
 
Uma bomba de lóbulos funciona da mesma maneira que uma bomba de engrenagens externas, a exceção 
da necessidade de um par de engrenagens de sincronismo, montado externamente. é fácil notar que o 
deslocamento é maior que o de uma bomba de engrenagens, porém a oportunidade de se ter perdas de 
rendimento por desgaste também é maior. As bombas de lóbulos, de grande deslocamento, são geralmente, 
limitadas à movimentação de grandes volumes de líquidos. No entanto, algumas dessas bombas têm mais lóbulos 
e consequentemente, menor deslocamento, sendo usadas em sistemas de baixa pressão. 
 
 
 
(5) BOMBAS DE PARAFUSO 
 
Constam de um, dois ou três "parafusos" helicoidais que têm movimentos sincronizados através de 
engrenagens. Esse movimento se realiza em caixa de óleo ou graxa para lubrificação. Por este motivo, são 
silenciosas e sem pulsação. 
O fluido é admitido pelas extremidades e, devido ao movimento de rotação e aos filetes dos parafusos, que 
não têm contato entre si, é empurrado para a parte central onde é descarregado. Essas bombas são muito 
utilizadas para o transporte de produtos de viscosidade elevada. 
 
 
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(6) BOMBAS PERISTÁLTICAS 
 
A bomba peristáltica é também conhecida como bomba de tubo flexível (flexible tube pump). No interior de 
uma caixa circular, uma roda excêntrica, dotada em certos casos de dois roletes diametralmente opostos ou de 
três roletes, comprime um tubo de borracha muito flexível e resistente. A passagem dos rolos comprimindo o tubo 
determina um escoamento pulsativo do líquido contido no tubo, razão do nome “peristáltica” pelo qual é mais 
conhecida. 
Percebe-se que o líquido passa ao longo do tubo sem contato com qualquer parte da bomba. Por isso, a 
bomba pode ser usada para líquidos altamente corrosivos, como os acéticos, clorídricos, fosfórico, crômico, 
sulfúrico, nítrico, fluorídrico, etc. Usa-se no caso de banhos eletrolíticos de fosfatação e para lixívias, líquidos 
abrasivos, viscosos, produtos alimentícios, soluções radioativas e líquidas venenosos. 
Bombas peristálticas especiais têm sido empregadas na circulação extracorpórea do sangue durante 
intervenções cirúrgicas do coração, funcionando como coração artificial. A bomba nesse sistema é da ordem de 
1/6 CV e gira com 150 rpm, variando a velocidade de modo a poder atender as necessidades ditadas pelo 
momento conforme as reações do paciente. 
 
 
 
7.3.2. BOMBAS CENTRÍFUGAS (DESLOCAMENTO NÃO-POSITIVO) 
 
É aquela que desenvolve a transformação de energia através do emprego de forças centrifugas. As bombas 
centrífugas possuem pás cilíndricas, com geratrizes paralelas ao eixo de rotação, sendo essas pás fixadas a um 
disco e a uma coroa circular, compondo o rotor da bomba. 
O funcionamento da bomba centrifuga baseia-se, praticamente, na criação de uma zona de baixa pressão e 
de uma zona de alta pressão. Para o funcionamento, é necessário que a carcaça esteja completamente cheia de 
liquido e portanto, que o rotor esteja mergulhado no liquido. 
Devido à rotação do rotor, comunicada por uma fonte externa de energia (geralmente um motor elétrico), o 
líquido que se encontra entre as palhetas no interior do rotor é arrastado do centro para a periferia pelo efeito da 
força centrifuga. Produz-se assim uma depressão interna ao rotor, o que acarreta um fluxo vindo através da 
conexão de sucção. O liquido impulsionado sai do rotor pela sua periferia, em alta velocidade e é lançado na 
carcaça que contorna o rotor. Na carcaça grande parte da energia cinética do liquido (energia de velocidade) é 
transformada em energia de pressão durante a sua trajetória para a boca de recalque. 
Faz-se necessária essa transformação de energia porque as velocidades do liquido na saída do rotor, 
seriam prejudiciais as tubulações de recalque e também porque a energia de velocidade pode ser facilmente 
dissipada por choques nas conexões e peças das canalizações de recalque. 
 
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A bomba centrifuga e constituída essencialmente de duas partes: 
a) uma parte móvel: rotor solidário a um eixo (denominado conjunto girante) 
b) uma parte estacionaria carcaça (com os elementos complementares: caixa de gaxetas, mancais, 
suportes estruturais, adaptações para montagens etc.,.). 
 
 
 
O rotor Pode ser de ferro fundido, bronze ou inox, dependendo das condições de uso. As bombas podem ter 
rotores do tipo aberto, semi-aberto e fechado. 
Rotores Fechados: as pás estão compreendidas entre dois discos paralelos, podendo ter entrada de um só 
lado (sucção simples) ou de ambos os lados. É mais eficiente que os outros tipos, porém é recomendado para 
água limpa. Este tipo de rotor evita a recirculação da água (retorno da água a boca de sucção), possui perdas de 
água são menores (maior rendimento) e é o tipo mais usado. 
Rotor aberto e semi- aberto: No rotor semi-aberto, as pás são fixadas de um lado num mesmo disco, 
ficando o outro lado livre. Estes doistipos de rotores destinam-se a bombear líquidos sujos (com partículas sólidas 
em suspensão). Este tipo de rotor sofre maior desgaste. 
 
 
 
As bombas centrifugas podem ser classificadas quanto a trajetória do fluído no rotor, sendo denominadas de 
fluxo axial, radial ou misto. 
Axial: Nestas bombas, as trajetórias das partículas líquidas começam paralelamente ao eixo e se 
transformam em hélices cilíndricas. Forma uma hélice de vórtice forçado. São empregadas para grandes 
descargas e elevação de até 40 m. 
Radial: o líquido penetra paralelamente ao eixo, sendo dirigido pelas pás para a periferia, segundo 
trajetórias contidas em planos normais ao eixo. As trajetórias são, portanto, curvas praticamente planas contidas 
em planos radiais. Estas bombas, pela sua simplicidade, se prestam a fabricação em série, com construção 
generalizada, e utilização estendida à grande maioria das instalações comuns. Quando se trata de descargas 
grandes e pequenas alturas de elevação, o rendimento das bombas centrífugas é baixo. 
Misto ou diagonal: o líquido atinge a borda das pás que é curvo e bastante inclinado em relação ao eixo. A 
trajetória é uma hélice cônica, e as pás são superfícies de dupla curvatura. As bombas deste tipo prestam-se a 
grandes descargas e alturas de elevação pequenas e médias. 
 
 
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Vantagens das Bombas Centrífugas 
 
a) Construção simples 
b) Baixo custo 
c) Fluido é descarregado a uma pressão uniforme, sem 
pulsações 
d) A linha de descarga pode ser estrangulada 
(parcialmente fechada) ou completamente fechada sem 
danificar a bomba 
e) Permite bombear líquidos com sólidos 
f) Pode ser acoplada diretamente a motores 
g) Não há válvulas envolvidas na operação de 
bombeamento 
h) Menores custos de manutenção que outros tipos de 
bombas 
i) Operação silenciosa (depende da rotação) 
Desvantagens Das Bombas Centrífugas 
 
 
a) Não servem para altas pressões 
b) Sujeitas à incorporação de ar precisam ser 
escorvadas 
c) A máxima eficiência da bomba ocorre dentro de 
um curto intervalo de condições 
d) Não bombeia eficientemente líquidos muito 
viscosos. 
 
7.4. CAVITAÇÃO/NPSH 
 
Uma definição simples de cavitação e NPSH, seria: uma intensa formação de bolhas de vapor na zona de 
baixa pressão da bomba e posterior colapso destas bolhas na região de alta pressão e NPSH é a pressão mínima 
em termos absolutos, em metros de coluna de água, acima da pressão de vapor do produto, a fim de evitar a 
formação destas bolhas de vapor. Vamos ver estes dois conceitos mais detalhadamente: 
 
Pressão de Vapor 
 
Pressão de vapor de um líquido a uma dada temperatura é aquela à qual o líquido coexiste em sua fase 
líquida e vapor. Numa mesma temperatura, quando tivermos uma pressão maior que a pressão de vapor, haverá 
somente a fase líquida e quando tivermos uma pressão menor que a pressão de vapor, haverá somente a fase 
vapor. A pressão de vapor de um líquido cresce com o aumento da temperatura, assim, caso a temperatura seja 
elevada até um ponto que a pressão de vapor iguale, por exemplo, a pressão atmosférica, resultará na 
evaporação do líquido, ocorrendo o fenômeno da ebulição. A tabela a seguir, mostra a pressão de vapor em 
função da temperatura, para a água. 
 
Temperatura C Pressão de Vapor (PV) [kgf/cm2] Peso Específico [] (kgf/m3) 
0 0,0061 999,8 
5 0,0087 1000,0 
10 0,0123 999,7 
15 0,0174 999,2 
20 0,0234 998,3 
25 0,0322 997,0 
30 0,0429 996,0 
35 0,0572 994,0 
40 0,0750 992,3 
45 0,0974 990,0 
50 0,1255 988,0 
55 0,1602 986,0 
60 0,1992 983,2 
65 0,2547 981,0 
 
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70 0,3175 978,0 
75 0,3929 975,0 
80 0,4828 971,6 
85 0,5894 969,0 
90 0,7149 965,0 
95 0,8620 962,0 
100 1,0333 958,1 
105 1,2320 955,0 
110 1,4609 951,0 
115 1,7260 947,0 
120 2,0270 942,9 
140 3,614 925,8 
160 6,181 907,3 
180 10,027 886,9 
200 15,55 864,7 
220 23,198 840,3 
240 33,478 813,6 
260 46,943 783,9 
280 64,202 750,5 
300 85,927 712,2 
 
 
O Fenômeno de Cavitação 
 
No deslocamento de pistões, nos "Venturis", no deslocamento de superfícies constituídas por pás, como 
sucede em bombas, ocorrem inevitavelmente rarefações no líquido, isto é, pressões reduzidas devido a própria 
natureza do escoamento ou ao movimento impresso pelas peças móveis ao fluido. 
Se a pressão absoluta baixar até atingir a pressão de vapor do líquido na temperatura em que este se 
encontra, inicia-se um processo de vaporização do mesmo. Inicialmente, nas regiões mais rarefeitas, formam-se 
pequenas bolsas, bolhas ou cavidades (dai o nome cavitação), no interior dos quais o líquido se vaporiza. 
 
 
 
 
Em seguida, conduzido pelo fluxo líquido provocado pelo órgão propulsor e com grande velocidade, atingem 
regiões de elevada pressão, onde se processa o seu colapso, com a condensação do vapor e o retorno ao estado 
líquido. 
 
 
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As bolhas que contém vapor do líquido parecem originar-se em pequenas cavidades nas paredes do 
material ou em torno de pequenas impurezas contidas no líquido, em geral próximas as superfícies, chamadas de 
núcleos de vaporização ou de cavitação, cuja natureza constitui objeto de pesquisas interessantes e importantes. 
Portanto, quando a pressão reinante no líquido se torna maior que a pressão interna da bolha de vapor, as 
dimensões da mesma se reduzem bruscamente, ocorrendo o seu colapso e provocando o deslocamento do 
líquido circundante para seu interior, gerando assim uma pressão de inércia considerável. As partículas formadas 
pela condensação se chocam muito rapidamente umas de encontro a outras e de encontro à superfície que 
anteponha o seu deslocamento. 
As superfícies metálicas onde se chocam as diminutas partículas resultantes da condensação são 
submetidas a uma atuação de forças complexas, oriundas da energia liberada dessas partículas, que produzem 
percussões, desagregando elementos de material de menor coesão e formam pequenos orifícios, que, com o 
prosseguimento do fenômeno, dão à superfície um aspecto esponjoso, rendilhado, corroído. É a erosão por 
cavitação. O desgaste pode assumir proporções tais que pedaços de material podem soltar-se das peças. Cada 
bolha de vapor assim formada tem um ciclo entre crescimento e colapso, da ordem de poucos milésimos de 
segundo e induz a altíssimas pressões que atingem concentradamente a zona afetada. Para se ter idéia desse 
processo, alguns pesquisadores mencionam que este ciclo é repetido numa freqüência que pode atingir a ordem 
de 25.000 bolhas por segundo e que a pressão provavelmente transmitida às superfícies metálicas adjacentes ao 
centro de colapso das bolhas pode atingir a pressão de 1000 atm. Outro aspecto que merece atenção é que, 
tendo em vista o caráter cíclico do fenômeno, as ações mecânicas repetidas na mesma região metálica 
ocasionam um aumento local de temperatura de até 800 C. 
 
Conseqüências da Cavitação 
 
Os efeitos da cavitação dependem do tempo de duração, intensidade da cavitação, propriedade do líquido e 
resistência do material à erosão por cavitação, ou seja, a cavitação causa barulho, vibração, alteração das curvas 
características e danificação ou "pitting" do material. 
O barulho e vibração são provocados principalmente pela instabilidade gerada pelo colapso das bolhas. 
Alteração nodesempenho da bomba é devida à diferença de volume específico entre o líquido e o vapor, 
bem como a turbulência gerada pelo fenômeno. 
A danificação do material em uma bomba geralmente ocorre no rotor, podendo também ocorrer nos 
corpos ou difusores. Geralmente, os pontos atacados no rotor estão situados na parte frontal da pá, caso o ponto 
de trabalho esteja à esquerda da vazão correspondente ao ponto de melhor rendimento ou na parte traseira, caso 
esteja situado à direita. 
A cavitação poderá ocorrer em maior ou menor intensidade. Quando ocorrer cavitação de pequena 
intensidade, seus efeitos serão muitas vezes imperceptíveis, ou seja, não se notarão alteração nas características 
de performance da bomba, nem ruído e vibrações. Com o aumento desta intensidade, estes efeitos passarão a 
ser perceptíveis através de ruído característico (o ruído se parece com o crepitar de lenha na fogueira; um 
martelamento com freqüência elevada ou um misturador de concreto e malta velocidade). 
Deve-se verificar que a erosão por cavitação não se verifica no lugar onde as bolhas se formam, mas sim no 
local onde implodem. Na construção de máquinas hidráulicas, há uma tendência para a escolha de rotações 
elevadas de funcionamento, com a finalidade de se reduzir as dimensões do equipamento 
e, portanto, o custo; porém em tais condições aumenta-se o risco de cavitação. 
 
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Rotor “Cavitado” 
 
NPSH (Net Positive Suction Head) 
 
Um dos mais polêmicos termos associados com bombas é o NPSH. A compreensão deste conceito é 
essencial para a correta seleção de uma bomba. A fim de caracterizar as condições para que ocorra boa 
"aspiração", foi introduzida na terminologia de instalações de bombeamento a noção de NPSH. Esta grandeza 
representa a disponibilidade de energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba. O termo NPSH 
é um termo encontrado em publicações na língua inglesa.Em publicações em vários idiomas, conservou-se a 
designação NPSH, embora alguns autores utilizem o termo APLS "Altura Positiva Líquida de Sucção" ou "Altura 
de Sucção Absoluta". Para efeito de estudo e definição, o NPSH pode ser dividido em NPSH requerido e NPSH 
disponível. 
 
NPSH Requerido (NPSHREQ) 
 
Cada bomba, em função de seu tamanho, características construtivas, etc..., necessita de uma determinada 
energia absoluta (acima da pressão de vapor) em seu flange de sucção, de tal modo que a perda de carga que 
ocorrerá até à entrada do rotor não seja suficiente para acarretar cavitação, quando operada naquelas condições 
de vazão. A esta energia denominamos NPSH REQUERIDO. 
Os fabricantes de bombas fornecem o NPSH requerido, através de uma curva NPSHreq x VAZÃO, para 
cada bomba de sua linha de fabricação, conforme padrão abaixo: 
 
 
 
Esta curva é uma característica própria da bomba, sendo obtida experimentalmente, através de testes de 
cavitação em bancadas do fabricante, com água fria a 20o C. 
Assim, em resumo, o NPSH requerido, representa a energia absoluta do líquido, acima de sua pressão de 
vapor, necessária no flange de sucção da bomba, de tal forma que garante a não ocorrência de cavitação na 
mesma. 
 
 
 
 
 
 
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NPSH Disponível (NPSHDISP) 
 
O NPSH disponível é uma característica do sistema e representa, ou define, a quantidade de energia 
absoluta disponível no flange de sucção da bomba, acima da pressão de vapor do fluído naquela temperatura. 
 
Dado o esquema abaixo: 
 
 
 
Tem-se: 
SUCSUC
VATMO
DISP J
.g
PPP
NPSH −




 −+
= H
 
 
ONDE: 
Po - pressão manométrica no reservatório de sucção. 
PATM - pressão atmosférica local. 
PV - pressão de vapor do fluído à temperatura de bombeamento. 
JSUC - perda de carga total na sucção. 
HSUC - cota da superfície do nível do reservatório de sucção. 
 
Analisando-se esta expressão do NPSHDISP, verificamos que para obtermos valores elevados, devemos 
tomar as seguintes providencias: 
a) diminuir a altura geométrica de sucção negativa (-HSUC), ou aumentar a altura geométrica de 
sucção positiva (+ZSUC), 
b) diminuir a perda de carga na sucção. Para tal recomenda-se: 
• utilizar tubulações curtas. 
• baixar a velocidade do fluído na sucção, aumentando-se o seu diâmetro. 
• reduzido número de acessórios (curvas, válvulas, etc...). 
c) diminuir a temperatura do fluído bombeado, para diminuir a pressão de vapor do mesmo. 
 
Para não ocorrer cavitação, devemos ter: NPSHDISP ≥ NPSHREQ 
Na prática utilizamos: NPSHDISP ≥ 1,20.NPSHREQ 
No mínimo: NPSHDISP ≥ (NPSHREQ + 1,0) m 
 
Afogada
Não-Afogada
 
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7.5. PROCEDIMENTOS DE ESCORVAMENTO 
 
A escorva vem a ser um procedimento adotado inicialmente nas instalações de bombeamento, onde é retira 
o ar da tubulação de sucção e do interior da bomba, para que seja criado um vácuo e, conseqüentemente seja 
permitida a aspiração do fluídos a ser bombeado. Os procedimentos típicos são os seguintes: 
 
➢ Bomba trabalha afogada: Evidentemente se a bomba trabalha abaixo do nível livre do reservatório 
inferior, a escorva se faz automaticamente. 
➢ Escorva com bomba auxiliar: Há uma pequena bomba auxiliar de êmbolo ou rotativa, que aspira o 
líquido do reservatório inferior e o recalca dentro da bomba principal e da tubulação de sucção. 
➢ Escorva com bomba de vácuo: É o sistema mais utilizado para bombas de grande porte. Consiste em 
retirar o ar da tubulação de sucção e da bomba centrífuga. 
➢ Reservatório suplementar: Existe um reservatório dividido em duas câmaras, onde na câmara inferior 
existe líquido suficiente para promover a escorva, e a câmara superior funciona como um reservatório 
hidropneumático. Quando a bomba funciona, retira líquido da câmara inferior criando um vácuo. 
 
Logo que se inicia o movimento do rotor e do líquido contido nos canais formados pelas pás do rotor, a força 
centrífuga decorrente deste movimento cria uma zona de menor pressão na sua entrada, produzindo desta forma 
a movimentação do líquido em direção à saída da bomba. Estabelece-se um gradiente hidráulico entre a entrada e 
a saída da bomba. Em virtude da diferença de pressão que se estabelece no interior da bomba ao ter um 
movimento de rotação, a pressão na entrada do rotor torna-se inferior a existente no interior da bomba. 
Simultaneamente, a energia na boca de recalque da bomba, torna-se superior à energia no ponto final de 
recalque, dando origem a um escoamento de líquido da bomba até o reservatório superior. 
 
7.6. INSTALAÇÃO TIPICA DE UMA BOMBA 
 
Inicialmente iremos descrever os acessórios típicos de uma instalação de bombeamento. Os acessórios 
básicos utilizados nestas instalações, conforme figura 07 e 08 serão descritos a seguir a fim de facilitar a 
compreensão destas instalações. 
 
 
 
 
1- Casa de bombas 
2 – Poço (fonte de captação) 
3 – Linha de sucção 
4 – Linha de recalque 
5 – Saída para reservatório 
RE – Redução excêntrica 
CL – Curva de 90o 
M – Motor de acionamento 
VR – Válvula de retenção 
B – Bomba centrífuga 
VG – Válvula gaveta 
C – Joelhos 
VPC – Válvula de pé com crivo 
 
(VPC) Válvula de pé: É uma válvula de retenção, geralmente munida de um crivo, e que é colocada na 
entrada da tubulação de sucção com o fim de impedir o esvaziamento da tubulação e da própria bomba, ao sercheia, ou quando para de funcionar, para que desta forma não se perca a escorva. O crivo colocado antes da 
 
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válvula visa evitar a entrada de corpos sólidos ou materiais que possam afetar o funcionamento da bomba. 
(VG) Válvula de fechamento ou saída: Em instalações de pequeno porte, utiliza-se, no inicio da linha de 
recalque, um registro de gaveta, que serve para bloqueio, quanto para regulagem do valor da descarga. Em 
instalações de grande porte utiliza-se uma válvula tipo borboleta. 
(VR) Válvula de retenção: Utiliza-se este tipo de válvula no inicio do recalque, entre a bomba e o registro 
de saída. A principal finalidade desta válvula é evitar o contra-fluxo de líquido quando a bomba é desligada, 
evitando a sobre pressão na linha de recalque, ou seja, o golpe de aríete. 
7.7. ALTURA DE PROJETO E CURVA CARACTERISTICA 
 
Define-se como altura de projeto Hproj desenvolvida pela bomba, o trabalho por unidade de peso do fluido, 
que a bomba é capaz de fornecer ao fluido, que escoa em uma determinada vazão. Essa altura pode ser 
calculada através do balanço de energia mecânica aplicado entre a sucção e o recalque da bomba: 
 
 
 
P1
. g
+ 𝐻1 +
V1
2
2g
+ J = 
P2
. g
+ 𝐻2 +
V2
2
2g
+ 𝐻𝑝𝑟𝑜𝑗 
 
O valor da altura desenvolvida pela bomba é 
determinado experimentalmente pelos 
fabricantes desses equipamentos e fornecido 
em catálogos m forma de curva 
característica da bomba. 
As curvas características de bombas em geral 
relacionam a Altura de projeto (Hproj), Vazão 
(Q), Potência (P) e a Eficiência), conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
 
 
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7.8. ESCOLHA DA BOMBA 
 
A escolha de uma bomba depende das características do fluído a ser transportado, bem como da vazão e 
da altura de projeto. Pode-se ter uma escolha preliminar utilizando a seguinte figura proposta por Érico Lopes 
Henn 
 
 
 
7.9. POTÊNCIA DAS BOMBAS 
 
. . .
( )
1000.
proj
T
Q g H
P KW


=
 
 
Q = vazão entregue pela bomba, m3/s 
 = massa específica do liquido que está sendo bombeado, kg/m3. 
g = 9,81 m/s2 = aceleração da gravidade 
Hproj = carga total desenvolvida pela bomba, em metros de coluna do liquido bombeado 
 = eficiência global da instalação de bombeamento 
 
O motor instalado para uma bomba tem uma potencia um pouco maior que a potencia Pinst requerida pela 
bomba a fim de prover uma reserva para possíveis sobrecargas: O fator de reserva de potencia , depende do 
valor de P teórica. Preal = Pteórica x  
 
PT (kW)  
< 1 
1 – 5 
5 – 50 
> 50 
2 
1.35 
1.2 
1.1 
 
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Exercícios 
 
1) Determine a potência, a eficiência, o diâmetro do rotor e o NPSH requerido da bomba (Curvas características) 
que necessita transportar 250m³/h num sistema onde a perda de carga é igual a 78m. A pressão do sistema deve 
ser mantida a mesma entre a entrada e a saída e não há desnível entre os dois pontos. RTA: d=207mm; 
n=74,5%; P=97hp; d=207mm 
 
2) Considere o sistema de transporte de água até o reservatório. Sabendo que a tubulação é de ferro 
galvanizado com diâmetro de 5 polegadas e que a vazão é de 0,02m³/s, determine a potência da bomba para que 
a água chegue no ponto 2 com a mesma pressão do ponto 1, se a pressão no ponto 1 é 1 ata. Use a equação da 
potência e as curvas características. Eficiência da bomba 37,5%. RTA: Pelas curvas (dr=197mm; P=58hp) pela 
equação (P=60hp) 
 
 
 
3) Bombeia-se água a 25°C numa tubulação de ferro galvanizado de 1” de diâmetro, a uma vazão de 1,5L/s. 
Determine a potência da bomba para que a pressão de recalque seja de 2 atm. De acordo com a figura e os 
seguintes dados: 2 Válvulas gavetas 100% aberta; todos cotovelos padrões; eficiência da bomba de 85%. 
Considere a pressão na superfície do reservatório de sucção igual a 1 atm.. RTA: pela equação P=2,62Hp 
 
 
 
4) Uma bomba tem uma vazão de 1333 L/min de água. Seu conduto de sucção horizontal tem um diâmetro de 
30 cm e possui um manômetro indicando uma pressão de 180mmHg. Seu conduto de saída horizontal tem um 
diâmetro de 20 cm, situado a 12 m acima da sucção, possui pressão P2 = 1,70 kgf/cm2,. Supondo o rendimento da 
bomba igual a 77%, qual a potência necessária para realizar este trabalho, desconsiderando as perdas de carga? 
RTA: Pela equação (P=12cv) pelas curvas (dr=247mm; 12cv) 
 
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5) Deseja-se elevar água do reservatório A para o reservatório B. Sabe-se que a vazão é igual a 11litros/s e que 
as pressões do recalque e da sucção são iguais, determine a potencia da bomba e o tempo necessário para 
encher o reservatório B. Dados: dsuc = 10cm, drec = 5cm, Volume do reservatório B igual a 10m³, eficiência de 
47%. RTA: Pelas curvas (dr=266mm; P=11cv) pela equação (P=11cv); 15min. 
 
 
 
6) Observe a figura abaixo: 
 
➢ A tubulação possui 4 polegadas, construída 
de ferro galvanizado; 
➢ A vazão da tubulação é de 50L/s; 
➢ O nível do reservatório do SANEP se mantém 
sempre em 5m; 
➢ A distância entre o reservatório e a residência 
é de 200m; 
➢ Considere a pressão no Ponto 1 igual a 
atmosférica; 
➢ Desconsidere as perdas de carga localizadas 
(acessórios) use só a perda de carga da 
tubulação. 
 
 
Sabendo que o reservatório esta a 10m do chão, determine a potencia da bomba (n=70%) para que a água 
chegue à indústria com uma pressão de 300000Pa. Use a equação da Potência e as Curvas Características. 
Pelas curvas (dr=207mm; P=85hp) pela equação (P=84hp) 
 
 
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7) Dado a figura abaixo determine a potência da bomba pela equação e pelas curvas características. Dados: 
Tubulação de ferro fundido; Vazão=100m³/h; d=3pol, eficiência de 47%; Pressão na entrada do reservatório B = 
3,3 kgf/cm². Pelas curvas (dr=207mm; P=70hp) pela equação (P=72hp). 
 
 
 
 
 
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8. ANÁLISE DIFERENCIAL DOS ESCOAMENTOS 
 
Entre as propriedades de um escoamento, está velocidade que variando numa região do espaço define um 
campo de velocidades. De maneira geral, determinar o campo de velocidades de um escoamento significa 
resolver o problema de escoamento. Para um determinado instante, o campo de velocidade, V, é definido por: v= 
f(x,y,z). A velocidade em qualquer ponto do campo de escoamento pode variar de um instante para outro. Assim: 
v= f(t,x,y,z). 
 
8.1. Descrição Eulereana e Lagrangeana de um escoamento 
 
Há duas maneiras de analisar/descrever em termos cinemáticos e dinâmicoso escoamento de um 
fluido. Uma, a chamada Eulereana, descreve todo o campo de escoamento quer em termos de velocidade 
v= f(t,x,y,z) quer em termos de pressão p= f(t,x,y,z). Outra, a chamada Lagrangeana descreve o escoamento 
de uma partícula de fluido no espaço e no tempo. Comparemos estas duas formas de descrever o escoamento, 
com duas formas de descrever o tráfego numa auto-estrada. Certo comprimento de auto-estrada é selecionado 
para sistema. Num dado intervalo de tempo muitos carros não identificados entram e saem do sistema. Se o 
controlador de tráfego ignorar a identidade dos carros e preocupar-se com a velocidade dos carros que passam 
em determinados locais ao longo do tempo, ele está a descrever o tráfego tomando uma aproximação Eulereana. 
Ao invés se o controlador estiver interessado na velocidade e posição no sistema ao longo do tempo de um carro 
identificado, ele está a descrever o tráfego tomando uma aproximação Lagrangeana. 
 Outro exemplo elucidativo é o da descrição do campo de temperatura de um rio onde, num certo local, há 
uma fonte emissora que lança líquido a uma temperatura elevada. Se forem colocados em vários pontos, ao longo 
do rio, instrumentos de medida fixos e a temperatura for registrada ao longo do tempo em cada um desses pontos, 
é possível conhecer o campo de temperatura em cada instante. Este é o método de descrição Eulereano. 
Contudo, com este método, não se sabe qual a temperatura de uma partícula de fluido ao atravessar aquele 
campo. Para tal, conhecido o campo de temperatura em cada instante, seria necessário conhecer a localização da 
partícula em função do tempo. 
Se em vez de instrumentos de medida em vários pontos, for colocado um instrumento de medida “preso” a 
uma partícula (ou mais partículas), obtém-se a descrição da temperatura da partícula em função do tempo. Este é 
o método de descrição Lagrangeano. O campo de temperatura não seria conhecido, a menos que se soubesse a 
localização das partículas ao longo do tempo. 
A descrição Eulereana é habitualmente usada na maior parte dos estudos em Mecânica de Fluidos. 
Contudo, há casos em que a Lagrangeana permite um maior conhecimento, por exemplo, quando se injeta no 
sangue uma partícula colorida cujo trajeto ao longo do corpo pode ser seguido por instrumentação exterior. Neste 
caso estuda-se o fluxo sanguíneo por um método Lagrangeano. 
 
8.2. Campo de velocidade 
 
Determinar o campo de velocidade v= f(t,x,y,z) é muitas vezes resolver integralmente um problema de 
escoamento de um fluido, já que o conhecimento de outras propriedades decorre deste, por exemplo, o 
conhecimento do campo de pressão. A velocidade é como se sabe uma grandeza vetorial. 
 
 Outras propriedades cinemáticas são deriváveis matematicamente partindo do conhecimento do campo de 
velocidade, tais como o vetor deslocamento e o vetor aceleração. 
 
8.3. Campo de aceleração 
 
 Por definição o vetor aceleração traduz a variação do vetor velocidade com o tempo: 
 
Ou 
 
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As diferentes parcelas do vetor aceleração são usualmente designadas por: 
 
 Aceleração total ou substancial (derivada total ou 
substancial) 
 
Aceleração local (derivada local) 
 
 
Aceleração convectiva 
 
 
 
Recorrendo ao operador gradiente: 
 
E ao produto interno de vetores, o termo da aceleração convectiva toma a seguinte forma: 
 
O vetor aceleração pode assim ser escrito de uma forma mais compacta: 
 
A mesma simbologia pode ser usada para descrever a variação no espaço e no tempo de outras 
propriedades contínuas de um fluido (quer escalares, quer vetoriais), por exemplo, a propriedade escalar 
temperatura T= f(t,x,y,z). A variação total ou substancial da temperatura em ordem ao tempo é dada por: 
 
Para perceber o significado físico destas derivadas, retome-se o exemplo do rio com uma fonte emissora de 
água quente num dado ponto bem localizado. Comece-se por supor que a fonte emissora lança água sempre à 
mesma temperatura, que as condições exteriores não se alteram ao longo do tempo, e que a velocidade do rio em 
cada ponto é constante ao longo do tempo. 
Se for seguida uma aproximação Eulereana, mergulha-se o medidor de temperatura num ponto, ou vários 
medidores em vários pontos, e mede-se a temperatura ao longo do tempo. Conclui-se que ao longo do tempo a 
temperatura não varia num ponto, mas que é diferente de ponto para ponto. Em termos físicos, o campo de 
temperatura é estacionário, mas não uniforme. Em termos matemáticos, a derivada local da temperatura é nula, 
mas a derivada total não: 
 
 
 
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E como conhecer a derivada convectiva? Seguindo uma aproximação Lagrangeana, colocam-se dois 
medidores, um de temperatura e outro de velocidade (direção, sentido e intensidade), “presos” a uma partícula 
(ou mais), e registra-se a temperatura e a velocidade durante o tempo que a partícula demora a atravessar o 
campo estacionário mas não uniforme. Destas medições obtém-se informação que permite calcular a derivada 
convectiva da temperatura da partícula nos pontos por onde passou: 
 
Percebe-se agora que se chama derivada convectiva por estar associada ao escoamento do fluido. Resta 
abordar o caso de a fonte emissora lançar líquido a uma temperatura que varia ao longo do tempo. Neste caso, a 
temperatura no campo além de não ser uniforme, varia em cada ponto com o tempo, i.e, em cada instante há um 
campo de temperatura diferente. A variação da temperatura de uma partícula ao atravessar o campo tem de ser 
calculada pela soma da variação local com a variação convectiva: 
 
 
8.4. Linhas de corrente 
 Embora o campo de velocidade (e de pressão) descreva de uma forma precisa um escoamento, foi 
necessário encontrar formas simples de o visualizar. A forma mais simples é seguir uma partícula de fluido ao 
longo (espaço e tempo) do seu escoamento, conhecer a sua trajetória. 
A forma, a mais usada, é através das chamadas linhas de corrente. Estas linhas são obtidas/desenhadas de 
forma a serem sempre tangentes aos vetores velocidade das partículas de fluido em escoamento num dado 
instante. 
 
 
 Num escoamento estacionário a orientação das linhas de corrente é fixa no tempo e as trajetórias das 
partículas coincidem com as linhas de corrente. Num escoamento não estacionário as linhas de corrente são 
somente uma representação instantânea do campo de escoamento, não havendo correspondência entre as linhas 
de corrente e a trajetória das partículas. 
 As linhas de corrente em torno de uma área infinitesimal formam um tubo, designado por tubo de corrente. 
Por definição de linha de corrente, não há saída de partículas de fluido através das paredes laterais de um tubo de 
corrente. 
 
 
As linhas de corrente podem ser calculadas analiticamente partindo do conhecimento do campo de 
velocidade. Considere-se um vetor velocidade tangente ao arco de comprimento infinitesimal dr desenhado ao 
longo da linha de corrente. 
 
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Para ser tangente 
 
0=drxV
 
 
dzdydx
wvu
kji
 
 
Vz
dz
V
dy
V
dx
yx
==
 
 
A expressão analítica das linhas de corrente obtém-se integrando as equações anteriores, por simples 
separação de variáveis, tomando t constante. Para tal é necessário conhecer, quero campo de velocidade, quer 
as coordenadas de um ponto da linha de corrente. 
 
 
8.5. Equação da continuidade em formulação diferencial 
 
O mesmo balanço de massa efetuado sobre um trecho de tubulação realizado anteriormente, agora é 
aplicado sobre um elemento de volume infinitesimal com o objetivo de obter a equação da continuidade em 
formulação diferencial. 
Adotando um elemento volume, em coordenadas cartesianas de acordo com a figura abaixo: 
 
 
 
 
 Realizando o balanço de massa, obtém-se: 
 
0=+−
TEMPONOVARIAÇÃOENTRASAI
MassaMassaMassa 
 
dxdyw)..(
dxdzv)..(
dydzdx
x
u
dydzu








+
).(
)..(


dxdzdy
y
v
dxdzv 







+
).(
)..(

dxdydz
z
w
dxdyw








+
).(
)..(


dydzu)..(
 
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0
)..(
)..(
)..(
).(
)..(
).(
)..(
).(
)..(
=

+










+
+
−




























+
+







+
+







+
dt
dxdydz
dxdyw
dxdzv
dydzu
dxdydz
z
w
dxdyw
dxdzdy
y
v
dxdzv
dydzdx
x
u
dydzu







 
 
0
).().().(
=

+















+







+







dt
dxdydz
dxdydz
z
w
dxdzdy
y
v
dydzdx
x
u 
 
 
 
0
).().().(
=

+


+


+


dtz
w
y
v
x
u 
 
 
Utilizando o operador divergente () como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do 
campo num determinado ponto. 
 
0)( =

+
dt
Vdiv

 
 
Aplicando a equação acima para um escoamento incompressível, isto é, massa especifica constante no 
tempo e no espaço a equação acima é simplificada para: 
 
0
)()()(
=


+


+


z
w
y
v
x
u
 ou 
0)( =Vdiv
 
8.6. Transporte da quantidade de movimento 
 
As forças que aparecem como resultante da ação entre superfícies sólidas e o movimento de fluidos são 
freqüentemente avaliadas por pressões e tensões tangenciais e são conseqüência da transferência de quantidade 
de movimento entre as partes envolvidas. 
O estudo dos movimentos e suas causas vêm sendo alvo dos pesquisadores a mais de um século e alguns 
deles tiveram êxito e produziram equações com grande aplicação prática. 
Para avançar no estudo de transporte de quantidade de movimento aplicado aos escoamentos, foi 
necessário proceder-se algumas simplificações a fim de aplicar conceitos básicos aos sistemas em estudo, sendo 
o principal deles o conceito de fluido ideal. Esse estabelece que um fluido ideal é incompressível e tem 
viscosidade nula, portanto, não há atrito, não transferindo esforços tangenciais . Uma das primeiras equações a 
seguir esta hipótese foi formulada por Euler, que a deduziu para um fluido ideal escoando em regime permanente. 
Uma das aplicações mais utilizadas da equação de Euler foi feita por Daniel Bernoulli resultando na equação de 
Bernoulli, muito utilizada devido ao seu valor prático. 
Posteriormente, Navier iniciou a dedução de uma equação mais geral aplicada a fluidos reais, a qual 
recebeu contribuições de diversos pesquisadores até ser concluída por Stokes mais de um século depois, sendo 
conhecida com equações de Navier-Stokes. 
 
 
8.7. Equação de Euler e Bernoulli 
 
A aplicação da segunda lei de Newton a um elemento de volume de um fluido ideal, em escoamento 
laminar, produz um conjunto de equações, uma para cada direção coordenada, que relaciona as forças de 
pressão e de inércia. A equação obtida é conhecida como equação de Euler e constitui uma das equações 
básicas da Mecânica dos Fluídos. 
 
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Isolando um elemento de volume do sistema de coordenadas cartesiano verifica-se que, como se trata de 
um fluído ideal, só existem forças de pressão, normais as superfícies do elemento que são representadas na 
figura abaixo por suas componentes cartesianas, e a força peso uma força de ação a distância que não é 
representada na figura. A pressão é indicada na face mais próxima da origem como “p” e, na face oposta do 
elemento ela é indicada por ”p+dp” , em que dp é um incremento diferencial que ocorre quando é imposto à 
coordenada um incremento de distância. 
 
 
Aplicando a segunda lei de Newton: 
gmamF .. +=
→
 
 
E substituindo a aceleração pela derivada total: 
dxdydzgdxdydz
t
w
z
v
y
u
x
dxdyP
dxdzP
dydzP
dxdydz
z
P
dxdyPdxdzdy
y
P
dxdzPdydzdx
x
P
dydzP
 +







+


+


+


=










+
+
−















++







++







+
vvvv
.
.
.
...
 
 
Simplificando o volume do elemento dado pelo produto dxdydz e os termos de sinais opostos obtemos a 
equação de equação de Euler: 
 
g
t
w
z
v
y
u
xz
P
y
P
x
P  +







+


+


+


=


+


+

 vvvv
 
Se essa equação for aplicada para um escoamento unidimensional e permanente: 
 
dxdyP.
dxdzP.
dydzdx
x
P
dydzP








+.
dxdzdy
y
P
dxdzP 







+.
dxdydz
z
P
dxdyP








+
)(
.
dydzP.
g
t
w
z
v
y
u
xz
P
y
P
x
P  +







+


+


+


=


+


+

 vvvv
 
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g
dz
dw
dz
dP
gw
dz
d
dz
dP


+=
+=
2
v
 
H
g
ww
g
PP
Hg
ww
PP
gdzdz
dz
dw
dP
+
−
=
−
+
−
=−
+=
2
2
2
1
2
221
2
1
2
2
21
2



 
Obtemos a equação de Bernoulli 
0
2
2
1
2
221 =+
−
+
−
H
g
ww
g
PP
 
 
8.8. Equações de Navier-Stokes 
 
A aplicação da segunda lei de Newton a um elemento de volume de um fluido real leva a um 
equacionamento mais geral para solução de problemas envolvendo escoamentos. O equacionamento para 
descrever um fluido real foi iniciado no inicio do século XIX por Navier, e com a contribuição de outros 
pesquisadores ao longo dos anos, destacando-se Saint-Venant, de grande aplicação na Hidráulica, foi completada 
pela introdução da lei da viscosidade de Stokes. A forma final do equacionamento recebeu o nome de equações 
de Navier-Stokes. 
As equações de Navier-Stokes representam um modelo válido para qualquer tipo de escoamento 
envolvendo vários tipos de fluidos. Como exemplos podem ser citados a água e o ar. Entretanto, freqüentemente 
levam a um equacionamento muito complexo para o conhecimento matemático atual, só apresentando solução 
das equações para alguns poucos exemplos de geometria elementares. 
O desenvolvimento usualmente apresentado nos textos de mecânica de fluidosé uma aplicação da 
segunda lei de Newton a um elemento de fluido, no qual são considerados os esforços aplicados sobre um 
elemento de volume no sistema cartesiano de coordenadas. Estes esforços são reconhecidos como provenientes 
das forças de contato e das forças de ação a distância. Na primeira classe encontram-se as forças de pressão e 
as dos efeitos viscosos e, na segunda, as forças em razão aos campos externos, como o campo gravitacional. Na 
figura abaixo é mostrado o esquema de um elemento de fluido sobre o qual atual as tensões viscosas (ou 
tangenciais), bem como as tensões normais. Observa-se sobre cada face do elemento a presença de três 
componentes da tensão: duas tangenciais e uma normal. 
 
 
Aplicando a segunda lei de Newton na direção x: 
 
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Curso: Engenharia Elétrica 
Disciplina: Fenômenos de Transporte 
 
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campoerficie forçaforçaF += sup 
 
Resulta a seguinte equação 
 
dxdydz
t
w
z
v
y
u
x
gdxdydzdxdydxdzdydz
dxdydz
z
dxdzdy
y
dydzdx
x
zxyxxx
zx
zx
yx
yx
xx
xx










+


+


+


=+−−−








++









++







+
vvvv
 
 
Simplificando o volume do elemento dado pelo produto dxdydz e os termos de sinais opostos obtemos a 
equação a equação: 
 
 







+


+


+


=+







+









+







t
w
z
v
y
u
x
g
zyx
zxyxxx vvvv
 
 
Substituindo a tensão normal a superfície, que nada mais é que a pressão sobre aquela face e dividindo 
tudo pela massa especifica, obtêm-se: 
 
( ) ( )
z
zxyx a
zyx
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
+


+


+


−=


+


+


+

 



111
 
 
As equações de Navier-Stokes são compostas pelas equações nas três coordenadas resultando no 
seguinte sistema: 
 
( ) ( )
x
yzxz a
zxz
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
+


+


+


−=


+


+


+

 

 111 
 
( ) ( )
y
zyxy
a
zxy
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
+


+


+


−=


+


+


+

 



111
 
 
( ) ( )
z
zxyx a
zyx
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
+


+


+


−=


+


+


+

 



111
 
 








+


==
y
z
z
v
zyyz 
 








+


==
z
u
x
w
zxxz 
 








+


==
x
v
y
v
yxxy 
 
 
Soluções para estas equações têm sido obtidas, mas somente para geometrias e condições iniciais ou de 
contorno mais simples, para as quais muitos dos termos podem ser considerados iguais à zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
1) Dada a distribuição de velocidade bidimensional e estacionária u= Kx; v= -Ky; w= 0. Onde K é uma constante 
positiva, calcule e trace as linhas de corrente do escoamento, incluindo os sentidos, e forneça algumas 
interpretações possíveis para o seu comportamento. RTA: x.y=C 
2) Refaça o problema 1 deixando que os componentes da velocidade aumentem linearmente com o tempo “t”: V = 
Kxti – Kytj + 0K. Faça um esboço, com alguns tempos representativos, das linhas de corrente instantâneas. Como 
essas linhas de corrente se diferenciam das linhas de corrente do problema 1 que são estacionárias? RTA: x.y=C 
3) Um campo de velocidades bidimensional estacionário é dado por u = x2 – y2 e v = - 2xy. Determine e esboce as 
linhas de corrente na metade superior do plano. Obs.: a equação diferencial é exata. RTA: x²y-y³/3=C 
4) Um campo de velocidades é dado por: u = Vcos, v = Vsin, w = 0, sendo que V e  são constantes. Deduza as 
equações para as linhas de corrente deste escoamento. RTA: (tan)x+C=y 
5) Um campo de velocidades não estacionário é dado por u = x(1+2t), v=y. Encontre a equação para as linhas de 
corrente, em função de t, as quais todas passem pelo ponto (x0,y0) em algum momento t. Esboce algumas linhas 
de corrente. RTA: y=yo(x/xo)1/(1+2t) 
6) Dada a representação eulereana do campo vetorial de velocidades: V = 3ti + xzj + ty2k, encontre a aceleração 
da partícula. RTA: dv/dt=3i+(3tz+txy²)j+(2xyzt+y²)k 
7) Sob quais condições o campo de velocidades V = (a1x + b1y + c1z)i + (a2x + b2y + c2z)j + (a3x + b3y + c3z)k, onde 
a1, b1, etc. = constante, representam um escoamento incompressível que conserva a massa? RTA: a1+b2+c3=0 
8) Um campo de velocidades incompressível é dado por: u = a(x2 – y2), v= desconhecido, w = b, onde a e b são 
constantes. Encontre a componente “v” da velocidade. RTA: v =-2axy + f(x,z) 
9) Um campo de velocidades ideal é dado por: V = 4txi – 2t2yj + 4xzK, Esse escoamento é estacionário ou não 
estacionário?É bidimensional ou tridimensional? No ponto (x,y,z) = (-1, 1, 0), calcule o vetor aceleração. RTA: 
dv/dt=-4(1+4t²)i-4t(1-t³)j 
10)Um escoamento incompressível tem como campo de velocidades V=4xy²i + ?j –zy²k. Determine a componente 
na direção “y” da velocidade. RTA: v=-y³+C 
11) Após descartar quaisquer constantes de integração, determine o valor apropriado para as velocidades 
desconhecidas u ou v as quais satisfaçam a equação bidimensional da continuidade para um fluído 
incompressível: a)u = x2y; b)v = x2y; c)u = x2 – xy; d)v = y2 – xy. RTA: a) v=-xy²+f(x); b) u=-x³/3+f(y); c) v=-
2xy+y²/2+f(x); d) u=-2xy+x²/2+f(y) 
12) Um campo de velocidades bidimensional é dado por u = -[Ky/(x2 + y2)], v = [kx/(x2 + y2)] onde K é uma 
constante. Este campo satisfaz a equação da continuidade para um fluído incompressível? RTA: Sim 
13) Depois de descartar qualquer constante de integração, determinar o valor adequado das componentes “w” e 
“v” da velocidade, de forma que satisfaçam a equação da continuidade para o escoamento de um fluido 
incompressível, para: a) u=x²yz; v=-y²x b) u=x²+3z²x; w=-z³+y². RTA: a) w=-xyz²+2xyz; b) v=-2xy 
14) O escoamento estacionário e incompressível é dada por u=x³+2z² e w=y³-2yz. Qual é a forma mais geral do 
terceiro componente, u (x, y, z), que satisfaz a equação da continuidade? 
15) Considere um escoamento estacionário, bidimensional, incompressível de um fluido newtoniano com o campo 
de velocidades u=-2xy, v=y²-x² e w=0. Será que este fluxo satisfaz a conservação de massa? RTA: Sim 
16) Um campo de velocidade tridimensional de um escoamento incompressível tem a seguinte forma vetorial: 
V=Kxi+Kyj-2Kzk. Determinar se este campo é uma solução válida para a continuidade. RTA: Sim 
17) Dada o campo de velocidade de um escoamento incompressível e estacionário, V=3xi+Cyj+0k, onde C é uma 
constante, se a conservação de massa é satisfeita, o valor de C deve ser? RTA: -3 
 
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18) O campo de velocidade de um escoamento é dado por V=(3y+2)i+(x-8)j+5zk ft/s, onde x, y e z são em “ft”. 
Determine a velocidade do fluido no ponto de origem (x=y=z=o) e o eixo y (x=z=0). RTA: a) 8,25ft/s; b) 
(9y²+12y+68)1/2 
19) As componentes “x” e“y” de um campo de velocidade são dadas por u=x-y e v=x²y-8. Determinar a localização 
de pontos de estagnação no campo de escoamento. isto é, em que ponto a velocidade é zero? RTA: (2,2) 
20) Os componentes “x” e “y” de um campo de velocidades bidimensional são u=3ft/s e v=9x²ft/s, onde x é em “ft”. 
Determinar e esboçar as linhas de corrente. RTA: y=x³+C 
21) Mostrar que as linhas de corrente para um escoamento cujas componentes da velocidade são u=c(x²-y²) e v=-
2cxy, onde c é uma constante, é dada pela equação x²y-y³/3=constante. Em que ponto (pontos) o escoamento é 
paralelo ao eixo y? RTA: a) x=±y; b) x=y=0 
22) O campo de velocidade de um escoamento é dado por u=-Ky/(x²+y²)1/2 e v=Kx/(x²+y²)1/2, onde K é constante. 
Em que ponto o escoamento é igual a K? Determine a equação das linhas de corrente. RTA: X²+Y²=C 
23) As componentes “x” e ‘y” de um campo de velocidade são dadas por U=x²y e V=-xy². Determine a equação 
para as linhas de corrente desse escoamento. RTA: x.y=C 
24) Um campo de velocidade tridimensional é dado por u=x², v=-2xy e w=x+y, determine o vetor aceleração. RTA: 
2x³i+2x²yj+(x²-2xy)k 
25) Determine a forma da componente “z” de “w”, necessária para satisfazer a equação da continuidade.As 
componentes de velocidade de um certo fluido incompressível, os campos de fluxo estáveis são: u = x² + y² + z²; v 
= xy + yz + z; w = ? RTA: w=-3xz-z²/2+C 
26) A velocidade em um certo campo bi-dimensional é dada pela equação: V = 2xti – 2ytj. Onde a velocidade é em 
ft/s quando x,y, e t são em ft e segundos, respectivamente. Determine as expressões para as componentes de 
aceleração local e convectiva nas direções “x” e “y”. Qual é a magnitude da velocidade no ponto x = y = 2 ft e o 
t=0? RTA: V=0ft/s; a=4i-4j; a=5,66ft/s 
27) Repetir o problema anterior se o campo de escoamento é descrito pela equação:V = 3(x²-y²)i – 6xyj. Onde a 
velocidade é em ft/s e “x” e “y” são em ft e passa pelo ponto x=y=1. RTA: V=-6ft/s; a=36i+36j; a=50,9ft/s 
28) A velocidade em um campo de escoamento é dada pela equação: V = xi + x²zj + yzk. Determine as 
expressões para as três componentes da aceleração. RTA: ax=x; ay=2x²z+x²yz; az=x²z²+y²z 
29) Três componentes de velocidade em um campo de escoamento são dadas por: u = x² + y² + z²; v = xy + yz + 
z²; w = -3xz – z²/2 + 4. Determine a taxa de dilatação volumétrica e interprete os resultados. Determine uma 
expressão para o vetor rotacional. O escoamento é irrotacional? RTA: taxa=0; rot=-(y/2+z)i+(5z/2)j-(y/2)k; Não 
30) Determine se o escoamento deste campo de velocidades V = -xy³i + y4j, é irrotacional? RTA: Não 
31) Um fluxo unidimensional é descrito pelo campo de velocidade: u = ay + by²; v = w = 0. Onde a e b são 
constantes. O fluxo é irrotacional? Para quais combinações de constantes (se tiver) a taxa da deformação angular 
será zero? RTA: Não, Somente se a=b=0 
32) Para fluidos incompressíveis a taxa de dilatação volumétrica deve ser zero; isto é, div (V) = 0. Para quais 
combinações de “a”, ”b”, “c” e “e” as componentes de velocidade: u = ax + by; v = cx + ey; w = 0, podem ser 
utilizadas para descrever um escoamento incompressível? RTA: a=-e 
33) As componentes de velocidade de um campo bi-dimensional incompressível são dadas pelas equações: u = 
2xy; v = x² - y². Mostre que o escoamento é irrotacional e satisfaz a conservação da massa. RTA: Sim; Sim 
34) É proposto que um escoamento bi-dimensional e incompressível seja descrito pelas componentes de 
velocidade: u = Ay; v = Bx. Onde A e B são ambos constantes positivas. A equação da continuidade será 
satisfeita? O fluxo é irrotacional? Determine a equação para linhas de corrente e mostre o esboço das mesmas 
passando pela origem.RTA: Sim; Sim se A=B; y²=(B/A)x²+C; =(B/A)1/2 
 
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35) Em certo campo de escoamento bidimensional e estacionário a densidade de fluido varia linearmente na 
coordenada x; ou seja, ρ = Ax onde A é uma constante. Se a componente de velocidade x é dada por u = y, 
determine a expressão de “”. RTA: =-y²/2x+C 
36) Um campo de velocidades é dado por: V = (3y2 – 3x2)i + Cxyj + 0K, Determine o valor da constante “C” caso o 
escoamento seja: a)incomp