02 Matemática Financeira

Prévia do material em texto

ZZZ�GRPLQDFRQFXUVRV�FRP�EU
0$7(0É7,&$
),1$1&(,5$
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Capital de Giro 
NATUREZA E TERMINOLOGIAS DO CAPITAL DE GIRO 
Você, em algum momento, já deve ter escutado termos muito característicos da Administração 
Financeira como capital de giro, não é mesmo? O termo giro refere-se aos recursos correntes (de 
curto prazo) da empresa, geralmente identificados como aqueles capazes de serem convertidos em 
caixa no prazo máximo de um ano. A delimitação de um ano não costuma ser seguida por empresas 
cujo ciclo produção-venda-produção ultrapasse este prazo (estaleiros, atividade rural etc.), 
prevalecendo nesta situação o ciclo operacional para se definirem os recursos correntes. 
A Figura a seguir, ao resumir o balanço patrimonial de uma empresa, permite que sejam identificadas 
as contas da administração do capital de giro (parte sombreada). 
 
Figura 1– Balanço Patrimonial Sintético 
O capital de giro ou capital circulante é representado pelo ativo circulante, isto é, pelas aplicações 
correntes, identificadas geralmente pelas disponibilidades, valores a receber e estoques. Num sentido 
mais amplo, o capital de giro representa os recursos demandados por uma empresa para financiar 
suas necessidades operacionais identificadas desde a aquisição de matérias-primas (ou mercadorias) 
até o recebimento pela venda do produto acabado. 
De forma mais estrita, o problema central da gestão financeira de curto prazo é que os elementos que 
compõem o ativo circulante não costumam apresentar sincronização temporal equilibrada em seus 
níveis de atividade com os compromissos assumidos no passivo. Se as atividades de seus vários 
elementos ocorressem de forma perfeitamente sincronizada, não haveria necessidade de se 
manterem recursos aplicados em capital de giro. 
Vamos a um exemplo: se todas as vendas fossem realizadas à vista, inexistiriam investimentos em 
valores a receber. Identicamente, caso se verificasse sincronização entre a produção e as vendas, 
isto é, se as atividades ocorressem de maneira totalmente integrada, tornar-se-iam desnecessários 
investimentos em estoques de produtos acabados. Compreendeu a origem do problema? E por que 
sempre precisamos de necessidades adicionais de giro? Lembre-se da contabilidade, as fontes de 
recursos são originadas no lado esquerdo do balanço patrimonial. Portanto, o Passivo mais Exigível a 
Longo Prazo e Patrimônio Líquido são os responsáveis pela origem de recursos a serem investidos 
na empresa. 
Pelo fato de as atividades de produção, venda e cobrança não serem sincronizadas entre si, faz-se 
necessário o conhecimento integrado de suas evoluções como forma de se dimensionar mais 
adequadamente o investimento necessário em capital de giro e efetivar seu controle. O enfoque da 
área financeira para a realização desta tarefa centra-se, basicamente, na procura da eficiência na 
gestão de recursos, o que é feito através da maximização de seus retornos e minimização de seus 
custos. 
O capital de giro, por sua vez, pode ser segmentado em fixo (ou permanente) e variável (ou sazonal). 
O capital de giro permanente refere-se ao volume mínimo de ativo circulante necessário para manter 
a empresa em condições normais de funcionamento. O capital de giro variável, por seu lado, é 
definido pelas necessidades adicionais e temporais de recursos verificadas em determinados 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
períodos e motivadas, principalmente, por compras antecipadas de estoques, maior morosidade no 
recebimento de clientes, recursos do disponível em trânsito, maiores vendas em certos meses do ano 
etc. 
Veja o exemplo de uma cervejaria. Em momentos de demanda constante há um nível específico de 
capital de giro e, à medida que se aproxima o final do ano, ela deve acelerar a produção e reter 
estoques para suprir as demandas do fim de ano, reveillon e carnaval. Estas operações promovem 
variações temporais no circulante, e são, por isto, denominadas de sazonais ou variáveis. 
O comportamento fixo e sazonal do capital de giro é ilustrado na Figura a seguir admitindo-se um 
período de cinco anos. Observe na ilustração que foi considerada uma ligeira evolução no capital de 
giro fixo ao longo dos anos, acompanhando o crescimento da empresa. A parte variável do capital de 
giro é de R$ 7 milhões no primeiro ano, passando a R$ 8,5 no segundo ano após uma redução 
consistente no terceiro ano (zero) retomando no meio do quarto ano e atingindo um pico de R$17 
milhões ao fim do 5 ano. 
 
Figura 2 – Comportamento fixo e sazonal do capital de giro 
Como você sabe, as decisões individuais sobre os elementos do ativo circulante afetam a 
necessidade de capital de giro. E, nesta questão, os gestores devem posicionar suas ações, 
fundamentalmente, no nível adequado de estoques, nos investimentos em créditos a clientes, nos 
critérios de gerenciamento do caixa e na estrutura dos passivos correntes, de forma consistente com 
os objetivos enunciados e tendo por base a manutenção de determinado nível de rentabilidade e 
liquidez. 
O capital de giro líquido, também conhecido como capital circulante líquido (CCL), é diretamente 
obtido pela diferença entre o ativo circulante e o passivo circulante. Este indicador reflete a folga 
financeira da empresa e, dentro de um conceito mais restrito, representa o volume de recursos de 
longo prazo (exigibilidades e patrimônio líquido) que financia os ativos de curto prazo. 
NECESSIDADE DE CAPITAL DE GIRO 
A necessidade de capital de giro é função do ciclo de caixa da empresa. Quando o ciclo de caixa é 
longo, a necessidade de capital de giro é maior e vice-versa. Assim, a redução do ciclo de caixa - em 
resumo, significa receber mais cedo e pagar mais tarde - deve ser uma meta da administração 
financeira. 
Entretanto, a redução do ciclo de caixa requer a adoção de medidas de natureza operacional, 
envolvendo o encurtamento dos prazos de estocagem, produção, operação e vendas. O cálculo 
através do ciclo financeiro possibilita mais facilmente prever a necessidade de capital de giro em 
função de uma alteração nas políticas de prazos médios ou no volume de vendas. 
CAPITAL DE GIRO 
Capital de giro é o conjunto de valores necessários para a empresa fazer seus negócios acontecerem 
(girar). Existe a expressão "Capital em Giro", que seriam os bens efetivamente em uso. 
70 
80 
90 
1 2 3 4 5 
R$ R$8,
R$17 
(R$ 
Ano
Capital de Giro Permanente 
(Fixo) 
Capital de Giro 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Em geral de 50 a 60% do total dos ativos de uma empresa representam a fatia correspondente a este 
capital. Além de sua participação sobre o total dos ativos da empresa, o capital de giro exige um 
esforço para ser gerido pelo administrador financeiro maior do que aquele requerido pelo capital fixo. 
O capital de giro precisa ser acompanhado e monitorado permanentemente, pois está sofrendo o 
impacto das diversas mudanças no panorama econômico enfrentado pela empresa de forma 
contínua. 
As dificuldades relativas ao capital de giro numa empresa são devidas, principalmente, à ocorrência 
dos seguintes fatores: 
Redução de vendas Crescimento da inadimplência Aumento das despesas financeiras Aumento de 
custos 
Denominando-se de "aplicação permanente" as contas não circulantes do ativo e de "fonte 
permanente" as contas não circulantes do passivo, define-se como Capital de Giro (CDG) a diferença 
entre as fontes permanentes e aplicações permanentes. 
O Capital de Giro também é um conceito econômico - financeiroe não uma definição legal, 
constituindo uma fonte de fundos permanente utilizada para financiar a Necessidade de Capital de 
Giro. 
O Capital de Giro apresenta-se razoavelmente estável ao longo do tempo. O Capital de Giro diminui 
quando a empresa realiza novos investimentos em bens do ativo imobilizado (aumento dos 
imobilizados). 
Todavia, esses investimentos são, em geral, realizados através de "Autofinanciamento" (empréstimos 
a longo prazo, aumento do capital em dinheiro e lucros líquidos) que por sua vez, aumentam o Capital 
de Giro (aumento das fontes permanentes) compensando, aproximadamente, a diminuição 
provocada pelos novos investimentos. 
O Capital de Giro pode ser negativo. Neste caso, as aplicações permanentes são maiores do que as 
fontes permanentes, significando que a empresa financia parte de seu ativo não circulante com 
fundos de curto prazo. Embora esta condição aumente o risco de insolvência, a empresa poderá se 
desenvolver, desde que sua Necessidade de Capital de Giro seja, também negativa. 
Em Contabilidade, existe o Capital de Giro Circulante, que seria a diferença do Ativo Circulante e do 
Passivo Circulante, grupos de contas do Balanço Patrimonial. Esse indicador é decomposto em 
diversos demonstrativos e relatórios contábeis, que se combinados com a Demonstração dos Fluxos 
de Caixa, acrescentam informações financeiras de uso gerencial. 
Os conceitos financeiros e contábeis provieram de pontos clássicos da Economia. O Capital 
Circulante, sob essa abordagem, é um conceito criado como o oposto do Capital Fixo. Adam Smith e 
principalmente David Ricardo, foram os primeiros a estudar essa matéria de uma forma científica, 
própria da Ciência Econômica. 
Análise avançada do capital de giro 
A administração do capital de giro constitui um processo de planejamento e controle dos recursos 
financeiros aplicados no ativo circulante das empresas. Esses recursos provêm de diversas 
obrigações a vencer em curto prazo, representadas no passivo circulante, e do excedente das 
exigibilidades de longo prazo e do patrimônio liquido em relação aos ativos não circulantes. 
A gestão do capital de giro é extremamente dinâmica exigindo a atenção diária dos executivos 
financeiros. Qualquer falha nesta área de atuação poderá comprometer a capacidade de solvência da 
empresa e/ou prejudicar a sua rentabilidade. 
Este trabalho foi dividido em duas grandes partes. A primeira inicia com a análise dos prazos médios 
de estocagem, de cobrança e de pagamentos para chegar ao calculo da duração dos ciclos 
operacionais, econômico e financeiro e dos montantes de recursos necessários ao financiamento dos 
mesmos. Na segunda parte é apresentada uma metodologia introduzida no Brasil pelo Professor 
francês Michel Fleuriet (1) que atuou há alguns anos na fundação Dom Cabral, em Belo horizonte, 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
MG. Essa metodologia permite avaliar rapidamente a situação financeira das empresas através da 
classificação dos balanços em um dos seis tipos possíveis de configurações de determinados 
elementos patrimoniais. Trata-se um passo adiante em relação ao esquema tradicional de análise de 
balanços feito através de índices econômico-financeiros. 
Apesar de alguns estudiosos brasileiros haverem reproduzido esta metodologia em livros didáticos e 
em trabalhos acadêmicos, julgamos que a mesma ainda não foi suficientemente difundida nosso pais. 
Desta forma, julgamos oportuno apresentar a nossa versão sobre este assunto. 
1. A mensuração dos recursos aplicados nas operações 
1.1 Prazos médios 
A análise dos recursos investidos no giro das operações de uma empresa envolve o calculo dos 
prazos médios de renovação dos estoques, de cobrança das duplicatas a receber e de pagamento 
das compras de materiais de produção e/ou de mercadorias para revenda. Esses prazos médios 
costumam ser calculados para períodos anuais, embora também possam se-lo para intervalos de 
tempo menores. 
Vejamos inicialmente quais são os elementos envolvidos na movimentação dos estoques de uma 
empresa industrial. 
 
As entradas nos estoques de matérias-primas e de outros materiais utilizados no processo industrial 
(Emp) são contabilizadas pelo valor das compras liquidas dos impostos (CL). 
Os materiais aplicados na produção (MAP), correspondem às saídas destes estoques, valorizadas 
pelos preços médios. O valor das compras liquida pode ser obtido através do seguinte cálculo: 
CL = Eimp + MAP, onde Efmp e Eimp correspondem aos saldos finais e iniciais dos estoques de 
materiais de produção. 
O valor das compras brutas (CB) pode ser levantado nos registros contábeis (créditos na conta 
fornecedores). Dispondo do valor das compras liquidas e das alíquotas médias do IPI e do ICMS 
(expressas em forma decimal) pode-se determinar o valor das compras brutas por outro caminho, 
como segue: 
 
O custo dos materiais aplicados na produção (MAP), o custo mão-de-obra direta utilizada(MOD) e o 
custo de fabricação (CIF) compõem o custo de produção do período (CPP = MAP + MOD + CIF) que 
alimenta o estoque dos produtos em elaboração (Epe).O custo da produção acabada (CPA) é 
transferido de Epe para o estoque de produtos acabados (Epa), cujas saídas correspondem ao custo 
dos produtos vendidos (CPV). 
Esses valores também podem ser determinados a partir das demonstrações financeira publicadas na 
imprensa. Nestas demonstrações encontram-se os saldos iniciais finais dos estoques (Emp, Epe, 
Epa) e também o CPV. 
Inicialmente calcula-se o valor do CPA, a saber: CPA = Efpa - Eipa + CPV, onde Efpa e Eipa 
representam os saldos finais e iniciais do estoque de produtos acabados. Conhecido o CPA chega-se 
a custo de produção do período : CPP = Eipe + CPA, sendo Efpe e Eipe os saldos finais e iniciais dos 
produtos em elaboração. 
O MAP pode ser determinado de duas maneiras: 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
1) conhecendo o valor de CL, calcula-se o MAP aplicado uma porcentagem sobre o valor do CPP( 
esta estimativa requer que o analista tenha um razoável conhecimento das operações industriais da 
empresa). Com a estimativa do MAP chega-se as compras liquidas: CL = Efmp - EI mp + MAP 
(estimado). 
A partir destes elementos pode-se calcular os prazos médios de estocagem dos materiais de 
produção (PMEmp) dos produtos em elaboração (PMEpe) e dos produtos acabados (PMEpa). 
Nas formulas a seguir apresentadas, os saldos médios dos estoques (SM) correspondem a média 
aritmética dos saldos iniciais e finais do exercício social () sm= (EI + EF) / (2) ou a média aritmética de 
treze saldos mensais (saldo inicial do exercício + 12 saldos finais dos demais meses)/ 13). 
Preço médio de estocagem dos materiais de produção: 
 
Preço médio de estocagem dos produtos em elaboração que corresponde ao período médio de 
fabricação (PMF) ou ciclo de produção da empresa: 
 
Prazo médio de estocagem dos produtos acabados que corresponde ao período médio de vendas 
dos produtos acabados (PMV): 
 
Essas formulas fornece o numero médio de dias em que os estoque foram renovados no período 
considerado que correspondeu a 12 meses. 
Os preços médios de estocagem representam a média ponderada dos valores dos diferentes itens 
que compõem cada tipo de estoque. Assim, para um PMEmp de 60 dias pode-se encontrar itens que 
permaneceram apenas dois dias no estoque juntos com outros que tiveram rotação mais lenta, 120 
dias por exemplo. A média ponderada dos valores desses itens foi que determinou o prazo médio de 
60 dias. 
Sob condições inflacionárias, todos os valores envolvidos nestes cálculos devem ser primeiramente 
corrigidos para o poder aquisitivo da moeda emuma mesma data. 
A movimentação dos estoques de mercadorias para revenda nas empresas comerciais envolve: 
compra liquida do ICMS nas entradas (CL) e o custo das mercadorias vendidas nas baixas (CMV). 
Conhecendo os saldos dos estoques iniciais (EImr) e final (EFmr) das mercadorias para revenda e o 
CMV, pode-se determinar diretamente o valor das compras liquidas: 
CL = Efmr - Eimr + CMV. 
As compras brutas são determinadas como segue: 
CB = CL / (1 - alíquota do ICMS). 
O prazo médio de estocagem das mercadorias para revenda (PMEmr) utiliza em seu calculo o saldo 
médio do estoque de mercadoria (Sm Emr) e o CMV. 
Preço médio de estocagem das mercadorias ou período médio de vendas (PMV): 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
No calculo de prazo médio de cobrança (PMC) são considerados: o saldo médio das duplicatas a 
receber (Sm DR) e a receita operacional bruta deduzida do valor das devoluções e abatimentos (ROB 
- DA). 
Prazo médio de cobrança das duplicatas a receber : 
 
O PMC envolverá as vendas a vista e a prazo quando for utilizado o faturamento total no 
denominador obtem-se o prazo médio de recebimento das vendas a prazo, inclusive os atrasos 
ocorridos nas liquidações das duplicatas. As devoluções e os abatimentos devem estar 
compatibilizados com o critério adotado para o calculo do PMC (Total ou apenas relativo ás vendas a 
prazo). 
O Prazo médio de pagamento das compras de materiais de produção e/ou das mercadorias para 
revenda, também conhecido por prazo médio de pagamento das compras dos fornecedores (PMPf) 
considera em seu cálculo o saldo médio das duplicatas a pagar (Sm DP) e o valor das compras (Sm 
DP) e o valor das compras brutas (CB), cuja determinação foi demonstrada anteriormente. 
Prazo médio de pagamento dos fornecedores: 
 
Da maneira como foi apresentado, o PMPf incluirá também as compras a vista. 
1.2 Ciclos operacionais, econômicos e financeiros 
O Ciclo operacional (CO) corresponde ao intervalo de tempo compreendido desde a recepção dos 
materiais de produção (ou das mercadorias para revenda) até a cobrança das vendas 
correspondentes. Durante esse período são investidos recursos nas operações da empresa sem que 
ocorram as entradas de caixa de relativas as vendas. Parte deste capital de giro é suprida pelos 
fornecedores que concederam prazo para pagamento das compras de materiais ou de mercadorias . 
Utilizando os prazos médios para representar os ciclos operacionais das empresas industriais e das 
empresas comerciais (COi) e das empresas comerciais. 
Coi = PMEmp + PMF + PMV + PMC 
Coc = PMEmr + PMC 
O ciclo econômico está contido no ciclo operacional: inicia com a recepção dos materiais de produção 
(ou das mercadorias para revenda) e termina com a saída dos produtos (ou das mercadorias) 
vendidas. O ciclo econômico desconsidera os aspectos financeiros concernentes aos pagamentos 
das compras e a cobrança das vendas. 
Representando os ciclos econômicos das empresas industriais (CEi) e das empresas comerciais 
(CEc) através dos prazos médios, tem-se 
Cei = PMEmp + + PMV 
Cec = PMEmr 
O ciclo financeiro compreende o prazo entre as saídas de caixa relativas aos pagamentos dos 
fornecedores e as entradas de caixa provenientes dos recebimentos das vendas. Durante este 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
período, a empresa tem de financiar suas operações sem a participação dos fornecedores. Quanto 
maior for o ciclo financeiro, mais de recursos próprios e de terceiros (exeto de fornecedores) estarão 
temporariamente aplicados nas operações, provocando custos financeiros e afetando a rentabilidade. 
Novamente pode-se recorrer aos prazos médios para representar os ciclos financeiros das empresas 
industriais (CFi) e das empresas comerciais (CFc). 
CFi = PMEmp + PMF + PMV + PMC - PMPf 
CFc = PMEmr + PMC - PMPf 
 
 
 (a) = recepção dos materiais de produção 
(b) = início da produção 
(c) = término da produção 
(d) = venda dos produtos 
(e) = cobrança das duplicatas 
(f) = pagamento dos fornecedores 
1.3 Exemplo do calculo dos prazos médios e dos ciclos 
O exemplo a seguir refere-se a um grande grupo industrial que fabrica calçados, fios, tecidos, artigos 
de vestuário, artigos esportivos e materiais de embalagem. Os dados utilizados foram extraídos das 
suas demonstrações financeiras consolidadas publicadas na imprensa. Apresentados em $ mil, todos 
os valores estão expressos em moeda de 31q/dez/t9 que corresponde à data do ultimo balanço. 
Confrontando o último exercício social com o anterior, verifica-se que a queda do PMEmp, 
determinou a redução de 33,6 dias no ciclo econômico. Essa redução, aliada a queda do PMC, fez 
com que o ciclo operacional declinasse 48 dias. 
O PMPf apresentou uma redução ligeiramente superior a do PMC. Com isto o ciclo financeiro foi 33 
dias menor do que a do ano anterior. 
Constata-se então que o menor ciclo financeiro observado em 19t9 basicamente determinado pela 
redução do PMEmp. 
Salvo quando ao fato destes prazos médios terem sido calculados a partir da média dos saldos inicial 
e final e não a partir das médias dos saldos mensais de cada exercício social, pode-se considerar que 
a duração de cada ciclo está correta em termos, de medida do tempo médio. Entretanto, deve-se 
atentar para o conteúdo dos diferentes tipos de saldo computados, a saber: 
Os saldos dos estoques dos materiais de produção são valorizados pelos preços médios das 
compras liquidas dos impostos. 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Além das compras liquidas, os saldos dos estoques de produtos em elaboração e de produtos 
acabados contém custos de Mão-de-obra direta e custos indiretos de fabricação; 
O saldo das duplicatas a receber é formado pelo custo dos produtos vendidos e pelo lucro bruto; e 
O saldo das duplicatas a pagar aos fornecedores representa as compras brutas, com o IPI e ICMS, 
ainda não liquidas. 
Assim, conclui-se que, da maneira como foram calculados, os prazos médios e os ciclos não podem 
ser avaliados conjuntamente em termos dos recursos envolvidos. Esta dificuldade poderá ser 
contornada através do calculo dos prazos médios e dos ciclos equivalentes. 
1.4 Recursos Demandados pelos ciclos 
Os saldos dos estoques, das duplicatas a receber e das duplicatas a pagar decorrem do nível de 
operações da empresa que em última estância é determinado pelo volume de vendas. 
No calculo do prazo médio de cobrança (PMC) utiliza-se no denominador as receitas de vendas 
diminuídas das devoluções e abatimentos (ROB - DA.). ASSIM, O pmc pode também ser interpretado 
em termos de dias de vendas mantidos sob a forma de duplicatas a receber. 
Dispondo de uma projeção das receitas médias diárias de vendas e do correspondente prazo médio 
de cobrança, pode-se determinar o saldo das duplicatas a receber através da transformação da 
formula do PMC, como segue: 
 
Onde, "Sd DR" representa o saldo das duplicatas a receber, podendo ser o saldo médio (Sm) ou o 
saldo final (Sf) do período. 
Os prazos médios prazos de estocagem (PMEmp, PMEpe e PMEpa) e de pagamento (PMPf) 
necessitariam ser convertidos para o seu equivalente em dias de vendas para que pudessem ser 
comparados entre si e com o PMC em termos dos recursos envolvidos. Com isso ter-se-ia prazos 
médios equivalentes para a estocagem dos materiais de produção (PMeEmp), dos produtos em 
elaboração (PMeEpe), dos produtos acabados (PMeEpa) e para os pagamentos dos fornecedores 
(PMePf) a saber:CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Onde, (MAP/ROB - DA), (CPA/ROB - DA) E (CB/ROB - DA) Constituem os fatores de conversão de 
períodos de tempo efetivos para dias de vendas. 
Multiplicando os dias de venda (fornecidos pelo calculo dos prazos médios equivalentes) pela receita 
média seria de vendas, encontra-se o valor dos recursos investidos nos saldos (médios e finais, 
conforme se deseje) dos estoques, bem como o valor dos financiamentos concedidos pelos 
fornecedores de materiais de produção. 
O PMC não precisa ser convertido porque já expressa dias de venda. 
O prazo médio equivalente de estocagem das mercadorias para revenda (PMeEmr) é obtido de forma 
idêntica ao PmeEpa, bastando substituir a formula o "Sd Epa" e o "CPV" por "Sd Emr" e "CMV", 
respectivamente. 
Dispondo dos prazos médios equivalentes, calcula-se os dias de venda correspondente ao ciclo 
operacional equivalente (CFe). Multiplicando esses dias de vendas pela receita média diária de 
vendas obtem-se os montantes de recursos envolvidos em cada um dos mencionados ciclos. 
Para demonstrar o emprego das fórmulas dos prazos médios equivalentes, serão utilizados alguns 
dados extraídos do exemplo apresentado anteriormente, admitindo que os mesmos fossem projeções 
feitas no final de 19t8, relativas ao exercício social em 1979. 
A partir dessas projeções deseja-se saber quais serão os montantes de recursos aplicados, no final 
de 1979, nos estoques e nas duplicatas a receber, bem como o saldo a pagar aos fornecedores na 
mesma época. Trabalharemos com 6 casas decimais para nos aproximar ao máximo dos saldos 
constantes do balanço apresentado no Quadro 1que correspondem ás respostas desejadas. 
 
Conforme demonstrado no quadro 4, todos os saldos determinados a partir dos prazos médios 
equivalentes foram idênticos àqueles que se desejava obter e que constam do balanço de 31/Dez/79 
apresentado no quadro 1. 
 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
 
Alguns poderão alegar ser difícil projetar as proporções do MAP, CPV, e CB sobre as receitas das 
vendas. A solução é simples, embora trabalhosa. Deve-se começar a partir das proporções 
verificadas no ultimo exercício social e fazer os ajustes relativos às alterações esperadas no "mix" de 
produjtos e/ou de materiais, nas variações reais nos preços de compra e de venda etc. 
Obviamente, esse modelo deve estar orientado para as operações futuras e dispensará o uso de 
tantas casas decimais como foi necessário no exemplo para encontrar os saldos previamente 
conhecidos. 
O modelo tornar-se-ia ainda mais valioso na medida em que se faça simulações para avaliar os 
impactos sobre o capital de giro decorrentes de aumentos ou reduções na receita de vendas, nos 
prazos médios e nos fatores de conversões dos sias efetivos para dias de vendas. 
A Dinâmica a Situação Financeira 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
11 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O capital de giro corresponde aos recursos aplicados pelo ativo circulante (AC) e esses recursos são 
constituídos pelo passivo circulante (PC) e pelo capital circulante e pelo capital circulante liquido 
(CCL). 
O CCL representa a parcela dos recursos permanentes aplicadas no giro das operações. Em outras 
palavras, o CCL é o excedente do total dos passivos não circulantes em relação aos ativos não 
circulantes. 
Os passivos não circulantes (PNC São constituídos pelas contas que integram o exigível em longo 
prazo (ELP), resultados de exercícios futuros (REF) e patrimônio liquido (PL), ou seja, PNC = ELP + 
REF = PL. 
Os ativos são circulantes (ANC) são formados pelas contas do realizável em longo prazo (RLP) e do 
ativo permanente (AP). Logo, ANC = RLP + AP. 
Então, CCL = ANC - ANC = (ELP + REF + PL) - (RLP + AP). 
Pode-se também obter o valor do CCL através da diferença entre o ativo e o passivo circulantes (CCL 
= AC - PC). 
Na análise que se pretende desenvolver, o AC e o PC serão subdivididos de acordo com a sua 
natureza financeira e operacional, a saber: Ativo circulante financeiro (ACF) , ativo circulante cíclico 
(ACC), passivo circulante oneroso (PCO) e passivo circulante cíclico (PCC). Deste modo, tem-se 
O ACF, tem uma natureza errática e é constituído por elementos essencialmente financeiros como 
caixas e bancos, aplicações financeiras e liquidez imediata e títulos e valores mobiliários a vencer em 
curto prazo. 
O ACC compreende os saldos de contas relacionadas com as atividades operacionais, tais como: 
estoques, duplicatas a receber, provisão para devedores duvidosos, despesas pagas 
antecipadamente etc. 
O PCO também se comporta de maneira errática e abrangem os empréstimos contratados em curto 
prazo, as duplicatas descontadas (reclassificadas do AC para o PC) e os financiamentos 
originalmente de longo prazo que passaram a constar no PC em função do seu próximo vencimento. 
O PCO é constituído pelas exigibilidades de curto prazo que provocam despesas financeiras. 
O PCC é formado pelos passivos em funcionamento que normalmente são de curto prazo, tais como: 
duplicatas a pagar, impostos, taxas, contribuições e contas a pagar diversas. 
No PCC serão também incluídos os saldos dos dividendos , das participações estatutárias e do 
imposto de renda a pagar sobre os lucros, apesar destes elementos terem uma natureza errática. 
A diferença entre os valores erráticos é denominada saldo de tesouraria (T. Logo, T = ACF - PCO). 
A diferença entre os valores cíclicos é conhecida por necessidade de capital de (NGG), conforme 
Fleuriet, ou por investimento operacional em giro (IOG), denominação adotada por silva (2) . Então, o 
IOG (Ou NCG) = ACC - PCC. 
Assim, foram identificados os seguintes elementos: 
 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
12 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Pode-se encontrar valores positivos ou negativos para o CCL, o IOG e o T. Apenas por mera 
coincidência seria encontrado valor zero para alguns destes elementos. 
2.1 Investimento Operacional em Giro (IOG) 
A magnitude do ICC decorre basicamente do volume dos estoques e dos saldos das duplicatas a 
receber, uma vez que as demais contas que poderiam ser encontradas no ACC normalmente 
apresentam saldos de pequena monta. 
Elevada a soma de recursos aplicados nos estoques decorre isolada ou simultaneamente, dos 
volumes das operações da empresa (compras, produção e vendas) na duração do ciclo de produção 
e do prazo médio de venda (PMV). 
Os recursos aplicados em duplicatas a receber são determinados pelo volume das vendas a prazo 
pelo prazo médio de cobrança (PMC) que é afetado pelo prazo concedido no faturamento e pelas 
duplicatas vencidas e não liquidadas. 
O PCC decorre do volume de compras (de materiais de produção ou de mercadorias para revenda), 
conjugado com o prazo médio de pagamento para os fornecedores. As demais contas do PCC 
(salários, encargos sociais e outras contas a pagar) poderão apresentar ou não saldos expressivos 
que, em sua maioria, costumam a vencer em curtíssimo prazo. 
Correspondendo a diferença entre o ACC, e o PCC, o IOG é fundamentalmente determinado pelo 
nível das atividades operacionais da empresa e pelos preços médios de estocagem, de cobrança e 
de pagamento dos fornecedores e das demais despesas operacionais. 
Fleuriet diz que a necessidade de capital de giro (NCG ou IOG é muito sensível às modificações que 
ocorrem no ambiente econômico em que a empresa opera. A NCG (ou IOG) depende, basicamente, 
da natureza dos negócios ou de nível de atividades da empresa. A natureza dos negócios da 
empresa determina seu ciclo financeiro, enquanto que o nível de atividadesé função das vendas. O 
nível de atividades afeta mais acentuadamente a necessidade de capital de giro das empresas com 
ciclo financeiro de longa duração do que as do ciclo financeiro de curta duração. 
As contas cíclicas do ativo e passivo que determinam o NGG (ou IOG) estão ligadas as operações da 
empresa. De modo geral essas conta representam a contrapartida das contas que formam o lucro 
operacional (resultado apurado antes de computar as despesas e receitas financeiras). 
2.2 Saldo da tesouraria (T) 
Além de ser calculado pela diferença entre o ativo e o passivo errático (T= ACF - PCO), o saldo de 
tesouraria pode ser visualizado como sendo um valor residual obtido da diferença entre o capital 
circulante liquido e o investimento operacional em giro (T= CCl- IOG). 
Em certas épocas do ano poderão surgir pressões de natureza sazonal que determinam a expansão 
do IOG. Nessas ocasiões sazonais que determinam a expansão do IOG. Nestas ocasiões T poderá 
torna-se negativo, uma vez que os levantamentos de empréstimos em curtos prazos e os descontos 
de duplicatas constituem fontes de financiamento adequadas para atender às necessidades 
temporárias de recursos. 
Entretanto, se CCL> O, IOG> O e CCL< IOG configurar uma ação não transitória, T será 
cronicamente negativo, indicando o risco de insolência pelo fato da empresa estar financiando o IOG 
e/ou ativos permanentes como fundos onerosos de curto prazo. 
Configurações entre o CCL, o IOG e o T 
Considerando um conjunto de empresas, cada uma com um ativo total de $ 100 (AT = ACF + ACC + 
ANC), cujo CCL e IOG variem entre $(20) e $ 20, encontra-se o valor para T (= CCL - IOG) 
constantes na tabela abaixo. 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
13 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Na prática seria muito remota a possibilidade de se encontrar o CCL = o, IOG e o CCL = IOG. Assim, 
desprezando essas alternativas, pode-se localizar na tabela configurações que reflitam 6 tipos 
básicos de estruturas de balanços, cujas características são descritas a seguir 
 
Balanços com este tipo de estrutura refletem excelente liquidez, pois apresentam recursos 
permanentes aplicados no ativo circulante (PNC > ANC CCL > O) e, consequentemente, boa folga 
financeira para honrar as exigibilidades de curto prazo (AC > PC); Passivos de funcionamento 
maiores de que ativos circulantes operacionais (ACC < PCC IOG <O); e ativos circulantes 
financeiros excedendo aos passivos circulantes onerosos) (ACF > T > O). 
Super mercados e empresas varejistas de artigos populares costumam apresentar balanços com a co 
figuração do tipo I, porque compram a prazo, giram rapidamente os estoques e vendem à vista. 
Isto implicará em um ciclo financeiro muito reduzido ou até mesmo negativo. Na verdade por trás 
dessas atividades comerciais existe expressiva captação de recursos, fazendo com que as receitas 
financeiras tenham significativa participação na formação do lucro liquido. Nestas circunstancias, 
quanto maior for o volume de vendas, maior será o saldo positivo de tesouraria. Entretanto, se ocorrer 
queda brusca na vendas (devido à atuação da concorrência ou uma recessão econômica) T declinará 
rapidamente, podendo até transformar-se de positivo a negativo. Deste modo verifica-se que 
empresas com este tipo de balanço apresentam alto grau de sensibilidade às flutuações das vendas. 
Os dirigentes destas empresas devem resistir a tentação de investir estas sobras de recursos em 
ativos permanentes , (expansão de redes de lojas, investimentos em outro ramo de negócios etc.), 
uma vez que os elevados saldos de tesouraria decorrem em grande parte de passivos de curtíssimo 
prazo precisam ser continuamente renovados. 
O ciclo de produção e o prazo médio de cobrança tornam praticamente impossível encontrar 
empresas industriais com balanços deste tipo. 
 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
14 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
IOG positivo significa que os passivos de funcionamento (PCC) são insuficientes para atender as 
necessidades de financiamentos dos ativos operacionais de curto prazo (ACC). 
Neste tipo de balanço, os recursos permanentes aplicados no capital de giro (CCL) suprem a 
insuficiência do PCC, e ainda permitem a manutenção de um saldo positivo de tesouraria. 
O saldo positivo de tesouraria indica uma situação financeira sólida enquanto for mantido, 
determinado nível de operações. Entretanto, a expansão das vendas provocará o aumento do IOG e 
consequentemente redução do T. Se esta expansão for Sazonal, logo a empresa retornará à situação 
original (reforçada por um aumento no CCL decorrente da capitalização dos lucros adicionais). Por 
outro lado, um aumento grande e repentino das vendas fará com que o grande crescimento do IOG 
absorva todas as disponibilidades e demande novos empréstimos de curto prazo, tornando T 
negativo e, consequentemente, desestabilizado a estrutura financeira da empresa. 
 
Este tipo de balanço indica situação financeira insatisfatória, uma vez que o CCL é inferior ao IOG. 
Empresas com este tipo de estrutura patrimonial são bastante dependentes de empréstimos de curto 
prazo para financiar suas operações. 
O aumento da vulnerabilidade financeira ocorre à medida que cresce a diferença entre o CCL e o IOG 
e, consequentemente é ampliado o saldo negativo da tesouraria. 
 
O CCL negativo indica que a empresa esta financiando ativos não circulantes com dividas de curto 
prazo (PNC<ANC AC < PC), relevando desequilíbrio entre as fontes e as aplicações de recursos. 
Isto seria suficiente para configurar uma situação financeira ruim e restringir o acesso da empresa às 
fontes de financiamento de curto prazo. Entretanto, mesmo com o CCL negativo, poderia ocorrer da 
empresa continuar obtendo crédito junto aos seus fornecedores e levantar empréstimos bancários. 
Isto aconteceria mediante ao oferecimento de garantias adicionais, tais como: aval de proprietários 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
15 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
detentores de grandes fortunas, solidez do grupo econômico a que pertence a empresa, conceito 
crediticio dos sacados das duplicatas descontadas ou dadas em garantia etc. 
Neste tipo de balanço deve-se ressaltar que a ocorrência simultânea de IOG positivo do CCL 
negativo indica péssima situação financeira, com a possibilidade de agravamento com a expansão 
dos negócios, evidenciado pelo crescimento do saldo negativo de tesouraria. 
Empresas privadas com este tipo de balanço estariam à beira da falência, a menos que seus 
acionistas controladores pudessem fornecer-lhe algum tipo de apoio externo. 
Essa configuração aparece com a maior frequência em empresas estatais mal administradas , com 
preços ou tarifas defasados etc. 
Essas estatais sobrevivem graças às periódicas injeções de recursos realizadas pelo seu acionista 
majoritário (governo federal estadual ou municipal) e também por poderem contar com um fluxo 
regular de receitas operacionais face ao fato de deterem posição monopolista em um mercado cuja 
demanda é inelástica. É o caso de empresas distribuidoras de energia elétrica, empresas de 
telecomunicações, ferrovias e etc. 
 
Neste tipo de balanço a situação financeira é muito ruim, porém menos grave do que o tipo IV devido 
ao fato dos passivos de funcionamento excederem às necessidades de recursos para financiar os 
ativos circulantes operacionais (ACC <PCC IOG < O). Isto atenua os efeitos negativos sobre o 
saldo de tesouraria. 
 
Este tipo de balanço revela que a empresa estaria desviando sobras de recursos de curto prazo para 
ativos não circulantes e mantendo um saldo positivo de tesouraria . Uma situação comoesta não 
poderia ser mantida por muito tempo, pois uma queda no volume de vendas esgotaria rapidamente a 
parcela excedente do PCC, invertendo o sinal do IOG e do saldo de tesouraria. 
Trata-se de um tipo de configuração que envolve alto risco de insolvência. 
2.4 IOG X X CFe 
O montante de recursos necessários para financiar o IOG (positivo) é afetado pelas receitas de 
vendas, pelo ciclo financeiro e pelos saldos de outras contas cíclicas que não integram ao ciclo 
financeiro, como segue: 
 
Onde, 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
16 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
CF e = PmeEmp + PmeEpm + PmeEpa + PMC - PmePf (prazos médios equivalentes expressos em 
dias de vendas): 
ROB - DA = receitas brutas de vendas diminuídas das devoluções e abatimentos sobre vendas; 
ROB - DA / 360 = receitas médias diárias de vendas; 
CFe x (ROB - DA / 360) = recursos aplicados nos estoques e nas duplicatas a receber deduzidos dos 
financiamentos dos fornecedores. 
OCC = Outras contas cíclicas: diferença entre saldos das contas do ACC, inclusive Estoques e 
Duplicatas a Receber, e os saldos das contas do PCC, inclusive Fornecedores. 
Conhecendo antecipadamente o valor do IOG, da receitas de vendas e do diferencial entre as outras 
contas cíclicas, pode-se determinar o ciclo financeiro equivalente, a partir da formula anterior, a saber 
 
Note a inversão dos sinais relativos às outras contas cíclicas (OCC), no calculo do valor do IOG, 
quando os outros arquivos circulantes cíclicos forem maiores do que os outros passivos circulantes 
cíclicos, o OCC será positivo e deverá ser somado; quando o OCC for negativo deverá ser subtraído. 
No calculo do CFe quando OCC for positivo deverá ser subtraído e se for negativo ser somado. 
2.5 Autofinanciamento da expansão do IOG 
A análise das possíveis configurações entre o CCL, o IOG e o T evidenciou que uma situação 
financeira sólida implica na manutenção de CCL positivo e maior do que o IOG. Desta forma 
ocorrendo IOG positivo, o CCL seria suficiente para financia-lo e ainda gerar um saldo positivo de 
tesouraria (CCL> O, IOG > O, CCL > IOG e T > O). 
Para que a expansão do IOG (positivo) não prejudique a situação financeira da empresa será 
necessário que oCCL também aumente. 
Os lucros retidos (lucros líquidos - dividendos) permitirão expandir o CCL, desde que tais recursos 
gerados internamente não sejam desviados para o financiamento de novos ativos não circulantes 
(ANC = RLP + AP). Assim se a empresa captar exatamente recursos próprios ou recursos de 
terceiros em longo prazo em montante o suficiente para financiar as aquisições de ativos 
permanentes, os recursos gerados pelas operações poderão ser integralmente reaplicados no capital 
de giro. 
Para determinar o valor dos fundos incorporados ao CCL, deve-se adicionar aos lucros retidos as 
despesas de depreciação,amortização e exaustão que foram recuperadas nas receitas de vendas, 
mas não representaram utilização de CCL. Na DOAR estas despesas são somadas ao lucro liquido 
pela mesma razão e os dividendos aparecem como aplicação do CCL. 
Dentro das premissas acima, o autofinanciamento do IOG, apresenta o seguinte mecanismo ou 
sequência. 
 
A seguir é apresentado um exemplo onde a expansão das vendas não afetou o ciclo financeiro 
equivalente e foi financiada através do reinvestimento integral dos lucros retidos + depreciação. 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
17 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Observa-se que o substancial crescimento do IOG não afetou a boa situação financeira existente em 
1971 (balanço do tipo II). 
Apesar das vendas terem crescido à taxa de 40%ao ano, foram mantidas as proporções originais do 
CCL, do IOG e do T, em relação às receitas de vendas. Também não houve alteração nas relações 
"CCL /IOG" e "T / IOG" e CFe foi mantido (admitiu-se que o OCC foi igual a zero). 
Para alcançar essa expansão nas vendas, a empresa certamente teria ampliado a sua planta 
industrial. Como não ocorreram modificações na estrutura dos elementos envolvidos com o capital de 
giro, deduz-se que os investimentos adicionais no ativo não circulante foram realizados mediante 
aporte de recursos de longo prazo captados externamente, tais como: lançamento de novas ações 
e/ou de debêntures, obtenção de financiamento em longo prazo para a compra de equipamentos etc. 
É claro que a rentabilidade das operações deveria ser suficiente atraente para viabilizar a captação 
desses novos recursos permanentes. 
Além da qualidade dos produtos, do padrão de serviços oferecidos aos clientes (assistência técnica 
etc.) e das campanhas publicitárias, a expansão das vendas poderá basear-se no oferecimento de 
preços competitivos e de maiores prazos para pagamento. 
A redução nos preços de venda afetará o lucro bruto, mas provavelmente ocorreria maior absorção 
das despesas operacionais fixas que, crescendo menos que as receitas de vendas, beneficiaria o 
resultado contábil pelo efeito de alavancagem operacional. 
Por outro lado, o aumento das despesas de depreciação decorre da aquisição de novos ativos fixos 
poderia fazer com que a porcentagem do autofinanciamento sobre as vendas permanecesse 
praticamente igual àquela obtida na posição original do exemplo anterior (1971). Em outras palavras, 
a queda no lucro liquido devida a redução nos preços de venda seria compensado com a adição do 
maior valor das despesas de depreciação. 
-o- 
No próximo exemplo a expansão das vendas foi promovida pela concessão aos clientes de maior 
prazo para pagamento e isto refletiu no aumento do ciclo financeiro equivalente. O IOG aumentou 
devido ao maior volume de vendas e à dilatação do CFe (admitiu-se OCC += zero). 
O crescimento das vendas observou as seguintes condições restritivas: 
1) O aumento do IOG não poderia ultrapassar a capacidade de autofinanciamento, podendo ser 
utilizado o saldo positivo de tesouraria existente em 1971; 
2) O CCL não poderia ser inferior ao IOG e T não poderia tornar-se negativo. 
Partindo da posição de 1971 e considerando que o autofinanciamento corresponda a 10% das 
receitas de vendas, pretende-se conhecer até que ponto as vendas poderão expandir às custas da 
ampliação dos prazos médios de cobrança e, por decorrência, do aumento do CFe. 
 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
18 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Já em 1972 a situação financeira decaiu ligeiramente devido à utilização do saldo de tesouraria 
positivo existente em 1971, mas como o CCL não ficou abaixo do IOG a situação financeira 
continuaria satisfatória. 
A partir de 1973 as taxas de crescimentos das vendas tornaram-se irrisórias, pois se haviam 
incentivos aos clientes representados pela ampliação do prazo para pagamento, por outro lado havia 
restrições relativas à observação dos limites do autofinanciamento. E. 1975, mesmo com a expansão 
do CFe, as vendas não apresentaram crescimento devido às restrições estabelecidas "a priori". 
2.6 "Overtrade" O Efeito Tesouraria 
O "Overtrade" acontece quando uma empresa expande significativamente o nivekl de operações e 
vendas, sem o desvio suporte de recursos para financiar o decorrente aumento do capital de giro. (2) 
Uma empresa que esteja operando com capacidade ociosa em sua planta industrial poderá desejar 
um aumento na produção e vendas visando obter redução nos custos de produção devido às 
economias de escala. Isto provocará aumento nos estoques, nas duplicatas a receber e nas 
duplicatas a pagar aos fornecedores. Se os prazos médios de estocagem, de cobrança e de 
pagamento forem mantidos haverá um crescimento acentuado no IOG (positivo) que poderá 
rapidamente ultrapassar oCCL por insuficiência de recursos provenientes do autofinanciamento. 
Nestas condições estaria ocorrendo o "overarte". 
Ac Expressão efeito tesoura, adotada por Fleuriet, corresponde à representação gráfica da evolução 
das vendas, do IOG, do CCL e do T em situações de IOG através de créditos de curto prazo não 
renováveis automaticamente, como são as operações de financiamento que integram o passivo 
circulante oneroso. Neste caso, o saldo da tesouraria apresenta-se negativo com a taxa de 
crescimento superior à do IOG. 
Os seguintes fatos caracterizam o efeito tesoura em uma empresa: 
As vendas crescem a taxas anuais elevadas; 
A relação "IOG / (ROB-DA)" durante o período do crescimento das vendas, admitindo que ambas as 
relações sejam positivas. 
Durante o período de crescimento das vendas, as fontes externas que aumentam o CCL são 
utilizadas somente para novos investimentos em bens do ativo permanente. 
A representação gráfica do efeito tesoura encontra-se na figura a seguir. Até o quarto ano, a empresa 
representava CCL > o, IOG> o, sendo CCL>IOG e T >o . No quinto ano o CCL igualou-se ao IOG 
(ambos positivos) e T tornou-se nulo. A partir do sexto ano, verifica-se que o CCL é sempre inferior ao 
IOG e T apresenta-se negativo. Deste modo, o efeito tesoura ocorreu a partir do quinto ano. 
 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
19 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
A mecânica do efeito tesoura é apresentada no exemplo a seguir em que as vendas dobram em cada 
ano, conservando o CFe original e as proporções do IOG e do AUT sobre as receitas de vendas . O 
CCL aumenta os valores absolutos , porém diminui a sua proporção em relação às vendas e ao IOG. 
O saldo de tesouraria passa de positivo a negativo e a relação "T/IOG" cresce negativamente 
(admitiu-se OCC = zero). 
 
Em 1971 a empresa apresentava uma estrutura de balanço do tipo II e a partir de 1972 a estrutura 
passou para o tipo III. 
Neste momento em que o IOG suplantou o CCL e T passou a ser negativo, iniciou-se o efeito 
tesoura. 
Embora o CCL tenha permanecido sempre positivo, o crescimento do saldo negativo de tesouraria 
mostra um aumento da dependência de empréstimos de curto prazo para financiar o IOG. 
Isto evidencia a deterioração da liquidez, e provavelmente, da rentabilidade (face ao crescimento das 
despesas financeiras). Os credores passarão a considerar a empresa como sendo um "mau risco 
linhas de crédito bancário, além de se tornarem mais difíceis, envolveram taxas de juros cada vez 
mais altas". 
2.7 Exemplo com um Caso Real 
A seguir são apresentados alguns índices financeiros convencionais calculados a partir dos balanços 
do quadro 1 
Todos os índices apresentam desfavorável e os dois primeiros despertariam alguma preocupação. 
Apesar disto os outros índices ainda estão muito bons em 1979. 
Dificilmente alguém faria restrições à situação financeira deste grande grupo industrial de capital 
nacional. A empresa controladora deste grupo é de capital aberto e suas ações são bastante 
negociadas em bolsa. 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
20 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Entretanto, a visão limitada oferecia pelos índices apresentados não permite detectar aspectos de 
certa gravidade relativos à situação financeira que aparecem nitidamente com a análise da 
configuração entre o CCl, o IOG e o T a seguir desenvolvida. 
No quadro 10 verifica-se que em 1978 a situação financeira estava muito boa (balanço do tipo II) e 
nem em 1979 o grupo industrial passou a apresentar uma situação financeira insatisfatória (balanço 
do tipo III). 
 
 
O expressivo aumento das receitas de vendas (47,7%), associado à pequena redução no ciclo 
financeiro equivalente (de 120,5 para 115,8 dias de vendas) e ao aumento do diferencial negativo do 
OCC (de$392.956 para $588.228), fizeram com que o IOG crescesse menos do que as vendas 
(40%).Desta forma, a porcentagem do IOG sobre as receitas de vendas declinou ligeiramente (de 
26,7% para 25,3%). 
O CCL apresentou pequena queda (-7,8%) provocada pelo reduzido valor do autofinanciamento 
(3,2% sobre as vendas em 1979) e pela transferência de recursos de capital de giro para ativos não 
 CUSTO DE OPORTUNIDADE 
 
 
21 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
circulantes. Com isto, a porcentagem do CCL sobre vendas caiu de forma acentuada (de 33,6% para 
21%). 
Esses fatos fizeram com que o saldo de tesouraria passasse de positivo em 1978 para negativo em 
1979, evidenciando dependência no uso de empréstimos de curto prazo para financiar as operações 
correntes. 
Visto por outro ângulo, tem-se que em Dez/78 o CCL, ficou 17,2% abaixo do IOG, sendo esta 
deficiência coberta pelo saldo negativo de tesouraria. 
Um dado interessante a destacar é que em 1978 os dividendos excederam o lucro liquido em 29,5%, 
em 1979 os dividendos representaram 65,7% do lucro liquido. Isto se explica pelo fato de nestes dois 
exercícios, o lucro liquido da empresa controladora ter sido superior ao lucro liquido consolidado do 
grupo. 
A fraca rentabilidade sobre o capital próprio e o elevado "payout" explicam as baixas porcentagens do 
auto financiamento sobre vendas nos dois exercícios. 
O Quadro 11 apresenta os elementos que compuseram os fluxos do CCL e do IOG em 1979 e 
"amarra" esses fluxos com a variação do saldo de tesouraria. Nos quadros 12 a 14 encontram-se 
detalhados os valores resumidos no quadro 11. 
 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Matemática Financeira 
Conceitos Básicos 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos 
ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para 
simplificar a operação financeira a um fluxo de caixa. 
Capital 
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: 
Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado 
pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 
Juros 
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros 
podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. 
Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
Juros compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de 
correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e 
passa a render juros também. 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas 
prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for 
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver 
disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente,deve ser recompensado por esta 
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. 
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual 
deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. 
Quando usamos juros simples e juros compostos? 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a 
médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações 
financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. 
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo 
prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 
Taxa de juros 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado 
período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, seguida da especificação do período 
de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 
100, sem o símbolo %: 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
MATEMATICA FINANCEIRA 
Conceitos básicos 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos 
ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para 
Capital 
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: 
Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado 
pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 
Juros 
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros 
podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. 
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de 
correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e 
passa a render juros também. 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas 
prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for 
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver 
disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta 
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade 
de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais 
conhecida como taxa de juros. 
 Quando usamos juros simples e juros compostos? 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a 
médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações 
financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. 
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo 
prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 
Taxa de juros 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado 
período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do 
período de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
 Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 
100, sem o símbolo %: 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
JUROS SIMPLES 
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. 
Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente 
principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em 
fórmula temos: 
 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
J = P . i . n 
 
Onde: 
J = juros 
P = principal (capital) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de 
juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Principal + Juros 
 Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) 
M = P . ( 1 + ( i . n ) ) 
 
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 
145 dias. 
 SOLUÇÃO: 
 M = P . ( 1 + (i.n) ) 
 M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí 
ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 
360 dias. 
Exercícios sobre juros simples: 
 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
 0.13 / 6 = 0.02167 
 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 
 j = 1200 x 0.195 = 234 
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 
125 dias. 
 Temos: J = P.i.n 
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. 
 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, 
poderemos calcular diretamente: 
 J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 
dias? 
 Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) 
 Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, 
meses. Logo, 
 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: 
 P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para 
dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 
 Objetivo: M = 2.P 
 Dados: i = 150/100 = 1,5 
 Fórmula: M = P (1 + i.n) 
 Desenvolvimento: 
2P = P (1 + 1,5 n) 
2 = 1 + 1,5 n 
n = 2/3 ano = 8 meses 
JUROS COMPOSTOS 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para 
cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal 
para o cálculo dos juros do período seguinte. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. 
Após três meses de capitalização, temos: 
 1º mês: M =P.(1 + i) 
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
Simplificando, obtemos a fórmula: 
M = P . (1 + i)n 
 
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao 
mês para n meses. 
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: 
J = M - P 
 
Exemplo: 
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa 
de 3,5% ao mês.Resolução: 
P = R$6.000,00 
t = 1 ano = 12 meses 
i = 3,5 % a.m. = 0,035 
M = ? 
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: 
M = 6000.(1+0,035)12 
M = 6000. (1,035)12 
M = 6000.1,511 = 9066,41. 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Portanto o montante é R$9.066,41 
RAZÃO E PROPORÇÃO - PORCENTAGEM - REGRA DE TRÊS 
Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é 
necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida. 
A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente b deve ser diferente de 
zero. 
32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2. 
Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas, se as duas medidas estiverem, 
por exemplo, em quilômetros, mas não poderá obtê-la caso uma das medidas esteja em metros e a 
outra em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não seja o metro. Neste caso seria 
necessário que fosse eleita uma unidade de medida e se convertesse para ela, a grandeza que 
estivesse em desacordo. 
Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome de consequente. 
Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo termo consequente é igual a 100. 
Representamos a porcentagem através do símbolo "%". 
10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos). 
Proporção nada mais é que a igualdade entre razões. 
Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou 
seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, 
tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. 
Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que 
ambas as razões são iguais a 0,75. 
Regra de três é um método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais. 
"Um automóvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2 horas. Se a viagem fosse realizada à 
velocidade de 120km, qual seria o tempo gasto?". Este é um exemplo de problema que pode ser 
resolvido via regra de três, no caso uma regra de três simples inversa. 
A solução dos problemas de regra de três tem como base a utilização da "propriedade fundamental 
das proporções" e a "quarta proporcional". 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
Estuda-se em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos vemos que as grandezas são 
diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica o aumento da outra, em outros, 
inversamente proporcionais, isto é, o aumento de uma implica a redução da outra. Seja em quaisquer 
dos casos anteriores, podemos resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas 
proporcionais utilizando regra de três simples ou composta. 
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são muito antigos, tendo sua 
provável origem na China antiga, podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários 
problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três 
podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais 
recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-
1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três. 
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas. 
Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois 
soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo. 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Vejam abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta, direta e inversamente 
proporcionais. 
1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é 
suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães? 
2. Quatro pedreiros constrói uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa 
em quanto tempo? 
3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens 
levarão quantos dias para montar 50 máquinas? 
4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão 
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? 
Ainda neste artigo, em momento oportuno, solucionaremos os problemas propostos acima. 
Grandezas diretamente proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o 
aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma, 
a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam 
sempre na mesma razão. 
Vejam o exemplo 
NÚMERO DE PESSOAS 
DE CERTA FAMÍLIA 
DESPESA SEMANAL 
COM ALIMENTAÇÃO 
(R$) 
RAZÃO 
4 200 1/50 
5 250 1/50 
Observação: A tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que com o ingresso de mais um 
membro nesta família aumentará proporcionalmente sua despesa semanal. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da 
outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma 
delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc. 
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, 
respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c 
Veja o exemplo 
NÚMERO DE 
OPERÁRIOS DE CERTA 
OBRA 
DIAS GASTOS PARA 
CONCLUI-LA (DIAS) 
RELAÇÃO 
x.a = y.b 
12 60 12 . 60 = 720 
6 120 6 . 120 = 720 
Razão: 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
12/6 = 2/1 
60/120 = 1/2 
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso de 1/2. 
Regra de três simples 
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e 
desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de 
três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si. 
Acompanhem: 
 
Exemplo: os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. Nessas 
condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação verdadeira. 
 
Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste trabalho. 
(1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para 
fazer 18 pães? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores. 
 
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo e número de 
pãessão inversa ou diretamente proporcionais. 
• Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se 
triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos 
levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais; 
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e 
partir para sua solução; 
• As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais. 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo. 
(2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90dias. Dois pedreiros construirão a mesma 
casa em quanto tempo? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores. 
 
Como no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade de pedreiros e dias gastos 
na construção são inversa ou diretamente proporcionais. 
• Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, portanto, essas 
grandezas são inversamente proporcionais; 
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e 
partir para sua solução; 
• Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações; 
• As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente proporcionais. 
 
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída em 180 dias. 
Regra de três composta 
Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais e, num determinado 
problema, existem seis valores, dos quais cinco são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se 
encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta. 
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste trabalho. 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
(3) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens 
levarão quantos dias para montar 50 máquinas? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores: 
 
Analisemos as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente proporcionais entre si. 
• Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas tempo de 
montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de montagem, dobraremos o número 
de máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente proporcionais. 
• Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas quantidade de 
homens com tempo de montagem. Se dobrarmos o número de homens, teremos reduzido à metade o 
tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais. 
• Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo com a tabela acima; 
• Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações; 
 
Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias. 
(4) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão 
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? 
● Chamaremos o valor desconhecido de x: 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima. 
• Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas número de 
operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de operários, dobraremos também o 
número de peças fabricadas. Dessa forma, essas duas grandezas são diretamente proporcionais; 
• Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezas dias de 
trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de trabalho, dobraremos 
também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas grandezas também são diretamente 
proporcionais; 
• Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo com a tabela acima; 
• Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações em suas formas 
originais. 
 
Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Juros Simples e Composto 
Ao longo dos tempos constatou-se que o problema econômico dos governos; das instituições; 
das organizações e dos indivíduos, decorria da escassez de produtos e/ou serviços, pelo fato de 
que as necessidades das pessoas eram satisfeitas por bens e serviços 
cuja oferta era limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema 
de satisfazer as necessidades foi solucionado através da especialização e do processo de troca 
de um bem pelo outro, conhecido como escambo. Mais tarde surgiu um bem intermediário, para 
este processo de trocas que foi a moeda. Assim, o valor monetário ou preço propriamente dito, 
passou a ser o denominador comum de medida para o valorizar os bens e os serviços e a moeda 
um meio de acúmulo deste valor constituindo assim a riqueza ou capital. 
Constatou-se assim, que os bens e os serviços poderiam ser consumidos ou guardados para o 
consumo futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse o acúmulo, 
surgiria decorrente deste processo o estoque que poderia servir para gerar novos bens e/ou 
riqueza através do processo produtivo. E começou a perceber que os estoques eram feitos não 
somente de produtos, mas de valores monetários também, que se bem administrado poderiam 
aumentar gradativamente conforme a utilidade temporal.Surge-se daí a preocupação e a 
importância do acúmulo das riquezas em valores monetários como forma de investimento futuro 
e aumento do mesmo conforme o surgimento das necessidades. 
Com o passar dos tempos essa técnica foi sendo melhorada e aperfeiçoada conforme as 
necessidades de produção e tão quanto à necessidade mercantis que aflorava cada vez mais 
tornando os produtores mais competitivos quanto ao aumento de oferta de suas produções. 
Atualmente a técnica utilizada para compreensão de como o capital se comporta em uma 
aplicação ao longo do tempo é realizado pela Matemática Financeira. De uma forma simplificada, 
podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada e/ou Elementar, 
que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar 
as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta, a variável tempo, quer 
dizer, o valor monetário no tempo (time value money). 
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa 
de juros e o tempo. 
Capital 
Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo 
constituindo assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é 
conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa 
em relação a uma unidade de tempo.(n) 
Juros 
Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P), aplicado a uma certa taxa (i), 
durante um determinado período (n), ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. 
Portanto, Juros (J) = preço do crédito. 
A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se: 
a) inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo; 
b) risco: os juros produzidos de uma certa forma compensam os possíveis riscos do 
investimento. 
c) aspectos intrínsecos da natureza humana: quando ocorrede aquisição ou oferta de 
empréstimos a terceiros. 
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, entre outros, 
motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado. 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que 
temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre 
o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de 
capitalização composta (Juros compostos). 
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido 
(veremos adiante, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – 
crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função 
exponencial). 
Juros Simples 
O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este 
sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como 
introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante. 
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n 
períodos. 
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a 
seguinte fórmula, facilmente demonstrável: 
 
J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por 
período igual a i. 
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros 
produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado 
MONTANTE (M). Logo, teríamos: 
Exemplo: 
A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. 
Calcule o montante ao final dos cinco anos. 
Solução: 
Temos: P = 3000, 
i = 5% = 5/100 = 0,05 e 
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses. 
Portanto, M = 3.000,00 x (1 + 0,05 x 60) = 3.000,00 x (1+3) = R$ 12.000,00. 
A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função 
juros simples, senão vejamos: 
Façamos P.i = k. 
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P . i > 0) 
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque 
usei o termo semi-reta ao invés de reta?). 
Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n são grandezas 
diretamente proporcionais. Daí infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma 
função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-
reta J = kn. 
J = P . i . n = Pin 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n) 
 
 
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas 
referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o 
número de dias pode ser calculado de duas maneiras: 
• Pelo tempo exato , pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro exato, que é 
aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando o período é 
adotada a conversão de ano civil (365 dias) 
• Pelo ano comercial, pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro comercial que é 
aquele calculado quando se adota como base o ano comercial (360 dias) 
Exercício Proposto 01: 
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros 
simples de 18% ao semestre (18% a.s). 
Resposta: R$ (?) 
Vimos anteriormente, que se o capital (P) for aplicado por (n) períodos, a uma taxa de juros 
simples (i), ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que 
o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in). 
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n 
têm de ser referidos à mesma unidade de tempo. 
Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o 
período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma 
unidade de tempo, ou seja: 
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou 
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc. 
Exemplos: 
01 – Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples 
de 10% ao bimestre durante 5 anos? 
0 
1º 
mês 
2º 
mês 
3º 
mês 
4º 
mês 
mese
s 
 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Solução 01: 
Temos que expressar i e nem relação à mesma unidade de tempo. 
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses): 
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10 
n = 5 anos = 5 x 6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres) 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,10 x 30 = R$ 36.000,00 
Solução 02: 
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses. 
Teríamos: 
i = 10% a x b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,05 x 60 = R$ 36.000,00 
02 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa mensal de 5%. Depois 
de quanto tempo este capital estará duplicado? 
Solução 01: 
Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem: 
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05). 
Simplificando, fica: 
2 = 1 + 0,05n 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito 
meses. 
Exercício Proposto 02: 
Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto 
tempo este capital estará triplicado? 
Resposta: (?) anos. 
Juros Compostos 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
a) Juros simples – ao longo do tempo, somente o principal rende juros; 
b) Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por 
sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros". 
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos 
ao capital formando um montante, capital mais juros, do período. Este montante, por sua vez, 
passará a render juros no período seguinte formando um novo montante e assim 
sucessivamente.Pode-se dizer então, que cada montante formado é constituído do capital inicial, 
juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores. 
Este processo de formação de juros compostos é diferente daquele descrito para os juros 
simples, onde somente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros 
formados em períodos anteriores. 
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros 
compostos, com um exemplo: 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Suponha que R$ 1.000,00 são empregados a uma taxa de 20% a.a.,por um período de 4 anos a 
juros simples e compostos Teremos: 
P= R$ 1.000,00 i= 20% a.a n= 4 anos 
n Juros Simples Juros Compostos 
 Juros por periodo Montante Juros por periodo Montante 
1 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 
2 1.000,00 x 0,2 = 200 1.400,00 1.200,00 x 0,2 = 240 1.440,00 
3 1.000,00 x 0,2 = 200 1.600,00 1.440,00 x 0,2 = 288 1.728,00 
4 1.000,00 x 0,2 = 200 1.800,00 1.728,00 x 0,2 = 346 2.074,00 
 
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples 
e de juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em 
juros compostos é exponencial: 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Observe que o crescimentodo principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o 
crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, portanto tem um crescimento muito 
mais "rápido". 
Exemplo 2: 
Um empresário faz uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês por um 
prazo de dois meses. 
1º Mês: 
O capital de R$ 1.000,00 produz um juros de R$ 100,00 (10% de R$ 1.000,00), pela fórmula dos 
juros simples já estudada anteriormente, ficaria assim: 
M = C x (1 + i) M = 1.000,00 x (1 + 0,10) M = 1.100,00 
2º Mês: 
O montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês servindo de base para o 
cálculo dos juros deste período. Assim: 
M = 1.100,00 x (1 + 0,10) M = 1.210,00 
 
 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Tomando-se como base a fórmula dos juros simples o montante do 2º mês pode ser assim 
decomposto: 
M = C x (1 + i ) x (1 + i ) M = 1.000,00 x (1 + 0,10 ) x (1 + 0,10 ) 
M = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 M = 1.210,00 
Exemplo 3: 
A loja São João financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.00,00, sem entrada, 
pelo prazo de 8 meses a uma taxa de 1,422. Qual o valor do montante pago pelo cliente. 
M = C x (1 + i) 
n 
M = 16.000,00 x (1 + 1,422)
8 
M = 22.753,61 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir 
as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros 
compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos 
econômicos. 
Fórmula para o cálculo de Juros compostos 
Considere o capital inicial (P) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 
10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês: 
• Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1+0,1) 
• Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1+0,1)2 
• Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 
Dando continuidade ao raciocínio dos juros compostos, a evolução dos juros que incide a um 
capital para cada um dos meses subseqüentes Após o nº (enésimo) mês o montante acumulado 
ao final do período atingiria : 
S = 1000 (1 + 0,1) 
n
 
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros 
compostos i durante o período n : 
ou 
Onde: 
S / M = montante; 
P / C = principal ou capital inicial ; i = taxa de juros e 
n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. 
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), 
tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser 
esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos 
considerar 2% ao mês durante 3 x 12=36 meses. 
Taxa Nominal e Taxa Real 
Taxa nominal 
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão: 
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo 
M = C (1 + i ) n S = P (1 + i) n 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, 
pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: 
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00 
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50% 
Taxa Real 
A taxa real expurga o efeito da inflação. 
Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, 
negativas! 
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que 
um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal 
in . 
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante 
o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido 
por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j). 
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o 
montante S1. Poderemos então escrever: 
S1 = S2 (1 + r) 
Substituindo S1 e S2 , 
vem: P(1 + in) = (1+r). P 
(1 + j) 
Daí então, vem que: 
 (1 + in) = (1+r). (1 + j), onde: 
in = taxa de juros nominal 
j = taxa de inflação no 
período r = taxa real de juros 
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas 
nominal e real são coincidentes. 
Veja o exemplo a seguir: 
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser 
pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 
10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo. 
Teremos que a taxa nominal será igual a: 
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 =
 25% 
Portanto in = 25% 
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem: 
 (1 + in) = (1+r). (1 + j) 
 (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10) 
1,25 = (1 + r).1,10 
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64% 
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: (1 + 
0,25) = (1 + r).(1 + 0,30) 
1,25 = (1 + r).1,30 
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615 
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa! 
Valor Presente e Valor Futur 
Deve ser acrescentado ao estudo dos juros compostos que o capital é também chamado de valor 
presente (PV) e que este não se refere necessariamente ao momento zero. Em verdade, o valor 
presente pode ser apurado em qualquer data anterior ao montante também chamado de valor 
futuro (FV). 
As fórmulas do valor presente (PV) e do valor futuro (FV) são iguais já vistas anteriormente, basta 
trocarmos seus correspondentes nas referidas fórmulas, assim temos: 
 
ou 
 
 
Onde (1 + i) n é chamado de fator de capitalização do capital, FCC (i,n) a juros compostos, e 1 / 
(1 + i) n é chamado de fator de atualização do capital, FAC (i,n) a juros compostos. 
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se 
processa mediante a aplicação destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustração 
abaixo: 
Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxa 
de juros i. Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer do curso. É 
conveniente registrar que existe a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro 
recebido) e seta para baixo, sinal negativo (dinheiro pago). Esta convenção é muito importante, 
inclusive quando se usa a calculadora HP 12C. Normalmente, ao entrar com o valor presente VP 
numa calculadora financeira, o fazemos seguindo esta convenção, mudando o sinal da quantia 
considerada como PV para negativo, usando a tecla CHS, que significa uma abreviação de 
"change signal", ou seja, "mudar o sinal". É conveniente ressaltar que se entrarmos com o PV 
positivo, a calculadora expressará o FV como um valor negativo e vice versa, já que as 
calculadoras financeiras, e aí se inclui a HP 12C, foram projetadas, 
M = C x (1 + i ) n ou FV= PV (1 + i ) 
n
 
PV = FV x FAC ( i , n ) 
FV PV 
 
FV PV 
FV = PV x FCC ( i , n ) 
PV = FV 
(1 + i ) 
n
 
C = M 
(1 + i ) n 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para 
VP e em conseqüência, sinal positivo para FV. Veremos com detalhes este aspecto, no 
desenvolvimento do curso. 
Exemplos Práticos: 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazode 8 meses à 
taxa de juros composta de 3,5% a .m.? 
Solução: 
PV = R$ 12.000,00 
n = 8 meses 
i = 3,5 % a . 
m. FV = ? 
FV= PV (1 + i) n FV= 12.000,00 (1+0,035)8 
FV= 12.000,00 X 1,316 FV= R$ 15.801,71 
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje 
numa poupança que rende 1.7% de juros compostos ao mês? 
Solução: 
FV = R$ 27.500,00 
n = 1 ano (12 
meses) i = 1.7% a 
. m. 
PV = ? 
PV = FV.PV = 27.500,00.PV = 27.500,00 (1 + i) n(1 + 0,017) 12 1,224 
PV = 22.463,70 
Exercícios Propostos 03: 
Aplicando-se R$ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será o 
montante no fim do período? 
Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 04: 
Um capital de R$ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. 
Quais os juros gerados no período? 
Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 05: 
Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 meses, rende uma quantia de juros 
igual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação? 
Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 06: 
Calcule o montante de R$1.000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias. 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Resposta: R$ (?) 
Equivalência Financeira 
Diz-se que dois capitais são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se os seus valores 
em um determinado período n, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. 
Exemplo 01: 
1º Conjunto 2º Conjunto 
Capital (R$) Vencimento Capital (R$) Vencimento 
1.100,00 1 º a.a 2.200,00 1 º a.a 
2.420,00 2 º a.a 1.210,00 2 º a.a 
1.996,50 3 º a.a 665,5 3 º a.a 
732,05 4 º a.a 2.196,15 4 º a.a 
 
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de 
juros de 10% a.a. 
Para o 1.º conjunto: 
P0 = 1.100 x FAC (10%; 1) + 2.420 x FAC (10%; 2) + 
+ 1.996,50 x FAC (10%; 3) + 732,05 x FAC (10%; 4) 
P0 = 1.000 + 2.000 + 1.500 + 500 
P0 = 5.000,00 
Para o 2.º conjunto: 
P0 = 2.200 x FAC (10%; 1) + 1.210 x FAC (10%; 2) + 
+ 665,50 x FAC (10%; 3) + 2.196,15 x FAC (10%; 4) 
P0 = 2.000 + 1.000 + 500 + 1.500 
P0 = 5.000,00 
Logo os dois conjuntos de capitais são equivalentes, pois P0 de um é igual ao P0 de 
outro. 
Exemplo 02 : 
Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% 
a.m ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são 
equivalentes: 
Solução: 
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos teremos: 
J1 = R$ 10.000,00 x 0,02 x 24 = R$ 4.800,00 
Agora se aplicarmos o principal à taxa de 24% a.a. e pelo prazo de 2 anos teremos: 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
11 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
J2 = R$ 10.000,00 x 24 x 2 = R$ 4.800,00 
OBS: Na utilização das fórmulas o prazo de aplicação (n) e a taxa (i) devem estar expressos na 
mesma unidade de tempo. Caso não estejam, é necessário ajustar o prazo ou a taxa. 
Descontos Simples 
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto 
comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na 
prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a 
seguir. 
• Desconto Racional: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título 
antes de seu vencimento é calculada sobre o valor a ser liberado (Valor Atual).Incorpora os 
conceitos e relações básicas de juros simples. Veja”: 
J = P . i . n => D = VD . d . n 
• Desconto Comercial: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título 
antes de seu vencimento é calculada sobre o Valor Nominal do título. Incorpora os conceitos de 
juros bancários que veremos detalhadamente a seguir”: 
J = P . i . n => D = VN . d . n 
Vamos considerar a seguinte simbologia: 
N = valor nominal de um título. V = valor líquido, após o desconto. 
Dc = desconto comercial. d = taxa de descontos 
simples. n = número de períodos. 
Teremos: 
V = N - Dc 
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. 
Logo: 
Dc = Ndn 
Substituindo, 
vem: V = N(1 - 
dn) 
Exemplo: 
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser 
concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de 
desconto de 5% a.m. 
Solução: 
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500 
Dc = 10000 - 8500 = 1500 
Resp: valor descontado = R$ 8.500,00; desconto = R$1.500,00 
Desconto Bancário 
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as 
despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - 
imposto sobre operações financeiras. 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
12 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, 
através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de 
menor valor para o proprietário do título. 
Exemplo: 
Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de 
desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como 
despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário 
do título e a taxa de juros efetiva da operação 
Solução: 
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,05 . 6 = 30000 
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000 
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750 
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750 
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250 
Logo, V = R$ 67.250,00 
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m. 
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é 
amplamente favorável ao banco. 
Duplicatas 
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata: Título de crédito 
formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da 
fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), 
destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e 
sujeito à disciplina do direito cambiário. 
Observação: 
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco 
Central. 
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura. 
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela 
dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como 
duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as 
instituições bancárias. 
Exemplo: 
Uma empresa oferece uma duplicata de R$ 50000,00 com vencimento para 90 dias, a um 
determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, 
além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor 
líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação. 
Solução: 
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000 
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000 
IOF = 50000(0,015/360).[90] = 187,50 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
13 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Teremos então: 
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50 
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60% a.m. 
Resp: V = R$ 42812,50 e i = 5,60 % a.m. 
Exercícios Propostos 07: 
Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-seque a 
taxa de juros é de 3% a.m., pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado. 
Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 08: 
Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 
12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, 
a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas 
condições, para uma duplicata de valor nominal R$ 50000,00 que vai ser descontada 3 meses 
antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação. Resposta: R$ (?) 
Fluxo de Caixa 
Conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um diagrama de fluxo de 
caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores monetários 
envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros i. 
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os 
valores monetários, considerando-se a seguinte convenção: 
• dinheiro recebido seta para cima 
• dinheiro pago seta para baixo. 
Exemplo: 
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: 
 
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial 
de 800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no 
segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano. 
Convenção: dinheiro recebido flecha para cima valor positivo 
dinheiro pago flecha para baixo valor negativo 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
14 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais 
referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV). 
 
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. 
Neste caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Pela fórmula de Valor Presente vista 
acima, concluímos que o valor presente resultante - NPV - do fluxo de caixa, também conhecido 
como Valor Presente Líquido (VPL), dado será: 
 
Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos 
exercícios a seguir. 
Exercícios: 
1 - Numa loja de veículos usados são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um 
carro: 
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no 
final do décimo segundo mês. 
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do 
segundo mês. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento? 
Solução: 
Inicialmente, devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes: 
Plano A: 
 
 
Plano B: 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
15 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Teremos para o plano A: 
 
Para o plano B, teremos: 
 
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que este 
plano A é mais atraente do ponto de vista do consumidor. 
Exercício: 
1 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 
17.000,00 mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira 
 
um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de 
atratividade é de 5% a.m.? 
Solução: 
Vamos desenhar os fluxos de caixa: 
À vista: 
 
A prazo: 
 
 
Vamos calcular o valor atual para esta alternativa: 
 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
16 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso é a melhor 
alternativa, do ponto de vista do consumidor. 
Exercício: 
1 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o 
seguinte plano: 
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, 
vencíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado, 
calcule o valor da última parcela. 
Solução 
 
Teremos: 
 
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00 
Portanto, o valor da prestação é $19013,00. 
Exercício Proposto 09: 
Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: R$ 400,00 de entrada, 
mais duas parcelas mensais de R$ 400,00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor 
à vista do televisor se a taxa de juros mensal é de 3% ? 
Resposta: R$ (?) 
Noção Elementar de Inflação e Saldo Médio Bancário 
Outro conceito importante no estudo da Matemática Financeira é o de inflação. 
Entenderemos como INFLAÇÃO num determinado período de tempo, como sendo o aumento 
médio de preços, ocorrido no período considerado, usualmente medido por um índice expresso 
como uma taxa percentual relativa a este mesmo período. 
Para ilustrar uma forma simples o conceito elementar de inflação apresentamos acima, vamos 
considerar a tabela abaixo, onde está indicado o consumo médio mensal de uma determinada família 
em dois meses distintos e os custos decorrentes associados: 
Indicadores Mês 01 Mês 02 
Produto Quantidade Preço ($) Subtotal Preço ($) Subtotal 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
17 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Arroz 5 kg 1,20 6,00 1,30 6,50 
Carne 15 kg 4,50 67,50 4,80 72,00 
Feijão 4 kg 1,69 6,76 1,80 7,20 
Óleo 2 latas 2,40 4,80 2,45 4,90 
Leite 20 litros 1,00 20,00 1,10 22,00 
Café 1 kg 7,60 7,60 8,00 8,00 
Açúcar 10 kg 0,50 5,00 0,65 6,50 
Passagens 120 0,65 78,00 0,75 90,00 
TOTAL ********** 195,66 ********** 217,10 
A variação percentual do preço total desta cesta de produtos, no período considerado é igual a: 
V = [(217,10 / 195,66) - 1] x 100 = 0,1096 = 10,96 % 
Diremos então que a inflação no período foi igual a 10,96 %. 
Notas: 
a) Para o cálculo de índices reais de inflação, o número de itens considerado é bastante superior 
e são obtidos através de levantamento de dados em determinadas amostras da população, para 
se determinar através de métodos estatísticos, a "cesta de mercado", que subsidiará os cálculos; 
b) A metodologia sugerida no exemplo acima é conhecida como método de Laspeyres ; 
c) Podemos entender agora os motivos que determinam as diferenças entre os índices de inflação 
calculados entre instituições distintas tais como FIPE, FGV, DIEESE, entre outras. 
Juros e saldo médio em contas correntes 
Vamos considerar o caso de uma conta corrente, da qual o cliente saca e deposita recursos ao 
longo do tempo. Vamos ver nesta seção, a metodologia de cálculo do saldo médio e dos juros 
mensais decorrentes da movimentação dessa conta. 
As contas correntes associadas aos "cheques especiais" são exemplos corriqueiros da aplicação 
prática da metodologia a ser apresentada. 
Juros em contas correntes (cheques especiais) 
Considere os capitais C1, C2, C3, ... , Ck aplicados pelos prazos n1, n2, n3, ... , nk, à taxa de juros 
simples i. A fórmula abaixo, permite o cálculo dos juros totais J produzidos no período 
considerado: 
J = i.(C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ... + Ck.nk) 
O cálculo dos juros pelo método acima (conhecido como "Método Hamburguês") é utilizado para a 
determinação dos juros sobre os saldos devedores dos "cheques especiais". 
Serie de Pagamentos 
Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn, 
distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses pagamentos 
serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos (ou 
recebimentos) ao longo dos n períodos, constitui - se num fluxo de caixa. Vamos resolver a 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
18 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
seguir, os problemas nos quais R1 = R2 = R3 = ... Rn = R, ou seja: pagamentos (ou recebimentos)iguais. 
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia um período após a data 
zero, o fluxo recebe o nome de POSTECIPADO. Quando o início dos pagamentos ou 
recebimentos ocorre na data zero, o fluxo recebe o nome de ANTECIPADO. 
Exemplos: 
1 - Pagamentos no início dos períodos: Fluxo ANTECIPADO 
 
 
2 - Pagamentos no final dos períodos: Fluxo POSTECIPADO 
Fator de acumulação de capital – FAC 
O problema a resolver é o seguinte: 
Determinar a quantia S acumulada a partir de uma série uniforme de pagamentos iguais a R, sendo i 
a taxa de juros por período 
Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado. 
 
NOTA: na calculadora HP12C, R é expressa pela tecla PMT (pagamentos periódicos). 
Portanto R e PMT possuem o mesmo sentido, ou seja, a mesma interpretação. Da mesma 
forma, S corresponde a FV na calculadora HP 12C. 
A) Fluxo postecipado 
Considere o fluxo de caixa postecipado a seguir, ou seja: os pagamentos são feitos nos finais dos 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
19 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
períodos. 
Vamos transportar cada valor R para o tempo n, supondo que a taxa de juros é igual a i 
, lembrando que se trata de um fluxo de caixa POSTECIPADO, ou seja, os pagamentos são 
realizados no final de cada período. 
Teremos: 
S = R(1+i)n-1 + R(1+i)n-2 + R(1+i)n-3 + ... + R(1+i) + R 
Colocando R em evidencia, teremos: 
S = R[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1] 
Observe que a expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão 
geométrica de primeiro termo (1+i)n-1, último termo 1 e razão 1/(1+i). 
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, teremos: 
Nota: em caso de dúvida, consulte sobre Progressão 
Geométrica (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1 = 
Substituindo o valor encontrado acima, vem finalmente que: 
 
• o fator entre colchetes é denominado Fator de acumulação de capital – FAC(i,n). 
• assim, teremos: S = R . FAC(i,n). Os valores de FAC(i,n) são tabelados. Na prática, utilizam-se 
as calculadoras científicas ou financeiras, ao invés das tabelas. 
Usando-se a simbologia adotada na calculadora HP 12C, onde R = PMT e S = FV, teremos a fórmula 
a seguir: 
 
Fator de valor atual – FVA 
Considere o seguinte problema: 
Determinar o principal P que deve ser aplicado a uma taxa i para que se possa retirar o valor R em 
cada um dos n períodos subseqüentes. 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
20 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Este problema também poderia ser enunciado assim: qual o valor P que financiado à taxa i por 
período, pode ser amortizado em n pagamentos iguais a R? 
Fluxo postecipado (pagamentos ao final de cada período, conforme figura a seguir): 
Trazendo os valores R para o tempo zero, vem: 
O fator entre colchetes representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de 
primeiro termo 1/(1+i), razão 1/(1+i) e último termo 1/(1+i)n. 
Teremos então, usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica. 
O fato r entre colchetes será então igual a: 
 
Substituindo, vem finalmente: 
• o fator entre colchetes é denominado Fator de valor atual – FVA(i,n); 
• assim, teremos: P = R . FVA(i,n). Os valores de FVA(i,n) são tabelados; 
• observe que P corresponde a PV e R corresponde a PMT na calculadora HP 12C. 
Usando a simbologia da calculadora HP 12C, a fórmula acima ficaria: 
 
Sistema De Amortização De Empréstimos 
Sistema De Amortização Constante – (SAC) 
Nesse sistema as parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada 
período multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período. 
• Amortização numa data genérica t 
Os valores são sempre iguais e obtidos por A= P/n onde A1 = A2 = A3 = ... An = A = cte e n = prazo 
total 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
21 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
n 
 A  n.A  P 
Isso implica que a soma das n amortizações iguais seja: 
 
 
 
• Saldo Devedor numa data genérica t 
No sistema SAC o saldo devedor decresce linearmente em um valor igual à amortização A = P/n . 
Assim, o saldo devedor, logo após o pagamento da prestação ( AMORTIZAÇÃO + JUROS ) 
correspondente, será: 
 
Assim, o valor dos juros pagos na referida data será: 
 
ou então: 
 
 
Onde: n = prazo total 
t = o momento desejado 
Somatório dos Juros 
Como a variação de juros no Sistema SAC se trata de uma progressão aritmética, o somatório 
dos juros de um determinado período se faz utilizando a fórmula do somatório dos n termos de 
uma P.A. 
Com isso: 
 
Prestação Numa Data Genérica T 
Soma-se a amortização do momento desejado (que é constante em todos os momentos) como 
os juros referentes a este momento. 
R1 A + J1 
Jt = Ai (n – t + 1) 
Jt = Pi – (t – 1).Ai 
t = 1 
1 t 
2 
 
( J  J )t 
  J = 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
22 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
R2 A + J2 
R3 A + J3 
Rt A + Jt 
 
Assim , o pagamento de um financiamento pelo sistema SAC, num prazo de n períodos e à 
uma taxa i por período seria como o diagrama e a tabela abaixo: 
 
DATA S aldo Devedor Juros Amortização P res tação 
T P t = P t- 1 - A Jt = P t- 1 . i At = A = P / n Rt = A + Jt 
0 P 0 = P - - - 
1 P 1 = P – A J1 = P . i A1 = A R1 = A + J1 
2 P 2 = P 1 – A J2 = P 1 . i A2 = A R2 = A + J2 
3 P 3 = P 2 – A J3 = P 2 . i A3 = A R3 = A + J3 
4 P t = P t- 1 – A Jt = P t- 1 . i At = A R4 = A + J4 
n P n = P n- 1 – A Jn = P n- 1 . i An = A Rn = A + Jn 
Orde m de 
Obte nção 
das Parc e 
las 
 
2.º 
 
3.º 
 
1.º 
 
4.º 
Vejamos agora um exemplo numérico: 
P = $ 1.000,00 
n = 4 
prestações i 
= 2% a.p. 
t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação 
0 1.000,00 - - - 
1 750,00 250,00 20,00 270,00 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
23 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
2 500,00 250,00 15,00 265,00 
3 250,00 250,00 10.00 260,00 
4 0,00 250,00 5,00 255,00 
 
Sistema De Prestações Constantes - (PRICE) 
Prestação Numa Data Genérica T 
No sistema PRICE a prestação é constante e em qualquer data t o seu valor é dado por: 
 
Rt = R1 = R2 = ... = Rn = cte. 
Rt = R = P x FPR(i,n) = constante 
Juros Numa Data Genérica T 
Os juros de um determinado período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior. 
 
Ou Jt = Rt - At Rt = R = cte. 
Jt = R - At 
Ou Jt = R - At = R - A1(1 + i)t-1 A1 = R – J1 
= R – P.i 
Assim: Jt = R – ( R – P.i ) ( 1 + i )t-1 
Amortização numa data genérica t 
No sistema PRICE o crescimento das amortizações é exponencial ao longo do tempo. 
Dado que At=R – Jt e J= P.i, então: 
DATA 1 – final do 1.º período 
Juros = J1 = P.i 
Amortização = A1 = R – J1 = ( R - P.i) 
DATA 2 – final do 2.º período 
Juros = J2 = P1.i = [ P (1 + i) – R ].i = [ P (1 + i).i – R.i ] 
Amortização = A2 = R – J2 = R - P.( 1 + i).i + R = R.(1 + i ) – P.(1 + i).i 
= (R – P.i) . (1 + i) = A2 = A1 (1 + i) 
DATA 3 – final do 3.º período 
Juros = J3 = P2.i = P.i – A1.i – A1 (1 + i).i 
Amortização = A3 = R – J3 = R - [P.i – A1.i - A1 (1 + i).i] A3 
= (R - P.i) + A1.i + A1 (1 + i).i 
Jt = i . Pt-1 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
24 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
= A1 + A1.i + A1 (1 + i).i 
= A1 (1 + i) + A1 (1 + i).i 
= A1 (1 + i).(1 + i) 
A3 = A1 (1 + i)2 
Então teríamos: 
A2 = A1 ( 1 + i ) A3 = A1 ( 1 + i )2 A4 = 
A1 ( 1 + i )3 
... ..... ... An 
= A1 ( 1 + i )n-1 
O que comprovaria a expressão: 
At = A1.(1 + i)t-1 ; para uma data genérica t ou At = A1. FPS(i%, ( t - 1)) 
Para testar a consistência da fórmula acima: 
A1 = 22.192 t = 3 
i = 8% a.a. A3 = ? 
At = A1.(1 + i)t-1 A3 = 22.192.(1 + 0,08)2 A3 
=22.192 x 1,1664 = 25.884,75 
Ou 
At = A1 x FPS [ i , (t-1) ] pois (1 + i)t-1 = FPS [ i , (t-1) ] desse modo, no exemplo 
anterior teríamos: 
A3 = 22.192 x FPS( 8%,2) = 22.192 x 1,1664 = 25.884,75 
Saldo Devedor numa data genérica t 
O Saldo devedor de um determinado período é dado pela diferença entre o saldo devedor do 
período anterior e a amortização do período. 
 
Assim para um empréstimo P ;a taxa de juros i por período com um prazo de N períodos ; 
poderíamos elaborar seguinte 
 
 
Pt = Pt-1 – At Pt = R x FRP [i%, ( n – t )] 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
25 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Datas 
Saldo Devedor Juros P res taçõ es 
Cons tantes 
Amortização 
(t ) P t = P t- 1 - At Jt = P t- 1 . i Rt = R At = R – Jt 
0 P o = P - - - 
1 P 1 = P – A1 J1 = P .i R A1 = R – J1 
2 P 2 = P 1 – A2 J2 = P 1.i R A2 = R – J2 
3 P 3 = P 2 – A3 J3 = P 2.i R A3 = R – J3 
T P t = P t- 1 – At Jt = P t- 1.i R At = R – Jt 
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
N P n = P n- 1 – An Jn = P n- 1.i R An = R – Jn 
 
TOTAIS 
 n 
 J t n.R 
 P 
1 
R n.R t n 
A t P 
t 1 
Ordem de 
obtenção 
de 
parcelas 
 
4.º 
 
2 .º 
 
1.º 
 
3 .º 
Vejamos agora um exemplo numérico: 
P = 1.000,00 
i = 2% a.p. 
n = 4 prestações 
t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação 
0 1.000,00 - - - 
1 757,38 242,62 20,00 262,62 
2 509,91 247,47 15,15 262,62 
3 257,49 252,42 10,20 262,62 
4 - 257,49 5,15 262,62 
 
Um financiamento pelo Sistema Price pode ser calculado utilizando-se máquinas financeiras, pois 
suas prestações são constantes. 
Sistema De Amortização Mista – (SAM) 
Aqui o valor da prestação é obtido através da média aritmética das prestações obtido através do 
sistema PRICE e SAC. 
 JUROS SIMPLES E COMPOSTO 
 
 
26 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Ex.: 
P = 1.000,00 i = 8 % a.a. n = 4 anos 
S IS T. P RICE 
ANO 
S A LDO 
DEVEDOR 
Juros P res tação Amotização S aldo Final 
 1.000,00 
1 1.000,00 80,00 301,92 221,92 778,08 
2 778.08 62,25 301,92 239,67 538,41 
3 538,41 43,07 301,92 258,85 279,56 
4 270,56 22,36 301,92 279,56 
 
S IS T. SAC 
ANO 
S A LDO 
DEVEDOR 
Juro s P res tação Amotização S aldo Final 
 1.000,00 
1 100,00 80,00 330,00 250,00 750,00 
2 750,00 60,00 310,00 250,00 500,00 
3 500,00 40,00 290,00 250,00 250,00 
4 250,00 20,00 270,00 250,00 
S IST. SAM 
Ano P res t . P RICE P REST. SAC S OMA P REST. S AM 
1 301,92 330,00 631,92 315,96 
2 301,92 310,00 611,92 305,96 
3 301,92 290,00 591,92 295,96 
4 301,92 270,00 571,92 285,96 
 
Essa modalidade de pagamento é conhecida como Sistema de Amortização Mista 
(SAM) e vem sendo utilizada na liquidação de financiamento imobiliário. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 CALCULAR DESCONTO DE DUPLICATA 
 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Calcular Desconto de Duplicata 
Como calcular desconto de duplicata 
O desconto de duplicata é uma prática comum no sistema financeiro, mas você sabe como calcular 
desconto de duplicata? Também conhecido como antecipação de recebíveis, trata-se de uma forma 
de captar recursos para o caixa da empresa, ação que requer bastante cautela. 
Para começar, é importante saber para que serve e o que significa o termo “duplicata”. 
Trata-se de um título de crédito. Basicamente, a duplicata funciona como um instrumento que prova o 
contrato de compra e venda ou da prestação de algum serviço. Para definir o desconto de uma 
duplicata, é necessário que a empresa ceda ao agente financeiro o direito pelo crédito de seus 
recebíveis. Cabe então ao banco antecipar o recurso cobrando juros referentes ao período de 
vencimento do documento. 
Para fazer o cálculo do desconto de duplicatas, você precisa ter em mãos o valor nominal ou de face, 
o prazo do vencimento em dias e a taxa mensal de desconto. Desse modo, você terá um resultado 
que apresentará o total de juros e o valor atual ou de resgate. 
As operações de desconto bancário, uma das formas mais tradicionais de financiamento do capital de 
giro das empresas, incorporam, além da taxa de desconto paga a vista, certas características de 
tributação (IOF – IMPOSTO SOBRE OPERAÇÕES FINANCEIRAS ) e de despesas bancárias que 
impõe um maior rigor na determinação de seus resultados 
Exemplo de como calcular desconto de duplicata simples “SEM” cobrança de IOF 
Você realiza a venda de um equipamento para um dos seus clientes por uma valor de R$ 50.000,00 
com um prazo de pagamento de 90 dias (3 meses). No momento você precisa de dinheiro para 
fechar uma outra negociação e então decide descontar a duplicata em um Banco que cobra uma taxa 
de 3,5% ao mês para antecipar este recebível. 
Formula para Desconto de Duplicata Simples 
 
Você vai receber no ato do desconto R$ 44.750,00 e o Banco passa a ser detentor dos direitos do 
título de R$ 50.000 que vai receber dentro de 90 dias do seu cliente e ficar com 5.250,00 ao termino 
de toda a operação. 
Exemplo de como calcular desconto de duplicata simples “COM” cobrança de IOF 
IOF: 0,0041% ou 0,000041 ao dia sobre o valor do principal. 
Principal = Valor da duplicata menos Valor do desconto. No exemplo acima, Principal = 50.000,00 – 
5.250,00 = 44.750,00 
IOF = 44.750,00 x 0,000041 x 30 (dias) = R$ 55,04 
IOF adicional: 0,38% ou 0,0038 sobre o valor do principal, independente de prazo. 
IOF adicional = 44.750,00 x 0,0038 = R$ 170,05 
 CALCULAR DESCONTO DE DUPLICATA 
 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Exitem outros custos como: 
Tarifa de borderô: um valor único por operação de acordo com a tabela do banco. Ex = 100,00 
Vamos calcular o valor final liquido recebido pela sua empresa 
VL = VN – DB – IOF diário – IOF adicional – Tarifa de Borderô 
VL = 50.000,00 – 5.250,00 – 55,04 – 170,05 – 100,00 
VL = R$ 44.424,91 
Este é o valor liquido que a empresa terá para colocar no seu caixa após o desconto da duplicata 
Desconto em Matemática Financeira 
No mercado financeiro, quando dois agentes econômicos estabelecem um acordo através de um 
título de crédito é necessário que esse documento contenha todas as informações correspondentes a 
essa operação financeira. São esses títulos que serão aplicados dentro das operações que envolvem 
o desconto. 
Assim, todo título de crédito deve ter um valor e uma data de vencimento correspondente. Caso o 
devedor pague ou resgate esse título, antes do vencimento, haverá uma redução do valor a ser pago. 
Essa redução ou abatimento é chamada de desconto. Como exemplo temos as notas promissórias, a 
duplicata e a letra de câmbio. O desconto é dado pela diferença entre o valor nominal (N) e o valor 
líquido (V) pago ao detentor do título. A fórmula utilizada é: 
D = N - V 
Dentro do desconto são utilizados os seguintes conceitos: 
• Valor Nominal, Valor Futuro, Valor de Resgate ou Valor de Face - valor a ser pago até o 
vencimento. 
• Valor Descontado ou Valor Atual - É o pagamento feito antes do vencimento. 
• Tempo - prazo entre o dia da negociação do título e o dia do vencimento. 
Cabe ao credor ou ao devedor escolher qual a melhor forma de desconto que se adaptará as suas 
necessidades. Para isso, existem dois tipos de descontos que podem ser utilizados para a realização 
dos cálculos financeiros: Desconto Racional Simples (Desconto por Dentro) e Desconto Comercial 
Simples (Desconto por Fora). 
Desconto Simples 
Desconto Racional Simples 
O Desconto Racional Simples, também conhecido como Desconto por Dentro é calculado reduzindo 
o valor nominal do valor atual de um título, emdeterminado período. 
Dr = N x i x n 
 1+ i x n 
Desconto Comercial Simples 
No Desconto Comercial também conhecido como Desconto Bancário ou Desconto por Fora, o valor 
do desconto é gerado pelo valor nominal do título multiplicado ao período de tempo (até o vencimento 
do título) e taxa estabelecida. Esse tipo de desconto é dado pela seguinte fórmula, sendo 'd' a taxa 
por fora, 'n' o prazo e 'N' valor nominal do título: 
Dc = N x d x n 
 CALCULAR DESCONTO DE DUPLICATA 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Desconto Composto 
Para o cálculo do desconto composto, os bancos utilizam como base o sistema de capitalização 
composta, convertendo a taxa de juros à taxa de desconto composto. Assim, nessa modalidade, é 
possível utilizar o Desconto Racional (ou financeiro) que é o mais utilizado no Brasil. 
Desconto Racional Composto 
O Desconto Racional Composto, também chamado de Desconto Financeiro, é dado pela 
multiplicação entre o valor nominal e a taxa de juros composta antecipada. Utiliza-se a seguinte 
fórmula: 
Df = N [ (1+i)n/h -1] 
 (1+i)n/h 
Df = Valor do desconto financeiro 
i = taxa de juros do valor a ser descontado 
n = prazo até o dia do desconto 
h = período a que a taxa se refere; se utiliza 30, quando a taxa for mensal e 360 quando for anual. 
O termo que está dentro dos colchetes é chamado de taxa de juros composta, pois é aplicado sobre o 
valor nominal do título. A taxa de juros composta, é mais conhecida por fator de desconto, no sistema 
financeiro nacional. Os bancos são responsáveis por calcular todos os dias do ano com base na taxa 
de juros. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 Taxa de Juros 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Taxa de Juros 
Conceito de Taxa de juros 
A taxa de juros é um índice utilizado em economia e finanças para registrar a rentabilidade de uma 
poupança ou o custo de um crédito. Chama-se taxa de juros aos diferentes tipos de índice que se 
empregam na medida de rentabilidade das poupanças ou que se incorporam ao valor de um crédito. 
 
A taxa de juros é uma relação entre dinheiro e o tempo dado que podem beneficiar a um poupador 
que decide investir seu dinheiro em um fundo bancário, ou seja, que se soma ao custo final de uma 
pessoa ou entidade que decide obter um empréstimo ou crédito. A taxa de juros é calculada em 
porcentagem e com frequência aplica-se de forma mensal ou anual. Isto é, que os juros permitem que 
uma pessoa que quer gerar rendimentos a partir de suas poupanças, coloque suas rendas em uma 
conta no banco, e este lhe dará um ganho mensal estipulado de acordo com a quantidade de dinheiro 
investida e o tempo durante o qual se comprometa a deixar esse montante num prazo fixo, por 
exemplo. Por outro lado, se uma empresa ou indivíduo tem a necessidade ou desejo de obter 
dinheiro por empréstimo, o prestamista aplicará uma taxa de juros sobre o dinheiro emprestado que 
dependerá do tempo em que se compromete em devolver e da quantidade de efetivo que se estenda 
ao interessado. 
 
Existem dois tipos de indicadores que permitem medir a taxa de juros. A taxa de juros nominal ou 
TIN, que é a porcentagem aplicada na hora de realizar o pagamento dos juros. E a taxa anual 
equivalente ou TAE, que mede qual é o ganho ao final de um dado ano, de forma padrão. 
 
A taxa de juros é aplicada em todos os tipos de operações financeiras e são uns dos valores mais 
considerados na hora de realizar transações econômicas a curto, médio e longo prazo. 
 
O que é a taxa de juros reais. E o que ela diz sobre a economia do Brasil 
 
O rendimento de um investimento ou o custo de um empréstimo é avaliado com mais clareza quando 
se desconta a inflação. Mas há mais de uma maneira de se projetar a taxa real 
 
O Banco Central reduziu no dia 6 de dezembro a taxa básica de juros da economia brasileira em 0,5 
ponto percentual. A Selic foi assim para 7% ao ano, o menor valor nominal da história. A inflação no 
país também está sob controle. O IPCA, índice oficial, está em 2,8% no acumulado dos últimos doze 
meses. Isso é menos do que o piso da meta de inflação, que é de 3% ao ano. As duas notícias têm 
relação entre si, entre outras coisas, porque uma boa avaliação sobre quão alta é a taxa de juros 
depende de quanto dela será corroído pelo aumento de preços. Juro é o que se cobra quando se 
empresta dinheiro, é o rendimento de uma quantia durante um período do tempo. 
A inflação é o processo de aumento de preços em uma economia. Ou, olhando por outro lado, é a 
desvalorização do dinheiro ao longo do tempo. Juros e inflação têm efeitos parecidos sobre o 
dinheiro, mas com sentidos opostos: o primeiro é rendimento, o segundo desvalorização. 
É por isso que é fundamental considerar a inflação na hora de avaliar uma taxa de juros. Contabilizar 
quanto do rendimento a inflação vai corroer. A taxa de juros real é o rendimento do dinheiro 
descontada a inflação do período. Ou seja, a taxa real é o que o investidor ganha menos o valor que 
o dinheiro perde. 
Como se Mede a Taxa Real 
O conceito de juro real é simples: juros menos inflação. Para saber qual o verdadeiro rendimento de 
um investimento, ou o verdadeiro custo de um empréstimo, é preciso descontar a desvalorização do 
dinheiro. 
Como grande parte das taxas da economia, os juros reais costumam ser medidos durante o período 
de um ano. Mas há duas maneiras de se medir a taxa real: os doze meses anteriores ou os doze 
meses futuros. Há a taxa de juros real do passado e a do futuro, chamadas na economia de ex-post e 
ex-ante. E as duas são importantes. Nos dois casos a ideia é a mesma: tirar dos juros a parcela que a 
inflação vai corroer do dinheiro. Quando a inflação cai mais rápido que os juros, a taxa real ex-post 
costuma aumentar, enquanto a ex-ante tende a diminuir. Isso porque, apesar de aumentar a 
 Taxa de Juros 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
diferença entre preços e juros no presente, a expectativa passa a ser de uma Selic também menor no 
futuro - já que ela é usada para controlar os preços. 
Taxa do Passado 
O cálculo da taxa ex-post, do passado, leva em conta a inflação e a Selic do período. O IPCA usado 
na conta é o acumulado no período, divulgado pelo IBGE. A Selic,porém, não é a atualmente 
vigente, mas uma média do período. A conta fica mais complexa quando há muitas mudanças na 
taxa. JUROS MENOS INFLAÇÃO No caso dos últimos doze meses, por exemplo, é preciso levar em 
conta todas as oito taxas diferentes, além do período de vigência de cada uma, para se chegar à taxa 
média de juros. A taxa real nos últimos doze meses, entre dezembro de 2016 e novembro de 2017, 
ficou na casa dos 8%. 
Taxa do Futuro 
Um investimento com hipotéticos 10% de retorno ao ano pode ser bom ou ruim dependendo dos juros 
básicos e da inflação. Ele será mais atrativo se for maior que a taxa Selic - retorno dado a 
investimentos com baixo risco - e se a inflação for baixa. Para quem faz um investimento ou 
financiamento, é melhor olhar a taxa ex-ante. Ela não é um retrato da realidade como a passada, mas 
é mais segura sobre o que pode acontecer nos meses seguintes - apesar de continuar sendo apenas 
uma previsão. Enquanto a taxa do passado é baseada em números reais, que já aconteceram, a ex-
ante é calculada com base em expectativas. Economistas e investidores fazem, constantemente, 
projeções de inflação e taxa de juros para um determinado período. São essas projeções que dão 
aos agentes um parâmetro sobre a viabilidade e o retorno de cada investimento. Essas projeções são 
sistematizadas e, em conjunto, elas formam índices. 
A projeção média da inflação, por exemplo, é publicada pelo Banco Central semanalmente no 
relatório Focus. Para os juros a aferição é ainda mais precisa. As projeções de juros são formadas em 
negociações no mercado. Existem papéis que prometem pagar uma taxa próxima da Selic dentro de 
um ano. Os investidores, para se protegerem ou para investirem, compram esses papéis. O preço 
médio das negociações, o acordo entre o comprador e o vendedor, dá a projeção do mercado para os 
juros dentro de um ano. A taxa ex-ante no Brasil caiu bastante nos últimos meses graças à 
expectativa, que se concretizou, de sucessivos cortes na Selic. Mesmo assim, segundo ranking 
divulgado pelas consultorias MoneYou e Infinity Asset Management, o país segue com a terceira taxa 
real mais alta do mundo. 
Definição de Taxa de Juros 
Uma taxa de juros, ou taxa de crescimento do capital, é a taxa de lucratividade recebida num 
investimento. De uma forma geral, é apresentada em bases anuais, podendo também ser utilizada 
em bases semestrais, trimestrais, mensais ou diárias, e representa o percentual de ganho realizado 
na aplicação do capital em algum empreendimento. 
Por exemplo, uma taxa de juros de 20% ao ano indica que para cada unidade monetária aplicada, um 
adicional de R$ 0,20 deve ser retornado após um ano, como remuneração pelo uso daquele capital. 
A taxa de juros, simbolicamente representada pela letra i, pode ser também apresentada sob a forma 
unitária, ou seja, 0,20, que significa que para cada unidade de capital são pagos doze centésimos de 
unidades de juros. Esta é a forma utilizada em todas as expressões de cálculo. 
A taxa de juros também pode ser definida como a razão entre os juros, cobrável ou pagável, no fim 
de um período de tempo e o dinheiro devido no início do período. Usualmente, utiliza-se o conceito de 
taxa de juros quando se paga por um empréstimo, e taxa de retorno quando se recebe pelo capital 
emprestado. 
Portanto, pode-se definir o juro como o preço pago pela utilização temporária do capital alheio, ou 
seja, é o aluguel pago pela obtenção de um dinheiro emprestado ou, mais amplamente, é o retorno 
obtido pelo investimento produtivo do capital. 
Genericamente, todas as formas de remuneração do capital, sejam elas lucros, dividendos ou 
quaisquer outras, podem ser considerados como um juro. 
 Taxa de Juros 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Quando uma Instituição Financeira decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma expectativa 
de retorno do capital emprestado acrescido de uma parcela de juro. Além disso, deve-se considerar 
embutido na taxa de juros os seguintes fatores: 
Risco - grau de incerteza de pagamento da dívida, de acordo, por exemplo, com os antecedentes do 
cliente e sua saúde financeira; 
Custos Administrativos - custos correspondentes aos levantamentos cadastrais, pessoal, 
administração e outros; 
Lucro - parte compensatória pela não aplicação do capital em outras oportunidades do mercado, 
podendo, ainda, ser definido como o ganho líquido efetivo; 
Expectativas Inflacionárias - em economias estáveis, com inflação anual baixa, é a parte que atua 
como proteção para as possíveis perdas do poder aquisitivo da moeda. 
O Valor do Dinheiro no Tempo 
O conceito do valor do dinheiro no tempo surge da relação entre juro e tempo, porque o dinheiro pode 
ser remunerado por certa taxa de juros num investimento, por um período de tempo, sendo 
importante o reconhecimento de que uma unidade monetária recebida no futuro não tem o mesmo 
valor que uma unidade monetária disponível no presente. 
Para que este conceito possa ser compreendido, torna-se necessário a eliminação da idéia de 
inflação. Para isso, supõe-se que a inflação tecnicamente atinge todos os preços da mesma forma, 
sendo, portanto, anulada no período considerado. 
Assim, um dólar hoje vale mais que um dólar amanhã. Analogamente, um real hoje tem mais valor do 
que um real no futuro, independentemente da inflação apurada no período. 
Esta assertiva decorre de existir no presente a oportunidade de investimento deste dólar ou real pelo 
prazo de, por exemplo, 2 anos, que renderá ao final deste período um juro, tendo, 
consequentemente, maior valor que este mesmo dólar ou real recebido daqui a 2 anos. 
Conclui-se, pelo fato do dinheiro ter um valor no tempo, que a mesma quantia em real ou dólares, em 
diferentes épocas, tem outro valor, tão maior quanto à taxa de juros exceda zero. Por outro lado, 
pode-se dizer que este dinheiro varia no tempo em razão do poder de compra de um real ou dólar ao 
longo dos anos, dependendo da inflação da economia, como será visto adiante. 
Diagrama dos Fluxos de Caixa 
Para identificação e melhor visualização dos efeitos financeiros das alternativas de investimento, ou 
seja, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma representação gráfica 
denominada Diagrama dos Fluxos de Caixa. 
Este diagrama é traçado a partir de um eixo horizontal que indica a escala dos períodos de tempo. O 
número de períodos considerado no diagrama é definido como o horizonte de 
planejamento correspondente à alternativa analisada. Cabe ressaltar que é muito importante a 
identificação do ponto de vista que está sendo traçado o diagrama de fluxos de caixa. Um diagrama 
sob a ótica de uma Instituição Financeira que concede um empréstimo, por exemplo, é diferente do 
diagrama sob a ótica do indivíduo beneficiado por tal transação. 
A figura abaixo mostra um exemplo de um diagrama genérico de um fluxo de caixa. 
Convencionou-se que os vetores orientados para cima representam os valores positivos de caixa, ou 
seja, os benefícios, recebimentos ou receitas. Já os vetores orientados para baixo indicam os valores 
negativos, ou seja, os custos, desembolsos ou despesas. 
 
 
 
 Taxa de Juros 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
R$ 5.500 R$ 5.000 R$ 4.500 R$ 4.000 R$ 2.000 R$ 4.000 
 
 
 
0 1 2 3 ... (n-1) n 
Figura - Representação de um Diagrama de Fluxo de Caixa 
No presente trabalho será adotada a notação definida abaixo, em todos os diagramas de fluxo de 
caixa estudados: 
i - taxa de juros para determinado período, expressa em percentagem e utilizada nos cálculos na 
forma unitária. 
Ex.:rendimento de dez por cento ao ano i = 0,10 ou 10 % a.a. 
n - número de períodos de capitalização. 
Ex.: aplicação de um capital por 5 meses n = 5 
VP - valor equivalente ao momento presente, denominado de Principal, Valor Presente ou Valor 
Atual. Na HP-12C representada por PV. 
Ex.: aplicação de R$ 10.000 efetuada hoje; VP = 10.000,00. 
J - juros produzidos ou pagos numa operação financeira. 
Ex.: um capital de R$ 5.000 rendeu R$ 300 ao final de 1 ano; J = 300,00. 
VF - valor situado num momento futuro em relação à P, ou seja, daqui a n períodos, a uma taxa de 
juros i, denominado Montante ou Valor Futuro. Na HP-12C representada por FV. 
Ex.: uma aplicação de R$ 15.000, feita hoje, corresponderá a R$ 19.000 daqui a n períodos, a uma 
taxa de juros i; VF = 19.000. 
R - valor de cada parcela periódica de uma série uniforme, podendo ser parcelas anuais, trimestrais, 
mensais etc. Na HP-12C representada por PMT. 
Ex.: R$ 5.000 aplicados mensalmente numa caderneta de poupança produzirão um montante de R$ 
34.000 ao fim de n meses; R = 5.000 
A notação para os elementos da Matemática Financeira varia para cada autor. Desta forma, não é 
recomendável a memorização de uma só notação nem sua adoção como padrão. Recomenda-se o 
aprendizado dos conceitos fundamentais da Matemática Financeira, independentemente da notação 
utilizada, de modo que qualquer problema possa ser resolvido. 
Por convenção, todas as movimentações financeiras, representadas em cada período dos diagramas 
de fluxo de caixa, estão ocorrendo no final do período. Por exemplo, um pagamento efetuado no 
segundo ano de um diagrama de fluxo de caixa significa que esta saída de dinheiro ocorreu no final 
do ano 2. 
Tipos de Formação de Juros 
Os juros são formados através do processo denominado regime de capitalização, que pode ocorrer 
de modo simples ou composto. Veja menu ao lado. 
Na economia e nas finanças, o conceito de juro diz respeito ao custo de um crédito ou à rentabilidade 
das poupanças (permite saber quanto rende uma poupança). Trata-se, por conseguinte, de um termo 
que permite fazer alusão ao valor, à utilidade, ao proveito ou ao ganho de algo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Taxa de Juros 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O juro simples refere-se aos juros que produzem um investimento graças ao capital inicial. Os juros 
produzidos pelo capital durante um determinado período não se acumulam a este para produzir os 
juros que correspondem ao período posterior. Ora, o juro simples gerado pelo capital investido será 
igual em todos os períodos do investimento desde que a taxa e o prazo não sofram alterações. 
O juro composto, em contrapartida, permite que os juros obtidos, sempre que vence o período de 
investimento, não sejam retirados, mas sim repostos e cumulados ao capital principal (capitalização 
dos juros). 
A noção de taxa de juro, no que lhe diz respeito, indica qual a percentagem a que se investe um 
capital numa unidade de tempo. Posto isto, é caso para afirmar que a taxa de juro é o preço do 
dinheiro que se paga ou que se cobra por pedi-lo emprestado ou por empresta-lo a uma dada altura. 
A taxa de juro pode ser fixa (mantém-se estável enquanto dura o investimento ou se devolve o 
empréstimo) ou variável (é actualizada, geralmente todos os meses, de modo a adaptar-se à inflação, 
à variação da taxa de câmbio e a outras variáveis). 
Por fim, frisaremos que a taxa preferencial de juros é uma percentagem inferior àquela que é 
geralmente cobrada pelos créditos concedidos para a realização de certas actividades. 
O que são Juros: 
Juros é o rendimento que se obtém quando se empresta dinheiro por um determinado período. Os 
juros são para o credor (aquele que tem algo a receber) uma compensação pelo tempo que ficará 
sem utilizar o dinheiro emprestado. 
Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, geralmente terá 
que pagar um acréscimo pela utilização do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do 
bem. A esse acréscimo também dá-se o nome de juro. 
Para determinar o valor dos juros são definidas taxas percentuais (taxas de juros) fixadas pelo credor. 
As taxas de juros são calculadas de acordo com alguns fatores como, a inflação em vigor, com o que 
foi acordado no contrato ou com o risco do empréstimo para o credor. 
As taxas podem ser maiores ou menores numa relação proporcional ao tamanho do risco. 
No Brasil, os bancos utilizam uma taxa de referência básica, criada em 1979 pelo Banco Central do 
Brasil, chamada Taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia). Essa taxa também é 
utilizada na delimitação das taxas de juros para o comércio. 
No mercado financeiro, existem diversas modalidades de juros: juros simples, juros compostos, juros 
nominais, juros de mora, juros reais, juros rotativos, juros sobre o capital próprio, entre outras. 
Juros simples 
O juros é considerado simples quando o a taxa de juros é definida a partir do valor inicial do 
empréstimo. 
Juros compostos 
Já o sistema de juros composto consiste na definição do percentual da taxa de juros de acordo com 
cada período, sendo este novo valor adicionado ao valor inicial para que seja feito um novo cálculo no 
período seguinte. 
Em outras palavras, os juros compostos são os “juros sobre juros”. 
Este é um regime de juros mais comum no sistema financeiro, portanto mais útil para os cálculos de 
situações cotidianas. 
 Taxa de Juros 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Taxa Efetiva e Taxa Real 
As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos 
financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de 
juros. Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos de taxas: taxa 
nominal, taxa efetiva e taxa real. No mercado financeiro, muitos negócios não são fechados em 
virtude da confusão gerada pelo desconhecimento do significado de cada um dos tipos de taxa. 
Vamos compreender o conceito de cada uma delas. 
 
Taxa Nominal 
A taxa nominal é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital não 
coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
a) Uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal. 
b) 5% ao trimestre com capitalização semestral. 
c) 15% ao semestre com capitalização bimestral. 
 
Taxa Efetiva 
A taxa efetiva é aquela que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com 
aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal. 
b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. 
c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. 
 
Taxa Real 
A taxa real é aquela que expurga o efeito da inflação no período. Dependendo dos casos, a taxa real 
pode assumir valores negativos. Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida 
pelo índice inflacionário do período. 
 
Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Vejamos: 
1+ief=(1+ir )(1+iinf ) 
 
Onde, 
ief→é a taxa efetiva 
ir→é a taxa real 
iinf→é a taxa de inflação no período 
 
Seguem alguns exemplos para compreensão do uso da fórmula. 
 
Exemplo 1. Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa 
de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação. 
 
Solução: A solução do problema consiste em determinar o ganho real da aplicação corrigido pelo 
índice inflacionário do período, ou seja, determinar a taxa real de juros dessa aplicaçãofinanceira. 
Temos que: 
 
Aplicando a fórmula que relaciona os três índices, teremos: 
 Taxa de Juros 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Portanto, o ganho real dessa aplicação financeira foi de 1% ao ano. 
 
Exemplo 2. Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de 7% ao ano. Sabendo que a 
inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real e interprete o resultado. 
 
Solução: Temos que 
 
Aplicando a fórmula, teremos: 
 
Como a taxa real foi negativa, podemos afirmar que essa categoria profissional teve perdas salariais 
do período, uma vez que o reajuste salarial foi abaixo do índice inflacionário do período. 
Conceitos de Juro, Capital e Taxa de Juros 
Juro: 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas 
prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for 
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver 
disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta 
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade 
de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais 
conhecida como taxa de juros. 
Diferencia-se do capital por que resulta da aplicação financeira, enquanto o capital é o motivo da 
aplicação financeira. Os Juros sempre são expressos em unidades monetárias, e representam o 
montante financeiro referente a uma aplicação. 
Os Juros podem ser simples ou compostos: 
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. Para aprofundar mais sobre juros simples clique aqui. 
 Taxa de Juros 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de 
correspondente. Para aprofundar mais sobre juros compostos clique aqui. 
Quando usamos juros simples e juros compostos? 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a 
médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações 
financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. 
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo 
prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 
Capital 
Capital ou Principal é valor de uma quantia em dinheiro “na data zero”, ou seja, no inicio de uma 
aplicação. Capital poder ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor financiado de 
um bem, ou de um empréstimo tomado. 
Para evitar problemas com mudanças de unidades monetárias, e para tornar este livro mais amigável 
a leitores lusófonos, utilizaremos sempre uma unidade fictícia, chamada de unidade monetária, 
abreviada por u.m. ou representada por $, junto ao valor. 
Capital pode ser apresentado sob várias siglas e sinônimos: C (de Capital); P (de Principal); VP 
(de Valor Presente); PV (de Present Value); C (Capital Inicial). 
Taxa de juros 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado 
período. 
A taxa de juros representa a razão entre o juro e o capital (J/C). O cálculo da taxa de juros é 
responsável pelo observação da rentabilidade de uma operação financeira, sendo indispensável para 
a tomada de decisão de investimentos. 
Normalmente é representada em forma percentual. Um valor percentual é um valor que representa a 
taxa de juros para um capital de 100 u.m. Para efeito de cálculo sempre é utilizado a taxa unitária, 
que é aquela que resulta diretamente no juro de um período, quando multiplicada pelo capital. Por 
exemplo: 0,05 = 5% 
8 % a.a. – (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. – (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, 
que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:0,15 a.m. – (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. – (a.q. significa ao quadrimestre) 
Taxa exata e comercial 
A taxa exata é como chama-se a taxa de juros que considera os dias conforme o calendário anual, ou 
seja, 365 ou 366 dias no ano, 28, 29, 30 ou 31 dias no mês. 
A taxa comercial é a convenção usada nos mercados, onde se considera meses de 30 dias, e anos 
de 360 dias (12 meses de 30 dias). 
Taxa efetiva e nominal 
A taxa efetiva é a taxa que está sendo referenciada ao período de capitalização. 
A taxa nominal é a taxa dada em desconformidade com o período de capitalização. 
O que é taxa nominal e taxa real de juros? Não seja mais enganado! 
Presente em investimentos financeiros, negociações imobiliárias, empréstimos, simulações, 
financiamentos, enfim, nas mais diversas operações financeiras, o conceito de taxa nominal e taxa 
real normalmente gera confusão. Acompanhe nosso artigo e entenda na prática o que é taxa nominal 
e taxa real de juros e não seja mais enganado! 
 Taxa de Juros 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O que é taxa de juros? 
Quando o assunto é dinheiro, um dos principais pontos a ser considerado é a taxa de juros. Conhecer 
a taxa de juros envolvida em uma operação financeira é fundamental tanto para quem tem recursos 
sobrando e precisa investir, quanto para quem está precisando captar dinheiro por meio de 
empréstimo ou de um financiamento. 
Mas então, o que é taxa de juros? A taxa de juros nada mais é do que a remuneração do dinheiro. 
Quem possui recursos sobrando empresta para quem precisa e cobra um percentual sobre esse 
valor. Porém, no dia a dia normalmente nos deparamos também com os conceitos como “taxa 
nominal e taxa real”. Confira a seguir a diferença entre esses termos. 
O que é taxa nominal e taxa real? 
A taxa nominal é a taxa contratada ou declarada em uma operação financeira. Por exemplo, se um 
banco lhe oferece um fundo de investimento que remunera 15% ao ano, esta é a taxa nominal. 
A taxa real de juros, por sua vez, será a taxa que realmente irá gerar riqueza ao investidor, pois é a 
taxa que remunera acima da inflação. Esse conceito normalmente gera confusão em um primeiro 
momento. Por isso, primeiro vamos lhe apresentar o que é a inflação e como ela afeta a rentabilidade 
de um investimento. 
A inflação, em poucas palavras, expressa o aumento geral dos preços. Sendo assim, se uma 
determinada quantidade de dinheiro sofrer uma remuneração inferior à inflação do período, então 
pode-se dizer que houve perda do poder de compra. 
Um caso prático: suponha que em janeiro de 2015 você fazia a compra dos itens 
de supermercado para a semana com R$ 100. Considere também que a inflação acumulada do ano 
de 2015 fechou em 10,67%. Dessa forma, para comprar a mesma cesta de produtos em janeiro de 
2016 você precisaria de cerca de R$ 110,67. Portanto, se durante esse período seus investimentos e 
seu patrimônio não valorizaram na mesma proporção que a inflação, podemos dizer que houve 
uma perda real de riqueza, embora possa até mesmo ter existido um ganho nominal inferior a 
10,67%. 
O diagrama a seguir expressa como a taxa nominal é composta pela taxa real mais a inflação: 
 
Taxa nominal e taxa real: um exemplo de investimento 
Agora que já entendemos o efeito da inflação, podemos passar para um exemplo relacionado com 
investimentos. Suponha que um investidor dispunha de R$100 mil para investir em janeiro de 2015 e 
estava diante das seguintes alternativas: 
1. Investir na poupança, que acabou rendendo 8,07% ao longo de 2015; 
2. Investir em um fundo multimercado, querendeu 15% no período. 
 Taxa de Juros 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Nesse exemplo vamos considerar a inflação de 2015 para fins de comparação, a qual fechou em 
10,67%. Veja no gráfico que a taxa real do fundo de investimento foi positiva, gerando uma 
rentabilidade de R$ 4.330, enquanto a poupança obteve uma taxa real negativa no período, ou seja, 
apesar de ter rendido 8,07% no ano, gerou uma perda abaixo da inflação de R$ 2.600. 
 
Concluindo, o fundo de investimento do exemplo tinha uma taxa nominal de 15%, porém a taxa real – 
aquela que realmente gerou riqueza ao investidor – foi de 4,3%. A poupança, por sua vez apresentou 
uma taxa real negativa de 2,6%, provocando uma perda de poder de compra ao investidor. 
Cuidados com a taxa nominal e taxa real 
Sabendo que a taxa nominal é a taxa apresentada e da sua diferença em relação à taxa real, começa 
a ficar claro que alguns cuidados devem ser tomados. Seguem alguns exemplos práticos que não 
devem ser esquecidos, pois assim você conseguirá evitar ser enganado diante de tantas opções de 
investimentos e aplicações que são oferecidas no dia a dia. 
#1. Cuidado com a taxa dos simuladores de planos de previdência 
Muitos brasileiros possuem planos de previdência privada, que foram criados – em tese – para ajudar 
a complementar a aposentadoria. Porém, em termos de rentabilidade esses produtos nem sempre 
são uma boa opção. 
No Brasil, os grandes bancos possuem simuladores que buscam um bom plano de previdência para 
cada perfil. O problema é que, na sua maioria, os simuladores utilizam taxas nominais 
superestimadas, que simulam resultados irreais. 
Exemplo: se uma simulação usa uma taxa nominal, ela pode estimar que você terá uma renda 
mensal de R$ 10.000,00 no futuro, por exemplo, mas daqui a 20 ou 30 anos esse valor não comprará 
a mesma quantidade de coisa que compra hoje, devido a incidência da inflação ao longo do tempo. 
Como investimentos em previdência geralmente envolvem grandes períodos de tempo, qualquer 
superestimação na taxa de juros gera um impacto enorme no valor a ser acumulado no futuro. 
Porém, com o passar dos anos o investidor muitas vezes acaba por perceber que o fundo de 
investimento do plano não consegue atingir a rentabilidade proposta na simulação que foi usada na 
hora da venda do plano. 
Com o entendimento do que é taxa nominal e taxa real você não mais cairá nas armadilhas de 
instituições que apenas querem vender seus produtos sem pensar no cliente. 
Por fim, é preciso estar atento às letras miúdas dos simuladores de planos de previdência e dos 
contratos para saber se a taxa de rentabilidade que está sendo vendida é a taxa nominal ou a taxa 
real e se estão condizentes com as taxas praticadas pelo mercado. 
Além deste pontos, planos de previdência privada envolvem uma série de outros aspectos, os quais 
podem ser checados em detalhes no nosso eBook “A verdade sobre os simuladores de previdência”. 
 Taxa de Juros 
 
11 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Enganos dos simuladores de previdência privada 
Abaixo preparamos um simulador para exemplificar a diferença entre o valor que os bancos, em 
geral, mostrariam em suas simulações para vender planos de previdência e o valor que você 
realmente teria, em termos reais, supondo um resgate de todo o valor acumulado. 
Você pode alterar o valor inicial aplicado, os aportes mensais, o período (em anos), a taxa prometida 
pelo banco (nominal) e a inflação anual esperada para o período. Considere os aportes líquidos, já 
livres das taxas de carregamento. Mas lembre-se que sobre o valor acumulado ainda incidirá IR, cuja 
tributação dependerá do tipo do plano de contratado. 
Clique aqui e acesse. 
#2. Cuidado com taxa nominal inferior à inflação 
Investimentos que pagam taxa nominal inferior à inflação geram perda do poder de compra, como já 
foi comentado. Como o Brasil é um país que possui um histórico inflacionário, sempre é preciso estar 
atento para não ter o capital corroído pelo aumento geral dos preços. 
Um bom índice para acompanhar a evolução da inflação no Brasil é o IPCA — Índice Nacional de 
Preços ao Consumidor — do IBGE, que é o índice oficial utilizado pelo governo. 
#3. Ao simular investimentos em longos períodos prefira a taxa real 
Quando se deseja calcular o valor que deve ser poupado mensalmente para conseguir alcançar um 
determinado objetivo no futuro é melhor utilizar a taxa real do que a taxa nominal, mas por quê? 
A razão está no fato de que se a taxa nominal for utilizada, então o investidor deverá ter em mãos 
projeções da inflação para saber se o investimento em questão será capaz de manter o poder de 
compra dos seus recursos ou não. O problema é que ter projeções da inflação para 10, 20 ou 30 
anos, por exemplo, é irreal, pois ninguém consegue realizar previsões acuradas em relação a prazos 
tão longos. 
Por outro lado, quando a taxa real é utilizada, então os efeitos da inflação podem ser 
desconsiderados nos cálculos e as projeções ficam mais realistas. 
#4. Lembre-se de corrigir o valor das aplicações mensais 
Conseguir guardar dinheiro ao fim do mês é o ponto essencial para quem deseja ver seu patrimônio 
aumentar ao longo dos anos. Porém, não deve-se esquecer de corrigir os aportes pela inflação. 
A Par Mais, quando realiza simulações de independência financeira ou de outros objetivos financeiros 
para seus clientes, costuma trabalhar com a taxa real, desconsiderando os efeitos da inflação. No 
entanto, nessa metodologia o valor aplicado mensalmente deve ser corrigido pela inflação 
periodicamente. 
#5. Ao usar a taxa real em simulações o valor acumulado será diferente das projeções 
Ao fazer uma simulação de quanto deve ser poupado para atingir algum objetivo financeiro 
recomendamos o uso da taxa real, como já foi comentado. Porém, é preciso estar atento que o valor 
acumulado ao fim de todo o período de acumulação será maior em termos nominais do que o valor 
da simulação. 
Isso ocorre justamente porque a simulação trabalha com a taxa real e não considera o valor da 
inflação. Porém, o montante acumulado representará, em termos reais, o mesmo poder de compra do 
valor da simulação feita na data presente. 
Conclusão: o que é taxa nominal e taxa real de juros? 
Falar sobre o que é taxa nominal e taxa real na verdade é falar de matemática financeira. No entanto, 
procuramos neste artigo mostrar os aspectos práticos deste tema, que é recorrente no mundo das 
finanças e dos investimentos. 
 Taxa de Juros 
 
12 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Este artigo mostrou que a taxa real é composta pela taxa nominal menos a inflação do período 
analisado. Portanto, uma taxa real positiva é o que faz um investidor aumentar sua riqueza. Por fim, 
mostramos também que estes conceitos permeiam alguns casos práticos em que deve-se estar 
atento a pegadinhas, como ocorre em alguns simuladores de planos de previdência existentes no 
Brasil. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 CDB, RDB E OUTROS 
 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
CDB, RDB e Outros 
O CDB (certificado de depósito bancário) é um título que os bancos emitem para se capitalizar - ou 
seja, conseguir dinheiro para financiar suas atividades de crédito. Portanto, ao adquirir um CDB, o 
investidor está efetuando uma espécie de “empréstimo” para a instituição bancária em troca de uma 
rentabilidade diária. 
Existem três tipos principais de CDB: o prefixado, o pós-fixado e os que pagam juros mais um índice 
de inflação. No primeiro, o investidor negocia com o banco uma taxa predefinida e, durante a vigência 
daquele título, receberá sempre a remuneração que foi acordada. 
Outro tipo de CDB é aquele cuja remuneração varia de acordo com um índice de inflação 
(principalmente o IPCA) e uma taxa de juros prefixada. Então o investidor pode ganhar, por exemplo, 
IPCA mais 5% ao ano para comprar e segurar o papel. 
 
O tipo mais comum de CDB, no entanto, é o pós-fixado. Neste caso, a rentabilidade do investimento é 
baseada em alguma taxa de referência. A principal delas é o CDI (certificado de depósito 
interbancário), que está sempre muito próxima da Selic (taxa básica de juros). 
Isso quer dizer que, ao comprar um CDB pós-fixado, você terá uma rentabilidade parecida com a 
Selic. Mas é preciso se atentar ao seguinte: o percentual que será pago do CDI não é fixo e pode 
variar de banco para banco, dependendo do valor investido e da negociação efetuada. Existem 
instituições que oferecem uma rentabilidade de 70% do CDI enquanto outras chegam a pagar 115%, 
por exemplo. Por isso, a dica é pesquisar antes de decidir por uma ou outra aplicação. 
Outro ponto importante e que deve ser levado em consideração na hora de optar por um CDB é o fato 
de esta aplicação ser garantida pelo FGC (Fundo Garantidor de Crédito) até o limite de R$ 250 mil. 
Caso o banco emissor do CDB quebre, o investidor tem a segurança de ter até este valor garantido 
pelo fundo. Mas atenção: caso você tenha mais dinheiro, o ideal é dividir os recursos entre diferentes 
instituições financeiras de forma que nunca tenha mais de R$ 250 mil aplicados em papéis de um 
mesmo banco. 
RDB 
Recibos de Depósito Bancário (RDB) são parecidos com os Certificados de Depósito Bancário 
(CDB); conheça as diferenças entre eles 
Os Recibos de Depósito Bancário (RDB) são investimentos de renda fixa conservadora pouco 
conhecidos, mas muito parecidos com os famosos Certificados de Depósito Bancário (CDB). 
Assim como seus irmãos famosos, os RDBs são emitidos por instituições financeiras para captar 
recursos e desempenhar suas atividades. Assim, o investidor que adquire um RDB está, na verdade, 
emprestando dinheiro à instituição financeira em troca de uma remuneração. 
As similaridades do RDB em relação ao CDB são muitas: 
 CDB, RDB E OUTROS 
 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
– Ambos contam com a garantia do Fundo Garantidor de Créditos (FGC), que faz o ressarcimento do 
valor investido mais a rentabilidade em caso de quebra do banco emissor, até um limite de 250 mil 
reais por CPF, por instituição financeira; 
– Seus valores de aporte inicial mínimo podem variar de um papel para outro e são estabelecidos 
pela instituição financeira emissora; 
– Podem ter remuneração pós-fixada (por exemplo, um percentual do CDI), prefixada (uma taxa 
nominal pré-estabelecida, por exemplo, 12% ao ano) ou atrelada à inflação (em geral, uma taxa 
prefixada mais a variação do IPCA); 
– Quanto mais recursos o investidor tiver para aplicar e quanto maior o prazo de investimento, melhor 
a remuneração; 
– Não têm taxa de administração, mas sofrem cobrança de imposto de renda sobre os rendimentos, 
conforme a tabela regressiva válida para as aplicações financeiras de renda fixa. 
Diferenças dos RDBs em relação aos CDBs 
As principais diferenças entre os RDBs e os CDBs dizem respeito ao tipo de instituição emissora e à 
liquidez. 
Os CDBs são emitidos por bancos. Já os RDBs, além dos bancos, podem ser emitidos também por 
cooperativas e sociedades de crédito e financiamento. 
Em relação à liquidez, os CDBs podem permitir resgate antes do vencimento e geralmente têm 
liquidez diária – isto é, podem ser resgatados a qualquer momento. Além disso, podem ser 
negociados no mercado secundário, ou seja, vendidos para outros investidores. 
Já os RDBs não têm liquidez antes do vencimento. Isso quer dizer que, em condições normais, não 
permitem resgate antes do fim do prazo. São intransferíveis e inegociáveis, não podendo ser 
negociados em mercado secundário. 
RDBs só podem ser resgatados antecipadamente em caráter excepcional, com o acordo da 
instituição depositária e justificado por alguma emergência. 
O que é CDB e RDB 
Por meio do Certificado de Depósito Bancário (CDB) e do Recibo de Depósito Bancário (RDB), as 
pessoas emprestam dinheiro aos bancos, emissores destes títulos, e recebem, depois de um período 
determinado no momento da negociação, o dinheiro corrigido com juros. 
 
Para iniciar o investimento, é necessário procurar um gerente para abrir uma conta investimento no 
banco ou na instituição financeira. É preciso apresentar RG, CPF e comprovante de residência. Os 
valores mínimos que devem ser investidos variam de acordo com a instituição financeira. 
Diferença 
A diferença entre os CDBs e os RDBs é que os primeiros podem ser negociados antes da data de 
vencimento (quando o banco paga o investidor). O dinheiro é liberado no mesmo dia em que é 
solicitado. Já os RDBs são inegociáveis e intransferíveis. 
Podem emitir CDB os bancos comerciais, múltiplos, de investimento, de desenvolvimento e a Caixa 
Econômica Federal. Podem emitir RDB, além desses, as sociedades de crédito, financiamento e as 
cooperativas de crédito a seus associados. 
Rendimento 
Os CDBs e os RDBs são títulos de renda fixa e podem ser prefixados (a taxa de juros a ser paga é 
conhecida; assim, é possível calcular quantoirá ganhar na data de vencimento do título) ou pós-
fixados (nesse caso, o rendimento do título é indexado a algum índice, como o CDI, a TR e ou o IGP. 
Por isso não se pode determinar o retorno no início do investimento). 
 CDB, RDB E OUTROS 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Imposto de Renda 
Há incidência de Imposto de Renda em função do prazo da aplicação (quanto mais tempo o dinheiro 
fica investido, menor será a alíquota cobrada). 
Veja a tabela: 
▪ Até 180 dias: 22,5% 
▪ De 181 a 360 dias: 20% 
▪ De 361 a 720 dias: 17,5% 
▪ Acima de 720 dias: 15% 
Se o dinheiro ficar investido por um prazo inferior a 30 dias, haverá também cobrança de IOF 
(Imposto sobre Operações Financeiras). 
Riscos 
Os CDBs e os RDBs são um investimento de baixo risco. Como se trata de um empréstimo feito à 
instituição financeira, caso o banco ou instituição quebre, o investidor corre o risco de não receber o 
dinheiro. 
Há também o risco de perder dinheiro devido à variação dos índices. 
Se o CDB ou RDB for pós-fixado, há maior rentabilidade em período de alta de juros. Quando os 
juros caem, a rentabilidade também é menor. 
Nos prefixados, ocorre o contrário. Se as taxas de juros caem, a pessoa pode ser beneficiada, pois 
teve a rentabilidade assegurada no início do investimento. Mas, se as taxas de juros sobem, pode-se 
perder dinheiro. 
Desse modo, se um investimento prefixado render 15% e as taxas de juros estiverem a 20%, vale 
mais a pena resgatar o dinheiro e investir novamente a essa taxa. 
 
Nos CDBs prefixados, só há garantia de rentabilidade quando o investidor resgata seu dinheiro na 
data de vencimento do título. Antes disso, o dinheiro pode ser resgatado, mas o rendimento 
dependerá de como está o mercado naquele momento. 
 
No caso de falência do banco, o Fundo Garantidor de Créditos garante ao investidor o valor de até R$ 
250 mil. 
Taxas 
Não há cobrança de taxas ao longo do investimento. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 TAXA REAL DE JUROS 
 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Taxa Real de Juros 
Taxa Nominal e Taxa Real de Juros 
Um dos elementos principais em Matemática Financeira são as taxas de juros que correspondem à 
taxa de remuneração do capital no determinado tempo. As taxas de juros são classificadas de formas 
diferentes de acordo com o tipo de avaliação percentual que está sendo feita. Enfatizaremos nosso 
estudo nas taxas nominais e taxas reais. 
A taxa nominal de juros é usada para demonstrar os efeitos da inflação no período analisado, tendo 
por base os fundos financeiros (empréstimos). Por exemplo, vamos supor que um empréstimo no 
valor de R$ 5 000,00 seja pago ao final de seis meses com o valor monetário de R$ 7 000,00. O 
cálculo da taxa nominal de juros será feita da seguinte forma: juros pagos / valor nominal do 
empréstimo. 
 
Juros 
7 000 – 5 000 = 2 000 
 
Taxa nominal de juros 
2 000 / 5 000 = 0,4 → 40% 
 
Portanto, a taxa nominal de juros de um empréstimo de R$ 5 000,00 que teve como quitação o valor 
de R$ 7 000, teve uma taxa nominal de juros de 40%. 
 
No caso da taxa real de juros, o efeito inflacionário não existe, por isso ela tende a ser menor que a 
taxa nominal. Isso ocorre porque ela é formada através da correção da taxa efetiva pela taxa de 
inflação do período da operação. A taxa real pode ser calculada pela seguinte expressão 
matemática: (1 + in) = (1 + r) * (1 + j), onde: 
 
in = taxa de juros nominal 
j = taxa de inflação do período 
r = taxa real de juros 
 
Podemos notar que se a taxa de inflação for nula (igual a 0) as taxas de juros nominal e real serão 
coincidentes. 
 
Acompanhe o exemplo: 
Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 
receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. 
Determine a taxa real de juros do empréstimo? 
 
Calculando a taxa nominal de juros 
13 000 – 10 000 = 3 000 
3 000 / 10 000 = 0,3 → 30% 
Taxa nominal (in) = 30% 
 
Determinando a taxa real de juros utilizando a expressão (1 + in) = (1 + r) * (1 + j). 
in = 30% = 0,3 
j = 3% = 0,03 
r = ? 
 
(1 + 0,3) = (1 + r) * (1 + 0,03) 
1,3 = (1 + r) * (1,03) 
1,3 = 1,03 + 1,03r 
1,3 – 1,03 = 1,03r 
0,27 = 1,03r 
r = 0,27/1,03 
r = 0,2621 
r = 26,21% 
 TAXA REAL DE JUROS 
 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
A taxa real de juros do empréstimo é de aproximadamente 26,21%. 
IPC 
O Índice de Preços ao Consumidor (IPC) mede a variação de preços de um conjunto fixo de bens e 
serviços componentes de despesas habituais de famílias com nível de renda situado entre 1 e 33 
salários mínimos mensais. Sua pesquisa de preços se desenvolve diariamente, cobrindo sete das 
principais capitais do país: São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Salvador, Recife, Porto Alegre 
e Brasília. 
O cálculo do IPC é realizado com base nas despesas de consumo obtidas através da Pesquisa de 
Orçamentos Familiares (POF) realizada no biênio (2008/2009) pelo IBGE. Com as informações do 
levantamento foram construídas as estruturas de ponderação que expressam, em termos 
percentuais, a importância monetária dos bens e serviços componentes da amostra do IPC. 
Com base na POF construiu-se a composição final das versões do Índice de Preços ao Consumidor. 
Os bens e serviços que integram a amostra foram classificados em oito grupos ou classes de 
despesa, 25 subgrupos, 85 itens e 338 subitens. 
As oito classes de despesa são: Alimentação, Habitação, Vestuário, Saúde e Cuidados Pessoais, 
Educação, Leitura e Recreação, Transportes, Despesas Diversas e Comunicação. 
No sistema de apuração do IPC há também um conjunto de índices especiais, o Índice de Preços ao 
Consumidor da Terceira Idade (IPC-3i) e o Índice de Preços ao Consumidor Classe 1 (IPC-C1). O 
primeiro mede a variação de preços de bens e serviços destinados às famílias compostas, 
majoritariamente, por indivíduos com mais de 60 anos de idade, enquanto o segundo é um indicador 
mensal que mede a variação de preços de uma cesta de produtos e serviços para famílias com renda 
entre 1 e 2,5 salários mínimos mensais. 
As versões que fazem parte do sistema de divulgação do IGP seguem um calendário previamente 
definido. As versões IPC-S, IPC-3i e IPC-C1 dispõem de calendário próprio. A primeira baseia-se em 
um sistema de coleta quadrissemanal, com encerramento em quatro datas pré-estabelecidas (07, 15, 
22 e 31). Apesar de a coleta ser semanal, a apuração das taxas de variação leva em conta a média 
dos preços coletados nas quatro últimas semanas até a data de fechamento. O IPC-3i é um índice 
mensal, com período de coleta que se estende do dia primeiro ao último dia de cada mês, o mesmo 
arranjo seguido pelo IPC-C1. No caso do IPC-3i, a divulgação dos resultados ocorre trimestralmente. 
O que é 
O Sistema Nacional de Índices de Preços ao Consumidor – SNIPC produz contínua e 
sistematicamente o Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC que tem por objetivo a 
correção do poder de compra dos salários, através da mensuração das variações de preços da cesta 
de consumo da população assalariadacom mais baixo rendimento. Esta faixa de renda foi criada com 
o objetivo de garantir uma cobertura populacional de 50% das famílias cuja pessoa de referência é 
assalariada e pertencente às áreas urbanas de cobertura do SNIPC - Sistema Nacional de Índices de 
Preços ao Consumidor. 
Esse índice de preços tem como unidade de coleta estabelecimentos comerciais e de prestação de 
serviços, concessionária de serviços públicos e internet e sua coleta estende-se, em geral, do dia 01 
a 30 do mês de referência. 
Atualmente, a população-objetivo do INPC abrange as famílias com rendimentos de 1 a 5 salários 
mínimos, cuja pessoa de referência é assalariada, residentes nas áreas urbanas das regiões de 
abrangência do SNIPC, as quais são: regiões metropolitanas de Belém, Fortaleza, Recife, Salvador, 
Belo Horizonte, Vitória, Rio de Janeiro, São Paulo, Curitiba, Porto Alegre, além do Distrito Federal e 
dos municípios de Goiânia e Campo Grande. 
Calendário de Coleta - Ano/2018 
 TAXA REAL DE JUROS 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Mês Período 
Janeiro 29/12 - 29/01 
Fevereiro 30/01 - 01/03 
Março 02/03 - 29/03 
Abril 30/03 - 27/04 
Maio 28/04 - 29/05 
Junho 30/05 - 27/06 
Julho 28/06 - 27/07 
Agosto 28/07 - 29/08 
Setembro 30/08 - 27/09 
Outubro 28/09 - 26/10 
Novembro 27/10 - 28/11 
Dezembro 29/11 - 28/12 
 
O IGP foi concebido no final dos anos de 1940 para ser uma medida abrangente do movimento de 
preços. Entendia-se por abrangente um índice que englobasse não apenas diferentes atividades 
como também etapas distintas do processo produtivo. Construído dessa forma, o IGP poderia ser 
usado como deflator do índice de evolução dos negócios, daí resultando um indicador mensal do 
nível de atividade econômica. 
 
O IGP é a média aritmética ponderada de três outros índices de preços. São eles: 
 
• Índice de Preços ao Produtor Amplo (IPA), 
• Índice de Preços ao Consumidor (IPC), 
• Índice Nacional de Custo da Construção (INCC). 
 
Os pesos de cada um dos índices componentes correspondem a parcelas da despesa interna bruta, 
calculadas com base nas Contas Nacionais – resultando na seguinte distribuição: 
 
• 60% para o IPA, 
• 30% para o IPC, 
• 10% para o INCC. 
 
O IGP desempenha três funções. Primeiramente, é um indicador macroeconômico que representa a 
evolução do nível de preços. Uma segunda função é a de deflator de valores nominais de 
abrangência compatível com sua composição, como a receita tributária ou o consumo intermediário 
no âmbito das contas nacionais. Em terceiro lugar, é usado como referência para a correção de 
preços e valores contratuais. O IGP-DI é o indexador das dívidas dos Estados com a União e o IGP-M 
corrige, juntamente com outros parâmetros, contratos de fornecimento de energia elétrica. 
 TAXA REAL DE JUROS 
 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
No regime de capitalização simples, a equivalência de capitais ocorre quando, comparados os 
valores atuais na data focal zero (data em que a dívida foi contraída), tais valores são iguais. 
Já no regime de capitalização composta, a equivalência de capitais se dá em qualquer data focal, 
uma vez que os juros compostos são equivalentes aos descontos racionais compostos. 
Assim, a data focal poderá ser escolhida conforme a conveniência, e os capitais serão equivalentes 
se os seus valores atuais forem iguais nessa data focal escolhida. 
Exemplo 
Dois títulos, um de R$ 80.000,00, vencível em 120 dias, e outro de R$ 180.000,00, vencível em 180 
dias, deverão ser resgatados por um único pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse novo 
resgate, no regime de capitalização composta, à taxa de 3% ao mês? 
Resolução 
 
É só calcularmos os dois valores atuais, isto é, o valor dos dois compromissos, na data focal 3: 
Título de R$ 80.000,00 
Devemos calcular quanto esse título vale na data focal 3 (90 dias). Como ele vence no 4º mês (120 
dias), basta retroceder um mês. Assim, fazendo , temos: 
 
Título de R$ 180.000,00 
Devemos calcular quanto esse título vale na data focal 3 (90 dias). Como ele vence no 6º mês (180 
dias), basta retroceder três meses. Assim, fazendo , temos: 
 
O valor de resgate dos dois títulos na data focal 3 será a soma de seus respectivos valores atuais 
nessa data focal. Assim, temos: 
 
Poderíamos simplificar o cálculo da seguinte forma: 
 
 TAXA REAL DE JUROS 
 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Logo, o novo valor de resgate será de R$ 242.395,40. 
Fluxos De Caixa Equivalentes 
Um dos problemas fundamentais da Análise Financeira é escolher, dentre duas ou mais opções, a 
melhor alternativa de investimento ou pagamento. 
Já vimos anteriormente o conceito de Fluxo de Caixa. Assim, diremos que dois fluxos de caixa são 
equivalentes quando, ao transportarmos para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros, as 
entradas e saídas de cada um deles, as somas dos valores atuais encontrados forem os mesmos nos 
dois fluxos. 
Exemplo 
Um devedor sugeriu pagar uma dívida vencível em 5 meses de valor nominal igual a R$ 38.288,45 
em dois pagamentos, de forma que o primeiro fosse de R$ 17.364,38, com vencimento daqui a três 
meses, e o outro de R$ 20.101,43, vencível três meses depois do primeiro. 
Mostrar que o plano de pagamento proposto pelo devedor é equivalente ao original, considerando a 
taxa de juros compostos de 5% ao mês. 
Fluxo do plano original 
 
Vamos trazer o valor nominal ao valor presente na data focal zero: 
 
Logo, o valor do título na data focal zero (hoje) é de R$ 30.000,00. 
Fluxo do plano proposto 
 
Vamos trazer o valor nominal de cada um deles ao valor presente correspondente na data focal zero: 
 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Indicadores de Estrutura de Capitais 
Análise de Estrutura de Capital 
Entende-se por Estrutura de Capital a junção entre o capital próprio e o total de recursos de terceiros 
que está sendo utilizado em um determinado momento histórico para financiar os ativos de uma 
organização. Então, com o passar do tempo, a composição desse capital se altera na medida do 
aumento ou da redução da participação do capital próprio ou do capital de terceiros dentro da 
estrutura da empresa. Segundo Mayo (2008), a alavancagem financeira ocorre “quando uma 
empresa assume contratos fixos para obter fundos”. 
 
Por capital próprio entendem-se as ações ordinárias (que dão direito ao voto) e, segundo Amaral 
(2006), é composto essencialmente pelo capital social e pelos lucros retidos – que é o patrimônio 
líquido excluindo-se as ações preferenciais (que dão ao acionista a preferência na distribuição dos 
resultados, sob a forma de dividendos). 
 
Capital de terceiros pode ser entendido pelas dívidas (bancárias e emissão de títulos) e pelas ações 
preferenciais – que apresentam um comportamento muito mais parecido ao das dívidas do que ao 
das ações, uma vez que deve-se distribuir uma parte dos resultados a elas. 
 
Normalmente a organização busca a participação de terceiros em seu negócio por se tratar de uma 
forma mais barata de dívida do que as linhas de crédito disponíveis nas Instituições Financeiras. No 
entanto, a maior exposição ao capital de terceiros traz maior risco às operações por conta da 
volatilidade nesse tipo de participação, neutralizando tal vantagem de custos. Esse risco é conhecido 
como risco de negócio. 
 
Há, também, outro importante risco no âmbito da estrutura de capital da empresa: o risco de 
inadimplência – ou, no termo em inglês, financial distress. Esse risco é o reflexoda quebra de 
confiança que o vendedor depositou sobre o comprador, já que esse último deixa de honrar com suas 
obrigações assumidas. 
 
Limitações do indicador 
As limitações do indicador são inerentes à estrutura que este demanda para que possa ser aferido 
em uma organização. Dessa forma tem-se o seguinte: 
 
• Porte da organização e estrutura das informações: instituições de pequeno porte, ou que não 
tenham registro contábil atualizado e eficiente, ou que não apresentem um grau satisfatório de 
transparência e abertura de seus dados, podem representar uma barreira para a análise do indicador. 
 
• Constituição da organização: há empresas que não permitem a participação de capital de terceiros, 
seja pelo seu porte – pequenas clínicas, escritórios de advocacia e de engenharia, por exemplo –, 
seja pelo seu fluxo de caixa inconstante ou qualquer outra característica que não a permita assumir 
compromissos fixos de endividamento. 
Índices de Estrutura de Capitais: Composição do Endividamento 
Este índice possibilita à empresa conhecer a composição de todo o seu endividamento, se a 
participação maior é com a dívida de curto ou de longo prazo. Considerando-se que as dívidas de 
curto prazo geralmente vencem no prazo de até doze meses, enquanto as dívidas de longo prazo 
vencem em prazo superior a doze meses. 
 
Sendo assim, inicialmente, é mais vantajoso para a empresa ter mais dívidas de longo do que de 
curto prazo, em função do prazo de vencimento. 
 
As dívidas de longo prazo oferecem maior tempo para a empresa efetuar o pagamento. É claro que é 
necessária uma análise mais aprofundada no momento do endividamento, tendo em vista que as 
dívidas de longo prazo são onerosas para a empresa. Por isso devem ser avaliadas as despesas 
financeiras. 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O que é estrutura de capital de uma empresa? 
Entenda o que é estrutura de capital de uma empresa: um dos temas mais complexos da tomada de 
decisões financeiras. Isso ocorre devido à interação com outras variáveis de decisão em finanças, 
como por exemplo, aumentar a qualidade de um produto pra vender mais e fidelizar o cliente ao invés 
de tentar melhorar a estrutura de capital. 
Por que a estrutura de capital é importante? 
A estrutura de capital de uma empresa influencia no custo de capital e no seu valor, por isso é um 
assunto muito relevante. 
Más decisões sobre a estrutura de capital podem gerar um alto custo de capital da empresa, 
ocasionando uma queda no VPL – Valor Presente Líquido – de investimentos, inviabilizando projetos 
de investimentos e reduzindo o valor da empresa! 
Por outro lado, boas decisões acerca da estrutura de capital podem reduzir o custo de capital, 
resultando em VPL`s maiores e mais projetos aceitáveis! Consequentemente, com mais projetos 
sendo considerados viáveis, mais valor a empresa cria aos seus acionistas. 
O que é estrutura de capital de uma empresa? 
Já sabemos que o lado do passivo é o lado das origens e o do ativo é o lado das aplicações. Mas 
aqui veremos que todos os itens do passivo, exceto o passivo circulante, são fontes de capital. 
Existem dois tipos de capital: o capital de terceiros e o capital próprio. A estrutura de capital é 
maneira como a empresa realiza a combinação entre estes dois tipos de capitais. O capital de 
terceiros representa as dívidas e fontes de financiamento da empresa; já o capital próprio é a parte do 
capital que pertence aos sócios ou acionistas. 
A estrutura de capital e o balanço patrimonial 
A visualização da estrutura de capital fica mais clara quando se observa o balanço patrimonial da 
empresa em questão. Uma vez que a estrutura de capital trata da composição dos capitais, significa 
que estamos falando do lado dos passivos. 
O passivo circulante fica de fora desta análise, pois na estrutura de capital entram apenas as 
dívidas de longo prazo. O passivo não circulante – antigo passivo exigível a longo prazo – 
representa o capital de terceiros. Por fim, o patrimônio líquido representa o capital próprio. 
 
Teoria de Modigliani e Miller (M&M) 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Por ser um tema muito estudado no mundo das finanças, algumas teorias rodeiam o assunto. Uma 
das principais foi proposta por Modigliani e Miller (1958). Os autores afirmam que a estrutura de 
capital não afeta o valor da empresa. 
Essa suposição é fruto de uma análise em um mercado perfeito: sem impostos e nem custos de 
transação; e com ampla e perfeita divulgação de todas as informações que possam afetar o valor das 
empresas. 
A teoria de Modigliani e Miller afirma que toda e qualquer alteração na política de investimentos por 
parte da empresa, que resulte em algum benefício vindo de um maior ou menor endividamento – 
alterações na estrutura de capital –, seria imediatamente conhecida pelos acionistas, alterando suas 
expectativas de retorno. Esse movimento deixaria o custo de capital da empresa no mesmo patamar. 
Com o custo de capital da empresa no mesmo nível, nenhum novo projeto de investimento passaria a 
ser aprovado apenas por alterações na estrutura de capital. Em outras palavras, a estrutura de 
capital não afeta o valor de uma empresa, para Modigliani e Miller. 
Contudo, na prática (ou pelo menos para o mercado brasileiro) é diferente. O endividamento pode 
sim ser vantajoso. Se a empresa aumenta o percentual de capital de terceiros em sua estrutura de 
capital, ela pode reduzir o imposto de renda a pagar e também reduzir o custo de capital, uma vez 
que o capital próprio (retorno exigido pelos acionistas) costuma ser mais caro que o capital de 
terceiros (financiamentos e dívidas de longo prazo). 
Os determinantes da estrutura de capital 
Existe uma segunda leva de teorias que afirma que as decisões de estrutura de capital afetam sim o 
valor da empresa. Essas pesquisas procuram por possíveis determinantes da estrutura de capital, 
como por exemplo: 
• tamanho da empresa: quanto maior a empresa, mais fácil tende a ser o acesso a linhas de 
crédito mais baratas, aumentando o endividamento; 
• lucratividade: quanto melhor forem os indicadores de lucratividade da empresa ao longo dos 
anos, melhor tende a ser seu acesso a boas opções de crédito; 
• oportunidade de crescimento: empresas com boas oportunidades de crescimento e 
baixo market-to-book tendem a ser mais endividadas; 
• volatilidade dos resultados operacionais: quanto menor for a volatilidade dos resultados da 
empresa, maior tende a ser o acesso a linhas de crédito e também o endividamento de longo prazo. 
A Importância dos Indicadores Financeiros 
Seja para acompanhar o desempenho ou permitir que investidores e parceiros possam avaliar a 
saúde dos negócios, é fundamental que toda empresa mantenha, de maneira regular e clara, o hábito 
de produzir demonstrativos financeiras periodicamente. Com os números desses levantamentos em 
mãos, será possível analisar criteriosamente pontos fortes e fracos na gestão e estratégia da 
organização, corrigir falhas e traçar novos planos. 
Engana-se, porém, quem pensa que uma simples planilha cheia de números vai apontar o caminho 
das pedras. Os relatórios são apenas a matéria prima da análise. Para que o estudo seja preciso, é 
importante calcular, com base nos demonstrativos, os indicadores financeiros da companhia. 
Para chegar a esses indicadores, é necessário saber quais números correspondem a cada um. 
Abaixo, elencamos alguns dos principais indicadores financeiros, explicamos para que servem e 
como você pode chegar a eles. 
De maneira geral, os indicadores podem ser organizados em quatro grandes grupos, conforme a 
origem dos dados e os fins de sua análise. Nesse sentido, temos indicadores financeiros de: 
Rentabilidade, Estrutura de Capital, Liquideze Atividade. 
Confira abaixo alguns dos mais importantes: 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Rentabilidade 
Margem operacional: percentual que sobra das vendas depois que todas as despesas, exceto 
Imposto de Renda, foram pagas. O número é dado em percentual e chega-se a ele dividindo o 
montante absoluto referente às vendas pelo resultado operacional também absoluto. Por exemplo: se 
a empresa vendeu em um mês R$ 5.000 e teve uma margem operacional absoluta de R$ 500, o 
indicador será de 10%. 
Ebitda: Esse é o indicador preferido dos analistas de grandes companhias, por ser mais preciso. 
Funciona mais ou menos como o da margem operacional, mas seu resultado é obtido considerando o 
que é faturado antes de juros, impostos, depreciação e amortização. 
Liquidez 
Liquidez corrente: Focado no curto prazo, esse índice trata do que a empresa tem a receber e quanto 
tem a pagar no período. Chega-se a ele dividindo o ativo circulante pelo passivo circulante e o ideal é 
que o indicador fique acima de 1 para garantir que a empresa tenha condições de arcar com seus 
compromissos. 
Estrutura de capital 
Edividamento/Patrimônio: Trata da diferença entre o capital da empresa e suas dívidas. Um índice 
alto, que demonstre uma dívida muito acima do capital, aponta uma situação de dificuldade financeira 
e de comprometimento do caixa. Esse índice deve ser tomado como baliza na hora de um banco, por 
exemplo, avaliar a viabilidade de fazer um empréstimo à companhia. 
Indicadores de atividade 
Fluxo de caixa: Como o próprio nome já diz, refere-se à mobilidade do dinheiro no caixa da empresa. 
Se o capital que entra sai rapidamente para cobrir despesas operacionais, quer dizer que o índice de 
liquidez é baixo e a empresa, certamente, está funcionando com a corda no pescoço. Uma situação 
como essa é muito perigosa e pode acabar quebrando o negócio em um momento de instabilidade, 
como baixa sazonal da demanda dos consumidores, por exemplo. 
Análise de Estrutura de Capital 
Entende-se por Estrutura de Capital a junção entre o capital próprio e o total de recursos de terceiros 
que está sendo utilizado em um determinado momento histórico para financiar os ativos de uma 
organização. Então, com o passar do tempo, a composição desse capital se altera na medida do 
aumento ou da redução da participação do capital próprio ou do capital de terceiros dentro da 
estrutura da empresa. Segundo Mayo (2008), a alavancagem financeira ocorre “quando uma 
empresa assume contratos fixos para obter fundos”. 
 
Por capital próprio entendem-se as ações ordinárias (que dão direito ao voto) e, segundo Amaral 
(2006), é composto essencialmente pelo capital social e pelos lucros retidos – que é o patrimônio 
líquido excluindo-se as ações preferenciais (que dão ao acionista a preferência na distribuição dos 
resultados, sob a forma de dividendos). 
 
Capital de terceiros pode ser entendido pelas dívidas (bancárias e emissão de títulos) e pelas ações 
preferenciais – que apresentam um comportamento muito mais parecido ao das dívidas do que ao 
das ações, uma vez que deve-se distribuir uma parte dos resultados a elas. 
 
Normalmente a organização busca a participação de terceiros em seu negócio por se tratar de uma 
forma mais barata de dívida do que as linhas de crédito disponíveis nas Instituições Financeiras. No 
entanto, a maior exposição ao capital de terceiros traz maior risco às operações por conta da 
volatilidade nesse tipo de participação, neutralizando tal vantagem de custos. Esse risco é conhecido 
como risco de negócio. 
 
Há, também, outro importante risco no âmbito da estrutura de capital da empresa: o risco de 
inadimplência – ou, no termo em inglês, financial distress. Esse risco é o reflexo da quebra de 
confiança que o vendedor depositou sobre o comprador, já que esse último deixa de honrar com suas 
obrigações assumidas. 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Limitações do indicador 
As limitações do indicador são inerentes à estrutura que este demanda para que possa ser aferido 
em uma organização. Dessa forma tem-se o seguinte: 
 
• Porte da organização e estrutura das informações: instituições de pequeno porte, ou que não 
tenham registro contábil atualizado e eficiente, ou que não apresentem um grau satisfatório de 
transparência e abertura de seus dados, podem representar uma barreira para a análise do indicador. 
 
• Constituição da organização: há empresas que não permitem a participação de capital de terceiros, 
seja pelo seu porte – pequenas clínicas, escritórios de advocacia e de engenharia, por exemplo –, 
seja pelo seu fluxo de caixa inconstante ou qualquer outra característica que não a permita assumir 
compromissos fixos de endividamento. 
Na gestão de uma empresa, um dos mais recursos mais utilizados como base para tomada de 
decisões é a análise de Indicadores de Desempenho. Por meio destes indicadores é possível 
tomar as decisões gerenciais necessárias, visando corrigir erros que estão prejudicando o 
desempenho dos negócios ou então aproveitar oportunidades. 
Vale a pena lembrar que vários destes indicadores podem ser obtidos com base nos dados 
de relatórios gerenciais que provavelmente sua empresa já possui, como o Demonstrativo de 
Resultados, o Balanço Patrimonial e o Fluxo de Caixa. 
Estes indicadores são geralmente agrupados em quatro categorias: Indicadores de Rentabilidade, 
Indicadores de Estrutura de Capital, Indicadores de Atividade e por fim os Indicadores de Liquidez, 
que é o tema principal deste artigo. 
Indicadores de Liquidez – O que são 
Os Indicadores de Liquidez avaliam qual a capacidade de pagamento da empresa quando 
comparado a suas obrigações junto a fornecedores e funcionários. 
Abaixo vamos ver como calcular os quatro principais Indicadores de Liquidez. Estes índices são de 
grande importância para a empresa e suas variações devem ser acompanhadas e analisas 
regularmente pelos gestores. 
Liquidez Corrente 
A Liquidez Corrente é calculada dividindo-se a soma dos direitos a curto prazo da empresa (contas 
de caixa, bancos, estoques e clientes a receber) pela soma das dívidas a curto prazo (empréstimos, 
financiamentos, impostos e fornecedores a pagar). Estas informações podem ser obtidas facilmente 
no Balanço Patrimonial, nos grupos Ativo Circulante e Passivo Circulante. 
Liquidez Corrente = Ativo Circulante / Passivo Circulante 
A partir do resultado obtido podemos fazer a seguinte análise: 
• Maior que 1: demonstra que há capital disponível para uma possível liquidação das obrigações. 
• Igual a 1: os direitos e obrigações a curto prazo são equivalentes. 
• Menor que 1: a empresa não teria capital disponível suficiente para quitar as obrigações a curto 
prazo, caso fosse preciso. 
Liquidez Seca 
Este indicador tem o cálculo muito parecido com a Liquidez Corrente, com a diferença que a Liquidez 
Secaexclui do cálculo acima os estoques, por não apresentarem liquidez compatível com o grupo 
patrimonial onde estão inseridos. 
Liquidez Seca = (Ativo Circulante – Estoques) / Passivo Circulante 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Uma dica: o resultado deste índice será sempre igual ou menor ao de Liquidez Corrente, e a empresa 
deve ser cautelosa ao contar com o estoque como disponibilidade para a liquidação de obrigações, 
pois depende da venda se concretizar para possuir realmente o capital em mãos. 
Liquidez Imediata 
Este índice também é parecido com os anteriores, mas é o mais conservador de todos, pois 
considera apenas caixa, saldos bancários e aplicações financeiras em seu cálculo. Ou seja, apenas 
as contas que possuem de liquidez imediata para quitar as obrigações. 
Liquidez Imediata = Disponível / Passivo CirculanteComo este indicador exclui de seu calculo todos os estoques, as contas e valores a receber, acaba 
se tornando de grande importância para análise da situação de curtíssimo prazo da empresa. 
Liquidez Geral 
Por fim, temos a Liquidez Geral. Diferentemente dos três índices anteriores que avaliam a situação 
de curto prazo da empresa, a Liquidez Geral leva em consideração também todas as previsões de 
médio e longo prazo, incluindo no cálculo os direitos e obrigações a frente de 12 meses, como 
vendas parceladas, aplicações de longo prazo e empréstimos a pagar. 
Liquidez Geral = (Ativo Circulante + Realizável em Longo Prazo) / (Passivo Circulante + 
Exigível em Longo Prazo) 
Todos estes valores também podem ser obtidos no Balanço Patrimonial da empresa. 
Como analisar corretamente os Indicadores de Liquidez 
Como sempre repetimos aqui no Treasy, não há indicador certo ou indicador errado. Cada indicador 
traz informações diferentes para diferentes momentos de análise. 
Para uma ampla e correta análise de liquidez da empresa é aconselhável o estudo dos quatro 
índices de forma simultânea e comparativa, sempre observando quais são as necessidades da 
empresa, qual o ramo do mercado em que ela está inserida e quais as respostas que os gestores 
procuram ao calcular estes índices. 
O primeiro passo para a obtenção de indicadores de qualidade é ter os demonstrativos da empresa 
(Demonstrativo de Resultados, Balanço Patrimonial e Fluxo de Caixa) bem estruturados, com a 
correta classificação de cada conta. 
Desta forma certamente sua empresa irá melhorar as informações que dão base para uma melhor 
tomada de decisão dos gestores, levando a uma grande redução de riscos em relação ao 
futuro da empresa. 
Sem dúvida, a utilização mais tradicional da contabilidade refere-se a análise de desempenho, 
medido pelo balanço patrimonial e demonstração de resultado do exercício, além de outras 
demonstrações auxiliares. 
Não se avalia o desempenho de uma gestão apenas pelo resultado líquido do exercício (seja este 
lucro ou prejuízo), mas por uma série de componentes, indicativos da operação do negócio. 
Tais indicativos se baseiam em “índices financeiros”, que nada mais são que fórmulas objetivas, 
medindo determinadas características da gestão. 
Apresenta-se, a seguir, os principais índices financeiros. As siglas utilizadas são: 
• AC – Ativo Circulante 
• AP – Ativo Permanente 
• REOB – Receita Operacional Bruta 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
• ROB – Resultado Operacional Bruto 
• ROL – Receita Operacional Líquida 
• PL – Patrimônio Líquido 
• PC – Passivo Circulante 
• ELP – Exigível a Longo Prazo 
• ÍNDICES DE RENTABILIDADE 
• GIRO DO ATIVO = REOB / Ativo Total 
• Indica qual a geração de receitas sobre cada R$ do ativo. Quanto maior o índice, maior a 
capacidade de geração de receitas, indicando um bom desempenho de vendas e/ou uma boa 
administração dos ativos. 
• MARGEM LÍQUIDA = Resultado Líquido / ROL 
• Utiliza-se este índice para avaliar a performance de resultado (lucro ou prejuízo) sobre a receita. 
Obviamente, quanto maior o índice (se positivo), melhor a margem. 
• RENTABILIDADE DO PATRIMÔNIO LÍQUIDO = Resultado Líquido / (PL Médio – Resultado 
Líquido) 
• A remuneração do Patrimônio Líquido, representando os recursos dos donos, é representada 
pelos resultados gerados. Se este índice for inferior a taxa de aplicação financeira (líquida de 
impostos) no período, significa um desempenho insatisfatório. Espera-se que qualquer negócio tenha 
um desempenho mínimo de 50% superior a taxa de aplicação financeira. Desta forma, se a taxa 
(líquida de impostos) de aplicação, ao ano, corresponde a 14%, então espera-se um retorno mínimo 
sobre o PL de 21%. 
• Nota: para as empresas que creditam TJLP sobre o PL a seus sócios, acionistas ou titulares, o 
respectivo valor deve ser adicionado ao resultado, para composição da rentabilidade. 
• ÍNDICES DE ESTRUTURA DE CAPITAL 
• PARTICIPAÇÃO DE CAPITAL DE TERCEIROS = (PC + ELP) / Ativo Total 
• Indica qual a “dependência” dos negócios em relação a recursos de terceiros (bancos, 
fornecedores, recursos trabalhistas e tributários). 
• Uma participação próxima a 1 denota insolvência e extrema dependência de terceiros. O ideal é 
que esta participação seja igual ou inferior a 0,6. 
• ENDIVIDAMENTO A CURTO PRAZO = PC / (PC + ELP) 
• Evidencia qual o nível de exigibilidade de curto prazo do endividamento. Não existe uma regra 
geral para determinar qual o ideal para este índice, mas quando menor for o mesmo significa maior 
“folga” em relação ás dividas e compromissos existentes. 
• IMOBILIZAÇÃO DO PL = AP / PL 
• Reflete o “engessamento” dos recursos próprios, pois quanto maior o índice, maior a dependência 
de terceiros para atender compromissos financeiros. Um índice menor que 0,5 é recomendável. 
• IMOBILIZAÇÃO SOBRE RECURSOS NÃO CORRENTES = AP / (PL + ELP) 
• Uma variante do índice anterior. Avalia qual o nível de imobilização em relação aos recursos 
próprios e de terceiros de longo prazo. Quanto maior o índice, maior a imobilização. 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
ÍNDICES DE LIQUIDEZ 
LIQUIDEZ GERAL = (AC + RLP) / (PC + ELP) 
Demonstra a “viabilidade” de médio e longo prazo dos pagamentos de compromissos já assumidos. 
O índice mínimo é 1. Abaixo de 1, indica problemas de liquidez. 
LIQUIDEZ CORRENTE = AC / PC 
Evidencia a capacidade de pagamento de curto prazo. Um índice inferior a 1 indica problemas 
prementes de liquidez. 
LIQUIDEZ SECA = (AC – Estoques) / PC 
Como os estoques tem uma característica de permanência nas atividades da empresa (pois são 
indispensáveis a maioria das atividades de produção e comercialização), este índice procura 
demonstrar uma “liquidez real”, mediante a realização de ativos ditos “financeiros” (que se realizam 
em caixa). 
ÍNDICES DE REALIZAÇÃO FINANCEIRA 
PRAZO MÉDIO DE RECEBIMENTO (PMR) = Média de Clientes x 365/REOB 
Mede em quantos dias há o recebimento das receitas de vendas. 
PRAZO MÉDIO DE ESTOQUES (PME) = Média de Estoques x 365/Custos das Vendas 
Avalia o “giro” dos estoques, em dias. 
PRAZO MÉDIO DE COMPRAS (PMC) = Média de Fornecedores x 365/Compras 
Indica em quantos dias há o pagamento das compras efetuadas. 
CICLO DE CAIXA = PMR + PME – PMC 
Evidencia em quantos dias os recursos aplicados nas atividades operacionais demoram para retornar 
ao caixa. Quanto maior o ciclo, maior a necessidade de capitais para manter as atividades. 
Estrutura de capital e alavancagem financeira 
Análises do desempenho empresarial são ferramentas indispensáveis na gestão de negócios em um 
mundo altamente competitivo. São inúmeras as opções de financiamento e investimento existentes 
no mercado, por isto, investidores demandam informações sobre o seu retorno e se este compensa o 
risco incorrido. A geração deste retorno, somada à estabilidade financeira é um alvo que todas as 
companhias almejam alcançar e ali permanecer. 
Na execução de suas atividades as companhias necessitam de capital para se expandirem, 
proporcionarem maior retorno e a continuidade de suas operações. Nisso, deve-se optar por 
financiamento próprio, (aplicações dos proprietários ou acionistas e recursos gerados e retidos) ou de 
terceiros (empréstimos bancários e crédito junto a fornecedores, por exemplo). 
Sabe-se que o nível de endividamento (capital de terceiros) de uma empresa pode gerar 
consequências em dois extremos. De um lado, é benéfico quando os recursos são aplicados em 
ativos rentáveis e geridos com eficiência pela administração financeira. De outro, a má gestão dessas 
obrigações pode ser prejudicial ao crescimento da companhia. 
O objetivo do trabalho é analisar as influências da utilizaçãodo capital de terceiros na formação do 
retorno final dos acionistas e proprietários de negócios. 
A metodologia que norteou o estudo foi a revisão literária contendo obras e artigos atuais sobre o 
assunto. As principais referências foram: Assaf; Bernstein e Wild; Brealey, Myers e Allen; Prates e 
Leal; Merna e Al-Thani. 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Foram discutidas as principais teorias sobre a estrutura de capital, seus pontos fortes e fracos e 
interpretações sobre a alavancagem financeira. 
 
O trabalho foi desenvolvido na seguinte ordem: estrutura de capital; alavancagem financeira; 
desenvolvimento de fórmulas e conclusão. 
Cumpre ressaltar que o termo acionista, utilizado no desenvolvimento do estudo, é perfeitamente 
associado aos proprietários de empresas. 
ESTRUTURA DE CAPITAL 
Entende-se por estrutura de capital de uma empresa a “(...) composição de suas fontes de 
financiamento a longo prazo, oriundas de capitais de terceiros (exigível) e de capitais próprios 
(patrimônio líquido)” (ASSAF, 2006, p. 407). Diante disso, antes de optar por um dos recursos e em 
qual quantidade, é necessário a elaboração de estudos de viabilidade, projeções, análises históricas 
e por tendências e ainda, tentativas de responder aos seguintes questionamentos: Por quê a 
empresa precisa de novos recursos? Onde os mesmos serão aplicados? Uma vez definido o seu 
destino, qual a melhor fonte para este investimento? Qual o seu retorno esperado? 
A empresa precisa confrontar as características do financiamento e do investimento, antes de optar 
por recursos externos. Isso porque a necessidade de maturidade e coerência de prazos entre ambos 
é regra indispensável para não comprometer a estabilidade financeira. De acordo com Bernstein e 
Wild (2005, p. 179) "(...) a estabilidade financeira de uma empresa e risco de insolvência depende dos 
recursos financeiros, tipos e tamanhos de seus vários ativos". Na literatura consultada predominou a 
visão de que não existe uma estrutura de capital padrão a ser seguida. Cada empresa, de acordo 
com sua atividade operacional, setor da economia e objetivo a ser alcançado, decide sobre a melhor 
maneira de manter os recursos necessários ao financiamento de suas atividades. Várias teorias 
associam-se a essas decisões, as quais merecem ser mencionadas. 
Gitman (1997), chama de estrutura ótima de capital a manutenção do equilíbrio entre o risco incorrido 
e o retorno proporcionado, a qual associa-se diretamente à teoria convencional (ASSAF, 2006). Esta 
teoria propõe que o custo total de capital da empresa deve ser reduzido apenas até certo nível de 
endividamento. Após este ponto, a presença mais marcante do risco financeiro motivado pelo maior 
endividamento, faz com que o custo total passe a crescer. Desse modo, a teoria convencional aponta 
que o padrão de financiamento afeta o nível de investimento. Esta linha de pensamento é oposta à de 
Modigliani e Miller, os quais, segundo Assaf (2006, p. 412) baseiam-se no fato de que “(...) o valor de 
um investimento é dependente de sua rentabilidade esperada e do nível de risco assumido, e não da 
forma como ele é financiado”. 
Já Brealey, Myers e Allen (2006), em seus estudos, dão maior ênfase a outras duas teorias: pecking 
order e trade-off. 
A teoria pecking order estabelece a importância da lucratividade como principal fonte de 
financiamento. Este ocorre, primeiramente com retenção de lucro, depois, novos recursos tomados 
junto a terceiros e, finalmente novas subscrições de capital. Esta teoria explica a tendência de muitas 
empresas lucrativas tomarem menos emprestado por não precisarem de fundos externos, já que 
promovem o financiamento interno através da retenção de recursos. O inverso ocorre com empresas 
menos lucrativas, ao dependerem de financiamento externo para manter suas operações. A teoria 
não funciona em empresas novas e em crescimento, pois tendem a captar recursos através de novas 
integralizações de capital ou ações, quando recursos externos são precisos. 
A teoria trade-off estabelece o balanceamento entre as vantagens fiscais obtidas pelos empréstimos 
e o risco financeiro para determinar um nível ótimo de capital. Nesta teoria, alta lucratividade significa 
alta capacidade de endividamento e uma forte tendência de utiliza-la por gerar benefícios fiscais. 
Empresas com maior lucratividade tendem a operar com maior nível de capital de terceiros, ao passo 
que empresas menos lucrativas tendem a dar preferência ao financiamento interno. 
Ao comparar essas duas teorias, Strebulaev (2006) aponta uma falha significante na trade-off por 
possuir relação inversa entre alavancagem e lucratividade, o que é considerado por alguns escritores 
como ponto decisivo na sua rejeição. 
Outra teoria que merece menção é a teoria do portfólio (BERNSTEIN e WILD, 2005) a qual 
estabelece que o financiamento externo associa-se diretamente com o risco financeiro. Rege que 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
tanto o risco incorrido como o retorno esperado, devem ser considerados. Quanto maior o grau de 
risco de um investimento ou empréstimo, maior deve ser o retorno esperado para compensar o risco 
incorrido. 
Assim, os recursos tomados devem ser relacionados com o risco financeiro que podem gerar. Merna 
e Al-Thani (2005) comentam que os gestores de negócios precisam analisar se o retorno das 
aplicações justifica o risco incorrido e também a extensão das consequências se esse se materializar. 
Os autores definem o risco de maneira simples, como sendo uma ameaça ao sucesso e acrescentam 
a necessidade de identificá-lo e quantificá-lo. Afirmam serem três os componentes do risco que 
precisam ser levados em consideração na gestão financeira: algo ruim que pode acontecer, as 
chances deste acontecimento e as suas consequências. Sendo o objetivo primaz da administração 
financeira, a maximização do valor dos acionistas, Meulbroek (apud. MERNA e AL-THANI, 2005) 
afirma ser este o alvo do gerenciamento do risco. 
Kisgen (2006) aponta mais um fator como influência direta nas decisões de financiamento das 
empresas, que é o efeito provocado nas avaliações externas de crédito, conhecido como rating. 
Afirma que o melhor momento para as empresas tomarem recursos de terceiros é quando sua 
qualidade de crédito apresenta um histórico regular ao longo do tempo, ou mesmo, variação positiva. 
Em caso de qualidade de crédito duvidosa, é comum que os credores exijam maiores garantias, o 
que gera maior custo. 
Importante também é analisar a flexibilidade nas condições impostas pelo fornecedor do recurso. 
Assim ressalta Matarazzo (2003, p. 295): "(...) o que não puder renovar, não deve nem ser tomado". 
Diante do estabelecimento de teorias e estudo de sua aplicabilidade, antes da opção por determinado 
recurso, é indispensável a comparação entre suas características. É consenso na literatura 
especializada, o levantamento dos seguintes aspectos: 
Capital de terceiros 
Pontos positivos: 
- mais barato que o capital próprio, em situações econômicas normais; 
- as despesas financeiras são dedutíveis para o imposto de renda; 
- contribuição positiva na formação do retorno do acionista, quando o retorno proporcionado supera o 
custo da dívida. 
Pontos negativos: 
- prejudicial ao crescimento, em situações econômicas adversas; 
- exigibilidade líquida e certa, apresentando maior risco financeiro; 
- contribuição negativa na formação do retorno do acionista, quando o retorno proporcionado supera 
o custo da dívida. 
Capital próprio 
Pontos positivos: 
- mais barato que o capital de terceiros, em situações econômicas adversas; 
- proporciona maior folga financeira devido ao auxílio na liquidez; 
- quando o custo da dívida é alto, evita a contribuição negativa na formação do retorno doacionista. 
Pontos negativos: 
- os dividendos não são dedutíveis para o imposto de renda; 
- o retorno é incerto; 
- quando o custo da dívida é baixo, evita a contribuição positiva na formação do retorno do acionista. 
Ao considerar estes parâmetros, os controladores da empresa decidirão quais os melhores caminhos 
no alcance do objetivo traçado. 
A manutenção de alto nível de capital de terceiros, formando elevado endividamento, pode ser um 
ponto forte, desde que a empresa obtenha sucesso na aplicação destes recursos, suprindo o custo 
da dívida. É a essência da alavancagem financeira, conforme será abordado a seguir. Caso contrário, 
a displicência na sua gestão, pode levar a empresa a uma instabilidade sem reversão, ao 
comprometimento da flexibilidade financeira (BERNSTEIN e WILD 2000). 
 INDICADORES DE ESTRUTURA DE CAPITAIS 
 
11 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Assim, por mais que o endividamento em grandes proporções possa gerar uma alavancagem 
financeira favorável, leva também à necessidade frequente de liquidar obrigações, que será suprida 
somente se a empresa gerar recursos suficientes em suas atividades. É o que alerta Assaf (2006), ao 
afirmar que a participação destes recursos “(...) exerce certas pressões sobre os fluxos de caixa das 
empresas, determinadas principalmente pelas obrigações de caixa para juros e amortização do 
principal das dívidas”. Cita ainda duas regularidades que têm sido observadas na prática das 
empresas brasileiras ao escolherem sua estrutura de capital: 
- permanecer dentro da média de endividamento do seu setor e 
- diante de maiores incertezas, procuram manter maiores participações de recursos próprios 
financiando suas atividades, optando por segurança diante de oscilações de mercado. 
ALAVANCAGEM FINANCEIRA 
Tomando como base o dilema da administração financeira (liquidez x rentabilidade), analisa-se a 
relação entre posição financeira e retorno do acionista. Se uma empresa opta por trabalhar com alta 
liquidez, ela mantém um nível de endividamento baixo, evitando o risco financeiro através da 
manutenção de poucos recursos de terceiros em sua estrutura de capital. A empresa abre mão da 
rentabilidade que poderia ser proporcionada por estes recursos. Por outro lado, quanto maior o nível 
de endividamento, menor a liquidez e maior o risco financeiro. Mas é na sábia utilização destas fontes 
externas de recursos, que encontra-se o aumento da rentabilidade. Se a empresa, ao analisar os 
pontos fortes e fracos comentados no item anterior, aplica os recursos tomados em ativos que geram 
rendimentos maiores que o custo desta captação, temos a formação do spread. É a parcela gerada 
na utilização de capital de terceiros que, ao somar-se com o retorno das atividades operacionais 
formam o retorno final do acionista. Assim, a alavancagem financeira é definida por Silva (2006, p. 
536) como “(...) o impacto do uso de capitais de terceiros na geração de valor (...)”. 
Porém, é importante ressaltar que, se os recursos de terceiros aplicados não gerarem um resultado 
superior ao seu custo, o acionista terá o seu retorno prejudicado. Ou seja, a alavancagem financeira 
pode funcionar de maneira positiva ou negativa, maximizando ou minimizando o retorno do acionista. 
Bernstein e Wild (2000, p. 258) afirmam que "(...) quanto maior a alavancagem financeira, menor é a 
proporção de ativos financiados por capital próprio", sendo maior a participação de recursos de 
terceiros na estrutura de capital. Silva (2006) aponta também esta relação ao dizer que a 
alavancagem financeira muda conforme a modificação no percentual de dívida em relação ao ativo 
total. Assim, quanto maior a alavancagem financeira, maior o retorno do acionista e maior o risco 
financeiro. 
Existe forte tendência para que as empresas de grande porte apresentem uma alavancagem 
financeira maior. Isso ocorre por terem maior acesso ao mercado de crédito e de capitais do que 
pequenas e médias empresas. É o que afirma a pesquisa desenvolvida pelo Banco da Inglaterra e 
publicada no Financial Times (ATRILL e McLANEY 2005), na qual é citado o aumento da 
alavancagem financeira nas empresas de grande porte daquele país. O fato acontece também no 
Brasil, de acordo com um estudo realizado por Prates e Leal (2005). Porém, ressaltam que o efeito é 
inverso nas pequenas e médias empresas devido à restrição do mercado brasileiro de crédito e de 
capitais, já que diminui as fontes de financiamento disponíveis. Afirmam ser este o principal motivo 
pelo qual estas empresas têm dado preferência ao financiamento interno, através da retenção de 
lucros e diminuição da distribuição dos dividendos. Isto ocorre na maioria das vezes, por falta de 
alternativas e não por opção. 
Assaf (2006) aponta a alavancagem financeira como um auxílio à geração de valor econômico. Nesse 
caso, a utilização do capital de terceiros funciona como uma estratégia financeira. Segundo o autor, a 
criação de valor para o acionista acontece quando as receitas operacionais superam não apenas 
custos e despesas, mas também o custo de oportunidade do capital próprio. Assim, mesmo 
incorrendo em despesas financeiras que podem diminuir o lucro contábil, a utilização de recursos 
externos é um ponto estratégico na gestão baseada no valor, onde a valorização econômica da 
riqueza é o ponto central. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
	matematica financeira
	02 Matemática Financeira
	01 Capital de Giro
	01.1 Matemática Financeira
	02 Juros Simples e Composto
	03 Calcular Desconto de Duplicata
	04 Taxa de Juros
	04.1 CDB, RDB e Outros
	05 Taxa Real de Juros
	05.1 Indicadores de Estrutura de Capitais