2017-1 Fatorial 3x4 - Gabarito Aula

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UFLA – Departamento de Estatística
Estatística Experimental
Prof. Augusto Ramalho de Morais
Análise da Variância de Experimento Fatorial 3x4
 Um experimento foi conduzido no delineamento em blocos casualizado, com duas repetições, para avaliar a produção de três cultivares de trigo em associação com diferentes doses de adubo. Os tratamentos (combinação das cultivares com as doses de adubo) e os valores observados da produção, em kg, foram:
	Cultivar
	Doses
	Blocos
	Soma
	Média
	
	Adubo
	1
	2
	
	
	A
	0
	40
	60
	100(2)
	50
	
	10
	42
	52
	94
	47
	
	20
	40
	48
	88
	44
	
	30
	50
	50
	100
	50
	B
	0
	35
	39
	74
	37
	
	10
	50
	52
	102
	51
	
	20
	48
	52
	100
	50
	
	30
	55
	61
	116
	58
	C
	0
	60
	66
	126
	63
	
	10
	60
	70
	130
	65
	
	20
	62
	76
	138
	69
	
	30
	70
	80
	150
	75
	
	Soma
	 612(12)
	706
	 1318(24)
	54,9
	Quando se planeja um experimento desse tipo tem-se como finalidade o estudo simultâneo dos dois fatores, cultivares de trigo e doses de adubo, sobre a produção. Os efeitos desses fatores e sua interação são medidos por meio de uma ou mais variáveis resposta; aqui é apresentada somente a produção.
a) Fazer a análise de variância
	Cálculo das somas de quadrados: 
SQTotal = 
= 402 + 602 + ... + 802 - 
 =
	 = 3271,83
SQBlocos = 
 
 = 368,16
SQTratamentos = 
 = 2737,83
SQErro = SQTotal – SQBlocos – SQTratamentos =
 = 3271,82 – 368,16 – 2737,83 = 165,83
	Os demais componentes da tabela de análise da variância, como quadrados médios, valores do teste F, podem ser feitos ou calculados na própria tabela.
Tabela de análise da variância para a produção de trigo no experimento em blocos casualizados e os tratamentos sendo as combinações de três cultivares com quatro doses de adubo.
	 Fontes de
	Graus de
	Soma de
	Quadrados
	Fc
	Ft(5%)
	Variação
	Liberdade
	Quadrados
	Médios
	
	
	Blocos
	1
	368,16
	368,17
	24,42
	4,84
	Tratamentos
	11
	2737,83
	248,89
	16,51
	2,82
	Erro
	11
	165,83
	15,07
	
	
	Total
	23
	3271,83
	
	
	
	Como o valor crítico da distribuição de F é FT = 2,82, logo se rejeita H0, pois o valor de Fc é maior que o tabelado (crítico), indicando que existe alguma diferença significativa entre os tratamentos, logo os tratamentos afetam a produção de modo distinto. Nesse caso, deve-se estudar o efeito dos fatores que formam os tratamentos para verificar qual ou quais fatores que evidenciam o efeito dos tratamentos.
b) Determinar a análise da variância com desdobramento dos tratamentos
	Para o estudo dos tratamentos é necessário a obtenção de tabela auxiliar com os totais dos tratamentos e dos fatores (É a tabela mais importante dos experimentos fatoriais).
Tabela auxiliar com os totais de tratamentos.
	Cultivar
	
	Doses de adubo
	
	Soma de cultivar
	
	0
	10
	20
	30
	
	A
	100(2)
	94
	88
	100
	 382(8)
	B
	74
	102
	100
	116
	392
	C
	 126
	130
	138
	150
	544
	Soma de adubo
	300(6)
	326
	326
	366
	 1318(24)
Assim, com os valores desta tabela auxiliar, pode-se calcular:
SQCultivar = 
 = 2060,33
SQDoses = 
 = 371,16
SQCult x Doses = SQTratamentos – SQCultivar – SQRDoses =
 = 
- SQCultivar - SQDoses = 
 = 2737,83 – 2060,33 – 371,16 = 306,33.
	E assim, obtém a principal tabela de análise da variância dos experimentos fatoriais.
Tabela de análise da variância para a produção de trigo de experimento fatorial 3x4.
	 Fontes de
	Graus de
	Soma de
	Quadrados
	Fc
	Ft(5%)
	Variação
	Liberdade
	Quadrados
	Médios
	
	
	Blocos
	1
	368,16
	368,16
	24,42*
	4,84
	(Tratamentos)
	(11)
	(2737,83)
	248,89
	16,51*
	2,82
	Cultivar
	2
	2060,33
	1030,17
	68,33*
	3,98
	Doses
	3
	371,16
	123,72
	8,21*
	3,59
	Cul x Doses
	6
	306,33
	51,06
	3,39*
	3,09
	Erro
	11
	165,83
	15,07
	
	
	Total
	23
	3271,83
	
	
	
* Valores significativos pelo teste F (5%).
	Como houve efeito significativo de cultivar, doses e interação é aconselhável proceder a um estudo complementar, estudando um fator dentro dos níveis do outro fator. Este procedimento é referido como desdobramento da interação e, no caso, de dois fatores existe duas opções que podem ser realizadas: i) comparar as cultivares em cada doses de adubo e ii) comparar as doses de adubo em cada cultivar.
1º Caso – Comparar as cultivares em cada dose de adubo
	Neste tipo de desdobramento da interação tem-se como finalidade estudar ou comparar as diferentes cultivares em cada dose de adubo. As somas de quadrados são obtidas utilizando os totais de a tabela auxiliar. Calculam-se:
SQCultivar d. dose 0 = 
 = 
 = 15676,00 – 15000,00 = 676,00
SQCultivar d. dose 10 = 
 = 357,33
SQCultivar d. dose 20 = 
 = 681,33
SQCultivar d. dose 30 = 
 = 652,00
	Com estes valores pode-se estruturar uma tabela de análise da variância a qual vai permitir avaliar se houve efeito entre as cultivares em cada dose de adubo.
Tabela de análise da variância para estudar o efeito das cultivares em cada dose de adubo.
	 Fontes de
	Graus de
	Soma de
	Quadrados
	Fc
	Ft(5%)
	Variação
	Liberdade
	Quadrados
	Médios
	
	
	Blocos
	1
	368,16
	368,16
	24,42*
	4,84
	(Tratamentos)
	(11)
	(2737,83)
	248,89
	16,51*
	2,82
	Doses
	3
	371,16
	123,72
	8,21*
	3,59
	Cultivar d. dose 0
	2
	676,00
	338,00
	22,42*
	3,98
	Cultivar d. dose 10
	2
	357,33
	178,67
	11,85*
	3,98
	Cultivar d. dose 20
	2
	681,33
	340,67
	22,60*
	3,98
	Cultivar d. dose 30
	2
	652,00
	326,00
	21,62*
	3,95
	Erro
	11
	165,84
	15,07
	
	
	Total
	23
	3271,83
	
	
	
	Observa-se que houve efeito significativo entre as cultivares em todas as doses de adubo, nesse caso, deve-se aplicar um teste de comparação múltipla para identificar as cultivares mais adequadas.
i) Para dose 0:
médias ordenadas
mC = 126/2 = 63			
mA = 100/2 = 50
mB = 74/2 = 37
o valor da diferença mínima significativa para aplicação do teste de Tukey é
 	
 = 
 = 
 = 10,5 kg
Lembrando que este valor indica que, duas médias de tratamentos são consideradas diferentes, se a diferença entre suas médias for maior ou igual do que 10,5 kg. Como todas as diferenças entre duas médias são maiores do que 10,5, as três cultivares se diferem com relação à produção. Isto somente é válido para a dose 0.
ii) Para dose 10:
médias ordenadas
mC = 130/2 = 65
mB = 102/2 = 51
mA = 94/2 = 47
aqui identifica-se que as cultivares A e B são iguais, a diferença entre elas é menor do que 10,5; e que a cultivar C difere das cultivares A e B.
iii) Para a dose 20:
médias ordenadas
mC = 138/2 = 69
mB = 100/2 = 50
mA = 88/2 = 44
o valor da diferença mínima significativa é o mesmo de (i) e como a diferença entre as médias das cultivares A e B é menor do que 10,5, as duas cultivares não se diferem com relação a produção. Mas como as diferenças entre a média da cultivar C e as médias das cultivares A e B é maior do que 10,5, a cultivar C tem produção maior do que essas duas cultivares (na dose 20).
iv) Para dose 30:
médias ordenadas
mC = 150/2 = 75
mB = 116/2 = 58
mA = 100/2 = 50
o valor da diferença mínima significativa é o mesmo de (i) e assim, verifica-se que a cultivar C difere das cultivares A e B; e que as cultivares A e B não se diferem. 
	
		
	Estes resultados podem ser resumidos em uma tabela de dupla entrada.
Tabela. Valores médios de produção (kg) em função das diferentes cultivares para cada uma das doses de adubo e na media geral.
	Cultivar
	
	Doses de adubo
	
	Média
	
	0
	10
	20
	30
	
	A
	50 b
	47 b
	44 b
	50 b
	47,8 b
	B37 c
	51 b
	50 b
	58 b
	49,0 b
	C
	63 a
	65 a
	69 a
	75 a
	68,0 a
	
	
	
	
	
	
	Em todas as doses de adubo, as produções de a cultivar C foram maiores do que as produções das cultivares A e B. Na dose 0 de adubo, houve diferença significativa entre as cultivares A e B, sendo a cultivar A mais produtiva do que a cultivar B. Nas demais doses de adubo, não houve diferença significativa entre as cultivares A e B. Na ausência de adubo a cultivar A difere da B e, na presença de adubo, ambas as cultivares não se diferem. Em casos desse tipo, recomenda-se o uso da cultivar C por apresentar maiores produções e, estas serem diferentes de as produções das demais cultivares. Aqui, o comportamento diferente e que deve ser o maior responsável pela interação ter sido significativa, foi o observado na dose 0.
2º Caso – Comparar as doses de adubo em cada cultivar
	Neste tipo de desdobramento da interação tem-se como finalidade estudar o efeito das diferentes doses de adubo sobre as produções em cada uma das cultivares. As somas de quadrados são obtidas utilizando os totais de a tabela auxiliar. Calculam-se:
SQDoses d. Cult A = 
 = 68,25
SQDoses d. Cult B = 
 = 1826,25
SQDoses d. Cult C = 
 = 1899,00
	Com estes valores pode-se estruturar uma tabela de análise da variância a qual permite avaliar se houve efeito significativo das doses de adubo em cada cultivar. 
Tabela de análise da variância para produção para estudar o efeito das doses de adubo em cada cultivar.
	 Fontes de
	Graus de
	Soma de
	Quadrados
	Fc
	Ft(5%)
	Variação
	Liberdade
	Quadrados
	Médios
	
	
	Blocos
	2
	368,16
	368,16
	24,42*
	4,84
	(Tratamentos)
	(11)
	(2737,83)
	248,89
	16,51*
	2,82
	Cultivar
	2
	2060,33
	1030,17
	68,33*
	3,98
	Doses d. Cult A
	3
	49,50
	16,50
	1,09ns
	3,59
	Doses d. Cult B
	3
	460,00
	153,33
	10,17*
	3,59
	Doses d. Cult C
	3
	168,00
	56,00
	3,72*
	3,09
	Erro
	11
	165,83
	15,08
	
	
	Total
	23
	3271,83
	
	
	
* Valores significativos pelo teste F (5%). 
	
	Houve efeito significativo das doses de adubo sobre a produção das cultivares B e C, já para a cultivar A não houve efeito significativo. Nesse caso, como os níveis das doses de adubo são quantitativos é mais adequado utilizar a regressão para estudar o comportamento da produção em função das doses de adubo em cada cultivar. Aqui será mostrada apenas a regressão linear (simples), cujos cálculos podem ser feitos facilmente.
i) Cultivar A 
	Para a cultivar A, na qual não teve efeito significativo das doses de adubo, em geral não se procede-se os cálculos da análise de regressão.
	No caso de a cultivar A que não houve efeito significativo das doses, pode-se representar o seu comportamento pela média, ficando a equação de regressão do seguinte modo 
. E, podendo ainda plotar em um gráfico os valores médios observados.
ii) Cultivar B
	Para a cultivar B (e toda situação em que houve efeito significativo) apresenta-se uma sequencia de passos para a avaliação das doses de adubo por meio da análise de regressão.
Tabela auxiliar com valores médios para a cultivar B:
	I
	X
	Média = y
	Xy
	X2
	1
	0
	37
	0
	0
	2
	10
	51
	510
	100
	3
	20
	50
	1000
	400
	4
	30
	58
	1740
	900
	Soma
	60
	196
	3250
	1400
Tem-se 
, 
, 
Calculam-se
SQx = 
 = 
 = 500
SPxy = 
 = 
 = 310
Cálculo da soma de quadrados de regressão:
SQRL = 
 = 
 = 384,40
em que r é o número de repetições ou de dados usados para calcular as médias das doses de adubo na cultivar B.
SQDesvios = SQConc. d Cult B – SQRL = 460,00 - 384,40 = 75,60
Obtenção das estimativas dos parâmetros 
i) coeficiente de regressão (b1) ou inclinação ou coeficiente angular:
 = 
 = 0,62 kg
ii) coeficiente linear (b0) ou intercepto:
 = 
 = 39,7 kg
Logo, a equação de regressão linear estimada é
 (0 ≤ xi ≤30)
	A equação ajustada indica que, para cada uma (1) unidade que se aumenta na dose de adubo, espera-se um acréscimo médio na altura de plantas de 0,62 kg, quando se utiliza a cultivar B. Espera-se um aumento médio na produção de trigo de 0,62 kg para cada unidade que se adiciona de adubo. Espera-se obter uma produção de 39,7 kg caso não se faça uso do adubo. O modelo ajustado permite estimar produções em todo o intervalo estudado, de 0 a 30 kg de adubo. Por exemplo, pode-se estimar a produção para a dose de adubo de 15 kg; o valor esperado de produção caso fosse usar a concentração de 15 kg de MAP é
 = 49,0 kg de produção
Este valor indica que: espera-se que ocorra uma produção de 49 kg, quando se utilizar o adubo em a dose de 15 kg.
	Para valores de X fora desse intervalo, que é o domínio da função, não se deve fazer predição.
Coeficiente de determinação:
	O coeficiente de determinação é estimado por
 = 83,6%
indicando que, das variações ocorridas nas produções que são devidas ao adubo aplicado para a cultivar B, a equação de regressão linear explica 83,6%; o coeficiente de determinação mostra que 83,6% das variações ocorridas na produção devido ao adubo foram explicadas pela regressão linear.
Obtenção dos valores médios de altura de produção estimados e seus respectivos desvios de regressão.
Tabela auxiliar que apresenta os valores médios de produção de grãos, os valores estimados (ou esperados) pela regressão linear, em função das diferentes adubações, e respectivos desvios de regressão. 
	I
	Dose de adubo
	Médias observadas
	Médias estimadas
	Desvios
	
	
	(x)
	Y
	
	y - 
	
	i = 1
	0
	37
	39,7
	-2,7
	
	i = 2
	10
	51
	45,9
	5,1
	
	i = 3
	20
	50
	52,1
	-2,1
	
	i = 4
	30
	58
	58,3
	-0,3
	
	Soma
	60
	196
	196
	0,0
	
iii) Cultivar C
Tabela auxiliar com valores médios para a cultivar C:
	i
	X
	Média = y
	Xy
	X2
	1
	0
	63
	0
	0
	2
	10
	65
	650
	100
	3
	20
	69
	1380
	400
	4
	30
	75
	2250
	900
	Soma
	60
	272
	4280
	1400
Tem-se 
, 
, 
Calculam-se
SQx = 
 = 
 = 500
SPxy = 
 = 
 = 200
Cálculo da soma de quadrados de regressão:
SQRL = 
 = 
 = 160,00
em que r é o número de repetições ou de dados usados para calcular as médias das doses de adubo na cultivar B.
SQDesvios = SQDoses d. Cult C – SQRL = 168,00 - 160,00 = 8,00
Obtenção das estimativas dos parâmetros 
i) coeficiente de regressão (b1) ou inclinação ou coeficiente angular:
 = 
 = 0,40 kg
ii) coeficiente linear (b0) ou intercepto:
 = 
 = 62,0 kg
Logo, a equação de regressão linear estimada para a cultivar C é
, 
	O coeficiente de determinação é:
 = 95,2%
Indicando que, das variações ocorridas na cultivar C devidas as doses de adubo, 95,2% são explicadas pela regressão linear.
	A tabela a seguir mostra o estudo do efeito do adubo sobre as produções em cada cultivar; incluem-se o desdobramento do efeito das doses de adubos em efeitos de regressão e de desvios de regressão para cada cultivar.
Tabela de análise da variância para a produção com desdobramento da interação doses x cultivar e com estudo da regressão linear em cada cultivar.
	 Fontes de
	Graus de
	Soma de
	Quadrados
	Fc
	Ft(5%)
	Variação
	Liberdade
	Quadrados
	Médios
	
	
	Blocos
	1
	368,16
	368,17
	 24,42* 
	4,84
	(Tratamentos)
	(11)
	(2737,83)
	
	
	2,82
	Cultivar
	2
	2060,33
	1030,17
	68,33*
	3,98
	Doses d. Cult A
	3
	49,50
	16,50
	 1,09ns
	3,59
	Doses d. Cult B
	(3)
	(460,00)
	153,33
	10,17*
	3,59
	 Regressão linear
	 1
	384,40
	384,40
	25,50*
	4,84
	 Desvios
	 2
	75,60
	37,80
	 2,51ns
	3,98
	Doses d. Cult C
	(3)
	(168,00)
	56,00
	3,72*
	3,59
	 Regressão linear
	 1
	160,00
	160,11
	10,61*
	4,84
	 Desvios
	 2
	8,00
	4,00
	0,26ns
	3,98
	Erro
	22
	165,84
	15,07
	
	
	Total
	35
	3271,83
	
	
	
 * Valores significativospelo teste F (5%).
Interpretar os resultados obtidos
	Observa-se para a cultivar A não houve efeito significativo das doses de adubo sobre a produção e, desse modo, não se procedeu a utilização da análise de regressão.
	Para as cultivares B e C, verificou-se que o ajuste do modelo de regressão linear ajustou as produções em função das doses de adubo de modo adequado, podendo-se considerar que ocorreu um bom ajuste, fato evidenciado pela significância da regressão linear na análise da variância e da não significância dos desvios de regressão. Como as regressões lineares foram significativas isto indica que as produções podem ser representadas por pelas equações de regressão linear obtidas para as cultivares B e C. Pelos coeficientes de determinação pode-se observar que os ajustes podem ser considerados bons, explicando 83,6% para a cultivar B e 95,2% para a cultivar C das variações ocorridas nas produções devidas as doses de adubo.
	Nesse caso, os resultados podem ser sumarizados como na Figura 1, na qual se pode observar que o tracejar dos valores estimados pela equação de regressão se aproximam bem dos valores observados. Na escolha de um modelo de regressão não se deve atentar somente para o coeficiente de determinação, em geral ele deve ser o último item a ser avaliado; em primeiro, deve-se verificar a significância do modelo de regressão, a significância dos desvios de regressão e somente depois o coeficiente de determinação (R2). Observa-se na Figura 1 que à medida que se aumenta a dose de adubo houve um acréscimo na produção das cultivares B e C, sendo que para a cultivar A não se nota esse acréscimo. Para o caso de a cultivar B, espera-se um aumento médio na produção de 0,62 kg para cada uma unidade que se adiciona de adubo.
FIGURA 1. Representação gráfica, equação de regressão e coeficiente de determinação (R2) para a produção de três cultivares de trigo em função de diferentes doses de adubo. Lavras, 2015.
	 Nota-se que o comportamento da cultivar C foi semelhante ao da cultivar B, com taxa de acréscimo similar (0,62 kg para cultivar B e de 0,40 kg para cultivar C).
	As produções das cultivares B e C apresentam acréscimos significativos com o aumento da adubação e a cultivar A não responde ao aumento da adubação. 
ANEXO - Esboço do sorteio dos tratamentos na área experimental relativos a experimento fatorial 3 x4, com três cultivares (A, B, C) de trigo e quatro doses de adubo (), 10, 20, 30) e valores obtidos da produção (kg).
Bloco 1
	1 B 10: 50
	2 C 20: 62
	3 C 10: 60
	4 A 20: 40
	5 A 10: 42
	6 B 0: 35
	12 A 30: 50
	11 B 30: 55
	10 A 0: 40 
	9 C 0: 60
	8 B 20: 48
	7 C 30: 70
	Bloco 2
	
	
	
	
	
	1 C 20:76
	2 A 10: 52
	3 B 0: 39
	4 C 0: 66
	5 A 20: 48
	6 C 10: 70
	12 B 10: 52
	11 C 30: 80
	10 A 0: 60
	9 B 30: 61
	8 B 20: 52
	7 A 30: 50
1, ..., 12 Os índices indicam as parcelas em cada bloco.
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