LISTEX2 - solução

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
ECO 277 TEORIA MICROECONÔMICA I 
PROF. MARCELO S. PORTUGAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMERO 2 – SOLUÇÃO 
 
1. Obtenha a cesta que maximiza a utilidade do consumidor que tem uma renda 
monetária b = 51 reais e a função de utilidade 
212121 2),( qqqqqqU 
, quando os 
preços são p1 = 2 e p2 = 5. Verifique as condições de segunda ordem. Qual é a utilidade 
marginal da renda? 
Solução: 
 
 
5152:..
2,max
21
212121


qqas
qqqqqqU 
 
O Lagrangeano desse problema é: 
 
 212121 52512 qqqqqqL   
 
As condições de 1ª. ordem são dadas por: 
0212
1


 q
q
L
 (I) 
0521
2


 q
q
L
 (II) 
05251 21 


qq
L

 (III) 
 
De (I): 
2
12 
q

 (IV) 
 
De (II): 
5
21 
q

 (V) 
 
Igualando (IV) e (V): 
5
2
2
1 12 
 qq
 
4255 12  qq
 
152 21  qq
 
2
15 2
1


q
q
 (VI) 
 
Substituindo (VI) em (III): 
2 
515
2
15
2 2
2 




 
q
q
 
51515 22  qq
 
5010 2 q
 
52 q
 (VII) 
 
 
Substituindo (VI) em (VI): 
2
125
1

q
 
131 q
 
 
 
A cesta ótima é, portanto, (13,5). 
 
Condições de 2ª. ordem: 
 
 
0
5,13
2
1
2



q
L
 
 
   
1
5,1312
2
5,1321
2






qq
L
qq
L
 
 
 
0
5,13
2
2
2



q
L
 
 
 
201010
15
02
20
015
102
520
015
102
520
H
 
 
 
Assim, como 
02 H
, trata-se realmente de um ponto de máximo. 
 
A utilidade marginal da renda é dada pelo multiplicador de Lagrange, 

. 
Representa a utilidade extra gerada quando a renda aumenta em uma unidade monetária 
(em quanto aumenta a função objetivo quando relaxamos a restrição em uma unidade). 
Vejamos isso matematicamente. Diferenciando totalmente a utilidade com 
relação à renda, temos. 
 
 
db
dq
q
U
db
dq
q
U
db
dU 2
2
1
1 





 
 
3 
 
Da condição de 1ª. ordem do problema de maximização da utilidade, temos que: 
 
0





i
ii
p
q
U
q
L 
 
 
Portanto: 
i
i
p
q
U



 
Substituindo 
1q
U


 por 
1p
 e 
2q
U


 por 
2p
, temos: 
 
db
dq
p
db
dq
p
db
dU 2
2
1
1  
 
 
Colocando 

 em evidência: 
 







db
dq
p
db
dq
p
db
dU 2
2
1
1
 
 
Supondo que 
2211 dqpdqpdb 
, ou seja, uma variação na renda é dividida 
entre o consumo de ambos os bens, temos: 
 










2211
2
2
2211
1
1
dqpdqp
dq
p
dqpdqp
dq
p
db
dU 
 
 









2211
2211
dqpdqp
dqpdqp
db
dU 
 
 

db
dU
 
 
Ou seja: 
 
 rendaUMg
 
 
E para encontrar o valor de 

, podemos usar tanto (IV) quanto (V): 
 
rendaUMg

=
5
2
2
1 12 
 qq
= 3 
 
Portanto, se o consumidor dispusesse de uma unidade monetária adicional de 
renda, a sua utilidade seria aumentada em 3 unidades. 
 
 
4 
2. Se dois bens precisam ser usados conjuntamente em proporções fixas, suas curvas de 
indiferença para um consumidor são representadas por linhas retas com taxas marginais 
de substituição constantes. Comente. 
Resposta: 
Se os bens precisam ser usados conjuntamente, então eles são complementares. 
Como exemplos, podemos citar: chá e açúcar, carro e gasolina, etc.. Nesse caso, suas 
curvas de indiferença serão dadas por linhas que formam ângulos retos, como mostra a 
figura abaixo: 
 
 
 
 
Note-se que, nesse caso, o consumidor não possui taxa marginal de substituição, 
já que não é possível substituir um bem pelo outro e permanecer na mesma curva de 
indiferença (para aumentar a quantidade de um bem, é preciso aumentar também a 
quantidade do outro). 
 
 Curvas de indiferença representadas por linhas retas referem-se a bens 
substitutos, e estes apresentam taxas marginais de substituição constantes. 
 
 
3. Suponhamos que a função de utilidade de um consumidor, com renda de 48 reais, seja 
22),( yxyyxU 
, e que o preço do bem x é 4 reais e o preço do bem y é 5 reais. 
a) Quais serão as quantidades consumidas de cada um dos bens caso o consumidor 
maximize sua utilidade. 
Solução: 
 
4854:..
2max 2


yxas
yxy
 
 
O Lagrangeano desse problema é dado por: 
 yxyxyL 54482 2   
 
Condição de 1ª. ordem: 
 
042 

 y
x
L
 (I) 
0522 

 yx
y
L
 (II) 
05448 


yx
L

 (III) 
5 
 
De (I): 
24
2 yy

 (IV) 
 
E de (II): 
5
22 yx 

 (V) 
 
Igualando (IV) e (V): 
 
5
22
2
yxy 

 
yxy 445 
 
xy 4
 (VI) 
 
Substituindo (VI) em (III): 
  48454  xx
 
48204  xx
 
4824 x
 
2x
 (VII) 
 
Usando (VII) em (VI): 
24y
 
8y
 
 
 Assim, caso o consumidor maximize a sua utilidade, a quantidades consumidas 
de x e y serão, respectivamente, 2 e 8. 
 
 
b) Desenhe a curva de preço-consumo supondo que y seja um bem inferior (mantenha o 
preço de x constante). 
Resposta: 
 Se y é um bem inferior, então um aumento na renda provoca uma queda em sua 
demanda, ou seja, o efeito-renda é negativo. Note-se, porém, que apesar do efeito renda 
ser negativo, no caso geral de bens inferiores, ele não supera o efeito substituição a 
ponto de tornar a curva de demanda positivamente inclinada. Isso ocorre apenas no caso 
especial dos bens de Giffen, onde o efeito renda supera o efeito substituição, gerando 
uma curva de demanda positivamente inclinada. Dessa forma, considerando o caso 
“geral” de bens inferiores, a curva de preço consumo de y deverá gerar uma curva de 
demanda negativamente inclinada. 
 Para desenhar a curva de preço consumo, variamos o preço de y e vemos o que 
acontece com a sua quantidade demandada, lembrando que a renda nominal deve 
permanecer constante. Assim, supondo que y é um bem inferior, a sua curva de preço 
consumo será algo da forma: 
 
6 
 
 
 
 
4. A função de utilidade de um consumidor é 
xyyxyxU 52),( 22 
. Supondo que 
ele maximiza sua utilidade e que os preços de x e y são, respectivamente, 5 e 10, e que 
sua renda é de 120 reais, obtenha as quantidades consumidas. 
Solução: 
 
120105:..
52:.max 22


yxas
xyyx
 
 
 O Lagrangeano do problema é dado por: 
 
 yxxyyxL 10512052 22   
 
Condições de 1ª. ordem: 
 
0552 

 yx
x
L
 (I) 
01054 

 xy
y
L
 (II) 
0105120 


yx
L

 (III) 
 
 
De (I) temos: 
 
yx 525 
 
5
52 yx 

 (IV) 
 
E de (II): 
 
xy 5410 
 
10
54 xy 

 (V) 
7 
 
Como 
 
: 
 
10
54
5
52 xyyx 


 
xyyx 54104 
 
yx 6
 (VI) 
 
 
Substituindo (VI) em (III): 
 
  1201065  yy
 
1201030  yy
 
3y
 (VII) 
 
Assim: 
36x
 
18x
 
 
 A cesta ótima é, portanto: (18,3). 
 
 
5. Discuta a afirmação: "Todo bem de Giffen é um bem inferior mas nem todo bem 
inferior é um bem de Giffen". 
Resposta:A afirmação está correta. Sabemos que um bem inferior apresenta o efeito renda 
negativo (aumento da renda provoca diminuição da demanda). O bem de Giffen é um 
bem tão inferior, que o efeito renda supera o efeito substituição. Assim, dada uma 
variação positiva no preço do bem, a sua demanda irá aumentar e, dessa forma, a curva 
de demanda será positivamente inclinada. Portanto, bens de Giffen são um caso 
particular dos bens inferiores. 
 
 
6. Seja a curva de Engel expressa por 
x k b 3
, onde k é uma constante positiva e b é 
a renda. Indique, justificando sua resposta, que tipo de bem (normal, inferior ou 
superior) pode ser representado por essa função. 
Solução: 
 
Vamos variar a renda e verificar o que acontece com a quantidade consumida: 
 
  0
32
3
2
2
1




 
b
k
b
k
b
x
 
 
Como a derivada primeira da curva de Engel é positiva, temos que um aumento 
na renda do consumidor leva a um aumento na quantidade consumida do bem. Assim, o 
bem x não pode ser um bem inferior. Para verificar se o bem é normal ou superior (de 
luxo), vejamos o comportamento da derivada segunda: 
 
8 
 
 
0
34
3
4 3
2
3
2
2




 
b
k
b
k
b
x
 
 
 Como a derivada segunda da curva de Engel é negativa, a quantidade consumida 
do bem cresce a taxas decrescentes, o que caracteriza um bem normal. 
 
 
7. Como é que uma curva de demanda pode ser construída a partir da uma curva de 
preço-consumo? 
Resposta: 
A curva de preço consumo fornece a quantidade demandada do bem para diferentes 
níveis de preços. Assim, para construir a curva de demanda a partir da curva de preço 
consumo, basta transportamos essa informação para o gráfico cuja abscissa é o preço e a 
ordenada é a quantidade, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
8. Comente as afirmativas abaixo. 
a) Caso se mantenha constante a renda real do consumidor, uma modificação nos preços 
relativos dos produtos não terá nenhum efeito sobre as quantidades por ele consumidas 
de cada bem. 
Resposta: 
Note que a afirmação se refere exatamente ao efeito substituição, onde a renda real não 
muda, mas apenas a inclinação da reta orçamentária (pois se modificam os preços 
relativos). Essa alteração de preços relativos fará com que o consumidor substitua um 
bem pelo outro, alterando as quantidades por ele consumidas originalmente. Assim, a 
afirmativa é falsa. 
 
b) É possível que a demanda de um bem em particular seja ao mesmo tempo preço-
elástica e preço-inelástica. 
Resposta: 
Para ver que isso é perfeitamente possível, consideremos, por exemplo, a curva de 
demanda linear: 
bpaq 
 
 
Nesse caso, temos que a inclinação da demanda é constante e igual a –b.. 
A elasticidade preço da demanda é dada por: 
9 
q
p
p
q
p



 
 
Que nesse caso é: 
q
bp
p 
 
 
Assim: 
quando 
00  pp 
 
quando 
 pq 0
 
 
E a elasticidade-preço da demanda será unitária quando: 
11 
q
bp
p
 
b
q
p 
 
 
Como 
bpaq 
: 
 
b
bpa
p


 
bpapb 
 
apb 2
 
b
a
p
2

 → ponto médio da curva de demanda. 
 
 
 
 
 
 
 
9. Quais as propriedades das curvas de indiferença? 
Resposta: 
 
As propriedades das curvas de indiferença são as seguintes: 
 
10 
- não se cruzam. Se isso ocorresse, teríamos uma inconsistência lógica com o axioma da 
transitividade: 
 
 
 
 Pelo gráfico acima, A ~ B e A ~ D, pois tais cestas estão nas mesmas curvas de 
indiferença. Considerando o axioma da transitividade, deveríamos observar B ~ D. 
Porém, B 

 D, pois situa-se numa curva de indiferença mais alta. Dessa forma, temos 
uma inconsistência com o axioma da transitividade. Logo, as curvas de indiferença não 
podem se cruzar. 
 
- substitutibilidade no consumo: o consumidor pode substituir um bem pelo outro de 
forma que permaneça na mesma curva de indiferença. 
 
- são densas no espaço de consumo, ou seja, por cada ponto no espaço de mercadorias 
passa uma curva de indiferença. 
 
- são estritamente convexas (preferência pela diversificação). 
 
 
10. Mostre que a elasticidade preço é constante quando a demanda é uma hipérbole do 
tipo 
q kp a 
, onde k e a são constantes, q é a quantidade e p o preço. 
Solução: 
 
A elasticidade-preço da demanda é dada por: 
q
p
akp
q
p
p
q a
p
1



 
 
Como 
q kp a 
, temos: 
a
a
p
kp
p
akp

 1
 
ap 
 
 
 
11. Seja a função de utilidade 
221121 lnln),( xxxxU  
, onde 
 1 2 1 
. Seja p1 
o preço de x1 e p2 o preço de x2 . A renda do consumidor é b, tal que b p x p x 1 1 2 2. 
Derive a curva de demanda por x1 e x2. 
Solução: 
bxpxpas
xx


2211
2211
:..
lnlnmax  
 
11 
O Lagrangeano desse problema é: 
 22112211 lnln xpxpbxxL   
01
1
1
1



p
xx
L 
 (I) 
02
2
2
2



p
xx
L 
 (II) 
02211 


xpxpb
L

 (III) 
 
De (I): 
11
1
px

 
 (IV) 
 
De (II): 
 
22
2
px

 
 (V) 
 
Igualando (IV) e (V): 
22
2
11
1
pxpx


 
112221 pxpx  
 
2
1
2
2
1
1 x
p
p
x



 (VI) 
Substituindo (VI) em (III): 
 
022
12
221
1 





 xp
p
xp
pb

 
bxp
xp






22
2
221

 
bp
p
x 





 2
2
21
2 
 
b
pp
x 




 
2
2221
2 
 
 
b
p
x 




 
2
212
2 
 
Como 
121 
: 
b
px

2
22

 
2
2
2
p
b
x


 - função demanda por x2. 
 
12 
Analogamente, a demanda por x1 será dada por: 
 
1
1
1
p
b
x


 
 
 
12. Resolva o seguinte problema de minimização de gastos para um dado nível de 
utilidade. 
 
min x y
s a xy y
 
 
4 5
2 962

 . .
 
 
Compare os resultados com aqueles obtidos no exercício 3. Como esses dois problemas 
se relacionam? 
Solução: 
 
O Lagrangeano desse problema é dado por: 
 
 229654 yxyyxL   
024 

 y
x
L
 (I) 
0225 


yx
y
L 
 (II) 
 
0296 2 


yxy
L

 (III) 
 
De (I): 
yy
2
2
4

 (IV) 
 
E de (II): 
  522  yx
 
 yx 

2
5

 (V) 
 
Igualando (IV) e (V): 
 yxy 

2
52
 
  yyx 54 
 
yyx 454 
 
4
y
x 
 (VI) 
 
Substituindo (VI) em (III): 
13 
0
4
296 2 





 yy
y
 
96
2
2
2
 y
y
 
96
2
3 2

y
 
3
2
962 y
 
642 y
 
8y
 
 
Como não podemos ter quantidades negativas: 
8y
 
 
Substituindo esse valor em (VI): 
2x
 
 
Assim, obtivemos os mesmos valores do exercício 3. Isso ocorre porque o problema de 
minimização dos gastos é o dual do problema de maximização da utilidade: 
Maximização da utilidade: fixa-se a renda e verifica-se qual é o maior nível de utilidade 
que se pode obter. 
Minimização dos gastos: fixa-se a quantidade e verifica-se qual é a menor reta 
orçamentária que permite atingir tal nível de utilidade. 
 
 
 
 
 
 
13. Comente as seguintes proposições, explicando se e porque são corretas, erradasou 
incertas. 
a) A elasticidade-renda da procura de batatas é negativa e a da carne positiva. Se a oferta 
de ambos os produtos é rígida, o preço da carne em relação ao da batata subirá nas 
épocas de prosperidade econômica e baixará nos de depressão. 
Resposta: 
14 
Temos o seguinte comportamento para os bens: 
 



normal) (bem carne de consumo o aumenta
inferior) (bem batatas de consumo o diminui
renda da Aumento
 
 
 
Considerando a oferta dos produtos rígida, temos que: 
 
Para o mercado de batatas: 
Prosperidade econômica = aumenta da renda 

 diminui o consumo de batatas. Se a 
oferta está rígida, tal diminuição no consumo levará a uma diminuição no preço da 
batata, para manter o mercado em equilíbrio. 
Depressão econômica = diminuição da renda 

 aumenta o consumo de batatas. Se a 
oferta está rígida, tal aumento no consumo de batatas deverá levar a um aumento no seu 
preço, a fim de manter o mercado de batatas em equilíbrio. 
 
Para o mercado de carne: 
Prosperidade econômica = aumenta da renda 

 aumenta o consumo de carne. Se a 
oferta está rígida, tal aumento no consumo levará a uma aumento no preço da batata, 
para manter o mercado em equilíbrio. 
Depressão econômica = diminuição da renda 

 diminui o consumo de carne. Se a 
oferta está rígida, tal aumento no consumo de deverá levar a um aumento no preço da 
carne, a fim de manter o mercado de em equilíbrio. 
 
 Logo, temos o seguinte comportamento do preço da carne em relação ao da 
batata: 
 













batata
carne
batata
carne
batata
carne
batata
carne
p
p
p
p
depressão
p
p
p
p
deprosperida
:
:
 
 
 
 A afirmativa está, portanto, correta. 
 
 
b) A manteiga e a margarina são substitutos próximos; isso significa que as suas curvas 
de demanda devem ter elasticidades-renda bastante próximas. 
Resposta: 
O fato de dois produtos serem substitutos próximos não implica que suas elasticidades-
renda sejam próximas. Se dois bens são substitutos próximos, isso significa que a 
elasticidade-preço cruzada entre eles é positiva e alta, o que não tem implicação sobre a 
elasticidade-renda. 
Substitutos próximos

1
2
2
1
12
q
p
p
q




0 
 
 
c) A curva de demanda de um bem será ascendente se a elasticidade-renda for positiva. 
15 
Resposta: 
A curva de demanda ascendente ocorre apenas para o caso dos bens de Giffen, nos 
quais o efeito renda é negativo e MAIOR que o efeito substituição. No caso “geral” dos 
bens inferiores (os quais possuem elasticidade-renda negativa), a curva de demanda é 
negativamente inclinada, pois o efeito renda negativo não é suficiente para superar o 
efeito substituição. 
Um bem com elasticidade-renda positiva terá SEMPRE uma curva de demanda 
negativamente inclinada (pois o efeito-renda e o efeito substituição agirão na mesma 
direção). 
A afirmativa é, portanto, falsa. 
 
14. Explique o sinal da elasticidade preço cruzada para bens substitutos e 
complementares. 
Resposta: 
A elasticidade preço cruzada é dada por: 
1
2
2
1
12
x
p
p
x



 
Se 
012 
, um aumento em 
2p
 leva a um aumento no consumo de 
1x
. Nesse caso, os 
bens são substitutos, já que há uma substituição do bem que ficou relativamente mais 
caro pelo outro. Exemplos típicos são margarina e manteiga, pepsi e coca-cola, gasolina 
e álcool, entre outros. 
Se 
012 
, um aumento em 
2p
 leva a uma diminuição no consumo de 
1x
. Nesse caso, 
os bens são complementares, já que o aumento no preço de um, leva a uma diminuição 
no consumo de outro, o que significa que os bens são consumidos juntos. Exemplos 
típicos são carro e gasolina, café e adoçante, entre outros. 
 
 
15. A partir da receita total, derive a relação entre a receita marginal e a elasticidade-
preço da demanda. 
Solução: 
A receita total é dada por: 
pqRT 
 
 
Mas 
)(qfp 
 - função demanda inversa. Portanto: 
qqfRT )(
 
 
A Receita Marginal é, então: 
 
)(
)(
qfq
q
qf
RMg
q
RT





 
q
dq
qdf
qfRMg
)(
)( 
 
 
Como 
)(qfp 
: 
 
q
dq
qdf
pRMg
)(

 
16 
Multiplicando e dividindo 
q
dq
qdf )(
 por p, temos: 
q
dq
qdf
p
p
pRMg
)(

 
 







p
q
dq
qdf
pRMg
)(
1
 
Note que 
p
q
dq
qdf )(
 é exatamente o inverso da elasticidade preço da demanda. Assim, 
podemos escrever: 
 









p
pRMg

1
1
 
 









p
pRMg

1
1
 
 
Dessa forma, temos: 
01  RMgp
: uma diminuição no preço eleva a quantidade consumida na mesma 
proporção, mantendo a receita total inalterada. 
01  RMgp
: nesse caso, a demanda é elástica e uma diminuição no preço eleva a 
quantidade consumida em uma proporção maior, aumentando a receita total. 
01  RMgp
: nesse caso, a demanda é inelástica e uma diminuição no preço eleva 
a quantidade consumida em uma proporção menor, diminuindo a receita total. 
 
 
16. Decomponha graficamente o efeito preço em efeito renda e efeito substituição para 
bens normais e bens inferiores. 
Solução: 
 Lembrando que o aumento do preço de um bem tem dois efeitos (considerando 
que o preço do bem 1 tenha aumentado): 
 
 Efeito substituição: o consumidor substitui o bem 1 pelo bem 2, pois há uma 
mundança nos preços relativos, porém a renda real permanece constante. Dessa 
forma, haverá uma mudança na inclinação da reta orçamentária, mas esta deverá 
tangenciar a mesma curva de indiferença. Assim, o efeito substituição nos 
fornece a variação no consumo que é conseqüência apenas da variação nos 
preços relativos. 
 
 Efeito renda: o aumento no preço de um bem torna o consumidor mais pobre. 
Assim, ele deve diminuir o consumo do bem 1. Note que, aqui, os preços 
relativos permanecem constantes. Assim, o efeito renda nos fornece a variação 
no consumo que é conseqüência apenas da variação na renda real. 
 
 
17 
Além disso: 
 
Bens normais: um aumento na renda leva a um aumento na demanda. O efeito renda é 
positivo e o efeito total será negativo. 
 
ERESET


 
 
Bens inferiores: um aumento na renda leva a uma diminuição na demanda. O efeito 
renda é negativo: 
ERESET


?
 
 O efeito total será negativo se o ES > ER. O efeito total positivo (ER > ES) 
ocorre apenas para os bens de Giffen. 
 
Façamos, agora, a decomposição gráfica: 
 
a) Bem normal: 
 Considere uma diminuição no preço de bem 1 de p1 para 
'
1p
: 
 
 
b) Bem inferior: 
 
18 
 
 
c) Bem de Giffen 
 
 
 
17. (Anpec-96) Um consumidor tem suas preferências representadas pela função 
utilidade 
vavaU ),(
, onde a = quantidade de alimento e v = quantidade de 
vestuário, e os parâmetros 
  e  0 0
. Comente as afirmações. 
 
a) Se o preço do alimento for maior que o preço do vestuário, então o consumidor irá 
demandar uma quantidade maior de vestuário do que a de alimento. 
Resposta: 
Vamos resolver o problema de maximização e encontrar as demandas por a e v: 
19 
bvpapas
va
va :..
max 
 
 
 vpapbvaL va  
 
 
Condições de 1ª. ordem: 
 
01 

 
apva
a
L  
 (I) 
01 

 
vpva
v
L  
 (II) 
0


vpapb
L
va
 (III) 
 
De (I): 
ap
va 

1

 (IV)E de (II): 
vp
va 1



 (V) 
 
Como 
 
, (IV) = (V): 
 
va p
va
p
va 11 

  
 
va p
v
p
a 11 


 
v
a
p
p
a
v



 
vpap va  
 (VI) 
 
Isolando a em (VI), temos: 
 
a
v
p
vp
a



 (VII) 
 
Substituindo (VII) em (III): 
bvp
p
vp
p v
a
v
a 
 
 
bvp
vp
v
v 

 
20 
bp
p
v v
v 







 
b
pp
v vv 









 





 


 vv pp
b
v
 
  vp
b
v




 - função demanda por vestuário 
 
Analogamente: 
  ap
b
a




 - função demanda por alimento 
 
 Assim, precisamos saber os valores das constantes 

 e 

 para fazer qualquer 
inferência sobre as demandas de vestuário e de alimento na situação descrita no 
enunciado. A afirmativa é, portanto, falsa. 
 
b) Se 
 
, os dispêndios do consumidor com os dois tipos de bens são iguais, para 
quaisquer níveis de preços não nulos. 
Resposta: 
O dispêndio com o bem a é dado por: 
   







b
p
b
pap
a
aa
 
 
O dispêndio com o bem v é dado por: 
   







b
p
b
pvp
v
vv
 
 
Como 
 
: 
   






bb
 
 
A afirmação é, portanto, verdadeira. 
 
 
c) Se 
1  
, a função utilidade é convexa, implicando que inexiste solução de 
máxima utilidade do consumidor. 
Resposta: 
Uma função de utilidade convexa gera curvas de indiferença côncavas. Nesse caso, a 
maximização da utilidade produz uma solução de canto. Assim, existe sim uma solução 
de máxima utilidade para o consumidor. 
 
 
 
21 
d) Se 
1  
, as utililidades marginais dos dois bens são crescentes. 
Resposta: 
Temos que: 
a
va
vaUMga

   1
 
v
av
vaUMgv

   1
 
 
Para verificar se as utilidades marginais são crescentes ou decrescentes, precisamos 
verificar os sinais das derivadas primeiras. Então, para os alimentos: 
 
  21 

   av
a
UMga
 
222  

   avav
a
UMga
 
   

  22av
a
UMga
 
 
O primeiro termo entre parênteses na expressão acima é sempre positivo. Assim: 
 
1 se ,0 2 

 
a
UMga
 
 
E para o vestuário: 
  21 

   va
v
UMgv
 
222  

   vava
v
UMgv
 
   

  22va
v
UMgv
 
 
Novamente: 
1 se ,0 2 

 
v
UMgv
 
 
Portanto, a afirmativa é falsa. Desde que 
1
 e 
1
, as utilidades marginais dos 
dois bens serão decrescentes, e isso inclui casos nos quais 
1  
, por exemplo, 
11,15,0 ;6,0   . 
 
18. (Anpec-96) Considere um consumidor residente em Recife, com preferências 
estritamente convexas. A renda total desse consumidor é constituída por um salário 
mensal de R$ 400, sendo que o mesmo consome 100 unidades do bem A e 200 unidades 
do bem B, por mês, com P A  2 reais e PB  1 real, o que lhe fornece um nível de 
utilidade U = 40. A empresa onde ele trabalha pretende transferi-lo para São Paulo, onde 
P A  1 real e PB  2 reais. Caso isso ocorresse, ele passaria a consumir 200 unidades 
do bem A e 100 unidades do bem B, o que lhe propiciaria um nível de utilidade de U = 
20. Comente as afirmações. 
22 
 
a) Não se pode afirmar que ele é maximizador de utilidade, pois aos novos preços a sua 
escolha implica em redução de utilidade. 
Resposta: 
Note que estamos modificando a reta orçamentária. O consumidor está gastando toda a 
sua renda e, portanto, a sua escolha está sobre a reta orçamentária. A cesta auferida em 
Recife, que gera um nível de utilidade maior, não é factível em SP. Para conseguir 
comprar a mesma cesta de bens de Recife em São Paulo, o consumidor precisaria de 
uma renda mensal de R$500,00 (100

R$1,00 + 200

R$2,00 = R$500,00). A 
afirmativa é, portanto, FALSA. 
 
b) Dado que em Recife U = 40 e em São Paulo U = 20, pode-se afirmar que a sua 
situação em Recife é duas vezes melhor do que aquela que obteria em São Paulo. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. Lembre-se que na teoria do consumidor a função de utilidade 
ORDENA as preferências; a quantidade de utilidade não tem relevância isoladamente. 
Como URecife > USP, apenas podemos afirmar que o consumidor estaria melhor em 
Recife, já que estaria numa curva de indiferença mais alta. Não é possível fazer qualquer 
inferência sobre a diferença entre a situação do indivíduo nas duas cidades. 
 
c) O consumidor estaria disposto a se mudar desde que ele obtivesse um aumento de 
salário de R$100. 
Resposta: 
Com um aumento no salário de R$100,00, o consumidor poderia obter o mesmo nível 
de utilidade que possuía em Recife e, portanto, estaria disposto a se mudar: 
 
5002002$1001$  RR
 
 
 
d) O consumidor não estaria diposto a se mudar por um aumento de salário menor que 
R$ 100. 
Resposta: 
Note que os preços relativos nos dois Estados são diferentes e, portanto, é possível que o 
consumidor atinja um nível de utilidade mais alto, mesmo com uma renda inferior. Para 
fazermos esse tipo de inferência, precisaríamos conhecer a função de utilidade deste 
consumidor. Portanto, a afirmativa é falsa. 
 
19. (Anpec-96) Através de uma política cultural, o Governo pretende incentivar o 
retorno das pessoas ao cinemas. Após alguns estudos, chegou-se à conclusão de que a 
elasticidade- renda de demanda per capita de cinema é constante e igual a 1/4 e a 
elasticidade-preço é também constante e igual a -1. Os consumidores gastam, em média, 
R$ 200,00 por ano com cinema, tem renda média anual de R$ 12000,00, e cada bilhete 
custa atualmente R$2,00. Comente as afirmações. 
 
a) Um desconto de R$ 0,20 no preço do bilhete teria o mesmo efeito, dado o objetivo da 
política, de uma elevação de R$ 4800,00 na renda média. 
Resposta: 
 
Resumindo as informações do enunciado, temos: 
renda
 = ¼ 
23 
1preço
 
gastos médios com cinema: R$200,00/ano 
renda média: R$12.000,00/ano 
custo cinema: R$2,00/bilhete 
 
O efeito de um desconto de R$0,20 no preço do bilhete pode ser obtido através da 
elasticidade-preço da demanda: 
 
p
p
x
x
preço



 
onde: 
x = demanda por cinema (bilhetes). Nesse caso, como os consumidores gastam, em 
média, R$200,00/ano em cinema e como o preço do bilhete é de R$2,00, temos que x = 
100 bilhetes. 
 
 20,0
2
100
1



x
 
2
20,0
100

x
 
10x
 
 
Assim, com a redução no preço do bilhete de R$0,20, haveria uma variação na demanda 
por cinema de 10 unidades per capita. 
 
O efeito na demanda por cinema de uma elevação de R$4.800,00 na renda média pode 
ser obtido através da elasticidade-renda da demanda: 
 
b
b
x
x
renda



 
800.4
000.12
1004
1 x

 
 
10x
 
 
 Dessa forma, com uma elevação na renda média de R$4.800,00, haveria uma 
variação na demanda por cinema de 10 unidades per capita. 
 
 A afirmativa é, portanto, verdadeira. 
 
 
b) Se o governo pretendesse desincentivar a ida ao cinema, a instituição de um imposto 
de 100% sobre o preço do bilhete faria com que os consumidores deixassem de ir ao 
cinema. 
Resposta: 
Como a elasticidade-preço da demanda é igual a -1, um aumento de 100% no preço do 
bilhete diminui a quantidade demanda em 100%. A afirmativa é, portanto,verdadeira. 
 
 
24 
c) A elasticidade-renda igual a 1/4 implica que, se a renda aumentasse R$ 1000,00, o 
número médio de sessões de cinema por consumidor aumentaria em 250 por ano. 
Resposta: 
O número médio de sessões de cinema por consumidor é de 100 (R$200,00/R$2,00). Se 
houvesse um aumento na renda de R$1000,00, teríamos: 
bb
xx
renda
/
/



 
12000/1000
100/
4
1



x
 
12
1
4
1
100

x
 
2x
 
 
Assim, com um aumento na renda de R$1000,00, a demanda por cinema aumentaria em 
aproximadamente 2 unidades por consumidor. A afirmativa é, portanto, falsa. 
 
20. (Anpec-96) Em relação à teoria do consumidor sob condições de risco, pode-se 
afirmar que: 
a) A concavidade das curvas de indiferença em relação a origem representa a aversão ao 
risco dos consumidores. 
Resposta: 
O que representa aversão ao risco é a concavidade da função de UTILIDADE em 
relação à origem. Se o indivíduo é avesso ao risco, a sua função utilidade deve ser 
côncava. E as curvas de indiferença de utilidade côncavas são convexas em relação à 
origem. 
 
 
 
 
b) Se um consumidor é neutro com respeito a riscos, então ele estará disposto a pagar 
R$ 10 por um bilhete de loteria, se este lhe fornecer um ganho esperado de R$ 10,00. 
Resposta: 
Um indivíduo avesso ao risco é aquele cuja utilidade esperada da riqueza é exatamente 
igual à utilidade do valor esperado da riqueza. Como neste caso isso se verifica, então o 
consumidor estará disposto a pagar. 
 
c) Um indivíduo que tem aversão a riscos jamais participará de qualquer aposta. 
Resposta: 
Um indivíduo avesso ao risco participa de uma aposta se a utilidade esperada de sua 
riqueza for menor que a utilidade do valor esperado da riqueza: 
 
))(()( wEUwU E 
 
25 
Portanto, a afirmativa é falsa. 
 
d) O prêmio de risco é o valor que uma pessoa avessa a risco está disposta a pagar a fim 
de evitar riscos. 
Resposta: 
É exatamente essa a definição de prêmio de risco. 
 
 
 
 
21. (Anpec-96) Um certo mercado é caracterizado pelas funções de demanda (D) e 
oferta (O), onde Q é a quantidade e P o preço do bem: 
Q PD  1600 20
 e 
Q PO   900 30
 
 
a) Se o mercado é livre, 600 unidades do bem serão comercializadas ao preço de R$ 50. 
Resposta: 
Se o mercado é livre, temos: 
OD QQ 
 
PP 30900201600 
 
250050 P
 
50
2500
P
 
50P
 
 
Substituindo o preço na demanda (ou na oferta), temos: 
50201600 Q
 
600Q
 
 
A afirmativa é, portanto, verdadeira. 
 
b) Se o governo decide que o preço não deve ultrapassar R$ 35, então 150 unidades do 
bem serão comercializadas. 
Resposta: 
Se o preço for de R$35,00, temos: 
3530900 OQ
 
150OQ
 
 
A afirmativa é, portanto, verdadeira. 
 
c) A redução do excedente do produtor, como resultado do controle de preços, é de R$ 
5625. 
26 
Resposta: 
Calculemos o excedente do produtor (EP) antes e depois do controle de preços: 
 
 
 
 
 
O excedente do produtor antes do controle de preços é dado pela área do triângulo azul 
na figura acima (ou seja, pela área acima da curva de oferta até o preço de mercado): 
 
6000
2
20600


EP
 
 
 
O excedente do produtor após o controle de preços é dado pela área do triângulo A da 
figura acima: 
 
375
2
5150


EP
 
 
Assim: 
56253756000  DA EPEP
 
 
A afirmativa é, portanto, verdadeira. 
 
d) Se o governo impõe um imposto ad-valorem de 100% sobre o preço do produtor, o 
efeito sobre a quantidade comercializada do bem é o mesmo que o da colocação do 
preço máximo de R$ 35. 
Resposta: 
PP 2* 
 
 PQD 2201600* 
 
PQS 30900
 
 
22. (Anpec-95) Um consumidor deve optar pela compra de bens perecíveis em um 
ambiente sem incertezas. Para esse consumidor: 
27 
a) Se a quantidade demandada de um bem diminui quando seu preço cai, o bem é 
inferior. 
Resposta: 
A afirmativa refere-se ao bem de Giffen, que é uma classe de bens inferiores e, assim, 
não se aplica aos bens inferiores em geral. 
 
b) Se um bem é inferior, a uma elevação de preço corresponde um aumento da 
quantidade demandada. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. Isso ocorre apenas nos casos dos bens de Giffen, onde o efeito 
renda supera o efeito substituição. 
 
c) Um bem é inferior somente se sua quantidade demandada diminui quando o preço 
cai. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. Um bem é inferior quando o seu efeito-renda é negativo, ou seja, 
um aumento da renda está associado a uma diminuição da quantidade demandada. Um 
caso especial (bens de Giffen) ocorre quando o ER>ES e, assim, uma diminuição do 
preço está associada a diminuição da quantidade demandada. Mas isso não é válido para 
os bens inferiores em geral. 
 
d) A curva de demanda de determinado bem não pode ser positivamente inclinada pra 
todos os valores do preço do bem. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. Lembre-se que é exatamente isso que ocorre com os bens de 
Giffen. 
 
 
23. (Anpec-95) Seja 
 BA XXmínimoU , de 
, a função utilidade de um consumidor; R, 
a renda; e P A e PB os preços de A e B. Diga se as afermativas abaixo são verdadesras 
ou falsas. Para esse consumidor: 
a) As curvas de indiferença não são convexas em relação a origem. 
Resposta: 
Nesse caso, os bens são complementares perfeitos e suas curvas de indiferença são 
convexas em relação a origem, já que a combinação convexa de quaisquer um de seus 
pontos pertence ao conjunto. Elas são convexas, mas não são estritamente convexas. 
 
 
 
b) A utilidade marginal de um dos bens é sempre igual a zero. 
Resposta: 
28 
Sim, pois aumentar a quantidade de apenas um dos bens não aumenta a utilidade, visto 
que os bens complementares são consumidos sempre juntos. A utilidade apenas 
aumentará se aumentarmos as quantidades de ambos os bens. 
 
c) Para qualquer 
R 0
, se 
P PA B 
 , o consumidor escolhe apenas B. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. Os dois bens serão sempre consumidos juntos, já que são 
complementares perfeitos. Escolher apenas um dos bens não trará utilidade alguma ao 
consumidor. 
 
d) Se 
R 0
 e P A = PB , o consumidor escolhe quaisquer quantidades de A e B, tais que 
X X R PA B A  /
 
Resposta: 
Como os bens são complementares perfeitos e, pela função de utilidade, eles são 
consumidos na proporção de 1 para 1, o consumidor não escolher quaisquer quantidades 
de A e B. Ele sempre escolherá A = B e, portanto: 
 
B
B
A
A XPXPR 
 
 
Como P A = PB , podemos escrever: 
B
A
A
A XPXPR 
 
 BA
A XXPR 
 
 
ABA P
R
XX 
 
 
E como ele SEMPRE escolherá 
BA XX 
: 
 
AA P
R
X 2
 
BAA
X
P
R
X 
2
 
 
A afirmativa é, portanto, falsa. 
 
 
24. (Anpec-95) Um fazendeiro tem a opção de cultivar trigo e batatas. Se fizer sol, cada 
hectare de trigo gerará um lucro de 200; e se plantado com batatas, o lucro será de 100. 
Se fizer chuva, o lucro de um hectare de trigo será de 120; e se plantado com batatas, de 
200. A utilidade da renda do fazendeiro é dada por 
YYU ln)( 
, em que Y é o lucro. As 
probabilidades de sol e chuva são iguais. O fazendeiro deverá: 
a) Plantar apenas trigo. 
b) Destinar ao trigo 3/4 da área. 
c) Plantar somente batatas. 
d) Destinar 1/2 da área a batatas. 
 
Dica: 
 Trigo Batata 
29 
Sol (p = ½) Lucro = 200 Lucro = 100 
Chuva (p = ½) Lucro = 120 Lucro = 200 
 
Resposta: 
O objetivo do fazendeiro é obter amaior utilidade esperada possível. 
Seja T a proporção de terra dedicada ao cultivo de trigo e (1 – T) a proporção de terra 
dedicada ao cultivo de batatas. 
O lucro do fazendeiro será dado por: 
- se fizer sol: 
Ysol = 200T + (1–T)100 
Ysol = 200T – 100T + 100 
Ysol = 100T + 100 
 
- se fizer chuva: 
Ychuva = 120T + (1-T)200 
Ychuva = 120T + 200 – 200T 
Ychuva = –80T + 200 
 
Então: 
Utilidade se fizer sol: 
U(Ysol) = ln(100T + 100) 
 
Utilidade se fizer chuva: 
U(Ychuva) = ln(–80T+200) 
 
A Utilidade esperada é então: 
U.E. = 0,5 ln(100T + 100) + 0,5 ln(–80T+200) 
Maximizando a U.E.: 
Max.: 0,5 ln(100T + 100) + 0,5 ln(–80T+200) 
 
dUE
dT
= 
0,5 0,5
100 ( 80)
100 100 200 80T T
 
 
=0 
 
50 40
100 100 200 80T T

 
 
5 4
100 100 200 80T T

 
 
 
 5 200 80 4(100 100)T T  
 
1000 400 400 400T T  
 
800T= 600 
T = 
600
800
 
T = 
3
4
 
E (1 – T) = ¼. 
 
Portanto: 
Parcela da terra alocada para o trigo: ¾ 
30 
Parcela da terra alocada para batatas: ¼. 
 
Alternativa correta: b