Cálculo Multivariável 2018

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CÁLCULO MULTIVARIÁVEL PARA FÍSICOS E ENGENHEIROS
Cálculo Multivariável Para Físicos e 
Engenheiros
PhD Helder H. Ch. Sánchez, 2017
Faculdade Centro Leste - UCL
Núcleo de Engenharia Mecânica
helderch@ucl.br
Tabela de Conteúdos. 
Capítulo 1 Diferenciação Parcial
1.1 Função de duas variáveis. Definição
1.1.1 Superfícies quadráticas 
1.1.2 Cálculo do domínio e imagem de uma função
1.1.3 Exercícios
1.2 Curvas e superfícies de nível
1.2.1 Cálculo das curvas e superfícies de nível
1.2.2 Exercícios
1.3 Limites de funções de duas e mais variáveis 
1.3.1 Cálculo de limites
1.3.1 Exercícios.
1.4 Continuidade. Definição
1.4.1 Examinando a continuidade
1.4.2 Exercícios.
1.5 Derivadas parciais. Definição
1.5.1 Cálculo de derivadas parciais
1.5.2 Derivadas parciais de ordem superior
1.5.3 Derivadas parciais de ordem superior em equações implícitas
1.5.4 Interpretações das derivadas parciais
1.6 Incrementos, diferencial total e derivada total
1.6.1 Incrementos e diferencial total
1.6.2 Derivada total
1.7 Regra da cadeia. Teorema
1.7.1 Exercícios.
1.8 Valores Extremos. Definição
1.8.1 Procedimentos para determinar pontos de máximo, mínimo e de zela para funções de duas variáveis
1.8.2 Problemas trabalhados
1.9 Multiplicadores de Lagrange. Definição
1.9.1 Exercícios.
Capítulo 2 Derivadas direcionais. Campos escalares e vetoriais
2.1 Campos escalares e vetoriais
2.1.1 Campos escalares
2.1.2 Campos vetoriais
2.2 Campo gradiente
2.3 Derivadas direcionais
2.4 A divergência de um campo vetorial
2.5 O rotacional de um campo vetorial
2.6 Operações combinadas com campos 
2.7 Exercícios.
Capítulo 3 Integrais Múltiplas
3.1 Integrais de linha
2 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
3.1.1 Introdução
3.1.2 Propriedades das integrais de linha
3.1.3 Integrais de linha ao redor de uma curva fechada
3.2 Integrais duplas em coordenadas polares
3.2.1 Aplicações das integrais duplas
3.2.1.1 Áreas de figuras planas. Coordenadas retangulares
3.2.1.1 Áreas de figuras planas. Coordenadas polares
3.3 Teorema de Stokes.
3.4 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
3.4.1 Aplicações das integrais triplas
3.4.1.1 Volume de um sólido limitado por superfícies. Coordenadas retangulares
3.4.2 Teorema de Gauss ou da divergência
3.4 Mudança de variável em integrais duplas e triplas
Apêndices
A.
B. 
Referências
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 3
4 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 5
1
DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
1.1 Funções de duas variáveis. Definição
Existem inúmeros exemplos da vida diária de funções de duas ou mais variáveis: 
 Por exemplo, a área de uma placa retangular de comprimento x e largura y é dada por A x, y xy, é um exemplo de uma
função de duas variáveis. 
 O período de oscilação de um pêndulo simples é dado por T 2 L g , é uma função de duas variáveis T f L, g .
 A equação do gás ideal estabelece uma relação da pressão p como função do volume V, número de mol n e a temperatura
absoluta T: p R n T V, onde R é uma constante. Se n, V, T variam, a pressão P também variará, por isso dizemos que é um
exemplo de uma função de três variáveis, pelo que escrevemos p f n, T, V .
A função de duas variáveis z f x, y , é uma superfície no espaço 3 onde os eixos de coordenadas são formados por x, y e z. Um
exemplo é a superfície quadrática z x2 2 y2 que é mostrado na Fig.1.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D
Plot3D x2 2 y2, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
Mesh
v
True,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 12 ,
intervalo do grá
PlotRange 0, 4 ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
quociente de a
AspectRatio 1,
função de região
RegionFunction 1^2 2 2^2 4 & ,
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de z" ,
dep
After,
topo
Top
Valor de z
Fig.1. Gráfico da função z x2 2 y2. A barra de cores vertical mostra o valor de z associado a uma cor da superfície z f x, y . 
Neste caso o domínio D de z corresponde a todo o plano xy.
Gráfico. O gráfico de uma função de duas variáveis z f x, y consiste de todos os pontos x, y, z em 3 tal que z f x, y ,
6 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Gráfico. O gráfico de uma função de duas variáveis z f x, y consiste de todos os pontos x, y, z em tal que z f x, y ,
onde x, y D, ao domínio da função z. Este gráfico é uma superfície em 3 jazendo acima (se f x, y 0) ou debaixo (se
f x, y 0) do domínio de f no plano xy.
O gráfico de uma função de três variáveis w f x, y, z é uma hipersuperfície tridimensional em 4, no espaço 4-
dimensional. Em geral, o gráfico de uma função de n variáveis w f x1, x2, ..., xn é uma superfície n-dimensional em n 1.
As variáveis x e y chamam-se variáveis independentes e a variável z chama-se variável dependente. Por exemplo, se z x2 y y2, e
assumimos x 1, y 2, teremos z f 1, 2 12 2 22 6. Se localizarmos os pares ordenados x, y no plano cartesiano xy e assumimos a
terceira coordenada como o valor de z, o resultado pode ser visualizado como na Fig.2.
Fig.2 A região D é o domínio da função z f x, y e o par ordenado 1, 2 é um elemento de D, em quanto que o valor 
z f 1, 2 6, é um elemento da imagem A da função.
Se uma grande quantidade de pares ordenados x, y são tomados do domínio e seus valores z são calculados da função z f x, y
e localizados no espaço como indicado pela linha PP´ mostrada na Fig.2, no limite de grande quantidade de pontos P´ x, y, z , se
formará uma superfície no espaço 3, como mostrado na Fig.3.
Fig.3 Todos os pares ordenados x, y do domínio D formam a superfície hachurada z f x, y depois de calcular todos os valores 
da função z.
Uma função muito importante é a de um plano. A equação de um plano define-se como z f x, y A x B y D, ou na forma geral
a x b y c z d, um exemplo do qual é z 3 x 5 y 2 mostrado na Fig.4.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 7
gráfico 3D
Plot3D 3 x 5 y 2, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
Mesh
ne
None,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 12 ,
tamanho da imagem
ImageSize 200,
AspectRatio 1,
legenda do g
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de z" ,
dep
After,
topo
Top
Valor de z
Fig.4. Gráfico do plano definido pela função z 3 x 5 y 2. Aqui o domínio também é todo o plano xy.
CÓDIGO: PLANOS EM 3
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Planos :
pai
Panel
manipula
Manipulate
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D A x B y G z M 0, x, 10, 10 , y, 10, 10 , z, 10, 10 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
estilo de eti
LabelStyle
diretiva
Directive
neg
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 12 ,
ImageSize 200,
quociente de as
AspectRatio 1,
função de cores
ColorFunction
funçãoFunction x, y, z ,
matiz
Hue x ,
Mesh
ne
None,
estilo de conto
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especular
Specularity
branco
White, 30 ,
A, 3, 3,
aparência
Appearance "Open" , B, 3, 3,
aparência
Appearance "Open" , G, 3, 3,
aparência
Appearance "Open" ,
M, 3, 3,
aparência
Appearance "Open" ,
margens de imagem
ImageMargins 30,
margens de quadro
FrameMargins 10
8 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
ANIMAÇÃO: PLANOS EM 3
Planos
A
3
B
3
G
3
M
3
A equação geral de um plano em 3 é dada por A x B y G z M 0. Variando as constantes você pode visualizar todos os planos possíveis.
Agora definimos a função de duas e três variáveis.
Definição. Uma função f de duas variáveis é uma regra que atribui a cada par ordenado de números reais (x,y) em um
conjunto D, um único número real indicado por z = f(x,y) . O conjunto D é o domínio de f e sua imagem A é o conjunto de
valores que toma z, isto é, A = {z (x, y) D}. Uma função de três variáveis, u = f(x, y, z), definida no domínio D do espaço, é
uma regra f que associa a cada ponto (x, y, z) em D um número real f (x, y, z).
Fig.3. O domínio D da função z f x, y mapeia o par ordenado x, y do plano XY para os pontos f x, y da imagem A da 
função z f x, y .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 9
Se uma função é dada por uma fórmula e nenhum domínio é especificado, logo o domínio D 2 de f é entendido para ser o
conjunto de todos os pares x, y para os quais a expressão é um número real bem definido. A imagem da função z f x, y será o
sub-conjunto A formado por todos os pontos z que deixam a função z f x, y bem definida. 
OBSERVAÇÃO. A função
z h u, v tal que u f x, y , v g x, y 1.1
chama-se função composta. De fato, as funções u f x, y , v g x, y estão definidas no conjunto M, em quanto que a função
z h u, v está definida no conjunto N. Requer-se que para cada ponto x, y M a relação u, v N seja satisfeita.
Exemplo 1. Considere a função z 1 x 2 y 2 sin xy . Pode ser considerada como uma função composta mediante as
relações z u v ,u 1 x 2 y 2, v sin xy . Neste caso, o conjunto M é representado por todo o plano xy porque a função z u v é
definido em todos os pontos u , v , onde u 0, e a função u 1 x 2 y 2 é positiva para todo x, y.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D 1 x2 y2
Sin x y
, x, 3, 3 , y, 2 , 2 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
ve
True,
intervalo d
PlotRange All,
número de po
PlotPoints 50,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 12 ,
ImageSize 200,
quociente de as
AspectRatio 1 ,
gráfico de contornos
ContourPlot 1 x2 y2
Sin x y
, x, 3, 3 , y, 2 , 2 ,
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 12 ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
FrameLabel x, y ,
marcadores
FrameTicks
ve
True,
contornos
Contours 20,
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue & ,
estilo de recorte
ClippingStyle
automático
Automatic
Exemplo 2. Considere a função z 1 x 2 ln x 2 y 2 1 pode ser considerada como uma função composta mediante as
relações z 1 uv , u x 2, v ln x 2 y 2 1 .Visualizamos esta função abaixo.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
10 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D 1 x2 Log x2 y2 1 , x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ve
True,
intervalo d
PlotRange All,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 12 ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
ContourPlot 1 x2 Log x2 y2 1 , x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 12 ,
ImageSize 200,
quociente de a
AspectRatio 1,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
marcadores
FrameTicks
verdadeiro
True
1.1.1 Superfícies quadráticas
Um esboço do gráfico de uma função pode ser muito útil na compreensão de uma função de duas variáveis ou uma equação de
três variáveis. Descrevemos uma classe de superfícies cujas equações são simples e fáceis de se reconhecer, a saber as superfícies
quadráticas. Por definição, superfícies quadráticas são os gráficos de qualquer equação que pode ser colocada na forma geral
a x2 b y2 c z2 d x y e x z f y z g x h y i z j 0, 1.2
onde a, ..., j são constantes. Estas superfícies correspondem as secções cónicas no plano. Aqui apresentamos as mais conhecidas.
No código seguinte mostramos uma manipulação de la equação geral de uma superfície quadrática dada por (1.1). Variando os
valores das constantes a, b, ..., j visualizamos diversas superfícies interessantes.
CÓDIGO: SUPERFÍCIES QUADRÁTICAS
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
SQUADRATICAS :
Panel
manipula
Manipulate
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D a x^ 2 b y ^2 c z^ 2 d x y e x z f y z g x h y i z j 0, x, 10, 10 , y, 10, 10 ,
z, 10, 10 ,
malha
Mesh
ne
None,
estilo de eti
LabelStyle
diretiva
Directive
neg
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fo
FontSize 12 ,
tamanho da imagem
ImageSize 200,
AspectRatio 1,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
função de cores
ColorFunction
função
Function x, y, z ,
matiz
Hue x ,
Mesh
ne
None,
estilo de conto
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especular
Specularity
branco
White, 30 , a, 3, 3,
aparência
Appearance "Open" ,
b, 3, 3,
aparência
Appearance "Open" , c, 3, 3,
aparência
Appearance "Open" , d, 5, 5,
aparência
Appearance "Open" ,
e, 5, 5,
aparência
Appearance "Open" , f, 5, 5,
aparência
Appearance "Open" , g, 5, 5,
aparência
Appearance "Open" ,
h, 5, 5,
aparência
Appearance "Open" , i, 5, 5,
aparência
Appearance "Open" , j, 20, 20,
aparência
Appearance "Open"
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 11
ANIMAÇÃO: SUPERFÍCIES QUADRÁTICAS
SQUADRATICAS
a
1.06
b
0.48
c
3
d
5
e
5
f
5
g
5
h
5
i
5
j
20
A equação geral de uma superfície quadrática é dada por (1.2). Manipule as barras desde “a” até “j” para visualizar as diferentes superfícies.
Cilindros quadráticos. Se z não aparece em uma equação, seu gráfico será um cilindro paralelo ao eixo z. Os três tipos 
mais relevantes são:
Cilindro elíptico. Sua equação é x
2
a2
y2
b2
1. Intersecta qualquer plano horizontal z z0 em uma elipse, Fig.6a.
Cilindro parabólico. Sua equação é y ax2 bx c. Intersecta qualquer plano horizontal z z0 em uma parábola, Fig.6b. 
Cilindro hiperbólico. Sua equação é x
2
a2
y2
b2
c. Intersecta qualquer plano horizontal z z0 em uma hipérbole. Fig.6c. 
12 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
grade
Grid "cilindro elíptico", "cilindro parabólico", "cilindro hiperbólico" ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
x2
12
y2
42
1, x, 2.0, 2.0 , y,4.0, 4.0 , z, 0, 4 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
função de cores
ColorFunction
função
Function x, y, z ,
matiz
Hue x ,
malha
Mesh
nenhum
None,
LabelStyle
diretiva
Directive
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D y x2 3 x 1, x, 4.0, 2.0 , y, 1.3, 4.0 , z, 0, 4 ,
AxesLabel x, y, z ,
função de cores
ColorFunction
função
Function x, y, z ,
matiz
Hue y ,
malha
Mesh
nenhum
None,
LabelStyle
diretiva
Directive
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
x2
22
y2
32
1, x, 10.0, 10.0 , y, 10.0, 10.0 , z, 2, 2 ,
AxesLabel x, y, z ,
função de cores
ColorFunction
função
Function x, y, z ,
matiz
Hue z ,
malha
Mesh
nenhum
None,
LabelStyle
diretiva
Directive
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
tamanho da imagem
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
quadro
Frame
tudo
All
cilindro elíptico cilindro parabólico cilindro hiperbólico
Fig.6 a) Gráfico do cilindro elíptico x
2
12
y2
42
1, b) o cilindro parabólico y x2 3 x 1, c) cilindro hiperbólico x
2
22
y2
32
1.
A esfera. Uma esfera de raio r e centrada no ponto P a, b, c tem a equação
x a 2 y b 2 z c 2 r2. 1.3
A esfera a x 3 2 y 1 2 z 2 2 22, é mostrada na Fig.7.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 13
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x 3 2 y 1 2 z 2 2 22, x, 0, 5.0 , y, 1.0, 3.0 , z, 0, 5 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
função de cores
ColorFunction
função
Function x, y, z ,
matiz
Hue z ,
malha
Mesh
ne
None,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
Fig.7 Gráfico da esfera x 3 2 y 1 2 z 2 2 22, centrada no ponto P 3, 1, 2 de raio r 2.
O elipsoide. Tem a equação. Fig.8a.
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1 1.4
O cone elíptico. Tem a equação. Fig.8b.
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1.5
O paraboloide elíptico. Tem a equação. Fig.8c.
x2
a2
y2
b2
z
c
1.6
14 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
grade
Grid "elipsoide", "cone elíptico", "paraboloide elíptico" ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
x2
12
y2
22
z2
82
1, x, 1.0, 1.0 ,
y, 3.0, 3.0 , z, 8, 8 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
estilo de etiqueta
LabelStyle
diretiva
Directive
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 30 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D 2 x2 y2 z 1 2, x, 2.0, 2.0 ,
y, 3, 3.0 , z, 2, 2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
estilo de etiqueta
LabelStyle
diretiva
Directive
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 30 ,
ContourPlot3D
x2
12
y2
32
z
2
, x, 2.0, 2.0 , y, 3.0, 3.0 , z, 0, 2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel
x, y, z ,
estilo de etiqueta
LabelStyle
diretiva
Directive
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
malha
Mesh
nen
None,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 30 ,
quadro
Frame
tudo
All
elipsoide cone elíptico paraboloide elíptico
Fig.8 a) Gráfico do elipsoide x
2
12
y2
22
z2
82
1, b) o cone elíptico x
2
12
y2
32
z2
22
, c) paraboloide elíptico x
2
12
y2
32
z
2
.
O hiperboloide de uma folha. Tem a equação. Fig.9a.
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1. 1.7
O hiperboloide de duas folhas. Tem a equação. Fig.9b.
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1. 1.8
O paraboloide hiperbólico. Tem a equação. Fig.9c.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 15
x2
a2
y2
b2
z
c
. 1.9
grade
Grid "hiperboloide de uma folha", "hiperboloide de duas folhas", "paraboloide hiperbólico" ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
x2
12
y2
22
z2
82
1, x, 3.0, 3.0 , y, 3.0, 3.0 , z, 8, 8 ,
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ne
None,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especular
Specularity
branco
White, 30 ,
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
ContourPlot3D
x2
12
y2
32
z2
22
1, x, 4.0, 4.0 , y, 10, 10.0 , z, 10, 10 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ne
None,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especular
Specularity
branco
White, 30 ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
ContourPlot3D
x2
12
y2
32
z
2
, x, 3.0, 3.0 , y, 5.0, 5.0 , z, 2, 2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
Mesh
ne
None,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especular
Specularity
branco
White, 30 ,
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspe
AspectRatio 1 ,
quadro
Frame
tudo
All
hiperboloide de uma folha hiperboloide de duas folhas paraboloide hiperbólico
Fig.9 a) Gráfico do hiperboloide de uma folha x
2
12
y2
22
z2
82
1, b) o hiperboloide de duas folhas x
2
12
y2
32
z2
22
, c) paraboloide 
hiperbólico x
2
12
y2
32
z
2
.
1.1.2 Cálculo do domínio e imagem de uma função
Através da solução de exercícios explicamos como determinar o domínio e imagem de uma função de duas ou mais variáveis.
Exemplo 1. Determine o domínio e imagem da função f x, y ln 1 x2 y2 .
Solução. Para a função ser bem definida, o argumento do logaritmo deve ser positivo 1 x2 y2 0, ou x2 y2 1.
Note que esta desigualdade define um círculo de raio 1. Note também que esta região não compreende a fronteira do
círculo, como mostramos na Fig.10. Um gráfico da função é feito abaixo.
Fig.10 O domínio D da função f x, y ln 1 x2 y2 é dado pelo círculo hachurado de raio R = 1 sem considerar os pontos do 
perímetro . 
16 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
A imagem é construida considerando que, para x y 0, z ln 1 0, em quanto que para o logaritmo de um número
compreendido entre 0 e 1 é negativo. Por tanto,
A z z 0 , 0 .
gráf
Plot3D
logaritmo
Log 1 x2 y2 , x, 0.999, 0.999 , y,0.999, 0.999 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
legenda do g
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de z" ,
dep
After,
topo
Top
Valor de z
Exemplo 2. Determine o domínio da função f x, y 4 x2 y2 ln 1 x2 y2 .
Solução. Considere os seguintes passos:
a 4 x2 y2 0, ou x2 y2 4. Isto define um círculo de raio R 2. D1 x, y x
2 y2 4
b 1 x2 y2 0, ou y2 x2 1. Isto define uma hipérbola. D2 x, y y
2 x2 1
Visualizamos as duas regiões D1 e D2 através do seguinte gráfico com ajuda de Mathematica:
gráfico de uma região
RegionPlot x2 y2 4, y2 x2 1 , x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
estilo de 
LabelStyle
diret
Directive
n
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho d
FontSize 10 ,
tamanho da 
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
x2 y2 4
y2 x2 1
O domínio completo será definido pela interseção das duas regiões, como mostramos no seguinte gráfico. Por isto
D x, y x2 y2 4 y2 x2 1
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 17
gráfico de uma região
RegionPlot x2 y2 4&&y2 x2 1, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
estilo de 
LabelStyle
diret
Directive
n
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho d
FontSize 10 ,
tamanho da 
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
Agora podemos visualizar no espaço 3-D a função f x, y 4 x2 y2 ln 1 x2 y2 cujo domínio é a região D.
gráfico 3D
Plot3D 4 x2 y2
logaritmo
Log 1 x2 y2 , x, 2, 2 , y, 1.6, 1.6 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
número de pontos no gráfico
PlotPoints 20,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ve
True,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
legenda do g
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de z" ,
dep
After,
topo
Top
Valor de z
Exemplo 3. Determine o domínio da função f x, y 6 x2 y2 4 y2 .
Solução. Considere os seguintes passos:
gráfico de uma região
RegionPlot 6 x2 y2 0 &&4 y2 0, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
estilo de 
LabelStyle
diret
Directive
n
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho d
FontSize 10 ,
tamanho da 
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
A região inclui os pontos de contorno da figura. Agora mostramos a figura da função.
18 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
gráfico 3D
Plot3D 6 x2 y2 4 y2 , x, 3.0, 3.0 , y, 3.0, 3.0 ,
ExclusionsStyle
ne
None,
ve
Red ,
estilo de recorte
ClippingStyle
ne
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 300,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ve
True,
mar
Ticks
verdadeiro
True,
LabelStyle
diretiva
Directive
neg
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
Exemplo 4. Determine o domínio da função f x, y x y
x2 y2 4
.
Solução. Considere os seguintes passos:
1. x y 0 e x2 y2 4 0. Isto mostra­se na Região I. Nesta região, os pontos da reta são incluídos, os da circunferên­
cia não.
2. x y 0 e x2 y2 4 0. Isto mostra­se na Região II. Veja figura.
mo
Show
gráfico de uma região
RegionPlot x2 y2 4 0 &&x y 0, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
tamanho da 
ImageSize 150,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
gráfico de uma região
RegionPlot x2 y2 4 0&&x y 0, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
tamanho da
ImageSize 0,
legenda do quadro
FrameLabel x, y
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 19
gráfico 3D
Plot3D
x y
x2 y2 4
, x, 3.5, 3.5 , y, 3.5, 3.5 ,
estilo de exclus
ExclusionsStyle
ne
None,
ve
Red ,
estilo de recorte
ClippingStyle
nenhum
None,
número de pon
PlotPoints 300,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ve
True,
mar
Ticks
verdadeiro
True,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
Exemplo 5. Determine o domínio da função f x, y x2 y2 9 Log x2 y2 4 xy 6 .
Solução. Considere os seguintes passos:
gráfico de uma região
RegionPlot x2 y2 4 0 && x2 y2 4 x y 6 0, x, 6, 6 , y, 6, 6 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
estilo de 
LabelStyle
diret
Directive
n
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho d
FontSize 10 ,
tamanho da 
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
gráfico 3D
Plot3D x2 y2 9
logaritmo
Log x2 y2 4 x y 6 , x, 6, 6 , y, 6, 6 ,
estilo de exclusões
ExclusionsStyle
ne
None,
ve
Red ,
estilo de recorte
ClippingStyle
nenhum
None,
PlotPoints 300,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ve
True,
mar
Ticks
verdadeiro
True,
LabelStyle
diretiva
Directive
neg
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
1.1.3 Exercícios
1. Encontre e esboce o domínio da função:
a. f x, y ln 2 x 3 y 1 .
20 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
b. f x, y 6 x2 y2 4 y2 .
c. f x, y x y .
d. f x, y x y
x2 y2 4
.
1.2. Curvas e superfícies de nível
Até agora, temos apenas um método para visualizar funções, a saber, o gráfico. Um segundo método, emprestado dos criadores
de mapas, é um mapa de contorno em que pontos de elevação constante são unidos para formar curvas de contorno ou curvas de
nível. 
Esta ideia é reminiscente também do conceito de potencial elétrico de uma carga pontual q. Em efeito, uma carga pontual situada,
por exemplo, no ponto Q a, b , gera no ponto P x, y do plano xy um potencial elétrico r q
4 0 r
 , onde r x a 2 y b 2 é a
distância desde a carga até o ponto P (Fig.11). O potencial escalar, no plano xy é uma função de duas variáveis,
r q
4 0 x a
2 y b 2
 e para traçar seu gráfico precisamos de um espaço 3-d, em que no terceiro eixo colocamos os valores do
potencial (Fig.12). Se o potencial é constante r q
4 0 r
0, definirá uma circunferência. Em efeito, colocando em evidência o raio
r q
4 0 0
const, de onde x a 2 y b 2 q
4 0 0
2
. Esta equação corresponde a uma circunferência de raio q
4 0 0
 e centrada no ponto
Q a, b , como mostramos na Fig.11. Todos os pontos da circunferência tem igual potencial 0. 
Fig.11 No plano xy a curva equipotencial é a circunferência azul de raio r q
4 0 0
.
Na Fig.12 mostramos a função potencial elétrico r q
4 0 r
, para uma carga pontual localizada no ponto P 1, 2 no plano xy, onde
r x 1 2 y 2 2 paraalguns valores do potencial.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 21
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
h
1
x 1 2 y 2 2
;
gráfico 3D
Plot3D
1
x 1 2 y 2 2
, x, 3, 4 , y, 1, 5 ,
função de cores
ColorFunction "SolarColors",
legenda do g
PlotLegends
automático
Automatic,
AspectRatio 1,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "
4 0
q
" ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de as
AspectRatio 1 ,
com
With cuts
intervalo
Range 0, 4, 0.1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D h 0, x, 3, 4 , y, 1, 5 , , 0, 1.5 ,
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
intervalo d
PlotRange
tudo
All,
MeshFunctions
função
Function x, y, , h , ,
estilo de ma
MeshStyle
es
Thick,
azul
Blue ,
malha
Mesh cuts ,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0
,
Fig.12 As curvas de nível (circunferências coloridas) foram desenhadas na superfície da função r q
4 0 x a
2 y b 2
. Todas as 
curvas de um mesmo cor na superfície encontram-se à mesma `altura` em relação ao plano 4 0 q 0. As curvas de nível foram 
logo projetadas no plano 4 0 q 0.5 para uma visualização objetiva.
No espaço 3-dimensional, uma carga elétrica pontual centrada no ponto Q(a,b,c) gera um potencial escalar que é uma função de
três variáveis r q
4 0 x a
2 y b 2 z c 2
. Fica claro que não podemos traçar o gráfico desta função porque necessitamos de um espaço
4-d. No entanto, podemos supor diversos valores constantes do potencial e descobrir qual seja a superfície que descreve, com isto
geramos a chamada superfície equipotencial, conceito que no cálculo chama-se superfície de nível, a qual será uma esfera, cuja
equação é dada por x a 2 y b 2 z c 2 q
4 0 0
2
 , isto é mostrado na Fig.13.
Fig.13 Superfície de nível (equipotencial) para uma carga pontual localizada no ponto Q(a,b,c). Todos os pontos sobre a superfície 
esférica de raio r
q
4 0 0
 tem o mesmo potencial elétrico constante 0.
Definição. As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equações f x, y k , onde k é uma constante
(na imagem de f). As superfícies f x, y, z k definem as chamadas superfícies de nível para a função u f x, y, z .
Na seguinte Fig.14 mostra-se um mapa 3-D de alguma parte da Terra. Na Fig.15 definimos as curvas de nível para dito gráfico. 
Os números associados a cada curva definem o valor de f x, y k, isto é, os contornos do mapa de altura k = const. Em termos 
práticos, os valores numéricos definem contornos do mapa com alturas de 2200, 2500 e 2900 m.
22 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
data
importa
Import "http: exampledata.wolfram.com hailey.dem.gz", "Data" ;
part data 800 ;; 1000, 800 ;; 1000 ;
r
gráfico em
ReliefPlot part,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
tamanho da imagem
ImageSize 200
Fig.14 Mapa 3-D.
Traçamos as linhas de contorno:
c
gráfico de contorno
ListContourPlot part,
sombreamento d
ContourShading
ne
None,
contornos
Contours 3,
estilo de conto
ContourStyle
opacidade
Opacity .5 ,
opacidade
Opacity .8 ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
etiquetas de co
ContourLabels
ve
True,
estilo de eti
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 9
Fig.15 Curvas de nível do mapa 3-D da Fig.14
Na Fig.16 combinamos as duas figuras.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 23
mostra
Show r, c
Fig.16 Curvas de de nível sobre o mapa 3-D original.
1.2.1 Cálculo das curvas e superfícies de nível
Exemplo 1. Determine as curvas de nível para a função f x, y 9 x2 y2 .
Solução. Fazendo z k, temos:
k 9 x2 y2 , ou elevando ao quadrado x2 y2 9 k2.
Isto é, as curvas de nível são as circunferências de raio r 9 k2 . Para k 0.5,
1, 1.5, 2 os raios são r 2.95804, 2 2 , 2.59808, 5 respectivamente.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
h z2 9 x2 y2;
gráfico 3D
Plot3D 9 x2 y2 , x, 3.3, 3.3 , y, 3.3, 3.3 ,
função de cores
ColorFunction "SolarColors",
PlotLegends
automát
Automatic,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "f" ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
With cuts
intervalo
Range 3, 3, 0.1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D h 0, x, 3.3, 3.3 , y, 3.3, 3.3 , z, 0, 3.3 ,
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da imagem
ImageSize 150,
AspectRatio 1,
intervalo d
PlotRange All,
funções de divi
MeshFunctions
função
Function x, y, z, h , z ,
MeshStyle
es
Thick,
azul
Blue ,
malha
Mesh cuts ,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0
,
24 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Uma visualização 3-D de como são geradas as curvas de nível.
Na figura anterior, as curvas de nível foram traçadas na própria superfície z f x, y 9 x2 y2 , e as mesmas curvas foram
projetadas no plano z 1 a fim de que possamos visualizar, de outro modo não poderíamos observa-los no plano z 0.
Exemplo 2. Esboce algumas curvas de nível para a função f x, y 1 x2 4 y2.
Solução. Fazendo z k, temos:
x2 4 y2 k 1, 
ou x
2
k 1
y2
k 1 4
1, 
esta equação representa uma família de elipses cujos semi-eixos são k 1 e k 1 4 com k 1. 
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
h z 1 x2 4 y2 ;
com
With cuts
intervalo
Range 1, 4, 0.1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D h 0, x, 1.8, 1.8 , y, 1, 1 , z, 1, 4 ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo d
PlotRange
tudo
All,
MeshFunctions
função
Function x, y, z, h , z ,
estilo de ma
MeshStyle
es
Thick,
verde
Green ,
malha
Mesh cuts ,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0
Na figura anterior, as curvas no plano xy são as projeções das curvas de nível (elipses) desenhadas na superfície
do paraboloide elíptico z 1 x2 4 y2.
Exemplo 3. Esboce a superfície de nível para a função u x, y, z z x2 4 y2 quando u 2.
Solução. Fazendo u 2, obtemos a equação:
2 z x2 4 y2 , 
ou x2 y
2
1 4
z 2 2, 
identificamos esta superfície como um cone elíptico de semi-eixos a = 1, b = 1/2, c = 1 e centrado em z = 2. 
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 25
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
x2
12
y2
1 4
z 2 2, x, 2.0, 2.0 , y, 1, 1 , z, 0, 3 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
intervalo d
PlotRange
tudo
All,
malha
Mesh
ne
None,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da f
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
Exemplo 4. Esboce a curva de nível para a função z x2 y2 4 1 .
Solução. Fazendo z k, obtemos a equação:
k x2 y2 4 1 , 
ou x
2
k2 1
2
y2
2 k2 1
2
1, 
identificamos esta superfície como uma família de hipérboles, com a k2 1 , b 2 k2 1 .
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
h z2 x2 y2 4 1 ;
grade
Grid "linhas de nivel da superfície z ", "superfície z",
com
With cuts
intervalo
Range 0, 4, 0.1 ,
ContourPlot3D h 0, x, 4, 4 , y, 4, 4 , z, 0.5, 4 ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo d
PlotRange
tudo
All,
MeshFunctions
função
Function x, y, z, h , z ,
estilo de ma
MeshStyle
es
Thick,
verde
Green ,
malha
Mesh cuts ,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0 ,
Plot3D x2 y2 4 1 , x, 4, 4 , y, 4, 4 ,
função de cores
ColorFunction "SolarColors",
legenda do g
PlotLegends
automát
Automatic,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
AspectRatio 1,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
malha
Mesh
falso
False ,
quadro
Frame
tudo
All
linhas de nivel da superfície z superfície z
Exemplo 5. Esboce a curva de nível para a função z x
2 y2 1
2 x2 3 y2 9
.
26 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Solução. Fazendo z k, obtemos a equação:
k 2 x 1 2 x2 3 y2 1, k 1 2 x2 2 k x 3 y2.
Para descobrir a família de curvas que descreve a equação anterior, devemos completar quadrados no termo que
depende de x:
ou 2 x k
2
2
3 y2 k
2
2
k 1, 2 x k
2
2
3 y2 k
2
2
k 1, x k
2
2 3
2
y2
k2
4
k 1
2
, 
ou 
x
k
2
2
k2
4
k 1
2
2
y2
2
3
k2
4
k 1
2
2
1 , 
identificamos esta equação como uma família de elipses com semi-eixos a k
2
4
k 1
2
, b 2
3
k2
4
k 1
2
, centrada nos
pontos 
k
2
, 0 .
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
h z
x2 y2 1
2 x2 3 y2 9
;
grade
Grid "linhas de nivel da superfície ", "superfície z" ,
com
With cuts
intervalo
Range 3, 0, 0.1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D h 0, x, 2, 2 , y, 2, 2 , z, 3, 0.5 ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
tamanho da ima
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo d
PlotRange
tudo
All,
funções de divi
MeshFunctions
função
Function x, y, z, h , z ,
estilo de ma
MeshStyle
es
Thick,
verde
Green ,
malha
Mesh cuts ,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0 ,
Plot3D
x2 y2 1
2 x2 3 y2 9
, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
função de cores
ColorFunction "SolarColors",
legenda do g
PlotLegends
automát
Automatic,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo de et
LabelStyle
diretiva
Directive
ne
Bold,
família da fonte
FontFamily "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize 10 ,
ImageSize 150,
quociente de a
AspectRatio 1,
malha
Mesh
falso
False,
intervalo do gráfico
PlotRange 3, 0.5 ,
quadro
Frame
tudo
All
linhas de nivel da superfície superfície z
Exemplo 6. Esboce a curva de nível para a função z 3600. x2 0.02974 x4 5391.90 y2 0.275 x2 y2 0.125 y4.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 27
CÓDIGO: CURVAS DE NÍVEL PARA UMA SUPERFÍCIE
CNIVEL :
painel
Panel contourPotentialPlot1
gráfico de contornos
ContourPlot 3600. x
2
0.02974 x
4
5391.90 y
2
0.275 x
2
y
2
0.125 y
4
,
x, 400, 400 , y, 300, 300 ,
intervalo do gráfico
PlotRange 1.4 10^8, 2 10^7 ,
contornos
Contours 15,
eixos
Axes
verd
True,
número de pontos n
PlotPoints 30,
preenchimento de intervalo do gráfico
PlotRangePadding 0,
Frame
falso
False,
função de cores
ColorFunction "DarkRainbow" ;
potential1
gráfico 3D
Plot3D 3600. x
2
0.02974 x
4
5391.90 y
2
0.275 x
2
y
2
0.125 y
4
,
x, 400, 400 , y, 300, 300 ,
intervalo do gráfico
PlotRange 1.4 10^8, 2 10^7 ,
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo de recorte
ClippingStyle
nenhum
None,
MeshFunctions 3 & ,
malha
Mesh 15,
estilo de malha
MeshStyle
opacidade
Opacity .5 ,
sombreamento de malha
MeshShading
opacidade
Opacity .3 ,
azul
Blue ,
opacidade
Opacity .8 ,
laranja
Orange ,
iluminação
Lighting "Neutral" ;
level 1.2 10^8;
gr
gráfico 3D
Graphics3D
textura
Texture contourPotentialPlot1 ,
EdgeForm ,
polígono
Polygon 400, 300, level , 400, 300, level ,
400, 300, level , 400, 300, level ,
coordenadas de vértices de textura
VertexTextureCoordinates
0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1 ,
iluminação
Lighting "Neutral" ;
mostra
Show potential1, gr,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All,
BoxRatios 1, 1, .6 ,
linhas de super
FaceGrids
atrás
Back,
esquerda
Left
28 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
ANIMAÇÃO
CNIVEL , contourPotentialPlot1
,
1.2.2 Exercícios. Exercícios a serem resolvidos em sala.
1. Considere a função: z f x, y 1
x2 y2
. Construir as curvas de nível para z 1, 2, 3, 4.
2. Considere a função: z f x, y 2 y 3 x x
2 2
x2 y2 1
. Construir as curvas de nível para z 1, 2, 3.
3. Encontrar a superfície de nível da função u f x, y, z ln
1 x2 y2 z2
1 x2 y2 z2
 para u = 1.
1.3. Limites de Funções de duas e mais variáveis
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 29
Necessitamos dos limites das funções de várias variáveis pelos mesmos motivos pelas que necessitamos os limites
para funções de uma variável, para poder analisar coeficientes angulares e taxas de variação. As definições em ambos
os casos são essencialmente as mesmas.
Considere o comportamento da função
f x, y
sin x2 y2
x2 y2
como x e y aproximam-se de 0 (e por tanto o ponto x, y aproxima-se da origem)
Tabela 1. Valores de f(x,y).
Traçamos os pontos x, y, z no espaço 3-D para visualizar sua distribuição.
data1 1.0, 1.0, 0.455 , 1.0, 0.5, 0.759 , 1.0, 0.2, 0.829 , 1.0, 0, 0.841 , 1.0, 0.2, 0.829 , 1.0, 0.5, 0.759 , 1.0, 1.0, 0.455 ;
data2 0.5, 1.0, 0.759 , 0.5, 0.5, 0.959 , 0.5, 0.2, 0.986 , 0.5, 0, 0.990 , 0.5, 0.2, 0.986 , 0.5, 0.5, 959 , 0.5, 1.0, 0.759 ;
data3 0.2, 1.0, 0.829 , 0.2, 0.5, 0.986 , 0.2, 0.2, 0.999 , 0.2, 0, 1.000 , 0.2, 0.2, 0.999 , 0.2, 0.5, 0.986 , 0.2, 1.0, 0.829 ;
data4 0, 1.0, 0.841 , 0, 0.5, 0.990 , 0, 0.2, 1.000 , 0, 0, 1.000 , 0, 0.2, 1.000 , 0, 0.5, 0.990 , 0, 1.0, 0.841 ;
data5 0.2, 1.0, 0.829 , 0.2, 0.5, 0.986 , 0.2, 0.2, 0.999 , 0.2, 0, 1.000 , 0.2, 0.2, 0.999 , 0.2, 0.5, 0.986 , 0.2, 1.0, 0.829 ;
data6 0.5, 1.0, 0.759 , 0.5, 0.5, 0.959 , 0.5, 0.2, 0.986 , 0.5, 0, 0.990 , 0.5, 0.2, 0.986 , 0.5, 0.5, 0.959 , 0.5, 1.0, 0.759 ;
data7 1.0, 1.0, 0.455 , 1.0, 0.5, 0.759 , 1.0, 0.2, 0.829 , 1.0, 0, 0.841 , 1.0, 0.2, 0.829 , 1.0, 0.5, 0.759 , 1.0, 1.0, 0.455 ;
A
gráfico 3D de dispersão de uma lista de variáveis
ListPointPlot3D data1, data2, data3, data4, data5, data6, data7 ,
PlotTheme "Marketing",
preen
Filling
inferior
Bottom,
estilo do 
PlotStyle
taman
PointSize
grande
Large ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ;
30 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
A,
gráfico 3D
Plot3D
Sin x2 y2
x2 y2
, x, 1.0, 1.0 , y, 1.0, 1.0 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
mostra
Show A,
gráfico 3D
Plot3D
Sin x2 y2
x2 y2
, x, 1.0, 1.0 , y, 1.0, 1.0 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f
,
,
Na figura anterior, temos desenhado conjuntos de pontos de diversos cores sobre a superfície f x,y
sin x2 y2
x2 y2
. Nota-se que,
quando nos aproximamos do ponto (0,0) seguindo as diversas direções (na Fig.15 são as linhas amarela, preto, azul e verde) se
reúnem num único ponto, o ponto (0,0,1), por isto dizemos que o limite nesse ponto existe. 
Fig.15 Diversas direções pelas quais nos aproximamos ao ponto P(0,0,1) seguindo as curvas coloridas sobre a superfície 
f x, y
sin x2 y2
x2 y2
.
Podemos considerar um exemplo mais simples como a função
g x, y xy
x y g x, y xy
2.2 2.55 5.610
2.15 2.650 5.690
2.10 2.75 5.775
2.05 2.875 5.89375
2.025 2.935 5.94338
1.98 3.05 6.03900
2.002 2.995 5.99599
1.9998 3.0005 6.00040
2.00002 2.99995 5.99996
1.999998 3.000005 6.00000
Tabela 2. Valores de g(x,y) = xy.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 31
B
gráfico 3D de dispersão de uma lista de variáveis
ListPointPlot3D 2.2, 2.55, 5.61000 , 2.15, 2.650, 5.6900 , 2.10, 2.75, 5.775 , 2.05, 2.875, 5.89375 , 2.025, 2.935, 5.94338 ,
1.98, 3.05, 6.03900 , 2.002, 2.995, 5.99599 , 1.9998, 3.0005, 6.00040 , 2.00002, 2.99995, 5.99996 ,
1.999998, 3.000005, 6.00000 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
preen
Filling
inferior
Bottom,
estilo do 
PlotStyle
taman
PointSize
grande
Large ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, g ;
B,
gráfico 3D
Plot3D x y, x, 1.50, 2.20 , y, 2.5, 3.5 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, g ,
mostra
Show B,
gráfico 3D
Plot3D x y, x, 1.50, 2.20 , y, 2.5, 3.5 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, g
,
,
Os resultados mostrados nas Tabelas 1 e 2 assim como nos gráficos respetivos nos permitem afirmar
lim x,y 0,0 f x, y 1, lim x,y 2,3 g x, y 6.
Definimos o limite de uma função.
Definição. Dizemos que lim x,y a,b f x, y L, desde que
i. a vizinhança de a, b contém pontos do domínio de f diferentes de a, b , e
ii. para cada número 0 existe um número correspondente 0 tal que, se x, y D e 0 x a 2 y b 2 logo
f x, y L . 
Note que f x, y L é a distância entre os números f(x,y) e L, e x a 2 y b 2 é a distância entre o ponto (x,y) e o ponto
(a,b). Assim, a definição anterior diz que a distância entre f(x,y) e L pode ser feita arbitrariamente pequena fazendo a distância
desde (x,y) até (a,b) suficientemente pequena (porem não zero). Um esboço desta definição é muito bem ilustrado em Stewart
[2 ], veja Fig.14.
32 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.14 Ilustração gráfica da definição de limite de uma função.
Uma consequência importante da definição é a seguinte afirmativa:
 Se f(x,y) L1 como (x,y) (a,b) ao longo do caminho C1 e f(x,y) L2 como (x,y) (a,b) ao longo do caminho C2 onde L1 L2,
logo lim x,y a,b f x, y não existe.
1.3.1 Cálculo de limites
Exemplo 1. Mostrar que o limite lim x,y 0,0
x2 y2
x2 y2
 não existe.
Solução. Uma estratégia poderia ser usar coordenadas polares para simplificar a expressão:
x r cos , y r sin ,
note também que para (x,y) (0,0) uma eleição poderia ser (r, ) (0,0) (que corresponde a direção do eixo X). Logo
lim x,y 0,0
x2 y2
x2 y2
lim r, 0,0
r2 cos2 sin2
r2 cos2 sin2
lim r, 0,0 cos 2 1.
Outra eleição para obter (x,y) (0,0) poderia ter sido (r, ) (0, /2) (que corresponde a direção do eixo Y). Logo
lim x,y 0,0
x2 y2
x2 y2
lim
r,y 0, 2 cos 2 1. Por tanto, em função da afirmativa anterior, o limite lim x,y 0,0
x2 y2
x2 y2
 não existe.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 33
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
x2 y2
x2 y2
z, x, 1.0, 1.0 , y, 1.0, 1.0 , z, 1, 1.2 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
ne
None,
mar
Ticks
ve
True,
tamanho da imagem
ImageSize 350,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
verde
Green ,
iluminação
Lighting "Neutral" ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D y x^2, x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 0.01, 0.01 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
especular
Specularity
branco
White, 30 ,
azul
Blue ,
iluminação
Lighting "Neutral",
AxesLabel x, y, z ,
tamanho da ima
ImageSize 350 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
x2 x4
x2 x4
z, x, 1, 1 , y, 0.01, 0.01 ,
z, 1, 1.2 ,
malha
Mesh
ne
None,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
azul
Blue ,
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
tamanho da imagem
ImageSize 350 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D z 0, x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 1, 1.2 ,
malha
Mesh
ne
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
amar
Yellow ,
iluminação
Lighting "Neutral",
AxesLabel x, y, z ,
tamanho da ima
ImageSize 300 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D y 0, x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 1, 1.2 ,
malha
Mesh
ne
None,
número de po
PlotPoints 50,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
verde
Green ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
tamanho da imagem
ImageSize 350
Na figura de cima, mostra-se o caminho y x2 sobre o plano xy (plano amarelo), cada ponto dos quais mapeia um ponto sobre
a curva z x
2 x4
x2 x4
 no plano xz (plano verde). Observa-se a rachadura sobre a superfície z
x2 y2
x2 y2
 quando nos aproximamos ao
ponto (0,0); sinal da inexistência de um valor definido para z.
Exemplo 2. Calcular o limite lim x,y 0,0
x y
x x2 y y2
.
Solução. Usamos dois métodos.
É possível fatorar o denominador
34 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
x x2 y y2 x y x y 1
assim
lim x,y 0,0
x y
x x2 y y2
lim x,y 0,0
x y
x y x y 1
lim x,y 0,0
x y x y
x y x y 1 x y
lim x,y 0,0
x y
x y 1
0.
Isto é, o limite é zero. Completamos o análise mediante um gráfico.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D
x y
x x2 y y2
, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
verd
True,
marcad
Ticks
verdadeiro
True,
tamanho da imagem
ImageSize 350,
número de pontos n
PlotPoints 50,
função de cores
ColorFunction
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
azul
Blue ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
tamanho da imagem
ImageSize 220 ,
gráfico de contornos
ContourPlot
x y
x x2 y y2
, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
número de pontos n
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 220, 220 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
marcadores de
FrameTicks
verd
True,
contornos
Contours 50,
quadro
Frame
verdadeiro
True
Exemplo 2. Determine o limite lim x,y 0,0
2 x2 y
x4 y2
.
Solução. Usamos o caminho y k x, com k 0. Então
lim x,y 0,0
2 x2 y
x4 y2
limx 0
2 k x3
x4 k2 x2
limx 0
2 k x
x2 k2
0.
Outra eleição para obter (x,y) (0,0) poderia ter sido o caminho y x2, tal que, se x 0, y 0. Logo
lim x,y 0,0
2 x2 y
x4 y2
lim x,x2 0,0
2 x4
2 x4
1.
Por tanto, mesmo que através de qualquer reta do tipo y k x, com k 0 o limite é 0, através da parábola y x2, o limite é 1.
Isto significa que o lim x,y 0,0
2 x2 y
x4 y2
 não existe.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 35
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D
2 x2 y
x4 y2
, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y,f ,
malha
Mesh
ve
True,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 220, 220 ,
ContourPlot
2 x2 y
x4 y2
, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
tamanho da imagem
ImageSize 180, 180 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
marcadores de
FrameTicks
verd
True,
contornos
Contours 50,
sombreamento da re
ContourShading
verd
True,
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue
Exemplo 3. Determine o limite lim x,y 1,1
x y 1
y x 1
.
Solução. Usamos o caminho y x, tal que se (x,y) (1,1) a nossa escolha é perfeitamente válida. Logo
lim x,y 1,1
x y 1
y x 1
lim x,x 1,1
x x 1
x x 1
1.
Outra eleição para obter (x,y) (1,1) poderia ter sido o caminho y 2 x 1, tal que, se x 1, y 1. Logo
lim x,y 1,1
x y 1
y x 1
lim x,2 x 1 1,1
x 2 x 2
2 x 1 x 1
lim x,2 x 1 1,1
2 x x 1
2 x 1 x 1
lim x,2 x 1 1,1
2 x
2 x 1
2.
Por tanto, o limite lim x,y 1,1
x y 1
y x 1
 não existe. Um gráfico desta função é mostrado abaixo.
36 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D
x y 1
y x 1
, x, 0.0, 1.5 , y, 0.0, 1.5 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
verd
True,
número de pontos n
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 220, 220 ,
gráfico de contornos
ContourPlot
x y 1
y x 1
,
x, 0.0, 1.5 , y, 0.0, 1.5 ,
número de pontos n
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 170, 170 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
FrameTicks
verd
True,
sombreamento da re
ContourShading
verd
True,
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue,
contornos
Contours 50,
quadro
Frame
verdadeiro
True
Teorema. Seja u f x, y e V g x, y ambos definidos no domínio D do plano xy. Seja também lim x,y a,b f x, y u1,
lim x,y a,b g x, y V1, logo lim x,y a,b f x, y g x, y u1 V1, lim x,y a,b f x, y g x, y u1.V1, lim x,y a,b
f x,y
g x,y
u1
V1
, (V1 0).
Exemplo 3. Determine o limite: lim x,y 0,0
ln x2 y2 1
x2 y2
.
Solução. Usamos coordenadas polares: x r cos , y r sin . Note também que para x, y 0, 0 uma eleição poderia
ser r, 0, 0 (que corresponde a direção do eixo X). Logo
lim x,y 0,0
ln x2 y2 1
x2 y2
lim r, 0,0
ln r2 1
r2
.
O limite resultante corresponde ao de uma função de uma variável, r, pois não depende mais de . Logo, podemos usar a
regra de L´Hospital
lim x,y 0,0
ln x2 y2 1
x2 y2
lim r, 0,0
ln r2 1
r2
lim r, 0,0
2 r
r2 1
2 r
lim r, 0,0
1
r2 1
1.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 37
gráfico 3D
Plot3D
Log x2 y2 1
x2 y2
, x, 0.5, 0.5 , y, 0.5, 0.5 ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "f" ,
legenda do g
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da
LegendMarkerSize 80,
função de legenda
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
LegendLabel "Valor de f x,y " ,
dep
After,
topo
Top ,
tamanho da ima
ImageSize 250,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing"
Valor de f x,y
1.3.1 Exercícios. Lista 1. Limite de Funções de duas variáveis.
1. Determine o limite: f x, y 1 e
x y
sin x y
 no ponto x, y 0, 0 .
2. Determine o limite da função: f x, y x
4 y4
x2 y2
 no ponto x, y 0, 0 .
3. Determine o limite da função: f x, y x
2 sin2 y
x2 y2
 no ponto x, y 0, 0 .
4. lim x,y 2,1
4 xy
x2 3 y2
5. lim x,y 1,0 ln
1 y2
x2 xy
6. lim x,y 0,0
y4
x4 3 y4
7. lim x,y 0,0
x2 sin2 y
2 x2 y2
8. lim x,y 0,0
xy cos y
3 x2 y2
 9. lim x,y 0,0
6 x3 y
2 x4 y4
10. lim x,y 0,0
xy
x2 y2
11. lim x,y 0,0
x4 y4
x2 y2
12. lim x,y 0,0
x2 y y
x4 4 y2
13. lim x,y 0,0
xy
x2 y2
14. lim x,y 0,0
x4 y4
x2 y2
15. lim x,y 0,0
x2 y y
x4 4 y2
16-18. Use coordenadas polares para encontrar o limite [se r, são coordenadas polares do ponto (x,y) com r 0, note que
r 0 como (x,y) (0,0)]
16. lim x,y 0,0
x3 y3
x2 y2
 17. lim x,y 0,0 x2 y2 ln x2 y2 18. lim x,y 0,0
x2 y2 1
x2 y2
19. Prove que lim x,y 0,0 x2 y2 sin
1
xy
0.
1.4. Continuidade
A definição de continuidade de funções de duas ou mais variáveis é reminiscente das funções com uma variável. Vamos definir
este conceito.
Definição. Dizemos que f(x,y) é continua no ponto a, b D se f x, y existe nesse ponto, ou: lim x,y a,b f x, y f a, b . Se f(x,y) é
continua em cada ponto x, y D, logo existe o limite da função em cada ponto do domínio.
Nesta definição de continuidade, é importante reconhecer que um ponto geral P em (x,y) é permitido tender ao ponto (a,b) em D
ao longo de qualquer caminho no plano xy que jaz em D. Expressado de forma diferente, f só será contínuo em (a,b) se o limite
anterior for independente da forma como o ponto (x,y) se aproxima do ponto (a,b). Quando isso é verdade para todos os pontos
em D, a função f é dita contínua em D.
O significado intuitivo de continuidade é que variações pequenas no ponto induzirão também variações pequenas no valor da
função. Por tanto, uma superfície representando uma função continua não tem buracos nem pulos.
38 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
função. Por tanto, uma superfície representando uma função continua não tem buracos nem pulos.
Muitas funções você pode facilmente identificar como continuas em cada ponto de seu domínio. Logo, o que você deve evitar são
pontos fora do domínio, onde você pode ter
 Divisão por zero.
 Raiz quadrada de negativos.
 Logaritmos de números não positivos.
 Tangentes de múltiplos ímpar de /2.
1.4.1 Examinando a continuidade
Exemplo 1. Examine a continuidade da função 
x2 y3
x2 y2 1
.
Solução. Rapidamente notamos que o denominador é definido positivo, incluso no ponto 0, 0 o denominador é 1. Por
tanto, a função é continua em qualquer ponto x, y . 
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D
x2 y3
x2 y2 1
, x, 6.0, 6.0 , y, 6.0, 6.0 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
ve
True,
mar
Ticks
ve
True,
tamanho da ima
ImageSize 250,
número de po
PlotPoints 50,
iluminação
Lighting "Neutral",
estilo de recorte
ClippingStyle
nenhum
None ,
ContourPlot
x2 y3
x2 y2 1
, x, 6.0, 6.0 , y, 6.0, 6.0 ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 170, 170 ,
FrameLabel x, y ,
marcadores
FrameTicks
ve
True,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
contornos
Contours 50
Exemplo 2. Determine a região de continuidade para a função f x, y Arctan
x y
x y 1
?
Solução. A função g x, y x y
x y 1
 é racional e, por tanto, continua exceto em x y 1 0, logo a região de continuidade é
D x, y y x 1 . Um gráfico da mesma é mostrado abaixo.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 39
linha
Row
gráf
Plot3D
arco tangente
ArcTan
x y
x y 1
, x, 5.0, 5.0 , y, 5.0, 5.0 ,
função de cores
ColorFunction
função
Function x, y, z ,
matiz
Hue z ,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "f" ,
malha
Mesh
ve
True,
número de pont
PlotPoints 200,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
estilo de eti
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 9 ,
Show
gráfico de
ContourPlot
arco tangente
ArcTan
x y
x y 1
, x, 5.0, 5.0 , y, 5.0, 5.0 ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 170, 170 ,
contornos
Contours 50,
FrameLabel x, y ,
marcadores
FrameTicks
ve
True,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,quadro
Frame
ve
True,
estilo de eti
LabelStyle
tamanho da 
FontSize 9 ,
gráfico
Plot x 1, x, 5, 5
Na figura, nota-se a presença de buracos e pulos ao longo da reta y x 1. Uma consequência importante é que nenhum limite
da função dada existe em cada ponto da reta y x 1.
Exemplo 3. Examine a continuidade da função ln 1
x y2
.
Solução. Rapidamente escrevemos ln 1
x y2
ln x y2 . O domínio D será D x, y x y2 ou x y x . Em todos os pontos
deste domínio D a função é continua. Um gráfico da mesma é mostrado abaixo.
li
Row
grá
Plot3D
logaritmo
Log
1
x y2
, x, 2.0, 5.0 , y, 3, 3.2 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "f" ,
ma
Mesh
verdadeiro
True,
número de 
PlotPoints 200,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
estilo de re
ClippingStyle
ne
None ,
gráfico
ContourPlot
logaritmo
Log
1
x y2
, x, 3.0, 8.0 , y, 3.0, 3.2 ,
PlotPoints 50,
contornos
Contours 50,
tamanho da imagem
ImageSize 170, 170 ,
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
marcado
FrameTicks
v
True,
função de 
ColorFunction
matiz
Hue
Os seguintes exercícios são para serem resolvidos em sala de aula.
40 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Exemplo 4. Encontrar os pontos de descontinuidade da função f x, y 1
sin2 x sin2 y
.
Solução. Exigimos duas condições: 
sin x 0 e sin y 0. Os quais implicam x n , e y m , com n, m 1, 2, 3, ... Ou: x, y n, m . O diagrama da
função assim como suas curvas de nível são mostradas abaixo.
linha
Row
gráf
Plot3D
logaritmo
Log
1
Sin Pi x 2 Sin Pi y 2
, x, 4.0, 4.0 , y, 4, 4.0 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "f" ,
malha
Mesh
falso
False,
número de pont
PlotPoints 100,
estilo de recorte
ClippingStyle
ne
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250, 250 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing" ,
ContourPlot
1
Sin Pi x 2 Sin Pi y 2
, x, 4.0, 4.0 , y, 4.0, 4.0 ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 170, 170 ,
FrameLabel x, y ,
contornos
Contours 50,
marcadores
FrameTicks
ve
True,
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue
Exemplo 5. Dado o perímetro 2p de um triângulo. Expresse a área S do triângulo como uma função de seus
dois lados x e y. Defina e construa a região de continuidade da função área definindo todos os possíveis valores
de x e y.
Solução. Note a identidade vetorial
CA AB BC 0, CA AB BC CB.
elevando ao quadrado a equação vetorial anterior
CA
2
2 CA AB AB
2
BC
2
y2 2 y x cos 180 x2 2 p x y 2
cos 180
2 p x y 2 x2 y2
2 y x
2 p2 2 p x y x y
x y
cos
2 p2 2 p x y x y
x y
A altura do triângulo
h y sin y 1 cos2 y 1
2 p2 2 p x y x y
x y
2
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 41
y2
2 p2 2 p x y x y
x
2
.
Por tanto, a área do triângulo
S
1
2
x h
1
2
x y2
2 p2 2 p x y x y
x
2 1
2
x2 y2 2 p2 2 p x y xy
2
1
2
x y 2 p2 2 p x y xy x y 2 p2 2 p x y xy
p2 p x y p2 p x y y x p x y p p2 p x y y x
p x y p p x p y .
Agora calculamos o domínio. Para isto, notamos quatro possibilidades:
x y p 0, p x 0, p y 0. Isto significa y p x, p x, p y.
x y p 0, p x 0, p y 0. Isto significa y p x, p x, p y. 
O primeiro gráfico foi traçado da análise sem ajuda do computador. O código de abaixo comprova a veracidade de
nosso gráfico.
gráfico de uma região
RegionPlot x y 1 1 x 1 y 0&&x 0&&y 0, x, 0, 3 , y, 0, 3 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y
Gráfico do domínio da área do triângulo S p x y p p x p y para o caso p = 1. Mostramos a figura da função área S(x,y) abaixo para o 
mesmo valor de p.
42 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
gráfico 3D
Plot3D x y 1 1 x 1 y , x, 0, 3.0 , y, 0, 3.0 ,
estilo de exclusões
ExclusionsStyle
ne
None,
vermelho
Red ,
estilo de recorte
ClippingStyle
ne
None,
número de pont
PlotPoints 300,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ve
True,
mar
Ticks
ve
True,
tamanho da imagem
ImageSize 200 9 no
Exemplo 6. Encontre a região de continuidade da função S x, y ln 1
yx y2
.
Solução. Note o seguinte
1
yx y2
0, para isto ser verdade, é necessário que yx y2 0, de onde, ao multiplicar vezes 1
yx y2 0
x2
4
yx y2
x2
4
no último passo temos somado x
2
4
 a ambos os lados da desigualdade. Por isto
y
x
2
2 x2
4
. Aqui, 0
x2
4
y
x
2
2 x
2
y
x
2
x
2
y
x
2
0 x y y
isto implica que
0 y e 0 x y, também y 0 e x y 0.
linha
Row
gráfico de uma região
RegionPlot y
x
2
2 x2
4
, x, 4.0, 4.0 , y, 4, 4.0 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y" ,
malha
Mesh
falso
False,
número de pont
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing" ,
RegionPlot 0 y &&0 x y, y 0&& x y 0 , x, 4.0, 4.0 , y, 4, 4.0 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
AxesLabel "x", "y" ,
malha
Mesh
falso
False,
número de pont
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing"
Fig.15 No primeiro gráfico traçamos a região y
x
2
2 x2
4
, no segundo gráfico mostramos sua equivalência a união das regiões 
0 y , 0 x y y 0 , x y 0.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 43
linha
Row
gráf
Plot3D
logaritmo
Log
1
y x y2
, x, 4.0, 4.0 , y, 4, 4.0 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "S" ,
malha
Mesh
falso
False,
número de pont
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing" ,
ContourPlot
logaritmo
Log
1
y x y2
, x, 4.0, 4.0 , y, 4.0, 4.0 ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
FrameTicks
ve
True,
contornos
Contours 20,
sombreamento d
ContourShading
automát
Automatic,
função de cores
ColorFunction "Rainbow"
Fig.16 No primeiro gráfico traçamos, z Ln
1
y x y
2
 no segundo gráfico mostramos seu de contorno comprovando a região de continuidade mostrada na 
Fig.15.
1.4.2 Exercícios. Lista 2 Data: 23-03/ 29-04
1. É continua a função f x, y xsin y
x2 y2
 em x, y 0, 0 ?.
2. Se f x, y
sin x2 y2
x2 y2
 quando x2 y2 0, como deve ser definido f 0, 0 para fazer f x, y continua em 0, 0 ? 
3. Definimos f x, y sin xy
x
 se x 0, e f x, y y se x 0. Tem a função f algum ponto de descontinuidade?
4-5. Encontrar h x, y g f x, y e o conjunto sobre a qual h é continua.
4. g t t2 t , f x, y 2 x 3 y 6.
5. g t t ln t , f x, y 1 xy
1 x2 y2
.
6-10. Determine o conjunto de pontos na qual a função é continua.
6. F x, y sin xy
x y2
7. F x, y x y
1 2 x2 y2
8. F x, y arctan x y
9. F x, y ln x2 y2 4 10. F x, y x
2 y x y2 11. F x, y y
x2 y2 22
1.5. Derivadas parciais
Em engenharia, as vezes acontece que a variação de uma quantidade depende das variações que acontecem em duas, ou mais
quantidades. Por exemplo, o volume V de um cilindro é dado por V r2 h. O volume mudará se o raio r ou altura h mudam de
valor. A fórmula para o volume pode ser requerido matematicamente como V f r, h o qual significa que ‘V é alguma função
de r e h’. Alguns outros exemplos práticos incluem:
1. O período de oscilação de um pêndulo simples, T 2 1 1
4
sin2
2
L
g
, isto é, T f , L
2. Torque I , isto é, f I,
3. Pressão de um gás ideal p n RT
V
, isto é, p f n, T, V . 
Quando diferenciamos uma função com duas variáveis, uma das variáveisé mantida constante e o coeficiente diferencial da
outra variável é encontrada com relação a essa variável. O coeficiente diferencial obtido é chamado a derivada parcial da
44 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
outra variável é encontrada com relação a essa variável. O coeficiente diferencial obtido é chamado a derivada parcial da
função. 
Agora damos a definição formal da derivada parcial para uma função de duas variáveis z f x, y .
Definição. Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções fx e fy definidas por
fx x, y limh 0
f x h,y f x,y
h
fy x, y limh 0
f x,y h f x,y
h
Usamos a seguinte notação para a derivação parcial. Se z f x, y , escrevemos 
fx x, y fx
f
x
Dx f
fy x, y fy
f
y
Dy f
As regras para encontrar as derivadas parciais. Considere z f x, y , logo: 
1. Para encontrar fx considere y como uma constante e diferencie f x, y com relação a x.
2. Para encontrar fy considere x como uma constante e diferencie f x, y com relação a y. 
1.5.1 Cálculo de derivadas parciais
Exemplo 1. Considerando as funções: 
a f x, y
x3
y2 2
, calcule as derivadas : fx, fy.
Solução. Achamos fx fixando y:
f
x x
x3
y2 2
1
y2 2 x
x3 3 x2
1
y2 2
.
Para achar fy fixamos x :
f
y y
x3
y2 2
x3
y
1
y2 2
x3
y
y2 2
y2 2 2
x3
2 y
y2 2 2
.
b) Ao tomar em conta a atração entre as moléculas, a equação do gás ideal toma a forma P n
2 a
V2
nRT
V nb
 chamada equação de
Van der Waals. Se a, b e R são constantes, calcule as seguintes derivadas: PV , Pn, PT.
Solução. Colocamos em evidência P:
P n, V, T
nRT
V nb
an2
V2
,
logo, derivamos PV , para isto todas as outras variáveis serão constantes :
P
V V
nRT
V nb
an2
V2
nRT
V
1
V nb
an2
V
1
V2
nRT
1
V nb 2
2 an2
1
V3
.
Para encontrar Pn, as outras variáveis serão constantes :
P
n n
nRT
V nb
an2
V2
n
nRT V nb nRT
n
V nb
V nb 2
1
V2 n
an2
RT V nb nRT b
V nb 2
1
V2
2 an
2 an
V2
VRT
nb V 2
.
Para encontrar PT, as outras variáveis serão constantes :
P
T T
nRT
V nb
an2
V2
nR
V nb T
T
nR
V nb
.
Os exemplos 3-6 são para serem resolvidos em aula.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 45
Exemplo 3. Se z sin xy mostre que: 
1
y
z
x
1
x
z
y
.
Exemplo 4. O período de oscilação de um pêndulo simples, para um ângulo de deslocamento finito é T 2 1 1
4
sin2
2
L
g
,
onde L é comprimento da corda, que pode ser variado e g, a aceleração da gravidade, que também pode variar de um lugar a
outro. Determine T , T
L
, T
g
.
Exemplo 5. A frequência ressonante fr num circuito elétrico em série é dado por fr 1
2 L C
. Mostre que fr
L
1
4 L3 C
.
Exemplo 6. Num sistema termodinâmico, k A Exp T S H
R T
, onde R, k e A são constantes. Encontrar:
a) k
T
, b) A
T
, c) S
T
, H
T
.
Exemplo 7. Uma equação usada em termodinâmica é a equação de estado de Benedict–Webb–Rubine para a expansão de um
gás. A equação é:
p
RT
V
B0 RT A0
C0
T2
1
V2
bRT a
1
V3
A
V6
C 1
V2
T2
1
V3
V2
Mostre que
2 p
T2
6
V2 T4
C
V
1
V2
V2 C0
1.5.2 Derivadas parciais de ordem superior
Se uma função f é de duas variáveis, também suas derivadas parciais fx e fy são também funções de duas variáveis, assim
podemos considerar suas derivadas parciais fx x, fx y, fy x, e fy y, que são chamadas as segundas derivadas parciais de f. Se
z f x, y , usamos a seguinte notação:
fx x fxx x
f
x
2 f
x2
2 z
x2
.
fx y fxy y
f
x
2 f
y x
2 z
y x
.
fy x fyx x
f
y
2 f
x y
2 z
x y
.
fy y fyy y
f
y
2 f
y2
2 z
y2
.
Exemplo 1. Dado z 4 x2 y3 2 x3 7 y2. Encontrar:
a) 
2z
x2
 b) 
2z
y2
 c) 
2z
x y
 d) 
2z
y x
.
Solução.
Na figura mostra-se a função z 4 x2 y3 2 x3 7 y2, e suas derivadas z
x
6 x2 8 x y3, z
y
14 y 12 x2 y2,
2z
x2
12 x 8 y3, 
2z
y2
14 24 x2, 
2z
x y
24 x y2. 
46 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D
Plot3D 4 x2 y3 2 x3 7 y2, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue,
AxesLabel x, y, z ,
legenda do g
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
função de legenda
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de z" ,
dep
After,
topo
Top ,
Plot3D 6 x2 8 x y3, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, zx ,
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
função de legenda
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de zx" ,
dep
After,
topo
Top ,
Plot3D 14 y 12 x2 y2, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, zy ,
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de zy" ,
dep
After,
topo
Top ,
Plot3D 12 x 8 y3, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, zxx ,
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de zxx" ,
dep
After,
topo
Top ,
Plot3D 14 24 x2 y, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, zyy ,
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 80,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de zyy" ,
dep
After,
topo
Top ,
Plot3D 24 x y2, x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, zxy ,
legenda do g
PlotLegends
situ
Placed
legenda 
BarLegend
automático
Automatic,
LegendMarkerSize 80,
função de legenda
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 5 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de zxy" ,
dep
After,
topo
Top
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 47
Valor de z
,
Valor de zx
,
Valor de zy
,
Valor de zxx
,
Valor de zyy
,
Valor de zxy
Nem todas as funções satisfazem a identidade fxy fyx, embora muitas o satisfazem na prática. Em realidade, existe um teorema
devido a Clairaut que estabelece as condições para uma função satisfazer essa identidade.
Exemplo 2. Dado z xy2 y e x sin x y . Encontrar: 
a) 
2z
x2
 b) 
2z
y2
 c) 
2z
x y
 d) 
2z
y x
.
Solução.
Na figura abaixo mostra-se a função z xy2 y e x sin x y , e suas derivadas são
48 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D x y2 y x
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
ma
Mesh
falsoFalse,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho 
FontSize 9 ,
gráfico de contornos
ContourPlot
x y2 y x
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
marcadore
FrameTicks
ve
True,
contornos
Contours 20,
sombreamento d
ContourShading
automát
Automatic,
função de cores
ColorFunction "Rainbow"
a
2 z
x2
:
x,x x y
2
y
x
seno
Sin x y
x y Sin x y
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D x y
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
ma
Mesh
falso
False,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 8 ,
ContourPlot x y
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
FrameTicks
ve
True,
contornos
Contours 20,
sombreamento d
ContourShading
automát
Automatic,
função de cores
ColorFunction "Rainbow"
b
2 z
y2
:
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 49
y,y x y
2
y
x
seno
Sin x y
2 x Sin x y
linha
Row
gráfico
Plot3D 2 x
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
ma
Mesh
falso
False,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 8 ,
ContourPlot 2 x
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
FrameTicks
ve
True,
contornos
Contours 20,
sombreamento d
ContourShading
automát
Automatic,
função de cores
ColorFunction "Rainbow"
c
2 z
x y
:
x,y x y
2
y
x
seno
Sin x y
x 2 y Sin x y
linha
Row
gráfico 3D
Plot3D x 2 y
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
ma
Mesh
falso
False,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho 
FontSize 8 ,
gráfico de contornos
ContourPlot
x 2 y
seno
Sin x y , x, , , y, , ,
número de po
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 200, 200 ,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
FrameTicks
ve
True,
contornos
Contours 20,
sombreamento d
ContourShading
automát
Automatic,
função de cores
ColorFunction "Rainbow"
50 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
d
2 z
y x
:
y,x x y
2
y
x
seno
Sin x y
x 2 y Sin x y
Teorema de Clairaut: Suponha que f é definido sobre um disco D que contém o ponto (a,b). Se as funções fxy e fyx são ambos
contínuos sobre D, logo fxy a, b fyx a, b .
Exemplo 3. Verifique que a conclusão do teorema de Clairaut é válida para as funções:
a) u x sin x 2 y b) u x4 y2 2 xy5. 
Solução. Em sala de aula.
1.5.3 Derivadas parciais em equações implícitas
Considere uma função z que depende das variáveis x e y através de uma relação do tipo F x, y, z 0. De fato, qualquer uma
das variáveis pode ser considerada como função implícita das outras duas. Assumindo x e y para ser variáveis independentes,
escrevemos a diferencial de F x, y, z e de z como função de x e y (a diferencial de uma função de duas variáveis será tratado
mais amplamente na secção 1.6) :
dz
z
x
dx
z
y
dy e dF
F
x
dx
F
y
dy
F
z
dz 0
inserindo dz dentro de dF temos
dF
F
x
dx
F
y
dy
F
z
z
x
dx
z
y
dy 0
F
x
F
z
z
x
dx
F
y
F
z
z
y
dy 0.
Como dx e dy são diferenciais independentes, a relação anterior é válida para todos os valores de dx e dy, por tanto, segue
que
F
x
F
z
z
x
0,
F
y
F
z
z
y
0
Se F z 0, estas equações podem ser resolvidas para dar
z
x
F
x
F
z
,
z
y
F
y
F
z
.
Outra técnica do cálculo de derivadas implícitas consiste em derivar a equação F x, y, z 0 com relação à variável que se
deseja, digamos x, se queremos encontrar a derivada parcial z x, ou y, se queremos encontrar a derivada parcial z y.
Ilustramos isto nos seguintes exercícios.
Exemplo 4. Use diferenciação implícita para encontrar z/ x, z/ y das equações:
a) y2 z x sin x 2 y 0 b) sin z x2 1 y3 ln x z 0.
Solução. 
a) Método 1. Derivando toda a equação em relação a x, temos
x
y2 z
x
x sin x 2 y 0
x
y2 z y2
z
x x
x sin x 2 y x
sin x 2 y
x
0
como x e y são independentes y/ x = 0. Para a derivada sin(x+2y)/ x usamos a regra da cadeia, para o qual, fazemos
u x 2 y, e u/ x =1, 
sin x 2 y
x
sin u
u
u
x
cos u cos x 2 y , y2
z
x
sin x 2 y xcos x 2 y 0.
Assim:
z
x
sin x 2 y xcos x 2 y
y2
.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 51
Derivando toda a equação em torno de y:
y
y2 z
y
x sin x 2 y 0
y
y2 z y2
z
y y
x sin x 2 y x
sin x 2 y
y
0
como x/ y = 0. Para a derivada sin(x+2y)/ y usamos a regra da cadeia, para o qual, fazemos u x 2 y, e u/ y =2, logo 
sin x 2 y
y
sin u
u
u
y
cos u cos x 2 y 2, 2 yz y2
z
x
2 xcos x 2 y 0.
Assim:
z
y
2 xcos x 2 y 2 yz
y2
.
Método 2. Usando as fórmulas.
a) Temos
F x, y, z y2 z x sin x 2 y 0,
calculamos F x, F/ y e F/ z
x y
2 z x
seno
Sin x 2 y , y y
2 z x
seno
Sin x 2 y , z y
2 z x
seno
Sin x 2 y
x Cos x 2 y Sin x 2 y , 2 y z 2 x Cos x 2 y , y2
encontramos F x x cos x 2 y sin x 2 y , F y 2 y z 2 x cos x 2 y e F z y2. Logo
z
x
x cos x 2 y sin x 2 y
y2
,
z
y
2 y z 2 x cos x 2 y
y2
.
Agora vejamos o comportamento da função z definida implicitamente pela equação y2 z x sin x 2 y 0, junto com suas
derivadas z/ x, z/ y que temos encontrado neste exercício.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D de contor
ContourPlot3D y2 z x
seno
Sin x 2 y 0, x, 6.0, 6.0 , y, 6, 6 , z, 3, 3 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue,
intervalo d
PlotRange All,
malha
Mesh
nen
None ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
Sin x 2 y x Cos x 2 y
y2
, x, 6.0, 6.0 , y, 0, 0.0000004 , z, 3, 3 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, zx ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
intervalo d
PlotRange All,
malha
Mesh
nen
None ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
2 x Cos x 2 y 2 y z
y2
,
x, 6.0, 6.0 , y, 0, 0.0000004 , z, 3, 3 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, zy ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
intervalo d
PlotRange All,
malha
Mesh
nenhum
None
, ,
b) F x, y, z sin z x2 1 y3 ln x z 0. Calculamos F x, F/ y e F/ z
x
Sin z
x2 1
y
3
logaritmo
Log x z , y
Sin z
x2 1
y
3
logaritmo
Log x z , z
Sin z
x2 1
y
3
logaritmo
Log x z
y3
x z
2 x Sin z
1 x2
2
, 3 y2 Log x z ,
y3
x z
Cos z
1 x2
52 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
encontramos F x y
3
x z
2 x sin z
1 x2 2
, F y 3 y2 ln x z e F z y
3
x z
cos z
1 x2
. Logo
z
x
y3
x z
2 x sin z
1 x2 2
y3x z
cos z
1 x2
y3
x z
2 x sin z
1 x2 2
y3
x z
cos z
1 x2
,
z
y
3 y2 ln x z
y3
x z
cos z
1 x2
3 y2 ln x z
y3
x z
cos z
1 x2
.
Em geral, se u é uma função de n variáveis, u f x1, x2, ..., xi, ... xn , sua derivada parcial com relação a i-ésima variável xi é
u
xi
limh 0
f x1,...,xi 1, xi h ,xi 1,...,xn f x1,..., xi ,...,xn
h
Exemplo 5. Se u f x, y, z , use diferenciação implícita para encontrar u/ x, u/ y, u/ z a partir da equação
ln u xy2 z u sin x 2 y .
Solução. Método 1. Note que, neste caso as fórmulas tomam a forma
u
x
F
x
F
u
,
u
y
F
y
F
u
,
u
z
F
z
F
u
.
Derivando toda a equação em relação a x, temos
x
ln u
x
xy2 z
x
u sin x 2 y
u
x
1
u
y2 z
x
x
u
x
sin x 2 y
u cos x 2 y
x 2 y
x
,
u
x
1
u
y2 z
u
x
sin x 2 y u cos x 2 y
de onde , isolando u
x
u
x
1
u
sin x 2 y y2 z u cos x 2 y ,
u
x
y2 z u cos x 2 y
1
u
sin x 2 y
Derivando toda a equação em relação a y, temos
y
ln u
y
xy2 z
y
u sin x 2 y
u
y
1
u
xz
y
y2
u
y
sin x 2 y
u cos x 2 y
x 2 y
y
,
u
y
1
u
2 xy z
u
y
sin x 2 y 2 u cos x 2 y
de onde , isolando u
y
u
y
1
u
sin x 2 y 2 xy z 2 u cos x 2 y ,
u
y
2 xy z 2 u cos x 2 y
1
u
sin x 2 y
Derivando toda a equação em relação a z, temos
z
ln u
z
xy2 z
z
u sin x 2 y
u
z
1
u
xy2
z
z
u
z
sin x 2 y ,
u
z
1
u
xy2
u
z
sin x 2 y
u
z
1
u
sin x 2 y xy2,
u
z
xy2
1
u
sin x 2 y
Método 2. F x, y, z, u x y2 z u sin x 2 y ln u 0. Calculamos F x, F/ y, F/ z e F/ u
x x y
2
z u
seno
Sin x 2 y
logaritmo
Log u , y x y
2
z u
seno
Sin x 2 y
logaritmo
Log u ,
z x y
2
z u
seno
Sin x 2 y
logaritmo
Log u , u x y
2
z u
seno
Sin x 2 y
logaritmo
Log u
y2 z u Cos x 2 y , 2 x y z 2 u Cos x 2 y , x y2,
1
u
Sin x 2 y
encontramos F x y2 z u cos x 2 y , F y 2 x y z 2 u cos x 2 y , F z x y2 e F u 1
u
sin x 2 y . Logo
u
x
y2 z u cos x 2 y
1
u
sin x 2 y
,
u
y
2 x y z 2 u cos x 2 y
1
u
sin x 2 y
,
u
z
x y2
1
u
sin x 2 y
.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 53
1.6. Incrementos, diferencial total e derivada total
1.6.1 Incrementos e diferencial total
Considere uma função de uma variável y f x continua em D. Define-se a derivada
mo
Show
gráfico
Plot x2, x, 0.5, 2 ,
legenda
AxesLabel
automá
Automatic,
ma
Mesh
fa
False,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 100,
ImageSize 230, 230 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho
FontSize 8 ,
intervalo do gráfico
PlotRange 0, 3 ,
Plot 2 x 1, x, 0.5, 2 ,
legenda
AxesLabel
automá
Automatic,
ma
Mesh
fa
False,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho
FontSize 8 ,
intervalo do gr
PlotRange 0, 3 ,
função de 
ColorFunction
matiz
Hue
,
gráfico de contornos
ContourPlot x 1.5, x, 0, 2 , y, 1, 2.3 ,
legenda
AxesLabel
automá
Automatic,
ma
Mesh
fa
False,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho
FontSize 8 ,
estilo de co
ContourStyle
br
White,
trac
Dashed,
espesso
Thick ,
ContourPlot y 1, x, 1, 1.5 , y, 0, 2.3 ,
legenda
AxesLabel
automá
Automatic,
ma
Mesh
fa
False,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho
FontSize 8 ,
estilo de co
ContourStyle
br
White,
trac
Dashed,
espesso
Thick
dy
dx
lim
x 0
f x x f x
x
lim
x 0
y
x
1.10
Definimos agora a diferencial dx da variável independente como
dx x. 1.11
No entanto, dy não é o mesmo como y. Da Fig. vemos que y é a variação em y ao longo da curva, porem a diferencial
dy y ' dx 1.12
é a variação em y ao longo da linha tangente. Dizemos que dy é a aproximação tangente (ou aproximação linear) a y.
Considere uma placa retangular de lados x e y, como mostrada na Fig.16. Suponha que a área original seja A0. As linhas
tracejadas da figura representam uma expansão da área da figura original. Desejamos encontrar a variação na área da placa.
Fig.16. Área da placa em expansão.
54 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Se os lados da placa original x e y sofrem incrementos pequenos, digamos x e y respetivamente, e a área original foi A0 xy,
a nova área será A x x y y xy x y y x x y. Por tanto, o incremento da área será:
A A0 xy x y y x x y xy x y y x x y A x A y x y
onde y e x significam que os lados da placa com comprimentos y e x não mudaram. Se o comprimento y é fixado, logo
A
y
y x ou y A y/ x. Se o comprimento x é fixado, A x x y ou x A x/ y. Substituindo estas expressões no incre-
mento A dá
A
A y
x
x
A x
y
y x y.
Se permitimos x 0 e y 0, obtemos a chamada diferencial de A x, y expandido em termos das derivadas parciais
A x, A y e as diferenciais (dx,dy) tal que
dA
A
x
y dx
A
y
x dy
onde temos desprezado o termo x y por ser de segunda ordem mais pequeno. Agora damos a definição formal.
Definição: Dada a função z f x, y , o incremento de z é a variável dependente z dado por z f x x, y y f x, y .
O incremento z depende das quatro variáveis independentes x, y, x, y, e é igual a variação em z como x varia em x e y
varia em y. Assim
z f x, y, x, y ,
onde f é a função
f x, y, x, y f x x, y y f x, y
Definição: Dada a função z f x, y , a diferencial total de z é a variável dependente dz dada por dz fx x, y dx fy x, y dy,
ou equivalentemente dz z
x
dx z
y
dy.
Da definição anterior podemos afirmar que dz depende das quatro variáveis independentes x, y, dx, dy. Assim
dz df x, y, dx, dy ,
onde df é a função
df x, y, dx, dy fx x, y dx fy x, y dy.
Na Fig.17 mostramos z “debaixo do microscópio”.
Fig.17 
A extensão do conceito de diferencial total para o caso de uma função de n variáveis, f x1, x2, ..., xn ; 
df
f
x1
dx1
f
x2
dx2 ...
f
xn
dxn.
Exemplo 1. Encontrar o incremento e a diferencial total de z x3 3 xy2. 
Solução. Para o incremento
z x x 3 3 x x y y 2 x3 3 xy2 3 x2 x 3 y2 x 3 x x2 x3 6 x y y 6 y x y 3 x y2 3 x y2
3 x2 3 y2 x 3 x x2 x3 6 x y y 6 y x y 3 x x y2
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 55
A diferencial total
z
x
3 x2 3 y2,
z
y
6 xy,
dz
z
x
dx
z
y
dy 3 x2 3 y2 dx 6 xydy.
Exemplo 2. Sejam a, b, c os lados de um triângulo, e seja o ângulo oposto do lado c. Considerando c como
uma função de a, b, , encontrar a diferencial dc. Use o resultado para encontrar c aproximadamente quando
a 6.20, b 5.90, e 58 .
Solução. Pela lei dos cosenos
c2 a2 b2 2 abcos .
Usando a definição
dc
c
a
da
c
b
db
c
d
calculamos cada derivada parcial
c a , b , a2 b2 2 a b Cos ;
ca
simplifica
Simplify ac a, b,
cb
simplifica
Simplify bc a, b,
c
simplifica
Simplify c a, b,
a b Cos
a2 b2 2 a b Cos
b a Cos
a2 b2 2 a b Cos
a b Sin
a2 b2 2 a b Cos
temos
dc
a b Cos
c
da
b a Cos
c
db
a b Sin
c
d
Para o cálculo do valor numérico, começamos considerar um triângulo de lados
a 6, da 0.20,b 6, db 0.10, 60, d 2
90
rad. Inserindo isto no resultado anterior
a 6;
da 0.20;
b 6;
db 0.10;
60;
d
90
;
c a
2
b
2
2 a b Cos Degree ;
dc
valor numérico
N
a b Cos Degree
c
da
b a Cos Degree
c
db
a b Sin Degree
c
d
0.13138
Logo, o valor de c é aproximadamente c 6 0.13138
c 6 0.13138
5.86862
56 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
1.6.2 Derivada total
Considere uma função de n variáveis z f t, x1, x2, ..., xn 1 e, suponha também que cada uma das variáveis x1, x2, ..., xn 1
dependem da variável t, de tal modo que as seguintes relações são válidas
xi xi t , i 1, 2, 3, ..., n.
Definimos derivada total da função z a expressão
f
t
f
t
f
x1
x1
t
...
f
xn 1
xn 1
t
.
Note-se que o lado esquerdo definindo a derivada total df
dt
, contém como um termo particular a derivada parcial f
t
 no lado
direito. Este termo somente aparecerá quando a função z f t, x1, x2, ..., xn 1 depende explicitamente de t.
Exemplo 3. Encontrar a derivada total de f x, y x2 3 xy com relação a x, dado que y sin 1 x .
Solução. Neste caso, t x e x1 y. Assim
df
dx
f
x
f
y
dy
dx
,
onde
f
x
2 x 3 y,
f
y
3 x,
dy
dx
1
1 x2 1 2
pelo que
df
dx
f
x
f
y
dy
dx
2 x 3 y 3 x
1
1 x2 1 2
2 x 3 sin 1 x
3 x
1 x2 1 2
.
Exemplo 4. Dado que z x y e x2 y2 t2, x sin t y y. Encontrar dz dt.
Solução. Usando a regra da cadeia temos
dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
,
temos
z
x
1,
z
y
1.
Vamos encontrar dx
dt
 e dy
dt
 usando derivação implícita. Derivando diretamente em relação a t:
t
x2 y2
t
t2 , 2 x
dx
dt
2 y
dy
dt
2 t
x
dx
dt
y
dy
dt
t,
Derivando diretamente em relação a t a outra equação
d
dt
x sin t
d
dt
y y
dx
dt
sin t xcos t
dy
dt
y y y
dy
dt
dy
dt
1 y y
dy
dt
y
1 y
dx
dt
sin t xcos t
inserindo isto em ( )
x
dx
dt
y
y
1 y
dx
dt
sin t xcos t t
dx
dt
x
y y
1 y
sin t t
xy y
1 y
cos t
dx
dt
t 1 y xy y cos t
x 1 y y y sin t
Inserindo estas derivadas em dz/dt:
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 57
dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
t 1 y xy y cos t
x 1 y y y sin t
y
1 y
t 1 y xy y cos t
x 1 y y y sin t
sin t xcos t .
1.7. Regra da cadeia
De maneira semelhante como o caso de funções de uma variável, aplica-se a funções compostas. 
Teorema: Se z f x, y e x g t , y h t . Logo dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
. Se z f x, y e x g u, v , y h u, v , logo z
u
z
x
x
u
z
y
y
u
,
z
v
z
x
x
v
z
y
y
v
.
Em geral, se z f x1, x2, ..., xn e x1 g u, v, w, ... , x2 h u, v, w, ... , x3 p u, v, w, ... , logo
z
u
z
x1
x1
u
z
x2
x2
u
z
x3
x3
u
...
z
v
z
x1
x1
v
z
x2
x2
v
z
x3
x3
v
...
z
w
z
x1
x1
w
z
x2
x2
w
z
x3
x3
w
...
Estas regras, conhecidas como “regra da cadeia”, são o básico para o cálculo de derivadas de funções compostas. 
Exemplo 5. Dado que x u 1 a u e y u b u3, encontrar a taxa de variação de f x, y x y com relação a u. 
Solução. Usando a regra da cadeia
df
du
f
x
dx
du
f
y
dy
du
,
temos
f
x
y,
f
y
x y,
dx
du
a,
dy
du
3 b u2
pelo que
df
du
y a x y 3 b u2 y a 3 bxu2 b u
3
a 3 b 1 au u2
b u3 a 3 bu2 3 ab u3 .
x u : 1 a u;
y u : b u3;
f x , y : x y;
uf x u , y u
a b u
3
3 b b u
3
u2 1 a u
58 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
a 1; b 1; x 1 a u; y b u3;
linha
Row
gráfico
Plot x y, u, 1, 1 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda
AxesLabel
automát
Automatic,
ma
Mesh
falso
False,
número de 
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 8 ,
Plot a b u
3
3 b b u
3
u2 1 a u , u, 1, 1 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos e
AxesLabel u, f ,
ma
Mesh
falso
False,
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo
PlotRange All,
estilo de e
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 8
Exemplo 6. Dado que u x x2 2 x y yln z e x s, t s t2, y s, t s t2, z 2 t, encontrar a taxa de variação
u s, u t.
Solução. Usando a regra da cadeia temos
u
s
u
x
x
s
u
y
y
s
u
z
z
s
,
temos
u
x
2 x 2 y,
u
y
2 x ln z ,
u
y
y
z
,
além disso
x
s
1,
y
s
1,
z
s
0.
Por tanto
u
s
2 x 2 y 1 2 x ln z 1
y
z
0 4 x 2 y ln z .
Também
u
t
u
x
x
t
u
y
y
t
u
z
z
t
temos
x
t
2 t,
y
t
2 t,
z
t
2.
Por tanto
u
t
2 x 2 y 2 t 2 x ln z 2 t
y
z
2 4 yt 2 t ln z
2 y
z
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 59
1.7.1 Exercícios. Lista 3. Data: 21-03/ 08-05
I. Cálculo de derivadas parciais
1. Verificar que a função u x, t e
2 k2 t sin kx é uma solução da equação de condução do calor ut 2 uxx.
2. Determine qual das funções a seguir é uma solução da equação de Laplace uxx uyy 0.
a) u x2 y2, b) u x2 y2, c) u x3 3 xy2, d) u sin x cosh y cos x sinh y , e) u e x cos y e y cos x .
3. Mostrar que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação utt a2 uxx.
a) u sin kx sin akt , b) u t a2 t2 x2 , c) u x at 6 x at 6, d) u sin x at ln x at .
4. Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma variável, mostre que a função u x, t f x at g x at é uma
solução da equação de onda utt a2 uxx.
5. Se u ea1 x1 a2 x2 ... an xn , onde a1
2 a2
2 ... an
2 1, mostre que 
2u
x1
2
2u
x2
2 ...
2u
xn
2 u.
6. Mostre que a função de produção de Cobb-Douglas P bL K , satisfaz a equação L P
L
K P
K
P.
7. A temperatura num ponto (x,y) sobre uma placa de metal é dada por T x, y 60 1 x2 y2 , onde T é medido em oC e x,y
em metros. Encontre a taxa de variação da temperatura com relação a distância no ponto (2,1) em a) na direção x e b) na
direção y.
8. A lei do gás ideal para um gás de número de mol n a uma temperatura absoluta T, pressão P, e volume V é PV nRT, onde R é
a constante do gás. Mostre que: a) P
V
V
T
T
P
1, b) T P
T
V
T
nR.
9. Dado z x, y ln x y ; prove que x z
x
y z
y
1
2
.
10. Dado u t, x et
x 2
; prove que 2 x u
x
t u
t
0.
11. Dado z t, x ex 2 sin
4
y
2
; prove que z
x
z
y
2 1
2
ex sin2 y
2
.
12. Se u x, y, z ln x3 y3 z3 3 xyz , mostrar que 
x y z
u
x
u
y
u
z
9
x y z 2
.
13. Em um estudo de penetração da geada, verificou-se que a temperatura T no tempo t (medido em dias), a uma profundidade
x (medida em pés) pode ser modelada pela função T x, t T0 T1 e x sin t x , onde 2 365 e é uma constante positiva.
a) Encontrar T/ x. Qual é o significado físico?, b) Encontrar T/ t. Qual é o significado físico? c) Mostre que T satisfaz a
equação de calor Tt k Txx para uma certa constante k. d) Se 0.2, T0 0, T1 10, use um computador para traçar o gráfico
T x, t .
II. Derivadas parciais em equações implícitas
14. Seja y uma função de x, determinada pela equação x
2
a2
y2
b2
1. Encontrar: dy
dx
, d
2 y
dx2
e
d3 y
dx3
.
15. Seja y uma função determinada pela equação x2y2 2 axy 0 a 1 . Mostrar que 
d2 y
dx2
0.
16. Encontrar dy
dx
, d
2 y
dx2
, e d
3 y
dx3
 se y 1 yx.
17. Encontrar 
dy
dx
,
d2 y
dx2
e
d3 y
dx3
 se y x ln y .
18. Se z é uma função de x e y, encontrar z
x
 e z
y
, se x cos y y cos z z cos x 1.
19. Se z é uma função de x e y dada através da equação x2 y2 z2 xy 0, encontrar z
x
 e z
y
, para os valores
x 1, y 0, z 1.
20. Encontrar z
x
, z
y
,
2z
x2
,
2z
x y
,
2z
y2
, se x
2
a2
y2
b2
z2
c2
1.
21. A função u depende de x e y de acordo com a equação ln u y ln x . Mostrar que 
3u
2x y
3u
x y x
.
22. Se a, b, c são os lados de um triângulo e A, B, C são os ângulos opostos, encontre A/ a, A/b, A/ c por diferenciação
implícita da lei de cosseno.
III. Incrementos e diferencial total
23. Encontre a diferencial total da função: a) z x3 ln y , b) y cos xy , c) m p5 q3, d) T
1 u
, e) R 2 cos , f) w xyexz.
24. Se z 5 x2 y2 e (x,y) varia desde (1,2) até (1.05,2.1), compare os valores de z e dz.
25. Calcular as diferenciais totais das funções:
60 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
a) z x x ln y para x 2, y 1, dx 0.05, dy 0.02; b) xy, para x 1, y 2, dx 0.01, dy 0.03.
26. Calcular dz e z para a função z xy em x 3, y 1, x 0.1, y 0.2. Assuma que x dx, y dy.
27. Calcular aproximadamente o incremento da função x, y arctan
y
x
, quando x varia desde 2 até 2.1 e y desde 3 até 2.5.
IV. Derivada total
28. Encontrar a derivada total dz
dt
 das seguintes funções
a) z
y
x
, x et, y 1 e2 t;
b) z xy, x sin 2 t , y cos 3 t ;
c) z 2 t 1 x ey, x ln 2 t 1 , y ln t2 1 ;
d) z Ax2 2 Bxy Cy2, x sin t , y cos t ;
e) Uma partícula descreve uma trajetória tal que sua coordenada z varia em função de suas coordenadas x e y com a equação,
z arctan y
x
. Se a posição x e y variam com o tempo t de acordo com as leis: x e2 t 1, y e2 t 1. Encontre sua velocidade ao
longo do eixo z, isto é, dz
dt
.
V. Regra da cadeia
29. Use a Regra da Cadeia para encontrar dz/dt ou dw/dt:
a) z x2 y2 xy, x sin t , y et; b) z cos x 4 y , x 5 t4, y 1 t; c) z 1 x2 y2 , x ln t , y cos t .
30. Nos seguintes exercícios, encontre z/ x e z/ y:
a) 3xyz x2 y2 z2, b) xyz cos x y z , c) zx z x2 y2 , d) yz ln sin x2 yz , e) x z arctan yz .
1.8. Valores extremos
Ao estudar máximos e mínimos para funções de uma variável, encontramos que os testes básicos envolviam a anulação da primeira
derivada e a sinal da segunda derivada ser positiva ou negativa. Nesta sessão desenvolvemos os testes envolvendo as primeiras e
segunda derivadas parciais para localizar máximos e mínimos de funções de duas variáveis.
As definições de máximos e mínimos para funções de duas variáveis são similares a aquelas de uma variável, com a diferença que
agora usamos o conceito de disco em vez de intervalos. Lembrando que o disco de raio r ao redor de x0, y0 consiste de todos os
pontos (x,y) tal que a distância x x0 2 y y0 2 é menor que r (Fig.18).
Fig.18. Disco de raio r.
Definição de máximo e mínimo. Seja f x, y uma função de duas variáveis. Dizemos que x0, y0 é um mínimo local para f se
existe um disco (de raio positivo) ao redor de x0, y0 tal que f x, y f x0, y0 para todo (x,y) no disco. Similarmente, se
f x, y f x0, y0 para todo (x,y) em algum disco (de raio positivo) ao redor de x0, y0 , chamamos x0, y0 um ponto de máximo
local para f. Um ponto que é um máximo ou mínimo local é chamado um extremo local.
Podemos também definir os pontos de máximo e mínimo globais para ser aqueles em que uma função alcança o maior e menor
valores em todos os pontos do seu domínio.
Na Fig.19 mostra-se alguns máximos e mínimos locais para uma função z f x, y . Se um máximo aparece no ponto a, b , as curvas
que jazem nos planos x a e y b devem também ter um máximo no ponto a, b como mostrado na Fig.20. Consequentemente, as
tangentes (mostradas como t1 e t2) as curvas em a, b devem ser paralelos aos eixos respetivos Ox e Oy. Isto requer que 
z
x
0 e
z
y
0 em todos os valores máximos e mínimos, e a solução destas equações da os pontos estacionários (ou críticos) de z.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 61
Fig.19 Função z f x, y mostrando alguns máximos e mínimos.
Existem três tipos de pontos estacionários, a saber, pontos de máximo, mínimo e de sela. Um ponto de sela Q é mostrado na 
Fig.21e é tal que um ponto Q é máximo para a curva 1 e um mínimo para a curva 2.
Para determinar as condições necessárias que um ponto de extremo deve satisfazer, vamos fazer uma excursão por “uma região 
de vales e montanhas” como visualizamos através da superfície abaixo.
62 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
manipula
Manipulate
mos
Show
gráfico 3D
Plot3D x2 2 y2 1 x
2 2 y2 , x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
malha
Mesh
ve
True,
intervalo do gráfico
PlotRange 1.5, 1.5 ,
estilo de etiqueta
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 9 ,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
número de pontos n
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 250, 250 ,
Plot3D 2 y ^2
exponencial
Exp 1 2 y ^2 , x, 0.02, 0.02 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
ver
True,
número de pontos n
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
gráfico 3D
Plot3D x^ 2
exponencial
Exp 1 x^2 , x, 3.0, 3.0 , y, 0.02, 0.02 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
ver
True,
número de pontos n
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 230, 230 ,
gráfico 3D
Plot3D 2 1 p
2
p 2 1 p
2
p3 x p p2 1 p
2
, x, 3, 3 , y, 0.02, 0.02 ,
gráfico 3D
Graphics3D
taman
PointSize
grande
Large ,
azul
Blue,
ponto
Point p, 0, p2 1 p
2
,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All , p, 3, 3
p
Fig.22. Gráfico da superfície z x2 2 y2 1 x
2 2 y2 . Mostramos também a reta tangente num ponto de máximo local (ponto 
azul). Esta reta é paralela ao eixo y. Se você usa Mathematica mova a barra p e você visualizará a reta tangente se movendo. 
O cálculo dos pontos de extremo desta função serão encontrados no exercício 4.
Quais são as condições para que um ponto de extremo (a,b) seja máximo, mínimo ou de sela? Uma resposta simples pode ser
obtida para uma superfície quadrática f x, y Ax2 Bxy Cy2, embora é válida para qualquer tipo de superfície. 
Para este fim, considere uma superfície quadrática cuja função de duas variáveis seja da forma geral
f x, y Ax2 Bxy Cy2 1.13
nos interessa determinar condições para encontrar os pontos estacionários para esta classe de superfícies quadráticas. Para este 
fim, assumimos para conveniência que A 0. Podemos escrever
f x, y Ax2 Bxy Cy2 A x2
B
A
xy
C
A
y2 A x
B
2 A
y
2 C
A
B2
4 A2
y2 . 1.14
onde temos completado quadrados. 
Pode-se notar que, o tipo de ponto estacionário depende da sinal do coeficiente de y2. Tal que
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 63
C
A
B2
4 A2
0 4 AC B2 0 . 1.15
Por tanto:
1. Se 4 AC B2 0, logo f tem ou um máximo local ou mínimo local em 0, 0 , dependendo de se A 0 ou A 0.
2. Se 4 AC B2 0, logo f tem um ponto de sela em (0,0).
3. Se 4 AC B2 0, várias coisas podem acontecer, e, normalmente é necessário obter mais informação.
Outra forma alternativa e muito útil surge quando observamos que
2 A fxx 0, 0 , B fxy 0, 0 fyx 0, 0 , 2 C fyy 0, 0 , pelo que
4AC B2 fxx fyy fxy
2 ;
em outras palavras, 4 AC B2 é o determinante da matriz Hessiana
f '' 0, 0
fxx 0, 0 fxy 0, 0
fyx 0, 0 fyy 0, 0
. 1.16
Resumimos tudo isto em forma de teorema
Teorema. Seja (x0, y0) um ponto estacionário de uma função f, seja f '' x0, y0 a matriz Hessiana de f, e seja
fxx x0, y0 fyy x0, y0 fxy x0, y0
2 o determinante de f '' x0, y0 . Logo
Se 0 e fxx x0, y0 0, logo f tem um mínimo local em x0, y0 .
Se 0 e fxx x0, y0 0, logo f tem um máximo local em x0, y0 .
Se 0, logo f tem um ponto de sela em x0, y0 .
Se 0, mais informação é necessária.
1.8.1 Procedimento para determinar máximos, mínimos e pontos de sela para funções de duas 
variáveis
Dado z f x, y :
determine z
x
 e z
y
para pontos estacionários, resolva as equações simultâneas z
x
0 e z
y
0. Isto definirá os valores das coordenadas x e y 
dos pontos estacionários.
determine 
2z
x2
, 
2z
y2
 e 
2z
x y
para cada uma das coordenadas dos pontos estacionários, substitua os valores de x e y dentro de 
2z
x2
, 
2z
y2
 e 
2z
x y
 e 
determine estes valores.
determine 
2z
x y
2
para cada ponto estacionário,
substitua os valores de 
2z
x2
, 
2z
y2
 e 
2z
x y
 dentro da equação
2 z
x2
2 z
y2
2 z
x y
2
 e encontre seu valor.
a) Se 0 logo o ponto estacionário é um ponto de sela.
 b) Se 0 e 
2z
x2
0, logo o ponto estacionário é um ponto de máximo.
 c) Se 0 e 
2z
x2
0, logo o ponto estacionário é um ponto de mínimo.
 d) Se 0 nenhuma conclusão pode ser traçado e a, b é chamado um ponto crítico degenerado.
64 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
1.8.2 Problemas trabalhados
Exemplo 1. Mostre que a função z x 1 2 y 2 2 tem um ponto estacionário apenas e determine sua
natureza. Esboce a superfície representada por z e produza um mapa de contorno no plano x–y.
Solução. Seguindo os procedimentos
i
z
x
2 x 1 e
z
y
2 y 2
ii Resolvendo: 2 x 1 0, 2 y 2 0, nos dá: x 1, y 2, pelo que o ponto estacionário é 1, 2 .
iv Como:
2 z
x2
2,
2 z
y2
2 e
2 z
x y
0
v
2 z
x y
2
0
vi 2 2 4
vii Como 0 e
2 z
x2
0, o ponto estacionário 1, 2 é um mínimo.
 A superfície da função é mostrada assim como o mapa de contorno abaixo.
mo
Show
gráfico 3D
Plot3D x 1 2 y 2 2, x, 0, 2 , y, 1, 3 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
ma
Mesh
v
True ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 1, 2, 0 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
GraphicsGrid
gráfico de contornos
ContourPlot x 1 2 y 2 2, x, 0, 2 , y, 1, 3 ,
marcado
FrameTicks
verdadeiro
True,
&
função de 
ColorFunction
matiz
Hue
,
Exemplo 2. Encontre os pontos críticos (ou estacionários) para a função z x3 6 xy y3 e determine sua
natureza. Esboce a superfície representada por z e produza um mapa de contorno no plano x–y.
Solução. Seguindo os procedimentos
i
z
x
3 x2 6 y e
z
y
6 x 3 y2
ii Resolvendo: 3 x2 6 y 0, 6 x 3 y2, nos dá : x 0, y 0, e x 2,
y 2 pelo que os pontos estacionários ou críticos são 0, 0 e 2, 2 .
iv Como:
2 z
x2
6 x,
2 z
y2
6 y e
2 z
x y
6
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 65
v
2 z
x y
2
36
vi
2 z
x2
2 z
y2
2 z
x y
2
36 xy 36
vii No ponto 0, 0 : Como 36 0 e
2 z
x2
0, o ponto é de sela.
No ponto 2, 2 : Como 108 0 e
2 z
x2
12 0, o ponto é de mínimo.
 A superfície da função é mostrada assim como o mapa de contorno abaixo.
mos
Show
gráfico 3D
Plot3D x3 6 x y y3, x, 1, 3 , y, 1, 3 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
verdadeiro
True ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanho
PointSize
grande
Large ,
ve
Red,
ponto
Point 0, 0, 0 ,
eixos
Axes
ver
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All ,
Graphics3D
tamanho
PointSize
grande
Large ,
ve
Red,
ponto
Point 2, 2, 6 ,
Axes
ver
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All ,
GraphicsGrid
gráfico de contornos
ContourPlot x3 6 x y y3, x, 1, 3 , y, 1, 3 ,
marcadores
FrameTicks
verdadeiro
True,
&
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue
,
Exemplo 3. A função f x, y xy y 2 x 2 tem um ponto estacionário. Encontre-o. Que tipo de ponto é este?
Solução. Rapidamente escrevemos a matriz Hessiana
D
fxx x0, y0 fxy x0, y0
fyx x0, y0 fyy x0, y0
0 1
1 0
1
onde fx x, y y 2 0, fy x, y x 1 0 que é satisfeita no ponto x0, y0 1, 2 , fxx 1, 2 fyy 1, 2 0. Sendo D = -1, o ponto
x0, y0 1, 2 é um ponto de sela.
66 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
mos
Show
gráfico 3D
Plot3D x y y 2 x 2, x, 1, 4 , y, 1, 4 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
ve
True ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanho
PointSize
grande
Large ,
ve
Red,
ponto
Point 1, 2, 0 ,
eixos
Axes
ver
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All ,
GraphicsGrid
gráfico de contornos
ContourPlot x y y 2 x 2, x, 1, 4 , y, 1, 4 ,
marcadores
FrameTicks
verdadeiro
True,
&
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue
,
Exemplo 4****. Encontre os pontos críticos (ou estacionários) para a função z x2 2 y2 1 x
2 2 y2 e determine
sua natureza. 
Solução. Seguindo os procedimentos calculando todas as derivadas:
z x , y : x2 2 y2 1 x
2 2 y2 ;
x z x, y , y z x, y , x,y z x, y , x,x z x, y , y,y z x, y
2 1 x
2 2 y2 x 2 1 x
2 2 y2 x x2 2 y2 ,
4 1 x
2 2 y2 y 4 1 x
2 2 y2 y x2 2 y2 , 8 1 x
2 2 y2 x y x2 2 y2 ,
2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2 ,
4
1 x2 2 y2
32
1 x2 2 y2
y
2
4
1 x2 2 y2
x
2
2 y
2
16
1 x2 2 y2
y
2
x
2
2 y
2
i
z
x
2 1 x
2 2 y2 x 1 x2 2 y2 ,
z
y
4 1 x
2 2 y2 y 1 x2 2 y2
ii Resolvendo:
Quando x 0 e 1 x2 2 y2 0. Quando x 0 e 1 x2 2 y2 0, de onde x2 1 2 y2.
Quando y 0 e 1 x2 2 y2 0. Quando y 0 e 1 x2 2 y2 0, de onde x2 1 2 y2.
Para y 0, de x2 1 2 y2 1, x 1. Os pontos são 1, 0 , 1, 0 .
Para x 0, de x2 1 2 y2, y
2
2
. Os pontos são 0,
2
2
, 0,
2
2
.
Também temos 0, 0 .
iv Como:
2 z
x2
2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2 ,
2 z
y2
4 1 x
2 2 y2 32 1 x
2 2 y2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 16 1 x
2 2 y2 y2 x2 2 y2
e
2 z
x y
8 1 x
2 2 y2 x y x2 2 y2 .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 67
x 0; y 0;
zxx 2
1 x2 2 y2
8
1 x2 2 y2
x
2
2
1 x2 2 y2
x
2
2 y
2
4
1 x2 2 y2
x
2
x
2
2 y
2
2
x 1; y 0;
zxx 2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2
4
x 1; y 0;
zxx 2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2
4
x 0; y
2
2
;
zxx 2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2
4
x 0; y
2
2
;
zxx 2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2
4
Hessiano :
x 0; y 0;
Hessiano
determinante
Det
2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2 8 1 x
2 2
8 1 x
2 2 y2 x y x2 2 y2 4 1 x
2
8 2
Este ponto (0,0) é sela.
x 1; y 0;
Hessiano
determinante
Det
2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2 8 1 x
2 2
8 1 x
2 2 y2 x y x2 2 y2 4 1 x
2
32
Este ponto (0,0) é máximo.
x 1; y 0;
Hessiano
determinante
Det
2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2 8 1 x
2 2
8 1 x
2 2 y2 x y x2 2 y2 4 1 x
2
32
Este ponto (0,0) é máximo.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 0; y 0.7071;
Hessiano
determinante
Det
2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2 8 1 x
2 2
8 1 x
2 2 y2 x y x2 2 y2 4 1 x
2
64.0003 31.9997 Null
68 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Este ponto (0,-0.7071) é mínimo.
x 0; y 0.7071;
Hessiano
determinante
Det
2 1 x
2 2 y2 8 1 x
2 2 y2 x2 2 1 x
2 2 y2 x2 2 y2 4 1 x
2 2 y2 x2 x2 2 y2 8 1 x
2 2
8 1 x
2 2 y2 x y x2 2 y2 4 1 x
2
64.0003 31.9997 Null
Este ponto (0,0.7071) é sela.
Mostramos agora algúns gráficos mostrando estes pontos de estremo.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Show
gráfico 3D
Plot3D x2 2 y2 1 x
2 2 y2 , x, 3, 3 , y, 3, 3 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
ma
Mesh
v
True,
intervalo do gráfico
PlotRange 1.5, 1.5 ,
estilo de eti
LabelStyle
tamanho da fonte
FontSize 9 ,
AxesLabel "x", "y", "z" ,
número de pon
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 250, 250 ,
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 0, 0, 0 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
PlotRange
t
All ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
azul
Blue,
ponto
Point 1, 0, 1 ,
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo d
PlotRange
t
All ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
azul
Blue,
ponto
Point 1, 0, 1 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
preto
Black,
ponto
Point 0, 0.7071, 1 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
PlotRange
t
All ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
preto
Black,
ponto
Point 0, 0.7071, 1 ,
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
grades de grá
GraphicsGrid
gráfico de contornos
ContourPlot x
2 2 y2 1 x
2 2 y2
, x, 3, 3 ,
y, 3, 3 ,
contornos
Contours 50,
marcadores
FrameTicks
verdadeiro
True,
&
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue
,
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 69
Exemplo 5***. A função f x, y x2 y2 2 x2 y2 x2 y2 2 xy descreve a “raiz do dente” como mostrado
na figura abaixo. Encontre seus pontos de extremo.
Solução. Calculamos as derivadas parciais da função dada:
gráfico 3D
Plot3D x2 y2
2
x2 y2 x2 y2 2 x y, x, 1.8, 1.8 , y, 1.8, 1.8 ,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, f ,
malha
Mesh
ve
True,
intervalo do gráfico
PlotRange 1.5, 0.5 ,
tamanho da ima
ImageSize 220,
estilo de recorte
ClippingStyle
ne
None,
número de pontos n
PlotPoints 120,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing"
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
z x , y : x
2
y
2 2
x
2
y
2
x
2
y
2
2 x y;
x z x, y , y z x, y , x,y z x, y , x,x z x, y , y,y z x, y
2 y 4 x x2 y2 , 2 x 4 y 4 y x2 y2 ,
2 8 x y, 8 x2 4 x2 y2 , 4 8 y2 4 x2 y2
i
z
x
2 y 4 x x2 y2 ,
z
y
2 x 4 y 4 y x2 y2 ,
2 z
x y
2 8 x y,
2 z
x2
8 x2 4 x2 y2 ,
2 z
y2
4 8 y2 4 x2 y2 .
ii Resolvendo:
a 2 y 4 x x2 y2 0 , b 2 x 4 y 4 y x2 y2 0.
de (a) e (b) colocamos em evidência x2 y2 para afirmar que
y
2 x
2 x 4 y
4 y
,
resolve
Solve
y
2 x
2 x 4 y
4 y
, y
y x 2 x , y x 2 x
Para y x 2 x substituindo em a
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
y x 2 x;
resolve
Solve 2 y 4 x x2 y2 0, x
x 0 , x
1
2
1 2
2 2
, x
1
2
1 2
2 2
As raízes são imaginárias e, por tanto, não nos interessam.
Para y x 2 x substituindo em a ou b
70 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
y x 2 x;
resolve
Solve 2 y 4 x x2 y2 0, x
x 0 , x
1
2
1 2
2 2
, x
1
2
1 2
2 2
Obtemos raízes reias
x 0, x
1
2
1 2
2 2
, x
1
2
1 2
2 2
Os valores respetivos de y são:
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 0,
1
2
1 2
2 2
,
1
2
1 2
2 2
;
y
simplifica
Simplify x 2 x
0,
1 2
3 2
2 2 2
,
1 2
3 2
2 2 2
Os pontos são
0, 0 ,
1
2
1 2
2 2
,
1 2
3 2
2 2 2
,
1
2
1 2
2 2
,
1 2
3 2
2 2 2
.
iv Como:
2 z
x y
2 8 x y,
2 z
x2
8 x2 4 x2 y2 ,
2 z
y2
4 8 y2 4 x2 y2 .
Calculamos os elementos matriciais do Hessian
x 0; y 0;
zxy 2 8 x y
2
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
zxy
simplifica
Simplify 2 8 x y
2
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
zxy
simplifica
Simplify 2 8 x y
2
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 71
x 0; y 0;
zyy 4 8 y2 4 x2 y2
4
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
zyy
simplifica
Simplify 4 8 y2 4 x2 y2
2 5 2
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
zyy
simplifica
Simplify 4 8 y
2
4 x
2
y
2
2 5 2
x 0; y 0;
zxx 8 x2 4 x2 y2
0
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
zxx
simplifica
Simplify 8 x
2
4 x
2
y
2
2 3 2
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
zxx
simplifica
Simplify 8 x
2
4 x
2
y
2
2 3 2
Hessiano :
x 0; y 0;
Hessiano
determinante
Det
0 2
2 4
4
Este ponto (0,0) é sela.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
Hessiano
simplifica
Simplify
determinante
Det
2 3 2 2
2 2 5 2
16 2 2
72 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Este ponto 1
2
1 2
2 2
,
1 2
3 2
2 2 2
 é mínimo porque 
2z
x2
2 3 2 0.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x
1
2
1 2
2 2
; y
1 2
3 2
2 2 2
;
Hessiano
simplifica
Simplify
determinante
Det
2 3 2 2
2 2 5 2
16 2 2
Este ponto 1
2
1 2
2 2
,
1 2
3 2
2 2 2
 é mínimo porque 
2z
x2
2 3 2 0.
O valor da função nos pontos de mínimo são iguais:
x
1
2
1 2
2 2
, y
1 2
3 2
2 2 2
,
z
3
4
1
2
Mostramos agora a função "raíz de dente" através de suas curvas de nível gráfico de contorno . O ponto azul é o ponto de sela,
os brancos são os mínimos.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 73
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mo
Show
gráfico de contornos
ContourPlot x2 y2
2
x2 y2 0.5 x2 y2 2 x y, x, 1.8, 1.8 , y, 1.8, 1.8 ,
marcado
FrameTicks
v
True,
contornos
Contours 50,
função de 
ColorFunction Hue,
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
tamanho da imagem
ImageSize 220 ,
gráfico
Graphics
tamanh
PointSize
grande
Large ,
azul
Blue,
ponto
Point 0, 0 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda do
AxesLabel
automát
Automatic,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
gráfico
Graphics
tamanh
PointSize
grande
Large ,
bra
White,
ponto
Point
1
2
1 2
2 2
,
1 2
3 2
2 2 2
,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
gráfico
Graphics
tamanh
PointSize
grande
Large ,
bra
White,
ponto
Point
12
1 2
2 2
,
1 2
3 2
2 2 2
,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
1.9. Multiplicadores de Lagrange
Existem muitos problemas de engenharia onde é necessário encontrar valores extremos, digamos para uma função de duas
variáveis u f x, y , onde as variáveis independentes estão vinculadas por uma equação
x, y 0, 1.17
chamada equação vínculo. Para esta classe de problemas de valores extremos sujeitos ao vínculo (x,y)=0, chamados extremos
condicionados ou vinculados, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste no seguinte.
Introduzimos a função de Lagrange
F x, y f x, y x, y 1.18
onde é um multiplicador de Lagrange constante e indeterminado. Procuramos o extremo de esta função de Lagrange auxiliar. As
condições necessárias para a existência de um extremo se reduzem ao sistema de três equações:
F
x
f
x x
0,
F
y
f
y y
0, x, y 0 1.19
com três variáveis x, y e a serem encontradas.
Se (x0, y0) é um ponto estacionário da função auxiliar F(x,y) e o Hessiano de F
Fxx x0, y0 Fyy x0, y0 Fxy x0, y0
2 0
74 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
neste ponto haverá um máximo condicionado da função u F x, y , se Fxx x0, y0 0, e um mínimo condicionado, se
Fxx x0, y0 0. 
Analogamente se encontram os extremos condicionados das funções de três e mais variáveis quando existem uma ou mais equações
vínculos (cujo número deve ser menor que a das variáveis). Neste caso, é necessário incluir na função de Lagrange tantos multipli-
cadores indeterminados como equações de enlace hajam.
Ilustramos todo isto com alguns exemplos.
Exemplo 1. Encontre os pontos estacionários para a função z x, y x3 y3 x2 y2 sujeita ao vínculo
y x 1.5 x2 0.
Solução. Neste caso, z x, y x3 y3 x2 y2 e x, y y x 1.5 x2.
Calculamos
i
z
x
2 x 3 x2 e
z
y
2 y 3 y2 ,
x
1 2 x e
y
1 ,
ii Resolvemos o sistema de equações
z
x x
0 ,
z
y y
0 , 0 ,
o sistema de equações é : 2 x 3 x2 1 2 x 0 , 2 y 3 y2 1 0 , y x 1.5 x2 0 ,
a solução apresenta apenas uma solução real : x 0.684678, y 1.28411, 7.515, e o valor da função z 2.97658.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 75
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x^3 y^3 x^2 y^2 z,
x, 6, 4 , y, 6, 4 , z, 2.5, 3.5 ,
malha
Mesh
nen
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
verde
Green ,
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D
y x 1.5 x^2 0, x, 6, 4 , y, 6, 4 , z, 2.97, 2.98 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
PlotPoints 50,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
especularidade
Specularity
branco
White, 30 ,
azul
Blue ,
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
gráfico 3D de conto
ContourPlot3D z 2.98, x, 6, 4 , y, 6, 4 , z, 2.5, 3.5 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
PlotPoints 50,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
azul
Blue ,
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
Graphics3D
tamanho do
PointSize
grande
Large ,
ve
Red,
ponto
Point 0.6846, 1.2841, 2.9765 ,
Axes
verd
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All
Na figura, a parábola y x 1.5 x2 0 foi traçada no plano z = 2.98 onde a equação vínculo y x 1.5 x2 0
“toca” a superfície (verde) da função dada z x, y x3 y3 x2 y2. Este ponto de contacto entre a equação vínculo e a
superfície z(x,y) é o ponto de extremo vinculado. 
Exemplo 2. Encontre os pontos estacionários para a função z x, y x2 y2 sujeita ao vínculo x2 y2 2 x 2 y 1 0.
Solução. Neste caso, z x, y x2 y2 e x, y x2 y2 2 x 2 y 1 0.
9
76 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
x x
2
y
2
, y x
2
y
2
, x x
2
y
2
2 x 2 y 1 , y x
2
y
2
2 x 2 y 1
2 x, 2 y, 2 2 x, 2 2 y
Resolvemos o sistema de equações
z
x x
0 ,
z
y y
0 , 0 ,
resolve
Solve 2 x 2 2 x 0, 2 y 2 2 y 0, x2 y2 2 x 2 y 1 0 , x, y,
x
1
2
2 2 , y
1
2
2 2 , 1 2 ,
x
1
2
2 2 , y
1
2
2 2 , 1 2
a solução apresenta apenas duas soluções reais : x
1
2
2 2 , y
1
2
2 2 , 1 2 , e o valor da função z é
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
z
simplifica
Simplify
1
2
2 2
2 1
2
2 2
2
3 2 2
e a solução : x
1
2
2 2 , y
1
2
2 2 , 1 2 , e o valor da função z é
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
z
simplifica
Simplify
1
2
2 2
2 1
2
2 2
2
3 2 2
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 77
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x^2 y^2 z, x, 3, 3 , y, 3, 3 , z, 0.5, 6.5 ,
malha
Mesh
nen
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
estilo de conto
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
verde
Green ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
ContourPlot3D x^2 y^2 2 x 2 y 1 0, x, 3, 4 , y, 2, 3 , z, 5.81, 5.83 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
PlotPoints 50,
estilo de conto
ContourStyle
diretiva
Directive
especular
Specularity
branco
White, 30 ,
marrom
Brown ,
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
gráfico
ContourPlot3D z 5.82, x, 3, 3 , y, 4, 3 , z, 0, 6.5 ,
malha
Mesh
nen
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
azul
Blue ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
ContourPlot3D z 0.18, x, 3, 3 , y, 4, 3 , z, 0, 6.5 ,
malha
Mesh
nen
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
amarelo
Yellow ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x^2 y^2 2 x 2 y 1 0, x, 3, 4 , y, 2, 3 ,
z, 0.175, 0.181 , x, 3, 3 , y, 3, 3
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point
1
2
2 2 ,
1
2
2 2 , 3 2 2 ,
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo do
PlotRange
tudo
All ,
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point
1
2
2 2 ,
1
2
2 2 , 3 2 2 ,
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo do
PlotRange
tudo
All
Na figura, a curva fechada no plano z = 3 2 2 (plano amarelo) representa a equação vínculo (elipse)
x2 y2 2 x 2 y 1 0 que “toca” a superfície da função z x, y x2 y2. De modo semelhante, a curva fechada no plano
z = 3 2 2 (plano azul) representa a equação vínculo (elipse) x2 y2 2 x 2 y 1 0 que “toca” a superfície da
função z x, y x2 y2.
Exemplo 3. Encontre os pontos estacionários condicionados para a função f x, y, z xyz sujeita aos vínculos
x y z 5, xy yz zx 8.
78 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Exemplo 3. Encontre os pontos estacionários condicionados para a função f x, y, z xyz sujeita aos vínculos
x y z 5, xy yz zx 8.
Solução. Neste caso, a função de Lagrange auxiliar é F x, y, z f x, y, z 1 x, y 2 x, y , onde e são dois multiplicadores
de Lagrange e as equações vínculos 1 x, y x y z 5 0, 2 x, y xy yz zx 8 0. O sistema de equações que minimizam Fsão
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
F x , y , z : x y z x y z 5 x y y z z x 8
xF x, y, z , yF x, y, z , z F x, y, z
y z y z , x z x z , x y x y
Resolvemos o sistema de equações
F
x
f
x
1
x
2
x
0 ,
F
y
f
y
1
y
2
y
0 ,
F
z
f
z
1
z
2
z
0 , 1 x, y x y z 5 0, 2 x, y xy yz zx 8 0
Resolvemos o sistema anterior:
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
resolve
Solve y z y z 0, x z x z 0,
x y x y 0, x y z 5 0, x y y z z x 8 0 , x, y, z, ,
x 1, y 2, z 2, 4, 2 , x
4
3
, y
4
3
, z
7
3
,
16
9
,
4
3
,
x
4
3
, y
7
3
, z
4
3
,
16
9
,
4
3
, x 2, y 1, z 2, 4, 2 ,
x 2, y 2, z 1, 4, 2 , x
7
3
, y
4
3
, z
4
3
,
16
9
,
4
3
as soluções são :
1 x 1, y 2, z 2, 4, 2
2 x
4
3
, y
4
3
, z
7
3
,
16
9
,
4
3
3 x
4
3
, y
7
3
, z
4
3
,
16
9
,
4
3
4 x 2, y 1, z 2, 4, 2
5 x 2, y 2, z 1, 4, 2
6 x
7
3
, y
4
3
, z
4
3
,
16
9
,
4
3
.
Encontramos os valores da função f x, y, z para os pontos de extremo encontrados :
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 1, y 2, z 2 ; f x y z
4
e a solução : x
1
2
2 2 , y
1
2
2 2 , 1 2 , e o valor da função z é
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 4 3, y 4 3, z 7 3 ; f x y z
112
27
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 79
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 4 3, y 7 3, z 4 3 ; f x y z
112
27
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 2, y 1, z 2 ; f x y z
4
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 2, y 2, z 1 ; f x y z
4
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 7 3, y 4 3, z 4 3 ; f x y z
112
27
1.9.1 Exercícios. Lista 4.
I. Pontos críticos. Nos seguintes exercícios, localize e classifique os pontos críticos das seguintes funções.
1. f x, y 3 x x3 3 xy2, 2. f x, y 6 xy2 2 x3 3 y4, 3. f x, y 2 x3 3 x2 y2 12 x 10, 4. f x, y 2 x2 y2 4 x 4 y 5,
5. f x, y 10 12 x 12 y 3 x2 2 y2, 6. 2 x2 3 y2 2 x 3 y 7, 7. f x, y xy 3 x 2 y 4, 8.
f x, y 2 x2 2 xy y2 4 x 2 y 1, 9. f x, y x2 4 xy 2 y2 4 x 8 y 3, 10. f x, y x3 y3 3 xy 3, 11.
f x, y x2 2 xy y3 y, 12. f x, y 6 x x3 y3, 13. f x, y 3 xy x3 y3, 14. f x, y x4 y4 4 xy, 15.
f x, y x3 6 xy 3 y2, 16. f x, y x3 6 xy 3 y2 9 x, 17. f x, y x3 6 xy 3 y2 6 x, 18.
f x, y 3 x2 6 xy 2 y3 12 x 24 y, 19. f x, y 3 x2 12 xy 2 y3 6 x 6 y, 20. f x, y 4 xy 2 x4 y2, 21.
f x, y 8 xy 2 x2 y4. 22. f x, y 1
3
x4 1
2
y4 4 xy2 2 x2 2 y2 3. Dica: Para este exercício você vai necessitar resolver uma
equação cúbica. Use o computador e algum programa plotador, como Excel, e encontre os interceptos com o eixo x. 23.
f x, y xy x
2 y2 , 24. f x, y x2 y2 x
2 y2 , 25. f x, y x2 y2 x
2 y2 2.
II. Problemas sobre pontos críticos.
26. Seja f x, y o quadrado da distância do ponto 0, 0, 2 até um ponto típico da superfície z xy. Determine e classifique os
pontos críticos de f(x,y).
27. Encontre o ponto ou pontos sobre o paraboloide elíptico z 4 x2 y2 mais próximo ao ponto 0, 0, 8 .
28. Seja z x2 y2 cos x 2 y . Mostre que 0, 0 é um ponto crítico. É ele um ponto de extremo (máximo ou mínimo)?
29. a) Encontre a distância mínima desde a origem ao ponto sobre o plano x 3 y z 6. b) Encontre a distância mínima desde
(1,2,0) ao cone z2 x2 y2.
30. Uma caixa retangular sem tampa deve ser construída com cartão e com uma área total A. Encontre o volume máximo de
semelhante caixa.
31. Encontre três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é um máximo.
32. Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita numa esfera de raio R.
33. Encontre as dimensões da caixa com volume V que tem área mínima.
34. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é seu maior volume possível?
III. Multiplicadores de Lagrange. Use mutiplicadores de Lagrange
para encontrar os valores máximo e mínimo da função sujeita ao vínculo dado.
35. f x, y x2 y2; xy 1, 36. f x, y 4 x 6 y; x2 y2 13, 37. f x, y x2 y; x2 2 y2 6, 38. f x, y exy; x3 y3 16.
39. Maximize a área da secção transversal de uma viga retangular cortada de um toco circular. Com r 2 m como o raio do
toco, mostre, usando multiplicadores de Lagrange, que a viga ótima tem secção transversal quadrada.
80 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
P .39.
40. Dado x y z a, encontre o valor máximo de xm yn zp.
41. Uma barraca sobre uma base quadrada de lado x, tem seus lados verticais de altura y e o topo é uma pirâmide regular de
altura h. Encontre x e y em termos de h, se a lona requerida para sua construção é para ser mínimo para a barraca ter uma
capacidade dada. R. x 5 h, y h 2.
42. A temperatura T em qualquer ponto x, y, z no espaço é T 400 xyz2. Encontrar a temperatura maior sobre a superfície da
esfera unitária x2 y2 z2 1. 
43. Um pentágono é formado colocando um triângulo isósceles sobre um retângulo, conforme mostrado na figura. Se o pentá-
gono tem perímetro fixo P, encontrar os comprimentos dos lados do pentágono que maximizam a área do pentágono.
P.43
44. A densidade de uma superfície esférica x2 y2 z2 4 é dado por x, y, z 2 xz y2. Encontre os lugares onde a densi-
dade é mais alta e mais baixa.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 81
2
DERIVADAS DIRECIONAIS. CAMPOS ESCALARES E VETORIAIS7
2.1 Campos escalares e vetoriais
2.1.1 Campos escalares
Se a cada ponto P x, y, z de uma região R do espaço está associado com uma quantidade escalar x, y, z , como mostrado na
Fig.23, logo x, y, z é uma função escalar e um campo escalar dizemos que existe na região R.
Fig.23 
Como exemplos de campos escalares podemos citar a temperatura, o potencial elétrico, a pressão, etc. Um campo escalar de
temperatura é mostrado na figura abaixo.
Ref:
https://www.google.com.br/search?q=temperature+map&espv=2&biw=1366&bih=677&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&
ved=0ahUKEwiU3ZK21NXOAhWIF5AKHbdKDewQsAQIMw#imgrc=EdtXxxW9hgbUpM%3A
Exemplo 1. Duas cargas pontuais cujos valores são e e - 2e/3 foram colocadas nos pontos P1 0, 1, 0 e P2 0, 1, 0 respetiva-
mente. O potencial escalar em qualquer pontoP x, y, z é dado por: x, y, z 1
x2 y 1 2 z2
2 3
x2 y 1 2 z2
. Usando o computa-
dor podemos visualizar este “campo escalar” na região onde z = 0.
82 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Solução. O potencial elétrico de uma carga pontual q em coordenadas retangulares é uma função escalar. Se a carga está
localizada em x0, y0, z0 será dada por
x, y, z k
q
x x0 2 y y0 2 z z0 2
,
sendo k uma constante numérica. O potencial para as cargas 1 e -2/3 localizadas nos pontos P1 0, 1, 0 e P2 0, 1, 0 no plano z
= 0 é
x, y, z ke
1
x2 y 1 2 z2
2 3
x2 y 1 2 z2
mos
Show
gráfico 3D
Plot3D
1
x2 y 1 2
2 3
x2 y 1 2
, x, 4, 4 , y, 4, 4 ,
função de cores
ColorFunction
ma
Hue,
malha
Mesh
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", " ke" ,
intervalo do gráfico
PlotRange 3, 3 ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 0, 1, 0 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 0, 1, 0 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
Show
gráfico de densidade
DensityPlot
1
x2 y 1 2
2 3
x2 y 1 2
, x, 4, 4 , y, 4, 4 ,
função de cores
ColorFunction
matiz
Hue,
FrameLabel x, y ,
legenda do 
PlotLegendssitu
Placed
legenda 
BarLegend
automát
Automatic,
tamanho do marcador da legenda
LegendMarkerSize 100,
LegendFunction
emoldur
Framed ,
raio de arredondamento
RoundingRadius 3 & ,
etiqueta de legenda
LegendLabel "Valor de ke" ,
dep
After,
topo
Top ,
Graphics
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 0, 1 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All ,
Graphics
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 0, 1 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
,
Valor de ke
Fig.24 a) Gráfico de vs x e y em 3, os pontos vermelhos sãos as cargas pontuais, b) Gráfico densidade para o potencial no 
plano x-y.
2.1.2 Campos vetoriais
Se a cada ponto P x, y, z de uma região R do espaço está associado com uma quantidade vetorial F x, y, z , como mostrado na
Fig.25, logo F x, y, z é uma função vetorial e um campo vetorial dizemos que existe na região R.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 83
Fig.25
Exemplos de campos vetoriais são a força, velocidade, aceleração, etc. F x, y, z , pode ser definido em termos de suas compo-
nentes paralelas aos eixos de coordenadas, 0x, 0y, 0z.
F x, y, z Fx i Fy j Fz k. 2.1
Exemplo 2. Um campo vetorial é definida por F x, y 2 y 1 i x y 2 j. Descreva Fesboçando alguns dos vetores F x, y .
Solução. Construa a tabela, como mostrado abaixo para alguns pontos do plano x-y.
x, y F x, y x, y F x, y
1, 0 1, 1 1, 0 1, 1
2, 2 3, 1 2, 2 5, 1
3, 0 1, 3 3, 0 1, 3
0, 1 1, 0.5 0, 1 3, 0.5
2, 2 3, 3 2, 2 5, 3
Traçamos os pontos da tabela anterior (de cor azul) no plano e sobre eles construímos os vetores cujas componentes retangulares
são indicadas na tabela como pares ordenados. 
Pontos 1, 0 , 1.5, 1.8 , 1, 0 , 2, 2 , 2, 2 , 3, 0 , 3, 0 , 0, 1 ,
0, 1 , 2, 2 , 2, 2 , 0, 0 , 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 1, 3 , 3, 1 , 2, 1 , 1, 2 , 3, 2 , 3, 2 ;
Show
gráfico vetorial
VectorPlot 2 y 1, x y 2 , x, 5, 5 , y, 3, 3 ,
número de pontos do
VectorPoints Pontos,
tamanho da ima
ImageSize 230,
escala de vetor
VectorScale 0.25,
Epilog
azul
Blue,
taman
PointSize
média
Medium ,
ponto
Point Pontos ,
função de cor do vetor
VectorColorFunction "BrightBands",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
FrameLabel x, y ,
gráfico
Graphics
tamanh
PointSize
grande
Large ,
verde
Green,
ponto
Point Pontos ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo do 
PlotRange
tudo
All
Na figura anterior, o módulo do vetor foi reduzido em 15% do seu tamanho original.
Exemplo 3. Um campo vetorial é definido por F x, y y 2 x i xy j . Descreva Fesboçando alguns dos vetores F x, y .
84 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Solução. Construa a tabela, como mostrado abaixo para alguns pontos do plano x-y.
x, y F x, y x, y F x, y
1, 0 2, 0 1, 0 2, 0
2, 2 6, 4 2, 2 6, 4
3, 0 6, 0 3, 0 6, 0
0, 1 1, 0 0, 1 1, 0
2, 2 2, 4 2, 2 2, 4
Traçamos os pontos da tabela anterior (de cor azul) no plano e sobre eles construímos os vetores cujas componentes retangulares
são indicadas na tabela como pares ordenados. 
Pontos 1, 0 , 1, 0 , 2, 2 , 2, 2 , 3, 0 , 3, 0 , 0, 1 , 0, 1 , 2, 2 , 2, 2 ;
mos
Show
gráfico vetorial
VectorPlot y 2 x, x y , x, 5, 5 , y, 2.0, 2.0 ,
número de pontos do vetor
VectorPoints Pontos,
tamanho da 
ImageSize 200,
escala de vetor
VectorScale 0.55,
epílogo
Epilog
a
Blue,
tam
PointSize
média
Medium ,
ponto
Point Pontos ,
função de cor do vetor
VectorColorFunction "BrightBands",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
gráfico
Graphics
tamanho
PointSize
grande
Large ,
verde
Green,
ponto
Point Pontos ,
eixos
Axes
ver
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
Exemplo 4. Um campo vetorial é definida por F x, y x2 i y x 1 j . Descreva Fesboçando alguns dos vetores F x, y .
Solução. Construa a tabela, como mostrado abaixo para alguns pontos do plano x-y.
x, y F x, y x, y F x, y
1, 0 1, 0 1, 0 1, 0
2, 2 4, 6 2, 2 4, 2
3, 0 9, 0 3, 0 9, 0
0, 1 0, 1 0, 1 0, 1
2, 2 4, 2 2, 2 4, 6
Traçamos os pontos da tabela anterior (de cor azul) no plano e sobre eles construímos os vetores cujas componentes retangulares
são indicadas na tabela como pares ordenados. 
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 85
Pontos 1, 0 , 1, 0 , 2, 2 , 2, 2 , 3, 0 , 3, 0 , 0, 1 , 0, 1 , 2, 2 , 2, 2 ;
mostra
Show
gráfico vetorial
VectorPlot x2, x 1 y , x, 5, 5 , y, 3, 3 ,
VectorPoints Pontos,
escala de vetor
VectorScale 0.35,
epílogo
Epilog
a
Blue,
tam
PointSize
média
Medium ,
ponto
Point Pontos ,
função de cor do vetor
VectorColorFunction "BrightBands",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
gráfico
Graphics
tamanho
PointSize
grande
Large ,
verde
Green,
ponto
Point Pontos ,
eixos
Axes
ver
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
Exemplo 5. Um campo vetorial é definida por F x, y 3 x y i 2 yx j. Descreva Fesboçando alguns dos vetores F x, y .
Solução. Construa a tabela, como mostrado abaixo para alguns pontos do plano x-y.
x, y F x, y x, y F x, y
1, 0 3, 0 1, 0 3, 0
2, 2 4, 8 2, 2 4, 8
3, 0 9, 0 3, 0 9, 0
0, 1 1, 0 0, 1 1, 0
2, 2 8, 8 2, 2 8, 8
Traçamos os pontos da tabela anterior (de cor azul) no plano e sobre eles construímos os vetores cujas componentes retangulares
são indicadas na tabela como pares ordenados. 
86 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Pontos 1, 0 , 1, 0 , 2, 2 , 2, 2 , 3, 0 , 3, 0 , 0, 1 , 0, 1 , 2, 2 , 2, 2 ;
mostra
Show
gráfico vetorial
VectorPlot 3 x y, 2 x y , x, 5, 5 , y, 3, 3 ,
número de ponto
VectorPoints Pontos,
escala de vetor
VectorScale 0.25,
epílogo
Epilog
a
Blue,
tam
PointSize
média
Medium ,
ponto
Point Pontos ,
função de cor do vetor
VectorColorFunction "BrightBands",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
gráfico
Graphics
tamanho
PointSize
grande
Large ,
verde
Green,
ponto
Point Pontos ,
eixos
Axes
ver
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
Exemplo 5. Um campo vetorial é definida por F x, y x y i x z j z y k. Descreva Fesboçando alguns dos vetores
F x, y .
Solução. Construa a tabela, como mostrado abaixo para alguns pontos do plano x-y.
x, y, z F x, y, z x, y, z F x, y, z x, y, z F x, y, z x, y, z F x, y, z x, y, z F x, y, z
1, 0, 0 1, 1, 0 2, 0, 0 2, 2, 2 3, 0, 0 3, 3, 0 1, 0, 0 1, 1, 0 2, 0, 0 2, 2, 0
1, 1, 0 2, 1, 1 2, 1, 0 3, 2, 1 3, 1, 0 4, 3, 1 1, 1, 0 2, 1, 1 2, 1, 0 3, 2, 1
1, 1, 1 2, 0, 0 2, 1, 1 3, 1, 0 3, 1, 1 4, 2, 0 1, 1, 1 2, 2, 2 2, 1, 1 3, 3, 2
1, 2, 1 3, 0, 1 2, 2, 1 4, 1, 1 3, 2, 1 5, 2, 1 1, 2, 1 3, 2, 3 2, 2, 1 4, 3, 3
1, 2, 2 3, 1, 0 2, 2, 2 4, 0, 0 3, 2, 2 5, 1, 0 1, 2, 2 3, 3, 4 2, 2, 2 4, 4, 4
Traçamos os pontos da tabela anterior (de cor azul) no plano e sobre eles construímos os vetores cujas componentes retangulares
são indicadas na tabela como pares ordenados. 
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 87
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Pontos 2, 3, 0 , 2, 3, 1 , 2, 3, 2 , 2, 3, 3 , 1, 3, 0 , 1, 3, 1 , 1, 3, 2 ,
1, 3, 3 , 0, 3, 0 , 0, 3, 1 , 0, 3, 2 , 0, 3, 3 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1 , 1, 3, 1 , 2, 0, 1 , 2, 0, 2 ,
2, 0, 3 , 2, 1, 1 , 2, 2, 1 , 2, 3, 1 , 2, 2, 0 , 2, 2, 1 , 2, 2, 2 , 2, 2, 3 , 3, 1, 0 , 3, 1, 1 ,3, 1, 3 ;
VectorPlot3D y, x, z , x, 1, 3 , y, 1, 3 , z, 3, 3 ,
escala de vetor
VectorScale 0.15,
automá
Automatic,
ne
None ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do
VectorColorFunction Hue,
número de ponto
VectorPoints Pontos,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z
2.2 Campos gradiente
Se uma função escalar x, y, z é continuamente diferenciável com relação a suas variáveis x, y, z, através da região de con-
tinuidade, logo o gradiente de , escrito como grad , ou , é definido como o vetor
i
x
j
y
k
z
. 2.2
Note que, em quanto é uma função escalar, é uma função vetorial. Por exemplo, se depende da posição P e está definida
por x, y, z 3 sin x y2 z2 2 , logo 
i
3 y2 cos x
2 z2
j
6 y sin x
2 z2
k
6 y2 z sin x
2 z2 2
.
Podemos traçar o campo vetorial gradiente anterior no espaço 3-d. Para isto consideramos alguns pontos de 3.
88 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Pontos 3, 3, 0 , 3, 3, 1 , 3, 3, 2 , 3, 3, 3 , 2, 3, 0 , 2, 3, 1 , 2, 3, 2 , 2, 3, 3 , 1, 3, 0 ,
1, 3, 1 , 1, 3, 2 , 1, 3, 3 , 0, 3, 0 , 0, 3, 1 , 0, 3, 2 , 0, 3, 3 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1 , 1, 3, 1 , 2, 0, 1 ,
2, 0, 2 , 2, 0, 3 , 2, 1, 1 , 2, 2, 1 , 2, 3, 1 , 2, 2, 0 , 2, 2, 1 , 2, 2, 2 , 2, 2, 3 , 3, 1, 0 , 3, 1, 1 , 3, 1, 3 , 3, 2, 0 ,
3, 2, 1 , 3, 2, 2 , 3, 2, 3 , 3, 3, 0 , 3, 3, 1 , 3, 3, 2 , 3, 3, 3 , 4, 1, 2 , 4, 2, 2 , 5, 1, 3 , 4, 2, 3 , 5, 3, 3 ;
VectorPlot3D
3 y2 Cos x
2 z2
,
6 y Sin x
2 z2
,
6 y2 z Sin x
2 z2
2
, x, Pi, 2
número pi
Pi , y, 1, 3 , z, 4, 4 ,
escala de vetor
VectorScale 0.15,
automá
Automatic,
nenhum
None ,
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do
VectorColorFunction Hue,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
número de ponto
VectorPoints Pontos,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z
Deve-se notar que, o símbolo aplicado ao campo escalar x, y, z é um operador vetorial diferencial denotado por
i
x
j
y
k
z
. 2.3
Advertimos que este operador não existe por si só, isto é, sua existência faz sentido quando aplica-se ao campo escalar x, y, z
para produzir o campo vetorial gradiente. Também não faz sentido quando se aplica ao campo vetorial F, porem, faz sentido se
consideramos o produto escalar F chamado divF, que estudaremos posteriormente nesta secção.
Exemplo 3. Se x, y Cos x2 y2 x
2 y2 , determine no ponto P(1,-1).
Solução. Calculamos as derivadas parciais
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
D
cosseno
Cos x
2
y
2 x2 y2
, x , D
cosseno
Cos x
2
y
2 x2 y2
, y
2 x
2 y2 x Cos x2 y2 2 x
2 y2 x Sin x2 y2 ,
2 x
2 y2 y Cos x2 y2 2 x
2 y2 y Sin x2 y2
x
2 x
2 y2 x Cos x2 y2 2 x
2 y2 x Sin x2 y2 ,
y
2 x
2 y2 y Cos x2 y2 2 x
2 y2 y Sin x2 y2 .
x 1;
y 1;
valor numérico
N 2
x2 y2
x
cosseno
Cos x
2
y
2
2
x2 y2
x
seno
Sin x
2
y
2
,
2
x2 y2
y
cosseno
Cos x
2
y
2
2
x2 y2
y
seno
Sin x
2
y
2
0.133481, 0.133481
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 89
No ponto P(1,2,1) temos
x
0.133481,
y
0.133481.
0.133481 i 0.133481 j.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x , y :
cosseno
Cos x2 y2 x
2 y2
sp
gráfico de fluxo d
StreamDensityPlot
calcula
Evaluate
gradiente
Grad x, y , x, y , x, y , x, , , y, , ,
escala de linhas de fluxo
StreamScale 0.15,
ColorFunction
diretiva
Directive
especular
Specularity
azul
Blue, 1 ,
branco
White ,
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow" ;
gráfico 3D
Plot3D x, y , x, , , y, , ,
intervalo d
PlotRange All,
estilo do 
PlotStyle
textura
Texture sp ,
malha
Mesh
ne
None,
número de pon
PlotPoints 100,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y
Exemplo 4. Se A i x2 z j xy k y2 z e B i yz2 z j xz k x2 z determine uma expressão para o grad A.B .
Uma aplicação interessante do conceito de gradiente de um campo escalar é o cálculo da diferencial total do campo escalar
x, y, z . Em efeito, por definição
d
x
dx
y
dy
z
dz. 2.4
Se r i x j y k z é o vetor posição do ponto P(x,y,z), o vetor deslocamento infinitesimal d r define-se como
d r i dx j dy k dz. 2.5
Logo, a diferencial total d , pode ser entendido como o produto escalar
d
x
dx
y
dy
z
dz .d r . 2.6
O significado geométrico da diferencial total anterior é que a diferencial total d representa a projeção do campo gradiente 
ao longo do vetor deslocamento d r . 
90 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
2.3 Derivadas direcionais
Temos provado que
d
x
dx
y
dy
z
dz .d r . 2.7
Se ds é uma diferencial do comprimento do arco entre P( r ) e Q( r+d r ) logo ds = d r , assim, o vetor unitário do vetor d r será
Fig.26 Vetor deslocamento infinitesimal d r entre os pontos P( r ) e Q( r+d r ).
u
d r
ds
d r
d r
2.8
Por tanto, se queremos determinar a derivada de ao longo do arco s, isto é, d /ds.
d
ds
.d r
ds
. d r ds .u 2.9
O significado geométrico da derivada direcional d /ds representa a projeção do campo gradiente ao longo do vetor unitário
u d r
ds
; como toda derivada, é uma taxa de variação de com a distância medida ao longo do vetor unitário u.
Exemplo 5. Encontre a derivada direcional da função x, y, z 3 xy2 z2 2 no ponto (1,2,-1) na direção do vetor
A 3 i j 4 k.
Solução. Calculamos as derivadas parciais 
x
,
y
,
z
x
3 x y2
z2 2
, y
3 x y2
z2 2
, z
3 x y2
z2 2
3 y2
2 z2
,
6 x y
2 z2
,
6 x y2 z
2 z2
2
x
3 y2
2 z2
,
y
6 x y
2 z2
,
z
6 x y2 z
2 z2 2
.
No ponto P(1,2,-1) temos
x 1; y 2; z 1;
3 y2
2 z2
,
6 x y
2 z2
,
6 x y2 z
2 z2
2
4, 4,
8
3
x
4,
y
4,
z
8
3
.
i 4 j 4 k
8
3
.
O vetor unitário associado ao vetor A 3 i j 4 k, é
uA
i 3 j k 4
9 1 16
i 3
26
j
26
k 4
26
a derivada direcional na direção do vetor A, será
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 91
d
ds
.uA i 4 j 4 k
8
3
.
i 3
26
j
26
k 4
26
12
26
4
26
32
3 26
16
26
32
3 26
16
3 26
.
Exemplo 6. Encontre a derivada direcional da função x, y sin xy cos xy no ponto (1, /2) na direção do vetor A 3 i j.
Solução. Calculamos as derivadas parciais 
x
,
y
,
x
Sin x y
cosseno
Cos x y , y
Sin x y
cosseno
Cos x y
Sin x y y Cos x y y Sin x y , Sin x y x Cos x y x Sin x y
x
sin x y ycos x y y sin x y ,
y
sin x y xcos x y x sin x y .
No ponto P(1, /2) temos
x 1; y 2;
Sin x y y
cosseno
Cos x y y
seno
Sin x y , Sin x y x
cosseno
Cos x y x
seno
Sin x y
2
, 1
x 2
,
y
1.
2
i j.
O vetor unitário associado ao vetor A 3 i j , é
uA
3 i j
9 1
3 i
10
j
10
.
a derivada direcional na direção do vetor A, será
d
ds
.uA
2
i j .
3 i
10
j
10
3
2 10
1
10
3 2
2 10
.
92 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Ponto 1, 2 , 0, 0 ;
contourPotentialPlot1
Show
gráfico de contornos
ContourPlot Sin x y
cosseno
Cos x y , x, 2, 2 , y, , ,
malha
Mesh
verd
True,
contornos
Contours 15,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
preenchimento de intervalo 
PlotRangePadding 0,
quadro
Frame
falso
False,
função de cores
ColorFunction "DarkRainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing" ,
gráfico
Graphics
tamanho do
PointSize
grande
Large ,
branco
White,
ponto
Point1, 2 ,
eixos
Axes
verd
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y" ,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All ,
gráfico vetorial
VectorPlot Sin x y y
cosseno
Cos x y y
seno
Sin x y , Sin x y x
cosseno
Cos x y x
seno
Sin x y , x, 2, 2 , y, , ,
número de pontos do vetor
VectorPoints Ponto,
escala de vetor
VectorScale 0.15,
epílogo
Epilog
azul
Blue,
espesso
Thick,
tamanho do
PointSize
média
Medium ,
ponto
Point Ponto ,
função de cor do vetor
VectorColorFunction
azul
Blue,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ;
potential1
gráfico 3D
Plot3D Sin x y
cosseno
Cos x y , x, 2, 2 , y, , ,
intervalo do gráfico
PlotRange 3, 3 ,
estilo de recorte
ClippingStyle
nen
None,
funções de divisões de malha
MeshFunctions 3 & ,
malha
Mesh 15,
estilo de malha
MeshStyle
opacidade
Opacity .5 ,
sombreamento de malha
MeshShading
opacidade
Opacity .3 ,
azul
Blue ,
opacidade
Opacity .8 ,
laranja
Orange ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, ;
level 1;
gr
gráfico 3D
Graphics3D
textura
Texture contourPotentialPlot1 ,
forma da borda
EdgeForm ,
polígono
Polygon 2, , level , 2, , level , 2, , level , 2, , level ,
coordenadas de vértices de textura
VertexTextureCoordinates 0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1 ,
iluminação
Lighting "Neutral" ;
mostra
Show potential1, gr,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, .6 ,
linhas de superf
FaceGrids
atrás
Back,
esquerda
Left
+
2.4 Plano tangente e reta normal a uma superfície
2.4.1 Plano tangente
Seja F x, y, z 0 a equação de uma superfície S tal como mostrado na Fig.27. Assumimos que todas as funções são continua-
mente diferenciáveis a menos que se diga o contrário. Nos interessa encontrar a equação de um plano tangente a S no ponto
P x0, y0, z0 . Um vetor normal a S neste ponto é N0 F P, sendo o gradiente calculado em P x0, y0, z0 .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 93
Fig.27. Os pontos P x0, y0, z0 e Q x, y, z se encontram sobre o plano tangente em P.
Se r e r0 são vetores traçados respetivamente desde O até P x0, y0, z0 e Q(x,y,z) sobre o plano, a equação do plano é 
r r0 .N0 r r0 . F P 0 2.10
desde que r r0 é perpendicular a N0. Efetuando o produto escalar anterior em coordenadas retangulares temos
F
x
P x x0
F
y
P y y0
F
z
P z z0 0. 2.11
Exemplo 1. Encontre as equações o plano tangente para a superfície z x2 2 y2 no ponto (1,1,3).
Solução. Calculamos as derivadas parciais da função:
F x, y, z x2 2 y2 z 0
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
F x , y , z : x2 2 y2 z;
x F x, y, z , y F x, y, z , z F x, y, z
2 x, 4 y, 1
as derivadas são
Fx 2 x, Fy 4 y, Fz 1
seus valores são
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 1; y 1; z 3;
Fx 2 x
Fy 4 y
Fz 1
2
4
1
ou
Fx 2, Fy 4, Fz 1.
As equações do plano tangente e da reta normal são
2 x 1 4 y 1 z 3 0 2 x 4 y z 3
94 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
In[80]:=
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
f x , y x^2 2 y^2;
fx x , y
derivada
D f x, y , x ;
fy x , y
derivada
D f x, y , y ;
manipula
Manipulate x0 p 1 ; y0 p 2 ;
mostra
Show
gráfico 3D
Plot3D f x, y , x, 2, 2 ,
y, 2, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
intervalo do gráfico
PlotRange 2, 2 , 2, 2 , 25, 25 ,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.6 ,
diretiva
Directive
branco
White,
opacidade
Opacity 0.9 ,
ViewPoint 2.5, 2, 1 ,
estilo de recorte
ClippingStyle
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 220 ,
gráfico 3D
Plot3D f x0, y0 fx x0, y0 x x0 fy x0, y0 y y0 , x, 2, 2 ,
y, 2, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
BoxRatios 1, 1, 1 ,
intervalo do gráfico
PlotRange 2, 2 , 2, 2 , 25, 25 ,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.6 ,
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.6 ,
ViewPoint 2.5, 2, 1 ,
estilo de recorte
ClippingStyle
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 220 ,
gráfico 3D
Graphics3D
ve
Red,
tamanho do
PointSize
grande
Large ,
ponto
Point p 1 , p 2 , f p 1 , p 2 ,
p, 1, 1 , 1, 1 , 2, 2
Out[84]=
p
2.4.2 Reta normal a uma superfície
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 95
Agora encontremos a equação de uma linha normal a uma superfície dada pela equação F x, y, z 0 no ponto P x0, y0, z0 tal
que seja perpendicular ao plano tangente à superfície nesse ponto, a equação de uma superfície S tal como mostrado na
Fig.27. Seja que r é um vetor traçado desde O até qualquer ponto Q(x,y,z) sobre a normal N0, vemos que r r0 é colinear
com N0 e, assim, a condição requerida é o produto vetorial
r r0 N0 r r0 F P 0 2.12
 Expressando o produto vetorial na forma de determinante
i j k
x x0 y y0 z z0
F
x P
F
y P
F
z P
0
encontramos que
i y y0
F
z
P z z0
F
y
P j z z0
F
x
P x x0
F
z
P k x x0
F
y
P y y0
F
x
P 0, 2.13
isto significa o seguinte sistema de equações
y y0
F
z
P z z0
F
y
P 0, z z0
F
x
P x x0
F
z
P 0, x x0
F
y
P y y0
F
x
P 0,
ou
y y0
F
y P
z z0
F
z P
,
z z0
F
z P
x x0
F
x P
,
x x0
F
x P
y y0
F
y P
. 2.14
Requerendo cada uma destas taxas igual a um parâmetro (tal como t) e resolvendo para x, y; e z produz as equações paramétricas da
linha normal:
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
resolve
Solve
x x0
Fx
y y0
Fy
z z0
Fz
t , x, y, z
x Fx t x0, y Fy t y0, z Fz t z0
a forma paramétrica da reta normal é
x
F
x
P t x0, y
F
y
P t y0, z
F
z
P t z0. 2.15
Exemplo 2. Encontre as equações para a) plano tangente e b) linha normal a superfície z x
2 y2 no ponto (0,1,-1).
Solução. Calculamos as derivadas parciais da função:
F x, y, z xsin y y x z 0
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
F x , y , z : x
seno
Sin y y x z;
x F x, y, z , y F x, y, z , z F x, y, z
x y Sin y , x x Cos y , 1
as derivadas são
Fx y x sin y , Fy x x cos y , Fz 1
seus valores são
96 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 0; y 1; z 1;
Fx
valor n
N y
x
seno
Sin y
Fy
valor numé
N x x
cosseno
Cos y
Fz 1
1.84147
1.
1
ou
Fx 1.84147, Fy 1, Fz 1.
As equações do plano tangente e da reta normal são, respetivamente:
1.84147 x y 1 z 1 0
x t 1.84147 t,
y 1 t,
z t 1 t.
F
x
P x x0
F
y
P y y0
F
z
P z z0 0.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 97
In[85]:=
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
f x , y x
seno
Sin y y
x
;
F x , y , z f x, y z;
Fx x , y , z
derivada
D F x, y, z , x ;
Fy x , y , z
derivada
D F x, y, z , y ;
Fz x , y , z
derivada
D F x, y, z , z ;
manipula
Manipulate
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D Fx x0, y0, f x0, y0 x x0 Fy x0, y0, f x0, y0 y y0
Fz x0, y0, f x0, y0 z z0 0, x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
z, 2, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
BoxRatios 1, 1, 1 ,
intervalo do gráfico
PlotRange 2, 2 , 2, 2 , 25, 25 ,
ViewPoint 2.5, 2, 1 ,
tamanho da imagem
ImageSize 220 ,
Plot3D f x, y , x, 2, 2 , y, 2, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
AxesLabel x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
intervalo dog
PlotRange
tudo
All,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.6 ,
diretiva
Directive
branco
White,
opacidade
Opacity 0.9 ,
ClippingStyle
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 220 ,
gráfico paramétrico 3D
ParametricPlot3D x0 Fx x0, y0, f x0, y0 t, Fy x0, y0, f x0, y0 t y0,
Fz x0, y0, f x0, y0 t f x0, y0 , t, 1, 1 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.6 ,
diretiva
Directive
azul
Blue,
opacidade
Opacity 0.6 ,
tamanho da imagem
ImageSize 220 ,
gráfico 3D
Graphics3D
ve
Red,
tamanho do
PointSize
grande
Large ,
ponto
Point x0, y0, f x0, y0 ,
x0, 1, 1 , y0, 1, 1 , z0, 1, 1
98 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Out[91]=
x0
y0
z0
2.5 A divergência de um campo vetorial
Usamos uma motivação física para introduzir o conceito de “divergência de um campo vetorial”. Considere o movimento esta-
cionário de um fluido numa região R tal que uma partícula do fluido instantaneamente no ponto r com coordenadas x, y, z tem
uma velocidade r que é independente do tempo. Para medir o fluxo longe deste ponto no fluido, nós cercamos o ponto por um
cuboide de lados (2 x) (2 y) (2 z), como mostrado na Fig.28, e calculamos o fluxo médio fora do cuboide por unidade de
volume. 
Fig.28. Fluxo fora de um cuboide.
O fluxo fora do cuboide é a soma dos fluxos que cruzam cada um de suas seis faces. Representando a velocidade do fluido no
ponto x, y, z por v, o fluxo fora da face ABCD é dado aproximadamente por
i .v x x, y, z 4 y z .
O fluxo fora da face A´B´C´D´ é dado aproximadamente por
i .v x x, y, z 4 y z .
Existem similares expressões para as quatro faces restantes do cuboide, assim que o fluxo total deixando o cuboide é
i . v x x, y, z v x x, y, z 4 y z j . v x, y y, z v x, y y, z 4 x z k. v x, y, z z v x, y, z z 4 x y
Dividindo o volume 8 x y z, e procedendo ao limite como x, y, z 0, vemos que o fluxo longe do ponto x, y, z por unidade
de tempo é dado por
i .
v
x
j .
v
y
k.
v
z
Isto pode ser rescrito como
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 99
i
x
j
y
k
z
.v
ou simplesmente como . . Assim, vemos que o fluxo distante deste ponto é dado pelo produto escalar do operador vetor com o
vetor velocidade v. Isto é chamado a divergência do vetor v, e é escrito como div v. Em termos de componentes,
div v i
x
j
y
k
z
. i vx j vy k vz
vx
x
vy
y
vz
z
Note-se que a divergência de um campo vetorial é uma grandeza escalar.
Significado físico: A divergência de um campo vetorial v representando alguma quantidade física, fornece em cada ponto, a taxa
por unidade de volume na qual a quantidade física está emanando desde esse ponto. Isto explica a justificação para o nome
divergência de campo vetorial num ponto dado.
Se, por exemplo v representa o campo de velocidade do fluxo de um gás, o valor de div v no ponto x, y, z é a taxa na qual o
gás está se comprimindo ou expandindo em x, y, z . 
Exemplo 1. Encontre a divergência do vetor v 2 xz y2, 3 y2 z x2, 4 y z2 no ponto (1,2,3).
Solução. Aqui vx 2 xz y2, vy 3 y2 z x2, vz 4 y z2, as derivadas
vx
x
2 z,
vy
y
6 yz,
vz
z
2 z.
Pela definição, num ponto geral (x,y,z)
div v 6 yz.
no ponto (1,2,3)
div v 36
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D 6 y z, x, 0, 2 , y, 1, 3 , z, 2, 4 ,
malha
Mesh
ne
None,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D 2 x z y2, 3 y2 z x2 , 4 y z2 , x, 0, 2 , y, 1, 3 , z, 2, 4 ,
escala de vetor
VectorScale 0.06,
automát
Automatic,
nenhum
None ,
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
Graphics3D
taman
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 1, 2, 3 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
Fig.29. A superfície mostrada corresponde a div v 6 yz, e sobre o mesmo espaço foi traçado o campo vetorial 
v 2 xz y2, 3 y2 z x2, 4 y z2 .
100 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Exemplo 1. Encontre a divergência do vetor v sin x y , cos 3 y x no ponto ( /2,- /2).
Solução. Aqui vx sin x y , vy cos 3 y x , as derivadas
vx
x
cos x y ,
vy
y
3 sin 3 y x .
Pela definição, num ponto geral (x,y,z)
div v cos x y 3 sin 3 y x
no ponto ( /2,- /2)
div v 1.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
vf
seno
Sin x y ,
cosseno
Cos 3 y x ;
div vx , vy :
deri
D vx, x
derivada
D vy, y ;
mo
Show
gráfico de flu
StreamDensityPlot
calcula
Evaluate vf, div vf , x, 2 Pi, 2
núm
Pi , y, 2 Pi, 2 Pi ,
escala de l
StreamScale
grande
Large,
função de cores
ColorFunction "Rainbow",
recursão máx
MaxRecursion 2,
ângulo de i
LightingAngle
automá
Automatic,
estilo de f
StreamStyle
pr
Black,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
Graphics
tama
PointSize
gra
Large ,
v
Red,
ponto
Point 2, 2 ,
eixos
Axes
v
True,
legenda dos e
AxesLabel x, y ,
intervalo
PlotRange
tudo
All
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 101
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Pontos 0, 0 , 2, 2 , 1.4, 1.4 , 1.2, 1.2 , 1.7, 1.7 ;
mos
Show
gráfico de
ContourPlot
cosseno
Cos x y 3
seno
Sin 3 y x , x, 0, 2.5 , y, 3, 0 ,
malha
Mesh
ve
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
gráfico vetorial
VectorPlot 3 x y, 2 x y , x, 2, 4 , y, 4, 2 ,
número de pontos do
VectorPoints Pontos,
escala de vetor
VectorScale 0.075,
Epilog
azul
Blue,
taman
PointSize
média
Medium ,
ponto
Point Pontos ,
função de cor do vetor
VectorColorFunction "AvocadoColors",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
FrameLabel x, y ,
gráfico
Graphics
taman
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 2, 2 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
Fig.30. O campo vetorial v sin x y , cos 3 y x e a div v cos x y 3 sin 3 y x foi traçada como curvas de nível.
2.5 O rotacional de um campo vetorial
Na Fig.31, mostra-se o fluxo de um fluido. Se este fluido apresenta linhas de fluxo capazes de rotar ao redor de um certo eixo de
rotação, deve ser capaz também de fazer girar a roda de pás colocada no meio do fluxo do fluido. A determinação completa do
movimento de rotação das partículas do fluido exige conhecimento do eixo de rotação, da velocidade de rotação e seu sentido
(sentido horário ou anti-horário). A medida da rotação é, assim, uma quantidade vetorial, que veremos por cálculo dos seus
componentes x, y e z separadamente.
Considere o campo de vetorial v r . Para encontrar o fluxo em torno de um eixo na direção x no ponto r , tomamos um retângulo
elementar contornando r perpendicular à direção x, como mostrado na Fig.32.
Para medir a circulação em torno do ponto r ao redor de um eixo paralelo à direção x, podemos calcular o fluxo em torno do
retângulo ABCD elementar e dividir por sua área, dando
Fig.31 Fluxo de um fluido com movimento rotacional de suas partículas é capaz de fazer girar a roda de pás.
1
4 y z
2 x, y , z z 2 y 3 x, y y, z 2 z 2 x, y, z z 2 y 3 x, y y, z 2 z
onde y , y y y, y y , z , z z z, z z e 1 i 2 j 3 k. Arrumando, obtemos
1
2 z
2 x, y, z z 2 x, y , z z
1
2 y
3 x, y y, z3 x, y y, z
102 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.32.
Procedendo ao limite como y z 0, temos a componente x deste vetor como
3
y
2
z
.
Por argumentos similares, obtemos as componentes y e z como
1
z
3
x
,
2
x
1
y
respetivamente.
A medida vetorial da rotação ao redor de um ponto no fluido é chamado de rot de v:
rot v
3
y
2
z
i
1
z
3
x
j
2
x
1
y
k
i j k
x y z
1 2 3
v r .
Teorema. Se v é um campo vetorial definido em todo 3 cujas funções componentes têm derivadas parciais continuas e
rot v 0, logo v é um campo vetorial conservativo.
Exemplo 1. Encontre o rotv para o campo vetorial v ysin 2 x i xcos 2 y j xycos 2 z k no ponto (0, /4, /2).
Solução. Neste caso x ysin 2 x , y xcos 2 y , z xycos 2 z . O rotacional é
i j k
x y z
ysin 2 x xcos 2 y xycos 2 z
i
xycos 2 z
y
xcos 2 y
z
j
xycos 2 z
x
ysin 2 x
z
k
xcos 2 y
x
ysin 2 x
y
i x Cos 2 z j y Cos 2 z k Cos 2 y Sin 2 x .
No ponto (0, /4, /2):
rot v j 4.
Um gráfico do campo v e de seu rot v é mostrado em qualquer ponto P(x,y,z).
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 103
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico vetorial
VectorPlot3D y
seno
Sin 2 x , x
cosseno
Cos 2 y , x y
cosseno
Cos 2 z , x, , ,
y, , , z, , ,
escala de vetor
VectorScale 0.06,
automático
Automatic,
nen
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "GreenPinkTones",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
número de pontos do vetor
VectorPoints 7 ,
VectorPlot3D
rota
Curl y
seno
Sin 2 x , x
cosseno
Cos 2 y , x y
cosseno
Cos 2 z , x, y, z , x, , , y, , , z, , ,
escala de vetor
VectorScale 0.06,
automático
Automatic,
nenhum
None ,
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
número de pontos do vetor
VectorPoints 7
,
Exemplo 2. Dado dois campos vetoriais F x, y 3 x y i 2 yx j z x y k, V x, y xy i 2 yz x j x z y k,. Descreva
rot F V para qualquer ponto P(x,y,z) e para P(-2,0,1).
Solução. Construimos o produto vetorial
simplifica
Simplify 3 x y , 2 y x, z x y x y, 2 y z x , x z y
2 y2 z2 x y z 1 z x2 y2 z y z ,
x x y 3 z 3 z y y z y z , 2 x2 3 y2 2 y2 z 2 x y 1 3 z
F V i 2 y2 z2 x y z 1 z x2 y2 z y z j x x y 3 z 3 z y y z y z k 2 x2 3 y2 2 y2 z 2 x y 1 3 z .
Cálculo do rotacional
rot F V
rot i 2 y2 z2 x y z 1 z x2 y2 z y z j x x y 3 z 3 z y y z y z k 2 x2 3 y2 2 y2 z 2 x y 1 3 z .
rotacional
Curl 2 y2 z2 x y z 1 z x2 y2 z y z ,
x x y 3 z 3 z y y z y z , 2 x2 3 y2 2 y2 z 2 x y 1 3 z , x, y, z
4 x2 y x 1 y y x 3 y 4 y z 2 x 1 3 z ,
4 x 3 y2 2 y 1 3 z 2 x2 1 y x y z 2 y2 z x y 1 z ,
2 x y 3 z 3 z y y z y z 2 x2 2 y z 2 y z2 x z 1 z
no ponto P(-2,0,1)
104 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
x 2; y 0; z 1;
4 x2 y x 1 y y x 3 y 4 y z 2 x 1 3 z ,
4 x 3 y2 2 y 1 3 z 2 x2 1 y x y z 2 y2 z x y 1 z ,
2 x y 3 z 3 z y y z y z 2 x2 2 y z 2 y z2 x z 1 z
20, 16, 28
rot F V 2 0 i 16 j 28 k.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D 4 x2 y x 1 y y x 3 y 4 y z 2 x 1 3 z , 4 x 3 y2 2 y 1 3 z 2 x2 1 y x y z 2 y2 z x y 1 z ,
2 x y 3 z 3 z y y z y z 2 x2 2 y z 2 y z2 x z 1 z , x, 2.5, 2 , y, 2, 2 , z, 2, 2 ,
VectorScale 0.06,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "BrightBands",
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
tamanho da imagem
ImageSize 250
2.7 Operações combinadas
As identidades vetoriais que se seguem podem ser provadas por expansão nas coordenadas rectangulares (ou curvilínhas). É
importante saber usar corretamente as identidades com campos escalares e vetoriais que mostramos na tabela abaixo, porque é
um forma alternativa e mais fácil de trabalhar com campos.
A nomenclatura usada é: 
Campos escalares x, y, z , x, y, z ,
campos vetoriais A x, y, z , B x, y, z , C x, y, z . Raio vetor posição r x i y j z k. Operador diferencial vetorial (operador
nabla) i
x
j
y
k
z
.
Tabela 1. Identidades vetoriais com campos escalares e vetoriais
1 A B C C A B B C A
2 A B C A C B A B C
3 div A B divA divB
4 grad grad grad
5 rot A B rot A rot B
6 div A A grad divA
7 grad grad grad
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 105
8 rot A grad A rot A
9 div A B B A A rot B
10 grad A B A B B A A rot B B rot A
11 rot A B A div B B div A B A A B
12 div grad 2 Laplaciano de
13 div rot A 0
14 rot grad 0
15 rot rot A grad div A 2A
16 grad f d
d
f grad , f : função de
17 div grad div grad 2 grad grad div grad
Exemplo 2. Encontre o valor de div(rn r onde r e r x i y j z k são o módulo e o raio vetor posição do ponto P(x,y,z).
Solução. Neste caso podemos usar a identidade 8. Neste caso rn e A r
div
o cálculo do primeiro termo o faremos usando a regra da cadeia
grad rn i
rn
x
j
rn
y
k
rn
z
i
rn
r
r
x
j
rn
r
r
y
k
rn
r
r
y
rn
r
i
r
x
j
r
y
k
r
z
n rn 1 i
x
r
j
y
r
k
z
r
n rn 2 i x j y k z n rn 2 r .
div r
x
x
y
y
z
z
3
Por tanto
Exemplo 2. Encontre o valor de rot(rn r onde r e r x i y j z k são o módulo e o raio vetor posição do ponto P(x,y,z).
Solução. Neste caso podemos usar a identidade 6. Neste caso rn e A r
o cálculo do primeiro termo foi feito antes grad rn n rn 2 r , agora
rot r
i j k
x y z
x y z
0.
Exemplo 3. Encontre o valor de rot grad rn a onde r e r x i y j z k são o módulo e o raio vetor posição do ponto
P(x,y,z) e a é um vetor constante.
Solução. Neste caso podemos usar a identidade 11. Neste caso rn e A grad rn e B a. Note também que
A grad rn n rn 2 r foi calculado no exercício 1. Logo
rot A B A div a a div A a A A a
Como a é constante, o termo div a 0, assim como A a 0, porque? Logo
rot A B a div A a A a div n rn 2 r a A n a div rn 2 r a A
Podemos adaptar o resultado obtido no exercício 1 para calcular div rn 2 r n 2 3 rn 2 n 1 rn 2. Por outro lado 
a A ax
x
ay
y
az
z
A ax
A
x
ay
A
y
az
A
z
,
106 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
ax
A
x
ax
n rn 2 r
x
ax
n rn 2 x i y j z k
x
n ax
x rn 2
x
i i n ax r
n 2 x
rn 2
x
i n ax r
n 2 x n 2 rn 3
x
r
i n ax r
n 2 x2 n 2 rn 4 .
semelhantemente escrevemos
ay
A
y
ay
n rn 2 r
y
j n ay r
n 2 y2 n 2 rn 4 , az
A
z
az
n rn 2 r
z
k n az r
n 2 z2 n 2 rn 4 .
Agora escrevemos o térmo que faltava
a A ax
A
x
ay
A
y
az
A
z
i n ax r
n 2 x2 n 2 rn 4 j n ay rn 2 y2 n 2 rn 4 k n az rn 2 z2 n 2 rn 4
n rn 2 i ax j ay k az n n 2 rn 4 i ax x2 j ay y2 k az z2 n rn 2 a n n 2 rn 4 i ax x2 j ay y2 k az z2 .
Assim, finalmente obtemos
rot grad rn a n a div rn 2 r a A n n 1 rn 2 a n rn 2 a n n 2 rn 4 i ax x2 j ay y2 k az z2
n2 rn 2 a n n 2 rn 4 i ax x2 j ay y2 k az z2 .
2.8 Exercícios. Lista 5.
I. Campos gradiente. Encontre o campo vetor gradiente para os campos escalares.
1. f x, y, z xcos y z , no ponto (1, /2,2). 2. f x, y, z 2 x2 y2 4 xz, no ponto (-1,2,-2). 3. f x, y ln 10 3 x2 2 y2 , no ponto
(1,-1). 4. f x, y, z sin 2 x 3 y z , no ponto (- , /2,0), 5. f x, y, z xy x z, para qualquer (x,y,z). 6. f x, y arctan xy x2 ,
no ponto (0.50,-0.25). 
7. Uma propriedade importante do campo gradiente é que ele estádirigido pela normal à superfície de nível (ou a linha de
nível, se o campo é plano). Prove que o vetor unitário da normal à superfície de nível do campo escalar f x, y, z x2 y2 z2, é
dado por u r r, onde r é o raio vetor posição. 
8. Encontre o ângulo entre os campos gradientes dos campos escalares f x, y xy sin 2 x y , e g x, y x y cos x y , no ponto
(- 2, 4). 
9. Encontrar o ângulo entre os gradientes do campo escalar f x, y x y x y , nos pontos (0,-1) e (1,1).
10. Encontrar os pontos nos quais o gradiente do campo escalar f x, y sin x y é igual a i j .
II. Derivadas direcionais. Encontre a derivada direcional de f(x,y) no ponto P na direção do vetor v 2, 1 .
11. f x, y xcos y x , P(- /4, /2). 12. f x, y ln 10 3 x2 2 y2 , P(1,-1). 13. f x, y xy x y, P(-1,2). 14. Dado o campo
escalar f x, y, z 2 zy2 x3 3 , encontre sua derivada direcional no ponto P(1,-1,-1) na direção desde este ponto até o ponto
Q(0,1,0). 15. Dado o campo escalar f x, y xy sin2 x y cos2 x y , encontre sua derivada direcional no ponto P( , /2) na
direção desde este ponto até o ponto Q(0,- ). 16. Determine a derivada direcional do campo escalar f x, y sin 2 x 3 y , no
ponto P( /2, 2/4) que pertence a parábola y x2 na direção desta curva (na direção do crescimento de sua abcissa).
III. Divergência de um campo vetorial. 17-18. Encontre a div v onde
17. v x, y, z xy2 i z j x2 k. 18. v x, y, z 3 x y i 2 z x j z 2 y k. 
19. Encontre a. r , (a. ) r e a . r , onde a é um vetor constante e r x, y, z é o raio vetor posição.
20. O vetor v x, y, z é definido por v x, y, z r r 1, onde r x, y, z e r r . Mostre que .v grad div v 2
r3
r .
21. Um campo de força F, é definido pela lei F r r3. Mostre que div F 0.
22. Prove que r . rn nrn, onde r x, y, z é o raio vetor posição.
III. Rotacional de um campo vetorial. 23-25. Encontre a rot v no ponto P.
23. v x, y, z xy2 i z j x2 k, P(0,1,-1). 24. v x, y, z 3 x y i 2 z x j z 2 y k, P(-2,1,-1). 25.
v x, y, z xy i 2 zx j z y k, P(-2,1,0).
26. Calculando cada termo separadamente, verifique a identidade f v f v f v para f x, y, z x3 y e v z, 0, x .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 107
27. Se v x, y, z y i x j xz k é o vetor velocidade de um fluido, encontre o valor local da velocidade angular no ponto (1,3,2).
28. Calcular rot r a onde a é um vetor constante.
29. Calcular rot a r onde a é um vetor constante.
30. A velocidade de um fluido no ponto (x,y,z) é dado por v x, y, z ax by i cx dy j. Encontre as condições sobre as
constantes a, b, c e d tal que div v 0, rot v 0. Verifique que neste caso v x, y, z 1
2
grad ax2 2 bxy ay2 .
31. Dado o campo escalar x, y, z x2 y 3 xyz z3, encontre o valor da derivada direcional de no ponto 3, 1, 2 na
direção do vetor 3 i 2 j 6 k. 
32. Encontrar div v , onde v 2 x y2 z2 i 3 x2 z2 y2 z3 j y z2 x z3 k no ponto (-1,2,3). 
33. Se a é um vetor constante e r o raio vetor posição do ponto x, y, z , encontre
a) grad a r ,
b) a r ,
c) a r .
34. Considere os campos escalar x, y, z x2 y2 z3 e vetorial F x2 y i x y2 z j y z2 k. Determine: 
a) , 
b) grad div F , 
c) rot rot F .
35. Se a é um vetor constante e r o raio vetor posição do ponto x, y, z , encontre o valor de div grad r2 r a .
108 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
3
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
3.1 Integrais de linha
3.1.1 Introdução
Uma motivação física para o conceito de integral de linha é o problema do trabalho devido a uma força elétrica sobre uma
carga pontual. Esta força surge, se a carga se encontra numa região onde existe um campo elétrico E (veja Fig.32(a)). Em cada
ponto do espaço, a carga pontual Q experimenta uma força F Q E. Se o deslocamento elementar da carga ao longo de sua
trajetória for d l , o trabalho produzido pela força F produzindo o deslocamento d l é dado por
W
P1
P2
F l , 3.1
Fig.32. (a) Uma carga numa região com campo elétrico E. A trajetória é chamado contorno de integração C que une os pontos P1
e P2. (b) Uma partícula numa região onde existe um campo de forças F produzindo uma trajetória fechada, o chamado contorno 
fechado C.
no espaço 3-d, em coordenadas retangulares cartesianas, o vetor deslocamento d l dx i dy j dz j e a força
F Fx x, y, z i Fy x, y, z j Fz x, y, z j permitem escrever o trabalho como a integral entre os pontos P1 x1, y1, z1 e P2 x2, y2, z2
W
P1
P2
F l
x1
x2
Fx x
y1
y2
Fy y
z1
z2
Fz z. 3.2
Uma outra possibilidade é quando a trajetória é fechada, tal como o contorno fechado C (Fig.32(b)), neste caso a integração
chama-se curvilínea, sendo o trabalho
W
C
F l
C
F l cos
3.3
onde é o ângulo formado pela força F e o vetor deslocamento d l em cada ponto do contorno fechado. Integrais deste tipo
chamam-se de contorno ou de linha..
Podemos pensar, de modo geral, um campo vetor V qualquer sendo integrada pelo contorno C, com o qual usamos a simbologia
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 109
C
V l cos
C
V l .
3.4
Integrais deste tipo recebem o nome de circulação de V ao redor do contorno fechado C. A circulação do campo vetorial ao
redor de qualquer caminho fechado C pode ser zero ou não, dependendo do campo vetorial. Ambos os tipos serão importantes
na análise de campos; por tanto, agora definimos algumas propriedades:
3.1.2 Propriedades das integrais de linha
1.
C
F l
C
Fx x Fy y Fz z
2.
AB
F l
BA
F l e
AB
Fx x, y, z x Fy x, y, z y Fz x, y, z z
BA
Fx x, y, z x Fy x, y, z y Fz x, y, z z . Isto
significa que a sinal da integral de linha é invertido quando a direção da integração ao longo do caminho é invertido.
3. (a) Para um caminho de integração paralelo ao eixo y, isto é x = k,
dx 0,
C
Fx x 0,
 (b) Para um caminho de integração paralelo ao eixo x, isto é y = k,
dy 0,
C
Fy y 0.
4. Se o caminho de integração C unindo os pontos A e B é dividido em duas partes AK e KB, logo a integral IC IAB IAK IKB.
5. Um campo vetorial cuja circulação ao redor de um contorno fechado arbitrário é zero chama-se um campo conservativo,
ou um campo de restauração. Em um campo de força, a integral de linha representa o trabalho. Um campo conservativo, neste
caso, significa que o trabalho líquido total feito pelo campo ou contra o campo em qualquer caminho fechado é igual a zero.
6. Um campo de vetores cuja circulação em torno de um caminho fechado arbitrário é diferente de zero é um campo não
conservativo ou não-restaurador. Em termos de forças, isto significa que o movimento num trajeto fechado requer trabalho
líquido a ser feito pelo campo ou contra o campo.
Exercício 1. Calcular a integral 
C
x 3 y x desde A(0,1) até B(2,5) ao longo da curva y 1 x2.
Solução. Uma integral curvilínea geral é da forma da Eq.(3.1)
C
F l
C
Fx x Fy y Fz z
em nosso caso, Fy Fz 0 e o contorno C é a curva y 1 x
2. O contorno C e o campo Fx x 3 y são mostrados abaixo. Assim,
temos que calcular
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mo
Show
gráfico
Plot 1 x2, x, 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
gráfico vetorial
VectorPlot x 3 y , 0 , x, 0, 2 , y, 1, 5 ,
escala de vetor
VectorScale 0.035,
estilo de v
VectorStyle
verde
Green,
espessura
Thickness 0.005 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
em nosso caso, Fy x, y, z Fz x, y, z 0 e o contorno C é a curva y 1 x
2 mostrada abaixo. Podemos converter a integral
dada substituindo y 1 x2 na expressão sub-integral
C
Fx x, y, z x
C
x 3 y x
C
x 3 1 x2 x
x2
2
3 x x3
0
2
16.
110 Calculos MultivariableMotivado pela Física.nb
Exercício 2. Calcular a integral 
C
x2 y x x y2 y desde A(0,2) até B(3,5) ao longo da reta y 2 x.
Solução. Neste caso, Fz x, y, z 0 e o contorno C é a reta y 2 x mostrada abaixo. Por outro lado
Fx x, y, z x2 y x2 2 x, Fy x, y, z x y2 y 2 y2,
assim, calculamos
C
x2 y x x y2 y
0
3
x2 2 x x
5
2
y 2 y2 y
x3
3
2 x
x2
2 0
3 y2
2
2 y
y3
3 2
5
15
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico
Plot 2 x, x, 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
gráfico vetorial
VectorPlot x2 y, x y2 , x, 0, 3 , y, 2, 5 ,
escala de vetor
VectorScale 0.08,
estilo de v
VectorStyle
cores do sistema
RGBColor 0, 1, 1, 1.5 ,
e
Thick,
espessura
Thickness 0.0035 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
Exercício 3. Um campo vetorial é dado por F ysin 2 x i xcos 2 y j. a) Esboce o campo no espaço. b) Assuma F para ser
uma força. Qual é o trabalho feito ao mover uma partícula através do segmento de reta desde o ponto A 4, 2 até
B , 2 . c) O trabalho depende do caminho tomado entre A e B?
Solução. (a) O campo é mostrado na figura abaixo. Note que o campo é zero na origem de coordenadas.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mo
Show
gráfico
Plot 2 x, x, 0.5, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
gráfico v
VectorPlot y
seno
Sin 2 x , x
cosseno
Cos 2 y , x, 0.5, 2 , y, 2, 6 ,
escala de vetor
VectorScale 0.024,
número de pontos do vetor
VectorPoints 30,
estilo de v
VectorStyle
cores do sistema
RGBColor 0, 1, 1, 1.5 ,
e
Thick,
espessura
Thickness 0.0035 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
Fig.33 Plot do campo vetorial F ysin 2 x i xcos 2 y j e os pontos A 4, 2 até B , 2 são também mostrados.
b) Desde A até B o elemento do caminho d l dx i dy j . A integração é
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 111
A
B
F l
A
B
ysin 2 x i xcos 2 y j x i y j
A
B
ysin 2 x x xcos 2 y y .
Calculamos esta integral seguindo o caminho da reta AB como mostrado na Fig.34. O coeficiente angular deta reta é
m 2 2 4 2. A equação desta reta é y 2 x. Então, calculamos esta integral da forma
A
B
ysin 2 x x xcos 2 y y
4
2 x sin 2 x x y 2
2
2
cos 2 y y
1
2
1
4
1
4
.
c) Para responder a esta pergunta, vamos tomar o caminho de integração mostrado na Fig.34. Pelo caminho AC, l i x e
y 2, e pelo caminho CB, l j y e x . Assim, depois de desdobrar o caminho de integração segundo mostramos abaixo
Fig.34 Plot de dois caminhos possíveis, o caminho da reta AB (linha branca) e o caminho quebrado AC (linha laranja) e CB 
(linha azul).
A
C
F l
A
C
F l
C
B
F l
A
C
ysin 2 x i xcos 2 y j x i
C
B
ysin 2 x i xcos 2 y j y j
4
2
sin 2 x x
2
2
cos 2 y y
4
0
4
.
O resultado nos mostra que, o trabalho depende do caminho tomado entre A e B, por isto, o campo vetorial dado não é
conservativo.
Exercício 4. Calcular a integral 
C
x2 y2 xy x desde A(0,1) até B(0,-1) ao longo do semicírculo x2 y2 1 para x 0.
Solução. O contorno de integração foi traçado abaixo. O semicírculo não é uma curva univalente. Isto significa que, para
qualquer x, y 1 x2 . Nestas situações dividimos o contorno C em duas partes
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico de contornos
ContourPlot x
2
y
2 1, x, 0, 1 , y, 1, 1 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
gráfico vetorial
VectorPlot x2 y2 x y, 0 ,
x, 0, 1 , y, 1, 1 ,
escala de vetor
VectorScale 0.045,
estilo de v
VectorStyle
verde
Green,
espessura
Thickness 0.005 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
y 1 x2 desde A(0,1) até C(1,0)
y 1 x2 desde C(1,0) até B(0,-1).
112 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Como é usual, I
C
Fx x Fy y Fz z e neste caso particular Fy Fz 0, 
AC
Fx x
CB
Fx x
0
1
x2 1 x2 x 1 x2 x
1
0
x2 1 x2 x 1 x2 x
0
1
2 x2 1 x 1 x2 x
1
0
2 x2 1 x 1 x2 x.
Calculamos cada integral:
0
1
2 x2 1 x 1 x2 x
1
0
2 x2 1 x 1 x2 x
2
3
Assim,
C
Fx x
AC
Fx x
CB
Fx x
2
3
.
Exercício 5***. Calcular a circulação 
C
F l do campo vetorial F y i x j ao longo do contorno C na direção anti-horário,
tal que: C é o segmento inferior da elipse x
2
a2
y2
b2
1, que corta a reta y = ax + b .
Solução. O contorno de integração C foi traçado abaixo. Calculamos os pontos de intersecção A e B com a reta:
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
resolve
Solve
x2
a2
a x b 2
b2
1, x
x 0 , x
2 a3 b
a4 b2
e os valores de y:
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
x 0,
2 a3 b
a4 b2
;
y a x b
b, b
2 a4 b
a4 b2
assim, os pontos são B 0, b , A 2 a
3 b
a4 b2
, b 2 a
4 b
a4 b2
. Partimos o contorno de integração C em dois “pedaços”: C AD DB . Durante o
cálculo da integral no contorno AD devemos usar y b 1 x
2
a2
. Durante o cálculo da integral sobre o contorno DB usamos
y b 1 x
2
a2
. Logo
I
C
F l
C
y x x y
AD
y x x y
DB
y x x y .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 113
Cálculo de 
AD
y x x y . Neste contorno calculamos dy:
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
derivada
D b 1
x2
a2
, x
b x
a2 1 x
2
a2
O cálculo y
b x
a2 1
x2
a2
x. Com isto calculamos 
AD
y x x y
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
y b 1
x2
a2
;
supondo
Assuming a, b 0,
2 a3 b
a4 b2
a
y x
b x
a2 1 x
2
a2
x
b Abs a
2
ArcTan
2 a3 b
Abs a5 a b2
Cálculo de 
DB
y x x y . Neste contorno calculamos dy:
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
derivada
D b 1
x2
a2
, x
b x
a2 1 x
2
a2
O cálculo deu y
b x
a2 1
x2
a2
x. Com isto calculamos 
DB
y x x y
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
y b 1
x2
a2
;
supondo
Assuming a, b 0,
a
0
y x
b x
a2 1 x
2
a2
x
1
2
b Abs a
Somando os dois resultados
I
C
F l b Abs a
2
ArcTan
2 a3 b
Abs a5 a b2
1
2
b Abs a b Abs a ArcTan
2 a2 b
Abs a4 b2
.
Uma visualização do campo vetorial sobre o contorno de integração é mostrado abaixo para um caso específico a = 2, b = 1.
114 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico de contornos
ContourPlot
x2
4
y
2 1, x, 2, 2 , y, 1, 1 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
estilo do grá
PlotStyle
espessura
Thickness 0.005 ,
laranja
Orange ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
Plot 2 x 1, x, 2, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
estilo do grá
PlotStyle
espessura
Thickness 0.008 ,
verde
Green ,
ImageSize 200,
quociente de a
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial
VectorPlot y, x , x, 2, 2 , y, 1, 1 ,
escala de vetor
VectorScale 0.045,
VectorStyle
am
Yellow,
espessura
Thickness 0.007 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
Exercício 6. Calcular a integral de linha 
C
F. l do campo vetorial F 2 y 3 i xz j yz x k agindo sobre uma partícula
quando se move desde o ponto 0, 0, 0 até o ponto 2, 1, 1 ao longo do contorno C na direção anti-horário, tal que C é osegmento da curva x 2 t2, y t, z t3.
Solução. O contorno de integração C na presença do campo vetorial dado foi traçado abaixo.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 115
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico paramétrico 3D
ParametricPlot3D 2 t2, t, t3 , t, 0, 1 ,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo do grá
PlotStyle
espessura
Thickness 0.005 ,
azul
Blue ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D 2 y 3, x z, y z x , x, 2, 2 , y, 1, 1 , z, 2, 2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
número de pontos do vetor
VectorPoints 12,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "SunsetColors",
escala de vetor
VectorScale 0.2,
redimensi
Scaled 0.15 ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 0, 0, 0 , 2, 1, 1 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
Temos que calcular a integral
C
F l
C
Fx x Fy y Fz z 2 y 3 x x z y yz x z,
como
dx 4 t dt, dy dt, dz 3 t2 dt;
no ponto
0, 0, 0 , t 0 até 2, 1, 1 , t 1.
Calculamos a integral
0
1
2 t 3 4 t t
0
1
2 t2 t3 t
0
1
t t3 2 t2 3 t2 t
288
35
encontramos
C
F l
288
35
.
3.1.3 Integrais de linha ao redor de uma curva fechada
Temos já introduzido o símbolo 
C
 para indicar que uma integral será calculada ao redor de uma curva fechada. Distinguimos
duas direções de integração: 
Direção positiva (anti-horário). Veja Fig.35 (a). Denotado por 
116 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.35 (a) Direção positiva, (b) Direção negativa.
Direção negativa (horário), denotada por . Veja Fig.35(b).
Com uma curva fechada, os valores de y sobre o contorno C não podem ser uni-valentes. Por tanto, dividimos o caminho em dois
ou mais partes e os tratamos separadamente (veja Fig.36).
Fig.36 (a) Use y f1 x para ALB. (b) Use y f2 x para BMA.
A menos que digamos o contrário, os contornos que consideramos sempre serão positivos (anti-horário).
3.1.4 Independência do caminho de integração
A integral de linha 
C
F l do campo vetorial F ao longo do caminho C é independente do caminho se seu valor é o mesmo
independente do caminho que une os pontos inicial A e final B.
Um exemplo:
C
y x x y
x1,y1
x2,y2
x y x2 y2 x1 y1
resultado que obtivemos ser referente ao caminho unindo os pontos inicial e final.
Mencionamos três teoremas úteis no contexto da independência do caminho de integração.
Teorema 1. Uma condição necessária e suficiente para que a integral 
C
F l seja independente do caminho é que existe uma
função escalar tal que F grad .
Teorema 2. Uma condição necessária e suficiente para que a integral 
C
F l seja independente do caminho é que rot F 0.
Teorema 3. Se rot F 0, logo a integral de linha por um contorno fechado
C
F l 0.
Exercício 7. Calcular a integral de linha (circulação) 
C
x2 x 2 xy y onde C compreende os três lados do triângulo unindo
O(0,0), A(1,0) e B(0,1). 
Solução. Primeiro traçamos o contorno e indicamos por C1, C2 e C3, as direções propostas de integração.
Arranjamos os três caminhos de integração na direção positiva. Analizamos cada contorno por separado:
OA: C1 é a linha y = 0, logo dy = 0.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 117
I1
C1
x2 x 2 xy y
0
1
x2 x
1
3
.
AB: C2 é a linha y 1 x, logo dy dx.
I2
C1
x2 x 2 xy y
C2
x2 x 2 x 1 x x
0
1
2 x x2 x
2
3
.
BO: C3 é a linha x = 0, logo dx = 0.
I3
C3
x2 x 2 xy y
C3
0 x 2 0 y x 0.
Por tanto
I I1 I2 I3
1
3
2
3
0
1
3
.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico
Graphics
forma da
EdgeForm
verde
Green,
espessura
Thickness 0.017 ,
verde claro
LightGreen,
polígono
Polygon 0, 0 , 1, 0 , 0, 1 ,
quadro
Frame
ve
True,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
gráfico vetorial
VectorPlot x2, 2 x y , x, 0, 1 , y, 0, 1 ,
escala de vetor
VectorScale 0.065,
VectorStyle
a
Blue,
espessura
Thickness 0.007 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Exercício 8. Encontrar o trabalho feito ao mover uma partícula sobre um círculo C no plano xy, se o círculo está centrado na
origem e tem um raio R, e o campo de forças e dado por F 2 x y z i x y z2 j 3 x 2 y 4 z k. 
Solução. No plano z = 0, o campo de forças F 2 x y i x y j 3 x 2 y k. A integral que define o trabalho é dada por (em z
= 0, dz = 0) 
C
2 x y x x y y .
Escrevemos o círculo em coordenadas polares x R cos , y R sin , onde varia desde 0 até 2 . Como 
d x R sin d , y R cos d . Com isto
118 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
C
2 x y x x y y
0
2
2 R cos R sin R sin R cos R sin R cos
R2
0
2
2 sin cos sin2 cos2 sin cos R2
0
2
sin cos 1
R2 2
1
2
sin2 0
2 2 R2.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D 2 x y z , x y z2 , 3 x 2 y 4 z , x, 3, 3 ,
y, 3, 3 , z, 0.15, 0.15 ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "BrightBands",
VectorScale
redimen
Scaled 0.2 ,
redimen
Scaled 0.2 ,
automá
Automatic ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
número de pontos do vetor
VectorPoints 5, 5, 2 ,
ContourPlot3D x2 y2 9, x, 3, 3 , y, 3, 3 , z, 0.015, 0.015 ,
malha
Mesh
ne
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
verde
Green ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z
Representação computacional do contorno circular com R = 3 e o campo vetorial F 2 x y z i x y z2 j 3 x 2 y 4 z k. 
Exercício 9. Encontrar o trabalho feito ao mover uma partícula sobre uma linha helicoidal C: x R cos t , y R sin t , z t
2
devido ao campo de força dado por F x y i y z j x z k, desde o ponto A que é a intercepção da curva com o plano
z = 0 e o ponto B que é a intercepção da curva com o plano z = 1.
Solução. A integral que define o trabalho é dada por 
C
x y x y z y x z z . Da representação paramétrica da
elipse podemos encontrar d x R sin t dt, dy R cos t dt, dz dt 2 . Além disso, as coordenadas do ponto A e B implicam:
z 0, t 0, z 1, t 2 . Logo, nosso cálculo do trabalho conduz a:
WAB
C
x y x y z y x z z
0
2
R cos t R sin t R sin t t R sin t
t
2
R cos t t R cos t
t
2
1
2
t
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 119
0
2
R2 cos t sin t sin2 t sin t cos t
t cos t
2
1
2
R cos t
t
2
t
0
2
R2 sin2 t
t cos t
2
1
2
R cos t
t
2
t
O cálculo das integrais são simples e formam parte da grade de cálculo II, por isto trabalhos o cálculo no computador
supondo
Assuming R 0,
0
2
R2 Sin t 2
t Cos t
2
1
2
R
cosseno
Cos t
t
2
t
1
2
R2
WAB
1
2
R2.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico paramét
ParametricPlot3D
constante
Cos t
180
grau
Degree ,
seno
Sin t
180
grau
Degree ,
t
2
,
t, 0, 2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo do grá
PlotStyle
espessura
Thickness 0.015 ,
azul
Blue ,
tamanho da ima
ImageSize 220,
quociente de a
AspectRatio 1,
número de po
PlotPoints 50,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
VectorPlot3D x y, y z, x z , x, 2, 2 , y, 1, 1 , z, 2, 2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
número de pontos do vetor
VectorPoints 15,
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "SunsetColors",
escala de vetor
VectorScale 0.2,
redimensi
Scaled 0.15 ,
gráfico 3D
Graphics3D
tamanh
PointSize
grande
Large ,
v
Red,
ponto
Point 1, 0, 0 , 1, 0, 1 ,
eixos
Axes
ve
True,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
intervalo d
PlotRange
tudo
All
3.2 Integrais duplas
A integral definida de uma função continua com uma variável, f x , é o limite de uma soma de Riemann:
a
b
f x x lim
x 0
i
f xi x, 3.5
onde xi encontrando-se no intervalo xi 1, xi é o ponto da i-éssima sub-divisão do intervalo a, b , tal que x b a n. Nesta
secção estendemos esta definição para funções de duas variáveis. 
120 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.3.2.1
Na Fig.3.2.1 mostra-se a uma função f x 0, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma das áreas dos retângulos de
aproximação, e a área 
a
bf x x representa a área debaixo da curva y f x desde a até b.
Definição. Suponha que a função f x, y é continua sobre R, o retângulo a x b, c y d. Se xij, yij é qualquer ponto no
sub-retângulo ij éssimo, definimos a integral dupla de f sobre R
a
b
c
d
f x, y y x lim
x 0
y 0
m
i 1 j 1
n
f xij, yij x y,
3.6
sendo x b a m, y d c n, tal que n , m . Se o limite (3.5) existe, dissemos que a integral assim definida é uma
integral dupla.
Fig.3.2.2 a) A região retangular R foi dividida em células retangulares x b a m, y d c n, com o retângulo Rij contendo o ponto xij , yij . b) Sob 
cada ponto xij , yij levantamos a altura correspondente ao valor da função nesse ponto f xij , yij até tocar a superfície f x, y . c) Sob cada retângulo de lados 
x, y construimos paralelepípedos de altura f xij , yij .
3.2.1 Integrais duplas em coordenadas retangulares
São integrais da forma:
x1
x2
y1
y2
f x, y y x ou
x1
x2
x
y1
y2
f x, y y; 3.7
e
y1
y2
x1
x2
f x, y x y ou
y1
y2
y
x1
x2
f x, y x. 3.8
As integrais como as da Eq.(3.6) chamam-se de tipo I. As integrais como as da Eq.(3.7) chamam-se s de tipo II. 
Os procedimentos para determinar uma integral dupla são:
1. integre f x, y com relação a variável mais interior entre os limites que lhe correspondam. Para integrais de tipo I, integramos
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 121
1. integre f x, y com relação a variável mais interior entre os limites que lhe correspondam. Para integrais de tipo I, integramos
com relação a y entre os limites de y y1 e y y2 (onde x é considerado como sendo uma constante). Se for uma integral de tipo
II, integramos com relação a x entre os limites de x x1 e x x2 (onde y é considerado como sendo uma constante).
2. Integre o resultado (1) com relação a variável que restou nos limites de integração que lhe correspondam. 
Vemos destes procedimentos que, para determinar uma integral dupla começamos com a integral mais interna e logo trabal-
hamos a integral exterior. 
3.2.1.1 Integrais duplas sob domínios retangulares
Uma integral dupla no domínio retangular R :a x b, c y d, satisfaz o teorema de Fubini:
Teroema de Fubini : Seja f x, y uma continua em R :a x b, c y d. Logo
a
b
c
d
f x, y y x
c
d
a
b
f x, y x y.
O teorema evidencia que, em domínios retangulares, as integrais de tipo I e II são equivalentes. Mais adiante vamos ver que,
para domínios mais gerais que não são retangulares isso nem sempre é verdade.
Exercício 1. Calcular a integral 
1
3
2
5
2 x 3 y x y .
Solução. Seguimos os procedimentos anteriores:
(2x-3y) é integrado com relação a x entre x 2 e x 5, com y considerado como constante. 
i.e.
2
5
2 x 3 y x 2
x2
2
3 y x
2
5
2
52
2
3 y 5 2
22
2
3 y 2
25 15 y 4 6 y 25 15 y 4 6 y 21 9 y
1
3
2
5
2 x 3 y x y
1
3
21 9 y y 21 y 9
y2
2 1
3
21 3 9
32
2
21 1 9
12
2
63 40.5 21 4.5 6
Assim, 
1
3
2
5
2 x 3 y x y 6.
122 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
manipula
Manipulate
gráfico 3D
Plot3D 2 x 3 y, x, 1, 3 , y, 2, 5 ,
função de região
RegionFunction
função
Function x, y, z , 1 x 3&&2 y 5 ,
Filling 0,
estilo de pr
FillingStyle
opacidade
Opacity .75 ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
legenda do
AxesLabel
estilo
Style , 12,
negrito
Bold & x, y, z ,
BoxRatios 1, 1, 1 ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
tema do gráfico
PlotTheme pt ,
pt, "Classic", "Business", "
padrão
Default", "Detailed", "Marketing", "Monochrome", "Scientific", "Web"
pt Classic
Exercício 2. Calcular a integral 
1
3
0
2
2 x2 y x y .
Solução. Seguimos os procedimentos anteriores:
2 x2 y é integrado com relação a x entre x 0 e x 2, 
i.e.
0
2
2 x2 y x 2
x3
3
y
0
2
2
23
3
y 2
02
3
y
16
3
y
1
3
0
2
2 x2 y x y
1
3 16
3
y y
16
3
y2
2 1
3 16
6
32
16
6
12 24 2.67 21.33.
Assim, 
1
3
0
2
2 x2 y x y 21.33.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 123
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
manipula
Manipulate
gráfico 3D
Plot3D 2 x2 y, x, 1, 3 , y, 0, 2 ,
função de região
RegionFunction
função
Function x, y, z , 1 x 3&&0 y 2 ,
preench
Filling 0,
estilo de pr
FillingStyle
opacidade
Opacity .75 ,
tamanho da ima
ImageSize 200,
legenda do
AxesLabel
estilo
Style , 12,
negrito
Bold & x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
tema do gráfico
PlotTheme pt ,
pt, "Classic", "Business", "
padrão
Default", "Detailed", "Marketing", "Monochrome", "Scientific", "Web"
pt Classic
Exercício 3. Calcular a integral 
0
5
0
x2
x x2 y2 y x .
Solução. Seguimos os procedimentos anteriores:
x x2 y2 é integrado com relação a y entre y 0 e y x2, 
i.e.
0
x2
x x2 y2 y
0
x2
x3 xy2 y x3 y x
y3
3 0
x2
x3 x2 x
x2 3
3
0 x5
x7
3
0
5
0
x2
x x2 y2 x y
0
5
x5
x7
3
x
x6
6
1
3
x8
8 0
5 56
6
1
3
58
8
0 18880.2
Assim, 
0
5
0
x2
x x2 y2 x y 18 880.2
124 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
gráfico de uma região
RegionPlot y x2, x, 0, 5 , y, 0, 25 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da ima
ImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
manipula
Manipulate
mos
Show
gráfico 3D
Plot3D x x2 y2 , x, 0, 5 , y, 0, 25 ,
função de região
RegionFunction
função
Function x, y, z , 0 x 5&&y x2 ,
preenchimento
Filling 0,
estilo de pr
FillingStyle
opacidade
Opacity .75 ,
estilo do 
PlotStyle
opacidade
Opacity .5 ,
legenda do
AxesLabel
estilo
Style , 12,
negrito
Bold & x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
tamanho da imagem
ImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
tema do gráfico
PlotTheme pt ,
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D 0 x 5&&y x2, x, 0, 5 , y, 0, 25 , z, 0.01, 0.01 ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da imaImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5 , pt, "Classic", "
gráfico
Plot Theme" ,
"Business", "Classic", "
padrão
Default", "Detailed", "Marketing", "Monochrome", "Scientific", "Web"
Plot Theme Classic
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 125
Exercício 4. Calcular a integral 
R
x2 2 xy x y , onde R x, y 0 x 1, x y 2 x .
Solução. Primeiro traçamos a região de integração R:
gráfico de uma região
RegionPlot 0 x 5&&y x2, x, 0, 1 , y, 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da ima
ImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
A região de integração D é a área hachurada. O intercepto das duas curvas é P(1.0,1.0).
A integral a ser calculada é:
D
x2 2 xy x y
0
1
0
y2
x2 2 xy x y
1
2
0
2 y
x2 2 xy x y
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
0
1
0
y2
x2 2 x y x y
1
2
0
2 y
x2 2 x y x y
19
42
Onde temos particionado a região de integração sobre y em dois setores: 0 y 1 onde x y2 e 1 y 2 onde x 2 y. 
Podemos provar por cálculo direto que, mudando a ordem de integração, é mais fácil o resultado:
D
x2 2 xy x y
0
1
x
2 x
x2 2 xy y x
0
1
x2 y x y2
x
2 x
x
0
1
x2 2 x x 2 x 2 x2 x x x x
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
0
1
x2 2 x x 2 x 2 x2 x x2 x
19
42
126 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
manipula
Manipulate
mostra
Show
gráfico 3D
Plot3D x2 2 x y, x, 0, 1 , y, 0, 2 ,
função de região
RegionFunction
função
Function x, y, z , 0 x 1&&x 0&& x y 2 x ,
Filling 0,
tamanho da ima
ImageSize 200,
estilo de pr
FillingStyle
opacidade
Opacity .75 ,
estilo do 
PlotStyle
opacidade
Opacity .5 ,
legenda do
AxesLabel
estilo
Style , 12,
negrito
Bold & x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
ponto de vista
ViewPoint 3, 1.5, 0.75 ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
tema do gráfico
PlotTheme pt ,
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D x y 2 x, x, 0, 1 , y, 0, 2 , z, 0.01, 0.01 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da ima
ImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5 ,
pt, "Classic", "
gráfico
Plot Theme" , "Business", "Classic", "
padrão
Default", "Detailed",
"Marketing", "Monochrome", "Scientific", "Web"
Plot Theme Classic
Exercício 5. Calcular a integral 
R
y x x y , onde R é a região triangular com vértices 0, 0 , 2, 4 e 6, 0 .
Solução. Primeiro traçamos a região de integração R:
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 127
gráfico de uma região
RegionPlot 2 x y 0&&6 x y 0, x, 0, 6 , y, 0, 4 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da ima
ImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
A região de integração D é a área hachurada. Os vértices são A(0,0), B(2,4) e C(6,0). A reta da esquerda tem a 
equação y = 2x e a da direita y = 6 - x.
A integral a ser calculada é:
D
y x x y
0
4
y 2
6 y
y x x y
0
4
y x y 2
6 y
y
0
4
y 6 y y 2 y
0
4
y 6 y y
0
4
y y 2 y 6
0
4
y y y
0
4
y y 2 y
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
Simplify 6
0
4
y y y
0
4
y y 2 y
4 9 2 6
Nosso resultado: 
D
y x x y 4 9 2 6.
128 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
manipula
Manipulate
mos
Show
gráfico 3D
Plot3D y x, x, 0, 6 , y, 0, 4 ,
função de região
RegionFunction
função
Function x, y, z , 0 y&&2 x y&&y 6 x ,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
preenchimento
Filling 0,
FillingStyle
opacidade
Opacity .75 ,
estilo do 
PlotStyle
opacidade
Opacity .5 ,
tamanho da imagem
ImageSize 200,
AxesLabel
estilo
Style , 12,
negrito
Bold & x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
tema do gráfico
PlotTheme pt ,
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D 2 x y 0&&6 x y 0, x, 0, 6 , y, 0, 4 , z, 0.01, 0.01 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da ima
ImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5 ,
pt, "Classic", "
gráfico
Plot Theme" , "Business", "Classic", "
padrão
Default", "Detailed",
"Marketing", "Monochrome", "Scientific", "Web"
Plot Theme Classic
3.2.2 Integrais duplas em coordenadas polares
Integrais deste tipo são
1
2
r1
r2
f r, r
que se integram, primeiro sobre a variável r, mantendo fixo:
r1
r2
f r, r h
cujo resultado será uma função do ângulo polar , pelo fato que, em geral; os limites de integração sobre r são funções de , isto
é, r1 g1 , r2 g2 . Posteriormente, o resultado é integrado sobre :
1
2
r1 g1
r2 g2
f r, r
1
2
h .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 129
Fig.37
Uma forma gráfica de explicar o processo anterior apresentamos na Fig.37. O raio OP r1 g1 descreve a curva inferior, em
quanto que o raio OQ r2 g2 descreve a curva superior. A linha PQ é o caminho de integração sobre r, isto é
r1
r2f r, r h . Em quanto que as linhas OA e OB tem posições angulares 1 e 2 respetivamente. Por tanto, a integral
1
2
r1
r2 f r, r interpreta-se como a integração da curva polar f(r, ) sobre a área hachurada AQBA, porem isto não
significa que essa integral seja a área da região hachurada AQBA.
Exercício 6. Se S é aquela parte do ânulo 0 a2 x2 y2 b2 jazendo no primeiro quadrante e, debaixo da reta y = x, como
mostrado na figura abaixo, calcular a integral 
S
tan2 r r .
Solução. A integral a ser calculada é
0
4
a
b
tan2 r r
0
4
tan2
a
b
r r
0
4
tan2
r2
2 a
b b2 a2
2 0
4
tan2
Calculamos a integral
0
4
Tan 2
1
4
logo temos
0
4
a
b
tan2 r r
b2 a2
2
1
4
.
Exercício 7. Encontrar o valor da integral rsin r sobre o cardióide r a 1 cos acima da linha inicial. Observação:
a integral anterior não define a área do cardióide.
Solução. Neste caso, o primeiro passo é esboçar a região de integração
gráfico p
PolarPlot 1
cosseno
Cos , , 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel , r
130 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Os limites de integração são: 0, até (acima da linha inicial = 0). Para r desde r = 0 até r a 1 cos .
rsin r
0
sin
0
r a 1 cos
r r
0
sin
r
2
2 0
a 1 cos
0
sin
a
2
2
1 cos 2
a
2
2
0
sin 1 cos 2
a
2
2
1 cos 3
3 0
a
2
2
8
3
4 a2
3
.
onde a integral
seno
Sin 1 Cos
2
Cos Cos 2
Cos 3
3
(***) Exercício 8. Se S é a superfície hachurada abaixo, compreendida pelas curvas r 1 e r sin 2 cos2 , encontre o
valor da integral 
S
sin r .
Solução. A integral a ser calculada será dividida em dois setores
S
sin r
S1
sin r
S2
sin r
sendo S1 é o setor da direita e S2 é o setor da esquerda junto com o de embaixo.
Primeiro calculamos os pontos de interseção das curvas. Isto significa resolver a equação
sin 2 cos2 1 sin 2
1 cos 2
2
1 sin 2
cos 2
2
1
2
2 sin 2 cos 2 1 2 1 cos2 2 cos 2 1 2 1 cos2 2 1 cos 2
elevando ao quadrado
4 1 cos2 2 1 2 cos 2 cos2 2 5 cos22 2 cos 2 3 0.
Fazendo x cos 2 , resolvemos a equação 5 x2 2 x 3 0.
resolve
Solve 5 x2 2 x 3 0, x
x
3
5
, x 1
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 131
As soluções são x cos 2 1 de onde 0, e x cos 2
3
5
,
1
2
arccos
3
5
63.435o. Agora definimos as duas
integrais:
S1
sin r
0
63.435o
1
sin 2 cos2
sin r .
Calculamos a integral
1
Sin 2 Cos 2
seno
Sin r
Sin 1 Cos 2 Sin 2
logo a integral
0
63.435 Degree
seno
Sin 1 Cos 2
seno
Sin 2
0.227761
Agora calculamos a integral
S2
sin r
63.435o
180o
sin 2 cos2
1
sin r .
onde a integral
Sin 2 Cos 2
1
seno
Sin r
Sin 1 Cos 2 Sin 2
logo a integral
63.435 Degree
180 Degree
seno
Sin 1 Cos
2
seno
Sin 2
1.56109
Por tanto, o valor da integral
S
sin r 0.227761 1.56109 1.78885.
Para finalizar, mostramos o resultado da integral indefinida:
seno
Sin 1 Cos 2
seno
Sin 2
Cos
Cos 3
3
Sin
2
1
6
Sin 3
3.2.3 Aplicações das Integrais duplas
3.2.3.1 Áreas de figuras planas. Coordenadas retangulares
Considere a Fig.37. O elemento de área da figura hachurada dA dx dy.
O elemento da faixa vertical têm uma área y y1
y y2 dx dy.
132 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.37 
A área total de todas as faixas semelhantes x a
x b
y y1
y y2 dx dy
Sendo dx 0 e dy 0, a área total anterior resulta na integral dupla
A
a
b
y1
y2
y x.
Exercício 9. Encontrar a área da figura plana limitada pelas curvas y1 x 1
2 e y2 4 x 3
2.
Solução. Neste caso, o primeiro passo é esboçar as curvas, que são parábolas, e determinar os pontos de interseção.
mostra
Show
gráfico de uma região
RegionPlot y x 1
2
&& 4 x 3
2
y, x, 0.5, 3.4 , y, 2, 6 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da imagem
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5 ,
Plot x 1 2, 4 x 3 2 , x, 0.5, 3.4 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
PlotLegends "Expressions",
tamanho da imagem
ImageSize 200
x 1 2
4 x 3 2
 Os pontos de interseção são encontrados da equação x 1 2 4 x 3 2, a qual da as soluções x = 1 e x = 3.
A
x 1
x 3
y1
y2
y x
x 1
x 3
y x 1 2
y 4 x 3 2
y x
1
3
4 x 3 2 x 1 2 x
2
1
3
x2 4 x 3 x 2
x3
3
2 x2 3 x
1
3 8
3
.
Exercício 10. Encontrar a área da figura plana limitada pelas curvas: a) y1 x 1
2, y2 2 x 3
2 e a reta x = 2, b) x y 4,
y x, x 4, c) y2 4 x, x 3 y 0, d) a y x2 2 a x, y x, e) y ln x , x y 1 e y 1.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 133
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico de uma re
RegionPlot y
logaritmo
Log x && x 1 y && y 1, x, 0.3, 1.0 , y, 1.2, 0 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5 ,
Plot
logaritmo
Log x , x 1, 1 , x, 0.3, 1.0 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
PlotLegends "Expressions",
tamanho da imagem
ImageSize 250
GreaterEqual : Invalid comparison with 1.2042 3.14159 attempted.
log x
x 1
1
3.2.3.2 Áreas de figuras planas. Coordenadas polares
Considere a Fig .38. O arco pequeno do círculo de raio r, subtende o ângulo no centro, tal que seu comprimento é s = r .
A área deste elemento hachurado A r r. 
A área deste setor angular fino r g1
r g2
r r.
Fig.38 
A área total de todos os setores semelhantes será 
1
2
r g1
r g2
r r
Sendo r 0 e 0, a área total anterior resulta na integral dupla
A
1
2
r g1
r g2
r r .
(**) Exercício 11. Encontrar a área da elipse, cuja equação é dada por x
2
a2
y2
b2
1 usando integrais duplas em coordenadas
polares.
134 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Solução. Uma forma polar da elipse anterior é dada por:
x a cos , y b sin
e usando a identidade polar
r2 x2 y2 a2 cos2 b2 sin2 a2 1 sin2 b2 sin2 a2 a2 b2 sin2
r a2 a2 b2 sin2 .
Note que 0 r a2 a2 b2 sin2 . A integral a calcular é
A
1 0
2 2
r 0
r a2 a2 b2 sin2
r r
0
2 r2
2 0
a2 a2 b2 sin2
1
2 0
2
a2 a2 b2 sin2
1
2
a2
0
2 a2 b2
2 0
2 1 cos 2
2
1
2
a2
0
2 a2 b2
2
1
2 0
2 1
2
a2 2
a2 b2
4
2 a2
a2 b2
2 2
a2 b2 .
(***) Exercício 12. Encontrar a área da figura plana limitada pela curva r 2 1 cos sin , e a semicircunferência r = 1.5
mostrada na figura abaixo (Fig.39).
Fig.39
Solução. Primeiro devemos encontrar as posições angulares dos pontos de intercepção das curvas: 
2 1 cos sin 1.5.
Para resolve-la, escrevemos cos cos2
2
sin2
2
1 2 sin2
2
, sin 2 sin
2
cos
2
2 sin
2
1 sin2
2
. Também
fazemos sin
2
, logo a equação anterior
2 1 cos sin 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 16
1 2
2 2 1 2 3 16 2.
Agora fazemos 1 2, 2 1 e reescrevemos
3 1 3 16 2.
Resolvemos esta equação por um método gráfico (fig.40)
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 135
Fig.40
Do gráfico lemos 0.383501, 0.95992. Com isto
sin2
2
2 1 2 ArcSin 1
calculamos os ângulos em radianos e logo convertemos a graus
0.383501, 0.95992 ;
180 2 ArcSin 1
103.474, 23.0973
23.0973 , 103.474 .
Agora somente nos falta calcular a área hachurada
A
23.0973
103.474
1.5
2 1 cos sin
r r .
Calculamos a integral
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
1.5
2 1 Cos Sin
r r
1.125 2. 1. Cos 2 Sin 2
Por último, calculamos a integral
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
23.0973 Degree
103.47364 Degree
1.125 2 1 Cos
2
Sin
2
1.92049
Por tanto
A
23.0973
103.474
1.5
2 1 cos sin
r r 1.92049.
(**) Exercício 13. Encontrar a área da figura plana limitada pelas linhas r a 1 cos , r a e situado fora do cardióide
(veja Fig.41).
136 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.41. Gráfico do cardióide r a 1 cos e da circunferência r a 1.
3.2.3.3 Cálculo de volumes através de integrais duplas
Temos observado na introdução deste tema de integrais duplas para regiões gerais que se f x, y 0 em uma região D, logo a
integral dupla
V
D
f x, y x y
representa o volume da região 3-d, R, definida por x, y em D, 0 z f x, y .
Fig.42
Note, em particular, que se f x, y é identicamente igual a 1, o volume da região debaixo do gráfico é apenas a área de D,
assim a área de D é igual a 
A
D
x y
Exercício 14. Encontrar o volume do sólido no espaço limitado pelos quatro planos x 0, y 0, z 0, e 5 x 2 y 4, e a
superfície z 2 x y. 
Solução. Formulamos a integral de volume tanto como uma integral de tipo I: 0
4 5
0
2 5 x 2 2 x y y x, como de tipo II:
0
2
0
4 5 2 y 5 2 x y x y. Nos dá o mesmo
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 137
mostra
Show
gráfico 3D
Plot3D
2 x y
, x, 0, 1 , y, 0, 2.5 ,
RegionFunction
função
Function x, y, z , 0 x && y 0 && y 2 5 x 2 ,
preenchimento
Filling 0,
estilo do gráf
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
FillingStyle
opacidade
Opacity .75 ,
estilo do gráf
PlotStyle
opacidade
Opacity .5 ,
AxesLabel
estilo
Style , 18,
negrito
Bold & x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
PlotTheme "Marketing" ,
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D 0 y 2 5x 2, x,0, 1 , y, 0, 2.5 ,
z, 0.01, 0.01 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
0
4 5
0
2 5 x 2
2 x y y x,
0
2
0
4 5 2 y 5
2 x y x y
1
18
9
4
2
5 8 5 ,
1
18
9
4
2
5 8 5
V
1
18
9
4
2
5 8 5 0.905917
3.2.3.4 Valor médio de uma função
Se f x, y é uma função integrável na região D, definimos o valor médio de f x, y em D o quociente
fm
D
f x, y y x
D
y x
. 3.9
Exercício 15. Encontrar o valor médio da função f x, y x2 y2 sobre a região D limitada por x 0, y 0 e x2 y2 2 x. 
Solução. Traçamos a região de integração D.
138 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico de uma região
RegionPlot y 0 && x 0 && y 2 x x2 , x, 0, 2 , y, 0, 1.5 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da imagem
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
Traçamos uma linha paralela a y e encontramos os limites de integração: 0 y 2 x x2 e 0 x 2. Logo, temos que calcular
a integral 
0
2
0
2 x x2
x2 y2 y x.
Temos
0
2 x x2
x2 y2 y
x2 y
y3
3 0
2 x x2
x2 2 x x2
1 2 1
3
2 x x2
3 2
2 x x2
1 2
x2
1
3
2 x x2 2 x x2
1 2 1
3
4 x2 2 x
2 x x2
1 2 1
3
x2 2 x 3 x2
1
3
2 x x2
1 2
2 x x2 x2 2 x x2
1 2 1
3
2 x x2
3 2
x2 2 x x2
1 2
.
Agora calculamos a integral
0
2 1
3
2 x x2
3 2
x2 2 x x2
1 2
x
3
8
A área da região semicircular 
0
2
0
2 x x2
y x
2
o valor médio será
fm
D
f x, y y x
D
y x
3
8
2
3
4
.
3.2.3.5 Centro de massa
Nosso propósito neste tópico é encontrar o centro de massa de uma placa com densidade superficial de massa x, y que é
função das coordenadas retangulares. Para este fim, vamos supor que D representa a placa com densidade variável x, y . A
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 139
função das coordenadas retangulares. Para este fim, vamos supor que D representa a placa com densidade variável x, y . A
massa associada ao elemento infinitesimal de área dA dydx mostrada na Fig.43 é dm x, y dA; e a massa total é
D
x, y y x. Com isto, definimos as coordenadas retangulares do centro de massa da placa
Fig.44
x
D
x x, y y x
D
x, y y x
, y D
y x, y y x
D
x, y y x
. 3.10
Exercício 15. Encontrar as coordenadas do centro de massa da região D mostrada na figura. Suponha que a densidade é
dada pela função x, y 0 x y e 0 é uma constante.
Solução. Para x temos
x
D
x x, y y x
D
x, y y x
D
x 0 x y y x
D
0 x y y x
Para integrar mudamos a ordem de integração, neste caso, traçamos uma linha paralela a x cortando a região D e identifi-
camos que ky3 x a, 0 y b. Assim
D
x 0 x y y x
0
b
ky3
a
x 0 x y x y
0
b
k y3
a
x 0 x y x y
1
240
b 80 a3 60 a2 b b7 k2 15 8 b2 k 0
Deve-se notar da figura que para x a, y b, e a kb3, logo k a
b3
. E a massa total é a integral
0
b
k y3
a
0 x y x y
1
70
b 35 a2 35 a b b4 k 14 5 b2 k 0
Pelo que x será
140 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
k
a
b3
;
xc
simplifica
Simplify
1
240
b 80 a3 60 a2 b b7 k2 15 8 b2 k 0
1
70
b 35 a2 35 a b b4 k 14 5 b2 k 0
7 a 8 a 5 b
80 a 56 b
x
1
240
b 80 a3 60 a2 b b7 k2 15 8 b2 k 0
1
70
b 35 a2 35 a b b4 k 14 5 b2 k 0
7 a 8 a 5 b
80 a 56 b
.
Para y temos
y
D
y 0 x y y x
D
0 x y y x
mudando a ordem de integração como fizemos antes calculamos a integral
D
y 0 x y y x
0
b
ky3
a
y 0 x y x y
k
a
b3
;
0
b
k y3
a
y 0 x y x y
1
48
a b2 9 a 8 b 0
por tanto y
simplifica
Simplify
1
48
a b2 9 a 8 b 0
1
70
b 35 a2 35 a b b4 k 14 5 b2 k 0
35 b 9 a 8 b
72 10 a 7 b
y
35 b 9 a 8 b
72 10 a 7 b
.
No seguinte gráfico mostramos a distribuição do centro de massa x, y para a região de valores 0 a 5, 0 b 7.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 141
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico paramétrico
ParametricPlot
7 a 8 a 5 b
80 a 56 b
,
35 b 9 a 8 b
72 10 a 7 b
,
a, 0, 5 , b, 0, 7 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
tamanho da imagem
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
Exercício 16. Encontrar as coordenadas do centro de massa da região D correspondente a uma semicircunferência de raio
a, com centro no eixo x e passando pela origem no primeiro quadrante, se sua densidade de massa x, y 0 e 0 é uma
constante.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico de uma região
RegionPlot y 0 && y 4 x2 , x, 2, 2 , y, 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
AspectRatio 1,
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
Solução. Uma figura semelhante é mostrada na figura abaixo. A equação da semicircunferência é
x2 y2 a x ou x a 2 y2 a2.
As coordenadas são
142 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
x
D
x x, y y x
D
x, y y x
a
a
0
a2 x2 x 0 y x
a
a
0
a2 x2
0 y x
Calculamos a integral
a
a
x a2 x2 x
0
Agora para
y
D
y 0 y x
D
0 y x
a
a
0
a2 x2 y 0 y x
a
a
0
a2 x2
0 y x
a
a
0
a2 x2 y y x
a2 2
a integral
0
a2 x2
y y
a2
2
x2
2
a
a a2
2
x2
2
x
2 a3
3
Logo
y
2 a3
3
a2 2
4 a
3
.
Por tanto, o centro de massa encontra-se em 0, 4 a
3
.
3.2.3.6 Área da superfície de um gráfico
Considere uma superfície definida pela função z f x, y tal que os pontos x, y D no plano xy. Nos interessa encontrar a
área desta superfície definida no domínio D. Assuma que f tem suas primeiras derivadas parciais continuas em D, tal que a
área da superfície é suave e tem um plano tangente não-vertical em P x, y, f x, y para qualquer x, y em D. O vetor
n f1 x, y i f2 x, y j k 3.11
é uma normal para cima da superfície em P. Um elemento de área dA na posição x, y no plano xy tem uma projeção vertical a
superfície cuja área dS é sec vezes a área dA, onde é o ângulo entre n e k (veja Fig.45).
Fig.45
Como
cos
n k
n k
1
1 f1 x, y
2 f2 x, y
2
,
3.12
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 143
temos
dS 1
z
x
2 z
y
2
dA. 3.13
Por tanto, a área da superfície S é
S
D
1
z
x
2 z
y
2
A. 3.14
Exercício 17. Encontrar a área daquela parte do paraboloide hiperbólico z x2 y2 que jaz dentro do cilindro x2 y2 a2.
Solução. Uma figura semelhante é mostrada na figura abaixo. A equação da semicircunferência é
x2 y2 a x ou x a 2 y2 a2.
As coordenadas são
x
D
x x, y y x
D
x, y y x
a
a
0
a2 x2 x 0 y x
a
a
0
a2 x2
0 y x
Calculamos a integral
a
a
x a2 x2 x
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D z x2 y2 && x2 y2 1, x, 2.2, 2.2 , y, 2.2, 2.2 ,
z, 1, 1 ,
número de pontos no 
PlotPoints 100,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
PlotRange 2.2, 2.2 , 2.2, 2.2 , 1, 1 ,
tamanho da imagem
ImageSize 220,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.6 ,
azul
Blue,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y, z ,
BoundaryStylediretiva
Directive
laranja
Orange,
espesso
Thick
Exercícios. Lista 6.
I. Cálculo de integrais de linha por contornos abertos.
1. Encontrar a integral de linha 
P1
P2
F l , onde o campo vetorial F r
r
, sendo r o raio vetor ao longo do segmento da reta que
une os pontos desde P1 rA até o ponto P2 rB e r seu módulo. R. rB - rA .
2. Encontrar a integral de linha 
P1
P2
F l , ao longo do segmento da reta que une os pontos desde P1 r1 até o ponto P2 r2 , se o
campo vetorial F é dado por: a) F r , b) F r
r2
, c) F ur
r2
 sendo ur o vetor unitário do raio vetor posição r .
3. Calcular a integral de linha 
P1
P2
F l , no campo vetorial plano F
y2 i x2 j
x2 y2
, ao longo da semi-circunferência C:
x R cos , y R sin , 0 .
4. Calcular a integral de linha 
P1
P2
F l , no campo vetorial plano F x2 y2 i x2 y j, ao longo da linha y x desde o ponto
P1 1, 1 até o ponto P2 2, 2 .
144 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
5. Calcular o trabalho 
P1
P2
F l , do campo de forças F x2 2 x y i x2 y2 j, ao longo da parábola y x2 desde o ponto
P1 0, 0 até o ponto P2 1, 1 .
6. Calcular a integral 
C
x x y y
1 x2 y2
, onde C é o contorno positivo ao longo da elipse x
2
a2
y2
b2
1, no seu primeiro quadrante.
II. Cálculo de integrais de linha por contornos fechados.
7. Calcular a circulação 
C
F l do campo vetorial F y3 i x3 j ao longo do contorno C na direção anti-horário, tal que: 
a) C é a elipse C: x
2
a2
y2
b2
1, 
b) C é a circunferência x2 y2 R2, 
c) C é o contorno formado pela parábola y = x2 e a reta y = 1, 
d) C é o retângulo definido pelas retas x a, y b. 
e) São alguns destes campos conservativos ?. Dica: use a forma paramétrica da elipse x a cos , y b sin , 0 2 .
8. Calcular a circulação 
C
x y x x y y
x2 y2
, onde C é o contorno positivo da circunferência x2 y2 a2.
9. Calcular a circulação 
C
xy y x x y
x2 y2
, onde C é o contorno positivo triangular formado pelos pontos A 1, 0 , B 2, 1 , C 0, 3 .
III. Cálculo de integrais duplas.
4. Calcular a integral 
1
4
0
4
2 rsin r . 
5. Calcular a integral 
1
3
0
3 sin 2 r . 
6. O volume de um sólido, V, limitada pela curva 4 x y entre os limites x 0 até x 1 e y 0 até y 2 é dado pela integral
V
0
2
0
1
4 x y x y . Calcule V.
7. O segundo momento de área, I, de um retângulo ao redor de um eixo através de uma perpendicular ao plano da figura é
dado por I
0
5
0
3
x2 y2 x y . Calcule I.
(**) 8. Calcular a área formada entre a curva r a sec cos e sua assíntota, como mostrado na figura abaixo. R. 5 a2 4.
(**) 9. Calcular a área formada dentro do cardióide r a 1 cos e fora do círculo r a, como mostrado na figura hachurada
abaixo. R. a
2
4
8 .
3.2.3 Mudança na ordem de integração
Vamos explicar este assunto através de alguns exercícios.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 145
Exercício 14. Encontrar o valor da integral 
0
1
ex
e 1
ln y
y x mudando a ordem de integração.
Solução. Neste caso, primeiro deveria ser integrado a variável y desde o ponto P sobre a curva y ex até o ponto Q sobre a
linha reta y e. Logo poderíamos fazer a integração pela variável x desde x 0 até x 1, dando a região hachurada ABC.
Mudando a ordem de integração, primeiro integramos sobre x desde um ponto R(0,y) até um ponto S(x,y) porem, este ponto
está na curva y ex, de onde x ln y . Assim, S(ln(y),y). Para x 0, y 1, e para x 1, y e. Logo
0
1
ex
e 1
ln y
y x
1
e
0
ln y 1
ln y
x y
1
e 1
ln y
x 0
ln y
y
1
e
y e 1.
Exercício 15. Encontrar o valor da integral 
0
4 a
x2 4 a
2 a x
y x mudando a ordem de integração.
Solução. Primeiro deveria ser integrado a variável y desde o ponto P sobre a parábola x2 4 a y até o ponto Q sobre a
parábola y2 4 a x. Logo poderíamos fazer a integração pela variável x desde x 0 até x 4 a, dando a região hachurada
OAO.
Ao mudar a ordem de integração, primeiro integramos desde o ponto R que está sobre a curva y2 4 a x até o ponto S que
está sobre a curva x2 4 a y, porem; neste caso quando x 0, y 0 e quando x 4 a, y 4 a :
0
4 a
x2 4 a
2 a x
y x
0
4 a
y
y2 4 a
2 a y
x
0
4 a
y x
y2 4 a
2 a y
0
4 a
y 2 a y y2 4 a
O cálculo da integral dá
supondo
Assuming a 0,
0
4 a
2 a y
y2
4 a
y
16 a2
3
Assim
0
4 a
x2 4 a
2 a x
y x
16 a2
3
.
Exercício 16. Encontrar o valor da integral 
a
a
0
a2 y2
xy x2 x y mudando a ordem de integração.
Solução. Note que a variável x varia desde x 0 até x a2 y2 (pontos P e Q sobre a circunferência x2 y2 a2). Agora, a
variável y varia desde y a até y a. Esta região é a semicircunferência hachurada da direita. Ao mudar a ordem de
integração, primeiro integramos sobre y, desde y a2 x2 até y a2 x2 na faixa RS, depois; ao integrar sobre x o
fazemos desde x 0 até x a. Por tanto
146 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
a
a
0
2 a2 y2
x y x2 x y
0
a
a2 x2
a2 x2
x y x2 y x
0
a
x
y2
2 a2 x2
a2 x2 x2 y
a2 x2
a2 x2 x
0
a
x2 y
a2 x2
a2 x2 x
0
a
2 x2 a2 x2 x.
Mudando de variável x a cos , d x a sin d . Logo
0
a
2 x2 a2 x2 x
0
a
2 a2 cos2 a2 a2 cos2 a sin 2 a4
2
0
cos2 sin2
2 a4
1
4 2
0
sin 2 2
a4
2 2
0 1 cos 4
2
a4
4
2
0 1
4
sin 4 2
0 a
4
8
.
Verificamos o resultado usando Mathematica. 
supondo
Assuming a 0,
a
a
0
a2 y2
x y x
2
x y
a4
8
(***) Exercício 17. Encontrar o valor da integral 
0 0
x
x x
2 y y x mudando a ordem de integração.
Solução. Primeiro mudamos a variável de integração u x2 y, du x
2
y2
dy, dy
x2 u
2
x2
du x
2
u2
du. Por outro lado,
como y 0, u , y x, u x. A integral original transforma-se como
0 0
x
x x
2 y y x
0
x
x u
x2
u2
u x
0 x
u x
3
u2
u x.
Neste ponto, temos que mudar a ordem de integração. Veja a figura abaixo. Os pontos P e Q representam os limites de
integração sobre u, logo, ao mudar a ordem de integração, a integração sobre x deve começar desde M até N e em relação a
u, desde 0 até + . Por isto
0 0
x
x x
2 y y x
0 x
u x
3
u2
u x
0
u
u2
0
u
x3 x u
0
u
u2
x4
4 0
u
u
1
4
0
u u2 u
O valor da integral
u u2 u
u 2 2 u u2
assim
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 147
0 0
x
x x
2 y y x
1
4
0
u u2 u
1
4
u 2 2 u u2
0
1
4
0 2
1
2
.
Observação: Note que para calcular 
1
4
u 2 2 u u2
u
 temos usado L`Hospital duas vezes
1
4
u 2 2 u u2
u 1
4
lim
u
2 2 u u2
u
0.
3.3 Teorema de Green
O teorema de Green é uma relação entre integrais duplas e integrais de linha por contornos fechados no plano. Foi formulado de
forma independente pelo filósofo natural amador britânico e autodidata George Green e o matemático ucraniano Michel
Ostrogradsky.
Para formular o teorema de Green, lembramos rapidamente a definição de uma curva simples fechada C no plano xy que inclui
uma região, denominada o interior de C. A região sem limites que permanece se o interior é cortado é a região exterior de C
(Fig.42). Se C está positivamente orientada, como nos caminhamos ao redor de C na direção positiva, o interior está sobre nosso
ombro esquerdo.
Fig.42 Contorno simples orientado positivo, seu interior e exterior.
Teorema de Green. Seja C um contorno orientado simples fechado e positivo no plano xy. Seja que seu domínio
D consiste de todosos pontos sobre C e seu interior. Sejam também F x, y , G x, y , F y e G x continuas
sobre D. Logo: 
C
F x, y x G x, y dy
superfície interior
de C
G
x
F
y
x y
Exercício 1. Verificar o teorema de Green para a integral 
C
xy y2 x x2 dy ,onde C está limitada por y x e y x2.
Solução. Neste caso F x y y2 e G x2.
C
xy y2 x x2 dy
C1
xy y2 x x2 dy
C2
xy y2 x x2 dy
Ao longo de C1, y x2 e x varia desde 0 até 1, com dy 2 xdx
C1
xy y2 x x2 dy
C1
x x2 x2
2
x2 2 x x
0
1
x x2 x2
2
x2 2 x x
19
20
Ao longo de C2, y x e x varia desde 1 até 0, com dy dx
C2
x x x 2 x2 x
148 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
1
0
x x x2 x2 x
1
Po tanto
C
xy y2 x x2 dy
C1
xy y2 x x2 dy
C2
xy y2 x x2 dy
19
20
1
1
20
.
Do lado direito, do teorema de Green
G
x
F
y
x y
x2
x
xy y2
y
x y 2 x x 2 y x y
0
1
x2
x
2 x x 2 y y x
0
1
xy y2
x2
x
x
0
1
x4 x3 x
1
20
.
Este resultado prova a validade do teorema de Green.
Exercício 2. Use o teorema de Green para calcular a integral 
C
x2 y2 x x2 y2 dy , onde C é a semicircunferência de raio
a: x2 y2 a2 acima do eixo x.
Solução. Neste caso F x2 y2 e G x2 y2. Pelo teorema de Green
C
x2 y2 x x2 y2 dy
x2 y2
x
x2 y2
y
x y
2 x 2 y x y 2
S
x y y x
onde S é a área da semicircunferência. Logo, temos que calcular
2
S
x y y x 2
a
a
0
a2 x2
x y y x 2
a
a
y2
2
y x
0
a2 x2
x
2
a
a
a2 x2
2
a2 x2 x x 2
a
a
a2 x2
2
x 2
0
a
a2 x2 x
2 a2 x
x3
3 0
a 4
3
a3.
No cálculo temos considerado que 
a
a
a2 x2 x x 0, por ser a função sub-integral uma função ímpar no intervalo a, a .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 149
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico de uma região
RegionPlot x2 y2 1, x, 1.3, 1.3 , y, 0, 1.3 ,
legenda do quadro
FrameLabel "x a", "y a" ,
estilo do grá
PlotStyle
espessura
Thickness 0.005 ,
laranja claro
LightOrange ,
gráfico vetorial
VectorPlot x2 y2, x2 y2 , x, 1.3, 1.3 , y, 0, 1.3 ,
VectorScale 0.045,
estilo de v
VectorStyle
a
Blue,
espessura
Thickness 0.005 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel "x a", "y a"
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x a
Exercício 3. Encontrar o trabalho feito ao mover uma partícula sobre uma elipse C no plano xy, se a elipse está centrada na
origem e tem semieixos a e b: 
x2
a2
y2
b2
1 e encontra­se submetido a um campo de forças dado por F 2 x y i x y j .
Solução. De acordo com o teorema de Green
C
2 x y x x y y .
C
2 x y x x y dy
x y
x
2 x y
y
x y 2 x y
2
a
a
b 1 x
2
a2
b 1 x
2
a2
y x 2
a
a
y
b 1 x
2
a2
b 1 x
2
a2
x 4
a
a
b 1
x2
a2
x
4 b
a
a
1
x2
a2
x 8 b
0
a
1
x2
a2
x 8 b
0
a
1
a sin2
a2
a cos
8 b
0
2
1
a2 sin2
a2
a cos 8 a b
0
2
cos2 8 a b
0
2
1 cos 2
2
2 a b.
Mostramos abaixo o campo e a região elíptica para a 3, b 3 .
150 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico de uma região
RegionPlot
x2
9
y2
3
1, x, 3, 3 , y, 2, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
estilo do grá
PlotStyle
espessura
Thickness 0.005 ,
azul
Blue ,
gráfico vetorial
VectorPlot 2 x y, x y , x, 3, 3 , y, 2, 2 ,
VectorScale 0.045,
estilo de v
VectorStyle
verde
Green,
espessura
Thickness 0.007 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
Exercício 4. Encontrar o valor da integral 
C
y2 x x y y ao longo do contorno do triângulo com vértices A(a,0), B(a,a) e
C(0,a).
Solução. De acordo com o teorema de Green
C
y2 x x y y
x y
x
y2
y
x y
0
a
a x
a
1 2 y y x
0
a
a x
a
1 2 y y x
1
6
3 4 a a2
Por tanto
C
y2 x x y y
1
6
3 4 a a2.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico de uma região
RegionPlot 0 x 2, 2 x y 2 , x, 0, 2.5 , y, 0, 2.5 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do qua
FrameLabel x, y ,
estilo do grá
PlotStyle
espessura
Thickness 0.005 ,
laranja
Orange ,
gráfico vetorial
VectorPlot y2, x y 2 , x, 0, 2.5 ,
y, 0, 2.5 ,
escala de vetor
VectorScale 0.045,
estilo de v
VectorStyle
verde
Green,
espessura
Thickness 0.005 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 151
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico
Graphics
forma da
EdgeForm
preto
Black,
espessura
Thickness 0.0057 ,
verde
Green,
polígono
Polygon 1, 0 , 1, 1 , 0, 1 ,
quadro
Frame
ver
True,
legenda do quadro
FrameLabel "x a", "y a" ,
gráfico vetorial
VectorPlot y
2
, x y , x, 0, 1.3 , y, 0, 1.3 ,
VectorScale 0.065,
estilo de v
VectorStyle
a
Blue,
espessura
Thickness 0.007 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel "x a", "y a"
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x a
3.4 Teorema de Stokes
3.4.1 O contorno de uma superfície
O contorno de uma superfície S é a curva ou curvas que circulam pela borda de S. Uma orientação de S determina uma
orientação para o seu contorno, C, da seguinte maneira. Escolha um vetor normal positivo n em S, perto de C, e use a regra da
mão direita para determinar uma direção de viagem ao redor de n. Isso, por sua vez, determina uma direção de viagem ao
redor do contorno C. Veja a Fig.43(a). Outra maneira de descrever a orientação em C é que alguém caminhando ao longo de C
na direção para a frente, o corpo ereto na direção da normal positiva em S, teria a superfície à esquerda. Observe que o
contorno pode consistir em duas ou mais curvas, como mostra a superfície à direita na Fig.43(b).
Fig.43 Superfícies orientadas e seus contornos.
3.4.2 Formulação do teorema de Stokes
O teorema de Stokes é um teorema muito importante que permite transformar uma integral de linha (circulação de um campo
vetorial através do contorno fechado C) numa integral de superfície que se apoia sob C. O teorema estabelece que:
Se F é um campo vetorial existindo sobre uma superfície aberta S que se apoia sobre o contorno, a curva fechada C, logo
C
F l
S
rot F S
3.15
O vetor área elementar S n dS, isto é, perpendicular à superfície S nesse ponto porque n representa o vetor unitário normal
à superfície. Para encontrar o vetor unitário n sabendo a equação da superfície S, f x, y, z 0, basta usar a fórmula
152 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
n
grad f
grad f
. 3.16
Note que o vetor normal à superfície S foi traçado para fora da superfície. Em verdade, tendo uma superfície aberta teríamos
duas possibilidades de escolha para a direção do vetor normal n, ou para fora ou para dentro da superfície. Se queremos evitar
confusão em quanto a escolha da direção, adotamos uma convenção. A regra diz:
Fig.44
Se a direção do contorno coincide com os dedos da mão direita, a direção do vetor normal n coincide com o polegar direito para
cima (Fig.44 (a), do contrário será para abaixo, como na Fig.(b), (c). Isto chama­se regra da mão direita.
Se a superfície S define­se mediante a função implícita f x, y, z 0, o elemento de superfície dS é dada, em coordenadas
retangulares, por
dS fx
2 fy2 fz
2 dy dx. 3.17
A prova do teorema de Stokes é muito interessante, porem longa. Para nos será mais útil entender como se aplica.
3.4.3 Teorema de Green como um caso particular do teorema de Stokes
Para este fim, considere um campo vetorial no plano x y :
F x, y P x, y i Q x, y j, 3.18
sua circulação pelo contorno fechado C, orientado positivo será
F l P dx Q dy
o vetor unitário normal da superfície orientada S encerrada por C é n k. O rotacional do campo dado
rotacional
Curl P x, y , Q x, y , 0 , x, y, z
0, 0, P 0,1 x, y Q 1,0 x, y
rot F
Q
x
P
y
k.
Pelo teorema de Stokes
F l P dx Q dy
S
Q
x
P
y
k k S
S
Q
x
P
y
S.
Exercício 1. Uma semiesfera S é definida pela equação x2 y2 z2 4 z 0 . Um campo vetorial F 2 y i x j xz k existe
sobre a superfície e ao redor do seu contorno C. a) Usando a fórmula para a superfície dS encontre a área da semiesfera, b)
verifique o teorema de Stokes.
Solução. 
a) Calculamos a área da semiesfera, para isto, escrevemos a equação da superfície
f x, y, z x2 y2 z2 4 0,
calculamos as derivadas parciais
f
x
2 x,
f
y
2 y,
f
z
2 z,
calculamos a integral
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 153
dS 4 x2 y2 z2 dydx 4 dydx S
1
2 2
2
4 x2
4 x2
4 y x
S
1
2 2
2
4 x2
4 x2
4 y x
8
No resultado anterior, colocamos o fator 1 2 enfrente da integral porque os valores de 0 z 2, é uma semiesfera.
b) Note que a superfície S é a semiesfera f x, y, z x2 y2 z2 4 0 z 0 , o contorno C: x2 y2 4 é a circunferência de
raio r = 2. Vamos dividir a prova em duas etapas:
Primeiro passo. Cálculo da circulação 
C
F r . Temos que
C
F l
C
2 y i x j xz k i x j y k z
C
2 y x x y xz z
Podemos usar coordenadas polares
x 2 cos ; y 2 sin ; z 0,
dx 2 sin d ; dy 2 cos d ; 0 2 .
com isto, 
C
F l
C
2 y x x y xz z
0
2
2 2 sin 2 sin d 2 cos 2 cos d 0 4
0
2
2 sin2 cos2 d
4
0
2
1 sin2 d 2
0
2
3 cos 2 d 2 3
1
2
sin 2
0
2
12 .
Segundo passo. Cálculo da integral 
S
rot F S. Calculamos o rotacional do campo
rot F
i j k
x y z
2 y x x z
i 0 0 j z 0 k 1 2 z j 3 k.
Calculamos n, onde S é a superfície S(x,y,z)= x2 y2 z2 4 0
n
grad S
grad S
2 x i 2 y j 2 z k
4 x2 4 y2 4 z2
2 x i y j z k
4 x2 y2 z2
2 x i y j z k
4 4
x i y j z k
2
.
Logo
S
rot F S
S
rot F n S
S
z j 3 k
x i y j z k
2
S
1
2 S
zy 3 z S.
Em coordenadas esféricas
x 2 sin cos ; y 2 sin sin ; z 2 cos , dS 4 sin d d on
S
rot F S
1
2 S
zy 3 z S
1
2 0
2
0
2
2 cos 2 sin sin 3 2 cos 4 sin d d
4
0
2
0
2
2 sin2 cos sin 3 sin cos d d 4
0
2 2
3
sin3 sin
3
2
sin2
0
2
d
154 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
4
0
2 2
3
sin
3
2
d 12 .
Por tanto, o teorema de Stokes 
S
rot F S
C
F r é válido.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2 y2 z2 4, x, 2.2, 2.2 , y, 2.2, 2.2 , z, 0, 2.1 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
ContourStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.6 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D 2 y, x, x z , x, 2.2, 2.2 , y, 2.2, 2.2 ,
z, 0, 2.1 ,
escala de vetor
VectorScale 0.045,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
VectorColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250
Exercício 2. Aplique o teorema de Stokes para encontrar a integral 
S
rot F S , onde o campo vetorial F 2 y i x j xz k, a
superfície S é o semi­elipsoide definida pela equação 
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1, z 0 , se o elipsoide descansa sobre o contorno
elíptico C no plano xy, mostrado abaixo.
Solução. Basta calcular a circulação 
C
F l , onde C é a elipse no plano xy: x
2
a2
y2
b2
1.
Temos que
C
F l
C
2 y i x j xz k i x j y k z
C
2 y x x y xz z
Podemos usar coordenadas polares para representar o contorno:
x a cos ; y b sin ; z 0,
dx a sin d ; dy b cos d ; 0 2 .
com isto, 
C
F l
C
2 y x x y xz z
0
2
2 b sin a sin d a cos b cos d
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 155
2 a b
0
2
sin2 d a b
0
2
cos2 d a b
0
2
2 sin2 cos2 d
Calculamos a integral
0
2
2 Sin 2 Cos 2
3
Assim,
S
rot F S
C
F l
C
2 y x x y xz z 3 a b.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2
y2
4
z2
3
1, x, 1.3, 1.3 , y, 2.3, 2.3 , z, 0, 2 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
azul
Blue,
opacidade
Opacity 0.6 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D 2 y, x, x z , x, 1.3, 1.3 , y, 2.3, 2.3 ,
z, 0, 2 ,
escala de vetor
VectorScale 0.03,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
VectorColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250
Exercício 3. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial F x2 y i 4 z j x2 k, que existe e sobre o cone
z x2 y2 , e sobre o contorno C em que o plano z a 0 se encontra com o cone.
Solução. Na figura abaixo mostra­se o perfil da superfície do cone e o contorno elíptico C (contorno escuro), para um caso
particular quando a 2.
 Primeiro calculamos a circulação 
C
F l , onde C é a elipse: x2 y2 a2 no plano z a.
156 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2 y2 z, x, 2.1, 2.1 ,
y, 2.1, 2.1 , z, 0, 2 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nen
None,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.6 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2 y2 4, x, 2.1, 2.1 , y, 2.1, 2.1 , z, 1.99, 2.01 ,
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
azul
Blue,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D x2 y , 4 z, x2 , x, 2.1, 2.1 , y, 2.1, 2.1 ,
z, 0, 2 ,
escala de vetor
VectorScale 0.03,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do vetor
VectorColorFunction
ma
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250
Temos que
C
F l
C
x2 y i 4 z j x2 k i x j y k z
C
x2 y x 4 z y x2 z
Podemos usar coordenadas polares para representar o contorno elíptico C: x2 y2 a2 no plano z a.
x a cos ; y a sin ; z a,
dx a sin d ; dy a cos d ; dz 0, 0 2 .
com isto, 
C
F l
C
a2 cos2 a sin a sin d 4 a a cos d
C
a3cos2 sin a2 sin2 4 a2 cos d
Calculamos a integral
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 157
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
0
2
a3 Cos 2
seno
Sin a2 Sin 2 a2
cosseno
Cos
a2
Assim,
C
F l a2 .
 Agora calculamos a integral de superfície 
S
rot F S .
1. Cálculo de rot F rot x2 y i 4 z j x2 k :
rot x2 y i 4 z j x2 k
i j k
x y z
x2 y 4 z x2
4 i 2 x j k
rotacional
Curl x2 y, 4 z, x2 , x, y, z
4, 2 x, 1
2. Cálculo de S n dS n fx
2 fy
2 1 dx dy.
2.1 Vetor unitário normal n. Este vetor unitário é traçado desde a superfície interior do cone para fora, conforme a regra da
mão direita. A superfície do cone o escrevemos como
S x, y, z z x2 y2 0,
o gradiente de S x, y, z :
grad S x, y, z
S
x
i
S
y
j
S
z
k
x
x2 y2
i
y
x2 y2
j k,
grad S x, y, z
x
z
i
y
z
j k. Seu módulo grad S x, y, z
x2
z2
y2
z2
1 2 .
n
x
z
i
y
z
j k
2
gradiente
Grad z x
2
y
2
, x, y, z
x
x2 y2
,
y
x2 y2
, 1
2.2 dS fx
2 fy
2 1 dx dy. Note que o cone descreve-se como z x2 y2 , logo
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
fx x x
2 y2
fy y x
2
y
2
x
x2 y2
y
x2 y2
158 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Logo
dS fx
2 fy
2 1 dx dy
x2
z2
y2
z2
1 dxdy 2 dx dy.
Agora escrevemos a integral
S
rot F S
S
4 i 2 x j k
x
z
i
y
z
j k
2
2 x y
S
4 x
z
2
x y
z
1 x y.
Calculamos esta integral em coordenadas polares:
x r cos , y r sin , z x2 y2 r.
Logo, da equação z a x2 y2 encontramos : a r .
S
4 x
z
2
x y
z
1 x y
0
2
0
2 4 r cos
r
2
r cos r sin
r
1 r r
0
2
0
2
4 cos 2 r cos sin 1 r r
0
2
0
a
4
cosseno
Cos 2 r
cos
Cos
seno
Sin 1 r r
a2
S
rot F S a2 . Verificamos assim o teorema.
Exercício 4. Seja S a superfície do paraboloide de revolução z 1 x2 y2 com o domínio de definição x2 y2 1, e seja o
contorno do paraboloide. Dado F x3 i x y z j y z k, encontre 
S
rot F S .
Solução. Primeiro passo: Encontramos o elemento de superfície dS. A superfície dada é
f x, y, z z x2 y2 1 0
com isto calculamos seu grad f
f x , y , z z x
2
y
2
1;
gradiente
Grad f x, y, z , x, y, z
2 x, 2 y, 1
logo, o vetor unitârio normal e o elemento de superfície é
n
2 x i 2 y j k
4 x2 4 y2 1
, dS 4 x2 4 y2 1 dydx
O seguinte passo, é o cálculo do rotacional do campo
rotacional
Curl x
3
, x y z , y z , x, y, z
1 z, 0, 1
Por tanto, a integral a ser calculada é, depois de inserir z 1 x2 y2
S
rot F S
1
1
1 x2
1 x2
1 1 x2 y2 i k
2 x i 2 y j k
4 x2 4 y2 1
4 x2 4 y2 1 y x
1
1
1 x2
1 x2
2 x2 y2 2 x 1 y x
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 159
Calculamos esta integral em coordenadas polares
S
rot F S
0
2
0
1
2 r2 2 r cos 1 r r
0
1
2 r2 2 r
cosseno
Cos 1 r r
1
2
14 Cos
15
0
2 1
2
14 Cos
15
Finalmente
S
rot F S .
Em coordenadas retangulares, a integral
1
1
1 x2
1 x2
2 x
2
y
2
2 x 1 y x
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D 1 x2 y2 z, x, 1.1, 1.1 , y, 1.1, 1.1 , z, 0, 1 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.6 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2 y2 1, x, 1.1, 1.1 , y, 1.1, 1.1 , z, 0.01, 0.01 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
azul
Blue,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D x3, x y z, y z , x, 1.1, 1.1 , y, 1.1, 1.1 , z, 0, 1 ,
escala de vetor
VectorScale 0.03,
automát
Automatic,
nen
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
VectorColorFunction
matiz
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250
Exercício 5***. Seja S a superfície da porção de uma esfera definida por x2 y2 z2 1 e o plano a x b y c z 1, onde
160 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Exercício 5***. Seja S a superfície da porção de uma esfera definida por x y z 1 e o plano a x b y c z 1, onde
a, b, c 0. Dado o campo vetorial F r i j k , sendo r x i y j z k. encontre 
S
rot F S . 
Solução. Primeiro passo: Encontramos o elemento de superfície dS. A superfície dada é
f x, y, z x2 y2 z2 1 0,
com isto calculamos seu grad f
f x , y , z x
2
y
2
z
2
1;
gradiente
Grad f x, y, z , x, y, z
2 x, 2 y, 2 z
logo, o vetor unitârio normal e o elemento de superfície é
n
2 x i 2 y j 2 z k
4 x2 4 y2 4 z2
, dS 4 x2 4 y2 4 z2 dydx
O seguinte passo, o cálculo da expressão analítica do campo vetorial através do produto vetorial
r x , y , z x, y, z ;
produto vetorial
Cross r x, y, z , 1, 1, 1
y z, x z, x y
assim
F y z i x z j x y k.
Agora calculamos o rotacional deste campo
rotacional
Curl y z, x z, x y , x, y, z
2, 2, 2
Por tanto, a integral a ser calculada é, depois de inserir z 1 x2 y2
S
rot F S
S
2 i 2 j 2 k
2 x i 2 y j 2 z k
4 x2 4 y2 4 z2
4 x2 4 y2 4 z2 y x
S
2 c i 2 b j 2 a k
2 x i 2 y j 2 z k
4 x2 4 y2 4 z2
4 x2 4 y2 4 z2 y x
Agora nos falta definir os limites de integração. Para este fim, da equação do plano a x b y c z 1, isolamos z
z
1
c
a x b y
e inserimos na equação da esfera
x2 y2
1
c
a x b y
2
1 0
expande fatores
Expand x2 y2
1
c
a x b y
2
1
1 x2
a2 x2
c2
2 a b x y
c2
y2
b2 y2
c2
ou
1 x2 1
a2
c2
2 a b
c2
x y y2 1
b2
c2
0
resolvemos esta equação para y:
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 161
supondo
Assuming a, b, c 0,
simplifica compl
FullSimplify
resolve
Solve 1 x
2
1
a2
c2
2 a b
c2
x y y
2
1
b2
c2
0, y
y
a b x c b2 c2 a2 b2 c2 x2
b2 c2
, y
a b x c b2 c2 a2 b2 c2 x2
b2 c2
Estas soluções serão reais apenas se
b2 c2 a2 b2 c2 x2 0
então, o intervalo de variação para x é
b2 c2
a2 b2 c2
x
b2 c2
a2 b2 c2
A integral a ser calculada é
S
rot F S
b2 c2
a2 b2 c2
b2 c2
a2 b2 c2
a b x c b2 c2 a2 b2 c2 x2
b2 c2
a b x c b2 c2 a2 b2 c2 x2
b2 c2
4 c x 4 b y 4 a z y x
Em coordenadas retangulares, a integral
1
1
1 x2
1 x2
2 x2 y2 2 x 1 y x
F y z i x z j x y k.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D x2 y2 z2 1 && x y z 1, x, 0.33, 1 , y, 0.33, 1 , z, 1, 1 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
número de pontos no g
PlotPoints 100,
tamanho da imagem
ImageSize 220,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
ContourStyle
diretiva
Directive
azul
Blue,
opacidade
Opacity 0.6 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D y z, x z, x y , x, 0.33, 1 , y, 0.33, 1 , z, 1, 1 ,
VectorScale 0.05,
automát
Automatic,
nen
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do vetor
VectorColorFunction
matiz
Hue,
legendados eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x y z 1, x, 0.33, 1 , y, 0.33, 1 , z, 1, 1 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.8 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
162 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Exercício 6***. Seja S a superfície da semiesfera definida por x2 y2 z2 4 com z 0. Dado o campo vetorial
F 3 y i 2 x j x y z k . Prove o teorema de Stokes.
Solução. Primeiro passo: Encontramos o elemento de superfície dS. A superfície dada é
f x, y, z x2 y2 z2 4 0,
com isto calculamos seu grad f
f x , y , z x
2
y
2
z
2
4;
gradiente
Grad f x, y, z , x, y, z
2 x, 2 y, 2 z
logo, o vetor unitârio normal e o elemento de superfície é
n
2 x i 2 y j 2 z k
4 x2 4 y2 4 z2
x i y j z k
2
, dS 4 x2 4 y2 4 z2 dydx 4 dydx
O seguinte passo, o cálculo da expressão analítica do rotacional do campo vetorial
F x , y , z 3 y, 2 x, x y z ;
rotacional
Curl F x, y, z , x, y, z
x z, y z, 5
assim
rot F xz i yz j 5 k.
Por tanto, a integral a ser calculada é
S
rot F S
S
xz i yz j 5 k
x i y j z k
2
4 y x.
Em coordenadas esféricas
x 2 sin cos ; y 2 sin sin ; z 2 cos , dS 4 sin d d
2
S
x2 z y2 z 5 z A 2
0
2
0
2
4 sin2 cos 2 5 2 cos 4 sin d d
2
0
2
0
2
4 Sin
2
cosseno
Cos 2 5 2
cosseno
Cos 4
seno
Sin
160
3
Agora encontremos o valor da integral de linha correspondente 
C
3 ydx 2 xdy x y z dz .
o contorno C é a circunferência de raio 2
x2 y2 2
então
x 2 cos , dx 2 sin d ; y 2 sin , dy 2 cos d , z 0
0
2
6
seno
Sin 2
seno
Sin 4
cosseno
Cos 2
cosseno
Cos
20
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 163
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D z 4 x2 y2 , x, 2.1, 2.1 , y, 2.1, 2.1 , z, 0.1, 2 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
número de pontos no
PlotPoints 50,
tamanho da imagem
ImageSize 220,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
azul
Blue,
opacidade
Opacity 0.6 ,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D 3 y, 2 x, x y z , x, 2, 2 , y, 2, 2 , z, 0, 2 ,
VectorScale 0.05,
automát
Automatic,
nen
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
VectorColorFunction
matiz
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250
Exercícios. Lista 7.
I. Mudança na ordem de integração. Mudando a ordem de integração encontre o valor das integrais:
1.
0
a
a x
a
y2
y4 a2 x2
y x. R. a
2
6
.
2. 
0
1
x2
2 x
x y y x. R. 3
8
.
3. 
0
1
x
2 x2
x
x2 y2
y x. R. 1 1
2
.
4. 
0
a 2
y
a2 y2
ln x2 y2 x y, a 0 . R. a
2
8
.
5. 
0 x
y
y
y x. R. a2 b.
6. 
0
a
a a2 y2
a a2 y2
x y x y. R. 2 a4 3.
II. Teorema de Green. Usando o teorema de Green calcule as integrais.
7. Calcular a integral 
C
y sin x x cos x y , onde C é o triângulo de contorno positivo formado pelas linhas
y 0, x 2 e y 2 x . R. 
4
2 .
8. Calcular a integral 
C
3 x 8 y2 x 4 y 6 xy y , onde C é o contorno positivo limitada por x 0, y 0 e x y 1.
9. Verifique o teorema de Green 
C
x2 cosh y x y sin x y , onde C é o retângulo com vertices
0, 0 , , 0 , , 1 e 0, 1 . 
164 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
10. Calcular a integral 
C
F l onde F x y x i y j e C é definida pelo contorno positivo da curva r a 1 cos (mostrada
abaixo para a 1).
gráfico p
PolarPlot 1
cosseno
Cos , , 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel , r
11. Verificar o teorema de Green para o campo vetorial F x y i x j e contorno C é definida pelo circulo unitário centrado na
origem. R. .
12. Nos exercícios a - d use o teorema de Green para encontrar a circulação 
C
F l pelo contorno positivo C para o campo
vetorial F dado:
III. Teorema de Stokes. Usando o teorema de Stokes resolva os seguintes exercícios.
13. Uma semiesfera S é definida por x2 y2 z2 4 z 0 . Um campo vetorial F 2 y i x j xz k existe sobre a superfície e ao
redor do seu contorno C sobre a qual descansa a semiesfera. Verifique o teorema de Stokes.
14. Uma superfície consiste de cinco secções formados pelos planos x 0, x 1, y 0, y 3, z 2 (veja figura) no primeiro
octante. Se o campo vetorial F y i z2 j xy k existe sobre a superfície e ao redor do seu contorno. Verifique o teorema de
Stokes. R. ­3.
15. Verifique o teorema de Stokes se o campo vetorial F x2 y2 i 2 xy j xy k existe em cada ponto do retângulo limitado
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 165
pelas linhas x a, y 0, y b .
16. Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha 
C
x y x 2 x z y y z z onde C é o contorno do
triângulo com vértices (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6) (veja figura anexa). R. 21.
17. Use o teorema de Stokes para calcular a circulação 
C
F l do campo F ao redor da curva C na direção indicada:
a. F x2 i 2 x j z2 k, C: elipse 4 x2 y2 4 no plano xy, no sentido anti­horário visualizado desde cima. R. 4 .
b. F y i xz j x2 k, C: contorno do triângulo cortado do plano x y z 1 no primeiro octante, no sentido anti­horário
visualizado desde cima. R. ­5/6.
c. F 2 y i 3 x j z2 k, C: circulo x2 y2 9 no plano xy, no sentido anti­horário visualizado desde cima.
3.5 Integrais triplas
São integrais do tipo
W
f x, y, z x y z
z1
z2
y1
y2
x1
x2
f x, y x y z
onde a região de integração é tal que W :x1 x x2 , y1 y y2, z1 z z2. Os procedimentos para calcular uma integral são:
(i) integre f(x,y,z) com relação a x, entre os limites x1 e x2 (onde y e z são considerados como sendo constantes),
(ii) integre o resultado em (i) com relação a y entre os limites y1 e y2, e
(iii) integre o resultado em (ii) com relação a z entre os limites z1 e z2.
3.5.1 Integrais triplas em coordenadas retangulares quando W é uma caixa retangular
As propriedades básicas das integrais triplas são similares as propriedades das integrais duplas. Considere uma região retangu-
lar W tal como uma caixa retangular, veja Fig. abaixo. O seguinte teorema é verdade para regiões de integração que são tipo
caixa retangulares:
Teorema. Redução a integrais iteradas : Seja f x, y, z integrável na caixa retangular W : a x b ,
c y d, p z q. Logo qualquer integral iterada que existe é igual a integral tripla;
isto é
W
f x, y, z x y z
p
q
c
d
a
b
f x, y x y z
p
q
a
b
c
d
f x, y y x z
a
b
c
d
p
q
f x, y z y x
Note que existem seis possíveis equivalências.
166 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig. A região de integração é a caixa retangular W que contém pontos x, y, z que satisfazem as desigualdades W : a x b , c y d, p z q.
Exercício 1. Calcular a integral 
z1 1
z2 2
y1 1
y2 3
x1 0
x2 2 x 3 y z dxdydz.
Solução. Aqui os procedimentos do cálculo.
(i) (x­3y+z) é integrado com relação a x, mantendo y e z constantes
x1 0
x2 2
x 3 y z dx
x2
2
3 y x z x
0
2 22
2
3 y 2 z 2 0 2 6 y 2 z.(ii) (2­6y+2z) é integrado com relação a y, mantendo z constante
y1 1
y2 3
2 6 y 2 z dy 2 y
6 y2
2
2 z y
1
3
2 3
6 3 2
2
2 z 3 2 1
6 1 2
2
2 z 1
6 27 6 z 2 3 2 z 8 z 16.
(ii) (8z­16) é integrado com relação a z,
1
2
8 z 16 dz
8 z2
2
16 z
1
2 8 2 2
2
16 2
8 1 2
2
16 1 4.
Exercício 2. Calcular a integral a) 
1
2
1
3
0
2
2 x2 y2 3 z2 dxdydz, 
b) 
0
2
1
2
1
3
x y2 z3 dxdydz. 
c) Uma caixa X é descrita pela integral tripla X
0
3
0
2
0
1
x y z dxdydz. Calcule X.
Definição : O volume de uma região fechada e limitada W no espaço é definida pela integral tripla : V
W
z y x.
Esta definição está de acordo com a nossa definição prévia de volume (nas integrais duplas). 
3.5.2 Integrais triplas em coordenadas retangulares quando W é uma região arbitrária
Para encontrar os limites de integração quando W é uma região arbitrária procedemos como segue:
* Esboce a região W junto com sua “sombra” vertical R no plano x y. Rotule as superfícies limitantes inferior e superior de W e
as curvas limitantes superior e inferior de R.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 167
* Encontrar os limites de integração de z. Traçar uma linha M passando através de um ponto típico x, y em W paralelo ao eixo
z. Como z cresce, M entra em W em z f1 x, y e deixa em z f2 x, y . Estes são os limites de integração.
* Encontrar os limites de integração de y. Traçar uma linha L passando através de um ponto típico x, y paralelo ao eixo y. Como
y cresce, L entra em R em z g1 x e deixa em y g2 x . Estes são os limites de integração.
* Encontrar os limites de integração de x. Escolha os limites de x que incluem todas as linhas através de R paralelas ao eixo y.
(x a e x b na figura anterior). Estes são os limites de integração de x.
W
f x, y, z z y x
a
b
y g1 x
y g2 x
z f1 x,y
z f2 x,y
F x, y, z z y x 3.19
3.6 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
O ponto P x, y, z , em coordenadas cilíndricas, são mostradas na Fig.47 na qual o ponto Q r, , 0 está sobre o plano xy. Note
que
168 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.47 Coordenadas cilíndricas para o ponto P são , r, z .
P : x r cos , y r sin , z z. 3.20
Considere a região E da Fig.48 cuja projeção D sobre o plano xy é convenientemente descrita em coordenadas polares. Em
particular, suponha que uma função f é continua e que
E x, y, z x, y D, u1 x, y z u2 x, y
onde D é dado em coordenadas polares por
D r, , h1 r h2 .
A integral tripla em coordenadas retangulares
E
f x, y, z V
D
u1 x,y
u2 x,y
f x, y, z z A
Fig.48. Região E de continuidade da função z u x, y e sua projeção D sobre o plano xy.
pode ser escrita em coordenadas cilíndricas mediante a transformação
E
f x, y, z V
h1
h2
u1 r cos ,r sin
u2 r cos ,r sin
f r cos , r sin , z z r r
O resultado anterior é a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas. Na Fig.49 mostramos como o elemento
de volume em coordenadas cilíndricas é dada por V z r r . 
Fig.49 Elemento de volume V z r r em coordenadas cilíndricas.
(*) Exercício 1. Transforma a integral 
0
1
0
1 x2
x2 y2
1 1
x2 y2 z2
z y x a coordenadas cilíndricas e encontre seu valor.
Solução. A função sub-integral 1
x2 y2 z2
1
r2 z2
. Os limites de integração são
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 169
x2 y2 z 1 r z 1.
0 y 1 x2 0 x 1.
Este mapa representa um quarto de círculo no primeiro quadrante:
gráfico de uma região
RegionPlot 0 y 1 x
2
, x, 0, 1 , y, 0, 1 ,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 100,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
intervalo do g
PlotRange
tudo
All,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
PlotStyle
opacidade
Opacity .75 ,
legenda dos ei
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y ,
BoundaryStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
espesso
Thick ,
tamanho da imagem
ImageSize 150
Em coordenadas cilíndricas, o mapa anterior se escreve
0 r 1, 0
2
.
Agora, a integral transformada a ser calculada é
0
2
0
1
r
1 1
r2 z2
r z r
Calculamos as integrais
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
1
r2 z2
z
Log z r2 z2
r
1 1
r2 z2
z Log
1 r2 1
r 1 2
A integral
logaritmo
Log
1 r2 1
r 1 2
r r
1
2
1 r2 r2 Log
1 2 1 1 r2
r
170 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
0
1
Log
1 r2 1
r 1 2
r r
1
2
1 r2 r2 Log
1 2 1 1 r2
r
0
1
1
2
2 Log 1 2 1 2
1
2
1 r2 Log 1 2 2
1
2
limr 0 r2 Log r
1
2
2 0
1
2
1 0 0
1
2
limr 0 r2 Log r
1
2
2 1
porque 1
2
limr 0 r2 ln r 0. Agora calculamos a integral restante:
0
2 1
2
2 1
1
4
1 2
Verificamos o resultado
0
2
0
1
r
1 r
r2 z2
z r
1
4
1 2
(*) Exercício 2. Encontre o valor da integral 
3
3
9 x2
9 x2
x2 y2
3
x2 y2 z y x
Solução. Primeiro esboçamos a figura representando a superfície de integração x2 y2 z 3 representando o cone da
figura abaixo que projeta o círculo x2 y2 9 de raio r 3 no plano x-y.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x^2 y^2 9, x, 3.3, 3.3 , y, 3.3, 3.3 , z, 0, 3 ,
malha
Mesh
ne
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
verde
Green ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
ContourPlot3D z x2 y2 , x, 3.3, 3.3 , y, 3.3, 3.3 , z, 0, 3 ,
malha
Mesh
ne
None,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50,
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
azul
Blue ,
iluminação
Lighting "Neutral",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z
Note que as variáveis x e y não são independentes porque se relacionam pela equação x2 y2 9, assim, podemos dizer que
y 9 x2 . A integral dada transforma-se em coordenadas cilíndricas em:
3
3
9 x2
9 x2
x2 y2
3
x2 y2 z y x
0
2
0
3
r
3
r2 cos2 r2 sin2 z y x
0
2
0
3
r
3
r2 cos2 sin2 z r r
0
2
0
3
r
3
r2 cos 2 z r r
0
2
0
3
cos 2 r2
r
3
z r r
0
2
0
3
cos 2 r3 3 r r
0
2
cos 2 3
r4
4
r5
5 0
3
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 171
0
2
cos 2 3
34
4
35
5
35
20 0
2
cos 2 0
0
2
cosseno
Cos 2
0
(**) Exercício 3. Encontre o valor da integral 
0
5
5 x2
0
x2 y2 11
9 3 x2 3 y2
2 x 3 y z y x
Solução. Primeiro esboçamos a figura traçando a superfície de integração x2 y2 11 z 9 3 x2 3 y2 representando os
paraboloides da figura abaixo.
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D x2 y2 11 z 9 3 x2 3 y2 && 5 x2 y 0 && 0 x 5 ,
x, 0, 2.5 , y, 3, 0 , z, 12, 10 ,
número de pontos no 
PlotPoints 100,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
intervalo do gráfico
PlotRange 0, 2.5 , 3, 0 , 12, 10 ,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
PlotStyle
opacidade
Opacity .75 ,
legenda dos ei
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y, z ,
BoundaryStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
espesso
Thick
Os limites de integração para as variáveis são:
0 x 5 , 5 x2 y 0, x2 y2 11z 9 3 x2 3 y2.
Agora transformamos a integral dada a coordenadas cilíndricas. Fazemos isto primeiro com os limites de integração:
Para z : x2 y2 11 z 9 3 x2 3 y2 r2 11 z 9 3 r2
Para x : o segmento 0 x 5 da figura abaixo
Para y : o quarto inferior da circunferência de raio r 5 da figura abaixo.
172 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
gráfico de contornos
ContourPlot y 5 x2 , x, 0, 2.5 ,
y, 2.5, 0 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel x, y ,
tamanho da imagem
ImageSize 170
Com estas observações
3
2
2 , 0 r 5
e com ajuda de x r cos , y r sin .
0
5
5 x2
0
x2 y2 11
9 3 x2 3 y2
2 x 3 y z y x
3
2
2
0
5
r2 11
9 3 r2
2 r cos 3 r sin z r r
3
2
2
0
5
r2 2 cos 3 sin
r2 11
9 3 r2
z r
Calculamos primeiro a integral
r2 11
9 3 r2
z
20 4 r2
logo integramos sobre r:
3
2
2
2 cos 3 sin
0
5
r2 20 4 r2 r
0
5
r2 20 4 r2 r
40 5
3
Finalmente sobre :
40 5
3
3
2
2
2
cosseno
Cos 3
seno
Sin
200 5
3
Nosso resultado:
0
5
5 x2
0
x2 y2 11
9 3 x2 3 y2
2 x 3 y z y x
200 5
3
.
(**) Exercício 4. Usando coordenadas cilíndricas determine o volume do sólido que está limitado por debaixo pelo plano
z 0, lateralmente pelo cilindro circular x2 y 1 2 1, e acima pelo paraboloide x2 y2 z. 
Solução. Traçamos a região de integração.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 173
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D z x2 y2 && 1 1 x2 y 1 1 x2 ,
x, 1, 2.0 , y, 0, 2.5 , z, 0, 4 ,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 100,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize 200,
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
PlotStyle
opacidade
Opacity .75 ,
legenda dos ei
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y, z ,
BoundaryStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
espesso
Thick ,
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y, z
A base da região é um circulo cuja equação x2 y 1 2 1, em coordenadas polares é
x2 y 1 2 1 x2 y2 2 y 1 1 r2 2 r sin 0 r 2 sin .
A equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas
z x2 y2 r2.
A integral a ser calculada é
0 0
2 Sin
0
r2
r z r
3
2
(**) Exercício 5. Chama­se centróide o lugar geométrico x, y, z da região R satisfazendo as equações
174 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
x R
x V
V
, y R
y V
V
, z R
z V
V
. Usando coordenadas cilíndricas determine o centróide da porção do primeiro octante T
da bola sólida limitada pela esfera z2 r2 a2. A figura é mostrada abaixo. 
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D x2 y2 z2 1 && 0 x && 0 y && 0 z, x, 0, 1 , y, 0, 1 ,
z, 0, 1 ,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
PlotStyle
opacidade
Opacity .75 ,
estilo de borda
BoundaryStyle
diretiva
Directive
laranja
Orange,
espesso
Thick ,
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y, z
Solução. Em coordenadas cilíndricas dV r dz dr d , x rcos e o volume do octante é V 1
8
4
3
a3 a
3
6
.
xcm
0
2
0
a
0
a2 r2
r Cos r z r
a3
6
3 a
8
ycm
0
2
0
a
0
a2 r2
r Sin r z r
a3
6
3 a
8
zcm
0
2
0
a
0
a2 r2
z r z r
a3
6
3 a
8
(**) Exercício 6. a) Determine o volume da região limitada por debaixo pelo paraboloide z x2 y2 e por cima pelo plano
z 2 x (veja figura abaixo). 
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 175
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D x2 y2 z && z 2 x, x, 0, 2.3 , y, 1.5, 1.5 , z, 0, 4.5 ,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize 200,
estilo do gráf
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.35 ,
verde
Green,
especularidade
Specularity
branco
White, 20 ,
estilo do gráf
PlotStyle
opacidade
Opacity .75 ,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 200,
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y, z
Solução. Em coordenadas cilíndricas dV r dz dr d . Pela regra da reta paralela 0 z 2 rcos . No plano xy, esta região
define o mapa 2 x x2 y2 ou 2 cos r. Por isto
V
2
2
0
2 Cos
0
2 r Cos
r z r
2
(**) Exercício 7. Usando coordenadas cilíndricas determine: a) o volume do sólido que está dentro da esfera
z2 x2 y2 4, do cilindro x2 y2 2 x e o plano z 0, como mostrado na figura abaixo.
176 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D 0 z 4 x2 y2 && 2 x x2 y 2 x x2 ,
x, 0, 2 , y, 1, 1 , z, 2, 2 ,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1,
estilo de borda
BoundaryStyle
diretiva
Directive
forma da bo
EdgeForm
espesso
Thick,
laranja
Orange ,
PlotPoints 200,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
intervalo do g
PlotRange
tudo
All,
PlotStyle
opacidade
Opacity 0.55,
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 1, 1.5 ,
AxesLabel
estilo
Style , 14,
negrito
Bold & x, y, z
Solução. a) Em coordenadas cilíndricas dV r dz dr d . Pela regra da reta paralela 4 r2 z 4 r2 . No plano xy, esta
região define o mapa 2 x x2 y2 ou 2 cos r. Por isto
V
2
2
0
2 Cos
0
4 r2
r z r
8
9
4 3
(***) Exercício 8. Usando coordenadas cilíndricas, encontre a) os limites de integração de cada variável, b) o volume da
região mostrada na figura.
Solução. a) Pela regra da mão direita 0 z r sin . Traçando um raio polar de modo que corte o domínio de integração
0 r 3 cos . Finalmente 2 0. Por tanto, a integral a calcular é
V
2
0
0
3 Cos
0
r Sin
r z r
9
4
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 177
Verificação. Em coordenadas retangulares
0
3
3 x x2
0
0
y
z y x
9
4
3.7 Integrais em coordenadas esféricas
Coordenadas esféricas são mostradas na Fig.50. A relação das coordenadas esféricas , , junto com as coordenadas
retangulares e cilíndricas são dados: 
Fig.50 Coordenadas esféricas de um ponto P.
x sin cos , y sin sin , z cos , 3.21
2 x2 y2 z2 r2 z2, 3.22
r x2 y2 sin , 3.23
tan
r
z
x2 y2
z
, tan
y
x
. 3.24
Um elemento de volume de uma esfera de raio é mostrado na Fig.51. Um elemento de volume de uma cunha esférica será
Fig.51 Elemento de volume em coordenadas esféricas.
d V d d sin d 2 d sin d d . 3.25
3.7.1 Como integrar em coordenadas esféricas?
Para calcular integrais em coordenadas cilíndricas
E
f , , V
sobre uma região E no espaço em coordenadas cilíndricas, integramos primeiro em relação a , logo em relação a , e
finalmente com relação a , seguindo os seguintes passos:
1. Esboce a região E junto com sua projeção D sobre o plano xy. Rotule as superfícies que limitam E.
178 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
Fig.52.
2. Encontre os limites de integração de . Traçar um raio M desde a origem através de Efazendo um ângulo com o eixo z
positivo. Também trace a projeção de M sobre o plano xy (chame a projeção L). O raio L faz um ângulo com o eixo x
positivo. Como aumenta, M entra em E em g1 , e deixa a região em g2 , . Estes são os limites de integração de
.
Fig.53
3. Encontre os limites de integração de . Para qualquer dado, o ângulo que M faz com o eixo z corre desde
mín até max. Estes são os limites de integração de .
4. Encontre os limites de integração de . O raio L varre o R como corre desde até . Estes são os limites de integração
de . A integral é
E
f , , V
mín
max
g1 ,
g2 ,
f , , 2 sin 3.26
Se f , , 1, a integral 
E
f , , V
E
V é o volume da região E.
(*) Exercício 1. Usando coordenadas esféricas encontre o volume do “sorvete de cone” D cortado da esfera sólida
1 pelo cone 3.
Solução. Traçamos a região de integração E.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 179
Esboçamos a região E e sua projeção R no plano xy (veja Fig.51).
Encontramos os limites de integração de . Traçamos o raio M desde a origem através de E fazendo um ângulo com o eixo
z positivo. Também traçamos L, a projeção de M sobre o plano xy. O raio M entra em E em 0 e o deixa em 1.
Limites de integração de . O cone 3 faz um ângulo de /3 com o eixo z positivo. Para qualquer dado, o ângulo 
corre desde 0 até 3.
Os limites de integração de . O raio L varre R como corre desde 0 até 2 . Assim, o volume será
V
0
2
0
3
0
1
2
seno
Sin
3
(*) Exercício 2. Encontre o valor da integral 
6
2
2
2
csc
2 5 4 sin3
Solução. Integramos em relação a 
expande fatores
Expand Sin
3
1 Sin
2
5
4
Csc 2 32 Sin 3
integramos sobre 
2
2
Csc 2 32 Sin 3
Csc 2 32 Sin 3
integramos sobre 
6
2
Csc 2 32 Sin 3
11 3
Verificamos o resultado
6
2
2
2
Csc
2
5 4 Sin 3
11 3
(**) Exercício 3. Encontre o volume do sólido limitado por debaixo pelo plano xy, sob os lados pela esfera 2, e
debaixo pelo cone 3.
Solução. O volume será dado por
180 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
V
0
2
3
2
0
2
2
seno
Sin
8
3
(**) Exercício 4. Encontre o volume do sólido limitado por debaixo pela esfera 2 cos , e por cima pelo cone
z x2 y2 .
Solução. O volume será dado por
V
0
2
4
2
0
2 Cos
2
seno
Sin
3
3.8 Aplicações das Integrais triplas
3.8.1 Volume de um sólido limitado por superfícies. Coordenadas retangulares
Considere um sólido limitado pela superfície inferior z f1 x, y e a superfície superior z f2 x, y , (veja Fig.45). Em coorde-
nadas cartesianas, o elemento de volume é
dV dz dy dx. 3.27
Para encontrar o valor aproximado do volume total V:
a) somamos os elementos de volume dV desde z f1 x, y até z f2 x, y para obter o volume da coluna
b) somamos cada uma das colunas desde y y1 até y y2 para obter o volume da fatia
c) somamos cada um das fatias desde x x1 até x x2 para obter o volume total V.
Logo, quando dx 0, dy 0, dz 0, a soma resulta uma integral
V
x x1
x x2
y y1
y y2
z1 f1 x,y
z2 f2 x,y
dzdydx. 3.28
Fig.54. Elemento de volume dV = dzdydx do volume V de um solido formado pelas superfícies z1 f1 x, y e z2 f2 x, y ,
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 181
3.8.2 Massa de uma região
Se uma massa está distribuída em uma região W de 3 com uma densidade definida pela função x, y, z a massa de W será
dada por
m
W
x, y, z V
3.29
3.8.3 Centro de massa de uma região sólida
Se uma região W de 3, cuja densidade de massa está definida pela função x, y, z , as coordenadas de seu centro de massa
será dada por
xcm
W
x x, y, z V
m
, ycm
W
y x, y, z V
m
, zcm
W
z x, y, z V
m
. 3.30
onde a massa m é dada por 3.24 .
3.8.4 Momento de inércia de uma região sólida
Considere uma região W em 3, tal como a mostrada na Fig.55. O elemento de volume dV contém a massa dm dV. Com
isto, definimos os momentos de inércia:
Fig.55 Elemento de volume dV da região W em 3 e suas distâncias a cada eixo.
Ix
W
y2 z2 x, y, z V ao redor de x ,
3.31
Iy
W
x2 z2 x, y, z V ao redor de y , 3.32
Iz
W
x2 y2 x, y, z V ao redor de z .
3.33
(*) Exercício 1. Determine o volume do sólido que está debaixo do paraboloide circular z x2 y2 e acima do retângulo
R 2, 2 3, 3 .
Solução. Traçamos a região de integração. 
182 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D 0 z x2 y2, x, 2, 2 , y, 3, 3 , z, 0, 13 ,
malha
Mesh
ne
None,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
verde
Green,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
PlotPoints 100,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
tamanho da imagem
ImageSize 250
Percebe­se que o volume a ser calculado é toda a região verde. A integral a ser calculada é
V
2
2
3
3
0
x2 y2
dzdydx.
O cálculo dá
V
2
2
3
3
0
x2 y2
z y x
104
(***) Exercício 2. a) Encontre o volume, b) o centro de massa e c) os momento de inércia, do solido limitado pelos planos z
= 0, x = 0, y = 0, x2 y2 4 e z 6 xy para x 0, y 0, z 0; se a densidade de massa do mesmo é constante e igual a .
Solução. a) Cálculo do volume. Primeiro esboçamos a figura.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 183
mos
Show
gráfico 3D
Plot3D 6 x y, x, 0, 2 , y, 0, 2 ,
função de região
RegionFunction
função
Function x, y, z , 0 x&&y 0&&y 4 x2 ,
preench
Filling 0,
quociente de a
AspectRatio 1,
intervalo do gráfico
PlotRange 0, 2.3 , 0, 2.3 , 0, 6 ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.25 ,
azul
Blue,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
estilo de pr
FillingStyle
opacidade
Opacity .75 ,
estilo do 
PlotStyle
opacidade
Opacity .5 ,
legenda do
AxesLabel
estilo
Style , 18,
negrito
Bold & x, y, z ,
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D z 6 x y&&0 x&&y 0&&y 4 x2 , x, 0, 2 , y, 0, 2 , z, 0, 6 ,
PlotTheme "Marketing",
quociente de a
AspectRatio 1,
tamanho da ima
ImageSize 200,
estilo do 
PlotStyle
cores do sistema RGB
RGBColor 0.5, 0.5, 1, .5
Temos que calcular a integral
V
0
2
0
4 x2
0
6 xy
dzdydx.
Começamos pela integral mais interna
0
6 xy
dz z 0
6 xy
6 xy,
Como
0
4 x2
6 xy dy 6 y x
y2
2 0
4 x2
6 4 x2 x
4 x2
2
Finalmente, calculamos a última integral, para o qual você deve usar a tabela de integral de ser necessário:
V
0
2
6 4 x2 x
4 x2
2
dx
6
2
x 4 x2 4 arcsin
x
2 0
2
x2
x4
8 0
2
3 4 arcsin 1 4 arcsin 0 4 2 6 2.
Verificação:
V
0
2
0
4 x2
0
6 x y
z y x
2 6
b) Centro de massa. A massa será m 6 2 . Para xcm
184 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
m 6 2 ;
xcm
0
2
0
4 x2
0
6 x y
x z y x
m
208
15 2 6
m 6 2 ;
ycm
0
2
0
4 x2
0
6 x y
y z y x
m
208
15 2 6
m 6 2 ;
zcm
0
2
0
4 x2
0
6 x y
z z y x
m
36 55
3 2 6
Por tanto:
xcm, ycm, zcm
208
15 6 2
,
208
15 6 2
,
55 36
3 6 2
.
c) Momento de inércia. Para o momento ao redor do eixo x:
Ix
0
2
0
4 x2
0
6 x y
y2 z2 z y x
680
9
82
O momento em relação ao eixo y:
Iy
0
2
0
4 x2
0
6 x y
x2 z2 z y x
680
9
82
O momento em relação ao eixo z:
Iz
0
2
0
4 x2
0
6 x y
x2 y2 z y x
4
3
4 9
Ix, Iy, Iz
680
9
82 ,
680
9
82 ,4
3
4 9 .
(***) Exercício 3. Usando coordenadas cilíndricas determine: a) o volume do sólido, b) as coordenadas do centro de massa,
c) os momento de inércia, do sólido que está entre as superfícies z x2 3 y2 e z 8 x2 y2, como mostrado na figura
abaixo; se a densidade de massa do sólido é constante e igual a .
Solução. a) Volume. Traçamos a região de integração. 
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 185
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D z x2 3 y2, z 8 x2 y2 , x, 2, 2 ,
y, 1.5, 2 , z, 0, 8 ,
malha
Mesh
ne
None,
número de po
PlotPoints 50,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
função de região
RegionFunction
função
Function x, y , x2 3 y2 8 x2 y2 ,
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
PlotTheme "Marketing",
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
quociente de caixa
BoxRatios 1, 1, 1 ,
iluminação
Lighting "Neutral"
z x2 3 y2
z 8 x2 y2
Percebe-se que o volume a ser calculado compreende a região sólida compreendida entre z x2 3 y2 e z 8 x2 y2. A
interceção destas duas superfícies projeta no plano xy o mapa definida pela equação
8 x2 y2 x2 3 y2 2 x2 4 y2 8 x2 2 y2 4,
que corresponde a uma elipse de equação x2 2 y2 4. A base deste cilindro elíptico descreve uma elipse cujos valores de y
encontram-se dentro do intervalo: 4 x2 2 y 4 x2 2 e tal que 2 x 2. Os limites de integração sobre z são
definidos pela região x2 3 y2 z 8 x2 y2. 
Em coordenadas cilíndricas estes limites são:
x2 3 y2 z 8 x2 y2 r2 1 2 sin2 z 8 r2,
x2 2 y2 4 r2 1 sin2 4, r
2
1 sin2
,
e
0 2 .
O volume será
0
2
0
2
1 Sin 2
r2 1 2 Sin 2
8 r2
r z r
8 2
Verificação. Em coordenadas retangulares teremos:
V
2
2
1
2
4 x2
1
2
4 x2
x2 3 y2
8 x2 y2
dzdydx.
A primeira integral dá
186 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
simplifica
Simplify
x2 3 y2
8 x2 y2
z
2 4 x2 2 y2
A seguinte integral dá
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
simplifica
Simplify
1
2
4 x2
1
2
4 x2
2 4 x2 2 y2 y
4
3
8 2 x2 4 x2
Finalmente
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
simplifica
Simplify
2
2 4
3
8 2 x2 4 x2 x
8 2
A massa do sólido é
m 8 2 .
b) Centro de massa.
m 8 2 ;
xcm
1
m 0
2
0
2
1 Sin 2
r2 1 2 Sin 2
8 r2
r
cosseno
Cos r z r
0
m 8 2 ;
ycm
1
m 0
2
0
2
1 Sin 2
r2 1 2 Sin 2
8 r2
r
seno
Sin r z r
0
m 8 2 ;
zcm
0
2
0
2
1 Sin 2
r2 1 2 Sin 2
8 r2
z r z r
m
13
3
Assim
xcm, ycm, zcm 0, 0,
13
3
.
c) Momento de inércia. Para o momento ao redor do eixo x:
Ix
0
2
0
2
1 Sin 2
r2 1 2 Sin 2
8 r2
r2 Sin 2 z2 r z r
526
3
2
O momento em relação ao eixo y:
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 187
Iy
0
2
0
2
1 Sin 2
r2 1 2 Sin 2
8 r2
r2 Cos 2 z2 r z r
178 2
O momento em relação ao eixo z:
Iz
0
2
0
2
1 Sin 2
r2 1 2 Sin 2
8 r2
r2 r z r
8 2
(***) Exemplo 4. Encontre o valor da integral 
E
x y dzdydx, onde E é a região volumétrica entre as superfícies
z x
2
cos x2 y2 e z 3 x2 y2 dentro do retângulo 1 x 1, 1 y 1 .
Solução. Primeiro esboçamos a figura representando as duas superfícies.
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
gráfico 3D
Plot3D
x2
cosseno
Cos x
2
y
2
, 3 x
2
y
2
, x, 1, 1 , y, 1, 1 ,
preenchi
Filling
inferior
Bottom,
estilo de preench
FillingStyle
diretiva
Directive
opacidade
Opacity 0.4 ,
verm
Red ,
função de exibição
DisplayFunction
operação identidade
Identity,
PlotLegends "Expressions",
malha
Mesh
nen
None,
número de pontos n
PlotPoints 50,
iluminação
Lighting "Neutral",
AxesLabel x, y, z ,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
função de exibição
DisplayFunction
operação identidade
Identity
x2 cos x2 y2
3 x2 y2
Observamos que o volume a ser calculado, encontra­se, por cima limitada pela superfície paraboloidal z 3 x2 y2 e
debaixo por x
2
cos x2 y2 dentro do retângulo 
1 x 1, 1 y 1.
A integral é
1
1
1
1
x2 cos x2 y2
3 x2 y2
x y z y x
1
1
x
1
1
3 x2 y2 x
2
cos x2 y2 y y x
Integrando em relação a y :
0
2
x 3 x2 y
y3
3
x2 cos x2 y2 x
0
2
0
1
3 r2 r
2 cos2 cos r2 r r
0
1
3 r
2 r2 Cos
cosseno
Cos r
2
r r
5
4
Cos Cos Cos 1 Cos Sin 1
3 Cos 2
188 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
v
N
cosseno
Cos 1 ,
seno
Sin 1
0.540302, 0.841471
integra numéricamente
NIntegrate
5
4
Cos Cos Cos 1 Cos Sin 1
3 Cos 2
, , 0, 2
5.01595
Para y : o quarto inferior da circunferência de raio r 5 da figura abaixo.
Exercício 5. Encontre o volume do solido limitado pelos planos: a) z = x, x = 0, y = 0, z = 2 e y = 4 ­ x2 no primeiro quadrante
(veja Fig.46(a)). R. 20/3, b) a z x2 y2, 2 a z a2 x2 y2 (veja Fig.56(b) traçado para a = 2). R. a3 12, c)
x2 y2 z2 0, a2 x2 y2 z2 (veja Fig.46(c) para a = 2) dentro do cone R. 2 a3 2 2 3. 
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D y 4 x2, z x , x 0, y 0, z 2 , x, 0, 2 , y, 0, 4 , z, 0, 2 ,
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
intervalo do gráfico
PlotRange 0, 2 , 0, 4 , 0, 2 ,
ContourPlot3D 2 z x2 y2, 4 z 4 x2 y2 , x, 1.2, 1.2 , y, 2, 2 , z, 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
AxesLabel x, y, z ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
intervalo do gráfico
PlotRange 1.2, 1.2 , 2, 2 , 0, 2 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2 y2 z2 0, 4 x2 y2 z2 , x, 2, 2 , y, 2, 2 , z, 0, 2 ,
tema do gráfico
PlotTheme "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel x, y, z ,
legenda do gráfico
PlotLegends "Expressions",
intervalo do gráfico
PlotRange 2, 2 , 2, 2 , 0, 2 ,
malha
Mesh
nen
None,
estilo de contorno
ContourStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.6 ,
especular
Specularity
branco
White, 20
y 4 x2
z x
x 0
y 0
z 2
,
2 z x2 y2
4 z 4 x2 y2
,
Fig.56 (a) Plot da região z x, x 0, y 0, z 2 e y 4 x2, b) plot da região limitada pelas superfícies
a z x2 y2, 2 a z a2 x2 y2 para a 2, c) plot da região limitada pelas superfícies x2 y2 z2 0, a2 x2 y2 z2 para
a 2.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 189
3.4.2 Teorema de Gauss ou da divergência
A importância do teorema da divergência ou de Gauss­Ostrogradski, consiste na relação de uma integral de superfície e uma
integral de volume para um campo vetorial. Ela estabelece que: 
Seja F um campo vetorial cujas componentes tem primeiras derivadas parciais continuas, e seja S uma superfície fechada
orientada suave por partes. O fluxo de F através de S na direção do campo normal unitário n para fora da superfície é igual a
integral de div F sobre a região D encerrada pela superfície:
S
F S
V
div F V
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mos
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D 1 x2 2 y2 3 z2, x, 1.5, 1.5 , y, 2, 2 , z, 1.1, 1 ,
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
estilo de cont
ContourStyle
diretiva
Directive
cores do sistema RGB
RGBColor 0, 1, 0, .5 ,
azul
Blue ,
quociente de a
AspectRatio 1,
iluminação
Lighting "Neutral",
número de pontos no gráfico
PlotPoints 20 ,
VectorPlot3D 2 y, x, x z , x, 1.5, 1.5 , y, 2, 2 , z, 1.1, 1 ,escala de vetor
VectorScale 0.03,
automát
Automatic,
nenhum
None ,
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do vetor
VectorColorFunction
matiz
Hue,
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
quociente de aspecto
AspectRatio 1
Fig.51 Uma superfície fechada na presença de um campo vetorial F .
Exercício 1. Verificar o teorema da divergência para o campo vetorial F x2 i z j y k tomado sobre a região limitada pelos
planos z = 0, z = 2, x = 0, x = 1, y = 0, y = 3.
Solução. Duas etapas para provar o teorema de Gauss:
1. Passo. Cálculo de 
V
div F V.
div F F i
x
j
y
k
z
x2 i z j y k 2 x 0 0 2 x.
Como dV dz dy dx
V
div F V
V
2 x V
0
1
0
3
0
2
2 x z y x
0
1
0
3
2 x z 0
2 y x
190 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
0
1
0
3
4 x y x
0
1
4 xy 0
3 x
0
1
12 x x 6
x2
2 0
1
6.
2. Passo. Cálculo de 
S
F S . A superfície S consiste de seis faces planas S1, S2, ..., S6 como mostrado na Fig.45. Temos que
considerar cada face.
a. Base S1: z 0; n k (para fora e para baixo). Logo
F x2 i y k, dS1 dxdy
S1
F S
S1
F n S
S1
x2 i y k k x y
0
1
0
3
y x y
0
1
y2
2 0
3
x
9
2
.
b. Topo S2: z 2; n k , dS2 dxdy
F x2 i 2 j y k,
S2
F n S
S2
x2 i 2 j y k k x y
0
1
0
3
y x y
9
2
,
c. Extremo direito S3: y 3; n j , dS3 dxdz
F x2 i z j 3 k,
S3
F n S
S3
x2 i z j 3 k j x y
0
1
0
2
z z x
0
1
z2
2 0
2
x
0
1
2 x 2.
d. Extremo esquerdo S4: y 0; n j , dS4 dxdz
F x2 i z j ,
S4
F n S
S4
x2 i z j j x y
0
1
0
2
z z x
0
1
z2
2 0
2
x
0
1
2 x 2.
e. Frente S5: x 1; n i , dS5 dydz
F i z j y k,
S5
F n S
S5
i z j y k i y z
0
3
0
2
y z 6.
f. Atrás S6: x 0; n i , dS6 dydz
F i z j y k,
S6
F n S
S6
z j y k i y z
0
3
0
2
0 y z 0.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 191
Para a superfície completa S temos
S
F n S
9
2
9
2
2 2 6 0 6.
Por tanto, é válido o teorema da divergência 
V
div F V
S
F S .
Exercício 2**. Verificar o teorema da divergência para o campo vetorial F x i 2 j z2 k tomado sobre a região limitada
pelos planos z = 0, z = 4, x = 0, y = 0, e a superfície x2 y2 4 no primeiro octante, veja figura. R. 20 .
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D 0 x2 y2 4, x, 0, 2.3 , y, 0, 2.3 , z, 0, 4.3 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.5 ,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
VectorPlot3D x, 2, z2 , x, 0.5, 2.3 , y, 0.5, 2.3 , z, 0.5, 4.3 ,
escala de vetor
VectorScale 0.06,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do
VectorColorFunction Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 25
Solução. Duas etapas para provar o teorema de Gauss:
1. Passo. Calculamos a divergência do campo vetorial
divergência
Div x, 2, z2 , x, y, z
1 2 z
assim div F 1 2 z. Se usamos coordenadas cilíndricas dV r dz dr d :
V
div F V
V
1 2 z V
0
2
0
2
0
4
1 2 z r z r
0
2
0
2
0
4
1 2 z r z r
20
2. Passo. Cálculo de 
S
F S . A superfície S consiste de cinco faces S1, S2, S3, S4, S5:
a. Base superior S1: z 4; n k (para cima). Logo
F x i 2 j z2 k, dS1 rdrd
192 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
S1
F S
S1
F n S
S1
x i 2 j z2 k k S
0
2
0
2
z2 r r 16
0
2
0
2
r r
16
0
2
0
2
r r
16
b. Base inferior S2: z 0; n k ,
F x i 2 j z2 k, dS2 rdrd
S2
F n S
S2
x i 2 j z2 k k S 0.
c. Superfície lateral plana direita S3: x 0, n i ; dS3 dzdy
S3
F n S
S3
x i 2 j z2 k i S
S3
x S 0.
d. Superfície lateral plana esquerda S4: y 0, n j ; dS4 dzdx
S4
F n S
S4
x i 2 j z2 k j S 2
S4
S 2 2 4 16.
e. Superfície cilíndrica S5: x 0, dS5 2 dzd
F x i 2 j z2 k , n
2 x i 2 y j
4 x2 4 y2
x i y j
2
cos i sin j
S5
F n S
S5
x i 2 j z2 k cos i sin j S
0
2
0
4
2 cos2 2 sin 2 z
0
2
0
4
2 Cos 2 2
seno
Sin 2 z
4 4
Logo
S
F S 16 16 4 4 20 .
Por tanto, é válido o teorema da divergência 
V
div F V
S
F S .
Exercício 3. Verificar o teorema da divergência para o campo vetorial F i j z x2 y2 2 k, se a superfície é o cilindro
x2 y2 1, 0 z 1.
Solução. Duas etapas para provar o teorema de Gauss:
1. Passo. Calculamos a divergência do campo vetorial
divergência
Div 1, 1, z x2 y2
2
, x, y, z
x2 y2
2
assim div F x2 y2
2
. Se usamos coordenadas cilíndricas dV r dz dr d :
V
div F V
V
x2 y2
2
V
0
2
0
1
0
1
r4 r z r
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 193
0
2
0
1
0
1
r
4
r z r
3
2. Passo. Cálculo de 
S
F S . A superfície S consiste de três faces S1, S2, S3:
a. Base superior S1: z 1; n k (para cima). Logo
F i j z x2 y2
2
k, dS1 rdrd
S1
F S
S1
F n S
S1
z x2 y2
2
k k S
0
2
0
1
r4 r r
0
2
0
1
r4 r r
3
b. Base inferior S2: z 0; n k ,
F i j z x2 y2
2
k, dS2 rdrd
S2
F n S
S2
z x2 y2
2
k k S 0.
c. Superfície lateral S3: y 3; dS3 dxdz
F i j z x2 y2
2
k, dS3 rdrd , n
2 x i 2 y j
4 x2 4 y2
x i y j cos i sin j
S3
F n S
S3
i j z x2 y2
2
k cos i sin j S
0
2
0
1
cos sin z
0
2
0
1
cosseno
Cos
seno
Sin z
0
Logo
S
F S
3
Por tanto, é válido o teorema da divergência 
V
div F V
S
F S .
194 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D x2 y2 1, x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 0, 1 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 220,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
amar
Yellow,
opacidade
Opacity 0.75 ,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
VectorPlot3D 1, 1, z x2 y2
2
, x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 1, 1 ,
escala de vetor
VectorScale 0.06,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do
VectorColorFunction Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 25
Exercício 4**. Verificar o teorema da divergência para o campo vetorial F x2 i y2 j z x2 y2 k, se a superfície é definida
pela equação z x
2 y2 para z 1 e, isto é, S é o gráfico de f x, y x
2 y2 definido sob D x, y x2 y2 1 .
Solução. Traçamos primeiro a superfície.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 195
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D
Plot3D x
2 y2 , x, 1, 1 , y, 1, 1 ,
malha
Mesh
nenhum
None,
tamanho da imagem
ImageSize 220,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.75 ,
Mesh
nen
None,
quociente de a
AspectRatio 1,
intervalo do gráfico
PlotRange 1, 1 , 1, 1 , 0.368, 1 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D x2, y2, z x2 y2 , x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 0, 1 ,
escala de vetor
VectorScale 0.06,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle"Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do
VectorColorFunction Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 25
1. Passo. Calculamos a divergência do campo vetorial
divergência
Div x2, y2, z x2 y2 , x, y, z
2 x x2 2 y y2
assim div F 2 x x2 2 y y2. Se usamos coordenadas cilíndricas dV r dz dr d :
V
div F V
V
2 x x2 2 y y2 V
0
2
0
1
1
r2
2 rcos r2 2 r sin r z r
0
2
0
1
1
r2
2 r
cosseno
Cos r2 2 r
seno
Sin r z r
4
2
por tanto,
V
div F V
4
2
.
2. Passo. Cálculo de 
S
F S . A superfície S consiste de três faces S1, S2, S3:
a. Base inferior S1: z 1; n k (para baixo). Logo
F x2 i y2 j z x2 y2 k, dS1 rdrd
S1
F S
S1
F n S
S1
x2 i y2 j z x2 y2 k k S
0
2
z
0
1
x2 y2 r r
196 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
0
2
0
1
r3 r
0
2
0
1
r3 r
2
b. Superfície superior: z x
2 y2 , o vetor unitário normal e o elemento de superfície
gradiente
Grad z x
2 y2 , x, y, z
2 x
2 y2 x, 2 x
2 y2 y, 1
n
2 x
2 y2 x i 2 x
2 y2 y j k
4 x2 2 x
2 y2 4 y2 2 x
2 y2 1
, dS 4 x2 2 x
2 y2 4 y2 2 x
2 y2 1 dA,
Usamos coordenadas esféricas para a integração com z x
2 y2
S2
F n S
S2
x2 i y2 j z x2 y2 k
2 x
2 y2 x i 2 x
2 y2 y j k
4 x2 2 x
2 y2 4 y2 2 x
2 y2 1
S
S2
2 x
2 y2 x3 y3 x
2 y2 x2 y2
4 x2 2 x
2 y2 4 y2 2 x
2 y2 1
4 x2 2 x
2 y2 4 y2 2 x
2 y2 1 A
S2
2 x
2 y2 x3 y3 x
2 y2 x2 y2 A
0
2
0
1
2
r2
r
3
Cos
3
r
3
Sin
3 r2
r
2
r r
2
Logo
S
F S
simplifica
Simplify
2
2
4
2
Por tanto, é válido o teorema da divergência 
V
div F V
S
F S .
Exercício 5***. Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial F x i y j z k, que existe em cada ponto do
elipsoide S definida pela equação 
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1.
Solução. Faremos a prova em duas partes:
1. Passo. Cálculo do fluxo do campo vetorial: 
S
F S , onde S é a superfície do elipsoide x
2
a2
y2
b2
z2
c2
1.
1.1 Calculamos o vetor normal. 
Primeiro temos que observar que
S
F S
Ssup
F S
Sinf
F S
onde Ssup é o semi­elipsoide superior e Sinf o semi­elipsoide inferior. A superfície
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 197
S x, y, z
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1 0,
seu gradiente
Grad S x, y, z
2 x
a2
i
2 y
b2
j
2 z
c2
k, Grad S x, y, z
2 x
a2
2 2 y
b2
2 2 z
c2
2
2
x2
a4
y2
b4
z2
c4
.
Para o semi­elipsoide superior e inferior
nsup
1
x2
a4
y2
b4
z2
c4
x
a2
i
y
b2
j
z
c2
k , ninf
1
x2
a4
y2
b4
z2
c4
x
a2
i
y
b2
j
z
c2
k .
1.2 Calculamos dS: escrevemos
z c 1
x2
a2
y2
b2
f x, y , onde para Ssup e para Sinf.
logo calculamos fx e fy :
fx x c 1
x2
a2
y2
b2
fy y c 1
x2
a2
y2
b2
c x
a2 1 x
2
a2
y2
b2
c y
b2 1 x
2
a2
y2
b2
fx
c x
a2 1
x2
a2
y2
b2
c 2 x
a2 z
, fy
c y
b2 1
x2
a2
y2
b2
c 2 y
b2 z
.
Assim
dS
c 2 x
a2 z
2
c 2 y
b2 z
2
1 dx dy
c 4 x2
a4 z2
c 4 y2
b4 z2
1 dx dy
c 2
z
x2
a4
y2
b4
z2
c4
dx dy.
com isto, 
S
F S
Ssup
x i y j z k
1
x2
a4
y2
b4
z2
c4
x
a2
i
y
b2
j
z
c2
k
c 2
z
x2
a4
y2
b4
z2
c4
x y
Sinf
x i y j z k
1
x2
a4
y2
b4
z2
c4
x
a2
i
y
b2
j
z
c2
k
c 2
z
x2
a4
y2
b4
z2
c4
x y
2
Ssup
c 2
z
x2
a2
y2
b2
z2
c2
x y 2 c 2
S
1
z
x y c 2
S
1
c 1
x2
a2
y2
b2
x y
Calculamos esta integral em coordenadas retangulares, tal que x
2
a2
y2
b2
1
198 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
a x a, b 1
x2
a2
y b 1
x2
a2
.
S
F S 2 c 2
a
a
b 1
x2
a2
b 1
x2
a2 1
c 1
x2
a2
y2
b2
y x 2 c
a
a
0
b 1
x2
a2
1
1
x2
a2
y2
b2
y x
Calculamos esta integral
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
supondo
Assuming a, b, c 0, 2 c
a
a
b 1
x2
a2
b 1
x2
a2 1
1
x2
a2
y2
b2
y x
4 a b c
deste modo
S
F S 4 a b c .
2. Passo. Cálculo da integral de volume da divergência:
V
div F V.
2.1 Calculamos a divergência para o campo F x i y j z k
divergência
Div x, y, z , x, y, z
3
div F 3.
Calculamos a integral de volume
V
div F V 3
V
V 3
a
a
b 1
x2
a2
b 1
x2
a2
c 1
x2
a2
y2
b2
c 1
x2
a2
y2
b2
z y x 3
4
3
abc
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
supondo
Assuming a, b, c 0, 3
a
a
b 1
x2
a2
b 1
x2
a2
c 1
x2
a2
y2
b2
c 1
x2
a2
y2
b2
z y x
4 a b c
Assim,
V
div F V 4 a b c .
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 199
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2
y2
4
z2
8
1, x, 1.5, 1.5 , y, 2.3, 2.3 , z, 2.8, 2.8 ,
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 250,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
malha
Mesh
nenhum
None,
estilo de conto
ContourStyle
diretiva
Directive
azul
Blue,
opacidade
Opacity 0.45 ,
especular
Specularity
branco
White, 20 ,
quociente de aspecto
AspectRatio 1 ,
VectorPlot3D x, y, z , x, 1.5, 1.5 , y, 2.3, 2.3 , z, 2.8, 2.8 ,
escala de vetor
VectorScale 0.03,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do
VectorColorFunction Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 250
Exercício 6***. Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial F yx i x 2 z y j z2 k, que existe em cada
ponto da região S definida pela região limitada pela esfera x2 y2 z2 4,o cilindro x2 y2 1, e o plano z 0, como
mostrado na figura.
200 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
apaga tudo
ClearAll "Global` " ;
mostra
Show
gráfico 3D de uma região
RegionPlot3D x2 y2 1&&z 4 x2 y2 , x, 1, 1 ,
y, 1, 1 , z, 0, 2 ,
malha
Mesh
nen
None,
tamanho da imagem
ImageSize 220,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
estilo do 
PlotStyle
diretiva
Directive
verde
Green,
opacidade
Opacity 0.55 ,
malha
Mesh
nen
None,
quociente de a
AspectRatio 1,
número de pontos no gráfico
PlotPoints 50 ,
gráfico vetorial 3D
VectorPlot3D x y, x 2 z y, z2 , x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 0, 2 ,
escala de vetor
VectorScale 0.06,
automá
Automatic,
ne
None ,
estilo de vetor
VectorStyle "Arrow3D",
função de cor do vetor
VectorColorFunction "Rainbow",
função de cor do
VectorColorFunction Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel "x", "y", "z" ,
tamanho da imagem
ImageSize 25 ,
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2 y2 1, x, 1, 1 , y, 1, 1 , z, 1.729, 1.731
Solução. Faremos a prova em duas partes:
1. Passo. Cálculo da divergência:
divergência
Div x y, x 2 z y, z
2
, x, y, z
x y 4 z
a integral a calcular é
V
div F V
V
x y 4 z V
Usando coordenadas cilíndricas
V
x y 4 z V
0
2
0
1
0
4 r2
r cos r sin 4 z r z r
0
2
0
1
0
4 r2
r
cosseno
Cos r
seno
Sin 4 z r z r
7
por tanto
V
div F V 7 .
2. Passo. Cálculo do fluxo.
2.1 Fluxo pela base S1: x
2 y2 1, z 0, n k, dS rdrd :
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 201
S1F n S
S1
yx i x 2 z y j z2 k k S 0.
2.2 Fluxo pela superfície lateral S2: x
2 y2 1, dS dzd , e o vetor unitário o escrevemos em coordenadas cilíndricas
n
2 x i 2 y j
4 x2 4 y2
cos i sin j
S2
F n S
S2
yx i x 2 z y j z2 k cos i sin j S
0
2
0
3
sin cos2 cos 2 z sin2 z
0
2
0
3
seno
Sin Cos 2
cosseno
Cos 2 z Sin 2 z
3
2.3 Fluxo pela superfície esférica S3: x
2 y2 z2 4, dS 4 sin d d , e o vetor unitário o escrevemos em coordenadas esféricas
n
2 x i 2 y j 2 z k
4 x2 4 y2 4 z2
x i y j z k
2
2 sin cos i 2 sin sin j 2 cos k
2
sin cos i sin sin j cos k
S3
F n S
S3
yx i x 2 z y j z2 k sin cos i sin sin j cos k S
S3
sin cos xy sin sin x 2 z y z2 cos S
S2
4 sin3 cos2 sin 4 sin2 sin2 sin cos 2 cos 4 cos3 S
16
0
2
0
ArcCos
3
2
Sin 3 Cos 2
seno
Sin
Sin 2 Sin 2
seno
Sin
cosseno
Cos 2
cosseno
Cos Cos 3
seno
Sin
4
Por tanto:
S
F n S 3 4 7 .
3.5 Mudança de variável em integrais triplas
202 Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb
References
A.
1 Gianluca Gorni, https://users.dimi.uniud.it/~gianluca.gorni/. 1 doi:10.1088/0305-4470/31/18/018
2 James Stewart, Multivariable Calculus, 6a.Ed. Thomson Brooks/Cole, 2008. 1 DOI-Link
1. InverseReference[Abbaoui95, 1]InverseReference[Abbaoui95, 1]B.
1 3C.
Calculos Multivariable Motivado pela Física.nb 203