UFCG - Lista de Exercícios de EDL Brandão

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EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES
LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Em cada ı´tem, verifique que a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial no intervalo
I.
a) y(x) = ex
2
, y′′ = 2y + 2xy′ , I = IR.
b) y(x) = x6 , y′/x2 = 6
√
y , I = (0,∞).
c) y(x) = tg x ,
√
y′senx = y , I = (−pi/2, pi/2).
2. Supondo que y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial y
′ + g(x)y = 1, mostre que:
a) y3 = e
y1+y2 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′ + g(x)y ln y = 2y.
b) y4 = e
5y1 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′ + g(x)y ln y = 5y.
3. Em cada ı´tem, calcule f ′(x0) e f ′′(x0), sabendo que y = f(x) e´ a soluc¸a˜o do PVI.
a)
{
y′ = x+
y
3
+ sen(3x+ y)
y(1) = −3
, x0 = 1.
b)
{
y′ = ex
2
y2
y(0) = 2
, x0 = 0.
4. Mostre que se y = y(x) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y′ = y2 + exy em algum
intervalo, enta˜o y e´ uma func¸a˜o crescente neste intervalo.
5. Resolva as equac¸o˜es:
a) xyy′ = x2 + y2
b) y′ − y = exy2
c)
(y
x
+ 6x
)
dx+ (lnx− 2)dy = 0
d) xy′ = y + x tg(y/x)
e) y′ =
2x
y + x2y
f)
dy
dx
− y
x
=
−5y5
4
g)
dy
dx
= x2 + 2xy + y2.
h) y′ = 3 +
√
6x− 2y
i) xy′ + y = y−2.
1
j) x
dy
dx
= y + x
√
x+ y
x
k) (excos y + 2cos x)
dy
dx
= −(exsen y − 2ysenx)
l) x
dy
dx
= y +
x2
2y
√
x2 + y2
x2
m) y′ = cos2(2x+ y)− 2
n)
dy
dx
= 3sec y + tg y.
6. Em cada ı´tem, mostre que a equac¸a˜o na˜o e´ exata, encontre um fator integrante e resolva
a equac¸a˜o.
a) 6xydx+ (4y + 9x2)dy = 0.
b) (cos(x+ y)− sen(x+ y))dx− (sen(x+ y))dy = 0
c) ydx+ (2xy − e−2y)dy = 0
7. Resolva os problemas de valor inicial:
a) y′ + cos x
2+sen x
y = 1 , y(0) = 2
b) y′ − 2x
5
y = −x4e−x2y6 , y(0) = 1
2
c) y′ +
x
x2 + 9
y =
1√
x2 + 9
, y(−4) = −1.
d) (2xyex
2
+ sen y + 1)dx+ (ex
2
+ xcos y)dy = 0 , y(0) = 1.
8. O iso´topo radiotivo plutoˆnio 241 decai de modo a satisfazer a equac¸a˜o
dQ
dt
= −0, 0525Q,
onde t e´ medido em anos e Q em miligramas. Determine a meia vida do plutoˆnio 241.
9. O iso´topo radioativo to´rio 234 desintegra-se a uma taxa proporcional a` quantidade pre-
sente. Se 100mg deste material sa˜o reduzidos a 82, 04mg em uma semana, encontre uma
expressa˜o para a quantidade presente no tempo t (k = 0, 02828dias−1).
10. O ra´dio 226 tem uma meia vida de 1620 anos. Ache o per´ıodo de tempo necessa´rio para
que um corpo deste material reduza-se a 3/4 de sua massa inicial.
11. Uma amostra de um certo material radioativo perde 2/3 de sua massa num per´ıodo de 5
dias. Em quanto tempo uma amostra do mesmo material se reduzira´ a 1/9 de sua massa
inicial?
12. Supondo que a meia vida de um certo material radioativo e´ de 20 dias, calcule o tempo
necessa´rio para que uma amostra do mesmo material perca 7/8 de sua massa inicial.
2
13. Em cada ı´tem, determinar as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas dada.
a) xy = C b) y = Cx2
c) y = Cex d) y = ex + C
e) x2 + 3y2 = C f) y = Cx3
g) 3x+ 4y = C h) y = Csenx
i) y =
C
1 + x2
j) y − Cx = 1
k) y = (x− C)2 l) y = tg(x+ C)
m) y = C + ln x n) y = C lnx
14. Admite-se que a rapidez com que um corpo esfria e´ proprorcional a` diferenc¸a entre a sua
temperatura e a temperatura do meio ambiente. Supondo que a temperatura do meio
ambiente seja de 20◦C e sabendo que a temperatura de um certo corpo cai de 100◦C a
80◦C em 20 minutos, achar o tempo necessa´rio para que a sua temperatura baixe a 30◦C.
15. Inicialmente, 50g de sal sa˜o dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de a´gua. Uma
soluc¸a˜o salina e´ bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3l/min, e a soluc¸a˜o
bem misturada e´ drenada na mesma taxa. Se a concentrac¸a˜o da soluc¸a˜o que entra e´ 2g/l.
Determine a quantidade de sal no tanque num instante t. Quantas gramas de sal esta˜o
presentes no tanque apo´s 50min? E depois de um per´ıodo de tempo muito longo?
16. Um tanque conte´m inicialmente 400l de a´gua pura. Num certo instante, uma soluc¸a˜o
salina com concentrac¸a˜o de 3g/l comec¸a a ser bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4l/min. A soluc¸a˜o no tanque e´ bem misturada e e´ drenada a` mesma taxa de
4l/min. Determine a quantidade de sal no tanque 20min apo´s o in´ıcio do bombeamento
da soluc¸a˜o para o tanque? Avalie a concentrac¸a˜o e a quantidade de sal no tanque depois
de um longo per´ıodo de tempo.
17. Resolva o problema anterior considerando que a soluc¸a˜o e´ drenada do tanque a uma taxa
de 2l/min.
18. Achar a equac¸a˜o geral da famı´lia de curvas tais que a tangente em um ponto gene´rico P
e o segmento OP (onde O e´ a origem do sistema de coordenadas) formam com o eixo x
aˆngulos suplementares.
19. Achar a equac¸a˜o da famı´lia de curvas para as quais o tamanho do segmento entre um
ponto P da curva e o ponto onde a reta normal a` curva em P intersecta o eixo x e´
constante.
3
20. Mostre que as func¸o˜es y1(x) = x e y2(x) = e
x formam um conjunto fundamental de
soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial
y′′ − x
x− 1 y
′ +
1
x− 1 y = 0
no intervalo I = (1,+∞)
21. Mostre que as func¸o˜es y1(x) = e
x e y2(x) = e
x lnx formam um conjunto fundamental de
soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial
xy′′ + (1− 2x)y′ + (x− 1)y = 0
e encontre a soluc¸a˜o do PVI
{
xy′′ + (1− 2x)y′ + (x− 1)y = 0
y(1) = −2, y′(1) = 0 .
22. Considere a equac¸a˜o y′′ + (sen x)y′ + (cos x2)y = 0. Justifique porque existe uma u´nica
soluc¸a˜o y = g(x) desta equac¸a˜o, definida em toda a reta, que satisfaz g(1) = 7 e g′(1) = 2.
Existe alguma soluc¸a˜o y = f(x) desta equac¸a˜o que satisfaz f(x0) = 2, f
′(x0) = 3 e
f ′′(x0) = 7 para algum x0 ∈ IR? Justifique.
23. Sejam p e q func¸o˜es cont´ınuas num intervalo aberto I e x0 ∈ I
a) Sendo y1 e y2 as soluc¸o˜es dos PVI’s{
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
y(x0) = 2, y
′(x0) = −3
e
{
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
y(x0) = 6, y
′(x0) = −9
respectivamente, mostre que y2 = 3y1 no intervalo I.
a) Sendo y3 e y4 as soluc¸o˜es dos PVI’s{
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
y(x0) = 1, y
′(x0) = 3
e
{
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
y(x0) = 2, y
′(x0) = 2
respectivamente, mostre que {y3, y4} e´ um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para a
equac¸a˜o y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 no intervalo I.
c) Determine C1, C2 ∈ IR tais que C1y3 + C2y4 seja a soluc¸a˜o do PVI{
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
y(x0) = −4, y′(x0) = 6
24. Sendo f(x) = ex, determine a func¸a˜o y = y(x) tal que y(0) = 2 e W [y, f ](x) = e2xcos x.
25. Sejam y1 e y2 soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 e W = W [y1, y2] (o
Wronskiano de y1 e y2). Mostre que W
′ + p(x)W = 0.
4
26. Mostre que y1(x) = e
sen x e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′′− (2cosx)y′+(senx+ cos2x)y = 0
e determine a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o.
27. Verifique que y1 = x
2 + 7 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ −
(
2
x
+
4x
x2 + 7
)
y′ +
(
10x2 + 14
(x2 + 7)2
)
y = 0
e determine a sua soluc¸a˜o geral no intervalo I = (0,∞).
28. Determine a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es abaixo.
a) y′′ − 3y′ − 18y = 0
b) y′′ − 6y′ + 9y = 0
c) y′′ + 8y′ + 16y = 0
d) y′′ − 2y′ + 5y = 0
e) y′′ + 8y′ + 17y = 0
f) x2y′′ + 4xy′ = 0
g) x2y′′ − 2xy′ − 10y = 0
h) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0
i) x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0
j) x2y′′ − 5xy′ + 13y = 0
29. Determine a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es abaixo.
a) y′′ − 4y′ + 5y = −10x+ 18.
b) y′′ − 2y′ + y = 6cos x
c) y′′ − 4y = 8e−2x
d) y′′ − 2y′ + y = ex
e) y′′ + 4y = sen 2x+ 4cos 2x− 10ex
f) y′′ − 5y′ + 6y = (2x2 + 6x+ 4)e4x
g) y′′ − 3y′ = x+ 2
h) y′′ + y = tg x
i) x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3ex
j) y′′ − 2
x
y′ − 4
x2
y = 5x2.
5
30. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) x2y′′ − xy′ + 2y = 0 , y(1) = 3 , y′(1) = −2.
b) y′′ − 25y = 10e5x , y(0) = 3 , y′(0) = −4.
c) x2y′′− 5xy′ + 9y = 4x , y(1) = −3 , y′(1) = 1.
31. Sabendo que y1 = e
x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′′ − (2− tg x)y′ + (1− tg x)y = 0, determine
a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
y′′ − (2− tg x)y′ + (1− tg x)y = excos x
no intervalo I = (−pi/2, pi/2).
32. Um bloco com 2 quilogramas de massa distende uma mola em 2, 5cm. Suponha que o
bloco e´ puxado ate´ uma posic¸a˜o 10cm abaixo do ponto de equil´ıbrio e enta˜o colocado em
movimento com uma velocidade inicial para baixo de 3m/s. Sabendo que o movimento
subsequente e´ livre e sem amortecimento, determine a func¸a˜o u(t) que descreve este
movimento. Determine tambe´m a amplitude, o per´ıodo e a frequeˆncia do movimento
(Use g = 10m/s2.)
33. Um bloco com 4 quilogramas de massa distende uma mola em 10cm. Suponha que o
bloco e´ suspenso ate´ uma posic¸a˜o 20cm acima do ponto de equil´ıbrio e enta˜o colocado em
movimento com uma velocidade inicial para baixo de 3m/s. Sabendo que o movimento
subsequente e´ livre e sem amortecimento, determine a func¸a˜o u(t) que descreve este
movimento. Determine tambe´m a amplitude, o per´ıodo e a frequeˆncia do movimento
(Use g = 10m/s2.)
34. Um bloco de massa 1Kg e´ atado a uma mola cuja constante de elasticidade e´ de 16N/m e o
sistema inteiro e´ enta˜o submerso em um l´ıquido que oferece uma forc¸a de amortecimento
numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantaˆnea. Determine as equac¸o˜es do
movimento se:
a) o bloco parte do repouso de um ponto a 1m abaixo da posic¸a˜o de equil´ıbrio;
b) o bloco parte de um ponto a 1m abaixo da posic¸a˜o de equil´ıbrio com uma velociade
de 12m/s para cima.
35. Uma forc¸a de 2N distende uma mola em 1m. Um peso de 0, 2Kg e´ atado a` mola e o sistema
e´ enta˜o imerso em um meio que oferece uma forc¸a de amortecimento numericamente igual
a 0,4 vezes a velocidade instantaˆnea.
a) Encontre a equac¸a˜o do movimento se o peso e´ solto a partir do repouso 1m acima da
posic¸a˜o de equil´ıbrio.
b) Quando o peso cruza pela primeira vez a posic¸a˜o de equil´ıbrio se dirigindo para cima?
6
36. Obtenha a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es abaixo:
a) y′′′ + 2y′′ − 15y′ = 0.
b) y(4) + 50y′′ + 625y = 0.
c) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex.
d) y(6) + 4y(5) − 3y(4) − 32y′′′ − 53y′′ − 36y′ − 9y = 0.
(Dica: r6 + 4r5 − 3r4 − 32r3 − 53r2 − 36r − 9 = (r + 1)4(r − 3)(r + 3).)
e) y(6) + 3y(4) + 3y′′ + y = 0. (Dica: a3 + 3a2 + 3a+ 1 = (a+ 1)3.)
f) y(7) + y(6) − 4y(5) − 16y(4) − 20y′′′ − 12y′′ = 0.
(Dica: r5 + r4 − 4r3 − 16r2 − 20r − 12 = (r2 + 2r + 2)2(x− 3).)
37. Resolva o PVI: 
y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = −6senx
y(0) = 2
y′(0) = 2
y′′(0) = 0
38. Sendo y1, y2 e y3 as soluc¸o˜es dos PVI’s{
y′′′ − (cosec x)y′′ + xy′ + (cotg x)y = 0
y(3) = 2, y′(3) = 1, y′′(3) = 1{
y′′′ − (cosec x)y′′ + xy′ + (cotg x)y = 0
y(3) = −1, y′(3) = 3, y′′(3) = −4{
y′′′ − (cosec x)y′′ + xy′ + (cotg x)y = 0
y(3) = 0, y′(3) = 1, y′′(3) = 2
respectivamente, no intervalo I = (0, pi), mostre que {y1, y2, y3} e´ um conjunto funda-
mental de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o y′′′ − (cosec x)y′′ + xy′ + (cotg x)y = 0 no intervalo
I = (0, pi).
39. Considere a equac¸a˜o diferencial y′′′ − (x+ 1)y′′ + (x+ 1)y′ − y = 0.
a) Mostre que y1(x) = e
x e y2(x) = x+ 1 sa˜o soluc¸o˜es desta equac¸a˜o.
b) Sendo y3 a soluc¸a˜o do PVI{
y′′′ − (x+ 1)y′′ + (x+ 1)y′ − y = 0
y(0) = 2, y′(0) = 2, y′′(0) = 4
Calcule W [y1, y2, y3](0) e determine y3. (Dica: observe que y1, y2 e y3 sa˜o LD em todo o
IR.)
7
40. Verifique que
X1(t) =
(
t2 + 1
t
)
e X2(t) =
(
t
1
)
sa˜o soluc¸o˜es LI do sistema
X ′ =
(
t 1− t2
1 −t
)
X
em toda a reta e escreva a soluc¸a˜o geral deste sistema.
41. Verifique que
X1(t) =
 t1− t
0
 , X2(t) =
 −10
t
 e X3(t) =
 0−1
t

sa˜o soluc¸o˜es LI do sistema
X ′ =
 1 1 1/t−1 −1 −1/t
0 0 1/t
X
no intervalo I = (0,+∞) e escreva a soluc¸a˜o geral deste sistema.
42. Sendo p11, p12, p21 e p22 func¸o˜es cont´ınuas num intervalo aberto I, considere
A(t) =
(
p11(t) p12(t)
p21(t) p22(t)
)
.
Sendo x0 ∈ I e X1 e X2 as soluc¸o˜es dos PVI’s
X ′ = A(t)X
X(t0) =
(
−8
2pi
)
e

X ′ = A(t)X
X(t0) =
(
−2
pi/2
)
respectivamente, mostre que X1(t) = 4X2(t) para todo t ∈ I.
43. Em cada ı´tem, encontre a soluc¸a˜o geral do sistema:
a)
{
x′1 = 6x1 − x2
x′2 = 5x1 + 2x2
b) X ′ =
(
1 −1
1 3
)
X
c) X ′ =
 1 1 1−3 −3 −3
2 2 2
X d)

x′1 = −2x1 + 3x2 − x3
x′2 = x1 − x3
x′3 = −2x1 + 3x2 − x3
8
e) X ′ =
 1 2 −10 1 1
0 −1 1
X f) X ′ =
 1 1 12 1 −1
0 −1 1
X
g) X ′ =
(
1 5
1 −3
)
X h) X ′ =
(
−1 −2
4 3
)
X
i) X ′ =

0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 2
0 0 1 0
X j) X ′ =
 0 0 11 0 −3
0 1 3
X
j)

x′1 = x2 + x3
x′2 = x1 + x3 + t
x′3 = x1 + x2 − t
k) X ′ =
 0 0 81 0 −12
0 1 6
X
l) X ′ =
(
1 −1
−3 3
)
X +
(
12et
0
)
m) X ′ =
(
1 −2
2 5
)
X
44. Resolva os problemas de valor inicial:
a) X ′ =
(
2 −1
3 −2
)
X +
(
2et
−2et
)
, X(0) =
(
1
1
)
.
b)

x′1 = x1 + x2 + x3
x′2 = x1 + x2
x′3 = 8x1 + x3
, x1(0) = 3 , x2(0) = 1 , x3(0) = 0.
c)
{
x′1 = tx1 + (1− t2)x2 + t
x′2 = x1 − tx2 + 1
, x1(−1) = 5 , x2(−1) = −2 (veja o exerc´ıcio 40).
d) X ′ =
(
1 −1
1 −1
)
X +
(
1/t
1/t
)
, X(1) =
(
2
−1
)
.
e) X ′ =
 1 1 1/t−1 −1 −1/t
0 0 1/t
X , X(2) =
 −20
4
 (veja o exerc´ıcio 41).
9
45. Sendo X1, X2 : I −→ IR2 func¸o˜es vetoriais diferencia´veis no intervalo I e W = W [X1, X2]
(o wronskiano de X1 e X2), mostre que
W ′(t) = W [X ′1, X2](t) +W [X1, X
′
2](t).
46. Considere as func¸o˜es p11, p12, p21 e p22 definidas num intervalo aberto I e o sistema
X ′ =
(
p11(t) p12(t)
p21(t) p22(t)
)
X.
Sendo X1(t) =
(
x1(t)
y1(t)
)
e X2(t) =
(
x2(t)
y2(t)
)
soluc¸o˜es do sistema e W = W [X1, X2] (o
wronskiano de X1 e X2), mostre que
W ′(t) = (p11(t) + p22(t))W (t).
(Dica: use o exerc´ıcio anterior.)
47. Em cada ı´tem, determine eA (a exponencial da matriz A).
a) A =
(
6 −1
5 2
)
b) A =
(
1 5
1 −3
)
a) A =
 1 −3 2−1 3 −2
−2 6 −4
 (Dica: A e´ nilpotente).
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