Relatório - Determinação da aceleração da gravidade via pêndulo simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI - 
UFVJM 
1º PERÍODO – BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
LINCOLN BURGER BREMER 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO – DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE VIA 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teófilo Otoni – MG 
Dezembro de 2018 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI - 
UFVJM 
1º PERÍODO – BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 
 
 
 
 
 
LINCOLN BURGER BREMER 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO – DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE VIA 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
Relatório técnico apresentado ao professor 
Carlos Henrique Alexandrino, referente à 
disciplina Introdução as Engenharias, do 
Curso Bacharelado em Ciência e 
Tecnologia, da Universidade Federal dos 
Vales do Jequitinhonha e Mucuri. 
 
 
 
 
 
Teófilo Otoni – MG 
Dezembro de 2018 
 
 
 
 
Resumo. O presente relatório demonstra os procedimentos experimentais que foram 
realizados no laboratório de física da UFVJM (Universidade Federal dos Vales do 
Jequitinhonha e Mucuri). Sendo o principal objetivo desse experimento, determinar o 
valor da aceleração gravitacional local através da análise do movimento de um 
pêndulo simples. Foram utilizados dois métodos para a determinação da aceleração 
da gravidade, sendo de muita importância ambos os métodos. Tais métodos, 
demonstram de maneira aceitável os passos para se chegar ao resultado da 
aceleração da gravidade, utilizando-se de gráficos, tabelas e equações obtidas ao 
longo do processo. 
Palavras chave: pêndulo, gravidade, método dos mínimos quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A aceleração da gravidade é uma grandeza vetorial que indica a variação da 
velocidade do movimento de um corpo durante um período de tempo. Todos os corpos 
sofrem influência desta força, pois, segundo Newton o peso dos corpos seguem 
sempre o sentido do centro da terra, fazendo com que eles sofram variação em sua 
velocidade quando o campo gravitacional exercer atuação sobre tais corpos, 
acelerando sua gravidade. Essa aceleração pode ser obtida com base na Lei da 
Gravitação Universal, que diz que a força gravitacional é proporcional ao produto das 
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância, ou pela Segunda Lei 
de Newton, que se baseia na constância da aceleração, afirmando que a força é igual 
ao produto da massa pela aceleração. 
Em meados do século XVI, foi descoberto por um estudioso que o movimento de um 
pêndulo simples, uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas 
extremidades e livre por outra, é capaz de permitir a determinação da aceleração 
gravitacional (g). Este pêndulo pode ser representado através da ilustração abaixo: 
 
Figura 1 – Pêndulo simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Google Imagens 
 
À medida que o pêndulo é deslocado de sua posição inicial de equilíbrio (m), ela sofre 
oscilação devido à ação da força peso, vindo a apresentar uma periodicidade em seus 
movimentos. Desconsiderando-se a resistência do ar, as outras forças que exercem 
atuação sobre o movimento do pêndulo são a tensão com o fio e o peso de sua massa. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Forças atuantes no pêndulo simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Google Imagens 
Através da aceleração tangencial (at), é possível calcular a aceleração da gravidade 
local e o ângulo do pêndulo simples, utilizando-se da formula a seguir: 
g = 
−at
sen θ
 
Todavia, quando o ângulo utilizado para medição do experimento atingir um valor até 
15º, considera-se senθ ≈ θ, pois nesta situação, o pêndulo irá exercer um movimento 
harmônico simples (MHS) e seu período (T) será calculado com base na expressão: 
T = 2π√
 L
G
 
Onde, T é o período, L o comprimento do fio e G a gravidade. 
 
Este período (T) depende do comprimento (L) do pêndulo, que é medido durante o 
experimento e de sua gravidade (G). A relação entre esses três fatores é obtida 
através da fórmula: 
𝑔 =
4π²L
T²(L)
 
 
 
 
 
 
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
2.1 Materiais 
 
 Suporte de fixação do pêndulo 
 Fio de comprimento variando entre 50 cm a 200 cm 
 Trena para medição do comprimento do fio 
 Cronômetro para medida do intervalo de oscilação 
 
 
Figura 3 – Materiais necessários para medição 
2.2 Procedimentos 
Com o propósito de atender os resultados necessários através deste experimento, 
foram realizados os seguintes processos, atendendo-se a ordem citada: 
1. Com a ajuda do suporte de fixação do pêndulo, ajusta-se o comprimento do fio 
na medida necessária para medição do primeiro intervalo, de modo que esta 
medição seja determinada da ponta presa do fio, até o centro de massa do 
corpo, preso em sua outra ponta. Esse comprimento é medido em centímetros 
para o alcance de um resultado mais preciso. 
 
2. Desloca-se o corpo da posição de equilíbrio até que o mesmo atinja um ângulo 
entre =10º e =15º, não podendo este ângulo ultrapassar o valor de 15º, uma 
vez que a angulação do pêndulo deve ser pequena para ser considerado 
simples. 
 
3. Após o deslocamento do pêndulo até o local desejável, dentro dos parâmetros 
de valores da angulação, solta-se a massa, deixando o pêndulo oscilar, 
anotando o tempo necessário para que ele repita o mesmo movimento durante 
10 oscilações completas. Para compensação do erro humano na contagem do 
 
 
 
 
tempo, é recomendável repetir essa operação ao menos 4 vezes para cada 
comprimento medido no fio, estimando os resultados pela média dos valores 
obtidos em cada oscilação. 
 
4. Posterior a esta etapa, repete-se a experiência para outros 8 a 10 diferentes 
comprimentos de fios, anotando-se sempre todos os valores obtidos de 
oscilações em razão do comprimento e tabulam-se os dados em um arquivo do 
Excel, que utiliza do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), baseado na 
relação existente entre duas variáveis quantitativas de tal forma que uma delas 
pode ser prevista por entre a outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 Valor de referência da aceleração da gravidade: 
Gravidade ± 9,81 m/s² 
 
Através da realização do experimento no laboratório de física da UFVJM, foram 
coletados os seguintes dados, acompanhando-se o passo a passo explicado nos 
procedimentos, sendo gerada uma tabela com essas informações, onde I é o número 
de experimentos realizados, L o comprimento do fio e T(Δ)x10 o tempo de 10 
oscilações do pêndulo. 
Tabela 1 – Dados coletados no experimento 
Fonte: Elaborado pelo autor (2018) 
 
 
 
 1° método 
Mediante os valores obtidos, utiliza-se da fórmula de gravidade citada 
anteriormente, para cada valor do comprimento (L) a fim e chegar ao valor da 
gravidade (G), logo depois sendo calculada a média dos valores da gravidade, 
aplicando os valores na fórmula de desvio padrão, atingindo o principal objetivo da 
realização do experimento no laboratório, sendo esta a obtenção do valor da 
aceleração da gravidade. 
 
 
I L(m) T(Δ)x10 (s) 
1 0,5 14,3 
2 0,7 16,75 
3 1,0 19,9 
4 1,25 22,45 
5 1,44 24,1 
6 1,61 25,45 
7 1,69 26,01 
8 1,79 26,8 
9 1,87 27,48 
10 2,0 28,35 
 
 
 
 
Sendo, 
∑: símbolo de somatório MA: média aritmética dos dados 
Xi:valor na posição i no conjunto de dados n: quantidade de dados 
 
Como resultado disso, foi obtida a seguinte tabela: 
 
Tabela 2 – Dados do experimento após cálculo da aceleração da gravidade 
i T(Δ)x10 (s) L(m) T2(s) Gravidade L2 LxT2 
1 14,3 0,5 2,04 9,65 0,25 1,02 
2 16,75 0,7 2,81 9,85 0,49 1,96 
3 19,9 1,0 3,96 9,97 1,0 3,96 
4 22,45 1,25 5,04 9,79 1,56 6,3 
5 24,1 1,44 5,81 9,79 2,07 8,86 
6 25,45 1,61 6,48 9,81 2,59 10,43 
7 26,01 1,69 6,77 9,86 2,86 11,43 
8 26,8 1,79 7,18 9,81 3,19 12,82 
9 27,48 1,87 7,55 9,75 3,48 14,08 
10 28,35 2,0 8,04 9,82 4,0 16,07 
 Σ 13,84 55,67 21,49 86,45 
 Média 9,81 
 Variância 0,01 
 Desv.P. 0,08 
Fonte: Elaborado pelo autor (2018) 
 
Com isso chegamos ao valor da aceleração da gravidade: 
Gravidade 9,81 ± 0,08 m/s² 
 
 2° Método 
A partir da tabela 2, é possível elaborar um gráfico na ferramenta Excel do T2 
(período ao quadrado) x L (comprimento). A ferramenta utiliza-se do MMQ para 
chegar a equação da reta, essa que será usada para determinar o valor da 
gravidade. 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1 – Gráfico do período em função do comprimento 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2018) 
 
Através da análise do gráfico é possível perceber uma ligação direta entre o 
tamanho do comprimento do fio do pêndulo com o seu tempo de oscilação, assumindo 
a ideia de que quanto maior este comprimento, maior será o seu tempo de oscilações. 
 
Pelo gráfico temos: 
𝑦 = 4,02𝐿 − 0,006 (eq. 1) 
Coeficiente angular (a) Coeficiente linear (b) Coeficiente de correlação 
linear (R2) 
4,02 -0,006 0,9998 
 
Dado a equação: 
 
𝑇2(𝐿) = 
4×𝜋2
𝑔
× 𝐿 (eq. 2), sendo o coeficiente angular 𝑎 =
4×𝜋2
𝑔
× 𝐿 
Relacionando a equação 1 a 2, temos que: 
 
𝑎 × 𝐿 =
4 × 𝜋2
𝑔
× 𝐿 
 
y = 4,027L - 0,0062
R² = 0,9998
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
P
er
ío
d
o
 2
(T
2
) 
(s
)
Comprimento (L) (m)
Período2 x Comprimento
 
 
 
 
Logo, chegamos a equação para determinar a aceleração da gravidade. 
 
𝑔 =
4×𝜋2
𝑎
 (eq. 3) 
 
A partir da equação 3, chegamos ao seguinte valor: 
Gravidade 9,82 m/s² 
 
 Quadro comparativo entre os métodos: 
Tabela 3 – Valores da gravidade obtido em cada método utilizado 
Método Gravidade Valor de referência 
1° 9,81 ± 0,08 m/s² ± 9,81 m/s² 
2° 9,82 m/s² ± 9,81 m/s² 
 
Logo, chegamos à conclusão que as estimativas da aceleração da gravidade em 
ambos os métodos foram compatíveis com o valor esperado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. CONCLUSÃO 
 
A partir da observação dos resultados, percebe-se que as medidas usadas no 
comprimento do fio (L) e os valores obtidos do período de oscilação do pêndulo (T2) 
possuem uma correlação, fato que se comprova pelo valor do coeficiente de 
correlação linear (R2) encontrado através da plataforma Excel. 
Através da análise dos resultados, com os experimentos realizados no pendulo 
simples, foi possível observar que quanto maior o comprimento do fio (L) maior será 
o período do pêndulo, também se percebe que a massa não interfere no período. 
Através dos dados coletados, foi possível utilizar dois métodos para a 
determinação da aceleração da gravidade, o primeiro método teve como resultado 
g=9,81 ± 0,08 m/s². Já o segundo método obteve resultado g=9,82 m/s². Portanto, 
conclui-se que os valores obtidos satisfazem o valor de referência adotado. 
Por fim, pode se dizer que a experimentação alcançou resultados aceitáveis, 
mesmo que não foram usadas ferramentas com um menor índice de erro, não 
somente erro das ferramentas, mas também erros humanos. Sendo assim, com 
ferramentas mais precisas, possivelmente os resultados serão mais satisfatórios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Observatório Educativo Itinerante. Determinação da aceleração da gravidade. 
Disponível em:< 
http://www.if.ufrgs.br/~riffel/notas_aula/ensino_astro/roteiros/Roteiro_gravidade.html
>. Acesso em: 29/11/2018. 
CDCC - USP. Mecânica Gráfica para alunos do ensino médio utilizando o SAM. 
Disponível em:< 
http://www.cdcc.usp.br/exper/medio/fisica/kit1_mecanicaI/mecanicaI_sam/exp6_sam
>. pdf. Acesso em: 29/11/2018. 
Só Física. Gravitação universal. Disponível em:< 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/GravitacaoUniversal/gu.php>. 
Acesso em: 02/12/2018. 
Só Física. Formulas MHS. Disponível em:< 
https://www.sofisica.com.br/conteudos/FormulasEDicas/formulas12.php>. Acesso 
em: 02/12/2018.