material de cálculo 1

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Universidade Estácio de Sá 
Tipo: curso~-Graduação n.ri.r,nrln l\r~rlsm;cn• "01º/2 ►· \iít 1. IW-.,."' ~ ""M'-'"'"' t · '-'• -. ir.,i, 
Disciplina: CCE 1432- Análise Matemática 
Prof.: Hélio Neiva Guimarães 
Turma: 3044-Engneharia Mecânica 
Nome: 
--------------
1ª Questão(l,O PçmtQ) 
Avalie 
2ª Questão(0,5 ponto) 
✓x2 + 400- 20 lim------x➔o x2 
Encontre a inclinação da reta tangente à curva f(x) = 3x2 - 4x + 7 no 
ponto (x1, y1) quando x tende para zero. Use: a definição do limite. 
3ª Questão(0,5 ponto) 
Calcule a seguinte derivada da função: 
3 
F(x) = Gz+2~ L1-3xJ 
Obs.: entregar no dia AVl 
~ Estácio 
Turma: 3103/3105 
Disciplina: Calculo Diferencial e Integral 1 
Professor: Hélio Neiva 
Data: 02/03/2016 
3• LISTA DE DEiUVA?AS 
Nome: __________ _ 
J Calcule a derivada de cada função: 
a) f(x) = 5 sen 7x 
b) f(x) = 4 sen 6x2 
e) h (x) = sen ✓x 
4 . d)g(x) = sen 1x 
e) h (x) = cos (sen x ) 
t) f(x) = .jms (5xl 
27 35 . 
h) g tx) = ;;;+ cos 2x 
11 f ( x) = ctg (3xs) 
~ 
:·. " (") =- ~ossec '\i x • ' 
. : i t l -~ "° 
k) h (x) = .../1+ sec 5x 
1) h (x) = sec2 7x - tg2 7x 
m)f(x) = sec4 13x - tg413x 
l)y=k ➔ 
2) y = ax ➔ 
3) y = ax + b ➔ 
4) y = Un ➔ 
y = xn ➔ 
5) y = k.u ➔ 
6) y = U + V ➔ 
7) y = u.v ➔ 
li ➔ y = -
V 
8) y = a u ➔ 
y= Vu ➔ 
y' = o 
y' = a 
y' = a 
n-1 , y = n.u . u 
n-1 y' = n.x 
y' = k.u ' 
y' = u' + v' 
' ' V y' = U .V + U . 
vu'- uv' 
y' =---v-2 -
y = au _lna.u; 
11' y' = -;e~ 
kV1/-I 
senx 
o\ h (v\ -= ---
"" ·- , .• , J + CC'5 5X 1 tg5 ~X 
n)g(x) o- x - - 9) Y = Jog a li ➔ u' y' =·-
ulna J-) Calcule a derivada de cada função: 
X 
b) h (x) == are tg -
5 
-1 3 
c) g(x) = sec x _ 
g) f(x) = ; c-1 x + cossec·1 x 
h) h (x) == x2 cos·1 3x 
1 -1 ( 5 ) i) g (x) == 2 •tg ·-
. X • X 
cossec·
1
( x2 + 1) 
j)f(x) == ~ 
-vx· +I 
" k) f (x) == ln (4x2 + 1) 
, I) f (x) == sen (ln x) 
"' m) g(x) == x - ln (sen 6x) 
..._~n) f (x} = sen x - ln (x2 + 7) 
3) Determine a derivada das funções : 
d\ Hx\ == are ctg (x2 + 3) 
e) f(x) ª aro oos~ ( :J 
t).g (x) = are ~ec (Sx - 7) 
• o)f(x) == ln(lnx) / 
p)h(x) = x . 1n( se; x J 
q) g (x) = ln (x2 J;+i) 
• r) h (x) = ln (cos2x) 
1 · · sx2 
s)f(x) = - . ln~· -
3
-
6 4x +l 
ln x 
"' t)f(x) =--
x3 + 5 
a) Y ~-ln x2 
' X X d) çxx)·-= ln e -; e 
b) y _ ln(x2 - 3) 
e) y .. lnv'x=4 
d) y _ (ln x)4 
e) f{x) . 2x lnx 
-~, y - ln fx vx2 - 1 
f) \ ) 
h) v - 3x 
.{) 
1 
f(X) - ·log2 x 
i) h(x) :: ~ x J 
~) y - log10(x2 -~ 6x) 
y = ln u u' ➔ y' = -
u 
y = logx a ➔ lna Y,_ -~ lnx 
10) y = eos u ➔ 
11) y = sen u , ➔ 
12) y = tg u ➔ 
13) y = eotg u ➔ 
14) y = see u ➔ 
15) y = eosee u ➔ 
y' = -sen u . u' 
y' = cos u . u' 
y' = sec2 u . u' 
y'= sec u . tg u . u' 
y' = sec u . tg u . u' 
y' = - cose u . cotg u . u· 
u' 16) y = are sen u ➔ y' = -=== ~ 
17) y = are cos u ➔ y' = u' 
· 18) y = are tg u ➔ ' u' y =--
. 1+11 2 
\ 
➔ ' u' 19) y = are cotgu y = - --, 
1 + u~ 
u' 20) y = are eosu ➔ y' = -=-
11W ·- 1 
21) y = are eosu ➔ , u' y =-.~ · ;::-=.. ~ -11W -1 
22) y = uv ➔ y' = v . uv-, . LI' + uv . Ir 
_,,.,..,,..,, 
,l> estácio 
~ ~~ CJ ~l- l,rt-J ~ ç~ 12.. L ~ 
~,1) :1lunu\c1) _ 
,:; '{<,-A )(I Matrícula : ________ _ 
Oiscipl ina ,C.~\..(,i.) ¼ ·:e l~~ Ç-·. ~~\_,<::iJ 
Data~ / O'?) /~cf'+ 
Dt!r1vad,b 
Nos Exet'\:kios 1-18. detennine dyldx . 
\. _1· = - \ Ü.\' + ) COS X 
J e 2. y = x + ., senx 
3, _l' = .\~ C◊S X 
4. _1· = ½ St'C X + 3 
S. y = cossec x - 4 \/x + 7 
1 ó. y = x ' cotgx - -:;-
x-
7. _{(x) = sen x tg x 
8. g{x) = cossec x cotg x_ 
9. y = (sec x + tg x)(sec x -
tg x) 
10. _,. = (sen x + cos x) sec x 
cotgx 11 
· Y = 1 + cotg x 
12 = cosx 
· Y l + senx 
- 4 1 
13. Y = CÕSX + tgx 
COSX X 
14. Y = -X- + COSX 
15. y = x2 sen x + 2x cos x -
2 senx 
16. y = x2 cos x - 2x sen x -
2 cosx 
17. f(x)=x3 senxcosx 
18. g(x) = (2 - X) tg2 X 
Nos Exercícios 19-22, determine dsldt. 
19. s=tgt - e__, 
20. s = i1- - sec r + Se' 
1 + cossec t 2 t. s = 1 - cossec t 
sen r . 22
• s = 1 - COSI 
Nos exercícios 23-26. determine dr/dfJ. 
23. r = 4 - IP sen 8. 25. r = sec fJ cossec fJ 
24. r = IJ sen 8 + cos 8 26. r = (l + sec fJ) sen fJ 
Nos Exercícios 27-32, determine dpldq. 
1 
27. p = 5 + cotg q 
28. p = ( I + cossecq)cosq 
senq + cos q 
29. P = cosq 
tgq 
30. P = 1 + tgq 
q senq 
31. P = q2 _ l 
3q + tg q 
32. P = q sec q 
.H. Determine y" se 
a. y = cossec x . 
b v= secx. 
;e;ennine yC4l = d4y ldx4 se J4. 
a. v= -2 senx. 
b. y = 9 COS X. 
J . ' J_ ~)!5/4 
~~S~ç\~ 
t. - I O - 3 sen x. 
3. 2x cos x - x2 seri x. 
2 5. cossec x cotg x - • r· 
, vx 
7. sen x sec2 x + sen x. 
9. O 
- cossec2 x 
11. . )2 · (l + cotg x 
. 2 
13. 4 tg x sec x - cossec x. 
15. x2 cosx. 
.. 1 2 3 sen2 x 17. 3x2senxcosx-+.,cos x - x . 
2 _1 - 2 cossec t cotg t . 23• --() ( 0 cos e + 2 sen 8). 19. sec t + e · 21. ( 1 - cossec t)2 
. 2 
25. sec 0 cossec 8 (tg 8 - cotg 8) = sec2 0 - cossec 8. 
-27. sec2 q. 29. sec2 q. 
qJ cos q --: l sen q - q cos q - sen q . 
31. (q2 _ 1)2 
33• a. 2 cossec3 x - cossec x. 
b. 2 sec3 x - sec x. 
2) Diferencie cada fun ão r ç ap tcando as regras básicas para diferenciação: 
a) f (x) = xs - 3x3 + 1 
10 5 
b)f(x) = ~+~ + 6 
2 5 
) . 3 4 e g(x) = -+-
x2 X 
d)h(y)=.2_ _ 25 
5 
. . y y 
e) g (x) = 3x·2 - 1x·1 + 6 
f) f(x) = I_ _ ✓2 
· 5x 3x2 
.-> . i.lx+7 
o)h(x)= --
3x - l 
) ( ) 2x
2 + x+ l 
pgx =---
. x2 - 3x + 2 
x3 -8 
q) f(x) = -.-
x·' +8 
Í3) Calcule a derivada de cada função: 
a) f(x) "'.' (5 - 2x)1º 
1 
b)f(x)= ---
(4x + 1)5 
e) g (x) = (x, + 2) 15 
· d) h (x) = (x5 - 2x~ + x + 1 )"-
e) f(x) = (x2 + 4x - 5 )3 
f) r. (x) = (2x4 - 7x3 ..,.. 2x - 1 / 
g) h (x) = (3x2 + 7)2 . (5 - 3x)' 
·h1g(:x) = (3x~+ 5)1 , (3x - l)2 
i) f(X) = (2X - 5)"1 • (4X T 3r: 
j) f(x) = (7x +3)"", (2x - 1)4 
k)g(x)= [3x+~J , (6x - J)5 
x· + X ' 1 
1) f (x) = [-- · 
1- 2x J 
g) g (x) = ✓3 • (xJ - x2) 
h)f(x) = x2 , (3x3 - 1) 
i) f (x) = (x2 + 3x) , (x3 - 9x) 
j) f(x) = (2x -l) , (4x2 + 7) 
k) f(x) = (~3 - 8) . ( : - l) 
l)f(x) = L~ +3}(:3 +x) . 
m) f(x) = (6x2 + 7)2 
n) g (x) = ( 4x2 + 3)2 
3x2 +7 
r)h(x) =--
x2 -1 
(
3x+ 1) 
s)f (x) = -- • (x + 7) 
x+2 
_ (2x+l) t)f(x) = -· - , (3x - 1) 
. x+5 
. (3x + lJ' mJh(x)= i . 
n)g(x)=(7x+ YxJ 
x3+2 
o) f(x) (x2 -5)3 
(x2 + 4)2 
p) h(x) = ✓x2 +2x-l 
q) g (x) = V .J x2 + 2x + l 
r)f(x) = ✓x4 -x2 +..fj, 
s)h(x) = lfx 
t) i (x) = VV✓x2 +2 
2) (a) f (x) == x5 - 3x3 + l ⇒ f ' (x) = 5x4 - 3. (3)x2 ⇒ f'(x) = 5x4 - 9x'.! 
10 5 
X X 10954. 9 4 (b)f(x) := -+- + 6 ⇒ f '(x)=-x +-x ⇒ f- (x)=5x +x 
2 5 2 5 
3 4 (e) g ( x) = - 2 + - ⇒ g (x) = 3x -2 + 4x ·1 X X 
Logo: 
-6 4 
g '(x) = 3 • (-2)x ·3 + 4. (-l)x ·2 ⇒ g'(x) = -6x ·3 - 4x ·2 ⇒ g '(x) = 3 - 2 X X 
, 5 25 (dJh(y) = -5 -- ⇒ h(y)=5y "5 - 25y " 1 
y y 
Logo: 
• -25 25 
h ' (y) = 5 • (-5 )y -6 - 25. (-1 )y ·2 ⇒ h'(y) = -25y-6 + 25y ·2 ⇒ h ' (y) = - 6 +-2 y y 
-6 7 (e) g (x) = 3x ·2 - 7x ·1 + 6 ⇒ g '(x) = 3. (-2)x·3 - 7 • (-l)x·2 ⇒ g ' (x) = 3 + 2 X X 
-- ..... ~-..;,; 
. 2 .fi. 2x·1 Jix-2 (f) f(x) = -5x --3x-2 ⇒ f (x) = _5 ___ 3_ 
Logo: 
' - 2 -2 ✓2 -3 ' 2 2✓2 f (x)- - •(-l)x - - .(-2)x ⇒ f (x)= --+-~ 
5 3 5x2 3x"' 
(g) g (x) == ✓3 • (x3 - x2) ⇒ g'(x) = ✓3. (3x2 - 2x) 
(h) f (x) = x2 • (3x3 - 1) ⇒ f = u. v 
Então: 
f u = x 2 ⇒ u' = 2x 
[ v = 3x 3 - 1 ⇒ v' = 9x 2 
Como f ' = uv' + vu' , temos: 
' 9 4 + 6x4 - 2x ⇒ r ' (.X) f'lx) = (x2) . (9x2) + (3xJ - 1) . (2x) ⇒ f (x) == X 
(i) f (x) = (x:: + 3x) . (x3 - 9x) ⇒ f = u • v 
Então: 
J u = x2 + 3x ⇒ u' = 2x + 3 
lv = x3 -9x ⇒ v' = 3x 2 -- 9 
Como f ' = uv' + vu' , temos: 
. 15X ' - L. X. 
f'(x) = (x2 + 3x) . (3x::- 9) + (x3 - 9x) . (2x + 3) 
2 
1 ~ t· '( ) 5 4 + l 2x3 - 27x - 54x f ' (x) = 3x4 - 9x2 + 9x3 - 27x + 2x4 + 3x· - 1 Sx· - 27x ⇒ X = x 
(j) f(x) = (2x - l) • (4x2 + 7) ⇒ f = u . v 
Então: 
{ 
u = 2x -1 ⇒ u' = 2 
v = 4x2 + 7 ⇒ v' = 8x 
Como f ' = uv' + vu· , temos: 
f '(x) = (2x - l) • (8x) + (4x2 + 7) • 2 
f ' (x) = l6x2 - 8x + 8x2 + 14 ⇒ f ' (x) = 24x2 - 8x + 14 
(k) f (x) = (x3 - 8) . (~ -1) ⇒ f = u . v 
Então: 
\
u = x
3 
- 8 ⇒ u' = 3x2 
2 _ . 2 
v=- - 1 ⇒ v = 2x 1 - l ⇒ v' = 2( - l)x · 2 ⇒ v' =-­
x x2 
Como f' = uv' + vu', temos: 
3 ( -2 ) ( 2 ) . 2 16 ~ f'(x) = (x·- 8) . 7 + -; -1 • {3x) ⇒ f ' (x) = - 2x+·x2 +6x - 3x- ⇒ 
16 
f ' (x) = 2 - 3x2 + 4x 
X 
(l)f(x) = (.1, +3 ) - (.2, + x ) ⇒ r = u . v 
Então: 
Como f ' = uv' + vu ', temos: 
, -6 l 18 4 2 10 
f (x) = - +-- -+3- - - - ⇒ f '(x) - - 18 1 
C. 2 4 G 2 - - - - - -+J 
X X X X X x 6 x4 x2 
(m) f (x) = (6x2 + 7)2 ⇒ f = u" 
Então: 
{ u == 6x 2 + 7 ⇒ u'= 12x 
Como f ' = n . u0 • 1 • u', temos: 
f'(x) = 2 . (6x2 + 7)2" 1 . 1 2x ⇒ f '(x) -== i4x . (6x2 + 7) => f ' ( ; - 144 , 
.X X + IGXx 
' 2 - uº )i) = (4x- + 3) ⇒ g -
'Então: 
{ u :::: 4x2 + 3 ⇒ u'= Sx 
n- l ' temos· Como g ' = n•u . u ' . 
g '(x) = 2. (4x2 + 3)2°1 • 8x ⇒ g'(x) = 16x • (4x2 + 3) ⇒ g'(x) = 64x3 + 48x 
2x+7 u (o)h(x) =-⇒ h = -
3x - l v 
Então: 
{
u = 2x + 7 ⇒ u' = 2 
v = 3x - l ⇒ v' = 3 
Como 
vu ' -uv ' h'= -- , temos: 
v 2 
(3x - l) . 2- (2x+7).3 6x -2 - 6x - 21 -23 
h '(x) = ------ ⇒ h '(x) = ---- ⇒ h '(x) = --(3x -1)2 (3x -1)2 (3x -1)2 
2x2 +x+l u (p) g (x) = i ⇒ g = -
X - 3x+2 V 
Então: 
{ 
u = 2x2 + x + 1 ⇒ u' == 4x + l 
v = x2-3x+2 ⇒ v' = 2x -3 
vu '-uv ' 
Como g ' = ---, temos: 
v2 
[(x2 - 3x+2) . (4x+1)] - [(2x2 +x+t) . (2x - 3)] g'(x) = .e.._ __ ....;___ _ __:_..:.; __ __;_ __ ~ 
(x2-3x+ 2)2 
= { 4x3 + x2 - 12x2 - 3x + 8x + 2 ) - ( 4x3 - 6x 2 + 2x 2 - 3x + 2x - 3) 
(x2 - Jx+2)2 
_ \x3 + x2 -12x2 - 3x + 8x + 2-~ 3 + 6x2 - 2x2 + 3x - 2x + 3 
- \ ( ' \)2 
-7x2 +6x+5 
g'(x) = ----(x2 - 3x + 2)2 
x' - 8 u (q) f(x) = - 3- ⇒ f = -
X +8 V 
Então: 
{
u = x
3 
- 8 ⇒ u' = 3x2 
v = x
3 + 8 ⇒ v' = 3x 2 
vu ' -uv ' 
Como f' = 2 , ternos: 
V 
x- -3x+2 
3/ + 7 u 
,rl h ~x) - ⇒ h == -i -1 V 
Então: 
j u=3x2 +7 ⇒ u'=6x 
l v = x2 - 1 ⇒ v' :: 2.x 
vu ' -uv ' 
Como h' = --- , temos: 
V 
. (x2 -t).6x - (3x 2 +7) 0 2x 6/ -6x -6i - l4x , _ -20x 
h' (X) = . , 2 ⇒ h. (X) "" 1 , l ⇒ h (X) - ( 2 - )2 (x·-1) (x - t) x l 
. (3x + l ) (3x +\).(x +7) . 3x2 +21x+x+7 (s) f(x) = -- • (x + 7) ⇒ f(x) = - - --⇒ f(x) = 
x+2 x +- 2 x+2 
f 
3/ + 22x + 7 u (x) = ---- ⇒ f= -
x+2 V 
Então: 
J u = 3x 2 + 22x + 7 ⇒ u' = 6x + 22 
l v = x + 2 ⇒ v' = 1 
Como 
vu ' -uv ' 
f' = 2 , temos: 
V 
, _ (x + 2) 0 (6x + 22)-(3x~ + 22x + 1) .1 6x~ + ~ + 12x+44-3x2 -~x-7 f (x) - ______ _:__ ___ _!___ -= --~__,,...-______ _...,._ 
(x + 2)2 (x+2)2 
f 
, 3x2 + l2x+37 
' tx) =----(x + 2)2 
(t)f( ) -(2x+l] ,-~ l) r · ) (2x+l) . (3x - 1) f 6x
2
- 2x+3x - l X - --_ • -'X - ⇒ (X = -----⇒ (X) = -----
x +.:, x+S x+5 
6x2 +x -1 u 
f(x) = --- ⇒ f= -
x + 5 V 
Então: 
fu=6x 2 + x-1 ⇒ u'= l2x+l 
lv = x+5 ⇒ v' = l 
vu ' -uv ' 
Como f" = ~ , temos: 
V 
, . (x + s).(l2x +l) - (6x~+x - l)•l , , = 12x2-+'\+60x+5-6x2\,+t 
f l7..:} = , 1 ⇒ f (X) ( )2 lx+s)· x+S 
( ' \ 6x 2 + 60x + 6 6 • x· + 1 Ox + 1 , 
f'( X) = , ~ f'( X) =: , 
, (x + s)· (:,; · ~)-
n l • 
,..- => f . • t fl. li' • li 
1 'i t• n f' - 11 \ln-1 U' (b)f(x) ::- . ⇒ f(x) z (4x -l ,r ⇒ llll lJ ⇒ - • • 
, (4x f. 1)~ 
l~·,11t·ão: { n = -S 
u =,= 4x + l ~ u• = 4 
Logo: 
-20 
f '(x) = (-5) . (4x + t )" 5 • 1 .(4) ⇒ f '(x) = -20-(4x + 1)"6 ⇒ f'(x) = (
4
x+l)6 
(e) g (x) = (x3 + 2)15 ⇒ g = u11 ⇒ g · = n • u11• 1 • u' 
{
11 = 15 
Então: , ~ 
u = x· + 2 ⇒ u' = 3x • 
Logo: 
g'(x) = ( 15). (x3 + 2)15•1 • (3x2) ⇒ g'(x) = 45x2 • (x3 + 2)14 
(d) h (x) = (x5 - 2x2 + X+ l) "7 ⇒ h = U11 ⇒ h ' = 11 • u11• 1 • u' 
Então: {
n =-7 
u = i -2x 2 + x + 1 ⇒ u' = 5x 4 - 4x + 1 
Logo: 
~ . -35x4 +28x - 7 h'(x) = (-7). (x5· - 2x~ + x + 1) ·7•1 • (5i - 4x + 1) ⇒ h'(x) = 
8 ( x5 - 2x2 + x + 1) 
(c)f(x) = (x2 + 4x - 5)3 ⇒ f= u" ⇒ f'= n.u"· 1 .u' 
{
n = 3 
Então: 
u = x
2 
+4x - 5 ⇒ u1= 2x+4 
Logo: 
f ' (X) ~0- (]) • ( X 2 + 4 X - 5) J-I • (2X + 4) ⇒ f ' (X) = ( 6x + 12) • ( X2 + 4 X - 5 )2 
(1) h (x) = (2x4 - 7x1 + 2x - 1)2 ⇒ h = u11 ⇒ h ' = n. u11 • 1 • u' 
{
n= 2 
Então: 
4 1 ~ ~ 
11 '."':: 2x - 7x + 2x - 1 ⇒ u' = 8x" - 21 x"' + 2 
l,ogo: 
h'(x) (2) • (2x4 - 7x-' + :!x - 1 )"' 1 • (8x:' - 21 x~ + 2) :::> 
h'(x) .-e- ( l6x-1 - 42x2 + 4) . (~x·1 - 7x' + 2x - 1) 
{g) h (x) = (3x~ + 7)1 • (5 • 3x)3 ⇒ h (x) = f (x). g (x) ⇒ h '(x) ~ f (x). g'(x) + g (x) • f'(x) 
Então: 
h '(x) = [(3x2 + 7)2. (3). (5 - 3x)2. (-3)] + [(5 - 3x)3. (2). (3x2 + 7) • (6x)] 
h ' (x) = [(3x2 + 7)2 • (5 - 3x)2. (-9)] + [(3x2 + 7). (5 - 3x)3. (12x)] 
Colocando (3x2 + 7). (5 • 3x)2 em evidência, temos: 
h '(x) = (3x2 + 7). (5 - 3x)2 • [-9. (3x2 + 7) + 12x. (5 - 3x)] 
h '(x) = (3x2 + 7). (5 - 3x)2 • (-27x2 - 63 + 60x - 36x2) 
h'(x) = (3x2 + 7). (5 - 3x)2. (-63x2 + 60x - 63) 
(h) g (x) = (3x:: + 5)3 • (3x- 1)2 ⇒ g (x) = f (x). h (x) ⇒ g '(x) = f (x). h'(x) + h (x) • f'(x) , 
Então: 
g '(x) = [(3x2 + 5)3 • (2). (3x - 1). (3)] + [(3x - 1)2. (3). (3x2 + 5)2 • (6x)] 
g'(x) = [(3x2 + 5)3. (3x-1). (6)] + [(3x2 + 5)2 • (3x- 1)2. (18x)] 
Colocando (3x2 + 5)2 • (3x - l) em evidência, temos: 
g '(x) = (3x2 + 5)2 • (3x - 1). [6. (3x2 + 5) + 18x. (3x - 1)] 
g'(x) = (3x2 + 5)2 • (3x - 1). (18x2 + 30 + 54x2 - 18x) 
g'(x) = (3x2 + 5)2 • (3x - 1) • (72x2 - l Sx + 30) 
(i) f (x) = (2x - 5) -1• (4x + 3) ·2 ⇒0f(x) = g (x). h (x) ⇒ f'(x) = g (x). h'(x) + h (x). g'(x) 
Então: 
f'(x) = [(2x - 5)"1 • (-2). (4x + 3)"3 • (4)] + [(4x + 3)"2 • (-1). (2x - 5)"2 • (2)] 
f'(x) = [(2x - 5) -1 • (4x + 3) "3 • (-8)] + [(2x - 5) ·2 • (4x + 3) ·2 • (-2)] 
Colocando (2x - 5) ·2 • (4x + 3) -3 em evidência, temos: 
f'(x) = (2x - 5) -2 • (4x + 3) "3 • [-8. (2x - 5)- 2. (4x + 3)] 
f ' (x) = (2x - 5) -2 • (4x + 3) "3 • (-16x + 40 - 8x - 6) 
f '(x) = (2x - 5)-2 • (4x + 3) -3 • (-24x + 34) 
U) f (x) = (7x + 3) ·2 • (2x - 1)4 ⇒ f (x) = g (x) • h (x) ⇒ f'(x) = g (x) • h'(x) + h (x). g'(x) 
Então: 
f ' (x) = ((7x + 3r2 • (4). (2x- 1)3 -(2)] + [(2x- 1)4. (-2). (7x + 3)"3 -(7)] 
f ' (x) = [(7x + 3r 2 • (2x - 1)3. (8)] + [(7x + 3)"3 • (2x- 1)4. (-14)] 
Colocando (7x + 3) ·3 • (2x - t )3 em evidência, temos: 
f'(x) = {7x + 3)"3 • (2x - l )3 • [8 • (7x + 3) - 14. (2x - l)] 
· 3 ( -3 f(x) :::: (7:. + 3)'3 • (2x- l) • 56x + 24- 28x + 14) = (7x + 3) • (2x- 1)3 • (28x + 38) 
(kJ g (x) ·· l3x+ :J • (6x- 1)5 ⇒ g (x) = f(x) • h (x) ⇒ g'(x) = f(x), h'(x) + h (x), f'(x) 
Então: 
g'(x) ~ [(3x + ~J ,(5),(6x - 1)4 ,(6)1+6x-1)5 ,(2)-(3x+ :}(3- x\ )] 
g'(x) = [(3x+ J ,(6x-tl' ,(30)]+[(3x+ :}(6x-1)5-(6-; )] 
Colocando ( 3 x + : J , ( 6x - 1 )4 em evidência, temos: 
g'(x) = ( 3x + : } (6x-1)4 , [30.(3x+ :H 6-:, }(6x-1)] 
, ( 1 ) 4 ( 30 12 2 J g (x)= 3x+-;- .(6x-1). 90x+-;+36x-6--;+7 
, l 4 18 2 ' ( J . g(x)= 3x+-; ,(6x - 1) ,(126x+-;+ x2 -6] 
(l) f (x) = -- ⇒ f(x) = [g (x)]" ⇒ f'(x) = n. [g (x)r·1 • g'(x) (i +xJ l-2x 
Cálculo de g'(x): 
., 
x- + x u vu' - uv' 
Temos que: g(x)= -- ⇒ g= - ⇒ g' = ., 
1-2x V V-
{ 
u = x 
2 
+ x ⇒ u' = 2x + 1 
Então: 
V= 1-2x =) v'= -2 
Assim: 
g'(x) = [(!- 2x) • (2x + ll]-[( x' + x), (-2)] = (2x + 1-4x2 - 2x )-(-2x2 - 2x) 
(1- 2x)2 (1 - 2x)2 
1-4x2 +2x2 +2x -2x2 +2x+l 
g'(x) = ----- = ----(1- 2x)2 (1 - 2x)2 
L<:go: 
• 
[ ]
4-1 [ 2 l · x 2 + x -2x + 2x + 1 
f'(x) = n. [g (x)]".1 • g'(x) = (4). 1- 2x • (1- 2x)2 
( x2 + X r (-2x2 + 2X + t) ( x2 + X r • (-8X2 + 8X + 4) 
f'(x)=4. (l-2x)3 • (l-2x)2 (I-2x)s 
(
3x + 1 J f )]n-i f '( ) (mJ h (x) = x2 ⇒ h (x) = [f (x)]'1 ⇒ h '(x) = n. [ (x • x 
Cálculode f '(x): 
3x + l u vu' - uv' 
Temos que: f(x) = , ⇒ f= - => f' = 2 X- V V 
{ 
u = 3x + 1 => u' = 3 
Então: , 
v = x- => v' = 2x 
Assim: 
, _ [(x2).(3))-[(3x+l).(2x)] _ (3x2 )-(6x2 +2x) _ 3x2 -6x2 -2x 
f (x) - , - 4 - . 4 (x2f X .X - -- -4 ' . • 
X•(-3x-2) -3x-2 
f'(x)= 4 3 
X X 
( -3x-2) 
X 
(3x + 1)2 • (-9x - 6) 
h'(x) = 7 
X 
( 
1/ ]
7 
7x+ }x (n) g (x) = ~ x ⇒ g (x) = [f (x)]'1 ⇒ g '(x) = n. [f (x)]"·1 • f '(x) 
x"' +2 
Cálculo de f '(x): 
7x + ½ u vu' - uv' 
· Temos que: f(x)= ~ x ⇒f=- ⇒ f' = 2 x-' +2 V V 
1 l u = 7x+- ⇒ u'=7--
Então: x x2 
3 2 
v = x + 2 ⇒ v' = 3x 
• 1 (x 
3 
+ 2) • ( 7 - ~ ) - - ( 7x + ..!.) . (3 x 2 )1 1 ( 7 1 2 ) ( , , f{ xJ=-- x x J x x 1ltl x' 21x l ]x) 
(x3+ 2)2 - ·---- (x ' l 2)2 
7x3 -x+ 14 - 4 - 21x3 -3x 
- x == -14x3 - 4x + l4 - 2/ x2 
(xJ +2)2 (xJ +2)' 
Logo: 
g'(x) = n. [f (x)]"-1 • f '(x) = (7). [ 7x + Yx. ]1-1. -14x" -4x 1 14 -2/ x2 
X
3 
+ 2 ( 2 XJ +2) 
(7x + 1/)6 ( - 'I 4x 3 - 4x + 14 - 2/ 2 J g'(x) = 7 • 7 x6 • - / x -
(x 3 +2) (x 3 +2)2 
7 • ( 7x + ½)6 • -l 4x3 - 4x + 14- 2/ 2 g'(x) = I x (x3 +2)8 
(o)f(x)= (x,-5): ⇒ f(x) = g(x) ⇒ f'(x) = h(x).g'(x) -g(x).h'(x) 
(x2 +4) h(x) fh(x)f 2 
. Então: 
[(x2 +4)' .(3).(x2 -5)' .(2xJ]-[(x2 - 5)3 .(2).(x2 + 4)•(2x)-
f '(x) = · [(x2 +4}2 ]' 
[(x2 +4Y-.(x2 -5)' .(6x)]-[(x' +4)-(x2 -sr •(4x) 
- (x2 +4r 
Colocando (x2 + 4). (x2 - 5)2 cm evidência, temos: 
(x' -s)' .(6x3 +24x-4x3 +2üx) _ (x2-s)' .(2x' +44x) 
f '(x) = ( )3 - ( 2 )3 
X2 +4 X +4 
(p) h (x) = ✓x2 + 2x-1 ⇒ h(x) = (x2 + 2x-1)112 ⇒ h = un ⇒ h' ==O• un-l • u' 
{n=½ Então: 
u = x2 + 2x -1 ⇒ u' = 2x + 2 
Logo: 
h'(x) = G}(x' +2x-f'. (2x+2)= (2x;2) .(x2 +2x-1ft 
2.(x+l) 1 x+l 
h'(x)=---. .L =--==== 
2 (x2 +2x-1) 2 .Jx2 +2x-l 
. 
. 
(q) g (x) = iJ-Jx2 +2x+l ⇒g(x)= ((x2 +2x+t)t J ⇒ g(x)=(x2 + 2x + 1)"6 ⇒ g=u" 
⇒ g' = fl • un-l • u' 
{n=¼ Então: 
u = x
2 + 2x + 1 ==> u' - 2x + 2 
. 
Logo: 
(
1 J ( 2 )i--1 (2x+2) ( _.i g'(x)= 6 • x +2x+l - . (2x+2)= 6 • x2 +2x+1) 6 
g'(x)= 2-(x+l). 1 ~ _ x+l 
6 (x' + 2x+ 1)' 3-V( x' + 2x+ 1f 
(r) f (x) = Jx4 -x2 +✓3 ⇒ f{x) = (x4 -x2 +../3)½ ⇒ f= u" ⇒ f' = n. u"-1 • u' 
Então: (º= ½ 
u=x
4 
-x2 +✓3 ⇒ u'=4x3 - 2x 
Logo: 
1 1._1 4x - 2x .L 
( ) 
( 3 ) 
f '(x) = 2 •( x4 - x2 +✓3)' • (4x3 -2x) = 
2 
• ( x4 -x2 +✓Jf' 
( s) h ( x) == ffx ⇒ h ( x) = ( l x) + r ⇒ h l X) = X, --l ⇒ ". (X) _ ~ X ·. , • 1 ⇒ h., X ) = __ :.. _ 
4 4 
h, ) 1 1 ⇒ (x = -:f ⇒ h'(x) = 
4x ' ~ 
⇒ i' = n • u"•i • u' 
{ 
1 
n=-
Então: 24 
u = x
2
+2=>u'=2x 
Logo: 
.• . ( ] } ( 2 )-f.--1 (2x) / l )-n X 1 t(x)= - x +2 •(2x)=-.,x +2 = -. :.2 
24 24 12 {xl +2f 
X 
i'(x) = ----r===== 
12. 2~( x 2 + 2)2
3 
• 
d) s ' ,f,,. j 'l RL \ L\ '(, s V---0. \ t.--f) 'i)'ug D t) L \ '~ ~ ~ ' 
~ -S<:.N '~ ~ ~ e.N\)~ f\ ,J\ ~\ ~ n~ \ l ~