Pêndulo Simples

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Oscilações no Pêndulo Simples 
Edson V. Berçan, Luana Márcia de A. Bernardes, 
Mirian V. de Souza, Yasmim G. Xavier 
 
Física Experimental I – Engenharia Química – CCAE 
Universidade Federal do Espírito Santo – UFES 
2018/1 - Alegre-ES 
 
 
Resumo. ​No nosso dia a dia encontramos vários tipos de oscilações, onde temos objetos que 
descrevem um vai e vem em torno das suas posições de equilíbrio, como os pêndulos. Para 
evidenciar a importância do movimento oscilatório, temos o exemplo do experimento de Foucault, 
que comprovou o movimento rotacional da Terra a partir de um pêndulo simples. O presente 
relatório tem a finalidade de descrever o estudo do movimento periódico de oscilação de um 
pêndulo simples e determinar o valor da aceleração gravitacional local. Aplicamos os métodos de 
regressão linear e do valor médio para os cálculos do valor da aceleração da gravidade, 
utilizamos o erro relativo percentual e construímos gráficos para representar a relação entre o 
comprimento do fio e o período ao quadrado. 
 
Palavras chave: oscilações, pêndulo simples, aceleração da gravidade. 
___________________________________________________________________________________ 
 
1. Introdução 
Quando o movimento de uma partícula 
descreve uma trajetória que se repete a 
partir de um certo instante, dizemos que 
esse movimento é periódico ou harmônico. 
Em nosso cotidiano encontramos vários 
tipos de oscilações, onde temos objetos que 
descrevem um vai e vem em torno das suas 
posições de equilíbrio, como por exemplo 
o movimento pendular de um relógio. Esse 
vai e vem caracteriza o movimento 
harmônico simples (MHS). 
Os pêndulos são uma classe de 
osciladores harmônicos simples nos quais a 
força de retorno está associada à 
gravitação. (HALLIDAY et al., 1996) 
O pêndulo simples é composto de um 
corpo suspenso através de um fio de massa 
desprezível posto a oscilar em torno de sua 
posição de equilíbrio. No seu movimento o 
corpo descreve um arco de circunferência. 
Uma propriedade importante do 
movimento oscilatório é o período, que é o 
tempo necessário para uma oscilação 
completa. O período do pêndulo simples é 
dado pela equação a seguir: 
T = 2π √ gL 
onde: 
L: comprimento do fio; 
g: aceleração da gravidade. 
 
No ano de 1851, Foucault (um físico e 
astrônomo francês) comprovou 
experimentalmente o movimento 
rotacional da Terra utilizando a oscilação 
de um pêndulo simples. 
O pêndulo de Foucault consiste em um 
dispositivo composto por uma massa 
suspensa por um fio, onde seu ponto de 
apoio é livre para girar. O objetivo era que 
o pêndulo oscilasse em um movimento 
retilíneo em um único plano vertical. 
Porém, observou-se que a oscilação do 
pêndulo parecia girar com o tempo, 
mudando sua direção em relação a esse 
plano considerado. Como não existia força 
atuante para mudar a direção da oscilação 
do pêndulo, concluiu-se que o que girava 
não era o pêndulo, mas sim o plano da 
Terra. 
O experimento de Foucault provava a 
rotação da Terra de forma tão simples que 
foi considerado um dos dez mais belos 
experimentos científicos. 
O objetivo desta prática foi estudar o 
movimento periódico de oscilação de um 
pêndulo simples e determinar o valor da 
aceleração gravitacional local. 
A equação do pêndulo é dada por uma 
equação diferencial ordinária de segunda 
ordem não-linear dada por: 
+ ​ sen​θ = 0 dt²
d²θ
L
g 
Resolvendo a EDO acima temos como 
solução a função posição ​θ(t), de onde 
seria possível obter o período. Porém, 
como se trata de uma EDO não-linear, 
podemos usar a aproximação = 1 lim
θ→0 θ
senθ 
e a equação torna-se uma EDO linear, onde 
senθ ≈ θ para pequenos ângulos e a solução 
desta nova EDO é a fórmula do período 
citada anteriormente. 
2. Procedimento Experimental 
Realizamos o mesmo experimento em 
dois corpos de prova diferentes. 
Inicialmente medimos a massa do corpo de 
prova com uma balança analógica. Em 
seguida, cortamos aproximadamente 1,5 
metros de linha e amarramos uma 
extremidade no suporte para pêndulo e a 
outra no corpo de prova. 
Enrolamos a linha no suporte até que 
seu comprimento inicial fosse de 
aproximadamente 30 cm, variando esse 
comprimento de 5 em 5 cm treze vezes até 
o que o comprimento final fosse próximo 
de 90 cm. 
Dando início às medições de tempo com 
um cronômetro digital, fixamos um ângulo 
de θ ​≈ 10º a partir da posição de equilíbrio 
e soltamos o corpo de prova, deixando-o 
oscilar vinte vezes. 
3. Resultados e Discussão 
As massas dos corpos de prova obtidas 
foram: 
m1: (86,5 ± 0,3) g 
m2: (30,9 ± 0,3) g 
A partir dos dados coletados de 
comprimento do fio e de tempo para 20 
oscilações, foi possível calcular o período 
e, consequentemente, o valor da gravidade, 
que é o nosso objetivo principal. Os 
resultados obtidos para o primeiro e o 
segundo corpo de prova encontram-se nas 
tabelas 1 e 2, respectivamente. 
 
Tabela 1: Dados do primeiro corpo de prova. 
L (m) t (s) T (s) x (s²) xy 
(ms²) 
x² (s⁴) y/x 
(m/s²) 
0,310 20,62 1,0310 1,0630 0,3295 1,1300 0,2916 
0,355 23,17 1,158 1,3421 0,4764 1,8012 0,2645 
0,400 24,61 1,2305 1,5141 0,6056 2,2925 0,2642 
0,440 25,68 1,2840 1,6487 0,7254 2,7182 0,2669 
0,500 28,01 1,4005 1,9614 0,9807 3,8471 0,2549 
0,555 29,04 1,4500 2,1083 1,1701 4,4449 0,2632 
0,600 29,95 1,4975 2,2425 1,3455 5,0288 0,2676 
0,650 31,45 1,5715 2,4696 1,6052 6,0989 0,2632 
0,705 32,80 1,6400 2,6896 1,8962 7,2339 0,2601 
0,755 34,00 1,7000 2,8900 2,1820 8,3521 0,2612 
0,815 35,28 1,7640 3,1117 2,5360 9,6827 0,2519 
0,875 36,30 1,8150 3,2942 2,8824 10,8518 0,2656 
0,910 37,29 1,8645 3,4764 3,1635 12,0854 0,2618 
 
L (ou y): comprimento do fio; 
t: tempo gasto para as 20 oscilações; 
T: tempo gasto para uma oscilação 
completa (período); 
x: período ao quadrado. 
 
Tabela 2: Dados do segundo corpo de prova. 
L (m) t (s) T (s) x (s²) xy 
(ms) 
x² (s⁴) y/x 
(m/s 
0,300 21,54 1,0770 1,1599 0,3480 1,3454 0,2586 
0,340 22,68 1,134 1,2860 0,4372 1,6538 0,2644 
0,395 24,38 1,2190 1,4860 0,5870 2,2082 0,2658 
0,450 25,93 1,2965 1,6809 0,7564 2,8254 0,2677 
0,495 27,19 1,3595 1,8482 0,9149 3,4158 0,2678 
0,540 28,50 1,4250 2,0306 1,0965 4,1233 0,2659 
0,610 30,06 1,5030 2,2590 1,3780 5,1031 0,2700 
0,665 31,40 1,5700 2,4649 1,6392 6,0757 0,2698 
0,710 32,57 1,6285 2,6520 1,8829 7,0331 0,2677 
0,755 33,45 1,6725 2,7973 2,1120 7,8249 0,2699 
0,790 34,99 1,7495 3,0608 2,4180 9,3685 0,2581 
0,830 35,20 1,7600 3,0976 2,5710 9,5951 0,2679 
0,890 36,40 1,8200 3,3124 2,9480 10,9720 0,2687 
 
L (ou y): comprimento do fio; 
t: tempo gasto para as 20 oscilações; 
T: tempo gasto para uma oscilação 
completa (período); 
x: período ao quadrado. 
 
A partir dos dados das tabelas, pudemos 
calcular a aceleração da gravidade (g) a 
partir de dois métodos: regressão linear e 
valor médio. 
Pelo método da regressão linear, 
obtivemos um valor de g = 10,423 m/s² 
para a tabela 1, e um valor de g = 10,528 
m/s² para a tabela 2. 
Pelo método do valor médio, usando a 
fórmula do período para pequenos ângulos, 
obtivemos um valor de g = 10,715 m/s² 
para a tabela 1, e um valor de g = 10,807 
m/s² para a tabela 2. 
Calculamos o erro relativo percentualpara os valores da aceleração da gravidade 
obtidos a partir dos dois métodos, 
considerando como valor teórico g = 9,777 
m/s² (obtido pelo ​MicroPython numa 
prática realizada anteriormente). 
Os valores de erro relativo percentual 
pelo método da regressão linear foram 
6,697% para a tabela 1 e 7,681% para a 
tabela 2. Enquanto os valores pelo método 
do valor médio foram 9,594% para a tabela 
1 e 10,535% para a tabela 2. Todos estes 
cálculos estão no Anexo 1. 
A partir disso, podemos verificar que o 
método da regressão linear foi mais preciso 
para a obtenção do valor da gravidade, 
pois, comparado ao método do valor 
médio, apresentou erros relativos 
percentuais menores. 
Como fatores de influência nas medidas 
em cada situação, temos a imprecisão dos 
equipamentos utilizados (cronômetro e 
régua), erros de observação na contagem 
do número de oscilações, imprecisão no 
comprimento do fio utilizado no pêndulo, 
erros de cálculos e pequenos desvios no 
ângulo inicial para oscilação do pêndulo 
simples. 
A relação que existe entre o 
comprimento de um pêndulo simples e o 
quadrado do seu período é a aceleração da 
gravidade representada por uma reta. 
Construímos dois gráficos de 
comprimento (L) versus período ao 
quadrado (x), um para os dados da tabela 1 
e outro para os dados da tabela 2, a fim de 
provar que a relação entre essas variáveis é 
uma reta (Anexo 2). 
Comparando os dados das tabelas para 
dois corpos de prova de massas distintas, 
observamos que a massa não interfere nos 
dados de período, nem no cálculo para a 
aceleração da gravidade. 
Com base nos resultados e nos pontos 
discutidos, concluímos que nossos dados 
foram bons para obtermos o valor da 
aceleração gravitacional local. 
4. Conclusão 
O experimento realizado comprova a 
fundamental importância do estudo de 
oscilações no pêndulos simples, desde 
quando Foucault, no século XIX, 
demonstrou o movimento rotacional da 
Terra a partir do mesmo experimento. Com 
base nos resultados e nos pontos 
discutidos, concluímos que nossos dados 
foram bons para obtermos o valor da 
aceleração gravitacional local. Observamos 
que a massa não possui influência nesse 
cálculo e que podemos obter este valor a 
partir de vários métodos por análise do 
movimento oscilatório no pêndulo simples. 
Os gráficos de comprimento versus 
período ao quadrado construídos 
evidenciaram que a relação entre essas 
variáveis é uma reta. 
5. Referências 
Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J. 
Fundamentos de Física​, ed.7, V.1. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996.