2 Estabilidade TZ

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Transformada Z e Análise de 
Sistemas Discretos 
Prof. Ciro André Pitz 
DEET– Departamento de Engenharia Elétrica e 
Telecomunicações 
FURB – Universidade de Blumenau 
A Transformada Z 
• A transformada Z é uma ferramenta muito útil na 
análise de sinais e sistemas discretos; 
• É o equivalente em tempo discreto da 
transformada de Laplace de tempo contínuo; 
• Pode ser usada na resolução de equações de 
diferenças, na determinação da resposta de um 
sistema LID, e no projeto de filtros digitais 
lineares. 
 
Definição da Transformada Z 
 
• A transformada Z de um sinal de tempo discreto 
é dada por: 
 
 
 
• Onde é uma variável complexa; 
 
Exemplo 
• Ex: Calcular a transformada Z do sinal x(n) dado a 
seguir: 
( ) ( 1) 2 ( ) 3 ( 2) 4 ( 3) 2 ( 4)x n n n n n n             
Plano “Z” 
• Como a transformada Z é uma função de 
variável complexa, é conveniente descrevê-la 
usando um plano complexo Z; 
• Para 
“Z” vs. Laplace 
• Se calcularmos a transformada Z para valores 
de “z” ‘sobre o círculo de raio unitário, obtemos: 
 
 
• Os valores de “z” para os quais X(z) converge 
definem uma região do plano Z denominada 
Região de Convergência (RDC) 
• Observe que o eixo imaginário no domínio de 
Laplace define o círculo de raio unitário no plano 
“z”. 
Pares Comuns de Transformada Z 
Propriedades da Transformada Z 
• Linearidade: A Transformada Z é um operador 
linear, ou seja: 
 
 
 
• Deslocamento no tempo: O deslocamento de 
uma sequência x(n) em n corresponde à 
multiplicação da transformada Z por uma 
potência de z: 
Propriedades da Transformada Z 
• Inversão no tempo: 
 
 
 Neste caso, se a região de convergência era: 
 
 
 passa a ser: 
Propriedades da Transformada Z 
• Multiplicação por uma exponencial: corresponde 
a um escalamento no domínio z. 
 
 
Se a região de convergência era: 
 
 
 Passa a ser: 
 
 
Propriedades da Transformada Z 
• Teorema da Convolução: A convolução no 
domínio “n” corresponde a uma multiplicação no 
domínio “z”: 
 
 
• A região de convergência de Y(z) é dada pela 
intersecção de Rx e Ry 
• Entretanto a região de convergência de Y(z) 
pode ser maior caso ocorra o cancelamento de 
pólos e zeros 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Propriedades da Transformada Z 
• Derivada: Se X(z) for a transformada Z de x(n), 
então a transformada Z de nx(n) é: 
Resumo das Propriedades 
Exercício: 
• Encontre a Transformada Z de cada sequência 
abaixo: 
Análise de Sistemas LID utilizando a Transformada Z 
• A ideia aqui é utilizar a transformada Z para simplificar a 
análise de sistemas LID 
• A utilização da transformada Z para análise de sistemas LID 
é análoga à utilização da transformada de Laplace para 
análise de sistemas LCIT 
• A partir da transformada Z pode-se verificar a BIBO 
estabilidade e obter resposta em frequência de sistemas LID 
de maneira simplificada 
Transformada Z da Resposta ao Impulso 
• A resposta ao impulso h(n) de sistemas LID apresenta 
informações sobre 
• BIBO estabilidade 
• Resposta em frequência H(jω) 
• A transformada Z de h(n), representada por H(z), também 
permite obter essas informações 
• H(z) pode ser obtido a partir de 
 
 
 
• H(z) é chamado de função de transferência no domínio de Z 
 
( ) ( ) n
n
H z h n z



 
Função de Transferência 
• A saída de um sistema LID é dada por 
 
 
• Aplicando a transformada Z em ambos os lados da expressão 
anterior, obtém-se 
( ) ( ) ( )y n x n h n 
( ) ( ) ( )Y z X z H z
( )
( )
( )
Y z
H z
X z

Função de Transferência 
• Assim, podemos obter H(z) a partir da equação de diferenças 
que representa um sistema LID 
 
 
 
• Aplicando a transformada Z em ambos os lados da expressão 
anterior e utilizando a propriedade de deslocamento, chega-
se na seguinte expressão: 
 
 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N M
k k
a k y n k b k x n k
 
   
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N M
k k
k k
Y z a k z X z b k z 
 
 
Função de Transferência 
• Ou seja, 
 
0
0
( )
( )
( )
M
k
k
N
k
k
b k z
H z
a k z







Análise da BIBO Estabilidade a partir de H(z) 
• A expressão de H(z) anterior pode ser fatorada, explicitando 
os pólos e zeros do sistema 
 
 
 
 
 
• Relembrando da teoria de sistemas contínuo, a resposta ao 
impulso de um sistema é dada por uma combinação linear 
dos modos característicos do sistema 
1
1
1
1
(1 z )
( )
(1 z )
M
k
k
N
k
k
H z C









Análise da BIBO Estabilidade a partir de H(z) 
• No caso de um sistema discreto, os modos característicos 
são dados por 
 
 
• Assim, para que h(n) seja absolutamente somável, é 
necessário que a seguinte condição seja satisfeita 
 
 
• Com isso, um sistema LID é dito ser BIBO estável se a 
condição anterior for atendida 
arg( )
| | e k
jn
k

| | 1k k  
Resposta em Frequência a partir de H(z) 
• A partir da relação entre a transformada Z e a transformada 
de Laplace podemos concluir que a resposta em frequência 
deve ser obtida utilizando a relação z = ejω 
 
• Assim, a resposta em frequência de um sistema LID pode ser 
encontrada a partir de 
e
( ) ( ) jzH j H z  
Exercício 
• Classifique a BIBO estabilidade e obtenha a resposta em 
frequência dos seguintes sistemas: 
 
• a) 
 
• b) 
2 ( ) ( 2) 2 ( ) 4 ( 3)y n y n x n x n     
( ) 0,5 ( 1) ( ) 2 ( 1) ( 2)y n y n x n x n x n      