RESUMO FÍSICA 11

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momento	angular	inicial,	ele	precisa	realizar	uma	precessão	em	vez	de	simplesmente	tombar.
Precessão.	 Podemos	 calcular	 a	 taxa	de	precessão	Ω	 usando	 primeiro	 as	 Eqs.	 11-44	 e	 11-42	 para
obter	o	módulo	de	d :
Quando	 	 varia	 de	um	valor	 incremental	 durante	 um	 tempo	 incremental	dt,	 o	 eixo	 e	 	 precessam	em
torno	do	eixo	 z	 de	um	ângulo	 incremental	dϕ.	 (Na	Fig.	11-22c,	 o	 ângulo	dϕ	 foi	 exagerado	 para	maior
clareza.)	Com	a	ajuda	das	Eqs.	11-43	e	11-45,	descobrimos	que	dϕ	é	dado	por
Dividindo	essa	expressão	por	dt	e	fazendo	a	taxa	de	precessão	Ω	igual	a	dϕ/dt,	obtemos
Esse	resultado	é	válido	contanto	que	a	velocidade	angular	ω	seja	elevada.	Note	que	Ω	diminui	quando	ω
aumenta.	Observe	 também	que	 não	 haveria	 precessão	 se	 a	 força	 gravitacional	M 	 não	 agisse	 sobre	 o
giroscópio;	entretanto,	como	I	é	uma	função	linear	de	M,	as	massas	no	numerador	e	denominador	da	Eq.
11-46	se	cancelam,	ou	seja,	Ω	não	depende	da	massa	do	corpo.
A	Eq.	11-46	 também	 é	 válida	 quando	 o	 eixo	 do	 giroscópio	 faz	 um	 ângulo	 diferente	 de	 zero	 com	 a
horizontal	e,	portanto,	pode	ser	aplicada	a	um	pião	de	brinquedo.	
	Revisão	e	Resumo
Corpos	em	Rolagem	No	caso	de	uma	roda	de	raio	R	rolando	suavemente,
em	que	vCM	é	a	velocidade	 linear	do	centro	de	massa	da	roda	e	ω	 é	a	velocidade	angular	da	 roda	em
torno	do	centro.	A	roda	pode	também	ser	vista	como	se	estivesse	girando	instantaneamente	em	torno	do
ponto	P	do	“piso”	que	está	em	contato	com	a	roda.	A	velocidade	angular	da	roda	em	torno	desse	ponto	é
igual	à	velocidade	angular	da	roda	em	torno	do	centro.	Uma	roda	que	rola	tem	uma	energia	cinética	dada
por
em	que	ICM	é	o	momento	de	inércia	da	roda	em	relação	ao	centro	de	massa	e	M	é	a	massa	da	roda.	Se	a
roda	está	sendo	acelerada,	mas	rola	suavemente,	a	aceleração	do	centro	de	massa	 CM	está	relacionada	à
aceleração	angular	α	em	relação	ao	centro	de	rotação	por	meio	da	equação
Se	a	roda	desce	uma	rampa	de	ângulo	θ	rolando	suavemente,	a	aceleração	ao	longo	de	um	eixo	x	paralelo
à	rampa	é	dada	por
O	Torque	como	um	Vetor	Em	três	dimensões,	o	torque	 	é	uma	grandeza	vetorial	definida	em	relação	a
um	ponto	fixo	(em	geral,	a	origem)	por	meio	da	equação
em	que	 	é	a	força	aplicada	à	partícula	e	 	é	o	vetor	posição	da	partícula	em	relação	ao	ponto	fixo.	O
módulo	de	 	é	dado	por
em	que	ϕ	é	o	ângulo	entre	 	e	 ,	F⊥	é	a	componente	de	 	perpendicular	a	 ,	e	r⊥	é	o	braço	de	alavanca
de	 .	A	orientação	de	 	é	dada	pela	regra	da	mão	direita.
Momento	Angular	de	uma	Partícula	O	momento	angular	 	de	uma	partícula	com	momento	 linear	 ,
massa	m	e	velocidade	linear	 	é	uma	grandeza	vetorial	definida	em	relação	a	um	ponto	fixo	(em	geral,	a
origem)	por	meio	da	equação
O	módulo	de	 	é	dado	por
em	que	ϕ	é	o	ângulo	entre	 	e	 ,	p⊥	e	v⊥	 são	as	componentes	de	 	e	 	perpendiculares	a	 ,	e	r⊥	é	a
distância	perpendicular	entre	o	ponto	fixo	e	a	extensão	de	 .	A	orientação	de	 	é	dada	pela	regra	da	mão
direita	para	produtos	vetoriais.
Segunda	Lei	de	Newton	para	Rotações	A	segunda	lei	de	Newton	para	a	rotação	de	uma	partícula	pode
ser	escrita	na	forma
em	que	 res	é	o	torque	resultante	que	age	sobre	a	partícula	e	 	é	o	momento	angular	da	partícula.
Momento	Angular	de	um	Sistema	de	Partículas	O	momento	angular	 	de	um	sistema	de	partículas	é	a
soma	vetorial	dos	momentos	angulares	das	partículas:
A	taxa	de	variação	com	o	tempo	do	momento	angular	é	igual	ao	torque	externo	resultante	que	age	sobre	o
sistema	 (a	 soma	 vetorial	 dos	 torques	 produzidos	 pelas	 interações	 das	 partículas	 do	 sistema	 com
partículas	externas	ao	sistema):
Momento	Angular	de	um	Corpo	Rígido	No	caso	de	um	corpo	rígido	que	gira	em	torno	de	um	eixo	fixo,
a	componente	do	momento	angular	paralela	ao	eixo	de	rotação	é
Conservação	 do	Momento	Angular	 O	momento	 angular	 	 de	 um	 sistema	 permanece	 constante	 se	 o
torque	externo	resultante	que	age	sobre	o	sistema	é	nulo:
Essa	é	a	lei	de	conservação	do	momento	angular.
Precessão	de	um	Giroscópio	Um	giroscópio	pode	realizar,	em	torno	de	um	eixo	vertical	que	passa	pelo
suporte,	um	movimento	de	precessão	a	uma	taxa	dada	por
em	que	M	é	a	massa	do	giroscópio,	r	é	o	braço	de	alavanca,	I	é	o	momento	de	inércia	e	ω	é	a	velocidade
angular	do	giroscópio.
	Perguntas
1	 A	 Fig.	 11-23	mostra	 três	 partículas	 de	mesma	massa	 e	mesma	 velocidade	 escalar	 constante	 que	 se
movem	nas	orientações	indicadas	pelos	vetores	velocidade.	Os	pontos	a,	b,	c	e	d	formam	um	quadrado,
com	o	ponto	e	no	centro.	Ordene	os	pontos	de	acordo	com	o	módulo	do	momento	angular	resultante	em
relação	aos	pontos	do	sistema	de	três	partículas,	em	ordem	decrescente.