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ELETROTÉCNICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Clauser Lima 
Barreiras – BA - 2017 
 
 
 
 
Sumário 
1 - APRESENTAÇÃO ....................................................................................................................................................... 3 
2 - ELETROSTÁTICA ....................................................................................................................................................... 3 
2.1 - Introdução à atomística .................................................................................................................................... 3 
2.2 - Condutor e isolante .......................................................................................................................................... 4 
2.3 - Carga elétrica elementar .................................................................................................................................. 4 
3 - ELEMENTOS DE CIRCUITO ELÉTRICO ....................................................................................................................... 7 
3.1 - Circuito elétrico - Gerador de tensão ............................................................................................................... 7 
3.2 - Corrente elétrica convencional ........................................................................................................................ 9 
3.3 - Intensidade de corrente elétrica ...................................................................................................................... 9 
3.4 - Leis de Ohm .................................................................................................................................................... 11 
3.4.1 - Bipolos elétricos ...................................................................................................................................... 11 
3.4.2 - Primeira Lei de Ohm ................................................................................................................................ 12 
3.4.3 - Segunda Lei de Ohm ................................................................................................................................ 13 
3.4.4 - Resistores ................................................................................................................................................ 17 
3.5 - Potência elétrica - Lei de Joule ....................................................................................................................... 22 
4 - ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES ............................................................................................................................... 28 
4.1 - Associação série ............................................................................................................................................. 28 
4.2 - Associação paralela ........................................................................................................................................ 32 
4.3 - Divisor de tensão - Divisor de corrente .......................................................................................................... 35 
4.4 - Associação mista ............................................................................................................................................ 37 
4.5 - Associação estrela e triângulo ........................................................................................................................ 44 
5 – GERADORES .......................................................................................................................................................... 47 
5.1 - Gerador de tensão .......................................................................................................................................... 47 
5.1.1 - Gerador de tensão ideal .......................................................................................................................... 47 
5.1.2 - Gerador de tensão real ............................................................................................................................ 48 
5.1.3 - Máxima transferência de potência.......................................................................................................... 50 
5.1.4 - Associação de geradores de tensão ........................................................................................................ 53 
5.2 - Geradores de corrente ................................................................................................................................... 59 
5.2.1 - Gerador de corrente ideal ....................................................................................................................... 59 
5.2.2 - Gerador de corrente real ......................................................................................................................... 60 
5.2.3 - Equivalência entre gerador de tensão e gerador de corrente ................................................................ 61 
6 – RECEPTORES ELÉTRICOS ATIVOS .......................................................................................................................... 64 
7 – LEIS DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................................... 69 
7.1 - Definições ....................................................................................................................................................... 69 
 
 
7.2 - Primeira Lei de Kirchhoff ................................................................................................................................ 70 
7.3 - Segunda Lei de Kirchhoff ................................................................................................................................ 70 
7.4 – Balanço energético ........................................................................................................................................ 74 
8 - MÉTODO DE MAXWELL (CORRENTES FICTÍCIAS DE MALHA) ................................................................................ 81 
9 - TEOREMA DE THÉVENIN ........................................................................................................................................ 88 
10 - TEOREMA DE NORTON ........................................................................................................................................ 96 
11 - TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO ........................................................................................................................... 102 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................................ 106 
ANEXO A – Revisão de matemática .......................................................................................................................... 107 
 
 
 
 
3 
 
1 - APRESENTAÇÃO 
 
Esta apostila visa a contribuir com os alunos do curso de Eletrotécnica, nível médio, cursando a 
disciplina Eletrotécnica I, cuja ementa no projeto do curso é constituída dos seguintes assuntos: 
 
 Eletrostática; elementos de circuito elétrico: eletrodinâmica, corrente elétrica convencional, 
intensidade de corrente elétrica, Leis de Ohm; resistores, potência elétrica – Lei de Joule; circuitos 
elétricos em corrente contínua: associação de resistores; geradores; receptores elétricos ativos; Leis de 
Kirchhoff; Método de Maxwell; Teorema de Thévenin; Teorema de Norton; Teorema da Superposição.2 - ELETROSTÁTICA 
2.1 - Introdução à atomística 
 
Alguns fenômenos elétricos e magnéticos tais como o raio e o ímã, sempre foram objetos, de 
curiosidade do ser humano. Muitas tentativas foram feitas para justificá-los, mas a explicação correta 
somente aconteceu quando da descoberta do átomo e suas partículas atômicas. 
Hoje, sabemos que todos os corpos são constituídos de moléculas e de átomos. 
Os átomos por sua vez são constituídos de minúsculas partículas, chamadas de partículas 
atômicas, as principais são: próton, elétron e nêutron. 
O modelo mais simples para representar um átomo é o modelo de Bohr, o qual considera o átomo 
como tendo um núcleo onde se localizam os prótons e os nêutrons, e uma região ao redor do núcleo 
chamada de coroa ou de eletrosfera, onde giram os elétrons em órbitas bem definidas. Este modelo é 
semelhante ao sistema solar, que tem o sol ao centro e os planetas girando ao seu redor. 
Os prótons e os elétrons são caracterizados por terem uma propriedade física, chamada de carga 
elétrica, os nêutrons não têm carga elétrica. Como foi verificado que as cargas do próton e do elétron têm 
características opostas e que cargas elétricas podem ser somadas algebricamente, resolveu-se atribuir sinal 
algébrico às cargas de próton e elétron, convencionando-se como negativa a carga do elétron e positiva a 
do próton. 
A quantidade de carga que o elétron carrega é igual em módulo à quantidade de carga que o próton 
carrega, por isso dizemos que o átomo é neutro, quando o número de prótons é igual ao número de 
elétrons. Outra característica importante das cargas elétricas é o fato de haver forças de interação entre 
elas, assim é que cargas do mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem. 
 
Como já foi dito, em um átomo neutro o numero de elétrons é igual ao número de prótons. 
Quando há um desequilíbrio, dizemos que o átomo está ionizado. 
Se apresentar elétrons em excesso, o átomo estará ionizado negativamente, se apresentar falta de 
4 
 
elétrons estará ionizado positivamente. 
É importante observar que o número de prótons é constante, o que se altera é o número de 
elétrons, isto é, para ionizar o átomo negativamente colocamos elétrons a mais, e se quisermos ionizar o 
átomo positivamente, retiramos elétrons. 
Do ponto de vista macroscópico, dizemos que o corpo está eletrizado quando houver um 
desequilíbrio entre o número de prótons e o número de elétrons dos átomos deste corpo. 
A quantidade de carga adquirida pelo corpo depende do número de elétrons retirados ou colocados 
no corpo. 
 
2.2 - Condutor e isolante 
 
Condutores elétricos são materiais caracterizados por possuírem no seu interior portadores de 
cargas livres, responsáveis pela passagem de uma corrente elétrica (movimentação ordenada de cargas 
elétricas) pelo seu interior. Os condutores podem ser sólidos, líquidos e gasosos. A diferença básica 
entre eles está no tipo de portador de carga que possuem. 
Por exemplo, em uma solução de água com sal (NaCl), haverá uma dissociação da molécula de 
cloreto de sódio (NaCl) em íons Na+ e Cl-, que ficam livres para se movimentar pelo interior da solução. 
O processo de condução em um gás é análogo. 
Dos condutores, os mais usados em eletrônica são os condutores metálicos, por causa das suas 
características físicas, químicas e econômicas. 
Nos condutores metálicos, os portadores de carga são elétrons. Em um metal, os elétrons que 
giram na última órbita estão tão fracamente presos ao átomo, que ao passarem nas proximidades de outro 
átomo podem sair da órbita. 
Estes elétrons pelo fato de não estarem presos a nenhum átomo, são chamados de elétrons livres. 
Se num determinado instante pudéssemos tirar uma fotografia do interior do material veríamos uma 
nuvem de elétrons envolvendo cada átomo. São esses elétrons livres os responsáveis pela condução da 
corrente elétrica em um metal. 
Isolantes são substâncias que não permitem a passagem de uma corrente elétrica, por não terem 
portadores de cargas livres, os elétrons da última camada estão fortemente presos ao átomo. Exemplos de 
isolantes: vidro, mica, fenolite, baquelite, borracha, porcelana, água pura, etc. 
Os termos isolante e condutor na realidade são relativos, pois sob certas circunstâncias um isolante 
pode se comportar como um condutor e vice-versa, além disso existe uma outra classe de substância 
chamada de semicondutores, os quais têm características intermediárias entre os condutores e os isolantes, 
e são largamente utilizados em eletrônica. 
 
2.3 - Carga elétrica elementar 
 
Carga elétrica elementar é a menor quantidade de carga elétrica possível de existir. É a carga que 
um elétron carrega à qual designaremos por qe. 
A quantidade de carga de um corpo (Q) é sempre um número inteiro desta quantidade (qe) por isso 
dizemos que a carga de um corpo é uma grandeza quantizada. O estado elétrico de um corpo pode ser 
alterado, colocando-se ou retirando-se um número inteiro de elétrons. Por exemplo: 
 
 
5 
 
 
O corpo fica com um elétron a mais, isto é, a carga do corpo é negativa e igual à carga que um 
elétron carrega (qe) Q = qe. 
 
O corpo fica negativo e com uma carga igual a duas vezes a carga que um elétron carrega, isto é, 
Q = 2qe. 
Se generalizarmos para n elétrons colocados, a carga do corpo será igual a Q = n.qe e negativa. Ao 
invés de colocarmos elétrons, vamos retirar elétrons do corpo neutro. 
 
 
Observe que ao retirar um elétron do corpo neutro, o corpo ficará com um próton a mais, logo a 
carga do corpo será positiva e igual à carga que um próton carrega, isto é, Q = qp. 
 
 
O corpo ficará com uma carga positiva e igual a duas vezes a carga que um próton carrega, isto é, 
Q = 2 x qp. 
Generalizando para n elétrons retirados teremos Q = n x qp. 
Como │qe│= │qp│ (em módulo as cargas do próton e elétron são iguais) pode-se considerar uma 
única equação que dá a carga de um corpo em função do número de elétrons (retirados ou colocados). 
Q = n x qe 
Se n são elétrons colocados, significa que estamos colocando no corpo uma carga negativa (Q < 
0). Se por outro lado n for o número de elétrons retirados, significa que a carga colocada no corpo é 
positiva (Q > 0). 
Podemos concluir que uma forma de especificar quantitativamente a carga de um corpo, é 
especificar o número de elétrons em excesso ou em falta em um corpo. Como o número de elétrons 
envolvidos é muito alto, esta não é uma forma prática de se especificar a carga de um corpo, daí adotar-se 
como unidade de carga elétrica o Coulomb (C), assim definido: 
 
1 C = 6,25 x 1018 x qe 
 
Significado físico do Coulomb 
6 
 
 
Tanto faz dizermos que a carga do corpo é +1C ou que estão faltando 6,25 x l018 elétrons. 
 
 
 
Tanto faz dizermos que a carga do corpo é -1C, ou que existem 6,25 x l018 elétrons em excesso no 
corpo. 
Da definição do Coulomb, determinamos qual a quantidade de carga que um elétron carrega, em 
Coulombs. 
 
sendo uma quantidade negativa por causa da convenção adotada. 
Evidentemente a carga do próton (qp) apresenta o mesmo valor, porém sendo uma quantidade 
positiva. Como a quantidade envolvida é muito pequena costuma-se usar mais os submúltiplos. 
 
1 milicoulomb (mC) = 10-3 C 
1 microcoulomb (µC) = 10-6 C 
1 nanocoulomb (nC) = 10-9 C 
1 picocoulomb (pC) = 10-12 C 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Quantos elétrons devem ser retirados de um corpo neutro para que fique com uma carga de 32 µC? 
R: Podemos resolver por proporção 
 
 
Poderíamos ter usado a equação: 
 
7 
 
2) Em um corpo neutro foram colocados 5x10
14
 elétrons. Com que carga fica o corpo? 
 
Exercícios propostos 
 
1) Definir condutor e isolante. Dar exemplos. 
2) Dar as características de um condutor metálico. 
3) Em que condições um corpo é dito neutro?E eletrizado positivamente? E negativo? 
4) Quantos elétrons devem ser retirados de um corpo neutro para que fique com 0,1C? 
5) Quantos elétrons devem ser colocados em um corpo neutro para que fique com uma carga de -6,4mC? 
6) Em um corpo neutro foram colocados 1014 elétrons. Com que carga ficará o corpo? 
7) De um corpo foram retirados 2xl014 elétrons, ficando o corpo com uma carga de -32 µC. Qual era a 
carga inicial do corpo? 
 
Solução dos exercícios propostos 
 
4) 6,25 x l017 elétrons 
5) 4 x l016 elétrons 
6) -16 µC 
7) Qi = -64µC 
 
3 - ELEMENTOS DE CIRCUITO ELÉTRICO 
3.1 - Circuito elétrico - Gerador de tensão 
 
A eletrodinâmica estuda as cargas elétricas em movimento em um circuito elétrico. Chamamos de 
circuito elétrico a um caminho fechado, constituído de condutores, pelo qual passam as cargas elétricas. O 
circuito elétrico mais simples tem um gerador de tensão e um receptor. Por exemplo, uma pilha ligada à 
uma lâmpada constitui-se em um circuito elétrico: a pilha é o gerador e a lâmpada é o receptor. 
Como já foi visto anteriormente, para que haja deslocamento de cargas (corrente elétrica) é 
necessário que exista uma d.d.p (tensão elétrica diferença de potencial) entre dois pontos de um 
condutor. Um gerador de tensão é um dispositivo que mantém, por meio de uma ação química (pilha), 
mecânica (alternador) ou outra qualquer, uma d.d.p entre dois pontos chamados de polos. O ponto de 
maior potencial é chamado de polo positivo, e o ponto de menor potenciai é chamado de polo negativo. 
Existem geradores de tensão constante ou contínua (E x .: pilha e bateria) e geradores de tensão 
alternada (Ex.: alternador). No nosso estudo, só serão considerados os geradores de tensão contínua. Na 
figura abaixo, à esquerda, estão representados o símbolo usado em circuito e o gráfico da tensão em 
função do tempo de um gerador de tensão contínua. Na figura abaixo, à direita, estão representados o 
símbolo e o gráfico em função do tempo de um gerador de tensão alternada senoidal. 
8 
 
 
Uma característica importante de um gerador é a sua força eletromotriz (f.e.m), que é a d.d.p 
gerada internamente e cujo valor só depende da sua construção (do material de que é feito). Por exemplo, 
no caso de uma pilha E = 1,5 V. 
Para que possamos entender como um gerador atua em um circuito costumamos fazer analogia 
com o sistema hidráulico, visto que muitas leis da eletricidade são válidas na hidráulica. 
Consideremos na figura abaixo duas caixas de água colocadas em níveis diferentes. A água se 
desloca naturalmente do nível superior para o inferior, para elevar a água é necessário fornecer energia as 
partículas de água na parte inferior para que possam vencer o desnível. O dispositivo que aumenta a 
pressão da água é chamado de bomba hidráulica. Quanto maior for o desnível a ser vencido mais potente 
deverá ser a bomba, isto é, maior deve ser a diferença de pressão entre a saída de água e a entrada de 
água. 
 
 
Em um circuito elétrico, um gerador de tensão faz o mesmo que a bomba no circuito hidráulico. O 
gerador de tensão aumenta a energia dos elétrons para que possam vencer os desníveis elétricos do 
circuito, representados pelas resistências dos condutores e pelos diversos receptores do circuito. Por 
exemplo, na figura abaixo temos um circuito elétrico no qual temos uma pilha ligada a uma lâmpada. 
Uma lâmpada é um receptor, pois transforma energia elétrica em luz e calor. Basicamente é 
constituída de um bulbo de vidro do qual se retirou o ar e colocou um gás inerte. Dentro do bulbo existe o 
filamento, que é um fio de tungstênio que aquece ao ser percorrido por uma corrente elétrica (efeito 
Joule), ficando rubro e emitindo luz. 
 
 
 
Os elétrons saem do gerador pelo polo negativo. Por meio de fios condutores chegam à lâmpada 
onde a energia que possuem é transformada em calor e luz. Entram no gerador pelo polo positivo onde 
ganham mais energia para repetir o ciclo. 
 
9 
 
3.2 - Corrente elétrica convencional 
 
Como vimos, para eletrizar um corpo positivamente, ou retiramos elétrons, ou colocamos prótons 
no corpo neutro. É claro que a primeira maneira é a realizável fisicamente, mas as duas situações 
produzem o mesmo efeito. Concluímos que cargas positivas, deslocando-se em um sentido, produzem o 
mesmo efeito que cargas negativas de mesmo módulo, deslocando-se no sentido oposto. 
Esses conceitos são importantes para compreendermos o significado de corrente elétrica 
convencional. Nos primórdios da eletricidade, achava-se que a corrente elétrica era devido a um "fluído 
positivo". Após a descoberta do átomo e de suas partículas atômicas, verificou-se que realmente a 
corrente elétrica em um condutor metálico é devida a elétrons livres, mas mesmo assim em um circuito, 
costumamos orientar a corrente no sentido contrário ao sentido real, daí chamarmos esta corrente de 
convencional. A figura abaixo (a), mostra o sentido real da corrente em um circuito, enquanto as figuras 
(b) e (c) mostram o sentido convencional. 
 
3.3 - Intensidade de corrente elétrica 
 
Uma corrente elétrica é uma movimentação ordenada de cargas elétricas por um condutor. A 
medida do fluxo de cargas, através deste condutor, determina a intensidade da corrente elétrica (i). 
Consideremos um condutor de secção transversal S, percorrido por uma corrente elétrica, figura abaixo, 
 
define-se intensidade média de corrente elétrica como sendo: 
 
ΔQ = quantidade de cargas (em C) que atravessa uma secção transversal do condutor no intervalo de 
tempo At (em s). 
Obs: Δ leia-se delta 
d.d.p (diferença de potencial) = tensão elétrica = U = VB - VA 
 
A unidade de intensidade de corrente elétrica é o Ampère (A ) . 
1A = l C/s 
Define-se intensidade de corrente instantânea como sendo: 
 
 
10 
 
Leia-se: "Limite da relação 
∆𝑄
∆𝑡
 quando Δt tende para zero". 
Se o valor da intensidade média for o mesmo para qualquer intervalo de tempo, o valor 
instantâneo coincidirá com o valor médio. A corrente nestas condições é chamada de contínua. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Durante 10 s uma secção transversal de um condutor foi atravessada por 0,2 C de carga. Qual a 
intensidade média da corrente no condutor? 
 
2) Durante 1 minuto uma secção de um condutor foi atravessada por 9 x l020 elétrons. Qual a intensidade 
média da corrente elétrica? 
A quantidade de carga que atravessou a secção, em módulo, será ΔQ = n x qe 
 
 
 
3) Qual o intervalo de tempo necessário para que passem 2C de carga por uma secção de um fio, sabendo-
se que a intensidade média da corrente no fio é 20 µA? 
∆𝑄 = 2𝐶 𝐼𝑀 = 20 ∙ 10
−6𝐴 = 20 ∙ 10−6 𝐶/𝑠 
∆𝑡 =
∆𝑄
∆𝐼
=
2𝐶
20 ∙ 10−6 𝐶/𝑠
= 0,1 ∙ 106 𝑆 = 100.000 𝑠 
 
4) A capacidade de um acumulador (bateria) é de l00 Axh, calcular: 
a) Capacidade em C 
b) Intensidade média da corrente na descarga, se o acumulador perdeu toda a sua carga em 20h . 
 
a) Um acumulador é um dispositivo que armazena cargas para posterior uso (assim como um 
reservatório de água), de forma que a sua capacidade pode ser expressa em C. 
 
 
b) Se o acumulador perdeu toda a carga em 20h = 72000s, significa que através de uma secção fio 
condutor ligado ao acumulador passaram 36 x 10
4
 C de carga, logo a intensidade média na descarga será: 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Defina tensão elétrica. O que são geradores de tensão? Dê exemplos. 
2) O que é corrente elétrica convencional? Qual a diferença entre corrente real e convencional? 
11 
 
3) Durante l h uma secção de um condutor foi atravessada por 72 x 1022 elétrons. Qual a intensidade 
média da corrente? 
4) Converter para mV 
a) 0,052 V b) 750 µV c) 0,0005 kV 
5) Converter para Ampère 
 a) 0,07 kA b) 7 ,5mA c) 55000 µA 
6) Um acumuladorrecebeu 100 C de carga durante 25 h. Qual a intensidade média da corrente na carga? 
Qual o número de elétrons que o acumulador recebeu? 
7) A capacidade de um acumulador é de 72 x 104 C, determinar: 
a) capacidade em A x h 
b) tempo necessário (em horas) para o acumulador se descarregar totalmente, se a intensidade 
 média na descarga é de 50A. 
c) Intensidade média de descarga, se o acumulador perdeu toda a carga em l0 h. 
8) A intensidade da corrente em um fio é de 80 mA. Qual o tempo necessário para que uma secção do fio 
seja atravessada por 5 x 1014 elétrons? 
9) A intensidade da corrente em uma lâmpada é l00 mA. Quantos elétrons passam por segundo pelo 
filamento da lâmpada? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
3) IM = 32A 
4) a) 52 mV b) 0,75 mV c) 500 mV 
5) a) 75 A b) 0,0075 A c) 0,055A 
6) IM = 1,11 mA n = 62,5 x 10
19 elétrons 
7) a) 200 A.h b) Δt = 4h c) IM = 20A 
8 ) t = l ms 
9) n = 6,25 x 1017 elétrons/segundo 
 
3.4 - Leis de Ohm 
 
3.4.1 - Bipolos elétricos 
 
Chamamos de bipolo elétrico a todo dispositivo elétrico com dois terminais acessíveis. Os bipolos 
podem ser geradores e receptores. 
Um bipolo gerador é um dispositivo elétrico que transforma algum tipo de energia em energia 
elétrica. Ex: pilha, bateria, dínamo, etc. Os bipolos receptores transformam energia elétrica em outro tipo 
de energia. Por exemplo, lâmpada, motor elétrico, chuveiro, etc. 
Em um bipolo tensão e corrente são representadas por setas convenientemente orientadas. Nas 
figura (a) e (b) abaixo estão indicadas as convenções de polaridade para bipolo gerador e bipolo receptor. 
 
 
Observe que, fixada a orientação da tensão e da corrente em um bipolo, se invertermos o sentido 
12 
 
da tensão ou da corrente, em relação àquela orientação, a tensão ou corrente passa a ser negativa. 
 
3.4.2 - Primeira Lei de Ohm 
 
Em um condutor que está sendo percorrida por uma corrente elétrica, os elétrons ao longo do seu 
percurso pelo condutor sofrerão uma oposição à sua passagem. A medida desta oposição é dada por uma 
grandeza chamada de resistência elétrica (R). 
O valor da resistência elétrica depende do tipo de condutor considerado (ferro, cobre, alumínio, 
etc), da agitação térmica dos átomos e das dimensões do condutor. 
Georg Ohm verificou experimentalmente, que a relação entre a tensão aplicada em determinados 
condutores, e a intensidade da corrente correspondente, era uma constante, qualquer que fosse a tensão. 
A essa constante ele chamou de resistência elétrica (R). 
Os condutores que apresentam esse comportamento são chamados de ôhmicos. 
 
 
 
A unidade de resistência elétrica é chamada de Ohm (Ω). 
1Ω = 1V/A 
isto é, um condutor que tem uma resistência de 1Ω deixa passar uma corrente de 1 A, ao ser submetido a 
uma tensão de1V . Se a tensão dobrar, a corrente também dobrará. 
 
Múltiplos do Ohm 
1 kiloohm (kΩ) = 103 Ω 
1 megaohm (MΩ) = 106 Ω 
1 miliohm (mΩ ) = 10-3 Ω 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um fio de cobre ao ser submetido a uma tensão de 24 V deixa passar uma corrente de 0,2A. Qual o 
valor da resistência do fio? 
 
2) A resistência de um condutor é 20 Ω. Calcule a intensidade da corrente no condutor quando este for 
submetido a uma tensão de 9 V . 
 
3.4.2.1 - Condutância 
 
É definida como sendo o inverso da resistência 
𝐺 =
1
𝑅
=
𝐴
𝑉
 
A unidade de condutância é o Siemens (S) 
13 
 
1 S = 1 A/V 
Na prática, é comum o uso do mho , sendo 1 mho = 1 S = 1 Ω-1 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcule a condutância de um fio cuja resistência é 125 Ω. 
 
Obs: A resposta foi dada usando-se as duas unidades (S e mho), mas é claro que bastava uma delas, 
lembrando que a unidade oficial é o Siemens (S). 
2) Ao aplicar-se uma tensão de 15 V a um condutor verificou-se que a corrente que o percorria era de 3 
mA, calcular: 
a) Resistência do fio 
b) Condutância do fio 
 
 
3) A resistência de um condutor é 20 kΩ, calcular: 
a) Condutância do condutor 
b) Tensão aplicada se a corrente tiver intensidade igual a 0,6 mA 
 
 
 
3.4.3 - Segunda Lei de Ohm 
 
A segunda Lei de Ohm relaciona a resistência de um condutor com suas dimensões e com o 
material de que é feito. 
Consideremos as seguintes situações: 
a) Dados dois condutores de mesmo comprimento, feitos do mesmo material, mas de secções transversais 
diferentes. 
 
Experimentalmente podemos verificar que R1 > R2, como o material e o comprimento influenciam 
igualmente nos dois condutores, concluímos que a resistência de um condutor é inversamente 
proporcional à área de sua secção transversal, isto é, 𝑅~
𝑘1
𝑆
, 𝑘1 é uma constante de proporcionalidade. 
 
14 
 
b) Dados dois condutores de mesma secção transversal, feitos do mesmo material, mas de comprimentos 
diferentes. 
 
Experimentalmente, podemos verificar que R1 < R2, como o material é o mesmo nos dois 
condutores e a área da secção transversal também, as suas influências serão iguais. Concluímos que, 
quanto maior for o condutor, maior será a sua resistência elétrica, isto é, 𝑅~𝐾2 ∙ 𝐿, K2 é uma constante de 
proporcionalidade. 
c) Consideremos agora dois condutores de mesmas dimensões, feitos de materiais diferentes. 
 
 
No caso, um dos condutores é de ouro e o outro é de ferro. Verifica-se experimentalmente que o 
condutor de ouro apresenta uma resistência menor. Como as dimensões são as mesmas, concluímos que a 
resistência de um condutor depende do material de que é feito. 
A conclusão a que chegamos é que, dado um condutor filiforme, homogêneo, de comprimento L e 
área da secção transversal S, figuras abaixo, a sua resistência pode ser dada pela equação: 
𝑅 =
𝜌 ∙ 𝐿
𝑆
 
 
Na expressão 𝑅 =
𝜌∙𝐿
𝑆
, ρ (letra grega rô) é uma constante física cujo valor depende do material de 
que é feito o condutor, chamada de resistividade. 
Das figuras acima observe que a secção transversal pode ser qualquer uma (circular, retangular, 
triangular), contanto que seja constante. 
A unidade de resistividade é obtida da equação, pois sendo 𝑅 =
𝜌∙𝐿
𝑆
 resulta: 
 
 
O inverso da resistividade é chamado de condutividade (σ) 
𝜎 =
1
𝜌
 𝜎 → 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎 𝑚𝑖𝑛ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎 
desta forma, a equação da segunda lei de ohm pode ser escrita por 
15 
 
𝑅 =
𝜌 ∙ 𝐿
𝑆
 
A unidade de condutividade é o inverso da unidade de resistividade. 
 
 
 
A tabela abaixo dá a resistividade de alguns materiais na temperatura de 20°C. 
 
MATERIAL Ρ (Ω x m) 
Alumínio 2,8 x 10
-8
 
Chumbo 21 x 10
-8
 
Cobre 1,7 x 10
-8
 
Ferro 11 x 10
-8
 
Prata 1,6 x 10
-8
 
Tungstênio 5 x 10
-8
 
Ouro 2,3 x 10
-8
 
Manganina 45 x 10
-8
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular a resistência de um fio de alumínio de 200 m de comprimento e 2 mm2 de secção. 
 
Consideremos duas soluções: 
 
As duas soluções foram apresentadas para que você compreenda que não basta decorar a fórmula, 
mas é também importante o uso adequado das grandezas que nela comparecem. 
No caso, podemos concluir que, se ρ é dado em Ω.m, S em m2 e L em m, obtemos R em Ω. Se 
porém, ρ é dado em 
Ω∙𝑚𝑚2
𝑚
, S devem ser dado em mm2 para que possamos obter R em Ω. 
 
2) Um fio de cobre tem 2 mm de diâmetro, aplicando-se uma tensão de 20 V ao fio resulta uma corrente 
de 2 A. Qual o comprimento do fio? 
16 
 
 
3) Aumentando-se duas vezes o comprimento de um fio, e dobrando­-se o seu raio, qual será a relação 
entre as resistências do fio nos dois casos? 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) A resistência de um condutor é 25 kΩ, calcular:a) sua condutância 
b) corrente em mA quando submetido a 10 V 
 
2) A condutância de um condutor é 200 µmho, calcular: 
a) Sua resistência em kΩ e MΩ 
b) Intensidade da corrente que o percorre quando submetido a uma tensão de 500 mV 
 
3) Um fio de cobre tem 1 km de comprimento e 20 mm2 de secção. Entre as extremidades do fio é 
aplicada uma tensão de 12 V. Calcule a intensidade da corrente que o percorre. 
 
4) Explique a diferença entre resistência e resistividade. 
 
5) Qual deve ser o comprimento de um fio de alumínio de 4 mm de diâmetro para que ele apresente uma 
resistência de 1 Ω? 
 
6) Um condutor tem 200 m de comprimento e 2 mm de diâmetro. Ao ser submetido a uma tensão de 8 V é 
percorrido por uma corrente de 400 mA. Qual a resistividade do material do fio? E a sua condutividade? 
 
7) Um fio de manganina de 10 m de comprimento é submetido a uma tensão de 220 V. Sabendo-se que o 
diâmetro do fio é 1 mm, calcular: 
a) Intensidade da corrente 
17 
 
b) Condutância do fio 
 
8) Um fio tem uma resistência de 20 Ω. Retira-se do fio um pedaço de 2,5 m de comprimento, a 
resistência do fio passa a valer 12 Ω. Qual era o comprimento inicial do fio? 
 
9) Um fio de cobre tem mesma secção que um fio de tungstênio. Qual deverá ser a relação entre os seus 
comprimentos para que tenham a mesma resistência elétrica? 
 
10) Dois fios, um de alumínio e outro de tungstênio, tendo a mesma secção, devem ser percorridos pela 
mesma corrente quando submetidos à mesma tensão. Qual deve ser a relação entre os seus 
comprimentos? 
 
11) Calcule a resistência de um fio de alumínio de 400 m de comprimento, e cuja secção é a que está 
indicada na figura abaixo. 
 
 
12) Calcule a resistência de um fio de cobre de l00 m de comprimento, e cuja secção é dada na figura 
abaixo. 
 
 
13) Um fio tem uma resistência de 100 Ω. Acrescentando-se 0,5 m de comprimento, a resistência passa a 
ser 120 Ω. Qual era o comprimento original do fio? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
1) a) 40 ΩS b) 0,4 mA 
2) a) 5 kΩ e 0,005 MΩ b) 100 µA ou 0,1 mA 
3) I = 14,11 A 
5) L = 448,57 m 
6 ) ρ = 31,4 x l0-8 Ωxm σ = 31,8 x 105 S/m 
7) a) I = 38,37 A G = 174 mS 
8 ) Li = 6 ,25 m 
9) Lcu = 2,94.Lw 
10) LA1 = 1, 78 . Lw 
11) R = 0,1 Ω 
12) R = 0,85 Ω 
13) L = 2,5 m 
 
3.4.4 - Resistores 
 
Resistores são bipolos passivos, construídos com a finalidade de apresentar resistência elétrica 
entre dois pontos de um circuito. 
18 
 
Um resistor é um componente eletrônico, a resistência elétrica é o fenômeno físico. Deve ficar 
bem clara a distinção entre os dois termos, isto porque é comum, na prática, chamar-se o componente de 
resistência. Os resistores normalmente são construídos com materiais que obedecem à primeira lei de 
Ohm. Os materiais mais usados na construção de resistores são: o carbono (grafite), algumas ligas como o 
constantan e a manganina e mesmo metais. 
Com relação ao valor da resistência que apresentam, podem ser fixos ou variáveis. 
Os resistores de resistência fixa podem ser película de carvão, de metal e de fio. A figura 3.12 
mostra o aspecto externo desses resistores e o seu símbolo. 
 
 
Os resistores variáveis são constituídos de um elemento resistivo (filme de carvão ou fio) no qual 
desliza um contato móvel. Este contato móvel está preso a um eixo. Girando o eixo, variamos a 
resistência entre um dos terminais fixo e o terminai móvel. A figura abaixo (a) mostra um resistor variável 
de película de carvão e a figura (b) um resistor variável de fio. A diferença principal entre os dois está na 
maior capacidade de corrente do resistor de fio. A figura (c) mostra outro tipo de resistor variável, 
normalmente usado em circuitos onde a corrente é da ordem de amperes. 
Os símbolos usados para resistor variável estão indicados na figura (d) e (e), sendo que o símbolo 
da figura (e) representa um resistor variável chamado de reostato. Um reostato é um resistor variável que 
tem um dos terminais fixos não conectados ao circuito. 
Um potenciômetro é um resistor variável, utilizado como divisor de tensão. Atualmente, este 
termo é usado para designar qualquer resistor de resistência variável. 
 
a) Resistor variável de carvão (Potenciômetro) b) Potenciômetro de fio c) Resistor variável de fio (Reostato) 
Simbologias 
 
 
 (d) (e) (f) 
19 
 
Como os resistores de filme de carvão são os componentes mais usados em circuitos eletrônicos, 
vamos procurar caracterizá-los um pouco mais. São construídos a partir de um cilindro de porcelana, 
figura abaixo (a), sobre o qual é depositada uma fina camada de carvão, figura (b). Em seguida, se faz 
sulcos helicoidais na superfície do carvão, de forma a se obter o valor correspondente de resistência e se 
coloca os terminais de contato, figura (c). A distância entre os sulcos e a sua profundidade é que 
determinarão a resistência do condutor. A última etapa do processo, figura (d), é a colocação de uma 
resina isolante, envolvendo o corpo do resistor, e a colocação de faixas coloridas as quais, através de um 
código, dão o valor da resistência do resistor. 
 
Esta forma de especificar o valor da resistência pode, a princípio, parecer trabalhosa, e você pode 
estar pensando por que simplesmente não escrever no corpo do resistor o valor da resistência. 
Antigamente o valor da resistência vinha impresso no corpo do resistor, porém dois problemas impediam 
a continuação desta forma de se dar esta informação: primeira, esta forma não era muito segura, pois com 
o tempo perdia-se (apagava-se) parte do número ou o número inteiro; segundo, com o avanço da 
eletrônica houve uma diminuição do tamanho dos componentes, de forma que ficava cada vez mais difícil 
a leitura do valor da resistência nesta forma. A codificação através de faixas coloridas resolveu esses 
problemas. Com o tempo você se familiarizará com o código de cores, portanto nada de pânico. 
A leitura do valor nominal (valor impresso) da resistência de um resistor deve ser feita como na 
figura abaixo, e com o auxílio da tabela de código de cores. 
 
 
Observe que as três faixas, que indicam o valor nominal, estão mais afastadas da quarta faixa, que indica 
a tolerância. 
 
CÓDIGO DE CORES 
COR 1ª ALGARISMO 2ª ALG. MULTIPLICADOR TOLERÂNCIA 
Nenhuma - - - ± 20 % 
Prata - - 10-2 ± 10 % 
Ouro - - 10-1 ± 5 % 
Preto - 0 100 
Marrom 1 1 101 ± 1 % 
Vermelho 2 2 102 ± 2 % 
Laranja 3 3 103 
Amarelo 4 4 104 
Verde 5 5 105 
Azul 6 6 106 
Violeta 7 7 107 
Cinza 8 8 108 
Branco 9 9 109 
 
20 
 
 
Os valores nominais de resistência são padronizados, isto é, não é possível encontrar qualquer 
valor de resistência. De uma forma geral, os valores comerciais (1o e 2o algarismo significativo) mais 
comuns são: 10-12-15-18-22-27-33-39-47-56-68-82. Esses valores que aparentemente não têm nenhuma 
logica cobrem toda a faixa de valores possíveis, considerando uma tolerância de 20 %. Para tolerâncias 
menores é possível encontrar outros valores. 
 
3.4.4.1 - Curva Característica 
 
Em um bipolo a relação matemática entre tensão e corrente é dada pela equação característica 
do bipolo. A representação gráfica desta equação é dada pela curva característica do bipolo. Os bipolos 
podem ser lineares ou não, de acordo com a sua equação característica. Se a equação é do tipo U = K1.I 
+ K2, onde K1 e K2 são constantes, o bipolo é dito linear. São exemplos de bipolos lineares, resistores e 
pilhas. Se a equação característica é do tipo 
𝑈 = 𝐾1 + 𝐾2 ∙ 𝐼 + 𝐾3 ∙ 𝐼
2 + 𝐾4 ∙ 𝐼
3+ …. 
 
o bipolo é dito não linear. São exemplos de bipolos não lineares diodos, válvulas. 
 
 
 
No caso de um resistor, a equação característica é dada pela primeira lei de Ohm. 
 U = R . I → equação característica 
A representação gráfica da equação U = R.I é uma reta que passa pela origem (I = 0 → U = 0). 
 
 
Observe que a inclinação da reta (ângulo α) depende da resistência. Quanto maior R, maior o 
ângulo α. 
21 
 
 
 
 
No gráfico, se a característica for paralela ao eixo U, passando pela origem, a resistência é infinita 
(R = ∞), o circuito está aberto. Se a característica for paralela ao eixo I, a resistência é nula (curto-
circuito). 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dar o valor nominal e a faixa de valores possíveis para a resistência do resistor. 
 
 
 
 
Com esta informação o fabricante do resistor está dizendo que o valor nominal é 2200 Ω, sendo 
possível encontrar resistores com valor de resistência compreendido entre 1980 Ω e 2420 Ω. Está claro 
que a probabilidade de se encontrar resistores de 2200 Ω é bem maior. 
 
2) Quais as três primeiras faixas que devem ter os resistores de 270 Ω, 27 Ω, 330 kΩ, 1 MΩ, 1 Ω, e 12 Ω? 
 
3) O circuito abaixo é usado para se determinar a resistência de um resistor desconhecido. No circuito A é 
um amperímetro (mede intensidade de corrente), V é um voltímetro (mede tensão). A tabela foi obtida 
com auxílio do circuito, variando-se a resistência do resistor variável a corrente é variada. 
 
 
22 
 
Com os dados da tabela, levantamos a característica do bipolo, o qual se sabe ser linear. 
 
Observe que os pontos correspondentes aos dados da tabela não estão alinhados, isto se deve a 
erros cometidos na leitura e à imprecisão dos aparelhos. Devemos então traçar uma reta média, passando 
pela origem. Traçada a reta escolhemos qualquer ponto desta reta. No caso, foi escolhido o ponto A para o 
qual temos UA = 37 V e IA = 9 mA. Logo, o valor mais provável para a resistência será: 
 
Exercícios propostos 
 
1) O que são bipolos lineares? E bipolos não lineares? Dar exemplos. 
2) Quais são os principais materiais usados na construção de resistores? 
3) Qual a diferença entre resistor e resistência? 
4) Qual a vantagem em se usar a codificação do valor de uma resistência em relação ao método antigo no 
qual o valor vinha impresso? 
5) O que é um potenciômetro? E um reostato? 
 
3.5 - Potência elétrica - Lei de Joule 
 
Um trabalho é realizado toda vez que uma força provocar o deslocamento de um corpo. Sempre 
que um trabalho é realizado certa quantidade de energia é posta em jogo (é trocada). Em física energia e 
trabalho são sinônimos: “trabalho mede as variações de energia”. A unidade de trabalho (energia) 
chama-se Joule (J). Para termos uma ideia física do Joule, consideremos o seguinte exemplo. 
Para elevar um corpo de massa l kg de uma altura de 1 m, uma pessoa realiza um trabalho (gasta 
energia) de aproximadamente 10 J, supondo que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2. 
 
A energia potencial (energia de posição) de um corpo, em relação a um dado referencial, é dada 
pela equação: 
Ep = m.g.h 
onde 
m = massa do corpo em kg 
g = aceleração da gravidade (≈ 10 m/s2 na superfície da terra) 
h = distância até o referencial em m 
Ep = energia potencial do corpo em relação ao referencial, em J. 
No exemplo a energia potencial no ponto A é zero, pois o corpo está no referencial (h = 0). 
EpA = 0 
23 
 
No ponto B, a energia do corpo será: 
EPB = 1 x 10 x 1 = 10 J 
Logo, para deslocar o corpo de A até B realizamos um trabalho de 10 J. 
 
𝜏𝐴→𝐵 = ΔE𝑝 = 𝐸𝑝𝐵 − 𝐸𝑝𝐴 = 10 − 0 = 10 𝐽 
 
𝜏 (𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎 𝑚𝑖𝑛ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑢) = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 
No ponto B o corpo só tem energia potencial (energia de posição). Ao cair, entre A e B, em 
qualquer ponto, a energia total do corpo é igual à soma da sua energia potencial (que diminui), com a sua 
energia cinética (de movimento), isto é: 
 
Ao bater no solo, o corpo só tem energia cinética. 
Define-se potência (P) como sendo o trabalho realizado por unidade de tempo, isto é: 
 
𝑝 =
𝜏
𝑡
 
τ é o trabalho realizado (em Joules), por um dispositivo que tem a potência P, no intervalo de 
tempo t (em segundos). 
A unidade de potência é, portanto, o Joule/segundo ou Watt (W) 
1 𝐽 𝑠⁄ = 1 𝑊 
Por exemplo, suponha que Joãozinho elevou um corpo de 1 kg a uma altura de l m em l s, e 
Terezinha realizou o mesmo trabalho em 2 s. A potência desenvolvida por Joãozinho é 
 
enquanto que a potência desenvolvida pela Terezinha é 
 
Portanto Joãozinho é duas vezes mais potente que a Terezinha. 
Na prática, costuma-se usar as seguintes unidades. 
Potência 
1 H.P (Horse-Power) = 746 W 
1 C.V (Cavalo-Vapor) = 736 W 
 
Trabalho (Energia) 
1 cal (caloria) = 4,18 J 
1 kW.h = 3,6 x106 J 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Qual a potência (em W e H.P) desenvolvida por uma pessoa para elevar um corpo de 5 kg a uma altura 
de 1,5 m em l s? 
Adotar g = 10 m/s2 
O trabalho realizado é igual à variação de energia sofrida pelo corpo, isto é: 
 
 
24 
 
 
2) Um dispositivo desenvolve uma potência de 1 kW. Calcule o trabalho realizado pelo dispositivo 
durante 1h (em J, kWh e cal). 
P = 1 kW = 1000 W t = 1 h = 3600 s 
Em Joules: τ = P.t = 1000 W . 3600 s = 3.600.000 J 
Em kWh: τ = 1 kW.1h = 1 kWh 
 
 
3) A potência de uma máquina é de 2500W. Calcule o trabalho realizado pela máquina (em J e kWh) 
durante 5 h de funcionamento. 
 
P = 2500W = 2,5 kW t = 5h = 18000s 
Em Joules: τ = 2500.18000 = 45.000.000 J = 45 . 106 J 
Em kWh: τ = 2,5.5 = 12,5 kWh 
 
Lei de Joule 
 
Como já vimos um bipolo elétrico é um dispositivo que transforma energia elétrica. A quantidade 
de energia trocada por unidade de tempo, a potência, depende da tensão nos terminais do bipolo e da 
intensidade da corrente que percorre o bipolo. A potência elétrica de um bipolo é dada por: 
 
P = U . I 
 
U = tensão nos terminais do bipolo, em volts 
I = intensidade da corrente que percorre o bipolo, em Ampère 
P = potência elétrica do bipolo, em Watts. 
Se o bipolo é gerador, P = U.I é a potência elétrica fornecida ao circuito elétrico, figura abaixo (a). 
Se o bipolo é receptor, P = U.I é a potência elétrica recebida do resto do circuito, figura (b). 
 
 
No caso específico de um condutor a passagem da corrente pelo seu interior resultará em 
aquecimento deste. Isto se deve ao choque dos elétrons livres contra os átomos. Esta transformação de 
energia elétrica em calor é chamada de Efeito Joule. Em um resistor, toda a energia elétrica recebida é 
transformada em calor, dizemos que um resistor é um bipolo passivo, pois dissipa em calor toda a 
energia que recebe. A potência dissipada em calor pode ser calculada, pois é igual à potência elétrica, isto 
é: 
P = U.I (1) 
e como para um resistor vale U = R.I, substituindo em (1) resulta: 
 
P = (R.I).I = R.I2 (2) 
 
equação que é também conhecida como Lei de Joule. 
 
25 
 
Por outro lado 𝐼 =
𝑈
𝑅
, substituindo em (1) resultará: 
𝑃 = 𝑈 ∙ (
𝑈
𝑅
) =
𝑈2
𝑅
 (𝑊) 
 
Qualquer uma das três equações anteriores permite o cálculo da potência elétrica 
dissipada em calor em um resistor. 
A capacidade que tem um resistor de dissipar calor depende da área em contato com 
o ar, isto é, depende das suas dimensões. 
Os resistores de filme de carvão são construídos com diferentes tamanhos, 
correspondendo aos seguintes valores de potência: 1/8 W, ¼ W, ½ W, 1 W e 2 W. Para 
valores de potências maiores são usados resistores de fio. 
O Efeito Joule tem muitas utilidades na prática: chuveiros, aquecedores de 
ambiente,ferro de passar roupa, secadores, etc., mas uma das principais aplicações, e que 
normalmente passa despercebido pela sua simplicidade é o fusível. 
Os fusíveis são construídos de fios metálicos, cujos materiais apresentam um baixo 
ponto de fusão, em geral chumbo ou estanho. 
Este fio é montado em um suporte de cerâmica, sendo o caso do fusível de rosca, ou 
colocado no interior de cilindros de papelão ou vidro. O fusível é usado para proteger uma 
instalação elétrica ou um dispositivo, sendo colocado antes do dispositivo a ser protegido. 
Desta forma a corrente passa primeiramente pelo fusível. 
Quando ocorre um aumento excessivo na corrente o fio do fusível se aquece por 
efeito Joule, o fio se funde abrindo o circuito. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um motor elétrico é percorrido por uma corrente de 10 A quando ligado em 220 V. Sabendo-se que o 
rendimento (η – letra grega eta, minúscula) do motor é 80%, calcular: 
a) Potência elétrica do motor 
b) Energia consumida, em kWh, durante 2 h de funcionamento 
c) Potência mecânica obtida no eixo do motor 
 
Antes de resolvermos o problema, vamos conceituar o que seja rendimento. 
 
Todo dispositivo para funcionar precisa receber energia. Parte desta energia é processada no 
dispositivo, sendo transformada em algum tipo de energia que nos será útil de alguma forma, e parte é 
dissipada dentro do dispositivo. Raciocinando com potência (energia/tempo) teremos: 
 
26 
 
PT = potência total que faz o dispositivo funcionar 
PU = potência útil obtida do dispositivo 
PD = potência dissipada dentro do dispositivo 
Devido à conservação da energia, podemos escrever: 
PT = PU + PD 
 
Define-se rendimento do dispositivo como sendo a razão entre potência útil e potência recebida: 
 
𝜂 =
𝑃𝑈
𝑃𝑇
=
𝑃𝑈
𝑃𝐷 + 𝑃𝑈
 (𝑝𝑢 − 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒) 𝑜𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝜂 (%) =
𝑃𝑈
𝑃𝑇
 ∙ 100 (%) 
 
No caso de um dispositivo ideal PD = 0, logo PU = PT e o rendimento será 100 %. Para um 
dispositivo real η < 1. 
No nosso exercício o dispositivo considerado é um motor elétrico, no qual temos: 
PT = PE = potência elétrica 
PU = PM = potência mecânica 
PD = potência dissipada em calor (por efeito Joule e por atritos mecânicos) 
 
 
A diferença PD = 440W é convertida em calor. 
 
2) Uma lâmpada tem as seguintes especificações 120 V / 60 W, calcular: 
a) Intensidade da corrente que a percorre 
b) Energia consumida em 5 h de funcionamento 
 
 
3) Um resistor tem R = 100 Ω. Calcule a potência dissipada em calor quando submetido a uma tensão de 
10 V. 
 
4) Um aquecedor de ambiente tem as seguintes especificações 2000 W / 110 V, calcular: 
a) Resistência do aquecedor 
b) Quantidade de calor, em calorias, fornecida ao ambiente durante 2 minutos. 
 
 
b) Calculemos primeiramente a quantidade de calor em Joules 
t = 2 min = 120 s 
τ = P.t = 2000.120 = 240.000 J 
e como 1 cal = 4,18 J, basta dividir por 4,18 que obtemos o resultado em calorias. 
 
27 
 
Podemos até escrever uma equação de transformação: 
 
5) As especificações de um resistor são 1 kΩ / 1W. Qual a máxima corrente que esse resistor pode 
suportar? 
 
 
Essa máxima potência é função da temperatura ambiente. Normalmente, o máximo valor é 
especificado para uma temperatura ambiente de 60°C, isto significa que o resistor pode dissipar mais 
potência se a temperatura for menor, ou houver refrigeração. E claro que nunca devemos impor situações 
limites em funcionamento contínuo, pois isso causa fadiga no material. 
 
Exercícios propostos 
 
1) A potência mecânica de um motor elétrico é 2 H.P. Sabendo-se que o rendimento é 90 %, calcular: 
a) Potência elétrica do motor 
b) Corrente consumida pelo motor se ele é ligado em 220 V 
c) Energia elétrica consumida durante 5 h de funcionamento 
d) Energia dissipada em 5h de funcionamento 
 
2) Um ferro de soldar tem as especificações 250 W / 110 V. Calcular a intensidade da corrente que o 
percorre, e a energia consumida durante 2 h . 
 
3) Qual a máxima tensão que pode ser aplicada a um resistor que tem as especificações 470 Ω / l W? 
 
4) Um chuveiro tem as especificações 3500 W / 220 V, calcular: 
a) Intensidade da corrente 
b) Valor da resistência 
c) Energia gasta durante 30 min., em kWh. 
 
5) Em um chuveiro, existem duas posições: verão e inverno. Explique o que acontece internamente, 
quando se muda de uma posição para outra. 
 
6) A resistência de um chuveiro tem um comprimento L, reduzindo-se a 1/4 o comprimento da resistência 
e mantida a d.d.p, o que acontecerá com a potência por ela dissipada? 
 
7) O que são fusíveis? Dar o seu princípio de funcionamento e aplicações. 
 
8) Qual a relação entre as resistências de dois chuveiros que têm a mesma potência, porém um é para 220 
V e o outro é para 110V? 
 
9) Por que a maioria dos chuveiros é para 220V? 
 
10) Há alguma dependência entre o valor da resistência e o seu tamanho físico? Justifique 
 
11) Um chuveiro tem as características 2500 W / 220 V. Dimensione o fusível que protege o chuveiro. 
 
12) Calcule a potência, em kW e H.P, de um dispositivo elétrico que consome 5 kWh em 10 min. 
 
28 
 
13) Qual a tensão que deve ser aplicada a um aquecedor que dissipa 400 W para que a corrente que o 
percorra seja de 3,5A? 
 
14) Uma pessoa mudou-se de São José dos Campos para São Paulo levando consigo um aquecedor 
elétrico. A pessoa quer manter a mesma potência do aquecedor. O que ela deve fazer, sabendo-se que em 
São José dos Campos a tensão é 220 V, e em São Paulo é 110 V? Deve substituir a resistência por outra: 
a) quatro vezes maior 
b) quatro vezes menor 
c) oito vezes menor 
d) oito vezes maior 
e) duas vezes menor 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) PE = 1658 W b) I = 7,53 A c) 8,29 kWh d) 830W.h 
2) 2,27 A ; 500 Wh 
3) 21,68 V 
4) a) 15,9 A b) 13,83 Ω c ) l,75 kWh 
5) 
6) Quadruplicará 
7) 
8) R220 = 4 x R110 
9) 
10) 
11) Fusível de 12 A 
12) 30 kW; 40,2 H.P 
13) 114,3 V 
14) b 
 
4 - ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES 
 
Como o valor da resistência de um resistor é padronizado, nem sempre é possível obter certos 
valores de resistência. Associando-se convenientemente resistores entre si, podemos obter o valor que 
quisermos. 
Chama-se de resistor equivalente a um resistor que pode substituir uma associação de resistores, 
sem que o resto do circuito note diferença. Outra aplicação para a associação de resistores é uma divisão 
de uma tensão, ou a divisão de uma corrente. 
 
4.1 - Associação série 
 
Resistores estão em série quando a corrente que passa por um for a mesma que passa pelos 
outros. A figura abaixo (a) mostra uma associação série e a figura (b) a resistência equivalente. 
 
 
Da figura acima tiramos que 
29 
 
 
UT= U1 + U2 + U3 (4.1) 
a soma das tensões nos resistores da associação é igual à tensão total. Podemos verificar que uma 
associação série divide uma tensão. Essa conclusão que chegamos é intuitiva, mas como veremos mais 
adiante esta é uma das leis de Kirchhoff (2a). 
Da figura acima temos ainda que: 
I1 = I2 = I3 = IT 
Em cada resistor da associação, usando a Lei de Ohm, teremos: 
U1 = R1.IT U2 = R2.IT U3 = R3.IT 
que substituindo na equação (4.1) resulta: 
 (4.2) 
 
No resistor equivalente: 
UT = RE . I (4.3) 
Comparando as equações (4.2) e (4.3) resulta: 
RE = R1 + R2 + R3 
Conclusão: Em uma associação série, podemos substituir a associação por um único resistor, cujo valor 
sendo igual à soma das resistências dos resistores da associação, consumirá a mesma corrente quando a 
tensão aplicada for a mesma. 
Devemos lembrar também, que a potência dissipada no equivalenteé igual à soma das potências 
dissipadas nos resistores da associação. 
PE = P1 + P2 + P3 onde P1 = R1.IT
2
 
P2 = R2.IT
2 P3 = R3.IT
2 e PE = RE.IT
2
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dois resistores R1 = 40 Ω e R2 = 60 Ω são ligados em série. Uma tensão de 50 V é aplicada à 
associação, pede-se: 
a) Resistor equivalente 
b) Tensão nos resistores e corrente 
c) Potência dissipada nos resistores e no equivalente 
 
 
 
 
2) Quatro resistores R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 40 Ω e R4 = 80 Ω são ligados em série. Sabendo-se que a 
tensão em R3 é 20 V, pede-se: 
30 
 
a) Resistor equivalente 
b) Tensão aplicada na associação 
c) Potência dissipada na associação 
 
 
 
 
c) A potência dissipada na associação é igual à potência dissipada no equivalente, isto é, 
 
3) Uma lâmpada tem as características 6 V / 0,2 A. Dispõe-se de uma fonte de 10 V. Para ligar a lâmpada 
na fonte devemos dividir a tensão, e para isso ligamos um resistor em série com a lâmpada. Dimensione 
este resistor. 
A tensão no resistor deve ser 4 V com uma corrente de 0,2 A. O valor de R será 
4 𝑉
0,2 𝐴
= 20Ω , 
dissipando uma potência de P = 20.(0,2)2 = 0,8 W 
 
4) Dois resistores, R1 e R2 devem ser tal que, ao serem ligados em série a uma tensão de 120 V serão 
percorridos por uma corrente de 0,2 A, e a tensão em cada um vale 60 V. Quais os valores de R1 e R2? 
 
 
5) Dois resistores, R1 e R2 são conectados em série, sendo a associação ligada a um gerador de 40V. Os 
resistores devem dissipar 12 W e 8 W respectivamente. Quais os valores de R1 e R2? 
Como a potência total dissipada é 20 W, significa que o gerador deve fornecer esta potência. 
Portanto a corrente fornecida pelo gerador será: 
31 
 
 
que é a corrente que passará em cada resistor, desta forma: 
 
Da mesma forma 
 
Exercícios propostos 
 
1) Quatro resistores R1 = 1K5, R2 = 4K7, R3 = 470 Ω e R4 = 2K2 são ligados em série. Sabendo-se que a 
tensão em R3 é 940 mV, determinar: 
a) Resistência equivalente 
b) Tensão aplicada na associação 
c) Potência dissipada nos resistores e a potência elétrica do gerador. 
 
2) No circuito determinar a resistência total do potenciômetro (linear), sabendo-se que o cursor se 
encontra na metade do seu curso total, que a corrente no circuito vale 1 A e que a tensão na lâmpada vale 
110 V. Qual a potência dissipada na lâmpada? E no potenciômetro? 
 
3) No circuito que limite deve ser imposto a Rv para que o fusível não queime? 
 
4) Três resistores R1, R2 e R3 em série dão uma resistência total de 3500 Ω. Se R3 é duas vezes R2 e R2 é 
duas vezes R1, quais os valores das resistências? 
 
5) Dois resistores R1 e R2 ligados em série dissipam respectiva mente 120 mW e 80 mW, quando a 
associação é ligada a uma fonte de 20 V. Quais os valores das resistências? 
 
6) Dois resistores, R1 e R2 ligados em série são ligados a uma fonte de 40 V. Sabendo-se que a potência 
elétrica do gerador é 10 W, e que a potência dissipada em R1 é 4 W, quais os valores de R1 e R2? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) RE = 8,87 kΩ; UT = 17,74 V; P1 = 6 mW; P2 = 18,8 mW; P4 = 8,8 mW; PE = 34,48 mW 
2) RT = 220 Ω; PDL = 110 W; PDP = 110 W 
3) RVmin = 800 Ω 
4) R1 = 500 Ω; R2 = 1000 Ω; R3 = 2000 Ω 
5) R1 = 1,2 k e R2 = 800 Ω 
6) R1 = 64 Ω; R2 = 96 Ω 
32 
 
4.2 - Associação paralela 
 
Em uma associação paralela a tensão em todos os resistores é a mesma, a corrente é que se divide. 
Na figura abaixo (a) temos uma associação paralela de três resistores, e na figura (b) o resistor 
equivalente da associação. 
 
Da figura acima obtemos: U1 = U2 = U3 = UT 
 e IT = I1 + I2 + I3 (4.4) 
 
 (4.5) 
substituindo as equações (4.5) na equação (4.4) resulta: 
 (4.6) 
No equivalente: 
 (4.7) 
Comparando as equações (4.6) e (4.7) resulta: 
 
Conclusão: Em uma associação paralela, o inverso do resistor equivalente é igual à soma dos 
inversos dos resistores da associação. 
Raciocinando com condutância a expressão 4.5 resulta: 
GE = G1 + G2 + G3 
Da mesma forma que na associação série, a potência dissipada no equivalente é igual ã soma das 
potências dissipadas nos resistores da associação. 
PE = P1 + P2 + P3 
No caso de dois resistores em paralelo, a expressão 4.5 fica reduzida a 
 
E no caso de n resistores iguais a R em paralelo, o equivalente será igual a: 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dois resistores R1 = 40 Ω e R2 = 60 Ω são ligados em paralelo. A associação é submetida a uma tensão 
de 48 V, determinar: 
a) Resistor equivalente 
33 
 
b) Corrente nos resistores 
c) Potência dissipada nos resistores da associação e no equivalente. 
 
 
 
 
 
 
2) Quatro resistores R1 = 50 Ω, R2 = 400 Ω, R3 = 600 Ω e R4 = 120 Ω são ligados em paralelo. Sabendo-
se que I4 = 0,5, determinar: 
a) Resistência equivalente 
b) Tensão aplicada na associação e corrente em todos os resistores 
c) Potência dissipada nos resistores e no equivalente 
 
 
 
 
 
 
34 
 
3) No circuito a lâmpada tem as especificações 110 V / 200 W. O fusível disponível de 6 A não oferece 
proteção à lâmpada. Por que? Foi introduzido em paralelo com a lâmpada um resistor. Calcule o menor 
valor da resistência que pode ser colocado em paralelo com a lâmpada, sem que o fusível queime. 
 
A máxima corrente que o fusível suporta é 6A. A lâmpada funcionando dentro das suas 
características consome 
 
Como IF = IL + IR segue-se que IR = 6 - 1,82 = 4,18 A (máxima corrente permitida em R), o que 
significa que: 
 
Qualquer valor menor que este significará uma corrente maior que 4,18A, logo uma corrente IF 
maior que 6 A, o que queimará o fusível. 
 
4) Dois resistores, R1 e R2, sendo R1 duas vezes R2 são ligados em paralelo a uma fonte de 80V. Sabendo-
se que a corrente fornecida pela fonte é 2A, quais os valores de R1 e R2? 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Quatro resistores, R1= 1K5, R2 = 4K7, R3 = 470 Ω e R4 = 2K2 são ligados em paralelo. Sabendo-se que 
a corrente em R3 é 100 mA, determinar: 
a) Resistência equivalente 
b) Corrente em todos os resistores e a fornecida pela fonte 
c) Potência dissipada em todos os resistores e no equivalente 
 
2) Dois resistores são ligados em paralelo, sendo um o dobro do outro. Aplicando-se uma tensão de 20 V 
na associação verifica-se que o de menor valor é percorrido por uma corrente de 0,1A. Quais os valores 
das resistências? Qual o valor da potência dissipada em cada resistor? 
 
3) Três resistores, R1, R2 e R3 são ligados em paralelo. Sabendo-se que a potência em R3 é duas vezes a 
potência dissipada R2, que a potência dissipada em R2 é três vezes a dissipada em R1, e que a potência 
elétrica do gerador de 12 V é 1,2 W. Quais os valores de R1, R2 e R 3? 
 
4) Quantos resistores de 120 Ω devem ser ligados em paralelo, para dar uma resistência equivalente de 30 
Ω? 
35 
 
5) Determine R1 tal que RE seja 300Ω 
 
 
6) Determinar E e R2 no circuito 
 
 
7) Determinar E, R1 e R3 no circuito 
 
 
8) Dois resistores R1 e R2, quando ligados em paralelo dissipam 240 mW, consumindo uma corrente de 
20mA. Sabendo-se que a potência dissipada em R1 é 96 mW, calcular os valores de R1 e R2. 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) RE = 289Ω b) I1 = 31,33 mA, I2 = l0 mA, I3 = l00 mA, I4 = 21,36 mA c) P1 = 1,47 W , P2 
= 0 ,47 W, P3 = 4,7 W, P4 = 1W, PE = 7,64W 
2) R1 = 200 Ω R2 = 400 Ω, P1 = 2 W, P2 = 1 W 
3) R1 = 1200 Ω, R2 = 400 Ω, R3 = 200 Ω 
4) 4 resistores 
5) R1 = 829,4 Ω 
6) E = 24 V R2 = 4K 
7) R1 = 12 kΩ R3 = 4 kΩ E = 12 V8) R1 = 1,5 k R2 = 1 k 
 
4.3 - Divisor de tensão - Divisor de corrente 
 
Vimos que quando resistores são ligados em série, a tensão total aplicada na associação se dividia 
pelos resistores da associação. Podemos escrever a tensão em cada resistor em função da tensão total. 
Na figura abaixo temos que: U1 = R1.IT e U2 = R2.IT onde 
 
36 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Os resistores do circuito devem ser tais que a tensão total E = 100 V deve ser dividida em múltiplos de 
10, isto é, U1 = l V e U2 = 10 V. Determine R1, R2 e R3, sabendo-se que a corrente fornecida pela fonte 
deve ser l00 mA. 
 
Como a corrente no circuito é especificada tem-se 
 
 
A tensão em R2 será 
U2 – U1 = 10 - 1 = 9 V 
logo 𝑅2 =
9𝑉
0,1
= 90Ω 
 
Como RE = R1 + R2 + R3 = 1K 
R3 = 1000 - (R1 + R2) = 1000 - (10 + 90) = 900 Ω 
 
2) Determinar Rl, R2 e R3, de forma que as cargas ligadas no divisor de tensão operem dentro das 
condições especificadas. 
 
U1 = 200 - 150 = 50V 
Como a corrente em R1 é l00 mA, 𝑅1 =
50𝑉
100 𝑚𝐴
= 0,5 𝑘 = 500 Ω 
 
No ponto A essa corrente se divide. Uma parte vai para o bipolo BP1 (20 mA) e a outra parte (80 
mA) vai para R2. 
37 
 
A tensão em R 2 será: 
U2 = 150 - 30 = 120V 
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑅2 =
120
80 𝑚𝐴
= 1,5 𝑘 
 No ponto B nova divisão de corrente. Uma parte para o bipolo BP2 (40mA) e outra (40mA) para 
R3. 
𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑅2 =
30 𝑉 
40 𝑚𝐴
= 0,75 𝑘 = 750Ω 
 
3) Um divisor de corrente nada mais é do que uma associação paralela de resistores. Mostrar que numa 
associação paralela de dois resistores, a corrente em cada resistor, em função da corrente total, é dada 
pelas expressões: 
 
 
No circuito, podemos escrever: 
 
 
 
 
da mesma forma para I2 
 
Se a associação tiver mais de dois resistores em paralelo, a corrente em um deles, por exemplo em 
R2, será dada por: 
𝐼2 =
𝑅1//𝑅3//𝑅4
(𝑅1//𝑅3//4)+𝑅2
∙ 𝐼𝑇, para quatro resistores em paralelo o símbolo // representa em paralelo com. 
 
4.4 - Associação mista 
 
Em uma associação mista existem resistores ligados em série e em paralelo. Não existe uma 
fórmula que permita o cálculo da resistência equivalente, o que existe é um método de resolução. Neste 
método inicialmente resolvem-se as associações série e paralelo que forem possíveis, obtendo-se um 
circuito menor, o qual é equivalente ao original. Repete-se a operação tantas vezes quanto necessário, até 
se chegar a um único valor de resistência. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determinar a resistência equivalente entre A e B em cada caso. 
 
38 
 
 
 
Primeiramente resolvemos R2 // R3 = R4 = 24 Ω 
 
Em seguida, associamos R1 série R4 que dá RE = 44 Ω. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
2) Determinar a intensidade da corrente em todos os resistores. 
 
 
Primeiramente é necessário obter a resistência vista pelo gerador. 
 
 
A corrente que sai do gerador (I?) terá intensidade: 
 
Observe que IT = I1 = I10 logo U10 = 16.3 = 48 V 
Como R10 = R2 // R9, a tensão em R2 e R9 é a mesma que em R10, 48V, portanto: 
 
 
Como R9 = R7 série R8 I9 = I7 = I8 = 0,6A = I3 = I6 
 U7 = 20.0,6 = 12 V e U8 = 60.0,6 = 36 V 
como R7 = R4 // R5 U4 = U5 = U7 = 12 V 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Determinar a resistência equivalente em cada caso entre os pontos A e B. 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar o valor de R no circuito. 
 
 
 
3) Determinar o valor de UT e IT no circuito. 
 
 
 
4) Determinar a intensidade da corrente em todos os resistores. 
 
41 
 
 
 
5) Quer-se obter uma resistência de 3,5 Ω com o menor número de resistores de l Ω. Como devem ser 
ligados entre si? Faça o esquema. 
 
6 ) No circuito determine qual deve ser o valor de R para que a potência elétrica do gerador seja 50 mW. 
 
 
 
7) Determinar R para que I = 2,25 mA. 
 
 
8 ) Determinar R para que a lâmpada funcione dentro de suas características. 
 
 
 
9) Dois resistores R1 e R2 em paralelo dissipam um total de 360 mW. Sabendo-se que a fonte fornece 30 
mA, e que a potência dissipada em R1 é 72mW, quais os valores de R1 e R2? 
 
10) Determinar R1 no circuito para que a resistência equivalente entre A e B seja 3 kΩ. 
 
 
 
11) No circuito a fonte fornece uma potência de 2 W. Determinar: 
a) valor de R1 e R2 
b) Corrente em R1 
42 
 
 
 
12) Determinar R1 e R2 no circuito. 
 
 
 
13) Determinar I no circuito. 
 
 
 
4) Determinar Rx para que I = 4 mA. 
 
 
 
15) Determinar Rx para que I = 8 mA. 
 
 
16) Determinar Rx para que IT = 15 mA. 
 
43 
 
 
 
17) No circuito qual o menor valor que o reostato pode assumir, sem que o fusível queime? 
 
 
 
18) No circuito os fusíveis apresentam mesma resistência. Qual a máxima corrente que pode passar pela 
lâmpada, sem que haja queima de qualquer fusível? 
Obs.: Os fusíveis têm mesma resistência. 
 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) 3,5 kΩ b) 500 Ω c) 60 Ω d) 60 Ω e) 10 Ω f) 4K g ) 6 Ω 
2) R = 3 kΩ 
3) UT = 41 V IT = 11 mA 
4) I1 = I7 = 0,1 A I3 = I6 = I2 = 0,05 A I4 = I5 = 0,025 A 
6) R = 4000 
5) 
7) R = 10 kΩ 
8) R = 60 Ω 
9) R1 = 2 kΩ R2 = 500 Ω 
10) Rl = 6 kΩ 
11) a ) R1 = 250 Ω, R2 = 1 kΩ b) I1 = 80 mA 
12) Rl = 80 Ω, R2 = 150 Ω 
13) I = 0,6 mA 
14) Rx = 12 kΩ 
15) Rx = 1,5 kΩ 
16) Rx = 600 Ω 
17) Rvmin = 20 Ω 
18) ILmax = 4 A 
 
44 
 
4.5 - Associação estrela e triângulo 
 
Estes tipos de ligação são mais usados em sistemas trifásicos. No nosso caso utilizaremos este 
tipo de associação para resolvermos certos circuitos, para os quais o desdobramento em associações 
básicas como série e paralelo não são possíveis. 
A figura abaixo (a) mostra uma ligação em estrela e a figura (b) uma ligação triângulo (ou delta). 
 
 
 
Conhecendo-se RA, RB e RC, podemos determinar RAB, RAC e RBC, tal que se substituirmos na 
figura (a) nada ficará alterado para o resto do circuito. 
 
 
𝑅𝐵𝐶 =
𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐶 + 𝑅𝐶 ∙ 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐵
𝑅𝐴
 
 
𝑅𝐴𝐵 =
𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐶 + 𝑅𝐶 ∙ 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐵
𝑅𝐶
 
 
𝑅𝐴𝐶 =
𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐶 + 𝑅𝐶 ∙ 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐵
𝑅𝐵
 
 
Da mesma forma, dada a associação triângulo RAB, RBC e RAC, podemos determinar a ligação 
estrela que lhe é equivalente. 
 
 
𝑅𝐴 =
𝑅𝐴𝐵 ∙ 𝑅𝐴𝐶
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
 
 
𝑅𝐵 =
𝑅𝐴𝐵 ∙ 𝑅𝐵𝐶
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
 
 
𝑅𝐶 =
𝑅𝐴𝐶 ∙ 𝑅𝐵𝐶
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
 
 
45 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determinar a associação triângulo equivalente da associação estrela dada. 
 
 
 
 
 
 
No caso de uma associação balanceada (Resistências iguais), vale a seguinte relação: 
 
 
2) Determinar a associação estrela equivalente da associação triângulo dada. 
 
 
𝑅𝐴 =
120 ∙ 120
120 + 120 + 120
= 40 Ω ; 𝑅𝑌 =
𝑅∆
3
= 40 Ω 
 
Poderíamos ter usado 𝑅𝑦 =
𝑅∆
3
 para ligação balanceada. 
 
3) Determinar a resistência equivalente entre A e E 
 
Vamos primeiramente transformar o triângulo BCD em estrela 
 
 
46 
 
Como a ligação é equilibrada, resultará: 
 
 
 
E continuamos pelo método já visto no capítulo 4.3 
 
 
 
RAE = 30 Ω 
 
Exercícios propostos 
 
1) Transformar para triângulo. 
 
 
2) Transformar para estrela. 
 
 
 
3) Determinar a resistência equivalente entre A e C 
 
 
4) Determinar todas as correntesdo circuito e a potência elétrica do gerador. 
 
47 
 
 
5) No circuito, determinar o valor da corrente no amperímetro 
R1 = 10 Ω R2 = 50 Ω R3 = 15 Ω 
R4 = 30 Ω RiA = 20 Ω R5 = 20 Ω 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) RAB = 36,6 Ω RAC = 110 Ω RBC = 55 Ω 
2 ) RA = 2,5 Ω RB = 12,5 Ω RC = 6,25 Ω 
3) a) RAB = 13,3 Ω b) RAB = 48,l Ω 
4) I1 = 3 A I2 = 1 A I3 = 0 A I4 = 3 A I5 = 1 A PG = 240 W 
5) I = 58 mA 
 
5 – GERADORES 
 
Basicamente, geradores são dispositivos que convertem algum tipo de energia em energia elétrica. 
Podem ser classificados em geradores de tensão e de corrente. Para podermos compreender o 
comportamento de um gerador em um circuito, e sabermos os seus limites em relação a esse mesmo 
circuito, definimos o modelo do gerador ideal, e sempre que possível procuraremos impor condições, de 
forma que o dispositivo real se aproxime do ideal. 
 
5.1 - Gerador de tensão 
 
São os geradores mais usados na prática. Basicamente são dispositivos que convertem algum tipo 
de energia em energia elétrica, por exemplo, pilhas e baterias, dínamos e alternadores. Alguns mantêm a 
tensão constante entre os polos, é o caso das pilhas. Outros apresentam a tensão variando de intensidade e 
polaridade ao longo do tempo, é o caso dos geradores das hidrelétricas. 
 
5.1.1 - Gerador de tensão ideal 
 
São geradores no qual a tensão nos seus polos é constante, não dependendo da intensidade da 
corrente, fato ocorre porque o gerador não apresenta resistência interna, consequentemente não apresenta 
perdas. O símbolo e a curva característica estão representados na figura abaixo (a). No símbolo, E é a 
força-eletromotriz (f.e.m) do gerador, e o seu valor só depende da construção do gerador. 
Da curva característica podemos verificar que qualquer que seja a corrente que esteja percorrendo 
o gerador a tensão entre os seus polos é sempre a mesma. 
48 
 
 
 
O rendimento do gerador é definido como sendo: 
 
onde PE = U.I é a potência elétrica fornecida ao circuito externo, e PM = E.I é a potência motriz, é a 
potência que faz o gerador funcionar, é de origem não elétrica. 
Como U = E qualquer que seja o I segue que o rendimento de um gerador de tensão ideal é sempre 
100 %, isto é, em um gerador ideal toda a energia não elétrica é transformada em energia elétrica (não 
existem perdas). 
 
5.1.2 - Gerador de tensão real 
 
Um gerador de tensão real é caracterizado por apresentar perdas (η < 1 ), devido ao fato de ter 
uma resistência interna (Ri), em consequência a tensão nos seus terminais dependerá da intensidade da 
corrente que o percorre. No caso de uma pilha a resistência interna é a soma da resistência do eletrodo de 
carvão com a da pasta eletrolítica que existe no seu interior. 
Na figura abaixo estão representados o símbolo e a curva característica de um gerador de tensão 
real. A equação característica pode ser obtida a partir do circuito da figura (a), onde podemos verificar 
que, se o gerador estiver ligado a uma carga, a tensão disponível nos terminais do gerador será igual a U = 
E - Ri . I, onde Ri.I é a queda de tensão dentro do gerador. 
 
 
A obtenção da curva característica da figura (b) é obtida a partir da equação característica. Como a 
equação característica é do l
o
 grau, a representação gráfica é uma reta, bastando dois pontos para desenhá-
la. 
1
o
 Ponto: fazendo I = 0 resulta U = E - Ri.0 = E, esta condição é obtida com o gerador em aberto. 
2
o
 Ponto: curto circuitando os polos do gerador (U = 0), teremos 0 = E - Ri . Icc resultando 𝐼𝑐𝑐 =
𝐸
𝑅𝑖
 
, Icc é a corrente de curto-circuito, que é a máxima corrente que o gerador pode fornecer. Na prática, 
devemos evitar essa situação, pois implicaria num aquecimento demasiado do gerador, podendo levá-lo à 
destruição. 
Da equação característica U = E - Ri.I, multiplicando por I ambos os lados da equação resulta: 
U.I = E.I - Ri.I
2
 ou E.I = U.I + Ri.I
2 
ou PE = PM - PD 
onde PM = E.I = potência motriz (não elétrica). 
PE = U.I = potência elétrica fornecida ao circuito externo. 
PD = Ri.I
2
 = potência dissipada dentro do gerador. 
 
O rendimento será dado por: 
49 
 
𝜂 (%) =
𝑃𝐸
𝑃𝑀
∙ 100 =
𝑈 ∙ 𝐼
𝐸 ∙ 𝐼
∙ 100 =
𝑈
𝐸
∙ 100 (%) 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um gerador tem E = 20V e Ri = 30 Ω, sendo ligado a uma carga de 17 Ω, calcular: 
a) Intensidade da corrente fornecida pelo gerador 
b) Potência que o gerador está fornecendo à carga 
c) Potência motriz do gerador 
d) Rendimento do gerador nestas condições 
 
 
 
 
 
 
 
2) A potência motriz de um gerador é 200 W com um rendimento de 80%. Sabendo-se que a corrente que 
o percorre é 2A, pede-se: 
a) Tensão nos terminais do gerador 
b) Resistência interna do gerador 
c) Valor da resistência ligada no gerador 
 
 
 
 
c) A potência elétrica é igual à potência dissipada na carga, isto é, 
 
 
 
3) Dada a curva característica de um gerador pede-se: 
a) Sua f.e.m e resistência interna 
b) Rendimento do gerador quando ligado a uma carga de 40 Ω 
c) Potência dissipada dentro do gerador nas condições do item b 
d) Determinar graficamente a tensão nos terminais do gerador, quando a corrente que o percorre é 
 1,5A 
50 
 
 
 
a) Da curva característica tiramos E = 40V e Icc = 4 A 
 
 
 
 
 
 
d) Entrando com I = 1,5 A, no gráfico obtemos U = 25 V. 
 
 
 
5.1.3 - Máxima transferência de potência 
 
No circuito da figura (a) abaixo, a potência elétrica que o gerador fornece ao circuito externo é 
numericamente igual à área hachurada na figura (b). Essa área é máxima quando 
 
e isto ocorrerá quando RL = Ri (a resistência de carga igual à resistência interna do gerador). 
 
 
Com RL = Ri, a corrente no circuito será igual a 
𝐸
2∙𝑅𝑖
 e a tensão nos terminais do gerador será: 
51 
 
𝑈 = 𝐸 − 𝑅𝑖 ∙ 𝐼 = 𝐸 − 𝑅𝑖 ∙
𝐸
2𝑅𝑖
=
𝐸
2
 
 
a potência elétrica do gerador será: 
𝑃𝐸 = 𝑈 ∙ 𝐼 =
𝐸
2
∙
𝐸
2𝑅𝑖
=
𝐸2
4𝑅𝑖
= 𝑃𝐸𝑚𝑎𝑥 
 
Exercício resolvido 
 
1) Com relação ao gerador do circuito que tem E = 40 V e Ri = 10 Ω, faça o gráfico da sua potência 
elétrica em função da resistência da carga. Para os seguintes valores de RL: 0, 2, 5, 7, 10, 15, 20, 30, 40, 
60, 90 Ω. 
 
 
Para determinarmos a potência elétrica do gerador, primeiramente calculamos a corrente: 
 
 
 
 
 
 
 
Do gráfico podemos verificar que a máxima potência elétrica fornecida pelo gerador à carga será 
igual a 40 W, e quando RL = Ri = 10 Ω. Para qualquer outro valor de RL diferente de 10 ohms a potência 
elétrica será menor que 40 W. Se fizermos RL = infinita a corrente será zero, portanto a potência elétrica 
também será zero. 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um gerador tem f.e.m igual a 20 V e resistência interna de 5 Ω, sendo ligado a uma carga de 15 Ω, 
determinar: 
52 
 
a) Potência motriz do gerador 
b) Potência elétrica do gerador 
c) Potência dissipada no gerador 
d) Rendimento do gerador 
e) Máxima potência que o gerador pode fornecer e em que condições 
f) Desenhar a curva característica 
 
2) Qual deve ser o valor da resistência que deve ser ligada a um gerador que tem E = 15 V e Ri = 5 Ω, 
para que tenha rendimento de 80 %? 
 
3) Dada a curva característica de um gerador pede-se: 
a) Valor de RL (carga) 
b) Rendimento do gerador 
c) Potência dissipada dentro do gerador 
 
 
 
4) No circuito, quando a chave está fechadaa tensão nos terminais do gerador é 
3
3
∙ 𝐸 . Quais devem ser os 
valores de E e Ri? 
 
5) Determinar qual o valor da resistência que deve ser colocada entre A e B, para que a corrente na 
resistência de 30 Ω seja 0,2 A. 
 
 
6 ) Determinar E e R no circuito, sabendo-se que a potência dissipada em R é 64 mW, e que a potência 
dissipada na resistência de 5 kΩ é 125 mW. 
 
 
53 
 
7) No circuito, com a chave na posição A, a corrente fornecida pelo gerador é 2 A. Com a chave na 
posição B, a corrente fornecida pelo gerador terá intensidade de 0,8 A. Determinar E e Ri. 
 
 
 
8 ) Um gerador tem E = 20 V e Ri = 10 Ω. Desenhe o gráfico da potência elétrica em função da corrente 
fornecida à carga. 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) PM = 20 W b) PE = 15 W c ) PD = 5 W 
 d) η % = 75% e ) PEmax = 20 W, RL = 5 Ω 
2) RL = 20 Ω 
3) a) RL = 8 Ω b) η % = 50% c ) PD = 50 W 
4) Ri = 3,33 Ω e qualquer E 
5) RAB = 5 Ω 
6 ) R = 1 kΩ E = 38 V 
7) Ri = 5 Ω E = 20 V 
 
5.1.4 - Associação de geradores de tensão 
 
Assim como já foi visto com resistores, podemos associar geradores de tensão em série e em 
paralelo. 
 
5.1.6.1 - Associação série 
 
Associamos geradores de tensão em série, quando desejamos obter tensões maiores do que aquelas 
possíveis, com um único gerador. 
Na figura (a) abaixo temos um exemplo de três geradores (no caso pilhas) ligados em série. Na 
figura (b) o circuito elétrico equivalente e na figura (c) o gerador de tensão equivalente. Observe que a 
corrente que passa nos geradores é a mesma. 
 
 
Da associação tiramos: 
54 
 
 
 
 
substituindo na primeira equação, resulta: 
 
 (5.1) 
 
No equivalente obtemos: 
 
 (5.2) 
 
Comparando as equações 5.1 e 22, concluímos que a condição de equivalência é que: 
 
 
 
Na prática, é mais comum associarmos geradores iguais, de forma que se tivermos n geradores de 
f.e.m E, e resistência interna Ri, ligados em série, o seu equivalente terá EE = n.E e RiE = n.Ri, observe que 
a capacidade de corrente não se altera, isto é, a corrente de curto-circuito de um gerador é igual a 
𝐸
𝑅𝑖
 e a da 
associação 
𝑛∙𝐸
𝑛∙𝑅𝑖
=
𝐸
𝑅𝑖
 é a mesma. 
 
 
5.1.6.2 - Associação paralela 
 
Associamos geradores de tensão em paralelo quando desejamos aumentar a capacidade de 
fornecer corrente. Em uma associação paralela de geradores é importante que os geradores tenham a 
mesma f.e.m, caso contrário o de menor f.e.m poderá se comportar como receptor (consumir corrente). A 
figura (a) abaixo e a figura (b) mostram uma associação de três geradores em paralelo e a figura (c) 
mostra o gerador equivalente. 
 
55 
 
 
 
Da associação tiramos: 
 
 
 
que substituindo na primeira equação, resulta: 
 
 (5.3) 
 
No gerador equivalente: 
 
 (5.4) 
 
Comparando a equação 5.3 e 5.4, concluímos que o gerador equivalente deve ter: 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Quatro pilhas iguais ligadas em série fornecem a uma carga de 12 Ω, uma corrente de 0,5A. Quando a 
associação é ligada a uma carga de 2 Ω, a associação fornece 1 A. Determinar a f.e.m e a resistência 
interna de cada pilha. 
 
 
Raciocinando com o equivalente 
 
 
 
56 
 
 
 
comparando as duas equações 
 
 
 
resulta: 
 
 
 
2) Quatro geradores de f.e.m igual a 10 V e resistência interna 2,5 Ω são ligados em série. A associação é 
ligada a um resistor de 5 Ω e a um potenciômetro de 50 Ω. Determinar: 
a) Valor do potenciômetro para que a potência elétrica da associação seja máxima 
b) Valor do potenciômetro para que a potência dissipada no potenciômetro seja máxima 
c) Valor do potenciômetro para que a potência dissipada na resistência de 5 Ω seja máxima 
 
Para resolver o exercício, raciocinemos com o gerador equivalente. 
 
 
 
a) A carga efetivamente sentida pelo gerador equivalente (associação) é a resistência de 5 Ω, em série 
com o potenciômetro de 50 Ω, e a máxima potência elétrica do gerador equivalente ocorrerá, quando Rv + 
5 = 10 Ω ou quando Rv = 5 Ω. 
 
b) Para determinarmos em que condições a potência dissipada em Rv será máxima devemos nos colocar 
na posição do potenciômetro. Este quando "olha" para o circuito sente um gerador de f.e.m igual a 40 V, e 
resistência interna 15 Ω. Logo, a máxima potência dissipada em Rv ocorrerá quando Rv = 15 Ω. 
 
57 
 
 
A potência dissipada no potenciômetro será: 
 
 
c) O raciocínio, neste caso, é um pouco diferente. Como a potência dissipada em 5 Ω é calculada por PD = 
5.I
2
, esta será máxima quando a corrente for máxima. Como a corrente no circuito é dada por: 
 
 
 
 
 
e a potência dissipada em 5 Ω será: 
 
 
 
3) Determinar a corrente em cada gerador do circuito. 
 
 
Essa é uma associação mista de geradores de tensão, usada quando se quer aumentar a tensão 
(associação série) e a corrente (associação paralela). A resolução deve ser feita, seguindo o mesmo 
raciocínio usado na resolução de uma associação mista de resistores. 
 
 
 
 
Usando a equação do gerador determinemos a tensão entre A e B e entre B e C 
 
58 
 
 
 
Logo 𝐼1 =
10−7,5
3
=
2,5
3
= 0,83 𝐴 = 𝐼2 = 𝐼3 pois os três geradores são iguais. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Três geradores E1 = 25 V e Ri1 = 5 Ω, E2 = 15 V e Ri2 = 5 Ω, E3 = 10 V e Ri3 = 5 Ω são ligados em 
série. Um resistor de 25 Ω é ligado à associação, determinar: 
a) Tensão nos terminais de cada gerador 
b) Rendimento de cada gerador 
c) Rendimento da associação 
d) Máxima potência que a associação pode fornecer, e em que condições 
 
2) Dois geradores E1 = 20 V e Ri1 = 3 Ω, E2 = 20 V e Ri2 = 6 Ω são associados em paralelo. Um resistor 
de 8 Ω é ligado à associação, calcular: 
a) Corrente na carga de 8 Ω 
b) Corrente em cada gerador 
c) Rendimento de cada gerador 
d) Rendimento da associação 
 
3) Cinco geradores iguais, tendo cada um f.e.m igual a 10 V e resistência interna 2 Ω, são ligados em 
série. A associação é ligada a um resistor de 10 Ω e a um potenciômetro de 100 Ω, determinar: 
a) A máxima potência que a associação pode fornecer 
b) A máxima potência dissipada no potenciômetro 
c) A máxima potência dissipada na resistência de 10 ohms 
 
4) No circuito, determinar qual deve ser o valor de Rx, para que a potência elétrica fornecida pela 
associação seja máxima, e igual a 40 W. 
 
 
5) Determinar a intensidade da corrente fornecida pela associação: 
 
59 
 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) Ul = 18,75V; U2 = 8,75 V; U3 = 3,75 V b) η %1 = 75 %; η %2 = 58,3 %; η %3 = 37,5 % 
 c) η % = 62,5 % d) PEmax = 41,66 W quando RL = 15 Ω 
2) a) IL = 2 A b) I1 = 1,33 A I2 = 0,66 A c ) η %1 = η %2 = 80 % d) η % = 80 % 
3) a) PEmax = 62,5 W b) PDmax = 31,25 W c ) PDmax = 62, 5 W 
4) Rx = 30 Ω 
5) I = 0,433 A 
 
5.2 - Geradores de corrente 
 
5.2.1 - Gerador de corrente ideal 
 
Como já vimos, um gerador de tensão é um bipolo que impõe uma d.d.p constante entre dois 
pontos (pólos), qualquer que seja a carga ligada entre esses pontos. 
Um gerador de corrente ideal, ou fonte de corrente constante é um bipolo que fornece uma 
corrente constante a uma carga RL, qualquer que seja o valor de RL. 
A figura (a) abaixo mostra a representação simbólica de uma fonte de correnteideal, e a figura (b) 
a curva característica correspondente. 
 
60 
 
 
Observe na figura (b) que ao trocarmos de carga o ponto de operação muda. 
No ponto M, o valor da carga é 𝑅𝐿1 =
𝑈1
𝐼𝑆
 e no ponto N, teremos uma carga 𝑅𝐿2 =
𝑈2
𝐼𝑆
. 
O valor da tensão muda, mas a corrente permanece constante. 
 
5.2.2 - Gerador de corrente real 
 
Assim como não existe gerador de tensão ideal, também não existe gerador de corrente ideal. Em 
uma fonte de corrente real a corrente fornecida à carga varia quando a carga varia, isto porque o 
gerador apresenta uma resistência interna. 
A figura abaixo mostra o símbolo e a curva característica de um gerador de corrente real. 
Da figura (a) obtemos que: 
𝐼𝑠 = 𝐼𝑟𝑠 + 𝐼 onde 𝐼𝑟𝑠 =
𝑈
𝑟𝑠
 e rs é a resistência interna da fonte de corrente, logo: 
𝐼 = 𝐼𝑠 −
𝑈
𝑟𝑠
 que é a equação característica, e cuja representação gráfica é aquela da figura (b). 
 
 
 
A obtenção da curva característica é feita considerando-se duas situações particulares: 
 
𝐶𝑜𝑚 𝑈 = 0 ⟹ 𝐼 = 𝐼𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑂 𝐶𝑜𝑚 𝐼 = 0 ⟹ 𝑈 = 𝑟𝑠 ∙ 𝐼𝑟𝑠 ⟹ 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 
 
 
Da equação característica 𝐼 = 𝐼𝑠 − 𝐼𝑟𝑠 = 𝐼𝑠 −
𝑈
𝑟𝑠
 se fizermos rs = ∞ (circuito aberto) então I = Is não 
dependendo de U, concluímos que num gerador de corrente ideal a resistência interna deve ser infinita . 
Ainda na figura (b) podemos verificar que, se a carga variar de RL1 para RL2 a corrente variará de 
I1 para I2 (diminuirá). Para analisarmos qual a influência da resistência interna (rs) na corrente de carga, 
consideremos dois geradores de corrente com a mesma corrente Is, mas com resistências internas 
diferentes. 
 
61 
 
 
 
A variação de corrente na carga, quando esta varia de RL1 para RL2 (RL2 > RLl) é ΔI , quando 
consideramos o gerador de corrente de resistência interna rs1 e ΔI' , quando a resistência interna é rs2 (rs1 > 
rs2). Podemos verificar que ΔI < ΔI'. 
Observe também que a variação de corrente é nula quando rs é infinita. 
Como na prática não existe gerador de corrente com rs = ∞, para que tenhamos um bom gerador 
de corrente impomos a condição rs >> RL (resistência interna muito maior que a carga). 
 
Rendimento 
 
No circuito da figura (a) acima, Is = Irs + I se multiplicarmos os dois lados da equação por U, 
teremos: 
U.Is = U.Irs + U.I 
U.I = PE = potência elétrica entregue à carga 
U.Irs = PD = potência dissipada no gerador 
U.Is = PM = potência motriz fornecida ao gerador 
PM = PD + PE 
O rendimento do gerador será: 
𝜂 (%) =
𝑃𝐸
𝑃𝑀
∙ 100 =
𝑈 ∙ 𝐼
𝑈 ∙ 𝐼𝑠
∙ 100 =
𝐼
𝐼𝑠
∙ 100 (%) 
 
5.2.3 - Equivalência entre gerador de tensão e gerador de corrente 
 
Dados os bipolos AB da figura abaixo, dizemos que existe equivalência entre os dois bipolos, se a 
carga RL for percorrida pela mesma corrente nos dois casos. 
 
 
A condição de equivalência entre os bipolos da figura acima é que E = rs .Is e Ri = rs. 
62 
 
Por exemplo, seja um gerador de tensão com E = 80 V e Ri = 20 Ω, ligado a uma carga de 80 Ω. 
Calcule a corrente na carga, considerando o gerador de tensão, depois calcule a corrente na mesma carga, 
considerando o gerador de corrente equivalente. 
 
 
 
Consideremos o gerador de corrente equivalente. 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
Seja E = 10 V, Ri = 5 Ω, R = 10 K e RL, variando de 0 a 1 K. Calcular a variação de corrente na 
carga quando RL variar de 0 a 1 K . 
 
RL = 0 e IL = 1 mA 
 IL = 1 mA 
RL = 1 k 
 
 
 
Portanto há uma variação de 0,l mA de corrente na carga quando esta varia de 0 a 1 K. 
E se quiséssemos que a variação fosse menor ainda, o que deveria ser feito? Melhorar a fonte de 
corrente. Como? Aumentando a sua resistência interna. 
63 
 
Vamos supor que a resistência interna passe a valer 100 K, e que desejamos manter a mesma 
corrente Is (1 mA). Você já deve ter percebido que o valor da fonte de tensão deve mudar para 100 V, 
teremos então: 
 
 
Calculemos a variação da corrente na carga. 
 
 
Portanto uma variação de 0,01 mA. Com toda segurança, podemos dizer que a corrente 
permaneceu constante quando RL variou de 0 a 1 K. Evidentemente se os limites de RL fossem outros, os 
resultados seriam outros. 
Na prática construímos uma fonte de corrente desta forma, mas você deve ter observado que 
existem limites, isto é, para melhorar o gerador de corrente nós aumentamos R, porém foi preciso 
aumentar proporcionalmente E. Dependendo da corrente requerida, o circuito deixa de ser prático. 
Imagine uma corrente de l0 mA com R = 100 K. Precisaríamos de uma fonte de 1000 V. 
Existem outras formas alternativas de se construir uma fonte de corrente, por exemplo, usando um 
componente chamado de transistor. 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um gerador de corrente tem Is = 5mA e rs = 15 kΩ. O gerador é ligado a um resistor de 5000 Ω, 
calcular: 
a) Corrente na carga 
b) Potência dissipada dentro do gerador de corrente 
c) Potência elétrica do gerador de corrente 
d) Rendimento do gerador 
 
2) Troque o gerador de corrente do exercício 1, por seu gerador de tensão equivalente e repita todos os 
itens do exercício 1 . 
 
3) Dê o gerador de corrente equivalente dos geradores de tensão abaixo: 
 
 
 
4) Dê o gerador de tensão equivalente dos geradores de corrente abaixo: 
 
64 
 
 
 
 
1) a ) IL = 3,75 mA b) PD = 23,43 mW c) PE = 70,3l mW d) η % = 75 % 
2) a ) IL = 3,75 mA b) PD = 210 mW c) PE = 70,3l mW d) η % = 35 % 
 
6 – RECEPTORES ELÉTRICOS ATIVOS 
 
Como já foi definido, um receptor elétrico é um bipolo que transforma energia elétrica em outro 
tipo de energia. Os receptores vistos até aqui são chamados de passivos, pois transformam energia 
elétrica somente em calor, sendo o caso dos resistores. Existem receptores, que transformam a energia 
elétrica em outro tipo de energia, que não a térmica. Esses receptores são chamados de ativos, sendo o 
caso do motor elétrico, o qual transforma energia elétrica em energia mecânica. 
O circuito elétrico equivalente de um receptor ativo está representado na figura (a) abaixo, e a 
curva característica está representada na figura (b). 
A resistência interna do receptor é Ri, onde é dissipada energia elétrica em calor. 
E’ é uma grandeza característica do receptor chamada de força contraeletromotriz (f.c.e.m), sendo 
a responsável pelo aparecimento da potência útil do receptor. 
Da figura (a) obtemos a equação característica: 
𝑈 = 𝐸′ + 𝑅𝑖
′ ∙ 𝐼 
cuja representação gráfica está na figura (b). 
 
 
 Se multiplicarmos por I ambos os membros da equação característica, obteremos: 
 
 
 O rendimento será dado por: 
 
 
Circuito com gerador e receptor ativo 
 
Consideremos um gerador que tem f.e.m E e resistência interna Ri ligado a um receptor ativo com 
f.c.e.m E’ e resistência interna 𝑅𝑖
′. 
 
65 
 
 
 
Como a tensão é a mesma tanto no gerador como no receptor, podemos escrever com relação ao 
gerador U = E - Ri.I e com relação ao receptor 𝑈 = 𝐸′ + 𝑅𝑖
′ ∙ 𝐼, igualando as duas equações: 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) No circuito, pede-se: 
a) Corrente no circuito 
b) Tensão nos terminais dogerador e do receptor ativo 
c) Rendimento do gerador e do receptor ativo 
d) Potência motriz e potência elétrica do gerador 
e) Potência dissipada em RL e a potência elétrica do receptor ativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 
 
Em alguns tipos de motores a f.c.e.m é proporcional ao número de rotações por minuto (RPM), 
como a resistência interna é relativamente baixa ao ligarmos o motor, e como este se encontra parado (E’ 
= 0) a corrente no motor assume um valor muito alto (𝑈 𝑅𝑖
′⁄ ). 
Para limitar a corrente na partida colocamos em série com o motor um reostato, o qual fica 
inicialmente no seu valor máximo. À medida que o motor começa a girar (fazendo aparecer uma f.c.e.m), 
nós retiramos gradativamente a resistência até a corrente no motor assumir o seu valor nominal (IN). 
 
 
 
Na figura acima, a corrente nominal será dada por: 
 
 
2) Um motor elétrico tem f.c.e.m igual a 190 V e resistência interna igual a 8 Ω quando ligado em 220V, 
determinar: 
 a) Intensidade da corrente nominal no motor c) Rendimento do motor 
 b) Potência dissipada internamente d) Corrente com rotor bloqueado (na partida) 
 e) Calcular a relação 
𝐼𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎)
𝐼𝑁(𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙)
 
 
a) Esquema do circuito. 
 
Onde: 
 E – tensão gerada pela fonte (f.c.m: força eletromotriz) em volts. 
 E’- tensão gerada pelo receptor ativo / motor (f.c.e.m: força contra eletromotriz) em volts. 
 R’ – resistência interna da fonte (gerador) 
 𝑅𝑖
′ − resistência interna do receptor ativo (motor) 
 U – tensão entregue pela fonte (gerado) e que é a mesma tensão recebida pelo receptor ativo 
(motor). 
 
a) Intensidade da corrente nominal no motor 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 (𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟): 𝑈 = 𝐸 − 𝑅𝑖𝐼 (𝑉) 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜(𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟): 𝑈 = 𝐸′ + 𝑅𝑖
′𝐼 (𝑉) 
67 
 
 Utilizando a equação do receptor ativo(motor): 
 𝑈 = 𝐸′ + 𝑅𝑖
′𝐼 ∴ 220 = 196 + 8𝐼 ∴ 𝐼 =
220 − 196
8
= 3 𝐴 
 
b) 𝑃𝐷(𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎) = 𝑅𝑖
′ ∙ 𝐼2 = 32 × 8 = 72 𝑊 
 
c) 𝜂(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜) =
𝑃𝑀
𝑃𝐸
=
196 𝑉×3 𝐴
220 𝑉×3 𝐴
=
196 𝑉
220 𝑉
= 0,89 ∴ 𝜂 = 89 % 
 
d) A corrente do motor com o rotor bloqueado é a mesma que a corrente do motor no momento da 
partida. No momento da partida, ou com o rotor bloqueado, a f.c.e.m (tensão gerada dentro da carga ativa 
/motor) é igual a zero. 
 
𝐼 =
𝑈 − 𝐸′(𝑓. 𝑐. 𝑒.𝑚)
𝑅𝑖
′ + 𝑅𝑖
=
220 − 0
10
= 22 𝐴 
 
e) 
𝐼𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎)
𝐼𝑁(𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙)
=
22 𝐴
3 𝐴
= 7,3 
 
 No momento da partida a corrente é igual 7,3 vezes a corrente nominal do motor. 
 
3) Um motor elétrico possuindo o esquema abaixo está ligado a uma fonte com resistência interna de 3 Ω. 
Calcular: 
a) Corrente que percorre o motor e a f.c.e.m; 
b) A f.e.m e a potência dissipada na fonte; 
c) Potência dissipada dentro do motor e a corrente na partida do motor (rotor bloqueado); 
d) Calcular a relação 𝐼𝑃 𝐼𝑁⁄ ; 
e) Rendimento do motor e da fonte (gerador); 
f) Desenhar a característica E’ x I do motor 
 
1
o
 passo: Desenhar o circuito incluindo a fonte e respectiva resistência interna. 
 
2
o
 passo: Calcular o valor da corrente I. Como é dada a tensão nos terminais 𝑅𝑖
′ a corrente será dada por: 
𝐼 =
18 𝑉
𝑅𝑖
′ =
18
6
= 3 𝐴 
 
𝐸′(𝑓. 𝑐. 𝑒. 𝑚: 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧) = 𝑈 − 𝑅𝑖
′𝐼 = 127 − 6 × 3 = 109 𝑉 
 
3
o
 passo: Cálculo de E (f.e.m : força eletromotriz) e da potência dissipada na fonte, no resistor 𝑅𝑖. 
Lembre-se que a f.e.m refere-se à fonte: 
68 
 
𝐸(𝑓. 𝑒.𝑚: 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧) = 𝑈 + 𝑅𝑖𝐼 = 127 + 3 × 3 = 136 𝑉 
𝑃𝐷𝐹 (𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎) = 𝐼
2𝑅𝑖 = 3
2 × 3 = 27 𝑊 
 
4
o
 passo: Cálculo da potência dissipada dentro do motor e da corrente na partida do motor (rotor 
bloqueado). Lembre-se que a f.c.e.m refere-se ao receptor ativo, no caso em questão trata-se de um motor: 
 
𝑃𝐷𝑀 (𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎) = 𝐼
2𝑅𝑖
′ = 32 × 6 = 54 𝑊 
 
𝐸′(𝑓. 𝑐. 𝑒. 𝑚: 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧) = 𝑈 − 𝑅𝑖
′𝐼 = 127 − 6 × 3 = 109 𝑉 
 
 A corrente nominal do motor IN é aquela em que motor se encontra em regime permanente 
(normal) de operação, podendo ser dada por (mesmo valor já calculado): 
 
𝐼𝑁 =
𝑈 − 𝐸′(𝑓. 𝑐. 𝑒.𝑚)
𝑅𝑖 + 𝑅𝑖
1 =
127 − 109
3 + 6
= 2 𝐴 
 
 A corrente do motor no momento da partida, ou com o rotor bloqueado (é a mesma situação), tem 
a sua f.c.e.m igual a zero, sendo dado por: 
 
𝐼𝑃 =
𝑈 − 𝐸′(𝑓. 𝑐. 𝑒.𝑚)
𝑅𝑖 + 𝑅𝑖
1 =
127 − 0
3 + 6
= 14,1 𝐴 
 
5
o
 passo: Cálculo da relação 𝐼𝑃 𝐼𝑁⁄ : 
 
𝐼𝑃
𝐼𝑁
=
14,1 𝐴
2 𝐴
= 7,1 
 No momento da partida, ou com o rotor bloqueado, a corrente do motor é 5 vezes a sua corrente 
nominal. 
 
6
o
 passo: Cálculo dos rendimentos do motor e da fonte. 
 
𝜂𝑀 (𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟) =
𝑃𝑈 (𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ú𝑡𝑖𝑙)
𝑃𝐸 (𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎)
=
109 × 3
127 × 3
=
109
127
= 0,86 𝑜𝑢 86 % 
 
𝜂𝐺 (𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒) =
𝑃𝑈 (𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ú𝑡𝑖𝑙)
𝑃𝐸 (𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎)
=
127 × 3
136 × 3
=
127
136
= 093 𝑜𝑢 93 % 
 
7
o
 passo: Desenhar a característica E’ x I do motor 
 
𝐸′ = −(𝑅𝑖 + 𝑅𝑖
′) ∙ 𝐼 + 𝐸 = −9𝐼 + 136 
 
 
Exercícios propostos 
 
69 
 
1) Um motor elétrico que tem 85% de rendimento é ligado a uma tensão de 110 V. Sabendo-se que a 
potência mecânica no eixo é 1,5 HP, pede-se: 
a) Corrente que percorre o motor 
b) Potência dissipada dentro do motor 
c) f.c.e.m e resistência interna 
d) Desenhar a característica U x I do motor 
 
2) A resistência interna de um motor elétrico é 5 Ω. Quando o motor é submetido a uma tensão de 110 V, 
é percorrido por uma corrente de 5A, pede-se: 
a) f.c.e.m do motor 
b) Potência dissipada internamente 
c) Potência elétrica e energia consumida (em kWh) em 4 h de funcionamento 
d) Rendimento do motor 
 
3) Um motor elétrico tem f.c.e.m igual a 100 V e resistência interna igual a 5 Ω quando ligado em 110V, 
determinar: 
a) Intensidade da corrente no motor 
b) Potência dissipada internamente 
c) Rendimento do motor 
 
4) Considere que o motor elétrico do exercício 3 tem o seu eixo bloqueado. O que acontecerá com a 
corrente no motor? E com a potência dissipada internamente? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) I ≈ 12 A b) PD = 197 W c) E' = 93, 5 V d) 𝑅𝑖
1 = 1,37 Ω 
2) a) E' = 85V b) PD = 125 W c) PE = 550 W, τ = 2,2 kWh d) η % = 77 % 
3) a) I = 2 A b) PD = 20W c) η % = 90,9 % 
4) Aumenta para 22 A; Aumenta para 2420 W 
 
 
7 – LEIS DE KIRCHHOFF 
7.1 - Definições 
 
Ramo: trecho de circuito constituído de um ou mais bipolos ligados em série. 
 
Nó: nó ou ponto elétrico é a intersecção de dois ou mais ramos. Obs.: como só nos interessará os nós 
resultantes da intersecção de três ou mais ramos, será essa a definição que adotaremos. 
 
Malha: toda poligonal fechada (circuito fechado) cujos lados são constituídos de ramos. 
 
Consideremos o circuito 
 
70 
 
São ramos: AB, BC, ADC, BFEC, etc. 
São nós: A, B e C de acordo com a nossa definição adotada. Alguns autores também consideram 
como nós os pontos E, F, G, H, I e J, mas como deles não resulta nenhuma equação, não os 
consideraremos.São malhas: AIJHGBA, ABCDA, AJIHGBFECDA, etc. 
 
7.2 - Primeira Lei de Kirchhoff 
 
A primeira lei de Kirchhoff ou lei dos nós tem o seguinte enunciado: "A soma algébrica das 
correntes em um nó é igual a zero". Ou então: "A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma 
das correntes que dele saem". 
 
 
Se convencionarmos que correntes que chegam ao nó são positivas, correntes que saem serão 
negativas. Logo a equação do nó A será: 
 
 
Ou então, de acordo com o segundo enunciado: 
 
 
 
que representa a mesma equação matemática. 
Exemplo: Determinar o valor da corrente I3. 
 
Escrevendo a equação do nó A: 
 
 
logo, a corrente I3 vale 1,5A e tem sentido oposto ao indicado. 
A corrente I3 chega ao nó. 
Observe que, quando nós estudávamos os circuitos paralelos, usávamos a primeira lei de uma 
forma bem intuitiva (o que chega tem que ser igual ao que sai). 
 
7.3 - Segunda Lei de Kirchhoff 
 
71 
 
A segunda lei de Kirchhoff ou lei das malhas tem o enunciado: "A soma algébrica das tensões em 
uma malha é zero". Ou então: "A soma das tensões orientadas no sentido horário é igual à soma das 
tensões orientadas no sentido anti-horário". 
 
 
 
Convencionando-se que tensões anti-horárias são positivas, tensões horárias serão negativas. 
 
Malha ABCA 
 
 
Malha ADCA 
 
 
Malha BADCB 
 
 
Exemplo: Determinar U1 no circuito, para que a corrente tenha sentido anti-horário e intensidade 1 A. 
 
 
A equação da malha será: 
 
 
 
Nos também já usamos a segunda lei de Kirchhoff, quando estudamos o circuito série. 
As leis de Kirchhoff têm sua utilidade maior na resolução de circuitos, contendo uma ou várias 
fontes de tensão ou corrente, e uma ou várias malhas. 
Para vermos como as leis de Kirchhoff são aplicadas, consideremos os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 1: Determinar o sentido e a intensidade da corrente no circuito 
72 
 
 
 
Vamos supor que o sentido da corrente seja desconhecido, e por isso nós adotamos um sentido 
arbitrário. Consideremos a corrente no sentido horário. 
 
 
 
Observe que a orientação da tensão nos resistores está presa à orientação da corrente, logo a 
equação da malha será: 
 
 
 
O sinal negativo em I significa que o sentido da corrente é anti-horário, como já era esperado. 
Nem sempre é possível prever com antecedência o sentido da corrente, por isso devemos adotar uma 
orientação arbitrária para as correntes, permitindo desta forma que montemos tantas equações quantas 
forem as correntes desconhecidas. 
 
Exemplo 2: 
 
 
Observe que existem três correntes no circuito, portanto devemos montar três equações, 
relacionando entre si essas correntes. Para montar essas equações precisamos saber o sentido das 
correntes, mas como o sentido das correntes não é conhecido, nós devemos adotar um sentido qualquer 
(arbitrário). 
Vamos chamar de I1 a corrente no trecho EFAB, orientada arbitrariamente no sentido horário. Seja 
I2 a corrente no ramo BE, orientada de B para E, e finalmente chamemos de I3 a corrente no trecho 
BCDE, orientada no sentido horário. Chamemos a malha ABEFA de α (alfa) e a malha BCDEB de malha 
β (beta), o circuito resultará: 
 
A primeira equação, relacionando as três correntes, é obtida, escrevendo a equação do nó B (ou do 
nó E) 
73 
 
 
Nó B: I1 = I2 + I3 (7.1) 
 
As outras duas equações são obtidas, escrevendo-se as equações das malhas α e β. 
 
Malha α: 6 = 3.I1 + 6.I2 + 4 + 5.I1 ou 
 8.I1 + 6.I2 = 2 (7.2) 
Malha β: 6.I2 + 4 = 1.I3 + 22 + 2.I3 ou 
 3.I3 – 6.I2 = -18 (7.3) 
 
Juntas as equações formam um sistema de três equações a três incógnitas, o qual pode ser 
resolvido por substituição, comparação, determinantes, etc. 
 
 
 
Substituindo I1 da equação 7.1 na equação 7.2, resulta: 
 
esta equação juntamente com a equação 7.3 formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, mais 
fácil de resolver. 
 
multiplicando a primeira por 3 e a segunda por -8 , resulta: 
 
 (8 ∙ 𝐼3 + 14 ∙ 𝐼2 = 2) 𝑥 3 24 ∙ 𝐼3 + 42 ∙ 𝐼2 = 6 
 
 (3 ∙ 𝐼3 − 6 ∙ 𝐼2 = −18) 𝑥 (−8) −24 ∙ 𝐼3 + 48 ∙ 𝐼2 = 144 
 
somando membro a membro as duas equações: 
 
substituindo esse resultado em qualquer uma das equações acima 
 
substituindo os valores de I2 e I3 na equação 7.1 , resulta: 
 
O sinal negativo nas correntes I1 e I3 significa que o sentido das correntes é contrário ao adotado, 
logo o circuito com as correntes e os seus sentidos resulta: 
 
Uma verificação dos resultados pode ser feita através do balanço energético. 
 
 
74 
 
7.4 – Balanço energético 
 
 O balanço energético de um circuito verifica se os resultados obtidos numa análise indicam que 
toda energia fornecida pelos geradores é consumida pelos receptores passivos e ativos, já que "toda 
energia fornecida deve ser consumida ou transformada". Se isso ocorrer, a análise pode ser considerada 
correta; caso contrário, ela deve ser revista. Como energia = potência x tempo, o balanço energético pode 
ser realizado por meio das potências envolvidas, ao invés das energias, não havendo necessidade de 
considerar o tempo de funcionamento do circuito. Para que se possa equacionar o balanço energético, 
tem-se de considerar o seguinte: 
 Num circuito, as fontes de alimentação que funcionam como geradores são as responsáveis pelo 
fornecimento de energia a ele. A potência total dos geradores será chamada de PG. 
 Num circuito, as fontes de alimentação que funcionam como receptores ativos, ao invés de 
fornecerem energia, elas a consomem. A potência total dos receptores ativos será chamada de PA. 
 Num circuito, todos os resistores funcionam como receptores passivos e, portanto, consomem 
energia. 
A potência total desses receptores passivo será chamada de PP. 
 Dessa forma, o balanço energético pode ser equacionado pelas potências envolvidas no circuito da 
seguinte forma 
PG – PA – PP = 0 
 PG = potência total dos geradores 
 PA = potência total dos receptores ativos 
 PP = potência total dos receptores passivos 
 
Exemplo 3: No exercício do item anterior fazer o balanço energético. 
 
Potência Elétrica dos Receptores 
 
 
 
 
 
 
 
Potência Elétrica dos Geradores 
 
Só tem um gerador: 
 
 
 
Exemplo 4: Utilizando o método de análise de Kirchhoff encontre as correntes do circuito da figura 
abaixo 
75 
 
 
 
 Para facilitar os cálculos as quedas de tensão nos resistores serão assinaladas n o circuito: 
 
 
 
 O circuito possui dois nós e três malhas (duas internas e uma externa). O número de equações 
independentes é: 
 - número total de nós menos um: 2 – 1 = 1 
 - número total de malhas menos um: 3 – 1 = 2 
 Escrevendo as equações de nós e de malha (escolhida as duas malhas internas): 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 
50 − (2,2 + 5,6 + 1,2) × 103𝑖1 + 8,2 × 10
3𝑖2 + 50 = 0
50 + (1,1 + 3,3) × 103𝑖3 − 100 − 8,2 × 10
3𝑖2 = 0
 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 ∴ 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 
−9 × 103𝑖1 + 8,2 × 10
3𝑖2 = −100
−8,2 × 103𝑖2 + 4,4 × 10
3𝑖3 = 50
 
 
−9 × 103 (𝑖2 + 𝑖3) + 8,2 × 10
3𝑖2 = −100 
 
−9 × 103𝑖2 − 9 × 10
3𝑖3 + 8,2 × 10
3𝑖2 = −100 
 
𝑖2 =
100 − 9 × 103𝑖3
0,8 × 103
 
 
50 + 4,4 × 103𝑖3 − 100 − 8,2 × 10
3 (
100 − 9 × 103𝑖3
0,8 × 103
) = 0 
 
40 × 103 + 3,52 × 106𝑖3 − 80 × 10
3 − 820 × 103 + 73,8× 106𝑖3 = 0 
 
−860 × 103 + 77,32 × 106𝑖3 = 0 ∴ 𝑖3 = 11,12 𝑚𝐴 
 
76 
 
𝑖2 =
100 − 9 × 103 × 11,12 × 10−3
0,8 × 103
= −0,10 𝑚𝐴 
 
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 = −0,10 + 11,12 = 11,02 𝑚𝐴 
 
Verificando os valores encontrados: 
 
−9 × 103 × 11,02 × 10−3 + 8,2 × 103 × (−0,10 × 10−3) = −100 (𝑂𝐾) 
 
−8,2 × 103 × (−0,10 × 10−3) + 4,4 × 103 × 11,02 × 10−3 = 49,3 ≅ 50 (𝑂𝐾) 
 
Exemplo 5: Utilizando o método de análise de Kirchhoff encontre as correntes do circuito da figura 
abaixo. 
 
 
 
1º passo: Assinalar no circuito as correntes de nó. Como medida auxiliar nos cálculos deve-se marcar nos 
bipolos passivos (resistores) as quedas tensão causadas pelas respectivas correntes que circulam pelos 
mesmos. Utilizar os sinais “+” e “-“. Lembre-se: as tensões nos bornes das fontes e receptores ativos não 
são influenciadas pelas correntes: 
 
 
2º passo: Escrever as equações de nó e de malha. O número de equações de nó independentes neste 
circuito é igual ao número total de nós menos um: 2 – 1 = 1. O número de equações de malha 
independentes neste circuito é igual ao número total de malhas menos um: 3 – 1 = 2. Serão escritas uma 
equação de nó e duas equações de malhas, sendo escolhidas as duas malhas internas. 
 
77 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
24 − 2 × 103𝑖3 + 48 − 1,5 × 10
3𝑖3 − 1 × 10
3𝑖2 − 36 − 3 × 10
3𝑖2 = 0
48 − 1,5 × 103𝑖3 + 1,2 × 10
3𝑖1 + 12 + 2,2 × 10
3𝑖1 − 60 + 3,3 × 10
3𝑖1 − 2 × 10
3𝑖3 = 0
 
 
3º passo: Arrumar as equações colocando no lado esquerdo as incógnitas (variáveis) em ordem crescente. 
No lado direito da equação colocar os termos independentes. 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
−4 × 103𝑖2 − 3,5 × 10
3𝑖3 = −36
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 0
 
 
4º passo: Resolver o sistema de equações linear. O aluno deve escolher o método que melhor lhe convier. 
A solução abaixo será mista: substituição e adição. Primeiro será colocada a corrente i2 em evidência: 
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3 → 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑎 1
𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎. 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
−4 × 103(𝑖1 + 𝑖3) − 3,5 × 10
3𝑖3 = −36
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 0
 → {
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
−4 × 103𝑖1 − 7,5 × 10
3𝑖3 = −36
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 0
 
 
𝑠𝑒𝑟ã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑖çã𝑜, 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
−4 × 103𝑖2 − 7,5 × 10
3𝑖3 = −36
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 0
 
1
× (1,675)
1
 → {
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
−6,7 × 103𝑖2 − 12,56 × 10
3𝑖3 = −60,3
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 0
 
 
𝑆𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 → 16,06 × 103𝑖3 = −60,3 ∴ 𝑖3 = 3,75 × 10
−3 𝐴 
 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖1 
 
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 0 ∴ 𝑖1 =
3,5 × 103𝑖3
6,7 × 103
=
3,5 × 103 × 3,75 × 10−3
6,7 × 103
= 1,96 × 10−3 𝐴 
 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑛ó𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖2 
 
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3 = 1,96 × 10
−3 + 3,75 × 10−3 = 5,71 × 10−3 𝐴 
 
5º passo: Os cálculos foram feitos, mas como existe a possibilidade de erro na execução dos mesmos 
deve-se verificar os valores encontrados. Substituir nas equações das malhas os valores encontrados para 
i1, i2 e i3: 
 
−4 × 103𝑖2 − 3,5 × 10
3𝑖3 = −4 × 10
3 × 5,71 × 10−3 − 3,5 × 103 × 3,75 × 10−3 = −35,965 ≅ −36 (𝑂𝐾) 
 
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 6,7 × 10
3 × 1,96 × 10−3 − 3,5 × 103 × 3,75 × 10−3 = 0,007 ≅ 0 (𝑂𝐾) 
 
Caso o aluno queira resolver o sistema de equações lineares pela regra de Cramer estão descritos 
abaixo os passos a seguir. 
 
6º passo: Colocar as equações do 3º passo na forma matricial. 
 
78 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
−4 × 103𝑖2 − 3,5 × 10
3𝑖3 = −36
6,7 × 103𝑖1 − 3,5 × 10
3𝑖3 = 0
 
 
[
1 −1 1
0 −4 × 103 −3,5 × 103
6,7 × 103 0 −3,5 × 103
] ∙ [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
0
−36
0
] 
 
A matriz acima tem a forma: 
[𝐴] ∙ [𝑋] = [𝐵] 
Onde, 
[A] : é a matriz dos coeficientes ou matriz incompleta; 
[X] : é a matriz das incógnitas ou matriz das variáveis; 
[B] : é a matriz dos termos independentes. 
Pela regra de Cramer: 
𝑥1 =
det [𝐴𝑥1]
det [𝐴]
, 𝑥2 =
det [𝐴𝑥2]
det [𝐴]
, 𝑥3 =
det [𝐴𝑥3]
det [𝐴]
 
 
O cálculo dos determinantes das matrizes (de ordem três) será feito pelo método de Sárrus (mais 
detalhes consulte o anexo). 
O determinante da matriz dos coeficientes será dado por: 
 
|
1 −1 1
0 −4 × 103 −3,5 × 103
6,7 × 103 0 −3,5 × 103
| 
1 −1 1
0 −4 × 103 −3,5 × 103
6,7 × 103 0 −3,5 × 103
 
 
det [𝐴] = 1 × (−4 × 103) × (−3,5 × 103) + (−1) × (−3,5 × 103) × (6,7 × 103) + 1 × 0 × 0 − 1 ×
(−3,5 × 103) × 0 − (−1) × 0 × (−3,5 × 103) − 1 × (−4 × 103) × (6,7 × 103) = 64,25 × 106 
 
Para calcular o determinante da variável “i1” substitui-se a coluna desta variável pela coluna dos 
termos independentes: 
 
|
𝟎 −1 1
−𝟑𝟔 −4 × 103 −3,5 × 103
𝟎 0 −3,5 × 103
| 
𝟎 −1 1
−𝟑𝟔 −4 × 103 −3,5 × 103
𝟎 0 −3,5 × 103
 
 
det [𝐴𝑖1] = 0 × (−4 × 10
3) × (−3,5 × 103) + (−1) × (−3,5 × 103) × 0 + 1 × (−36) × 0 − 0 ×
(−3,5 × 103) × 0 − (−1) × (−36) × (−3,5 × 103) − 1 × (−4 × 103) × 0 = 126 × 103 
 
Para calcular o determinante da variável “i2” substitui-se a coluna desta variável pela coluna dos 
termos independentes: 
 
|
1 𝟎 1
0 −𝟑𝟔 −3,5 × 103
6,7 × 103 𝟎 −3,5 × 103
| 
1 𝟎 1
0 −𝟑𝟔 −3,5 × 103
6,7 × 103 𝟎 −3,5 × 103
 
 
det [𝐴𝑖2] = 1 × (−36) × (−3,5 × 10
3) + 0 × (−3,5 × 103) × (6,7 × 103) + 1 × 0 × 0 − 1 × (−3,5
× 103) × 0 − 0 × 0 × (−3,5 × 103) − 1 × (−36) × (6,7 × 103) = 367,2 × 103 
 
Para calcular o determinante da variável “i3” substitui-se a coluna desta variável pela coluna dos 
termos independentes: 
79 
 
 
|
1 −1 𝟎
0 −4 × 103 −𝟑𝟔
6,7 × 103 0 𝟎
| 
1 −1 𝟎
0 −4 × 103 −𝟑𝟔
6,7 × 103 0 𝟎
 
 
det [𝐴𝑖3] = 1 × (−4 × 10
3) × 0 + (−1) × (−36) × (6,7 × 103) + 0 × 0 × 0 − 1 × (−36) × 0
− (−1) × 0 × 0 − 0 × (−4 × 103) × (6,7 × 103) = 241,2 × 103 
 
𝑖1 =
det [𝐴𝑖1]
det [𝐴]
=
126 × 103
64,25 × 106
= 1,96 × 10−3 𝐴 
 
𝑖2 =
det [𝐴𝑖2]
det [𝐴]
=
367,2 × 103
64,25 × 106
= 5,71 × 10−3 𝐴 
𝑖3 =
det [𝐴𝑖3]
det [𝐴]
=
241,2 × 103
64,25 × 106
= 3,75 × 10−3 𝐴 
 
Os valores das três correntes estão de acordo com os valores previamente calculados e conferidos. 
 
Exercícios propostos 
 
1) Determine a intensidade e o sentido de todas as correntes, em seguida faça o balanço energético nos 
circuitos: 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
2) Determinar qual deve ser o valor de R para que I seja 0,2 A . 
 
 
 
3) Determinar a tensão entre A e B 
 
 
4) Determinar o sentido e a intensidade da corrente no trecho AB. 
 
 
 
5 ) Qual deve ser o valor de R para que a corrente no trecho AB seja nula? 
 
 
6) Determinar a tensão entre A e B, e a potência dissipada em todas as resistências. 
 
 
81 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) I1 = 2,6 mA I2 = 1,6 mA I3 = l mA 
 b) I1 = - 0,5 mA I2= - 0,4 mA I3 = 0,l mA 
 c) I1= - 7 mA I2= 5 mA I3 = 2 mA 
 d) I1 = 15 mA I2= -45 mA I3 = 30 mA 
 e) I1 = 6,4 A I2= 0,4 A I3 = 6 A 
 f) I1 = 4A I2 = 2 A I3 = - 2 A 
2) R = 30 Ω 
3) UAB = -1,25 V 
4) IAB = 0,1 A de A para B 
5) R = 26 kΩ 
6) UAB = 40V, P1 = 20 mW, P2 = 22,5 mW 
 
 
8 - MÉTODO DE MAXWELL (CORRENTES FICTÍCIAS DE MALHA) 
 
Este método, também chamado de método das correntes fictícias de Maxwell, é derivado das leis 
de Kirchhoff. Consiste em orientar arbitrariamente em cada malha uma corrente (na análise feita 
anteriormente orientávamos correntes nos ramos), e montar tantas equações quantas forem as malhas 
internas. 
Consideremos um circuito para exemplificarmos melhor. 
 
 
 
Imaginemos uma corrente em cada malha, as duas orientadas no mesmo sentido (horário ou anti-
horário). 
 
 
Observe porque chamamos de método das correntes fictícias (no circuito realmente existem três 
correntes). Observe ainda que o resistor de 15 K é percorrido de A para B por I1 e de B para A por I2, 
originando duas tensões com polaridades opostas (lembre-se do nome "fictício"). 
O passo seguinte é escrever a equação de cada malha de acordo com a 2
a
 lei de Kirchhoff. 
 
Malha α: soma das tensões horárias = soma das tensões anti-horárias. 
82 
 
25 + 15𝐼2 = 10𝐼1 + 15𝐼1 ⇒ 25𝐼1 − 15𝐼2 = 25 (10.1) 
Malha β: soma das tensões horárias = soma das tensões anti-horárias. 
15𝐼1 = 15𝐼2 + 4𝐼2 + 20 ⇒ 19𝐼2 − 15𝐼1 = −20 (10.2) 
 
As equações 10.1 e 10.2 constituem um sistema de equações (2 incógnitas), que solucionado darão 
as correntes I1 e I2. No ramo comum às duas malhas (resistências de 15K), a corrente será igual à soma 
algébrica (leva em conta o sinal) de I1 com I2, e nos outros trechos as correntes serão as próprias correntes 
I1 e I2. 
25 ∙ 𝐼1 − 15 ∙ 𝐼2 = 25 (x3) (10.3) 
−15 ∙ 𝐼1 − 19 ∙ 𝐼2 = −20 (x5) (10.4) 
 
Multiplicando a equação 10.3 por 3 e a 10.4 por 5 e somando-as membro a membro. 
 
 
substituindo, por exemplo, na equação 10.1 
 
Como I2 deu um valor negativo, significa que o sentido é contrário ao adotado. 
 
 
A corrente na resistência 15 K será igual a l,2 mA. 
Para montar a equação de cada malha, você pode usar a seguinte equação genérica: 
(∑𝑅𝑀) ∙ 𝐼𝑀 − (∑𝑅𝐴𝐷) ∙ 𝐼𝑀𝐴𝐷 =∑𝐹𝐸𝑀 −∑𝐹𝐶𝐸𝑀 
 
∑𝑅𝑀 = somatória das resistências da malha 
IM = corrente da malha 
∑𝑅𝐴𝐷 = somatória das resistências que pertencem à malha em questão e à malha adjacente 
𝐼𝑀𝐴𝐷 = corrente da malha adjacente 
∑𝐹𝐸𝑀 = somatória das forças eletromotrizes da malha 
∑𝐹𝐶𝐸𝑀 = somatória das forças contra-eletromotrizes da malha 
 
Deve ficar claro que esta "bitola" deve ser usada para ganhar tempo, mas você deve saber escrever 
a equação de cada malha, mesmo sem se lembrar da regrinha dada acima, a qual só vale se as correntes de 
malha tiverem mesma orientação (o que muda na equação genérica se as correntes de malha tiverem 
orientações contrárias?). 
Você deve ter observado que o método de Maxwell, quando comparado com o de Kirchhoff, 
apresenta um número menor de equações, o que facilita enormemente a resolução de circuitos com um 
grande número de incógnitas. 
Determinar o sentido e a intensidade de todas as correntes do circuito. 
 
83 
 
 
Como são 6 correntes diferentes por Kirchhoff, teria que montar um sistema de 6 equações a 6 
incógnitas. 
Por Maxwell teremos somente 3 equações. 
 
 
 
Malha α: usando a equação genérica: 8𝐼1 − 2𝐼2 − 4𝐼3 = 40 (Eq. 10.5) observe que a malha a tem duas 
malhas adjacentes, portanto o termo (∑𝑅𝐴𝐷) ∙ 𝐼𝑀𝐴𝐷 aparece duas vezes (uma para cada malha). 
Malha β: 4𝐼2 − 2𝐼1 − 2𝐼3 = 10 − 12 
 4𝐼2 − 2𝐼1 − 2𝐼3 = −2 (Eq. 10.6) 
Malha γ: 13𝐼3 − 2𝐼2 − 4𝐼1 = −10 (Eq. 10.7) 
 
Para resolver este sistema de equações, vamos adotar um procedimento análogo ao adotado no 
capítulo 8. 
Na equação 10.5: 2𝐼2 = 8𝐼1 − 4𝐼3 − 40, que substituiremos na equação 10.6 e 10.7, eliminando desta 
forma I2. 
Substituindo na equação 10.6: 
 
2 × (2𝐼2) − 2𝐼1 − 2𝐼3 = 2 × (8𝐼1 − 4𝐼3 − 40) − 2𝐼1 − 2𝐼3 = −2 
 
16𝐼1 − 8𝐼3 − 80 − 2𝐼1 − 2𝐼3 = −2 ∴ 14𝐼1 − 10𝐼3 = 78 
 
Substituindo na equação 10.7: 
 
 
 
84 
 
 
 
 
 
 
 
O circuito com todas as correntes resulta: 
 
 
Exemplo 1: Utilizando o método de corrente de malha encontre as correntes de nó no circuito da figura 
abaixo. 
 
 
 Desenhar o circuito com as correntes fictícias de malhas com as respectivas quedas de tensão no 
receptores passivos (resistores): 
 
 O circuito acima possui três malhas: duas internas e uma externa. Somente duas malhas são 
independentes, e as escolhidas são as malhas internas. Serão escritas as duas equações de quedas de 
tensão necessárias à determinação das duas correntes de malha: I1 e I2. Dentro de uma malha a soma das 
quedas de tensão é igual a zero, assim; 
 
85 
 
{
50 − 3 × 103𝐼1 − 10 × 10
3𝐼1 + 10 × 10
3𝐼2 = 0
10 × 103𝐼2 + 10
3𝐼2 + 30 + 15 × 10
3𝐼2 − 10 × 10
3𝐼1 = 0
 
 
{
−13 × 103𝐼1 + 10 × 10
3𝐼2 = −50
−10 × 103𝐼1 + 26 × 10
3𝐼2 = −30
 
𝐼1 =
50 + 10 × 103𝐼2
13 × 103
 
 
−10 × 103 (
50 + 10 × 103𝐼2
13 × 103
) + 26 × 103𝐼2 = −30 × (13 × 10
3) 
 
−500 × 103 − 100 × 106𝐼2 + 338 × 10
6𝐼2 = −390 × 10
3 
 
𝐼2 =
110 × 103
238 × 106
= 0,46 × 10−3 𝐴 
 
𝐼1 =
50 + 10 × 103(0,46 × 10−3)
13 × 103
= 4,20 × 10−3 𝐴 
 
 Como existe a possibilidade de se cometer erros nos cálculos, a verificação dos valores 
encontrados para I1 e I2 pode ser feita substuindo os respectivos valores nas equações de malha: 
 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼: − 13 × 103 × 4,2 × 10−3 + 104 × 0,46 × 10−3 = −50 (𝑂𝐾) 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼𝐼: − 104 × 4,2 × 10−3 + 26 × 103 × 0,46 × 10−3 = −30,4 ≈ −30 (𝑂𝐾) 
 
 De posse dos valores corretos das correntes fictícias de malha são calculados os valores das 
correntes de nós (correntes reais): 
𝑖1 = 𝐼1 = 4,20 × 10
−3 𝐴 = 4,20 𝑚𝐴 
 
𝑖2 = 𝐼1 − 𝐼2 = 4,20 × 10
−3 − 0,46 × 10−3 = 3,74 × 10−3 = 3,74 𝑚𝐴 
 
𝑖3 = 𝐼2 = 0,46 × 10
−3 𝐴 = 0,46 𝑚𝐴 
 
Exemplo 2: Determinar o sentido e a intensidade da corrente no trecho AB. 
 
 Escrevendo a equação das três correntes de malha: 
86 
 
{
12 − 12𝐼1 − 6𝐼1 + 12𝐼2 + 6𝐼3 = 0
12𝐼2 + 36𝐼2 + 20𝐼2 − 12𝐼1 − 36𝐼3 = 0
6𝐼3 + 80𝐼3 + 36𝐼3 − 6𝐼1 − 36𝐼2 = 0
 ≡ {
−18𝐼1 + 12𝐼2 + 6𝐼3 = −12
−12𝐼1 + 68𝐼2 − 36𝐼3 = 0
−6𝐼1 − 36𝐼2 + 122𝐼3 = 0
 
 Resolvendo o sistema de equações lineares: 
 {
−18𝐼1 + 12𝐼2 + 6𝐼3 = −12
−12𝐼1 + 68𝐼2 − 36𝐼3 = 0
−6𝐼1 − 36𝐼2 + 122𝐼3 = 0
 × (1,5) ⟹ {
−18𝐼1 + 12𝐼2 + 6𝐼3 = −12
18𝐼1 − 102𝐼2 + 54𝐼3 = 0
−6𝐼1 − 36𝐼2 + 122𝐼3 = 0
 
 ⟹ {
 0 − 90𝐼2 + 60𝐼3 = −12 
18𝐼1 − 102𝐼2 + 54𝐼3 = 0 
−6𝐼1 − 36𝐼2 + 122𝐼3 = 0 × (3)
 ⟹ {
 0 − 90𝐼2 + 60𝐼3 = −12 
18𝐼1 − 102𝐼2 + 54𝐼3 = 0 
−18𝐼1 − 108𝐼2 + 366𝐼3 = 0 
 
⟹ {
 0 − 90𝐼2 + 60𝐼3 = −12 
18𝐼1 − 102𝐼2 + 54𝐼3 = 0 
−18𝐼1 − 108𝐼2 + 366𝐼3 = 0 × (3)
 ⟹ {
 0 − 90𝐼2 + 60𝐼3 = −12 × (−7)
0 − 210𝐼2 + 420𝐼3 = 0 
−18𝐼1 − 108𝐼2 + 366𝐼3 = 0 
 
⟹ {
 0 + 630𝐼2 − 420𝐼3 = 84 
0 − 210𝐼2 + 420𝐼3 = 0 
−18𝐼1 − 108𝐼2 + 366𝐼3 = 0 
 ⟹ 0 + 420𝐼2 − 0 = 84 ∴ 𝐼2 = 0,2 𝐴 
𝐼3 =
210 × 0,2
420
= 0,1 𝐴 ; 𝐼1 =
68 × 0,2 − 36 × 0,1
12
= 0,83 𝐴 
 Corrente no trecho AB é no sentidode A para B, então: 
𝑖 = 𝐼2 − 𝐼3 = 0,2 − 0,1 = 0,1 𝐴 
 Para resolver este exemplo pelo método de Kirchhoff seriam necessárias 6 equações: 3 de nó e 3 
de malha. 
 
Exemplo 3: Utilizando o método de corrente de malha encontre as correntes de nó no circuito da figura 
abaixo. 
 
1º passo: definir no circuito acima, de forma aleatória, as correntes de nós e de malha. Para melhor 
compreensão as correntes de nós serão assinaladas pela “i” minúscula, e a de malha pela letra “I” 
maiúscula. Para auxiliar nos cálculos as quedas de tensão nos bipolos passivos (resistores), provocadas 
pelas correntes de malha, serão marcadas pelos sinais “-“ e “+”. Lembre-se: as tensões nos bornes das 
fontes e dos receptores ativos não são influenciadas pelas correntes; 
87 
 
 
 
2º passo: Escrever as equações das quedas de tensão para cada malha. O circuito possui duas malhas 
internas e uma interna. O número de equações independente é igual a: 3 - 1= 2. Serão escritas duas 
equações e serão escolhidas as malhas internas. 
 
{
1,2 × 103𝐼1 + 8,2 × 10
3𝐼1 − 60 + 2,2 × 10
3𝐼1 − 90 − 8,2 × 10
3𝐼2 − 2,2 × 10
3𝐼2 = 0
9,1 × 103𝐼2 − 20 + 1,1 × 10
3𝐼2 + 1,3 × 10
3𝐼2 + 40 + 2,2 × 10
3𝐼2 + 60 + 8,2 × 10
3𝐼2 − 8,2 × 10
31 − 2,2 × 103𝐼1 = 0
 
 
3º passo: Arrumar as equações colocando no lado esquerdo as incógnitas (variáveis) em ordem crescente. 
No lado direito da equação colocar os termos independentes. 
 
{
11,6 × 103𝐼1 − 10,4 × 10
3𝐼2 = 150
−10,4 × 103𝐼1 + 21,9 × 10
3𝐼2 = −80
 
 
4º passo: Resolver o sistema de equações linear. O aluno deve escolher o método que melhor lhe convier. 
A solução abaixo será por substituição. Primeiro será colocada a corrente I1 em evidencia: 
 
𝐼1 =
150 + 10,4 × 103𝐼2
11,6 × 103
 
 
5º passo: Substituir a corrente I1 na segunda equação de malha: 
 
−10,4 × 103 × (
150 + 10,4 × 103𝐼2
11,6 × 103
) + 21,9 × 103𝐼2 = −80 
 
−1560 × 103 − 108,16 × 103𝐼2 + 254,04 × 10
3𝐼2 = −928 × 10
3 ∴ 𝐼2 = 4,33 × 10
−3 𝐴 
 
6º passo: Substituir a corrente I2 na equação em I1 está em evidência: 
 
𝐼1 =
150 + 10,4 × 103 × 4,33 × 10−3
11,6 × 103
= 16,81 × 10−3 𝐴 
 
7º passo: Os cálculos foram feitos, mas existe a possibilidade de erro na execução dos mesmos, portanto 
deve-se verificar os valores encontrados. Substituir nas equações das malhas os valores encontrados para 
I1 e I2: 
 
{
11,6 × 103 × 16,81 × 10−3 − 10,4 × 103 × 10−3 = 149,96 ≅ 150 (𝑂𝐾)
−10,4 × 103 × 16,81 × 10−3 + 21,9 × 103 × 4,33 × 10−3 = −79,997 ≅ −80 (𝑂𝐾)
 
 
8º passo: Com os valores das correntes fictícias de malha, calcular os valores das correntes de nó (reais): 
 
88 
 
𝑖1 = 𝐼1 = 16,81 × 10
−3 𝐴; 𝑖2 = 𝐼2 = 4,33 × 10
−3 𝐴; 𝑖3 = 𝐼1 − 𝐼2 = (16,81 − 4,33) × 10
−3 = 12,47 × 10−3 𝐴; 
 
 
9 - TEOREMA DE THÉVENIN 
 
O teorema de Thévenin é uma das principais ferramentas usadas na análise de circuito, sendo 
usada na simplificação de circuitos, tendo o seguinte enunciado: 
"Dado um circuito, contendo somente bipolos lineares (resistências, geradores de tensão, 
geradores de corrente), sejam A e B dois pontos do circuito. O circuito entre estes dois pontos pode ser 
substituído por um gerador de tensão (UTh) em série com uma resistência (RTh)”. 
 
 
 
Resistência equivalente de Thévenin: RTh é igual à resistência equivalente vista entre os pontos A e B, 
quando consideramos os geradores de tensão em curto-circuito e os geradores de corrente em aberto. 
 
Gerador equivalente de Thévenin: UTh é igual à tensão em vazio (em aberto) entre os pontos A e B. A 
orientação de UTh depende da polaridade de A em relação a B, deve ser a mesma na figura (a) acima e 
figura (b). 
 
Exemplo: No circuito determine IL usando o teorema de Thévenin. 
 
 
 
 
Cálculo de RTh: 
Curto-circuitando o gerador de tensão obtemos: 
 
 
Cálculo de UTh: 
 
89 
 
 
 
Substituindo o circuito pelo seu equivalente Thévenin: 
 
 
 
Observe que a polaridade do gerador de Thévenin deve ser tal que o ponto A deve ser positivo em 
relação a B. Procure determinar IL pelo método tradicional. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determine o equivalente Thévenin entre A e B. 
 
 
Observe que, como no circuito o ponto A é negativo em relação a B, UTh deve ter orientação tal 
que A continue com potencial menor que B quando substituirmos o circuito pelo equivalente Thévenin. 
 
Cálculo de RTh: 
 
 
 
Cálculo de UTh: 
 
 
90 
 
 
2) Determinar I usando o teorema de Thévenin. 
 
 
 
Vamos abrir o circuito entre A e B 
 
Curto-circuitemos o gerador de tensão (pontos C e D) e calculemos a resistência equivalente entre A e B. 
 
 
 
Calculemos a tensão entre A e B em aberto 
 
 
 
 
 
 
Substituindo o circuito pelo equivalente Thévenin. 
 
91 
 
 
 
3) Determinar I no circuito. 
 
 
Determinemos o equivalente Thévenin entre A e B 
Cálculo de RTh: 
 
 
Calculo de UTh: 
 
 
 
 
 
 
4) Determinar a tensão entre A e B, usando o teorema de Thévenin. 
 
92 
 
 
 
Determinemos o equivalente Thévenin entre A e B. 
 
 Cálculo de RTh Cálculo de UTh 
 
 
 
 
O ponto A é negativo em relação a B. 
 
 
 
O ponto B é positivo em relação a A. 
 
5) Determinar a intensidade e o sentido das correntes no circuito, usando o teorema de Thévenin. 
 
 
Apliquemos Thévenin entre A e B, simplificando o circuito esquerda. 
 
93 
 
 
Cálculo de RTh: 
Curto circuitando o gerador de 50 V 
 
 
Cálculo de UTh 
Abrindo o circuito nos pontos A e B 
 
 
 
Substituindo o circuito pelo equivalente Thévenin. 
 
 
 
 
 
Qual a diferença entre o cálculo de UAB agora, e antes quando calculamos UTh? 
94 
 
Tendo a tensão entre A e B podemos determinar as outras correntes. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Determine a corrente Ix , usando o teorema de Thévenin. 
 
 
2) Determinar o equivalente Thévenin entre A e B em cada caso: 
 
 
 
 
3) Determine Ix no circuito: 
 
95 
 
 
 
4) Determine o equivalente de Thévenin entre A e B, olhando para a caixa, sabendo-se que quando RL = 6 
K , UAB = 12V e quando RL = 36 K, UAB = 18 V. 
 
 
 
5) Determinar Ux. 
 
 
 
6) Determinar a tensão Ux necessária para impor Ix = 1mA. 
 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) Ix = - 1A 
2 ) a) UTh = 6 V RTh = 2 kΩ b) UTh = 10 V RTh = 15 Ω 
 c) UTh = 20 V RTh = 15 Ω d) UTh = 15 V RTh = 20 Ω 
 e) UTh = 6 V RTh = 0 f) UTh = 8 V RTh = 2,4 K 
3 ) Ix = 1,5 mA 
4 ) UTh = 20 V RTh = 4 kΩ 
5) Ux = 7,2 V 
6 ) Ux = 17 V 
96 
 
10 - TEOREMA DENORTON 
 
O teorema de Norton é o dual do teorema de Thévenin, sendo também muito útil na resolução de 
circuitos, tendo o seguinte enunciado: 
"Dado um circuito, contendo, somente bipolos lineares (resistências, geradores de tensão, 
geradores de corrente), sejam A e B dois pontos do circuito. Entre esses dois pontos podemos substituir o 
circuito por um gerador de corrente (IN) em paralelo com uma resistência (RN) " 
 
(a) b) 
 
Resistência equivalente de Norton: RN é igual à resistência equivalente vista entre os pontos A e B, 
quando consideramos os geradores de tensão em curto-circuito e abrimos os geradores de corrente. 
Observe que RN = RTh. 
 
Gerador equivalente de Norton: IN é igual à corrente no curto circuito estabelecido entre A e B. A 
orientação de IN dependerá do sentido da corrente no curto-circuito entre A e B. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determinar o equivalente de Norton entre A e B. 
 
 
Cálculo de RN: 
Abrindo os geradores de corrente 
 
Cálculo de IN: 
Curto-circuitando os pontos A e B, a corrente neste curto-circuito é igual a IN. 
 
97 
 
 
 
 
 
A tensão entre C e B será 15 V, logo 𝐼1 = 𝐼2 =
15 𝑉
10 Ω
=1,5 A. 
 
 
 
Substituindo o circuito pelo equivalente de Norton 
 
 
Existem outras formas alternativas de resolução, por exemplo, transformando os geradores de 
corrente para gerador de tensão (transformação Norton-Thévenin) 
 
 
Neste ponto, ou aplicamos o teorema de Norton ou o teorema de Thévenin. 
Aplicando Norton: 
Cálculo de RN 
98 
 
 
 
Cálculo de IN 
 
 
 
Aplicando Thévenin: 
Obviamente RTh = RN = 20 Ω 
Cálculo de UTh 
 
 
 
logo o equivalente de Thévenin será: 
 
 
 
Se quisermos obter o equivalente de Norton, é só fazer a transformação de gerador de tensão para 
gerador de corrente. 
 
2) Determine Ix no circuito: 
 
 
99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Notar que: 
 
 
 
3) Determine IL usando o teorema de Norton. 
 
 
Aplicando Norton entre A e B 
 
Cálculo de RN: 
Abrindo o gerador de corrente e curto circuitando o gerador de tensão 
 
100 
 
 
 
Cálculo de IN: 
Curto circuitando os pontos A e B 
 
 
 
O equivalente Norton será: 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Determinar o equivalente Norton entre os pontos A e B. 
 
 
 
 
 
101 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar o sentido e a intensidade da corrente em RL. 
 
 
 
3) Determinar a tensão em RL. 
 
 
 
4) Determinar o equivalente Norton e o equivalente Thévenin entre A e B. 
 
 
 
5) Determinar UAB no circuito: 
 
102 
 
 
6) Determine Ix no circuito: 
 
 
 
7) Determinar a intensidade e o sentido das correntes no circuito. 
 
 
 
8 ) Fazer o balanço energético do exercício anterior. 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) IN = 1 mA, RN = 2 kΩ; b) IN = 1 mA, RN = 10 kΩ; c) IN = 1 mA, RN = 2 kΩ; d) IN = 2,66 mA, RN = 
 15 kΩ 
2) IL = 1 mA de B para A 
3) UL = 2,8 V 
4) UTh = 4 V; RTh = 2 kΩ; IN = 2 mA; RN = 2 kΩ 
5) UAB = 32,5 V 
6 ) Ix = 1 mA 
7) I1 = 1 mA I2 = -2 mA I3 = 1 mA 
8 ) PG = PR = 38 mW 
 
 
11 - TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
O teorema da superposição é usado para resolver um circuito, que contém mais de uma fonte de 
tensão e/ou de corrente. Diz o teorema da superposição: 
"Dado um circuito, contendo somente bipolos lineares e mais de uma fonte de tensão (e/ou 
corrente), a corrente em qualquer trecho do circuito é igual à soma algébrica das correntes, devido a cada 
gerador individualmente, quando os outros geradores são eliminados (gerador de tensão curto-circuitado e 
gerador de corrente aberto)". 
103 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determinar Ix pelo teorema da superposição 
 
 
 
 
 
 
 
superpondo os efeitos (correntes): 
 
 
 
 
 
convencionando que de B para A é o sentido positivo 
 
 
 
O que foi feito para esse circuito simples, vale um circuito complexo. 
 
2) Determinar UAB usando o teorema da superposição. 
 
 
 
Calculemos a tensão UAB primeiramente devido a G1, com G2 desativado: 
 
104 
 
 
 
 
 
Calculemos a tensão UAB devido a G2, com G1 desativado. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Determinar UAB por superposição. 
 
 
2) Com relação ao circuito, pede-se: 
a) Sentido e intensidade de todas as correntes (usar qualquer método) 
b) Fazer o balanço energético 
 
105 
 
 
 
3) Usando o teorema de Thévenin, determine a corrente em RL. 
 
 
 
4) Determinar E para que I = 3,5mA. 
 
 
 
 
Respostas 
 
1) UAB = -3 V 
2) I1 = -1,714 A, I2 = -0,178 A, I3 = 1,857 A, I4 = 3,571 A, I5 = 1,892 A, I6 = -1,679 A 
 PR = 176,4 W, PG = 178,5 W a diferença se deve a arredondamentos. 
3) IL = 0,5 mA de A para B 
4) E = -12 V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
REFERÊNCIAS 
 
ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de circuitos em corrente contínua — São Paulo: Érica, 
1987. 
 
BOYLESTAD, Robert L.. Introdução à análise de circuitos. – 8 ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do 
Brasil, 1998. 
 
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Estadual Paulista – Unesp. Disponível na página < http://docplayer.com.br/20785461-Algebra-linear-al-
luiza-amalia-pinto-cantao-depto-de-engenharia-ambiental-universidade-estadual-paulista-unesp-luiza-
sorocaba-unesp.html >. Acesso em: 5 ago. 2016. 
 
LEITE, Isabel C. C.. Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares.– Salvador: Cefet-Ba, 
2008. Disponível na página 
<http://www.ifba.edu.br/dca/Corpo_Docente/MAT/ICCL/Notas%20de%20Aula%20-
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ago. 2016. 
 
MARKUS, Otávio. Circuitos elétricos – Corrente contínua e corrente alternada - Teoria e exercícios. São 
Paulo: Editora Érica, 2001. 
 
STEWART, James. Cálculo – Vol 1. - 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 
VAN VALKEMBURGH, Nooger & Neville, Inc. Eletricidade básica, vol 4.- Rio de janeiro: Ao Livro 
Técnico, 1982. 
ZUIM, Edgar. Revisão de Matemática. ETE Albert Einstein. Disponível na página 
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAxQ4AD/revisao-matematica?part=6>. Acesso em: 5 ago. 
2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
107 
 
ANEXO A – Revisão de matemática 
1 – Sistema métrico international 
 
Em eletricidade usa-se o sistema métrico internacional de unidades conhecido comumente por SI. 
A abreviação SI, assim usada também em inglês, decorre das palavras Système Internationale. 
 
 As sete unidades básicas do SI, são: 
 
comprimento - metro (m) 
massa - quilograma (kg) 
tempo - segundo (s) 
corrente elétrica - ampère (A) 
temperatura termodinâmica - kelvin (K) 
intensidade luminosa - candela (cd) 
quantidade de matéria - mol (mol) 
 
 Antigamente usava-se o sistema MKS, onde M representava o metro (comprimento), K o 
quilograma (massa) e S o segundo (tempo). As duas unidades suplementares do SI são o ângulo plano e o 
ângulo sólido. 
 As tabelas abaixo, mostram as unidades fundamentais do SI, as unidades suplementares e as 
unidades derivadas do SI. 
 
Tabela 1 - Unidades Fundamentais do SI 
Grandeza 
Unidade 
FundamentalSímbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica ampère A 
Temperatura termodinâmica (Temperatura absoluta) kelvin K 
Intensidade luminosa candela cd 
Quantidade de matéria mole mol 
 
Tabela 2 - Unidades Suplementares do SI 
Grandeza Unidade Símbolo 
Ângulo plano radiano rad 
Ângulo sólido esterorradiano sr 
 
Tabela 3 - Unidades derivadas do SI 
Grandeza Unidade Símbolo 
Energia joule J 
Força newton N 
Potência watt W 
Carga elétrica coulomb C 
Potencial elétrico volt V 
Resistência elétrica ohm  
Condutância elétrica siemens S 
Capacitância elétrica farad F 
Indutância elétrica henry H 
108 
 
Frequência hertz Hz 
Fluxo magnético weber Wb 
Densidade do fluxo magnético tesla T 
 
1.1 - Regras gerais para representação das unidades 
 
a) Quando as unidades forem escritas por extenso devem ter a letra inicial escrita em minúscula mesmo 
que sejam nomes de pessoas: 
segundo, metro, joule, newton, etc. 
 
b) Os símbolos das unidades de nomes de pessoas deverão ser escritos em maiúscula e os demais em 
minúscula: 
s (segundo), m (metro), J (joule), N (newton), etc. 
 
c) Os plurais das unidades são dados com o acréscimo de s, embora algumas vezes contrariem as regras 
gramaticais. Os símbolos não flexionam no plural. 
pascal = pascals 
mol = mols 
 
 OBS: as unidades terminadas em s, x e z não flexionam no plural 
siemens, luz, hertz 
1 siemens, 2 siemens, etc. 
 
d) Não se deve grafar as unidades misturando-se notações por extenso com símbolos ou abreviações. 
 
 Por exemplo: metro por segundo deve ser escrito m/s, portanto, é errado escrever m/segundo, 
m/seg ou metro/s. 
 
1.2 - Sistema métrico decimal 
 
 Até meados do século XVIII, as unidades de medida eram definidas de maneira arbitrária, 
variando de um país para outro, o que trazia enormes transtornos nas conversões. 
 
 Por causa disso, os cientistas propuseram unidades de medida definidas com maior rigor e 
adotadas universalmente. 
 
 Em 1.795, introduziu-se na França o Sistema Métrico Decimal, que pela sua racionalidade, logo se 
espalhou por todo o mundo. Vários sistemas foram utilizados desde então (MKS, CGS, MTS, etc.) que 
usavam as bases do sistema métrico decimal, até que em 1.960, durante a 11ª CONFERÊNCIA DE 
PESOS E MEDIDAS realizadas em Paris, formulou-se um novo sistema, baseado também do Sistema 
Métrico Decimal, ao qual se denominou SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). 
 
1.2.1 - Características do sistema métrico decimal 
 
a) Seu sistema tem base decimal; 
 
b) Apresentam múltiplos e submúltiplos, racionalmente escolhidos, utilizando prefixos gregos e latinos, 
segundo potências de dez, a saber: 
 
 
 
109 
 
Tabela 4 - Prefixos Métricos 
 
Fatores Multiplicativos Prefixo no SI Símbolo no SI 
1.000.000.000.000.000.000 = 10
18
 Exa E 
1.000.000.000.000.000 = 10
15
 Peta P 
1.000.000.000.000 = 10
12
 Tera T 
1.000.000.000 = 10
9
 Giga G 
1.000.000 = 10
6
 Mega M 
1.000 = 10
3
 quilo k 
1.0 = 10
0
 1 U.F (Unidade 
fundamental) 
0,001 = 10
-3
 mili m 
0,000.001 = 10
-6
 micro µ 
0,000.000.001 = 10
-9
 nano n 
0,000.000.000.001 = 10
-12
 pico p 
0,000.000.000.000.001 = 10
-15
 fento f 
0,000.000.000.000.000.001 = 10
-18
 atto a 
 
NOTAS: 
a) 1 Å (angstron) equivale a 10
-10 
m 
b) 1 ano-luz equivale a distância percorrida pela luz em um ano: 
= 365dias x 24h/dia x 3600 s/h x 3x10
8
m/s = 9,46x10
15
m = 9,46x10
12
km 
 
c) Como base de medida de comprimento tomou-se a Terra. O metro foi definido inicialmente como 
sendo 10
-7
 da distância do equador ao polo. Posteriormente, em 1.889, adotou-se como 1m a distância 
entre duas marcas sucessivas, constantes numa barra de platina iridiada - o metro padrão - guardada na 
Repartição Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, na França. Atualmente o metro padrão, define-
se no SI, como sendo 1.650.763,73 comprimentos de onda da radiação eletromagnética emitida pelo 
isótopo de criptônio (Kr-86), em sua transição entre os estados 2 p
10
 e 5 d
5
. 
 
d) Para massa, inicialmente o governo francês adotou o grama (g), como sendo a massa de 1 centímetro 
cúbico (1 cm
3
) de água destilada a 4ºC (nessa temperatura, a água apresenta a máxima densidade). A 
partir daí, construiu-se em bloco de platina com massa de 1.000g, que passa a ser o quilograma padrão, 
agora sem qualquer referência a água. Lembrar que 1.000g equivalem a 1 kg. 
 
e) Para unidades de área e volume foram definidas, a partir do metro, o metro quadrado (m
2
) e o metro 
cúbico (m
3
) respectivamente. Ainda de acordo com o C.I.P.M. (Conferência Internacional de Pesos e 
Medidas), tem-se como unidade de capacidade de volume o litro ( l ), que vale aproximadamente 1 
decímetro cúbico (1 dm
3
). 
1 l (litro) = 1,000027 dm
3 
 
Dessas definições decorre que, para a água pura a 4ºC, vale: 
10
-3
 m
3
 = 1dm
3
 = 10cm
3
 = 1 l = 1kg 
 
f) A unidade de tempo, de acordo com a União Internacional Astronômica é o segundo (s), igual a 
1/31.556.925,975 da duração do ano do trópico de 1.900. O ano trópico é o tempo decorrido entre duas 
passagens sucessivas da Terra pelo equinócio vernal (ocorre por volta do dia 21 de março de cada ano). 
Era ainda definido como 1/86.400 do dia solar médio e que corresponde ao intervalo de tempo entre duas 
passagens sucessivas de um ponto da Terra em frente ao Sol. Entretanto, face às ações das marés que 
aumentam o período de rotação da Terra, alterando assim o valor definido para o segundo, arbitrariamente 
adotou-se o ano de 1.900 como referência. 
110 
 
 
 Atualmente, vale a definição dada pelo SI, que foi adotada a partir de 1.964, pelo Comitê 
Internacional de Pesos e Medidas, como sendo a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação 
correspondente a transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de Cs-133 
(esta adoção se deu definitivamente em 13/10/67, pela 13ª Conferência Geral de Pesos e Medidas). 
 
1 hora (h) = 60 minutos (min) = 3.600 segundos (s) 
 
 As recomendações quanto a grafia dos nomes são dadas pela resolução 7 da 9ª C.G.P.M. de 1.948, 
a saber: 
 
 os símbolos das unidades serão escritos em caracteres minúsculos do alfabeto latino; 
 
 os símbolos das unidades derivadas de nomes próprios serão grafados com a primeira letra em 
maiúsculo do mesmo alfabeto; 
 
 os símbolos não são seguidos de ponto e nem flexionam no plural. 
 
 Veja abaixo algumas unidades do sistema inglês e sua correspondência com valores mais comuns: 
 
 1 pol (polegada) = 2,54cm 
 1 jarda = 0,914m 
 1 pé = 30,48cm 
 1 milha marítima = 1.852m 
 1 milha terrestre  1.609m 
 
1.2.2 - Prefixos métricos 
 
 Em eletricidade básica algumas unidades elétricas são pequenas demais ou grande demais para 
serem expressas convenientemente. Por exemplo, no caso de resistência frequentemente são utilizados 
valores de resistência da ordem de milhares de ohms. O prefixo “k” (kilo) mostrou-se uma forma 
conveniente de se representar mil, enquanto que, o prefixo “M” (mega) é uma forma conveniente de 
representar milhão. 
 
 Dessa forma, um resistor de 12.000 pode ser representado convenientemente por 12k, e um 
resistor de 1.000.000 de ohms pode ser representado por 1M. Os prefixos kilo e mega referem-se aos 
múltiplos da unidade fundamental. 
 
 No caso da corrente elétrica, por exemplo, é muito frequente a utilização de milésimos ou 
milionésimos de ampères. Assim, uma corrente de 0,001A pode ser representada por 1mA (miliampère),que é um submúltiplo da unidade fundamental, enquanto que uma corrente de 0,000002A pode ser 
representada por 2A (microampère). 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 12.500 12,5k ou 12k5 
 4.700.000 4,7M ou 4M7 
 35.000V 35kV 
 1.500V 1,5kV 
 0,0034A 3,4mA 
 0,0000000038A 0,0038A ou3,8nA (mais conveniente) 
111 
 
 200mA 0,2A 
 14.000A 0,014A ou 14mA (mais conveniente) 
 2.200W 2,2kW 
 0,016W 16mW 
 23.500.000W 23,5MW 
 
 Frequentemente torna-se necessário converter uma unidade de medida maior em outra menor ou 
uma unidade de medida menor em outra maior, principalmente quando se deseja efetuar operações como 
soma e subtração. 
 Assim, para se somar 0,23V com 2mV é necessário que as unidades de medidas sejam iguais, ou 
V (volt) ou mV (milivolt). 
 
 Assim: 0,23V = 230mV 
 Logo: 230mV + 2mV = 232mV 
 
ou ainda: 
 
2mV = 0,002V 
0,23V + 0,002V = 0,232V 
 
 Para a conversão de uma unidade de medida maior para uma menor, e vice-versa, o processo é 
bem simples. 
 Tome como referência a tabela 4. Adote como procedimento o deslocamento no sentido vertical, 
ou para cima ou para baixo e tenha sempre em mente: 
 
I - Quando o deslocamento no sentido vertical for para cima, desloque a vírgula para a esquerda; 
II - Quando o deslocamento no sentido vertical for para baixo, desloque a vírgula para a direita; 
III - Considere sempre a unidade fundamental (UF) = 10
0 
IV - Lembre-se de que qualquer número inteiro pode ser mentalizado como um número precedido de uma 
vírgula e zeros, de conformidade com a aproximação desejada. 
 Por exemplo: 120 = 120,0 ou 120,000 e assim por diante 
 
Exemplos 
 
a) converter 12.000mV em V (volt): 
 
 Solução: analisando a tabela 4, verifica-se que para converter 12.000mV para V (volt), o 
deslocamento no sentido vertical ocorre para cima. Isto significa que devemos deslocar a vírgula para 
esquerda. Mas, quantas casas devem-se deslocar à esquerda? 
 A diferença entre os expoentes do mV (10
-3
) para a unidade fundamental (10
0
) é 3. Logo, deverão 
ser deslocadas 3 casas à esquerda. 
 Assim: 12.000mV = 12V 
 Veja como foi o procedimento para se chegar a esse resultado: 
 Levando-se em conta que 12.000 podem ser escrito como 12.000,00... e deslocando-se a vírgula 3 
casas à esquerda, teremos então 12,000 que é representado por 12. 
 
b) converter 4.500V em kV (kilovolt): 
 
 Solução: neste caso o deslocamento vertical também é para cima e por isso a vírgula deve ser 
deslocada a esquerda. A diferença entre os expoentes também é 3, logo: 
 
4.500V = 4,5kV 
112 
 
 
c) converter 0,005kV em V (volt): 
 
 Solução: agora, o deslocamento no sentido vertical é para baixo; a diferença entre os expoentes é 
3, devendo portanto, a virgula ser deslocada à direita. Logo: 
 
0,005kV = 5V 
 
d) converter 0,0025kV em mV (milivolt): 
 
 Solução: verifica-se que para converter kV em mV, o sentido de deslocamento vertical é para 
baixo e, portanto, casas devem ser deslocadas à direita. Mas, quantas casas? 
 Basta calcular a diferença entre os expoentes. Veja como é simples: 
 
kV = 10
3 
 mV = 10
-3 
 
10 
3 - (-3)
 = 10 
3+3
 , portanto a diferença entre os expoentes é 6. 
 
Assim, deslocando 6 casas à direita teremos: 0,0025kV = 2.500mV 
 
e) converter 165.000.000V em kV (kilovolt): 
 Solução: o deslocamento no sentido vertical é para cima. 
 Para saber quantas casas deverão ser deslocadas à esquerda, devemos calcular a diferença entre os 
expoentes: 
 
V = 10-6 kV = 103 
 
10 
-6 - 3
 = 10
 -9
 , a diferença é -9. 
 
 Assim, deslocando 9 casas à esquerda teremos: 165.000.000V = 0,165kV. 
 
 Nota: Outra forma para se determinar se o deslocamento de casas de deve ser à esquerda, ou à 
direita, é observar atentamente o sinal resultante da operação com os expoentes. Se o resultado da 
diferença entre os expoentes for positivo, o deslocamento da vírgula será à direita; se for negativo, o 
deslocamento será à esquerda. 
 
Efetue as seguintes conversões: 
 
 25,575V para mV 
 6.000V para mV 
 12.500.000 para M 
 1.200k para M 
 900nA para mA 
 65.600nA para A 
 600mV para V 
 0,000048MV para mV 
 78.000kV para GV 
 12.560.000pV para nV 
 0,0065V para mV 
 7A para mA 
113 
 
 0,08A para mA 
 4.750 para k 
 0,0095M para  
 
Efetue as operações: 
 
1) 23mV + 0,004V + 0,00007kV = 
2) 235A + 0,045mA = 
3) 1,35k + 560 + 0,0005M = 
4) 5600 + 47k = 
5) 0,0068V + 45.500pV + 5600nV = 
6) 600V + 0,006MV + 3,55kV = 
 
1.2.3 - Potências de 10 
 
 Uma das formas também utilizada para a conversão de uma unidade de medida maior para outra 
menor e vice-versa, é a utilização da potência de 10, muitas vezes referida como “notação de 
engenheiro”. 
 A potência de 10 é de grande utilidade quando se deseja expressar números muito grandes ou 
extremamente pequenos, como por exemplo: 
velocidade da luz no vácuo = 300.000.000m/s (A velocidade da luz no vácuo é representada pela letra 
minúscula “c”). 
carga elétrica elementar = 0,00000000000000000016C (A carga elementar é representada pela letra minúscula 
“e”). 
 Não bastasse o inconveniente apresentado pela quantidade de algarismos a escrever, devemos 
efetuar ainda cálculos com esses números, o que nos traz números com mais algarismos ainda, e via de 
regra, desprovidos de precisão. 
 
Propriedades 
 
P.1) a
m
 x a
n
 = a
(m+n) 
 
P.2) a
m
 : a
n
 = a
m 
/ a
n
 = a
(m-n) 
 (a  0) 
 
P.3) (a
m
)
n
 = a
(m.n) 
 
P.4) (a x b)
m
 = a
m
 x b
m 
 
P.5) (a:b)
m
 = (a / b)
m
 = a
m
 / b
m
 = a
m
 : b
m
 (b  0) 
 
Decorrem ainda as seguintes propriedades: 
 
D.1) a
0
 = 1 (a  0) 
 
D.2) a
1
 = a 
 
D.3) a
-1
 = 1 / a (a  0) 
 
D.4) a
-n
 = (a
-1
)
n
 = 1 / a
n
 (a  0) 
 
 Particularmente, quando a base é 10, podemos escrever: 
114 
 
 
a) 10
n
 = 10 x 10 x 10 x 10....... x 10 
 
 nº de fatores 
 
b) 10
-n
 = (10
-1
)
n
 = 1 / 10
n 
 
Desta forma, seja 10
n
 a potência n-ésima de dez: 
 
I) Quando n  0 
 10
0
 = 1 
 
 10
1
 = 10 
 
 10
2 
 = 10 x 10 = 100 
 
 10
3
 = 10 x 10 x 10 = 1.000 
 
 “n” indica o número de zeros, ou melhor, quantas vezes multiplicamos um número pela base dez. 
 
II) Quando n < 0 
 
 10
-1
 = 1 / 10
1
 = 1 / 10 = 0,1 
 
 10
-2
 = 1 / 10
2
 = 1 / 100 = 0,01 
 
 10
-3
 = 1 / 10
3
 = 1 / 1.000 = 0,001 
 
 “n” indica o número de casas decimais, ou melhor, quantas vezes dividimos um número pela base 
dez. 
 
REGRA 1: Para se escrever números maiores do que 1 na forma de um número pequeno vezes uma 
potência de 10, desloca-se a casa decimal para a esquerda, tantos algarismos quanto desejados. A seguir, 
multiplica-se o número obtido por 10 elevado a uma potência igual ao número de casas deslocadas. 
Exemplo: 
 
 Escrever o número 3.000 em potência de 10. 
 
 1ª opção: 3.000 = 3 x 10
3
 
 
 2ª opção: 3.000 = 30 x 10
2 
 
 Na primeira opção, o número 10 foi elevado a um expoente 3, pois a vírgula foi deslocada 3 casas 
para a esquerda. 
 Na segunda opção, no entanto, em virtude da vírgula ter sido deslocada apenas 2 casas para a 
esquerda, a número 10 foi elevado a um expoente 2. Isto significa que, na 1ª opção o número 3 é 
multiplicado por 1.000, enquanto que, na 2ª opção o número30 é multiplicado por 100. 
 
 Assim: 3 x 1.000 = 3.000 e 30 x 100 = 3.000 
 
 Vejamos outros exemplos: 
 
115 
 
 a) escrever o número 9.600 em potência de 10. 
 
 9.600 = 96 x 10
2
 
 
 b) escrever o número 660.000 em potência de 10. 
 
 660.000 = 66 x 10
4
 
 
 c) escrever o número 678,56 em potência de 10. 
 
 678,56 = 6,7856 x 10
2 
 ou 
 678,56 = 67,856 x 10 e assim por diante 
 Nota: 
 O expoente 10
1
 expressa-se simplesmente por 10, pois 10
1
 = 10. 
 
 d) escrever a velocidade da luz em potência de 10. 
 
 c = 300.000.000m/s; portanto c = 3 x 10
8 
m/s 
 
 ou 30 x 10
7 
m/s ou ainda 300 x 10
6
 m/s 
 
REGRA 2: Para se escrever números menores do que 1 como um número inteiro vezes uma potência de 
10, desloca-se a casa decimal para a direita, tantos algarismos quantos forem necessários. A seguir, 
multiplica-se o número obtido por 10 elevado a uma potência negativa igual ao número de casas decimais 
deslocadas. Vejamos um exemplo: 
 
 Escrever 0,008 em potência de 10. 
 
 1ª opção: 0,008 = 8 X 10
-3 
 
 2ª opção: 0,008 = 0,8 x 10
-2
 
 
 Na primeira opção o número 10 foi elevado ao expoente -3, pois a vírgula foi deslocada 3 casas 
para a direita, enquanto que, na segunda opção o número 10 foi elevado ao expoente -2 uma vez que, a 
vírgula foi deslocada para a direita apenas 2 casas. Isto significa que, na 1ª opção o número 8 foi dividido 
por 1.000 enquanto que, na 2ª opção o número 0,8 foi dividido por 100. 
 
 Assim: 8 / 1.000 = 0,008 e 0,8 / 100 = 0,008 
 
 Vejamos outros exemplos: 
 
 a) escrever o número 0,00098 em potência de 10. 
 
 0,00098 = 98 x 10
-5
 
 
 b) escrever o número 0,668 em potência de 10. 
 
 0,668 = 66,8 x 10
-2
 
 
 c) escrever a carga elementar em potência de 10. 
 
 e = 0,00000000000000000016C; portanto, e = 0,16 x 10
-18
 C 
116 
 
 ou 1,6 x 10
-19
 C ou ainda 16 x 10
-20
 C 
 
REGRA 3: Para converter um número expresso como uma potência positiva de 10 num número decimal, 
desloca-se a casa decimal para a direita tantas casas ou posições quanto o valor do expoente. Exemplos: 
 
 a) 0,565 x 10
3
 = 565 
 (como o expoente é 3, desloca-se a vírgula 3 casas para a direita) 
 
 b) 0,565 x 10
6
 = 565.000 ( neste caso, como o expoente é 6, a vírgula é deslocada 6 casas para a 
direita) 
 
 c) 0,00067 x 10
3
 = 0,67 
 
 d) 0,0088 x 10
3
 = 8,8 
 
REGRA 4: Para converter um número expresso como uma potência negativa de 10 num número decimal, 
desloca-se a vírgula para a esquerda tantas casas quanto o valor do expoente. Exemplos: 
 
 a) 50 x 10
-3
 = 0,05 
 ( como o expoente é -3, desloca-se a vírgula 3 casas à esquerda) 
 
 c) 45.000 x 10
-5
 = 4,5 ( neste caso, como o expoente é -5, a vírgula é 
 deslocada 5 casas para a esquerda). 
 
 d) 0,008 x 10
-4
 = 0,0000008 
 
 e) 76,3 x 10
-2
 = 0,763 
 
1.2.4 - Operações aritméticas com potências de 10 
 
a) Multiplicação 
 Para se multiplicar dois ou mais números expressos em potência de 10, multiplicam-se os 
coeficientes para obter o novo coeficiente, e somam-se os expoentes para obter o novo expoente de 10. 
Exemplos: 
 a) multiplicar: 2 . 10
6
 x 4 . 10
3
 
(2 x 4). 10
 6 + 3
 = 8 . 10
9
 
 
 b) multiplicar: 2 . 10
-3
 x 3 . 10
2
 x 1,2 . 10
4 
 
(2 x 3 x 1,2). 10
 -3 + 2 + 4
 = 7,2 . 10
3 
 
 c) multiplicar: 2,2 . 10
-4
 x 3 . 10
-2
 x 0,2 . 10
-3
 
 
(2,2 x 3 x 0,2). 10
 -4 + (-2) + (-3)
 = 1,32 . 10
-9 
 
b) Divisão 
 Para se dividir dois números expressos como potência de 10, dividem-se os coeficientes 
para obter o novo coeficiente e subtraem-se os expoentes para obter o novo expoente de 10. Exemplos: 
 
 I) dividir: 45 . 10
-6 
 : 3 . 10
-3 
 
(45 : 3). 10
-6 - (-3)
 = 15 . 10
-6 + 3
 = 15 . 10
-3 
117 
 
 
 II) dividir: 60 . 10
-4
 : 12 . 10
-6
 
 
(60 : 12). 10
-4 - (-6)
 = 5 . 10
-4 + 6
 = 5 . 10
2 
 
 III) dividir: 72 . 10
8
 : 12 . 10
12 
 
(72 : 12). 10
8 - 12
 = 6 . 10
-4 
 
c) Soma e subtração 
 Para somar ou subtrair números expressos em potência de 10, opera-se normalmente os 
coeficientes, desde que os expoentes sejam iguais. Exemplos: 
 
 I) somar: 12 . 10
-6
 + 4 . 10
-5 
 
 - optando por igualar ao expoente -6, teremos: 4 . 10
-5
 = 40 . 10
-6 
 
 - optando por igualar ao expoente -5, teremos: 12 . 10
-6 
= 1,2 . 10
-5
 
 
 logo: 
 
 (12 + 40). 10
-6
 = 52 . 10
-6
 ou (1,2 + 4). 10
-5
 = 5,2 . 10
-5
 
 
 
 II) subtrair: 25,6 . 10
2
 - 12 . 10
-2
 
 
 igualando ao expoente 2, teremos: 12 . 10
-2
 = 0,0012 . 10
2
 
 logo: 
 
 (25,6 - 0,0012). 10
2
 = 25,5988 . 10
2 
 
 
1.2.5 - Exercícios propostos 
 
a) Representar em potências de 10 
 
 a) 35.535 
 b) 66.666 
 c) 45.000.000 
 d) 567,9 
 e) 1.500.000.000.000 
 f) 680 
 g) 0,0087 
 h) 0,489 
 i) 0,000000987 
 j) 0,0606 
 k) 0,00000000000000088765 
 l) 0,098 
 m) 0,997 
 
b) Converter para número decimal 
 
118 
 
 a) 3,45 x 10
6 
 
b) 0,00098 x 10
8
 
 c) 0,008 x 10
4
 
 d) 824 x 10
-2
 
 e) 0,07 x 10
-2
 
 f) 0,415 x 10
-1
 
 g) 0,5678 x 10
-2
 
 h) 1.600.000 x 10
-7 
 i) 0,000678876789 x 10
9
 
 j) 0,876 x 10
3 
 k) 1,234 x 10
-1 
 
l) 2345,6789 x 10
2
 
 m) 4558976,5674 x 10
-6
 
 
c) Efetuar as operações: 
 
 a) 0,007 + 0,98 + 1,34 
 b) 23 . 10
-6 
 x 2,34 . 10
5 
 
c) 23 . 10
2 
 + 2,34 . 10
3
 + 125456 . 10
-5
 
 d) 0,00897 + 23 . 10
-2 
 + 1230.10
-4
 
 e) 0,0009 : 0,000000003 
 f) 23 . 10
8 
 : 2,5 . 10
6 
 g) (0,005 + 0,025 + 0,001) : 1,23 x 10
-2
 
 h) {[(1,2 . 10
-4
 + 23 . 10
-3 
 - 20 . 10
-1
)] x 12 . 10
2
} : 2 . 10
3
 
 i) 0,08 + 0,008 + 0,0008 + 0,00008 
 j) 0,000000085 : 500 
 k) 55 : 55 . 10
-4
 
 l) 155,555 x 2,5 . 10
-5
 
 m) (25 . 10
-6
 x 2 . 10
6
) + 25 . 10
2
 
 
1.2.6 - Notação científica 
 
 Em notação científica, o coeficiente da potência de 10 é sempre expresso com uma casa decimal 
seguido da potência de 10 adequada. Alguns exemplos esclarecerão o assunto: 
 a) escrever em notação científica o número 224.400 
 
224.400 = 2,244 x 10
5
 
 
 b) escrever em notação científica o número 0,000345 
 
0,000345 = 3,45 x 10
-4
 
 
 c) escrever em notação científica o número 26 x 10
6 
 
26 x 10
6
 = 2,6 x 10
7
 
 
 d) escrever em notação científica o número 0,001 x 10
-3
 
 
0,001 x 10
-3
 = 1 x 10
-6
 
 
 e) escrever em notação científica o número 0,0015685 
 
119 
 
0,0015685 = 1,5685 x 10
-3
 
 
 f) escrever em notação científica o número 12.500.000.000 
 
12.500.000.000 = 1,25 x 10
10
 
 
 As regras para operações aritméticas com números expressos em notação científica são as mesmas 
adotadas com relação à potência de 10. 
 Na verdade, a única diferença que existe entre a forma de se representar um número em potência 
de 10 e notação científica é que , em notação científica o coeficiente a ser precedido da potênciade 10 é 
expresso apenas com uma casa decimal, conforme já dito anteriormente. 
 
1.2.7 - Notações de ponto fixo, de ponto flutuante, científica e de engenharia em 
calculadora/computador. 
 
Existem em geral quatro modos de obtenção de um número quando utilizamos um computador ou 
uma calculadora. 
 
a) Notação de ponto fixo 
Todos os resultados terão neste caso a vírgula localizada na mesma posição, como ilustram os 
exemplos a seguir, onde escolhemos a precisão até a casa dos milésimos. O usuário pode decidir o grau 
de precisão desejado para o resultado: décimos, centésimos, milésimos, e assim por diante: 
 
1
3
= 0,333 
1
16
= 0,063 
2.300
2
= 1150,000 
 
b) Notação de ponto flutuante 
A localização da vírgula é definida pelo número a ser exibido no mostrador. Podemos, em boa 
parte dos computadores e calculadoras, escolher entre as notações de ponto fixo e de ponto flutuante. Se 
tivéssemos optado pela notação de ponto flutuante, os resultados das operações acima apareceriam como: 
 
1
3
= 0,333333333333 
1
16
= 0,0625 
2.300
2
= 1.150 
 
c) Notação científica 
Pode-se escolher entre os formatos de ponto fixo ou de ponto flutuante. Este último foi utilizado 
no exemplo acima. Se tivéssemos escolhido o formato de ponto fixo com precisão de até milésimos, 
obteríamos os seguintes resultados para as operações acima: 
 
1
3
= 3,333𝐸 − 1 
1
16
= 6,250𝐸 − 2 
2.300
2
= 1,150𝐸3 
 
d) Notação de engenharia 
Todas as potências de dez devem ter expoentes múltiplos de 3 e a mantissa deve ser maior ou 
igual a 1, mas menor que 1.000. Esta restrição sobre as potências de dez é devida ao fato de que certas 
potências específicas têm associadas a elas certos prefixos que serão introduzidos nos próximos 
parágrafos. As operações acima, em notação científica com ponto flutuante, ficam assim: 
 
1
3
= 333,333333333𝐸 − 3 
1
16
= 62,5𝐸 − 3 
2.300
2
= 1,15𝐸3 
 
Se utilizarmos a notação de engenharia com precisão até a terceira casa decimal, obteremos: 
120 
 
 
1
3
= 333,333𝐸 − 3 
1
16
= 62,500𝐸 − 3 
2.300
2
= 1,150𝐸3 
 
 
2 - Algarismos significativos 
 
2.1 - Noções sobre erros 
 Medir, entre outras definições prováveis, é comparar quantidades semelhantes. Assim, devemos 
ter em mente que toda medida vem afetada de erro; o verdadeiro valor da grandeza a medir, em princípio 
indeterminável, cai dentro de um intervalo centrado no valor numérico da medida. 
 A preocupação de quem mede é então, tornar esse intervalo o menor possível. Isto depende de 
alguns tipos de erros costumeiros. 
 Chamamos de ERRO de uma medida a diferença entre o valor real (ou suposto verdadeiro) e o 
efetivamente obtido. 
 
2.2 - Classificação dos erros 
 Os erros que podem ocorrer numa dada medição podem ser: 
 
 a) Grosseiros (enganos): Decorrem da falta de cuidado do observador ao realizar a medida; 
 
 b) Sistemáticos (constantes): Decorrem da falta de precisão ou sensibilidade do instrumento, do 
método empregado na experiência, bem como, do próprio observador; 
 
 c) Acidentais (fortuitos): Esses decorrem de várias causas, conhecidas ou não, que se acumulam 
de maneira imperceptível; são em geral aleatórios, não podendo portanto ser evitados. 
 
2.3 - Valor mais provável de uma grandeza 
 
 O valor mais provável de uma grandeza, medida diversas vezes, é obtido pela média das medidas 
encontradas, feitas todas com a mesma precisão (mesmo observador mesmo instrumento e mesmo 
método de obtenção). 
 
2.4 - Algarismos significativos 
 
 Na medida de uma grandeza, chamamos “algarismos significativos” aos algarismos corretos, mais 
o primeiro duvidoso. 
 Assim por exemplo, seja a medida feita com uma régua, que tem como menor divisão o décimo de 
centímetro. Serão confiáveis os algarismos até a ordem do décimo de centímetro; a partir daí serão 
avaliados, portanto destituídos de precisão. 
 
121 
 
 Se adotarmos L (comprimento) = 19,8cm ou L = 19,9cm estaremos alterando o valor real, por 
falta ou excesso, respectivamente. Aproxima-se então, avaliando a segunda casa decimal: 
 
 De uma maneira geral, qualquer algarismo necessário para definir um determinado valor, é 
chamado de significativo. Por exemplo, uma tensão de 115V tem três algarismos significativos: 1, 1 e 5. 
 Uma tensão de 115,8V, por exemplo, possui 4 algarismos significativos, onde o número 8 pode 
ser considerado duvidoso ou não, dependendo da precisão do aparelho que foi usado para obter essa 
medição. 
 
2.5 - Arredondamento de números 
 
 Um número é arredondado suprimindo-se um ou mais algarismos da sua direita. 
 
Regra 1: Se o algarismo a ser suprimido for menor do que 5, deixamos o algarismo como está. Exemplo: 
 
 Arredondar o número 4,2634 para quatro e três algarismos respectivamente: 
 
 4,2634 = 4,263 ( arredondamento para 4 algarismos) 
 
4,2634 = 4,26 ( arredondamento para 3 algarismos ) 
 
Regra 2: Se o algarismo a ser suprimido for maior do que 5, aumentamos o algarismo da sua esquerda de 
uma unidade. Exemplo: 
 
Arredondar o número 9,1478 para quatro e três algarismos respectivamente 
 
9,1478 = 9,148 ( arredondamento para 4 algarismos) 
 
9,1478 = 9,15 ( arredondamento para 3 algarismos) 
 
Regra 3: Se o algarismo a ser suprimido for exatamente 5, procedemos da seguinte forma: 
 
 a) aumentamos o algarismo da sua esquerda de uma unidade, se este for um número ímpar: 
 Exemplo: arredondar para 3 algarismos os números: 1,875 e 2,655 
 
1,875 = 1,88 
2,655 = 2,66 
 
 b) se o algarismo da sua esquerda for um número par, deixamos como está: 
 Exemplo: arredondar para 3 algarismos os números: 1,885 e 2,665 
 
1,885 = 1,88 
2,665 = 2,66 
 Nota: A maioria das calculadoras científicas aumenta de uma unidade o algarismo da esquerda, 
seja este ímpar ou par. 
 
122 
 
Regra 4: No arredondamento de números, o zero não é contado se ele aparecer imediatamente após a 
casa decimal e se for seguido por outros algarismos significativos. Esses zeros devem ser mantidos e a 
contagem dos algarismos significativos deve começar pelo primeiro algarismo significativo além deles. 
 O número 0,0000012, por exemplo, tem dois algarismos significativos, que são 1 e 2, e os zeros 
precedentes não são contados. 
 
 Exemplos: 
 
 a) arredondar o número 0,003844 para 3 algarismos significativos 
 
0,003844 = 0,00384 
 
 b) arredondar o número 0,000000129 para 2 algarismos significativos 
 
0,000000129 = 0,00000013 
 
 No entanto, o número 22,0, por exemplo, tem três algarismos significativos; neste caso, o zero é 
significativo porque ele não é seguido por outros algarismos significativos. 
 
 
Exercícios: 
 
 Arredonde para 4 algarismos significativos os números abaixo: 
 
 a) 2345,634 
 b) 0,02345 
 c) 234,577 
 d) 0,003567 
 e) 1,8665 
 f) 2,8875 
 g) 234,667 
 h) 305,4222 
 i) 496,705 
 j) 5,6428855 
 k) 0,004476565 
 l) 45,6222 
 m) 124,665 x 10
-5
 
 n) 1,0003 x 10
5 
 
o) 3,86544 x 10
2
 
 p) 5678,377 x 10
-3
 
 q) 0,01645 x 10
-6
 
 r) 0,000045768 
 s) 0,00083234 
 t) 0,00034459 x 10
-5
 
 u) 23,0000564 
 v) 2.340,9875 
 x) 367,00076 
 
3 - Noções de trigonometria 
 
 A trigonometria é a parte da matemática cujo objetivo é a resolução dos triângulos por meio do 
cálculo. 
123 
 
 Triângulo é um polígono de três ângulos e três lados, que podem ser assim classificados:a) Equilátero: três lados iguais 
 
 b) Isósceles: dois lados iguais 
 
 c) Escaleno: três lados diferentes 
 
 d) Retângulo: dois lados iguais ou três lados diferentes e que tenha um dos ângulos internos 90 
(lê-se noventa graus). 
 
 
 
 A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180. No caso do triângulo retângulo, 
como um ângulo é reto (90), os outros dois juntos valem 90; um é complemento do outro. 
 
3.2 – Teorema de Pitágoras 
 
 Conhecendo-se dois lados de um triângulo retângulo, pode-se determinar o outro com o auxílio do 
Teorema de Pitágoras. 
 Enunciado: “O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos” 
 
 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑜𝑢 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 
 
 
 Em relação ao ângulo , temos: Em relação ao ângulo , temos: 
 a = cateto oposto a = cateto adjacente 
 b = cateto adjacente b = cateto oposto 
 c = hipotenusa c = hipotenusa 
 
 Conclui-se que: 
 Hipotenusa: é sempre o lado maior e oposto ao ângulo reto. 
 
 Cateto oposto: é o lado que se opõe ao ângulo que foi considerado. 
 
 Cateto adjacente: é o lado que se une com a hipotenusa para formar o ângulo considerado. 
 
Demonstração do Teorema de Pitágoras 
124 
 
 
As áreas dos quadrados, A e B, abaixo são dadas por: 
 
Colocando o quadrado B dentro do quadrado A, de forma que os vértices do quadrado B toquem 
as laterais internas do quadrado A, a área do quadrado A também pode ser calculada da seguinte forma: 
 
𝑆𝐴 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑟𝑜 𝐵) + 4 ∙ (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑏𝑐) 
A área de um triângulo é dada pelo produto da base pela altura dividida por dois. No caso do 
triângulo retângulo acima: 
𝑆𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑎 ∙ 𝑏
2
 
𝑆𝐴 = 𝑐 ∙ 𝑐 + 4 ∙ (
𝑎 ∙ 𝑏
2
) = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 𝑒 𝑆𝐴 = (𝑎 + 𝑏)
2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Igualando as duas equações; 
 𝑐2 + 2𝑎𝑏 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 
 
3.3 - Funções trigonométricas básicas 
 
 As quatro primeiras funções trigonométricas são: 
 
seno = cateto oposto / hipotenusa 
co-seno = cateto adjacente / hipotenusa 
tangente = cateto oposto / cateto adjacente 
co-tangente = cateto adjacente / cateto oposto 
 
 Através do triângulo retângulo abaixo, passaremos a estudar as quatro primeiras funções: 
 
 
Com relação ao ângulo  (letra alfa do alfabeto grego), temos: 
sen  = cateto oposto / hipotenusa = a / c 
cos  = cateto adjacente / hipotenusa = b / c 
tg  = cateto oposto / cateto adjacente = a / b 
cotg  = cateto adjacente / cateto oposto = b / a 
 
Com relação ao ângulo  (letra beta do alfabeto grego), temos: 
𝑆𝐴 = 𝑑 ∙ 𝑑 = 𝑑
2 𝑆𝐵 = 𝑐 ∙ 𝑐 = 𝑐
2 
125 
 
sen  = cateto oposto / hipotenusa = b / c 
cos  = cateto adjacente / hipotenusa = a / c 
tg = cateto oposto / cateto adjacente = b / a 
cotg = cateto adjacente / cateto oposto = a / b 
 
 Conhecendo-se dois valores em um triângulo retângulo, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, 
pode-se determinar outros valores faltantes, como lados e ângulos. Vejamos alguns exemplos, 
considerando o triângulo retângulo abaixo: 
 
a) Supondo: 
 a = 3 
 b = 5 
 Calcule  e  
 Solução: 
 Como dispomos apenas dos valores dos catetos oposto e adjacente, usaremos a fórmula: tg = 
tg = cateto oposto / cateto adjacente 
 Logo: 
  = a / b = 3 / 5 = 0,6 ; portanto:  = 30,964 
  = b / a = 5 / 3 = 1,66667; portanto:  = 59,036 
 onde:  +  = 90 
 
 OBS: Para se obter o valor do ângulo em graus, utiliza-se nas calculadoras científicas as funções: 
sen
-1
, cos
-1
 e tg
-1
 (sin
-1
, cos
-1
 e tan
-1
). 
 
 O valor do ângulo  foi calculado introduzindo-se 0,6 na calculadora, pressionando-se logo a 
seguir a tecla tan
-1
. Idêntico procedimento foi adotado para calcular o valor do ângulo , ou seja, foi 
introduzido na calculadora 1,66667, pressionando-se logo após a tecla tan
-1
. 
 
 Na impossibilidade da utilização de uma calculadora para tal fim, os ângulos podem ser 
determinados com o auxílio de tabelas trigonométricas disponíveis na maioria dos livros didáticos 
destinados ao ensino de matemática. No entanto, precisão melhor se obtém quando da utilização de 
calculadoras, uma vez que, as tabelas fornecidas incrementam os ângulos a cada 1, o que impossibilita 
precisão na determinação de ângulos fracionários. 
 
b) Considerando o mesmo triângulo retângulo, calcular o valor de “c”. 
 
 Solução: “c” é a hipotenusa e como já temos o valor do sen, então: 
 
 sen = a / c ===> 0,5145 = 3 / c ===> c = 3 / 0,5145 
 portanto: c = 5,83 
 
 Partindo do valor do sen, teremos: 
 
 sen = b / c ===> 0,8575 = 5 / c ===> c = 5 / 0,8575 
 portanto: c = 5,83 
126 
 
 
 O valor de “c” pode ainda ser determinado através do Teorema de Pitágoras: 
 
 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⇒ 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 
 
𝑐 = √32 + 52 ⇒ 𝑐 = √92 + 252 
 
𝑐 = √34 = 5,83 
 
c) Dado um triângulo retângulo, onde:  = 55 e hipotenusa = 3,5 
 Calcule o cateto adjacente e cateto oposto 
 
Solução: 
 Para calcular o cateto adjacente, a fórmula adequada a ser utilizada é: 
 
 cos = cateto adjacente / hipotenusa 
 cos = 0,5736 logo: 
 0,5736 = cateto adjacente / 3,5 ==> cateto adjacente = 0,5736 x 3,5 = 2,008 
 
Para calcular o cateto oposto, a fórmula adequada a ser utilizada é: 
 sen = cateto oposto / hipotenusa 
 
 sen = 0,8192 logo: 
 0,8192 = cateto oposto / 3,5 ==> cateto oposto = 0,8192 x 3,5 = 2,867 
 
3.4 - Relações trigonométricas básicas 
 
 Dado o triângulo retângulo abaixo, podemos estabelecer as relações trigonométricas básicas: 
 
a) A soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é sempre igual a 1. 
Para o triângulo retângulo abaixo vale as relações: 
 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 cos ∅ =
𝑎
𝑐
 sin ∅ =
𝑏
𝑐
 
Substituindo as duas últimas relações na primeira equação: 
𝑎 = 𝑐 ∙ cos ∅ 𝑏 = 𝑐 ∙ sin ∅ 
𝑐2 = (𝑐 ∙ cos ∅)2 + (𝑐 ∙ sin ∅)2 = 𝑐2 ∙ (𝑐𝑜𝑠2∅ + 𝑠𝑒𝑛2∅) 
𝑐𝑜𝑠2∅ + 𝑠𝑒𝑛2∅ = 1 
Os valores absolutos do cosseno e do seno variam de 0 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 ≤ 1. 
Atenção: ao calcular Fator de Potência lembre-se que o maior valor que o cosseno pode assumir é 
1. 
 
b) A tangente é igual ao seno sobre o cosseno. 
 Do triângulo retângulo acima: 
127 
 
tan∅ =
𝑏
𝑎
 cos ∅ =
𝑎
𝑐
 sin ∅ =
𝑏
𝑐
 
sin ∅
cos ∅
=
𝑏 𝑐⁄
𝑎 𝑐⁄
=
𝑏
𝑎
= tan∅ 
 
c) Lei dos senos 
 
Exemplo de aplicação da lei dos senos: 
 Seja:  = 30 
 b = 15 
 a = 10 
 Calcule: 
 I) o seno de  e seu respectivo ângulo 
 II) o ângulo  (letra gama do alfabeto grego) 
 Solução: 
 I) sen = a.sen / b ==> sen = 10 . 0,5 / 15 = 5 / 15 = 0,3333 
 
sen = 0,3333 = 19,47 
 
 II) sen = 180 - 30 - 19,47 = 130,53 
 
 OBS: o ângulo  foi calculado introduzindo-se 0,3333 na calculadora, pressionando-se logo a 
seguir a tecla sen
-1.
 
 
d) Lei dos co-senos 
 
Exemplo de aplicação da lei dos co-senos: 
 Seja:  = 50 
 b = 4 
 c = 7 
 calcule o lado “a” 
 
 Solução: 
 a
2
 = b
2
 + c
2
 - 2bc.cos ==> a2 = 42 + 72 - 2.4.7 x cos 50 = 
 
 a
2
 = 16
 
+ 49 - 2 x 4 x 7 x 0,6428 = 16 + 49- 35,9968 ==> a
2
 = 29,002 
𝑎 = √29,002 = 5,385 
 
3.5 - Cálculo do cosseno, seno e tangente dos ângulos de 30° e 60
o
. 
 
Seja o triângulo equilátero. 
128 
 
 
Cada lado do triângulo mede r; 
AD é a bissetriz de BÂC; 
AD é a mediana de BC, dividindo BC em duas partes iguais de tamanho r/2 em D; 
A altura h pode ser escrita em função dos lados r, da seguinte forma: 
ℎ2 =
3𝑟2
4
 ∴ ℎ =
𝑟√3
2
 
 
3.5.1 - Determinação do seno, cosseno e tangente de 30° e 60°. 
 
O seno de um ângulo é definido como a razão do cateto oposto a este ângulo pela hipotenusa do 
triângulo: 
𝑠𝑒𝑛 300 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
𝑟 2⁄
𝑟
=
1
2
 
𝑠𝑒𝑛 600 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
ℎ
𝑟
=
𝑟√3 2⁄
𝑟
=
√3
2
 
𝑐𝑜𝑠 30𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
ℎ
𝑟
=
𝑟√3 2⁄
𝑟
=
√3
2
 
𝑐𝑜𝑠 60𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
ℎ
𝑟
=
𝑟 2⁄
𝑟
=
1
2
 
𝑡𝑔 30𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
= 
𝑟 2⁄
ℎ
=
𝑟 2⁄
𝑟√3 2⁄
=
√3
3
 
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 60𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
= 
ℎ
𝑟 2⁄
=
𝑟√3 2⁄
𝑟 2⁄
= √3 
 
3.5.2 - Determinação do seno, cosseno e tangente de 45°. 
 
Seja o quadrado abaixo de lado r. 
 
A bissetriz AB divide o ângulo reto de 90º formando dois ângulos de 45°. Pelo Teorema de 
Pitágoras pode-se escrever para o triângulo retângulo formado pelos vértices ABC: 
𝑐2 = 𝑟2 + 𝑟2 = 2𝑟2 ∴ 𝑐 = 𝑟√2 
𝑠𝑒𝑛𝑜 450 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
𝑟
𝑐
=
𝑟
𝑟√2
=
√2
2
 
129 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 45𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
𝑟
𝑐
=
𝑟
𝑟√2
=
√2
2
 
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 45𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
= 
𝑟
𝑟
= 1 
 
3.6 - Funções trigonométricas inversas. 
 
As funções inversas do seno, cosseno e tangente são respectivamente o arc sen (também asin ou 
sin
-1
), o arc cos (também acos ou cos
-1
) e o arc tg (também atan ou tan
-1
). Estas funções permitem que 
uma vez conhecidos os valores de cosseno, seno e tangente determinar os ângulos associados aos 
respectivos valores. 
Exercício resolvido: 
Para o triângulo abaixo calcular o valor de c, seno, cosseno e tangente do ângulo ϕ: 
 
a) Cálculo de c pelo Teorema de Pitágoras: 
𝑐 = √172 + 122 = 20,8 
 Cálculo de c por trigonometria: 
tan ∅ =
12
17
= 0,706 
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 0,706 = atan0,706 = tan−1 0,706 =35,2𝑜 
cos 35,2𝑜 =
17
𝑐
 ∴ 𝑐 =
17
cos 35,2𝑜
= 20,8 
sin 35,2𝑜 =
12
𝑐
 ∴ 𝑐 =
12
sin 35,2𝑜
= 20,8 
b) sin 35,2𝑜 = 0,58 𝑒 cos 35,2𝑜 =0,82 
 
 
4 - Números complexos 
 
4.1 - Número complexo na forma retangular 
 
Chamamos de número imaginário puro a todo número do tipo √−1 . √−4, √−25, √−10. Seja 
𝑗 = √−1, os números anteriores podem ser reescritos: √−4 = 𝑗2, √−25 = 𝑗5, √−10 = 𝑗√10. 
Um número complexo pode ser representado na forma retangular é representado por uma 
expressão da forma a + jb (ou a + bi). A parte real do número complexo a + jb é o número real a e a parte 
imaginária é o número real b, e j (ou i) é um símbolo com a propriedade de que j 
2
 = - 1. Desse modo, a 
parte real de 4 - 3i é 4 e a parte imaginária é - 3 
O número complexo a ± jb também pode ser representado pelo par ordenado (a, b) e desenhado 
como um ponto em um plano chamado de plano de Argand. 
 No plano de Argand o eixo horizontal é denominado eixo real, ao passo que o eixo vertical é 
chamado de eixo imaginário. 
Assim, o número complexo i = 0 + 1 . i é identificado com o ponto (0,1). No gráfico abaixo, à 
esquerda, estão representados alguns número, e no na direita pontos que correspondem aos números 
complexos: Z1 = 4 + j5 , Z2 = - 2 + j 3, Z3 = - 4 – j 3, Z4 = 4 – j 3, Z5 = j 4 , Z6 = 4. 
130 
 
 
Números complexos no plano Argand. 
 
Da definição de j segue que: j
2
 = -1, j
3
 = j
2
 .i = (-l) j, j
4
 = j
2
 . j
2
 = 1, e t c . 
 
4.2 - Número complexo na forma polar 
 
Um número complexo na forma retangular a + bi pode ser considerado como um ponto (a, b), e 
que este ponto pode ser representado em coordenadas polares (r, ϴ) com r ≥ 0. 
 
Do plano de Argand acima tem-se: 
a = r cos ϴ b = r sen ϴ 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = (𝑟 cos 𝜃) + (𝑟 sin 𝜃) 𝑖 = 𝑟 (cos 𝜃 + i sin 𝜃) 
𝑟 = |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 𝑒 tan 𝜃 =
𝑏
𝑎
 
O ângulo ϴ é chamado argumento de z, e se escreve ϴ = arg (z). 
O segmento r é o módulo do número complexo Z. 
 
Na figura acima z = r (cos θ + j sen θ) que é a forma trigonométrica. Uma maneira de representar 
um número complexo, muito usada na solução de circuitos, é a forma polar: 
𝑧 = 𝑟∠𝜃 
 
Exemplos 
 
a) Representar os números Z1 = 3 + j4, Z2 = 3 - j4, Z3 = j5, Z4 = 10, Z5 = -10, Z6 = -j5 na forma polar. 
 
 
131 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Transformar os números Z1 = 10 /45° , Z2 = 5 /30° , Z3 = 4 /-20° para a forma retangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
132 
 
4.3 - Operações com números complexos 
 
- Soma e Subtração 
A soma e a diferença de dois números complexos são definidas pela soma ou subtração em 
separado de suas partes reais e imaginárias: 
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 
Por exemplo, 
 (1 - i) + (4 +7) = (1 + 4) + (-1 +7)i = 5 + 6i 
 
 
Exemplo 
Sejam Z1 = 4 + j3 e Z2 = 5 + j4 
Z 3 = Z1 + Z2 = (4 + 5) + j(3+4) = 9 + j7 
Z4 = Zl - Z2 = (4-5) +j(3-4) = -1 - jl 
Z5 = Z2 - Z1 = (5-4) + j (4 - 3 ) = 1 + jl 
 
- Multiplicação e Divisão 
O produto de dois números complexos é definido de forma que as propriedades comutativa e 
distributiva usuais sejam válidas: 
(a + bi) (c + di) = a(c + di) + (bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi
2 
Uma vez que i
2
 = -1, isso se torna 
(a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i 
Exemplo 
(−1 + 3𝑖)(2 − 5𝑖) = (−1)(2 − 5𝑖) + 3𝑖(2 − 5𝑖) = −2 + 5𝑖 + 6𝑖 − 15(−1) = 13 + 11𝑖 
 
A divisão entre números complexos se parece muito com a racionalização do denominador de uma 
expressão racional. Para um número complexo z = a- bi, definimos seu complexo conjugado como 
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. Para encontrar o quociente de dois números complexos, multiplica-se o numerador e o 
denominador pelo complexo conjugado do denominador. 
Expresse o numero 
−1+3𝑖
2+5𝑖
 na forma a+bi. 
−1 + 3𝑖
2 + 5𝑖
=
−1 + 3𝑖
2 + 5𝑖
∙
2 − 5𝑖
2 − 5𝑖
=
13 + 11𝑖
22 + 52
=
13
29
+
11
29
𝑖 
O módulo, ou valor absoluto, |z| de um número complexo z = a + bi é sua distância até a origem. 
Na figura abaixo está representado o número complexo z = a + bi e seu módulo |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2. 
 
𝑧|𝑧| = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2𝑖2 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝑧|𝑧| = |𝑧|2 
 
Para multiplicar ou dividir dois números a maneira mais simples é usando a forma polar. 
 
Exemplo 
 
133 
 
Sejam Z1 = 3+j4 = 5 /53
o
 e Z2 = 3+j3 = 3√2 /45
o
 
 Z3 = j5 = 5 /90
oZ4 = Z1 . Z2 = 5 /53
o
 . 3√2 /45o = 15√2 /98o 
 
isto é, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. 
 
 
na divisão, dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos. O argumento do denominador é 
levado para o numerador com o sinal trocada e somado com o argumento do numerador: 
𝑍7 =
𝑍1
𝑍3
=
5∠53𝑜
5∠90𝑜
= 1∠53𝑜 − 90𝑜 = 1∠ − 37𝑜 
 
Exercícios propostos 
 
1 - Converter para a forma polar: 
a )Z = -20 + jl0 (𝑅: 22,4∠153,4𝑜) 
b) Z = 100 + j 150 (𝑅: 180,3∠56,3𝑜) 
c ) Z = 500 - j 300 (𝑅: 583,1∠−31,0𝑜) 
 
2 - Converter para a forma cartesiana: 
 
a) Z = 5000 /75° (R: 1294,1 + j4829,6) 
b) Z = 250 /-60° (R: 125 – j216,5) 
 
3 – Dados os números complexos: Z1 = 4-j10, Z2 = 15 /30
0
, Z3 = 3+j5, efetuar: 
a) Z1+Z2 (R: 17-j2,5) 
b) Z3-Z2 (R: -10-j2,5) 
c) Z1 . Z3 (R: 62,6∠ − 10,2𝑜) 
d) Z3 / Z1 ( R: 0,54∠128,2𝑜) 
e) (Z1+Z2) / Z3 (R: 3,054∠−67,4𝑜) 
 
 
5 - Solução de sistemas de equações lineares 
 
5.1 - Método das substituições 
 
Partindo de uma das equações do sistema isola-se uma das incógnitas, substituindo-a em outras 
equações até que se chegue a uma equação com uma única incógnita, possibilitando a determinação dessa 
e das demais incógnitas. 
 
 Exemplo: {
𝑥1 − 𝑥2 = −3 (𝐼)
2𝑥1 + 3𝑥2 = 4 (𝐼𝐼)
 
 
Da equação I tem-se: 𝑥1 = −3 + 𝑥2 
Substituindo x1 na equação II: 2(−3 + 𝑥2) + 3𝑥2 = 4 ⇒ −6 + 2𝑥2 + 3𝑥2 = 4 ⇒ 5𝑥2 = 10 ⇒
 𝑥2 = 2 
Substituindo x2 na equação I: 𝑥1 − 2 = −3 ⇒ 𝑥1 = −1 
Portanto, a solução do sistema é: (𝑥1; 𝑥2) = (−1; 2) 
134 
 
 
5.2 - Método das adições 
 
Multiplica-se uma ou mais equações por valores tais que a adição delas resulte em novas equações 
até que uma delas tenha uma única incógnita, possibilitando a determinação dessa e das demais 
incógnitas. 
 
 Exemplo: {
𝑥1 − 𝑥2 = −3 (𝐼)
2𝑥1 + 3𝑥2 = 4 (𝐼𝐼)
 ⇒ {
𝑥1 − 𝑥2 = −3 ∙ (−2) 
2𝑥1 + 3𝑥2 = 4 
⇒ {
−2𝑥1 + 2𝑥2 = 6 (𝐼)
 2𝑥1 + 3𝑥2 = 4 (𝐼𝐼)
 
 
Somando as equações I e II tem-se: {
5𝑥2 = 10 (𝐼𝐼𝐼)
2𝑥1 + 3𝑥2 = 4 (𝐼𝐼)
 
Da equação III tem-se: 5𝑥2 = 10 ⇒ 𝑥2 = 2 
Substituindo x2 na equação II: 2𝑥1 + (3 ∙ 2) = 4 ⇒ 2𝑥1 = −2 ⇒ 𝑥1 = −1 
Portanto, a solução do sistema é: (𝑥1; 𝑥2) = (−1; 2) 
 
5.3 - Método de solução por determinantes (matricial) de sistemas de equações lineares com até três 
incógnitas 
 
1
0
 Passo: 
 Calcula-se o determinante D da matriz incompleta. Abaixo é mostrado como calculá-lo para uma 
matriz 2 x 2 e para uma matriz 3 x 3, neste caso é utilizado a regra de Sarrus para o cálculo: 
 + - 
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| ⇒ 𝐷 = +𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 
 
 + + + - - - 
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| 
 
⇒ 𝐷 = +𝑎11 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎33 + 𝑎12 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎31 + 𝑎13 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎22 + 𝑎11 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎33 − 𝑎13 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎31 − 𝑎12 ∙ 𝑎21
∙ 𝑎33 − 𝑎11 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎22 
 
2
0
 Passo: 
Calculam-se os determinantes Dxj das matrizes incompletas, substituindo cada coluna de índice j 
pela matriz de termos independentes. Abaixo o procedimento para uma matriz 2x2: 
 
 
3
0
 Passo: 
 Calculam-se as variáveis xj por meio da seguinte expressão: 𝑥𝑗 =
𝐷𝑥𝑗
𝐷
. 
 A expressão acima é da Regra de Cramer: 
 “Se A⋅X = B é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A) ≠ 0, então o 
sistema tem uma única solução”. Esta solução é dada por: 
 
𝑥1 =
det (𝐴1)
det (𝐴)
, 𝑥2 =
det (𝐴2)
det (𝐴)
, … . . , 𝑥𝑛 =
det (𝐴𝑛)
det (𝐴)
 
135 
 
 
onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz 
 
Exemplo para uma matriz de segunda ordem: 
 
 Sistemas de equações Sistema matricial 
 {
3𝑥1 − 2𝑥2 = 0
𝑥1 + 4𝑥2 = 1
 [
3 − 2
1 4 
] ∙ [
𝑥1
𝑥2
] = [
0
1
] 
 
 Determinante da matriz incompleta: |
3 − 2
1 4 
| ⇒ 𝐷 = (3) ∙ (4) − (−2) ∙ (1) = 12 + 2 ⇒ 𝐷 = 14 
 
 Determinante de x1: |
0 − 2
1 4 
| ⇒ 𝐷𝑥1 = (0) ∙ (4) − (−2) ∙ (1) = 0 + 2 ⇒ 𝐷𝑥1 = 2 
 
 Determinante de x2: |
3 0
1 1 
| ⇒ 𝐷𝑥2 = (3) ∙ (1) − (0) ∙ (1) = 3 − 0 ⇒ 𝐷𝑥2 = 3 
 
 Cálculo de x1 e x2: 𝑥1 =
𝐷𝑥1
𝐷
=
2
14
= 0,143 𝑒 𝑥2 =
𝐷𝑥2
𝐷
=
3
14
= 0,214 
 
 Portanto, a solução do sistema é: (𝑥1; 𝑥2) = (0,143; 0,214) 
 
Exemplo para uma matriz de terceira ordem: 
 
 Sistemas de equações Sistema matricial 
 {
3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 0
𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 10
−2𝑥1 + 5𝑥2 + 8𝑥3 = −7
 [
3 − 2 5
1 4 6
−2 5 8
] ∙ [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
0
10
−7
] 
 
 Determinante da matriz incompleta: 
 
|
3 − 2 5
1 4 6
−2 5 8
| |
3 − 2 5
1 4 6
−2 5 8
| ⇒ 𝐷 = 96 + 24 + 25 + 40 + 16 − 90 = 111 
 
 Determinante de x1: 
 
|
0 − 2 5
10 4 6
−7 5 8
| |
0 − 2 5
10 4 6
−7 5 8
| ⇒ 𝐷𝑥1 = +0 + 84 + 250 − 0 + 160 + 140 = 634 
 
 Determinante de x2: 
 
|
3 0 5
1 10 6
−2 − 7 8
| |
3 0 5
1 10 6
−2 − 7 8
| ⇒ 𝐷𝑥2 = 240 + 0 − 35 + 126 + 0 + 100 = 431 
 
 Determinante de x3: 
 
|
3 − 2 0
1 4 10
−2 5 − 7
| |
3 − 2 0
1 4 10
−2 5 − 7
| ⇒ 𝐷𝑥3 = −84 + 40 + 0 − 150 − 14 + 0 = −208 
 
136 
 
 Cálculo de x1, x2 e x3 (Regra de Cramer): 
 
𝑥1 =
𝐷𝑥1
𝐷
=
634
111
= 5,71 ; 𝑥2 =
𝐷𝑥2
𝐷
=
431
111
= 3,88 ; 𝑥3 =
𝐷𝑥3
𝐷
=
−208
111
= −1,87 
 
 Verificação: 
 
{
3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 3 ∙ 5,71 − 2 ∙ 3,88 + 5 ∙ (−1,87) = 0,2 ≅ 0
𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 5,71 + 4 ∙ 3,88 + 6 ∙ (−1,87) = 10,1 ≅ 10
−2𝑥1 + 5𝑥2 + 8𝑥3 = −2 ∙ 5,71 + 5 ∙ 3,88 + 8 ∙ (−1,87) = −6,98 ≅ −7
 
 
5.4 - Método de solução por escalonamento 
 
Multiplica-se uma ou mais linhas da matriz completa (no item 9.5 é mostrada as definições de 
matrizes completa e incompleta) por valores tais que a adição delas resulte em uma matriz incompleta 
cuja diagonal superior ou inferior tenha apenas coeficientes nulos, possibilitando a determinação direta 
das incógnitas. 
 
|
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑗
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑗
…………………
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗
 
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑖
| |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑏1
 0 𝑎22 𝑎23 𝑏2
 0 0 𝑎33 𝑏3
| 
 
 
 
Exemplo: 
 Sistema de equações Matriz completa 
 
 {
3𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = −3
2𝑥1 − 2𝑥2 − 6𝑥3 = 0
 [
3 3 6 0
2 3 5 − 3
2 − 2 − 6 0
]
 
 
 . (−1)
 
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼[
 3 3 6 0
 2 3 5 − 3
−2 2 + 6 0
]
 𝐼
 𝐼𝐼
 𝐼𝐼𝐼
 somando II com III [
3 3 6 0
2 3 5 − 3
0 5 11 − 3
]
∙ (2)
 ∙ (−3)
 
 
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
 
 
 [
 6 6 12 0
−6 − 9 − 15 9
 0 5 11 − 3
]
 𝐼
 𝐼𝐼
 𝐼𝐼𝐼
 somando I com II [
6 6 12 0
0 − 3 − 3 9
0 5 11 3
] 
𝐼
∙ (5)
∙ (3)
 
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
 
 
 [
6 6 12 0
0 − 15 − 15 45
0 15 33 − 9
]
 𝐼
 𝐼𝐼
 𝐼𝐼𝐼
 somando II com II [
6 6 12 0
0 − 15 − 15 45
0 0 18 36
] 
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
 
 
 Da linha III tem-se: 18𝑥3 = 36 ⇒ 𝑥3 = 2 
 Da linha II tem-se: −15𝑥2 − 15 ∙ 2 = 45 ⇒ −15𝑥2 = 75 ⇒ 𝑥2 = −5 
 Da linha III tem-se: 6𝑥1 + 6𝑥2 + 18𝑥3 = 0 ⇒ 6𝑥1 + 6 ∙ (−5) + 12 ∙ 2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 
 Portanto, a solução do sistema é: (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (1;−5; 2) 
137 
 
 
5.5 - Método de solução para sistemas de matrizes de ordem n > 3 utilizando matriz inversa. 
 
 Considere o seguinte sistema linear genérico: 
 
{
 
 
𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎12 ∙ 𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑗 ∙ 𝑥𝑗 = 𝑏1
𝑎21 ∙ 𝑥1 + 𝑎22 ∙ 𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑗 ∙ 𝑥𝑗 = 𝑏2
……………………………………………
𝑎𝑖1 ∙ 𝑥1 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑗 = 𝑏𝑗
 
 
 Esse sistema de equações pode ser representado matricialmente da seguinte forma: 
 
 [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑗
………………… .
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗
] ∙ [
𝑥1
𝑥2
… . .
𝑥𝑗
] = [
𝑏1
𝑏2
… . .
𝑏𝑖
] 
 Matriz A (Incompleta) Matriz X Matriz B 
 
As matrizes acima do sistema de equações são: 
 Matriz A: matriz dos coeficientes ou matriz incompleta 
 Onde 𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 
 Matriz B: matriz de variáveis ou matriz das incógnitas 
 Onde 𝑥1, 𝑥2, …… , 𝑥𝑗 = 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 
 Matriz C: matriz dos termos independentes 
Onde 𝑏1, 𝑏2, …… , 𝑏𝑖 = 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
Além da estrutura acima há também a matriz completa que corresponde à matriz incompleta 
acrescida de uma coluna com os termos independentes, conforme mostrado abaixo: 
 
 
[
 
 
 
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 𝑏1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑗 𝑏2 
……………………… . .
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖 ]
 
 
 
 ⇒ 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 
 
 A solução para estas equações, supondo que det(A) ≠ 0, ou seja, a existência de matriz inversa A-1, 
pode ser dada por: 
 
A ⋅ X = B ⇔ A-1 ⋅ A ⋅ X = A-1 ⋅ B ⇔ I ⋅ X = A-1 ⋅ B ⇔ X = A-1 ⋅ B 
 
Propriedades de uma matriz quadrada inversível A: 
 
a) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, a matriz inversa de A é uma matriz A-1 tal que A⋅ A-1 = 
A
-1
 ⋅ A = In onde In é a matriz identidade de ordem n. 
b) (A-1)-1 = A 
c) -1 = B-1 
d) (At)-1 = (A-1)t 
e) (A . B)-1 = B-1 . A-1 
f) 𝑑𝑒𝑡(𝐴)−1 =
1
det𝐴
 
g) O determinante de uma matriz A e de sua transposta AT é igual: |A| = |AT|. Daí conclui-se que as 
propriedades que são válidas para linhas também o são para colunas. 
h) Se A tem uma linha (ou coluna) nula, então |A| = 0. 
138 
 
i) Se A tem duas linhas (ou colunas) idênticas, então |A| = 0. 
j) Se A tem duas linhas (ou colunas) cujos elementos correspondentes são proporcionais, então |A| = 
0. 
k) Se A é matriz triangular, então |A| = produto dos elementos da diagonal principal. 
l) Se A é matriz diagonal, então |A| = produto dos elementos da diagonal principal. Em particular, |I| 
=1 onde I é a matriz identidade. 
m) Nem toda matriz admite inversa. Se |A| = 0 a matriz não tem inversa. 
 
 Se A e B são duas matrizes quadradas, inversíveis e de mesma ordem, valem as seguintes 
propriedades: 
 
1º passo 
 Cálculo do determinante através do Teorema de Laplace 
 
 Seja 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑖=1,….,𝑛
𝑗=1,.…,𝑛
 uma matriz quadrada de ordem n. Então: 
𝑆𝑒 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 det (𝐴) =∑𝑎𝑙𝑗
𝑛
𝑗=1
�̂�𝑙,𝑗 (𝐷𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑙) 
 
𝑆𝑒 𝑐 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 det (𝐴) =∑𝑎𝑖𝑐
𝑛
𝑖=1
�̂�𝑖,𝑐 (𝐷𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑐) 
 
 Menor (i,j) da matriz A; Ai,j é o determinante da matriz que se obtém de A retirando-lhe a linha i e 
a coluna j. Chama-se complemento algébrico ou co-factor de aij a (-1)
i+j 
A
i,j
, que se designa por �̂�𝑖,𝑗. 
 
1. O Teorema de Laplace estabelece que o determinante de uma matriz se pode obter efetuando a soma do 
produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos e reduz o 
cálculo de um determinante de ordem n ao cálculo de determinantes de ordem n – 1. 
 
2. Para aplicação do Teorema de Laplace convém escolher uma linha ou coluna da matriz com o maior 
número possível de zeros. 
 
3. Muitas vezes, para calcular o determinante de uma matriz, usam-se simultaneamente o método de 
eliminação e o teorema de Laplace. Começa-se o método de eliminação para obter, por exemplo na 1ª 
coluna, apenas um elemento não nulo e aplica-se de seguida o desenvolvimento de Laplace ao longo 
dessa coluna 
 
Exemplo 1: 
 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 5. 
 
{
 
 
 
 
 2𝑥1 + 3𝑥3 = 8
 −2𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥5 = −4
4𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 − 2𝑥4 + 4𝑥5 = 2
 −𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 6
 3𝑥1 − 2𝑥3 = 6
 ⇒ 
[
 
 
 
 
2 0 3 0 0
2 2 5 0 2
 4 5 5 − 2 4
−1 1 3 0 0
3 0 − 2 0 0]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
 =
[
 
 
 
 
8
−4
2
6
6 ]
 
 
 
 
 
 [A] [X] = [B] 
 
 [A] – matriz dos coeficientes (Incompleta) 
 [X] - matriz das incógnitas 
 [B] – matriz dos termos independentes 
139 
 
 
det [𝐴] = |𝐴| = −2 ∙ (−1)3+4 |
 2 0 3 0
 2 2 5 2
−1 1 3 0
 3 0 − 2 0
| = 2 ∙ 2 ∙ (−1)2+4 |
 2 0 3
−1 1 3
 3 0 − 2
| 
 
= 2 ∙ 2 ∙ 1 ∙ (−1)2+2 |
2 3
3 − 2
| = 2 ∙ 2 ∙ (−4 − 6) = −96 
 
Exemplo 2: 
 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3. 
 
|𝐴| = |
2 − 1 3
0 1 − 3
−1 − 2 4
| = 2 ∙ (−1)1+1 |
1 − 3
−2 4
| + (−1) ∙ (−1)3+1 |
−1 3
1 − 3
| 
 
= 2 ∙ (4 − 6) − (3 − 3) = −4 
 
2º passo 
 Calcular a matriz dos cofatores. 
 Exemplo do cálculo dos cofatores de uma matriz quadrada de ordem 3. 
 
𝐴 = [
2 − 1 3
0 1 − 3
−1 − 2 4
] 
 
�̂�1,1 = (−1)
1+1 |
1 − 3
−2 4
| = −2 ; �̂�1,2 = (−1)
1+2 |
0 − 3
−1 4
| = 3 ; �̂�1,3 = (−1)
1+3 |
0 1
−1 − 2
| = 1 
 
�̂�2,1 = (−1)
2+1 |
−1 3
−2 4
| = −2 ; �̂�2,2 = (−1)
2+2 |
2 3
−1 4
| = 11 ; �̂�2,3 = (−1)
2+3 |
2 − 1
−1 − 2
| = 5 
 
�̂�3,1 = (−1)
3+1 |
−1 3
1 − 3
| = 0 ; �̂�3,2 = (−1)
3+2 |
2 3
0 − 3
| = 6 ; �̂�3,3 = (−1)
3+3 |
2 − 1
0 1
| = 2 
 
�̂�(𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠) = [
−2 3 1
−2 11 5
 0 6 2
]3
o
 passo: 
 Calcular a matriz adjunta: adj (A). 
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = �̂�𝑇 (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠) = [
−2 − 2 0
3 11 6
1 5 2
] 
 
4º passo. 
 Cálculo da matriz inversa. 
𝐴−1 =
1
det(𝐴)
∙ 𝑎𝑑𝑗 (𝐴) =
[
 
 
 
 
 
−2
−4
 
−2
−4
 
0
−4
3
−4
 
11
−4
 
6
−4
1
−4
 
5
−4
 
2
−4]
 
 
 
 
 
= [
 0,5 0,5 0
−0,75 − 2,75 − 1,5
−0,25 − 1,25 − 0,5
] 
 
140 
 
Exemplo 3: 
 Resolver o sistema de equações lineares. 
 
{
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 6
𝑥2 − 3𝑥3 = −3
−𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 1
 ⇒ [
2 − 1 3
0 1 − 3
−1 − 2 4
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
6
−3
1
] ⇒ [𝐴] ∙ [𝑋] = [𝐵] 
 
 [𝑋] = [𝐴]−1 ∙ [𝐵] ⇒ [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
 0,5 0,5 0
−0,75 − 2,75 − 1,5
−0,25 − 1,25 − 0,5
] [
6
−3
1
] = [
1,5
2,25
1,75
] 
 Verificação: 
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 2 ∙ 1,5 − 2,25 + 3 ∙ 1,75 = 6
𝑥2 − 3𝑥3 = 2,25 − 3 ∙ 1,75 = −3
−𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1,5 − 2 ∙ 2,25 + 4 ∙ 1,75 = 1
 
 
Exemplo 3: 
 
 Resolver o sistema de equações lineares: 
 
{
4𝑥1 + 𝑥2 = 6
11𝑥1 + 3𝑥2 = 8
⇒ [𝐴] ∙ [𝑋] = [𝐵] ⇒ [
4 1
11 3
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
6
8
] 
 
det[𝐴] = |𝐴| = |
4 1
11 3
| = 12 − 11 = 1 
[�̂�] = [
3 − 11
−1 4
] ; [�̂�]
𝑇
= [
3 − 1
−11 4
] ; [𝐴]−1 =
[�̂�]
𝑇
det[𝐴]
 = [
3 − 1
−11 4
] 
 
[𝑋] = [𝐴]−1 ∙ [𝐵] ⇒ [
𝑥1
𝑥2
] = [
3 − 1
−11 4
] [
6
8
] = [
10
−34
] 
 Verificação: 
4𝑥1 + 𝑥2 = 4 ∙ 10 − 34 = 6
11𝑥1 + 3𝑥2 = 11 ∙ 10 + 3 ∙ (−34) = 8
 
 
Exemplo 4: 
 
Calcular as correntes do circuito abaixo. Verificar cálculos com o balanço energético. 
 
 
 
𝑁ó 𝐴: 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 ∴ 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 
 
𝑀𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼: 24 − 4𝑖1 − 12 − 8𝑖2 − 6𝑖1 = 0 ∴ −10𝑖1 − 8𝑖2 = −12 
 
141 
 
𝑀𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼𝐼: 12 + 8𝑖2 − 6𝑖3 − 60 − 2𝑖3 = 0 ∴ 8𝑖2 − 8𝑖3 = 48 
 
{
𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0
−10𝑖1 − 8𝑖2 + 0𝑖3 = −12
0𝑖1 + 8𝑖2 − 8𝑖3 = 48
 ⇔ [
1 − 1 − 1
−10 − 8 0
0 8 − 8
] ∙ [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
0
−12
48
] 
 
Resolução por escalonamento da matriz completa: 
 
[
 1 − 1 − 1 0
−10 − 8 0 − 12
 0 8 − 8 48
]
𝑥10
𝐼 + 𝐼𝐼
𝑎
⇔ [ 
10 − 10 − 10 0
0 − 18 − 10 − 12
0 8 − 8 48
]
𝑎
𝑎
𝑥2,25 
⇔ [ 
10 − 10 − 10 0
0 − 18 − 10 − 12
0 18 − 18 108
] 
𝑎
𝑎
𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 
 
 
⇔ [ 
10 − 10 − 10 0
0 − 18 − 10 − 12
0 0 − 28 96
] ∴ {
10𝑖1 − 10𝑖2 − 10𝑖3 = 0
−18𝑖2 − 10𝑖3 = −12
−28𝑖3 = 96
 
 
−28𝑖3 = 96 ∴ 𝑖3 = −3,4 𝐴 
 
−18𝑖2 − 10𝑖3 = −12 ∴ 𝑖2 =
−10𝑖3 + 12
18
=
−10 ∙ (−3,4) + 12
18
= 2,6 𝐴 
 
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 = 2,6 − 3,4 = −0,8 𝐴 
 
Resolução por substituição: 
 
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 
 
−10𝑖1 − 8𝑖2 = −12 ∴ −10 (𝑖2 + 𝑖3) − 8𝑖2 = −12 ∴ −10𝑖2 − 10𝑖3 − 8𝑖2 = 12 ∴ −18𝑖2 − 10𝑖3 =
−12 ∴ 𝑖2 =
12−10𝑖3
18
 
 
8𝑖2 − 8𝑖3 = 48 ∴ 8 ∙ (
12 − 10𝑖3
18
) − 8𝑖3 = 48 ∴ 96 − 80𝑖3 − 144𝑖3 = 864 ∴ 𝑖3 = −
768
224
= −3,4 𝐴 
 
 
𝑖2 =
12 − 10𝑖3
18
=
12 − 10 ∙ (−3,4)
18
= 2,6 𝐴 𝑒 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 = 2,6 − 3,4 = −0,8 𝐴 
 
 Se as correntes estiverem corretas a Potência gerada = Potência absorvida: 
Receptores ativos (Motores): 
𝑃24 = 24 ∙ 0,8 = 19,2 𝑊 
𝑃12 = 12 ∙ 2,6 = 31,2 𝑊 
Receptores passivos (Resistores): 
𝑃4Ω = 4 ∙ 𝐼1
2 = 4 ∙ (0,8)2 = 2,56 𝑊 
𝑃6Ω = 6 ∙ 𝐼1
2 = 4 ∙ (0,8)2 = 3,84 𝑊 
𝑃8Ω = 8 ∙ 𝐼2
2 = 8 ∙ (2,6)2 = 54,08 𝑊 
𝑃6Ω = 6 ∙ 𝐼3
2 = 6 ∙ (3,4)2 = 69,36 𝑊 
𝑃2Ω = 2 ∙ 𝐼3
2 = 2 ∙ (3,4)2 = 23,12 𝑊 
Gerador (Fonte): 
𝑃60 = 60 ∙ 3,4 = 204,00 𝑊 
 
Balanço energético (Potência gerada = Potência absorvida): 
142 
 
 Potência absorvida: 19,2+31,2+2,56+3,84+54,08+69,36+23,12=203,36 W 
 Potência gerada: 204,00 W 
 
Resolução por substituição empregando o método das correntes fictícias. 
 
 
 
𝑀𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼1: 24 − 4𝐼1 − 12 − 8𝐼1 − 6𝐼1 + 8𝐼2 = 12 − 18𝐼1 + 8𝐼2 = 0 
𝑀𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼2: 12 − 6𝐼2 − 60 − 2𝐼2 − 8𝐼2 + 8𝐼1 = −48 − 16𝐼2 + 8𝐼1 = 0 
 
 Solução por substituição: 
𝐼2 =
−48 + 8𝐼1
16
=
−6 + 𝐼1
2
, 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜; 
12 − 18𝐼1 + 8 × (
−6 + 𝐼1
2
) = 12 − 18𝐼1 − 24 + 4𝐼1 = 0 ∴ 𝐼1 = −
12
14
= −0,8 𝐴 
𝐼2 =
−6 + 𝐼1
2
=
−6 − 0,8
2
= −3,4 𝐴 
 𝑖1 = 𝐼1 = −0,8 𝐴 𝑖2 = 𝐼1 − 𝐼2 = −0,8 − (−3,4) = 2,6 𝐴; 𝑖3 = 𝑖1 − 𝑖2 = −0,8 − 2,6 = −3,4 𝐴 
 
 Solução por adição: 
12 − 18𝐼1 + 8𝐼2 = 0 (𝑥2) ⇔ 24 − 36𝐼1 + 16𝐼2 = 0 
 −48 + 8𝐼1 − 16𝐼2 = 0 
𝑆𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠: − 24 − 28𝐼1 + 0 = 0 
 
𝐼1 = −
24
28
= −0,8 𝐴; 𝐼2 =
8𝐼1 − 48
16
= 
8 × (−0,8) − 48
16
= −3,4 𝐴 
 𝑖1 = 𝐼1 = −0,8 𝐴 𝑖2 = 𝐼1 − 𝐼2 = −0,8 − (−3,4) = 2,6 𝐴; 𝑖3 = 𝑖1 − 𝑖2 = −0,8 − 2,6 = −3,4 𝐴 
 
Exemplo 5: 
 
Calcular as correntes do circuito abaixo. Verificar cálculos com o balanço energético. 
 
 
Equações dos nós: 
𝐴) 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 
143 
 
𝐵) 𝑖2 − 𝑖5 − 𝑖6 = 0 
𝐶) 𝑖3 − 𝑖4 + 𝑖5 = 0 
Equações das malhas: 
𝐼) 24 − 6𝑖2 − 8𝑖6 = 0 
𝐼𝐼) 6𝑖2 + 4𝑖5 − 12𝑖3 = 0 
𝐼𝐼𝐼) 8𝑖6 − 4𝑖5 − 10𝑖4 = 0 
 
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 
0 1 0 0 − 1 − 1 
0 0 1 − 1 1 0
 0 − 6 0 0 0 − 8 
 0 6 − 12 0 4 0 
0 0 0 − 10 − 4 8 ]
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
𝑖1
𝑖2
𝑖3
𝑖4
𝑖5
𝑖6]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
0
0
0
−24
0
0 ]
 
 
 
 
 
 
 [A] [X] [B] 
 
 
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 0
0 1 0 0 − 1 − 1 0
0 0 1 − 1 1 0 0
 0 − 6 0 0 0 − 8 − 24
 0 6 − 12 0 4 0 0
0 0 0 − 10 − 4 8 0 ]
 
 
 
 
 
1
𝑥6
0
+ 𝐼𝐼
0
0
⇔
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 0
0 6 0 0 − 6 − 6 0
0 0 1 − 1 1 0 0
 0 0 0 0 − 6 − 14 − 24
 0 6 − 12 0 4 0 0
0 0 0 − 10 − 4 8 0 ]
 
 
 
 
 
1
𝑥(−1)
0
 
𝐼𝐼 + 𝑉
0
 
 
⇔
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 0
0 − 6 0 0 6 6 0
0 0 1 − 1 1 0 0
 0 0 0 0 − 6 − 14 − 24
 0 0 − 12 0 10 6 0
0 0 0 − 10 − 4 8 0 ]
 
 
 
 
 
1
𝑥12
𝑥12
 
𝐼𝐼𝐼 + 𝑉
0
⇔
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 0
0 − 6 0 0 6 6 0
0 012 − 12 12 0 0
 0 0 0 0 − 6 − 14 − 24
 0 0 0 − 12 22 6 0
0 0 0 − 10 − 4 8 0 ]
 
 
 
 
 
1
𝑥12
𝑎
 
𝑥10
𝑥(−12)
 
 
⇔
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 0
0 − 6 0 0 6 6 0
0 0 12 − 12 12 0 0
 0 0 0 0 − 6 − 14 − 24
 0 0 0 − 120 220 60 0
0 0 0 120 48 − 96 0 ]
 
 
 
 
 
1
𝑥12
𝑎
 
𝑉 + 𝑉𝐼
𝑥
⇔
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 0
0 − 6 0 0 6 6 0
0 0 12 − 12 12 0 0
 0 0 0 0 − 6 − 14 − 24
 0 0 0 0 268 − 36 0
0 0 0 120 48 − 96 0 ]
 
 
 
 
 
1
𝑥12
𝑎
𝑥44,67
𝐼𝑉 + 𝑉
𝑥
 
 
⇔
[
 
 
 
 
 
1 − 1 − 1 0 0 0 0 
0 − 6 0 0 6 6 0 
0 0 12 − 12 12 0 0 
0 0 0 0 − 268 − 625,38 − 1072,08 
0 0 0 0 0 − 661,38 − 1072,08 
0 0 0 120 48 − 96 0 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
−661,38𝑖6 = −1072,08 ∴ 𝑖6 = 1,6 𝐴 
 
−268𝑖5 − 625,38 × 1,6 = −1702,08 ∴ 𝑖5 = 0,3 𝐴 
 
 120𝑖4 + 48 × 0,3 − 96 × 1,6 = 0 ∴ 𝑖4 = 1,2 𝐴 
 
12𝑖3 − 12 × 1,2 + 12 × 0,3 = 0 ∴ 𝑖3 = 0,9 𝐴 
 
−6𝑖2 + 6 × 0,3 + 6 × 1,6 = 0 ∴ 𝑖2 = 1,9 𝐴 
 
144 
 
𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 ∴ 𝑖1 = 1,9 + 0,9 = 2,8 𝐴 
 
Balanço energético (Potência gerada = Potência absorvida): 
 Potência absorvida: 𝑃𝐴 = 6 ∙ 1,9
2 + 12 ∙ 0,92 + 10 ∙ 1,22 + 4 ∙ 0,32 + 8 ∙ 1,62 = 66,62 𝑊 
 Potência gerada: 𝑃𝐺 = 24 ∙ 2,8 = 67,2 𝑊 
 
6 - Alfabeto grego 
 
Alfabeto Grego Alfabeto Latino Correspondente 
Ordem Descrição Maiúscula Minúscula Maiúscula Minúscula 
1 Alfa Α α A a 
2 Beta Β β B b 
3 Gama Γ γ G g 
4 Delta ∆ δ D d 
5 Épsilon Ε ε E e 
6 Dzeta (zeta) Ζ ζ Z z 
7 Eta Η η H h 
8 Teta Θ θ Q q 
9 Iota Ι ι I i 
10 Kapa Κ κ K k 
11 Lambda Λ λ L l 
12 Mi Μ µ M m 
13 Ni Ν ν N n 
14 Ksi Ξ ξ X x 
15 Ômicron Ο ο O o 
16 Pi Π π P p 
17 Rô Ρ ρ R r 
18 Sigma Σ σ S s 
19 Tau Τ τ T t 
20 Ípsilon Υ υ U u 
21 Fi Φ φ F f 
22 Qui Χ χ C c 
23 Psi Ψ ψ Y y 
24 Ômega Ω ω W w