UNIFAP LISTA DE EXERCÍCIOS CAP 5 6

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CAPÍTULOS 1, 2 e 3 – LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. 
 
 
 
EXERCÍCIO 01 – Calcular o fluxo nas linhas do sistema da figura abaixo. Utilizar o método 
linearizado. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 Não é necessário montar a matriz YBARRA. A montagem da matriz B', de dimensão 
2, pois a barra flutuante é excluída. 
 
0,511
2312
22 =+=′
xx
B 
0,411
3213
33 =+=′
xx
B 
0,21
23
3223 −=−=′=′
x
BB 
 






×





′′
′′
=





3
2
3332
2322
3
2
θ
θ
BB
BB
P
P
 






×





−
−
=





−
−
3
2
0,40,2
0,20,5
0,1
5,0
θ
θ
 
rad








−
−
=





−
−
×





×=





8
3
4
1
0,1
5,0
0,50,2
0,20,4
16
1
3
2
θ
θ
 
 
Fluxos de potência nos ramos. 
 ( )
pu
x
P
4
3
3
1
4
10,0
12
21
12 =
−−
=
−
=
θθ
 
( )
pu
x
P
4
3
2
1
8
30,0
13
31
13 =
−−
=
−
=
θθ
 ( )
pu
x
P
4
1
2
1
8
3
4
1
23
32
23 =
−−−
=
−
=
θθ
 
 
Atenção: Pij = Pji, pois não há perda. 
 
EXERCÍCIO 02 – Determinar o defasamento angular da barra 3 e a potência que flui da 
barra 2 para a 3, utilizando o modelo de fluxo linear. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Os cálculos das admitâncias são dados por: 
 
pujxypujjz 25,616,0
50
10008.0 1232323 −==⇒=





×= − 
Ω=×= 9020045,012x 
( ) puxypujk
Mjz 116,24726,0
138
10090 11212212 ==⇒=×=
−
 
 
A equação de fluxo linear do sistema é: 
 










−
=










⋅










−
−−
−
3,0
0,0
0
25,625,60
25,6266,8016,2
0016,2016,2 1
3
2
P
θ
θ
 
 
Os resultados dos defasamentos angulares das barras 2 e 3 são dados por: 
 






−
⋅





−
−
=





−
3,0
0,0
25,625,6
25,6266,8 1
3
2
θ
θ
 
 
A equação acima pode ser resolvida por escalonamento. Aplicando os passos acima no vetor 
de injeção de potência obtém-se: 
 
rad





−
−
=





1898,0
1418,0
3
2
θ
θ
 
 
O fluxo de potência da barra 2 para a barra 3 é dado por: 
 
( ) pu
x
P 300,0
16,0
1898,01418,0
23
32
23 =
−−
=
−
=
θθ
 
 
O valor da potência encontrado confere com o valor da carga de 30 MW. 
 
EXERCÍCO 03 – A figura abaixo representa um sistema elétrico de 3 barras, cujos dados 
encontram-se na tabela abaixo. Adotando-se a barra 1 como referência, encontre a potência 
ativa gerada por esta barra, através do fluxo de carga linear: 
 
 
 
Dados de Barra 
Barra Módulo Tensão [pu] Potência 
1 1,02 –– 
2 1,02 PG = 50 MW 
3 –– PC = 100 MW, QC = 60 MVAr 
 
Dados de linha 
Linha Impedância [pu] 
1 – 2 0,02 + j0,04 
1 – 3 0,02 + j0,06 
2 – 3 0,02 + j0,04 (ambas as linhas) 
 
SOLUÇÃO: 
 
A equação de fluxo linear do sistema é dada por: 
 










⋅










−
−
−−
−
−
=










− 3
2
1 0
67,665067,16
507525
67,162567,41
0,1
5,0
θ
θ
P
 
 
Cujo sistema de equações é dado por: 
 





⋅+⋅−=−
⋅−⋅=
⋅−⋅−=
32
32
321
67,66500,1
50755,0
67,1625
θθ
θθ
θθP
 
 
Eliminando a barra 1 como referência, tem-se: 
 






⋅





−
−
=





− 3
2
67,6650
5075
0,1
5,0
θ
θ
 
A solução do sistema é dado por: 
rad





−
−
=





−
⋅





−
−
=





−
02000,0
00665,0
0,1
5,0
67,6650
5075 1
3
2
θ
θ
 
 
Portanto a potência gerada na barra 1 é dada por: 
 
pupuP 50,049965,067,1625 321 ≅=⋅−⋅−= θθ 
Ou P1 = 50 MW 
 
EXERCÍCO 04 – (Exame Nacional de Cursos, 1999) Uma concessionária de energia 
elétrica pretende analisar o comportamento dos fluxos de potência ativa em seu sistema, tendo 
em vista a previsão de carga para um horizonte de dez anos. Para isso, como engenheiro da 
Divisão de Planejamento dessa concessionária, você foi encarregado de estudar o problema. A 
figura abaixo representa o diagrama unifilar do sistema com as cargas futuras previstas. 
 
 
 
 
a) Calcule os fluxos de potência ativa nas linhas de transmissão, considerando a barra 1 
como a referência angular do sistema (θ1 = 0 rad). 
b) Supondo que o fluxo de potência máximo permitido na linha 1-2 seja 0,5 pu, 
determine analiticamente a reatância em pu, do menor banco de capacitores que 
deverá ser instalado em série com a linha 1-3, de modo que o limite máximo na linha 
1-2 não seja ultrapassado. 
 
Dados/Informações Técnicas: 
P = Bθ 
Onde P é o vetor de injeção de potência ativa nas barras, B é a matriz de susceptância de 
barras e θ é o vetor do ângulo das tensões de barra. 
 
PGi é a potência ativa gerada na Barra i. 
PLi é apotência ativa consumida na Barra i. 
Xij é a reatância série da linha de transmissão i-j. 
 
O efeito capacitivo e a resistência série das linhas de transmissão são desprezados 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Forma da matriz B, 
 
ij
ij
x
b 1=
 










−−
−−
−−
=










+−−
−+−
−−+
=
422
253
235
23132313
23231212
13121312
bbbb
bbbb
bbbb
B
 
 
Como θ1 = 0, elimina-se a 1ª linha e a 1ª coluna de B 
 






⋅





−
−
=





3
2
3
2
42
25
θ
θ
P
P
 
rad





−
−
=








−
−
⋅








=





375,0
25,0
1
2
1
16
5
8
1
8
1
4
1
3
2
θ
θ
 
 
Os fluxos nas linhas são dados por 
ij
ji
ij
x
P
θθ −
= 
( ) pu
x
P 75,0
3
1
25,00
12
21
12 =
−−
=
−
=
θθ
 
( ) pu
x
P 75,0
2
1
375,00
13
31
13 =
−−
=
−
=
θθ
 
( ) pu
x
P 25,0
2
1
375,025,0
23
32
23 =
−−−
=
−
=
θθ
 
 
b) Pede-se puP 5,012 ≤ XC = ? 
 
 
 
Nas condições limítrofes, tem-se 
 
6
15,0
3
1 2
21
12 −=⇒=
−
= θθθP
 
 
 
 
O fluxo na linha 1-3 deve ser, então: 
 
puPPPP G 0,15,05,1 1312113 =⇒−=−= 
 
Lembre-se que: 
 
133
13
3
13 0,1
0
x
x
P −=⇒=
−
= θθ
 (*) 








−
⋅


















+
+−
−
=





−
−
⇒′=
3
6
1
2
1
122
25
0,1
5,0
θ
θ
CX
BP 
 
Pela 1ª equação, tem-se que: 
 
6
12
6
5
2
1
33 −=⇒⋅−−=− θθ 
De (*) puXX CC 3
1
2
1
6
1
=⇒





−−=−
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCO 05 – Considerar a rede de 3 barras e 3 ramos a seguir. A barra 1 é escolhida 
como referência angular (θ1 = 0). 
 
 
 
 Considerar inicialmente que o tap do transformador defasador que conecta as barras 1 
e 2 esteja na posição nominal, ou seja, ϕ12 = 0,0. Obtenha os ângulos de fase nodais para: 
a) ϕ12 = 0,0; 
b) ϕ12 = –0,1. 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Para ϕ12 = 0,0 pode-se obter os ângulos de fase nodais a partir de: 
 










⋅









−−
−−
−−
=










−
−
3
2
11
0,40,20,2
0,20,50,3
0,20,30,5
0,1
5,0
θ
θ
θP
 
 
que resulta em: 
 
rad










−
−=










375,0
250,0
000,0
3
2
1
θ
θ
θ
 
 
Os fluxos nos ramos são: 
 
puxP 75,01211212 =⋅= − θ
 
puxP 75,01311313 =⋅= − θ
 
puxP 25,02312323 =⋅= − θ
 
 
b) Para ϕ12 = –0,1 radianos o vetor das injeções de compensação fica: 
 
pu
x
x
PC










−=












−
=
0,0
3,0
3,0
0,0
1
1
12
12
12
12
ϕ
ϕ
 
 
Os ângulos de fase nodais são calculados por: 
 
( ) ( ) radPPB C










−
−=+⋅′= −
4125,0
3250,0
0000,0
1θ
 
 
Os fluxos nos ramos agora são: 
 
( ) puxP 675,0121211212 =+⋅= − ϕθ
 
puxP 825,013
1
1313 =⋅=
− θ
 
puxP 175,023
1
2323 =⋅=
− θ
 
 
 O ajuste da posição do tap em ϕ12 = –0,1 radianos resultou em um alívio de carga no 
ramo 1-2. Em consequência, o carregamento do ramo 1-3 aumentou: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
EXERCÍCIO 1 – O fluxo de potência ativa em uma linha de transmissão depende de sua 
abertura angular e flui dos ângulos maiores para os menores. O fluxo de carga linearizado, 
que é um modelo aproximado do fluxo não linear, permite estimar com baixo esforço 
computacional e relativa precisão, os ângulos das barras do sistema e os fluxos de potência 
ativa. 
 
 
 Considere o sistema de três barras representado na figura acima, com os dados em pu. 
Resolvendo o fluxo de carga pelo método linearizado e considerando a barra 1 como 
referência angular, os ângulos em radianos das barras 2 e 3 valem, respectivamente: 
 
a) θ2 = –1,00 e θ3 = –1,50 
b) θ2 = –0,35 e θ3 = –0,52 
c) θ2 = –0,27 e θ3 = –0,46 
d) θ2 = 0,15 e θ3 = –0,26 
e) θ2 = 0,20 e θ3 = 0,40 
 
Resp.: Item C 
 
EXERCÍCIO 2 – ( ELETRONORTE, 2006) A solução do Fluxo de Potência Linearizado 
para a rede abaixo, considerando a barra 1 como referência angular do sistema (θ1 = 0 
radianos) calcula: 
 
 
 
Dados de Barra (pu) 
P1 –– 
P2 0,50 
PD 1,00 
Pi – Potência ativa injetada na barra 
PD – Potência ativa demandada na barra 
 
Dados de Ramos (pu) 
De Para x 
1 2 0,50 
1 3 0,50 
2 3 0,25 
x – reatância do ramo 
 
a) θ2 = −0,20 rad; θ3 = −0,05 rad; P13 = 0,50 pu; 
b) θ2 = −0,10 rad; θ3 = −0,05 rad; P13 = 0,30 pu; 
c) θ2 = 0,05 rad; θ3 = 0,20 rad; P13 = 1,40 pu; 
d) θ2 = −0,05 rad; θ3 = −0,20 rad; P13 = 0,40 pu; 
e) θ2 = −0,05 rad; θ3 = −0,20 rad; P13 = 0,60 pu. 
 
Resp. Item D 
 
EXERCÍCIO 3 – A figura abaixo mostra um diagrama unifilar de um sistema de 3 barras. Os 
parâmetros do sistema são dados nas tabelas abaixo. 
a) Determine a matriz de admitância Ybus 3×3 em pu; 
b) Determine os ângulos de fase de tensão em todas as barras, através do fluxo de carga 
linearizado (adotar a barra 1 como referência e θ1 = 0º ) 
 
 
FIGURA – Diagrama unifilar (impedâncias em pu e potências ativa e reativa são mostradas) 
 
DADOS DE BARRAS 
Barra Tipo V [pu] θ [º] PG [pu] QG [pu] PL [pu] QL [pu] 
1 ref 1,00 0,00 – – 0,00 0,00 
2 PQ – – 0,00 0,00 2,00 0,50 
3 PV 1,00 – 1,00 – 0,00 0,00 
 
DADOS DE LINHAS 
Linha De – Para R [pu] X [pu] 
1 1–2 0,00 0,10 
2 2–3 0,00 0,20 
3 1–3 0,00 0,40 
 
Resp.: 










−
−
−
=
5,70,55,2
0,50,150,10
5,20,105,12
jjj
jjj
jjj
Ybus ; 





°
°−
=










−
=





2740,3
5481,6
0571,0
1143,0
3
2
3
2
θ
θ
θ
θ
ourad 
 
EXERCÍCIO 4 – A figura abaixo mostra um diagrama unifilar de um sistema de 3 barras 
com todos os valores de reatâncias e potências dados em pu. Pede-se: 
 
 
a) Os ângulos de fase nas barras 1 e 2, calculados através do fluxo de carga CC (adotar 
barra 3 como referência, onde θ3 = 0 rad); 
b) Calcular os fluxos de potência ativa nas linhas P12, P13 e P23; 
c) A potência injetada na barra 3, P3. 
 
Resp.: 
a) rad





−
=





1,0
02,0
3
2
θ
θ
 
b) puP 6,012 = , puP 05,013 = e puP 4,023 −= 
c) puP 35,03 = 
 
EXERCÍCIO 5 – Calcular o fluxo de potência do sistema da figura abaixo pelo método 
linearizado ou dc. 
 
 
 
DADOS: 
• z12 = 0,05 + j0,10 pu, 
• z13 = 0,04 + j0,08 pu, 
• z23 = 0,025 + j0,05 pu. 
• A barra 1 é a barra flutuante e a base é de 100,0 MVA. 
 
Resp.: rad





−
−
=





0278,0
0052,0
3
2
θ
θ
, puP 052,012 = , puP 348,013 = , puP 452,023 = 
 
EXERCÍCIO 06 – Considerar uma rede constituída por três barras e três linhas de 
transmissão, cujos dados, em p.u. estão tabelados a seguir: 
 
Linha 
r 
 
x 
 
bsh (*) De Para 
1 2 0,10 1,00 0,10 
1 3 0,20 2,00 0,20 
2 3 0,10 1,00 0,10 
(*) carregamento total 
 
As barras 2 e 3 contêm cargas de 0,05 e 0,015 pu, respectivamente. 
a) Determinar a distribuição dos fluxos de potência ativa na rede utilizando o modelo de fluxo 
de carga cc. Adotar a barra 1 como referência angular. Calcular a injeção de potência ativa na 
barra de referência. 
b) Repetir os cálculos do item a) considerando a barra 2 como referência. Lembrar que as 
injeções de potência nas barras são as mesmas do item a). Comparar os resultados obtidos. 
 
 
EXERCÍCIO 07 – Considerando ainda a rede do problema (2), a linha 1-2 é substituída por 
um transformador defasador puro, cujos parâmetros são x12 = 1,0 pu e ϕ12 = 10º [modelo do 
transformador: ( 12:1 ϕje ) conectado à barra 1]. 
a) Determinar a distribuição dos fluxos de potência ativa na rede utilizando o modelo do 
fluxo de carga cc e tomando a barra 1 como referência. Calcular a injeção de potência 
na barra de referência. Comparar os resultados com o item (A) do problema (2). 
b) Repetir os cálculo do item (a) para ϕ12 = –10º. 
 
 
EXERCÍCIO 08 – O modelo de fluxo de potência linearizado é muito utilizado na análise de 
sistemas de potência, em aplicações que necessitem do valor aproximado do fluxo de potência 
ativa em linhas de transmissão. Neste modelo, as perdas são desprezadas e os módulos das 
tensões das barras fixadas em 1 pu, sendo, portanto, útil apenas para o cálculo de potência 
ativa. Para um determinado vetor de injeções de potência ativa nas barras P = [P1 P2 P3]T, os 
ângulos das tensões de barra θ = [θ1 θ2 θ3]T são dados pelo sistema de equações lineares 
P = B.θ, onde B é a matriz admitância. Seja a rede mostrada na figura abaixo: a barra numero 
0 (zero) é chamada de barra de folga, na qual o ângulo da tensão de barra é fixado em θ = 0º e 
o vetor de injeção de potência ativa faz o balanço das injeções de potência do modelo, sendo, 
portanto, eliminada para a execução dos cálculos. A matriz admitância B da rede da figura, já 
com a barra de folga eliminada, também é dada. 
 
 
 
 
 
 










−−
−−
−−
=′
0,25,05,0
5,00,35,1
5,05,10,4
B
 
FIGURA – Diagrama de admitâncias da rede 
(admitâncias em pu). 
 
 
 Seja o vetor de injeções de potência ativa de barra P = [–3,0 1,5 –2,0], determine o 
vetor dos ângulos de barra. 
 
Resp. rad










−
−
−
=










=
3015,1
2132,0
9926,0
3
2
1
θ
θ
θ
θ
 
 
EXERCÍCO 09 – A figura abaixo representa um sistema elétrico de 4 barras, cujos dados 
encontram-se na tabela abaixo. Adotando-se a barra 0como referência, encontre a potência 
ativa gerada por esta barra e os ângulos de fase em todas as barras, através do fluxo de carga 
linear: 
 
 
 
DADOS DE BARRA 
Bus Voltage p.u Power 
0 1,02 – 
1 1,02 PG = 50 MW 
2 – PC = 0 MW, QC = 0 MVAr 
3 – PC = 100 MW, QC = 60 MVAr 
 
 
DADOS DE LINHA 
Line Impedance p.u 
0–1 0,02 + j0,04 
0–2 0,02 + j0,06 
1–2 0,02 + j0,04 (ambos) 
2–3 j0,1 
(Obs.: Adotar 1 pu para todas as barras) 
 
Resp.: puP 50,00 = e 










°−
°−
°−
=




















−
−
−
=










8754,6
1458,1
3819,0
1200,0
0200,0
0067,0
3
2
1
3
2
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
ourad
 
 
EXERCÍCIO 10 – Determine o defasamento angular da barra 3 e o fluxo de potência ativa 
da barra 1 para a 2 utilizando o modelo de fluxo linear. A reatância indutiva das linhas é de 
0,5 Ω/km e a reatância capacitiva de 250 kΩxkm. Considere que a barra 3 fornece 10 MW ao 
sistema. 
 
 
 
EXERCÍCIO 11 – (Prova ASP 16jul99) – Determinar a reatância percentual do 
transformador entre as barras 3 e 4 que limita P43 em 200 MW. Utilizar como base 100 MVA 
e 345 kV no gerador da barra 1, os conceitos de fluxo linear poderão ser utilizados para 
resolver o problema. 
 
 
 
EXERCÍCIO 12 – Dada a rede elétrica abaixo: 
a) Determine a matriz de admitância Ybus 4×4 em pu; 
b) Determine os ângulos de fase de tensão em todas as barras, através do fluxo de carga 
linearizado (adotar a barra 1 como referência e θ1 = 0º ) 
c) Calcular os fluxos de potência ativa nas linhas P12, P13, P14, P23 e P34 
 
 
 
 
Resp.: 
a) 












−
−
−
−
=
2010010
10301010
0102010
10101030
jYbus 
b) 
rad










−
−
−
=










025,0
150,0
025,0
4
3
2
θ
θ
θ
 
c) puP 25,012 = 
puP 5,113 = 
puP 25,014 = 
puP 25,123 = 
puP 25,134 −= 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 13 – Dada a rede elétrica abaixo (base = 100 MVA): 
 
 
 
a) Obtenha a matriz B´ para o sistema; 
[ ] ( )radianosemepuemPB
P
P
P
P
P
θ
θ
θ
θ
θ
θ
















⋅′=
















5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
 
 
b) Assuma a barra 5 como a barra de referência (θ5=0 rad). Calcule os ângulos de fase 
para o conjunto de injeções de potência abaixo, utilizando o fluxo de carga CC. 
• P1 = 100 MW (geração) 
• P2 = 120 MW (carga) 
• P3 = 150 MW (geração) 
• P4 = 200 MW (carga) 
 
c) Calcule P5 de acordo com o fluxo de carga CC; 
d) Calcule todos os fluxos de potência sobre o sistema, utilizando os ângulos de fase 
obtidos no item b.