INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTATÍSTICA DE DADOS GEOLÓGICOS MULTIVARIADOS

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Introdução à análise estatística de dados 
geológicos multivariados 
 
 
 
 
 
 
PAULO M. BARBOSA LANDIM 
Professor Emérito da Universidade Estadual Paulista/UNESP 
Professor Voluntário do Depto. Geologia Aplicada, UNESP/Rio Claro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2010 
 
Reprodução autorizada desde que citada a fonte 
Norma 6023-2000/ABNT ( http://www.abnt.org.br): 
LANDIM, P.M.B. Introdução à análise estatística de dados geológicos multivariados. 
DGA,IGCE,UNESP/Rio Claro, Texto Didático 15, 229 pp., 2010. Disponível em 
<http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.html>. Acesso em:.... 
 
Dúvidas, questões, sugestões, etc. sobre o texto deverão ser encaminhadas para o endereço 
plandim@rc.unesp.br, as quais serão sempre bem recebidas 
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ÍNDICE 
 
01. INTRODUÇÃO…………………………………………………………………………….. 03 
 
02. NOÇÕES DE ÁLGEBRA MATRICIAL……………………………………………….. 13 
 
03. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA………………………………………………….... 34 
 
04. ANÁLISE DE AGRUPAMENTOS......................................................... 59 
 
05. ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS........................................ 77 
 
06. ANÁLISE DE FATORES................................................................... 98 
 
07. ANÁLISE DE CORRESPONDÊNCIAS (ANÁLISE DE ASSOCIAÇÕES)..... 111 
 
08. ANÁLISE DISCRIMINANTE.............................................................. 124 
 
09. INTRODUÇÃO À GEOESTATÍSTICA.................................................. 142 
 
10. CLASSIFICAÇÃO REGIONALIZADA................................................... 169 
 
11. GEOESTATÍSTICA MULTIVARIADA................................................... 184 
 
12. ANEXO: MATRIZ DE DADOS ........................................................... 205 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 1. INTRODUÇÃO 
 
A aplicação de métodos quantitativos em Geologia é muito antiga e dois 
exemplos emblemáticos podem ser citados. Agrícola (1556) utilisou trigonometria 
para mapeamento mineiro, como visto em seu clássico De Re Mettalica e, quando 
do início da Geologia como ciência moderna, Charles Lyell em 1830 ao classificar 
os estratos terciários da Bacia de Paris, o fez baseado na presença relativa de 
espécies recentes de moluscos, num procedimento estratigráfico-estatístico. A 
partir desse início, porém, a Geologia permanece qualitativa e puramente 
descritiva e apenas nos anos 20 do século passado é que o enfoque quantitativo 
começa a se tornar mais presente. Assim nessa época William C. Krumbein propõe 
a amostragem geológica em bases probabilísticas e introduz os modelos 
“processo-resposta”. O entendimento das relações de causa-e-efeito para a 
explicação dos processos geológicos leva Andrei Vistelius, no início dos anos 40, a 
iniciar a formulação da chamada Geologia Matemática. Em que pese essas 
iniciativas, entre outras, a Geologia até há bem pouco tempo, era freqüentemente 
considerada uma ciência baseada em interpretações puramente qualitativas dos 
fenômenos geológicos. Nos últimos 40 anos, porém, tem sido notável a mudança 
da fase descritiva para a utilização de métodos quantitativos, principalmente nas 
diversas áreas da Geologia Aplicada. Na área mineral, com destaque para a do 
petróleo, onde a interpretação geológica, alem de estar fundamentada em 
conceitos científicos, precisa ter aplicação econômica, observa-se uma marcante 
tendência quantitativa que vem possibilitando avanços importantes principalmente 
no uso de técnicas espaciais. Um consistente relato sobre a quantificação em 
Geologia encontra-se em MERRIAM (2004). 
Nas últimas décadas, graças a avanços tecnológicos tanto em termos 
computacionais como em equipamentos de laboratório e de campo mais 
refinados, tem sido intensa a obtenção de dados geológicos quantitativos. A sua 
análise, porem, esta muito aquém dessa imensa quantidade de informações 
coletadas. Basta ver os relatórios de pesquisa e mesmo os bancos de dados com 
um grande número de matrizes de informações não trabalhadas. Verbas e tempo 
são gastos com essa coleta que precisa ser devidamente manuseada e para essa 
análise dos dados o emprego de técnicas estatísticas multidimensionais torna-se 
 4
uma ferramenta fundamental. Isto porque, como os fenômenos geológicos são 
resultantes de diversos fatores condicionantes, o seu entendimento é facilitado 
quando o estudo é submetido a um tratamento quantitativo multidimensional. 
Deve ser enfatizado, porem, que a pura utilização de técnicas estatísticas, e hoje 
em dia bastante facilitada graças à vasta disposição de programas 
computacionais, não é condição suficiente se o estudo não for embasado num 
sólido conhecimento geológico. 
No caso de uma única variável ter sido medida em amostras, no sentido 
geológico, a análise de tais dados é feita por intermédio da estatística univariada. 
Se porém valores de diversas variáveis forem obtidos em cada uma das amostras, 
as técnicas para a análise desses dados são fornecidas pela estatística 
multivariada ou multidimensional. Tal análise estatística de mensurações múltiplas 
efetuadas sobre uma amostra fornece um melhor entendimento na razão direta do 
número de variáveis utilizadas e permite considerar simultaneamente a 
variabilidade existente nas diversas propriedades medidas. 
Os resultados de análises de dados uni ou bi variados podem se apresentar 
na forma de gráficos em 1D, 2D e mesmo 3D, de fácil compreensão. No caso 
porem de, por exemplo, 10 variáveis o resultado ocorre num espaço a 10 
dimensões, concebível apenas de um modo abstrato. Uma das funções, porem, 
dos métodos multivariados é, ao apresentar os resultados, ser capaz de reduzir a 
dimensão dos dados tornando possível um melhor entendimento gráfico a duas ou 
três dimensões. 
Entre os métodos mais utilizados em Geociências destacam-se a análise de 
agrupamentos , a análise das componentes principais e a análise discriminante. 
 A análise de agrupamentos é utilizada quando se deseja explorar as 
similaridades entre indivíduos (modo Q) ou entre variáveis (modo R) definindo-os 
em grupos, considerando simultaneamente, no primeiro caso, todas as variáveis 
observadas em cada indivíduo e, no segundo, todos os indivíduos nos quais foram 
feitas as mesmas medidas. Segundo esse método, procura-se por agrupamentos 
homogêneos de itens representados por pontos num espaço n-dimensional em um 
número conveniente de grupos relacionando-os através de coeficientes de 
similaridade ou de distância. 
 5
 A análise das componentes principais procura interpretar a estrutura de um 
conjunto de dados multivariados, tanto em modo “Q” como em modo “R”, a partir 
da respectiva matriz de variâncias-covariâncias ou de correlações, pela obtenção 
de “autovalores” e “autovetores”. Consiste numa transformação linear das "m" 
variáveis originais correlacionadas entre si em "m" novas variáveis ortogonais e 
não deve ser confundida com a análise fatorial, segundo a qual supõe-se que as 
relações existentes dentro de um conjunto de "m" variáveis seja o reflexo das 
correlações de cada uma dessas variáveis com "p" fatores, mutuamente não 
correlacionáveis entre si, sendo "p" menor que "m". A matriz de carregamentos de 
cada variavel nas componentes principais, ao ser multiplicada pela matriz original 
de dados, fornece a matriz de contagens (scores) de cada caso em relação às 
componentes principais. 
 A análise discriminante é aplicada quando em relação a um indivíduo, sobre 
o qual tenham sido feitas diversas medidas, é necessário decidir à qual de dois ou 
mais possíveis grupos, o mesmo pertence. A idéia básica é substituir o conjuntooriginal das diversas mensurações por um único valor Di, definido como uma 
combinação linear delas. Para fornecer um único valor os termos são adicionados 
nessa função linear e esta transformação é realizada de tal modo a fornecer a 
razão mínima entre a diferença entre pares de médias multivariadas e a variância 
multivariada dentro dos dois grupos. Conhecido os Di's, estes serão comparados 
com um certo Do , ou seja, o valor situado, ao longo da linha expressa pela 
função discriminante, a meio caminho entre os centros dos grupos, com a 
finalidade de verificar a qual deles os indivíduos pertencem. 
 A utilidade dos métodos multivariados pode ser apresentada em termos 
geométricos. Assim, observações univariadas podem ser assinaladas sobre uma 
linha reta e se essa linha for dividida em intervalos de classes e contando o 
número de observações em cada intervalo, um histograma poderá ser construído. 
Esse histograma irá requerer duas dimensões para a sua representação. 
Observações bivariadas podem ser assinaladas em um sistema de dispersão a 
duas dimensões. Se o diagrama for dividido em celas, o número de observações 
em cada cela pode ser contado e o respectivo histograma construído. Esse 
histograma requer três dimensões e pode ser representado por um mapa de 
 6
isovalores. Observações trivariadas podem ser assinaladas em um gráfico de 
dispersão a três dimensões e a configuração nos pontos no espaço definirá uma 
elipsóide. Se o espaço tri-dimensional for dividido em cubos os números de 
observações dentro de cada figura geométrica poderão ser contados e obtida a 
distribuição de freqüências. Para a construção do respectivo histograma quatro 
dimensões serão necessárias. Em observações com quatro ou mais variáveis não é 
possível a representação gráfica segundo os métodos comuns, embora MERTIE 
(1949) tenha proposto para tanto complicados hipertetraedros. 
 Utilizando, assim, a interpretação geométrica em três dimensões para 
observações trivariadas, os seguintes exemplos de procedimentos em estatística 
multidimensional podem ser apresentados: 
a) na análise de agrupamentos procura-se por grupos em que as distâncias ao 
respectivo centróide sejam minimizadas e as distâncias entre centróides dos 
grupos sejam maximizadas; 
b) na análise das componentes principais é verificado se as observações 
multivariadas ocupam um número de dimensões igual ao número de variáveis 
medidas inicialmente e para tanto os eixos do elipsóide devem ser sispostos de 
tal modo a colocar o centro do elipsóide coincidente com o centro do sistema de 
coordenadas; 
 c) na análise discriminante localizam-se os centros dos elipsóides e calcula-se a 
distância entre pares de centros de elipsóides; 
 Como salientado por DAVIS (1986), os métodos multivariados são 
poderosos, permitindo o pesquisador manipular diversas variáveis 
simultaneamente. São, porém, bastante complexos, tanto na sua estrutura teórica 
como na metodologia operacional. Em alguns casos os testes estatísticos a serem 
utilizados exigem requisitos muito rígidos e em outros, muitas vezes quando quer 
relacioná-los com problemas reais, não apresentam base estatística teórica e 
desse modo impossibilidade de testes de significância. De qualquer modo, são 
métodos extremamente promissores para a análise de dados geológicos tendo em 
vista que normalmente a maioria das situações geológica envolve um conjunto 
complexo de fatores atuando no sistema, sendo impossível isolá-los e estudá-los 
isoladamente. 
 7
 Exemplos de situações que apresentam dados multivariados são comuns 
em Geociências, como: análises geoquímicas de elementos maiores e/ou 
elementos traços; caracteres morfológicos medidos em fósseis; características 
físicas de rochas sedimentares, como distribuição granulométrica, porosidade, 
permeabilidade; conteúdo mineralógico em rochas; variáveis fluviais, como 
descarga, material em suspensão, profundidade, sólidos dissolvidos, pH e 
conteúdo em oxigênio; características geotécnias de solos e rochas; bandas 
espectrais em imagens de satélites, etc.. Em alguns casos trata-se de simples 
extensão de problemas ligados à estatística univariada e outros pertencem, 
todavia, a uma nova classe de problemas. 
Esses métodos clássicos da análise estatística multivariada não levam, 
porém, em consideração a localização dos pontos de amostragem, nem as suas 
relações espaciais e também não refletem as diferenças quanto o suporte das 
amostras ou com relação ao suporte da região onde o estudo esta sendo 
realizado. A metodologia geoestatística univariada, de recente aplicação, tem 
essas propriedades, mas não é capaz de tratar da correlação espacial entre 
diversas variáveis. Ferramentas se tornaram, então, necessárias para incorporar 
essas importantes feições e daí a necessidade de métodos estatísticos que 
enfoquem a análise espacial de dados geológicos multivariados. 
Para tanto duas soluções tem sido apresentadas: uma, adaptativa, 
procurando, a partir dos resultados dos métodos clássicos, verificar se os mesmos 
apresentam uma organização espacial significativa e outra, específica, 
desenvolvendo metodologia própria para esta problemática, com destaque para a 
a cokrigagem e a krigagem fatorial. 
Caso as amostras, no sentido geológico, sejam georreferenciadas os grupos 
resultantes da análise de agrupamentos/modo Q poderão ser submetidos a uma 
verificação espacial para a constatação de algum padrão de distribuição espacial 
desses grupos. De modo idêntico os “scores”, calculados a partir da análise das 
componentes principais ou da análise de fatores, que tenham suas coordenadas 
geográficas conhecidas poderão fornecer mapas de distribuição ou de tendência 
espacial. A análise discriminante pode ser aplicada para avaliar e comparar 
alterações ocorridas a intervalos de tempo indicando que variáveis mais 
 8
contribuíram para essas mudanças. São adaptações de métodos estatísticos 
multivariados procurando modelar espacial ou cronologicamente fenômenos 
geológicos. Isso, porém, somente é possível se as amostras da matriz de dados 
multidimensionais apresentarem perfeitamente conhecidas as suas coordenadas 
geográficas. 
 A cokrigagem é um procedimento geoestatístico segundo o qual 
diversas variáveis regionalizadas podem ser estimadas em conjunto, com base na 
correlação espacial entre si. É uma extensão multivariada do método da krigagem 
quando, para cada local amostrado, obtém-se um vetor de valores em lugar de um 
único valor. A aplicação da cokrigagem torna-se bastante evidente quando duas ou 
mais variáveis são amostradas nos mesmos locais dentro de um mesmo domínio 
espacial e apresentam significativo grau de correlação. Valores ausentes não se 
tornam problemáticos, pois o método deve ser usado exatamente quando uma 
das variáveis apresenta-se sub-amostrada em relação às demais. Essa variável é 
conhecida como “primária” e as demais como “secundárias”. O objetivo é, 
portanto, melhorar a estimativa da variável sub-amostrada utilizando aquelas mais 
densamente amostradas. 
No caso da krigagem fatorial deve-se efetuar: 1) modelagem de 
corregionalização das variáveis usando o denominado modelo linear de 
corregionalização: todos os p(p + 1)/2 variogramas diretos e cruzados das p 
variáveis são modelados por uma combinação linear dos N´s variogramas 
padronizados para um mesmo alcance (sill); nesta modelagem supõe-se que o 
comportamento espacial das variáveis é o resultado da interação de diferentes 
processos atuando independentemente a diferentes escalas espaciais; 2) analise 
da estrutura de correlações entre as variáveis, levando em consideração as 
diferentes escalas, com aplicação daanálise das componentes principais; um 
“círculo de correlações” entre as variáveis originais e os dois mais importantes 
fatores regionalizados é utilizado para resumir as relações entre as variáveis a 
cada escala espacial; 3) estimação das relações entre os fatores regionalizados e 
variáveis, como componentes espaciais, a diferentes escalas por cokrigagem, 
para, finalmente, mapeà-los. 
 9
 Em qualquer das circunstâncias citadas a preocupação é com: 
Descrição dos dados: os dados precisam ser explorados, tanto espacial 
como cronologicamente, em sua estrutura multidimensional para o seu 
entendimento e constatação de eventuais valores anômalos que possam mascarar 
tal estrutura. Existem a disposição, graças à moderna tecnologia computacional, 
ferramentas gráficas que permitem a visualização simultânea de amostras no 
espaço e/ou no tempo e as primeiras idéias a respeito da estrutura 
multidimensional podem começar a surgir a partir dessas exibições gráficas. 
Interpretação: os produtos gráficos obtidos a partir das informações 
numéricas são avaliados levando em consideração tanto o conhecimento já 
adquirido com dados similares como fatos científicos relacionados às variáveis sob 
estudo. A interpretação da estrutura espacial ou temporal, as associações e as 
relações casuais entre variáveis devem, então, ser organizadas num modelo que 
se ajuste aos dados. 
Estimação: A modelagem, se correta, não apenas descreve o fenômeno 
nos locais amostrados, mas pode se tornar válida para interpolações em locais ou 
intervalos de tempo adjacentes, não amostrados, representando um passo alem 
com relação às informações contidas nos dados numéricos. Na verdade este é o 
grande desafio da análise multivariada de dados espaciais, a estimação de valores 
para situações de previsão quantitativa. 
A pretensão deste texto, escrito de maneira a mais simples possível, por 
um Professor de Geologia, é apresentar uma introdução aos métodos estatísticos 
multidimensionais que possam ser aplicados na análise de dados, sem uma 
abordagem matemática complexa, porem sempre, que possível, com um enfoque 
espacial e que permita ao usuário iniciar-se na Geologia Quantitativa. Não 
pretende ser um livro-texto detalhado. Pressume-se que os leitores tenham um 
conhecimento básico de estatística descritiva, alem de dominar conceitos simples 
de álgebra matricial e familiaridade com manuseio de computadores pessoais. Os 
exemplos são voltados às Geociências, mas a metodologia pode perfeitamente ser 
utilizada em outras áreas que disponham de dados com estas mesmas 
características, ou seja, multivariados e regionalizados. 
 10
Existe à disposição uma variedade muito grande de livros e pacotes 
computacionais e entre os principais livros textos que tratam de métodos 
quantitativos em Geologia podem ser citados: MILLER & KAHN (1962), SOKAL & SNEATH 
(1963), KRUMBEIN & GRAYBILL (1965), KOCH & LINK (1971), DAVIS (1973, 1986 E 2002), 
JORESKOG, KLOVAN & REYMENT (1976) , LE MAITRE (1982), HOWARTH & SIDING-LARSEN 
(1985), SWAN & SANDILANDS (1995), GRIFFITH & AMRHEIN (1997), REYMENT & SAVAZZI 
(1999) E WACKERNAGEL (2003). Em Geologia, principalmente em Geoquímica, é 
comum a existência de variáveis cuja soma é constante, isto é, quando os dados 
são composicionais apresentando-se os valores em porcentagem ou em razão. 
Nestes casos surgem problemas que acarretam resultados distorcidos. Existem, 
porém, diversas técnicas estatísticas para contornar tais situações como expostas, 
entre outros, em CHAYES & KRUSKAL (1966), CHAYES (1971), AITCHISON (1986), 
BARCELÓ ET AL. (1996), AITCHISON (1997) e PAWLOWSKY-GLAHN & OLEA (2004). 
 Existem tambem diversos softwares estatísticos de aplicação geral, bem 
elaborados e completos como SAS, S-Plus, Statistica, Systat, todos em constante 
atualização. Dois outros, bastante amigáveis, para serem utilizados, e com boa 
saida gráfica, são o MVSP e o Xlstat, este baseado no aplicativo Excel®. Um 
pacote desenvolvido no Brasil voltado para aplicações em Ciências Biológicas e 
Médicas é o Bioestat e um outro proveniente da Noruega, com aplicações em 
Paleontologia, é o PAST, ambos obtidos gratuitamente nos endereços 
mizayres.bel@orm.com.br e http://folk.uio.no/ohammer/past 
Alem disso na revista “Computers & Geosciences”, editada pela 
International Association for Mathematical Geology, freqüentemente são 
apresentados programas listados e/ou executáveis descarregáveis a partir do 
endereço www.iamg.org. 
 
 
 11
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
AGRICOLA, G. (1556) – De Re Metallica: Froben, Basel (traduzido do Latim por Hoover, 
H.C., Hoover, L.H. 1912 e publicado por Dover Publ., New York, 1950) 
 
AITCHISON, J. (1986) – The Statistical Analysis of Compositional Data: Chapman and 
Hall. Reprinted in 2003 with additional material by the Blackburn Press. 
 
AITCHISON, J. (1997) – The one-hour course in compositional data analysis or 
compositional data analysis is easy, in Pawlowsky Glahn V., ed., Proceedings of the Third 
Annual Conference of the International Association for Mathematical Geology: CIMNE, 
Barcelona, p. 3-35. 
 
AYRES, M.; AYRES JR., M.; AYRES, D. L. & SANTOS, A. S. (2000) – BioEstat 2.0: 
aplicações estatísticas nas áreas das ciências biológicas e médicas: Sociedade Civil 
Mamirauá, MCT-CNPq, mizayres@zaz.com.br 
 
BARCELÓ, C., PAWLOWSKY, V. & GRUNSKY, E. (1996) – Some aspects of transformations 
of compositional data and the identification of outliers : Math. Geology, 28:501-518 
 
CHAYES, F. (1971) - Ratio Correlation: A Manual for Students of Petrology and 
Geochemistry: University of Chicago Press. 
 
CHAYES. F. & KRUSKAL, W. (1966) - An Approximate Statistical Test for Correlation 
between Proportions: Jour. Geology, 74: 692-702. 
DAVIS, J.C. (1973) - Statistics and Data Analysis in Geology: John Wiley and Sons. 
DAVIS, J.C (1986) - Statistics and Data Analysis in Geology: 2nd ed., John Wiley and Sons. 
DAVIS, J.C (2002) - Statistics and Data Analysis in Geology: 3rd ed., John Wiley and Sons. 
GRIFFITH, D.A. & AMRHEIN, C.G. (1997) – Multivariate Statistical Analysis for 
Geographers – Prentice Hall. 
HAMMER. O. & HARPER, D.A.T. (2004) – PAST. PAlaentological STatistics, versão 1.20. 
http://folk.uio.no/ohammer/past 
 
HOWARTH, R.J. & SINDING-LARSEN, R. (1985) - Multivariate analysis: in (G.J.S. Govett, 
ed.) “Statistics and Data Analysis in Geochemical Prospecting”, vol. 2:207-289, Elsevier. 
JORESKOG, K.G., KLOVAN, J.E. & REYMENT, R.A. (1976) - Geological factor analysis: 
Elsevier. 
KOCH JR, G.S. & LINK, .F. (1971) - Statistical analysis of geological data: vol. 2, John 
Wiley & Sons. 
KRUMBEIN, W.C. & GRAYBILL, F.A. (1965) - An introduction to Statistical Model in 
Geology: McGraw Hill Book. 
LE MAITRE, R.W. (1982) - Numerical Petrology. Statistical Interpretation of Geochemical 
Data: Elsevier. 
 12
MERRIAM, D. F. (2004) – The quantification of geology: from abacus to Pentium. A 
chronicle of people, places, and phenomena: Earth-Science Reviews, 67:55-89 
MERTIE JR, J.B. (1949) - Charting five and six variables on the bounding tetrahedral of 
hyper tetrahedral: Am. Mineralogist, 34:706-716. 
MILLER, R.L. & KAHN, J.S. (1962) - Statistical analysis in the geological sciences: John 
Wiley and Sons. 
MVSP – Multi-Variate Statistical Package: Kovach Computing Services, 
http://www.kovcomp.co.uk 
 
PAWLOWSKY-GLAHN, V., OLEA, R.A. (2004) – Geostatiitical Analysis of Compositional 
Data: I.A.M.G., Stud. Math. Geology n. 7, Oxford University Press 
REYMENT, R.A. & SAVAZZI, E. (1999) – Aspects of Multivariate Statistical Analysis in 
Geology - Elsevier. 
SAS – SAS Institute, http://www.sas.com 
SOKAL, R.R. & SNEATH, P.H.A. (1963) - Principles of numericaltaxonomy: W.H. Freeman. 
S-PLUS – Mathsoft, http://www.mathsoft.com 
STATISTICA – StatSoft Inc., http://www.statsoft.com 
SYSTAT – SPSS Inc., http://www.spss.com 
SWAN, A.R.H. & SANDILANDS (1995) – Introduction to Geological Data Analysis: 
Blackwell Science Ltd. 
WACKERNAGEL, H. (2003) – Multivariate Geostatistics. Springer. 
XLSTAT – AddinSoft SARL, http://www.xlstat.com 
 
 
 
 
 
 
 
 13
2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA MATRICIAL 
 
 Os métodos estatísticos multivariados são normalmente baseados em 
manipulação de matrizes, porque os dados multidimensionais são apresentados 
nesse formato, o que, inclusive, facilita a confecção de algoritmos a serem 
utilizados por computador. 
[ ]










=
n,m2,m1,m
n,32,31,3
n,22,21,2
n,12,11,1
j,i
xxx
xxx
xxx
xxx
X
L
MOMM
L
L
L
 
 A álgebra matricial torna-se, portanto, uma ferramenta básica para o 
entendimento desses métodos e neste capítulo são apresentadas algumas noções 
elementares. Cada tópico é acompanhado por exemplos numéricos de pequenas 
dimensões. Maiores detalhes sobre álgebra linear podem ser encontrados, entre 
outros, em AYRES JR. (1962), DAVIS (1984), FERGUNSON (1988, cap. 6 e 7), GOLUB & 
VAN LOAN (1996) e HARVILLE (1997).. 
 
2.1. Matrizes e vetores 
 Matriz é um arranjo bidimensional constituído por elementos xij, onde i 
representa linha e j coluna. Normalmente as linhas são indivíduos ou casos ou 
objetos ou amostras, no sentido geológico, e as colunas, variáveis. 
 
[ ]










=
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,4
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
X 
 
 Se o número de linhas é igual ao número de colunas a matriz é conhecida 
como quadrada. [X] é, portanto, uma matriz quadrada. O número de linhas não 
precisa, porém, ser igual ao número de colunas, ou vice-versa: 
 
 14
[ ] [ ]








=

=
2,31,3
2,21,2
2,11,1
2,3
3,22,21,2
3,12,11,1
3,2
zz
zz
zz
Z
yyy
yyy
Y 
 [Y] é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas e [Z] é uma matriz com 3 linhas 
e 2 colunas, sendo ambas retangulares. 
Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos fora da diagonal 
principal são todos iguais a 0 (zero): 
 
[ ]








=
33
22
11
x00
0x0
00x
X 
Matriz de identidade ou matriz unitária é uma matriz diagonal onde os 
elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais 0 (zero): 
 
[ ]








=
100
010
001
I 
O traço de uma matriz é a soma dos termos da diagonal principal, sendo 
definido somente para uma matriz quadrada 
 Uma matriz com apenas uma linha é chamada de vetor linha e uma matriz 
com apenas uma coluna é chamada de vetor coluna: 
 
[ ] [ ] [ ]








==
n
2
1
m11
y
y
y
Youx...xxX M
 
 
 Escalar é uma matriz com dimensões 1x1. 
 
2.2. Operações com matrizes 
Transposição: permuta linhas por colunas e vice-versa; representada por 
[ ]’, de modo que um elemento aij em [A] passa a ser aji em [A]’ 
 15
 








=








=
22935563
89784048
45122833
]'A[então,
228945
937812
554028
634833
]A[se 
Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada que é imutável quando 
transposta, de modo que [S]’ = [S]. 
. 
Adição e subtração: similar à álgebra linear. O número de linhas e de 
colunas precisa ser igual nas duas matrizes a serem adicionadas ou subtraídas 
 


=


++
++=

+


115
83
4723
3512
42
31
73
52
 
Multiplicação: para efetuar a multiplicação, por exemplo [A]*[B]=[C], o 
número de linhas em [B] deve ser igual ao número de colunas em [A]. O resultado 
em [C] terá o mesmo número de linhas que [A] e o mesmo número de colunas 
que [B] 
]C[]B[*]A[ lkjklj = 
A formula geral para determinar cada elemento em [C] é 
 
∑
=
=
r
1k
kjikij b*ac 
onde r é o número de colunas em [A] ou linhas em [B]. Isto significa que, por 
exemplo para c11, deve-se multiplicar a primeira linha em [A] vezes a primeira 
coluna em [B]; para encontrar c23 multiplicar a segunda linha de [A] pela terceira 
coluna de [B] 








=








+++
+++
+++
=










101734
142142
121938
)2*3()1*4()3*3()2*4()6*3()4*2(
)2*7()1*0()3*7()2*0()6*7()4*2(
)2*5()1*2()3*5()2*2()6*5()4*2(
236
124
*
34
70
52
 
 Importante notar que o resultado de [A]*[B] geralmente não é o mesmo 
que [B]*[A]: 
 16


=











5720
3712
34
70
52
*
236
124
 
 
Multiplicação por escalar: cada elemento da matriz é multiplicado pelo 
escalar 


=


219
153
73
52
*3 
 
Determinantes: número singular associado a uma matriz quadrada. O 
determinante da matriz [A] é representado por |A|. 
 Para uma matriz de dimensões 2x2 o determinante é calculado pelo 
produto dos elementos de uma diagonal menos o produto dos elementos da outra 
diagonal: 
 
)a*a()a*a(
aa
aa
21122211
2221
1211 −=


 
 
 
 Inverso de uma matriz 
 Como não há divisão em álgebra matricial, o procedimento adotado é 
utilizar o inverso da matriz. Na álgebra linear se A*B = C, para resolver A calcula-
se 
B
C
A = ou também 
B
1
*CA = . O inverso da matriz é análogo a 
B
1
. 
 O inverso de uma matriz [X] é representado por [X]-1 e para o seu cálculo é 
necessário satisfazer a condição [X]*[X]-1=[I]. Em algumas situações isso não é 
possível porque é encontrada uma divisão por zero durante o processo de 
inversão. Nesse caso, de impossibilidade de inversão, a matriz é conhecida como 
singular. 
 Esta é uma das mais importantes técnicas em álgebra matricial e essencial 
para a solução de sistema de equações simultâneas do tipo: 
[A]*[X]=[B], 
 17
onde [A] e [B] contém valores conhecidos e [X] valores desconhecidos a serem 
determinados. 
 Multiplicando ambos os lados da equação por [A]-1 
[A]-1*[A]*[X]=[A]-1*[B], 
Como [A]-1*[A]=[I], a equação se reduz para 
[X]=[A]-1*[B] 
 
Seja o seguinte sistema de equações onde se quer determinar x1 e x2 
04x1+10x2= 38 
10x1+30x2=110 
 
Em notação matricial: 


=





110
038
x
x
*
3010
1004
2
1 
 
Para encontrar os valores xi, basta inverter a matriz [A] e multiplicar o 
inverso pelo vetor coluna [B] 
O inverso de [A] é encontrado da seguinte maneira: 
 





10
01
3010
1004
 
 





10
025,0
3010
5,201
 
 



−


15,2
025,0
0510
5,201
 
 
 


−


2,05,0
025,0
010
5,201
 
 
 18



−
−


2,05,0
5,05,1
10
01
 
 
Verificação da inversão de matriz: 


=




−
−
10
01
3010
1004
*
2,05,0
5,05,1
 
 
Cálculo dos xi: 
 


=




−
−
3
2
110
038
*
2,05,0
5,05,1
 
 
x1=2 e x2=3 
 
2.3. Algumas matrizes especiais 
2.3.1. Matriz de coeficientes de correlação 
A matriz original de dados é constituída por m indivíduos (unidades de 
observação) e n variáveis, em que cada linha i representa um indivíduo e cada 
coluna j uma variável. 










=
n,m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
]j,iX[
L
MMMM
L
 
 
 Para o cálculo de uma matriz de coeficientes de correlação a seguinte 
seqüência deve ser obedecida: 
1. Encontrar para cada coluna a respectiva média e o desvio padrão: 
m
x
x jj
Σ= ; 
1m
m
)ix(
ix
S
2
2
j −
Σ−Σ
= ; 2ji ss = 
 
2. Encontrar o valor zij para cada observação: 
 19
 
 
 
3. A partir daí, constituir a matriz [ ]Z , também de dimensões mxn: 
 










=
n.m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3
n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
]Z[
L
MMMM
L
 
 
4. Encontrar o transposto da matriz [Z] 








=
n,mn,3n,2n,1
2,m2,32,22,1
1,m1,31,21,1
'
zzzz
zzzz
zzzz
]Z[ MMMM 
 
5. Multiplicando [Z]’ por [Z], encontrar a matriz [V], de dimensões nxn 
 [V] = [Z]’ [Z] 










=
2
n2n1n
n2
2
212
n121
2
1
vvvvv
vvvvv
vv...vvv
]V[
MMM
 
 
6. Finalmente, calcular a matriz de coeficientes de correlação, multiplicando o 
escalar 1m
1− por [V] 
[ ]








=−=
n,n2,n1,n
n,22,21,2
n,12,11,1
rrr
rrr
rrr
V
1m
1]R[ MMM
L
L
 
j
ij
ij s
jxxz
−=
 20
 
Exemplo 










=
444
345
321
432
321
]X[ 
Médias: x1=2,6; x2=3,0; x3=3,4 
Desvios padrão: s1 = 1,8; s2=1,0; s3=0,55 
[ ]










−
−−−
−
−−−
=
091,1000,1778,0
0727000,1333,1
727,0000,1889,0
091,1000,0333,0
727,0000,1889,0
Z 
 
[ ]








−−−
−−
−−−
=
091,1727,0727,0091,1727,0
000,1000,1000,1000,0000,1
778,0333,1889,0333,0889,0
Z | 
 
[ ]








=
967,3818,1808,0
818,1000,4889,3
809,0889,3074,4
V 
 
[ ]








=
000,1455,0202,0
455,0000,1972,0
202,0972,0000,1
R 
 
Cada elemento desta matriz se refere à correlação entre o par de variáveis 
em questão. 
 
2.3.2. Matriz de variâncias e covariâncias 
A matriz original de dados é constituída por m indivíduos e n variáveis, em que 
cada linha i representa um indivíduo e cada coluna j uma variável. 
 21










=
n.m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3
n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
]X[
L
MOMMM
L
L
L
 
 
 Para o cálculo de uma matriz de variâncias e covariâncias, a seguinte 
seqüência deve ser obedecida: 
1. Encontrar a média de cada coluna e subtrair esse valor de cada elemento: 
m
x
x jj
Σ= ; jij*ij xxx −= 










=
n.m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3
n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*]X[
L
MOMMM
L
L
L
 
 
2. Criar uma matriz de somas de quadrados e produtos cruzados [A], pela 
multiplicação de [X*]’ por [X*], de dimensões mxm. 
 








=
n,mn,3n,2n,1
2,m2,32,22,1
1,m1,31,21,1
'
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*]X[ MMMM 
 
 
 [A] = [X*]’[X*] 










=
2
n2n1an
n2
2
212
n121
2
1
aaaa
aaaaa
aa...aaa
]A[
MMM
 
 
 22
3. Finalmente criar uma matriz de variâncias e covariâncias [S] multiplicando o 
escalar 
1n
1
− por [A] 
 [ ]








=−=
n,n2,n1,n
n,22,21,2
n,12,11,1
sss
sss
sss
A
1m
1]S[ MMM
L
L
 
 
 
Exemplo 










=
444
345
321
432
321
]X[ 
 
Médias: x1=2,6; x2=3,0; x3=3,4 
[ ]










−
−−−
−
−−−
=
6,00,14,1
4,00,14,2
4,00,16,1
6,00,06,0
4,00,16,1
*X 
 
[ ]








−−−
−−
−−−
=
6,04,04,06,04,0
0,10,10,10,00,1
4,14,26,16,06,1
*X | 
 
[ ]








=
2,10,18,0
0,10,40,7
8,00,72,13
A 
 
[ ]








=
30,025,020,0
25,000,175,1
20,075,130,3
S 
 23
 
Cada elemento da diagonal se refere à variância de uma variável e fora da 
diagonal à covariância entre o par de variáveis em questão. A soma dos elementos 
da diagonal é a variância total no sistema. 
Notar que a matriz de correlações é a matriz de variâncias e covariância 
com cada elemento dividido pelo produto dos desvios padrões das respectivas 
variáveis. A matriz de correlações é também a matriz de variâncias e covariâncias 
de variáveis padronizadas. 
 
2.3.3. Autovalores (eingenvalues) e Autovetores (eigenvectors) 
Este tópico é geralmente considerado de difícil entendimento dentro da 
álgebra matricial, não tanto pela maneira de cálculo, mas principalmente pelo 
entendimento que se possa ter de seu resultado. Uma interpretação geométrica 
como apresentada a seguir, baseada em GOULD (1967), pode ajudar a entender o 
significado de autovalores e autovetores. Considerando os valores de uma matriz 
como coordenadas de pontos num espaço multidimensional, autovalores e 
autovetores passam a ser propriedades geométricas do arranjo desses pontos. 
Seja um conjunto de 3 equações lineares: 
a11x1+a12x2+...+a1nxn=λx1 
a21x1+a22x2+...+a2nxn=λx2 
a31x1+a32x2+...+a3nxn=λx3 
Essas equações podem ser escritas em forma de matriz, onde [A], 
contendo os coeficientes aij’s, multiplicada por um vetor [X], de desconhecidos xi’s, 
é igual a este vetor [X] multiplicado por um escalar λ. 
[A][X] = λ[X], 
Para encontrar os valores de λi que satisfaçam a relação acima, a equação 
pode ser reescrita como: 
([A] – λ[I])[X] = 0, 
onde λ[I] é a matriz de identidade, de dimensões 3x3, multiplicada por λ: 
 24








λ
λ
λ
3
2
1
00
00
00
 
 
Cálculo das raízes da equação (autovalores) para uma matriz 3 x 3: 
(a11 – λ1)x1 + a12 x2 + a13x3 = 0 
a21x1 + (a22 – λ2)x2 + a23x3 = 0 
a31x1 + a32 x2 + (a33 – λ3)x3 = 0 
 
Como exemplo, seja a seguinte matriz de dados: 
 








158
237
324
421
 
Para essa matriz de dados é encontrada a seguinte matriz de coeficientes 
de correlação [A] 








−−
−
−
=
000,1913,0980,0
913,0000,1820,0
980,0820,0000,1
]A[ , 
com variância total no sistema: 1+1+1=3 e para o cálculo dos autovalores: 
 
0
000,1913,0980,0
913,0000,1820,0
980,0820,0000,1
]I[]A[
3
2
1
=








λ−−−
−λ−
−λ−
=λ− 
 
 Desenvolvendo: 
(1,000 - λ1)(1,000 - λ2)(1,000 - λ3) + (0,820)(- 0,913)(- 0,980) + (- 0,980)(0,820) 
(- 0,913) - (- 0,980)(1,000 - λ1)(- 0,980) - (1,000 - λ2)(- 0,913)(- 0,913) - 
(0,820)(0,820)(1,000 - λ3) = 
≅ (λ1 - 2,810)(λ2 - 0,188)(λ3 - 0,002) 
Os autovalores são iguais a: λ1 = 2,810; λ2 = 0,188; λ3 = 0,002 (soma = 3) 
e a porcentagem da variância total explicada por cada autovalor: 
 25
λ1 = (2,810/3)*100 = 93,66 
λ2 = (0,188/3)*100 = 6,27 
λ3 = (0,002/3)*100 = 0,07 
 
Para o cálculo dos correspondentes autovetores, calcular inicialmente as 
componentes do autovetor V1: 
(1,000 - 2,810)X1 + 0,820X2 - 0,980X3 = 0 
0,820 - (1,000 - 2,810)X2 - 0,913X3 = 0 
-0,980X1 - 0,913X2 - (1,000 - 2,810)X3 = 0 
 
X1 = - 1,000; X2 = - 0,974; X3 = 1,032 
V1 = - 1,000 
 - 0,974 
 1,032 
Padronização do autovetor V1 para o tamanho unitário 
Q = -12 + (-0,974)2 + (1,032)2 = 3,012 
Q = 1,735 
Vn1 = -1/1,735 = -0,58 
Vn1 = - 0,974/1,735 = - 0,56Vn1 = 1,032/1,734 = 0,59 
 
Para as componentes do autovetor V2: 
(1,000 – 0,188)X1 + 0,820X2 - 0,980X3 = 0 
0,820 - (1,000 – 0,188)X2 - 0,913X3 = 0 
-0,980X1 - 0,913X2 - (1,000 – 0,188)X3 = 0 
Vn2 = -0,60 
Vn2 = 0,79 
Vn2 = 016 
..... 
 
 
 
 26
 Autovetores 
Variáveis V1 V2 V3 
X1 -0.58 -0.60 0.56 
X2 -0.56 0.79 0.26 
X3 0.59 0.16 0.79 
 
 
Factor loadings (carregamento das variáveis nas componentes principais): 
)dentecorresponautovaloropadronizadautovetor( ∗ ) 
 
 F1 F2 F3 
X1 -0.97 -0.26 0.03 
X2 -0.94 0.34 0.01 
X3 1.00 0.07 0.04 
 
 
Em termos geométricos: 
 
Variáveis 
V1
V2
V3
-1
-0,5
0
0,5
1
-1 -0,5 0 0,5 1
Eixo F1: 94%
E
ix
o 
F2
: 6
%
 
 
 27
 
A matriz original de dados ao ser multiplicada pela matriz de autovalores 
fornecerá a matriz de pontuações (scores). 
 
“factor scores” = 








158
237
324
421
*








−
−−
79,016,059,0
26,079,056,0
56,060,058,0
 
 
 F1 F2 F3 
Obs1 2.10 0.45 0.03
Obs2 0.93 -0.35 -0.07
Obs3 -0.69 -0.51 0.06
Obs4 -2.34 0.41 -0.02
 
 
Em termos geométricos: 
 
Observações
A4
A3 A2
A1
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Eixo F1: 93.66 %
E
ix
o 
F2
: 6
.2
7 
%
 
 
 
 28
A orientação dos autovetores no espaço multivariado é determinada pela 
direção da máxima variância. Como a contribuição da variância para cada 
autovetor, em alguns casos, deve ser maximizada, há necessidade de rotação da 
matriz fatorial inicial. 
Matriz fatorial inicial: 
 Fatores 
 F1 F2 
 X1 0,966 -0,259 
 X2 0,940 0,340 
 X -0,997 0,070 
 
Para o cálculo do ângulo de rotação dos fatores, pelo critério varimax, o 
seguinte procedimento deve ser adotado: 
 
A rotação ortogonal de uma matriz de carregamentos [X], em um novo 
conjunto de coordenadas [X’], requer uma matriz operacional [T] 
[X’] = [T] [X] 
 





ΘΘ
Θ−Θ=



2
1
'
2
'
1
X
X
cossen
sencos
X
X
 
ângulo de rotação Θ = ?, para variavel “j” e fatores “p” e “q” 
 
 29
]/n)XX(2-)XX[(-)XX(2-)X-X(
]/nXX)X-(X[4-)X-(XX2X4 
4tan
J
2
JQJP
J
22
JQ
2
JP
J
2
JQJP
J
22
JQ
2
JP
J
JQJP
J
2
JQ
2
JP
J
2
JQ
2
JPJQJP
∑∑∑∑
∑∑∑
Σ=Θ 
2
JQ
2
JPJ XXU −= 
JQJPJ XX2V = 
∑=
J
JUA = 2,6222; A
2 = 6,8789 
∑=
J
JVB = -0,0001; B
2 = 0,0000 
∑ −=
J
2
J
2
J )VU(C = 1,6365 
∑=
J
JJ )VU(2D = -0,0797 
n/)BA(C
n/AB2D4tan 22 −−
−=θ = - 0,1592/- 0,6555 = 0,2429 
 
arctan 0,2429 = -166° 21’ = 4Θ; Θ = 41° 17’ 
sen Θ = - 0,6598 
cos Θ = 0,7515 
 



−
−=
7515,06598,0
6598,07515,0
]T[ 
 





−
−=



2J
1J
'
2J
'
1J
X
X
7515,06598,0
6598,07515,0
X
X
 
12121111
'
11 XTXTX += X’1j = (0,9656)(0,715) + (- 0,2590)(- 0,6598) = 0,894 
 
Matriz fatorial rotacionada: 
 Fatores 
 F’1 F’2 
 X1 0,894 0,447 
 X2 0,477 0,879 
 X3 -0,792 -0,609 
 30
 Em termos geométricos: 
 
Variáveis 
V3
V2
V1
-1,1
-0,6
-0,1
0,4
0,9
-1,1 -0,6 -0,1 0,4 0,9
Eixo F1: 94.30 %
E
ix
o 
F2
: 5
.7
0 
%
 
Variáveis depois da rotação 
varimax
V3
V2
V1
-0,94
-0,74
-0,54
-0,34
-0,14
0,06
0,26
0,46
0,66
0,86
-0,9
4
-0,7
4
-0,5
4
-0,3
4
-0,14 0,06 0,26 0,46 0,66 0,86
Eixo F1: 54.82
Ei
xo
 F
2:
 4
5.
17
 %
 
 
 
 
 
 
 31
 
Observações
A4
A3
A2
A1
-1,3
-0,8
-0,3
0,2
0,7
1,2
-1,3 -0,8 -0,3 0,2 0,7 1,2
Eixo F1: 94.30 %
E
ix
o 
F2
: 5
.7
0 
%
 
Observações depois da rotação 
varimax
A4
A3 A2
A1
-1,6
-1,1
-0,6
-0,1
0,4
0,9
1,4
-1,6 -1,1 -0,6 -0,1 0,4 0,9 1,4
Eixo F1: 54.82 %
Ei
xo
 F
2:
 4
5.
17
 %
 
 
 
 Gráfico mostrando o arranjo espacial dos pontos Xi, em 2D, antes e depois 
da rotação dos eixos F1 e F2: 
 
 32
 
 33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
AYRES JR., F. (1962) – Schaum’s Outline of Theory and Problems of Matrices: Schaum 
Publ. Co. 
 
DAVIS, P.J. (1984) – The Mathematics of Matrices: R.E. Krieger Publ. Co 
 
FERGUNSON, J. (1988) – Mathematics in Geology: Allen & Unwin Ltd. 
 
GOLUB, G.H. & VAN LOAN, C.F. (1996) – Matrix Computations, 3rd. ed.: Johns Hopkins 
Univ. Press. 
 
GOULD, P. (1967) – On the geographic interpretation of eigenvalues: An initial 
exploration: Trans. Inst. British Geographers, n. 42, p. 53-86 
 
HARVILLE, D. A. (1997) – Matrix Álgebra from a Statistician’s Perspective: Springer 
 34
3. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
 As relações entre duas variáveis "X", considerada independente, e "Y", 
considerada dependente, pode ser representada num diagrama de dispersão, com 
os valores yi em ordenada e os xi em abscissa. Cada par de valores xi,yi fornecerá 
um ponto e utilizando-se, por exemplo, o método dos desvios mínimos ao 
quadrado, pode-se calcular a equação de uma curva de tendência que melhor se 
ajuste à nuvem de distribuição de pontos. O modelo mais simples que pode ser 
adotado é o da análise de regressão linear que fornece a equação de uma reta: 
yi = αι + βxi + εi 
onde α e β são constantes desconhecidas a serem determinadas e ε representa 
toda a fonte de variabilidade em Y não explicada por X. Operacionalmente 
encontra-se a equação da reta para a previsão dos valores yi segundo: 
,bxay ii += 
onde a e b são os coeficientes que determinam a intersecção na ordenada e a 
inclinação da reta calculada. 
 Não é raro, porém, que o termo εi seja numericamente mais importante 
que a explicação motivada pela variável X, significando que outras variáveis 
devem ser incorporadas ao modelo a fim de explicar o comportamento de Y. O 
modelo exige então uma "análise de regressão linear múltipla”. A regressão 
múltipla é usada, portanto, para testar dependências cumulativas de uma única 
variável dependente em relação à diversas variáveis independentes. 
Alguns cuidados, porem, que devem ser tomados quando da utilização da 
análise de regressão: as relações entre as variáveis devem ser lineares; evitar um 
número inferior de casos em relação ao número de variáveis consideradas, sendo 
recomendado que tal relação seja da ordem de 10 a 20 vezes superior; evitar 
variáveis independentes redundantes, isto é, que tenham um alto coeficiente de 
correlação entre si; verificar, utilizando resíduos, a presença de valores anômalos. 
 O modelo geral é representado por 
inini11oi xxy ε+α++α+α= L 
 A análise de regressão múltipla linear de quaisquer n variáveis 
independentes sobre uma variável dependente, sendo expressa por: 
nini22i11oi XaXaXaaY ++++= L 
 35
 pode ser resolvida segundo: 
 
]Y[]A[]X[
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
xxxxx
xxxx
xxn
ini
ii2
ii1
i
n
2
1
o
2
nii1nini
nii2i1i2i2
nii1
2
i1i1
nii1










∑
∑
∑
∑
=




















∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
MM
L
MOMM
L
L
L
 
 Para a obtenção dos coeficientes ai a solução obedece à relação: 
]Y[]X[]A[ 1−= 
Os coeficientes “ai” são conhecidos como parciais de regressãoporque cada 
um deles fornece a taxa de mudança na variável dependente correspondente à 
respectiva variável independente, mantendo constantes as demais variáveis 
independentes. Esses coeficientes terão valores diferentes, para cada variável, dos 
coeficientes de regressão totais obtidos pela análise de regressão simples entre a 
variável dependente e apenas uma variável independente considerada por vez. Na 
análise de regressão linear múltipla são consideradas todas as possíveis interações 
entre a variável dependente e as diversas combinações com e entre as variáveis 
independentes. 
Sendo calculadas a soma de quadrados da variável dependente, a soma de 
quadrados devido à análise linear múltipla e a soma de quadrados dos desvios, 
pode-se obter uma indicação da validade do resultado por uma análise de 
variância, sendo m o número total de observações: 
Variação total: ( )[ ]∑ ∑− m/yiy=SQT 22i 
Variação devido à análise de regressão linear múltipla: ( )[ ]∑ ∑− /mi*y*y=SQR 22i 
Variação devido aos desvios ou resíduos: SQD = SQT - SQR 
Porcentagem de ajuste da superfície: R2 = ( SQR/SQT ) 100% 
 
 
 
 
 
 36
Fonte de 
variação g.l. 
Soma de 
quadrados 
Média 
quadrática Razão F 
Regressão n SQR MQR MQR/MQD 
Resíduos m-n-1 SQD MQD 
Total m-1 SQT 
 
 H0: α1= α2= α3=... αn=0 
 H1: pelo menos um α é diferente de 0 
 Ao recusar H0 e, portanto, aceitar H1, pode-se afirmar que as variáveis 
independentes “explicam” a variável dependente, mas não se pode afirmar qual 
variável é a mais importante. Ao afirmar, também, que a variância total de Y é em 
parte "explicada" pelas diversas variáveis X's e o restante pela variabilidade devido 
ao erro (ε ), fica implícito que o termo "explicada" tem apenas um significado 
numérico e não necessariamente um conhecimento, do tipo causa-efeito, sobre o 
porquê da relação existente. 
 Os tamanhos relativos dessas duas componentes de variância são 
obviamente de grande interesse quando da aplicação da análise de regressão 
múltipla. A proporção da variância de Y "explicada" por uma equação de regressão 
ajustada é representada pelo coeficiente de determinação R². 
 
SQT
SQR
total) (variância
regressão) de análise pela explicada Y de (variânciaR2 == , 
sendo a porcentagem de ajuste da superfície igual a R2 x 100. 
Valores de R2 estão no intervalo 0-1, fornecendo uma medida dimensional 
de quantidade do ajuste do modelo de regressão múltipla aos dados. Se o valor 
de R² for próximo de 1 isso significa que as diversas variáveis X's medidas são 
responsáveis quase que totalmente pela variabilidade de Y. Caso contrário, R² 
apresentará um valor próximo a zero. 
O R2 pode ser ajustado em função dos graus de liberdade: 
 
MQT
MQR1)R1(
nm
1m1R 22aj −=−−
−−= 
Embora a regressão múltipla seja multivariada no sentido de que mais de 
uma variável é medida simultaneamente em cada observação, trata-se na 
realidade de uma técnica univariada, pois o enfoque é apenas em relação à 
 37
variação da variável dependente Y, sem que o comportamento das variáveis 
independentes X’s seja objeto de análise. 
Uma das mais importantes aplicações da análise de regressão linear 
múltipla é a escolha, entre diversas variáveis independentes, daquelas mais úteis 
na previsão de Y. A questão se torna, então, saber se certas variáveis 
explanatórias podem ser retiradas, ou não, do modelo de regressão. 
O método mais usual para essa seleção é a regressão múltipla “passo-a-
passo” (stepwise multiple regression). O processo de seleção é iniciado com a 
adição da variável com a maior contribuição para o modelo. A partir daí são 
estabelecidas probabilidades limiares tanto para a retirada como para inclusão de 
novas variáveis ao modelo. Se uma segunda variável apresenta uma probabilidade 
menor do que a probabilidade "de entrada", ela é adicionada ao modelo. O 
mesmo para uma terceira variável. Após a terceira variável ser adicionado, o 
impacto da remoção de cada variável presente no modelo, depois de ter sido 
adicionada, é avaliada. Se a probabilidade é maior do que a probabilidade "de 
remoção", a variável é removida. O processo continua até que não haja mais 
variáveis que possam ser acrescentadas ou removidas. 
Outra maneira é calcular os valores de R2 segundo 2n-1 combinações, onde 
n é o número de variáveis independentes. Ao final verifica-se a contribuição de 
cada variável independente por comparações sucessivas entre os diversos 
resultados. 
3.1. Exemplos 
3.1.1. DAWSON & WHITTEN (1962), num estudo petrográfico sobre o complexo 
granítico da região de Lacorne, La Motte e Preissac, no Canadá, obtiveram valores 
para peso específico, quartzo, índice de cor (porcentagem de silicatos escuros ou 
máficos), feldspato, e as coordenadas N-S e E-W para cada ponto de amostragem 
(Matriz de dados 3.1., no Apêndice ao final do texto) . 
Para verificar se o peso específico pode ser previsto em função das outras 5 
variáveis, aplica-se a análise de regressão múltipla para a indicação das variáveis 
por ordem de importância nessa previsão. 
 38
Inicialmente é feita uma análise de regressão levando em consideração 
todas as 5 variáveis, consideradas independentes, e uma análise de variância para 
verificar a validade do modelo (Tabela 3.1.). 
A equação inicial encontrada é: 
Y = 4,0607 -0,0158X1 -0,0106X2 -0,0143X3 + 0,0080X4 -0,0006X5, 
com R2 = 0,9177 
 
Tabela 3.1. ANOVA 
Fonte de 
variação g.l. 
Soma de 
quadrados 
Médias 
quadráticas Razão F 
Teste F(0,05) 
Modelo 5 0,249 0,050 50 2,45 
Residuos 38 0,022 0,001 
Total 43 0,271 
 
Este resultado mostra que as 5 variáveis explicam 92% da variabilidade de 
Y e que o modelo pode ser aceito, pois a razão F encontrada, em confronto com o 
teste F crítico tabelado indica que essas variáveis reduzem significativamente a 
variação da variável dependente. 
O interesse, porém, é verificar a contribuição específica de cada variável, 
tendo em vista que há correlações entre as mesmas (Tabela 3.2.) 
 
Tabela 3.2. Matriz de coeficientes de correlação (Pearson) 
 Peso spc. Quartzo Cor Feldspato NS EW 
Peso spc. 1 -0,853 0,917 -0,369 0,571 0,684 
Quartzo -0,853 1 -0,840 -0,011 -0,389 -0,663 
Cor 0,917 -0,840 1 -0,532 0,403 0,655 
Feldspato -0,369 -0,011 -0,532 1 -0,147 -0,185 
NS 0,571 -0,389 0,403 -0,147 1 0,526 
EW 0,684 -0,663 0,655 -0,185 0,526 1 
 
Estabelecendo probabilidades limiares igual 0,10 tanto para a retirada 
como para a entrada de uma variável no modelo o seguinte resultado foi 
encontrado: 
No. de 
variáveis Variáveis 
Variável 
IN/OUT Status MQE R² 
1 Cor Máficos IN 0.00103 0.840
2 Cor / NS NS IN 0.00074 0.889
3 Cor/NS/Quartzo Quartzo IN 0.00064 0.906
4 Cor/NS/Quartzo/ Feldspato Feldspato IN 0.00058 0.917
 
 39
 
Parâmetros do modelo: 
 
Fonte Valor 
Erro 
padrão t 
Pr > 
|t| 
Intercepto 4.00673 0.59719 6.70934 < 0.0001 
Quartzo -0.01528 0.00599 -2.55232 0.01473 
Cor -0.01014 0.00599 -1.69193 0.09864 
Feldspato -0.01377 0.00601 -2.28959 0.02754 
NS 0.00767 0.00187 4.10426 0.00020 
EW 0.00000 0.00000 
Isto significa que as variáveis, em ordem de importância para a explicação 
do peso específico, são: cor, N-S, quartzo, feldspato, sendo praticamente nula a 
contribuição de E-W. 
Uma outra maneira para verificar essa ordenação, segundo KRUMBEIN & 
GRAYBILL (1965), é calcular os coeficientes R2s referentes às variáveis 
independentes, uma de cada vez e, em seguida, combinadas duas a duas, três a 
três e quatro a quatro. Esse procedimento fornece um número total de 
combinações da ordem de 25 – 1, isto é, 31. A seguir estão os coeficientes que 
apresentaram os maiores resultados(Tabela 3.3.): 
 
Tabela 3.3. Coeficientes de R2 
Variáveis R2s 
Cor 0,8404 
Quartzo 0,7277 
EW 0,4673 
NS 0,3258 
Feldspato 0,1364 
Cor+NS 0,8887 
Cor+Quartzo 0,8640 
Cor+Feldspato 0.8600 
Cor+EW 0,8526 
Cor+NS+Quartzo 0,9061 
Cor+NS+Feldspato 0,9034 
Cor+NS+EW 0,8896 
Quarzto+EW+Felspato 0,8750 
Cor+NS+Quartzo+Feldspato 0,9172 
Cor+NS+Quartzo+EW 0,9061 
Cor+NS+Quartzo+Feldspato+EW 0,9177 
 
A contribuição específica de cada variável independente, com vistas ao seu 
ordenamento por importância, é encontrada da seguinte maneira: a variável cor é 
a primeira a ser selecionada com 84,04% do total da soma de quadrados de Y a 
 40
ela atribuída; em seguida apresentam-se cor+NS com 88,87% e desse modo a 
variável NS é escolhida com a contribuição de 88,87 – 84,04 = 4,83% para a 
explicação de Y; de modo idêntico quartzo é escolhida como a terceira variável 
com 1,74%, resultado de 90,61 – 88,87; feldspato, como a quarta variável, com 
1,11%, resultado de 91,72 – 90,61 e, finalmente, EW com 0,05%. Desse modo, a 
explicação para o comportamento da variável peso específico é mostrada na 
Tabela 3.4.: 
 
Tabela 3.4. Contribuição específica de cada variável independente 
Máficos 84,04% 
N-S 4,83% 
Quartzo 2,24% 
Feldspato 0,61% 
E-W 0,05% 
 
 Esses resultados indicam novamente que, para a explicação do 
comportamento do peso específico, a variável mais importante é a cor, o que é 
coerente pois esta variável nada mais é que o resultado da presença de minerais 
máficos. Além disso, como a segunda variável em importância é a coordenada NS 
isso também esta a indicar que a variabilidade do peso específico ocorre mais ao 
longo dessa direção do que no sentido EW. 
 Como se tem à disposição a coordenada geográfica, o que não é muito 
comum nesse tipo de análise, pode-se examinar o comportamento espacial das 
três variáveis, quartzo, feldspato e cor, em confronto com a distribuição do peso 
específico (Figura 3.1). 
 Novamente é constatada, por simples comparação visual entre os mapas, a 
semelhança entre os mapas para peso específico e para cor. Também pode ser 
observada a maior variabilidade no sentido norte-sul para o peso específico e a 
relação inversa entre esta variável e quartzo, como já indicada pelo coeficiente de 
correlação. 
 
 
 
 
 41
 
Figura 3.1. Mapa com valores interpolados para as varáveis estudadas 
 
 42
3.1.2. Comparação entre mapas têm sido preocupação dos geólogos, pela sua 
utilidade na localização espacial e mesmo interpretação de qualquer banco de 
dados temático. Se existem, porém, diversos algoritmos à disposição para a 
confecção de mapas o mesmo não pode ser afirmado em relação à comparação 
entre mapas. Alguns trabalhos que tratam do assunto podem ser encontrados em 
BROWER & MERRIAM (1990, 1992) usando técnicas estatísticas; e HERZFELD & 
SONDERGARD (1988); HERZFELD & MERRIAM (1991) usando técnicas algébricas 
orientadas para uso em computador. Um interessante enfoque é apresentado por 
BROWER & MERRIAM (2001) que utilizam a análise de regressão múltipla para 
comparar mapas de contorno estrutural com finalidade de entender a história 
geológica de uma certa região. Se a variável considerada dependente for a 
camada mais jovem e as demais camadas as variáveis independentes, pode-se 
verificar qual delas teve maior influência na configuração dessa camada mais 
jovem. 
Utilizando essa idéia LEITE & LANDIM (2003) aplicaram a análise de regressão 
múltipla para quantificar a influência de diversas variáveis no comportamento da 
superfície potenciométrica de um aqüífero livre (superfície), considerada como 
variável dependente. As variáveis consideradas independentes foram cota do 
terreno (topografia), base da formação aqüífera ou cota do topo do basalto 
(basalto), espessura da formação aqüífera (espessura), e coordenadas UTM (X e 
Y). Esses valores foram obtidos a partir de 188 poços (Matriz de dados 3.2.). 
O local objeto do estudo compreendeu a área urbana do município de 
Pereira Barreto/SP, situada junto ao Reservatório de Três Irmãos, formado no rio 
Tietê, pela construção da barragem de mesmo nome, com extensão de 
aproximadamente 150 km. A cidade de Pereira Barreto situa-se na vertente sul de 
uma colina ampla, de topo aplainado, com altitude máxima de aproximadamente 
450 m, limitada ao sul pelo remanso do reservatório da barragem Três Irmãos no 
rio Tietê e a norte pelo remanso do reservatório de Ilha Solteira (rio Paraná) no 
tributário São José dos Dourados, em zona de transição dos grupos Caiuá e Bauru, 
com afloramentos de basaltos do grupo São Bento restritos às proximidades das 
margens do rio Tietê. A superfície potenciométrica do aqüífero livre na área 
ocupada pela cidade, anteriormente à formação do reservatório encontrava-se 
 43
entre os níveis 310-350 m, com profundidades máximas do nível d’água (N.A.) 
pouco superiores a 10 metros. 
 
 
 
Figura 3.2. Mapa da superfície potenciométrica 
Os maiores coeficientes de determinação obtidos foram : 
Variável Coeficientes R2 
Topografia 0,814 
Topografia + Coord X 0,830 
Topografia + Coord X + Espessura do aquífero 0,833 
Topografia + Coord X + Espessura do aquífero + Coord Y 0,836 
Topografia + Coord X + Espessura do aquífero + Coord Y + 
Topo Basalto 
0,836 
 44
Com estes resultados, estabelece-se a contribuição específica de cada 
variável independente para a variabilidade da variável dependente H, isto é, 
superfície potenciométrica do aqüífero livre: 
 
Variável Contribuição 
Topografia 81,4% (0,814) 
Coordenada X 1,6% (0,830 - 0,814) 
Espessura do aquífero 0,3% (0,833 – 0,830) 
Coordenada Y 0,3% (0,836 – 0,833) 
Topo do basalto 0,0% (0,836 – 0,836) 
 
Analisando-se o peso de cada variável dependente observa-se que a 
variável Topografia do Terreno é a que melhor explica a variação da Superfície 
Potenciométrica, da ordem de 81,4%, fato esse já bem conhecido em 
Hidrogeologia. As demais variáveis apresentam pequenas interferências na 
variabilidade da potenciometria. 
Os resultados encontrados confirmam quantitativamente que a superfície 
potenciométrica do aqüífero livre se comporta, em linhas gerais, como a superfície 
topográfica do terreno. Observa-se, no entanto, que apesar da excelente 
correlação obtida no processo de comparação entre o mapa potenciométrico e o 
mapa topográfico, a variável Superfície Potenciométrica não é totalmente 
explicada pela variável Topografia do Terreno, ou seja, devem existir outros 
fatores que auxiliam no condicionamento desse comportamento. 
 45
 
Figura 3.3. Mapa da topografia local com pontos de amostragem. 
 Neste caso a análise de regressão múltipla foi efetuada a partir de 188 
pontos, com coordenadas X-Y. Pode-se, porém, efetuar este mesmo tipo de 
análise, comparando superfícies segundo metodologia encontrada no software 
IDRISI 3.2 (2001). Um exemplo pode ser encontrado em LOURENÇO & LANDIM 
(2004) 
 
3.3. Aplicação do modelo linear múltiplo à confecção de mapas: análise 
de superfícies de tendência. 
 A análise de superfícies de tendência é simplesmente um tipo de análise de 
regressão múltipla em que as variáveis independentes são as coordenadas 
geográficas E-W e N-S. 
 46
O comportamento espacial de variáveis mapeáveis pode ser mostrado com 
os valores distribuindo-se segundo curvas de mesmo valor, também conhecidas 
como isopletas. Tais mapas, como os topográficos ou os de isópacas, com linhas 
de mesma espessura de camadas, fornecem importantes informações, porém, em 
algumas situações os padrões de variação não se mostram muito claros devido a 
flutuações locais ou a valores anômalos. É comum nessascircunstâncias falar-se 
em tendências regionais que são mascaradas por anomalias locais. O método da 
análise de superfícies de tendência pode, então, ser utilizado para evidenciar tal 
situação, pois, segundo esse procedimento define-se, além das grandes e 
sistemáticas mudanças existentes na área, aquelas pequenas, aparentemente não 
ordenadas flutuações, que se impõem aos padrões mais gerais. Esta metodologia 
foi originalmente introduzida nas Ciências da Terra por OLDHAM & SUTHERLAND 
(1955), KRUMBEIN (1956,1959), GRANT (1957) e WHITTEN (1959). Esses Autores 
usaram o método para obter mapas gravitacionais, mapas estratigráficos, mapas 
de isópacas e mapas com atributos específicos em rochas sedimentares e ígneas. 
Desde então, o número de aplicações tem crescido significantemente e o método 
em si sido generalizado e refinado. 
 A análise de superfícies de tendência é uma técnica relativamente simples e 
muito útil quando os mapas de tendência e os respectivos resíduos podem ser 
interpretados a partir de um ponto de vista espacial ou então quando o número de 
observações é limitado de modo que a interpolação possa ser baseada nesses 
poucos dados. 
 Com a aplicação dessa análise consegue-se separar dados mapeáveis 
em duas componentes: uma de natureza regional, representada pela própria 
superfície, e outra que revela as flutuações locais, representadas pelos valores 
residuais. 
Se as coordenadas forem determinadas a partir de uma grade regular em 
que os intervalos são iguais segundo cada uma das duas direções e se existe a 
possibilidade da variação de zi ocorrer segundo um padrão cíclico, o modelo da 
análise das séries de Fourier pode ser aplicado. Se as observações, porém, não 
obedecem a uma periodicidade e são coletadas segundo uma grade regular é 
possível efetuar uma análise de tendência a partir de polinômios ortogonais. 
 47
 A coleta tendo sido feita, porém, de modo irregular, o que normalmente 
acontece em Geologia, o recurso a ser usado é o do método dos polinômios não 
ortogonais, tentando encaixar a preliminarmente uma superfície linear aos dados, 
em seguida uma quadrática, uma cúbica e assim por diante. O método usual para 
o ajustamento aos dados é o da regressão pelos mínimos quadrados. Em alguns 
casos, como em problemas de suavização, o interesse é pelo melhor ajuste aos 
dados e assim procura-se pela superfície de mais alto grau possível. Em outros, 
como na detecção de anomalias, o que interessa são os resíduos e calculam-se, 
então, superfícies de baixo grau com os respectivos mapas de resíduos positivos e 
negativos. 
 
3.3.1. Cálculo das superfícies 
 O modelo para a representação da superfície pelo método dos polinômios 
não ortogonais é: 
)y,x(e]...yayxaxayaxaa[)Y,X(z iii
2
i5ii4
2
i3i2i10i +++++++= , 
 onde )Y,X(zi é a variável mapeada em função das coordenadas xi e yi e 
)y,x(e iii representa os resíduos, ou seja, a fonte não-sistemática de variação. 
 A representação de uma superfície linear é dada por: 
ii2i10 eyaxaa)Y,X(z +++= 
 Para o cálculo dos coeficientes ai, dispõe-se os dados num sistema de 
equações normais, sendo resolvido por cálculo matricial: 
 
]Z[]A[]XY[
yz
xz
z
2a
1a
0a
yyxy
yxxix
yxn
ii
ii
i
2
iiii
ii
2
i
ii








∑
∑
∑
=
















∑∑∑
∑∑∑
∑∑
 
[XY] [A] = [Z] 
]Z[]XY[]A[ 1−= 
Para o cálculo do vetor de coeficientes [A] basta inverter a matriz [XY] e 
multiplicar esse resultado pelo vetor [Z]. 
 A superfície quadrática é representada por: 
 48
ieybiyixbxbybxbb)Y,X(iz
2
i54
2
i3i2i10 ++++++= , 
 e a determinação dos coeficientes b0, b1, b2, b3 ,b4 e b5 para a superfície 
de grau 2 torna-se: 
 












∑
∑
∑
∑
∑
∑












∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
=











 −
i
2
i
iii
i
2
i
ii
ii
i
1
4
i
3
ii
2
i
2
i
3
i
2
ii
2
i
3
ii
2
i
2
ii
3
i
2
ii
2
iii
2
i
2
ii
3
i
4
i
2
i
3
i
2
i
3
i
2
iii
2
i
2
iiii
2
iii
2
i
3
ii
2
ii
2
iii
2
iii
5
4
3
2
1
0
zy
zyx
zx
zy
zx
z
yyxyxyyxy
yxyxyxyxiyxyx
yxyxxiyxxx
yyxyxyyxy
yxyxxiyxxx
yyxxyxn
b
b
b
b
b
b
 
 As superfícies de grau superior a dois seguem o mesmo processo de 
desenvolvimento polinomial. 
 Alguns cuidados devem ser tomados quando da aplicação da análise de 
tendência: 
a) procurar tecer considerações apenas em relação à área coberta pelos pontos 
evitando as extremidades dos mapas, pois a extrapolação pode apresentar 
distorções; 
b) o número de pontos deve ser maior que o número de coeficientes do polinômio 
a ser calculado; 
c) o arranjo dos pontos, ainda que irregular, deve ser casual e razoavelmente bem 
distribuído, evitando agrupamentos; 
d) quando da inversão da matriz, por programas em microcomputador, podem 
ocorrer problemas com os resultados obtidos para superfícies de mais alto grau, 
isso porque em sistemas com valores de diversos dígitos, tipo UTM, a precisão 
computacional se deteriora exigindo formato de dupla precisão. Mesmo assim 
podem ocorrer limitações e, então, a solução é a transformação das 
coordenadas xi e yi, conforme as equações, que fornecem valores para as 
coordenadas entre 0 e 1 e não modifica a forma das superfícies: 
minmax
mini
xx
xx*x −
−= 
minmax
mini
yy
yy*y −
−= 
 
 
3.3.2. Verificação do ajuste das superfícies de tendência aos dados 
observados e intervalos de confiança 
 49
 Sendo computadas a soma de quadrados da variável dependente, a soma 
de quadrados devido à superfície polinomial e a soma de quadrados dos resíduos, 
pode-se obter uma indicação da validade da superfície de tendência calculada por 
uma análise de variância: 
variação total: ( )[ ]∑ ∑− n/yiy=SQT 22i 
variação devido à superfície calculada: ( )[ ]∑ ∑− n/i*y*y=SQP 22i 
variação devido aos resíduos ou desvios: SQR = SQT - SQP 
porcentagem de ajuste da superfície: R2 = ( SQP / SQT ) 100% 
 
Tabela 3.5. Análise de variância para verificação do ajuste de superfície 
Fontes de variação SQ g.l. MQ F 
Regressão polinomial SQP m MSP 
MSR
MSP 
Resíduos SQR n - m - 1 MSR 
T o t a l SQT n - 1 
 
 
m: número de coeficientes da equação polinomial, não contando o termo a0 
n: número de observações 
H0: variância dos dados estimados pela superfície encontrada é igual à variância 
dos dados originais, ou seja, não ocorre ajuste significativo da superfície aos 
dados. 
H1: variância dos dados estimados pela superfície encontrada é menor que a 
variância dos dados originais, ou seja, ocorre ajuste significativo da superfície aos 
dados. 
 
 Na análise de tendência é usual calcular uma série de equações polinomiais 
de graus sucessivamente superiores e tentar adaptá-las aos dados. Nesse tipo de 
análise a soma de quadrados devido a regressão polinomial aumentará conforme 
aumentar o grau de superfície. Para verificar qual a contribuição dos sucessivos 
coeficientes parciais de regressão e fornecer uma medida do ajustamento aos 
dados devido a cada um dos incrementos da equação polinomial, é utilizada 
também a análise de variância. 
 Desse modo para a verificação de qual, entre duas superfícies, que melhor 
ajustou-se aos dados o seguinte teste é efetuado (DAVIS, 1986): 
 50
 
Tabela 3.6. Análise de variância para verificação da contribuição do incremento 
polinomialFontes de Variação SQ g.l. MQ F 
Regressão de grau “p” SQP k MSP 
Resíduos referentes à “p” SQR n - k - 1 MSR (1)MSP/MSR 
Regressão de grau “p+1” SQP1 m MSP1 
Resíduos referentes à 
“p+1” SQR1 n - m - 1 MSR1 (2) MSP1/MSR1 
Regressão devido ao 
incremento de “p” para 
“p+1” grau 
 
SQI=SQP1 - SQP 
 
m - k MSI (3) MSI/MSR1 
T o t a l SQT n - 1 
 
n: número de observações 
grau p: k coeficientes, não contando o termo a0 
grau p+1: m coeficientes, não contando o termo b0 
(1) teste de significância relativo à superfície de tendência de grau p 
(2) teste de significância relativo à superfície de tendência de grau p+1 
(3) teste de significância relativo à melhoria de ajuste da superfície p+1 em 
comparação com a superfície p 
H0: a contribuição do incremento polinomial para o ajuste aos dados é nula. 
H1: a contribuição do incremento polinomial para o ajuste aos dados é 
significativa. 
Na prática cuidados devem ser tomados em relação à aplicação destes 
testes estatísticos porque os mesmos somente fornecem resultados confiáveis 
quando os resíduos são estocasticamente independentes, o que nem sempre 
ocorre, pois freqüentemente os resíduos apresentam uma significante 
autocorrelação espacial. Ver uma discussão a respeito desse tema em AGTERBERG 
(1964, 1984a) e WATSON (1971). 
 Se considerado o modelo linear 
z(X,Y) = a00 + a10Xi + a01Yj+ eij , 
e assumindo que os eij tenham média zero, sejam não correlacionados e 
normalmente distribuídos com variância σ2, superfícies representando intervalos 
de confiança podem ser determinadas segundo: 
]s)y,x(QkF[)y,x(*z 2ji
2
ji α± 
 51
z*(xi,yj): valores estimados pela superfície de tendência; 
k: número de coeficientes da superfície, igual a 3 para o caso da linear; 
Fα: valor a ser comparado, com k e n-k graus de liberdade e nível de significância 
α 
n: número total de pontos utilizados para a obtenção da superfície. 
s2: estimativa da variância da população, estimada pela média quadrática; 
)y,x(Q ji
2 : valor a ser computado para pontos com coordenadas xi e yi 








= −
1
y
x]S][yx1[)y,x(Q
j
i
1
jiji
2 
[S]: matriz de somas não corrigidas de quadrados e produtos de zi 
 Geralmente a aplicação desta metodologia ocorre em situações em que se 
procura estudar o comportamento de uma única variável espacial, ou um único 
fenômeno, sobre uma determinada área. Existem, porém, situações mais 
complexas, tais como: 
a) distribuição de uma variável por diversas áreas diferentes como, por exemplo 
porcentagem de feldspatos em diversos corpos graníticos; 
b) distribuição de uma variável numa mesma área, porém a intervalos de tempo 
diferentes, por exemplo variação do diâmetro médio dos sedimentos em uma 
praia no transcorrer de um ano; 
c) distribuição de diversas variáveis, correlacionadas entre si, sobre uma mesma 
área com valores obtidos não necessariamente nos mesmos locais de 
amostragem, por exemplo, distribuição geoquímica de elementos-traço. 
 
 Nessas situações surge sempre a questão de como comparar as superfícies 
de tendência obtidas e para tanto existem alguns procedimentos para medir o 
grau de semelhança entre elas, os quais podem ser baseados em diferentes 
critérios. Ver a propósito LANDIM (2003). 
 Para o cálculo de superfícies de tendência existem na literatura diversos 
programas. O primeiro foi publicado por KRUMBEIN (1959) e entre os que se 
seguiram podem ser citados, entre outros, aqueles desenvolvidos por PEIKERT 
(1963); HARBAUGH (1964); FOX (1967), que trata da análise de dados vetoriais; 
 52
SAMPSON & DAVIS (1967); HARBAUGH & MERRIAM (1968); PFLUG (1976); CLARK (1977) e 
HAINING (1987). 
 
3.3.3. Exemplos 
São aqui apresentadas duas aplicações desta metodologia, a primeira 
quando se elaborou um mapa topográfico suavizado da região centro-sul do Brasil 
com vistas ao estudo da superfície Sul Americana (SOARES & LANDIM, 1976), e a 
segunda sobre a avaliação do impacto ambiental causado por uma pluma de 
contaminação em um corpo de água receptor (BERNARDI ET AL., 2001). 
No estudo sobre os depósitos cenozóicos na região centro-sul do Brasil, foi 
investigada a posição da superfície de cimeira denominada "Sul Americana" por 
KING (1956), onde os testemunhos mais elevados de sedimentação cenozóica 
ocorrem. Para tanto, foram escolhidos os pontos de maior altitude, na carta ao 
milionésimo dessa região do Brasil por cela de 1º x 1º, e a partir dessas cotas 
topográficas calculou-se superfícies de tendência desde grau 1 até grau 6 (Figura 
3.4. e Matriz de dados 3.3.). Nesse trabalho o interesse dos Autores era verificar, 
em escala regional, a configuração suavizada da Superfície Sul Americana. Os 
resultados para as superfícies de grau 1 até grau 5 estão na Figura 3.5. Os 
coeficientes de ajuste, R2, para cada uma das superfícies foram: 0,638 para grau 
1; 0,678 para grau 2; 0,750para grau 3; 0,816 para grau 4; 0,855 para grau 5. 
Na Figura 3.6. esta a superfície de grau 6, com R2 igual a 0,881, com a 
localização dos pontos, drenagem e algumas localidades associadas para facilitar 
a visualização geográfica da área estudada. 
 53
 
Figura 3.4. Mapa topográfico da Superfície Sul Americana e pontos com altitudes 
coletadas. 
 
 
 
 
 54
 
 
FIGURA 3.5. Mapas de tendência de graus 1 à 5 referentes às cotas topográficas da 
“Superfície Sul Americana”. 
 
Bolivia
Paraguai
Ponta Porã
Paranavaí
Londrina
Pres. Prudente
Araçatuba
Marília
S. J. Do R. Preto
Barretos
R. Preto
Campinas
Sorocaba São Paulo
Guaratinguetá
300 700
700
1100
400 600 800 1000 1200 1400 1600
7400
7600
7800
 
Figura 3.6. Configuração da “Superfície Sul Americana” suavizada pela análise de 
tendência de grau 6. 
 
 O outro exemplo de aplicação da análise de superfície de tendência foi 
verificar o impacto da emissão de um efluente no Rio Paraíba do Sul, nas 
 55
cercanias de Pindamonhangaba (SP), utilizando como variável a distribuição 
espacial de gêneros do plâncton (Matriz de dados 3.4.). A área estudada, com 
2.900 m de comprimento por 100 m de largura, corresponde à fase meandrante 
do rio, porem retificado no trecho estudado. Foram coletados 90 pontos 
distribuídos, em malha regular, com intervalos ao longo da coordenada “X”, 
paralela ao leito do rio, de 100 m e ao longo da coordenada “Y”, perpendicular ao 
canal, com intervalos de 50 m a partir da margem direita (0 m), localizando-se o 
ponto 50 na região central e o ponto 100 na margem esquerda. O efluente entra 
no receptor a 1.100 m a jusante do ponto zero. 
A superfície de tendência de primeiro grau mostrou uma tendência de 
aumento do número de gêneros da margem direita para a esquerda. Esta 
configuração está ligada à entrada do efluente, que fica na margem direita, como 
mostrado na Figura 3.7. O mapa de resíduos correspondente a essa superfície 
indica com clareza a distribuição espacial do número de gêneros antes da entrada 
do efluente e, principalmente, depois delimitando a pluma resultante dentro da 
malha de estudo e caracterizada por valores negativos (Figura 3.8.). 
 
 
FIGURA 3.7. Superfície de tendência de grau 1 mostrando a distribuição do numero de 
gêneros do plâncton diminuindo para a margem direita. Estão assinalados também os 
locais de coleta (•). 
 
 
FIGURA 3.8. Mapa de resíduos da superfície de 1o. grau. A região com valores positivos 
indica valores para o numero de gêneros do plâncton acima da media regional, 
representada pela curva 0, e valores negativos valores abaixo dessa média. 
 56
 
 O controle de agentes poluidores, pelos órgãos competentes,é feito, 
geralmente, em termos pontuais e apenas na entrada dos efluentes, não cobrindo 
a pluma toda do contaminante. Como se nota por este resultado, para a 
avaliação do impacto causado em um corpo de água receptor, torna-se 
necessário, porém, o uso de técnicas de análise espacial.
 57
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
AGTERBERG, F.P. (1984) - Trend Surface Analysis: in "Spatial Statistics and Models", 
pp.147-171. D. Reidel Publ. Co. 
 
BERNARDI, J. V. E.; FOWLER, H. G. & LANDIM, P. M. B. (2001) - Um estudo de impacto 
ambiental utilizando análises estatísticas espacial e multivariada: Holos Environment, 
1(2):162-172 
 
BROWER, J.C. & MERRIAM, D.F. (1990). Geological map analysis and comparison of 
adjacent multivariate algorithms. Geol Survey Canada Paper 89-9, p. 123-134.Thematic 
map analysis using multiple regression: Math. Geology, v. 33(3), p. 353-368 
 
BROWER, J.C. & MERRIAM, D.F. (1992). A simple method for comparison of adjacent 
points on thematic maps, in Kurzl, H. and Merriam, D.F., ed. Use microcomputers in 
geology. Plenum Press, New York, p. 227-240. 
 
BROWER, J.C. & MERRIAM, D.F. (2001). Thematic map analysis using multiple regression: 
Math. Geology, v. 33(3), p. 353-368 
 
CLARK, I. (1977) - SNARK: A Four-Dimensional Trend-Surface Computer Program: 
Computers & Geosciences, 3:283-308 
 
DAVIS, J.C (1986) - Statistics and Data Analysis in Geology: 2nd ed., John Wiley and 
Sons. 
 
DAWSON, K. R. & WHITTEN, E. H. T. (1962) – The quantitative mineralogical composition 
and variation of the Lacorne, La Motte, and Preissac granitic complex, Quebec, Canada: 
Jour. Petrology, 3(1):1-37 
 
FOX, W.T. (1967) - FORTRAN IV Program for Vector Trend Analysis of Directional Data: 
Kansas Geol. Survey, Computer Contr., n. 11. 
 
GRANT, F. (1957) – A problem in the analysis of geophysical data: Geophysics, 22:309-
344 
 
HAINING, R. (1987) - Trend-Surface Models with Regional and Local Scales of Variation 
with an Application to Aerial Survey Data: Technometrics, 29:461-469. 
 
HARBAUGH, J.W. (1964) - A Computer Method for Four-Variable Trend Analysis 
Illustrated by a Study of Oil-gravity Variations in Southeastern Kansas: Kansas Geological 
Survey, Bull. 171. 
 
HARBAUGH, J.W. & MERRIAM, D.F. (1968) - Computer Applications in Stratigraphic 
Analysis: John Wiley and Sons. 
 
HERZFELD, H.C. & SONDERGARD, M.A., (1988) - MAPCOMP - A FORTRAN program for 
weighted thematic map comparison: Computers & Geosciences, v.14, no.5, p.699-713. 
 
 58
HERZFELD, H.C. & MERRIAM, D.F. (1991). A map comparison technique utilizing weighted 
input parameters, in GAAL G., and MERRIAM, D.F. Eds. Computer applications in resource 
estimations. Pergamon Press, Oxford, p. 43-52. 
 
IDRISI 32 (2001) – Clark Labs, Clark University, MA, USA. 
 
 KING, L.C. (1956) - A Geomorfologia do Brasil Oriental: Rev. Bras. Geografia, 18:147-
265. 
 
KRUMBEIN, W.C. (1956) – Regional and local components in facies maps: Bull. A. Assoc. 
Petrol. Geologists, 40:2163-2194. 
 
KRUMBEIN, W.C. (1959) - Trend Surface Analysis of Contour-Type Maps with Irregular 
Control-Point Spacing: Jour.Geophys.Res., 64:823-834. 
 
KRUMBEIN, W.C. & GRAYBILL, F.A. (1965) - An introduction to Statistical Model in 
Geology: McGraw Hill Book. 
 
LANDIM, P.M.B. (2003) – Análise estatística de dados geológicos: 2ª. Edição, Editora 
UNESP 
 
LEITE, C.B.B. & LANDIM, P.M.B. (2003) –Relação entre mapas temáticos por meio da 
Análise de Regressão Múltipla. Solos e Rochas – Revista Latino-americana de Geotecnia, 
26(3):195-203 
 
LOURENÇO, R. W. & LANDIM, P.M.B. (2004) - Análise de regressão múltipla espacial. 
UNESP/Rio Claro, IGCE, DGA, Lab. Geomatemática,Texto Didático 13, 34 pp. Disponível 
em <http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.html 
 
OLDHAM, C.W.G. & SUTHERLAND, D.B. (1955) - Orthogonal polynomials: their use in 
estimating the regional effect: Geophysics, 20:295-306 
 
PEIKERT,E.W.(1963) - IBM/709 Program for Least-Squares Analysis of Three Dimensional 
Geological and Geophysical Observations: Tech.Rept. n.4, ONR Task n. 389-135, 
Northwestern University 
 
PFLUG, R. (1976) - Trend-Surface Analysis and Graphic Representation Using a 2-K Disk 
Computer: Computers & Geosciences, 1:331-334 
 
SAMPSON, R. & DAVIS, J.C. (1967) - Three-Dimensional Response Surface Program in 
FORTRAN-II for the IBM/1620 Computer: Kansas Geol. Survey, Computer Contr., n. 10 
 
SOARES, P.C. & LANDIM, P.M.B. (1976) - Depósitos Cenozóicos na Região centro-sul do 
Brasil : Not. Geomorfológica, 16 (31): 17-39. 
 
WATSON, G.S. (1971) – Trend-surface analysis: Journ. Int’l. Assoc. Mathematical 
Geology, 3:215-226 
 
WHITTEN, E.H. T. (1959) – Compositional trends in a granite: modal variation and ghost 
stratigraphy in part of the Donegal granite, Eire: Jour. Geophys. Res. 64:835-849. 
 59
4. ANÁLISE DE AGRUPAMENTOS 
 
4.1. Introdução 
 Análise de agrupamentos (cluster analysis) é um termo usado para 
descrever diversas técnicas numéricas cujo propósito fundamental é classificar 
valores de uma matriz de dados, sob estudo, em grupos discretos. A técnica 
classificatória multivariada da análise de agrupamentos pode ser utilizada quando 
se deseja explorar as similaridades entre indivíduos (modo Q) ou entre variáveis 
(modo R) definindo-os em grupos, considerando simultaneamente, no primeiro 
caso, todas as variáveis medidas em cada indivíduo e, no segundo, todos os 
indivíduos nos quais foram feitas as mesmas mensurações. Segundo esse método, 
desenvolvido, inicialmente em Zoologia por taxonomistas numéricos, procura-se 
por agrupamentos homogêneos de itens representados por pontos num espaço n-
dimensional em um número conveniente de grupos relacionando-os através de 
coeficientes de similaridades ou de correspondências. 
 
4.2. Métodos de classificação 
 Segundo DAVIS (1986) os diversos métodos para a análise de agrupamentos 
podem ser enquadrados em quatro tipos gerais: 
a) Métodos de partição: procura classificar regiões no espaço, definido em função 
de variáveis, que sejam densamente ocupados em termos de observações 
daqueles com ocupação mais esparsa. 
b) Métodos com origem arbitrária: procura classificar as observações segundo “k” 
conjuntos previamente definidos; neste caso “k” pontos arbitrários servirão 
como centróides iniciais e as observações irão se agrupando, por similaridade, 
em torno desses centróides para formar agrupamentos. 
c) Métodos por similaridade mútua: procura agrupar observações que tenham 
uma similaridade comum com outras observações; inicialmente uma matriz n x 
n de similaridades entre todos os pares da observação é calculada; em seguida, 
as similaridades entre colunas são repetidamente recalculadas; colunas 
representando membros de um único agrupamento tenderão apresentar 
intercorrelações próximas a 1 e valores menores com não membros. 
 60
d) Métodos por agrupamentos hierárquicos: são as técnicas mais comumente 
usadas em Geologia; a partir da matriz inicial de dados obtém-se uma matriz 
simétrica de similaridades e incia-se a detecção de pares de casos com a mais 
alta similaridade, ou a mais baixa distância; para essa combinação, segundo 
níveis hierárquicos de similaridade, escolhe-se entre os diversos procedimentos 
aglomerativo de tal modo que cada ciclo de agrupamento obedeça a uma 
ordem sucessiva no sentido do decréscimo de similaridade. 
 
4.2.1. Metodologia para agrupamentos hierárquicos 
 Partindo de uma matriz inicial de dados [m*n], onde "m" linhas 
representam casos ou espécimes ou amostras, no sentido geológico, e as "n" 
colunas são as variáveis, após terem sido feitas as comparações, usando um 
coeficiente de similaridade qualquer entre linhas, obtém-se uma matriz inicial de 
coeficiente de similaridade de tamanho [m*m], queserá utilizada no modo Q. Se 
a comparação for entre colunas, obter-se-á uma matriz inicial de coeficientes de 
similaridade inicial [n*n], que será utilizada no modo R. Embora diversas medidas 
de similaridade tenham sido propostas, somente duas são geralmente usadas: o 
coeficiente de correlação de Pearson e a medida de distância euclidiana. Se as 
variáveis forem padronizadas a partir da matriz inicial de dados, dando o mesmo 
peso a cada uma delas, qualquer um desses coeficientes poderá ser diretamente 
transformado no outro. 
 Na matriz inicial de coeficientes de similaridade estes representam o grau 
de semelhança entre pares de objetos e os mesmos deverão ser arranjados de 
acordo com os respectivos graus de similaridade de modo a ficarem agrupados 
segundo uma disposição hierárquica. Os resultados quando organizados em 
gráfico, do tipo dendrograma, mostrarão as relações entre os grupos encontrados. 
Existem várias técnicas de agrupamentos, e os métodos mais comumente 
usados são: “ligação simples” (single linkage method ou nearest neighbor); 
“ligação completa” (complete linkage method ou farthest neighbor); 
”agrupamento pareado proporcionalmente ponderado" (weighted pair-group 
method, WPGM); “agrupamento pareado igualmente ponderado” (unweighted 
 61
pair-group method”, UPGM); “variância mínima” (minimum variance clustering ou 
Ward’s method of sum-of-squares method). 
 No método de ligação simples os grupos iniciais são determinados pelos 
mais altos coeficientes de associação mútua. Para admissão de novos membros 
aos grupos é suficiente encontrar quais os que apresentam os maiores 
coeficientes de associação com um dos elementos de determinado grupo. A 
ligação será estabelecida a esse nível de associação com todo o grupo. No método 
de ligação completa os grupos são determinados pelos mais baixos coeficientes de 
associação mútua. Ambos são métodos muito simples, mas também os que 
apresentam os resultados mais distorcidos. 
 No método de agrupamento pareado procuram-se também inicialmente 
pelos mais altos coeficientes de associação mútua. Em seguida esses pares de 
casos fornecerão valores médios originando um novo elemento singular. No 
"método de agrupamento pareado igualmente ponderado" para o cálculo dos 
valores médios atribui-se sempre o mesmo peso aos dois elementos que estão 
sendo integrados. No método de agrupamento pareado proporcionalmente 
ponderado para cada agrupamento é dado um peso proporcional ao número de 
objetos que o constitui, de tal modo que a incorporação e um novo elemento a 
um grupo baseia-se no nível médio de similaridade desse elemento com todos os 
que fazem parte do grupo. Tanto num caso como no outro, alternativamente, em 
vez de obter valores médios entre os casos podem ser utilizados centroides e 
verificados as distâncias entre os mesmos. 
 No método de agrupamento pela variância mínima o enfoque é sobre a 
variabilidade que existe dentro de cada grupo e os agrupamentos são efetuados 
ao se determinar que pares de casos, quando tomados em conjunto, apresentam 
o menor acréscimo de variabilidade. 
 No método de ligações singulares as ligações tendem a ocorrer a níveis 
mais altos do que nos métodos de agrupamento pareado. No método de 
agrupamento pareado igualmente ponderado como cada membro adicionado ao 
agrupamento tem sempre o mesmo peso, isso traz como efeito que os últimos 
elementos a se integrarem tem maior influência que os primeiros. No caso do 
método de agrupamento pareado proporcionalmente ponderado, tal não acontece. 
 62
 Aplicação desta metodologia tem mostrado que os métodos pareados 
igualmente ponderados são superiores aos demais e que o coeficiente distância 
usualmente agrupa melhor espécimes ou amostras, enquanto o coeficiente de 
correlação é recomendado para o agrupamento entre variáveis. Essas afirmações 
são baseadas na correlação cofenética que ao apresentar valores abaixo de 0,8 
indicam distorções significativas no dendrograma obtido. 
 O método hierárquico tem sido preferido em relação ao que utiliza 
centróides. Este porém mostra-se, em termos computacionais, mais útil quando se 
tem que manipular grandes matrizes de dados, por exemplo com mais de 1.000 
casos. Como “k” geralmente é pequeno, da ordem de 5, por exemplo, é mais 
rápido o manuseio de uma matriz de similaridade “k x n” do que uma com 
dimensões “n x n”. 
 
4.2.2. Dendrograma 
 A forma gráfica mais usada para representar o resultado final dos diversos 
agrupamentos é o dendrograma (Figura 4.1.). Nele estão dispostos linhas ligadas 
segundo os níveis de similaridade que agruparam pares de espécimes ou de 
variáveis. Como este gráfico é uma simplificação em duas dimensões de uma 
relação n-dimensional é inevitável que algumas distorções quanto à similaridade 
apareçam. A medida de tal distorção pode ser obtida por um coeficiente de 
correlação, dito "cofenético", entre os valores da matriz inicial de similaridade e 
aqueles derivados do dendrograma. 
 Visualmente isso pode ser também verificado por meio da construção de 
um sistema de eixos ortogonais. Nele os valores dos coeficientes de similaridade 
originais estarão na abcissa e os coeficientes de similaridade a partir do 
dendrograma em ordenada. Se ambas as matrizes forem idênticas os pontos 
cairão sobre uma linha reta que passa pela origem do sistema. Desvios dos pontos 
em relação a essa reta indicarão as distorções. Se situadas acima da reta indicarão 
coeficientes de similaridade apontados pelo dendrograma mais altos que os 
originais e vice-versa. 
 
 
 63
DENDROGRAMA
9
8
11
12
2
1
6
5
3
10
7
4
16
15
28
14
13
29
26
27
30
25
24
23
22
21
20
19
18
17
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
Coeficiente de Dimilaridade
 
 
Figura 4.1. Exemplo de dendrograma 
 
A construção de um dendrograma pode ser esquematizada, de acordo com 
o exposto na Figura 4.2. Nessa Figura, inicialmente, os mais altos índices de 
correlação ocorrem entre as amostras D e E (0,66) e entre as amostras A e B 
(0,57) que irão constituir novos casos na matriz de correlações já pareadas. Nessa 
matriz os mais altos coeficientes de correlação ocorrem entre DE e F (0,41) e AB e 
C(0,29). Finalmente a correlação final ocorre ao nível de –0,59 entre ABC e DEF. 
 
 64
 Figura 4.2. Esquema de construção de um dendrograma pelo método de 
agrupamentos pareados igualmente ponderados (adaptado de DAVIS, 1986) 
 
4.2.3. Coeficientes de Similaridade 
 Os coeficientes de similaridade mais usuais, obtidos num espaço 
multidimensional, podem ser subdivididos em três categorias: 
a) os que medem a distância, ou a separação angular, entre pares de pontos; 
b) os que medem a correlação entre pares de valores; 
c) os que medem a associação entre pares de caracteres qualitativos. 
Existem diversas publicações que discutem esses diversos tipos de medidas 
como, por exemplo, SNEATH & SOKAL (1973), EVERITT (1980), PRENTICE (1980), 
GORDON (1981), GREIG-SMITH (1983), PIELOU (1984), além do resumo, sobre 23 
coeficientes de similaridades, constante no pacote MVSP, versão 3.1. 
 
4.2.3.1. Medida de distância 
 Expressa o grau de similaridade como distância em um espaço multi-
dimensional. Quanto maior a distância, menor o grau de similaridade e vice-versa. 
A distância D entre dois pontos, cuja localização é especificada num sistema de 
coordenadas cartesianas, é fornecida, segundo o teorema de Pitágoras, por: 
 221
2
212.1 )yy()xx(D −+−= 
Onde x1, x2, y1 e y2 são valores das coordenadas dos dois pontos. 
 Para a distância entre k pontos, num espaço n-dimensional, a fórmula 
generalizada é: 
 n/)xx(D
n
1k2
jkikij ∑
=
−= 
 Tendo todas as variáveis o mesmo peso, conseqüentemente a função 
distância será limitada a valores entre 0 (maior similaridade) e 1.0 (menor 
similaridade). 
 Pode, também, ser utilizado o coeficiente cosseno-teta, que é uma medida 
de proporcionalidade expressando o grau de similaridade em termos de separação 
angular: 
 65
 ( ) ,xx xxCos 2/12iq2ip iqippq ∑∑
∑=θ p e q = valores comparados 
 Quando a similaridade é completa, a separação angular é 0º e cos θ = 1.0; 
quando não ocorre similaridade nenhuma, a separação angular é 90° e o cos θ = 
0.0 
 
4.2.3.2. Coeficientes de Correlação 
 Medem o grau de associação entre valores pela representação de pontos 
num sistema de coordenadas e suas respectivas posições em relação a uma linha 
reta. Podem tanto ser considerado o coeficiente de correlação paramétrico 
(Pearson) como o não paramétrico (Spearman). 
• coeficiente de correlação paramétrico (Pearson) 
 O coeficiente de correlação da amostra r (ou ρ*) o qual é uma estimativa 
do coeficiente de correlação populacional ρ, é dado por: 
 
2/1]
1n
2)yiy(.
1n
2)xix([
1n
)yiy()xix(
2/1)]yvar()x[var(
)y,xcov(r
−
−Σ
−
−Σ
−
−−Σ
== 
 
 Onde n é o número de pares de valores para xi e yi , variáveis com 
distribuição normal, e x e y são os valores médios para xi e yi . 
 Utilizando o método dos mínimos quadrados para o cálculo do coeficiente 
de correlação, a seguinte fórmula simplificada é usada: 
 
SQY.SQX
SPXYr = 
 SPXY = Σxy -(Σx. Σy) / n 
 SQX = Σx2 - (Σx)2 / n 
 SQY = Σy2 - (Σy)2 / n 
 Valores de r , os quais são medidas adimensionais, podem variar entre -1 à 
+1, expressando desde comportamento totalmente inverso até comportamento 
 66
totalmente direto entre as duas variáveis. Quando r=0 significa que não há 
relação linear entre x e y. 
• Coeficiente de correlação não-paramétrico de Spearman 
 É um coeficiente de correlação não paramétrico entre duas variáveis, xi e yi 
, em que para o seu cálculo inicialmente xi e yi são ordenados segundo os seus 
valores de posto (x i, e y i, ) e em seguida encontrados os valores i,yi,xid −= . 
 Para que os valores negativos de di não cancelem os valores positivos de di 
é determinado para cada caso 2id . Finalmente encontra-se a somatória dos 
2
id . 
 O coeficiente de correlação será fornecido pela fórmula: 
 
n3n
2
id61sr −
Σ−= n = número de pares de valores xi, , yi, 
 Caso ocorram muitos casos com valores de posto empatados usa-se a 
fórmula: 
 
,
eyΣ
,
exΣ2
2
idΣ
,
eyΣ
,
exΣ
sr
−+= 
onde 
 xTΣ12
n3n,
exΣ −
−= ; yTΣ12
n3n,
eyΣ −
−= 
 
12
t3tT −= ; T = número de observações repetidas em um determinado 
posto. 
 Como um exemplo numérico seja uma matriz, de dados, fictícios, composta 
por 7 amostras tendo sido obtidas em cada uma delas 6 variáveis (Tabela 4.1.). 
Tabela 4.1. Tabela com 7 casos e 6 variáveis 
 V01 V02 V03 V04 V05 V06 
Am01 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 
Am02 5.0 4.0 1.0 8.0 7.0 9.0 
Am03 6.0 5.0 4.0 2.0 7.0 9.0 
Am04 6.0 4.0 2.0 1.0 3.0 7.0 
Am05 9.0 2.0 1.0 4.0 7.0 8.0 
 67
Am06 9.0 6.0 3.0 4.0 5.0 6.0 
Am07 1.0 5.0 9.0 7.0 5.0 3.0 
 
 Utilizando a medida “distância euclidiana”, obtém-se a matriz inicial de 
similaridades exibida na Tabela 4.2. 
 Tabela 4.2. 
 Am01 Am02 Am03 Am04 Am05 Am06 Am07 
Am01 0.0 7.3 7.2 6.6 8.7 8.9 7.9 
Am02 7.3 0.0 6.9 8.4 6.1 7.3 11.0 
Am03 7.2 6.9 0.0 5.1 5.7 5.3 10.7 
Am04 6.6 8.4 5.1 0.0 6.3 5.3 11.4 
Am05 8.7 6.1 5.7 6.3 0.0 5.3 13.2 
Am06 8.9 7.3 5.3 5.3 5.3 0.0 10.9 
Am07 7.9 11.0 10.7 11.4 13.2 10.9 0.0 
 
 Na Figura 4.3. estão os dendrogramas resultantes da aplicação de 
cinco métodos: ligação simples, ligação completa, agrupamento pareado 
proporcionalmente ponderado, agrupamento pareado igualmente ponderado e 
variância mínima. 
 Verificar que os dendrogramas resultantes indicam praticamente os 
mesmos resultados, em que pese as diferenças mostradas entre os gráficos com 
relação aos níveis para agrupamentos. Não existindo testes robustos que possam 
indicar qual deles é o melhor dendrograma obtido, ou seja, qual o que representa 
melhor a relação entre casos, a escolha torna-se subjetiva. 
 
Dendrograma: ligação simples
Am04
Am03
Am06
Am05
Am02
Am01
Am07
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 
 
 68
Dendrograma: ligação completa
Am05
Am02
Am04
Am03
Am06
Am07
Am01
-1 1 3 5 7 9 11 13
 
 
Dendrograma: agrupamento pareado proporcionalmente ponderado
Am04
Am03
Am06
Am05
Am02
Am01
Am07
-1 1 3 5 7 9 11
 
 
Dendrograma: agrupamento pareado igualmente ponderado
Am04
Am03
Am06
Am05
Am02
Am01
Am07
-1 1 3 5 7 9 11
 
 
Dendrograma: variância mínima (Ward)
Am02
Am01
Am06
Am05
Am04
Am03
Am07
-8 2 12 22 32 42 52 62 72 82
 
 
Figura 4.3. Dendrogramas resultantes dos métodos ligação simples, ligação completa, 
agrupamento pareado proporcionalmente ponderado, agrupamento pareado igualmente 
ponderado e variância mínima. 
 
4.2.3.3. Coeficientes binários 
 Expressam similaridades em termos de equiparações (matches) quando são 
utilizados dados qualitativos. Neste caso comparações são feitas entre 
observações reduzidas a duas categorias do tipo sim-não, presente-ausente etc. 
Se verificado em 4 perfís estratigráficos a presença ou ausência de 4 tipos de 
fósseis a seguinte matriz de dados binários pode ser construída: 
 
 69
 
 
 
Se tomados dois objetos (A e B) e um mesmo atributo estiver presente em 
ambos, tal situação será representada por "a"; se presente em A, porém ausente 
em B, por "c"; se presente em B, porém ausente em A , por "b" ; se ausentes em 
ambos, por “d’. 
 
 Presente Ausente 
Presente a b 
Ausente c d 
 
Os coeficientes binários, podem ser agrupados em: 
a) coeficientes de similaridade: expressam a proporção de atributos que dois 
objetos possuem mutuamente quando comparados com o número total de 
atributos possuídos por um dos objetos ou pelo outro, ou por ambos; 
 Jaccard: )cba/(a ++ 
 Otsuka : )ca()ba(/a ++ 
 Fager : })ca(),ba{min(2/1)ca()ba(/a ++−++ 
 
b) coeficientes de associação: expressam a probabilidade de acontecimento, por 
acaso, de um certo número de atributos comuns a dois objetos; 
 Yule : )bcad/()bcad( +− 
 Phi : )dc()db()ca()ba(/)bcad( ++++− 
 70
c) coeficientes de equiparação: expressam a similaridade entre dois objetos em 
termos de equiparações positivas, isto é, presença de um mesmo atributo em 
ambos os objetos, em relação a equiparações negativas, isto é, ausência de um 
mesmo atributo em ambos os objetos, mais equiparações desencontradas; 
 Simples : n/)da( + 
 Hamann : n/)cbda( −−+ 
 Sackin : a/n 
d) coeficientes de distâncias: expressam o distanciamento entre dois objetos em 
um espaço multi-dimensional; 
 Sokal : n/)cb( + 
Novamente, como exemplo numérico, seja uma matriz com dados binários 
em que o valor “1” significa presente e o valor “0” ausente (Tabela 4.3.). 
Tabela 4.3. Matriz com dados binários 
 V01 V02 V03 V04 V05 V06 
Am01 1 1 0 0 0 1 
Am02 0 0 1 1 0 0 
Am03 0 1 1 0 0 0 
Am04 1 1 1 1 1 0 
Am05 0 0 1 1 1 1 
Am06 1 1 0 0 0 1 
Am07 0 0 1 1 1 1 
 
Nessa matriz as amostras 01 e 06 são idênticas, o mesmo acontecendo 
com as amostras 05 e 07. 
A matriz inicial de similaridades, após calculados os coeficientes de Jaccard, 
acha-se na Tabela 4.4. 
Tabela 4.4. Coeficientes de Jaccard 
 Am01 Am02 Am03 Am04 Am05 Am06 Am07Am01 1 0.000 0.250 0.333 0.167 1.000 0.167 
Am02 0.000 1 0.333 0.400 0.500 0.000 0.500 
Am03 0.250 0.333 1 0.400 0.200 0.250 0.200 
Am04 0.333 0.400 0.400 1 0.500 0.333 0.500 
Am05 0.167 0.500 0.200 0.500 1 0.167 1.000 
Am06 1.000 0.000 0.250 0.333 0.167 1 0.167 
Am07 0.167 0.500 0.200 0.500 1.000 0.167 1 
 
 71
O dendrograma resultante esta exposto na Figura 4.4. 
Am07
Am05
Am02
Am04
Am03
Am06
Am01
0.180.280.380.480.580.680.780.880.981.08
Jaccard/UPGA
 
Figura 4.4. Dendrograma resultante da aplicação do coeficiente binário de Jaccard pelo 
método de ligação simples. Notar as relações entre amostras 01 e 06 e entre amostras 05 e 07, 
todas ao nível 1.0 
 
4.3. Considerações finais 
 A aplicação desta análise é controversa entre os pesquisadores, pois pouco 
se sabe a respeito dos pressupostos estatísticos dos seus vários métodos. Quando 
da análise introdutória de dados tornam-se, porém, bastante eficientes para 
auxiliar na formulação de hipóteses a respeito da homogeneidade ou não dessa 
matriz de dados. 
 Existindo à disposição diversas técnicas para a análise de agrupamentos, 
alem de diversos coeficientes de similaridade recomendados, e não havendo 
testes estatísticos válidos para os resultados obtidos, o pesquisador geralmente 
fica em dúvida sobre qual atitude tomar. Entendendo que esta análise sempre 
deve ser aplicada com caráter introdutório, e nesse sentido tem o seu mérito, a 
consideração de ordem pragmática a ser adotada é que o melhor método é aquele 
que fornece os resultados mais coerentes com a realidade geológica em estudo. 
Eventualmente, testes, como o de Hotteling ou a análise generalizada de 
 72
variâncias (análise de variância multivariada), podem ser posteriormente aplicados 
aos agrupamentos encontrados para a verificação da sua validade estatística. 
 
4.4. Exemplos 
Como primeiro exemplo são utilizados os dados obtidos por ARAÚJO (1976), 
e já analisados por LANDIM & PERINOTTO (1981), para exemplares de 
mesossaurídeos coletados em diversas localidades ao longo da faixa de 
afloramentos da Formação Irati na borda leste da Bacia do Paraná. Foram 
consideradas três espécies: Stereosternum tumidum (COPE, 1886), Mesosaurus 
brasiliensis (MACGREGOR, 1908) e Brazilosaurus sampauloensis (SIKAMA & OAKI, 
1966). Os valores estão expostos na Matriz de dados 4.1. 
Para a análise de agrupamentos, usando o modo Q com o coeficiente 
“distância euclidiana” e método de Ward, foi obtido o dendrograma exibido na 
Figura 4.5. 
S28
S23
S21
S16
S19
M01
S26
S24
S27
M15
M09
S22
S17
M13
S20
S18
S25
B32
B29
B31
B30
M06
M05
M11
M14
M03
M02
M07
M12
M08
M04
M10
-20 30 80 130 180 230 280
Distância euclidiana/Ward
 
 
Figura 4.5. Dendrograma 
 
Verifica-se que os exemplares M01, M09, M13 e M15, tidos como 
Mesosaurus, estão localizados dentro de grupo do Stereosternum. Além disso os 
 73
quatro exemplares B29, B32, B31 e B30, todos do genero Brazilosaurus, formam 
um grupo integrado ao do Stereosternum. Tal constatação merece uma reflexão 
sobre a validade ou não de atribuir os exemplares M01, M09, M13 e M15 ao 
gênero Mesosaurus. Alerta também para a relação próxima entre Brazilosaurus e 
Stereosternum. Seriam gêneros distintos ou não? 
Neste segundo exemplo, com enfoque espacial, foram utilizados dados de 
RHODES (1969) ao estudar o granito “Mount Shoobridge” no norte da Austrália. 
(Figura 4.6.). Nesse trabalho o Autor conseguiu mapear o corpo subdividindo-o 
em três zonas petrográficas: granodiorito marginal, granodiorito porfirítico e 
adamelito leucocrático na região central. Foram efetuadas análises químicas tanto 
para óxidos e como para elementos traços (Matriz de dados 4.2.) 
 
 
21
22
12 34
31
25
28
26
9
2
29
33
35
11
32
30
0 400 800 m
N
Pontos amostrados
 
Figura 4.6. Localização das amostras do granito “Mount Shoobridge”, Austrália (RHODES, 1969). 
 
 
 
 
 Como na matriz original de dados há uma mistura de óxidos com elementos 
traços, com escalas diferentes de valores, antes da aplicação da análise de 
agrupamentos, foi feita uma padronização, do tipo “z” das variáveis (Tabela 4.5.). 
 
 
 74
Tabela 4.5. 
ID SiO2 TiO2 Al2O3 Fe2O3 MnO MgO CaO Na2O K2O P2O5 Rb Sr Y Th U Zr Nb Pb 
35 1,9 -2,4 -2,2 -2 -1,8 -1,7 -1,8 1,3 0,1 -2,1 2,2 -2,2 -1,4 -1,8 2,4 -2,5 0,5 3,7 
11 1,6 -1,6 -1,4 -1,5 -1,5 -1,5 -1,1 1,2 -0,9 -1,7 0,9 -1,6 -2 0,1 0,7 -0,9 0,1 -0,3
33 1,6 -1,5 -1,3 -1,5 -1,5 -1,5 -1,4 1,2 -0,3 -1,7 1,8 -1,7 -1,8 0,1 0,1 -1 1,1 -0,3
34 0,5 -0,4 -0,8 -0,6 -0,6 -0,5 -0,8 0,9 -0,2 -0,6 0 -0,6 -0,4 1,3 0,9 0,6 0,9 -0,3
12 0,4 0 0,4 -0,3 -0,1 -0,3 -0,5 0,5 0,4 0 0,3 0 -0,1 0,9 0,3 0,6 1,5 -0,4
31 0,3 -0,1 -0,3 -0,3 -0,3 -0,5 -0,5 0,4 -2,9 -0,1 0,6 0 -0,1 1,6 1,1 1 0,7 -0,3
22 0,3 -0,1 0 -0,3 -0,3 -0,3 -0,7 0,5 0,1 0 -1,3 -0,1 -0,1 1,3 0,4 0,9 1,1 -0,4
25 -0,3 0,6 0,5 0,2 0,2 -0,1 0,2 0,6 0,9 0,7 0,1 0,6 0,1 0,6 0 1,1 0,7 -0,2
28 -0,4 0,7 1,6 0,3 -0,1 -0,1 0,5 0,1 0,1 0,6 -0,2 0,8 0,3 -0,3 0,1 1,2 0,1 -0,4
21 -0,3 0,6 0,4 0,3 0,2 0,4 0,2 0,3 0,1 0,7 -0,3 0,6 0,3 0 -0,6 0,3 0 -0,2
30 -1,1 0,7 0,4 1 1,4 0,8 1,1 -1,1 1,2 0,6 -1,1 0,3 0,7 -1 -1,4 -0,1 -1,7 0,2 
29 -0,9 0,7 0,8 1 1,1 0,8 0,9 -0,8 0,2 0,4 -0,4 0,6 0,9 -0,7 -1,2 0,2 -0,9 -0,3
9 -0,8 0,5 0,5 0,8 0,6 0,7 0,5 -1,4 1,4 0,7 -0,5 0,7 0,9 0 -1 -0,1 -0,5 -0,2
26 -0,9 0,7 1,2 0,9 0,9 1,1 0,8 -1,4 0,8 0,7 -0,6 1,1 0,9 -0,2 -0,4 -0,2 -1,4 -0,1
2 -0,8 0,7 0,3 0,9 0,9 1 1,2 -1,3 -0,7 0,7 -0,1 0,6 1,3 -0,3 -0,3 0 -1,1 -0,2
32 -1,3 0,9 0,1 1,2 1,1 1,6 1,5 -1,1 -0,4 1,2 -1,3 0,8 0,7 -1,7 -1,2 -1,1 -1,1 -0,3
 
Aplicando a análise de agrupamentos aos dados padronizados, o resultado 
mostra três conjuntos (Figura 4.6). 
22
12
34
31
21
25
28
26
9
30
2
29
32
33
11
35
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Distância euclidiana/Ward
 
 
Figura 4.6. 
 
A distribuição espacial, de acordo com a análise de agrupamentos acha-se 
na Figura 4.7., a qual esta de acordo com os resultados obtidos por RHODES (1969) 
 
 
 75
 
Figura 4.7. Comparação entre o resultado obtido por Rhodes (1969) e o coincidente obtido pela 
análise de agrupamentos. 
 
 
 
 
 
 
 76
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ARAÚJO, D.C. (1976) - Taxonomia e Relações dos Progranossauria da Bacia do Paraná: 
An. Acad. Brasil. Ciênc., 48 (1):91-116 
DAVIS, J.C (1986) - Statistics and Data Analysis in Geology: 2nd. ed., John Wiley and Sons, 
Inc. 
EVERITT, B. (1980) – Cluster Analysis: 2nd ed., Gower Publishing Co. 
 
 GORDON, A. D. (1981) – Classification: Chapman and Hall 
 
GREIGH-SMITH, P. (1983) – Quantitative Plant Ecology: University of California Press, 
Berkeley 
 
LANDIM, P. M. B. & PERINOTTO, J A J. (1981) - Taxonomia numérica dos mesossaurídeos 
da Formação Irati (Permiano da Bacia do Paraná). In: Simpósio Regional de Geologia, v. 
2. p. 201-212. 
 
MVPS/Plus (1998) – Multi-Variate Statistical Pacckage, version 3.1.: Kovach Computing 
Services 
 
PIELOU, E.C. (1984) – The Interpretation of Ecological Data: Wiley-Interscience 
 
PRENTICE, I.C. (1980) – Multidimensional scaling as a research tool in Quaternary 
palybology: A review of theory and methods: Review of Paleobotany & Palynology, 
31:71-104 
 
RHODES, J.M. (1969) - The application of cluster and discriminatory analysis in mapping 
granite intrusions: Lithos, 2:223-237. 
 
SNEATH, D. H. & SOKAL, R. R. (1973) – Numerical Taxonomy: W. H. Freeman & Co. 
 
 77
5. ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS 
 
 É o mais antigo método de ordenação, o mais conhecido e com mais 
exemplos de aplicação em Geociências. Trata-se de uma técnica paraencontrar 
componentes lineares de variáveis correlacionadas por meio do cálculo dos 
autovalores e correspondentes autovetores de uma matriz de variâncias-
covariâncias ou de uma matriz de coeficientes de correlação entre variáveis. 
 Tradicionalmente o coeficiente de correlação é mais usado, em vez de 
covariância, para a matriz inicial de similaridades. Isso porque o coeficiente de 
correlação elimina o efeito de escala: uma variável que oscile entre 0 e 1 não pesa 
mais do que uma variável variando entre 0 e 1000. No entanto sendo as variáveis 
obtidas em escalas idênticas ou quando se quer ressaltar a variância das 
variáveis, que influenciam nas cargas fatoriais, a covariância é utilizada. Quando 
as variáveis, devido a escalas diferentes de mensurações empregadas, não podem 
ser diretamente comparadas, torna-se necessário preliminarmente padronização, 
de modo que as variáveis transformadas passem a ter média zero e variância 
unitária, o que é conseguido pela transformação "z". Nesses casos, com variáveis 
padronizadas, a matriz de variâncias-covariâncias e a de coeficientes de correlação 
tornam-se idênticas. Como tal padronização acarreta uma forte influência na 
estrutura da matriz de variâncias-covariâncias e, conseqüentemente, nos 
resultados da análise, a sua utilização deve ser criteriosa levando sempre em 
conta a natureza dos dados em estudo e o enfoque que se pretende dar. 
 A análise das componentes principais não é sinônimo de análise fatorial ou 
análise de fatores e essa confusão terminológica deve ser evitada. A primeira 
análise consiste numa transformação linear de "n" variáveis originais, 
normalmente correlacionadas entre si, em "n" novas variáveis não 
correlacionadas. Essas novas variáveis são denominadas componentes principais, 
de tal modo que a primeira nova variável computada seja responsável pela maior 
variação possível existente no conjunto de dados, a segunda pela maior variação 
possível restante e assim por diante até que toda a variação do conjunto tenha 
sido explicada. Na análise de fatores supõe-se que as relações existentes dentro 
de um conjunto de "n" variáveis seja o reflexo das correlações de cada uma 
dessas variáveis com "p" fatores, mutuamente não correlacionáveis entre si, 
 78
sendo "p" menor que "n". O extremo cuidado que se deve ter é com relação à 
especificação do número e, principalmente, do significado dos "p" fatores que 
emergem a partir dessa análise. Ver a respeito JÖRESKOG, KLOVAN & REYMENT (1976) 
e REYMENT E JÖRESKOG (1996) 
 A análise das componentes principais é, portanto, uma técnica de 
transformação de variáveis. O método apresenta melhores resultados se, 
originalmente, já existe alguma correlação entre variáveis ou grupo de variáveis e 
se o número de variáveis é significativo. 
91,024,023,013,05v
31,018,021,04v
96,080,03v
84,02v
4v3v2v1v
 
 Neste exemplo com apenas 5 variáveis facilmente se verifica que existem 
dois grupos de variáveis, devido ao grau de correlação entre si, um grupo 
constituído pelas variáveis 1,2 e 3 e outro pelas variáveis 4 e 5. 
 Como dito, se cada variável medida pode ser considerada como um eixo de 
variabilidade, estando usualmente correlacionada com outras variáveis, esta 
análise transforma os dados de tal modo a descrever a mesma variabilidade total 
existente, com o mesmo número de eixos originais, porém não mais 
correlacionados entre si. A posição espacial dos pontos no espaço 
multidimensional permanece a mesma, mudando apenas, por rotação ortogonal, 
os eixos originais que passam a ser denomnados componentes principais (Figura 
5.1.). 
 79
 
Figura 5.1. Diagrama bivariado mostrando a distribuição dos pontos em relação às variáveis 
originais X1 e X2 e em relação às novas componentes, C1 e C2. A componente C1 representa a 
maior porcentagem da variabilidade total presente e C2, diposta ortogonalmente, a variabilidade 
restante. 
 A análise de componentes principais inicia-se a partir de uma matriz de m 
casos com n variáveis. 
mn2m1m
n22221
n11211
n21
xxxm
xxx2
xxx1
XXXcasos
L
MOMMM
L
L
L
 
 A primeira componente principal é definida como 
 Z1 = a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn, 
respeitada a condição de que 
 a211 + a212 + ... +a21n = 1. 
 Com essa restrição a variância de Z1 torna-se a maior possível. A segunda 
componente principal, Z2, é definida como 
 Z2 = a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn, 
tambem respeitada a condição de que 
 a221 + a222 + ... +a22n = 1, 
e também que Z1 e Z2 tenham correlação zero. 
 As componentes principais posteriores são definidas em continuação de 
modo idêntico, de tal maneira que se existem n variáveis, deverão existir no 
máximo n componentes principais. 
 80
 Os pesos ai, também conhecidos como carregamentos (loadings) são 
obtidos a partir de uma matriz de variâncias-covariâncias amostrais ou de 
correlações lineares amostrais. 








=
nn2n1n
n22221
121211
ccc
ccc
ccc
C
L
MOMM
L
L
 
 Cada elemento cij na diagonal de C é a variância de Xi, e os termos fora da 
diagonal são as covariâncias entre as variáveis Xi e Xj. 
 As variâncias das componentes principais são os autovalores da matriz C. 
Existem n desses autovalores, podendo alguns serem igual a zero, mas nenhum 
com valor negativo. 
 Assumindo que os autovalores estão ordenados como λ1≥ λ2≥... λi≥0, 
então λi corresponde à i-ésima componente principal 
 Zi = ai1X1 + ai2X2 + ... + ainXn. 
 Desse modo Var(Zi) = λi e as constantes ai1, ai2,...,ain, são os elementos do 
correspondente autovetor, escalonado de modo que 
 a2i1 + a2i2 + ... + a2in = 1. 
 Uma importante propriedade dos autovalores é que a sua soma é igual à 
soma dos elementos da diagonal da matriz C, ou seja, do seu traço 
 λ1 + λ2 + ... + λn = c11 + c22 + ... + cnn. 
 Sendo cij a variância de Xi e λi a variância de Zi, isto significa que a soma as 
variâncias das componentes principais é igual à soma das variâncias das variáveis 
originais. Em outras palavras, pode-se definir a variância total existente em um 
conjunto de dados multivariados pela soma das variâncias de cada uma das 
variáveis. Numa matriz de variâncias-covariâncias essas variâncias individuais 
constituem os elementos da diagonal principal. Basta somá-los, portanto, 
encontrando o traço da matriz para se obter a variabilidade total, e em seguida a 
contribuição de cada variável. A soma dos autovalores dessa matriz, igual também 
ao seu traço, representa também a variabilidade total da mesma e a contribuição 
de cada autovalor em termos de variabilidade pode ser determinada. Ao primeiro 
 81
corresponderá a maior variabilidade possível existente, ao segundo a maior 
variabilidade possível restante e assim por diante. 
 Na tabela 5.1. estão valores para as variáveis X1 e X2 que apresenta um 
coeficiente de correlação igual a -0,11. Esses valores foram ordenados em ordem 
crescente originando as novas variáveis X1* e X2* com coeficiente de correlação 
igual a 0,98. 
Tabela 5.1. Valores para as variáveis X1, X2, X1* e X2* 
ID X1 X2 X1* X2*
1 36 42 10 3
2 92 63 11 7
3 73 51 17 12
4 61 22 20 13
5 10 33 21 17
6 91 87 23 18
7 21 3 23 22
8 91 17 23 28
9 98 18 27 33
10 96 71 36 37
11 52 54 39 42
12 39 44 43 43
13 77 43 43 43
14 53 7 47 44
15 63 28 52 51
16 23 89 53 54
17 86 58 54 58
18 43 80 58 63
19 23 43 61 64
20 58 13 63 64
21 47 64 73 65
22 27 12 77 71
23 54 81 86 71
24 95 37 91 71
25 23 76 91 76
26 20 71 92 80
27 11 94 95 81
28 96 64 96 87
29 43 65 96 89
30 17 71 98 94
 
 A distribuição espacial das variáveis X1 e X2 pode ser observada na Figura 
5.2., onde se constata facilmente a não correlação linear entreos valores. 
 82
30
29 28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
1312
11
10
98
7
6
5
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X1
X
2
 
Figura 5.2. Distribuição dos pontos em relação às variáveis X1 e X2. 
 Aplicando a esses valores uma análise de componentes principais a partir 
de uma matriz de variâncias-covariâncias obtem-se o seguinte resultado: 
Variáveis X1 X2 
X1 870.4471 -84.033 
X2 -84.033 705.5506 
 
 CP1 CP2 
Autovalor 905.724 670.273
Variabilidade (%) 57.470 42.530
% acumulada 57.470 100.000
 
 A variação total no sistema é igual a 1576,00 (870,45 + 705,55) sendo esse 
mesmo valor a soma dos dois autovalores. Como a correlação entre as variáveis é 
praticamente nula as duas componentes principais tem valores muito 
semelhantes. O resultado encontra-se na Figura 5.3. 
 83
Análise de componentes principais
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
98
7
6
5
4
3
2
1
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Componente I (57.47 %)
C
om
p
on
en
te
 I
I 
(4
2
.5
3
 %
)
 
Figura 5.3. Análise das components principais referente às variáveis X1 e X2. 
 
 No caso das variáveis X1* e X2* a relação é nitidamente linear (Figura 
5.4.). 
30
29
28
27
26
25
242322
2120
19
18
17
16
15
1413
12
11
10
9
8
7
65
43
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X1*
X
2
*
 
Figura 5.2. Distribuição dos pontos em relação às variáveis X1* e X2*. 
 
 A variação total no sistema permanence a mesma, porem neste caso a 
primeira componente principal se destaca, com um valor de 98,87%. Isso pode 
ser verificado na Figura 5.5. 
 
 
 84
Variáveis X1* X2* 
X1* 870.4471 765.829 
X2* 765.829 705.5506 
 
 CP1 CP2 
Autovalor 1558.253 17.745
Variabilidade (%) 98.874 1.126
% acumulada 98.874 100.000
 
Análise de componentes principais
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
1615
14
13
12
11
10
9
8
7
65
4
32
1
-20
-10
0
10
20
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Componente I (98.87 %)
C
om
p
on
en
te
 I
I 
(1
.1
3
 %
)
 
Figura 5.3. Análise das components principais referente às variáveis X1* e X2*. 
 
 A matriz obtida, resultado das interrelações entre variáveis pode ser 
interpretada como um procedimento estatístico no qual os dados seriam amostras 
de populações multidimensionais. Já a matriz, que apresenta as interrelações 
entre casos ou amostras, no sentido geológico, não são usualmente passíveis de 
serem submetidas a testes estatísticos. Os autovetores correspondem às 
componentes principais e são o resultado do carregamento das variáveis originais 
em cada um deles. Tais carregamentos podem ser considerados como uma 
medida da relativa importância de cada variável em relação às componentes 
principais e os respectivos sinais, se positivos ou negativos, indicam relações 
diretamente e inversamente proporcionais. 
A matriz de carregamentos de cada variável nas componentes principais ao 
ser multiplicada pela matriz original de dados fornecera a matriz de pontuações 
(scores) de cada caso em relação às componentes principais. Desse modo, 
 85
utilizando-se da multiplicação da matriz de dados originais pela matriz de 
autovetores, obtém-se uma matriz de dados transformados que representam 
projeções dos pontos, num espaço multidimensional, sobre as diversas 
componentes principais. Esses valores poderão então ser dispostos num diagrama 
de coordenadas cartesianas, em que os eixos são as duas componentes mais 
importantes, e mostrar o relacionamento entre os casos condicionados pelas 
variáveis medidas. 
Eventualmente num mesmo gráfico, denominado “biplot”, poderão constar 
tanto a disposição espacial das amostras como das variáveis que condicionam tal 
distribuição (XLStat, v. 2010). Ver a propósito GABRIEL (1971), GOWER & HAND 
(1996) e LEGENDRE (1998). A representação gráfica simultânea de amostras e 
variáveis não pode, porem, ser feita diretamente tomando as respectivas 
coordenadas resultantes no espaço 2D. Torna-se necessária uma transformação 
para que o resultado respeite o fato de que a projeção das observações sobre os 
vetores de variáveis sejam representativos da relação original. 
Um dos métodos usados para a representação gráfica é o da “correlação”. 
Esse tipo de “biplot” interpreta os ângulos entre os vetores de variáveis como 
sendo diretamente relacionados com as correspondentes correlações. A posição 
de observações projetadas no vetor-variavel representa a sua importância para a 
constituição desse vetor. A distância entre duas observações é uma aproximação 
da distância de Mahalanobis existente no espaço multidimensional entre essas 
mesmas observações e o tamanho do vetor-variável equivale ao desvio padrão 
dessa variável. 
Um outro médoto é o da “distância”. Interpreta as distâncias entre 
observações como sendo uma aproximação da distância euclidiana no espaço n-
dimensional. A posição de duas observações projetadas em um vetor-variável 
pode ser usada para determinar o seu nível de importância em relação a essa 
variável e o comprimento de um vetor-variável no espaço de representação é 
indicativo do nível de contribuição da variável para a construção desse espaço. 
Um terceiro tipo de representação gráfica é conhecido como “simétrico” e é 
uma proposta intermediária entre os dois anteriormente apresentados (JOBSON, 
1992). 
 86
5.2. Análise das Coordenadas Principais 
A Análise das Coordenadas Principais é uma técnica de ordenação para o 
modo Q, ou seja, entre casos, espécimes ou objetos. Enquanto a Análise das 
Componentes Principais é aplicada principalmente para o modo R e, para tanto, 
utiliza matrizes de variâncias-covariâncias ou de correlações, a Análise das 
Coordenaadas Principais pode usar uma variedade de diferentes medidas de 
distância ou de similaridade, mas sempre medidas diretamente entre os espécimes 
e não entre variáveis. Neste caso os autovetores resultantes representam os 
scores para os espécimes. Fornece, assim, uma ordenação direta entre casos e é 
muito útil nas situações quando se dispõe de uma matriz de dados com mais 
variáveis do que espécimes. Nessa análise, porém, não são fornecidos cargas ou 
pesos (loadings) para as variáveis. Recomenda-se o trabalho de Gower (1966) 
para o detalhamento desta análise. 
O primeiro passo é a obtenção de uma matriz m x m de similaridades, na 
forma de distâncias entre os objetos e diversas categorias de medidas de distância 
ou de sililaridade podem ser usadas. Se os dados a serem analisados forem uma 
mistura de valores contínuos e medições binárias ou multiestados, o coeficiente de 
distância de Gower pode ser aplicado. Outras distâncias, como a euclidiana ou a 
“Manhattan métrica”, podem também ser utilizadas. O uso da distância euclidiana 
para esta análise fornece o mesmo resultado que uma análise das componentes 
principais no modo “Q”. 
A formula para o coeficiente de distância de Gower é: 
n/
alcance
|xx|
1G
n
1k k
xjik
ij ∑
=


 −−= 
Para o cáculo desse coeficiente entre os objetos i e j, a diferença absoluta 
entre ambos para a variável k é dividida pelo alcance de k. Isso fornece um valor 
entre 0 e 1, onde um valor pequeno representa alta similaridade e um valor 
próximo a 1 indicamáxima dissimilaridade. Para tornar esta medida semelhante 
ao coeficiente de correlação essa quantia é subtraída de 1. Os cálculos se repetem 
para as demais variáveis medidas nos objetos i e j e após a soma final o total é 
dividido pelo numero de variáveis. 
A distância métrica de Manhattan é calculada segundo: 
 87
∑
=
−=
n
1k
jkikij |xx|MMd , 
onde “i” e “j” representam duas linhas (casos ou espécimes) de uma 
matriz de dados e “k” representa as colunas (variáveis) e “n” número total de 
variáveis: 
Se usado o coeficiente de Gower para a obtenção da matriz [A], de 
dimensões m x m, ela será simétrica com valores 1 na diagonal principal e valores 
entre o e 1 nas demais posições. Os valores de cada linha e cada coluna dessa 
matriz são somados e após a divisão por m fornecerão as medias das linhas e das 
colunas, kj aea •• respectivamente. O total geral tanto das linhas como das 
colunas são também encontrados, a&&& . Os elementos ajk são, então, transformados, 
para originar uma nova matriz [Q], pela seguinte operação: 
)aa(aaq kjjkjk •••• +−+= &&& 
 Os m objetos, ou casos, estão localizados no espaço n-dimensional definido 
pelas n variáveis e a tranformação “q” move a origem do sistema de coordenadas 
de modo a coincidir com o centróide da nuvem de dstribuição de pontos. A 
operação também acarreta intervalos fechados para os dados já que todas as 
linhas e colunas somam zero, resultando que nenhum autovalor de [Q] seja 
forçado a apresentar o valor zero. Em seguida os autovalores e autovetores de 
[Q] são calculados, sendo estes as coordenadas principais. 
 A importância relativa de cada coordenada pode ser determinada ao 
calcular a porcentagem do traço de [Q] contida em cada autovalor sucessivo. 
Geralmente somente as primeiras duas ou três coordenadas são de interesse. O 
último passo é colocar em gráfico 2-D os carregamentos das coordenadas 
principais. 
Os resultados da análise das coordenadas principais são métricos e essa 
característica apresenta um interesse especial. Para uma medida ser considerada 
métrica tem que obedecer certos pressupostos matemáticos, como poder ser 
visualizada de um modo gráfico. Assim, por exemplo, as distâncias entre três 
pontos devem obedecer aos vértices de um triângulo. Isso significa que a 
distância entre dois dos pontos, ou seja, um dos lados do triângulo, deve ser 
sempre menor que soma das outras duas distâncias. Isso nem sempre ocorre 
 88
como num conjunto de coeficientes de correlação se os valores forem tratados 
como “distâncias” não será possível escolher três entre eles para traçar um 
triângulo. 
Nesse sentido a Análise das Coordenadas Principais deve ser usada para a 
visualização gráfica de uma matriz quadrada que descreva similaridades ou 
dissimilaridades entre objetos. O exemplo a seguir ilustra tal afirmação. Os dados 
são os mesmos usados para a aplicação da análise de agrupamentos, com o 
coeficiente de Jaccard, para dados binários. A matriz de similaridades inicial foi, 
portanto, aquela matriz obtida pelos coeficientes de Jaccard (Tabela 4.4.). 
 
 Am01 Am02 Am03 Am04 Am05 Am06 Am07 
Am01 1 0.000 0.250 0.333 0.167 1.000 0.167
Am02 0.000 1 0.333 0.400 0.500 0.000 0.500
Am03 0.250 0.333 1 0.400 0.200 0.250 0.200
Am04 0.333 0.400 0.400 1 0.500 0.333 0.500
Am05 0.167 0.500 0.200 0.500 1 0.167 1.000
Am06 1.000 0.000 0.250 0.333 0.167 1 0.167
Am07 0.167 0.500 0.200 0.500 1.000 0.167 1
 
O resultado esta na Figura 5.4. 
Am07
Am06
Am05
Am04
Am03
Am02
Am01
-0.3
-0.1
0.1
0.3
0.5
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
CoP I
C
oP
 II
 
Figura 5.4. Gráfico resultante da Análise das Coordenadas Principais 
 Este resultado é semelhante ao encontrado pela aplicação da análise de 
agrupamentos usando o coefficiente de Jaccard. Neste caso, porem, a visualização 
 89
gráfica e, consequentemente, o entendimento sobre o relacionamento entre as 
amostras, é superior ao dendrograma que havia sido obtido. 
 
5.3. Análise de agrupamentos e Análise das componentes principais 
 Ambos os métodos tem início a partir de uma única matriz de dados e, 
embora, baseados em metodologias diferentes, isto é, uso de coeficientes de 
similaridades e cálculo de autovalores, seus resultados são equivalentes podendo, 
portanto, serem aplicados em conjunto. O exemplo enfocado é constituído por 
análises químicas de óxidos provenientes de 20 tipos de rochas, retirado de DAVIS, 
1986:569 (Matriz de dados 5.1.). 
 Na Figura 5.7. esta o resultado da análise de agrupamento mostrando 
apenas 3 grupos, mas sem apresentar uma indicação do por que de tal separação. 
08.Q-Diorito
04.Monzonito
10.Gabro
09.Gabro
05.Diorito
20.Diabasio
03.Sienito
19.Monzonito
07.Diorito
15.Sienito
02.Sienito
18.Monzonito
01.Sienito
16.Q-Sienito
13.Hip-Gabro
12.Norito
17.SienitoA
11.Norito
06.Diorito
14.Hip-Gabro
-110 -10 90 190 290 390 490 590 690 790
Distância euclidiana/Ward
 
 
Figura 5.7. Dendrograma mostrando 3 grupos de rochas com base nos óxidos presentes. 
 Já o resultado da análise das componentes principais, mostrado num 
gráfico “biplot”, alem de confirmar a separação entre as rochas fornece 
informações sobre a relação entre as mesmas e os óxidos analisados (Figura 5.8.). 
Por essa relação pode-se formular a hipotese de que tal separação tem origem no 
processo geoquímico de diferenciação magmática. À esquerda estão rochas 
constituídas por minerais máficos ou fêmicos e à direita por minerais félsicos ou 
 90
siálicos. Em apoio a essa hipótese na Tabela 5.2. estão os valores médios dos três 
grupos. 
Amostras e variáveis
20.Diabasio
19.Monzonito
18.Monzonito
17.SienitoA
16.Q-Sienito
15.Sienito
14.Hip-Gabro
13.Hip-Gabro
12.Norito
11.Norito
10.Gabro
09.Gabro
08.Q-Diorito
07.Diorito
06.Diorito
05.Diorito
04.Monzonito03.Sienito 02.Sienito
01.Sienito
K2O
Na2O
CaO
MgO
FeO
Fe2O3
Al2O3
SiO2
-20
-10
0
10
20
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Componente I (70.37 %)
C
om
p
on
en
te
 I
I 
(1
2
.6
7
 %
)
 
Figura 5.8. Análise de components principais mostrando a distribuição e relação simultânea entre 
amostras e variáveis. 
Tabela 5.2. Valores médios dos óxidos para cada um dos três grupos encontrados pela análise de 
agrupamentos 
 Si Al Fe+3 Fe+2 Mg Ca Na K 
06Diorito 46.9 15.9 2.9 10 7 9.6 2.7 0.7
11 Norito 47.2 14.5 1.6 13.8 5.2 8.1 3.1 1.2
12Norito 48.2 18.3 1.3 6.1 10.8 9.4 1.3 0.7
13 HipGabro 44.8 18.8 2.2 4.7 11.3 14.6 0.9 0.1
14HipGabro 47 14.1 0.8 15 16 2.3 0.4 1.7
17SienitoAIt 50 9.9 3.5 5 11.9 8.3 2.4 5
Teor médio 46.95 15 1.85 12.5 11.5 5.95 1.55 1.2
03Sienito 51.2 17.6 3.5 4.3 3.2 4.5 5.7 4.4
04Monzonito 54.4 14.3 3.3 4.1 6.1 7.7 3.4 4.2
05Diorito 58 15.7 0.7 2.8 5 10.9 3 3.2
08QDiorito 55.5 16.5 1.7 4.6 6.7 6.7 3.2 2.5
09Gabro 55.4 15.3 2.7 5.5 5.8 9.9 2.9 1.5
10Gabro 55.9 13.5 2.7 5.9 6.5 8.9 2.4 1.7
20Diabasio 52.2 18.2 3.3 4.4 4.7 6.5 4.6 1.9
Teor médio 55.15 13.9 3 5 6.3 8.3 2.9 2.95
01Sienito 61.7 15.1 2 2.3 3.7 4.6 4.4 4.5
02Sienito 58.3 17.9 3.2 1.7 1.5 3.7 5.9 5.3
07Diorito 58 17.3 2.2 3.8 2.2 4.3 4.3 4.1
15Sienito 59.8 17.3 3.6 1.6 1.2 3.8 5 5.1
16QSienito 66.2 16.2 2 0.2 0.8 1.3 6.5 5.8
18Monzonito 57.4 18.5 3.7 2.1 1.7 6.8 4.5 3.7
19 Monzonito 59.8 15.8 3.8 3.3 2.2 3.9 3 4.4
Teor médio 57.85 18.2 3.45 1.9 1.6 5.25 5.2 4.5
 
 
 91
 
5.5. Exemplos 
5.5.1. 
 Os mesmos dados referentes aos mesossaurídeos da Formação Irati foram 
submetidos à análise de componentes principais, a qual forneceu o seguinte 
resultado: 
 
Autovalores: 
 
 CP1 CP2 CP3 CP4 
Autovalor 2.185 1.1480.533 0.134
Variabilidade (%) 54.627 28.693 13.323 3.357
% acumulada 54.627 83.321 96.643 100.000
 
Autovetores: 
 
 CP1 CP2 CP3 CP4 
cranio 0.611 -0.174 -0.414 -0.652
pescoço 0.138 0.856 -0.459 0.193
Dcompr 0.609 -0.315 -0.102 0.721
Dlargura 0.486 0.371 0.779 -0.138
 
 Este resultado mostra que os maiores pesos para a constituição do 
autovetor 1, que responde por 54,62% da variabilidade presente, são as variáveis 
crânio e comprimento dos dentes e para o autovetor 2, com 28,69%, é a variável 
“pescoço”. 
 92
Variáveis (eixos F1 e F2: 83.32 %)
Dlargura
Dcompr
pescoço
cranio
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
F1 (54.63 %)
F2
 (
28
.6
9 
%
)
 
 
A multiplicação da matriz original de dados pela matriz de autovetores 
fornece os factor scores dos espécimes. Escolhidos os dois principais eixos ou 
componentes principais, correspondendo a uma porcentagem acumulada dos 
autovalores da ordem de 96,83%, obtém-se a distribuição espacial dos factor 
scores (Figura 5.9.). 
B32
B31
B30
B29
S28
S27
S26
S25
S24
S23
S22
S21
S20
S19
S18
S17
S16
M15
M14
M13
M12
M11 M10
M09
M08
M07
M06
M05
M04
M03
M02
M01
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
CP1 (54.63 %)
C
P2
 (2
8.
69
 %
)
 
Figura 5.9. Resultado da análise de components principais mostrando a disribuição dos três grupos 
de mesossaurídeos 
Os resultados apresentados pela análise das componentes principais , são 
bastante semelhantes aos obtidos pela análise de agrupamentos e, portanto, 
 93
merecem as mesmas considerações anteriormente apresentadas. Nesta análise 
constata-se, porém, que os espécimes 01 e 13, Mesosaurus, é que estão mais 
associados ao campo dos Stereosternum. Também a posição espacial de 
Brazilosaurus fica mais clara, próxima mas separada de Stereosternum e distante 
de Mesosaurus. 
 
5.5.2. 
 O objetivo de qualquer análise estatística, inclusive a multidimensional, é 
inferir propriedades da população a partir de amostras estudadas. Valores 
anômalos (outliers) presentes podem, porém, levar a conclusões errôneas e daí o 
interesse em detectá-los. A análise das componentes principais é capaz de tel 
detecção e, como exemplo é apresentado a matriz de dados contendo a 
composição mineral de uma rocha artificial, denominada “hongito” por Aitchison 
(1986), constituída por 25 espécimes e 5 variáveis. A essa matriz foram 
adicionados dois valores anômalos, com altos valores na 4ª e 5ª variáveis e baixos 
valores na 1ª variável (Matriz 5.2.). 
 Na Figura 5.10. esta o resultado da análise das componentes 
principais aplicada à amostra de hongito com 25 valores e na Figura 5.11. o 
resultado com os dois valores anômalos. Comparando as duas figuras fica 
evidente a identificação dos valores anômalos. 
 94
25
24
23
22 21 20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10 9
8
7
6
5
4
32
1
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
CP I (57.22 %)
C
P 
II 
(2
4.
28
 %
)
 
 Figura 5.10.: Análise das componentes principais aplicada à 25 espécimes de hongitos 
 
27
26
25
24
2322
21
20
19
18 17
16
1514
13
1211
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
CP I (57.46 %)
C
P 
II 
(2
1.
26
 %
)
 
Figura 5.11. Análise das componentes principais aplicada à 25 espécimes de hongitos, acrescdos 
de mais 2 espécimes anômalos. 
 
5.5.3. 
 95
 Dados retirados de MILLER & KAHN, 1962 (Matriz 5.3.). Medidas cranianas 
foram obtidas em 7 espécies fósseis de oreodontes (mamífero do Eoceno-
Oligoceno dos Estados Unidos da América). As espécies consideradas são as 
seguintes: Subdesmatochoerus sp. (Su), Megoreodon gigas loomisi (Me), O. 
osborni (Oo), Psuedodesmatochoerus (Ps), Desmatochoerus hatcheri (De), M. 
culbertsoni (Mc) e Prodesmatochoerus . meeki (Pr). 
 As variáveis medidas são as seguintes: 
BC-W: largura da caixa craniana na altura da região parietal-escamosal 
TR-L: comprimento máximo dos dentes molariformes 
Bu-L: comprimento máximo da “bulla” timpânica 
Bu-HP: comprimento máximo da “bulla” timpânica medida do bordo dorsal até o 
processo paroxipital. 
 A aplicação da análise das componentes principais, a partir de uma matriz 
de variâncias-covariâncias revelou o seguinte resultado: 
 
 
 
Matriz de correlação (Pearson (n-1)): 
Variáveis BC-W TR-L Bu-L Bu-HP 
BC-W 1 0.897 0.813 0.711 
TR-L 0.897 1 0.845 0.706 
Bu-L 0.813 0.845 1 0.911 
Bu-HP 0.711 0.706 0.911 1 
 
Autovalores: 
 CP I CP II CP III CP IV 
Autovalor 3.444 0.390 0.112 0.054 
Variabilidade % 86.099 9.750 2.790 1.361 
% acumulada 86.099 95.849 98.639 100.000 
 
Autovetores: 
 CP I CP II CP III CP IV 
BC-W 0.497 -0.489 0.705 0.133 
TR-L 0.501 -0.469 -0.601 -0.409 
Bu-L 0.519 0.293 -0.303 0.744 
Bu-HP 0.483 0.675 0.224 -0.511 
 
 96
 A primeira componente principal tem um peso significativo, da ordem de 
86,1 %, e é originada por carregamentos similares para cada variável, 
provavelmente devido aos níveis de correlação entre elas. Isso pode ser 
claramente interpretado como relações resultantes de variação no tamanho, pois 
crânios maiores tendem a ter componentes maiores. No gráfico resultante nota-
se, inclusive, a distribuição dos valores formando agrupamentos segundo as 
espécies estudadas (Figura 5.12.). 
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Mc
Mc Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc Mc
Mc
Mc
Mc
De
De
De
De
De
De De
De
De
De
De
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
PsPs
Oo
Oo
Oo
Oo
Oo
Oo
Oo Oo
Oo
Oo
Oo
Oo
Oo
Oo
Oo
Me
Me
Me
Me
Me
Me
Me
Me
Me
Su
Su
Su
Su Su
Su
Su
Su
Su
Su
Su
Bu-HP
Bu-L
TR-LBC-W
-1
0
1
-4 -2 0 2 4 6
CP I (86.10 %)
C
P 
II 
(9
.7
5 
%
)
 
Figura 5.12. Resultado da análise de componentes principais aplicada à oreodontes. 
 
 
 97
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
AITCHISON, J. (1986) – The statistical analysis of compositional data: Chapman & Hall 
 
BERNARDI, J. V. E.; FOWLER, H. G. & LANDIM, P. M. B. (1997) – Aplicação da estatística 
multivariada em estudos de impacto ambiental: VII Simpósio de Quantificação em 
Geociências, Bol Res. Expandidos, 12-16. 
 
DAVIS, J.C (1986) - Statistics And Data Analysis In Geology: 2ND. ED., JOHN WILEY AND SONS. 
 
JOBSON J.D. (1992). Applied Multivariate Data Analysis. Volume II: Categorical and 
Multivariate Methods. Springer-Verlag, New York. 
 
GABRIEL K.R. (1971). The biplot graphic display of matrices with application to principal 
component analysis. Biometrika, 58:453-467. 
GOWER, J. C. (1966) – Some distancRe properties of latent root and vector methods used 
in multivariate methods: Biometrika, 55: 325-338 
 
GOWER J.C.; HAND D.J. (1996). Biplots. Monographs on Statistics and Applied Probability, 
54, Chapman and Hall, London. 
JORESKOG, K.G., KLOVAN, J.E. & REYMENT, R.A. (1976) - Geological factor analysis: 
Elsevier. 
 
MILLER, R.L. & KAHN, J.S. (1962) - STATISTICAL ANALYSIS IN THE GEOLOGICAL SCIENCES: JOHN 
WILEY AND SONS. 
 
REYMENT, R. A. & JÖRESKOG, K. G. (1996) – Applied Factor Analysis in the Natural 
Sciences: Cambridge University Press, second printing 
 
 ZHOU, D. (1989) – ROPCA: A FORTRAN Program for Robust Principal Components 
Analysis: Computers & Geosciences, 15:59-78 
 
 98
6. ANÁLISE DE FATORES 
 
 Diferentemente da análise das componentesprincipais, que é uma 
manipulação matemática, a análise de fatores, também conhecida como análise 
fatorial, pode ser considerada como uma técnica estatística, pois baseada em 
modelos . Num certo sentido a análise das componentes principais pode ser 
descrita como um método introdutório para a análise de fatores em que após os 
resultados obtidos é necessário uma rotação dos autovetores. Na análise das 
componentes principais o número de componentes principais é igual ao numero 
“n” de variáveis originais, enquanto na fatorial procura-se pela variação total que 
seja representada por um numero menor de fatores “p”. Para tanto é necessário 
um processo de rotação para maximisar a carga fatorial em cada fator. No 
chamado método “varimax” a ortogonalidade dos eixos é mantida, o que não 
acontece no método “oblíquo” em que os fatores podem se apresentar 
correlacionados. 
 Importante é salientar que quando o método foi estabelecido por 
psicólogos, interessados em testes de inteligência, a condição fundamental era 
que o número de fatores "p" a se determinar, deveria ser conhecido "a priori" 
antes da análise ser efetuada. Essa análise é conhecida como “confirmatória”, a 
qual requer que o número de fatores e a estrutura dos fatores seja especificada 
inicialmente. Em Geologia dificilmente essa condição é preenchida, pois 
geralmente os "fatores geológicos" acabam sendo estabelecidos em função dos 
resultados obtidos, o que os torna algumas vezes questionáveis. Essa análise é 
conhecida como “exploratória” porque em seu início não há nenhuma suposição 
sobre o número de fatores que existem ou a sua natureza. Isso significa que, 
neste caso, é extremamente importante o conhecimento geológico que se tenha 
sobre os dados, pois os cálculos matemáticos são facilmente obtidos por qualquer 
programa computacional específico. 
 Entendendo a análise de fatores como um processo de modelagem 
interativo, existem diversos esquemas que podem ser aplicados e um dos mais 
usados é o que se baseia na análise de componentes principais (Davis, 2002). 
 Há, porém, neste caso uma diferença fundamental, pois a operação de 
calculo dos autovalores é a partir de uma matriz de variâncias-covariâncias ou de 
 99
correlações em que as variáveis originais foram padronisadas de modo a terem 
todas o mesmo peso. Alem disso os autovetores são calculados de tal modo a 
definir “n” vetores com tamanho unitário. Isso é conseguido multiplicando cada 
elemento do autovetor normalizado pela raiz quadrada do correspondente 
autovalor. O resultado é um fator, ou seja, um vetor constituído por cargas 
fatoriais, cujos comprimentos são proporcionais à variação que representam. 
 Como na análise de fatores p < n, a variância nas n variáveis é, portanto, 
derivada dos p fatores, porém a contribuição é feita por fontes únicas que afetam 
independentemente as n variáveis originais. Esses p fatores subjacentes são 
conhecidos como fatores comuns e resumem a contribuição independente como 
um único fator. 
 Deve ser notado que p deve ser conhecido previamente à análise e isso 
implica numa restrição. Caso p não seja especificado a partição de variáveis entre 
os fatores comuns e o fator único torna-se indeterminada. 
 Os autovalores e, conseqüentemente, os fatores, representam a proporção 
da variância total explicada pelo respectivo autovetor e cada carga fatorial é 
proporcional à raiz quadrada da quantia de variância atribuída pela respectiva 
variável ao fator. 
 As comunalidades (hj
2) indicam quanto da variabilidade total está sendo 
explicada pelo conjunto de fatores. 
 Para que os "p" fatores ortogonais situados no espaço n’dimensional sejam 
mais facilmente entendidos é necessário que estejam em tal posição, de modo 
que as projeções de cada variável sobre o eixo fatorial, situem-se da melhor 
maneira possível, seja junto à extremidade, seja junto à origem. Em outras 
palavras, haverá necessidade de um critério de maximização da variância dos 
carregamentos sobre os fatores, o que é conseguido pela rotação dos eixos 
fatoriais. Existindo diversos algorítmos à disposição, o mais comum é o critério 
“varimax”. 
 
( )
2
2
2
j
2
jp
n
ij
22
j
2
jp
n
ij2
k p
h/ah/ap
s


∑−∑
= == 
sk
2 = variância das cargas fatoriais 
 100
p = número de fatores 
n = número de variáveis originais 
a jp = carregamento da variável j no fator p 
hj
2 = comunalidade da j-ésima variável 
 A quantidade que se deseja maximizar é: 
 V 2k
p
1k
s
=
∑= 
 A variância é calculada a partir das cargas fatoriais (factor loadings), ajp, 
que são corrigidas pela sua divisão pelo respectiva comunalidade. Somente a 
parte comum da variância de cada variável é considerada, removendo a restrição 
imposta pelas componentes adicionais, n – p, necessárias para explicar toda a 
variância de cada variável. A maximização das variâncias implica maximizar o 
alcance dos carregamentos, tendendo a produzir valores tanto extremos, 
negativos ou positivos, como próximos a zero. 
 Finalmente, após encontrada a matriz fatorial rotacionada, se a mesma for 
multiplicada pela matriz inicial de dados obtém-se uma matriz dos "factor scores". 
Esses “factor scores” representam estimativas das contribuições dos vários fatores 
à cada observação original e são utilizados na classificação das amostras. Maiores 
detalhes podem ser encontrados em DAVIS (2002) ou REYMENT & JÖRESKOG (1993). 
 Seja o exemplo exibido na Tabela 5.1., com valores artificiais para as 
variáveis X1 e X2, a ser submetido a uma análise de fatores (Tabela 6.1.). 
Tabela 6.1. 
ID X1 X2 
1 36 42 
2 92 63 
3 73 51 
4 61 22 
5 10 33 
6 91 87 
7 21 3 
8 91 17 
9 98 18 
10 96 71 
11 52 54 
12 39 44 
13 77 43 
14 53 7 
15 63 28 
 101
16 23 89 
17 86 58 
18 43 80 
19 23 43 
20 58 13 
21 47 64 
22 27 12 
23 54 81 
24 95 37 
25 23 76 
26 20 71 
27 11 94 
28 96 64 
29 43 65 
30 17 71 
 
A matriz de variâncias-covariâncias entre as variáveis X1 e X2 é a seguinte: 
Variáveis X1 X2 
X1 870.4471 -84.033
X2 -84.033 705.5506
 
 E os respectivos autovalores e autovetores: 
 F1 F2 
Autovalor 905.724 670.273
Variabilidade (%) 57.470 42.530
% acumulada 57.470 100.000
 
Autovetores: 
 F1 F2 
X1 0.922 0.387
X2 -0.387 0.922
 
Para a aplicação da análise de fatores torna-se necessário preliminarmente 
a padronização das variáveis, subtraindo de cada valor a correspondente média e 
dividindo o resultado pelo respectivo desvio padrão. São originadas, desse modo, 
as variáveis X1* e X2* que fornecerão a seguinte matriz de variâncias-
covariâncias: 
Variáveis X1* X2* 
X1* 1.000 -0.111
X2* -0.111 1.000
 
 
 102
Os autovalores e autovetores passam a ser: 
 F1 F2 
Autovalor 1.145 0.924
Variabilidade (%) 55.362 44.638
% acumulada 55.362 100.000
 
Autovetores: 
 F1 F2 
X1* -0.707 0.707
X2* 0.707 0.707
 
A partir desses valores obtem-se as matrizes de autovalores [Λ] e de 
autovetores [V]: 


−=

=Λ
707,0707,0
707,0707,0
]V[
924,00
0145,1
][ 
Os autovetores podem ser convertidos em fatores, segundo a equação: 
[F]=[V]*[Λ] 


−=




−=
679427,075649,0
679427,075649,0
924,00
0145,1
707,0707,0
707,0707,0
]F[ 
Os elementos da matriz [F] são as cargas fatoriais, e as somas de seus 
valores ao quadrado devem ser iguais aos autovalores: 
-0,756492+0,756492 = 1,145 
0,6794272+0,6794272 = 0,924 
Se para cada variável os valores das cargas fatoriais forem elevados ao 
quadrado e somados, os totais serão as comunalidades de cada variável retida nos 
fatores 


=


000,1000,1
679427,075649,0
679427,075649,0
2X
1Xiáveisvar
21
descomunalidafatores
22
22
 
 As comunalidades são representadas por h2j, em que o subscrito refere-se à 
j’ésima variável. Se são extraídos n fatores de uma matriz de variâncias-
 103
covariâncias n por n as comunalidades serão iguais às variâncias originais. Neste 
caso em que as variáveis foram padronizadas as comunalidades deverão ser iguais 
a 1 (um). Se, todavia, forem extraídos um numero de fatores menor que n, as 
comunalidades terão valores menores que as variâncias originais. Esses valores 
encontrados indicarão, porem, a eficiência alcançada com a redução do número 
de fatores. 
 Surge aqui a questão com relação a quantos fatores devem ser retidos? 
Infelizmente não há uma resposta segura, apenas orientações de ordem 
pragmática como, por exemplo, um numero de fatores que expliquem 90% da 
variabilidade, ou fatores cujos autovalores sejam maior que 1 (um). 
 
6.1. Análise fatorial pelo modo “Q” 
 O modelo que acaba de ser exposto é a análise de fatores pelo modo “R”. 
Quando se está interessado no relacionamento entre amostras, utiliza-se o modo 
Q de análise de fatores, a qual parte de uma matriz inicial de coeficientes de 
similaridade entre amostras. Para isso o coeficiente de similaridade mais usado é o 
coeficiente cosseno-teta. 
 
2
jk
m
1k
2
ik
m
1k
ik
m
1k
ij
XX
jkX
Cos
==
=
∑∑
∑
=θ 
 Se as "n" variáveis originais forem normalizadas, de modo a terem média 0 
(zero) e variância 1 (um), haverá uma identidade entre valores do coeficiente 
cosseno-teta e do coeficiente de correlação. 
 O propósito classificatório do modo Q é o mesmo da análise de 
agrupamentos, porém é de muito mais difícil manuseio e muito mais dispendioso 
quanto ao tempo de computação. Por isso se o objeto de uma análise é a 
classificação de amostras em grupos, deve-se utilizar ou da análise de 
agrupamentos ou dos "factor scores" obtidos pela análise fatorial, segundo o 
modo R. 
Um outro procedimento que procura tambem determinar se uma coleção 
de observações multivariadas representam uma amostra de uma única população 
 104
ou uma mistura de diferentes populações é a “Análise das Coordenadas 
Principais”, como visto no capítulo anterior. Para tanto recomenda-se o trabalho 
de GOWER (1966) para o detalhamento desta análise, além de JÖRESKOG, KLOVAN & 
REYMENT (1976) e REYMENT, BLACKITH & CAMPBELL (1984). 
 
6.2. Exemplo 
 Exemplo retirado de KRUMBEIN & GRAYBILL (1965, caps. 14 e 15). Os dados 
são provenientes de 31 poços perfurados nos estados norte-americanos de Kansas 
e Colorado em rochas de idade permiana (KRUMBEIN, 1962; IMBRIE, 1963). São 
espessuras de 4 litologias, arenito, folhelho, carbonato e evaporito, e mais duas. A 
primeira (total) resultante da soma dessas quatro variáveis e a segunda (não 
clásticos) resultante da soma de carbonato e evaporito (Matriz 6.1.). 
 À essa matriz de dados foi aplicada uma análise fatorial com o intuito de 
verificar que fatores teriam controlado a deposição desses sedimentos. 
 Inicialmente foi calculada uma matriz de coeficientes de correlação entre as 
6 variáveis, sendo duas delas, total e não clásticos, compostas: 
 total arenito folhelho nclástico carbonato evaporito 
Total 1 0,241 0,887 0,844 0,145 0,818 
Arenito 0,241 1 -0,119 -0,044 0,448 -0,115 
Folhelho 0,887 -0,119 1 0,690 -0,053 0,696 
nclástico 0,844 -0,044 0,690 1 0,059 0,987 
carbonato 0,145 0,448 -0,053 0,059 1 -0,100 
evaporito 0,818 -0,115 0,696 0,987 -0,100 1 
 
 Cálculo dos autovalores: 
 F1 F2 F3 F4 
Autovalores 3,462 1,527 0,573 0,426 
variância % 57,703 25,452 9,554 7,103 
v. acumulada % 57,703 83,155 92,709 99,812 
 
Matriz factorial (antes da rotação): 
 F1 F2 F3 F4 
Total 0,953 0,226 -0,131 0,155 
Arenito -0,006 0,866 -0,491 -0,093 
Folhelho 0,872 -0,097 -0,029 0,467 
nclástico 0,950 -0,010 0,115 -0,290 
carbonato 0,021 0,834 0,548 0,055 
evaporito 0,943 -0,142 0,028 -0,297 
 
 105
Matriz fatorial (após rotação varimax) 
 F1 F2 F3 F4 
Total 0,640 0,247 0,088 0,722 
Arenito -0,032 0,972 0,233 0,000 
Folhelho 0,412 -0,100 -0,035 0,899 
nclástico 0,939 -0,030 0,066 0,337 
carbonato 0,000 0,228 0,973 0,004 
evaporito 0,935 -0,066 -0,089 0,336 
 
Pelo peso das variáveis em cada fator as seguinte explicações, de caráter 
sedimentológico, foram dadas para cada um deles: 
Fator 1: Circulação restrita; alta taxa de evaporação; rápida subsidência 
Fator 2: Rápida introdução de clásticos grosseiros 
Fator 3: Níveis normais de circulação e evaporação; taxas lentas de 
deposição; falta de aporte de clásticos 
Fator 4: Rápida subsidência; valores intermediários de circulação e 
evaporação; aporte de detritos de granulação fina. 
Em KRUMBEIN (1962) encontra-se, porém, as coordenadas geográficas 
desses poços, o que possibilita um enfoque espacial para a análise fatorial desses 
mesmos dados 
Codigo Casos X Y 
1001 10 3,1 2,45
1004 9 2,3 2,6
1006 8 1,15 2,7
1007 7 0,2 3,05
1009 23 3,1 1,15
1010 22 2,6 1
1012 19 0,6 1,65
1014 1 1,85 3,4
1015 2 2,35 3,15
1017 20 1,15 1,7
1019 11 2,9 2,2
1020 12 3,6 2
1021 21 2,25 1,05
1023 3 2,6 3,7
2002 13 3,7 2,35
2003 14 3,85 1,8
2004 24 4,25 1,6
2005 25 4,1 0,9
2006 26 3,8 0,5
2008 15 4,8 2,55
2009 16 5,1 2,7
2011 17 5,55 2,9
2012 18 6,2 3
2015 28 4,2 0,5
 106
2016 27 4,3 0,7
2017 29 5,7 1,4
2019 4 4,5 3,8
2021 5 5,5 3,7
2031 30 5,75 0,9
2034 6 5,55 4,6
8001 31 3,4 0,2
 
Inicialmente obtém-se um mapa de localização dos poços: 
10
98
7
23
22
19
1
2
20
11
12
21
3
13
14
24
25
26
15
16
17 18
28
27
29
4 5
30
6
31
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
 
 
 
Com esse tipo de dado estratigráfico georreferenciado normalmente o que 
se faz são mapas de isópacas das litologias encontradas: 
 107
 
 
 
Como, porém, se dispõe das coordenadas geográficas, cada fator pode ser 
mapeado fornecendo mapas faciológicos: 
 
 
 
 
 108
 
 
Casos X Y F1 F2 F3 F4 
10 3,1 2,45 1083,19 417,05 144,40 1071,20 
9 2,3 2,6 947,73 512,38 203,78 1115,09 
8 1,15 2,7 768,37 620,01 211,26 930,57 
7 0,2 3,05 384,57 383,38 115,45 448,84 
23 3,1 1,15 1179,46 525,70 166,90 1258,59 
22 2,6 1 1147,11 444,59 169,46 1201,47 
19 0,6 1,65 299,60 319,33 109,95 377,29 
1 1,85 3,4 597,83 486,75 152,48 629,64 
2 2,35 3,15 724,50 338,58 110,22 806,32 
20 1,15 1,7 633,77 372,03 131,72 737,32 
11 2,9 2,2 1179,77 434,97 169,51 1144,18 
12 3,6 2 1563,44 366,05 133,50 1607,39 
21 2,25 1,05 778,12 369,01 143,69 884,14 
3 2,6 3,7 597,62 185,30 73,04 626,13 
13 3,7 2,35 1637,07 358,35 112,06 1567,14 
14 3,85 1,8 1564,07 405,68 135,25 1736,07 
24 4,25 1,6 1597,69 477,71 152,59 1628,04 
25 4,1 0,9 1513,68 504,87 160,34 1501,16 
26 3,8 0,5 1187,90 546,03 167,51 1329,95 
15 4,8 2,55 1697,77 315,03 114,83 1678,38 
16 5,1 2,7 1282,54 394,35 138,43 1364,22 
17 5,55 2,9 780,13 355,16 113,49 938,29 
18 6,2 3 799,79 361,30 131,53 1029,74 
28 4,2 0,5 1260,26 472,48 155,22 1336,12 
27 4,3 0,7 1529,81 437,83 163,15 1497,52 
29 5,7 1,4 1135,61 434,10 149,98 1258,29 
4 4,5 3,8 690,25 246,87 71,97 690,44 
5 5,5 3,7 722,14 211,56 63,51 774,78 
30 5,75 0,9 1071,31 440,70 135,63 1361,11 
6 5,55 4,6 601,24 110,07 36,63 823,36 
31 3,4 0,2 1436,73 475,76 207,94 1492,94 
 
 
 109
 
 
Mapa faciológico 1: Circulação restrita; alta taxa de evaporação; rápida subsidência 
Mapa faciológico 2: Rápida introdução de clásticos grosseiros 
Mapa faciológico 3: Níveis normais de circulação e evaporação; taxas lentas de 
deposição; falta de aporte declásticos 
Mapa faciológico 4: Rápida subsidência; valores intermediários de circulação e 
evaporação; aporte de detritos de granulação fina. 
 110
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
DAVIS, J.C (2002) - Statistics and Data Analysis in Geology: 3rd ed., John Wiley and Sons. 
 
GOWER, J. C. (1966) – Some distance properties of latent root and vector methods used 
in multivariate methods: Biometrika, 55:325-338 
 
IMBRIE, J. (1963) – Factor and vector analysis programs for analyzing geologic data: 
Office Naval Res., Geography Branch, Tech. Rept. 6, ONR Task nº 389-135 
JÖRESKOG, K.G., KLOVAN, J.E. & REYMENT, R.A. (1976) - Geological factor analysis: 
Elsevier. 
KRUMBEIN, W.C. (1962) – Open and Closed Number Systems in Stratigraphic Mapping: 
Bull. Am. Ass. Petrol. Geologists, 46:2229-2245 
KRUMBEIN, W.C. & GRAYBILL, F.A. (1965) – An Introduction to Statistical Models in 
Geology: McGraw-Hill Book Co. 
REYMENT, R. A., BLACKITH, R. E. & CAMPBELL, N. A. (1984) – Multivariate 
Morphometrics: 2d. edition, Academic Press 
REYMENT, R. A. & JÖRESKOG, K. G. (1993) – Applied Factor Analysis in the Natural 
Sciences. Cambridge University Press. 
 
 111
7. ANÁLISE DE CORRESPONDÊNCIAS (ANÁLISE DE ASSOCIAÇÕES) 
 Tanto a Análise de Componentes Principais como a Análise de Fatores 
exigem dados mensurados em escala numérica contínua e não são, portanto, 
apropriadas para a análise de dados nominais, tais como contagem de diversos 
tipos de fósseis em um nível estratigráficdo, número de fraturas com diferentes 
orientações num maciço rochoso ou dados binários do tipo presente-ausente. 
Nesses casos em que os dados podem ser agrupados em categorias, os 
autovalores são extraídos a partir de tabelas de contingências e a técnica é 
conhecida como “análise das correspondências”, tradução do francês “Analyse des 
Correspondances” (BENZÉCRI et al., 1976). Talvez o termo que melhor descreva o 
método seria “Análise de Associações” entre variáveis e espécimes ou casos. 
 Na tabela de contingências os valores originais podem ser transformados de 
modo a poder ser interpretados como probabilidades condicionais. Por causa da 
natureza dessa transformação as relações entre colunas e linhas da tabela 
transformada são as mesmas que aquelas da matriz original da dados. Isso 
significa que as soluções para o modo Q e para o modo R são equivalentes e 
desse modo, o produto final mostra num espaço bidimensional, definido pelos dois 
mais importantes autovetores, após decomposição em coordenadas principais, a 
distribuição simultânea tanto das amostras como das variáveis. 
 
 
 112
 Seja uma matriz de dados [X] , constituída por m linhas que representam 
observações e n colunas que representam variáveis. Pode ser, por exemplo, 
diversos níveis estratigráficos e em cada um deles tendo sido coletados diversos 
microfósseis. A soma total de indivíduos é simplesmente a soma de todos os 
elementos, geralmente na forma de contagem, que constituem a matriz de dados 
∑∑
= =
=
m
1i
n
1j
ijxN 
 A soma da i’ésima linha ∑
=
=
n
1j
iji xl é o numero de microfósseis de todos os 
tipos que foram encontrados no i’ésimo nível estratigráfico. De mesmo modo a 
soma da j’ésima coluna ∑
=
=
m
1i
ijj xc é o total do microfóssil da espécie j que se 
encontra em todos os níveis estratigráficos. 
 As contagens encontradas podem ser convertidas em porcentagens do total 
e entendidas como probabilidades conjuntas 
N
x
p ijij = 
 Os totais das linhas, bem como das colunas, divididos pela soma total 
fornecem as probabilidades marginais: 
N
c
pe
N
lp jjii == •• 
 Se as probabilidades conjuntas forem divididas pelas correspondentes 
probabilidades marginais os resultados serão as probabilidades condicionais 
••
==
i
ij
)i|j(
j
ij
)j|i( p
p
pe
p
p
p 
 A primeira expressão descreve a probabilidade de um específico microfóssil 
j ocorrer num determinado nível i. A segunda expressão, baseada no total de 
linhas, fornece a probabilidade de um determinado nível i conter o microfóssil j. 
 Numa tabela de contingências as observações em cada cela podem ser 
expressas como proporções do número total de observações. Se as linhas e as 
colunas da tabela forem independentes, as observações devem ser 
aproximadamente iguais ao produto das probabilidades marginais das respectivas 
linhas e colunas. O mesmo não acontece se forem relacionadas. Isso significa que 
pode ser encontrado um nível de similaridade entre duas variáveis, j e k, 
 113
calculando um produto cruzado que envolva as probabilidades observadas e 
esperadas dessas variáveis. Tal é a medida de correlação usada na Análise de 
Correspondências (KENDALL & STUART, 1967): 



 −



 −=
••
••
= ••
••∑
ki
kiik
n
1i ji
jiij
jk pp
ppp
pp
ppp
s 
onde pij é a probabilidade observada na linha i e coluna j na cela da tabela de 
contingência e pi. e p.j são as probabilidades esperadas calculadas pelo produto 
das probabilidades observadas. 
 A expressão acima pode ser representada por 



 −



 −= ∑
= ik
ikik
n
1i ij
ijij
jk E
EO
E
EO
s 
 A relação entre essa expressão e a estatística χ2 aplicada à tabelas de 
contingências torna-se mais clara se um dos termos for elevado ao quadrado 
ij
2
ijij
2
ij
ijij
E
)EO(
E
EO −=


 −
 
 Isto significa que as relações na Análise de Correspondências não são 
medidas pela métrica euclidiana, mas sim pela métrica qui-quadrática. Um valor 
alto do qui-quadrado encontrado indica que as variáveis são independentes e, 
portanto, sem possibilidade da aplicação da Análise de Correspondência. 
 
Tabela de contingência 
 variáveis 
 1 2 ... n Total 
 1 x11 x12 ... x1n x1. 
casos 2 x21 x22 ... x2n x2. 
 : : : ֻ : : 
 M xm1 xm2 ... xmn xm. 
 Total x.1 x.2 ... x.n x.. 
 
 114
 Adotando a sequencia de cálculos apresentada em DAVIS (2002), a Análise 
de Correspondências tem início com a conversão dos valores da matriz X em 
probabilidades conjuntas, dividindo cada valor pelo total de valores 
( ) XxB 1ij −∑∑= 
 Em seguida é definida matriz diagonal [L], de dimensões m por m, 
conhecida como perfil de linhas, que contem na diagonal principal as 
probabilidades marginais das linhas e nas demais posições o valor 0. Também é 
definida a matriz diagonal [C], de dimensões n por n, conhecida como perfil de 
colunas, que contem na diagonal principal as probabilidades marginais das colunas 
e nas demais posições o valor 0. Desse modo é possível transformar a matriz de 
dados originais [X] numa matriz de probabilidades condicionais, [H] com as 
mesmas dimensões. 
P = L-1/2XC-1/2 
 A matriz de produtos-cruzados entre colunas é 
 ]P[]'P[]R[ = 
 E a matriz de produtos-cruzados entre linhas é 
 ']P[]P[]Q[ = 
 Os autovalores de [R] e de [Q] são idênticos, exceto que [Q] tem (m-n) 
autovalores adicionais, todos com o valor zero. Os autovetores de [R] podem ser 
convertidos nos “fatores de correspondência (=associação)” multiplicando cada 
vetor pelo seu valor singular correspondente, que é a raiz quadrada do autovalor 
correspondente 
 carregamentos no modo R = λ . autovetores no modo R 
 Em notação matricial os valores singulares podem ser pensados como 
presentes ao longo da diagonal de uma matriz n x n, [λ], sendo zero os demais 
elementos. Os autovalores de [R] formam as colunas de uma matriz n x n, [U]. A 
equação matricial para determinar os carregamentos no modo R é então: 
 ][]U[]A[ R Λ= 
 Os “scores” de cada m observação sobre os n fatores de correspondências 
são 
 ]A[]P[]S[ RR = 
 115Para o caso de autovalores de [Q], sendo [V], de dimensões m x m, a 
matriz que contém n autovetores de [Q], de modo idêntico obtém-se 
 ][]V[]A[ Q Λ= e ]A[]'P[]S[ RQ = 
 Há uma relação direta entre as soluções para o modo R e para o modo Q: 
 1RQ ][]A[]P[]A[ −Λ= 1R ][]S[ −Λ== 
 O carregamento nos fatores de correspondências no modo Q é igual aos 
“scores” de correspondências no modo R, dividido pelos valores singulares 
apropriados. Pode-se obter uma solução para o modo Q resolvendo-o no modo R, 
o que é uma vantagem em termos computacionais, pois normalmente [R] tem 
dimensões menores que [Q]. 
 A conseqüência direta disso é que se pode plotar tanto amostras como 
variáveis no mesmo espaço, usando os mesmos eixos. A obtenção de mesmas 
escalas tanto para R como para Q é obtida por 
 ]A[]N[]Aˆ[ R2/1R = 
 ]A[]M[]Aˆ[ Q2/1Q = 
 A apresentação de resultados simultâneos, referentes à variáveis e 
amostras, num mesmo diagrama de dispersão é bastante útil e de fácil 
interpretação. 
 Para um detalhamento sobre o método recomenda-se o trabalho de 
GREENACRE (1984). Aplicações dessa metodologia em Geociências estão em TEIL 
(1975), TEIL & CHEMINÉE (1975), DAVID, DAGBERT & BEAUNCHEMIN (1977), DAVIS 
(2002:557-560) e MOREIRA, RIEDEL & LANDIM (2008), entre outros. Em CARR (1990) 
é apresentado um programa em FORTRAN-77 para o cálculo desta análise. 
 A forma mais simples dessa técnica de análise exploratória de dados é a 
sua aplicação a uma tabela de contingência de dupla entrada. No caso de mais de 
duas variáveis qualitativas aplica-se o caso geral da Análise de Correspondências 
Múltiplas. 
 O exemplo a seguir ilustra a Análise de Correspondências e os dados são os 
mesmos usados para a aplicação da análise de agrupamentos (Tabela 4.1.). 
 
 
 116
 V01 V02 V03 V04 V05 V06 
Am01 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 
Am02 5.0 4.0 1.0 8.0 7.0 9.0 
Am03 6.0 5.0 4.0 2.0 7.0 9.0 
Am04 6.0 4.0 2.0 1.0 3.0 7.0 
Am05 9.0 2.0 1.0 4.0 7.0 8.0 
Am06 9.0 6.0 3.0 4.0 5.0 6.0 
Am07 1.0 5.0 9.0 7.0 5.0 3.0 
 
 V01 V02 V03 V04 V05 V06 Total 
Am01 1 2 3 4 5 6 21 
Am02 5 4 1 8 7 9 34 
Am03 6 5 4 2 7 9 33 
Am04 6 4 2 1 3 7 23 
Am05 9 2 1 4 7 8 31 
Am06 9 6 3 4 5 6 33 
Am07 1 5 9 7 5 3 30 
Total 37 28 23 30 39 48 205 
 
 
0.0049 0.0098 0.0146 0.0195 0.0244 0.0293 0.1024 
0.0244 0.0195 0.0049 0.0390 0.0341 0.0439 0.1659 
0.0293 0.0244 0.0195 0.0098 0.0341 0.0439 0.1610 
0.0293 0.0195 0.0098 0.0049 0.0146 0.0341 0.1122 
0.0439 0.0098 0.0049 0.0195 0.0341 0.0390 0.1512 
0.0439 0.0293 0.0146 0.0195 0.0244 0.0293 0.1610 
0.0049 0.0244 0.0439 0.0341 0.0244 0.0146 0.1463 
0.1805 0.1366 0.1122 0.1463 0.1902 0.2341 1.0000 
 
 
0.1805 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
0.0000 0.1366 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
0.0000 0.0000 0.1122 0.0000 0.0000 0.0000 
0.0000 0.0000 0.0000 0.1463 0.0000 0.0000 
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1902 0.0000 
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2341 
 
 
 
 
0.1024 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
0.0000 0.1659 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
0.0000 0.0000 0.1610 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
 117
0.0000 0.0000 0.0000 0.1122 0.0000 0.0000 0.0000 
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1512 0.0000 0.0000 
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1610 0.0000 
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1463 
 
 
V06
V05
V04
V03
V02
V01
Am07
Am06
Am05
Am04
Am03
Am02
Am01
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Coordenada I (63.64 %)
C
oo
rd
en
ad
a 
II 
(2
2.
16
 %
)
 
Teste de independência entre as linhas e as colunas: 
 
Qui-quadrado ajustado (Valor observado) 38.962 
Qui-quadrado ajustado (Valor crítico) 43.773 
GL 30 
p-valor 0.127 
alfa 0.05 
 
Interpretação do teste: 
H0: As linhas e as colunas da tabela são independentes. 
Ha: Há uma dependência entre as linhas e colunas da tabela. 
Como o p-valor calculado é maior que o nível de significância alfa=0.05, não 
rejeita-se a hipótese nula H0. O risco de rejeitar a hipótese nula H0 quando ela é 
verdadeira é de 12.66%. 
 
 Além desta análise de associações, pode também ser mencionado o método 
proposto por GABRIEL (1971) que aborda de um modo mais geral o relacionamento 
entre linhas e colunas de uma tabela de contigência. Detalhes podem ser 
 118
encontrados em GORDON (1981), JACKSON (1991), JOLLIFFE (1986) e GABRIEL 
(1995,a,b). 
 
7.1. Análise fatorial R-Q simultânea 
 Embora o teorema de Eckart-Young estabeleça ser possível extrair fatores 
simultâneamente pelos modos R e Q, na prática os resultados podem não ser os 
mesmos devido a maneira como os dados são transformados antes do processo 
fatorial. O escalonamento de valores condiciona as medidas de similaridade e, 
desse modo, a natureza da solução fatorial. 
 No modo R a solução fatorial inicia-se pela matriz simétrica dos menores 
produtos [P]´[P], enquanto no modo Q a solução inicia-se pela matriz simétrica 
dos maiores produtos [P][P]´. Isso significa que os procedimentos de 
escalonamento de valores não são os mesmos para originar [P] a partir dos dados 
originais [X]. Por exemplo, na análise das componentes principais cada elemento 
de [X] é dividido pelo desvio padrão das colunas para produzir [P]. Na análise 
fatorial pelo modo Q ocorre uma padronização que inclui a divisão de cada 
elemento de [X] pela raiz quadrada da soma de quadrados das linhas para 
originar [P]. Como a matriz [P] originada pelo modo R não é idêntida à matriz [P] 
originada pelo modo Q, tal diferença entre escalas não fornece os mesmos 
resultados (DAVIS, 2002). 
 A “análise das associações” usa uma matriz simétrica com a mesma escala 
de valores para linhas e colunas e procura medidas de similaridade proporcional 
entre objetos e variáveis. A similaridade resultante é a distância χ2 utilizável 
apenas para tabelas de contingência que estima probabilidades. Uma tabela de 
medidas com valores contínuos, porém, tem diferentes propriedades e 
necessidade de metodologia própria para tratar simultâneamente os objetos e as 
variáveis, como apresentado por ZHOU, CHANG & DAVIS (1983). 
Segundo esses autores, se os dados forem escalonados de modo que o 
produto menor [P]´[P] seja uma matriz de correlações e o produto maior [P][P]´ 
uma matriz de distâncias euclideanas, o modo R ao ser executado por uma análise 
das componentes principais e o modo Q por uma análise das coordenadas 
principais, os resultados apresentarão a mesma configuração espacial. 
 119
 
7.2. Exemplo 
 A matriz de dados para este exemplo provem de um levantamento 
efetuado pelo “Swiss Federal Institute of Technology” em Lausanne/Suíça, com a 
seguinte estruturação por linhas ID X Y G, U, Z1, Z2, Z3, onde: 
ID – identidade do ponto de coleta 
X – coordenada X 
Y – coordenada Y 
G – Classificação geológica, identificando o nível estratigráfico onde a amostra foi 
coletada (J1: Argoviano; J2: Kimmeridgiano; J3: Sequaniano; J4: Portlandiano; Q:: 
Quaternário) 
U – uso da terra onde a amostra foi coletada (floresta; pastagem; pradaria; 
lavoura 
Zi – concentrações de tres metais pesados (cádmio, cobre, chumbo) coletados no 
horizonte superior do solo. 
Os limites máximos considerados toleráveis para o consumo humano são 
para Cd, 0,8 ppm; para Cu, 50ppm; para PB, 50ppm. Maiores detalhes podem 
ser encontrados em GOOVAERTS, (1997). 
 Tendo em vista esses valores, preliminarmente, foi efetuada uma 
transformação, binária, para as variáveis Cd, Cu e Pb da seguinte maneira: 
se Cdi ≥ 0.8, substituir pelo valor 1 (um); caso contrário pelo valor 0 (zero) 
se Cu ≥ 50, substituir pelo valor 1 (um);caso contrário pelo valor 0 (zero) 
se Pb ≥ 50, substituir pelo valor 1 (um); caso contrário pelo valor 0 (zero). 
 De posse dessa nova tabela, com valores binários, foi realizada uma 
análise de correspondências múltiplas para confrontar as relações entre as 3 
variáveis geoquímicas tanto com a litologia como com o uso da terra (Matriz de 
dados 7.1.). O resultado encontra-se na Figura 7.1. 
 
 
 
 120
 
Figura 7.1. Análise de correspondências múltiplas. Valores 0 indicam abaixo do teor limite e 
valores 1 acima desse teor. 
 
 
 
 As concentrações de Cd e Pb acima dos limites toleráveis estão 
associadas à lavoura. Ocorre associação entre pradaria e terrenos J3 e entre 
floresta e terrenos J2. Alem disso há indicação da associação dos teores dos três 
metais pesados com os locais de amostragem. A associação dos teores de cobre 
acima de 50 ppm não se mostra clara. Isso, talvez, seja devido ao fato que 
apenas em 8 locais são encontrados tais teores e no restante da área não (Figura 
7.2.). O mesmo não acontece com a distribuição de cádmio (Figura 7.3.) e 
chumbo (Figura 7.4). 
 121
 
Figura 7.2. Distribuição de valores de cobre. Quadrados em cinza indicam valores menores que 50 
ppm e círculos em preto maiores que 50 pp. 
 
 
 
 
 
Figura 7.3. Distribuição de valores de cadmio. Quadrados em cinza indicam valores menores que 
0,8 ppm e círculos em preto maiores que 0,8 pp. 
 
 
 122
 
 
Figura 7.3. Distribuição de valores de chumbo. Quadrados em cinza indicam valores menores que 
50 ppm e círculos em preto maiores que 50 pp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 123
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
BENZÉCRI, J. P. & others (1976) – L’Analyse des données. Vol. 2, L’Analyse des 
correspondances: Dunod, Paris, 616p. 
CARR, J.R. (1990) - CORSPOND: a portable FORTRAN-77 program for correspondence 
analysis: Computers & Geosciences 16(3):289-307. 
DAVID, M.; M., DAGBERT & BEAUCHEMIN, Y. (1977) - Statistical analysis in geology: 
Correspondence analysis method: Quart. Colorado Sch. Mines, 7:60p. 
DAVIS, J.C (2002) - Statistics and Data Analysis in Geology: 3rd ed., John Wiley and Sons. 
 
GABRIEL, K. R. (1971) – The biplot display of matrices with application to principal 
components analysis: Biometrica, 58:453-467 
 
GABRIEL, K. R. (1995,a) : Biplot displays of multivatiate categorical data, with comments 
on multiple correspondence analysis: Recent Advances in Descriptive Multivariate Analysis 
(ed.: W. J. Krzanowski): 190-226, Oxford Science Publ. 
 
GABRIEL, K. R. (1995,B): MANOVA biplots for two-contingency tables: Ibid., 227-268 
GOOVAERTS, P. (1997) – Geostatistics for Natural Resouces Evaluation: Oxford University 
Press. 
 
GORDON, A. D. (1981): Classification: Monographs on Applied Probability and Statistics, 
Chapman and Hall 
 
GREENACRE, M. J. (1984) – Theory and Applications of Correspondence Analysis: 
Academic Prees, 364 pp. 
 
JACKSON, J. E. (1991) – A User´s Guide to Principal Components: Wiley 
 
JOLLIFFE, I. T. (1986) – Principal Components Analysis: Springer Verlag 
KENDALL, M. G. & STUART, A. (1967) – Advanced Theory of Statistics, v. 2, 2nd. Ed., 
Charles Griffin & Co. Ltd., 690 pp. 
 
MOREIRA, M. R. ; RIEDEL, P. S. ; LANDIM, P. M. B. (2008) - Aplicação de técnicas 
estatísticas multivariadas como subsídio à compartimentação fisiográfica. RBC. Revista 
Brasileira de Cartografia, v. 60, p. 339-353 
TEIL, H. (1975) - Correspondence factor analysis: An outline of its method: Journ. Int’l. 
Assoc. Mathematical Geology, 7:3-12. 
TEIL, J. & CHEMINÉE (1975) - Application of correspondence factor analysis to the study 
of major and trace elements in the Erta Ale Chain (Afar, Ethiopia): Jour. Int’l. Assoc. 
Mathematical Geology, 7:13-30. 
 
ZHOU, D., CHANG, T. & DAVIS, J. C. (1983) – Dual Extraction of R-Mode and Q-Mode 
Factor Solutions: Math. Geology, 15: 581-606 
 
 124
8. ANÁLISE DISCRIMINANTE 
 
8.1. Análise discriminante linear 
 A análise estatística multivariada utilizando funções discriminantes foi 
inicialmente aplicada para decidir à qual de dois grupos pertenceriam indivíduos 
sobre os quais tinham sido feitas diversas e idênticas mensurações. Nessa análise, 
conhecida como análise discriminante linear, a idéia básica é substituir o conjunto 
original das diversas mensurações por um único valor Di, definido como uma 
combinação linear delas 
 pp2211i xxxD λ++λ+λ= L 
 Para fornecer um único valor os termos são adicionados nessa função 
linear, e esta transformação é realizada de tal modo a fornecer a razão mínima 
entre a diferença entre pares de médias multivariadas e a variância multivariada 
dentro dos dois grupos. Conhecido o valor Di, este será comparado com um certo 
D0, ou seja, o valor situado na linha expressa pela função discriminante a meio 
caminho entre os centros de dois grupos, com a finalidade de verificar a qual 
deles o indivíduo pertence. Tal processo exige, portanto, um conhecimento "a 
priori" das relações existentes entre os grupos estudados. Isso contrasta com 
métodos classificatórios multivariados, como por exemplo a análise de 
agrupamentos ou das componentes principais, quando os grupos constituídos por 
indivíduos similares entre si emergem através do esquema de classificação 
adotado. 
 Além disso, para a aplicação de testes de significância às funções 
discriminantes, os seguintes pressupostos são necessários: 
a) que as observações em cada grupo tenham sido escolhidas ao acaso; 
b) que a probabilidade de um indivíduo desconhecido pertencer a um dos grupos 
seja a mesma; 
c) que as variáveis tenham distribuição normal; 
d) que as matrizes de variância de grupos comparados sejam de dimensões 
idênticas; 
e) que todas as observações usadas para o cálculo das funções discriminantes 
tenham sido classificadas sem erro. 
 
 125
 Nos casos em que as matrizes de variâncias e covariâncias são diferentes torna-se 
necessário escolher outro método que absorva tal diferença, como o procedimento da função 
discriminante quadrática. 
 Um dos métodos utilizados para o cálculo das funções discriminantes 
lineares é o da regressão linear, onde a variável dependente consiste na diferença 
entre as médias multivariadas de dois grupos e as variáveis independentes as 
variâncias e covariâncias das variáveis em estudo. Ver a propósito DAVIS (2002). 
 A solução do sistema de equações lineares resultante pode ser resolvido, 
por cálculo matricial, a partir de: 
 [ ][ ] [ ]RppVp2 =λ 
[ ]Vp2 = matriz, pxp, das variâncias e covariâncias combinadas das p variáveis; 
[λ] = vetor coluna, px1, representando os coeficientes desconhecidos; 
[Rp] = vetor coluna, px1, das "p" diferenças entre as médias das variáveis de dois 
grupos A e B. 
 Para a constituição de[ ]Vp2 , determina-se: 
a) inicialmente a matriz de soma de quadrados e produtos cruzados de todas as 
"p" variáveis, do primeiro grupo [ ]Va (matriz de variâncias e covariâncias): 
 [ ]










=
2
PP2P1
P2
2
221
P121
2
1
a
SPXXSPXSSPX
XSPXSQXXSPX
XSPXXSPXSQX
V
L
M
L
L
 
 
onde: 
 1n/
n
x
xSQX
2n
1i
i1n
1i
2
i1
2
1 −







 

∑
−∑= =
=
 
 1n/
n
xx
)x.x(XSPX
n
1i
i2
n
1i
i1
i2
n
1i
i121 −






 ∑∑
∑= ==
=
 
 
 126
b) de modo similar determina-se a matriz de somas de quadrados e produtos 
cruzados de todas as "p" variáveis do segundo grupo [ ]Vb 
 
c) calcula-se, então, a matriz combinada segundo: 
 [ ] [ ] [ ]
2nn
VVV
ba
ba2
p −
+= 
 Para o cálculo de [Rp] encontram-se as diferenças segundo: 
 
 [ ]







−


















bp
b
b
ap
a
a
p X
X
X
X
X
X
R
R
R
Rp 2
1
2
1
2
1
M 
 Para o cálculo dos coeficientes λp, que irão constituir a equação da função 
discriminante, determina-se o inverso da matriz da variâncias e covariâncias 
combinadas e em seguida multiplica essa matriz pelo vetor de diferença entre 
médias: 
 [ ] [ ] [ ]RpVp 12p −=λ 
 O valor central do grupo A é determinado por 
 
 app2a1a1a xxxD λ++λ+λ= L 
 
e do grupo B por 
 
 bpp2b1b1b xxxD λ++λ+λ= L 
 O índice discriminante, D0, ou seja, o ponto na linha descrita pela função 
discriminante situado exatamente na metade da distância entre os centros dos 
grupos A e B, é encontrado segundo: 
 


 +λ++


 +λ+


 +λ=
2
XX
2
XX
2
XX
D bpapp
2b2a
2
1b1a
1o L 
 Para testar a significância da função encontrada, ou seja, verificar se os 
dois grupos considerados pertencem a uma única população ou à duas distintas 
 127
populações, calcula-se a distância entre as duas médias multivariadas, DA - DB. 
Esta medida de distância é conhecida como “distância generalizada de 
Mehalanobis”, ou D², e mede a separação entre as duas médias multivariadas 
expressa em unidades de variâncias combinadas. 
 D² é usada na seguinte expressão para ser testada pela distribuição F: 
 ( ) 2ba
ba
ba
ba D
nn
nn
p2nn
1pnn
F 



+



−+
−−+= , 
com "p" graus de liberdade para o numerador e " 1pnn ba −−+ " para o 
denominador. A hipótese nula a ser testada, estabelece que as duas médias 
multivariadas são iguais, ou que a distância entre ambos os grupos é igual a zero 
significando que se trata de um único grupo. 
 [ ] bao ou,0Rp:H µ=µ= 
 [ ] 0Rp:H1 > 
 A contribuição relativa, em percentagem, de cada variável para o 
distanciamento entre os dois grupos é fornecida pela expressão: 
 100*
D
Rpp
C 2p
λ= 
 Cp mede apenas a contribuição direta da variável, sem levar em 
consideração o seu inter-relacionamento com as demais existentes. 
 
8.2. Análise discriminante multigrupos 
 Quando se trata de discriminar entre mais de dois grupos torna-se 
necessário uma generalização na metodologia. A análise discriminante 
multigrupos, que utiliza procedimentos combinados da análise de variância e da 
análise fatorial, pode, então, ser utilizada. 
A analogia com a análise de variância é que a matriz inicial de todas as 
variâncias e covariâncias pode ser subdividida entre categorias ou grupos e 
verificada a soma total de quadrados, a soma de quadrados entre grupos e a 
soma de quadrados dentro dos grupos. Como no caso da análise de variância 
 128
convencional a soma de quadrados entre grupos [E] mais a soma de quadrados 
dentro dos grupos [D] é igual à soma total de quadrados [T]: 
 [T] = [E] + [D] 
 Quando a razão [E]/[D] apresentar um valor alto isto significará que as 
médias dos grupos são bem diferentes entre si e os valores dentro de cada grupo 
estão bem concentrados ao redor dos respectivos centroides, ou seja, há uma 
discriminação significativa entre os grupos. O problema na análise discriminante é, 
desse modo, encontrar um conjunto de pesos lineares para as variáveis que 
tornem essa razão máxima. Se esse conjunto de pesos for o vetor [A1], a análise 
discriminante pode ser efetuada ao encontrar os valores dos elementos de [A1] de 
modo que a expressão 
 {[A1]´[E] [A1]}/{[A1]´[D] [A1]}, seja maximizada. 
 Nessa análise usualmente é especificado a restrição que o denominador 
seja igual a 1 
 [A1]´[D] [A1] = 1. 
 Obedecida essa restrição, a razão é maximizada quando [A1] for o 
autovetor correspondente ao maior autovalor de [D]-1 [E]. Pode-se em seguida, 
como na análise fatorial, encontrar eixos ortogonais [A2], [A3], etc., numa 
sucessão decrescente de funções discriminantes segundo as quais os grupos 
podem ser distintos tanto quanto possível. 
 As observações usadas no cálculo das funções discriminantes podem ser 
projetadas no espaço definido pelos eixos discriminantes. Isto é feito segundo a 
multiplicação matricial 
 [Z] = [A]´[X], 
onde [X] é a matriz inicial de dados [N x p] e [A] a matriz [p x t] cujas colunas “t” 
são os maiores autovetores a serem usados nas funções discriminantes. 
 Os centróides dos g grupos podem ser projetados no espaço discriminante 
por 
 [ZM] = [A1] [Xmk], 
onde [Xmk] contém as médias de todas as variáveis para cada grupo. 
 Geralmente escolhem-se as duas funções discriminantes de maior peso para servir como 
eixos ortogonais para uma distribuição das observações dos diversos grupos e os respectivos 
centróides. Uma observação multidimensional de origem desconhecida pode ser projetada nesse 
 129
diagrama pela sua multiplicação com o transposto de [A] e verificada a sua distância aos diversos 
centróides. Maiores detalhes podem ser vistos em DAVIS (2002). 
8.3. Distância Generalizada D² de Mahalanobis 
 A distância generalizada D² de Mahalanobis também pode ser usada como 
uma técnica de comparação quanto à separação entre diversos grupos permitindo 
avaliar a extensão e a direção dos afastamentos entre os valores médios das 
variáveis usadas na discriminação. As diferenças entre cada par de grupos que 
estão sendo comparados são assim examinados simultaneamente através das 
diversas variáveis, que podem ser correlacionadas, de modo que a informação 
fornecida por uma delas pode não ser independente da fornecida pelas demais. 
 O valor numérico da maior separação possível entre dois grupos quaisquer 
é chamado Distância Generalizada entre os grupos e mede, em escala 
independente da originalmente utilizada para as várias variáveis, a clareza das 
disjunção entre elas. 
 Assim, o valor da distância generalizada D² ligando dois grupos é um 
número puro, com propriedades da distância comum, e mede a extensão com que 
diferem entre si em tamanho e forma. 
 A Distância Generalizada de Mahalanobis entre os grupos i e j é usualmente 
estimada, segundo RAO (1952) por: 
 [ ][ ] [ ]ji1'ji2ij xxSxxD −−= − 
onde, xi é o vetor de médias do i-ésimo grupo 
 xj é o vetor de médias do j-ésimo grupo 
 [S] é a estimativa combinada da matriz de dispersão dentro dos grupos 
dois grupos. 
 
 Este método de representação de diferenças entre grupos leva em conta 
qualquer correlação que exista entre as variáveis usadas e é também 
independente das unidades de medida com que as variáveis estão expressas. 
 Para o cálculo da distância generalizada, por exemplo, usando apenas duas 
variáveis (V1 e V2), correlacionáveis, utiliza-se da expressão: 
 130
 R.V'.RD 12 −= 
onde 


−
−=
2221
1211
VV
VV
R 
 [ ]22211211 VV,VV'R −−= 
 








= 2
2v
S
2v
s.
1v
s.2v1v
r
2v
s.
1v
s.2v1v
r2
1v
S
V 
 
8.4. Exemplos 
8.4.1. Após a aplicação das análises de agrupamentos e das componentes 
principais aos mesossaurídeos da Formação Irati e tendo sido constatado que os 
fósseis se apresentam em 3 grupos, resta a questão de decidir se ocorre uma 
separação significante, ou não, entre as populações estudadas. Caso seja esse o 
caso quais as variáveis mais importantes para a discriminação entre esses taxas. 
Para tanto a análise discriminante linear entre dois grupos pode ser usada. 
 Os resultados, já apresentados por LANDIM & PERINOTTO (1976), são os 
seguintes: 
a) Função discriminante para Mesosaurus brasiliensis x Stereosternum tumidum: 
 iiiii Ld398.3Cd111.1Cp561.2Cc659.2D −+−= 
 DM = 12,46; DS = 3,55; D0 = 8,00; D²= 8,91 
Teste F = 13,72 (F4/23 = 2,80), significando que a separação entre essas 
duas espécies é significativa ao nível de 5%. 
 De acordo com a função discriminante, entre os exemplares utilizados para 
a análise, os de designação (M01) e (M13), assinaláveis a Mesosaurus brasiliensis, 
apresentam respectivamente os valores Di = 7,087 e Di = 5,824, o que indica 
provavelmente que esses espécimes estejam mal classificados e que talvez, 
levando em consideração as quatro variáveis estudadas, pertençam à espécie 
Stereosternum tumidum. Recomenda-se neste caso uma análise osteológica mais 
detalhada ou mesmo verificação do nível estratigráfico de onde provenham. 
 131
 A porcentagem de contribuição direta de cada variável para a discriminação 
entre os dois conjuntos de dados é: 
comprimento dos dentes = 54,46%; comprimento do crânio = 47,79%; 
comprimento do pescoço = 0,04%; largura dos dentes = - 2,29% 
 Esses resultados indicam que as variáveis mais importantes na distinção 
entre as duas espécies são o comprimento dos dentes e secundariamente, o 
comprimento do crânio. Além disso, demonstra a validade das afirmações de (op. 
cit.) quando conclui que o comprimento do pescoço não demonstra diferença 
significativa e que a largura dos dentes entre as duas espécimes não se altera. 
b) Função discriminante para Stereosternum tumidum x Brazilosaurus 
sanpauloensis: 
 iiiii Ld398.3Cd111.1Cp561.2Cc659.2D −+−= 
 DS = 11,55; DB = -16,86; D0 = -2,65; D² = 28,40; 
Teste F = 17,38 (F4/12 = 3,26), signicando que a separação é significativa 
ao nível de 5%. 
 Cada variável considerada na discriminação contribuiu diretamente com a 
seguinte porcentagem: comprimento do pescoço = 63,03%; comprimento do 
crânio = 23,09%; comprimento dos dentes = 14,00%; largura dos dentes = -
0,14% 
 Com esses resultados, é correto dizer que o comprimento do pescoço é a 
variável mais significativa na distinção entre essas espécies, o que vem corroborar 
com as conclusões de ARAÚJO (op. cit.) ao testar as afirmativas de SHIKAMA & OZAKI 
(op.cit.). 
c) Função discriminante para Mesosaurus brasiliensis x Brazilosaurus 
sampauloensis 
 iiiii Ld398.3Cd111.1Cp561.2Cc659.2D −+−= 
 DM = 14,30; DB = -27,43; D0 = -6,56; D² = 41,73 
Teste F = 27,13 (F4/14 = 3,11), signicando que a separação é significativa 
ao nível de 5% 
 As variáveis mais importantes na distinção entre as duas espécies são o 
comprimento do crânio (48,80%) e o comprimento do pescoço (41,99%). A 
contribuição direta do comprimento dos dentes é de 9,76%, enquanto que a 
 132
largura dos dentes em nada contribuiu (-0,56%). Esses resultados quantificam e 
demonstram a validade de dedução de ARAÚJO (op. cit.) em relação à distinção 
entre essas duas espécies. 
A análise multivariada das funções discriminantes mostra-se eficaz, 
comprovando estatisticamente a existência dos três taxa, Sterreosternum 
tumidum, Mesosaurus brasiliensis e Brazilosaurus sanpauloensis, trabalhando ao 
mesmo tempo com as quatro variáveis consideradas para a discriminação e 
fornecendo aquelas de maior importância na distinção entre esses taxa. Entre 
Stereoternum tumidum e Mesosaurus brasiliensis, o comprimento dos dentes, 
entre Stereosternum tumidum e Brazilosaurus sanpauloensis, o comprimento do 
pescoço e entre Mesosaurus brasiliensis e Brazilosaurus sanpauloensis os 
comprimentos de crânio e escoço. 
 O afastamento entre os grupos, usando a distância generalizada de 
Mahalanobis (D2) entre os três grupos de fósseis é a seguinte: 
 
A 
Isso está de acordo com Bertini (informação verbal) quando afirma que o 
gênero Brazilosaurus é provavelmente a forma ancestral dos outros dois gêneros e 
o mais terrestre dos mesossauros, com pescoço longo que favorece a predação, 
parecendo ter compartilhado seu nicho ecológico com Stereosternum. O gênero 
Stereosternum teria vivido em águas rasas periféricas com maior energia de 
deposição e condições mais aeróbicas. Quanto ao Mesosaurus teria habitado 
águas depocêntricas e seria o mais aquático dos mesossaurídeos, providos de 
longos e finos dentes, muito provavelmente filtrador suspensívoro, e com pescoço 
curto. 
 133
 Para esta mesma matriz de dados pode ser aplicada uma análise 
discriminante multigrupos, que forneceu o resultado gráfico mostrado na Figura 
8.1. 
 
 
Figura 8.1. Análise discriminante multigrupos aplicada aos dados de mesossaurídeos. 
 Novamente é constatada uma nítida separação entre os três grupos, 
estando Brazilosaurus mais próximo a Stereosternum e a indicação que os fósseis 
M01 e M13, classificados como Mesosaurus, provavelmente pertencem ao gênero 
Stereosternum. 
 Na Tabela 8.1. é verificado também que o eixo fatorial I corresponde à 
94% da variabilidade presente sendo correlacionado com as variáveis crânio e 
comprimento dos dentes. Quanto ao eixo fatorial II a sua correlação é com o 
comprimento do pescoço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 8.1. Autovalores e autovetores correspondentes à análise discriminante aplicada aos valores 
de mesossaurídeos 
Autovalores: 
 F1 F2 
Autovalor 5.615 0.354
 134
Discriminação (%) 94.063 5.937
% acumulada 94.063 100.000
 
Correlações Variáveis/Fatores: 
 F1 F2 
cranio 0.787 0.403
pescoço -0.521 0.711
Dcompr 0.831 0.549
Dlargura 0.202 0.538
 
8.4.2. 
 Os dados para este exemplo encontram-se na Matriz de dados 5.3., já 
foram submetidos à análise de componentes principais. Neste caso foi utilizada a 
análise discriminante multigrupos e o resultado encontra-se na Figura 8.2. 
 
 
 
Figura 8.2. Análise discriminante multigrupos aplicada à Matriz de dados 5.3. com valores 
cranianos de oreodontes (Subdesmatochoerus sp. (Su), Megoreodon gigas loomisi (Me), O. 
osborni (Oo), Psuedodesmatochoerus (Ps), Desmatochoerus hatcheri (De), M. culbertsoni (Mc) e 
Prodesmatochoerus . meeki (Pr)). 
. 
 
 Na Tabela 8.2. pode-se constatar que o eixo fatorial I corresponde à 89% 
da variabilidade presente e o eixo fatorial II à 8,6%. Os altos carregamentos 
similares de cada variável no eixo I, provavelmente devido aos níveis de 
correlação entre si, podem ser claramente interpretados como relações resultantes 
de variação no tamanho, pois crânios maiores tendem a ter componentes maiores. 
Tal hipótese já tinha sido levantada quando da aplicação da análise de 
componentes principais a estes mesmos dados 
 135
 
Tabela 8.2. Autovalores e autovetores correspondentes à análise discriminante aplicada aos valores 
de oreodontes 
Autovalores: 
 F1 F2 F3 F4 
Autovalor 46.067 4.463 1.078 0.029
Discriminação (%) 89.212 8.643 2.089 0.056
% acumulada 89.212 97.855 99.944 100.000
 
Correlações Variáveis/Fatores: 
 F1 F2 F3 F4 
BC-W 0.922 0.078 0.321 0.204
TR-L 0.982 0.176 -0.071 0.004
Bu-L 0.907 -0.321 -0.141 0.233
Bu-HP 0.823 -0.565 0.027 -0.056
 
 
 No trabalho de MILLER & KAHN (1962), de onde provem os valores da Tabela 
de dados 5.3., são também apresentadas as afinidades taxonômicas entre as 
espécies de oreodontes (Figura 8.3.). 
 
 
 
 
Figura 8.3. Afinidades taxonômicas entre as sete espécies de oreodontes 
 
 Ao confrontar esta distribuição taxonômica com os resultados da análise 
discriminante mostrada na Figura 8.2. pode-se levantar a hipótese que as espécies 
Merychoidodon culbertsoni, Prodesmatochoerus meeki e O. osborni estão mais 
próximas entre si, podendo eventualmente ser ai incluída Subdesmatochoerus. Por 
outro lado há uma relação entre Psuedodesmatochoerus e Desmatochoerus 
hatcheri, ficando Megoreodon mais afastada. 
 
8.4.3. 
 136
LANDIM, FERREIRA & BETTENCOURT (2010) aplicaram análise discriminante 
multigrupos para a classificaçãoregional de algumas unidades geológicas 
existentes no Complexo Ultramáfico-Carbonatítico de Jacupiranga, de idade 
cretácea, localizado no Sudoeste do Estado de São Paulo/Brasil, e alojado em 
rochas pré-cambrianas do Grupo Açungui. Já haviam sido identificadas 12 
unidades, classificadas segundo o objetivo de beneficiamento do minério, mas 
nesse estudo apenas os carbonatitos foliado (CBF), branco (CBR) e norte (CBN) 
foram enfocados. As variáveis consideradas foram teores dos óxidos CaO, MgO, 
SiO2, Fe2O3, P2O5, MnO, SrO, S, MnO e perda ao fogo (PF) obtidos em 95 
amostras analisadas (Matriz de dados 8.1.). A localização dos pontos de 
amostragem encontra-se na Figura 8.4. 
O objetivo da pesquisa foi realizar a avaliação comparativa dos atributos 
geoquímicos com a finalidade de fornecer subsídios para a melhoria do modelo de 
lavra e otimização do planejamento de lavra. 
 
Figura 8.4. Localização dos pontos de amostragem 
 A aplicação da análise discriminante forneceu o resultado exibido na Figura 
8.5. As observações usadas no cálculo das funções discriminantes, assim como os 
respectivos centróides dos grupos, podem ser projetadas no espaço definido pelos 
eixos discriminantes mais importantes. Geralmente escolhem-se as duas funções 
 137
discriminantes de maior peso para servir como eixos ortogonais para uma 
distribuição das observações dos diversos grupos e os respectivos centróides. 
Para testar a significância das funções encontradas, ou seja, verificar se 
entre dois grupos considerados os mesmos pertencem a uma única população ou 
à duas distintas populações, calcula-se a distância entre as duas médias 
multivariadas. Esta medida de distância é conhecida como “distância generalizada 
de Mehalanobis”, ou D², e mede a separação entre as duas médias multivariadas 
expressa em unidades de variâncias combinadas, a qual é usada para ser testada 
pela distribuição F. 
 
Figura 8.5. Análise discriminante multigrupos aplicada aos valores de carbonatito 
O resultado gráfico mostra que ocorrem zonas de recobrimentos entre os 
três grupos, o que indica a possibilidade de algumas amostras estarem 
erroneamente classificadas. Isso fica evidenciado pela Tabela 8.3. a qual mostra a 
porcentagem de amostras mal classificadas 
 
 
 
 
 
 
Tabela 8.3. Classificação das amostras posicionadas correta e incorretamente após a análise 
discriminante 
De \ A CBF CBN CBR Total 
% 
correto 
CBF 28 5 3 36 77.78%
CBN 1 35 1 37 94.59%
CBR 7 0 15 22 68.18%
 138
Total 36 40 19 95 82.11%
 
 Como os grupos estão discriminados, as amostras pertencentes a 
cada um deles são dispostas de maneira a indicar a que distâncias estão do seu 
respectivo centróide. Para cada caso são utilizadas as funções discriminantes 
calculadas e em seguida verificado se as classificações originais estavam corretas 
ou não (Tabela 8.4.). Tais resultados são apresentados em termos probabilísticos 
e como se tem à disposição a coordenada geográfica de cada uma das amostras 
foram construídos três mapas de probabilidade de ocorrência (Figuras 8.6., 8.7., 
8.8.). 
Tabela 8.4. Identificação da amostra, Coordenada XY do ponto de amostragem, classificação a 
priori, classificação a posterior, probabilidade de ocorrência no grupo discriminado, distâncias ao 
quadrado ao centróide do grupo. 
ID X Y Prior Post Prob. CBF Prob. CBN Prob. CBR d²(i,CBF) d²(i,CBN) d²(i,CBR)
05F 790336.766 265354.574 CBF CBF 0.479 0.409 0.112 11.121 11.491 13.038
06F 790355.046 265242.683 CBF CBF 0.890 0.007 0.103 8.572 18.291 11.897
07F 790365.832 265220.596 CBF CBF 0.966 0.014 0.020 4.315 12.883 11.038
08F 790377.104 265198.328 CBF CBN 0.200 0.790 0.009 7.579 4.891 12.742
111F 790410.572 265273.55 CBF CBF 0.928 0.004 0.068 2.995 13.993 7.238
115F 790295.576 265237.038 CBF CBF 0.963 0.005 0.032 5.039 15.573 10.877
116F 790282.807 265221.912 CBF CBF 0.901 0.039 0.060 4.896 11.229 9.342
117F 790258.508 265227.702 CBF CBF 0.926 0.017 0.057 4.333 12.439 8.911
118F 790303.044 265205.535 CBF CBF 0.716 0.000 0.284 27.940 43.753 28.805
120F 790288.474 265238.732 CBF CBF 0.946 0.015 0.039 2.347 10.676 7.718
121F 790404.351 265304.282 CBF CBF 0.970 0.014 0.016 4.081 12.677 11.281
126F 790400.461 265323.905 CBF CBF 0.909 0.007 0.083 6.219 15.949 10.012
129F 790237.546 265242.326 CBF CBF 0.939 0.050 0.011 6.308 12.219 14.246
130F 790215.931 265269.378 CBF CBF 0.735 0.001 0.264 19.667 32.843 20.733
134F 790386.872 265344.535 CBF CBN 0.170 0.820 0.010 8.787 5.700 13.478
135F 790403.176 265356.401 CBF CBN 0.034 0.962 0.005 41.789 35.142 44.733
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 
 
 
 139
 
FIGURA 8.6. Probabilidade de distribuição de amostras pertencentes à unidade litológica CBF 
 
 
 
 
FIGURA 8.7. Probabilidade de distribuição de amostras pertencentes à unidade litológica CBF 
 
 140
 
FIGURA 8.8. Probabilidade de distribuição de amostras pertencentes à unidade litológica CBF 
 
Os trabalhos desenvolvidos por Ferreira (2007) forneceram uma visão geral 
das características mineralógicas, texturais e composicionais das principais 
unidades faciológicas estudadas. A partir do arranjo espacial das fácies e dos 
mapeamentos geológicos realizados, foi inferido que no contato entre o 
Carbonatito Foliado e o Carbonatito Branco, e entre o Carbonatito Norte e o 
Carbonatito Dolomítico, ocorre uma zona de transição onde a interdigitação dos 
litotipos e a ocorrência de corpos dolomíticos é comum e de difícil delimitação. 
Isso dificulta a separação de litotipos na amostragem, podendo, inclusive, ser 
verificado a presença de diversos litotipos em uma mesma amostra. Em assim 
sendo, tal dificultada pode ser amenizada, como visto neste trabalho, com a 
aplicação da classificação regionalizada que fornece mapas de ocorrência em 
bases probabilísticas. 
 
 
 
 
 
 141
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
DAVIS, J.C (2002) - Statistics and Data Analysis in Geology: 3th ed., John Wiley and Sons, 
Inc. 
 
FERREIRA, T.C.O., 2007. Avaliação comparativa dos atributos geológicos, mineralógicos, 
químicos e estruturais de corpos carbonatíticos da mina de apatita de Cajati, SP.: 
implicações no modelo de lavra. Monografia do Trabalho de Formatura (TF-2007/41), 
I.Gc., USP. São Paulo, 48p. 
 
LANDIM, P.M.B.; FERREIRA, T.C.O.; BETTENCOURT, J.S. (2010) – Regionalized 
classification of multivariate geochemical data from Jacupiranga Alkaline Complex (Ribeira 
de Iguape Valley/São Paulo, Brazil): Revista Brasileira de Geociências, 40(2): 
 
LANDIM, P. M. B. & PERINOTTO, J A J. (1981) - Taxonomia numérica dos mesossaurídeos 
da Formação Irati (Permiano da Bacia do Paraná). In: Simpósio Regional de Geologia, v. 
2. p. 201-212. 
 
MILLER, R.L. & KAHN, J.S. (1962) - Statistical analysis in the geological sciences: John 
Wiley and Sons. 
 
RAO, C.R. (1952) - Advanced statistical methods in biometric research: John Wiley and 
Sons. 
 
 
 142
9. INTRODUÇÃO À GEOESTATÍSTICA 
Os métodos clássicos da análise estatística multivariada, como visto nos 
capítulos anteriores, não levam em consideração a localização dos pontos de 
amostragem, nem as relações espaciais entre os valores encontrados. Nas 
circunstâncias em que se dispõe das coordenadas geográficas dos pontos que 
constituem a rede de amostragem, soluções adaptadas podem ser aplicadas. Um 
exemplo disso é a disposição gráfica em um mapa, ou seja em duas dimensões, 
dos resultados obtidos por qualquer método multidimensional. Desse modo 
ferramentas se tornaram necessárias para entender o comportamento espacial de 
variáveis e daí a necessidade de métodos estatísticos que enfoquem a análise 
espacial de dados geológicos. A metodologia geoestatística surgiu, então, e vem 
sendo desenvolvida paraencontrar soluções para essa problemática. Neste 
capítulo será apresentado uma breve introdução ao assunto. 
 O termo “geoestatística” é aplicado para o estudo das chamadas variáveis 
regionalizadas, ou seja, variáveis com condicionamento espacial (MATHERON 1962, 
1963). Os métodos geoestatísticos fornecem um conjunto de técnicas necessárias 
para entender a aparente aleatoriedade dos dados, os quais apresentam, porém, 
uma possível estruturação espacial, estabelecendo, desse modo, uma função de 
correlação espacial. Essa função representa a base da estimativa da variabilidade 
espacial em geoestatística. CHILÉS & DELFINER (1999) e SOARES (2006) apresentam 
uma revisão histórica sobre a geoestatística com uma síntese sobre o 
desenvolvimento de suas técnicas, sendo o seu início ligado à problemas de lavra 
mineira. 
A estimativa de reservas sempre se constituiu parte fundamental do 
planejamento mineiro. O conhecimento geológico que se tenha a respeito do bem 
mineral a ser explorado, as eficientes instalações na boca da mina, os detalhes 
precisos sobre a commoditie em questão são variáveis importantes, mas o que vai 
decidir se o empreendimento será lucrativo ou não, dentro de um intervalo de 
tempo considerado, é a reserva medida com precisão. 
No planejamento mineiro tal estimativa é realizada por meio de blocos onde 
as reservas mineráveis são amalgamadas para produzir reservas globais e curvas 
de teor/tonelagem. O processo todo, e para cada bloco, é baseado na coleta de 
 143
amostras pontuais, ou seja, com volumes menores que os blocos. As amostras, 
com teores conhecidos, é que irão estimar o teor médio dos blocos, a duas ou a 
três dimensões. 
Seja, por exemplo, um bloco a ser estimado a partir de 5 amostras (Figura 
9.1.): 
 
Figura 9.1. Determinação do valor de uma area a partir de cinco pontos com valores 
conhecidos 
 
Supondo que ocorra uma relação espacial entre os teores, os valores serão 
muito próximos em dois pontos vizinhos e progressivamente mais diferentes à 
medida que os pontos vão ficando mais distantes. Nesse sentido é intuitivo 
esperar que o teor da amostra 3 seja similar, porém não necessariamente 
idêntico, ao teor médio do bloco. Pode-se esperar que as amostras 1, 4 e 5 
também apresentem teores similares ao valor médio do bloco, mas não tanto 
como o teor em 3. Finalmente, com relação à amostra 2, situada mais distante, 
seria necessário um conhecimento melhor sobre a disposição espacial de valores 
no depósito para decidir se ela tem, ou não, relação com o valor médio do bloco. 
Em outras palavras, amostras situadas perto do bloco deverão apresentar teores 
altamente relacionados com ele e poderão, portanto, serem utilizadas para 
estimar o seu valor médio, e à medida que se situem a distâncias maiores o seu 
relacionamento diminui até se tornar independente. O peso da influência de cada 
amostra é, pois, inversamente correspondente à distância e essa noção pode ser 
aplicada para a estimativa do valor médio do bloco utilizando para tanto amostras 
com valores conhecidos, mas situadas a distâncias julgadas “convenientes”. 
Quanto mais próximas estiverem maior será o seu peso no processo de estimação. 
 Nesta estimativa surgem, evidentemente, algumas questões: Até que 
 144
distâncias devem ser consideradas as amostras? Quantas devem ser usadas? 
Aquela eventualmente colocada no centro do bloco terá um peso maior que as 
demais? Se amostras formarem grupos, qual a influência desses agrupamentos? 
Como evitar que os resultados sejam sub ou super estimados? A relação espacial, 
em termos geométricos, entre as amostras estimadoras e o bloco a ser estimado, 
tem importância? Essa técnica de estimativa pode ser utilizada indistintamente 
para depósitos do tipo cobre porfirítico, lateritas niquelíferas, veios de cassiterita, 
depósitos de urânio e outros? 
Para responder a essas questões tornou-se necessária a geoestatística, a 
preocupar-se com o entendimento, por meio de análise matemática, da gênese e 
leis naturais que governam fenômenos interpretados como regionais. Isso traz 
como conseqüência direta a estimativa das variáveis regionais usando informações 
e relações a partir de um conjunto discreto de amostras, juntamente com a 
avaliação dos erros de estimativa, para estabelecer o grau de segurança em 
previsões e os padrões ótimos de amostragem, que assegure que um erro máximo 
de estimativa não seja excedido. 
Inicialmente a aplicação era apenas para situações em geologia mineira na 
lavra e prospecção, mas depois em Climatologia, Geologia Ambiental, Geologia de 
Petróleo, Geotecnia, Hidrogeologia, Pedologia, , entre outros. Praticamente todas 
as ultimas versões de softwares para confecção de mapas ou Sistemas de 
Informações Georreferenciadas apresentam módulos com métodos 
geoestatísticos. 
 As origens da geoestatística podem ser encontradas em trabalhos 
pioneiros de KOLMOGOROV (1941a,b) sobre fluídos turbulentos, WIENER (1942) sobre 
séries de tempo, KRIGE (1951), WIJS (1951, 1953), ambos sobre mineração, MATÉRN 
(1960) sobre silvicultura e GANDIN(1963) sobre meteorologia. A obra clássica sobre 
o assunto, porem é de autoria de MATHERON (1962-1963), ao estabelecer as bases 
para uma metodologia que representa a grande contribuição das Geociências para 
a Estatística Aplicada. 
 Como fontes introdutórias são recomendados os livros de RENDU (1981), 
CLARK (1979), ARMSTRONG (1998), BROOKER (1991), CLARK & HARPER (2000) e LANDIM 
(2003). Podem ser citados também diversos textos que tratam de aplicações da 
 145
geoestatística, como JOURNEL & HUIJBREGTS (1978), VALENTE (1982), GUERRA (1988), 
ISAAKS & SRIVASTAVA (1989), SAMPER-CALVETE & CARRERA-RAMÍREZ (1996), GOOVAERTS 
(1997), DEUTSCH & JOURNEL (1992), OLEA (1999), HOHN (1999), YAMAMOTO (2001), 
SOARES (2006) e WEBSTER & OLIVER (2007) 
Atualmente o termo geoestatística acha-se consagrado como um tópico 
especial da estatística aplicada que trata de problemas referentes às variáveis 
regionalizadas, as quais têm um comportamento espacial mostrando 
características intermediárias entre as variáveis verdadeiramente aleatórias e as 
totalmente determinísticas. 
 As variáveis regionalizadas são constituídas por um duplo aspecto 
aparentemente contraditório. Pela sua característica “aleatória” apresenta 
irregularidades e variação imprevisível de ser avaliada de um ponto para outro e 
pela sua característica “estrutural” apresenta relações existentes entre os pontos 
no espaço motivadas pela sua gênese. Em outras palavras: é impossível prever 
com exatidão o teor do minério num determinado ponto da jazida (aspécto 
aleatório), mas é provável que se encontre minério rico perto de minério rico 
(aspecto estrutural). No estudo do comportamento das variáveis regionalizadas a 
ferramenta fundamental é a análise variográfica. 
 
9.1. Variograma 
 Cada ponto no espaço não apresenta, em teoria, um único valor, mas uma 
distribuição de probabilidades de ocorrência de valores. No ponto x a propriedade 
Z(x) é uma variável aleatória com média µ, variância σ2 e uma função de 
distribuição acumulada. No espaço existem infinitos pontos xi, i = 1,2, ..., Z(xi), 
com suas próprias funções de distribuição. O conjunto de variáveis aleatórias 
constituem uma função aleatória, ou processo aleatório, ou processo estocástico. 
O conjunto de valores reais de Z que inclui a realização da função aleatória é 
conhecido como variável regionalizada. 
Seja uma variável regionalizada Z(xi) coletada em diversos pontos i 
distribuídos por uma certa região. Como definir, porém, e, por conseqüência, 
prever o comportamento espacial da variável regionalizada? 
 146
Para entender a variaçãoespacial do processo aleatório subjacente deve-
se levar em consideração a possibilidade que o valor de cada ponto no espaço 
está relacionado de algum modo com valores obtidos a partir de pontos situados a 
certa distância, sendo razoável supor que a influência é tanto maior quanto menor 
for a distância entre os pontos. Daí que a inferência da continuidade espacial de 
uma variável regionalizada possa ser feita a partir de valores amostrais tendo 
como análise estrutural a estatística a dois pontos, como se verá a seguir. 
O conjunto de variáveis aleatórias Z(xi), i = 1, 2, ...N, correlacionadas entre 
si constituem uma função aleatória da qual se conhece apenas uma realização 
z(xi), ou seja o conjunto dos dados experimentais. Com uma só realização é 
teoricamente impossível determinar quaisquer parâmetros, como média ou 
variância, da função. A solução proposta por MATHERON (1978) consiste em assumir 
restrições segundo diversos graus de estacionariedade da função aleatória. 
Uma variável regionalizada obedece a uma estacionariedade de 1ª ordem 
quando seus atributos são invariantes por translação. Assim se for admitido que 
todas as variáveis aleatórias tenham a mesma media, este parâmetro passa a ser 
independente da localização de xi e pode ser estimado pela média aritmética dos 
valores das realizações das variáveis aleatórias (SOARES, 2006): 
E{Z(x1)}= E{Z(x2)}=... E{Z(xi)}= E{Z(x)}= m 
∑
=α
α=
N
1
)x(Z
N
1
m 
Julgar, porém, que essa hipótese esteja correta significa supor que a média 
das amostras seja representativa da área estudada, ou seja, que os valores não 
homogêneos. A hogeneidade espacial dificilmente ocorre, sendo necessário a 
verificação da variabilidade presente. 
A hipótese de estacionariedade de 2ª ordem alem de definir que a 
esperança matemática, E{Z(x)}, existe e não depende do suporte x, define 
também que a correlação entre duas variáveis aleatórias depende somente da 
distância espacial, h, que as separa e é independente da sua localização (JOURNEL 
& HUIJBREGTS, 1978): 
E{Z(x)} = m 
 147
Covariância= C(h)=E{Z(x+h)*Z(x)}-m2, onde h representa um vetor de 
coordenadas (hu, hv, hw) no espaço tri-dimensional. 
 Como a covariância depende do tamanho do vetor h, se h=0, C(h) passará 
a representar a variância, representada por C(0). 
Var{Z(x)}=E{[Z(x)-m]2}=C(0). 
 
 A função variograma é definida como a variância do incremento [Z(x+h) – 
Z(x)]: 
 γ(h)=
2
1
E{[Z(x+h)-Z(x)]2}=C(0)-C(h). 
 Esta hipótese de estacionariedade de 2ª ordem assume a existência da 
variância e, portanto, de uma variância a priori finita. Existem porem fenômenos 
físicos e, consequentemente variáveis regionais, com uma capacidade infinita de 
dispersão nos quais não se pode definir a priori nem a covariância nem a 
variância. MATHERON (1965) reconheceu o problema e propôs, pela hipótese 
intrínsica, que se geralmente a media pode não ser constante, para intervalos 
pequnos de h, as diferenças esperadas poderiam ser zero: 
 E[Z(x) – Z(x+h)] = 0 
 Alem disso substituiu a covariância pela variância das diferenças como 
medida de relação espacial, assumindo a existência e estacionariedade do 
variograma. Para todos os vetores h o incremento [Z(x+h) – Z(x)] tem uma 
variância finita, a qual não depende do suporte x: 
 Var{Z(x+h) – Z(x)} = E{[Z(x+h) – Z(x)]2=2γ(h). 
 Com relação ao termo variograma há uma confusão terminológica na 
literatura geoestatística. Alguns autores preferem essa terminologia, como 
WACKERNAGEL (2003), por exemplo, enquanto outros a denominação semi-
variograma, como JOURNEL & HUIJBREGTS (1978), por exemplo. Segundo BACHMAIER & 
BACKES (2008) a confusão com respeito ao prefixo “semi” surgiu porque MATHERON 
(1965) tinha em mente a variância das diferenças )]x(Z)hx(Z[Var −+ r , mas o 
valor desejado, na prática, era a metade dessa diferença, que fornece a variância 
por ponto sendo os pontos considerados aos pares separados por h. O correto 
deve ser, portanto, simplesmente variograma. 
 148
 Como γ(h) = C(0) - C(h) isso significa que se o vetor h apresentando-se 
infinitamente pequeno faz com que a variância seja mínima e a covariância 
máxima. Haverá um valor ∆h para o qual ambas podem apresentar valores 
aproximadamente iguais, porém, à medida que ∆h aumenta a covariância diminui 
enquanto a variância aumenta, porque ocorre progressivamente maior 
independência entre os pontos a distâncias cada vez maiores. 
 A variância distribui-se assim de 0, quando h=0, até um valor igual à 
variância das observações para um alto valor de h, se os dados forem 
estacionários, isto é, não ocorrer a presença de tendência nos valores. Essas 
relações são mostradas quando a função γ(h) é colocada em gráfico contra h para 
originar o variograma. A distância segundo a qual γ(h) atinge um patamar, 
denominado soleira ou patamar (sill), igual à variância à priori dos dados, é 
chamada de alcance ou amplitude (range). Geralmente a soleira é representada 
por C e o alcance por a. A variância não é apenas igual à média das diferenças ao 
quadrado entre pares de pontos espaçados às distâncias h, mas também é igual à 
variância dessas diferenças. 
O variograma mostra a medida do grau de dependência espacial entre 
amostras ao longo de um suporte específico e, para sua construção, são usados 
simplesmente as diferenças ao quadrado dos valores obtidos, assumindo-se uma 
estacionaridade nos incrementos. Isso significa que o variograma é uma medida 
da variabilidade geológica condicionada pela distância. Tal variabilidade pode ser 
bastante diferente quando consideradas diferentes direções. Por exemplo, em 
estratos sedimentares com inclinação ocorre maior correlação de valores na 
direção das camadas do que no sentido do mergulho das mesmas. 
 Para construir um variograma é necessário, portanto, dispor de um 
conjunto de valores obtidos a intervalos regulares dentro de um mesmo suporte 
geométrico. Sendo x(1), x(2), .... x(i), .... x(n), valores de uma variável 
regionalizada a seguinte fórmula fornece uma estimativa não tendenciosa da 
variância: 
( ) ( )∑ −=γ + 2ihi xxn21h 
 149
 O estudo é feito em uma direção ao longo de uma linha ou ao longo de uma 
série de linhas paralelas, utilizando n possíveis diferenças a intervalos h ou 
múltiplos de h. 
Em CLARK (1979) é apresentada a construção de um variograma a partir de 
uma rede regular, com espaçamento entre os pontos de 100 pés. Trata-se de um 
depósito estratiforme de ferro com valores em porcentagem por peso (Figura 
9.2.). 
38
36
35
37
42
44
37
35
38
37
35
36
37
43
40
35
35
35
42
42
30
34
37
38
39
40
33
36
37
39
39
29
32
36
37
41
37
30
29
35
33
40
36
32
28
34
38
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
4
5
6
 
Figura 9.2. Distribuição de pontos em rede regular, segundo CLARK (1979) 
 
Para o cálculo dos variogramas, em diversas direções, são encontradas as 
somatórias dos quadrados das diferenças e posterior divisão por duas vezes o 
número dessas diferenças. Assim para a direção Leste-Oeste inicia-se com o 
menor intervalo possível, ou seja, 100 pés da seguinte maneira: 
 
γ*(100) = [ (40 - 42)2 + (42 - 40)2 + (40 - 39)2 + (39 - 37)2 + (37 - 36)2 + (43 - 
42)2 + (42 - 39)2 + (39 - 39)2 + (39 - 41)2 + (41 - 40)2 + (40 - 38)2 + (37 - 37)2 + 
(37 - 37)2 + (37 - 35)2 + (35 - 38)2 + (38 - 37)2 + (37 – 37)2 + (37 - 33)2 + (33 - 
34)2 + (35 - 38)2 + (35 - 37)2 + (37 - 36)2 + (36 - 36)2 + (36 - 35)2 + (36 - 35)2 + 
(35 - 36)2 + (36 - 35)2 + (35 - 34)2 + (34 - 33)2 + (33 - 32)2 + (32 - 29)2 + (29 - 
28)2 + (38 - 37)2 + (37 - 35)2+ (29 - 30)2 + (30 - 32)2 ] / [2 x 36] = 1,46 
 
 Para o intervalo de 200 pés: 
 
 150
γ*(200) = [ (44 - 40)2 + (40 - 40)2 + (42 - 39)2 + (40 - 37)2 + (39 - 36)2 + (42 - 
43)2 + (43 - 39)2 + (42 - 39)2 + (39 - 41)2 + (39 - 40)2 + (41 - 38)2 + (37 - 37)2 + 
(37 - 35)2 + (37 - 38)2 + (35 - 37)2 + (38 - 37)2 + (37 – 33)2 + (37 - 34)2 + (38 - 
35)2 + (35 - 36)2 + (37 - 36)2 + (36 - 35)2 + (36 - 36)2 + (35 - 35)2 + (36 - 34)2 + 
(35 - 33)2 + (34 - 32)2 + (33 - 29)2 + (32 - 28)2 + (38 - 35)2 + (35 - 30)2 + (30 - 
29)2 + (29 – 32 ] / [2 x 33] = 3,30 
 
 E assim por diante, tanto para esta direção como para a Norte-Sul. O 
resultado, e apresentado na Tabela 9.1.: 
Tabela 9.1. Valores para a confecção de variogramas em duas direções 
Direção Distância Variograma No. Pares 
Leste-Oeste 100 
200 
300 
400 
1,46 
3,30 
4,31 
6,70 
36 
33 
27 
23 
Norte-Sul 100 
200 
300 
5,35 
9,87 
18,88 
36 
27 
21 
 
 Estes resultados permitem a construção dos variogramas experimentais nas 
duas direções consideradas, e o que se pode perceber é que há uma distinta 
diferença na estrutura dos dados, ou seja, a presença de uma anisotropia. Na 
direção Norte-Sul os valores aumentam muito mais rapidamente, sugerindo uma 
maior continuidade na direção Leste-Oeste. 
 
 
 151
 
 Os variogramas expressam o comportamento espacial da variável 
regionalizada e mostram: 
a) o tamanho da zona de influência em torno de uma amostra, pois toda amostra 
cuja distância ao ponto a ser estimado for menor ou igual ao alcance, fornece 
informações sobre o ponto; 
b) a anisotropia, quando os variogramas mostram diferentes comportamentos 
para diferentes direções de linhas de amostragem e de estudo da variável; neste 
caso a anisotropia pode ser geométrica quando o alcance varia de acordo com as 
diversas direções consideradas, mantendo constante a soleira e zonal quando o 
alcance permanece constante e a soleira varia conforme for modificada a direção; 
c) continuidade, pela forma do variograma, em que para h ≅ 0, γ(h) já apresenta 
algum valor. Essa situação é conhecida como efeito pepita (nugget effect) e é 
representada por C0. O efeito pepita pode ser atribuído a erros de medição ou ao 
fato de que os dados não foram coletados a intervalos suficientemente pequenos 
para mostrar o comportamento espacial subjacente do fenômeno em estudo. 
 
 Na construção do variograma, as somatórias necessárias para o cálculo de 
γ(h) devem ser constituídas por um número suficiente de pares, que tornem o 
resultado consistente. Como regra prática adota-se para tanto um mínimo de 30 
pares, o que pode ser conseguido se for escolhido como maior ∆h, a metade da 
maior distância existente entre os pontos. Isto significa que, para uma análise 
geoestatística, exige-se que o número mínimo de pontos amostrados seja 
razoável, por volta de 30 a 40. 
 Uma outra consideração importante a ser feita é determinar o grau de 
aleatoriedade presente nos dados pela fórmula E = C0/C (GUERRA 1988): 
 152
 
E<0,15: componente aleatória pequena 
0,15 ≤ E ≤ 0,30: componente aleatória significante 
E > 0,30: componente aleatória muito significativa. 
 O extremo dessa situação é o modelo de pepita pura, onde não ocorre 
covariância entre os valores e, portanto, a análise semivariográfica não se aplica, 
sendo sugerido o uso de outros métodos de interpolação. 
 De posse do variograma experimental é necessário ajustá-lo a um modelo 
teórico que definirá os parâmetros “efeito pepita”, “alcance” e “patamar”. Há 
necessidade de ajustar uma função matemática que descreva continuamente a 
variabilidade ou correlação espacial existente nos dados. O variograma 
experimental não serve para esse fim, porque há necessidade de interpolação e os 
pontos apresentar-se-ão com uma certa dispersão, principalmente para distâncias 
grandes, quando o número de pares de amostras diminui. O variograma 
experimental não avalia distâncias e direções intermediárias e uma interpolação 
entre pontos do variograma experimental não garante a existência e unicidade de 
solução para o sistema de krigagem. As funções matemáticas dos modelos devem 
permitir que a matriz de covariâncias, neles baseada, possa ser invertida, para 
fornecer os “pesos” para a interpolação por krigagem. Desse modo, somente 
certos modelos podem ser usados: 
 
a) Modelos com patamar 
 
a.1) Modelo esférico 



 

−

=γ 3
a
h
2
1
a
h
2
3C)h( , para h < a 
C)h( =γ , para h ≥ a, 
neste modelo a inclinação da tangente junto à origem (h≅0) é 3C/2a; é o modelo 
mais comum, podendo-se afirmar que equivale à função de distribuição normal da 
estatística clássica. 
a.2) Modelo exponencial 
 153
]e1[C)h( a/h3−−=γ 
neste modelo a inclinação da tangente junto à origem é C/a; C é a assíntota de 
uma curva exponencial e pode ser equalizada junto à soleira; “a” corresponde ao 
alcance prático igual à distância segundo a qual 95% da soleira foi alcançada. 
a.3) Modelo gaussiano 
]e1[C)h(
2)a/h3(−−=γ 
a curva é parabólica junto à origem e a tangente nesse ponto é horizontal, o que 
indica pequena variabilidade para curtas distâncias; “a” corresponde ao alcance 
prático igual à distância segundo a qual 95% da soleira foi alcançada. 
 
b) Modelos sem patamar 
b.1) Modelo potencial 
γ (h)=Chα, com a potência α assumindo valores entre 0 e próximo a 2; 
quando α = 1 o modelo torna-se linear; 
γ(h) = ph, sendo p a inclinação da reta; 
é o modelo mais simples e representado por uma reta passando pela origem do 
gráfico. 
 Para dados que estão irregularmente distribuídos no espaço bidimensional 
não é possível, em princípio, encontrar pares de amostras suficientes com 
exatamente o mesmo espaçamento h para o cálculo em uma determinada direção, 
como feito com dados dispostos em malha regular. Para contornar essa situação 
define-se uma distância de tolerância ∆’h para o espaçamento h entre os pares de 
amostras de um ângulo de tolerância ∆’α para a direção α considerada. Assim, 
para o cálculo do variograma de uma distribuição irregular de pontos ao longo de 
uma determinada direção α, consideram-se todas as amostras que se encontram 
no ângulo α ± ∆’α, e, em seguida, classificam-se os pares de amostras em classes 
de distância ∆h± ∆’h, 2∆h± ∆’h, onde ∆h é a distância básica. As direções 
consideradas e seus respectivos ângulos de tolerância devem cobrir a área toda. 
 
 154
 
 
 Para a estimativa do variograma experimental, não se tendo certeza se o 
fenômeno sob estudo é isotrópico ou anisotrópico no espaço bidimensional, 
inicialmente consideram-se quatro direções, E-W, N-S, NE-SW e NW-SE, com um 
ângulo de abertura com tolerância de 45º. Quando se constata uma direção bem 
marcante de anisotropia deve-se adotar tal direção com um pequeno ângulo de 
tolerância (α0 ± ∆’α0) para estimar o variograma nessa direção. Melhores 
estimativas são obtidas quando os modelos são baseados em variogramas 
experimentais que apresentam a menor razão “efeito pepita/patamar” e, também, 
o maior alcance. 
 Em resumo, para a utilização do variograma as seguintes suposições 
básicas são requeridas: 
a) as diferenças entre pares de valores de amostras são determinadas apenas pela 
orientação espacial relativa dessas amostras; 
b) o interesse é enfocado apenas na média e na variância das diferenças, 
significando que esses dois parâmetros dependem unicamente da orientação; 
c) por conveniência assume-se que os valores da área de interesse não 
apresentam tendência que possa afetar os resultados e, assim, a preocupação é 
apenas com a variância das diferenças entre valoresdas amostras. 
A modelagem, ou seja, o ajuste de um variograma experimental a uma 
função é um passo fundamental na análise variográfica, sendo um processo que 
envolve várias tentativas e na qual a experiência pesa muito. Pode-se optar por 
um ajuste manual por comparação visual, mais sujeito a erros, ou, com o auxílio 
 155
de algoritmos, para ajustes automáticos como apresentado, entre outros, em 
PANNATIER (1996). Acrescentar, em seguida, a essa verificação a “validação 
cruzada”. Nessa análise, depois de obtido o modelo variográfico, cada valor 
original é removido do domínio espacial e, usando-se os demais, um novo valor é 
estimado para esse ponto. Desse modo, um gráfico pode ser construído 
mostrando a relação entre valores reais e estimados. A validação cruzada, porém, 
não prova que o modelo escolhido é o mais correto, mas sim que o mesmo não é 
inteiramente incorreto. A melhor verificação, então, é aquela resultante do 
confronto entre os valores estimados e a realidade de campo. 
Uma comparação entre os ajustes a um modelo esférico e a um modelo 
linear é apresentada a seguir e o ajuste é indicado, no gráfico, pela relação entre 
a reta a 45º e a obtida pela análise. Um valor igual a 1,0 significa a indicação de 
ajuste perfeito. 
0
 
 
1442
 
 
2885
 
 
4327
 
 
5770
0 4 7 10 14
S
em
iv
ar
iâ
nc
ia
Distância "h"
Modelo esférico
373
 
 
442
 
 
510
 
 
579
 
 
648
373 442 510 579 648
V
al
or
es
 re
ai
s
Valores estimados
 
0
 
 
1523
 
 
3047
 
 
4570
 
 
6093
0 4 7 10 14
S
em
iv
ar
iâ
nc
ia
Distância "h"
Modelo linear
-1328
 
 
471
 
 
2271
 
 
4071
 
 
5870
-1328 471 2271 4071 5870
V
al
or
es
 re
ai
s
Valores estimados
 
 Num estudo geoestatístico, portanto, a parte fundamental refere-se à 
determinação do variograma. Isso é importante e todo o cuidado deve ser tomado 
na análise variografica para que possa obter uma criteriosa análise geoestatística. 
 156
9.2. Krigagem 
Krigagem é o processo de estimativa geoestatístico de valores de variáveis 
distribuídas no espaço, e/ou no tempo, a partir de valores adjacentes enquanto 
considerados como interdependentes pelo variograma. Trata-se, em último caso, de 
um método de estimativa por médias móveis. O termo, tradução do francês 
krigeage, e do inglês kriging, foi cunhado pela escola francesa de geoestatística 
em homenagem ao engenheiro de minas sul-africano e pioneiro na aplicação de 
técnicas estatísticas em avaliação mineira, Daniel G. Krige. 
 A krigagem pode ser usada, como algoritmo estimador, para: 
a) previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um determinado 
local dentro do campo geométrico; é um procedimento de interpolação exato 
que leva em consideração todos os valores observados, o qual pode ser a base 
para cartografia automática por computador quando se dispõe de valores de 
uma variável regionalizada dispostos por uma determinada área; 
b) cálculo médio de uma variável regionalizada para um volume maior que o 
suporte geométrico como, por exemplo, no cálculo do teor médio de uma jazida 
a partir de informações obtidas de testemunhas de sondagens; 
 Em todas essas situações o método fornece, além dos valores estimados, o 
“erro” associado a tal estimativa, o que o distingue dos demais algoritmos à 
disposição. A krigagem usa informações a partir do variograma para encontrar os 
pesos ótimos a serem associados às amostras que irão estimar um ponto, um área 
ou um bloco. Como o variograma é uma função da distância entre locais de 
amostragens, mantendo o mesmo número de amostras, os pesos são diferentes 
de acordo com o seu arranjo geográfico. O uso do variograma para a estimativa 
por krigagem não exige que os dados tenham distribuição normal, mas a presença 
de distribuição assimétrica, com muitos valores anômalos, deve ser considerada, 
pois a krigagem é um estimador linear. 
 Este termo abrange uma família de algoritmos conhecidos como krigagem 
simples, krigagem ordinária, krigagem universal, krigagem indicativa, krigagem 
com deriva externa. O estimador mais usual é a krigagem ordinária cuja tradução, 
do frances “krigeage ordinaire”, deveria ser krigagem normal (SOARES, 2006). A 
tradução, porem, esta consagrada entre nós e será a usada neste texto. 
 157
 
9.2.1. Krigagem ordinária 
 Seja um ponto que se deseja estimar, sendo o valor real desconhecido 
representado por V. O valor estimado (V*) é calculado, utilizando n amostras 
localizadas segundo coordenadas conhecidas, com valores x1, x2, x3....xn 
(conjunto S), de forma linear, como por exemplo, através da técnica da 
ponderação pelo inverso das distâncias. 
 V* = p1 x1 + p2x2 + p3x3 + ... + pnxn, onde os pi são os pesos atributos a 
cada amostra i. 
 É evidente que existe associado a esse estimador um erro ε=V-V* e que se, 
teoricamente, diversas estimativas forem feitas a média de erros é zero. Se os 
erros, portanto, apresentarem valores próximos a zero, o estimador é de 
confiança e isso pode ser verificado pela distribuição desses valores. A maneira 
mais simples de medir estatisticamente tal distribuição é via o desvio padrão ou a 
variância. No caso em questão, porém, a variância não pode ser obtida porque 
não se conhece o valor real que se esta estimando e, portanto, também não se 
sabe qual o erro associado. 
 Variância dos erros = 2εσ = desvios ao quadrado em relação ao erro médio 
= média de (V-V*)2. 
 Para encontro da variância pode-se, porém, utilizar o variograma, em que 
são medidas as diferenças ao quadrado. Num variograma, previamente calculado, 
dada uma distância h entre os pontos, pode-se estimar a variância simplesmente 
lendo o valor no eixo dos γ´s e multiplicando-o por 2 
)h(22 γ=εσ 
 Desse modo, para o processo de estimativa de um ponto utilizando o 
método da krigagem, procede-se da seguinte maneira: 
nn332211 xp...xpxpxpV* +++= 
 Se a soma dos pesos for igual a 1 e não ocorrer tendência local dos valores, 
esse estimador é o melhor e não tendencioso, pois a partir dos pesos atribuídos a 
cada amostra, minimiza a estimativa da variância. 
0/ i
2 =∂λ∂σε , n,...4,3,2,1i = 
 158
 Isso é obtido construindo-se um sistema de n equações com n incógnitas 
(λ1, λ2, λ3, ... λn) e havendo a restrição de que Σλi=1, passa-se a n+1 equações. 
Como se tem apenas n incógnitas desconhecidas, introduz-se uma outra, também 
desconhecida, para balancear o sistema, ou seja, o chamado multiplicador de 
Lagrange, µ. 
0)1i(2 =−λΣλ−ε∂ , se 01i =−λΣ 
 O objetivo da krigagem é procurar pelo conjunto ótimo de ponderadores de 
modo que a variância do erro de estimativa seja a menor possível. Para tanto é 
organizado um sistema de equações com n+1 incógnitas, para a estimativa de um 
ponto (So) 
1
)S,S(
)S,S(
)S,S(
0
)S,S(
)S,S(
)S,S(
)S,S(
)S,S(
)S,S(
)S,S()S,S(
)S,S()S,S(
)S,S()S,S(
0n
02
01
n
nnn
n2n
n1n
3
3n
3
32
3
31
3
2
1
2n
21
n1
222121
21
2
111
γ
γ
γ
=+
=µ+γ
=µ+γλ
=µ+γλ
++λ
++γλ
++γλ
++γλ
+λ+
+γλ+γλ
+γλ+γλ
+γλ+γλ
λ
λ
λ L
L
L
L
 
 
Em notação matricial: 
]S,S[][]S,S[
1
)S,S(
)S,S(
)S,S(
0111
1)S,S()S,S()1S,S(
1)S,S()S,S()S,S(
1)S,S()S,S()S,S(
0iiii
0n
02
01
n
2
1
nn2nn
n22212
n12111
λ










γ
γ
γ
=










µ
λ
λ
λ










γγγ
γγγ
γγγ
MM
L
L
M
L
MM
L
 
Estas equações constituem equaçõesnormais a n+1 incógnitas, as quais podem ser 
resolvidas, para a obtenção dos coeficientes, por cálculo matricial, segundo: 
]SiS[]λ][SS[ 0iii = 
 Multiplicando ambos os termos da equação pelo inverso de [SiSi]: 
[SiSi]-1.[SiSi].[λι] = [SiSi]-1.[SiS0] ; 
como [SiSi]-1.[SiSi] = [I] (matriz de identidade), portanto, [I].[ λι] = [λι] e 
]A[]A[.]I[ = , 
e, desse modo, a solução para o cálculo dos pesos λι torna-se 
[λι] = [SiSi]-1.[SiS0] 
 159
A matriz [Si,Si] contém os valores obtidos no variograma referentes às 
distâncias entre as amostras estimadoras; o vetor [Si,S0] contém os valores 
obtidos no variograma referentes às distâncias entre cada amostra e o ponto (S0) 
a ser estimado e o vetor [λι] contém os ponderadores a serem calculados. 
Resolvido o sistema de equações, obtém-se os pesos λi e o multiplicador de 
Lagrange, µ, segundo: 
[λi] = [Si,Si] -1 [Si,S0] 
 Para o ponto S0 a ser estimado, obtém-se uma combinação linear dos 
valores dos pontos vizinhos e respectivos pesos 
S0 = ΣλiSi 
 Para o cálculo da variância (σ²) associada ao valor S0 obtido por estimativa 
usa-se a expressão: 
]S,S[]'[)S,S( 0ii0ii
2 λ=µ+γλΣ=σ , 
sendo [λi]' = vetor transposto com os pesos λi e [Si,S0] = vetor com os valores 
obtidos no variograma referentes às distâncias entre cada amostra e o ponto (S0) 
a ser estimado. 
 
9.2.2. Exemplo: interpolação de pontos para a confecção de mapas de 
contornos 
 Existe a disposição diversos algoritmos para a estimativa de pontos que são 
utilizados na interpolação para a confecção de mapas, como o inverso ao 
quadrado da distância, curvatura mínima, vizinho mais próximo, regressão 
polinomial, entre outros, alem da krigagem. A diferença entre os diversos métodos 
esta em como, a partir de valores conhecidos, podem ser estimados os nós de 
uma rede regular necessária para a obtenção dos mapas. Normalmente nesse tipo 
de estudo parte-se de uma série de pontos regular ou irregularmente distribuídos 
com valores conhecidos e a partir deles procura-se por construir uma rede regular 
de pontos interpolados. O que distingue a krigagem dos demais métodos é que 
ela leva consideração a variabilidade espacial dos dados, alem de fornecer uma 
medida indicativa do erro de interpolação. 
 160
 Os dados para este exemplo provêm de uma jazida de carvão, localizada 
em Sapopema/PR, na qual foram obtidos 38 valores para a variável espessura em 
metros (Matriz de dados 9.1.). Como descrito por CAVA (1985) e LANDIM (2003) 
esse depósito situa-se a cerca de 20 km a noroeste de Figueira, no nordeste do 
Estado do Paraná, em sedimentos da parte superior do Membro Triunfo da 
Formação Rio Bonito. Na Figura 9.3. esta a localização da rede de amostragem. 
 
Figura 9.3. Rede regular de amostragem contendo os valores de espessura. 
 
 A partir desses 38 valores de espessura da jazida de carvão a krigagem 
ordinária é aplicada para estimar valores em pontos não amostrados e, 
consequentemente, fazer um mapa com a distribuição espacial dessa variável. Na 
Figura 9.4. encontra-se o reticulado em que para cada nó valores serão 
estimados. 
 161
 
Figura 9.4. Reticulado em que os nós apresentam valores conhecidos e valores a serem estimados 
por krigagem ordinária. 
 
 Na Figura 9.5. é mostrado, após modelagem, o variograma esférico que 
forneceu os seguintes parâmetros: C0 = 0; C = 0.102 e a = 2.45 
 
 
Figura 9.5. Variograma esférico com C0 = 0; C = 0.102 e a = 2,45 
 Com esse resultado da análise estrutural os valores para a rede regular 
foram estimados por krigagem ordinária. A Figura 9.6 mostra o mapa obtido e a 
Figura 9.7. o respectivo mapa com os desvios-padrão da krigagem. Esta medida 
associada à estimativa é que distingue o método da krigagem em relação aos 
demais algoritmos e, desse modo, quando da sua aplicação sempre resultam dois 
mapas: um com a distribuição dos valores interpolados e outro com a variância, 
ou o desvio padrão, referentes aos valores estimados. Nestes a localização dos 
menores valores coincide com as áreas com maior densidade de pontos. Nos 
locais onde os nós da rede coincidir com um ponto já conhecido a estimativa é 
 162
livre de erro e isso é muito útil para a verificação da qualidade do produto final 
obtido. Sendo a krigagem um método que fornece interpoladores exatos, ao 
prever valores em pontos previamente conhecidos o faz sem erro. 
 
Figura 9.6. Distribuição de valores de espessura de carvão, obtida por krigagem ordinária. 
 
 
Figura 9.7. Mapa dos desvios-padrão dos valores obtidos por krigagem ordinária. 
 
 Como estimar, porem, valores desconhecidos a partir de valores 
conhecidos utilizando a krigagem? Nesse método há necessidade de encontrar, 
preliminarmente, a variabilidade espacial dos dados o que é conseguido por uma 
análise variográfica. Em outras palavras, antes da aplicação da krigagem é 
 163
preciso calcular um semivariograma experimental e em seguida modelá-lo. Seja, 
portanto, o exemplo mostrado na Figura 9.8. onde apenas quatro valores 
conhecidos são usados para determinar um ponto desconhecido. 
 
Figura 9.8. Estimativa do valor no ponto 0 
Neste método para a estimativa do ponto 0 são necessários não apenas os 
valores das distâncias de cada um dos 4 pontos em relação a ele, mas também 
as distâncias entre os pontos (Figura 9.9.) 
 
Figura 9.9. Relação entre os 4 pontos estimadores 1, com valor 1,3, 2, com valor 1,18, 3, com 
valor 1,4, e 4, com calor 1,0, e o ponto 0 com valor a ser estimado 
 
Não são as distâncias euclidianas, porém, que são utilizadas, mas sim os 
valores resultantes da análise espacial pelo variograma modelado. Isso pode ser 
obtido graficamente colocando os valores no variograma ou analiticamente 
utilizando a formula de um modelo, no caso, o esférico. Assim o valor γ para a 
 164
distância euclidiana 0,50, entre o ponto 4, o mais próximo, e 0, é calculado 
segundo: 
 
0
3
2
1
2
3)( C
a
h
a
hCh +





−

=γ 
031,00
5,2
50,0
2
1
5,2
50,0
2
3
102,0)50,0(
3
=+


 

−

=γ 
 De modo idêntico são encontrados todos os demais valores: 
Pontos Distâncias γ(h) 
1-2 0.707 0.043 
1-3 0.707 0.043 
1-4 1.500 0.082 
1-0 1.000 0.059 
2-3 1.000 0.059 
2-4 1.118 0.065 
2-0 0.707 0.043 
3-4 1.118 0.065 
3-0 0.707 0.043 
4-0 0.500 0.031 
 
 
 De posse desses valores pode-se organizar o sistema de krigagem para o 
cálculo dos pesos λi e do multiplicador de LaGrange µ: 
 










µ
λ
λ
λ
λ
=



















 −
4
3
2
1
1
1
031,0
043,0
043,0
059,0
01111
10065,0065,0082,0
1065,00059,0043,0
1065,0059,00043,0
1082,0043,0043,00
 
 










−
−
=




















−
−−
−
−
−−
003,0
473,0
272,0
272,0
017,0
1
031,0
043,0
043,0
059,0
046,0362,0188,0188,0261,0
362,0977,9304,5304,5631,0
188,0304,5733,15222,1207,9
188,0304,5222,1733,15207,9
261,0631,0207,9207,9783,17
 
 Pesos: λ1=-0,017; λ2=0,272; λ3=0,272; λ4=0,473, somando 1. 
Para o cálculo do teor em 0: 
 165
0 = (-0,017*1,30) + (0,272*1,18) + (0,272*1,40) + (0,473*1,00) = 1,153 m 
 
 Para este resultado é necessário o estabelecimento de um intervalo de 
confiança. A variância associada à estimativa pela krigagem é: 
S2k=(-0,017*0,059)+(0,272*0,053)+(0,272*0,053)+(0,473*0,031)-0,003=0,034 
Sk = 0,185 
 Usando este desvio padrão para estabelecer um intervalo de confiança e 
supondoque a distribuição dos valores de estimativa apresente distribuição 
normal em torno do valor real e que, portanto, 95% dessa distribuição estão no 
intervalo de mais ou menos 1,96 desvios padrão, tem-se que o intervalo de 
confiança é da ordem de ± 0,185 * 1,96 = 0,363 
 O valor do ponto 0 deve estar, portanto entre 0,790 e 1,516 m. 
 Todos os demais valores a serem estimados, com os respectivos desvios 
padrão da krigagem, são calculados de forma idêntica. 
 
 
 
 
 
 166
BIBLIOGRAFIA 
 
ARMSTRONG, M. (1998) – Basic Linear Geostatistics: Springer 
 
BACHMAIER, M. & BACKES, M. (2008): Variogram orsemivariogram? Understanding the 
variances in a variogram: Precision Agric., 9:173-175. 
 
BROOKER, P. I. (1991) – A Geostatistical Primer: World Scientific. 
 
CAVA, L.T., Coord. (1985) - Potencial e Perspectivas para o Carvão Mineral do Estado do 
Paraná: MINEROPAR/PR. 
 
CHILÉS, J. P. & DELFINER, P. (1999) Geostatistics. Modeling spatial uncertainty: John 
Wiley and Sons. 
 
CLARK I. (1979) – Practical Geostatistics: Applied Science Publishers Ltd, 129p. 
http://uk.geocities.com/drisobelclark/practica.html 
 
CLARK, I. & HARPER, W. V. (2000) - Practical Geostatistics 2000: Geostokos (Ecosse) 
Limited 
 
DEUTSCH, C.V. AND JOURNEL, A.G. (1992) - GSLIB-Geoestatistical Software Library and 
User’s Guide. Oxford University Press 
 
GANDIN, L. S. (1963) – Ob”ektivnyi analiz meteorologicheskikh polei: 
Gidrometeologicheskoe Izdatel’stvo, Leningrad. Translation (1965): Objective Analysis of 
Meteorological Fields. Israel Program for Scientific Translations, Jerusalém. 
 
GOOVAERTS, P. (1997) - Geostatistics for Natural Resources Evaluation: Oxford University 
Press 
 
GUERRA P.A.G. (1988) - Geoestatística Operacional: Departamento Nacional da Produção 
Mineral. 
 
HOHN, M. E. (1999): Geostatistics and Petroleum Geology: Kluwer Academic Publishers. 
 
ISAAKS, E. & SRIVASTAVA, R.M. (1989) - An Introduction to Applied Geostatistics: Oxford 
University Press. 
 
JOURNEL, A.G. & HUIJBREGTS, J.C.H. (1978) - Mining geostatistics: Academic Press. 
 
KOLMOGOROV, A. N. (1941a) – The local structure of turbulence in incompressible 
viscous fluid at very large Reynold’s numbers : Comptes Rendus (Doklady) de l’Académie 
des Sciences de l’URSS, 30(4):301-305. Reprinted (1961) in “Turbulence: Classic Papers 
on Statistical Theory”, S. K. Friedlander and L. Topping, eds.: Interscience Publishers, 
151-155 
 
KOLMOGOROV, A. N. (1941b) – Dissipation of energy in the locally isotropic turbulence: 
Comptes Rendus (Doklady) de l’Académie des Sciences de l’URSS, 32(1):16-18. Reprinted 
(1961) in “Turbulence: Classic Papers on Statistical Theory”, S. K. Friedlander and L. 
Topping, eds.: Interscience Publishers, 159-161. 
 
 167
 
KRIGE, D. G. (1951) – A statistical approach of some basic mine valuation problems on 
the Witwatersrand: Journal of the Chemical, Metallurgical and Mining Society of South 
Africa, December:119-139. 
 
LANDIM, P. M. B. (2003) – Análise estatística de dados geológicos: Editora UNESP, 2ª. 
edição. 
 
MATÉRN, B. (1960) – Spatial Variation. Stochastic Models and Their Application to Some 
Problems in Forest Surveys and Other Samplng Investigations. Meddelanden frän Statens 
Skogsforskningsinstitut, vol. 49, n. 5, Almaenna Foerlaget, Stockholm. Second edition 
(1986), Springer. 
 
 
MATHERON, G. (1962-1963) - Traité de Géostatistique Appliquée, Tome I; Tome II: Le 
krigeage: I. Mémoires du Bureau de Recherches Géologiques et Minières, n.14 (1962), 
Editions Technip, Paris ; II. Mémoires du Bureau de Recherches Géologiques et Minières, 
n. 24 (1963), Editions B.R.G.M., Paris 
 
MATHERON, G. (1965) – Les variables regionalisées et leur estimation. : Masson, Paris. 
 
OLEA, R. A. (1999) – Geostatistics for Engineers and Earth Scientists: Kluwer Academic 
Publishers 
 
PANNATIER Y. (1996) - VARIOWIN. Software for Spatial Data Analysis in 2D: Springer-
Verlag. 
 
RENDU, J-M. (1981): Na Introduction to Geostatistical Methods of Mineral Evaluation: 
South African Institute of Mining and Metallurgy Monograph Series, Geostistics 2, 2nd. Ed. 
 
SAMPER-CALVETE, F. J. & CARRERA-RAMÍREZ, J. (1996): Geoestadística. Aplicaciones a 
la hidrogeologia subterrânea: Centro Internacional de Métodos Numéricos em Ingenieria, 
Universitat Politécnica de Catalunya. 
 
SOARES, A. (2006) – Geoestatística para as ciências da terra e do ambiente: IST Press, 
Lisboa. 
 
VALENTE, J. M. G. P. (1982) – Geomatemática. Lições de Geoestatística: Ed. Fundação 
Gorceix, vol. I-VIII. 
 
WACKERNAGEL, H. (2003) – Multivariate Geostatistics: An Introduction with Applications: 
Springer-Verlag, 3th. Ed. 
 
WEBSTER, R. & OLIVER, M. A. (2007) – Geostatistics for Environmental Scientists, 2nd. 
Ed.: Wiley 
 
WIENER, N. (1942): The Extrapolation, Interpolation and Smooting of Stationary Time 
Series. With Engineering Applications: Report of the Services 19, Research Project DIC-
6037, MIT, Cambridge, Massachusetts. Printed in book form (1949): Wiley and Sons. 
 
 168
WIJS, H. J. de (1951): Statistics of ore distribution. Part I: Frequency distribution of assay 
values: Geologie em Mijnbouw (Journal of the Royal Netherlands Geological and Mining 
Society), New Series, 13(11):365-375. 
 
WIJS, H. J. de (1953): Statistics of ore distribution. Part II: Theory of binomial distribution 
applied to sampling and engeneering problems: Geologie em Mijnbouw (Journal of the 
Royal Netherlands Geological and Mining Society), New Series, 15(1):12-24. 
 
YAMAMOTO, J.K. (2001) – Avaliação e Classificação de Reservas Minerais (Editor): Edusp 
 169
10. CLASSIFICAÇÃO REGIONALIZADA 
Uma das mais importantes tarefas em Geociências é resolver problemas por 
medição de atributos regionalizados. A classificação multivariada de unidades 
estratigráficas, perfis de poços ou amostras petrográficas combinada com o 
conceito de variáveis regionalizadas podem fornecer procedimentos para uma 
identificação de regiões geográficas homogêneas. Os resultados podem, então, 
serem usados para a formulação de hipóteses de trabalho que procurarão explicar 
os processos que levaram à formação do fenômeno em estudo. Como os 
processos geológicos são bastante complexos e a amostragem geralmente não é 
suficiente, a simplificação da realidade se impõe por meio de modelos. 
Classificação regionalizada de espécimes geológicas em grupos é um desses 
modelos simplificadores, segundo o qual os resultados de análises de dados 
multidimensionais georreferenciados podem ser transferidos para o espaço 
geográfico real possibilitando mapeamentos. 
Na Classificação Regionalizada procura-se, portanto, atribuir, em termos 
probabilísticos, amostras multivariadas e georreferenciadas a grupos previamente 
determinados. Assim o primeiro, e fundamental, passo é a definição dos grupos, o 
que pode ser feito utilizando um método estatístico multivariado, como a análise 
de agrupamentos, ou por um conhecimento específico “a priori” sobre o assunto. 
Definido os grupos, as amostras serão submetidas a uma análise discriminante 
multigrupos e com o auxílio de medidas, como a distância generalizada de 
Mahalanobis associada à krigagem, verificar a respectiva atribuição para os grupos 
considerados. 
De acordo com OLEA (1999) não há nada de novo em termos conceituais na 
Classificação Regionalizada. A novidade é a junção de diversas técnicas 
estatísticas multivariadas e geoestatísticas para a construção de um modelo 
geológico. HARFF & DAVIS (1990) publicaram a primeira formulação do método 
combinando elementos geoestatísticos com idéias provenientes de VORONIN (1967), 
RODIONOV (1981) e KOGAN (1986). Outros autores que apresentaram contribuições 
ao assunto foram HARFF, DAVIS & OLEA (1991), HARFF, DAVIS, OLEA & BOHLING (1991), 
HARFF, BOHLING& OLEA (1993). Em BOHLING (1997), além de um programa para o 
 170
cálculo da Classificação Regionalizada, são apresentadas diversas alternativas para 
a implementação do método. 
Neste texto é adotado o enfoque apresentado por PACHECO & LANDIM (2005). 
Segundo esses Autores os principais problemas associados a esta metodologia 
são: a) a interpretação geológica dos grupos e se os mesmos são espacialmente 
autocorrelacionados ou não, pois os algoritmos convencionais para análise de 
agrupamentos acabam por definir os grupos encontrados de maneira subjetiva; e 
b) a atribuição de amostras que não apresentam probabilidades bem definidas de 
pertencer a um determinado grupo. 
 Para a definição inicial dos grupos foi proposto um agrupamento natural, 
baseado no conhecimento geológico, operação denominada “primeiro modo”. Em 
seguida o mesmo conjunto de amostras deve ser submetido a uma análise de 
agrupamentos clássica, usando método de WARD (1963), operação denominada 
“segundo modo”. Ambos os resultados são submetidos a uma análise 
discriminante multigrupos para verificar se as amostras estão devidamente 
classificadas em seus respectivos grupos. Escolhendo duas diferentes 
metodologias para tal verificação espera-se que as amostras que forem mantidas 
nos mesmos grupos, independentemente do método, estejam realmente bem 
classificadas dentro de certos espaços geográficos. Aquelas, porém, que mudarem 
de grupo, conforme o método aplicado, são consideradas como pertencentes a 
regiões híbridas. 
 Um fluxograma desse enfoque para a Classificação Regionalizada a dois 
modos é apresentado na Figura 10.1. 
 
 171
 
Figura 10.1. Fluxograma da Classificação Regionalizada a dois modos, Segundo PACHECO & LANDIM 
(2005). 
 
 Como os dados são georreferenciados o produto de ambas as Classificações 
Regionalizadas podem originar arranjos reticulares regulares com o auxílio de 
algoritmos estimadores como a krigagem. Nos nós desses retículos estarão 
distribuídas espacialmente as amostras identificadas pelos agrupamentos 
encontrados. Desse modo pela comparação entre ambos os retículos encontrados 
faz-se uma análise dos nós. Havendo coincidência de identificação as amostras 
permanecem no grupo em questão. Caso contrário passam a pertencer a um 
grupo híbrido, ou de transição entre grupos bem caracterizados. 
 
10.1. Exemplo 
 Neste exemplo aplicou-se a Classificação Regionalizada para mapear, em 
termos probabilísticos, as influências principais que teriam agido no controle da 
composição química de águas subterrâneas de uma região granitóide no centro-
leste de Portugal, conhecida como plutonito do Fundão (PACHECO & LANDIM, 2005). 
A matriz de dados analisada é composta por 160 análises geoquímicas de 
águas subterrâneas, provenientes da citada região, com teores em µmol/L dos 
maiores anions e sílica dissolvida: Cl-, SO42-, NO3-, HCO3- e SiO2. (Matriz de dados 
10.1. e Figura 10.2.). Tais dados já tinham sido analisados por PACHECO (1998b) 
 172
que utilizou a análise das correspondências para determinar as principais 
influências sobre a composição química dessas águas. Segundo esse estudo, que 
conseguiu identificar águas poluídas e não poluídas, por regressão linear múltipla, 
três seriam os fatores controladores: alteração por intemperismo, contaminação 
agrícola e contaminação doméstica (Figura 10.3.). 
 
 
Figura 10.2. Distribuição dos pontos 
 
 
Figura 10.3. Distribuição das águas na região do plutonito do Fundão (Pacheco,1998b) 
 
Inicialmente, como no caso do exemplo 8.4.3., aplicou-se uma análise de 
agrupamentos aos dados. Naquele exemplo já havia um conhecimento “a priori” 
de quantos grupos existiam. Neste caso procurou-se, pela análise de 
agrupamentos, determiná-los. O método utilizado foi o do agrupamento 
hierárquico e o coeficiente de similaridade adotado, para o procedimento 
 173
aglomerativo, foi o de Ward. Nessa técnica o agrupamento é baseado na variância 
mínima, onde o enfoque é sobre a variabilidade que existe dentro de cada caso e 
os agrupamentos são efetuados ao se determinar que pares de casos, quando 
tomados em conjunto, apresentam o menor acréscimo de variabilidade. O 
resultado dessa análise indicou três grandes grupos com a distribuição das 
amostras de maneira muito semelhante àquela encontrada por PACHECO (1998b). 
Depois de obtido o dendrograma e verificada a presença dos três grupos, os 
mesmos foram submetidos à análise discriminante multigrupos. 
 A análise discriminante confirmou três grupos, que foram interpretados de 
acordo com o trabalho de Pacheco (1998b), como águas não poluídas em que a 
composição é influenciada fundamentalmente pela alteração das rochas e águas 
poluídas, seja por efluentes domésticos seja por contaminação de defensivos 
agrícolas (Figura 10.4.). 
 
Figura 10.4. Resultado da análise discriminante multigrupos 
Como os grupos estão discriminados, as amostras pertencentes a cada um 
deles são dispostas de maneira a indicar a que distâncias estão do seu respectivo 
centróide. Para cada caso são utilizadas as funções discriminantes calculadas e em 
seguida verificado se as classificações originais estavam corretas ou não. Esse 
resultado é apresentado em termos probabilísticos. Como se tem à disposição a 
coordenada geográfica de cada uma das amostras foram construídos três mapas 
de probabilidade de ocorrência Neste caso foram utilizados as coordenadas 
relativas dos pontos e não as absolutas (Tabelas 10.1. e 10.2.). 
 
 
 174
 
Tabela 10.1. 
Coordenadas 
relativas 
Coordenadas 
Gauss ID 
X Y X Y 
28 176 127 253543.9 353824.6
30 181 129 253719.3 353894.7
31 166 110 253193 353228.1
32 165 118 253157.9 353508.8
35 144 76 252421.1 352035.1
39 148 149 252561.4 354596.5
41 124 160 251719.3 354982.5
42 145 180 252456.1 355684.2
45 202 261 254456.1 358526.3
51 172 272 253403.5 358912.3
59 138 259 252210.5 358456.1
60 176 227 253543.9 357333.3
61 190 235 254035.1 357614
63 180 110 253684.2 353228.1
66 118 122 251508.8 353649.1
67 123 116 251684.2 353438.6
71 88 109 250456.1 353193
72 85 100 250350.9 352877.2
... ... ... ... ... 
 
 
Tabela 10.2. Probabilidades de ocorrência de amostras nos três grupos considerados 
ID X Y Pr(A) Pr(B) Pr(C) 
28 176 127 0.452 0.000 0.548
30 181 129 0.319 0.001 0.680
31 166 110 0.800 0.000 0.200
32 165 118 0.870 0.000 0.130
35 144 76 0.485 0.000 0.515
39 148 149 0.757 0.000 0.243
41 124 160 0.862 0.000 0.138
42 145 180 0.864 0.000 0.136
45 202 261 0.095 0.000 0.905
51 172 272 0.330 0.000 0.670
59 138 259 0.003 0.016 0.981
60 176 227 0.753 0.000 0.247
61 190 235 0.793 0.000 0.207
63 180 110 0.001 0.998 0.001
66 118 122 0.695 0.000 0.305
67 123 116 0.563 0.000 0.437
71 88 109 0.428 0.000 0.572
72 85 100 0.921 0.000 0.079
74 71 105 0.781 0.000 0.219
75 65 95 0.847 0.000 0.153
76 66 85 0.647 0.000 0.353
77 131 77 0.508 0.000 0.492
 175
78 115 71 0.002 0.993 0.005
79 94 74 0.849 0.000 0.151
84 120 106 0.698 0.000 0.302
85 118 101 0.785 0.000 0.215
86 216 113 0.668 0.000 0.332
87 253 106 0.791 0.000 0.209
90 285 172 0.656 0.000 0.344
92 301 208 0.767 0.000 0.233
96 312 165 0.852 0.000 0.148
99 333 158 0.533 0.000 0.467
202 78 159 0.000 1.000 0.000
203 79 175 0.491 0.000 0.509
204 127 210 0.849 0.000 0.151
205 146 217 0.452 0.000 0.548
206 103 195 0.697 0.000 0.303
207 85 151 0.621 0.021 0.358
208 92 167 0.854 0.000 0.146
209 86 127 0.750 0.000 0.250
210 84 112 0.878 0.000 0.122
211 124 188 0.205 0.000 0.795
212 128 174 0.845 0.000 0.155
213 150 197 0.400 0.420 0.180
214 140 150 0.743 0.000 0.257
215 150 155 0.655 0.000 0.345
216 80 74 0.305 0.000 0.695
217 110 86 0.666 0.000 0.334
218 130 123 0.002 0.000 0.998
219 77 146 0.9250.018 0.057
220 170 277 0.000 1.000 0.000
221 200 228 0.805 0.000 0.195
222 174 231 0.690 0.000 0.310
223 163 214 0.755 0.000 0.245
224 173 188 0.361 0.000 0.639
225 166 172 0.800 0.000 0.200
226 178 175 0.816 0.000 0.184
227 186 184 0.857 0.000 0.143
228 145 80 0.400 0.000 0.600
229 235 64 0.767 0.000 0.233
230 288 86 0.531 0.000 0.469
231 221 83 0.438 0.000 0.562
232 203 111 0.909 0.000 0.091
233 200 129 0.000 1.000 0.000
234 175 153 0.737 0.000 0.263
235 227 214 0.830 0.000 0.170
236 234 218 0.000 1.000 0.000
237 212 192 0.874 0.000 0.126
238 220 198 0.828 0.000 0.172
239 209 164 0.678 0.000 0.322
241 364 221 0.934 0.000 0.066
242 351 230 0.952 0.000 0.048
243 190 282 0.046 0.003 0.951
244 240 182 0.766 0.000 0.234
 176
245 213 150 0.668 0.000 0.332
246 205 197 0.762 0.000 0.238
247 214 221 0.646 0.000 0.354
248 90 181 0.624 0.000 0.376
249 41 100 0.819 0.000 0.181
250 317 233 0.866 0.000 0.134
251 325 226 0.940 0.000 0.060
252 332 211 0.954 0.000 0.046
253 342 192 0.918 0.000 0.082
254 358 173 0.903 0.000 0.097
255 361 173 0.906 0.000 0.094
256 347 191 0.917 0.000 0.083
257 342 185 0.912 0.000 0.088
258 335 187 0.962 0.000 0.038
259 314 125 0.653 0.000 0.347
260 227 114 0.776 0.000 0.224
261 248 129 0.533 0.003 0.464
262 245 132 0.000 1.000 0.000
263 247 138 0.000 1.000 0.000
264 242 151 0.794 0.000 0.206
265 244 145 0.823 0.000 0.177
266 244 160 0.000 1.000 0.000
267 257 155 0.317 0.000 0.683
268 259 166 0.544 0.000 0.456
269 253 133 0.000 1.000 0.000
270 275 150 0.004 0.955 0.041
271 294 141 0.873 0.000 0.127
272 277 124 0.914 0.000 0.086
273 155 64 0.796 0.000 0.204
274 242 91 0.839 0.000 0.161
275 253 82 0.860 0.000 0.140
276 265 70 0.836 0.000 0.164
277 269 90 0.763 0.000 0.237
278 300 79 0.899 0.000 0.101
279 316 91 0.705 0.000 0.295
280 347 42 0.883 0.000 0.117
402 262 28 0.948 0.000 0.052
404 272 31 0.919 0.000 0.081
406 195 292 0.570 0.000 0.430
407 210 286 0.012 0.000 0.988
408 275 274 0.776 0.000 0.224
410 377 141 0.926 0.000 0.074
411 396 118 0.917 0.000 0.083
415 34 182 0.866 0.000 0.134
420 207 43 0.887 0.000 0.113
421 240 40 0.898 0.000 0.102
423 370 137 0.924 0.000 0.076
424 318 53 0.884 0.000 0.116
425 318 47 0.706 0.000 0.294
427 348 54 0.889 0.000 0.111
430 36 216 0.481 0.000 0.519
432 375 96 0.911 0.000 0.089
 177
433 369 83 0.904 0.000 0.096
434 380 86 0.922 0.000 0.078
435 371 69 0.891 0.000 0.109
438 245 281 0.868 0.000 0.132
439 179 58 0.763 0.000 0.237
440 191 51 0.781 0.000 0.219
441 264 53 0.570 0.000 0.430
442 317 78 0.809 0.000 0.191
443 348 141 0.821 0.000 0.179
444 348 111 0.906 0.000 0.094
446 259 135 0.797 0.000 0.203
447 247 114 0.446 0.000 0.554
452 148 81 0.381 0.000 0.619
453 118 141 0.422 0.000 0.578
457 92 34 0.846 0.000 0.154
458 230 57 0.855 0.000 0.145
463 43 27 0.921 0.000 0.079
514 208 188 0.769 0.000 0.231
522 182 195 0.402 0.000 0.598
523 150 118 0.563 0.000 0.437
524 154 158 0.435 0.000 0.565
525 123 177 0.795 0.000 0.205
530 248 119 0.514 0.000 0.486
534 287 105 0.866 0.000 0.134
535 294 81 0.605 0.000 0.395
536 239 65 0.801 0.000 0.199
539 287 156 0.684 0.000 0.316
540 258 133 0.845 0.000 0.155
573 338 181 0.954 0.000 0.046
574 317 190 0.671 0.000 0.329
575 325 164 0.435 0.000 0.565
583 43 241 0.778 0.063 0.159
589 253 82 0.853 0.000 0.147
591 85 227 0.497 0.000 0.503
 
Os mapas de probabilidade de distribuição de cada um desses grupos são 
mostrados nas Figuras 10.5, 10.5. e 10.7. 
 
 
 
 178
 
Figura 10.5. Probabilidades de distribuição das águas com composição química controlada 
por fertilizantes agrícolas 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.6. Probabilidades de distribuição das águas com composição química controlada 
por intemperismo 
 
 
 179
 
Figura 10.7. Probabilidades de distribuição das águas com composição química controlada 
por efluentes domésticos 
 
Esses resultados mostram a aplicação da análise discriminante em dados 
multivariados georreferenciados, porém, como visto, são apresentados três mapas 
em separados, quando o ideal seria os resultados num único mapa. Para tanto foi 
necessário a aplicação da Classificação Regionalizada. 
Segundo a metodologia proposta por PACHECO & LANDIM (2005) a definição 
inicial do agrupamento, denominado natural, foi feita baseada na análise de 
correspondências, sendo os grupos interpretados em termos de processos e/ou 
fontes controladores (PACHECO, 1998a). Num segundo momento foi feita uma 
classificação baseada na análise de agrupamentos, com o método de Ward como 
critério de aglomeração. Ambos os resultados foram submetidos a uma análise 
discriminante multigrupos que forneceu a probabilidade de cada amostra 
pertencer a um dos três grupos considerados (Tabela 10.3.). 
Tabela 10.3. Resultados da análise discriminante. CA/DA são os valores para a análise no primeiro 
momento e ClA/Da para o segundo momento 
Identificação Dados originais CA/DA ClA/DA 
ID X (m) Y (m) [HCO3-] [Cl-] [SO42-] [NO3-] [SIO2] Prior Post Prior Post
28 253614 353895 780 440 356 371 656 3 1 C C 
30 253789 353965 844 485 458 460 639 3 3 C C 
31 253263 353298 490 423 185 387 506 3 3 A A 
32 253228 353579 390 282 129 371 558 3 1 A A 
35 252491 352105 729 347 341 221 614 1 1 C C 
39 252631 354666 619 231 129 216 260 3 3 A A 
41 251789 355052 261 189 198 55 463 1 1 A A 
42 252526 355754 370 130 127 139 421 1 1 A A 
 180
45 254526 358596 1280 668 464 121 571 1 2 C C 
51 253474 358982 780 499 458 189 100 2 2 C C 
59 252281 358526 2260 2115 635 150 674 2 2 B C 
60 253614 357403 560 248 158 63 524 1 1 A A 
61 254105 357684 580 231 83 18 560 1 1 A A 
63 253754 353298 229 790 735 998 399 3 3 B B 
66 251579 353719 480 296 325 366 474 3 3 A A 
67 251754 353509 1052 243 4 0 684 1 1 C C 
71 250526 353263 639 183 433 0 626 1 1 C C 
72 250421 352947 239 164 56 1 478 1 1 A A 
74 249930 353123 660 149 44 32 609 1 1 A A 
75 249719 352772 480 138 62 0 399 1 1 A A 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
Dispondo das coordenadas geográficas de cada valor obtido por esta 
análise, segundo classificação posterior, foi construída uma rede regular de pontos 
com o auxílio do método interpolador da krigagem. Necessário enfatizar que 
ambos os retículos tem as mesmas dimensões. 
A Análise de Correspondências, otimizada pela Análise Discriminante 
revelou três agrupamentos naturais com geoquimismo controlado por: 
intemperismo (1); efluentes domésticos (2) e fertilizantes (3) (Figura 10.8.) 
 
N
248000 250000 252000 254000 256000 258000 260000 262000
350000
352000
354000
356000
358000
360000
0
0.9
1.8
2.7
CA group (influence)
3 (farmland fertilizers)
2 (domestic effluents)
1 (weathering)
 
Figura 10.8. Distribuição espacial dos grupos determinados pelo resultado do agrupamento natural 
otimizado pela análise discriminante. 
 
 181
A Análise de Agrupamentos, também otimizada pela Análise Discriminante, 
apresentou uma distribuição alternativa dessas mesmas amostras, porem também 
em três grupos: intemperismo (A); efluentes domésticos (C); fertilizantes (B) 
(Figura 10.9.). 
 
248000 250000 252000 254000 256000 258000 260000 262000
350000
352000
354000
356000
358000
360000
0
0.9
1.8
2.7
B (farmland fertilizers)
C (domestic effluents)
A (weathering)
N
ClA group (influence)
 
Figura 10.9. Distribuição espacial dos grupos determinados pelo resultado do análise de 
agrupamentos otimizada pela análise discriminante 
 
Fazendo a análise dos nós dos retículos, ou seja, combinando essas duas 
figuras anteriores obteve-se o mapa final (Figura 10.10). O recadastramento dos 
nós foi obtido da seguinte maneira: 1) quando os nós da Classificação 
Regionalizada/primeiro modo apresentaram os mesmos valores, ou seja,coincidindo 1 com A, 2 com C e 3 com B, os grupos foram mantidos como bem 
classificados; 2) quando o valor 3 não coincidia, recebia o valor 4 e passou a ser 
interpretado como mistura entre fertilizante e outras influências; 3) em todos os 
outros casos o valor passou a 0 e interpretado como mistura de intemperismo e 
efluentes domésticos. 
 
 182
248000 250000 252000 254000 256000 258000 260000 262000
350000
352000
354000
356000
358000
360000
Fundão
Souto da Casa
Telhado
Alcaria
Alcaide
Fatela
ValverdeCarvalhal
Joanes
Cabo
Code and Influence
Agriculture
Effluents
Weathering
Mixing between 
agriculture and 
the other 
influences
Mixing between 
weathering 
and effluents
N
4
3
2
1
0
 
Figura 10.10. Resultado da análise dos nós do reticulado. 
 183
BIBLIOGRAFIA 
BOHLING, G. C. , (1997) - GSLIB-Style Programs for Discriminant Analysis and 
Regionalized Classification: Computers & Geosciences, 23, no. 7, p.739-76A 
 
HARFF, J. & DAVIS, J.C. (1990) - Regionalization in geology by multivariate classification: 
Mathematical Geology, v. 22, no. 5, p. 577-588. 
 
HARFF, J., DAVIS, J.C. & OLEA, R.A. (1991) – Quantitative assessment of mineral 
resources with an application to petroleum geology: Nonrenewable Resources, vol. 1, n. 
1:74-84 
 
HARFF, J., DAVIS, J.C., OLEA, R.A. & BOHLING, G. (1991) – Regionalization of Western 
Kansas Based on Multivariate Classification of Stratigraphic Data from Oil Wells, II: Kansas 
Geol. Survey, Open-File Report 91-40, 30 pp. 
 
HARFF, J., OLEA, R.A. & BOHLING, G. (1993) – From Multivariate Sampling to Thematic 
Maps with an Application to Marine Geochemistry: in J. Davis & U.C. Herzfeld (eds.) 
“Computers in Geology. 25 Years of Progress”, I.A.M.G., Studies in Mathematical Geology 
n.5:265-274 
 
KOGAN, R.I. (1986) - Interval’nye ocenki v Geologicheskich Issledovanijach: Nedra Prss, 
Moscow, 335 pp. 
 
OLEA, R.A. (1999) - Geostatistics for engineers and earth scientists: Kluwer Academic 
Publishers, chapter A4. 
 
PACHECO, F.A.L. (1998a) - Finding the number of natural clusters in groundwater data 
sets using the concept of equivalence class: Computers & Geosciences, v. 24, no. A, p. 7-
A5. 
 
PACHECO, F.A.L. (1998b) - Application of correspondence analysis in the assessment of 
groundwater chemistry: Mathematical Geology, v. 30, no. 2, p. A29-A6A. 
 
PACHECO, F.A.L. & LANDIM, P.M.B. (2005) - Two-Way Regionalized Classification of 
Multivariate Datasets and its Application to the Assessment of Hydrodynamic Dispersion: 
Mathematical Geology, v.37, no. 4, p. 393-4A7 
 
RODIONOV, D.A., (1981), Statisticheskie Rezhenija v Geologii: Nedra Press, Moscow, 23A 
pp. 
 
VORONIN, J.A. (1967) - Geologija I Matematika: Nauka Press, Novosibirsk, 253 pp. 
 
WARD, J.H. (1963) - Hierarchical grouping to optimize an objective function: Journal of 
the American Statistical Association, v. 58, p. 238-244. 
 
 
 
 184
11. GEOESTATÍSTICA MULTIVARIADA 
 
 A utilização da krigagem, em suas diversas formas, permite uma análise 
geoestatística univariada. Freqüentemente, porém, quando diversas variáveis são 
obtidas nos mesmos pontos torna-se necessário uma análise geoestatística 
multivariada de corregionalização. Nesse caso duas técnicas se destacam: a 
“cokrigagem” e a “krigagem fatorial”. 
 
11.1. Cokrigagem 
A Cokrigagem é um procedimento geoestatístico segundo o qual diversas 
variáveis regionalizadas podem ser estimadas em conjunto, com base na 
correlação espacial entre si. É, portanto, uma extensão multivariada do método da 
krigagem quando para cada local amostrado obtém-se um vetor de valores em lugar 
de um único valor. 
Uma das mais freqüentes aplicações ocorre quando a amostragem de uma 
variável, denominada primária, é insuficiente e o objetivo é, então, melhorar a sua 
estimação utilizando a correlação, por ventura existente, com variáveis mais 
densamente amostradas, conhecidas como secundárias. Ou quando a variável 
primária exibe uma baixa autocorrelação espacial e as variáveis secundárias 
apresentam uma alta continuidade. Normalmente o estudo é feito considerando 
uma variável primária e apenas uma secundária. Se o numero total de variável 
primária e secundárias for igual a n, serão necessários n(n+1)/2 variogramas e 
covariogramas cruzados. No caso de mais de duas variáveis secundárias o sistema 
de cokrigagem torna-se extremamente complicado. 
 Fundamental na utilização da cokrigagem é a verificação prévia da 
correlação existente entre a variável primária e as variáveis secundárias, a qual 
deve ser alta para que as estimativas sejam consistentes (WATANABE et al., 2009).
 Quando os pontos de amostragem são totalmente coincidentes (isotopia), 
não se obtém uma melhoria substancial quando se aplica a cokrigagem em 
relação à krigagem ordinária. Por outro lado é imposível estimar covariancias 
cruzadas com todos os dados não coincidentes (heterotopia). A melhoria de 
interpretação somente é significativa quando a variável primária tem um número 
 185
extremamente reduzido de casos em relação às demais secundárias (heterotopia 
parcial). 
 Se Z1 e Z2 são funções aleatórias estacionárias ou intrínsecas, o variograma 
cruzado delas, define-se como : 
))]hx(Z)x(Z))(hx(Z)x(Z[E
2
1
)h(λ 22112Z1Z +−+−= 
 A solução, por cálculo matricial, para a cokrigagem entre duas variáveis é 
fornecida por: 
][ ][ ][ 
0
1
2
x,0x2,1C
1
x,0x1,1C
 
2
1
2
1
 
001100
000011
10
2´
y,
2
y2,2C1
x,
2
y1,2C
10
01
2
y,
1
x1,2C1´
x,
1
x1,1C
01
BXA














 

 α


 

 α
=


















µ−
µ−


 αυ




αω


















 

 αα

 

 αα


 

 αα

 

 αα
LL
LL
MM
MM
 
 
onde .2n...1
'
2α;2n...12α;1n...1
'
1α;1n...11α ==== 
 A matriz [A] é composta por: 
sub-matriz 

 


1'ax,1αx11C
, que descreve a distribuição espacial da primeira 
variável z1 ; 
sub-matriz 

 


2'αγ,2αy22C
, que descreve a distribuição espacial da segunda 
variável z2 ; 
sub-matrizes 

 


2αy,1αx12C
 e 

 


1αx,2αy21C
, que descrevem a 
variabilidade cruzada das variáveis z1 e z2 consideradas em conjunto; 
os termos restantes 0 e 1 correspondem a condições de não enviés. 
 A matriz [A] não contém nenhuma informação sobre o ponto x0 para o qual 
é necessária a estimação. Toda a informação necessária está contida no vetor [B]. 
 O vetor [B] é composto por: 
 186
subvetor 

 


1ax,0x11C
, que depende da configuração geométrica relativa do ponto 
0x em relação aos pontos xα1 , onde 1z é observada; 
sub-vetor 

 


2ay,0x12C
 , que depende da configuração geométrica relativa do 
ponto x
0
 em relação aos pontos yα 2 , onde z2 é observada; 
os termos vertentes 0 e 1 correspondem à condições de não enviés. 
 A solução do sistema, ou seja, cálculo dos 
1α1λn coeficientes e n2 2λ α 
coeficientes para diferentes pontos 0x , é obtida pela inversão de [A] e 
subsequente multiplicação por [B] ; µ1 e µ 2 são os multiplicadores de Lagrange. 
 As equações da cokrigagem são formuladas na suposição que as 
variáveis primária e secundária apresentam covariâncias, com matriz positiva 
definitiva,para ser considerada uma matriz de covariâncias-cruzada válida. Uma 
maneira simples para a obtenção dessa matriz é utilizar o “modelo linear de 
corregionalização”. 
O modelo linear de corregionalização fornece um método para ajustar os 
auto-variogramas e variogramas cruzados entre duas variáveis ou mais de tal 
maneira que a variância de qualquer combinação linear possível dessas variáveis 
seja sempre positiva. Tal combinação usa a mesmas estruturas dos auto-
variogramas e dos variogramas cruzados, mantendo o mesmo valor para o 
alcance. Detalhes podem ser encontrados, entre outros, em ISAAKS & SRIVASTAVA 
(1989). Em termos bem simples, ambos os determinantes das matrizes abaixo, 
referentes aos valores do efeito pepita (C0) e soleira (C), devem ser positivos, 
para que se possa considerar válida a aplicação da cokrigagem: 
0 
CV CUV
CUV CU
 0 
VC UVC
UVC UC
00
00 >> 
 Maiores detalhes sobre aplicações da cokrigagem podem ser obtidos em 
ABOUFIRASSI & MARIÑO (1984), STURARO & LANDIM (1994), CONDE & YAMAMOTO (2000), 
ROCHA, YAMAMOTO & FONTELES (2009) entre outros, além de livros textos de autores 
como WACKERNAGEL (1998), DEUTSCH & JOURNEL (1998), OLEA (1999) e CLARK & HARPER 
(2000). Existem a disposição diversos programas (CARR, MYERS & GLASS, 1985; YATES 
& YATES, 1990; MARCOTTE, 1991 e DEUTSCH & JOURNEL, 1992). 
 187
11.1.2. Cokrigagem ordinária colocalizada 
 
11.1.3. Cokrigagem ordinária com deriva externa 
 
 
11.1.4. Exemplo 
Este exemplo é apresentado com poucos dados para ilustrar como se 
desenvolve a aplicação da cokrigagem. Seja uma situação com 3 pontos onde V é 
a covariância medida nesses três pontos e U, a variável de interesse, medida em 
apenas duas dessas três localidades. A questão é estimar U em um local não 
amostrado como mostra a figura abaixo: 
 
 Distribuição dos pontos, com coordenadas (0,0) para U0; (-3,6) para o ponto1; (-8,-5) para o 
ponto 2; (3,-3) para o ponto 3 
Estes dados provém de uma amostragem mais densa constituída por 275 
pontos para U e 470 pontos para V, apresentados e amplamente discutidos no 
texto de ISAAKS & SRIVASTAVA (1989). A análise covariográfica desses dados revelou 
as seguintes relações: 
γU(h) = 440000 + 70000γ(h’1) + 95000γ(h’2) 
 γV(h) = 22000 + 40000γ(h’1) + 45000γ(h’2) 
 γUV(h) = 47000 + 50000γ(h’1) + 40000γ(h’2) 
 
 Para verificar a validade do modelo linear de corregionalização foram 
calculados os determinantes das matrizes referentes a cada estrutura: 
 188
• Efeito pepita 
0000.000.471.7
440000 47000
47000 22000 >= 
 
• Segunda estrutura 
0000.000.300
70000 50000
50000 40000 >= 
 
• Terceira estrutura 
0000.000.675.2
95000 40000
40000 45000 >= 
 A Tabela, a seguir, mostra os valores de covariâncias e covariâncias 
cruzadas necessários para o cálculo de U0. 
 
Pares de
variáveis 
Distância 
reticulado 
Distância 
estrutural 
CU(h) CV(h) CUV(h) 
U1U1 0,0 0,0 605000 
U1U2 12,1 9,1 99155 
U2U2 0,0 0,0 605000 
V1V1 0,0 0,0 107000 
V1V2 12,1 9,1 49623 
V1V3 10,8 5,0 57158 
V2V2 0,0 0,0 107000 
V2V3 11,2 11,2 45164 
V3V3 0,0 0,0 107000 
U1V1 0,0 0,0 137000 
U1V2 12,1 9,1 49715 
U1V3 10,8 5,0 57615 
U2V1 12,1 9,1 49715 
U2V2 0,0 0,0 137000 
U2V3 11,2 11,2 45554 
 189
U0U1 6,7 2,6 134229 
U0U2 9,4 9,0 102334 
U0V1 6,7 2,6 70210 
U0V2 9,4 9,0 52697 
U0V3 4,2 2,5 75887 
 
Esses valores compõem as equações de cokrigagem: 
 
















=
















×
















0
1
75887
52697
70210
102334
134229
0011100
0000011
1010700045164571584555457615
10451641070004962313700049715
10571584962310700049715137000
01455541370004971560500099155
01576154971513700099155605000
2
1
3
2
1
2
1
µ
µ
b
b
b
a
a
 
 
 Resolvendo essas equações, os seguintes valores para pesos da 
cokrigagem, valor da estimativa para U0 e variância da estimativa por cokrigagem 
são encontrados: 
 
Pesos da cokrigagem: 
ponto U1: a1 = 0,512 ponto U2: a2 = 0,488 
ponto V1: b1 = -0,216 ponto V2: b2 = -0,397 ponto V3: b3 = 0,666 
 
Multiplicadores de Lagrange: 
µ1 = -205963 µ2 = -13823 
 
Valores estimados no ponto de estimativa por cockrigagem: 
Estimativa de U0 = 398 Variância de U0 = 681549 
 
 190
 Apenas a título de informação, se fosse aplicada a krigagem ordinária o 
valor estimado para U0 seria 630, com a previsão de variância dessa estimativa da 
ordem de 719509. 
 
11.2. KRIGAGEM FATORIAL 
 A krigagem fatorial é uma metodologia desenvolvida por MATHERON (1982) e 
talvez a mais conhecida entre os métodos geoestatísticos multivariados. A teoria 
pode ser encontrada em GOOVAERTS, 1992; GOOVAERTS & WEBSTER, 1994; 
CASTRIGNANÒ ET AL. 1995; CASTRIGNANÒ ET AL., 2000; WACKERNAGEL, 2003. Um 
software foi escrito por PARDO-IQUIZGUIZA & DOWD (2002). 
A variabilidade natural presente na origem dos fenômenos geológicos é 
governada por diversos fatores, os quais podem atuar em diversas escalas 
espaciais. A questão que se coloca, portanto, é verificar se a correlação entre 
variáveis, controladas por esses fatores, é dependente da escala espacial ou não. 
O objetivo da krigagem fatorial pode ser, por exemplo, no caso de ocorrência de 
um metal, descobrir qual a origem dessa concentração. Traços desse metal no 
solo ou na água podem originar-se naturalmente por intemperismo de rochas ou 
podem ser resultado de atividades humanas, tais como mineração, resíduos 
industriais ou agricultura. Se as escalas, segundo as quais os diferentes fatores 
operam, forem diferentes umas das outras, isso poderia ser observado nos 
variogramas das concentrações dos metais, por meio da análise estrutural 
realizada com modelos variográficos aninhados. Sendo identificadas no 
variograma, a correspondente componente espacial pode ser estimada e mapeada 
utilizando-se a krigagem ordinária onde cada componente espacial é associada 
com o respectivo variograma. Os mapas das estimativas das componentes 
espaciais podem auxiliar na separação de características locais e regionais do 
fenômeno em estudo. Em geral, o modelamento semivariográfico tem 3 escalas de 
variação espacial: 
(1) micro-escala: corresponde à componente do efeito pepita, onde o alcance é 
zero e as estimativas são nulas em qualquer localização não amostrada; pode 
estar relacionada à remobilização local da concentração da variável sob estudo 
e/ou erros de medidas; 
 191
(2) escala local ou curto alcance: pode estar relacionada às concentrações 
anômalas de um metal, acima do limite máximo tolerável, e pode ser resultado de 
rochas naturalmente ricas de tal metal ou originar-se de atividades humanas, cujo 
impacto é temporariamente balanceado por pequenas concentrações naturais; 
(3) escala regional ou longo alcance: geralmente relacionada à influência da 
geologia regional (QUEIROZ, 2003). 
 Seja {zi(u); i = 1, ..., p}, um conjunto de p variáveis regionalizadas 
conhecidas em n pontos amostrais, com coordenadas u. Neste caso, {Zi(u); i = 1, 
..., p} é uma função aleatória a indicar um conjunto de variáveis aleatórias 
definidas sobre uma área específica. Um incremento espacial [zi(u) – zi(u+h)] é 
definido como a diferença entre os valores de uma variável zi em u e em u+h 
separados pelo vetor h. Sob a hipótese de estacionaridade de segunda ordem, 
define-se: 
Vetor com valor médio: m = E{Z(u)} 
Matriz de covariâncias:C(h) = E[{Z(u) - m}-1{Z(u+h) – m}] 
Matriz de variogramas: γh) = 1/2E[{Z(u) – Z(u+h)}T{Z(u) – Z(u+h)}], 
 Para h = 0, a matriz de covariâncias C(h) é igual à matriz de variâncias-
covariâncias clássica V: 
C(0) = E[{Z(u) – m}T{Z(u) – m}] = V 
 Também C(h) e Γ(h) são relacionados pela expressão: 
 γ(h) = C(0) – ½(C(h) + C(-h) 
 A matriz de variogramas experimental Γh) é uma matriz pxp, onde na 
diagonal estão os valores para os variogramas diretos e nos postos fora da 
diagonal, os valores para os variogramas cruzados, para um determinado h: 
 







γγ
γγ
=Γ
)h()h(
)h()h(
)h(
*
pp
*
1p
*
p1
*
11
*
L
M
L
 
 Os variogramas experimentais são calculados a partir dos dados amostrais 
e, em muitas situações, diversos modelos variográficos podem ser ajustados, 
revelando diversas escalas de variabilidade espacial. Cada escala de variabilidade 
pode ser representada por um modelo de semivariograma, de modo que a 
 192
variabilidade espacial é modelada pela soma dos semivariogramas embricados. A 
krigagem fatorial permite, desse modo, analisar as relações entre as variáveis 
Zi(u) nas escalas espaciais detectadas pelos semivariogramas experimentais 
embricados. 
Resumidamente os passos básicos da krigagem fatorial são: 
1. modelagem por corregionalização das variáveis usando o denominado modelo linear de 
corregionalização; todos os p(p + 1)/2 variogramas diretos e cruzados das p variáveis são 
modelados por uma combinação linear dos N´s variogramas padronizados para um mesmo 
alcance (sill); nesta modelagem supõe-se que o comportamento espacial das variáveis seja o 
resultado da interação de diferentes processos atuando independentemente a diferentes 
escalas espaciais. 
2. análise da estrutura de correlações entre as variáveis, levando em 
consideração as diferentes escalas, com aplicação da análise das componentes 
principais; um “círculo de correlações” entre as variáveis originais e os dois 
mais importantes fatores regionalizados, ortogonais, é utilizado para resumir as 
relações entre as variáveis a cada escala espacial. 
3. estimação das relações entre os fatores regionalizados e variáveis, como 
componentes espaciais, a diferentes escalas por cokrigagem, para, finalmente, 
mapeá-los. 
A regionalização multivariada de um conjunto de funções aleatórias pode 
ser representada por um modelo linear multivariado espacial que permita uma 
fácil manipulação dos dados espaciais (WACKERNAGEL, 1995). Os variogramas 
cruzados embricados podem então ser modelados como combinações lineares: 
∑∑
=
αβ
=
αβαβ =γ=γ
ii N
1u
uu
N
1u
u )h(gb)h()h( , 
onde Ni é o número de escalas espaciais, buαβ são coeficientes e guαβ(h) as funções 
variográficas. 
 Um conjunto de funções aleatórias, Zi(x), pode ser decomposto em 
subconjuntos de fatores espacialmente não correlacionáveis (ROUHANI & 
WACKERNAGEL, 1990; GOOVAERTS, 1922; WACKERNAGEL, 1995). 
 O estimador por cokrigagem da componente espacial Zuk no ponto x0 é: 
 193
 ∑∑
=
λ=
m
1i
n
j
jiji0
*u
k )x(Z)x(Z . 
 O sistema de krigagem pode, então, ser resolvido segundo: 
 ∑∑
=η =τ
τητη −=µ−−γλ
m
1
n
1
0j
uu
ikiji )xx(gb)xx( 
 e ∑
=τ
τ =λ
n
1
i 0 
onde µi é o multiplicador de Lagrange; gu(xj,x0) é o valor proveniente da u-ésima 
função variográfica básica, gu(h), entre o ponto amostrado e x0; i = 1, ..., p, e j = 
1, ..., n. 
 Com relação à análise multivariada regionalizada WACKERNAGEL (2003) 
pondera que a questão fundamental a investigar é se a correlação entre variáveis 
é espacialmente dependente ou não. Apresenta, então, três maneiras para 
verificar se a correlação é dependente do espaço. 
 1) A co-dispersão dos coeficientes ccij(h) pode ser calculada e disposta em 
gráficos; se elas não são constantes para cada par de variável, a estrutura de 
correlação do conjunto de variáveis é afetada pela escala espacial. 
 2) Variogramas cruzados entre componentes principais das variáveis podem 
ser calculados; se eles não forem iguais a zero para cada par de componente 
principal a qualquer distância h, a componente principal clássica não tem sentido 
porque a matriz de variância-covariância do conjunto de variáveis é meramente 
uma mistura de diferentes estruturas de variâncias-covariâncias segundo várias 
escalas espaciais. 
 3) Gráficos de círculos de correlação numa análise de componentes 
principais regionalizada podem ser examinados; se os padrões de associação entre 
as variáveis não são idênticos para as matrizes de co-regionalização, o modelo de 
correlação intrínseco não é apropriado para o conjunto de dados. Com apenas 
poucas variáveis é possível perceber a tabela de coeficientes de correlação 
regionalizados em lugar das componentes principais regionalizadas. 
 Se os dados parecem ser intrinsecamente correlacionados, pode-se aplicar 
qualquer método da análise multivariada fatorial, calcular diretamente os 
variogramas dos fatores, estimá-los por krigagem e mapeá-los. Se, porém, a 
 194
correlação é afetada pela escala espacial, torna-se necessário ajustar um modelo 
linear de co-regionalização e co-krigar os fatores. 
 
11.2.1. Exemplo 
Em QUEIROZ ET AL. (2008) é apresentada uma metodologia baseada na 
análise da krigagem fatorial para a quantificação do risco de contaminação por 
metais pesados na área portuária de Santana/Amapá, onde anteriormente tinham 
sido desenvolvidas atividades relacionadas ao beneficiamento e comercialização 
do minério de manganês oriundo das minas de Serra do Navio/AP. As análises de 
49 amostras de águas foram feitas por espectometria de emissão atômica por 
plasma induzido (QUEIROZ, 2003). Foram determinadas as concentrações (em ppm) 
de 16 elementos (Matriz de dados 11.1). 
Para a aplicação da krigagem fatorial foram consideradas somente as 
variáveis que apresentaram concentrações acima dos limites estabelecidos pelo 
CONAMA (1986), ou seja, arsênio (As), manganês (Mn), alumínio (Al), ferro (Fe), 
chumbo (Pb), selênio (Se), cádmio (Cd) e cobre (Cu). 
A Tabela 11.1. apresenta a matriz de correlações entre as variáveis. Os 
valores em destaque indicam correlação significativa a um nível abaixo de 5%. 
Observa-se forte correlação entre Fe e Cd (r = 0.934) e com Pb com Se (r = 
0.965). 
TABELA 11.1. Matriz de correlação das variáveis. 
 As Mn Al Fe Pb Se Cd Cu 
As 1.000
Mn 0.024 1.000
Al -0.094 -0.090 1.000
Fe 0.070 0.166 0.369 1.000
Pb 0.172 0.336 0.105 0.415 1.000
Se 0.093 0.344 0.096 0.405 0.965 1.000
Cd 0.085 0.196 0.349 0.934 0.475 0.428 1.000
Cu -0.046 -0.006 -0.026 0.050 0.525 0.559 0.047 1.000
 
As relações entre as variáveis foram, primeiramente, estudadas de uma 
maneira clássica, com a aplicação do método de análise de componentes 
principais (ACP). As componentes principais ordenadas de acordo com sua 
 195
contribuição à explicação da variância total dos dados são mostradas na Tabela a 
seguir . 
 
 
TABELA 11.2. Cargas dos fatores das três primeiras Componentes Principais 
 As Mn Al Fe Pb Se Cd Cu λ % % ac.
CP 1 0.142 0.387 0.303 0.753 0.888 0.876 0.779 0.460 3.202 40.0 40.0
CP 2 0.073 0.177 
–
0.584
–
0.560 0.356 0.389
–
0.529 0.597 1.607 20.1 60.1
Co
m
po
ne
nt
es
 
CP 3 
– 
0.667 
– 
0.508 0.425
–
0.059 0.005 0.066
–
0.091 0.467 1.118 14.0 74.1
 
 
A Tabela 11.2. apresenta as cargas dos fatores com a percentagem da 
variância explicada das três primeiras componentes principais. Essas componentes 
explicam, juntas, 74% da variância total. A primeira componente é fortemente 
correlacionada com os elementos Se, Pb, Cd e Fe. 
Os variogramas experimentaisomnidirecionais diretos e cruzados obtidos a 
partir dos escores das três componentes principais são apresentados em seguida. 
Um modelo linear de co-regionalização foi ajustado e utilizado no mapeamento 
das componentes, onde, cada componente foi estimada por cokrigagem. Foram 
ajustados dois modelos esféricos com alcances de 0,33 km e 2,0 km, 
respectivamente, além do efeito pepita presente em todos os casos. 
 
Figura 11.1. 
 
 
 196
 
Figura 11.2. 
 
 
Figura 11.3. 
 
 
 
Observa-se uma pequena predominância da estrutura de longo alcance (2,0 
km) na componente principal 1 e da estrutura de curto alcance (0,33 km) na 
componente principal 3. 
Embora nenhuma estrutura de longo ou pequeno alcance predomine 
fortemente em quaisquer das componentes, selênio e chumbo podem estar 
vinculadas à estrutura de longo alcance e ferro e cádmio à estrutura de curta 
escala. Isso pode ser obervado nos seguintes variogramas 
 197
 
Figura 11.4. 
 
 
Figura 11.5. 
 
 
Figura 11.6. 
 
 
 
 
 
 198
 
Figura 11.7. 
 
Esses alcances foram utilizados no modelamento variográfico direto e 
cruzado das variáveis para se determinar os coeficientes bsij(patamar) que 
fornecem o nível de variabilidade do variograma, onde s representa a escala de 
variabilidade e i,j as variáveis. 
Os coeficientes bsij são os elementos das matrizes de co-regionalização Bs. 
Desse modo as matrizes B1 e B2 descrevem a estrutura de correlação para curta 
escala (0,33 km) e longa escala (2,0 km). Os resultados da análise das 
componentes principais dessas duas matrizes fornecem os fatores regionalizados 
Ysk(u), que são as componentes principais de cada matriz na respectiva escala “s” 
e as componentes espaciais Zsi(u). 
 Os resultados da análise de componentes principais das duas matrizes B1 e 
B2 são apresentados na Tabela a seguir. Os três primeiros fatores regionalizados 
explicam 86,2 % e 99,5 % da variância total para as matrizes B1 e B2, 
respectivamente. Para a matriz B1 (curta escala espacial) observa-se forte 
correlação do ferro e cádmio com o primeiro fator regionalizado. O manganês é 
fortemente correlacionado com o segundo fator regionalizado e a contribuição do 
arsênio predomina fortemente em relação às outras variáveis no terceiro fator 
regionalizado. Isso sugere uma possível relação da contaminação desses 
elementos a fontes de contaminação vinculada a atividades humanas que, em 
geral, ocorrem em pequena escala espacial, neste caso, descrita pela matriz B1. A 
matriz B1 não mostra correlação entre o arsênio e o manganês na escala 
considerada. Para a matriz B2 (longa escala espacial) o primeiro fator 
regionalizado explica a maior parte da variabilidade sendo que a contribuição de 
 199
todas as variáveis, exceto o cobre, é relativamente alta com destaque para o 
chumbo e selênio. O cobre é mais fortemente correlacionado com o segundo fator 
e nenhuma variável apresenta contribuição significativa para o terceiro fator, que 
explica somente 3,2 % da variabilidade total. O alumínio apresenta correlação 
mais forte com o primeiro fator regionalizado na longa escala. 
TABELA 11.3.Fatores Regionalizados na pequena (B1) e longa (B2) escala espacial. 
Cargas dos Fatores 
Regionalizados – Matriz 
B1 
Cargas dos Fatores 
Regionalizados – Matriz 
B2 Variáveis 
1
1Y
1
2Y
1
3Y 
2
1Y
2
2Y
2
3Y
As 0.000 -0.003 0.517 0.663 0.098 -0.116
Mn 0.001 0.817 0.006 0.447 -0.044 -0.144
Al 0.316 -0.007 -0.011 0.438 0.097 0.025
Fé 0.803 -0.002 0.002 0.417 0.077 0.038
Pb 0.223 0.005 -0.003 0.735 -0.147 0.092
Se 0.219 0.010 -0.009 0.685 -0.147 0.140
Cd 0.836 -0.001 0.005 0.415 0.078 -0.116
Cu -0.006 -0.104 0.033 0.097 0.520 0.092
Autovalores 1.732 0.734 0.368 2.439 0.354 0.094
% da Variância 52,7 22.3 11.2 84.1 12.2 3.2
% Acumulada 52.7 75.0 86.2 84.1 96.3 99.5
 
A análise das matrizes de co-regionalização permite a observação de 
relações entre as variáveis de acordo com a escala espacial que não poderiam ser 
detectadas na análise convencional da matriz R de correlações (ou a matriz V de 
variância-covariância). Por exemplo, a correlação entre ferro e cádmio é mais forte 
na pequena escala enquanto que selênio e chumbo apresentam maior correlação 
na longa escala. Os valores das cargas do primeiro fator regionalizado das 
matrizes B1 e B2 mostram que é mais provável que ocorra alguma correlação 
entre arsênio e manganês na longa do que na pequena escala espacial. 
Os fatores regionalizados Ysk(u) e componentes espaciais Zsi(u), s=1,2 e 
k=1,...,8, foram mapeados por co-krigagem. O valor de qualquer fator 
regionalizado é igual à sua média local estabelecida como zero para qualquer 
 200
distância acima de 0,33 km, no caso da pequena escala, e acima de 2,0 km, no 
caso da longa escala. 
As Figuras abaixo mostram os mapas cokrigados do primeiro fator 
associados às escalas espaciais consideradas. Para a escala local (curto alcance), a 
presença de áreas que podem ser consideradas anômalas – com valores mais 
altos (ou baixos) – é observada principalmente dentro dos limites da ICOMI. 
 
 
Figura 11.8. 
 
Figura 11.9. 
 
 
 201
A drenagem da área de estudo (em linha azul) foi plotada nos mapas 
relacionados à longa escala. Pode-se observar uma boa concordância das linhas 
de drenagem com o padrão espacial apresentado, sobretudo pelo mapa do 
primeiro fator regionalizado associado com o modelo esférico de longa escala, que 
explica a maior parte da variabilidade (84,1%) com contribuição razoável de quase 
todas as variáveis, exceto o cobre. 
Foi realizado também o mapeamento do As, Mn, Fe e Cd, que mostraram 
indícios de estarem vinculados a uma escala local. O mapa do arsênio na pequena 
escala apresenta duas pequenas áreas com anomalias negativas, uma dentro da 
área industrial da ICOMI e outra no bairro do Elesbão à margem do Rio 
Amazonas. No mapa desse mesmo elemento associado à longa escala observa-se 
regiões com altos valores positivos dentro da área da ICOMI, no bairro do Elesbão 
– à noroeste – e na área residencial, no bairro da Hospitalidade, parecendo indicar 
uma disseminação do referido elemento na área de estudo. 
A ocorrência de valores altos para os elementos analisados na área de 
estudo pode indicar a presença de fontes de contaminação possivelmente 
vinculadas às atividades industriais desenvolvidas pela ICOMI durante os últimos 
anos. 
 
Figura 11.10. 
 
 
 202
478 478.5 479 479.5 480 480.5 481 481.5 482
994
994.5
995
995.5
996
COMERCIAL
HOSPITALIDADE
CENTRAL
N.HORIZONTE
REMÉDIOS
 NOVA BRASÍLIA
ELESBÃO
ICOMI
RIO AMAZONAS
CENTRAL
ICOMI
CENTRAL
ICOMI
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Componente Espacial estimada para o Arsênio (Longa escala = 2,0 km)
U
TM
 ( 
Km
 )
UTM ( Km )
0 500 1000 metros250 750
Escala
 
Figura 11.11. 
 
Os resultados obtidos pela krigagem fatorial multivariada mostraram que o 
arsênio, manganês, ferro e cádmio provavelmente estão vinculados a fontes de 
contaminações localizadas (curta escala), ou seja, provenientes de atividades 
humanas, enquanto alumínio, selênio, chumbo e cobre apresentaram indícios de 
que suas concentrações são provenientes do próprio meio natural, por causa da 
correlação mais forte com variações de longa escala desses elementos. 
 203
 
BIBLIOGRAFIA 
ABOUFIRASSI, M. & MARIÑO, M. A. (1984) – Cokriging of Aquifer Transmissivities from 
Field Measurements of Specific Capacity: Math. Geology, 16:19-35 
 
CARR, J., MYERS, D.E. & GLASS, C.H. (1985) - Co-Kriging: a Computer Program:Computers & Geosciences, 11:111-127. 
 
CASTRIGNANÒ, A., CONVERTINI, G., LOSAVIO, N. & HOXHA, I. (1995) – Studio delle 
relazioni tra le proprietà fisico-chimiche di un suolo argilloso del litorale ionico-lucano 
mediante la geostatistica multivariata: Proceedings of the 13th Symposium of Italian 
Chemistry Society, Florence, pp. 61-70 
 
CASTRIGNANÒ, A., GIUGLIARINI, L., RISALITI, R. & MARTINELLI, N. (2000) – Study of 
spatial relationships among some soil physico-chemical properties of a field in central Italy 
using multivariate geostatistics: Geoderma, 97:39-60 
 
CLARK, I. & HARPER, W. V. (2000) - Practical Geostatistics 2000: Geostokos (Ecosse) 
Limited 
CONAMA/CONSELHO NACIONAL DE MEIO AMBIENTE – Resolução n0. 20 de 18 de junho 
de 1986. (D.O.U. de 30/07/86. pag. 11.356). Brasília. 
 
CONDE, R.P. & YAMAMOTO (2000) – Evaluation of kriging and cokrigin for asbestos ore 
reserve estimation at Cana Brava mine, Goiás, Brazil: in “Geostat 2000, Proceedings of 
the Mining and Petroleum Geostatistics Sessions at the 31IGC. Ed(s) M. Armstrong, C. 
Bettini, N. Champigny, A. Galli, A. Remacre. Kluwer Academic Publishers, pp. 189-201 
 
DEUTSCH, C.V. AND JOURNEL, A.G.- GSLIB-Geoestatistical Software Library and User’s 
Guide. Oxford University Press, 1992 
 
FONETELES, H. R. da N.; YAMAMOTO, J. K.; ROCHA, M. M.; GANDOLFI, N. Geoestatística 
aplicada à modelagem da superfície freática a partir de dados do nível estático: o caso da 
porção nordeste de Fortaleza (CE). Solos e rochas. Revista Brasileira de Geotecnia, v. 29, 
n. 3, p. 331-339, 2006. 
 
GOOVAERTS, P. (1992) – Factorial kriging analysis: a useful tool for exploring the 
structure of multivariate spatial soil information: Jour. Soil Science, 43:597-619 
 
GOOVAERTS, P. & WEBSTER, R. (1994) – Scale-dependent correlation between topsoil 
copper and cobalt concentrations in Scotland: Eur. Jour. Soil Science, 45:79-95 
 
ISAAKS & SRIVASTAVA (1989) 
 
MARCOTTE, D. (1991) - Cokriging with Matlab: Computers & Geociences, 17:1265-1280 
 
MATHERON, G. (1982) – Pour une analyse Krigeante des données regionalisées: Centre 
de Geostatistique, Fontainebleau, Report 732 
 
MYERS, D. E. (1982) – Matrix formulation of co-kriging: Math. Geology, 14:249-258 
 
 
 204
OLEA, R. A. (1999) – Geostatistics for Engineers and Earth Scientists: Kluwer Academic 
Publishers 
 
PARDO-IGÚZQUIZA, E & DOWD, P.A. (2002) – FACTOR2D: a computer program for 
factorial cokriging: Computers & Geosciences, 28:857-875 
 
QUEIROZ, J.C.B. (2003) –Utilização da geoestatística na quantificação do risco de 
contaminação por metais pesados na área portuária de Santana-Amapa/Brasil: Tese de 
Doutorado, Pós-Graduação em Geociências, IGCE, UNESP/Rio Claro, 199p. 
 
QUEIROZ, J.C.B.; STURARO, J.R.; SARAIVA, A.C.F.; LANDIM, P. M. B. (2008) - 
Geochemical characterization of heavy metal contaminated area using multivariate 
factorial kriging : Environmental Geology, 55:95-105, DOI 10.1007/s00254-007-0968-3 
 
STURARO, J. R.; LANDIM, P. M. (1994) Técnica geoestatística para extrapolação da 
superfície potenciométrica em centros urbanos. CONGRESSO BRASILEIRO DE GEOLOGIA, 
38., 1994, Camboriu. Anais... Camboriu: SBG, p. 511-512. v. 1 
 
WACKERNAGEL, H. (2003) – Multivariate Geostatistics: An Introduction with Applications: 
Springer-Verlag, 3th. Ed. 387 pp. 
 
WATANABE, J.; YAMAMOTO, J.K.; ROCHA, M.M. & FONSECA, P.P. (2009) - Estudo da 
Influência da Correlação Inicial entre Variáveis nos Resultados de Co-Estimativas: São 
Paulo, UNESP, Geociências, v. 28, n. 4, p. 467-484 
 
YATES, S.R. & YATES, M.V. (1990) - Geostatistics for Waste Managment: A User’s Manual 
for the GEOPACK (version 1.0) Geostatistical Software System: U.S. Environmental 
Protection Agency Report 600/8-90/004. 
 
 205
ANÉXO 
Neste anexo são apresentadas listadas as tabelas de dados usadas como 
exemplos ao longo dos diversos capítulos. Poderão ser úteis para quem quiser 
usá-las em suas próprias análises. 
Matriz de dados 3.1. Valores para peso específico, quartzo, índice de cor (porcentagem 
de silicatos escuros ou máficos), feldspato, e coordenadas N-S e E-W para cada ponto de 
amostragem ( DAWSON & WHITTEN, 1962), 
P. E. (Y) Quartzo (X1) Cor (X2) Feldspato (X3) NS (X4) EW (X5) 
2,63 21,3 5,5 73,0 0,92 6,09 
2,64 38,9 2,7 57,4 1,15 3,62 
2,64 26,1 11,1 62,6 1,16 6,75 
2,63 29,3 6 63,6 1,3 3,01 
2,64 24,5 6,6 69,1 1,4 7,40 
2,61 30,9 3,3 65,1 1,59 8,63 
2,63 27,9 1,9 69,1 1,75 4,22 
2,63 22,8 1,2 76,0 1,82 2,42 
2,65 20,1 5,6 74,1 1,83 8,84 
2,69 16,4 21,3 61,7 1,855 10,92 
2,67 15,0 18,9 65,6 2,01 14,22 
2,83 0,6 35,9 62,5 2,04 10,60 
2,7 18,4 16,6 64,9 2,05 8,32 
2,68 19,5 14,2 65,4 2,21 8,06 
2,62 34,4 4,6 60,7 2,27 2,73 
2,63 26,9 8,6 63,6 2,53 3,5 
2,61 28,7 5,5 65,8 2,62 7,44 
2,62 28,5 3,9 67,8 3,025 5,06 
2,61 38,4 3,0 57,6 3,06 5,42 
2,63 28,1 12,9 59 3,07 12,55 
2,63 37,4 3,5 57,6 3,12 12,13 
2,78 0,9 22,9 74,4 3,4 15,4 
2,76 8,8 34,9 55,4 3,52 9,91 
2,63 16,2 5,5 77,6 3,61 11,52 
2,74 2,2 28,4 69,3 4,22 16,4 
2,64 29,1 5,1 65,7 4,25 11,43 
2,7 24,9 6,9 67,8 4,94 5,91 
2,63 39,6 3,6 56,6 5,04 1,84 
2,71 17,1 11,3 70,9 5,06 11,76 
2,84 0 47,8 52,2 5,09 16,43 
2,68 19,9 11,6 67,2 5,24 11,33 
2,84 1,2 34,8 64 5,32 8,78 
2,74 13,2 18,8 67,4 5,32 13,73 
2,74 13,7 21,2 64,0 5,33 12,45 
2,61 26,1 2,3 71,2 5,35 1,43 
2,63 19,9 4,1 76,0 5,61 4,15 
2,77 4,9 18,8 74,3 5,85 13,84 
2,72 15,5 12,2 69,7 6,46 11,66 
2,83 0 39,7 60,2 6,59 14,64 
2,77 4,5 30,5 63,9 7,26 12,81 
2,92 0 63,8 35,2 7,42 16,61 
2,77 4 24,1 71,8 7,91 14,65 
2,79 23,4 12,4 63,1 8,47 13,33 
2,69 29,5 9,8 60,4 8,74 15,77 
 
 
 
 
 206
 
Matriz de dados 3.2. Valores da superfície potenciométrica de um aqüífero livre, 
como variável dependente, e variáveis consideradas independentes: cota do terreno 
(topografia), base da formação aqüífera ou cota do topo do basalto (basalto), espessura 
da formação aqüífera (espessura), e coordenadas em UTM (LEITE & LANDIM, 2003) 
ID X Y superfície topografia basalto espessura 
1 486450 7714380 291.189 296.429 217.2 79.23 
2 486630 7714170 289.067 290.612 217.2 73.41 
3 486850 7717900 315.241 329.716 217.2 112.52 
4 486680 7718240 317.682 344.277 217.2 127.08 
5 486690 7717400 309.052 328.542 217.2 111.34 
6 486580 7717100 308.604 328.274 217.2 111.07 
7 486480 7716800 304.559 327.428 217.2 110.23 
8 486560 7716520 302.352 315.592 217.2 98.39 
9 486400 7716100 299.957 311.337 217.2 94.14 
10 486070 7716150 303.822 325.457 217.2 108.26 
11 485900 7715630 294.954 309.294 217.2 92.09 
12 485510 7716020 293.871 318.611 217.2 101.41 
13 492430 7719100 340.94 350.875 217.2 133.67 
14 492610 7718200 342.341 354.741 217.2 137.54 
15 490450 7716520 314.986 323.636 217.2 106.44 
16 490800 7717170 315.645 318.945 217.2 101.74 
17 491110 7719280 339.994 357.334 276.61 80.73 
18 490970 7718950 339.635 343.945 275.98 67.96 
19 490780 7718340 331.465 348.535 271.98 76.55 
20 490500 7718030 329.644 345.289 272.92 72.37 
21 490180 7716840 309.333 309.333 255.97 53.37 
22 489940 7716980 314.421 324.011 266.19 57.82 
23 489680 7716700 309.574 314.339 273.96 40.38 
24 489240 7716800 320.553 336.913 289.16 47.75 
25 488910 7716510 319.572 331.902 295.78 36.12 
26 489070 7716340 313.844 325.134 291.7 33.43 
27 489310 7716190 306.693 319.468 286.14 33.32 
28 489930 7715900 309.23 319.175 217.2 101.97 
29 489060 7715800 306.059 322.889 295.57 27.32 
30 488850 7715240 301.6 309.85 305.17 4.68 
31 489380 7714810 304 315.205 217.2 98 
32 487880 7715530 303.3 315.88 306.75 9.13 
33 487100 7715460 293.445 315.035 311.5 3.53 
34 487310 7715940 301.393 321.143 314.05 7.1 
35 487510 7716030 306.945 330.475 311.62 18.85 
36 487240 7716270 301.731 313.431 320.52 0 
37 487670 7716830 314.373 329.643 318.09 11.56 
38 487600 7717580 314.439 320.469 317.13 3.34 
39 487400 7716640 313.914 316.489 320.33 0 
40 487340 7717370312.307 312.387 318.25 0 
41 487110 7717370 310.257 314.562 217.2 97.36 
42 487060 7717710 313.124 321.144 217.2 103.94 
43 487290 7718000 314.958 318.208 217.2 101.01 
44 487279 7718226 316.01 326.695 217.2 109.49 
45 487800 7717970 318.55 330.06 319.17 10.89 
46 488240 7718560 326.71 340.665 323.48 17.19 
47 488070 7718660 322.91 330.4 322.85 7.55 
48 488320 7718900 326.546 335.166 322.59 12.58 
 207
49 488510 7719040 328.253 340.693 322.07 18.63 
50 487050 7718560 319.844 341.789 217.2 124.59 
51 490100 7719190 343.673 369.283 295.23 74.06 
52 487400 7716960 310.772 318.922 320.25 0 
53 487790 7717160 315.613 330.443 317.1 13.34 
54 487835 7717675 319.285 330.405 317.77 12.63 
55 488025 7717850 322.906 338.746 319.09 19.66 
56 488400 7718215 329.23 351.46 322.49 28.97 
57 488460 7717960 329.427 350.687 319.97 30.72 
58 487850 7716770 316.643 335.043 315.46 19.59 
59 488095 7717515 323.488 336.278 316.84 19.43 
60 488100 7717310 322.822 338.492 315.61 22.88 
61 488499 7718069 330.254 352.544 321.14 31.41 
62 487820 7716415 313.403 339.123 312.73 26.4 
63 488070 7716830 319.43 336.13 312.93 23.2 
64 488790 7718370 333.417 352.867 323.95 28.92 
65 489300 7718935 340.285 356.655 317.83 38.83 
66 488280 7716265 318.283 334.233 305.48 28.75 
67 488478 7716358 319.171 333.491 303.23 30.26 
68 489263 7717831 329.833 344.383 308.58 35.8 
69 489330 7717190 326.779 339.849 291.86 47.99 
70 489645 7717725 331.372 344.902 294.1 50.81 
71 489660 7718870 342.73 363.79 310 53.79 
72 489625 7718700 342.445 362.875 311.94 50.93 
73 489800 7718850 342.888 364.883 305.94 58.94 
74 489890 7718595 342.712 357.112 302.56 54.55 
75 490470 7718670 340.816 354.331 284.36 69.97 
76 488990 7719165 335.329 348.12 318.71 29.41 
77 489210 7718470 339.618 361.278 322.9 38.38 
78 489070 7718485 338.763 361.883 324.09 37.79 
79 488765 7717920 332.309 359.319 318.04 41.28 
80 489110 7717710 332.627 350.717 308.95 41.77 
81 489125 7718720 339.86 360.53 322.76 37.77 
82 489220 7719400 338.511 355.581 312.38 43.2 
83 488690 7719920 333.997 342.407 217.2 125.21 
84 488810 7720120 336.713 347.553 217.2 130.35 
85 489400 7720480 340.446 342.806 217.2 125.61 
86 489240 7720870 343.336 357.056 217.2 139.86 
87 489010 7720840 342.626 359.596 217.2 142.4 
88 489650 7721570 345.82 359 217.2 141.8 
89 489977 7721238 349.795 359.005 302.72 56.29 
90 492730 7721150 349.267 366.367 217.2 149.17 
91 492450 7721460 343.002 367.242 217.2 150.04 
92 492370 7722130 364.586 378.991 217.2 161.79 
93 493120 7722800 347.574 363.194 217.2 145.99 
94 491340 7720510 345.68 359.545 281.92 77.62 
95 491120 7720180 346.502 362.602 282.4 80.21 
96 491080 7720640 347.757 361.987 284.77 77.22 
97 492950 7720350 349.514 366.264 217.2 149.06 
98 491530 7720200 342.489 354.074 278.74 75.33 
99 491300 7719690 342.434 358.899 277.4 81.5 
100 490213 7719747 347.297 360.467 290.36 70.11 
101 490210 7719840 347.486 361.236 290.59 70.64 
102 490400 7720080 341.665 371.099 289.5 81.6 
 208
103 490280 7719380 346.235 363.575 290.22 73.36 
104 491920 7725350 324.4 350.985 217.2 133.78 
105 489250 7722740 357.81 372 217.2 154.8 
106 489740 7721580 351.352 359.722 217.2 142.52 
107 485840 7716520 310.637 339.087 217.2 121.89 
108 487670 7715190 301.426 322.166 308.26 13.9 
109 489350 7717470 329.952 341.102 297.09 44.01 
110 492660 7723500 326.29 367.647 217.2 150.45 
111 492780 7720710 347.513 366.743 217.2 149.54 
112 493800 7723830 353.549 363.384 217.2 146.18 
113 493170 7723530 346.161 357.281 217.2 140.08 
114 492370 7724150 331.013 358.983 217.2 141.78 
115 493100 7722150 352.799 374.599 217.2 157.4 
116 492420 7722820 342.155 373.115 217.2 155.91 
117 492050 7723500 333.039 364.689 217.2 147.49 
118 491540 7721530 339.815 370.835 282.15 88.68 
119 490740 7723250 351.821 364.151 217.2 146.95 
120 490080 7722980 344.837 357.577 217.2 140.38 
121 490280 7721630 354.373 371.483 217.2 154.28 
122 490560 7720870 352.056 377.076 291.68 85.4 
123 490750 7720170 349.969 364.979 286.26 78.72 
124 489880 7720300 345.489 361.639 297.22 64.42 
125 489060 7719850 335.555 339.695 311 28.69 
126 489590 7719520 344.656 359.046 303.15 55.89 
127 488600 7718760 332.881 351.45 323.84 27.61 
128 488700 7717180 327.97 350.45 307.06 43.39 
129 488280 7715657 308.118 327.258 304.72 22.54 
130 489112 7716700 320.736 337.896 291.92 45.97 
131 488558 7716928 325.005 342.795 306.54 36.26 
132 487975 7717228 319.315 336.535 316.09 20.44 
133 490213 7719747 347.297 360.467 290.36 70.11 
134 486990.2 7716692 301 301 217.2 83.8 
135 487014.2 7716773 302 302 217.2 84.8 
136 487038.2 7716857 303 303 217.2 85.8 
137 487042.2 7716952 304 304 217.2 86.8 
138 487079.9 7717039 305 305 217.2 87.8 
139 487140.6 7717120 306 306 217.2 88.8 
140 487208.2 7717201 307 307 217.2 89.8 
141 487247.6 7717282 308 308 217.2 90.8 
142 487271.7 7717361 309 309 217.2 91.8 
143 487277 7717395 310 310 217.2 92.8 
144 487313.2 7717479 311 311 217.2 93.8 
145 487298 7717600 312 312 217.2 94.8 
146 487279.6 7717716 313 313 217.2 95.8 
147 487392.2 7717847 314 314 217.2 96.8 
148 487441.6 7717990 315 315 217.2 97.8 
149 487515.7 7718130 316 316 217.2 98.8 
150 487603.5 7718264 317 317 217.2 99.8 
151 487669.4 7718388 318 318 217.2 100.8 
152 487702.4 7718528 319 319 217.2 101.8 
153 487776 7718714 320 320 217.2 102.8 
154 487835.7 7718797 321 321 217.2 103.8 
155 487927.5 7718904 322 322 217.2 104.8 
156 488052.3 7718979 323 323 217.2 105.8 
 209
157 488131.3 7719042 324 324 217.2 106.8 
158 488189 7719112 325 325 217.2 107.8 
159 488236 7719144 326 326 217.2 108.8 
160 488473 7719462 327 327 217.2 109.8 
161 488584 7719570 328 328 217.2 110.8 
162 488584 7719626 328 328 217.2 110.8 
163 488663 7719722 329 329 217.2 111.8 
164 488722 7719732 330 330 217.2 112.8 
165 489016 7715190 300 300 217.2 82.8 
166 489101.2 7715325 301 301 217.2 83.8 
167 489168.8 7715483 302 302 217.2 84.8 
168 489293.6 7715640 303 303 217.2 85.8 
169 489453.8 7715832 304 304 217.2 86.8 
170 489580.8 7716058 305 305 279.85 25.15 
171 489740.3 7716223 306 306 273.52 32.48 
172 489911.7 7716328 307 307 217.2 89.8 
173 490055.8 7716478 308 308 217.2 90.8 
174 490177.4 7716682 309 309 217.2 91.8 
175 490345 7716855 310 310 217.2 92.8 
176 490432.9 7716910 311 311 217.2 93.8 
177 490577.9 7717018 312 312 217.2 94.8 
178 490632.5 7717185 313 313 217.2 95.8 
179 490725.9 7717337 314 314 217.2 96.8 
180 490855.5 7717489 315 315 217.2 97.8 
181 490962.5 7717613 316 316 217.2 98.8 
182 491075.2 7717715 317 317 217.2 99.8 
183 491214.5 7717850 318 318 217.2 100.8 
184 491317.6 7717955 319 319 217.2 101.8 
185 491403 7718100 320 320 217.2 102.8 
186 491396.7 7718108 320 320 217.2 102.8 
187 491679 7718877 325 325 217.2 107.8 
188 492030 7719830 330 330 217.2 112.8 
 
 
Matriz de dados 3.3. Cotas topográficas da região centro-sul do Brasil (SOARES & LANDIM, 
1976), 
X Y cotas 
844.908 7385.947 600 
886.245 7469.696 400 
829.668 7574.06 500 
842.643 7736.755 500 
983.743 7705.089 396 
916.506 7663.891 400 
946.108 7470.424 400 
994.355 7419.168 600 
1071.117 7377.078 795 
1067.357 7544.969 479 
1084.42 7666.747 464 
1075.596 7784.785 400 
1141.768 7757.085 500 
1149.904 7570.752 516 
1182.299 7513.421 600 
1123.745 7353.099 1275 
 210
1266.953 7414.911 800 
1272.767 7475.757 600 
1295.504 7654.525 500 
1301.584 7728.276 580 
1409.455 7730.351 800 
1408.522 7588.141 817 
1360.039 7474.511 800 
1328.981 7458.395 800 
1458.949 7360.331 1000 
1410.022 7518.3 1000 
1483.678 7657.956 1000 
1487.371 7777.973 1200 
1545.062 7760.13 1406 
1543.355 7573.746 1500 
1578.276 7511.314 1700 
1548.192 7433.532 1200 
1654.093 7388.106 1200 
1657.172 7500.666 1700 
1601.83 7583.441 1200 
1604.63 7694.152 1200 
254.946 7853.227 200 
351.087 7872.721 100 
438.668 7878.757 1065 
561.029 7790.229 200 
697.062 7789.228 509 
761 7865.926 740 
244.6877398.872 100 
242.793 7509.647 100 
240.981 7620.411 100 
239.248 7731.165 100 
346.831 7400.294 100 
345.698 7511.022 100 
344.612 7621.738 100 
343.573 7732.441 100 
415.126 7363.941 100 
467.447 7502.536 300 
475.805 7639.067 600 
467.076 7683.324 600 
551.052 7401.005 200 
601.269 7529.914 600 
532.879 7661.188 628 
517.327 7683.347 708 
651.938 7446.45 565 
636.89 7481.66 600 
625.758 7586.937 665 
646.106 7745.447 600 
797.224 7449.812 540 
724.48 7500.928 500 
752.848 7668.513 570 
771.537 7753.153 683 
1466.833 7293.976 1132 
1511.853 7340.81 600 
216.949 7252.41 116 
298.603 7318.473 109 
 211
449.201 7329.04 100 
597.658 7249.432 500 
684.588 7327.933 610 
707.868 7298.067 500 
850.76 7247.521 600 
965.403 7238.044 811 
1009.04 7255.015 1198 
1198.06 7306.645 1187 
1213.277 7306.531 1272 
1323.909 7244.263 1125 
874.024 7868.24 770 
898.72 7853.767 720 
1007.275 7849.114 670 
1161.244 7852.937 500 
1218.969 7848.961 600 
1374.459 7828.805 800 
1464.285 7809.054 1200 
1500.127 7885.151 1244 
1601.887 7874.909 1130 
 
 
 
Matriz de dados 3.4. Distribuição espacial do número de gêneros do plâncton em um 
corpo de água receptor, após contaminação por uma pluma (BERNARDI ET AL., 2001). 
X Y Plancton 
0 0 30 
0 50 17 
0 100 33 
100 0 35 
100 50 13 
100 100 36 
200 0 38 
200 50 10 
200 100 40 
300 0 39 
300 50 12 
300 100 43 
400 0 37 
400 50 9 
400 100 44 
500 0 32 
500 50 13 
500 100 38 
600 0 31 
600 50 12 
600 100 39 
700 0 28 
700 50 11 
700 100 36 
800 0 44 
800 50 13 
800 100 39 
900 0 42 
900 50 16 
 212
900 100 38 
1000 0 41 
1000 50 17 
1000 100 38 
1100 0 3 
1100 50 13 
1100 100 37 
1200 0 4 
1200 50 7 
1200 100 35 
1300 0 4 
1300 50 6 
1300 100 30 
1400 0 5 
1400 50 6 
1400 100 32 
1500 0 8 
1500 50 6 
1500 100 33 
1600 0 10 
1600 50 6 
1600 100 32 
1700 0 10 
1700 50 5 
1700 100 36 
1800 0 10 
1800 50 6 
1800 100 35 
1900 0 12 
1900 50 7 
1900 100 38 
2000 0 13 
2000 50 8 
2000 100 40 
2100 0 15 
2100 50 10 
2100 100 41 
2200 0 15 
2200 50 11 
2200 100 36 
2300 0 17 
2300 50 9 
2300 100 37 
2400 0 20 
2400 50 9 
2400 100 39 
2500 0 24 
2500 50 9 
2500 100 38 
2600 0 25 
2600 50 13 
2600 100 37 
2700 0 26 
2700 50 11 
 213
2700 100 34 
2800 0 28 
2800 50 10 
2800 100 35 
2900 0 29 
2900 50 9 
2900 100 40 
 
Matriz de dados 4.1. Medidas obtidas em Mesosaurus brasiliensis (M), Stereosternum 
tumidum (S), e Brazilosaurus sampauloensis (B) (ARAÚJO, 1976), 
 Dentes (mm) 
Exemplar Crânio (cm) Pescoço (cm) Comprimento Largura 
 M01 7,1 6,0 4,75 0,50 
 M02 6,7 4,8 7,50 0,37 
 M03 6,7 5,3 7,00 0,50 
 M04 8,9 5,6 11,25 0,75 
 M05 7,1 5,2 8,75 0,75 
 M06 7,2 4,9 8,75 0,75 
 M07 7,6 4,9 7,50 0,50 
 M08 7,9 5,8 11,25 0,75 
 M09 7,8 5,1 5,75 0,50 
 M10 9,2 6,8 11,75 0,75 
 M11 7,1 6,0 8,25 0,75 
 M12 9,6 8,3 7,75 0,75 
 M13 5,1 4,2 4,25 0,50 
 M14 7,9 6,2 9,25 0,50 
 M15 7,2 4,3 4,00 0,50 
S16 6,0 5,5 4,00 0,50 
S17 5,8 4,6 3,25 0,50 
 S18 5,8 5,1 2,00 0,50 
 S19 6,6 5,3 4,25 0,37 
 S20 4,7 4,6 2,25 0,50 
‘S21 6,4 5,8 3,75 0,50 
 S22 5,8 4,7 3,50 0,50 
 S23 6,2 6,0 4,50 0,50 
 S24 6,5 7,1 3,50 0,75 
 S25 5,2 5,6 3,00 0,50 
 S26 6,2 6,6 3,75 0,50 
 S27 6,5 5,8 3,00 0,75 
 S28 5,5 5,6 4,50 0,75 
 B29 5,3 7,2 2,00 0,50 
 B30 4,9 7,6 0,75 0,45 
 B31 5,0 7,3 2,75 0,50 
 B32 5,2 7,7 2,00 0,75 
 
 
Matriz de dados 4.2. Análises químicas tanto para óxidos e como para elementos traços 
(RHODES, 1969). 
ID Si Ti Al Fe Mn Mg Ca Na K P Rb Sr Y Th U Zr Nb Pb 
35 73 0,08 14,1 0,64 0,01 0,17 0,7 3,66 5,16 0,03 228 180 9 16 13,8 112 18,5 352
11 71,6 0,23 14,6 1,91 0,02 0,54 1,61 3,63 4,59 0,08 193 340 6 30 10 196 17,6 40
33 71,3 0,24 14,6 1,84 0,02 0,52 1,21 3,59 4,93 0,08 218 305 7 30 8,5 191 19,9 34
34 65,2 0,46 15 4,03 0,06 2,16 2,08 3,45 4,99 0,22 170 586 14 39 10,4 273 19,6 37
12 64,6 0,54 15,8 4,7 0,08 2,45 2,48 3,19 5,36 0,3 176 754 15 36 8,9 277 20,9 33
31 63,9 0,52 15,4 4,55 0,07 2,14 2,52 3,1 3,35 0,28 185 766 15 41 10,9 297 19 36
 214
22 63,6 0,52 15,5 4,64 0,07 2,43 2,2 3,15 5,18 0,29 134 733 15 39 9,2 290 20 31
25 60,4 0,66 15,9 5,68 0,09 2,78 3,54 3,24 5,66 0,38 172 917 16 34 8,4 301 18,9 49
28 59,6 0,68 16,7 5,98 0,08 2,73 3,92 2,92 5,17 0,37 165 954 17 27 8,6 308 17,4 32
21 60,1 0,65 15,8 6,11 0,09 3,52 3,54 3,06 5,2 0,38 160 916 17 29 7 261 17,3 43
30 55,4 0,68 15,8 7,67 0,14 4,17 4,75 2,17 5,85 0,37 140 828 19 22 5,2 241 12,9 75
29 56,8 0,67 16,1 7,53 0,13 4,07 4,55 2,36 5,26 0,35 159 903 20 24 5,6 255 15,1 35
9 57,5 0,63 15,9 7,1 0,11 3,94 3,99 1,95 5,99 0,38 155 939 20 29 6 237 16,1 48
26 56,6 0,68 16,4 7,48 0,12 4,62 4,33 1,98 5,59 0,39 152 1055 20 28 7,4 234 13,7 55
2 57,4 0,67 15,7 7,31 0,12 4,48 4,87 2,06 4,69 0,39 166 924 22 27 7,7 243 14,6 46
32 54,5 0,72 15,6 8,05 0,13 5,37 5,37 2,14 4,88 0,45 135 961 19 17 5,7 188 14,5 36
 
 
 
Matriz de dados 5.1. Análises químicas de óxidos provenientes de 20 tipos de rochas 
(Davis, 1986:569). 
Rochas SiO2 Al2O3 Fe2O3 FeO MgO CaO Na2O K2O
01.Sienito 61.7 15.1 2 2.3 3.7 4.6 4.4 4.5
02.Sienito 58.3 17.9 3.2 1.7 1.5 3.7 5.9 5.3
03.Sienito 51.2 17.6 3.5 4.3 3.2 4.5 5.7 4.4
04.Monzonito 54.4 14.3 3.3 4.1 6.1 7.7 3.4 4.2
05.Diorito 58 15.7 0.7 2.8 5 10.9 3 3.2
06.Diorito 46.9 15.9 2.9 10 7 9.6 2.7 0.7
07.Diorito 58 17.3 2.2 3.8 2.2 4.3 4.3 4.1
08.Q-Diorito 55.5 16.5 1.7 4.6 6.7 6.7 3.2 2.5
09.Gabro 55.4 15.3 2.7 5.5 5.8 9.9 2.9 1.5
10.Gabro 55.9 13.5 2.7 5.9 6.5 8.9 2.4 1.7
11.Norito 47.2 14.5 1.6 13.8 5.2 8.1 3.1 1.2
12.Norito 48.2 18.3 1.3 6.1 10.8 9.4 1.3 0.7
13.Hip-Gabro 44.8 18.8 2.2 4.7 11.3 14.6 0.9 0.1
14.Hip-Gabro 47 14.1 0.8 15 16 2.3 0.4 1.7
15.Sienito 59.8 17.3 3.6 1.6 1.2 3.8 5 5.1
16.Q-Sienito 66.2 16.2 2 0.2 0.8 1.3 6.5 5.8
17.SienitoA 50 9.9 3.5 5 11.9 8.3 2.4 5
18.Monzonito 57.4 18.5 3.7 2.1 1.7 6.8 4.5 3.7
19.Monzonito 59.8 15.8 3.8 3.3 2.2 3.9 3 4.4
20.Diabasio 52.2 18.2 3.3 4.4 4.7 6.5 4.6 1.9
 
 
Matriz de dados 5.2. Composição mineral de uma rocha artificial, denominada “hongito” 
por AITCHISON (1986). 
N V1 V2 V3 V4 V5 
01 4880.0 3170.0 380.0 640.0 930.0
02 4820.0 2380.0 900.0 920.0 980.0
03 3700.0 910.0 3420.0 950.0 1020.0
04 5090.0 2380.0 720.0 1010.0 800.0
05 4420.0 3830.0 290.0 770.0 690.0
06 5230.0 2620.0 420.0 1250.0 480.0
07 4460.0 3300.0 460.0 1220.0 560.0
08 3460.0 520.0 4290.0 960.0 770.0
09 4120.0 1170.0 2670.0 960.0 1080.0
10 4260.0 4660.0 70.0 560.0 450.0
11 4990.0 1950.0 1140.0 950.0 970.0
12 4520.0 3730.0 270.0 550.0 930.0
13 3270.0 850.0 3890.0 800.0 1190.0
 215
14 4140.0 1290.0 2340.0 1580.0 650.0
15 4620.0 1750.0 1580.0 830.0 1220.0
16 3230.0 730.0 4090.0 1290.0 660.0
17 4320.0 4430.0 100.0 780.0 370.0
18 4950.0 3230.0 310.0 870.0 630.0
19 4230.0 1580.0 2040.0 830.0 1320.0
20 4460.0 1150.0 2380.0 1160.0 850.0
21 4580.0 1660.0 1680.0 1200.0 880.0
22 4990.0 2500.0 680.0 1090.0 740.0
23 4860.0 3400.0 250.0 940.0 550.0
24 4550.0 1660.0 1760.0 960.0 1070.0
25 4590.0 2490.0 970.0 980.0 970.0
26 3130.0 2944.0 1068.0 1526.0 1332.0
27 3012.0 1200.0 1232.0 2051.0 2505.0
 
 
Matriz de dados 5.3. Medidas cranianas em 7 espécies fósseis de oreodontes (MILLER & 
KAHN, 1962) 
Grupos Espécies BC-W TR-L Bu-L Bu-HP 
Su Su01 47.0 99.0 26.0 15.0
Su Su02 42.0 93.0 26.0 16.0
Su Su03 40.0 90.0 22.0 13.0
Su Su04 46.0 100.0 22.0 11.0
Su Su05 46.0 96.0 24.0 16.0
Su Su06 42.0 88.0 26.0 15.0
Su Su07 43.0 89.0 23.0 14.0
Su Su08 44.0 78.0 23.0 13.0
Su Su09 44.0 90.0 25.0 11.0
Su Su10 47.0 99.0 27.0 15.0
Su Su11 47.0 92.0 27.0 13.0
Me Me01 78.0 165.0 35.0 18.0
Me Me02 77.0 165.0 37.0 19.0
Me Me03 65.0 148.0 30.0 20.0
Me Me04 74.0 163.0 31.0 15.0
Me Me05 65.0 169.0 31.0 16.0
Me Me06 70.0 176.0 34.0 23.0
Me Me07 69.0 161.0 28.0 13.0
Me Me08 67.0 178.0 31.0 14.0
Me Me09 65.0 174.0 34.0 18.0
Me Me10 64.0 168.0 28.0 13.0
Me Me11 68.0 166.032.0 15.0
Oo Oo01 42.0 81.0 15.0 8.0
Oo Oo02 48.0 83.0 18.0 8.6
Oo Oo03 45.0 87.0 18.0 9.0
Oo Oo04 48.0 83.0 17.0 8.0
Oo Oo05 46.0 84.0 16.0 6.1
Oo Oo06 51.0 87.0 21.0 7.9
Oo Oo07 46.0 80.0 17.0 7.0
Oo Oo08 50.0 90.0 18.0 8.1
Oo Oo09 46.0 85.0 16.0 6.5
Oo Oo10 48.0 85.0 15.0 7.2
Oo Oo11 47.0 85.0 17.0 8.0
Oo Oo12 49.0 83.0 18.0 7.7
Oo Oo13 43.0 79.0 15.0 7.1
 216
Oo Oo14 47.0 87.0 19.0 7.5
Oo Oo15 46.0 87.0 18.0 8.0
Ps Ps01 60.0 114.0 27.0 20.0
Ps Ps02 60.0 118.0 31.0 19.0
Ps Ps03 60.0 111.0 31.0 21.0
Ps Ps04 58.0 102.0 30.0 20.0
Ps Ps05 55.0 116.0 28.0 20.0
Ps Ps06 59.0 117.0 29.0 17.0
Ps Ps07 59.0 114.0 24.0 17.0
Ps Ps08 60.0 121.0 25.0 19.0
De De01 58.0 129.0 26.0 16.0
De De02 52.0 126.0 27.0 18.0
De De03 50.0 122.0 28.0 22.0
De De04 52.0 123.0 29.0 18.0
De De05 60.0 138.0 33.0 17.0
De De06 61.0 122.0 28.0 17.0
De De07 54.0 132.0 30.0 17.0
De De08 65.0 131.0 32.0 18.0
De De09 55.0 130.0 32.0 17.0
De De10 64.0 125.0 26.0 16.0
De De11 56.0 124.0 28.00 16.0
Mc Mc01 45.0 91.0 16.00 7.5
Mc Mc02 46.0 93.0 17.00 6.5
Mc Mc03 48.0 92.0 19.00 5.0
Mc Mc04 46.0 91.0 19.00 6.0
Mc Mc05 45.0 86.0 15.00 6.5
Mc Mc06 51.0 93.0 19.00 7.5
Mc Mc07 47.0 92.0 16.00 5.0
Mc Mc08 48.0 89.0 18.00 6.5
Mc Mc09 47.0 91.0 17.5 6.0
Mc Mc10 50.0 91.0 17.0 7.2
Mc Mc11 48.0 91.0 19.0 7.6
Mc Mc12 49.0 93.0 17.5 7.0
Mc Mc13 49.0 87.0 17.0 6.5
Mc Mc14 49.0 91.0 19.0 7.7
Pr Pr01 37.0 88.0 17.0 3.9
Pr Pr02 43.0 79.0 14.0 4.0
Pr Pr03 43.0 84.0 19.0 4.2
Pr Pr04 42.0 80.0 17.0 5.2
Pr Pr05 39.0 83.0 12.0 4.5
Pr Pr06 39.0 87.0 15.0 4.5
Pr Pr07 40.0 86.0 18.0 4.5
Pr Pr08 34.0 77.0 16.0 4.8
Pr Pr09 35.0 82.0 15.0 4.6
Pr Pr10 45.0 88.0 17.0 4.9
Pr Pr11 33.0 80.0 15.0 3.9
Pr Pr12 42.0 85.0 13.0 4.0
 
 
 
 
 
 
 
 217
Matriz de dados 6.1. Dados estratigráficos (KRUMBEIN, 1962; IMBRIE, 1963; KRUMBEIN & 
GRAYBILL, 1965, caps. 14 e 15). 
Codigo Casos total arenito folhelho nclástico carbonato evaporito 
1001 10 845 266 350 229 24 205 
1004 9 906 337 432 137 60 77 
1006 8 844 451 311 82 42 40 
1007 7 447 293 116 38 12 26 
1009 23 1001 348 450 203 17 186 
1010 22 933 275 435 223 41 182 
1012 19 374 240 110 24 24 0,0001 
1014 1 608 365 148 95 20 75 
1015 2 640 224 304 112 14 98 
1017 20 614 255 272 87 28 59 
1019 11 915 265 355 265 43 222 
1020 12 1139 179 643 317 20 297 
1021 21 702 237 341 124 39 85 
1023 3 464 104 242 118 18 100 
2002 13 1118 180 568 370 0,0001 370 
2003 14 1224 207 758 259 11 248 
2004 24 1204 277 610 317 10 307 
2005 25 1144 310 520 314 12 302 
2006 26 1048 362 510 176 12 164 
2008 15 1162 130 659 373 13 360 
2009 16 1003 224 542 237 21 216 
2011 17 721 229 400 92 12 80 
2012 18 775 223 477 75 28 47 
2015 28 1023 295 501 227 18 209 
2016 27 1114 246 528 340 32 308 
2017 29 955 267 502 186 24 162 
2019 4 532 157 238 137 0,0001 137 
2021 5 562 120 316 126 0,0001 126 
2031 30 1005 271 637 97 8 89 
2034 6 530 30 461 39 0,0001 39 
8001 31 1126 270 558 298 68 230 
 
 
 
 
Matriz de dados 7.1. Levantamento efetuado pelo “Swiss Federal Institute of 
Technology” em Lausanne/Suíça (GOOVAERTS, 1997). 
ID X Y Nível Uso Cd Cd* Cu Cu* Pb Pb*
1 2.672 3.558 Q pradaria 1.57 1 18.6 0 38.6 0
2 3.589 4.443 J1 pradaria 2.045 1 11.48 0 33.36 0
3 4.01 4.713 J1 pastagem 1.203 1 13.04 0 26.56 0
4 2.942 3.137 Q pastagem 0.49 0 5.64 0 25.88 0
5 1.409 2.748 J3 pradaria 0.692 0 10.32 0 31.16 0
6 3.978 2.91 J2 floresta 1.75 1 8.36 0 37.72 0
7 2.715 2.1 J2 floresta 0.415 0 4.44 0 41 0
8 3.87 0.762 J3 pastagem 0.685 0 10.92 0 30.84 0
9 2.445 2.521 J2 pradaria 0.92 1 30.28 0 68.12 1
10 3.827 2.219 J2 floresta 2.12 1 7.35 0 54.4 1
11 2.488 1.064 J1 pradaria 0.495 0 17.08 0 46.8 0
12 1.646 0.524 J2 pastagem 1.06 1 18.88 0 55.2 1
13 3.136 2.37 J4 floresta 0.79 0 3.98 0 35.28 0
 218
14 3.74 5.134 J1 floresta 0.772 0 8.16 0 30.16 0
15 1.678 2.327 J3 pradaria 1.188 1 31.36 0 72.4 1
16 4.399 3.18 J4 pradaria 1.615 1 91.2 1 108.8 1
17 3.935 4.368 J3 pradaria 3.023 1 19.72 0 45.6 0
18 3.33 1.604 J3 pradaria 2.315 1 113.12 1 144.36 1
19 3.557 2.64 J2 floresta 2.65 1 12.3 0 54.4 1
20 1.376 0.945 J1 pradaria 3.78 1 32.76 0 94.4 1
21 2.024 2.251 J3 pradaria 1.805 1 55.6 1 142 1
22 3.31 4.594 Q pradaria 1.58 1 56.4 1 93.6 1
23 4.097 1.798 J2 lavoura 1.93 1 19.3 0 46.4 0
24 2.326 3.633 J1 pradaria 0.415 0 18.32 0 31.92 0
25 3.514 4.098 J3 pastagem 0.675 0 9.24 0 27.24 0
26 3.168 4.173 J1 pradaria 0.745 0 8.52 0 30.28 0
27 4.292 1.039 Q pradaria 1.42 1 18.8 0 36.48 0
28 2.834 0.988 J3 pastagem 1.425 1 13.32 0 53.6 1
29 4.443 1.723 Q pastagem 1.31 1 17.7 0 48.4 0
30 3.482 2.295 J2 pastagem 1.765 1 127 1 300 1
31 3.665 4.789 J1 pradaria 0.647 0 9.76 0 21.76 0
32 4.173 2.144 J2 pastagem 1.81 1 17.9 0 48.8 0
33 2.143 1.139 J1 pradaria 0.394 0 39.56 0 105.6 1
34 3.061 2.025 J2 pradaria 1.6 1 20.6 0 35.75 0
35 2.985 1.679 J2 pradaria 1.675 1 22.92 0 61.44 1
36 3.438 3.752 J2 pastagem 1.28 1 13.04 0 43.6 0
37 4.637 0.956 J2 pradaria 0.87 1 16.5 0 35.32 0
38 3.049 5.285 J2 floresta 0.8 0 7.68 0 48.4 0
39 1.106 1.366 J1 pradaria 0.475 0 22.68 0 55.2 1
40 3.633 2.986 J2 pradaria 0.855 1 25.5 0 51.6 1
41 3.708 3.331 J2 pradaria 1.34 1 10.32 0 41.2 0
42 2.909 1.334 J1 pradaria 1.805 1 28.92 0 74.36 1
43 2.102 2.597 J2 pradaria 0.825 1 31.2 0 70.4 1
44 1.797 1.215 J1 pradaria 0.545 0 33.08 0 58 1
45 3.255 1.253 J3 pradaria 1.78 1 154.6 1 239.96 1
46 4.129 3.601 J2 floresta 2.566 1 7.88 0 55.2 1
47 3.363 3.407 J2 pastagem 0.61 0 7.86 0 34.84 0
48 1.452 1.29 J1 pradaria 0.585 0 15.16 0 56.4 1
49 4.745 3.105 J1 floresta 1.436 1 14.2 0 32.68 0
50 0.491 1.862 J3 floresta 2.415 1 21.32 0 48.4 0
51 2.369 2.176 Q pradaria 0.75 0 73.12 1 139.16 1
52 3.676 1.528 J3 pradaria 0.805 1 38.72 0 88.32 1
53 1.257 2.057 J3 pastagem 0.65 0 12.8 0 41.6 0
54 3.903 2.565 J2 floresta 0.51 0 5.96 0 62.4 1
55 1.603 1.981 J2 lavoura 0.705 0 16.04 0 38.24 0
56 3.395 5.21 J3 pradaria 1.112 1 13.12 0 25.56 0
57 2.564 1.409 J1 lavoura 1.31 1 117.6 1 152.8 1
58 0.912 2.132 J2 pastagem 2.2 1 11.88 0 51.6 1
59 3.093 3.828 J3 pradaria 0.45 0 11.5 0 30.92 0
60 0.836 1.787 J3 pradaria 0.825 1 12.96 0 50 0
61 2.758 0.643 J2 floresta 1.245 1 13.08 0 88 1
62 3.017 3.482 J2 pastagem 1.09 1 8.8 0 26.32 0
63 3.212 2.716 J3 pradaria 0.78 0 29.8 0 60.4 1
64 4.022 1.453 J2 pastagem 1.95 1 22.6 0 52 1
65 4.054 3.256 J2 pradaria 1.31 1 21.16 0 52.8 1
66 2.521 2.867 J2 pastagem 1.585 1 11.4 0 39.36 0
67 3.319 4.864 J1 pastagem 0.52 0 6.04 0 21.12 0
 219
68 2.823 4.249 J1 floresta 1.005 1 7.08 0 35.4 0
69 1.722 0.869 J1 pradaria 0.57 0 21.36 0 67.2 1
70 2.251 3.288 Q pradaria 0.33 0 5.72 0 18.68 0
71 1.182 1.711 J3 pastagem 2.535 1 8.72 0 55.6 1
72 1.83 3.018 J3 pradaria 2.685 1 32.68 0 69.32 1
73 3.752 1.874 J2 pastagem 0.69 0 20.8 0 55.6 1
74 2.218 1.485 J1 pastagem 0.375 0 19.36 0 45.2 0
75 1.873 1.56 J3 pradaria 1.955 1 26.08 0 60.4 1
76 3.6 1.183 J2 pradaria 1.185 1 22.72 0 49.72 0
77 2.887 4.889 J1 floresta 1.325 1 5.4 0 37.52 0
78 1.527 1.636 J3 pradaria 0.795 0 42 0 84.8 1
79 1.333 2.407 J2 pradaria 1.63 1 20.56 0 46 0
80 2.413 0.718 J3 pradaria 0.677 0 11.92 0 38.16 0
81 1.948 1.906 J3 pradaria 1.298 1 22.44 0 45.6 0
82 1.754 2.672 J2 pradaria 1.53 1 16.24 0 43.6 0
83 2.294 1.83 J2 pastagem 0.67 0 8.72 0 32.76 0
84 2.639 1.755 J3 floresta 1.01 1 5.96 0 67.36 1
85 1.905 3.363 J1 pradaria 0.5 0 16.68 0 39.76 0
86 2.175 2.942 J3 pastagem 1.665 1 37 0 43.8 0
87 2.791 2.446 J2 pradaria 1.52 1 16.32 0 57.52 1
88 2.866 2.791 J2 pradaria 1.315 1 14 0 45.96 0
89 3.407 1.953 J2 pastagem 1.325 1 9.92 0 38.4 0
90 3.946 1.107 J2 pastagem 0.495 0 7.52 0 33 0
91 2.452 3.995 J1 pradaria 0.395 0 12.72 0 28.24 0
92 2.747 3.903 J1 pastagem 0.38 0 3.55 0 21.12 0
93 3.287 3.061 Q pradaria 2.085 1 39 0 52.4 1
94 4.367 1.377 Q pradaria 2.61 1 24 0 47.2 0
95 4.713 1.302 J2 pradaria 0.845 1 10.28 0 33.64 0
96 4.248 2.489 J4 floresta 1.22 1 5.52 0 48.8 0
973.784 3.677 J2 floresta 0.64 0 6.68 0 34.32 0
98 4.324 2.835 J2 floresta 1.65 1 8.88 0 60 1
99 3.859 4.022 J3 pradaria 1.433 1 43.6 0 60.8 1
100 2.593 3.312 J3 pradaria 0.325 0 8.08 0 26.2 0
 
 
 
Matriz de dados 8.1. Teores dos óxidos CaO, MgO, SiO2, Fe2O3, P2O5, MnO, SrO, S, 
MnO e perda ao fogo (PF) (LANDIM, FERREIRA & BETTENCOURT, 2010) . 
Furo Unidade X Y CaO MgO SiO2 Al2O3 Fe2O3 P2O5 SrO S MnO PF
05F CBF 790336.766 265354.5738 49.150 3.643 0.573 0.078 4.373 4.070 0.650 0.193 0.143 37.875
06F CBF 790355.0464 265242.683 43.529 6.934 0.399 0.371 7.704 5.201 0.584 0.229 0.176 35.443
07F CBF 790365.8315 265220.596 45.286 5.373 0.583 0.313 7.874 5.976 0.609 0.360 0.164 33.643
08F CBF 790377.1039 265198.3276 45.775 4.000 1.190 0.375 7.975 7.540 0.555 0.295 0.135 31.660
111F CBF 790410.5716 265273.5501 48.700 4.121 0.441 0.191 4.621 4.427 0.690 0.384 0.146 36.486
115F CBF 790295.576 265237.0378 45.010 6.585 0.565 0.420 5.900 6.465 0.645 0.285 0.155 34.155
116F CBF 790282.8074 265221.9122 43.682 7.372 0.610 0.332 6.113 7.047 0.595 0.257 0.150 33.628
117F CBF 790258.5078 265227.702 45.836 5.990 0.480 0.294 5.962 5.634 0.648 0.336 0.158 35.286
118F CBF 790303.0444 265205.5345 45.710 4.150 2.180 1.280 6.517 4.660 0.597 0.320 0.140 34.163
120F CBF 790288.4736 265238.7317 46.451 5.373 0.590 0.386 5.859 5.909 0.651 0.334 0.151 34.741
121F CBF 790404.3505 265304.2823 49.640 3.784 0.434 0.188 3.812 5.508 0.690 0.406 0.130 35.220
126F CBF 790400.4614 265323.9046 47.429 3.697 0.419 0.283 7.586 4.469 0.643 0.400 0.153 34.800
129F CBF 790237.546 265242.3255 43.290 7.285 0.490 0.238 7.190 7.528 0.555 0.290 0.160 32.735
130F CBF 790215.9311 265269.3777 46.345 4.808 1.968 1.143 4.980 5.328 0.660 0.340 0.135 34.628
134F CBF 790386.8723 265344.5345 46.571 4.706 0.566 0.341 7.284 5.876 0.596 0.214 0.146 34.271
 220
135F CBF 790403.1756 265356.4009 47.680 2.670 0.870 0.210 4.980 7.800 0.460 0.230 0.110 34.030
139F CBF 790373.3914 265368.4275 49.740 3.398 0.428 0.222 4.014 5.192 0.692 0.348 0.128 35.580
140F CBF 790267.3233 265330.1964 49.090 3.920 0.600 0.140 4.730 4.380 0.720 0.500 0.130 36.290
142F CBF 790221.8056 265288.646 48.589 4.574 0.401 0.229 5.646 6.490 0.634 0.359 0.141 32.497
146F CBF 790249.5974 265335.146 48.709 3.853 0.429 0.146 4.814 4.464 0.696 0.274 0.139 36.656
147F CBF 790239.4874 265311.6 46.786 5.663 0.341 0.131 4.387 4.944 0.643 0.241 0.137 37.044
149F CBF 790182.9489 265297.624 46.035 6.260 0.443 0.230 5.158 6.613 0.635 0.320 0.143 34.705
158F CBF 790257.9578 265354.2415 48.400 4.062 0.592 0.096 4.312 5.184 0.694 0.356 0.132 35.520
160F CBF 790226.9237 265346.302 47.843 3.974 0.444 0.190 6.281 4.060 0.670 0.270 0.144 36.394
162F CBF 790176.1688 265321.0418 47.541 4.721 0.543 0.289 5.357 5.710 0.649 0.306 0.139 34.704
225F CBF 790264.7943 265381.9099 48.000 4.222 0.896 0.130 4.976 5.398 0.680 0.474 0.136 34.780
233F CBF 790409.9352 265244.2395 46.214 5.361 0.441 0.316 6.223 5.523 0.659 0.311 0.161 34.800
234F CBF 790421.7405 265220.2972 49.000 3.605 0.400 0.210 5.015 5.285 0.650 0.285 0.140 35.500
256F CBF 790345.2308 265242.843 39.475 11.880 0.330 0.250 4.705 6.800 0.504 0.199 0.155 35.488
257F CBF 790315.5576 265361.9837 48.629 3.761 0.510 0.089 4.857 3.591 0.670 0.411 0.134 37.200
261F CBF 790235.9653 265366.9188 48.014 3.877 0.594 0.083 5.686 5.330 0.646 0.373 0.134 35.000
262F CBF 790292.2312 265371.6455 50.300 3.673 0.593 0.091 3.681 4.623 0.706 0.366 0.130 36.886
282F CBF 790211.1295 265245.335 48.620 3.380 0.820 0.220 6.290 5.850 0.640 0.420 0.130 33.930
28F CBF 790296.9385 265318.5696 48.170 3.730 0.410 0.130 4.680 4.830 0.680 0.230 0.130 36.680
31F CBF 790337.2959 265223.2882 42.782 6.274 0.840 0.512 9.116 5.914 0.604 0.246 0.172 33.522
32F CBF 790351.2113 265218.6836 46.761 4.836 0.313 0.223 6.483 5.401 0.629 0.264 0.157 35.297
01N CBN 790219.8385 265456.1197 47.168 3.712 0.918 0.060 6.428 6.638 0.630 0.404 0.124 33.788
02N CBN 790250.3006 265507.4621 43.497 5.547 5.843 0.799 6.563 4.613 0.490 0.200 0.137 31.899
03N CBN 790259.3306 265481.6155 44.810 3.911 0.827 0.173 12.246 8.850 0.577 0.333 0.143 28.373
04N CBN 790275.0552 265458.0606 48.420 3.383 0.394 0.064 6.959 6.719 0.639 0.340 0.130 33.374
153N CBN 790219.3081 265624.3257 41.834 6.074 0.634 0.213 11.761 7.147 0.530 0.226 0.157 31.210
159N CBN 790228.3696 265610.6935 49.540 4.250 0.223 0.070 2.520 5.040 0.627 0.257 0.123 37.827
177N CBN 790253.0228 265557.8403 44.940 7.630 0.530 0.170 3.450 5.270 0.530 0.270 0.130 37.110
180N CBN 790213.2072 265479.851 44.533 5.965 2.955 0.192 5.895 5.380 0.590 0.398 0.135 33.200
181N CBN 790307.7232 265498.4849 48.933 3.386 0.293 0.050 5.491 5.597 0.659 0.360 0.116 34.950
182N CBN 790310.3341 265531.5845 48.014 3.777 1.364 0.269 3.941 6.440 0.620 0.263 0.104 35.229
189N CBN 790280.5507 265552.0877 45.850 4.602 0.715 0.227 8.193 7.523 0.562 0.345 0.137 31.642
192N CBN 790269.1942 265575.0211 44.040 4.424 0.972 0.382 12.454 7.254 0.478 0.340 0.168 29.400
193N CBN 790299.0035 265581.1476 48.557 3.984 0.447 0.086 4.233 5.834 0.606 0.304 0.129 36.057
195N CBN 790269.346 265521.0303 48.517 3.718 0.547 0.140 6.515 6.152 0.580 0.312 0.125 34.213
197N CBN 790256.3818 265596.1975 45.500 4.143 0.753 0.483 10.723 6.145 0.525 0.363 0.163 31.875
198N CBN 790287.5296 265603.2798 45.716 4.043 0.633 0.113 9.107 7.510 0.560 0.359 0.139 31.529
203N CBN 790250.8883 265611.5217 47.143 4.497 0.573 0.266 6.316 5.674 0.563 0.284 0.147 34.971
204N CBN 790295.0701 265470.8839 50.220 3.812 0.508 0.087 2.740 3.215 0.733 0.373 0.117 37.843
205N CBN 790275.1001 265625.055 45.857 6.814 0.930 0.161 3.289 5.066 0.603 0.259 0.137 37.114
208N CBN 790243.3695 265636.8618 48.114 4.037 0.467 0.124 6.437 5.843 0.659 0.310 0.151 34.829
209N CBN 790256.0752 265644.0958 47.733 5.125 0.640 0.095 3.868 6.398 0.625 0.143 0.135 35.735
20N CBN 790143.859 265606.2149 48.042 4.323 0.868 0.092 4.775 6.082 0.662 0.263 0.135 35.245
21N CBN 790147.8956 265572.3116 44.285 4.030 0.668 0.173 12.988 8.683 0.575 0.300 0.170 28.315
22N CBN 790165.6153 265546.5723 49.040 4.678 0.250 0.066 2.878 5.326 0.670 0.282 0.126 37.248
230N CBN 790146.2025 265597.5671 47.657 4.162 0.778 0.100 5.575 6.752 0.623 0.252 0.130 33.708
23N CBN 790197.8799 265500.1982 47.162 5.410 2.173 0.157 4.357 6.343 0.617 0.273 0.127 33.320
245N CBN 790239.3459 265628.349 40.764 6.260 0.784 0.278 12.836 7.100 0.522 0.172 0.164 30.802
248N CBN 790163.8539 265624.4107 45.037 5.282 0.443 0.135 7.303 5.923 0.608 0.200 0.148 35.398
249N CBN 790167.7598 265610.5195 46.280 4.448 0.607 0.205 7.497 6.077 0.618 0.252 0.152 34.380
24N CBN 790208.9623 265478.1797 50.417 3.116 0.354 0.050 3.380 6.206 0.670 0.264 0.111 35.900
250N CBN 790219.1768 265516.8922 44.338 5.774 0.512 0.108 7.352 8.090 0.514 0.266 0.126 32.468
251N CBN 790223.5913 265497.3779 46.663 5.152 0.603 0.188 4.513 6.377 0.617 0.308 0.125 36.127
252N CBN 790242.9795 265470.0058 41.909 7.913 0.534 0.214 8.807 7.919 0.521 0.274 0.147 31.716
 221
253N CBN 790253.9778 265449.783 44.790 3.621 0.766 0.304 11.913 6.639 0.581 0.266 0.143 31.169
25N CBN 790219.2885 265456.912 43.290 5.146 1.473 0.219 11.514 5.699 0.581 0.221 0.160 32.217
26N CBN 790223.2727 265441.1552 43.033 7.123 1.028 0.110 5.975 8.413 0.520 0.145 0.123 33.203
311N CBN 790241.7395 265523.8196 47.887 4.151 0.299 0.089 3.931 5.664 0.561 0.309 0.117 36.659
05R CBR 790331.9359 265356.8555 50.467 3.527 0.170 0.000 2.527 2.777 0.723 0.203 0.130 40.067
115R CBR 790308.5022 265226.5087 37.962 13.174 0.618 0.552 4.234 5.372 0.490 0.194 0.156 37.856
120R CBR 790289.36 265238.1324 48.080 4.760 1.090 0.210 4.450 3.650 0.690 0.350 0.140 37.240
121R CBR 790409.59 265300.62 48.200 3.955 0.475 0.160 5.610 5.120 0.655 0.310 0.140 35.450
125R CBR 790419.4187 265333.7415 47.578 3.794 0.560 0.178 4.568 5.764 0.660 0.278 0.118 36.356
127R CBR 790276.0008 265268.6881 45.209 6.377 0.691 0.237 4.040 4.094 0.619 0.277 0.141 38.330
130R CBR 790220.1745 265266.3275 44.170 5.795 2.5501.490 5.555 7.320 0.600 0.330 0.130 32.360
132R CBR 790253.1782 265279.7257 43.519 8.913 0.419 0.190 3.964 4.833 0.587 0.266 0.143 36.954
140R CBR 790272.4731 265325.0938 48.530 4.023 0.478 0.215 4.716 4.735 0.681 0.290 0.135 36.479
141R CBR 790262.7211 265302.4015 46.773 4.703 0.571 0.186 5.239 4.813 0.654 0.259 0.139 37.477
158R CBR 790246.1206 265363.8835 49.200 3.515 0.315 0.000 3.790 3.830 0.680 0.260 0.130 37.900
223R CBR 790349.6598 265354.6945 48.289 3.766 0.223 0.100 4.277 4.281 0.683 0.309 0.127 37.924
254R CBR 790305.8446 265339.71 48.257 4.414 0.316 0.116 4.273 4.270 0.691 0.379 0.136 36.914
255R CBR 790328.064 265327.6803 48.744 3.604 0.701 0.231 3.014 2.660 0.720 0.217 0.113 40.314
27R CBR 790281.7358 265346.9323 47.557 4.010 0.480 0.161 5.973 4.327 0.686 0.336 0.143 35.800
28R CBR 790294.4998 265320.2417 49.150 3.552 0.447 0.100 3.502 3.263 0.687 0.250 0.118 39.073
30R CBR 790300.8495 265265.4571 43.674 5.995 1.110 0.363 6.866 6.010 0.584 0.224 0.151 34.646
313R CBR 790330.7541 265273.7652 47.321 4.269 0.330 0.220 4.846 4.549 0.667 0.319 0.133 37.196
314R CBR 790355.5347 265265.2112 42.143 9.023 0.308 0.134 4.364 6.193 0.558 0.254 0.141 37.016
315R CBR 790375.3054 265311.1251 47.063 3.881 0.636 0.171 5.344 5.390 0.664 0.350 0.127 36.209
316R CBR 790364.3355 265284.3547 47.536 3.789 0.491 0.190 5.591 6.054 0.651 0.340 0.129 34.713
36R CBR 790377.1098 265254.2877 42.021 9.926 0.526 0.233 2.991 4.966 0.566 0.261 0.134 38.693
 
 
Matriz de dados 9.1. Espessuras de uma jazida de carvão (CAVA, 1985 e LANDIM, 2003) 
ID X Y ESPESSURA 
1 1 5 0.8
2 2 5 0.72
3 4 5 0.69
4 3 4.5 0.8
5 4.5 4.5 0.73
6 0.5 4 1.19
7 1.5 4 0.94
8 2.5 4 0.96
9 3.5 4 1.05
10 5 4 1.32
11 1 3.5 1.02
12 2 3.5 1.2
13 3 3.5 1.1
14 4 3.5 1.18
15 6 3.5 1.3
16 1.5 3 1.55
17 2.5 3 1.57
18 3.5 3 1.3
19 5 3 1
20 0.5 2.5 1.18
21 1.5 2.5 1.4
22 2 2.5 1.3
23 2.5 2.5 1.5
24 4 2.5 1.4
 222
25 1.5 2 1.85
26 2.5 2 1.2
27 3 2 1.23
28 4 2 1.3
29 0.5 1.5 1.62
30 1.5 1.5 2.09
31 2 1.5 1.6
32 2.5 1.5 1.4
33 3 1.5 1.41
34 3.5 1.5 1.38
35 4 1.5 1.04
36 2 1 1.31
37 3.5 1 1.28
38 2.5 0.5 0.55
 
 
 
 
Matriz de dados 10.1. Localização dos pontos em Coordenadas Hayford-Gauss, 
sistema de coordenadas geográficas usado em Portugal; valores dos anions e sílica 
dissolvida em µmol/L (PACHECO & LANDIM (2005) 
ID X (m) Y (m) [HCO3-] [Cl-] [SO42-] [NO3-] [SIO2]
28 253614 353895 780 440 356 371 656
30 253789 353965 844 485 458 460 639
31 253263 353298 490 423 185 387 506
32 253228 353579 390 282 129 371 558
35 252491 352105 729 347 341 221 614
39 252631 354666 619 231 129 216 260
41 251789 355052 261 189 198 55 463
42 252526 355754 370 130 127 139 421
45 254526 358596 1280 668 464 121 571
51 253474 358982 780 499 458 189 100
59 252281 358526 2260 2115 635 150 674
60 253614 357403 560 248 158 63 524
61 254105 357684 580 231 83 18 560
63 253754 353298 229 790 735 998 399
66 251579 353719 480 296 325 366 474
67 251754 353509 1052 243 4 0 684
71 250526 353263 639 183 433 0 626
72 250421 352947 239 164 56 1 478
74 249930 353123 660 149 44 32 609
75 249719 352772 480 138 62 0 399
76 249754 352421 810 155 92 0 503
77 252035 352140 851 550 237 258 499
78 251474 351930 918 1664 473 874 438
79 250737 352035 410 181 125 121 634
84 251649 353158 451 307 323 211 426
85 251579 352982 590 169 94 82 606
 223
86 255017 353403 870 279 35 60 663
87 256316 353158 451 243 177 1 613
90 257438 355474 760 248 125 47 506
92 258000 356737 580 186 117 0 552
96 258386 355228 480 336 58 32 652
99 259123 354982 600 567 366 37 353
202 250175 355017 239 1297 1307 839 573
203 250210 355579 610 372 417 185 440
204 251895 356807 352 254 172 158 657
205 252561 357052 716 536 404 379 485
206 251052 356281 472 677 289 37 441
207 250421 354737 244 621 580 500 489
208 250666 355298 328 181 171 92 474
209 250456 353895 367 231 323 240 532
210 250386 353368 388 183 76 82 626
211 251789 356035 1080 395 383 71 587
212 251930 355544 357 85 173 144 603
213 252702 356351 429 691 431 855 405
214 252351 354702 215 220 437 203 437
215 252702 354877 690 121 173 18 564
216 250245 352035 1113 189 227 53 660
217 251298 352456 787 243 90 3 654
218 252000 353754 2994 485 228 181 635
219 250140 354561 167 762 139 871 465
220 253403 359158 3655 2482 1047 1081 264
221 254456 357438 477 209 137 3 522
222 253544 357544 642 259 194 216 634
223 253158 356947 326 254 371 435 485
224 253509 356035 1155 130 138 77 411
225 253263 355474 372 133 227 58 472
226 253684 355579 436 113 158 85 545
227 253965 355895 367 124 154 226 581
228 252526 352245 836 268 342 177 750
229 255684 351684 557 536 162 205 666
230 257544 352456 664 203 318 21 546
231 255193 352351 626 178 448 124 508
232 254561 353333 334 175 81 435 745
233 254456 353965 690 790 514 2903 687
234 253579 354807 433 158 278 132 670
235 255403 356947 523 155 70 65 668
236 255649 357088 601 1354 1144 1387 586
237 254877 356175 400 118 96 248 207
238 255158 356386 438 141 135 68 535
239 254772 355193 600 324 274 500 558
241 260210 357193 231 79 24 61 514
 224
242 259754 357509 136 65 10 71 445
243 254105 359333 1529 874 515 435 776
244 255859 355824 323 265 336 250 476
245 254912 354702 692 310 173 131 608
246 254631 356351 564 127 151 131 519
247 254947 357193 454 282 372 166 532
248 250596 355789 526 195 384 500 415
249 248877 352947 408 107 170 52 560
250 258561 357614 187 268 279 324 579
251 258842 357368 203 93 15 35 467
252 259088 356842 128 104 7 66 414
253 259438 356175 249 90 66 61 619
254 260000 355509 295 116 75 29 600
255 260105 355509 293 124 72 66 672
256 259614 356140 236 130 75 35 520
257 259438 355930 243 144 99 140 613
258 259193 356000 59 96 9 66 237
259 258456 353824 723 262 173 190 740
260 255403 353438 647 141 62 44 760
261 256140 353965 675 931 365 452 620
262 256035 354070 1047 3328 749 1516 617
263 256105 354281 1721 3159 1450 1242 740
264 255930 354737 451 333 204 250 550
265 256000 354526 567 152 43 9 697
266 256000 355052 533 1297 1784 532 486
267 256456 354877 1278 564 113 182 739
268 256526 355263 526 527 439 282 581
269 256316 354105 877 6770 1117 1048 567
270 257088 354702 1169 1326 675 726 452
271 257754 354386 449 214 50 139 842
272 257158 353789 367 259 12 187 573
273 252877 351684 652 164 24 4 723
274 255930 352631 470 305 105 150 530
275 256316 352316 516 282 25 105 662
276 256737 351895 531 480 71 176 615
277 256877 352596 606 361 119 113 736
278 257965 352210 375 203 37 113 760
279 258526 352631 688 592 134 118 692
280 259614 350912 434 152 23 13 583
402 256631 350421 150 115 14 22 211
404 256982 350526 308 188 19 32 399
406 254281 359684 853 623 151 60 692
407 254807 359474 2081 745 399 106 757
408 257088 359052 551 268 140 113 711
410 260666 354386 272 107 25 74 530
 225
411 261333 353579 214 199 93 30 209
415 248631 355824 470 244 34 8 612
420 254702 350947 390 209 46 14 340
421 255859 350842 353 188 45 23 339
423 260421 354245 262 88 32 29 352
424 258596 351298 365 232 79 81 445
425 258596 351088 819 91 21 11 812
427 259649 351333 433 162 10 30 534
430 248702 357017 725 241 324 34 464
432 260596 352807 338 161 19 25 689
433 260386 352351 280 107 82 24 524
434 260772 352456 292 79 16 13 524
435 260456 351859 421 64 10 5 581
438 256035 359298 430 152 60 30 487
439 253719 351474 714 128 25 0 709
440 254140 351228 636 127 58 7 729
441 256702 351298 956 166 67 8 875
442 258561 352175 607 832 50 75 838
443 259649 354386 549 378 65 33 569
444 259649 353333 351 157 27 36 442
446 256526 354175 651 255 28 33 887
447 256105 353438 974 533 189 107 548
452 252631 352281 838 338 351 105 774
453 251579 354386 1123 276 92 17 752
457 250666 350631 566 93 3 1 568
458 255509 351438 526 195 18 22 670
463 248947 350386 231 241 67 31 366
514 254737 356035 558 161 133 27 497
522 253824 356281 1149 181 95 32 600
523 252702 353579 650 302 299 34 860
524 252842 354982 918 248 228 21 679
525251754 355649 503 126 138 48 554
530 256140 353614 643 454 356 62 742
534 257509 353123 310 277 162 100 604
535 257754 352281 625 725 286 105 568
536 255824 351719 529 236 111 42 431
539 257509 354912 600 685 226 150 375
540 256491 354105 520 224 46 63 806
573 259298 355789 96 195 20 19 280
574 258561 356105 652 914 189 29 515
575 258842 355193 875 426 261 30 514
583 248947 357895 305 2350 269 284 415
589 256316 352316 501 205 39 24 679
591 250421 357403 572 412 418 20 228
 
 226
 
Matriz de dados 11.1. Valores em mg/L (Queiroz, 2003) 
No. Amostra X(UTM) Y(UTM) Fe Mn As Al Se Pb Cu Cd
1 EL-01 478.3 994.15 0.11650 0.0341 < LD 0.368 < LD 0.0097 < LD < LD
2 EL02 478.52 994.09 0.58765 0.0314 < LD 0.426 0.0321 0.0262 0.00547 < LD
3 EL-03 478.12 994.44 12.26500 0.0862 < LD 0.867 0.0341 0.0265 0.00650 0.00080
4 EL-04 477.75 994.3 0.80137 0.0926 < LD 0.672 0.0339 0.0262 0.00672 0.00023
5 EL-05 477.99 994.8 0.29743 0.0052 < LD 0.851 0.0342 0.0256 0.01003 < LD
6 EL-06 478.03 994.84 0.07179 0.0064 < LD 0.156 < LD 0.0085 < LD 0.00022
7 EL-07 478.75 995.55 12.81900 0.4187 < LD 0.217 0.0336 0.0253 0.00348 0.00056
8 EL-08 478.16 995.22 0.09604 0.0039 < LD 0.021 0.0335 0.0261 0.03419 < LD
9 EL-09 478.62 995.69 0.83601 0.0391 < LD 13.007 < LD 0.0096 < LD 0.00043
10 EL-10 478.71 995.76 0.18773 0.0152 < LD 0.225 0.0334 0.0250 0.00344 < LD
11 EL-11 479.65 996.06 0.07150 0.0140 < LD 0.120 < LD 0.0106 < LD 0.00090
12 STN-01 480.92 996.14 0.01392 0.0108 < LD 0.362 < LD 0.0107 < LD < LD
13 STN-02 480.98 995.15 0.00829 0.0050 < LD 0.195 < LD 0.0100 < LD < LD
14 STN-03 480.3 994.68 0.49047 0.0194 < LD 10.851 < LD 0.0154 < LD 0.00031
15 STN-04 480.44 994.26 0.03515 0.0665 < LD 0.762 0.0328 0.0261 0.00218 < LD
16 STN-05 481.54 995.23 0.03505 0.0164 < LD 0.210 < LD 0.0090 < LD < LD
17 STN-06.1 481.3 994.5 0.04155 0.0226 < LD 0.287 < LD 0.0100 < LD < LD
18 STN-06.2 481.305 994.505 23.44100 11.9860 0.0128 0.215 0.0344 0.0272 0.00638 0.00138
19 STN-07 481.51 994.36 0.01077 0.0037 < LD 0.111 < LD 0.0101 < LD < LD
20 STN-08 481.96 995.06 0.29245 0.0090 < LD 0.155 < LD 0.0094 < LD < LD
21 STN-09 482.09 995.1 0.06507 0.0057 < LD 0.264 < LD 0.0109 < LD < LD
22 STN-10 482.1 995.47 0.05772 0.0070 < LD 0.109 < LD 0.0091 < LD < LD
23 STN-11 482.1 995.71 0.08928 0.0436 < LD 0.367 < LD 0.0098 < LD < LD
24 STN-12 480.33 994.25 0.08941 0.0162 < LD 0.369 0.0338 0.0273 0.02686 0.00006
25 STN-13 480.86 994.28 17.55400 0.3536 < LD 0.558 0.0339 0.0267 0.00562 0.00051
26 STN-14 480.93 994.76 0.09411 0.0540 < LD 0.254 0.0341 0.0265 0.00757 < LD
27 STN-15 481.03 995.3 0.01638 0.0016 < LD 0.090 < LD 0.0080 < LD < LD
28 STN-16 480.47 995.5 0.04004 0.0335 < LD 0.575 < LD 0.0109 < LD < LD
29 STN-17 480.6 995.34 0.12924 0.0173 < LD 0.205 < LD 0.0090 < LD < LD
30 STN-18 480.92 995.5 0.14526 0.0200 < LD 0.330 < LD 0.0127 < LD < LD
31 STN-19 481.58 995.75 0.00571 0.0126 < LD 0.040 < LD 0.0095 < LD < LD
32 STN-20 480.33 994.27 0.03577 0.0159 < LD 0.767 < LD 0.0123 < LD < LD
33 PM-02 479.89 993.86 72.25700 0.4187 < LD 21.777 0.0336 0.0253 0.00527 0.00244
34 PM-04 479.52 993.8 0.04456 51.4410 < LD 0.088 0.0392 0.0264 0.00235 < LD
35 PM-11 479.91 994.19 0.89852 0.0302 < LD 14.031 0.0355 0.0290 0.00450 < LD
36 PM-14 479.21 994.25 24.15000 0.3373 22.9240 0.160 0.0331 0.0263 0.00320 0.00082
37 PM-18.A 479.52 994.33 0.31176 0.1903 0.6081 0.113 < LD 0.0092 < LD < LD
38 PM-24.A 479.32 994.33 0.46094 12.7720 10.7270 0.232 0.0361 0.0393 0.00517 0.00080
39 PM-26 479.47 994.12 0.07938 0.8195 18.1120 0.129 0.0000 0.0124 < LD < LD
40 PM-27.A 479.41 994.52 85.41300 14.8640 0.0248 0.102 0.0412 0.0350 0.00354 0.00306
41 PM-37 479.69 995.3 0.47740 0.8153 0.0013 0.317 0.0342 0.0275 0.00524 0.00065
42 ICOMI 479.91 994.06 0.00500 0.0070 0.020 
43 ICOMI 479.69 994.1 0.02000 0.8260 0.009 
44 ICOMI 479.9 993.71 0.02000 0.0800 0.010 
45 ICOMI 479.91 993.74 < LD 0.0370 0.008 
46 ICOMI 479.75 994.97 < LD 0.0070 0.014 
47 ICOMI 479.82 995.34 < LD 0.0010 0.015 
48 ICOMI 479.31 994.42 < LD 6.8200 0.008 
49 ICOMI 479.67 995.1 <LD 0.0010 0.017 
 
< LD: Menor que o Limite de Detecção 
 
 227
 
Tabela de dados 11.1. (Continuação) 
No Sample X(UTM) Y(UTM) Ba Sr Mo Zn(x100) Co(x100) Ni(x100) Cr(x100) Ag(x1000)
1 EL-01 478.3 994.15 0.092191 0.15712 < LD < LD 0.1266 0.2241 0.0713 0.25200
2 EL02 478.52 994.09 0.114780 26.17500 12533.00000 32.11700 0.1969 < LD 0.1970 < LD
3 EL-03 478.12 994.44 0.145050 26.46300 13526.00000 34.07600 0.3513 < LD 0.2878 < LD
4 EL-04 477.75 994.3 0.142460 26.17900 13292.00000 33.91900 0.5644 < LD 0.1701 < LD
5 EL-05 477.99 994.8 0.025527 25.55100 0.17351 34.17900 0.1024 < LD 0.0903 < LD
6 EL-06 478.03 994.84 0.011847 0.00205 < LD < LD 0.0904 < LD < LD < LD
7 EL-07 478.75 995.55 0.108260 25.30500 14162.00000 33.60900 0.2034 < LD 0.1112 0.11800
8 EL-08 478.16 995.22 0.003825 26.08100 0.02419 33.53800 0.2468 < LD < LD 0.75500
9 EL-09 478.62 995.69 0.086669 0.04087 < LD < LD 0.2313 0.1544 < LD < LD
10 EL-10 478.71 995.76 0.010024 2.50300 0.09834 33.41200 0.1385 < LD 0.0540 < LD
11 EL-11 479.65 996.06 0.020496 0.01546 < LD < LD 0.1331 0.1481 0.0327 0.16400
12 STN-01 480.92 996.14 0.100110 0.03525 < LD < LD < LD 0.1117 < LD < LD
13 STN-02 480.98 995.15 0.043718 0.00875 < LD < LD < LD < LD < LD 0.20500
14 STN-03 480.3 994.68 0.076806 0.05146 < LD 56.52400 0.2356 0.3162 0.0383 < LD
15 STN-04 480.44 994.26 0.078890 0.05096 < LD 29.07800 0.1274 < LD < LD 0.42900
16 STN-05 481.54 995.23 0.028611 0.01034 < LD < LD < LD < LD < LD < LD
17 STN-06.1 481.3 994.5 0.028787 0.03599 < LD < LD 0.0871 < LD < LD < LD
18 STN-06.2 481.305 994.505 0.166270 0.20905 < LD 42.25900 0.5293 0.6248 0.2640 0.30700
19 STN-07 481.51 994.36 0.014461 0.00114 < LD < LD 0.1203 < LD < LD < LD
20 STN-08 481.96 995.06 0.008233 < LD < LD < LD 0.1077 < LD < LD 0.12300
21 STN-09 482.09 995.1 0.037578 0.00890 < LD < LD 0.1332 < LD 0.2720 < LD
22 STN-10 482.1 995.47 0.007237 0.00101 < LD < LD 0.1504 < LD < LD < LD
23 STN-11 482.1 995.71 0.026344 0.04903 < LD < LD 0.1331 0.1739 0.0539 0.08900
24 STN-12 480.33 994.25 0.052630 0.01049 < LD 4.31300 0.1151 < LD 0.0403 0.44000
25 STN-13 480.86 994.28 0.124270 0.16663 < LD 3.85700 0.3534 < LD 0.2708 < LD
26 STN-14 480.93 994.76 0.045176 0.01191 < LD 58.21900 0.1200 0.5493 0.1109 0.18900
27 STN-15 481.03 995.3 0.017184 0.00252 < LD < LD 0.1350 < LD 0.1261 < LD
28 STN-16 480.47 995.5 0.078681 0.05520 < LD < LD 0.1984 0.2763 < LD 1.30500
29 STN-17 480.6 995.34 0.036680 0.01277 < LD < LD 0.1995 < LD < LD 0.10400
30 STN-18 480.92 995.5 0.099789 0.03337 < LD < LD 0.2197 < LD < LD < LD
31 STN-19 481.58 995.75 0.007444 0.00459 < LD < LD < LD 0.4341 < LD 1.19200
32 STN-20 480.33 994.27 0.146770 0.02213 < LD < LD 0.2726 < LD < LD < LD
33 PM-02 479.89 993.86 0.014136 0.17306 < LD 29.10600 0.1958 0.1155 18.1490 < LD
34 PM-04 479.52 993.8 0.597380 0.93706 < LD 31.18300 16.3050 0.1678 0.3677 0.59900
35 PM-11 479.91 994.19 0.009663 < LD < LD 30.57200 0.2382 < LD 0.2295 0.08200
36 PM-14 479.21 994.25 0.045501 0.03161 0.34308 3.17100 0.0458 < LD < LD < LD
37 PM-18.A 479.52 994.33 0.005707 0.00604 0.15249 < LD 0.1663 0.1466 < LD < LD
38 PM-24.A 479.32 994.33 0.021973 0.06867 0.40726 30.56200 0.4410 0.4963 0.1584 < LD
39 PM-26 479.47 994.12 0.988510 0.43134 0.88389 < LD 0.4923 18.5190 < LD 0.22000
40 PM-27.A 479.41 994.52 0.924810 0.76909 0.02643 30.98900 2.6110 17.6580 0.7862 1.27800
41 PM-37 479.69 995.3 0.016442 0.01003 < LD 44.30600 0.4014 0.3557 0.2746 0.25900
 
< LD: Menor que o Limite de Detecção 
 
 
 
 
 
 228
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
AITCHISON, J. (1986) – The statistical analysis of compositional data: Chapman & Hall 
ARAUJO, D.C. (1976) - Taxonomia e Relações dos Progranossauria da Bacia do Paraná: 
An. Acad. Brasil. Ciênc., 48 (1):91-116 
 
BERNARDI, J. V. E.; FOWLER, H. G. & LANDIM, P. M. B. (2001) - Um estudo de impacto 
ambiental utilizando análisesestatísticas espacial e multivariada: Holos Environment, 
1(2):162-172 
 
CAVA, L.T., Coord. (1985) - Potencial e Perspectivas para o Carvão Mineral do Estado do 
Paraná: MINEROPAR/PR. 
 
DAWSON, K. R. & WHITTEN, E. H. T. (1962) – The quantitative mineralogical composition 
and variation of the Lacorne, La Motte, and Preissac granitic complex, Quebec, Canada: 
Jour. Petrology, 3(1):1-37 
 
DAVIS, J.C (1986) - Statistics and Data Analysis in Geology: 2ND. ED., JOHN WILEY AND SONS. 
GOOVAERTS, P. (1997) – Geostatistics for Natural Resouces Evaluation: Oxford University 
Press. 
 
IMBRIE, J. (1963) – Factor and vector analysis programs for analyzing geologic data: 
Office Naval Res., Geography Branch, Tech. Rept. 6, ONR Task nº 389-135 
KRUMBEIN, W.C. (1962) – Open and Closed Number Systems in Stratigraphic Mapping: 
Bull. Am. Ass. Petrol. Geologists, 46:2229-2245 
KRUMBEIN, W.C. & GRAYBILL, F.A. (1965) – An Introduction to Statistical Models in 
Geology: McGraw-Hill Book Co. 
 
LANDIM, P. M. B. (2003) – Análise estatística de dados geológicos: Editora UNESP, 2ª. 
edição. 
 
LANDIM, P.M.B.; FERREIRA, T.C.O.; BETTENCOURT, J.S. (2010) – Regionalized 
classification of multivariate geochemical data from Jacupiranga Alkaline Complex (Ribeira 
de Iguape Valley/São Paulo, Brazil): Revista Brasileira de Geociências, 40(2): 
 
LEITE, C.B.B. & LANDIM, P.M.B. (2003) –Relação entre mapas temáticos por meio da 
Análise de Regressão Múltipla. Solos e Rochas – Revista Latino-americana de Geotecnia, 
26(3):195-203 
 
MILLER, R.L. & KAHN, J.S. (1962) - Statistical Analysis in the Geological Sciences: John 
Wiley and Sons. 
PACHECO, F.A.L. & LANDIM, P.M.B. (2005) - Two-Way Regionalized Classification of 
Multivariate Datasets and its Application to the Assessment of Hydrodynamic Dispersion: 
Mathematical Geology, v.37, no. 4, p. 393-4A7 
 
 229
QUEIROZ, J.C.B. (2003) –Utilização da geoestatística na quantificação do risco de 
contaminação por metais pesados na área portuária de Santana-Amapa/Brasil: Tese de 
Doutorado, Pós-Graduação em Geociências, IGCE, UNESP/Rio Claro, 199p. 
RHODES, J.M. (1969) - The application of cluster and discriminatory analysis in mapping 
granite intrusions: Lithos, 2:223-237. 
 
SOARES, P.C. & LANDIM, P.M.B. (1976) - Depósitos Cenozóicos na Região centro-sul do 
Brasil : Not. Geomorfológica, 16 (31): 17-39.