ResmatI CargaAxial

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Resistência dos Materiais I
Carga Axial – CAP 4
Profa. Tereza Denyse de Araújo
Abril / 2017
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Roteiro de aula
Princípio de Saint-Venant
Deformação elástica com carga axial
Princípio da superposição
Elementos estaticamente indeterminados
Método das forças (método da flexibilidade)
Tensões térmicas
Concentração de tensões
Deformação axial inelástica
Tensões residuais
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant - Enunciado
As tensões e deformações produzidas em pontos do corpo suficientemente afastados da região de aplicação da carga serão as mesmas produzidas por quaisquer cargas aplicadas que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e aplicadas ao corpo na mesma região.
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Deformação elástica com carga axial
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Deformação elástica com carga axial
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Deformação elástica com carga axial
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Exemplo 4.3
Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90 kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa.
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Exemplo 4.4
Uma elemento é feito de um material com peso específico g e módulo de elasticidade E. Se esse elemento tiver a forma de um cone com as dimensões mostradas, determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade, quando suspenso na posição vertical.
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Exemplo 4.10
A barra tem área de seção transversal de 1.800 mm2 e E = 250 GPa. Determine o deslocamento da extremidade A da barra quando submetida ao carregamento distribuído.
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1,5 m
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Exemplo 4.22
O poste é feito de abeto Douglas (E = 13,1 GPa) e tem diâmetro de 60 mm. Se estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar uma resistência ao atrito w = 4 kN/m uniformemente distribuída ao longo dos seus lados, determine a força F na parte inferior do poste necessária para haver equilíbrio. Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste, A, em relação à sua parte inferior, B. Despreze o peso do poste.
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Princípio da Superposição
Usado para cargas complexas
Calcula-se a tensão ou o deslocamento causado por cada carga atuando separadamente
A tensão ou o deslocamento resultante será a soma algébrica das contribuições causadas por cada carga atuando separadamente
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Princípio da Superposição
Condições que devem ser satisfeitas:
Relação linear entre tensão (s) e carga (N), ou
Relação linear entre carga (N) e deslocamento (d)
Não deve haver alteração significativa na geometria (ou configuração) devido ao carregamento (pequenas deformações e deslocamentos)
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Elementos estaticamente indeterminados
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Exemplo 4.5
A haste de aço mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze as dimensões do colar em C. Considere Eaço = 200 GPa.
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Exemplo 4.6
O poste de alumínio mostrado na figura é reforçado com um núcleo de latão. Se esse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante de 45 kN, aplicada na tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere Eal = 70 GPa e Elat = 105 GPa.
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Exemplo 4.6
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Exemplo 4.6
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Exemplo 4.7
As três barras de aço A-36 (Eaço = 200 GPa ) mostradas na figura estão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida em cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seção transversal de 25 mm2, e a barra CD tem área de seção transversal de 15 mm2.
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Método das Forças = Método da Flexibilidade
Consiste em aplicar o método da superposição para escrever a equação de compatibilidade
Apoio redundante
Apoio não necessário para manter a barra em equilíbrio (estático)
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Método das Forças = Método da Flexibilidade
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Exemplo 4.9
A haste de aço A-36 (Eaço = 200 GPa) mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm. Ela está presa à parede fixa em A e, antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN.
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Exemplo 4.9
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Exemplo
A treliça mostrada na figura é feita com três elementos de aço A-36 (Eaço = 200 GPa) com 400 mm2 de área de seção transversal . Determine o deslocamento vertical do rolete C quando a treliça é submetida à carga P = 10 kN.
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Exemplo 4.32
A coluna é construída de concreto de alta resistência (Econc = 29 GPa) e seis hastes de reforço de aço A-36 (Eaço = 200 GPa). Se for submetida a uma força axial de 150 kN, determine o diâmetro exigido para cada haste, de modo que ¼ da carga seja suportada pelo concreto e ¾, pelo aço.
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Exemplo 4.34
A coluna de concreto (Econc = 25 GPa) é reforçada com quatro hastes de aço (Eaço = 200 GPa), cada uma com diâmetro de 18 mm. Determine a tensão no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma carga axial de 800 kN.
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Exemplo 4.48
Cada um dos três cabos de aço (Eaço = 200 GPa) tem diâmetro de 2 mm e comprimentos LAC = 1,60 m e LAB = LAD = 2,00 m quando não carregados. Determine a força em cada cabo depois que a massa de 150 kg é suspensa pelo anel em A.
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Exemplo 4.64
A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pinho branco e uma mola. Se o comprimento dos postes quando não carregados for 1 m e a área de seção transversal for 600 mm2 e a mola tiver rigidez k = 2 MN/m e comprimento de 1,02 m quando não deformada, determine o deslocamento vertical de A e B após a aplicação da carga à barra.
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Exemplo AP1 (04/06/13) 
A viga rígida repousa na posição horizontal sobre dois cilindros de alumínio (Eal = 70 GPa) cujos comprimentos descarregados são mostrados na figura. Se cada cilindro tem um diâmetro de 30 mm, determine a localização x da carga aplicada de 80 kN, de forma que a viga permaneça na horizontal. Qual é o novo diâmetro do cilindro A após a carga ser aplicada? al = 0,35. Desconsidere o peso próprio da viga.
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Exemplo AP1 SC (21/06/2013)
Uma barra circular de aço ABC (E = 200 GPa) tem área de seção transversal A1 de A até B e área de seção transversal A2 de B até C (ver figura). A barra é apoiada rigidamente na extremidade A e está sujeita à carga P = 40 kN na extremidade C. Um colar circular de aço BD tendo área de seção transversal A3 apoia a barra em B. O colar se encaixa perfeitamente em B e D quando não há carga. Determine o alongamento dAC da barra devido à carga P. Dados: L1 = 2L3 = 250 mm, L2 = 225 mm, A1 = 2 A3 = 960 mm2 e A2 = 300 mm2.
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Exemplo AP1 SC (14/05/2015)
A barra rígida AB é suportada por um pino em O. Quando dois cabos de aço (Eaço = 200 GPa) são unidos às extremidades da barra, há uma folga D entre a extremidade inferior do cabo à esquerda e o apoio C. Depois de unidos, a deformação no cabo à esquerda é 1,5 x 10-3. Qual é o tamanho da folga D? As áreas das seções transversais são 300 mm2 para o cabo AC e 250 mm2 para o cabo BD.
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Exemplo AP1 (11/05/2016)
Um tubo circular de bronze ABC (ver figura) suporta uma carga P1 = 120 kN atuando no topo. Uma segunda carga P2 = 100 kN é uniformemente distribuída em torno da placa de ligação em B. Os diâmetros e espessuras das partes superior e inferior do tubo são dAB = 31,75 mm, tAB = 12,5 mm, dBC = 57,15 mm e tBC = 9,5 mm, respectivamente. O módulo de elasticidade é 80 GPa. Quando ambas as cargas estão totalmente aplicadas, a espessura da parede do tubo BC aumenta 5,08·10-3 mm. Determine (a) o aumento no diâmetrointerno do tubo BC, (b) o coeficiente de Poisson para o bronze e (c) o aumento na espessura da parede e no diâmetro interno do tubo AB.
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Tensões Térmicas
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Tensões Térmicas
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Exemplo 4.11
Um tubo de alumínio 2014-T6 (Eal = 70 Gpa; aal = 23 x 10-6/°C) com área de seção transversal de 600 mm2 é utilizado como luva para um parafuso de aço A-36 (Eaço = 200 Gpa; aaço = 12 x 10-6/°C) com área de seção transversal de 400 mm2 (ver figura). Quando a temperatura é T1 = 15°C, a porca mantém o conjunto em uma posição precisa, de tal modo que a força axial no parafuso é desprezível. Se a temperatura aumentar para T2 = 80°C, determine a tensão normal média no parafuso e na luva.
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Exemplo 4.11
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Exemplo 4.12
A barra rígida mostrada na figura está presa à parte superior por três postes feitos de aço A-36 (Eaço = 200 GPa; aaço = 12 x 10-6/°C) e alumínio 2014-T6 (Eal = 73,1 GPa; aal = 23 x 10-6/°C). Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é T1 = 20°C. Determine a força suportada por cada poste se a barra for submetida a uma carga uniformemente distribuída de 150 kN/m e a temperatura aumentar para T2 = 80°C.
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Exemplo 4.12
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Exemplo
Um sensor térmico consiste em uma placa AB de alumínio (Eal = 68,9 GPa; aal = 24 x 10-6/°C) e outra CD de magnésio (Emag = 44,7 GPa; amag = 26 x 10-6/°C) cada uma com largura de 15 mm e apoiadas pelas extremidades em suportes fixos. Se a folga entre as placas é de 1,5 mm quando a temperatura é T1 = 25°C, determine temperatura necessária para eliminar a folga. Qual a força axial em cada placa quando a temperatura atingir o valor de T2 = 100°C? Admita que não ocorre flexão ou flambagem.
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Exemplo AP1 SC (30/05/2014)
Uma barra de plástico ACB com duas secções transversais circulares sólidas diferentes é presa a um apoio elástico (k = 50 MN/m) em A e a um apoio rígido em B (ver figura abaixo). O diâmetro do trecho AC é 50 mm e do trecho CB é 75 mm. Os comprimentos correspondentes são 225 mm e 300 mm. Além disso, o módulo de elasticidade E é 6,0 GPa, e o coeficiente de expansão térmica a é 100 x 10-6/°C. A barra é submetida a um aumento uniforme de temperatura de 30°C. Calcule as seguintes quantidades: (a) a força normal na barra ACB; (b) a tensão normal máxima; e (c) o deslocamento do ponto C.
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Exemplo AP1 SC (17/06/2016)
O poste de concreto (Ec = 25 GPa; ac = 9,9·10-6/°C) é reforçado com 6 barras de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro (Es = 200 GPa; as = 11,7·10-6/°C). Determine as tensões normais induzidas no concreto e no aço devido a um aumento de temperatura de 18°C.
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Concentração de Tensões
Quando ocorrem tensões localizadas muito altas
São mais preocupantes em materiais frágeis
Ocorrem em:
Pontos de aplicação de cargas concentradas
Em descontinuidades ou alterações de geometria (mais comum)
Conceitos válidos para a torção e flexão
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
Para materiais muito frágeis:
O material falha quando s = sp
A falha acontece no ponto de concentração de tensão
Forma-se uma trinca ao longo da seção transversal
Ocorre fratura súbita
É importante usar K nos projetos
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Concentração de Tensões
Para materiais dúcteis:
Quando s > sp não resultará em formação de trincas
O material tem reserva de resistência devido ao escoamento e ao encruamento
Na prática, K é desprezado nos projetos
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Concentração de Tensões
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Deformação axial inelástica
Em condições normais de serviço, deseja-se:
Prevenir o escoamento, pois deformações permanentes são indesejáveis
Válido somente para materiais dúcteis
Níveis de segurança desejados:
Contra as deformações permanentes
Contra falhas catastróficas (terremotos)
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Deformação axial inelástica
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Diagrama s x e para um material perfeitamente plástico
Deformação axial inelástica
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Deformação axial inelástica
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Tensões Residuais
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São tensões elásticas existentes em um corpo sem a atuação de cargas externas ou gradientes de temperatura
São provenientes de:
Deformações plásticas: forjamento, laminação, extrusão
ocorre principalmente onde há deformação plástica não uniforme no material
Processos de fabricação: usinagem, soldagem
Tratamentos térmicos, termoquímicos ou ciclos térmicos: fundição,
variação de temperatura não uniforme na peça durante um ciclo de aquecimento e resfriamento
Tensões Residuais
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Exemplo 4.40
A carga de 4 kN deve ser suportada pelos cabos verticais de aço para os quais se = 560 MPa. Se os comprimentos originais dos cabos AB e AC forem 1.250 mm e 1.252,5, respectivamente, determine a área da seção transversal de AB para que a carga seja compartilhada igualmente entre os dois cabos. O cabo AC tem área de seção transversal de 13 mm2.
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Exemplo 4.42
Dois cabos de aço A-36 (E = 200 GPa) são usados para suportar o motro de 3,25 kN (≈ 325 kg). O comprimento original de AB é 800 mm e o de A’B’ é 800,2 mm. Determine a força suportada por cada cabo quando o motor é suspenso por eles. Cada cabo tem área de seção transversal de 6,25 mm2.
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Exemplo 4.68
A barra rígida suporta um carregamento distribuído uniforme de 90 kN/m. Determine a força em cada cabo se cada um tiver área de seção transversal de 36 mm2 e E = 200 GPa.
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Exemplo 4.81
A haste central CD do conjunto é aquecida de T1 = 30°C até T2 = 180°C por resistência elétrica. As duas hastes AB e EF situadas nas extremidades também são aquecidas de T1 = 30°C até T2 = 50°C. Na temperatura mais baixa, T1, a folga entre C e a barra rígida é 0,7 mm. Determine a força nas hastes AB e EF provocada pelo aumento na temperatura. As hastes AB e EF são feitas de aço (Eaço = 200 GPa; aaço = 12 x 10-6/°C) e cada uma tem área de seção transversal de 125 mm2. CD é feita de alumínio (Eal = 70 GPa; aal = 23 x 10-6/°C) e tem área de seção transversal de 375 mm2.
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