Apostila FT completa v3 março2018

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
ESCOLA POLITÉCNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
PROF. ALINE LUCAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
v.3 – Março/2018 
2 
 
Sumário 
 
 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS ................................................................................... 3 
UNIDADE 1 - CONCEITOS GERAIS, CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES 
DOS FLUIDOS ....................................................................................................................... 3 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 1 - CONCEITOS GERAIS, 
CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS ........................................ 9 
UNIDADE 2 – Estática dos fluidos ................................................................................. 10 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS ................... 17 
UNIDADE 3 – Cinemática dos fluidos ........................................................................... 19 
UNIDADE 4 – Balanço de energia .................................................................................. 23 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 3 E 4 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS E 
BALANÇO DE ENERGIA ............................................................................................... 28 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR ........................................................................... 31 
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS ........................................................................................ 31 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS .................................... 37 
UNIDADE 2 – MECANISMOS ........................................................................................... 39 
UNIDADE 3 – RESISTÊNCIA TÉRMICA E ASSOCIAÇÃO DE PAREDES .............. 43 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 3 – RESISTÊNCIA TÉRMICA E 
ASSOCIAÇÃO DE PAREDES ....................................................................................... 46 
UNIDADE 4 – RAIO CRÍTICO E ISOLAMENTO TÉRMICO ........................................ 49 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 4 – RAIO CRÍTICO E ISOLAMENTO 
TÉRMICO .......................................................................................................................... 51 
UNIDADE 5 – ALETAS ....................................................................................................... 52 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 5 – ALETAS ................................................... 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
UNIDADE 1 - CONCEITOS GERAIS, CARACTERÍSTICAS E 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
(Sugestão de leitura – BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos, capítulo 1) 
 
 A mecânica dos fluidos é a ciência que estuda o comportamento de 
fluidos em repouso e em movimento. O conhecimento e a compreensão dos 
seus princípios básicos são essenciais para qualquer sistema no qual um fluido 
é o meio operante. 
 
 Aplicações: 
 
 Ação de fluidos sobre superfícies submersas – barragens; 
 Equilíbrio de corpos flutuantes – embarcações; 
 Ação do vento sobre construções civis; 
 Cálculo de máquinas hidráulicas - bombas e turbinas. 
 Instalações de vapor. Ex.: caldeiras. 
 Ação de fluidos sobre veículos (Aerodinâmica). 
 
1) Fluido 
 
A definição de fluido é introduzida, normalmente, pela comparação desta 
substância com um sólido. De acordo com uma definição mais elementar, um 
fluido é uma substância que não tem forma própria, assume o formato do 
recipiente que o contém. Os fluidos são, portanto, os líquidos e os gases. 
Adicionalmente, os gases tendem a ocupar todo o volume do recipiente, já os 
líquidos apresentam uma superfície livre. 
 
 Uma definição mais complexa e aplicável no estudo do comportamento 
dos fluidos, é o conceito de que fluidos são substâncias que se deformam 
continuamente sob a aplicação de uma força tangencial (tensão de 
cisalhamento). A partir desta definição mais complexa, a distinção entre um 
fluido e o estado sólido da matéria se dá devido ao seu comportamento frente a 
uma força contínua, já que o sólido não se deforma continuamente. As figuras 
abaixo representam o comportamento de um sólido e de um fluido frente a 
4 
 
aplicação de uma força cisalhante. A figura A representa um sólido, o qual 
sofre uma deformação e atinge um novo estado de equilíbrio. Na figura B está 
representado uma massa fluido, que deforma-se continuamente conforme a 
força é aplicada. 
 
Figura A 
 
 
Figura B 
 
2) Tensão de cisalhamento 
 
Considere uma força �⃗� aplicada sobre uma superfície de área A, 
conforme mostrado na figura abaixo. Essa força pode ser decomposta em duas 
direções: a direção normal à superfície e a direção tangencial à superfície. A 
força na direção normal aplicada sobre a área A é denominada pressão e a 
força tangencial a superfície aplicada sobre essa mesma área chama-se 
tensão de cisalhamento. 
Assim, define-se tensão de cisalhamento como sendo a razão entre o 
módulo da componente tangencial da força e a área sobre a qual está aplicada. 
Resumidamente, tensão de cisalhamento 𝜏 é a força tangencial por unidade de 
área. 
 
 
 
𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
 
 
[
𝑁
𝑚2
] 
 
5 
 
3) Comportamento dos fluidos com relação a aplicação de uma força de 
cisalhamento – Lei da Viscosidade de Newton 
 
Considere duas placas paralelas dentre as quais existe um fluido. A 
placa superior apresenta movimento causado por uma força tangencial ao 
fluido e a placa inferior está estagnada. Esse deslocamento causará uma 
deformação na camada fluida. Devido ao princípio da aderência, o fluido junto à 
placa inferior também estará parado, mas o fluido junto à placa superior estará 
se deslocando com a mesma velocidade da placa (v0). Dessa forma, 
naturalmente surge um perfil de velocidades no fluido, variando desde 0 até v0. 
Se a distância H entre as duas placas for pequena, pode-se considerar um 
perfil de velocidades, v(y), linear. 
 
 
 
 
 
 
Newton verificou experimentalmente que em muitos fluidos a tensão de 
cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade (taxa de deformação 
ou taxa de cisalhamento), ou seja, à variação da velocidade com a posição ou 
altura (dv/dy). 
 Este comportamento está relacionado à Lei da Viscosidade de Newton 
que diz que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional a taxa de 
deformação multiplicado por um coeficiente de proporcionalidade. Este 
coeficiente de proporcionalidade é uma propriedade dos fluidos, chamada 
viscosidade, que será estudada a seguir. 
 
𝜏 = 𝜇 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 Considerando o perfil linear: 𝜏 = 𝜇 ∙
𝑣0
𝐻
 
 
Os fluidos que obedecem a Lei da Viscosidade de Newton são 
chamados de fluidos newtonianos. Nesta classificação estão incluídos a 
maioria dos fluidos de trabalho (água, ar, gasolina, etanol). Os demais fluidos, 
chamados de não-newtonianos (sangue, tintas, cosméticos, maionese, creme-
dental) não serão abordados nesta disciplina. 
 A resistência ao movimento se dá devido a forças de atrito entre fluido e 
placa e devido as forças viscosas provenientes do atrito entre as moléculas. 
Fluidos no qual as forças viscosas não atuam são chamados ideais ou 
perfeitos, e naturalmente não existem na natureza. 
 
6 
 
4) Propriedade dos fluidos 
 
 Antes de tratar das propriedades dos fluidos, devemos pensar a respeito 
da estrutura molecular da matéria. Na maioria das aplicações estamos 
interessados nos efeitos médios ou macroscópicos de muitas moléculas. São 
esses efeitos que percebemos e medimos. Tratamos assim um fluido como 
umasubstância infinitamente divisível, um contínuo, e não nos atemos ao 
comportamento individual das moléculas. 
 O modelo contínuo é aplicável desde que o comprimento característico 
do sistema seja muito maior que o percurso livre médio das moléculas. 
 Para o estudo do escoamento de fluidos deve-se ter conhecimento 
principalmente da viscosidade e das propriedades volumétricas (densidade, 
densidade relativa, peso específico). 
 
a) Viscosidade (µ) 
A viscosidade é a propriedade fundamental quando estabelecemos a 
definição e conceito de fluido. É a resistência interna do fluido ao movimento. 
A viscosidade pode ser medida experimentalmente ou calculada através 
de parâmetros pré-definidos. Para líquidos sua magnitude diminui com a 
temperatura, já para gases ocorre o contrário. 
Unidades: kg/m.s; N.s/m2; Pa.s (0,1 Pa.s = 1 poise (P) - 0,001 Pa.s = 1 
centipoise (cP)). 
Também pode ser obtida através da relação com a Lei de Newton da 
viscosidade: 
𝜇 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦⁄
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 
 
 
 
 
a.1) Viscosidade cinemática 
 É a relação entre a viscosidade e a massa específica do material. É 
dada em m2/s (1 stoke = 0,0001m2/s). 
 Para líquidos varia com a temperatura, já para gases varia com a 
temperatura e pressão. 
 
b) Densidade ou massa específica 
𝜌 =
𝑚
𝑉
 [=]
𝑘𝑔
𝑚3
 
 É a relação da massa por unidade de volume da substância. Varia de 
acordo com a pressão e temperatura. Para líquidos considera-se a relação 
apenas com a temperatura, ou seja, são considerados fluidos incompressíveis. 
 
Fluido incompressível (líquidos) – densidade não varia com a pressão; 
Fluido compressível (gases) – densidade varia com a pressão. 
7 
 
 O volume específico é normalmente apresentado em tabelas de 
propriedades de fluidos, e é definido como a relação do volume por unidade de 
massa da substância, ou seja, o inverso da densidade. 
 
c) Densidade relativa 
 É a razão entre a densidade de uma substância e a densidade de uma 
substância padrão a uma temperatura específica. É uma grandeza 
adimensional. Para água, por exemplo, a condição referência é a 4°C, onde a 
densidade vale 1.000 kg/m3. 
𝑑 =
𝜌
𝜌𝑟𝑒𝑓
 
 
d) Peso específico 
 É o peso por unidade de volume do material. Peso é a massa 
multiplicada pela gravidade. 
𝛾 = 𝜌𝑔[=]
𝑁
𝑚3
 
 
4.1) Classificação dos fluidos 
 
a) Fluido newtoniano: é a classe de fluidos que obedecem a Lei de 
Viscosidade de Newton, ou seja, a taxa de deformação é diretamente 
proporcional a tensão de cisalhamento. Compreende a maioria dos fluidos de 
trabalho. Aquele fluido que não obedece a esta lei, chama-se de não-
newrtoniano. 
 
b) Fluido ideal: é aquele fluido que escoa sem perdas de energia por atrito, ou 
seja, possui viscosidade nula. Apesar de não ser uma condição real, em muitos 
casos os efeitos viscosos não têm uma influência significativa considerável, e 
podem ser desprezados. É uma classificação muito utilizada quando trabalha-
se com gases a baixas ou moderadas pressões. Aquele fluido que não se 
enquadra nesta classificação, chama-se de fluido real. 
 
c) Fluido incompressível: é o fluido cujo volume não varia com a pressão. 
Assim, se o fluido for incompressível, sua massa específica não variará com a 
pressão. Na realidade, não existem fluidos nestas condições. Contudo, na 
prática os líquidos possuem um comportamento muito próximo a este e 
normalmente são considerados como tais. Além disso, alguns gases em certas 
condições podem ser considerados incompressíveis (quando não submetidos a 
variações de pressão muito grandes). Aos fluidos que não se encaixam nesta 
classificação chama-se de compressíveis. 
 
 
 
8 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Um reservatório graduado contém 500 mL de um líquido que pesa 6 N. 
Determine o peso específico, a massa específica e a densidade relativa deste 
fluido. 
 
2) Uma placa infinita move-se sobre outra igual e estacionária com velocidade 
máxima de 0,3 m/s. Entre ambas há uma camada líquida de espessura 0,25 
mm. Admitindo que a distribuição de velocidade seja linear, que a viscosidade 
seja 0,75 cP e que a densidade relativa é de 0,92, determine: 
a) A tensão de cisalhamento na placa superior. 
b) A velocidade em um ponto distante 0,1 mm da placa estacionária. 
c) A viscosidade cinemática. 
 
3) Em um certo ponto de um escoamento viscoso a tensão de cisalhamento é 
34,46 kN/m2 e o gradiente de velocidade é 6000 (m/s)/m. Se a densidade 
relativa é 0,93, qual será a viscosidade cinemática do líquido em escoamento. 
 
4) Uma placa é apoiada no topo de um filme fino de água, que está a uma 
temperatura de 25ºC. Quando uma pequena força tangencial é aplicada à 
placa, o perfil de velocidade através da espessura do fluido pode ser descrito 
como v=(40y-800y2)m/s, onde y está em metros. Determine a tensão de 
cisalhamento que atua sobre a superfície fixa e sobre o fundo da placa que 
está apoiada sobre o filme. A espessura de filme é de 10mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 1 - CONCEITOS GERAIS, 
CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
1) O que é um fluido? Qual a implicação em considerá-lo um meio contínuo? 
2) O que são fluidos newtonianos e não-newtonianos? Dê exemplos. 
3) Calcular a massa de propano líquido contida em um volume de 10 L, 
sabendo que a sua massa específica é 580 kg/m3. (R.: 5,8 kg) 
4) Um reservatório graduado contém 500 mL de um líquido que pesa 6 N. 
Determine o peso específico, a massa específica e a densidade relativa 
deste fluido.(R.: 12.000 kg/m2.s2; 
1.224 kg/m3; 1,224). 
5) A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m2/s e sua densidade relativa 
é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica deste óleo. (R.: 23,8 N.s/m2) 
6) A viscosidade de um óleo é 5.10-3 Pa.s e a sua densidade relativa é 0,82. 
Determine a viscosidade cinemática deste óleo. (R.: 6.10-6 m2/s) 
7) Uma placa infinita move-se sobre outra igual e estacionária com velocidade 
máxima de 0,3 m/s. Entre ambas há uma calada líquida de espessura 0,25 
mm. Admitindo que a distribuição de velocidade seja linear, que a 
viscosidade seja 0,75 cP e que a densidade relativa valha 0,92, determine: 
a) A tensão de cisalhamento na placa superior. (R.: 0,9 N/m2) 
b) A velocidade em um ponto distante 0,1 mm da placa estacionária. 
(R.: 0,12 m/s) 
8) Em um certo ponto de um escoamento viscoso a tensão de cisalhamento é 
34,46 kN/m2 e o gradiente de velocidade é 6000 (m/s)/m. Se a densidade 
relativa é 0,93, qual será a viscosidade cinemática do líquido em 
escoamento. (R.: 6,2.10-3 m2/s) 
9) Duas placas paralelas estão separadas por um espaço de 1/6 in. A placa 
superior move-se a uma velocidade de 10 ft/s, enquanto a inferior 
permanece estacionária. Se uma tensão de 0,05 lbf/ft2 é necessária para 
manter o movimento de placa, encontre a viscosidade absoluta do fluido 
contido entre as duas placas, assumindo perfil de velocidades linear. (R.: 
6,94.10-5 lbf.s/ft2) 
10) Considere duas placas planas paralelas distanciadas verticalmente por 2 
mm. A placa superior move-se horizontalmente a 4 m/s e a placa inferior 
está fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo (ν = 10-5 
m2/s,  = 830 kg/m3), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo, 
considerando perfil de velocidades linear? (R.: 16,6 N/m2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
UNIDADE 2 – Estática dos fluidos 
(Sugestão de leitura – BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos, capítulo 2; 
ÇENGEL, Y. Mecânicas dos Fluidos, capítulo 3.) 
 
1) Pressão 
 Um fluido será considerado estáticose todas as partículas não 
possuírem movimento ou possuírem a mesma velocidade relativa a um 
referencial. Ausência de movimento implica na ausência de tensão de 
cisalhamento, o que indica que apenas as forças normais à superfície estão 
atuando – pressão. 
 A pressão é definida como uma força normal atuando sobre uma 
superfície. Sua unidade no Sistema Internacional é Pa (Pascal) que por 
definição significa o mesmo que N/m2. Sua escala é definida de acordo com o 
referencial de medida tomado como base. A pressão absoluta é a medida que 
toma como base o vácuo absoluto (ausência de pressão), já a pressão 
manométrica é aquela lida em medidores, os quais considera a pressão 
atmosférica como base. Quando se trabalha com vácuo, significa dizer que se 
está trabalhando abaixo da pressão atmosférica. 
 
Pman = Pabs – Patm 
Pvácuo = Patm - Pabs 
 
 
 Outra unidade muito comum de expressar a pressão é em metros de 
coluna de líquido. Significa a altura de uma coluna de líquido para manter-se 
em equilíbrio com uma superfície de fluido exposta a pressão atmosférica. Para 
água a unidade é a mca (metros de coluna de água) e 10,33 mca se equivalem 
a 760 mmHg. 
2) Variação da pressão devido a profundidade – Lei de Steven 
 O Teorema de Steven diz: “A diferença de pressões entre dois pontos da 
massa de um líquido em equilíbrio é igual a diferença de profundidade aplicada 
pelo peso específico do líquido.” 
 Em um fluido em repouso a pressão na direção horizontal não varia. Já 
na direção vertical, varia continuamente na presença de um campo 
gravitacional. A pressão de um fluido aumenta com o aumento da profundidade 
11 
 
pois mais camadas de líquido se apoiam nas camadas inferiores e o efeito 
desse “peso extra” é equilibrado pela aumento da pressão. 
𝑃 = 𝛾. ∆ℎ 
 Se considerarmos o fluido em uma superfície aberta, a pressão 
atmosférica deve ser considerada também. Neste caso: 
𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝛾∆ℎ 
 Considere a figura mostrada abaixo, que representa o Teorema de 
Steven: 
 
a) Todos os pontos na mesma elevação em um volume contínuo do mesmo 
fluido estão submetidos à mesma pressão. Logo: 
𝑃𝑎 = 𝑃𝑏 = 𝑃𝑐 = 𝑃𝑑 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝛾Á𝐺𝑈𝐴 ∙ 𝐻 
b) A pressão aumenta à medida que se desce na coluna de fluido. Assim: 
𝑃𝐴 > 𝑃𝑎; 𝑃𝐵 > 𝑃𝑏; 𝑃𝐶 > 𝑃𝑐; 𝑃𝐷 > 𝑃𝑑 
 Apesar de estar na mesma elevação, sobre o ponto D atua uma coluna 
de mercúrio, mais denso do que a água, de tal forma que: 
𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ≠ 𝑃𝐷 
𝑃𝐷 = 𝑃𝑑 + 𝛾𝐻𝑔 ∙ ℎ 
12 
 
 
Considere a figura ao lado, onde 
temos um compartimento contendo um 
líquido e um gás, de tal forma que a 
pressão na base do compartimento (P1) é 
conhecida. A pressão nos demais pontos 
(P2, P3 e P4) pode ser obtida da seguinte 
forma: 
𝑃2 = 𝑃1 − 𝛾𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂. 𝐻 
𝑃2 = 𝑃3 + 𝛾𝐺Á𝑆. ℎ 
Mas: 𝜌𝐺Á𝑆~0 . 
Assim: P3 ~ P2  P3 ~ P2 ~ P4 
 
 
 Assim, pode observar que ao descer em uma camada de fluido (diminuir 
a cota), a pressão aumenta com a profundidade (no exemplo, H). Contudo, ao 
subir em uma camada de fluido (aumentar a cota), a pressão diminui com a 
altura (no exemplo, h). Além disso, como gases tem massas específicas 
pequenas, normalmente se a diferença de cota entre dois pontos em um gás 
não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles. 
 Agora, se a camada de gás for substituída por um líquido diferente do 
líquido da camada inferior, a pressão exercida por esse líquido não poderia ser 
desconsiderada, e P3  P2  P4 
3) Manômetros 
 Como visto anteriormente, a elevação de altura em um fluido em 
repouso (h) corresponde a P/. Isso significa que a coluna de um fluido pode 
ser usada para medir a pressão exercida por ele em determinado ponto. Os 
manômetros são dispositivos que se utilizam desse princípio para medir a 
pressão. 
 
 
 
13 
 
 Outro dispositivo de medição de pressão são tubos de Bourdon, que 
consistem em um tubo metálico ligado a uma agulha indicadora. Quando o 
fluido dentro do tubo está pressurizado este se estica e movimenta a agulha 
proporcionalmente a pressão aplicada. Os dispositivos mais modernos utilizam 
diversas técnicas para converter os efeitos da pressão em sinais elétricos, são 
os chamados transdutores de pressão. Tais dispositivos são menores e mais 
rápidos, além de mais confiáveis e sensíveis. 
EXEMPLOS: 
1) Um medidor de vácuo conectado a uma câmara exibe a leitura de 5,8 psi em 
um local onde a pressão atmosférica é de 14,5 psi. Determine a pressão 
absoluta na câmara. 
2) Um manômetro é usado para medir a pressão em 
um tanque contendo um gás. O fluido usado tem 
uma gravidade específica de 0,85 e a altura da 
coluna do manômetro é de 55 cm. Se a pressão 
atmosférica local for de 96 kPa, determine a pressão 
absoluta dentro do tanque. 
 
3) A água de um tanque é pressurizada a ar, e a 
pressão é medida por um manômetro de vários 
fluidos. O tanque está localizado em uma montanha 
a uma altitude de 1400 m, onde a pressão 
atmosférica é de 85,6 kPa. Determine a pressão do 
ar no tanque se h1=0,1m, h2=0,2m e h3=0,35m. 
Considere as densidades da água, do óleo e do 
mercúrio como 1000 kg/m3, 850 kg/m3 e 13600 
kg/m3, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
UNIDADE 2 – Estática dos fluidos 
(Sugestão de leitura – BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos, capítulo 2; 
ÇENGEL, Y. Mecânicas dos Fluidos, capítulo 3.) 
 
1) Forças sobre superfícies submersas 
 Quando um fluido encontra-se em repouso não há atuação de forças de 
cisalhamento. Portanto, se uma superfície está submersa em uma massa fluida 
em repouso, apenas forças normais agirão sobre essa superfície (𝑃 = 𝛾ℎ). A 
resultante dessas forças normais é a soma das contribuições individuais das 
forças infinitesimais atuando sobre a área inteira. 
 Dessa forma, a magnitude da força resultante que age sobre uma 
superfície plana totalmente submersa em um fluido é igual ao produto da 
pressão média atuando no centro de gravidade da superfície e da área da 
superfície. 
 
 
 
𝐹𝑅 = 𝑃. 𝐴 → 𝑃 = 𝛾. ℎ 
𝑑𝐹𝑅 = 𝑃. 𝑑𝐴 
𝑑𝐹𝑅 = 𝛾. ℎ. 𝑑𝐴 → ℎ = 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑦 
∫ 𝐹𝑅 = 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝛼. ∫ 𝑦. 𝑑𝐴 
𝑦𝐶𝐺 =
∫ 𝑦. 𝑑𝐴
𝐴
 
𝐹𝑅 = 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑦𝐶𝐺 . 𝐴 
𝐹𝑅 = 𝑃𝑚é𝑑𝑖𝑎. 𝐴 = 𝛾. ℎ𝐶𝐺 . 𝐴 
 
 
 Onde y é o eixo paralelo a superfície submersa com origem na 
intersecção com a superfície livre do líquido, sendo yCG a distância neste eixo 
até o centro de gravidade da superfície submersa. O CG (centro de gravidade) 
é o ponto de equilíbrio da massa de um corpo. 
 
 O ponto de aplicação da força resultante, chamado yCP (centro de 
pressão) deve ser tal que o seu momento em relação a qualquer eixo seja igual 
15 
 
ao momento da força distribuída em relação ao mesmo eixo. A distância desse 
ponto é medida em relação ao eixo y que é paralelo a superfície submersa e 
tem sua origem da intersecção com a superfície livre do líquido. 
 
 Aplicando o teorema dos momentos (momento em relação a qualquer 
eixo seja igual ao momento da força distribuída em relação ao mesmo eixo): 
 
𝑦𝑝. 𝐹 = 𝑦. 𝑑𝐹 
𝑦𝑝. 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑦𝐶𝐺 . 𝐴 = 𝑦. 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑦. 𝑑𝐴 
𝑦𝑝 =
∫ 𝑦2𝑑𝐴 
𝑦𝐶𝐺 . 𝐴
 
 
 Sendo 𝐼 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴 o momento de inércia da superfície submersa. 
Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos1 para considerarmos o momento 
de inércia relativo ao eixo que passa pelo CG: 
 
𝐼 = 𝐼𝐶𝐺 + 𝐴𝑦𝐶𝐺
2 
 
Então: 
𝑦𝑝 = 𝑦𝐶𝐺 +
𝐼𝐶𝐺
𝐴𝑦𝐶𝐺
 
 
 
 
𝐹𝑅 = 𝛾. ℎ𝐶𝐺 . 𝐴 
𝐹𝑅 = 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑦𝐶𝐺 . 𝐴 
𝐹𝑅 = 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝛼. (𝑠 +
𝑏
2
) . 𝐴 
𝑦𝑝 = (𝑠 +𝑏
2
) +
𝐼𝐶𝐺
(𝑠 +
𝑏
2) 𝐴
 
𝐹𝑅 = 𝛾. ℎ𝐶𝐺 . 𝐴 
𝐹𝑅 = 𝛾. 𝑦𝐶𝐺 . 𝐴 
𝐹𝑅 = 𝛾. (𝑠 +
𝑏
2
) . 𝐴 
𝑦𝑝 = (𝑠 +
𝑏
2
) +
𝐼𝐶𝐺
(𝑠 +
𝑏
2) 𝐴
 
𝐹𝑅 = 𝛾. ℎ𝐶𝐺 . 𝐴 
𝐹𝑅 = 𝛾. ℎ. 𝐴 
𝑦𝑝 = 𝑦𝐶𝐺 = 𝑥𝐶𝐺 
 
 
 
1 O momento de inércia de uma superfície plana de área A com relação a um eixo qualquer de seu plano 
é igual ao momento de inércia da superfície com relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade 
e é paralelo ao eixo anterior mais o produto da área A da superfície pela distância entre os eixos ao 
quadrado. 
16 
 
 
𝐼0 é tabelado em função da geometria, assim como 𝑦𝐶𝐺, como pode ser 
observado na figura abaixo. 
 
 
 
𝐴 = 𝑎𝑏 
𝑦𝐶𝐺 =
𝑎
2
 𝑜𝑢 
𝑏
2
 
𝐼0 =
𝑎𝑏3
12
 
 
 
𝐴 =
(𝑎 + 𝑏)𝐻
2
 
𝑦𝐶𝐺 =
𝐻(𝑎 + 2𝑏)
3(𝑎 + 𝑏)
 
𝐼0 =
𝐻3(𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏2)
36(𝑎 + 𝑏)
 
 
 
 
𝐴 = 𝜋𝑎𝑏 
𝑦𝐶𝐺 = 𝑎 
𝐼0 =
𝜋𝑏𝑎3
4
 
 
 
𝐴 = 𝜋𝑟2 
𝑦𝐶𝐺 = 𝑟 
𝐼0 =
𝜋𝑟4
4
 
 
 
 
EXEMPLOS 
1) Um tanque com 2 m de largura, 2 m de comprimento e 2 m de altura, é 
usado para armazenar um solvente orgânico ( = 800 kg/m3). Calcule: 
 a) a pressão manométrica em um ponto localizado 0,5 m acima do fundo 
do tanque; 
 b) a força resultante exercida pelo fluido sobre o fundo do tanque e o 
centro de aplicação da força; 
 c) A força resultante exercida pelo fluido nas laterais do tanque e o 
centro de aplicação da força. 
2) Uma sala no nível inferior de um navio de cruzeiro tem uma janela circular 
com 30 cm de diâmetro. Se o ponto médio da janela estiver 5 m abaixo da 
superfície da água, determine a força hidrostática que age sobre a janela e o 
centro de pressão. Tome a densidade relativa da água do mar como 1,025. 
 
17 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
1) Um manômetro com dois fluidos (A e B) é usado para a 
medição da pressão manométrica de um sistema (ponto 1). 
Assumindo que o ramo direito (ponto 3) está aberto para a 
atmosfera, determine a pressão do sistema em função dos 
níveis indicados do manômetro, h e H, e das propriedades 
dos fluidos, A e B. (R.: BH - Ah). 
 
2) Água escoa no interior dos tubos A e B. Óleo 
lubrificante (densidade relativa = 0,88) está na 
parte superior do tubo em U invertido. Mercúrio 
(densidade relativa = 13,6) está na parte inferior 
dos dois tubos em U. Determine a diferença de 
pressão entre os pontos A e B, dado que: 
h1 = 25 cm, h2 = 10 cm, h3 = 7 cm, h4 = 10 cm, 
h5 = 12 cm, h6 = 20 cm. (R.: 23970,8 Pa). 
 
 
3) O manômetro mostrado na figura abaixo contém 2 
fluidos, um fluido A com densidade relativa 0,88 e um fluido 
B com densidade relativa 2,95. Calcule a deflexão h quando 
a diferença de pressão aplicada (P1-P2) for igual a 870 Pa. 
(R.: 43 mm) 
 
 
4) Determinar a diferença de pressão entre a 
tubulação de água e a tubulação de óleo mostrada na 
figura abaixo. (Obs: S é a densidade relativa) (R.: 11,9 
kPa) 
 
 
5) Um manômetro é construído com tubo de vidro, com 
diâmetro interno uniforme D = 6,35 mm, conforme 
mostrado na figura abaixo. O tubo em U é preenchido 
parcialmente com água. Em seguida, um volume de 
3,25 cm3 de óleo ( = 827 kg/m3) é adicionado no lado 
esquerdo. Calcule a altura de equilíbrio H, se ambas as 
extremidades estão abertas para a atmosfera. (R.: 
17,8 mm) 
 
18 
 
6) Um tanque retangular de 2 m de largura, 1 m de comprimento e 5 m de 
altura, é usado para armazenar uma mistura bifásica formada por 4000 L de 
água e 2000 L de um solvente orgânico ( = 800 kg/m3). Calcule: 
a) a pressão manométrica em um ponto localizado 1 m acima do fundo do 
tanque; (R.: 17,6 kPa) 
b) a força resultante exercida pelos fluidos sobre o fundo do tanque. (R.: 55 
kN) 
c) a força total exercida sobre a parede lateral do tanque. (R.: 692,7 kN) 
 
7) Um tanque cilíndrico, de 2 m de diâmetro e 5 m de altura, é usado para 
armazenar um resíduo líquido, cuja massa específica é de 900 kg/m3. No fundo 
do tanque, existe um orifício, fechado com um tampão, de modo a impedir a 
saída do líquido. Este tampão tem uma forma circular e 10 cm de diâmetro. 
Assuma que o tanque está cheio e calcule: 
a) a força exercida pelo líquido sobre o fundo do tanque; (R.: 138,5 kN) 
b) a força exercida sobre o tampão para impedir que o líquido saia pelo 
orifício; (R.: 346 N) 
 
8) Um tanque cilíndrico, de 2 m de diâmetro e 5 m de altura, é usado para 
armazenar um resíduo líquido, cuja massa específica é de 900 kg/m3. No 
fundo do tanque, existe um orifício, fechado com um tampão, de modo a 
impedir a saída do líquido. Este tampão tem uma forma circular e 10 cm de 
diâmetro. Assuma que o tanque está cheio e calcule: 
a) a força exercida pelo líquido sobre o fundo do tanque; (R.: 138,5 kN) 
b) a força exercida sobre o tampão para impedir que o líquido saia pelo orifício; 
(R.: 346N) 
c) a força total exercida sobre a parede lateral do tanque. (R.: 692,7 kN) 
 
9) Considerando o esquema da figura abaixo, calcule: 
a) a pressão lida no manômetro, PM; (R.: 200 Pa) 
b) a força que age sobre o topo do reservatório. (R.: 2 kN) 
 
10) Considere uma piscina com 4m de comprimento, 4m de largura e 1,5m de 
altura, que está acima do solo cheia de água até a borda. 
a) Determine a força resultante em cada parede e a distância do centro de 
aplicação da força em relação ao solo. 
 
 
 
 
19 
 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
UNIDADE 3 – Cinemática dos fluidos 
(Sugestão de leitura – BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos, capítulo 3; 
ÇENGEL, Y. Mecânicas dos Fluidos, capítulo 4.) 
 
1) Classificação do escoamento 
 
 Até agora estudamos o fluido na hipótese de estar parado, estático. Na 
cinemática dos fluidos esta hipótese já não existe mais, e é necessário que 
haja um desequilíbrio de forças atuantes sobre o fluido que causem seu 
deslocamento. Na estática dos fluidos as forças cisalhantes eram nulas, agora 
elas devem estar presentes no sistema de forças. 
 O escoamento de um fluido pode ser classificado de acordo com o 
comportamento das propriedades do fluido durante o percurso. 
 
a) Regime permanente e transiente 
 
 O regime de escoamento permanente é aquele que não há variação das 
propriedades do fluido em cada ponto do escoamento com o passar do tempo. 
As propriedades variam ao longo do percurso mas se mantém proporcionais ao 
tempo. No regime transiente, ou variado, as propriedades variam ao longo do 
tempo em cada ponto. 
 Em reservatórios muito grandes pode-se sempre considerar o regime 
permanente, pois o nível não varia significativamente com o passar do tempo. 
 
 
b) Regime uniforme e não-uniforme 
 
 O escoamento é dito uniforme quando a velocidade é a mesma para 
todos os pontos do escoamento em um dado instante de tempo. Por exemplo, 
quando o escoamento se dá em uma tubulação de seção transversal uniforme 
e velocidades médias constantes. 
 Já no escoamento não uniforme, a velocidade varia entre dois pontos, 
causando aceleração ou retardamento do escoamento. Um exemplo é o 
escoamento através de tubulações curvas ou de seção transversal variável. 
 
20 
 
 
 
Escoamento uniforme 
 
Escoamento não-uniforme 
c) Regime laminar e turbulento 
 
 Essa classificação do escoamento diz respeito a trajetória das partículas 
do fluido ao longo do escoamento. Foi definida a partir do experimento de 
Reynolds. 
 O escoamento é dito laminar quando o fluido escoa de forma suave ou 
em camadas, sem que haja mistura entre as camadas adjacentes. Ocorre 
normalmente a baixas velocidades e/ou com fluidos viscosos.O escoamento turbulento ocorre quando o fluido se movimenta de forma 
irregular, com movimentos tridimensionais e aleatórios, causando significativa 
mistura entre camadas adjacentes. 
 A classificação entre laminar e turbulento se dá a partir de um número 
adimensional que reúne todos os fatores que influenciam no escoamento de 
um fluido e sua trajetória. Este número é o número de Reynolds, definido 
abaixo juntamente com os valores de decisão para o escoamento em tubos 
circulares. 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
 
 Onde  é a massa específica do fluido, v a velocidade do escoamento, D 
a dimensão característica do local do escoamento (tubulação, conduto, etc...) e 
µ a viscosidade do fluido. 
𝐿𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 < 2000 
2000 < 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖çã𝑜 < 2400 
𝑇𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 < 2400 
 
 O padrão de escoamento pode ser visualizado através da trajetória de 
uma partícula ao longo do escoamento ou através das linhas de corrente, que é 
uma linha tangente ao vetor velocidade de diferentes partículas ao longo do 
escoamento. 
 
Trajetória da partícula 
Linhas de corrente 
21 
 
2) Vazão 
 
 A vazão de um fluido pode ser definida como a quantidade que escoa 
durante certo período de tempo. Pode ser expressa em massa ou volume, 
relacionada com as propriedades do fluido. 
 
�̇� =
𝑚
𝑡
[=]
𝑘𝑔
𝑠
 
𝑄 =
𝑉
𝑡
[=]
𝑚3
𝑠
 
�̇� = 𝜌𝑣𝐴  𝑄 = 𝑣𝐴  �̇� = 𝜌𝑄 
 
3) Lei da conservação da massa 
 
 A lei da conservação da massa surgiu a partir dos experimentos de 
Lavoisier, onde demonstrou que a matéria poderia ser transformada, mas 
nunca criada ou destruída. 
 Trata-se de um balanço material, que faz a contabilidade de fluxos e 
alterações em um volume de controle. 
 
�̇� 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − �̇� 𝑠𝑎𝑖 = 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 
 
4) Equação da continuidade 
 
 Quando se trabalha na hipótese de regime permanente, quando não há 
variação das propriedades com o tempo, o termo de acúmulo é nulo. Neste 
caso a lei da conservação da massa fica: 
 
�̇�1 − �̇�2 = 0 
�̇�1 = �̇�2 
𝜌1𝑣1𝐴1 = 𝜌2𝑣2𝐴2 
 
 
 
 As equações acima representam a equação da continuidade para um 
fluido qualquer em regime permanente de escoamento. Quando se trabalha 
com fluidos incompressíveis (aqueles que a massa específica não varia com a 
pressão): 
𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 = 𝑄 
22 
 
 A equação acima é a equação da continuidade para um fluido 
incompressível. De uma forma geral: 
 
∑ �̇� 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = ∑ �̇� 𝑠𝑎𝑖 
 
 
�̇�𝐴 + �̇�𝐵 = �̇�𝐶 + �̇�𝐷 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Uma corrente de água, com velocidade de 0,9 m/s, escoa em uma tubulação 
com diâmetro de 0,6 m. A tubulação possui uma expansão brusca, para um 
diâmetro de 0,9 m. Determinar a vazão volumétrica e a velocidade do 
escoamento na seção após a expansão. 
 
2) Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 L, sabendo-se 
que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3 m/s e o diâmetro do tubo 
conectado ao tambor é igual a 30 mm. 
 
3) Para a tubulação mostrada na figura abaixo, determine: 
 a) A vazão e a velocidade no ponto (3). 
 b) A velocidade no ponto (4). 
Dados: v1 = 1 m/s; v2 = 2 m/s, D1 = 0,2 m; D2 = 0,1 m; D3 = 0,25 m e D4 = 
0,15 m 
 
 
 
 
 
 
23 
 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
UNIDADE 4 – Balanço de energia 
(Sugestão de leitura – BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos, capítulo 4) 
 
 Assim como para a massa, é possível construir uma equação que 
permite fazer o balanço de energia por meio da equação da continuidade. 
Antes, é necessário avaliar as energias associadas ao escoamento. 
 
1) Energias associadas ao escoamento de fluidos 
 
a) Energia potencial (Ep) 
 É o estado de energia de um sistema devido sua posição em um campo 
gravitacional em relação a um ponto horizontal de referência. Também pode 
ser interpretada como uma medida do potencial de realização de trabalho pelo 
sistema. 
 
𝑊 = 𝐹. 𝑧 → 𝑊 = 𝑃. 𝑧 = 𝑚. 𝑔. 𝑧 
𝐸𝑃 = 𝑚. 𝑔. 𝑧 
b) Energia cinética (Ec) 
 É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. 
 
𝐸𝑐 =
𝑚. 𝑣2
2
 
c) Energia de pressão (Epr) 
 É a energia correspondente ao trabalho potencial das forças de pressão 
que atuam no escoamento do fluido. 
 
𝑊 = 𝐹. 𝑑𝑆
= 𝑃. 𝐴. 𝑑𝑆 
𝑑𝑊 = 𝑃. 𝑑𝑉
= 𝑑𝐸𝑝𝑟 
𝐸𝑝𝑟 = ∫ 𝑃. 𝑑𝑉
𝑉
= 𝑃. 𝑉 
 
 
 
24 
 
d) Energia mecânica total 
𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑟 
𝐸 = 𝑚. 𝑔. 𝑧 +
𝑚. 𝑣2
2
+ 𝑃. 𝑉 
 
2) Equação de Bernoulli 
 
 A equação de Bernoulli reúne todas as formas de energia que atuam no 
escoamento de um fluido. Tem origem na primeira lei da termodinâmica e é 
válida para uma série de hipóteses simplificadoras que cria um afastamento 
dos resultados obtidos na prática. Porém, serve como base conceitual e de 
interpretação dos fenômenos para se construir uma equação que represente a 
realidade. 
 
 Hipóteses simplificadoras: 
 
1- Regime permanente; 
2 - Sem máquinas ao longo do escoamento que forneçam (bombas) ou retirem 
(turbinas) energia ao fluido; 
3 - Sem perdas por atrito (fluido ideal); 
4 - Propriedades uniformes; 
5 – Fluido incompressível; 
6 – Sem trocas de calor. 
 
 Considerando as energias que atuam no escoamento e as hipóteses 
simplificadoras, a equação de Bernoulli para o escoamento representado na 
figura fica: 
𝑔. 𝑧1 +
𝑣1
2
2
+
𝑃1
𝜌
= 𝑔. 𝑧2 +
𝑣2
2
2
+
𝑃2
𝜌
 [
𝑚2
𝑠2
] 
 
 As unidades de cada termo da equação de Bernoulli escrita acima são 
em unidades de energia por unidade de massa. Ela também pode ser escrita 
em unidades de comprimento, onde cada termo é dado como a carga de 
energia. Este conceito vem da relação da variação de pressão com relação a 
carga (altura) de fluido. Neste caso, a equação fica: 
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
 [𝑚] 
 
25 
 
 Quando se utiliza a equação de Bernoulli com o conceito de carga de 
energia, a notação da energia é H. 
 
3) Máquinas de fluxo 
 
 Conforme dito anteriormente, a equação de Bernoulli é construída com 
base em uma série de simplificações que a afastam da realidade. Para 
aproximá-la da prática, é necessário que sejam adicionados fatores reais que 
afetam o escoamento. 
 A principal hipótese de Bernoulli é o escoamento permanente, então: 
𝐸1 = 𝐸2 
𝑔. 𝑧1 +
𝑣1
2
2
+
𝑃1
𝜌
= 𝑔. 𝑧2 +
𝑣2
2
2
+
𝑃2
𝜌
 [
𝑚2
𝑠2
] 
ou 
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
 [𝑚] 
 
 Porém, se no escoamento há um dispositivo que doe ou retire energia 
do fluido, esta igualdade não se estabelece. Tais dispositivos são chamados 
“máquinas de fluxo” e servem, como dito anteriormente, para doar ou retirar a 
energia disponível no fluido. Os dispositivos que fornecem energia são 
chamados BOMBAS, e os dispositivos que utilizam a energia disponível do 
fluido são chamados TURBINAS. 
 Considere a representação abaixo de uma máquina de fluxo, 
denominado M, inserida no escoamento: 
 
 Devido a este dispositivo, a igualdade 𝐸1 = 𝐸2 não pode mais ser escrita, 
devendo ser considerada a energia doada ou retirada por ele. A equação do 
balanço de energia fica: 
𝐸1 + 𝐸𝑀 = 𝐸2 
𝑔. 𝑧1 +
𝑣1
2
2
+
𝑃1
𝜌
+ 𝐸𝑀 = 𝑔. 𝑧2 +
𝑣2
2
2
+
𝑃2
𝜌
 [
𝑚2
𝑠2
] 
 O termo EM é um termo global, que se refere a um dispositivo. Se este 
dispositivo fornecer energia para o fluido, como as BOMBAS, este termo será 
positivo (𝐸𝑀 = +𝐸𝐵). 
𝐸1 +𝐸𝐵 = 𝐸2 
26 
 
 Agora se este dispositivo retira energia do fluido, como as TURBINAS, 
este termo será negativo (𝐸𝑀 = −𝐸𝑇). 
𝐸1 − 𝐸𝑇 = 𝐸2 
 Quando tratamos pela notação E, significa que a unidade dos termos da 
equação de energia será em [m2/s2]. Pode-se usar também a notação HM (+HB, 
-HT) para o caso da equação estar na forma de carga de energia, onde a 
unidade é [m]. 
 
5) Perda de carga 
 
 A equação de Bernoulli considera a hipótese de fluido ideal (µ=0). Porém 
a maioria dos fluidos não apresenta este comportamento. Quando se trabalha 
com fluidos reais (µ0), o atrito no escoamento deve ser considerado e neste 
caso há uma perda irreversível de energia mecânica em energia térmica. Desta 
forma a igualdade H1=H2 (ou E1=E2) não é satisfeita e a esta diferença dá-se o 
nome de “perda de carga”, podendo ser expressa em perda de energia por 
unidade de massa ou em carga de energia com unidade de comprimento: 
𝐸1 = 𝐸2 + ℎ𝐿𝑇 [
𝑚2
𝑠2
] 
𝑔. 𝑧1 +
𝑣1
2
2
+
𝑃1
𝜌
= 𝑔. 𝑧2 +
𝑣2
2
2
+
𝑃2
𝜌
+ ℎ𝐿𝑇 [
𝑚2
𝑠2
] 
 
Ou, 
𝐻1 = 𝐻2 + 𝐻𝐿𝑇 [𝑚] 
Onde, 
𝐻𝐿𝑇 =
ℎ𝐿𝑇
𝑔
 [𝑚] 
 A perda de carga pode ser dividida entre as perdas por atrito e as perdas 
localizadas. As perdas por atrito são normalmente mais expressivas que as 
localizadas, e estão fortemente associadas ao tipo de escoamento (laminar ou 
turbulento). Em escoamento laminar, pode ser calculada analiticamente. Em 
escoamento turbulento, devem ser utilizados dados experimentais, métodos 
gráficos ou métodos empíricos. As perdas localizadas são decorrentes de 
alterações no escoamento, como entradas e saídas, expansões e contrações, 
curvas, válvulas e outros acessórios. Na maioria dos casos, são determinadas 
experimentalmente. Muitas tabelas disponíveis na literatura já foram tabuladas 
para os casos mais comuns. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Ar ( = 1,2 kg/m3) escoa em regime permanente através de um bocal 
horizontal (por definição, um equipamento para acelerar um escoamento), 
descarregando para a atmosfera. A área da seção da entrada é de 0,1 m2 e na 
27 
 
saída é de 0,02 m2. Determine a pressão manométrica na entrada para fazer 
com que o fluido saia do bocal a uma velocidade de 50 m/s. Despreze os 
efeitos do atrito. 
 
2) Um reservatório de grandes dimensões fornece água para o tanque indicado 
na figura abaixo, com uma vazão de 10L/s. Verificar se a máquina instalada é 
uma bomba ou uma turbina. Considere que entre os pontos 1 e 2 há uma perda 
de carga de 1m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 3 E 4 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS E 
BALANÇO DE ENERGIA 
ÁREA 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
1) Uma corrente de água, com velocidade de 0,9 m/s, escoa em uma 
tubulação com diâmetro de 0,6 m. A tubulação possui uma expansão 
brusca, para um diâmetro de 0,9 m. Determinar a vazão volumétrica e a 
velocidade do escoamento na seção após a expansão. (R.: 0,254 m3/s; 
0,4 m/s) 
 
2) Considere o escoamento de 
água em uma tubulação de 40 cm 
de diâmetro, a uma vazão mássica 
de 10 kg/s. Esta tubulação contém 
um redutor, que leva o diâmetro da 
tubulação até 10 cm. Determine: 
 
 
a) vazão volumétrica na seção de entrada; (R.: 0,01 m3/s) 
b) velocidade média do escoamento na seção de entrada; (R.: 0,08 m/s) 
c) vazão volumétrica na seção de saída; (R.: 0,01 m3/s) 
d) velocidade média do escoamento na seção de saída. (R.: 1,27 m/s) 
 
3) Para a tubulação mostrada na figura abaixo, determine: 
a) A vazão e a velocidade no ponto (3). (R.: 0,0471 m3/s; 0,96 m/s) 
b) A velocidade no ponto (4). (R.: 2,66 m/s) 
Dados: v1 = 1 m/s; v2 = 2 m/s, D1 = 0,2 m; D2 = 0,1 m; D3 = 0,25 m e D4 = 
0,15 m 
 
4) Os reservatórios (1) e (2) da figura abaixo são cúbicos, com mesmas 
dimensões em cada cubo, e são preenchidos pelos tubos, respectivamente, 
em 100 s e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção (A) indicada, 
sabendo-se que o diâmetro da tubulação é de 1 m. (R.:4,14 m/s) 
 
5) Uma tubulação é usada para distribuição de água de processo para 
diferentes unidades dentro de uma empresa, conforme figura abaixo. A 
tubulação central (1-5) tem um diâmetro de 15 cm, e as ramificações (2, 3 e 
4) têm respectivamente, 10 cm, 5 cm e 6,35 cm de diâmetro. As demandas 
29 
 
de água nos pontos 2, 3 e 4 são iguais a 10 L/min, 4 kg/min e 0,3 m3/h. A 
quantidade bombeada de um reservatório que chega ao ponto 1 é de 1,5 
m3/h. 
a) Determine a vazão de água que chega ao ponto 5. 
b) Calcule a velocidade média do escoamento nos 
pontos 1,2,3,4,5. 
c) Se a entrada para a tubulação 3 fosse bloqueada, 
qual seria a vazão no ponto 5, sabendo que as demais 
não são alteradas? 
(R.: 0,36 m3/h; 82,2 - 74,0 - 118,4 - 94,7 - 19,7 m/h; 0,6 
m3/h) 
 
 
6) Um tanque com 10 m de diâmetro recebe um líquido por uma tubulação 
de 50 cm de diâmetro, a uma velocidade v1 = 1,5 m/s. Líquido é retirado 
continuamente do tanque, a uma vazão Q2 = 0,2 m3/s. Não há variação na 
massa específica do fluido. 
a) O nível do tanque permanece constante, aumenta ou diminui com o 
tempo? Caso varie, determine a taxa de variação do nível do tanque. (R.:1,2 
mm/s) 
b) Qual deveria ser a relação entre v1 e Q2 para manter regime estacionário 
no tanque, ou seja, altura de nível líquido constante. (R.: v1 = 5,093·Q2) 
 
7) Ar escoa em regime permanente através de um bocal horizontal (por 
definição, um equipamento para acelerar um escoamento), descarregando 
para a atmosfera. A área da seção da entrada é de 0,1 m2 e na saída é de 
0,02 m2. Determine a pressão manométrica na entrada para fazer com que o 
fluido saia do bocal a uma velocidade de 50 m/s. Despreze os efeitos do 
atrito. (R.: 1440 Pa) 
 
8) Um bocal de incêndio está acoplado a uma mangueira com diâmetro 
interno de 75 mm. O bocal tem perfil suave e diâmetro de saída de 25 mm. A 
pressão de projeto na entrada do bocal é de 689 kPa (manométrica). Avalie 
a vazão volumétrica máxima para este bocal. (R.: 66 m3/h) 
 
9) Água escoa em um duto circular. Numa seção, o diâmetro é 0,3 m, a 
pressão estática é 260 kPa (manométrica), a velocidade é 3 m/s e a 
elevação é 10 m acima do nível do solo. Numa seção a jusante, no nível do 
solo, o diâmetro do duto é 0,15 m. Determine a pressão manométrica na 
seção a jusante, desprezando os efeitos do atrito. (R.: 290,5 kPa) 
 
10) Um tubo de Pitot é inserido 
em um escoamento de água 
para medir a velocidade, sendo 
que a pressão estática é 
medida no mesmo local, 
usando-se uma tomada de 
pressão na parede. Se o fluido 
no manômetro for mercúrio 
(densidade relativa = 13,6), 
determine a velocidade do 
 
40 mm 
 
30 
 
escoamento. 
(R.: 3,14 m/s) 
 
11) A vazão de água 
através do sifão mostrado na 
figura abaixo é 0,02 m3/s e o 
diâmetro do tubo é 50 mm. 
Calcule a máxima altura 
permitida, h, de modo que a 
pressão no ponto A fique 
acima da pressão de vapor 
da água, na temperatura de 
20ºC (2339 Pa, absoluta). (R.: 
4,8 m) 
 
 
12) Um tubo em U atua como 
um sifão conectado a um 
reservatório muito grande, 
quando comparado com o 
tubo. A curvatura no tubo está 
1 m acima da superfície da 
água e a saída do tubo está 
7 m abaixo da superfície da 
água. Água sai pela 
extremidade inferior do sifão 
como um jato livre para a 
atmosfera. Determinar a 
velocidade do jato livre (2) e a 
pressão absoluta mínima da 
água na curvatura (A). (R.: 
11,7 m/s; 22,9 kPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS 
(Sugestão de leitura – INCROPERA, F.P.; WITT, D.P. Fundamentos de 
transferênciade calor e massa, capítulo 1) 
 
1) Princípios e fundamentos da transferência de calor 
 
 Os fenômenos de transporte ocorrem quando há uma situação de não 
equilíbrio. Se há falha na condição de equilíbrio térmico ocorre 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR. * 
* Ciência que estuda a característica ou comportamento da energia entre 
corpos materiais causados por diferença de temperatura. 
 Calor é uma energia que é transportada de um corpo a outro. A 
transferência sempre se dá do corpo com mais energia para o de menor 
energia (da maior para a menor temperatura). 
 
 
 A transferência de calor estuda também as taxas de transferência desta 
energia. Existem três mecanismos de transferência de calor: 1) CONDUÇÃO, 
2) CONVECÇÃO E 3) RADIAÇÃO. 
 
 
 
1) CONDUÇÃO 
 A transferência de calor por condução está associada a níveis 
microscópicos onde uma molécula com maior energia transfere essa energia 
para as moléculas da vizinhança. Materiais com elétrons livres tem este 
transporte facilitado (condutores). 
 
 
>T <T 
32 
 
*CONDUTIVIDADE TÉRMICA (k): propriedade dos materiais responsável pela 
mobilidade da energia através dele. Indica a rapidez com que o calor será 
transferido em um dado material. Quanto maior, maior a capacidade do 
material de transportar energia (sólidos > líquidos > gases). 
 A lei que descreve este mecanismo de transferência é a Lei de Fourier, 
que diz que a taxa transferência de calor por unidade de área é proporcional ao 
gradiente de temperatura.* 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Onde: 
 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑊] 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
𝐴
= 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [
𝑊
𝑚2
] 
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑚2] 
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 [
𝑊
𝑚𝐾
] 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
2) CONVECÇÃO 
 A transferência de calor por convecção é o transporte de energia em 
fluidos que apresentem movimento relativo a uma dada superfície com 
temperatura diferente da sua OU transferência de energia que ocorre no 
interior de um fluido devido a combinação dos efeitos de condução e do 
movimento global do fluido. 
 
 NATURAL: o movimento relativo se dá devido à diferença de densidade 
do fluido como consequência da diferença de temperatura (+forças de 
empuxo). 
 FORÇADA: o movimento se dá devido à um agente externo (ventilador). 
 
Convecção natural 
 
 
Convecção forçada 
 
 
 
33 
 
 Descrita pela Lei de Newton do Resfriamento, em que a taxa de 
transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a 
superfície e o fluido.* 
 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴(𝑇𝑆 − 𝑇∞) 
Onde: 
 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑊] 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
𝐴
= 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [
𝑊
𝑚2
] 
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑚2] 
ℎ = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 [
𝑊
𝑚2𝐾
] 
𝑇𝑆 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 [°𝐶; 𝐾] 
𝑇∞ = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 [°𝐶; 𝐾] 
 
 O coeficiente de transferência de calor convectivo “h” (análogo ao k da 
condução) é determinado por cálculo analítico, correlações entre números 
adimensionais ou experimentalmente. Depende da geometria da superfície 
exposta e da natureza do fluido. 
 A transferência de calor envolvida nas trocas de fase líquido-vapor 
também é considerada um caso de convecção. Este caso representa a troca de 
calor latente (relacionado à mudança de fases – quantidade de calor que uma 
massa deve receber ou ceder para que ocorra mudança de fase). 
 
 EBULIÇÃO: transferência de calor resulta do movimento do fluido 
induzido pelas bolhas de vapor geradas pelo aquecimento do líquido. 
 CONDENSAÇÃO: condensação do vapor de água na superfície externa 
a uma tubulação que escoa água fria, por exemplo. 
 
3) RADIAÇÃO 
 A transferência de calor por radiação é a transferência de energia 
associada à emissão de ondas eletromagnéticas que ocorre em todos os 
corpos que estejam acima de 0K. 
 Radiação térmica é a energia emitida por toda a matéria que se encontra 
a uma temperatura finita. Emissões podem ocorrer de todos os tipos de 
materiais – sólidos, líquidos, gases. A energia no campo de radiação é 
transportada por ondas eletromagnéticas, não requer meio material para que 
ocorra a transferência de calor, diferente dos outros mecanismos. 
 
34 
 
 
 
 A lei que descreve o fenômeno é a Lei de Stefan-Boltzmann (E = poder 
emissivo = taxa de energia liberada por unidade de área). Só é válida para 
radiação térmica. 
 
 Calor emitido por um radiador ideal ou corpo negro: 
 
𝐸 = 𝜎 𝑇𝑆
4 
Onde: 
𝑇𝑆 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 
𝜎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑒𝑓𝑎𝑛 − 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛 = 5,676𝑥10−8
𝑊
𝑚2𝐾4
 
 
 Calor emitido por uma superfície real menor que o corpo negro: 
 
𝐸 = 𝜀 𝜎 𝑇𝑆
4 
Onde: 
𝜀 = 𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
 A emissividade é uma medida da capacidade de emissão de energia em 
relação ao corpo negro. Depende da superfície do material e os valores variam 
de 0 a 1. 
 Um corpo negro é um material que absorve toda a radiação 
eletromagnética que incide sobre ele. Também pode ser considerado um 
emissor ideal. 
 A radiação também pode ser incidente sobre uma superfície. Pode ser 
oriunda de uma fonte, como o sol, ou de outra superfície a qual a superfície de 
interessa esteja exposta. 
 Quando a radiação incide sobre uma unidade de área chamamos 
IRRADIAÇÃO (G) e o parâmetro que relaciona a irradiação com as 
características do material é a ABSORVIDADE () com valores entre 0 e 1. 
Depende das propriedades da irradiação e das características da superfície 
incidida. 
𝐺𝑎𝑏𝑠 = 𝛼 𝐺 
 
35 
 
Onde: 
𝛼 = 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝐺 = 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎çã𝑜 → 𝐺 = 𝜎𝑇𝑣𝑖𝑧
4 
Onde: 
𝑇𝑣𝑖𝑧 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑧𝑖𝑛ℎ𝑎𝑛ç𝑎 
 
 A taxa de transferência de calor pode ser determinada pela expressão: 
 
𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎(𝑇𝑆
4 − 𝑇𝑣𝑖𝑧
4 ) 
 Ou também pela expressão: 
 
𝑞𝑟𝑎𝑑 = ℎ𝑟𝑎𝑑𝐴(𝑇𝑆 − 𝑇𝑣𝑖𝑧) 
Onde: 
 ℎ𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎𝐴(𝑇𝑆 + 𝑇𝑣𝑖𝑧)(𝑇𝑆
2 + 𝑇𝑣𝑖𝑧
2 ) 
 
 
Resumo dos processos de transferência de calor 
 
MODO MECANISMO EQ. TAXA 
COEF. DE 
TRANSPORTE 
CONDUÇÃO 
 
Difusão de energia 
devido ao movimento 
molecular aleatório. 
 
 
 
 
CONVECÇÃO 
Difusão de energia 
devido ao movimento 
aleatório molecular e ao 
transporte de energia 
devido ao movimento 
global do fluido. 
 
RADIAÇÃO 
 
Energia transferida por 
ondas 
eletromagnéticas. 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) A parede de um forno industrial é construída com tijolos refratários de 
espessura 0,15m e condutividade térmica 1,7W/m.K. Medições realizadas 
durante a operação em regime estacionário apresentaram temperaturas de 
1400 e 1150K nas superfícies interna e externa, respectivamente. Qual é a taxa 
de perda de calor através de uma parede com 0,5 por 1,2m em um lado? 
 
36 
 
2) Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico passa através de uma sala 
onde o ar e as paredes se encontram a 25°C. O diâmetro externo do tubo é de 
70mm, e a temperatura da superfície e a emissividade são, respectivamente, 
200°C e 0,8. Quais são o poder emissivo e a irradiação da superfície? Se o 
coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural da 
superfície para o ar é de 15W/m2.K, qual a taxa de calor perdida pela superfície 
do tubopor unidade de comprimento? 
 
3) Um recipiente fechado, completamente cheio de café quente, está em uma 
sala cujo ar e as paredes encontram-se a uma temperatura fixa. Identifique 
todos os processos de transferência de calor que contribuem para o 
resfriamento do café. Comente as características que contribuíram para 
aprimorar o projeto do recipiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
1) Determine a taxa de transferência de calor que se estabelece em um cubo 
de 1 m de lado, inicialmente em equilíbrio térmico a 20 ºC, quando um dos 
lados do cubo é bruscamente aquecido até 30 ºC, assumindo condução 
unidimensional, se o cubo for feito de: 
 a) cobre (k = 401 W/m∙K); (R.: 4.010 W) 
 b) silicone (k = 148 W/m∙K). (R.: 1.480 W) 
2) Considere a transferência de calor em estado estacionário que ocorre entre 
duas superfícies grandes e opacas, mantidas a temperaturas constantes de 
300 K e 200 K e que estão separadas por uma distância de 1 cm. Determine a 
taxa de transferência de calor, por unidade de área, que ocorre por condução 
entre as duas placas, assumindo que o espaço entre as placas é: 
 a) evacuado; (R.: 0) 
 b) preenchido com ar atmosférico (k = 0,0223 W/m∙K); (R.: 223 W/m2) 
 c) preenchido com uretana (isolante térmico com k = 0,026 W/m∙K); (R.: 260 
W/m2) 
 d) preenchido com um material super isolante (k = 0,00002 W/m∙K). (R.: 0,2 
W/m2) 
3) Considere uma placa plana de silício, cuja condutividade térmica é 150 
W/m∙K. Estime o fluxo transferido em estado estacionário nesta placa, cuja 
espessura é 2 cm, se as faces da placa estão submetidas a temperaturas de 
20 e 40 ºC. Qual a temperatura no centro da placa? (R.: 150 kW/m2; 30 ºC) 
4) Uma porta de vidro de 1 m de largura e 2 m de altura possui 5 mm de 
espessura e condutividade térmica de 1,4 W/m∙K. Se as temperaturas interna e 
externa da porta são 15 ºC e –10 ºC, respectivamente, em um dia de inverno, 
qual a taxa de perda de calor através do vidro? (R.: 14 kW) 
5) A parede de um forno industrial é construída com tijolos refratários de 15 cm 
de espessura e condutividade térmica de 1,7 W/m∙K. Medições realizadas 
durante a operação do forno em regime estacionário apresentaram 
temperaturas de 1400 e 1150 K nas superfícies interna e externa, 
respectivamente. Qual é a taxa de perda de calor pela parede, cujas 
dimensões são 0,5 m por 1,2 m? (R.: 1.700 W) 
 
38 
 
6) Ar ambiente, a 25 ºC, escoa sobre uma placa, com 50 cm de largura e 75 cm 
de comprimento, mantida aquecida a 250 ºC. Calcule a taxa de transferência 
de calor por convecção considerando um coeficiente convectivo de 25 W/m2∙K. 
(R.: 2.109 W) 
7) Um bloco de aço com área superficial de 0,8 m2 sofre um tratamento térmico 
à temperatura de 400 ºC e é deixado para esfriar naturalmente. Considerando 
que a temperatura do ar ambiente é de 20 ºC, determine a taxa de 
transferência de calor que se estabelece em um processo de convecção 
natural com coeficiente convectivo de 4 W/m2∙K. Se, para apressar o 
resfriamento fosse colocado um ventilador impulsionando ar ambiente sobre o 
bloco de aço, qual seria a taxa de transferência de calor considerando um 
processo de convecção forçada com coeficiente convectivo de 120 W/m2∙K? 
(R.: 1,2 kW; 36,5 kW) 
8) Um aquecedor elétrico de cartucho, com uma área superficial de 0,013 m2, 
dissipa 2 kW em condições normais de operação. 
a) Determine a temperatura da superfície do aquecedor, quando uma corrente 
de água a 20ºC flui pelo aquecedor sob um coeficiente convectivo de 5000 
W/m2∙K. (R.: 51 ºC) 
b) Se o escoamento da água é interrompido e o aquecedor permanece em 
operação, sua superfície passa a estar exposta ao ar, que também se encontra 
a 20 ºC. Contudo, neste caso h = 50 W/m2∙K. Qual seria a temperatura 
superficial correspondente? (R.: 3.097 ºC) 
9) Um chip quadrado com 5 mm de lado opera em condições isotérmicas. Ele é 
posicionado em um substrato de modo que as superfícies laterais e inferior 
estão isoladas termicamente, enquanto que a superfície superior é exposta a 
um fluxo de ar a 15 ºC, com coeficiente convectivo de 200 W/m2∙K. Nestas 
condições, qual a potência máxima permitida que o chip pode dissipar, se a 
temperatura do chip não puder exceder a temperatura de 85 ºC para operar de 
forma adequada? (R.: 0,35 W) 
10) Você vivenciou um resfriamento por convecção se alguma vez estendeu 
sua mão para fora da janela de um veículo em movimento ou a imergiu em 
uma corrente de água fria. Com a superfície da sua mão a uma temperatura de 
30 ºC, determine os fluxos de calor por convecção no primeiro caso, se a 
temperatura do ar, em um dia de inverno, for de 5 ºC, e o veículo estiver a 40 
km/h, proporcionando um coeficiente convectivo de 50 W/m2∙K; e no segundo 
caso, se a temperatura da água for de 15 ºC e velocidade de 0,2 m/s, com um 
coeficiente convectivo de 800 W/m2∙K. Compare os resultados com a perda de 
calor em condições normais, de 30 W/m2. (R.: 1.250 W/m2; 12.000 W/m2) 
39 
 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
UNIDADE 2 – MECANISMOS 
(Sugestão de leitura – INCROPERA, F.P.; WITT, D.P. Fundamentos de 
transferência de calor e massa, capítulo 1) 
 
 
1) Transferência de Calor por Condução 
 
 A transferência de calor por condução está relacionada ao transporte de 
energia em um meio devido ao gradiente de temperatura – o mecanismo físico 
envolvido é a movimentação dos átomos ou atividade molecular. 
 É descrita pela Lei de Fourier que fornece o fluxo de calor. Este depende 
do conhecimento da forma como a temperatura varia dentro do meio 
(distribuição de temperatura). 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Onde: 
 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑊] 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
𝐴
= 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [
𝑊
𝑚2
] 
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑚2] 
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 [
𝑊
𝑚𝐾
] 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
 O gradiente de temperatura varia de acordo com o caminho com o qual 
a temperatura varia. Depende da geometria da superfície. 
 
Para uma placa plana: 
 
 
�̇� =
𝑘𝐴
𝐿
∆𝑇 
 
 
40 
 
Para um cilindro: 
 
�̇� =
𝑘2𝜋𝐿
ln (
𝑅𝐸
𝑅𝐼
)
∆𝑇 
 
 A constante “k” é a condutividade térmica, que é uma propriedade dos 
materiais. Ela indica a rapidez com que o calor será transferido em um dado 
material. Quanto maior, maior será a capacidade de transporte de energia. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Considere uma parede plana de silício cuja condutividade é 150W/m.K; 
deseja-se estimar o fluxo transferido em estado estacionário nesta parede cuja 
espessura é 2cm. As faces externas da parede estão submetidas às 
temperaturas de 20 e 40°C. Avalie a temperatura também no centro da placa. 
 
2) Uma tubulação de aço cuja condutividade térmica é 42,9W/m.K possui 
diâmetro de 0,019m e uma parede com espessura de 0,04m. A tubulação está 
sujeita a uma T=93°C junto a superfície interna e de T=71°C junto a superfície 
externa. Encontre a taxa de calor por unidade de comprimento do tubo e 
também o fluxo baseado na área superficial interna e externa para essa 
tubulação em estado estacionário. 
 
3) Uma janela de vidro de 1m de largura e 2m de altura apresenta 5mm de 
espessura e condutividade térmica kv = 1,4W/m.K. Se as temperaturas interna 
e externa do vidro são 15°C e -20°C, respectivamente, em um dia de inverno, 
qual a taxa de perda de calor através do vidro? Para reduzir as perdas de calor 
através das janelas, costuma-seutilizar construções com painel duplo em que 
as duas placas de vidro são separadas por ar. Se o espaçamento entre elas for 
de 10mm as superfícies em contato com o ar tiverem temperaturas de 10°C e -
15°C, qual a taxa de perda de calor de uma janela 1mx2m? A condutividade 
térmica do ar. 
 
2) Transferência de Calor por Convecção 
 
 A transferência de calor por convecção está relacionada ao transporte 
de calor devido ao movimento relativo de um fluido sobre uma superfície 
aquecida. É dividida em dois mecanismos: NATURAL - onde o movimento do 
41 
 
fluido devido à diferença de densidade do fluido e forças de empuxo e 
FORÇADA em que um agente externo causa a velocidade. 
 
 
 
 É descrita pela Lei de Newton do Resfriamento, em que a taxa de 
transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a 
superfície e o fluido. 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴(𝑇𝑆 − 𝑇∞) 
Onde: 
 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑊] 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
𝐴
= 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [
𝑊
𝑚2
] 
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 [𝑚2] 
ℎ = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 [
𝑊
𝑚2𝐾
] 
𝑇𝑆 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 [°𝐶; 𝐾] 
𝑇∞ = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 [°𝐶; 𝐾] 
 
 O coeficiente de transferência de calor por convecção “h” depende de 
fatores como a geometria do escoamento e características do fluido. Não é um 
valor tabelado devido variar de ponto a ponto no escoamento e por isso 
trabalha-se em termos médios. É determinado através de correlações 
empíricas e dados experimentais. No quadro abaixo estão listados valores 
médios do coeficiente em função do fluido de trabalho e do mecanismo de 
convecção. 
 
Processo Fluido h (W/m2∙K) 
Convecção natural 
Gás 2 – 25 
Líquido 50 – 1000 
Convecção forçada 
Gás 25 – 250 
Líquido 100 – 20.000 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Ar a 25°C escoa sobre uma placa aquecida de 50 por 75cm mantida a 
250°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção é de 25W/m2.°C. 
Calcule a transferência de calor. 
 
42 
 
2) Através de um fio de 1mm de diâmetro e 10cm de comprimento passa uma 
corrente elétrica. O fio está imerso em água líquida a pressão atmosférica, e a 
corrente é aumentada até a água entrar em ebulição. Para esta situação 
h=5000W/m2.°C, e a temperatura da água é 100°C. Qual a potência elétrica a 
ser fornecida ao fio para que a superfície seja mantida a 114°C. 
 
3) Um dos lados de uma parede plana é mantido a 100°C, enquanto o outro 
lado está exposto a um ambiente onde a temperatura é de 10°C e 
h=10W/m2.°C. A parede, de 40cm de espessura, tem condutividade térmica de 
k=1,6W/m.°C. Calcule o calor transferido através da parede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
UNIDADE 3 – RESISTÊNCIA TÉRMICA E ASSOCIAÇÃO DE PAREDES 
 (Sugestão de leitura – INCROPERA, F.P.; WITT, D.P. Fundamentos de 
transferência de calor e massa, capítulo 3) 
 
1) Resistência térmica e associação de paredes 
 A resistência (R) a qualquer processo de transferência é definida como 
sendo a razão entre a força motriz e a taxa de transferência. Aplicado à 
transferência de calor, a força motriz é a própria diferença de temperatura (T). 
𝑅 =
𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
=
∆𝑇
𝑞
  𝑞 =
∆𝑇
𝑅
 
 Assim, a resistência térmica à condução de calor, considerando uma 
parede plana, é dada por: 
𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷 =
∆𝑇
𝑞
=
(𝑇1 − 𝑇2)
𝑘 ∙ 𝐴
𝐿 ∙
(𝑇1 − 𝑇2)
=
𝐿
𝑘 ∙ 𝐴
 
 De forma análoga, a resistência térmica à convecção seria: 
𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉 =
∆𝑇
𝑞
=
(𝑇𝑆 − 𝑇∞)
ℎ ∙ 𝐴 ∙ (𝑇𝑆 − 𝑇∞)
=
1
ℎ ∙ 𝐴
 
 Quando analisamos um sistema em que está ocorrendo transferência de 
calor, podemos avalia-lo considerando todos os mecanismos presentes, assim 
como todas as resistências a transferência de calor presentes. Considere a 
figura abaixo: 
 
 Pode-se observar na figura que a transferência de calor está ocorrendo 
em três fases: por convecção no lado 1, por condução dentro da parede e por 
convecção no lado 2. Como não há geração de energia interna, as taxas q1, q2 
e q3 devem ser iguais. Escrevendo a resistência para cada fase da 
transferência, tem-se: 
44 
 
𝑞1 =
∆𝑇
𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,1
=
(𝑇∞1 − 𝑇1)
1
ℎ1 ∙ 𝐴
 𝑞2 =
∆𝑇
𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷
=
(𝑇1 − 𝑇2)
𝐿
𝑘 ∙ 𝐴
 𝑞3 =
∆𝑇
𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,2
=
(𝑇2 − 𝑇∞2)
1
ℎ2 ∙ 𝐴
 
 A resistência total pode ser escrita pelo somatório de todas as 
resistências presentes no sistema: 
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
=
(𝑇∞1 − 𝑇∞2)
𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,1 + 𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷 + 𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,2
=
(𝑇∞1 − 𝑇∞2)
1
ℎ1 ∙ 𝐴
+
𝐿
𝑘 ∙ 𝐴 +
1
ℎ2 ∙ 𝐴
 
 Uma outra forma de representar as resistências pode ser através de 
circuitos térmicos equivalentes, que fazem uma analogia aos circuitos elétricos 
que são utilizados para fluxo de corrente. 
 
 O exemplo acima faz a representação para uma placa plana. Para uma 
geometria cilíndrica, as considerações são as mesmas, mudando apenas a 
área de transferência e a forma da resistência condutiva. 
 
𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷 =
𝑙𝑛 (
𝑅𝐸
𝑅𝐼
⁄ )
2𝜋 ∙ 𝐿 ∙ 𝑘
 
𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,𝐼 =
1
2𝜋 ∙ 𝑅𝐼 ∙ 𝐿 ∙ ℎ𝐼
 
𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,𝐸 =
1
2𝜋 ∙ 𝑅𝐸 ∙ 𝐿 ∙ ℎ𝐸
 
 
 
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
=
(𝑇∞𝐼 − 𝑇∞𝐸)
𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,𝐼 + 𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷 + 𝑅𝐶𝑂𝑁𝑉,𝐸
=
(𝑇∞𝐼 − 𝑇∞𝐸)
1
2𝜋 ∙ 𝑅𝐼 ∙ 𝐿 ∙ ℎ𝐼
+
𝑙𝑛 (
𝑅𝐸
𝑅𝐼
⁄ )
2𝜋 ∙ 𝐿 ∙ 𝑘 +
1
2𝜋 ∙ 𝑅𝐸 ∙ 𝐿 ∙ ℎ𝐸
 
 O mesmo conceito de circuitos térmicos equivalentes podem ser 
utilizados para sistemas mais complexos, tais como paredes compostas. Estes 
sistemas podem envolver qualquer número de resistências térmicas em série 
e/ou em paralelo devido às camadas de diferentes materiais. 
45 
 
 A figura abaixo representa um circuito térmico em série, composto de 
três paredes planas de materiais diferentes (kA kB kC) 
 
 A resistência e transferência de calor e a taxa de calor podem ser 
escritos: 
 
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
=
(𝑇1 − 𝑇4)
𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷,𝐴 + 𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷,𝐵 + 𝑅𝐶𝑂𝑁𝐷,𝐶
=
(𝑇1 − 𝑇4)
𝐿𝐴
𝑘𝐴 ∙ 𝐴
+
𝐿𝐵
𝑘𝐵 ∙ 𝐴
+
𝐿𝐶
𝑘𝐶 ∙ 𝐴
 
 
EXEMPLOS: 
1) Um forno autolimpante possui uma janela composta separando a cavidade 
do forno do ar ambiente. A janela composta consiste em dois plásticos de alta 
temperatura (A e B) de espessura LA=2LB e condutividade térmicas 
kA=0,15W/m.K e kB=0,08W/m.K. Durante o processo de autolimpeza, as 
temperaturas das paredes do forno e do ar, TP e Ti são 400°C, enquanto a 
temperatura do ar ambiente T∞=25°C. Os coeficientes internos de convecção e 
radiação (hi e hr), assim como o de convecção externo (he) são 25W/m2.K. Qual 
o valor mínimo para a espessura da janela L=LA+LB, necessária para garantir 
uma Ts=50°C ou menor na superfície exterior da janela? 
 
2) Um tubo de aço inox com k=14,9W/m.K utilizado para transportar produtos 
farmacêuticos resfriados tem diâmetro interno de 36mm e espessura de 2mm. 
As temperaturas dos produtos e do ar ambiente são 6°C e 23°C, enquanto os 
coeficientes de convecção correspondentes as superfícies interna e externa 
400W/m2.K e 6W/m2.K, respectivamente. Qual o ganho de calor por unidade de 
comprimento de tubo? 
 
46 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 3 – RESISTÊNCIA TÉRMICA E 
ASSOCIAÇÃO DE PAREDES 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
1) Considere uma janela de vidro duplo com 0,8 m de altura e 1,5 m de 
largura constituída por duas camadas de vidro (k = 0,78W/m·K) de 4 mm 
de espessura separadas por uma camada de ar estagnada (k = 0,026 
W/m·K) de 10 mm. Determine a taxa de calor perdida através desta janela, 
em estado estacionário, quando as temperaturas interna e externa são 
iguais a, respectivamente, 20 ºC e -10 ºC. O coeficiente de troca de calor 
convectivo interno é igual a 10 W/m2·K e o externo é igual a 40 W/m2·K. 
Determine a seguir o calor perdido por uma janela simples, com as 
mesmas dimensões anteriores, com apenas uma camada de vidro de 
espessura 4 mm. Compare criticamente os resultados. (R.: 69,3 W; 277 W) 
 
2) Roupas feitas com diversas camadas de tecido separadas por camadas de 
ar, denominadas de roupas de esquiadores, são frequentemente usadas em 
regiões de clima muito frio porque são leves, bonitas e muito eficientes do 
ponto de vista de isolamento térmico. Considere uma jaqueta composta por 
5 camadas de 0,1 mm de espessura de um tecido sintético (k = 0,13 
W/m·C) separadas por camadas de ar (k = 0,026 W/m·C) de 1,5 mm de 
espessura. Assumindo uma temperatura interna da jaqueta igual a 28C e 
uma área de troca térmica de 1,1 m2, determine: 
a) a taxa de calor perdida através da jaqueta quando 
externamente tem-se uma corrente de ar a -5 C e um 
coeficiente convectivo de 25 W/m2·K); (R.: 132 W) 
b) a perda térmica se a jaqueta fosse feita com apenas 
uma camada de 5 mm de espessura deste tecido; (R.: 
463 W) 
c) a espessura necessária de um tecido de lã natural 
(k = 0,035 W/m·C) para que a pessoa tivesse o 
mesmo nível de conforto térmico do que aquele 
correspondente à jaqueta de esquiador. (R.: 8,2 mm) 
 
3) Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira (km = 
0,12 W/m.K), isolamento à base de fibra de vidro (kf = 0,038 W/m.K) e gesso 
(kg = 0,17 W/m.K), conforme indicado no desenho abaixo. Em um dia frio de 
inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são de he = 
60 W/m2.K e hi = 30 W/m2.K. A área total da superfície da parede é de 350 
m2. Determine a perda total de calor através da parede. (R.: 4,2 kW) 
 
47 
 
 
 
4) As paredes de uma geladeira são tipicamente construídas com uma camada 
de isolante entre dois painéis de folhas de metal. Considere painéis de aço 
(k = 60 W/m·K) de 3 mm de espessura e uma camada de isolante (k = 0,046 
W/m·K) de 50 mm de espessura. Esta parede separa ar refrigerado a 4 ºC 
(lado interno) do ar ambiente a 25 ºC (lado externo). Determine a taxa de 
transferência de calor, por unidade de área superficial, se o lado interno e o 
lado externo estiverem submetidos a processos de convecção natural com 
coeficientes convectivos de 5 W/m2·K. Determine a temperatura da 
superfície do painel interno. (R.: 14 W/m2; 6,8 ºC) 
 
5) A parede composta de um forno possui 3 materiais, dois dos quais com 
condutividade térmica conhecida, kA = 20 W/m.K e kC = 50 W/m.K, e também 
espessura, LA = 0,30 m e LC = 0,15 m. O terceiro material, B, que se 
encontra entre os materiais A e C, possui espessura LB = 0,15 m, mas a sua 
condutividade térmica kB é desconhecida. 
 
Em condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma 
temperatura na superfície externa do forno TSUP,e = 20 ºC, uma temperatura 
na superfície interna TSUP,i = 600 ºC e uma temperatura do ar no interior do 
forno T = 800 ºC. O coeficiente de transferência de calor por convecção no 
interior do forno é igual a 25 W/m2.K. Qual é o valor de kB? (R.: 1,53 W/m.K) 
 
6) Em um processo industrial, uma película transparente está sendo fixada 
sobre um substrato, conforme mostrado no desenho. Para curar a fixação a 
uma temperatura T0, uma fonte de energia radiante é usada para fornecer 
um fluxo de calor q0” (W/m2), que é totalmente absorvido na superfície 
48 
 
película/substrato. A parte inferior do substrato é mantida a T1 = 30 ºC, 
enquanto a superfície livre da película está exposta ao ar a uma temperatura 
T = 20 ºC, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 
50 W/m2·K. Calcule o fluxo radiante q0” necessário para manter a 
temperatura na superfície película/substrato em T0 = 60 ºC. (R.: 2833 W/m2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
UNIDADE 4 – RAIO CRÍTICO E ISOLAMENTO TÉRMICO 
(Sugestão de leitura – INCROPERA, F.P.; WITT, D.P. Fundamentos de 
transferência de calor e massa, capítulo 3) 
 
1) Raio crítico e isolamento térmico 
 Materiais isolantes são muitas vezes utilizados para revestir tubulações 
ou qualquer mecanismo que gere calor para minimizar os efeitos de perda de 
calor. A possível existência de uma espessura ótima de isolamento térmico em 
sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos concorrentes associados 
ao aumento dessa espessura. 
 Em particular, embora a resistência condutiva aumente com a adição de 
isolamento, a resistência convectiva diminui devido ao aumento da área da 
superfície externa. Assim sendo, deve existir uma espessura de isolamento que 
minimize a perda de calor pela maximização da resistência total à transferência 
de calor. 
 Essa espessura é definida como raio crítico de isolamento (Rc), abaixo 
do qual a taxa de calor aumenta com o aumento de R e acima do qual a taxa 
de calor diminui com o aumento de R. 
 
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
ln (
𝑅
𝑅0
)
2𝜋𝑘𝐿
+
1
2𝜋𝑅𝐿ℎ
 
𝑞 =
𝑇∞ − 𝑇𝑖
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝑑𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑅
= 0 → 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 
1
2𝜋𝑘𝑅𝐿
−
1
2𝜋𝑅2𝐿ℎ
= 0 
𝑅𝑐 =
𝑘
ℎ
 
 
 O raio crítico é definido como uma espessura específica de isolante na 
qual a resistência total não é tão alta quanto o valor para a ausência de 
isolamento. Se R0 < Rc, a resistência total diminui e, portanto, a taxa de calor 
aumenta com a adição de camadas de isolamento. Essa tendência permanece 
até que o raio externo do isolamento corresponda ao raio crítico. Inversamente, 
se R0 > Rc, qualquer adição de camadas de isolamento iria aumentar a 
resistência total e, portanto, diminuir a perda de calor. 
50 
 
 
 Para sistemas radiais, o problema da redução da resistência total 
através da aplicação do isolamento existe apenas para fios ou tubos de 
diâmetros pequenos e baixos coeficientes de convecção, tais que se R0 > Rc. 
 A existência de um raio crítico requer que a área de transferência de 
calor varie na direção da transferência, como para a condução radial em um 
cilindro (ou uma esfera). Em uma parede plana, a área perpendicular à direção 
do fluxo de calor é constante, e não existe espessura crítica para o isolamento 
(a resistência total sempre aumenta com o aumento da espessura de 
isolamento). 
EXEMPLOS: 
1) Confirme a existência de um raio crítico de isolamento, calculando a 
resistência térmica total por unidade de comprimento para um tubo de 10mm 
de diâmetro tendo as seguintes espessuras de isolamento: 0, 2, 4, 5, 10, 20 e 
40mm. O isolamento é composto por lã de vidro, com uma condutividade 
térmica de 0,055W/m.K e coeficiente de convecção da superfície externa de 
5W/m2.K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 4 – RAIO CRÍTICO E ISOLAMENTO 
TÉRMICO 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
1) Calcule o raio crítico de isolamento para o amianto (material isolante com k = 
0,2 W/m·K) que reveste um tubo ficando exposto ao ar a 20 °C, com h = 3 
W/m2·K. Calcule a perda de calor, por unidade de comprimento, de um tubo 
de 5 cm de diâmetro a 200 °C, quando coberto com o raio crítico de 
isolamento e sem isolamento. (R.: 67 mm; 114,2 W/m; 84,8 W/m) 
 
2) Um cabo elétrico padrão com um condutor metálico de 4 mm de diâmetro é 
recoberto com material isolante elétrico (k = 0,04 W/m·K), de forma que o 
diâmetrototal do cabo é de 6 mm. Calcule o raio crítico para o caso em que 
este fio é submetido à um processo de convecção natural (h = 5 W/m2·K) à 
temperatura ambiente (25 ºC). Calcule a temperatura superficial do condutor 
metálico sabendo que, em condições normais, o condutor dissipa 1,5 W de 
potência térmica a cada metro de comprimento. (R.: 8 mm; 43 ºC) 
 
3) Calcule a resistência térmica total, por unidade de comprimento, para um 
tubo de 10 mm de diâmetro com as seguintes espessuras de isolamento: 0, 
2, 5, 10, 20 e 40 mm. Considere isolamento composto por lã de vidro, com 
uma condutividade térmica de 0,055 W/m·K e coeficiente de convecção da 
superfície externa de 5 W/m2·K. Calcule o raio crítico e compare com as 
espessuras de isolamento. (R.: [6,37; 5,52; 5,19; 5,30; 5,93; 7,07] m·K/W; 11 
mm) 
 
4) Um revestimento de baquelite (k = 1,4 W/m·K) é usado sobre um bastão 
condutor de 10 mm de diâmetro, cuja superfície é mantida a 200 ºC pela 
passagem de uma corrente elétrica. O bastão encontra-se imerso em um 
fluido a 25 ºC, onde o coeficiente convectivo é de 140 W/m2·K. 
a) Qual é o raio crítico associado ao revestimento nestas condições? (R.: 10 
mm) 
b) Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento, 
para o bastão sem revestimento? (R.: 770 W/m) 
c) Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento, 
para o bastão com revestimento cuja espessura corresponde ao raio 
crítico? (R.: 909 W/m) 
d) Que quantidade (espessura) de baquelite deveria ser colocada no bastão 
para reduzir em 25% a taxa de transferência de calor correspondente ao 
bastão sem revestimento? (R.: 55 mm) 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
UNIDADE 5 – ALETAS 
 (Sugestão de leitura – INCROPERA, F.P.; WITT, D.P. Fundamentos de 
transferência de calor e massa, capítulo 3) 
 
1) Aletas 
 
 Aletas são superfícies estendidas utilizadas para aumentar a área da 
superfície externa para aumento da troca de calor com o meio. (Ex.: 
resfriamento de motores e transformadores de energia elétrica). Podem ser de 
diversas formas e com seção de área transversal constante ou não. 
Estudaremos os casos de aletas com seção transversal constante, 
considerando também: 
 - Condução unidimensional; 
 - Regime estacionário; 
 - Condutividade térmica do material da aleta constante; 
 - Coeficiente de transferência por convecção uniforme ao longo da 
superfície da aleta; 
 - Transferência de calor por radiação desprezível. 
 
 Realizando um balanço de energia para definir as equações que 
descrevem os diferentes tipos de aletas: 
 
𝑞𝑥 = 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
|
𝑥+𝑑𝑥
= −𝑘𝐴 [
𝑑𝑇
𝑑𝑥
+
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
𝑑𝑥] 
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝑃𝑑𝑥(𝑇 − 𝑇∞) 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
−
ℎ𝑃
𝑘𝐴
(𝑇 − 𝑇∞) = 0 
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟𝑚𝑜𝑠: 𝜃(𝑥) = 𝑇 − 𝑇∞ 𝑒 𝑚
2 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴
 
𝑑2𝜃
𝑑𝑥2
− 𝑚2𝜃 = 0 
𝐴 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 é: 𝜃(𝑥) = 𝐶1𝑒𝑚𝑥 + 𝐶2−𝑚𝑥 
 
53 
 
 As constantes da solução da equação diferencial podem ser obtidas 
aplicando-se condições de contorno específicas na base da aleta e em sua 
extremidade. 
 
1° 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: 𝑥 = 0 → 𝜃(𝑥) = 𝜃(0) = 𝑇𝑏 − 𝑇𝜃 = 𝜃𝑏 
2° 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: 𝑥 = 𝐿 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
 Casos a serem considerados para definir a condição de contorno na 
extremidade da aleta: 
 
A) Transferência de calor por convecção a partir da extremidade da aleta; 
ℎ𝐴(𝑇𝐿 − 𝑇∞) = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
|
𝑥=𝐿
 → ℎ 𝜃(𝐿) = −𝑘
𝑑𝜃
𝑑𝑥
|
𝑥=𝐿
 
B) Perda de calor por convecção na extremidade da aleta é desprezível; 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
|
𝑥=𝐿
= 0 
C) Temperatura conhecida na ponta da aleta; 
𝜃(𝐿) = 𝜃𝐿 
D) Aleta infinitamente longa. 
𝐿 → ∞
𝜃(𝐿) = 0
 
 
 Na tabela abaixo são representadas as equações de distribuição de 
temperatura e taxa de calor em função das condições de transferência na aleta. 
Estas equações são definidas a partir da solução da equação diferencial, 
aplicando as condições de contorno de cada caso. 
 
CASO 
CONDIÇÃO DA 
EXTREMIDADE 
(x=L) 
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA 
TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE 
CALOR (q) 
A ℎ𝜃(𝐿) = −𝑘
𝑑𝜃
𝑑𝑥
|
𝑥=𝐿
 
𝑐𝑜𝑠ℎ [𝑚(𝐿 − 𝑥)] + (
ℎ
𝑚𝑘) 𝑠𝑒𝑛ℎ [𝑚
(𝐿 − 𝑥)]
cosh (𝑚𝐿) + (
ℎ
𝑚𝑘) 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚𝐿)
 𝑀
𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚𝐿) + (
ℎ
𝑚𝑘) 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑚𝐿)
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑚𝐿) + (
ℎ
𝑚𝑘) 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚𝐿)
 
B 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
|
𝑥=𝐿
= 0 
𝑐𝑜𝑠ℎ [𝑚(𝐿 − 𝑥)]
cosh (𝑚𝐿)
 𝑀 tanh(𝑚𝐿) 
C 𝜃(𝐿) = 𝜃𝐿 
(
𝜃𝐿
𝜃𝑏
) 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚𝑥) + 𝑠𝑒𝑛ℎ [𝑚(𝐿 − 𝑥)]
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝐿
 𝑀
cosh(𝑚𝐿) − (
𝜃𝐿
𝜃𝑏
)
𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚𝐿)
 
D 
 
𝐿 → ∞
𝜃(𝐿) = 0
 
 
𝑒−𝑚𝑥 𝑀 
𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞ 𝑚
2 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑐
𝜃𝑏 = 𝜃(0) = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ 𝑀 = √ℎ𝑃𝑘𝐴𝑐 𝜃𝑏
 
54 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Estimar o aumento de calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser 
obtido da parede de um cilindro com 1m2 de área superficial, ao utilizar-se 6400 
aletas com forma de pino circular, sendo que cada uma possui diâmetro de 
5mm e altura de 30mm. Admita que o coeficiente de transferência de calor 
entre a superfície da parede do cilindro ou entre uma aleta e o meio envolvente 
é de 120 kcal/h.m2.°C. A parede do cilindro está a 300°C e o meio envolvente a 
20°C. Considere a parede e as aletas sendo de alumínio (k= 178,8 kcal/h.m.°C) 
e que a perda de calor na ponta da aleta é desprezível. 
 
2) Uma barra circular longa de 5mm de diâmetro tem sua extremidade mantida a 
100°C. A superfície da barra está exposta ao ar ambiente que se encontra a 
25°C com um coeficiente de transferência por convecção de 100 W/m2.K. 
a) Determine a distribuição de temperatura ao longo da barra considerando 
que ela seja de aço inoxidável AISI 316 (k= 13,4 W/m.K). 
b) Estime o comprimento da barra para que possa ser considerada infinita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 5 – ALETAS 
ÁREA 2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
1) Uma aleta de alumínio isolada na ponta com k=200 W/m.°C de 3,0 mm de 
espessura e 7,5 cm de comprimento projeta-se de uma parede. A base é 
mantida a 300°C, e a temperatura ambiente é de 50°C com h=10 W/m2.°C. 
Calcule a perda de calor da aleta por unidade de largura do material (R.: 353 
W/m). 
2) Uma aleta de Alumínio, kAl= 200 W/m°C de 3,0 mm de espessura e 7,5 cm 
de comprimento projeta-se de uma parede com uma secção retangular, onde o 
seu comprimento é muito maior que a espessura. A base é mantida a 300°C, e 
a temperatura ambiente é 50°C com coeficiente de transferência de calor 
convectivo de 10 W/m²°C. Calcule a perda de calor através da secção 
retangular da aleta por unidade de largura (R.: 866W/m). 
3) Uma superfície de uma chapa muito delgada com 1 m2 de área e que tem 
uma temperatura de 120 °C está exposta ao ar com T=20 °C. O coeficiente de 
transferência de calor convectivo é de 5,00 W/ m².°C. À superfície adaptam-se 
670 aletas na forma de pino de seção circular com diâmetro de 2,5 mm e com 
1cm de comprimento. A condutividade térmica do material da aleta é k = 250 
W/m.°C. Determinar a transferência de calor total da superfície após a adição 
das aletas. Considere que o gradiente de temperatura na ponta da aleta é nulo, 
ou seja, que a perda de calor pela extremidade da aleta é desprezível e pode 
ser considerada isolada (R.: 524,6W). 
4) Uma barra circular longa de 5mm de diâmetro tem sua extremidade mantida 
a 100°C. A superfícieda barra está exposta ao ar ambiente que se encontra a 
25°C com um coeficiente de transferência por convecção de 100 W/m2.K. 
a) Determine a distribuição de temperatura ao longo da barra considerando 
que ela seja de aço inoxidável AISI 316 (k= 13,4 W/m.K); (R.: 𝜃 =
𝜃𝑏𝑒
−78,05𝑥) 
b) Estime o comprimento da barra para que possa ser considerada infinita (R.: 
0,18m).